ALGEBRA LINEAL EDUARDO ESPINOZA RAMOS LIMA - PERU IMPULSO EN EL PERU 2da. Edición 2 '-9 8 -2 0 0 6 DERECHOS RESERVADOS Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método gráfico, electrónico ó mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopias, registros magnéticos ó de alimentación de datos, sin expreso conocimientos del AUTOR Y EDITOR. RUC N ° 10070440607 Ley del libro N° 28086 Ley de Derecho del Autor N ° 13714 Registro Comercial N ° 10716 Escritura Pública N° 4484 PRÓLOGO El estudio del Álgebra Lineal, hace tan sólo unos 80 años, estaba destinado nada más a los estudiantes de Matemática y Física, aquellos que necesitaban conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como estadística muiíi variada. En el Algebra Lineal se estudia ahora en muchas disciplinas debido a 1a, invención de las computadoras de alta velocidad y el aumento general de las aplicaciones de la matemática en áreas que por tradición no son técnicas. En el presente libro en su 2da. edición, se estudia en el Capítulo I, la recta y los planos en R 3 , en el Capítulo II se hace una revisión de los conceptos de Producto Cartesiano, de Relaciones Binarias y Funciones, en el Capítulo III se trata los Espacios Vectoriales, Subespacios, base, dimensión, en el Capítulo IV se trata todo lo referentes a T ransformaciones Lineales, así como el Núcleo, Imagen, Base, Dimensión, Operaciones, Matriz Asociada a una Transformación y en los Capítulos V y VI, se trata del producto interno, el proceso de GRAM - SCHMITD y las Formas Bilineales. La Lectura del presente trabajo requiere del conocimiento de un curso de matemática básica así como el cálculo diferencial e integral. Los temas expuestos en esta obra esta con la mayor claridad posible. Es un placer expresar mi gratitud a los siguientes profesores por sus valiosas sugerencias. ♦ ♦ Lic. Juan Bemuy Barros Lic. Antonio Calderón. ♦ ♦ Doctor Pedro Contreras Chamorro. Lic. Guillermo Más Azahuanche. Y a todo él público por la preferencia que brindan a cada una de mis publicaciones E D U A R D O E SPIN O Z A R A M O S DEDICATORIA Este libro lo dedico a mis hijos. R O N A L D , JO R G E y D IA N A Que Dios ilumine sus caminos para que puedan ser Guías de sus Prójimo BVPICE CAPÍTULO I 1. ; RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO : TRIDIMENSIONAL > 1 1.1 Sistema de Coordenada Rectangular en el Espacio. 2 1.2 Distancia entre Dos Puntos. 3 1.3 División de un Segmento según una Razón dada. 5 1.4 Ángulos Directores, Cosenos Directores y Números Directores. 7 1.5 Expresiones de los Cosenos Directores de una Recta determinados por Dos de sus Puntos. 8 1.6 Relación entre los Cosenos Directores de una Recta. 8 A. LA RECTA 9 1.7 La Recta en el Espacio Tridimensional. 9 1.8 Ecuación Vectorial de la Recta. 10 1.9 Ecuación Paramétrica de la Recta en el Espacio. 11 1.10 Ecuación Simétrica de la Recta. 12 1.11 Rectas Paralelas y Ortogonales. 14 1.12 Ángulo entre Dos Rectas. 16 1.13 Distancia Mínima entre Dos Rectas (Rectas que se Cruzan). 16 1.14 Teorema. 18 1.15 Teorema. 19 1.16 Proyección Ortogonal de un Punto Sobre una Recta. 21 1.17 Ejercicios Desarrollados. 22 B. EL PLANO 38 1.18 Definición. 38 IJ 9 Ecuación Vectorial del Plano. 38 1.20 Ecuaciones Paramétricas del Plano. 40 1.21 Ecuación General del Plano. 40 1.22 Planos Paralelos y Ortogonales. 41 1.23 Intersección de Planos. 1.24 Ecuación Biplanar de la Recta. 43 1.25 Intersección entre Recta y Plano. 45 1.26 Plano Paralelo a una Recta y PlanoPerpendicular a una Recta. 46 12 1 Familia de Planos,. 48 1.28 Ecuaciones Incompletas del Plano. 49 1.29 Distancia de un Punto a un Plano., 51 1.30 Ángulo entre Recta y Plano. 53 1.31 Proyección Ortogonal de un Punto sobre un Plano. 54 1.32 Proyección Ortogonal de una Recta sobre un Plano 55 ! .33 Distancia Mínima entre un Plano y una Recta que no está contenida ’ 43 en el Plano, 58 1.34 Ángulo entre dos Planos. 59 1.35 Ejercicios Desarrollados. 59 1.36 Ejercicios Propuestos. 75 CAPÍTULO n 2. CONCEPTOS BÁSICOS 104 2.1. Producto de dos Conjuntos 104 2.2. Propiedades de dos Conjuntos 104 2.3. Relación Binaria 104 2.4. Aplicación de X en Y 104 2.5. Clases de Funciones 105 2.6. Conjunto Imagen y Conjunto Imagen Inversa 105 2.7. Composición de Funciones 106 2.8. Leyes de Composición Interna y Extema 107 2.9. Campo o Cuerpo 107 CAPÍTULO III 3. ESPACIOS VECT0«ÍAL1S 111 3.1. Definición 111 3.2. Ejemplos de Espacios Vectoriales 113 3.3. Propiedades de los Espacios Vectoriales 117 3.4. Espacio Vectorial de Funciones 119 3.5. Espacio Vectorial de las Matrices mxn 121 3.6. Ejercicios Propuestos 127 3.7. Sub - espacios Vectoriales 130 3.8. Operaciones con Funciones 153 3.9. Combinaciones Lineales 168 3.10. Conjunto de Combinaciones Lineales 171 3.11. Sub - espacio Generado 173 3.12. Independencia y Dependencia Lineal 178 3.13. Sistema de Generadores 184 3.14. Base de un Espacio Vectorial 186 3.15. Dimensión de un Espacio Vectorial 191 3.16. Dimensión de la suma 195 3.17. Dimensión de la suma Directa 199 3.18. Teorema 208 3.19. Ejercicios Propuestos 213 i CAPÍTULO IV TRANSFORMACIONES LINEALES 229 Definición 229 Interpretación Geométrica 230 Teorema 230 Proposición 237 Clasificación de las Transformaciones Lineales 239 Proposición 242 Núcleo o Imagen de una Transformación Lineal 247 Teorema 252 Dimensiones del Núcleo y de la Imagen 255 Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales 260 Coordenadas o Componentes de un Vector 266 Matriz Asociada a una Transformaciones Lineales 268 Algebra de las Transformaciones Lineales 275 Composición de las Transformaciones Lineales 278 Transformaciones Lineales Inversíbles 282 Teorema 287 Isomorfismo Inducido por una Transformación Lineal 289 Cambio de Base y Semejanza de Matrices 296 Ejercicios Propuestos 303 CAPÍTULO V PRODUCTO INTERNO Y ORTOGONALIDAD 321 Definición 32! Definición 323 Teorema 327 5.4. Ortogonalidad - Conjunto Ortogonal - Conjunto Ortonormal 329 5.5. Teorema 333 5.6. Corolario 333 5.7. Proceso de Ortogonalidad de GRAM - SCHMIDT 335 5.8. Corolario 338 5.9. Definición 339 5.10. Teorema 339 5.11. Ejercicios Propuestos 342 CAPÍTULO VI <» VALORES Y VECTORES PROPIOS 343 6.1. Definición 343 6.2. Valores y Vectores Propios de una Matriz 344 6.3. Definición 345 6.4. Teorema 350 6.5. Polinomio Característico de una Matriz 353 6.6. Matrices Semejantes y Diagonalización 355 6.7. Teorema 356 6.8. Matriz Diagonable 356 6.9. Teorema 358 6.10. Teorema de Cayley - Hamilton 364 6.11. Ejercicios Propuestos 369 6.12. Formas Bilineales 379 6.13 Matriz Bilineal Simétrica 380 6.14. Forma Bilineal Simétrica 381 6.15. Formas Cuadráticas 383 6.16. Ejercicios Propuestos 385 BIBLIOGRAFÍA 387 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 1 CAPITULO I 1. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL_________________ _ PRE-REQUISITOS.- Para la comprensión adecuada de este tema de rectas y planos en R3, se requiere de los conocimientos previos de: Sistema de coordenadas en el plano. Solución de sistemas de ecuaciones. Elementos de geometría del espacio. OBJETIVOS.- Establecer los fundamentos necesarios para el trazado de planos y rectas en el espacio, respecto a un sistema de coordenadas. Al terminar este capítulo el alumno debe ser capaz de: Describir el sistema coordenado en el espacio. Situar puntos a i el sistema coordenado del espacio. Recordar las distintas formas de la ecuación general de un plano. Trazar un plano dada su ecuación, interpretando geométricamente. Hallar la ecuación del plano a partir de condiciones geométricas. Recordar que dos ecuaciones lineales simultáneas representan una recta en el espacio. (Sistema Compatible). Representar gráficamente una recta en el espacio. Hallar la ecuación de la recta en el espacio a partir de condiciones geométricas dadas. Eduardo Espinoza Ramos SISTEMA DE COORDENADA RECTANGULAR EN EL ESPACIO.Consideremos tres planos mutuamente perpendiculares, Pxy, Pxz y Pyz, que se cortan en un mismo punto O. En la figura identificamos los siguientes elementos geométricos. EJES COORDENADOS.- Los ejes generalmente son identificados por las letras X, Y, Z y se habla frecuentemente del eje X, del eje Y y del eje Z, donde: El eje X es la recta determinada por la intersección de los planos Pxy y Pxz, el eje Y es la recta determinada por la intersección de los planos Pxy y Pyz y el eje Z es la recta determinada por la intersección de los plano Pxz y Pyz. La dirección positiva se indica por medio de una flecha. Los coordenados tomados de dos en dos determinan tres planos, llamados planos coordenados. ejes Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional b) 3 PLANOS COORDENADOS.E1 plano coordenado XY que denotaremos por Pxy, es determinado por las rectas: eje X y el eje Y. El Plano coordenado XZ que denotaremos por Pxz, es determinado por las rectas: eje X y el eje Z. El Plano coordenado YZ que denotaremos por Pyz, es determinado por las rectas: eje Y y el eje Z. Los planos coordenados dividen al espacio tridimensional en 8 subespacios llamados octantes. Consideremos un punto P(x,y,z), cualquiera en el espacio tridimensional, a través de P(x,y,z) se construye tres planos, un plano perpendicular a cada uno de los ejes coordenados. Sea A(x, 0, 0 ) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje X, B(0, y, 0) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Y, y sea C(0,0,z) el punto en el cual el plano perpendicular corta al eje Z. 1.2. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS*TEOREMA.- La distancia no dirigida entre dos puntos pi (xj ,yj (x2 ,y2 ,z2) ^ esPac*° tridimensional está dado por: d ( p 1, p 2) = -J(x2 - * | ) 2 + ( > 2 -.V i)2 + ( * 2 - * l ) 2 Demostración ,Z j) y p2 4 Eduardo Espinoza Ramos Sea a = P ^ 2 un vector de origen pj y extremo / , / P2, entonces: i ■ a = p ,/>2 = p 2 ~p¡ = (x2 ~ x , , y 2 - y l , z 2 - z l ) —> p,<>v V .T .K por lo tanto la longitud del vector a es: Y ¿ ( a >/»2 ) = I I a I! = V ¿ * 2 - *i )2 + ( ^ 2 - > ' i ) 2 + < z 2 - z i ) 2 Ejemplo.- Hallar la distancia entre los puntos rv. (- 1,-2,2) y p 2 (2,4,- 1) Solución Sea -» a = p xp 2 = p 2 - p x = (2,4,- i ) - ( - 1 , - 2 , 2 ) = (3,6,-3) d ( p x, P 2) = IU II = \¡32 +62 + (-3 )2 =V 9 + 3d+9 = >/54 d ( p l , p 2) = 3y¡6 Ejemplo.- Demostrar que los puntos pj (-2,4,-3), p 2 (4,-3,-2) y p 3 (-3,-2,4) son los vértices de un triángulo equilátero. Soliición Los puntos pi , p 2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero si: d(pi,p2) ~ d(pi,p3) = d(p2, p3), ahora calculando cada una de las distancias: ^(P1.P 2 ) = V ( 4 - ( - 2 ) ) 2 + ( - 3 - 4 ) 2 + ( - 2 - ( - 3 ))2 = V36 + 4 9 + l= V 8 ó d( p l 5p 3) = V ( - 3 - ( - 2 ))2 + ( - 2 - 4 ) 2 + (4 - (-3 )) 2 = V í+36 + 49 = Vs 6 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 5 <*(P 2, P 3) = >/(-3 - 4 ) 2 + (-2 - (-3 » 2 + (4 - (- 2 » 2 = V49 + 1+ 36 = V 86 Como las distancias son iguales, entonces los puntos pi , p2 y P3 son los vértices de un triángulo equilátero. 1.3. DIVISIÓN DE UN SEGMENTO SEGÚN UNA RAZÓN DADA____________________ __________ TEOREMA.- Si los puntos pi (xi ,yi ,z0 y p2 (x 2 ,y2 ,z2) son los extremos de un segmento dirigido pjp2 ; las coordenadas de un punto p(x,y,z) que divide al segmento pjp^ en la Razón r = pjp + pp2 es: y \ +ry2 ' g - z ,+ r r 2 x _ —-----i ' y = ,----------, r 1+ r 1+ r 1+ r * -1 Demostración Del gráfico se tiene: P j p / / pp 2 => 3 r eR P2(x2,y2,Z2) tal P(x,y,z) p i( x i>yvz iJ o que: P i P = r PP2 > de donde p - /?, = r( / ? 2 - p) al despejar p se tiene: 1 p_ ^ + jp^ ) ahora reemplazamos por 1+ r —► sus coordenadas respectivas: Y ( x ,y , z) = - ^1+^2 (x ,y, z) = (— ¡ 1+ r );l + 0 ;2 zl + rz2s i, i ------------------- ), por igualdad se tiene: 1 + r 1+ r jCj + nr2 1+r >y\>Z\) + r( x2 , y 2 ,z 2)) y = -y \ + r y 2 1+r z=• 1 +r r * -l 6 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son (5,-1,7) y (-3,3,1) Solución P,(5.-1,7) P2(-3,3,1) ------------ i — ..........................--------------- ------- A -- -----.............. — . B Calculando las coordenadas del punto A se tiene: p,A PjA 1 r= * = = - = r = entonces r = VL por lo tanto se tiene: Ap 2 2pjA 2 5 + ±(-3> - — , - l + ±<3) -i- " , - |( I ) 1■ ? 2' — ■ 2 2 ,5 -T 7 M i = 3 ' 3 ’T _____ 2 p^B 2 Bp, Ahora calculemos las coordenadas del punto B donde: r = : = r = - = - = 2. Bp 2 Bp 2 entonces r = 2 „ 5 + 2(-3) _ 1 _ - 1 + 2(3) A7 — — —, V7 — 1+ 2 3 COROLARIO.- ' ‘ Si 1+ 2 p(x,y,z) 5 . 7 + 2 (1 ) 9 _ , ¿.7 —— : — 3 es 7; 1+ 2 3 J. 5 .9 > , , ) ÍJ\ ' 3 3 3 el punto medio del segmento pjp2 , PiP PjP entonces r = = z * = 1 . Luego las coordenadas del punto PP.2 medio son: .r, + x 2 2 >y - z ,+ z 2 y¡+y2 ■, z — 2 2 Ejemplo.- Los puntos extremos de un segmento son pi (-2,1,4) y p2 (3,2,-1). Hallar la coordenadas del punto medio del segmento pjp 2 Solución 7 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Sea p(x,y,z) el punto medio de pi y P2 entonces: -2 + 3 xx + x 2 X 2 entonces Ja . ~ 2 1 ~ 2 ’ y ~ yx+ y 2 1+ 2 3 z { + z2 4 -1 3 2 2 2 2 2 2 1 3 3 p(—,—,—) 2 2 2 á n g u lo s d ir e c to r e s , c o s e n o s d ir e c t o r e s y NÚMEROS DIRECTORES.-___________________________ Consideremos el vector a = (a\,a2,cii) en el espacio tridimensional y los ángulos a, P y y formados por los ejes coordenadas positivos y el vector — > — > — ► — >— ► — >— * a = (a t,a 2 ,a3) ; es decir: a = ¿ £ (/,a ), P = ¿ ( j , a), 7 = ¿£(A ,a). Si a H L (recta) donde a = (úfj,a 2 ,a 3) diremos que: i) ai, aj, a3 son los números directores de la recta L. ii) Los ángulos a, (3 y y se llaman ángulos directores de la recta L, y son formados por los rayos positivos de los ejes de coordenadas y la recta, respectivamente. 8 Eduardo Espinoza Ramos Los ángulos directores toman valores entre 0o y 180°, es decir: 0 ° < a , p , y < 180°. iii) A los cosenos de los ángulos directores de la recta L, es decir: eos a, eos p, eos y, se denominan cosenos directores. 1.5. EXPRESIONES DE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA DETERMINADOS POR DOS DE SUS "PUNTOS.. - puntos p¡ (x* yj ,z}) y p 2 (x 2 ,y2 ,z2). Si d(pi, p 2) =1! P 1P 2 II Y tx, p y y son los ángulos directores de la recta L, entonces se X2 - * j tiene: eos a = ¿(Pl*P2 ) eos ¡3 = y 2 ~y\ ^(Pi ,p2) 1.6. eos y = ~2 ¿(Pl,P2) RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA..___________ ________ _ TEOREMA.- La suma de los cuadrados de los cosenos directores de una recta L es igual a 1, es decir: eos 2 a + eos2 p + eos" y = 1 Demostración Aplicando la parte 2.5, se tiene: co sa _ ~ x\ y 2 - Vi z 2 - z¡ ^ eos ¡3 = ---- -f— , eos y = — -— , de donde a • d a Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 9 d = -j(x 2 - * i ) 2 + ( ^ 2 - y \ ) 2 + ( z 2 ~ z \ ) 2 , por lo tanto: (*2~*i )2 2 eos a + eos p + eos / = (yi~y\)2 (z 2~zi) 2 d2 d2 eos1 a + c o s 2 p + co s2 y = 1 OBSERVACIÓN.- Si a = (aj, a2 , es un vector dirección de ia recta L, donde || a J| = y¡a¡ + a \ + a \ , i .a a. II a || -> l|a || => a, = entonces: a cosa -► -► _ y*a _ -► II a || -► -* ¿ .a a2 —► l|a || «3 a2 ~ II a II COSP => «3 =|| a ||c o s / a =(|| a ||co sa , || a ||cos/?, || a ||c o s/)= || a ||(e o s a ,eos>3, e o s /). A. LA RECTA.- 1,7. LA RECTA EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL.Dado un punto /?0(xo>>’o>2o) Y un vector llamaremos recta que pasa por a = (<31,a2,fl3) no nulo, />o (*o >Yo *zo) a = (au a2,a3) al conjunto. L = { p &R * / p = p 0 + t a, / e i?} paralela al vector 10 J .8. Eduardo Espinoza Ramos ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA.- M Sea L la recta que pasa por el punto Po(x0, y 0, z 0) paralelo al vector — ► a = (a{,a2,a3) Z sP(x »y»z ) Si p(x,y,z) de R3 es un punto cualquiera de la recta L, entonces el vector p 0p es paralelo al S? P0= (xo*y0*zo) vector a , es decir: p Qp// a <=> 3 t e R tal de donde p - p 0 = í a — ^ entonces p = p 0 f t a , por lo tanto la recta L que: PqP = t a , es dado por: L = {P ~ p0 4- t a /i e R } j ecuación vectorial de la recta L. Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L que pasa por el punto — > (4,0,5) y es paralela al vector a = (1,-1,3) Solución Como la ecuación vectorial de la recta es: L = { p 0 + 1 a/ / € R } reemplazando los datos se tiene: L = {(4,0,5) + /(1,-1,3) / 1 e /?} OBSERVACIÓN.- Para cada par de puntos distintos de R3, hay una y solo una recta que pasa por ellos. Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P, (1,3,5) y P2 (4,2,7). Solución La ecuación vectorial de la recta, está dado por: L = { p x +t p xp 2 ¡ t e R }, donde /^ = ( 3 ,- l> 2 ) L = {(1,3,5)+ /(3,-1 ,2 )// 6 /f} 11 Rectas y Allanas en él Espa ció Tridimensional Consideremos la recta L = { p Q+t a/ 1 e R }, Un punto OBSERVACIÓN p de R3 pertenece a la recta L si p = p 0 +1a para algún t en R, es deci r: peí 1.9. <=>p = P q +t a para algún t real ECUACIÓN PA RAMÉTRICA DE LA RECTA EN EL ESPACIO.Consideremos la ecuaci ón vectorial de la recta L: De la observación anteri or se tiene: Peí o L - { P a +t a / t e R} P = P0 +r a , para algún t € R de donde, al reemplazar por las coordenadas de P, P0 y de las componentes del — ► vector a se tiene: (x,y,;z) = (x0, yo, Zo) + 1(ai, a2, a3), es decir: \x = x0 + a , í £ : - >'!=>’0 + «2 í » t e R z = z^+a^t Las cuales se conocen con el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L. Ejemplo.- Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el — > punto (5,3,2), paralela al vector a = (4,1,-1) Solución x = 5+41 Las ecuaciones paramétricas de la recta L son: L: * y ^ l + t z =2 -t , t€ R 12 Eduardo Espinoza Ramos OBSERVACIÓN,- Las ecuaciones paramétricas de la recta L qué pasa por el par de puntos Px(xu y x>z x) y P2(x2, y 2 ^ 2 ) esí¿ dado por: x = Jtj + (x2 - X j ) r l: y-=yi+(y2 - y i ) t , t e R * » * ,+ ( * 2 ~ Z |X Ejemplo.* Hallar las ecuaciones paramétricais de la recta L que pasa por los puntos Pi (1,2,1) y P2 (5,*1,1) De acuerdo a la observación se tiene que las ecuaciones paramétricas de la recta L son: jc= l + (5 - L: y = 2 + ( - 1 - 2 ) / x = l + 4r , t € R e s decir: [z = 1+ (1 -1 )/ L'A y * 2 - 3 í z = l+Qí ,t€ R 1.10. ECUACIÓN SIMÉTRICA PE LA RECTA.Consideremos las ecuaciones paramétricas de la recta L. x = x0 + a , t y = y 0 + o 2t ,té R 2 = z0 + a3t Suponiendo que a, * 0 , a2 * 0 , a3 * 0 , despejando el parámetro t de cada ecuación tenemos: t x-x0 y - y 0 z-z0 -------- = --------- = -------- , de donde por igualdad a, a2 aj Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 13 Que se denomina ecuación simétrica de la recta L. Ejemplo.- Encontrar las ecuaciones simétricas de la recta paralela — y vector a = (4,-3,2) que pasa por el punto (2,5,-1) al Solución x - x 0 y - y 0 z -z0 como L: —-----= ----------= -------- . se tiene L: x-2 y - 5 z+1 ---- = ------- -- —— OBSERVACIÓN.© Si a3 = 0, la ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma y - y o a z =: L: © Si ai = 0 a a3 = 0 . La ecuación simétrica de la recta L se escribe en la forma: L: x = xq Ejemplo.- a z = Zq Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa por P0 (-1,1,1) — ► paralela ai vector a = (2 ,0 , 1) Solución x ~ *o y~~ y o z ~ z o como L : —--- = --------- = -------ax ao 3 ecuación simétrica de la recta L y como x - x Q z ~ z0 a 2 = 0 , la ecuación de esta recta es L: — a y = y0 , ahora ax a. x +■1 z - 1 reemplazamos por los datos se tiene: L: = —— a y - 1 14 Eduardo Espinoza Ramos L! L RECTAS PARALELAS Y ORTOGONALES.Las relaciones de paralelismo y ortogonalidad entre dos rectas se da comparando sus vectores direccionales. Consideremos las ecuaciones vectoriales de dos rectas. — > L\ - {p0 + 1 a / 1 e R} — y L2 = {g 0 + A b / Á e R} La recta Lj y la recta L2 son paralelas (L t // L2) sí y sólo sí, sus vectores — ^ ► direccionales son paralelo, es decir: L\ i¡ L2 <=> a// b OBSERVACIÓN.© Si Li y L 2 son paralelas (Lt // L2), entonces L : = L2 ó L t n L2 = <J>. © Si Lj y L2 no son paralelas (Lj K L 2), entonces L\ n L2 = <|> (las rectas se cruzan) ó Lj n L2 consta de un solo punto. 15 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Ejemplo.- La recta Lj = {(1,2,-1) + ¿(5,-2 ,-3 ) / 1 e R] es paralela a la recta L 2 = {(l,-3,2) + i(-1 0 ,4 ,6 ) / i g R} puesto que el vector dirección — > —> de , a = (5,-2,-3) es paralelo al vector h = (-10,4,6) que es el vector dirección de la recta L2 . Ejemplo.- Hallar la ecuación de la recta L que intercepta en ángulo recto a la recta Li = 4(1,2,3) + t(2 ,l,-l) / 1 g R} y que pasa por el punto A(2,0,l). Solución S ea p e L | n L 2 => p g Lj A p e L además AP = P - A = (2t - 1, 2 + 1, 2 - 1) como L ± L \ => AP _L a Si AP _L a => AP. a = 0 ( 2 t- 1, 2 + 1, 2 - 1) . (2,1,-1) = 0 -> por lo tanto AP = 17 4 t - 2 + 2 + t - 2 + t = 0 =>* = - 5 1 = —(-1,7,5). 3 3 3 3 Luego L = {(2,0,1) + Á,(-l,7,5) i k g R} 16 1.12. Eduardo Espinoza Ramos ANGULO ENTRE DOS RECTAS.Consideremos las ecuaciones de dos rectas —> —> ¿ 1={ p 0 +t ñ/t gR } y L2= {q0 +t h! t e R } Un ángulo entre las rectas Lt y L 2 se define como el —> ángulo formado por sus vectores direccionales a y — ► — >— > b , es decir: , Z,2) = XXa , 6 ) - # , y es dado por la fórmula. Ejemplo.- Encuéntrese un ángulo formado por las rectas L, = !(1,3,-2) + í ( 3 - 6 ,9 ) / / e R\ y Z,, = {(2,1,7)+ .* (1 -3 ,4 )/A e /?} Solución -> — » Como 6 = ^ ( I },C2) = ¿(a,¿ > ) donde a .¿ eos# = ■ II a ¡! ¡|6 || — > a =- (3 ,- 6 ,9 ), 6 -=(1,-3,-4)entonces (3,-6,9).(l,-3,4) 3 + 18 + 36 57 3>/Í4V26 6>/9T 6V91 eos 0 = 0.99587 de donde 0 = árceos (0.99587) 1.13. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS (RECTAS _____________________ QUE SE CRUZAN).> Si Lx ={ p{) + 1 a/1 g — > R } y L-y~{g0 + A b / A e R } son dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan), entonces a la distancia mínima entre las retas L¡ y L2 denotaremos por d ( L l , L 1) y es definido como el segmento perpendicular común a ambas rectas. 17 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Si las rectas Li y L 2 se cruzan, quiere decir que existen planos paralelos que contienen a las rectas Li y L 2 respectivamente. Si d es la distancia entre los planos Pi y P 2 donde N es la normal al plano P2; por lo tanto N es ortogonal a los vectores a y b entonces Af = a x b Ahora consideremos el vector unitario en la dirección de la normal -> fjN = n — > N\ -> y como 8 = jC(¿í n , A C ) entonces IIÍVII hn .a c Hn AC . . . eos 8 = ----- ------------= —-------- , de donde \ \ M n IIII AC\\ —> —> f i N . AC=\ \AC || eos8 ...(1) \\AC II por otro lado en el triángulo rectángulo ABC se tiene: d =\\AC\\cos8 de donde al comparar ( 1) y ( 2 ) se tiene: - (2) d(Ll , L2) = \ MN. AC\ 18 1.14. Eduardo Espinoza Ramos TEOREMA.Sean -> —> ={ p 0 +t a¡ t e R } y L2 ={ q0 + A b / A e R ¡ dos rectas no paralelas (rectas que se cruzan). Demuestre que la distancia mínima entre Lj y L2 está dado por: 1Po% -(a v b) ¡ d(L\,L2) — lla lli Demostración Presentaremos en un gráfico, en intuitiva a L forma ^% s rectas que se cruzan sin interceptaise s ser paralelas del gráfico observamos que la distancia mínima entre las rectas Lj y L2 es: “La longitud del vector proyección de /?()<y0 sobre a v h , lo cual es expresado en forma matemática por: \ \ ( a x b) \\ , de donde d(L\, />2 ) - I - a -vb 1 li (a -v b ) || Ejemplo.- Calcule la distancia oblicuas dadas por ias ecuaciones x 4-2 L2:4 Escribiendo las y 4-1 2 rectas dos rectas las r+1 v-2 _ =_ y Ll :— ~ perpendicular entre X ~ 1 z- 3 -3 Solución dadas en forma vectorial se = { (l,2 ,-l) + r(5 ,3 ,2 )/f e /?} y L2 = {(-2 ,-l,3 ) + ,1(4,2-3), /. e distancia entre Lj y L2 es dado por: tiene: r \, la 19 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional ------y ( ¡ m , L2 ) = ) donde: Po (1,2,-1), q0 (-2,-1,3) =* /vT 0 =(-3,-3,4) II (a x 6) || además a - (5,3,2), i axb = 5 4 b = (4,2,-3), entonces: j k 3 2 = (-13,23,-2) => || a x ¿ || = -v/702 2 -3 /?0g0 . a x b = 39 - 69 - 8 = - 3 8 , por lo tanto: ■ 11(1,4)11 OBSERVACIÓN.- ^ 'Z™2 Si las rectas Lx y Z2 son paralelas, entonces d( Lx, L 2) - d ( P , L 2) , donde P es un punto cualquiera de la recta L ,. 1.15. TEOREMA.Demostrar que la distancia del punto P a la recta /?0 + 1 a !t e i? íes dado por: d (p, L) = Vil A)/71 a ¡I2 "(p,sP- a )“ II a ll Demostración Hacemos un dibujo intuitivo, para su interpretación, entonces. En el triángulo A P0P se tiene: 20 Eduardo Espinoza Ramos B = £ ( p 0p, a) => eos0 = - PoP % II PoP II!! a I! además sen# = d(P,L) Wp o p W de donde d{ P, L) =|| p 0p || senB d 2 (p,L)=\\ p 0p\\2 sen29 = \ \ p 0p \ \ 2 (1 - c o s 2 9) =I|— ||2 ( ,„ j y r !IP » P lñ la ||2 «a»’ llPo/’ lñl a I!2 -{PoP-*)2 d(p,L) = Vll.PbPiriiair-CPo^-a)' lia |i Ejemplo.- Hallar / 11} la distancia >>-f2 del punto P(3,l,-2) a la recta r +1 Solución Escribimos la recta en forma vectorial: L = {(-1,--2,-1") + t( 1,1,1) / 1 e R¡ llfl>/>ll2||a || ~(PoP-a )2 La d(p,L) es dada por: d{p,L) = ¡ donde p 0 (-1,-2,-!) y p(3,l-2) entonces pQp ~ (4,3,-1),^ =(1,1,1), 21 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 1.16. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA.Consideremos una recta L ]- { p 0 4-í ai t e R } y un punto p, que no pertenece a la recta L Entonces la proyección ortogonal del punto p sobre la recta L es el punto A de la recta L, al cual denotaremos proypL de tal manera que el vector AP sea ortogonal a la recta L. Observando el gráfico se tiene: P0A = proy[':P de donde A - P 0 - proy¡;h a a a A = proy'l = p 0 + p r o y p a Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal del punto P(2,-l,3) sóbrela recta L = {(0,-7,2) + t (3,5,2) / 1 e R Solución A = Pq + proyp'p , donde p0p ~ (2,6,1) a A = (0 -7 ,2 ) + (2.6,1).(3,5,2) 1 -------- .(3,5,2) 38 22 Eduardo Espinoza Ramos 6 + 30+2 A - <<>,—7,2) +■-------- —.(3.5.2) entonces A 38 (0,- 7,2) + (3,5.2) = <3.-2.4) A (3.-2,4) i 1.17. EJERCICIOS DESARROLLAPOS.-l © Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (3,1,>2) y es Y4-1 y -f- 2 Z 4-1 perpendicular y corta a la recta L : ------ = 1—— = — 1 1 í Solución Escribiendo en forma vectorial a la recta L = {(A,-2,-1) + t (1,1,1) / 1 e Rj La recta pedida pasa por A(3,l,-2) cuya ecuación es: - 1(3,1,-2) + A (a, b, c ) ! I € Aj­ Lj => (1,1,1 ).(a,b,c) = 0 => a + b + c = 0 eóme L a+b+c=0 Sea p e L Si p e L entonces: a ...(1) L¡ en ton ces p e L a p e L¡ de donde p (-l + t , - 2 + t , -1 + t ) , p e L] :=> p(3 + l a , 1 + /„b, -2 + Xc), (-1 + i, -2 + t, -1 + t) = (3 + /.a, 1 + Ab, -2 + / c) de donde: —1. -t-1 —3 + Xa - 2 + t = \ + Áb - \ + t = -2 + Ac -5 A=a-c 1 Á = - b -a entonces a -c b-a c = 5b - 4a ... (2 ) 23 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional de (1) y (2) se tiene: a = 2b. c = -3b, (a,b,c) = (2b„ K-3h) = b(2J,-3) por lo tanto la recta pedida es: © L = {(3,1,-2) + X (2 J ,-3) / X e R} Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-3,4) y es perpendicular x +2 y - 3 z +2 a cada una de las rectas L , : ----- - - 1—— - — , y 2 - 1 5 x-3 2y-7 3 -z L2: 1 2 -3 Solución A las ecuaciones dadas escribiremos en forma vectorial L] = {(-2,3,-2) + 1 (2,-1,5) / t e R } , y L2 = {(3,7/2,3) + >- (1,1,3) / * e R}. Sea L la recta pedida que pasa por el punto (3,-3,4) es decir: L = {(3,-3,4) + P (a,b,c) / P € R} como L _L L i , L2 entonces (a,b,c) _L (2,-1,5),(1,1,3) entonces í(2 ,-l,5 .(a ,6 ,c ) = 0 l(l,l,3 ).(a,6 ,c) = 0 3a a dedonde c = - — , b = —, 8 8 Í2a-¿>-t-5c = 0 ^ \ a + b + 3c = 0 a 3a a { a , b , c ) - { a , ~ - — ) = —(8,1-3) 8 8 8 L = {(3 ,-3,4) + 1 ( 8 ,1,-3) / 1 e R¡ © Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M(-l ,2,-3) es perpendicular x -1 y + 1 z —3 a! vector a -(6,-2,-3) y se corta con la recta L , : — — ------ - -----3 2 - 5 Solución 24 Eduardo Espinoza Ramos 'Escribiendo a la recia x ~~1 3 y + 1 z-3 en fon na vectorial 2 se tiene: L = {(1,-1,3) + t(3,2,~5)/t Sea p e Li a g L => p e L¡ R} a P e L. Si p € Lj ==> p(l + 3t, -1 + 2t, 3 - 5t) para algún t e R como b = MP = P-M = (3t + 2, 2t - 3, -5t + 6 ) además — > a — *— > => a .ó =0 => (6,-2,-3).(3t + 2, 2t - 3, -5t +6)=0 6(3t + 2) - 2(2t - 3) - 3(-5t + 6 ) = 0 => t = 0, 6 = (2,-3,6 ) por lo tanto: L={(-l,2,-3) + 1 (2,-3,6 ) / t e R} © Dados los puntos A (3,1,1) y B (3,-2,4). Hallar el punto C de la recta L = { (l,-l,l) + t ( l ,l ,0 ) / t e R} tal que Z ( AB, AC) = 60" Solución Sea C e L => C(1 + t , -1 + t, 1) -» -» ->• ■-* A B .A C =|| AB mi AC || eos60°, —> —> AB = (0,-3,3), /íC = ( f - 2 , / - 2 , 0 ) || ZB||= 9 + 9 = 3 2 J 9 + 9 > IMC(|= 2 ( /- 2 ) 2 = 2 t - 2 donde Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 25 —> —^ ^ Como AB .AC =|| AB\\\\AC || eos60° , reemplazando: 6 - 3 1 = 3>/2.V 2 11 ~ l \ — => | t - 2 | = 2 - 1 de donde t - 2 < 0 como t < 2 2 entonces C(1 + t, -1 + t, 1), para t < 2. ® Una recta pasa por el punto p( 1,1,1) y es paralela al vector a = (1,2,3), otra recta pasa por el punto Q(2,l,0) y es paralela al vector b = (3,8,13). Demostrar que las dos rectas se cortan y determinar su punto de intersección. Solución Sean L, = {(1,1,1) + 1 (1,2,3) / t e R} y L 2 = {(2,1,0)+A, (3,8,13) / i e R } . Las rectas Lt y L 2 se cortan si y solo si 3 P0 tal que P() e Lj a L2 como Pq € Lj A L2 Si P q g L¡ P0 e Lj A P0 E L 2 => Po ( 1 + t, 1 + 2 t , 1 + 3 t ) P0 G L 2 => Po (2 + 3X, 1 + 8 )1, 13A,) como Po es punto común a Lj y L 2 entonces: (1 + 1, 1 + 2t, 1+ 3t) = (2 + 3X, 1 + 8 X, 13X) 'l + t = 2 + 3A < 1+ 2í ~ 1 + SA resolvien d o el sistem a se tiene t= 4, X^ 1 1+ 3 / - 1 3 a L uego el punto de in tersección es P0 (5 ,9 ,1 3 ) @ Dadas las rectas L,= {(3.1,0) + t (1,0,1 ) / 1 e R} y L2={(I,1,1 )+X (2 , 1,0 )/?,eR¡. Hallar el punto Q que equidista de am bas rectas una distancia mínima, además hallar ésta distancia. 26 Eduardo Espinoza Ramos Solución B b = (2,1,0). Sea A e L ¡ => A (3 + t, 1, t), B e L2 —^ B(1 + 2X, 1 + X, 1), AB=B-A=(2A~t-2y A, 1-í) Q ^ ► a 1 AB => a . AB = 0 , (1,0,1 ).(2¡U-2,A., 1-t)=0, a =(1,0,1) de donde 2 X - 2t - 1 = 0 —^ ^~ b ±AB=> b. AB=0 => (2,1,0).(2X - 1 - 2, X, 1 - 1) - 0 => 5X - 2t - 4 = 0 ... (2) Í 2 /i-- 2 í - l = 0 formando el sistema de ( 1) y (2 ) se tiene: 5 /1 - 2 /- 4 = 0 resolviendo el sistema se tiene t = —, A= 1 2 como Q es punto equidistante de A y B entonces Q{ yl + fi 2 13 3 3 ) = Q(— ) 4 2 4 1 41 La distancia mínima d - ~~d(A, B) = — . 2 4 © Dadas ias tres rectas L¡ - {(1,1,2) + t (1,2,0) / t e R} L2 = {(2 ,2 ,0 ) + A,(1,- 1, 1) / A € R } . L3 = {(0,3,-2) + r (5,0,2)/ r e R} Hallar la ecuación de una recta que corte a estas tres rectas L,, L2, Lj en M, N '—¥ —^ y P respectivamente de tal manera que MN = NP. Solución Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 27 M e Li = {(1,1,2) + 1 (1,2,0) / t e R} => M (1 + 1, 1 + 2t, 2) N 6 L2 = {(2,2,0) + X (1,-1,1) / X e R} =s> N (2 + X, 2 - X, X) P e U = {(0,3,-2) + r (5,0,2) / r e R{ => P (5r, 3, -2 + 2r) —^ ^ como MN = NP entonces se tiene: ^ MN = N - M =(X - t+ 1, -X - 2 t+ l, X - 2) —^ /VP = P - N = (5r - X - 2 , 1 + X, 2r - X - 2 ), de donde (X-t+1, -X-2t+l, X-2)=(5r-X-2, 1+X, 2r-X-2), por igualdad de vectores se tiene: A -t +l = 5 r - A - 2 - A - 2 t +l = l +A A~2 = 2 r - A - 2 5r-2A+t =3 2 /1 + 2 / = 0 2r —2A =0 ...(1) ...( 2 ) ...(3) de (2) y (3) se tiene X = - 1 , r = X ahora reemplazamos en la ecuación (1). t =~ \ ’ A =Í • L u e g o M ( - i , - 2 , 2 ), L = { ( - - - . - 2 ,2 ) + / ( 8 , 5 , - l ) / / e f l } P ( y , 3,-1) 28 @ Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de una recta que pasa por p( 19,0,0) y corta a las rectas L, - {(5,0,-!) + t (1,1,1) / 1 e R}, y L2 - {(-1,2,2) + X (-2,1,0) / X e R} Solución B g L 2 = {(-1,2,2) + X (-2 , 1,0 ) / X e R¡ -> B (-2X - 1, X + 2, 2) como los punto F, A, B son colineales, entonces. P A t i AB ~=>3 r e R tal que PA = r /IR de donde A - P = r(B - A) que al reemplazar por sus coordenadas se tiene: (t - 14, t, t - 1) = r(-2 X - 1 - 6 , X - 1 + 2 , -t + 3) t - 14 = -2rA - rt - 6/t ~ Á r - r t + 2r por igualdad de vectores se tiene: / - 1 = - r t + 3r 3r + l r - 1 ... (1) ..(2) ...(3 ) de la ecuación ( 3 ) y (2 ) se tiene: t = --------, i = ------ de la ecuación ( 1) r+1 r (1 + r) t + 2 rA, + 6 r = 14 reemplazando t y X se tiene: 29 Rectas y Manas en el Espacio Tridimensional 28 luego a = PA = (t - 14, t, t - 1) para / = — , F 13 -> a = jS4 28 15 13 13 13 L = {(19,0,0) + t (-154, 28, 15) / 1 e R} Qm Encuentre el punto de intersección de las rectas: L {= {-1,7,17)+ t(-l,2,3)/teR} x-1 3; z Solución Escribiendo Ja ecuación L2 en forma vectorial. L 2 = {(7,0,0)+A(4, 1,-5)/A e R} Sea p € Lj a L 2 entonces p e L| a p e L2 . Si p e Li 5A) => p(-l - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) a p e L2 entonces p (7 + 4A, A,, - como p e Lj a L 2 => (-1 - 1, 7 + 2t, 17 + 3t) = (7 + 4A, A, -5A) ; í - l - / = 7 + 4A i 7 + 2/ = A entonces t = -4 , A = -1. Luego: p(3, -1,5) 1.17 + 3/ = -5 A Dadas L las x —\ rectas y+ 2 = no x~í z-3 = coplanares / o . _ 3~z = _ , Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A(-4,2,6) y forma ángulos iguales con las rectas dadas. Solución Escribiendo las rectas dadas en forma vectorial. Lj ={(1,-2,3)+ t(2,2,l)/ te R }, L2 = {(1 ,3 ,-2 ) + A (3 ,0 ,4 ) / A e R} y L3 = { (1 ,-2 ,3 ) + r ( 2 ,1 ,2 ) / r € R} Sea L la recta pedida que pasa por el punto A (-4 ,2 ,6 ) es decir: 30 Eduardo Espinoza Ramos L-{ (-4,2,6)+ t(a,b,c) / teR}, como 0= ¿ {Li,L)~ eos$ = ( íz,6, c).(2,2,1) 3Va2 + ¿ 2 + c2 = _ (L2,L)= ¿ (L^,L) entonces: 2c+2A + c = 3V ? + _ = _ + c2 (a,ó,c).(3,0,4) 3a + 4c cosff = — p = = = = = —= = = = = = sV a2 + 6 2 + c2 Sifa^ + 6 + c ... (2) 2a + b + 2c (a,6,c).(2,l,2) COSU = — = = = = = = = ----p = = ^===^r 3j a 2 + b 2 +c2 3 ... (3 ) + 62 + c 2 de (1) y (2) se tiene: a + 10b - 7c = 0 de (2) y (3) se tiene: a + 5b - 2c = 0 de (1) y (3) se tiene: b=c como b = c entonces a - -3c, (1 ) L = {(-4,2,6) + r (-3c,c,c) / r e R¡ L = {(-4,2,6) + t (-3,1,1) / 1 e R) © Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el /r-cuy p(7,-2,9) y es x- 2 jy z+3 x +4 y -2 z perpendicular a las rectas L , :— — = — = , y L2 : 2 ~ -2 ~ 3 ’ 3 2 ~ 5 ” -2 ' Solución Los vectores direcciones de L| y L 2 son a ~ (2,-2,3), 6- (2,5,-2) respectivamente. Sea L la recta que pasa por el punto p(7,-2,9), luego la recta pedida L - {(7,-2,9) + te / teR }, pero como L JL L¡ , L 2 entonces c .1 a , 6 entonces: 31 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional c =axb - Por lo tanto: n) * 2 J -2 2 5 = (-11,10,14). L = {(7,-2,9) + t (-11,10,14) / 1 e R} Hallarla ecuación vectorial de la recta que intercepta en ángulo recto a las rectas L! = {(3,3,4) + t (2,2,3) / 1 e R} , L 2 - {(1,6,-1) + X (-1,2,0) i X e R}. Solución A ¿r\ * j Sean A e h\ => A (3 + 2t, 3 + 2t, 4+3t), B e L 2 => B (1 - A,,6 + 2X,-1) como A,B son puntos sobre la recta L entonces el vector dirección de la recta L es _ B a =AB=B-A de donde se tiene: ’L a - (-2 - 2t - X, 3 + 2X - 2t, -5 - 3t) como L J_ Li , L2 entonces: j a .(2,2,3) = 0 [ - \ l t + 2A = 13 t ~ { i=> { resolviendo el sistema se tiene t= - 1, / =-2 , [-2 / + 5 i = ~8 a.(- 1, 2 , 0 ) = 0 — > —y por lo tanto ios puntos son A (1,1,1), B (3,2,-1), a = AB = B - A = (-2,-1,2). Luego la ecuación vectorial de la recta pedida es: L = {(1,1,1) + t (-2 ,-1,2) / 1 e R) ^5) Determinar una recta L tal que con las rectas Lj ={(2,l,4)+t(l,l,0)/te R} y 1.2 ~ {(2 •" a, 1 4 a, 3 + a) / a e R) determinan un triángulo de área 5u2. Solución 32 Eduardo Espinoza Ramos Sea Si p € Lj a L2 => p e Lx a p e L2 p € L| => p(2 + t, 1 + t, 4) p € L2 => p(2 + a , 1 + a , 3 + a) como p e Li a L2 , entonces: (2 + t, 1 + 1, 4) = (2 + a , i + a, 3 + a) 2 + í = 2 + £¡f de donde: 1+ / = ! + a al resolver el sistema se tiene que: t = a 1 4 = 3+ a por lo tanto el punto p es p (3,2,4), ahora tomemos en t cercano a p así como t = 2 entonces el punto A de L2 es A (4,3,4), además B e B(2 + a , 1 + a , 3 + a ) entonces se tiene: a = A B ^ B - A = (a - 2, a - 2, a - 1) | —> —> además el área A = —|] a x b ¡|= 5 de a 2 - 2a - 49 = 0 de donde se tiene: las rectas pedidas son: ax porotra parte b = AP=P- A=(“l,-1,0) —y donde || a x b lj- 10 entonces = 1 - 5>/2, a 2 = 1+ 5^¡2 por lo tanto L = | (4,3,4) + / ( - ! + 5^2, - l + 5>/2, 5 ^ 2 ) / t e ñ ] L = {(4,3,4)+ / ( - ! - 5 ^ 2 , - 1 - 5 ^ 2 , - S j Í ) l t e R Sea A (l,l,2 ) un punto y supongamos que la recta L tiene por ecuaciones paramétricas a: x = 4-t, y = 5 + 3t. z = 3 + t, t e R , encontrar un punto B en L, tal que el vector A - B y la recta sean perpendicular. Solución 33 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional SeaL = {(4,5,3) + t(-1,3,1)/1 e R} b = PUA = A - P 0 = (-3,-4,-1) b a .b P0B - proy á ~ •a P0B = (~ l,3 ,l).(-3 ,-4 ,-l) •(-1,3,1) 11 3 -1 2 -1 10 10 30 10 P0B = ------------ = — (-1,3,1) = (— ,— ,— ) 11 11 11 11 11 10 30 10 10 30 10 P0B = B - P0 = (— ,— ,— ) =>B(4 + — ,5 - — ,3— ) 0 0 11 11 11 11 11 11 54 25 23 B(— — ,— ) 11 11 11 © Determinar los ángulos entre una recta L paralela al vector a =(1,1,1) y los ejes coordenadas. Solución Sea L - {PQ+t a / 1 e R} , donde — > a =(1,1,1) es la dirección de la recta L y l|a ü = V 3 ,entonces: eos a = V a = arccos(—F=-) V3 34 Eduardo Espinoza Ramos n 1 eos p = ■ — =—= —= i.r .i ^3 0 { 1V -=> 8 = arecosí-p-) va «i = —= i => eos f = —— lía II V3 @ , i . / = arccos(-p-) ^ Hallar la longitud del menor segmento horizontal (paralelo a! plano XY) que une las rectas Lx = ¡(l,2,0) + /( l,2 ,l) /í e R\ y L2 = {(0,0,0) + í(1,1,1)//!k r} Solución = {(l,2,0) + /(l,2 ,l)// e R) L2 = í (0,0,0) + 1( 1,1,1)/ á € /?} B Si A eL, => A(l+1, 2 + 2t, t ) , B e L2 => B(X,A,A) co m o AB / / al plano XY entonces a - t L u ego A (1 + 1, 2 + 2t, t) y B (t, t, t) d =|| AB j|~ yjb^i7+ 2)2 f 0 de donde / (/) - J~t2 + 4í + 5 / +2 / ’(*) = -7=======- = 0 \ t 2 + 4/ + 5 í/= || © Dadas las => / = -2 número critico. ¡|= n/1 + 0 + Ó = 1 => rectas í/ =1 Lx = {(l,-2,5) + /(2 ,3 ,-4 )/r e /?} L2 = {(-2,1,2) + A(0,\y2) / A e /?}. Hallar la ecuación de la perpendicular común. Solución Las rectas Lj y L2 no son paralelas, es decir % L2. y Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Ahora veremos si 3 peL¡ a L2 => 35 p e L* a p e L¿. Sí p e Li => p (1 + 2t, ~2 + 3t, 5 - 4 t) , p e. L2 => p (-2, 1 + A, 2 + 2A) (1 + 2t, -2 + 3t, 5 - 4t) = (-2, 1 + A, 2 + 2A) de donde 2 l + 2í = -2 -2 + 3í = 1+ Á 5 - 4 t = 2 + 2A 2 15 Á=— 2 13 2=— 2 por lo tanto las rectas Lj y L2 son rectas que se cruzan. 1 a = 2 0 J * 3 - 4 = 10i - 4 j+ 2 k 1 2 L = {(1,-2,5) + t (10,-4,2) / 1 e R} ; V - {(-2,1,-2) + X (10,-4,2) / A e R} 18) Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto A ( 2 ,2 ,3 ), hacia la recta L - {(0 , 1 + A, -A) / A g R} para que lo alcance al cabo de dos segundos, siendo su velocidad V = >¡3u i seg. Solución Sea B e L => B(0, 1+ A, -A) para algún A e R. además e = vt donde e = d(A,B) para t = 2 seg. V - J l u , e = 2 V3 d ( A , B ) = y[4 + ( A - 1 ) 2 + ( - A - 3 ) 2 =2y[3 de donde A2 + 2 A + 1 = 0 A = -1 36 Eduardo Espinoza Ramos Luego B(0?0,1) entonces está dado por el vector AB = B ~ A = (-2 ,-2 ,-2 ) /. 19) AB = (-2 ,-2 ,-2 ) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por los puntos R y S, donde A(2,4,0), B(0,0,-2), R(3,3,3), S(-l,3,3). Solución El punto medio del segmento AB es M( 1,2,-1), y observando el gráfico este problema tiene dos soluciones. La ecuación de la recta Lj que pasa por R y S es: L, = {(-1,3,3)+ t (1,0,0)/ t e R} Sea N el punto de intersección de L con decir: Si N e L¡ N(-l + 1, 3, 3) pasa algún t e R Definimos b = MN = N - M = ( / -2,1,4), como 60o - ¿ (L,Li) = ¿ ( a , 6) entonces: —> eos 60°= — ^ ' f - - ; donde a =(1,0,0) y ¿>= (t - 2, 1,4) II a || || b || eos 60° = (1 ,0 ,0 ).(/-2,1,4) 1 t-2 V ( /- 2 ) 2 + l + 16 2 yj(t-2f+ l7 a/( í —2)2 +1 + 16 = 2 ( í- 2 ) => (/ - 2)2 +17 = 4(/ - 2)2 es Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 3 ( f - 2 r =17 => t =2 ± J — => 37 b 4) Luego las soluciones ai problema son: ^ f — r- L - { ( l , 2 , ~ l ) + A ( J ^ - , l , 4 ) / A e R } ; L'={ ( 1 ,2 ,- 1 ) + r ( - ^ , l , 4 ) / r s R I Dados los vértices de un triángulo A (3,-l,-l), B(l,2,-7) y C(-5,14,-3). Hallar las ecuaciones simétricas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B. Solución Tomemos los vectores unitarios n y v en las direcciones de BA y B C , respectivamente donde BA = (2 -3 ,6 ), BC = (-6,12,4) ^ BA u=— — BA 1„ , ^ - - ( 2 ,- 3 ,6 ) y v = - BC 1, w ^ — - - - ( - 3 ,6 ,2 ) BC | entonces sea b = n+ v el vector dirección de la bisectriz BD es decir: b = —(-1,3,8) = - —(1,-3,-8) . Luego los números directores de la bisectriz 7 7 BD son 1,-3, -8. Si B(l,2,-7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones simétricas son: L : x -1 1 y - 2 _ z +7 38 ¡B, Eduardo Espinoza Ramos ELPLANO.- 1.18. DEFINICION.Un plano es un conjunto P de puntos p(x,y,z) de R3 . Sí existe un punto Po(x0,yo,Zo) de R y dos vectores no paralelos a = (al9a2,a3) y h = {h{,b2 ,¿>3) de R3 de tal manera que: P = <P(x9y 9z) € R f P (x9y 9z) = P0(xQ9y 09z0) + t a +A b 9 t9Á € Jf 1.19. ECUACIÓN VECTORIAL DEL PI Consideremos un plano P que pasa por el punto po(xo,yo?Zo) y que es paralelo a los vectores a = (as, a2, % ) y & = (6¡, ^ 3) • Sea p € P entonces existen t, A. € R tal que: p0p ~ t a + A h , de donde p - p 0 = / a + 2 b entonces: p = p0 +1 2l +A b , luego P = ( pq -f t a 4 - /j/l e /?} Que es la ecuación vectorial del plano P. Ejemplo. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M(3,4,-5) y es —> —► paralelo a los vectores a = (3,4,-5) y b - (1,-2,l). Solución Como la ecuación del plano es P = {/?0 + / a + A bi t, A & R} donde Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 39 Po = M(3,4,-5) y a = (3,1,-1), b = (1,-2,1), por lo tanto a! reemplazar se tiene: P = {(3,4,-5) + t(3,l.-l) + A<l,-2>l ) / t , X e R¡ OBSERVACIÓN.® De la ecuación vectorial del plano P = {/?0 + / a + A b! t,A e R} se obtiene la normal del plano que es una recta perpendicular a dicho plano: N = a xh n N= a x b Q) Si N es una normal al plano P = {P0 +1 a + A a/ tyX e /?} y si p1? p2 e P entonces N es ortogonal &P\Pi - P 2 ~ P\ Q3) Si N es la normal al plano ¥ = {pQ+ t a + A b/t,A e R} y si p - p0 es — > ortogonal a V entonces pe P. “ N 40 Eduardo Espinoza Ramos (jí) Si p0 es un punto fijo dél plano P y N es su normal, entonces la ecuación del plano es: N . ( p - : p Q) = 0 Es la ecuación de! plano que pasa por p0 y cuya normal es N , 1.20. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DEL PLANO. Consideremos el plano. Si p € r ± { P 0 + t * + X1>/t9Á e R } P entonces p - p 0 +t a + / l b para t, X g R, reemplazando por sus respectivas componentes se tiene: (x,y,z) = (x0, yo, Zo)+t(au a2, a3)+ X(b\., h2, b3) de donde por igualdad se tiene: x ~ XQ+a^ + 'b¡A + a 2?+ b2¿ z = z0 4- a3t 4- b$A Que son las ecuaciones paramétricas del plano P. ¡Ü2L ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO.-1 Sea P el plano que pasa por el punto Po(x o, y o ,- o ) cuy° vector normal es: — » ;V = (A,B,C). Si p g P entonces: > -•> —■ ——> —> p 0p ± N v de donde p 0p . N = 0 entonces — > N . ( p ~ p Q) ~ 0 . Ahora reemplazando por sus componentes: Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 41 (A,B,C).(x - x0, y - y0, z - z0) = 0 entonces A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 Ax -r By + Cz + (-Ax0- By0 - Czo) = 0, de donde P: Ax + By + CzHQue es la ecuación general del plano P. Ejemplo.- Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,4,-1) con — ► vector normal N =(2,3,4). Solución La ecuación del plano es dado por — ► P : N ,((x,y,z) - (2,4,-1)) = 0, P: (2,3,4).(x - 2, y - 4, z + 1) = 0, P : 2(x - 2) + 3(y - 4) + 4(z + 1) = 0 P: 2x + 3y + 4 z - 12 = 0 1.22. PLANOS PARALELOS Y ORTOGONALES.Consideremos los Pi : A xx + B ]y + Clz + D x = 0 planos: —» y —» P 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 , donde N\ = ( A X, B X, C X) y A72 = ( A 2 , B 2 ,C 2) son sus normales, respectivamente, entonces: i) — > El plano Pi es paralelo al plano P2 (Pi // P2) si y solo si sus normales A71 y N 2 son paralelas, es decir: Pj//P2 Ni / / N2 42 Eduardo Espinoza Ramos Si N i U N 2 => 3 r € R tal que N¡ = rAf2, lo que quiere decir que los coeficientes de las ecuaciones cartesianas de los pianos deben ser proporcionales, o sea que debe cumplirse: _ E l =£ l ~ r ^2 Ejemplo.- ^2 ^2 Los planos Pj: 3x + 5y - 7z + 2 = 0 y P2 : 6x +iOv - i4z + 5= 0 3 5 - 7 1 son paralelos porque: —= *— = ------ —= r 6 10 -14 2 Si los planos Pj y P2 son paralelos puede ocurrir que: Pj = P2 ó Pj n P2 = <j>, es decir: [ T i H P2 ii) Pi = P , 6 P, r> Pi = » El plano P| es ortogonal al plano P2 (Pi ± P2) si y solo si sus normales —> •y N¡ y N 2 son ortogonales es decir: P¡ J. F Si N¡ 1 N2 => 1N 2 o N\,N2 tanto P ” 0 A i A 2+ Bj 8 -> + C\ C 2 0 ,por lo Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 43 Ejemplo." El plano Pp 4x - y+2z= 7 es ortogonal al plano P2; x+ 6y + z = 16 •— > — > — > — ► porque A'i. AS = 0. En efecto como A’¡- {4,-1,2), A7'?” (1,6,1), se tiene: N X. N 2 = (4,-1,2).(1,6,1) = 4 -6+2=0. 1.23. INTERSECCIÓN DE PLANOS.Consideremos los planos: Pj.* Axx + B^y + Cxz + Dx = 0 P2: A2x +B2y + C2z +D2 = 0 . Si el plano Pj y no es paralelo al plano P2 (Pi X P 2) entonces la intersección de Pi y P2 nos da una recta L, es decir: 1.24. ECUACIÓN BIPLANAR DE LA RECTA.A la ecuación de una recta que es la intersección de dos planos se denomina ecüación biplanar de la recta y se expresa en la forma siguiente: j A lx ^ B ly ^ C íz + D¡ - 0 \ Á2x + B2y + C2z -f D2 =s 0 La ecuación biplanar de la recta se expresa en forma vectorial, paramétriea y —V simétrica. El vector dirección a de la recta se determina en la forma siguiente 44 Eduardo Espinoza Ramos a = N \ x N 2 , donde N j y N 2 son las normales de los planos Pi y P2 respectivamente: »• a = N {x N 2 = A a2 j k A Ci * ( 0,0,0) b2 c2 P2: AjX+B2y+CjZ+D2=0 P,: A,x+B,y+C,z+D1=0 El punto Pq (jc0 , y Q, z 0) por donde pasa la recta se determina resolviendo el sistema de ecuaciones de los planos Pj y P2. Ejemplo.- Hallar la ecuación vectorial de la recta L, dado por la intersección de los planos Pi : 3x + y - 2z = 5 ; P2 : x + 2y + z + 5 = 0. Solución — > Calculando el vector dirección a de la recta L. i j k 3 1 -2 = (5,—5,5) = 5(1,—1.1) 1 2 1 ahora calculamos un punto de la recta L, para esto resolvemos el sistema de ecuaciones. ¡3x + y - 2 z = 5 Í5x + 5y = -5 i entonces i , , simplificando [ jc+ 2>'+ z + 5 = 0 U + > ’= - l ahora damos un valor a cualquiera de las variables de x e y por ejemplo para x = 0, y = - l , z = -3 entonces p0 (0,-1 ,-3). Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 45 Luego la ecuación de la recta L en forma vectorial es: L={(0,-l,-3) + t ( l , - l , l ) / t e R } Otra forma de obtener la ecuación vectorial de la recta L es expresar dos de ía variables en función de la tercera variable y para esto se elimina una de las variables del sistema. f 3jc+ y - 2z =5 i [jt + 2 y + z = - 5 entonces x + y = -1 de donde y = - 1 - x ahora se toma cualquiera de las ecuaciones^ x + 2y + z = -5 => x - 2 - 2x + z = -5 de donde z = -3 + x como (x,y,z) e L (x,y,z) = (x, -1 - x, -3 + x) (x,y,z) = (0,-1,-3) + (x,-x,x) = (0,-1,-3) + x ( l ,- l ,l ) Luego: L = {(0,-1,-3) + 1 (1,-L1) / 1 e R} 1.25. INTERSECCIÓN ENTRE RECTA Y PLANO.Consideremos la ecuación general de un plano: P. Ax + By + Cz + D = 0 y la ecuación vectorial de la recta L - {p 0 +t a I t e R ) . Si L y P no son paralelos entonces al intersectarse nos da un punto Q, es decir: L n P = {Q}. Para calcular el punto Q de intersección se resuelve el sistema de ecuaciones de la recta L y el plano P. 46 Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo»» Hallar el ponto d sección de la recta x-f 2 y z "" 4 L: — - — -----3........ ..-1 2 y el piano P: 2x + 3y - z + 11 = 0. Solución Escribiendo la recta L en forma vectorial. L = {(-2,0,4) + t (3,-1,2) i t e R] como LX P 3 p tal que p e L n P. Si p e L n P entonces p e L n p e P como p e L entonces p(-2 + 3t, -t, 4 + 2t) para algún i € R. además p e P => 2(-2 + 3t) + 3 (-t) - (4 + 2t) + 11= 0 => t = -3 Luego: p (-11, 3, -2). ■1.26. ?LANO PARALELO A UNA RECTA j_ PERPENDICULAR A UNA RECTA. Y PLANO 1 Consideremos la ecuación general del plano P: Ax 4-- ü y +■Cz + D - 0, donde N ^ (A,B,C) es la normal y la ecuación vectorial de — > — ► L = {p 0 + i n/f e R} d o n d e a e s e l vector d i r e c c i ó n . la recta — ^ La recta L es paralela al plano P si y solo si el vector dirección a es ortogonal — ■> — ►— > ai vector normal N es decir: L // P o a 1 N N Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 47 Si la recta L es paralela al plano P puede ocurrir que la recta L está contenida en el plano P ó que la intersección es el es decir: Si I / / P = > I c P ó ¿ n P = $ La recta L es perpendicular al plano P si y solo si el vector dirección a de L es — > — > — > paralelo al vector normal N de P, es decir: L 1 P <=> a/f N Ejemplo.- Demostrar que la recta L = {(-2,1,-5) + t (3,-4,4) / t e R} es paralelo al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Solución a = (3,-4,4) ► N=(4,-3,-6) Para demostrar que la recta L es paralelo al plano P debe de cumplirse que el vector — ► dirección a de la recta es perpendicular al — ► vector normal N del plano, es decir: L//P<=> a 1 N = > a . ^ = 12 + 1 2 -2 4 = 0 Luego como a . N = 0 entonces a l N . Por lo tanto la recta L es paralelo al plano P. 48 Eduardo Espinoza Ramos jl 27. FAMILIA PE PLANOS, 1 En forma similar que en la geometría analítica plana, en donde se consideraba una familia de rectas, en este caso se puede considerar una familia de planos, por ejemplo, la ecuación 2x - y + 3z + D = 0 representa una familia de planos — ► paralelos donde su normal es N = (2,-1,3). Una familia de planos importante, es d sistema de planos que pasan por la intersección de dos planos dados, cuya ecuaciones se expresan: íI?|: Ajx *♦*Bxy -f + Dj —0 .(1) [p*: Aix + B2y + C2t+I>2 =0 Los puntos p(x,y,z) que satisfacen a la ecuación (1) están sobre la recta de intersección, dichos puntos p(x,y,z) también satisfacen a la ecuación: K x(yí|jí -f B^y 4*CjZ + K 2 ( A2x 4- B2y hhC2z + D 2) ~ 0 donde Kj y X2 son números reaies cualesquiera ... (2) excepto que sean ceros simultáneamente, Si en la ecuación (2) se tiene que K* * 0, entonces a la eu ». \ {2) se puede expresar en la forma: A xx + B xy 4* Cxz 4- D í 4- K( A2x 4- 3 2y + C2 z+ D7 ) = 0 A la ecuación (3) se denomina la ... (3) familia de planos que pasan por la intersección de los planos Pi y P2 . Ejemplos.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y - z + 8 = 0 , x + 6 y - 2 z ~ 7 = 0 y por el punto (1,-2,2). Solución Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 49 Aplicando el concepto de familia de planos se tiene: F: 2 x - y - z + 8 + k(x + 6y - 2z - 7) - 0 como (1,-2,2) € P => 2 + 2 - 2 + 8 + k( 1 - 1 2 - 4 5 7) - 0 => k = —11 5 P: 2x -> > -z + 8 + — (* + 6y- 2 * - 7) = 0 .\ P: 27 x + 1 9 y -2 1 z + 5 3 = 0 Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 y es perpendicular al plano 3x - 4y - 2z = 9 Solución Sea P(1 la familia de planos que pasan por la intersección de los planos 2x - y + 3z = 2 y 4x + 3y - z = 1 Pa : 2x - y + 3z - 2 + a(4x + 3y z - 1) = 0 Pa : (4a + 2)x + (3a - l )y + (3 - a)z - 2 - a = 0, donde su normal es: N a = (4a + 2,3a -1,3 - a) y sea P: 3x - 4y - 2z = N = (3,-4,-2) 9cuya normal es: como Pa l P => N a i / í => N . N a = 0 (3,-4,-2).(4a+2,3a-l,3-a)=0, de donde 12a+6 -12a + 4 6+2a = 0 => a= - 2 Pa : 6x + 7y - 5z = 0 [o s! ECUACIONES INCOMPLETAS~PEL PLANO Consideremos el plano como casos: P: Ax + By + Cz + D = 0, donde A" + + C2 + 0, A, B, C y D son números reales, entonces se presentan los siguientes Eduardo Espinoza Ramos !®r Si B = C - D = O, Á ^ O entonces el plano P: x - 0, que es el piano YZ. Si A ~ C - D - 09 B * 0 entonces el plano P: y = 0 que es el plano XZ 3r® Si A = B = D = 0, C ^ 0 entonces el plano P: z = 0 que es el plano XY 4to Si B = C = 0, el plano P: Ax + D = 0 es paralelos al piano YZ 5to Si A. = C = 0, el piano P: By + D = 0 es paralelos al plano XZ 6t0 Si A = B = 0, el plano P: Cz + D = 0 es paralelos al plano XY 7mo Si C = D --=0, el plano P: Ax + By = 0, contiene al eje Z y es ortogonal al plano XY 8to Si B - D - 0, el plano P: Ax + Cz = 0, contiene al eje Y y es ortogonal al plano XZ 9®° Si A = D = 0, el plano P: By + Cz = 0, contiene al efe X y es ortogonal al plano YZ I ©8"0 Si C - 0, el plano P: Ax + By + D ™0, es paralelo al eje Z y además es ortogonal al plano coordenado XY. I l*vo Si B = 0, el plano P: Ax + Cz + D = 0, es paralelo al eje Y y además es ortogonal al plano coordenado XZ 12®V0Si A - 0, el plano P: By + Cz + D = 0, es paralelo al eje X y además es ortogonal ai plano coordenado YZ 13*vo Si D = 0, el plano P: Ax + By + Cz = 0, pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo.- Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(7,2,-3) y B(5,6,-4) y es paralelo al eje X. Solución 51 Rectas y Píanos en el Espacio Tridimensional Sea P el plano buscado. P: N .[(.x,>s,z)-(7,2,--3)] = 0 como A ,B e P => AB =(■ nonnaí es: 11 ---- k X í! __k i j k 1 0 0 = (0,1,4) -2 4 -1 => P :( 0 ,l,4 ) .( x - 7 ,y - 2 ,z + 3) = 0 P: y + 4z + 10 = 0 1.29. DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO.Consideremos la ecuación general de un plano P: Ax + By + Cz + D = 0 y un punto pj (x\yy u z\) que no pertenece al plano P. consideremos un vector unitario p N en la dirección del vector normal, es » N 1 decir: =si A 2 + B2 + C II N II como 0 ± ¿ ( p op {, p N) entonces p 0 p¡ , p N =¡! PnPi Ileos© - ( 1) Eduardo Espinoza Ramos (2 ) d ( p l , F) =jj p Qp l ¡¡ eos 0 En el triángulo rectángulo se tiene: de (1) y (2) se tiene que: 1 * ( A , B , C ) \ x x- x 0, d ( p i,P) = p 0p l.¿iN =N ~ Í E 7 ¥ ~ +c 2 A ( x l - x 0) + B ( y x - J o ) + C(z, - z0) - >o, 2i ~ z 0) | Ax¡ + By, + Cz, + ( - 4x0 - By 0 - Cr0 )| /T + ¿T + <T Jxj + + Czj + Z)| í2 + Ejemplo.- Calcular dado la distancia £ 2 + C2 del punto A(l,5,-4) al plano por P: 3x - y + 2z = 6. Solución d ( A 9?) = ¡3^0 - ,.v0 + 2z0 - ó) ¡3 —5 —8 —6j 16 V9+1+4 j\4 V14 d ( A i1, ) = OBSERVACIÓN.- 16 V¡4 Dadas las ecuaciones generales de dos planos paralelos Pi: Ax+ By + Cz + D¡ =0 y P2: Ax + By + Cz + D2 = 0, la distancia entre dichos planos está dado por la fórmula. A ~~ A d(Pk,Pa) J a ___ 2 +b 2+c 2 Ejemplos.- Hallar la distancia entre los planos paralelos P t: x - 3y + 4z = 10 y P 2: x - 3y + 4z = 6. Solución 53 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Aplicando la fórmula de la distancia entre dos planos paralelos. P¡: x - 3y + 4z =10 y P2: x - 3y + 4z - 6 = 0 d(V p Ia ~ D21 _ l - 10~ (~6)l ” y¡A2 + B 2 + C 2 VT+9+1Í6 4 _ _ 2^ V26 13 2>/26 13 ••• </(P„P2) = - 1.30. ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO.Consideremos la ecuación vectorial de una recta L = {p 0 + t a / 1 e R} y la ecuación general del plano P: Ax + By + Cz + D = 0 cuyo vector normal es N = ( A,B,C) a N n cos Q ------------- ? además se tiene a = — - 0 , entonces: II a || || Jv || 2 sen a = sen(~ - 0 ) = cos 0 = por lo tanto: II a || i| AHI Que es la expresión para calcular el ángulo a formado por una recta y un plano Eduardo Espinoza Ramos Ejemplo.- Hallar el ángulo 0 que forma la recta L = {(l,8,l)+t (1,1,2) / teR} con el plano Fi 2x - y + z = 7, Solución —> Sea 0~j C(L, F) 1,1) —> donde a = (1,1,2) vector dirección de la recta y /V= (2,- el vector normal del plano P. Ahora aplicamos la relación para calcular el ángulo 0. sen$: de donde: sen 9 = — entonces 0 = 60°. 2 1.31. PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN PUNTO SOBRE UN í PLANO.La proyección ortogonal de un punto p sobre el plano P: Ax + By + Cz + D=' 0 con normal A^ÍAJf^C) es el punto p0 del plano P, al cual denotaremos por — ........ Proyp , ,de tal manera que el vectorp Qp es ortogonal al p< > ' P Para hallar el punto p0 trazamos por el punto p una recta L ortogonal al plano P es — ^ decir: L = {/? + í N / 1 e R} de donde L n P = p0 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Ejemplo.- Hallar la proyección 55 ortogonal del punto A( 1,2,3) sobre el plano P: x - y + 3z = 4 Solución IL — ► como P: x - y + 3z = 4, donde #= (1,-1,3) es la normal de P y L la recta que pasa por el punto A(l,2,3) y es perpendicular al plano P — ► entonces L - {A + t NI t g R} es decir: L = {(1,2,3) + t( l,- l,3 ) / 1 e R} Sea B e L n P => B g L a B g P. Si B g L => B(1 + 1, 2 - 1, 3 + 3t) para algún t como B g g R 4 P => l + t - 2 + t + 9 + 9t = 4 => t = ——11 7 26 21 de donde B (— , — , — ) por lo tanto la proyección ortogonal del punto A 11 1 1 1 1 7 26 21 sobre el plano P es B (— , — , — ). 11 11 11 1.32. PROYECCIÓN ORTOGONAL PE UNA RECTA SOBRE UN PLANO.____________ La proyección ortogonal plano P: Ax + By + Cz + D = de es la recta recta ^ L - {p 0 + / a/ / e /?} sobre el cual denotaremos por Vroyp que está contenida en el plano P y que pasa por dos puntos de P que son las proyecciones ortogonales de dos puntos de L sobre el plano P 56 Eduardo Espinoza Ramos P L'={P0 +t P0 B / t e cuando L X P A’ / L' {P'+l( A ' - F ) ! t e . R } cuando L // P Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(t, 1 - 1, 2t) / teR} sobre el plano P: x + y + z = 1 Solución L como L y P no son paralelos, entonces existe un punto de intersección A e L a P. Si A ¡J Si A e L e L => (t, 1 -1, 2t) para algún t € R a P entone A s L a A g P como A e P = > t + l —t + 2 t = l => t = 0 => A(0,1,0) por otra parte: L = {(t, 1 -t, 2 t)/te R } - {(0,1,0)+ t (1 ,-1 ,2 )/1 e R}, de donde a\=~AB =(1,-1,2)=> B~A-(1,-1,2), B=A+(1,-1,2M0,1,0)+(1,-1,2) =>B(1,0,2) ahora calculamos el punto C que es la proyección ortogonal del punto B sobre el plano P, para esto trazamos la recta Lj que pasa por B perpendicular al plano Lj = {(1,0,2) + A. (1,1,1) / XeR} P es decir: Sea C g L| a P C eL jaC eP Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 57 Si C € L| => C (1 + X, X, 2 + X) para algún X e R. como C € P => l+A . + X + 2 + X.= l de donde 2 A = —— 3 y AC = C - A = ^ (1 -5 ,4 ) SiL'=Proyj; = { A + t AC 11 e R} de donde.'. V = {(0,1,0) + /(1,-5,4) !t e /?} Ejemplo.- Hallar la proyección ortogonal de la recta L = {(2 + t,l - 3t, -5t) / t g R}, sobre el plano P: 2x - y + z = 1. Solución L - {(2,1,0) + 1 (1,-3,-5) / 1 e R} A £ Ir Donde a =~AB = ( 1 ,-3 ,-5 )si A(2,l,0)=> B(3,-2,-5) L' ahora calculamos sus proyecciones ortogonales sobre el plano P, C = Pr ayj? y D = Proyp para calcular C trazamos la recta Lt que pasa por A es decir: como C € Li Si C 6 Li A P => C € Li A L, = {(2,1,0) + t (2,-1,l ) / t e R} C € P. C(2 + 2t, 1 - 1 , t) para algún t como C e P = > 4 + 4 t - l + t + t = l ahora calculamos el 6 R. 1 ==>t - - ~ por lo tanto 3 44 C(— 33 1 3 puntoD,para esto trazamosla rectaL2 que pasa por el punto B, es decir: L2= {(3,-2,-5) + t ( 2 ,- l , l ) / t e R}, como D € L2 a P entonces: 58 Eduardo Espinoza Ramos D e L2 => D(3 + 2t, -2 - 1, -5 + 1) para algún t € R. como D eP => 6 + 4t + 2 + t-5 + t= 1 => t 1 7 5 16 D(—,— ,---- ) de donde 3 3 3 3 /. L ’= P r o y f = 3 3 3 ) + í(4 ,-1 7 ,3 1 )// £ /?} 1.33. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA QUE NO ESTA CONTENIDA EN EL PLANO.- __________ La distancia mínima L \ d(L.P)< ! \ L = {p0 + f a /í e R} y entre una recta un plano P: — ► N . ( p - Q 0) = 0, donde la recta L no está contenida en el plano P y además L es paralela a P es dado por la fórmula. QqPq ' N 11*11 Ejemplo.- Hallar la distancia de la recta L = {(-2,1,5) + t (3,-4,4) / 1 e R} al plano P: 4x - 3y - 6z - 5 = 0 Solución Tomemos un punto del plano. z = 0, y = 5, x = 5 entonces Q0 = (5,5,0) y p0 = (-2,1,5) J(¿ .D | ^ Q0 p 0 = Q0 - p 0 = (7,4,-5) ^ 1 ; (7>4' - 5M4’ ~3’ ~6) | - 128-12 + 3Q¡ _ jt6 V16 + 9+ 9+36 VóT VóT Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 59 1.34, ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS.Consideremos las ecuaciones generales de dos planos Pj:AiX+Biy+ Cj z+D]=0, cuya normal es N = ( Ax, Bx, Cx) y P2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, cuya normal es N 2 = { a 2 , B 2 ,C2Y El ángulo 0 formado por los planos Pj y P2 es igual al ángulo entre sus vectores > ► normales N x y N 2 respectivamente y es dado por la expresión siguiente. Ejemplo.- Hallar el ángulo formado por los planos Pi.* x - y = 4 y P2: x+z = 6 Solución Pi: x - y = 4 de donde ~Ñ\ = (1,-1,0), Si 0 3 ¿ (Pj, P2) - ¿ ( A^ , N 2 ) P2: x + z = 6 de donde entonces eos# = * II II N, N, . (1,-1,0).(1,0,1) cos 0 = — " — V2>/2 1-0 + 0 1 = -----------= —, 2 2 = (1,0,1) . 1 , a ,AO como cos (9 = — entonces 0 = 60 2 1.35. EJERCICIOS DESARROLLADOS.© Encontrar una ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B (2,1,3) y que además es perpendicular al plano Pj = {(x,y,z) e l ^ / x + y - z + l^ O } 60 Eduardo Espinazo Ramos Solución como P lP j __ ^ N. i que: A,Be P => ~AB // P, ~AB = (1,1,4) * N,= A como TV-L A B , N. entonces: i N = 1 P i^ 1 de donde tenemos que: j k 1 4 = (-5,5,0) = -5(1,-1,0) 1 -1 N = -5(1,-1,0) — ► P: N . ((x, y, z) - (x0, y0, zo» = 0 de donde Luego © => N { //P, además se tiene P: x - y = 1 Hallar la ecuación cartesiana de un plano que pasa por el punto p(l,2,-3) y por la intersección del plano x - y + 2z = 4 con el plano XY. Solución La intersección del plano x - y + 2z = 4 con el N P(1,2,3) Pq(4,0,0)— * a = (1,1,0)) í x ~ y ‘-2 z - 4 plano XY es la recta L:\ [ z=0 Escribiendo la ecuación de la recta L en forma vectorial para z = 0 = > x - y = 4 ^ x~y+4 Si (x,y,z) e L => (x,y,z) = (y + 4, y, 0) = (4,0,0) + y (1,1,0) Luego L = {(4,0,0) + 1 (1,1,0) / 1 6 R} ahora calculamos la normal — ► a =(1,1,0) entonces: N = p 0p x a , donde p 0p = (-3,2,-3) y Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 61 —> k i N = -3 j 2 -3 1 1 0 = (3,-3,-5), como el plano P pasa por p(l,2,-3) P: N . [(x,y,z) - (1,2,-3)] - 0, de donde P: (3,-3,-5).(x - 1, y - 2, z +• 3) = 0 P: 3x - 3y - 5z = 12 ( 3) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto p0 (3,1,-2) y hace ángulos iguales con las rectas L { = {(1,4,2) + 1 (1,1,1) / 1 e R} L2 : eje OX, L3 : eje OY Solución El plano pedido es: P: N . ( p - p 0) = 0, de donde N = (A,B,C) y p0 (3,1,-2) el punto por donde pasa el plano. La condición del problema es: /C (Lj ,P) = ¿C ( L2 ,P) = £ (L3 ,P), donde: para ¿C (Lj ,P) = ¿ ( L2 ,P), se tiene: — >— > ^ 0 — *— > = ^ L L — =- J L L - , donde a = (1,1,1), ~b = (1,0,0), A =(A ,B ,C ) II N INI 7 ¡| || ÍV || || b || efectuando operaciones se tiene que: (>/3 - X ) A - B - C = 0 ... (1) para ¿ (L2 ,P) = ¿C (L3 ,P) se tiene: sen f) = jy .-L im n m i = iia iiiic | efectuando operaciones se tiene: , donde b = (1,0,0), c = (0,1,1), N = (A,B,C) A -B , (2) 62 Eduardo Espinoza Ramos ahora reemplazamos (2) en (1) se tiene: C = (V3 - 2)B como N = (A,B,C) = ( B , B , ( - J 1 - 2 ) B ) = B #0 Por lo tanto P: (1,1, V 3- 2 ) . ( x - 3 , y - l,z + 2) = 0 P: x + y + ( S - 2 ) z + 2 y f í - S = 0 © Sea ju = (a,b,c) y N = (A,B,C) vectores no nulos de R3 tal que — ►— ► JVJL// si p0 (x0,yo,Zo) es un punto del plano n - A x + B y + Cz + D - Q . Demostrar que L = {/?0 + t p¡ t g R} está contenida en n. Solución — > — > Como N I . ju — >— > jV. // = 0 => Aa + Bb + Ce = 0 además L = {/?0 + / /// / g J?} ~ {(x0, yo» Zo) + t (a,b,c) / 1 e R} por demostrar que L e 7t: Ax + By + Cz + D = 0 Sea p e L => p (x0 + t a, y0 + 1 b, z0 + 1 c) como p0 g 7i => A(x0 + t a) + B(y0 + t b) + C(z0 + t c) + D = 0 + Byo + Cz 0 + Z) + t(A& + Bb + Ce) ~~ 0, = o = 0 + 1 (Aa, Bb, Ce) = 0 + to = 0, entonces p g k luego L c k. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(3,4,l) y es ortogonal a los planos P j : x -y = 4, P2: x + z = 6. So|uct6n Rectas j Planos en el Espacio Tridimensional 63 Sea P ] : x -y = 4 de donde N l =(1,-1,0) P2: x + z = 6 de donde N-, = (1,0,1) P: N .(p - A) = 0 es el plano pedido como P JL Pi , P2 entonces N { , N , ilP de donde la normal N de P es: = (-1,-1,1) como P: Ar .(p - A)=0, al reemplazar se tiene, P: (-1,-1, l).(x - 3, y - 4,z-l)=0 P: x + y .- z = 6 © Encontrar la ecuación del plano que pasa por (1.2,-3) y sea paralelo al plano 3x - y + 2z = 4. ¿Cuál es la distancia entre los planos? Solución Sea Pi: 3x - y + 2z = 4, donde Ar, = (3,-1,2) y P elplano pedido, como P // P! entonces P: 3x - y + 2z + D = 0 pero (1,2,-3) e P => 3 - 2- 6 + D = 0 => D = 5 por lo tanto el plano es P: 3x - y + 2z + 5 = 0. ladistancia entreambos planos paralelos se tiene: 64 © Eduardo Espinoza Ramos Encontrar la ecuación del plano que pasa por ios puntos P¡ (1,0,-1) y P2 (-1,2,1) y es paralelo a la recta de intersección de los planos 3x + y - 2z = 6. 4x - y + 3z = 0 Solución para determinar el vector normal al plano P, primero hallaremos el vector —> dirección v de la recta de intersección. N. X J k 1 -2 -1 3 N-y = =(1,-17,-7) donde N x =(3,1,-2) y N 2 =(4,-1,3) ahora trasladamos el vector v paralelamente al plano buscado y con el vector PxP2 = (-2,2,2) se obtiene la normal N al plano P, es decir: i N = p xp 2 v v - -2 1 j 2 -17 k 2 = (20,-12,32) -7 considerando el punto pi(l ,0,-1) en el plano y la normal N =(20,-12,32)se tiene: — > P: N .(p - pi) = 0, reemplazando se tiene. P: (20,-12,32).(x - 1, y, z + 1) = 0 P: 5x - 3y + 8z + 3 = 0 65 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional Si P es un plano tal que: P n eje x = { ( a ,0 ,0 ) / a ^ 0 ,a e R}, P n eje y = {(0,b,0) / b ^ 0, a e R}. Demostrar que P tiene la ecuación. Solución Sea a = AB = B - A = (-a,b,0) b = ~AC = C - A = (-a,0,c) i j k = (be, ac, N = &x b — - a b O -a 0 c La ecuación del plano es: P: N . ( p ~ A) = 0, reemplazando se tiene: P: (be, ac, ab). (x - a, y, z) = 0 => P: bcx + acy + abz = abe y + _z = i . P: -x + Z. a b e ® Demostrar que la ecuación del plano, L: x = x 0 +axt, y = y 0 +a 2 t, z = z 0 +a3t , que te R pasa '¿o bx a Solución =0 la recta y es perpendicular al plano P: ax + by + cz + d = 0, se puede representar en la forma: a, por 66 Eduardo Espinoza Ramos En la recta L: x - v0 +a¡/, y ~ y Q+ <s2/, z = z0 + a 2t , te R el vector dirección es a =(a¡,a2,a3) y en el plano P: ax + by + cz + d = 0, su normal es ► — > W = (a , ¿>, c ) . Sea P,; A i. (p ~ p 0 ) = 0 , el plano buscado donde: íVi = a x N = Pi : ( a2 h * J a\ a 2 a b a\ “3 c P, : !. v -.v,) a a2 r/3 b c Pi : a2 = (l jb a\ a2> c a ax a3 a2> c c a c a\ a ).(jc-jr0, y - y 0’ z - z 0) = o a, <h + ( z ’o) c a a\ a a2 b ^•-•v0 y-y0 z -z 0 a\ C12 a2 a b c a3 c =o =0 Si A,B,C y D son todos no nulos. Demuéstrese que el tetraedro formado por los planos coordenados y el plano P: Ax + By + Cz + D = 0 tiene un volumen igual a V - 1 D ABC Solución Sean P, Q, R, los puntos de intersección del plano P: Ax + By + Cz + D = 0, con los ejes coordenados respectivamente, es decir: P { - ~ 0,0), Q(0 , - ^ , 0 ) y í ( 0 , 0 , ~ ) A B el volumen V del tetraedro OPQR es: C Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional I V- 67 —y i [OP OQ OR ] ! de donde se tiene: 61 D “> I) D OP = ( - — ,0,0), O 0 = (O ,-— ,0), OR -■ (0,0,- —) A B C 1 6 o -— A 0 0 0 D -----0 B r. 0 (T ^ 0 Dados los puntos D3 _ 1 D 3 ~~ 6 ABC ~ 6 ABC _ 1 V=- D3 6 ABC D ----c P j: 2x + 2y - 2z + 2 = 0 y P2: x - 2y - z = 1 y el punto A(2,l,4). Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A que es paralela a P2 y que haga un ángulo de 30° con P j. Solución —y P ,: 2x + 2y - 2z + 2 = 0, de donde su normal es N ] = (2,2,-2) —^ P2: x - 2 y - z - 1, de donde su normal es N 2 = (1-2,-1) Sea ¿ = {(2,1,4) + f w/f e d o n d e u - (a,b,c) y || w ||= 1 ( 1) como L / /P2 => w. A2 = 0 => a - 2 b - c = 0 por otra parte se tiene: P j) = 30u,entonces sen 30° = — u. N, II a l i l i l í donde II vi 2 a + 2 b - 2 c = -^ -.2 \¡3 => 2¿? + 2 b - 2 c = 3 ... (2) 2 como |¡ u ||= 1 a 2 + 62+ c2 = 1 (3 ) 68 Eduardo Espinoza Ramos 2±v2 ^ l a + Ib - 2c = 3 i 1 ± c2 - 1i [\ a ?‘ + b~ resolviendo el sistema setiene: 2±yÍ2 u = (a,h,c) = (—— — , 4 Luego se tiene: (l2 ) l 2 ± ji 2 4 1, entonces b ~— c“ r- 2 ±4 l r-\ )= - 2 ± v 2 , 2, - 2±V2 4 i. ={(2,1,4) + t (2 ± , 2, ~~2 ± V2) / / e i?} Hallar la ecuación del piano que pasa por el punto (0,0,1), es ortogonal al plano XZ y hace un ángulo 6 - árceos * con el plano x + 2y + 2z - 5. Solución __ x + 2y + 1 z = 5 P r x + 2y + 2z= 5gea de donde = (1,2,2) y P2 = XZ P3 ? tal que P3i.P2 y además Sea ■ —^ í¥ 3 = (<z,0,c) la norma de P3 puesto que 2/3 es paralelo al plano XZ y XZ±P3. — “-y donde N { = (1,2,2) y N 3 =(a,0,c) Además eos 6 = II Ni IIII N 3 || eos 0 - (1,2,2 ).(<z, 0, c) +c £ 1 c + 2c 3 3 / 0 + c“ + c“ = a + 2c entonces se tiene: a = — ~c 4 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional por lo tanto —^ 69 3c c = ( - — ,0,c) = ——(3,0,—4) 4 4 Luego P3: jV3.(/?-(0,01)) = 0, al reemplazar se tiene: P3 : (3,0,~4).(x, y, z -1 ) = 0 P3 : 3x - 4z + 4 = 0 Un plano pasa por el punto A(3,l,-1), es perpendicular al plano 2x - 2y+ z = 4, y un intercepto Z es igual a -3, hállese su ecuación. Solución —► Sea Pt : 2 x ~ 2 y + z = -4 , de donde TVj = (2,-2,1) y P el plano por calcular, —^ Luego como Pji_P / /P y como el intercepto Z con P es -3 entonces —y B(0,0,-3) es un punto del plano P y además A, B e P => AB/ /P de donde —> —> —^ AB = (-3,-1,-2) como TVj, AB/ /P entonces la normal P es A dado por: 1 N = N xx A B = -3 2 j k -1 -2 = (-5 -1 ,8 ) -2 1 P: N . ( x - 3 , y - 1 , z + l) = 0, de donde P: (-5,-l,8).(x - 3, y - 1, z+ 1) = 0, por lo tanto: P: 5x + y - 8z - 24 = 0 Hallar la ecuación de cada uno de los planos que se hallan a dos unidades del origen y tiene una normal que hace ángulos de 60° con los semi ejes positivos OX y OY. Solución Sea P el plano buscado, cuya normal es N = (cos a , cos p , cos y) 70 Eduardo Espinoza Ramos 7 > ^¡2 como a = p = 60° :=> eos" a + eos" ¡3 + eos" y = 1 ==> eos y = ±--~~ 1 1 V2 1, N = ( - , - , i ---- ) = —(l,l,± v 2 ) 2 2 2 2 La ecuación del plano es: P: x + y ± - J l z + D - 0 como d ( 0 , P) = 2 |0+0 + 0 + £>| i , — -v—.--.- - = 2 de donde ¡ D | = 4 => D = 4 v D = -4 Ví +1 +2 Si D ^ 4 entonces Pt : x + y ±\[?.z + 4 = 0; D =-4 entonces P2: x + y ± J l z - 4 = 0 I5j Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z = 2, que contenga al punto (2,2 ,2) y que haga un ángulo de 60° con el plano + 2 y - 3z -f 2 = 0 Solución La ecuación del plano pedido es de la forma P: Ax + By + D = 0 puesto que es perpendicular al plano z = 2 paralelo al plano XV 1 í :ormal del plano P es N = ( A , B yO). Si Pj: S x + 2 y - 3 z + 2 = 0, de donde /V) =(V3,2,-3) M .N El ángulo formado por P| y P es 0=60° que es dado por: eos 6 - —— -— II Ni II II ÍV|| ^3A +2 B 1 + I 2 2 /— eos60° = — i de donde —= — ¡ - -------- => 2 \ A ‘ +B = ->J3A + 2B 4 y/A2 + B 2 2 4J 7 + B 2 4 ( A 2 + B 2) = 3 A 2 + 4 B 2 + 4 J 3 A B => A = 4^3B ...(1) 71 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional c o m o ( 2 ,2 ,2 ) e P => 2A + 2B + D = 0 ... ( 2 ) de (1) y (2) se tiene D = - ( W í + 2)b ... (3) reemplazando (1) y 3) en P: Ax + By + D = 0 P: A S B x + B y - (8^3 +2)5 = 0, B * 0 =>P: A S x + y - % S - 2 = 0 La recta L| = { ( 5 + 1 , - 1 , 0) / 1 e f?} se refleja en el plano n: -y+z - 2x 1=0, Hallar la ecuación de la recta reflejada. Solución Se observa que Si p2 e ají => p2 p 2 (5 además p2 € /r : + /, - / , 2 (5 de donde P2 ( 2 ,3 ,0 ) com o n: 2 x - y + z - l = —> e n to n c e s N ± z r p2 0) e L {a p a ra p 2 e /r algún teR + /) + /+ 0 - 1= 0 => t=-3 también P^ ( 5 ,0 ,0 ) e Lx 0, de d o n d e TV = ( 2 , - 1 , 1 ) —> => N f / Z 3 d e donde: Lj = {(5,0,0) + A(2,-l,l) / X e J?} A e L3 r\7t Si 2 (5 A e ¿ 3=> A e L3 a A e x A( 5 + 2 / 1 , - A , A ) p a r a a lg ú n X e R , a d e m á s A e i t e n t o n c e s + 2 X ) + A, + X - 1 = ; 0 e n t o n c e s A = - ^ , de donde: 4 2 , |, - |) = > Á ? = ( 3 , - |, |) ^ B ^ = Pl-B = 2 Á ^ = 2 ( 3 ,- |,|) = (6,-3,3) P1P2 ~ P 2 ~ P 1 = ( - 3 , 3 , 0 ) => B p 2 - p 2 - B = (3 ,0 ,3 ) c o m o B p 2 / / L entonces L = {(2,3,0) + r ( 3 ,0 , 3 ) / r e R} y p2 e L Eduardo Espinazo Ramos 72 D ado el plano P: x - 2y + 3z - 8 la recta y L: x +4 5- z = —~ , y ~ -1 . H allar la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,2,-1) paralela al plano dado y corta la recta L. Solución -v-f- 4 5A la ecuación de la recta L : -------------4 -3 vectorial L = {-4,-4,5) + t(4,0,3) i t e- R}. 2 , y= -1,escribiremos en fo Sea L, la recta por determinar, es decir: I, = -¡(0,2,~ 1) + r(a,Z>,c)/ r e /?}como Lj corta a L => 3 p e 1, ¡ n L Si p e p f: L¡ -> p(n¿, 2 + rb, - 1 + rc) Lj a p e p eL L ■=> p(-4 4- 4t, -1, 5 + 3x) de donde por igualdad (ra,2+- rb, -1 + re) = (-4 + 4t, -1, 5 + 3t) entonces: 4t —4 -4 + 41 ~ ra ... ( ) 1 - \ - 2 + rb r 5 + 3/ = -1 + re 6 -3 1 como P: x -2y + 3z -■ 8 de donde N a _L A' donde a ~(ayb,c) Si a ± reemplazando (1) en (2) se tiene. de donde: 12 a = — r 3 , b = — N 4/ - 4 r 6 , c = r - (1,-2,3) como Lj / /P entonces r => a . N = 0 => a - 2b + 3c = 0 ... (2) 6 18-9/ r r + — + ------- como ■0 => t = 4 x 3 /d t a = {a,b,c) = —( 4 - 1 - 2 ) r .-.I, = {(0,2-1) + /t(4 -1,-2)/ a e/?} Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 73 E l i n t e r c e p t o Y d e u n p l a n o e s m e n o r e n u n a u n i d a d q u e s u in t e r c e p t o Z y m a y o r e n 2 u n i d a d e s q u e s u in t e r c e p t o X , s i e l v o l u m e n e n c e r r a d o p o r e l p l a n o y lo s tr e s p l a n o s c o o r d e n a d o s e s 1 5u3, H a l l a r la e c u a c i ó n d e l p la n o . Solución L o s p u n to s por donde p asa ( 0 , 0 , a ), ( 0 , a - 1 ,0 ), ( a - 3 , 0 ,0 ) y n el p la n o son: la e c u a c i ó n d e l p la n o e s : n\ N.(x,y,z) = d donde ( 0 , 0 , a ) e 7i => ( A , B , C ) .( 0 ,0 , a ) = d ( 0 , a - 1 ,0 ) e ti A = (A ,B ,C ) aC = d => ( A , B , C ) .( 0 ,a - 1 ,0 ) = d B ( a - 1 ) = d => ( a - 3 , 0 ,0 ) e 71 ( A , B , C ) .( a - 3 ,0 ,0 ) = d => A ( a - 3 ) = d . d e d o n d e A - ^ a - d _ 3 c = ^ a d e m á s se tie n e q u e : V = — a 6 a - i = 15 com o ti: -► N . ( x , y tz) = d d o n d e F = 1 5 w3 ABC d d d 3 5 6 ( a - 3 ) ( a - l ) a = 9 0 => a - 6 d e d o n d e 1 1 1 = > n : d ( — , —, — ) . ( x > y , z ) = d 3 5 6 x y z n : ~ + —+ —= 1 3 5 6 H a l l a r la e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 ,- 1 ,1 ) , p e r p e n d i c u l a r a la re c ta 3 x = 2 y = z, y p a ra le la al p la n o x + y - z = 0 S o lu c ió n Sean L = {(1,-1,1) + ^(a,b,c) / X e R} la r e c t a buscada L x: 3 x ~ 2 y - z 74 Eduardo Espinoza Ramos i 1 L±JLX => (a,Z>,c).(—, —, 1) = O 3 2 com o el p la n o P: x y + - 2 a + 3b z = 0, de ... ( 1) +6 c = O donde N - (1,1, por ser 1) FUL => N.(a,b,c) = 0 (1,1,-1).(íi,¿>,c) = 0 e n to n c e s a + b - c= 0 ... ( 2 ) Í 2 a + 3b + 6 c = 0 a h o r a r e s o l v e m o s e l s is te m a s ig u ie n te : a ( a ,b , c ) = ( 9 c ,- 8 c , c) = R } lo que e s Sean n x: 3x + y - z = 1 c ( 9 , -8., 1) ig u a l a e x p r e s a r y en la + p o r lo ta n to fo rm a . b - c ~ 0 j a - 9c => ] [ b = - Se L = { ( 1 ,- 1 ,1 ) + 7 , ( 9 ,- 8 ,l ) / X e x -1 y +1 z -1 L: — — = -------- = -------9 -8 1 zr2: x - y + 3 z ~ \ , dos p la n o s . Hallar las ecuaciones p a r a m é t r i c a s d e la r e c t a L q u e p a s a p o r la s p r o y e c c i o n e s del punto Q ( 1 ,1 ,1 ) s o b r e c a d a p la n o . Solución D e l g r á f i c o s e o b s e r v a q u e la r e c t a p ro y e c c io n e s d e l p u n to Q p u n to s A y B . L p a s a p o r lo s p u n t o s AyB q u e s o n la s s o b r e c a d a p l a n o , p o r lo t a n to c a l c u l a r e m o s lo s Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional L x, P a r a e l p u n t o A t r a z a m o s la r e c t a 75 e s d e c i r : L x = {(1,1,1) + / ( 3 , 1 , - 1 ) / 1 e R ] c o m o A e L xr \ 7 l x e n t o n c e s A e L x a A e / T , . S i A e L x => A (1 + 3 t, 1 + t, 1 - 1) 2 p a ra de a lg ú n t € R , a d e m á s A e 7 t x = > 3 ( l + 3 t ) + l + t + t - l = l = > / = - — , 5 9 13 e l p u n t o A (— , — , — ) • P a r a e l p u n t o B tr a z a m o s la r e c t a L 2 , e s donde d e c i r : L 2 = { (1 ,1 ,1 )+ í ( l , - 1 , 3 ) / í e / ? } c o m o B e ¿ 2 n Si B e L y => B (1 + t, 1 - t, 1 + 3 t) p a ra adem ás B e ; r 2 = > l + t - l + t + 3 ( l + 3 t ) = l a lg ú n => L2 712 => B e t- t e a B g 7V2 R 2 - 11 9 13 5 ¿?(y y , — , y y ) d e d o n d e el p u n to Sea a = AB 5 9 = p o r lo t a n t o l a r e c t a L p e d i d a e s : 11 13 L = {(yy, yy, yy) + A(l,l ~ 2 ) / A <=R] c u y a s e c u a c io n e s p a r a m é tn c a s es: x =—+p 11 L: ,P e R 13 z = — -2 P 11 1.36. EJERCICIOS PROPUESTOS.O U n a re c ta p a s a p o r e l p u n to Lx ~ A(-2,l,3), es p e r p e n d i c u l a r {(2,2,1) + r(l,0,-l) / 1 e /?} . H a lla r la e c u a c i ó n e in t e r c e p t a a la r e c t a v e c to ria l de d i c h a r e c ta . R p t a . L = { ( - 2 ,1 , 3 ) + A .( 1,1 ,1 )/A, e R } . 76 © Eduardo Espinoza Ramos Por los puntos A (-ó,6,-5) y B (1 2 .-6 ,l) se ha trazado una recta. puntos de intersección de esta recta con los planos coordenadas. Rpta. H allar (9,-4,0), (3,0,-2), (0,2,-3) Dados los vértices de un triángulo A (3.6,-7), B (-5,2,3) y C(4,-7,~2). ecuaciones paramétricas de su mediana, trazada desde el vértice C. Rpta, x = 4 + 5 t , O los H allar las = -7 - 111, z = -2 y Hallar las ecuaciones de la recta L que pasa por el punto A(-l,0,2), es ortogonal a la recta I,r-¡ = j(2,2,0) + /(5.-2,-3)/í e /?} y que corta con la recta X - 1 ‘ © y 2-1 5 1 = - = ----- . 2 Rpta. L= {(-1,0,2)+t(32,65,10)/t g R}. H a l l a r la s e c u a c i o n e s d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o M ( - 4 , - 5 ,3 ) x +1 c o n la s d o s r e c ta s . L : -------- = 3 1 v -f-3 2-2 -2 -1 x -2 ; ' R p ta . ‘ L : 2 x +• 4 la s e c u a c io n e s p e rp e n d ic u la r x-\ 3 © al de v e c to r la re c ta que p asa a = ( 6, - 2 , - 3 ) por c —3 3 - i y el p u n to se = --------= ----------------------------- 2 c o rta la con 2 es re c ta 2+ 3 L: — R p ta . - 5 D a d a s la s r e c t a s A ( -1 2, 3 ), JT+1 v - 2 v + 1 2 -3 se c o rta y + 5 3 H a lla r y v -(-1 z - 1 L 0 : --= 1-= ------3 - 5 - =- — - - = — 6 o I , = { ( 3 ,l,0 ) + t ( l , 0 , l ) / / e R \ y £ , = { ( 1 , 1, 1 ) + > 1 (2 , 1 ,0 ) / ^ e /? }. H a lla r e l p u n to Q q u e e q u id is ta d e a m b a s re c ta s u n a d is ta n c ia m ín im a , a d e m á s h a l l a r e s ta d is t a n c i a . Rpta. 13 ? Q (— , * 4 2 3 -~ ) y 4 H a l l a r la e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 2 , 0 , l ) l a r e c t a L x = { ( 1 ,2 ,3 ) + 1( 2 , 2 , 3 ) 11 e /?} y que a -v/ 6 ------- 4 in t e r c e p t a a e n á n g u l o r e c to . R p t a . L = { ( 2 , 0 , 1 ) + M - 3 3 , 1 8 ,1 0 ) / t e R } 77 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional La recta L p asa por el p u n t o x-~l z-3 4 2 la recta L :-------- = ------ - = * 3 A ( 2 , i , 5 ) y adem ás intercep ta y y +2 es p e rp en d icu la r a Determinar la ecuación de la recta L. Rpta. L~ {(2,1,5 )-H(28, -11, -20)/t e R} Hallar la e c u a c ió n de la re c ta que pasa por el punto medio d e AB donde A ( - 5 , - 4 , 4 ) y B ( 3 , - 2 ,- 4 ) y q u e c o r ta a la r e c t a L x = {(1,1,1) + ¿ ( - 3 , - 8 , - 3 ) / 1 e /?( Rpta. © D e te r m in a r la d is ta n c ia m ás c o rta Rpta. L 2 : x ~ y ~ 2 6 ■+*z (l^ ) e n tr e la s , = y ■= z p u n t o q u e e q u i d i s t a d e a m b a s r e c ta s u n a d i s t a n c i a m ín im a . 13 3 4 2 4 U n a r e c t a L j p a s a p o r lo s p u n t o s A ( 2 , l , - 1 ) y B ( 5 , - l , 3 ) lo s p u n t o s C ( - 4 , 2 ,- 6 ) y c o rta p e rp e n d ic u la rm e n te a Rpta. L2. H a l l a r la 3 y o tra re c ta L 2 p a s a p o r Lx. H a l l a r la e c u a c i ó n L 2 = { ( - 4 ,2 ,- 6 ) + /( 2 ,l 1 ,- 7 ) / í e de R} e c u a c i ó n v e c t o r i a l d e l a r e c t a q u e in t e r c e p t a u n á n g u l o r e c t o a la s L x = { ( 3 ,4 ,3 ) + í ( 2 , 2 , 3 ) / 1 e R} y l 2 = { (1 ,6 , - l ) + ¿ ( - 1 , 2 , 0 ) ¡ A e Rpta. (l^ ) 2x d { L x , L 2 ) = 13>/2w Rpta. P(— re c ta s L x: re c ta s /?}, L 2 = {(3 ,2 ,1 ) + ¿ ( 2 .1 ,0 ) / /l e R ] , S e a n la s r e c t a s I , = { ( 5 ,1 ,2 ) + / ( 2 , 0 , 2 ) / f e Hallar u n L = { ( - 1 , - 3 ,0 ) + > .(1 ,4 ,2 )/ X e R } R) L = { ( l,6 ,- l) + t( - 2 ,- l,2 ) /t e R} Dado lo s v é r t i c e s d e u n tr i á n g u l o A ( l , - 2 , - 4 ) , B ( 3 , l , - 3 ) y C ( 5 , l , - 7 ) . H a l l a r las ecuaciones p a r a m é í r i c a s d e la a l t u r a bajada desde el v é r t i c e B al la d o o p u e s to . Rpta. x = 3t + 3, y = 1 5 t + l , z = 1 9 t - 3 (^ ) H a lla r la e c u a c ió n v e c to ria l d e u n a corta a las r e c t a s L x = {(1,1,1) recta q u e pasa p o r + / ( 2 , 4 ,5 ) e l p u n to A ( 2 ,l,- 1 ) y / 1 e R\ y L 2: eje x. R p ta . L -{ ( 2 ,l,- l) - K ( 1 3 ,8 ,- 8 ) /1 e R} 78 Eduardo Espinoza Ramos XJj D a d o lo s v é r t i c e s de u n t r i á n g u lo A { 3 ,- 1 ,- 1 ) , B ( l , 2 , - 7 ) y C ( - 5 , 1 4 ,- 3 ) . H a l l a r la s e c u a c i o n e s c a n ó n i c a s d e la b i s e c t r i z d e l á n g u lo i n te r n o d e l v é r t i c e B . jc - 1 v -2 z+ 7 ~3 -8 Rpta. L: ——= ——- = — — 1 ( l j |) D a d o s lo s v é r t i c e s d e u n t r i á n g u l o A ( 2 , - l , - 3 ) , B ( 5 , 2 ,- 7 ) y C ( - 7 , l 1 ,6 ). H a l l a r la s e c u a c i o n e s c a n ó n i c a s d e la b i s e c t r i z d e l á n g u lo e x te r n o a i v é r t i c e A . Rpta. (j*^) x - 2 y +1 L:--------= - — ó -1 24- 3 — “7 H a l l a r u n a recta L que intercepta a la s r e c t a s L x = { ( 2 , l , - l ) 4 - f ( 3 , 4 , Q ) / 1 e R] y L 2 = { (1 ,1 ,2 ) + t ( - 4 , 3 , 0 ) / i €: /?} f o r m a n d o u n á n g u lo 0 = a r c t g V 2 con cad a u n a d e e lla s . Rpta. ( 2^ I 1= { ( | | . | | . - l ) + t ( l - 7 ^ ) / í «= r \ , U = | ( | i , -1) + A(~l,7,5)/1 6 /?[ E n c o n t r a r la longitud del c o r d e l q u e s e n e c e s i t a p a r a lleg ar desde e l p u n t o P ( 8 ,6 , 5 ) h a s t a u n a v a r a r e c t a d e m a d e r a q u e p a s a p o r lo s p u n t o s A ( 3 ,5 ,3 ) y [629 B ( 8 ,3 ,l) . 21) R p ta . H a lla r la e c u a c i ó n d e la r e c t a L q u e p a s a p o r e l p u n t o L x = {(1 + 2 t , 5 r, 14 -t)í t o r t o g o n a l a la r e c t a : L " L as = 5 re c ta s = 2 d (P .I) ^ v R pta.L= e /?} V3 M ( i ,0 ,2 ) q u e es y q u e s e c o r ta c o n la r e c t a { ( 1 ,0 ,2 ) + t(53,- 1 4 , - 3 6 ) / t e R) - 3 Lx y L2 de v e c to re s d ire c c io n a le s ( - 3 ,1 , 2 ) r e s p e c t i v a m e n t e , s e i n t e r c e p t a n e n ( 4 , 1 ,1 ) . H a l l a r la r e c t a ( ó r e c t a s ) y ( 1 , 2 ,3 ) L3 q u e al i n t e r c e p t a r a la s d o s p r i m e r a s , d e t e r m i n a n u n tr i á n g u l o i s ó s c e l e s c o n b a s e e n i>3 y c u y a á r e a e s ó V l 9 u 1 . 79 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 23) H a l l a r la s r e c ta L q u e p a s a p o r e l p u n t o A { 5 , 0 ,0 ) q u e c o r ta a l e je y e n u n p u n to B d e ta l m o d o q u e f o r m a c o n e l o r i g e n u n t r i á n g u l o d e a r r e a 3 0 i T . e R p t a . L = { ( 5 ,0 ,0 ) + t ( - 5 ,± 1 2 ,0 ) / 1 \2 y H a l l a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e la p e r p e n d i c u l a r c o m ú n a la s r e c ta s , dadas por la s L x: x - 3 t - 7 e c u a c io n e s L 2 : x - t + 1 , y = 2 / - 9 , z - - t - 12. ( 2^ ) R} , y = - 2 ¿ + 4 , z = 3¿ + 4 y R p t a . L : x = 2t~5 , y = - 3 t + l , z = - 4 t U n a r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o A ( 1 ,2 ,3 ), h a c i e n d o u n á n g u l o d e 3 0 ° c o n e l e je X y 6 0 ° c o n e l e j e Y . H a l l a r s u e c u a c ió n . Rpta. ® D a d o s u n p u n to A e n la r e c t a que d e te rm in a n la e c u a c ió n v e c to ria l de L x = { ( l,- 2 ,5 ) + / ( 2 , 3 ,- 4 ) / 1 g R ) Rpta. á n g u l o r e c to . ( l$ ) la y re c ta un AB s e g m e n to que || L, AB que ||= 1 0 in t e r c e p t a a la s re c ta s L 2 = { ( - 2 ,1 ,- 2 ) + ¿ ( 0 ,1 ,2 ) / Á e R} 9 L = 9 en 25 , — ) + r ( - 3 0 , 1 9 7 , - 1 3 7 ) / 1 g /?} H a l l a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r i c a s d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o P 0 ( 3 , - 3 , 4 ) y q u e e s o r t o g o n a l a c a d a u n a d e la s r e c ta s y ( 25) f ( ± V 3 , 1 , 0 ) / / e /?} L x u n á n g u lo d e 3 0 °. H a l l a r la d i s t a n c i a d e A a B . Rpta. H a lla r {(1,2,3) + x —1 y - 1 z -1 L x: --------= --------- = ---------y u n p u n t o B e n la r e c t a 2 3 4 L 2 = { ( 3 ,0 ,8 ) + t ( 1 ,2 .5 ,2 ) ! t e R} f o r m a c o n la r e c t a L = : x - 3 2 y - l 3 -z -------= ------------ = --------- . 1 2 - 3 D a d a s la s f e c t a s Lx q u e p o r lo s p u n t o s C ( 7 , 4 , 3 ) L x = { ( - 2 , 3 , - 2 ) + ¿ ( 2 ,- 1 ,5 ) / 1 e R } R p t a . x = 3 - 7 t, y = -3 + 1 l t , z = 4 + 5 t p a s a p o r lo s p u n t o A ( 2 , l , 2 ) y B ( 5 , 4 ,5 ) y y D ( 1 0 ,8 ,5 ) . L2 que p asa Eduardo Espinazo Ramos 80 a) ¿Cuál es la menor distancia entre ambas rectas? b) ¿Calcular un vector ortogonal a ambas rectas cuya longitud sea igual a la Rpta. a) d is ta n c ia m e n o r? (jj) D e t e r m i n a r u n a r e c ta L ta l q u e c o n la s = { (2 + A, 1 + Rpta. ( 3 Í) A, 3+ A) f Á e L = | ( 4 , 3 ,4 ) + 1( 1 ± r e c ta s a = (-2,1,1) b) d = V ón, L x = { ( 2 ,1 ,4 ) + /( 1 ,1 ,0 ) / / e /? } , R \ . D e te r m in e u n tr i á n g u lo d e á r e a 5 5V 2 , - 1± 5 ^ 2 , ± 5 ^ 2 ) / 1 e u2 . r) de lo s p u n t o s A, B , C y D e s u n p a r a l e l o g r a m o si las los tres p r i m e r o s p u n t o s s o n A ( l , 2 , 3 ) , B ( 0 , - l , 4 ) , C(-l,2,6). e c u a c i ó n de la r e c ta q u e pasa p o r lo s p u n t o s C y D . L a u n ió n c o n s e c u t i v a c o o rd e n a d a s d e H a l l a r la Rpta. (3 2 ) ¿ C u a le s s o n lo s puntos d e la r e c t a L = { ( 0 ,5 ,5 ) + t ( - 1 , - 3 , l ) / t € L - { ( * ,y , z ) e R 3 ix R} - y = z j ta le s q u e , j u n t o c o n e l p u n t o ( 0 ,0 ,2 ) d e t e r m i n a r u n tr i á n g u lo e q u i l á t e r o ? . H a l l a r u n a e c u a c i ó n d e la r e c t a q u e p a s a p o r e l p u n t o P0 (0,1,1) re c ta s Lx = {(1,— -2,0) + r( 1,2,1) / 1 e y corta a las R), L2 = j(jc,y,z) e R 3 i x = y . x - zj Rpta. L = { ( 0 ,1 ,1 ) : ? - , l , l ) / t € R} Dadas las rectas Lx = {(2 + t, 6+2r, \ )t t e /?} y L2 = ¡(1, 6 + r, 1) Ir e /?}. Hallar la recta L que intercepta a L x y L 2 determinando un triángulo de una unidad cuadrada de área, si L pasa por el punto M(3,2,l). Rpta. L - {(3,2,1) + t(-2,5,0) ti e R} ( 3 ^) Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta L ={(2t,3,-t) / 1 e R} tal que con A sean los vértices de un triángulo isósceles de área igual a 6 u 2, si el lado desigual esta sobre la recta L. Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional ¿6) 81 Dado el punto A(4,3,2), determinar dos puntos B y C de la recta L = {(2,-2,2) + t(3,l,l)/t e R}, tales que con A, sean los vértices de un triángulo isósceles de arrea igual a 9>/22 unidades cuadradas, si el lado desigual esta sobre la recta L. £7) Dado el punto Q(6,3,2) y la recta L = {(1,-1,4) + t(0 ,-l,l) / 1 e R} determinar las rectas que pasa por Q y cortan a L formando un ángulo de,60°. 3^2 2^2 Rpta. L} = {(6,3,2) + ¿(-5,-1 + ------ - 1 2 L 2 = {(6,3,2) + ¿(-5 ,-1 3V2 3V 2 -1 + ------ ) / X e R) 2 38) ) / t e R} 2 2 Las rectas L, = {(3-2,4) + í(0,4,-4) !t e R\, L, = {(1,-1,2)+¿(-2,-1,0) / /le/?} y ¿ 3 = {(2,6-3) + a ( 3 ,-5 ,5 )/a e /?} contiene 3 aristas de un paralelepípedo. Encontrar cada uno de los otros vértices de este si (3,-2,4) y (2,6,-3) son dos de ellos. Rpta. (3,-2,4),(2,6,-3),(3,0,2),(5,1,2),(5,-1,4),(0,3,-1),(0,5,-3),(2,4,-1) 39) Hallar la ecuación de una recta perpendicular al plano XZ, que una las rectas L , = { (l,-l,l) + í( 2 ,- l,4 ) /í e R), L2 = {(1,2,-3) + 4 - 1 , 4 ,2 ) / ^ e /?} Rpta. L ={(0,6,-l) + 1(0,1,0) / te R} ^I0) Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto A(3,4,-5), corta a la recta Lx = {(l,3,-2) + /(4,3,2) í t e 7?} Ll : " (4 l) x -4 2 y es perpendicular a la recta y+2 = í ---- , z = 5 3 Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,2,3) y que intercepta perpendicularmente al segmento de extremos (2,3,4) y (-3,2,5). 82 >42) Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,1,5) y es perpendicular a los vectores (1,-1,2) y (2,1,-1). 43) Determinar la ecuación de la recta que intercepta un ángulo recto a la recta £, ={(1,2,3) + 44) (45) ^46) / 1 e R} y que pasa por el punto A(2,0,1). Hallar el punto de intersección de las rectas si existen. a) x y - 2 x -1 z +3 L{: — = — — = z + 1, L2: — — = v + 2 = -----3 - 1 4 ' -3 b) L, : x -2 y- 2 = :----- = z - 3, -3 6 x- 3 z +2 ¿ >: = y +5= — — " 2 4 Hallar la distancia entre las rectas z V L : x = ~ = —, L^ \ 2 3 ' ^ x -1 = v - 4 = z +1 -1 Encontrar las ecuaciones de la recta que pasa por el origen, es perpendicular a la recta x = y -5, z = 2y -3, y que intercepta a la recta y = 2x+ 1 a z= x + 2, x y z Rpta. L: — = — = — -1 ~1 1 41^ Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P0( 1,0,1) y corta a las rectas Lx = {(-1,1,1) + ¿(2,0,l) !t e /?], L2: x - y + z = 1 , x + 2 y - z = 0 Rpta. L = {(1,0,1)+ M-6,7,18) / X e R j 48) Hallar una ecuación vectorial de la recta que pasa por P(0,l,-2) y corta a las rectas Lx = {(1,4,3) + í(l,3,0) / t e /?}, L2 = |(x,y,z) e RJ / x - y = 3z a 4 - z = x} Rpta. L = {(0,1,-2) + 1( 13,39,-7) / 1 € R} ^49J Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(3,l,2) y corta a las rectas Lx - {(2,4,~l) + /(0,1,2) / í e i?}, L2: x - y +z = 4 a 2x + r = 6 Rpta. L = {(0,2,6) + t (1,-1 ,-2)/t e R) Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional ( s í) 83 Hallar una ecuación vectorial de la recta L cuya ortogonal sobre el plano XY esta dado por z = 0, x - 2y - 5 = 0 y cuya proyección ortogonal sobre el plano YZ esta dado por x = 0, y - z + 2 = 0. 51j Sean las rectas L1:jc -y + z - 5 = 0 ajc-3>> + 6 = 0; L2 : 2 y + z ~ 5 ~ 0 4x - 2y + 5z - 7 = 0. Demostrar que 52) Rpta. L= {(1 ,-2,0) + t(2,1,1) ¡X e R Hallarla ecuación de la recta que a / í L2. pasa por el punto P0(l,6,-5) y es perpendicular a cada una de las rectas. Zj: 3jc - 2 v + 3z + 9 = 0 L2: 2x + 2>’- 5 z + 10 = 0 a a x + y - 2z +13 = 0; x-y-z-Y 3= 0 Rpta. L = {(1,6,-5) + t(-21,19,-30) / t e R} 53} Encontrar la distancia perpendicular del punto P(-l ,3,1) a la recta x-2z=l, y = l. 3V 10 Rpta. d (p , L) - —-— 54j Hallar la distancia del punto P(6,-3,3) a la recta L:2x+2y+z=0 a 4x-y-3z -5=0 Rpta. d(p,L) = 3 Las rectas L{ = j(x,y,z) e R 3 / x - 2 y = 3, z = 2j, L 2 = {^ + t(3 ,-5 ,5 )/í e /?}, = J( x , y ' z ) e R 3 / x = 3, y + z = 2 J contiene aristas de un paralelepípedo, uno de cuyos vértices es A(2,4,-l) encontrar sus otros vértices y su superficie lateral. Rpta. a) (3,0,2),(5,-1,4),(0,5,-3),(5,1,2),(0,3,-1),(2,6,-3),(3,-2,4) b) {2^294 -f 2>/2 +4Vó)w2 84 @ Eduardo Espinoza Ramos Demostrar y-«i i.: m, que la y-b] condición, mx y W- según la cual las dos rectas x - a 2 y - b 2 z —c 2 están situadas en a2 - a ] un plano, se puede expresar de la forma: c7 - c , -6 j m. Halle el punto de intersección de la recta: L: x = 4 + 5t , y = -1 + t, z = 4 - 1 y el plano 3x - y + 7z + 8 = 0. Hallar la distancia x + y + 2z -1 = 0 x - 2 y - z -1 = 0 mas ; Zo Rpta. P(-31,-8,l 1) corta entre las 2x - y + z - 3 = 0 A' + V 4- Z ~~1 =:: 0 Hallar la distancia del punto P(-l,2,3) a la recta: L : dos rectas cruzadas Rpta. d(L], L1) = ■7 6 v+ 3 - 2 3 Rpta. d(P,L) = 7 Hallar la distancia mas corta entre las dos rectas x +2 y - 2 ~+\ I , = {(1-2,3) + f(2,l,l) / t e R} ; L 2 : 1 que se cruzan Rpta. d(L], L 2 )=^~y¡3 Hallar la distancia del punto P(7,7,4) a la recta: L : 6x + 2v+z - 4 = 0 6j: - v - 2z -1 0 = 0 Rpta. d(P,L) = 11 .V= 3/ (62) Hallar la proyección del punto P(2,-l ,3) sobre la recta L : >- = 5 / - 7 z =2t + 2 Rpta. 0(3,-2,4) Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional jc = 63) 85 0 Demostrar que la recta L: y = t , —cc<t <oo z~t 64j a) Esta en el plano 6x + 4y - 4z = 0 b) Es paralela al plano 5x - 3y + 3z = 1 y esta debajo de él. c) Es paralela al plano 6x + 2y - 2z = 3 y esta arriba de él. Un plano pasa por el punto (3,1,-1), es perpendicular al plano, 2x - 2y + z + 4 = 0 y su intersección con el eje z es -3. Hallar su ecuación. Rpta. 65) k : 5x + y - 8z = 24 jt + l y - 1 z - 2 Hallar la ecuación del plano que pasa por el recta L: —— = — — = ,y es perpendicular al plano n : 2x + y + 2z + 4 = 0. (66) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos extremos de los vectores —> — ► — > a = (2 ,-3 ,-1 ), b = (0,-1,4), c = (2,1,-3) si los vectores tienen su origen en Rpta. tí: 6x + y + 2z = 19 el punto p( 1,0,3). ® x y- 6 Hallar la ecuación del plano determinado por la recta L: — = ------1 2 z +3 y -1 Rpta. n: x - 9y - 17z + 3 = 0 el punto p(4,-3,2). (M ) Rpta. P: 2y - z = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(l,0,-1) y B(2,0,2) y forma un ángulo de 60° con elplano 2x - 2y + z + 6 = 0. Rpta. k \ 21jc + ( 4 0 - n x: 3V 170 ) v - 7 z = 28 2 1 x + (4 0 + 3 a /1 7 0 ) .v -7 z = 28 86 £9) Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación de cada plano que contiene intercepto x en 2, intercepto y 6 en 3, y se halla a las distancia de j del origen. Rpta. P: 3x + 2y ± 6z = 6 70) Encontrar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(-2,5,3) y B(4,8,-8) y es perpendicular al plano XZ. JlJ Rpta. P: 11 x + 6z + 4 - 0 Determinar los puntos de intersección y el ángulo que forman los planos 7Tt: 4x + 3y + z - 0; ;r2: x + ~ z = 15 Í2x+ 2y + z = 0 L: ] {4x - y - 3z -1 5 - 0 72) w Calcular la distancia del punto p(6,-3,3) a la recta: 73) Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto p(3,2,-l) y que corta a las rectas. 74) \x~y- 0 L, : \ 3 [j c-z = 0 y 12 x - y +z ~ 0 L,: i 2 [ y - 2 z + 2 —0 Detenninar la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de AB y corta bajo un ángulo de 60° a la recta que pasa por M y N donde A(2,4,0), B(0,0,2 ), M(3,3,3), N(-l,3,3). ^5) Desde el foco F(0,0,10) se lanza un rayo luminoso el cual se refleja en el espejo plano n de ecuación x + y + z = 1. Hallar la dirección con la cual se lanzó el rayo, si el rayo reflejado pasa por el punto G(2_ 15). (76) Halle la ecuación del plano que contenga a la recta x - 3 = -(y + 5)= -(z + 2) y el punto (5,0,-4). 77) Rpta. P: x + z = 1 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(2,2,-4) y es paralelo cada una de las rectas L2: 2 x - 3 y - 2 z + 8 = 0 Lt: x + y - z + 11 = 0 a x + 2>; + z - 9 = 0 a x ---y •+• 2 z - 7 - 0 y Rpta. P: 29x + 9y + z - 72 = 0 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional {?§) 87 Un rayo de luz se dirige por la recta L = { ( 2 - t , -t, i ) / t e R } al chocar con el espejo plano %: 2x - y + z + 2 = 0, se refleja. Hallar la recta Lx en la cual esta Rpta. Lx = {(-5-7,1) + Á( 1,4,1)/ A e /?} el rayo reflejado. ^9) Hallar una ecuación del plano que pasa por el punto A( 1,-1,4) y es ortogonal a cada uno de los planos P j: 2x + y - z + 2 - 0 y P2: x - y + 3 z - l = 0. Rpta. P: 2x - 7y - 3z + 3 = 0 (so) Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano XY y que pasa por los puntos A(l, 5,-3) y B(-5,-4,11). (8 l) Rpta. P: 3 x - 2 y + 7 = 0 Dado el plano n x\ x - y + 2z - 2 que representa un espejo, al cual incide un rayo luminoso que sigue la trayectoria de la recta L \ ~ {(0,2,0) + í(l, 1,1)I t e R } . Hallar el punto de intercepción de la recta L 2 que contiene al rayo reflejado con el plano n: 2x + y + z = 16. 82) El radio vector normal a un plano tiene una longitud de 5 unidades y dos de sus ángulos directores son a=45° y p = 60°. Hallar la ecuación del plano si este pasa por el extremo de su radio vector normal. Rpta. n x: *Í2x + y + z - 1 0 - 0 n -,: a/2x + y - z - 1 0 ~ 0 83} El volumen del tetraedro formado por un cierto plano y los planos coordenadas es 12m3. Hallar la ecuación del plano, sabiendo que es paralelo al plano cuya ecuación es 3x + 2y + 4z + 6 = 0. 84) Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L: x = y = 2z y que además pasa por el punto A(0,1,0). (85) Rpta. P: 3x + 2y + 4z ± 12 = 0 Rpta. P: 2x - z = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A(-2,3,l) y es ortogonal a los dos planos. P j: 3x + 2 y - z = 1 y P2: 2 x - 5 y - h 4 z - 1 Rpta. 3x - 14y - 19z + 67 = 0 88 (S&) Eduardo Espinazo Ramos Hallar la ecuación del plano 3,2) (S?) que pasa por y C(-4,5,10). Hallar la ecuación del plano que pasa por los punto A(2,0,-l), B(0,2,5) y es Rpta. P: x - 2y + z = 1 Hallar la recta L que es paralela a los planos P ,: 3jt + 12.y-3z = 5 y x+5 y - 3 z+ 1 P2: 3x - Ay + 9z = -7 y que corta a las rectas — —= — ~ = y L2: (g5) y +1 z -2 = - ---- = ------2 3 4 x -3 El pie de Rpta. L = {(-3, -1,2) + f(-8 ,3,4) / ¿ € /?} la perpendicular trazada desde el origen A( 1,-2,1). Hallar la ecuación del plano P. (S í) punto A(l,2,-4), B(4,- Rpta. P: 1 lx + 9y + 2z - 21 = 0 ortogonal al plano 3x + y - z = 7. (ií) los alplano P es el punto Rpta. P: x - 2y + z = 6 Encontrar la ecuación de un plano que pasa por el punto A(l,-2,1) y es perpendicular al vector OA , siendo O el origen de coordenadas. Rpta. P: x - 2y + z = 6 (S ^ Hallar la ecuación vectorial de un plano P. Sabiendo que la recta L = {(1,1,1) + t (0,1,1) / 1 g R} está contenida en el plano P y que el ángulo que forma el plano P con el piano n: 3x - y - z = 0 es 60°. Rpta. P: (22,5,-5).[(x,y,z) -(1,1,1 )]=0; P': (-22,5 -5 ).[ ( x , y , z ) - ( 1,1,1)] = 0 (S Í) Hallar la proyección ortogonal de la recta. L = {(1 + t, 1 - 2t, 2 + 3t) / t sobre el plano n: x - 2y + 3z = 33. (93 ) oy nl = (3,-3,8) Rpta. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3 x - y + 2 z - 5 y 8x + 2 y - z = 3 y que contiene al origen. Rpta. (94) g R} ti : 31x + 13y - 1Iz = 0 Dos rectas I, = {(3,4,3)+ í(-2,0,l)/ / e Jí} y L2 = {(1,-24-3 )+ < (l,-2 ,l)/í e «} son paralelos a un plano P y están en lados opuestos respecto al plano. Hallar el plano P si se sabe que d(L}, P) ~ d(L2, P) = 3 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (95/ 89 Un plano pasa por el punto A(5,-1,3) y dos de sus ángulos directores de su normal son a = 60° y P = 45°. Hallar la ecuación del plano. Rpta. (9 í) ($7) n {: x + J l y + z - 8 + <¿2 = 0 ó n 2: * + V2y + z--2 + V2 = 0 Hallar la distancia del punto p al plano n donde. a) p(15,-22,10), n: x + l O y + 4 z + 15 = 0 50VÍ3 Rpta. ¿(p,;r) = 13 b) p(-10,-10,5), ti: 63 r— Rpta. d(p,7r) = — V14 c) p(3,-2,5), n: 2x - y + z = 0 x + 2 y - 3 z = 18 d) p( 1,1,5), n: 2x + 3y - 2z = 4 Dados los puntos A(3,5,l), B (-l,l,3) y C(2,4,l) del triángulo ABC, donde G es el centro de gravedad de dicho triángulo y G es la proyección ortogonal de R sobre el triángulo ABC. Si || GR ||= 6 V2 .Hallar la proyección ortogonal de G sobre el plano BCR. (g8 ) 3 Rpta. 1 ( - , 3, Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - l = 0 . Rpta. n: 4x + 4y + z - 16 = 0 @ jc + 2 y - 3 z Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L x: — — = — — = — y es x —1 y z +1 paralela a la recta L2: —— = — = - — .Rpta. P: 7x + 6y + z - 4 = 0 Un cubo tiene dos de sus caras en los planos Px: 2x + 6y+ 3z~ 12 = 0 y P2: 6x + 1 8 y + 9 z+ 6 = 0. Hallar su área total y su volumen. Rpta. A, = 24w2 , V = 8u 90 Eduardo Espinoza Ramos Sean los puntos A(2,3,4) y B(3,l,6) y el plano P: x + y - 4z = 3. Hallar un plano n que pasa por A y B y que forma con el plano P un ángulo de 45°. Rpta. ir: 2x - y - 2z = -7 (j&z) Hallar la ecuación del plano n paralelo al plano x + 3j>-2z + 14 = 0 y tal que la suma de sus interceptos con los ejes coordenadas sea igual a 5. Rpta. 7i: x + 3y - 2z - 6 = 0 ^103) Hallar la ecuación del plano a ti que contiene a la recta L :x -y -l= 0 x +- y + z = 2 y que es ortogonal al plano de coordenada X Z. Rpta. (Í Í 4 ) Rpta. n: 4x + 6y + 5z = 1 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L,: es paralela a la recta L 2 : ® 2x + z = 3 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta x = 2t + 1, y = -3t + 2, z = 2t - 3 y por el punto A(2,-2,l) (l05) ti: =—— = y Rpta. n: 2x ~ 2y - z 4-1 = 0 Jjc + y + 3z~ 7 = 0 Hallar la ecuación del plano P que contiene a la recta L\ \ y l3jr + 2 y - z = 0 es perpendicular al plano P j: 2x + y - 2z +1 = 0. Rpta. P: 19x + lóy + 27z = 70 ^ 7 ) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto de coordenadas A (2,-l,l) y es perpendicular a los dos planos 2x - z + 1 = 0, y = 0 Rpta. P: x + 2z - 4 = 0 (jOS) Determinar la ecuación de una recta que sea paralela a los planos P :x + z - 4 = 0 y Q :x + y = 2 e intercepta a las rectas Lx = {/(1,0,1) / 1 e R} y L2 = {(Q,1,0) + ¿(0,0,3)/¿ e R) Rpta. L = {(1,0,1)+ t ( l , - l , l ) / t € R} Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 109^ Tres vértices 91 de un tetraedro regular se encuentra sobre el plano n: 5x - 7y+z+2 =0 y el cuarto vértice sobre la recta L={(l+t, 2+t,-3+2t)/ teR }. Hallar el volumen de dicho tetraedro. IlO j 1 3 Rpta. V - ~ u 3 Dados los puntos A( 1,2,3), B(4,5,6) y C(7,8,8). Hallar el conjunto M de puntos O de i?3 tal que A,B,C y P sean los vértices de un tetraedro de volumen igual a 6 unidades cuadradas. ^111^ Rpta. M: x Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A(-2,-3,5) y B(4,6,-10) y que es perpendicular al plano XZ. (íji) y + 13 = 0 ó M: x - y - 11 = 0 Rpta. P: 5x + 2z = 0 Hallar las ecuaciones de cada uno de los planos que se hallan a 2 unidades del origen y tiene una normal que hace un ángulo de 60° con ambos eje X, eje Y. Rpta. jc + y + V2z = - 4 ; x-^y-yflz-4 113^ x + y - y f l z = -4 ; x +y - y f l z = 4 Determinar bajo que dirección debe ser lanzada rectilíneamente una partícula desde el punto A(2,2,3) hacia la recta L = { ( 0 , 1 + r, - r ) / r e R} para que la alcance al cabo de 2 segundos, siendo su velocidad V = <s¡3u / se g . Rpta. ~AB = (-2 ,-2 ,-2 ) ílÍ4 i Una partícula comienza a moverse en la dirección en el punto A( 15,-22,10) y se mueve con una velocidad constante V = (1,1,1) ¿Cuánto tarda la partícula en alcanzar al plano n: x + lOy + 4z = -15 ? (ll^ Rpta. t = 10 seg. ¿En qué dirección debería moverse la partícula del problema anterior para alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo del problema anterior ¿Cuál es el tiempo mínimo? 50 r— Rpta. (1,10,4), tm = — tJ39 seg. 92 Eduardo Espinoza Ramos Hallar el ángulo entre la recta de intersección de los planos 3x + y + 3 z = 5 ; x - y + z = 2 y la recta de intersección de los planos 8x - y + 7z = 3 ; x - y + z = 2 Rpta. 13 0 - árceos ( -^== ) Determinar una ecuación de la recta L que satisfaga a la vez las condiciones siguientes: i) Esta contenido en el plano P determinado por los puntos p0(0,0,0), p ,(2,2,0) y p2(0,l,-2). y - 1 x + l ii) Sea perpendicular a la recta Lx: =2z . 3 21 19 4 Rpta. I = {(- — , - — , ~ —) + f(2,- 3 ,1 0 )//€ /? } 2 iii) P ara p o rP n L r L = {Q0 +r. a / / g R} y el plano Demostrar que la intersección de la recta. k\ (P o-Qo)N ( p - p 0).Ar = 0 ,e se lp u n to A(Q0 +(— -----) a ) . a.iV Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A(xQ, y 0 ,z0) y es -+ —» I V paralela a los dos vectores a = (ax,a2,a3) y b = [bX9b2,b3J se puede expresar * -* o y ~ y o z ~ zo =0 en la forma: bx b2 ¿>3 Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto A(xx, y x, zx) y B{x l?y 2 '>z ’}) y es Para^ a a^ vector & =*(ax, a2,a3) se puede expresar en la y~yi forma: x2 - xx y2- yx z2 - z x - 0 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 93 Demostrar que la ecuación del plano que pasa por tres puntos ^(x p j/p Z ,) y 2?(x2,y 2,z2) y se puede expresar en la forma: x~x y-y\ z -z, x2 - x , y2 - y } z2 - z , = 0 Z3 ~ Z1 Demostrar que la ecuación del plano que pasa por el punto p 0 (x0, y 0, z 0) y es perpendicular a los dos n x: Axx + B xy + CxZ + D x = 0, planos j i 2 : A 2x -f # 2y + C2Z + D 2 = 0 se puede representar en la forma siguiente: * -* o y~yo z ~ zo =0 B, Demostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta y - y 0 +tb, z = z0 + t e y por el punto y-y j x-x, forma: x ¡~ xo a á [ x { , y l ,z¡) y\-yo b L\ x = x0 + 1 a , se puede expresar en la z-zj z \ ~ zo e Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3,2), es paralelo al plano tc= {(1,4,0)+ /(U,1) + ¿(0,1,2)/ í ,/ l e i?} y forma un ángulo de 60° con la recta L ,= { (l,-2 ,3 ) + / ( l , 0 , l ) / / e * } . Rpta. ¿ = ((l,3,-2) + í(3±2>/2, 2 ± J l , l ) / f e /fj Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,3,0) y (4,0,0) y que forma un ángulo de 30° con el plano x + y + z - 1 = 0. 94 126) Eduardo Espinoza Ramos Hallar en el eje x un punto equidistante de los dos planos 7C\: 12.v- 16y +15z + l = 0 y n 2: 2x + 2 y - z - l = 0 Hallar un punto C del plano n: x - y + z - 3 = 0, tal que con los puntos A (2,l,l) y B( 1,6,4) sean los vértices de un triángulo equilátero. @ Í2 x + y - z = 3 Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta L: j ^ ^ y es ortogonal al plano 2x + y - z - 3 = 0. Rpta. 4 x ~ 7 y + z-~9 = 0 ^09) Hallar la ecuación del plano paralelo al plano 2 x - y + 2z + 4 = 0 sabiendo que el punto (3,2,-1) equidista de ambos planos. 130; Rpta. 2x - y + 2z - 8 = 0 Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto (3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y -z = 4 , 3x - y + 2z = -ó. R pta. L= {(3,4,-6) + 1 (-3,5,7) / te R} ® Jjc+ v + z - 2 = 0 Hallar la ecuación de la proyección de la recta L : ^ [jt+ 2y + z = 0 sobre el plano P: 3x + y + 3z - 1 = 0 ^132^ Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los plano Pj y P2 donde P j: 3x + 10y + 5z + 6 = 0 , P2: x-f4y + 3z + 4 = 0 y sea paralela a la recta L = {(1,5,-1) + 1(3,2,- 3 ) /t e R}. (l3 3 ) Determinar la ecuación vectorial de la recta que sea paralela a los planos P^ x + z - 4 = 0 y P2: x + y = 2 e intercepta a las rectas Z,j:{/(l,0,l) + í e /?} y ¿ 2 ={(0,l,0) + /l(0 ,0 ,3 )//l6 i? | Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional 95 La proyección ortogonal de la recta L sobre el plano Pj: x - 2 y - 3 z = 0 es la rectas ¿^{(1 + 5/, 2 + ¿, t - \ ) / 1 e /?} y la proyección ortogonal de L sobre el plano P2:x + y + 2z = 6 es la recta Z,2:{(l + í, 1-f t, 2 - t ) í t e /?}. H allarlas ecuaciones paramétricas de la recta L. 135) Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (2,6,1) y contiene a x z la recta L: — = —; y = -5. R pta. 88x - 13y - 65 = 0 3 8 136J Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por (3,4,1) y es perpendicular a los planos 137) x - y = 4 , x + z = 6. Rpta. x + y - z - 6 = 0 Hallar las ecuaciones de los planos paralelos que cortan en ángulo recto a los planos Pj : x + z - 2 = 0 y P 2: x - y f 3 = 0. Sabiendo que uno de ellos pasa por el punto p( 1,1,1) y el punto q(2,-1,2) equidistan de ambos. Hallar la ecuaciones del plano que pasa por la recta de intersección de los planos P j: x + y - z = 0, P2: x + 2y + z + 6 = 0 y es paralelo a la recta que pasa por los puntos A (l,-l,l) y B(2,l,2). Dadas las rectas = ¡(3,4,5) + í(0,1,-2)// e R \ , L2 = {(4,-2,l) + ¿(l,2 ,3 )/¿ e R\ y L 3 = {(0,0,0) + ^ (2,1,0) / P e R } . Hallar la ecuación cartesiana de un plano que corta a estas rectas en los puntos A,B y C respectivamente de tal modo AB = B C , se sabe además que estos puntos están alineados y que al plano solicitado es paralelo a la recta x = y = z . R pta. 19x - 20y + z - 81 = 0 Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2 x - y - 5 z = 4 y 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z = 14 Rota. 12x - v - 17z = 6 96 141) Eduardo Espinoza Ramos Hallar la ecuación del plano P que pasa por los puntos A (-1,2,0) y B(3,-l,2) y 1 que forma ángulo 9 = arccos(~™) con el plano Pt : x - f y - 4 = 0. I43t) La distancia del punto Q(l,0,3) del plano P es 3. Si P pasa por la recta [*5jc - 6y + 2z +15 = 0 L: ) . Hallar la ecuación del plano P. [x-~2y + z + 3 = 0 143) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto M (3,0,l) y forma un ángulo de 60° con la intersección de los planos P,: 2x + y - 2 z - 2 = 0, P2 ={(3,2,2) + í(l,2,2) + A( 2 , l , l ) / í , i e /?} 144) Dadas las rectas no coplanares concurrentes en 0(1,-2,3) x -1 y +2 z - 3 jc-1 3 - z jc~ 1 y + 2 z - 3 ; —■ — = — — = —— t _ — y = -2, L, : = - ----- = -------. 2 2 1 3 -4 2 1 2 Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto M(-4,2,6) y forma t ángulos iguales con estas rectas. 145j Rpta. 3x - y - z + 20 Hallar la ecuación del plano n que pasa por A( 1,4,-2), es paralela a la recta L={(2,6,5)+t (1 ,-2,0)/teR} y tal que la distancia de n a L sea igual a 1. (146) V J 3 - y z +3 Consideremos las rectas L : x = -1; — ^ = ------1 1 1 y x + 1 3 - y z - l : ---- = ------- = -----2 1 1 1 de modo que L es una recta que corta ortogonalmente a L { y L2; si n x es el plano que determina L 2 y L; n 2 es el plano que determina L2 y L. Determinar el ángulo formado por n { y n 2 . (147) Dados los planos n 2: x - y + z + 4 = 0 y x-5 y -7 z rectas L : ------ = =-; 1 1 2 1 7üx: 3x + 2y + 5z-f 1 = 0, 7tv 2x + 3 y - z - 1 3 = 0 y las 3 ^ jc + 2 y - \ z L*s: ------- = - — = —. Determinar la ecuación del plano que pasa punto de 0 3 4 intersección de dichos plano y es paralelo a ambas rectas. Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (l48) 91 Si L = {(í -1 , 2 - 1 9 0) / 1 € /?} y P: x + z - 1 = 0 un plano. Hallar la recta Lx, contenida en P, tal que ¿ ( L , Lj) = 60° Encontrar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x - y - 5z = 4 y 3x + y - z = 0 y paralelo al plano 12x - y - 17z = 4 Rpta. 12x ~y~- 17z= 12 (l^®) Hallar la ecuación del plano que pasa a través de la recta L ={(1,8,1) + 1 (l,-3,l)/teR } y forma un ángulo de 60° con el plano 2x-y+z= 7. Rpta. x + y + 2z = 11 ; 1 lx + 2y - 5z - 22 = 0 151) Un rayo de luz parte del punto (1,4,2) se refleja en el espejo plano YZ, este rayo reflejado, se refleja nuevamente en el espejo plano YZ y este último rayo reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado. 19 18 Rpta. L = {(— ,0, — ) + /(6,5,2) / / € / ? } 152) Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M(3,-2,-4) paralelamente al plano ti : 3 x - 2y x~2 y + 4 z-1 L . ----- - = ----- = ------- . 3 -2 2 (153) - 3z - 7 = 0 y que corta a la recta 3 v+ 2 Rpta.------ - = = 5 -6 íx-2z-3 = 0 La recta L: ] , intercepta al plano x + [y - 2z = 0 3y z-f 4 -----9 - z + 4 = 0, encontrar el punto de intersección p y encontrar la ecuación de la recta en éste plano que pasa por p y es perpendicular a L. Rpta. (1 ,-2,-1) , x -l y +2 z +1 -5 154) Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección Lx ={(9,5,4) + /(1,1,2)/ f e R} y L 2 ={(1,2,3) + Á(2,1,1)/Á e /?} de siendo la distancia del plano al origen igual a V234 unidades. Rpta. 1 l(x - 11)+ 7(x - 7) + 8(x - 8)= 0 98 (155) Eduardo Espinoza Ramos Un hombre se encuentra en 0(0,0,0), lanza una flecha desde A(0,0,16) hacia un blanco en B(50,12,16) que se encuentra sobre el plano 25x - 6y - 1178 = 0, haciendo impacto a 0.1 unidades del blanco. Si la flecha fue lanzada con una trayectoria paralela al plano XY, hallar el ángulo que debió girar el hombre para no fallar. (156) Rpta. 3.62° Encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto Q(3,-5,2) y es perpendicular a cada uno de los planos 2x + 3y - z - 5 = 0 , x - 2y + 2z - 3= 0. Rpta. 4x - 5y - 7z - 23 = 0 (157^ Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos Pj: 5x + 3 y - z - 9 = 0 y P2: 3 x -2 y + 5 z ~ 6 = 0, se quiere aumentar un plano mas a la puerta, tal que pase por la recta de intercepción de ambos planos y que sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta Lx ~ {(3,1,6) + ¿(1,1,0) i 1 e R } . Hallar la ecuación de dicho plano. Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0 (158) Hallar la ecuación de una recta que pasa por (3,1,2) y corta a las rectas L\ = {(2,4,-l) + f(0 ,l,2 )// e /?}, ¿ 2: í jc —y + z = 4 ' ^ [2 x + z = 6 Rpta. L ={(3,l,2)+t (-1,10,1 l)/t gR} (159) Encontrar la ecuación del plano que es perpendicular al plano 2x + 3y 5z - 0, contiene al origen, y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (1,-1,3) y (2,1,-2). 160) Rpta. 5x - 5y - z = 0 Hallar una recta en el plano determinado por los puntos A(0,0,0), B(2,2,0) y C(0,1,-2) y que corta ortogonalmente a la recta L: ( l6 l) x +1 y- 1 = '-■■■— = 2z. Dados los puntos A(l,-3,4); B(3,-2,2) y el plano n: 2x - 2y + z = 12. Hallar los puntos C y D del plano n tal que A,B,C y D son los vértices consecutivos de un cuadrado. Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (162) V 99 Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta Í5jc-4y-~2z = 5 L: 1 7 U + 2 z - 2 = 0 sobre el plano P: 2 x - y + z - l = 0 163J Hallar la ecuación del plano que contiene a las siguientes rectas que se x-2 y +3 z + 2 , interceptan L : ------ = ------- = 1 4 -1 3 Í3x + 2y + z = ~2 :i 2 [ x - y + 2z = l Rpta. 4x + 7y - 3z + 7 = 0 íx +y - 4 z = 0 (164) 165) Cuáles son los puntos B y C de la recta L: \ tales que junto con [x + y = 4 el punto A(3,-2,4) determinan un triángulo equilátero. Un rayo de luz parte un punto (2,1,6), se refleja enel espejo plano rayo reflejado se refleja nuevamente en el plano XZ, este YZ, y este ultimo rayo reflejado pasa por (3,8,2). Hallar la ecuación de este ultimo rayo reflejado. 13 22 Rpta. L = { ( 0 — — ) + t (5, 9,-4)/t e R}. (166) x-\ y +2 5~z y-1 z +2 Dadas las rectas L : ------ = -------= ------ ,L7: x = -2 , ------- = que se 2 3 4 1 2 cruzan. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-l,-2,0) que sea perpendicular a L{ (en el espacio) y corte a L2. Rpta. L={(-l,-2,0) + t(-l,6,4)/t€=R} 167) Hallar la ecuación del plano n que contiene a la recta L: x - y - 1=0, x + y + z -2=0 y que es ortogonal al plano coordenado XZ. Por el punto A( 1,0,1) se traza una perpendicular al plano P: 2x+ y - z = 7. Si B es el pie de dicha perpendicular, determinar un punto C, en la recta: L = {(-1,1,0) + t (0,1,5) / 1 e R} de modo que el volumen del tetraedro cuyos vértices son A,B,C y D, es igual a 4w3. D es el punto de intersección de la 3 25 100 169) Eduardo Espinoza Ramos Una puerta rotatoria de un centro comercial consta de dos planos P}: 5x + 3y - z - 9 = 0 y / \ : 3 x - 2 y + 5 z - 6 = Q, Se quiere aumentar un plano mas a la puerta, tal que pase por la recta de intersección de ambos planos y que sea paralelo este plano a la columna que describe la ecuación de la recta L x = {(3,l,6) + f(l,l,0)/f € i?}. Hallar la ecuación de dicho plano. Rpta. 19x - 19y + 41z - 39 = 0 170) Una partícula comienza a moverse en el A( 15,-22,10) y se mueve con una velocidad constante v = (1,1,1). ¿Cuanto tarda la partícula en alcanzar al plano: x + lOy + 4z = -15?. (171J \\ 12) ^173j Rpta. t = 10 seg. ¿En que dirección debería moverse la partícula del problema anterior para alcanzar el plano en tiempo mínimo? si el módulo de la velocidad es el mismo que en el problema anterior. ¿Cual es el tiempo mínimo?. -> 50 r— Rpta. a = (l,1 0 ,4 ),ím = — V39 seg. 39 Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto \x-y ~ 0 Í2 x - y +z = 0 corta a las rectas: L , : i y L~>: \ [x-z = Q [> '-2 z + 2 = 0 Dados los planos P = (3,2,-1) y que n x: 3x + 2y + 5z +1 = 0, n 2 \ x - v + z + 4 = 0, x - 5 y -7 z L: - = ~; 1 1 2 1 n x\ 2x + 3y-~z~13 = 0 y las rectas 3 x + 2 z —1 z j . ------ -- — - _ Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto 0 3 4 de intersección de dicho planos y es paralelo a ambas rectas. Rpta. 5x - 4y + 3z + 13 —0 (174J Se tiene dos túneles que parten de la superficie (Suponer que la superficie es lisa y es el plano XY) desde los puntos (0,5/2,0) y /?lj5(5,2,0) y llegan respectivamente, a los puntos p 2A(~7-U-~7) V /?25(~5,3,-5). Hallar la mínima distancia quedebe tener un túnel que debequedar a nivel (paralelo al plano XY) y va a servir parainterconectara los túneles A y B. Rpta. d= 2.457 Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional \l7 fy 101 La unión consecutiva de los puntos A, B, C y D es un paralelogramo. Si las coordenadas de los tres puntos son A(l,2,3), B(0,-l,4), C (-1,2,6). Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos C y D. Rpta. (l76) L= {(0,5,5)+ t(-l,-3 ,l) /t€R} Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-3,-4) y que intercepta en los ejes coordenados segmentos de igual magnitud y diferente de cero. Rpta. P: x + y + z + 5 ~ 0 (s177^ Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto M (3,-l,4) y también por la recta de intersección de los planos x + 2y~~z = 4 ; 2x - 3y + z = 6. Rpta. 3 x - y - 10 = 0 (l78) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x + y - 2 z + 2 = 0 y x - 3 y - z + 3 = 0 y es perpendicular al plano X Y. Rpta. x + 7y - 4 = 0 179/ Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos 2x -- y - 5z = 4 ; 3x + y - z = 0 y es paralelo al plano 12x - y - 17z + 14 = 0. Rpta. 12x - y - 17z - 1 2 = 0 (*8®) Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(3,4,-6) y es paralelo a los planos x + 2y - z = 4; 3x - y + 2z = -6. Rpta. L = {(3,4,-6) + t(3,-5,-7) / 1 e R} (S i) Determinar la proyección de la recta L = {(1 ,-2,1) + 1( 1 1 , 1 ) / 1 € R} sobre el plano n: 4x + 2 y - 2 z - 1 = 0. (l82) Rpta. I - = {(^ 2 ^ ^) + í( l,- l,l) / t s R } 4 4 Hallar la proyección de la recta L = {(1,2,-1) + t(2,l,-l) / 1 € R} sobre el plano i: x + y - z - 8 = 0. 7 Rpta. Ln = {(3,3,-2) + / ( 2 , - l ,l ) / í 6/?} 102 Eduardo Espinoza Ramas Un plano es paralelo al plano P: 2x + 2y + z - 1 - 0 y el punto (2,2,2) e$) equidistante de ambos planos, hállese la ecuación del plano. Rpta. n: 2x + 2y + z - 19 = 0 Hallar la ecuación del plaño que pasa por el punto M(l,2,-3) y es paralelo a las r x-1 y 4-1 z - 7 rectas L : •= = --------, 1 ? -3 3i 1" : jc + 5 y - 2 z+3 = - =— - . 3 i - 2 - 1 -i Rpta. 9x + 1 ly + 5z - 16 = 0 í* = 2f + l Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : y = -3/ + 2 y por el z = 2/ - 3 punto M(2,-2,l). 186) Rpta. 4x 4- 6y + 5z - 1 = 0 í 2x 4- y —z 4-1 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L : < y es [x 4- y 4- 2z +1 = 0 paralelo al segmento limitado por los puntos P{(2,5,-3) y P2 (3,-2,2). Rpta. 9x + 7y 4- 8z 4-7 = 0 |x ~ ^ + ^ 187) Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta L, : <y - 214- 3 y es [z = - r - 2 Í2x - y 4- z - 3 = 0 paralelo a la recta L 2 : i * . Ix 4-2 v - z - 5 = 0 188J Rpta. 13x - 14y 4- I lz 4- 51 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta: Lx : es perpendicular al plano P: 3x 4 2y - z - 5 = y 0. Rpta. n: x - 8y - 13z + 9 = 0 Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos 3x - 2y 4- z - 3 = 0, x - 2z = 0 y es perpendicular al plano x - 2y 4- z + 5 = 0. U n t a 1 1v - I x i - í _ v ~ Rectas y Planos en el Espacio Tridimensional (*9o) Hallar la ecuación del plano que pasa por la intersección de los planos x - y + z =4, 2x + y (l9 y 103 2z = 6 y por el origen. Hallar la ecuación cartesiana de un plano Rpta. x + 5y - 7z = 0 que contenga a la recta g L = (1,2,-3) + t( 1,-4,2) / t e R} y se encuentra a una distancia de —== V41 unidades del punto P(2,-4,-5). Rpta. 6x + 2y + z = 7 ; 30x + 2y - 1 lz = 67 104 Eduardo Espinoza Ramos CAPÍTULO II X __ CONCEPTOS BÁSICOS.2.1. PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.Sean X, Y dos conjuntos cualquiera, llamaremos producto cartesiano de X por Y al conjunto denotado por XxY y definido asi: XxY = {(x,y) / x e X 2.2. y e Y} PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE DOS CONJUNTOS.Ax B * BxA © © © © 23. a A x (B u C ) = A x B u A x C A x (B C) = A x B - A x C © © © A x <j) = (¡>x A = (¡) A x (B n C) - A x B n A x C (A x 13) x C =A x (B x C) Si A cz B => A x C c B x C , , V C S i A c C y B c D = ^ A x B c i CxD RELACIÓN BINARIA.Dados X,Y dos conjuntos; diremos que R es una relación binaria de X en Y, si y solo si, R es un subconjunto de X x Y. 2A. APLICACIÓN DE X EN Y*Diremos que f es una aplicación ó función de X en Y, si y solo si, para cada x € X, existe un único y e Y, tal que y = f(x). 105 Conceptos Básicos NOTACIÓN.- Ejemplo.- 2^ A la aplicación f de X en Y denotaremos por: f: X-»Y, donde D f = X . f: [-4,4] —» [0,4] tal que f ( x ) = \ ¡ l 6 - x 2 CLASES DE FUNCIONES,Sea f: X -> Y, una función, entonces: a) f es inyectiva, sí y sólo sí se cumple: x u x 2 &X a 2^ xí * x 2 => f ( x i ) * f ( x 2) b) f es suryectiva, sí y sólo sí para todo y e Y, 3 x € X tal que y = f(x). c) f es biyectiva sí y sólo sí, es inyectiva y suryectiva. CONJUNTO INVERSA.i) IMAGEN DEFINICIÓN.- Sea f: X Y CONJUNTO IMAGEN __________ _______ Yuna función y A c X llamaremos imagen de A segúnf al conjunto denotado por: . f(A )« { f ( x ) / x € A} c Y Que viene a ser el conjunto de todas las imágenes correspondientes a los elementos del conjunto A cz D j ~ X . ii) PROPIEDADES DEL CONJUNTO IMAGEN.Sea f : X -» Y una función y A, y B subconjuntos del dominio X entonces: @ A cX ,B cX ,A cB © A cX ,B cX => f(A )c f(B ) => f(A u B) = fi(A) u f(B) 106 Eduardo Espinoza Ramos © AcX,B c X => f ( A n B ) c f(A) n f(B) la igualdad se cumple cuando f es inyectiva. © A cX ,B cX '=> f(A) - f(B) c f(A - B) la igualdad se cumple cuando f es inyectiva. iii) DEFINICIÓN.- Sea f: X —> Y y B c Y , llamaremos pre - imagen o imagen inversa de B según f, al conjunto denotado por: f - l (B) = { x e D f / f ( x ) e B } Que viene a ser el conjunto de contra imagen correspondiente a elementos del conjunto B c Y . tv) PROPIEDADES DE LA IMAGEN INVERSA DE UN CONJÜNTO.Sea f: X —» Y una función y A c Y, B c Y 2.7. © SiAcB © f-'{AvB) = f-'(A)vf-'iB) © f ~ i( An B) = f ~ i( A ) n f ~ \ B ) © f-\A-B) =f-\A)-f-\B) entonces: => COMPOSICIÓN PE FUNCIONES Sean f: X -> Y, y g: Y -» W, dos funciones, llamaremos función composición de g con f ó f seguido de g, a la función denotada por g o f: X -> W, tal que: . (gof) (x) = g(f(x)), V x e Dgof 107 Conceptos Básicos 2.8. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA.a) DEFINICIÓN.- Sea A * <|>, un conjunto, llamaremos ley de composición interna definida en A, a toda aplicación de A x A en A. es decir: F : AxA —* A í -:r', v* < (a,b)->F(a,b) = aFb b) DEFINICIÓN.- Sea A, k dos conjuntos (k se denomina conjunto de operadores o escalares). Llamaremos ley de composición externa definida en A y con operadores en k, a toda aplicación de kxA en A, es decir: • : lexA Á (X,a) - * X ia ) ~ X * a 2.9. CAMPÓ O CUERPO.A un conjunto k * <(>le llamaremos campo o cuerpo si en k están definidas dos leyes de composición interna (suma y producto) y además verifican las siguientes propiedades. Ira . Suma: +: k x k (a»b) »v /n b i) a + b = b + a, V a,b e k, conmutativa. ii) a + (b + c) = (a + b) + c, V a,b,c e k, asociativa iii) Existe 0 e k tal que a + 0 = 0 + a = a, V a e k “0” es llamado el elemento nulo o cero. 108 Eduardo Espinoza Ramos iv) V a e k, 3 - a e k, llamado opuesto o inverso aditivo tal que: a+(-a) = (“a)+a” 0 2do. Producto: k :kx.k (a,b) t(a,b) ^ a.b i) a.b = b.a, V a,b e k, conmutativa. ii) a.(bx) = (a.b).c, V a,b,c € k, asociativa. iii) Existe 1 e k llamado elemento identidad tal que: 1.a = a.l=a, V aek. iv) V aek, a*0, existe un elemento a~l llamado el inverso de a, tal que a.a~l = 1. v) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. a.(b + c) = a.b + a.c Ejemplo.- - (a +b).c = a.c+b.c Son campos o cuerpos los conjuntos siguientes: R = conjunto de los números reales. Q = conjunto de los números racionales. C = conjunto de los números complejos. Ejemplo.- Consideremos el conjunto siguiente: Q(\Í2) = {a + b y f í / a9b e Q ) . Demostrar que (Q(y¡ 2), +, • ) es un cuerpo. Demostración Primero definiremos las operaciones siguientes: (a + b j 2 ) + (c + d j 2 ) = (a + c) + (b + d ) j 2 109 Conceptos Básicos (a + by¡2).(c + d yf l) = (ac + 2bd) + (bc + ad)y¡2 probaremos solamente la parte iv) del producto que es V a e k, 3 a~l tal que a.a~{ = 1, los demás axiomas son inmediatos de verificar. Sea a + b y ¡ 2 * 0 , (b * 0) debemos probar que existe c + d>¡2 tal que (a + by[2).(c + dy¡2) = 1 Pero (a + b\Í2).(c + d\¡2) = (ac + 2bd) + (be + ad)y¡2 = 1 ,ac + 2 b d - \ De donde < \bc + ad = Q .... (1) ... (2) De (1) y (2) despejamos c, es decir: 1 -2 bd a c =-— a , c= b de donde ad 2 2 = ---------=> b - 2 b d ~ - a d b 2 2 ( I b " - a )d ~ b de donde d - — ----- , c 2b2 - a 2 ’ Luego c + d 4 l = - 2b2 - a 2 J t + — 2 J-V2 2b - a 2b - a ■■ Q(y¡2) es un campo. Ejercicio.© El conjunto Z(V2) = {a + b^fi.! a,b e Z} con las operaciones de adición y multiplicación definidas en el ejemplo anterior no es un campo. 110 Eduardo Espinoza Ramos Dado el conjunto Q ( y ¡ ^ ) = {a + b >f ^5/ a,beQ} . Probar que es un cuerpo con las operaciones de C. (^ ) Si a es una Q (a) = {a + b a / a,b raiz g de la ecuación x2 + x + 2 = 0 Q}, es un cuerpo. Sea a = -^(1 - íV3 ), probar que el conjunto Q (a) = {a + b a / a,b un cuerpo. entonces g Q}, es Espacios Vectoriales 111 CAPITULO III 3. ESPACIOS VECTORIALES.- 3.1. DEFINICIÓNSean V * <|>un conjunto, k un campo y dos operaciones una de suma (+) y la otra de producto (.), entonces diremos que el objeto (V, + k , .) es un espacio vectorial si se verifican las siguientes condiciones. A) EXISTE UNA APLICACION SUMA. + : VxV - a V (x,y) -> +(x,y) ===x + y Llamado ley de composición interna (la suma de dos vectores es un vector) y cumple los axiomas siguientes: A¡ x + y = y + x, V x,y g V axioma conmutativa. A2 x + (y + z) = (x + y) + z, V x,y,z A3 V x e V, existe 0 e V tal que x + 0 = 0 + x = x donde “0” se g V, axioma asociativa. denomina elemento neutro aditivo o cero. A4 .- V x g V, existe-x g V, tal que x + (-x) = (-x) + x = 0, donde-x se denomina opuesto de x. B) EXISTE UNA APLICACIÓN PRODUCTO.- • : k x V -> V (X,x) .(X,x) = A.x 112 Eduardo Espinoza Ramos Llamado ley de composición externa (el producto de un escalar por un vector es un vector) y cumple con los axiomas siguientes: Bx a(Px) = (aP)x, V x, a , p e k B2 (a + P)x = ax + px, V x e V, a , P e k B3 .- a(x + y) = ax + ay, V x,y e V, a e k B4 .- V x g V, existe 1 e k elemento idéntico multiplicativo tal que 1.x = x. OBSERVACIÓN.(í) Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de k se llaman escalares. Como V está definido sobre los elementos de k, se dice que V es un k espacio vectorial. (3 ) Si k = R, V se llama espacio vectorial real. Si k = C, V se llama espacio vectorial complejo. (? ) Un conjunto V * <|> para que sea un espacio vectorial sobre un campo k debe tener definidas dos operaciones “suma” y “multiplicación por un escalar” y que cumple las ochos axiomas mencionados, en caso que no cumpla con alguno de dichas axiomas no es un espacio vectorial. (ó ) Al conjunto de los polinomios de grado < 3 con coeficientes complejos denotaremos por k[x] es decir: k[x] = {P(*) / P(x) = a3x 3 + a2x 2 + a{x + a0; at e k = C} 113 Espacios Vectoriales 3.2. EJEMPLOS DE ESPACIOS VECTORIALES.© El conjunto V = R, con las operaciones de suma y producto de R es un espacio vectorial sobre R. El conjunto V = R 2 = {(jc, y) e R 2 / x e R a y e R } y k = R (el cuerpo) con la suma de pares ordenados (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d) y el producto >,(a,b) = (A.a,A,b), k e R por un escalar: es un espacio vectorial sobre R. ® En R 2 cualquier recta que pase por el origen, es un espacio vectorial sobre R. Por ejemplo el conjunto V = {(jc, y) e R 2 / 3x - 2y = 0} con las con las operaciones de suma y producto de un escalar con las de R 2 . El conjunto V = R 3 = {(jc, y 9z ) / x s R a y eR a z e R} operaciones de un escalar por un elemento de/?3 es un espacio vectorial sobre R. © En R 3 cualquier plano que pasa por el origen es un espacio vectorial sobre R. Por ejemplo V = { (jc ,y ,z)e /?3 1 x - y - z = 0} @ El conjunto V = R n = {(jc1,jc2,...,jc/í) / x í e R} es un espacio vectorial. Con las operaciones usuales de suma, es decir: (xl9x 29...9x n) + ( y x, y 29...9y n) = {x x + y l9x 2 + y l9...9x n + y w) y el producto por un escalar A(x{, x 2 x n) = (Ax¡, Áx2 Axn), X e R 114 Eduardo Espinoza Ramos En el conjunto V = R 2, definimos las siguientes operaciones: (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) Ma,b) = (Xa,A.b) comprobar que (V, + , R ,.) no es un espacio vectorial. En efecto: i) Sí u,v e V => u = (a,b), v = (c,d) Probaremos que u + v = v + u , V u,v e V u + v = (a,b) + (c,d) = (b + d, a + c) = (d + b, c + a) = (c,d) + (a,b) = v + u se cumple ii) Si u,v,w e V => u = (a,b), v = (c,d), w= (e,f) u + (v + w) = (u + v) + w u + (v + w)=(a,b) + [(c,d) + (ejO M ^b) + (d + f, c+ e) = (b + c + e, a + d + f) ... (1) (u+v)+w = [(a,b) + (c,d)] + (e,f) = (b + d, a + c) + (e,f) = (a + c + f, b + d +e) ... (2) de (1) y (2) se tiene: u + (v + w) * (u + v) + w por lo tanto (V, + ,R ,.) no es un espacio vectorial El conjunto V - { ( x ,y ) las operaciones de R 2 en esté caso falla el opuesto, pues (3,-9) e V sin g R 2 / x + y < 1}, no es un espacio vectorial con embargo -(3,-9) = (-3,9) g V puesto que -3 + 9 * 1 . ( 9) El conjunto R no es un espacio vectorial sobre k = C, pues si z á g g R entonces az é R, es decir no es una ley de composición externa. Cy Espacios Vectoriales 10) 115 Probar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales, P[x] = {anx n + an_íx n~l +... + a lx+,a0, n e N , a0, a u ...,an s R] es un espacio de suma y producto por un escalar del álgebra elemental. ,p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (al + bx) x +...■+ (an +b„)xn donde p(x) = aQ+ a {x + a 2x 2 + ... + anx n y q(x) = b0 + b{x + b2x 2 + —+ bnx n Ap(x) = Aa0 + Áa]x + Áa2x 2 +... + Aanx n Solución Ahora probaremos las axiomas 1ro. La suma de polinomios es conmutativa. SGap(x) = a0 +alx + ...+anx n ,q(x) = b0 + ¿ 1x + ... + ft,Jx 'í dos elementos de P[x] />(*) + tf(x) = (a 0 +b0) + (a, +¿,)jc + (a 2 +b2) x 2 +... + (a„ +b„)x" = (b0 + a 0) + (b , + a , ) x + ( b 2 + a 2) x 2 +... + {b„ + a„ )x " =q(x) + p(x) 2do. La suma de polinomios es asociativa Consideremos polinomios de P[x] /?j(x) = a 0 + a!X + a 2x 2 +... + a wr " p 2{x) = b0 + b¡x + b2x 2 +... + bnx n P i ( x ) = c0 + c¡x + c 2x 2 + ... + c nx n (P\ (x) + (p 2 (x) + p 2(x)) = (pj (x) + p 2 (x)) + p 2(x) se verifica. 116 Eduardo Espinoza Ramos 3er. Elemento neutro para la suma. El elemento neutro es el polinomio nulo q(x) = 0, puesto que para cualquier p(x) e P[x] se verifica que: p(x) + q(x) ~ p(x) + 0 = p(x) 4to. El elemento opuesto para la suma. Dado cualquier polinomio p ( x ) = a Q + a xx + ... + a nx n de P[x] se verifica que el polinomio p ( x ) = ~ a 0 - a xx ~ . . . - a nx n es su elemento opuesto, puesto que p ( x ) + p ( x ) = q ( x ) = 0 5to. El producto por un escalar verifica la propiedad distributiva respecto a la suma de polinomios. Es decir: Sí p l (x), p 2 (x) g P[ x] ya g R a[Px( x ) + P2 ( x ) ] = aP2 ( x ) + aP2 (x) 6to. La propiedad distributiva respecto de la suma de escalares. Es decir: a , p g R y p(x) g P[x]. (a + P)p(x) = a p(