Georg Cantor

«Nessuno riuscirà a cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato per noi.»

(David Hilbert)

Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Pietroburgo, 3 marzo 1845 – Halle, 6 gennaio 1918) è stato un matematico tedesco, padre della teoria degli insiemi. Cantor ha allargato la teoria degli insiemi fino a comprendere i concetti di numeri transfiniti, numeri cardinali e ordinali.

Biografia

Cantor nasce a San Pietroburgo, figlio di Georg Woldemar Cantor, un operatore di borsa danese, e di Marie Anna Böhm, una violinista, cattolica, nata in Russia ma di origini austriache. Nel 1856, a causa delle condizioni di salute del padre, la famiglia si trasferisce a Berlino. Georg continua la sua educazione presso le scuole tedesche, dapprima a Darmstadt, poi in Svizzera al Politecnico federale di Zurigo e infine presso l'Università di Berlino, dove ha come maestri Kummer, Kronecker e Weierstrass. Dopo aver conseguito il dottorato nel 1867 con una tesi sulla teoria dei numeri: De aequationibus secundi gradus indeterminatis, nel 1869 Cantor lascia Berlino per assumere una posizione di insegnante all'Università di Halle, dove passerà il resto della sua vita. Georg ebbe sempre nostalgia della madrepatria, dichiarandosi più russo che tedesco.

Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali $\mathbb {Q}$ è numerabile, mentre l'insieme di tutti i numeri reali $\mathbb {R}$ è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali. Il metodo di cui si servì per condurre le sue dimostrazioni è noto come metodo della diagonale di Cantor. In seguito cercò invano di dimostrare l'ipotesi del continuo. Cantor formulò un importantissimo principio per la definizione dei numeri reali, detto principio di localizzazione, che risulta fondamentale anche per poter operare sul suddetto campo numerico.

Durante la seconda metà della sua vita soffrì di attacchi di depressione, che compromisero seriamente la sua abilità di matematico e lo costrinsero a ripetuti ricoveri. Intensificò allora la lettura di testi di letteratura e di religione, in cui sviluppò il suo concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio. Egli scrisse:

«L'infinito attuale si presenta in tre contesti: in primo luogo quando si realizza nella forma più completa, in un'essenza mistica completamente indipendente, in Dio, che io chiamo Infinito Assoluto o, semplicemente, Assoluto; in secondo luogo quando si realizza nel mondo contingente, creato; in terzo luogo quando la mente lo coglie in abstracto come una grandezza, un numero o un tipo di ordine matematico.»

Impoveritosi durante la prima guerra mondiale, morì nel 1918 ad Halle, dove era ricoverato in un ospedale psichiatrico. Le sue teorie non incontrarono subito l'assenso dei colleghi: il matematico Leopold Kronecker, in particolare, giudicò le sue scoperte «prive di senso».

Al suo nome è intitolato il cratere Cantor sulla Luna.

La teoria degli insiemi

Cantor diede origine alla teoria degli insiemi (1874-1884). Fu il primo a capire che gli insiemi infiniti possono avere diverse grandezze: dapprima mostrò che dato un qualsiasi insieme $A$, esiste l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di $A$, chiamato l'insieme potenza di $A$. Poi dimostrò che l'insieme potenza di un insieme infinito $A$ ha una grandezza maggiore della grandezza di $A$ stesso (questo fatto è oggi noto con il nome di teorema di Cantor). Dunque esiste una gerarchia infinita di grandezze di insiemi infiniti, dalla quale sorgono i numeri cardinali e ordinali transfiniti, e la loro peculiare aritmetica. Per denotare i numeri cardinali usò la lettera dell'alfabeto ebraico aleph dotata di un numero naturale come indice ($\aleph _{0}$ Alef zero); per gli ordinali utilizzò la lettera dell'alfabeto greco omega.

L'innovativa teoria cantoriana, osteggiata durante la vita del suo creatore, è stata completamente accettata dai matematici moderni, che hanno riconosciuto nella teoria degli insiemi transfiniti uno slittamento di paradigma di prima grandezza.

Cioè, non solo quindi Cantor - andando contro la tradizione Aristotelica, secondo cui l'infinito era definito solo come potenziale - ha concepito l'infinito attuale come un ente misurabile e degno di valore scientifico, ma ha mostrato e dimostrato tramite quello che oggi viene chiamato il metodo della diagonalizzazione, che esistono diversi tipi di infinito. L'insieme dei numeri reali, per esempio, ha una grandezza (una cardinalità) maggiore dell'insieme dei numeri naturali, mentre l'insieme dei numeri pari ha la stessa "grandezza" dei numeri naturali, cioè (contro intuitivamente) una parte è uguale all'intero perché è possibile trovare una corrispondenza biunivoca (una biiezione) tra i due insiemi. Oggi i numeri transfiniti sono accettati dalla maggior parte dei matematici.

Filosofia e religione

Nell'opera Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, risultano citate ed esaminate con cura un numero impressionante di fonti filosofiche e teologiche: Agostino, Aristotele, Bolzano, Kant, Leibniz, Platone, Spinoza, Tommaso d'Aquino. Inoltre, tra gli “scolastici”, Franzelin, Pesch, Suárez, Tongiorgi; tra i filosofi, Albrecht von Haller, Bayle, Berkeley, Boezio, Fichte, Gerdil, Giordano Bruno, Hamilton, Hegel, Maignan, Nicola da Cusa, Origene, Pitagora, Schelling, Sesto Empirico, Thomasius; tra gli scienziati più antichi: Cavalieri, Euclide, Galileo, Guldino, Lagrange, Newton, Torricelli.

Lettore di Agostino e Spinoza, si dichiarò sempre religioso alla maniera di Spinoza, con una forte simpatia per il cattolicesimo materno. Intratteneva scambi epistolari importanti con Weierstrass, con il filosofo K. Lasswitz e con il teologo gesuita, il cardinale G.B. Franzelin, in parte pubblicati da lui stesso (sulla rivista filosofica fichtiana: Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 1887-1888) e si doleva della diffidenza che la nozione di «transfinito» suscitava negli ambienti ecclesiastici (cfr. Thuiller, 1977).

La mappa cantoriana dell'infinito si fonda sull'opposizione indeterminato/determinato e, solo secondariamente, su quella finito/infinito. Si distinguono allora: a) l'assolutamente indeterminato, o infinito inconsistente (il «cattivo» infinito, per es.: «L'insieme di tutto ciò che è pensabile», vedi supra, IV); b) le molteplicità determinate e “finite”; c) il “finito” iterato, infinito potenziale, improprio, ma non «cattivo» (contro Hegel), importantissimo in analisi matematica; d) le molteplicità «infinite ben determinate», come i transfiniti; ed infine e) Dio, assolutamente infinito.

Opere di Cantor

• Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1874. (Primo scritto sulla teoria degli insiemi).
• Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, in: Mathematische Annalen 5 (1872) 123-132.
• Über die verschiedenen Standpunkte in bezug auf das aktuale Unendliche, 1886.
• Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, 1890/91.
• Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1. Artikel), in: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481-512., su gdz.sub.uni-goettingen.de.
• Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2. Artikel), in: Mathematische Annalen 49 (1897), S. 207-246., su gdz.sub.uni-goettingen.de.
• Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Hrsg. v. E. Zermelo. Berlin: Springer 1932. (Reprint: Springer, 1980.)
• Georg Cantor: Briefe. Hrsg. v. H. Meschkowski. Berlin: Springer 1991.

Bibliografia

• Cantor, Georg (1932). Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts. (PDF) (Raccolta degli scritti originali di Cantor.)
• Hilbert, David (1926). Über das Unendliche. Mathematische Annalen 95:161-190.
• (EN) Cantor, Georg (1955, 1915). Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60045-1
• (EN) Ewald, William B. (ed.) (1996). From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics. ISBN 978-0-19-853271-2
• (EN) Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Boston: Harvard University Press. (La biografia più completa). ISBN 978-0-691-02447-9
• Antonino Zichichi, L'infinito. Editrice Galileo Galilei, Losanna, 1988
• Amir D. Aczel, Il mistero dell'alef. Il Saggiatore, 2002
• John David Barrow, L'infinito. Mondadori, 2005, capitoli V e VI.
• Leonida Lazzari, L'infinito di Cantor. Editrice Pitagora, Bologna, 2008.
• Marco de Paoli, In numero et mensura. Cantor e la teoria degli insiemi, Torino 1998, Noctua
• P. Thuiller, "Dieu, Cantor et l'infini" , "La Recherche", n. 84, dicembre 1977, pp. 1110-1116.

Voci correlate

• Teorema di Cantor
• Principio di localizzazione di Cantor
• Argomento diagonale di Cantor
• Insieme di Cantor

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Collegamenti esterni

• Cantor, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Georg Cantor, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Georg Cantor, su MacTutor, University of St Andrews, Scotland.
• (EN) Georg Cantor, su Mathematics Genealogy Project, North Dakota State University.
• (EN) Opere di Georg Cantor, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Cantor, in Free On-line Dictionary of Computing, Denis Howe. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) Biografia, su shu.edu. URL consultato il 17 novembre 2004 (archiviato dall'url originale il 3 novembre 2004).
• Giovanni Binotti, Cantor George Dizionario Interdisciplinare di Scienza e Fede
• Bibliografia di Fred Rickey