SIMULACIONES PhET (en inglés) Disponible en el eText de Pearson y en el área de estudio de MasteringPhysics La edición en español consta de dos volúmenes. El volumen 1 incluye los capítulos 1 a 20; el volumen 2 incluye los capítulos 21 a 44. Sección 1.6 1.7 2.4 2.4 2.5 3.2 3.3 3.4 5.2 5.3 6.2 6.3 7.3 7.5 9.3 10.6 12.3 13.2 13.4 14.2 14.3 14.5 15.8 16.6 17.6 17.7 18.3 18.6 21.2 21.6 21.7 23.2 24.5 25.3 25.4 25.5 Página Estimation 10 Vector Addition 13 * Forces in 1 Dimension 47 * The Moving Man 49 Lunar Lander 52 Maze Game 76 * Projectile Motion 79 Ladybug Revolution, Motion in 2D 87 Lunar Lander 146 Forces in 1 Dimension, Friction, *The Ramp 149 * The Ramp 181 Molecular Motors, Stretching DNA 188 * The Ramp 222 * Energy Skate Park 229 Ladybug Revolution 286 Torque 326 Balloons & Buoyancy 380 Lunar Lander 406 My Solar System 412 Motion in 2D 443 * Masses & Springs 446 * Pendulum Lab 453 Fourier: Making Waves, Waves on a String 495 Sound, Wave Interference 529 States of Matter 566 The Greenhouse Effect 570 Balloons & Buoyancy, Friction, Gas Properties 599 States of Matter 612 Balloons and Static Electricity, John Travoltage 691 * Charges and Fields, Electric Field of Dreams, Electric Field Hockey 708 Microwaves 711 * Charges & Fields 761 Molecular Motors, Optical Tweezers and Applications, Stretching DNA 806 Resistance in a Wire 825 Battery Voltage, Signal Circuit 829 Battery-Resistor Circuit, *Circuit Construction Kit (AC+DC), *Circuit Construction Kit (DC Only), Ohm’s Law 834 Sección Página 25.6 Conductivity 838 26.4 * Circuit Construction Kit (AC+DC), *Circuit Construction Kit (DC Only) 866 27.3 Magnet and Compass, Magnets and Electromagnets 891 28.5 Faraday’s Electromagnetic Lab, Magnets and Electromagnets 933 29.2 Faraday’s Electromagnetic Lab, Faraday’s Law, Generator 962 31.3 * Circuit Construction Kit (AC+DC), Faraday’s Electromagnetic Lab 1031 32.3 Radio Waves & Electromagnetic Fields 1061 32.5 Microwaves 1070 34.4 * Geometric Optics 1131 34.6 Color Vision 1142 35.2 * Wave Interference 1168 36.2 * Wave Interference 1192 38.1 Photoelectric Effect 1262 38.4 Fourier: Making Waves, Quantum Wave Interference 1274 39.2 Davisson-Germer: Electron Diffraction 1287 39.2 Rutherford Scattering 1294 39.3 Models of the Hydrogen Atom 1297 39.3 Neon Lights and Other Discharge Lamps 1304 39.4 Lasers 1307 39.5 Blackbody Spectrum, The Greenhouse Effect 1310 40.1 Fourier: Making Waves 1328 40.1 Quantum Tunneling and Wave Packets 1337 40.3 Double Wells & Covalent Bonds, Quantum Bound States 1343 40.4 Quantum Tunneling and Wave Packets 1347 41.5 Stern-Gerlach Experiment 1383 42.1 Double Wells and Covalent Bonds 1406 42.2 The Greenhouse Effect 1409 42.4 Band Structure, Conductivity 1417 42.6 Semiconductors, Conductivity 1422 43.1 Simplified MRI 1444 43.3 Alpha Decay 1450 43.7 Nuclear Fission 1464 *Indica un tutorial asociado disponible en la biblioteca de MasteringPhysics. ACTIVIDADES ACTIVPHYSICS ONLINE™ (en inglés) www.masteringphysics.com 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Analyzing Motion Using Diagrams Analyzing Motion Using Graphs Predicting Motion from Graphs Predicting Motion from Equations Problem-Solving Strategies for Kinematics Skier Races Downhill Balloonist Drops Lemonade Seat Belts Save Lives Screeching to a Halt Pole-Vaulter Lands Car Starts, Then Stops Solving Two-Vehicle Problems Car Catches Truck Avoiding a Rear-End Collision Force Magnitudes Skydiver Tension Change Sliding on an Incline Car Race Lifting a Crate Lowering a Crate Rocket Blasts Off Truck Pulls Crate Pushing a Crate Up a Wall Skier Goes Down a Slope Skier and Rope Tow Pole-Vaulter Vaults Truck Pulls Two Crates Modified Atwood Machine Solving Projectile Motion Problems Two Balls Falling Changing the x-Velocity Projectile x- and y-Accelerations Initial Velocity Components Target Practice I Target Practice II Magnitude of Centripetal Acceleration Circular Motion Problem Solving Cart Goes Over Circular Path Ball Swings on a String Car Circles a Track Satellites Orbit Work Calculations Upward-Moving Elevator Stops Stopping a Downward-Moving Elevator Inverse Bungee Jumper Spring-Launched Bowler Skier Speed Modified Atwood Machine Momentum and Energy Change Collisions and Elasticity Momentum Conservation and Collisions Collision Problems Car Collision: Two Dimensions Saving an Astronaut Explosion Problems Skier and Cart Pendulum Bashes Box Pendulum Person-Projectile Bowling Calculating Torques A Tilted Beam: Torques and Equilibrium Arm Levers Two Painters on a Beam Lecturing from a Beam 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 Rotational Inertia Rotational Kinematics Rotoride–Dynamics Approach Falling Ladder Woman and Flywheel Elevator–Dynamics Approach 7.11 Race Between a Block and a Disk 7.12 Woman and Flywheel Elevator–Energy Approach 7.13 Rotoride–Energy Approach 7.14 Ball Hits Bat 8.1 Characteristics of a Gas 8.2 Maxwell-Boltzmann Distribution–Conceptual Analysis 8.3 Maxwell-Boltzmann Distribution–Quantitative Analysis 8.4 State Variables and Ideal Gas Law 8.5 Work Done By a Gas 8.6 Heat, Internal Energy, and First Law of Thermodynamics 8.7 Heat Capacity 8.8 Isochoric Process 8.9 Isobaric Process 8.10 Isothermal Process 8.11 Adiabatic Process 8.12 Cyclic Process–Strategies 8.13 Cyclic Process–Problems 8.14 Carnot Cycle 9.1 Position Graphs and Equations 9.2 Describing Vibrational Motion 9.3 Vibrational Energy 9.4 Two Ways to Weigh Young Tarzan 9.5 Ape Drops Tarzan 9.6 Releasing a Vibrating Skier I 9.7 Releasing a Vibrating Skier II 9.8 One-and Two-Spring Vibrating Systems 9.9 Vibro-Ride 9.10 Pendulum Frequency 9.11 Risky Pendulum Walk 9.12 Physical Pendulum 10.1 Properties of Mechanical Waves 10.2 Speed of Waves on a String 10.3 Speed of Sound in a Gas 10.4 Standing Waves on Strings 10.5 Tuning a Stringed Instrument: Standing Waves 10.6 String Mass and Standing Waves 10.7 Beats and Beat Frequency 10.8 Doppler Effect: Conceptual Introduction 10.9 Doppler Effect: Problems 10.10 Complex Waves: Fourier Analysis 11.1 Electric Force: Coulomb’s Law 11.2 Electric Force: Superposition Principle 11.3 Electric Force: Superposition Principle (Quantitative) 11.4 Electric Field: Point Charge 11.5 Electric Field Due to a Dipole 11.6 Electric Field: Problems 11.7 Electric Flux 11.8 Gauss’s Law 11.9 Motion of a Charge in an Electric Field: Introduction 11.10 Motion in an Electric Field: Problems 11.11 Electric Potential: Qualitative Introduction 11.12 11.13 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 13.10 14.1 14.2 14.3 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 18.1 18.2 18.3 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5 20.1 20.2 20.3 20.4 Electric Potential, Field, and Force Electrical Potential Energy and Potential DC Series Circuits (Qualitative) DC Parallel Circuits DC Circuit Puzzles Using Ammeters and Voltmeters Using Kirchhoff’s Laws Capacitance Series and Parallel Capacitors RC Circuit Time Constants Magnetic Field of a Wire Magnetic Field of a Loop Magnetic Field of a Solenoid Magnetic Force on a Particle Magnetic Force on a Wire Magnetic Torque on a Loop Mass Spectrometer Velocity Selector Electromagnetic Induction Motional emf The RL Circuit The RLC Oscillator The Driven Oscillator Reflection and Refraction Total Internal Reflection Refraction Applications Plane Mirrors Spherical Mirrors: Ray Diagrams Spherical Mirror: The Mirror Equation Spherical Mirror: Linear Magnification Spherical Mirror: Problems Thin-Lens Ray Diagrams Converging Lens Problems Diverging Lens Problems Two-Lens Optical Systems Two-Source Interference: Introduction Two-Source Interference: Qualitative Questions Two-Source Interference: Problems The Grating: Introduction and Qualitative Questions The Grating: Problems Single-Slit Diffraction Circular Hole Diffraction Resolving Power Polarization Relativity of Time Relativity of Length Photoelectric Effect Compton Scattering Electron Interference Uncertainty Principle Wave Packets The Bohr Model Spectroscopy The Laser Particle Scattering Nuclear Binding Energy Fusion Radioactivity Particle Physics Potential Energy Diagrams Particle in a Box Potential Wells Potential Barriers SEARS Y ZEMANSKY Volumen 1 FÍSICA UNIVERSITARIA Décimo tercera edición HUGH D. YOUNG CARNEGIE MELLON UNIVERSITY ROGER A. FREEDMAN UNIVERSITY OF CALIFORNIA, SANTA BARBARA COLABORACIÓN DE A. LEWIS FORD TEXAS A&M UNIVERSITY TRADUCCIÓN Antonio Enríquez Brito Traductor especialista en ciencias REVISIÓN TÉCNICA Gabriela Del Valle Díaz Muñoz Luz María García Cruz Héctor Luna García Ricardo Paez Hernández José Antonio Eduardo Roa Neri Alberto Rubio Ponce Departamento de Ciencias Básicas Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco MÉXICO Antonio Gen Mora Departamento de Física y Matemáticas Universidad Iberoamericana MÉXICO Armando Tuñón Caballero Departamento de Ciencias Naturales Universidad Tecnológica de Panamá PANAMÁ Jorge Stephany Departamento de Física Universidad Simón Bolívar VENEZUELA Datos de catalogación bibliográfica YOUNG, HUGH D. y FREEDMAN, ROGER A. Física universitaria volumen 1 Décimo tercera edición PEARSON, México, 2013 ISBN: 978-607-32-2124-5 Área: Ciencias Formato: 21.5 3 27.5 cm Páginas: 744 Authorized translation from the English language edition, entitled UNIVERSITY PHYSICS WITH MODERN PHYSICS 13th Edition, by HUGH D. YOUNG, ROGER A. FREEDMAN, contributing author A. LEWIS FORD, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2012. All rights reserved. ISBN 9780321696861. Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada UNIVERSITY PHYSICS WITH MODERN PHYSICS 13ª edición por HUGH D. YOUNG, ROGER A. FREEDMAN, con la colaboración de A. LEWIS FORD, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Dirección general: Philip De la Vega Dirección Educación Superior: Mario Contreras Editor sponsor: Gabriela López Ballesteros gabriela.lopezballesteros@pearson.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de producción: Enrique Trejo Hernández Gerencia Editorial Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta DÉCIMO TERCERA EDICIÓN, 2013 D.R. © 2013 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 978-607-32-2124-5 ISBN e-book 978-607-32-2125-2 ISBN e-chapter 978-607-32-2126-9 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 16 15 14 13 www.pearsonenespañol.com isbn 978-607-32-2124-5 CONTENIDO ABREVIADO MECÁNICA ONDAS/ACÚSTICA 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 2 Movimiento rectilíneo 1 69 104 5 Aplicación de las leyes de Newton 134 6 Trabajo y energía cinética 176 7 Energía potencial y conservación 207 8 Momento lineal, impulso y colisiones 9 Rotación de cuerpos rígidos 241 278 10 Dinámica del movimiento de rotación 16 Sonido y oído 509 TERMODINÁMICA 4 Leyes del movimiento de Newton de la energía 472 35 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 15 Ondas mecánicas 308 11 Equilibrio y elasticidad 344 12 Mecánica de fluidos 373 13 Gravitación 402 14 Movimiento periódico 437 17 Temperatura y calor 551 18 Propiedades térmicas de la materia 590 19 Primera ley de la termodinámica 624 20 Segunda ley de la termodinámica 652 APÉNDICES A B C D E F El sistema internacional de unidades Relaciones matemáticas útiles El alfabeto griego Tabla periódica de los elementos Factores de conversión de unidades Constantes numéricas A-1 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 Respuestas a los problemas con número impar A-9 Desarrollo de habilidades E l presente texto le permitirá desarrollar las habilidades básicas y avanzadas que le ayudarán a resolver una gran variedad de problemas de física. Las estrategias para resolver problemas indican a los estudiantes cómo enfocar tipos específicos de problemas. q Estrategia para resolver problemas 5.2 El gran conjunto de ejemplos u del texto facilita a los estudiantes la exploración, con exhaustivo detalle, de la solución de problemas desafiantes. Consistencia El formato de Identificar/Plantear/ Ejecutar/Evaluar, aplicado en todos los ejemplos, fomenta en los estudiantes el hábito de solucionar de manera reflexiva los problemas, trascendiendo el aspecto puramente matemático. Enfoque Se revisaron todos los ejemplos y las estrategias para resolver problemas para hacerlos más concisos. Ayuda visual En la mayoría de los ejemplos se usa con frecuencia un diagrama manuscrito que muestra lo que el estudiante debe dibujar. Segunda ley de Newton: Dinámica de partículas IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Se tiene que usar la segunda 4. Identifique otras ecuaciones que podría necesitar, además de la seS S ley de Newton al resolver cualquier problema donde intervengan fuerma , Por ejemplo, quizá necesite una ma, gunda ley de Newton, gF zas que actúan sobre un cuerpo con aceleración. conso más de las ecuaciones para movimiento con aceleración aceler Identifique la incógnita, que suele ser una aceleración o una fuerza; relaciotante. Si intervienen dos o más cuerpos, podrían existir exi de lo contrario, habrá que usar otro concepto. Por ejemplo, suponga están nes entre sus movimientos; por ejemplo, cuando los cuerpos cu piden determinar Ejemplo 5.17 Trineo que conle fricción II con qué rapidez se está moviendo un trineo unidos con una cuerda. Exprese todas esas relaciones relacione en forma cuando llega al pie de una colina. La segunda ley de Newton le perde ecuaciones que relacionen las aceleraciones de los cuerpos. c del trineo; después, que usar las y la ecuación (5.5), obtenemos una expresión mitirá calculardelafricción aceleración El mismo trineo con el mismo coeficiente del ejemplo 5.16 De tendrá la segunda ecuación constante de la sección 2.4 y obtener la relaciones paramás aceleración se acelera hacia abajo por una pendiente pronunciada. Deduzca para fk: EJECUTAR la solución como sigue: velocidad a partir de la aceleración. una expresión para la aceleración en términos de g, a, mk y w. 1. Para cada objeto, determine las componentes de las fuerzas a lo n = mg cos a PLANTEAR el problema r siguiendo estos pasos: largo de cada eje de coordenadas. Cuando represente una fuerza = mkmgdecos 1. Elabore un dibujo sencillo de la situación que muestre los cuerpos cuerpo r s ƒk = men lín ondulada susacomponentes, marque con una línea kntérminos SOLUCIÓN en movimiento. Dibuje un diagrama de cuerpo cuerp r o libre para cada cuercuerel vector original para recordar no incluirlo dos veces. Sustituimos esto en(La la ecuación de launa componente x y despejamos a : IDENTIFICAR y PLANTEAR: El trineo acelerando, porfuerzas lo tanto, muestre quees actúan sobre po, queestá t todas las r el mismo. mismo. (La 2. Elabore lista de todas las cantidades xconocidas y desconocidas, de preciso usar la segunda ley de aceleración Newton endesuunforma dedepende las ecuaciocuerpo de las fuerzas que actúanmg sobre f sobre sen a + identificando 1- mk mg coslas a2incógnitas. = max nes (5.4). La incógnita es la aceleración abajo. las fuerzas que él ejerce sobre otros él, no de cuesta otros objetos). objetos). Asegúrese Asegúrese de de 3. Para cada objeto, escriba una ecuación individual de cada com- mk de cosla a2 ax = g1sen aponente El dibujo y el diagrama de cuerpo libre (figura 5.23) son casi los otro cuerpo de contestar la pregunta: “¿Qué ser capaz cuerp r o está aplicando aplicando segunda ley de Newton, en forma de las ecuaciones mismos que para el ejemplo 5.16. y defuerza la aceleración de su diagrama. Nunca incluya estaLafuerza?” f componente fue rza?” para cada incluya la la en (5.4). Además, escriba las ecuaciones adicionales que identificó i EVALUAR: Al igual que en el caso del trineo sin fricción del ejemplo pero lamcomponente x, de ax,cuerpo no lo libre; es, ¡no del trineo, ay, sigue siendo cero,cantidad en su diagrama es unaa fuerza! fuerza! el paso 4 de “Plantear”. (Se necesitan tantas ecuaciones ecuacion como in5.10, la aceleración no depende de la masa m del trineo. Esto es porque por lo que hemos dibujado la2.componente abajo con del peso como algebraico Identifique cuesta cada fuerza un símbolo para represenrepresencógnitas haya). todas las fuerzas que actúan sobre el trineo (peso, fuerza normal y un vector más largo que el de la fuerza de fricción (cuesta arriba). Por lo regular, una de las fuerzas será el peso del tar su magnitud. del 4. Realice el trabajo fácil: ¡los cálculos! Resuelva las ecuaciones ecu para fuerza de fricción cinética) son proporcionales a m. cuerpo; normalmente, lo mejor es identificarlo como w = mg. mg. obtener la(s) incógnita(s). Analicemos algunos casos especiales. Si la ladera es vertical EJECUTAR: Nos conviene expresar peso w = mg. Entonces, 3. Elijaellos ejescomo de coordenadas x y y para cada objeto y muéstrelos (a = 90°) entonces, sen a = 1, cos a = 0 y a x = g (el trineo está en utilizando la segunda ley de Newton en componentes, en cada es la didi- EVALUAR la respuesta: diagrama de cuerpo libre. No olvide indicar cuál es r ¿Su respuesta tiene las unidades caída libre). Para cierto valor de a, la aceleración es cero; esto pasa si unidade correctas? rección positiva de cada eje. En caso de que se conozca la dirección dirección (Cuando sea pertinente, utilice la conversión conv n ersión 1 N = 1 kg? m s2). ¿Tiene 1 - ƒ k2 = lama x a Fx = mg sendeala+aceleración, especísigno adecuado? val situación normalmente se simplifica sisen se elige elige a = mkelcos a algebraico y mk = tanSi a es posible, considere valores que esperaba - mg cos a2 como = 0 la dirección positiva de uno de los dirección los ejes. ejes. Si Si en en el el ficos o casos extremos, y compare los resultados con lo q a Fy = n + 1 esa Lo anterior concuerda el resultado de velocidad“¿El constante delestriPregúntese: resultado lógico?”. se aceleran en problema intervienen dos o más objetos y estos en didi- conintuitivamente. el cada ejemplo 5.16. Si el ángulo es incluso más pequeño, mk cos a ejes en para objeto. recciones distintas, se pueden usar distintos neo objeto. 5.23 Diagramas para este problema. a) La situación b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo sen es mayor que sen a y a x es negativa; si damos al trineo un empujón cuesta abajo para ponerlo en movimiento, se frenará y finalmente se detendrá. Por último, si la ladera no tiene fricción de modo que mk = 0, llegamos al resultado del ejemplo 5.10: a x = g sen a. Observe que partimos de un problema sencillo (ejemplo 5.10) y lo extendimos a situaciones cada vez más generales. El resultado más general, el de este ejemplo, incluye todos los anteriores como casos especiales. No memorice este resultado, pero trate de entender cómo se obtuvo y qué significa. Suponga ahora que se da al trineo un empujón inicial colina arriba. Ahora se invierte la dirección de la fuerza de fricción cinética, así que la aceleración es distinta del valor cuesta abajo. Resulta que la expresión para a x es la misma que para la bajada, solo que el signo menos cambia a signo más. ¿Puede demostrarlo? p ¡NUEVO! Solución tutorial en video en inglés de todos los ejemplos MasteringPhysics y el eText de Pearson presentan en video soluciones y explicaciones de los ejemplos del libro. ¡NUEVO! Tutoriales de revisión de matemáticas MasteringPhysics ofrece un amplio conjunto de tutoriales en inglés de revisión de tareas de matemáticas, que cubren temas de cálculo diferencial e integral, así como de álgebra y trigonometría. Desarrollo de confianza ¡NUEVO! Problemas prácticos Al principio de cada conjunto de problemas, un problema práctico ayuda u a los estudiantes a transitar, con facilidad y confianza, de los problemas rutinarios a otros con un alto grado de dificultad. Cada problema práctico tiene una dificultad moderada e incluye varios conceptos que generalmente pertenecen a capítulos anteriores. En lugar de una solución completa, se presenta una guía de solución consistente en preguntas y sugerencias. La solución completa se explica en Video Tutor (en inglés), incluido en el área de estudio de MasteringPhysics (en inglés) y en el eText de Pearson. D esarrolle confianza al resolver problemas mediante diversas opciones de práctica. Física en el billar PROBLEMA PRÁCTICO Una bola blanca (una esfera maciza de masa m y radio R) se encuentra en reposo sobre una mesa de billar a nivel. Usando un taco de billar, le da un golpe fuerte a la bola, horizontal de magnitud F a una altura h arriba del centro de la pelota (figura 10.37). La fuerza del golpe es mucho mayor que la fuerza de fricción f que ejerce la superficie de la mesa sobre la bola. El impacto dura un tiempo corto ¢t. a) ¿Para qué valor de h la pelota rodará sin resbalar? b) Si usted golpea el centro de la pelota (h = 0), la pelota se resbala sobre la mesa por un rato, pero finalmente rodará sin resbalar. ¿Cuál será entonces la velocidad de su centro de masa? GUÍA DE SOLUCIÓN Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar una solución con Video Tutor. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la bola en la situación del inciso a), incluyendo la elección de los ejes de coordenadas. Observe que el taco ejerce tanto una fuerza de impulso sobre la pelota como una torca alrededor del centro de masa. 2. La fuerza del taco aplicado durante un tiempo ¢t da al centro de masa de la bola una rapidez vcm, y la torca aplicada por el taco para ese mismo tiempo da a la bola una velocidad angular v. ¿Cuál debe ser la relación entre v cm y v para que la bola ruede sin resbalar? 10.37 EJECUTAR 5. En el inciso a), use el teorema de impulso-momento para encontrar la velocidad del centro de masa de la bola inmediatamente después del golpe. Luego, utilice la versión rotacional del teorema impulsomomento para encontrar la velocidad angular inmediatamente después del golpe. (Sugerencia: Para escribir la versión rotacional del teorema impulso-momento, recuerde que la relación entre la torca y el momento angular es la misma que existe entre la fuerza y el momento lineal). 6. Utilice los resultados del paso 5 para encontrar el valor de h que hará que la bola ruede sin resbalarse inmediatamente después del golpe. 7. En el inciso b), de nuevo encuentre la rapidez angular del centro de masa de la bola inmediatamente después del golpe. Después, escriba la segunda ley de Newton para el movimiento de traslación y para el movimiento de rotación de la bola cuando se resbala. Utilice estas ecuaciones con la finalidad de escribir expresiones para vcm y v como funciones del tiempo t transcurrido desde el impacto. 8. Utilizando los resultados del paso 7, encuentre el tiempo t cuando vcm y v tienen la relación correcta para rodar sin resbalar. Después, encuentre el valor de vcm en este tiempo. EVALUAR h masa m R 14.95 . PA En la figura P14.95, la Figura P14.95 esfera superior se suelta del reposo, choca contra la esfera inferior estacionaria y queda unida a ella. Ambas cuerdas tienen 50.0 cm de longitud. La esfera superior tiene una masa de 2.00 kg y está inicialmente 10.0 cm más alta que la inferior, cuya masa es de 3.00 kg. Calcule la frecuencia y el desplazamiento angular máximo del mo10.0 cm vimiento después del choque. 14.96 .. PA BIO T. rex. Modele la pierna del T. rex del ejemplo 14.10 (sección 14.6) como dos varillas uniformes con longitud de 1.55 m cada una y unidas rígidamente por un extremo. La varilla inferior tiene masa M, y la superior, 2M. El objeto compuesto pivota en torno a la parte superior de la varilla de arriba. Calcule el periodo de oscilación de este objeto para oscilaciones de amplitud pequeña. Compare su resultado con el del ejemplo 14.10. 14.97 .. CALC Una varilla metá- Figura P14.97 lica delgada y uniforme con masa M pivota sin fricción sobre un eje que pasa por su punto medio y es perpendicular a la varilla. Un resorte horizontal con constante de fuerza k se conecta al extremo inferior de la varilla, y el otro extremo del resorte se fija a un soporte u rígido. La varilla se desplaza un ángulo pequeño ∫ con respecto a la vertical (figura P14.97) y se suelta. Demuestre que se mueve en MAS angular y calcule su periodo. (Sugerencia: Suponga que ∫ es suficientemente pequeño para que las aproximaciones sen ∫ L ∫ y cos ∫ L 1 sean válidas. El movimiento es armónico simple si d2u dt2 = -v2u y el periodo es entonces T = 2p v). 3. Dibuje dos diagramas de cuerpo libre de la bola del inciso b): uno que muestre las fuerzas durante el golpe y el otro que muestre las fuerzas después del golpe, pero antes de que el balón esté rodando sin resbalar. 4. ¿Cuál es la velocidad angular de la bola del inciso b) justo después del golpe? Mientras la pelota se resbala, ¿vcm aumenta o disminuye? ¿v aumenta o disminuye? ¿Cuál es la relación entre vcm y v cuando la pelota finalmente rueda sin resbalarse? 9. Si usted tiene acceso a una mesa de billar, pruebe los resultados de los incisos a) y b) ¡por sí mismo! 10. ¿Puede demostrar que si se utiliza un cilindro hueco en lugar de una bola sólida, tiene que pegar en la parte superior del cilindro para que ruede sin resbalar en el inciso a)? t A petición de los profesores, los Conjuntos de problemas incluyen ahora un mayor número de problemas relacionados con el campo de la biomédica (BIO), problemas más difíciles que requieren de cálculo (CALC) y más problemas relacionados con material de capítulos anteriores (PA). Aproximadamente el 20% de los problemas son nuevos o modificados. Estas revisiones se efectuaron con base en datos sobre el rendimiento de los estudiantes en Estados Unidos, obtenidos con MasteringPhysics. El nivel de dificultad se indica mediante un sistema de clasificación de tres puntos, basado en información obtenida de MasteringPhysics. ¡NUEVO! Problemas de fin de capítulo mejorados en MasteringPhysics (en inglés) Los problemas seleccionados de fin de capítulo ofrecen ahora apoyo adicional, como sugerencias en las estrategias de solución de problemas, repaso y práctica de matemáticas, y vínculos con el texto. Estos nuevos problemas puente relacionan los tutoriales guiados (en inglés) y los problemas tradicionales que se asignan como tarea. Física en la vida diaria P Momento de inercia del ala de un ave rofundice el conocimiento de la física estableciendo conexiones con el mundo real. Aplicación Los tendones son resortes no ideales Aplicación ¡NUEVO! Aplicaciones de la física u A lo largo del texto se incluyen fotografías que muestran la aplicación de la física en situaciones reales, con especial énfasis en aplicaciones biomédicas y de interés general. Los músculos ejercen fuerzas a través de los tendones que los sujetan a los huesos. Un tendón está formado por fibras largas, rígidas y elásticas de colágeno. La figura muestra cómo los tendones de las patas traseras de un ualabí (un canguro pequeño) se estiran como respuesta a la fuerza aplicada. El tendón no presenta el sencillo comportamiento rectilíneo de un resorte ideal, de modo que el trabajo realizado se tiene que calcular por integración [ecuación (6.7)]. Observe que el tendón ejerce menos fuerza mientras se relaja que cuando se alarga. Como resultado, el tendón relajado solo efectúa aproximadamente el 93% del trabajo realizado para estirarlo. Cuando un ave aletea, hace girar sus alas arriba y abajo alrededor del hombro. Un colibrí tiene alas pequeñas con un momento de inercia pequeño, de modo que puede hacer que sus alas se muevan rápidamente (hasta 70 aleteos por segundo). En contraste, el cóndor de Los Andes (Vultur gryphus) tiene alas muy grandes que son difíciles de mover debido a su gran momento de inercia. Los cóndores efectúan un aleteo por segundo aproximadamente en el despegue, pero la mayoría de las veces prefieren planear mientras mantienen sus alas fijas. Aplicación Escuchar un flujo turbulento El flujo normal de sangre en la aorta humana es laminar, pero una leve perturbación como una patología cardiaca puede hacer que el flujo se vuelva turbulento. La turbulencia hace ruido; por eso, una técnica diagnóstica útil consiste en escuchar el flujo de sangre con un estetoscopio. t ¡NUEVO! Simulaciones PhET y tutoriales (en inglés) Dieciséis tutoriales PhET facilitan al estudiante realizar conexiones entre los fenómenos de la vida real y la física subyacente. Se presentan 76 simulaciones PhET en el área de estudio de MasteringPhysics y en el eText de Pearson. También está disponible el repertorio completo de aplicaciones de ActivPhysics (en inglés) y los tutoriales basados en simulaciones. ¡NUEVO! Demostraciones y tutoriales en video en inglés Videos de demostración de “ensayo y error” de conceptos clave de física despiertan el interés del estudiante al solicitarle que realice un pronóstico antes de ver el resultado. Estos videos están disponibles en el área de estudio de MasteringPhysics (en inglés) y en el eText de Pearson. Un conjunto de tutoriales basados en estos videos animan a los estudiantes a resolver problemas relacionados. Figura E21.23 H H H C Timina C H 1 C C N N 2 C O 2 0.280 H nm Adenina H N 1 N 0.300 2 C C nm C H N 1 C N 2 C O H N H Problemas de fin de capítulo basados en el campo de la biomédica u Para satisfacción de los estudiantes de las ciencias médicas, el texto agrega un número considerable de problemas basados en situaciones biológicas y biomédicas. 21.24 .. BIO Par de bases en el ADN, II. Tome como referencia el ejercicio 21.23. La figura E21.24 muestra el enlace de las moléculas de citosina y guanina. Las distancias entre O¬H y H¬N son de 0.110 nm. En este caso, suponga que el enlace se debe solo a las fuerzas a lo largo de las combinaciones O¬H¬O, N¬H¬N y O¬H¬N, y suponga también que estas tres combinaciones son paralelas entre sí. Calcule la fuerza neta que ejerce la citosina sobre la guanina debido a las tres combinaciones anteriores. ¿Esta fuerza es de atracción o de repulsión? Obtenga la diferencia con MasteringPhysics® M asteringPhysics (en inglés) es el sistema tutorial científico, de tareas y de evaluación más efectivo y utilizado, disponible en línea. www.masteringphysics.com ¡NUEVO! Tareas prediseñadas u En todos los capítulos del libro, MasteringPhysics ahora incluye tareas prediseñadas que cubren el material con una combinación probada de tutoriales y problemas de fin de capítulo con dificultad regulada. Los profesores pueden usar estas tareas tal como se presentan, o bien, tomarlas como el punto inicial de una modificación. t Libro de calificaciones • Todas las tareas se califican automáticamente. • El sombreado rojo identifica a los estudiantes vulnerables y las tareas con alto grado de dificultad. Aprovechamiento del grupo en las tareas u Haga clic sobre un problema para conocer el paso que se dificulta más a sus alumnos, e incluso las respuestas erróneas más comunes. Compare los resultados de cada etapa con el promedio nacional en Estados Unidos o con su grupo anterior. t Diagnóstico con calificaciones Esta pantalla le ofrece un diagnóstico semanal en la modalidad de su preferencia. Con tan solo dar un solo clic, la gráfica presenta un resumen de los problemas más difíciles, los estudiantes vulnerables, la distribución de calificaciones e incluso de las mejoras en las calificaciones durante el curso. SOBRE LOS AUTORES Hugh D. Young es profesor emérito de física en la Universidad Carnegie Mellon. Cursó sus estudios de licenciatura y posgrado en esa institución, donde obtuvo su doctorado en teoría de partículas fundamentales bajo la dirección de Richard Cutkosky, hacia el final de la carrera académica de este último. Se unió al equipo docente de Carnegie Mellon en 1956 y se retiró en 2004. También fue profesor visitante en la Universidad de California en Berkeley. La carrera del profesor Young se ha centrado por completo en la docencia en el nivel de licenciatura. Ha escrito varios libros de texto para ese nivel, y en 1973 se convirtió en coautor de los bien conocidos libros de introducción a la física de Francis Sears y Mark Zemansky. Además de su colaboración en el libro Física universitaria de Sears y Zemansky, es autor del texto de College Physics, de Sears y Zemansky. El profesor Young cursó un grado de bachiller como ejecutante de órgano en Carnegie Mellon en 1972 y, durante varios años, ha sido organista asociado en la Catedral de San Pablo, en Pittsburgh, ciudad en la que ofrece numerosos recitales. Durante el verano viaja mucho con su esposa Alice, en especial al extranjero y a la zona desértica de los cañones del sur de Utah. Roger A. Freedman es profesor de física en la Universidad de California, en Santa Bárbara (UCSB). El doctor Freedman estudió su licenciatura en los campus de San Diego y Los Ángeles, y realizó su investigación doctoral en teoría nuclear en la Universidad de Stanford bajo la dirección del profesor J. Dirk Walecka. Se incorporó al cuerpo docente de la UCSB en 1981, después de haber sido durante tres años profesor e investigador en la Universidad de Washington. En la UCSB el doctor Freedman ha impartido cátedra tanto en el Departamento de Física como en la Escuela de Estudios Creativos, un organismo que da cabida a los estudiantes universitarios altamente dotados y motivados. Ha publicado artículos sobre física nuclear, física de partículas elementales y física de láseres. En los años recientes ha trabajado para hacer de las conferencias de física una experiencia más interactiva a través de sistemas de respuestas en el salón de clases. Durante la década de 1970, el doctor Freedman trabajó como rotulista de un libro cómico y colaboró durante algunos años en la organización del San Diego Comic-Con (actualmente la convención más grande de la cultura popular). Ahora, cuando no está en el aula o trabajando afanosamente ante una computadora, el doctor Freedman se dedica a volar (tiene licencia de piloto comercial) o conducir, en compañía de su esposa Caroline, su automóvil convertible Nash Metropolitan, modelo 1960. A. Lewis Ford es profesor de física en la Universidad A&M de Texas. Cursó la licenciatura en Rice University en 1968, y obtuvo un doctorado en física química de la Universidad de Texas, en Austin, en 1972. Después de cursar un año de posdoctorado en la Universidad de Harvard, se unió en 1973 a la Universidad A&M de Texas como profesor de física, donde ha permanecido desde entonces. El área de investigación del profesor Ford es la física atómica teórica, con especialidad en colisiones atómicas. En la Universidad A&M de Texas ha impartido una amplia variedad de cursos de licenciatura y posgrado, pero sobre todo de introducción a la física. AL ESTUDIANTE CÓMO TRIUNFAR EN FÍSICA SI SE INTENTA DE VERDAD Mark Hollabaugh Normandale Community College La física estudia lo grande y lo pequeño, lo viejo y lo nuevo. Es una disciplina que se ocupa de una gran parte del mundo que nos rodea, desde los átomos y las galaxias, hasta los circuitos eléctricos y la aerodinámica. Es probable que el lector esté siguiendo este curso de introducción a la física, basado en el cálculo, porque lo requiera para materias posteriores que planee tomar en su carrera de ciencias o ingeniería. Su profesor desea que usted aprenda física y goce la experiencia; además, tendrá mucho interés en ayudarlo a aprender esta fascinante disciplina. Por ello, su profesor eligió el presente libro para el curso. También por esa razón, los doctores Young y Freedman me pidieron que escribiera esta sección introductoria. ¡Queremos que triunfe! El objetivo de esta sección de Física universitaria es darle algunas ideas que lo ayuden en su aprendizaje. Se harán sugerencias específicas de cómo utilizar el libro después de realizar un análisis breve de los hábitos generales y de las estrategias de estudio. Preparación para este curso Si en el bachillerato estudió física, es probable que aprenda los conceptos más rápido que quienes no lo hicieron, porque estará familiarizado con el lenguaje de esta disciplina. Asimismo, si tiene estudios avanzados de matemáticas, comprenderá con mayor rapidez los aspectos matemáticos de la física. Aun si tuviera un nivel adecuado de matemáticas, encontrará útiles algunos libros como el de Arnold D. Pickar, Preparing for General Physics: Math Skill Drills and Other Useful Help (Calculus Version). Es posible que su profesor asigne tareas de este repaso de matemáticas como auxilio para su aprendizaje. Aprender a aprender Cada uno de nosotros tiene un estilo diferente de aprendizaje y un medio preferido para hacerlo. Entender cuál es el suyo lo ayudará a centrase en los aspectos de la física que tal vez le planteen dificultades, y a emplear los componentes del curso que lo ayudarán a vencerlas. Sin duda, querrá dedicar más tiempo a aquellos aspectos que le impliquen más problemas. Si usted aprende escuchando, las conferencias serán muy importantes. Si aprende con explicaciones, entonces será de gran ayuda trabajar con otros estudiantes. Si le resulta difícil resolver problemas, dedique más tiempo a aprender cómo hacerlo. Asimismo, es importante desarrollar buenos hábitos de estudio. Quizá lo más importante que podrá hacer por usted mismo sea programar de manera regular el tiempo adecuado en un ambiente libre de distracciones. Responda las siguientes preguntas para usted mismo: • ¿Soy capaz de utilizar los conceptos matemáticos fundamentales del álgebra, la geometría y la trigonometría? (Si no es así, planee un programa de repaso con ayuda de su profesor). • En cursos similares, ¿qué actividad me ha dado más problemas? (Dedique más tiempo a ello). ¿Qué ha sido lo más fácil para mí? (Inicie con esto; le ayudará a ganar confianza). xi xii CÓMO TRIUNFAR EN FÍSICA SI SE INTENTA DE VERDAD • ¿Entiendo mejor el material si leo el libro antes o después de la clase? (Quizás aprenda mejor si revisa rápidamente el material, asiste a clase y luego lee con más profundidad). • ¿Dedico el tiempo adecuado a estudiar física? (Una regla práctica para una clase de este tipo es dedicar, en promedio, 2.5 horas de estudio fuera del aula por cada hora de clase que reciba. Esto significa que para un curso con cinco horas de clase programadas a la semana, debe destinar de 10 a 15 horas semanales al estudio de la física). • ¿Estudio física diariamente? (¡Distribuya esas 10 a 15 horas a lo largo de toda la semana!). ¿A qué hora estoy en mi mejor momento para estudiar física? (Elija un horario específico del día y respételo). • ¿Trabajo en un lugar tranquilo en el que pueda mantener mi concentración? (Las distracciones romperán su rutina y harán que pase por alto aspectos importantes). Trabajar con otros Es raro que los científicos e ingenieros trabajen aislados unos de otros; más bien, trabajan de forma cooperativa. Aprenderá más física y el proceso será más ameno si trabaja con otros estudiantes. Tal vez algunos profesores formalicen el uso del aprendizaje cooperativo o faciliten la formación de grupos de estudio. Es posible que desee constituir su propio grupo informal de estudio con miembros de su clase que vivan en su vecindario o residencia estudiantil. Si tiene acceso al correo electrónico, úselo para estar en contacto con los demás. Su grupo de estudio será un excelente recurso cuando se prepare para los exámenes. Las clases y los apuntes Un factor importante de cualquier curso universitario es el de las clases. Esto es especialmente cierto en física, ya que será frecuente que su profesor realice demostraciones de principios físicos, simulaciones por computadora o que proyecte videos. Todas estas son actividades de aprendizaje que lo ayudarán a comprender los principios básicos de la física. No falte a clases, y si lo hace por alguna razón especial, pida a un amigo o miembro de su grupo de estudio que le dé los apuntes y le diga lo que pasó. En clase, tome notas rápidas y entre a los detalles después. Es muy difícil tomar notas palabra por palabra, de modo que solo escriba las ideas clave. Si su profesor utiliza un diagrama del libro de texto, deje espacio en el cuaderno para este y agréguelo más tarde. Después de clase, complete sus apuntes con la cobertura de cualquier faltante u omisión, anotando los conceptos que necesite estudiar posteriormente. Haga referencias a las páginas del libro de texto, número de ecuación o de sección. Asegúrese de hacer preguntas en clase, o hable con su profesor durante sus horas de asesoría. Recuerde que la única pregunta “fuera de lugar” es la que no se hace. En su universidad quizás haya asistentes de profesores o tutores para ayudarlo con las dificultades que encuentre. Exámenes Presentar un examen es estresante. Pero si se preparó de manera adecuada y descansó bien, la tensión será menor. La preparación para un examen es un proceso continuo; comienza en el momento en que termina el último examen. Debe analizar su examen inmediatamente y comprender los errores que haya cometido. Si resolvió un problema y cometió errores importantes, pruebe lo siguiente: tome una hoja de papel y divídala en dos partes con una línea de arriba hacia abajo. En una columna escriba la solución adecuada del problema, y en la otra escriba lo que hizo y por qué, si es que lo sabe, y la razón por la que su propuesta de solución fue incorrecta. Si no está seguro de por qué cometió el error o de la forma de evitarlo, hable con su profesor. La física se construye de manera continua sobre ideas fundamentales y es importante corregir de inmediato cualquier mal entendido. Cuidado: si se prepara en el último minuto para un examen, no retendrá en forma adecuada los conceptos para el siguiente. AL PROFESOR PREFACIO Este libro es el producto de más de seis décadas de liderazgo e innovación en la enseñanza de la física. Cuando en 1949 se publicó la primera edición de Física universitaria, de Francis W. Sears y Mark W. Zemansky, su énfasis en los principios fundamentales de la física y la forma de aplicarlos fue un aspecto revolucionario entre los libros de la disciplina cuya base era el cálculo. El éxito de Física universitaria en generaciones de varios millones de estudiantes y profesores de todo el mundo da testimonio del mérito de este enfoque y de las muchas innovaciones posteriores. Al preparar esta decimotercera edición, mejoramos y desarrollamos aún más el texto de Física universitaria para asimilar las mejores ideas de la investigación educativa con respecto a la enseñanza basada en la solución de problemas y la pedagogía visual y conceptual; este libro es el primero que incluye problemas mejorados en forma sistemática, y en utilizar el sistema de tareas y enseñanza en línea de mayor uso en el mundo, además de estar probado pedagógicamente. Lo nuevo en esta edición • Incluidos en cada capítulo, los Problemas prácticos constituyen una transición entre los ejemplos conceptuales y los problemas más desafiantes del final del capítulo. Cada problema práctico posee cierta dificultad y varios conceptos que a menudo incorporan ideas de capítulos anteriores. En lugar de una solución individual, se proporciona un formato como Guía de solución que consiste en preguntas y sugerencias que mejoran la capacidad de los estudiantes para plantear y resolver problemas desafiantes con seguridad. • Se revisaron todos los ejemplos y estrategias de solución de problemas para mejorar la concisión y claridad para los estudiantes de la actualidad. • El núcleo de los capítulos de física moderna (capítulos 38 a 41, del volumen 2) se revisó minuciosamente para comunicar una idea más precisa, en lugar del enfoque histórico del material. Los capítulos 42 a 44 también se revisaron de manera significativa. • El capítulo de mecánica de fluidos ahora precede a los capítulos de gravitación y movimiento periódico, de modo que este último aparece inmediatamente antes del capítulo de ondas mecánicas. • A lo largo del texto, se incluyen aplicaciones adicionales de ciencias de la vida, la mayoría en forma de fotografías al margen, con subtítulos explicativos, para ayudar a los estudiantes a ver cómo la física está conectada con los avances y descubrimientos en las ciencias de la vida. • El texto se ha simplificado para manejar un lenguaje más conciso y enfocado. • Con los datos de MasteringPhysics, los cambios al contenido de final de capítulo incluyen lo siguiente: • Del 15 al 20% de los problemas son nuevos. • Se incrementó el número y se elevó el nivel de los problemas que requieren cálculo. • La mayoría de los capítulos incluyen de cinco a siete problemas relacionados con ciencias de la vida. • Se incrementó el número de problemas acumulativos (aquellos que incorporan conceptos de capítulos anteriores). • Más de 70 simulaciones PhET en inglés se vinculan con el eText de Pearson y se presentan en el sitio web Study Area de MasteringPhysics (con íconos en el texto impreso). Estas poderosas simulaciones permiten al estudiante interactuar productivamente con los conceptos de física que está aprendiendo. • Los videos tutoriales en inglés relacionan el contenido clave del texto con la vida cotidiana: • Docenas de videos tienen demostraciones de “pausa y pronóstico” de conceptos claves de física e incorporan una evaluación conforme el estudiante progresa, para comprometerlo activamente en la comprensión de las ideas conceptuales clave que subyacen en los principios físicos. xiii xiv PREFACIO • Todos los ejemplos del libro se acompañan de una solución en video, que lleva al estudiante a través del proceso de solución de problemas, ofreciendo un asistente de enseñanza virtual las 24 horas. • Hay acceso directo a todos estos videos a través de enlaces dentro de Pearson eText. Muchos aparecen también en el área de estudio dentro de MasteringPhysics. Características clave de Física universitaria • Conjuntos de problemas profundos y extensos cubren un amplio rango de dificultad y ayudan tanto a comprender la física como a desarrollar habilidad para resolver problemas. Muchos problemas se basan en situaciones complejas de la vida real. • Este texto ofrece un mayor número de Ejemplos que cualquier otro texto del tema basado en el cálculo, lo que permite explorar la solución de problemas desafiantes que no se tratan en otros libros. • Se aplica un enfoque de solución de problemas (consistente en identificar, plantear, ejecutar y evaluar), basado en investigación. Dicho enfoque no solo se aplica en cada problema, sino también en las Estrategias de solución de problemas y en los Manuales de soluciones y las Guías de estudio del estudiante y del profesor. Este enfoque sistemático enseña a los estudiantes a resolver problemas a partir de la reflexión y no solo aplicando las matemáticas de manera directa. • Las Estrategias de solución de problemas preparan a los estudiantes para enfocar tipos específicos de problemas. • Las figuras usan un estilo gráfico simplificado, enfocado en la situación física, e incorporan notas explicativas. Ambas técnicas han demostrado tener un efecto muy positivo en el aprendizaje. • Las figuras que ilustran las soluciones de los ejemplos a menudo tienen la forma de dibujos a lápiz en blanco y negro, para simular lo que un estudiante dibujaría al resolver un problema. • Los párrafos que aparecen bajo el título de Cuidado se enfocan en los errores comunes y las áreas problemáticas que enfrentan los estudiantes. • Las preguntas bajo el título Evalúe su comprensión al final de una sección permiten a los estudiantes verificar su conocimiento del tema y usar un formato de clasificación de opciones múltiples para identificar errores comunes. • Los resúmenes visuales al final de cada capítulo presentan las ideas principales en palabras, ecuaciones y diagramas breves, los cuales ayudan a los estudiantes a repasar más efectivamente. Material complementario para el profesor (en inglés) Nota: Por conveniencia, todos los siguientes materiales para el profesor se pueden descargar del área de instructor (Instructor Area), por medio de la barra de navegación de la izquierda de MasteringPhysics (www.masteringphysics.com). Los manuales de soluciones para el profesor, que elaboraron A. Lewis Ford (Texas A&M University) y Wayne Anderson, contienen soluciones completas y detalladas de todos los problemas de final de capítulo. Todas siguen de manera consistente el método de identificar, plantear, ejecutar y evaluar que se utiliza en el libro. Descárguelas desde MasteringPhysics Instructor Area o desde el Instructor Resource Center (www.pearsonhighered.com/irc). MasteringPhysics® (www.masteringphysics.com) es el sistema de tareas y enseñanza de física más avanzado, eficaz y de mayor uso en el mundo. Con ocho años de desarrollo, pone a disposición de los profesores un repertorio de problemas de final de capítulo probados extensivamente, así como tutoriales enriquecedores, integrados por varios pasos, que incorporan varios tipos de respuestas, retroalimentación sobre los errores y ayuda individualizada (lo que comprende sugerencias o problemas más sencillos, si así se solicita); todo ello bajo el auspicio de la base de datos más grande del mundo de solución de problemas. Investigación publicada patrocinada por NSF y varios estudios subsiguientes revelan que MasteringPhysics tiene resultados contunden- PREFACIO tes de enseñanza. MasteringPhysics permite que los profesores elaboren con rapidez una amplia variedad de tareas con el grado de dificultad y la duración adecuados; además, les brinda herramientas eficientes para que analicen las tendencias de la clase y el trabajo de cualquier estudiante con un detalle sin precedente. MasteringPhysics ofrece retroalimentación instantánea e individualizada y guía para más de 100,000 estudiantes diariamente. Un gran número de herramientas y un sólido soporte hacen a MasteringPhysics rápido y fácil de aprender para profesores y estudiantes. Pruebas extensivas en los salones de clase muestran que, al final de su curso, ocho de cada nueve estudiantes recomiendan MasteringPhysics como el modo preferido para estudiar y hacer tareas. MasteringPhysics facilita a los profesores: • Elaborar rápidamente tareas que combinen problemas normales de fin de capítulo y tutoría (mediante problemas tutoriales de varios pasos que ofrecen retroalimentación sobre los errores del usuario, así como problemas más sencillos cuando así se solicite). • Ampliar las tareas para incluir el rango máximo de actividades disponibles calificadas automáticamente, que van desde problemas numéricos con valores al azar, respuestas algebraicas y dibujos elaborados a mano. • Elegir un amplio rango de problemas probados a nivel nacional (en Estados Unidos), que brindan estimaciones precisas de dificultad y tiempo de terminación. • Después de concluida una tarea, se podrán identificar rápidamente no solo los problemas más difíciles para los estudiantes, sino también los tipos de problemas individuales donde los estudiantes tuvieron más dificultad. • Comparar los resultados de la clase con el promedio mundial del sistema para cada problema asignado, con la finalidad de identificar los temas que se deben incluir en la enseñanza justo a tiempo. • Verificar a detalle el trabajo de un estudiante particular, incluyendo el tiempo dedicado a cada problema, respuestas incorrectas en cada paso, el tipo de ayuda solicitada y cuántos problemas de práctica realizó. ActivPhysics OnLine™ (al cual se accede a través del área de estudio dentro de www.masteringphysics.com) ofrece la biblioteca más completa integrada por más de 420 applets probados y actualizados para entrega en la web usando las tecnologías más avanzadas en línea. Además, ofrece un conjunto de applets basados en tutoriales desarrollados por los pioneros de la educación Alan Van Heuvelen y Paul d’Alessandris. Los íconos al margen a través del texto dirigen a los estudiantes a ejercicios específicos para complementar el análisis del libro. Los ejercicios en línea están diseñados para animar a los estudiantes a confrontar errores, indagar las razones cualitativas de los procesos físicos, experimentar cuantitativamente y aprender a pensar críticamente. El tan aclamado conjunto de ejercicios ActivPhysics OnLine ayuda a los estudiantes a trabajar conceptos complejos y a comprenderlos con más claridad. El Banco de pruebas incluye más de 2,000 problemas de alta calidad, que comprenden respuestas de opción múltiple y de verdadero/falso; también se incluyen preguntas normales de acuerdo con el tipo de tarea. Los archivos de pruebas están disponibles tanto en formato Word como en TestGen (un programa fácil de usar, que permite crear y editar concursos y exámenes). Este recurso se descarga de MasteringPhysics Instructor Area o del Instructor Resource Center (www.pearsonhighered.com兾irc). Material complementario para el estudiante (en inglés) MasteringPhysics® (www.masteringphysics.com) es el sistema de tareas, enseñanza y evaluación basado en años de investigación sobre cómo resuelven problemas de física los estudiantes y acerca de las áreas donde requieren ayuda. Los estudios revelan que los alumnos que recurren a MasteringPhysics™ mejoran de manera significativa sus calificaciones, en comparación con los que realizan sus tareas de la forma tradicional. MasteringPhysics™ logra esto al dar a los estudiantes retroalimentación instantánea y específica sobre sus respuestas erróneas, proponer a solicitud de ellos problemas más xv xvi PREFACIO sencillos cuando no logran avanzar, y asignar una calificación parcial. Este sistema socrático individualizado de tutoría, disponible las 24 horas del día y los siete días de la semana, es recomendado por nueve de cada 10 alumnos a sus compañeros como el modo más eficaz de aprovechar el tiempo para estudiar. Requiere la compra de un código de acceso. eText de Pearson está disponible a través de MasteringPhysics. Este recurso permite a los estudiantes el acceso al texto dondequiera que haya una conexión a Internet. El eText de Pearson comprende el texto completo, incluyendo figuras que se pueden agrandar para mejorar la claridad. El eText permite a los estudiantes consultar definiciones y términos para ayudarse con el vocabulario y la lectura del material. Los estudiantes también podrán tomar notas en el eText usando la opción de anotación en la parte superior de cada página. Servicios de enseñanza de Pearson (www.pearsontutorservices.com). Cada suscripción a MasteringPhysics permite al estudiante tener acceso a los servicios de tutoría de Pearson, generados por Smarthinking, Inc. Con su ID y su clave de MasteringPhysics, los estudiantes se comunican con profesores altamente calificados que ofrecen tutoría adicional interactiva en línea sobre conceptos importantes de física. Se aplican algunas restricciones; es una oferta sujeta a cambios. ActivPhysics OnLine™ (al cual se accede a través del área de estudio dentro de www.masteringphysics.com) ofrece a los estudiantes un conjunto de tutoriales con base en applets (véase párrafos atrás). PREFACIO xvii Agradecimientos a la edición en español Pearson Educación agradece a los profesores usuarios de esta obra, y a los centros de estudio, por su apoyo y retroalimentación, elemento fundamental para esta nueva edición de Física universitaria de Sears y Zemansky. Argentina Instituto Tecnológico de Buenos Aires Jorge O. Ratto Universidad Católica Argentina Facultad de Ciencias Agrarias – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Roberto Fratantoni Facultad de Ingeniería – Ciudad Autónoma de Buenos Aires Jorge Clot Universidad de Buenos Aires María Cristina Menikheim Universidad Nacional Arturo Jauretche José Enrique Carrizo Universidad Nacional de Córdoba Carlos Andrés Cataldi Colombia Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito Andrés Felipe Londoño Sierra Aura Sofía Morales Mejía Carlos Andrés Collazos Morales Carmen Eugenia Fonseca Cuenca Cecilio Silveira Cabrera César Alberto Castellanos García Eduardo Silva Sánchez Eliseo Pérez Medina Fabio Vélez Uribe Germán Ernesto Montoya Vargas Gonzalo Jiménez Escobar Guillermo Alfonso Rojas Sánchez Heindel Ricardo Otero Arévalo Jaime José Isaza Ceballos José Raúl Panqueva Sánchez Julián Camilo Rodríguez Rondón Luis Alejandro Ladino Gaspar Luis Fernando Villamarín Guerrero Olga Lucía Godoy Morales Rafael Guzmán Escandón Rodrigo Alonso Bermúdez Cortés Raúl Alberto Ruiz Fandiño Escuela de Ingeniería de Antioquia Amalia Betancur R. Eugenio Giraldo Tobón Guillermo Miranda P. Ricardo Restrepo A. Walter Ospina M. Escuela Militar de Aviación Marco Fidel Suárez Ángel María Cundar Erazo Pontificia Universidad Javeriana – Bogotá Beynor Antonio Páez Sierra Fernando Vega Salamanca Gustavo Antonio Mejía Cortés Pontificia Universidad Javeriana – Cali Alberto Pretel Vega Carlos Alberto Lozano Zapata Luis Alfredo Rodríguez Saucedo Luis Gerardo Pedraza Saavedra Universidad Autónoma de Occidente Alexander Osorio Caicedo David Fernando Ramírez Moreno Giovanni Medina Vargas Jesús Roberto Soto Mónica María Rico Castro Robert Sánchez Cano Universidad Católica de Colombia Álvaro Damián Gómez Granja Ana Elsa Tenjo Tenjo Javier Francisco Novegil González Anleo José Alberto Rodríguez Ortiz Juan Carlos Palacios Caicedo Queeny Madueño Pinto William Andrés Castro López Universidad De La Salle Alejo Martínez Harley Álvaro Mauricio Bustamante Lozano Carlos Arturo Jiménez Orjuela César Arturo Torres Leal César Augusto Ramos Burgos Daniel Abdon Varela Muñoz Daniel Felipe Noguera Poveda Diana Consuelo Jaimes Fuentes Germán Moncada Méndez Héctor Alcides Escucha Hernández Hernán Pineda Rey Jorge Alberto Dueñas Suaterna José Arturo Celis Gil Juan Oswaldo Rodríguez Quitian Luis Hernando Barbosa Mauricio Vinasco Téllez Myriam Herrera Paloma Óscar Javier Avella González Ruby Margoth Cuervo Osses xviii PREFACIO Universidad de Los Andes Alejandra Catalina Valencia González Alejandro García Varela Alonso Botero Mejía Andrés Fernando Reyes Lega Andrés Reyes Beatriz Eugenia Sabogal Martínez Bernardo Gómez Moreno Carlos Arturo Ávila Bernal Carlos Roberto Hernández Rodríguez Chad Leidy Ferney Javier Rodríguez Dueñas Gabriel Téllez Acosta Jaime Ernesto Forero Romero Jorge Luis Galán José M. Rolando Roldán Juan Manuel Pedraza Leal Luis Quiroga Puello Manu Forero Shelton Natalia Gómez Pérez Nohora Galán Yenny Hernández Universidad de Medellín Andrés Quintero Zea Carlos Alberto Rodríguez Ortiz Carlos Andrés Arredondo Orozco Gilmar Rolando Anaguano Jiménez Gloria Eugenia Campillo Figueroa Jaime Humberto Hoyos Barrios Jairo Madrigal Argaez Jorge Alberto Ceballos Robledo Jorge Hernán Quintero Orozco José Simón Restrepo Restrepo Juan Carlos Morales Vega Leonardo Charry Rodríguez Luis Fernando Pemberthy Múnera Octavio Enrique Barrera Arenas Pablo Andrés Cuartas Restrepo Paola Andrea Buitrago Cadavid Sebastián Palomino Ángel Sandra Milena Vergara Pérez Universidad EAFIT Álvaro A. Velásquez T. Augusto Carmona Valencia Carlos Alberto Avendaño Pérez Carlos Mario Cartagena Marín Claudia Palacio Espinosa Daniel Velásquez Prieto Héctor Fabián Betancur Montoya Jhon Rober Atencio Urieta Jorge David Caro José David Rincón Cuéllar José Ignacio Marulanda B. Juan Carlos Castrillón Trujillo Juan Manuel Jaramillo O. Luciano Ángel Toro Luis Alejandro Gómez Ramírez Mario Elkin Vélez Ruiz Oscar Meneses Cardona René Restrepo Gómez Ricardo Andrés Smith Arbeláez Roberto E. Lorduy Gómez Víctor Hugo Camargo Suárez Yhefferson Fernando Gutiérrez Loaiza Universidad Libre – Bogotá Álvaro Miguez Pulido Fernando Rojas Molano Fredy Mesa Rodríguez Germán Forero Roncancio Israel Caicedo Suárez Jairo Ernesto Sierra Jorge René Silva Sara García González Universidad Militar Nueva Granada Jairo Bautista Mesa Universidad Pontificia Bolivariana Ángel Salazar Consuelo Arango Vásquez Fredy Pérez Héctor Lorduy Johnson Garzón José León Juan Carlos Zapata Luis Alfonso Bernal Luz Aída Sabogal Rosio Elejalde Rubén Arboleda Vélez España Universidad de Oviedo Sergio Luis Palacios Díaz Universidad de Vigo Mohamed Boutinguiza Larosi Stefano Chiussi México Distrito Federal Instituto Tecnológico Autónomo de México Francisco Villa López Marcelo Carlos Mejía Olvera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Santa Fe Martín Pérez Instituto Politécnico Nacional ESIME Zacatenco Fernando Bucio Sánchez PREFACIO UPIICSA Arturo Hidalgo Aguilar Edgar García Manrique Enrique Jiménez López Faustino Rafael Netzahuatl Campos Fausto Cote Gutiérrez Irma Salas Juárez Ismael Rodríguez Flores Jesús Roda Santana Jesús Velasco José Enrique González Islas José María Alfonso Ochoa Cano Juan Carlos Pacheco Morales Julio David Cruz Ruiz Manuel Muñoz Orozco Rubén Beltrán de Paz Víctor Manuel Sánchez López UPIITA Acsa Zaray Mota Antonio Aburto Barragán Israel Reyes Ramírez Jesús Manuel Picazo Rojas Roberto Mota Esteves Rodrigo Pelayo Ramos Universidad Anáhuac, Campus Norte Alexander Rechetcov Universidad del Valle de México Juan Andrés Aspiazu Fabián Universidad Iberoamericana Adolfo Finck Pastrana Alfredo Sandoval Villalbazo Anabel Arrieta Ostos Antonio Gen Mora Bernardo Cervantes Sodi Carmen González Mesa Claudia Camacho Zúñiga Domitila González Patiño Enrique Sánchez Aguilera Fabián Rodolfo Estrada Guerrero Fausto Cervantes Ortiz Gustavo Soto de la Vega Ignacio Santiago Prieto Jorge Cervantes José A. Heras José Jorge Cayente Romero José Luis Morales Hernández Lorena Arias Montaño Lorena Arias Ochoa Luis Olivares Q. Luis R. de la Vega Ballesteros Manuel Flores Bravo Mauricio Rodríguez Oliverio Jilrik Mercado Ricardo Ondarzaronira Roberto Mota Esteves Rodrigo Pelayo Ramos Víctor Velasco Estado de México Instituto Tecnológico de Tlalnepantla Laura N. Palacios Grijalva Tecnológico de Estudios Superiores de Coacalco Aurelio Sánchez López David Sánchez Huitrón Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec David Martínez Romero Edgar Corona Organiche Eva Valdez Alemán Jesús Adrián Vargas Castillo Leticia Vera Pérez Mauricio Javier Zárate Sánchez Miguel Ángel González Pérez Víctor E. Vivanco Cid Universidad Autónoma del Estado de México Gustavo Quintana Carapia Miriam Sánchez Pozos Raymundo Escamilla Sánchez Universidad Nacional Autónoma de México FES Aragón Mario Yáñez Gutiérrez Noé González Rosas Rodolfo Zaragoza Buchain FES Cuautitlán C-4 Adolfo García Gómez Ana María Terreros de la Rosa Baruch Arriaga Morales Eduardo Carrizales Ramírez Jesús Felipe Lanuza García Roberto Reyes Arce Yolanda Benítez Trejo Jalisco Centro de Educación Técnica Industrial, Colomos Kathya Vidrio Montes Instituto Tecnológico Superior de Zapopan Edgar Ignacio Sánchez Rangel Universidad de Guadalajara CUCEI Francisco José De Anda Ramírez Javier W. Lau Sánchez Mario Flores Pérez Marco Aurelio Martínez Aguilera José Guzmán Hernández Rubén Bautista Navarro Vladimir Camelo Avedoy José Nieves Carrillo Castillo Faustino Omar García Concepción Alma Leticia Rodríguez Domínguez Marisela Elena Rodríguez Santiago Samuel Rosalio Cuevas Isabel Sainz Abascal Adalberto Zamudio Ojeda xix xx PREFACIO CUTONALA Porfirio Pérez Cisneros Universidad del Valle de México Campus Zapopan Miguel Arturo Barreiro González Jorge Eduardo Aguilar Rosas Adolfo Gallegos Campus Guadalajara Sur Eduardo Jacobo Arroyo Michoacán Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Morelia Orlando González Pérez Instituto Tecnológico de Morelia Leonel Magaña Mendoza Nayarit Universidad Autónoma de Nayarit César Arroyo Villa Rubén Emanuel Peña Santos Domingo Gómez de la Cruz Enrique R. Núñez Figueroa Instituto Tecnológico de los Mochis Carla Rebeca Mendoza Casanova Héctor Manuel Barroso Morales Instituto Tecnológico de Mazatlán Arturo Astorga Ramos María Magdalena Cázarez Quintero Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Sinaloa Juan Bernardo Castañeda Eduardo Soberanes Lugo Veracruz Instituto Tecnológico de Veracruz Luigi Amalfi Castellanos Martha Bibiana Arriaga López Universidad Veracruzana Mariano Azzur Hernández Contreras Verónica García Valenzuela Yucatán Instituto Tecnológico de Mérida Alejandro Ulises Rodríguez Padilla Manuel Jesús Castro Álvarez Nuevo León Universidad Autónoma de Nuevo León Manuel Banda Puente Marco Antonio Mendoza García Nora Elia Rodríguez Elizondo Rogelio M. de la Rosa Villarreal Universidad Anáhuac Mayab Sergio Ricardo Arjona Marrufo Universidad Marista de Mérida Francisco Javier Espinosa Faller Querétaro Universidad Modelo Alvar A. Paredes Puerto Instituto Tecnológico de Querétaro Adrián Herrera Olalde Manuel Francisco Jiménez Morales Mario Alberto Montante Garza Uruguay Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Querétaro Juan José Carracero Lucio López Cavazos San Luis Potosí Universidad Autónoma de San Luis Potosí Alejandro Corpus Cordero Universidad ORT Uruguay Efrain Buksman Venezuela Universidad Católica Andrés Bello Iván Escalona Jorge Benedictto José Manuel Marino Juan Carlos Lavado Oscar Rodríguez Rafael Degugliemo Sinaloa Escuela Físico Matemáticas Culiacán Jesús Armando Domínguez Molina Instituto Tecnológico de Culiacán Rocío Gómez Sainz Universidad Central de Venezuela Cristian Murati Freddy Pérez Leonardo Araujo Miguel Bosch PREFACIO Universidad de Carabobo – Valencia Aníbal Aguilera Elimar Hernández María Teresa Cruz Pedro Salazar Reymer Romero Thamara Fernández Víctor Barrios Víctor Medina Universidad de Oriente Núcleo Barcelona Eduardo Bass Lilibeth Rodríguez Núcleo Nueva Esparta Cirilo Larez Universidad José María Vargas José Ernesto León Samuel Garaicochea Universidad Metropolitana Carmen Sainz Guillermo Chacin Luis Álvarez Mirna Guevara Universidad Simón Bolívar Ana Fariñas Carlos Vásquez Claudia Colonnello Dinorah Herrera Douglas Mundarain Eduardo Aloma Elram Figueroa Esteban Isasi Félix Rodríguez Ilich Idler Jacinto Liendo Jaime Wong Jean Pierre Gallinar Jesús Pineda Jorge Ovalle Jorge Stephany José Ruiz Luis Emilio Guerrero Mario Caicedo Rafael Angulo Ricardo Castel Rita Gianvittorio Sergio Rojas xxi xxii PREFACIO Agradecimientos Queremos agradecer a los cientos de revisores y colegas que han hecho comentarios y sugerencias invaluables durante la vida de este libro. El éxito continuo de Física universitaria se debe en gran medida a sus contribuciones. Edward Adelson (Ohio State University), Ralph Alexander (University of Missouri at Rolla), J. G. Anderson, R. S. Anderson, Wayne Anderson (Sacramento City College), Alex Azima (Lansing Community College), Dilip Balamore (Nassau Community College), Harold Bale (University of North Dakota), Arun Bansil (Northeastern University), John Barach (Vanderbilt University), J. D. Barnett, H. H. Barschall, Albert Bartlett (University of Colorado), Marshall Bartlett (Hollins University), Paul Baum (CUNY, Queens College), Frederick Becchetti (University of Michigan), B. Bederson, David Bennum (University of Nevada, Reno), Lev I. Berger (San Diego State University), Robert Boeke (William Rainey Harper College), S. Borowitz, A. C. Braden, James Brooks (Boston University), Nicholas E. Brown (California Polytechnic State University, San Luis Obispo), Tony Buffa (California Polytechnic State University, San Luis Obispo), A. Capecelatro, Michael Cardamone (Pennsylvania State University), Duane Carmony (Purdue University), Troy Carter (UCLA), P. Catranides, John Cerne (SUNY at Buffalo), Tim Chupp (University of Michigan), Shinil Cho (La Roche College), Roger Clapp (University of South Florida), William M. Cloud (Eastern Illinois University), Leonard Cohen (Drexel University), W. R. Coker (University of Texas, Austin), Malcolm D. Cole (University of Missouri at Rolla), H. Conrad, David Cook (Lawrence University), Gayl Cook (University of Colorado), Hans Courant (University of Minnesota), Bruce A. Craver (University of Dayton), Larry Curtis (University of Toledo), Jai Dahiya (Southeast Missouri State University), Steve Detweiler (University of Florida), George Dixon (Oklahoma State University), Donald S. Duncan, Boyd Edwards (West Virginia University), Robert Eisenstein (Carnegie Mellon University), Amy Emerson Missourn (Virginia Institute of Technology), William Faissler (Northeastern University), William Fasnacht (U.S. Naval Academy), Paul Feldker (St. Louis Community College), Carlos Figueroa (Cabrillo College), L. H. Fisher, Neil Fletcher (Florida State University), Robert Folk, Peter Fong (Emory University), A. Lewis Ford (Texas A&M University), D. Frantszog, James R. Gaines (Ohio State University), Solomon Gartenhaus (Purdue University), Ron Gautreau (New Jersey Institute of Technology), J. David Gavenda (University of Texas, Austin), Dennis Gay (University of North Florida), James Gerhart (University of Washington), N. S. Gingrich, J. L. Glathart, S. Goodwin, Rich Gottfried (Frederick Community College), Walter S. Gray (University of Michigan), Paul Gresser (University of Maryland), Benjamin Grinstein (UC San Diego), Howard Grotch (Pennsylvania State University), John Gruber (San Jose State University), Graham D. Gutsche (U.S. Naval Academy), Michael J. Harrison (Michigan State University), Harold Hart (Western Illinois University), Howard Hayden (University of Connecticut), Carl Helrich (Goshen College), Laurent Hodges (Iowa State University), C. D. Hodgman, Michael Hones (Villanova University), Keith Honey (West Virginia Institute of Technology), Gregory Hood (Tidewater Community College), John Hubisz (North Carolina State University), M. Iona, John Jaszczak (Michigan Technical University), Alvin Jenkins (North Carolina State University), Robert P. Johnson (UC Santa Cruz), Lorella Jones (University of Illinois), John Karchek (GMI Engineering & Management Institute), Thomas Keil (Worcester Polytechnic Institute), Robert Kraemer (Carnegie Mellon University), Jean P. Krisch (University of Michigan), Robert A. Kromhout, Andrew Kunz (Marquette University), Charles Lane (Berry College), Thomas N. Lawrence (Texas State University), Robert J. Lee, Alfred Leitner (Rensselaer Polytechnic University), Gerald P. Lietz (De Paul University), Gordon Lind (Utah State University), S. Livingston, Elihu Lubkin (University of Wisconsin, Milwaukee), Robert Luke (Boise State University), David Lynch (Iowa State University), Michael Lysak (San Bernardino Valley College), Jeffrey Mallow (Loyola University), Robert Mania (Kentucky State University), Robert Marchina (University of Memphis), David Markowitz (University of Connecticut), R. J. Maurer, Oren Maxwell (Florida International University), Joseph L. McCauley (University of Houston), T. K. McCubbin, Jr. (Pennsylvania State University), Charles McFarland (University of Missouri at Rolla), James Mcguire (Tulane University), Lawrence McIntyre (University of Arizona), Fredric Messing (Carnegie-Mellon University), Thomas Meyer (Texas A&M University), Andre Mirabelli (St. Peter’s College, New Jersey), Herbert Muether (S.U.N.Y., Stony Brook), Jack Munsee (California State University, Long Beach), Lorenzo Narducci (Drexel University), Van E. Neie (Purdue University), David A. Nordling (U. S. Naval Academy), Benedict Oh (Pennsylvania State University), L. O. Olsen, Jim Pannell (DeVry Institute of Technology), W. F. Parks (University of Missouri), Robert Paulson (California State University, Chico), Jerry Peacher (University of Missouri at Rolla), Arnold Perlmutter (University of Miami), Lennart Peterson (University of Florida), R. J. Peterson (University of Colorado, Boulder), R. Pinkston, Ronald Poling (University of Minnesota), J. G. Potter, C. W. Price (Millersville University), Francis Prosser (University of Kansas), Shelden H. Radin, Roberto Ramos (Drexel University), Michael Rapport (Anne Arundel Community College), R. Resnick, James A. Richards, Jr., John S. Risley (North Carolina State University), Francesc Roig (University of California, Santa Barbara), T. L. Rokoske, Richard Roth (Eastern Michigan University), Carl Rotter (University of West Virginia), S. Clark Rowland (Andrews University), Rajarshi Roy (Georgia Institute of Technology), Russell A. Roy (Santa Fe Community College), Dhiraj Sardar (University of Texas, San Antonio), Bruce Schumm (UC Santa Cruz), Melvin Schwartz (St. John’s University), F. A. Scott, L. W. Seagondollar, Paul Shand (University of Northern Iowa), Stan Shepherd (Pennsylvania State University), Douglas Sherman (San Jose State), Bruce Sherwood (Carnegie Mellon University), Hugh Siefkin (Greenville College), Tomasz Skwarnicki (Syracuse University), C. P. Slichter, Charles W. Smith (University of Maine, Orono), Malcolm Smith (University of Lowell), Ross Spencer (Brigham Young University), Julien Sprott (University of Wisconsin), Victor Stanionis (Iona College), James Stith (American Institute of Physics), Chuck Stone (North Carolina A&T State PREFACIO University), Edward Strother (Florida Institute of Technology), Conley Stutz (Bradley University), Albert Stwertka (U.S. Merchant Marine Academy), Kenneth Szpara-DeNisco (Harrisburg Area Community College), Martin Tiersten (CUNY, City College), David Toot (Alfred University), Somdev Tyagi (Drexel University), F. Verbrugge, Helmut Vogel (Carnegie Mellon University), Robert Webb (Texas A & M), Thomas Weber (Iowa State University), M. Russell Wehr, (Pennsylvania State University), Robert Weidman (Michigan Technical University), Dan Whalen (UC San Diego), Lester V. Whitney, Thomas Wiggins (Pennsylvania State University), David Willey (University of Pittsburgh, Johnstown), George Williams (University of Utah), John Williams (Auburn University), Stanley Williams (Iowa State University), Jack Willis, Suzanne Willis (Northern Illinois University), Robert Wilson (San Bernardino Valley College), L. Wolfenstein, James Wood (Palm Beach Junior College), Lowell Wood (University of Houston), R. E. Worley, D. H. Ziebell (Manatee Community College), George O. Zimmerman (Boston University) Además, nos gustaría hacer algunos agradecimientos individuales. Quiero dar gracias de todo corazón a mis colegas de Carnegie Mellon, en especial a los profesores Robert Kraemer, Bruce Sherwood, Ruth Chabay, Helmut Vogel y Brian Quinn, por las diversas conversaciones estimulantes sobre pedagogía de la física y por su apoyo y ánimo durante la preparación de las ediciones sucesivas de este libro. También estoy en deuda con las muchas generaciones de estudiantes de Carnegie Mellon que me ayudaron a aprender lo que es la buena enseñanza y la correcta escritura, al indicarme lo que funciona y lo que no. Siempre es un placer y un privilegio expresar mi gratitud a mi esposa Alice y a nuestros hijos Gretchen y Rebecca por su amor, apoyo y sostén emocional durante la elaboración de las distintas ediciones del libro. Que todos los hombres y mujeres sean bendecidos con un amor como el de ellos. —H.D.Y. Me gustaría agradecer a mis colegas del pasado y el presente en UCSB, incluyendo a Rob Geller, Carl Gwinn, Al Nash, Elisabeth Nicol y Francesc Roig, por su apoyo sincero y sus abundantes y útiles pláticas. Tengo una deuda de gratitud en especial con mis profesores Willa Ramsay, Peter Zimmerman, William Little, Alan Schwettman y Dirk Walecka por mostrarme qué es una enseñanza clara y comprometida de la física, y con Stuart Johnson por invitarme a ser coautor de Física universitaria a partir de la novena edición. Quiero dar gracias en especial al equipo editorial de Addison Wesley y a sus socios: a Nancy Whilton por su visión editorial; a Margot Otway por su gran sentido gráfico y cuidado en el desarrollo de esta edición; a Peter Murphy por sus contribuciones en los ejemplos; a Jason J.B. Harlow por la lectura cuidadosa del manuscrito, y a Chandrika Madhavan, Steven Le y Cindy Johnson por mantener el flujo editorial y de producción. Sobre todo, expreso mi gratitud y amor a mi esposa Caroline, a quien dedico mi contribución al libro. Hey, Caroline, al fin terminó la nueva edición. ¡Vámonos a volar! —R.A.F. Por favor, ¡díganos lo que piensa! Son bienvenidos los mensajes de estudiantes y profesores, en especial sobre errores y deficiencias que encuentren en esta edición. Dedicamos mucho tiempo y esfuerzo a la elaboración del mejor libro que podemos escribir, y esperamos que ayude al lector a enseñar y a aprender física. A la vez, usted nos ayudará si nos hace saber qué es lo que necesita mejorarse… Por favor, siéntase en libertad para ponerse en contacto con nosotros por vía electrónica o por correo ordinario. Sus comentarios serán muy apreciados. Diciembre de 2010 Hugh D. Young Roger A. Freedman Departamento de Física Carnegie Mellon University Pittsburgh, PA 15213 hdy@andrew.cmu.edu Departamento de Física University of California, Santa Barbara Santa Barbara, CA 93106-9530 airboy@physics.ucsb.edu http://www.physics.ucsb.edu/airboy/ xxiii TABLA DE CONTENIDO 5 MECÁNICA 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS Y VECTORES La naturaleza de la física Cómo resolver problemas en física Estándares y unidades Consistencia y conversiones de unidades Incertidumbre y cifras significativas Estimaciones y órdenes de magnitud Vectores y suma de vectores Componentes de vectores Vectores unitarios Productos de vectores Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 5.1 1 2 2 4 6 8 10 10 14 19 20 26 27 MOVIMIENTO RECTILÍNEO 35 Desplazamiento, tiempo y velocidad media Velocidad instantánea Aceleración media e instantánea Movimiento con aceleración constante Cuerpos en caída libre Velocidad y posición por integración Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 36 38 42 46 52 55 58 59 MOVIMIENTO EN DOS O EN TRES DIMENSIONES 69 Vectores de posición y velocidad El vector aceleración Movimiento de proyectiles Movimiento en círculo Velocidad relativa Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 70 72 77 85 88 94 95 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Fuerza e interacciones Primera ley de Newton Segunda ley de Newton Masa y peso Tercera ley de Newton Diagramas de cuerpo libre Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 104 105 108 112 117 120 124 126 127 5.2 5.3 5.4 5.5 6 6.1 6.2 6.3 6.4 7 APLICACIÓN DE LAS LEYES DE NEWTON Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio Empleo de la segunda ley de Newton: Dinámica de partículas Fuerzas de fricción Dinámica del movimiento circular Fuerzas fundamentales de la naturaleza Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 134 134 140 146 154 159 161 162 TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA 176 Trabajo Energía cinética y el teorema trabajo-energía Trabajo y energía con fuerza variable Potencia Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas ENERGÍA POTENCIAL Y CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA 177 181 187 193 196 197 207 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Energía potencial gravitacional Energía potencial elástica Fuerzas conservativas y no conservativas Fuerza y energía potencial Diagramas de energía Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 208 216 221 225 228 230 231 8 MOMENTO LINEAL, IMPULSO Y COLISIONES 241 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9 9.1 9.2 Momento lineal e impulso Conservación del momento lineal Conservación del momento lineal y choques Choques elásticos Centro de masa Propulsión de un cohete Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas ROTACIÓN DE CUERPOS RÍGIDOS 241 247 251 255 258 262 266 267 278 Velocidad y aceleración angulares 278 Rotación con aceleración angular constante 283 xxvi 9.3 9.4 9.5 9.6 TABLA DE CONTENIDO Relación entre cinemática lineal y angular Energía en el movimiento de rotación Teorema de los ejes paralelos Cálculos de momento de inercia Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 285 288 293 294 297 298 13.6 13.7 13.8 Distribuciones esféricas de masa Peso aparente y rotación terrestre Agujeros negros Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 14 MOVIMIENTO PERIÓDICO 308 14.1 14.2 14.3 311 14.4 314 14.5 14.6 14.7 14.8 Descripción de la oscilación Movimiento armónico simple Energía en el movimiento armónico simple Aplicaciones del movimiento armónico simple El péndulo simple El péndulo físico Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas y resonancia Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 10 DINÁMICA DEL MOVIMIENTO DE ROTACIÓN 308 10.1 10.2 Torca Torca y aceleración angular de un cuerpo rígido Rotación de un cuerpo rígido sobre un eje móvil Trabajo y potencia en movimiento de rotación Momento angular Conservación del momento angular Giróscopos y precesión Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 320 322 325 328 331 332 418 421 423 427 428 437 437 439 446 450 453 455 457 459 461 462 ONDAS/ACÚSTICA 11 EQUILIBRIO Y ELASTICIDAD 11.1 11.2 11.3 Condiciones de equilibrio Centro de gravedad Solución de problemas de equilibrio de cuerpos rígidos Esfuerzo, deformación y módulos de elasticidad Elasticidad y plasticidad Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 11.4 11.5 12 MECÁNICA DE FLUIDOS 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 Densidad Presión en un fluido Flotación Flujo de fluido Ecuación de Bernoulli Viscosidad y turbulencia Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 13 GRAVITACIÓN 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 Ley de Newton de la gravitación Peso Energía potencial gravitacional Movimiento de satélites Las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas 344 345 345 348 352 357 359 360 373 373 375 380 382 385 389 392 393 402 402 406 409 411 414 15 ONDAS MECÁNICAS 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 Tipos de ondas mecánicas Ondas periódicas Descripción matemática de una onda Rapidez de una onda transversal Energía del movimiento ondulatorio Interferencia de ondas, condiciones de frontera y superposición Ondas estacionarias en una cuerda Modos normales de una cuerda Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 15.7 15.8 16 SONIDO Y OÍDO 16.1 16.2 16.3 16.4 Ondas sonoras Rapidez de las ondas sonoras Intensidad del sonido Ondas sonoras estacionarias y modos normales Resonancia y sonido Interferencia de ondas Pulsos Efecto Doppler Ondas de choque Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 472 473 474 477 482 486 489 491 495 499 500 509 509 514 518 522 527 529 531 533 538 541 542 TABLA DE CONTENIDO TERMODINÁMICA 17 TEMPERATURA Y CALOR 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 Temperatura y equilibrio térmico Termómetros y escalas de temperatura Termómetros de gas y la escala Kelvin Expansión térmica Cantidad de calor Calorimetría y cambios de fase Mecanismos de transferencia de calor Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 18 PROPIEDADES TÉRMICAS DE LA MATERIA 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 19 19.1 19.2 19.3 19.4 Ecuaciones de estado Propiedades moleculares de la materia Modelo cinético-molecular del gas ideal Capacidades caloríficas Rapideces moleculares Fases de la materia Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA Sistemas termodinámicos Trabajo realizado al cambiar el volumen Trayectorias entre estados termodinámicos Energía interna y la primera ley de la termodinámica 551 552 553 554 557 562 565 570 578 579 590 591 596 599 605 608 610 614 615 624 624 625 628 629 19.5 19.6 19.7 19.8 Tipos de procesos termodinámicos Energía interna de un gas ideal Capacidad calorífica de un gas ideal Proceso adiabático para un gas ideal Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas 20 SEGUNDA LEY DE LA TERMODINÁMICA 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5 20.6 20.7 20.8 Dirección de los procesos termodinámicos Máquinas térmicas Motores de combustión interna Refrigeradores Segunda ley de la termodinámica Ciclo de Carnot Entropía Interpretación microscópica de la entropía Resumen Preguntas/Ejercicios/Problemas xxvii 634 636 637 640 643 644 652 652 654 657 659 661 663 669 675 678 679 APÉNDICES A B C D E F El sistema internacional de unidades Relaciones matemáticas útiles El alfabeto griego Tabla periódica de los elementos Factores de conversión de unidades Constantes numéricas A-1 A-3 A-4 A-5 A-6 A-7 Respuestas a los problemas con número impar Créditos de fotografías Índice analítico A-9 C-1 I-1 UNIDADES, CANTIDADES FÍSICAS Y VECTORES 1 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: • Cuáles son las tres cantidades fundamentales de la física y cuáles son las unidades que los físicos utilizan para medirlas. • Cómo manejar cifras significativas en sus cálculos. ? L Ser capaz de predecir la trayectoria de una tormenta eléctrica resulta esencial para reducir al mínimo los posibles daños a las propiedades y a las vidas humanas. Si la tormenta eléctrica se desplaza a 20 km/h en una dirección de 53° al noreste, ¿qué tan lejos hacia el norte se desplazará la tormenta eléctrica en una hora? a física es una de las ciencias más fundamentales. Los científicos de todas las disciplinas utilizan las ideas de la física, como los químicos que estudian la estructura de las moléculas, los paleontólogos que intentan reconstruir la forma de andar de los dinosaurios, y los climatólogos que estudian cómo las actividades humanas afectan la atmósfera y los océanos. Asimismo, la física es la base de toda la ingeniería y la tecnología. Ningún ingeniero podría diseñar un televisor de pantalla plana, una nave espacial interplanetaria o ni siquiera una mejor trampa para ratones, sin antes haber comprendido las leyes básicas de la física. El estudio de la física también es una aventura. Usted la encontrará desafiante, a veces frustrante y en ocasiones dolorosa; sin embargo, con frecuencia le brindará abundantes beneficios y satisfacciones. Si alguna vez se ha preguntado por qué el cielo es azul, cómo viajan las ondas de radio por el espacio, o cómo un satélite permanece en órbita, encontrará las respuestas en la física básica. Sobre todo, apreciará la física como un logro sobresaliente del intelecto humano en su afán por entender nuestro mundo y a la humanidad misma. En este capítulo inicial repasaremos algunos conceptos importantes que necesitaremos en nuestro estudio. Comentaremos la naturaleza de la física teórica y el uso de modelos idealizados para representar sistemas físicos. Presentaremos los sistemas de unidades que se emplean para especificar cantidades físicas y analizaremos la forma de describir la exactitud de un número. Estudiaremos ejemplos de problemas que no tienen (o para los que no nos interesa obtener) una respuesta exacta, pero cuyas estimaciones resultan útiles e interesantes. Por último, examinaremos varios aspectos de los vectores y del álgebra vectorial que necesitaremos para describir y analizar cantidades físicas, como velocidad y fuerza, que tienen dirección además de magnitud. • La diferencia entre escalares y vectores, y cómo sumar y restar vectores gráficamente. • Qué son las componentes de un vector y cómo se utilizan para realizar cálculos. • Qué son los vectores unitarios y cómo se utilizan con las componentes para describir vectores. • Dos formas de multiplicar vectores. 1 2 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.1 La naturaleza de la física La física es una ciencia experimental. Los físicos observan los fenómenos naturales e intentan encontrar los patrones que los describen. Tales patrones se denominan teorías físicas o, si están muy bien establecidos y se usan ampliamente, leyes o principios físicos. CUIDADO Significado de la palabra “teoría” Decir que una idea es una teoría no implica que se trate de una divagación o de un concepto no comprobado. Más bien, una teoría es una explicación de fenómenos naturales basada en observaciones y en los principios fundamentales aceptados. Un ejemplo es la bien establecida teoría de la evolución biológica, que es el resultado de extensas investigaciones y observaciones de varias generaciones de biólogos. 1.1 Dos laboratorios de investigación. a) Según la leyenda, Galileo estudió el movimiento de cuerpos en caída libre soltándolos desde la Torre Inclinada de Pisa, Italia. Se dice que también estudió el movimiento de los péndulos observando la oscilación del candelabro de la catedral ubicada junto a la torre. b) El Gran Colisionador de Hadrones (LHC, por las siglas de Large Hadron Collider) en Ginebra, Suiza, el acelerador de partículas más grande del mundo, se usa para explorar las partículas más pequeñas y fundamentales de la materia. La fotografía muestra una parte de uno de los detectores del LHC (observe al trabajador sobre la plataforma amarilla). a) b) Para desarrollar una teoría en su campo de estudio, el físico debe aprender a hacer las preguntas adecuadas, a diseñar experimentos para tratar de contestarlas y a deducir conclusiones apropiadas de los resultados. La figura 1.1 muestra dos famosas instalaciones experimentales usadas para realizar experimentos físicos. Cuenta la leyenda que Galileo Galilei (1564-1642) dejó caer objetos ligeros y pesados desde la Torre Inclinada de Pisa (figura 1.1a) para averiguar si sus velocidades de caída eran iguales o diferentes. Al examinar los resultados de sus experimentos (que en realidad fueron mucho más complejos de lo que cuenta la leyenda), dio el salto inductivo al principio, o la teoría, de que la aceleración de un cuerpo que cae es independiente de su peso. El desarrollo de teorías físicas como la de Galileo a menudo es un proceso indirecto, con callejones sin salida, suposiciones erróneas y el abandono de teorías infructuosas en favor de otras más promisorias. La física no es una mera colección de hechos y principios; también es el proceso que nos lleva a los principios generales que describen el comportamiento del universo físico. Ninguna teoría se considera como la verdad final o definitiva. Siempre existe la posibilidad de que nuevas observaciones obliguen a modificarla o desecharla. Inherente en las teorías físicas, se encuentra el hecho de que podemos demostrar su falsedad encontrando comportamientos que no sean congruentes con ellas, pero nunca podremos comprobar que una teoría siempre es correcta. Volviendo con Galileo, supongamos que dejamos caer una pluma y una bala de cañón. Sin duda, no caen a la misma velocidad. Esto no significa que Galileo estuviera equivocado, sino que su teoría estaba incompleta. Si soltamos tales objetos en un vacío para eliminar los efectos del aire, sí caerán a la misma velocidad. La teoría de Galileo tiene un intervalo de validez: solo es válida para objetos cuyo peso es mucho mayor que la fuerza ejercida por el aire (debido a la resistencia y a la flotabilidad del objeto). Los objetos como las plumas y los paracaídas evidentemente se salen del intervalo. A menudo un nuevo avance en física extiende el intervalo de validez de un principio. Las leyes de Newton acerca del movimiento y la gravitación extendieron ampliamente, medio siglo después, el análisis de la caída de los cuerpos que hizo Galileo. 1.2 Cómo resolver problemas en física En algún punto de sus estudios, casi todos los estudiantes de física sienten que, aunque entienden los conceptos, simplemente no pueden resolver los problemas. Sin embargo, en física, entender verdaderamente un concepto es lo mismo que saber aplicarlo a diversos problemas. Aprender a resolver problemas es absolutamente indispensable; es imposible saber física sin poder hacer física. ¿Cómo aprendemos a resolver problemas de física? En todos los capítulos de este libro, usted encontrará Estrategias para resolver problemas que sugieren técnicas para plantear y resolver problemas con eficiencia y exactitud. Después de cada Estrategia para resolver problemas hay uno o más Ejemplos resueltos que muestran esas técnicas en acción. (Las Estrategias para resolver problemas también ayudan a evitar algunas técnicas incorrectas que quizás usted se sienta tentado a usar). Además, encontrará 1.2 Cómo resolver problemas en física 3 ejemplos adicionales que no están asociados con una Estrategia específica para resolver problemas. Además, al final de cada capítulo se encuentra un Problema práctico que usa más de un concepto clave del capítulo. Recomendamos al lector estudiar detenidamente esas estrategias y ejemplos, y resolver estos últimos por su cuenta. Se utilizan diferentes técnicas para resolver distintos tipos de problemas, y por ello este libro ofrece docenas de Estrategias para resolver problemas. No obstante, sea cual fuere el tipo de problema, hay ciertos pasos básicos que se deben seguir siempre. (Esos mismos pasos son igualmente útiles en problemas de matemáticas, ingeniería, química y muchos otros campos). En este libro, hemos organizado los pasos en cuatro etapas para la resolución de un problema. Todas las Estrategias para resolver problemas y los Ejemplos del libro seguirán esos cuatro pasos. (En algunos casos, se agruparán los primeros dos o tres pasos). Le recomendamos seguir los mismos pasos al resolver problemas por su cuenta. Estrategia para resolver problemas 1.1 Cómo resolver problemas de física IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Use el planteamiento del problema para decidir qué ideas de la física son relevantes. Identifique las incógnitas del problema, es decir, las cantidades cuyos valores está tratando de obtener, como la rapidez con que un proyectil choca contra el suelo, la intensidad del sonido producido por una sirena, o el tamaño de una imagen formada por una lente. Identifique las variables conocidas, establecidas o implicadas en el problema. Este paso es fundamental ya sea que la meta consista en obtener una expresión matemática o un valor numérico. PLANTEAR el problema: Con base en los conceptos que haya identificado y en las variables conocidas e incógnitas, seleccione las ecuaciones que usará para resolver el problema y decida cómo las empleará. Asegúrese de que las variables e incógnitas que ha identificado correspondan exactamente a las que se encuentran en las ecuaciones. Si es necesario, trace un bosquejo de la situación descrita en el problema. (Para elaborar los diagramas le serán útiles el papel cuadricu- lado, una regla graduada, un transportador y un compás). Estime lo mejor que pueda cuáles serán sus resultados y, si es pertinente, pronostique cuál será el comportamiento físico del sistema. Los ejemplos resueltos en este libro incluyen sugerencias acerca de cómo hacer este tipo de estimaciones y pronósticos. Si esto parece complicado, no se preocupe, ¡usted mejorará con la práctica! EJECUTAR la solución: En este paso, se “hacen las cuentas”. Estudie los ejemplos resueltos para ver lo que implica este paso. EVALUAR la respuesta: Compare la respuesta con su estimación y, si hay alguna discrepancia, revise su procedimiento. Si su respuesta es una expresión algebraica, asegúrese de que representa realmente lo que pasaría si sus variables se consideran con valores extremos. Para referencias futuras, tome nota de cualquier respuesta que represente una cantidad de particular importancia. Pregúntese cómo podría contestar una versión más general o más difícil del problema que acaba de resolver. Modelos idealizados Cotidianamente usamos la palabra “modelo” para designar una réplica en miniatura, digamos, de un ferrocarril, o para referirnos a una persona que exhibe ropa (o que se exhibe sin ella). En física, un modelo es una versión simplificada de un sistema físico demasiado complejo como para analizarse con todos sus pormenores. Por ejemplo, supongamos que nos interesa analizar el movimiento de una pelota de béisbol lanzada al aire (figura 1.2a). ¿Qué tan complicado es el problema? La pelota no es perfectamente esférica (tiene costuras) y gira conforme viaja por el aire. El viento y la resistencia del aire afectan su movimiento, el peso de la pelota varía un poco al cambiar su distancia con respecto al centro de la Tierra, etcétera. Si tratamos de considerar todo esto, la complejidad del análisis nos abrumará. En vez de ello, creamos una versión simplificada del problema. Omitimos el tamaño y la forma de la pelota representándola como un objeto puntual o una partícula. Ignoramos la resistencia del aire como si la pelota se moviera en el vacío, y suponemos que su peso es constante. Ahora ya tenemos un problema manejable (figura 1.2b). Analizaremos este modelo con detalle en el capítulo 3. Para crear un modelo idealizado del sistema, debemos pasar por alto algunos efectos menores, pero debemos ser cuidadosos de no omitir demasiado. Si ignoramos totalmente los efectos de la gravedad, nuestro modelo pronosticaría que si lanzamos la pelota hacia arriba, esta se desplazaría en línea recta hasta desaparecer en el espacio. Un modelo útil es el que simplifica un problema lo suficiente para hacerlo manejable, pero sin omitir sus características esenciales. 1.2 Para simplificar el análisis de a) una pelota de béisbol lanzada al aire, usamos b) un modelo idealizado. a) Una pelota real lanzada al aire La pelota gira y tiene forma compleja. La resistencia del aire y el viento ejercen fuerzas sobre la pelota. Dirección del movimiento La fuerza gravitacional sobre la pelota depende de la altura. b) Un modelo idealizado de la pelota de béisbol La pelota de béisbol se trata como un objeto puntual (o una partícula). No hay resistencia del aire. La fuerza gravitacional sobre la pelota es constante. Dirección del movimiento 4 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Al usar un modelo para predecir el comportamiento de un sistema, la validez de la predicción está limitada por la validez del modelo. Por ejemplo, la predicción de Galileo con respecto a la caída de los cuerpos (véase la sección 1.1) corresponde a un modelo idealizado que no incluye los efectos de la resistencia del aire. El modelo funciona bastante bien para una bala de cañón, aunque no tan bien para una pluma. Los modelos idealizados desempeñan un papel primordial en este libro. Intente ubicarlos al estudiar las teorías físicas y sus aplicaciones a problemas específicos. 1.3 1.3 Mediciones usadas para determinar a) la duración de un segundo y b) la longitud de un metro. Estas mediciones son útiles para el establecimiento de estándares porque proporcionan los mismos resultados sin importar dónde se realicen. a) Medición de un segundo La radiación de microondas de una frecuencia de exactamente 9,192,631,770 ciclos por segundo ... Electrón más externo Átomo de cesio 133 ... causa que el electrón más externo de un átomo de cesio 133 invierta su dirección de giro. Estándares y unidades Como vimos en la sección 1.1, la física es una ciencia experimental. Los experimentos requieren mediciones, cuyos resultados suelen describirse con números. Un número empleado para describir cuantitativamente un fenómeno físico es una cantidad física. Dos cantidades físicas que lo describen a usted son, por ejemplo, su peso y estatura. Algunas cantidades físicas son tan básicas que podemos definirlas solo describiendo la forma de medirlas; es decir, con una definición operativa. Dos ejemplos son la medición de una distancia con una regla, o un lapso de tiempo con un cronómetro. En otros casos, definimos una cantidad física describiendo la forma de calcularla a partir de otras cantidades medibles. Así, podríamos definir la rapidez promedio de un objeto en movimiento, como la distancia recorrida (medida con una regla) dividida entre el tiempo de recorrido (medido con un cronómetro). Al medir una cantidad, siempre la comparamos con un estándar de referencia. Si decimos que un Ferrari 458 Italia tiene una longitud de 4.53 m, queremos decir que es 4.53 veces más largo que una vara de cierto tamaño, que por definición mide 1 m de largo. Dicho estándar define una unidad de la cantidad. El metro es una unidad de distancia; y el segundo es una unidad de tiempo. Al describir una cantidad física con un número, siempre debemos especificar la unidad empleada; describir una distancia simplemente como “4.53” no tendría significado. Las mediciones exactas y confiables requieren unidades inmutables que los observadores puedan volver a utilizar en distintos lugares. El sistema de unidades empleado por los científicos e ingenieros en todo el mundo se denomina comúnmente “sistema métrico”, aunque, desde 1960, su nombre oficial es Sistema Internacional o SI (la abreviatura proviene de su nombre francés, Système International). En el apéndice A se presenta una lista de todas las unidades del SI y se definen las fundamentales. Tiempo Átomo de cesio 133 Un reloj atómico usa este fenómeno para sincronizar las microondas a una frecuencia exacta. Entonces cuenta un segundo por cada 9,192,631,770 ciclos. Longitud b) Medición de un metro 0:00 s Fuente de luz 0:01 s La luz viaja exactamente 299,792,458 m en 1 s. De 1889 a 1967, la unidad de tiempo se definió como cierta fracción del día solar medio (el tiempo promedio entre llegadas sucesivas del Sol al cenit). El estándar actual, adoptado en 1967, es mucho más preciso; se basa en un reloj atómico que usa la diferencia de energía entre los dos estados energéticos más bajos del átomo de cesio. Al bombardearse con microondas de cierta frecuencia exacta, el átomo de cesio sufre una transición entre dichos estados. Un segundo (que se abrevia como s) se define como el tiempo que tardan 9,192,631,770 ciclos de esta radiación de microondas (figura 1.3a). En 1960 se estableció también un estándar atómico para el metro, utilizando la longitud de onda de la luz anaranjada-roja emitida por átomos de kriptón (86Kr) en un tubo de descarga de luz. Usando este estándar de longitud, se comprobó que la rapidez de la luz en el vacío es de 299,792,458 m兾s. En noviembre de 1983, el estándar de longitud se modificó otra vez, de manera que se definió que la rapidez de la luz en el vacío es exactamente igual a 299,792,458 m兾s. Así, la nueva definición de 1.3 Estándares y unidades metro (que se abrevia m) es la distancia que recorre la luz en el vacío en 1兾299,792,458 segundos (figura 1.3b). Este es un estándar de longitud mucho más preciso que el basado en una longitud de onda de la luz. Masa El estándar de masa, el kilogramo (que se abrevia kg), se define como la masa de un cilindro de una aleación de platino-iridio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres, cerca de París (figura 1.4). Un estándar atómico de masa sería más fundamental; sin embargo, en la actualidad no podemos medir masas a escala atómica con tanta exactitud como a escala macroscópica. El gramo (que no es una unidad fundamental) es igual a 0.001 kilogramos. 1.4 El objeto de metal encerrado cuidadosamente dentro de estos envases de cristal es el kilogramo estándar internacional. Prefijos de unidades Una vez definidas las unidades fundamentales, es fácil introducir unidades más grandes y más pequeñas para las mismas cantidades físicas. En el sistema métrico, estas otras unidades están relacionadas con las fundamentales (o, en el caso de la masa, con 1 el gramo) por múltiplos de 10 o 10 . Así, un kilómetro (1 km) equivale a 1000 metros, 1 y un centímetro (1 cm) es 100 de un metro. Es común expresar los múltiplos de 10 o 1 1 -3 3 10 en notación exponencial: 1000 = 10 , 1000 = 10 , etcétera. Con esta notación, 1 km = 103 m y 1 cm = 10-2 m. Los nombres de las unidades adicionales se obtienen agregando un prefijo al nombre de la unidad fundamental. Por ejemplo, el prefijo “kilo”, abreviado k, siempre indica una unidad 1000 veces mayor; así 1 kilómetro = 1 km = 103 metros = 103 m 1 kilogramo = 1 kg = 103 gramos = 103 g 1 kilowatt = 1 kW = 103 watts = 103 W Una tabla en la segunda de forros de este libro muestra los prefijos estándar del SI, con sus significados y abreviaturas. La tabla 1.1 presenta algunos ejemplos del uso de múltiplos de 10 y sus prefijos con las unidades de longitud, masa y tiempo. La figura 1.5 muestra cómo se usan estos prefijos para describir distancias tanto grandes como pequeñas. El sistema británico Por último, mencionamos el sistema británico de unidades que se usa solo en Estados Unidos y unos cuantos países más; aunque en la mayoría de estos se está reemplazando por el SI. En la actualidad, las unidades británicas se definen oficialmente en términos de las unidades del SI de la siguiente manera: Longitud: 1 pulgada = 2.54 cm (exactamente) 1 libra = 4.448221615260 newtons (exactamente) Fuerza: Tabla 1.1 Algunas unidades de longitud, masa y tiempo Longitud Masa -9 1 nanómetro = 1 nm = 10 m (unas cuantas veces el tamaño del átomo más grande) 1 micrómetro = 1 mm = 10-6 m (tamaño de algunas bacterias y células vivas) 1 milímetro = 1 mm = 10-3 m (diámetro del punto de un bolígrafo) 1 centímetro = 1 cm = 10-2 m (diámetro del dedo meñique) 1 kilómetro = 1 km = 103 m (un paseo de 10 minutos caminando) Tiempo -6 -9 1 microgramo = 1 mg = 10 g = 10 kg (masa de una partícula pequeña de polvo) 1 nanosegundo = 1 ns = 10-9 s (tiempo en que la luz recorre 0.3 m) 1 miligramo = 1 mg = 10-3 g = 10-6 kg (masa de un grano de sal) 1 microsegundo = 1 ms = 10-6 s (tiempo en que la estación espacial recorre 8 mm) 1 gramo = 1 g = 10-3 kg (masa de un clip de papeles) 1 milisegundo = 1 ms = 10-3 s (tiempo en que el sonido viaja 0.35 m) 5 6 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.5 Algunas longitudes representativas en el Universo. f ) es la imagen de un microscopio de barrido de efecto túnel de átomos sobre la superficie de un cristal; g) es una concepción artística. a) 1026 m Límite del Universo observable b) 1011 m Distancia al Sol c) 10 7 m Diámetro de la Tierra 1.6 Muchos objetos comunes usan unidades tanto del SI como británicas. Un ejemplo es este velocímetro de un automóvil fabricado en Estados Unidos, que indica la rapidez tanto en kilómetros por hora (escala interior) como en millas por hora (escala exterior). d) 1 m Dimensiones humanas e) 1025 m Diámetro de un glóbulo rojo f ) 10210 m Radio de un átomo g) 10214 m Radio de un núcleo atómico El newton, que se abrevia N, es la unidad de fuerza en el SI. La unidad británica de tiempo es el segundo, que se define igual que en el SI. En física, las unidades británicas se emplean solo en mecánica y termodinámica; no hay un sistema británico de unidades eléctricas. En este libro usaremos unidades del SI en todos los ejemplos y problemas; no obstante, en ocasiones daremos equivalencias aproximadas en unidades británicas. Al resolver problemas con unidades del SI, usted puede hacer la conversión a las aproximaciones correspondientes del sistema británico, si le resultan más conocidas (figura 1.6). Sin embargo, debe tratar de pensar en unidades del SI la mayoría de las veces. 1.4 Consistencia y conversiones de unidades Usamos ecuaciones para expresar las relaciones entre cantidades físicas representadas por símbolos algebraicos. Cada símbolo algebraico denota siempre tanto un número como una unidad. Por ejemplo, d podría representar una distancia de 10 m, t un tiempo de 5 s y y una rapidez de 2 m兾s. Toda ecuación siempre debe ser dimensionalmente consistente. No podemos sumar manzanas y automóviles; solo podemos sumar o igualar dos términos si tienen las mismas unidades. Por ejemplo, si un cuerpo que viaja con rapidez constante v recorre una distancia d en un tiempo t, estas cantidades están relacionadas por la ecuación d = vt Si d se mide en metros, entonces el producto yt también debe expresarse en metros. Con los números anteriores como ejemplo, escribimos 10 m = a2 m b15 s2 s Como la unidad 1兾s del lado derecho de la ecuación cancela la unidad s, el producto está en metros, como debe ser. En los cálculos, las unidades se tratan igual que los símbolos algebraicos con respecto a la multiplicación y la división. CUIDADO En los cálculos utilice siempre unidades Cuando un problema requiere de cálculos con números y unidades, siempre escriba los números con las unidades correctas durante todo el cálculo, como en el ejemplo anterior. Esto es muy útil, pues ayuda a verificar los cálculos. Si en alguna etapa del cálculo, una ecuación o expresión tiene unidades inconsistentes, usted ha cometido un error en alguna parte. En este libro siempre indicaremos las unidades en todos los cálculos, y recomendamos con insistencia al lector hacer lo mismo al resolver los problemas. 1.4 Consistencia y conversiones de unidades Estrategia para resolver problemas 1.2 7 Solución de problemas de física IDENTIFICAR los conceptos relevantes: En general, lo mejor es usar las unidades fundamentales del SI (longitudes en metros, masas en kilogramos y tiempo en segundos) en todos los problemas. Si la respuesta se debe dar en otras unidades (kilómetros, gramos u horas, por ejemplo), espere hasta el final para efectuar la conversión. multiplicadores unitarios), sin alterar el significado físico de la misma. Por ejemplo, para obtener el número de segundos en 3 min, escribimos PLANTEAR el problema y EJECUTAR la solución: Las unidades se multiplican y se dividen igual que los símbolos algebraicos ordinarios. Esto facilita la conversión de una cantidad de un grupo de unidades a otro: exprese la misma cantidad física en dos unidades distintas y forme una igualdad. Por ejemplo, cuando decimos que 1 min = 60 s, no queremos decir que el número 1 sea igual al número 60, sino que 1 min representa el mismo intervalo de tiempo que 60 s. Por ello, el cociente (1 min)兾(60 s) es igual a 1, lo mismo que su recíproco (60 s)兾(1 min). Podemos multiplicar una cantidad por cualquiera de estos factores (conocidos como EVALUAR la respuesta: Si convertimos las unidades correctamente, se eliminarán las unidades no deseadas, como en el ejemplo anterior. Si hubiéramos multiplicado 3 min por (1 min)兾(60 s), el resultado habría 1 sido un absurdo 20 min2>s . Para asegurarse de convertir adecuadamente las unidades, usted debe incluirlas en todas las etapas del cálculo. Por último, verifique si la respuesta es lógica. Por ejemplo, el resultado 3 min = 180 s es razonable porque el segundo es más pequeño que el minuto, por lo que habrá más segundos que minutos en el mismo intervalo de tiempo. Ejemplo 1.1 60 s b = 180 s 1 min Conversión de unidades de rapidez El récord mundial de rapidez terrestre es de 763.0 mi兾h, establecido por Andy Green el 15 de octubre de 1997 en el automóvil con motor a reacción Thrust SSC. Exprese esta rapidez en metros兾segundo. SOLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Queremos convertir las unidades de rapidez de mi兾h a m兾s. Por lo tanto, debemos encontrar multiplicadores unitarios que relacionen: i. millas con metros y ii. horas con segundos. En el apéndice E (o en la segunda de forros de este libro) se encuentran las igualdades 1 mi = 1.609 km, 1 km = 1000 m y 1 h = 3600 s. Para garantizar que se realicen todas las cancelaciones deseadas, la conversión se plantea como sigue: 763.0 mi>h = a 763.0 mi h = 341.0 m>s Ejemplo 1.2 3 min = 13 min2a ba EVALUAR: Green estableció el primer récord de rapidez terrestre supersónica (la rapidez del sonido a través del aire es de aproximadamente 340 m兾s). Este ejemplo muestra una útil regla práctica: la rapidez expresada en m兾s es un poco menor que la mitad del valor en mi兾h, y un poco menor que la tercera parte del valor expresado en km兾h. Por ejemplo, la rapidez habitual en una carretera es aproximadamente de 30 m兾s = 67 mi兾h = 108 km兾h, y la rapidez típica de una caminata es aproximadamente de 1.4 m兾s = 3.1 mi兾h = 5.0 km兾h. 1.609 km 1000 m 1h ba ba b 1 mi 1 km 3600 s Conversión de unidades de volumen El diamante tallado más grande del mundo es la Primera Estrella de África (montado en el cetro real británico y guardado en la Torre de Londres). Su volumen es de 1.84 pulgadas cúbicas. ¿Cuál es su volumen en centímetros cúbicos? ¿Y en metros cúbicos? SOLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: Aquí vamos a convertir las unidades de volumen de pulgadas cúbicas (in3) tanto a centímetros cúbicos (cm3) como a metros cúbicos (m3). En el apéndice E se encuentra la igualdad 1 in = 2.540 cm, a partir de la cual se obtiene que 1 in3 = (2.54 cm)3. Entonces tenemos que 1.84 in3 = 11.84 in32a 2.54 cm 3 b 1 in = 11.84212.5423 in3 cm3 in3 = 30.2 cm3 En el apéndice F también encontramos que 1 m = 100 cm, de modo que 30.2 cm3 = 130.2 cm32a 1m 3 b 100 cm 1 3 cm3 m3 b = 30.2 * 10 -6 m3 100 cm3 = 3.02 * 10-5 m3 = 130.22a EVALUAR: Siguiendo el patrón de estas conversiones, se puede ver que 1 in3 L 16 cm3 y que 1 m3 L 60,000 in3. Estas conversiones unitarias aproximadas serán útiles en referencias futuras. 8 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.5 1.7 Este espectacular percance se debió a un error porcentual muy pequeño: recorrer unos cuantos metros de más, en un viaje de cientos de miles de metros. Tabla 1.2 Uso de cifras significativas Multiplicación o división: El resultado no debe tener más cifras significativas que el número inicial con menos cifras significativas: 0.745 * 2.2 = 0.42 3.885 7 1.32578 * 10 * 4.11 * 10-3 = 5.45 * 104 Suma o resta: El número de cifras significativas se determina por el número inicial con mayor incertidumbre (es decir, el menor número de dígitos a la derecha del punto decimal): 27.153 + 138.2 - 11.74 = 153.6 1.8 Obtención del valor de p a partir de la circunferencia y el diámetro de un círculo. 135 mm 424 mm Los valores medidos tienen solamente tres cifras significativas, por lo que su razón calculada (p) tiene también solo tres cifras significativas. Incertidumbre y cifras significativas Las mediciones siempre implican incertidumbre. Si medimos el espesor de la portada de una edición con cubierta dura de este libro con una regla común, la medición solo será confiable al milímetro más cercano, y el resultado será de 3 mm. Sería erróneo dar este resultado como 3.00 mm; dadas las limitaciones del instrumento de medición, no se sabría si el espesor real es de 3.00 mm, 2.85 mm o 3.11 mm. Pero si se usa un micrómetro, un instrumento que mide distancias de forma confiable al 0.01 mm más cercano, el resultado será 2.91 mm. La diferencia entre estas dos mediciones radica en su incertidumbre. La medida con micrómetro tiene menor incertidumbre y es más exacta. La incertidumbre también se llama error, porque indica la máxima diferencia probable entre el valor medido y el real. La incertidumbre o el error de un valor medido depende de la técnica de medición empleada. A menudo indicamos la exactitud de un valor medido (es decir qué tanto creemos que se acerca al valor real) escribiendo el número, el símbolo ; y un segundo número que indica la incertidumbre de la medición. Si el diámetro de una varilla de acero se expresa como 56.47 ; 0.02 mm, esto implica que es poco probable que el valor real sea menor que 56.45 mm o mayor que 56.49 mm. En una notación abreviada de uso común, el número 1.6454(21) significa 1.6454 ; 0.0021. Los números entre paréntesis indican la incertidumbre de los dígitos finales del número principal. También podemos expresar la exactitud en términos del error fraccionario o error de aproximación máximo probable (también llamado incertidumbre fraccionaria o porcentaje de incertidumbre). Un resistor rotulado como de “47 ohms ; 10%” probablemente tiene una resistencia real que difiere de 47 ohms en menos del 10% de 47 ohms, esto es, unos 5 ohms. Es probable que la resistencia esté entre 42 y 52 ohms. En el caso del diámetro de la varilla antes citada, el error fraccionario es de (0.02 mm)兾 (56.47 mm), que es aproximadamente 0.0004; el error porcentual es de (0.0004) (100%), o bien, de 0.04%. Incluso errores de aproximación muy pequeños llegan a ser muy significativos (figura 1.7). En muchos casos, no se da explícitamente la incertidumbre de un número, sino que se indica con el número de dígitos informativos, o cifras significativas, en el valor medido. Nosotros dimos el espesor de la portada del libro como 2.91 mm, que tiene tres cifras significativas. Con esto queremos decir que los dos primeros dígitos son correctos, pero el tercero es incierto. El último dígito está en la posición de las centésimas, así que la incertidumbre sería de 0.01 mm. Dos valores con el mismo número de cifras significativas pueden tener diferente incertidumbre; una distancia expresada como 137 km también tiene tres cifras significativas, pero la incertidumbre es aproximadamente de 1 km. Cuando usamos números con incertidumbre para calcular otros números, el resultado también es incierto. Al multiplicar o dividir números, el resultado no puede tener más cifras significativas que el factor con menos cifras significativas. Por ejemplo, 3.1416 * 2.34 * 0.58 = 4.3. Cuando sumamos y restamos números, lo que importa es la ubicación del punto decimal, no el número de cifras significativas. Por ejemplo, 123.62 + 8.9 = 132.5. Aunque 123.62 tiene una incertidumbre aproximada de 0.01, la de 8.9 sería de 0.1, así que la suma debe tener esta misma incertidumbre (0.1) y escribirse como 132.5, no como 132.52. La tabla 1.2 resume las reglas para las cifras significativas. Como una aplicación de estas ideas, suponga que quiere verificar el valor de p, la razón entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. El valor verdadero de esta razón considerando hasta 10 dígitos es 3.141592654. Para probar esto, dibuje un círculo grande, y mida el diámetro y la circunferencia al milímetro más cercano: obtendrá los valores de 424 mm y 135 mm (figura 1.8), los cuales dividirá con su calculadora (424 mm)兾(135 mm) para obtener 3.140740741. Esto parecería no coincidir con el valor real de p, pero tenga en cuenta que cada una de sus mediciones tiene tres cifras significativas, de manera que su valor medido de p solo puede tener tres cifras significativas y debería darse simplemente como 3.14. Dentro del límite de tres cifras significativas, este valor sí coincide con el valor verdadero. 1.5 Incertidumbre y cifras significativas 9 En los ejemplos y problemas de este libro, por lo regular daremos valores numéricos con tres cifras significativas, así que sus respuestas no deberán tener más de tres cifras significativas. (En el mundo real, muchos números incluso tienen una exactitud menor. Un velocímetro de automóvil, por ejemplo, únicamente suele tener dos cifras significativas). Incluso si usted realiza operaciones con una calculadora que despliega 10 dígitos, sería erróneo dar una respuesta de 10 dígitos, porque falsea la exactitud del resultado. Siempre redondee su respuesta final conservando solamente el número correcto de cifras significativas o, si hay duda, una más cuando mucho. En el ejemplo 1.1 habría sido erróneo dar la respuesta como 341.01861 m兾s. Observe que, al reducir una respuesta así al número apropiado de cifras significativas, debemos redondear, no eliminarlas. La calculadora indica que 525 m兾311 m es 1.688102894; con tres cifras significativas, esto es 1.69, no 1.68. Al calcular con números muy grandes o muy pequeños, es mucho más fácil indicar las cifras significativas usando notación científica, también llamada notación de potencias de 10. La distancia de la Tierra a la Luna es aproximadamente de 384,000,000 m, pero esta forma del número no da idea de cuántas cifras significativas tiene. En vez de ello, recorremos el punto decimal ocho lugares a la izquierda (lo que equivale a dividir entre 108) y multiplicamos por 108. Es decir, 384,000,000 m = 3.84 * 108 m De esta forma, es evidente que tenemos tres cifras significativas. El número 4.00 * 10-7 también tiene tres cifras significativas, aunque dos de ellas sean ceros. En notación científica, se acostumbra expresar la cantidad como un número entre 1 y 10 multiplicado por la potencia adecuada de 10. Cuando aparecen un entero o una fracción en una ecuación general, tratamos ese número como si no tuviera incertidumbre. Por ejemplo, en la ecuación vx2 = v0x2 + 2ax 1x - x02, que es la ecuación (2.13) del capítulo 2, el coeficiente 2 es exactamente 2. Podríamos pensar que este coeficiente tiene un número infinito de cifras significativas (2.000000…). Lo mismo ocurre con el exponente 2 en vx2 y v0x2. Por último, cabe señalar que precisión no es lo mismo que exactitud. Un reloj digital barato que indica la hora como 10:35:17 A.M. es muy preciso (la hora se da con segundos); pero si el reloj está atrasado varios minutos, este valor no es muy exacto. Por otro lado, el reloj de nuestro abuelo puede ser muy exacto (es decir, da la hora correcta) pero, si no tiene segundero, no será muy preciso. Una medición de gran calidad, es tanto precisa como exacta. Ejemplo 1.3 Cifras significativas al multiplicar La energía E en reposo de un objeto con masa m en reposo está dada por la famosa ecuación de Einstein E = mc2, donde c es la rapidez de la luz en el vacío. Calcule E (con tres cifras significativas) para un electrón con m = 9.11 * 10-31 kg. La unidad del SI para E es el joule (J); 1 J = 1 kg?m2兾s2. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La incógnita es la energía E. Nos dan el valor de la masa m; en la sección 1.3 (o en el apéndice F) vemos que la rapidez de la luz es c = 2.99792458 * 108 m兾s. EJECUTAR: Si sustituimos los valores de m y c en la ecuación de Einstein, tenemos E = 19.11 * 10-31 kg212.99792458 * 108 m>s22 = 19.11212.9979245822110-312110822 kg # m2>s2 = 181.8765967821103 - 31 + 12 * 8242 kg # m2>s2 = 8.187659678 * 10-14 kg # m2>s2 Puesto que el valor de m se dio con solo tres cifras significativas, debemos redondear esto a E = 8.19 * 10 -14 kg # m2>s2 = 8.19 * 10 -14 J EVALUAR: Mientras que la energía en reposo contenida en un electrón parecería ridículamente pequeña, en la escala atómica es enorme. Comparemos nuestra respuesta con 10-19 J, que es la energía que un solo átomo gana o pierde durante una reacción química común: ¡la energía en reposo de un electrón es aproximadamente 1,000,000 de veces mayor! (Analizaremos el significado de la energía en reposo en el capítulo 37, en el volumen 2). 10 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Evalúe su comprensión de la sección 1.5 La densidad de un material es igual a su masa dividida entre su volumen. ¿Qué densidad (en kg兾m3) tiene una roca de masa igual a 1.80 kg y cuyo volumen es 6.0 * 10-4 m3? i. 3 * 103 kg兾m3; ii. 3.0 * 103 kg兾m3; iii. 3.00 * 103 kg兾m3; iv. 3.000 * 103 kg兾m3; v. cualquiera de estas respuestas; todas son matemáticamente equivalentes. 1.6 Hemos destacado la importancia de conocer la exactitud de los números que representan cantidades físicas. No obstante, a menudo incluso la estimación muy burda de una cantidad puede darnos información útil. A veces sabemos cómo calcular cierta cantidad, pero tenemos que estimar los datos necesarios para el cálculo. O bien, el cálculo podría ser demasiado complicado para efectuarse con exactitud, así que lo aproximamos. En ambos casos, nuestro resultado es una estimación, pero puede ser útil aun si tiene un factor de incertidumbre de dos, 10 o más. Con frecuencia, tales cálculos se denominan estimaciones de orden de magnitud. El gran físico nuclear italo-estadounidense Enrico Fermi (1901-1954) los llamaba “cálculos aproximados”. Los ejercicios 1.16 a 1.25 del final de este capítulo son del tipo de estimación u orden de magnitud. La mayoría requiere estimar los datos de entrada necesarios. No intente consultar muchos datos; estímelos tan bien como pueda. Aun cuando difieran por un factor de 10, los resultados serán útiles e interesantes. PhET: Estimation Ejemplo 1.4 Estimaciones y órdenes de magnitud Estimación de orden de magnitud Suponga que usted escribe una novela de aventuras, donde el héroe huye a otro país con mil millones de dólares en oro en la maleta. ¿Puede alguien llevar tanto oro? ¿Cabría tanto oro en una maleta? SOLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: El oro se vende a unos $400 la onza. (El precio varió entre $200 y $1000 más o menos durante la década pasada). Una onza equivale a unos 30 gramos; será bueno 1 recordarlo. De modo que $10 en oro tienen una masa de 40 onza, o aproximadamente un gramo. Así que mil millones (109) de dólares en oro son cien millones (108) de gramos o cien mil (105) kilogramos, Aplicación Temperatura escalar, viento vectorial Esta estación meteorológica mide la temperatura, una cantidad escalar que puede ser positiva o negativa (digamos, +20ºC o -5ºC), pero no tiene dirección. También mide la velocidad del viento, la cual es una cantidad vectorial que tiene tanto magnitud como dirección (por ejemplo, 15 km/h hacia el este). que corresponden a un peso en unidades británicas de aproximadamente 200,000 lb, o 100 toneladas. ¡Ningún héroe podría cargar tanto peso en una maleta! ¿Cuál es el volumen de este oro en términos burdos? La densidad del oro es mucho mayor que la del agua (1 g兾cm3) o 1000 kg兾m3; si su densidad es 10 veces la del agua, esta cantidad de oro tendría un volumen de 10 m3, muchas veces el volumen de una maleta. EVALUAR: Es evidente que hay que rescribir la novela. Pruebe el cálculo ahora con una maleta llena de diamantes de cinco quilates (1 gramo), cada uno de los cuales vale $100,000. ¿Funcionaría? Evalúe su comprensión de la sección 1.6 ¿Podría estimar el número de dientes que hay en todas las bocas de su campus universitario (estudiantes, empleados y profesores)? (Sugerencia: ¿Cuántos dientes tiene usted en su boca? Cuéntelos). 1.7 Vectores y suma de vectores Algunas cantidades físicas, como el tiempo, la temperatura, la masa y la densidad se pueden describir completamente con un solo número y una unidad. No obstante, en física muchas otras cantidades importantes están asociadas con una dirección y no pueden describirse con un solo número. Un ejemplo sencillo es el desplazamiento de un avión: debemos indicar no solo qué tan rápidamente se desplaza, sino también en qué dirección. La rapidez del avión combinada con su dirección constituye una cantidad llamada velocidad. Otro ejemplo es la fuerza, que en física es un empuje o un tirón aplicado a un cuerpo. Para describir plenamente una fuerza hay que indicar no solo su intensidad, sino también en qué dirección tira o empuja sobre un cuerpo. 11 1.7 Vectores y suma de vectores Cuando una cantidad física se describe con un solo número, decimos que es una cantidad escalar. En cambio, una cantidad vectorial incluye tanto una magnitud (la cual indica “qué tanto” o “qué tan grande”) como una dirección en el espacio. Los cálculos que combinan cantidades escalares usan las operaciones aritméticas ordinarias. Por ejemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg, o 4 * 2 s = 8 s. No obstante, la combinación de vectores requiere un conjunto diferente de operaciones. Para entender mejor los vectores y su combinación, comencemos con la cantidad vectorial más sencilla, el desplazamiento, que simplemente es un cambio en la posición de un objeto. El desplazamiento es una cantidad vectorial porque debemos establecer no solo qué tan lejos se mueve el objeto, sino también en qué dirección. Caminar 3 km al norte desde nuestra casa no nos lleva al mismo sitio que caminar 3 km al sureste; ambos desplazamientos tienen la misma magnitud, pero diferente dirección. Con frecuencia representamos una cantidad vectorial, como el desplazamiento, S con una sola letra, como A en la figura 1.9a. En este libro siempre simbolizaremos los vectores con letras negritas y cursivas con una flecha arriba, como recordatorio de que las cantidades vectoriales tienen propiedades diferentes de las que manifiestan las cantidades escalares; la flecha nos recuerda que los vectores tienen dirección. Los símbolos manuscritos de los vectores siempre se escriben con una flecha arriba. Si no distingue entre cantidades vectoriales y escalares en su notación, probablemente tampoco lo hará en su mente, y se confundirá. Al dibujar un vector, siempre trazamos una línea con punta de flecha. La longitud de la línea indica la magnitud del vector, y la dirección de la línea es la del vector. El desplazamiento siempre es un segmento recto dirigido del punto inicial al punto final, aunque la trayectoria real seguida por el objeto sea curva (figura 1.9b). Observe que el desplazamiento no se relaciona directamente con la distancia total recorrida. Si el objeto llegara a P2 y volviera a P1, el desplazamiento total sería cero (figura 1.9c). Si dos vectores tienen la misma dirección, son paralelos; si tienen la misma magnitud y laSmisma dirección, son iguales, sea cual fuere su ubicación en el espacio. El vector A ¿ de P3 a P4 en la figura 1.10 tiene igual longitud y dirección que el vector S A de P1 a P2. Ambos desplazamientos son iguales, aunque parten de puntos distintos. S S Escribimos esto como A ¿ ⴝ A en la figura 1.10, usando un signo igual en negritas para resaltar que la igualdad de dos cantidades vectoriales no es lo mismo que la igualdad de dos cantidades escalares. Dos vectores son iguales solo si tienen la misma magnitud y la misma dirección. S S Sin embargo, el vector B de la figura 1.10 no es igual a A porque su dirección es opuesta. Definimos el negativo de un vector como un vector conSla misma magnitud queS el original, pero con la dirección opuesta. El negativo de A se representa con ⴚA, y usamos un signo menos en negritas para destacar el carácter vectorial de las S S cantidades. Si A es de 87 mS y apunta al sur, entonces ⴚA es de 87 m ySapunta al S S norte. Así, Sla relación entre ASy BSen la figura 1.10 puede escribirse como A ⴝ ⴚ B S o B ⴝ ⴚ A. Si dos vectores A y B tienen direcciones opuestas, independientemente de que sus magnitudes sean iguales o no, decimos que son antiparalelos. Frecuentemente representamos la magnitud de una cantidad vectorial (su longitud, en el caso de un vector desplazamiento) con la misma letra que usamos para el vector, pero en cursiva normal sin la flecha arriba. Una notación alternativa es el símbolo vectorial encerrado entre barras verticales en ambos lados: S S 1Magnitud de A2 = A = ƒ A ƒ 1.9 Desplazamiento como una cantidad vectorial. Un desplazamiento siempre es un segmento recto dirigido desde el punto inicial hasta el punto final, aunque la trayectoria sea curva. a) Un desplazamiento se representa con una flecha que apunta en la dirección del desplazamiento. Posición final: P2 S Desplazamiento A Posición inicial: P1 Notación manuscrita: b) El desplazamiento depende solo de las posiciones inicial y final, no de la trayectoria seguida. P2 S A Trayectoria seguida c) El desplazamiento total de un viaje redondo es 0, sin importar la distancia recorrida. P1 1.10 Significado de vectores que tienen la misma magnitud, y la misma dirección o dirección opuesta. P2 (1.1) La magnitud de una cantidad vectorial es una cantidad escalar (un número) y siempre es positiva. Cabe señalar también que un vector nunca puede ser igual a un escalar S porque son cantidades de tipo distinto. ¡La expresión “A = 6 m” es tan absurda como “2 naranjas = 3 manzanas”! Al dibujar diagramas con vectores, normalmente usamos una escala similar a la escala de los mapas. Por ejemplo, un desplazamiento de 5 km podría representarse con un vector de 1 cm de largo en un diagrama; y un desplazamiento de 10 km, con un vector de 2 cm. En un diagrama de vectores de velocidad, un vector que tiene 1 cm P1 P4 S S S S A 5 A A P1 P5 P3 Los desplazamientos S S A y A son iguales porque tienen las mismas longitud y dirección. S B 5 2A P6 S El desplazamiento B tiene la mismaS magnitud que A pero dirección opuesta; S S B es el negativo de A. 12 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.11 Tres formas de sumar dos vectores. Como se muestra en b), el orden no importa en la suma de vectores, ya que esta es conmutativa. de longitud podría representar una velocidad cuya magnitud es de 5 m兾s. Entonces, una velocidad de 20 m兾s se representaría con un vector de 4 cm de largo. a) Podemos sumar dos vectores colocándolos punta con cola. Suma y resta de vectores B S A S S S Suponga que unaSpartícula experimenta un desplazamiento A seguido por un segundo desplazamiento B. El resultado final es el mismo como si la partícula hubiera partido S del mismo punto y experimentado un solo desplazamiento (figura 1.11a). LlaC S S S mamos a C suma vectorial, o resultante, de los desplazamientos A y B. Expresamos esta relación simbólicamente como S S C5A1B S b) Al invertir el orden de la suma se obtiene el mismo resultado. S S S C5B1A S S CⴝAⴙB (1.2) El signo más en negritas destaca que sumar dos cantidades vectoriales requiere un proceso geométrico y no es lo mismo que sumar dos cantidades escalares como 2 + 3 = 5. Al sumar vectores, por lo regular colocamos la cola del segundo vector en la cabeza, o punta, del primer vector (figura 1.11a). S S S S Si efectuamos los desplazamientos A y B en orden inverso, primero B y luego A el resultado será el mismo (figura 1.11b) ya que se cumple la propiedad conmutativa. Entonces, S A S B c) También podemos sumarlos construyendo un paralelogramo. S S S S S S S CⴝBⴙA y AⴙBⴝBⴙA S A S S S C5A1B Esto indica que el orden de los términos en una suma de vectores no importa. En otras palabras, la suma de vectores sigue la ley conmutativa. La figura 1.11c muestra otra representación de la suma vectorial: si dibujamos los S S S vectores A y B con sus colas Sen el mismo punto, el vector es la diagonal de un C S paralelogramo construido con A y B como dos lados adyacentes. S B S S 1.12 a) Solo cuando dos vectores A y B son paralelos, la magnitud de su suma es igual a la suma de sus magnitudes: S S C = A + B. b) Cuando A y B son antiparalelos, la magnitud de su suma es igual a la diferencia de sus magnitudes: C = 兩A - B兩. CUIDADO S S S S Magnitudes en la suma de vectores Es un error común suponer que si En general, tal conclusión es errónea; para los vectores de la figura S 1.11 Ses evidente que S S C 6 A + B. La magnitud A ⴙ B A de depende de las magnitudes de y B y también del S S S S ángulo que forman A y B (véaseSel problema 1.90). Solo en el caso especial en que y A B S S S sean paralelos, la magnitud de C ⴝ A ⴙ B es igual a la suma de las magnitudes de A S y B (figura 1.12a). En cambio, cuando los vectores son antiparalelos (figura 1.12b), la magniS S S tud de C es la diferencia de las magnitudes de A y B. Si usted tiene el cuidado de distinguir entre cantidades escalares y vectoriales, evitará cometer errores en relación con la magnitud de una suma vectorial. S B S S C ⴝ A ⴙ B, entonces la magnitud C debería ser igual a la magnitud A más la magnitud B. a) La suma de dos vectores paralelos A (1.3) S CⴝAⴙB Si necesitamos sumar más de dos vectores, podemos sumar primero dos cualesquiera, sumar vectorialmenteSlaSresultante al tercero, y así sucesivamente. La Sfigura S S 1.13a muestra tres vectores A, B y C. En la figura 1.13b, se suman primero AyB S S S para obtener la suma vectorial D; luego se suman los vectores C y D de la misma S forma para obtener la resultante R: b) La suma de dos vectores antiparalelos S A S S S S CⴝAⴙB B S S S S S S R ⴝ 1A ⴙ B2 ⴙ C ⴝ D ⴙ C S S S 1.13 Varias construcciones para obtener la suma vectorial A ⴙ B ⴙ C. S a) Para obtener la suma de estos tres vectores ... S D A S B S d) o podríamos sumar A, S S S B y C para obtener R directamente ... S S B S S C R S S E A B S R S S C S S e) o podríamos sumar A, S S B y C en cualquier otro S orden y aun así obtener R. S R R S S S c) o podríamos sumar B y C S para obtener E y después S S S sumar A a E para calcular R, ... S S C A S b) podríamos sumar AyB S para S encontrar D y luego suS mar C a D para obtenerSla suma final (resultante) R, ... A S C S B S B S A S C 1.7 Vectores y suma de vectores S S S 13 S 1.14 Para construir la diferencia vectorial A ⴚ B, puede colocar ya sea la cola de ⴚB en la punta de A o bien, colocar los dos vectores S S A y B punta con punta. S S S S A 2 S S S S 5 B 1 A S 2B S 5 S S A S S 5 A 1 12B 2 S S 5A2B S 2B S S Con AS y 2B de punta a cola, A 2 B es el vector desde la S cola de A hasta la punta de 2B. S S S B S A S S S A 1 1 2B 2 5 A 2 B ... es equivalente a sumar 2B a A. Restar B de A ... S S A2B S Con AS y B punta con punta, S A2 B es el vector desde la cola S S de A hasta la cola de B. S Como alternativa, podemos sumar primero B y C para obtener el vector E (figura S S S 1.13c), y luego sumar A y E para obtener R: S S S S S PhET: Vector Addition S R ⴝ A ⴙ 1B ⴙ C 2 ⴝ A ⴙ E S S S S No necesitamos dibujar los vectores D y E; basta con dibujar los vectores A, B y S con la cola de cada uno en la punta del vector anterior. La suma vecC en sucesión, S torial R va de la cola del primer vector a la punta del último vector (figura 1.13d). El orden no importa; la figura 1.13e muestra un orden distinto, y el lector puede intentar otros. Vemos así que la suma de vectores obedece la ley asociativa. Así como sumamos vectores, también podemos restarlos. Para aprender cómo, S S recuerde que el vector ⴚA tiene la misma magnitud que pero dirección opuesta. A S S S S S Definimos la diferencia de dos vectores y como la suma vectorial de A A ⴚ B A B S y ⴚ B: S S S S A ⴚ B ⴝ A ⴙ 1ⴚB2 (1.4) La figura 1.14 muestra un ejemplo de resta de vectores. Una cantidad vectorial, como el desplazamiento, se puedeSmultiplicar por una cantidad escalar (un número ordinario). El desplazamiento 2A es un desplazamiento S (cantidad vectorial) en la misma dirección que pero dos veces más largo; esto A S S equivale a sumar A a sí mismo (figura 1.15a). En general, cuando un vector se mulA S tiplica por un escalar c, el resultado cA tiene magnitud ƒ c ƒ A (el valor absoluto de c S S multiplicado por la magnitud del vector A). Si c es positivo, cA tiene la misma direcS S S S ción que A; si c es negativo, cA tiene la dirección opuesta a la de A. Así, 3A es paraS S S lelo a A, pero -3A es antiparalelo a A (figura 1.15b). El escalar que multiplica un vector también puede ser una cantidad física. Por S S S ejemplo, es posible que el lector conozca la relación F ⴝ ma ; la fuerza neta F (una cantidad vectorial) que actúa sobre un cuerpo es igual al producto de la masa m S del cuerpo (una cantidad escalar) y su aceleración a (una cantidad vectorial). LaS diS S rección de F es la misma que la de a porque m es positiva, y la magnitud de F es S igual a la masa m (que es positiva) multiplicada por la magnitud de a . La unidad de fuerza es la unidad de masa multiplicada por la unidad de aceleración. Ejemplo 1.5 1.15 Multiplicación de un vector a) por un escalar positivo y b) por un escalar negativo. a) Al multiplicar un vector por un escalar positivo, la magnitud (longitud) del vector cambia, pero no su dirección. S A S 2A S S 2A es dos veces más largo que A. b) Al multiplicar un vector por un escalar negativo, cambia su magnitud y se invierte su dirección. S A S 23A S S 23A es tres veces más largo que A y apunta en la dirección contraria. Suma de dos vectores en ángulos rectos Un esquiador de fondo viaja 1.00 km al norte y luego 2.00 km al este por un campo nevado horizontal. ¿A qué distancia y en qué dirección está con respecto al punto de partida? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El problema implica combinar dos desplazamientos en ángulos rectos uno del otro. En este caso, las cantidades vectoriales se suman resolviendo un triángulo rectángulo, lo cual podemos hacer usando el teorema de Pitágoras y trigonometría básica. Las incógnitas son la distancia en línea recta y la dirección del esquiador con respecto a su punto de partida. La figura 1.16 es un diagrama a escala de los dos desplazamientos del esquiador y el desplazamiento neto resultante. Describimos la dirección desde el punto de partida con el ángulo f (la letra griega fi). El desplazamiento parece ser de aproximadamente 2.4 km y la medición con un transportador indica que f es aproximadamente igual a 63°. EJECUTAR: La distancia del punto inicial al punto final es igual a la longitud de la hipotenusa: 211.00 km22 + 12.00 km22 = 2.24 km Continúa 14 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.16 Diagrama vectorial, a escala, de un recorrido en esquí. El ángulo f se obtiene con un poco de trigonometría (del apéndice B): tan f = N O E 0 = 2.00 km 1.00 km Podemos describir la dirección como 63.4° al este del norte o 90° 63.4° = 26.6° al norte del este. 2.00 km f Cateto adyacente f = 63.4° S 1.00 km Cateto opuesto Desplazamiento resultante 1 km 2 km EVALUAR: Nuestras respuestas (2.24 km y f = 63.4°) están cerca de nuestras predicciones. En el caso más general de la suma de dos vectores que no están en ángulos rectos, se puede usar la ley de los cosenos en lugar del teorema de Pitágoras, y usar la ley de los senos para obtener el ángulo correspondiente a f de este ejemplo. (Estas funciones trigonométricas se encuentran en el apéndice B). En la sección 1.8 veremos más técnicas de suma de vectores. Evalúe su comprensión de la sección 1.7 Dos vectores de desplazamiento, S S S y T, tienen magnitudes S = 3 m y T = 4 m. ¿Cuál de los siguientes resultados S S podría ser la magnitud de la diferencia vectorial S ⴚ T ? (Puede haber más de una respuesta correcta). i. 9 m; ii. 7 m; iii. 5 m; iv. 1 m; v. 0 m; vi. -1 m. 1.8 S 1.17 Representación de un vector A en S términos de a) los vectores componentes Ax S y Ay y b) las componentes Ax y Ay (en este caso, ambas son positivas). a) Componentes de vectores En la sección 1.7 sumamos vectores usando un diagrama a escala y las propiedades de los triángulos rectángulos. Al medir un diagrama se obtiene solo una exactitud muy limitada, y los cálculos con triángulos rectángulos funcionan únicamente cuando los dos vectores son perpendiculares. De modo que necesitamos entonces un método sencillo pero general para sumar vectores; este se conoce como el método de componentes. S Para definir las componentes de un vector A, partimos de un sistema rectangular de ejes de coordenadas (cartesiano) (figura 1.17a) y luego dibujamos el vector con su cola en O, el origen del sistema coordenado. Podemos representar cualquier vector en el plano xy como la suma de un vector paralelo al eje x y un vector paralelo al eje y. S S Estos dos vectores se identifican como y 1.17a; son los vectores A A x y en la figura S S componentes del vector A, y su suma vectorial es igual a A. Simbólicamente, S S S S A ⴝ Ax ⴙ Ay (1.5) y Los vectores componentes de A S A S Ay u x S O Ax b) Puesto que cada vector componente se encuentra a lo largo de un eje de coordenadas, solo necesitamos un número para describirlo. Cuando el vector componente S definimos el número Ax como la magnitud Ax Sapunta hacia la dirección x positiva, S de Ax . Cuando el vector componente Ax apunta en la dirección x negativa, definimos el número Ax como el negativo de dicha magnitud (la magnitud de una cantidad vectorial en sí misma nunca es negativa). Definimos el número Ay del mismo modo. Los S dos números Ax y Ay son las componentes de A (figura 1.17b). S CUIDADO Las componentes no son vectores Las componentes Ax y Ay de un vector A son tan solo números: no son vectores. Por ello, las simbolizamos con letra cursiva normal sin flecha arriba, en vez de la letra cursiva negrita con flecha que está reservada para los vectores. S Las componentes de A y S S A Ay 5 Asen u O u Ax 5 Acos u x Podemos calcular las componentes del vector A si conocemos la magnitud A y su dirección. Describiremos la dirección de un vector por su ángulo en relación con una dirección de referencia, que en la figura 1.17b es el eje x poS sitivo, y el ángulo entre el vector A y el eje x positivo es u (la letra griega theta). ? 1.8 Componentes de vectores S Imagine que, originalmente, el vector A está sobre el eje +x y que luego usted lo hace girar hasta su dirección correcta, como indica la flecha sobre el ángulo u en la figura 1.17b. Si la rotación es del eje +x hacia el eje +y, como indica la figura 1.17b, entonces u es positivo; si la rotación es del eje +x al eje -y, entonces u es negativo. Por lo tanto, el eje +y está a un ángulo de 90°, el eje -x está a 180° y el eje -y está a 270° (o -90°). Si medimos u de esta manera, entonces por la definición de las funciones trigonométricas, Ax = cos u A y Ax = A cos u y Ay A 1.18 Las componentes de un vector pueden ser números positivos o negativos. a) y S B = sen u Bx (2) (1.6) Ay = A sen u 15 By es positiva: su vector componente apunta en By (1) la dirección 1y. u x Bx es negativa: su vector componente apunta en la dirección 2x. (u medido del eje +x girando hacia el eje +y) En la figura 1.17b, Ax y Ay son positivas. Esto es congruente con las ecuaciones (1.6); u está en el primer cuadrante (entre 0° y 90°) y tanto el coseno como el seno de un ángulo en este cuadrante son positivos. En cambio, en la figura 1.18a, la componente Bx es negativa. Esto también es congruente con las ecuaciones (1.6); el coseno de un ángulo en el segundo cuadrante es negativo. La componente By es positiva (sen u es positivo en el segundo cuadrante). En la figura 1.18b, tanto Cx como Cy son negativas (cos u y sen u son negativos en el tercer cuadrante). b) y Cx (2) u x S C Cy (2) S Ambas componentes de C son negativas. CUIDADO Relación entre la magnitud de un vector y la dirección de sus componentes Las ecuaciones (1.6) son correctas solamente si el ángulo u se mide desde el eje x positivo, como se describe aquí. Si el ángulo del vector se da desde otra dirección de referencia, o se utiliza otro sentido de rotación, las relaciones son distintas. ¡Tenga cuidado! El ejemplo 1.6 ilustra este aspecto. Ejemplo 1.6 Cálculo de componentes S a) ¿Cuáles son las componentes x y y del vector D en la figura 1.19a? La magnitud del vector es D = 3.00 m y el Sángulo es a = 45°. b) ¿Cuáles son las componentes x y y del vector E en la figura 1.19b? La magnitud del vector es E = 4.50 m y el ángulo b = 37.0°. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Podemos usar las ecuaciones (1.6) para calcular las componentes de estos vectores, pero debemos tener cuidado, porque ninguno de los ángulos a o b de la figura 1.19 está medido del eje +x al eje +y. A partir de la figura estimamos que las 1.19 Cálculo de las componentes x y y de vectores. a) b) y Ex (1) Ey (1) Dx (1) a Dy (⫺) x longitudes de las componentes en el inciso a) son aproximadamente de 2 m, y las del inciso b) son de 3 y 4 m. Los signos de las componentes están indicados en la figura. S EJECUTAR: a) El ángulo entre D y el eje x positivo es a (la letra griega alfa), medido hacia el eje y negativo. Por lo tanto, en las ecuaciones (1.6) debemos usar el ángulo u = -a = -45°. Entonces obtenemos Dx = D cos u = 13.00 m21cos1 - 45°22 = + 2.1 m Dy = D sen u = 13.00 m21sen1- 45°22 = - 2.1 m Si por descuido hubiéramos usado u = +45° en las ecuaciones (1.6), habríamos obtenido Dy con el signo equivocado. b) El eje x y el eje y forman ángulos rectos en la figura 1.19b, de modo que no importa que no se encuentren en posición horizontal y vertical, respectivamente. Pero para usar las ecuaciones (1.6), debemos usar el ángulo u = 90.0° - b = 90.0° - 37.0° = 53.0°. Luego, obtenemos Ex = E cos 53.0° = 14.50 m21cos 53.0°2 = + 2.71 m b Ey = E sen 53.0° = 14.50 m21sen 53.0°2 = + 3.59 m S E S x D y EVALUAR: Las respuestas en ambos incisos están cerca de nuestras predicciones. Sin embargo, pregúntese esto: ¿por qué las respuestas del inciso a) tienen solo dos cifras significativas? 16 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Cálculos de vectores usando componentes Utilizar componentes hace relativamente fáciles diversos cálculos que implican vectores. Veamos tres ejemplos importantes. 1. Cálculo de la magnitud y la dirección de un vector a partir de sus componentes. Podemos describir un vector plenamente dando su magnitud y dirección, o bien, sus componentes x y y. Las ecuaciones (1.6) indican cómo obtener las componentes si conocemos la magnitud y la dirección. También podemos invertir el proceso y obtener la magnitud y la dirección a partir de las componentes. Aplicando el teorema de S Pitágoras a la figura 1.17b, vemos que la magnitud de un vector A es A = 2Ax2 + Ay2 (1.7) (Siempre tomamos la raíz positiva). La ecuación (1.7) es válida para cualesquiera de los ejes x y y, siempre y cuando sean perpendiculares entre sí. La expresión para la dirección vectorial proviene de la definición de la tangente de un ángulo. Si medimos u como un ángulo positivo desde el eje +x hacia el eje +y (como en la figura 1.17b), entonces tan u = Ay Ax u = arctan y Ay (1.8) Ax Siempre usaremos la notación arctan para la función tangente inversa. También suele usarse la notación tan-1, y una calculadora podría tener una tecla INV o 2ND para usarse con la tecla TAN. 1.20 Diagrama de vectores que indica los signos de sus componentes x y y. Suponga que tanu 5 Ay 5 21. ¿Cuál es el Ax valor de u? Dos ángulos tienen tangentes de -1: 135° y 315°. El análisis del diagrama muestra que u debe ser igual a 315°. y CUIDADO Cálculo de la dirección de un vector a partir de sus componentes Hay un pequeño inconveniente en el uso de las ecuaciones (1.8) para obtener u: dos ángulos cualesquiera que difieran 180° tienen la misma tangente. Suponga que Ax = 2 m y Ay = -2 m como en la figura 1.20; entonces, tan u = -1. Sin embargo, hay dos ángulos con tangente -1: 135° y 315° (o bien, -45°). Para decidir cuál es correcto, debemos examinar las componentes individuales. Dado que Ax es positiva y Ay es negativa, el ángulo debe estar en el cuarto cuadrante; así que u = 315° (o bien, -45°) es el valor correcto. La mayoría de las calculadoras de bolsillo dan arctan (-1) = -45°. En este caso es lo correcto, pero si tuviéramos Ax = -2 m y Ay = 2 m, entonces el ángulo correcto sería 135°. Asimismo, si Ax y Ay son negativas, la tangente es positiva, por lo que el ángulo estará en el tercer cuadrante. Siempre debe hacerse un dibujo, como la figura 1.20, para verificar cuál de las dos posibilidades es la correcta. 135° Ax 5 2 m 315° S A Ay 5 22 m S x 2. Multiplicación de un vector por un escalar. Si multiplicamos un vector A por S S un escalar c, cada componente del producto D ⴝ cA es el producto de c por la comS ponente correspondiente de A: Dx = cAx Dy = cAy S S 1componentes de D ⴝ cA2 (1.9) S Por ejemplo, la ecuación (1.9) indica que cada componente del vector 2A es dos S S veces mayor que la componente correspondiente del vector A, de manera que 2A está S en la misma dirección que A pero tiene el doble de magnitud. Cada componente del S S vector -3A es tres veces mayor que la componente correspondiente del vector A S S pero tiene el signo contrario, así que -3A está en la dirección opuesta de A y su magnitud es tres veces mayor. Por lo tanto, las ecuaciones (1.9) son congruentes con nuestro estudio de la sección 1.7 en relación con la multiplicación de un vector por un escalar (véase la figura 1.15). 3. Uso de componentes para calcular la suma de vectores (resultante) de dos o S S S más vectores. La figura 1.21 muestra dos vectores, A y B y su resultante R, junto con las componentes x y y de los tres vectores. En el diagrama se observa que la componente Rx de la resultante es simplemente la suma (Ax + Bx) de las compo- 17 1.8 Componentes de vectores nentes x de los vectores que se están sumando. Lo mismo sucede con las componentes y. En símbolos, Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By S S S 1componentes de R ⴝ A ⴙ B2 1.21 Obtención de la suma vectorial (resulS S tante) de A y B usando componentes. y (1.10) S R es la suma vectorial S S (resultante) de A y B. S La figura 1.21 muestra este resultado para el caso en que las componentes Ax, Ay, Bx y By son positivas. Dibuje diagramas adicionales para verificar que las ecuaciones S S (1.10) son válidas sin importar el signo de las componentes de y A B . S S Si conocemos las componentes de dos vectores A y B, cualesquiera usando las S ecuaciones (1.6), podríamos calcular las componentes de la resultante R. Luego, si S necesitamos la magnitud y la dirección de R, las obtendremos de las ecuaciones (1.7) y (1.8), cambiando las A por las R. Podemos ampliar este procedimiento para calcular la suma de cualquier cantidad S S S S S S de vectores. Si es la suma vectorial de R A , B , C, D, E, Á , entonces, las compoS nentes de R son Rx = Ax + Bx + Cx + Dx + E x + Á Ry = Ay + By + Cy + Dy + E y + Á R By S B Ry S Ay A O Ax Bx x Rx S Las componentes de R Sson las sumas S de las componentes de A y B: Ry 5 Ay 1 By Rx 5 Ax 1 Bx (1.11) Solo hemos hablado de vectores que están en el plano xy; no obstante, el método de componentes funciona también para vectores con cualquier dirección en el espacio. Podemos introducir un eje z perpendicular al plano xy; entonces, en general, un S vector A tiene componentes Ax, Ay y Az en las tres direcciones de coordenadas. La magnitud A está dada por A = 2Ax2 + Ay2 + Az2 (1.12) Siempre tomamos la raíz positiva. Además, las ecuaciones (1.11) para las compoS nentes de la suma vectorial R tienen un elemento adicional: Rz = Az + Bz + Cz + Dz + E z + Á Nos hemos enfocado en la suma de vectores de desplazamiento, pero el método es aplicable a todas las cantidades vectoriales. Cuando estudiemos el concepto de fuerza en el capítulo 4, veremos que las fuerzas son vectores que obedecen las mismas reglas de la suma vectorial que se aplican al desplazamiento. Estrategia para resolver problemas 1.3 Suma de vectores IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Determine cuál es la incógnita. Podría ser la magnitud de la suma vectorial, la dirección o ambas. ángulo u, medido del eje +x al eje +y, las componentes están dadas por las ecuaciones 1.6: PLANTEAR el problema: Dibuje los vectores que va a sumar y los ejes de coordenadas adecuados. Coloque la cola del primer vector en el origen de las coordenadas; coloque la cola del segundo vector en la punta del primer vector, y así sucesivamente. Trace la suma S vectorial R desde la cola del primer vector (en el origen) hasta la punta del último. Use su dibujo para estimar la magnitud y la direcS ción de R. Elija las herramientas matemáticas que usará para realizar el cálculo completo: las ecuaciones (1.6) para obtener las componentes de los vectores dados y, si es necesario, las ecuaciones (1.11) para obtener las componentes de la suma vectorial, las ecuaciones (1.12) para determinar su magnitud, y las ecuaciones (1.8) para conocer su dirección. Si los ángulos de los vectores se dan de otra forma, quizá con otra dirección de referencia, conviértalos en ángulos medidos desde el eje +x como en el ejemplo 1.6. 2. Sume algebraicamente las componentes x, incluyendo los signos, para obtener Rx, la componente x de la resultante. Haga lo mismo con las componentes y para obtener Ry. Véase el ejemplo 1.7. 3. Calcule la magnitud de R y la dirección u de la resultante usando las ecuaciones (1.7) y (1.8): EJECUTAR la solución como sigue: EVALUAR la respuesta: Verifique que la magnitud y dirección de la suma vectorial concuerden con las estimaciones que hizo a partir de su dibujo. El valor de u obtenido con una calculadora puede tener un error de 180°; el dibujo indicará el valor correcto. 1. Obtenga las componentes x y y de cada vector y anote los resultados en una tabla, como en el ejemplo 1.7 que se presenta a continuación. Si un vector se describe con su magnitud A y su Ax = A cos u R = 2Rx2 + Ry2 Ay = A sen u u = arctan Ry Rx 18 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Ejemplo 1.7 Suma de vectores usando sus componentes Tres participantes en un concurso de TV están colocados en el centro de un campo plano grande. A cada uno se le proporciona una regla graduada de un metro, un compás, una calculadora, una pala y (en diferente orden para cada concursante) los siguientes desplazamientos: S A: 72.4 m, 32.0° al este del norte S B: 57.3 m, 36.0° al sur del oeste S el eje +x como el este, y el eje S+y como el norte. Podemos estimar en el diagrama que la resultante R mide aproximadamente unos 10 m, 40° al oeste del norte (lo cual corresponde a u L 130º). EJECUTAR: Los ángulos de los vectores, medidos del eje +x al eje +y, son (90.0° - 32.0°) = 58.0°, (180.0° + 36.0°) = 216.0° y 270.0°, respectivamente. AhoraSpodemos usar las ecuaciones (1.6), para obtener las componentes de A: C: 17.8 m al sur Los tres desplazamientos llevan al punto donde están enterradas las llaves de un Porsche nuevo. Dos concursantes comienzan a medir de inmediato; sin embargo, el ganador calcula primero a dónde debe ir. ¿Qué calculó? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El objetivo es encontrar la suma (resultante) de los tres desplazamientos, así que se trata de un problema de suma de vectores. La situación se muestra en la figura 1.22. Elegimos S S S 1.22 Tres desplazamientos sucesivos A, B y C y el desplazamiento S S S S resultante (suma vectorial) R ⴝ A ⴙ B ⴙ C. y (norte) Hemos conservado una cifra significativa extra en las componentes; esperaremos hasta el final para redondear al número correcto de cifras significativas. La siguiente tabla muestra las componentes de todos los desplazamientos, su suma y los demás cálculos. Distancia A = 72.4 m B = 57.3 m C = 17.8 m Ángulo 58.0° 216.0° 270.0° u = arctan 57.3 m Componente x 38.37 m -46.36 m 0.00 m Rx = -7.99 m Componente y 61.40 m -33.68 m -17.80 m Ry = 9.92 m S A 9.92 m = - 51° - 7.99 m La comparación con la figura 1.22 indica que el ángulo calculado es completamente diferente por 180º. El valor correcto es u = 180° 51 = 129°, o bien, 39° al oeste del norte. r B S Ay = A sen uA = (72.4 m)(sen 58.0°) = 61.40 m R = 21 - 7.99 m22 + 19.92 m22 = 12.7 m 36.0° 17.8 m C Ax = A cos uA = (72.4 m)(cos 58.0°) = 38.37 m EVALUAR: Los valores que calculamos para R y u concuerdan con nuestras estimaciones. Observe cómo el diagrama de la figura 1.22 facilitó la eliminación del error de 180° en la dirección de la resultante. 72.4 m 32.0° u S R O x (este) Ejemplo 1.8 Suma vectorial sencilla en tres dimensiones Un avión despega y viaja 10.4 km al oeste, 8.7 km al norte y 2.1 km hacia arriba. ¿A qué distancia está de su punto de partida? SOLUCIÓN Sea el eje +x el este, el eje +y el norte y el eje +z hacia arriba. Entonces, las componentes del desplazamiento del avión son Ax = -10.4 km, Ay = 8.7 km y Az = 2.1 km; la ecuación (1.12) da la magnitud del desplazamiento A = 21 -10.4 km22 + 18.7 km22 + 12.1 km22 = 13.7 km 19 1.9 Vectores unitarios S S Evalúe su comprensión de la sección 1.8 Dos vectores A y B están en el plano xy. S S a) ¿Es posible que A tenga la misma magnitud que B pero componentes diferentes? S S b) ¿Es posible que A tenga las mismas componentes que B pero una magnitud diferente? 1.9 Vectores unitarios Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su única finalidad consiste en direccionar, es decir, señalar una dirección en el espacio. Los vectores unitarios proporcionan una notación conveniente para muchas expresiones que implican componentes de vectores. Siempre incluiremos un acento circunflejo o “sombrero” (^) sobre el símbolo de un vector unitario para distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud podría ser 1 o alguna otra. En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario nı que apunte en la dirección del eje +x y un vector unitario n≥ que apunte en la dirección del eje +y (figura 1.23a). Así, podemos expresar la relación entre los vectores componentes y las componentes, descrita al principio de la sección 1.8, como sigue: 1.23 a) Los vectores unitarios nı y n≥ . S b) Expresión de un vector A en términos de sus componentes. a) Los vectores unitarios ^i y j^ apuntan en la dirección de los ejes x y y, respectivamente, y tienen una magnitud de 1. y j^ O x i^ S Ax ⴝ Ax nı S Ay ⴝ Ay n≥ (1.13) b) S y Podemos expresar un vector A en términos de sus componentes como S De forma similar, escribimos un vector A en términos de sus componentes como S A ⴝ Ax nı ⴙ Ay n≥ (1.14) Las ecuaciones (1.13) y (1.14) son ecuaciones vectoriales; cada término, como Ax nı , es una cantidad vectorial (figura 1.23b). S S Usando vectores unitarios, podemos expresar la resultante R de dos vectores A y S B como sigue: S Ay j^ S A 5 Ax i^ 1 Ay j^ A j^ O i^ x Ax i^ S A ⴝ Ax nı ⴙ Ay n≥ S B ⴝ Bx nı ⴙ By n≥ S S S RⴝAⴙB ⴝ 1Ax nı ⴙ Ay n≥ 2 ⴙ 1Bx nı ⴙ By n≥ 2 (1.15) ⴝ 1Ax + Bx2ın ⴙ 1Ay + By2 n≥ ⴝ Rx nı ⴙ Ry n≥ La ecuación (1.15) replantea el contenido de las ecuaciones (1.10) en forma de una sola ecuación vectorial, en vez de dos ecuaciones de componentes. Si no todos los vectores están en el plano xy, necesitamos una tercera componente. Introducimos un tercer vector unitario kN que apunta en la dirección del eje +z (figura 1.24). Las ecuaciones (1.14) y (1.15) se convierten en S A ⴝ Ax nı ⴙ Ay n≥ ⴙ Az kN S B ⴝ Bx nı ⴙ By n≥ ⴙ Bz kN y j^ O (1.16) k^ z S R ⴝ 1Ax + Bx2ın ⴙ 1Ay + By2 n≥ ⴙ 1Az + Bz2 kN ⴝ Rx nı ⴙ Ry n≥ ⴙ Rz kN 1.24 Los vectores unitarios nı , n≥ y kN . (1.17) i^ x 20 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Ejemplo 1.9 Uso de vectores unitarios Dados los dos desplazamientos EJECUTAR: Tenemos S D ⴝ 16.00 nı ⴙ 3.00 n≥ ⴚ 1.00kN 2 m y S F ⴝ 216.00ın ⴙ 3.00 n≥ ⴚ 1.00kN 2 m ⴚ 14.00ın ⴚ 5.00 n≥ ⴙ 8.00kN 2 m ⴝ 3112.00 - 4.002ın ⴙ 16.00 + 5.002 n≥ ⴙ (-2.00 - 8.00)kN 4 m S E ⴝ 14.00 nı ⴚ 5.00 n≥ ⴙ 8.00kN 2 m S ⴝ 18.00ın ⴙ 11.00 n≥ ⴚ 10.00kN 2 m S obtenga la magnitud del desplazamiento 2D ⴚ E. S De la ecuación (1.12), la magnitud de F es SOLUCIÓN F = 2Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 S IDENTIFICAR y PLANTEAR: Multiplicamos el vector D por 2 (un esS calar) y luego restamos el vector E del resultado, para obtener el vector S S S S F ⴝ 2D ⴚ E. La ecuación (1.9) indica que para multiplicar D por 2, se multiplica cada una de sus componentes por 2. Después, se usa la ecuación (1.17) para efectuar la resta; recuerde de la sección 1.7 que restar un vector es lo mismo que sumar el negativo de ese vector. = 218.00 m22 + 111.00 m22 + 1-10.00 m22 = 16.9 m EVALUAR: Nuestra respuesta es del mismo orden de magnitud que las componentes más grandes implicadas en la suma. No esperaríamos que nuestra respuesta fuera mucho mayor que esto, pero podría ser mucho más pequeña. Evalúe su comprensión de la sección 1.9 Coloque en orden de magnitud S A los siguientes vectores, donde el vector más grande sea el primero. i. ⴝ 13ın ⴙ S S 5≥n ⴚ 2kN 2 m; ii. B ⴝ 1-3ın ⴙ 5≥n ⴚ 2kN 2 m; iii. C ⴝ 13ın ⴚ 5≥n ⴚ 2kN 2 m; S iv. D ⴝ 13ın ⴙ 5≥n ⴙ 2kN 2 m. 1.10 1.25 Cálculo del producto escalar de dos S S vectores, A # B = AB cos f. a) S B f Coloque los vectores cola con cola. S Productos de vectores Hemos visto cómo la suma de vectores es consecuencia natural de combinar desplazamientos, y veremos lo útil que resulta en el cálculo de muchas otras cantidades vectoriales. También podemos expresar muchas relaciones físicas usando productos de vectores. Los vectores no son números ordinarios, así que no podemos aplicarles directamente la multiplicación ordinaria. Definiremos dos tipos de productos de vectores. El primero, llamado producto escalar, produce un resultado escalar. El segundo, el producto vectorial, genera otro vector. A Producto escalar b) A # B es igual a A(B cos f). S S S S (Magnitud de A) por (ComponenteSde B paralela a A) S B f S A B cos f c) A # B también es igual a B(A cos f). S El producto escalar de dos vectores A y B se denota con A # B. Debido a esta S notación, el producto escalarStambién se denomina producto punto. Aun cuando A y S S B sean vectores, la cantidad A # B es un escalar. S S S S Para definir el producto escalar A # B dibujamos A y B con su cola en el mismo punto (figura 1.25a). El ángulo f (la letra griega fi) puede tomar valores entre 0° y S S 180°. La figura 1.25b muestra la proyección del vector B sobre la dirección de A; esta S S proyección es la componente de B sobre la proyección de A y es igual a B cos f. (Podemos obtener componentes en cualquier dirección conveniente, no solo en los S S S ejes x y y). Definimos A # B como la magnitud de A multiplicada por la componente S S de B paralela a A. Expresado en la forma de ecuación, S S S S S S S (Magnitud de B) por (ComponenteSde A paralela a B) A cos f S B f S A A # B = AB cos f = ƒ A ƒ ƒ B ƒ cos f S S S S (definición del producto escalar (punto)) (1.18) También podemos definir A # B como la magnitud de B multiplicada por la comS S S S ponente de A paralela a B, como en la figura 1.25c. Así, A # B = B(A cos f) = AB cos f, que es lo mismo que la ecuación (1.18). El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo, negativo o cero. Si f está entre 0° y 90°, cos f 7 0 y el producto escalar es positivo S S S 1.10 Productos de vectores (figura 1.26a). Cuando f está entre 90° y 180°, de modo que cos f 6 0, la compoS S S S nente de B paralela a A es negativa, y A # B (producto punto o producto escalar) tamS S bién es negativo (figura 1.26b). Por último, cuando f = 90°, A # B = 0 (figura 1.26c). El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero. S S Para dos vectores A y B, cualesquiera AB cos f = BA cos f. Esto significa que S S S S A # B = B # A. El producto escalar obedece la ley conmutativa de la multiplicación; el orden de los dos vectores no importa. Usaremos el producto escalar en el Scapítulo 6 para describir el trabajo realizado por una fuerza. Si una fuerza constante F se aplica a un cuerpo que sufre un desplazaS miento s , el trabajo W (una cantidad escalar) realizado por la fuerza es W = F# s S 1.26 El producto escalar A # B = AB cos f puede ser positivo, negativo oS cero, depenS diendo del ángulo entre A y B. S S B f S A ... porque B cos f 7 0. b) S Cálculo del producto escalar usando componentes Podemos calcular Sel producto escalar A # B directamente si conocemos las compoS nentes x, y y z de A y B. Para saber cómo se hace, obtenemos primero los productos escalares de los vectores unitarios. Esto es fácil, pues nı , n≥ y kN tienen magnitud 1 y son perpendiculares entre sí. Por la ecuación (1.18), tenemos (1.19) S = Ax nı # Bx nı + Ax nı # By n≥ + Ax nı # Bz kN + Ay n≥ # Bx nı + Ay n≥ # By n≥ + Ay n≥ # Bz kN + Az kN # Bx nı + Az kN # By n≥ + Az kN # Bz kN f S A ... porque B cos f 6 0. c) Si f = 90°, A#B50 S porque B tiene una componente S cero en la dirección de A. f 5 90° S S B S S S S A # B = 1Ax nı ⴙ Ay n≥ ⴙ Az kN 2 # 1Bx nı ⴙ By n≥ ⴙ Bz kN 2 (1.20) = Ax Bx nı # nı + Ax By nı # n≥ + Ax Bz nı # kN + Ay Bx n≥ # nı + Ay By n≥ # n≥ + Ay Bz n≥ # kN + Az Bx kN # nı + Az By kN # n≥ + Az Bz kN # kN Por las ecuaciones (1.19), vemos que seis de estos nueve términos son cero, y los otros tres que quedan simplemente dan S B Si f está entre 90° y 180°, S S A # B es negativo ... A Ahora expresamos A y B en términos de sus componentes, realizamos el producto escalar entre estos vectores, así como entre los vectores unitarios: S S S nı # nı = n≥ # n≥ = kN # kN = 112112 cos 0° = 1 nı # n≥ = nı # kN = n≥ # kN = 112112 cos 90° = 0 A # B = Ax Bx + Ay By + Az Bz Si f está entre S S 0° y 90°, A # B es positivo ... S S S S a) El trabajo efectuado por la fuerza es positivo si el ángulo entre F y s está entre 0° y S S 90°, negativo si el ángulo está entre 90° y 180°, y cero si F y s son perpendiculares. (Este es otro ejemplo de un término con significado especial en física; en el lenguaje cotidiano, “trabajo” no es algo que pueda ser positivo o negativo). En capítulos posteriores usaremos el producto escalar para varios fines, desde calcular potencial eléctrico hasta determinar el efecto de campos magnéticos variables sobre circuitos eléctricos. S 21 (producto escalar (punto) en (1.21) términos de sus componentes) Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivas componentes. ElSproducto escalar permite calcular directamente el ángulo f entre dos vectores S cuyas componentes conocemos. En este caso, obtenemos el proA y B cualesquiera S S ducto escalar de A y B con la ecuación (1.21). El ejemplo 1.11 de la siguiente página muestra cómo hacer esto. 22 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Ejemplo 1.10 Cálculo de un producto escalar Obtenga el producto escalar A # B de los dos vectores de la figura 1.27. Las magnitudes de los vectores son A = 4.00 y B = 5.00. S S EJECUTAR: El ángulo entre los dos vectores es f = 130.0° - 53.0° = 77.0°, así que la ecuación (1.18) nos da A # B = AB cos f = 14.00215.002 cos 77.0° = 4.50 S SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Podemos calcular el producto escalar de dos formas: usando las magnitudes de los vectores y el ángulo entre ellos (ecuación 1.18); o usando las componentes de los vectores (ecuación 1.21). Lo haremos de las dos formas, y los resultados se verificarán uno con otro. S Para usar la ecuación (1.21) necesitamosS calcular primero las comS ponentes de los vectores. Los ángulos de A y B se dan con respecto al eje +x, medidos hacia el eje +y, de modo que podemos usar las ecuaciones (1.6): Ax = (4.00) cos 53.0° = 2.407 Ay = (4.00) sen 53.0° = 3.195 1.27 Dos vectores en dos dimensiones. Bx = (5.00) cos 130.0° = -3.214 y By = (5.00) sen 130.0° = 3.830 S B Como en el ejemplo 1.7, dejamos una cifra significativa de más en las componentes y redondearemos al final. La ecuación (1.21) ahora nos da S 130.0° A A # B = AxBx + AyBy + AzBz S f j^ = 12.40721 - 3.2142 + 13.195213.8302 + 102102 = 4.50 53.0° x i^ Ejemplo 1.11 S EVALUAR: Ambos métodos dan el mismo resultado, como debe de ser. Cálculo de un ángulo con el producto escalar A # B = AxBx + AyBy + AzBz, y obtenemos los valores de A y B S Determine el ángulo entre los vectores S A ⴝ 2.00 nı ⴙ 3.00 n≥ ⴙ 1.00kN S usando la ecuación (1.7). y S B ⴝ - 4.00 nı ⴙ 2.00 n≥ ⴚ 1.00kN EJECUTAR: Resolvemos la ecuación (1.18) para despejar coseno de f S S y escribimos A # B usando la ecuación (1.21). El resultado es SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Se nos dan las componentes x, y y z de dos vectores. Nuestra incógnita es el ángulo f entreSellos (figura 1.28). S Para calcular esto, resolvemos la ecuación (1.18), A # B = AB cos f, S S despejando f en términos del producto escalar A # B y las magnitudes A y B. Podemos evaluar el producto escalar usando la ecuación (1.21), cos f = Se puede utilizar esta fórmula para encontrar el ángulo entre dos vecS S tores A y B cualesquiera. En nuestro ejemplo, tenemos que Ax = 2.00, Ay = 3.00 y Az = 1.00 y Bx = -4.00, By = 2.00 y Bz = -1.00. Por lo tanto, A # B = AxBx + AyBy + AzBz S 1.28 Dos vectores en tres dimensiones. y = - 3.00 A se extiende desde el origen hasta la esquina cercana de la caja roja. S S = 12.0021- 4.002 + 13.00212.002 + 11.0021- 1.002 S B se extiende desde el origen hasta la esquina lejana de la caja azul. S S AxBx + AyBy + AzBz A#B = AB AB A = 2Ax2 + Ay2 + Az2 = 212.0022 + 13.0022 + 11.0022 = 214.00 B = 2Bx2 + By2 + Bz2 = 21- 4.0022 + 12.0022 + 1- 1.0022 S S A B j^ k^ z i^ x = 221.00 AxBx + AyBy + AzBz - 3.00 cos f = = = - 0.175 AB 214.00 221.00 f = 100° EVALUAR: Para verificar el resultado, observe que el producto escalar S S A # B es negativo, lo cual significa que f está entre 90° y 180° (véase la figura 1.26), que concuerda con nuestra respuesta. 23 1.10 Productos de vectores Producto vectorial S S El productoS vectorial de dos vectores A y B, también llamado producto cruz, se S denota con A : B. Como su nombre lo indica, el producto vectorial es un vector en sí mismo. Usaremos este producto en el capítulo 10 para describir la torca y la cantidad de movimiento angular; en los capítulos 27 y 28 (volumen 2) lo emplearemos para describir campos magnéticos y fuerzas. S S S Para definir el producto vectorial A : B, dibujamos de nuevo los dos vectores A S y B con sus colas en el mismo punto (figura 1.29a). Así, los dos vectores están en un plano. Definimos el producto vectorial como una cantidad vectorial con dirección S S perpendicular a este plano (es decir, perpendicular tanto a como a y una magniA B ) S S S tud igual a AB sen f. Esto es, si C ⴝ A : B, entonces, C = AB sen f S S (magnitud del producto vectorial (cruz) de A y B) S (1.22) S Medimos el ángulo f de A hacia B tomando el más pequeño de los dos ángulos posibles, de manera que f está entre 0° y 180°. Por lo tanto, sen f Ú 0 y C en la ecuación (1.22) nunca es negativo, como corresponde a una magnitud vectorial. Observe tamS S bién que cuando A y B son paralelos o antiparalelos, f = 0° o 180°, y C = 0. Es decir, el producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos siempre es cero. En particular, el producto vectorial de un vector consigo mismo es cero. S S 1.29 a) El producto vectorial A : B determinado por la regla de la mano derecha. S S S S b) B : A ⴝ ⴚA : B; el producto vectorial es anticonmutativo. a) Uso de la regla de laSmanoS derecha para obtener la dirección de A 3 B S S 1 Coloque los vectores A y B cola con cola. 2 Apunte los dedos de su mano S derecha hacia A con la palma S enfrente de B. 3 Gire los dedos hacia B. A 4 El pulgar apunta hacia la S dirección S de A 3 B. f S S S S S S A3B S S B S b) B 3 A 5 2A 3 B (el producto vectorial es anticonmutativo) S A f S CUIDADO Producto vectorial contra producto escalar Tenga cuidado de no confundir la expreS S sión AB sen f de la magnitud del producto vectorial A : B con la expresión similar AB cos f S S del producto escalar A # S ver la diferencia entre estas dos expresiones, suponga que B. Para S S variamos el ángulo entre y a la vez que mantenemos constantes sus magnitudes. Cuando A A B S y B son paralelos,S la Smagnitud del producto vectorial será cero y el producto escalar será el máximo. Cuando A y B son perpendiculares, la magnitud del producto vectorial será la máxima y el producto escalar será cero. Siempre hay dos direcciones perpendiculares a un plano dado, una a cada lado del S S plano. Elegimos cuál Sde estas es la dirección de A : B como sigue. Imagine que S hace girar el vector A alrededor de la SlíneaS perpendicular hasta alinearlo con B, eligiendo el ángulo más pequeño entre A y B. Gire los dedos de su mano derecha alrededor de la perpendicular, con las puntas de los dedos señalando en la dirección S S de la rotación; entonces, el pulgar señalará la dirección de A : B. Esta regla de la mano derecha se ilustra en la figura 1.29a y describe una segunda manera de visualizar esta regla. S S S S De manera análoga, determinamos la dirección de B : A girando hacia A B S S como en la figura 1.29b. El resultado es un vector opuesto al vector A : B. ¡El proS S ducto vectorial no es conmutativo! De hecho, para dos vectores A y B cualesquiera, S S S S A : B ⴝ ⴚB : A Cálculo del producto vectorial usando componentes S Igual magnitud pero dirección opuesta. S S B3A 1.30 Cálculo de la magnitud AB sen f del S S producto de dos vectores, A : B. a) S S (La magnitud de A ⴛ B) es igual a A(B sen f). S (La magnitud de A) S multiplicada por (la componente deSB perpendicular a A) S (1.23) Como hicimos con el producto escalar, podemos interpretar geométricamente la magnitud del producto vectorial. En la figura 1.30a, B S sen f es la componente del S vector B que Ses perpendicular a la dirección del vector . Por la ecuación (1.22), la A S S magnitud de es igual a la magnitud de multiplicada porSla componente de A : B A S S S también es B perpendicular a A. LaSfigura 1.30b muestra que la magnitud de A : B S S igual a la magnitud de B multiplicada por la componente de A perpendicular a B. Observe que la figura 1.30 ilustra el caso en que f está entre 0° y 90°; usted debería dibujar un diagrama similar para f entre 90° y 180°, con la finalidad de Scomprobar S que es válida la misma interpretación geométrica de la magnitud de A : B. S B Si conocemos las componentes de A y B, podemos calcular las componentes del producto vectorial usando un procedimiento similar al del producto escalar. Primero deducimos la tabla de multiplicación de los vectores unitarios nı , n≥ y kN , los cuales son B f B sen f S A b) S S (La magnitud de A ⴛ B) también es igual a B(A sen f). S (La magnitud de B) S multiplicada por (la componente deSA perpendicular a B) A sen f S B f S A 24 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.31 a) Siempre utilizaremos un sistema de coordenadas de mano derecha, como este. b) Nunca usaremos un sistema de coordenadas de mano izquierda (donde Nı : ≥N ⴝ ⴚ kN , etcétera). mutuamente perpendiculares (figura 1.31a). El producto vectorial de cualquier vector consigo mismo es cero, así que a) Sistema de coordenadas de mano derecha: El cero en negritas nos recuerda que cada producto es un vector cero; es decir, uno con todas sus componentes iguales a cero y con dirección indefinida. Usando las ecuaciones (1.22) y (1.23), y la regla de la mano derecha, tenemos y nı : nı ⴝ n≥ : n≥ ⴝ kN : kN ⴝ 0 i^ ⴛ j^ 5 k^ j^ ⴛ k^ 5 i^ k^ ⴛ i^ 5 j^ j^ nı : n≥ ⴝ ⴚ n≥ : nı ⴝ kN n≥ : kN ⴝ ⴚkN : n≥ ⴝ nı O k^ i^ kN : nı ⴝ ⴚ nı : kN ⴝ n≥ x z b) Sistema de coordenadas de mano izquierda; no lo usaremos aquí. y j^ Podrá verificar estas ecuaciones observando la figura 1.31a. S S Ahora expresamos A y B en términos de sus componentes y los vectores unitarios correspondientes, y ampliamos la expresión del producto vectorial: S S A : B ⴝ 1Ax nı ⴙ Ay n≥ ⴙ Az kN 2 : 1Bx nı ⴙ By n≥ ⴙ Bz kN 2 ⴝ Ax nı : Bx nı ⴙ Ax nı : By n≥ ⴙ Ax nı : Bz kN z ⴙ Ay n≥ : Bx nı ⴙ Ay n≥ : By n≥ ⴙ Ay n≥ : Bz kN k^ O i^ (1.24) (1.25) ⴙ Az kN : Bx nı ⴙ Az kN : By n≥ ⴙ Az kN : Bz kN x También podemos rescribir los términos individuales en la ecuación (1.25) como Ax nı : By n≥ ⴝ 1Ax By2 nı : n≥ , etcétera. Evaluamos esto usando la tabla de multiplicar de los vectores unitarios en las ecuaciones (1.24) y luego agrupamos términos para obtener S S A : B ⴝ 1Ay Bz - Az By2 nı ⴙ 1Az Bx - Ax Bz2 n≥ ⴙ 1Ax By - Ay Bx2kN S S (1.26) S Por lo tanto, las componentes de C ⴝ A : B están dadas por Cx = Ay Bz - Az By Cy = Az Bx - Ax Bz S S Cz = Ax By - Ay Bx S 1componentes de C ⴝ A : B2 (1.27) El producto vectorial también puede expresarse en forma de determinante: nı 3 A : B ⴝ Ax Bx S S n≥ Ay By kN Az 3 Bz Si usted no está familiarizado con determinantes, omita el estudio de esta forma. Si invertimos la dirección del eje z en el sistema de ejes de la figura 1.31a, obtenemos el sistema de la figura 1.31b. Aquí, como podrá comprobar el lector, la definición del producto vectorial da nı : n≥ ⴝ ⴚkN en vez de nı : n≥ ⴝ kN . De hecho, todos los productos vectoriales de nı , n≥ y kN tendrían signos opuestos a los de las ecuaciones (1.24). Vemos que hay dos tipos de sistemas de coordenadas, que difieren en los signos de los productos vectoriales de los vectores unitarios. En un sistema de ejes en el cual nı : n≥ ⴝ kN , como en la figura 1.31a, se conoce como sistema de mano derecha. Lo usual es utilizar solo sistemas de mano derecha, algo que haremos a lo largo de este libro. 1.10 Productos de vectores Ejemplo 1.12 Cálculo de un producto vectorial S El vector A tiene una magnitud de 6 unidades y está sobre el eje +x. S B tiene una magnitud de 4 unidades y está en el plano xy formando un ángulo de 30° con el eje +x (figura 1.32). Calcule el producto vectoS S S rial C ⴝ A : B. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Obtendremos el producto vectorial de dos maneras, lo cual nos ayudará a hacer la verificación de nuestro resultado. Primero usaremos la ecuación (1.22) y la regla de la mano derecha; luego, usaremos las ecuaciones (1.27) para obtener el producto vectorial usando las componentes. S S S S S EJECUTAR: Por la ecuación (1.22), la magnitud del producto vectorial es AB sen f = 1621421sen 30°2 = 12 S C ⴝ A : B ⴝ 12kN . Para usarSlas Secuaciones (1.27), primero determinamos las componentes de A y B: Ax = 6 Ay = 0 Az = 0 Bx = 4 cos 30° = 2 23 By = 4 sen 30° = 2 Bz = 0 Cx = 102102 - 102122 = 0 y Cy = 10212 232 - 162102 = 0 Cz = 162122 - 10212 232 = 12 S B O S De acuerdo con la regla de la mano derecha, A : B tiene la dirección del ejeS +z (la dirección del vector unitario kN ), por lo tanto, S S Luego, las ecuaciones (1.27) nos dan 1.32 Vectores A y B y su producto vectorial C ⴝ A : B. S El vector B está en el plano xy. S Nuevamente tenemos que C ⴝ 12kN . f 5 30° S A EVALUAR: Ambos métodos dan el mismo resultado. Dependiendo de la situación, uno u otro enfoque será más conveniente. x S z 25 C S EvalúeS su comprensión de la sección 1.10 ElSvector A tiene magnitud 2 y el S vector B tiene magnitud 3. Se sabe que el ángulo f entre A y B es 0°, 90° o 180°. Para cada una de las siguientes situaciones, determine cuálSdebe ser el valor de Sf. (En cadaS situación S S S # puede haber más de una respuesta correcta). a) b) A B = 0; A : B ⴝ 0; c) A # B = 6; S S S S d) A # B = - 6; e) (Magnitud de A : B) = 6. 1 Video Tutor Solutions CAPÍTULO RESUMEN Cantidades y unidades físicas: Las tres cantidades físicas fundamentales son masa, longitud y tiempo. Las unidades básicas correspondientes del SI son el kilogramo, el metro y el segundo. Las unidades derivadas para otras cantidades físicas son productos o cocientes de las unidades básicas. Las ecuaciones deben ser dimensionalmente congruentes; dos términos solo se pueden sumar cuando tienen las mismas unidades. (Véase los ejemplos 1.1 y 1.2). Cifras significativas: La exactitud de una medición se indica con el número de cifras significativas o estableciendo un nivel de incertidumbre. El resultado de un cálculo no suele tener más cifras significativas que los datos de entrada. Cuando solo disponemos de estimaciones burdas como datos de entrada, podemos estimar el orden de la magnitud del resultado. (Véase los ejemplos 1.3 y 1.4). Cifras significativas en magenta C 0.424 m 5 5 3.14 2r 2(0.06750 m) p5 123.62 1 8.9 5 132.5 Escalares, vectores y suma de vectores: Las cantidades escalares son números y se combinan mediante las reglas habituales de la aritmética. Las cantidades vectoriales tienen tanto dirección como magnitud, y se combinan según las reglas de la suma vectorial. El negativo de un vector tiene la misma magnitud que este pero apunta en la dirección opuesta. (Véase el ejemplo 1.5). Componentes de vectores y suma de vectores: La suma vectorial puede efectuarse con las Scomponentes de S S los vectores. La componente x de es la suma R ⴝ A ⴙ B S S de las componentes x de A y B, y las componentes y y z se obtienen de forma análoga. (Véase los ejemplos 1.6 a 1.8). Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By Rz = Az + Bz S S 1 A S 5 B S A1B S A S B y S (1.10) R By S B Ry S Ay A O Ax x Bx Rx Vectores unitarios: Los vectores unitarios señalan direcciones en el espacio y tienen magnitud 1, sin unidades. Los vectores unitarios Nı, n≥ y kN , alineados con los ejes x, y y z de un sistema de coordenadas rectangular, tienen especial utilidad. (Véase el ejemplo 1.9). Producto Sescalar: El producto escalar C = A # B de dos S vectores A y B es una cantidad escalar. Se puede expresar S S en términos de las magnitudes de A y B y el ánguloSf que S forman, o bien, en términos de las componentes de A y B. S S S S El producto escalar es conmutativo; A # B ⴝ B # A. El producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero. (Véase los ejemplos 1.10 y 1.11). S S S S S C ⴝ A : B de Producto vectorial: El producto vectorial S S S dos vectores A y B es otro vector C, cuya magnitud S S depende de las magnitudes de A y B así como del ángulo f S S entre los dos vectores. La dirección de A : B es perpendicular al plano de los dos vectores multiplicados, según la regla de laS mano derecha. Las componentes de S S expresar en términos de las C ⴝ A : B se pueden S S componentes de y El producto vectorial no es B A . S S S S conmutativo; A : B ⴝ ⴚ B : A. El producto vectorial de dos vectores paralelos o antiparalelos es cero. (Véase el ejemplo 1.12). 26 S A ⴝ Ax nı ⴙ Ay n≥ ⴙ Az kN (1.16) y Ay j^ S A 5 Ax i^ 1 Ay j^ j^ O A # B = AB cos f = ƒ A ƒ ƒ B ƒ cos f (1.18) S S S S A # B = Ax Bx + Ay By + Az Bz S S i^ x Ax i^ Producto escalar A # B 5 AB cos f S S S (1.21) B f S A C = AB sen f (1.22) Cx = Ay Bz - Az By Cy = Az Bx - Ax Bz Cz = Ax By - Ay Bx S S S A ⴛ B es perpendicular S S al plano de A y B. S AⴛB (1.27) S S f B A S S (Magnitud de A ⴛ B) 5 AB sen f Preguntas para análisis PROBLEMA PRÁCTICO 27 Vectores en el techo Una unidad de aire acondicionado está sujeta a un techo inclinado a un ángulo de 35° en relación con la horizontal (figura 1.33). Su peso actúa como una fuerza sobre la unidad en dirección vertical hacia abajo. Con el propósito de que la unidad no aplaste las baldosas del tejado, la componente del peso perpendicular al techo no debe ser mayor de 425 N (un Newton, o 1 N, es la unidad de fuerza en el sistema SI, y es igual a 0.2248 lb). a) ¿Cuál es el peso máximo permitido de la unidad? b) Si los sujetadores fallan, la unidad se deslizará 1.50 m a lo largo del techo antes de que se detenga contra la cornisa. ¿Qué cantidad de trabajo hace la fuerza del peso sobre la unidad durante el deslizamiento si la unidad tiene el peso calculado en el inciso a)? Como se describió en la sección 1.10, el trabajo realizado por una S S fuerzaSF sobre un objeto que experimenta un desplazamiento s es 1.33 Unidad de aire acondicionado sobre un techo inclinado. 1.50 m S F 35° W = F # s. S GUÍA DE SOLUCIÓN Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar una solución con Video Tutor. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Este problema implica vectores y sus componentes. ¿Cuáles son las cantidades conocidas? ¿Qué aspecto(s) del vector peso (magnitud, dirección y/o determinadas componentes) representa la incógnita del inciso a)? ¿Qué aspectos debe conocer para resolver el inciso b)? 2. Elabore un dibujo con base en la figura 1.33. Agregue los ejes x y y eligiendo la dirección positiva de cada uno. Sus ejes no tienen que ser horizontal y vertical, pero tienen que ser perpendiculares entre sí. Elija la opción más conveniente. 3. Elija las ecuaciones que utilizará para determinar las incógnitas. EJECUTAR 4. Use la relación entre la magnitud y dirección de un vector y sus componentes para despejar la incógnita del inciso a). Tenga cui- Problemas dado: ¿El ángulo de 35° es el adecuado para usarlo en la ecuación? (Sugerencia: Revise su dibujo). 5. Asegúrese de que su respuesta tenga el número correcto de cifras significativas. 6. Use la definición de producto escalar para despejar la incógnita en el inciso b). Una vez más, asegúrese de usar el número correcto de cifras significativas. EVALUAR 7. ¿Su respuesta del inciso a) incluye una componente cuyo valor absoluto es mayor que la magnitud del vector? ¿Es esto razonable? 8. Hay dos maneras de obtener el producto escalar de dos vectores, una de las cuales se usó para resolver el inciso b). Verifique su respuesta realizando el cálculo de la otra manera. ¿Se obtiene la misma respuesta? Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com . , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas. PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P1.1 ¿Cuántos experimentos correctos necesitamos para refutar una teoría? ¿Y para demostrarla? Explique su respuesta. P1.2 Una guía indica que, en una montaña, la pendiente de una vereda es de 120 metros por kilómetro. ¿Cómo expresaría esto con un número sin unidades? P1.3 Suponga que se le pide calcular la tangente de 5.00 metros. ¿Es esto posible? ¿Por qué? P1.4 Un contratista de carreteras dice que, al construir la cubierta de un puente, vació 250 yardas de concreto. ¿A qué cree usted que se refería el contratista? P1.5 ¿Qué estatura tiene usted en centímetros? ¿Cuál es su peso en newtons? P1.6 En Estados Unidos el National Institute of Standards and Technology (NIST) tiene varias copias exactas del kilogramo estándar interna- cional. A pesar de una cuidadosa limpieza, estos estándares nacionales aumentan de masa a razón de 1 mg/año en promedio, cuando se comparan cada 10 años aproximadamente con el kilogramo estándar internacional. ¿Es importante este cambio evidente? Explique su respuesta. P1.7 ¿Qué fenómenos físicos (además de un péndulo o un reloj de cesio) servirían para definir un estándar de tiempo? P1.8 Describa cómo podría medir el espesor de una hoja de papel con una regla común. P1.9 La cantidad p = 3.14159… no tiene dimensiones, ya que es un cociente de dos longitudes. Describa otras dos o tres cantidades geométricas o físicas adimensionales. P1.10 ¿Cuáles son las unidades de volumen? Suponga que otro estudiante le dice que un cilindro de radio r y altura h tiene un volumen dado por pr3h. Explique por qué esto no es correcto. 28 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores P1.11 Cada uno de tres arqueros dispara cuatro flechas hacia un blanco. Las cuatro flechas de Joe quedan: 10 cm arriba, 10 cm abajo, 10 cm a la izquierda y 10 cm a la derecha del centro del blanco. Las cuatro flechas de Moe quedan a menos de 1 cm de un punto que está a 20 cm del centro. Y las cuatro flechas de Flo quedan a menos de 1 cm del centro del blanco. El juez del concurso dice que uno de los arqueros es preciso pero no exacto, otro es exacto pero no es preciso, y el tercero es exacto y preciso. ¿Cuál descripción corresponde a cada arquero? Explique su razonamiento. P1.12 Una pista de carreras circular tiene un radio de 500 m. ¿Cuál es el desplazamiento de un ciclista que sigue la pista del extremo norte al extremo sur? ¿Y cuando da una vuelta completa? Explique su razonamiento. P1.13 ¿Puede usted encontrar dos vectores de diferente longitud que sumados den cero? ¿Qué restricciones de longitud son necesarias para que tres vectores tengan una resultante cero? Explique su razonamiento. P1.14 A veces hablamos de la “dirección del tiempo”, del pasado al futuro. ¿Eso significa que el tiempo es un vector? Explique su razonamiento. P1.15 Los controladores de tráfico aéreo dan instrucciones a los pilotos de la dirección hacia donde deben volar. Tales instrucciones se denominan “vectores”. Si estas son las únicas instrucciones que se dan, ¿se está usando correctamente el término “vector”? ¿Por qué? P1.16 ¿Puede encontrar un vector de magnitud cero cuyas componentes sean distintas de cero? Explique su respuesta. ¿La magnitud de un vector puede ser menor que la magnitud de cualquiera de sus componentes? Explique su respuesta. P1.17 a) ¿Tiene sentido decir que un vector es negativo? ¿Por qué? b) ¿Tiene sentido decir que un vector es el negativo de otro? ¿Por qué? ¿Esta respuesta contradice lo que contestó en el inciso a)? S S S S S S P1.18 Si C es la suma vectorial de A y B, C ⴝ A ⴙ B, ¿qué deberá S S ser cierto acerca de las direcciones y magnitudes de A y B si deberá ser cierto acerca de las direcciones y magC = A + SB? ¿Qué S nitudes de A y B si C = 0? S S S S P1.19 Si A y B son vectores distintos de cero, ¿es posible que A # B y S S A : B sean ambos cero? Explique su respuesta. S S P1.20 ¿Qué resultaS de AS# A, el producto escalar de un vector consigo mismo? ¿Y de A : A, el producto vectorial de un vector consigo mismo? S S P1.21 Sea A cualquier vector distinto de cero. ¿Por qué AS > A es un A vector unitario y qué dirección tiene? Si u es el ángulo entre y el eje S +x, explique por qué 1A > A2 # Nı se llama el coseno director de dicho eje. P1.22 Indique Scuáles de S las siguientes son operaciones matemáticas S S S S S S S correctas: a) A # 1B ⴚ C2; b) 1A ⴚ B2 : C; c) A # 1B : C2; d) A : 1B : C2; e) A : 1B # C2? En cada caso, justifique su respuesta. S S S P1.23 Considere los dos productos vectoriales A : 1B : C2 S S S y 1A : B2 : C. Dé un ejemplo que ilustre la regla general de que estos dos productos vectoriales no tienenS la misma magnitud o direcS S ción. ¿Puede elegir los vectores A, B y C de modo que esos dos productos vectoriales sí sean iguales? Si es así, dé un ejemplo. S S P1.24 Demuestre que, sin importar lo que sean A y B, S S S A # 1A : B2 = 0. (Sugerencia: No busque una demostración matemática compleja. Más bien, revise la definición de la dirección del producto cruz). S S P1.25 a) Si A # B = 0, ¿necesariamente se concluye que A = 0 o que S S B = 0? Explique su respuesta. b) Si A : B ⴝ 0, ¿necesariamente se concluye que A = 0 o que B = 0? Explique su respuesta. S P1.26 Si A ⴝ 0 para un vector en el plano xy, ¿se concluye que Ax = -Ay? ¿Qué podría decir acerca de Ax y de Ay? S S S S S S EJERCICIOS Sección 1.3 Estándares y unidades Sección 1.4 Consistencia y conversiones de unidades 1.1 . A partir de la definición 1 in = 2.54 cm, determine a) cuántos kilómetros hay en 1.00 milla y b) cuántos pies hay en 1.00 km. 1.2 .. Según la etiqueta de un frasco de aderezo para ensalada, el volumen del contenido es 0.473 litros (L). Use solo las conversiones 1 L = 1000 cm3 y 1 in = 2.54 cm para expresar dicho volumen en pulgadas cúbicas. 1.3 .. ¿Cuántos nanosegundos tarda la luz en viajar 1.00 ft en el vacío? (Este resultado es una cantidad útil de recordar). 1.4 .. La densidad del oro es de 19.3 g兾cm3. ¿Cuál es su equivalencia en kilogramos por metro cúbico? 1.5 . El motor más potente que había para el automóvil clásico Chevrolet Corvette Sting Ray modelo 1963 desarrollaba 360 caballos de fuerza y tenía un desplazamiento de 327 pulgadas cúbicas. Exprese este desplazamiento en litros (L) usando solo las conversiones 1 L = 1000 cm3 y 1 in = 2.54 cm. 1.6 .. Un campo cuadrado que mide 100.0 m por 100.0 m tiene un área de 1.00 hectárea. Un acre tiene un área de 43,600 ft2. Si un campo tiene un área de 12.0 acres, ¿cuál es su equivalencia en hectáreas? 1.7 . ¿Cuántos años más tendrá usted dentro de 1.00 mil millones de segundos? (Suponga que un año tiene 365 días). 1.8 . Mientras va conduciendo en un país extranjero, observa un letrero que indica el límite de velocidad en una carretera como 180,000 estadios (furlongs) por quincena. ¿Cuánto es esto en millas por hora? 1 (Un furlong es 8 de milla, y una quincena equivale a 14 días. Originalmente, el estadio se refería a la longitud de un surco arado). 1.9 . Cierto automóvil híbrido que consume poco combustible tiene un rendimiento de gasolina de 55.0 mpg (millas por galón). a) Si usted va manejando dicho auto en Europa y quiere comparar su rendimiento con el de otros autos europeos, exprese tal rendimiento en km兾L (L = litro). Utilice los factores de conversión del apéndice E. b) Si el depósito de gasolina de este automóvil tiene una capacidad de 45 L, ¿cuántas veces deberá llenar el depósito de gasolina para conducir 1500 km? 1.10 . Las conversiones que siguen son comunes en física, además de muy útiles. a) Use 1 mi = 5280 ft y 1 h = 3600 s para convertir 60 mph a unidades de ft兾s. b) La aceleración de un objeto en caída libre es de 32 ft兾s2. Use 1 ft = 30.48 cm para expresar esta aceleración en unidades de m兾s2. c) La densidad del agua es de 1.0 g兾cm3. Convierta esta densidad a unidades de kg兾m3. 1.11 .. Neptunio. En el otoño de 2002, un grupo de científicos de Los Alamos National Laboratory determinó que la masa crítica del neptunio 237 es de unos 60 kg. La masa crítica de un material fisionable es la cantidad mínima que debe reunirse para iniciar una reacción en cadena. Este elemento tiene una densidad de 19.5 g兾cm3. ¿Cuál será el radio de una esfera de este material que tiene dicha masa crítica? 1.12 . BIO a) La dosis diaria recomendada (RDA, por las siglas de recommended daily allowance) del metal traza magnesio es de 410 mg兾día para los hombres. Exprese esta cantidad en mg兾día. b) La RDA del aminoácido lisina es de 12 mg por kg de peso corporal. ¿Cuántos gramos diarios debe recibir un adulto de 75 kg de peso? c) Una tableta multivitamínica típica contiene 2.0 mg de vitamina B2 (riboflavina) y la RDA recomendada es de 0.0030 g兾día. ¿Cuántas de estas tabletas debe tomar a diario una persona para obtener la cantidad adecuada de esta vitamina, suponiendo que no tiene ninguna otra fuente de abasto? d ) La RDA para el elemento traza selenio es de 0.000070 g兾día. Exprese esta dosis en mg/día. Sección 1.5 Incertidumbre y cifras significativas 1.13 .. La figura 1.7 muestra el resultado de un error inaceptable en el punto de parada de un tren. a) Si un tren viaja 890 km de Berlín a París Ejercicios 29 y luego rebasa el fin de la vía 10 m, ¿cuál será el error de aproximación en la distancia total recorrida? b) ¿Sería correcto escribir la distancia total recorrida por el tren como 890,010 m? Explique su respuesta. 1.14 . Con una regla graduada de madera, usted determina que un trozo rectangular de lámina mide 12 mm de longitud; por otro lado, usa un micrómetro para medir el ancho del trozo y obtiene 5.98 mm. Conteste las siguientes preguntas con las cifras significativas correctas. a) ¿Qué área tiene el rectángulo? b) ¿Qué razón ancho/largo tiene el rectángulo? c) ¿Qué perímetro tiene el rectángulo? d) ¿Cuál es la diferencia entre la longitud y la anchura? e) ¿Cuál es la razón longitud/ anchura? 1.15 .. Un valor de aproximación útil y fácil de recordar para el número de segundos en un año es p * 107. Determine el error de aproximación en este valor. (Hay 365.24 días en un año). Figura E1.27 Sección 1.6 Estimaciones y órdenes de magnitud S S 1.28 .. Con los vectores A y B Figura E1.28 de la figura E1.28, use un dibujo a y r escala para obtener la magnitud y B (15.0 m) la dirección de a) la suma vectorial S S S S A ⴙ B y b) la diferencia A ⴚ B. r Con base en sus respuestas, deter30.0° D (10.0 m) mine la magnitud y la dirección de S S S S 53.0° c) ⴚ A ⴚ B y d) B ⴚ A. (El ejercicio 1.35 enfoca el problema de x otra manera). O 25.0° 1.29 .. Un espeleólogo está exr plorando una cueva y sigue un r C (12.0 m) A (8.00 m) pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45° al este del sur, y después 280 m 30° al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento sin medir, vuelve al punto inicial. Con un diagrama a escala, determine la magnitud y la dirección del cuarto desplazamiento. (El problema 1.69 enfoca de manera distinta este problema). 1.16 . ¿Cuántos galones de gasolina se consumen en Estados Unidos en un día? Suponga que hay dos automóviles por cada tres personas, que cada auto recorre en promedio 10,000 millas por año, y que el auto promedio rinde 20 millas por galón. 1.17 .. BIO Un hombre más bien ordinario de mediana edad está en el hospital para realizarse un chequeo de rutina. La enfermera escribe la cantidad de 200 en el expediente médico, pero olvida anotar las unidades. ¿Cuál de las siguientes cantidades sería posible que representaran ese valor de 200? a) Su masa en kilogramos; b) su estatura en metros; c) su estatura en centímetros; d) su estatura en milímetros; e) su edad en meses. 1.18 . ¿Cuántas semillas de maíz se necesitan para llenar una botella de bebida gaseosa de 2 L? 1.19 . ¿Cuántas palabras hay en este libro? 1.20 . BIO Cuatro astronautas están en una estación espacial esférica. a) Si, como suele ocurrir, cada uno de ellos inhala cerca de 500 cm3 de aire en cada respiración, ¿aproximadamente qué volumen de aire (en metros cúbicos) respiran estos astronautas en un año? b) ¿Qué diámetro (en metros) debería tener la estación espacial para contener todo este aire? 1.21 . BIO ¿Cuántas veces parpadea un ser humano común durante toda su vida? 1.22 . BIO ¿Cuántas veces late el corazón de una persona en su vida? ¿Cuántos galones de sangre bombea? (Estime que el corazón bombea 50 cm3 de sangre en cada latido). 1.23 . En la ópera El anillo de los Nibelungos, de Wagner, la diosa Freya es rescatada con una pila de oro con la altura y anchura suficientes para ocultarla. Estime el valor monetario de esta pila. La densidad del oro es de 19.3 g兾cm3, y su valor es aproximadamente de $10 por gramo (aunque esto varía). 1.24 . Usted utiliza agua para diluir cantidades pequeñas de sustancias químicas en el laboratorio, gota a gota. ¿Cuántas gotas de agua hay en una botella de 1.0 L? (Sugerencia: Comience por calcular el diámetro de una gota de agua). 1.25 . ¿Cuántas pizzas consumen los estudiantes de su escuela cada año escolar? Sección 1.7 Vectores y suma de vectores 1.26 .. Al oír el cascabel de una serpiente, usted realiza dos desplazamientos rápidos de 1.8 m y 2.4 m. Realice dibujos (a escala aproximada) que muestren cómo tales desplazamientos podrían dar una resultante de magnitud a) 4.2 m, b) 0.6 m, c) 3.0 m. 1.27 .. Un empleado del servicio postal conduce su camión por la ruta de la figura E1.27. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante dibujando un diagrama a escala. (Véase el ejercicio 1.34 donde se enfoca de otra manera este problema). 3. 1 km FINAL 45° 2.6 km 4.0 km N O Sección 1.8 Componentes de vectores E S INICIO S 1.30 .. Sea el ángulo u el que forma el vector A con el eje +x, medido en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el ángulo u para un vector que tiene las siguientes componentes: a) Ax = 2.00 m, Ay = -1.00 m; b) Ax = 2.00 m, Ay = 1.00 m; c) Ax = -2.00 m, Ay = 1.00 m; d) Ax = -2.00 m, Ay = -1.00 m. S S S S 1.31 . Calcule las componentes x y y de los vectores A, B, C y D de la figura E1.28. S 1.32 . El vector A tiene una direcciónS de 34.0° en sentido horario a partir del eje -y. La Scomponente x de A es Ax = -16.0 m. a) ¿Cuál es S la componente y de A? b) ¿Cuál es la magnitud de A? S S 1.33 . El vector A tiene una componente y Ay = +13.0 m. A tiene un ángulo de 32.0° en S sentido antihorario a partir del Seje +y. a) ¿Cuál es la componente x de A? b) ¿Cuál es la magnitud de A? 1.34 .. Un empleado del servicio postal conduce su camión por la ruta de la figura E1.27. Use el método de componentes para determinar la magnitud y la dirección de su desplazamiento resultante. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de componentes. S S 1.35 . Para los vectores A y B de la figura E1.28, use el método de componentes para obtener la magnitudSy la Sdirección de a) la suma S S vectorial A ⴙ B; b) la suma vectorial B ⴙ A; c) la diferencia vectoS S S S rial A ⴚ B; d) la diferencia vectorial B ⴚ A. 1.36 . Calcule la magnitud y la dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax = -8.60 cm, Ay = 5.20 cm; b) Ax = -9.70 m, Ay = -2.45 m; c) Ax = 7.75 km, Ay = -2.70 km. 30 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.37 .. Un profesor de física desorientado conduce 3.25 km al norte, 2.90 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante, usando el método de componentes. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de componentes. 1.38 .. En un plano vertical, dos cuerdas ejercen fuerzas de igual magnitud sobre un peso colgante, pero tiran con un ángulo de 86.0° entre sí. ¿Qué tirón ejerce cada cuerda si el tirón resultante es de 372 N directamente hacia arriba? S 1.39 .. El vector A mide 2.80 cm Figura E1.39 y está 60.0° sobre el eje xS en el y primer cuadrante. El vector B mide S 1.90 cm y está 60.0° bajo el eje x en A (2.80 cm) el cuarto cuadrante (figura E1.39). Utilice las componentes para obtenerSla magnitud y laS dirección de S S S S 60.0° a) A ⴙ B; b) A ⴚ B; c) B ⴚ A. x O 60.0° En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores, y demuestre que sus S B (1.90 cm) respuestas numéricas concuerdan cualitativamente con el dibujo. Sección 1.9 Vectores unitarios S 1.40S . En cada caso, obtenga las componentes x y Sy del vector A: S a) A ⴝ 5.0 nı ⴚ 6.3 n≥ ; b) A ⴝ 11.2 n≥ ⴚ 9.91 nı ; c) A ⴝ -15.0 nı ⴙ S S 22.4 n≥ ; d) A ⴝ 5.0BN , donde B ⴝ 4 nı ⴚ 6 n≥ . 1.41 .. Escriba cada uno de los vectores de la figura E1.28 en términos de los vectores unitarios nı y n≥ . .. S S Dados dos vectores A ⴝ 4.00 nı ⴙ 7.00 n≥ y B ⴝ 5.00 nı ⴚ n 2.00 ≥ , a) calcule las magnitudes de cada uno; b) escriba una expresión S S para A ⴚ B usando vectores unitarios; c) obtenga la magnitud y la S S dirección de la diferencia A ⴚ B. d) Dibuje un diagrama vectorial que S S S S muestre A, B y A ⴚ B, y demuestre que su diagrama coincide cualitativamente con su respuesta del inciso c). 1.43 .. a) Escriba cada uno de los vectores de la figura E1.43 en Figura E1.43 términos de los vectores unitarios nı y y n≥ . b) Utilice vectores unitarios r S A (3.60 m) para expresar el vector C, donde S S S C ⴝ 3.00A ⴚ 4.00B. c) Determine la magnitud y la dirección S 70.0° de C. x 1.44 .. a) ¿El vector 1 nı ⴙ n≥ ⴙ O 30.0° Nk2 es unitario? Justifique su resr B (2.4 m) puesta. b) ¿Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Puede tener alguna Scomponente negativa? En cada caso, justifique su respuesta. c) Si A ⴝ a13.0 nı ⴙ 4.0 n≥ 2, S donde a es una constante, determine el valor de a que convierte a A en un vector unitario. 1.42 Sección 1.10 Productos de vectores S S S 1.45 . Para los vectores A, B y C de la figura E1.28, obtenga los S S S S S S productos escalares a) A # B; b) B # C; c) A # C. S S 1.46 .. a) Obtenga el producto escalar de los dos vectores A y B descritos en el ejercicio 1.42. b) Obtenga el ángulo entre estos dos vectores. 1.47 .. Calcule el ángulo entre estos pares de vectores: S a) A ⴝ -2.00 nı ⴙ 6.00 n≥ S y B ⴝ 2.00 nı ⴚ 3.00 n≥ S S n n b) A ⴝ 3.00 ı ⴙ 5.00 ≥ y B ⴝ 10.00 nı ⴙ 6.00 n≥ S S c) A ⴝ -4.00 nı ⴙ 2.00 n≥ y B ⴝ 7.00 nı ⴙ 14.00 n≥ S S 1.48 .. Obtenga el producto vectorial A : B (expresado en vectores unitarios) de los dos vectores del ejercicio 1.42. ¿Cuál es la magnitud del producto vectorial? S S 1.49 . Para los vectores A y D de la figura E1.28, a) obtenga la S S magnitud y la dirección del Sproducto vectorial A : D; b) calcule S la magnitud y la dirección de D : A. 1.50 . Para los dos vectores de la figura E1.39, a) obtenga la magniS S tud y la dirección del producto vectorial A : B; b) obtenga la magS S nitud y la dirección de B : AS . S 1.51 . Para los dos vectores A y B de la figura E1.43, a) obtenga el S S producto escalar A # B; b) obtenga la magnitud y dirección del proS S ducto vectorial A : B. S 1.52 . El vector A tiene 3.50 cm de longitud y está dirigido hacia S esta página. El vector B apunta de la esquina inferior derecha de esta página a la esquina superior izquierda. Defina un sistema de coordenadas adecuado de S manoSderecha, y obtenga las tres componentes del producto vectorial A : B, medido en cm2. Muestre en un diagrama S S S S su sistema de coordenadas y los vectores A, B y A : B. S . Dados dos vectores A ⴝ -2.00nı ⴙ 3.00 n≥ ⴙ 4.00kN y 1.53 S B ⴝ 3.00 nı ⴙ 1.00 n≥ ⴚ 3.00kN , realice lo siguiente. a) Obtenga la magnitudSde cada vector. b) Escriba una expresión para la diferencia S vectorial A ⴚ B usandoSvectores unitarios. c) Obtenga la magnitud de S S S la diferencia vectorial A ⴚ B. ¿Es la misma magnitud de B ⴚ A? Explique su respuesta. PROBLEMAS 1.54 . Un acre es una unidad de agrimensura que todavía se emplea 1 mucho, tiene una longitud de un estadio o furlong 18 de mi2 y su anchura es un décimo de su longitud. a) ¿Cuántos acres hay en una milla cuadrada? b) ¿Cuántos pies cuadrados hay en un acre? Véase el apéndice E. c) Un acre-pie es el volumen de agua que cubriría un acre de terreno plano hasta 1 ft de profundidad. ¿Cuántos galones hay en 1 acre-pie? 1.55 .. Un planeta similar a la Tierra. En enero de 2006, unos astrónomos informaron el descubrimiento de un planeta comparable en tamaño a la Tierra, el cual orbita otra estrella y tiene una masa de casi 5.5 veces la masa terrestre. Se cree que está compuesto por una mezcla de piedra y hielo, de manera similar a Neptuno. Si este planeta tiene la misma densidad que Neptuno (1.76 g/cm3), ¿cuál será su radio expresado en a) kilómetros y b) como múltiplo del radio terrestre? Consulte el apéndice F para más datos astronómicos. 1.56 .. El máser de hidrógeno. Las ondas de radio generadas por un máser de hidrógeno pueden servir como estándar de frecuencia. La frecuencia de estas ondas es de 1,420,405,751.786 hertz. (Un hertz es un ciclo por segundo). Un reloj controlado por un máser de hidrógeno tiene un error de 1 s en 100,000 años. En las siguientes preguntas, use solo tres cifras significativas. (El gran número de cifras significativas dadas para la frecuencia tan solo ilustra la notable exactitud con que se midió). a) ¿Cuánto dura un ciclo de la onda de radio? b) ¿Cuántos ciclos ocurren en 1 h? c) ¿Cuántos ciclos habrán pasado durante la edad de la Tierra, estimada en 4.6 * 109 años? d) ¿Qué error en segundos tendría un reloj de máser de hidrógeno después de un lapso semejante? 1.57 . BIO Respiración de oxígeno. La densidad del aire en condiciones estándar de laboratorio es de 1.29 kg/m3, y aproximadamente el 20% de ese aire es oxígeno. Normalmente, las personas inhalan medio litro de aire por respiración. a) ¿Cuántos gramos de oxígeno respira Problemas una persona en un día? b) Si el aire se almacena sin comprimirlo en un tanque, ¿qué longitud tiene cada lado del tanque? 1.58 ... Una lámina rectangular de aluminio tiene 7.60 ; 0.01 cm de largo y 1.90 ; 0.01 cm de ancho. a) Obtenga el área y la incertidumbre de esta para el rectángulo. b) Verifique que la incertidumbre fraccionaria del área sea igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura. (Este es un resultado general: véase el problema de desafío 1.98). 1.59 ... Conforme usted come galletas de chocolate de una bolsa, observa que cada galleta es un disco circular con un diámetro de 8.50 ; 0.02 cm y un grosor de 0.050 ; 0.005 cm. a) Obtenga el volumen promedio y su incertidumbre para una galleta. b) Obtenga la razón entre el diámetro y el grosor, así como la incertidumbre de esta razón. 1.60 . BIO Los tejidos biológicos normalmente contienen un 98% de agua. Considerando que la densidad del agua es de 1.0 * 103 kg/m3, estime la masa de a) el corazón de un ser humano adulto; b) una célula de 0.5 mm de diámetro; c) una abeja. 1.61 . BIO Estime cuántos átomos hay en su cuerpo. (Sugerencia: Con base en sus conocimientos de biología y química, ¿cuáles son los tipos de átomos más comunes en su cuerpo? ¿Qué masa tiene cada tipo? El apéndice D da la masa atómica de diversos elementos, medida en unidades de masa atómica; el valor de una unidad de masa atómica (1 u) se incluye en el apéndice E). 1.62 ... ¿Cuántos billetes de un dólar tendría que apilar para llegar hasta la Luna? ¿Eso sería más barato que construir y enviar ahí una nave espacial? (Sugerencia: Comience doblando un billete de un dólar para saber cuántos de sus espesores hacen 1.0 mm). 1.63 ... ¿Cuánto costaría tapizar todo Estados Unidos (incluyendo Alaska y Hawai) con billetes de un dólar? ¿Cuánto tendría que aportar cada estadounidense para ello? 1.64 . Estrellas en el Universo. Los astrónomos a menudo dicen que hay más estrellas en el Universo que granos de arena en todas las playas de la Tierra. a) Puesto que un grano de arena común tiene un diámetro aproximado de 0.2 mm, estime el número de granos de arena en todas las playas de la Tierra y, por lo tanto, el número aproximado de estrellas en el Universo. Sería útil consultar un atlas y hacer mediciones. b) Como una galaxia ordinaria contiene aproximadamente 100,000 millones de estrellas y hay más de 100,000 millones de galaxias en el Universo conocido, estime el número de estrellas en el Universo y compare este número con el resultado que obtuvo en el inciso a). 1.65 ... Dos trabajadores tiran horizontalmente de una caja pesada, aunque uno de ellos tira dos veces más fuerte que el otro. El tirón más fuerte se aplica 25.0° al oeste del norte, y la resultante de estos dos tirones es de 460.0 N directamente hacia el norte. Use las componentes vectoriales para calcular la magnitud de cada tirón y la dirección del tirón más débil. 1.66 .. Tres cuerdas horizontales tiran de una piedra grande ente- Figura P1.66 rrada en el suelo, produciendo los y S S S S vectores de fuerza A, B y C que B (80.0 N) S se ilustran en la figura P1.66. A (100.0 N) 30.0° Obtenga la magnitud y la dirección de una cuarta fuerza aplicada a la piedra que haga que la suma 30.0° vectorial de las cuatro fuerzas sea x O 53.0° cero. 1.67 .. Le han pedido programar S C (40.0 N) un brazo robótico de una línea de ensamble que se mueve en el pla- S S no xy. Su primer desplazamiento es A; el segundo es B, de magnitud 6.40 cm y dirección 63.0°S medida en el sentido del eje +x al eje -y. S S La resultante C ⴝ A ⴙ B de los dos desplazamientos también debe 31 tener una magnitud de 6.40 cm, pero una dirección de 22.0° medida en el sentido del eje +x al eje +y. a) Dibuje el diagrama de la suma de estos vectores, aproximadamente a escala. b) Obtenga las compoS S nentes de A. c) Obtenga la magnitud y la dirección de A. 1.68 ... Aterrizaje de emergencia. Un avión sale del aeropuerto de Galisteo y vuela 170 km en una dirección 68° al este del norte; luego, cambia el rumbo y vuela 230 km a 48° al sur del este, para efectuar inmediatamente un aterrizaje de emergencia en un potrero. ¿En qué dirección y qué distancia deberá volar una cuadrilla de rescate enviada por el aeropuerto para llegar directamente al avión averiado? 1.69 ... El espeleólogo del ejercicio 1.29 está explorando una cueva. Sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m en una dirección 45° al este del sur, y después 280 m a 30° al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento sin medir, vuelve al punto inicial. Use el método de componentes para determinar la magnitud y la dirección del cuarto desplazamiento. Dibuje el diagrama de la suma vectorial y demuestre que concuerda cualitativamente con su solución numérica. S 1.70 .. a) Obtenga la magnitud y laS dirección del vector R que es S S la suma de los tres vectores A, B y C de la figura E1.28. En un diaS grama, muestre cómo se forma R a partir deS los tres vectores. b) ObS S S tenga la magnitud y la dirección del vector En un S = C A B . S diagrama, muestre cómo se forma S a partir de los tres vectores. 1.71 .. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 480 N directamente hacia delante; mientras que el otro da un empuje de 513 N, 32.4° arriba de la dirección hacia delante. Obtenga la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete. 1.72 .. Un marinero en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Navega 2.00 km al este, luego 3.50 km al sureste y después otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5.80 km directamente al este del punto inicial (figura P1.72). Determine la magnitud y la dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vectorial y demuestre que concuerda cualitativamente con su solución numérica. Figura P1.72 N O E INICIO DESTINO 5.80 km S 45.0° 2.00 km 3.50 km Tercer tramo 1.73 ... BIO Hombro dislocado. Un paciente con una luxación en un hombro es colocado en un aparato deS tracción como el que se ilusS tra en la figura P1.73. Los tirones A y B tienen magnitudes iguales y deben combinarse para producir una fuerza de tracción hacia fuera de 5.60 N. ¿De qué magnitud deben ser estos tirones? Figura P1.73 S A 32° 32° S B 32 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores 1.74 ... En un vuelo de entre- Figura P1.74 namiento, un piloto estudiante IOWA vuela de Lincoln, Nebraska, a 147 km Clarinda, Iowa; luego a Saint Clarinda Lincoln 85° Joseph, Missouri, y después a Manhattan, Kansas (figura P1.74). 106 km Las direcciones se muestran en NEBRASKA 167° relación con el norte: 0° es norte, St. Joseph 90° es este, 180° es sur y 270° es Manhattan oeste. Use el método de compo166 km nentes para calcular a) la distancia 235° N que debe volar para regresar a O E Lincoln desde Manhattan; y b) la S KANSAS MISSOURI dirección (relativa al norte) que debe seguir. Ilustre su solución con un diagrama vectorial. 1.75 .. Equilibrio. Decimos que un objeto está en equilibrio Figura P1.75 cuando todas las fuerzas sobre él Tirón de 100.0 N se estabilizan (suman cero). La figura P1.75 ilustra una viga que 30.0° S F pesa 124 N y que está apoyada en equilibrio porSun tirón de 100.0 N 40.0° y una fuerza F en el piso. La tercera fuerza sobre la viga es su peso de 124 N que actúa verticalmente hacia abajo. a) Utilice comS ponentes de vectores para encontrar la magnitud y la dirección de F. b) Verifique lo razonable de su respuesta en el inciso a) elaborando una solución gráfica aproximadamente a escala. 1.76 ... Regreso. Un explorador en las espesas junglas del África ecuatorial sale de su choza. Camina 40 pasos al noreste, 80 pasos a 60° al norte del oeste y 50 pasos al sur. Suponga que todos sus pasos tienen la misma longitud. a) Dibuje, aproximadamente a escala, los tres vectores y su resultante. b) Sálvelo de perderse irremediablemente en la jungla indicándole el desplazamiento, calculado con el método de componentes, que lo llevará de regreso a su choza. 1.77 ... Un diseñador está creando un nuevo logotipo para el sitio Web de su compañía. En el programa que está usando, cada pixel de un archivo de imagen tiene coordenadas (x, y), donde el origen (0, 0) está en la esquina superior izquierda de la imagen, el eje +x apunta a la derecha y el eje +y apunta hacia abajo. Las distancias se miden en pixeles. a) El diseñador traza una línea del punto (10, 20) al punto (210, 200). Quiere trazar una segunda línea que parta de (10, 20), tenga 250 pixeles de longitud y forme un ángulo de 30° medido en sentido horario a partir de la primera línea. ¿En qué punto debería terminar la segunda línea? Dé su respuesta al pixel más próximo. b) Ahora el diseñador traza una flecha que conecta el extremo inferior derecho de la primera línea con el extremo inferior derecho de la segunda. Determine la longitud y la dirección de esta flecha. Elabore un diagrama que muestre las tres líneas. 1.78 ... Un barco zarpa de la isla de Guam y navega 285 km a 40.0° al norte del oeste. ¿Qué rumbo deberá tomar ahora y qué distancia deberá navegar para que su desplazamiento resultante sea de 115 km directamente al este de Guam? 1.79 .. BIO Huesos y músculos. El antebrazo de un paciente en terapia pesa 20.5 N y levanta un peso de 112.0 N. Estas dos fuerzas están dirigidas verticalmente hacia abajo. Las únicas otras fuerzas apreciables que actúan sobre el antebrazo provienen del músculo bíceps (que actúa perpendicular al antebrazo) y la fuerza en el codo. Si el bíceps produce un tirón de 232 N cuando el antebrazo se alza 43° sobre la horizontal, determine la magnitud y la dirección de la fuerza que el codo ejerce sobre el antebrazo. (La suma de la fuerza del codo y la del bíceps debe equilibrar el peso del brazo y el peso que carga, así que su resultante debe ser 132.5 N hacia arriba). 1.80 ... Usted tiene hambre y decide visitar su restaurante de comida rápida preferido del vecindario. Sale de su apartamento, baja 10 pisos en el elevador (cada piso tiene 3.0 m de altura) y camina 15 m al sur hacia la salida del edificio. Luego camina 0.2 km al este, da vuelta al norte y camina 0.1 km hasta la entrada del restaurante. a) Determine el desplazamiento entre su apartamento y el restaurante. Use notación con vectores unitarios en su respuesta, dejando bien claro qué sistema de coordenadas eligió. b) ¿Qué distancia recorrió por el camino que siguió de su apartamento al restaurante y qué magnitud tiene el desplazamiento que calculó en el inciso a)? 1.81 .. Para seguir un mapa del tesoro, usted inicia en un viejo roble. Primero camina 825 m directamente al sur, luego da vuelta y camina 1.25 km a 30.0° al oeste del norte y, por último, camina 1.00 km a 40.0° al norte del este, donde usted encuentra el tesoro: ¡una biografía de Isaac Newton! a) Para regresar al viejo roble, ¿en qué dirección debería seguir y qué distancia tendrá que caminar? Utilice componentes para resolver este problema. b) Para saber si su cálculo en el inciso a) es razonable, verifíquelo con una solución gráfica elaborada aproximadamente a escala. 1.82 .. Un poste está a 52.0 m de donde usted se encuentra de pie, en una dirección 37.0º al norte del este. Un segundo poste se encuentra al sur de usted. ¿Cuál es la distancia entre el segundo poste y usted, si la distancia entre los dos postes es de 80.0 m? 1.83 .. Un perro corre en un campo 12.0 m hacia el este y luego 28.0 m a 50.0° al oeste del norte. ¿Qué distancia y en qué dirección debe correr el perro para terminar a 10.0 m al sur del punto inicial? 1.84 ... Ricardo y Jane están de pie bajo un árbol en medio de un potrero. Después sigue una discusión y se separan en direcciones diferentes. Ricardo camina 26.0 m a 60.0° al oeste del norte. Jane camina 16.0 m a 30.0° al sur del oeste. Luego se detienen y dan vuelta para verse de frente. a) ¿Cuál es la distancia entre ellos? b) En qué dirección debe caminar Ricardo para ir directamente hacia Jane? 1.85 ... John, Paul y George se detienen en un sembradío de fresas. Paul está a 14.0 m al oeste de John. George está a 36.0 m de Paul, en una dirección de 37.0° al sur del este de la ubicación de Paul. ¿A qué distancia está George de John? ¿Cuál es la dirección de George en relación con la ubicación de John? 1.86 ... Usted acampa con dos amigos, Joe y Karl. Puesto que a los tres les gusta la privacidad, no levantan sus tiendas juntas. La de Joe está a 21.0 m de la suya, en dirección 23.0° al sur del este. La de Karl está a 32.0 m de la suya, en dirección 37.0° al norte del este. ¿Qué distancia hay entre lasStiendas de Karl y de Joe? S 1.87 .. Los vectores A y B tienen un producto escalar igual a -6.00 y su producto vectorial tiene una magnitud igual a +9.00. ¿Cuál es el ángulo entre estos dos vectores? 1.88 .. Ángulo de enlace del metano. En la molécula de metano, CH4, cada átomo de hidrógeno está en la esquina de un tetraedro regular, con el átomo de carbono en el centro. En coordenadas en las que uno de los enlaces C¬H esté en la dirección de nı ⴙ n≥ ⴙ kN , un enlace C¬H adyacente está en la dirección nı ⴚ n≥ ⴚ kN . Calcule el ángulo entre estos dos enlaces. S S 1.89 .. El vector A tiene una magnitud igual a 12.0 m y el vector B S S mide 16.0 m. El producto escalar A # B es igual a 90.0 m2. ¿Cuál es la magnitud del producto vectorial de estos dos vectores? S S 1.90 .. Si dibujamos dos vectores A y B desde un punto común, el ángulo entre ellos es f. a) Con técnicas vectoriales, demuestre que la magnitud de su suma es 2A2 + B2 + 2AB cos f Problemas de desafío S S 33 b) Si A y B tienen la misma magnitud, ¿con qué valor de f su suma S S tendrá la misma magnitud que A o B? 1.91 .. Un cubo se coloca de Figura P1.91 modo que una esquina esté en el z origen y tres aristas estén en los ejes x, y y z de un sistema de coorb c denadas (figura P1.91). Use vectores para calcular a) el ángulo d entre la arista sobre el eje z (línea ab) y la diagonal que va del origen a a la esquina opuesta (línea ad); y y b) el ángulo entre las aristas ac (la diagonal de una cara)Sy ad. x 1.92 .. El vector A tiene una S magnitud de 6.00 m, el vector B tiene una magnitud de 3.00 m, y su producto vectorial es igual a 12.0 m2. ¿Cuáles son los dos valores posibles del producto escalar S S # para estos dosSvectores? Para cada valor de , dibuje un diagrama A B S que muestre A y B y explique por qué los productos vectoriales de los dos diagramas son iguales pero los productosSescalares difieren. S 1.93 .. ElS producto escalar de los vectores A y B es +48.0 m2. El vector A tiene una magnitud de 9.00 m y dirección igual a 28.0º S al oeste del sur. Si el vector B tiene una dirección de 39.0º al sur del S este, ¿cuál es la magnitud de B? 1.94 ... Obtenga un vector unitario perpendicular a los dos vectores dados en el ejercicio 1.53. S S 1.95 .. Le dan los vectores A ⴝ 5.0ın ⴚ 6.5≥n y B ⴝ - 3.5ın + 7.0≥n. S S Un tercer vector C está en el plano xy y es perpendicular a A, y el S S producto escalar de C con B es 15.0. Con esta información, obtenga S C. las componentes del vector S S magnitudes A = 3.00 y B = 3.00. 1.96 .. Dos vectores A y SB tienen S Su producto vectorial es A : B ⴝ - 5.00kN ⴙ 2.00ıN. ¿Qué ángulo S S forman A y B? .. Más adelante encontraremos cantidades representadas por 1.97 S S S S 1A : B2 # C. a) Demuestre que, para tres vectores cualesquiera A, S S S S S S S S S S S B y C, A # 1B : C2 = 1A : B2 # C. b) Calcule 1A : B2 # C para S los tres vectores donde AStiene magnitud A = 5.00 y ángulo u = 26.0° S A medido del eje +x al +y, B tiene B = 4.00 y u C = 63.0°, y tiene magB S S nitud 6.00 y sigue el eje +z. A y B están en el plano xy. + 9.0ın (en movimiento antes de salir la jugada), +11.0 n≥ (sale hacia delante), -6.0ın ⴙ 4.0 n≥ (a un lado) y + 12.0ın ⴙ 18.0≥n (al otro lado). Mientras tanto, el mariscal de campo retrocedió -7.0 n≥ . ¿Qué tan lejos y en qué dirección debe lanzar el balón el mariscal de campo? (Al igual que al entrenador, le recomendamos diagramar la situación antes de resolverla numéricamente). 1.100 ... Navegación en el Sistema Solar. La nave Mars Polar Lander se lanzó al espacio el 3 de enero de 1999. El 3 de diciembre de 1999, el día en que la nave se posó en la superficie de Marte, las posiciones de la Tierra y Marte estaban dadas por estas coordenadas: PROBLEMAS DE DESAFÍO 1.98 ... La longitud de un rectángulo se da como L ; l y su anchura Figura P1.101 como W ; w. a) Demuestre que la incertidumbre de su área A es a = Lw + lW. Suponga que las incertidumbres l y w son pequeñas, de manera que el producto lw es muy pequeño y puede despreciarse. b) Demuestre que la incertidumbre fraccionaria del área es igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud y la anchura. c) Un sólido rectangular tiene dimensiones L ; l, W ; w y H ; h. Obtenga la incertidumbre fraccionaria del volumen y demuestre que es igual a la suma de las incertidumbres fraccionarias de la longitud, la anchura y la altura. 1.99 ... Pase completo. En la Universidad Autónoma de Inmensidad (UAI), el equipo de fútbol americano registra sus jugadas con desplazamientos vectoriales, siendo el origen la posición del balón al iniciar la jugada. En cierta jugada de pase, el receptor parte de +1.0ın ⴚ 5.0≥n, donde las unidades son yardas, nı es a la derecha y n≥ es hacia delante. Los desplazamientos subsiguientes del receptor son x y z Tierra 0.3182 UA 0.9329 UA 0.0000 UA Marte 1.3087 UA ⫺0.4423 UA ⫺0.0414 UA En estas coordenadas, el Sol está en el origen y el plano de la órbita de la Tierra es el plano xy. La Tierra pasa por el eje +x una vez al año en el equinoccio de otoño, el primer día de otoño en el hemisferio norte (cerca del 22 de septiembre). Una UA o unidad astronómica es igual a 1.496 * 108 km, la distancia media de la Tierra al Sol. a) Dibuje un diagrama que muestre las posiciones del Sol, la Tierra y Marte el 3 de diciembre de 1999. b) Calcule las siguientes distancias en UA el 3 de diciembre de 1999: i. del Sol a la Tierra; ii. del Sol a Marte; iii. de la Tierra a Marte. c) Visto desde la Tierra, ¿qué ángulo había entre la dirección al Sol y la dirección a Marte el 3 de diciembre de 1999? d) Indique si Marte se veía desde donde usted estaba el 3 de diciembre de 1999 a medianoche. (Cuando es la medianoche en su posición, el Sol está en el lado opuesto de la Tierra). 1.101 ... Navegación en la Osa Mayor. Las estrellas de la Osa Mayor parecen estar todas a la misma distancia de la Tierra, pero en realidad están muy lejanas entre sí. La figura P1.101 muestra las distancias desde la Tierra a cada estrella en años luz (al), es decir, la distancia que la luz viaja en un año. Un año luz es igual a 9.461 * 1015 m. a) Alkaid y Merak están separadas 25.6° en el firmamento. Dibuje un diagrama que muestre las posiciones relativas de Alkaid, Merak y el Sol. Calcule la distancia en años luz de Alkaid a Merak. b) Para un habitante de un planeta en órbita alrededor de Merak, ¿cuántos grados de separación en el cielo habría entre Alkaid y el Sol? Megrez 81 al Mizar 73 al Merak 77 al Alioth 64 al Alkaid 138 al Dubhe 105 al Phad 80 al 1.102 ... El vector r ⴝ xın ⴙ y n≥ ⴙ zkN , llamado vector de posición, apunta desde el origen (0, 0, 0) hasta un punto arbitrario en el espacio, cuyas coordenadas son (x, y, z). Use sus conocimientos de vectores para demostrar que todos los puntos (x, y, z) que satisfacen la ecuación Ax + By + Cz = 0, donde A, B y C son constantes, están en un plano que pasa por el origen y es perpendicular al vector Aın ⴙ B n≥ ⴙ CkN . Dibuje este vector y el plano. S 34 CAPÍTULO 1 Unidades, cantidades físicas y vectores Respuestas Pregunta inicial del capítulo ? Haga que el eje x apunte al este y el eje +y al norte. Lo que intentamos obtener es la componente y del vector velocidad, el cual tiene una magnitud y = 20 km兾h y un ángulo u = 53° medido del eje +x hacia el eje +y. Partiendo de las ecuaciones (1.6), tenemos que yy = y sen u = (20 km兾h) sen 53° = 16 km兾h. De modo que la tormenta eléctrica se desplaza 16 km al norte en 1 h. Preguntas de las secciones Evalúe su comprensión 1.5 Respuesta: ii. Densidad = (1.80 kg)兾(6.0 * 10-4 m3) = 3.0 * 103 kg兾m3. Cuando se multiplica o se divide, el número con menos cifras significativas determina el número de cifras significativas del resultado. 1.6 La repuesta depende de cuántos estudiantes se inscribieron en la universidad. S 1.7 Respuestas: ii, iii y iv. El SvectorS ⴚTS tiene laSmisma magnitud S que el vector T, de modo que S ⴚ T ⴝ S ⴙ 1 ⴚT2 es la suma de un vector de magnitud igual Sa 3 m y uno de 4 m. Esta suma tiene una S magnitud de 7 m si S y ⴚT son paralelos, y Suna magnitud de 1 m S S S S si S yS ⴚ T son antiparalelos. La magnitud de S ⴚ T es de 5 m si S S S S S y ⴚT son perpendiculares, de modo que los vectores S, T y S ⴚ T forman un triángulo rectángulo 3-4-5. La respuesta i es imposible porque la magnitud de la suma de dos vectores no puede ser mayor que la suma de las magnitudes; la respuesta v es imposible porque la suma de dos vectores puede ser cero solo si estos son antiparalelos y tienen la misma magnitud; y la respuesta vi es imposible porque la magnitud de un vector no puede ser negativa. S S 1.8 Respuestas: a) sí, b) no Los vectores A y B pueden tener la misma magnitud pero diferentes componentes si apuntan en diferentes direcciones. Sin embargo, si tienen las mismas componentes, se S S trata del mismo vector 1A ⴝ B2 y entonces deben tener la misma magnitud. 1.9 Respuesta: todos tienen la misma magnitud Los cuatro vecS S S S tores A, B, C y D apuntan en diferentes direcciones, pero todos tienen la misma magnitud: A = B = C = D = 21⫾3 m22 + 1⫾5 m22 + 1⫾2 m22 = 29 m2 + 25 m2 + 4 m2 = 238 m2 = 6.2 m 1.10 Respuestas: a) F ⴝ 90°, b) F ⴝ 0° o F ⴝ 180°, c) F ⴝ 0°, S d)SF ⴝ 180°, e) F ⴝ 90° a) El producto escalar es cero soloS si A S y B son perpendiculares. b) El producto vectorial es cero solo si A y B son paralelos o antiparalelos. c) El producto escalar es igual al proS S S S ducto de las magnitudes 1A # B = AB2 solo si A y B son paralelos. d) El S producto escalar es igualSal negativo del producto de las magnituS S des 1A # B = - AB2 solo si A y B son antiparalelos. e) La magnitud del producto vectorial es igual Sal producto de las magnitudes [(magniS S S tud de A : B2 = AB] solo si A y B son perpendiculares. Problema práctico Respuestas: a) 5.2 * 102 N b) 4.5 * 102 N?m MOVIMIENTO RECTILÍNEO 2 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: • Cómo describir el movimiento rectilíneo en términos de velocidad media, velocidad instantánea, aceleración media y aceleración instantánea. ? Un saltador de bungee acelera durante la primera parte de su caída, luego se detiene lentamente conforme la cuerda del bungee se estira y se pone tensa. ¿Es correcto decir que el saltador está acelerando conforme reduce su velocidad durante la parte final de su caída? ¿Q ué distancia debe recorrer un avión comercial en la pista antes de alcanzar la rapidez de despegue? Cuando lanzamos una pelota de béisbol verticalmente, ¿qué tanto sube? Cuando se nos resbala un vaso de la mano, ¿cuánto tiempo tenemos para atraparlo antes de que choque contra el piso? Este es el tipo de preguntas que usted aprenderá a contestar en este capítulo. Iniciaremos nuestro estudio de la física con la mecánica, que es el estudio de las relaciones entre fuerza, materia y movimiento. En este capítulo y el siguiente estudiaremos la cinemática, es decir, la parte de la mecánica que describe el movimiento. Después estudiaremos la dinámica: la relación entre el movimiento y sus causas. En este capítulo nos concentramos en el tipo de movimiento más sencillo: un cuerpo que viaja en línea recta. Para describir este movimiento, introducimos las cantidades físicas velocidad y aceleración, las cuales en física tienen definiciones más precisas y algo distintas en comparación con las empleadas en el lenguaje cotidiano. Tanto la velocidad como la aceleración son vectores: como vimos en el capítulo 1, esto significa que tienen magnitud y dirección. En este capítulo nos interesa solo el movimiento rectilíneo, por lo que no necesitaremos aplicar toda el álgebra vectorial; no obstante, el uso de vectores será esencial en el capítulo 3, cuando consideremos el movimiento en dos o tres dimensiones. Desarrollaremos ecuaciones sencillas para describir el movimiento rectilíneo en el caso especial en que la aceleración es constante. Un ejemplo es el movimiento de un objeto en caída libre. También consideraremos situaciones en las que la aceleración varía durante el movimiento; en estos casos es necesario utilizar integrales para describir el movimiento. (Si aún no ha estudiado integrales, la sección 2.6 es opcional). • Cómo interpretar gráficas de posición contra tiempo, velocidad contra tiempo y aceleración contra tiempo para el movimiento rectilíneo. • Cómo resolver problemas que impliquen movimiento rectilíneo con aceleración constante, incluyendo problemas de caída libre. • Cómo analizar el movimiento rectilíneo cuando la aceleración no es constante. 35 36 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media Suponga que un piloto de autos de arrancones conduce su vehículo por una pista recta (figura 2.1). Para estudiar su movimiento, necesitamos un sistema de coordenadas. Determinamos que el eje x va a lo largo de la trayectoria recta del auto, con el origen O en la línea de salida. También elegimos un punto en el auto, digamos su extremo delantero, y representamos todo el vehículo con ese punto y lo tratamos como una partícula. Una forma útil de describir el movimiento de la partícula que representa el vehículo es en términos del cambio en su coordenada x durante un intervalo de tiempo. Suponga que 1.0 s después del arranque, el frente del vehículo está en el punto P1, a 19 m del origen, y que 4.0 s después del arranque está en el punto P2, a 277 m del origen. El desplazamiento de la partícula es un vector que apunta de Pl a P2 (véase la sección 1.7). La figura 2.1 muestra que este vector apunta a lo largo del eje x. La componente x del desplazamiento es el cambio en el valor de x, (277 m - 19 m) = 258 m, que tuvo lugar en un lapso de (4.0 s - 1.0 s) = 3.0 s. La velocidad media del automóvil durante este intervalo de tiempo se define como una cantidad vectorial, cuya componente x es el cambio en x dividido entre el intervalo de tiempo: (258 m)兾(3.0 s) = 86 m兾s. En general, la velocidad media depende del intervalo de tiempo elegido. Durante un lapso de 3.0 s antes del arranque, la velocidad media sería cero, porque el automóvil estaba en reposo en la línea de salida y tuvo un desplazamiento cero. Generalicemos el concepto de velocidad media. En el tiempo t1 el automóvil está en el punto P1, con la coordenada x1, y en el tiempo t2 está en el punto P2 con la coordenada x2. El desplazamiento del automóvil en el intervalo de t1 a t2 es el vector de P1 a P2. La componente x del desplazamiento, denotada con ¢x, es el cambio en la coordenada x: ¢x = x2 - x1 (2.1) El automóvil de arrancones se desplaza solamente a lo largo del eje x, de manera que las componentes y y z del desplazamiento son iguales a cero. CUIDADO Significado de ¢x Note que ¢x no es el producto de ¢ y x; es solo un símbolo que significa “el cambio en la cantidad x”. Siempre usaremos la letra griega mayúscula ¢ (delta) para representar un cambio en una cantidad que se calcula restando el valor inicial del valor final, y nunca a la inversa. Asimismo, el intervalo de tiempo de t1 a t2 es ¢t, el cambio en la cantidad t: ¢t = t2 - t1 (tiempo final menos tiempo inicial). La componente x de la velocidad promedio, o velocidad media x, es la componente x del desplazamiento, ¢x, dividida entre el intervalo de tiempo ¢t durante el 2.1 Posiciones de un automóvil de arrancones en dos instantes durante su recorrido. Posición en t 1 5 1.0 s Posición en t2 5 4.0 s SALIDA LLEGADA P1 P2 Desplazamiento de t1 a t2 O x 1 5 19 m Eje x D x 5 1x2 2 x12 5 258 m Coordenada x de un automóvil de arrancones en 1.0 s x es positiva a la derecha del origen (O), y negativa a la izquierda de este. x2 5 277 m x Coordenada x de un automóvil de arrancones en 4.0 s Cuando el automóvil se mueve en la dirección +x, el desplazamiento ¢x es positivo, al igual que su velocidad media: Dx 258 m vmed-x 5 5 5 86 m/s 3.0 s Dt 2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media Posición en t2 5 25.0 s Posición en t1 5 16.0 s SALIDA LLEGADA P1 P2 Desplazamiento de t1 a t2 O x2 5 19 m x1 5 277 m Dx 5 1x2 2 x12 5 2258 m x 37 2.2 Posiciones de la camioneta de un oficial en dos instantes de su movimiento. Los puntos P1 y P2 ahora se refieren a las posiciones de la camioneta; vemos que se trata del inverso de la figura 2.1. Esta posición ahora es x1. Esta posición ahora es x2. Cuando la camioneta se mueve en la dirección -x, ¢x es negativa, al igual que la velocidad media: Dx 2258 m vmed-x 5 5 5 229 m/s 9.0 s Dt que ocurre el desplazamiento. Usamos el símbolo vmed-x para representar la velocidad media (el subíndice “med” indica que se trata de un valor promedio, y el subíndice x indica que es la componente x): vmed-x = x2 - x1 ¢x = t2 - t1 ¢t (velocidad media x, movimiento rectilíneo) (2.2) En el ejemplo del automóvil de arrancones teníamos x1 = 19 m, x2 = 277 m, t1 = 1.0 s y t2 = 4.0 s, así que la ecuación (2.2) da vmed-x = 277 m - 19 m 258 m = = 86 m>s 4.0 s - 1.0 s 3.0 s La velocidad media x del automóvil es positiva. Esto significa que, durante el intervalo, la coordenada x aumentó y el auto se movió en la dirección +x (a la derecha en la figura 2.1). Si una partícula se mueve en la dirección x negativa durante un intervalo de tiempo, su velocidad media para ese lapso es negativa. Por ejemplo, suponga que la camioneta de un oficial se desplaza hacia la izquierda sobre la pista (figura 2.2). La camioneta está en x1 = 277 m en t1 = 16.0 s, y en x2 = 19 m en t2 = 25.0 s. Entonces, ¢x = (19 m - 277 m) = -258 m y ¢t = (25.0 s - 16.0 s) = 9.0 s. La componente x de la velocidad media es vmed-x = ¢x兾¢t = (-258 m)兾(9.0 s) = -29 m兾s. La tabla 2.1 muestra algunas reglas sencillas para identificar si la velocidad x es positiva o negativa. CUIDADO Elección de la dirección x positiva No caiga en la tentación de pensar que una velocidad media positiva implica necesariamente movimiento a la derecha, como en la figura 2.1, y una velocidad media negativa implica forzosamente movimiento a la izquierda, como en la figura 2.2. Tales conclusiones son correctas solo si la dirección +x es hacia la derecha, como elegimos en las figuras 2.1 y 2.2. Igualmente podríamos haber decidido que la dirección +x fuera hacia la izquierda, con el origen en la llegada. Entonces, el automóvil habría tenido velocidad media negativa, y la camioneta del oficial, velocidad media positiva. En casi todos los problemas, podremos elegir la dirección del eje de coordenadas. Una vez tomada la decisión, ¡deberá tomarse en cuenta al interpretar los signos de vmed-x y otras cantidades que describen el movimiento! En el movimiento rectilíneo, por lo general, llamaremos a ¢x simplemente desplazamiento y a vmed-x la velocidad media. Sin embargo, no olvide que estas son realmente las componentes x de cantidades vectoriales que, en este caso especial, solo tienen componentes x. En el capítulo 3, los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración tendrán dos o tres componentes distintas de cero. La figura 2.3 es una gráfica de la posición del automóvil de arrancones como una función del tiempo, es decir, una gráfica x-t. La curva de la figura no representa la trayectoria del automóvil; esta es una línea recta, como se observa en la figura 2.1. Más bien, la gráfica es una forma de representar visualmente cómo cambia la posición del automóvil con el tiempo. Los puntos p1 y p2 en la gráfica corresponden a los puntos P1 y P2 de la trayectoria del automóvil. La línea p1 p2 es la hipotenusa de un Tabla 2.1 Reglas para el signo de la velocidad Si la coordenada x es: . . . la velocidad x es: Positiva y aumenta (volviéndose más positiva) Positiva: la partícula se mueve en la dirección +x Positiva y disminuye (volviéndose menos positiva) Negativa: la partícula se mueve en la dirección -x Negativa y aumenta (volviéndose menos negativa) Positiva: la partícula se mueve en la dirección +x Negativa y disminuye (volviéndose más negativa) Negativa: la partícula se mueve en la dirección -x Nota: Estas reglas se aplican tanto a la velocidad media, vmed-x, como a la velocidad instantánea, vx (que se analizará en la sección 2.2). 38 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.3 Posición de un automóvil de arrancones en función del tiempo. Pista de arrancones (no está a escala) P2 x (m) Para un desplazamiento a lo largo del eje x, la velocidad media de un objeto, vmed-x, es igual a la pendiente de una línea que une los 400 puntos correspondientes en una gráfica de posición (x) contra tiempo (t). 300 x2 x nte dad e on oci mp vel o c la 5 de te 200 x1 O Tabla 2.2 Magnitudes típicas de velocidad Reptar del caracol 10-3 m兾s Caminata rápida 2 m兾s Ser humano más rápido 11 m兾s Velocidades en carretera 30 m兾s Automóvil más rápido 341 m兾s Movimiento aleatorio de moléculas de aire 500 m兾s Avión más rápido 1000 m兾s Satélite de comunicación en órbita 3000 m兾s Electrón en un átomo de hidrógeno 2 * 106 m兾s Luz que viaja en el vacío 3 * 108 m兾s Dx 5 x2 2 x1 ien 100 P1 p2 Pe nd Dt 5 t2 2 t1 p1 1 t1 2 3 4 t2 Pendiente 5 inclinación de Dx la recta 5 Dt t (s) 5 triángulo rectángulo con cateto vertical ¢x = x2 - x1 y cateto horizontal ¢t = t2 - t1. La velocidad media del automóvil vmed-x = ¢x兾¢t es igual a la pendiente de la línea p1 p2, es decir, el cociente del cateto vertical ¢x entre el cateto horizontal ¢t. La velocidad media x depende solo del desplazamiento total ¢x = x2 - x1, que se da durante el intervalo ¢t = t2 - t1, no de los pormenores de lo que sucede dentro de ese intervalo. En el tiempo t1, una motocicleta podría haber rebasado al auto de arrancones en el punto P1 de la figura 2.1, para después reventar el motor y bajar la velocidad, pasando por P2 en el mismo instante t2 que el auto. Ambos vehículos tienen el mismo desplazamiento en el mismo lapso, así que tienen la misma velocidad media x. Si expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos, la velocidad media se mide en metros por segundo (m兾s). Otras unidades de velocidad comunes son kilómetros por hora (km兾h), pies por segundo (ft兾s), millas por hora (mi兾h) y nudos (1 nudo = 1 milla náutica兾h = 6080 ft兾h). La tabla 2.2 muestra algunas magnitudes típicas de velocidad. Evalúe su comprensión de la sección 2.1 Cada uno de los siguientes viajes en automóvil dura una hora. La dirección x positiva es hacia el este. i. El automóvil A viaja 50 km al este. ii. El automóvil B viaja 50 km al oeste. iii. El automóvil C viaja 60 km al este, luego da vuelta y viaja 10 km al oeste. iv. El automóvil D viaja 70 km al este. v. El automóvil E viaja 20 km al oeste, luego da vuelta y viaja 20 km al este. a) Clasifique los cinco viajes en orden de velocidad media x de la más positiva a la más negativa. b) ¿Cuáles viajes, si acaso, tienen la misma velocidad media x? c) ¿Para cuál viaje, si acaso, la velocidad media x es igual a cero? 2.4 El ganador de una competencia de natación de 50 m es el nadador cuya velocidad media tenga la mayor magnitud, es decir, quien cubra el desplazamiento ¢x de 50 m en el tiempo transcurrido ¢t más corto. 2.2 Velocidad instantánea Hay ocasiones en que la velocidad media es lo único que necesitamos saber acerca del movimiento de una partícula. Por ejemplo, una carrera en pista recta es en realidad una competencia para determinar quién tuvo la mayor velocidad media, vmed-x. Se entrega el premio al competidor que haya recorrido el desplazamiento ¢x de la línea de salida a la de meta en el intervalo de tiempo más corto, ¢t (figura 2.4). Sin embargo, la velocidad media de una partícula durante un intervalo de tiempo no nos indica la rapidez, o la dirección, con que la partícula se estaba moviendo en un instante determinado del intervalo. Para describir esto, necesitamos conocer la velocidad instantánea, es decir, la velocidad en un instante específico o en un punto específico de la trayectoria. CUIDADO ¿Cuánto tiempo dura un instante? Observe que la palabra “instante” tiene un significado un tanto distinto en física que en el lenguaje cotidiano. Podemos utilizar la frase “duró solo un instante” para referirnos a algo que duró un intervalo de tiempo muy corto. Sin embargo, en física un instante no tiene duración; es solo un valor de tiempo. 2.2 Velocidad instantánea 39 Para obtener la velocidad instantánea del auto de la figura 2.1 en el punto P1, movemos el segundo punto P2 cada vez más cerca del primer punto P1 y calculamos la velocidad media vmed-x = ¢x兾¢t para estos desplazamientos y lapsos cada vez más cortos. Tanto ¢x como ¢t se hacen muy pequeños; pero su cociente no necesariamente lo hace. En el lenguaje del cálculo, el límite de ¢x兾¢t conforme ¢t se acerca a cero es la derivada de x con respecto a t y se escribe dx兾dt. La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero; es igual a la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. Usamos el símbolo vx, sin “med” en el subíndice, para la velocidad instantánea a lo largo del eje x o componente x de la velocidad instantánea: vx = lím ¢t S 0 dx ¢x = dt ¢t (velocidad instantánea x, movimiento rectilíneo) (2.3) El intervalo de tiempo ¢t siempre es positivo, así que vx tiene el mismo signo algebraico que ¢x. Un valor positivo de vx indica que x aumenta y el movimiento es en la dirección x positiva; un valor negativo de vx indica que x disminuye y el movimiento es en la dirección x negativa. Un cuerpo puede tener x positiva y vx negativa, o a la inversa; x nos dice dónde está el cuerpo, en tanto que vx nos indica cómo se mueve (figura 2.5). Las reglas que presentamos en la tabla 2.1 (sección 2.1) para el signo de la velocidad media, vmed-x, también se aplican para el signo de la velocidad instantánea vx. La velocidad instantánea, al igual que la velocidad media, es una cantidad vectorial; y la ecuación (2.3) define su componente x. En el movimiento rectilíneo, las demás componentes de la velocidad instantánea son cero y, en este caso, llamaremos a vx simplemente velocidad instantánea. (En el capítulo 3 veremos el caso general en el que la velocidad instantánea puede tener componentes x, y y z distintas de cero). Al usar el término “velocidad”, siempre nos referiremos a la velocidad instantánea, no a la media. Los términos “velocidad” y “rapidez” se usan indistintamente en el lenguaje cotidiano; no obstante, en física tienen diferentes significados. Rapidez denota la distancia recorrida dividida entre el tiempo, ya sea media o instantánea. Usaremos el símbolo v (sin subíndice) para denotar la rapidez instantánea, la cual mide qué tan rápido se mueve una partícula; la velocidad instantánea mide con qué rapidez y en qué dirección se mueve. La rapidez instantánea es la magnitud de la velocidad instantánea y, por lo tanto, nunca es negativa. Por ejemplo, una partícula con velocidad instantánea vx = 25 m兾s y otra con vx = -25 m兾s se mueven en direcciones opuestas con la misma rapidez instantánea de 25 m兾s. 2.5 Incluso al avanzar, la velocidad instantánea de este ciclista puede ser negativa, si viaja en la dirección -x. En cualquier problema, nosotros decidimos cuál dirección es positiva y cuál es negativa. CUIDADO Rapidez media y velocidad media La rapidez media no es la magnitud de la velocidad media. Cuando César Cielo estableció un récord mundial en 2009 nadando 100.0 m en 46.91 s, su rapidez media fue de (100.0 m)兾(46.91 s) = 2.132 m兾s. No obstante, como nadó dos veces la longitud de una alberca de 50 m, terminó en el punto de donde partió, con un desplazamiento total de cero ¡y una velocidad media de cero! Tanto la rapidez media como la rapidez instantánea son escalares, no vectores, porque no incluyen información de dirección. Ejemplo 2.1 Velocidades media e instantánea Un guepardo acecha 20 m al este de un observador (figura 2.6a). En el tiempo t = 0, el guepardo comienza a correr al este hacia un antílope que se encuentra 50 m al este del observador. Durante los primeros 2.0 s del ataque, la coordenada x del guepardo varía con el tiempo según la ecuación x = 20 m + (5.0 m兾s2)t2. a) Obtenga el desplazamiento del guepardo entre t1 = 1.0 s y t2 = 2.0 s. b) Calcule la velocidad media en dicho intervalo. c) Calcule la velocidad instantánea en t1 = 1.0 s tomando ¢t = 0.1 s, luego ¢t = 0.01 s, luego ¢t = 0.001 s. d ) Deduzca una expresión general para la velocidad instantánea del guepardo en función del tiempo, y con ella calcule vx en t = 1.0 s y t = 2.0 s. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 2.6b muestra el movimiento del guepardo. Se usa la ecuación (2.1) para el desplazamiento, la ecuación (2.2) para la velocidad media, y la ecuación (2.3) para la velocidad instantánea. Continúa 40 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.6 Un guepardo ataca a un antílope en una emboscada. Los animales no están a la misma escala que el eje. a) La situación Punto de partida del guepardo Vehículo b) El diagrama Antílope med-x c) Consideraciones 1 El eje apunta en la dirección en que corre el guepardo, de manera que nuestros valores serán positivos. 2 El origen se coloca en el vehículo. 3 Marcamos las posiciones iniciales del guepardo y del antílope. EJECUTAR: a) En tl = 1.0 s y t2 = 2.0 s, las posiciones del guepardo xl y x2 son x1 = 20 m + 15.0 m>s2211.0 s22 = 25 m x2 = 20 m + 15.0 m>s2212.0 s22 = 40 m El desplazamiento en este intervalo de 1.0 s es ¢x = x 2 - x 1 = 40 m - 25 m = 15 m b) La velocidad media durante este intervalo es vmed-x = x2 - x1 15 m 40 m - 25 m = = 15 m>s = t2 - t1 2.0 s - 1.0 s 1.0 s c) Con ¢t = 0.1 s, el intervalo es de t1 = 1.0 s a un nuevo t2 = 1.1 s. En t2, la posición es x 2 = 20 m + 15.0 m>s2211.1 s)2 = 26.05 m La velocidad media durante este intervalo de 0.1 s es vmed-x = 26.05 m - 25 m = 10.5 m>s 1.1 s - 1.0 s 4 Marcamos las posiciones del guepardo en 1 y 2 s. 5 Agregamos las literales para las cantidades conocidas y desconocidas. Al seguir este método, podemos calcular las velocidades medias de los intervalos de 0.01 s y 0.001 s. Los resultados son 10.05 m兾s y 10.005 m兾s. Al disminuir ¢t, la velocidad media se acerca a 10.0 m兾s, por lo que concluimos que la velocidad instantánea en t = 1.0 s es de 10.0 m兾s. (En estos cálculos no se tomaron en cuenta las reglas de conteo de cifras significativas). d) Para calcular la velocidad instantánea en función del tiempo, se deriva la expresión de x con respecto a t. La derivada de una constante es cero, y para cualquier n la derivada de t n es nt n-1, así que la derivada de t 2 es 2t. Por lo tanto, vx = dx = 15.0 m>s2212t2 = 110 m>s22t dt En t = 1.0 s, esto produce vx = 10 m兾s, como vimos en el inciso c); en t = 2.0 s, vx = 20 m兾s. EVALUAR: Nuestros resultados muestran que el guepardo aumentó su rapidez de t = 0 (cuando estaba en reposo) a t = 1.0 s (vx = 10 m兾s) y a t = 2.0 s (vx = 20 m兾s), lo cual es razonable: el guepardo recorrió solo 5 m durante el intervalo t = 0 a t = 1.0 s; sin embargo, recorrió 15 m en el intervalo t = 1.0 s a t = 2.0 s. Obtención de la velocidad en una gráfica x-t ActivPhysics 1.1: Analyzing Motion Using Diagrams La velocidad de una partícula también puede obtenerse a partir de la gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo. Suponga que queremos conocer la velocidad del automóvil de arrancones de la figura 2.1 en P1. En la figura 2.1, conforme P2 se acerca a P1, el punto p2 en la gráfica x-t de las figuras 2.7a y 2.7b se acerca al punto p1, y la velocidad media x se calcula en intervalos ¢t cada vez más cortos. En el límite en que ¢t S 0, ilustrado en la figura 2.7c, la pendiente de la línea p1 p2 es igual a la pendiente de la línea tangente a la curva en el punto p1. Así, en una gráfica de posición en función del tiempo para movimiento rectilíneo, la velocidad instantánea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Si la tangente a la curva x-t sube hacia la derecha, como en la figura 2.7c, entonces su pendiente es positiva, la velocidad es positiva, y el movimiento es en la dirección +x. Si la tangente baja hacia la derecha, la pendiente de la gráfica x-t y 41 2.2 Velocidad instantánea 2.7 Uso de una gráfica x-t al ir de a), b) velocidad media a c) velocidad instantánea vx. En c) obtenemos la pendiente de la tangente a la curva x-t dividiendo cualquier intervalo vertical (en unidades de distancia) a lo largo de la tangente entre el intervalo horizontal correspondiente (en unidades de tiempo). a) b) c) x (m) 400 x (m) 400 x (m) 400 Dt 5 2.0 s Dx 5 150 m vmed-x 5 75 m/s p2 300 200 100 200 Dt 1 2 4 200 2 160 m p1 3 4 t (s) 5 ... su valor vmed-x 5 Dx/Dt se acerca a la velocidad instantánea. Cuando la velocidad media vmed-x se calcula en intervalos cada vez más cortos ... cid velo 100 Dt D x 1 O 5 e te d dien Pen gente 5 x n la ta antánea t s n ad i 160 m 4.0 s 5 40 m/s vx 5 300 p2 p1 t (s) 3 Dt 5 1.0 s Dx 5 55 m vmed-x 5 55 m/s 100 Dx p1 O 300 4.0 s t (s) O 1 2 3 4 5 La velocidad instantánea vx en un tiempo dado es igual a la pendiente de la tangente a la curva x-t en ese punto. 2.8 a) Gráfica x-t del movimiento de una partícula dada. La pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la velocidad en ese punto. b) Diagrama de movimiento que muestra la posición y velocidad de la partícula en cada uno de los instantes identificados en el diagrama x-t. a) Gráfica x-t x b) Movimiento de la partícula Pendiente cero: vx 5 0 C D 0 tA 5 0 Pendiente negativa: vx , 0 tB E B t tC tD A Pendiente positiva: vx . 0 tE v x 0 v La partícula está en x , 0 y se mueve en la dirección 1x. x De tA a tB acelera, ... 0 v50 0 v 0 v 0 x ... y de tB a tC frena, y se detiene momentáneamente en tC. x De tC a tD acelera en la dirección 2x, ... x ... y de tD a tE frena en la dirección 2x. Cuanto más pronunciada sea la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica x-t de un objeto, mayor será la rapidez del objeto en la dirección positiva o negativa. la velocidad son negativas, y el movimiento es en la dirección -x. Cuando la tangente es horizontal, la pendiente y la velocidad son cero. La figura 2.8 ilustra las tres posibilidades. La figura 2.8 muestra realmente el movimiento de una partícula en dos formas: como a) una gráfica x-t y como b) un diagrama de movimiento que indica la posición de la partícula en diversos instantes (como cuadros de un video del movimiento de la partícula), junto con flechas que representan su velocidad en cada instante. En este capítulo, usaremos tanto las gráficas x-t como los diagramas de movimiento para ayudarle a entender el movimiento. Le recomendamos dibujar no solo una gráfica x-t sino también un diagrama de movimiento como parte de la solución de cualquier problema que implique movimiento. 2.9 Gráfica x-t de una partícula. Q x P R Evalúe su comprensión de la sección 2.2 La figura 2.9 es una gráfica x-t del movimiento de una partícula. a) Ordene los valores de la velocidad vx de la partícula en los puntos P, Q, R y S del más positivo al más negativo. b) ¿En qué puntos vx es positiva? c) ¿En cuáles puntos vx es negativa? d) ¿En cuáles es cero? e) Ordene los valores de la rapidez de la partícula en los puntos P, Q, R y S del más rápido al más lento. t S 42 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.3 Aceleración media e instantánea Así como la velocidad describe la tasa de cambio de la posición con el tiempo, la aceleración describe la tasa de cambio de la velocidad con el tiempo. Al igual que la velocidad, la aceleración es una cantidad vectorial. En el movimiento rectilíneo, su única componente distinta de cero está sobre el eje en que ocurre el movimiento. Como veremos, en el movimiento rectilíneo la aceleración puede referirse tanto al aumento como a la disminución de la rapidez. Aceleración media Consideremos otra vez el movimiento de una partícula en el eje x. Suponga que, en el tiempo t1, la partícula está en el punto P1 y tiene una componente x de velocidad (instantánea) v1x, y en un instante posterior t2 está en el punto P2 y tiene una componente x de velocidad v2x. Así, la componente x de la velocidad cambia en ¢vx = v2x - v1x en el intervalo ¢t = t2 - t1. Definimos la aceleración media de la partícula al moverse de P1 a P2 como una cantidad vectorial cuya componente x es amed-x (conocida como aceleración media en x) igual a ¢vx, el cambio en la componente x de la velocidad, dividido entre el intervalo de tiempo ¢t: amed-x = v2x - v1x ¢vx = t2 - t1 ¢t (aceleración media, movimiento rectilíneo) (2.4) En el movimiento rectilíneo a lo largo del eje x, por lo general llamaremos simplemente aceleración media a amed-x. (Veremos las otras componentes del vector aceleración media en el capítulo 3). Si expresamos la velocidad en metros por segundo y el tiempo en segundos, la aceleración media está dada en metros por segundo por segundo, o bien (m兾s)兾s. Esto suele escribirse como m兾s2 y se lee “metros por segundo al cuadrado”. CUIDADO Aceleración contra velocidad ¡Tenga cuidado de no confundir aceleración con velocidad! La velocidad describe el cambio de la posición de un objeto con el tiempo; nos indica con qué rapidez y en qué dirección se mueve el objeto. La aceleración describe cómo cambia la velocidad con el tiempo; es decir, nos dice cómo cambian la rapidez y la dirección del movimiento. Podría ser útil recordar la frase “aceleración es a velocidad lo que velocidad es a posición”. También ayudaría imaginarse a usted mismo abordo de un automóvil en movimiento. Si el automóvil acelera hacia adelante y aumenta su rapidez, usted se sentirá empujado hacia atrás hacia su asiento; si acelera hacia atrás y disminuye su rapidez, se sentiría empujado hacia adelante. Si la velocidad es constante y no hay aceleración, no tendrá sensación alguna. (Analizaremos la causa de estas sensaciones en el capítulo 4). Ejemplo 2.2 Aceleración media Un astronauta sale de una nave espacial en órbita para probar una unidad personal de maniobras. Mientras se mueve en línea recta, su compañero a bordo mide su velocidad cada 2.0 s a partir del instante t = 1.0 s: t vx t vx 1.0 s 0.8 m s / 1.2 m / s 1.6 m / s 1.2 m / s 9.0 s 20.4 m s 3.0 s 5.0 s 7.0 s 11.0 s 13.0 s 15.0 s / 21.0 m / s 21.6 m / s 20.8 m / s Calcule la aceleración media y diga si la rapidez del astronauta aumenta o disminuye durante cada uno de estos intervalos de 2.0 s: a) t1 = 1.0 s a t2 = 3.0 s; b) t1 = 5.0 s a t2 = 7.0 s; c) t1 = 9.0 s a t2 = 11.0 s; d) t1 = 13.0 s a t2 = 15.0 s. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Usaremos la ecuación (2.4) para determinar la aceleración media amed-x a partir del cambio de velocidad durante cada intervalo de tiempo. Para calcular los cambios en la rapidez, usaremos la idea de que la rapidez v es la magnitud de la velocidad instantánea vx. 2.3 Aceleración media e instantánea La parte superior de la figura 2.10 es la gráfica de velocidad como función del tiempo. En esta gráfica vx-t, la pendiente de la línea que une los puntos inicial y final de cada intervalo es la aceleración media amed-x = ¢vx兾¢t para ese intervalo. Las cuatro pendientes (y por lo tanto, los signos de las aceleraciones medias) son, respectivamente, positiva, negativa, negativa y positiva. La tercera y cuarta pendientes (y por lo tanto, las aceleraciones medias mismas) tienen una magnitud mayor que la primera y la segunda. 2.10 Gráficas de velocidad contra tiempo (arriba) y aceleración media contra tiempo (abajo) del astronauta. EJECUTAR: Usando la ecuación (2.4), obtenemos: a) amed-x = (1.2 m兾s - 0.8 m兾s)兾(3.0 s - 1.0 s) = 0.2 m兾s2. La rapidez (magnitud de la velocidad instantánea) aumenta de 0.8 m兾s a 1.2 m兾s. b) amed-x = (1.2 m兾s - 1.6 m兾s)兾(7.0 s - 5.0 s) = -0.2 m兾s2. La rapidez disminuye de 1.6 m兾s a 1.2 m兾s. c) amed-x = [-1.0 m兾s - (-0.4 m兾s)]兾(11.0 s - 9.0 s) = -0.3 m兾s2. La rapidez aumenta de 0.4 m兾s a 1.0 m兾s. d ) amed-x = [-0.8 m兾s - (-1.6 m兾s)]兾(15.0 s - 13.0 s) = 0.4 m兾s2. La rapidez disminuye de 1.6 m兾s a 0.8 m兾s. En la parte inferior de la figura 2.10, se graficaron los valores de amed-x. EVALUAR: Los signos y las magnitudes relativas de las aceleraciones medias concuerdan con nuestras predicciones cualitativas. Para referencias futuras, tome nota de esta relación entre rapidez, velocidad y aceleración. Nuestro resultado indica que cuando la aceleración tiene la misma dirección (el mismo signo algebraico) que la velocidad inicial, como en los intervalos a) y c), el astronauta se mueve más rápidamente; cuando amed-x tiene la dirección opuesta (esto es, el signo contrario) que la velocidad inicial como en los intervalos b) y d), se frena. Por lo tanto, la aceleración positiva significa ir más rápido si la velocidad x es positiva [intervalo a)], pero ir más lento si la velocidad x es negativa [intervalo d)]. Asimismo, la aceleración x negativa implica ir más rápido si la velocidad x es negativa [intervalo c)], pero ir más lento si la velocidad x es positiva [intervalo b)]. La pendiente de la línea que une cada par de puntos en la gráfica vx-t ... med-x ... es igual a la aceleración media entre esos puntos. Aceleración instantánea Ahora podemos definir la aceleración instantánea con el mismo procedimiento que seguimos para la velocidad instantánea. Como ejemplo, suponga que un piloto de carreras está conduciendo en una recta como se ilustra en la figura 2.11. Para definir la aceleración instantánea en el punto P1, tomamos el segundo punto P2 en la figura 2.11 cada vez más cerca de P1, de modo que la aceleración media se calcule en intervalos cada vez más cortos. La aceleración instantánea es el límite de la aceleración media conforme el intervalo de tiempo se acerca a cero. En el lenguaje del cálculo, la aceleración instantánea es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. Así, ax = lím ¢tS 0 dvx ¢vx = dt ¢t (aceleración instantánea, movimiento rectilíneo) (2.5) Observe que ax en la ecuación (2.5) es realmente la componente x de la aceleración o la aceleración instantánea; en el movimiento rectilíneo, las demás componentes de este vector son cero. A partir de aquí, al hablar de “aceleración” nos referiremos siempre a la aceleración instantánea, no a la aceleración media. 2.11 Vehículo de Fórmula 1 en dos puntos de la recta. Rapidez v1 velocidad v1x O Rapidez v2 velocidad v2 x x P1 43 P2 44 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Ejemplo 2.3 Aceleraciones media e instantánea Suponga que la velocidad vx del automóvil en la figura 2.11 en un instante t está dada por la ecuación vx = 60 m > s + 10.50 m > s 3 2t2 a) Calcule el cambio de velocidad del automóvil en el intervalo entre t1 = 1.0 s y t2 = 3.0 s. b) Calcule la aceleración media en este intervalo de tiempo. c) Obtenga la aceleración instantánea en t1 = 1.0 s tomando ¢t primero como 0.1 s, después como 0.01 s y luego como 0.001 s. d) Deduzca una expresión para la aceleración instantánea como función del tiempo y úsela para obtener la aceleración en t = 1.0 s y t = 3.0 s. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este caso es similar al ejemplo 2.1 de la sección 2.2. (Recomendamos repasarlo ahora). En el ejemplo 2.1, calculamos la velocidad media a partir del cambio en la posición en intervalos cada vez más cortos, y obtuvimos una expresión para la velocidad instantánea diferenciando la posición en función del tiempo. En este ejemplo, tenemos exactamente lo mismo. Usaremos la ecuación (2.4) para obtener la aceleración media a partir del cambio en la velocidad en un intervalo de tiempo. Asimismo, usando la ecuación (2.5) obtendremos una expresión para la aceleración instantánea diferenciando la velocidad en función del tiempo. EJECUTAR: a) Antes de aplicar la ecuación (2.4), debemos obtener la velocidad en cada instante a partir de la ecuación dada. En el instante t1 = 1.0 s, y en el t2 = 3.0 s, las velocidades son v1x = 60 m > s + 10.50 m > s 3 211.0 s22 = 60.5 m > s v2x = 60 m > s + 10.50 m > s 3 213.0 s22 = 64.5 m > s El cambio en la velocidad ¢vx entre t1 = 1.0 s y t2 = 3.0 s es ¢vx = v2x - v1x = 64.5 m > s - 60.5 m > s = 4.0 m > s b) La aceleración media durante este intervalo de duración t2 - t1 = 2.0 s es amed-x = Durante este intervalo, la velocidad y la aceleración media tienen el mismo signo algebraico (positivo en este caso) y el auto acelera. c) Cuando ¢t = 0.1 s, tenemos t2 = 1.1 s. Procediendo como antes obtenemos v2x = 60 m > s + 10.50 m > s 3 211.1 s22 = 60.605 m > s ¢vx = 0.105 m > s amed-x = ¢vx ¢t = 0.105 m > s 0.1 s = 1.05 m > s 2 Repita este patrón para calcular amed-x con ¢t = 0.01 s y ¢t = 0.001 s; los resultados son amed-x = 1.005 m兾s2 y amed-x = 1.0005 m兾s2, respectivamente. Al reducirse ¢t, la aceleración media se acerca a 1.0 m兾s2, por lo que concluimos que la aceleración instantánea en t = 1.0 s es 1.0 m兾s2. d) Por la ecuación (2.5) la aceleración instantánea es ax = dvx兾dt. La derivada de una constante es cero y la derivada de t 2 es 2t, por lo que ax = dvx dt = d 360 m > s + 10.50 m > s 3 2t2 4 dt = 10.50 m > s 3 212t2 = 11.0 m > s 3 2t Cuando t = 1.0 s, ax = 11.0 m > s 3 211.0 s2 = 1.0 m > s 2 Cuando t = 3.0 s, ax = 11.0 m > s 3 213.0 s2 = 3.0 m > s 2 EVALUAR: Ninguno de los valores que obtuvimos en el inciso d) es igual a la aceleración media obtenida en b). Esto se debe a que la aceleración instantánea varía con el tiempo. La tasa de cambio de la aceleración con el tiempo se suele denominar “tirón”. 4.0 m > s v2x - v1x = = 2.0 m > s 2 t2 - t1 2.0 s Obtención de la aceleración en una gráfica v x -t o una gráfica x-t En la sección 2.2 interpretamos las velocidades media e instantánea en términos de la pendiente de una gráfica de posición contra tiempo. Igualmente, podemos entender mejor las aceleraciones media e instantánea graficando la velocidad instantánea vx en el eje vertical y el tiempo t en el eje horizontal, es decir, usando una gráfica vx-t (figura 2.12). Los puntos sobre la gráfica identificados como p1 y p2 corresponden a los puntos P1 y P2 de la figura 2.11. La aceleración media amed-x = ¢vx兾¢t durante este intervalo es la pendiente de la línea p1 p2. Al acercarse P2 a P1 en la figura 2.11, p2 se acerca a p1 en la gráfica vx-t de la figura 2.12, y la pendiente de la línea p1 p2 se acerca a la pendiente de la tangente a la curva en el punto p1. Así, en una gráfica de velocidad en función del tiempo, la aceleración instantánea en cualquier punto es igual a la pendiente de la tangente de la curva en ese punto. En la figura 2.12, las tangentes trazadas en diferentes puntos en la curva tienen pendientes diferentes, de manera que la aceleración instantánea varía con el tiempo. 2.3 Aceleración media e instantánea 2.12 Gráfica vx-t del movimiento en la figura 2.11. Para un desplazamiento a lo largo del eje x, la aceleración media de un objeto es igual a la pendiente de una línea que une los puntos correspondientes en una gráfica de velocidad (vx) contra tiempo (t). vx 45 p2 v2x ia ed m n ció ra te en di p1 v1x 5 ele ac Dvx 5 v2x 2 v1x Pendiente de la tangente a la curva vx-t en un punto dado 5 aceleración instantánea en ese punto. n Pe Dt 5 t2 2 t1 O t1 t t2 ? CUIDADO Signos de la aceleración y de la velocidad Por sí mismo, el signo algebraico de la aceleración no nos indica si el cuerpo está acelerando o frenando; hay que comparar los signos de la velocidad y la aceleración. Si vx y ax tienen el mismo signo, el cuerpo está acelerando; si ambas son positivas, el cuerpo se mueve en la dirección positiva con rapidez creciente. Si ambas son negativas, el cuerpo se mueve en la dirección negativa con velocidad cada vez más negativa, y la rapidez aumenta. Si vx y ax tienen signos opuestos, el cuerpo está frenando. Si vx es positiva y ax negativa, el cuerpo se mueve en dirección positiva con rapidez decreciente; si vx es negativa y ax positiva, el cuerpo se mueve en dirección negativa con una velocidad cada vez menos negativa, y está frenando. La tabla 2.3 resume estas ideas y la figura 2.13 ilustra algunas de estas posibilidades. En ocasiones se usa el término “desaceleración” para referirse a una reducción de la rapidez. Como esto puede implicar una ax positiva o negativa, dependiendo del signo de vx, evitaremos este término. También podemos conocer la aceleración de un cuerpo a partir de una gráfica de su posición contra el tiempo. Puesto que ax = dvx兾dt y vx = dx兾dt, escribimos ax = dvx d dx d2x a b = 2 = dt dt dt dt Tabla 2.3 Reglas para el signo de la aceleración Si la velocidad es: . . . la aceleración es: Positiva y creciente (volviéndose más positiva) Positiva: la partícula se mueve en la dirección +x y acelera Positiva y decreciente (volviéndose menos positiva) Negativa: la partícula se mueve en la dirección +x y frena Negativa y creciente (se vuelve menos negativa) Positiva: la partícula se mueve en la dirección -x y frena Negativa y decreciente Negativa: la partícula se (se vuelve más negativa) mueve en la dirección -x y acelera Nota: Estas reglas se aplican tanto a la aceleración amed-x como a la aceleración instantánea ax. (2.6) 2.13 a) Gráfica vx-t del movimiento de una partícula diferente de la que se muestra en la figura 2.8. La pendiente de la tangente en cualquier punto es igual a la aceleración en ese punto. b) Diagrama de movimiento que indica la posición, velocidad y aceleración de la partícula en los instantes identificados en la gráfica vx-t. Las posiciones son congruentes con la gráfica vx-t; por ejemplo, de tA a tB la velocidad es negativa, así que en tB la partícula está en un valor más negativo de x que en tA. a) La gráfica vx-t para un objeto que se mueve en el eje x vx b) Posición, velocidad y aceleración del objeto en el eje x a Pendiente cero: ax 5 0 v tA 5 0 C 0 x El objeto está en x , 0 y se mueve en la dirección 2x (vx , 0), frenando (vx y ax tienen signos opuestos). x El objeto está en x , 0, instantáneamente en reposo (vx 5 0), y a punto de moverse en la dirección 1x (ax . 0). x El objeto está en x . 0 y se mueve en la dirección 1x (vx . 0); su rapidez no cambia instantáneamente (ax 5 0). a 0 B tB D t v50 0 a50 A Pendiente positiva: ax . 0 tC E Pendiente negativa: ax , 0 v 0 a tD v50 0 El objeto está en x . 0, instantáneamente en reposo (vx 5 0), x y a punto de moverse en la dirección 2x (a , 0). x a Cuanto más pronunciada sea la pendiente (positiva o negativa) de la gráfica vx-t de un objeto, mayor será la aceleración del objeto en la dirección positiva o negativa. tE v 0 x El objeto está en x . 0 y se mueve en la dirección 2x (vx , 0), acelerando (vx y ax tienen el mismo signo). 46 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.14 a) La misma gráfica x-t de la figura 2.8a. La velocidad es igual a la pendiente de la gráfica, y la aceleración está dada por su concavidad o curvatura. b) Diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración de la partícula en cada uno de los instantes identificados en la gráfica x-t. a) Gráfica x-t b) Movimiento del objeto Pendiente cero: vx 5 0 Curvatura hacia abajo: ax , 0 x Pendiente negativa: vx , 0 Curvatura hacia arriba: ax . 0 C D tA 5 0 x 0 a50 tB v x 0 a t Pendiente negativa: vx , 0 Curvatura cero: ax 5 0 Pendiente positiva: vx . 0 Curvatura cero: ax 5 0 A v E B 0 a v50 tC 0 v a50 tD 0 x x a Pendiente positiva: vx . 0 Curvatura hacia arriba: ax . 0 tE v 0 x El objeto está en x , 0, se mueve en la dirección 1x (vx . 0) y acelera (vx y ax tienen el mismo signo). El objeto está en x 5 0, se mueve en la dirección 1x (vx . 0); la rapidez no cambia instantáneamente (ax 5 0). El objeto está en x . 0, instantáneamente en reposo (vx 5 0) y a punto de moverse en la dirección 2x (ax , 0). El objeto está en x . 0, se mueve en la dirección 2x (vx , 0); la rapidez no cambia instantáneamente (ax 5 0). El objeto está en x . 0, se mueve en la dirección 2x (vx , 0) y frena (vx y ax tienen signos opuestos). Cuanto mayor es la curvatura (hacia arriba o hacia abajo) de una gráfica x-t de un objeto, mayor es la aceleración del objeto en la dirección positiva o negativa, respectivamente. Es decir, ax es la segunda derivada de x con respecto a t. La segunda derivada de cualquier función se relaciona directamente con la concavidad o curvatura de la gráfica de la función (figura 2.14). En un punto donde la gráfica x-t sea cóncava hacia arriba (curvada hacia arriba), la aceleración es positiva y vx aumenta; donde la gráfica x-t sea cóncava hacia abajo, la aceleración es negativa y vx disminuye. Donde la gráfica x-t no tenga curvatura, como en un punto de inflexión, la aceleración es cero y la velocidad es constante. Estas tres posibilidades se ilustran en la figura 2.14. Examinar la curvatura de una gráfica x-t es una manera sencilla de determinar qué signo tiene la aceleración. Esta técnica es menos útil para determinar valores numéricos de la aceleración, ya que es difícil medir con exactitud la curvatura de una gráfica. 2.15 Diagrama de movimiento para una partícula que se mueve en línea recta en la dirección +x con aceleración positiva constante ax. Se muestran la posición, velocidad y aceleración en cinco instantes de igual duración. t⫽0 Si una partícula se mueve en línea recta con aceleración constante ax ... a v x 0 ... la velocidad cambia por cantidades iguales en intervalos iguales. a t ⫽ Dt t ⫽ 2Dt t ⫽ 3Dt t ⫽ 4Dt v 0 x a v 0 x a v 0 Evalúe su comprensión de la sección 2.3 Observe otra vez la gráfica x-t de la figura 2.9 al final de la sección 2.2. a) ¿En cuál de los puntos P, Q, R y S la aceleración ax es positiva? b) ¿En cuáles es negativa? c) ¿En cuáles parece ser cero? d) En cada punto, indique si la velocidad aumenta, disminuye o se mantiene constante. x a v 0 Sin embargo, la posición cambia por cantidades diferentes en intervalos iguales porque la velocidad cambia. x 2.4 Movimiento con aceleración constante El movimiento acelerado más sencillo es el rectilíneo con aceleración constante. En este caso, la velocidad cambia al mismo ritmo a lo largo del movimiento. Como ejemplo, un cuerpo que cae tiene aceleración constante si los efectos del aire no son importantes. Lo mismo sucede con un cuerpo que se desliza por una pendiente o sobre una superficie horizontal áspera, o con un avión cuando es lanzado con catapulta desde la cubierta de un portaaviones. La figura 2.15 es un diagrama de movimiento que muestra la posición, velocidad y aceleración de una partícula que se mueve con aceleración constante. Las figuras 2.16 y 2.17 representan este movimiento con gráficas. Puesto que la aceleración es constante, la gráfica ax-t (aceleración contra tiempo) de la figura 2.16 es una línea horizontal. La gráfica de velocidad contra tiempo, vx-t, tiene pendiente constante porque la aceleración es constante; por lo tanto, es una línea recta (figura 2.17). 2.4 Movimiento con aceleración constante Cuando la aceleración ax es constante, la aceleración media amed-x para cualquier intervalo es ax. Esto facilita la obtención de las ecuaciones para la posición x y la velocidad vx como funciones del tiempo. Con la finalidad de encontrar una expresión para vx, primero sustituimos amed-x por ax en la ecuación (2.4): ax = v2x - v1x t2 - t1 (2.7) Sean ahora t1 = 0 y t2 cualquier instante posterior t. Simbolizamos con v0x la velocidad en el instante inicial t = 0; la velocidad en el instante posterior t es vx. Entonces, la ecuación (2.7) se convierte en ax = vx = v0x + ax t vx - v0x t - 0 (2.8) En la ecuación (2.8) el término axt es el producto de la tasa constante de cambio en la velocidad, ax, y el intervalo de tiempo t; por lo tanto, es el cambio total de la velocidad desde el instante inicial t = 0 hasta un instante posterior t. La velocidad vx en cualquier instante t es entonces la velocidad inicial v0x (en t = 0) más el cambio en la velocidad axt (véase la figura 2.17). La ecuación (2.8) también dice que el cambio de velocidad vx - v0x de la partícula entre t = 0 y un tiempo posterior t es igual al área bajo la gráfica ax-t entre esos dos instantes. Se puede verificar esto en la figura 2.16: bajo la curva hay un rectángulo con lado vertical ax y lado horizontal t. El área del rectángulo es axt, que por la ecuación (2.8) es igual al cambio de velocidad vx - v0x. En la sección 2.6 veremos que aun cuando la aceleración no sea constante, el cambio de velocidad durante un intervalo es igual al área bajo la curva ax-t, aunque en tal caso la ecuación (2.8) no es válida. Ahora deduciremos una ecuación para la posición x en función del tiempo cuando la aceleración es constante. Para ello, usamos dos expresiones distintas para la velocidad media amed-x en el intervalo de t = 0 a cualquier tiempo t posterior. La primera proviene de la definición de vmed-x, ecuación (2.2), que se cumple independientemente de que la aceleración sea constante o no. Llamamos a la posición en el tiempo t = 0 posición inicial, y la denotamos con x0. La posición en el tiempo t posterior es simplemente x. Así, para el intervalo ¢t = t - 0, el desplazamiento es ¢x = x - x0; la ecuación (2.2) da x - x0 t (2.9) También podemos obtener otra expresión para vmed-x que es válida solo si la aceleración es constante, de modo que la velocidad cambia a ritmo constante. En este caso, la velocidad media para el intervalo de 0 a t es simplemente el promedio de las velocidades al principio y al final del intervalo: vmed-x = v0x + vx 2 (solo con aceleración constante) (2.10) (Esta ecuación no se cumple si la aceleración varía durante el intervalo). También sabemos que, con aceleración constante, la velocidad vx en un instante t está dada por la ecuación (2.8). Sustituyendo esa expresión por vx en la ecuación (2.10), obtenemos vmed-x = 12 1v0x + v0x + ax t2 = v0x + 12 ax t 2.16 Gráfica aceleración-tiempo (ax-t) para movimiento rectilíneo con aceleración positiva constante ax. ax Aceleración constante: la gráfica ax-t es una línea horizontal (pendiente 5 0). ax O t t El área bajo la gráfica ax-t es vx 2 v0x 5 cambio de velocidad del tiempo 0 al tiempo t. o (solo con aceleración constante) vmed-x = 47 (solo con aceleración constante) (2.11) 2.17 Gráfica velocidad-tiempo (vx-t) para movimiento rectilíneo con aceleración positiva constante ax. La velocidad inicial v0x también es positiva en este caso. vx Aceleración constante: la gráfica vx-t es una recta. vx era e5 l ace Durante el intervalo t, la velocidad cambia como vx 2 v0x 5 axt. ció n t ien v0x d Pen ax t vx v0x t O t El área total bajo la gráfica vx-t es x 2 x0 5 cambio en la coordenada x del tiempo 0 al tiempo t. PhET: Forces in 1 Dimension ActivPhysics 1.1: Analyzing Motion Using Diagrams ActivPhysics 1.2: Analyzing Motion Using Graphs ActivPhysics 1.3: Predicting Motion from Graphs ActivPhysics 1.4: Predicting Motion from Equations ActivPhysics 1.5: Problem-Solving Strategies for Kinematics ActivPhysics 1.6: Skier Races Downhill 48 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Aplicación Pruebas con humanos a grandes aceleraciones En algunos experimentos llevados a cabo por la fuerza aérea estadounidense, entre las décadas de 1940 y 1950, se demostró que los humanos que conducían un cohete podían resistir aceleraciones tan grandes como 440 m兾s2. Las primeras tres fotografías de esta secuencia muestran al médico de la fuerza aérea John Stapp acelerando del reposo a 188 m兾s (678 km兾h = 421 mi兾h) en solo 5 s. Las fotografías 4 a 6 muestran inclusive una magnitud más grande de aceleración conforme el cohete frenaba para detenerse. Por último, igualamos las ecuaciones (2.9) y (2.11) y simplificamos: v0x + 12 ax t = x = x0 + v0x t + 12 ax t2 x - x0 t o (solo con aceleración constante) Esta ecuación (2.12) indica que: si en el instante t = 0, una partícula está en x0 y tiene velocidad v0x, su nueva posición x en cualquier tiempo t posterior es la suma de tres términos: su posición inicial x0, más la distancia v0x t que recorrería si su velocidad fuera constante, y una distancia adicional 21 ax t 2 causada por el cambio de velocidad. Una gráfica de la ecuación (2.12), es decir, una gráfica x-t para movimiento con aceleración constante (figura 2.18a), siempre es una parábola. La figura 2.18b muestra una gráfica como esta. La curva hace intersección con el eje vertical (x) en x0, la posición en t = 0. La pendiente de la tangente en t = 0 es v0x, la velocidad inicial, y la pendiente de la tangente en cualquier tiempo t es la velocidad vx en ese instante. La pendiente y la velocidad aumentan continuamente, así que la aceleración ax es positiva; usted también puede ver esto porque la gráfica de la figura 2.18b es cóncava hacia arriba (se curva hacia arriba). Si ax es negativa, la gráfica x-t es una parábola cóncava hacia abajo (tiene curvatura hacia abajo). Si hay aceleración cero, la gráfica x-t es una recta; si hay una aceleración constante, el término adicional 12 ax t 2 en la ecuación (2.12) para x en función de t curva la gráfica en una parábola (figura 2.19a). Podemos analizar la gráfica vx-t de la misma forma. Si hay aceleración cero, esta gráfica es una línea horizontal (la velocidad es constante); agregando una aceleración constante da una pendiente para la gráfica vx-t (figura 2.19b). 2.18 a) Movimiento rectilíneo con aceleración constante. b) Gráfica de posición contra tiempo (x-t) para este movimiento (el mismo que se ilustra en las figuras 2.15, 2.16 y 2.17). En este caso, la posición inicial x0, la velocidad inicial v0x y la aceleración ax son todas positivas. a) Un auto de carreras se mueve en la dirección x con aceleración constante b) La gráfica x-t x x vx 5 v0x 1 ax t x Pendiente 5 vx x Aceleración constante: la gráfica x-t es una parábola. Durante el intervalo t, la velocidad cambia como vx 2 v0x 5 ax t. v0x x0 Pendiente 5 v0x x0 O 2.19 Cómo una aceleración constante influye en a) la gráfica x-t y b) la gráfica vx-t de un cuerpo. (2.12) t O a) Gráfica x-t para un objeto que se mueve con aceleración constante positiva t b) La gráfica vx-t para el mismo objeto vx La gráfica con aceleración constante: 1 x x 5 x0 1 v0x t 1 2 ax t 2 El efecto de la aceleración: 1 a t2 2 x x0 O La gráfica con aceleración constante: vx 5 v0x 1 ax t v0x La gráfica que obtendríamos con aceleración cero: O x 5 x0 1 v0x t t La velocidad agregada debido a la aceleración: ax t La gráfica con aceleración cero: vx 5 v0x t 49 2.4 Movimiento con aceleración constante Así como el cambio de velocidad de la partícula es igual al área bajo la gráfica ax-t, el desplazamiento (es decir, el cambio de posición) es igual al área bajo la gráfica vx-t. Específicamente, el desplazamiento x - x0 de la partícula entre t = 0 y cualquier instante t posterior es igual al área bajo la gráfica vx-t entre esos dos instantes. En la figura 2.17 el área bajo la gráfica se dividió en un rectángulo oscuro (con lado vertical v0x, lado horizontal t y área v0xt) y un triángulo rectángulo claro (con lado vertical axt y lado horizontal t y área 12 (axt)(t) = 21 axt2). El área total bajo la gráfica vx-t es x - x0 = v0x t + 12 ax t2 PhET: The Moving Man ActivPhysics 1.8: Seat Belts Save Lives ActivPhysics 1.9: Screeching to a Halt ActivPhysics 1.11: Car Starts, Then Stops ActivPhysics 1.12: Solving Two-Vehicle Problems ActivPhysics 1.13: Car Catches Truck ActivPhysics 1.14: Avoiding a Rear-End Collision lo que es congruente con la ecuación (2.12). El desplazamiento durante un intervalo siempre puede obtenerse del área bajo la curva vx-t, incluso si la aceleración no es constante, aunque en tal caso la ecuación (2.12) no sería válida. (Demostraremos esto en la sección 2.6). A menudo es útil tener una relación para la posición, la velocidad y la aceleración (constante) que no involucre el tiempo. Para lograr esto, primero despejamos t de la ecuación (2.8) y luego sustituimos la expresión resultante en la ecuación (2.12): t = vx - v0x ax x = x 0 + v0x a vx - v0x vx - v0x 2 b + 12 ax a b ax ax Transferimos el término x0 al lado izquierdo y multiplicamos la ecuación por 2ax: 2ax 1x - x 02 = 2v0x vx - 2v0x2 + vx2 - 2v0x vx + v0x2 Finalmente, simplificando nos da vx2 = v0x2 + 2ax 1x - x 02 (solo aceleración constante) (2.13) Podemos obtener una relación más útil igualando las dos expresiones para vmed-x, ecuaciones (2.9) y (2.10), y multiplicando por t. Al hacerlo, obtenemos x - x0 = a v0x + vx bt 2 Tabla 2.4 Ecuaciones de (solo aceleración constante) (2.14) Observe que la ecuación (2.14) no incluye la aceleración ax. Esta ecuación es útil cuando ax es constante pero se desconoce su valor. Las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) son las ecuaciones del movimiento con aceleración constante (tabla 2.4). Con ellas, podemos resolver cualquier problema que implique movimiento rectilíneo de una partícula con aceleración constante. En el caso específico de movimiento con aceleración constante ilustrado en la figura 2.15 y graficado en las figuras 2.16, 2.17 y 2.18, los valores de x0, v0x y ax son positivos. Vuelva a dibujar las figuras para los casos en que una, dos o las tres cantidades sean negativas. movimiento con aceleración constante Cantidades que incluye Ecuación vx = v0x + axt (2.8) x = x 0 + v0x t + 12 ax t 2 (2.12) t vx 2 = v0x 2 + 2ax 1x - x 02 (2.13) x - x0 = a v0x + vx bt 2 (2.14) vx ax t x ax x vx ax t x vx 50 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Estrategia para resolver problemas 2.1 Movimiento con aceleración constante IDENTIFICAR los conceptos relevantes: En casi todos los problemas de movimiento rectilíneo, usted podrá usar las ecuaciones de aceleración constante (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14). Si usted encuentra una situación en que la aceleración no es constante, necesitará otra estrategia (véase la sección 2.6). PLANTEAR el problema siguiendo estos pasos: 1. Lea el problema cuidadosamente. Elabore un diagrama de movimiento que muestre la localización de la partícula en los tiempos que nos interesan. Determine dónde colocar el origen de las coordenadas y cuál dirección del eje es positiva. A menudo lo más sencillo es colocar la partícula en el origen en t = 0; así, x0 = 0. Recuerde que elegir la dirección positiva del eje determina automáticamente las direcciones positivas de la velocidad y la aceleración. Si x es positiva a la derecha del origen, vx y ax también serán positivas hacia la derecha. 2. Identifique las cantidades físicas (tiempos, posiciones, velocidades y aceleraciones) que aparecen en las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) y asígneles los símbolos adecuados: x, x0, vx, v0x y ax, o símbolos relacionados con ellos. Traduzca las palabras al lenguaje de la física: “¿Cuándo llega la partícula al punto más alto?” significa “¿Cuál es el valor de t cuando x tiene su máximo valor?”. En el ejemplo 2.4 que sigue, la pregunta “¿Dónde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m兾s?” significa “¿Cuánto vale x cuando vx = 25 m兾s?”. Manténgase alerta con la información implícita. Por ejemplo, “un automóvil está detenido ante un semáforo” implica v0x = 0. Ejemplo 2.4 EJECUTAR la solución: Si se aplica una sola ecuación, despeje la incógnita usando solo símbolos, sustituya los valores conocidos y calcule el valor de la incógnita. Si usted tiene dos ecuaciones con dos incógnitas, resuélvalas simultáneamente para encontrarlas. EVALUAR la respuesta: Examine sus resultados para ver si son lógicos. ¿Están dentro del intervalo general de valores esperados? Cálculos con aceleración constante Un motociclista que viaja al este cruza una pequeña ciudad y viaja con aceleración constante de 4.0 m兾s2 después de pasar los límites de la ciudad (figura 2.20). En el tiempo t = 0, está a 5.0 m al este del letrero de límite de la ciudad, y se desplaza al este a 15 m兾s. a) Calcule su posición y velocidad en t = 2.0 s. b) ¿Dónde está el motociclista cuando su velocidad es de 25 m兾s? la ecuación (2.12), como la velocidad vx, en ese instante, con la ecuación (2.8): x = x 0 + v0xt + 12 axt 2 = 5.0 m + 115 m > s212.0 s2 + 1 2 14.0 m > s2212.0 s22 = 43 m vx = v0x + axt SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es constante, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración constante. Tomamos el letrero como origen de coordenadas (x = 0) y determinamos que el eje +x apunta al este (véase la figura 2.20, que también es un diagrama de movimiento). Las variables conocidas son la posición inicial y la velocidad, x0 = 5.0 m y v0x = 15 m兾s, y la aceleración ax = 4.0 m兾s2. Las variables desconocidas en el inciso a) son los valores de la posición x y la velocidad vx en el instante t = 2.0 s; la incógnita en el inciso b) es el valor de x cuando vx = 25 m兾s. EJECUTAR: a) Como conocemos los valores de x0, v0x y ax, la tabla 2.4 nos dice que podemos obtener tanto la posición x en t = 2.0 s, usando ax 5 4.0 m s2 / v0x 5 15 m s / OSAGE 19 65 1 AW x x0 5 5.0 m t50 vx 5 ? 19 65 1 AW x x5? t 5 2.0 s = 15 m > s + 14.0 m > s2212.0 s2 = 23 m > s b) Queremos encontrar el valor de x cuando vx = 25 m兾s, pero no conocemos el momento en que el motociclista lleva tal velocidad. La tabla 2.4 nos dice que debemos utilizar la ecuación (2.13), que incluye x, vx y ax, pero no incluye a t: vx2 = v0x2 + 2ax1x - x 02 Despejando x y sustituyendo los valores conocidos, obtenemos x = x0 + vx2 - v0x2 2ax = 5.0 m + 2.20 Un motociclista que viaja con aceleración constante. O 3. Haga una lista de las cantidades como x, x0, vx, v0x, ax y t. Algunas serán conocidas y otras no. Escriba los valores de las conocidas e identifique cuáles de las variables son las incógnitas. Tome nota de la ausencia de cualquiera de las cantidades que aparecen en las cuatro ecuaciones de aceleración constante. 4. Use la tabla 2.4 para identificar las ecuaciones aplicables. (Estas son con frecuencia las ecuaciones que no incluyen las cantidades faltantes que identificó en el paso 3). Normalmente encontrará una ecuación única que solo contiene una de las incógnitas. Algunas veces debe identificar dos ecuaciones que contengan el mismo par de incógnitas. 5. Elabore gráficas que correspondan a las ecuaciones aplicables. La gráfica vx-t de la ecuación (2.8) es una línea recta con pendiente igual a ax. La gráfica x-t de la ecuación (2.12) es una parábola cóncava hacia arriba si ax es positiva y cóncava hacia abajo si es negativa. 6. Con base en su experiencia con estos problemas y tomando en cuenta lo que le dicen las gráficas, haga predicciones cualitativas y cuantitativas acerca de la solución. x (este) 125 m > s22 - 115 m > s22 214.0 m > s22 = 55 m EVALUAR: Usted puede verificar el resultado del inciso b) usando primero la ecuación (2.8), vx = v0x + axt, para determinar el tiempo en el cual vx = 25 m兾s, que resulta ser t = 2.5 s. Luego usted puede usar la ecuación (2.12), x = x0 + v0xt + 12 axt 2, para obtener x. Usted debe obtener x = 55 m, la misma respuesta de arriba. Este es el camino largo para resolver el problema. El método usado en el inciso b) es mucho más eficiente. 51 2.4 Movimiento con aceleración constante Ejemplo 2.5 Dos cuerpos con diferente aceleración Una persona conduce su vehículo con rapidez constante de 15 mYs (aproximadamente 34 miYh) y pasa por un cruce escolar, donde el límite de velocidad es de 10 m/s (aproximadamente 22 miYh). En ese preciso momento, un oficial de policía en su motocicleta, que está detenido en el cruce, arranca para perseguir al infractor, con aceleración constante de 3.0 mYs2 (figura 2.21a). a) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que el oficial de policía alcance al infractor? b) ¿A qué rapidez va el policía en ese instante? c) ¿Qué distancia total habrá recorrido cada vehículo hasta ahí? S OL UC I ÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: El oficial de policía y el conductor se desplazan con aceleración constante (cero en el caso del conductor), así que podemos usar las fórmulas de aceleración constante. Tomamos como origen el cruce, así que x0  0 para ambos, y consideramos la derecha como dirección positiva. Sea xP la posición del policía y xM la del conductor en cualquier instante. Las velocidades iniciales son vP0x  0 y vM0x  15 mYs; las respectivas aceleraciones son aPx  3.0 mYs2 y aMx  0. Nuestra incógnita en el inciso a) es el tiempo tras el cual el policía alcanza al conductor, es decir, cuando los dos vehículos están en la misma posición x. La tabla 2.4 nos dice que la ecuación (2.12) es la adecuada para este inciso. En el inciso b) nos interesa la rapidez v del policía (la magnitud de su velocidad) en el tiempo obtenido en el inciso a). Utilizaremos la ecuación (2.8) para este inciso. En el inciso c) usaremos nuevamente la ecuación (2.12) para obtener la posición de cualquiera de los vehículos en ese tiempo. La figura 2.21b ilustra la gráfica x-t de ambos vehículos. La línea recta representa el movimiento del conductor, xM  xM0 vM0xt  vM0xt. La gráfica del movimiento del oficial es la mitad derecha de una parábola cóncava hacia arriba: x P  x P0 vP0xt 1 2 2 aPxt  12 aPxt 2 Un buen diagrama mostrará que el oficial y el conductor están en la misma posición (xP  xM) en un tiempo t  10 s, aproximadamente, instante en el que los dos han viajado 150 m a partir del cruce. EJECUTAR: a) Para buscar el valor del tiempo t cuando el conductor y el policía están en la misma posición, establecemos que xP  xM igualando las expresiones anteriores y despejando t: Hay dos instantes en que los vehículos tienen la misma coordenada x, como lo indica la figura 2.21b. En t  0, el conductor rebasa al oficial; en t  10 s, el oficial alcanza al conductor. b) Queremos conocer la magnitud de la velocidad del policía vPx en el instante t obtenido en a). Sustituyendo los valores de vP0x y aPx en la ecuación (2.8) junto con t  10 s del inciso a), obtenemos: vPx  vP0x aPxt  0 3.0 m  s210 s  30 ms La rapidez del policía es el valor absoluto de esto, la cual también es igual a 30 mYs. c) En 10 s, la distancia recorrida por el conductor es x M  vM0xt  15 m  s10 s  150 m y la distancia que el policía recorre es x P  12 aPxt 2  12 3.0 m  s210 s2  150 m Esto comprueba que cuando el policía alcanza al conductor, ambos han recorrido la misma distancia. EVALUAR: Los resultados de los incisos a) y c) concuerdan con las estimaciones del diagrama. Observe que en el instante en que el oficial alcanza al conductor, los dos vehículos no tienen la misma velocidad. En ese momento el conductor se desplaza a 15 mYs y el oficial se desplaza a 30 mYs. Se puede ver esto en la figura 2.21b. Donde las dos curvas x-t se cruzan, sus pendientes (iguales a los valores de vx para los dos vehículos) son diferentes. ¿Es solo una coincidencia que cuando los dos vehículos están en la misma posición, el oficial va al doble de la rapidez del conductor? La ecuación (2.14), x x0  [(v0x vx)Y2]t, da la respuesta. El conductor tiene velocidad constante, por lo que vM0x  vMx, y la distancia x x0 que viaja el conductor en el tiempo t es vM0xt. El oficial tiene velocidad inicial cero, de modo que en el mismo instante t el oficial una distancia 12 vPxt. los dos ve ículos la misma distanser iguales. cia en el mismo tiempo, los dos valores de x x0 esta forma, cuando el o cial alcanza al conductor vM0xt  12 vPxt y vPx  2vM0x, es decir, el o cial lleva e elocidad del conductor. ve esto es así independientemente del valor de la aceleración del o cial. vM0xt  12 aPxt 2 t  0 t  o 2 15 m  s 2vM0x   10 s aPx 3.0 m  s 2 2.21 a) Cuerpo en movimiento con aceleració b) ca de x contra t para cada ve ículo. vimiento con velocidad constante. b) x ( m) a) El policía y el conductor se encuentran en el instante t donde se cruzan sus gráficas x-t. 160 CRUCE ESCOLAR Oficial de policía: inicialmente en reposo, aceleración constante. 120 Conductor: velocidad constante. / aPx  3.0 m s2 O xP / vM0x  15 m s xM Conductor 80 40 x O Policía 2 4 6 8 10 12 t ( s) 52 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Evalúe su comprensión de la sección 2.4 Se muestran cuatro posibles gráficas vx-t para los dos vehículos del ejemplo 2.5. ¿Cuál es la gráfica correcta? a) b) c) vx vx vx d) vx Conductor Conductor Conductor Policía O 2.22 Fotografía con múltiples destellos de una pelota en caída libre. PhET: Lunar Lander ActivPhysics 1.7: Balloonist Drops Lemonade ActivPhysics 1.10: Pole-Vaulter Lands t ( s) 10 2.5 Policía O t ( s) 10 Conductor Policía Policía O t ( s) 10 t ( s) O 10 Cuerpos en caída libre El ejemplo más conocido de movimiento con aceleración (casi) constante es la caída de un cuerpo bajo la influencia de la atracción gravitacional de la Tierra. Dicho movimiento ha interesado a filósofos y científicos desde la Antigüedad. En el siglo IV a.C., Aristóteles pensaba (erróneamente) que los objetos pesados caían con mayor rapidez que los ligeros, en proporción a su peso. Diecinueve siglos después, Galileo (véase la sección 1.1) afirmó que los cuerpos caían con una aceleración constante e independiente de su peso. Los experimentos indican que, si es posible omitir el efecto del aire, Galileo está en lo cierto: todos los cuerpos en un lugar específico caen con la misma aceleración hacia abajo, independientemente de su tamaño o peso. Si, además, la distancia de caída es pequeña en comparación con el radio terrestre, y si ignoramos los pequeños efectos debidos a la rotación de la Tierra, la aceleración es constante. El modelo idealizado que surge de tales supuestos se denomina caída libre, aunque también incluye el movimiento ascendente. (En el capítulo 3 ampliaremos el estudio de la caída libre para incluir el movimiento de proyectiles, los cuales se desplazan en forma tanto horizontal como vertical). La figura 2.22 es una fotografía de una pelota que cae, tomada con una lámpara estroboscópica que produce una serie de destellos intensos cortos. En cada destello, se registra una imagen fotográfica de la pelota en ese instante. Como los intervalos entre destellos son iguales, la velocidad media de la pelota entre dos destellos es proporcional a la distancia entre las imágenes correspondientes en la fotografía. El aumento en las distancias entre las imágenes indica que la velocidad cambia continuamente; la pelota acelera hacia abajo. Una medición cuidadosa revela que el cambio de velocidad es el mismo en cada intervalo, así que la aceleración de la pelota en caída libre es constante. La aceleración constante de un cuerpo en caída libre se llama aceleración debida a la gravedad, y denotamos su magnitud con la letra g. Por lo regular, usaremos el valor aproximado de g en la superficie terrestre o cerca de ella: g = 9.8 m>s2 = 980 cm>s2 = 32 ft>s2 (valor aproximado cerca de la superficie terrestre) El valor exacto varía según el lugar, así que normalmente daremos el valor de g en la superficie de la Tierra con solo dos cifras significativas. En la superficie de la Luna, la aceleración debida a la gravedad es causada por la fuerza de atracción de la Luna, no de la Tierra, y g = 1.6 m兾s2. Cerca de la superficie del Sol, g = 270 m兾s2. CUIDADO g siempre es un número positivo Como g es la magnitud de un vector, siempre es un número positivo. Si usted considera la dirección positiva hacia arriba, como lo hacemos en el ejemplo 2.6 y en la mayoría de las situaciones que implican caída libre, la aceleración es negativa (hacia abajo) e igual a -g. Tenga cuidado con el signo de g, o tendrá muchas dificultades con los problemas de caída libre. En los ejemplos que siguen usaremos las ecuaciones para aceleración constante que dedujimos en la sección 2.4. Sugerimos al lector que repase las estrategias de resolución de problemas 2.1 de dicha sección antes de estudiar estos ejemplos. 2.5 Cuerpos en caída libre Ejemplo 2.6 53 Moneda en caída libre Se deja caer una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa; la moneda cae libremente a partir del reposo. Calcule su posición y velocidad después de 1.0 s, 2.0 s y 3.0 s? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: “Cae libremente” significa “cae con aceleración constante debida a la gravedad”, así que podemos usar las ecuaciones para aceleración constante. El lado derecho de la figura 2.23 muestra nuestro diagrama de movimiento para la moneda. El 2.23 Una moneda en caída libre a partir del reposo. La Torre Inclinada Diagrama del problema movimieto es vertical, de manera que usamos un eje de coordenadas vertical y llamaremos y a la coordenada en lugar de x. Tomaremos el origen O como el punto de partida y la dirección hacia arriba como positiva. La coordenada inicial y0 y la velocidad inicial v0y son ambas cero. La aceleración es hacia abajo, en la dirección negativa de y, así que ay = -g = -9.8 m兾s2. (Recuerde que, por definición, g es positiva). Nuestras incógnitas son los valores de y y vy en los tres instantes especificados. Para obtenerlos, usamos las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustituyendo x por y. La elección de la dirección hacia arriba como positiva significa que todas las posiciones y velocidades que calculemos serán negativas. EJECUTAR: En un instante t después de que se suelta la moneda, su posición y su velocidad son y = y0 + v0yt + 12 ayt 2 = 0 + 0 + 12 1- g2t 2 = 1 -4.9 m > s22t 2 vy = v0y + ayt = 0 + 1 -g2t = 1- 9.8 m > s22t Cuando t = 1.0 s, y = (-4.9 m兾s2)(1.0 s)2 = -4.9 m y vy = (-9.8 m兾s2)(1.0 s) = -9.8 m兾s; después de 1 s, la moneda está 4.9 m debajo del origen (y es negativa) y tiene una velocidad hacia abajo (vy es negativa) con magnitud de 9.8 m兾s. Las posiciones y las velocidades a los 2.0 s y 3.0 s se obtienen de la misma forma. Los resultados son y = -20 m y vy = -20 m兾s en t = 2.0 s, y y = -44 m y vy = -29 m兾s en t = 3.0 s. EVALUAR: Todas nuestras respuestas son negativas, como se esperaba. Si hubiéramos elegido el eje y positivo apuntando hacia abajo, la aceleración habría sido ay = +g y todas nuestras respuestas habrían sido positivas. Ejemplo 2.7 Movimiento ascendente y descendente en caída libre Usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio alto. La pelota abandona la mano, en un punto a la altura del barandal de la azotea, con rapidez ascendente de 15.0 m兾s; después, la pelota está en caída libre. Al bajar, la pelota apenas elude el barandal. Obtenga a) la posición y velocidad de la pelota 1.00 s y 4.00 s después de soltarla; b) la velocidad cuando la pelota está 5.00 m sobre el barandal; c) la altura máxima alcanzada; y d) la aceleración de la pelota en su altura máxima. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Las palabras “en caída libre” significan que la aceleración es constante y debida a la gravedad. Las incógnitas son la posición [en los incisos a) y c)], la velocidad [en los incisos a) y b)] y la aceleración [en el inciso d)]. Tomamos el origen en el punto donde la pelota abandona su mano, y la dirección positiva hacia arriba (figura 2.24). La posición inicial y0 es cero, la velocidad inicial v0y es +15.0 m兾s y la aceleración es ay = -g = -9.80 m兾s2. En el inciso a), al igual que en el ejemplo 2.6, usaremos las ecuaciones (2.12) y (2.8) para calcular la posición y la velocidad en función del tiempo. En el inciso b), debemos obtener la velocidad en cierta posición (no en cierto tiempo), de modo que usaremos la ecuación (2.13). La figura 2.25 muestra las gráficas y-t y vy-t de la pelota. La gráfica y-t es una parábola cóncava hacia abajo que sube y luego baja, y la gráfica vy-t es una línea recta con pendiente hacia abajo. Observe que la velocidad de la pelota es cero cuando se encuentra en su punto más alto. EJECUTAR: a) La posición y y la velocidad vy en el instante t están dadas por las ecuaciones (2.12) y (2.8), sustituyendo las x por y: y = y0 + v0yt + 12 ayt 2 = y0 + v0yt + 12 1 -g2t 2 = 102 + 115.0 m > s2t + 12 1- 9.80 m > s22t 2 vy = v0y + ayt = v0y + 1-g2t = 15.0 m > s + 1- 9.80 m > s22t Continúa 54 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Cuando t = 1.00 s, estas ecuaciones dan y = +10.1 m y vy = +5.2 m兾s. Es decir, la pelota está 10.1 m sobre el origen (y es positiva) y se mueve hacia arriba (vy es positiva) con rapidez de 5.2 m兾s, la cual es menor que la rapidez inicial porque la pelota frena mientras asciende. Cuando t = 4.00 s, las ecuaciones dan y = -18.4 m y vy = -24.2 m兾s. La pelota pasó su punto más alto y está 18.4 m debajo del origen (pues y es negativa); tiene movimiento hacia abajo (vy es negativa) de magnitud 24.2 m兾s. Conforme baja, la pelota gana rapidez, la ecuación (2.13) nos dice que se mueve a la rapidez inicial de 15.0 m兾s cuando pasa hacia abajo por su punto de lanzamiento y continúa ganando rapidez conforme desciende por debajo de este punto. b) La velocidad vy en cualquier posición y está dada por la ecuación (2.13) sustituyendo las x por y: vy2 = v0y2 + 2ay 1y - y02 = v0y2 + 21- g21y - 02 = 115.0 m > s22 + 2 1- 9.80 m > s22y Con la pelota a 5.00 m sobre el origen, y = +5.00 m, así que c) En el instante en que la pelota llega al punto más alto y1, su velocidad momentáneamente es cero: vy = 0. Usamos la ecuación (2.13) para obtener y1. Con vy = 0, y0 = 0 y ay = -g, obtenemos: 0 = v0y2 + 2 1- g21y1 - 02 y1 = v0y2 2g = 115.0 m > s22 = + 11.5 m 219.80 m > s22 d) CUIDADO Una idea errónea acerca de la caída libre Es un error común pensar que en el punto más alto del movimiento en caída libre, donde la velocidad es cero, la aceleración también es cero. Si fuera así, una vez que la pelota alcanza el punto más alto, ¡quedaría suspendida en el aire! Recuerde que la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad, y la velocidad está cambiando continuamente. En todos los puntos, incluyendo el punto más alto, y para cualquier velocidad, incluyendo cero, la aceleración en caída libre siempre es ay = -g = -9.80 m兾s2. Obtenemos dos valores de vy, porque la pelota pasa dos veces por el punto y = +5.00 m, una subiendo (vy positiva) y otra bajando (vy negativa) (véase las figuras 2.24 y 2.25a). EVALUAR: Una forma útil de verificar cualquier problema de caída libre consiste en dibujar las gráficas y-t y vy-t como lo hicimos en la figura 2.25. Observe que estas son gráficas de las ecuaciones (2.12) y (2.8), respectivamente. Dados los valores numéricos de la posición inicial, velocidad inicial y aceleración, se pueden elaborar fácilmente estas gráficas usando una calculadora graficadora o un programa de matemáticas en línea. 2.24 Posición y velocidad de una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba. 2.25 a) Posición y b) velocidad en función del tiempo para una pelota lanzada hacia arriba con una rapidez inicial de 15 m兾s. vy2 = 115.0 m > s22 + 21 - 9.80 m > s2215.00 m2 = 127 m2 > s2 vy = ⫾11.3 m > s La pelota en realidad se mueve hacia arriba y después hacia abajo; por claridad, presentamos una trayectoria con forma de U. t 5 1.00 s, vy 5 ? a) Gráfica y-t (la curvatura es hacia abajo porque ay 5 2g es negativa) y vy 5 0 t5? y5? y5? y ( m) 15 t 5 ?, vy 5 ? t 5 0, v0y 5 15.0 m/s t5? vy 5 ? y 5 5.00 m y50 10 5 0 25 ay 5 2g 5 29.80 m/s2 t 5 4.00 s vy 5 ? Ejemplo 2.8 y5? 210 215 220 b) Gráfica vy-t (recta con pendiente negativa porque ay 5 2g es constante y negativa) Antes de t 5 1.53 s, la v (m s) pelota se mueve hacia arriba. y Antes de t 5 1.53 s, 15 la velocidad es positiva. Después de 10 t 5 1.53 s, la pelota se mueve 5 hacia abajo. t ( s) 0 1 2 3 4 t ( s) 1 2 3 4 25 Después de t 5 1.53 s, la 210 velocidad es 215 negativa. 220 / 225 ¿Dos soluciones o una? Determine el instante en que la pelota del ejemplo 2.7, después de ser liberada, está 5.00 m por debajo del barandal? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problema se trata como el ejemplo 2.7, así que y0, v0y y ay = -g tienen los mismos valores que en ese problema. Sin embargo, en este ejemplo la incógnita es el instante en que la pelota se encuentra en y = -5.00 m. Lo mejor es usar la ecuación (2.12), la cual nos da la posición y como función del tiempo t: y = y0 + v0yt + 12 ayt 2 = y0 + v0yt + 12 1- g2t 2 Esta es una ecuación cuadrática en t, que queremos despejar cuando y = -5.00 m. 2.6 Velocidad y posición por integración EJECUTAR: Replanteamos la ecuación de modo que tenga la forma cuadrática estándar para una x desconocida, Ax2 + Bx + C = 0: 112 g2t 2 + 1-v0y2t + 1y - y02 = At 2 + Bt + C = 0 1 Por comparación, identificamos A = 2 g, B = -v0y y C = y - y0. La fórmula cuadrática (véase el apéndice B) nos dice que esta ecuación tiene dos soluciones. t = = = -B 2B 2 - 4AC 2A -1-v0y2 21-v0y22 - 4 112g21y - y022 2 112g2 v0y 2v0y2 - 2g 1y - y02 g Sustituyendo los valores y0 = 0, v0y = +15.0 m兾s, g = 9.80 m兾s2 y y = -5.00 m, obtenemos. t = 115.0 m > s2 2115.0 m > s22 - 219.80 m > s221-5.00 m - 02 9.80 m > s2 Usted puede confirmar que las respuestas numéricas son t = +3.36 s y t = -0.30 s. La respuesta t = -0.30 s no tiene sentido, puesto que se refiere al tiempo antes de soltar la pelota en t = 0. Así que la respuesta correcta es t = +3.36 s. EVALUAR: ¿Por qué obtuvimos una segunda solución ficticia? La explicación es que las ecuaciones de aceleración constante, como la ecuación (2.12), se basan en el supuesto de que la aceleración es constante para todos los valores de tiempo, positivos, negativos o cero. De modo que la solución t = -0.30 s se refiere a un momento imaginario cuando una pelota en caída libre estaba 5.00 m debajo del barandal y elevándose para alcanzar su mano. Como la pelota no salió de su mano y entró en caída libre hasta t = 0, este resultado es pura ficción. Repita estos cálculos para obtener los tiempos en que la pelota está 5.00 m sobre el origen (y = +5.00 m). Las dos respuestas son t = +0.38 s y t = +2.68 s; ambos son valores positivos de t y se refieren al movimiento real de la pelota una vez soltada. El primer instante es cuando la pelota pasa por y = +5.00 m de subida, y el segundo, cuando pasa por ahí de bajada. [Compare esto con el inciso b) del ejemplo 2.7 y nuevamente remítase a la figura 2.25a)]. Determine también los instantes en que y = +15.0 m. En este caso, ambas soluciones requieren obtener la raíz cuadrada de un número negativo, así que no hay soluciones reales. Nuevamente la figura 2.25a indica por qué; en el inciso c) del ejemplo 2.7 vimos que la altura máxima de la pelota es y = +11.5 m, así que nunca llega a y = +15.0 m. Aunque una ecuación cuadrática como la (2.12) siempre tiene dos soluciones, en ocasiones una o ambas soluciones no tienen sentido físico. Evalúe su comprensión de la sección 2.5 Si usted lanza una pelota hacia arriba con cierta rapidez inicial, esta cae libremente y alcanza una altura máxima h en un instante t después de que abandona su mano. a) Si usted arroja la pelota hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, ¿qué nueva altura máxima alcanzará la pelota? i. h 12 ; ii. 2h; iii. 4h; iv. 8h; v. 16h. b) Si usted lanza la pelota hacia arriba con el doble de la rapidez inicial, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar su nueva altura máxima? i. t兾2; ii. t> 12 ; iii. t; iv. t 12 ; v. 2t. 2.6 55 Velocidad y posición por integración Esta sección es para estudiantes que ya aprendieron algo de cálculo integral. En la sección 2.4 analizamos el caso especial de movimiento rectilíneo con aceleración constante. Si ax no es constante, como sucede comúnmente, no podremos aplicar las ecuaciones que dedujimos en esa sección (figura 2.26). Pero aun si ax varía con el tiempo, podemos usar la relación vx = dx兾dt para obtener la velocidad vx en función del tiempo si la posición x es una función conocida de t, y podemos usar ax = dvx兾dt para obtener la aceleración ax en función del tiempo si vx es una función conocida de t. Sin embargo, en muchas situaciones no se conocen la posición ni la velocidad en función del tiempo, pero sí la aceleración (figura 2.27). ¿Cómo obtenemos la posición y la velocidad en el movimiento rectilíneo a partir de la función de aceleración ax(t)? Primero consideraremos un enfoque gráfico. La figura 2.28 es una gráfica de aceleración contra tiempo para un cuerpo cuya aceleración no es constante. Podemos dividir el intervalo entre los tiempos t1 y t2 en muchos intervalos más pequeños, llamando ¢t a uno representativo. Sea amed-x la aceleración media durante ¢t. Por la ecuación (2.4), el cambio de velocidad ¢vx durante ¢t es ¢vx = amed-x ¢t Gráficamente, ¢vx es igual al área de la tira sombreada con altura amed-x y anchura ¢t, es decir, el área bajo la curva entre los lados derecho e izquierdo de ¢t. El cambio total de velocidad en cualquier intervalo (digamos, de t1 a t2) es la suma de los cambios de velocidad ¢vx en los subintervalos pequeños. De esta manera, el cambio total de velocidad se representa gráficamente con el área total bajo la curva ax-t entre las 2.26 Cuando pisamos el pedal del acelerador de un automóvil, la aceleración resultante no es constante: cuanto mayor sea la rapidez del auto, más lentamente adquirirá rapidez adicional. Un automóvil ordinario tarda el doble en acelerar de 50 a 100 km兾h que en acelerar de 0 a 50 km兾h. 56 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.27 El sistema de navegación inercial (INS, por las siglas de inertial navigation system) a bordo de un avión comercial de largo alcance mantiene bajo supervisión la aceleración del avión. Los pilotos introducen la posición inicial y la velocidad antes del despegue, y el INS usa los datos de aceleración para calcular la posición y velocidad del avión durante el vuelo. líneas verticales t1 y t2. (En la sección 2.4 demostramos que esto se cumplía para el caso especial en que la aceleración es constante). En el límite donde todos los ¢t se hacen muy pequeños y muy numerosos, el valor de amed-x para el intervalo de cualquier t a t + ¢t se acerca a la aceleración instantánea ax en el instante t. En este límite, el área bajo la curva ax-t es la integral de ax (que, en general, es una función de t) de t1 a t2. Si v1x es la velocidad del cuerpo en t1, y v2x es la velocidad en t2, entonces, v2x v2x - v1x = t2 dvx = Lv1x Lt1 ax dt (2.15) El cambio en la velocidad vx es la integral de la aceleración ax con respecto al tiempo. Podemos seguir exactamente el mismo procedimiento con la curva de la velocidad contra el tiempo. Si x1 es la posición de un cuerpo en t1, y x2 es su posición en t2, por la ecuación (2.2) el desplazamiento ¢x en un intervalo ¢t pequeño es vmed-x¢t, donde vmed-x es la velocidad media durante ¢t. El desplazamiento total x2 - x1 durante t2 - t1 está dado por x2 x2 - x1 = 2.28 Gráfica ax-t para un cuerpo cuya aceleración no es constante. ax Área de esta franja 5 Dvx 5 cambio en la velocidad durante el intervalo Dt. Lt1 vx dt (2.16) El cambio en la posición x (es decir, el desplazamiento) es la integral con respecto al tiempo de la velocidad vx. Gráficamente, el desplazamiento entre t1 y t2 es el área bajo la curva vx-t entre esos dos instantes. [Este es el mismo resultado que obtuvimos en la sección 2.4 para el caso especial en que vx está dada por la ecuación (2.8)]. Si t1 = 0 y t2 es cualquier instante posterior t, y si x0 y v0x son la posición y la velocidad en t = 0, respectivamente, entonces rescribimos las ecuaciones (2.15) y (2.16) como: t amed-x O Lx1 t2 dx = vx = v0x + t1 Dt t2 L0 ax dt (2.17) t t x = x0 + El área total bajo la gráfica x-t de t1 a t2 5 cambio neto en la velocidad de t1 a t2. L0 vx dt (2.18) Aquí, x y vx son la posición y la velocidad en el instante t. Si conocemos la aceleración ax en función del tiempo y conocemos la velocidad inicial v0x, podemos usar la ecuación (2.17) para obtener la velocidad vx en cualquier instante; en otras palabras, es posible obtener vx en función del tiempo. Una vez conocida esta función, y dada la posición inicial x0, podemos usar la ecuación (2.18) para calcular la posición x en cualquier instante. Ejemplo 2.9 Movimiento con aceleración variable Sally conduce su Mustang 1965 por una autopista recta. En el instante t = 0, cuando avanza a 10 m兾s en la dirección +x, pasa un letrero que está en x = 50 m. Su aceleración en función del tiempo es: ax = 2.0 m > s2 - 10.10 m > s32t a) Obtenga su velocidad vx y su posición x en función del tiempo. b) ¿En qué momento es máxima su velocidad? c) ¿Cuál es esa velocidad máxima? d) ¿Dónde está el automóvil cuando alcanza la velocidad máxima? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La aceleración es función del tiempo, así que no podemos usar las fórmulas para aceleración constante de la sección 2.4. En vez de ello, utilizamos la ecuación (2.17) con la finalidad de obtener una expresión para vx como función del tiempo, y luego usamos ese resultado en la ecuación (2.18) para obtener una expresión de x como función de t. Después, podremos contestar diversas preguntas acerca del movimiento. 57 2.6 Velocidad y posición por integración EJECUTAR: a) En t = 0, la posición de Sally es x0 = 50 m y su velocidad es v0x = 10 m兾s. Para usar la ecuación (2.17), tomamos nota 1 de que la integral de t n (excepto para n = -1) es 1 t n dt = n + 1 t n + 1. Así que c) Obtenemos la velocidad máxima sustituyendo t = 20 s, el tiempo del inciso b) cuando la velocidad es máxima, en la ecuación para vx del inciso a): vmáx-x = 10 m > s + 12.0 m > s22120 s2 - 12 10.10 m > s32120 s22 t vx = 10 m > s + L0 32.0 m > s2 - 10.10 m > s32t4 dt = 30 m > s = 10 m > s + 12.0 m > s22t - 12 10.10 m > s32t 2 d) Para obtener la posición del automóvil en el tiempo obtenido en el inciso b), sustituimos t = 20 s en la expresión para x del inciso a): Luego, usamos la ecuación (2.18) para obtener x en función de t: x = 50 m + 110 m > s2120 s2 + 12 12.0 m > s22120 s22 t x = 50 m + L0 310 m > s + 12.0 m > s22t - 12 10.10 m > s32t 24 dt - 16 10.10 m > s32120 s23 = 517 m = 50 m + 110 m > s2t + 12 12.0 m > s22t 2 - 16 10.10 m > s32t 3 La figura 2.29 muestra las gráficas de ax, vx y x en función del tiempo proporcionadas por las ecuaciones anteriores. Observe que, para cualquier t, la pendiente de la gráfica vx-t es igual al valor de ax y la pendiente de la gráfica x-t es igual al valor de vx. b) El valor máximo de vx se da cuando la velocidad deja de aumentar y comienza a disminuir. En este instante, dvx兾dt = ax = 0. De modo que igualamos con cero la expresión de ax y despejamos t : 0 = 2.0 m > s2 - 10.10 m > s32t t = 2.0 m > s2 0.10 m > s3 = 20 s EVALUAR: La figura 2.29 nos ayuda a interpretar los resultados. La gráfica de la izquierda de esta figura indica que ax es positiva entre t = 0 y t = 20 s, y negativa después. Es cero en t = 20 s, cuando vx es máxima (punto alto en la gráfica de en medio). El auto acelera hasta t = 20 s (porque vx y ax tienen el mismo signo) y frena después de t = 20 s (porque vx y ax tienen signos opuestos). Como vx es máxima en t = 20 s, la gráfica x-t (la gráfica de la derecha en la figura 2.29) tiene su pendiente positiva máxima en ese instante. Observe que la gráfica x-t es cóncava hacia arriba (se curva hacia arriba) entre t = 0 y t = 20 s, cuando ax es positiva, y es cóncava hacia abajo (se curva hacia abajo) después de t = 20 s, cuando ax es negativa. 2.29 Posición, velocidad y aceleración del automóvil del ejemplo 2.9 como funciones del tiempo. ¿Puede usted demostrar que si continúa este movimiento, el automóvil se detendrá en t = 44.5 s? x (m) 800 / vx (m s) / ax (m s2) 2.0 La aceleración es positiva antes de t 5 20 s. 1.0 O ⫺1.0 30 600 20 400 10 5 10 15 20 25 30 La aceleración es negativa después de t 5 20 s. t (s) O 10 15 La gráfica x-t se curva hacia abajo después de t 5 20 s. La velocidad disminuye 200 después de t 5 20 s. La velocidad aumenta antes de t 5 20 s. 5 La gráfica x-t se curva hacia arriba antes de t 5 20 s. 20 Evalúe su comprensión de la sección 2.6 Si la aceleración ax se incrementa con el tiempo, la gráfica vx-t será i. una línea recta, ii. cóncava hacia arriba (con curvatura hacia arriba) o iii. cóncava hacia abajo (con curvatura hacia abajo). 25 30 t (s) O 5 10 15 20 25 30 t (s) ¢t S0 p2 x2 (2.3) p1 x1 v2x - v1x ¢vx = t2 - t1 ¢t ¢vx dvx = ¢t dt ax = lím ¢t S0 p2 v2x x d- (2.5) nte die p1 (2.8) x = x 0 + v0x t + 12 ax t 2 (2.12) vx 2 = v0x2 + 2ax 1x - x 02 (2.13) v0x + vx bt 2 (2.14) t 5 3Dt x v a x v a x 0 v 0 a x ay 5 2g 5 29.80 m s2 / ax t vx = v0x + L0 ax dt (2.17) t x = x0 + L0 vx dt (2.18) amed-x O 58 x a 0 Cuerpos en caída libre: La caída libre es un caso especial del movimiento con aceleración constante. La magnitud de la aceleración debida a la gravedad es una cantidad positiva g. La aceleración de un cuerpo en caída libre siempre es hacia abajo. (Véase los ejemplos 2.6 a 2.8). t t2 a v t 5 2Dt 5 ax Dt 5 t2 2 t1 0 t 5 4Dt Movimiento rectilíneo con aceleración variable: Cuando la aceleración no es constante, pero es una función conocida del tiempo, podemos obtener la velocidad y la posición en función del tiempo integrando la función de la aceleración. (Véase el ejemplo 2.9). iente 0 t 5 Dt a me Pend v t50 5 n Pe t1 Solo aceleración constante: x - x0 = a t t2 vx O vx = v0x + ax t vx ⌬t 5 t2 2 t1 (2.4) v1x Movimiento rectilíneo con aceleración constante: Cuando la aceleración es constante, cuatro ecuaciones relacionan la posición x y la velocidad vx en cualquier instante t con la posición inicial x0, la velocidad inicial v0x (ambas medidas en t = 0) y la aceleración ax. (Véase los ejemplos 2.4 y 2.5). te 5 dien Pen t1 O amed-x = ⌬x 5 x2 2 x1 dx ¢x = ¢t dt vx = lím x (2.2) ed -x x2 - x1 ¢x = t2 - t1 ¢t Dvx 5 v2x 2 v1x Aceleración media e instantánea: La aceleración media amed-x durante un intervalo ¢t es igual al cambio de velocidad ¢vx = v2x - v1x durante ese lapso dividido entre ¢t. La aceleración instantánea ax es el límite de amed-x cuando ¢t tiende a cero, o la derivada de vx con respecto a t. (Véase los ejemplos 2.2 y 2.3). vmed-x = m Movimiento rectilíneo, velocidad media e instantánea: Cuando una partícula se mueve en línea recta, describimos su posición con respecto al origen O mediante una coordenada como x. La velocidad media de la partícula, vmed-x, durante un intervalo ¢t = t2 - t1 es igual a su desplazamiento ¢x = x2 - x1 dividido entre ¢t. La velocidad instantánea vx en cualquier instante t es igual a la velocidad media en el intervalo de tiempo t + ¢t en el límite en que ¢t tiende a cero. De forma equivalente, vx es la derivada de la posición con respecto al tiempo. (Véase el ejemplo 2.1). v RESUMEN Pe nd ien te 5 2 Video Tutor Solutions CAPÍTULO t1 Dt t2 t Preguntas para análisis 59 Caída de un superhéroe PROBLEMA PRÁCTICO El superhéroe Linterna Verde se arroja de la azotea de un edificio. Cae libremente a partir del reposo, recorriendo la mitad de la distancia total hacia el suelo durante el último 1.00 s de su caída. ¿Cuál es la altura h del edificio? Verde en el punto medio del recorrido para obtener la incógnita h. Luego elija dos ecuaciones, una para la primera parte de la caída y otra para la segunda, mismas que usará conjuntamente con la finalidad de obtener una expresión para h. (Hay varios pares de ecuaciones que se pueden elegir). GUÍA DE SOLUCIÓN EJECUTAR Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar una solución con Video Tutor. 4. Use las dos ecuaciones para obtener la altura h. Observe que las alturas siempre son números positivos, de modo que su respuesta debe ser positiva. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Se dice que Linterna Verde cae libremente a partir del reposo. ¿Qué implica esto en relación con su aceleración? ¿Y en relación con su velocidad inicial? 2. Elija la dirección del eje y positivo. Es más fácil hacer la misma elección que usamos en la sección 2.5, para objetos en caída libre. 3. Se puede dividir la caída de Linterna Verde en dos partes: de la azotea del edificio al punto medio del recorrido y del punto medio al suelo. Se sabe que la segunda parte de la caída dura 1.00 s. Identifique lo que necesita saber acerca del movimiento de Linterna Problemas EVALUAR 5. Para verificar el resultado de h, use una de las tres ecuaciones de caída libre con la finalidad de conocer el tiempo que tarda Linterna Verde en caer i. de la azotea del edificio a la mitad del recorrido y ii. de la azotea del edificio al suelo. Si su respuesta para h es correcta, el tiempo del inciso ii. debe ser 1.00 s mayor que el tiempo del inciso i. Si no es así, necesita revisar y buscar los errores en el procedimiento de cálculo de h. Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com . , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas. PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P2.1 ¿El velocímetro de un automóvil mide rapidez o velocidad? Explique su respuesta. P2.2 La parte superior del diagrama en la figura P2.2 muestra una serie de fotografías de alta rapidez de un insecto que vuela en línea recta de izquierda a derecha (en la dirección +x). ¿Cuál de las gráficas de la figura P2.2 es más probable que describa el movimiento del insecto? Figura P2.2 vx ax t O a) vx x t O b) t O c) vx t O d) t O e) P2.3 ¿Un objeto con aceleración constante puede invertir la dirección en la que se mueve? ¿Puede invertirla dos veces? En cada caso, explique su razonamiento. P2.4 ¿En qué condiciones la velocidad media es igual a la velocidad instantánea? P2.5 Para un objeto, ¿es posible a) frenar mientras su aceleración incrementa en magnitud; b) aumentar su rapidez mientras disminuye su aceleración? En cada caso, explique su razonamiento. P2.6 ¿En qué condiciones la magnitud de la velocidad media es igual a la rapidez media? P2.7 Cuando un Dodge Viper está en el negocio de lavado de automóviles “Elwood”, un BMW Z3 está en las calles Elm y Main. Luego, cuando el Dodge llega a Elm y Main, el BMW llega a “Elwood”. ¿Cómo están relacionadas las velocidades de los automóviles entre estos dos instantes? P2.8 En el estado de Massachusetts un conductor fue citado en el tribunal por exceso de rapidez. La prueba contra el conductor era que una mujer policía observó al automóvil del conductor junto a un segundo auto en cierto momento, y la oficial de policía ya había determinado que el segundo auto excedía el límite de rapidez. El conductor argumentó: “El otro auto me estaba rebasando, y yo no iba acelerando”. El juez dictaminó contra él porque, según dijo, “si los autos estaban juntos, ambos iban a exceso de rapidez”. Si usted fuera el abogado del conductor, ¿cómo defendería su caso? P2.9 ¿Puede usted tener desplazamiento 0 y velocidad media distinta de 0? ¿Y velocidad distinta de 0? Ilustre sus respuestas en una gráfica x-t. P2.10 ¿Puede usted tener aceleración 0 y velocidad distinta de 0? Explique usando una gráfica vx-t. P2.11 ¿Puede usted tener velocidad cero y aceleración media distinta de cero? ¿Y velocidad cero y aceleración distinta de cero? Explique usando una gráfica vx-t y dé un ejemplo de dicho movimiento. P2.12 Un automóvil viaja al oeste. ¿Puede tener una velocidad hacia el oeste y simultáneamente una aceleración hacia el este? ¿En qué circunstancias? P2.13 La camioneta del oficial en la figura 2.2 está en x1 = 277 m en t1 = 16.0 s, y en x2 = 19 m en t2 = 25.0 s. a) Dibuje dos posibles gráficas x-t distintas para el movimiento de la camioneta. b) ¿La velocidad media vmed-x en el intervalo de t1 a t2 tiene el mismo valor en ambas gráficas? ¿Por qué? P2.14 Con aceleración constante, la velocidad media de una partícula es la mitad de la suma de sus velocidades inicial y final. ¿Se cumple esto si la aceleración no es constante? Explique su respuesta. 60 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo P2.15 Usted lanza una pelota verticalmente hasta una altura máxima mucho mayor que su propia estatura. ¿La magnitud de la aceleración es mayor mientras se lanza o después de que se suelta? Explique su respuesta. P2.16 Demuestre estos enunciados. a) Si se lanza algo verticalmente hacia arriba, despreciando los efectos del aire, tendrá la misma rapidez cuando regrese al punto de lanzamiento que cuando se soltó. b) El tiempo de vuelo será el doble del tiempo que tarde en llegar a la altura máxima. P2.17 Un grifo de agua que gotea deja caer constantemente gotas cada 1.0 s. Conforme dichas gotas caen, ¿la distancia entre ellas aumenta, disminuye o permanece igual? Demuestre su respuesta. P2.18 Si se conocen la posición y la velocidad iniciales de un vehículo y se registra la aceleración en cada instante, con estos datos, ¿puede calcularse su posición después de cierto tiempo? Si esto es posible, explique cómo. P2.19 Desde la azotea de un rascacielos, usted lanza una pelota verticalmente hacia arriba con rapidez v0 y una pelota directamente hacia abajo con rapidez v0. a) ¿Qué pelota tiene mayor rapidez cuando llega al suelo? b) ¿Cuál llega al suelo primero? c) ¿Cuál tiene un mayor desplazamiento cuando llega al suelo? d) ¿Cuál recorre la mayor distancia cuando llega al suelo? P2.20 Se deja caer una pelota desde el reposo de la azotea de un edificio de altura h. En el mismo instante, una segunda pelota se proyecta verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, de modo que tenga rapidez cero cuando llegue al nivel de la azotea. Cuando las dos pelotas se cruzan, ¿cuál tiene mayor rapidez, o ambas tienen la misma rapidez? Explique su respuesta. ¿Dónde estarán las dos pelotas cuando se crucen: a una altura h兾2 sobre el suelo, más abajo de esa altura o más arriba de esa altura? Explique su respuesta. P2.21 Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba y no encuentra resistencia del aire. ¿Cómo es posible que el objeto tenga una aceleración cuando detiene su movimiento en el punto más alto? P2.22 Cuando se deja caer un objeto de cierta altura, tarda el tiempo T para llegar al suelo sin resistencia del aire. Si se deja caer de una altura tres veces mayor que la original, ¿cuánto tiempo (en términos de T) tardaría en llegar al suelo? 2.5 . Comenzando en la puerta de la casa de su rancho, usted camina 60.0 m hacia el este rumbo a su molino de viento, y luego da vuelta y camina lentamente 40.0 m hacia el oeste hasta una banca donde se sienta y mira la salida del sol. Cuando camina de su casa hacia el molino de viento transcurren 28.0 s y luego 36.0 s cuando camina del molino de viento hacia la banca. Considerando el recorrido total desde la puerta de su casa hasta la banca, ¿cuáles son a) su velocidad media y b) su rapidez media? 2.6 .. Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x a partir de un letrero de alto está dada en función del tiempo t por la ecuación x(t) = at 2 - bt 3, donde a = 1.50 m兾s2 y b = 0.0500 m兾s3. Calcule la velocidad media del automóvil para los intervalos a) t = 0 a t = 2.00 s; b) t = 0 a t = 4.00 s; c) t = 2.00 s a t = 4.00 s. Sección 2.2 Velocidad instantánea 2.7 . CALC Un automóvil está detenido ante un semáforo. Después, viaja en línea recta y su distancia con respecto al semáforo está dada por x(t) = bt 2 - ct 3, donde b = 2.40 m兾s2 y c = 0.120 m兾s3. a) Calcule la velocidad media del automóvil entre el intervalo t = 0 a t = 10.0 s. b) Calcule la velocidad instantánea del automóvil en t = 0, t = 5.0 s y t = 10.0 s. c) ¿Cuánto tiempo después de que el auto arrancó vuelve a estar detenido? 2.8 . CALC Un ave vuela hacia el este. Su distancia tomando como referencia un rascacielos está dada por x(t) = 28.0 m + (12.4 m兾s)t (0.0450 m兾s3)t 3. ¿Cuál es la velocidad instantánea del ave cuando t = 8.00 s? 2.9 .. Una pelota se mueve en línea recta (el eje x). En la figura E2.9 la gráfica muestra la velocidad de esta pelota en función del tiempo. a) ¿Cuáles son la rapidez media y la velocidad media de la pelota durante los primeros 3.0 s? b) Suponga que la pelota se mueve de tal manera que el segmento de la gráfica después de 2.0 s es -3.0 m兾s en lugar de +3.0 m兾s. En este caso, calcule la rapidez y la velocidad medias de la pelota. Figura E2.9 / vx (m s) 3.0 EJERCICIOS 2.0 Sección 2.1 Desplazamiento, tiempo y velocidad media 1.0 2.1 . Un automóvil viaja en la dirección +x sobre un camino recto y nivelado. En los primeros 4.00 s de su movimiento, la velocidad media del automóvil es vmed-x = 6.25 m兾s. ¿Qué distancia viaja el automóvil en 4.00 s? 2.2 .. En un experimento, se retiró a una pardela (un ave marina) de su nido, se le llevó a 5150 km de distancia y luego fue liberada. El ave regresó a su nido 13.5 días después de haberse soltado. Si el origen es el nido y extendemos el eje +x al punto de liberación, ¿cuál fue la velocidad media del ave en m兾s a) en el vuelo de regreso y b) desde que se retiró del nido hasta que regresó? 2.3 .. Viaje a casa. Suponga que usted normalmente conduce por la autopista que va de San Diego a Los Ángeles con una rapidez media de 105 km兾h (65 m兾h) y que el viaje le toma 2 h y 20 min. Sin embargo, un viernes por la tarde el tráfico le obliga a conducir la misma distancia con una rapidez media de solo 70 km兾h (43 mi兾h). ¿Cuánto tiempo más tardará el viaje? 2.4 .. De pilar a poste. Partiendo de un pilar, usted corre 200 m al este (en la dirección +x) con rapidez media de 5.0 m兾s, luego 280 m al oeste con rapidez media de 4.0 m兾s hasta un poste. Calcule a) su rapidez media del pilar al poste y b) su velocidad media del pilar al poste. 1.0 O 2.0 t (s) 3.0 2.10 . Un profesor de física sale de su casa y camina por la acera hacia la universidad. A los 5 min, comienza a llover y él regresa a casa. La distancia a su casa en función del tiempo se muestra en la figura E2.10. ¿En cuál de los puntos indicados su velocidad es a) cero, b) constante y positiva, c) constante y negativa, d) de magnitud creciente y e) de magnitud decreciente? Figura E2.10 x (m) IV 400 III 300 V 200 II 100 I O 1 2 3 4 5 6 7 8 t (min) Ejercicios Figura E2.11 x (m) B 40 30 A 20 10 C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F G t (s) O 2.11 .. Un automóvil de pruebas viaja en línea recta a lo largo del eje x. La gráfica de la figura E2.11 indica la posición x del automóvil como función del tiempo. Obtenga la velocidad instantánea en los puntos A a G. Sección 2.3 Aceleración media e instantánea 2.12 . La figura E2.12 es la gráfica de la velocidad de un automóvil, alimentado con energía solar, respecto del tiempo. El conductor del vehículo lo acelera, desde un letrero de alto, viaja 20 s con rapidez constante de 60 km兾h y frena para detenerse 40 s después de partir del letrero. a) Calcule la aceleración media para estos intervalos: i. t = 0 a t = 10 s; ii. t = 30 s a t = 40 s; iii. t = 10 s a t = 30 s; iv. t = 0 a t = 40 s. b) ¿Cuál es la aceleración instantánea en t = 20 s y en t = 35 s? Figura E2.12 vx (km/h) 60 61 (2.00 cm兾s)t - (0.0625 cm兾s2)t 2. a) Determine la velocidad inicial, posición inicial y aceleración inicial de la tortuga. b) ¿En qué instante t la tortuga tiene velocidad cero? c) ¿Cuánto tiempo después de ponerse en marcha regresa la tortuga al punto de partida? d) ¿En qué instantes t la tortuga está a una distancia de 10.0 cm de su punto de partida? ¿Qué velocidad (magnitud y dirección) tiene la tortuga en cada uno de esos instantes? e) Dibuje las gráficas: x-t, vx-t y ax-t para el intervalo de t = 0 a t = 40 s. 2.16 . Una astronauta salió de la Estación Espacial Internacional para probar un nuevo vehículo espacial. Su compañero mide los siguientes cambios de velocidad, cada uno en un intervalo de 10 s. Indique la magnitud, el signo y la dirección de la aceleración media en cada intervalo. Suponga que la dirección positiva es a la derecha. a) Al principio del intervalo, la astronauta se mueve hacia la derecha sobre el eje x a 15.0 m兾s, y al final del intervalo se mueve hacia la derecha a 5.0 m兾s. b) Al principio se mueve hacia la izquierda a 5.0 m兾s y al final lo hace hacia la izquierda a 15.0 m兾s. c) Al principio se mueve hacia la derecha a 15.0 m兾s y al final lo hace hacia la izquierda a 15.0 m兾s. 2.17 . CALC La velocidad de un automóvil en función del tiempo está dada por vx(t) = a + bt 2, donde a = 3.00 m兾s y a = 0.100 m兾s3. a) Calcule la aceleración media entre t = 0 y t = 5.00 s. b) Calcule la aceleración instantánea en t = 0 y en t = 5.00 s. c) Dibuje las gráficas vx-t y ax-t para el movimiento del automóvil entre t = 0 y t = 5.00 s. 2.18 .. CALC La posición del parachoques (defensa) frontal de un automóvil de pruebas controlado por un microprocesador está dada por x(t) = 2.17 m + (4.80 m兾s2)t 2 - (0.100 m兾s6)t 6. a) Obtenga su posición y aceleración en los instantes en que tiene velocidad cero. b) Dibuje las gráficas x-t, vx-t y ax-t para el movimiento del frente del auto entre t = 0 y t = 2.00 s. 50 Sección 2.4 Movimiento con aceleración constante 40 30 20 10 O 5 10 15 20 25 30 35 40 t (s) 2.13 . ¡El automóvil más rápido (y más costoso)! La siguiente tabla presenta los datos de prueba del Bugatti Veyron, el auto más rápido fabricado en la historia. El vehículo se desplaza en línea recta (en el eje x). Tiempo (s) Rapidez (mi兾h) 0 0 2.1 60 20.0 200 53 253 a) Elabore una gráfica vx-t de la velocidad de este automóvil (en mi兾h) en función del tiempo. ¿Su aceleración es constante? b) Calcule la aceleración media del auto (en m兾s2) entre i. 0 y 2.1 s; ii. 2.1 s y 20.0 s; iii. 20.0 s y 53 s. ¿Estos resultados son congruentes con la gráfica del inciso a)? (Antes de decidirse a comprar este vehículo, le convendría saber que solo se fabricarán 300 unidades, que a su máxima rapidez se le acaba la gasolina en 12 minutos y ¡que cuesta 1,250,000 dólares!). 2.14 .. CALC Un automóvil de carreras parte del reposo y viaja hacia el este en una pista recta y nivelada. Para los primeros 5.0 s del movimiento del automóvil, la componente hacia el este de la velocidad está dada por vx(t) = (0.860 m兾s3)t 2. ¿Cuál es la aceleración del automóvil cuando vx = 16.0 m兾s? 2.15 . CALC Una tortuga camina en línea recta sobre lo que llamaremos eje x con la dirección positiva hacia la derecha. La ecuación de la posición de la tortuga en función del tiempo es x(t) = 50.0 cm + 2.19 .. Un antílope corre con aceleración constante y cubre la distancia de 70.0 m entre dos puntos en 7.00 s. Su rapidez al pasar por el segundo punto es 15.0 m兾s. a) ¿Qué rapidez tenía en el primer punto? b) ¿Qué aceleración lleva? 2.20 .. BIO ¿Desmayo? El piloto de un avión caza de combate quiere acelerar desde el reposo, con aceleración constante de 5g, para alcanzar una rapidez Mach 3 (tres veces la rapidez del sonido) tan rápido como sea posible. Pruebas experimentales revelan que se desmayará si esta aceleración dura más de 5.0 s. Considere que la rapidez del sonido es de 331 m兾s. a) ¿Durará el periodo de aceleración lo suficiente para causarle un desmayo? b) ¿Cuál es la mayor rapidez que puede alcanzar con una aceleración de 5g antes de que se desmaye? 2.21 . Un lanzamiento rápido. En el lanzamiento más rápido medido, una pelota de béisbol salió de la mano del pitcher con una rapidez de 45.0 m兾s. Si el pitcher estuvo en contacto con la pelota una distancia de 1.50 m y produjo aceleración constante, a) ¿qué aceleración dio a la pelota, y b) ¿cuánto tiempo le tomó lanzarla? 2.22 .. Servicio de tenis. En el servicio de tenis más rápido medido, la pelota pierde contacto con la raqueta cuando tiene una rapidez de 73.14 m兾s. En un servicio de tenis la pelota normalmente está en contacto con la raqueta 30.0 ms y está inicialmente en reposo. Suponga aceleración constante. a) ¿Cuál fue la aceleración de la pelota durante este servicio? b) ¿Qué distancia recorrió la pelota durante el servicio? 2.23 .. BIO Bolsas de aire de un automóvil. El cuerpo humano puede sobrevivir a un trauma por aceleración (parada repentina), si la magnitud de la aceleración es menor que 250 m兾s2. Si usted sufre un accidente automovilístico con rapidez inicial de 105 km兾h (65 mi兾h) y es detenido por una bolsa de aire que se infla desde el tablero, ¿en qué distancia debe ser detenido por la bolsa de aire para sobrevivir al percance? 62 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo 2.24 . BIO Si un piloto acelera a más de 4g, se comienza a desvanecer, pero no pierde completamente la conciencia. a) Suponiendo aceleración constante, ¿cuál es el instante más corto en el que el piloto, partiendo desde el reposo, puede llegar a Mach 4 (cuatro veces la rapidez del sonido) sin desvanecerse? b) ¿Qué tan lejos viajará el avión durante este periodo de aceleración? (Considere 331 m兾s como la rapidez del sonido en el aire frío). 2.25 . BIO Lesiones por la bolsa de aire. Durante un accidente automovilístico, las bolsas de aire del vehículo se inflan y desaceleran a los pasajeros más suavemente que si golpearan el parabrisas o el volante directamente. De acuerdo con las normas de seguridad, las bolsas producen una aceleración máxima de 60g que dura solo 36 ms (o menos). ¿Qué distancia (en metros) recorre una persona antes de detenerse completamente en 36 ms con aceleración constante de 60g? 2.26 . BIO Prevención de una fractura de cadera. Las caídas que provocan fractura de cadera son la causa principal de daños e incluso de muerte en personas mayores. Por lo regular, la rapidez de la cadera en el impacto es de 2.0 m兾s, aproximadamente. Si esta se reduce a 1.3 m兾s o menos, la cadera generalmente no se fractura. Una manera de lograr esto es usando almohadillas elásticas en la cadera. a) Si una almohadilla típica tiene 5.0 cm de grosor y se comprime 2.0 cm durante el impacto de una caída, ¿qué aceleración constante (en m兾s2 y en g) experimenta la cadera para reducir su rapidez de 2.0 m兾s a 1.3 m兾s? b) La aceleración que obtuvo en el inciso a) tal vez parezca elevada, pero para evaluar completamente sus efectos sobre la cadera, calcule cuánto tiempo dura. 2.27 . BIO ¿Somos marcianos? Se ha sugerido, y no de broma, que la vida se pudo haber originado en Marte y haber llegado a la Tierra cuando un meteorito golpeó Marte y expulsó partes de roca (que quizá contenían vida primitiva) liberándolas de la superficie. Los astrónomos saben que muchas rocas marcianas han llegado a la Tierra de esta manera. (Para información sobre una de estas, busque en el sitio de Internet “ALH84001”). Una objeción a esta idea es que los microbios tendrían que haber experimentado enormes aceleraciones letales durante el impacto. Investiguemos qué tan elevada podría haber sido esta aceleración. Para escapar de Marte, los fragmentos de roca tendrían que alcanzar una velocidad de escape de 5.0 km兾s, y esto sería más probable que sucediera en una distancia de 4.0 m durante el impacto. a) ¿Cuál sería la aceleración (en m兾s2 y en g) de este fragmento de roca, si la aceleración es constante? b) ¿Cuánto tiempo duraría esta aceleración? c) En experimentos, los científicos han encontrado que el 40% de las bacterias Bacillius subtilis sobreviviría después de una aceleración de 450,000g. A la luz de su respuesta en el inciso a), ¿podemos descartar la hipótesis de que la vida podría haberse transferido de Marte a la Tierra? 2.28 . Ingreso a la autopista. Un automóvil está detenido en una rampa de acceso a una autopista, en espera de poder incorporarse al flujo vehicular. El conductor acelera por la rampa con aceleración constante para ingresar a la autopista. El auto parte del reposo, se desplaza en línea recta y tiene una rapidez de 20 m兾s (45 mi兾h) al llegar al final de la rampa que tiene 120 m de largo. a) ¿Qué aceleración tiene el automóvil? b) ¿Cuánto tiempo tarda el auto en salir de la rampa? c) El tráfico de la autopista circula con rapidez constante de 20 m兾s. ¿Qué distancia recorre el tráfico mientras el auto se desplaza por la rampa? 2.29 .. Lanzamiento del transbordador espacial. Durante el lanzamiento, el transbordador espacial pesa 4.5 millones de libras. Una vez lanzado, partiendo desde el reposo, tarda 8.00 s en alcanzar los 161 km兾h, y al final del primer minuto, su rapidez es de 1610 km兾h. a) ¿Cuál es la aceleración media (en m兾s2) del transbordador i. durante los primeros 8.00 s, y ii. entre 8.00 s y el final del primer minuto? b) Suponiendo que la aceleración es constante durante cada intervalo (aunque no necesariamente la misma en ambos intervalos), ¿qué distancia recorre el transbordador i. durante los primeros 8.00 s, y ii. durante el intervalo de 8.00 s a 1.00 min? 2.30 .. Un gato camina en línea recta en lo que llamaremos eje x con la dirección positiva a la derecha. Usted, que es un físico observador, efectúa mediciones del movimiento del gato y elabora una gráfica de la velocidad del felino en función del tiempo (figura E2.30). a) Determine la velocidad del gato en t = 4.0 s y en t = 7.0 s. b) ¿Qué aceleración tiene el gato en t = 3.0 s? ¿En t = 6.0 s? ¿En t = 7.0 s? c) ¿Qué distancia cubre el gato durante los primeros 4.5 s? ¿Entre t = 0 y t = 7.5 s? d) Dibuje gráficas claras de la aceleración del gato y su posición en función del tiempo, suponiendo que partió del origen. Figura E2.30 vx (cm/s) 8 7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 t (s) 2.31 .. La gráfica de la figura E2.31 indica la velocidad de un policía en motocicleta en función del tiempo. a) Calcule la aceleración instantánea en t = 3 s, en t = 7 s y en t = 11 s. b) ¿Qué distancia recorre el policía en los primeros 5 s? ¿En los primeros 9 s? ¿Y en los primeros 13 s? Figura E2.31 / vx (m s) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 O 2 4 6 8 10 12 14 t (s) 2.32 . Dos automóviles, A y B, se Figura E2.32 desplazan a lo largo del eje x. La x (m) figura E2.32 es la gráfica de las po- 25 siciones de A y B contra el tiempo. A 20 a) En diagramas de movimiento B (como las figuras 2.13b y 2.14b), 15 muestre la posición, velocidad y 10 aceleración de cada automóvil en 5 t = 0, t = l s y t = 3 s. b) ¿En qué t (s) instante(s), si es el caso, A y B O 1 2 3 4 tienen la misma posición? c) Trace una gráfica de velocidad contra tiempo para A y para B. d) ¿En qué instante(s), si es el caso, A y B tienen la misma velocidad? e) ¿En qué instante(s), si es el caso, el automóvil A rebasa al auto B? f ) ¿En qué instante(s), si es el caso, el automóvil B rebasa al A? Ejercicios 2.33 .. Llegada a Marte. En enero de 2004, la NASA colocó un vehículo de exploración en la superficie marciana. Parte del descenso consistió en las siguientes etapas: Etapa A: La fricción con la atmósfera redujo la rapidez de 19,300 a 1600 km兾h en 4.0 min. Etapa B: Un paracaídas se abrió para frenarlo a 321 km兾h en 94 s. Etapa C: Se encienden los retrocohetes para reducir su rapidez a cero en una distancia de 75 m. Suponga que cada etapa sigue inmediatamente después de la que le precede, y que la aceleración durante cada una es constante. a) Encuentre la aceleración del cohete (en m兾s2) durante cada etapa. b) ¿Qué distancia total (en km) viajó el cohete en las etapas A, B y C? 2.34 . En el instante en que un semáforo se pone en luz verde, un automóvil que esperaba en el cruce arranca con aceleración constante de 3.20 m兾s2. En ese mismo instante, un camión que viaja con rapidez constante de 20.0 m兾s rebasa al automóvil. a) ¿A qué distancia de su punto de partida el automóvil alcanza al camión? b) ¿Qué rapidez tiene el automóvil en ese momento? c) Dibuje una gráfica x-t del movimiento de los dos vehículos, tomando x = 0 en el cruce. d) Dibuje una gráfica vx-t del movimiento de los dos vehículos. Sección 2.5 Cuerpos en caída libre 2.35 .. a) Si una pulga puede saltar 0.440 m hacia arriba, ¿qué rapidez inicial tiene al separarse del suelo? b) ¿Cuánto tiempo está en el aire? 2.36 .. Una piedra pequeña se lanza verticalmente hacia arriba, con una velocidad de 18.0 m兾s, del borde del techo de un edificio de 30.0 m de altura. La piedra cae sin golpear el edificio en su trayectoria hacia abajo hasta llegar a la calle. Se puede ignorar la resistencia del aire. a) ¿Cuál es la rapidez de la piedra justo antes de golpear la calle? b) ¿Cuánto tiempo transcurre desde que la roca es arrojada hasta que llega a la calle? 2.37 . Un malabarista arroja un pino del juego de bolos verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 8.20 m兾s. ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que el pino regresa a la mano del malabarista? 2.38 .. Usted lanza una bola de masilla verticalmente hacia el techo, el cual se encuentra a 3.60 m por encima del punto donde la masilla pierde contacto con su mano. La rapidez inicial de la masilla cuando abandona su mano es de 9.50 m兾s. a) ¿Cuál es la rapidez de la masilla al llegar al techo? b) ¿Cuánto tiempo transcurre entre que la masilla pierde contacto con la mano y llega al techo? 2.39 .. Una pelota de tenis en Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es de 0.379g y la resistencia del aire es despreciable, es golpeada directamente hacia arriba y regresa al mismo nivel 8.5 s más tarde. a) ¿A qué altura del punto original llega la pelota? b) ¿Qué tan rápido se mueve exactamente después de ser golpeada? c) Elabore las gráficas de la posición vertical, Figura E2.40 la velocidad vertical y la aceleración vertical de la pelota en función del tiempo mientras se encuentra en el aire de Marte. 2.40 .. Alunizaje. Un vehículo espacial está descendiendo hacia la Base Lunar I (figura E2.40) descendiendo lentamente por el retroempuje del motor de descenso. El motor se apaga cuando el vehículo 5.0 m está a 5.0 m sobre la superficie y tiene una velocidad descendente 63 de 0.8 m兾s. Con el motor apagado, el vehículo está en caída libre. ¿Qué rapidez tiene justo antes de tocar la superficie? La aceleración debida a la gravedad lunar es de 1.6 m兾s2. 2.41 .. Prueba sencilla del tiempo de reacción. Se sostiene un metro verticalmente por encima de su mano, de manera que su extremo inferior esté entre su pulgar y su índice. Al ver que sueltan el metro, usted lo detiene juntando esos dos dedos. Se puede calcular el tiempo de su reacción con base en la distancia que el metro cayó, leyendo la escala en el punto donde lo tomó. a) Deduzca una relación para el tiempo de reacción en términos de la distancia d medida. b) Si la distancia medida es 17.6 cm, ¿cuál es el tiempo de reacción? 2.42 .. Se deja caer un ladrillo (rapidez inicial cero) desde la azotea de un edificio. El tabique llega al suelo en 2.50 s. Se puede despreciar la resistencia del aire, así que el ladrillo está en caída libre. a) ¿Qué altura (en m) tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad del ladrillo al llegar al suelo? c) Dibuje las gráficas: ay-t, vy-t y y-t para el movimiento del ladrillo. 2.43 .. Falla en el lanzamiento. Un cohete de 7500 kg despega verticalmente desde la plataforma de lanzamiento con una aceleración constante hacia arriba de 2.25 m兾s2 y no experimenta una considerable resistencia del aire. Cuando alcanza una altura de 525 m, sus motores fallan repentinamente y entonces la única fuerza que actúa sobre él es la gravedad. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará este cohete desde la plataforma de lanzamiento? b) Después de que el motor falla, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se estrelle contra la plataforma de lanzamiento, y qué rapidez tendrá justo antes del impacto? c) Dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t del movimiento del cohete desde el instante en que despega hasta el instante justo antes de chocar contra la plataforma de lanzamiento. 2.44 .. El tripulante de un globo Figura E2.44 aerostático, que sube verticalmente con velocidad constante de magnitud 5.00 v 5 5.00 m/s m兾s, suelta un saco de arena cuando el globo está a 40.0 m sobre el suelo (figura E2.44). Después de que se suelta, el saco de arena está en caída libre. a) Calcule la posición y velocidad del saco a 0.250 s y 1.00 s después de soltarse. b) ¿Cuántos segundos tardará el saco en chocar con el suelo después de soltarse? c) ¿Con qué velocidad chocará? d ) ¿Qué altura máxima alcanza el saco en relación con el suelo? e) Dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento. 2.45 . BIO El trineo impulsado por el 40.0 m del suelo cohete Sonic Wind Núm. 2, utilizado para investigar los efectos fisiológicos de las altas aceleraciones, corre sobre una vía recta horizontal de 1070 m (3500 ft). Desde el reposo, puede alcanzar una rapidez de 224 m/s (500 mi兾h) en 0.900 s. a) Calcule la aceleración en m兾s2, suponiendo que es constante. b) ¿Cuál es la razón entre esta aceleración y la de un cuerpo en caída libre (g)? c) ¿Qué distancia se cubre en 0.900 s? d) En una revista se aseguró que, al final de cierta prueba, la rapidez del trineo disminuyó de 283 m兾s (632 mi兾h) a cero en 1.40 s, y que en ese tiempo la magnitud de la aceleración fue mayor que 40g. ¿Son congruentes tales cifras? 2.46 . Se lanza un huevo casi verticalmente hacia arriba desde un punto cerca de la cornisa de un edificio alto; al bajar, apenas elude la cornisa y pasa por un punto 30.0 m abajo de su punto de partida 5.00 s después de perder contacto con la mano que lo lanzó. Puede despre- 64 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo ciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial tiene el huevo? b) ¿Qué altura alcanza respecto del punto de lanzamiento? c) ¿Qué magnitud tiene su velocidad en el punto más alto? d ) ¿Qué magnitud y dirección tiene su aceleración en el punto más alto? e) Dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento del huevo. 2.47 .. En la Tierra, una roca de 15 kg se suelta desde el reposo y llega al suelo 1.75 s después. Cuando se suelta desde la misma altura en Encélado, una luna de Saturno, llega al suelo en 18.6 s. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en Encélado? 2.48 . Un peñasco es expulsado verticalmente hacia arriba por un volcán, con una rapidez inicial de 40.0 m兾s. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿En qué instante, después de ser expulsado, el peñasco sube a 20.0 m兾s? b) ¿En qué instante baja a 20.0 m兾s? c) ¿Cuándo es cero el desplazamiento con respecto a su posición inicial? d) ¿Cuándo es cero la velocidad del peñasco? e) ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración cuando el peñasco está i. subiendo, ii. bajando, iii. en el punto más alto? f ) Dibuje las gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento. 2.49 .. Dos piedras se arrojan verticalmente hacia arriba desde el suelo; una tiene tres veces la velocidad inicial de la otra. a) Si la piedra más rápida tarda 10 s en regresar al suelo, ¿cuánto tiempo le tomará regresar a la piedra más lenta? b) Si la piedra más lenta alcanza una altura máxima de H, ¿a qué altura (en términos de H) llegará la piedra más rápida? Suponga caída libre. Sección 2.6 Velocidad y posición por integración 2.50 . CALC Use las ecuaciones (2.17) y (2.18) de la aceleración constante ax, para obtener vx y x en función del tiempo. Compare sus resultados con las ecuaciones (2.8) y (2.12). 2.51 . CALC Un cohete parte del reposo y se desplaza hacia arriba a partir de la superficie de la Tierra. La aceleración vertical del cohete durante los primeros 10 s de su movimiento está dada por ay = (2.80 m兾s3)t, donde la dirección +y es hacia arriba. a) ¿Cuál es la altura del cohete sobre la superficie de la Tierra en t = 10.0 s? b) ¿Cuál es la rapidez del cohete cuando alcanza una altura de 325 m sobre la superficie de la Tierra? 2.52 .. CALC La aceleración de un autobús está dada por ax(t) = at, donde a = 1.2 m兾s3. a) Si la velocidad del autobús en el tiempo t = 1.0 s es 5.0 m兾s, ¿cuál será en t = 2.0 s? b) Si la posición del autobús en t = 1.0 s es 6.0 m, ¿cuál será en t = 2.0 s? c) Dibuje las gráficas: ax-t, vx-t y x-t para el movimiento. 2.53 .. CALC La aceleración de una motocicleta está dada por ax(t) = At - Bt 2, donde A = 1.50 m兾s3 y B = 0.120 m兾s4. La motocicleta está en reposo en el origen cuando t = 0. a) Obtenga su posición y velocidad en función de t. b) Calcule la velocidad máxima que alcanza. 2.54 .. BIO Salto volador de la pulga. La película de alta velocidad (3500 cuadros por segundo) con la que se filmó a una pulga saltarina de 210 mg produjo los datos que se usaron para elaborar la gráfica de la figura E2.54. (Véase “The Flying Leap of the Flea”, de M. Roth- Rapidez (en cm兾s) Figura E2.54 150 100 50 O 0.5 1.0 1.5 2.0 Tiempo (en milisegundos) 2.5 schild, Y. Schlein, K. Parker, C. Neville y S. Sternberg, en Scientific American, noviembre de 1973). La pulga tenía una longitud aproximada de 2 mm y saltó con un ángulo de despegue casi vertical. Use la gráfica para contestar estas preguntas. a) ¿La aceleración de la pulga es cero en algún momento? Si es así, ¿cuándo? Justifique su respuesta. b) Calcule la altura máxima que la pulga alcanzó en los primeros 2.5 ms. c) Determine la aceleración de la pulga a los 0.5 ms, 1.0 ms y 1.5 ms. d) Calcule la altura de la pulga a los 0.5 ms, 1.0 ms y 1.5 ms. PROBLEMAS 2.55 . BIO Un hombre ciclista velocista promedio puede mantener una aceleración máxima durante 2.0 s cuando su rapidez máxima es de 10 m兾s. Después de alcanzar su rapidez máxima, su aceleración es igual a cero y entonces avanza a rapidez constante. Suponga que la aceleración es constante durante los primeros 2.0 s del recorrido, que parte del reposo y en línea recta. a) ¿Qué distancia ha recorrido el velocista cuando alcanza su máxima rapidez? b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad media en el recorrido de las siguientes longitudes? i. 50.0 m, ii. 100.0 m, iii. 200.0 m. 2.56 .. En un paseo de 20 millas en bicicleta, usted recorre las primeras 10 millas con rapidez media de 8 mi兾h. ¿Qué rapidez media en las otras 10 mi requerirá para que la rapidez media total en las 20 millas sea: a) 4 mi兾h? b) ¿Y 12 mi兾h? c) Dada la rapidez media para las primeras 10 millas, ¿le sería posible alcanzar una rapidez media de 16 mi兾h para todo el paseo de 20 millas? Explique su respuesta. 2.57 .. CALC La posición de una partícula entre t = 0 y t = 2.00 s está dada por x(t) = (3.00 m兾s3)t 3 - (10.0 m兾s2)t 2 + (9.00 m兾s)t. a) Dibuje las gráficas x-t, vx-t y ax-t para la partícula. b) ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s la partícula está en reposo? ¿Coincide el resultado numérico con la gráfica vx-t del inciso a)? c) En cada instante calculado en el inciso b), ¿la aceleración de la partícula es positiva o negativa? Demuestre que, en cada caso, la misma respuesta se deduce de ax(t) y de la gráfica vx-t. d) ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s la velocidad de la partícula no está cambiando? Ubique este punto en las gráficas vx-t y ax-t del inciso a). e) ¿Cuál es la distancia máxima de la partícula con respecto al origen (x = 0) entre t = 0 y t = 2.00 s? f ) ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s la partícula está aumentando de rapidez al mayor ritmo? ¿En qué instante(s) entre t = 0 y t = 2.00 s la partícula se está frenando al mayor ritmo? Ubique esos puntos en las gráficas vx-t y ax-t del inciso a). 2.58 .. CALC Un vehículo lunar desciende en la superficie de la Luna. Hasta que el vehículo alcanza la superficie, su altura está dada por y(t) = b - ct + dt 2, donde b = 800 m es la altura inicial del vehículo sobre la superficie, c = 60.0 m兾s, y d = 1.05 m兾s2. a) ¿Cuál es la velocidad inicial del vehículo en t = 0? b) ¿Cuál es la velocidad del vehículo cuando toca la superficie lunar? 2.59 ... Estudio de los terremotos. Los terremotos producen varios tipos de ondas de choque. Las más conocidas son las ondas P (la inicial se deriva de primaria o presión) y las ondas S [por la inicial de secundaria o esfuerzo cortante (shear)]. En la corteza terrestre, las ondas P viajan a aproximadamente 6.5 km兾s, en tanto que las ondas S se desplazan a unos 3.5 km兾s. Las rapideces reales varían según el tipo de material por el que viajen. El tiempo de retraso, entre la llegada de estas dos clases de onda a una estación de monitoreo sísmico, indica a los geólogos a qué distancia ocurrió el terremoto. Si el tiempo de retraso es de 33 s, ¿a qué distancia de la estación sísmica sucedió el terremoto? 2.60 .. Carrera de relevos. En una carrera de relevos, cada competidor corre 25.0 m con un huevo sostenido en una cuchara; luego, se da vuelta y regresa al punto de partida. Edith corre los primeros 25.0 m en 20.0 s. Al regresar se siente más confiada y tarda solo 15.0 s. ¿Qué Problemas magnitud tiene su velocidad media en a) los primeros 25.0 m? b) ¿Y en el regreso? c) ¿Cuál es su velocidad media para el viaje redondo? d) ¿Y su rapidez media para el viaje redondo? 2.61 ... Un cohete que lleva un satélite acelera verticalmente alejándose de la superficie terrestre. 1.15 s después del despegue, el cohete rebasa la parte superior de su plataforma de lanzamiento, que está a 63 m sobre el suelo; y después de otros 4.75 s, está a 1.00 km del suelo. Calcule la magnitud de la velocidad media del cohete en a) la parte de 4.75 s de su vuelo; b) los primeros 5.90 s de su vuelo. 2.62 ... La gráfica de la figura P2.62 describe la aceleración, en función del tiempo, de una piedra que rueda colina abajo partiendo del reposo. a) Calcule la velocidad de la piedra en t = 2.5 s y en t = 7.5 s. b) Dibuje una gráfica de la velocidad de la piedra en función del tiempo. Figura P2.62 ax (cm/s2) 65 gistra durante los últimos 5.1 s? c) ¿Qué aceleración media tiene durante toda la carrera? d) Explique por qué su respuesta en el inciso c) no es el promedio de las respuestas de los incisos a) y b). 2.66 .. Un trineo parte del reposo en la cima de una colina y baja con aceleración constante. En un instante posterior, el trineo está a 14.4 m de la cima; 2.00 s después está a 25.6 m de la cima, 2.00 s después está a 40.0 m de la cima, y 2.00 s después está a 57.6 m de la cima. a) ¿Qué magnitud tiene la velocidad media del trineo en cada intervalo de 2.00 s después de pasar los 14.4 m? b) ¿Qué aceleración tiene el trineo? c) ¿Qué rapidez tiene el trineo al pasar los 14.4 m? d) ¿Cuánto tiempo tardó el trineo en llegar de la cima a los 14.4 m? e) ¿Qué distancia recorrió el trineo durante el primer segundo después de pasar los 14.4 m? 2.67 . Una gacela corre en línea recta (el eje x). En la figura P2.67, la gráfica muestra la velocidad de este animal en función del tiempo. Durante los primeros 12.0 s, obtenga a) la distancia total recorrida y b) el desplazamiento de la gacela. c) Dibuje una gráfica ax-t que muestre la aceleración de esta gacela en función del tiempo durante los primeros 12.0 s. 8 Figura P2.67 7 6 / vx (m s) 12.0 5 4 3 8.00 2 1 1 O 2 3 4 5 6 7 8 9 4.00 t (s) 2.63 .. Dan entra en la carretera interestatal I-80 en Seward, Nebraska, y viaja al oeste en línea recta con velocidad media de magnitud de 88 km兾h. Después de 76 km, llega a la salida de Aurora (figura P2.63). Al darse cuenta de que llegó demasiado lejos, se da vuelta, y conduce 34 km al este hasta la salida de York con una velocidad media de magnitud igual a 72 km兾h. Para el viaje total de Seward a la salida de York, determine a) su rapidez media y b) la magnitud de su velocidad media. Figura P2.63 O 2.00 4.00 6.00 8.00 10.0 12.0 t (s) 2.68 . Una pelota rígida que viaja en línea recta (el eje x) choca contra una pared sólida y rebota repentinamente durante un breve instante. En la figura P2.68, la gráfica vx-t muestra la velocidad de esta pelota en función del tiempo. Durante los primeros 20.0 s de su movimiento, obtenga a) la distancia total que se mueve la pelota y b) su desplazamiento. c) Dibuje una gráfica ax-t del movimiento de esta pelota. d) En los 5.00 s, ¿la gráfica que se muestra es realmente vertical? Explique su respuesta. Figura P2.68 N E B R A S K A vx (m/s) 30.0 20.0 10.0 Aurora York Seward 76 km 34 km 2.64 ... Un tren subterráneo en reposo parte de una estación y acelera a una tasa de 1.60 m兾s2 durante 14.0 s. Viaja con rapidez constante 70.0 s y frena a 3.50 m兾s2 hasta detenerse en la siguiente estación. Calcule la distancia total cubierta. 2.65 .. Un velocista de alto rendimiento acelera a su rapidez máxima en 4.0 s y mantiene esa rapidez durante el resto de la carrera de 100 m, llegando a la meta con un tiempo total de 9.1 s. a) ¿Qué aceleración media tiene durante los primeros 4.0 s? b) ¿Qué aceleración media re- O 5.0 10.0 15.0 20.0 t (s) 210.0 220.0 2.69 ... Una pelota parte del reposo y baja rodando una colina con aceleración uniforme, recorriendo 150 m durante el segundo lapso de 5.0 s de su movimiento. ¿Qué distancia cubrió durante el primer lapso de 5.0 s? 2.70 .. Colisión. El maquinista de un tren de pasajeros que se mueve a 25.0 m兾s avista un tren de carga cuyo último vagón está 200 m 66 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo Figura P2.70 vPT 5 25.0 m/s a 5 20.100 m/s2 vFT 5 15.0 m/s 200 m más adelante en la misma vía (figura P2.70). El tren de carga se mueve con una rapidez de 15.0 m兾s en la misma dirección que el tren de pasajeros. El maquinista del tren de pasajeros aplica de inmediato los frenos, causando una aceleración constante de 0.100 m兾s2, en dirección opuesta a la de la velocidad del tren, mientras el tren de carga sigue con rapidez constante. Sea x = 0 el punto donde está la parte frontal del tren de pasajeros cuando el maquinista aplica los frenos. a) ¿Atestiguarán las vacas de los alrededores una colisión? b) Si es así, ¿dónde ocurrirá? c) Dibuje en una sola gráfica las posiciones del frente del tren de pasajeros y la parte posterior del tren de carga. 2.71 ... Las cucarachas grandes pueden correr a 1.50 m兾s en tramos cortos. Suponga que enciende la luz en un hotel y ve una cucaracha alejándose en línea recta a 1.50 m兾s. Si inicialmente usted estaba 0.90 m detrás del insecto y se acerca hacia este con una rapidez inicial de 0.80 m兾s, ¿qué aceleración constante mínima necesitará para alcanzarlo cuando este haya recorrido 1.20 m, justo antes de escapar bajo un mueble? 2.72 .. Dos automóviles están separados 200 m y avanzan uno hacia el otro con una rapidez constante de 10 m兾s. Sobre el frente de uno de ellos, un saltamontes lleno de energía salta hacia adelante entre los autos (¡sí que tiene patas fuertes!) con una velocidad horizontal constante de 15 m兾s en relación con el suelo. El insecto salta en el instante en que cae, de manera que no pierde tiempo descansando en uno u otro auto. ¿Qué distancia total recorre el saltamontes antes de que los automóviles colisionen? 2.73 . Un automóvil y un camión parten del reposo en el mismo instante, con el automóvil a cierta distancia detrás del camión. El camión tiene aceleración constante de 2.10 m兾s2, y el automóvil una de 3.40 m兾s2. El automóvil alcanza al camión cuando este ha recorrido 40.0 m. a) ¿Cuánto tiempo tarda el automóvil en alcanzar al camión? b) ¿Qué tan atrás del camión estaba inicialmente el automóvil? c) ¿Qué rapidez tienen los vehículos cuando avanzan juntos? d ) Dibuje en una sola gráfica la posición de cada vehículo en función del tiempo. Sea x = 0 la posición inicial del camión. 2.74 ... Dos pilotos de exhibición conducen frontalmente uno hacia el otro. En t = 0 la distancia entre los automóviles es D, el auto 1 está en reposo y el 2 se mueve hacia la izquierda con rapidez v0. El auto 1 comienza a moverse en t = 0 con aceleración constante ax. El auto 2 sigue a velocidad constante. a) ¿En qué instante chocarán los autos? b) Calcule la rapidez del auto 1 justo antes de chocar contra el auto 2. c) Dibuje las gráficas x-t y vx-t para los dos autos, y trace las curvas usando los mismos ejes. 2.75 .. Se suelta una canica desde el borde de un tazón semiesférico cuyo diámetro es de 50.0 cm y rueda hasta subir sobre el borde opuesto en 10.0 s. Obtenga a) la rapidez media y b) la velocidad media de la canica. 2.76 .. CALC La velocidad medida de un objeto es vx(t) = a - bt 2, donde a = 4.00 m兾s y b = 2.00 m兾s3. En t = 0, el objeto está en x = 0. a) Calcule la posición y aceleración del objeto en función de t. b) ¿Qué desplazamiento positivo máximo tiene el objeto con respecto al origen? 2.77 .. Rebasado. El conductor de un automóvil desea rebasar un camión que viaja a una rapidez constante de 20.0 m兾s (aproximadamente 45 mi兾h). Inicialmente, el automóvil también viaja a 20.0 m兾s y su parachoques delantero está 24.0 m atrás del parachoques trasero del camión. El automóvil adquiere una aceleración constante de 0.600 m兾s2 y regresa al carril del camión cuando su parachoques trasero está 26.0 m adelante del frente del camión. El automóvil tiene una longitud de 4.5 m, y el camión tiene una longitud de 21.0 m. a) ¿Cuánto tiempo necesita el automóvil para rebasar al camión? b) ¿Qué distancia recorre el automóvil en ese tiempo? c) ¿Qué rapidez final tiene el automóvil? 2.78 .. En el planeta X se deja caer Figura P2.78 una piedra de 25 kg a partir del reposo y se mide su rapidez en varios v (m/s) instantes. Luego, se usan los datos obtenidos para construir la gráfica de su 30 rapidez v en función del tiempo t (fi20 gura P2.78). Con la información de 10 la gráfica, conteste las siguientes pret ( s) guntas: a) ¿Cuál es la aceleración deO 1 2 bida a la gravedad en el planeta X? b) Un astronauta deja caer una pieza de su equipo, a partir del reposo, fuera del módulo de aterrizaje, 3.5 m arriba de la superficie del planeta X. ¿Cuánto tiempo tardará esta pieza en llegar al suelo y con qué rapidez llegará a él? c) ¿Con qué rapidez debe un astronauta lanzar un objeto verticalmente hacia arriba para alcanzar una altura de 18 m por arriba del punto de liberación, y cuánto tiempo le tomará alcanzar esa altura? 2.79 ... CALC La aceleración de una partícula está dada por ax(t) = -2.00 m兾s2 + (3.00 m兾s3)t. a) Encuentre la velocidad inicial v0x tal que la partícula tenga la misma coordenada x en t = 4.00 s que en t = 0. b) ¿Cuál será la velocidad en t = 4.00 s? 2.80 . Caída de un huevo. Imagine que está en la azotea del edi- Figura P2.80 ficio de física, a 46.0 m del suelo (figura P2.80). Su profesor de física, quien mide 1.80 m de estatura, camina junto al edificio a una rapidez constante de 1.20 m兾s. Si usted quiere dejar caer un huevo sobre la cabeza de su profesor, 46.0 m ¿dónde deberá estar él cuando usted suelte el huevo? Suponga que el huevo está en caída libre. v 5 1.20 m/s 2.81 . En la Tierra un volcán puede expulsar rocas verticalmente 1.80 m hasta una altura máxima H. a) ¿A qué altura (en términos de H) llegarían estas rocas si un volcán en Marte las expulsara con la misma velocidad inicial? La aceleración debida a la gravedad en Marte es de 3.71 m兾s2, y se puede despreciar la resistencia del aire en ambos planetas. b) Si en la Tierra las rocas están en el aire un tiempo T, ¿por cuánto tiempo (en términos de T ) estarán en el aire en Marte? 2.82 .. Un artista hace malabarismos con pelotas mientras realiza otras actividades. En un acto, arroja una pelota verticalmente hacia arriba y, mientras la pelota está en el aire, él corre de ida y vuelta hacia una mesa que está a 5.50 m de distancia a una rapidez constante de 2.50 m兾s, regresando justo a tiempo para atrapar la pelota que cae. a) ¿Con qué rapidez inicial mínima debe lanzar la pelota hacia arriba para realizar dicha hazaña? b) ¿A qué altura respecto de su posición inicial está la pelota justo cuando él llega a la mesa? Problemas de desafío 2.83 . Los visitantes de un parque de diversiones observan a clavadistas lanzarse desde una plataforma de 21.3 m (70 ft) de altura sobre una alberca. Según el presentador, los clavadistas entran al agua con una rapidez de 25 m兾s (56 mi兾h). Puede ignorarse la resistencia del aire. a) ¿Es correcta la aseveración del presentador? b) ¿Para un clavadista es posible saltar directamente hacia arriba de la plataforma de manera que, eludiendo la plataforma al caer hacia la alberca, entre al agua a 25.0 m兾s? Si es así, ¿qué rapidez inicial hacia arriba se requiere? ¿La rapidez inicial requerida es físicamente alcanzable? 2.84 ... Una maceta con flores cae del borde de una ventana y pasa frente a la ventana de abajo. Se puede despreciar la resistencia del aire. La maceta tarda 0.420 s en pasar por esta ventana desde el borde superior hasta el inferior; la altura de la ventana es de 1.90 m. ¿A qué distancia debajo del punto desde el cual cayó la maceta se encuentra el borde superior de la ventana de abajo? 2.85 ... ¡Cuidado abajo! Sam lanza, a partir del reposo, una bala de 16 lb directamente hacia arriba, imprimiéndole una aceleración constante de 35.0 m兾s2 a lo largo de 64.0 cm, y soltándola a 2.20 m sobre el suelo. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez tiene la bala cuando Sam la suelta? b) ¿Qué altura alcanza respecto del suelo? c) ¿Cuánto tiempo tiene Sam para retirarse del lugar antes de que la bala regrese a la altura de su cabeza, a 1.83 m sobre el suelo? 2.86 ... Un cohete de varias etapas. Al encenderse la primera etapa de un cohete de dos etapas, este empieza a moverse en la plataforma de lanzamiento con una aceleración constante de 3.50 m兾s2 hacia arriba. A los 25.0 s después del lanzamiento, se enciende la segunda etapa durante 10.0 s, así que la velocidad del cohete es de 132.5 m兾s hacia arriba, 35.0 s después del lanzamiento. Sin embargo, este impulso consume todo el combustible, de manera que luego de que la segunda etapa termina, la única fuerza que actúa sobre el cohete es la gravedad. Se desprecia la resistencia del aire. a) Obtenga la altura máxima que alcanza el cohete de dos etapas sobre la plataforma de lanzamiento. b) Una vez que termina la segunda etapa, ¿cuánto tiempo pasará antes de que el cohete caiga a la plataforma de lanzamiento? c) ¿Qué tan rápido se moverá el cohete de dos etapas justo al llegar a la plataforma? 2.87 .. Malabarismo. Un malabarista actúa en un recinto cuyo techo está 3.0 m arriba del nivel de sus manos. Lanza una pelota hacia arriba de modo que apenas llega al techo. a) ¿Qué velocidad inicial tiene la pelota? b) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en llegar al techo? En el instante en que la primera pelota está en el techo, el malabarista lanza una segunda pelota hacia arriba con dos terceras partes de la velocidad inicial de la primera. c) ¿Cuánto tiempo después de lanzada la segunda pelota se cruzan ambas pelotas en el aire? d ) ¿A qué altura, respecto de las manos del malabarista, ocurre el cruce? 2.88 .. Un profesor de física que está en reposo, efectuando una demostración al aire libre, de repente pierde el equilibrio, por lo que cae de lo alto de un acantilado y simultáneamente grita “¡Auxilio!”. Después de caer 3.0 s, escucha el eco de su grito proveniente del suelo del valle. La rapidez del sonido es de 340 m兾s. a) ¿Qué altura tiene el acantilado? b) Si se desprecia la resistencia del aire, ¿con qué rapidez se estará moviendo el profesor justo antes de chocar contra el suelo? (Su rapidez real será menor que eso, debido a la resistencia del aire). 2.89 ... Un helicóptero que lleva al doctor Malvado despega con aceleración constante hacia arriba de 5.0 m兾s2. El agente secreto Austin Powers se sube de un salto al helicóptero justo cuando este despega. Los dos hombres forcejean durante 10.0 s, después de lo cual Powers apaga el motor y se lanza desde el helicóptero. Suponga que el helicóptero está en caída libre después de que se apaga el motor y que la resistencia del aire es insignificante. a) ¿Qué altura máxima, respecto del suelo, alcanza el helicóptero? b) 7.0 s después de saltar del helicóptero, Powers enciende un cohete que trae sujeto a la espalda, lo que le permite tener una aceleración total constante hacia abajo con magnitud de 2.0 m兾s2. ¿A qué distancia sobre el suelo está Powers cuando el helicóptero se estrella contra el piso? 67 2.90 .. Altura de acantilado. Imagine que está escalando una montaña y que repentinamente se encuentra en el borde de un acantilado, envuelto en niebla. Para determinar la altura del acantilado, deja caer una piedra y 10.0 s después escucha el sonido que esta hace al golpear el fondo del acantilado. a) Sin tomar en cuenta la resistencia del aire, ¿qué altura tiene el acantilado si la rapidez del sonido es de 330 m兾s? b) Suponga que se desprecia el tiempo que el sonido tarda en llegar a sus oídos. En ese caso, ¿habría sobrestimado o subestimado la altura del acantilado? Explique su razonamiento. 2.91 ... Lata que cae. Un pintor está de pie en un andamio que sube con rapidez constante. Por descuido, empuja una lata de pintura, la cual cae del andamio cuando está a 15.0 m sobre el suelo. Usted está observando y usa su cronómetro para determinar que la lata tarda 3.25 s en llegar al suelo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez tiene la lata en el momento en que llega al suelo? b) Otro pintor está parado en una cornisa, y una lata está a 4.00 m arriba de él cuando esta se cae. Tiene reflejos felinos, y si la lata pasa frente a él, podrá atraparla. ¿Tiene la oportunidad de hacerlo? 2.92 .. Decidido a probar la ley de la gravedad por sí mismo, un estudiante se deja caer desde un rascacielos de 180 m de altura, cronómetro en mano, e inicia una caída libre (velocidad inicial cero). Cinco segundos después, llega Superman y se lanza de la azotea para salvarlo, con una rapidez inicial v0 que imprimió a su cuerpo, empujándose hacia abajo desde el borde de la azotea con sus piernas de acero. Después, cae con la misma aceleración que cualquier cuerpo en caída libre. a) ¿Qué valor deberá tener v0 para que Superman atrape al estudiante justo antes de llegar al suelo? b) Dibuje en una sola gráfica las posiciones de Superman y del estudiante en función del tiempo. La rapidez inicial de Superman tiene el valor calculado en el inciso a). c) Si la altura del rascacielos es menor que cierto valor mínimo, ni Superman podría salvar al estudiante antes de que llegue al suelo. ¿Cuál es esa altura mínima? 2.93 ... Durante el lanzamiento, los cohetes a menudo desechan partes innecesarias. Cierto cohete parte del reposo en una plataforma de lanzamiento y acelera hacia arriba a 3.30 m兾s2 constantes. Cuando está a 235 m por arriba de la plataforma de lanzamiento, desecha un bote de combustible vacío simplemente desconectándolo. Una vez desconectado, la única fuerza que actúa sobre el bote es la gravedad (se puede ignorar la resistencia del aire). a) ¿Qué tan alto está el cohete cuando el bote llega a la plataforma, suponiendo que no cambia la aceleración del cohete? b) ¿Cuál es la distancia total que recorre el bote desde que se suelta hasta que choca contra la plataforma de lanzamiento? 2.94 .. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con rapidez v0. En el mismo instante, una segunda pelota (que inicialmente está en reposo) se deja caer de una altura H directamente encima del punto de lanzamiento de la primera. No hay resistencia del aire. a) Calcule el tiempo en el que chocarán las pelotas. b) Obtenga el valor de H en términos de v0 y g, de modo que, cuando choquen las pelotas, la primera esté en su punto más alto. 2.95 . CALC Dos automóviles, A y B, viajan en línea recta. La posición de A con respecto al punto de partida está dada, en función del tiempo, por xA(t) = at + bt 2, con a = 2.60 m兾s y b = 1.20 m兾s2. La posición de B respecto del punto de partida es xB(t) = gt 2 - dt 3, con g = 2.80 m兾s2 y d = 0.20 m兾s3. a) ¿Cuál automóvil se adelanta justo después de salir del punto de partida? b) ¿En qué instante(s) los dos automóviles están en el mismo punto? c) ¿En qué instante(s) la distancia entre A y B no aumenta ni disminuye? d) ¿En qué instante(s) A y B tienen la misma aceleración? PROBLEMAS DE DESAFÍO 2.96 ... En el salto vertical, un atleta se agazapa y salta hacia arriba tratando de alcanzar la mayor altura posible. Ni siquiera los campeones mundiales pasan mucho más de 1.00 s en el aire (“tiempo en suspensión”). Trate al atleta como partícula y sea ymáx su altura máxima 68 CAPÍTULO 2 Movimiento rectilíneo respecto del suelo. Para explicar por qué parece estar suspendido en el aire, calcule la razón entre el tiempo que está sobre ymáx兾2 y el tiempo que tarda en llegar del suelo a esa altura. Desprecie la resistencia del aire. 2.97 ... Tomar el autobús. Una estudiante corre a más no poder para alcanzar su autobús, que está detenido en la parada, con una rapidez de 5.0 m兾s. Cuando ella está aún a 40.0 m del autobús, este se pone en marcha con aceleración constante de 0.170 m兾s2. a) ¿Durante qué tiempo y qué distancia debe correr la estudiante a 5.0 m兾s para alcanzar al autobús? b) Cuando lo hace, ¿qué rapidez tiene el autobús? c) Dibuje una gráfica x-t para el estudiante y para el autobús, donde x = 0 es la posición inicial del estudiante. d ) Las ecuaciones que usó en el inciso a) para calcular t tienen una segunda solución, que corresponde a un instante posterior en que el estudiante y el autobús están otra vez en el mismo lugar si continúan sus respectivos desplazamientos. Explique el significado de esta otra solución. ¿Qué rapidez tiene el autobús en ese punto? e) Si la rapidez del estudiante fuera de 3.5 m兾s, ¿alcanzaría al autobús? f ) ¿Qué rapidez mínima requiere la estudiante para apenas alcanzar al autobús? ¿Durante qué tiempo y qué distancia deberá correr en tal caso? 2.98 ... Un excursionista atento ve un peñasco que cae desde un risco lejano y observa que tarda 1.30 s en caer el último tercio de la distancia hacia el suelo. Puede despreciarse la resistencia del aire. a) ¿Qué altura tiene el risco en metros? b) Si en el inciso a) usted obtiene dos soluciones de una ecuación cuadrática y usa una para su respuesta, ¿qué representa la otra solución? 2.99 ... Se lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una azotea. Una segunda pelota se deja caer desde la azotea 1.00 s después. Desprecie la resistencia del aire. a) Si la altura del edificio es de 20.0 m, ¿cuál debe ser la rapidez inicial de la primera pelota para que las dos lleguen al suelo al mismo tiempo? En una sola gráfica dibuje la posición de cada pelota en función del tiempo, a partir del instante en que se lanzó la primera. Considere la misma situación, solo que ahora la rapidez inicial v0 de la primera pelota es un dato, y la altura h del edificio es la incógnita. b) ¿Qué altura deberá tener el edificio para que las dos pelotas lleguen al suelo al mismo tiempo si v0 es i. de 6.0 m/s y ii. de 9.5 m兾s? c) Si v0 es mayor que cierto valor vmáx, no existe una h tal que permita que ambas pelotas lleguen al piso simultáneamente. Obtenga vmáx cuyo valor tiene una interpretación física sencilla. ¿Cuál es? d ) Si v0 es menor que cierto valor vmín, no existe una h tal que permita que ambas pelotas lleguen al piso al mismo tiempo. Obtenga vmín cuyo valor también tiene una interpretación física sencilla. ¿Cuál es? Respuestas Pregunta inicial del capítulo ? Sí. Aceleración se refiere a cualquier cambio de velocidad, ya sea que aumente o disminuya. Preguntas de las secciones Evalúe su comprensión 2.1 Respuestas a): iv, i y iii (empatados), v, ii; b): i y iii; c): v. En a), la velocidad media es vmed-x = ¢x兾¢t. Para los cinco viajes, ¢t = 1 h. Para los viajes individuales, tenemos i. ¢x = +50 km, vmed-x = +50 km兾h; ii. ¢x = -50 km, vmed-x = -50 km兾h; iii. ¢x = 60 km - 10 km = +50 km, vmed-x = +50 km兾h; iv. ¢x = +70 km, vmed-x = +70 km兾h; v. ¢x = -20 km + 20 km = 0, vmed-x = 0. En b) ambos tienen vmed-x = +50 km兾h. 2.2 Respuestas: a) P, Q y S (empatados), R La velocidad es b) positiva cuando la pendiente de la gráfica x-t es positiva (punto P), c) negativa cuando la pendiente es negativa (punto R), y d ) cero cuando la pendiente es cero (puntos Q y S). e) R, P, Q y S (empatados). La rapidez es máxima cuando la pendiente de la gráfica x-t es más pronunciada (ya sea positiva o negativa), y cero cuando la pendiente es cero. 2.3 Respuestas: a) S, donde la gráfica x-t se curva (es cóncava) hacia arriba. b) Q, donde la gráfica x-t se curva (es cóncava) hacia abajo. c) P y R, donde la gráfica x-t es una línea recta (no se curva hacia arriba ni hacia abajo). d ) En P, ax = 0 (la velocidad no cambia); en Q, ax 6 0 (la velocidad disminuye, es decir, cambia de positiva a cero y de cero a negativa); en R, ax = 0 (la velocidad no cambia); y en S, ax 7 0 (la velocidad aumenta, es decir, cambia de negativa a cero y de cero a positiva). 2.4 Respuesta: b) La aceleración del oficial de policía es constante, de manera que su gráfica vx-t es una recta y su motocicleta se desplaza más rápido que el automóvil del conductor, cuando ambos vehículos se encuentran en t = 10 s. 2.5 Respuestas: a) iii. Use la ecuación (2.13) sustituyendo x por y y ay = g; vy2 = v0y2 - 2g(y - y0). La altura inicial es y0 = 0 y la velocidad a la altura máxima y = h es vy = 0, así que 0 = v0y2 - 2gh y h = v0y2兾2g. Si la velocidad inicial aumenta en un factor de 2, la altura máxima aumentará en un factor de 22 = 4 y la pelota alcanzará la altura 4h. b) v. Utilice la ecuación (2.8) reemplazando x por y y ay = g; vy = v0y - gt. La velocidad en la altura máxima es vy = 0, así que 0 = v0y - gt y t = v0y兾g. Si la velocidad inicial se incrementa en un factor de 2, el tiempo para llegar a la altura máxima se incrementa en un factor de 2 y se vuelve 2t. 2.6 Respuesta: ii. La aceleración ax es igual a la pendiente de la gráfica vx-t. Si ax aumenta, la pendiente de la gráfica vx-t también se incrementa y la curva es cóncava hacia arriba. Problema práctico Respuesta: h = 57.1 m MOVIMIENTO EN DOS O EN TRES DIMENSIONES 3 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: • Cómo representar la posición de un cuerpo, usando vectores, en dos o tres dimensiones. ? Si un ciclista recorre una curva con rapidez constante, ¿está acelerando? Si es así, ¿en qué dirección acelera? ¿Q ué determina dónde cae una pelota de béisbol bateada? ¿Cómo se describe el movimiento de un carro de la montaña rusa en una curva, o el vuelo de un halcón que describe círculos? ¿Cuál golpea el suelo primero: una pelota de béisbol que simplemente se deja caer o una que se arroja horizontalmente? No podemos contestar estas preguntas usando las técnicas del capítulo 2, donde se consideró que las partículas se movían solo en línea recta. En lugar de ello, es necesario ampliar nuestras descripciones del movimiento a situaciones en dos y en tres dimensiones. Seguiremos empleando las cantidades vectoriales de desplazamiento, velocidad y aceleración; sin embargo, ahora no estarán a lo largo de una sola línea. Veremos que muchas clases de movimientos importantes se dan solo en dos dimensiones, es decir, en un plano, y pueden describirse con dos componentes de posición, velocidad y aceleración. También necesitamos considerar cómo describen el movimiento de una partícula observadores diferentes que se mueven unos con respecto a otros. El concepto de velocidad relativa desempeñará un papel importante más adelante en este libro, cuando estudiemos colisiones, cuando exploremos los fenómenos electromagnéticos, y cuando presentemos la teoría especial de la relatividad de Einstein. En este capítulo se conjunta el lenguaje de vectores que vimos en el capítulo 1 con el lenguaje de la cinemática del capítulo 2. Como antes, nos interesa describir el movimiento, no analizar sus causas. No obstante, el lenguaje que aprenderemos aquí será una herramienta esencial en capítulos posteriores, al estudiar la relación entre fuerza y movimiento. • Cómo determinar el vector velocidad de un cuerpo conociendo su trayectoria. • Cómo obtener el vector aceleración de un cuerpo, y por qué un cuerpo puede tener una aceleración aun cuando su rapidez sea constante. • Cómo interpretar las componentes de la aceleración de un cuerpo paralela y perpendicular a su trayectoria. • Cómo describir la trayectoria curva que sigue un proyectil. • Las ideas clave detrás del movimiento en una trayectoria circular, con rapidez constante o variable. • Cómo relacionar la velocidad de un cuerpo en movimiento visto desde dos marcos de referencia distintos. 69 70 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.1 S 3.1 El vector de posición r del origen al punto P tiene componentes x, y y z. La trayectoria que sigue la partícula en el espacio es, en general, una curva (figura 3.2). y La posición P de una partícula en un tiempo dado tiene las coordenadas x, y, z. y z k^ r y j^ O x xi^ z Para describir el movimiento de una partícula en el espacio, primero tenemos que describir su posición. Considere una partícula que está en el punto P en cierto instante. S El vector de posición r de la partícula en ese instante es un vector que va del origen del sistema de coordenadas al punto P (figura 3.1). Las coordenadas cartesianas x, y S y z de P son las componentes x, y y z del vector r . Usando los vectores unitarios que presentamos en la sección 1.9, podemos escribir r ⴝ xın ⴙ y≥n ⴙ zkN S x z El vector de posición del punto P tiene las componentes x, y, z: r ^ r 5 x i^ 1 y j^ 1 z k. La posición en el tiempo t2. S r2 S vmed 5 S Dr S r1 P1 O z S Dr Dt El vector S desplazamiento Dr apunta de P1 a P2. S 3.3 Los vectores v1 y v2 son las velocidades instantáneas en los puntos P1 y P2, como se muestra en la figura 3.2. y S v2 P2 El vector velocidad S instantánea v es tangente a la trayectoria en cada punto. O v1 P1 z v ⴝ lím ¢tS0 (3.2) S dr ¢r ⴝ dt ¢t (vector velocidad instantánea) (3.3) S La magnitud del vector v en cualquier instante es la rapidez v de la partícula en ese S instante. La dirección de v en cualquier instante es la dirección en que la partícula se mueve en ese instante. Observe que conforme ¢t S 0, los puntos P1 y P2 de la figura 3.2 se acercan cada S vez más. En el límite, el vector ¢ r se vuelve tangente a la trayectoria. La dirección S S de ¢ r en este límite también es la dirección de la velocidad instantánea v. Esto conduce a una conclusión importante: En cualquier punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria en ese punto (figura 3.3). A menudo es más sencillo calcular el vector velocidad instantánea empleando S componentes. Durante cualquier desplazamiento ¢ r , los cambios ¢x, ¢y y ¢z en las S tres coordenadas de la partícula son las componentes de ¢ r . Por lo tanto, las compoS nentes vx , vy y vz de la velocidad instantánea v son simplemente las derivadas respecto al tiempo de las coordenadas x, y y z. Es decir, dx dt vy = S x Trayectoria de la partícula S S vx = S (vector velocidad media) Dividir un vector entre un escalar es en realidad un caso especial de multiplicación S de un vector por un escalar, descrito en la sección 1.7; la velocidad media vmed es S igual al vector desplazamiento ¢ r multiplicado por 1兾¢t, el recíproco del intervalo de tiempo. Observe que la componente x de la ecuación (3.2) es vmed-x = (x2 - x1)兾 (t2 - t1) = ¢x兾¢t. Esta es precisamente la ecuación (2.2), la expresión para la velocidad media que dedujimos en la sección 2.1 para el movimiento unidimensional. Aquí definimos la velocidad instantánea igual que en el capítulo 2: como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo se aproxima a cero, y es la tasa instantánea de cambio de posición con el tiempo. La diferencia clave es que tanto S S la posición r como la velocidad instantánea v ahora son los vectores: La posición en el tiempo t1. x Trayectoria de la partícula S (3.1) S S r2 ⴚ r1 ¢r ⴝ t2 - t1 ¢t vmed ⴝ 3.2 La velocidad media vmed entre los puntos P1 y P2 tiene la misma dirección S que el desplazamiento ¢ r . P2 S S S y (vector de posición) Durante un intervalo de tiempo ¢t, la partícula se mueve de P1, donde su vector S S de posición es r 1 , a P2, donde su vector de posición es r 2 . El cambio de posición S S S (el desplazamiento) durante este intervalo es ¢ r ⴝ r 2 ⴚ r 1 ⴝ (x2 - x1)Nı ⴙ (y2 S N y1)n≥ ⴙ 1z2 - z12k. Definimos la velocidad media vmed durante este intervalo igual que en el capítulo 2 para movimiento rectilíneo, como el desplazamiento dividido entre el intervalo de tiempo: P r Vectores de posición y velocidad dy dt vz = dz dt (componentes de la velocidad instantánea) (3.4) La componente x de v es vx = dx兾dt, que es la ecuación (2.3): la expresión para la velocidad instantánea en movimiento rectilíneo que obtuvimos en la sección 2.2. De manera que la ecuación (3.4) es una ampliación directa de la idea de velocidad instantánea para el movimiento en tres dimensiones. 3.1 Vectores de posición y velocidad 71 También podemos obtener la ecuación (3.4) derivando la ecuación (3.1). Los vectores unitarios nı , n≥ y kN tienen magnitud y dirección constantes, de modo que sus derivadas son iguales a cero; entonces, S S vⴝ dy dr dx dz Nı ⴙ n≥ ⴙ kN ⴝ dt dt dt dt (3.5) S Esto muestra otra vez que las componentes de v son dx兾dt, dy兾dt y dz兾dt. S La magnitud del vector velocidad instantánea v es decir, la rapidez, se obtiene en términos de las componentes vx, vy y vz aplicando el teorema de Pitágoras: S ƒ v ƒ = v = 2vx2 + vy2 + vz2 (3.6) La figura 3.4 muestra la situación cuando la partícula se mueve en el plano xy. S En este caso, z y vz son iguales a cero, y la rapidez (la magnitud de v) es 3.4 Las dos componentes de velocidad para movimiento en el plano xy. v = 2vx2 + vy2 El vector velocidad instantánea v siempre es tangente a la trayectoria. S y S y la dirección de la velocidad instantánea v está dada por el ángulo a (la letra griega alfa) de la figura. Vemos que tan a = vy S a (3.7) vx vx (Siempre se usan letras griegas para los ángulos. Se utiliza a para la dirección del vector velocidad instantánea con la finalidad de evitar confusiones con la dirección u del vector de posición de la partícula). El vector velocidad instantánea suele ser más interesante y útil que el de la velocidad media. De ahora en adelante, al usar el término “velocidad”, siempre nos referireS mos al vector velocidad instantánea v (no al vector velocidad media). Por lo regular, S ni siquiera nos molestaremos en llamar vector a v; el lector debe recordar que la velocidad es una cantidad vectorial con magnitud y dirección. Ejemplo 3.1 La trayectoria de la partícula en el plano xy v vy O vx y vy son las componentes S x y y de v. x Cálculo de la velocidad media e instantánea Un vehículo robot está explorando la superficie de Marte. El módulo de descenso estacionario es el origen de las coordenadas; y la superficie marciana circundante está en el plano xy. El vehículo, que representamos como un punto, tiene coordenadas x y y que varían con el tiempo: x = 2.0 m - (0.25 m > s2)t2 y = (1.0 m > s)t + (0.025 m > s3)t3 a) Obtenga las coordenadas del vehículo y su distancia con respecto al módulo en t = 2.0 s. b) Obtenga los vectores desplazamiento y velocidad media del vehículo entre t = 0.0 s y t = 2.0 s. c) Deduzca una S expresión general para el vector velocidad instantánea v del vehículo. S Exprese v en t = 2.0 s en forma de componentes y en términos de magnitud y dirección. S 3.5 En t = 0.0 s el vehículo tiene el vector de posición r 0 y el vector S S S velocidad instantánea es v0 . Asimismo, r 1 y v1son los vectores en S S t = 1.0 s; r 2 y v2 son los vectores en t = 2.0 s. y (m) S v2 a 5 128° 2.5 t 5 2.0 s 2.0 1.5 S S v1 r2 t 5 1.0 s 1.0 S SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problema implica movimiento en dos dimensiones, por lo que debemos usar las ecuaciones vectoriales obtenidas en esta sección. En la figura 3.5 se muestra la trayectoria del vehículo (línea punteada). Usaremos la ecuación (3.1) para la posición S S S S r , la expresión ¢ r ⴝ r 2 ⴚ r 1 para el desplazamiento, la ecuación (3.2) para la velocidad media y las ecuaciones (3.5), (3.6) y (3.7) para Trayectoria del vehículo r1 S v0 t 5 0.0 s 0.5 S r0 O 0.5 1.0 x (m) 1.5 2.0 Continúa 72 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones la velocidad instantánea y su dirección y magnitud. Las incógnitas están definidas en el enunciado del problema. EJECUTAR: a) En el instante t = 2.0 s las coordenadas del vehículo son x = 2.0 m - 10.25 m > s2212.0 s22 = 1.0 m y = 11.0 m > s212.0 s2 + 10.025 m > s3212.0 s23 = 2.2 m La distancia del vehículo al origen en este instante es 2 2 dx = 1- 0.25 m > s2212t2 dt dy vy = = 1.0 m > s + 10.025 m > s3213t 22 dt vx = Así, el vector velocidad instantánea es S v ⴝ vxnı ⴙ vy n≥ ⴝ 1-0.50 m > s22tın r = 2x + y = 211.0 m2 + 12.2 m2 = 2.4 m 2 c) De acuerdo con la ecuación (3.4), las componentes de la velocidad instantánea son las derivadas de las coordenadas respecto a t: 2 b) Para obtener el desplazamiento y la velocidad media durante el S intervalo dado, primero expresamos el vector de posición r en función del tiempo t. De acuerdo con la ecuación (3.1), este es: S r ⴝ xın ⴙ y≥n ⴙ 31.0 m>s + 10.075 m > s32t24 n≥ S En el tiempo t = 2.0 s, las componentes del vector velocidad v2 son v2x = 1-0.50 m > s2212.0 s2 = - 1.0 m > s v2y = 1.0 m > s + 10.075 m > s3212.0 s22 = 1.3 m > s La magnitud de la velocidad instantánea (es decir, la rapidez) en t = 2.0 s es ⴝ 32.0 m - 10.25 m > s22t24ıN ⴙ 311.0 m>s2t + 10.025 m>s32t34 n≥ v2 = 2v2x2 + v2y2 = 21 -1.0 m> s22 + 11.3 m > s22 = 1.6 m > s S En el instante t = 0.0 s el vector de posición r 0 es S S r 0 ⴝ 12.0 m2ın ⴙ 10.0 m2≥n S Del inciso a) sabemos que, en t = 2.0 s, el vector de posición r 2 es r2 ⴝ 11.0 m2ın ⴙ 12.2 m2≥n La figura 3.5 muestra la dirección del vector velocidad v2, el cual tiene un ángulo a entre 90° y 180° con respecto al eje positivo x. De la ecuación (3.7) tenemos S arctan Por lo tanto, el desplazamiento entre t = 0.0 s y t = 2.0 s es S S vx = arctan 1.3 m > s = - 52° -1.0 m > s El ángulo es menor que 180°; de manera que el valor correcto del ángulo es a = 180° - 52° = 128°, o 38° al oeste del norte. S ¢ r ⴝ r 2 ⴚ r 0 ⴝ (1.0 m)ın ⴙ (2.2 m)≥n ⴚ (2.0 m)ın ⴝ 1- 1.0 m2ın ⴙ 12.2 m2≥n Durante este intervalo el vehículo se desplazó 1.0 m en la dirección negativa de x y 2.2 m en la dirección positiva de y. De acuerdo con la ecuación (3.2), la velocidad media en este intervalo es el desplazamiento dividido entre el tiempo transcurrido: S vy S 1 - 1.0 m2ın ⴙ 12.2 m2≥n ¢r ⴝ ¢t 2.0 s - 0.0 s ⴝ 1- 0.50 m > s2ın ⴙ 11.1 m > s2≥n vmed ⴝ Las componentes de esta velocidad media son vmed-x = -0.50 m兾s y vmed-y = 1.1 m兾s. EVALUAR: Compare las componentes de la velocidad media que obtuvimos en el inciso b) para el intervalo de t = 0.0 s a t = 2.0 s (vmed-x = -0.50 m兾s, vmed-y = 1.1 m兾s) con las componentes de la velocidad instantánea en t = 2.0 s que obtuvimos en el inciso c) (v2x = -1.0 m兾s, v2y = 1.3 m兾s). La comparación indica que, al igual que sucede en una S sola dimensión, el vector velocidad media vmed durante un intervalo, S en general, no es igual a la velocidad instantánea v al final del intervalo (véase el ejemplo 2.1). S La figura 3.5 muestra los vectores de posición r y los vectores velocidad instantánea en t = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. (Se invita al lector a calcuS lar estas cantidades en t = 0.0 s y t = 1.0 s). Observe que v es tangente S a la trayectoria en todos los puntos. La magnitud de v aumenta conforme el vehículo avanza, lo que indica que su rapidez está aumentando. Evalúe su comprensión de la sección 3.1 ¿En cuál de las siguientes S situaciones el vector velocidad media vmed en un intervalo sería igual a la velocidad S instantánea v al final del intervalo? i. Un cuerpo que se mueve en una trayectoria curva a rapidez constante; ii. un cuerpo que se mueve en una trayectoria curva y aumenta su rapidez; iii. un cuerpo que se mueve en línea recta a rapidez constante; iv. un cuerpo que se mueve en línea recta y aumenta su rapidez. 3.2 El vector aceleración Consideremos ahora la aceleración de una partícula que se mueve en el espacio. Al igual que en el movimiento rectilíneo, la aceleración describe cómo cambia la velocidad de la partícula; pero como ahora tratamos la velocidad como un vector, la aceleración describirá los cambios tanto en la magnitud de la velocidad (es decir, la rapidez) como en la dirección de la velocidad (esto es, la dirección en que se mueve la partícula). En la figura 3.6a, un automóvil (tratado como partícula) se desplaza en una trayecS S toria curva. Los vectores v1 y v2 representan las velocidades instantáneas del auto en 3.2 El vector aceleración S S 73 S 3.6 a) Un automóvil se mueve a lo largo de una curva de P1 a P2. b) Cómo obtener ¢v ⴝ v2 ⴚ v1 mediante resta de vectores. S S c) El vector a med ⴝ ¢v/ ¢t representa la aceleración media entre P1 y P2. a) b) c) S S v2 S v1 P1 S v2 P2 v2 P2 P2 S Este automóvil acelera frenando mientras recorre una curva. (Su velocidad instantánea cambia tanto en magnitud como en dirección). S v1 S v1 P1 S S v1 S D v 5 v2 2 v1 S P1 S v2 Para determinar la aceleración media del automóvil entre P1 y P2, primero obtenemos S el cambio en la velocidad D v restando S S S S S v1 de v2. Observe que v1 1 D v 5 v2. Dv S Dv Dt S amed 5 La aceleración media tiene la misma dirección S que el cambio de velocidad, Dv. el instante t1, cuando el automóvil está en el punto P1, y en t2 cuando se encuentra en el punto P2. Las dos velocidades pueden diferir tanto en magnitud como en dirección. S S S Durante el intervalo de t1 a t2, el cambio vectorial de velocidad es v2 ⴚ v1 ⴝ ¢v, S S S S de modo que v2 ⴝ v1 ⴙ ¢v (figura 3.6b). Definimos la aceleración media a med del automóvil en este intervalo como el cambio de velocidad dividido entre el intervalo t2 - t1 = ¢t: S a med S S S v2 ⴚ v1 ¢v ⴝ ⴝ t2 - t1 ¢t (vector aceleración media) (3.8) Video Tutor Demo S La aceleración media es una cantidad vectorial en la misma dirección que el vecS tor ¢v (figura 3.6c). La componente x de la ecuación (3.8) es amed-x = (v2x – v1x)兾(t2 - t1) = ¢vx兾¢t, que es exactamente la ecuación (2.4) para la aceleración media en movimiento rectilíneo. S Al igual que en el capítulo 2, definimos la aceleración instantánea a (una cantidad vectorial) en el punto P1 como el límite de la aceleración media cuando el S punto P2 se acerca a P1, de modo que ¢v y ¢t se acercan a cero (figura 3.7). La aceleración instantánea también es igual a la tasa instantánea de cambio de velocidad con el tiempo: S a) Aceleración: trayectoria curva S Para obtener la aceleración v 2 instantánea P 2 S S a en P1 ... v1 ... tomamos el límite S de amed cuando P2 se aproxima a P1 ... P1 S dv ¢v a ⴝ lím ⴝ ¢tS0 ¢t dt S 3.7 a) Aceleración instantánea a en el punto P1 de la figura 3.6. b) Aceleración instantánea para movimiento rectilíneo. (vector aceleración instantánea) (3.9) S v1 ... lo que significa que S Dv y D t se aproximan a 0. S El vector velocidad v, como vimos, es tangente a la trayectoria de la partícula. No S obstante, el vector aceleración instantánea a , no tiene que ser tangente a la trayectoS ria. La figura 3.7a muestra que si la trayectoria es curva, a apunta hacia el lado cóncavo de la trayectoria, es decir, hacia el interior de la curva descrita por la partícula. La aceleración es tangente a la trayectoria solo si la partícula se mueve en línea recta (figura 3.7b). CUIDADO Cualquier partícula que sigue una trayectoria curva está acelerando Cuando una partícula sigue una trayectoria curva, su aceleración siempre es distinta de cero, aun si se mueve con rapidez constante. Quizás esta conclusión es contraria a la intuición, pero más bien va contra el uso cotidiano de la palabra “aceleración” para indicar que la velocidad aumenta. La definición más precisa de la ecuación (3.9) indica que la aceleración es diferente de cero cuando el vector velocidad cambia de cualquier forma, ya sea en su magnitud, dirección o en ambas. P1 La aceleración apunta hacia el lado cóncavo de la trayectoria. b) Aceleración: trayectoria en línea recta Solo si la trayectoria es rectilínea ... P2 S Para convencerse de que una partícula no tiene aceleración cero cuando se mueve en una trayectoria curva con rapidez constante, piense en lo que siente cuando viaja en automóvil. Si el auto acelera, usted tiende a moverse en dirección ? S a 5 lím Dv DtS0 D t S v1 P1 S v2 S Dv S a 5 lím Dv DtS0 D t S ... la aceleración está en dirección de la trayectoria. 74 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones Aplicación Caballos en una trayectoria curva Al inclinarse y al golpear el suelo con sus cascos a cierto ángulo, estos caballos adquieren la aceleración lateral necesaria para realizar un cambio repentino de dirección. opuesta a la aceleración del vehículo. (Veremos por qué en el capítulo 4). Así, tendemos a movernos hacia atrás cuando el automóvil acelera hacia adelante (aumenta su velocidad), y hacia el frente cuando el automóvil acelera hacia atrás (es decir, cuando frena). Si el automóvil da vuelta en un camino horizontal, tendemos a deslizarnos hacia afuera de la curva; por lo tanto, el auto tiene una aceleración hacia adentro de la curva. Normalmente nos interesará la aceleración instantánea, no la media. A partir de ahora, usaremos el término “aceleración” para referirnos al vector aceleración instanS tánea a . Cada componente del vector aceleración es la derivada de la componente correspondiente de la velocidad: ax = dvx dt ay = dvy az = dt dvz dt (componentes de la aceleración instantánea) (3.10) En términos de vectores unitarios, S aⴝ 3.8 Cuando se dispara la flecha, su vector aceleración tiene tanto una componente horizontal (ax) como una componente vertical (ay). S ay a ax dvy dvz dvx Nı ⴙ ≥N ⴙ kN dt dt dt (3.11) La componente x de las ecuaciones (3.10) y (3.11), ax = dvx兾dt, es la expresión de la sección 2.3 para la aceleración instantánea en una dimensión, ecuación (2.5). La figura 3.8 muestra un ejemplo de vector aceleración que tiene componentes tanto x como y. Como cada componente de velocidad es la derivada de la coordenada corresponS diente, expresamos las componentes ax, ay y az del vector aceleración a como ax = d2x dt2 ay = d2y dt2 az = d2z dt2 (3.12) S y al vector aceleración a como S aⴝ Ejemplo 3.2 d2y d2x d2z N N N ı ⴙ ≥ ⴙ k dt2 dt2 dt2 (3.13) Cálculo de la aceleración media e instantánea Veamos otra vez los movimientos del vehículo robot del ejemplo 3.1. a) Obtenga las componentes de la aceleración media de t = 0.0 s a t = 2.0 s. b) Determine la aceleración instantánea en t = 2.0 s. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: En el ejemplo 3.1, obtuvimos las componentes de la velocidad instantánea del vehículo en el tiempo t: dx = 1 -0.25 m > s2212t2 = 1 -0.50 m > s22t dt dy vy = = 1.0 m > s + 10.025 m > s3213t 22 dt = 1.0 m > s + 10.075 m > s32t 2 vx = Utilizaremos las relaciones vectoriales entre velocidad, aceleración media y aceleración instantánea. En el inciso a), determinamos los valores de vx y vy al principio y al final del intervalo, y después usamos la ecuación (3.8) para calcular las componentes de la aceleración media. En el inciso b) obtuvimos las expresiones de las componentes de la aceleración instantánea en cualquier tiempo t derivando las componentes de la velocidad respecto al tiempo, como en las ecuaciones (3.10). EJECUTAR: a) En el ejemplo 3.1 vimos que para t = 0.0 s las componentes de velocidad son vx = 0.0 m > s vy = 1.0 m > s a que en t = 2.00 s las componentes son vx = - 1.0 m > s vy = 1.3 m > s Así, las componentes de la aceleración media en el intervalo de t = 0.0 s a t = 2.0 s son - 1.0 m> s - 0.0 m > s ¢vx = = - 0.50 m > s 2 ¢t 2.0 s - 0.0 s ¢vy 1.3 m > s - 1.0 m > s = = 0.15 m > s 2 = ¢t 2.0 s - 0.0 s amed-x = amed-y 3.2 El vector aceleración b) Con las ecuaciones (3.10), obtenemos ax = dvx = - 0.50 m > s2 dt ay = dvy = 10.075 m > s3212t2 dt S De modo que el vector aceleración instantánea a en el tiempo t es 75 lector a utilizar los resultados del inciso b) para calcular la aceleración S S instantánea en t = 0.0 s y t = 1.0 s). Observe que v y a no están en la S misma dirección en ninguno de estos momentos. El vector velocidad v es tangente a la trayectoria en cada punto (como siempre), y el de aceS leración a apunta hacia el lado cóncavo de esta. S a ⴝ axnı ⴙ ayn≥ ⴝ 1- 0.50 m > s22ın ⴙ 10.15 m > s32t≥n En el instante t = 2.0 s, las componentes de la aceleración y el vector aceleración son ax = - 0.50 m > s2 ay = 10.15 m > s3212.0 s2 = 0.30 m > s2 3.9 Trayectoria del vehículo robot que muestra la velocidad S S S S y aceleración en t = 0.0 s 1v0 y a 02, t = 1.0 s 1v1 y a 12, y S S t = 2.0 s 1v2 y a 22. S S a ⴝ 1 -0.50 m>s22ın ⴙ 10.30 m>s22≥n b = 149° La magnitud de la aceleración en este instante es 2.5 a = 2ax2 + ay2 = 21 - 0.50 m>s 2 22 + 10.30 m > s 2 22 = 0.58 m > s 2 arctan ax = arctan 0.30 m > s a2 t ⫽ 2.0 s 1.5 2 - 0.50 m > s2 S 2.0 Un diagrama de este vector (figura 3.9) muestra que el ángulo b de la S dirección de a con respecto al eje x positivo está entre 90° y 180°. Con la ecuación (3.7), tenemos ay a = 128° v2 y (m) a1 1.0 = - 31° S v1 S Trayectoria del vehículo robot t ⫽ 1.0 s S v0 0.5 Así que b = 180° + (-31°) = 149°. t ⫽ 0.0 s S a0 EVALUAR: La figura 3.9 muestra la trayectoria y los vectores velocidad y aceleración del vehículo en t = 0.0 s, 1.0 s y 2.0 s. (Se invita al O 0.5 1.0 1.5 x (m) 2.0 Componentes perpendicular y paralela de la aceleración S Las ecuaciones (3.10) nos hablan acerca de las componentes del vector a aceleración instantánea de una partícula a lo largo de los ejes x, y y z. Otra manera útil de visuaS lizar a es en términos de su componente paralela a la trayectoria de la partícula, es decir, paralela a la velocidad, y su componente perpendicular a la trayectoria, y por lo tanto, perpendicular a la velocidad (figura 3.10). Esto es porque la componente paralela aŒ nos habla acerca de los cambios en la rapidez de la partícula; mientras que la componente perpendicular a ⬜ nos indica los cambios en la dirección del movimiento de la partícula. Para ver por qué las componentes paralela y perpendicular de S a tienen tales propiedades, consideremos dos casos especiales. En la figura 3.11a, el vector aceleración tiene la misma dirección que la velocidad S S v1 , de manera que a tiene solo una componente paralela aŒ (es decir, a› = 0). El S S cambio de velocidad ¢v en un intervalo pequeño ¢t tiene la misma dirección que a S S S y, por lo tanto, que v1 . La velocidad v2 al final de ¢t está en la misma dirección que v1 pero tiene mayor magnitud. Es decir, durante el intervalo ¢t la partícula de la figura 3.11a se movió en línea recta con rapidez creciente (compare con la figura 3.7b). En la figura 3.11b, la aceleración es perpendicular a la velocidad, de manera que S a tiene solo una componente perpendicular a› (es decir, aŒ = 02. En un intervalo 3.11 El efecto de la aceleración con dirección a) paralela y b) perpendicular a la velocidad de la partícula. a) Aceleración paralela a la velocidad: b) Aceleración perpendicular a la velocidad: Solo cambia la magnitud de la velocidad: la rapidez cambia, pero no la S dirección. a S Solo cambia la dirección S Dv v de la velocidad: la partícula 1 sigue una trayectoria curva f con rapidez constante. S S S v2 5 v1 1 Dv S Dv S v1 S S S v2 5 v1 1 Dv S a 3.10 La aceleración puede descomponerse en una componente aŒ paralela a la trayectoria (es decir, a lo largo de la tangente a la trayectoria) y una componente a› perpendicular a la trayectoria (es decir, a lo largo de la normal a la trayectoria). Tangente a la trayectoria en P. Componente S v S de a paralela a la trayectoria. Trayectoria de la partícula a || aS P a S Normal a la trayectoria en P. Componente de a perpendicular a la trayectoria. 76 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones S S pequeño ¢t, el cambio de velocidad ¢v es muy cercanamente perpendicular a v1, por S S lo que v1 y v2 tienen direcciones diferentes. Al aproximarse el intervalo ¢t a cero, S el ángulo f en la figura también se acerca a cero, ¢v se vuelve perpendicular tanto S S S S a v1 como a v2 , y v1 y v2 tienen la misma magnitud. Dicho de otro modo, la rapidez de la partícula no cambia, pero la dirección del movimiento se modifica y la trayectoria de la partícula se curva. S En el caso más general, la aceleración a tiene componentes tanto paralela como S perpendicular a la velocidad v, como en la figura 3.10. Entonces, cambiarán la rapidez de la partícula (descrita por la componente paralela aŒ) y su dirección (descrita por la componente perpendicular a⬜ ) por lo que seguirá una trayectoria curva. La figura 3.12 muestra una partícula que se mueve sobre una trayectoria curva en tres situaciones distintas: rapidez constante, creciente y decreciente. Si la rapidez S S es constante, a es perpendicular, o normal, a la trayectoria y a v y apunta hacia el lado cóncavo de la trayectoria (figura 3.12a). Si la rapidez aumenta, todavía hay una comS S ponente perpendicular de a , pero también una paralela con la misma dirección que v S (figura 3.12b). Entonces a apunta hacia adelante de la normal a la trayectoria (como en el ejemplo 3.2). Si la rapidez disminuye, la componente paralela tiene dirección S S opuesta a v, y a apunta hacia atrás de la normal a la trayectoria (figura 3.12c; compare con la figura 3.7a). Usaremos otra vez estas ideas en la sección 3.4 al estudiar el caso especial de movimiento en un círculo. PhET: Maze Game 3.12 Vectores de velocidad y aceleración de una partícula que pasa por un punto P en una trayectoria curva con rapidez a) constante, b) creciente y c) decreciente. a) Cuando la rapidez es constante en una trayectoria curva ... b) Cuando la rapidez se incrementa en una trayectoria curva ... S S S v v P c) Cuando la rapidez disminuye en una trayectoria curva ... ... la aceleración es normal a la trayectoria. v ... la aceleración apunta hacia adelante de la normal. P ... la aceleración apunta hacia atrás de la normal. P S a S a S Normal en P a Normal en P Ejemplo 3.3 Normal en P Cálculo de las componentes paralela y perpendicular de la aceleración Para el vehículo de los ejemplos 3.1 y 3.2, obtenga las componentes paralela y perpendicular de la aceleración en t = 2.0 s. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Queremos obtener las componentes del S vector aceleración a que sean paralela y perpendicular al vector velociS S S dad v. En los ejemplos 3.1 y 3.2 obtuvimos las direcciones de v y a respectivamente; la figura 3.9 muestra los resultados. Con estas direcciones podemos determinar el ángulo entre los dos vectores y las comS S ponentes de a con respecto a la dirección de v. EJECUTAR: En el ejemplo 3.2 vimos que en t = 2.0 s la partícula tiene una aceleración de magnitud 0.58 m兾s2 con un ángulo de 149° con respecto al eje +x. Por el ejemplo 3.1, sabemos que en ese instante el vector velocidad tiene un ángulo de 128° con respecto al eje +x. Por S S lo tanto, el ángulo entre a y v es 149° - 128° = 21° (figura 3.13). De modo que las componentes de aceleración paralela y perpendicuS lar a v son aŒ = a cos 21° = 10.58 m>s22cos 21° = 0.54 m>s2 a⬜ = a sen 21° = 10.58 m>s 2 2sen 21° = 0.21 m>s 2 3.13 Componentes paralela y perpendicular de la aceleración del vehículo en t = 2.0 s. S v S a 21° Componente perpendicular de la aceleración. a || Componente paralela de la aceleración. Posición del vehículo en t 5 2.0 s a Trayectoria del vehículo EVALUAR: La componente paralela a|| es positiva (tiene la misma diS rección que v), lo cual indica que la rapidez aumenta en ese instante. El valor de a|| = +0.54 m兾s2 significa que la rapidez está aumentando en ese instante a una tasa de 0.54 m兾s por segundo. La componente perpendicular a› no es cero, lo que significa que en ese instante el vehículo está dando vuelta; es decir, el vehículo cambia de dirección y sigue una trayectoria curva. 77 3.3 Movimiento de proyectiles Ejemplo conceptual 3.4 Aceleración de un esquiador Un esquiador se desplaza sobre una rampa de salto (figura 3.14a). La rampa es recta entre A y C, y curva a partir de C. La rapidez del esquiador aumenta al moverse pendiente abajo del punto A al punto E, donde su rapidez es máxima, disminuyendo a partir de ahí. Dibuje la dirección del vector aceleración en los puntos B, D, E y F. 3.14 a) La trayectoria del esquiador. b) Nuestra solución. a) A Dirección del movimiento SOLUCIÓN La figura 3.14b muestra la solución. En el punto B, el esquiador se desplaza en línea recta con rapidez creciente, así que su aceleración apunta cuesta abajo, en la misma dirección que su velocidad. En los puntos D, E y F, el esquiador sigue una trayectoria curva, así que su aceleración tiene una componente perpendicular a la trayectoria (hacia el lado cóncavo de la misma) en cada uno de estos puntos. En el punto D también existe una componente de la aceleración en la dirección del movimiento porque su rapidez aún va en aumento. Por lo tanto, el vector aceleración apunta adelante de la normal a su trayectoria en el punto D, como se muestra en la figura 3.14b. La rapidez del esquiador no cambia instantáneamente en E; la rapidez es máxima en este punto, así que su derivada es cero. Por lo tanto, no hay compoS nente paralela de a , y la aceleración es perpendicular al movimiento. En el punto F la aceleración tiene una componente opuesta a la dirección de su movimiento porque la rapidez está disminuyendo. De manera que el vector aceleración apunta hacia atrás de la normal a la trayectoria. En la siguiente sección examinaremos la aceleración del esquiador después de salir de la rampa. B b) C D F E Normal en E Normal en F Normal en D Evalúe su comprensión de la 3 2 4 sección 3.2 Un trineo viaja por la cima de una colina cubierta de nieve. Trayectoria 1 5 El trineo disminuye su rapidez conforme del trineo asciende por un lado de la colina y la 8 6 aumenta cuando desciende por el otro 7 lado. ¿Cuál de los vectores (1 a 9) en la o bien, 9: aceleración 5 0 figura muestra correctamente la dirección de la aceleración del trineo en la cima? (Considere el 9 como la aceleración cero). 3.3 Movimiento de proyectiles Un proyectil es un cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego sigue una trayectoria determinada completamente por los efectos de la aceleración gravitacional y la resistencia del aire. Una pelota bateada, un balón de fútbol lanzado, un paquete que se deja caer desde un avión y una bala disparada por un rifle son proyectiles. El camino que sigue un proyectil se conoce como su trayectoria. Para analizar este tipo de movimiento tan común, partiremos de un modelo idealizado que representa el proyectil como una partícula con aceleración constante (debida a la gravedad) tanto en magnitud como en dirección. Se ignoran los efectos de la resistencia del aire, así como la curvatura y rotación de la Tierra. Como todos los modelos, este tiene limitaciones. La curvatura de la Tierra debe considerarse en el vuelo de misiles de largo alcance; asimismo, la resistencia del aire es de importancia vital para un paracaidista. No obstante, podemos aprender mucho analizando este modelo sencillo. En el resto del capítulo, la frase “movimiento de proyectil” implicará que se desprecia la resistencia del aire. En el capítulo 5 veremos qué sucede cuando la resistencia no puede ignorarse. El movimiento de un proyectil siempre se limita a un plano vertical, determinado por la dirección de la velocidad inicial (figura 3.15). Esto se debe a que la aceleración Video Tutor Demo 3.15 Trayectoria idealizada de un proyectil. • Un proyectil se mueve en un plano vertical S que tiene un vector velocidad inicial v0. S • Su trayectoria depende solo de v0 y de la aceleración hacia abajo debida a la gravedad. y S v0 Trayectoria S a ax 5 0, ay 5 2g x O 78 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.16 La pelota roja se deja caer desde el reposo y la amarilla se proyecta horizontalmente al mismo tiempo; las imágenes sucesivas en esta fotografía estroboscópica están separadas por intervalos de tiempo iguales. En un instante determinado, ambas pelotas tienen la misma posición y, velocidad y y aceleración y, a pesar de tener diferentes posición y velocidad en x. causada por la gravedad es exclusivamente vertical; la gravedad no puede acelerar al proyectil de forma lateral. Por lo tanto, este movimiento es bidimensional. Llamaremos al plano de movimiento, el plano de coordenadas xy, con el eje x horizontal y el eje y vertical hacia arriba. La clave del análisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar por separado las coordenadas x y y. La componente x de la aceleración es cero, y la componente y es constante e igual a -g. (Por definición, g siempre es positiva, pero por las direcciones de coordenadas elegidas, ay es negativa). Entonces, podemos analizar el movimiento de un proyectil como una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante. La figura 3.16 muestra dos proyectiles con movimientos diferentes en x, pero con idéntico movimiento en y; uno se deja caer desde el reposo y el otro se proyecta horizontalmente, aunque ambos proyectiles caen la misma distancia en el mismo tiempo. Entonces podemos expresar todas las relaciones vectoriales de posición, velocidad y aceleración del proyectil con ecuaciones independientes para las componentes horiS zontal y vertical. Las componentes de a son ax = 0 ay = - g (movimiento de proyectiles, sin resistencia del aire) (3.14) Como las aceleraciones x y y son constantes, podemos usar las ecuaciones (2.8), (2.12), (2.13) y (2.14) directamente. Por ejemplo, suponga que en t = 0 la partícula está en el punto (x0, y0) y que en este instante sus componentes de velocidad tienen los valores iniciales v0x y v0y. Las componentes de la aceleración son ax = 0, ay = -g. Considerando primero el movimiento en x, sustituimos ax por 0 en las ecuaciones (2.8) y (2.12). Obtenemos vx = v0x (3.15) x = x0 + v0x t (3.16) Para el movimiento en y, sustituimos x por y, vx por vy, v0x por v0y, y ax por ay = -g: ActivPhysics 3.1: Solving Projectile Motion Problems ActivPhysics 3.2: Two Balls Falling ActivPhysics 3.3: Changing the x-velocity ActivPhysics 3.4: Projecting x-y-Accelerations Video Tutor Demo Video Tutor Demo Video Tutor Demo vy = v0y - gt (3.17) y = y0 + v0y t - 12 gt2 (3.18) Por lo general, lo más sencillo es tomar la posición inicial (en t = 0) como el origen; así, x0 = y0 = 0. Este punto podría ser la posición de una pelota en el instante t cuando abandona la mano del lanzador, o la posición de una bala cuando sale del cañón de un arma. La figura 3.17 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa por) el origen en el tiempo t = 0, junto con su posición, velocidad y componentes de veloci- 3.17 Si se ignora la resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil es una combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y movimiento vertical con aceleración constante. En la cima de la trayectoria, el proyectil tiene velocidad vertical cero (vy 5 0), pero su aceleración vertical aún es 2g. S v2 y S v1y v1 v1y v3x a v1x v3y a S v3 ay 5 2g S v0 v0y v0y a0 O x v0x v0x v1x v2x v3x Horizontalmente, el proyectil se encuentra en movimiento de velocidad constante: su aceleración horizontal es cero, por lo que se mueve distancias en x iguales en intervalos de tiempo iguales. Verticalmente, el proyectil v3y se encuentra en movimiento de aceleración constante en respuesta al tirón gravitacional de la Tierra. Así, su velocidad vertical cambia en cantidades iguales durante intervalos de tiempo iguales. 79 3.3 Movimiento de proyectiles dad en intervalos iguales. La componente x de la aceleración es cero, así que vx es constante. La componente y de la aceleración es constante y diferente de cero, así que vy cambia cantidades iguales en intervalos iguales, exactamente como si el proyectil fuera lanzado verticalmente con la misma velocidad y inicial. S También podemos representar la velocidad inicial v0 con su magnitud v0 (la rapidez inicial) y su ángulo a0 con el eje +x (figura 3.18). En términos de estas cantidades, las componentes v0x y v0y de la velocidad inicial son v0x = v0 cos a0 v0y = v0 sen a0 (3.19) 3.18 Las componentes de la velocidad inicial v0x y v0y de un proyectil (como un balón de fútbol que se patea) se relacionan con la rapidez inicial v0 y el ángulo inicial a0. y S v0 x O Si sustituimos estas relaciones en las ecuaciones (3.15) a (3.18), haciendo x0 = y0 = 0, tenemos x = 1v0 cos a02t (movimiento de un proyectil) (3.20) y = 1v0 sen a02t - 12 gt2 (movimiento de un proyectil) (3.21) vx = v0 cos a0 (movimiento de un proyectil) (3.22) vy = v0 sen a0 - gt (movimiento de un proyectil) (3.23) y S v0 v0y 5 v0 sen a0 a0 v0x 5 v0 cos a0 Estas ecuaciones describen la posición y velocidad del proyectil de la figura 3.17 en cualquier instante t. Podemos obtener mucha información de las ecuaciones (3.20) a (3.23). Por ejemplo, en cualquier instante, la distancia r del proyectil al origen (la magnitud del vector S de posición r 2 está dada por r = 2x2 + y2 x PhET: Projectile Motion ActivPhysics 3.5: Initial Velocity Components ActivPhysics 3.6: Target Practice I ActivPhysics 3.7: Target Practice II (3.24) La rapidez del proyectil (la magnitud de su velocidad) en cualquier instante es v = 2vx2 + vy2 (3.25) La dirección de la velocidad, en términos del ángulo a que forma con el eje +x (véase la figura 3.17), está dada por tan a = Video Tutor Demo 3.19 Las trayectorias casi parabólicas a) de una pelota que rebota y b) de borbotones de roca fundida expulsada por un volcán. a) vy (3.26) vx Los picos sucesivos disminuyen en altura porque la pelota pierde energía en cada rebote. S El vector velocidad v es tangente a la trayectoria en todos los puntos. Podemos deducir una ecuación para la forma de la trayectoria en términos de x y y eliminando t. De las ecuaciones (3.20) y (3.21), que suponen que x0 = y0 = 0, obtenemos t = x兾(v0 cos a0) y y = 1tan a02x - g 2v02cos2 a0 x2 (3.27) No se preocupe por los detalles de esta ecuación; lo importante es su forma general. Como v0, tan a0, cos a0 y g son constantes, la ecuación (3.27) tiene la forma y = bx - cx Las imágenes sucesivas de la pelota están separadas por intervalos iguales. b) 2 donde b y c son constantes. Esta es la ecuación de una parábola. En el modelo simplificado de movimiento de proyectiles, la trayectoria siempre es una parábola (figura 3.19). Cuando la resistencia del aire no es insignificante y debe considerarse, el cálculo de la trayectoria se vuelve mucho más complicado; los efectos de dicha resistencia dependen de la velocidad, por lo que la aceleración ya no es constante. La figura 3.20 Las trayectorias son casi parabólicas. 80 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.20 La resistencia del aire tiene un efecto acumulativo considerable sobre el movimiento de una pelota de béisbol. En esta simulación, permitimos que la pelota caiga por debajo de la altura desde la cual se lanzó (por ejemplo, la pelota podría haberse lanzado desde un acantilado). y (m) 100 muestra una simulación computarizada de la trayectoria de una pelota de béisbol tanto sin resistencia del aire como con una resistencia proporcional al cuadrado de la rapidez de la pelota. Vemos que el efecto de la resistencia es muy grande, la altura máxima y el alcance se reducen, y la trayectoria ya no es una parábola. (Si se observa cuidadosamente la figura 3.19b, se ve que las trayectorias de los borbotones volcánicos se desvían de una forma similar a una parábola). Velocidad inicial de la pelota de béisbol: v0 5 50 m/s, a0 5 53.1° 50 100 O 250 2100 200 Con resistencia del aire Ejemplo conceptual 3.5 300 x (m) Sin resistencia del aire Aceleración de un esquiador ( continuación ) Consideremos de nuevo al esquiador del ejemplo conceptual 3.4. ¿Qué aceleración tiene en los puntos G, H e I de la figura 3.21a después de que sale de la rampa? Ignore la resistencia del aire. SOLUCIÓN La figura 3.21b muestra la respuesta. La aceleración del esquiador cambió de un punto a otro mientras estaba en la rampa, pero tan pronto como sale de esta, se convierte en un proyectil. Así, en los puntos G, H e I, y de hecho en todos los puntos después de salir de la rampa, la aceleración del esquiador apunta verticalmente hacia abajo y tiene magnitud g. Por más compleja que sea la aceleración de una partícula antes de convertirse en proyectil, su aceleración como proyectil está dada por ax = 0, ay = -g. 3.21 a) Trayectoria del esquiador durante el salto. b) La solución. a) H G I b) F Estrategia para resolver problemas 3.1 Movimiento de proyectiles NOTA: Las estrategias utilizadas en las secciones 2.4 y 2.5 para problemas de aceleración constante en línea recta también sirven aquí. IDENTIFICAR los conceptos relevantes: El concepto clave que debemos recordar es que durante el movimiento de un proyectil, la aceleración es hacia abajo y tiene magnitud constante g. Observe que las ecuaciones para el movimiento de proyectiles no son válidas durante el lanzamiento de una pelota, porque durante el lanzamiento actúan tanto la mano del lanzador como la gravedad. Las ecuaciones solo se aplican después de que la pelota sale de la mano del lanzador. PLANTEAR el problema con los siguientes pasos: 1. Defina su sistema de coordenadas y dibuje sus ejes. Normalmente lo más sencillo es tomar el eje x como horizontal y el eje y hacia arriba, y colocar el origen en la posición inicial (t = 0), donde el cuerpo se vuelve un proyectil (como cuando la pelota sale de la mano del lanzador). Entonces, las componentes de la aceleración (constante) son ax = 0, ay = -g, y la posición inicial es x0 = 0 y y0 = 0. 2. Elabore una lista de las cantidades conocidas e incógnitas, y determine cuáles incógnitas son sus objetivos. Por ejemplo, en algunos problemas se da la velocidad inicial (ya sea las componentes, o la magnitud y dirección) y se pide obtener las coordenadas y compo- nentes de velocidad en un instante posterior. En cualquier caso, usará las ecuaciones (3.20) a (3.23). [Las ecuaciones (3.24) a (3.27) también podrían ser útiles]. Asegúrese de tener tantas ecuaciones como incógnitas por determinar. 3. Plantee el problema con palabras y luego tradúzcalo a símbolos. Por ejemplo, ¿cuándo llega la partícula a cierto punto? (Es decir, ¿en qué valor de t?). ¿Dónde está la partícula cuando la velocidad tiene cierto valor? (Es decir, ¿cuánto valen x y y cuando vx o vy tienen ese valor?). Puesto que vy = 0 en el punto más alto de la trayectoria, la pregunta “¿cuándo alcanza el proyectil su punto más alto?” equivale a “¿cuánto vale t cuando vy = 0?”. Asimismo, la pregunta “¿cuándo vuelve el proyectil a su altura inicial?” equivale a “¿cuánto vale t cuando y = y0?”. EJECUTAR la solución: Use las ecuaciones elegidas para obtener las incógnitas. Resista la tentación de dividir la trayectoria en segmentos y analizarlos individualmente. ¡No hay que volver a comenzar cuando el proyectil llega a su altura máxima! Lo más fácil suele ser usar los mismos ejes y escala de tiempo durante todo el problema. Si necesita valores numéricos, utilice g = 9.80 m兾s2. EVALUAR la respuesta: Como siempre, examine sus resultados para ver si son lógicos y si los valores numéricos son razonables. 3.3 Movimiento de proyectiles Ejemplo 3.6 81 Cuerpo que se proyecta horizontalmente Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el borde, su velocidad es horizontal con magnitud de 9.0 m兾s. Obtenga la posición, distancia desde el borde y velocidad de la motocicleta después de 0.50 s. 3.22 Diagrama de este problema. En este punto, la motocicleta y el conductor se vuelven un proyectil. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La figura 3.22 muestra el diagrama de la trayectoria del motociclista. Una vez que el acróbata sale del risco, se mueve como un proyectil. Elegimos el origen de nuestro sistema de coordenadas en el borde del risco, así que x0 = 0 y y0 = 0. La velocidad S inicial v0 en el borde del risco es horizontal (es decir, a0 = 0), así que sus componentes son v0x = v0 cos a0 = 9.0 m兾s y v0y = v0 sen a0 = 0. Para determinar la posición de la motocicleta en t = 0.50 s, usamos las ecuaciones (3.20) y (3.21), luego calculamos la distancia al origen con la ecuación (3.24). Por último, usamos las ecuaciones (3.22) y (3.23) para determinar las componentes de velocidad en t = 0.50 s. La motocicleta tiene la misma velocidad horizontal vx que cuando salió del risco en t = 0, pero, además, hay una velocidad vertical vy hacia abajo (negativa). El vector velocidad en t = 0.50 s es S v ⴝ vxnı ⴙ vy n≥ ⴝ 19.0 m>s2ın ⴙ 1 -4.9 m>s2≥n EJECUTAR: De acuerdo con las ecuaciones (3.20) y (3.21), las coordenadas x y y en t = 0.50 s son x = v0xt = 19.0 m > s210.50 s2 = 4.5 m A partir de la ecuación (3.25), la rapidez (magnitud de la velocidad) en t = 0.50 s es v = 2vx2 + vy2 y = - 12 gt2 = - 12 19.80 m > s2210.50 s22 = - 1.2 m El valor negativo de y indica que en este instante la motocicleta está por debajo de su punto inicial. De acuerdo con la ecuación (3.24), la distancia de la motocicleta al origen en t = 0.50 s es r = 2x2 + y2 = 214.5 m22 + 1 - 1.2 m22 = 4.7 m Según las ecuaciones (3.22) y (3.23), las componentes de la velocidad en t = 0.50 s son vx = v0x = 9.0 m > s vy = - gt = 1- 9.80 m > s2210.50 s2 = - 4.9 m > s Ejemplo 3.7 = 219.0 m> s22 + 1-4.9 m>s22 = 10.2 m > s De acuerdo con la ecuación (3.26), el ángulo a del vector velocidad es a = arctan vy vx = arctan a -4.9 m>s b = - 29° 9.0 m >s La velocidad está dirigida 29° por abajo de la horizontal. EVALUAR: Al igual que en la figura 3.17, el movimiento horizontal de la motocicleta no cambia por la gravedad; la motocicleta se sigue moviendo horizontalmente a 9.0 m兾s, cubriendo 4.5 m en 0.50 s. La motocicleta tiene cero velocidad inicial vertical, de modo que cae verticalmente igual que un objeto que se deja caer desde el reposo y des1 ciende una distancia de 2 gt 2 = 1.2 m en 0.50 s. Altura y alcance de un proyectil I: una pelota de béisbol bateada Un bateador golpea una pelota de béisbol de modo que esta sale del bate a una rapidez v0 = 37.0 m兾s con un ángulo a0 = 53.1°. a) Calcule la posición de la pelota y su velocidad (magnitud y dirección) cuando t = 2.00 s. b) Determine cuándo la pelota alcanza el punto más alto de su vuelo y su altura h en ese punto. c) Obtenga el alcance horizontal R, es decir, la distancia horizontal desde el punto de partida hasta donde la pelota cae al suelo. 3.23 Diagrama de este problema. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Como muestra la figura 3.20, la resistencia del aire afecta significativamente el movimiento de una pelota de béisbol; no obstante, por sencillez, en este ejemplo la ignoraremos y usaremos las ecuaciones del movimiento de proyectiles para describir el movimiento. La pelota sale del bate en t = 0 a un metro más o menos arriba del suelo, pero ignoraremos esta distancia y supondremos que sale del nivel del suelo (y0 = 0). La figura 3.23 muestra el diagrama de la trayectoria de la pelota. Usaremos el mismo sistema de coordenadas que en las figuras 3.17 y 3.18, de modo que podremos usar las ecuaContinúa 82 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones ciones (3.20) a (3.23). Las incógnitas son a) la posición y velocidad de la pelota 2.00 s después de perder contacto con el bate; b) el tiempo t cuando la pelota alcanza su altura máxima (es decir, cuando vy = 0) y la coordenada y en ese momento, y c) la coordenada x cuando la pelota vuelve a tocar el suelo (y = 0). c) Obtendremos el alcance horizontal en dos pasos. Primero, determinamos el tiempo t2 cuando y = 0 (la pelota está en el suelo): EJECUTAR: a) Queremos obtener x, y, vx y vy en t = 2.00 s. La velocidad inicial de la pelota tiene las componentes Esta es una ecuación cuadrática en t2, con dos raíces: t2 = 0 v0x = v0 cos a0 = 137.0 m > s2cos 53.1° = 22.2 m> s v0y = v0 sen a0 = 137.0 m >s2sen 53.1° = 29.6 m>s x = v0xt = 122.2 m > s212.00 s2 = 44.4 m = 129.6 m > s212.00 s2 - 1 2 19.80 m > s 212.00 s2 2 2 = 39.6 m vx = v0x = 22.2 m > s vy = v0y - gt = 29.6 m > s - 19.80 m > s2212.00 s2 = 10.0 m > s La componente y de la velocidad es positiva en t = 2.00 s, de modo que la pelota todavía va en ascenso (figura 3.23). La magnitud y dirección de la velocidad se obtienen de las ecuaciones (3.25) y (3.26): v = 2vx2 + vy2 = 2122.2 m > s22 + 110.0 m > s22 = 24.4 m > s 10.0 m > s b = arctan 0.450 = 24.2° 22.2 m > s La dirección de la velocidad (es decir, la dirección del movimiento) es 24.2° arriba de la horizontal. b) En el punto más alto, la velocidad vertical vy es cero. Sea ese instante t1; entonces, vy = v0y - gt 1 = 0 v0y g = t2 = 2v0y g = 2129.6 m> s2 9.80 m > s 2 = 6.04 s R = v0xt 2 = 122.2 m > s216.04 s2 = 134 m y = v0yt - 12 gt2 t1 = y La pelota está en y = 0 en estos dos tiempos. La pelota abandona el suelo en t2 = 0, y en t2 = 2v0y兾g = 6.04 s es cuando regresa al suelo. El alcance horizontal R es el valor de x cuando la pelota vuelve al suelo, en t2 = 6.04 s: De acuerdo con las ecuaciones (3.20) a (3.23), a = arctan a y = 0 = v0yt2 - 12 gt22 = t2 A v0y - 12 gt2 B 29.6 m > s 9.80 m > s2 = 3.02 s La altura h en el punto más alto es el valor de y cuando t = t1: h = v0yt1 - 12 gt12 = 129.6 m > s213.02 s2 - 12 19.80 m > s2213.02 s22 La componente vertical de la velocidad cuando la pelota toca el suelo es vy = v0y - gt 2 = 29.6 m > s - 19.80 m > s2216.04 s2 = - 29.6 m > s Es decir, vy tiene la misma magnitud que la velocidad vertical inicial v0y pero dirección opuesta (hacia abajo). Como vx es constante, el ángulo a = -53.1° (debajo de la horizontal) en este punto es el negativo del ángulo inicial a0 = 53.1°. EVALUAR: A menudo es útil verificar los resultados obteniéndolos de una forma distinta. Por ejemplo, también podemos obtener la altura máxima del inciso b) aplicando la fórmula de aceleración constante, la ecuación (2.13), para el movimiento en y: vy2 = v0y2 + 2ay 1y - y02 = v0y2 - 2g1y - y02 En el punto más alto, vy = 0 y y = h. Se debe despejar h de esta ecuación y obtener el mismo resultado calculado en el inciso b). ¿Es así? Observe que el tiempo en que la pelota golpea el suelo, t2 = 6.04 s, es exactamente el doble del tiempo en que alcanza su punto más alto, t1 = 3.02 s. De modo que el tiempo de bajada es igual al tiempo de subida. Esto siempre es así, si los puntos inicial y final tienen la misma elevación y se ignora la resistencia del aire. Observe también que h = 44.7 m del inciso b) es comparable con la altura de 52.4 m del techo sobre el campo de juego en el Metrodomo Hubert H. Humphrey en Mineápolis, y el alcance horizontal R = 134 m del inciso c) es mayor que la distancia de 99.7 m entre home y la barda del jardín derecho del Campo Safeco en Seattle. En realidad, debido a la resistencia del aire (la cual se ignoró), una pelota bateada con la velocidad inicial y el ángulo utilizados aquí no subirá tan alto ni llegará tan lejos como hemos calculado (véase la figura 3.20). = 44.7 m Ejemplo 3.8 Altura y alcance de un proyectil II: Altura máxima, alcance máximo Para un proyectil lanzado con rapidez v0 a un ángulo inicial a0 entre 0° y 90°, obtenga la altura máxima h y el alcance horizontal R (véase la figura 3.23). Para una v0 dada, ¿qué valor de a0 da la altura máxima? ¿Y qué valor da el alcance horizontal máximo? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Estos son casi los mismos incisos b) y c) del ejemplo 3.7, excepto que ahora buscamos expresiones generales para h y R. También nos interesan los valores de a0 que dan los valores 3.3 Movimiento de proyectiles máximos de h y R. En el inciso b) del ejemplo 3.7 vimos que el proyectil alcanza el punto máximo de su trayectoria (de manera que vy = 0) en el tiempo t1 = v0y兾g, y en el inciso c) determinamos que el proyectil regresa a su altura inicial (por lo que y = y0) en el tiempo t2 = 2v0y兾g = 2t1. Usaremos la ecuación (3.21) para determinar la coordenada y de h en t1, y la ecuación (3.20) para calcular la coordenada x de R en t2. Expresaremos nuestras respuestas en términos de la rapidez de lanzamiento v0 y el ángulo de disparo a0 usando las ecuaciones (3.19). EJECUTAR: De acuerdo con las ecuaciones (3.19), v0x = v0 cos a0 y v0y = v0 sen a0. Por lo tanto, podemos escribir el tiempo t1 en que vy = 0 como v0y t1 = g = v0 sen a0 g La ecuación (3.21) nos da la altura y = h en ese instante: h = 1v0 sen a0 2a = v0 sen a0 v0 sen a0 b - 12 g a b g g 2 v02 sen 2 a0 2g Para una rapidez de lanzamiento dada v0, el valor máximo de h se da con sen a0 = 1 y a0 = 90°; es decir, cuando el proyectil se lanza verticalmente hacia arriba. (Si se lanza horizontalmente, como en el ejemplo 3.6, a0 = 0 ¡y la altura máxima es cero!). El tiempo t2 en que el proyectil regresa al suelo es t2 = 2v0y g = 2v0 sen a0 g 83 (Se usó la identidad trigonométrica 2 sen a0 cos a0 = sen 2a0, que se encuentra en el apéndice B). El valor máximo de sen 2a0 es 1; esto ocurre cuando 2a0 = 90°, o bien, a0 = 45°. Este ángulo da el alcance máximo para una rapidez inicial dada si se ignora la resistencia del aire. EVALUAR: La figura 3.24 se basa en una fotografía compuesta de tres trayectorias de una pelota proyectada desde un cañón de resorte con ángulos de 30°, 45° y 60°. La rapidez inicial v0 es aproximadamente igual en los tres casos. El alcance horizontal es mayor para el ángulo de 45°. Los alcances son aproximadamente los mismos para los ángulos de 30° y 60°. ¿Puede usted demostrar que, para un valor dado de v0, el alcance es igual para un ángulo inicial a0 y para un ángulo inicial de 90° - a0? (Este no es el caso de la figura 3.24 debido a la resistencia del aire). CUIDADO Altura y alcance de un proyectil No recomendamos memorizar las expresiones anteriores para h, R y Rmáx. Son aplicables solo en las circunstancias especiales que describimos. En particular, las expresiones para el alcance R y alcance máximo Rmáx solo pueden utilizarse cuando las alturas de lanzamiento y aterrizaje son iguales. En muchos de los problemas al final de este capítulo, estas ecuaciones no deben aplicarse. 3.24 Un ángulo de disparo de 45° produce el alcance horizontal máximo. El alcance es menor con ángulos de 30° y 60°. Un ángulo de disparo de 45° produce el máximo alcance; con otros ángulos el alcance es menor. El alcance horizontal R es el valor de x en este instante. De acuerdo con la ecuación (3.20), este es R = 1v0 cos a0 2t2 = 1v0 cos a0 2 = Ejemplo 3.9 2v0 sen a0 g v02 sen 2a0 g Ángulo de disparo: a0 5 30° a0 5 45° a0 5 60° Alturas inicial y final distintas Usted lanza una pelota desde una ventana a 8.0 m del suelo. Cuando la pelota sale de su mano, se mueve a 10.0 m兾s con un ángulo de 20° abajo de la horizontal. ¿A qué distancia horizontal de su ventana llegará la pelota al piso? Ignore la resistencia del aire. 3.25 Diagrama para este problema. Ventana SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Al igual que en los ejemplos 3.7 y 3.8, queremos determinar la coordenada horizontal de un proyectil cuando tiene un valor determinado de y. La diferencia en este caso es que el valor de y no es el mismo que el valor inicial. Una vez más, elegimos el eje x como horizontal, y el eje y hacia arriba, y colocamos el origen de las coordenadas en el punto donde la pelota sale de su mano (figura 3.25). Así, tenemos v0 = 10.0 m兾s y a0 = -20° (el ángulo es negativo porque la velocidad inicial está debajo de la horizontal). Nuestra incógnita es el valor de x cuando la pelota llega al suelo en y = -8.0 m. Usamos la ecuación (3.21) para obtener el instante t cuando esto sucede; después, calculamos el valor de x en ese instante con la ecuación (3.20). Suelo EJECUTAR: Para determinar t, rescribimos la ecuación (3.21) en la forma normal de una ecuación cuadrática en t: 1 2 2 gt - 1v0 sen a0 2t + y = 0 Continúa 84 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones Desechamos la raíz negativa, ya que se refiere a un tiempo previo al lanzamiento. La raíz positiva nos indica que la pelota llega al suelo en t = 0.98 s. De acuerdo con la ecuación (3.20), la coordenada x en ese instante es Las raíces de esta ecuación son t = = v0 sen a0 ⫾ 41- v0 sen a0 22 - 4 A 12 g B y 2 A 12 g B x = 1v0 cos a02t = 110.0 m > s23cos1 -20°2410.98 s2 = 9.2 m v0 sen a0 ⫾ 2v02 sen 2 a0 - 2gy g La pelota llega al suelo a una distancia horizontal de 9.2 m de la ventana. 110.0 m > s2 sen1-20°2 B = ⫾ 2110.0 m > s22 sen 2 1 -20°2 - 219.80 m > s 2 21 -8.0 m2 = - 1.7 s Ejemplo 3.10 9.80 m > s 2 o R EVALUAR: La raíz t = -1.7 s es un ejemplo de solución “ficticia” para una ecuación cuadrática. Ya vimos esto en el ejemplo 2.8 de la sección 2.5; le recomendamos repasarlo. 0.98 s El cuidador del zoológico y el mono Un mono escapa del zoológico y sube a un árbol. Como el cuidador no logra atraerlo, dispara un dardo sedante directamente hacia el mono (figura 3.26). El mono salta en el instante en que el dardo sale del cañón del rifle. Demuestre que el dardo golpeará al mono, siempre que lo alcance antes de que este llegue al piso y se aleje. Elegimos las direcciones x y y acostumbradas, y colocamos el origen de las coordenadas en el extremo del cañón del rifle (figura 3.26). EJECUTAR: El mono cae verticalmente, así que xmono = d en todo momento. La ecuación (3.20) nos indica que xdardo = (v0 cos a0)t. Despejamos el tiempo t cuando las coordenadas x son iguales: d = 1v0 cos a02t SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Tenemos dos cuerpos que se mueven como proyectiles: el dardo y el mono. Ambos tienen posición y velocidad iniciales distintas; sin embargo, entran en movimiento de proyectil al mismo tiempo t = 0. Primero usaremos la ecuación (3.20) para encontrar el tiempo t en que las coordenadas xmono y xdardo son iguales. Luego, usaremos la ecuación (3.21) para verificar si ymono y ydardo también son iguales en ese instante; si lo son, el dardo golpeará al mono. así que t = d v0 cos a0 Se debe demostrar ahora que ymono = ydardo en este instante. El mono está en caída libre unidimensional; su posición en cualquier momento está dada por la ecuación (2.12) cambiando debidamente los símbolos. La figura 3.26 muestra que la altura inicial del mono arriba del cañón del rifle es ymono-0 = d tan a0, así que ymono = d tan a0 - 12 gt2 3.26 El dardo con sedante golpea al mono que cae. Las flechas punteadas muestran qué tanto han caído el mono y el dardo en tiempos específicos, en relación con el lugar donde estarían si no hubiera gravedad. En cualquier instante, caen la misma distancia. y Sin gravedad • El mono permanece en su posición inicial. • El dardo viaja directo hacia el mono. • Por lo tanto, el dardo da en el mono. Trayectoria del dardo sin gravedad. Caída del mono Caída d tan a0 del dardo Caída del dardo Caída del dardo v0 a0 Trayectoria del dardo con gravedad O x d Con gravedad • El mono cae directo hacia abajo. • En cualquier instante t, el dardo cae lo mismo que el mono en relación con el lugar donde estarían si no 1 hubiera gravedad: Dy dardo 5 Dymono 5 2 2 gt 2. • Por lo tanto, el dardo siempre golpea al mono. 3.4 Movimiento en círculo De acuerdo con la ecuación (3.21), ydardo = 1v0 sen a0 2t - 12 gt2 Comparando estas dos ecuaciones, vemos que si d tan a0 = (v0 sen a0)t en el instante en que las dos coordenadas x son iguales, entonces ymono = ydardo (el dardo habrá acertado). Para demostrar que esto sucede, sustituimos t por d兾(v0 cos a0), el instante en que xmono = xdardo. Con seguridad, obtenemos 1v0 sen a0 2t = 1v0 sen a0 2 d = d tan a0 v0 cos a0 Evalúe su comprensión de la sección 3.3 En el ejemplo 3.10, suponga que el dardo sedante tiene una velocidad relativamente baja, de modo que el dardo alcanza su altura máxima en un punto P antes de golpear al mono, como se indica en la figura. Cuando el dardo está en P, ¿el mono estará en i. el punto A (más alto que P), ii. el punto B (a la misma altura que P) o iii. en el punto C (más abajo que P)? Ignore la resistencia del aire. 3.4 EVALUAR: Hemos demostrado que, cuando las coordenadas y del dardo y el mono son iguales en el mismo instante, las coordenadas x también lo son; un dardo dirigido a la posición inicial del mono siempre lo golpeará, sin importar v0 (siempre que el mono no llegue al suelo primero). Este resultado es independiente de g, la aceleración debida a la gravedad. Sin gravedad (g = 0), el mono no se movería, y el dardo viajaría en línea recta para golpearlo. Con gravedad, ambos “caen” la misma distancia gt2兾2 por debajo de sus posiciones cuando t = 0 y el dardo de todos modos golpea al mono (figura 3.26). A P B C Movimiento en círculo Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curva, la dirección de su velocidad cambia. Como vimos en la sección 3.2, esto significa que la partícula debe tener una componente de aceleración perpendicular a la trayectoria, incluso si la rapidez es constante (véase la figura 3.11b). En esta sección calcularemos la aceleración para el importante caso especial de movimiento en círculo. Movimiento circular uniforme Cuando una partícula se mueve en un círculo con rapidez constante, el movimiento se conoce como movimiento circular uniforme. Un automóvil que da vuelta en una curva de radio constante con rapidez constante, un satélite en órbita circular y un patinador que describe un círculo con rapidez constante son ejemplos de este movimiento (figura 3.27c; compárela con la figura 3.12a). No hay componente de aceleración paralela (tangente) a la trayectoria; si la hubiera, la rapidez cambiaría. El vector aceleración es perpendicular (normal) a la trayectoria y, por lo tanto, se dirige hacia adentro (¡nunca hacia afuera!), al centro de la trayectoria circular. Esto causa el cambio en la dirección de la velocidad, sin que cambie la rapidez. 3.27 Un automóvil con movimiento circular. Si el automóvil tiene movimiento circular uniforme como en c), la rapidez es constante y la aceleración se dirige hacia el centro de la trayectoria circular (compare con la figura 3.12). a) El automóvil aumenta su rapidez en una trayectoria circular b) El automóvil disminuye su rapidez en una trayectoria circular c) Movimiento circular uniforme: Rapidez constante en una trayectoria circular Componente de aceleración paralela a la velocidad: cambia la rapidez del automóvil. S S v v Componente de aceleración perpendicular a la velocidad: cambia la dirección del automóvil. S a S a Componente de aceleración perpendicular a la velocidad: cambia la dirección del automóvil. 85 Componente de aceleración paralela a la velocidad: cambia la rapidez del automóvil. S v La aceleración es exactamente perpendicular a la S a velocidad; sin componente paralela. Al centro del círculo 86 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.28 Determinación del cambio de S S velocidad ¢v, aceleración media a med, S y aceleración instantánea a rad de una partícula que se mueve en círculo con rapidez constante. a) Una partícula se mueve una distancia Ds con rapidez constante en una trayectoria circular. S v2 S v1 Se puede obtener una relación sencilla para la magnitud de la aceleración en movimiento circular uniforme. Iniciamos con la figura 3.28a, la cual muestra una partícula que se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular de radio R con centro en O. La partícula se mueve de P1 a P2 en un tiempo ¢t. El cambio vectorial en la S velocidad ¢v durante este tiempo se muestra en la figura 3.28b. Los ángulos identificados como ¢f en las figuras 3.28a y 3.28b son iguales S S porque v1 es perpendicular a la línea OP1, y v2 es perpendicular a la línea OP2. Por lo tanto, los triángulos en las figuras 3.28a y 3.28b son semejantes. Las razones de los lados correspondientes en triángulos semejantes son iguales, así que S ƒ ¢v ƒ P2 P1 v1 Ds R = ¢s R S ƒ ¢v ƒ = o bien, v1 ¢s R La magnitud amed de la aceleración media durante ¢t es, entonces, Df R S amed = O ƒ ¢v ƒ ¢t = v1 ¢s R ¢t S b) El cambio correspondiente en velocidad y aceleración media S Dv S v1 Df La magnitud a de la aceleración instantánea a en el punto P1 es el límite de esta expresión conforme P2 se acerca a P1: Estos dos triángulos son semejantes. a = lím ¢t S0 Si el intervalo ¢t es muy corto, ¢s es la distancia que se mueve la partícula en la trayectoria curva. De modo que el límite de ¢s兾¢t es la rapidez v1 en el punto P1. Además, P1 puede ser cualquier punto de la trayectoria, así que podemos omitir el subíndice y representar con v la rapidez en cualquier punto. Entonces, S v2 O c) Aceleración instantánea arad = S v S arad v1 ¢s v1 ¢s = lím R ¢t R ¢t S0 ¢t En el movimiento circular uniforme, la aceleración instantánea siempre R apunta hacia el centro del círculo. O v2 R (movimiento circular uniforme) (3.28) Se agrega el subíndice “rad” para recordar que la dirección de la aceleración instantánea en cualquier punto siempre se encuentra a lo largo de un radio del círculo (hacia el centro; véase las figuras 3.27c y 3.28c). En conclusión, en el movimiento circular uniforme, la magnitud arad de la aceleración instantánea es igual al cuadrado de la S rapidez v dividido entre el radio R del círculo; su dirección es perpendicular a v y hacia adentro sobre el radio. Como la aceleración en el movimiento circular uniforme siempre apunta al centro del círculo, en ocasiones se le llama aceleración centrípeta. La palabra “centrípeta” se deriva de dos vocablos griegos que significan “que busca el centro”. La figura 3.29a muestra las direcciones de los vectores velocidad y aceleración en varios puntos para una partícula con movimiento circular uniforme. 3.29 Aceleración y velocidad a) de una partícula con movimiento circular uniforme y b) de un proyectil sin resistencia del aire. a) Movimiento circular uniforme S v S v S arad S v S arad S arad S arad S arad S arad S v S v b) Movimiento de un proyectil La aceleración La velocidad y la aceleración son perpendiculares tiene magnitud solo en el punto más alto de la trayectoria. constante, pero vr vr dirección variable. vr vr ar S v La velocidad y la aceleración siempre son perpendiculares. ar a La aceleración es constante en magnitud y en dirección. r ar vr r a 3.4 Movimiento en círculo 87 CUIDADO Movimiento circular uniforme contra movimiento de proyectiles La aceleración en el movimiento circular uniforme (figura 3.29a) tiene algunas similitudes con la aceleración en el movimiento de proyectiles sin resistencia del aire (figura 3.29b), pero también existen algunas diferencias importantes. En ambas clases de movimiento la magnitud de la aceleración S siempre es la misma. Sin embargo, en el movimiento circular uniforme la dirección de a cambia continuamente, de manera que siempre apunta hacia el centro del círculo. (En la parte superior del círculo, la aceleración apunta hacia abajo; en la parte inferior del círculo, la aceS leración apunta hacia arriba). En contraste, en el movimiento de proyectiles, la dirección de a es la misma en todo momento. También podemos expresar la magnitud de la aceleración en el movimiento circular uniforme en términos del periodo T del movimiento, es decir, el tiempo que dura una revolución (una vuelta completa alrededor del círculo). En un tiempo T, la partícula recorre una distancia igual a la circunferencia 2pR, así que su rapidez es v = 2pR T (3.29) Al sustituir esto en la ecuación (3.28), obtenemos la expresión alternativa arad = Ejemplo 3.11 4p2R T2 (movimiento circular uniforme) PhET: Ladybug Revolution PhET: Motion in 2D Aceleración centrípeta en un camino curvo Un automóvil deportivo Aston Martin V8 Vantage tiene una “aceleración lateral” de 0.96g = (0.96)(9.8 m兾s2) = 9.4 m兾s2. Esta es la aceleración centrípeta máxima que puede tener el automóvil sin salirse derrapando de la trayectoria curva. Si el automóvil viaja a 40 m兾s (cerca de 89 mi兾h o 144 km兾h), en una pista plana, ¿cuál es el radio R mínimo de curva sin peralte que puede tomar? SOLUCIÓN IDENTIFICAR, PLANTEAR y EJECUTAR: El automóvil tiene movimiento circular uniforme porque se desplaza con rapidez constante en una curva, que es un segmento de un círculo. Se usa la ecuación (3.28) para obtener la incógnita R en términos de la aceleración centrípeta Ejemplo 3.12 (3.30) dada arad y la rapidez v: R = 140 m > s22 v2 = = 170 m (aproximadamente 560 ft) arad 9.4 m > s2 Este es el radio mínimo porque arad es la aceleración centrípeta máxima. EVALUAR: El radio de giro mínimo R es proporcional al cuadrado de la rapidez; por lo tanto, incluso una reducción pequeña en la rapidez puede reducir R considerablemente. Por ejemplo, si v disminuye un 20% (de 40 a 32 m兾s), R disminuirá un 36% (de 170 a 109 m). Otra forma de reducir el radio requerido es peraltar la curva. Investigaremos esta opción en el capítulo 5. Aceleración centrípeta en un juego mecánico En un juego mecánico, los pasajeros viajan con rapidez constante en un círculo horizontal de 5.0 m de radio, dando una vuelta completa cada 4.0 s. ¿Qué aceleración tienen? Verificamos esta respuesta usando el segundo enfoque indirecto. A partir de la ecuación (3.29), la rapidez es v = SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: La rapidez es constante, así que se trata de movimiento circular uniforme. Nos dan el radio R = 5.0 m y el periodo T = 4.0 s, así que se puede usar la ecuación (3.30) para calcular la aceleración directamente, o se puede calcular v con la ecuación (3.29) y luego obtener la aceleración con la ecuación (3.28). EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (3.30), arad = 4p215.0 m2 14.0 s22 = 12 m > s2 = 1.3g 2p15.0 m2 2pR = = 7.9 m > s T 4.0 s La aceleración centrípeta es entonces, arad = 17.9 m > s22 v2 = = 12 m > s2 R 5.0 m S EVALUAR: Al igual que en el ejemplo 3.11, la dirección de a siempre S es hacia el centro del círculo. La magnitud de a es relativamente suave conforme el juego mecánico avanza; algunas montañas rusas someten a sus pasajeros a aceleraciones de hasta 4g. 88 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones Aplicación Cuidado: ¡Se aproximan curvas cerradas! Estos carros de la montaña rusa tienen movimiento circular no uniforme: frenan y aceleran conforme se mueven alrededor de un lazo vertical. Las grandes aceleraciones implicadas en un viaje a alta velocidad alrededor de un lazo ajustado significan un esfuerzo adicional en los sistemas circulatorios de los pasajeros; por esa razón, las personas con afecciones cardiacas deben abstenerse de subirse a la montaña rusa. Movimiento circular no uniforme En esta sección, hemos supuesto que la rapidez de la partícula es constante conforme viaja alrededor de un círculo. Si la rapidez varía, tenemos un movimiento circular no uniforme. En el movimiento circular no uniforme, la ecuación (3.28) nos sigue dando la componente radial de la aceleración arad = v2兾R, que siempre es perpendicular a la velocidad instantánea y dirigida al centro del círculo. Sin embargo, puesto que la rapidez v tiene valores distintos en diferentes puntos del movimiento, el valor de arad no es constante. La aceleración radial (centrípeta) es mayor en el punto del círculo donde la rapidez es mayor. En el movimiento circular no uniforme también hay una componente de aceleración paralela a la velocidad instantánea (véase las figuras 3.27a y 3.27b). Esta es la componente aŒ que vimos en la sección 3.2, y aquí la llamamos atan para destacar que es tangente al círculo. La componente de aceleración tangencial atan es igual a la tasa de cambio de la rapidez. Entonces, arad v2 = R S y atan = dƒvƒ (movimiento circular no uniforme) dt (3.31) La componente tangencial tiene la misma dirección de la velocidad si la partícula está acelerando, y la dirección opuesta si está frenando (figura 3.30). Si la rapidez de la partícula es constante, atan = 0. CUIDADO Movimiento circular uniforme contra no uniforme Observe que las dos cantidades S S dƒvƒ dt 3.30 Partícula que se mueve en un lazo vertical, como un carrito de montaña rusa, con rapidez variable. Rapidez mínima, arad mínima, atan cero. Aumento de rapidez: atan en la misma dirección que S v. atan S v Disminución de rapidez: atan S es opuesta a v. y ` dv ` dt no son iguales. La primera, igual a la aceleración tangencial, es la tasa de cambio de la rapidez; es igual a cero siempre que una partícula se mueve con rapidez constante, incluso cuando cambia la dirección de su movimiento (como en el movimiento circular uniforme). La segunda es la magnitud de la aceleración vectorial; es igual a cero solo cuando el vector aceleración es cero, es decir, cuando la partícula se mueve en línea recta con rapidez constante. En el movimiento S circular uniforme ƒ dv>dt ƒ = arad = v2 >r; en el movimiento circular no uniforme también existe S una componente tangencial de la aceleración, de manera que ƒ dv/dt ƒ = 2arad2 + atan2 . Evalúe su comprensión de la sección 3.4 Suponga que la partícula de la figura 3.30 experimenta una aceleración cuatro veces mayor en la parte inferior del lazo que en la parte superior del mismo. En comparación con la rapidez en la parte superior del lazo, ¿la rapidez en la parte inferior del lazo es i. 12 veces mayor; ii. 2 veces mayor; iii. 2 12 veces mayor; iv. 4 veces mayor; o v. 16 veces mayor? arad S a S 兩a兩 5 arad Rapidez máxima: arad máxima, atan cero. 3.5 Velocidad relativa Sin duda, usted ha observado que un automóvil que avanza lentamente parece moverse hacia atrás cuando usted lo rebasa. En general, si dos observadores miden la velocidad de un cuerpo en movimiento, obtienen diferentes resultados si uno de ellos se mueve en relación con el otro. La velocidad que un observador determinado percibe es la velocidad relativa a él, o simplemente la velocidad relativa. La figura 3.31 muestra una situación donde la comprensión de la velocidad relativa es extremadamente importante. Primero consideraremos la velocidad relativa en línea recta, y luego la generalizaremos para un plano. Velocidad relativa en una dimensión Una pasajera camina con una velocidad de 1.0 m兾s por el pasillo del vagón de un ferrocarril que se mueve a 3.0 m兾s (figura 3.32a). ¿Cuál es la velocidad de la pasajera? 3.5 Velocidad relativa Esta es una pregunta sencilla, pero no tiene una sola respuesta. Para un segundo pasajero sentado en el tren, la mujer se mueve a 1.0 m兾s. Para un ciclista que está detenido junto al tren, la pasajera se mueve a 1.0 m兾s + 3.0 m兾s = 4.0 m兾s. Un observador en otro tren que va en la dirección opuesta daría otra respuesta. Debemos especificar quién es el observador y dar la velocidad relativa a él. La velocidad de la pasajera relativa al tren es 1.0 m兾s, la velocidad relativa al ciclista es 4.0 m兾s, etcétera. Cada observador, equipado en principio con un metro y un cronómetro, constituye lo que llamamos un marco de referencia. Así, un marco de referencia es un sistema de coordenadas más una escala de tiempo. Sea A el marco de referencia del ciclista (en reposo con respecto al suelo) y B el marco de referencia del tren en movimiento. En el movimiento rectilíneo, la posición de un punto P relativa al marco de referencia A está dada por xP兾A (la posición de P con respecto a A), y la posición de P con respecto al marco B está dada por xP兾B (véase la figura 3.32b). La distancia del origen de B respecto al origen de A es xB兾A. La figura 3.32b indica que x P>A = x P>B + x B>A 89 3.31 Los pilotos de acrobacias aéreas enfrentan un complicado problema de velocidades relativas. Deben estar pendientes de su movimiento en relación con el aire (y así mantener un flujo suficiente de aire sobre las alas para la sustentación), su movimiento en relación con los otros aviones (para mantener una formación cerrada sin chocar) y su movimiento en relación con el público (para que los espectadores no los pierdan de vista). (3.32) En palabras, la coordenada de P en relación con A es igual a la coordenada de P en relación con B más la coordenada de B en relación con A. La velocidad de P relativa al marco A, denotada con vP兾A-x, es la derivada de xP兾A con respecto al tiempo. Las otras velocidades se obtienen de igual manera, así que la derivada con respecto al tiempo de la ecuación (3.32) nos da la relación entre las velocidades: dxP>A dt = dxP>B dt vP>A-x = vP>B-x + vB>A-x + dxB>A dt o bien, (velocidad relativa en una línea) (3.33) Volviendo al caso de la pasajera en el tren de la figura 3.32, vemos que A es el marco de referencia del ciclista, B es el marco de referencia del tren y el punto P representa a la mujer. Usando la notación anterior, tenemos vP>B-x = + 1.0 m>s 3.32 a) Una pasajera camina dentro de un tren. b) La posición de la mujer relativa al marco de referencia del ciclista y al marco de referencia del tren. a) P (pasajera) B (tren) vB>A-x = + 3.0 m>s B De acuerdo con la ecuación (3.33), la velocidad vP兾A de la pasajera relativa al ciclista es A (ciclista) vP>A-x = + 1.0 m>s + 3.0 m>s = + 4.0 m>s como ya sabíamos. En este ejemplo, ambas velocidades van hacia la derecha, y hemos tomado esta dirección como positiva. Si la pasajera camina hacia la izquierda en relación con el tren, entonces, vP兾B-x = -1.0 m兾s, y su velocidad relativa al ciclista es vP兾A-x = -1.0 m兾s + 3.0 m兾s = +2.0 m兾s. La suma de la ecuación (3.33) siempre es algebraica, y cualquiera o todas las velocidades pueden ser negativas. Si la pasajera se asoma por la ventana, le parecerá que el ciclista estacionario se mueve hacia atrás; llamamos vA兾P-x a la velocidad del ciclista relativa a ella. Es evidente que esta es el negativo de la velocidad de la pasajera en relación con el ciclista, vP兾A-x. En general, si A y B son dos puntos o marcos de referencia cualesquiera, vA>B-x = - vB>A-x b) yB yA Marco del ciclista. vB/A Marco del tren. Posición de la pasajera en ambos marcos. P OA OB xB/A (3.34) Velocidad del tren relativa al ciclista. xP/B xP/A xB , xA 90 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones Estrategia para resolver problemas 3.2 Velocidad relativa IDENTIFICAR los conceptos relevantes: Siempre que lea la frase “velocidad relativa a” o “velocidad con respecto a”, seguramente le resultarán útiles los conceptos de velocidad relativa. PLANTEAR el problema: Dibuje e identifique todos los marcos de referencia del problema. Cada cuerpo en movimiento tiene su propio marco de referencia; además, casi siempre se tiene que incluir el marco de referencia de la superficie terrestre. (Enunciados como “el automóvil viaja al norte a 90 km兾h” se refieren implícitamente a la velocidad del auto relativa a la superficie terrestre). Use los títulos para identificar la incógnita. Por ejemplo, si quiere obtener la velocidad de un automóvil (C) con respecto a un autobús (B), la incógnita es vC兾B-x. EJECUTAR la solución: Despeje la incógnita empleando la ecuación (3.33). (Si las velocidades no tienen la misma dirección, será preciso usar la forma vectorial de esta ecuación, que deduciremos más adelante en esta misma sección). Es importante observar el orden de los Ejemplo 3.13 dobles subíndices en la ecuación (3.33): vB兾A-x significa “velocidad de B relativa a A”. Estos subíndices obedecen a un tipo de álgebra, como muestra la ecuación (3.33). Si consideramos a cada uno como una fracción, la fracción del miembro izquierdo es el producto de las fracciones del miembro derecho: P兾A = (P兾B)(B兾A). Se puede aplicar esta regla a cualquier cantidad de marcos de referencia. Por ejemplo, si hay tres marcos de referencia distintos A, B y C, la ecuación (3.33) se convierte en vP> A-x = vP> C-x + vC> B-x + vB> A-x EVALUAR la respuesta: Esté pendiente de los signos menos (-) en su respuesta. Si la incógnita es la velocidad de un automóvil relativa a un autobús (vC兾B-x), asegúrese de no haber calculado por equivocación la velocidad del autobús relativa al automóvil (vB兾C-x). Si cometió este error, la ecuación (3.34) le dará la respuesta correcta. Velocidad relativa en un camino recto Usted viaja al norte en un camino recto de dos carriles con rapidez constante de 88 km兾h. Un camión que viaja con rapidez constante de 104 km兾h se acerca a usted en el otro carril (figura 3.33). Obtenga a) la velocidad del camión relativa a usted y b) su velocidad relativa al camión. c) ¿Cómo cambian las velocidades relativas una vez que los dos vehículos se han pasado? Considere este problema como unidimensional. 3.33 Marcos de referencia para usted y el camión. N E O S x Camión (T) SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: En este problema sobre velocidades relativas en una recta, hay tres marcos de referencia: usted (Y), el camión (T) y la superficie de la Tierra (E). Fijemos la dirección positiva hacia el norte (figura 3.33). Entonces, su velocidad relativa a la Tierra es vY兾E-x = +88 km兾h. En un principio, el camión se acerca a usted, así que debe ir hacia el sur, y su velocidad relativa a la Tierra es vT兾E-x = -104 km兾h. Las incógnitas de los incisos a) y b) son vT兾Y-x y vY兾T-x, respectivamente. Utilizaremos la ecuación (3.33) para obtener la primera incógnita, y la ecuación (3.34) para obtener la segunda. EJECUTAR: a) Para obtener vT兾Y-x, escribimos la ecuación (3.33) para la velocidad conocida vT兾E-x y reacomodamos: vT> E-x = vT> Y-x + vY> E-x vT> Y-x = vT> E-x - vY> E-x = - 104 km> h - 88 km> h = - 192 km> h El camión se desplaza a 192 km兾h en la dirección negativa (al sur) en relación con usted. b) De acuerdo con la ecuación (3.34), vY> T-x = - vT> Y-x = - 1 -192 km> h2 = + 192 km> h S vY/E Tierra (E) S vT/E Usted (Y) Usted se desplaza a 192 km兾h en la dirección positiva (al norte) en relación con el camión. c) Las velocidades relativas no cambian después de que los vehículos se pasan. Las posiciones relativas de los cuerpos no importan. Después de que el camión lo pasa, aún se desplaza a 192 km兾h hacia el sur en relación con usted, pero ahora se aleja en vez de acercarse. EVALUAR: Para comprobar la respuesta del inciso b), se usa la ecuación (3.33) directamente en la forma vY> T-x = vY> E-x + vE> T-x. (La velocidad de la Tierra relativa al camión es opuesta a la velocidad del camión con respecto a la Tierra: vE> T-x = - vT> E-x.) ¿Obtuvo el mismo resultado? Velocidad relativa en dos o tres dimensiones Podemos ampliar el concepto de velocidad relativa para incluir el movimiento en un plano o en el espacio, usando la suma vectorial para combinar velocidades. Suponga que la mujer de la figura 3.32a camina no por el pasillo del vagón, sino de un costado al otro, con rapidez de 1.0 m兾s (figura 3.34a). Nuevamente podemos describir la posición P de la pasajera en dos marcos de referencia distintos: A para el observador 91 3.5 Velocidad relativa detenido al lado del tren y B para el tren en movimiento; pero en lugar de las coordeS nadas x usamos vectores de posición r porque el problema es bidimensional. Entonces, como muestra la figura 3.34b, S S S r P>A ⴝ r P>B ⴙ r B>A (3.35) Igual que antes, tomamos la derivada con respecto al tiempo de esta ecuación para S obtener una relación entre las velocidades; la velocidad de P relativa a A es vP>A ⴝ S d r P>A>dt y así para las demás velocidades. Obtenemos S S S vP>A ⴝ vP>B ⴙ vB>A (velocidad relativa en el espacio) (3.36) La ecuación (3.36) se conoce como transformación galileana de la velocidad y relaciona la velocidad de un cuerpo P con respecto al marco A y su velocidad con S S respecto al marco B 1vP>A y vP>B , respectivamente), con la velocidad del marco B S con respecto al marco A 1vB>A2. Si las tres velocidades están en la misma línea, entonces la ecuación (3.36) se reduce a la ecuación (3.33) para las componentes de las velocidades a lo largo de esa línea. Si el tren se desplaza a una vB兾A = 3.0 m兾s en relación con el suelo y la velocidad S de la mujer relativa al vagón tiene magnitud vP兾B = 1.0 m兾s, su vector velocidad vP>A relativo al suelo es como se muestra en la figura 3.34c. Entonces, el teorema de Pitágoras nos da vP>A = 213.0 m>s22 + 11.0 m>s22 = 210 m2>s2 = 3.2 m>s La figura 3.34c también indica que la dirección del vector velocidad de la mujer S relativa al suelo forma un ángulo f con el vector velocidad del tren vB>A , donde tan f = vP>B vB>A = 1.0 m>s y 3.0 m>s f = 18° Como en el caso del movimiento rectilíneo, tenemos la regla general de que si A y B son dos puntos o marcos de referencia cualesquiera, S S vA>B ⴝ ⴚ vB>A (3.37) La velocidad de la mujer con respecto al tren es el negativo de la velocidad del tren con respecto a ella, etcétera. A principios del siglo XX, en su teoría especial de la relatividad, Albert Einstein demostró que la relación de la suma de velocidades establecida en la ecuación (3.36) se debe modificar cuando la rapidez se aproxima a la rapidez de la luz, que se denota con c. Resulta que si la mujer de la figura 3.32a pudiera caminar por el pasillo a 0.30c y el tren pudiera viajar a 0.90c, entonces la rapidez de la mujer relativa al suelo no sería de 1.20c sino de 0.94c. ¡Nada puede viajar más rápido que la luz! Regresaremos a la teoría especial de la relatividad en el capítulo 37 del volumen 2. 3.34 a) Una pasajera camina a lo ancho de un vagón de ferrocarril. b) Posición de la mujer relativa al marco de referencia del ciclista S y al marco del tren. c) Diagrama vectorial para la velocidad de la mujer relativa al suelo (el marco del ciclista), vP>A . a) c) Velocidades relativas (vistas desde arriba) b) B (tren) yB S / 3.0 m s rP/A OA B zA OB Posición de la mujer en ambos marcos. xB xA /s rB/A rP/B 2m S P S 5 3. / 1.0 m s P (pasajera) S f 5 18° v P/A A (ciclista) Marco del ciclista vB/A Marco del tren vB/A 5 3.0 m/s yA Velocidad del tren relativa al ciclista. zB vP/ B 5 1.0 m s / 92 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones Ejemplo 3.14 Vuelo con viento cruzado La brújula de un avión indica que se dirige hacia el norte, y su velocímetro indica que vuela a 240 km兾h. Si hay un viento de 100 km兾h de oeste a este, ¿cuál es la velocidad del avión relativa a la Tierra? EVALUAR: Se pueden verificar los resultados haciendo mediciones a escala del dibujo de la figura 3.35. El viento lateral aumenta la rapidez del avión relativa al suelo, pero desvía a la nave de su curso. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Se trata de un problema de velocidad en dos dimensiones (hacia el norte y hacia el este), así que tenemos un problema de velocidad relativa usando vectores. Nos dan la magnitud y dirección de la velocidad del avión (P) relativa al aire (A), así como la magnitud y dirección de la velocidad del viento, que es la velocidad del aire A con respecto a la Tierra (E): S vP> A = 240 km > h vA> E = 100 km > h Usaremos la ecuación (3.36) para obtener nuestras incógnitas: la magS nitud y dirección de la velocidad vP> E del avión relativa a la Tierra. EJECUTAR: Usando la ecuación (3.36), tenemos S S vA/E 5 100 km h, este / al norte al este S S 3.35 El avión apunta al norte, pero el viento sopla al este, dando la S velocidad resultante vP>E relativa a la Tierra. S S vP/A 5 240 km h, norte vP/E / S vP> E ⴝ vP> A ⴙ vA> E a La figura 3.35 muestra las tres velocidades relativas en el triángulo rectángulo obtenido de esta suma vectorial; las incógnitas son la rapidez vP兾E y el ángulo a. Del diagrama obtenemos N O E S vP> E = 21240 km > h22 + 1100 km > h22 = 260 km > h 100 km > h a = arctan a b = 23° E del N 240 km > h Ejemplo 3.15 Corrección por viento cruzado Considerando el viento y la rapidez del avión del ejemplo 3.14, ¿qué dirección debería tomar el piloto para viajar al norte? ¿Cuál será su velocidad relativa a la Tierra? S 3.36 El piloto debe apuntar el avión en la dirección del vector vP>A para viajar al norte en relación con la Tierra. S vA/E 5 100 km/h, este SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Como en el ejemplo 3.14, este es un problema de velocidad relativa con vectores. La figura 3.36 es un dibujo a escala de la situación. Nuevamente, los vectores se suman de acuerdo con la ecuación (3.36) y se forma un triángulo rectángulo: S S S vP > E ⴝ vP > A ⴙ vA > E Como muestra la figura 3.36, el piloto apunta la nariz del avión con un ángulo b hacia el viento para compensar su efecto. Este ángulo, que S nos da la dirección del vector vP> A (la velocidad del avión relativa al aire), es una de nuestras incógnitas. La otra es la rapidez del avión S sobre el suelo, que es la magnitud del vector vP> E (la velocidad del avión relativa a la Tierra). Veamos las cantidades que conocemos y las que desconocemos: S vP/A 5 240 km/h, a un ángulo b b N O S vP/E, norte E S S vP> E ⴝ magnitud desconocida al norte S vP> A ⴝ 240 km > h S vA> E ⴝ 100 km > h dirección desconocida al este Podemos calcular las incógnitas empleando la figura 3.36 y trigonometría. 3.5 Velocidad relativa EJECUTAR: Por la figura 3.36, la rapidez vP兾E y el ángulo b son vP> E = 21240 km > h22 - 1100 km > h22 = 218 km > h b = arcsen a 100 km > h b = 25° 240 km > h El piloto debe dirigirse 25° al oeste del norte, y su rapidez con respecto al suelo es entonces de 218 km兾h. 93 EVALUAR: Observe que había dos incógnitas, la magnitud de un vector y la dirección de un vector, tanto en este ejemplo como en el 3.14. La diferencia es que, en el ejemplo 3.14, la magnitud y dirección se S referían al mismo vector 1vP> E2; en tanto que en este ejemplo se reS S fieren a vectores distintos 1vP> E y vP> A2. Mientras se espera que un viento de frente reduzca la rapidez de un avión en relación con el suelo, este ejemplo demuestra que un viento cruzado también lo hace. Es una triste realidad de la industria aeronáutica. Evalúe su comprensión de la sección 3.5 Suponga que la nariz de un avión apunta al este y que la nave tiene una velocidad de vuelo de 150 km/h. Debido al viento, el avión se mueve al norte en relación con el suelo y su rapidez relativa al suelo es de 150 km/h. ¿Cuál es la velocidad del aire relativa a la Tierra? i. 150 km/h de este a oeste; ii. 150 km/h de sur a norte; iii. 150 km/h de sureste a noroeste; iv. 212 km/h de este a oeste; v. 212 km/h de sur a norte; vi. 212 km/h de sureste a noroeste; vii. no hay velocidad del aire posible que cause esto. 3 Video Tutor Solutions CAPÍTULO RESUMEN Vectores de posición, velocidad y aceleración: El vector S de posición r de un punto P en el espacio es el vector del origen a P. Sus componentes son las coordenadas x, y y z. S El vector velocidad media vmed durante el intervalo ¢t S es el desplazamiento ¢ r (el cambio del vector de posición S S r ) dividido entre ¢t. El vector velocidad instantánea v es S la derivada de r , con respecto al tiempo, y sus componentes son las derivadas de x, y y z con respecto al tiempo. S S La rapidez instantánea es la magnitud de v. La velocidad v de una partícula siempre es tangente a la trayectoria de la partícula. (Véase el ejemplo 3.1). S El vector aceleración media a med durante el intervalo de S tiempo ¢t es igual a ¢v (el cambio en el vector velocidad S S v2 dividido entre ¢t. El vector aceleración instantánea a es S la derivada de v, con respecto al tiempo, y sus componentes son las derivadas de vx, vy y vz con respecto al tiempo. (Véase el ejemplo 3.2). La componente de aceleración paralela a la dirección de la velocidad instantánea afecta la rapidez; en tanto que S S la componente de a perpendicular a v afecta la dirección del movimiento. (Véase los ejemplos 3.3 y 3.4). r ⴝ x Nı ⴙ y ≥N ⴙ z kN S S r2 ⴚ r1 S ⴝ vmed ⴝ t2 - t1 S S dr ¢r S v ⴝ lím ⴝ ¢tS0 ¢t dt dy dx vy = vx = dt dt S S ⴚ v v 2 1 S ⴝ a med ⴝ t2 - t1 S ¢t 0 ay = az = vz = y1 S dz dt ¢v ¢t S vmed 5 D r Dt S (3.2) (3.3) S S a ⴝ lím S ax = ¢r ¢t ¢v dv ⴝ ¢t dt S y (3.1) S S Dr S r1 Dy y2 (3.4) S r2 x1 O Dx (3.8) (3.9) dvx dt dvy x x2 S v2 y S v1 S (3.10) dt dvz S v1 dt S v2 x O Movimiento de proyectiles: En el movimiento de proyectiles sin resistencia del aire, ax = 0 y ay = -g. Las coordenadas y componentes de la velocidad son funciones sencillas del tiempo, y la forma de la trayectoria siempre es una parábola. Normalmente, el origen se coloca en la posición inicial del proyectil. (Véase los ejemplos 3.5 a 3.10). Movimiento circular uniforme y no uniforme: Cuando una partícula se mueve en una trayectoria circular de radio R con rapidez constante v (movimiento circular uniforme), S su aceleración a está dirigida hacia el centro del círculo y S es perpendicular a v. La magnitud arad de la aceleración se puede expresar en términos de v y R, o en términos de R y el periodo T (el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta), donde v = 2pR兾T. (Véase los ejemplos 3.11 y 3.12). Si la rapidez en un movimiento circular no es constante (movimiento circular no uniforme), habrá una componente S radial de a dada por la ecuación (3.28) o la ecuación (3.30), S pero también habrá una componente de a paralela (tangencial) a la trayectoria; esta componente tangencial es igual a la tasa de cambio de la rapidez, dv兾dt. Velocidad relativa: Cuando un cuerpo P se mueve en relación con un cuerpo (o marco de referencia) B, y B se mueve en relación con A, denotamos la velocidad de P relaS S tiva a B con vP>B , la velocidad de P relativa a A con vP>A , S y la velocidad de B relativa a A con vB>A . Si todas estas velocidades están en la misma línea, sus componentes sobre la línea están relacionadas por la ecuación (3.33). De forma más general, estas velocidades están relacionadas por la ecuación (3.36). (Véase los ejemplos 3.13 a 3.15). x = 1v0 cos a02t (3.20) y = 1v0 sen a0 2t - 1 2 2 gt vx = v0 cos a0 arad = S y vx v ay 5 2g vx x S v2 R 4p2R v (3.28) (3.30) T2 S v arad S arad S S S arad v S v S arad S arad v vP/A-x = vP/B-x + vB/A-x (velocidad relativa en una línea) S S v vy O S S v vx S (3.23) S v vy vy (3.21) (3.22) vy = v0 sen a0 - gt arad = (velocidad relativa en el espacio) S v S vB/A (3.33) S S vP>A ⴝ vP>B ⴙ vB>A S arad vP/A S S S vP/A 5 vP/B 1 vB/A S vP/B (3.36) P (avión) B (aire en movimiento) A (observador en el suelo) 94 S amed 5 Dv Dt S Dv Preguntas para análisis PROBLEMA PRÁCTICO 95 Lanzamiento hacia arriba de un plano inclinado Se dispara una esfera con una velocidad inicial v0 a un ángulo f arriba de la superficie de un plano, que a la vez, está inclinado un ángulo u por encima de la horizontal (figura 3.37). a) Calcule la distancia, medida a lo largo del plano inclinado, del punto de lanzamiento al punto donde la esfera golpea el plano inclinado. b) ¿Cuál es el ángulo f que da el alcance máximo, medido a lo largo del plano inclinado? Ignore la resistencia del aire. 3.37 Lanzamiento de una esfera en una rampa inclinada. v0 f u GUÍA DE SOLUCIÓN Véase el área de estudio MasteringPhysics® para consultar una solución con Video Tutor. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Como no hay resistencia del aire, este es un problema de movimiento de proyectiles. El objetivo es determinar el punto donde la trayectoria parabólica de la esfera cruza el plano inclinado. 2. Elija los ejes x y y así como la posición del origen. Si tiene duda, use las sugerencias incluidas en la Estrategia de solución de problemas 3.1 de la sección 3.3. 3. En las ecuaciones de proyectiles de la sección 3.3, el ángulo de disparo a0 se mide a partir de la horizontal. ¿Cuál es este ángulo en términos de u y f? ¿Cuáles son las componentes iniciales x y y de la velocidad inicial de la esfera? 4. Será necesario escribir una ecuación que relacione x y y de los puntos a lo largo del plano inclinado. ¿Cuál es esta ecuación? (Esto es un asunto de geometría y trigonometría, no de física). Problemas EJECUTAR 5. Escriba las ecuaciones de las coordenadas x y y de la esfera en función del tiempo t. 6. Cuando la esfera golpea el plano inclinado, x y y están relacionadas por la ecuación que se obtuvo en el paso 4. Con base en esto, ¿en qué tiempo t golpea la esfera el plano inclinado? 7. Con base en la respuesta del paso 6, ¿en qué coordenadas x y y cae la esfera sobre el plano inclinado? ¿A qué distancia se encuentra este punto del punto de lanzamiento? 8. ¿Qué valor de f proporciona la distancia máxima del punto de lanzamiento al punto de llegada? (Use sus conocimientos de cálculo). EVALUAR 9. Verifique sus respuestas para el caso en que u = 0, lo que corresponde a que el plano sea horizontal en lugar de inclinado. (Usted ya conoce las respuestas para este caso. ¿Sabe por qué?). Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com . , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas. PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P3.1 Un péndulo simple (una masa que oscila en el extremo de una cuerda) oscila en un arco circular. ¿Qué dirección tiene la aceleración de la masa en los extremos del arco? ¿Y en el punto medio? En cada caso, explique cómo obtuvo su respuesta. S P3.2 Vuelva a dibujar la figura 3.11a como si a fuera antiparalela a S v1. ¿La partícula se mueve en línea recta? ¿Qué pasa con la rapidez? P3.3 Un proyectil se mueve en una trayectoria parabólica sin resistenS S cia del aire. ¿Hay un punto donde a sea paralela a v ? ¿Y perpendicular S a v ? Explique su respuesta. P3.4 Cuando se dispara un rifle a un blanco lejano, el cañón no se apunta exactamente al blanco. ¿Por qué? ¿El ángulo de corrección depende de la distancia al blanco? P3.5 En el instante en que usted dispara una bala horizontalmente con un rifle, deja caer otra bala desde la altura del cañón. Si no hay resistencia del aire, ¿qué bala llegará primero al suelo? Explique su respuesta. P3.6 Se deja caer un paquete desde un avión que vuela en línea recta con altitud y rapidez constantes. Si se ignora la resistencia del aire, ¿qué trayectoria del paquete observaría el piloto? ¿Y una persona situada en el suelo? P3.7 Dibuje las seis gráficas de las componentes x y y de posición, velocidad y aceleración contra el tiempo, para el movimiento de un proyectil con x0 = y0 = 0 y 0 6 a0 6 90°. P3.8 Si una rana puede saltar con la misma rapidez inicial sin importar la dirección (hacia adelante o hacia arriba), ¿cuál es la altura vertical máxima a la cual puede saltar en relación con su alcance horizontal máximo, Rmáx = v02兾g? P3.9 Se dispara un proyectil hacia arriba con un ángulo u por encima de la horizontal con una rapidez inicial v0. Al llegar a su máxima altura, ¿cuáles son su vector velocidad, su rapidez y su vector aceleración? P3.10 En el movimiento circular uniforme, ¿cuáles son la velocidad media y la aceleración media durante una revolución? Explique su respuesta. P3.11 En el movimiento circular uniforme, ¿cómo cambia la aceleración cuando la rapidez aumenta al triple? ¿Y cuando el radio se reduce por un factor de 2, es decir, a la mitad? P3.12 En el movimiento circular uniforme, la aceleración es perpendicular a la velocidad en todo instante. ¿Sigue siendo válido esto cuando el movimiento no es uniforme, es decir, cuando la rapidez no es constante? P3.13 Incluso sin viento, las gotas de lluvia suelen dejar rayas diagonales en las ventanas laterales de un automóvil en movimiento. ¿Por qué? ¿Es la misma explicación para las rayas diagonales en el parabrisas? P3.14 En una tormenta con viento fuerte, ¿qué determina la orientación óptima para sostener un paraguas? 96 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones P3.15 Imagine que está en la ribera oeste de un río que fluye al norte a 1.2 m兾s. Usted nada con rapidez de 1.5 m兾s relativa al agua, y el río tiene 60 m de ancho. ¿Qué trayectoria relativa a la Tierra le permitirá cruzar el río en el menor tiempo? Explique su razonamiento. P3.16 Se lanza una piedra hacia el aire con un ángulo por encima de la horizontal, y se ignora la resistencia del aire. ¿Cuál de las gráficas en la figura P3.16 describe mejor la rapidez v de la piedra en función del tiempo t mientras está en el aire? 3.7 .. CALC Las coordenadas de un ave que vuela en el plano xy están dadas por x(t) = at y y(t) = 3.0 m - bt2, donde a = 2.4 m兾s y b = 1.2 m兾s2. a) Dibuje la trayectoria del ave entre t = 0 y t = 2.0 s. b) Calcule los vectores velocidad y aceleración del ave en función de t. c) Obtenga la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en t = 2.0 s. d) Dibuje los vectores velocidad y aceleración en t = 2.0 s. En este instante, ¿el ave acelera, frena o su rapidez instantánea no cambia? ¿Está dando vuelta? Si es así, ¿en qué dirección? Figura P3.16 Sección 3.3 Movimiento de proyectiles v v v t a) v t b) v t c) t t d) e) EJERCICIOS Sección 3.1 Vectores de posición y velocidad 3.1 . Una ardilla tiene coordenadas x y y (1.1 m, 3.4 m) en t1 = 0, y coordenadas (5.3 m, –0.5 m) en t2 = 3.0 s. Para este intervalo, obtenga a) las componentes de la velocidad media, y b) la magnitud y dirección de esta velocidad. 3.2 . Un rinoceronte se encuentra en el origen de las coordenadas en t1 = 0. Para el intervalo de t1 = 0 a t2 = 12.0 s, la velocidad media del animal tiene una componente x de -3.8 m兾s y una componente y de 4.9 m兾s. En t2 = 12.0 s, a) ¿qué coordenadas x y y tiene el rinoceronte? b) ¿A qué distancia está del origen? 3.3 .. CALC Un diseñador de páginas Web crea una animación en la que un punto en una pantalla de computadora tiene una posición S r ⴝ 34.0 cm + 12.5 cm >s 2 2t2 4ın ⴙ 15.0 cm >s2t≥n. a) Determine la magnitud y dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t = 2.0 s. b) Calcule la magnitud y dirección de la velocidad instantánea en t = 0, en t = 1.0 s y en t = 2.0 s. c) Dibuje la trayectoria del punto de t = 0 a t = 2.0 s, y muestre las velocidades calculadas en el inciso b). 3.4 . CALC La posición de una ardilla que corre por un parque está dada S por r ⴝ 310 .280 m>s2t + 10 .0360 m>s 2 2t2 4ın ⴙ 10 .0190 m>s 3 2t3 n≥. a) ¿Cuáles son vx(t) y vy(t), las componentes x y y de la velocidad de la ardilla, en función del tiempo? b) En t = 5.00 s ¿a qué distancia está la ardilla de su posición inicial? c) En t = 5.00 s, ¿cuáles son la magnitud y dirección de la velocidad de la ardilla? Sección 3.2 El vector aceleración 3.5 . Un jet vuela con altitud constante. En el instante t1 = 0, tiene componentes de velocidad vx = 90 m兾s, vy = 110 m兾s. En t2 = 30.0 s, las componentes son vx = -170 m兾s, vy = 40 m兾s. a) Dibuje los vectores de velocidad en t1 y t2. ¿En qué difieren? Para este intervalo, calcule b) las componentes de la aceleración media, y c) la magnitud y dirección de dicha aceleración. 3.6 .. Un perro que corre en un campo tiene componentes de velocidad vx = 2.6 m兾s y vy = -1.8 m兾s en t1 = 10.0 s. Para el intervalo de t1 = 10.0 s a t2 = 20.0 s, la aceleración media del perro tiene magnitud de 0.45 m兾s2 y dirección de 31.0° medida del eje +x al eje +y. En t2 = 20.0 s, a) ¿qué componentes x y y tiene la velocidad del perro? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene esa velocidad? c) Dibuje los vectores velocidad en t1 y t2. ¿En qué difieren? 3.8 . CALC Un automóvil controlado a distancia se mueve en un estacionamiento vacío. La velocidad del automóvil en función del tiempo S está dada por v ⴝ 35 .00 m>s - 10 .0180 m>s 3 2t2 4ın ⴙ 32 .00 m>s + 10.550 m>s 2 2t4 n≥ . a) ¿Cuáles son ax(t) y ay(t), las componentes x y y de la aceleración del auto en función del tiempo? b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la velocidad en t = 8.00 s? c) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la aceleración en t = 8.00 s? 3.9 . Un libro de física que se desliza sobre una mesa horizontal a 1.10 m兾s cae y llega al piso en 0.350 s. Ignore la resistencia del aire. Calcule a) la altura de la mesa con respecto al piso; b) la distancia horizontal del borde de la mesa al punto donde cae el libro; c) las componentes horizontal y vertical así como la magnitud y dirección de la velocidad del libro justo antes de tocar el piso. d) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento. 3.10 .. Una intrépida nadadora Figura E3.10 de 510 N de peso se lanza desde un v0 risco con un impulso horizontal, como se muestra en la figura E3.10. ¿Qué rapidez mínima debe tener al 9.00 m saltar de lo alto del risco para no 1.75 m chocar con la saliente en la base, que tiene una anchura de 1.75 m y Saliente está 9.00 m abajo del borde del risco? 3.11 . Dos grillos, Chirpy y Milada, saltan desde lo alto de un acantilado vertical. Chirpy simplemente se deja caer y llega al suelo en 3.50 s, en tanto que Milada salta horizontalmente con una rapidez inicial de 95.0 cm兾s. ¿A qué distancia de la base del acantilado tocará Milada el suelo? 3.12 . Un mariscal de campo novato lanza un balón con una componente de velocidad inicial hacia arriba de 12.0 m兾s y una componente de velocidad horizontal de 20.0 m兾s. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Cuánto tiempo tardará el balón en llegar al punto más alto de la trayectoria? b) ¿A qué altura está este punto? c) ¿Cuánto tiempo pasa (desde que se lanza) para que el balón vuelva a su nivel original? ¿Cómo se compara este tiempo con el calculado en el inciso a)? d) ¿Qué distancia horizontal viaja el balón en este tiempo? e) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento. 3.13 .. Salto del río I. Un automóvil que viaja horizontalmente llega al borde de un puente durante una tormenta y el conductor descubre que el río arrasó el puente. El conductor debe llegar al otro lado, así que decide saltar la brecha con su automóvil. La orilla en la que se encuentra está 21.3 m arriba del río, mientras que la orilla opuesta está a solo 1.8 m sobre las aguas. El río es un torrente embravecido con una anchura de 61.0 m. a) ¿Qué tan rápido deberá ir el auto cuando llegue al borde para saltar el río y llegar a salvo al otro lado? b) ¿Qué rapidez tendrá el auto justo antes de que aterrice? 3.14 . BIO El campeón saltador del mundo de los insectos. El Philaenus spumarius, tiene el récord mundial de salto entre los insec- Ejercicios tos. Con un salto a un ángulo de 58.0° arriba de la horizontal, algunos de estos bichos pequeños alcanzan una altura máxima de 58.7 cm arriba del nivel del suelo. (Véase la revista Nature, vol. 424, del 31 de julio de 2003, p. 509). a) ¿Cuál es la velocidad de despegue en este salto? b) ¿Cuál es la distancia horizontal que cubrió el insecto en este récord mundial de salto? 3.15 .. Dentro de una nave espacial en reposo sobre la Tierra, una pelota rueda desde la parte superior de una mesa horizontal y cae al piso a una distancia D de la pata de la mesa. Esta nave espacial ahora desciende en el inexplorado planeta X. El comandante, el Capitán Curioso, hace rodar la misma pelota desde la misma mesa con la misma rapidez inicial que en la Tierra, y se da cuenta de que la pelota cae al piso a una distancia de 2.76D de la pata de la mesa. ¿Cuál es la aceleración debida a la gravedad en el planeta X? 3.16 . Se dispara un proyectil desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 50.0 m兾s a 60.0° por encima de la horizontal sin que sufra resistencia del aire. a) Determine las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial del proyectil. b) ¿Cuánto tarda el proyectil en alcanzar su punto más alto? c) Calcule su altura máxima por encima del suelo. d) ¿Qué tan lejos del punto de lanzamiento cae el proyectil al suelo? e) Determine las componentes horizontal y vertical de su aceleración y velocidad en el punto de su máxima altura. 3.17 . Un beisbolista de grandes ligas batea una pelota de modo que esta sale del bate con una rapidez de 30.0 m兾s y un ángulo de 36.9° sobre la horizontal. Ignore la resistencia del aire. a) ¿En cuáles dos instantes la pelota se encuentra a 10.0 m sobre el punto en que salió del bate? b) Obtenga las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la pelota en cada uno de los dos instantes calculados en el inciso a). c) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad de la pelota al regresar al nivel en el que se bateó? 3.18 . Un atleta, lanzador de bala, arroja la bala a cierta altura sobre el nivel del suelo con velocidad de 12.0 m兾s, 51.0° sobre la horizontal. La bala golpea el suelo 2.08 s después. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Cuáles son las componentes de la aceleración de la bala durante el vuelo? b) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la bala al principio y al final de su trayectoria? c) A qué distancia horizontal llegó la bala? d) ¿Por qué la expresión para R del ejemplo 3.8 no da la respuesta correcta para el inciso c)? e) ¿A qué altura sobre el suelo se lanzó la bala? f ) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento. 3.19 .. Gane el premio. En una feria, se puede ganar una jirafa de peluche lanzando una moneda a un platito, el cual está sobre una repisa más arriba del punto en que la moneda sale de la mano y a una distancia horizontal de 2.1 m desde ese punto (figura E3.19). Si usted lanza la moneda con velocidad de 6.4 m兾s, a un ángulo de 60° sobre la horizontal, la moneda caerá en el platito. Ignore la resistencia del aire. a) Figura E3.19 v 5 6.4 m/s ? 60° 2.1 m 97 ¿A qué altura está la repisa sobre el punto donde se lanza la moneda? b) ¿Qué componente vertical tiene la velocidad de la moneda justo antes de caer en el platito? 3.20 .. Suponga que el ángulo de salida a0 de la figura 3.26 es de 42.0° y la distancia d es de 3.00 m. ¿Dónde se encontrarán el dardo y el mono, si la rapidez inicial del dardo es de a) 12.0 m兾s? b) ¿8.0 m兾s? c) ¿Qué sucederá si la rapidez inicial del dardo es de 4.0 m兾s? Dibuje la trayectoria en cada caso. 3.21 .. Un hombre está de pie en la azotea de un edificio de 15.0 m de altura y lanza una piedra con una velocidad de 30.0 m兾s a un ángulo de 33.0° sobre la horizontal. Puede ignorar la resistencia del aire. Calcule a) la altura máxima que alcanza la piedra sobre la azotea; b) la magnitud de la velocidad de la piedra justo antes de golpear el suelo; y c) la distancia horizontal desde la base del edificio hasta el punto donde la piedra golpea el suelo. d) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento. 3.22 . Los bomberos lanzan un chorro de agua a un edificio en llamas, utilizando una manguera de alta presión que imprime al agua una rapidez de 25.0 m兾s al salir por la boquilla. Una vez que sale de la manguera, el agua se mueve como proyectil. Los bomberos ajustan el ángulo de elevación a de la manguera hasta que el agua tarda 3.00 s en llegar a un edificio que está a 45.0 m de distancia. Ignore la resistencia del aire y suponga que la boquilla de la manguera está a nivel del suelo. a) Calcule el ángulo de elevación a. b) Determine la rapidez y aceleración del agua en el punto más alto de su trayectoria. c) ¿A qué altura sobre el suelo llega el agua sobre el edificio, y con qué rapidez lo hace? 3.23 .. Un globo de 124 kg que lleva una canastilla de 22 kg desciende con velocidad constante de 20.0 m兾s. Una piedra de 1.0 kg se lanza desde la canastilla con una velocidad inicial de 15.0 m兾s perpendicular a la trayectoria del globo en descenso, medida en relación con una persona en reposo en la canastilla. Esa persona ve que la piedra choca contra el suelo 6.00 s después de lanzarse. Suponga que el globo continúa su descenso con la misma rapidez constante de 20.0 m兾s. a) ¿A qué altura estaba el globo cuando se lanzó la piedra? b) ¿Y cuando chocó contra el suelo? c) En el instante en que la piedra tocó el suelo, ¿a qué distancia estaba de la canastilla? d) Determine las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la piedra justo antes de chocar contra el suelo, relativas a un observador i. en reposo en la canastilla; ii. en reposo en el suelo. Sección 3.4 Movimiento en círculo 3.24 .. BIO Mareos. Mantenemos el equilibrio, al menos en parte, gracias a la endolinfa del oído interno. El giro de la cabeza desplaza este líquido, produciendo mareos. Suponga que un bailarín (o un patinador) está girando muy rápido a 3.0 revoluciones por segundo alrededor de un eje vertical que pasa por el centro de su cabeza. Aun cuando la distancia varía de una persona a otra, el oído interno se encuentra aproximadamente a 7.0 cm del eje de giro. ¿Cuál es la aceleración radial (en m兾s2 y en función de g) de la endolinfa? 3.25 .. La Tierra tiene 6380 km de radio y gira una vez sobre su eje en 24 h. a) ¿Qué aceleración radial tiene un objeto en el ecuador? Dé su respuesta en m兾s2 y como fracción de g. b) Si arad en el ecuador fuera mayor que g, los objetos saldrían volando hacia el espacio. (Veremos por qué en el capítulo 5). ¿Cuál tendría que ser el periodo de rotación de la Tierra para que esto sucediera? 3.26 .. Un modelo de rotor de helicóptero tiene cuatro aspas, cada una de 3.40 m de longitud desde el eje central hasta la punta. El modelo gira en un túnel de viento a 550 rpm. a) ¿Qué rapidez lineal tiene la punta del aspa en m兾s? b) ¿Qué aceleración radial tiene la punta del aspa, expresada como un múltiplo de la aceleración debida a la gravedad, g? 98 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.27 . BIO Desmayo de un piloto Figura E3.27 en un descenso en picada. Un jet vuela en picada como se muestra en la figura E3.27. La parte inferior de la trayectoria es un cuarto de círculo con un radio de curvatura de 350 m. De acuerdo con pruebas médicas, los pilotos pierden la conciencia a una aceleración de 5.5g. ¿A qué rapidez (en m兾s y en mph) perdería la conciencia el piloto en este descenso? 3.28 . El radio de la órbita terrestre alrededor del Sol (suponiendo que fuera circular) es de 1.50 * 108 km, y la Tierra la recorre en 365 días. a) Calcule la magnitud de la velocidad orbital de la Tierra en m兾s. b) Calcule la aceleración radial de la Tierra hacia el Sol en m兾s2. e) Repita los incisos a) y b) para el movimiento del planeta Mercurio (radio orbital = 5.79 * 107 km, periodo orbital = 88.0 días). 3.29 . Una rueda de la fortuna de Figura E3.29 14.0 m de radio gira sobre un eje horizontal en su centro (figura E3.29). La rapidez lineal de un m pasajero en el borde es constante e .0 14 igual a 7.00 m兾s. ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración del pasajero al pasar a) por el punto más bajo de su movimiento circular? b) ¿Por el punto más alto de su movimiento circular? c) ¿Cuánto tiempo tarda una revolución de la rueda? 3.30 .. BIO Hipergravedad. En el Centro de Investigación Ames de la NASA, se utiliza el enorme centrifugador “20-G” para probar los efectos de aceleraciones muy elevadas (“hipergravedad”) sobre los pilotos y los astronautas. En este dispositivo, un brazo de 8.84 m de largo gira en torno a uno de sus extremos en un plano horizontal, mientras el astronauta se encuentra sujeto con una banda en el otro extremo. Suponga que el astronauta está alineado en el brazo con su cabeza en el extremo exterior. La aceleración máxima sostenida a la que los seres humanos se han sometido en esta máquina comúnmente es de 12.5g. a) ¿Qué tan rápido debe moverse la cabeza del astronauta para experimentar esta aceleración máxima? b) ¿Cuál es la diferencia entre la aceleración de su cabeza y pies, si el astronauta mide 2.00 m de altura? c) ¿Qué tan rápido, en rpm (rev兾min), gira el brazo para producir la aceleración sostenida máxima? Sección 3.5 Velocidad relativa 3.31 . Una “banda móvil” en un aeropuerto se mueve a 1.0 m兾s y tiene 35.0 m de largo. Si una mujer entra en un extremo y camina a 1.5 m兾s en relación con la banda móvil, ¿cuánto tardará en llegar al otro extremo si camina a) en la misma dirección en que se mueve la banda? b) ¿Y en la dirección opuesta? 3.32 . La plataforma de un ferrocarril viaja a la derecha con rapidez de 13.0 m兾s relativa a un observador que está de pie en tierra. Alguien se mueve en motoneta sobre la plataforma (figura E3.32). ¿Qué velocidad (magnitud y dirección) tiene la motoneta relativa a la plataforma si su velocidad relativa al observador en el suelo es a) 18.0 m兾s a la derecha? b) ¿3.0 m兾s a la izquierda? c) ¿Cero? Figura E3.32 v 5 13.0 m s / 3.33 .. Una canoa tiene una velocidad de 0.40 m兾s al sureste, relativa a la Tierra. La canoa está en un río que fluye al este a 0.50 m兾s en relación con la Tierra. Calcule la velocidad (magnitud y dirección) de la canoa relativa al río. 3.34 . Dos muelles, A y B, están situados en un río; B está 1500 m río abajo de A (figura E3.34). Dos amigos deben ir de A a B y regresar. Uno rema su bote con rapidez constante de 4.00 km兾h relativa al agua; el otro camina por la orilla en tierra con rapidez constante de 4.00 km兾h. La velocidad del río es 2.80 km兾h en la dirección de A a B. ¿Cuánto tardará cada persona en hacer el viaje redondo? Figura E3.34 A 1500 m B vcorriente 3.35 . Cruce del río I. Un río fluye al sur con rapidez de 2.0 m兾s. Un hombre cruza el río en una lancha de motor con velocidad relativa al agua de 4.2 m兾s al este. El río mide 800 m de ancho. a) ¿Qué velocidad (magnitud y dirección) tiene la lancha relativa a la Tierra? b) ¿Cuánto tiempo tarda en cruzar el río? c) ¿A qué distancia al sur de su punto de partida llegará a la otra orilla? 3.36 . Cruce del río II. a) ¿Qué dirección debería tomar la lancha del ejercicio 3.35 para llegar a un punto en la orilla opuesta directamente al este de su punto de partida? (La rapidez de la lancha relativa al agua sigue siendo 4.2 m兾s). b) ¿Qué velocidad tendría la lancha relativa a la Tierra? c) ¿Cuánto tardaría en cruzar el río? 3.37 .. La nariz de un avión ultraligero apunta al sur, y el velocímetro indica 35 m兾s. Hay un viento de 10 m兾s que sopla al suroeste relativo a la Tierra. a) Dibuje un diagrama de suma vectorial que muestre la S relación de vP> E (velocidad del avión relativa a la Tierra) con los dos vectores dados. b) Si x es al este y y al norte, obtenga las componentes S S de vP> E. c) Obtenga la magnitud y dirección def vP> E. 3.38 .. Un piloto desea volar al oeste. Un viento de 80.0 km兾h (aproximadamente 50 mi兾h) sopla al sur. a) Si la rapidez (en aire estacionario) del avión es de 320.0 km兾h (aproximadamente 200 mi兾h), ¿qué dirección debe tomar el piloto? b) ¿Cuál es la rapidez del avión sobre el suelo? Ilustre con un diagrama vectorial. 3.39 .. BIO Aves migratorias. Los gansos canadienses viajan principalmente en dirección norte-sur por mucho más de mil kilómetros en algunos casos, viajando a velocidades hasta de 100 km兾h aproximadamente. Si una de estas aves vuela a 100 km兾h en relación con el aire, Problemas pero hay un viento de 40 km兾h que sopla de oeste a este, a) ¿a qué ángulo en relación con la dirección norte-sur debería volar esta ave de modo que viaje directamente hacia el sur en relación con el suelo? b) ¿Cuánto tiempo le tomará al ganso cubrir una distancia terrestre de 500 km de norte a sur? (Nota: Incluso en noches nubladas, muchas aves pueden volar usando el campo magnético de la Tierra para identificar la dirección norte-sur). PROBLEMAS 3.40 .. Iniciando en el punto A, Figura P3.40 un atleta corre con una rapidez y constante de 6.0 m兾s alrededor de una pista circular de 100 m de B diámetro, como se muestra en la figura P3.40. Obtenga las componentes x y y de la velocidad media C x de este corredor y la aceleración A media entre los puntos a) A y B, b) A y C, c) C y D y d) A y A (una vuelta completa). e) Calcule la D magnitud de la velocidad media del corredor entre A y B. ¿La rapidez media es igual a la magnitud de su velocidad media? ¿Por qué? f ) ¿Cómo puede cambiar esta velocidad si está corriendo a rapidez constante? 3.41 . CALC Se realiza el lanzamiento de un cohete, con un ángulo específico, desde la parte superior de una torre, cuya altura es h0 = 50.0 m. A causa del diseño de los motores, sus coordenadas de posición tienen la forma x(t) = A + Bt2 y y(t) = C + Dt3, donde A, B, C y D son constantes. Además, la aceleración del cohete 1.00 s después S del lanzamiento es a ⴝ 14.00ın ⴙ 3.00≥n2 m>s2. Considere que la base de la torre es el origen de las coordenadas. a) Determine las constantes A, B, C y D, incluyendo sus unidades en el SI. b) En el instante posterior al lanzamiento del cohete, ¿cuáles son sus vectores de aceleración y velocidad? c) ¿Cuáles son las componentes x y y de la velocidad del cohete 10.0 s después del lanzamiento, y qué tan rápido se mueve el cohete? d) ¿Cuál es el vector de posición del cohete 10.0 s después del lanzamiento? 3.42 ... CALC Un cohete de modelo defectuoso se mueve en el plano xy (la dirección +y es vertical hacia arriba). La aceleración del cohete tiene componentes dadas por ax(t) = at2 y ay(t) = b – gt, donde a = 2.50 m兾s4, b = 9.00 m兾s2 y g = 1.40 m兾s3. En t = 0 el cohete está S en el origen y tiene velocidad v0 ⴝ v0xnı ⴙ v0y n≥ con v0x = 1.00 m兾s y v0y = 7.00 m/s. a) Calcule los vectores de velocidad y posición en función del tiempo. b) ¿Qué altura máxima alcanza el cohete? c) Dibuje la trayectoria del cohete. d) ¿Qué desplazamiento horizontal tiene el cohete al volver a y = 0? S 3.43 .. CALC Si r ⴝ bt2nı ⴙ ct3n≥ , donde b y c son constantes positivas, ¿cuándo el vector velocidad forma un ángulo de 45.0° con los ejes x y y? 3.44 .. CALC La posición de una libélula que vuela paralela al suelo S está dada en función del tiempo por r ⴝ 32 .90 m + 10 .0900 m>s 2 2 2 n 3 3n t 4ı ⴚ 10 .0150 m>s 2t ≥ . a) ¿En qué instante t el vector velocidad del insecto forma un ángulo de 30.0º en sentido horario a partir del eje +x? b) En el tiempo calculado en el inciso a), ¿cuáles son la magnitud y dirección del vector aceleración del insecto? 3.45 .. PA CALC Un pequeño avión de juguete vuela en el plano xy paralelo al suelo. En el intervalo t = 0 a t = 1.00 s, su velocidad S en función del tiempo está dada por v ⴝ 11 .20 m>s 2 2t nı ⴙ 99 312 .0 m>s - 12 .00 m>s 2 2t4 n≥ . ¿En qué valor de t la velocidad del avión es perpendicular a su aceleración? 3.46 .. CALC Una ave vuela en el plano xy con un vector velocidad S dado por v ⴝ 1a - bt2 2ın ⴙ gt≥n, donde a = 2.4 m兾s, b = 1.6 m兾s3 y g = 4.0 m/s2. La dirección +y es vertical hacia arriba. En t = 0, el ave está en el origen. a) Calcule los vectores de posición y aceleración del ave en función del tiempo. b) ¿Qué altura (coordenada y) tiene el ave al volar sobre x = 0 por primera vez después de t = 0? 3.47 ... PA Un cohete de Figura P3.47 prueba se lanza acelerándolo a 1.25 m兾s2 sobre un plano inclinado de 200.0 m, partiendo del .0 m reposo en el punto A (figura 200 P3.47). El plano inclinado se 35.0° eleva a 35.0° por encima de la horizontal, y en el instante en A que el cohete sale del plano, sus motores se apagan y queda sujeto solamente a la gravedad (se puede ignorar la resistencia del aire). Determine a) la altura máxima sobre el suelo a la que llega el cohete, y b) el alcance máximo horizontal del cohete más allá del punto A. 3.48 . Atletismo en Marte. En el salto de longitud, una atleta se lanza en un ángulo por encima del suelo y cae a la misma altura, tratando de alcanzar la máxima distancia horizontal. Suponga que en la Tierra, ella permanece en el aire durante un tiempo T, alcanza una altura máxima h y una distancia horizontal D. Si ella saltara exactamente de la misma forma durante una competencia en Marte, donde gMarte es igual a 0.379 del valor de g en la Tierra, determine su tiempo en el aire, su altura máxima y la distancia horizontal alcanzada. Exprese cada una de estas tres cantidades en términos de su valor en la Tierra. Ignore la resistencia del aire en ambos planetas. 3.49 .. ¡Dinamita! Una cuadrilla de demolición usa dinamita para derribar un edificio viejo. Los fragmentos del edificio salen disparados en todas direcciones, y después se encuentran a distancias de hasta 50 m de la explosión. Estime la rapidez máxima con que salieron disparados los fragmentos. Describa todas las suposiciones que haga. 3.50 ... BIO Espiral ascendente. Es común ver a las aves de presa ascender en corrientes calientes de aire. La trayectoria que siguen puede ser una trayectoria espiral. Es posible modelar un movimiento espiral como movimiento circular uniforme combinado con una velocidad constante hacia arriba. Suponga que un ave describe un círculo completo con radio de 6.00 m cada 5.00 s y asciende verticalmente a razón constante de 3.00 m兾s. Determine lo siguiente: a) la rapidez del ave relativa al suelo; b) la aceleración del ave (magnitud y dirección): y c) el ángulo entre el vector velocidad del ave y la horizontal. 3.51 .. Un veterinario está en la selva provisto de una cerbatana cargada con un dardo sedante. El veterinario y un mono astuto de 1.5 kg se encuentran a 25 m arriba del suelo en árboles separados 70 m. En el momento justo en que el veterinario dispara el dardo horizontalmente al mono, este se deja caer del árbol en un vano intento por escapar del dardo. ¿Qué velocidad de salida mínima debe tener el dardo para golpear al mono antes de que este llegue al suelo? 3.52 ... Una doble de cine se deja caer desde un helicóptero que está a 30.0 m sobre el suelo y se mueve con una velocidad constante, cuyas componentes son de 10.0 m兾s hacia arriba y 15.0 m兾s horizontal hacia el sur. Ignore la resistencia del aire. a) ¿En qué punto del suelo (relativo a la posición del helicóptero cuando ella cae) se deberían haber colocado los colchones de hule espuma que amortiguan el golpe? b) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para su movimiento. 100 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.53 .. Al combatir los incendios forestales, los aviones apoyan a los equipos terrestres dejando caer agua sobre el fuego. Un piloto practica tirando un bote con tinte rojo, tratando de acertar a un blanco en el suelo. Si el avión vuela horizontalmente a 90.0 m de altura con rapidez de 64.0 m兾s (143 mi兾h), ¿a qué distancia horizontal del blanco el piloto debería soltar el bote? Ignore la resistencia del aire. 3.54 .. Un cañón, situado a 60.0 m de la base de un risco vertical de 25.0 m de altura, dispara un obús de 15 kg con un ángulo de 43.0° sobre la horizontal, hacia el risco. a) ¿Qué velocidad inicial mínima debe tener el obús para librar el borde superior del risco? b) El suelo en la parte superior del risco es plano, con una altura constante de 25.0 m arriba del cañón. En las condiciones del inciso a), ¿a qué distancia del borde del risco cae el obús? 3.55 .. Un avión vuela con una velocidad de 90.0 m兾s a un ángulo de 23.0° arriba de la horizontal. Cuando está 114 m directamente arriba de un perro parado en el suelo plano, se cae una maleta del compartimento de equipaje. ¿A qué distancia del perro caerá la maleta? Ignore la resistencia del aire. 3.56 ... Conforme un barco se acerca al muelle a 45.0 cm兾s, es necesario lanzarle la pieza de un equipo importante para que pueda atracar. El equipo se lanza a 15.0 m兾s a 60.0° por encima de la horizontal desde lo alto de una torre en la orilla del agua, a 8.75 m por encima de la cubierta del barco (figura P3.56). Para que el equipo caiga enfrente del barco, ¿a qué distancia D del muelle debería estar el barco cuando se lance el equipo? Se ignora la resistencia del aire. Figura P3.56 15.0 m/s 60.0° 45.0 cm/s 8.75 m D 3.57 . PA CALC Un cohete de juguete es lanzado con una velocidad inicial de 12.0 m兾s en dirección horizontal desde la azotea de un edificio de 30.0 m de alto. El motor del cohete produce una aceleración horizontal de (1.60 m兾s3)t, en la misma dirección de la velocidad inicial, y en la dirección vertical actúa g, hacia abajo. Se puede ignorar la resistencia del aire. ¿Qué distancia horizontal viaja el cohete antes de llegar al suelo? 3.58 .. Una misión de auxilio. Un avión deja caer pacas de heno para el ganado atrapado en una ventisca en las Grandes Llanuras. El piloto libera las pacas a 150 m arriba del nivel del suelo cuando el avión vuela a 75 m兾s en una dirección de 55° arriba de la horizontal. ¿A qué distancia enfrente del ganado debería el piloto tirar el heno para que las pacas caigan en el punto donde están atrapados los animales? 3.59 ... El jonrón más largo. Según el Libro de récords Guiness, el jonrón más largo que se ha medido fue bateado por Roy “Dizzy” Carlyle en un juego de ligas menores. La pelota viajó 188 m (618 ft) antes de caer al suelo fuera del parque. a) Suponiendo que la velocidad inicial de la pelota estuviera a 45° sobre la horizontal e ignorando la resistencia del aire, ¿cuál debió ser la rapidez inicial de la pelota si se bateó en un punto a 0.9 m (3.0 ft) sobre el suelo? Suponga que el suelo es perfectamente plano. b) ¿A qué altura habría pasado la bola sobre una barda de 3.0 m (10 ft) situada a 116 m (380 ft) de home? 3.60 ... Se utiliza una manguera para llenar de agua un contenedor cilíndrico grande de diametro D y altura 2D. La manguera lanza el agua a 45° sobre la horizontal, desde el mismo nivel que la base del tanque, y se encuentra a una distancia de 6D (figura P3.60) de este. ¿En qué intervalo de rapideces de lanzamiento (v0) el agua entrará en el contenedor? Ignore la resistencia del aire, y exprese su respuesta en términos de D y de g. Figura P3.60 2D v0 5 ? Agua 45° D 6D 3.61 .. Se lanza un proyectil desde el nivel del suelo sin que haya resistencia del aire. Usted quiere evitar que el proyectil entre en una capa de inversión térmica en la atmósfera a una altura h por encima del suelo. a) ¿Cuál es la máxima rapidez de lanzamiento que se podría imprimir al proyectil si se lanza en línea recta hacia arriba? Exprese su respuesta en términos de h y g. b) Suponga que el lanzador disponible dispara los proyectiles al doble de la rapidez máxima de lanzamiento que usted determinó en el inciso a). ¿A qué ángulo máximo por encima de la horizontal debería lanzarse el proyectil? c) ¿A qué distancia (en términos de h) del lanzador cae al suelo el proyectil en el inciso b)? 3.62 .. Patear un gol de campo. En fútbol americano, después de anotar un touchdown, el equipo tiene la oportunidad de ganar un punto más pateando el balón por encima de una barra sostenida entre dos postes. La barra está colocada en posición horizontal a 10.0 ft por encima del suelo, y el balón se patea desde el nivel del suelo a una distancia horizontal de 36.0 ft con respecto a la barra (figura P3.62). Las medidas del fútbol se indican en unidades del sistema inglés pero, para este problema, realice la conversión a unidades del SI. a) Hay un ángulo mínimo por encima del suelo, de tal forma que si el balón se lanza por debajo de este ángulo, jamás podrá saltar por encima de la barra, sin importar la rapidez que le imprima la patada. ¿Cuál es ese ángulo? b) Si el balón se patea a 45.0° por encima de la horizontal, ¿cuál debe ser su rapidez inicial para apenas alcanzar a librar la barra? Exprese su respuesta en m兾s y km兾h. Figura P3.62 10.0 ft 36.0 ft 3.63 .. Un saltamontes salta hacia el aire del borde de un risco vertical, como se muestra en la figura P3.63. Use la información de la figura para determinar a) la rapidez inicial del saltamontes y b) la altura del risco. Figura P3.63 6.74 cm 50.0° 3.64 .. Récord mundial. En No está el lanzamiento de bala, un evento a escala atlético de pista y campo, se lanza un objeto (la bala) de 7.3 kg a un ángulo aproximado de 40° en 1.06 m relación con la pierna izquierda recta del lanzador. El récord mundial de 23.11 m lo estableció Randy Barnes en 1990. Suponiendo Problemas que Barnes lanzó la bala a 40° a una Figura P3.65 altura de 2.00 m arriba del suelo, ¿con qué rapidez, en m兾s y mph, la v0 5 7.00 m/s lanzó? 40° 3.65 ... ¡Cuidado! Una bola de nieve rueda del techo de un granero con una inclinación hacia abajo de 40° (figura P3.65). El borde del 14.0 m techo está a 14.0 m del suelo y la bola tiene una rapidez de 7.00 m兾s al salir del techo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿A qué distancia del borde del granero golpea la bola el piso si no golpea otra cosa al caer? 4.0 m b) Dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t para el movimiento del inciso a). c) Un hombre de 1.9 m de estatura está de pie a 4.0 m del borde del granero. ¿Le caerá encima la bola de nieve? 3.66 ... En el trapecio volador. Figura P3.66 Un nuevo acto circense se llama Los Acróbatas de Texas. La hermosa Mary Belle se mece en un trapecio y se proyecta con un ángulo de 53°, y se supone que es atrapada por Joe Bob, cuyas manos están 6.1 m arriba y 8.2 m adelante 6.1 m v0 del punto de lanzamiento (figura P3.66). Puede ignorarse la resisten53° 8.2 m cia del aire. a) ¿Qué rapidez inicial 8.6 m a la red v0 debe tener Mary Bell para alcanzar justamente a Joe Bob? b) Para la rapidez inicial calculada en el inciso a), ¿qué magnitud y dirección tiene la velocidad de Mary Belle cuando alcanza a Joe Bob? c) Suponiendo que Mary Belle tiene la rapidez inicial calculada en el inciso a), dibuje las gráficas x-t, y-t, vx-t y vy-t que muestren el movimiento de los dos trapecistas. Las gráficas deberán mostrar el movimiento hasta el momento en que Mary Belle llega a Joe Bob. d) La noche del debut, Joe Bob no atrapa a Mary Belle. ¿Qué distancia horizontal recorre ella, desde su punto de lanzamiento, antes de caer en la red que está 8.6 m debajo de dicho punto? 3.67 .. Salto del río II. Un profesor de física hacía acrobacias audaces en su tiempo libre. Su última acrobacia fue un intento por saltar un río en motocicleta (figura P3.67). La rampa de despegue está inclinada 53.0°, el río mide 40.0 m de ancho y la ribera lejana está 15.0 m más abajo que la parte superior de la rampa. El río está a 100 m abajo de la rampa. Puede ignorarse la resistencia del aire. a) ¿Qué rapidez se necesita en la parte superior de la rampa para alcanzar apenas el borde de la ribera lejana? b) Si su rapidez es solo la mitad del valor obtenido en a), ¿dónde cayó? Figura P3.67 5 1961 x AW 15.0 m 53.0° 100 m 40.0 m 101 3.68 .. Se lanza una piedra de la azotea de un edificio con velocidad v0 y ángulo a0 con respecto a la horizontal. La altura del edificio es h. Puede ignorarse la resistencia del aire. Calcule la magnitud de la velocidad de la piedra justo antes de tocar el suelo, y demuestre que es independiente de a0. 3.69 . Un carro de 5500 kg, que lleva un lanzador vertical de cohetes, avanza a la derecha con rapidez constante de 30.0 m兾s por un camino horizontal. Se lanza un cohete de 45.0 kg verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 40.0 m兾s relativa al carro. a) ¿Qué altura alcanzará el cohete? b) ¿A qué distancia del carro caerá el cohete a tierra? c) ¿Qué distancia avanza el carro mientras el cohete está en el aire? d) ¿Con qué ángulo, relativo a la horizontal y medido por un observador en reposo en el suelo, viaja el cohete en el momento en que sale disparado? e) Dibuje la trayectoria del cohete vista por un observador: i. estacionario en el carro; ii. estacionario en el suelo. 3.70 . Se lanza una pelota de 2.7 kg verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 20.0 m兾s desde el borde de un acantilado de 45.0 m de altura. En el instante de lanzamiento, una mujer comienza a correr alejándose de la base del acantilado con rapidez constante de 6.00 m兾s. La mujer corre en línea recta sobre suelo plano, y puede ignorarse la acción de la resistencia del aire sobre la pelota. a) ¿Con qué ángulo arriba de la horizontal deberá lanzarse la pelota para que la corredora la atrape justo antes de que toque el suelo, y qué distancia corre la mujer antes de atrapar la pelota? b) Dibuje la trayectoria de la pelota vista por: i. una persona en reposo en el suelo; ii. la corredora. 3.71 . Un peñasco de 76.0 kg está rodando horizontalmente hacia el borde de un acantilado que está 20 m arriba de la superficie de un lago, como se indica en la figura P3.71. La parte superior de la cara vertical de una presa está a 100 m del pie del acantilado, al nivel de la superficie del lago. Hay una llanura 25 m debajo de la parte superior de la presa. a) ¿Qué rapidez mínima debe tener la roca al perder contacto con el acantilado para llegar hasta la llanura sin golpear la presa? b) ¿A qué distancia del pie de la presa caerá la roca en la llanura? Figura P3.71 v0 20 m Acantilado 100 m Lago Presa 25 m Llanura 3.72 .. Lanzamiento de almuerzo. Henrietta va a su clase de física trotando por la acera, a 3.05 m兾s. Su esposo Bruce se da cuenta de que ella salió con tanta prisa que olvidó su almuerzo, así que corre a la ventana de su apartamento, que está a 38.0 m directamente arriba de la acera, para lanzárselo. Bruce lanza el almuerzo horizontalmente 9.00 s después de que Henrietta pasó debajo de la ventana, y ella lo atrapa corriendo. Ignore la resistencia del aire. a) ¿Con qué rapidez inicial debe haber lanzado Bruce el almuerzo para que Henrietta lo atrapara justo antes de tocar la acera? b) ¿Dónde está ella cuando atrapa el almuerzo? 3.73 ... Dos tanques participan en un ejercicio de maniobras en terreno plano. El primero lanza una bala de práctica que se encuentra cargada con pintura, con rapidez de salida de 250 m兾s a 10.0° sobre la horizontal, mientras avanza hacia el segundo tanque con una rapidez de 15.0 m兾s relativa al suelo. El segundo tanque va en retirada a 35.0 m兾s relativa al suelo, pero es alcanzado por la bala. Ignore la resistencia del aire y suponga que la bala golpea al tanque a la misma altura a la que fue disparada. Calcule la distancia entre los tanques a) cuando se disparó la bala y b) en el momento del impacto. 102 CAPÍTULO 3 Movimiento en dos o en tres dimensiones 3.74 ... PA ¡Bang! Un estudiante está sentado en una plataforma a una altura h sobre el suelo. Lanza un petardo horizontalmente con una rapidez v. Sin embargo, un viento que sopla paralelo al suelo imprime al petardo una aceleración horizontal constante de magnitud a. El resultado es que el petardo cae al suelo directamente abajo del estudiante. Determine la altura h en términos de v, a y g. Ignore el efecto de la resistencia del aire sobre el movimiento vertical. 3.75 .. En una celebración del 4 de julio, se lanza un petardo desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 25.0 m兾s a 30.0° con respecto a la vertical. Cuando alcanza su altura máxima, estalla en muchos fragmentos lanzando una ráfaga de chispas. Dos de esos fragmentos viajan hacia adelante inicialmente a 20.0 m兾s a ;53.0° con respecto a la horizontal; ambas cantidades se miden relativas al petardo original justo antes de que estalle. ¿Con qué ángulos con respecto a la horizontal se mueven inicialmente los dos fragmentos justo después del estallido, según las mediciones de un espectador ubicado en el suelo? 3.76 . Cuando se encuentra a 145 m por encima del suelo, un cohete, que viaja verticalmente hacia arriba a una rapidez constante de 8.50 m兾s relativa al suelo, lanza un segundo cohete con una rapidez de 12.0 m兾s a un ángulo de 53.0° por encima de la horizontal; ambas cantidades son resultado de las mediciones que realiza un astronauta que va sentado en el interior del primer cohete. Después de ser disparado, el segundo cohete entra en caída libre. a) En el momento en que se lanza el segundo cohete, ¿cuáles son las componentes horizontal y vertical de su velocidad en relación con i. el astronauta que va sentado dentro del cohete y ii. la estación de control de la misión ubicada en tierra? b) Determine la rapidez inicial y el ángulo de lanzamiento del segundo cohete de acuerdo con las mediciones del centro de control. c) ¿Cuál es la altura máxima por encima del suelo que alcanza el segundo cohete? 3.77 ... En una película de aventuras, el héroe debe lanzar una granada desde su auto, que viaja a 90.0 km兾h, al de su enemigo, que viaja a 110 km兾h. El auto del enemigo está 15.8 m adelante del auto del héroe cuando este suelta la granada. Si el héroe lanza la granada de manera que su velocidad inicial relativa al héroe esté a 45° sobre la horizontal, ¿qué magnitud de velocidad inicial deberá tener? Ambos autos viajan en la misma dirección en un camino plano, y puede ignorarse la resistencia del aire. Obtenga la magnitud de la velocidad relativa tanto al héroe como a la Tierra. 3.78 . Un río de 400.0 m de ancho fluye de oeste a este a 30.0 m兾min. La lancha donde usted viaja se desplaza a 100.0 m兾min relativa al agua, sin importar la dirección en que apunte. Para cruzar el río, usted parte de un muelle en el punto A en la ribera sur. Hay una lancha que llega a tierra directamente en el sentido opuesto, en el punto B de la ribera norte, y también una que llega al punto C, 75.0 m corriente abajo desde B (figura P3.78). a) ¿A qué punto de la ribera norte llegaría usted a tierra, si su lancha apuntara perpendicularmente a la corriente del agua, y qué distancia viajaría? b) Si usted dirige inicialmente su lancha justo hacia el punto C y no cambiara ese rumbo en Figura P3.78 B C 30.0 m/min 400.0 m A relación con la orilla, ¿a qué punto de la ribera norte llegaría? c) Para llegar al punto C: i. ¿con qué rumbo debería dirigir su bote?, ii. ¿cuánto tiempo tardaría en cruzar el río?, iii. ¿qué distancia viajaría? y iv. ¿cuál sería la rapidez de su lancha según la medición de un observador situado en la ribera del río? 3.79 . CALC Cicloide. Una partícula se mueve en el plano xy. Sus coordenadas están dadas en función del tiempo por x(t) = R1vt - sen vt2 y1t2 = R11 - cos vt2 donde R y v son constantes. a) Dibuje la trayectoria de la partícula. (Es la trayectoria de un punto en el borde de un aro que rueda con rapidez constante sobre una superficie horizontal. La curva descrita por el punto conforme se mueve en el espacio se llama cicloide). b) Determine las componentes de velocidad y de aceleración de la partícula en cualquier instante t. c) ¿En qué instantes la partícula está momentáneamente en reposo? ¿Qué coordenadas tiene la partícula en esos instantes? ¿Qué magnitud y dirección tiene la aceleración en esos instantes? d) ¿La magnitud de la aceleración depende del tiempo? Compare este movimiento con el movimiento circular uniforme. 3.80 .. Se dispara un proyectil desde el punto A con un ángulo por encima de la horizontal. En su punto más alto, después de haber viajado una distancia horizontal D a partir de su punto de lanzamiento, explota súbitamente en dos fragmentos idénticos que viajan horizontalmente con velocidades iguales, pero en sentido opuesto, según las mediciones relativas al proyectil justo antes de que explote. Si un fragmento cae de regreso en el punto A, ¿a qué distancia de A (en términos de D) caerá el otro fragmento? 3.81 .. El piloto de un avión fija un curso al oeste según la brújula y mantiene una rapidez de 220 km兾h. Después de volar 0.500 h, el piloto se encuentra sobre una ciudad a 120 km al oeste y 20 km al sur de su punto de partida. a) Calcule la velocidad del viento (magnitud y dirección). b) Si dicha velocidad es de 40 km兾h al sur, ¿qué curso debe fijar el piloto para viajar al oeste? Use la misma rapidez de vuelo de 220 km兾h. 3.82 .. Gotas de lluvia. Cuando la velocidad de un tren es de 12.0 m兾s al este, las gotas de lluvia que caen verticalmente con respecto a la Tierra dejan huellas inclinadas 30.0° con respecto a la vertical en las ventanillas del tren. a) ¿Qué componente horizontal tiene la velocidad de una gota con respecto a la Tierra? ¿Y con respecto al tren? b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad de la gota con respecto a la Tierra? ¿Y con respecto al tren? 3.83 ... En un juego de la Copa Mundial de Fútbol, Juan corre al norte hacia la portería con una rapidez de 8.00 m兾s relativa al suelo. Un compañero le pasa el balón, el cual lleva una rapidez de 12.0 m兾s y se mueve en una dirección 37.0° al este del norte, relativa al suelo. ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad del balón relativa a Juan? 3.84 .. Un elevador sube con rapidez constante de 2.50 m兾s. Un perno se afloja y cae del techo del elevador, ubicado 3.00 m arriba del piso. a) ¿Cuánto tarda en llegar al piso del elevador? b) ¿Qué rapidez tiene el perno justo cuando toca el piso según un observador en el elevador? c) ¿Y según un observador de pie en uno de los pisos del edificio? d) Según el observador del inciso c), ¿qué distancia recorrió el perno entre el techo y el piso del elevador? 3.85 . PA Suponga que el elevador del problema 3.84 parte del reposo y mantiene una aceleración constante hacia arriba de 4.00 m兾s2, y que el perno se cae justo en el instante en que el elevador comienza a moverse. a) ¿Cuánto tiempo tarda el perno en tocar el piso del elevador? b) Justo cuando toca el piso, ¿qué tan rápido se mueve el perno de acuerdo con un observador i. en el elevador, ii. situado en un piso del edificio? c) De acuerdo con cada observador del inciso b), ¿qué distancia recorre el perno entre el techo y el piso del elevador? Respuestas 3.86 .. Dos jugadoras de fútbol, Mia y Alice, corren mientras Alice pasa el balón a Mia. Esta última corre hacia el norte con una rapidez de 6.00 m兾s. La velocidad del balón relativa a Mia es de 5.00 m兾s en una dirección de 30° al este del sur. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la velocidad del balón relativa al suelo? 3.87 ... Movimiento de proyectil en una pendiente. Remítase al problema práctico del capítulo 3. a) Un arquero ubicado en un terreno con inclinación ascendente constante de 30.0° apunta hacia un blanco situado 60.0 m más arriba del plano inclinado. La flecha en el arco y el centro del blanco están ambos a 1.50 m sobre el suelo. Justo al salir del arco, la rapidez inicial de la flecha es de 32.0 m兾s. ¿Con qué ángulo sobre la horizontal debería apuntar el arquero para dar en el blanco? Si hay dos ángulos, calcule el menor. Tal vez necesite resolver la ecuación del ángulo por iteración, es decir, por ensayo y error. Compare el ángulo con el que se necesita cuando el suelo está horizontal, con pendiente igual a 0. b) Repita el problema con una pendiente constante hacia abajo de 30.0°. PROBLEMAS DE DESAFÍO 3.88 ... CALC Un proyectil se lanza desde un punto P. Su movimiento es tal que su distancia respecto a P siempre aumenta. Determine el ángulo máximo arriba de la horizontal con que pudo haberse lanzado. Ignore la resistencia del aire. 3.89 ... Dos estudiantes pasean en canoa por un río. Mientras van río arriba, dejan caer accidentalmente una botella vacía al agua, después de lo cual reman durante 60 minutos hasta llegar a un punto a 2.0 km río arriba. En ese momento, se dan cuenta de que la botella no está y, 103 preocupados por la ecología, se dan vuelta y reman río abajo. Alcanzan la botella (que se ha estado moviendo con la corriente) 5.0 km río abajo del punto donde se dieron la vuelta, y la recogen. a) Suponiendo que reman con rapidez constante, ¿con qué rapidez fluye el río? b) ¿Qué rapidez tendría la canoa en un lago tranquilo remando con la misma rapidez del inciso a)? 3.90 ... PA Un cohete diseñado para colocar cargas pequeñas en órbita es transportado a una altitud de 12.0 km sobre el nivel del mar, por un avión comercial modificado. Cuando el avión está volando en línea recta, con rapidez constante de 850 km兾h, deja caer el cohete. Después, el avión mantiene la misma altitud y rapidez, y sigue volando en línea recta. El cohete cae durante un lapso corto, después del cual se enciende el motor. A partir de ese momento, los efectos combinados del empuje y la gravedad imparten al cohete una aceleración constante de magnitud 3.00g dirigida a un ángulo de 30.0° arriba de la horizontal. Por motivos de seguridad, el cohete deberá estar por lo menos a 1.00 km adelante del avión cuando vuelva a alcanzar la altitud de este. Hay que determinar el tiempo mínimo que el cohete debe caer antes de que su motor se encienda. Se puede ignorar la resistencia del aire. La respuesta debe incluir i. un diagrama que muestre las trayectorias de vuelo del cohete y del avión, identificadas en varios puntos con vectores que representen su velocidad y su aceleración; ii. una gráfica x-t que muestre los movimientos del cohete y del avión; y iii. una gráfica y-t que muestre los movimientos del cohete y del avión. En el diagrama y las gráficas, indique los momentos cuando el cohete se deja caer, cuando el motor del cohete se enciende y cuando el cohete en ascenso alcanza la altura del avión. Respuestas Pregunta inicial del capítulo ? Un ciclista que va por una curva a rapidez constante tiene una aceleración dirigida hacia el interior de la curva (véase la sección 3.2, en especial, la figura 3.12a). Preguntas de las secciones Evalúe su comprensión S 3.1 Respuesta: iii. Si la velocidad instantánea v es constante durante un intervalo, su valor en cualquier punto (incluyendo el final del interS valo) es igual a la velocidad media vmed durante el intervalo. En i y ii, S la dirección de v al final del intervalo es tangente a la trayectoria en S ese punto; mientras que la dirección de vmed apunta del inicio de la trayectoria al final de la misma (en la dirección del desplazamiento S S neto). En iv, v y vmed se encuentran a lo largo de la línea recta, aunS que v tiene una magnitud mayor porque la rapidez ha ido en aumento. 3.2 Respuesta: vector 7 En el punto más alto de la trayectoria del trineo, la rapidez es mínima. En ese punto, la rapidez no aumenta ni disminuye, y la componente paralela de la aceleración (es decir, la componente horizontal) es cero. La aceleración solo tiene una componente perpendicular hacia el interior de la trayectoria curva del trineo. En otras palabras, la aceleración es hacia abajo. 3.3 Respuesta: i. Si no hubiera gravedad (g = 0), el mono no caería y el dardo seguiría una trayectoria recta (que se indica como línea pun- teada). El efecto de la gravedad es hacer que tanto el mono como el 1 dardo caigan la misma distancia 2 gt 2 por debajo de sus posiciones con g = 0. El punto A tiene la misma distancia debajo de la posición inicial del mono que el punto P debajo de la recta punteada, así que el punto A es donde encontraríamos al mono en el instante en cuestión. 3.4 Respuesta: ii. Tanto en la parte alta como en la baja del lazo, la aceleración es puramente radial y está dada por la ecuación (3.28). El radio R es el mismo en ambos puntos, así que la diferencia de aceleración se debe exclusivamente a las diferencias de rapidez. Puesto que arad es proporcional al cuadrado de v, la rapidez deberá ser dos veces mayor en la parte baja del lazo que en su parte alta. 3.5 Respuesta: vi. El efecto del viento es anular el movimiento hacia el este del avión e imprimirle un movimiento hacia el norte. Así que la velocidad del aire en relación con el suelo (la velocidad del viento) debe tener una componente de 150 km兾h hacia el oeste y una componente de 150 km兾h hacia el norte. La combinación de ambas es un vector con magnitud 21150 km>h22 + 1150 km/h22 = 212 km>h que apunta hacia el noroeste. Problema práctico Respuestas: a) R = 2v02 cos1u + f2sen f u b) f = 45° g 2 cos 2 u 4 LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTON OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá: • El significado del concepto de fuerza en la física y por qué las fuerzas son vectores. • La importancia de la fuerza neta sobre un objeto y lo que sucede cuando es igual a cero. • La relación entre la fuerza neta sobre un objeto, la masa del objeto y su aceleración. • Cómo se relacionan las fuerzas que dos objetos ejercen entre sí. ? Este miembro del equipo de una escudería empuja hacia adelante un automóvil de carreras. ¿El automóvil lo empuja hacia atrás? Si es así, ¿lo empuja hacia atrás con la misma magnitud de fuerza, o con una magnitud diferente? E n los dos últimos capítulos vimos cómo utilizar el lenguaje y las matemáticas de la cinemática para describir el movimiento en una, dos o tres dimensiones. Sin embargo, ¿qué ocasiona que los cuerpos se muevan como lo hacen? Por ejemplo, ¿cómo puede un remolcador empujar un transatlántico que es mucho más pesado que él? ¿Por qué es más difícil controlar un automóvil en hielo mojado que en concreto seco? Las respuestas a estas preguntas y a otras similares nos llevan al tema de la dinámica, es decir, la relación entre el movimiento y las fuerzas que lo provocan. En este capítulo usaremos dos conceptos nuevos, la fuerza y la masa, para analizar los principios de la dinámica. Estos principios fueron establecidos claramente por primera vez por Sir Isaac Newton (1642-1727), y actualmente se conocen como leyes del movimiento de Newton. La primera ley dice que si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, su movimiento no cambia. La segunda ley relaciona la fuerza con la aceleración cuando la fuerza neta no es cero. La tercera ley es una relación entre las fuerzas que ejercen dos cuerpos que interactúan entre sí. Newton no obtuvo matemáticamente las tres leyes, sino que las dedujo de un sinnúmero de experimentos realizados por otros científicos, especialmente Galileo Galilei (quien murió el mismo año en que nació Newton). Dichas leyes son verdaderamente fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de otros principios. Las leyes de Newton son la base de la mecánica clásica (también llamada mecánica newtoniana); al usarlas, podremos comprender los tipos de movimiento más conocidos. Las leyes de Newton requieren modificación solo en situaciones que implican rapideces muy altas (cercanas a la rapidez de la luz) o en espacios muy pequeños (como el interior de un átomo). El planteamiento de las leyes de Newton es sencillo, pero muchos estudiantes las encuentran difíciles de comprender y manejar. La razón es que, antes de estudiar física, hemos pasado años caminando, lanzando pelotas, empujando cajas y haciendo muchas otras actividades que implican movimiento. Al hacerlo, hemos desarrollado 104 105 4.1 Fuerza e interacciones ciertas ideas de “sentido común” con respecto al movimiento y sus causas. Sin embargo, muchas de esas ideas de “sentido común” no resisten un análisis lógico. Una buena parte de la tarea de este capítulo, y del resto de nuestro estudio de la física, es ayudar a reconocer cuándo las ideas del “sentido común” nos llevan al error, y cómo ajustar nuestro entendimiento del mundo físico de modo que sea congruente con lo que nos dicen los experimentos. 4.1 Fuerza e interacciones En el lenguaje cotidiano, fuerza es un empujón o un tirón. Una definición más adecuada es que una fuerza es una interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su entorno (figura 4.1). Por esa razón, siempre nos referimos a la fuerza que un cuerpo ejerce sobre un segundo cuerpo. Cuando empujamos un automóvil atascado en la nieve, ejercemos una fuerza sobre el auto; un cable de acero ejerce una fuerza sobre la viga que levanta en una construcción, etcétera. Como se muestra en la figura 4.1, la fuerza es una cantidad vectorial: podemos empujar un cuerpo o tirar de él en diferentes direcciones. Cuando una fuerza implica contacto directo entre dos cuerpos, como un empujón o un tirón que se ejerce con la mano sobre un objeto, la llamamos fuerza de contacto. Las figuras 4.2a, 4.2b y 4.2c muestran tres tipos comunes de fuerzas de contacto. La fuerza normal (figura 4.2a) es ejercida sobre un objeto por cualquier superficie con la que esté en contacto. El adjetivo normal significa que la fuerza siempre actúa perpendicular a la superficie de contacto, sin importar el ángulo de esa superficie. En cambio, la fuerza de fricción (figura 4.2b) ejercida sobre un objeto por una superficie actúa paralela a la superficie, en la dirección opuesta al deslizamiento. La fuerza del tirón ejercida por una cuerda o por un cordel tenso sobre un objeto al cual se ata se llama fuerza de tensión (figura 4.2c). Cuando usted tira de la correa de su perro, la fuerza que tira del collar es una fuerza de tensión. Además de las fuerzas de contacto, también hay fuerzas de largo alcance que actúan aunque los cuerpos estén separados por un espacio vacío. La fuerza entre dos imanes es un ejemplo de este tipo de fuerza, al igual que la gravedad (figura 4.2d); la Tierra atrae hacia sí cualquier objeto que se deje caer, incluso cuando no haya contacto directo entre el objeto y la Tierra. La fuerza de atracción gravitacional que la Tierra ejerce sobre un cuerpo se llama peso del cuerpo. S Para describir una fuerza vectorial F, debemos indicar la dirección en la cual actúa, así como su magnitud, es decir, la cantidad que describe “cuánto” o “qué tanto” la fuerza empuja o tira. La unidad de magnitud de fuerza en el SI es el newton, que se abrevia N. (Daremos una definición precisa del newton en la sección 4.3). La tabla 4.1 presenta algunas magnitudes de fuerza comunes. 4.1 Algunas propiedades de las fuerzas. • Una fuerza es un empujón o un tirón. • Una fuerza es una interacción entre dos objetos o entre un objeto y su entorno. • Una fuerza es una cantidad vectorial con magnitud y dirección. S F (fuerza) S F Empujón Tirón 4.2 Cuatro tipos de fuerzas comunes. S a) Fuerza normal n: Cuando un objeto descansa o se empuja sobre una superficie, esta ejerce un empujón sobre el objeto que es perpendicular a la superficie. S n S n S b) Fuerza de fricción f: Además de la fuerza normal, una superficie puede ejercer una fuerza de fricción sobre un objeto que es paralela a la superficie. S n S f Tabla 4.1 Magnitudes de fuerzas comunes Fuerza gravitacional del Sol sobre la Tierra 3.5 * 10 22 N Fuerza de empuje de un transbordador espacial durante el lanzamiento 3.1 * 10 7 N Peso de una ballena azul grande 1.9 * 10 6 N Fuerza de tracción máxima de una locomotora 8.9 * 10 5 N Peso de un jugador de fútbol americano de 250 lb 1.1 * 10 3 N Peso de una manzana mediana 1N Peso de los huevos de insecto más pequeño 2 * 10 -6 N Fuerza de atracción eléctrica entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno 8.2 * 10 -8 N Peso de una bacteria muy pequeña 1 * 10 -18 N Peso de un átomo de hidrógeno 1.6 * 10 -26 N Peso de un electrón 8.9 * 10 -30 N Fuerza de atracción gravitacional entre el protón y el electrón en un átomo de hidrógeno 3.6 * 10 -47 N S c) Fuerza de tensión T: La fuerza de un tirón ejercida sobre un objeto por una cuerda, un cordón, etcétera. S T S d) Peso w: El tirón de la gravedad sobre un objeto es una fuerza de largo alcance (una fuerza que actúa a la distancia). S w 106 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton 4.3 Uso de una flecha como vector para indicar la fuerza que ejercemos cuando a) tiramos de un bloque con una cuerda, o b) lo empujamos con un palo. a) Un tirón de 10 N dirigido a 30° por encima de la horizontal 10 N 30° b) Un empujón de 10 N dirigido a 45° por debajo de la horizontal 10 N 45° 4.4 Superposición de fuerzas. S S Dos fuerzas F1 y F2 que actúan sobre un cuerpo en el punto O tienen el mismo efecto que una S sola fuerza R igual a su suma vectorial. S F2 O S F1 S R Un instrumento común para medir magnitudes de fuerza es la balanza de resorte, que consiste en un resorte en espiral dentro de una caja, con una varilla unida a un extremo. Cuando se aplican fuerzas a los extremos del resorte, este se estira y la cantidad de elongación depende de la fuerza. Se puede hacer una escala en la varilla y calibrarla usando varios cuerpos idénticos de 1 N de peso cada uno. Cuando uno, dos o más de estos cuerpos se suspenden simultáneamente de la balanza, la fuerza total que estira el resorte es 1 N, 2 N, etcétera, y podemos marcar las posiciones correspondientes en el puntero de 1 N, 2 N, etcétera. Luego podemos usar el instrumento para medir la magnitud de una fuerza desconocida. Se puede hacer un instrumento similar para fuerzas que empujan en lugar de tirar. La figura 4.3 muestra una balanza de resorte que se utiliza para medir el tirón o el empujón que se aplica a una caja. En ambos casos, se dibuja un vector que representa la fuerza aplicada. La longitud del vector muestra la magnitud; cuanto más grande sea el vector, mayor será la magnitud de la fuerza. Superposición de fuerzas Cuando se lanza una pelota, hay al menos dos fuerzas que actúan sobre ella: el empujón de la mano y el tirónS hacia abajo que ejerce la gravedad. Los experimentos S muestran que si dos fuerzas F1 y F2 actúan al mismo tiempo en el mismo punto de un cuerpo (figura 4.4), el efecto sobre el movimiento del cuerpo es el mismo que elSde S S S una sola fuerza R igual a la suma vectorial de las fuerzas originales: R ⴝ F1 ⴙ F2. En general, el efecto de cualquier cantidad de fuerzas aplicadas a un punto de un cuerpo es el mismo que el de una sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas. Este valioso principio se conoce como superposición de fuerzas. El principio de superposición de fuerzas es de enorme importancia, y lo usaremos muchas veces en nuestro estudio de la física. Por ejemplo, en la figura 4.5a, la fuerza S S componentes vectoriales de en las F actúa sobre un cuerpoSen elS punto O. Las F S S direcciones Ox y Oy son Fx y Fy. Cuando Fx y Fy se aplican simultáneamente, como S en la figura 4.5b, el efecto es idéntico al de la fuerza original F. De modo que cualquier fuerza puede sustituirse por sus vectores componentes, actuando en el mismo punto. S Suele ser más conveniente describir una fuerza F en términos de sus componentes x y y, Fx y Fy, en lugar de sus vectores componentes (recuerde de la sección 1.8 que los vectores componentes son vectores, pero las componentes solo son números). En S el caso de la figura 4.5, Fx y Fy son ambas positivas; para otras orientaciones de F, cualquiera de ellas puede ser negativa o cero. Los ejes de coordenadas no necesariamente deben ser verticales y horizontales. La figura 4.6 muestra una caja que es arrastrada hacia arriba sobre una rampa por S una fuerza F, representada por sus componentes Fx y Fy paralela y perpendicular a la rampa inclinada. S 4.5 La fuerza F, que actúa en un ángulo u con respecto al eje x, se puede sustituir por sus S S vectores componentes rectangulares, Fx y Fy. S S a) Vectores componentes: Fx y Fy Componentes: Fx 5 F cos u y Fy 5 F sen u S y y S S S Fy F O u Fy S Fx x S b) Los vectores componentes Fx y Fy tienen S juntos el mismo efecto que la fuerza original F. O S Fx x 107 4.1 Fuerza e interacciones S CUIDADO Uso de una línea ondulada en diagramas de fuerza En la figura 4.6, se dibujó una S línea ondulada sobre el vector fuerza F para indicar que lo sustituimos por sus componentes x y y. De lo contrario, el diagrama incluiría la misma fuerza dos veces. Esto se hará en cualquier diagrama de fuerza donde una fuerza se sustituya por sus componentes. Busque esta línea ondulada en otras figuras de este capítulo y capítulos posteriores. 4.6 Fx y Fy son las componentes de F paralela y perpendicular a la superficie del plano inclinado. Marcamos el vector con una línea ondulada al reemplazarlo por sus componentes. A menudo necesitaremos obtener la suma vectorial (resultante) de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Esto se conoce como la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Usaremos la letra griega g (sigma mayúscula, que equivale a la S romana) S S S para denotar sumatoria. Si las fuerzas son F1, F2, F3, etcétera, abreviaremos la sumatoria como S S S S R ⴝ F1 ⴙ F2 ⴙ F3 ⴙ Á S ⴝ aF Fy x S y F Fx O (4.1) S Donde gF se lee como “suma vectorial de las fuerzas” o “fuerza neta”. La versión de la ecuación (4.1) con componentes es el par de ecuaciones 4.7 Obtención de las componentes de S la suma Svectorial (resultante) R de dos S fuerzas F1 y F2. Rx = a Fx Ry = a Fy (4.2) donde g Fx es la suma de las componentes x y g Fy es la suma de las componentes y S S (figura 4.7). Cada componente puede ser positiva o negativa, así que tenga cuidado con los signos al sumar. (Tal vez quiera revisar la sección 1.8). Una vez Sque se tienen Rx y Ry, puede obtenerse la magnitud y la dirección de la S fuerza neta R ⴝ g F que actúa sobre el cuerpo. La magnitud es R = 2Rx2 + Ry2 S y el ángulo u entre R y el eje +x puede obtenerse de la relación tan u = Ry兾Rx. Las componentes Rx y Ry pueden ser positivas, negativas o cero, y el ángulo u puede estar en cualquier cuadrante. En problemas tridimensionales, las fuerzas pueden tener componentes z; así que se agrega la ecuación Rz = gFz a la ecuación (4.2). La magnitud de la fuerza neta es entonces S R 5 SF F2y S S F2 Ry S F1y F1 F1x O R = 2Rx2 + Ry2 + Rz2 Ejemplo 4.1 S R es la suma (resultante) de F1 y F2. S La componente y de R Lo mismo es es igual a la suma de lasS S válido para las componentes y de F1 y F2. componentes x. y x F2x Rx Superposición de fuerzas Tres luchadores profesionales pelean por el mismo cinturón de campeonato. La figura 4.8a muestra las tres fuerzas horizontales que cada luchador aplica al cinturón, como se ve desde arriba. Las magnitudes de las tres fuerzas son F1 = 250 N, F2 = 50 N y F3 = 120 N. Obtenga las componentes x y y de la fuerza neta sobre el cinturón, así como la magnitud y dirección. 4.8 Sa) Tres S fuerzas que actúan sobre el cinturón. b) La fuerza neta R ⴝ gF y sus componentes. y a) S F1y F1 Componentes xyy S de F1. IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este es un problema de suma vectorial en el cual los vectores representan fuerzas. Se desea calcular las comS ponentes x y y de la fuerza neta R, así que utilizaremos el método de componentes de la suma vectorial expresada en las ecuaciones (4.2). S Una vez que tenemos las componentes de R, podemos calcular su magnitud y dirección. EJECUTAR: De acuerdo con la figura 4.8a, los ángulos entre las tres S S S fuerzas F1, F2 y F3 y el eje +x son u1 = 180° - 53° = 127°, u2 = 0° y u3 = 270°. Las componentes x y y de las tres fuerzas son Ry u 5 141° S 53° SOLUCIÓN y b) Fuerza neta S S R 5 8F F2 F1x La componente x S de F3 es cero. S x La componente y S de F2 es cero. x Rx F3 F2y = (50 N) sen 0° = 0 N F3x = (120 N) cos 270° = 0 N F3y = (120 N) sen 270° = - 120 N S S F1x = (250 N) cos 127° = - 150 N De acuerdo con la ecuación (4.2), la fuerza neta R ⴝ gF tiene las componentes F1y = (250 N) sen 127° = 200 N Rx = F1x + F2x + F3x = 1-150 N2 + 50 N + 0 N = - 100 N F2x = (50 N) cos 0° = 50 N Ry = F1y + F2y + F3y = 200 N + 0 N + 1- 120 N2 = 80 N Continúa 108 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton La fuerza neta tiene una componente x negativa y una componente y positiva, como se muestra en la figura 4.8b. S La magnitud de R es La arcotangente de -0.80 es -39°, pero la figura 4.8b muestra que la fuerza neta se encuentra en el segundo cuadrante. Por lo tanto, la solución correcta es u = -39° + 180° = 141°. R = 2Rx2 + Ry2 = 21 - 100 N22 + 180 N22 = 128 N EVALUAR: La fuerza neta no es cero, y vemos intuitivamente que el luchador 1 (quien ejerce la mayor fuerza F1 = 250 N sobre el cinturón) probablemente se quedará con el cinturón despuésSdel forcejeo. Se Sinvita al lector a verificar la dirección de R sumando S los vecS S S toresS F1, F F R ⴝ F1 y gráficamente. ¿Su diagrama revela que 2 3 S ⴙ F2 ⴙ F3 apunta al segundo cuadrante como se determinó anteriormente? Para obtener el ángulo entre la fuerza neta y el eje +x, usamos la ecuación (1.8): u = arctan Ry Rx = arctan ¢ 80 N ≤ = arctan 1- 0.802 - 100 N 4.9 Cuanto más resbaladiza sea la superficie, mayor será el desplazamiento del disco después de que se le da una velocidad inicial. En una mesa de hockey de aire c), la fricción es casi cero y el disco sigue con velocidad casi constante. a) Mesa: el disco se detiene pronto. b) Hielo: el disco se desliza más lejos. c) Mesa de hockey de aire: el disco se desliza aún más lejos. ................. ................ ............... ............... .............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EvalúeS su comprensión de la sección 4.1 La figura 4.6 muestra una fuerza F que actúa sobre una caja. Con los ejes x y y que se indican en la figura, ¿qué enunciado acerca de las componentes de la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre la caja (su peso) es correcto? i. Las componentes x y y son ambas positivas. ii. La componente x es cero y la componente y es positiva. iii. La componente x es negativa y la componente y es positiva. iv. Las componentes x y y son ambas negativas. v. La componente x es cero y la componente y es negativa. vi. La componente x es positiva y la componente y es negativa. 4.2 Primera ley de Newton ¿Cómo afectan el movimiento de un cuerpo las fuerzas que actúan sobre él? Para contestar esta pregunta, consideremos primero qué sucede cuando la fuerza neta sobre un cuerpo es cero. Sin duda el lector estará de acuerdo en que si un cuerpo se encuentra en reposo y ninguna fuerza neta actúa sobre él (es decir, no hay empujón ni tirón netos), el cuerpo permanecerá en reposo. Pero, ¿qué sucedería si la fuerza neta es cero y actúa sobre un cuerpo en movimiento? Para saber qué pasa en este caso, suponga que usted desliza un disco de hockey sobre una mesa horizontal, aplicándole una fuerza horizontal con la mano (figura 4.9a). Cuando usted deja de empujar, el disco no sigue moviéndose indefinidamente; se frena y se detiene. Para mantenerlo en movimiento, hay que seguir empujándolo (es decir, aplicando una fuerza). Podríamos llegar a la conclusión de “sentido común” de que los cuerpos en movimiento naturalmente se detienen y que se necesita una fuerza para mantener el movimiento. Imagine ahora que usted empuja el disco en una superficie de hielo liso (figura 4.9b). Al dejar de empujar, el disco se desliza mucho más lejos antes de detenerse. Ponga el disco y empújelo en una mesa de hockey de aire, donde flota sobre un delgado “cojín” de aire, y llegará aún más lejos (figura 4.9c). En cada caso, lo que frena el disco es la fricción, una interacción entre la superficie inferior del disco y la superficie sobre la que se desliza. Cada superficie ejerce una fuerza de fricción sobre el disco, la cual se resiste a su movimiento; la diferencia entre los tres casos es la magnitud de la fuerza de fricción. El hielo ejerce menos fricción que la superficie de la mesa, y el disco viaja más lejos. Las moléculas de gas de la mesa de hockey de aire son las que menos fricción ejercen. Si pudiéramos eliminar totalmente la fricción, el disco nunca se frenaría y no necesitaríamos fuerza alguna para mantener el disco en movimiento, una vez que este haya iniciado. Así, la idea de “sentido común” de que se requiere una fuerza para conservar el movimiento es incorrecta. Experimentos como el que describimos demuestran que, si ninguna fuerza neta actúa sobre un cuerpo, este permanece en reposo, o bien, se mueve con velocidad constante en línea recta. Una vez que un cuerpo se pone en movimiento, no se necesita una fuerza neta para mantenerlo en movimiento; tal observación se conoce como primera ley del movimiento de Newton: Primera ley del movimiento de Newton: Un cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta se mueve con velocidad constante (que puede ser cero) y aceleración cero. 4.2 Primera ley de Newton La tendencia de un cuerpo a seguir moviéndose una vez iniciado su movimiento es resultado de una propiedad llamada inercia. Usamos inercia cuando tratamos de sacar salsa de tomate de una botella agitándola. Primero hacemos que la botella (y la salsa del interior) se mueva hacia adelante; al mover la botella bruscamente hacia atrás, la salsa tiende a seguir moviéndose hacia adelante y, con suerte, caerá en nuestra hamburguesa. La tendencia de un cuerpo en reposo a permanecer en ese estado también se debe a la inercia. Quizás el lector haya visto sacar un mantel de un tirón por debajo de la vajilla sin romper nada. La fuerza sobre la vajilla no basta para moverla mucho durante el breve lapso que toma retirar el mantel. Cabe señalar que lo que importa en la primera ley de Newton es la fuerza neta. Por ejemplo, dos fuerzas actúan sobre un libro en reposo en una mesa horizontal: una fuerza de apoyo hacia arriba, o fuerza normal, ejercida por la mesa (véase la figura 4.2a) y la fuerza hacia abajo debida a la atracción gravitacional terrestre (una fuerza de largo alcance que actúa aun si la mesa está separada del suelo; véase la figura 4.2d). El empuje hacia arriba de la superficie es tan grande como la atracción gravitacional hacia abajo, así que la fuerza neta sobre el libro (la suma vectorial de las dos fuerzas) es cero. De acuerdo con la primera ley de Newton, si el libro está en reposo en la mesa, sigue en reposo. El mismo principio se aplica a un disco de hockey que se desliza en una superficie horizontal sin fricción: la resultante del empuje hacia arriba de la superficie y la atracción gravitacional hacia abajo es cero. Si el disco está en movimiento, sigue moviéndose con velocidad constante porque la fuerza neta que actúa sobre él es cero. Veamos otro ejemplo. Suponga que un disco de hockey descansa en una superficie horizontal con fricción despreciable, como una mesa de hockey de aire o una plancha de hieloS húmedo. Si el disco está inicialmente en reposo y luego una sola fuerza horizontal F1 actúa sobre él (figura 4.10a), comenzará a moverse. Si el disco ya se estaba moviendo, la fuerza cambiará su rapidez, su dirección, o ambas, dependiendo de la S dirección de la fuerza. En este caso, la fuerza neta F1, no es cero. (También hay dos fuerzas verticales, la atracción gravitacional de la Tierra y la fuerza normal hacia arriba ejercida por la superficie. Pero como ya dijimos, estas dos fuerzas se cancelan). S Suponga ahora que aplicamos una segunda fuerza F (figura 4.10b), igual en 2 S magnitud a F pero de dirección opuesta. Una fuerza es el negativo de la otra, 1 S S F2 ⴝ ⴚF1, y su suma vectorial es cero: S S S S 109 4.10 a) Un disco de hockey acelera en S la dirección de la fuerza aplicada F1 . b) Si la fuerza es cero, la aceleración es cero y el disco está en equilibrio. a) Sobre una superficie sin fricción, un disco acelera cuando actúa sobre él una sola fuerza horizontal. S a S F1 b) Un objeto sobre el que actúan varias fuerzas cuya suma vectorial es cero se comporta como si no actuaran fuerzas sobre él. S SF 5 0 S a50 S F1 S F2 S a F ⴝ F1 ⴙ F2 ⴝ F1 ⴙ 1ⴚF12 ⴝ 0 Otra vez vemos que, si el cuerpo está inicialmente en reposo, sigue en reposo; y si se mueve, seguirá moviéndose en la misma dirección con rapidez constante. Estos resultados indican que, en la primera ley de Newton, si la fuerza neta es igual a cero, es lo mismo que si no hubiera fuerzas aplicadas. Este es justamente el principio de superposición de fuerzas que vimos en la sección 4.1. Cuando un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante (en línea recta), decimos que el cuerpo está en equilibrio. Para que un cuerpo esté en equilibrio, no deben actuar fuerzas sobre él, o deben actuar varias fuerzas cuya resultante, es decir, la fuerza neta, sea cero: S aF ⴝ 0 (cuerpo en equilibrio) (4.3) Para que esto se cumpla, cada componente de la fuerza neta debe ser cero; por lo tanto, a Fx ⫽ 0 a Fy ⫽ 0 (cuerpo en equilibrio) (4.4) Estamos suponiendo que el cuerpo puede representarse adecuadamente como una partícula puntual. Si el cuerpo tiene tamaño finito, tendremos que considerar también en qué parte del cuerpo se aplican las fuerzas. Volveremos a esto en el capítulo 11. Aplicación Viaje en trineo con la primera ley de Newton La gravedad ejerce una fuerza hacia abajo sobre el niño y el trineo, pero se equilibra con una fuerza normal hacia arriba ejercida por el suelo. El pie del adulto ejerce una fuerza hacia adelante que se equilibra con la fuerza hacia atrás de la fricción sobre el trineo. Por lo tanto, no hay una fuerza neta sobre el niño y el trineo, y ambos se deslizan a velocidad constante. 110 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton Ejemplo conceptual 4.2 Fuerza neta cero significa velocidad constante En la película clásica de ciencia ficción de 1950 Rocketship X-M, una nave viaja en el vacío del espacio exterior, lejos de cualquier planeta, cuando sus motores se descomponen. El resultado es que la nave baja su velocidad y se detiene. ¿Qué dice la primera ley de Newton acerca de esto? Ejemplo conceptual 4.3 SOLUCIÓN Después de que el motor se detiene, no hay fuerzas que actúen sobre la nave espacial, de modo que, según la primera ley de Newton, no se detendrá, sino que seguirá moviéndose en línea recta con rapidez constante. En algunas películas de ciencia ficción se ha utilizado muy adecuadamente la ciencia; pero esta no fue una de ellas. Velocidad constante significa fuerza neta igual a cero Usted conduce un Maserati Gran Turismo S en una pista de prueba recta a una rapidez constante de 250 km兾h, y rebasa a un Volkswagen Beetle 1971 que va a 75 km兾h constantes. ¿Sobre qué auto es mayor la fuerza neta? SOLUCIÓN La palabra clave aquí es “neta”. Ambos automóviles están en equilibrio porque sus velocidades son constantes; por lo tanto, la primera ley de Newton dice que la fuerza neta sobre cada uno de ellos es cero. Esto parece ir contra el “sentido común”, que nos dice que el automóvil más rápido debe estar impulsado por una fuerza mayor. Gracias al motor de alta potencia de su Maserati, es verdad que la pista ejerce una fuerza hacia adelante sobre este, la cual es mayor que la ejercida sobre el Volkswagen. Pero sobre los automóviles también actúa una fuerza hacia atrás debida a la fricción con el camino y la resistencia del aire. Cuando un automóvil viaja con velocidad constante, la suma vectorial de las fuerzas hacia atrás y hacia adelante es igual a cero. Existe más resistencia del aire sobre el Maserati, el cual se mueve más rápido, que sobre el Volkswagen, que se mueve más lento, por lo que el motor del Maserati debe ser más potente que el del Volkswagen. Marcos de referencia inerciales Al analizar la velocidad relativa en la sección 3.5, presentamos el concepto de marco de referencia. Este concepto es fundamental para las leyes del movimiento de Newton. Suponga que está en un autobús que viaja por una carretera recta y acelera. Si pudiera ponerse de pie en el pasillo usando patines, comenzaría a moverse hacia atrás en relación con el autobús, conforme este aumenta su rapidez. En cambio, si el autobús frenara, usted comenzaría a moverse hacia adelante por el pasillo. En ambos casos, parecería que no se cumple la primera ley de Newton: no actúa una fuerza neta sobre usted, pero su velocidad cambia. ¿Qué sucede aquí? La cuestión es que el autobús acelera con respecto al suelo y este no es un marco de referencia adecuado para la primera ley de Newton. Esta es válida en algunos marcos de referencia, pero no en otros. Un marco de referencia en el que es válida la primera ley de Newton es un marco de referencia inercial. La Tierra es aproximadamente un marco de referencia inercial, pero el autobús no. (La Tierra no es un marco plenamente inercial debido a la aceleración asociada a su rotación y su movimiento alrededor del Sol, aunque estos efectos son bastante pequeños; véase los ejercicios 3.25 y 3.28). Debido a que la primera ley de Newton se utiliza para definir lo que es un marco de referencia inercial, a veces se le conoce como ley de la inercia. La figura 4.11 nos ayuda a entender lo que sentimos al viajar en un vehículo que acelera. En la figura 4.11a, un vehículo está inicialmente en reposo y luego comienza a acelerar hacia la derecha. Una pasajera en patines (los cuales casi eliminan los efectos de la fricción) prácticamente no tiene fuerza neta actuando sobre ella; por lo tanto, tiende a seguir en reposo en relación con el marco de referencia inercial de la Tierra. Al acelerar el vehículo, la pasajera se mueve hacia atrás con respecto al vehículo. Del mismo modo, una pasajera en un vehículo que está frenando tiende a seguir moviéndose con velocidad constante relativa a la Tierra, por lo que esta pasajera se mueve hacia adelante con respecto al vehículo (figura 4.11b). El vehículo también acelera si se mueve con rapidez constante pero da vuelta (figura 4.11c). En este caso, la pasajera 4.2 Primera ley de Newton 111 4.11 Viaje en un vehículo con aceleración. a) b) Inicialmente usted y el vehículo están en reposo. S S t50 vⴝ0 v t50 t50 S a S S a a S v t 5 Dt c) El vehículo da vuelta a rapidez constante. Inicialmente usted y el vehículo están en movimiento. S t 5 Dt v S a S a S S v t 5 2Dt t 5 2Dt S a t 5 Dt S v a S a S S v t 5 3Dt v t 5 3Dt t 5 2Dt S S a a Usted tiende a permanecer en reposo cuando el vehículo acelera. S a Usted tiende a seguir moviéndose con velocidad constante cuando frena el vehículo en el que se encuentra. S v Usted tiende a seguir moviéndose en línea recta cuando el vehículo da vuelta. tiende a seguir moviéndose en línea recta con rapidez constante en relación con la Tierra; con respecto al vehículo, la pasajera se mueve hacia el exterior de la curva. En los casos de la figura 4.11, un observador en el marco de referencia del vehículo podría concluir que hay una fuerza neta que actúa sobre la pasajera, ya que la velocidad de ella relativa al vehículo cambia en cada caso. Esto no es correcto; la fuerza neta sobre la pasajera es cero. El error del observador es tratar de aplicar la primera ley de Newton en el marco de referencia del vehículo, que no es inercial y en el cual dicha ley no es válida (figura 4.12). En este libro solo usaremos marcos de referencia inerciales. Hemos mencionado solo un marco de referencia (aproximadamente) inercial: la superficie de la Tierra. No obstante, hay muchos otros. Si tenemos un marco de referencia inercial A, donde se cumple la primera ley de Newton, cualquier otro marco S de referencia B también será inercial si se mueve con velocidad constante vB兾A relativa a A. Para demostrarlo, usamos la relación de velocidad relativa de la ecuación (3.36) de la sección 3.5: S S S vP>A ⴝ vP>B ⴙ vB>A S Suponga que P es un cuerpo que se mueve con velocidad constante vP>A con respecto a un marco inercial A. Por la primera ley de Newton, la fuerza neta sobre este cuerS po es cero. La velocidad de P relativa a otro marco B tiene un valor distinto, vP>B ⴝ S S S vP>A ⴚ vB>A . Pero si la velocidad relativa vB>A de los dos marcos es constante, enS tonces vP>B también es constante, y B también es un marco inercial; la velocidad de P en este marco es constante y la fuerza neta sobre P es cero, así que la primera ley de Newton se cumple en B. Observadores en los marcos A y B diferirán en cuanto a la velocidad de P, pero coincidirán en que la velocidad es constante (aceleración cero) y que no hay fuerza neta actuando sobre P. 4.12 Desde el marco de referencia de este automóvil, parece que una fuerza empuja hacia adelante a los maniquíes para pruebas de choque, cuando el automóvil se detiene repentinamente. Sin embargo, tal fuerza no existe realmente: al detenerse el vehículo, los maniquíes se siguen moviendo hacia adelante como consecuencia de la primera ley de Newton. 112 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton No hay un marco de referencia inercial que sea preferible a todos los demás para formular las leyes de Newton. Si un marco es inercial, todos los que se muevan con velocidad constante relativa a él serán inerciales. Desde esta perspectiva, el estado de reposo y el de movimiento con velocidad constante no son muy diferentes; ambos se dan cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es cero. Evalúe su comprensión de la sección 4.2 ¿En cuál de las siguientes situaciones la fuerza neta sobre el cuerpo es cero? i. Un avión que vuela al norte con rapidez constante de 120 m兾s y altitud constante; ii. un automóvil que sube en línea recta por una colina con pendiente de 3°, a una rapidez constante de 90 km兾h; iii. un halcón que vuela en círculos con rapidez constante de 20 km兾h a una altura constante de 15 m a campo abierto; iv. una caja con superficies lisas, sin fricción, que está en la parte de atrás de un camión cuando este acelera hacia adelante en un camino plano a 5 m兾s2. Segunda ley de Newton 4.3 La primera ley de Newton nos dice que cuando una fuerza neta igual a cero actúa sobre un cuerpo, este se mueve a velocidad constante y su aceleración es cero. En la figura 4.13a, un disco de hockey se desliza a la derecha sobre hielo húmedo, donde la fricción es despreciable, de modo que no actúan fuerzas horizontales sobre el disco; la fuerza de la gravedad hacia abajo y la fuerza de contacto hacia arriba ejercida por S el hielo suman cero. Así, la fuerza neta gF que actúa sobre el disco es cero, el disco tiene aceleración cero y su velocidad es constante. Sin embargo, ¿qué sucede si la fuerza neta no es cero? En la figura 4.13b se aplica unaS fuerza horizontal constante al disco en la dirección de su movimiento. Entonces, S gF es constante y en la misma dirección horizontal que v. Vemos que, mientras la fuerza actúa, la velocidad del disco cambia a ritmo constante; es decir, el disco se 4.13 Análisis de la relación entre la aceleración de un cuerpo y la fuerza neta que actúa sobre este (aquí, un disco de hockey sobre una superficie sin fricción). S S a) Un disco que se mueve con velocidad constante (en equilibrio): S F 5 0, a 5 0 S S v S v S v S v v b) Una fuerza neta constante en la dirección del movimiento provoca una aceleración constante en la misma dirección de la fuerza neta. S S SF S SF S S a S S SF S a S a S v S SF S a v S SF a S v S v v c) Una fuerza neta constante opuesta a la dirección del movimiento produce una aceleración constante en la misma dirección que la fuerza neta. S S SF S S a S S S SF S a v S SF S a v S SF S a v S SF a S v S v 4.3 Segunda ley de Newton mueve con aceleración constante. La rapidez del disco aumenta, así que la aceleraS S S ción a tiene la misma dirección que v y gF. En la figura 4.13c invertimos la dirección de la fuerza sobre el disco, de modo que S S gF actúe en la dirección opuesta a v. Aquí también el disco tiene una aceleración; S se mueve cada vez más lentamente a la derecha. La aceleració a en este caso es a la S izquierda, en la misma dirección que gF. Como en el caso anterior, el experimento S muestra que la aceleración es constante si gF es constante. La conclusión es que una fuerza neta que actúa sobre un cuerpo hace que este acelere en la misma dirección de la fuerza neta. Si la magnitud de la fuerza neta es constante, como en las figuras 4.13b y 4.13c, también lo será la magnitud de la aceleración. Estas conclusiones sobre fuerza neta y aceleración también son válidas para un cuerpo que se mueve en trayectoria curva. Por ejemplo, la figura 4.14 muestra un disco de hockey que se mueve en un círculo horizontal en una superficie de hielo con fricción despreciable. Se ata una cuerda al disco y a un palo clavado en el hielo; la cuerda ejerce una fuerza de tensión hacia adentro de magnitud constante. La fuerza neta y la aceleración tienen magnitud constante y están dirigidas al centro del círculo. La rapidez del disco es constante, así que se trata de un movimiento circular uniforme, como vimos en la sección 3.4. La figura 4.15a ilustra otro experimento que explora la relación entre la aceleración y la fuerza neta. Aplicamos una fuerza horizontal constante a un disco de hockey en una superficie horizontal sin fricción, usando la balanza de resorte descrita en la sección 4.1, con el resorte estirado una cantidad constante. Al igual que en las figuras 4.13b y 4.13c, esta fuerza horizontal es igual a la fuerza neta sobre el disco. Si alteramos la magnitud de la fuerza neta, la aceleración cambia en la misma proporción. Al duplicar la fuerza neta, se duplica la aceleración (figura 4.15b); al reducir a la mitad la fuerza neta, se reduce a la mitad la aceleración (figura 4.15c), y así sucesivamente. Muchos experimentos semejantes muestran que para un cuerpo dado, la magnitud de la aceleración es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre él. 4.14 Vista superior de un disco de hockey con movimiento circular uniforme en una superficie horizontal sin fricción. El disco se mueve a rapidez constante alrededor del círculo. S v S ΣF S v S a S S ΣF a Cuerda S ΣF S a S v S En cualquier punto, la aceleración a S y la fuerza neta Σ F tienen la misma dirección, siempre hacia el centro del círculo. 4.15 Para un cuerpo de cierta masa m, la magnitud de la aceleración del cuerpo es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza neta que actúa sobre él. S a) Una fuerza neta constante SF S provoca una aceleración constante a. S a x S m SFS 5 F 1 b) Al duplicarse la fuerza neta, se duplica la aceleración. S Masa y fuerza S m = ƒ aFƒ a 2a S Nuestros resultados indican que para un cuerpo dado, la razón de la magnitud ƒ gF ƒ S de la fuerza neta y la magnitud a = ƒ a ƒ de la aceleración es constante, sin importar la magnitud de la fuerza neta. Llamamos a esta razón masa inercial o simplemente masa del cuerpo y la indicamos con m. Es decir, S o bien S ƒ a F ƒ = ma o bien a = ƒ aFƒ m Un newton es la cantidad de fuerza neta que proporciona una aceleración de 1 metro por segundo al cuadrado a un cuerpo con masa de 1 kilogramo. S m S SF 5 2F1 x c) Al reducirse a la mitad la fuerza neta, la aceleración se reduce a la mitad. S a 2 (4.5) La masa es una medida cuantitativa de la inercia, la cual se analizó en la sección 4.2. La última de las ecuaciones (4.5) indica que cuanto mayor sea su masa, más se “resiste” un cuerpo a ser acelerado. Cuando sostenemos en la mano una fruta en el supermercado y la movemos un poco hacia arriba y hacia abajo para estimar su peso, estamos aplicando una fuerza para saber cuánto acelera la fruta hacia arriba y hacia abajo. Si la fuerza ocasiona una aceleración grande, la fruta tiene una masa pequeña; si la misma fuerza genera solo una aceleración pequeña, la fruta tiene una masa grande. De la misma forma, si golpeamos una pelota de ping-pong y un balón de baloncesto con la misma fuerza, el balón tendrá una aceleración mucho menor porque su masa es mucho mayor. La unidad de masa en el SI es el kilogramo. En la sección 1.3 dijimos que el kilogramo se define oficialmente como la masa de un cilindro de una aleación de platino-iridio que se encuentra en una bóveda cerca de París. Podemos usar este kilogramo estándar, junto con la ecuación (4.5), para definir el newton: 113 m S S SF 5 12 F1 x 114 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton Esta definición permite calibrar las balanzas de resorte y otros instrumentos que miden fuerzas. Por la forma en que definimos el newton, está relacionado con las unidades de masa, longitud y tiempo. Para que la ecuación (4.5) sea dimensionalmente congruente, debe cumplirse que 1 newton = (1 kilogramo)(1 metro por segundo al cuadrado) o bien, 1 N = 1 kg · m兾s2 Esta relación se usará muchas veces en los próximos capítulos, así que téngala presente. También podemos usar la ecuación (4.5) para comparar una masa con laSmasa estándar y así medir masas. Suponga que se aplica una fuerza neta constante gF a un cuerpo de masa conocida m1, y se observa una aceleración de magnitud a1 (figura 4.16a). Luego se aplica la misma fuerza a otro cuerpo con masa desconocida m2 y se observa una aceleración de magnitud a2 (figura 4.16b). Entonces, según la ecuación (4.5), 4.16 Para una Sfuerza neta constante determinada, g F que actúa sobre un cuerpo, la aceleración es inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Las masas se suman como escalares ordinarios. S a) Una fuerza SF conocida provoca que un objeto con masa m1 tenga una S aceleración a1. S a1 S SF m1 m 1 a1 = m 2 a2 x S b) Al aplicar la misma fuerza S F a un segundo objeto, se percibe la aceleración que nos permite medir la masa. S a2 S SF x m2 c) Cuando se unen dos objetos, el mismo procedimiento indica que su masa compuesta es la suma de sus masas individuales. S a3 S SF m1 1 m2 x m2 a1 = m1 a2 (misma fuerza neta) (4.6) Para la misma fuerza neta, la razón de las masas de dos cuerpos es el inverso de la razón de sus aceleraciones. En principio, podríamos usar la ecuación (4.6) para medir una masa desconocida m2, pero suele ser más fácil determinar la masa indirectamente midiendo el peso del cuerpo. Volveremos a esto en la sección 4.4. Cuando dos cuerpos de masas m1 y m2 se unen, vemos que la masa del cuerpo compuesto siempre es m1 + m2 (figura 4.16c). Esta propiedad aditiva de la masa tal vez parezca evidente, pero debe verificarse experimentalmente. En última instancia, la masa de un cuerpo está relacionada con el número de protones, electrones y neutrones que contiene. Esta no sería una buena forma de definir la masa porque no hay manera práctica de contar tales partículas. No obstante, el concepto de masa es la forma más importante de describir la cantidad de materia de un cuerpo. Enunciado de la segunda ley de Newton Nos hemos cuidado de decir que la fuerza neta sobre un cuerpo hace que este se acelere. LosS experimentos demuestran que si se aplica a un cuerpo una combinación S S de fuerzas F1 , F2 , F3 , etcétera, el cuerpo tendrá la misma aceleración (magnitud y S S dirección) que cuando se aplica una sola fuerza igual a la suma vectorial F1 ⴙ F2 1 S F3 ⴙ Á . En otras palabras, el principio de superposición de fuerzas (véase la figura 4.4) también se cumple cuando la fuerza neta no es cero y el cuerpo está acelerado. La ecuación (4.5) relaciona la magnitud de la fuerza neta sobre un cuerpo con la magnitud de la aceleración que produce. También vimos que la dirección de la fuerza neta es igual a la dirección de la aceleración, sea la trayectoria del cuerpo recta o curva. Newton reunió todas estas relaciones y resultados experimentales en un solo enunciado conciso que ahora llamamos segunda ley del movimiento de Newton: Segunda ley del movimiento de Newton: Si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo, este se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que la de la fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su aceleración. 115 4.3 Segunda ley de Newton En símbolos, S S a F ⴝ ma (segunda ley del movimiento de Newton) (4.7) Un enunciado alternativo establece que la aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección que la fuerza neta que actúa sobre él, y es igual a la fuerza neta dividida entre la masa del cuerpo: 4.17 El diseño de las motocicletas de alto desempeño depende fundamentalmente de la segunda ley de Newton. Para aumentar al máximo la aceleración, el diseñador hace a la motocicleta lo más ligera posible (es decir, reduce la masa al mínimo) y utiliza el motor más potente posible (es decir, aumenta al máximo la fuerza). Carrocería ligera (m pequeña) S S a = aF m La segunda ley de Newton es una ley fundamental de la naturaleza, la relación básica entre fuerza y movimiento. Casi todo el resto del capítulo y la totalidad del siguiente se dedican a explicar cómo se aplica este principio en diversas situaciones. La ecuación (4.7) tiene muchas aplicaciones prácticas (figura 4.17). De hecho, el lector la ha usado toda su vida para medir la aceleración de su cuerpo. En su oído interno, células pilosas microscópicas detectan la magnitud y dirección de la fuerza que deben ejercer para acelerar pequeñas membranas junto con el resto del cuerpo. Por la segunda ley de Newton, la aceleración de las membranas, y por ende la de todo el cuerpo, es proporcional a esta fuerza y tiene la misma dirección. Así, ¡usted puede sentir la magnitud y dirección de su aceleración incluso con los ojos cerrados! Motor potente (F grande) Uso de la segunda ley de Newton Aplicación Culpa de la segunda ley de Newton Existen por lo menos cuatro aspectos de la segunda ley de Newton que merecen atención especial. Primero, la ecuación (4.7) es vectorial. Normalmente la usaremos en forma de componentes, con una ecuación para cada componente de fuerza y la componente de aceleración correspondiente: Este automóvil se detuvo por la segunda ley de Newton: el árbol ejerció una fuerza externa sobre el auto, al darle una aceleración que redujo su velocidad a cero. a Fx ⫽ max a Fy ⫽ may a Fz ⫽ maz (segunda ley del movimiento de Newton) (4.8) Este conjunto de ecuaciones de componentes equivale a la ecuación vectorial única (4.7). Cada componente de la fuerza neta es igual a la masa multiplicada por la componente correspondiente de la aceleración. Segundo, el enunciado de la segunda ley de Newton se refiere a fuerzas externas, es decir, fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de su entorno. Un cuerpo no puede afectar su propio movimiento ejerciendo una fuerza sobre sí mismo; si fuera posible, ¡podríamos levantarnos hasta el techo S tirando de nuestro cinturón! Por ello, solo se incluyen fuerzas externas en la suma gF en las ecuaciones (4.7) y (4.8). Tercero, las ecuaciones (4.7) y (4.8) solo son válidas si la masa m es constante. Es fácil pensar en sistemas con masa variable, como un camión tanque con fugas, un cohete o un vagón de ferrocarril en movimiento que se impulsa con carbón; sin embargo, tales sistemas se manejan mejor usando el concepto de momento que veremos en el capítulo 8. Por último, la segunda ley de Newton solo es válida en marcos de referencia inerciales, al igual que la primera ley. Por lo tanto, no es válida en el marco de referencia de cualquiera de los vehículos con aceleración de la figura 4.11; con respecto a esos marcos, la pasajera acelera aunque la fuerza neta sobre ella sea cero. Normalmente supondremos que la Tierra es una aproximación adecuada a un marco inercial, aunque estrictamente no lo es por su rotación y movimiento orbital. ActivPhysics 2.1.3: Tension Change ActivPhysics 2.1.4: Sliding on an Incline S S CUIDADO ma no es una fuerza Tenga en cuenta que aun cuando el vector ma sea igual a la S S suma vectorial g F de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, el vector ma no es una fuerza. La aceleración es el resultado de una fuerza neta distinta de cero; no es una fuerza por sí misma. Es “sentido común” pensar que hay una “fuerza de aceleración” que nos empuja contra el asiento cuando nuestro automóvil acelera hacia adelante desde el reposo. Pero no existe tal Video Tutor Demo 116 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton fuerza; más bien, nuestra inercia nos hace tender a permanecer en reposo con respecto a la Tierra, y el automóvil que acelera (véase la figura 4.11a). Esta confusión de “sentido común” surge al tratar de aplicar la segunda ley de Newton donde no es válida: en un marco de referencia no inercial de un automóvil en aceleración. Nosotros siempre examinaremos el movimiento solo en marcos de referencia inerciales. En el aprendizaje de cómo usar la segunda ley de Newton, empezaremos con ejemplos de movimiento rectilíneo. Después, en el capítulo 5, consideraremos casos más generales y desarrollaremos estrategias más detalladas para resolver problemas. Ejemplo 4.4 Cálculo de la aceleración a partir de una fuerza Un trabajador aplica una fuerza horizontal constante con magnitud de 20 N a una caja con masa de 40 kg que descansa en un piso plano con fricción despreciable. ¿Cuál es la aceleración de la caja? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: En este problema intervienen una fuerza y una aceleración, de modo que se empleará la segunda ley de Newton. En cualquier problema que implique fuerzas, los primeros pasos consisten en elegir un sistema de coordenadas e identificar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. Suele ser conveniente elegir un eje que apunte en la dirección de la aceleración del cuerpo o en la dirección opuesta que, en este caso, es horizontal. Por lo tanto, tomamos el eje +x en la dirección de la fuerza horizontal aplicada (es decir, la dirección en la que se acelera la caja) y el eje +y hacia arriba (figura 4.18). En casi todos los problemas de fuerzas que veremos (incluido este), todos los vectores de fuerza están en un plano, así que no se usa el eje z. S Las fuerzas que actúan sobre la caja son: i. la fuerza horizontal F S ejercida por el trabajador, cuya magnitud es 20 N; ii. el peso w de la caja, es decir, la fuerza hacia abajo producida por la atracción gravitaS cional que ejerce la Tierra; y iii. la fuerza de soporte hacia arriba n S ejercida por el piso. Como en la sección 4.2, llamamos a n fuerza normal porque es normal (perpendicular) a la superficie de contacto. (Usamos una n cursiva para evitar confusiones con la abreviatura N, de newton). Consideramos que la fricción es despreciable, así que no hay fuerza de fricción. Puesto que la caja no se mueve verticalmente, la aceleración y es cero: ay = 0. Nuestra incógnita es la componente x de la aceleración, ax. La obtendremos usando la segunda ley de Newton en forma de componentes, dada por la ecuación (4.8). EJECUTAR: Por la figura 4.18, solo la fuerza de 20 N ejercida por el trabajador tiene una componente x distinta de cero. Por lo tanto, la primera de las ecuaciones (4.8) nos indica que a Fx ⫽ F ⫽ 20 N ⫽ max Ejemplo 4.5 4.18 Diagrama de este problema. Las baldosas bajo la caja están recién enceradas, así que suponemos que la fricción es despreciable. La caja no tiene aceleración vertical, de manera que las componentes verticales de la fuerza neta suman cero. Sin embargo, para una mejor perspectiva, mostramos las fuerzas verticales que actúan sobre la caja. Por lo tanto, la componente x de la aceleración es ax = 20 kg # m>s2 20 N a Fx = = = 0.50 m>s2 m 40 kg 40 kg EVALUAR: La aceleración apunta en la dirección +x, igual que la fuerza neta. La fuerza neta es constante, así que la aceleración también es constante. Si conocemos la posición y velocidad iniciales de la caja, podremos calcular su posición y velocidad en cualquier instante posterior con las ecuaciones de movimiento y aceleración constante del capítulo 2. Para obtener ax, no tuvimos que usar la componente y de la segunda ley de Newton, ecuaciones (4.8), ©Fy = may. Utilizando esta ecuación, ¿puede usted demostrar que la magnitud n de la fuerza normal en esta situación es igual al peso de la caja? Cálculo de la fuerza a partir de la aceleración Una camarera empuja una botella de salsa de tomate con masa de 0.45 kg a la derecha sobre un mostrador horizontal liso. Al soltarla, la botella tiene una rapidez de 2.8 m兾s, luego se frena por la fuerza de fricción constante ejercida por el mostrador. La botella se desliza 1.0 m antes de detenerse. ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza de fricción que actúa sobre la botella? SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Este problema implica fuerzas y aceleración (el frenado de la botella de salsa), así que usaremos la segunda ley de Newton para resolverlo. Como en el ejemplo 4.4, se elige un sistema de coordenadas y se identifican las fuerzas que actúan sobre la botella (figura 4.19). Elegimos el eje +x en la dirección en que se desliza la botella, y tomaremos como origen el punto donde la botella 4.4 Masa y peso 4.19 Diagrama de este problema. 117 EJECUTAR: Resolvemos la ecuación (2.13) despejando ax: Dibujamos un diagrama para el movimiento de la botella y uno que muestra las fuerzas sobre la botella. ax = 10 m>s22 - 12.8 m>s22 vx2 - v0x2 = = - 3.9 m>s2 21x - x 02 211.0 m - 0 m2 El signo negativo indica que la aceleración de la botella es hacia la izquierda en la figura 4.19, opuesta a su velocidad, como debe ser, pues la botella se está frenando. La fuerza neta en la dirección x es la componente -f de la fuerza de fricción, así que S sale de la mano de la camarera. La fuerza de fricción ƒ frena la botella, así que su dirección debe ser opuesta a la dirección de la velocidad (véase la figura 4.13c). Nuestra incógnita es la magnitud f de la fuerza de fricción. La obtendremos usando la componente x de la segunda ley de Newton, ecuaciones (4.8). No hemos hablado de la componente x de la aceleración, ax, pero sabemos que es constante porque la fuerza de fricción que causa la aceleración es constante. Por lo tanto, podemos calcular ax usando la fórmula de aceleración constante de la sección 2.4. Conocemos las coordenadas x inicial y final de la botella (x0 = 0 y x = 1.0 m) y su velocidad en x inicial y final (v0x = 2.8 m兾s y vx = 0), de modo que la ecuación más fácil de usar es la ecuación (2.13), vx2 = v0x2 + 2ax1x - x0 2. 2 a Fx  ƒ  max  10.45 kg21 -3.9 m>s 2 = - 1.8 kg # m>s2 = - 1.8 N El signo negativo indica que la fuerza sobre la botella está dirigida a la izquierda. La magnitud de la fuerza de fricción es f = 1.8 N. EVALUAR: Para verificar el resultado, lo invitamos a repetir el cálculo con el eje +x dirigido a la izquierda en la figura 4.19. Encontrará que ©Fx es igual a +f = +1.8 N (porque la fuerza de fricción ahora está en la dirección +x), y nuevamente encontrará que f = 1.8 N. Las respuestas de las magnitudes de las fuerzas ¡no dependen de la elección de los ejes de coordenadas! Notas acerca de las unidades Conviene hablar un poco acerca de las unidades. En el sistema métrico cgs (que no usamos aquí), la unidad de masa es el gramo (10-3 kg), y la unidad de distancia es el centímetro, igual a 10-2 m. La unidad cgs de fuerza se llama dina: 1 dina = 1 g # cm>s2 = 10-5 N 4.20 A pesar de su nombre, la unidad inglesa de masa nada tiene que ver con el tipo de “slug” (babosa) mostrado aquí. Una babosa de jardín común tiene una masa de unos 15 gramos, lo que equivale aproximadamente a 10–3 slugs. En el sistema británico, la unidad de fuerza es la libra (o libra-fuerza) y la unidad de masa es el slug (figura 4.20). La unidad de aceleración es el pie por segundo al cuadrado, así que 1 libra = 1 slug # ft>s2 La definición oficial de libra es 1 libra = 4.448221615260 newtons Conviene recordar que una libra es aproximadamente 4.4 N, y un newton es aproximadamente 0.22 lb. Otro hecho que resulta útil recordar: un cuerpo con una masa de 1 kg tiene un peso de aproximadamente 2.2 lb en la superficie terrestre. Las unidades de fuerza, masa y aceleración en los tres sistemas se listan en la tabla 4.2. Evalúe su comprensión de la sección 4.3 Ordene las siguientes situaciones de acuerdo con la magnitud de la aceleración del objeto, de la más baja a la más alta. ¿Hay casos que tengan la misma magnitud de aceleración? i. Sobre un objeto de 2.0 kg actúa una fuerza neta de 2.0 N; ii. sobre un objeto de 2.0 kg actúa una fuerza neta de 8.0 N; iii. sobre un objeto de 8.0 kg actúa una fuerza neta de 2.0 N; iv. sobre un objeto de 8.0 kg actúa una fuerza neta de 8.0 N. 4.4 Masa y peso Una de las fuerzas más conocidas es el peso de un cuerpo, la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. (Si usted estuviera en otro planeta, su peso sería la fuerza gravitacional que ese planeta ejerce sobre usted). Por desgracia, es común usar incorrecta e indistintamente los términos masa y peso en la conversación cotidiana. Es absolutamente indispensable que el lector entienda con claridad las diferencias entre estas dos cantidades físicas. Tabla 4.2 Unidades de fuerza, masa y aceleración Sistemas de unidades Fuerza Masa Aceleración SI newton (N) kilogramo (kg) m兾s2 cgs dina (dyn) gramo (g) cm兾s2 Británico libra (lb) slug ft兾s2 118 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton La masa describe las propiedades inerciales de un cuerpo; es lo que mantiene a la vajilla sobre la mesa cuando retiramos el mantel de un tirón. A mayor masa, se necesitará más fuerza para provocar una aceleración dada; esto se refleja en la segunda ley S S de Newton, gF ⴝ ma . El peso, en cambio, es una fuerza ejercida sobre un cuerpo por la atracción de la Tierra. La masa y el peso están relacionados: los cuerpos con masa grande tienen un peso grande. Sería difícil arrojar a cierta distancia un peñasco por su gran masa, y sería difícil levantarlo del suelo por su gran peso. Para entender la relación entre masa y peso, observe que un cuerpo en caída libre tiene una aceleración de magnitud g, y por la segunda ley de Newton, una fuerza debe producir esa aceleración. Si un cuerpo de 1 kg cae con una aceleración de 9.8 m兾s2, la fuerza requerida tiene la magnitud ActivPhysics 2.9: Pole-Vaulter Vaults F = ma = 11 kg219.8 m>s22 = 9.8 kg # m>s2 = 9.8 N La fuerza que hace que el cuerpo se acelere hacia abajo es su peso. Cualquier cuerpo con una masa de 1 kg, cercano a la superficie de la Tierra, debe tener un peso de 9.8 N para tener la aceleración que observamos en la caída libre. En términos más generales, un cuerpo de masa m debe tener un peso de magnitud w dado por w = mg 4.21 Relación entre masa y peso. Cuerpo que cae, masa m Cuerpo colgado, masa m (magnitud del peso de un cuerpo de masa m) (4.9) Por lo tanto, la magnitud w del peso de un cuerpo es directamente proporcional a su masa m. El peso de un cuerpo es una fuerza, una cantidad vectorial, y podemos escribir la ecuación (4.9) como ecuación vectorial (figura 4.21): S S w ⴝ mg S T (4.10) S S S S a5g Peso S S w 5 mg S SF 5 wS a50 Peso S S w 5 mg S SF 5 0 S S • La relación entre masa y peso es: w 5 mg. • La relación es la misma si un cuerpo está cayendo o en reposo. Ejemplo conceptual 4.6 Recuerde que g es la magnitud de g , la aceleración debida a la gravedad, por lo tanto, g siempre es positiva, por definición. Así, w, dada por la ecuación (4.9) es la magnitud del peso y también es positiva siempre. CUIDADO El peso de un cuerpo actúa en todo momento Es importante entender que el peso de un cuerpo actúa sobre el cuerpo todo el tiempo, esté en caída libre o no. Si colgamos un objeto de una cuerda, está en equilibrio y su aceleración es cero; pero su peso, dado por la ecuación (4.10) sigue tirando hacia abajo sobre él (figura 4.21). En este caso, la cuerda tira del objeto hacia arriba con una fuerza ascendente. La suma vectorial de las fuerzas es cero, pero el peso continúa actuando. Fuerza neta y aceleración en caída libre En el ejemplo 2.6, se dejó caer, del reposo, una moneda de un euro desde la Torre Inclinada de Pisa. Si la moneda cae libremente, considerando que los efectos del aire son despreciables, ¿cómo varía la fuerza neta sobre la moneda conforme esta cae? parece apenas la moneda pierde contacto con la mano. De aquí en adeS lante, la única fuerza que actúa sobre la moneda es su peso w. 4.22 La aceleración de un objeto en caída libre es constante, lo mismo que la fuerza neta que actúa sobre él. SOLUCIÓN S S En caída libre, la aceleración a de la moneda esSconstante e igual a g . S Por la segunda ley de Newton, la fuerza neta g F = ma también es S S constante e igual a mg , que es el peso w de la moneda (figura 4.22). La velocidad de la moneda cambia durante la caída, pero la fuerza neta que actúa sobre ella permanece constante. (Si esto le sorprende, debería volver a leer el ejemplo conceptual 4.3). La fuerza neta sobre una moneda en caída libre es constante incluso si inicialmente se lanza hacia arriba. La fuerza que nuestra mano ejerce sobre la moneda al lanzarla es una fuerza de contacto, y desa- S S aⴝg S S ΣF ⴝ w 4.4 Masa y peso 119 Variación de g con la ubicación Usaremos g = 9.80 m兾s2 para problemas en la Tierra (o bien, si los demás datos del problema se dan con solo dos cifras significativas, g = 9.8 m兾s2). En realidad, el valor de g varía un poco en diferentes puntos de la superficie terrestre, entre 9.78 y 9.82 m兾s2, porque la Tierra no es perfectamente esférica y por los efectos de su rotación y el movimiento orbital. En un punto donde g = 9.80 m兾s2, el peso de un kilogramo estándar es w = 9.80 N. En un punto donde g = 9.78 m兾s2, el peso es w = 9.78 N, pero la masa sigue siendo 1 kg. El peso de un cuerpo varía de un lugar a otro; la masa no. Si llevamos un kilogramo estándar a la superficie lunar, donde la aceleración en caída libre (igual al valor de g en la superficie lunar) es de 1.62 m兾s2, su peso será 1.62 N, pero su masa será aún de 1 kg (figura 4.23). Un astronauta de 80.0 kg pesa (80.0 kg) (9.80 m兾s2) = 784 N en la Tierra, pero en la Luna solo pesaría (80.0 kg)(1.62 m兾s2) = 130 N. En el capítulo 13 veremos cómo calcular el valor de g en la superficie lunar o en otros planetas. 4.23 El peso de una masa de 1 kilogramo a) en la Tierra y b) en la Luna. a) 20 0 2 18 4 16 6 14 8 12 10 m 5 1.00 kg En la Tierra: g 5 9.80 m s2 w 5 mg 5 9.80 N / b) Medición de masa y peso En la sección 4.3 describimos una forma de comparar masas comparando sus aceleraciones cuando se someten a la misma fuerza neta. Usualmente, sin embargo, la forma más fácil de medir la masa de un cuerpo consiste en medir su peso, por lo general comparándolo con un estándar. La ecuación (4.9) afirma que dos cuerpos que tienen el mismo peso en cierto lugar también tienen la misma masa. Podemos comparar pesos con mucha precisión; la conocida balanza de brazos iguales (figura 4.24) puede determinar con gran precisión (hasta de 1 parte en 106) cuando los pesos de dos cuerpos son iguales y, por lo tanto, cuando sus masas lo son. El concepto de masa desempeña dos papeles un tanto distintos en mecánica. El peso de un cuerpo (la fuerza gravitacional que actúa sobre él) es proporcional a su masa; podemos llamar masa gravitacional a la propiedad relacionada con interacciones gravitacionales. Por otro lado, podemos llamar masa inercial a la propiedad inercial que aparece en la segunda ley de Newton. Si estas dos cantidades fueran distintas, la aceleración debida a la gravedad podría ser distinta para diferentes cuerpos. Sin embargo, experimentos de gran precisión han concluido que son iguales, con una precisión mayor de 1 parte en 1012. CUIDADO No confunda masa con peso En la vida cotidiana, con frecuencia se usan incorrectamente las unidades del SI para masa y peso. Expresiones incorrectas como “esta caja pesa 6 kg” son casi universales. Lo que queremos decir es que la masa de la caja, la cual quizá se determinó indirectamente pesándola, es de 6 kg. ¡Tenga cuidado de evitar este error en su trabajo! En el SI, el peso (una fuerza) se mide en newtons, mientras que la masa se mide en kilogramos. Ejemplo 4.7 20 0 2 18 4 16 6 14 8 12 10 En la Luna: g 5 1.62 m s2 w 5 mg 5 1.62 N / m 5 1.00 kg 4.24 Una balanza de brazos iguales determina la masa de un cuerpo (como una manzana) comparando su peso con un peso conocido. d wdesconocido d wconocido Masa y peso Un Rolls-Royce Phantom de 2.49 * 104 N que viaja en la dirección +x hace una parada de emergencia; la componente x de la fuerza neta que actúa sobre él es -1.83 * 104 N. ¿Qué aceleración tiene? que 2.49 * 104 N es el peso del automóvil, no su masa. Por lo tanto, usaremos primero la ecuación (4.9) para determinar la masa del automóvil a partir de su peso. El automóvil tiene una velocidad x positiva y está frenando, de modo que su aceleración x es negativa. SOLUCIÓN IDENTIFICAR y PLANTEAR: Nuestra incógnita es la componente x de la aceleración del automóvil, ax. Usaremos la segunda ley de Newton de la componente x para relacionar fuerza y aceleración, es decir, las ecuaciones (4.8). Para ello, necesitamos conocer la masa del automóvil. Sin embargo, dado que el newton es una unidad de fuerza, sabemos EJECUTAR: La masa del automóvil es 2.49 * 10 4 kg # m>s2 w 2.49 * 10 4 N = = g 9.80 m>s2 9.80 m>s2 Continúa = 2540 kg m = 120 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton Entonces, ©Fx = max nos da -1.83 * 10 kg # m>s - 1.83 * 10 4 N a Fx = = m 2540 kg 2540 kg 4 ax = 2 = - 7.20 m>s2 EVALUAR: El signo negativo implica que el vector aceleración apunta en la dirección -x, como se esperaba. La magnitud de la aceleración es bastante alta; los pasajeros de este automóvil experimentarán una enorme fuerza hacia atrás en sus hombros por los cinturones de seguridad. La aceleración también es igual a -0.735g. El número -0.735 es la razón entre –1.83 * 104 N (la componente x de la fuerza neta) y 2.49 * 104 N (el peso). De hecho, la aceleración de un cuerpo expresada como múltiplo de g siempre es igual a la razón entre la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo y su peso. ¿Entiende por qué? Evalúe su comprensión de la sección 4.4 Suponga que un astronauta llega a un planeta donde g = 19.6 m兾s2. En comparación con la Tierra, ¿le sería más fácil, más difícil o igual de fácil caminar ahí? ¿Le sería más fácil, más difícil o igual de fácil atrapar una pelota que se mueve horizontalmente a 12 m兾s? (Suponga que el traje espacial es un modelo ligero que no impide en absoluto los movimientos del astronauta). 4.5 Tercera ley de Newton Una fuerza que actúa sobre un cuerpo siempre es el resultado de su interacción con otro cuerpo, así que las fuerzas siempre vienen en pares. No podemos tirar de una perilla sin que esta tire de nosotros. Al patear un balón de fútbol, la fuerza hacia adelante que el pie ejerce sobre él lo lanza en su trayectoria, pero sentimos la fuerza que el balón ejerce sobre el pie. Si pateamos un peñasco, el dolor que sentimos se debe a la fuerza que el peñasco ejerce sobre el pie. En todos estos casos, la fuerza que ejercemos sobre el otro cuerpo tiene dirección opuesta a la que el cuerpo ejerce sobre nosotros. Los experimentos indican que, al interactuar dos cuerpos, las fuerzas que ejercen mutuamente son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Esta es la tercera ley del movimiento de Newton: Tercera ley del movimiento de Newton: Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B (una “acción”), entonces, el cuerpo B ejerce una fuerza sobre el cuerpo A (una “reacción”). Estas dos fuerzas tienen la misma magnitud pero dirección opuesta, y actúan sobre cuerpos diferentes. 4.25 Si el cuerpo A ejerce una fuerza S FA sobre B sobre el cuerpo B, entonces, S el cuerpo B ejerce una fuerza FB sobre A sobre el cuerpo A que tiene la misma magnitud, pero dirección opuesta: S S FA sobre B ⴝ ⴚFB sobre A . S Por ejemplo, en la figura 4.25, FA sobre B es la fuerza aplicada por el cuerpo A S (primer subíndice) sobre el cuerpo B (segundo subíndice), y FB sobre A es la fuerza aplicada por el cuerpo B (primer subíndice) sobre el cuerpo A (segundo subíndice). El enunciado matemático de la tercera ley es S S FA sobre B = -FB sobre A (tercera ley del movimiento de Newton) B (4.11) S FA sobre B A S FB sobre A Video Tutor Demo No importa si un cuerpo es inanimado (como el balón de la figura 4.25) y el otro no lo es (como el pateador): necesariamente ejercen fuerzas entre sí que cumplen la ecuación (4.11). En el enunciado de la tercera ley de Newton, “acción” y “reacción” son las dos S S fuerzas opuestas (en la figura 4.25, FA sobre B y FB sobre A), y algunas veces las llamamos par acción-reacción. Esto no implica una relación de causa y efecto; podemos considerar cualquiera de las fuerzas como la “acción”, y la otra como la “reacción”. A menudo decimos simplemente que las fuerzas son “iguales y opuestas” para indicar que tienen igual magnitud, pero dirección opuesta. ? CUIDADO Las dos fuerzas en un par acción-reacción actúan sobre cuerpos diferentes Destacamos que las dos fuerzas descritas en la tercera ley de Newton actúan sobre cuerpos distintos. Esto es importante en problemas que implican la primera o segunda ley de Newton, en los que actúan fuerzas sobre un solo cuerpo. Por ejemplo, la fuerza neta que actúa sobre el balón de la S figura 4.25 es la suma vectorial del peso del balón y la fuerza FA sobre B ejercida por el pateador. S No incluimos FB sobre A porque esta fuerza actúa sobre el pateador, no sobre el balón. 4.5 Tercera ley de Newton 121 En la figura 4.25, las fuerzas de acción y reacción son de contacto, y solo existen cuando los dos cuerpos se tocan. Sin embargo, la tercera ley de Newton también es válida para las fuerzas de largo alcance que no requieren contacto físico, como la atracción gravitacional. Una pelota de ping-pong ejerce una fuerza gravitacional hacia arriba sobre la Tierra, igual en magnitud a la fuerza gravitacional que la Tierra ejerce hacia abajo sobre la pelota. Si dejamos caer la pelota, esta y la Tierra se aceleran una hacia la otra. La fuerza neta sobre cada cuerpo tiene la misma magnitud, pero la aceleración de la Tierra es pequeñísima porque su masa es muy grande. Y sin embargo, ¡se mueve! Ejemplo conceptual 4.8 ¿Cuál fuerza es mayor? Después de que su automóvil deportivo se descompone, usted lo empuja hacia el taller mecánico más cercano. Cuando el automóvil comienza a moverse, ¿cómo es la fuerza que usted ejerce sobre el automóvil en comparación con la que este ejerce sobre usted? ¿Y cómo se comparan esas fuerzas cuando usted empuja el auto con rapidez constante? SOLUCIÓN La tercera ley de Newton dice que en ambos casos, la fuerza que usted ejerce sobre el automóvil es igual en magnitud y opuesta en dirección a la que el auto ejerce sobre usted. Es cierto que usted debe empujar con más fuerza para poner en movimiento el automóvil que para mantenerlo en movimiento; sin embargo, no importa qué tan fuerte empuje, el automóvil lo empuja a usted con tanta fuerza como usted a él. La tercera ley de Newton da el mismo resultado si los cuerpos están en reposo, moviéndose con velocidad constante o acelerando. Ejemplo conceptual 4.9 Quizá se pregunte cómo el automóvil “sabe” que debe empujarlo a usted con la misma magnitud de fuerza que usted ejerce sobre él. Podría ser útil visualizar las fuerzas que usted y el automóvil ejercen mutuamente como interacciones entre los átomos de la superficie de sus manos y los átomos de la superficie del automóvil. Tales interacciones son similares a diminutos resortes entre átomos adyacentes, y un resorte comprimido ejerce fuerzas de la misma magnitud en ambos extremos. No obstante, la razón fundamental por la que sabemos que objetos con distinta masa ejercen fuerzas de la misma magnitud entre sí es porque los experimentos nos dicen que así es. La física es algo más que una mera colección de reglas y ecuaciones; más bien, es una descripción sistemática del mundo natural basada en la experimentación y la observación. Aplicación de la tercera ley de Newton: Objetos en reposo Una manzana está en reposo sobre una mesa. ¿Qué fuerzas actúan sobre ella? ¿Cuál es la fuerza de reacción para cada una de ellas? ¿Cuáles son los pares acción-reacción? SOLUCIÓN La figura 4.26a muestra las fuerzas que actúan sobre la manzana. En S el diagrama, FTierra sobre manzana es el peso de la manzana, es decir, la fuerza gravitacional hacia abajo ejercida por la Tierra sobre la manS zana. Asimismo, Fmesa sobre manzana es 1a fuerza hacia arriba ejercida por la mesa sobre la manzana. La figura 4.26b muestra uno de los pares acción-reacción que involucranS a la manzana. Cuando la Tierra tira de la manzana, con una fuerza FTierra sobre manzana , la manzana ejerce una fuerza igualmente S intensa hacia arriba, Fmanzana sobre Tierra sobre la Tierra. Por la tercera ley de Newton (ecuación 4.11), S S Fmanzana sobre Tierra ⴝ ⴚ FTierra sobre manzana Además, la mesa empuja la manzana hacia arriba con fuerza S Fmesa sobre manzana y la reacción correspondiente es la fuerza hacia 4.26 Las dos fuerzas de un par acción-reacción siempre actúan sobre cuerpos distintos. a) Las fuerzas que actúan sobre la manzana b) El par acción-reacción para la interacción entre la manzana y la Tierra c) El par acción-reacción para la interacción entre la manzana y la mesa d) Se elimina una de las fuerzas que actúan sobre la manzana S S S Fmesa sobre manzana Fmesa sobre Fmesa sobre manzana 5 0 manzana S S S FTierra Fmanzana sobre manzana sobre manzana FTierra sobre S FTierra manzana sobre mesa S Fmanzana sobre S Fmanzana sobre Tierra S S Fmanzana sobre Tierra 5 2FTierra sobre Se quita la mesa Tierra S S Fmanzana sobre mesa 5 2Fmesa sobre manzana Los pares acción-reacción siempre representan una interacción entre dos objetos distintos. manzana Las dos fuerzas sobre la manzana NO PUEDEN ser un par acción-reacción porque actuarían sobre el mismo objeto. Vemos que si eliminamos una, la otra se conserva. Continúa 122 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton S abajo Fmanzana sobre mesa que la manzana ejerce sobre la mesa (figura 4.26c). S S Fmanzana sobre mesa ⴝ ⴚ Fmesa sobre manzana S Las dos fuerzas que actúan sobre la manzana, Fmesa sobre manzana y FTierra sobre manzana, no constituyen un par acción-reacción aunque S sean iguales en magnitud y de dirección opuesta. No representan la interacción de dos cuerpos; son dos fuerzas distintas que actúan sobre el mismo cuerpo. La figura 4.26d muestra otra forma de mirar esto. Si Ejemplo conceptual 4.10 Aplicación de la tercera ley de Newton: Objetos en movimiento Un cantero arrastra un bloque de mármol sobre un piso tirando de una cuerda atada al bloque (figura 4.27a). El bloque podría estar o no en equilibrio. ¿Qué relaciones hay entre las diversas fuerzas? ¿Cuáles son los pares acción-reacción? SOLUCIÓN Usaremos los subíndices B para el bloque, R para la cuerda y M para S el hombre. En la figura 4.27b el vector FM sobre R representa la fuerza ejercida por el hombre sobre la cuerda; su reacción es la fuerza igual S y opuesta FR sobre M ejercida por la cuerda sobre el hombre. De manera S similar, el vector FR sobre B es la fuerza ejercida porSla cuerda sobre el bloque; su reacción es la fuerza igual y opuesta FB sobre R que el bloque ejerce sobre la cuerda. Para estos dos pares acción-reacción (figura 4.27b), tenemos S S FR sobre M ⴝ ⴚ FM sobre R y S S FB sobre R ⴝ ⴚFR sobre B S S Tenga claro que las fuerzas FM sobre R y FB sobre R (figura 4.27c) no son un par acción-reacción, porque ambas actúan sobre el mismo cuerpo (la cuerda); una acción y su reacción siempre deben actuar S S sobre cuerpos distintos. Además, las fuerzas FM sobre R y FB sobre R no necesariamente tienen la misma magnitud. Si aplicamos la segunda ley de Newton a la cuerda, obtenemos S quitáramos repentinamente la mesa debajo de la manzana, las fuerzas S S S Fmanzana sobre mesa y Fmesa sobre manzana serían cero, pero Fmanzana S (la interacción grasobre Tierra y FTierra sobre manzana seguirían existiendo S vitacional aún estaría presente). Puesto que Fmesa sobre manzana ahora S es cero, no puede ser el negativo de FTierra sobre manzana (que es distinta de cero), y estas fuerzas no pueden ser un par acción-reacción. Las dos fuerzas en un par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. S S S a F ⴝ FM sobre R ⴙ FB sobre R = mcuerda a cuerda S S FM sobre R deberá tener distintaSmagnitud que FB sobre R. En contraste, S las fuerzas de acción-reacción FSM sobre R y FRS sobre M siempre tienen la misma magnitud, al igual que FR sobre B y FB sobre R. La tercera ley de Newton se cumple, ya sea que los cuerpos estén acelerando o no. En el caso especial Sen que la cuerda se encuentra en equilibrio, S las fuerzas FM sobre R y FB sobre R tienen igual magnitud y son opuestas en dirección. Pero esto es un ejemplo de la primera ley de Newton, no de la tercera; estas dos son fuerzas sobre el mismo cuerpo, no fuerzas ejercidas por un cuerpo sobre otro. Otra forma de ver esto es S que, en el equilibrio, a cuerda ⴝ 0 en la ecuación anterior. Entonces, S S FB sobre R ⴝ ⴚ FM sobre R por la primera o la segunda ley de Newton. Otro caso especial es cuando la cuerda está acelerando, pero tiene masa insignificante en comparación con el bloque o el hombre. En S este caso, mcuerda = 0 enSla ecuación anterior y, otra vez,S FB sobre R = S -FM sobre R. Puesto que FB sobre R siempre es igual a ⴚFR sobre B por la tercera ley de NewtonS (son un par acción-reacción), en este caso S de la “cuerda sin masa”, FR sobre B también es igual a FM sobre R. Para ambos casos de la “cuerda sin masa” y el caso de la cuerda en equilibrio, la fuerza de la cuerda sobre el bloque es igual en magnitud y dirección a la fuerza del hombre sobre la cuerda (figura 4.27d). Es decir, podemos visualizar la cuerda “transmitiendo” al bloque la fuerza que ejerce el hombre sobre la cuerda. Este es un punto de vista útil, pero recuerde que solo es válido si la cuerda tiene masa insignificante o está en equilibrio. Si el bloque y la cuerda tienen una aceleración (es decir, si su rapidez está aumentando o disminuyendo), la cuerda no está en equilibrio y 4.27 Identificación de las fuerzas que actúan cuando un hombre tira de una cuerda atada a un bloque. a) El bloque, la cuerda y el hombre b) Los pares acción-reacción S FR sobre M S S FB sobre R FR sobre B S FM sobre R c) No hay par acción-reacción S F B sobre R S FM sobre R Estas fuerzas no constituyen un par acción-reacción porque actúan sobre el mismo objeto (la cuerda). d) No necesariamente igual S FR sobre B S FM sobre R Estas fuerzas son iguales solo si la cuerda está en equilibrio (o se considera sin masa). 4.5 Tercera ley de Newton Ejemplo conceptual 4.11 123 ¿Una paradoja de la tercera ley de Newton? En el ejemplo conceptual 4.10 vimos que el cantero tira de la combinación cuerda-bloque con la misma fuerza con que esa combinación tira de él. ¿Por qué, entonces, el bloque se mueve mientras el hombre permanece en un solo lugar? 4.28 Las fuerzas horizontales que actúan sobre la combinación bloque-cuerda (izquierda) y el hombre (derecha). (No se muestran las fuerzas verticales). SOLUCIÓN Para resolver esta contradicción aparente, recuerde la diferencia entre la segunda ley de Newton y la tercera. Las únicas fuerzas que intervienen en la segunda ley son las que actúan sobre el cuerpo en cuestión. La suma vectorial de esas fuerzas determina la aceleración de ese cuerpo (si acaso acelera). En contraste, la tercera ley de Newton relaciona las fuerzas que dos cuerpos distintos ejercen uno sobre el otro. La tercera ley, por sí sola, nada nos dice acerca del movimiento de cualquiera de los dos cuerpos. Cuando la combinación cuerda-bloque inicialmente está en reposo, S comenzará a deslizarse si la fuerza que ejerce el cantero FM sobre R es mayor que la fuerza de fricción que ejerce el piso sobre el bloque (figura 4.28). (El bloque tiene base lisa, lo cual ayuda a reducir la fricción). Por lo tanto, hay una fuerza neta hacia la derecha sobre la combinación cuerda-bloque, de manera que acelera hacia la derecha. En contraste, el cantero no se mueve porque la fuerza neta que actúa sobre él es cero. Puesto que el hombre tiene zapatos con suelas antideslizantes que no se resbalan sobre el piso, la fuerza de fricción que el piso ejerce sobre él es suficiente para equilibrar el tirón de la cuerda S sobre él, FR sobre M. (Tanto el bloque como el hombre experimentan también una fuerza de gravedad hacia abajo y una fuerza normal hacia arriba ejercida por el piso, las cuales se equilibran entre sí y se anulan, por lo que no se incluyeron en la figura 4.28). Una vez que el bloque se mueve con la rapidez deseada, el hombre no tendrá que tirar con tanta fuerza; solo deberá desarrollar la fuerza suficiente para equilibrar exactamente la fuerza de fricción sobre el bloque. Entonces, la fuerza neta sobre el bloque en movimiento es cero, Fuerza de fricción del piso sobre el bloque Estas fuerzas constituyen un par acción-reacción. Tienen la misma magnitud, pero actúan sobre objetos distintos. Fuerza de fricción del S S piso sobre FM sobre R FR sobre M el hombre Bloque 1 cuerda El bloque comienza a S deslizarse si FM sobre R vence la fuerza de fricción sobre el bloque. Hombre El Shombre permanece en reposo si FR sobre M se equilibra por la fuerza de fricción sobre el hombre. y el bloque se seguirá moviendo hacia el hombre con velocidad constante, de acuerdo con la primera ley de Newton. Concluimos que el bloque se acelera mientras el hombre no lo hace debido a las diferentes fuerzas de fricción que actúan sobre ellos. Si el piso estuviera recién encerado, de modo que la fricción entre el piso y los zapatos del cantero fuera pequeña, el tirón de la cuerda haría que el bloque empezara a deslizarse a la derecha y él comenzaría a deslizarse hacia la izquierda. La moraleja de este ejemplo es que, al analizar el movimiento de un cuerpo, debemos recordar que solo las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo determinan su movimiento. Desde esta perspectiva, la tercera ley de Newton es solo una herramienta que nos ayuda a identificar las fuerzas. Un cuerpo al cual se aplican fuerzas que tiran de sus extremos, como la cuerda de la figura 4.27, está en tensión. La tensión en cualquier punto es la magnitud de la fuerza que actúa en él (véase la figura 4.2c). S En la figura 4.27b, la tensión en el S extremo derecho de la cuerda es la magnitud de F (o de F M sobre R R sobre M), y en el izS S quierdo, la magnitud de FB sobre R (o de FR sobre B). Si la cuerda está en equilibrio y solo actúan sobre ella fuerzas en sus extremos, la tensiónS es igual en ambos S extremos y en toda la cuerda. Por lo tanto, si las magnitudes de FB sobre R y FM sobre R son de 50 N,Sla tensión en la cuerda es 50 N (no 100 N). El vector de fuerza total S FB sobre R ⴙ FM sobre R que actúa sobre la cuerda en este caso ¡es cero! Hacemos hincapié una vez más en una verdad fundamental: las dos fuerzas en un par acción-reacción nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Recordar este hecho sencillo a menudo le ayudará a evitar confusiones acerca de los pares acción-reacción y de la tercera ley de Newton. Evalúe su comprensión de la sección 4.5 Usted conduce su automóvil por un camino rural y un mosquito se estrella contra el parabrisas. ¿Qué tiene mayor magnitud: la fuerza que el auto ejerció sobre el mosquito o la que este ejerció sobre el vehículo? ¿O son iguales las magnitudes? Si son diferentes, ¿cómo podemos conciliar este hecho con la tercera ley de Newton? Si son iguales, ¿por qué el mosquito se aplasta y el auto no sufre daños? 124 CAPÍTULO 4 Leyes del movimiento de Newton 4.6 ActivPhysics 2.1.1: Force Magnitudes Video Tutor Demo Video Tutor Demo 4.29 El simple acto de caminar depende esencialmente de la tercera ley de Newton. Para iniciar el movimiento hacia adelante, empujamos el suelo hacia atrás con el pie. En reacción, el suelo empuja nuestro pie (y por lo tanto todo nuestro cuerpo) hacia adelante con una fuerza de la misma magnitud. Esta fuerza externa, aplicada por el suelo, es la que acelera nuestro cuerpo hacia adelante. Diagramas de cuerpo libre Las tres leyes del movimiento de Newton incluyen todos los principios básicos que necesitamos para resolver una amplia variedad de problemas de mecánica. Estas leyes tienen un planteamiento muy sencillo; sin embargo, el proceso de aplicarlas a situaciones específicas a menudo constituye un verdadero reto. En esta breve sección mencionaremos tres ideas clave y técnicas que se usan en cualquier problema donde intervienen las leyes de Newton. El lector aprenderá otras en el capítulo 5, donde se amplía el uso de las leyes de Newton a situaciones más complicadas. 1. La primera ley de Newton y la segunda se refieren a un cuerpo específico. Al S usar la primera ley de Newton, = 0, en una situación de equilibrio, o la gF S S segunda, gF ⴝ ma , en una situación sin equilibrio, debemos decidir desde un principio a qué cuerpo nos estamos refiriendo. Esta decisión tal vez parezca trivial, pero no lo es. S 2. Solo importan las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. La sumatoria gF incluye todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. Por lo tanto, una vez que usted haya elegido el cuerpo que analizará, tendrá que identificar todas las fuerzas que actúan sobre él. No se confunda entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y las fuerzas que este ejerce sobre algún otro. Por ejemplo, S para analizar a una persona que camina, incluiríamos en gF la fuerza que el suelo ejerce sobre la persona al caminar, pero no la fuerza que la persona ejerce sobre el suelo (figura 4.29). Estas fuerzas forman un par acción-reacción y S están relacionadas por la tercera ley de Newton; pero en gF solo entra el miembro del par que actúa sobre el cuerpo que se esté considerando. 3. Los diagramas de cuerpo libre son indispensables para identificar las fuerzas relevantes. Un diagrama de cuerpo libre es un diagrama que muestra solamente el cuerpo elegido, “libre” de su entorno, con vectores que muestran las magnitudes y direcciones de todas las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo por todos los cuerpos que interactúan con él. Ya mostramos algunos diagramas de cuerpo libre en las figuras 4.18, 4.19, 4.21 y 4.26a. No olvide incluir todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, y cuídese también de no incluir fuerzas que el cuerpo ejerza sobre otro cuerpo. En particular, las dos fuerzas de un par acción-reacción nunca deben aparecer en el mismo diagrama de cuerpo libre, porque nunca actúan sobre el mismo cuerpo. Además, tampoco se incluyen las fuerzas que un cuerpo ejerce sobre sí mismo, ya que estas no pueden afectar su movimiento. CUIDADO Fuerzas en los diagramas de cuerpo libre Al terminar de dibujar un diagrama de cuerpo libre, usted debe ser capaz de contestar, para cada fuerza, la pregunta: ¿Qué otro cuerpo está aplicando dicha fuerza? Si no logra responderla, tal vez está tratando con una fuerza inexistente. Cuídese sobre todo de evitar fuerzas ficticias como “la fuerza de aceleración” o “la fuerza S ma ”, que mencionamos en la sección 4.3. Si en un problema interviene más de un cuerpo, hay que analizarlo y dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo. Por ejemplo, la figura 4.27c muestra un diagrama de cuerpo libre por separado para la cuerda en el caso en que esta se considera sin masa (no actúa fuerza gravitacional sobre ella). La figura 4.28 también muestra diagramas para el bloque y el cantero; sin embargo, estos no son realmente diagramas de cuerpo libre porque no muestran todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. (Faltan las fuerzas verticales: la fuerza del peso ejercida por la Tierra y la fuerza normal hacia arriba ejercida por el piso). La figura 4.30 ilustra tres situaciones reales y los diagramas de cuerpo libre correspondientes. Observe que en cada situación una persona ejerce una fuerza sobre algo de su entorno; pero la fuerza que se destaca en el diagrama de cuerpo libre de la persona es la reacción de los objetos del entorno sobre la persona. 4.6 Diagramas de cuerpo libre 125 Evalúe su comprensión de la sección 4.6 La flotabilidad que se ilustra en la figura 4.30c es la mitad de un par acción-reacción. ¿Cuál fuerza es la otra mitad de este par? i. El peso del buzo; ii. la fuerza de empuje hacia adelante; iii. la fuerza de arrastre hacia atrás; iv. la fuerza hacia abajo que el buzo ejerce sobre el agua; v. la fuerza hacia atrás que el buzo ejerce sobre el agua al patalear. 4.30 Ejemplos de diagramas de cuerpo libre. En cada caso, el diagrama de cuerpo libre muestra todas las fuerzas externas que actúan sobre el objeto en cuestión. a) b) S n S Para saltar, este jugador se empujará hacia abajo contra el piso, incrementando la fuerza de S reacción n hacia arriba del piso sobre él. S Fy Fbloque sobre corredora S S w S w Fx La fuerza del bloque de salida sobre la corredora tiene una componente vertical que contrarresta su peso, y una componente horizontal grande que la acelera. Este jugador es un objeto en caída libre. c) S S w El agua ejerce una flotabilidad que contrarresta el peso del buzo. Fflotabilidad S S Fempuje El pataleo causa que el agua ejerza una fuerza de reacción hacia adelante, o empuje, sobre el buzo. Farrastre S w El empuje es contrarrestado por las fuerzas de arrastre ejercidas por el agua sobre el buzo en movimiento. 4 Video Tutor Solutions CAPÍTULO RESUMEN S S S S Fuerza como vector: La fuerza es una medida cuantitativa de la interacción de dos cuerpos. Es una cantidad vectorial. Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el efecto sobre su movimiento es igual al que se da cuando una sola fuerza, igual a la suma vectorial (resultante) de las fuerzas, actúa sobre el cuerpo. (Véase el ejemplo 4.1). R ⴝ F1 ⴙ F2 ⴙ F3 ⴙ La fuerza neta sobre un cuerpo y la primera ley de Newton: La primera ley de Newton dice que, si la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo (la fuerza neta) es cero, el cuerpo está en equilibrio y tiene aceleración cero. Si el cuerpo está inicialmente en reposo, permanece en reposo; si está inicialmente en movimiento, sigue moviéndose con velocidad constante. Esta ley solo es válida en marcos de referencia inerciales. (Véase los ejemplos 4.2 y 4.3). aF ⴝ 0 Masa, aceleración y segunda ley de Newton: Las propiedades inerciales de un cuerpo se caracterizan por su masa. La aceleración de un cuerpo bajo la acción de un conjunto de fuerzas dado es directamente proporcional a la suma vectorial de las fuerzas (la fuerza neta) e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. Esta relación es la segunda ley de Newton. Al igual que la primera ley, esta solo es válida en marcos de referencia inerciales. La unidad de fuerza se define en términos de las unidades de masa y aceleración. En el SI, la unidad de fuerza es el newton (N), igual a 1 kg · m兾s2. (Véase los ejemplos 4.4 y 4.5). a F ⴝ ma S S ⴝ a F (4.1) S S R Fy S Fx S S v 5 constante (4.3) S S S F2 5 2F1 F1 S SF 5 0 S S (4.7) S SF S F2 a Fx = max S S a 5 SF m / S a Fy = may (4.8) Masa m F1 a Fz = maz Peso: El peso w de un cuerpo es la fuerza gravitacional ejercida sobre él por la Tierra. El peso es una cantidad vectorial. La magnitud del peso de un cuerpo en un lugar específico es igual al producto de su masa m por la magnitud de la aceleración debida a la gravedad g en ese lugar. Mientras que el peso de un cuerpo depende de su ubicación, la masa es independiente del lugar de medición. (Véase los ejemplos 4.6 y 4.7). w = mg Tercera ley de Newton y pares acción-reacción: La tercera ley de Newton dice que cuando dos cuerpos interactúan, ejercen fuerzas uno sobre otro que en todo instante son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Estas fuerzas se denominan fuerzas de acción-reacción y cada una actúa solo sobre uno de los dos cuerpos; nunca actúan sobre el mismo cuerpo. (Véase los ejemplos 4.8 a 4.11). FA sobre B ⴝ ⴚ FB sobre A 126 Á (4.9) Masa m S S w 5 mg S S S g B (4.11) S FA sobre B A S FB sobre A Preguntas para análisis PROBLEMA PRÁCTICO 127 Eslabones de una cadena Un estudiante sostiene una cadena que tiene tres eslabones, cada uno con una masa m = 0.250 kg, con una cuerda ligera. Él tira de la cuerda hacia arriba de modo que ejerce una fuerza ascendente de 9.00 N sobre la cadena. a) Elabore un diagrama de cuerpo libre de la cadena completa, considerada como un cuerpo, y uno para cada uno de los tres eslabones. b) Use los diagramas del inciso a) y las leyes de Newton para calcular i. la aceleración de la cadena, ii. la fuerza ejercida por el eslabón superior sobre el eslabón medio, y iii. la fuerza ejercida por el eslabón medio sobre el eslabón inferior. Considere a la cuerda sin masa. EJECUTAR 5. Escriba una ecuación de la segunda ley de Newton para cada uno de los cuatro objetos y una ecuación de la tercera ley de Newton por cada par de acción-reacción. Por lo menos debe tener tantas ecuaciones como incógnitas haya (véase el paso 4). ¿Así es? 6. Despeje las incógnitas de las ecuaciones. EVALUAR GUÍA DE SOLUCIÓN ® Véase el área de estudio MasteringPhysics para consultar una solución con Video Tutor. IDENTIFICAR y PLANTEAR 1. Existen cuatro objetos de interés en este problema: la cadena como un todo y los tres eslabones individuales. Para cada uno de estos cuatro objetos, elabore una lista de fuerzas externas que actúan sobre él. Además de la fuerza de gravedad, su lista debe incluir solo fuerzas ejercidas por otros objetos que tocan el objeto en cuestión. 2. Algunas de las fuerzas de las listas forman pares de acción-reacción (un par es la fuerza del eslabón superior sobre el eslabón medio y la fuerza del eslabón medio sobre el eslabón superior). Identifique todos estos pares. 3. Use las listas para dibujar un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuatro objetos. Elija los ejes de coordenadas. Problemas 4. Use las listas para determinar cuántas incógnitas existen en este problema. ¿Cuáles son estas? 7. Verifique sus resultados sustituyéndolos en las ecuaciones del paso 6. Esto es especialmente importante si usted terminó con más ecuaciones en el paso 5 de las que usó en el paso 6. 8. Ordene la fuerza de la cuerda sobre la cadena, la fuerza del eslabón superior sobre el eslabón medio, y la fuerza del eslabón medio sobre el eslabón inferior de la magnitud más pequeña a la más grande. ¿Es lógica esta clasificación? Explique su respuesta. 9. Repita el problema para el caso donde la fuerza hacia arriba que ejerce la cuerda sobre la cadena es de solo 7.35 N. ¿Es la misma clasificación que la del paso 8? ¿Es esto razonable? Para tareas asignadas por el profesor, visite www.masteringphysics.com . , .. , ... : Problemas de dificultad creciente. PA: Problemas acumulativos que incorporan material de capítulos anteriores. CALC: Problemas que requieren cálculo. BIO: Problemas de ciencias biológicas. PREGUNTAS PARA ANÁLISIS P4.1 ¿Un cuerpo puede estar en equilibrio si solo una fuerza actúa sobre él? Explique su respuesta. P4.2 Una pelota lanzada verticalmente hacia arriba tiene velocidad cero en su punto más alto. ¿Está en equilibrio ahí? ¿Por qué? P4.3 Un globo con helio se mantiene en el aire sin ascender ni descender. ¿Está en equilibrio? ¿Qué fuerzas actúan sobre él? P4.4 Al volar de noche en un avión, en aire tranquilo, no tenemos sensación de movimiento, aunque el avión vaya a 800 km兾h (500 mi兾h). ¿Por qué? P4.5 Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con fuerzas de igual magnitud, pero dirección opuesta, ¿por qué la tensión total en la cuerda no es cero? P4.6 Usted ata un ladrillo al extremo de una cuerda y lo hace girar alrededor de usted en un círculo horizontal. Describa la trayectoria del ladrillo después de que usted repentinamente suelta la cuerda. P4.7 Si un automóvil se detiene repentinamente, los pasajeros tienden a moverse hacia adelante, en relación con sus asientos. ¿Por qué? Si el automóvil da una vuelta abrupta, los pasajeros tienden a deslizarse hacia un lado. ¿Por qué? P4.8 Algunas personas dicen que la “fuerza de la inercia” (o la “fuerza del impulso”) lanza a los pasajeros hacia adelante cuando un automóvil frena bruscamente. ¿Qué error tiene esa explicación? P4.9 Un pasajero de un autobús en movimiento, sin ventanillas, ve que una pelota que estaba en reposo en el pasillo comienza a moverse re- pentinamente hacia atrás. Piense en dos p