數據科學家必須透過各樣工具處理海量數據，這些工具、演算法則是以基礎數學作為根基。因此，若數據科學家能掌握手中的工具，了解它們的理論前提假設、能解決的問題，以及應用限制，將能提升數據分析的品質與效能。
金融集團安聯（Allianz）的資料科學家 Cornellius Yudha Wijaya 在《medium》上分享 3 個數據科學家要知道的數學定律，讓我們認識數據分析的本質。
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班佛定律（Benford’s Law）
班佛定律（Benford’s law），又稱為異數定律（the law of anomalous numbers）或首位數定律（the first-digit law），探討數據集當中，首位數的數學規律。
首位數指的是數字的第 1 個數，例如 12 的首位數是 1， 932 的首位數是 9。根據直覺，在一個自然產生，範圍不限的數據集中，若我們隨機取一個數字，該數字的首位數為 1、為 2、…為 9 的機率應該都要一樣，都是 11.1%。然而在現實世界中，首位數為 1 的機率大於 2 的機率，2 的機率又大於 3 的機率，依此類推。
若首位數 d(?∈1，……，9) 的出線機率滿足以下等式：
該數據集就滿足班佛定律。
而滿足班佛定律的數據集，首位數的出現機率如下：
班佛定律的主要應用，在檢測數據是否造假。例如 2000 年代初的安隆財報造假案，研究人員就發現上面的數據不符合班佛定律。2020 年美國總統大選，研究人員也透過班佛定律，判斷拜登是否有做票。
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大數法則（Law of Large Numbers，LLN）
大數法則指的是，隨著隨機過程的試驗次數增加，結果的平均值會愈來愈接近期望值或理論值。例如丟骰子，每個數字出現的機率都是 1/6，因此數字的期望值是 3.5。如果我們只丟 1 次骰子，它可能會出現 1 或 6 等數字，離 3.5 很遠；但如果我們丟了 100 次，這些數字的平均值會更接近 3.5；如果丟 1 萬次，數字的平均值又再更接近 3.5。因此，隨著試驗次數增加，試驗結果會趨近於期望值。
大數法則的應用難處在於，研究者必須做大量的實驗與觀察。好處是，若研究者握有大量數據，對於預測的穩定性很有幫助。
要注意的是，大數與平均法則（the Law of Average）不同。平均法則指的是，一個事件的發生頻率（frequency）與它的機率（probability）相當。以丟骰子為例，實際丟出點數為 1 的比例，要等於點數為 1 的理論機率，也就是 1/6。
平均法則的概念容易引發賭徒謬誤（gambler’s fallacy）。賭徒謬誤指的是，人們傾向於認為，若一個隨機事件連續發生（或是連續不發生），它下一次的發生機率就會較低（較高）。以丟骰子為例，若已經連續丟出 10 個 1，人們傾向於認為，下一次再丟出 1 的機率很低，但實際上，丟出 1 的機率也還是 1/6。
齊夫定律（Zipf’s Law）
齊夫定律指的是，在自然語言庫裡，一個單字的出現頻率與它在頻率表裡的排名成反比。也就是說，頻率最高的單字出現頻率，大約是頻率第 2 高的單字出現頻率的 2 倍，頻率第 3 高的單字出現頻率的 3 倍，依此類推。
Cornellius Yudha Wijaya 以 Spotify 的數據集為例，列出常見的 12 個詞：
Spotify 語料庫中的所有單字加總為 759,389，而出現最多的單字是 – ，有 32,258 個，占 4%；其次是 The，占 2%。
透過數學定律，數據科學家得以了解統計學與數據分析工具的背後原理，進而提升數據分析的品質。因此，若想要成為優秀的數據分析師，有必要對數學有基礎的認識。
參考資料
《medium》
（本文提供合作夥伴轉載。首圖來源：Piqsels CC Licensed）
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