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Heródoto contaba que el faraón Sesostris "repartió el suelo entre todos los egipcios, concediendo a cada habitante un lote cuadrangular de extensión uniforme", para recaudar los impuestos en función de ese reparto. Si el Nilo se desbordaba, "el monarca enviaba a algunas personas a inspeccionar y medir la disminución que había sufrido el terreno para que, en lo sucesivo, pagara una parte proporcional del tributo impuesto" (Historia , II, 109). Según el historiador y viajero griego, fue por este tipo de necesidades por lo que "se inventó la geometría" en Egipto, de donde luego pasó a Grecia.
En efecto, los egipcios utilizaron la geometría, el álgebra o la aritmética –lo que nosotros llamamos matemáticas– como herramienta para resolver problemas prácticos. Medir las parcelas de cultivo, contabilizar el producto de las cosechas, los impuestos o las ofrendas a los templos, calcular la altura de una pirámide o la inclinación de la rampa necesaria para transportar sus sillares eran labores que requerían todo tipo de operaciones matemáticas, desde las más simples a las más complejas. Los escribas que trabajaban en la administración del Estado se enfrentaban diariamente a estas tareas, y por ello desarrollaron una notable capacidad matemática , como evidencian los numerosos manuscritos con ejercicios de cálculo que se han conservado.
Escriba sentado. Estatua del Reino Antiguo. Museo del Louvre, París.
Escriba sentado. Estatua del Reino Antiguo. Museo del Louvre, París.
Rama (CC BY-SA 3.0 FR DEED)
Un sistema para contar A finales del IV milenio a.C., los egipcios disponían ya de un sistema de numeración: en muchos casos, las más antiguas muestras de escritura jeroglífica están asociadas a series numéricas anotadas en etiquetas que antaño estaban unidas a un recipiente, y que probablemente expresan las cantidades de un determinado producto contenido en el envase.
Tal es el caso, por ejemplo, de las pequeñas etiquetas halladas en la tumba Uj de Abydos, o las que han aparecido en la tumba de la reina Neithotep en Nagada (de principios de la dinastía I). En estos registros se contabilizaban las cantidades de comida y bebida que debían ser ofrendadas al difunto o al dios en un templo, o se inventariaban los bienes de un santuario.
A finales del IV milenio a.C., los egipcios disponían ya de un sistema de numeración.
Transcripción de las escenas representadas en la cabeza de maza de Narmer, donde aparecen recuentos de prisioneros y de ganado. Quibell, 1900.
Transcripción de las escenas representadas en la cabeza de maza de Narmer, donde aparecen recuentos de prisioneros y de ganado. Quibell, 1900.
PD
El sistema de numeración que desarrollaron los egipcios es el decimal, de modo que en la escritura jeroglífica hay un signo diferente para representar cada uno de los múltiplos de diez. De hecho, escribir un número en egipcio jeroglífico es muy sencillo, pues solo hay que ordenar los signos de mayor a menor. Por tanto, si queremos escribir un 11 debemos poner primero el signo de la decena seguido por el de la unidad. Para un número más alto, como el 321.412, debemos seguir el mismo principio: primero las centenas de millar, después las decenas de millar, etcétera.
Pero aunque los egipcios solo emplearan siete signos jeroglíficos distintos para plasmar cualquier número por escrito, esta aparente simplicidad esconde un problema evidente: cada signo puede repetirse hasta nueve veces. Así, si querían escribir un 9 debían repetir nueve veces el signo de la unidad , y si querían escribir un 90 debían escribir 9 veces el signo de la decena.
Imaginemos un caso extremo, el número 999.999: lo que nosotros escribimos con solo seis dígitos, los egipcios lo hacían con 54 signos. Se convierte, así, en un sistema de notación numérica ciertamente engorroso. Sin embargo, en la escritura hierática, más propia de la administración, este problema se resolvía parcialmente gracias a la aparición de signos numéricos especiales, más cursivos y abreviados.
Cómo medían los egipcios Para la vida cotidiana también era indispensable contar con un conjunto uniforme de medidas de longitud, peso y volumen, universalmente reconocidas. Entre las medidas de longitud, la básica es el codo real (meh nisut ), de 52,3 centímetros , dividido en 7 puños (shesep ), divididos a su vez en 4 dedos (djeba ). Estas unidades eran útiles para medir objetos de tamaño reducido, edificios e incluso la altura alcanzada por la inundación del Nilo, como podemos ver indicado en la Piedra de Palermo , un documento grabado en basalto que también contiene una lista de los reyes desde el Predinástico hasta la dinastía V, censos de ganado y ceremonias religiosas. Para abarcar espacios más considerables, como grandes parcelas agrícolas, disponían del khet , equivalente a cien codos, o el iteru , que correspondía a 20.000 codos reales, es decir, unos 10,5 kilómetros.
En un registro que rodea la capilla Blanca de Sesostris I en Karnak se enumeran todas las provincias (los llamados nomos ) que constituían el Egipto de aquella época (dieciséis en el Bajo Egipto y veintidós en el Alto Egipto), dando, además, la valiosa información de la longitud del tramo del Nilo que recorría cada una de ellas. Gracias a ello conocemos con muy buena aproximación las divisiones administrativas del Egipto de hace casi cuatro mil años. La medida que se emplea es el iteru . Para medir áreas o superficies se usaban medidas como el meh-ta o codo de tierra, de 100 codos cuadrados (27,5 m2 ); el setjat o arura , equivalente a 10.000 codos cuadrados (2.756 m2 ), o el kha-ta , correspondiente a diez aruras .
En un registro que rodea la capilla Blanca de Sesostris I en Karnak se enumeran todas las provincias que constituían el Egipto de aquella época.
Escena de medición de campos. Tumba de Menna. Facsímil por Charles Wilkinson. 1930.
Escena de medición de campos. Tumba de Menna. Facsímil por Charles Wilkinson. 1930.
PD
Los egipcios tenían diversas medidas de capacidad: el heqat , equivalente a 4,5 litros; el khar o saco, equivalente a 16 heqat ; el oipe , de 18,2 litros, y el hin o jarra, décima parte del heqat . Para representar las fracciones del heqat, los escribas inventaron un curioso sistema. Según un antiguo mito egipcio, el dios Horus, durante su confrontación con su tío Set, perdió su ojo, que resultó fragmentado. Los trozos fueron recogidos para formar el udjat u ojo completo, y cada parte del jeroglífico del udjat se empleó para simbolizar una fracción del heqat . Así, mientras que el udjat equivale a un heqat , las seis partes que se unen para formarlo corresponden a las fracciones 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, y 1/64.
Entre las medidas de peso, una de las más comunes fue el deben , equivalente a 91 gramos. Su décima parte era el kite . En los almacenes y tesoros se pesaban el metal y demás piezas en balanzas con pesas calibradas en deben , que solían tener forma de ternero o cabeza de vaca.
Hábiles con las cifras Todo se registraba a conciencia, de modo que los inspectores sabían en cada momento de cuántos metales se disponía. Sin embargo, la corrupción también estaba presente. Un texto de principios de la dinastía XXI, la Enseñanza de Amenemope , aporta un conjunto de consejos contra la falsificación de pesos , raciones y medidas: "No muevas los marcadores de los límites de los campos. No desplaces la posición de la cuerda de medida [...]. No modifiques las escalas ni alteres los pesos, ni reduzcas las fracciones de las medidas [...]. No hagas para ti mismo pesos deficientes y [...] si ves a alguien que estafe, aléjate de él". La manipulación interesada de escalas y pesos era usada por funcionarios corruptos ante la impotencia del campesino, obligado a pagar impuestos que, de este modo, podían ser aún más abusivos.
La pericia que alcanzaron los egipcios en las matemáticas queda reflejada en una serie de papiros, conservados en diversos museos, que debían de ser cuadernos de ejercicios para estudiantes. Los problemas se solían presentar como un conjunto de operaciones para las que no se daba una solución desarrollada; probablemente, pues, los estudiantes contaban con las explicaciones de su maestro , transmitidas oralmente. Es posible también que los estudiantes memorizaran enunciados y soluciones, de modo que ante cuestiones similares no tuvieran más que cambiar los datos.
Los problemas se solían presentar como un conjunto de operaciones para las que no se daba una solución desarrollada.
Paleta de escriba. Museo Metropolitano de Arte, Nueva York.
Paleta de escriba. Museo Metropolitano de Arte, Nueva York.
PD
El Papiro Anastasi I , versión de un texto original satírico de inicios de la dinastía XIX, ofrece ejemplos de lo que se consideraba que un buen escriba debía saber. Uno de los problemas que plantea es: "Te dicen que debes vaciar un almacén que está lleno de arena bajo el coloso de tu señor, que ha sido traído desde la cantera de Gebel Ahmar. Mide 30 codos de longitud por 20 de ancho. Su fundamento consiste en diez compartimentos llenos de arena de la orilla, mientras que las particiones de sus compartimentos tienen un ancho de 12 codos y una altura de 50 codos […]. ¿Cuántos hombres serán necesarios para vaciarlos en seis horas […] para que el coloso se erija en su lugar?".
Precursores de los griegos En algunos de estos papiros matemáticos, los problemas planteados alcanzaban un notable grado de complejidad. Así ocurre en el más completo de ellos, el Papiro Rhind , de 5 metros de longitud, fechado en el año 33 del rey hicso Apofis (hacia 1550 a.C.), si bien es copia de un papiro tres siglos anterior. Contiene 84 problemas que abarcan divisiones, multiplicaciones, sumas , operaciones con fracciones, raíces, cálculo de volúmenes, superficies, alturas, pendientes; todos ellos perfectamente ordenados en problemas de aritmética, álgebra y geometría.
Destaca el método usado para calcular el área de un círculo; en el problema 50, el valor pi , logrado empíricamente, es de 3,16 , es decir, mucho más próximo al valor real de 3,14 que al 3 que empleaban la mayoría de pueblos del Próximo Oriente antiguo.
En algunos papiros matemáticos, como el Rhind, los problemas planteados alcanzaban un notable grado de complejidad.
Papiro matemático Rhind. Museo Británico, Londres.
Papiro matemático Rhind. Museo Británico, Londres.
PD
En el Papiro de Moscú , algo más antiguo que el Rhind , destaca el problema número 10, que podría tratar del cálculo del área de una hemiesfera, muchos siglos antes de Arquímedes de Siracusa, matemático al que se atribuye el cálculo. Y el Papiro de Berlín 6619 (del Reino Medio), que contiene solo dos problemas aritméticos, muestra las más antiguas versiones de lo que después conoceremos como teorema de Pitágoras y ecuación de segundo grado. Heródoto de Halicarnaso no erraba cuando reconocía que los griegos eran deudores de Egipto en el desarrollo de una ciencia tan importante como las matemáticas.