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刘维尔定理

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刘维尔（Liouville）定理是复变函数中的基本定理之一，其内容可简单描述为“一个有界的整函数必是常函数"。

注：整函数为在有限复平面上解析的复函数。

中文名: 刘维尔定理
外文名: Liouville's theorem

提出者: 刘维尔（Joseph Liouville）
应用学科: 复变函数

定理内容

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如果整函数

在整个平面上有界，即对所有

满足不等式

，则

必为常数。

可简单描述为：一个有界的整函数必是常函数。

注：(1) 定理内容在实数范围内不成立；

(2) 定理的逆命题成立，即常数是有界常函数。

定理证明

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设

是平面上任一点，对以

为中心，任意正数

为半径的圆周，利用柯西不等式，得：

而且，由于

可以任意大，所以，必有

，即

，由于点

是任意的，故

必为常函数。^[1]

重要推论

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一、逆否命题：非常数的整函数必无界。^[2]

二、若

为有界整函数，则：

(1)

的逆也为有界整函数

(2)

，

(3)

为常数

三、几何意义

非常数整函数

的值既不能全含于某一圆内，也不能全含于某一圆外。

应用

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刘维尔定理作为复变函数的基本定理之一，有着广泛的应用，可以直接或间接的证明推导出很多其他的定理：如代数学基本定理，复平面C上的最大模原理等等，是一种有效的证明手段。

例^[2]：设整函数

且存在实数

，使得

，则

为常数。

证明：∵

为整函数

∴

也为整函数

取：

，则

也为整函数

又∵

由刘维尔定理可知

为常数

∴

也为常数，得证

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