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PERIODO |
PERSONAJES |
CONTRIBUCI�N |
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Del
2000 al |
Utilizaron la escritura cuneiforme y
su legado escrito en tablillas de arcilla fue, entre otros aspectos: un
sistema de numeraci�n posicional sexagesimal. Elaboraron tablas de
multiplicaci�n, manejaron los quebrados. Poseen tablas de n�meros cuadrados,
ra�ces cuadradas y c�bicas exactas. Llegaron a plantearse y resolver
ecuaciones hasta de tercer grado. Estos conocimientos produjeron un efecto
estimulante entre sus pueblos vecinos: egipcios, griegos e indios. � |
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Del
2000 al |
Se introduce el concepto de n�mero
inverso, adem�s de las soluciones a distintos problemas logar�tmicos, e
incluso lograron la soluci�n de sistemas de ecuaciones. Su avance fue tal que
crearon algoritmos para el c�lculo de sumas de progresiones. |
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Del
2000 al |
Los egipcios
inventaron el primer sistema de numeraci�n, basado en la utilizaci�n de
jerogl�ficos. |
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Edad de oro de
las matem�ticas griegas (�poca comprendida de los a�os 400 y |
(490 - |
Los sofismas
de Zen�n constituyen la huella m�s vieja que se conserva del pensamiento
infinitesimal desarrollado muchos siglos despu�s. |
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(460- |
No se hicieron esperar los problemas
que implicaban el concepto de l�mites, por lo que, grandes pensadores como
Dem�crito, intentan darles respuesta con la unificaci�n de las matem�ticas y
la teor�a filos�fica del atomismo. Considerando de esta forma la primera
concepci�n del m�todo a l�mite. |
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(408- |
Trabaj� intensamente en la resoluci�n
y demostraci�n de distintos problemas, como en la trisecci�n de un �ngulo y
en la cuadratura de �reas acotadas por una curva. Esto conllev� al avance en
el c�lculo del n�mero
p y a la
creaci�n del m�todo de exhauci�n (predecesor del
c�lculo de l�mites). |
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(287 - |
Fue uno de los m�s
grandes pensadores de la antig�edad y uno de los matem�ticos m�s originales
de todos los tiempos. Fue autor de innumerables inventos como el tornillo sin
fin, el engranaje con ruedas dentadas, el uso de la palanca en catapultas
militares, el espejo ustorio. �Creo un
novedoso m�todo te�rico para el c�lculo de �reas y vol�menes basado en
secciones infinitisimales.� Estos trabajos fueron tomados por Newton y
Leibniz casi 2000 a�os despu�s en el desarrollo del C�lculo. |
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Alrededor del siglo
I d.C. |
Civilizaciones como |
Utilizaron un sistema
decimal jerogl�fico, con la cualidad de que �stas implementaron el n�mero
cero. |
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A
partir del siglo VII |
Los �rabes |
Los avances obtenidos en esta �poca,
enmarcan al concepto de l�mite, la introducci�n de los n�meros racionales e
irracionales, especialmente los reales positivos y el desarrollo en la
trigonometr�a, en donde se construyeron tablas trigonom�tricas de alta
exactitud. |
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En el siglo XVII |
Matem�tico franc�s (1623-1662) Matem�tico ingl�s (1616-1703) Matem�tico franc�s (1602-1675) Matem�tico y f�sico franc�s (1596-1650) Matem�tico ingl�s (1630-1677) |
La aparici�n del an�lisis
infinitesimal fue la culminaci�n de un largo proceso, cuya esencia matem�tica
interna consisti� en la acumulaci�n y asimilaci�n te�rica de los elementos
del c�lculo diferencial e integral y la teor�a de las series. Para el
desarrollo de este proceso se contaba con: el �lgebra; las t�cnicas de
c�lculo; introducci�n a las matem�ticas variables; el m�todo de coordenadas;
ideas infinitesimales cl�sicas, especialmente de Arqu�medes; problemas de
cuadraturas; b�squeda de tangentes... Las causas que motivaron este proceso
fueron, en primer t�rmino, las exigencias de la mec�nica, la astronom�a y la
f�sica. En la resoluci�n de problemas de este g�nero, en la b�squeda de
problemas generales de resoluci�n y en la creaci�n del an�lisis infinitesimal
tomaron parte muchos cient�ficos. |
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En
el a�o de 1601 |
Matem�tico alem�n (1571-1630) |
En la esfera de las matem�ticas, se
le atribuye el haber contribuido a crear el c�lculo infinitesimal y estimular
el uso de los logaritmos en los c�lculos. Fue uno de los primeros en advertir
el efecto que tiene la luna sobre las mareas. |
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En el a�o de 1636 |
Abogado franc�s (1601�1665) |
Los primeros conceptos profundos en
el orden de lo infinitesimal se deben a estudios casi simult�neos de Fermat, Roberval y Torricelli, sobre todo a Fermat. �ste con su
estudio sobre las tangentes y sus trabajos sobre m�ximos y m�nimos, problema
que abord� del mismo modo que se hace hoy d�a en el c�lculo. Con esto se dijo
que Fermat es inventor del c�lculo diferencial. Uno de los m�s grandes
matem�ticos del siglo XVIII, Lagrange, as� lo
acept�. |
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En
el a�o de 1638 |
Matem�tico italiano (1564--1642) |
En su obra Di�logos sobre dos nuevas ciencias
(movimiento y mec�nica), inici� la comprensi�n de estos temas, llev� a la
formulaci�n de las leyes de movimiento de Newton, m�s precisas y al
perfeccionamiento que de esas leyes hicieron m�s tarde otros cient�ficos. |
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En
el siglo XVI |
Bonaventura
Francesco Cavalieri Matem�tico italiano (1598-1647) disc�pulo de Galileo. |
Cobra importancia por su teor�a de
los �indivisibles�, que expuso en su obra �Geometria
indivisibilibus continuorum
quadam nova ratione promota�, publicada en 1965. Esta teor�a estudia las
magnitudes geom�tricas como compuestas de un n�mero infinito de elementos o
indivisibles. La medida de las longitudes, de las superficies y de los
vol�menes se convierte en la suma de la infinidad de indivisibles, el cual es
el principio del c�lculo de una��
integral definida, aunque sin la noci�n rigurosa de paso al l�mite.
Por esto puede ser considerado como uno de los precursores del an�lisis
infinitesimal moderno. |
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En
el siglo XVI |
Matem�tico
italiano (1608-1647) disc�pulo de Galileo. |
Tempranamente hizo uso de los m�todos
infinitesimales y determin� el punto en el plano de un tri�ngulo, tal que la
suma de sus distancias de los v�rtices es la m�nima (conocida como el centro isog�nico). |
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En
el a�o� 1684 |
Matem�tico alem�n (1646-1716) |
Naci� en Leipzig,
Alemania; fue diplom�tico, jurista, ling�ista, fil�sofo y matem�tico. Fue uno
de los grandes pensadores de los siglos XVII y XVIII y se le conoce como �El
�ltimo genio universal�. Empez� a estudiar matem�ticas cuando ten�a 26 a�os.
Realiz� importantes contribuciones a la l�gica simb�lica, a la filosof�a,
perfeccion� la m�quina de calcular inventada por Pascal; pero su mayor fama
se debe a la invenci�n, igual que Newton, del c�lculo. en 1684, apareci� la primera publicaci�n sobre
c�lculo diferencial: unas 7 p�ginas escritas por Leibniz en la revista
alemana Alta Eruditorum. Los �ltimos a�os de
la vida de Leibniz fueron amargados por la recia pol�mica que mantuvo con
Newton sobre la autor�a de la invenci�n del c�lculo infinetesimal. |
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En
el siglo XVII |
Matem�tico
ingl�s (1630-1677)
maestro de Newton. |
Barrow desarroll� un
m�todo de determinaci�n de tangentes que encierran aproximados m�todos de
c�lculo, fue el primero en establecer que la derivaci�n y la integraci�n son procesos
inversos. La conocida Regla de
Barrow fue llamada as� en honor a �l; sin embargo, tambi�n se le conoce como
la Regla de Newton-Leibniz o segundo Teorema fundamental del c�lculo. |
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En el a�o de 1687 |
Matem�tico ingl�s (1642-1727) |
Naci� en Woolsthorpe
condado de Lincolnshire, Inglaterra el 25 de diciembre de 1642 seg�n el
calendario juliano (4 de enero de 1643, seg�n el calendario gregoriano). En 1664 la universidad de Cambridge
cerr� sus puertas debido a una plaga que invadi� la regi�n y Newton volvi� a
su pueblo natal, all�, en dos a�os de experimentos y reflexiones solitarias,
sent� las bases de sus grandes descubrimientos: la ley de la gravitaci�n
universal, el c�lculo infinitesimal, el teorema del binomio y la naturaleza
de la luz; ten�a 23 a�os. Es curioso que Newton no hablara con
nadie de sus descubrimientos que fueron dados a conocer poco a poco, a veces
a 20 a�os despu�s de su invenci�n. Newton publica su invenci�n del
c�lculo infinitesimal en su obra monumental �Principia Matem�tica� en 1687, 3
a�os despu�s que Leibniz. |
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En el siglo XVII |
Matem�tico franc�s (1652-1719) |
Se dedic� esencialmente a la teor�a
de ecuaciones donde obtuvo diversos resultados importantes, entre los que
destaca el reconocido teorema que lleva su nombre formulado en 1691. Tambi�n invent� la notaci�n
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En el siglo XVII |
Matem�tico suizo (1654-1807) |
La familia Bernoulli, de Basilea,
Suiza, produjo 8 matem�ticos importantes en 3 generaciones. El nombre de Johann Bernoulli est�
relacionado con el marqu�s de L� H�pital,
matem�tico aficionado, quien lo contrat� como profesor. En 1696, L� H�pital public�, sin nombre de autor, el primer libro de
texto de c�lculo infinitesimal. En ediciones posteriores figuraba el nombre
de L� H�pital como autor. Posteriormente al haberse
encontrado correspondencia entre maestro y disc�pulo se supo que ese famoso
libro era una copia de las ense�anzas de Bernoulli. |
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En el siglo XVIII |
Matem�tico ingl�s (1685-1731) Matem�tico escoc�s (1698-1746) |
Brook Taylor
publica en 1715 su obra �Los m�todos de incrementaci�n directa e inversa� en
ella agregaba a las matem�ticas una nueva rama llamada �El c�lculo de las
diferencias finitas�, el mismo trabajo conten�a la c�lebre f�rmula conocida
como la Serie de Taylor. Invent� la integraci�n por partes e hizo otras
importantes contribuciones a la matem�tica. En 1742 Colin
MacLaurin public� �Tratado de las fluxiones�, donde
introduce las llamadas Series de Maclaurin, caso
particular de las series de Taylor. Despu�s de su muerte, en 1748 se publica
�Tratado de �lgebra� donde us� determinantes para resolver sistemas de ecuaciones
con cuatro inc�gnitas. Dos a�os despu�s este m�todo fue popularizado por
Gabriel Cramer como Regla de Cramer.
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En el siglo XVIII |
Matem�tico suizo (1707-1783) |
Alumno de J. Bernoulli. Sin duda
alguna el matem�tico m�s sobresaliente del siglo XVIII, a �l se debe en gran
medida, despu�s de Newton y Leibniz, el desarrollo del c�lculo con la
publicaci�n de su famoso libro �Introducci�n al an�lisis de las magnitudes
infinitamente peque�as� en � |
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En los siglos XVIII - XIX |
Abogado franc�s (1717-1783) Joseph Louis de Lagrange����� � Matem�tico italiano (1736-1813) Matem�tico franc�s (1749-1827) Carl Friedrich Gauss���������� � Matem�tico alem�n (1777-1855) |
Se postularon los fundamentos de las
matem�ticas modernas. Avances en la resoluci�n de ecuaciones. En c�lculo,
hicieron de esta �poca la de mayor riqueza para esta parte de las
matem�ticas. Entre los grandes desarrollos de esta �poca se puede
mencionar, la resoluci�n de ecuaciones algebraicas radicales, el desarrollo
del concepto de grupo, avances en los fundamentos de la geometr�a hiperb�lica
no euclidiana, adem�s de la realizaci�n de una muy profunda reconstrucci�n
sobre la base de la creada teor�a de l�mites, la teor�a del n�mero real y en
los problemas de optimizaci�n, el m�todo de los multiplicadores de Lagrange. Se separaron y crearon varias ramas
de las matem�ticas como ecuaciones diferenciales, la teor�a de funciones de
variable real y la teor�a de funciones de variable compleja. En relaci�n con el an�lisis
matem�tico en este siglo, se fundament� en un conjunto de procedimientos y
m�todos de soluci�n de numerosos problemas que crec�a r�pidamente. Todos
estos m�todos a�n pod�an dividirse en tres grandes grupos, constituidos en el
c�lculo diferencial, el c�lculo integral y la teor�a de ecuaciones
diferenciales. Con estos fundamentos se lleg� a lo que se conoce como teor�a
de l�mites y de funciones, que fueron el tema central en este siglo. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico franc�s (1789-1857) |
Desarroll� la teor�a de l�mites y
continuidad. Precisa los conceptos de funci�n, l�mite y continuidad casi como
se manejan actualmente se deben a �l. Dio bases s�lidas al an�lisis infinitesimal
y fundament� su uso. Defini� los criterios de convergencia
y divergencia de las series. Fue el creador de la teor�a de
funciones de variable compleja. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico checo (1781-1848) |
Fue el pionero
en el an�lisis de funciones, en sus trabajos estudi� el criterio de
convergencia de sucesiones y dio una definici�n rigurosa de continuidad de
funciones. Estudi� profundamente las propiedades de las funciones continuas y
demostr� en relaci�n con �stas una serie de notables teoremas, destacando el
denominado teorema de Bolzano: una funci�n continua toma todos los valores
comprendidos entre su m�ximo y su m�nimo. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico alem�n (1804-1851) |
Autor muy prol�fico,
contribuy� en varios campos de la matem�tica, principalmente en el �rea de
las funciones el�pticas, el �lgebra, la teor�a de n�meros y las ecuaciones
diferenciales. Una de sus obras m�s notables, publicada en 1841 fue �Sobre la
formaci�n y propiedades de los determinantes�, en ella plantea la matriz jacobiana, el�
determinante llamado jacobiano, as� como una
de sus aplicaciones m�s interesantes, la determinaci�n de los m�ximos y
m�nimos para funciones de varias variables. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico ingl�s (1793-1841) Matem�tico y F�sico irland�s (1819-1903) |
El teorema de Stokes
es llamado as� en honor a George Gabriel Stokes, a pesar de que la primera
formulaci�n conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece
en una correspondencia que �l mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de
1850. Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del
premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre. El teorema de Green es
un caso particular del teorema de Stokes. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico alem�n (1815-1897) |
Estableci� las
definiciones de l�mite, continuidad y��
derivada de una funci�n como se usan hoy en d�a. Esto le permiti�
demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar como el
teorema del valor medio y el teorema de Bolzano-Weierstrass. Tambi�n realiz�
aportaciones���� en convergencia de
series, en la teor�a de funciones peri�dicas, convergencia de productos
infinitos, c�lculo de variaciones y an�lisis complejo, entre otras
aportaciones en matem�ticas. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico franc�s (1816-1900) Matem�tico franc�s (1819-1885) |
Jean Frenet en su tesis doctoral presentada en 1847 incluye la
teor�a de curvas en el espacio, donde presenta las f�rmulas que actualmente
son conocidas como �F�rmulas de Frenet-Serret�. Frenet aport� seis de dichas f�rmulas, en tanto que Serret desarroll� las nueve restantes. Cabe se�alar que Frenet public� este apartado de su tesis en el �Journal de Math�matique pures et appliques�, en 1852. |
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En el siglo XIX |
Matem�tico alem�n (1826-1866) |
Realiz�
contribuciones muy importantes al an�lisis y la geometr�a diferencial. Publica en 1854 su obra �Sobre la representaci�n de una
funci�n por una serie trigonom�trica�, en ella se define por primera vez el
concepto de integral de Riemann y se inicia la teor�a de funciones de una
variable real. |
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.
Fue una antigua ciudad de la Baja Mesopotamia. Gan� su
independencia durante la Edad
Oscura, tras lo cual se convirti� en capital de un vasto imperio bajo el mandato de Hammurabi
(siglo XVIII a. C.).
Desde entonces se convirti� en un gran centro pol�tico, religioso y cultural.
La civilizaci�n babil�nica,
que dur� desde el siglo XVIII hasta el VI a.C., era, como la sumeria que la
precedi�, de car�cter urbano, aunque se basaba en la agricultura m�s que en la
industria. El pa�s estaba compuesto por unas doce ciudades, rodeadas de pueblos
y aldeas. A la cabeza de la estructura pol�tica estaba el rey, monarca absoluto
que ejerc�a el poder legislativo, judicial y ejecutivo. Por debajo de �l hab�a
un grupo de gobernadores y administradores selectos. Los alcaldes y los
consejos de ancianos de la ciudad se ocupaban de la administraci�n local.
Los babilonios modificaron
y transformaron su herencia sumeria para adecuarla a su propia cultura y
car�cter. El modo de vida resultante demostr� ser tan eficaz que sufri�
relativamente pocos cambios durante aproximadamente 1 200 a�os. Influy� en sus
pa�ses vecinos, especialmente en el reino de Asiria, que adopt� la cultura
babil�nica pr�cticamente por completo. Afortunadamente, se ha encontrado una
colecci�n importante de obras de literatura babil�nica gracias a las excavaciones.
Una de las m�s importantes es la magn�fica colecci�n de leyes (siglo XVIII
a.C.) frecuentemente denominada C�digo de Hammurabi, que, junto con otros
documentos y cartas pertenecientes a distintos periodos, proporcionan un amplio
cuadro de la estructura social y de la organizaci�n econ�mica.
Los babilonios heredaron los logros
t�cnicos de los sumerios en riego y agricultura. El mantenimiento del sistema
de canales, diques, presas y dep�sitos construidos por sus predecesores
necesitaba de un considerable conocimiento y habilidad de ingenier�a. La
preparaci�n de mapas, informes y proyectos implicaban la utilizaci�n de
instrumentos de nivelaci�n y jalones de medici�n. Con fines matem�ticos y
aritm�ticos, utilizaban el sistema sexagesimal sumerio de numeraci�n, que se
caracterizaba por un �til dispositivo denominado notaci�n lugar-valor que se
parece al actual sistema decimal. Continuaron utiliz�ndose las medidas de
longitud, �rea, capacidad y peso, normalizadas anteriormente por los sumerios.
La agricultura era una ocupaci�n complicada y met�dica que necesitaba
previsi�n, diligencia y destreza. Un documento escrito en sumerio recientemente
traducido, aunque utilizado como libro de texto en las escuelas babil�nicas,
resulta ser un verdadero almanaque del agricultor, y registra una serie de
instrucciones y direcciones para guiar las actividades de la granja, desde el
riego de los campos hasta el aventamiento de los cultivos cosechados.
Los artesanos babilonios eran diestros en
metalurgia, en los procesos de abatanado, blanqueo y tinte, y en la preparaci�n
de pinturas, pigmentos, cosm�ticos y perfumes. En el campo de la medicina, se
conoc�a bien la cirug�a y se practicaba frecuentemente, a juzgar por el C�digo
de Hammurabi, que la dedica varios p�rrafos. Tambi�n se desarroll�, sin lugar a
dudas, la farmacopea, aunque la �nica prueba importante de ello procede de una
tablilla sumeria escrita algunos siglos antes del reinado de Hammurabi.
M�s de 1.200 a�os pasaron
desde el glorioso reinado de Hammurabi hasta la subyugaci�n de Babilonia por
los persas. Durante este largo lapso de tiempo, la estructura social, la
organizaci�n econ�mica, el arte y la arquitectura, la ciencia y la literatura,
el sistema judicial y las creencias religiosas babil�nicas sufrieron una
considerable modificaci�n, aunque en general �nicamente en los detalles, no en
la esencia. Basados pr�cticamente por completo en la cultura de Sumer, los
logros culturales de Babilonia dejaron una profunda impresi�n en el mundo
antiguo, y particularmente entre los hebreos y los griegos. La influencia
babil�nica es evidente en las obras de poetas griegos tales como Homero y
Hes�odo, en la geometr�a del matem�tico griego Euclides, en astronom�a, en
astrolog�a, en her�ldica y en la Biblia.
No podemos dejar de mencionar a los Jardines
Colgantes de Babilonia, una de las 7 maravilla
de la Antig�edad, que fueron mandados construir por Nabucodonosor II para su esposa Amytis,
procedente del norte de Media
(Oriente Medio), que a�oraba su tierra monta�osa y verde, ocupaban un lugar
entre el r�o �ufrates y la Avenida
de las Procesiones, ligados al gran palacio de Nabucodonosor. Aunque se han
teorizado diversos modelos arquitect�nicos de su construcci�n, a�n se desconoce
el sistema exacto utilizado para su creaci�n; se han encontrado sin embargo
poleas y diversos restos de, quiz�, un sistema hidr�ulico, que permiten
situarlos en ese lugar, adem�s de restos de arcos construidos en piedra,
material extra�o en una ciudad donde casi todas las construcciones son de
adobe, que elevaban el suelo unos 20 metros.
Reconstrucci�n art�stica de Babilonia, con los Jardines Colgantes
en primer plano, efectuada en un cuadro del pintor del siglo XVI Martin Heemskerck.
Los jardines estaban junto al palacio del Rey, contiguo al r�o,
para que los viajeros los pudieran contemplar, ya que el acceso al pueblo estaba prohibido. En la m�s alta de
las terrazas se situaba un dep�sito de agua desde el cual corr�an varios arroyos.
Los Jardines Colgantes de Babilonia no "colgaban" realmente en
el sentido de estar suspendidos por cables o cuerdas. El nombre proviene de una
traducci�n incorrecta de la palabra griega kremastos o del t�rmino en lat�n pensilis,
que significa no justamente "colgar" pero si "sobresalir",
como en el caso de una terraza o de un balc�n.
El ge�grafo griego Estrab�n, quien describi� los jardines en el siglo I a. C., escribi�:
��ste consta de terrazas abovedadas alzadas unas sobre otras, que
descansan sobre pilares c�bicos. �stas son ahuecadas y rellenas con tierra para
permitir la plantaci�n de �rboles de gran tama�o. Los pilares, las b�vedas, y
las terrazas est�n construidas con ladrillo cocido y asfalto.�
Las excavaciones arqueol�gicas m�s recientes en la antigua ciudad
de Babilonia, en el actual territorio de Irak destaparon el asentamiento del
palacio. Otros hallazgos incluyen la construcci�n abovedada con paredes gruesas
y una irrigaci�n cerca del palacio meridional.
MESOPOTAMIA
Mesopotamia (en griego
significa �entre r�os�), regi�n que se convirti� en uno de los
primeros centros de civilizaci�n urbana, situada entre los r�os Tigris y
�ufrates, en la zona que en la actualidad ocupan los estados de Irak
(principalmente), Ir�n y Siria.
La riqueza natural de
Mesopotamia siempre ha atra�do a pueblos procedentes de las regiones vecinas
m�s pobres, y su historia es la de continuas migraciones e invasiones. La
lluvia es escasa en la mayor parte de la regi�n, pero cuando el f�rtil suelo se
riega a trav�s de canales produce abundantes cultivos.
La necesidad de autodefensa
y riego llev� a los antiguos mesopot�micos a organizar y construir canales y
asentamientos fortificados. Desde el 6000 a.C. los asentamientos
aumentaron, convirti�ndose en ciudades en el IV milenio a.C. El primer asentamiento
de la regi�n fue probablemente Erid�, aunque el
ejemplo m�s destacado es Uruk (la Erech b�blica) al
sur, donde los templos de adobe se decoraron con fina metalurgia y piedras
labradas. El desarrollo de una administraci�n tambi�n estimul� la invenci�n de
una forma de escritura, la cuneiforme. Los sumerios probablemente fueron
responsables de esta primera cultura urbana que se extendi� hacia el norte del
�ufrates. Otros asentamientos importantes de Sumer fueron Adab,
Isin, Kis, Larsa, Nippur y Ur.
Hacia el 2330 a.C. la
regi�n fue conquistada por los acadios, pueblo sem�tico del centro de
Mesopotamia. Su rey, Sarg�n I el Grande (que rein� hacia el
2335-2279 a.C.), fund� la dinast�a de Acad, y en
su �poca la lengua acadia comenz� a sustituir al sumerio. Los gutis, tribu de las colinas del este, acabaron con el
dominio acadio hacia el 2218 a.C., y, despu�s de un intervalo, la III
Dinast�a de Ur lleg� a dominar gran parte de
Mesopotamia. En Ur, hubo un florecimiento final de
las tradiciones sumerias. Los invasores precedentes del reino norte�o de Elam destruyeron la ciudad de Ur
hacia el 2000 a.C. Bajo su dominio ninguna ciudad consigui� el control
total hasta mediados del siglo XVIII, cuando Hammurabi de Babilonia unific� el
pa�s durante algunos a�os al final de su reinado. Al mismo tiempo, una familia
amorrea obtuvo el control de Assur en el norte; sin
embargo, tanto Babilonia como Assur pronto cayeron a
manos de los reci�n llegados. Hacia el 1595 a.C. los hititas tomaron
Babilonia que poco despu�s cay� bajo el control de los casitas. Durante los 400
a�os siguientes Babilonia se desarroll� notablemente; sus reyes adquirieron un
poder similar al de los faraones de Egipto y su poblaci�n estableci� amplias
relaciones comerciales. Assur cay� en manos del reino
de Mitanni, fortalecido por los hurritas
procedentes del C�ucaso, quienes probablemente estaban relacionados con el
pueblo de Urartu. Los hurritas
hab�an estado en Mesopotamia durante siglos, pero despu�s del 1700 a.C. se
extendieron por todo el norte y tambi�n por Anatolia.
Hacia el 1350 a.C., el
reino de Asiria, al norte de Mesopotamia, comenz� a destacar. El ej�rcito
asirio derrot� a Mitanni, conquistando en poco tiempo
Babilonia hacia el 1225 a.C., y llegando al Mediterr�neo hacia el
1100 a.C. Durante los dos siglos siguientes, esta expansi�n fue detenida
por las tribus arameas procedentes de la estepa siria y, con la ayuda de tribus
caldeas, invadieron Babilonia. Asiria combati� a �stas y a otras tribus,
expandi�ndose de nuevo despu�s del 910 a.C. Durante su mayor extensi�n
(c. 730-650 a.C.) el Imperio asirio control� Oriente Pr�ximo desde
Egipto hasta el golfo P�rsico. Las regiones conquistadas quedaron bajo el mando
de reyes vasallos o, si exist�an problemas, eran anexionadas. Siguiendo una antigua
pr�ctica, los individuos rebeldes eran deportados, produci�ndose una mezcla de
razas en todo el Imperio. Las frecuentes revueltas precisaban una fuerte
potencia militar, pero no se pudo mantener el control en un dominio tan amplio
durante mucho tiempo. Las presiones internas y los ataques de los pueblos de
Media y los caldeos de Babilonia provocaron el colapso en el 612 a.C. Los
medos tomaron la parte elevada del pa�s, dejando Mesopotamia a los caldeos bajo
el gobierno de Nabucodonosor II. Los caldeos rigieron Mesopotamia hasta el
539 a.C., cuando Ciro el Grande de Persia, quien hab�a conquistado Media,
captur� Babilonia.
Bajo los persas, Mesopotamia
se dividi� en las satrap�as (provincias) de Babilonia y Assur,
desempe�ando Babilonia un papel fundamental en el Imperio. La lengua aramea,
ampliamente hablada con anterioridad, se convirti� en el idioma com�n, y el
establecimiento de un gobierno imperial trajo consigo la estabilidad a la
regi�n. Sin embargo, al final, el r�gimen fue demasiado opresivo y la prosperidad
de Mesopotamia declin�.
Las culturas de Mesopotamia fueron pioneras en
muchas de las ramas de conocimiento; desarrollaron la escritura que se denomin�
cuneiforme, en principio pictogr�fica y m�s adelante la fon�tica; en el campo
del derecho, crearon los primeros c�digos de leyes; en arquitectura,
desarrollaron importantes avances como la b�veda y la c�pula, crearon un
calendario de 12 meses y 360 d�as e inventaron el sistema de numeraci�n sexagesimal.
Sus restos, aunque quiz�s todav�a hay muchos por
descubrir, muestran una cultura que ejerci� una poderosa influencia en otras
civilizaciones del momento y por ende el desarrollo de la cultura occidental.
El c�lculo floreci� en Mesopotamia mediante un
sistema de numeraci�n decimal y sistema sexagesimal, cuya primera aplicaci�n
fue en el comercio. Adem�s de la suma y resta conoc�an la multiplicaci�n y la
divisi�n y, a partir del II milenio a. C. desarrollaron una
matem�tica que permit�a resolver ecuaciones hasta de tercer grado. Conoc�an
asimismo un valor aproximado del n�mero π, de la ra�z y la potencia, y
eran capaces de calcular vol�menes y superficies de las principales figuras
geom�tricas.
�La
astronom�a floreci� de igual forma. Los sumerios sab�an distinguir entre
planetas �objetos m�viles� y estrellas. Pero fueron los babilonios quienes m�s
desarrollaron este campo, siendo capaces de prever fen�menos astron�micos con
antelaci�n. Este conocimiento de la astronom�a les llev� a adoptar un preciso
calendario lunar, que inclu�a un mes suplementario que lo ajustaba al solar.
�
Tambi�n se han encontrado tratados de medicina y
listados sobre geolog�a, en los que se trataba de clasificar los diferentes
materiales.
LOS EGIPCIOS
Antiguo
Egipto, periodo de la historia de Egipto que abarca desde
su protohistoria hasta el siglo VII d.C., y que comprende, por tanto, el
conjunto de su edad antigua y parte de su edad media.
La antigua civilizaci�n egipcia fue
notable no solo por la riqueza, esplendor y sofisticaci�n de su arquitectura
funeraria, que refleja y atestigua el poder de sus faraones y la habilidad de
sus ingenieros. Tambi�n lo fue por su desarrollado sistema de gobierno; por la
aplicaci�n de sistemas de irrigaci�n; por su escritura pictogr�fica; por sus
estudios en los campos de la astronom�a, las matem�ticas y la medicina; por la
creaci�n de una cultura espiritual muy compleja, patente en sus panteones y en
sus conceptos de vida ultraterrena; as� como por su destreza y sensibilidad
art�sticas.
La misteriosa Esfinge, con cuerpo de le�n y cabeza
humana, y la perfecta simetr�a de las pir�mides de Gizeh
son s�mbolos mundialmente conocidos del antiguo Egipto. La m�s antigua de las
tres pir�mides se construy� alrededor del 2600 a.C. Todas tienen c�maras
funerarias. La imponente estatua de la Esfinge se construy� con gigantescos
bloques de caliza hace m�s de 4.000 a�os.
Las c�maras sepulcrales de las pir�mides egipcias
albergaban el sarc�fago del fara�n y los bienes materiales que deb�an
acompa�arle en su viaje al m�s all�. Estas c�maras estaban situadas al final de
largos pasajes que pod�an estar sellados o construidos de forma que
confundieran a los posibles ladrones de tumbas. Esta secci�n transversal de la
pir�mide de Keops muestra la disposici�n interna del conjunto de pasajes y c�maras
sepulcrales.
Los antiguos egipcios utilizaban su lengua escrita
para los textos religiosos, pero, por su naturaleza pict�rica, los jerogl�ficos
tambi�n fueron un popular elemento decorativo en las estatuas, como la de la
imagen.
En 1799 cerca de Rosetta, una ciudad egipcia, el Ej�rcito franc�s encontr� la piedra de Rosetta que fue la clave para descifrar la escritura jerogl�fica del antiguo Egipto. Esta piedra de basalto negro fue grabada hacia el 196 a.C. con tres inscripciones de id�ntico contenido en honor al rey Tolomeo V, pero con tres alfabetos diferentes: el jerogl�fico, el dem�tico y el griego. Al comparar las tres versiones, los investigadores lograron desentra�ar el significado de los jerogl�ficos, y as� sentaron las bases de la egiptolog�a.
El conocimiento que en la actualidad
se tiene del antiguo Egipto se debe, en buena parte, a los grandes monumentos
que aquella civilizaci�n leg�; y a la arqueolog�a, que los descubri�, analiz� y
estudi�. Una significativa faceta de la egiptolog�a (que se define como el
estudio de la civilizaci�n del antiguo Egipto) es la investigaci�n de la
valios�sima informaci�n proporcionada por los textos escritos en caracteres
jerogl�ficos que se han hallado en las paredes y muros de tumbas y templos, en
obeliscos y columnas, y en tablillas de arcilla y papiros. La interpretaci�n de
esos jerogl�ficos, que fue posible gracias al hallazgo, en 1799, de la piedra
de Rosetta, ha permitido conocer progresivamente
m�ltiples aspectos de la vida del antiguo Egipto. Otra fuente que result�
fundamental para la reconstrucci�n de su historia fue el Aegyptiaca
de Manet�n, un sacerdote tolemaico del siglo
III a.C. que organiz� una lista de reyes dividida en 30 dinast�as.
PRIEDRA ROSETA
Ciencia
La ciencia del antiguo Egipto goz� de gran prestigio desde
tiempos remotos. Es enormemente significativo el alto nivel que desarroll� esta
civilizaci�n y la amplitud de conocimientos que sus escribas hab�an llegado a
dominar. La tradici�n refleja que los hombres sabios de la antigua Grecia iban
a aprender a Egipto, en donde exist�a una ciencia venerable y un elevado nivel
de conocimientos cient�ficos, aunque algunas veces mezclados con pr�cticas
m�gicas.
Matem�ticas
Entre todas las ramas de la ciencia que desarrollaron, la
que m�s avanzaron fueron las matem�ticas. La necesidad de volver a marcar los
l�mites de los terrenos al bajar el nivel del agua del Nilo, tras de las
inundaciones anuales, impuls� el desarrollo de la geometr�a y los instrumentos
de medici�n, tanto del terreno como del tiempo, que fueron bastante precisos.
Papiro de Rhind
El Papiro de Ahmes, tambi�n conocido como Papiro Rhind,
es un documento de car�cter did�ctico que contiene diversos problemas
matem�ticos. Est� redactado en escritura hier�tica y mide unos seis metros de
longitud por 32 cm de anchura. Se encuentra en buen estado de conservaci�n. El
texto, escrito durante el reinado de Apofis I, es
copia de un documento del siglo XIX a. C. de �poca de Amenemhat
III.
Fue
escrito por el escriba Ahmes a mediados del siglo XVI
a. C., a partir de textos de trescientos a�os de antig�edad, seg�n relata Ahmes al principio del texto.
El
papiro fue encontrado en el siglo XIX, junto a un rollo de cuero, entre las
ruinas de una edificaci�n pr�xima al Ramesseum, y
adquirido por Henry Rhind en 1858. Dos fragmentos se
custodian desde 1865 en el Museo Brit�nico de Londres (EA 10057-8), aunque no
est�n expuestos al p�blico.
Contiene
87 problemas matem�ticos con cuestiones aritm�ticas b�sicas, fracciones,
c�lculo de �reas, vol�menes, progresiones, repartos proporcionales, regla de
tres, ecuaciones lineales y trigonometr�a b�sica.
Su contenido puede clasificarse en:
Operaciones con n�meros racionales enteros y fraccionarios
(1 a 23, 47, 80, 81);
Resoluci�n de ecuaciones de primer grado (24 a 27, 30 a
38);
Problemas de "pensar un n�mero..." (28, 29);
Progresiones aritm�ticas (39, 40 y 64);
Vol�menes, capacidades y poliedros (41 a 46, 56 a 60);
�reas de figuras planas (48 a 55);
Regla para obtener los 2/3 de n�meros pares (61 y 61B);
Proporciones (62, 63, 65 a 68);
Progresiones geom�tricas (79);
Varios (80 a 87).
En �l encontramos el tratamiento de las fracciones. Los
antiguos egipcios no realizaban el c�lculo de fracciones como lo conocemos hoy,
pues escrib�an los n�meros fraccionarios como suma de fracciones unitarias (las
de la forma 1/n con n natural) distintas. Este tipo de sumas son conocidas hoy
como fracciones egipcias.
PAPIRO DE RHIND
ZEN�N DE
ELEA
Fue un fil�sofo griego nacido en Elea,
al suroeste de Italia (490-430 a. C.), ��perteneciente a la escuela ele�tica disc�pulo
directo de Parm�nides de
Elea, lleg�
a ser su disc�pulo predilecto y le acompa�� a Atenas cuando ten�a 40 a�os.
Como sucede con la mayor�a de los fil�sofos presocr�ticos, la vida de Zen�n de
Elea permanece en gran parte desconocida. Las fuentes que brindan luz al
respecto son el di�logo Parm�nides de Plat�n y la obra Vida de los fil�sofos ilustres del historiador y fil�sofo antiguo Di�genes Laercio.
En el di�logo de Plat�n, se dice que Zen�n tiene cerca de 40 a�os
y que Parm�nides roza los 65 en el momento en que ambos se encuentran con un S�crates "muy joven". Plat�n lo
describe como "alto y bello a la mirada", as� como estimado por su
maestro.
Di�genes Laercio indica que fue hijo
natural de un hombre llamado Telent�goras, pero que
Parm�nides lo tom� en adopci�n. Laercio subraya as�
mismo su destreza a la hora de analizar los dos lados de cada cuesti�n o
dilema, capacidad que le hizo recibir el t�tulo de "inventor de la dial�ctica" de la mano de Arist�teles.
En Atenas, Zen�n ense�� filosof�a durante algunos
a�os, concentr�ndose en el sistema ele�tico de metaf�sica. El estadista
ateniense Pericles y Calias estudiaron con �l. Zen�n
regres� m�s tarde a Elea y, seg�n cuenta la tradici�n, se uni� a una
conspiraci�n para librar a su ciudad nativa del tirano Nearcco;
la conspiraci�n fracas� y Zen�n fue torturado con dureza, pero se neg� a
delatar a sus compa�eros. No se conocen m�s circunstancias de su vida.
S�lo pocos fragmentos de la obra de Zen�n perduran,
pero las obras de Plat�n y Arist�teles se nutren de referencias textuales de
los escritos de Zen�n. En el plano filos�fico, Zen�n aceptaba la creencia de
Parm�nides de que el universo, o el ser, es una sustancia indiferenciada, simple,
�nica, aunque pueda parecer diversificada para los sentidos. La intenci�n de
Zen�n fue desacreditar las sensaciones, lo que pretendi� hacer a trav�s de una
brillante serie de argumentos o paradojas, sobre el espacio y el tiempo que han
perdurado hasta nuestros d�as como mosaicos intelectuales complejos. Una
paradoja cl�sica afirma que un corredor no puede llegar a la meta porque, para
lograrlo, debe recorrer una distancia; pero no puede recorrer esa distancia sin
primero recorrer la mitad de ella, y as� ad infinitum. Porque existe un
n�mero infinito de bisecciones en una distancia espacial, uno no puede recorrer
una distancia en tiempo finito, a menos que acorte la distancia o aumente la
velocidad. Este argumento, como muchos otros de Zen�n, se propon�a demostrar la
imposibilidad l�gica del movimiento. Dado que los sentidos nos llevan a creer
en la existencia del movimiento, los sentidos son ilusorios y por lo tanto no
existe ning�n obst�culo para aceptar las inveros�miles teor�as de Parm�nides de
otra forma. Zen�n es reconocido no s�lo por sus paradojas, sino por establecer
los debates filos�ficos que favorecen la discusi�n razonada. Por todo ello,
Arist�teles le consider� el creador del razonamiento dial�ctico.
Se le ha considerado el primero en utilizar la demostraci�n
llamada ad absurdum (reducci�n al absurdo), que toma por hip�tesis lo contrario de lo que se considera
cierto y muestra las incongruencias que se derivan de una consideraci�n de esto
como verdadero, obligando al
interlocutor a rechazar las premisas y a aceptar las tesis opuestas, que eran las que se quer�an
demostrar en un principio. Este procedimiento lo lleva a cabo mediante sus
apor�as.
Los razonamientos de Zen�n constituyen el testimonio m�s antiguo
que se conserva del pensamiento infinitesimal desarrollado muchos siglos despu�s en
la aplicaci�n del c�lculo
infinitesimal que nacer� de la mano de Leibniz y Newton en 1666.
No obstante, Zen�n era ajeno a toda posible matematizaci�n,
presentando una conceptualizaci�n de tal estilo como un instrumento necesario
para poder formular sus paradojas.
Fue un fil�sofo griego (460-370
a. C.), que desarroll� la teor�a at�mica del universo, concebida por su mentor,
el fil�sofo Leucipo. Dem�crito, cuyo nombre significa
"escogido del pueblo", conocido por el sobrenombre de Milesio o Abderita naci� en Abdera, Tracia.
Escribi� numerosas obras, pero s�lo perduran escasos fragmentos de ellas.
Se le considera un fil�sofo
presocr�tico tradicionalmente,
aunque es un error de cronolog�a, ya que fue contempor�neo de S�crates y tambi�n es un error desde el punto
de vista filos�fico: la mayor parte de sus obras tratan de �tica y apenas nada
de physis, cuyo estudio
caracterizaba a los presocr�ticos.
Dem�crito fue disc�pulo y despu�s sucesor de Leucipo de Mileto, natural tambi�n de Abdera. Fueron adem�s oriundos de Abdera: Anaxarco y Prot�goras.
Dem�crito de Abdera fue conocido en su
�poca por su car�cter extravagante. Se le adjudican numerosas leyendas. Realiz�
muchos viajes por Egipto, Persia y Mesopotamia, donde habr�a aprendido de magos
persas, sacerdotes egipcios y caldeos. Se dice de �l que present�a lo futuro y
entre sus obras m�s importantes se cita su "Gran Diacosmos",
por la cual obtuvo, por plebiscito popular, el premio de 500 talentos. Dem�crito muri� a los 90 a�os de edad,
aunque todos los autores de la antig�edad que hayan hecho referencia a su edad,
coinciden en que vivi� m�s de cien a�os.
Seg�n
la teor�a at�mica de la materia de Dem�crito, todas las cosas est�n compuestas
de part�culas diminutas, invisibles e indestructibles de materia pura (en
griego atoma, 'indivisible'), que se mueven
por la eternidad en un infinito espacio vac�o (en griego kenon,
'el vac�o'). Aunque los �tomos est�n hechos de la misma materia, difieren en
forma, medida, peso, secuencia y posici�n. Las diferencias cualitativas en lo
que los sentidos perciben y el origen, el deterioro y la desaparici�n de las
cosas son el resultado no de las caracter�sticas inherentes a los �tomos, sino
de las disposiciones cuantitativas de los mismos. Dem�crito consideraba la
creaci�n de mundos como la consecuencia natural del incesante movimiento
giratorio de los �tomos en el espacio. Los �tomos chocan y giran, formando
grandes agregaciones de materia. Muchos consideran
que Dem�crito es "el padre de la ciencia moderna".
Dem�crito escribi� tambi�n sobre �tica, proponiendo
la felicidad, o 'alegr�a', como el mayor bien �una condici�n que se logra a
trav�s de la moderaci�n, la tranquilidad y la liberaci�n de los miedos. En la
historia Dem�crito era conocido como el Fil�sofo Alegre, en contraste al m�s
sombr�o y pesimista Her�clito. Su teor�a at�mica anticip� los modernos
principios de la conservaci�n de la energ�a y la irreductibilidad de la materia.
Se dice que viaj� por Egipto,
donde vivi� cinco a�os y adquiri� conocimientos de geometr�a; visit� Etiop�a,
Mesopotamia, Babilonia, Caldea y Persia y
que incluso lleg� a la India en busca de conocimientos. Hab�a
adquirido dinero para viajar de la herencia que le dej� su padre a �l y a sus
dos hermanos; le correspondieron cien talentos.
Siendo ampliamente ignorado en Atenas durante su vida, la obra de Dem�crito
fue bastante conocida por Arist�teles,
que la coment� extensamente. Es famosa la an�cdota que Plat�n detestaba tanto a Dem�crito que
quer�a que todos sus libros fuesen quemados. Se
dice que estuvo a punto de quemarlos pero que se lo impidieron los pitag�ricos Amiclas y Clitias aludiendo que era
in�til pues ya sus escritos circulaban en muchas partes.
Di�genes Laercio list� una serie de escritos de
Dem�crito que superan las 70 obras sobre �tica, f�sica, matem�tica, t�cnica e
incluso m�sica, por lo que Dem�crito es considerado un autor enciclop�dico. No
se conservaron tales escritos, de toda esta producci�n s�lo nos quedan unos
trescientos fragmentos menores, la mayor parte de los cuales son reflexiones
morales de las cuales s�lo conocemos fragmentos, sobre todo gracias a las
alusiones de Arist�teles y de Teofrasto.
Existen diversas colecciones de esos fragmentos, como las de Diels-Kranz, Luria y Leszl.
Eudoxo
(408-355 a.C.), astr�nomo y matem�tico griego que realiz� importantes
aportaciones en el campo de la geometr�a y expuso la primera explicaci�n
sistem�tica de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas. Eudoxo naci� en Cnido (en lo que
actualmente es Turqu�a). Fue disc�pulo del fil�sofo Arquitas y estudi� con
Plat�n durante un breve periodo.
A Eudoxo se le atribuye generalmente el descubrimiento de que
el a�o solar tiene 6 horas m�s de los 365 d�as. Eudoxo
tambi�n intent� explicar los movimientos del Sol, la Luna y los planetas
mediante un modelo del Sistema Solar basado en una complicada combinaci�n de
esferas que giran. Su modelo tuvo un relativo �xito en la predicci�n de estos
movimientos. Eudoxo tambi�n llev� a cabo importantes
descubrimientos en matem�ticas; se le atribuyen muchos en geometr�a,
posteriormente incluidos en los Elementos de Euclides.
Fue disc�pulo
de Arquitas de Tarento. Su trabajo sobre la teor�a de la proporci�n denota una
amplia comprensi�n de los n�meros y permite el tratamiento de las cantidades
continuas, no �nicamente de los n�meros enteros o n�meros racionales. Cuando
esta teor�a fue resucitada por Tartaglia y otros
estudiosos en el siglo XVI, se convirti� en la base de muchas obras de ciencias
durante un siglo, hasta que fue sustituida por los m�todos algebraicos de
Descartes.
Eudoxo
demostr� que el volumen de una pir�mide es la tercera parte del de un prisma de
su misma base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de
un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Dem�crito. Para
demostrarlo elabor� el llamado m�todo de exhausci�n,
antecedente del c�lculo integral, para calcular �reas y vol�menes. El m�todo
fue utilizado magistralmente por Arqu�medes. El trabajo de ambos como
precursores del c�lculo fue �nicamente superado en sofisticaci�n y rigor
matem�tico por Newton y Leibniz.
�
Arqu�medes (287-212 a.C.), notable matem�tico e inventor
griego, que escribi� importantes obras sobre geometr�a plana y del espacio,
aritm�tica y mec�nica.
Naci� en Siracusa, Sicilia, y se educ� en Alejandr�a,
Egipto. En el campo de las matem�ticas puras, se anticip� a muchos de los
descubrimientos de la ciencia moderna, como el c�lculo integral, con sus
estudios de �reas y vol�menes de figuras s�lidas curvadas y de �reas de figuras
planas. Demostr� tambi�n que el volumen de una esfera es dos tercios del
volumen del cilindro que la circunscribe. Pidi� a sus amigos y parientes que,
cuando muriera, esculpieran sobre la losa de su tumba una esfera inscrita
dentro de un cilindro, siendo el volumen del cilindro igual a 1,5 veces el volumen
de la esfera.
Se considera que Arqu�medes fue uno de los matem�ticos m�s
grandes de la antig�edad y, en general, de toda la historia. Us� el m�todo
exhaustivo para calcular el �rea bajo el arco de una par�bola con el sumatorio
de una serie infinita, y dio una aproximaci�n extremadamente precisa del n�mero
.
Tambi�n demostr� que el �rea del c�rculo era igual a 
�multiplicado por el cuadrado del radio del
c�rculo. Defini� f�rmulas para los vol�menes de las superficies de revoluci�n y
un ingenioso sistema para expresar n�meros muy largos.
En mec�nica, Arqu�medes defini� la ley de la palanca y se
le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en
Egipto invent� el �tornillo sin fin� para elevar el agua de nivel, sac�ndola de
un r�o. Arqu�medes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley
fundamental de la hidrost�tica, el llamado principio de Arqu�medes, que
establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una p�rdida de
peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja. Se dice que este
descubrimiento lo hizo mientras se ba�aba, al comprobar c�mo el agua se
desplazaba y se desbordaba; sorprendido por su hallazgo salt� fuera de la
ba�era, y corri� por las calles de Siracusa gritando: ��Eureka!, �Eureka!�, que
significa �lo encontr�. Aplicando este principio comprob� que la corona de oro
que hab�a mandado fabricar su protector, el rey Hier�n,
no ten�a la misma densidad que el oro puro, por lo que supo que el orfebre le
hab�a enga�ado, no hab�a utilizado solamente el oro que el rey le hab�a
proporcionado.
Arqu�medes pas� la mayor parte de su vida en Sicilia, en
Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigaci�n y los experimentos.
Aunque no tuvo ning�n cargo p�blico, durante la conquista de Sicilia por los
romanos se puso a disposici�n de las autoridades de la ciudad y muchos de sus
instrumentos mec�nicos se utilizaron en la defensa de Siracusa. Entre la
maquinaria de guerra cuya invenci�n se le atribuye est� la catapulta y un
sistema de espejos �quiz� legendario� que incendiaba las embarcaciones enemigas
al enfocarlas con los rayos del sol.
Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra
P�nica, fue asesinado por un soldado romano que le encontr� dibujando un
diagrama matem�tico en la arena. Se cuenta que Arqu�medes estaba tan absorto en
las operaciones que ofendi� al intruso al decirle: �No desordenes mis
diagramas�. En un mosaico hallado en las ruinas de Herculano
aparece representada esta escena.
Todav�a subsisten muchas de sus obras sobre matem�ticas y
mec�nica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario
y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginaci�n
de su pensamiento matem�tico.
Blaise Pascal (1623-1662) fue matem�tico,
f�sico, fil�sofo cristiano y escritor franc�s. Sus contribuciones a las matem�ticas y las ciencias
naturales incluyen el dise�o y construcci�n de calculadoras mec�nicas, aportes a la Teor�a
de la probabilidad, investigaciones sobre los fluidos y la aclaraci�n de conceptos tales como la presi�n y el vac�o. Despu�s de una experiencia religiosa profunda en 1654,
Pascal abandon� las matem�ticas y la f�sica para dedicarse a la filosof�a y a la teolog�a. Considerado
una de las mentes privilegiadas de la historia intelectual de Occidente.
Blaise Pascal naci� en el seno de una familia noble en Clermont (hoy en d�a Clermont-Ferrand). Su padre, �tienne
Pascal, tras haber recibido una formaci�n como jurista en Par�s, era un magistrado de alto rango
que se desempe�aba como juez vicepresidente de la oficina de recaudaci�n
tributaria de Auvernia en Clermont. Por otra parte, �tienne
Pascal destacar�a m�s tarde como matem�tico. Su madre, Antoinette
Begon proven�a de una familia burguesa de
comerciantes acomodados. Blaise Pascal ten�a dos hermanas, Gilberte
y Jaqueline. A la primera, tres a�os mayor que Blaise, se le conoce mucho m�s,
puesto que fue ella quien escribi� la primera biograf�a publicada sobre su
hermano. Al nacer Jaqueline, su hermana dos a�os menor, la madre no logr�
recuperarse de aquel parto complicado y el puerperio, de modo que Pascal perdi�
su madre a la temprana edad de tres a�os.
En 1631, �tienne Pascal se traslad� con
su familia a Par�s, conservando en Clermont su puesto en la oficina de
recaudaci�n de impuestos. Tambi�n llev� a una ni�era que estaba a cargo del
cuidado de sus tres hijos hu�rfanos de madre. Blaise
ten�a para entonces ocho a�os y el objetivo de su padre era abrirle en la
capital francesa mayores posibilidades que las existentes en la provincia para
su educaci�n y despliegue de capacidades, a todos los hijos, pero
particularmente para Blaise, quien llamaba mucho la atenci�n por su capacidad
intelectual superdotada.
Resulta sorprendente que Pascal no haga ninguna menci�n de esta
temprana p�rdida. Al respecto, su hermana Gilberte
Pascal escribir� en la biograf�a:
...al morir mi madre en 1626, cuando mi hermano no ten�a m�s que
tres a�os, mi padre, al quedarse solo, se entreg� con mayor dedicaci�n al
cuidado de la familia; y como Blaise era su �nico hijo var�n, esta cualidad y
las dem�s que en �l observ� (las grandes pruebas de inteligencia que observ� en
�l) le llen� hasta tal punto de afecto paternal que decidi� no encargar a nadie
la tarea de su educaci�n y tom� la resoluci�n de instruirle �l mismo, como en
efecto hizo, pues mi hermano no tuvo nunca otro maestro que mi padre...
En 1640, su padre fue nombrado Comisario Real
y jefe de la recaudaci�n de impuestos para Normand�a con asiento en Ruan. Aqu�, en 1642, Pascal invent�
para �l la �rueda de pascal� o �Pascalina�,
considerada como una de las calculadoras m�s antiguas. Inicialmente solo
permit�a realizar adiciones, pero en el curso de los diez a�os siguientes
a�adi� mejoras, siendo finalmente capaz de hacer restas. Pascal la hizo
patentar, pero no se cumplieron sus expectativas de hacerse rico
comercializando su invento por medio de una peque�a empresa de su propiedad.
Las m�quinas, trabajosamente confeccionadas una a una y a mano, eran demasiado
caras como para poder venderse en vol�menes mayores y solo lleg� a fabricar
cincuenta, de las que subsisten nueve.
Pascalina
En 1646, durante la convalecencia del padre despu�s de un
accidente, la familia, que hasta entonces no hab�a sido muy religiosa, entr� en
contacto con las ense�anzas del obispo reformista holand�s Jansenio,
que defend�a en el seno de la iglesia cat�lica una noci�n de gracia divina basada en San Agust�n, similar a las ideas de Calvino. El padre, el hijo y las hijas
se hicieron devotos y Jacqueline incluso decidi� hacerse monja, mientras que
Pascal, que sufr�a fen�menos de par�lisis en las piernas con permanentes
dolores, interpret� su enfermedad como signo divino y empez� a llevar una vida
asc�tica.
Sin embargo, el propio Pascal nunca consider� que su devoci�n
fuera un obst�culo para seguir dedic�ndose a sus estudios en ciencias naturales
y matem�ticas. As�, por ejemplo, ya en 1646 repiti� con �xito los ensayos que Evangelista Torricelli hab�a realizado en 1643 para demostrar
la existencia del vac�o, la que
hasta entonces se hab�a considerado como imposible, publicando en 1647 sus
resultados en el Tratado sobre el vac�o.
A partir de mayo de 1647 volvi� a vivir con Jacqueline y poco
despu�s tambi�n con su padre, principalmente en Par�s, donde contact� a los
principales jansenistas, pero
tambi�n continu� con sus investigaciones. Sus ideas no fueron bien recibidas
por numerosos te�logos e investigadores, entre ellos Descartes con el que se reuni� repetidas veces
en Par�s a fines de septiembre de 1647. Por ello a partir de entonces formul�
sus especulaciones sobre el vac�o y el �ter de una forma m�s indirecta,
particularmente en un tratado sobre la presi�n
atmosf�rica, demostrando su dependencia de la altura del lugar en cuesti�n, por
medio de experimentos que hizo realizar a su cu�ado P�rier
en el Puy de Dome en 1648. Tambi�n en 1648, en otro
tratado, fundament� la ley de los vasos
comunicantes.
Pocos a�os antes (en 1644), Torricelli hab�a publicado su experimento por el
que el peso del aire de la atm�sfera manten�a el mercurio en un tubo, con vac�o
en su parte superior, demostrando que el aire ejerce una presi�n debido a su
peso. Pascal no estaba convencido de esa teor�a, y segu�a siendo partidario de
la teor�a del Horror vacui. Para
confirmarlo, pidi� a su cu�ado que escalase el volc�n Puy de D�me hasta su cima, y se comprob� que el
mercurio sube m�s en la base de la monta�a que en su cima. Tras el experimento,
Pascal abandon� la teor�a del Horror vacui y se convirti� a la teor�a de la
causa mecanicista.
En oto�o de 1651 muri� Pascal padre. Poco despu�s y contraviniendo
los deseos tanto del fallecido como tambi�n de Blaise, Jacqueline se incorpor�
al convento estrictamente jansenista de Port
Royal en Par�s.
Ahora, Pascal por primera vez depend�a nada m�s que de s� mismo.
Ya que, si bien no era rico, s� ten�a una situaci�n acomodada y era noble,
comenz� a frecuentar la sociedad de Par�s, trabando amistad con el joven duque
de Roannez, con el que compart�a el inter�s por la
filosof�a. �ste lo llev� de viaje en 1652, junto a algunos de sus amigos
librepensadores, entre ellos Chevalier de M�r�, oportunidad en
la que Pascal se introdujo en la filosof�a moderna, aprendiendo adem�s el arte
de las conversaciones sociales. Gracias a que frecuentaba el sal�n esteta de Madame de Sabl�,
se compenetr� tambi�n con las �bellas letras� de su �poca. Incluso lleg� brevemente a pensar en
comprar un cargo y en casarse. Sin embargo, una obra que se le adjudic� por
mucho tiempo, al amoldarse en cierto sentido a esta fase mundana de su vida, el
an�nimo Discurso acerca de las
Pasiones del Amor, que no es de su autor�a.
En 1653 escribi� un tratado sobre la presi�n atmosf�rica, en el
que por primera vez en la historia de la ciencia se hace una descripci�n
completa de la hidrost�tica.
Junto a sus nuevos conocidos, especialmente con el Chevalier de M�r�, Pascal tambi�n
ten�a discusiones acerca del modo de ganar en los juegos de azar, un pasatiempo
t�picamente de nobles. Esto lo llev� en 1653 a dedicarse a la teor�a de la probabilidad,
estudi�ndola en 1654 en su intercambio epistolar con el juez de Toulouse y destacado matem�tico Pierre de Fermat. Analizaron
principalmente los juegos de dados. Al mismo tiempo, Pascal se ocup� de otros
problemas matem�ticos, publicando diversas obras en 1654: Teor�a de probabilidad y combinatoria, el Trait�
du triangle arithm�tique acerca del llamado tri�ngulo de Pascal y los coeficientes binomiales, en el que
tambi�n por primera vez formul� expl�citamente el principio de demostraci�n por inducci�n matem�tica, el Trait� des ordres num�riques acerca
de los �rdenes de los n�meros y Combinaisons sobre
combinaciones de n�meros.
En oto�o de 1654, Pascal sufri� un trastorno depresivo. Volvi� a
acercarse a Jacqueline, visit�ndola con frecuencia en el convento y se mud� a
otro barrio para alejarse de sus amigos mundanos. Sin embargo, sigui�
trabajando en cuestiones matem�ticas y otros asuntos cient�ficos. Despu�s se
retir� por completo de la sociedad parisina para dedicarse por completo a su
devoci�n.
Aparte de su trabajo en los Pens�es, volvi� a emprender tambi�n estudios
matem�ticos. As�, en 1658, calcul� la superficie de la cicloide con los m�todos de Cavalieri,
as� como el volumen del s�lido de rotaci�n que
resulta de una rotaci�n de la ciclode alrededor del eje de las x.
En 1659 apareci� su escrito Tratado
de los senos de los cuadrantes circulares. Cuando Gottfried Leibniz ley� esta obra en 1673 en Par�s,
recibi� de ella un impulso decisivo para desarrollar el c�lculo infinitesimal considerando el razonamiento
espec�fico por parte de Pascal, que Leibniz emple� de manera m�s general,
interpretando el c�rculo de Pascal como c�rculo de curvatura en determinados
puntos de una funci�n o curva cualquiera. Leibniz dice que en ello hab�a visto
una luz que el propio autor no vio. De all� se origina el concepto de tri�ngulo caracter�stico.
Su salud deteriorada empeor� cada vez m�s deprisa en esos a�os,
probablemente a consecuencia de su modo de vida extremadamente asc�tico, que lo
debilitaba m�s.
A principios de 1662, junto a su amigo Roannez,
fund� una empresa de carrozas �Las carrozas de cincuenta centavos�, marcando el
comienzo del transporte p�blico local en Par�s.
En agosto enferm� gravemente, hizo vender sus enseres dom�sticos don�ndolos
para fines de caridad y muri�, a la edad de solo 39 a�os, un a�o despu�s de la
muerte de su hermana Jacqueline, en casa de los P�rier
en Par�s.
JOHN WALLIS
John Wallis (1616 � 1703), fue un matem�tico ingl�s a quien se atribuye en parte el desarrollo del c�lculo moderno. Fue un precursor del c�lculo infinitesimal (introdujo la utilizaci�n del s�mbolo ∞ para
representar la noci�n de infinito). Entre 1643 y 1689 fue cript�grafo del Parlamento y posteriormente de la Corte real. Fue tambi�n uno de los
fundadores de la Royal Society y
profesor en la Universidad
de Oxford.
Naci� en Ashford, Inglaterra, fue el
tercero de los cinco hijos del reverendo John Wallis y Joanna Chapman. Inici�
su educaci�n en la escuela local de Ashford, pero se
traslad� a la escuela James Movat en Tenterden en 1625 debido al brote de una plaga.
Con la intenci�n de que obtuviera un doctorado, en 1632 fue
enviado al Emmanuel College en Cambridge. All�, defendi� un argumento
sobre la doctrina de la circulaci�n de la sangre; se considera que fue la
primera vez en Europa que esta teor�a era p�blicamente mantenida en una
discusi�n. En cualquier caso, sus intereses segu�an centrados en las
matem�ticas. Obtuvo la licenciatura en
Artes en 1637 y un M�ster en 1640,
posteriormente se incorpor� al sacerdocio. Se le concedi� una beca para
estudiar en Cambridge en 1644, lo cual no le impidi� continuar con sus planes
de su boda con Susana Glyde celebrada el 14 de marzo de 1645.
De regreso a Londres (en 1643 hab�a sido nombrado capell�n de San
Gabriel en Fenchurch Street), Wallis se une al grupo
de cient�ficos que posteriormente formar�an la Royal Society.
En poco tiempo, empez� a escribir sus propios tratados sobre un amplio n�mero
de materias, a lo largo de su vida, Wallis realiz� contribuciones
significativas a la trigonometr�a,
el c�lculo, la geometr�a y el an�lisis de las series infinitas.
John Wallis se uni� a los Presbiterianos moderados apoyando la proposici�n
contra la ejecuci�n de Carlos I,
lo cual le vali� la permanente hostilidad de los Independentistas. A pesar de
su oposici�n, fue propuesto en 1649 para ocupar la C�tedra Savilian de Geometr�a en la Universidad de Oxford, d�nde vivi�
hasta su muerte el 28 de octubre de 1703.
Al margen de sus trabajos en matem�ticas, tambi�n escribi� sobre teolog�a, l�gica, gram�tica inglesa y filosof�a; asimismo, fue uno de los
pioneros en la introducci�n en Inglaterra de un sistema de ense�anza para sordomudos,
inspirado en el m�todo del espa�ol Juan
de Pablo Bonet.
En 1655, Wallis
public� un tratado sobre secciones c�nicas en el que las define anal�ticamente.
Este fue el primer libro en el que estas curvas fueron consideradas y definidas
como curvas de segundo grado. Contribuy� a eliminar algunas de las dificultades
y oscuridades presentes en los trabajos de Ren�
Descartes sobre geometr�a
anal�tica.
En 1656 se public� Arithmetica
Infinitorum, el trabajo m�s importante de Wallis.
En este tratado, los m�todos de an�lisis de Descartes y Cavalieri fueron ampliados y sistematizados,
aunque algunas ideas recibieron cr�ticas. Tras un corto periodo centrado en las
secciones c�nicas, comenz� desarrollando una notaci�n est�ndar para las
potencias, ampli�ndola desde los n�meros
enteros positivos hasta los n�meros
racionales.
Pocos a�os despu�s, en 1659,
Wallis publica un tratado con la soluci�n a los problemas de las cicloides propuestos por Blaise Pascal. En �l, explica c�mo los
principios aportados en su Arithmetica Infinitorum pueden
utilizarse para el c�lculo de la longitud de curvas algebraicas y da una soluci�n al
problema del c�lculo de la longitud de la par�bola semic�bica x� = ay�, descubierta en 1657
por su pupilo William Neil.
Puesto que todos los intentos para el c�lculo de la longitud de la elipse y la
hip�rbola hab�an sido ineficaces, se hab�a supuesto que la longitud de ninguna
curva podr�a ser calculada (con excepci�n de la circunferencia) como de hecho
Descartes hab�a afirmado que era el caso. La espiral
logar�tmica fue la primera l�nea curva cuya
longitud fue calculada, c�lculo hecho por Evangelista Torricelli, pero la
ampliaci�n de Neil y Wallis a cualquier curva algebraica fue una novedad.
Antes, en 1658, un descubrimiento similar, pero independiente del
de Neil, fue realizado por van Heura�t, y publicado en 1659 por van Schooten en su edici�n de la Descartes's
Geometr�a. La soluci�n aportada por Neil y Wallis era muy similiar aunque no enunciaba ninguna regla general y el
razonamiento era algo torpe. Un tercer m�todo fue sugerido por Fermat en 1660,
pero era laborioso y poco elegante.
Se considera a Wallis el autor de la idea de
la recta de n�meros enteros, en la cual los n�meros se representan
geom�tricamente en una l�nea con los positivos aumentando hacia la derecha y
los negativos hacia la izquierda. De igual forma fue Wallis quien represent�
por primera vez gr�ficamente a los n�meros imaginarios.
Gilles Personne de Roberval (1602
- 1675), fue un matem�tico franc�s. Su nombre era originalmente Gilles Personne,
antes que del de Roberval, por el que se le conoce,
dado el lugar de su nacimiento.
Roberval fue uno de los
matem�ticos que, justo antes de la invenci�n del c�lculo infinitesimal, ocuparon su
atenci�n en problemas que implican l�mites o infinitesimales, que hoy en d�a se
pueden resolver por c�lculo. Trabaj� en el c�lculo del �rea de superficies y la
cubicaci�n de los s�lidos, �l logr� hacer estos c�lculos por un m�todo original
que �l llam� el "m�todo de los indivisibles", pero mantuvo su m�todo
para su propio uso y no lo public�, en tanto que Bonaventura
Cavalieri public� un m�todo similar que �l invent� de
forma independiente.
Otro de los descubrimientos de Roberval
fue un m�todo muy general para dibujar tangentes,
considerando una curva descrita por un punto m�vil cuyo
movimiento es el resultado de varios movimientos simples.
Entre Roberval y Ren� Descartes exist�a cierto
resentimiento, debido a las cr�ticas de Descartes a algunos de los m�todos
empleados por Roberval y por Pierre de Fermat, esto lo llev� a
criticar y a oponerse a los m�todos
anal�ticos que Descartes introdujo en la geometr�a en este tiempo.
Ren� Descartes (1596-1650), fil�sofo, cient�fico y
matem�tico franc�s, considerado el fundador de la filosof�a moderna.
Naci� en La Haye, hoy Descartes
(Indre-et-Loire), era hijo de un miembro de la baja nobleza y pertenec�a a una
familia que hab�a dado algunos hombres doctos. Cuando ten�a ocho a�os de edad
fue enviado al colegio jesu�tico de La Fl�che (en Anjou), donde permaneci� 10 a�os. Junto a las disciplinas
cl�sicas tradicionales, tambi�n aprendi� matem�ticas y las principales
doctrinas del escolasticismo, tendentes a orientar la raz�n humana hacia la
comprensi�n de la doctrina cristiana. El catolicismo ejerci� una gran
influencia en Descartes a lo largo de toda su vida. Tras concluir su periodo de
formaci�n primaria en dicho centro, curs� estudios de Derecho en la Universidad
de Poitiers, donde se licenci� en 1616. Sin embargo, nunca lleg� a ejercer como
jurista. En 1618 entr� al servicio del pr�ncipe Mauricio I de Nassau-Orange,
con la intenci�n de seguir la carrera militar; posteriormente sirvi� en otros
ej�rcitos. Pero su inter�s se centr� siempre en los problemas de las
matem�ticas y la filosof�a, a los que dedic� el resto de su vida. Tras realizar
numerosos viajes residi� en Par�s de 1625 a 1628. Durante este periodo se
dedic� al estudio de la filosof�a y tambi�n realiz� experimentos de �ptica. En
1628, despu�s de vender las propiedades que pose�a en Francia, se traslad� a
las Provincias Unidas y vivi� en diferentes ciudades (Amsterdam,
Deventer, Utrecht y Leiden).
Su contribuci�n m�s notable a las matem�ticas fue la
sistematizaci�n de la geometr�a anal�tica. Fue el primer matem�tico que intent�
clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen y
contribuy� tambi�n a la elaboraci�n de la teor�a de las ecuaciones. Fue el
responsable de la utilizaci�n de las �ltimas letras del alfabeto para designar
las cantidades desconocidas y las primeras letras para las conocidas. Tambi�n
invent� la notaci�n de los exponentes (como x2) para indicar las
potencias de los n�meros. Adem�s, formul� la regla de los signos para descifrar
el n�mero de ra�ces negativas y positivas de cualquier ecuaci�n algebraica.
JOHANNES KEPLER
Johannes Kepler (1561 - 1630), naci� en el seno de una familia de religi�n protestante luterana, instalada en la ciudad de Weil der Stadt en Baden-Wurtemberg,
Alemania. Su abuelo hab�a sido el alcalde de la ciudad, pero cuando naci�
Kepler, la familia se encontraba en decadencia. Su padre, Heinrich Kepler, era
mercenario en el ej�rcito del Duque de Wurtemberg y,
siempre en campa�a, raramente estaba presente en su domicilio. Su madre, Katherina Guldenmann, que llevaba una casa de hu�spedes, era
curandera y herborista, m�s tarde fue acusada de brujer�a. Kepler, nacido
prematuramente a los siete meses de embarazo e hipocondr�aco de naturaleza endeble, sufri� toda su
vida una salud fr�gil. A la edad de tres a�os,
contrae la viruela, lo que, entre
otras secuelas, debilitar� su vista severamente. A pesar de su salud, fue un
ni�o brillante que gustaba impresionar a los viajeros en la hospeder�a de su madre
con sus fenomenales facultades matem�ticas. De 1574 a 1576, vivi� con Heinrich (que era epil�ptico) en casa de sus abuelos
mientras que su padre estaba en una campa�a y su madre hab�a ido en su busca.
Al regresar sus padres, Kepler se traslad� a Leonberg y entra en la escuela latina en 1577. Sus padres le despertaron el
inter�s por la astronom�a. Con
cinco a�os, observ� el cometa de 1577, comentando que su madre lo
llev� a un lugar alto para verlo. Su padre le mostr� a la edad de nueve a�os el eclipse de luna del 31
de enero de 1580, recordando que la Luna aparec�a
bastante roja. Kepler estudi� m�s tarde el fen�meno y lo explic� en una de sus
obras de �ptica. Su padre parti�
de nuevo para la guerra en 1589,
desapareciendo para siempre.
En 1584, Kepler
entr� en el Seminario protestante de Adelberg y dos
a�os m�s tarde, en el Seminario superior de Maulbronn. Obtuvo all� su diploma de fin de estudios y se
matricul� en 1589 en la universidad de Tubinga. Comenz�
primero por estudiar �tica, dial�ctica, ret�rica, griego, hebreo, astronom�a y
f�sica, y m�s tarde teolog�a y ciencias humanas. Continu� con sus estudios
despu�s de obtener la maestr�a en 1591.
Su profesor de matem�ticas, el astr�nomo Michael
Maestlin, le ense�� el sistema helioc�ntrico de Cop�rnico que se reservaba a los mejores
estudiantes. Los otros estudiantes tomaban como cierto el sistema geoc�ntrico de Ptolomeo,
que afirmaba que la Tierra estaba inm�vil y ocupaba el centro del Universo y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas giraban a su alrededor. Kepler se hizo
as� un copernicano convencido y mantuvo una relaci�n muy estrecha con Maestlin; no vacil� en pedirle ayuda o consejo para sus
trabajos.
Mientras Kepler planeaba hacerse ministro luterano, la escuela
protestante de Graz buscaba a un profesor de matem�ticas.
Abandon� entonces sus estudios de Teolog�a para tomar el puesto y dej� Tubinga
en 1594. En Graz, public�
almanaques con predicciones astrol�gicas �que �l escrib�a� aunque negaba
algunos de sus preceptos. En la �poca, la distinci�n entre ciencia y creencia
no estaba establecida todav�a claramente y el movimiento de los astros, todav�a
bastante desconocido, se consideraba gobernado por leyes divinas.
Kepler estuvo casado dos veces, la primera de ellas con B�rbara
M�ller con quien tuvo cinco hijos y con Susanne Reuttinger con la que tuvo siete ni�os.
En 1615,
su madre, entonces a la edad de 68 a�os, fue acusada de brujer�a. Kepler,
persuadido de su inocencia, pas� seis a�os trabajando en su defensa ante los
tribunales y escribiendo numerosos alegatos. Debi� regresar dos veces a Wurtemberg. Ella pas� un a�o encerrada en la torre de G�glingen, a expensas de Kepler, habiendo escapado por poco
de la tortura. Finalmente, fue liberada el 28 de septiembre de 1621.
Debilitada por los duros a�os de proceso y de encarcelamiento, muri� seis meses
m�s tarde. En 1628 Kepler pas� al servicio de Albrecht von Wallenstein, en Silesia,
quien le prometi�, en vano, resarcirle de la deuda contra�da con �l por la
Corona a lo largo de los a�os. Un mes antes de morir, v�ctima de la fiebre,
Kepler abandon� Silesia en busca de un nuevo empleo. Kepler muri� en 1630 en
Ratisbona, en Baviera, Alemania, a la edad de 58 a�os.
En 1632, durante la Guerra de los Treinta A�os, el ej�rcito sueco destruy� su tumba y se perdieron sus trabajos hasta el a�o
1773. Recuperados por Catalina
II de Rusia, se encuentran actualmente en el Observatorio de Pulkovo en San Petersburgo, Rusia.
El m�todo de integraci�n geom�trica que se
consideraba ideal durante la primera mitad del siglo XVII era el m�todo de exhauci�n que hab�a sido inventado por Eudoxo
y perfeccionado por Arqu�medes. El nombre es desafortunado porque la idea
central del m�todo es la de evitar el infinito y por lo tanto, este m�todo no
lleva a un �agotamiento� de la figura a determinar.
Entre los matem�ticos del siglo XVII era general el
deseo de encontrar un m�todo para obtener resultados en problemas de
cuadraturas y que, a diferencia del m�todo de exhauci�n,
fuera directo. Y ser�a mejor si el nuevo m�todo, aparte de dar resultados,
pudiera ser utilizado para demostrarlos.
El camino que siguieron fue el que se deriva de una
concepci�n intuitiva inmediata de las magnitudes geom�tricas. Se imaginaron un
�rea como formada, por ejemplo, por un n�mero infinito de l�neas paralelas.
Kepler ya hab�a hecho uso de m�todos infinitesimales en sus obras; el inter�s
que se tom� en el c�lculo de vol�menes de toneles de vino dio como resultado un
libro Nova stereometria
doliurum vinariorum
(1615). En �l consideraba s�lidos de revoluci�n como si estuvieran compuestos
de diversas maneras por una cantidad infinita de partes s�lidas. Por ejemplo,
consideraba una esfera como formada por un n�mero infinito de conos con v�rtice
com�n en el centro y base en la superficie de la esfera. Esto le conduc�a al
resultado de que la esfera es igual en volumen al cono que tiene como altura el
radio de la esfera y como base un c�rculo igual al �rea de la esfera, es decir,
un c�rculo con el di�metro de la esfera como radio.
�
Pierre de Fermat (1601-1665),
matem�tico franc�s. Poco se conoce de sus primeros a�os, excepto que estudi�
derecho, posiblemente en Toulouse y Burdeos. Pas�
toda su vida en el sur de Francia, lejos de los grandes centros europeos del
saber. No era matem�tico profesional, sino jurista y ninguno de sus trabajos de
matem�ticas vio la luz p�blica hasta despu�s de su muerte. Interesado por las matem�ticas, en 1629 abord� la tarea de reconstruir
algunas de las demostraciones perdidas del matem�tico griego Apolonio relativas
a los lugares geom�tricos. Desarroll� contempor�nea e independientemente de
Ren� Descartes, un m�todo algebraico para tratar cuestiones de geometr�a por
medio de un sistema de coordenadas.
Dise�� tambi�n un algoritmo de
diferenciaci�n mediante el cual pudo determinar los valores m�ximos y m�nimos
de una curva polin�mica, trabajo que abri� el camino al desarrollo posterior
del c�lculo infinitesimal de Leibniz. Tras asumir correctamente que cuando la luz
se desplaza en un medio m�s denso su velocidad disminuye, demostr� que el
camino de un rayo luminoso entre dos puntos es siempre aquel que menos tiempo
le cuesta recorrer; de dicho principio, que lleva su nombre, se deducen las
leyes de la reflexi�n y la refracci�n. En 1654 desarroll� con Blaise Pascal los principios de la teor�a de la probabilidad.
Otro campo en el que realiz� destacadas
aportaciones fue el de la teor�a de n�meros, en la que empez� a interesarse
tras consultar una edici�n de la Aritm�tica de Diofanto;
precisamente en el margen de una p�gina de dicha edici�n fue donde anot� el
c�lebre teorema que lleva su nombre y que tardar�a m�s de tres siglos en
demostrarse: �Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma
de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en
general cualquier potencia m�s alta que el cuadrado, en la suma de dos
potencias de la misma clase�. He descubierto para el hecho una demostraci�n
excelente. Pero este margen es demasiado peque�o para que (la demostraci�n)
quepa en �l. De su trabajo en dicho campo se derivaron importantes resultados
relacionados con las propiedades de los n�meros primos, muchas de las cuales
quedaron expresadas en forma de simples proposiciones y teoremas.
Desarroll� tambi�n un ingenioso m�todo
de demostraci�n que denomin� �del descenso infinito�. Extremadamente prol�fico,
sus deberes profesionales y su particular forma de trabajar (s�lo public� una
obra cient�fica en vida) redujeron en gran medida el impacto de su obra.
Galileo
Galilei (1564-1642), f�sico y astr�nomo italiano que, junto con
el astr�nomo alem�n Johannes Kepler, comenz� la revoluci�n cient�fica que
culmin� con la obra del f�sico ingl�s Isaac Newton. Su principal contribuci�n a
la astronom�a fue el uso del telescopio para la observaci�n y descubrimiento de
las manchas solares, valles y monta�as lunares, los cuatro sat�lites mayores de
J�piter y las fases de Venus. En el campo de la f�sica descubri� las leyes que
rigen la ca�da de los cuerpos y el movimiento de los proyectiles. En la
historia de la cultura, Galileo se ha convertido en el s�mbolo de la lucha
contra la autoridad y de la libertad en la investigaci�n.
Naci� cerca de Pisa el 15 de
febrero de 1564. Su padre, Vincenzo Galilei, ocup� un
lugar destacado en la revoluci�n musical que supuso el paso de la polifon�a
medieval a la modulaci�n arm�nica. Del mismo modo que Vincenzo
consideraba que las teor�as r�gidas imped�an la evoluci�n hacia nuevas formas
musicales, su hijo mayor ve�a la teolog�a f�sica de Arist�teles como un freno a
la investigaci�n cient�fica. Galileo estudi� con los monjes en Vallombroso y en 1581 ingres� en la Universidad de Pisa
para estudiar medicina. Al poco tiempo cambi� sus estudios de medicina por la
filosof�a y las matem�ticas, abandonando la universidad en 1585 sin haber
llegado a obtener el t�tulo. Durante un tiempo dio clases particulares y
escribi� sobre hidrost�tica y el movimiento natural, pero no lleg� a publicar
nada. En 1589 trabaj� como profesor de matem�ticas en Pisa, donde se dice que
demostr� ante sus alumnos el error de Arist�teles, que afirmaba que la
velocidad de ca�da de los cuerpos era proporcional a su peso, dejando caer
desde la torre inclinada de esta ciudad dos objetos de pesos diferentes. En
1592 no le renovaron su contrato, posiblemente por oponerse a la filosof�a
aristot�lica. Ese mismo a�o fue admitido en la c�tedra de matem�ticas de la
Universidad de Padua, donde permaneci� hasta 1610.
En Padua, Galileo invent� un �comp�s�
de c�lculo que resolv�a problemas pr�cticos de matem�ticas. De la f�sica
especulativa pas� a dedicarse a las mediciones precisas, descubri� las leyes de
la ca�da de los cuerpos y de la trayectoria parab�lica de los proyectiles,
estudi� el movimiento del p�ndulo e investig� la mec�nica y la resistencia de
los materiales. Apenas mostraba inter�s por la astronom�a, aunque a partir de
1595 se inclin� por la teor�a de Cop�rnico, que sosten�a que la Tierra giraba
alrededor del Sol desechando el modelo de Arist�teles y Tolomeo en el que los
planetas giraban alrededor de una Tierra estacionaria. Solamente la concepci�n
de Cop�rnico apoyaba la teor�a de las mareas de Galileo, que se basaba en el
movimiento de la Tierra. En 1609 oy� decir que en los Pa�ses Bajos hab�an
inventado un telescopio. En agosto de ese a�o present� al duque de Venecia un
telescopio de una potencia similar a los modernos gemelos o binoculares. Su
contribuci�n en las operaciones navales y mar�timas le supuso duplicar sus
ingresos y la concesi�n del cargo vitalicio de profesor.
En diciembre de 1609 Galileo
hab�a construido un telescopio de veinte aumentos, con el que descubri�
monta�as y cr�teres en la Luna. Tambi�n observ� que la V�a L�ctea estaba
compuesta por estrellas y descubri� los cuatro sat�lites mayores de J�piter. En
marzo de 1610 public� estos descubrimientos en El mensajero de los astros.
Su fama le vali� el ser nombrado matem�tico de la corte de Florencia, donde
qued� libre de sus responsabilidades acad�micas y pudo dedicarse a investigar y
escribir. En diciembre de 1610 pudo observar las fases de Venus, que
contradec�an la astronom�a de Tolomeo y confirmaban su aceptaci�n de las
teor�as de Cop�rnico.
Los profesores de filosof�a se
burlaron de los descubrimientos de Galileo, dado que Arist�teles hab�a afirmado
que en el cielo s�lo pod�a haber cuerpos perfectamente esf�ricos y que no era
posible que apareciera nada nuevo. Tambi�n discrepaba Galileo de los profesores
de Florencia y Pisa sobre la hidrost�tica, y en 1612 public� un libro sobre
cuerpos en flotaci�n. Como respuesta, aparecieron inmediatamente cuatro
publicaciones que atacaban a Galileo y rechazaban su f�sica. En 1613 escribi�
un tratado sobre las manchas solares y anticip� la supremac�a de la teor�a de
Cop�rnico. En su ausencia, un profesor de Pisa le dijo a la familia de los
Medici (que gobernaban Florencia y manten�an a Galileo) que la creencia de que
la Tierra se mov�a constitu�a una herej�a. En 1614, un sacerdote florentino
denunci� desde el p�lpito a Galileo y a sus seguidores. �ste escribi� entonces
una extensa carta abierta sobre la irrelevancia de los pasajes b�blicos en los
razonamientos cient�ficos, sosteniendo que la interpretaci�n de la Biblia
deber�a ir adapt�ndose a los nuevos conocimientos y que ninguna posici�n
cient�fica deber�a convertirse en art�culo de fe de la Iglesia cat�lica.
A principios de 1616, los libros de
Cop�rnico fueron censurados por un edicto, y el cardenal jesuita Roberto
Belarmino dio instrucciones a Galileo para que no defendiera la teor�a de que
la Tierra se mov�a. El cardenal Belarmino le hab�a avisado previamente de que
s�lo tuviera en cuenta sus ideas como hip�tesis de trabajo e investigaci�n, sin
tomar literalmente los conceptos de Cop�rnico como verdades y sin tratar de
aproximarlos a lo escrito en la Biblia. Galileo guard� silencio sobre el tema
durante algunos a�os y se dedic� a investigar un m�todo para determinar la
latitud y longitud en el mar bas�ndose en sus predicciones sobre las posiciones
de los sat�lites de J�piter, as� como a resumir sus primeros trabajos sobre la
ca�da de los cuerpos y a exponer sus puntos de vista sobre el razonamiento
cient�fico en una obra sobre los cometas, El ensayador (1623).
En 1624 Galileo empez� a escribir un
libro que quiso titular Di�logo sobre las mareas, en el que abordaba las
hip�tesis de Tolomeo y Cop�rnico respecto a este fen�meno. En 1630 el libro
obtuvo la licencia de los censores de la Iglesia cat�lica de Roma, pero le
cambiaron el t�tulo por Di�logo sobre los sistemas m�ximos, publicado en
Florencia en 1632. A pesar de haber obtenido dos licencias oficiales, Galileo
fue llamado a Roma por la Inquisici�n a fin de procesarle bajo la acusaci�n de
�sospecha grave de herej�a�. Este cargo se basaba en un informe seg�n el cual
se le hab�a prohibido en 1616 hablar o escribir sobre el sistema de Cop�rnico.
El cardenal Belarmino hab�a muerto, pero Galileo facilit� un certificado con la
firma del cardenal, seg�n el cual no sufrir�a en el futuro ninguna otra
restricci�n que no fueran las que para todo cat�lico romano conten�a un edicto
de 1616. Este escrito no pudo ser rebatido por ning�n documento, pero Galileo
fue obligado a abjurar en 1633 y se le conden� a prisi�n perpetua (condena que
le fue conmutada por arresto domiciliario). Los ejemplares del Di�logo
fueron quemados y la sentencia fue le�da p�blicamente en todas las
universidades.
Con respecto al ejercicio de las matem�ticas que hace
Galileo, podemos se�alar dos aspectos: el primero est� relacionado con las
matem�ticas griegas o �cl�sicas�, donde usa intensivamente la teor�a euclidiana
de las proporciones, las c�nicas de Apolonio (sobre todo en la descripci�n del
movimiento parab�lico) y los desarrollos matem�ticos de Arqu�medes. El
extraordinario uso que hace Galileo de las matem�ticas cl�sicas se encuentra
expuesto en su obra fundacional �Discursos y demostraciones matem�ticas en
torno a dos nuevas ciencias�.
El segundo, tiene que ver con �aportaciones� galileanas
tales como los diagramas tiempo-velocidad, una herramienta invaluable para el
estudio de la cinem�tica; la composici�n de movimientos, que llevar�a a la
noci�n de vector; el atomismo matem�tico y su intuici�n acerca de algunas
nociones, hoy bien fundamentadas, del c�lculo infinitesimal; entre las que tenemos
el agregatum o massa,
relacionado con lo que hoy se conoce como integraci�n y concebido para el
estudio del movimiento uniformemente acelerado, en donde Galilei se apoy�, a la
manera de Nicol�s de Oresme, en los gr�ficos.
Finalmente, no se puede dejar de mencionar el abordaje que
hace Galileo del asunto relativo al concepto de infinito en relaci�n con las
magnitudes extensas (quante) o numerables; e
inextensas (non quante), no divisibles, a las que
considera como las primeras componentes de las magnitudes. Su disc�pulo Cavalieri se encargar�a de llevar m�s lejos algunas de
�stas nociones.
La �ltima obra de Galileo, Consideraciones
y demostraciones matem�ticas sobre dos ciencias nuevas relacionadas con la
mec�nica, publicada en Leiden en 1638, revisa y afina sus primeros estudios
sobre el movimiento y los principios de la mec�nica en general. Este libro
abri� el camino que llev� a Newton a formular la ley de la gravitaci�n
universal, que armoniz� las leyes de Kepler sobre los planetas con las
matem�ticas y la f�sica de Galileo.
La contribuci�n m�s importante de
Galileo a la ciencia fue su descubrimiento de la f�sica de las mediciones
precisas, m�s que los principios metaf�sicos y la l�gica formal. Sin embargo,
tuvieron m�s influencia sus libros El mensajero de los astros y el Di�logo,
que abrieron nuevos campos en la astronom�a. M�s all� de su labor cient�fica,
Galileo destaca como defensor de una investigaci�n libre de interferencias
filos�ficas y teol�gicas. Desde la publicaci�n de la documentaci�n completa del
juicio contra Galileo en 1870, toda la responsabilidad de la condena a Galileo
ha reca�do tradicionalmente sobre la Iglesia cat�lica de Roma, encubriendo la
responsabilidad de los profesores de filosof�a que persuadieron a los te�logos
de que los descubrimientos de Galileo eran her�ticos. Juan Pablo II abri� en
1979 una investigaci�n sobre la condena eclesi�stica del astr�nomo para su
posible revisi�n. En octubre de 1992, una comisi�n papal reconoci� el error del
Vaticano.
BONAVENTURA
FRANCESCO CAVALIERI
Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647), matem�tico italiano perteneciente a la orden de los jesuitas. Fue alumno de Galileo Galilei, y ense�� matem�ticas
en Bolonia (1629). Su inter�s por las matem�ticas fue estimulado por los
trabajos de Euclides y luego de encontrar a Galileo, se
consider� como un disc�pulo de este astr�nomo. En Pisa, Cavalieri
fue educado en matem�ticas por Benedetto
Castelli, un profesor de matem�ticas en la Universidad de esa ciudad. En 1629 Cavalieri fue nombrado profesor de matem�ticas en Bolonia.
Fue el primero en introducir en Italia el c�lculo logar�tmico, pero debe su
celebridad a su teor�a de los �indivisibles�, que expuso en Geometria
indivisibilibus continuorum
quadam nova ratione promota (1635).
Esta teor�a estudia las magnitudes geom�tricas como compuestas de un n�mero infinito de elementos, o indivisibles,
que son los �ltimos t�rminos de la descomposici�n que se puede hacer. La medida
de las longitudes, de las superficies y de los vol�menes se convierte en
efectuar la suma de la infinidad de indivisibles: es el principio del c�lculo
de una integral definida, aunque sin la noci�n rigurosa moderna de paso al l�mite. Por esto puede ser
considerado como uno de los precursores del an�lisis infinitesimal moderno. El Principio de Cavalieri se fundamenta en esta teor�a.
Asimismo figur� entre los primeros que ense�aron la teor�a
copernicana de los planetas. Otros trabajos suyos dignos de renombre son el
desarrollo dado a la trigonometr�a
esf�rica, as� como el descubrimiento de las f�rmulas relativas a los focos de
los espejos y de las lentes.
Evangelista Torricelli (1608
- 1647), fue un f�sico y matem�tico italiano. Sus padres
fueron Gaspare Torricelli y Caterina Angetti. Era una familia humilde, Gaspare
era obrero textil. Evangelista Torricelli fue
el mayor de los tres hijos del matrimonio.
Sus padres notaron el talento de su hijo y como no
ten�an recursos para educarlo lo enviaron a estudiar con su t�o, el Hermano Jacopo, un monje Camaldolese, al
colegio Jesuita entre los a�os 1624-1626 en Faenza.
Su t�o observa el talento de Evangelista
Torricelli y
arregla que estudie privadamente con otro monje Camatdolese,
Benedetto Castetli, de quien se convierte en ayudante
hasta 1632. Castelli ense�aba en la Universidad de Sapienza,
en Roma. Torricelli reemplazaba
a Castelti cuando estaba ausente de Roma.
El 11 de septiembre de 1632 Castelli escribi�
a Galileo una
carta en la cual informa sobre los notables progresos cient�ficos de Evangelista Torricelli. Galileo
le contesta a Castelli, pero como �ste no estaba en Roma, su secretario Torricelli aprovecha para
contestar la carta y explicarle directamente a Galileo sobre sus trabajos
matem�ticos. Durante los siguientes nueve a�os (1632-1641), fue secretario de
Giovanni Ciampoli, amigo de Galileo y de otros
profesores.
No se sabe exactamente donde vivi� Torricelli durante estos
a�os, pero como Ciampoli fue gobernador de muchas
ciudades, debe haber vivido en distintos per�odos en Montatto,
Norcia, San Severino y Fabriano.
Para 1641 Torricelli hab�a
completado gran parte del trabajo que iba a publicar en tres partes en
1644, Opera geom�trica. La segunda parte del trabajo es
el De motu gravium, que es un
tratado sobre el movimiento parab�lico de los proyectiles. Torricelli pidi� opini�n
a Castelti sobre el tratado en 1641.
Castelti estaba tan
impresionado que �l mismo le escribi� a Galileo, que viv�a en Arcetri, cerca de Florencia, vigilado por la Inquisici�n. En abril de
1641 Castelli fue a Venecia y de paso se detuvo en Arcetri
para entregarte a Galileo una copia del manuscrito de Torricelli y le sugiere que lo
contrate como asistente.
Mientras Castelli viajaba, Torricelli permanec�a en Roma a
cargo de sus clases. Galileo acept� la propuesta de Castelli y el 10 de octubre
de 1641, Torricelli lleg�
a la casa de Galileo en Arcetri.
Se convirti� as� en su disc�pulo en 1641.
Permaneci� viviendo con Galileo durante
su ceguera, cuid�ndolo hasta el d�a de su muerte en enero de 1642 y, un a�o m�s
tarde, lo sucedi� en el cargo de matem�tico de la corte del Gran Duque Fernando
II de Toscana, pero no recibi� el t�tulo de Fil�sofo de la Corte, que ten�a
Galileo. Torricelli mantuvo
este cargo hasta su muerte, viviendo en el palacio ducal en Florencia.
Otro disc�pulo de Castelli era Cavalieri, que
era titular de la c�tedra de Matem�tica en Bolonia. Torricelli estudi� los
m�todos de Cavalieri y al principio desconfi� de
ellos. Pero pronto se convenci� de su exactitud y comenz� a
profundizarlos.
Uno de sus resultados m�s importante tiene que ver con la extensi�n del m�todo
de los indivisibles de Cavalieri a los indivisibles curvo. Para 1641 hab�a probado un
n�mero impresionante de resultados usando el m�todo que publicar�a tres a�os
despu�s. Examin� los cuerpos tridimensionales que se obtienen al rotar un
pol�gono regular alrededor de un eje de simetr�a. Tambi�n calcul� el �rea y el centro
de gravedad de la cicloide.
El tema de La cicloide surgi� de una disputa
con Roberval. En una carta fechada en
octubre de 1643 le informa a Roberval sobre
sus puntos de vista y resultados sobre el centro de gravedad de la par�bola, la superficie de la cicloide y su
historia, el s�lido de revoluci�n generado por una c�nica y un s�lido
hiperb�lico. No hay duda que ambos matem�ticos llegaron a
descubrimientos similares sobre La cicloide pero que ninguno influy� sobre la
ideas del otro. Otra contribuci�n de Torricelli fue en 1640, la resoluci�n del problema de Fermat:
dados tres puntos en un plano,
encontrar un Cuarto punto tal que la suma de las distancias a los tres dados
sea la menor posible (conocido como el centro isog�nico del tri�ngulo). Torricelli fue
la primera persona en crear un vac�o sustentable, su nombre se asocia a la
invenci�n del bar�metro de mercurio en 1644 para la medici�n de la presi�n
atmosf�rica.
Este experimento, adem�s de la importancia de sus
aplicaciones pr�cticas, permit�a demostrar la inconsistencia de las
afirmaciones de los que a�n segu�an las teor�as aristot�licas sobre la
imposibilidad de la existencia de vac�o, ya que por encima de la columna de
mercurio de su bar�metro se produc�a dicho vac�o.
En De
motu gravium tambi�n prob� que la velocidad de salida de un l�quido a
trav�s de un peque�o orificio en la pared delgada de un recipiente es
proporcional a la ra�z cuadrada de la altura entre el orificio y la base del
recipiente, enunciado conocido como el Teorema de Torricelli. Algunos lo consideran el
fundador de la hidrodin�mica.
En esta publicaci�n estudia el movimiento de un
proyectil, desarrolla las ideas de Galileo sobre la trayectoria parab�lica de
un proyectil lanzado horizontalmente y da una teor�a sobre los proyectiles
disparados en cualquier �ngulo. Por otra parte, construy� los mejores anteojos
de la �poca y hasta ahora, las lentes preparadas por �l, se destacan por su
perfecci�n. Tambi�n construy� telescopios y microscopios. Aparentemente
aprendi� estas t�cnicas mientras vivi� con Galileo. Torricelli gan� mucho dinero por
sus habilidades en la construcci�n de lentes durante la �ltima parte de su vida
en Florencia y recibi� muchos regalos del GranDuque. En
1647 Torricelli; contrajo
fiebre tifoidea y muri� a los 39 a�os.
Hasta el siglo XVII era imposible aceptar la idea
de que el vac�o era parte del espacio. Arist�teles hab�a intentado sin �xito
verificar el peso del aire y durante mucho tiempo el pensamiento imperante
afirmaba que el vac�o era, sobre todo, un concepto inconsistente. Sin embargo,
el camino de la investigaci�n y la experimentaci�n, iniciado en gran medida por
los descubrimientos de Galileo, Newton y Torricelli, cambi� de manera radical
el punto de vista de la ciencia. Evangelista Torricelli, disc�pulo de Galileo,
fue quien demostr� que el aire es un fluido gaseoso que nos rodea, nos envuelve
y nos presiona. Su aporte fue muy importante ya que muchos fen�menos que
ocurr�an en la naturaleza, hasta entonces extra�os, eran derivados simplemente
de la presi�n atmosf�rica.
�Qu� hizo Torricelli? Llen� un tubo con mercurio,
lo invirti� y sumergi� la parte abierta en un recipiente con m�s mercurio. El
nivel de �ste en el tubo descendi� algunos cent�metros, lo que dio lugar en el
extremo cerrado a un espacio sin mercurio, que no pod�a estar sino vac�o. Al
principio muchos hombres de ciencia de la �poca se negaron a aceptar la teor�a
de Torricelli, verificada por el bar�metro que �l mismo hab�a construido. Tuvo
que transcurrir un tiempo para que la sociedad reconociera que por sobre la
columna de mercurio operaba el propio peso de la atm�sfera que rodea la Tierra.
Las experiencias de Torricelli fueron conocidas en
Francia a trav�s de su correspondencia con el religioso Mar�n Mersenne, quien a su vez estaba en contacto con otros
investigadores que se sintieron entusiasmados a seguir explorando el fen�meno
del espacio vac�o. As� fue como el f�sico Blaise Pascal (1623-1662), en
Francia, revel� las variaciones de la presi�n atmosf�rica seg�n las condiciones
clim�ticas y la altura. A su vez Robert Boyle
(1627-1691), en Inglaterra, llev� a cabo diversos estudios sobre la elasticidad
del aire.
La carrera por perfeccionar los instrumentos que se
usan para conocer el macro y microcosmos contin�a hasta la actualidad. Hoy, al
escuchar las noticias meteorol�gicas sabemos que las altas y bajas presiones
sobre determinadas zonas del planeta tienen una influencia muy importante sobre
el estado del tiempo y gran parte se la debemos a Torricelli, el f�sico
italiano.
ISAAC BARROW
Isaac Barrow (1630-1677), te�logo y matem�tico
ingl�s cuyos m�todos matem�ticos eran muy pr�ximos a los del c�lculo. Est�
considerado como uno de los matem�ticos m�s relevantes de su tiempo, sobre todo
en geometr�a.
Nacido en Londres, Inglaterra, estudi� en la
Universidad de Oxford, donde se licenci� en Humanidades en 1652. En 1655 inici�
un viaje por Europa y Asia Menor, y a su regreso en 1659 fue ordenado ministro
de la Iglesia anglicana.
En 1663 obtuvo el nombramiento de profesor de la
Universidad de Cambridge, cargo que mantuvo hasta 1669, a�o en que renunci� en
favor de su disc�pulo m�s distinguido, Isaac Newton. Durante su estancia en
Cambridge, prepar� las tres series de conferencias que contienen la mayor parte
de sus contribuciones al estudio de las matem�ticas. Sus Lecciones de
geometr�a (1669-1670)
contienen ideas similares a las que Newton y otros utilizaron m�s tarde en el
c�lculo diferencial e integral. Sus teor�as establecen geom�tricamente la
relaci�n inversa que existe entre el c�lculo de tangentes y el de �reas, que
constituye en la actualidad el teorema fundamental del c�lculo.
Por mandato real se le nombr� en 1670 doctor en
Teolog�a y dos a�os m�s tarde director del Trinity College
de Cambridge. En 1663 fue elegido miembro de la Sociedad Real, una organizaci�n
independiente dedicada a la promoci�n de las ciencias naturales; contribuy� de
forma regular en Philosophical Transactions (Actas filos�ficas), la revista de
esta Sociedad.
Otras de sus obras son: Elementos de Euclides
(1655), Datos de Euclides (1657), Lecciones de �ptica (1669) y Lecciones
de matem�ticas (1683).
Adem�s de los trabajos ya mencionados, escribi� otros importantes
tratados en matem�ticas, pero en
la literatura se dedic� especialmente a escribir sermones, que fueron obras
maestras de argumentaciones elocuentes, donde su tratado Pope's
Supremacy es
considerado como uno de los tratados de controversia m�s perfectos que existen.
Barrow como hombre fue en todos los aspectos digno de sus grandes talentos,
aunque tuvo una gran vena exc�ntrica. Muri� sin casarse en Londres a la temprana
edad de 47 a�os.
Ha sido descrito como "bajo de estatura, flaco y de p�lido
aspecto", despreocupado en sus vestimentas y un empedernido fumador. Fue
notoria su fuerza y valent�a, y se cuenta que una vez cuando viajaba hacia el
Este logr� esquivar el ataque de unos piratas gracias a su destreza. Su
predisposici�n e ingenio le hicieron favorito de Carlos II, quien indujo a sus
cortesanos a respetarle aunque no le mostraran aprecio. Escrib�a muy a menudo y
con elocuencia, y con su intachable vida y su escrupulosa conciencia fue uno de
los personajes m�s impresionantes de su tiempo.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) fue un fil�sofo, l�gico, matem�tico, jurista,
bibliotecario y pol�tico alem�n. Fue uno de los grandes pensadores de los
siglos XVII y XVIII, y se le reconoce como "El �ltimo genio
universal". Realiz� profundas e importantes contribuciones en las �reas de
metaf�sica, epistemolog�a, l�gica, filosof�a de la religi�n, as� como a la
matem�tica, f�sica, geolog�a, jurisprudencia e historia.
Ocupa un lugar igualmente importante tanto en la
historia de la filosof�a como en la de las matem�ticas. Una de las
contribuciones m�s importantes de Leibniz a las matem�ticas consisti� en enunciar
en 1675 los principios fundamentales del c�lculo infinitesimal. De acuerdo con
los cuadernos de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un
acontecimiento fundamental, ese d�a emple� por primera vez el c�lculo integral
para encontrar el �rea bajo la curva de una funci�n. Esta aportaci�n se produjo
con independencia de los descubrimientos del cient�fico ingl�s Isaac Newton,
cuyo sistema de c�lculo fue inventado en 1666. El sistema de Leibniz fue
publicado en 1684, el de Newton en 1687, y el m�todo de notaci�n ideado por
Leibniz fue adoptado universalmente y su notaci�n es la que se emplea desde
entonces. Desde 1711 hasta su muerte, la vida de Leibniz estuvo emponzo�ada con
una larga disputa con John Keill, Newton y otros
sobre si hab�a inventado el c�lculo independientemente de Newton, o si
meramente hab�a inventado otra notaci�n para las ideas de Newton. Leibniz pas�
entonces el resto de su vida tratando de demostrar que no hab�a plagiado las
ideas de Newton.
Leibniz introdujo varias notaciones del c�lculo usadas en la
actualidad, por ejemplo, el signo �integral� ∫, que representa una S alargada, derivado del lat�n summa,
y la letra "d" para referirse a los �diferenciales�, del lat�n differentia.
Esta ingeniosa y sugerente notaci�n para el c�lculo es probablemente su legado
matem�tico m�s perdurable. Leibniz no public� nada acerca de su Calculus hasta 1684. La regla
del producto del c�lculo
diferencial es a�n denominada �regla de Leibniz para la derivaci�n de un
producto�. Adem�s, el teorema que dice cu�ndo y c�mo diferenciar bajo el
s�mbolo integral, se llama la �regla de Leibniz para la derivaci�n de una
integral�. Actualmente se emplea la notaci�n del c�lculo creada por Leibniz, no
la de Newton.
Tambi�n invent� el sistema binario, fundamento de
virtualmente todas las arquitecturas de las computadoras actuales. En 1672
invent� una m�quina de calcular capaz de multiplicar, dividir y extraer ra�ces
cuadradas.
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Aunque la noci�n matem�tica de funci�n estaba
impl�cita en la trigonometr�a y las tablas logar�tmicas, las cuales ya exist�an
en sus tiempos, Leibniz fue el primero, en 1692 y 1694, en emplearlas
expl�citamente para denotar alguno de los conceptos geom�tricos derivados de
una curva, tales como abscisa, ordenada, tangente, cuerda y perpendicular. En
el siglo XVIII, el concepto de "funci�n" perdi� estas asociaciones
meramente geom�tricas.
Leibniz fue el primero en ver que los coeficientes
de un sistema de ecuaciones lineales pod�an ser organizados en un arreglo,
ahora conocido como matriz, el cual pod�a ser manipulado para encontrar, si
existe, la soluci�n del sistema. Este m�todo fue conocido m�s tarde como
"Eliminaci�n Gaussiana". Leibniz tambi�n hizo aportes en el campo del
�lgebra booleana, la l�gica simb�lica y en las series infinitas.
ISAAC NEWTON
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Isaac Newton (1643-1727) fue un f�sico, fil�sofo, te�logo,
inventor, alquimista y matem�tico ingl�s. Naci� el 25 de diciembre
de 1642 (seg�n el calendario juliano vigente entonces; que corresponde al 4 de
enero de 1643, seg�n el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. Muere en el municipio de Kensington,
Londres, Inglaterra el 20 de marzo de 1727 seg�n el calendario
juliano que corresponde al 31 de marzo de 1727 seg�n el calendario gregoriano.
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Sus padres fueron Isaac Newton y Hannah Ayscough, dos campesinos puritanos. No lleg� a conocer a su
padre, pues hab�a muerto en octubre de 1642. Cuando su madre volvi� a casarse
con Barnab�s Smith, este no ten�a intenci�n de cargar
con un ni�o ajeno de tres a�os, lo dej� a cargo de su abuela, con quien vivi�
hasta la muerte de su padrastro en 1653. Este fue posiblemente un hecho
traum�tico para Isaac; constitu�a la p�rdida de la madre no habiendo conocido
al padre. A su abuela nunca le dedic� un recuerdo cari�oso y hasta su muerte
pas� desapercibida. Lo mismo ocurri� con el abuelo, que pareci� no existir
hasta que se descubri� que tambi�n estaba presente en la casa y correspondi� al
afecto de Newton de la misma forma: lo deshered�.
Cuando Barnab�s Smith falleci�,
su madre regres� al hogar familiar acompa�ada por dos hijos de �ste matrimonio,
sus hermanastros, pero la uni�n familiar dur� menos de dos a�os. Isaac fue
enviado a estudiar al colegio The King's
School, en Grantham, a la
edad de doce a�os. Lo que se sabe de esta etapa es que estudi� lat�n, algo
de griego y lo b�sico de geometr�a y aritm�tica. Era el programa habitual de
estudio de una escuela primaria en ese entonces. Su maestro fue Sr. Stokes, que
ten�a buen prestigio como educador.
A los dieciocho a�os ingres� en la Universidad de
Cambridge para continuar sus estudios. Newton nunca asisti� regularmente a
sus clases, ya que su principal inter�s era la biblioteca. Se gradu� en el Trinity
College como un estudiante mediocre debido a su
formaci�n principalmente autodidacta, leyendo algunos de los libros m�s
importantes de matem�tica y filosof�a natural de la �poca.
En 1663 Newton ley� la Clavis mathematicae de William Oughtred,
la Geometr�a de Descartes,
la �ptica de Kepler, la Opera mathematica de Vi�te, editadas por Frans
van Schooten y en 1664, la Aritm�tica de
John Wallis, que le servir�a como introducci�n a sus investigaciones sobre
las series infinitas, el teorema del binomio y ciertas cuadraturas.
En 1663 conoci� a Isaac Barrow, quien le dio clases de
matem�tica. En la misma �poca entr� en contacto con los trabajos
de Galileo, Fermat, Huygens y otros, a partir, probablemente, de
la edici�n de 1659 de la Geometr�a, de Descartes por Van Schooten. Newton super� r�pidamente a Barrow, quien
solicitaba su ayuda frecuentemente en problemas matem�ticos.
En esta �poca la geometr�a y la �ptica ya ten�an
un papel esencial en la vida de Newton. Fue en este momento que su fama comenz�
a crecer, ya que inici� una correspondencia con la Royal Society. Newton les envi� algunos de sus descubrimientos y
un telescopio que suscit� gran inter�s entre los miembros de la
Sociedad, aunque tambi�n las cr�ticas de algunos, principalmente Robert
Hooke. Este fue el comienzo de una de las muchas disputas que tuvo en su
carrera cient�fica. Se considera que Newton mostr� agresividad ante sus
contrincantes, que fueron principalmente (pero no �nicamente) Hooke, Leibniz y,
en lo religioso, la Iglesia cat�lica. Como presidente de la Royal Society, fue descrito como un dictador cruel, vengativo y
buscapleitos. Sin embargo, fue una carta de Hooke, en la que �ste comentaba sus
ideas intuitivas acerca de la gravedad, la que hizo que iniciara de lleno sus
estudios sobre la mec�nica y la gravedad. Newton resolvi� el
problema con el que Hooke no hab�a podido y sus resultados los escribi� en lo
que muchos cient�ficos creen que es el libro m�s importante de la historia de
la ciencia, Philosophiae naturalis principia mathematica.
En 1693 sufri� una gran crisis ps�quica, causante de
largos periodos en los que permaneci� aislado, durante los que no com�a ni
dorm�a. En esta �poca sufri� depresi�n y arranques de paranoia.
Mantuvo correspondencia con su amigo, el fil�sofo John Locke, en la que
adem�s de contarle su mal estado, lo acus� en varias ocasiones de cosas que
nunca hizo. Algunos historiadores creen que la crisis fue causada por la
ruptura de su relaci�n con su disc�pulo Nicol�s Fatio
de Duillier. Sin embargo, tras la publicaci�n en 1979
de un estudio que demostr� una concentraci�n de mercurio (altamente
neurot�xico) quince veces mayor que la normal en el cabello de Newton, la
mayor�a opina que en esta �poca Newton se hab�a envenenado al hacer sus
experimentos de alquimia, lo que explicar�a su enfermedad y los cambios en
su conducta. Despu�s de escribir los Principia abandon� Cambridge,
mud�ndose a Londres, donde ocup� diferentes puestos p�blicos de prestigio,
siendo nombrado Preboste del Rey, magistrado de Charterhouse
y director de la Casa de Moneda.
Entre sus intereses m�s profundos se encontraban
la alquimia y la religi�n, temas en los que sus escritos sobrepasan
con mucho en volumen a sus escritos cient�ficos. Entre sus opiniones religiosas
defend�a el arrianismo y estaba convencido de que las Sagradas
Escrituras hab�an sido violadas para sustentar la
doctrina trinitaria. Esto le caus� graves problemas al formar parte del
Trinity College en Cambridge y sus ideas religiosas
impidieron que pudiera ser director del College.
Entre sus estudios alqu�micos se encontraban temas esot�ricos como la
transmutaci�n de los elementos, la piedra filosofal y el elixir de la
vida.
Desde finales de 1664 trabaj� intensamente en diferentes
problemas matem�ticos. Abord� entonces el teorema del binomio, a
partir de los trabajos de John Wallis, y desarroll� un m�todo propio
denominado c�lculo de fluxiones. Poco despu�s regres� a la granja familiar
a causa de una epidemia de peste bub�nica.
Retirado con su familia durante los
a�os 1665 y 1666, conoci� un per�odo muy intenso de
descubrimientos, entre los que destaca la ley del inverso del cuadrado de
la gravitaci�n, su desarrollo de las bases de la mec�nica cl�sica, la
formalizaci�n del m�todo de fluxiones y la generalizaci�n del teorema del
binomio, poniendo adem�s de manifiesto la naturaleza f�sica de los colores. Sin
embargo, guardar�a silencio durante mucho tiempo sobre sus descubrimientos ante
el temor a las cr�ticas y al robo de sus ideas. En 1667 reanud� sus estudios en
la Universidad de Cambridge.
De 1667 a 1669 emprendi� investigaciones sobre �ptica y
fue eligido fellow del Trinity
College. En 1669, su mentor, Isaac Barrow,
renunci� a su C�tedra Lucasiana de
matem�tica, puesto en el que Newton le suceder�a hasta 1696. El mismo a�o envi�
a John Collins, por medio de Barrow, su Analysis
per aequationes n�mero terminorum
infinitos. Para Newton, este manuscrito representa la introducci�n a un
potente m�todo general, que desarrollar�a m�s tarde: su c�lculo
diferencial e integral.
Newton hab�a descubierto los principios de su c�lculo
diferencial e integral hacia 1665-1666 y, durante el decenio
siguiente, elabor� al menos tres enfoques diferentes de su nuevo an�lisis.
Newton y Leibniz protagonizaron una agria pol�mica sobre
la autor�a del desarrollo de esta rama de la matem�tica. Los historiadores de
la ciencia consideran que ambos desarrollaron el c�lculo independientemente, si
bien la notaci�n de Leibniz era mejor y la formulaci�n de Newton se aplicaba
mejor a problemas pr�cticos. La pol�mica dividi� a�n m�s a los matem�ticos
brit�nicos y continentales. Newton utiliz� su cargo de presidente de la Royal Society para que se formara una comisi�n que investigara el
tema, y �l, en secreto, escribi� el informe de la comisi�n que hac�a a Leibniz
responsable del plagio. Newton incluso recopil� la relaci�n de acusaciones que
esta instituci�n hab�a publicado. Los efectos de la disputa se alargaron casi
hasta su muerte.
Newton abord� el desarrollo del c�lculo a partir de
la geometr�a anal�tica desarrollando un enfoque geom�trico y anal�tico
de las derivadas matem�ticas aplicadas sobre curvas definidas a trav�s
de ecuaciones. Newton tambi�n buscaba c�mo cuadrar distintas curvas, y la
relaci�n entre la cuadratura y la teor�a de tangentes. Despu�s de los
estudios de Roberval, Newton se percat� de que
el m�todo de tangentes pod�a utilizarse para obtener las velocidades
instant�neas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones
Newton lidia �nicamente con problemas geom�tricos, como encontrar tangentes,
curvaturas y �reas utilizando como base matem�tica la geometr�a
anal�tica de Descartes. No obstante, con el af�n de separar su teor�a
de la de Descartes, comenz� a trabajar �nicamente con las ecuaciones y sus
variables sin necesidad de recurrir al sistema cartesiano.
Despu�s de 1666 Newton abandon� sus trabajos matem�ticos,
sinti�ndose interesado cada vez m�s por el estudio de la naturaleza y
la creaci�n de sus Principia.
En 1687, Newton public� sus Principios matem�ticos
de la filosof�a natural. Editados 22 a�os despu�s de la Micrographia de Hooke, describ�an las leyes del
movimiento, entre ellas la ley de la gravedad. Pero lo cierto es que, como
indica Allan Chapman, Robert Hooke �hab�a formulado antes que
Newton muchos de los fundamentos de la teor�a de la gravitaci�n�. La labor de
Hooke tambi�n estimul� las investigaciones de Newton sobre la naturaleza de la
luz.
Por desgracia, las disputas en materia
de �ptica y gravitaci�n agriaron las relaciones entre ambos hombres.
Newton lleg� al extremo de eliminar de sus Principios matem�ticos toda
referencia a Hooke. Un especialista asegura que tambi�n intent� borrar de los
registros las contribuciones que �ste hab�a hecho a la ciencia. Adem�s, los
instrumentos de Hooke �muchos elaborados artesanalmente�, buena parte de sus
ensayos y el �nico retrato aut�ntico suyo se esfumaron una vez que Newton se
convirti� en presidente de la Sociedad Real. A consecuencia de lo anterior, la
fama de Hooke cay� en el olvido, un olvido que durar�a m�s de dos siglos, al
punto que no se sabe hoy d�a d�nde se halla su tumba.
Michel Rolle (1652-1719) fue un matem�tico franc�s
nacido en Ambert. Se dedic� principalmente a la
teor�a de ecuaciones, dominio en el que encontr� diversos resultados, entre los
que destaca el reconocido teorema que lleva su nombre formulado
en 1691. En el cual representa una aplicaci�n de la teor�a de funciones a
la de ecuaciones algebraicas.
Michel Rolle fue hijo de un encargado de una tienda, tuvo
dificultades para asistir a la escuela m�s all� de la primaria, aunque desde
muy joven consigui� trabajos como escribano para algunos notarios y abogados. A
los 24 a�os viaj� a Paris, donde consigui� trabajo como secretario y contador.
Sus habilidades matem�ticas le permitieron ser exitoso en
su trabajo y siempre tuvo tiempo suficiente para estudiar por su cuenta
matem�ticas. Estudi� el trabajo de Diofanto,
adem�s de que sigui� el trabajo de sus paisanos contempor�neos Bachet de Meziriac y Jacques
Ozanam. Este �ltimo, tambi�n autodidacta, fue un
apasionado de las matem�ticas recreativas y frecuentemente publicaba acertijos
y curiosidades matem�ticas muy populares en Francia.
En 1682, Rolle public� la soluci�n de un problema
propuesto por Ozanam: Encontrar cuatro
n�meros tales que la diferencia entre cada dos de ellos es tanto la suma de los
primeros tres como un cuadrado perfecto. La soluci�n de Rolle fue
calificada de �elegante� y le dio fama entre los c�rculos de entusiastas
matem�ticos. Jean-Baptiste Colbert, en ese
entonces Contralor General de Finanzas, otorg� a Rolle una beca como premio a
su publicaci�n. El Marqu�s de Louvois, Ministro
de Guerra, lo contrat� como tutor para su hijo, adem�s de ofrecerle un puesto
administrativo en el ministerio.
Rolle fue admitido como miembro de la Academia Real
de Ciencias en 1685. En 1690 public� el libro Traite d�algebre, que comprende sus estudios en la teor�a de
ecuaciones. En �l, aparece su �m�todo de las cascadas�, el cual le permite
estudiar ra�ces distintas de la ecuaci�n 
. Un a�o m�s tarde
publica Demonstration d�une Methode pour
resoudre les Egalitez de tous les degrez, en donde
explica con m�s detalle su m�todo, adem�s de contener las demostraciones
completas de sus resultados, las cuales faltaban en el Traite d�algebre.
En 1699 Rolle recibi� la Pensi�n de Geometr�a de
la Academia, lo cual le permiti� dedicarse por completo a las matem�ticas. Para
ese entonces public� Methode pour resoudre les equations indeterminees de l�algebre, en donde contin�a sus estudios de ecuaciones
algebraicas. Parad�jicamente, Rolle dedic� buena parte de sus trabajos en
criticar duramente las nuevas t�cnicas del c�lculo infinitesimal, dudando la
validez de los m�todos, basados en tomar �l�mites de cocientes entre 0″.
Rolle s� termin� por aceptar la validez y utilidad del c�lculo infinitesimal,
aunque nunca se enter� que su teorema se convertir�a en uno de los principales
pilares del c�lculo diferencial.
JOHANN BERNOULLI
Johann Bernoulli (1667-1748), tambi�n conocido
como Jean o John fue un matem�tico, m�dico y fil�logo suizo,
nacido en Basilea.
Su padre de religi�n calvinista deseaba que su
hijo se convirtiera en comerciante y acept� entrar como aprendiz en el negocio
familiar de especias y medicinas, pero termin� por hacerlo tan mal que su
contrariado padre se vio obligado a rectificar su orientaci�n originaria,
entonces su padre decidi� que se convirtiera en m�dico, profesi�n tambi�n
relacionada con el negocio familiar. En 1683 ingresa en la Universidad de
Basilea y saca el t�tulo de m�dico; sin embargo, durante este tiempo junto a su
hermano Jakob tambi�n se dedic� a aprender el lenguaje de los
n�meros.
Johann Bernoulli
fue todav�a m�s prol�fico que su hermano en el campo de la Matem�tica y
difundi� el C�lculo en Europa. Sus estudios abarcan la F�sica, la Qu�mica y la
Astronom�a, adem�s de la Matem�tica. En las ciencias aplicadas Johann Bernoulli contribuy� notablemente a
los estudios de la �ptica, escribi� sobre la teor�a de las mareas y sobre la
teor�a matem�tica de las velas de los barcos. Enunci� el principio de los
desplazamientos virtuales en la mec�nica.
Johann fue un hombre de extraordinario vigor f�sico e
intelectual, permaneciendo activo hasta pocos d�as antes de su muerte a la edad
de 80 a�os. Las novedades matem�ticas de Leibniz sobre el c�lculo
infinitesimal cautivaron a ambos hermanos. En 1691 viaja a Par�s para
guiar a los matem�ticos franceses en el uso del c�lculo entre los cuales se
hallaba el marqu�s de Guillaume de L' H�pital,
quien lo tuvo por mentor con buenos honorarios.
En Francia se convirti� en defensor de Leibniz en la
pol�mica que manten�a con Isaac Newton, por deslindar qui�n hab�a sido el
primero en enunciar los principios del c�lculo infinitesimal. En 1695 el
cient�fico holand�s Christiaan Huygens le
invita a convertirse en presidente del departamento de matem�ticas de la
Universidad de Groninga. En 1705, tras la muerte de su hermano por
tuberculosis, le sustituy� como catedr�tico de matem�ticas en la Universidad
de Basilea, donde permaneci� durante 42 a�os como profesor, all� tuvo como
disc�pulos a Johann Samuel K�nig y Leonhard Euler. Se centr� en el c�lculo infinitesimal y
resolvi� la ecuaci�n diferencial de Bernoulli, propuesta por su hermano.
Sus hijos Nicolau, Daniel y Johann Bernoulli fueron
grandes matem�ticos.
Brook
Taylor (1685-1731)
fue un matem�tico ingl�s. Hijo de John Taylor, del Parlamento de Bifrons y de Olivia Tempest (hija
de Sir Nicholas Tempest). Entr� en la Universidad
de St. John de Cambridge como estudiante en 1701. Se licenci� en
Derecho en 1709 y se doctor� en 1714. Estudi� matem�ticas con John Machin y John Keill.
En 1708 encontr� una importante soluci�n del problema del
"centro de oscilaci�n" que public� hasta mayo de 1714 ("Phylosophycal Transactions of the Royal Society" vol.28),
lo que provoc� una disputa sobre su autor�a con Johann Bernoulli.
En su Methodus Incrementorum Directa et Inversa (Londres, 1715)
desarroll� una nueva parte dentro de la investigaci�n matem�tica, que hoy se
llama c�lculo de las diferencias finitas. Entre las distintas
aplicaciones, se us� para determinar la forma del movimiento de una cuerda
vibrante, reducido por �l por vez primera con �xito a principios mec�nicos. El
mismo trabajo conten�a la famosa f�rmula conocida como Teorema de Taylor,
cuya importancia s�lo se reconoci� en 1772, cuando Lagrange se dio cuenta de su valor y lo defini� como
"el diferencial principal del fundamento del c�lculo".
En su Ensayo sobre la perspectiva lineal (Londres, 1715)
Taylor expres� los verdaderos principios de la perspectiva de modo m�s original
y general que los anteriores; pero el trabajo tuvo alg�n problema por su
brevedad y su oscuridad, defectos que se pueden aplicar a la mayor parte de sus
obras; este trabajo necesit� el perfeccionamiento que desarroll� Joshua Kirby (1754).
Taylor fue elegido miembro de la Royal Society a principios de 1712 y el mismo a�o
pas� a formar parte del comit� para el juicio sobre reclamos de Sir Isaac
Newton y Gottfried Leibniz; desde el 13 de enero de 1714 al 21
de octubre a 1718 fue secretario de la sociedad. Desde 1715 sus
estudios dan un giro filos�fico y religioso. A partir de este a�o mantuvo
correspondencia con Pierre R�mond de Montmort sobre las doctrinas de Nicol�s Malebranche; a ra�z de ello, se encontr� entre sus cartas y
tratados inacabados, tratados Sobre los sacrificios hebreos y Sobre
la legitimidad de comer sangre, escritos por �l a su regreso de Aquisgr�n en1719.
Su matrimonio en 1721 con una dama de Wallington, Surrey le enemist� con su padre, que
acab� en 1723 tras la muerte de su mujer durante el parto, en el que
tambi�n muri� el ni�o. Los dos a�os siguientes los pas� con su familia en Bifrons; en 1725 se cas�, esta vez con la
aprobaci�n de su padre, con Sabetta Sawbridge de Olantigh, que
tambi�n muri� de parto en 1730; en esta ocasi�n, sin embargo, su hija
sobrevivi�. Su fr�gil salud hizo que su estado degenerara con rapidez y muri�.
Desde la muerte de su padre (1729) hab�a heredado la propiedad de Bifrons. Como matem�tico, era el �nico ingl�s tras Isaac
Newton y Roger Cotes capaz de competir con matem�ticos
como Johann Bernoulli. Sin embargo, gran parte de los resultados de su
demostraci�n no tuvieron repercusi�n o se perdieron a causa de su incapacidad
de expresar sus ideas completamente y con claridad.
Un trabajo p�stumo titulado Contemplatio
Philosophica fue impreso en 1793 por
su sobrino, Sir William Young, que ten�a un pr�logo sobre la vida del autor y
las cartas recibidas por Bolingbroke, Bossuet. Muchos de sus art�culos breves se publicaron en la
"Phylosophycal Transactions
of the Royal Society",
vol�menes del 27 al 33, incluyendo los informes de algunos experimentos
interesantes sobre el magnetismo y sobre la atracci�n del vaso
capilar. Public� en 1719 una versi�n mejorada de su trabajo sobre la
prospectiva, con el t�tulo Nuevos principios de la prospectiva lineal,
revisada por Colson en 1749, e impresa con el
retrato y la biograf�a del autor en 1811.
Taylor en su obra Methodus
Incrementorum hizo una primera aproximaci�n
completa sobre la refracci�n astron�mica.
En 1715, Taylor encuentra que el movimiento de un punto
arbitrario de la cuerda es el de un p�ndulo simple y determina su tiempo de
vibraci�n (periodo). Obtiene en su lenguaje propio, un tanto distinto del
nuestro, la ecuaci�n diferencial de la cuerda vibrante, es decir, la ecuaci�n
unidimensional de ondas y a partir de ella halla una soluci�n: la forma de la
curva que toma la cuerda en un instante dado es sinusoidal.
Colin Maclaurin
(1698-1746) matem�tico escoc�s. Ingres� en la universidad a la edad de 11 a�os,
fue profesor en la universidad de Aberdeen a los 19 y posteriormente en la de
Edimburgo. Expuso un original m�todo de generaci�n de las c�nicas en su
obra Geometr�a org�nica (1720) y sent� las bases para una
fundamentaci�n l�gica del c�lculo infinitesimal en el Tratado de las
fluxiones (1742). En su Tratado de �lgebra (1748)
aplic� el m�todo de los determinantes a la resoluci�n de ecuaciones con cuatro
inc�gnitas. Dos a�os despu�s este m�todo fue popularizado por Gabriel Cramer como Regla de Cramer.
Maclaurin era hijo de un eclesi�stico escoc�s,
de quien hered� un esp�ritu ardientemente religioso pr�ximo a la beater�a.
Matriculado en la Universidad de Glasgow, revel� un talento muy precoz para las
matem�ticas; en 1717, a los diecinueve a�os, fue ya nombrado profesor de tal
materia en Aberdeen. Dos a�os despu�s su gran notoriedad le llev� a la Royal Society. Precisamente entonces public� Geometr�a
org�nica (1720), texto que puede considerarse entre las m�s
importantes de sus obras de matem�ticas y que contiene un original m�todo de
generaci�n de las c�nicas; de tal libro ofreci� luego en Philosophical Transactions
(1735) un interesante ap�ndice.
En 1722, durante un viaje por Francia, escribi� un ensayo
de mec�nica racional sobre la percusi�n de los cuerpos que obtuvo el premio de
1724 de la Acad�mie des Sciences.
De vuelta en Inglaterra, busc� una colocaci�n que le diera un desahogo
econ�mico mayor que el procedente de la modesta c�tedra del colegio de
Aberdeen. En tal aspecto le ayud� mucho la amistad de Newton. Semejante a
�l en ideas pol�ticas y religiosas (ambos eran "tories" y
protestantes moderados), Colin Maclaurin,
como casi todos los grandes hombres de ciencia de los primeros a�os del siglo
XVIII ingl�s, se mostraba ferviente newtoniano; a la memoria del amigo y
maestro dedicar�a luego la Exposici�n de los descubrimientos
filos�ficos de Newton, uno de los mejores documentos del newtonianismo de la primera generaci�n.
Apoy� tambi�n a Newton y su filosof�a contra los ataques
de Berkeley en el Tratado sobre las fluxiones. Newton recomend�
vivamente a Maclaurin para la c�tedra de matem�ticas
de la Universidad de Edimburgo y ofreci� incluso completar su estipendio con
una aportaci�n personal. En 1725 el candidato ocup� el puesto en cuesti�n y en
adelante dedic� su vida a la ense�anza y a la investigaci�n cient�fica.
En 1740 comparti� con Leonhard
Euler y Daniel Bernoulli el premio ofrecido por la Acad�mie
des Sciences de Par�s a un ensayo sobre las mareas.
El a�o anterior y a instancia suya, la Sociedad M�dica de Edimburgo se hab�a
transformado en Philosophical Society,
con lo cual ampli� su campo de acci�n, seg�n el modelo de la Royal Society londinense. Un solo episodio perturb� la existencia
pac�fica de este piadoso matem�tico escoc�s. En 1745, los rebeldes
desembarcados en Escocia con el pretendiente Jacobo Stuart se dirigieron contra
Edimburgo; Maclaurin, fiel a sus ideas pol�ticas y
religiosas, se manifest� partidario de la monarqu�a de los Hannover y particip�
activamente en la defensa de la ciudad, a cuya ca�da hubo de huir a Inglaterra
para eludir el acto de sumisi�n.
De los trabajos citados, la obra principal de Colin Maclaurin es sin duda la
conocida como Tratado de las fluxiones (su t�tulo original
es A Complete System of Fluxions;
with their Application to the most Considerable Problems in Geometry and Natural Philosophy),
publicada en Edimburgo, en dos vol�menes, en 1742. En la �poca en que fue
impresa esta obra los nuevos procedimientos del c�lculo infinitesimal hab�an
recibido un gran desarrollo, debido especialmente a la obra de B. Cavalieri, de Newton, de Leibniz y de sus inmediatos
sucesores, los cuales; sin embargo, se hab�an preocupado m�s de extender los
confines del nuevo dominio matem�tico que de consolidar sus principios y de
reforzar su consistencia l�gica.
El libro de Maclaurin quiere
superar la laguna que resultaba de ello, fortaleciendo la nueva doctrina con
rigurosas demostraciones; aporta a esta obra la soluci�n de muchos nuevos
problemas de geometr�a, de mec�nica, de astronom�a, y especialmente una
investigaci�n sobre la atracci�n ejercida por un elipsoide sobre un punto
situado en su superficie, o en su interior, cuesti�n de la que ya se hab�a
ocupado con anterioridad en una Memoria acerca del flujo y reflujo del
mar.
Lagrange juzga esta parte de la obra como
"una obra maestra de geometr�a, s�lo comparable a lo m�s bello e ingenioso
que el propio Arqu�medes ha dejado". Maclaurin
parte de un nuevo teorema relativo a las cuerdas de dos elipses conc�ntricas y,
mediante tal proposici�n, logra demostrar el teorema fundamental que Newton
habla admitido sin una verdadera comprobaci�n: "una masa fluida homog�nea,
girando alrededor de un eje que pase por su centro de gravedad, debe adoptar la
figura de un elipsoide de revoluci�n, supuesto que todas sus mol�culas se
atraigan en raz�n directa a sus masas o en raz�n inversa al cuadrado de sus
distancias".
El nuevo m�todo de Maclaurin
pareci� tan interesante a Clairaut que le indujo a
abandonar el m�todo puramente anal�tico que hab�a seguido hasta entonces para
demostrar la forma de la Tierra. En cuanto al caso de un punto
"exterior" al elipsoide, el problema era mucho m�s dif�cil. El
c�lebre ge�metra escoc�s apenas lo abord�; hab�an de tratarlo m�s tarde con
mayor amplitud Legendre e Ivory.
LEONHARD EULER
Leonhard Paul Euler (1707-1783), conocido como Leonhard Euler, fue un matem�tico y f�sico suizo. Se trata
del principal matem�tico del siglo XVIII y uno de los m�s grandes y prol�ficos
de todos los tiempos.
Euler naci� en Basilea hijo de Paul Euler, un pastor
calvinista, y de Marguerite Brucker,
hija de otro pastor. Tuvo dos hermanas peque�as llamadas Anna Mar�a y Mar�a
Magdalena. A la edad de 13 a�os se matricul� en la Universidad de Basilea donde
estudi� con el matem�tico suizo Johann Bernoulli, en 1723 recibi� el t�tulo de
maestro de Filosof�a, licenci�ndose a los 16 a�os y en 1726, a los 19 a�os de
edad, Euler finaliz� su Doctorado con una tesis sobre la propagaci�n del sonido
bajo el t�tulo �De Sono�.� En 1727, por invitaci�n de la emperatriz de
Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San
Petersburgo. Fue nombrado catedr�tico de f�sica en 1730 y de matem�ticas en
1733. En 1741 fue profesor de matem�ticas en la Academia de Ciencias de Berl�n
a petici�n del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regres� a San
Petersburgo en 1766, donde permaneci� hasta su muerte.
La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En
el a�o 1735 Euler sufri� una fiebre casi fatal, y tres a�os despu�s de dicho
acontecimiento qued� casi ciego de su ojo derecho. Euler, sin embargo, prefer�a
acusar de este hecho al trabajo de cartograf�a que realizaba para la Academia
de San Petersburgo. La vista de ese ojo empeor� a lo largo de su estancia en
Alemania. Euler m�s tarde sufri� cataratas en su ojo sano, el izquierdo, lo que
le dej� pr�cticamente ciego pocas semanas despu�s de su diagn�stico. A pesar de
ello, parece que sus problemas de visi�n no afectaron a su productividad
intelectual, dado que lo compens� con su gran capacidad de c�lculo mental y su
memoria fotogr�fica. Por ejemplo, Euler era capaz de repetir la Eneida de
Virgilio desde el comienzo hasta el final y sin dudar en ning�n momento, y en
cada p�gina de la edici�n era capaz de indicar qu� l�nea era la primera y cu�l
era la �ltima. Tambi�n se sab�a de memoria las f�rmulas de trigonometr�a y las
primeras 6 potencias de los primeros 100 n�meros primos.
Pas� los �ltimos a�os de su vida pr�cticamente ciego, pero
sigui� trabajando. Muchos trabajos se los dict� a su hijo mayor. Esto
increment� el respeto que la comunidad cient�fica ya ten�a por �l. Ha sido uno
de los matem�ticos m�s prol�ficos de la historia. Su actividad de publicaci�n
fue incesante (un promedio de 800 p�ginas de art�culos al a�o en su �poca de
mayor producci�n, entre 1727 y 1783), Euler produjo numerosas obras matem�ticas
importantes, as� como rese�as matem�ticas y cient�ficas. Se le considera el ser
humano con mayor n�mero de trabajos y art�culos en cualquier campo del saber,
s�lo equiparable a Gauss. Se calcula que sus obras completas reunidas podr�an
ocupar entre 60 y 80 vol�menes. Una afirmaci�n atribuida a Pierre Simon Laplace expresa la influencia de Euler en los
matem�ticos posteriores: �Lean a Euler, lean a Euler, �l es el maestro de todos
nosotros�.
En su libro Introducci�n al an�lisis de los infinitos
(1748), Euler realiz� el primer tratamiento anal�tico completo del �lgebra, la
teor�a de ecuaciones, la trigonometr�a y la geometr�a anal�tica. En esta obra
trat� el desarrollo de series de funciones y formul� la regla por la que s�lo
las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. Tambi�n
abord� las superficies tridimensionales y demostr� que las secciones c�nicas se
representan mediante la ecuaci�n general de segundo grado en dos dimensiones.
Otras obras trataban del c�lculo (incluido el c�lculo de variaciones), la
teor�a de n�meros, n�meros imaginarios y �lgebra determinada e indeterminada.
Euler, aunque principalmente era matem�tico, realiz� tambi�n aportaciones a la
astronom�a, la mec�nica, la �ptica y la ac�stica. Entre sus obras se encuentran
Instituciones del c�lculo diferencial (1755), Instituciones del c�lculo
integral (1768-1770) e Introducci�n al �lgebra (1770).
Euler introdujo y populariz� varias convenciones
referentes a la notaci�n en los escritos matem�ticos en sus numerosos y muy
utilizados libros de texto. Posiblemente lo m�s notable fue la introducci�n del
concepto de funci�n matem�tica, siendo el primero en escribir f(x) para hacer
referencia a la funci�n f aplicada sobre el argumento x. Esta nueva forma de
notaci�n ofrec�a m�s comodidad frente a los rudimentarios m�todos del c�lculo
infinitesimal existentes hasta la fecha, iniciados por Newton y Leibniz, pero
desarrollados bas�ndose en las matem�ticas del �ltimo. Tambi�n introdujo la
notaci�n moderna de las funciones trigonom�tricas, la letra e como base del
logaritmo natural o neperiano (el n�mero e es conocido tambi�n como el n�mero
de Euler), la letra griega Σ como s�mbolo de los sumatorios y la letra i
para hacer referencia a la unidad imaginaria. El uso de la letra griega π
para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la
longitud de su di�metro tambi�n fue popularizado por Euler, aunque �l no fue el
primero en usar ese s�mbolo.
�
Jean le Rond
D'Alembert (1717-1783) fue un matem�tico, fil�sofo y
enciclopedista franc�s, uno de los m�ximos exponentes del movimiento ilustrado.
Es c�lebre por crear, con Diderot, L'Encyclop�die y por su labor en el campo de
las matem�ticas, relativo a las ecuaciones diferenciales y a las derivadas
parciales.
Hijo ileg�timo de Madame de Tencin
y del caballero Destouches, D'Alembert,
reci�n nacido, fue abandonado en la puerta de la iglesia de Saint-Jean-le Rond (de ah� el nombre que se le impuso). Fue recogido
luego por Madame Rousseau, mujer de pobre condici�n, la cual se ocup� de su
crianza. D'Alembert, que en un principio se hizo
llamar Daremberg, nunca fue reconocido por sus
padres, pero Destouches sufrag� los gastos de su
educaci�n, que pudo ser tan selecta como la de cualquier hijo de la nobleza.
A los 18 a�os consigui� el t�tulo de bachiller en artes,
despu�s de varios a�os de estudio en una escuela jansenista. Tras dos a�os
de estudiar derecho, empez� a cursar la carrera de medicina, que
pronto abandon�.
La gran pasi�n de D'Alembert
fueron las matem�ticas, que hab�a aprendido en forma pr�cticamente autodidacta;
en 1739, present� su primer trabajo en la prestigiosa Academia de Ciencias de
Par�s. Dos a�os despu�s, con tan solo 24 a�os de edad, fue elegido miembro de
esa Academia.
En 1743 public� su Tratado de din�mica, obra
fundamental en que formula el conocido principio de D'Alembert,
que confirma la existencia de la inercia en un punto material, como reacci�n
ejercida por ese punto frente a las fuerzas que act�an sobre �l. Con ella, el
joven D'Alembert alcanza de inmediato prestigio en
toda Europa como uno de los pensadores cient�ficos m�s reputados; Lagrange afirmar� que ese tratado �reduce la est�tica
a la din�mica�.D'Alembert sigui� elaborando nuevos
trabajos en el campo de la f�sica matem�tica, entre ellos el titulado Tratado
del equilibrio y del movimiento de los fluidos.
En 1772 se le nombr� secretario perpetuo de la
Academia Francesa, escribiendo entonces los Elogios sobre los
acad�micos fallecidos entre 1700 y 1770. Por todo ello D'Alembert represent� un nuevo tipo de
intelectual capaz de compaginar la pertenencia a la nueva red
internacional de instituciones cient�ficas y un ensayismo independiente y
pol�ticamente comprometido.
Muere en Par�s el 29 de octubre de 1783, cuando ya gozaba
de la reputaci�n de ser uno de los pensadores m�s eminentes de la ilustraci�n
francesa. Se le enterr� modestamente. Condorcet,
amigo y sucesor suyo en ciertos terrenos matem�ticos, acompa�� su cortejo
f�nebre; adem�s lo elogi� en la Academia, pues hab�a recibido ese puesto de
manos de D'Alembert.
Abord� la matem�tica a trav�s de la f�sica,
con el problema de los tres cuerpos (imposibilidad de encontrar
ecuaciones de las trayectorias - inestabilidad del sistema), la precesi�n de
los equinoccios (raz�n del deslizamiento de las estaciones), las
cuerdas vibrantes (distintos modos de vibraci�n - aplicaci�n a la m�sica). Esto
le llev� a estudiar las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones a
las derivadas parciales. Tambi�n invent� un criterio para distinguir
una serie convergente de una divergente.
Su obra maestra fue el Tratado de din�mica,
donde enunci� el teorema que lleva su nombre (principio de D'Alembert). El Teorema Fundamental del �lgebra recibe,
en algunos pa�ses de Europa, el nombre de teorema de D'Alembert - Gauss, dado que D'Alembert
fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema.
������
Joseph Louis de Lagrange,
bautizado como Giuseppe Lodovico Lagrangia, (1736-1813), fue
un f�sico, matem�tico y astr�nomo italiano que despu�s
vivi� en Prusia y Francia.
Lagrange trabaj� para Federico II de
Prusia, en Berl�n, durante veinte a�os. Lagrange
demostr� el teorema del valor medio, desarroll� la mec�nica Lagrangiana y tuvo una importante contribuci�n
en astronom�a.
Joseph Louis de Lagrange
proced�a de una familia parisina que gozaba de buena posici�n social. Fue
educado en la Universidad de Tur�n y no fue hasta los diecisiete a�os
cuando mostr� inter�s por la matem�tica. Su entusiasmo lo despert� la lectura
de una obra del astr�nomo Edmund Halley. Tras un a�o de incesante trabajo
era ya un matem�tico consumado.
Cuando ten�a s�lo diecinueve a�os envi� una carta a Leonhard Euler en que resolvi� un problema, que hab�a
sido un asunto de discusi�n durante m�s de medio siglo, mediante una nueva
t�cnica: el c�lculo de variaciones. Euler reconoci� la generalidad del
m�todo y su superioridad, con una cortes�a rara en �l retuvo un art�culo que �l
hab�a escrito previamente para que el joven italiano tuviera tiempo para
completar su trabajo, como exige la invenci�n de un nuevo m�todo de c�lculo. El
nombre de esta rama del an�lisis la sugiri� el propio Euler. Este trabajo puso
a Lagrange en primera l�nea entre los matem�ticos de
su �poca. En 1758, con la ayuda de sus alumnos, Lagrange
public� en la Academia de Turin la mayor�a de sus
primeros escritos, consistentes en los cinco vol�menes normalmente conocidos
como Miscellanea Taurinensia.
En 1761 Lagrange no
ten�a rival en el campo de las matem�ticas; pero su trabajo incesante durante
los �ltimos nueve a�os hab�an afectado seriamente su salud y los doctores se
negaron a ser responsables de su vida a menos que �l se lo tomara en serio.
Aunque su salud fue temporalmente restablecida su sistema nervioso nunca
recuper� su tono y de aqu� en adelante padeci� constantemente ataques de
melancol�a severa.
Lagrange era de mediana estatura, complexi�n
d�bil, con ojos azul claro y un color de piel p�lido. Era de un car�cter
nervioso y t�mido, detest� la controversia y al evitarla de buena gana permiti�
a otros tener cr�dito por cosas que �l hab�a hecho.
Ya en 1756, Euler, con el apoyo de Maupertuis,
hizo un intento para traer a Lagrange a la academia
de Berl�n. M�s tarde, D'Alembert intercedi� en
favor de Lagrange con Federico de Prusia y
escribi� a Lagrange solicit�ndole dejar Tur�n por una
posici�n considerablemente m�s prestigiosa en Berl�n. Lagrange
rechaz� ambas ofertas, respondiendo en 1765 que �Me parece que Berl�n no
ser�a nada adecuado para m� mientras M. Euler est� all�.
En 1766 Euler abandon� Berl�n y Federico
II el Grande escribi� a Lagrange para expresarle
su deseo de que "el rey m�s grande de Europa" deber�a tener "el
matem�tico m�s grande de Europa" viviendo en su corte. Lagrange
acept� la oferta y durante los siguientes veinte a�os en Prusia, no s�lo
produjo la serie m�s grande de documentos publicada en Berl�n, sino que public�
su trabajo monumental, la M�canique analytique.
Su estancia en Berl�n comenz� con un desafortunado error:
estando la mayor�a de sus colegas casados y siguiendo el consejo de las esposas
de ellos, en el sentido de que casarse era la �nica manera de estar contento,
se cas�; su esposa se muri� pronto, pero la uni�n no fue feliz.
Lagrange era el favorito del rey y
frecuentemente disert� sobre las ventajas de una regularidad perfecta en la
vida. La lecci�n la aplic� a su vida y Lagrange
estudi� su mente y su cuerpo como si fueran m�quinas y encontr� experimentando
la cantidad exacta de trabajo que pod�a hacer sin perder la salud. Todas las
noches se pon�a una tarea definida para el pr�ximo d�a y al completar cualquier
tema escrib�a un corto an�lisis para ver qu� puntos en las demostraciones eran
susceptibles de mejora. Siempre pens� en sus art�culos antes de componerlos y
normalmente los escribi� con aseo y sin una sola raspadura o correcci�n.
En 1786 Federico II muri� y Lagrange,
que se hab�a adaptado al clima de Berl�n, acept� alegremente la oferta
de Luis XVI para emigrar a Par�s. Hab�a recibido invitaciones
similares de Espa�a y N�poles. En Francia fue recibido con
distinci�n y se prepararon apartamentos especiales en el Louvre para su
recepci�n. Al principio de su residencia tuvo un ataque de melancol�a y tuvo
una copia impresa de su M�canique, en la
que hab�a trabajado un cuarto de siglo, sin abrir en su escritorio durante m�s
de dos a�os. La curiosidad acerca de los resultados de la revoluci�n
francesa lo sac� de su letargo, una curiosidad que pronto se volvi� en
alarma con el desarrollo de la revoluci�n.
En 1792, la inexplicable tristeza de su vida y su
timidez movi� la compasi�n de una joven muchacha que insisti� en casarse siendo
feliz con dicha uni�n. Aunque el decreto de octubre de 1793 que
exig�a que todos los extranjeros dejaran Francia no le fue aplicado, deseaba
marcharse cuando le ofrecieron la presidencia de la comisi�n para la reforma de
pesos y medidas.
Aunque Lagrange hab�a querido
salir de Francia, nunca estuvo en peligro y los diferentes gobiernos
revolucionarios (y m�s tarde, Napole�n) le cubrieron de honores y
distinciones. En 1794 Lagrange fue nombrado
profesor de la �cole polytechnique y
las conferencias que dio all�, a los matem�ticos que tuvieron la suerte de
poder asistir a ellas, ten�an su base en su Th�orie
des fonctions analytiques.
En 1795 Lagrange ocup�
una silla matem�tica honor�fica en la �cole normale que disfrut� s�lo durante cuatro meses, ya que
la �cole fue cerrada. Sus conferencias aqu� eran
bastante elementales y no contienen nada de importancia especial.
En 1810 Lagrange
comenz� una revisi�n completa de la M�canique
analytique, pero s�lo pudo completar unos dos
tercios antes de su muerte en 1813.
En 1758, con ayuda de sus alumnos, Lagrange
fund� una sociedad que, m�s tarde, se denomin� la Academia Turinesa de
Ciencias. La mayor parte de sus primeros trabajos se encuentran en los cinco
vol�menes de los registros de la Academia, conocidos usualmente como Miscellanea Taurinensia. Muchos
de estos trabajos son publicaciones elaboradas.
Su actividad mental durante estos veinte a�os
en Prusia fue asombrosa, no s�lo por el hecho de producir su
espl�ndida M�canique analytique, sino por contribuir, con doscientos
trabajos, a las Academias de Berl�n, Turin, y Par�s.
Algunos de �stos realmente son tratados y todos, sin excepci�n, son de una
extraordinaria calidad. Salvo un corto tiempo cuando �l estaba enfermo en que
produjo aproximadamente un art�culo al mes.
Entre 1772 y 1788, Lagrange
reformul� la mec�nica cl�sica de Isaac Newton para simplificar
f�rmulas y facilitar los c�lculos. Esta mec�nica se llama mec�nica Lagrangiana y origen de la mec�nica anal�tica. Escribe
su monumental �Tratado de Mec�nica Anal�tica�. En este tratado recoge, completa
y unifica los conocimientos desde Newton. Este libro, para sus contempor�neos
una referencia, es una apolog�a de la utilizaci�n de las ecuaciones
diferenciales en mec�nica. En el libro extiende la ley del trabajo virtual y
hace de ella un principio fundamental y, con la ayuda del c�lculo
diferencial, deduce toda la mec�nica de s�lidos y fluidos.
Hay tambi�n numerosos art�culos sobre varios puntos
de geometr�a anal�tica. En dos de ellos, escritos bastante despu�s,
en 1792 y 1793, redujo las cu�dricas a
su forma can�nica.
Durante los a�os
de 1772 a 1785 contribuy� con una larga serie de art�culos
que crearon ciencia, las ecuaciones diferenciales, en derivadas parciales.
Una gran parte de estos resultados se reunieron en la segunda edici�n del
c�lculo integral de Euler publicado en 1794.
Durante los �ltimos a�os en Francia su trabajo se centr�
en el An�lisis. Sus conferencias en la �cole polytechnique trataron del c�lculo diferencial, la
base de su Th�orie des fonctions analytiques, que se
public� en 1797.
Este trabajo es la extensi�n de una idea contenida en un
art�culo que �l hab�a enviado a Berl�n en 1772. Un m�todo algo similar se hab�a
usado previamente por John Landen en el An�lisis
residual, publicado en Londres en 1758. Lagrange
crey� que pod�a librarse as� de las dificultades por el uso de cantidades
infinitamente grandes e infinitamente peque�as, que los fil�sofos objetaron en
el tratamiento usual del c�lculo diferencial.
El libro est� dividido en tres partes. La primera da una
prueba algebraica del teorema de Taylor. La segunda trata las aplicaciones
a la geometr�a; y la tercera aplicaci�n a la mec�nica. Otro tratado en las
mismas l�neas fue su Le�ons sur le calcul des fonctions,
publicado en 1804. Estos trabajos pueden ser considerados como el punto de
arranque para las investigaciones de Cauchy, Jacobi y Weierstrass.
Con posterioridad, Lagrange us�
los infinitesimales en el c�lculo diferencial en el estudio de
f�rmulas algebraicas; y en el pr�logo a la segunda edici�n de su obra M�canique Analytique publicada
en 1811, justifica el empleo de infinitesimales, con estas palabras:
�cuando nosotros hemos cogido el esp�ritu del m�todo
infinitesimal y lo ha verificado la exactitud de sus resultados por el m�todo
geom�trico de primeras y �ltimas proporciones o por el m�todo anal�tico de
funciones derivadas, nosotros podemos emplear las cantidades infinitamente
peque�as como un medio seguro y valiosos de acortar y simplificar nuestras
pruebas�.
Los intereses de Lagrange eran
esencialmente aquellos de un estudiante de matem�tica pura: busc� y obtuvo
resultados abstractos de largo alcance y estaba satisfecho de dejar las
aplicaciones a otros. De hecho, parte de los descubrimientos de su gran
contempor�neo, Laplace, consiste en la aplicaci�n de las f�rmulas de Lagrange a los fen�menos de la naturaleza; por ejemplo, las
conclusiones de Laplace de la velocidad del sonido y de la aceleraci�n secular
de la Luna est�n ya impl�citamente en los resultados de Lagrange.
La �nica dificultad para entender a Lagrange es el
asunto de inter�s y la generalidad extrema de sus procesos; pero su an�lisis es
tan l�cido y luminoso como es sim�trico e ingenioso."
Un reciente escritor sobre Lagrange
dice que desempe�� un papel verdaderamente prominente en el avance de casi
todas las ramas de la matem�tica pura. Como Diofanto y Fermat,
Lagrange pose�a un genio especial para la teor�a de
n�meros y en este asunto dio soluciones a muchos de los problemas que hab�a
propuesto Fermat y agreg� algunos teoremas propios. Cre� el c�lculo de
variaciones. La teor�a de ecuaciones diferenciales est� en deuda con �l por
convertirla en una ciencia en lugar de una colecci�n de ingeniosos artificios
para la soluci�n de problemas particulares.
Contribuy� al c�lculo de diferencias finitas con
la f�rmula de interpolaci�n que lleva su nombre. Sus tres trabajos
sobre el m�todo de interpolaci�n de 1783, 1792 y 1793, est�n actualmente en la
misma fase en que Lagrange los dej�.
PIERRE SIMON LAPLACE
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Pierre-Simon
Laplace (1749-1827)
fue un astr�nomo, f�sico y matem�tico� �franc�s que invent� y desarroll�
la transformada de Laplace y la ecuaci�n de Laplace.
Nacido en una familia de granjeros de la
baja Normand�a, march� a estudiar en la Universidad de Caen, donde
fue recomendado a D'Alembert, quien,
impresionado por su habilidad matem�tica, lo recomend� a su vez para un puesto
de profesor en la Escuela Militar de Par�s en 1767, en la que tuvo entre sus
disc�pulos a Napole�n Bonaparte. En 1785 es nombrado miembro de la
Academia de Ciencias y en 1795, miembro de la c�tedra de matem�ticas del Nuevo
Instituto de las Ciencias y las Artes, que presidir� en 1812. En 1788 se cas�
con la joven Marie-Charlotte de Courty de Romanges, perteneciente a una familia de Besan�on, 20
a�os m�s joven que �l, y con quien tuvo dos hijos, Sophie-Suzanne
y Charles-�mile. En 1795, Laplace empez� a publicar
el primero de los cinco vol�menes que constituir�n su Mec�nica celeste y
en 1796 imprime Exposition du syst�me du monde, donde revela su hip�tesis
nebular sobre la formaci�n del sistema solar.
En 1799 fue nombrado ministro del Interior
durante el Consulado, aunque no estuvo en el cargo m�s que seis semanas.
Su antiguo alumno Napole�n Bonaparte le confiri� en 1805 la Legi�n de honor y
en 1806 el t�tulo de conde del Imperio. En 1812 publica Teor�a
anal�tica de las probabilidades y en 1814 Ensayo filos�fico
sobre la probabilidad. En 1816 fue elegido miembro de la Academia Francesa.
A pesar de su pasado bonapartista, tras la restauraci�n de los Borbones fue
lo bastante h�bil como para conseguir ser nombrado marqu�s en 1817.
En la Exposition
du syst�me du monde (Exposici�n del
sistema del mundo, 1796) describi� una teor�a sobre la formaci�n del Sol y
del sistema solar a partir de una nebulosa o remolino de
polvo y gas. Esta hip�tesis nebular (la cual ya hab�a sido perfilada
anteriormente por Inmanuel Kant), le da mucho
mayor detalle y m�ltiples refinamientos, permanece en nuestros d�as como el
fundamento b�sico de toda la teor�a de la formaci�n estelar. Por otra parte,
demostr� tambi�n la estabilidad del sistema solar, sent� las bases cient�ficas
de la teor�a matem�tica de probabilidades (en su obra Th�orie analytique des probabilit�s, donde, entre otros logros, formul� el
m�todo de los m�nimos cuadrados, que es fundamental para la teor�a de errores)
y formul� de manera muy firme e influyente la imagen de un mundo completamente
determinista.
Atento a los descubrimientos de nebulosas realizados
por William Herschel en Inglaterra, Laplace pens� que el colapso
gravitatorio de una nebulosa podr�a haber dado origen a la formaci�n del Sol y
que el material orbitando en torno al Sol podr�a condensarse para formar una
familia de planetas. Esta teor�a explicaba de manera natural que todos los
planetas orbiten en torno al Sol en el mismo sentido (de oeste a este) y que
sus �rbitas est�n en un mismo plano. Herschel concord� con esta idea y la
generaliz� para explicar la formaci�n y evoluci�n de todas las estrellas y
sistemas estelares.
Es recordado como uno de los m�ximos cient�ficos de todos
los tiempos, a veces referido como el Newton de Francia, con
unas fenomenales facultades matem�ticas no pose�das por ninguno de sus
contempor�neos.
Su obra m�s importante, Trait�
de m�canique c�leste (Tratado
de mec�nica celeste, 1799-1825, 5 vols.), es un compendio de toda la
astronom�a de su �poca, enfocada de modo totalmente anal�tico y donde
perfeccionaba el modelo de Newton, que ten�a algunos fen�menos pendientes de
explicar, en particular algunos movimientos an�malos que segu�an sin
soluci�n: J�piter estaba sometido a una aceleraci�n aparente,
mientras que Saturno parec�a frenarse poco a poco y la Luna tambi�n
mostraba un movimiento acelerado. Si estos movimientos continuaban
indefinidamente, Saturno caer�a sobre el Sol, J�piter se escapar�a del sistema
solar y la Luna caer�a sobre la Tierra. Con tan s�lo 23 a�os de edad, Laplace
demostr� que la aceleraci�n de J�piter y el frenado de Saturno eran movimientos
peri�dicos. Los largu�simos per�odos (en torno a mil a�os) hab�an hecho creer
hasta entonces que estas variaciones eran continuas e indefinidas
('seculares'); en 1785 demostr� que tales anomal�as se deb�an a la posici�n
relativa de J�piter y Saturno respecto del Sol. Todo ello necesit� una cantidad
enorme de c�lculos muy detallados. En 1787 Laplace demostr� que el movimiento
an�malo de la Luna tambi�n era oscilatorio y que estaba ocasionado por peque�os
efectos (de 'segundo orden') en el sistema triple Sol-Tierra-Luna. Las
variaciones eran peri�dicas y, por tanto, el sistema solar deb�a ser estable y
autorregulado. Todas estas ideas se recogieron en su obra Exposition du syst�me
du monde publicada en 1796.
Laplace cre� una curiosa f�rmula para expresar la probabilidad de
que el Sol saliera por el horizonte. Dec�a que la probabilidad era de 
, donde d es el n�mero de d�as
que el sol ha salido en el pasado. Laplace afirmaba que esta f�rmula, conocida
como la regla de sucesi�n, pod�a aplicarse en todos los casos donde no
sabemos algo, o donde lo que conoc�amos fue cambiado por lo que no. A�n se usa
como un estimador de la probabilidad de un evento, si sabemos el lugar del
evento, pero s�lo tenemos muy pocas muestras de �l.
Laplace cre�a fuertemente en el determinismo causal,
tal como puede apreciarse en la siguiente cita:
Podemos mirar el estado presente del universo como el
efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podr�a concebir un intelecto que
en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y
las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo
suficientemente vasto como para someter los datos a an�lisis, podr�a condensar
en una simple f�rmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del
�tomo m�s ligero; para tal intelecto nada podr�a ser incierto y el futuro, as�
como el pasado, estar�an frente sus ojos.
Este intelecto se refiere al demonio de Laplace (cf. demonio
de Maxwell). Los descubrimientos de la f�sica moderna, especialmente
la mec�nica cu�ntica y el principio de incertidumbre, prueban que la
existencia de tal intelecto es imposible al menos en principio.
CARL FRIEDRICH
GAUSS
Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), fue un matem�tico,
astr�nomo y f�sico alem�n que contribuy� significativamente en muchos campos,
incluida la teor�a de n�meros, el an�lisis matem�tico, la geometr�a diferencial,
la geodesia, el magnetismo y la �ptica. Considerado "el pr�ncipe de las
matem�ticas" y "el matem�tico m�s grande desde la antig�edad",
Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matem�tica y de
la ciencia, y es considerado uno de los matem�ticos que m�s influencia ha
tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de
divisibilidad a otros conjuntos.
Johann Carl Friedrich Gauss naci� en la ciudad de
Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777, en una familia muy pobre, su
abuelo era un humilde jardinero de Brunswick. Nunca pudo superar la espantosa
miseria que siempre carg�. De peque�o Gauss fue respetuoso y obediente, y en su
edad adulta nunca critic� a su padre por haber sido tan violento y rudo. Poco
despu�s de que Gauss cumpliera 30 a�os su padre muri�.
Desde muy peque�o Gauss mostr� su talento para los n�meros
y para el lenguaje. Aprendi� a leer solo, y sin que nadie lo ayudara aprendi�
muy r�pido la aritm�tica desde muy peque�o. En 1784 a los siete a�os de edad
ingres� en la escuela primaria de Brunswick donde daba clases un profesor
llamado B�ttner. Se cuenta la an�cdota de que a los
dos a�os de estar en la escuela durante la clase de Aritm�tica el profesor
propuso el problema de sumar los n�meros de una progresi�n aritm�tica. Gauss
hall� la respuesta correcta casi inmediatamente diciendo �Ligget
se'� (ya est�). Al acabar la hora se comprobaron las soluciones y se vio que la
soluci�n de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus compa�eros no.
Desde que Gauss conoci� a Bartels
sus progresos en Matem�ticas se aceleraron. Ambos estudiaban juntos, se apoyaban
y se ayudaban para descifrar y entender los manuales de �lgebra y de an�lisis
elemental que ten�an. En estos a�os se empezaron a gestar algunas de las ideas
y formas de ver las matem�ticas que caracterizaron posteriormente a Gauss. Se
dio cuenta, por ejemplo, del poco rigor en muchas demostraciones de los grandes
matem�ticos que le procedieron, como Newton, Euler, Lagrange
y otros m�s. A los 12 a�os ya miraba con cierto recelo los fundamentos de la
geometr�a, y a los 16 tuvo sus primeras ideas intuitivas sobre la posibilidad
de otro tipo de geometr�a. A los 17 a�os Gauss se dio a la tarea de completar
lo que a su juicio hab�an dejado a medias sus
predecesores en materia de teor�a de n�meros. As� descubri� su pasi�n por la
aritm�tica, �rea en la que poco despu�s tuvo sus primeros triunfos. Su gusto
por la aritm�tica prevaleci� por toda su vida ya que para �l �La matem�tica es
la reina de las ciencias y la aritm�tica es la reina de las matem�ticas�. Gauss
ten�a 14 a�os cuando conoci� al duque Ferdinand; �ste quedo fascinado por lo
que hab�a o�do del muchacho y por su modestia y timidez. Decidi� solventar
todos los gastos de Gauss para asegurar que su educaci�n llegara a un buen fin.
Al a�o siguiente de conocer al duque, Gauss ingres� al Colegio Carolino para
continuar sus estudios, y lo que sorprendi� a todos fue su facilidad para las
lenguas. Aprendi� y domin� el griego y el lat�n en muy poco tiempo. Estuvo tres
a�os en el Colegio Carolino, y al salir no ten�a claro si quer�a dedicarse a
las matem�ticas o a la filolog�a. En esta �poca ya hab�a descubierto su ley de
los m�nimos cuadrados, este trabajo marca el inter�s de Gauss por la teor�a de
errores de observaci�n y su distribuci�n.
En 1796 demostr� que se puede dibujar un pol�gono regular
de 17 lados con regla y comp�s.
Fue el primero en probar rigurosamente el teorema
fundamental del �lgebra (disertaci�n para su tesis doctoral en 1799), aunque
una prueba casi completa de dicho teorema fue hecha por Jean Le Rond d'Alembert anteriormente.
En 1801 public� el libro Disquisitiones
Arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teor�a
de n�meros, d�ndole a esta rama de las matem�ticas una estructura
sistematizada. En la �ltima secci�n del libro expone su tesis doctoral. Ese
mismo a�o predijo la �rbita de Ceres aproximando par�metros por m�nimos
cuadrados.
En 1809 fue nombrado director del Observatorio de G�ttingen. En este mismo a�o public� Theoria
motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium
describiendo c�mo calcular la �rbita de un planeta y c�mo refinarla
posteriormente. Profundiz� sobre ecuaciones diferenciales y secciones c�nicas.
Gauss muri� en G�ttingen el 23
de febrero de 1855.
Obra Maestra
Cubierta de la edici�n original de Disquisitiones
arithmeticae de Carl Friedrich Gauss, libro
fundamental de la teor�a de n�meros.
La primera estancia de Gauss en Gotinga dur� tres a�os,
que fueron de los m�s productivos de su vida. Regres� a su natal Brunswick a
finales de 1798 sin haber recibido ning�n t�tulo en la universidad, pero su
primera obra maestra estaba casi lista. La obra estuvo lista a finales del a�o
1798, pero fue hasta 1801. Gauss la escribi� en lat�n y la titul� Disquisitiones arithmeticae. Por
supuesto, este libro est� dedicado a su mecenas, el duque Ferdinand, por quien
Gauss sent�a mucho respeto y agradecimiento. Es un tratado de la teor�a de
n�meros en el que se sintetiza y perfecciona todo el trabajo previo en esta
�rea. La obra consta de 8 cap�tulos pero el octavo no se pudo imprimir por
cuestiones financieras. El teorema fundamental del �lgebra establece que un
polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene
tantas ra�ces como su grado.
Carl Wilhelm Ferdinand, duque de Brunswick, a quien Gauss
vivi� eternamente agradecido por su invaluable e incondicional apoyo, no solo
fue un protector inteligente de los j�venes con talento y un cordial
gobernante, sino tambi�n un buen soldado. Federico el Grande admir� y estim�
mucho su bravura y el genio militar que demostr� durante la guerra de los 7
a�os que ocurri� entre 1756 y 1763.
Agust�n Louis Cauchy
(1789-1857) matem�tico franc�s. Cauchy fue pionero en
el an�lisis matem�tico y la teor�a de grupos de permutaciones, contribuyendo de
manera medular a su desarrollo. Tambi�n investig� la convergencia y la
divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales, determinantes,
probabilidad y f�sica matem�tica.
Cauchy empez� a educarse tempranamente con su
padre Louis Fran�ois Cauchy (1760-1848) quien ocup�
varios puestos p�blicos menores y era amigo de Joseph-Louis de Lagrange y Pierre Simon Laplace.
Estudi� en �cole Polytechnique de Par�s, obteniendo su t�tulo en ingenier�a.
Por su rendimiento acad�mico brillante, fue contratado como ingeniero militar
en 1812 para contribuir al gran plan de Napole�n para transformar el puerto de Cherbourg en el m�s importante de Francia e Inglaterra. Sin
embargo, su mala salud le oblig� a abandonar este proyecto. Comenz� a dedicarse
a la investigaci�n cient�fica intensiva, y a la publicaci�n de varias obras
importantes en r�pida sucesi�n. La principal conclusi�n de este per�odo fue la
demostraci�n del teorema del n�mero poligonal de Fermat, al que se hab�an
dedicado sin �xito ilustres matem�ticos contempor�neos como Gauss. Fue nombrado
profesor de la mec�nica en la �cole Polytechnique en 1816. Fue promovido a miembro de la
Academia Francesa de las Ciencias, en lugar de Gaspard
Monge, quien fue expulsado por razones pol�ticas.
En 1830, se vio en la necesidad de seguir siendo fiel al
juramento ante el rey Carlos X por lo que tuvo que abandonar todos sus cargos
acad�micos y marchar al exilio. Desde Par�s se traslad� a Tur�n, donde dio
clases en la universidad, y luego se traslad� a Praga, a petici�n de Carlos X,
como tutor del Conde de Chambord. Regres� a Par�s en
1838, pero no pudo encontrar un lugar en la Sorbona, hasta 1848, cuando fue
nombrado profesor de Astronom�a.
En 1814 public� la memoria de la integral definida que
lleg� a ser la base de la teor�a de las funciones complejas. Gracias a Cauchy, el an�lisis infinitesimal adquiere bases s�lidas.
Cauchy precisa los conceptos de funci�n, de
l�mite y de continuidad en la forma actual o casi actual, tomando el concepto
de l�mite como punto de partida del an�lisis y eliminando de la idea de funci�n
toda referencia a una expresi�n formal, algebraica o no, para fundarla sobre la
noci�n de correspondencia. Los conceptos aritm�ticos otorgan ahora rigor a los
fundamentos del an�lisis, hasta entonces apoyados en una intuici�n geom�trica
que quedar� eliminada, en especial cuando m�s tarde sufre un rudo golpe al
demostrarse que hay funciones continuas sin derivadas, es decir: curvas sin
tangente. Cauchy consideraba que las funciones en 3
dimensiones que eran derivables eran continuas sin embargo se descubri� que era
necesaria una condici�n de diferenciabilidad para
asegurar la continuidad. Pesa sobre el hecho de que estando en la Universidad
se adjudicaba teoremas que pertenec�an a los alumnos, denominando los teoremas
en conjunto con los alumnos que irremediablemente deb�an de presentar sus
trabajos ante Cauchy.
En 1832 fue nombrado miembro de la Royal Society y en 1845 de la Royal Society
of Edinburgh.
Existe un cr�ter lunar con su nombre (Cauchy).
BERNARD BOLZANO
Bernard Placidus
Johann Gonzal Nepomuk
Bolzano (1781-1848), conocido
como Bernard Bolzano fue
un matem�tico, l�gico, fil�sofo y te�logo bohemio,
nacido en Praga, en el reino de Bohemia, actualmente Rep�blica Checa, que
escribi� en alem�n y que realiz� importantes contribuciones a las
matem�ticas y a la Teor�a del conocimiento.
En matem�ticas, se le conoce por el teorema de
Bolzano, as� como por el teorema de Bolzano-Weierstrass,
que esboz� como lema de otro trabajo en 1817 y d�cadas despu�s habr�a de
desarrollar Karl Weierstrass.
En su filosof�a, Bolzano critic� el idealismo de Hegel y Kant afirmando
que los n�meros, las ideas y las verdades existen de modo
independiente a las personas que los piensen.
En 1796 Bolzano se inscribi� en la Facultad de
Filosof�a de la Universidad de Praga. Durante sus estudios escribi�:
"Mi especial predilecci�n por las Matem�ticas se basa de modo
particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la
parte de las Matem�ticas que es al mismo tiempo Filosofia."
En oto�o de 1800 empez� a estudiar Teolog�a. Se dedic� a ello los
siguientes tres a�os, durante los que tambi�n prepar� su tesis doctoral en
Geometr�a. Consigui� el doctorado en 1804, tras haber redactado una tesis
en la que expresaba su opini�n sobre las Matem�ticas y sobre las
caracter�sticas de una correcta demostraci�n matem�tica. En el pr�logo
escribi�: "No podr�a sentirme satisfecho por una demostraci�n
estrictamente rigurosa, si �sta no derivase de los conceptos contenidos en la
tesis que debe demostrarse."
Dos a�os despu�s de ser nombrado doctor, Bolzano se orden�
como sacerdote cat�lico romano. Sin embargo, su aut�ntica vocaci�n era la
docencia y en 1804 obtuvo la c�tedra de Filosof�a y Religi�n en la
Universidad de Praga. En relaci�n con esta c�tedra hay que se�alar que en
aquella �poca, por la expansi�n del entusiasmo suscitado por la Revoluci�n
francesa, se hab�an desarrollado los primeros movimientos pol�ticos que
reivindicaban la libertad de pensamiento y la independencia de las comunidades
nacionales. Estas reivindicaciones preocupaban mucho a los estados autoritarios
y en especial al Imperio austr�aco, en cuyos l�mites se integraban
numerosos grupos �tnicos muy distintos, entre los que iban naciendo movimientos
nacionalistas. Para contrarrestar estos movimientos, el Imperio austr�aco, de
acuerdo con la Iglesia cat�lica, que estaba claramente alineada en
posiciones conservadoras frente a las procedentes de la revoluci�n francesa,
llevaba a cabo una serie de iniciativas. Entre estas, estaba la de instituir
una c�tedra de Filosof�a de la Religi�n en cada Universidad, que se erigiera
como baluarte contra la libertad de pensamiento y contra las posiciones
nacionalistas.
Sin embargo, la designaci�n de Bolzano para ocupar dicha
c�tedra en la Universidad de Praga no tuvo el �xito que las autoridades
esperaban. Sus ense�anzas estaban impregnadas por fuertes ideales pacifistas y
por una viva exigencia de justicia pol�tica. Adem�s, Bolzano gozaba, debido a
sus cualidades intelectuales, de un enorme prestigio entre sus colegas
profesores y entre los estudiantes. Tras algunas presiones del gobierno
austr�aco, en 1819 Bolzano fue destituido de su c�tedra. Debido a su
personalidad, no acept� este cese sin manifestar su desacuerdo, con lo que se
le suspendi�, bajo una acusaci�n de herej�a, puesto bajo arresto
domiciliario y se le prohibi� publicar. A pesar de la censura del gobierno, sus
libros se publicaron fuera del Imperio austr�aco y Bolzano sigui� escribiendo y
ocupando un importante papel dentro de la vida intelectual de su pa�s.
Bolzano escribi� en 1810 Beitr�ge
zu einer begr�ndeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung, la primera de una serie programada de
escritos sobre fundamentos de las matem�ticas. En la segunda parte,
encontramos Der binomische Lehrsatzl... de 1816 y Rein analytischer Beweis... (Pura demostraci�n matem�tica) de 1817,
que contienen un intento de impostaci�n del c�lculo infinitesimal que no
recurre al concepto de infinitesimal. En el pr�logo del primero de ambos
declara que su trabajo es un ejemplo del nuevo modo de desarrollar el an�lisis.
A pesar de que Bolzano consigui� demostrar exactamente todo lo que declaraba,
sus teor�as s�lo se entendieron despu�s de su muerte. En el trabajo de 1817
Bolzano entend�a que liberaba los conceptos de l�mite, convergencia y derivada
de nociones geom�tricas, sustituy�ndolas por conceptos puramente aritm�ticos y
num�ricos. Bolzano era consciente de la existencia de un problema m�s profundo:
era necesario refinar y enriquecer el propio concepto de n�mero. En este
trabajo hay que situar la demostraci�n del teorema del valor intermedio con
la nueva aproximaci�n de Bolzano y la que tambi�n fue llamada serie de Cauchy. Este concepto es tratado en un trabajo de Cauchy, publicado cuatro a�os despu�s, aunque resulta poco
probable que el matem�tico franc�s conociera los trabajos de Bolzano.
Despu�s de 1817, Bolzano estuvo muchos a�os sin publicar
nada relacionado con las matem�ticas. Sin embargo, en 1837, public� Wissenschaftslehre, un intento de elaborar una
teor�a del conocimiento y de la ciencia completa. Bolzano intent� proporcionar
fundamentos l�gicos a todas las ciencias, construidas partiendo de
abstracciones, de objetos abstractos, de atributos, de construcciones de
demostraciones, v�nculos... La mayor parte de esos intentos retoman esos
trabajos anteriores que afectan a la relaci�n objetiva entre las consecuencias
l�gicas (las cosas tal como se producen) y nuestra percepci�n puramente
subjetiva de dichas consecuencias (nuestro modo de abordar los hechos). Aqu� se
acerca a la filosof�a de las matem�ticas. Para Bolzano, no tenemos ninguna
certeza en cuanto a las verdades o a las supuestas como tales, de la naturaleza
o de las matem�ticas y precisamente el papel de las ciencias, tanto puras como
aplicadas, es hallar una justificaci�n de las verdades (o de las leyes)
fundamentales, que con frecuencia contradicen nuestras intuiciones. Muchos
estudiosos, entre los que se encuentra Edmund Husserl, consideran este texto,
como la primera obra importante sobre l�gica y problemas de conocimiento tras
la de Leibnitz.
Entre 1830 y 1840, Bolzano trabaj� en una
obra mayor, Gr�ssenlehre en la que
tratar� de reinterpretar toda la matem�tica bajo bases l�gicas. S�lo lleg� a
publicar una parte, esperando que sus alumnos prosiguieran su obra y publicaran
una versi�n completa. En 1854, tres a�os despu�s de su muerte, un alumno
suyo public� la obra de Bolzano Paradoxien
des Unendlichen, un estudio sobre las paradojas
del infinito. Aparece por primera vez el t�rmino "conjunto", en la
forma alemana Menge. En este trabajo Bolzano
aporta ejemplos de correspondencia biun�voca entre los elementos de un conjunto
infinito e incluso de un subconjunto.
La mayor parte de los trabajos de Bolzano permaneci� en
forma de manuscrito, por lo que tuvo una circulaci�n muy reducida y una escasa
influencia en el desarrollo de la materia. Muchas de sus obras no se publicaron
hasta 1862 e incluso despu�s. Las teor�as de Bolzano sobre el infinito matem�tico
anticiparon a las de Georg Cantor sobre conjuntos infinitos.
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851)
fue un matem�tico alem�n, autor muy prol�fico, contribuy� en varios
campos de la matem�tica, principalmente en el �rea de las funciones
el�pticas, el �lgebra, la teor�a de n�meros y
las ecuaciones diferenciales. Tambi�n destac� en su labor pedag�gica, por
la que se le ha considerado el profesor m�s estimulante de su tiempo.
Jacobi estableci� con Niels Henrik Abel la Teor�a de las funciones El�pticas.
Demostr� la soluci�n de integrales el�pticas mediante la aplicaci�n de las
funciones y las series exponenciales introducidas por �l mismo.
Desarroll� los determinantes funcionales, llamados despu�s
jacobianos y las ecuaciones diferenciales.
El padre de Jacobi era banquero
y su familia era muy pr�spera, fue as� como �l recibi� una buena educaci�n en
la Universidad de Berl�n. Obtuvo su Doctorado en 1825 y ense�aba matem�ticas en
Koningsberg desde 1826 hasta su muerte, fue
denominado para una c�tedra en 1832.
En 1834 prob� que si una funci�n univaluada
de una variable es doblemente peri�dica, entonces la raz�n de los periodos es
imaginaria. Este resultado impuls� enormemente el trabajo en esta �rea, en
particular por Liouville y Cauchy.
Jacobi ten�a la reputaci�n de ser un
excelente maestro, atra�a a muchos estudiantes. Introdujo un m�todo de
seminario para ense�ar a los estudiantes los �ltimos avances matem�ticos.
Jacobi naci� en Potsdam en 1804 en el seno de
una familia jud�a en Alemania. Su padre era un pr�spero banquero y su
hermano mayor, Moritz Jacobi,
llegar�a a ser un f�sico eminente. Un t�o materno se encarg� de su educaci�n
con �xito, pues en 1817, en cuanto entr� en el Gymnasium
a la edad de 11 a�os, le situaron en el �ltimo curso. Sin embargo, en la Universidad
de Berl�n la edad m�nima de acceso era de 16 a�os, por lo que su ingreso
tuvo que esperar hasta 1821. Durante los a�os en los que permaneci� en el Gymnasium destac� tambi�n en griego, lat�n e historia.
Para cuando finalmente empez� sus estudios universitarios,
ya hab�a le�do y asimilado los trabajos de eminentes matem�ticos como Euler y Lagrange e incluso hab�a empezado a investigar una forma de
resolver ecuaciones de quinto grado, por lo que el nivel de las clases le
pareci� bajo y sigui� estudiando por su cuenta fuera de las aulas. En 1824, a
pesar de ser jud�o, se le ofreci� una plaza como profesor en una prestigiosa
escuela de ense�anza secundaria de Berl�n.
En 1825 present� su tesis doctoral, una discusi�n
anal�tica de la teor�a de fracciones. Como la ense�anza universitaria
estaba vetada a los jud�os, decidi� convertirse al cristianismo, tras lo
que obtuvo una plaza como Privatdozent. Para entonces
contaba con 20 a�os. Tras un a�o en la Universidad de Berl�n y ante la carencia
de posibilidades de promoci�n decidi�, aconsejado por sus colegas, trasladarse
a K�nigsberg (actual Kaliningrado, Rusia)
en 1826, donde se encontrar�a con Franz Neumann y Friedrich Bessel, que por aquel tiempo ten�a un gran prestigio en
matem�ticas y astronom�a.
Una vez en K�nigsberg se puso en
contacto con Gauss para informarle de su trabajo sobre los residuos
c�bicos y escribi� a Legendre acerca
de sus resultados en el �rea de las funciones el�pticas. Ambos quedaron
impresionados por el talento del joven Jacobi. En
1829 public� Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum trabajo
en el que asent� nuevas bases para el an�lisis de funciones el�pticas,
fundamentado en el uso de la funci�n theta de Jacobi,
que hab�a desarrollado recientemente y que fue nombrada en su honor. Sus
trabajos en este campo gozaron del apoyo de Legendre,
el mayor experto de la �poca en funciones el�pticas, lo que le facilit� optar por
la plaza de profesor asociado. Los principios que hab�a establecido hab�an sido
desarrollados de forma independiente por el matem�tico noruego Niels Henrik Abel, con el que entablar�a una cierta competici�n
que result� ser muy beneficiosa para las matem�ticas y que se interrumpir�a
debido al temprano fallecimiento de Abel en 1829, a la edad de 27 a�os. Durante
el verano de ese a�o, Jacobi realizar�a un viaje a
Par�s durante el cual se reunir�a con algunos de los m�s eminentes matem�ticos
de su tiempo: Fourier, Poisson y Gauss.
En 1831 contrajo matrimonio con Marie Schwinck.
Dos a�os m�s tarde, su hermano Moritz se fue a vivir
tambi�n a K�nigsberg. La influencia de su hermano
mayor le caus� un gran inter�s por la f�sica. Durante esta �poca trabaj�
principalmente en ecuaciones diferenciales y determinantes,
estudiando, entre otros asuntos, el concepto que hoy en d�a se conoce
como jacobiano. Public� el fruto de estos a�os
en su obra: Sobre la formaci�n y propiedades de los determinantes.
En 1842 visit� Cambridge y M�nchester junto
con Bessel, en representaci�n de Prusia,
invitado por la Asociaci�n Brit�nica para el Avance de la Ciencia. A su vuelta
dio una conferencia en la Academia de Ciencias Francesa. Se hizo c�lebre
su respuesta a la pregunta de, qui�n, a su juicio, era el matem�tico vivo m�s
grande de Inglaterra, que le formularon a su regreso: �No hay ninguno�.
Al preguntarle sobre su extraordinaria dedicaci�n a su trabajo contest� �Ciertamente,
algunas veces he puesto en peligro mi salud a causa del exceso de trabajo pero
�y qu�? Solamente los vegetales carecen de nervios y preocupaciones. �Y qu�
obtienen de su perfecto bienestar?�. Al a�o siguiente, probablemente a
causa del exceso de trabajo, su salud empeor� y se le diagnostic� diabetes.
El medic� le aconsej� mudarse a Italia, donde el clima era m�s benigno.
Por aquel tiempo Prusia estaba sumida en una grave crisis
econ�mica y, pese a que Jacobi hab�a nacido en una
familia rica, otro matem�tico, Dirichlet tuvo
que interceder, ayudado por Alexander von Humboldt, ante Federico
Guillermo IV de Prusia para que �ste ayudara econ�micamente a Jacobi. En Italia recobr� la salud y se dedic� al estudio
de la Arithmetica de Diofante. En 1844 volvi� a Berl�n, donde el clima no era
tan extremo como en K�nigsberg. En los a�os venideros
se apreciar�a un cambio en el punto de vista de Jacobi,
que pasar�a a interesarse m�s por los aspectos f�sicos de la mec�nica,
abandonando la interpretaci�n puramente axiom�tica que hab�a desarrollado Lagrange.
En 1848, a consecuencia del derrocamiento de Luis
Felipe I de Francia en Par�s, se desencaden� una serie de movimientos
revolucionarios que sacudieron Europa, conocidos como las revoluciones de
1848. Jacobi dio en Berl�n un discurso pol�tico que
disgust� tanto a republicanos como a mon�rquicos, lo que trajo
como resultado que le vetaran para la ense�anza en Berl�n y m�s tarde le
retiraran la ayuda econ�mica que le permit�a permanecer all�, por lo que Jacobi decidi� mudarse a Gotha.
M�s tarde se le restablecer�a parte de la asignaci�n econ�mica, que le
permitir�a volver a dar clases en Berl�n, aunque su familia permanecer�a en Gotha. En 1851 contrajo una gripe que le debilit�
gravemente. Poco tiempo m�s tarde contraer�a viruela, enfermedad que le llevar�a
a la muerte pocos d�as despu�s.
George Green (1793-1841) fue
un matem�tico ingl�s cuyo trabajo influenci� notablemente el
desarrollo de importantes conceptos en f�sica. Entre sus obras m�s famosas
se cita: "Un an�lisis de las aplicaciones del an�lisis matem�tico a las
teor�as de la electricidad y el magnetismo" publicado en 1828. En
este ensayo se introdujeron los conceptos de funciones de potencial utilizados
com�nmente en la formulaci�n matem�tica de la f�sica. Tambi�n aparecieron en
este ensayo las funciones de Green y aplicaciones importantes del teorema
de Green.
Green fue un cient�fico autodidacta. Vivi� la mayor parte
de su vida en Sneinton, Nottinghamshire,
actualmente parte de la ciudad de Nottingham. Su
padre, tambi�n llamado George, era un panadero que pose�a un molino de viento
para preparar la harina. El joven George Green solo asisti� de forma regular a
la escuela durante un a�o entre los 8 y 9 a�os de edad, ayudando a su padre
posteriormente.
En alg�n momento comenz� sus estudios de matem�ticas. Al ser
Nottingham un pueblo pobre en recursos intelectuales,
no se ha podido dilucidar por parte de los historiadores de d�nde obten�a Green
la informaci�n necesaria para su desarrollo en matem�ticas. Solo se conoce una
persona que haya vivido en Nottingham durante esa
�poca, con los suficientes conocimientos matem�ticos: John Toplis. Cuando Green public� su ensayo en 1828, fue vendido
como una suscripci�n a 51 personas, la mayor�a de las cuales eran probablemente
amigos y sin ninguna idea de sobre matem�ticas.
El acaudalado terrateniente y matem�tico Edward Bromhead compr� una copia y anim� a Green a ir m�s
lejos en su trabajo matem�tico. Sin embargo, Green no confi� en su mentor y no
volvi� a contactar con �l durante dos a�os.
Luego de esos dos a�os, Bromhead
realiz� las gestiones para que Green ingresara a la Universidad de
Cambridge. Green ingres� como estudiante a la edad de 40 a�os. Su carrera
acad�mica fue excelente y tras de su graduaci�n en 1837 permaneci� en la
facultad, en la Escuela Gonville y Caius. Escribi� sobre �ptica, ac�stica e hidrodin�mica
y a pesar que sus escritos posteriores no tuvieron la relevancia de su Ensayo
de 1828, de igual manera fueron muy reputados. Los trabajos de Green sobre
el movimiento de las olas en un canal, anticipa la aproximaci�n WKB de
la mec�nica cu�ntica, mientras que su investigaci�n sobre ondas lum�nicas y de
las propiedades del �ter produc�an lo que hoy es conocido como
las Medidas de deformaci�n de rotaci�n independiente. En 1839 fue
electo miembro de la junta directiva de la escuela; que disfrutar�a los
privilegios del cargo por un corto tiempo, pues en 1840 cae enfermo y regresa a
Nottingham, donde muere un a�o despu�s.
El trabajo de Green fue poco conocido en la comunidad
matem�tica durante su vida. En 1846, su trabajo fue redescubierto por un
joven William Thomson, quien lo hizo popular entre los futuros matem�ticos
de la �poca.
En la actualidad, la Biblioteca George Green de la Universidad de Nottingham alberga gran parte de su obra en la
colecci�n de ciencias e ingenier�a de la universidad. En 1986, el molino de los
Green fue restaurado, ahora funciona como museo y centro cient�fico.
En una visita a Nottingham en
1930, Albert Einstein coment� que Green estuvo 20 a�os adelantado a
su �poca. El f�sico te�rico Julian Schwinger, qui�n us� parte de la obra de Green en su
trabajo sobre investigaci�n de avanzada, public� un tributo titulado "The Greening of Quantum
Field Theory: George and I".
George Gabriel Stokes (1819-1903) fue un matem�tico y
f�sico irland�s que realiz� contribuciones importantes a la din�mica de fluidos
(incluyendo las ecuaciones de Navier-Stokes), la
�ptica y la f�sica matem�tica (incluyendo el teorema de Stokes). Fue secretario
y luego presidente de la Royal Society de Inglaterra.
George Stokes fue el hijo menor del Reverendo Gabriel
Stokes, rector de Skreen, en el condado de Sligo.
All� naci� y creci� George, en el seno de una familia protestante evang�lica.
Despu�s de haber estudiado en Skreen, Dubl�n y
Bristol, George se matricul� en 1837 en Pembroke College, en la Universidad de Cambridge, donde cuatro a�os
m�s tarde, tras graduarse con los m�s altos honores, fue elegido para ocupar
una plaza de profesor. George Stokes ocupa esta plaza hasta 1857, cuando se ve
obligado a renunciar a ella por haber contra�do matrimonio (ambas cosas eran
incompatibles seg�n los estatutos de su facultad universitaria). Sin embargo,
doce a�os m�s tarde, tras haber sido modificados los estatutos, es reelegido.
Ocupar�a dicha plaza hasta 1902, a�o en el que fue promocionado a la mastership de su facultad. No obstante, no podr�a gozar
demasiado de esta posici�n, pues morir�a en Cambridge el 1 de febrero del a�o
siguiente.
En 1849 le fue concedida la C�tedra Lucasiana
de matem�ticas de la Universidad de Cambridge. George Stokes, que fue nombrado
baronet en 1889, tambi�n sirvi� a su universidad represent�ndola en el
parlamento desde 1887 hasta 1892, como uno de los dos miembros de la Cambridge University Constituency. Durante
parte de este periodo (1885-1890) fue presidente de la Royal Society, de la que hab�a sido secretario desde 1854, y de
esta manera, siendo a la vez Profesor Lucasiano, uni�
en s� mismo tres cargos que s�lo en una ocasi�n hab�an estado en manos de un
solo individuo, Isaac Newton, quien, no obstante, no ocup� las tres
simult�neamente.
Stokes fue el mayor del tr�o de fil�sofos naturales, los
otros dos fueron James Clerk Maxwell y Lord Kelvin, que contribuyeron
especialmente a la fama de la escuela de Cambridge de f�sica matem�tica a
mediados del siglo XIX. El trabajo original de Stokes empez� en 1840, y desde
ese a�o en adelante la gran cantidad de trabajo que produjo fue solamente
superada por la brillantez y enorme calidad del mismo. El cat�logo de art�culos
cient�ficos de la Royal Society muestra los t�tulos
de m�s de cien contribuciones hechas por �l hasta 1883. Algunas de �stas son
s�lo notas breves, pero la mayor�a son tratados largos y elaborados.
El trabajo de Stokes se distingue por su precisi�n y su
sentido de la finalidad. Incluso en problemas que en su tiempo no se
consideraban susceptibles de an�lisis matem�tico, Stokes fue capaz en muchos
casos de aportar soluciones que dejaron sentadas las bases para el progreso
posterior. Este hecho se explica por su extraordinaria combinaci�n de capacidad
matem�tica y habilidad experimental. Desde el momento en que, sobre 1840, puso
a punto sus primeros aparatos f�sicos simples en Pembroke
College, matem�ticas y experimento siempre fueron de
la mano, ayud�ndose y control�ndose mutuamente. Su trabajo abarc� un amplio
abanico de cuestiones f�sicas, pero, como Marie Alfred Cornu
remarc� en su conferencia [Rede]] de 1899, la mayor parte del mismo vers� sobre
ondas y las transformaciones sufridas por �stas al pasar a trav�s de varios
medios.
Sus primeros art�culos publicados, que aparecieron en 1842
y 1843, trataban del movimiento uniforme de fluidos incompresibles y algunos
casos de movimiento fluido. A �stos les sigui� uno en 1845 sobre la fricci�n de
fluidos en movimiento y el equilibrio y movimiento de s�lidos el�sticos y en
1850 otro sobre los efectos de la fricci�n interna de los fluidos sobre el
movimiento de los p�ndulos. Tambi�n realiz� varias contribuciones a la teor�a
del sonido, incluyendo una discusi�n del efecto del viento sobre la intensidad
del sonido y una explicaci�n de c�mo la intensidad es influenciada por la
naturaleza del gas en cuyo seno se produce el sonido. Estas investigaciones
sentaron las bases de la ciencia de la hidrodin�mica y proporcionaron claves no
s�lo para la explicaci�n de muchos fen�menos naturales, tales como la
suspensi�n de las nubes en el aire o el hundimiento de las olas en el agua,
sino tambi�n para la soluci�n de problemas pr�cticos, como el flujo de agua en
r�os y canales o la resistencia al movimiento de los barcos.
Su labor en relaci�n al movimiento de los fluidos y la
viscosidad le llev� a calcular la velocidad terminal de una esfera que cae en
un medio viscoso, lo cual pas� a conocerse como la ley de Stokes. M�s adelante
la unidad CGS de viscosidad pasar�a a llamarse el Stokes, en honor a su
trabajo.
Quiz� sus investigaciones mejor conocidas son las
referentes a la teor�a ondulatoria de la luz. Sus trabajos sobre �ptica
empezaron pronto en su carrera cient�fica. Los primeros art�culos sobre
aberraci�n de la luz aparecieron en 1845 y 1846 fueron continuados en 1848 por
uno sobre la teor�a de ciertas bandas del espectro electromagn�tico. En 1849
public� un largo trabajo sobre la teor�a din�mica de la difracci�n, en el cual
mostraba que el plano de polarizaci�n debe ser perpendicular a la direcci�n de
propagaci�n. Dos a�os despu�s trat� de los colores de placas gruesas.
En 1852, en su famoso trabajo sobre el cambio en la
longitud de onda de la luz, describi� el fen�meno de la fluorescencia, tal y
como la mostraban la fluorita y el cristal de uranio, materiales que �l vio
como capaces de convertir la invisible radiaci�n ultravioleta en radiaciones de
mayor longitud de onda, visibles. El desplazamiento de Stokes, que describe
dicha conversi�n, es llamado en su honor. A continuaci�n, un modelo mec�nico
que ilustraba el principio din�mico de la explicaci�n de Stokes fue propuesto y
de �ste surgi� el concepto de l�nea de Stokes, que a su vez es la base de la
dispersi�n Raman. En 1883, durante una conferencia en
la Royal Institution, Lord Kelvin dijo que Stokes le
hab�a contado este fen�meno muchos a�os atr�s y que �l le hab�a insistido, en
vano, para que lo publicara.
Ese mismo a�o, 1852, apareci� el art�culo sobre la
composici�n y resoluci�n de corrientes de luz polarizada de distintas fuentes y
en 1853 una investigaci�n de la reflexi�n met�lica exhibida por ciertas
sustancias no-met�licas. Hacia 1860 se meti� en un estudio sobre la intensidad
de la luz reflejada o transmitida a trav�s de una pila de placas y en 1862
prepar� un valioso informe para la Asociaci�n Brit�nica para el Avance de la
Ciencia (BAAS) sobre la doble refracci�n. De la misma fecha es un art�culo
sobre el largo espectro de la luz el�ctrica, que a su vez fue seguido por un
an�lisis del espectro de absorci�n de la sangre.
La identificaci�n de compuestos org�nicos mediante sus
propiedades �pticas fue tratada en 1864 y, m�s tarde, junto con el Reverendo
William Vernon Harcourt, investig� la relaci�n entre
la composici�n qu�mica y las propiedades �pticas de varios cristales, con
referencia a las condiciones de transparencia y la mejora de los telescopios
acrom�ticos. Otro trabajo posterior tambi�n conectado con la construcci�n de
instrumentos �pticos discut�a los l�mites te�ricos de la apertura de los
objetivos de los microscopios.
En otros campos de la f�sica cabe mencionar sus trabajos
sobre la conductividad t�rmica en cristales (1851) y sobre el radi�metro de Crookes; su explicaci�n del borde claro a menudo observado
en las fotograf�as justo por fuera del perfil de un cuerpo oscuro visto con el
cielo de fondo (1883); y, m�s tarde a�n, su teor�a de los rayos X, de los que
sugiri� que pod�an ser ondas transversales viajando como incontables ondas solitarias,
en lugar de como trenes de ondas regulares. Dos largos art�culos publicados en
1840, uno sobre atracciones y el teorema de Clairaut,
y el otro sobre variaciones en la gravedad de la superficie terrestre, tambi�n
merecen ser mencionados, as� como sus trabajos matem�ticos sobre valores
cr�ticos de sumas de series peri�dicas (1847), c�lculos num�ricos de una clase
de integrales definidas y series infinitas (1850) y su discusi�n de una
ecuaci�n diferencial relativa a la ruptura de puentes de ferrocarril (1849).
Adem�s de sus abundantes trabajos publicados, Stokes
realiz� m�ltiples descubrimientos que jam�s llegaron a publicarse, o como mucho
fueron comentados brevemente en alguna de sus conferencias orales. Un ejemplo
excelente lo constituye su trabajo sobre la teor�a de la espectroscopia. En su
conferencia presidencial a la BAAS en 1871, Lord Kelvin afirm� su creencia de
que la aplicaci�n del an�lisis prism�tico de la luz a la qu�mica solar y
estelar no hab�a sido planteada directa o indirectamente por nadie cuando
Stokes se la ense�� a �l en Cambridge antes del verano de 1852. Estas
afirmaciones hacen suponer que Stokes se anticip� a Gustav Robert Kirchhoff
como m�nimo siete a�os en la enunciaci�n de las bases f�sicas sobre las que
descansa la espectroscopia y la identificaci�n de sustancias en el sol y las
estrellas. Stokes, sin embargo, en una carta publicada unos a�os despu�s de la
conferencia de Lord Kelvin, dijo que �l no hab�a sido capaz de efectuar un paso
esencial en su razonamiento (no se hab�a percatado de que la emisi�n de luz de
longitud de onda definida no s�lo permit�a, sino que requer�a, absorci�n de luz
de la misma longitud de onda). Modestamente, Stokes neg� haber tomado
"parte alguna en el admirable descubrimiento de Kirchhoff", a�adiendo
que algunos de sus amigos lo hab�an defendido excesivamente. No obstante, debe
decirse que los cient�ficos brit�nicos no est�n del todo convencidos de esta
negaci�n y todav�a atribuyen a Stokes el m�rito de haber sido el primero en
formular los dos principios fundamentales de la espectroscopia.
Todav�a en otro sentido Stokes contribuy� grandemente al
progreso de la f�sica matem�tica. Poco despu�s de ser elegido para la c�tedra Lucasiana anunci� que consideraba su deber profesional
ayudar a cualquier miembro de la universidad en problemas matem�ticos con que
se pudiesen encontrar. La ayuda prestada fue tan real que los alumnos, incluso
despu�s de haberse convertido en sus colegas, no ten�an ning�n inconveniente en
consultarle sobre los problemas matem�ticos y f�sicos que les causaban
dificultades. M�s adelante, durante los treinta a�os en los que actu� como
secretario de la Royal Society tambi�n ejerci� una
enorme, aunque no reconocida, influencia sobre el avance de las ciencias
matem�ticas y f�sicas, no s�lo directamente por sus propias investigaciones,
sino tambi�n indirectamente sugiriendo problemas para investigar y animando a
gente para enfrentarse a ellos.
Karl Theodor Wilhelm Weierstrass
(1815-1897) fue un matem�tico alem�n que se suele citar como el padre del
an�lisis moderno.
Hijo de un oficial a las �rdenes de Napole�n, Karl era el
mayor de cuatro hermanos. M�s tarde, su padre ingres� en el servicio de
recaudaci�n de impuestos en Prusia, lo que oblig� a la familia a trasladarse
constantemente.
Con catorce a�os, Karl fue aceptado en la escuela cat�lica
de ense�anza secundaria de Paderborn. Gan� algunos
premios antes de graduarse y en 1834, siguiendo los deseos de su padre, ingres�
en la Universidad de Bonn para estudiar comercio y finanzas; sin embargo, estas
materias no le interesaban y pas� la mayor parte del tiempo bebiendo,
practicando esgrima y leyendo libros de matem�ticas.
En 1839 fue aceptado en la Academia de Teolog�a y
Filosof�a de M�nster, donde encontr� la inspiraci�n
matem�tica de manos de Christof Guderman.
�ste le introdujo en la teor�a de las series de potencias, que m�s tarde ser�an
la base de todo su trabajo. Su primer escrito importante, publicado en 1841,
fue un ensayo sobre funciones el�pticas.
Durante los quince a�os siguientes se dedic� a dar clase
en una escuela de ense�anza secundaria. En 1854 envi� un trabajo sobre
funciones abelianas a una publicaci�n matem�tica de
prestigio y sorprendi� a la comunidad matem�tica con su genio. Por este trabajo
recibi� el doctorado honor�fico de la Universidad de K�nigsberg
y en 1856 fue aceptado como profesor asociado en la Universidad de Berl�n.
Abrumado por las enormes responsabilidades de su nuevo
cargo, sufri� una crisis nerviosa en 1861, que le apart� de las aulas dos a�os.
A pesar de ello, en 1864 fue ascendido a profesor, cargo que ostent� el resto
de su vida. Desafortunadamente, tras los ataques p�blicos de Kronecker por su apoyo a las ideas de Cantor y la muerte de
su amiga Sonja Kovalevsky,
se hundi� mentalmente y pas� el resto de su vida en una silla de ruedas hasta
que muri� v�ctima de una neumon�a.
Adem�s de sus prol�ficas investigaciones cabe se�alar que
fue profesor de c�tedra en la Universidad de Berl�n en la cual tuvo entre sus
disc�pulos a Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius,
Wilhelm Killing, Leo K�nigsberger,
Carl Runge, Sofia Koval�vskaya y Edmund Husserl.
Weierstrass dio las definiciones de continuidad,
l�mite y derivada de una funci�n, que se siguen usando hoy en d�a. Esto le
permiti� demostrar un conjunto de teoremas que estaban entonces sin demostrar
como el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass
y el teorema de Heine-Borel. Tambi�n realiz� aportes
en convergencia de series, en teor�a de funciones peri�dicas, funciones
el�pticas, convergencia de productos infinitos, c�lculo de variaciones,
an�lisis complejo, etc.
Jean Fr�d�ric Frenet (1816-1900) fue un famoso matem�tico franc�s que
introdujo la Teor�a de Curvas junto a Joseph Serret.
En reconocimiento a su trabajo, se denomina a la base espacial definida por los
vectores tangente, normal y binormal, triedro de Frenet-Serret.
Naci� en P�rigueux, Francia en
1816 y en el a�o 1840 ingres� en L��cole Normale Superieure, m�s tarde
continu� sus estudios en Toulouse, ciudad en la que redact� su tesis doctoral
durante 1847. Un fragmento de la mencionada tesis alberga la teor�a de curvas
en el espacio, incluyendo las f�rmulas que actualmente son conocidas como
�f�rmulas de Frenet � Serret�.
Frenet aport� seis de dichas f�rmulas, mientras que Serret proporcion� las nueve restantes. Cabe se�alar que Frenet public� este apartado de su tesis en el �Journal de math�matique pures et appliques�, en el a�o
1852.
Frenet lleg� a ser profesor en Toulouse y en
1848 ocup� un puesto de docente de matem�ticas en Lyon. Adem�s, tambi�n fue
director del observatorio astron�mico, donde dirigi� las observaciones
meteorol�gicas.
El libro de ejercicios sobre c�lculo de Frenet, cuya primera edici�n fue publicada en 1856, ha
tenido siete ediciones, la �ltima de ellas divulgada en 1917.
JOSEPH ALFRED SERRET
Joseph Alfred Serret (1819-1885),
m�s conocido como Joseph Serret, fue un matem�tico franc�s
famoso por desarrollar junto a Jean Frenet la teor�a
de curvas.
Graduado por la �cole polytechnique en 1840 y miembro de sus tribunales de
admisi�n desde 1848; en 1861 fue nombrado profesor de Mec�nica celeste en el Coll�ge de France y diez a�os despu�s obtuvo la c�tedra de
C�lculo Diferencial e integral en la Sorbonne. Joseph
form� parte tambi�n del Bureau des Longitudes desde 1873.
La principal aportaci�n de Serret
en el �mbito de las matem�ticas se produjo dentro de la geometr�a diferencial.
Junto a Charles Bonnet y Bertrand Russell realiz� importantes avances en esa
cuesti�n, elaborando las f�rmulas Frenet-Serret,
fundamentales en la teor�a de las curvas espaciales.
Tambi�n trabaj� algunos aspectos de la teor�a de n�meros,
el c�lculo y la mec�nica. Edit� los trabajos de Lagrange
�publicados en catorce vol�menes entre 1867 y 1892� y realiz� la quinta edici�n
de Monge en 1850. Una de sus principales obras fue el manual Cours d'Alg�bre sup�rieure, editado en dos tomos.
En 1860 ocup� el lugar de Poinsot
en la Acad�mie des Sciences
de Francia. En 1871, ante el progresivo deterioro de su salud, se retir� a Versailles hasta su fallecimiento en 1885.
Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866) fue un matem�tico alem�n que realiz� contribuciones muy importantes
al an�lisis y la geometr�a diferencial, algunas de las cuales allanaron el
camino para el desarrollo m�s avanzado de la relatividad general. Su nombre
est� conectado con la funci�n zeta, la hip�tesis de Riemann, la integral de
Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de
Riemann y la geometr�a de Riemann.
Naci� en una aldea cercana a Dannenberg,
en el Reino de Han�ver, actualmente parte de Alemania.
Su padre Friedrich Bernhard Riemann era pastor
luterano en Breselenz y hab�a luchado en las guerras
napole�nicas. Bernhard era el segundo de seis hermanos,
su fr�gil salud y la temprana muerte de casi todos sus hermanos fueron debidas
a la subalimentaci�n en su juventud. Su madre tambi�n muri� antes de que sus
hijos crecieran.
En 1840 Bernhard fue a Han�ver a vivir con su abuela y a visitar el Lyceum. Despu�s de la muerte de su abuela en 1842 entr� al Johanneum L�neburg. Desde peque�o
demostr� una fabulosa capacidad para el c�lculo unido a una timidez casi
enfermiza. Durante sus estudios de secundaria aprend�a tan r�pido que enseguida
adelantaba a todos sus profesores.
En 1846, a la edad de 19, comenz� a estudiar filolog�a y
teolog�a en la Universidad de G�ttingen, su idea era
complacer a su padre y poder ayudar a su familia haci�ndose pastor. Acudi� a
conferencias de Gauss sobre el M�todo de m�nimos cuadrados. En 1847 su padre
reuni� el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matem�ticas.
En 1847 se traslad� a Berl�n, donde ense�aban Jacobi, Dirichlet y Steiner. En
1848 estallaron manifestaciones y movimientos obreros por toda Alemania,
Riemann fue reclutado por las milicias de estudiantes, incluso ayud� a proteger
al rey en su palacio de Berl�n. Permaneci� all� por dos a�os y volvi� a G�ttingen en 1849.
En 1859, al doctorarse en matem�ticas ante Gauss, formul�
por primera vez la hip�tesis de Riemann la cual es uno de los m�s famosos e
importantes problemas sin resolver de las matem�ticas.
Riemann dio sus primeras conferencias en 1854, en las
cuales fund� el campo de la geometr�a de Riemann. Lo ascendieron a profesor
extraordinario en la universidad de G�ttingen en 1857
y se hizo profesor ordinario en 1859. En 1862 se cas� con Elise
Koch. Muri� de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.
Dentro de los trabajos m�s sobresalientes de Riemann se
pueden citar los siguientes:
Grundlagen f�r eine allgemeine Theorie der Funktionen einer ver�nderlichen complexen Gr�sse (Conceptos
b�sicos para una teor�a general de las funciones de variable compleja, 1851).
Publicado en Werke: Disertaci�n sobre la teor�a
general de funciones de variable compleja, basada en las hoy llamadas
ecuaciones de Cauchy-Riemann. En ella, invent� el
instrumento de la superficie de Riemann.
Ueber die Darstellbarkeit
einer Function durch eine trigonometrische
Reihe (Sobre la representaci�n de una funci�n por una
serie trigonom�trica, 1854) Publicado en Werke:
Realizado para acceder a su cargo de Profesor auxiliar y en el cual analiz� las
condiciones de Dirichlet para el problema de
representaci�n de funciones en serie de Fourier. Con este trabajo, defini� el
concepto de integral de Riemann y cre� una nueva rama de las matem�ticas: La
teor�a de funciones de una variable real.
Ueber die Hypothesen,
Welche der Geometrie zu Grunde liegen
(Sobre las hip�tesis en que se funda la geometr�a, 1854) Publicado en Werke: Transcripci�n de una clase magistral impartida por
Riemann a petici�n de Gauss la cual versa sobre los fundamentos de la
geometr�a. Se desarrolla como una generalizaci�n de los principios de la
geometr�a euclidiana y la no eucl�dea. La unificaci�n
de todas las geometr�as se conoce hoy en d�a como geometr�a de Riemann y es
b�sica para la formulaci�n de la Teor�a de la Relatividad de Einstein.
Ueber die Anzahl
der Primzahlem unter einer gegebenen Gr�sse (Sobre el n�mero de primos menores que una cantidad
dada, 1859) Publicado en Werke: El m�s c�lebre
trabajo de Riemann. Su �nico ensayo sobre la teor�a de n�meros. La mayor parte
del art�culo est� dedicado a los n�meros primos. En ella introduce la funci�n
zeta de Riemann.
En nuestro idioma, existe una edici�n de escritos
matem�ticos, f�sicos y filos�ficos de Riemann: Riemanniana
Selecta, editada por J. Ferreir�s (Madrid, CSIC,
2000; colecci�n Cl�sicos del Pensamiento). Se incluyen los tres �ltimos
trabajos mencionados, adem�s de otros materiales, precedidos por un estudio
introductorio de unas 150 p�ginas.
ANTOLOG�A ELABORADA POR:
FRANCISCO
BARRERA GARC�A
2015
FUENTES BIBLIOGR�FICAS Y
MESOGRAF�A
ENCICLOPEDIA
ENCARTA 2009
http://www.portalplanetasedna.com.ar
http://fejer.ucol.mx/ricardo/?p=541
http://www.biografiasyvidas.com/
http://loffit.abc.es/2012/08/18/george-green-las-matematicas-iletradas/69609
Nota: Este trabajo de compilaci�n es con fines acad�micos y no lucrativos.