Augustin Louis Cauchy y sucesión de Cauchy
En esta página proporcionamos una breve biografía de Cauchy, definimos las sucesiones de Cauchy y demostramos algunas propiedades de estas sucesiones.
Contenido de esta página:
- Biografía de Cauchy
- Sucesiones de Cauchy
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1. Augustin Louis Cauchy (1789-1857)
El barón Augustin Louis Cauchy (1789-1857) nació en París (Francia). Fue uno de los primeros matemáticos que, en los 789 artículos que escribió, enunció y demostró teoremas de forma rigurosa. Los matemáticos Pierre Simon Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813) fueron amigos de la familia Cauchy. De hecho, parece ser que Lagrange se interesó en la educación matemática de Cauchy, e incluso recomendaó al padre de éste que, antes de la educación propiamente matemática, se encargase de que Cauchy aprendiese varios idiomas.
En 1830, por razones políticas, tuvo que abandonar París y se trasladó a Turín (Italia). Tres años más tarde se trasladó a Praga (República Checa), donde fue tutor del hijo de Carlos X. Allí, Cauchy tuvo la oportunidad de reunirse con Bernard Bolzano (1781-1848). En el año 1838 regresó a París, donde diez años después ingresaría en La Sorbonne como profesor de astronomía.
Miembro de la Royal Society (1832) y de la Royal Society de Edimburgo (1845), se le dio su nombre a un cráter lunar, así como a un gran número de términos y resultados en la literatura ciéntifica.
Algunos de los teoremas que llevan su nombre son:
- Fórmula de Cauchy-Binet.
- Lema de Cauchy-Frobenius.
- Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.
- Teorema de Cauchy-Peano.
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz.
2. Sucesiones de Cauchy
Daremos primero la definición de una sucesión de Cauchy en los espacios reales \( \mathbb{R}^k \) con la topología usual \( \mathcal{T}_u \). Utilizaremos la función módulo \( ||\cdot||\) definida como
$$ || x || = \sqrt{\sum_{1\leq i\leq k } {x_i^2}} $$
$$ \forall x = (x_1, x_2,...,x_k) \in\mathbb{R}^k $$
Definición 1
Una sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \mathbb{R}^k \) es de Cauchy si para todo \( \varepsilon > 0\), existe un natural \( n_0 \in\mathbb{N}\) tal que
$$ ||x_n - x_m|| \leq \varepsilon,$$
$$ \forall n,m\geq n_0 $$
Interpretación geométrica y ejemplo
Una sucesión es de Cauchy si la diferencia entre cualquier par de términos es tan pequeña como se desee, \( \varepsilon \), a partir de un determinado término \(n_0\)-ésimo (\(n_0\) depende de \( \varepsilon \)).
La sucesión de la imagen es
$$ \lbrace 1/n \rbrace _{n\in \mathbb{N}}\subset \mathbb{R}$$
Demostración de que la sucesión es de Cauchy:
Dado \( \varepsilon > 0\), sea \( n_0 \in \mathbb{N}\) tal que \( 1/\varepsilon \leq n_0\). Se cumple que
$$ \frac{1}{n} \leq \varepsilon, \forall n \leq n_0 $$
Sean \(n,m > n_0 \), siendo \( m>n\) entonces
$$ \left|x_n - x_m \right| = \left| \frac{1}{n}-\frac{1}{m}\right| \leq \left| \frac{1}{n}\right| = $$
$$ = \frac{1}{n} \leq \varepsilon $$
Definición 2
Sea \(( X, d)\) un espacio métrico. Una sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset X \) es de Cauchy si para todo \( \varepsilon > 0\), existe un natural \( n_0 \in\mathbb{N}\) tal que
$$ d(x_n, x_m) \leq \varepsilon,$$
$$ \forall n,m\geq n_0 $$
Teorema 1
En un espacio métrico \(( X, d)\), toda sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) convergente es una sucesión de Cauchy.
Definición 3
Un espacio métrico \(( X, d)\) es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente.
Por tanto, en los espacios métrico completos, una sucesión es convergente si, y sólo si, es de Cauchy.
Ejemplos:
- El espacio métrico de los reales es completo con la distancia usual, con la distancia del máximo y con la distancia de Manhattan.
- Todo espacio métrico compacto es completo.
- Todo espacio métrico discreto es completo.
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