Identità ed equazioni senza incognite
Prima di proseguire con lo studio delle equazioni dobbiamo definire un importante concetto matematico: la nozione di identità, intesa come uguaglianza tra due espressioni algebriche.
Sfortunatamente, quando si studiano le equazioni a partire dalla Terza Media e alle Scuole Superiori, le identità spesso non vengono spiegate a dovere.
Poiché hanno un ruolo molto importante in Algebra, la conseguenza è che generano confusione ed errori banali in sede di verifica/esame. Quel tipo di inconvenienti che vorremmo evitarvi. ;)
Indice
Cos'è un'identità matematica
Un'identità in Matematica è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche uguali, dunque è verificata per qualsiasi valore dell'incognita nell'insieme di esistenza delle soluzioni; le identità tra valori numerici e senza incognite sono sempre verificate in qualsiasi insieme numerico.
Qualche esempio:
x = x ; x^2+5x+1 = x^2+5x+1 ; 0 = 0 ; 3 = 3
Come potete notare, abbiamo a che fare con un'identità (algebrica) quando ci troviamo di fronte a un'uguaglianza tra due membri identici. Il membro di sinistra e il membro di destra possono avere qualsiasi forma e coinvolgere qualsiasi operazione, purché siano uguali.
Identità intese come equazioni
Dalla precedente lezione (principi di equivalenza) sappiamo che un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche in cui possono comparire una o più incognite.
Sappiamo inoltre che ogni equazione è caratterizzata da un insieme di esistenza delle soluzioni, vale a dire l'insieme in cui dobbiamo cercare i valori che risolvono l'equazione.
Ci domandiamo: ha senso considerare un'identità come un'equazione?
Nulla vieta di farlo. Se riguardiamo i primi due esempi, possiamo considerarli come equazioni ad un'incognita (x). Per ciascuna di esse possiamo considerare un determinato insieme di esistenza delle soluzioni, ad esempio l'insieme dei numeri reali R, ossia l'insieme di tutti i numeri decimali.
Si capisce subito che un'identità come quelle dei primi due esempi è verificata per qualsiasi valore dell'incognita x nell'insieme di esistenza delle soluzioni. Più brevemente, diciamo che le identità sono sempre verificate.
In modo analogo possiamo dire che:
- le identità sono equazioni risolte per ogni x nell'insieme di esistenza delle soluzioni;
- le identità sono equazioni indeterminate;
- l'insieme soluzione di un'identità coincide con l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'identità.
Ovvio, no? Se riguardiamo i primi due esempi, quale che sia il valore che sostituiamo all'incognita otterremo sempre un'uguaglianza vera. Ad esempio:
Anche qui, come nella precedente lezione, vi anticipiamo che certe identità intese come equazioni richiedono condizioni aggiuntive per far sì che esse abbiano senso dal punto di vista algebrico. Tali condizioni aggiuntive vengono dette condizioni di esistenza e hanno l'effetto di restringere l'insieme di esistenza delle soluzioni.
Non preoccupatevene per il momento. Torneremo sull'argomento quando i tempi saranno maturi e ogniqualvolta sarà necessario. ;) In ogni caso, per avere un'idea, potete fare riferimento ai seguenti esempi.
x^(12)+1 = x^(12)+1
È un'identità verificata ∀ x∈R (traduciamo i simboli matematici: per ogni x appartenente a R).
(1)/(x) = (1)/(x)
È un'identità verificata ∀ x∈R, x ≠ 0 (per ogni x appartenente a R e diverso da zero).
In questo caso dobbiamo escludere x = 0 dall'insieme di esistenza delle soluzioni perché non si può dividere per zero.
√(x) = √(x)
È un'identità verificata ∀ x∈R, x ≥ 0 (per ogni x appartenente ad R e non negativo).
Qui dobbiamo limitarci ai numeri reali positivi e a zero, perché la radice quadrata è definita solo per numeri non negativi.
Identità come equazioni senza incognite
Il discorso diventa molto interessante se consideriamo il terzo e il quarto esempio di identità che abbiamo scritto a inizio lezione:
0 = 0 ; 3 = 3
È ovvio che tali uguaglianze sono vere: zero è uguale a zero, tre è uguale a tre, io sono io, tu sei tu.
Ciò che è meno ovvio è che che le identità prive di incognite possono essere considerate come equazioni; più precisamente, come equazioni senza incognite.
Anche se è poco intuitivo, possiamo considerare un'identità numerica del tipo
numero = stesso numero
come un'equazione con un insieme di esistenza delle soluzioni.
Proprio perché l'identità non contiene al proprio interno l'incognita x, è verificata sempre e comunque a prescindere dai possibili valori di x. In altri termini, è un'equazione che ammette come soluzioni tutti i possibili valori di x.
Qui oltretutto non c'è alcun vincolo e possiamo considerare qualsiasi insieme di esistenza delle soluzioni: un'uguaglianza tra un numero e se stesso è un'equazione indeterminata.
Possiamo anche rovesciare il discorso: se consideriamo un'uguaglianza numerica che non sia un'identità
numero = numero diverso
ad esempio
1 = 2
pur non dipendendo da un'incognita, possiamo intenderla come un'equazione.
Possiamo scegliere qualsiasi insieme di esistenza delle soluzioni ma la conclusione sarà sempre la stessa: non esiste alcun valore di x per cui l'uguaglianza è verificata. In altre parole: un'uguaglianza tra numeri diversi è un'equazione impossibile.
Utilità pratica delle equazioni senza incognite
Un'altra anticipazione per voi. Quando risolveremo le equazioni ci capiterà spesso di fare i calcoli e di ridurre le uguaglianze a equazioni senza incognite. Quando succederà non cadremo dal pero, e:
- guarderemo l'equazione senza incognita;
- terremo a mente l'insieme di esistenza delle soluzioni dell'equazione iniziale;
concluderemo, a seconda dei casi:
numero = stesso numero → ∀ x∈insieme di esistenza delle soluzioni ; numero = numero diverso → not ∃ x∈insieme di esistenza delle soluzioni
Nel primo caso l'equazione è indeterminata, nel secondo l'equazione è impossibile.
Nella lezione successiva affronteremo la prima tipologia di equazione: studieremo il metodo di risoluzione delle equazioni di primo grado.
Come sempre, in caso di necessità vi invitiamo a usare la barra di ricerca interna per consultare esercizi svolti, lezioni e approfondimenti di ogni tipo. ;)
Arvedze, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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