(PDF) Introduccion Al Analisis Matematico Robert G Bartle | Sabiofante Orozco - Academia.edu
INTRODUCCION Ú 'J 'A T L L AL ANALISIS MATEMATICO ROBERT G. B A R T L E Irofesor de Matemáticas Universidad de Illinois Urbana-Champaign Noriega Editores EDI TORI AL LI M USA M E X IC O • ESPAÑA • VENEZUELA • A R G E N T IN A C O L O M B IA • P U E R T O R IC O Versión autorizada en español de la obra publicada en inglés por John Wiiey & Sons, Inc., bajo el titulo de THE ELEMENTS OF REAL ANALYS1S 2a. Edition. © John Wiiey & Sons, lnc. ISBN 0 - 471 - 05464 - X Versión española: MA. CRISTINA GUTIERREZ GONZALEZ Matemática y Profesora de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de México. Revisión: ALEJANDRO JAVIER DIAZ BARRIGA CASALES Doctor en Matemáticas, Investigador de Tiempo Completo y Catedrático de Matemáticas de la Universidad Nacional Autónoma de México La presentación y disposición en conjunto de INTRODUCCIÓN AL AN a 'l ISIS MA TEM ÁTICO son propiedad del editor. Ninguna parte de esto obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ningún sistema o método, electrónico o mecánico (INCLUYENDO E L FOTOCOPiADO, la grabación o cualquier sistema de recuperación y almacenamiento de información), sin consentimiento por escrito del editor. Decochos reservados: © l ' m , EDITORIAL LIMUSA, S. A. de C. V. K.ti dotas 95, Primer piso, 06040, México, D. F. FACULTADDE CIENCIAS Miembro do la Cámara Nacional de la Indusltla I dltorial. Registro número 121 l'tlmei* edición; 1980 l’ilmi i j lolmpioslón: 1982 Segunda ii-lmpii-slón: 1987 I oí coi «i ti IiiiihcsIúii : 1989 /«M/lfl'WJ l'/l AflVt/l II (88 J /) b i b l i o t e c a ISBN 968 - IH - 0997 - 1 A m is p a d re » Prólogo Hasta hace unos años se podía esperar que un estudiante de matemáticas avanzadas desarrollara la técnica para resolver problemas que implicaban gran cantidad de cálculo; sin embargo, no era de esperar que dominara “sutilezas teó­ ricas” como convergencia uniforme o continuidad uniforme Se requería que pudie­ ra emplear el teorema de la función implícita, pero no que conociera sus hipó­ tesis. Esta situación ha cambiado; en la actualidad se considera importante que todos los estudiantes avanzados en matemáticas: futuros matemáticos, especia­ listas en computación, físicos, ingenieros o economistas, dominen la naturaleza teórica básica de la materia. De este modo entenderán la fuerza, así como la limi­ tación de la teoría general. Este libro de texto se pudo realizar gracias a la experiencia obtenida al impar­ tir clases de análisis matemático en la Universidad de Illinois desde 1955. • Mi público por lo general varía desde estudiantes universitarios del primer año, extraordinariamente bien preparados, hasta estudiantes graduados. Por lo general, la mayor parte de ellos no se especializa en matemáticas, pero ha estu­ diado cuando menos el equivalente a tres semestres de cálculo (no riguroso), in­ cluyendo derivadas parciales, integrales múltiples, integrales de línea y series in­ finitas. Es conveniente para todos los estudiantes haber cursado un semestre de álgebra lineal o moderna para poder entender este curso en el que se demuestran teoremas analíticos. Sin embargo, puesto que muchos de los estudiantes no po­ seen tales bases, comienzo el estudio del análisis con unas cuantas demostracio­ nes algebraicas para prepararlos. En esta edición, en las secciones 4 y 5, establezco las propiedades algebraicas y de orden del sistema de números reales, de una manera más simplificada que en la primera edición. Además, en la sección 8 doy a conocer las definiciones de espacio vectorial y espacio normado, ya que estos conceptos aparecen con mu­ cha frecuencia en las matemáticas modernas. Asimismo, he abreviado algunas secciones con el objeto de hacer más accesible el material y de proporcionar fle­ xibilidad adicional al utilizar este libro como texto. He agregado muchos ejer­ cicios y proyectos nuevos procurando mantener el libro al mismo nivel de com­ plejidad que en la primera edición. En la primera parte del libro ha habido pocos 7 8 Prólogo cambios. No obstante, dado que la experiencia ha demostrado que el análisis de diferenciación e integración en Rp fue demasiado breve en la primera edición, integré la teoría de funciones de una variable en un solo capítulo y extendí con­ siderablemente el estudio de funciones de más de una variable. En las secciones 1 a 3 doy la terminología y notación de teoría de conjuntos, que se emplean posteriormente, y establezco algunos conceptos básicos. Sin embargo, estas secciones no proporcionan una presentación sistemática de la teoría de conjuntos. (Dicha presentación no es necesaria ni deseable en esta eta­ pa ). Estas secciones se deberán revisar brevemente y consultar más adelante en caso necesario. En realidad, el texto empieza en la sección 4, y en la sección 6 se introduce “el análisis”. En un semestre es posible abarcar las secciones 4 a 12, 14 a 17, 20 a 24.1 y la mayor parte de las secciones 27 a 31. Yo haría uso del criterio del profesor para impartir brevemente algunos otros temas (como series) a cambio de moderar (o incluso omitir) varios resultados que no son necesarios para el material subsecuente. Dado que el texto completo comprende un poco más del material que normalmente se podría abarcar en un año, a este nivel, es posible que el profesor restrinja la exposición de algunas secciones. Sin embar­ go, será útil para el estudiante disponer del material adicional como material de Prólogo 9 consulta posterior. La mayoría de los temas generalmente asociados con cursos de “cálculo avanzado” se tratan aquí. La principal excepción es el tema sobre in­ tegrales de línea y de superficie y el teorema de Stokes; estos puntos no se tratan ya que un análisis intuitivo es propiamente parte del cálculo y un análisis rigu­ roso requiere de un estudio bastante amplio para que resulte útil. La dependencia lógica entre las distintas secciones de este libro de texto se explica por medio del diagrama adjunto. Una línea sólida en este diagrama indi­ ca dependencia en la sección anterior; una línea discontinua indica una ligera dependencia. Por ejemplo, todas las definiciones, teoremas, corolarios y lemas están numerados consecutivamente de acuerdo con el número de la sección. He asignado nombres a los teoremas más importantes, siempre que haya resultado apropiado algún nombre. Las demostraciones se destacan del texto por medio ) del encabezado DEMOSTRACION y la terminación Q.EJ). No es necesario subrayar demasiado la importancia de los ejercicios y los pro­ yectos; sólo empleando grandes esfuerzos concentrados en su resolución existirá la posibilidad de dominar el material de este libro. Los proyectos desarrollan un tema específico en una sucesión encadenada de ejercicios; pensamos que le trans­ miten al estudiante, cuando menos, una muestra del placer ( ¡el tormento!) de hacer investigación en matemáticas. Espero que ningún estudiante deje de hacer la prueba con varios de estos proyectos ya que, a mi parecer, es una fase particu­ larmente valiosa de este libro. Al escribir este libro he utilizado mi experiencia del salón de clases y he reci­ bido influencia de muchas fuentes. Me he beneficiado discutiendo con estudian­ tes y colegas, y desde la publicación de la primera edición he mantenido bastan­ te correspondencia con estudiantes y maestros de otras instituciones. Doy las gracias a todos aquellos que han hecho comentarios y sugerencias; su interés por mejorar el libro me ha estimulado para llevar a cabo esta revisión. Los profeso­ res K.W. Anderson, W.G. Bade y A. L. Peressini leyeron el manuscrito de la pri­ mera edición y aportaron útiles sugerencias. Agradezco especialmente a mi cole­ ga el profesor B.C. Bemdt sus amplios e insistentes comentarios y conecciones. También le estoy agradecido a Carolyn J. Bloemker por su paciencia y su esmera­ do trabajo de mecanografía del manuscrito revisado, que se llevó a cabo en todo tipo de circunstancias. Por último, agradezco la ayuda y cooperación del per­ sonal de Wiley. Urbana-Champaign, Illinois Robert G. Bartle ! Contenido Introducción: Un repaso a la teoría de co njuntos............................... 17 1. K1 álgebra de conjuntos ........................................................ 17 Igualdad de conjuntos, intersección, unión, producto cartesiano 2. Funciones........................................... 27 • Representación tabular, transformaciones, restricciones y extensiones, composición, funciones inyectivas e inver­ sas, funciones suprayectivas y biyectivas, imágenes direc­ tas e invernas. 3. Conjuntos finitos c infinitos . *............................................ 39 Conjuntos finitos, contables y no contables, la no conta­ bilidad de R y de I I. Los números reales................................. 45 4. Las propiedades algebraicas de R . . . . . . ........................... 46 Las propiedades de campo de R, irracionalidad dey/2~ 5. Las propiedades de orden de R . . ....................................... 50 * Propiedades de orden, valor absoluto. 6. La propiedad de complctación de R ...................... . . . . . . 56 Supremo e ínfimo, propiedad arquimediana, la exis­ tencia de \/2 7. Corladuras, intervalos y el conjunto de C antor.................... 64 La propiedad de cortadura, celdas e intervalos, propie­ dad de nidificación, el conjunto de Cantor, modelos pa- ra R II. La topología de espacios cartesianos ..................... 73 8. Fspacios vectoriales y cartesianos ...................... ’. ............. 73 1K* 12 Contenido Espacios vectoriales, espacios de producto interno, es­ pacios normados, la desigualdad de Schwarz, el espacio cartesiano R p 9. Conjuntos cerrados y abiertos.............................................. 83 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, vecindades. ; 10. Las celdas nidificadas y el teorema de Bolzano-Weierstrass 90 El teorema de las celdas nidificadas, puntos de acumu­ lación, el teorema de Bolzano-Weierstrass. 11. El teorema de Heine-Borel................................................... 95 Compacidad, el teorema de Heine-Borel, teorema de in­ tersección de Cantor, teorema de cobertura de Lebes- gue- 12. Conjuntos conexos............................................................... 103 La conexidad de intervalos en R, los conjuntos abiertos , poligonalmente conexos son conexos, los conjuntos co­ nexos en R son intervalos. 13. El sistema de números complejos......................................... 109 Definiciones y propiedades elementales. III. Convergencia......................................................................... 113 14. Introducción a las sucesiones .................................... .. 113 Convergencia, unicidad del limite, ejemplos. 15. Subsucesiones y combinaciones.......... ................................. 121 Subsucesiones, combinaciones algebraicas de sucesiones 16. Dos criterios de convergencia.............................................. 127 Teorema de convergencia monótona, teorema de Bol­ zano-Weierstrass, sucesiones de Cauchy, el criterio de Cauchy. 17. Sucesiones de funciones........................................................ 137 Convergencia, convergencia uniforme, la norma unifor­ me, el criterio de Cauchy para convergencia uniforme. "18. El limite superior..................................... 146 Limite superior e inferior de una sucesión en R, suce­ siones no acotadas, limites infinitos. 19. Algunas extensiones ............................................................. 151 Orden de magnitud, suma de Cesaro, sucesiones dobles, limites iterados. IV. Funciones continuas............................................................. 161 20. Propiedades locales de funciones continuas........................ 161 Continuidad en un punto y en un conjunto, el criterio de discontinuidad, combinaciones de funciones Contenido 13 21. Funciones lineales................. ............................................... 172 Funciones lineales, representación por matrices, la nor­ ma. 22. Propiedades globales de funciones continuas...................... 176 Teorema de continuidad global, conservación de compa­ cidad, conservación de conexidad, teorema de continui­ dad de la función inversa, funciones continuas acotadas. 23. Continuidad uniforme y puntos f ij o s .................................. 184 Continuidad uniforme, condición de Lipschitz, teorema del punto fijo para contracciones, teorema del punto fijo de Brouwer. 24. Sucesiones de funciones continuas....................................... 191 Intercambio de limite y continuidad, aproximación por escalón y funciones lineales por partes, polinomios de Bemstein, los teoremas de aproximación de Bernstein y Weierstrass. 25. Límites de funciones............................................................ 201 Límites supresos y no supresos, el límite inferior su- preso y no supreso, semicontinuidad. 26. Otros resultados............................. ...................................... 209 Los teoremas de aproximación de Stone y Stone-Weiere- trass, teorema de aproximación polinomial, teorema de extensión de Tietze, equicontinuidad, teorema de Arze- lá-Ascoli. V. Funciones de una variable ................................................... 221 27. El teorema del valor m edio............................................. 221 La derivada, teorema del interior máximo, teorema de Rolle, teorema del valor medio. 28. Otras aplicaciones del teorema del valor medio .................... 229 Aplicaciones, reglas de 1. Hospital, intercambio de lí­ mite y derivadas, teorema de Taylor. 29. La integral de Riemann-Stieltjes ......................................... 240 Sumas e integral de Riemann-Stieltjes, criterio de Cau- cliy para integrabilidad, propiedad de la integral, integra­ ción por parles, modificación de la integral. * 30. Existencia de la integral....................................................... 256 Criterio de Riemann para integrabilidad, la integrabiii- dad de funciones continuas, teoremas de valor medio, teorema de diferenciación, teorema fundamental del cálculo integral, teorema del cambio de variable. 31. Otras propiedades de la integral............................................ 269 Intercambio de límite e integral, teorema de convergen- 14 Contenido cía acotada, teorema de convergencia monótona, forma integral del residuo, integrales dependientes de un pará­ metro, formula de Leibniz, teorema de intercambio, teo­ rema de representación de Riesz. 32. Integrales impropias e in fin itas........................................... 286 Integrales impropias de funciones no acotadas, integra­ les infinitas, criterio de Cauchy, prueba de compara­ ción, prueba de comparación del limite , prueba de Diri- chlet, convergencia absoluta. 33. Convergencia uniforme e integrales infinitas. 2% Criterio de Cauchy para convergencia uniforme, pruéba­ la de Weierstrass, prueba de Dirichlet, integrales infinitas dependientes de un parámetro, teorema de convergen­ cia dominada, integrales infinitas iteradas. VI. Series infinitas..................................................................... 317 s 34. Convergencia de series infinitas ............................................ 317 . Convergencia de series, criterio de Cauchy, convergencia absoluta, teorema del reordenamiento. 35. Pruebas para la convergencia absoluta.................................. 325 Prueba de comparación, prueba de comparación del li­ mite, prueba de la raíz, prueba de- la razón, prueba de Raabe, prueba de la integral. 36. Otros resultados para series................................................... 337 I.ema de Abel, prueba de Dirichlet, prueba de Abel, prueba de series alternantes, series dobles, multiplica- eión de Cauchy. 37. Series de funciones............................................................... 347 Convergencia absoluta y uniforme, criterio de. Cauchy, prueba-M de Weierstrass, prueba de Dirichlet, prueba de Abel, series de potencia, teorema de Cauchy-lladamard, teorema de diferenciación, teorema de unicidad, teorema de la multiplicación, teorema de Berustein, teorema de Abel, teorema de Tauber. 38. Series de Fourier.................................................................. 362 La desigualdad de Bcsscl, lema de Riemann-Lebesgue, teorema de convergencia puntual, teorema de conver­ gencia uniforme, teorema de convergencia normada, igualdad de Parseval, teorema de t ejer, teorema de apro­ ximación de Weierstrass. VII. Diferenciación en R P ............................................................ 379 39. lai derivada en R P ................................................................. 380 Contenido 15 Derivadas parciales, derivadas direccionales, la derivada de f:RP —►R9, el jacobiano 40. La regla de la cadena y los teoremas del valor m e d io .......... 393 Regla de la cadena, teorema del valor medio, intercam­ bio del orden de diferenciación, derivadas de orden su­ perior, teorema de Taylor. 41. Teorema de aplicaciones y funciones im plícitas................. 408 Clase C1, lema de aproximación, teorema de aplicación inyectiva, teorema de aplicación suprayectiva, teorema de aplicación abierta, teorema de inversión, teorema de la función implícita, teorema de paramctri/.ación, teore­ ma de orden. 42. Problemas sobre extrem o..................................................... 430 Extremos relativos, prueba de la segunda derivada, pro­ blemas sobre extremo con restricciones, teorema de La- grange, restricciones de desigualdad. VIH. Integración en R P ................................................................. 447 43. La integral en R P ................... ' ............................................ 447 Contenido cero, sumas e integral de Kicmann, criterio de Cauchy, propiedades de la integral, teorema de inte- grabilidad. 44. Contenido y la integral ................................................ .. . . 458 Conjuntos con contenido, caracterización de la función contenido, otras propiedades de la integral, teorema del valor medio, integrales iteradas. 45. Transformación de conjuntos e integrales........................... 474 Imágenes de conjuntos con contenido bajo aplicaciones C1, transformaciones por aplicaciones lineales, transfor­ maciones por aplicaciones no lineales, teorema del jaco­ biano, teorema del cambio de variables, coordenadas po­ lares y esféricas, modelo fuerte del tcorerna.de cambio de variables. Bibliografía..................... 493 Sugerencias para ejercicios seleccionados............................................... 495 Indice......................................................................... 1 INTRODUCCION: UN REPASO A LA TEO RIA DE CONJUNTOS El concepto de conjunto es fundamental para las matemáticas ya que to­ dos los objetos y construcciones matemáticos se originan en la teoría de con­ juntos. Debido a la importancia fundamental de ésta, aquí se presenta un breve resumen de las nociones de la teoría de conjuntos que se emplean con frecuencia en este texto. Sin embargo, dado que el propósito de este libro es presentar los elementos (más que los fundamentos) del análisis real, se adop­ tará un enfoque bastante pragmático y sencillo. Será suficiente un estudio in­ formal y se dará por entendido el término “ conjunto” considerándolo como sinónimo de las palabras “clase” , “colección” , "agrupación” y “conglome­ rado” . No se pretende definir estos términos ni ofrecer una lista de axiomas para la teoría de conjuntos. El lector que tenga un grado de conocimientos tal que le resulte incómodo este desarrollo informal, deberá consultar la biblio­ grafía de teoría de conjuntos que aparece al final del texto. En ella podrá en­ contrar la forma en que es posible fundamentar este material sobre bases axiomáticas. Se dará cuenta de que esta axiomatización es un desarrollo muy interesante en los fundamentos de las matemáticas. Sin embargo, puesto que se le considera fuera del área temática de la presente obra, no se entrará aquí en detalles. Se recomienda leer esta introducción rápidamente a fin de familiari­ zarse con las notaciones que se emplean. A diferencia de los demás capítulos, los cuales se deben estudiar, esta introducción puede considerarse como ma­ terial de referencia y no se le debe dedicar mucho tiempo. Sección 1 Algebra de conjuntos Si A denota un conjunto y si x es un elemento, a menudo es conveniente escribir xe A como abreviatura de la afirmación de que x es un elemento de A , o quex es un miembro del conjunto A . o que el conjunto A contiene al elemento x, o quex 18 Introducción al análisis matemático está en A. No se analizará más la naturaleza de esta propiedad, o sea la de ser un elemento de un conjunto. Para la mayoria de los propósitos es posible emplear el significado intuitivo de “ pertenencia” y resulta innecesaria una ca­ racterización axiomática de esta relación. Si A es un conjunto y x es un elemento que no pertenece a A , a menudo se escribe xé A. De acuerdo con el concepto intuitivo de conjunto, se requerirá que exacta­ mente una de las dos posibilidades xeA, x¿A, se cumpla para un elemento x y un conjunto A. Si A y B son dos conjuntos y x es un elemento, entonces en principio existen cuatro posibilidades (Fig. 1.1): (1) x e A y xeB; (2) x e A y xéB; (3) x d A y xeB; (4) x ¿ A y x¿B. Si el segundo caso no sucede (es decir, si(todo elemento de A también es un elemento de B), entonces se dice que A está contenido en B, o que B contiene a A , o que es tin subconjunto de B, y se escribe As B ¿ B 2 A. Si A £ B y existe algún elemento en B que no esté en A . se dice que A es un subconjunto propio de B. Es importante observar que la afirmación de que A £ B no excluye au­ tomáticamente la posibilidad de que A cubra todo B. Cuando esto ocurre los conjuntos A y B son “ iguales” en el sentido que a continuación se define. 1.1 DEFINICION. Dos conjuntos son ¡guales si contienen los mismos elementos. Si los conjuntos A y B son iguales, se escribe A = B. Figura 1.1 Un repaso a la teoría de conjuntos 19 Así, para poder probar que los conjuntos A y B son ¡guales se debe probar que no pueden ocurrir las posibilidades (2) y (3) antes mencionadas. Igualmente, se debe pro­ bar que tanto A s B como B s A . No es fácil definir con precisión la palabra “ propiedad” . Sin embargo, se usará de la manera más usual (la informal). Si P designa una propiedad que sea significativa para una colección de elementos, entonces se escribirá {x:P(x)} para designar al conjunto de todos los elementos x para los cuales se cumple la propiedad P. Por lo general esto se lee como “ el conjunto de todas las x ta­ les que P(x)". A menudo es conveniente especificar cuáles elementos se están probando para la propiedad P. Entonces con frecuencia se escribirá {x e S : P(x)} para designar al subconjunto de 5 para el cual se cumple la propiedad P. EJEMPLOS, (al Si N = {1, 2, 3 , . } designa al conjunto de números naturales, entonces el conjunto { x e N :x 2—3x + 2 = 0) consta de aquellos números naturales que satisfacen la ecuación dada. Las únicas soluciones de la ecuación cuadrática x2- 3 x + 2 = 0 son x = ly x - 2. Por lo tanto, en vez de escribir la expresión anterior (puesto que se tiene infor­ mación detallada con respecto a todos los elementos del conjunto conside­ rado) por lo común se denota a este conjunto como {1, 2} es decir, enume­ rando los elementos del conjunto. (b) Algunas veces se puede usar una fórmula para abreviar la descrip­ ción de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los números naturales pares podría denotarse por {2x : x g N}, en vez de la expresión {y g N : y = 2x, x e N ). (el El conjunto { x e N :6 < x < 9 } se puede escribir explicitamente como {7, 8}, es decir, mostrando los elementos del conjunto. Desde luego existen muchas otras descripciones posibles para este conjunto. Por ejemplo: {x g !V :4 0 < x2<80}, {x g N : x2- 15x + 56 = 0}, {7 + x :x = 0 ó x = 1}. (di Además del conjunto de números naturales (que consta de los elemen­ tos designados con 1,2,3,...), al que sistemáticamente se designará aquí con N , existen algunos otros conjuntos cuya notación convencional se habrá de pre­ ser tar. El conjunto de los enteros es Z = { 0 ,1 ,- 1 ,2 , - 2 , 3 , - 3 ,...} . 20 Introducción al análisis matemático El conjunto de números racionales es Q = { m ln : m ,n e Z y n^O ). Se estudiarán los conjuntos N, Z ,y Q suponiendo que existe una comprensión adecuada de los mismos por parte del lector y no se reexaminarán sus propie­ dades en forma detallada. El conjunto R de los números reales, es de funda­ mental importancia para los estudios posteriores y se analizará en las seccio­ nes 4 - 6. Un subconjunto específico de R que será útil es el intervalo unitario f = { i e R : 0 < x < 1}. Por último, se denotará al conjunto de números complejos mediante la letra C. En la sección 13.se da una definición más detallada y una breve descripción de algunas de sus propiedades. Operaciones con conjuntos A continuación se dan algunos métodos para construir conjuntos a partir de otros ya dados. 1.2 DEFINICION. Si A y B son conjuntos, entonces su intersección es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como aB. La intersección de los conjuntos A, y B se denotan mediante el símbolo A H B, que s< lee “A intersección B". (Fig. 1.2) 1.3 DEFINICION. Si A y B son conjuntos, entonces su unión es el conjunto de elementos que pertenecen a A o a B, o tanto a A como a B. La unión de los conjuntos A y B se denotan mediante el símbolo A UB, que se lee "A unión B". (Véase la Fig. 1.3.) También se podría definir A f i B y A U B como A n B = { x :x e A y x e B}, A U B = { x :x e A ó xeB }. Con respecto a esto último, es importante observar que la palabra “ o” se está empleando en el sentido de inclusión, que es usual en matemáticas y lógica. En la terminología legal este sentido de inclusión algunas veces se indica me­ diante “ y/b” . Se ha supuesto tácitamente que la intersección y la unión de dos conjunúbs es nuevamente un conjunto. Entre otras cosas, esto exige que debe existir un conjunto que no contenga ningún elemento (ya que sí A y B no tienen elementos en común, su intersección no tiene elementos). 1.4 DEFINICION. Al conjunto que no contiene elementos se le llama conjunto vacío o vacuo y se denota mediante el símbolo 0 , Si A y B Un repasa a la teoría de conjuntos 21 A na Figura 1.2. La intersección y unión de dos conjuntos. son conjuntos que no tienen elementos en común (es decirp, si A H B = 0), entonces se dice que A y B son ajenos o que no son intersecares. El siguiente resultado da algunas de las propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos antes definidas. Puesto que las demostraciones de estas afirmaciones son rutinarias, se dejará la mayor parte de ellas como ejer­ cicios para el lector. 1.5 TEOREMA. Sean A , B, C cualesquier conjuntos; entonces (a) A O A = A, A U A = A; (b) A n B = B n A, A U B = B U A ; (c) ( A n B ) n c = A n ( B 'n c ) , (a u b ) u c = a u ( b u c ); (d) A n ( B U C ) = ( A n B ) U ( A n C ) , A U (B n C ) = (AUB)n(AUC). En ocasiones se hace referencia a estas igualdades como las propiedades: de igualdad, conmutativa, asociativa y distributiva, respectivamente, de las operaciones de intersección y unión de conjuntos. 22 Introducción al análisis matemático Como muestra de las demostraciones, se probará la primera ecuación del inciso id). Sea* un elemento de A n(B U C ), entonces xe Ay x e B UC. Esto significa que x e A y que x e B o x eC. De modo que se puede tener (i) x e A y x e B .o bien (ii) x e A y xeC . Por lo tanto, x e A D B o x e A nC,por lo que x e (A nB) U( A ftC). A la inversa sea y un elemento de(A n B ) U ( A nC ). Entonces (iii)yeAnB.o (iv) y e A n C. de donde se infiere que.y 6 Al v quefv e B¡o^> e d Por lo tanto, y e Ay y e B UC de modo que y e A OfB U C). En consecuencia, (A nB)U (A HC) es un subconjunto de A n( B U C). Con base en la definición I.I se concluye que los conjun­ tos A fl(B U C ) y (A ftB)U(A DC) son iguales. Como una indicación de un método alternativo, se hace notar que en principio existen, un total de 8( = 23) posibilidades para un elemento x en relación con tres con­ juntos A, B. C (Fig. 1.3) a saber: (1) x e A, x e B, x e C; ^(2) x eA , xeB , xéC ; (3) xe A, xéB, x e C ; (4) x e A, xéB, xéC ; (5) A. x e B, x e C; (6) x¿ A, x € B, x¿ C; (7) xftA, xitB, x e C ; (8) xté A, xéB, x¿C. La demostración consiste en probar que ambos miembros de la primera ecuación en (d) contienen aquellos y sólo aquellos elementos x comprendidos en los casos (I), (2) o (3). En vista de las relaciones establecidas en el teorema 1.5 (c), por lo gene­ ral se eliminan los paréntesis y simplemente se escribe ADBnC, AUBUC. Es posible demostrar que si {Ai, A 2, . . . , A„} es una colección de conjuntos, entonces existe un conjunto A definido de manera única que consta de todos los elementos que pertenecen cuando menos a uno de los conjuntos A„ / = 1 , 2 , . . . , n; y existe un conjunto B definido de manera única que Figura IA. Un repaso a la teoría de conjuntos 23 consta de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos A¡, j = 1 , 2 , . . . ,n. Eliminando el uso de los paréntesis, se escribe A = A ,U A 2U- • ’U A ,, B = A i ñ A 2n - • *n A„. Algunas veces, con el objeto de abreviar, se imita la notación que se utiliza en cálculo para las sumas y se emplea una notación más condensada, como A = Ü A í = U { A í :j = l , 2 ........ n}, 1-' B = ( Í A j = n { A i :j = l , 2 .........r.}. j-i En forma análoga, si para cada j en un conjunto J hay un conjunto A„ entonces U {A, :j e J ) denota al conjunto de todos los elementos que pertene­ cen cuando menos a uno de los conjuntos A¡. De la misma manera, n{A j : j € j ) denota al conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos A¡ para j e J. " A continuación se presenta otro método para construir un conjunto nuevo a partir de dos conjuntos dados. 1.6. DEFINICION. Si A y B son conjuntos, entonces el complemento de B respecto de A es el conjunto de todos los elementos de A que no pertene­ cen a B. Se denotará este conjunto con A \ B (se lee "A menos B ”), aunque las notaciones afines A - B y A ~ Bson utilizadas en ocasiones por otros au­ tores. (Fig. 1.4.) * , Con la notación que se acaba de introducir se tiene A \ B = { x e A :x£B }. í 24 Introducción al análisis matemático A veces el conjunto A se sobreentiende y no es necesario mencionarlo explíci­ tamente. En este caso simplemente se hará referencia al complemento de B y se denotará a A \ B con <€(B). Volviendo a la F ig..l.l, se puede ver que los elementos x que satisfacen (I) pertenecen a A flB ; aquellos que satisfacen (2) pertenecen a A \ B ;y los que satisfacen (3) pertenecen a B \ A. Ahora se demostrará que A es la unión de los conjuntos A fl B y A \ B. 1.7 TEOREMA. Los conjuntos A O B y A \ B son no intersecablesy A = ( A D B ) Ü ( A \ B). DEMOSTRACION. Suponga que x e A D B y x e A \ B.Lo segundo afirma que x e A y x é B lo cual contradice la relación x e A D B . Por lo tanto, los conjuntos son ajenos. Si x e A, entonces x e B o x ¿ B. En el primer caso x e A y x e B de ma­ nera que x e A (1B.. En el segundo, x e A y x é B d e modo que x e A \ B. Esto prueba que A es un subconjunto de (A O B ) U ( A \ B) . De manera in­ versa, si y 6 (A fl B) U (A \ b J, entonces y e A O B, o bien y e A \ B . En cualquiera de estos casos se tiene y e A demostrándose que (A f l B ) U ( A \ B) es un subconjunto de A. Se enunciarán ahora las leyes de De Morgan^ para tres conjuntos; una formulación más general se presentará en los ejercicios. j .8 TEOREMA. Si A , B, C, son cualesquier conjuntos, entonces -A\(BUC) = (A\B)n(A\C), A \ ( B H C ) = (A \ B ) U ( A \ Q . DEMOSTRACION. Se hará la demostración de la primera relación dejando la segunda al lector. Para probar la igualdad de los conjuntos se de­ muestra que todo elemento en jC \( £ U < 3) está contenido tanto en (A \B ) como en (A \ C) e inversamente. Si x está en A \ (B U C),entonces x está en A pero no está en B U C. De modo que x está en A , pero no está ni en B ni en C. (¿por qué2i-Por lo tanto, x está en A pero no en fl, y r está en A pero no en C. Es decir, x e A \ B y j c e A \ C , demostrándose que x e ( A \ B ) D ( A \ C ) . Al contrario, si x e (A \ B ) n ( A \ C), entonces x e ( A \ B ) y x e ( A \ C). De modo quex e A , y además xtÉB y x é C . Se infiere que x e A y x e (B U C), de tal manera que x e A \ (B U C). Puesto que los conjuntos ( A \ B ) n ( A \ C ) y A \ ( B U C ) contienen los mismos elementos, por la definición 1.1, son iguales. tAUGUSTUS DE MORGAN (1806-1873) ejerció el magisterio en “University College”, Londres. Fue matemático y dialéctico y contribuyó a preparar el camino de la lógica matemática moderna. Un repaso a la teoría de conjuntos 25 Producto cartesiano Se define ahora el producto cartesianot de dos conjuntos. 1.9. DEFINICION. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces el producto cartesiano A x B de A y B es el conjunto de todos los pares ordena­ dos (a, b) con a e A y b e B . (Fig. 1.5) (La definición que se acaba de dar es un tanto informal ya que no se ha definido lo que es un “ par ordenado” . No nos detendremos más en esta cuestión sino para mencionar que elj)ai:Qr.denado (a, b ) se podria definir como el conjunto cuyos únicos elemetilQS-son {a}, {a, b}. Se puede proba? entoñces que los'pares ordenados fa,~bjy' (a ', b^-son iguales si y sólo si a = a j y~ b - b'. Esta es la propiedad fundamental de los pares ordenados.)____ Dedar modo, si A = {1,2, 3} y B = {4,5}, entonces el conjunto A x B es el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados ’ (1,4), (1, 5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5). Se puede visualizar al conjunto A x B como la colección de seis puntos en el plano, los cuales tienen las coordenadas que se acaban de enumerar. Con frecuencia se dibuja un diagrama (como el de la Fig. 1.5) para ilustrar el producto cartesiano de dos conjuntos A , B. Sin embargo, se debe tomar en cuenta que este diagrama es en cierto modo una simplificación. Por ejemplo, si A = j x e R : l < x <2} yB = {x e R : 0 < x < 1 2 < x < 3}, entonces en vez de un rectángulo se tendrá un dibujo como el de la Jvg. 1.6. Ejercicios I.A. Dibuje un diagram a para representar cada uno de los conjuntos menciona­ dos en el teorema 1.5. I.B. Demuestre la parte fe) del teorema 1.5. A Figura 1.5. El producto cartesiano. t RENE DESCARTES (1596-1650), creador de la geometría analítica, fue un gentil hombre francés, soldado, matemático y uno de los más grandes filósofos de todos los tiempos. 26 Introducción al análisis matet.iático I.C. Demuestre la segunda parte de (d) del teorem a 1.5. I .D. Demuestre que A c B si y só'o si A f lB = A. I.E. Demuestre que el conjunto D de todos los elementos que pertenecen a A o bien a B pero no a los dos está dado por D = (A\B)U(B\A). A este conjunto D a menudo se le llama diferencia simétrica de A y B. Represéntelo por medio de un diagrama. l.F. Demuestre que la diferencia simétrica D que se define en el ejercicio anterior está dada también por D = ( A U B ) \ (A (~IB). I .G. Si B c A , demuestre que B = A \ (A \ B). I.H. Si A y B son cualesquier conjuntos, demuestre que A D B = A \ ( A \ B ) . 1.1. Si {A,, A 2, . . . , A.} es una colección de conjuntos y E cualquier conjunto, demuestre que BnÜ A .-LH EnA ,), E u ü A, = Ü (E U A ,). í-l I-' l-l (Ti I.J. Si {A „ A i , . . . . A .} es una colección de conjuntos y E cualquier conjunto, demuestre que E n f j A, = f ) ( E n A (), EUR A = ñ (E U A ,). i-i i- i i-i i- i I.K. Sea E un conjunto y {A„ A 2, . . . , A .} una colección de conjuntos. Esta­ blezca las leyes de De Morgan: E \ ñ At = Ü ( E \ A , ) , E \ Ú A, = H (E \ A,). i- i i- i i- i i-i Observe que si E \ A , se denota por estas relaciones toman la forma 4 Ó A ,) - Ú « (A ,). <«(Ü A ,) = Ó « (A ,). \t-t / >-i V|-i / i-i Un repaso a la teoría de conjuntos 27 l.L. Sea J cualquier conjunto y suponga A contenido en A" para cada j e J . De­ muestre que ‘€(n{A j :/€ J} )= U { « (A ):jeJ} , «(U {A ,:/eJ})= n {« (A ,):jeJ}. I.M. Si B, y B¡ son subconjuntos de B y si B = B,UB¡, entonces A x B = (A x B,)U(A x B2). Sección 2 Funciones Ahora se estudiará la noción fundamental de función o aplicación. Se observará que una f-inción es un tipo especial de conjunto, aunque existen otras acepciones que con frecuencia son más aceptables. En las secciones si­ guientes se estudiarán varios tipos de funciones, pero por lo general serán de naturaleza menos abstracta que la que se estudia en esta sección introducto­ ria. Para el matemático de hace un siglo el término “ función” por lo común significaba una fórmula determinada como /(x) = xJ + 3 x - 5 , la cual asocia a cada número real x otro número real J[x). El hecho de que ciertas fórmulas, tales como g(x) = V x - 5 , no den origen a números reales para todo valor real de x era, desde luego, bien sabido, pero no se consideraba que fuera razón suficiente como para ha­ cer necesaria una extensión del concepto de función. Tal vez se podría susci­ tar una controversia entre aquellos matemáticos en cuanto a si el valor abso­ luto h(x) = |x| de un número real es una “ función honesta” o no, ya que, después_de todo, la definición de |x| está dada “en partes” por ¡ j Conforme se desarrollaron las matemáticas, resultó cada vez más claro que el requisito de que una función fuera una fórmula era indebidamente restrictivo y que una definición más general sería útil. También resultó evi­ dente que es importante hacer una clara distinción entre la función misma y los valores de la función. Quizá el lector por causas que le son ajenas se en­ 28 Introducción al análisis matemático cuentre, en la misma situación que los matemáticos de hace un siglo con res-B pecto a estas dos consideraciones. Aquí se pretende ponerle al tanto de la con-B ceptualización actual, pero ello se hará en dos pasos. La primera definición B revisada de una función seria: Una función / d e un conjunto A a un conjunto B es una regla de co­ rrespondencia que asigna a cada x en un cierto subconjunto D de A , un elemento determinado de manera única JJxl de B. Desde luego, las fórmulas explícitas del tipo que se mencionó antes están incluidas en esta definición tentativa. La definición propuesta admite la posi­ bilidad de que la función pueda no estar definida para ciertos elementos de A y además admite la consideración de funciones para las cuales los conjuntos A y B no son necesariamente números reales (sino que incluso pueden ser escritorios y sillas, o gatos y perros). A pesar de lo aceptable que pueda parecer la definición propuesta, tiene un gran defecto: no es clara. Aún queda el problema de interpretar la frase “ regla de correspondencia” . Sin duda el lector puede pensar en frases que le satisfagan más que la anterior; sin embargo, no es fácil que pueda disipar del todo la confusión. La solución más satisfactoria parece ser la de definir “ fun­ ción” íntegramente en términos de conjuntos y de las propiedades que se introdujeron en la sección anterior. Esto tiene la desventaja de ser más artifi- j cial y de perder algo del contenido intuitivo de la descripción antes dada; sin embargo, la claridad que se obtiene pesa más que estas desventajas. La idea clave es pensar en la gráfica de la función, o sea en una colección de pares ordenados. Se hace la aclaración de que una colección arbitraria de pares ordenados no puede ser la gráfica de una función, ya que una vez que se hace referencia al primer miembro del par ordenado el segundo queda deter­ minado de manera única. 2.1. DEFINICION. Sean A y B conjuntos (no necesariamente tintos). Una función de A a B es un conjunto/ de pares ordenados en A x B con la propiedad de que si (a, b) son elementos de/ entonces (a=b') Al con­ junto de todos los elementos de A que pueden aparecer como primeros miembros de elementos de/ se le llama dominio de/ y se denotará por D{f). Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer como segundos miembros de elementos d e /s e le llama rango d e /( o conjunto de valores def) y se denotará por R(f). En el caso en que D (/) = A, con frecuencia se dice que / inapea A en B (o es un mapeo, de A en B) y se escribe / : A —» B. Si (a, b) es un elemento de una función / , entonces es común escribir b = f(a) ó /:a > -» b en vez de (a, b ) e f . Por lo general se hace referencia al elemento b como el valor de / en el punto a, o la imagen bajo / del punto a. Un repaso a la teoría de conjuntos' 29 Figura 2.1. Una función vista como gráfica. Representación tabular. Una manera de visualizar una función es por medio de una gráfica. Otro método importante y que se utiliza mucho es por medio de una tabla. Consi­ dere la tabla 2.1, que se podría encontrar en la sección deportiva del Foosland Bugle-Gazette, El dominio de esta función/de tiro libre consta de los nueve jugadores 0 ( / ) = {Anderson, Bade, Bateman, Hochschild, Kakutani, Kovalevsky, Osborn, Peressini, Rosenberg}, mientras que el rango de la función consta de los seis números R (/) = { 0 ,1 ,2 ,4 ,5 ,8 } . Los elementos de la función propiamente dichos son los pares ordenados (Anderson, 2), (Bade, 0), (Bateman, 5), (Hochschild, 1), (Kakutani, 4), (Kovalevsky, 8), (Osborn, 0), (Peressini, 2), (Rosenberg, 4). En representaciones tabulares de este tipo por lo regular sólo se escribe el do­ minio de la función en la columna del lado izquierdo, (puesto que no hay ne­ cesidad de mencionar a los miembros del equipo que no jugaron). Se puede decir que el valor de esta función / de tiro libre en Anderson es 2 y escribir /(Anderson) = 2, o Anderson •-» 2, y así sucesivamente. 30 Introducción al análisis matemático Tabla 2.1 Jugador Tiros libres efectuados A ndersvn 2 Bade 0 Batem an 5 Hochschild 1 K akutani 4 Kovalevsky 8 O sborn 0 Peressini 2 R osenberg 4 Todos estamos familiarizados con el uso de tablas para transmitir infor­ mación. Estas son ejemplos importantes de funciones y por lo general son de tal índole que sería difícil representarlas en términos de una fórmula. Transformaciones y máquinas f Existe otra manera de visualizar una función: como una transformación de una parte del conjunto A hacia una parte de B. En estos términos, cuando (a, b) ef , nos imaginamos a / como si tomara el elemento a del subconjunto D(J) de A y lo “ transformara” o “ mapeara” en un elementob = /(a)del sub­ conjunto R(f) de B. A menudo se dibuja un diagrama como el de la Fig. 2.2. Con frecuencia se usa esta representación geométrica de una función aun cuando los conjuntos A y B no sean subconjuntos del plano. Existe otra manera de visualizar una función: como una máquina que acepta elementos de fí(f) como materia prima produciendo elementos corres­ pondientes de R(f) como producto final. Si se toma un elemento x de DfJ) y se Un repaso a la teoría de conjuntos 31 \ introduce en / saldrá el valor correspondiente f[x). Si se mete un elemento distinto y de D(f) en / , se obtiene J[y) (que puede o no diferir d e /x jj. Si se trata de introducir e n /a lg o que no pertenezca a D(f), se verá que no es acep­ tado, ya que / sólo puede operar con elementos pertenecientes a D(f). (Fig. 2.3.) Esta última representación aclara la diferencia entre/ y J¡x): lo primero es la máquina y lo segundo es el rendimiento de la máquina al ser alimentada con x. Desde luego, es importante distinguir entre una máquina y sus produc­ tos. Sólo un tonto confundiría un molino de carne con la carne molida; sin embargo, tantas personas han confundido algunas funciones con sus valores que vale la pena hacer un esfuerzo para distinguir entre los dos conceptos por medio de su notación. Restricciones y extensiones de funciones Si / e s una función con dominio D (/) y Di es un subconjunto de D(f), con frecuencia resulta útil definir una nueva función /i con dominio D, por medio de /i(x) = f(x) para toda x e D , . Esta función f, se llama la restricción de f al conjunto Di. En términos de la definición 2.2, se tiene v /, = {(o, b ) e f : a e D , } . Algunas veces se escribe f, = f \ D, para denotar la restricción de la función/ al conjunto Di. Una estructura análoga (que resulta menos artificial) es el concepto de “extensión". Si g es una función con dominio D(g) y O ¡2 D (g ), entonces cualquier función g2 con dominioDj tal queg2(x) = g(x) para to d a x e D (g ) se llama una extensión de g al conjunto Di. 32 Introducción al análisis matemático Composición de funciones. Ahora se intenta “componer” dos funciones aplicando primero/ a cada x en D(J) y después aplicando g a f\x ) siempre que sea posible (es decir, cuando J¡x) pertenezca a D(g). Al hacer esto se debe tener cierto cuidado en lo que respecta al dominio de la función resultante. Por ejemplo, s i/e s tá defi­ nida en R p o r /x ) = x3 y si g está definida para x 2: 0 por g(x) = s/x, en­ tonces la composición g ° / sólo se puede definir para x > 0, y para estos números reales deberá tener el valor Vx5. 2.2 DEFINICION. Sea/ una función con dominio D{f) en A y rango R( f ) en B y sea g una función con dominio D(g) en B y rango R(g) en C. (Fig. 2.4) La composicióng »/ (observe el orden) es la función desde A a C dada por g ° / = {(a, c )e A x C : existe un elemento b e B tal que (a , b ) e f y (b, c)eg}. 2.3 TEOREMA. S i f y g son funciones, la composición g ° / es una fu n ­ ción con D (g °f) = {xe D ( f ) : f(x) e D(g)}, R (g °/) = {g(/(x)>: x e D (g «/)}. 2.4 EJEMPLOS, (a) Sean f y g funciones cuyos valores en el número real x son los números reales dados port f(x) = 2x, g(x) = 3x2—1. Figura 2.4. Composición de funciones. t lo tu mhién se denota escribiendo/:* >-»2x y g:x*-»3xJ—1 par axeR. Un repaso a la teoría de conjuntos 33 Puesto que D(g) es el conjunto R de todos los números reales y F (f) £ D ^ ’ el dom inioD (g°/) también es R y g°/(x) = 3(2x)2- l = 12x -^1. Por otro lado,D( f ° g) = R, pero /°g (x ) = 2(3x2- l ) = 6x2—2. « A o * J f b) Si h es la función con D (h) = { x e R :x a 1} definida por 6V " L h(x) = V x - 1, y si / es como en el inciso (a), entonces D (h ° /) —{x é R :2 x.21} {x€ R :x > í} y h °/(x ) = / 2 x - í. Además D (/° h ) = { x e R :x ;z l} y f° h (x) = 2Vx - 1, Si g es la función del inciso (a), entonces D( h o g) = { x e R :3 x 2- l > 1}= x e R : x £ -> /l ó x a vi} y h°g(x) = V3x2- 2 . Además D (g°h) = { x € R :x > 1} y g°h(x) = 3 x - 4 . (Observe que la fórmula que representa a g°h tiene significado para otros va­ lores de x distintos de aquellos en el dominio de g°h.) fe) Sean. F. G funciones con dominios D ( F ) = {x e R : x a 0}, y D (G ) = R, tales que los valores de F y G en un punto x de sus dominios sean ¿ V(J) F(x) = Vi , G (x )= ¿ x l-t? ^ ^ Entonces D (G °F) = {x e R : x > 0} y (?«F(x) = - x - l , mientras que D (F » G )= fx e J H G ) :G(xVe D( f )i . Este último conjunto es vacío ya que G (x )< 0 para toda x e ¿>(G). P orlo tanto, la función F«G no está definida en ningún punto, entonces F ° G es la “ función nula” . Funciones inyectivas e inversas Se dará ahora un método para construir una nueva función a partir de otra dada, siempre que la función original no tome el mismo valor dos veces. 2.5 DEFINICION. Sea/ una función con dominio D(f) en A y rango R(f) en B. Se dice que f e s invectiva o uno a uno si, cada vez que(a, b) y ( a \ b ) son elementos de/ . entonces a = a '. Si / es inyectiva se puede decir que/ es una inyección. P'S) $ A ( ^ '. \ ( y ; l \ ^ En otras palabras,f e s inyectiva si y sólo si las dos relaciones f(a) = b, f(a') = b implican a = a'. Alternativam ente/es inyectiva si y sólo si a, a' están en D(JI y a ^ a ' , entonces f(a) i* f(a'). Se sostiene que si f e s inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pa­ res ordenados en B x A que se obtienen al intercambiar las componentes de cada uno de los pares ordenados d e /d a una función g que también es inyec­ tiva. Se omite la demostración de esta afirmación dejándola como ejercicio; es.una buena prueba para el lector. Las relaciones entre f y g son: 34 ü ) Introducción al análisis mafemático W í W yfr) D(g) = R(f), R (g) = D(f), I7í») (a,b)ef si y sólo si (b ,a )e g . Esta última afirmación se puede escribir en la forma más usual: b = f(a) si y sólo si a = g(b). 2 6 DEFINICION"* Sea / una inyección con dominio D[f) en A y rango R(f) en B. Si g = {(b, a ) e B x A : ( a , b ) e f } , entonces g es una inyección con dominio D (g) = R (/) en B y con rango R (g) EK/) en A. La función g se llama función inversa de f y se denota por / . La función inversa se puede interpretar desde el punto de vista de un mapeo. (Fig. 2.5) Si f e s inyectiva, mapea distintos elementos de D(f) hacia distintos elementos de R(f). De tal manera, cada elemento b de R(f) es la imagen b a jo /d e un único elemento a en D(f). La función inversa f~‘ mapea el elemento b hacia este elemento único a. 2.7 EJEMPLOS, (a) Sea F:x>-»x2 la función con dominio D (F) = R el conjunto de los número reales, y rango en R tal que el valor de F en el número real x sea F ( x ) ~ x 2. (En otras palabras, F es la función {(x. x2) : x 6 K}.) Fácilmente se ve que F no es uno a uno; de hecho, ambos pares ordenados, (2,4), ( - 2 ,4 ) , pertehecen a F. Puesto que F no es uno a uno, no tiene inverso. (h) Sea / la función con dominio D( f ) = {x e R :x & 0} y R( f ) R cuyo valor para x en D(f) es D( f ) es/(x)~= x2. Observe q u e /e s la restricción a D(f) de la función Fdel inciso (a). En términos de pares ordena­ dos, / = {(x, x 2) : x e R, x > 0}. A diferencia de la función Fdel inciso (a),/ e s inyectiva, ya que si x2= y2 con x, y en D(f) entonces x = y.(¿por qué?) Por lo tanto, / tiene una función inversa g con D(g) = R( f ) = {x 6 R :x > 0} y R(g) = D ( /) = { x e R ix s O } Además, y = x 2= /(x) si y sólo si x = g(y). A esta función inversa g por lo general se le llama función raíz cuadrada positiva y se denota por g(y) = '/y, yeR, y^o. Figura 2.5. La función inversa. Un repaso a la teoría de conjunto. 35 (el Si /, es la función{(x, x 2) : x e R , x £ 0}, entonces, igual que en ib), f i es uno a uno y tiene dominio D (/i) = {x € R :x < 0} y como rango R (fi) = {X € R : x > 0} . Note que /, es la restricción a D (/,) de la función F del inciso (a). La función g, inversa a /s e llama la función raíz cuadrada ne­ gativa y se denota por g,(y) = -V y, yeR, y > 0, •• de tal manera quegi(y)=sO. (d) La función seno F. introducida en trigonometría con D(F) = R y R (F) = {y6 R : - l s y < + l } , se sabe muy bien que no es inyectiva (por ejemplo.senO * sen 2w = 0). Sin embargo si se supone q u e/es su restricción al conjunto D( j ) = {x e R :- i r / 2 < i s +rr/2}, en to n ces/es inyectiva. Por lo tanto, tiene una función inversa g con D ( g ) = R ( f ) y R(g) = D(f ). Ade­ más, y = sen x con x e D ( f ) si y sólo si x = g(y). La función g se-llama la (rama principal) de la función inversa seno y a menudo se denota por •"• • /1 g(y) = Arcseny ó g ( y )= S e n ‘ y. ¡ Funciones suprayectivas y biyectivas 2.8 DEFINICION. Sea / una función D(J) S A y rango R ( / ) s B . Se dice q u e /e s suprayectiva, o que/ mapea sobre B, cuando el rango R (/) = B. Si / es suprayectiva, se puede decir que / e s una suprayección. Al definir una función, es importante especificar el dominio de la función y el conjunto en el cual se adoptan los valores. Una vez hecho esto se puede averiguar si la función es o no suprayectiva. . 2.9 DEFINICION. Una función / con dominio D ( / ) s A y rango R( f ) S B se dice que es biyectiva si (i) es inyectiva (es decir que es uno a uno), y (ii) es suprayectiva (es decir, aplica D(f) sobre B }. Si / e s biyectiva, se puede decir que / es una biyección. . , Imágenes directas e inversas Sea / una función arbitraria con dominio D(f) en A y rango Rff) en B. No se está suponiendo que / sea inyectiva. 2.10 DEFINICION. Si E es un subconjunto de A. entonces la imagen directa de E bajo / es el subconjunto de R(f) dado por ^ {/(jc) :xe (e O D ( f ) j. 36 Introducción al análisis matemático Figura 2.6. Imágenes directas. Por lo regular se representa la imagen directa de un conjunto E bajo/ por me­ dio de la notación f¡E). (Fig. 2.6.) Se observará que si E O D (/) = 0 , entonces /(E ) = 0. Si E contiene un único punto p de Dff), entonces el co n ju n to /F j contiene un único puntojfp). Algunas propiedades de conjuntos se corfservan bajo la imagen directa, como se demuestra en seguida. 2 .11 TEOREMA. Sea f u ñ a función con dominio en A y rango en B. y sean E. F subconjuntos de A . (a) si E<=F, entonces f ( E ) s f(F). (b) /(E n F ) c f ( E ) n / ( F ) . (c) f ( E U F) = f ( E ) U f(F). (d) / ( E \ F ) s / ( E ) . DEMOSTRACION, (a) Si E O ü (/), entonces F n D (/) y de aquí Kx ) e AE). Puesto que esto es cierto para toda E f \ D (f), se deduce que f ( E) Qf ( F) . (b) Puesto que E n F s E, del inciso (a) se infiere que/(E D F ) c j ( E ) ; análogam ente, / ( E f l F ) c / ( F ) . Por lo tanto, se concluye que /(E n F )c /(E )n /(F ). (c) Puesto que E c E U F y F c E U F, del inciso (a) se infiere que f(F) c f ( E U F). Inversamente, si y e f ( E U F ) , entonces existe un ele­ mento x e E U F tal que y = f(x). Dado que x e E ó x 6 F, se deduce que y = /( x ) e /( E ) o bien que y e f ( F) . Por lo que se puede concluir que / ( E U F ) c f ( E ) ü / ( F ) ,y esto completa la demostración del inciso (c). (d) El inciso (d) se infiere directamente de (a). En el ejercicio 2.J se verá que, en general, no es posible reemplazar el signo de inclusión en (b) por el de igualdad. Se introducirá ahora la idea elemental de la imagen inversa de un con­ junto bajo una función. Observe que no se pide que la función sea inyectiva. Un repaso a la teoría de conjuntos 37 Figura 2.7. Imágenes inversas. 2.12 DEFINICION. Si H es un subconjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo / es el subconjunto de D(f) dado por { x :/(x )e H } . Normalmente, la imagen inversa de un conjunto H bajo/ se denota mediante el sim bolo/_1j(H).(véase la Fig. 2.7.) De nuevo se hace hincapié en que / puede no ser inyectiva, de manera que la función inversa f~l puede no existir.(Sin embargo, si f~‘ existe, entonces f~1(H) es la imagen directa de H bajo/'1). 2.13 TEOREMA. Sea f una función con dominio en A y rango en B y sean G, H subconjuntos de B. ta) Si Ó A entonces / “ ( G j e f Í H ) . (b) r l( g n H ) = r ¡( G ) n f - ¡(H). (c) / -( G ü H ) = r1( G ) u r ,(H). (d) f ~ \ G H ) = r \ G ) \ f - \ H ) . DEMOSTRACION. (a) Suponga que x e / -í (Gj; entonces /(x) e <j c de aqui que x e / “'(H ). (b) Puesto queG flH e s un subconjunto de G y d e //,d e la parte (a) Se in­ fiere que f ~ \ G O H) s f \ G ) D Inversamente, si x e / ' ,( G ) n /~ ‘(H ), entonces f ( x ) e G y f ( x ) e H . Porlo tanto, / ( x ) e G D H y x e f ~ ‘( G n H ) . (el Puesto que G y H son subconjuntos d e G U H , de la parte (a) se de­ duce / ,(GUH)3/-,(G)ur'(H). Inversamente, si x e / - 1(G U H ), entonces /( x ) e G U H . Se deduce que 38 Introducción al análisis matemático /( x ) e G , de ahí x e / " ‘(G), o bien /(x)eJFí en cuyo caso x e / ~ ‘(H ). Por lo tanto, r\G uH )^r(G )ur\H ). (d) Si x e f '( G \ H ) , entonces f ( x ) e G \ H . Por lo tanto, x e / _1(G) y de donde se infiere que / - ,( G \ H ) s / - , ( G ) \ / - 1( H ) . Inversamente si w e /~ * (G )\/~ '(H ), entonces /( w ) e G y /(w )é H . De donde / ( w ) e G \ H y se deduce que r i( G ) \ r i( H ) £ f - i( G \ H ) . Q.E.D. Ejercicios 2.A. Demuestre que la definición 2.2 de hecho da una función y no solamente un subconjunto. 2.B. Sea A =B = R y considere al subconjunto C = {(x, y):x2+ y2= 1} de A xB. ¿Es este conjunto una función con dominio en R y rango en R1 2.C. Considere al subconjunto de R x R definido por D = {(x, y):|x| + |y|= 1}. Describa este conjunto con palabras. ¿Es éste una función? 2.D. Dé un ejemplo de dos funciones f , g d e R a R tales que g, pero f ° g = g°f- 2.E. Demuestre que si / es una inyección de A a B, entonces = {(6, a ) : (a, b) e /} es una función. Después demuestre que es una inyección. 2.F. Suponga que/es una inyección. Demuestre que / -,°/(x) = x para todax.en DI/) y y) = y para toda y en R(f). 2.G. Sean f y g funciones y suponga que g°/(x) = x para toda x en Dff). De­ muestre que/ es inyección y que R (/)cD (g) y D (/)eR (g). 2.H. Sean / g funciones tales que g°/(x) = x para toda x en D(J), f° g(y) = y Para t°da y en D(g). Demuestre que g = / ' ’. 2.1. Demuestre que la imagen directa fiE) es vacía si y sólo si E OD(/) = 0. 2.J. Sea/la función de R en R dada porJ\x)= x2 y sean E = { x e R : - l < x s O } yF = {xe J t :0:£ x s 1}.Entonces E n F = {0} y /( E n F ) = mientras queJ\Ej = J\F) - { y e H r O s y s l} . Por lo tanto, /(E O F ) es un subconjunto propio de /(E )D /(F). Ahora suprima el 0 de E y F. 2.K. Si f E, F son como en el ejercicio 2.J, entonces E \ F = { x e R : - l £ i < 0 } y /(E )\/(F ) = 0. Por lo tanto, no se deduce que /(E \F )s /< E )\f(F ). 2.L. Demuestre que si/ es una inyección de D(f) en R(f) y si H es un subconjunto Un repaso a la teoría de conjuntos 39 de R(f), entonces la imagen inversa de H bajo/ coincide con la imagen directa de H bajo la función inversa 2.M. Si / y g son como en la definición 2.2, entonces D(g°/) = /~'(D(g)). Sección 3 Conjuntos finitos e infinitos El propósito de esta sección es muy limitado: se verán los términos “ fi­ nito” , “contable” e “ infinito” . Se proporciona una base para el estudio de los números cardinales, pero no se prosigue dicho análisis. A pesar de que las teorías de números cardinales y ordinales son fascinantes en sí mismas, sólo un ligero conocimiento de estos temas resulta verdaderamente indispensable para comprender el material de este libro.t Se supone que el lector está familiarizado con el conjunto de números naturales. Se denota a este conjunto mediante el símbolo A; los elementos de A se designan con los conocidos símbolos 1 ,2 ,3 ,.... Si n m e N, todos tenemos una idea intuitiva de lo que significa la afirmación n es menor que o igual a m. Se usará esta afirmación teniendo en cuenta que una precisión total requiere más análisis del que se ha dado. Se supondrá que todo subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimo. Esta es una pro­ piedad importante de A ; en algunas ocasiones se dice que A es un subcon­ junto bien ordenado para significar que A tiene esta propiedad. Esta propie­ dad del buen orden es equivalente a la inducción matemática. Se emplearán argumentos basados en inducción matemática que supone le son familiares al lector. Un segmento inicial de A es un conjunto que consta de todos los números naturales que son menores o iguales a algún elemento fijo de A. De este modo, un segmento inicial S„ de A determina y es determinado por un ele­ mento n de A de la siguiente manera: Un elemento x de A pertenece a S„ si y sólo si x ■&n. Por ejemplo: el subconjunto S2 = {1, 2} es el segmento inicial de A determi­ nado por el número natural 2; el subconjunto S« = {1, 2, 3, 4} es el segmento inicial de A determinado por el número natural 4; pero el subconjunto {1, 3, 5}de A no es un segmento inicial de A ya que contiene a 3 pero no a 2, y a 5 pero no a 4. 3.1 DEFINICION Un conjunto B es finito si es vacío o si hay una biyección con dominio B y rango en un segmento inicial de A. Si no existe tal función, el conjunto es infinito. Si hay una biyección de B sobre A, entonces el tVéartse los libros de Halmos y Hamilton - Landin citados en la bibliografía. 40 Introducción al análisis matemática conjunto B es numerable (o enumerable). Si un conjunto es finito o es numera­ ble, se dice que es contable. Cuando hay una función inyectiva (uno a uno) con dominio B y rango C, a veces se dice que B se puede poner en correspondencia uno a uno con C. Usando esta terminología, se reformula la definición 3 .1 y se dice que un con­ junto B es finito si es vacío o si se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto de un segmento inicial de N. Se dice que B es numerable si se puede poner en correspondencia uno a uno con todo TV. Se observará que, por definición, un conjunto B es finito o bien infinito. Sin em­ bargo, puede ser que debido a la descripción del conjunto no resulte trivial decidir si el conjunto dado B es finito o infinito. Los subconjuntos de N que se denotan por {1,3,5},{2,4,5,8,10},{2, 3 , . . . , 100}, son finitos ya que, a pesar de que no son segmentos iniciales de N, están contenidos en segmentos iniciales de N y de ahí que se puedan poner en corres­ pondencia uno a uno con subconjuntos de segmentos iniciales de N. El conjunto E de números naturales pares E = {2,4, 6, 8,...} , ' 1 '. . • . r ,f y el conjunto O de números naturales impares O ={1, 3 ,5 ,7 ,...} no son segmentos iniciales de N, Sin embargo, dado que se pueden poner en corres­ pondencia uno a uno con todo N (¿cómo?), ambos son numerables. A pesar de que el conjunto Z de todos los enteros Z = { ...,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,...} , contiene al conjunto N, se puede ver que Z es un conjunto numerable, (¿cómo?) Ahora se enunciarán algunos teoremas sin demostración. Al leerlos por primera vez, probablemente a lo mejor sea aceptarlos sin analizarlos en deta­ lle; sin embargo, en una revisión posterior el lector hará bien en intentar pro­ porcionar demostraciones para estas aseveraciones. Al hacer esto, encontrará útil la propiedad inductiva del conjunto N de números naturales, t 3.2 TEOREMA. Un conjunto B es contable si y sólo si hay una inyec­ ción con dominio B y rango en N. 3.3 TEOREMA. Cualquier subconjunto de un conjunto finito es finito. Cualquier subconjunto de un conjunto contable es contable. 3.4 TEOREMA. La unión de una colección finita de conjuntos Jinitos es un conjunto finito. La unión de una colección contable de conjuntos conta­ bles es un conjunto contable. tE I lector que desee aprender acerca de estos temas deberá consultar el libro de Halmos citado en la bibliografía. Un repaso a la teoría de conjuntos 41 Como resultado de la segunda parte del teorema 3.4 se tiene que el con­ junto Q de todos los números racionales forma un conjunto contable. (Re­ cuerde que un número racional es una fracción m/n, en donde m y n son ente­ ros y 0.) Para ver que Qcs un conjunto contable se forman los conjuntos: A 0—{0}, 1i* 2l) ti 2U U• • U, fl 1 2 2 3 3 in’ n ’ n ’ n ’ n ’ n Observe que cada uno de los conjuntos A„es contable y que la unión de éstos es todo Q. Por lo tanto, el teorema 3.4 afirma que Q es contable. De hecho, se puede enumerar Q por medio del “ procedimiento de la diagonal” : 0 , t, —i, í, i , - l , é , ----- A - '. . ' • . . . "• , , Usando este tipo de argumento, el lector deberá ser capaz de elaborar una de­ mostración para el teorema 3.4. Vea también el ejercicio 3.K. La incontabilidad de R y de I A pesar de que el conjunto de números racionales es contable, la totali­ dad del conjunto R de números reales no es contable. De hecho, el conjunto I de números reales x que satisfacen 0 < x < 1 no es contable. Para probar esto se utilizará la elegante demostración de la “diagonal” de G. Cantor.tSe supone que se sabe que todo número real x tal que 0 < x < 1 tiene una repre­ sentación decimal de la forma x = 0 .a ia 2a 3 • • •, en donde cada a* de­ signa uno de los dígitos 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Se debe observar que ciertos números reales tienen dos representaciones de esta forma (por ejemplo, el número racional 1/10 tiene las dos representaciones 0.1000 • • • y 0.0999 • • •)■ Se podría elegir alguna de estas dos representaciones, pero no es necesario hacerlo. Dado que hay una infinidad de números racionales en el intervalo 0 ¿ x £ 1, (¿por qué?), el conjunto / no puede ser finito. Ahora se demostrará que no es numerable. Suponga que hay una enumeración Xi,x2,x 3, . . . de to­ dos los números reales que satisfacen O á i s l dados por tG E O R G CANTOR (1845-1918) nació en San Petcrsburgo, estudió en Berlín con Weierslrass y ejerció el magisterio en Halle. Es conocido sobre todo por su trabajo en teoría de conjuntos que llevó a cabo durante los años 1874-1895. 42 Introducción al análisis matemático x i = 0 .a ,a 2a 3 • • • x2= 0.f>ii>2b3 ■• • x3= O.CiC2c3 • • • Ahora bien, sea yi un dígito distinto de 0, ai, y 9; sea y2 un dígito distinto de 0, b2, y 9; sea y3 un dígito distinto de 0, c3, y 9, etc. Considere el número y con representación decimal y = 0.yiy2y3 • • • que claramente satisface 0 ^ y :£ 1. El número y no es uno de los números con doble representación decimal, ya que y„ ^ 0,' 9. Además y ^ x „ para cual­ quier n (ya que los «-ésimos dígitos en las representaciones decimales de_y y x„ son diferentes). Por lo tanto, cualquier colección numerable de números reales en este intervalo omitirá cuando menos a un número real perteneciente a este intervalo. En consecuencia, este intervalo no es un conjunto contable. Suponga que un conjunto A es infinito, se dará por establecido que hay una correspondencia uno a uno entre un subconjunto A y todo A. En otras palabras, se da por supuesto que todo conjunto infinito contiene un subcon­ junto numerable. Esta afirmación es un modelo débil del llamado “ axioma de selección", que es uno de los axiomas comunes de la teoría de conjuntos. Una vez que el lector haya asimilado el contenido de este libro, podrá proceder al estudio analítico de los fundamentos que se han estado dando de manera un tanto informal. Sin embargo, por el momento hará bien en considerar esta última afirmación como un axioma temporal. Más adelante se podrá reemplazar por un axioma más ambicioso de la teoría de conjuntos. Ejercicios 3.A. Muestre una correspondencia uno a uno entre el conjunto E de números na­ turales pares y A. 3.B. Muestre una correspondencia uno a uno entre el conjunto O de números na­ turales impares y A. 3.C. Muestre una correspondencia uno a uno entre Ay un subconjunto propio de A. 3.D. Si A está contenido en algún segmento inicial de A, utilice la propiedad del buen orden de A para definir una biyección de A sobre algún segmento inicial de A. 3.E. Dé un ejemplo de una colección contable de conjuntos finitos cuya unión no sea finita. 3.F. Utilice el hecho de que todo conjunto infinito tiene un subconjunto numera­ ble para demostrar que todo conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunlo propio de sí mismo . 3.G. Demuestre que si el conjunto A se puede poner en correspondencia uno a uno con un conjunto B, entonces B se puede poner en correspondencia uno a uno con A. Un repaso a la teoría de conjuntos 43 3.H. Demuestre que si el conjunto A se puede poner en correspondencia uno a uno con un conjunto B, y si B se puede poner en correspondencia uno a uno con un conjunto C, entonces A se puede poner en correspondencia uno a uno con C. 3.1. Usando inducción en rt e N, demuestre que el segmento inicial determinado por n no se puede poner en correspondencia uno a uno con el segmento inicial determi­ nado por me N, si m < n. 3.J. Demuestre que N no se puede poner en correspondencia uno a uno con nin­ gún segmento inicial de N. 3.K. Para cada n e N sea A» = {a* :jeN}, y suponga que A .O A „= 0 para n^m , n,meJV. Demuestre que la función /(n, ;) = ?(" + /-2 )(n + ; - 1)+ n da una enumeración de U{A„:iteiV}. I LOS N U M E R O S REALES En este capítulo se analizarán las propiedades del sistema de números reales. Aunque sería posible construir este sistema a partir de un conjunto más elemental (como el conjunto N de números naturales o el conjunto Qáe números racionales), no se hará así. En vez de ello, se dará una lista de pro­ piedades relacionadas con el sistema de números reales y se mostrará cómo es posible deducir otras propiedades a partir de aquellas que se han establecido. Para mayor claridad, es preferible no dar todas las propiedades del sis­ tema de números reales simultáneamente. En lugar de ello, se introducen pri­ mero, en la sección 4, las “ propiedades algebraicas” basadas en las dos ope­ raciones de la suma y de la multiplicación y se analizan en forma breve algu­ nas de sus consecuencias. En seguida se presentan las “ propiedades de or­ den” . En la sección 6 se da el último paso agregando la “ propiedad de completación” . Existen varias razones por las que se usa este procedimiento un tanto seccionado. En primer lugar, son varias propiedades las que se deben tomar en cuenta y es conveniente escoger sólo unas cuantas a la vez. Además, las demostraciones que se requieren en los pasos algebraicos preliminares al principio son más naturales que algunas de las demostraciones posteriores. Por último, puesto que existen algunos otros métodos interesantes para agre­ gar la “ propiedad de completación” se desea mantenerla aislada del resto de los supuestos. En parte, el propósito de las secciones 4 y 5 es proporcionar ejemplos de demostraciones de teoremas elementales que se derivan de supuestos explíci­ tamente establecidos. Por experiencia se sabe que los estudiantes que no han experimentado mucho con demostraciones rigurosas pueden asimilar fácil­ mente los argumentos que se presentan en estas secciones y después entrar a la sección 6. Por otro lado, los alumnos que estén familiarizados con el método axiomático y la técnica de las demostraciones podrán pasar a la sec­ ción 6 después de un repaso rápido a las secciones 4 y 5. En la sección 7 se introduce el concepto de una cortadura en el sistema de números reales y se definen varios tipos de celdas e intervalos. Se establece la importante propiedad de celdas nidificadas de R y se analiza brevemente el conjunto de Camor. 45 46 Introducción al análisis matemático Sección 4 , Las propiedades algebraicas de R En esta sección se dará la estructura “ algebraica” del sistema de núme­ ros reales. Resumiendo, se puede decir que los números reales forman un “campo” en el sentido del álgebra abstracta. En seguida se explica lo que esto significa. Una operación binaria en un conjunto F se entiende que es una función B con dominio F x F y rango en F. En vez de usar la notación B(a, b) para de­ notar el valor de la operación binaria B en el punto (a, b) en F x F, es conven­ cional usar una notación tal como aBb, o a + b, o a ■b. 4.1 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE R. En el conjunto R de números reales hay dos operaciones binarias (designadas por + y • que se lla­ man suma y multiplicación respectivamente, que satisfacen las siguientes1 propiedades: — (A l) a + b = b + a para todas a, b en R\ (A2) (a + b) + c = a + (b + c) para todas a, b, c en R; (A3) existe un elemento Gen R tal queG-f a = a y a + 0 = a para toda a en R; (A4) para cada elemento a en R hay un elemento - a en R tal que a + (-a) = O y (-a ) + a = 0; (MI) a • b = b • a para todas a, b en R; (M2) (a ■b) • c = a • (b ■c) para todas a.b.c en R; (M3)el elemento 1 en R es distinto de 0 y tiene la propiedad de que 1 • a = a y a • 1 = a para toda a en R\ (M4) para cada elemento a / 0 en R hay un elemento 1¡a en R tal que a • (Ha) = 1 y (1/a) • a = 1; (D) a • (b + c) = (a • b) + (a ■c) y (b + c) ■a = (b • a) +(c • a) para todas a.b.c en R. Estas propiedades seguramente le son familiares al lector. Ahora se ob­ tendrán algunas consecuencias sencillas (pero importantes) de dichas propie­ dades. En primer lugar se demostrará que 0 es el único elemento de R que sa­ tisface (A3) y 1 es el único elemento que satisface (Mi). 4.2 TEOREMA, (a) S i z y a son elementos de R tales que z + a = a, entonces z = 0. (b) S i w y b ^O son elementos de R tales que w ■b —b, entonces w = 1. DEMOSTRACION, (a) La hipótesis es que z + a = a. Sumar - a a ambos lados y emplear (A4), (A2), (A4) y (A3) para obtener* *No se pretende que esta lista sea “ minima". Asi las segundas afirmaciones en (A3) y (A4) se de­ ducen de las primeras usando (Al). Los números reales 47, O = a + ( - a ) = (z + a) + ( - a ) = z + (a + (-a )) =z+0~z. La demostración de la parte (b) se deja como ejercicio. Observe que se usa la hipótesis de que b^O . o .e .d . En seguida se demuestra que los elementos - a y. 1/a (cuando a?* 0 )es­ tán determinados de manera única por las propiedades dadas en (A4) y (M 4 ). 4.3 TEOREMA, (a) Si a y b son elementos de R y a + b = 0, entonces b - -a . (b) Si a ¿ 0 y b son elementos de R y a • b = 1, entonces b = 1/a. DEMOSTRACION, (a) Si a + b = 0, sumar - a a ambos lados para ob­ tener ( - a ) + (a + b) = - a + 0. Ahora, usar (A2) en el lado izquierdo y (AS) en el derecho para obtener ((-a ) + a) + b = - a . Si se usan (A4) y (A3) en el lado izquierdo, se obtiene b - - a . La demostración de (b) se deja como ejercicio. Observe que se usa la hi­ pótesis de que a /O . Q.E.D. Las propiedades (A4) y (M4) garantizan la posibilidad de resolver las ecuaciones a + x = 0, a • x —1 (a 0), para x , y el teorema 4.3 implica la unicidad de las soluciones. Ahora se de­ muestra que los lados derechos de estas ecuaciones pueden ser elementos ar­ bitrarios de R. 4.4 TEOREMA, (al Sean a.b elementos arbitraras de R. Entonces la ecuación a + x = b tiene como solución única x = (—a) + b. (b ) Sean a ¥■0 y b elementos arbitrarios de R. Entonces la ecuación a ■x = b tiene la solución única x - (1/a) • b. D E M O ST R A C IO N . Puesto que a + ((-a ) + b) = (a + (-a )) + b = 0 + b = b, es claro que x = (-a) + b es una solución de la ecuación a + x = b. Para ratificar que es la única solución, sea x, cualquier solución de esta ecua­ ción: entonces a + Xi = b. Se suma - a a ambos lados para obtener ( - a ) + (a + Xi) = (-a ) + b. Si se utilizan (A3), (A4) y (A2), se obtiene I 48 Introducción al análisis matemático Xi = 0 + Xi = ( - a + a) + x, = ( - a ) + (a + Xi) = ( - a ) + b. De donde Xi = (—a) + b. La demostración de la parte (b) se deja como ejercicio. Q.E.D. 4.5 TEOREMA. S i a y b son cualesquier elementos de R. entonces (a) a -0 = 0 ; (b) - a = ( - l ) • a; (c) - ( a + b) = (—a) + ( - 6); (d) - ( - a ) = a; (e) ( - 1) . ( - 1) - 1. DEMOSTRACION, (a) A partir de (M3) se sabe que a • 1 = a. De donde a + a -0 = a • 1 + a -0 = a *(1 + 0) = a • 1 = a. Si se aplica el teorema 4.2(a), se deduce que a • 0 = 0. (b) Está visto que a + ( - l ) • a — 1 • a + ( - l ) • a = (1 + ( - l ) ) • a = 0 • a = ü. Del teorema 4.3(a) se deduce que (-1 ) • a —- a . (c) Se tiene - ( a + b) = ( - 1) • (a + b) = ( - 1) • a + ( - 1) • b = ( - a ) + (-b ). (d) Dc(A4) se tiene ( - a ) + a = 0. Conformé'a ta afirmación de unicidad del teorema 4.3(a), se infiere que a = - ( - a ) . (e) En la parte (b), substituir a = —1. Se tiene - ( - 1) = ( - 1) - ( - 1). Por lo tanto, la afirmación se deduce de la parte (d) con a — 1. Q.E.D. 4.6 TEOREMA (a) S i a e R y a * 0, entonces 1 /a # 0 y l/( l/a ) = a. (b) Si a, b e R y a ■b = 0, entonces a = 0 o bien b = 0. fe) Si a, b e K , entonces (—a) • (—b) = a • b (d) Si a e R y 0, entonces l / ( - a ) = ~ (l/a ). DEMOSTRACION, (A) Si a ^ O , entonces l/a ^ O pues de no ser así 1 = a • (1 /a) = a -0 = 0, contrario a (M3). Dado que (1 ¡a) ■a = 1, del teo­ rema 4.3 (b) se infiere q u e a = l/( l/a ) . Los números reates 49 Ib) Suponga que a • b = 0 y que a * 0. Si se multiplica por 1la, se ob­ tiene b=l b = ((1 la) a) b = (l/ a) ■(a ■b) = (l/a) *0 = 0. Una demostración análoga es válida si b / 0 . (c) Por el teorema 4.5, se tiene - a = ( - l ) • a, y - b = ( - 1) • b; de aquí que ( - a ) ( - b ) = ( (- l) - a ) .( (- l) b ) , • = (a • (—1)) • ((—1) • b) = a ■( ( - 1) - (—1)) • b = a ■1 ■b - a ■b. id) Si ai* 0, entonces l / a 5^ 0 y - a / 0. Como a • ( l/a ) = 1, de la parteic) se deduce que ( - a ) - ( - ( l / a ) ) = 1. Aplicando el teorema 4.3 (b) se deduce que l / ( - a ) = —( l/a ) siendo esto lo que se afirma. Q.E.D. Números racionales De ahora en adelante por lo general se habrá de omitir el uso del punto para designar la multiplicación y se escribirá ab en vez de a • b. Como de cos­ tumbre se escribirá a 2 para designar aa. a 1 para designar aaa = ( a 2)a, y si n e N se define a"*' = (a")a. Usando inducción matemática se deduce que si m. n e N , entonces (*) a m*" = a ma" para cualquier a e R . Análogamente, se escribirá 2 para designar 1 + 1, 3 para designar 2 + 1 =(1 + 1 )+ 1, y así sucesivamente. Además, por lo general se escribirá b - a en vez de ( - a ) + b = b + ( - a ) y si a?40, por lo regular se escribirá b/a o — a en vez de (l/ a) ■b = b • ( l/a ). También se escribirá a~l para designar l/a, y a~" para designar l/a". Entonces se podrá demostrar que la fórmula anterior es válida para ni. n e Z cuando a ^ O . Los elementos de R que son de la forma b . -b — o — a a para a, b e N , a * 0,se dice que son números racionales, y el conjunto de to­ dos los números racionales en i? se designará con la notación clásica Q. To­ 50 Introducción al análisis matemático dos los elementos de R que no son números racionales se dice que son números irracionales. A pesar de que esta terminología no es muy apropiada, es bastante clásica y se habrá de adoptar. Se concluirá esta sección con una denjostración del hecho de que no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2. 4.7 TEOREMA. No existe ningún número racional r tal que r2= 2. — DEMOSTRACION. Suponga, por el contrario, que (p/q)2= 2, en dondep y q son enteros. Sin pérdida de generalidad se puede suponer que p y q no tienen factores integrales en común, (¿por qué?) Dado que p 2= 2q2, se deduce que p debe ser un entero par (ya que si p = 2k + le s impar, entonces p 2= 4Jc2+4lc + 1 = 2(2Jc2 + 2fc) + 1 es impar). Por lo tanto p = 2k para algún entero k y en consecuencia 4 k 2= 2 q \ Se deduce que q2= 2 k 2,por lo que q también debe ser par. Por lo tanto, p y q son divisibles entre 2, lo que contradice a la hipótesis. Q.E.D. » Ejercicios. 4.A. Demostrar la parte ib) del teorema 4.2. 4.B. Demostrar la parte (b) del teorema 4.3. 4.C. Demostrar la parte (b) del teorema 4.4. ./4.D . Usando inducción matemática, demostrar que si a e R y m, neJV, entonces a*'" = a”a \ 4.E. Demostrar que si a e R , a^O, y m, n e Z , entonces am'" = ama". 4.F. Emplear el argumento de! teorema 4.7 para demostrar que no existe un número racional í tal que s2= 6. 4.G. Modificar el argumento del teorema 4.7 para demostrar que no existe un número racional t tal que iJ= 3. i/ 4.H. Si f e R es irracional y reR, r¿0, es racional, demostrar que r +| y son irracionales. Sección 5 Las propiedades de orden de R El propósito de esta sección es introducir las propiedades de “ orden” de R, las cuales desempeñarán un papel muy importante en las secciones si­ guientes. La manera más sencilla de introducir el concepto de orden es ha­ ciendo uso del concepto de “ positividad estricta” que en seguida se explica. 5.1 LAS PROPIEDADES DE ORDEN DE R. Existe un subconjunto no vacío P de R llamado el conjunto de números reales estrictamente positivos que satisface las siguientes propiedades: Los números reales 51 (i) Si a.b pertenecen a P, entonces a + b pertenece a R. \ ^ \ (ii) Si a.b pertenecen a P, entonces ab pertenece a P. \ ó. (Hit Si a pertenece a R, entonces una de las siguientes relaciones se cumple exactamente: a e P. a = 0, - a e P. \ \ A la condición (iii) algunas veces se la llama propiedad de tricotomía. Esta implica que el conjunto N = { - a : a e P}, algunas veces llamado con­ junto de números reales estrictamente negativos, no tiene elementos en común con P. De hecho, todo el conjunto R es la unión de los tres conjuntos ajenos P, {0}, N. 5.2 DEFINICION. Si a e P, se dice que a es un número real estricta­ mente positivo y se escribe a > 0. Si a está en P o bien es 0, se dice que a es un número real positivo y se escribe a > 0. Si - a e P, se dice que a es un número real estrictamente negativo y se escribe a < 0 . Si - a está en P o bien es 0, se dice que a es un número real negativo y se escribe a < 0. Se debe observar que, de acuerdo con la terminología que se acaba de implantar, el número 0 es tanto positivo como negativo: es el único número con dicha categoría dual. Esta terminología puede parecer al principio un poco extraña, pero resultará conveniente. Algunos autores reservan el térm ino “ positivo" para los elementos del conjunto P y utilizan el término “ no negativo" para los elementos de PU{0}. En seguida se darán las relaciones de orden. 5.3 DEFINICION. Sean a.b elementos de R. Si a - b e P.entonces se escribe a > b. Si - ( a - b) e P , entonces se escribe a < b. Si a - b e PU{0}, entonces se escribe a > b. Si - ( a - b) e P U{0}, entonces se escribe a s b. Como es costumbre, es conveniente invertir los signos y escribir b < a, b > a, b s a, b > a, respectivamente. Además, si a < b y b<c , entonces con frecuencia se escribe a<b <c ó c > b > a. Si a s b y b < c , entonces con frecuencia se escribe a<b<c ó c > b a a. Propiedades de orden Se establecerán ahora las propiedades básicas de la relación de orden en R. Estas son las conocidas "leyes” para las desigualdades que el lector ha visto en cursos anteriores. Se usarán con frecuencia en secciones posteriores y son de gran importancia. 52 introducción al análisis matemático —p- 5.4 TEOREMA. Sean a,b,c elementos de R. (a) S i a > b y b > c, entonces a > c . (b) Exactamente una de ¡as siguientes relaciones es válida: a > b . a = b, a< b. (c) S i a z b y b > a, entonces a = b. DEMOSTRACION, (a) Si a - b y b - c pertenecen a P, entonces de 5.1 (i) se deduce que a —c = ( a - b) + ( b ~ c ) también pertenece a P. De donde a>c. jb) Por 5.! (iii) sucede exactamente una de las siguientes posibilidades: a —b e P , a - b = 0, b - a = - ( a - b ) e P . ( c ) S \ a ¿ b , entonces, por el inciso Ib), se debe tener a —b o bien b —a en P■Por lo tanto, a > b o bien b > a. En cualquiera de los dos casos una de las hipótesis se contradice. q .e .d . -*? 5.5 TEOREMA, (a) Si 0 a e R, entonces a 2> 0 . ib) 1>0. ic) Si n e N , entonces n > 0. DEMOSTRACION, (a) Ya sea que a o - a pertenezca a P. Si a € P entonces por 5.1 (ii) se tiene a2- a a e P. Si - a e P, entonces por el teorema 4.7le) se tiene a 2= (-a )(-* a )e P. Por lo tanto, en cualquiera de los casos, a 2eP. ión «fe (b) Dado que 1 = (1) , la conclusión sfe deduce ded de (al-. ? (c) Se usa inducción matemática. La validez de la afirmación con n = 1 es la parte (b). Si la afirmación es cierta para el número natural k (es decir, suponiendo fceP ), entonces, puesto que l e P , se deduce de 5.1 (i) que fe + 1 6 P. Por lo tanto, la afirmación es verdadera para todos los números na­ turales. O.E.D. Las siguientes propiedades posiblemente le son familiares al lector. -—*>5.6 TEOREMA. Sean a.b.c.d elementos de R. (a) S i a > b , entonces a + c > b + c. (b) S i a > b y c > d , entonces a + c > b + d. (c) S i a > b y c > 0 , entonces ac > be. (c’l S i a > b y c < 0 , entonces ac< be. (d) S i a > 0, entonces 1/a > 0 . id') S i a < 0, entonces 1/a < 0. DEMOSTRACION, (a) Observe que (a + c ) - ( b + c) = a - b. (b) Si a - b y c - d pertenecen a P, entonces por 5.1(/7se concluye (a + c ) - ( b + d) = (a -t> ) + ( c - d ) también pertenece a P. Ic) Si a - b y c pertenecen a P, entonces por 5.1 (ii) ac - be = (a - también pertenece a P. ------- : Los números reales 53 (c' )Si a - b y - c pertenecen a P, entonces por S.l(ii) bc —ac = (a - b ) ( - c ) también pertenece a P. (d ) Si a > 0 , entonces por S.lfiii) a ^ O para que el elemento 1/a exista Si í / a — O, entonces l = a ( l/a ) = 0, contradicción. Si l / a < 0 , entonces la parte(c’l con c = 1/a implica que 1 = a ( l / a ) < 0 , contradiciéndose 5.5(b). Por lo tanto, se debe tener l / a > 0 , ya que las otras dos posibilidades se han excluido. (d) Esta parte se puede demostrar usando un argumento similar al de l parte (d). De manera alternativa se puede recurrir al teorema 4.6(d) y usar la parte (di directamente. Q.E.D. 5.7 TEOREMA. Si a > b, entonces a > i ( a + b )> b . DEMOSTRACION. Dado que a >b, se deduce del teorema 5.6(a), con c = a, que 2 a > a + b y del teorema 5.6(a), con c = b quea + b > 2 b . Por el teorema 5.5(el se sabe que 2 > 0 y a partir del teorema 5.6(d) que £> 0. Aplicado el teorema 5.6(c) con c = £ , se deduce que a>K<* + b) y \(a + b ) >b . Por lo tanto,a > Ha + b) > b , como se sostiene. q .e .d . El teorema que se acaba de demostrar (con b = 0 ) implica que dado cualquier número a estrictamente positivo, existe otro número estrictamente menor y estrictamente positivo (a saber, £a). De modo que no existe ningún número reaI mínimo estrictamente positivo. Ya se ha visto que si a > 0 y b > 0 , entonces a b > 0. También si a < 0 y b < 0, entonces a b > 0 . En seguida se demostrará que lo inverso es cierto. —V 5.8 TEOREMA. Si ab> 0 . entonces se tiene a > 0 y b > 0 . o bien a < 0 y b < 0, DEMOSTRACION. Si ab > 0 , entonces a # 0 y b # 0 .(¿p o rq u é?)S i a > 0 entonces del teorema 5.6(d) se deduce que l / a > 0 y de 5.6(c) que b = ( (l/a ) a ) b = ( t/a )( a b ) > 0 . Por otro lado, si a < 0, entonces del teorema 5.6(d’i se deduce que 1/a < 0 y de 5 .6 /f’/que b = ((l/a )a )b = (l/a )(a b )< 0 . Q.E.D. / 5.9 COROLARIO. S i ab < 0 , entonces, se tiene a > 0 y b < 0 o bie se tiene a a < 0 y b > 0 . La demostración de esta afirmación se deja como ejercicio. Valor absoluto La propiedad de tricotomía S.lfiii) asegura que si a # 0, entonces uno de los números a y - a es estrictamente positivo. El valor absoluto de a ¥■0 se de­ fine como el número estrictamente positivo del par {a, - a } , y el valor abso­ luto de 0 se define como 0. 54 Introducción aI análisis matemático - f c ' 5.10 DEFINICION. Si a e R , el valor absoluto de a se denota me­ diante el símbolo |a | y está definido por =a si a a 0, ~-a si a < 0. De modo que el dominio de la función valor absoluto es todo R, su rango es PU{0}, y aplica los elementos a, -a ,e n el mismo elemento. 5.11 T E O R E M A , (al |a[ = 0 si y sólo si a = 0. (b) |- a | = |a| para toda a e R (c) |a b |= |a| |b| para todas a , b e R . (di S i c a 0, entonces |a | < c si y sólo si - c < a < c. (e) - j a | < a £ |a | para toda a e R . DEMOSTRACION, (a) Si a = 0, entonces por definición |0| = 0. Si ai* 0, entonces también - a / 0 , de manera que |a 15^ 0. (b) Si a - 0, entonces |0| = a = |- 0 |. Si a > 0, entonces |a| = a = |- a |. Si a < 0 , entonces |a| = - a = |-a ¡ . (c) S i a > 0 y b > 0 , entonces a¿ > 0 de manera que |aí>| = ab = |a | Si a < 0 y b > 0, e n t o n c e s ab< 0 de t a l m o d o q u e |ab| = - ( ab) = (- a ) b = ¡a| ¡fc|. Los otros casos se tratan de manera similar. (di Si |a | < c, entonces a ;£ c así como - a < c. (¿por qué?) A partir de esto último y del teorema 5.6(c’) se deduce que - c s a d e tal modo que—c < a ¿ c.De manera inversa si esta relación se sumple'entoncesa < C así como —a £ c,de donde |a |< c . (e) Utilizar la parte (d) conc = |a[ & 0. Q.E.D. El siguiente resultado se usará con mucha frecuencia en lo sucesivo. (Recuerde que a±í> significa tanto a + b como a - b . ) 5.12 LA DESIGUALDAD DEL TRIANGULO. Si a.b son cuales- quier números reales, entonces | W “ I M | s | a ± b | s | o | + |b|. DEMOSTRACION. De acuerdo con el teorema 5.1 l(e) se tiene - | a [ s a £ |a| y - |b | < ± b < |6|. Utilizando 5.6fb) se deduce q u e \ - ( |a | + |b|) = - | a | - | b | < a ± b < |a| + |b|- segunda parte de la desigualdad. * Dado que |a| = |(a-í> ) + b| < |a - b | + |6| (¿por qué?), se deduce que | a | - | 6|- s |a - b |. Análogamente |5| —|a| <= Ja —b|. (¿por que?) Combi­ nando estas dos desigualdades, se deduce que | |a| - |b| | ^ |a - b|» que es la primera parte de la desigualdad con el signo menos. Para obtener la desigual­ dad con el signo más, sustituir b por —b. Los números reales 55 ' \> 5.13 COROLARIO. Si a ,, a 2, a„ jo /i cualesquier n números rea­ les, entonces |ai + a 2+ *• • + a„| s |a 1| + |a 2| + • • • + |<u|. DEMOSTRACION. Si n = 2, la conclusión es precisamente SAI. Si n > 2, se usa inducción matemática y el hecho de que ¡ai + a2+ ' • • + a* + aic+i| = |(ai + a 2+ • • H-ak) + ak+i| < |a i + a 2+ * • • + Okl + |a k * i|. q .e .d . Ejercicios 5.A. Si o, b € JR y o2+ b2= 0, demostrar que a - b = 0. 5.B. Si neN, demostrar que n2a n y por lo tanto 1/n2< 1/n. 5.C. Si a > - l , a e R, demostrar que (l + a)“ 2: 1+ na para toda neN. Esta de­ sigualdad se llama la desigualdad de Bemoulli.t (Sugerencia: usar inducción mate­ mática.) . ■- 5.D. Si c > l , c e R , demostrar que c" z c para toda neN . (Sugerencia: c = 1+ a con a > 0). j 5.E. Si c > 1, c e R, demostrar que c“ a: c“ para m z n, m, neN . 5.F. Suponga que 0 < c < l . Si m z n, m, neN , demostrar que 0 < c" s c " < t 5.G. Demostrar que n < 2" para toda n e N. y por lo tanto que 1/2* < 1/n para toda neN. - 5.H. Si a y 8*son números reales positivos y neN, entonces a"<b"s¡ y sólo si a<b. 5.1. Demostrar que s i a s j í b y a s y s l ) , entonces |x - y | s b- a. Interpre­ tar esto geométricamente. 5.J. Sea 8> 0, a e R. Demostrar que a - 8 < x < a +8 si v sólo si | x - a |< 8. Análogamente, a - 8 s * < a + 8 si y sólo si |x - a| s 8. 5.K. Si a , b e R y b / 0, demostrar que |a/b| = |a|/|b|. 5.L. Demostrar que si a, beR. entonces |a + bj = |a| + |b| si y sólo si ab a 0. 5.M. Graficar los puntos (x.yl en el plano R x R para los cuales |y| = |xl- 5.N. Graficar los puntos (x.yl en el plano R x R para los cuales |x| + |y| = l. 5.0. Si x,y,z pertenecen a R, entonces i s y s z si y sólo si -|x —y| + |y —z| = | x - 2|. 5.P. Si 0 < a < l , entonces 0 < a 2< a < l , mientras que si l < a , entonces l < a < a 2. t JACOB BERNOULLI (1654-1705) fue miembro de una familia suiza que dio varios matemáti­ cos que desempeñaron un papel importante en el desarrollo del cálculo. 56 Introducción al análisis matemático Sección 6 La propiedad de complementación de R En esta sección se presentará otra propiedad del sistema de números rea­ les que a menudo se llama “ propiedad de completación” ya que asegura la existencia de elementos en R cuando se satisfacen ciertas hipótesis. Existen diversas versiones de esta propiedad de completación. En este caso se ha esco­ gido dar lo que tai vez sea el método más eficaz ai suponer que conjuntos aco­ tados en R tienen un supremo. Supremo e ínfimo En seguida se introduce el concepto de cota superior de un conjunto de números reales, el cual será de gran importancia en las secciones siguientes. 6.1 DEFINICION. Sea S un subconjunto de R. (a) Un elemento u e R se dice que es una cota superior de 5 si s £ u para toda s e S . (b) Un elemento w € R sedice que es una cota inferior d e S si w < s para toda s e S. Observe que un subconjunto S £ R puede no tener una cota superior (por ejemplo, tome S = R). Sin embargo, si tiene una cota superior, tiene una infi­ nidad de ellas (ya que si u es una cota superior de 5. entonces u + n también es una cota superior de 5 para cualquier n e N ) . De nuevo el conjunto S, = {x e R :0 < x < l } tiene a I como cota superior; de hecho, cualquier número 1 es una cota superior de S ¡ . Análogamente, el conjunto S j = {x g R : 0 < x £ 1} tiene las mismas cotas superiores que Si . No obstante, observe queS2 contiene la cota superior I, mientras que Si no con­ tiene ninguna de sus cotas superiores, (¿por qué ningún número c < 1 puede ser cota superior de Si?) Para probar que un número u e R no es una cota superior de S c R se debe gene­ rar un elemento s0e S tal que u < j 0. Si S = 0, en*conjunto vacio, esto no se puede ha­ cer. De modo que el conjunto vacío tiene la extraordinaria propiedad de que iodo número real es una cota superior; además, todo número real es una cota inferior de 0. Esto puede parecer ficticio; sin embargo, es una consecuencia lógica de las definicio­ nes dadas y por lo tanto se debe aceptar. Por cuestiones de terminología, cuando un conjunto tiene una cota supe­ rior se dirá que está acotado por arriba y cuando un conjunto tiene una cota inferior se dirá que está acotado por abajo. Si un conjunto tiene una cota supe­ rior, así como una inferior, se dice que está acotado. Si un conjunto carece de Los números reales 57 una cota superior o de una cota inferior se dice que es no acotado. De modo que los cunjuntos S, y S2 que antes se mencionan son acotados. Sin embargo, el subconjunto P = {x e R i x > 0} de R es no acotado ya que no tiene una cota superior. Análogamente, el conjunto R es no acotado ya que no tiene ni cota superior ni cota inferior. '■ 6.2 DEFINICION. Sea S un subconjunto deR. (a) Si S está acotado por arriba, entonces se dice que una cota superior de S es un supremo (o una mínima cota superior) de S si es menor a cualquier otra cota superior de S. fb) Si S está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior de S es un ínfimo (o una máxima cota inferior) de S si es mayor a cualquier otra cota inferior de S. (figura 6.1.) Se explicará de otra manera: Un número u e R es un supremo de un subcon­ junto S de R si satisface l?s siguientes condiciones: til s s u para toda s e S; I¡iI si s s v para toda s e S, entonces u £ v. De hecho, la condición fif establece que u es una cota superior de S y (¡i) muestra que u es menor que cualquier otra cota superior de S. Es claro que sólo puede haber un supremo para un subconjunto dado 5 de R , ya que si ut y u2 son supremos de S, entonces ambos son cotas superio­ res de S. Como Ui es un supremo de S y u2 es cota superior de S , se debe tener u t s u2.Siguiendo un argumento análogo se prueba que se debe tener u2< u¡. Por lo tanto, u, = u2. De manera análoga se demuestra que sólo puede haber un ínfimo para un subconjunto dado 5 de R. Cuando estos números existan se denotarán por medio de sup S e inf S. Con frecuencia es conveniente tener otra representación del supremo de un subconjunto R. ^ 6.3 LEMA. Un número u e R es el supremo de un subconjunto no va­ cío S e R si y sólo si tiene las siguientes propiedades: (i) No existen elementos s e S tales que u < s. (ii) S i v < u , entonces existe un elemento s„ e S tal que u < s». DEMOSTRACION. Suponga que u satisface (i) y (ii). La condición (i) implica que u es una cota superior de S. Si v es cualquier número con \\\\\\\\\\\ \\\\\ \\\\ \\\\ C o tas inferiores de S. C otas superiores d e S. Figura 6.1 Supremos e ínfimos I 58 Introducción al análisis matemático v < u , entonces, la propiedad (ii) prueba que v no puede ser cota superior de S. Por lo tanto, u es el supremo de S. A la inversa, sea u el supremo de S. Dado que u es nna cota superior de 5, la condición (i) se satisface. Si v < u, entonces v no es cota superior de S. Por lo tanto, existe un elemento s „ e S tal que u<s*. q .e . d . El lector deberá convencerse por sí mismo de que el número 1 es el su­ premo de los dos conjuntos. Si y S2 que se describen después de la definición 6. 1. Observe que S2 contiene a su supremo mientras que Si no contiene al suyo. De manera que cuando se dice que un conjunto tiene un supremo no se está haciendo ninguna afirmación acerca de la contención del supremo en el conjunto. , La siguiente afirmación es una propiedad esencial del sistema de núme­ ros reales: Todo subconjunto no vacío de R que esté acotado por arriba tiene un supremo. Se hará uso frecuente de esta propiedad fundamental la cual se considera el último supuesto acerca de R. / 6.4 PROPIEDAD DEL SUPREM O. Todo conjunto no vacío de húmeros reales que tenga una cota superior tiene un supremo. La propiedad análoga para el ínfimo se puede deducir directamente de la , propiedad del supremo. 6.5 PROPIEDAD DEL INFIMO. Todo conjunto no vacío de núme­ ros reales que tenga una cota inferior tiene un ínfimo. DEMOSTRACION. Sea S un conjunto acotado por abajo y sea Si = {-s : s e S} de tal manera que Si está acotado por arriba. La propiedad del supremo asegura que Si tiene un supremo u.La demostración de que - u es el ínfimo de S se deja al lector. q .e . d . La propiedad Arquimedianat Un resultado importante de la propiedad del supremo es que el sub­ conjunto N de números naturales no está acotado por arriba en R. Específica­ mente, esto significa que, dado cualquier número real .v, existe un número na­ tural ns que es mayor que.v (de otra manera, x sería una cota superior para N). En seguida se demuestra esta afirmación. 6.6 PROPIEDAD ARQUÍMEDIANA. S i x e R , existe un número natural n* e N tal que x < nx. t Esta propiedad de R recibe este nombre por Arquímedes (287-212 A.C.), a quien se ha llamado “el más grande intelecto de la antigüedad" y que fuera uno de los fundadores del método cien­ tífico. Los números reales 59 DEMOSTRACION. Si la conclusión es falsa, entonces x es una cota superior para N. Por lo tanto, de acuerdo con la propiedad del supremo, N tiene un supremo u. Dado que x es cota superior para N, se deduce que u < x. Puesto que u —*l <u, del lema 6.3(ii) se deduce que existe r»ieN que w —1 < Hi. Por lo tanto, u < «i+ 1, pero como rii+ 1 e N esto contradice el supuesto de que u sea cota superior de N. q .e . d . 6.7 COROLAR10. Sean / y z números reales estrictamente positivos. (a) Existe un número natural n tal que n y > z . (bI Existe un número natural n tal que 0 < 1/n < z. (el Existe un número natural n tal que n - 1 s y < n. DEMOSTRACION, (a) Dado que .y y zson estrictamente positivos, x = z/y también es estrictamente positivo. Sea n e N tal que z/y = x < n. En­ tonces z < ny, como se quería demostrar. (b) Sea n e N tal que 0 < l / z < n . Entonces O< 1 / n < z. (c) La propiedad arquimediana asegura que existen números naturales m tales que y < m. Sean n el mínimo de estos números naturales (vea la sec­ ción 3). Entonces n - l s y < n . q .e .d . Después del teorema 5.7 se hizo ver que no existe ningún número real mínimo estrictamente positivo. El corolario 6.7(6/ muestra que dado cual­ quier z > 0 hay un número racional de la forma 1/n con 0 < 1/n < z. Algunas veces se dice que “existen números racionales arbitrariamente pequeños de la forma 1/ n.” .' x • % La existencia de y¡2 Como se dijo antes, una característica importante de la propiedad del su­ premo es que asegura la existencia de ciertos números reales. Con mucha fre­ cuencia se hará uso de ella en estos términos. Por el momento se demostrará que esta propiedad garantiza la existencia de un número real positivo x tal que x2= 2; es decir, una raíz cuadrada positiva de 2. Este resultado viene a ser un Complemento del teorema 4.7. •6.8 TEOREMA. Existe un número positivo x e R tal que x2= 2. DEMOSTRACION. Sea S = {y e R :0 < y, y2 < 2}. El conjunto S está acotado por arriba en 2, ya que de no ser así existiría un elemento s e S tal que 2 < s por lo que se concluiría que 4 < s2 £ 2, lo que es una contradic­ ción. Por la propiedad del supremo el conjunto 5 tiene un supremo, sea x = sup S. Claramente se ve que x > 0 . Se asegura quex2= 2. De no ser así, entonces x2< 2 o bien x2> 2 . Si x s< 2 , escójase algún n e N de tal manera que 1/n < ( 2 - x 2)/(2x + l). En este caso " . ■ >, v" . 60 Introducción al análisis matemático 2i 1 2 2x 1 = X H ---- + — < X + ----------- < x 2+ (2 —x 2) = 2, : >r n n n lo que significa que x + l/n G S , contrario al hecho de que x es una c o ta superior de S. Si x 2> 2, se elige mGN tal que l/m < (x2 —2 ^ x . Dado que x = sup S, existe algún s 0 c o n x - l / m < j 0. Pero esto implica que «2 < x 2----- 2x< x 2------ 2x m m Por lo tanto s02> 2, contrario al hecho de que s06 S. En vista de que se han excluido las posibilidades de quex2< 2 y x 2> 2 , se debe tener x 2 = 2. q .e . d . Modificando ligeramente la demostración del teorema 6.8, el lector puede de­ mostrar que si a > 0, entonces existe un número único b s: 0 tal que b2= a. A b se le llama la raíz cuadrada positiva de a y se designa con b = Va ó b = a'a. Ahora ya se sabe que existe cuando menos un elemento irracional, a sa­ ber, >/2 (la raíz cuadrada positiva de 2). De hecho, hay “ más” números irra­ cionales que números racionales en el sentido de que el conjunto de números racionales es contable mientras que el conjunto de números irracionales no es contable. (Esto se vio en la sección 3.) En seguida se demostrará que existen números irracionales arbitrariamente pequeños; este resultado complementa al corolario 6.7. 6.9 COROLARIO. Sea £ > 0 un número irracional y sea z > 0 . Entonces existe un número natural m tal que el número irracional t¡/m satisface 0 < £/m < z. }----------------------- “ DEMOSTRACION^ Da3b que £ > 0 y z > 0 , de los teoremas 5.6(d)y 5.6(c) se deduce que f y z > 0. Por la propiedad arquimediana existe un número natural m tal que 0 < £ / z < m . Por lo tanto, 0 <(¡Jm <z y queda como ejercicio demostrar que £Jm es irracional Q-E.r>. Ahora se demostrará que entre cualesquiera dos números reales distintos hay un número racional y un número irracional. (De hecho, hay una infinidad de ambos tipos.) 6.10 TEOREMA. Sean x y y números reates con x < y . (a) Entonces existe un número racional r tal que x < r < y. \ (b) S i £ > 0 es cualquier número irracional, entonces hay un número ra­ cional s tal que el número irracional s£ satisface x < s£ < y. Los números reales 61 DEMOSTRACION. Sin que esto sea una simplificación se puede su­ poner que 0 < x. (¿por qué?) (a) Puesto que y —x > 0 , del corolario 6.7(b) se deduce que.hay un número natural m tal que 0 < 1/m < y —x. A partir del corolario 6.7(a) existe un número natural k tal que sea n el mínimo número natural que cumple la condición. Por lo tanto, n -1 n ------ < x < - . m m Además se debe tener n/m < y, pues de otra manera n -1 < x<y < — m 1 m lo que implica que y —x < 1/m contrario a la elección de m. Por lo tanto, x < n/m < y. (b) Suponiendo que 0 < x < y y ^ > 0 , se tiene x/£ < y/£. Por el inciso (a) existe un número racional s tal que x / £ < s < y / £ Por lo tanto, x < s £ < y . (Demostrar que s% es irracional). Ejercicios 6.Á. Demostrar que un conjunto finito no vacío de números reales tiene un su­ premo y un ínfimo. 6.B. Si un subconjunto S de R contiene una cota superior, entonces esta cota su­ perior es el supremo de S. y6 .C . Dar un ejemplo de un conjunto de números racionales que esté acotado pero que no tenga un supremo racional. 6 .tí. Dar un ejemplo de un conjunto de números irracionales que tenga un su­ premo racional. ^ '6 ,E . Demostrar que la unión de dos conjuntos acotados es acotada. ^ 6.F. Dar un ejemplo de una colección contable de conjuntos acotados cuya unión sea acotada y un ejemplo en donde la unión sea no acotada. 6.G. Si S es un conjunto acotado en R y si Stfes un subconjunto no vacio de S. dem ostrar que inf S £ inf S0 £ sup S0 < sup S. En ocasiones es más conveniente expresar esto de otra manera. Sea D ^ 0 y sea / : D —» R con rango acotado. Si D„ es un subconjunto no vacío de D, entonces ¡n f{ f(x ):x e D} < inf { /(x ):x e D„) s su p { f(x ):x e D „}£ su p { /(x ):x e D}. 6.H. Sean X y Y conjuntos no vacíos y sea / : X x Y —» R ton rango acotado en R. Sean /,(x) = sup {/(x, y ): y e Y}, f,(y) = sup {/(x, y): x 6 X}. 62 Introducción al análisis matemático Establecer el principio de los supremos iterados: sup {f(x, y ) : x e X, y e Y} = sup {/,(* ); * € X} = sup{/J(y):y e y}. Algunas veces se expresa esto en símbolos por medio de sup f(x, y) = sup sup f(x, y) ~ sup sup f(x, y). *-y * y y n 6.1. Sean / y /, como en el ejercicio anterior y sea g2(y) = inf{/(x, y ) :x e X } Demostrar que sup {g2( y ) : y e Y} «s inf { /,(x ): x £ X}. Demostrar que para desigualdad estricta puede suceder. Algunas veces esta desigual­ dad se expresa de la siguiente manera: sup inf /(x, y) ¿ inf sup f(x, y). y * « y 6.J. Sea X un conjunto no vacío y sea f : X —* R con rango acotado en R. Si a € R, dem ostrar que sup {a + f ( x ) :x e X} = a + sup { f ( x ) : x e X} , inf {a + f(x) : x s X } = a+in( {f (x): x e X}. 6.K. Sea X un conjunto no vacío y s e a n /y g funciones definidas en X con rangos acotados en R. Demostrar que inf { /(x ): x e X} + inf {g(x): x e X \ s inf {/(x) + g (x ): x e X} s in f{ /(x ):x e X } + su p { g (x ):x € X } « ;su p { /(x ) + g ( x ):x e X } < sup { /(x ): x 6 X} + sup (g (x ): x 6 X}. Dar ejemplos para probar que cada desigualdad puede ser absoluta. , 6.L. Si z > 0 dem ostrar que existe n e N tal que 1/2" < z. 6.M. Modificar la demostración del teorema 6.8 para probar que si a > 0 , en­ tonces el número b = sup {y 6 R :0 s y, y 's a ) existe y tiene la propiedad de que 62= a. Este número se denotará por medio de Va o a 'n, y se llama la raiz cuadrada positiva de a. 6.N. Emplear el ejercicio 5.P para dem ostrar que si 0 < a < 1, entonces 0 < a < V a < 1, mientras que si l < a , entonces l < s / a < a . Los números reales 63 Proyectos f 6 .a.S i a y b son números reales estrictam ente positivos y si r» € N, ya se han defi­ nido a ' y b ”. por inducción m atem ática se deduce que si m. n e N , entonces (i) a ma" = a — ; (ii) (a")* = a “ ; (iii) ( ab)' = a ”b ’ ; (iv) a < b si y sólo si a" < 6". Se adoptará el convencionalismo de que a u = 1 y a"" = l / a \ En estos térm inos se ha definido a ' para x en Z y fácilmente se puede verificar que las propiedades (i)-(fi) siguen siendo válidas. Se'quiere definir a ’ para números racionales x de tal manera que se cumplan (i)- Iii). Los siguientes pasos se pueden usar como un esquema. En todos ellos se supondrá que a y b son números reales mayores de I. (a) Si r es un número raciona! dado por r = m/n, en donde ni y n son enteros y n > 0 , se define S,(a) = {x e R i Ü s x ' í í i "). D em ostrar que S ,(a)es un subconjunto acotado no vacio de K y defínase a ' = su p S ,(a ). (bI Demostrar que z = a' es la única raíz positiva de la ecuación Z" = a " . (Suge­ rencia: hay una constante K tal que si 0 < e < 1, entonces(1 + e)" < 1 + K e. De modo que si x” < a m< y", existe una e > 0 tal que , x ”( l + e)" < a m< y"/(l + e)".) (el Demostrar que el valor de a' que se dio en la parte (a) no depende de la repre­ sentación de r de la forma m /n.D em ostrar también que si r es un entero, entonces la nueva definición de a' da el mismo valor que la anterior. (di Demostrar que si r, s e Q, entonces a'a' = a " ’ y (a')' = a ”. (e) Demostrar que a ’b' = (ab)'. (f) Si r e Q, r > 0 , entonces a < b si y sólo si a' < b'. ( g l S \ r , s e Q , entonces r < s si y sólo si a' < a'. "♦ (h) S¡ e es un número real tal que 0 < c < 1, se definec' = (l/c)"'.D em oslrar que los puntos (di y (el son válidos y que también es válido un resultado similar al de (g), pero con la desigualdad invertida. 6.0. Una vez que a* se ha definido para números racionales x. se desea defi­ nirla para ,v reales. Al hacer esto se emplearán libremente los resultados del proyecto anterior. Igual que entonces, sean a y b números reales mayores que I. Si u e R, sea T„(a) = { a ': r e Q , r < u}. Demostrar que Tu(a) es un subconjunto acotado y no vacío de R y definir tS e pretende que los proyectos sean un poco más alentadores para el lector: sin embargo, difie­ ren considerablemente en cuanto a la dificultad. Se han puesto aquí estos tres proyectos (algodi- ficiles) porque es el lugar que lógicamente les corresponde, t i lector deberá regresar a ellos más adelante, una vez que haya adquirido más experiencia con los supremos. 64 Introducción al análisis matemático a" = supT »(a). Demostrar que esta definición da el mismo resultado que la anterior cuando u es ra­ cional. Establecer las propiedades que corresponden a las afirmaciones que se dan en los incisos (d)-(g) del proyecto anterior. La función tan im portante que se ha definido en R en este proyecto se llama funcióa exponencial (base a). En las siguientes secciones se darán otras definiciones alternativas. Algunas veces es conveniente denotar esta función mediante el símbolo exp. y denotar su valor en el número real u por medio de exp„(u) en vez de a “. 6.y. Haciendo uso de las propiedades de la función exponencial que se dan en el proyecto anterior, dem ostrar que exp. es una función inyectiva con dominio R y. rango { y e H :y > 0 } . Con el supuesto fijo de que a > 1 , esta función exponencial es estrictam ente creciente en el sentido de que si x<u, entonces exp.(x)< exp.(u). Por lo tanto, existe la función inversa con dominio {t 6 II :v > 0 } y rango R. A esta función inversa se la llama logaritmo (base a) y se denota por log.. Demostrar que log. es una función estrictam ente creciente y que exp.(log.(o)) = u para u > 0 , log.(exp.(u)) = u para u e R. Probar también que lo g .(l) = 0, lo g .(a ) = 1, y que lo g .(u ) < 0 p a r a o c l , lo g .(o ) > 0 p a r a o > l . D emostrar que si u, w > 0 , entonces log.(ow ) = log.(t>) + log.(w ). Además, si t> > 0 y x e R , entonces log.(o") = x log.(o). Sección 7 Cortaduras, intervalos y el conjunto de Cantor Otro método para completar los números racionales y obtener R fue ideado por Dedekindt;se basa en el concepto de “cortadura” . 7.1 DEFINICION. Se dice que un par ordenado (A.B) de subcon­ juntos no vacíos de R forma una cortadura si A f i B = 0, A U B = R, y a < b para toda a e A y toda b e B. t RICHARD DEDKKIND (liO 1-1916) fue alumno de Gauss. Hizo aportaciones a la teoría de números pero es mejor conocido por su trabajo en los fundamentos del sistema de números rea­ les. Los números reales 65 { Figura 7.1 Una cortadura de Dedekind Un ejemplo típico de una cortadura en R se obtiene para un elemento fijo £ e R definiendo A = { x € R :x < £}, B = { x e R :x > £ } . Alternativamente se podría tomar Ai = {xe R :x < £ } , B i= { x € R :x ¿ í} . Es una propiedad importante de R que toda cortadura en R esté deter­ minada por algún número real. En seguida se establece esta propiedad. 7.2 PROPIEDAD DE CORTADURA. Si (A.B) es una cortadura en R , entonces existe un número único i e R tal que a < £ pora toda a e A y para toda b e B . DEMOSTRACION. Por hipótesis, los conjuntos A y B son no vacíos. Cualquier elemento de B es cota superior de A. En consecuencia, A tiene un supremo al que se denota por £• Dado que £ es una cota superior de A , entonces a s £ para toda a 6 A. » Si b e B , entonces, por la definición de una cortadura a < b para toda a e A. De ahí que b sea una cota superior de A y £ £ b. De esta manera se ha demostrado la existencia de un número con las propiedades establecidas. Para ratificar la unicidad de £» tome tj e R tal que a < tj para toda a € A y tj s b para toda b e B . Se deduce que tj es una cota superior de A. de ahí que £ < tj . Si £ < tj, entonces existe un número £ = (£ + tj)/2 tal que £ < £ < tj . Ahora bien, £ € A o £ e B . Si £ e A, se contradice el hecho de que a < £ para toda a e A. Si £ e B, se contradice el hecho de que tj ^ b para toda b e B . Por lo tanto, se debe tener £ = tj. q .e .d . De hecho, lo que Dedekind hizo fue esencialmente definir un número real como una corladura en el sistema de números racionales. Este proceder permite “ construir” el sistema de números reales R a partir del conjunto Q de números racionales. Celdas e intervalos Si a e R, entonces los conjuntos { x e R :x < a } , { x e R :x > a } 66 Introducción al análisis matemático se denominan radios abiertos determinados por a. Análogamente, los conjun­ tos. [xeRzx^a}, { ie R :i> a } se denominan radios cerrados determinados por a. A! punto a se le llama punto terminal de estos radios. A estos conjuntos con frecuencia se les asig­ nan las siguientes notaciones ( - 00, a), (a, +«■), ( - » , a], [a, + “ ), respectivamente; en este caso —oo y +oo son simples símbolos y no deben con­ siderarse elementos de R. Si a, b e R y a < b, entonces el conjunto { x e R :a < x < b } se denomina celda abierta determinada por a y b y con frecuencia se denota por (a. b). El conjunto {x e R : a < x « b} se denomina celda cerrada determinada por a y b y se denota por [a, b]. Los conjuntos {x e R : a s, x < b}, {x e R : a < x < b} se denominan celdas semiabiertas (o semieenadas) determinadas por a y b se denotan por [o, b), (a, b], respectivamente. A los puntos a, b se Ies llama los puntos terminales de estas celdas. Por un intervalo en R se entiende un radio, una celda o bien todo R. De modo que hay diez tipos diferentes de intervalos en R, a saber, 0, ( - “>,«), a], [<*. b], [a, b), (a ,b ], (a, b), [b ,+ »), (b, +°°), R, en donde a , b e R y a < b . Cinco de estos intervalos están acotados. Dos es­ tán acotados por arriba y no por abajo y dos están acotados por abajo y no por arriba. La celda unitaria (o intervalo unitario) es el c o n ju n to [0, l] = { x e « : 0 s x < l } . Se usará la notación clásica I para simbolizarlo. Se dice que una sucesión de intervalos I«, n e N, es nidificada cuando es válida la cadena I .2 Í 2 2 I j 2 - • 2 Í . 2 Í , <i 2 - • * de inclusiones. importante observar que una sucesión nidificada de inter­ valos no necesariamente debe tener un punto en común. De hecho, se de­ Los números reates 67 mostrará en un ejercicio que si L, - (n, +«>), n e N, entonces la sucesión de in­ tervalos que se obtiene es nidificada pero no tiene ningún punto en común. Análogamente, si J„ = ( 0 ,1/rf), n e N , entonces la sucesión es nidificada pero no tiene ningún punto en común. Sin embargo, es una propiedad muy importante de R en que toda suce­ sión nidificada de celdas cerradas tenga algún punto en común. En seguida se demuestra este hecho. 7.3 PROPIEDAD DE CELDAS NIDIFICADAS. Si n e N , sea I„ una celda no vacía, cerrada en R y suponga que esta sucesión es nidificada en el sentido de que I, 2 h 2 *• • 2 I« 2 * • * . Entonces existe un elemento que pertenece a todas estas celdas. DEMOSTRACION. Suponga que I. = [a., b*], en donde f l . s k . para toda n e N . Observe que /„ c J, para toda n. entonces < b, para toda n. Por lo tanto, el conjunto {a.: n e N } está acotado por arriba. Sea £ su su­ premo, entonces a„ £ £ para toda n. Se sostiene que £ < bn para toda n e N . De no ser así, existiría alguna m 6 N tal que b„ < £. Dado que £ es el supremo de { o ,: n e N}debe existir ar tal que bm < a*. Sea q el mayor de los números naturales m y p. Puesto que úi < a 2 s • • • £ • y > • • •> bm> • • • se deduce que bq < fcu, < a p £ a , . Pero esto implica que 5, < a,, contrario al supuesto de que t, = [a„ b,]en una celda cerrada no vacía. Por lo tanto £ < b. para toda n e N . Como a» < £ £ b*, se deduce que £ e L, = [ a«, h, J para toda n e N . Q.E.D. Observe que, con la hipótesis de 7.3. puede haber más de un elemento en común. De hecho, si se supone que tj = inf ¡ b , : n e N },queda como ejercicio demostrar que .& * !] = n l . neN El conjunto de Cantor En seguida se definirá un subconjunto de la celda unitaria / que resulta ser de gran interés y a menudo útil en la construcción de ejemplos y contrae­ jemplos. Este conjunto se denota por Fy se le asigna el nombre de conjunto de Cantor (aunque álgunas veces también se le llama conjunto ternario de Cantor o discontinuo de Cantor). Una manera de describir F es considerándolo como el conjunto de números reales en / que tienen una expansión ternaria (= base 3) usando úni­ camente los dígitos 0,2. Sin embargo, se decidió definirlo en otros términos. ¡ 68 Introducción at análisis matemático En un sentido más preciso, F consta de aquéllos puntos en / que restan des­ pués de haber suprimido, sucesivamente, intervalos del “ tercio medio” . Explícitamente: si se suprime el tercio medio abierto de /, se obtiene el conjunto F, = [<U ]U & i]. Si se suprime el tercio medio abierto de cada uno de los dos intervalos cerra­ dos de F, se obtiene el conjunto F ^ M u tU ju & IM U ]. Por tanto F2 es la unión de4(= 2*) intervalos cerrados, todos los cuales son de la forma [fc/32, (k + l)/3 2]. Se puede obtener ahora el conjunto Fj supri­ miendo el tercio medio abierto de cada uno de los conjuntos. En general, si F„ ha sido construido y consta de la unión de 2" intervalos de la forma [k/3’, (k + 1)/3"], entonces F„+i se obtiene suprimiendo el tercio medio abierto de cada uno de estos intervalos. El conjuntó de Cantor es lo que queda después de haber llevado a cabo este proceso para cada n en /V. 7.4 DEFINICION. El conjunto de Canto F es la intersección de los conjuntos F„ n e N, que se obtienen de la Supresión sucesiva de tercios medios abiertos. A primera vista parecería que al final todo punto se suprime siguiendo este pro­ ceso. Sin em bargo, éste evidentemente no es el caso ya que los puntos 0,1/3,23,1 perte­ necen a todos los conjuntos F„, n e N, y por lo tanto n al conjunto de C antor F. Dq hecho con facilidad se puede ver que hay un número infinito de puntos en F, a pesar de que F e s relativamente angosto conforme a otros criterios. No es difícil dem ostrar que hay una cantidad no numerable de elementos de F y que los puntos de F se pueden po­ ner en correspondencia uno a uno con los puntos de /. De ahí que el conjunto F con­ tenga un gran número de elementos. En seguida se dan dos criterios para los cuales F resulta ser “ angosto” . Prim ero se ve que F no contenga ningún intervalo no vacío, ya que si x pertenece aFy(a.b)es un intervalo abierto que contiene a x, entonces (a, b) contiene algunos tercios medios Ft Fs F* Figura 7.2 El conjunto de Cantor Los números reales 69 que fueron suprimidos para obtener F. (¿por qué) De ahí qutf (a. b) no es un subcon­ junto del conjunto de C antor, pero contiene una infinidad de puntos en su comple­ mento ^ ( F ) . Un segundo criterio para el cual F es angosto es en relación con la “ longitud” . Aun cuando no es posible definir longitud para subconjuntos arbitrarios de R, es fácil convencerse uno mismo de que F no puede tener longitud positiva puesto que la longi­ tud de F, es !, la de F2 es I y, en general, la longitud de F„ es (I)". Dado que F es un subconjunto de F„, no puede tener una longitud que exceda a la de F„. Como esto debe ser válido para cada n en N, se deduce que F, a pesar de ser no contable, no puede te­ ner longitud positiva. A pesar de lo extraño que puede parecer el conjunto C antor, observa relativamente un buen com portamiento en muchos sentidos. Proporciona una idea de lo complicado que pueden ser algunos subconjuntos de R y lo poco que nos guía la intuición. T am ­ bién sirve como una prueba para los conceptos que se darán en secciones posteriores y cuyos significados no se pueden com prender del todo en términos de intervalos y de otros subconjuntos muy elementales. Modelos para R En las secciones 4-6 se ha definido R axiomáticamente en el sentido de que se ha proporcionado una lista de algunas propiedades que se supone tiene el conjunto. Esta definición hace que surja una pregunta en cuanto a si el con­ junto en realidad existe y hasta qué punto está determinado de manera única. Aunque no se habrán de contestar estas preguntas, sin duda son convenientes algunas aclaraciones acerca de ellas. La existencia de un conjunto que sea un campo ordenado completo se puede demostrar por simple construcción. Si uno se siente lo suficientemente familiarizado con ebcampo racional Q, puede definir a los números reales como subconjuntos especiales de Q y definir suma, multiplicación y relacio­ nes de orden entre estos subconjuntos de tal manera que se obtenga un campo ordenado completo. Existen dos procedimientos clásicos que se usan para ha­ cer esto: uno es el método de Dedekind de “ cortaduras” que se analiza en el libro de Rudin citado en la bibliografía. El otro es el método de Cantor de “ sucesiones de Cauchy” que se analiza en el libro de Hamilton y Landin. En el último párrafo se ha asegurado que es posible construir un modelo de R a partir de Q (cuando menos de dos maneras diferentes). También es po­ sible construir un modelo de R a partir del conjunto N de números naturales y es lo que a menudo se toma como punto de partida por aquellos que, como K roneckert, consideran a los números naturales dados por Dios. Sin em­ bargo, puesto que hasta el conjunto de números naturales tiene algunas sutile­ zas (como es la propiedad del buen orden), se cree que el procedimiento más t LEOPOLD KRONECKER (1823-1891) estudió con Dirichlet en Berlín y con Kummer en Bonn. Después de haber hecho una fortuna, antes de los treinta años, regresó a las matemáticas. Es conocido por su trabajo en álgebra y teoría de números y por su oposición personal a las ideas de Cantor acerca de la teoría de los conjuntos. 70 Introducción al análisis matemático satisfactorio es seguir el proceso de construir primero el conjunto N a partir! de conceptos primitivos de teoría de conjuntos, después construir el conjunto! de enteros, luego el campo Q de racionales y por último el conjunto R. Este' procedimiento no es especialmente difícil de seguir y es edificante; sin em­ bargo, es un poco largo. Dado que se proporciona con detalle en el libro de Hamilton y Landin, no se dará aquí. A partir de las observaciones ya hechas, es claro que se pueden construir campos ordenados completos de distintas maneras. De modo que no se puede decir que hay un campo ordenado completo único. En cierto sentido, de todos los métodos de construcción sugeridos con anterioridad se derivan campos ordenados completos que son “ isomorfos.” (Esto significa que si R¡ y R 2 son campos ordenados completos obtenidos a partir de estas construcciones, en­ tonces existe una aplicación uno a uno <p de R¡ sobre R i tal que (i) <P manda un elemento racional de R i hacia el elemento racional correspondiente de R i, (ii)<p manda a + b hacia <p(a) + <p(b), (iii) <j>manda ab hacia <p(a)<p(b) y (iv) «p manda un elemento positivo de R, hacia un elemento positivo de R 2.) Con base en la teoría de conjuntos elemental, se puede proporcionar un argu­ mento en el que se demuestre que cualquier par de campos ordenados completos es isomorfo en el sentido recien descrito. El que esté argumentado se pueda formalizar a partir de un sistema de lógica dado depende de las re­ glas de inferencia que se empleen en el sistema. De modo que la pregunta acerca de hasta qué grado el sistema de números reales se puede considerar determinado de manera única es un problema de lógica bastante delicado. Sin embargo, para nuestros propósitos esta unicidad (o falta de ella) no es impor­ tante, ya que se puede escoger algún campo ordenado completo en particular como modelo para el sistema de números reales. Ejercicios 7.A. Si (A. B) es una cortadura en R, dem ostrar que sup A = in f B. 7.B. Si las cortaduras (A , B) y (A ’, B') determinan en los números reales £ y respectivamente, dem ostrar que f < í ' implica que A e A ' , A A A'. 7.C. ¿Es verdad el inverso del ejercicio anterior? 7.D. Sea A = { i £ S : x < 0 y x '« 2 } y 8 = { x e R : x > 0 y x 2>2}. De­ m ostrar que (A. B) es una cortadura en R. 7.E. Sea l. ~ (n, +°°) para n e N. Demostrar que la sucesión de intervalos es nidi­ ficada pero que no hay ningún punto en común. 7.F. Sea i , = (0, 1/n) para n e N. D emostrar que esta sucesión de intervalos es ni­ dificada pero que no hay ningún punto en común. / 7.G. Si l. = [a., b„], ne N, es una sucesión nidificada de celdas cerradas, de­ m ostrar que Si se tom a £ = sup {a. : n e N] y tj = inf {b„ : m e IV}, d tm o strar que [£, tj] = f ) E- Los números reales 71 / X V 7.H. Demostrar que todo número en el conjunto de C antor tiene una expansión ternaria (= base 3) usando únicamente los dígitos 0,2. 7.1. Demostrar que la colección de puntos term inales “ por la derecha” en f e s nu­ merable. Demostrar que si todos estos puntos term inales se suprimen de F, entonces lo que queda se puede poner en correspondencia uno a uno con todo [0 ,1 ).Deducir que el conjunto F no es contable. 7.J. Todo intervalo abierto (a. bJ que contiene un punto de F también contiene a lodo un conjunto “ tercio medio” que pertenece a ^ ( F ) . Por lo tanto, F n o contiene ningún intervalo abierto no vacío. f 7.K.. Al suprimir conjuntos cuya longitud es decreciente, dem ostrar que se puede construir un conjunto “ a la manera de C antor” que tenga longitud positiva. ¿Qué tan grande se puede hacer la longitud de este conjunto? y ' 7.L. Demostrar que F no es la unión de un conjunto contable de intervalos cerra­ dos. II LA TOPOLOGIA DE E SP A C IO S CA RTESIA N O S \ Las secciones del capitulo I se dedicaron al desarrollo de las propiedades algebraicas, las propiedades de orden y la propiedad de completación del sis­ tema de números reales. Dichas propiedades se emplearán en forma constante en este capítulo y en otros posteriores. Aunque sería posible pasar de inmediato al análisis de sucesiones de números reales y funciones continuas reales, es preferible atrasar un poco el estudio de estos temas. De hecho, se intercalarán aquí las definiciones de espacio vecto­ rial, espacio normado y espacio de producto interno, ya que estos conceptos se entienden con facilidad y aparecen en todo el análisis (sin mencionar sus aplicaciones a la geometría, la física, la ingeniería, la economía, etc.). Desde luego, los espacios cartesianos R p serán de especial interés. Por fortuna, la idea que se tiene de R 2 y R 3 generalmente persiste, sin mucho cambio, en el espacio R p. El conocimiento de estos espacios es útil para analizar espacios más generales. Sección 8 Espacios vectoriales y cartesianos Un “ espacio vectorial” es un conjunto en el que se pueden sumar dos ele­ mentos y se puede multiplicar un elemento por un número real de tal manera que ciertas propiedades conocidas sean válidas. Ahora, con más precisión, se tiene lo siguiente: 8.1 DEFINICION. Un espacio vectorial es un conjunto V (a cuyos elementos se les da el nombre de vectores) provisto de dos operaciones bina­ rias llamadas suma vectorial y multiplicación escalar. Si x, y e V hay en V un elemento x + y llamado la suma vectorial de x y y. Esta operación de suma vectorial satisface las siguientes propiedades: (A l)x + y = y + x para todas x, y en V; (A2) (x + y) + z = x + (y + z) para todas x, y, z en V; 73 .. 74 Introducción al análisis matemático - (A3) existe un elemento O en Ktal que 0 + x = x y x + 0 = x para todax en V; i •- . (A4) dada x en V hay un elemento —x en V tal que x + (—x) = 0 y ( - x ) + x = 0 . S i a e R y x e V hay un elemento ax en V llamado el múltiplo de a y de x. Esta operación de multiplicación escalar satisface las siguientes propiedades: (M I) lx = x para toda x e V ; (M2) a(bx) = (ab)x para todas a, b e R y x e V ; (D) a(x + y) = ax + ay y (a +b)x =ax + byl para todos los reales a, b e R y x, y e V. En seguida se darán algunos ejemplos, elementales pero importantes, de espacios vectoriales. 8.2 EJEMPLOS, (a) El sistema de números reales es un espacio vectorial en que las operaciones de suma y de multiplicación escalar son la suma y la multiplicación ordinarias de los números reales. (b) Se denotará al producto cartesiano R x R por medio d e # 2. Enton­ ces, R 2 consta de todos los pares ordenados (xi, x2) de números reales. Si se definen suma vectorial y multiplicación escalar por (xí, x2) + (yi, y2) = (x, + y i, x2+ y2), a(xi, x2) = (oxi, ax2), entonces fácilmente se puede comprobar que las propiedades de la definición 8.1 se satisfacen. En este caso [0 = (0,0) y ~(xi, x2) = (—x2, —x2).] Por lo tanto, R 2 es un espacio vectorial bajo estas operaciones. (c) Sea p e N y sea R p la colección de todas las “p-adas” ordenadas (X |, X2, . . . , Xp) con x¡ e R para i = 1 , . - . , p . Si se definen suma vectorial y multiplicación escalar por (x,, x2, . . . , XpJ + íyi, y2, . . . , yP) = (xi + yi, x2+ y 2, . . . , Xp + yP) a(xi, x2, . . . , Xp) (uxi, ux2, . . . i <iXp), entonces con facilidad se puede comprobar que R p es un espacio vectorial bajo e sta s operí^ciones. Se puede ver que [0 = ( 0 ,0 ,. . . , 0) y (X i, X2, . . . , Xp) ~ ( Xi, X2, • * - , Xp).]. ( d i Sea S cualquier conjunto y denote R s a la colección de todas las fun­ ciones u con dominio S y rango en R. (De donde, R s es la colección de todas las funciones de valor real definidas en S.) Si se define u + v y au por (u + w)(s) = u(s)+V(s), (au)(s) = au(s), La topología de espacio' cartesianos 75 para toda s e S, se puede comprobar con facilidad que R s es un espacio vec­ torial bajo estas operaciones. Es este caso O es la función idénticamente igual a cero y - u es la función cuyo valor en s e S es —u(s).]. En secciones posteriores se encontrarán muchos otros espacios vectoria­ les. Por lo general, se escribirá x - y en vez de x + (-y ) Productos internos y normas t El lector observará que la multiplicación escalar en ur espacio vectorial es una función con dominio R x V y rango V. Muchos espacios vectoriales mbién están provistos de una función, con dominio V x Vy rango R, que re­ sista ser importante ,8.3 DEFINICION. Si V es un espacio vectcrial, entonces un prodiicto interno (o producto puntual) es una función de V 5 V a R, denotada por (A y) •-* x • y, que satisface las siguientes propiedades (r) x • x > 0 para toda x e V ; (ii) x • x = 0 si y sólo si x = 0 ; s (iii) x • y = y • x para todas x, y e V; (iv) x - ( y + z) = x - y + x- z y (x + y ) - z = x - z + y- x para todas x, y .z e V : (v) (ax) • y = a(x - y) = x • (ay) para todas a e R, y >• y e V. Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto interno se llama espacio de producto interno. Es posible que productos internos distintos se definan en un mismo espa­ cio vectorial (cf. ejercicio 8.D). 8.4 EJEMPLOS, la) La multiplicación ordinaria en R satisface las pro­ piedades anteriores; por tanto, R es un espacio de producto interno. (b) En R 2, se define (x,, x2) • (yi, yO = x,v, + x2y2. Resulta fácil comprobar que esto define prcisaments a un producto in­ terno en R*. (c) En R p, se define (x,, x2, . . . , Xp) (y,, y2, . . . , yP) = x,y, + x2y2+ • • - + x^y,,. Resulta fácil comprobar que esto define a un producto interno en R r. / 8.5 DEFINICION. Si V es un espacio vectorial, entonces una norma en V es una función de V a R denotada por x ►-*¡|xj) que satisface las siguien­ tes propiedades: i 76 Introducción al análisis matemático (i) ||x|| 2 O para toda x € V; (ti) ||x|| = 0 si y sólo si x = 0; (iii) ||ax|| = |aj||x|| para toda a e R , x e V; (iv) Ux + y ||s ||x || + ||y|| para toda x, y e V. Un espacio vectorial en el que se ha definido una norma recibe el nombre de espacio normado. En los ejercicios se verá que un mismo espacio vectorial puede tener va­ rias normas interesantes. 8.6 EJEMPLOS, (a) La función valor absoluto en R satisface las propie dades que aparecen en 8.5. (b) En R 1, se define ||0c„x2)|| = (x12+ x22)*'2. Las propiedades (i), (ii) y (iii) son muy fáciles de comprobar. La propie­ dad (iv) es un poco más complicada. (c) En R f, se define Il(xi, x2, . . . , x,)|| = (xi2-t- x22+ • • • + xp2),/\ De nuevo las propiedades (i), (ii) y (iii) son fáciles. En seguida se dará un teorema en el que se afirma que un producto in- ¡> terno siempre se puede usar para definir una norma de una manera muy natu­ ral. 8.7 TEOREMA. Sea V un producto interno y defínase ||x||por medio de ||x|| = Vx • x para t e V. Entonces x *-» ||x|| es una norma en y y satisface la propiedad (*) * • y < ||x|| ||y|j. Además, si x y y son distintos de cero, entonces la igualdad se satisface en (x) si y sólo si hay algún número real estrictamente positivo tal que x = cy. DEMOSTRACION. Dado que x • x 2 0 para toda x 6 V , la raíz cuadrada de x • x existe, de manera que ||x|¡ está bien definido. Las tres pri­ meras propiedades de la norma son consecuencia directa de 8.3 (i), (ii) y (v). Para demostrar (x). sean a, b e R, x,y e V, y z = a x - b y . Empleando las propiedades 8.3 (i), (iii), (iv) y (v) se obtiene 0 < z • z = a 2 x • x - 2 ab x.; y + b2 y - y. Tom-i ahora a = ||y|| y 6 = ¡|x|j, para obtener La topología de espacios cartesianos 77 o*Ij£WP>-í MW* ■y+Míyft' - 2 H iy ll( I M I I y l- * - y > - „„ \ \ - i ( V i —. < {\ V. iW f'K f Por lo tanto, la desigualdad (x) se satisface. Si x==cy con c > 0 , entonces N l = c||y|| por lo que x • y = (cy) • y = c(y • y) = c Ry||* = Bx|||yfl de mopo que la igualdad es válida en (x). De manera inversa, si x * y —||j¿|| üy|| el cálculo hecho en el párrafo anterior muestra que 2 - llyIIx T l¡x¡| y tiene la propiedad de que z • z = 0 . Por lo tanto, z = 0 y puesto que x y y son vectores distintos de cero, se puede tomar c = ||x||/||y||. Para probar 8.5 (¡vi se usa (*9)y se demuestra que l|x + y||2 = (x + y) • (x + y) =x-x+x-y+y-x+y-y = llxll2+ 2(x • y) + ||y||2 —Iix||2+ 2|(x|| ||y|| + ||y||J V =£(l|x|Mly|l)2, por lo tanto, se deduce que |jx + y|| < ||x|| + ||y|j para todas x, y e V. La demostración del siguiente corolario se deja como ejercicio. 8.8 COROLARIO. S i x, y son elementos de V. entonces (*•) |x - y |^ ||x ||||y ||. Además, si y - ¿ 0 , la igualdad es válida en (*Vjs¡y sólo si hay un número real c tal que x = cy . Las dos desigualdades (*9}y (**9jreciben el nombre de desigualdad de Schwarz o desigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz.tEstas desigualda­ des se usarán con frecuencia posteriormente. A ,la desigualdad 8.5 íiv) se le llama desigualdad del triángulo. Se deja al lector demostrar que t AUGUSTIN-LOUIS CAUCH Y (1789-1857) fue el fundador del análisis moderno, pero tam­ bién hizo importantes aportaciones en otras áreas de las matemáticas. Prestó sus servicios como ingeniero al mando de Napoleón, siguió a Carlos X en el exilio, que él mismo se impuso, y fue ex­ pulsado de su puesto en el “Colegio de Francia" durante los años de la monarquía de Julio por no prestar un juramento de lealtad. A pesar de sus actividades políticas y religiosas encontró tiempo para escribir 789 trabajos acerca de matemáticas. VICTOR BUNYAKOVSKII (1804-1889), profesor en San Petersburgo, estableció una ge­ neralización de la desigualdad de Cauchy para integrales en 1859-1859. Su contribución pasó inadvertida para los escritores occidentales y más tarde Schwarz la descubrió independiente­ mente. HERMANN AMANDUS SCHWARZ (1843-1921) fue alumno y sucesor de Weierslrass en Berlín. Hizo numerosas aportaciones, especialmente al análisis complejo. 78 Introducción al análisis matemático para cualesquiera x, y en un espacio normado. El espacio cartesiano R p El espacio cartesino real /^-dimensional es el conunto Rp provisto de la suma vectorial y la multiplicación escalar definidas en el ejemplo 8.2le) y del producto interno definido en el ejemplo 8.4^). Como ya se ha visto, este pro­ ducto interno da origen a la norma ||(jci, x2, ■ .., Xp)|| = Vxi2+ x22+ - • - + xp2. Los números reales Xi, x2, ...,X p reciben el nombre de primera, se­ gunda, p-esima coordenadas (o componentes) del vector x = (x ,,x 2, ...,X p ). En R p, el número real M se puede considerar como la “ longitud” dex o como la distancia de x a 0. Generalizando, ||x - y|jse le considera como la dis­ tancia de x a y. Con esta interpretación, la propiedad 8.5 i¡i) asegura que la distancia de x a y es cero si y sólo si x = y. La propiedad S.S(iii). con a = —1 , asegura que ||x - y || = ¡¡y —x||, lo que significa que la distancia dex a y es igual a la distancia de y a x. La desigualdad del triángulo implica que l|x y|| ^ ||x —z|| + ||z —y||, lo que significa que la distancia dex a>’ no es mayor a la suma de la distancia de x a z y la distancia de z. a y. 8.9 DEFINICION. Sean x e R p y r > 0 . Entonces, al conjunto {y e R p: ||x - y||< r} se le llama la bola abierta con centrox y radio r. Al con­ junto {y e R p: ||x - y|¡ & r} se le llama la bola cerrada con centro x y radio r. Al conjunto {y e R p :||x - y|| = r} se le llama la esfera con centro x y radio r. La descripción de una bola depende de la norma. En los ejercicios se verá que algunas bolas no son muy “ redondas” . A menudo es conveniente que haya relaciones entre la norma de un vec­ tor en Rp y la magnitud de sus componentes. 8.10 TEOREMA. S i x = {xi, x2, . . . , Xp) es cualquier elemento de R r, entonces |x í| s ||x| Vpsup {|x11, |x2| , . . . . |x„|}. DEMOSTRACION. Dado que ||x|[2= Xi2+ x22+ - • - + x,2, es claro que |x¡| ■&j|x|j para toda /. Análogamente, si M = sup {ix(|, |x2| , . . . , ¡Xp|}, entonces ||x|j2s p M \ por lo que ||x{] <>/p M. La topología de espacios cartesianos 79 Pelota abierta Pelota cerrada con centro x con centro x Figura 8.1 L a desigualdad que se acaba de establecer asegura, en form a cuantita­ tiva, que. si la n o rm a de x es pequeña, entonces las longitudes de sus com po­ nentes soii pequeñas. Se asegura tam bién lo inverso. Ejercicios 8.A. Si Les un espacio vectorial y si x + a = * para algunas x y z en V, demostrar que z = 0 - Por lo tanto, el elemento cero en V es único. 8.B. Si x + y = 0 para algunas x y y en V, demostrar que y = - x . . 8.C.Sea S ={1, 2 , . . . . p} , para alguna p e N . Demostrar queel espacio vecto­ rial R s es “esencialmente el mismo” que el espacio R '. 8.D. Si w, y w2 son estrictamente positivos, demostrar que la definición (x„ x j - (y„ y2) = x,y,w, + x2y2w2, da un producto interno en R 2. Generalizar esto para R '. 8.F.. La definición J (* i,x 2)-(y ., y2) = * iy 1 no es un producto interno en R 1. ¿Por qué? 8.F. Si x = (x,, x2, . . . , x ,) e R ', defínase flx|ji por medio de ||x |1= |x ,t+ |x 2| + - - - + |x ,|. Demostrar que x •-* ||x|ji es una norma en R '. 8.G. Si x = (Xi,x2, . . . , x r) e R ' , defínase ||x||_ por medio de |xU_ = sup{|x,|,|x2|........ |x,[}. Demostrar que x>~*||x||» es una norma en R p. 8.H. En el conjunto R 2, describir los conjuntos S , = {x 6 R ’ : ||x||, < 1}, S .= { x e R ! : |x¡j_< 1}. 80 Introducción al análisis matemático 8.1. Si x, y e R '. l a norma definida en 8-4íW satisface la igualdad del par gramo: II*+yfl’+flx-yf =20l*ll2+llyir)- Demostrar esto y probar que se puede interpretar diciendo que la suma de los cuadra­ dos de las longitudes de ios cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales 8.J. Demostrar que las normas definidas en los ejercicios 8.F y 8.G no satisfacen la igualdad del paralelogramo. 8.K. Demostrar que existen constantes positivas a, b tales que a ||x||, < ||x|| s b IMI, para toda x € R p. Encontrar la mayor constante a y la menor constante b con esta propiedad. 8.L. Demostrar que existen constantes positivas a, b tales que a ||x||, < ||x||. s b ||x|t para toda x e R r. Encontrar la mayor constante a y la menor constante b con esta propiedad. 8.M. Si x, y pertenecen a R ',¿ E s verdad qué I* * y | s l|x||, llylli y |x • yj s ||x|U|y||. ? 8.N. Si x, y pertenecen a R p, ¿Es verdad que la relaciÓD l*+y|-l*l+|y| es válida si y sólo si x = cy ó y = ex con c 2 0? 8.0. Perteneciendo x, y a K’, ¿Es verdad que la relación l|x + y||» = ||x||. + ||y||. es válida si y sólo si x = cy ó y = ex con c 2 O? 8.P. Si x. y pertenecen a R \ entonces H*+ ylMI*IM|yir es válido si y sólo si x • y —0. En este caso se dice que x y y son ortogonales o perpendiculares. 8.Q- Un subconjunto K de R ' se dice que es convexo si, siempre que x, y perte­ nezcan a K y / sea un número real tal que 0 ^ t < i, entonces el punto (l- f)x + ty = x + t(y —x) itpmbién plártenece a K . Interpretar esta condición geométricamente y demostrar que los subconjuntos ; ■ * i»y ¡\ vS K , = {x e R J :||x || < 1}, ." r» '. tl‘ "■i. ¿i tt = T))€ R 2: 0 < ( ¡ < rj} , K j = { (?, ti) 6 R j : 0 £ ti 1}, La topología de espacios cartesianos 81 son convexos pero que el subconjunto K4= { x € R ’ : | x | - l } no lo es. 8.R. La intersección de cualquier colección de subconjuntos convexos de R ' es convexa. La unión de dos subconjuntos convexos de R f puede no ser convexa. 8.S. Si M es cualquier conjunto, entonces a una función d : M x M -* R se llama una métrica en M si satisface : (i) d ( x , y) Sí 0 para todas en i , y en M , (iil d ( x , y) = 0 si y sólo si x = y; (Hit d ( x , y ) = d ( y , x ) para todas x . y en M : i i v ) d ( x , y ) ^ d ( x , z ) + d ( z , y) para todas .v.t\r en M . Demostrar que si x •-* |x | es alguna norma en un espacio vectorial V y si se dc- ¡ d por medio de d ( x , y) = fix —yR . para x, y e V, entonces d es una métrica en V. 8.T. Suponga que d es una métrica en un conjunto M . Usando la definición 8.9 comó. modeló, definir una bola abierta con centro x e M y radio r. Representar a los conjuntos S , y S_ del ejercicio 8.H como bolas abiertas en R 1 con respecto a dos métrica^ diferentes. Interpretar el ejercicio 8.K diciendo que una bola con centro 0 res­ pecto de'la métrica d 2 (obtenida de la norma en 8.6(b í) contiene y está contenida en bolas con centro 0 respecto de la métrica d , que se obtuvo de ¡j fl,. Hacer interpreta­ ciones'análogas del ejercicio 8.L y del teorema 8.10. 8.U. Sea M cualquier conjunto y defina a d en M x M de manera que si * = y. d(*.y) = {j si x*y. Demostrar que d da una métrica en M en el sentido que se definió en el ejercicio 8.S. Si .v es cualquier punto en M , entonces la bola abierta con centro x y radio I (con res­ pecto a la métrica d) consta precisamente de un punto. Sin embargo, la bola abierta con centro .v y radio 2 (con respecto a d) consta de todo M . A esta métrica d algunas veces se la llama la métrica discreta en el conjunto M . Proyectos 8.a. En este proyecto se establecen algunas desigualdades importantes. (al Sean a y h números reales positivos. Demostrar que a b < ( a ’-l- b2)/2, y que la igualdad es válida si y sólo si a = b. (Sugerencia: considere (a —b)2.) (b l Sean a, y aj números reales positivos. Demostrar que ■Ja,a2 s (a, + a,)/2 la igualdad es válida si y sólo si a, = a 2 . I Sean a ,, a 2, . . . , a , m = 2" números reales positivos. Demostrar que (*) (a .a ^ - - o .)1'” a, + aj + • • •+ a^)/m y que la igualdad es válida si y sólo si a, = • • • = a_. 82 Introducción aI análisis matemático (d i Demostrar que la desigualdad (*) entre la media geométrica y la media arit­ mética es válida aun cuando ni no sea potencia de 2. (Sugerencia: si 2 "'1< m <2",sea b, = a, para j = 1 , .. ., m sea b¡ = (a , + a 2+ ----- \- a „ ) /m para j - m + 1 , . . . , 2“. Aplicar ahora el inciso (c) a los números i>„ b2, b 2-.) y / (e) Sean a„ a„ . . . , o. y i>„ b2, . . . , b . dos conjuntos de número reales. De­ mostrar la igualdad de i.agranget { £ Oib,} = { ¿ a.J] { É V } - | Í (albk - a t biy . (Sugerencia: intentar lo primero para n = 2 y n = 3.) (f) Usar la parte (e) para probar la desigualdad de Cauchy (,?,W*{?,<){.?, 4 Probar que la igualdad es válida si y sólo si los conjuntos ordenados (a ,, a 2, . . . , a») y (b„ b2, . . . , b„) son proporcionales. ^ <g) Usar la parle (f) para probar la desigualdad del triángulo ( Z c .+ w j «{£«,■ ) + { iv} 8./S. En este proyecto, sean {flli ... > etcétera, conjuntos de números reales positivos. (a) Se puede demostrar (por ejemplo, usando el teorema del valor medio que si a y b son positivos y 0 < a < 1 entonces a "b ' * s oa + (1 —a)b y que la igualdad es válida si y sólo si a = b. Suponiendo esto, sea r > 1 y considérese a .? tal que (de manera que s > 1 y r + s = rs). Demostrar que si A y B son positivos, entonces r s y que la igualdad es válida si y sólo si A ' = B'. fJO SEPH -LO U lS LAGRANGE (1736-1813) nació en Turín, en donde se convirtió en profesor a los diecinueve años. Más tarde se fue a Berlín, por un periodo de veinte años, como sucesor de Euler, *y después a París. Por lo que más se conoce es por su trabajo en el cálculo de variaciones y en mecánica analítica. La topología de espacios cartesianos S3 (bl Sean {a„ . . . . a . } y {b,,. . . , i».} números reales positivos. Si r, s > l y (l/r) + ( l/s ) = 1, probar la desigualdad de H oldert " f " ' 1 ,/r i 1 >/•\ L esjYt o,'} { l 6 , '| J ,-j . ii-i ) M-i ) / tSugerencia: Sean A = {Xa,'}"' y B = {L b,’}1' ' . Aplicar el inciso (a) ¡a,/A y bJB .)' (el Usando la desigualdad de Holder, probar la desigualdad de Minkowskyi^ (Sugerencia: (a + b)' = (a + b)(a + b)"’ = a(a + 6)"’ + b(a + 6)"\) (d) Usando la desigualdad de Holder, demostrar qye (1/n) £ o, s (1/n) Z < } - i- i l í-i ) (el Si a, s a2 y b , s b 2, entonces (a i —a 2)(b, —b2) a O y por lo tanto 0 , 6 , + a 2b 2 at a , b 2 + a 2b Probar que si O) a 2 < • • • s a , y 61 < b¡ < • • • £ 6. , entonces n t a , b , 2 : { ¿ a , j { ¿ b íJ. (fl Suponga que O s t t , s a , £ - " £ 0 .0 ^ b, < b 2 s ■ • • s b. y r ^ i Probar ¡a desigualdad de Chebyshet t |(l/n) Z 0) '| |(l/n) ¿ b,'| s {(1/n) ¿ (o&t)'] . Demostrar que esta desigualdad se debe invertir cuando [a,} es creciente y {6,} es decreciente. Sección 9 Conjuntos abiertos y cerrados En el análisis real, muchas de las propiedades de mayor contenido de­ penden de ciertos conceptos topológicos. En las siguientes secciones se ha- K)TTO HOl.DKR (1X59-19.17) estudió en Gotlingcn y dio clases en Leipzig. Trabajó tanto en álgebra como en análisis. t MLRMANN MINKOWSKI (I KM-1909) fue profesor en Konigsberg y Gotlingen. Por lo que más se le conoce es por su trabajo en conjuntos convexos y en la “geometría de números''. ■PAI ÑUTI L. CHLBYSHt.V (IX2I-1894) fue profesor en San Petesburgo. Mizo muchas contribuciones a las matemáticas, pero su trabajo más importante fue en teoría de números, pro­ babilidad y teoría de la aproximación. 84 Introducción al análisis matemático brán de introducir los conceptos básicos y establecer algunas de las propieda­ des topológicas más importantes del espacio R T. Estos resultados se usarán con frecuencia en los siguientes capítulos. 9.1 DEFINICION. Se dice que el conjunto G en R p es abierto en R ” (o simplemente abierto) si para cada puntox en G existe un número real r > 0 tal que todo punto y en R r que satisface ||x - y|| < r también pertenece al con­ junto G. (Fig. 9.1.) Usando la definición 8.9 se puede reformular esta definición diciendo que un conjunto G es abierto si todo punto en G es el centro de alguna bola enteramente contenida en G. 9.2 EJEM PLOS. (a) El conjunto R p, en su totalidad, es abierto ya que se puede tomar r = 1 para cualquier x. (bj El conjunto G = { x € R : 0 < x < 1} es abierto en R = R ‘. El conjunto F — { x e R : 0 ¿ i < 1} no es abierto en R. (¿por qué?) qué?) (c) Los conjuntos G = {(x, y )e R 2:x 2+ y 2< 1} y H - { ( x , y ):0 < x 2 + y2< 1} son abiertos pero el conjunto F = {(x, y) :x 2+ y2 £ 1} no es abierto en R \ (¿por qué?) (di El conjunto G = { (x ,y )e R 2: 0 < x < l , y = 0 } no es abierto en R 2. Hacer una comparación con (b). El conjunto H = {(x, y) 6 R 2:0 < y < 1} es abierto pero el conjunto K = {(x, y ) e R 2:0 < y < } no es abierto en R 2. (e) El conjunto G = {(x, y ,z ) e R 3:z > 0 } es abierto en R 3 así como el conjunto H = {(x, y, z ) e R 3: x > 0 , y > 0 , z >0}. Por otro lado, el conjunto F = {(x,y, z )e R * :x = y = z} no es abierto. Figura 9.1. Un conjunto abierto. i La topología de espacios cartesianos 85 (f) El conjunto vacío 0 es abierto en R p, ya que por no contener ningún punto el requisito de la definición 9.1, se satisface de manera trivial. (g) Si B es la bola abierta con centro z y radio a > 0 y si x e B, entonces la bola con centro .v y radio a - ||z —x|| está contenida en B. Por lo tanto, B es abierta en R p En seguida se establecen las propiedades básicas de conjuntos abiertos en R p. En cursos de topología el siguiente resultado se resume diciendo que los conjuntos abiertos, como se establecen en la definición 9.1, forman una topología para R p 9.3 PROPIEDADES DE CONJUNTOS ABIERTOS, (a) El con­ junto vacío 0 .v la totalidad de! espacio R p son abiertos en R p. (b) La intersección de cualesquiera dos conjuntos abiertos es abierta en R p. (c) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es abierta en R p. DEMOSTRACION. Ya se ha hecho referencia a la propiedad de abertura de los conjuntos 0 y R r. Para demostrar fb). sean G i, G i conjuntos abiertos y sea G j = Gj O G 2. Para demostrar que G3 es abierto, tome x € Gj. Dado que x pertenece al conjunto abierto G 1, existe r, > 0 tal que si ||x - z ||< rt, entonces z e G i . De manera análoga, existe r2> 0 tal que si ||x - w ||< r2 , entonces w € Gi. Escogiendo a r3 como el mínimo entre r, y r2, se concluye que si y e R p es tal que ||x - y||< r3, entonces y pertenece tanto a G 1 como a Gi. Por lo tanto, tales elementos y pertenecen a G j = G i n G 2, de­ mostrando que Gj es abierto en R p. Para demostrar (c), sea {G«, G p,...} una colección de conjuntos abiertos y sea G la unión de éstos. Para demostrar que G es abierto, tómese x € G. De la definición de unión se infiere, que para algún conjunto, tómese por ejemplo Gx, se tiene x e Gx. Dado que Gx es abierto, existe una bola con centro x contenida enteramente en Gx. Como Gx E G, esta bola está conte­ nida por completo en G, demostrando así que G es abierto en R p. Por inducción se deduce de la propiedad (b) que la intersección de cual­ quier coleccción finita de conjuntos también es abierta en R p. El hecho de que la intersección de una colección infinita de conjuntos abiertos pueda no ser abierta se ve en el siguiente ejemplo: (9.1) La intersección de los conjuntos G . es el conjunto F = { x e R : 0 á x s l},qt’« no es abierto. 86 Introducción al análisis matemático Conjuntos cerrados En seguida se da el concepto importante de conjunto cerrado en R p. 9.4 DEFINICION. Se dice que un conjunto F en R p es cerrado en R r (o simplemente cerrado) cuando su complemento ^(F)--=RP \ F e s abierto en R p. 9.5 EJEMPLOS, (a) La totalidad del conjunto R p es cerrado en R p, ya que su complemento es el conjunto vacio y se ha visto en 9.2(/} que este conjunto es abierto en R p. (bl El conjunto vacío 0 es cerrado en R p, ya que su complemento en R p es todo R p y se ha visto en 9.2(a) que es abierto en R p. (el El conjunto F = {x e R :0 < x < 1} es cerrado en R. Una manera de ver esto consiste en observar que el complemento de F en R es la unión de los dos conjuntos { x e R : x < 0}, j i e R : x > l } , cada uno de los cuales es- abierto. Análogamente, el conjunto { x eJR rO sx } es cerrado. (di El conjunto F = {(x, y ) e R 2:x2+ y 2 s 1} es cerrado, ya que su complemento en R 2 es el conjunto {(x, y ) € R J: x 2+ y 2> l} . y se puede ver que es abierto. Ce) El conjunto H = {(x,y,z) e R J: x > 0 ¡ es cerrado en R \ a s í como el conjunto F = {(x, y, z) e JR3: x = y = z}. (f) La bola cerrada B con centro x en R p y radio r > 0 es un conjunto rrado de R p, ya que si z i tí, entonces la bola abierta con centro z y radio | | z - x | | - r está contenida en <€ (tí ). Por lo tanto, ^ ( B ) es abierto y B es ce­ rrado en R p. En el lenguaje ordinario, cuando se trata de puertas, ventanas y mentes, las pala­ bras “ abierto” y “ cerrado” son antónimos. Sin embargo, cuando se aplican a subeon- juntos de R p, estas palabras no son antónimos. Por ejemplo, ya se ha visto que los con­ juntos 0 , R p son tanto abiertos como cerrador, en R '- (Probablemente el lector se sen­ tirá conforme al saber que no hay m ás subconjuntos de R p con ambas propiedades.) Además, hay muchos subconjuntos de R v que no son ni abiertos ni cerrados; de hecho, la mayoría de los subconjuntos de R ' tienen esta propiedad neutral. Como un ejemplo sencillo se da el conjunto (9.2) A - { x e t t : O < x < 1}. Este conjunto A no cumple con la proniedad de ser abierto en R, ya que contiene al punto O. Análogamente, no cumple con la propiedad de ser cerrado en R porque su complemento en R es el conjunto { x e R : x < 0 ó x a l } , que no es abierto por conte­ ner al punto 1. El lector deberá construir otros ejemplos de conjun os que no sean ni abiertos ni cerrados en R f. La topología de espacios cartesianos 87 En seguida se establecen las propiedades fundamentales de conjuntos ce­ rrados. La demostración de este resultado se deduce directamente del teo­ rema 9.3 usando las leyes de DeMorgan (teorema 1.8 y ejercicio l.K). 9.6 PROPIEDADES DE CONJUNTOS CERRADOS, (a) El conjun vacío 0 y todo el espacio R" son cerrados en R". (b) La unión de cualesquiera dos conjuntos cerrados es cerrada en R e. (c) La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es ce­ rrada en R r. I 1 'V - 1 / Vecindades Se introducirán ahora algunos conceptos adicionales de topología que resultarán útiles y harán posible la caracterización de conjuntos abiertos y ce­ rrados en otros términos. 9.7 DEFINICION. (a) Si x e R r, entonces cualquier conjunto qu contenga un conjunto abierto conteniendo a x se llama una vecindad de x. {bl A un punto x e R r se le llama un punto interior de un conjunto A c R ' cuando hay una vecindad de x enteramente contenida en A. le) A un punto x e R ' se le llama un punto frontera de un conjunto A £ R r cuando toda veciSdad de x contiene puntos en A y puntos en ^ (A ). _ (d) A un punto x e A ” se le llama un punto exterior de un conjunto A s R p cuando existe una vecindad de x enteramente contenida en *€(A ). Se debe observar que dados x e R 'y A s R ' , hay tres posibilidades m utuamente excluycntes: (i) .v es un punto interior de A, (ii) x es un punto frontera de A, o (iii) x es un punto exterior de A. 9.8 EJEMPLOS. (a),\Jn conjunto U es una vecindad de un punto x y sólo si existe una bola con centro x enteramente contenida en U. (b) Un punto x es un punto interior de A si y sólo si existe una bola con centro x enteramente contenida en A. (c) Un punto x es un punto frontera de A si y sólo si para cada número natural n existen puntos a „ e A y tales que ||x - a * ||< l /n y. ||x —b„||< 1/n. (d) Todo punto del intervalo (0, l ) e R es un punto interior. Los puntos 0,1 son los puntos frontera de (0, 1). (e) Sea A = [0, l ] c JR. Entonces, los puntos interiores de A son los pun­ tos en el intervalo abierto (0, 1). Los puntosO, 1 son los puntos frontera de A. (f) Los puntos frontera de las bolas abiertas y cerradas con centro x e K 1” y radio r > 0 , son los puntos de la esfera con centro x y radio r. (Véase definición 8.9) 4 V En seguida se define a los conjuntos abiertos en términos de vecindades y de puntos interiores. 88 Introducción al análisis matemático 9.9 TEOREMA. S i B c entonces ¡as siguientes afirmaciones s equivalentes: (a) B es abierto; (b) todo punto de B es un punto interior de B; (el B es una vecindad de cada uno de sus puntos. DEMOSTRACION. Si (a) se satisface y x g B, entonces el conjunto abierto B es una vecindad de x y por lo tanto x es un punto interior de B. Es trivial que (bl implica (c). Si se satisface (c) entonces para cada x g B, hay un conjunto abierto G . ^ B con x 6 Gm. Por lo tanto B = (J (O ,: x g B}, y se deduce del teorema 9.3(c) que B es abierto en R r. / A partir de lo que se ha demostrado, se deduce que un conjunto abierto no contiene a ninguno de sus puntos frontera. Los conjuntos cerrados son el extremo opuesto en lo que a esto respecta. 9.IOTEOREMA. Un conjunto F e R ' a cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos frontera. DEMOSTRACION. Suponga que F es cerrado y que x es un punto frontera de F. Si x ¿ F, entonces el conjunto abierto ^ (F ) contiene a x y no contiene a ningún punto de F. contrario a la hipótesis de que x es ún punto frontera de F. Por lo tanto, se debe tener x g F. A la inversa, suponga que F contiene a todos sus puntos frontera. Si y é F , entonces y no es ni un punto de F ni un punto frontera de F; por lo tanto, es un punto exterior. En consecuencia, existe una vecindad M de y en­ teramente contenida en *<í(F). Dado que esto es válido para toda y é F, se de­ duce que *€(F) es abierto, de aquí que F sea cerrado en R r . q .e .d . Conjuntos abiertos en R Se concluye esta sección haciendo una caracterización de la forma que tiene un subconjunto abierto arbitrario de R. 9.11 TEOREMA. Un subconjunto de R es abierto si y sólo si. es unión de colección contable de intervalos abiertos. DEMOSTRACION. Dado que un intervalo abierto es abierto (¿por qué?), de 9.3(r) se deduce que la unión de cualquier unión contable de interva­ los abiertos es abierta. A la inversa, sea G 5*0 un conjunto abierto en R y sea {r«: n G N} una enumeración de todos ios puntos racionales en G. Para cada n GN sea m. el n úm ero n a tu r a l más p e q u e ñ o ta l que el in te r v a lo J„ = (r, - l/m„, r. + l/nt„) esté contenido integramente en G. Se deduce que La topología de espacios cartesianos 89 U i.s G ncN . A h o ra , sea x un p u n to a r b itra rio en G y sea m e N ta l q u e (x — 2/m, i + 2 / m ) c G . D el te o re m a 6.10 sé d ed u c e qu e ex iste un n ú m e ro ra c io n a l i en (x - 1/m, x + 1/m); d e d o n d e y e G y p o r lo ta n to , y = r. p a ra alg ú n n ú m e ro n a tu ra l n Si x no perten ece a J , = (r« - 1/m., r. + 1/m.) , e n ­ to n c e s se d eb e te n e r 1/m. < 1/m; p ero co m o fác ilm e n te se p u ed e ver q u e e sto c o n tra d ic e la elección d e la m .. P o r lo ta n to , se tie n e x e J . p a r a este v a lo r de n. D ad o q u e x e G es a rb itra rio , se in fiere q u e G s U mN # P o r lo ta n to , G es igual a e s ta unión. Del te o re m a q u e se a c a b a d e d a r se d ed u c e q u e un su b c o n ju n to d e R es c e rra d o si y sólo si es la intersección de u n a co lecció n co n ta b le d e in te rv alo s c e rra d o s, (¿por qué?) No se d ed u c e q u e la unión c o n ta b le de in te rv alo s c e r ra ­ d o s d eb a ser c e rra d a , ta m p o c o que to d o co n ju n to c e rra d o ten g a e s ta p ro p ie ­ d ad . U n a g en e ralizació n d e este re su lta d o se d a en el ejercicio 9 .G . Ejercicios 9.A. Justificar la afirmación que con respecto a IdWtonjuntos G, F. se hizo en el ejemplo 9.2(6). . V k l. ,'J g ! 9.B. Justificar las afirmaciones hechas en éMpfemplo 9.2(r). 9.C. Demostrar que la intersección de cuátqwer colección finita de conjuntos abiertos es abierta en R r. ISugerencia: usar 9.3(6) e inducción.) 9.D. ¿Cuáles son los puntos interiores, frontera jy exteriores del conjunto (0,'l) en R? Demostrar que no es ahierto ni cerrado. 9.E. Dar un ejemplo en R 2 que no sea ni abierto ni cerrado. Demostrar la afir­ mación. 9.F. Escribir los detalles de la demostración del teorema 9.6. 9.G. Demostrar que un subconjunto de R r es abierto si y sólo si es la unión de una colección contable de bolas abiertas. ISugerencia: el conjunto de todos los puntos en R r para los cuales todas sus coordenadas son números racionales es contable.) / 9.H . Todo subconjunto abierto de R ' es la unión de una colección contable de conjuntos cerrados. 9.1. Todo subconjunto cerrado de R ' es la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos. I 90 Introducción a! análisis matemático 9.J. Si A es cualquier subconjunlo de R", denote mediante A ° a la unión de todos los conjuntos abiertos que estén contenidos en A. Al conjunto A ° se le llama el interior de A. Observe que A “ es un conjunto abierto; dem ostrar que es el conjunto abierto más grande contenido en A. Demostrar que ^ A 'c A , (A T = A ° (A nJB)° = A ° n B ° , (R P)0= R P. Dar un ejemplo para dem ostrar que (A U B )‘ = A "U B " no es válido. 9.K. Demostrar que un punto pertenece a A° si y sólo si es un punto interior de A. 9.L. Si A es cualquier subconjunto de R p, denótese mediante A a la intersección de lodos los conjuntos cerrados que contienen a A . Al conjunto A " se le llama la cerradura de A. Observe que A " es un conjunl.) cerrado. Demostrar que es el conjunto cerrado más pequeño que contiene a A. Demostrar que A c A ', (A T = A- (A U B)~ = A ‘ U B ‘ , 0 =0. Dar un ejemplo para dem ostrar que ( A n B ) " = A T l B " no es válido. 9.M. Demostrar que un punto pertenece a A ' si y sólo si es un punto interior o bien un punto frontera de A. 9.N. Dar un ejemplo de un conjunto A en R p tal que A ° = 0 y A~ = R r. ¿Puede ser contable dicho conjunto A'} ■— 9 .0 . Sean A y B subconjuntos de R. El producto cartesiano A x B es abierto en R 2 si y sólo si A y B son abiertos en R. 9.P. Sean A y B subconjuntos de R. F.l producto cartesiano A x B es cerrado en R 2 si y sólo si A y B son cerrados en R. 9.0 - Interpretar los conceptos introducidos en esta sección para el conjunto de Cantor F de la definición 7.4. Específicamente: (al D em ostrar que F es cerrado en R. (b) No hay puntos interiores en F. (c) No hay conjuntos abiertos, no vacíos contenidos en F. (d) Todo punto de F e s dh punto frontera. (el El conjunto F no se puede expresar como la unión de una colección contable de intervalos cerrados. » (Jl El complemento de F se puede expresar como la unión de una colección con­ table de intervalos abiertos. Sección 10 Las celdas nidificadas y los teoremas de Bolzano-Weierstrass En esta sección se darán a conocer dos resultados, muy importantes, que se usarán con frecuencia en capítulos posteriores. En cierto sentido, se pueden 4 La topología de espacios cartesianos 91 considerar como la propiedad de complctación para jRp, cuando p > 1 . En la sección 7 se ha visto que si a < b, entonces la celda abierta en R, designada con (a. b), es el conjunto definido por (a, b) = {x e R : a < x < b}. Se puede ver fácilmente que dicho conjunto es abierto en R. De manera análoga, la celda cerrada [a, b] en R es el conjunto [a, b] = {x e R : a < x < b}, que es cerrado en R. El producto cartesiano de dos intervalos, por lo general, se llama un rectángulo y el producto cartesiano a tres intervalos á menudo se llama un paralelepípedo. Por comodidad se empleará el término “ celda" ha­ ciendo caso omiso de la dimensión del espacio. 10.1 DEFINICION. Una celda abierta J en R r es el producto carte­ siano de p celdas abiertas de números reales. Por lo tanto, J es de la forma J = {x = (xi,. . . , Xpjeíl’’ :a¡ <xi <b¡, para i = 1 , 2 , . . . , p}. Análogamente, una celda cerrada I en R r es el producto cartesiano de p cel­ das cerradas de números reales. Por lo tanto, I es de la forma í = {x = (xi, . . . , x p) e R p:a< Xi < b„ para i = 1 ,2 , . . . , p}. Un subconjunto de R'1 es acotado si está contenido en alguna celda. Com o ejercicio, dem ostrar que una celda abierta en R ’ es un conjunto abierto y que una celda cerrada es un conjunto cerrado. También dem ostrar que un subconjunto de R" es acotado si y sólo si está contenido en alguna bola. Se observará que esta ter­ minología para conjuntos acotados es congruente con la que se dio a conocer en la sec­ ción 6 para el caso p = 1. El lector recordará que en la sección 7 la propiedad del supremo para el sistema de números reales implica que toda sucesión nidificada de celdas no vacias cerradas en R tiene un punto en común. En seguida se demostrará que esta propiedad sigue siendo válida para el espacio R ”. 10.2 TEOREMA DE CELDAS NIDIFICADAS. Sea (Ik) una suce­ sión de celdas no vacías cerradas en R p nidificada en el sentido de que 1 ,2 122 • • • 2 Ik 2 • • •. Entonces, existe un punto en R p que pertenece a to­ das las celdas. DEMOSTRACION. Suponga que Jk es la celda Ik = {(x,,-.. . , Xp):aki < xi < bkt,. . . , OkP á Xp < bkP}. 92 Introducción al análisis matemático Es fácil ver que las celdas [0*1, fcki],fc e JV, forman una sucesión nidificada de celdas cerradas no vacías de números reales y por la completación del sistema de números reales R, hay un número real y, que pertenece a todas estas cel­ das. Aplicando dicho argumento a cada coordenada, se obtiene un punto y = (y i,. . . , yp) de R ptal que si j satisface j = 1 , 2 , . . . , p, entonces y¡ perte­ nece a todas las celdas {[a**, bkj]: k e N}. Por lo tanto, el punto y pertenece a todas las celdas (/k). v q .e .d . Puntos de acumulación y Bolzano-Weierstrass 10.3 DEFINICION. Un punto x e R ” es un punto de acumulación (o punto límite) de un subconjunto A s R p cuando toda vecindad de x contiene cuando menos un punto de A distinto de x. En seguida se dan algunos ejemplos. 10.4 EJEMPLOS, (a) Un punto x e R 'e s u n puntode-acumulaciónde A sí"y^sólo si para todo número natural n existe un elemento a , e A tal que 0 < ||x - a , ||< l / n . (b) Si un punto frontera de un conjunto no pertenece al conjunto, ento ces es un punto de acumulación del conjunto. (el Todo punto del intervalo unitario / de R es un punto de acumulación de /. (di Sea A = (0,1), entonces todo punto de A es punto interior así como punto de acumulación de A. Los puntos 0,1 son puntos de acumulación (y no puntos interiores) de A. le) Sea xxxxxxxxi el conjunto de todos los números racionales del inter-' valo unitario. Todo punto I es un punto de acumulación de B en R, pero no hay puntos interiores de B. (fl Un subconjunto finito de xxi no tiene puntos de acumulación, (¿por qué?) (g) El conjunto infinito de enteros xxxxxi no tiene puntos de acumula ción. (¿por qué?) 10.5 TEOREMA. Un conjunto xxxxxxi es cerrado si y sólo si contiene a lodos sus puntos de acumulación. acumulación de F. Si xd F, el conjunto abierto *€(F ) es una vecindad d ex , entonces debe contener cuando menos un punto de F. Pero esto no es posible; por lo tanto, se concluye que x e F . s A la inversa, si F contiene a todos sus puntos de acumulación^ se habrá de probar que (F) es abierto, ya que si y e 5g(F), entonces y no es punto de acumulación de F. Por lo tanto, existe una vecindad V, de y tal que F O V ,=0. En consecuencia V,c<g(F). Dado que esto es válido para toda y e <€(F), se deduce que C€(F) es abierto en R q .e .d . La topología de espacios cartesianos 93 El siguiente resultado es uno de los más importantes en este libro. Es de gran importancia y se usará con frecuencia. Se debe observar que al omitir al­ guna hipótesis la conclusión puede fallar (ver ejemplos I0.4(f,g)). 10.6. TEOREMA DE BOLZANO-W EIERSTRASSt. Todosubcon- junto infinito acotado de R p tiene un punto de acumulación DEMOSTRACION. Si B es un conjunto acotado con un número in­ finito de elementos, suponga que L es una celda cerrada que contiene a B. Se divide I, en 2P celdas cerradas bisecando cada uno de sus lados. Dado que Ii contiene una infinidad de puntos de B. al menos una de las partes obtenidas en esta subdivisión también contendrá una infinidad de puntos de B. (Puesto que si cada una de las 2P partes tuviera sólo un número finito de puntos del conjunto B, entonces B sería un conjunto finito, contrario a la hipótesis.) Sea h una de estas partes de la subdivisión de L que contiene una infinidad de ele­ mentos de B. Divida ahora I2 en 2Pceldas cerradas bisecando cada uno de sus lados. De nuevo, una de estas subceldas de h debe contener un número infi­ nito de puntos de B. ya que, de no ser as asi, I2 podria contener solamente un número finito, contrario a su construcción. Sea I } una subcelda de í 2que con­ tenga una infinidad de puntos de B. Si se continúa este procedimiento, se ob­ tiene una sucesión nidificada (i,) de celdas cerradas no-vacías de R p. Según el teorema de celdas nidificadas, existe un puntos que pertenece a todas las cel­ das h , k — 1 ,2 ,----- En seguida se probará que y es un punto de acumula­ ción de B y con esto se completará la demostración de la afirmación. Ejn primer lugar, observe que si I, = [ai, 6,] x - • • x [a,, bp] con a* < bk, y si ^l(/i) = s u p { b i- a i,. . . , b p -a ,} , entonces 1(1,) > 0 es la longitud del lado mayor de f,. De acuerdo con la construcción anterior de la sucesión (M , se tiene 0<l(Ik) = ¿k xKI O para k e N. Suponga que V es cualquier vecindad del punto en común y su­ ponga que todos los puntos r en R p tales que ||y - z | | < r pertenecen a V. Se va a elegir k de tal magnitud que lk £ V; esta elección es posible ya que si h>es cualquier otro punto de h, entonces del teorema 8.10 se deduce que tH líR N A R D BOl.ZANO (1781-1897) fue profesor de filosofía de la religión en Praga, pero ha-^" cia reflexiones profundas acerca de las matemáticas. Igual que Cauchy, fue un pionero al in lrií ducir un nivel más alio en el rigor del análisis matemático. Sus tratados de las paradojas del in f ¡-\ nito aparecieron después de su muerte. KARI. WHICRSTRASS (1815-1897). durante muchos años fue profesor en Berlín y ejerció una profunda influencia en el desarrollo del análisis. Insistiendo siempre en las demostraciones rigurosas desarrolló, pero no publicó, una introducción al sistema de números reales. También hizo importantes aportaciones al análisis real y complejo, las ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. 94 Introducción al análisis matemático lly - w|| :S V p l( Jk) =^ r x 1( 1 ,). ¡•'¡(¡ura 10.1 Del corolario 6.7 se deduce que si k es suficientemente grande, entonces > !(!,)< r. Para tal valor de k se tiene Ik s V. Dado que L contiene una infinidad de ele­ mentos de B. se infiere que V contiene cuando menos un elemento de B dis­ tinto de y. Por lo tanto, y es un punto de acumulación de B. Ejercicios !().A. Sean /„ R p las celdas abiertas dadas por /„ = ( 0 , 1/n) x • ■• x (0, 1/n). Demostrar qae estas celdas son nidificadas pero que no contienen ningún punto en co­ mún. 10.B. Sean J „ e R p los intervalor cerrados dados por J , = [n , +oo)x — x [n, + »). Demostrar que estos intervalos son nidificados pero que no contienen ningún punto en común. I0.C. Un punto .v es un punto de acumulación de un conjunto A s R p si y sólo si toda vecindad de x contiene una infinidad de puntos de /I. 10.D. Sea A = ) l / n : n e N ) . Demostrar que todo punto de A es un punto frontera en R pero que O es el únieQ punto de acumulación de A en R. 10.1!. Sean A. II suheonuntos de R p y sea y un punto de acumulación de -A fl B en R \ Demostrar que x es un punhAle acumulación tanto de A como de B. I0.K. Sean A. B suhconjunlos de R p y sea x un punto de acumulación de A U B en R p. Demostrar que v es punto de acumulación de A o de B. La topología de espacios cartesianos 95 10.G. Demostrar que todo punto del conjunto de Cantor F e s un punto de acu­ mulación tanto de F corno de *£(F). 10.H. Si A es cualquier suhconjunto de R ’, existe un subconjunto contable C de .1 tal que si x e A y e > 0 , entonces, hay un elemento z 6 C tal que | |x - z ||< e . Por lo tanto, lodo elemento de A está en C o bien es un punto de acumulación de C. Proyectos 10. a. Sea M un conjunto y sea d una métrica en M como se definió en el ejercicio X.5. Reexaminar las definiciones y los teoremas de las seccciones 9 y 20 para determ i­ nar cuáles se siguen cumpliendo en conjuntos que tienen una métrica. Por ejemplo, se verá que son válidos los conceptos de conjunto abierto, cerrado y acotado. Sin em ­ bargo, el teorema de Bolzano-Weierstrass falla para ciertos M y d. Siempre que sea posible, dem ostrar que el teorema se extiende, o bien dar un contraejemplo para de­ mostrar que puede fallar. 10.0. Sea J una familia de subconjuntos de un conjunto X tal que (i) contiene a 0 y X. (ii) contiene a la intersección de cualquier familia finita de conjuntos en íF, y (iii) contiene a la unión de cualquier familia de conjuntos en Se dice que ST es una topología para X y se hace referencia a los conjuntos en iT como los conjuntos abier­ tos. Reexaminar las definiciones y los teoremas de las secciones 9 y 10 tratando de de­ term inar cuáles persisten en conjuntos X que tienen una topología íT. Seccción 11 El teorema de Heine-Borel El te o re m a de celd as n id ificad as I0.2 y e! te o re m a d e B olzano- W e ie rstra ss I0.6 están ín tim a m e n te re la c io n a d o s al c o n c ep to tan im p o rta n te de c o m p ac id ad que se a n a liz a en e sta sección. A u n q u e es posible o b te n e r la m a y o ría d e .re su lta d o s de las sigu ien tes secciones sin co n o c er el te o re m a de H ein e-B o rel, no se puede av a n z a r m u ch o m ás d e n tro del an álisis sin req u e rir de este te o re m a , de m odo q u e no conviene tr a ta r de ev ad ir la exposición d e este re su lta d o tan profundo. I l . l D E F I N IC IO N . S e dice q u e un c o n ju n to K es com pacto si siem p re que e stá co n ten id o en la unión de una colección ‘S = {G„} de co n ju n ­ to s a b ie rto s ta m b ié n esta co n ten id o en la unión de alg ú n n ú m e ro fin ito d e co n ju n to s en (S. U na colección ‘S de c o n ju n to s ab ie rto s cuya unión co n tien e a K con fre­ cuencia se lla m a una cubierta de K. De m o d o que el req u isito p a ra qu e K sea co m p a c to es que to d a c u b ierta 'S de K se pu ed a su stitu ir p o r una c u b ie rta finita de K. u sa n d o ú n ic am e n te c o n ju n to s de cti. O b sérv ese qu e p a ra a p lica r esta d efinición al d e m o s tra r q u e un co n ju n to K es c o m p a c to , se debe e x a m i­ n ar una colección a rb itra ria de c o n ju n to s a b ie rto s cu y a unión co n ten g a a K y d e m o s tra r q u e K está co n ten id o en la unión de alg u n a subcolección Im ita de ca d a una de e s ta s colecciones. P o r o tro lado, p a ra d e m o s tra r qu e un co n ju n to i 96 Introducción al análisis matemático II no es compacto, basta con exhibir sólo una cubierta que no se pueda reemplazar por una subcolección finita que siga cubriendo a H. 11.2 EJEM PLOS. (a) Sea K - { x i, x2, . . . , x»} un subconjunto fi­ nito de R r. Es claro que si ‘S = {G«} es una colección de conjuntos abiertos én R p, y si todo punto de K pertenece a algún subconjunto de “S., entonces cuando más m subconjuntos de <3, que se seleccionen cuidadosamente, tam­ bién tendrán la propiedad de que su unión contenga a K. Por*lo tanto, K es un subconjunto compacto de R r. - J b l Considere al subconjunto H = { i e R : x a fl) . en R. Sea G , = (—1, n), n e N , de tal manera que 'S = {G„: n e N} sea una colección de subconjunlos abiertos de R cuya unión contenga a H. Si {G„„ G„„ . . . , G J es una subcolección finita de % sea M = sup{ni, n2, . , . , n*} de tal manera que G , e G m, para / —1,2, Se deduce que GM es la unión de {G„„ G»„ . . . , G„}. Sin embargo, el número real M no pertenece a GMy por lo tanto no pertenece a Ú c„. • 1 En consecuencia, ninguna unión finita de los conjuntos <§ puede contener a H y tt no es compacto. (el Sea H = (0, 1) en R. Si G. = (1/n, 1 - Un) para n > 2, entonces la colección <S = { G „ :n > 2} de conjuntos abiertos es una cubierta de H. Si {G,....... , G J es una subcolección finita de <S, sea M = sup {ni,. . . , n*} de , tal manera que G ^ s G m para j —1 ,2 ,. . . , k . Se infiere que G m es la ^ unión de los conjuntos {G„„ . . . , G„}. Sin embargo, el número real l / M pertenece a H pero no pertenece a GM. Por lo tanto, ninguna subcolección fi- j nila de <8 puede formar una cubierta de ll. de modo que ti no es compacto. . i (d) Considere el conjunto f = [0,1]; se demostrará que / es compacto, j Sea lS = {G«} una colección de subconjuntos abiertos de R cuya unión con- I tiene a /. El número real x = 0 pertenece a algún conjunto abierto de la colec­ ción c8 al igual que los números x que satisfacen 0 s x < e , para alguna ! e > 0 . Sea x*el supremo de aquellos puntos x en / tales que la celda [0, x] ! esté contenida en la unión de un número finito de conjuntos en <S. Dado que x*pertenece a I, se deduce que x* es un elemento de algún conjunto abierto en Por lo tanto, para alguna e > 0 , la celda [ x * - e, x* + e] está contenida en un conjunto Go en la colección c8. Pero (por la definición de x*) la celda [0, x * - e ] está contenida en la unión de un número finito de conjuntos en C S. Por lo tanto, sumando el conjunto G0 al número finito de conjuntos necesa­ rios para cubrir [0, x* - e], se deduce que el conjunto [0, x* + e] está conte- ] nido en la unión de un número finito de conjuntos en Esto da una contra­ dicción a menos de que x * = 1. Por lo general, no es fácil demostrar que un conjunto es compacto 'j usando únicamente la definición. En seguida se ofrece un teorema notable e i i .. i i í La topología de espacios cartesianos 97 importante que caracteriza por completo a subconjuntos compactos de R p. De hecho, parte de la importancia del teorema de Heine-Boreltse debe a la sencillez de las condiciones de compacidad en R p. 11.3 TEOREMA DE HE1NE-BOREL. Un subconjunto de R p es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. DEMOSTRACION. Primero se demuestra que si K es compacto en JR’’, entonces K es cerrado. Sea x un elemento de ‘g(K ).y para cada número natural nt sea Gm el conjunto definido por Gm ={y e R p :||y —x ||> l/m } . Fácilmente se puede ver que cada conjunto Gm, m e N, es abierto en R p. Ade­ más, la unión de todos los conjuntos G„, m 6 N, consta de todos los puntos de R p excepto x. Dado que x ¿ K, cada punto de K pertenece a algún conjunto Gm. Debido a la compacidad de K, se infiere que existe un número natural M tal que K está contenido en la unión de los conjuntos Dado que los conjuntos Gm incrementan con m, K está contenido en G m. De donde la vecindad {z 6 R p :||z - x ||< 1/M} no intercepta a K. demostrando que C€ ( K ) es abierto. Por lo tanto, K es cerrado en JRP. (Fig. 11.1 en donde las bolas cerradas complementarias a Gm están dibujadas.) En seguida se demuestra que si K es compacto en R p, entonces K está acotado (es decir, /¿está contenido en algún conjunto {x e R p :||x||< r} para r lo suficientemente grande). De hecho, para cada número natural m. sea EL el conjunto abierto definido por Hm= { x e R p:||x||<m }. Todo el espacio R p, y por lo tanto K. está contenido en la unión de los conjun­ tos crecientes Hm, m e N . Dado que K es compacto, existe un número natu­ ral M tal que K s H M. esto prueba que K está acotado. Para completar la demostración de este teorema se necesita probar que si K es un conjunto cerrado y acotado contenido en la unión de una colección ■S= {G„} de conjuntos abiertos en R p, entonces está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en (é. Dado que el conjunto K está acotado, • tE D U A R D HEINE (1821-1881) estudió en Berlín bajo la tutela de Weicrslrass y más tarde dio clases en Bonn y Halle. En 1872 demostró que una función continua en un intervalo cerrado es uniformemente continua. (E.E.J.) EMILE BOREL (1871-1956). alumno de Hermite. fue profesor en París y uno de los r.'iatemátícos más influyentes de su ¿poca. Hizo numerosas y profundas aportaciones al análisis y a la probabilidad. En 1895 demostró que si una colección contable de intervalos abiertos cubre a un intervalo cerrado entonces tiene una subcubierta finita. 98 Introducción al análisis matemático Figura 11.1. Un conjunto compacto es cerrado. se puede encerrar en una celda cerrada I , en R". Por ejemplo, se puede tomar h ~ {(xi, . . . , Xp):|xi,| < r, k = 1 ,... ,p} para r > 0 . lo suficientemente grande. Con el objeto de obtener una contradicción se habrá de suponer que K no está contenido en la unión-de cualquier número finito de los conjuntos en <§. Por lo tanto, al menos una de las 2" celdas cerradas obtenidas al bisecar los lados de h contiene puntos de K y es tal que la parte de K que está en ella no está contenida en la unión de cualquier número finito de los conjuntos en S. (puesto que si cada una de las 2P partes de K estuvieran contenidas en la unión de un número finito de conjuntos en C S, entonces K estaría contenido en la unión de un número finito de conjuntos en % contrario a la hipótesis). Sea I 2 cualquiera de las subceldas de esta subdivisión de I¡ tal que el conjunto no vacío K flÍ2 no esté contenido en la unión de cualquier número finito de con­ juntos en C S. Se continúa este proceso bisecando los lados de l 2 para obtener 2r subceldas cerradas de l 2 y se considera a U como una de estas subseldas tal que el conjunto no vacío K D Í j no está contenido en la unión de un número infinito de conjuntos en % y así sucesivamente. De esta manera se obtiene una sucesión nidificada (I„) de celdas no va­ cías. (Fig. 11.2.) De acuerdo con el teorema de celdas nidificadas, hay un punto y común para las I„. Dado que cada Imcontiene puntos en K. el ele- La topología de espacios cartesianos 99 mentó en común r es un punto de acumulación de K. Como K es cerrado, y pertenece a K y está contenido en algún conjunto abierto G* en CS. Por lo tanto, existe un número e > 0 tal que todos los puntos w con ||y —w>||<e pertenece a Gk. Por otro lado, las celdas Ik, k > 2, se obtienen mediante la vi- sección sucesiva de los lados de la celda I ,= { ( x i X p ) : | x , | s r} de tal ma­ nera que la magnitud del lado de Ik sea r/2k~2. Del teorema 8.10 se deduce que si w e ix, entonces ||y —wj| < rVjp/2k"‘. Por lo tanto, si Ai se escoge de tal magnitud que rVp/2k_I< e, entonces todos los puntos en Ik están contenidos en el único conjunto Gk. Pero esto contradice la construcción de Ik como un conjunto tal que K ft Ik no esté contenido en la unión de un número finito de conjuntos en C S. Dicha contradicción muestra que es insostenible la suposición de que el conjunto cerrado acotado K requiere de un número infinito de con­ juntos en <§ para encerrarlo. Algunas aplicaciones Como consecuencia del teorema de Heine-Borel se obtiene el siguiente resultado que se debe a Cantor. Es un reforzamiento del teorema de celdas ni­ dificadas ya que en este caso se toma en cuenta a los conjuntos cerrados en general y no solamente a las celdas cerradas. 11.4 TEOREMA DE INTERSECCION DE CANTOR. Sea F, un subconjunto no vacío, cerrado y acotado de R p y sea F i 2 F 2 2 • * - 2 F„ 2 • • ■ i/Jj.j sucesión de conjuntos cerrados no vacíos. Entonces, existe un punto que pertenece a todos los conjuntos {Fk: k e N}. 100 Introducción al análisis matemático DEMOSTRACION. Dado que Fi es cerrado y acotado, del teorema de Heine-Borel se deduce que es compacto. Para cdda k e N , sea Gk el complemento de Fk en R p como se ha supuesto que Fk es cerrado, Gk es abierto en R p si, contrario al teorema, no hay ningún punto que pertenezca a todos los conjuntos Fk, k e N ,entonces la unión de los conjuntosGk, k e N , contiene al conjunto compacto F t. Por lo tanto, el conjunto F\ está contenido en la unión de un número finito de los conjuntos Gk; digamos en Gi, G 2, . . . , Gk. Dado que los conjuntos Gk son crecientes, se tiene. Gi U • • • U G k = Gk. como F¡ c G k, se deduce que F t D FK= 0. Por hipótesis F, 2 F K, de modo que F i D F k = Fk. El supuesto nos lleva a la conclusión de que FK= 0 , que contradice la hipótesis y ratifica el teorema. Q.E.D. 11.5 TEOREMA DE COBERTURA DE LEBESGUE. Suponga que 'S ={G„} es una cubierta de un subconjunto compacto K de R ”. Existe un número A estrictamente positivo tal que si x, y pertenecen a K y ||x - y|| < A, entonces hay un conjunto en <é que contiene tanto a x como a y. DEMOSTRACION. Para cada punto u en K hay un conjunto abierto G„<») en <S que contiene a u. Sea 5 (u )> 0 tal que si ||u - u ||< 2S (u), entonces v pertenece • a G„(„). Considere e! c o n j u n t o abierto S( m) = {oe R p : ||u - ul| <§(«{)} y !a colección 5f’ = { S (u ):u e K} de conjuntos abiertos. Dado que Sf es una cubierta del conjunto compacto K, entonces K está contenido en la unión de un número finito de conjuntos £f, digamos en S(u, ), . . . , S(u»)- Se define A como el número real estrictamente positivo A = inf {8(ui),. . . , 8(u»)}. / Si x, y pertenecen a K y ||x - y||< A, entonces x pertenece a S(u,) para alguna j con 1 £ j < n, de manera que H x -u J I^ ÍU j). Dado que |]x —y|| < A, se tiene |¡y —u j| < ||y - x ||+ ||x - uj||<28(Mj). De acuerdo con la definición de 8(Uj), se deduce que tanto x como y pertenecen al conjunto G„(«p . Se hace la observación de que a un número positivo A con la propiedad dada en el teorema, algunas veces se le llama un número de Lebesquet de la cubierta (é. A pesar de que en secciones posteriores se estarán usando argumentos basados en compacidad, resulta apropiado intercalar aquí dos resultados que son intuitivamente claros pero cuya demostración parece requerir del uso de algún tipo de argumento acerca de la compacidad. 11.6 TEOREMA DEL PUNTO MAS PROXIMO. Sea F en subcon­ junto cerrado no vació de R p y sea x un punto fuera de F. Entonces existe tH E N R I LEBESGUE (1875-1941), Por lo que es más conocido es por su trabajo de exploración en la teoría moderna de la integral que lleva su nombre y que es básica en el análisis actual. La topología de espacios cartesianos 101 cuando menos un punto y perteneciente a F tal que \\z —xfl > ¡jy-xjj para toda z e F. DEMOSTRACION'. Dado que F es cerrado y x¿ F, (cf. ejercicio 11.H) la distancia d e r a F , que se define como d = in f{ ||x -z ¡|:z e F ) satis­ face d > 0 . Sea Fk = {z € F:\\x - z|| < d + 1/k} para k e N . De acuerdo con el ejemplo 9.5 (0, estos conjuntos son cerrados en R ” y es claro que F, está acotado y que F, 2 F23 — 2 Fk 2 • • •. Además, por la definición de d en Fk, se puede ver que Fk es no vacío. - Del teorema de intersección de Cantor 11.4 se deduce que hay un punto y per­ teneciente a todos los Fk, k e N. Se puede ver fácilmente que |¡x —y|| = d, de modo que y satisface la conclusión. (Fig. 11.3.) q .e .d . Una variante del siguiente teorema es de considerable importancia en la teoría de funciones analíticas. Se planteará el resultado únicamente para p = 2 y se emplearán ideas intuitivas al expresar lo que significa que un con­ junto esté rodeado por una curva cerrada (es decir, una curva que no tiene puntos terminales). 11.7 TEOREMA DEL CONTORNO CIRCUNSCRIPTIVO. Sea un conjunto cerrado y acotado en R 2 y sea G un conjunto abierto que con­ tiene a F. Entonces, existe una curva cerrada C, que cae por completo en G y hecha de arcos de un número finito de círculos, tal que F está rodeado por C. DEMOSTRACION PARCIAL. Si x pertenece a F s G , existe un número S (x )> 0 tal que si l)y —x|| < 6(x), entonces y también pertenece a <7. Sea G(x) = {y g JR2: Hv —x|| < 5 8(x)}para cada x en F. Dado que la colección <§= {G (x ):x e F } forma una cubierta del conjunto compacto F. la unión Figura I I 3 102 Introducción al análisis matemático Figura 11.4 de un n ú m e ro finito de c o n ju n to s en % d ig a m o s G ( * i ) , . . . , G(Xk)> co n tien e al c o n ju n to c o m p a c to F. U sa n d o a rc o s de los círc u lo s con c e n tro s x¡ y ra d io s i 5(Xj), se o b tie n e la cu rv a d e se a d a C. (V éase la Fig. 11.4.) L a co n stru c ció n d e ta lla d a d e la cu rv a n o se d a r á aq u í. Ejercicios II.A . Demostrar, directam ente de la definición (i.e., sin usar el teorem a de Heine-Borel), que la bola abierta dada por {(x, y ):x ! + y7< 1} no es com pacta en R ‘. 11.B. Demostrar directam ente que la totalidad del espacio R J no es com pacta. 11.C. Demostrar directam ente que si K es com pacto en R ' y F e K es un con­ junto cerrado, entonces F es com pacto en R '. 11,D. D em ostrar que si K es un subconjunto com pacto de R, entonces K es com­ pacto cuando se considera como un subconjunto de R 1. I I.E. Modificando el argumento del ejemplo 11.2(d), dem ostrar que el interval -f = {(x, y ) : 0 s x s l , 0 < y < l } es compacto en R 1. I I.F. Localizar los lugares en que se usaron las hipótesis de que el conjunto K es acotado y cerrado en la demostración del teorem a de Heine-Borel. I I.G. Demostrar el teorema de intersección de C antor eligiendo un punto x» de F„ y después aplicando el teorema de Bolzano-W eierstrass 10.6 al conjunto (* .:» £ N}- I I.H . Si F es cerrado en R" y si d(x, F) = inf {||x - z|]: z e F} = 0, entonces x pertenece a F. (nTp. ¿El teorema del punto más próximo en R implica que hay un número real estríe nte positivo que es el mas próximo a cero? Si F es un conjunto no vacio cerrado en R ’ y si x ¿ F , ¿hay algún punto único F que sea el más próximo a x? La topología de espacios cartesianos 103 tr 11.K. Si K es un subconjunto com pacto de R ' y x un punto de R ', entonces, el conjunto K .= { x + y : y e K } también es com pacto. (A este conjunto K. algunas veces se le llama la traslación del conjunto K por medio de x.) 11.1 ___ La intersección de dos conjuntos abiertos es com pacto si y sólo si es vacia. ¿Puede ser la intersección de una colección infinita de conjuntos abiertos un conjunto compactó no vacio? {11-JM. Si F es un subconjunto compacto de R 2 y G es un conjunto abierto que contiene a F. entonces existe una curva poligonal cerrada C que está enteram ente en G que rodea a F. I I.N. Sea { H « :n e N } una familia de subconjuntos cerrados de R ' con la propie­ dad dé que ningún conjunto H . contiene algún conjunto abierto no vacío (por ejemplo, H . es un punto o una línea en R 1 ). Sea G ?*0 un conjunto abierto. (a) Si x , e G \ H „ dem ostrar que existe una bola cerrada B, con centro x, tal que B , e G y H , f i B , = 0 . fbl Si Xj É H j pertenece al interior de B,, dem ostrar que existe una bola cerrada B 2 con centro x2 tal que B 2 está contenido en el interior de B, y H ¡nB ¡ = 0. (c) Continuar e?te proceso para obtener una familia nidificada de bolas cerradas tal que H . fl B . = 0. Por el teorema de intersección de C antor 11.4 se sabe que hay un punto x0 común a todas las B„. Deducir que x0e G \ f i f i . , de manera que G no puede estar contenido en UH „. Este resultado es una forma de lo que a menudo se llama “ el teorema de categoría de B airef” . 11.0. Una linea en R 2 es un conjunto de puntos (x, _v) que satisfacen una ecuación, de la forma ax + by + c = O e n donde (a, b) ¿ ( 0 ,0). Emplear el ejercicio anterior para dem ostrar que R 1 no es la unión de una colección contable de líneas. I I.P. El conjunto <€«?) de números irracionales en R no es la unión de una fami­ lia contable de conjuntos cerrados, ninguno de los cuales contiene algún conjunto abierto no vacío. II .Q. El conjunto Q de números racionales no es la intersección de una colección contable de conjuntos abiertos en R. . Sección 12- Conjuntos conexos En seguida se introducirá el concepto de conjunto conexo que se empleará en ocasiones en lo sucesivo. 12.1. DEFINICION. Se dice que un subconjunto D s R r es inconexo si existen dos conjuntos abiertos A . B tales que A n D y B D D son ajenos, no vacíos y su unión es D. En este caso se dice que el par A . B forma una inconexión de D. Un subconjunto que no es inconexo se dice que es conexo. (Fig. 12.1.) , 12.2 EJEMPLOS, (a) El conjunto N c R e s inconexo ya que se pue­ den tomar A = {x e R : x < 3/2} y B = { x e R : x > 3/2}. (b) El conjunto H = {l/n :n e lV } es inconexo. tRENB LOUIS BAIRE (1874-1932) fue profesor en Dijon. Trabajó en teoría de conjuntos y en análisis real. 104 Introducción al análisis matemático (c) El conjunto 5 que consta de todos los números racionales positivos es inconexo en R ya que se pueden t oma r A = {x e R: x < V2) y B = {xeR:x> yf2). (d) Si 0<c<l, entonces los conjuntos A = { x e lt, xzs c}, B = {xeJR : x > c } dividen al intervalo unitario I = {x € R : 0 < x < 1} en conjuntos ajenos, no vacíos y cuya unión es /. Sin embargo, dado que A no es abierto, este ejemplo no prueba que / sea inco­ nexo. En seguida se demostrará que, de hecho, el conjunto / es conexo. • 12.3 TEOREMA. El intervalo unitario cerrado I = [ 0 ,1] es un sub­ conjunto conexo de R. DEMOSTRACION. Se llevará a cabo por contradicción suponiendo que A y tí son conjuntos abiertos que forman una inconexión de I. De modo que A n l y B n i son conjuntos ajenos no vacíos acotados cuya unión es /. Dado que los conjuntos A y B son abiertos, los conjuntos A H I y B n i no pueden constar sólo de un pun to. (¿por qué?) Para ser más precisos, su­ ponga que existen puntos a e A, b e B tales que 0 < a < b < 1. Aplicando la propiedad del supremo 6.4, suponga c — s u p { x e A : x < b } de manera que 0 < c < 1; por lo tanto, c e A UB. Si c e A,ntonces c ^ b y como A es abierto hay un punto a t e A , c< a¡ , tal que el intervalo [c, ai] está contenido en (x e A : x < b}. contrario a la definición de c. Análogamente, si c e B, enton­ ces, puesto que B es abierto, hay un punto bt e B, b, < c, tal que el intervalo La topología de espacios cartesianos 105 [bi, c] está contenido en B ("11, contrario a la definición de c. Por lo tanto, la hipótesis de que / es inconexo induce una contradicción. q .e .d . El lector deberá notar que la misma demostración se puede usar para probar que el intervalo abierto (0,1) es conexo en R. 12.4 TEOREMA. La totalidad de! espacio R p es conexo. DEMOSTRACION. De no ser así, existirían dos conjuntos abiertos ajenos no vacíos A. B cuya unión sería JRP. (Fig. 12.2) Sean x e A y y e B y considere al segmento de línea S que une a x con y; es decir, S = {x + í( y - x ) :te l} . Sean Ai = {t e R :x + t ( y - x ) e A} y Bi = { t e B : x + t ( y - x ) e B } ; fácil­ mente se puede ver que Ai y B i son subconjuntos abiertos ajenos no vacíos de R y proporcionan una inconexión de I, contradiciéndose el teorema 12.3 Q.E.D. 12.5 COROLARIO. Los únicos subconjuntos de R r que son tanto abiertos como cerrados son 0 y R p. DEMOSTRACION. Si R p,es tanto abierto como cerrado en R r, en­ tonces B = R T \ A también lo es. Si A no es vacío y no es todo R p, entonces el par A . B forma una inconexión de R p, contradiciéndose el teorema. Q.E.D. y 106 Introducción al análisis matemático Conjuntos abiertos conexos En ciertas áreas del análisis los conjuntos abiertos conexos desempeñan un papel especialmente importante. Usando la definición es fácil probar el si­ guiente resultado. _12.6 LEMA. Un subconjunto abierto de R r es conexo si y sólo si no se [fuede expresar como la unión de dos conjuntos abiertos ajenos no vacíos. En algunas ocasiones es útil tener otra caracterización de conjuntos abiertos conexos. Para poder dar dicha caracterización se debe introducir cierta terminología. Si x y y son dos puntos en R r, entonces una curva poligo­ nal que une a x con y es un conjunto P que se obtiene de la unión de un número finito de segmentos de línea ordenados (Li, L 2, . . . , L») en R p, tales que el segmento de linea L , tiene como puntos terminales x, z,; el segmento de línea L2 tiene como puntos terminales z¡, z 2; . . . ; y el segmento de línea U tiene como puntos terminales z„->, y. (Fig. 12.3.) 12.7 TEOREMA. Sea G un conjunto abierto en R p. G es conexo si y sólo si cualquier par de puntos x.y en G se puede unir por medio de una curva poligonal que cae enteramente en G. DEMOSTRACION. Suponga que G no es conexo y que A .B es una inconexión de G. Sean x e A H G y y e B n G y s e a P = (L¡, L 2, . . . , L») una curva poligonal que cae enteramente en G que une a x con y. Sea k el número natural más pequeño tal que el punto terminal zk-¡ de L* pertenece a A fl G el punto terminal zk pertenece a B D G ( F i g . 12.4). Si A i y B , se definen como A i = {f eH: zk- i + t(z* —zk_i)e A DG}, Bi = {í e R : zk-, + t(zk - zk-,) e B D G}, Figura I 2 J . Una curva poligonal. La topología de espacios cartesianos 107 entonces se puede ver fácilmente que A i y Bi son subconjuntos abiertos aje­ nos no vacíos de R. De donde, el par A i, Bi forma una inconexión del inter­ valo unitario I, contradiciéndose el teorema 12.3. Por lo tanto, si G no es co­ nexo, existen dos puntos en G que no se pueden unir por medio de una curva poligonal en G. Ahora, suponga que G es un conjunto abierto conexo en JRP y quex per­ tenece a G. Sea Gi el subconjunto de G que consta de todos los puntos de G que se pueden unir a x por medio de una curva poligonal que cae enteramente en G. Sea G2 tal que conste de todos los puntos de G que no se pueden unir a x por medio de una curva poligonal que cae en G. Es claro que G, n G 2= 0. El conjunto Gi no es vacío ya que contiene al punto x. Ahora se demostrará que Gi es abierto en R r . Si y pertenece a Gi, del hecho de que G es abierto se deduce que para algún número real r > 0 , ||w - y||< r implica que w € G. Por la definición de Gi, el punto y se puede unir a x por medio de una curva poli­ gonal, y añadiendo un segmento á e y a w se deduce que pertenece a Gi. Por lo tanto, Gi es un subconjunto abierto de R p. Análogamente, el subconjunto Gi es abierto en R ”. Si G 2 no es vacío, los conjuntos G,, G 2 forman uná in­ conexión de G. contrario a la hipótesis de que G es conexo. Por lo tanto, G2—0 y todo punto de G se puede unir a x por medio de una curva poligonal que cae por completo en G. Conjuntos conexos en R Se concluye esta sección demostrando que los subconjuntos conexos de R son precisamente los intervalos (véase la sección 7). 12.8 T E O R E M A . U n s u b c o n ju n ta R e s c o n e x o s i y s ó lo s i es u n in te r ­ va lo . 108 Introducción aI análisis matemático DEMOSTRACION PARCIAL. La demostración que se da en el teo­ rema 12.3 se puede modificar fácilmente para probar la conexidad de un in­ tervalo arbitrario no vacío. Se le dejan al lector los detalles. A la inversa, sea C s J R conexo y suponga que C t¿0. Observe que C tiene la propiedad de que si a, b e C y a < b , entonces cualquier número c que satisfaga a < c < b también debe pertenecer a C, ya que si c á C, los con­ juntos A = {xe R : x < c } y B ={x e R :x > c} forman una inconexión de C. (i) Suponga ahora que C está acotado por arriba y por abajo y sean a = inf C y b = sup C. Se probará que C debe tener una de las cuatro formas [a, b], [a, b), (a, b], (a, b). De hecho, si a e C y b e C, se ha visto en el párrafo anterior que [a, b ] c C y el hecho de que C £ [a, b] se deduce del hecho de que a y b son cotas inferior y superior, respectivamente, de C. Si a e C pero b ¿ C, sea b' cualquier número con a < b '< b. Dado que b = sup C,debe haber una elemento b"e C tal quea < b'< b".P or io tanto, el número b' debe pertenecer a C y ya que b' es cualquier número que satisface a < b ' < b , s e deduce que C = [a, b). j Análogamente, si até C pero b e C, se deduce queC = (a, b], mientras que si a ¿ C y b ¿ C , entonces se deduce que C = (a, b). ] (ii) Suponga ahora que C está acotado por abajo pero no por arriba y sea a = inf C, de manera que C £ l a, +<»). Si a e C y si x es cualquier núm ero real con a s x, entonces como C no está acotado por arriba, existe c e C tal que x ^ c por lo que de la propiedad anterior se deduce que x e C . Como x es un número arbitrario que satisface a < x, se concluye que C - [ a , +»). Análogamente, si a ¿ C s e concluye que C = (a,+°o). (iii) Si C no está acotado por abajo pero está acotado por arriba y si b = sup O entonces hay dos casos: C = (-<», b ] ó C = ( - » , b) según sea b € C ó b¿C . (iv) Por último, si C no está acotado ni por abajo ni por arriba, entonces se tiene el caso C = (-00, +00). Ejercicios 12.A. Si A y B son subconjuntos conexos de dar ejemplos para dem ostrar que A U B , A l ~ iB , A \ B pueden ser conexos o inconexos. 12.B. Si C c B ' es conexo y.ves un punto de acumulación de C. entonces CU {x} es conexo. I2.C. Si C e R ’ es conexo, dem ostrar que su cerradura C~ (véase el ejercicio I 9.L) también es conexa. 12.E. Si K ^ R " es convexo (véase el ejercicio 8.Q), entonces, K es conexo. 12.F. El conjunto de C antor F e s inconexo inordenadamente. Demostrar que si x, y e F , xi* y, entonces hay una inconexión A .B de F tal que x e A , y e B. I2.G. Si C, y C ? son subconjuntos conexos de R , entonces el producto C t x C2 es un subconjunto conexo de R*. La topología de espacios cartesianos 109 I2.H. Demostrar que el conjunto A = {(x, j ) e R ’ : 0 < y < x \x * 0} U {(0,0)} es conexo en R \ Sin embargo, no existe ninguna curva poligonal que cae por completo en A que una a (0,0) con otros puntos del conjunto.. 12.1 Demostrar que el conjunto S= |(x, y ) é R ! :y = sen x*o}u{(0, y ) : - l ^ y «s l} es conexo en R*. Sin embargo, no siempre es posible unir dos puntos en S por medio de una curva poligonal (o cualquier curva “continua”) que cae por completo en 5. Sección 13 E! sistema de números complejos Teniendo el sistema de números reales a la mano, resulta fácil crear el sistema de números complejos. En esta sección se indicará cómo se puede construir el campo de los complejosf. Como se vio antes, el sistema de números reales es un campo que satis­ face ciertas propiedades adicionales. En la sección 8 se construyó el espacio cartesiano R p y se introdujeron algunas operaciones en el producto carte­ siano de p copias de R. sin embargo, R p no se hizo un campo. Puede resultar extraño el hecho de que no sea posible definir una multiplicación que con­ vierta a R p, p > 3, en un campo. No obstante, es posible definir una opera­ ción de multiplicación en R x R que haga de este conjunto un campo. En se­ guida se introducirán las operaciones deseadas. 13.1 DEFINICION. El sistema de números complejos Cconsta de to­ dos los pares ordenados (,<,y) de números reales con la operación de adición definida por (x, y) + (x', y') = (x + x', y + y'), y la operación de multiplicación definida por (x, y) • (x', y') = (xx'~ yy', xy' + x'y). De manera que el sistema de números complejos Ctiene los mismos ele­ mentos que el espacio bidimensional R 2. Tiene la misma operación de adición pero posee una multiplicación que R 2 no tiene. Por lo tanto, considerados t t s l a sección se puede omitir en una primera lectura. 110 Introducción al análisis matemático simplemente como conjuntos, C y R 2 son iguales ya que tienene los mismos elementos; sin embargo, desde el punto de vista algebraico no son lo mismo ya que poseen operaciones distintas. A un elemento de C se le llama un número complejo y a menudo se de­ nota mediante una sola letra como z. Si z = (x, y), se dice que el número real x es la parte real de z y que _v es la parte imaginaria de z, por medio de símbo­ los, x = Re z, y = Im z. Al número complejo z = (x, - y ) se le llama el conjugado de z = (x, y). Resulta un hecho importante que las definiciones que se acaban de dar acerca de suma y multiplicación de elementos de C lo hagan un "campo” en el sentido del álgebra abstracta. Es decir, que satisface las propiedades alge­ braicas enunciadas en 4.1, tomando en cuenta que el número 0 en (A3) se reemplaza por el par (0,0), el elemento correspondiente a - a en (A4) es el par (-x , - y ) , el número 1 en (M3) se reemplaza por el par (1,0) y el número co­ rrespondiente a 1/a es el par cuando (x, y) ^ (0,0). Algunas veces es conveniente adoptar parte de la notación de la sección 8 y escribir az = a(x, y) = (ax, ay), cuando á es un número real y z = (x, y) está en C. Es claro que con esta nota­ ción cada elemento en C tiene una representación única como la suma del producto de un número real por (1,0) y el producto de un número real por (0,1). De modo que se puede escribir 2 = (x, y) = x(l, 0)-+- y(0, 1). Dado que el elemento (1,0) es el elemento identidad de C, es natural que se designe con I (o que se suprima por completo cuando aparece como factor). Para abreviar un poco, es conveniente introducir un símbolo para (0,1) y la elección convenida es /'. Usando esta notación se escribe z = (x, y) = x + ¿y. Además, se tiene z = (x, - y ) = x —¿y y z+z y z -z x = Re z = —— , y = Im z = - La topología de espacios cartesianos 111 Por la definición 13.1 se tiene ( 0 ,1)(0,1) = (—1,0) que se puede escribir como i2= —1. De modo que en C la ecuación cuadrática z 2+ 1 = 0, tiene solución. El motivo histórico por el que se desarrolló el sistema de números complejos fue la obtención de un sistema de “ números” en el que toda ecuación cuadrática tuviera solución. Se observó que no toda ecuación con coeficientes reales tiene una solución real y para remediar esta deficiencia se inventaron los números complejos. Es bien sabido que los números complejos no sólo producen soluciones para ecuaciones cuadráticas con coefi­ cientes reales sino que también garantizan soluciones de ecuaciones polino- miales de cualquier grado y con coeficientes que pueden ser números comple­ jos. A este resultado se le llama el teorema fundamental del álgebra y lo de­ mostró por primera vez Gaussfen 1799. A pesar de que a C no se le pueden adjudicar las propiedades analizadas en la sección 5, es fácil dotarlo de la estructura métrica y topológica de las secciones 8 y 9. Ya que si z = (x, y) pertenece a C, el valor absoluto de z se de­ fine como |z| = (x2+ y2)I/2. Es fácil ver que el valor absoluto que se acaba de definir tiene las siguientes propiedades: (i) |z| > 0 ; si y sólo si (ii) |z| = 0 (iii) |wz| = M |z |; (iv ) | | w | - | z | | < | w ± z | < | w | + |z|. Se observará que el valor absoluto del número complejo z = (x, y) es precisa­ mente el mismo de la norma de un elemento (x, y) en R 2. Por lo tanto, todas las propiedades topológicas de los espacios cartesianos que se introdujeron y estudiaron de la sección 9 a la 12 tiene sentido y son válidas para C. En parti­ cular, los conceptos de conjuntos abiertos y cerrados en C son exactamente iguales que para el espacio cartesiano R 2. Más aún, el teorema de Bolzano- Weierstrass 10.6 y el teorema de Heine-Borel 11.3, junto con sus consecuen­ cias, también son válidos en C, lo mismo que el teorema 12.7. El lector deberá tener presentes estas observaciones en todas las seccio­ nes restantes del texto. Se verá que todo el material que sigue, aplicable a es­ pacios cartesianos de dimensión mayor a uno. se aplica igualmente al sistema de números complejos. De manera que la mayoría de los resultados que se ob­ tengan acerca de sucesiones, funciones continuas, derivadas, integrales y se­ ries infinitas también son válidas para C, sin cambiar el enunciado ni la de- tC A R L FRIEDRICH GAUSS (1777-1855), el prodigioso hijo de un jornalero, fue uno de los más grandes malcmalicos; sin emoargo. tamnién se le recuerda por sus trabajos en astronomía, física y geodesia. Fue profesor y director del Observatorio en (iottingen. 112 Introducción al análisis matemático mostración. Las únicas excepciones a esta afirmación son las propiedades ba­ sadas en las propiedades de orden de R. En este sentido, el análisis complejo es un caso especial del análisis real; sin embargo, hay varias propiedades nuevas qué*son profundas e importantes en el estudio de funciones analíticas que no tienen ningún equivalente en el ámbito del análisis real. Por lo tanto, sólo los aspectos bastante superficiales del análisis complejo se incluyen en lo que se habrá de hacer. Ejercicios 13.A. Demostrar que el número complejo iz se obtiene de z mediante una rota­ ción, en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj de tt/2 radianes (= 90°) en torno al origen. 13. B. Si c = (eos 0, sen 0) = eos $ + i sen 0, entonces el número cz se obtiene d mediante una rotación en el sentido opuesto al de las manecillas del reloj, de 0 radia­ nes en torno al origen. I3.C. Describir la relación geométrica entre los números complejos z y az + b, en donde a^O. Demostrar que la aplicación definida para z e C, por medio de /(z) = oz + i>, manda círculos a círculos y líneas a líneas. I3.D. Describir las relaciones geométricas entre los números complejos z. z y 1/z para z s*0. Demostrar que la aplicación definida por medio de g(z) = z manda círculos a círculos y líneas a líneas. ¿Cuales círculos y líneas permanecen fijos bajog? I3.E. Demostrar que la aplicación inversión definida por h(z)=l/z, manda círculos y líneas a círculos y líneas. ¿Cuáles círculos se mandan a lineas? ¿cuáles líneas se mandan a círculos? Examinar las imágenes bajo h de las líneas verticales dadas por la ecuación Re z = constante, las líneas horizontales Im z = constante y los círculos |z| = constante. I3.E. Investigar el carácter geométrico de la aplicación definida por g(z) = zI. Determinar si la aplicación g es uno a uno y si aplica a Csobre todo C. Examinar las imágenes inversas bajo g de las lineas Re z = constante, Im z = constante. y los círculos |z|= constante. CO N VERG EN CIA El material de los dos capítulos anteriores debe proporcionar una comprensión adecuada del sistema de números reales y de espacios cartesia­ nos. Una vez expuestos estos fundamentos algebraicos y topológicos se puede proceder a plantear preguntas de naturaleza más analítica. Se empezará por un estudio acerca de la convergencia de sucesiones. Algunos de los resultados de este capítulo posiblemente le sean familiares al lector debido a otros cur­ sos de análisis, pero se pretende que la presentación que aquí se da sea más ri­ gurosa y que se obtengan resultados más a fondo que en cursos anteriores. Primero se dará el significado de convergencia de una sucesión de ele­ mentos en R r y se establecerán algunos resultados elementales (pero útiles)- acerca de sucesiones convergentes. Después se establecerán algunos criterios importantes en cuanto a convergencia. En seguida se estudia la convergencia y la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Luego de una breve sección en relación con el límite superior, se anexa una última sección que, a pesar de ser interesante, se puede omitir sin pérdida de continuidad, ya que esos resultados no se aplicarán más adelante. Debido a las limitaciones que siempre existen en un libro, se ha decidido seguir este capítulo con un estudio de continuidad, diferenciación e integra­ ción. Desafortunadamente esto aplaza la presentación completa de series más adelante. Se recomienda al instructor dar, cuando menos, una breve introduc­ ción de series en forma simultánea con este capitulo o si lo prefiere puede pa­ sar directamente a la primera parte del capítulo IV al terminar la sección 16. Sección 14 Introducción ~ a las sucesiones A pesar de que la teoría de convergencia se puede dar a un nivel muy abstracto es preferible estudiar la convergencia de sucesiones en un espacio cartesiano R p, prestando especial atención al caso de la recta real. El lector deberá interpretar las ideas dibujando diagramas en R y R 2 113 114 Introducción al análisis matemático 14.1 DEFINICION. Si 5 es cualquier conjunto, una sucesión en S una función sobre el conjunto N = { 1 ,2 ,...} de números naturales y cuyo rango está en S. En particular una sucesión en R * es una función cuyo domi­ nio es N y cuyo rango está contenido en R r. < ■ En otras palabras una sucesión en R ' asigna a cada número natural n = 1 ,2 ,..., un elemento de R r determinado de manera única. Tradicionalmente el elemento R ' que se asigna a un número natural n se denota mediante algún símbolo como x. a pesar de que esta notación varía con respecto a las que se emplean para la mayoría de las funciones, se habrá de utilizar la simbología convencional. [De acuerdo con la notación anterior si X:N~* R f es una sucesión el valor de X en n € N se debe representar por X(n) y no por x..] Si bien se acepta la notación tradicional, también se quiere hacer la distinción entre la función X y sus valores X (n) = x.. De modo que cuando los elementos de la sucesión (es decir los valores de la función) se designan con x., la función se designará por medio de X = (x.) o X = (x.:neN ). Se usan paréntesis para indicar que el or­ den inducido por el de N es una cuestión importante. De modo que por medio de la no­ tación se está distinguiendo entre la sucesión X = (x»:neN) y el conjunto {x,:neN} de valores de esta sucesión. Al definir sucesiones a menudo se hace una lista ordenada de los elementos de la sucesión deteniéndose cuando la regla de construcción resulte evidente. De modo que se puede escribir (2 ,4 ,6 ,8 ,...) para representar a ¡a sucesión de enteros pares. Un método más eficaz resulta al dar una fórmula específica para el término general de la sucesión tal como (2n:neN). En la práctica con frecuencia es más conveniente especificar el valor x, y algún método para obtener x..,,, n ^ l , cuando x. se conoce. Generalizando aún más se pueden hacer explícitos x, y alguna regla para obtener x..,, a partir de xf, x ,,. . . , x». Se hará referencia a cualquiera de estos métodos como las definiciones inductivas de la sucesión. De esta manera se podría definir la sucesión de números naturales pares por medio de la definición x, = 2, x.„, = x.+2, n > 1. o por la definición (al parecer más complicada) x, = 2, x.„ = x.,+ x„ nal. Es claro que para definir esta sucesión existe la posibilidad de usar muchos otros métodos. En seguida se introducen algunos métodos para construir sucesiones nuevas a partir de otras dadas. 14.2 DEFINICION. Si X = (x„) y Y - (y.) son sucesiones en R p, suma de estas sucesiones se define como la sucesión X + Y = {Xn + y») en R p, Convergencia 115 su diferencia como la sucesión X —Y = (x, —y») y su producto interno como la sucesión X • Y = (x„ • y») en R que se obtiene mediante el producto interno de términos correspondientes! Análogamente, si X = (x„) es una sucesión en R y si Y = (y„) es una sucesión en R r , ¿1 producto de X y Y se define como la sucesión en R p denotada mediante X Y = (x.y„); o s i c e R y X = (x.), se de­ fine cX = (ex*). Por último, si Y = (y.) es una sucesión en R con y .^ 0, se puede definir al cociente de la sucesión X = (x,) en R ” entre Y como la suce­ sión X/Y = (xjy.). Por ejemplo si X. Y son las sucesiones en R dadas por X = ( 2 , 4 , 6 , . . . , 2 n, ...), Y - (l, entonces se tiene X +Y= Í3 - — 2n>tl ) V ’ 2 ’ 3 ......... n X —Y = ( \ — — g-"2- 1 'i X Y = ( 2 , 2 , 2 , . . . , 2 ,...) , 3X = ( 6 ,1 2 ,1 8 ,..., 6 it, ), £ = ( 2 , 8 , 1 8 ------ 2n2, . . .)• Análogamente si Z denota la sucesión en H dada por Z= i-(-ir 2 ya se han definido X + Z, X —Z y XZ; sin embargo X/Z no está definida ya que algunos de los elementos en Z son cero. En seguida se dará el concepto del límite de una sucesión. 14.3 DEFINICION. Sea X = (x„) una sucesión en R p. Se dice que elemento x de R p es un límite de X si para cada vecindad V de x hay un número natural Kv tal que para toda n s: Kv, x, pertenece a V. Si x es un limite de X también se dice que X converge a x. Si una sucesión tiene un limite se dice que la sucesión es convergente. Si una sucesión no tiene ningún límite se dice que es divergente. La notación Kv se usa para indicar que la elección de K dependerá de V. Es claro que una vecindad pequeña V por lo general requerirá un valor grando para poder garantizar que x ,e V para toda n > Kv. Se ha definido el límite de una sucesión X = (x„)en términos de vecinda­ des. A menudo es conveniente usar la norma en R r para dar una definición equivalente la cual se dará en seguida mediante un teorema. 116 Introducción al análisis matemático 14.4 TEOREMA. S e a X = (x„) una sucesión en R r. Un elemento x de R r es un límite de X si y sólo si para cada e > 0 hay un número natural K(e) tal que para toda n > K(e), ||x„ - x ||< e. DEMOSTRACION. Suponga que x es un límite de la sucesión X , según la definición 14.3. Sea e > 0 y considere a la bola abierta V(e) = {y 6 J?p :||y -x ||< e } ,q u e e s una vecindad dex.Por la definición 14.3 se sabe que hay un número natural Kv<.) tal que si n a : Kv(.>, entonces x„e V(e) . De donde si n 2: KVM, entonces ||x» —x||< e. Esto prueba que la propiedad establecida es válida cuando x es un límite de X. A la inversa suponga que la propiedad del teorema es válida para toda e > 0 ; se debe probar que la definición 14.3 se satisface. Para hacerlo sea V cualquier vecindad de*; entonces hay un número e > 0 tal que la bola abierta V(e) con centro x y radio x está contenida en V. De acuerdo con la propiedad del teorema, hay un número natural K(e) tal que si n a K(e), entonces |jx„ —x | < e . Expresado de otra manera si n > K ( e ) , entonces x„eV( E); por lo tanto i , e V y el requisito de la definición 14.3 se satisface. q .e .d . 14.5 UNICIDAD DE LIMITES. Una sucesión en R p puede tener cuando más un límite. ¡ -1 ' DEMOSTRACION. Suponga por el contrario, que x', x" son límites de X = (x.)yque x V x * . Sean V' y V* vecindades ajenas de x 'y x" respecti- vamen'e y sean K', K " números náturales tales que si n & K ' entonces x, e V y si n a K" entonces x» e V ". Sea K —sup {K', K "} de manera que Xk e V' y Xk e V". Se deduce que xK pertenece a V 'O V", contrario al su­ puesto de que V' y V ' son ajenos. q .e . d . Cuando una sucesión X = (x„) en JRP tiene un límite x a menudo se escribe x = lim X, ó x = lim n (x„), , o se usa el simbolismo Xn -* x. Se dice que una sucesión X = (x») en R p es acotada si existe M > 0 tal que ||x„||<M para toda n e N . 14.6 LEMA. Una sucesión convergente en R p es acotada. DEMOSTRACION. Sea x = lim (x„) y sea e = l . Por el teorema 14.4 existe un número natural K = K(1) tal que si n z K , entonces j¡x„ —x¡| s 1. Usando la desigualdad del triángulo se deduce que si n > K, en- t onces ||x»|| s ||x J + 1 . Si se establece que M = sup fl|xiU, ||x2||,. . . . ||xk—i|j, fix|| + 1}, entonces ||x„j| ^ \p a ra toda n e N . Se podría pensar que la teoría sobre convergencia de sucesiones en R p es más complicada que en R; sin embargo no es este el caso (excepto por cues­ Convergencia 117 tiones de notación). De hecho el siguiente resultado es importante ya que prueba que los problemas de convergencia en R p se pueden reducir a proble­ mas idénticos en R para cada una de las sucesiones de coordenadas. Antes de exponer este resultado recuerde que un elemento típico x de R T se representa en forma de coordenadas por medio de “p-adas” X = (x„ Xa......... X,). De donde cada elemento de una sucesión (x.) en R T tiene una representación similar; por lo que x. = (x„, Xa»......... x^) . De esta manera la sucesión (x.) g e n e r a p s u c e s i o n e s de n ú m e r o s r e a l e s ; e s p e c í f i c a m e n t e (x„), (xj,),. . . , (Xp.) . En seguida se demostrará que la convergencia de la su­ cesión (x.) se refleja con fidelidad en la convergencia de estas p sucesiones de coordenadas 14.7 TEOREMA. Una sucesión (x») en R p con x, = (X i„ x 2» ,. . . . Xp»), n € N, converge a un elemento y = (yi, y2, . • . , yP) si y sólo si las p sucesiones corres­ pondientes de números reales. (14.1) (x,»),(x2»)........ (x,»), convergen a y», y2, . . . , yP respectivamente. DEM O STRACIO N. Si x » -* y , entonces ||x « - y ||< e para n > K ( e ) . Por el teorema 8.10 para cada / = 1 , 2 , . . . , p, se tiene ¡xj» - y j¡ < ||x » - y ||< e , para n > f C(e). Por lo tanto cada una de las p sucesiones coordenadas debe converger al número real correspondiente. De manera inversa suponga que la sucesión en (14.1) converge a y, para / = 1 ,2 , . . . , p. Dado e > 0 , hay un número natural M (e) al que si n z JVÍ(e), entonces |x*.-yi|< e /'/ p para ; = l , 2 , . . . , p . De aquí s^e deduce que cuando n 2r M(e), B * » - y ir = ¿ I x ^ - y ^ s e * , j-i por lo que la sucesión (x„) converge a y. o e d . Ejemplos En seguida se dan algunos ejemplos estableciéndose la convergencia de una sucesión y usando únicamente los métodos disponibles hasta el momento. / 118 Introducción aI análisis matemático Se observará que para proceder se debe “ adivinar” el valor del límite exami­ nando previamente la sucesión. Todos los ejemplos que se presentarán en se­ guida requieren un poco de “ truco” y de habilidad de manipulación; sin em­ bargo los resultados que se obtienen serán muy útiles al establecer (por medio de procedimientos menos artificiales) la convergencia de otras sucesiones. De modo que son de interés tanto los resultados como los métodos. 14.8 EJEMPLOS, (a) Sea (x«) la sucesión en R en donde x. = 1/n. Se demostrará que lim (1/n) = 0. Para hacer esto tome e > 0 ; de acuerdo con el corolario 6.7(b) (de la propiedad arquimediana) existe un número natural K (e) tal que 1 /K ( e ) < e . Entonces si n > K ( e ) se tiene 0 < ,- ' » = K b <e- de donde se deduce que |x .—0 |< e p a ra n > K ( e ) . Dado que e > 0 es arbitra­ rio esto prueba que lim (l/n ) = 0. (b) Sea a > 0 y considere la sucesión X —(1/(1 + na)) en R. se habrá de probar que lim X = 0. Observe primero que 0 < T11+---- na < — na ■ Se desea que el término dominante sea menor que una e > 0 dada para n lo suficientemente grande. De nuevo por el corolario 6.7(6) existe un número natural K(e) tal que 1 /K (e )< a e . Entonces, si n a K(e) se tiene 0< <e, 1 + na na K(e)a por lo que |1/(1 + n a ) —0 |< e para ns=K(e). Dado q u e e > 0 e s arbitrario esto prueba que lim X = 0. (c) Sea b e R tal que satisfaga 0 < b < 1 y considere la sucesión (b "). Se habrá de probar que lim (b“) = 0 para hacer esto es conveniente escribir b de la siguiente manera b= 1 +a en donde a > 0 y usar la desigualdad de Bernoulli ( l + a) " & 1 + na para n e N . (Véase el ejercicio 5.C) por lo tanto _1__ 1 1 0<b" = ( l + a )“ S 1 + na na' Igual que en el eje anterior está dada si e > 0 entonces hay un numero natural K ( e ) tal que |b" - 0 | < e cuando n a K(e) por lo tanto se tiene lim (b“) = 0. Convergencia 119 (d) Sea c > 0 y considere la sucesión (c *'“) se habrá de probar que l (c,,* ) = l. Primero suponga que c > 1. Entonces c 1'" = 1 + d. con d. > 0 de donde, por la desigualdad de Bernoulli ’ - c = (1 + <£,)" 2s l + nd«. Se deduce que c —1 a nd*. Dado que c > i, se tiene c —1 > 0 por lo tanto dada e > 0 , hay un número natural K(e) tal que si n a K(e), entonces 0 < c 1M- 1 = d. s - — - < e . fl Por lo tanto, |c ,M- l | < e cuando n a K (e), que es lo que se quetfa. Ahora syponga ■------ —o~ ~ que 0 < c < l (para m---- el caso c. = “1 es obvio). ' Entonces \ = 1/(1 + h.) con h « > 0 de donde por la desigualdad de Bernoulli, c= ü + h.r 1 + nK ,< nk, ‘ Se deduce que 0 < h . < l Inc pero como c > 0 , dada e > 0 hay un número na­ tural K (e) tal que si n s K (e) entonces Un _ 0< l-c T1 + T Íh» r< hn< — nc <«• Por lo tanto |c I/* - l | < e cuando n a K(e), que es lo que se quería. fe) Considere la sucesión X = (n 1'"); se habrá de probar que lim X = 1, un hecho que no es muy obvio. Escriba n = 1 + le, con fc, > 0 para n > 1; por lo que n = (l + Jc„)* por el teorema del binomio cuando n > l se tiene n = l + nfc. + " (ll2 Se deduce que k.2< 2 / ( n - l ) , de manera que kn< VA Dada e > 0 , existe K(e) tal que si n a K(e),entonces l / ( n - l ) < e J/2; se de­ duce entonces que 0 < f c .< s y por lo tanto 0 < n ,/" —1 = Jc„<e para n & K(c). Como e > 0 es arbitraria esto prueba que lim (n ,M) = 1. Estos ejemplos muestran que resultarán muy útiles cjertos resultados en que no será necesario el ingenio que aquí se ha empleado. Dichos resultados se obtendrán en las dos secciones siguientes. Se cierra esta sección con un re­ sultado que a menudo es útil. 120 Introducción ul análisis matemático 14.9 TEOREMA Sea X = (x.) una sucesión en R r y sea x e R r. S A = (a») una sucesión en R tal que (i) Iim (a«) = 0, (ii) ||x « -x ||< C |a«| para alguna C > 0 y para toda n e S . Entonces, lim 0 0 = x. DEMOSTRACION. Sea c > 0 dada. Como lim (a.) = 0, existe un número natural K(e) tal que si n a K(e) entonces. C |a .| = C |o . - 0 |« ; e . Se deduce que ||x. - x || s C |a»| i e para toda n ^ K(e). Dado que e > 0 es arbitraria se deduce que lim OO = O.E.D. Ejercicios 14.A. Sea b e R ; dem ostrar que lim (b/n) = 0. 14.B D emostrar que lim (1 /n —l / ( n + 1)) = 0. 14 C. Sea X = (x«) una sucesión en R * que converge a x y sea c e R. D em ostrar que lim (cx„) = cx. 14.D. Sea X = (x.) una sucesión en R r que converge a x. Demostrar que lim (l|x»(D = 1|*|. ISugerencia : usar la desigualdad del triángulo.) 14.E. Sea X = (x«) una sucesión en R ' y sea lim fl|x.|Ds t0. D em ostrar que lim (x») = 0. Sin em bargo, dar un ejemplo en R para probar que la convergencia de (|x.|) puede no implicar la convergencia de (x.). I4.F Demostrar que lim (l/Vr») = 0. De hecho, si (x .)es una sucesión de números positivos y lim (x«) = 0, entonces lim (V x j = 0. I4.G. Sea d e R tal que d > 1. U sar la desigualdad de Bemoulli para dem ostrar que la sucesión (dm) no está acotada en R. por lo tanto, no es convergente. I4.H Sea b e R tal que 0 < b < 1. Demostrar que lim(rtí>“) = 0. (Sugerencia: usar el teorema del binomio como en el ejemplo|4.8(e).) 14.1 Sea X - (x«) una sucesión de números reales estrictam ente positivos tal que lim (x».i/x«)< 1. Demostrar que para alguna r con 0 < r < 1 y alguna C > 0 , se tiene 0 < x .< C r * para toda ne N. suficientemente grande. U sar esto para probar que lim (x.) = 0. I4.J. Sea X = (x.) una sucesión de números reales estrictam ente positivos tal que lim (x ,,i/x » )> 1. Demostrar que X no es una sucesión acotada y por lo tanto no es convergente. 14.K. Dar un ejemplo de una sucesión convergente (x.) de números reales estric­ tamente positivos tal que lim (x«»,/x.) = 1. Dar un ejemplo de una sucesión divergente que tenga esta propiedad I4.L. Aplicar los resultados de los ejercicios 14.1 y I4.J a las siguientes sucesio­ nes. (Aquí, 0 < a< 1, 1 < b, c > 0 .) \ ( a ) ( a ’), * (b) (na"), ¿ (c) (t>"), l (d) (b'/n), C(e) (c’/nO . '( 0 IX 'IV '). Convergencia 121 !4.M . Sea X = (x«) una sucesión de números reales estrictamente positivos tal que lim (x lM) < l . Demostrar que para alguna r con 0 < r < l , 0 < x » < r * para toda n e N suficientemente grande. U sar esto para deducir que lim (x.) = 0. 14 N. Sea X = (x») una sucesión de números reales estrictam ente positivos tal que lim (xlM)> 1. Demostrar que X no es una sucesión acotada y por lo tanto no es convergente. 14.0. D ar un ejemplo de una sucesión convergente (x«)de números reales estric­ tamente positivos tal que lim (xi'") = 1. Dar un ejemplo de una sucesión divergente que tenga esta propiedad. 14.P. Reexaminar la convergencia de las sucesiones del ejercicio 14.L a la luz de los ejercicios 14.M y 14.N 14.Q. Analizar la convergencia de las siguientes sucesiones en R. - »G). (O ( £ - , ) . (•» «-»■>• Sección 15 Subsucesiones - - 'T y combinaciones E sta sección p ro p o rc io n a c ie rta in fo rm ac ió n a c e rc a d e la co n v erg en cia d e su cesiones q u e se o b tie n en d e d iv e rsa s fo rm a s a p a r tir d e sucesio n es q u e se sab e son convergentes. E sto a y u d a rá a q u e sea posible e x ten d e r c o n sid e ra b le ­ m e n te m u e stra colección d e sucesiones con v erg en tes. 15.1 DEFINICION. S i X = (x„) es u n a sucesión en R" y si rl < r 2< - - - < r„<- • • es u n a sucesión d e n ú m e ro s n a tu ra le s e x tric ta m e n te c re cie n te, en to n ce s la sucesión X ' en R " d a d a p o r (Xr„ Xrj, - • • , Xr„» . • •), se lla m a u n a subsucesión d e X . Puede ser útil relacionar el concepto de una subsuccsión con el de la composición de dos funciones. Sea g una función, con dominio N y rango en /V, estrictamente cre­ ciente en el sentido de que si n < m ; entonces g(n) < g(m ). De dondeg define una sub­ sucesión de X = (x.) por medio de la fórmula X ° g = (x,,„,: n e N ). A la inversa toda subsucesión de X es de la forma X ®g para alguna función estricta­ mente creciente con D (g) = N y R (g ) q N. E s c la ro q u e u n a sucesión d a d a tie n e m u c h a s su b su cesio n es d istin ta s. A p esar d e q u e el sig u ien te re su lta d o es m uy e le m e n ta l, es d e su ficien te im p o r­ ta n c ia c o m o p a ra h a c e rlo ex p lícito . 122 Introducción al análisis matemático 15.2 LEMA. Si alguna sucesión X en R ” converge a un elemento x, entonces cualquier subsucesión de X también converge a x. DEMOSTRACION. Sea V una vecindad del elemento límite x; por definición, existe un número natural Kwtal que para toda n a K v, x„ perte­ nece a V. Ahora, sea X ’ una subsucesión de X; digamos X '= (x ,„ Xr,, . ..,X ,„ ...) . Dado que r. > n, entonces r» & Kv y por lo tanto x,. pertenece a V. Esto de­ muestra que X ’ también convergente a x. q .e .d . 15.3 COROLARIO S i X = (Xn) es una sucesión que converge a un ele­ mento x de R p y si m es cualquier número natural, entonces la sucesión X ' = (x„+t, Xm+2, . . . ) también converge a x. DEMOSTRACION. Dado que X ' es una subsucesión de X , el resul­ tado se deduce directamente del lema anterior. q .e .d . Los últimos resultados han sido orientados de manera especial haiia la demostración de que una sucesión converge a un punto dado. También es im­ portante saber lo que significa exactamente que una sucesión X no converja a x. El siguiente resultado es elemental pero no trivial y su comprobación de­ sempeña un papel importante en la preparación del lector. Por lo tanto, se le deja la demostración detallada. 15.4 TEOREMA S i X = (x«) es una sucesión en R r, entonces las si­ guientes afirmaciones son equivalentes: la) X no converge a x. (b) Existe una vecindad V de x tal que si n es cualquier número natural entonces hay un número natural m = m (n) 2 n tal que xm no pertenece a V. (c) Existe una vecindad V de x y una subsucesión X ' de X tal que nin­ guno de los elementos de X ’ pertenece a V. < 15.5 EJEMPLOS, (a) Sea X la sucesión en R que consta de los núme­ ros naturales. X = ( l , 2 ........ n ,...) . Sea x cualquier número real y considere la vecindad V de x que consta del in­ tervalo abierto (x —l , x + l). acuerdo con la propiedad arquimediana 6.6 existe un número natural k 0 tal quex + 1 < k0; de donde, si n 2 k0, se deduce que Xn = n no pertenece a V por lo tanto, la subsucesión X ' = (k0, k0+ 1, . . . ) X no tiene puntos en V, probándose que X no converge a x. (h) Sea Y = (y.) la sucesión en R que consta de Y = ( - 1 , 1 , , (-1)*, ...) . Se deja al lector la demostración de que ningún punto y, excepto posi­ blemente y = ±1, puede ser un límite de Y. Se probará que el punto y = - 1 Convergencia 123 no es un límite de Y: la demostración para y = +1 es por completo análoga. Sea V la vecindad de y = —1 que consta del intervalo abierto ( -2 ,0 ) . Enton­ ces, si n es par, el elemento y, = (-1)" = +1 no pertenece a V. Por lo tanto, la subsucesión Y' de Y que corresponde a r, = 2n, n e N , evade la vecindad V, probándose que y = —1 no es límite de Y. (c) Sea Z = (z„) una sucesión en R con z„ > 0, para n i 1. Se deduce que ningún número z < 0 puede ser límite de Z. De hecho, el intervalo abierto V = {.x e R :x <0} es una vecindad de z que no contiene ningún elemento Z. Esto prueba (¿por qué?) que z no puede ser el límite de Z. por lo tanto, si Z tiene un límite, este límite debe ser positivo. Combinaciones de sucesiones El siguiente teoruna permite usar las operaciones algebraicas de las defi­ niciones 14.2 para formar nuevas sucesiones cuya convergencia se puede pre­ decir a partir de la convergencia de las sucesiones dadas. 15.6 TEOREMA, la) Sean X y Y sucesiones en R ”que convergen en x y y. respectivamente. Entonces, las sucesiones X + Y, X —Y, y X • Y conver­ gen a x + y, x —y, y x - y. respectivamente. (b ) S e a X = (xn) una sucesión en R" que converge a x y sea A = (a.) una sucesión en R que converge a a. Entonces, la sucesión (amXn) en R r converge a ax. (c) Sea X = (x„) una sucesión en R r que converge a x y sea B = (b») una sucesión de números reales distintos de cero que converge a un número dis­ tinto de cero b. Entonces, la sucesión (bn~'x„) en R p converge a b 'x. DEMOSTRACION, (a) Para probar que (x, + y.) —» x + y, es necesa­ rio calcular la magnitud de ||(x« + y») —(x + y)||. Para hacer esto, se usa la de­ sigualdad del triángulo y se obtiene ||(x« + y„) - (x + y)|| = l)(x« - x) + (y, - y)¡| 15,1 ^ l|x« —x ||+ Hy, —y|j. Por hipótesis, si e > 0 , se puede elegir K , tal que si n z K i , entonces ||x ,- x ||< e /2 y se elige JC2 tal que si n a K2, entonces ||y„ - y||< e/2. Por lo tanto, si K0 = sup{Ki, K 2} y n z Ko, de (15.1) se concluye que ||(*n + y») - (x + y )|| < e/2 + e/2 = e. Dado que esto se puede hacer para cualquier e > 0 , arbitraria, se deduce que X + Y converge a x + y. Exactamente el mismo argumento se puede usar para probar que X - Y converge a x - y . Para demostrar que X • Y converge a x • y se hace el cálculo |xn • y»-x • y| = |(*" • y»-*» *y)+(*« - y-* • y)l «s|x» •( y»-y) l + |( x .- x ) * y |. 124 Introducción al análisis matemático Usando la desigualdad de Schwarz, se obtiene (15.2) I* . • y . - x • y| s |M !!y 1.- y lM |x .- x ||||y ¡ |. De acuerdo con ei lema 14.6, existe un número M > 0 que es cota superior de {|M , ||y)|}. Además, por la convergencia de A\ Y se concluye que si está dada e > 0 entonces existen números naturales K t, K 2 tales que si n > K t, enton- ces ||y« —y ||< e/2 M y si n & K2, entonces ||x, - x |¡ < e/ 2M. Ahora, elíjase K = su p (K t, K2}; entonces, si n a K, de (15.2) se deduce que I*- • y » - x - y l s M l l y . - y l + M l x n - x H Esto prueba que X • Y converge a x • y. La parte (b) se demuestra de la misma manera. Para demostrar (c) se hacen los siguientes cálculos: Ahora, sea M > 0 tal que ¿< l*l y IMI<m. Se deduce que existe un número natural K0 tal que si n & K 0, entonces !M < m . De donde, si n a K 0, del cálculo anterior se obtiene 1 1 ; M 3 |h„ - b\ + M ||x, - x|. b„ o Por lo tanto, si e > 0 es un número real ya fijado, entonces existen números naturales K u K i tales que si n a K, entonces |bw - f>| < e/2M 3 y si n == K2cn- tonces \\xn - x ||< e/2M. Siendo K = sup (K0, K ,, K 2} se concluye que si n > K, entonces bn X" b X\\< M 3 2 M i + M 2M £j lo cual prueba que (xjbn) converge a x/b. Q.E.D. Convergencia 125 15.7 APLICACIONES. De nuevo se limitará la atención a sucesio en R. (a) Sea X = (x,) la sucesión en R definida por 2 n +1 neN. *■” n + 5 ’ Observe que se puede escribir x„ de la siguiente manera 2 + 1/n 1 + 5/n ’ de modo que X se puede considerar como el cociente de Y = (2 + 1/n) y Z = (l + 5/n). Dado que la última sucesión consta de términos distintos de cero y tiene límite I (¿por qué?), el teorema anterior es aplicable y se puede concluir que lim Y 2 lim X = lim Z 1 (b) Si X = ( x ) es una sucesión en R que converge a x y sip es un polino­ mio, entonces la sucesión definida por ( p ( x ) : n e N ) converge a p(x). (Suge­ rencia: usar el teorema 15.6 e inducción.) (c) Sea X = (x.) una sucesión en R que converge a x y sea r una función racional; es decir, r(y) = p(y)/q(y), en donde p y q son polinomios. Suponga que q(x>) y q(x)son distintos de cero, entonces la sucesión ( r ( x ) : n e N ) con­ verge a rix). (Sugerencia: usar la parte (bj y el teorema 15.6.) Se concluye esta sección con un resultado que a menudo es útil. Algunas veces se describe diciendo que “se alcanza el límite en una desigualdad” . 15.8 LEMA Suponga que X = (x.) es una sucesión convergente en con límite x. S i existen algún elemento c en R r y un número r> 0 tal que ||x —c¡| < r para n suficientemente grande, entonces ||x —c|| s r. DEMOSTRACION. El conjunto V = { y e l l p:||y - c ||> r } e s un sub- conjunlo abierto de JJP. Si x € V, entonces V es una vecindad de x y x, e V para valores de n lo suficientemente grandes, contrario a la hipótesis. Por lo tanto, x é V y se tiene |¡x —c ||s r . q . e .d . Es im portante observar que en este resultado se ha supuesto la existencia del límite, ya que las hipótesis restantes no son suficientes-para dem ostrar su existencia. Ejercicios 15.A. Si ( x ) y (y.) son sucesiones convergentes de números reales y si x , s y, para toda n e N , entonces lim ( x ) lim(y„). 15.B. Si X = ( x ) y Y = (y.) son sucesiones de números reales que convergen a c y si Z = (z.) es una sucesión tal que x , s z , £ y , para n e N , entonces también con­ verge a c. 126 Introducción al análisis matemático I5.C. para x. dada mediante las siguientes fórmulas, establecer la convergencia o la divergencia dé la sucesión X = (x.): T (-ir* « *-= ü + 7 ’ ^ n+ 1 ’ . _ 2n2+ 3 (c) (d) ** 3n2+ 1’ (e) x. = n 2- n , (0 x. = sen n. I5.D. Si X y Y son sucesiones en R ' y si X + Y converge, ¿convergen X y Y y tienen limite lim (X + Y) = lim X + lim Y ? 15.E. Si X y Y son sucesiones en R r y si X • Y converge, ¿convergen X y Y y tie­ nen lim X • Y = (lim X ) • (lim Y)? 15.E. Si X = (x.) es una sucesión positiva que converge a x. entonces (>/xj con­ verge a Vx. (Sugerencia: s/x^—Vx = (x» —x)/(s/x|[+Vx) cuando x ^ O .) 15.G. Si X = (x.) es una sucesión de números reales tal que Y = (x.2) converge a 0, ¿converge X a 0 ? ____ 15.H. Si x, = V n + 1 - \/¡t,¿convergen las sucesiones X ? = (x .)y Y = (V ñx.)? 15.1. Sea (x.) una sucesión en R ' tal que las subsucesionés (x j.) y (xj,»i)conv gen a x e R ' . Demostrar que ( x j converge a x. I5.J. Sean ( x j y (y.) sucesiones en R tales que lim ( x J ^ O y lim (x.y«) existe. D em ostrar que lim (y.) existe 15.K. ¿Sigue siendo válido el ejercicio 15.J en R 2? I5.L. Si 0 < a ^ b y si x. = (a" + b’‘),' \ entonces lim (x.) = b. 15.M. Todo número irracional en R es el límite de una sucesión de números ra ­ cionales. Todo número racional en R es el límite de una sucesión de números irracio­ nales. 15. N. Sean A c R ' y x e R '. Entonces x es un punto frontera de A si y sólo si hay una sucesión (<Ode elementos en A y una sucesión (b„) de elementos en ^ ( A ) ta­ les que . lim (a») = x = l¡m (b.). 15 .0 . Sea A s R ' y x e R". Entonces, x es un punto de acumulación de A si y sólo si hay una sucesión (a.) de elementos distintos en A tal que x = lim (a .). 15.P. x = lim (x .) y si ||x » - c ||< r para toda neJV , ¿se deduce que |) x - c ||< r ? Proyectos 15.a . Sea d una métrica en un conjunto M en el sentido que se d a en el ejercicio 8.S. Si X = (x.) es una sucesión en M. entonces un elemento x s M s c dice que es un limite de X si para cada e > 0 existe un número K(e) en N tal que para toda n & K (e), d(x«, x) < e. U sar esta definición y dem ostrar que los teoremas 14.5, 14.4, 15.2, 15.3 y 15.4 se pueden extender a espacios métricos. Demostrar que las métricas d „ d 2, d . en R f dan origen a las mismas sucesiones convergentes en R p. D em ostrar que si d es una métrica discreta en un conjunto entonces las únicas sucesiones que con­ vergen con respecto a d son aquellas que son “ constantes respecto de algún número natural". Convergencia 127 \5.fi. Denótese por medio de m a la colección de todas las sucesiones acotadas en R, por medio de c a la colección de todas las sucesiones convergentes en R y por medio de c« a la colección de todas las sucesiones en R que convergen a cero. (a) Con la suma X + Y y el producto cX de la delinición 14.2, dem ostrar que cada una de las colecciones anteriores es un espacio vectorial en donde el elemento cero es la sucesión 0 = ( 0 , 0 , . . . ) . (bl En cada una de las colecciones m, c, c0, definir la norma de X = 0 0 como ||x|| = s u p { |x „ |:n e N } . D em ostrar que esta definición realmente da una norma. (c) Si X y Y pertenecen a m . a r . o a c0, entonces el producto X Y también perte­ nece a la colección y ||XY|| < ¡|X|| |Y ||. Dar un ejemplo para probar que la igualdad puede ser válida en esta última relación y otro para probar que puede no cum plirse la igualdad. (d) Demostrar que la métrica inducida por la norm a, en la parte (b). en estos es­ pacios está dada por d(X , Y ) = s u p { |x » - y .|:n e N ) . (e) Demostrar que si una sucesión (X*) converge a Y con respecto a la en (d) entonces cada “ sucesión coordenada" converge a la coordenada correspondiente de Y. (Observación: Xi, es una sucesión en R, mientras que (X*.) es una sucesión en ni. c o c0; es decir, una “ sucesión de-sucesiones” en R.) {/) Dar un ejemplo de una sucesión (X*) en c„ en donde cada sucesión coorde­ nada converja a 0, pero en donde d(X*, 0) no converja a 0. Sección 16 Dos criterios ------- de convergencia Hasta ahora, el método principal disponible para probar que una suce­ sión es convergente es el de identificarla como una subsucesión de una combi­ nación algebraica de sucesiones convergentes. Cuando es posible hacer esto, se puede calcular el límite usando los resultados de la sección anterior. Sin embargo, cuando esto no se puede hacer, es necesario apoyarse en la defini­ ción 14.3 o en el teorema 14.4 para poder establecer la existencia del límite. El uso de estos últimos medios tiene la notable desventaja de que se debe sa­ ber de antemano (o cuando menos suponer) el valor correcto del límite y des­ pués verificar el supuesto resultado. Sin embargo, existen muchos casos en que no hay ningún candidato ob­ vio para el límite de una sucesión dada, aun cuando un análisis preliminar haga pensar que sí hay convergencia. En esta sección se dan algunos resulta­ dos más a fondo que los de las secciones anteriores y que se pueden usar para establecer la convergencia de una sucesión cuando ningún elemento en parti­ cular aparece como el valor del límite. El primer resultado con este enfoque es muy importante. A pesar de que se puede generalizar a R p, es conveniente restringir el enunciado para el caso de sucesiones en R. 16.1 TEOREMA DE CONVERGENCIA MONOTONA. Sea X = (x„) una sucesión de números reales monótonamente creciente en el sen­ tido de que 128 Introducción al análisis matemático ** + * 4- 4 —f *1 x2 *3 Figura 16.1. X l S X j S >" < I , £ X.+1 ^ • • •. Entonces, la sucesión X converge si y sólo si es acotada, en cuyo caso Iim (x.) = sup {x,}- DEMOSTRACION. En el lema 14.6 se vio que una sucesión conver­ gente es acotada. Si x = lim (x„) y e > 0 , entonces existe un número natural K (e) tal que si n s: K(e), entonces x - e < x » < x + e. Dado que X es monótona, de esta relación se obtiene v x - e ^ sup {x„} ¿ x + e, y se infiere que |x - sup {x«}| < e. Como esto es válido para toda e > 0 , se de­ duce que lim (x*) = x = sup {x.}. x -- A la inversa suponga que X = (x,) es una sucesión acotada de números reales monótonamente creciente. De acuerdo con el principio del supremo, el supremo x* = sup {x«} existe; se probará que es el límite de A'. Dado que x*es una cota superior de los elementos en X, entonces x„ s x* para n e N . Como x* es el supremo de Z, si e > 0 el número x * —e no es cota superior de A y existe un número natural K(e) tal que X * — E < Xk(.). Debido a la propiedad de monotonía de X. para toda n > K(e), x * - e < x * £ x*, por lo que se deduce que |x» —x * |< e . Resumiendo lo anterior, el número x* = sup{x,} tiene la propiedad de que, dado e > 0 , hay un número natural K ( e ) (que depende de e ) tal que ( x n - x ’^ e siempre que n a K(e). Esto prueba que x* = lim X. q . e .d . 16.2 COROLA RIO. Sea X = (x»> una sucesión de números reales mo­ nótonamente decreciente en el sentido de que X i 2 X2 2 ----- S X . 5 : X„+ , S : ------ . Entonces, la sucesión X converge si y sólo si es acotada, en cuyo caso lim (x,) = inf {x,}. DEMOSTRACION. Sea y» = -x« para n e N . Entonces se puede ver que con facilidad la sucesión Y = (y») es una sucesión monótonamente ere- Convergencia 129 cíente. Más aún, Y es acotada si y sólo si A- es acotada. Por lo tanto, la conclusión se deduce del teorema. q .e .d . 16.3 EJEMPLOS, (a) Volviendo a la sucesión X = (1/n) que se vio en el ejemplo I4.8(a), es claro que entonces del corolario 16.2 se deduce que X = (1/n) converge. Se puede esta­ blecer el valor de lim (1/fr) siempre y cuando se pueda calcular inf {1/n}. Al­ ternativamente, una vez asegurada la convergencia de X , a menudo se puede calcular su limite usando el lema 15.2 y el teorema 15.6. En el caso que se está considerando, si X '= ( 1 /2 ,1 / 4 ,..., l/2 n ,...) , entonces se deduce que lim X = lim X ' —\ lim X. por lo tanto, se concluye que lim X = 0. (b) Sea Y = (y„) una sucesión en R definida inductivamente por yi = 1, y»+i = (2y„ + 3)/4 para n e N. por cálculo directo se tiene y i< y 2< 2 . Si y » -i< y i.< 2 , entonces 2y«_, + 3 < 2 y B+ 3 < 2 -2 + 3 , "’ r *• de donde se infiere que y» < y,+j < 2 por inducción, la sucesión Y es monóto­ namente creciente y está acotada por arriba con el número 2. Del teorema de convergencia monótona se infiere que la sucesión Y converge a un límite que no es mayor a 2. En este caso podría no ser tan fácil evaluar y = lim Y calcu­ lando sup {y„}. Sin embargo, sabiendo ya que el límite existe, hay otra ma­ nera de calcular su valor. De acuerdo con el lema 15.2 se tiene y = lim (y,) = lim (y„+i). Usando el teorema 15.6, el límite y debe satisfacer la relación y = (2y + 3)/4. Por lo tanto, se concluye que y = |. I d Sea Z = (z„) una sucesión en R definida por Z i = l, z„+i = -\/2T, para n e N . Es claro que z ,< Z i< 2 . Si zn < z„+i<2, entonces 2 z ,< 2 z ,+i < 4 de modo que z„+i = >Í2zn< z„+2 = \/2z„.n < 2 = \ÍÁ. Esto prueba que Z es una sucesión monótonamente creciente acotada por arriba por 2, por lo que Z converge a un número Se puede demostrar en forma directa que 2 = sup{z.} de ma­ nera que el límite c = 2. De otro modo, se puede usar el método del ejemplo anterior.JSabiendo que la sucesión tiene un límite z, se concluye de la relación Z»+i = V2z« que z debe satisfacer z = V2z. Para encontrar las raíces de esta última ecuación se eleva al cuadrado para obtener z 2 = 2z, que tiene raíces 130 Introducción ai análisis matemático 0,2. Es evidente que 0 no puede ser el límite (¿por qué?); por lo tanto, este límite debe ser igual a 2. (d) Sea U = (u.) una sucesión de números reales definida por u .* = (l + l/n) para n e N . Aplicando el teorema del binomio se puede escribir _ , , r» 1 , n(n - 1 ) l . n(n - l)(n - 2 ) 1 M' “ 1+ T ñ + _ 2T“ ^ + 3! n’ f r U ,. n! n Dividiendo las potencias de n entre los numeradores de los coeficientes binomiales se tiene Expresando u,*, de la misma manera se tiene ¡ ■} 1+14 0 - í tt ) 1: +• • • 4 ( 1- 4 t ) 0 - ^ t ) - ( , - í t t ) v~ (n + l)lí 0 - ^ ) 0 - 4 t) - 0 - 4 t )- Observe que la expresión de u* contiene n + I términos y la de u»., contiene n + 2 términos. Mediante un análisis elemental se prueba que cada término en u, nunca es mayor al término correspondiente en w,„, que este tiene un término positivo de más. por lo tanto, se tiene c U,<Ua< • • •< M*< U*,i < *• •. Para probar que la sucesión está acotada, observe que si p = 1 , 2 , . . . , n, entonces ( l - p / n ) < l . Más aún, 2, "‘ ^ p ! ( ¿ p o r qué?) de m anera que l/p !< ; l/2 '~ ‘. De la expresión anterior para u, y a partir de estos cálculos se obtiene 2 < u ,< l + l + |+ ^ + - - - + 2^ t< 3, n> 2. Se deduce que la sucesión monótona U está acotada en 3 por arriba. El teorema de convergencia monótona implica que la sucesión U converge a un número real que cuando mucho es igual a 3. Recuerde que el limite de U es el número fundamental e. Si se perfeccionan los cálculos se puede encontrar una aproximación racional más cer­ cana al valor de e; pero no se puede evaluar exactamente de esta manera ya que es irracional. Sin embargo, es posible calcular todas las cifras decimales que se deseen, Esto pone en claro que no es un resultado como el teorem a de convergencia mo­ nótona, que sólo establece la existencia del limite de una sucesión, puede ser de gran utilidad aun cuando el valor exacto no se pueda obtener con facilidad. ) Convergencia 131 El teorema de Bolzano-Weierstrass El teorema de convergencia monótona es extraordinariamente útil e im­ portante, pero tiene el inconveniente de que sólo se aplica a sucesiones mo­ nótonas. Nos corresponde, entonces, encontrar una cond'ción que implique convergencia en R o R psin usar la propiedad de monotonía. Esta condición deseada es el criterio de Cauchy que se dará en seguida. Sin embargo, pri­ mero se dará una forma del teorema de Bolzano-Weierstrass 10.6 que es apli­ cable en especial a sucesiones. 16.4 TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSTRASS. Una sucesión acolada en R p tiene una subsucesión convergente. DEMOSTRACION. Sea X - ( x n ) una sucesión acotada en R p. Si sólo hay un número finito de valores distintos en la sucesión X. entonces cuando menos uno de estos valores debe aparecer un número infinito de ve­ ces. Si se define una su sucesión de X. seleccionando este elemento cada vez que aparece, se obtiene una subsucesión convergente de X. Por otro lado, si la sucesión X contiene un número infinito de valores distintos en R p, entonces, puesto que estos puntos están acotados, el teorema de Bolzano-Weierstrass 10.6 para conjuntos implica que hay cuando menos un punto de acumulación, digamos x*. Sea x,, un elemento de X tal que IK —*1l<i. Considere la vecindad V2= {y :||y -x * |¡< !}. Dado que el punto x* es un punto de acumulación del conjunto Si = {xm: m a 1}, también es un punto de aculación del conjunto S2= {xm: m > ni} que se obtiene al suprimir un número finito de elementos de Si (¿por qué?) Por lo tanto, hay un elemento x„2 de S2 (por lo que n2> n ,) que pertenece a V2. Ahora, sea V3 la vecindad V3 = {y ; ||y —x*|| «c i} y sea S3= jx» : m > n2}. Dado que x* es un punto de acumulación de S3 dente haber un elemento x„, de S3 (por lo que rt3> n2) que pertenezca a V3. Continuando de esta manera se obtiene una subsucesión X ' = (xni, Xn„ .. . ) de X con ||x„, —x*||< 1/r, por lo que lim X ' = x*. q .e .d . 16.5 COROLARIO. S i X = (x„) es una sucesión en R " y x* es un punto de acumulación del conjunto {x„: n e N}, entonces existe una subsuce- ’sión X ' de X que converge a x*. De hecho, esto es lo que establece la segunda parte de la demostración de 16.4. 132 Introducción al análisis matemático Sucesiones de Cauchy En seguida se da el concepto tan importante de una sucesión de Cauchy en R p. Resultará que una sucesión en R p es convergente si y sólo si es una su­ cesión de Cauchy. 16.6 DEFINICION. Se dice que una sucesión X = (x„) en R p es una sucesión de Cauchy si para toda e > 0 hay un número natural M (e) tal que para todas m, n > M (e), ||xm-x „ ||< e . Para ayudar a aclarar el concepto de una sucesión de Cauchy se de­ mostrará que toda sucesión convergente en R p es una sucesión de Cauchy. 16.7 LEMA Si X = (x») es una sucesión convergente en R p, entonces X es una sucesión de Cauchy. DEMOSTRACION, x = lim X ; entonces, dada e > 0 hay un número natural K(e/2) tal que si n > K(e/2), entonces ||x „ -x ||< e /2 . De modo que si M (e) = K(e/2) y si m, n s: M(e), entonces ||xn, “ Xn|| £ ||xm- x | |+ ||x - , x „ | | < e / 2 + e /2 = e. Por lo que la sucesión convergente X es una sucesión de Cauchy. q .e .d . Para poder aplicar el teorema de Bolzano-Weierstrass es necesario el si­ guiente resultado. 16.8 LEMA. Una sucesión de Cauchy en R p es acolada. DEMOSTRACION. Sea X = (x„) una sucesión de Cauchy y sea e = 1. Si m = M (l) y o > M (l), entonces ||x„ - x „ ||< 1. Por la desigualdad del triángulo esto implica que ||x„|| < Hju. I I 1 para n > M (l). Por lo tanto, si B = sup ( M , . . . . ||Xn, — lj|, I M + 1}, se tiene ||Xn|| < B para toda n e N . Por lo tanto, la sucesión de Cauchy X es acotada. q . e .d . 16.9 LEMA. S i una subsucesión X ' de una sucesión de Cauchy X en Rp converge a un elemento x, entonces toda la sucesión X converge a x DEMOSTRACION. Puesto que X = (x„) es una sucesión de Cauchy, dada e > 0 hay un número natural M(e/2) tal que si m, n > M(el2), (*) ||x m - x » ||< e / 2 . Si la sucesión X ' = (x^) converge a x. hay un número natural K ^ M(e/2), que pertenece al conjunto {ni, n2, ...} y tal que ||x —Xjc|| < e/2. Convergencia 133 Ahora, sea n cualquier número natural tal que n a M(e/2). Se deduce que (*) e válida para este valor de n y para . m - K . De modo que - ||x —Xn|| < ||x —xK||+||xic —x ,||< e , cuando n 2: M(e/2). Por lo tanto, la sucesión X converge al elemento x, que es el límite de la subsucesión X '. q .e .d . Ahora, ya es posible obtener el importante criterio de Cauchy. La de­ mostración es engañosamente corta, el lector se podrá dar cuenta de que el trabajo ya se ha hecho y que sólo se están juntando las distintas partes. 16.10 CRITERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHY. Una su­ cesión en R r es convergente si y sólo si es una sucesión de Cauchy. DEMOSTRACION. Se vio en el lema 16.7 que una sucesión conver­ gente debe ser una sucesión de Cauchy. la inversa, suponga que X es una sucesión de Cauchy en R r. Del lema 16.8 se deduce que la sucesión X está acotada en R p. De acuerdo con el teo­ rema de Bolzano-Weierstrass 16.4 la sucesión acotada X tiene una subsuce­ sión convergente X '. Por el lema 16.9 toda la sucesión X converge al límite de X '. 16.11 EJEMPLOS, (a) Sea X = (jc*) una sucesión en R definida por x ,= l, x2 = 2, . . . , xb = |( x, - 2+ xb- i) para n > 2. Se puede demostrar por inducción que l< x ,¿ 2 para n e N , pero la sucesión X no es ni monótonamente decreciente ni creciente. (De hecho, los términos con índice impar forman una sucesión creciente y aque­ llos con índice par forman una sucesión decreciente.) Dado que los términos de la sucesión se forman promediando, es fácil ver que |x*-x„-i| = 2^r > para n e N . "'tle modo que si m > n , se usa la desigualdad del triángulo para obtener |Xn Xm | — |x „ Xn + l| + * • • + |x m - , - X m | = 2r r r + " * ’ + 2m-2= 2"rT( 1 + 2 + ” + 2m_"_1) < 2’rrí* Dada e > 0 , si n se escoge de tal magnitud que 1/2" < e/4y si m 2 n, se deduce que 134 Introducción al análisis matemático \ Xn ~ X „ \ < e . Por lo tanto. A" es una sucesión de Cauchy vír R y, por el criterio de Cauchy la sucesión X converge a un número x. Para calcular el límite se advierte que to­ mando el limite según la definición se obtiene un resultado válido pero poco informativo, x iv'x + x) Sin embargo, dado que converge la sucesión X, también converge la subsuce­ sión con índices impares. Por medio de inducción se puede establecer que Xi-1, X 3 - l + 2> Xj - 1 + ^ + ^ j , . . . , , 1, 1 , ,1 - l + 2 + 25 + " ’ + 2I"rT> ’ ’ ' Se deduce que 1+ ¿ K - lU . L -W 2 1 - 1 /4 Por lo tanto, la subsucesión con índices impares converge a J; por lo que toda la sucesión tiene el mismo límite. Ib) Sea X = (x„) una sucesión real dada por _ 1 _ 1 1 _ 1 1 , . ( - 1)"*‘ 1!’ Xl 1! 21’ ’ ” ' ** 1! 21 + n! »*** Como esta sucesión no es monótona, no es posible aplicar directamente el teorema de convergencia monótona. Observe que si m > n, entonces _ v = í z i r ! +í= ir ! + . . ,+ íz in : ^ *" (n + l)! + (rt + 2)!+ + m! * Recordando que T ‘ s r ! , se obtiene x „ -x J s (n + 1)! (n + 2)! m! J . + 1 +. • 1 2" + 2^'=i<T =t’ Por lo tanto, la sucesión es una sucesión de Cauchy en R. (c) Si X = (x*) es una sucesión en R definida por 1.1. •+ — para n e N , X" = T + 2 + Convergencia 135 y si m > n, entonces x ^-x » 1 n+1 n+2 Dado que cada uno de estos m —n términos excede a 1/m, dicha diferencia excede a (m - n)/m = 1 - n/m. En particular si m = 2n, se tiene Xl K~ X n > Í Esto prueba que X no es una sucesión de Cauchy; por lo tanto, se concluye que X es divergente. (Se ha demostrado que la “ serie armónica” es diver­ gente.) Ejercicios 16.A. Sea x , e R tal que satisfaga X i > l y sea x»*, = 2 - 1 /x . para n e N . Probar que la sucesión (x.) es m onótona y acotada. ¿Cuál es su límite? I6.B. Sean y, = l,y y.+i = (2 + y.)1'2 para n e N . D em ostrar que es monótona y acotada. ¿Cuál es su límite? I6.C. Sean a > 0 y 2 i> 0 . Defínase z .+i = (a + z .)1'2 para n e N . Probar que (z.) converge. I6.D. Si a satisface 0 < a < l , dem ostrar que la sucesión X = (a") es conver­ gente. Dado que Y = ( a 1") es una subsucesión, se tiene lim X = lim Y = (lim X )2, y que lim X = 0. 16.E. Demostrar que toda sucesión en R tiene una subsucesión m onótona cre­ ciente o bien una sucesión m onótona decreciente. 16.F. Usar el ejercicio I6.E para dem ostrar el teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones en R. I6.G. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesión (x ,),e n donde para neN. n +11r+n-k+ +2 - x. = I6.H. Sean X = (x.) y Y = (y.) sucesiones en R ' y sea Z = (z„) la sucesión “ inter­ calar” definida por z, = x „ z, = y„ . . . , Zj. = x,, z = y , , . . s verdad que Z es con­ vergente si y sólo si X y Y son convergentes y lim X = lim Y? 16.1. Demostrar directam ente que las siguientes son sucesiones de Cauchy: (a) (O ( l + £ + - 16.J. Demostrar directam ente que las siguientes no son sucesiones de Cauchy: (a) ( ( - 1 ) ') , (b) (n + (—l) 7 n ), (c) (n 2). 16.K. Sea X = (x.) una sucesión de números reales estrictam ente positivos sea lim (x.*,/x.) = L, ea 0 < e < L .D e m o s tr a r que existen A > 0 , B > 0 , K e N e s que A ( L - e ) " s x , s B ( L + e ) " para n a K. Después dem ostrar que es lim (x]T) = L . . 16.L. Aplicar el ejemplo 16.3(d) y el ejercicio anterior a la sucesión (n “/n !) para dem ostrar que lim (nj(n !),/") = e. 136 Introducción al análisis matemático I6.M . Establecer la convergencia y los límites de las siguientes sucesiones: (a) ((l + l/n )-'), (b) ((1 + 1/2n)’ ), (c) ((1 + 2/n)*), (d) ((1 + l/(n + l))5*). 16.N. Sea 0 < a , < b , y definase, para neN, a,», = (a ,b .)ln, b ,., = K o .+ !>-)• Por inducción dem ostrar que a . < b . . Demostrar que (a .)y (bu)convergen al mismo limite. 16.0. Dar una demostración para el teorema de intersección de C antor 11-4 to­ mando un punto x » e F , y aplicando el teorem a de Bolzano-W eierstrass 16.4. I6.P. Dar una demostración para el teorema del punto nidificado 11.6 usando el teorem a de Bolzano-Weierstrass 16.4. 16.Q. D emostrar que si K, y K 2 son subconjuntos compactos de R r entonces existen p u n to sx ,E K „ x2e K 2 tales que si z , e K „ z 2e K2, entonces Hz. —zjJI a ||x , - x 2||. Proyecto 16.a. En este proyecto, sean m.c y c0 las letras que designan a las colecciones de sucesiones reales ¡niroducidas en el proyecto 15. f} y sea d la métrica definida en la parte (d) de dicho proyecto. (a) Si r e í y r = 0 . r,r2• • • r, • • • es su expansión decimal, considérese al ele­ mento X, = (r„) en m. Deducir que hay un subconjunto no contable A de m tal que si X y X son elementos distintos de A entonces d { X , X 1. lb) Suponga que B es un subconjunto de c con la propiedad de que si X y Y son distintos elementos de B entonces d (X V) 2; 1. D em ostrar que B es un conjunto con­ table. lc) Si j e JV, sea 2^ = (z„, : n 6 N) la sucesión cuyos primeros j elementos son I y cuyos elementos restantes son 0. Observe que 2^ pertenece a cada uno de los espacios métricos m. c y c0 y que d(Z¡, Z ^ ) = l para j * k . D em ostrar que la sucesión ( Z , : j e N ) es monótona en el sentido de que cada sucesión coordenada (z^ :jeN) es monótona. D emostrar que la sucesión (Z,) no converge con respecto a la métrica d en ninguno de los tres espacios. ld) Probar que hay una sucesión (2Q en m.c y c„ que es acotada (en el sentido de que existe una constante K tal que d(X |, 0) :s K para toda j e N ) pero que no posee ninguna subsucesión convergente. le) (Si d es una métrica en un conjunto.M. se dice que una sucesión (X,) en M es una sucesión de Cauchy si para toda e > 0 existe K (e )eN tal que d(X, X ) < e siempre que j, k ^ K(e). Se dice que M es completo con respecto a d cuando toda su­ cesión de Cauchy en M converge a un elemento de M.) Demostrar que los conjuntos m. c y c0 son completos con respecto a la métrica d que se ha estado considerando. lf ) S e a /la colección de todas las sucesiones reles que tienen solamente un número finito de elementos distintos de cero y definase a d igual que se hizo antes. Probar que d es una métrica en / pero que / no es completo con respecto a d. ’ Convergencia 137 Sección 17 Sucesiones de funciones En las tres secciones anteriores se consideró la convergencia de sucesio­ nes de elementos de JR*’; en esta sección se considerarán sucesiones de Junciones. Después de dar algunos datos preliminares sencillos se introducirá el concepto un tanto sutil pero básico de convergencia uniforme de una suce­ sión de funciones. Sea D £ R p dado y suponga que para cada número natural n € N hay una función /„ con dominio D y rango en R q; se dirá que (/») es una sucesión de funciones e n D c R 'a R “. Se debe comprender que para cualquier punto x en D dicha sucesión de funciones da una sucesión de elementos en R ’ ; espe­ cíficamente, la sucesión. (17.1) (U(x)) * que se obtiene calculando cada una de las funciones en x. Para ciertos puntos x en D. la sucesión (17.1) puede converger y para otros puntos x en D la suce­ sión puede divergir. Para cada uno de los puntos jt para los cuales la sucesión (17.1) converge, por el teorema 14.5, existe un punto de R" determinado de manera única. En general, el valor de este límite, cuando exista, dependerá de la elección del punto x. De esta manera, surge una función cuyo dominio consta de todos los puntos x en D £ R p para los cuales la sucesión (17.1) con­ verge en R ’. Con estas palabras introductorias se resumirá una definición formal de convergencia de una sucesión de funciones. 17.1 DEFINICION. Sea (/«) una sucesión de funciones en D s R p a R q, sea D 0 un subconjunto de D y sea/ una función con un dominio que con­ tiene a D 0 y rango en R \ Se dice que la sucesión (/„) converge en D 0 a / s i para cada x en D 0 la sucesión (/*(*)) converge R q a f(x). En este caso, a la función / s e la llama el limite en D 0 de la sucesión (/„). Cuando existe dicha función/se dice que la sucesión (/») converge a /e n D 0 o simplemente que la sucesión es convergente, en D 0. Del teorema 14.5 se deduce que, excepto por algún posible cambio en el dominio D 0 la función limite se determina de manera única. Por lo común se elige Docomo el máximo conjunto posible, es decir el conjunto de todas lasx en D para las cuales (17.1) converge. Para expresar simbólicamente que la su­ cesión (/„) converge en D0 a / algunas veces se escribe /= lim (/« ) on Do, ó /» -* •/ on D u. ' En seguida se verán algunos ejemplos acerca de esta idea. Para simplifi­ car se tratará el caso especial p = q = 1. 138 Introducción al análisis matemático 17.2 EJEMPLOS, (ai Para cada número natural n, defínase /» para* en D = R como /„(x) = x/n. Defínase / , para toda x en D = R como /(x) = 0. (figura 17.1) La afirmación de que la sucesión (fH) converge en R a / es equivalente a la afirmación de que para cada número real x la sucesión nu­ mérica (x/n) converge a O. Para ver que este es el caso se aplican el ejemplo I4.8(a/ y el teorema 15.6(6). (b) Sea D = { x e R : O s x s l } y para cada número natural n. defínase /„ como fn(x) = x n para toda x en D definase a /c o m o /(*) = 0, O s x < l, = 1, x = 1. (figura 17.2.) Es claro que cuando x = l, entonces /«(x) = /„ (l)= 1" = 1 de manera que /,(1) -*• /(l). En el ejemplo I4.8(c) se probó que si 0 ^ x < 1, en­ tonces /„(x) = xn -* 0. Por lo tanto, se concluye que (/„) converge en D a / (No es difícil demostrar que si x > 1 entonces (fK(x)) no converge en lo abso­ luto.) (c) Sea D = R y para cada número natural n, sea /» la función definida para x en D por medio de y sea f ( x ) - x (figura 17.3.) Dado que fn{x) = (x2/n) + x,del ejemplo I4.8(a)y del teorema 15.6(b) se deduce que (/„(x)) converge a / x ) para toda x e R . (d ) Sea D = R y, para cada número natural n, definase /„ como /«(x) = (1/n) sen (nx + n) (figura 17.4.) (En este caso no es necesario una de­ finición rigurosa de la función seno: de hecho, todo lo que se necesita es que |s e n y |s 1 para cualquier número real v.) Si / se define como la función Convergencia 159 cero /(x) = 0, X €R , entonces / = lim (/„) En efecto, para cualquier número real x se tiene |/»(x) /(x)| = ^ |sen (nx + n)| £ K Si e > 0 , existe un número natural K(e) tal que si n > K(e),entonces 1/n < e . Por lo que para dicha n se concluye que |/n(x) —f(x )|< e Figura 17.3 140 Introducción aI análisis matemático para cualquier valor de x. Por lo tanto, se deduce que la sucesión (/») con­ verge a / (Obsérvese que eligiendo n lo suficientemente grande se pueden ha­ cer las diferencias |/n(x)—/(x)| menores que e para todo valor de x simul­ táneamente). La siguiente reafirmación de la definición 17.1 se formula en parte para reforzar la definición 17.1 y en parte para prepararle el camino al concepto tan importante de convergencia uniforme. 17.3 LEMA. Una sucesión (/„) de funciones en D £ R Pa R* converge a una función f en D 0£ D si y sólo si para cada e > 0 y cada x en D 0hay un número natural K{e, x) tal que para toda rt > K(e, x), (17.2) ||/n(x)-/(x)t|<e. Dado que esto es simplemente una reformulación de la definición 17.1,' no se repetirán los detalles de la demostración, pero se dejan al lector como ejercicio. Sólo se hace la aclaración de que el valor de n que se requiere en la desigualdad (17.2) dependerá, en general, de e > 0 así como de x e D 0. El lec­ tor cuidadoso ya se habrá dado cuenta de que en los ejemplos 11.2(a-c) el va­ lor de n que se requiere para obtener ( 17.2) depende de ambos: e > 0 y x e D 0. Sin embargo, en el ejemplo 17.2(d) la desigualdad (17.2) se puede cumplir para toda x enD 0 siempre que n se elija lo suficientemente grande pero depen­ diendo tan sólo de e. Es precisamente esta diferencia, un tanto sutil, la que permite distinguir entre los conceptos de convergencia “ ordinaria” de una sucesión de funciones (en el sentido de la definición 17.1) y Convergencia “ uniforme” que en se­ guida se define. 17.4 DEFINICION. Una sucesión (/») de funciones e n D c K 'a R q converge uniformemente en un subconjunto Dode fl a una función / cuando para cada e > 0 hay un número natural K(e)(dependiente de £ pero no de x e D 0Vtal que para toda n s: K (e) y x e D 0, Convergencia 141 (17.3) ||/.(x ) -/( x )||< e . En este caso se dice que la sucesión es uniformemente convergente en D n (fi­ gura 17.5.) Se deduce en forma directa que si la sucesión (/„) es uniformemente con­ vergente en D 0 a/entonces esta sucesión de funciones también converge a / en el sentido de la definición 17.1. Se puede ver que lo inverso no es válido mediante un análisis cuidadoso de los ejemplos 17.2 (a-c). Se darán otros ejemplos más adelante. Antes de continuar es conveniente establecer una con­ dición necesaria y suficiente para que la sucesión (/„) deje de convergir unifor­ memente en D 0 a / . 17.5 LEMA. Una sucesión (/„) no converge uniformemente en D 0a f s i y sólo si para alguna eo> 0 hay una subsucesión (/»*) de (/«) y una sucesión (Xk) en Do tales que r-A ? . (17.4) ||/Bt(xk)-/(Xk)|| a 6„ \jó A ¡C6 N. Para demostrar este resultado se requiere simplemente que el lector anule la definición 17.4. Se le deja al lector como ejercicio indispensable. El lema anterior es provechoso para probar que los ejemplos 17.2 {a-c) no con­ vergen uniformemente en los conjuntos dados D 0. 17.6 EJEMPLOS, (a} Considere el ejemplo I7.2(a). Si n* = k y Xk = fe, entonces /k(Xk) = l de tal manera que |/k(X k)-/(xk)| = | l - 0 | = 1. Esto prueba que la sucesión (/«) no converge uniformemente en R a /. (b) Considere el ejemplo \1.7{b). Si ni = lc y xk = O)1*, entonces Figura 17.5 142 Introducción al análisis matemático IA (* )- f (* )|- IA (* )l- i Por lo tanto, se deduce que la sucesión (f„) no converge uniformemente en [0, 1] a / (c) Considere el ejemplo 17.2(o). Si nk = k y xt = k, entonces |/k(X k)—/(Xk)| = k , probando que (A) no converge uniformemente in R a / (d) Considere el ejemplo \1.2{d). Dado que I A ( * ) - / ( x ) |s l / n para toda v en R , la sucesión (/„) converge uniformemente en R a /. La norma uniforme Al analizar la convergencia uniforme con frecuencia es conveniente emplear cierta norma en un espacio vectorial de funciones. Si D c r y f : D —>R \ se dice que / e s acotada siempre que exista M > 0 tal que ||/(x)|| s M para toda x e D . Si deduce f : D es acotada, entonces se deduce que el número ¡|/¡¡D definido por medio de (17.5) ||/||D = sup ()|/(x)||: x g D} existe en R. (Se puede ver que la norma del lado derecho de esta ecuación es la norma en el espacio R q.). 17.7 DEFINICION. Si D ^ R r, entonces la colección de todas funciones acotadas en D a R q se designa por medio de B„(D) o (cuandop y q se sobreentienden) por medio de B(D). En el espacio B „(D )se define la suma vectorial de dos funciones/ g y la multiplicación escalar de c e R y / como (17.6) ( / + g)(x) = f(x) + g(x), (c/)(x) = c/(x) para toda x e D . La función cero se define como la función 0 : D -* R* defi­ nida para toda x e D por medio de0(x) = 0. En seguida se relaciona esta ter­ minología con los conceptos que se dieron en la sección 8 17.8 LEMA, (a) El conjunto B „ (D ) es un espacio vectorial bajo l operaciones vectoriales definidas en ¡a ecuación (17.6). Ihl La función f *-* | | / | | d definida en B„(D) en la ecuación ( 17.5) es una norma en B„(D). DEMOSTRACION. La demostración de (a) sólo requiere cálculos rutinarios. Para demostrar (/>), es necesario establecer las cuatro propiedades de una norma que se dan en la definición 8.5(/) De (17.5) es claro que ||/||o 2: 0. (ii) Claramente,||0||D = sup{||0(x)||:x e D } = 0 A la inversa, si ||/|¡D = 0 ,enton­ Convergencia 143 ces como 0 < ||/(x)|| < ||/j|D = 0, se deduce que ||/(x)|| = 0 y por lo tanto f(x) = 0 para toda x e D de manera que / = 0. (iii) El hecho de que ||c/||D - lc l II/IId se puede ver fácilmente (iv) Dado que II(/+ g)(x)|| = «/(*) + g(x)|| * ||/(x)|| + ||g(x)|| ^llfllD +IIglln para toda x e D, se deduce que | | / | | d + ||g||o es una cota superior para el con­ junto {||(/+ g)(x)||:xeD }. Por lo tanto, se tiene ||/+ g||D = sup {||(/+ g)(x)||: x 6 D} ^ llfl|o + ||g||D. Q.E.D. Algunas veces a la norma /»—*•||/l|r>se le llama norma uniforme (o norma suprema) en BM(D). En seguida se demostrará que la convergencia uniforme de funciones en B „(D ) es equivalente a la convergencia en la norma uniforme. 17.9 TEOREMA. Una sucesión (/„) en B„(D) converge uniforme­ mente en D a f e B „ ( D ) si y sólo si ll/n ~/lio —* 0. DEMOSTRACION. Si la sucesión (/„) converge uniformemente a / en D, entonces para cualquier e > 0 hay un número natural K (e) tal que si n a K ( c ) y x e D , ||/„ (x )-/(x )||< e . Esto implica que II/» - /lio = sup {||(/„ - /)(x)|| : x e D } < £ . Dado que e > 0 es arbitraria, se tiene H/n —/|| d —» 0. Inversamente, si ||/„ - / | | d —►0,entonces dada e > 0 existe K(e) tal que si n a K (e)||/n- / | | D <; e. Esto implica que si x e D , entonces ||/n(x)-/(x)|| = ||( /„ - /) ( x ) ||< ||/ „ - /||D á e. Por lo tanto, la sucesión (/•.) converge uniformemente en D a / . q .e .d . Se va a explicar el uso de este lema como herramienta para analizar una sucesión de funciones de convergencia uniforme. Primero se observa que la norma sólo se ha definido para funciones acotadas; por lo tanto, se puede usar (al menos directamente) sólo cuando la sucesión consta de funciones a- cotadas 17.10 EJEM PL.OS. la) El lema 17.9 no se puede aplicar al ejemplo to­ mado en 17.2(a) y 17.6(a) ya que las funciones definidas como /„(x) = x/n, no están acotadas en R, que se dio como dominio. Para mayor claridad, se cambiará el dominio para obtener una sucesión acotada en el nuevo dominio. Por conveniencia tómese E = [0,1]. A pesar de que en el do­ minio R la sucesión (x/n) no convergía uniformemente a la función cero 144 Introducción al análisis matemático (como se vio en el ejemplo 17.6(a)), la convergencia es uniforme en E = [0,1]. Para ver esto se calcula II/» - /I | e = SUP j | ~ ~ o | ; 0 s x s l } = ^ ; por lo tanto ||/« ~ / | | e = 1/n —» 0. (b) Ahora se considera la sucesión que se vio en los ejemplos 17.2(é) y 17.6(b). En este caso D = [ 0 ,1], /„(x) = x", y la función lím ite/es igual a 0 para 0 < x < l e igual a I para x = 1. Calculando la norma de la diferencia / » - / , se obtiene ||/,-"/||o = s u p |* ’ Para n e N . Dado que esta norma no converge a cero, se deduce que la sucesión (/„) no converge uniformemente en D = [ 0 ,1] to /. Esto confirma las consideracio­ nes anteriores. (c) Considere el ejemplo 17.2(c). Una vez más, no se puede aplicar el lema 17.9, ya que las funciones no son acotadas. De nuevo se elige un dominio más pequeño, sea E = [0, a] con a > 0 . Dado que |/ » ( x ) - / ( x ) |= |í ^ - x |= £ se tiene ||/ „ - / || e = s u p { |/.( x ) - /( x ) |:0 < x < a } = ^ -. De donde, la sucesión converge uniformemente a /e n el intervalo [0, a], (¿por qué no contradice esto al resultado obtenido en el ejemplo I7.6(c)?) (d) Haciendo referencia al ejemplo 17.2(d), considérese la función /«(x) = (1/n) sen (nx + n) en D = R. Aquí, la función límite /(x) = 0 para toda x e D . Para establecer la convergencia uniforme de esta sucesión, ob­ serve que II/»~/I|d = sup {(1/rt) |sen (nx + n )|;x e R} Pero como |sen y| < 1, se concluye que ||/» ~ / | | d = 1/n. Por lo tanto, (/*) con­ verge uniformemente en R, como se había asegurado en el ejemplo 17.6(d). Uno de los aspectos más útiles de la norma es que facilita la formulación de un criterio de Cauchy para la convergencia uniforme de una sucesión de funciones acotadas. 17.11 CRITERIO DE CAUCHY PARA CONVERGENCIA U FORME. Sea (j„) una sucesión de funciones en B„(D ). Entonces, hay una Junción f g B m (D) a Ia cual (/„) converge uniformemente en D si y sólo si para cada e > 0 hay un número natural M (e) tal que para todas m, n S; - / , 11o < £ . Convergencia 145 x DEMOSTRACION. Suponga que la sucesión (f,) converge unifor­ memente en D a una función f e B „ ( D ) . Entonces, para e > 0 hay un número natural K(e) tal que si n a K(e),||/n - / | | d < e/2. Por lo que si, m ,n st K(e), se concluye que ||/m-Alio ^ II/* -/lio + II/ - M 0 < e- Inversamente, suponga que se satisface el criterio de Cauchy y que para e > 0 hay un número natural M (e)al que ||/m- /„ ||D< ecuando m, n a M (e). Ahora, para cada x e D se tiene (17.6) ||/m(x )-/.,(x )||< ||/m- / , | | D<E para m, n a M ( e ). Por lo que la sucesión (fK(x)) es una sucesión de Cauchy en R ’ y converge a algún elemento de R*. Definase / para x en D como /(x) = lim (/„(*)). A partir de (17.6) se concluye que si m es un número natural fijo que satisface m > M (e) y si n es cualquier número natural con n 2: M(e),entonces para toda x en D se tiene |l/m(x)-/„(x)||<E. Si se aplica el lema 15.8 se deduce que si m 2 M ( e ) y x e D, entonces Il/m (x)-/(x)||se. Dado que /p, es una función acotada fácilmente se deduce de aquí (¿cómo?) que/ es acotada y por lo tanto pertenece a B„(D). Más aún, se concluye que (/„) converge uniformemente a / en D. q .e . d . Ejercicios En estos ejercicios se puede hacer uso de las propiedades elementales de funciones trigonométricas y exponenciales estudiadas en cursos anteriores. 17.A. Para cada neN, defínase /. para x > 0 como /„(x)= l/(«x). ¿Para qué valores de ,v existe lim t/.(x))? 17.B. Para cada neN, defínase&, para x a 0 por medio de la fórmula g„(x) = nx, O s x s l/n , Demostrar que lim (g«(x)) = 0 para toda x > 0. I7.C. Demostrar que lim ((eos nx)2') existe para todos los valores de x. ¿Cuál es el límite? I7.D. Demostrar que si /„ se define en R por medio de nx /.(*) 1+ n V ’ entonces. (/„) converge en R. 17.E. D efínase h, en el intervalo I = [ 0 , 1] por m edio de la fórm ula 146 Introducción al análisis matemático M x) = l-» u , O s x s l/n , = 0, l/n < x s l. Demostrar que lim (h.) existe en I. 17.F. Defínase (g.) en / por medio de g.(x) = nx, 0 £ x s 1/n, ■ ” -(l-x ), l/n < x s l. n —i Demostrar que lim g. existe en /. 17.G. Demostrar que si / . se define en R por medio de 2 f.(x) = — A re tan (nx), * 7T entonces / = lim (/„) existe en R. De hecho, el límite está dado por /(*)= 1, * > 0, - =0, x = 0, = -1 , x < 0. 17.H. Demostrar que lim (« "") existe para x a 0 también la existencia de lim (xe"“ ). 17.1. Suponga que (x.) es una sucesión convergente de puntos que se encuent igual que su límite x. en el conjunto D c R '. Suponga que (/„)converge en D a la fun­ c i ó n / ¿Es verdad que f(x) = lim (/.(x,))? I7.J. Considere el ejercicio anterior con la hipótesis adicional de que la conver­ gencia de ( / J e s uniforme en D. 17.K. Demostrar que la convergencia en el ejercicio I7.A. no es uniforme en todo el conjunto de convergencia pero es uniforme para x a 1. I7.L. Demostrar que la convergencia en el ejercicio I7.B no es uniforme en el do­ minio x & 0, pero es uniforme en un conjunto x a c, en donde c > 0 . 17.M. ¿Es uniforme en R la convergencia del ejercicio 17.D? I7.N. ¿Es uniforme en / la convergencia del ejercicio I7.E? 17.0. ¿Es uniforme en / la convergencia del ejercicio !7.F?¿es uniforme en [c, 1] para c > 0? 17.P. ¿Converge uniformemente para (x e '“ ) la sucesión x a O ? 17.Q. ¿Converge uniformemente para (x1e ' “ ) la sucesión x a O ? 17.R. Sea (/») una sucesión de funciones que converge en D a una función/ Si A y B son subconjuntos de D y se sabe que la convergencia es uniforme en A y también en B. dem ostrar que la convergencia es uniforme en A U B . 17.5. Dar un ejemplo de una sucesión (/„) en B „(J) tal que ||/„||i s 1 para toda n e N que no tenga alguna subsucesión uniformemente convergente. (De donde se explica que el teorema de Bolzano-Weierstrass no se cumpla en B „(I).) Sección 18 El límite superior En la sección 6 se introdujo el concepto del supremo de un conjunto acó- , tado no vacío de números reales que se ha utilizado varias veces de manera Convergencia 147 li m in f X IH n s u p ■H— H +)— i l i l i HMHHIM-H ---- 111 II 1f l HH«H ----K Figura 18.1 importante. Sin embargo, tratándose de un conjunto infinito acotado S £ R algunas veces también resulta interesante considerar el mayor punto de acu­ mulación s* de S. Este punto s* es el ínfimo de todos los números reales que son excedidos a lo más por un número finito de elementos de S. Se adaptará este concepto a sucesiones acotadas en R para obtener el concepto, a menudo útil de “ límite superior” . 18.1 DEFINICION. Sea X = (x„) una sucesión acotada en R. (a) El límite superior de X , que se denota mediante el símbolo lim sup X, lim sup (x„), ó lim(xn): es el ínfimo del conjunto V de las v e R tales que hay, cuando más, un número finito de n e N t a l que v< x„. (b) El límite inferior de X , que se designa por medio de lim inf X, lim inf (xn), ó lim (x,). es el supremo del conjunto W de las w e R tales que hay cuando más un número finito de m e N tal que x*,<w. i ' Aun cuando una sucesión acotada puede no tener un límite, siempre tiene un único límite superior (y un único límite inferior). Esto es claro par­ tiendo del hecho de que el número v = sup{x„ :n e N } pertenece al conjunto V, mientras que el número inf {x„ :n e IV }-1 es una cota inferior de V. Existen varias maneras equivalentes, que a menudo son útiles, para defi­ nir el límite superior de una sucesión acotada. (Es muy importante que el lec­ tor intente comprobar este resultado antes de leer la demostración.) 18.2 TEOREMA. S i X = (x„) es una sucesión acotada en R, entonces las siguientes ajirinaciones son equivalentes para un número real x*. (a) x* = limsup(x„). tb) Si e > 0 , hay cuando más un número finito de n e IV tal es que ,x* + e <Xn, pero hay un número infinito tal que x * ~ e <x„.. (c) Si Vm = sup {x„: n > m}, entonces x* = inf {um: n e N}. (d) Si vm = sup {x„ : n > m}, entonces x* - lim (vm). (e) Si L es el conjunto de las v e R tales que existe una subsucesión de X que converge a v, entonces x* = sup L. DEMOSTRACION. Sea x* = lim sup(x„) y seae > 0 . Por la defini­ ción 18.1 existe una v e V con x* ¿ v s x*+ e. Por lo tanto, x* + e también pertenece a V por lo que puede haber cuando más un número finito den e N 148 Introducción a l análisis matemático tales que x * + e <*»• Por otro lado, x * - e no está en V, de aquí que haya un número infinito d, n e /V ta les que i * - e < x .. Por lo tanto, (a) implica (b). Si fb) se cumple, dada e > 0 , entonces para toda m lo suficientemente grande se tiene u» ^ x * + e por lo tanto, inf (t*. :m €fV} < x* + e. Pero como hay un número infinito de n e N tales q u e i* - e < x » , entoncesx*—e <tt» para todam e N y por lo tanto x* —e s inf { tt.: m eN }. Dado que e > 0 es arbitrario, se deduce que x* = inf { u .:m e N } y (c) se cumple. Si la sucesión (uu) se define como en (c), entonces es monótonamente de­ creciente y por lo tanto inf (tu j^ lú n C n ,), por lo que (c) implica (d). Ahora, suponga que x* satisface (d) y que X ' = (x^) es una subsucesión convergente de X; dado que n* 2r k se tiene x^ < t \ y por lo tanto lim .X 's lim(t*) = x*. Inversamente, obsérvese que existe n,eIV tal que b , - 1 < x„ < v t . Inductivamente, escoja n**i>n* tal que Dado que lim (tv) = **, se infiere que x* = lim O O - P °r 1° tanto, (d) implica (e). Por último, sea tv = sup L. Dada e > 0 puede haber, cuando mucho, un número finito de n e N con w + e < x . (por el teorema de Bolzano- Weierstrass 16.4). Por lo tanto, w + e e V y lim sup X < w + e. Por otro lado, existe una subsucesión X ' que converge a un número que excede a w - « de donde w —e no está en V por lo que w —e < lim sup X . Dado que e > 0 es ar­ bitraria, se deduce que w = iim sup X. Por lo tanto, (e) implica (a). Q.E.D. Se puede considerar que ambas caracterizaciones (d) y fe) justifican al término “límite superior”. Existen caracterizaciones correspondientes para el límite inferior de una sucesión acotada, las cuales deberá escribir y demostrar el lector. En seguida se establecen las propiedades algebraicas básicas del límite superior y del límite inferior de sucesiones acotadas. 18.3 TEOREMA. Sean X = (x«) y Y = (y.) sucesiones acotadas de números reales. Entonces, las siguientes relaciones son válidas: la) lim in f (x«) s lim sup (x.). fb) S i c & 0, entonces lim in f (ex.) = c lim in f (x*)y lim sup (ex.) — lim sup (X.). (xi) S i c s O , entonces lim inf(cxn) = c lim sup (x.) y lim sup (ex.) =c lim in f (x.). fe) lim in f(x .)+ lim i/i/( y .)< lim in f (x. + y.). (d) lim sup (x. + y.) < lim sup (x«)+ lim sup (y«). (e) S i x . s y , par toda n, entonces lim in f (x.) s lim in f( y.) y además lim sup (x.) s lim sup (y.). DEMOSTRACION, (a) Si w < lim in f(x .)y o > lim sup (x.), enton­ ces hay un número infinito dé n e N tales que w ■&x. mientras que sólo hay . Convergencia 149 un número finito tales que o < x ^ Por lo tanto, se debe tener w s o, que implica (a). (b) Si c a 0 entonces la multiplicación por c preserva todas las desigual­ dades de la forma w < x», etc. fb') Si c ss 0, entonces la multiplicación por c invierte las desigualdades y convierte al límite superior en límite inferior e inversamente. La afirmación (c) es el dual de (d) y se puede deducir directamente de (d) o demostrar usando el mismo tipo de argumento. Para demostrar (d). sean v > lim sup (x.) y u > lim sup (y,); por definición, sólo hay un número finito de n e N tales que u< x « y un número finito tales que u < y Por lo tanto, sólo puede haber un número finito de n tales que o + u < x. + y„ probándose que lim sup(x. + y „ )á o + u. Esto demuestra la afirmación (d). Se demuestra ahora la segunda afirmación de (e). Si u > lim sup (y>), entonces sólo puede haber un número finito de números naturales n tales que u < y.. Dado que x, £ y„ entonces lim sup (x.) < u y por lo tanto lim sup (x.) £ lim sup (y « ). q .e d . Cada una de las condiciones equivalentes dadas en el teorema 18.2 se puede usar para demostrar los incisos del teorema 18.3. Se sugiere escribir como ejercicio algunas de estas demostraciones alternativas. Se podría preguntar si las desigualdades del teorema 18.3 se pueden substituir por igualdades. En general, la respuesta es no. Puesto que, si X = tf—1)“), entonces lim inf X = —1 y lim supX = + l.S i Y = ((—1)'*'), entonces X + Y = (0) de tal manera que lim inf X + lim inf Y = - 2 < 0 = lim inf (X + Y), «. "t lim sup (X + Y ) = 0 < 2 = lim sup X + lim sup Y. Se ha visto que el límite inferior y el limite superior existen para cual­ quier sucesión acotada, no importa si la sucesión es convergente o no. En se­ guida se demuestra que la existencia lim X es equivalente a la igualdad de lim inf X y lim sup X. M8.4LEMA. Sea X una sucesión acolada de números reales. X es con­ vergente si y sólo si lim in f X = lint sup X . en cuyo caso lim X es el valor común. DEMOSTRACION. Si x = lim X , entonces para cada e > 0 hay un número natural N(e) tal que x —e < x » < x + e, n a N (e ). La segunda desigualdad prueba que lim sup X < x + e y la primera desigual­ dad prueba que x —e < lim inf X . De donde 0 < lim sup X —lim inf X £ 2e, y puesto que e > 0 es arbitraría, se tiene la igualdad establecida. Inversamente, suponga que x = lim inf X = lim sup X. Si £ > 0 , a partir del teorema I8.2(b), se deduce que existe un número natural N,(e) tal que si n a N i(e), entonces x « < x + e. De manera análoga existe un número natural ISO Introducción aI análisis matemático Nj(e) t a l q u e sí n 2r N 2(e), e n to n c e s x-e< x*. Sea N (e) = sup{Ni(e), N2(e)};si n s N (e), entonces |x * - x |< e , probándose que x = lim X. Sucesiones no acotadas Algunas veces es conveniente tener definidos el límite superior y el límite inferior para sucesiones arbitrarias (es decir, necesariamente acotadas) en R. Para hacer esto es necesario introducir los símbolos +oo y —oo, se hace la acla­ ración de que no se consideran como números reales, son simplemente símbo­ los convenientes. Si 5 es un conjunto no vacío en R que no está acotado por arriba, se de­ fine sup S = +<». Si T es un conjunto no vacío en R que no está acotado por abajo, se define inf T = -oo. Todo número real es una cota superior del con­ junto vacio 0, como se afirmó después de la definición 6.1; entonces se define sup 0 = -oo. Análogamente, todo número real es una cota inferior de 0, de manera que se define inf 0 = +°o. Ahora, sea X = (x*) una sucesión en R que no está acotada por arriba; , entonces el conjunto V de números v e R tal que hay cuando más un número finito d e n e iV tales que v < x« es vacío. Entonces, el inf V = + » . De modo que si X = (Xn) es una sucesión en R que no está acotada por arriba, se tiene^ ' > lim sup (x„) = +oo. Análogamente, si Y - (y»)es una sucesión en R que no está acotada por' abajo, se tiene » » lim inf (y„) = -oo. Observe que si X = (x») es una sucesión en R que no está acotada por arriba, los conjuntos {x„:n a m} no están acotados por arriba y se tiene t t ,= s u p { x .: n 2 m} = +® para toda m e N . q .e .d . Límites infinitos Si X = (x,) es una sucesión en R, se dice que X = (x«) diverge a +°°> y-se escribe lim (x„) = +oo, si para toda a e R hay una K ( a ) e N tal que si n a K (a); entonces x« > a . Análogamente, se dice que X = (x*) diverge a y se escribe lim (x«) = -oo, cuando para toda a e R hay una K ( a ) e N tal que si n a K (o) en­ tonces Xn < a. Queda como ejercicio-demostrar que X = (x.) diverge a +oo si y sólo si lim inf (X«) = lim sup (x») = +<*, Convergencia 15 i y que X = (x«) diveFge a —« si y sólo si lim inf (x„) = lim sup (x„) = Ejercicios 18. A. Determinar el límite superior y el límite inferior de las siguientes sucesiones acotadas en R. (a) {(-l)"), (b) ((—l)7n)), (c) ((—l)' + l/n), (d) (sen n). 18.B. Si. X = (x.) es una sucesión acotada en R, probar que existe una subsuce­ sión de X que converge a lim inf X. I8.C. Formular y demostrar directamente el teorema que corresponde al tero- rema 18.2 para el límite inferior. 18.D. Dar una demostración directa del teorema 18.3(c) I8.E. Demostrar el teorema 18.3(d) usando I8.2(b) como la definición para el límite superior. Hacer lo mismo usando I8.2(d) y I8.2(e). I8.F. Si X = (x.) es una sucesión acotada de elementos estrictamente positivos en R demostrar que lim sup (x¡fc) S lim sup (x„*,/x.). I8.G. Determinar el límite superior y el límite inferior de las siguientes sucesio­ nes en R. (a) ((-l)"n), (b) (n sen n), (c) (n(sen n)1), (d) (n tan n). I8.H. Probar que la sucesión X*(x») en R diverge a +°° si y sólo si lim inf X »»+*. 18.1. Probar que lim sup X * -H» si y sólo si hay una subsucesión X' deX tal que lim X' =«■+<». 18.J. Interpretar el teorema 18.3 para sucesiones no acotadas. Sección 19 Algunas extensiones En análisis a menudo es importante calcular el “ orden de magnitud” de una sucesión o comparar dos sucesiones con respecto a su magnitud. Al hacer esto se descartan los términos que no hacen ninguna “contribución especial” . Por ejemplo, si x» = 2n + 17, entonces, cuando n e N e s grande, la contribu­ ción dominante. Se deriva del término 2n. Si y„ = n2-5n , entonces, cuando n e N es grande, el término dominante es n2. A pesar de que los primeros términos de (y») son más pequeños que los de (x„), los términos de esta suce­ sión, última instancia, crecen más rápidamente que los de (x„). Con el objeto de dar mayor precisión a esta idea se introducirán en se­ guida algunos términos y notaciones (debidos a Landaut) que a menudo son útiles. tED M U N D (G.H.) LANDAU (1877-1938) fue profesor en Góttingen y es conocido por su tra- ,bajo de investigación y sus libros acerca de la teoría de números y análisis. Estos libros se distin­ guen por lo riguroso y breve del estilo (y su alemán elemental) 152 Introducción al análisis matemático 19.1 D E FIN IC IO N . Sean X = (x«) y Y = (y„) sucesiones en R y su ponga que y „ # 0 para toda n e iV lo suficientemente grande. Se dice que X 3 Y son equivalentes y se escribe | X~Y ó (x j~ (y ») cuando lim (xjy*) = 1. Se dice que X es de un orden de magnitud menor que ? y se escribe \ X = o(Y) ó Xn = o(y„) cuando lim (%*/y„) = 0. Se dice que X está dominado por Y y se escribe X = 0 (Y ) ó x„ = 0(y„) | cuando la sucesión (x j y n) está acotada. Es claro que X ~ Y o X = o(Y) implica que X = 0 ( Y). Algunas propio dades de estas notaciones se darán en los ejercicios. Sum a de Cesáro Ya se ha definido lo que significa la convergencia de una sucesión X = (x„)en R p a un elemento x. Sin embargo, es posible adjuntar* a la suce­ sión X como una especie de “ límite generalizado” , aun cuando la sucesión X no converja a .v en el sentido de la definición 14.3. Existen muchas maneras en1 que s e puede generalizar la idea del límite de una sucesión y darles demasiada ¡ im portancia, a algunas de ellas, estaría fuera del alcance de este libro. Sin j em bargo, existe un método que es tanto elemental en su naturaleza como útil' en aplicaciones a sucesiones oscilatorias. Dado que es de cierta importancia y la dem ostración del resultado principal es tipico de muchos argumentos ana-| U ticos, se presentará aquí una breve introducción a la teoría de sumabilidadj de C e s á r o t . ' ! 19.2 DEFINICION. Si X = ( x j es una sucesión de elementos en R p, en to n ces a la sucesión S = (<r„) definida por JC1+ X2 Xl + X2 + - • - + Xn cri —Xi, a i — 2 >— » a„ = n se la llama sucesión de medias aritméticas de X. E n otras palabras, los elementos de 5 se encuentran promediando los términos de X. Puesto que este promedio tiende a ablandar fluctuaciones ocasionales en X. es ra- , zonatole suponer que la sucesión 5 tiene mayor posibilidad de convergir que la sucesión original X. Cuando la sucesión 5 de medias aritméticas converge a un elemento y , se diceq¡ue la sucesión X es Cesáro sumable a y o que y es el límite (C,l) de la sucesión X. Por ejemplo, sea X la sucesión real no convergente X = (1 ,0 ,1 ,0 ,...); fácil­ m e n te se puede ver que sí n es un número natural par, entonces a, =} y si n es impar tE R N ESTO CESARO(1859-1906) estudió en Roma y dio clases en Ñapóles. Trabajó en geo­ metría. y álgebra, así como en análisis. Convergencia 153 entonces a. = (n + l)/2n. Dado que \ = lim (<r«), la sucesión X es Cesáro sumable a ), que no es el límite de X pero parece ser el “limite generalizado” más natural que se puede asociar a X. Es razonable que al generalizar el concepto del limite de una sucesión se requiera que el limite generalizado dé el valor usual del limite siempre que la sucesión sea convergente. En seguida se probará que el método de Cesáro tiene esta propiedad. 19.3 TEOREMA. Si la sucesión X = (x*) converge a x, entonces la su­ cesión S = (ow) de medias aritméticas también converge a x. DEMOSTRACION. Se debe calcular la magnitud de 0-„ - X = - (Xi + X2 + • • • + Xn) - x r n a 9-1) = - { ( x i - x ) + (x2- x ) + - • ^ (X n -x )} . Puesto que x = lim (x„), entonces dado e > 0 hay un número natural N(e) tal que si m a N(e), ||xm - x ||< e . Además, puesto que la sucesión X = (x„)es convergente, hay un número real A tal que ||x j,-x |¡< A para toda k. Si n a N = N (e), se descompone la suma del lado derecho de (19.1) en una suma de k = 1 to k = N más una suma de k = N + 1 a k = n. Se aplica el cálculo de ||xi, - x||< e a los últimos n - N términos para obtener ||cr„ —x[|< ——I— - — e para n > N(e). Si n es suficientemente grande, entonces N A /n < e y puesto que ( n - N ) / n < 1, se obtiene ||ct„ - x ||< 2 e para n suficientemente grande. Por lo tanto, x = lim (a„). No se insistirá más en la teoría de sumabilidad, pero el lector deberá consultar li­ bros acerca de series divergentes y sumabilidad. Por ejemplo, véase el libro de Knopp que se menciona en la bliografía. Una de las aplicaciones elementales más interesantes de la sumabilidad de Cesáro es el célebre teorema de Fejér que asegura que una fun­ ción continua se puede reintegrar de su serie de Fourier por medio del proceso de su­ mabilidad de Cesáro a pesar de que no siempre se puede reintegrar de esta serie por medio de convergencia ordinaria. (Véase el teorema 38.12) Sucesiones dobles e iteradas Recalcando, una sucesión en R* es una función definida en el conjunto de N de números naturales y con rango en R p. Una sucesión doole en R p es una función X con dominio N x Nque consta de todos los pares ordenados de números naturales y rango en R ’’. En otras palabras, en cada oar ordenado (m, n) de números naturales el valor de la sucesión doble X es u i elemento de 154 Introducción al análisis matemático R r que comunmente se designará por medio de x « . Por lo general se usará un simbolismo como X = (x™.) para representar a X , sin embargo, algunas veces es conveniente disponer los elementos en un arreglo tal como Xn X 12 **• Xt» Xzi *22 • ' • Xi» (19.2) X= X .I Xm2 ••• X» Observe que en este arreglo el primer índice se refiere a la fila en la que apa­ rece el elemento y el segundo índice se refiere a la columna. 19.4 DEFINICION. Si X = (x™,) es una sucesión doble en JRP, enton­ ces se dice que un elemento x es un límite (o un límite doble) de X si para cada número positivo e hay un número natural N (e) tal que para todas ntn a N (e) Dx„, - x|| < e. En este caso se dice que la sucesión doble converge a .V y se escribe x = lim (x™) ó x = lim X. mu Gran parte de la teoría elemental de límites de sucesiones, sufriendo muy poco cambio, pasa a sucesiones dobles. En particular, el hecho de que el límite doble esté determinado de manera única (cuando existe) se demuestra exactamente de la misma manera que el teorema 14.5. En forma análoga se pueden definir operaciones algebraicas para sucesiones dobles y obtener resul­ tados exactamente paralelos a los que se analizan en el teorema 15.6. Tam­ bién existe un criterio de Cauchy para la convergencia de una sucesión doble el cual se enunciará pero cuya demostración se deja al lector. 19.5 CRITERIO DE CAUCHY. S i X ^ íx * ,) es una sucesión doble en R p, X es convergente si y sólo si para cada e > 0 hay un número natural M (e) tal que para todas m, n, r, s s: M(e), entonces ||X m „ -X „ ||< £ . No se insistirá detalladamente en la parte de la teoría de sucesiones do­ bles que es paralela a la teoría de sucesiones (simples). En cambio, se propone analizar en forma breve la relación que existe entre el límite definido en 19.4 y los límites “ iterados” . En orimer lugar, se observa que una sucesión doble puede considerarse que da (por lo menos de dos maneras) una sucesión de sucesiones. Por una parte, se puede considerar a cada renglón del arreglo dado en (19.2) como una sucesión en R". Así, el primer renglón del arreglo (19.2) da la sucesión Y i = (xi* 6 IV) y (xn, X12, . . . . Xi„,.,.) ; el segundo renglón en (19.2) da la sucesi»., Y2^=(x2» :n e N );e tc . Es totalmente razonable tomar en cuenta los \ Convergencia 155 límites de las sucesiones del renglón Ylt Y j,. . . , Y „,. . . (siempre que existan dichos limites). Suponiendo que estos límites existen y denotándolos por me­ dio de y», y2, . . . , y*,. . . , se obtiene una sucesión de elementos en R p cuya convergencia bien puede ser examinada. De modo que se está considerando la existencia de y=»lim(ym). Dado que los elementos y» están dados por y* * lim Y„ en donde Y* = (x™: n e JV), se designará el límite y = Iim (ym) (cuando exista) por medio de la expresión y = lim m lim n (x™,). Se hará referencia a y como un límite iterado de la sucesión doble (o con mayor presición como el límite iterado del renglón de esta sucesión doble). Lo que se ha estado haciendo para renglones se puede hacer de igual ma­ nera para columnas. De modo que se forman las sucesiones Z i» (x « » :m e !V ), Za = (x .2: m e N ) , y a sí s u c e s iv a m e n te . S u p o n ie n d o que e x is ta n los lim ite s Zi = Iim Z i, z2= lim Z j,. . . , se puede considerar entonces z = lim(z»). Cuando este úitímo límite existe, se denota por medio de z = lim n lim m (Xnu,)} y se hace referencia a z como un límite iterado, o el limíte iterado de la co­ lumna de la sucesión doble X = (x„„). La primera pregunta que se podría hacer es la siguiente: Si el límite do­ ble de la sucesión X = (xm») existe, ¿entonces existen los límites iterados? La respuesta a esta pregunta puede ser una sorpresa para el lector; es negativa. P a r a ver e s to , sea X una sucesión d o b le en R d a d a por = ( - l ) “ *"(l/m + 1/n), fácilmente se puede ver que el límite doble de esta sucesión existe y es 0. Sin embargo, también es fácil probar que ninguna de las sucesiones Yi = (xin: n 6 N ) ,. . . , Y m = ( x » : n e N ) ,. . . tiene límite. Por lo tanto, no es posible que exista ninguno de los límites itera­ dos, ya que ninguno de los límites “ internos” existe. La siguiente pregunta es: Si existen el límite doble y uno de los límites iterados, ¿entonces este límite iterado es igual al límite doble? En este caso la respuesta es afirmativa. De hecho, se establecerá un resultado un poco más fuerte. 19.6 TEOREMA DEL LIMITE DOBLE. S i el límite doble x = lim*» (x™.) existe y si para cada número natural m el límite ym = lim, (Xmn) existe, entonces el límite iterado lim* lim, (x*,) existe y es igual a x. ■ 1 156 Introducción aI análisis matemático DEMOSTRACION. Por hipótesis, dada e > 0 hay un número natu4 ral N (e) tal que si m, n a: N(e),entonces IIx^ - xUc e . De nuevo por hipóte^ sis los límites ym—lim„ (x^,) existen y a partir de la desigualdad anterior y el lema 15.8 se deduce que||y» —x|| £ epara toda m ^ N ( s ) . Por lo tanto, se concluye que x = lim (ym). El resultado anterior prueba que si el límite doble existe entonces lo único que puede evitar que existan los límites iterados y que sean igual al limite doble es que los límites “ internos” no puedan existir. Más claramente, se tiene el siguiente resultado. 19.7 COROLARIO. Suponga que existe el límite doble y que los límites ' ym = lim k (x™,), z» = lim m (x„,) •1 existen para todos los números naturales m. n. Entonces, los límites iterados i lim m lim p* (x«.), lim n lim m (x _ ) * existen y son iguales al límite doble. ' 1I Lo siguiente es preguntar si la existencia e igualdad de los dos límites ite- ■ rados implica la existencia del limite doble. La,respuesta es no. Esto se puede ver analizando la sucesión dobleX = (x „)e n R definida por x « ,= 1 cuando m ^ n y por x™ = 0 cuando m = n. En este caso existen ambos límites itera­ dos y son iguales, pero el límite doble no existe. Sin embargo, con ciertas con­ diciones adicionales se puede establecer la existencia del límite doble a partir de la existencia de uno de los límites iterados. 19.8 DEFINICION. Para cada número natural m. sea Ym = (x«» sucesión en J tp que converge a ym. Se dice que tas sucesiones { Y .: m € N} son uniformemente convergentes si para cada e > 0 hay un número natural N (e) tal que si n > N (e), entonces ||x«, - y„||< e para todos los números naturales m. El lector hará bien en comparar esta definición con la definición 17.4 y observar que son de la misma índole. En cierto modo, para hacer que el teo­ rema 19.10 se prolongue se demuestra que si cada una de las sucesiones Ym es convergente, entonces la existencia del límite doble implica que las sucesiones {Ym: tn eN } son uniformemente convergentes. 19.9 LEM A. S i el límite doble de la sucesión doble X = (x ^ ) existe y si para cada número natural m la sucesión Y m = (Xr■ : n e N ) es convergnte. entonces esta colección es uniformemente convergente. DEMOSTRACION. Dado qu el límite doble existe, dada e > 0 hay un número naturalN (e) tal que si m, n a N(c), entonces |x»« —x ||< e . Por Convergencia ¡57 ‘ hipótesis, la sucesión Y* = (x»„: n e N) converge a un elemento ym, y apli­ cando el lema 15.8 se deduce que si m st N(e),Dnces||ym- x || :£ e.Por lo que si m, n ss N (e), se tiene que ll*~. - ym|| s Hx™- x||+ ||x - y~lt< 2e. Además, para m = 1 , 2 , , N (e) —1 la sucesión Y m converge a ym; por lo tanto, hay un número natural K (e) tal que si n a: K (e), entonces ||x™,-ymj|< e , m = 1 , 2 , . . . , N (e) —1. Siendo M (e) = sup{N(e), K(e)}, se concluye que si n ss M (e), entonces para cualquier valor de m se tiene ||xm„ - y m||< 2e. Esto ratifica la uniformidad de la convergencia de las sucesiones {Y„:m elV}. Este último lema muestra que, con la hipótesis de que las sucesiones Ym convergen, la convergencia uniforme de esta colección de sucesiones es una condición necesaria para la existencia del límite doble. En seguida se da un re­ sultado en el sentido opuesto. 19.10 TEOREMA DEL LIM ITE ITERADO. Suponga que los límites y„ = lim (Xmn), z . = lim (j u ), n m existe para todas m, n e N, y que la convergencia de una de estas colecciones es uniforme: entonces existen ambos límites iterados y el límite doble, y los tres son iguales. DEMOSTRACION. Suponga que la convergencia de la colección {Y* : m eN }es uniforme. Dada e > 0 , hay un número natural N(e) tal que si n > N (e), entonces (19.3) ||xm,.- y „ ||< e para todos los números naturales m. Para probar que lim(ym)existe, tome un número fijo q a N ( e ) . Dado que z, = lim (x^ : r € ÍV) existe, se sabe que si r .s a : R ( e ,q), entonces II* - y-ll ^ II*- * J + 11*". - x.,11+ll*«, - *H< 3e. Por lo tanto, (y,) es una sucesión de Cauchy y converge a un elemento y en R*. Esto prueba la existencia del límite iterado y = lim (ym) = lim lim (x™.). m m m 158 Introducción al análisis matemático En seguida se prueba que el límite doble existe. Dado que y = lim (ym), dada e > 0 hay una M (e) tal que si ||y„ —y||< e. Siendo K (e) = sup{N (t), M(e)}, de nuevo se usa (19.3) para concluir que si m, n ¿ K ( e ), entonces ]|Xmn - y|| ^ ||Xm, “ Vmll + f o m ~ y|| < 2g. Esto demuestra que el límite doble existe y es igual a y. Por último, para demostrar que el otro límite iterado existe y es igual a y. se usa el teorema 19.6 o su corolario. Se podría deducir que, a pesar de que en la demostración que se acaba de dar se hace uso de la existencia de ambas colecciones de límites y de la uniformidad de una de ellas, la conclusión se puede obtener a partir de la existencia (y uniformidad) de una colección de límites solamente. Se deja al lector investigar si es verdadera o falsa esta deducción. Ejercicios I9.A. Probar las siguientes relaciones: (a) (nJ + 2)~ (n2—3), (b) <n2+2) = o(n5), (c) ( ( - l) " n I) = 0 ( n l), (d) ((-l)"»2) = o(n3), (e) ( V ñ + T - V ñ ) ~ ( l/2 V ñ ) , (f) (sen n) = 0 ( 1 ) : 19.B. Sean X. Y y Z sucesiones con elementos distintos de cero. Demostrar que: (a) X ~ X . (b) Si X ~ Y , entonces Y ~ X . Ic) Si X ~ Y y Y ~ Z , entonces X ~ Z . 19.C. Si X, = O (Y ) y X 2= O (Y ), se deduce que X ,± X 2= 0 ( Y ) y se resume en la “ ecuación” (a) 0 ( Y ) ± 0 ( Y ) = 0 ( Y ) . Dar interpretaciones análogas y dem ostrar que (b) o (Y )± o (Y ) = o(Y ). fe) c * 0, entonces o(cY ) = o ( Y ) y 0 (c Y ) = 0 ( Y ) . <dl 0 (o (Y )) = o (Y ), o ( 0 ( Y » = o(Y ). ir) 0 ( X ) 0 ( Y ) = 0 (X Y ) , 0 ( X ) o ( Y ) ° o { X Y ) , o(X )o (Y ) = o(X Y ). 19.D. Demostrar que X = o (Y ) y Y = o(X ) no pueden ser válidas sim ultánea­ mente. Dar un ejemplo de sucesiones tales que X = O (Y ) pero Y / O (X ). 19.H. Si ,Y es una sucesión monótona en R , dem ostrar que la sucesión de medias aritm éticas es monótona. 19.E. Si X = (x,) es una sucesión en R y ( o „) es la sucesión de medias aritm éticas, entonces lim sup (a .) s lim s u p f o ) . Dar un ejemplo en que se cumpla la igualdad. 19.(J. Si X = (x,)es una sucesión de números reales positivos, ¿es (c rj monóto­ namente creciente? 19.11. Si una sucesión X = (x„) en R ' es Cesáro sumable, entonces X = o(n). (Sugerencia. x„ = m r „ - ( n - l)ir„.,.) 19.1. Sea X una sucesión monótona en R . ¿Es verdad que X es Cesáro sumable si y sólo si es convergente? 19.J. Dar una demostración para el teorema 19.5. Convergencia 159 I9.K. Considere la existencia de los limites dobles e iterados de las sucesiones do­ bles tx—)> en donde x— está dada por (a) (-I)"*", I9.L. ¿Es acotada una sucesión doble convergente? I9.M . Si X = (x»,)es una sucesión doble convergente de números reales y si para c a d a m elV , e x is te el lim ite y„ = lim s u p . (ju „) e n to n c e s se t i e n e lim » ( x „ ) = lim . (y .). 19.N. ¿Cuáies de las sucesiones dobles del ejercicio 19.K son tales que la colec­ ción {Y„ = lim (x»«): m e N} sea uniformemente convergente? 19.0. Sea X = (x_«) una sucesión doble acotada en R con la propiedad de que para cada m e N la sucesión Y m=(xm. : n e N ) es m onótonamente creciente y para cada n e N la sucesión Z , = (x « ,: m e N )e s monótonamente creciente. ¿Es verdad que existen los limites iterados y que son iguales? ¿existe necesariamente el límite doble? 19.P. Analizar el problema planteado en el último párrafo de esta sección. IV FU N CIO N ES CO N T IN U A S Se dará principio al estudio de las funciones más importantes en análisis: las funciones continuas. En este capítulo se combinarán los resultados de los capítulos II y III para obtener una colección de teoremas notablemente pro­ fundos y útiles. En la sección 20 se introduce y se analiza el concepto de continuidad. En la sección 2 1 se introduce la importante clase de funciones lineales. En la sec­ ción 22, que es fundamental, se estudian las propiedades de las funciones con­ tinuas en conjuntos compactos y conexos; y en la sección 23 se trata el con­ cepto de continuidad uniforme. Los resultados de estas cuatro secciones se emplearán en varias ocasiones en todo lo que resta del libro. Las sucesiones de funciones continuas se estudian en la sección 24, y los límites superior e in­ ferior se estudian en la 25. En la última sección se ofrecen algunos resultados interesantes e importantes, pero estos resultados no se aplicarán en secciones posteriores. No se espera que el lector esté familiarizado de antemano con un análi­ sis riguroso de funciones continuas. Sin embargo, en algunos de los ejemplos y de los ejercicios se usan las funciones exponenciales, logarítmicas y trigono­ métricas con el objeto de proporcionar ciertos ejemplos no triviales. Sección 20 Propiedades locales de ' ' funciones continuas Se habrá de considerar a /c o m o una función con dominio D(J) contenido en R p y con rango R(f) contenido en R*. En general, no se requerirá que D(f) = R ” o que p = q. Primero se definirá continuidad en términos de vecin­ dades y después se mencionarán algunas condiciones equivalentes. 20.1 DEFINICION. Si a e D (/), se dice q u e /e s continua en a si para toda vecindad V de/¡a) existe una vecindad U (dependiendo de V) de a tal que si x es cualquier elemento de U ft D(f), entonces flx) es un elemento 161 162 Introducción al análisis matemático de V. (figura 20.1.) Si A s D ( / ) , se dice que/,es continua en A siempre que sea continua en todo punto de A. Algunas veces se dice que una función continua es aquella que "manda puntos vecinales a puntos vecinales" . Esta frase intuitiva se debe eludir si induce a pensar que la imagen de una ve- ciadad de a necesariamente es una vecindad de fla). (Considerar X ♦-* |x | a t * = 0.) En seguida se dan dos afirmaciones equivalentes que se^podían haber uti­ lizado como la definición. 20.2 TEOREMA. Sea a un punto en el dominio Dlf) de la Junción f Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) f es continua en a. (b) S i e > 0 , existe un número 8 (e )> 0 tal que si x e D ( f ) y | x —a |< 5 ( e ) , entonces ||/(x )-/(a )||< e . (c) S i (x») es cualquier sucesión de elementos de D(f) que converge a a. entonces la sucesión (/(x«)) converge a f a ) . DEMOSTRACION. Suponga que (a) es válido y quee > 0 , entonces la b o la V, = {y e R 1: ||y —/(a)|| < c} es una vecindad del p u n to /a j. Por la de­ finición 20.1, hay una vecindad U de a tal que si x e U D D(f), entonces /(x ) e V.. Dado que U es una vecindad de a. existe un número real positivo 8(e) ta l que la bola abierta con radio S(e) y centro a está contenida en U. Por lo ta p io , la condición (a) implica (b). Suponga que (b) es válida y sea (x„) una sucesión de elementos en Dfff que converge a a. Sea e > 0 haga referencia a la condición (b) para obtener 8 (e )> 0 c o n la propiedad establecida en (b). Debido a la convergencia de (x.) a a. existe un número natural N (5(c))tal que si n s N(5(e)), |jx„ - a ||< S(e). funciones continuas 163 Dado que cada xne D ( f ) de (b) se deduce que ||/(x .) -/( a ) ||< £ , de­ mostrándose que (c) es válida. Por último, se razonará indirectamente y demostrará que si la condición (a) no es válida entonces la condición le) tampoco lo es. Si (a) no se cumple, existe una vecindad V0 d e f a ) tal que para cualquier vecindad U de a existe un elemento xu que pertenece a D ( f ) D U pero tal que f(xu) no pertenece a V0. Para cada número natural n, considere la vecindad L/„ de a definida por U, = {xe R” :||x - a|| < l/n}; por lo establecido en la frase anterior, para cada n en ¿Vexiste un elemento x„ que pertenece a D(f)C\Umpero tal que f(x„) no pertenece a V0. La sucesión (x*) recién construida pertenece a Fff) y converge aaf. sin embargo, ninguno de los,elementos de la sucesión (/(x«)) pertenece a la vecindad V0 de fa ). Por lo tanto, se ha construido una sucesión para la cual no es válida la condición fe). Esto demuestra que la parte le.) implica fa). Q.EJD. El siguiente criterio sobre discontinuidad es una consecuencia de lo que se acaba de hacer. 20.3 CRITERIO SOBRE DISCONTINUIDAD. La función f no es continua en un punto a en D(f) si y sólo si hay una sucesión (x,) de elemen­ tos de D(f) que converge a a pero la! que la sucesión (f{xn)) de imágenes no converge a f a ) . El siguiente resultado es una simple reformulación de la definición. Re­ cuerde, de la definición 2.12 que la imagen inversa de un subconjunto H de R q bajo / está definida por r ' ( H ) = { xe D( f ) : f ( x ) e H} . 20.4 TEOREMA. La función f e s continua en un punto a en D(f)si y sólo si para toda vecindad V de f a ) hay una vecindad Vi de a tal que (20.1) V , n D ( / ) = f ‘(V). DEMOSTRACION. Si Vi es una vecindad de a que satisface esta ecuación, entonces se puede tomar U = Vi. Inversamente, si la definición 20.1 se satisface, entonces se puede tomar V, = l / U f '( V ) para obtener la ecua­ ción (20.1). Q.E.D. Antes de seguir adelante con la teoría se hará una pausa para dar algu­ nos ejemplos. Por simplicidad, la mayoría de los ejemplos son para el caso en que R p = R* = R. 20.5 EJEMPLOS, la) Sea D(f) = R y s e a /la función “ constante” definida como la función que es igual al número real c para todos los números reales .y. Entonces, f e s continua en todo punto de R; de hecho, se puede to­ 164 Introducción a! análisis matemático mar la vecindad U. de la definición 20.1, igual a R para cualquier punto a en D(f). Análogamente, la función g definida por g{x) = l , 0 s x < l, = 2, 2sxs3, es continua en cada punto de su dominio. (b) Sea D(f) = R y sea / la función “ identidad” definida como /(*) = *, x e R . (figura 20.2) Si a es un número real dado, sea e > 0 y sea 8(e) = e. Si |x - u |< 8 ( e ) , se tiene |/ ( x ) - / ( a ) | = |x - a |< e . (c) Sea D ( f ) ~ R y sea / la función “ cuadrática” definida como f(x) - x 2, x e R . Sea a elem ento de R y tom e e > 0 ; entonces, |/ ( x ) - / ( a ) | = ¡x * -o i| = |* -< * ||x + “ l- Se quiere hacer a esta última expre­ sión menor que e haciendo a |x - a\ lo suficientemente pequeña. Si a - 0, se elige 8(e) = -Je. Si a ¥■0, se desea obtener una cota para |x + a | en una vecin­ dad de a. Por ejem plo, si |x - a |< |o |, entonces 0 < |x |< 2 |a | y |x + a¡ < |x| + |a| < 3 |a|. De donde (20.2) |/(x) - f ( a ) \ sí 3 \a\ ¡3c- a\, siempre qú'e |x - fl| < |«|- Por lo que si se define 8(e) = inf {|a|, e/3 |a|}, enton­ ces cuando |x - a |< 8 ( e ) , la desigualdad (20.2) es válida y se tiene |/ ( x ) - / ( a ) |< e. (d) Se toma la misma función que en (c) pero se usa una técnica un poco distinta. En vez de factorizar x 2- a 2, se escribe como un polinomio en x - a . Por lo que xí - a l = (jtí _ 2ax + a 2) + (2ax - 2 a 1) = (x - a )1+ 2 a (x - o). Figura 20.2 Funciones continuas 165 Usando la desigualdad del triángulo se obtiene |/(x) - / ( a ) | < |x - a |2+ 2 |a | |x - a\. Si 8 < 1 y |x —a | < 8, entonces |x —a f < 8 J s 5 y el término de la derecha está dominado por 8 + 2 |a | 8 = 8(1 + 2 |a|). Por lo que se escoge (e) C o n s id e re D (/ ) = { x e R :x ? í 0} y d e fin a a / com o /(x )= l /x ,x e D ( /) . S i e D ( / ) , entonces |/ ( x ) - / ( a ) | = | l / x - l / a | = l í ¿ ^ . De nuevo se desea encontrar una cota para el coeficiente |x - a\ quesea válida en una vecindad de a A 0. Observe que si |x —a |< i |a |, enton­ ces i |a |< |x |, y se tiene |/ ( x ) - / ( a ) ! s j |i |x - a |. -¿ Por lo que se debe tomar 8(e) = inf {||a|,£ e jal2}. (J) Defínase / , para D (/) = R por medio de /(x) = 0, x i 0, = 1, x>0. Se puede ver que/ es continua en todos los puntos a A 0. Se habrá de probar que / no es continua en 0 empleando el criterio de discontinuidad 20.3. De hecho, si Xn = 1/n, la sucesión ( /( 1/n)) = (1) no converge a /{0). (Véase la fi­ gura 20.3.) (g) Sea D(f) = R y s e a /la función discontinua de Dirichlett definida como /(x) = l, si x es racional = 0, si x es irracional. Si a es un número racional, tome X = (x.) como una sucesión de números irracionales que convergen a a. (El teorema 6.10 asegura la existencia de dicha sucesión.) Dado que /(x.) = 0 para toda n e IV, la sucesión (/(x.)) no converge a f ( a ) = 1 y/no es con­ tinua en el número racional a. Por otro lado, si b es un número irracional, existe una sucesión Y = (y.) de números racionales que converge a b. La sucesión (/(y.)) no con- t P E T E R G U ST A V L E JE U N E D IR IC H L E T (1805-1859) nació en Rhineland y ejerció el m a­ gisterio en Berlín durante casi treinta años, antes de irse a Gottingen com o sucesor de Ganas Hizo aportaciones fundamentales a la teoría de núm eros y al análisis. 166 Introducción al análisis matemático e * j. X 1 1 1 m ? 2 Figura 2 0 3 verge a /Ib) por lo que/no es continua en b. Por lo tanto, la función de Derichlet no es continua en ningún punto. (h) SeaD(/) = {xeR :x> 0}. Para cualquier número irracional x > 0 , defína­ se f(x) = para un número racional de la forma m/n. en donde los números m ynno tie­ nen ningún factor común excepto I, defínase /(m/n) = 1/rt. Se habrá de probar que / es continua en todo número irracional en D(fI y discontinua en todo número racional en Dif). La última afirmación resulta de tomar una sucesión de números irracionales que converjan al número racional dado y de usar el criterio de discontinuidad. Sea a un número irracional y e > 0; entonces existe un número natural n tal que 1/rt < e. Si 8 se elige tan pequeña que el intervalo (a —8, a + 8) no contenga a ningún número ra­ cional con denominador menor que n. entonces se deduce que parax en este intervalo se tiene |/(x) - /(a)| = |/(x)| ¡s 1/rt < e. Por lo que/ es continua en el número irracional a. Por lo tanto, esta función es continua precisamente en los puntos irracionales de su dominio. IiI En este caso, sea D(f) = R* y sea/la función en R1 con valores en R 1 defi­ nida como /(*> y) - (2* + y, x - 3y). Sea (a. b) un punto fijo en R1; se habrá de probar que/es continua en este punto. Para hacer esto se debe probar que la expresión Iflx, y)-fia, b)|| = {(2x + y - 2a - b)’+ (x - 3y - a + 3b)Yn se puede hacer arbitrariamente pequeña escogiendo a (x. y) lo suficientemente cerca déla. b). Dado que {p’ + q1}"3s 72 sup{|p|, |q|}, resulta bastante evidente probar que los términos |2x + y -2 a -i> |, |x - 3 y - a + 3b|, se pueden hacer arbitrariamente pequeños eligiendo (x. y) lo suficientemente cerca de la. b) en R }. De hecho, por la desigualdad del triángulo, |2x + y —2a —b| = |2(x —a) + (y —b)| s 2 |x - a | + |y -b |. * m Ahora, |x - a | s { ( x - a ) , + (y -b )1}‘/,=|Kx, y )-(a, b)fl, y análogamente para |y - b |; entonces se tiene - Funciones continuas 167 |2x + y-2a-b|= s3|K x, y)-(o, b)| De modo análogo. |x - 3y - a + 3b| s |x - a\ + 3 |y - b| s 4 ||(x, y) - (a, b)fl. Por lo tanto, si e > 0 , se puede tomar 8(e) = e/(4>/2) con la segundad de que á |(x, y )-(a , b)||<8(e), entonces [|/(x, y )-/(a , b)||<e, aunque se puede lograr un va­ lor más grande de 8 a través de un análisis más refinado (por ejemplo, usando la desi­ gualdad de Schwarz 8.7). (j) De nuevo sea D(f) - R 1 y defínase a / por medio de /(x, y) = (x’ + y \ 2xy) Si la. b) es un punto fijo en R 1, ll/(x, y) - /(o, b)«= {(xJ+yJ- a 1- b’)’ + (2xy - 2ab)T’. Igual que en (i), se examinan por separado los dos términos de la derecha. Como se podrá ver, se obtendrán cálculos elementales de magnitud. De la desigualdad dd triángulo se tiene |x’+ y2- a ’—b’l s l x ’- a ’l + ly’- b ’l. Si el punto (x. y l está dentro de una distancia de I de (a. b). entonces, |x| < |a| + 1 por lo que )x + a| «s 2 |a| + 1 y |y| s |b|+ 1, de manera que |y + b| s 2 |b¡ + 1. Por lo tanto se tiene |x2+ y * -a1- b2| «s |x - a| (2 |a| +1) + |y - b| (2 |b| +1) =s 2(|a|+|b| + 1)||(x, y ) - ( a , b)||. De manera análoga se tiene |2xy - 2ab| = 2 |xy - xb + xb - ab| s 2 |x| |y - b| + 2 |b| |x - a| s 2(|a| + |b| +1) ||(x, y) - (a, b)J. Por lo tanto, se establece si ¡(x, y)—(a, b)U<8(e), se tiene |[/(x, y )-/(a , b)||<e, demostrándose que/esconti­ nua en el punto la. b). Combinaciones de funciones El siguiente resultado es consecuencia directa de los teoremas 15.6 y 20.2(el. por lo que no se escribirán los detalles. De manera alternativa, se po­ dría demostrar directamente usando argumentos casi paralelos a los que se emplean en la demostración del teorema 15.6. Se recuerda que si f y g son 168 Introducción a l análisis matemático funciones con dominios Dff) y Dfg) en R ' y rangos en R*, entonces se definen la suma / + g, la diferencia / —g y el producto interno f • g para cada x en D (/)H D (g ) por medio de las fórmulas /(x) + g(x), f(x)-g(x), /(x )-g (x ). Análogamente, si c es un número real y si <pes una función con dominio D(<p) en R r y rango en R, se definen los productos c f para x en D(f) y <p/ para x en D(tp)C\D(f) por medio de las fórmulas cf(x), ■<p(x)f(x). En particular, si <p(x) ¥■0 para x e D0> se puede definir el cociente //<p para x en D ( f ) f lD 0 como /( x)/<p (x). Con estas definiciones, se establece el resultado. 20.6 TEOREMA. S i las funciones f, g, <p son continuas en un punto, entonces ¡as combinaciones algebraicas. f+g, f~g, / • g, cf, <pf y fl<p también son continuas en ese punto. Existe otra combinación algebraica que a menudo resulta útil. S i/e s tá definida para Dff) de R ” a R, se define el valor absoluto |/| de/ como la fun­ ción con rango en los números reales R cuyo valor en el punto x en Dff) está dado por |/(x)|. 20.7 TEOREMA. S i f e s continua en un punto, entonce.^fftambién es continua en ese punto. DEMOSTRACION. Por la desigualdad del triángulo, se tiene ll/OOH/WIM/W-/(*)!> de donde el resultado es inmediato. q .e .d . Se repetirá el concepto de la composición de dos funciones. S ea/con do­ minio Dff) en R p y rango en R " y sea g con dominio Dfg) en R * y rango en R '. En la definición 2.2 se definió la composición h = g ° f como la función que tiene dominio D (h) = {x€ D (/):/(x )e D (g )} y en la que para x en Dfh) se tiene h(x) = g[f(x)]. Por lo que h = g ° f es una función que transforma a Dfh). que es un subconjunto de D ( f ) s R p, en un subconjunto de R '. En se­ guida se demuestra la continuidad de esta función. 20.8 TEOREMA. S i f es continua en a y g es continua en b = f(a), entonces la composición g ° f es continua en a. Funciones continuas 169 DEMOSTRACION. Sea W una vecindad del punto c = g(b). Dado que g es continua en b, existe una vecindad V de b tal que si y pertenece a V n D(g), entonces g(y) 6 W. Como/ es continua en a, existe una vecindad U de a tal que si x pertenece a L fn D (/), entonces está en V. Por lo tanto, si x pertenece a U D D(g °f), entonces JJx) está en V O D (g) y g[/(x)] pertenece a W. (figura 20.4.) Esto prueba que h = g ° / e s continua en a. q .e .d . Ejercicios ^ 20.A. Demostrar que si /está definida para * 2 :0 por medio de /(x) =*-Jx, enton­ ces / es continua en todo punto de su dominio. i(20.B. Demostrar que una “ función polinomial”, es decir una función / de la forma f(x) = a.x“ + + • • • + a,x + ao for x e R, es continua en todo punto de R. 20.C. Demostrar que una “ función racional” (es decir, el cociente de dos funcio­ nes polinomiales) es continua en todo punto en que está definida. 20.D. Usar la desigualdad de Schwarz para demostrar que en el ejemplo 20.5(0 se puede tomar 8(e) = e/>/Í5 ; 20?£. Sea / una función de R a R definida por /(x) = x, x irracional, = 1—x,. x racional. Demostrar que / es continua en x = J y discontinua en los des puntos. l^20.F\)Sea / continua de R a R. Demostrar que si f(x) = 0 para x racionales, en­ tonces fXxj —O para toda x en R. (^20.CT)Sean f y g funciones continuas de R a R. ¿Es verdad que /(x) «=g(x) para x € R sf y sólo si /(y) = g(y) para todos los números racionales y en R? v 20.H. Usar la desigualdad |sen x| £ |x| para x € R para probar que la función seno es continua en x = 0. Usar este hecho, junto con la igualdad sen x - sen u = 2 sen j(x - u) eos }(x + u), para demostrar que la función seno es continua en cualquier punto de R. Figura 20.4 170 Introducción al análisis matemático f e 20.1. Jasando los resultados del ejercicio anterior, dem ostrar que la función g, defitridir'cíe R a R como g(x) = x s c n (l/x ), x*0, = 0. x = 0, es continua en todo punto. T razar una gráfica de esta función. 20.J. Definase h. para x / O . x e R , como h (x) = s c n (l/x ), x^O . Demostrar que. no importa cóm o se defina h en x = 0, será discontinua en x = 0. 20.K. Definase a F : R ' —* R como JF(x, y) = jc*-»-y* si am bas x, y e Q, =0 en los otros casos. Determinar los puntos en que F es continua. í 2 0 .L /S e dice que una función f de R a R es aditiva si satisface f(x + y) = f( x )+ f(y ) para todas x, y e R. Demostrar que una función aditiva que es continua en x = 0 es continua en cualquier punto de R. Demostrar que una función aditiva monótona es continua en todo punto. V 20.M/. Suponga q u e /e s una función aditiva continua en R. Si c = /(l),d e m o s tra r que f(Xj = ex para toda x en R. (Sugerencia: dem ostrar primero que si r e s un número racional entonces, f(r) = cr.) ( 20.N. )Sea g : R —* R tal que satisface la relación g(x + y) = g (x)g(y) para x, y e R. D em ostrar si ges continua en x = 0, entonces g es continua en todo punto. Además, si g (a) = 0 para alguna a e R , g(x) = 0 para toda x e R . í 20.0. ),Si ¡f | es continua en un punto. Es verdad que/ también es continua en este punto?—- ^ ^ 2 0 ^ Sean /, g : R' —» R continuas en un punto a e R ' y sean h. k tales que estén definidas de R' a R por medio de h(x) = sup {/(x), g(x)}, fc(x) = inf {/(x), g(x)}. Demostrar que h y k son continuas en a. (Sugerencia: observe que sup {b, c} = Kb + c + |b -c |) y in f {b, c) = Kf>+ c - |b - c |) .) 20.Q. Si x e R , con frecuencia se define [x] como el máximo entero n e Z tal que n £ x. A la aplicación x *-* [x] se la llama función del entero máximo. T razar las gráficas y determ inar los puntos de continuidad de las funciones definidas para x e R por medio de (a) /(x) = [x], (b) g(x) = x - [ x ] , (c) h ( x ) = [ 2 sen x], (d) k (x ) = sen j[x j. Funciones continuas 171 20. R. Se dice que una función / definida de un intervalo I c R a / f e s creciente en I si x < x', x, x ' e l implica que /(x ) s /(*')- Se dice que es estrictamente creciente en / si x < x \ x, x ’e / implica que f ( x ) < f ( x r). Se pueden dar definiciones análogas para funciones decrecientes y estrictam ente decrecientes. U na función que es creciente o bien decreciente en un intervalo se dice que es monótona en ese intervalo. (al S i / e s creciente en / , / es continua en un punto interior c 6 1 si y sólo si para toda e > 0 existen puntos x„x2e /,x ,< c < x !, tales que f(x2)-f(x,)<e. (bI S i/ es creciente en / , / es continua en un punto interior c e / si y sólo si sup { /(x ): x < c} = /(c ) = inf {/(*): x > c}. y / 20.S. Suponga que / es creciente en í = [a, b] en el sentido del ejercicio ante­ rior. Sea j« = inf {/(x):x>c}-sup{/(x):x<c>. Si /« > 0 , se dice que / tiene un salto de je en el punto c. (a) S in e JV, dem ostrar que sólo puede haber un conjunto finito de puntos en / en los que / t e n g a un salto que exceda a l/n. (b) Demostrar que una función creciente puede tener cuando más un conjunto contable de puntos de discontinuidad. Proyectos 20. a. Sea g una función de R a R que no es idénticamente cero y que satisface la ecuación funcional (*> g(* + y )= g (x )g (y ) for x, y e R El propósito de este proyecto es dem ostrar que g debe ser una “ función exponencial” . i a ) Demostrar que g es continua en todo punto de R si y sólo si es continua en un punto de R. Ib) D em ostrar que g ( x ) > 0 para toda x e R . (el Demostrar que g(0) = l . Si a = g (l), entonces a > 0 y g(r) = a ' para toda reQ . Id) La función g es estrictam ente creciente, es constante, o estrictam ente decre­ ciente según sean g ( l ) > l , g ( l) = l , o 0 < g ( l ) < l . (el Si g(x) > 1 para x en algún intervalo (0 ,8 ), 8 > 0 , g es estrictam ente creciente y continua en R. ( f ) Si a > 0 , existe cuando más una función continua g que satisface (*) tal que g (l) = a. (g) Supóngase que a > l . Haciendo referencia al proyecto 6.0, dem ostrar que existe una única función continua que satisface (*) tal que g(1) = a . 20.0. Sea P = {x e R :x > 0 } y sea h : P —* R una función no idénticamente cero que satisfaga la ecuación funcional (t) h(xy) = h (x) + h (y) fo rx , y e P . 172 Introducción al análisis matemático El propósito de este proyecto es demostrar que h debe ser una “ función logarítmica”. (a) Demostrar que h es continua en todo punto de P si y sólo si es continua en un punto de P. (b) Demostrar que h no se puede definir en ¿ = 0 satisfaciendo (t) para {xeR :x ¿0}. (c) Demostrar que h(l) = 0. Si x > 0 y reQ, entoncesh(x') —rh(.x). (d) Demostrar que si h(x) 2:0 en algún intervalo en {x € R : x a 1}, entonces h es estrictamente creciente y continua en P. (e) Si h es continua, demostrar que h(x) # 0 para x / 1. Además, h(x)>0 para x > l , o h(x)<0 para x > l. (f) Si b > 1, demostrar que existe, cuando más, una función continua en P que sa­ tisface (f) y tal que h(b)= 1. (g) Supóngase que b > 1. Haciendo referencia al proyecto 6. y, demostrar que existe una función continua única que satisface (t) tal que h(b) = 1. Sección 21 ■ . Funciones lineales *J En la sección anterior se trataron funciones arbitrarias definidas de R p a R H. Antes de seguir con dicho análisis se introducirá una clase de funciones relativamente simple pero muy importante, a saber, las “ funciones lineales” que son aplicables en muchísimos casos. 21.1 DEFINICION. Se dice que una función/con dominio R p y rango en R* es lineal cuando (21.1) f(ax + by) = af(x) + bf(y) para todas a. b en R y x, y en R p. Por inducción se deduce de (21.1) que si a, b . . . , c son n € N números reales y x, y , . . . , z son n elementos de R p, entonces f(ax + by + — -f cz) = af(x) + b/( y) ■+------ c/ ( 2)- Es fácil ver que las funciones de los ejemplos 20.6(b) y 20.6(i) son fun­ ciones lineales para el caso p = q = í y p = q = 2, respectivamente. De hecho, no es difícil caracterizar en general una función lineal de R r a R". 21.2 TEOREMA. S i f e s unafunción lineal con dominio R p y rango en R ’, entonces existen pq números reales (c¡j)» 1 — * s 9* * —J — P* ,a^es que s i x = (xi, x 2, . . . , x p) es c u a l q u i e r p u n t o en R p, y si y —(yu y i , - . - , y,) = /(x) es su imagen bajo f entonces y i = C n X i + C j 2 X 2 + - • - + CipXp, • y2= CnXi + C22X2+ • • • + C2pXp> ( 21. 2) y , = C ,iX l - r C ,2 X 2 + - ■ - + C«Jtr- Funciones continuas 173 De manera inversa, si (cM) es una colección depq números reales, entonces la función que asigna a x en R r el elemento y en R q según las ecuaciones (21.2), es una función lineal con dominio R p y rango en R q. DEMOSTRACION. Sean eu e2, los elementos de R* dados por e, = ( 1 , 0 , . . . , 0), ei = (0 ,1 ........ 0), - . . , ep = ( 0 , 0 , . . . , 1). Se analizan las imágenes de estos vectores bajo la función lineal f. Suponga que / ( C l ) = ( C n , C21» • • • * (21 3) /(^2) (cu» C22» • • • >^2)» /(e p ) = (ctp, Cip, • • • >Cqp). De modo que el número real c¡j es la í-ésima coordenada del punto f(e¡). Un elemento arbitrario x = (x¡, ........ Xp) de R* se puede expresar en términos de los vectores ei, e2, . . . , de hecho, x = XiCi + X2e2+-----l-Xpe,. Dado que / es lineal, se deduce que /(x) = x,/(e,) + x 2f(e2) + •■• + Xpf(ep). Usando las ecuaciones (21.3) se tiene ' ■ /(x) = X i ( C u , C21, . . . , C ,i) + X2(012, C22, — » 0 ,2 ) + • • *+ Xp(Cip, C2p, • - • >c^,) = (cuXi, C21X1,. . . , c,iXi) + (ci2X2,022X2»...»0,2X2) + • • • + (CipXp, C2 pXp, . . . » CqpXp) = ( C iiX i + 0 1 2 X 2 + - • * + CipXp, 021X1 + 0 2 2 X 2 + * * * + C2 pXp, . . . , 0,1X1 + 0 , 2 X 2 + ------- l*C ^X p). Esto prueba que las coordenadas dt j( x ) están dadas por las relaciones (21.2) , como se aseguraba. A la inversa, es fácil probar, por cálculos directos, que si las relaciones (2 1 .2 ) se usan para obtener las coordenadas y¡ de y de las coordenadas Xj dex. entonces la función que resulta satisface la relación (21.1) y por lo tanto es li­ neal. Se omitirá este cálculo debido a que es directo. q .e .d . Se debe mencionar que al arreglo rectangular de números Cu C12 *** C ip ' C 2\ C22 — C2p (21.4) _ c,> C, 2 * •* Cqp- 174 Introducción al análisis matemático que consta de q renglones y p columnas a menudo se le llama la matriz correspondiente a la Función lineal / . Hay una correspondencia uno a uno entre las funciones lineales de R p a R q y matrices de q xp co n números rea­ les. Como se ha visto, la acción d e /e s tá completamente descrita en términos de su matriz. No será necesario desarrollar la extensa teoría de matrices, péro se hará referencia a la matriz (21.4) como una síntesis de una descripción más elaborada de la función lineal / Se demostrará que una función lineal de R p a R q es automáticamente continua. Para hacer esto, primero se escribe la desigualdad de Schwarz en la forma [aibt + <*262+• • • + a,br\2 s {ai2+ ai' + • • • + a,,J}{bi2+ 1>22+ *• *+ b^,2}. Se aplica esta desigualdad a cada expresión de la ecuación (21.2) para obte­ ner, para 1 < i s q, el cálculo |y,|2s (M*+M 2+ • ‘ •+ tal2) W = i-t M 2||x||2. í Sumando estas desigualdades se tiene HylP=s {É ¿ |c,,|2} Hx||2, de donde se concluye que (21.5) IJyll = ||/(*)|| =£ { ¿ ¿ |C y |2}l/1 Hx||. 21.3 TEOREMA. S i f es una función lineal con dominio R v y rango en R ’, entonces existe una constante positiva A tal que si u,v son cualesquiera dos vectores en R p, entonces (21.6) ||f(«)-/(»)# s A ||u - c |. Por lo tanto, una función lineal de R p a R q es continua en todo punto. DEMOSTRACION. Al obtener la fórmula (21.5) se vio que existe una constante A tal que si x es cualquier elemento de R p entonces |(/(jc)||< A ||x||. Ahora, sea x = u - v usando la linealidad de / se obtiene /(*) = / ( « - w) = f ( u ) - f ( v ) . Por lo tanto, se obtiene la fórmula (21.6). Es claro que esta relación implica la continuidad de / y a que se puede hacer | | / ( u ) - / ( u ) | | < s tomando ||u - i;||< e /A if A > 0 . o .e .d . Queda como ejercicio demostrar que si/ y g son funciones lineales de R p a R \ entonces / + g es una función lineal de R p a R \ Análogamente, si c e R, entonces e f e s una función lineal. Se deja al lector demostrar que la colección 5£(R P, R q) de todas las funciones lineales de R p a R q es un espacio vectorial bajo estas operaciones vectoriales. En los ejercicios se mostrará cómo definir una norma en este espacio vectorial. Fundones continuas 175 Ejercicios 21 .A. Demostrar que / : R p -* R ’ es una función lineal si y sólo si f(ax) = af(x) y /(x + y) = /( x ) + / ( y ) para toda a e R y todas x, y e R'. 2I.B. S i / e s una función lineal de R r a R \ dem ostrar que las columnas de la re­ presentación matricial (21.4) d e /in d ic a n los elementos en R ’ a los que los elementos e , « ( 1 , 0 , . . . , 0), e2= ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , e, = ( 0 , 0 , . . . , 1) de R ' se aplican por me­ dio de / . 2I.C . Sea / una función lineal de R 2 a R 3 que manda a los elementos et = ( l ,0 ) , «j = ( 0 ,l) d e R ’ hacia los vectores /(e ,) = ( 2 , 1,0), /(ej) = ( l , 0 , - 0 ) de R \ Dar la representación matricial de/ . ¿Cuáles vectores en R 3 son las imágenes bajo / de los elementos (2,0), (1,1) y (1.3)? 2I.D . S i / denota a la función lineal del ejercicio 2 I.C , dejnoslrar que no todo vector en R 3 es la imagen bajo/ de algún vector en R 2. g cualquier función lineal de R 2 a R 3. Demostrar que no todo elemento d e l C e s la imagen b ajo# de a jg w í^ c to r en R 2. f 2 I .F ,£ e a h cualquier función lineal de R 3 a R 2. D em ostrar que existen vectores d istin to sd e cero en R 3 que se aplican hacia el vector cero de R 2 por h. 2 1.G .JS ea/una función lineal de R 2 a R 2 y sea la m atriz que representa a / l a si­ guiente" t¡] D em ostrar que /(x )/50 cuando x # 0 si y sólo si A = a d-bc^O . (21.H. S e a / como en el ejercicio 2I.G . D em ostrar que/ aplica R 2 sobre R 2 si y sólo si A = ad —be * 0. Demostrar que si A?í0, entonces la función inversa /"• es li­ neal y la m atriz que la representa es la siguiente [ di A —b/A | L - c/A al A j 21. 1. 'ca g una función lineal de R ' a R \ Demostrar que g es uno a uno si y sólo si g(x) = 0, implica que x = 0 . 2 1.J./Si h es una función lineal uno a uno de R" sobre R ”, dem ostrar que la in­ versa h~’ es una función lineal de R p sobre R p. 21.K. Demostrar que la suma y la composición de dos funciones lineales son funciones lineales. 4— 2I.L . Si / es una aplicación lineal de R ' a R ’, definir / U /L = sup {l|/(x)H: x e R p, ||x|| s 1}. D em ostrar que la aplicación / p-»|[/||„ define una norma en el espacio vectorial i£ (R p, R ’ ) de todas las funciones lineales de R p a R \ D em ostrar que ||/(x)|| £ 11/tU ||x | para toda x e R p. 21.M. Si / es una aplicación lineal de R p a R \ definir M (f) = inf { M > 0 : R f(x)|£ M ||x|l, x e R p}. D em ostrar que M (f) = || /||„. 176 Introducción al análisis matemático 2I.N. Si f y g están en ü?(R', R ') demostrar que /• g también está en (R ', R ”) y que|[f ° £ U/]|„ ¡glU-Demostrar que la desigualdad puede ser estricta para ciertas /y 21.0. t)ar un ejemplo de una aplicación lineal/ en ü£(R', R’) con representación matricial [cl(] en donde se tenga 21.P. Si (21.4) da la matriz para/, demostrar que |cJ:s||/|L para todas ij. Sección 22 Propiedades globales de funciones continuas En la sección 20 se consideró la continuidad “ local” ; es decir, se estaba tratando la continuidad en un punto. En esta sección se establecerán algunas j propiedades más profundas acerca de funciones continuas. Aquí se estará tra­ tando la continuidad “global” en el sentido de que se supondrá que las funcio­ nes son continuas en todo punto de sus dominios. A menos que se especifique lo contrario,/designará a una función con dominio Dffi) contenido en JRP y con rango en R*1. Se recuerda que si B es sub­ conjunto del espacio de rango R \ la imagen inversa de B bajo/ es el conjunto r ,(B) = { x e D ( f ) : f ( x ) e B } . Observe que / " ‘(B) de manera automática es un subconjunto de Dffi) aun cuando B no necesariamente sea un subconjunto del rango de / . En cursos de topología, en que se trata más continuidad global que con- ■ tinuidad local, el siguiente resultado a menudo se toma como la definición de i continuidad (global). Su importancia muy pronto será evidente. 22.1 TEOREMA DE CONTINUIDAD GLOBAL. Las siguientes ¡ afirmaciones son equivalentes: (a) / es continua en su dominio D(f). (b) S i G es cualquier conjunto abierto en R", entonces existe un conjunto ■ abierto G¡ en R r tal que G, fl D(f) = f ' ( G ) . (c) Si H es cualquier conjunto cerrado en R ’, entonces existe un con­ junto cerrado H, en R p tal que Hi(~\D{f) = DEMOSTRACION. Primero se supondrá que (a) es válido y que G es un subconjunto abierto de R <l. Si a pertenece a f ~ \G ) , entonces, como G es una vecindad tic fia), de la continuidad d e /e n a se infiere que hay un con­ junto abierto Ufa) tal que si x e D ( f ) O U(a), entonces f(x) e G. Elíjase Ufa) para cada a en / -1(G) y sea Gi la unión de los conjuntos Ufa). Per el teo- Funciones continuas i 77 rema 9.3(c), el conjunto G i es abierto y es claro que G i n D ( f ) = Por lo tanto, (a) implica (b). Se demostrará ahora que (b) implica (a). Si a es un punto arbitrario de D(f) y G es una vecindad abierta deffa). la condición (b) implica que existe un conjunto abierto Gi en R p tal que G i H D(f) = f~'(G ). Dado que /(o ) 6 G, se deduce que a e G i , por lo que G i es una vecindad de a. Si x e G t n D ( f ) , /( x ) e G por lo que / es continua en a. Esto prueba que la condición (b) implica (a). Ahora se demuestra la equivalencia de las condiciones (b) y (c). Pri­ mero, se observa que si B es cualquier subconjunto de R q y si C = R q \ B, se tiene r ,( B ) n r ,(C) = 0 y (22.1) D ( f ) = r '( B ) u r \ C ) . Si B, es un subconjunto de R p tal que B , D D ( f ) —f~‘(B) y Ct = R r\ B ¡ , entonces C in /~ '(B ) = 0 y (22.2) D(f) = (B , n D ( f ) ) U (C, n D(f)) = f ‘(B) U (C, fl D(f)). Las fórmulas (22.1) y (22.2) son dos representaciones de Dff) como la unión xle f~'(B) con otro conjunto con el que no tiene puntos en común. Por lo tanto, se tiene C1n D ( /) = f ,(C). Suponga que (b) es válido y que H es cerrado en R \ Aplique el argu­ mento dado anteriormente en el caso en que B = R q \ H y C = H. Entonces, B y B, son conjuntos abiertos en R" y R p, respectivamente, de manera que Ci = R ’ \ B, es cerrado en R r. Esto prueba que (b) implica (c). Para ver que (c) implica (b), se usa el argumento anterior con B = R r \ G , en donde G es un conjunto abierto en R \ O ED. En el caso en que D(f) = R r, el resultado anterior se simplifica hasta cierto punto. 22.2 COROLARIO. Sea f una función definida en todo R r y con rango en R q. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) f e s continua en R r; (b) si G es abierto en R \ entonces f~'(G) es abierto en R p; (c) si H es cerrado en R \ entonces f~'(H) es cerrado en R p. Se debe hacer énfasis en que el teorema de continuidad global 22.1 no dice que s i/e s continua y G un conjunto abierto en R p, entonces la imagen di­ recta /(G ) = {/(x) : xg G} sea abierta en R \ En general, una función conti­ nua no necesariamente manda conjuntos abiertos a conjuntos abiertos o con­ juntos cerrados a conjuntos cerrados. Por ejemplo, la función/de R a R defi­ nida como 1 /(*) = T + x 1 ¡78 Introducción al análisis matemático es continua en /?.[En efecto, en los ejemplos 20.5(a) y (c) se vio que las funcio­ nes /,(x) = 1, y fi(x) = x 2, para x e R, son continuas en todo punto. Del teo­ rema 15.6 se deduce que , /j(x) = l + x2, xeR , es continua en todo punto, y dado que / 3 nunca se hace cero, este mismo teo­ rema implica que la función / recién dada es continua en R.] Si G es el con­ junto abierto G = (—1,1), entonces f(G ) = (¡, 1], que no es abierto en R. Análogamente, si / / es el conjunto cerrado H = { x 6 R : x s l } , entonces f(H) = (0,2], que no es cerrado en R. De manera similar, la función/ aplica al conjunto R, que es abierto y cerrado en R, hacia el conjunto/(R) = (0, l]que no es ni abierto ni cerrado en R. Lo que nos dicen estas afirmaciones es que la propiedad de un conjunto de ser cerrado o abierto no necesariamente se preserva con la aplicación de una función continua. Sin embargo, existen propiedades importantes de con­ junto que se preservan con aplicaciones continuas. Por ejemplo, se va a de­ mostrar que las propiedades de conexidad y compacidad de conjuntos tienen esta característica. Conservación de conexidad ' Por la definición 12.1, recuerde que un conjunto H en R p es descone si existen conjuntos abiertos A . B en R p tales que A O H y B f l H son conjun­ tos ajenos no vacíos cuya unión es H. Un conjunto es conexo si no es disco- nexo. 22.3 CONSERVACION DE CONEXIDAD. Si H ^ D ( f ) e s co­ nexo en R" y f es continua en H. entonces j[H) es conexa en R ’. DEMOSTRACION. Sea h la restricción de/ al conjunto H de tal ma­ nera que D ( h ) = H y h(x) = /(x)para toda x e H . Observe que f ( H ) = h ( H ) y que h es continua en H. Si f ( H ) = h ( H ) es disconexo en R \ entonces existen conjuntos abiertos /l, fi en S ’ tales que A O h ( H ) y B fl h ( H ) son conjuntos ajenos no vacíos cuya unión es h( H) . Por el teorema de continuidad global 22.1, existen con­ juntos abiertos A i, Bi en R T tales que A , n H = h -'(A )f B if lH = h~'(B). Estas intersecciones son no vacías y se deduce que son ajenas de que los con­ juntos A D h ( H ) y BC lh(H ). son ajenos. El supuesto de que la unión de A n h ( H ) y B n h ( H ) sea h ( H ) implica que la unión d e A ,n H y B , D H es fl. Por lo tamo, la disconexión de f ( H ) = h ( H ) implica la disconexión de fl. Q.E.D. U. i Funciones continuas i 79 La misma palabra “continuo” indica que no hay “ interrupciones” brus­ cas en la gráfica de la función, por lo que el siguiente resultado no es de nin­ guna manera inesperado. Sin embargo, se invita al lector a que intente pro­ porcionar una demostración distinta para este teorema y así se dé cuenta de su profundidad. 22.4 TEOREMA DEL VALOR INTERM EDIO DE BOLZANO. Sea H c D (/) un subconjunto conexo de R r y sea f continua en H y con va­ lores en R. S i k es cualquier número real que satisface inf {/(x ): x e H} < k < sup {f( x ): x e H }, entonces hay cuando menos un punto de H en donde f toma el valor k . D E M O ST R A C IO N . Si k ¿ /(H ), entonces los conjuntos A = {t e R : t < k}, B = {t e R : í > k} forman una disconexión de JfWJI. contradiciéndose el teorema anterior. q je j >. Conservación de compacidad En seguida se demuestra que la importante propiedad de compacidad se conserva con la aplicación continua. Recuerde que es consecuencia del teo­ rema de Heine-Borel 11.3 que un subconjunto K de Rp sea compactos! y sólo si es cerrado y acotado en R p. De modo que el siguiente resultado se puede expresar diciendo que si K es cerrado y acotado en Rp y s i/e s continua en K y con rango en R 9, entonces f \ K ) es cerrado y acotado en R 9. 22.5 CONSERVACION DE COMPACIDAD. S /K s D (/) es compacto y f es continua en K, entonces /¡K) es compacto. PRIM ERA DEMOSTRACION. Se supone que K es cerrado y aco­ tado en R p; se habrá de probar quejlK) es cerrado y acotado en R 9. Sifi¡K¡) no es acotado, para cada n e N existe un punto x„ en K con ||/(x«)||> n .Dado que K es acotado, la sucesión X = (x„) es acotada, de donde, por el teorema de Bolzano-Weierstrass 16.4, se deduce que hay una subsucesión de X que converge a un elemento x. Dado que x„ e K para n e N , el punto x pertenece al conjunto cerrado K. Por lo tanto, / es continua en x y / está acotada por ||f(x)||+1 en una vecindad de x. Dado que esto contradice al supuesto de que li/(x«)|| 2: n, el conjunto JJK) es acotado. Se habrá de probar que f K ) es cerrado demostrando que cualquier punto de acumulación y de J\K) debe estar contenido en este conjunto. De hecho, si n es un número natural, existe un punto z, en K tal que )|f(z „ )-y ||< 1/n. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass 16.4, la sucesión Z = (z„) tiene una subsucesión Z ' = (z„(k)) que converge a un elemento z. Dado que K es cerrado, z e K y / es continua en z. Por lo tanto. ¡80 Introducción al análisis matemático /(z ) = lim (f(z H(k)))= y» k lo cual demuestra que y pertenece a fiK). Por lo tanto, f K ) es cerrado. SEGUNDA DEMOSTRACION. Restringiendo/a K se puede supo­ ner que D(f) = K. Suponga ahora que = {G„} es una familia de conjuntos ahiertos en R v cuya unión contiene a J[K). Por el teorema de continuidad glo­ bal 22.1, para cada conjunto G . en *0 hay un subconjunto abierto G de R" tal que G. O D = f \G „). La familia <€ = {G} consta de subconjuntos abier­ tos de J tr ; se asegura que la unión de estos conjuntos contiene a K, ya que si x e K, entonces/x/ está contenido en f [K); por lo tanto, f[x) pertenece a algún conjunto G , y, por construcción, x pertenece al conjunto correspondiente G . Dado que K es compacto, está contenido en la unión de un número finito de conjuntos en *€ y su im ag en /X ) está contenida en la unión del número finito de conjuntos correspondientes en % Dado que esto es válido para una familia arbitraria <§ de conjuntos abiertos que cubren a/A f/, el conjunto/Af) es com­ pacto en R*. O.E.D. Cuando el rango de la función es R, el siguiente teorema se puede expre­ sar de otra manera diciendo que una función continua de valor real en un con­ junto compacto alcanza sus valores máximo y mínimo. 22.6 TEOREMA DEL VALOR MAXIMO Y MINIMO. Sea K c [ (f) compacto en R r y sea ffu n ció n continua de valor real. Entonces existen puntos x* en K tales que /(**) = sup {f(x) : x e K } , /(x*) = inf {/(x) :x e X } . V PRIM ERA DEMOSTRACION. Dado que K es compacto en R v, del teorema anterior se deduce q u e / K ) está acotado en R. Sean M = sup f(K) y (x.) una sucesión en K tal que f(Xn) a M —1/n, neN . Por el teorema de Bolzano-Weierstrass 16.4, alguna subsucesión (x.(k)) con­ verge a un límite x * g K. Dado que / es continua en x*, se debe tener f(x*) = Iim(f(x»(k))) = M. La demostración de la existencia de x* es análoga. SEGUNDA DEMOSTRACION. R estringiendo/a K, se puede su­ poner que D (/) = K. Se fija M = sup/(K ). Entonces, para cada n e N , sea G = {u g R : u < M - 1/n}. Dado que G . es abierto, del teorema de continuidad global 22.1 se deduce que existe un conjunto abierto G en R Ftal que G O K = {x G K i f ( x ) < M - 1/n}. Funciones continuas 181 Si no se alcanza el valor M entonces la unión de la familia *€={01} de con­ juntos abiertos contiene a todo K. Dado que K es compacto y la familia {C. HfC} es creciente, existe una r e N tal que K £ G pero entonces se tiene f ( x ) < M — 1/r para toda x e K , contrario al hecho de que M = sup f(K). QJB.D. Si / tiene rango en R ' con q > 1, el siguiente corolario algunas veces es útil. 22.7 COROLARIO. Sea f una función de D ( f ) c R r a R* y sea K £ D(f) compacto. S i f es continua en K, existen puntos x* en K tales que ||/(x*)|| = sup {JLf(x)||: x e K}, Ilf(x*)|! = inf fl[f(x)||: x 6 K}. Del teorema 21.2 se infiere que si f : R T -*■ R ' es lineal, entonces existe una constante M > 0 tal que ||/(x)|| s M ||x|| para toda x e R p. Sin embargo, no siempre ocurre que exista una constante m > 0 tal que H/(x)| 2: m gxg para toda x e R '. En seguida se demuestra que este es el caso si y sólo si / e s una función lineal inyectiva. 22.8 COROLARIO. Sea f : R r -* R* una función lineal. Entoncesfes inyectiva si y sólo si existe m > 0 tal que ||/(x)|| > m ||x|] para toda x e R ' . D E M O S T R A C IO N . S u p o n g a que / es in y ectiv a y sea S = {x € R r : ||x|| = 1} es la esfera compacta unitaria en R T. Por el corolario 22.7, existe x*6 S tal que |{f(x*)|| = m = inf {j[/(x)||: x e S}. Dado que f e s inyec- tiva, m = |l/(x*)||>0. Por lo tanto, ||/(x)|| at m > 0 para toda x 6 S. Ahora, si u e R r, 1*5*0, entonces u/||u|| pertenece a 5 y por la línealidad d e / s e tiene por lo que se deduce que |[/(u)|| 3: m||u|| para toda u e R ’ (ya que el resultado es trivial para u = 0). De manera inversa suponga que |[/(x)|| s m ||x|| para toda x e R r. Si /(x,) = /(x 2), se tiene 0 = |l/(xt) -/(x i) || = |[f(x i-x 2) | a m ix.-X ifl, que implicq Xi = x2. Por lo tanto, / es inyectiva. O.E.I). Una de las consecuencias más notables del teorema 22.5 es que si f e s continua e inyectiva en un dominio compacto entonces la función inversa f * automáticamente es continua. 22.9 CONTINUIDAD DE LA FUNCION INVERSA. Sea K un subconjunto compacto de R r y sea f una función continua inyectiva con do­ 182 Introducción aI análisis matemático minio K y rango JJK) en R \ .Entonces la función inversa es^ontinua con do­ minio fiK ) y rango K. DEMOSTRACION. Observe que como K es compacto, el teorema 22.5 implica que f K ) es compacto y por lo tanto cerrado. Dado que por hi­ pótesis / es inyectiva, la función inversa g =f~' está definida. Sea H cualquier conjunto cerrado en R' y considere a H f l K ; dado que este conjunto es ce­ rrado y acotado (por el teorema 9.6{el), el teorema de Heine-Borel asegura que H D K es un subconjunto compacto de R r. Por el teorema 22.5 se concluye que H , = f ( H D K ) es compacto y por lo tanto cerrado en R \ Si g =f~‘, entonces H , = /(H n fC ) = g-*(H). Dado que H¡ es un subconjunto de f(K ) = D(g), esta última ecuación se puede escribir de la siguiente manera H 1n D (g ) = g ',(H). D d teorema de continuidad global 22. Ifc) se deduce que g —f ‘ es continua. Q.E.D. Se concluye esta sección introduciendo cierta notación que será necesa­ ria. 22.10 DEFINICION. Si D c R p, entonces la colección de todas las funciones continuas de D a R Hse denota por medio de Q ,(D ). La colección de todas las funciones continuas acotadas de D a R* se designa por medio de B Q ,(D ). Cuando p y q están sobreentendidos, estas colecciones se designa­ rán simplemente como C(D) y BC(D). La primera parte del siguiente resultado es una consecuencia del teo­ rema 20.6 y la segunda parte se demuestra de igual manera que el lema 17.8. 22.11 TEOREMA, (a) Los espacios Q ,( D ) y BCpq(D )son espacios vectoriales bajo las operaciones vectoriales (/+ g )(x ) = /(x) + g(x), (cf)(x) = cf(x) forxeD. la) £7 espacio B Q ,(D ) es un espacio normado bajo la norma ll/ll» = sup {|l/(x)||: x e D>. Por supuesto, en el caso especial en que D es un subconjunto compacto d c R ',Q ,( D ) = B Q ,(D ). Ejercicios i 22.A. Interpretar el teorema de continuidad global 22.1 para las funcio­ nes de reloj real f(x) = x3 y g(x) = 1/x, x^O. Tomar varios conjuntos Funciones continuas 183 abiertos y cerrados y determinar sus imágenes inversas bajo / y g. 22.B. Defínase H : R -» JR como h(x) = 1, O s i < 1, = 0, en los otros casos. Dar un conjunto abierto G tal que h~’(G) no sea abierto en R, y un conjunto cerrado £ t a l que h '’(F) no sea cerrado en R. 22.C?)Si/es acotada y continua de R ' a R y si f(x.)> 0, demostrar que/ es estrictamente positiva en alguna vecindad de x,.¿Es válida la misma conclusión o para el caso en que / es simplemente continua en x,? 22.D?$i p : R2—>■R es un polinomio y c e * , demostrar que el conjunto {(x, y):pf**^)<c} es abierto en R 2. 2 2 . i / :R ' -►R es continua en R 'y a < 0 , demostrar que el con- ju n t£ ^ j* -6 .R ':n s/(j)< p ) es cerrado en R'. • { 2 2 $ ) Un subconjunto D c R» es inconexo si y sólo si existe una función continua f<,D-*R tal que /(D) = {0,1}. ¡ 22.G. S ea/continua de R 2 a R \ Defínanse las funciones gi.fr de R a R* como gi(0=/(t,0), g1(0 = /(0 , t). Demostrar que g. y g2 son continuas. 22.H. Relacione /, gi,g2 por medio de las fórmulas del ejercicio ante­ rior. Demostrar que no se puede probar la continuidad d e /e n (0,0) a partir de la continuidad de gi y g¡ en i = 0 / 2 2 .í j D a r un ejemplo de una función de I = [0,1] a Jf que no sea aco­ tada. 22.J. Dar un ejemplo de una función aco tad a/d e / a R que no tome nin- gunojle-lqs valores sup {/(x):xel) o inf {f(x):xel|. / 22-K^Dar un ejemplo de una función acotada y continua g de Jf a R que no tomemnguno de los valores sup (g(x):xcR) o inf {g(x):xeR}. . (22XpDemostrar que todo polinomio de grado impar y coeficientes rea­ les tiertrlina raiz real. Demostrar que el polinomio p(x) = x‘+7x’- 9 tiene Cuando menos dos raíces reales. 22.M. Si c > 0 y n es un número natural, existe un único número posi­ tivo b tai^que b' = c. (22.M Sea / continua de / a R con /(0)< 0 y /(1)>0. Si N = {xeT;/(x)<0} y si c = sup N, demostrar que f(c) ~ 0. 22.0. Sea/ una función continua de R a R estrictamente creciente (en el sentido de que si x'< x" entonces f(xr)<f(xr)). Demostrar que/ es inyectiva y que^u^función inversa f 1 es continua y estrictamente creciente. Í22.PJ Sea/ una función continua de R a R que no toma ninguno de sus valórenlos veces. ¿Es verdad que / debe ser estrictamente creciente o bien estrictamente decreciente? (22.QySea g una función de / a R. Demostrar que si g toma cada uno de sus valora exactamente dos veces, entonces g no puede ser continua en todo punto de /. 184 Introducción al análisis matemático ^ 2 2 .R y S e a / continua en el intervalo [0,2ir] a R y tal que /(0)=/(2w). Demostrar que existe un punto c en este intervalo tal que /(c) = f(c + ir). (Su­ gerencia: considere g (x )= /(x )-/(x + *•).) Deducir que, en cualquier mo­ mento, existen puntos opuestos en el ecuador de la tierra que tienen la misma temperatura. 22.S. Defina *>:[0,2ir)-*RJ como 9(1) = (eost,sin t) para te[0,2i Entonces 9 es una aplicación continua inyectiva de [0,2ir) sobre el circulo unitario S = {(x,'y)eK':x>+y*= 1|. D em ostrar que <p~‘:S-* [0 ,2n) no no ser válido si el dominio no es compacto.) Proyecto 22.xx El propósito de este proyecto es demostrar que muchos de los re­ sultados de la sección 22 son válidos para (unciones continuas cuyos dominios y rangos están contenidos en espacios métricos. (Al probar estos resultados se puede observar que definiciones anteriores son aplicables a espacios métricos o bien que se pueden reformular para que lo sean.) (a) Probar que el teorema 20.2 se puede reformular para una función de un espacio métrico a otro. (b) Demostrar que el teorema de continuidad global 22.1 es válido sin ningún cambio. (c) Demostrar que es válido el teorema de conservación de conexidad 22.3 (d) Demostrar que es válido el teorema de conservación de compacidad 22.5 Sección 23 Continuidad uniforme y puntos fijos Definase / e n un subconjunto D(f) de R p a R*. Es fácil ver que los si­ guientes resultados son equivalentes: (i) f es continua en todo punto en D(f). (ii) Dada e > 0 y u e D(f), existe una 8(e, u ) > 0 tal que si x pertenece a D(f) y Hx —ulissfi, entonces ||/( x ) - /( u ) ||< e. Lo que se debe observar aquí es que la 8 depende, en general, tanto de e como de u. El que 8 dependa de u es consecuencia del hecho de que la función / puede cambiar sus valores con rapidez cerca de ciertos puntos y lentamente cerca de otros. Puede suceder que la función sea tal que el número 8 se pueda escoger independiente del punto u en D(f) y dependiente únicamente de e. Por ejemplo, si /(x ) = 2x, entonces l/( * ) - /( u ) | = 2 |x - u | Funciones continuas 185 de manera que se puede elegir 8(e, u) = e/2 para todos los valores de u. Por otro lado, si g(x) = 1/x para x > 0 , entonces g W - g ( « ) = i^ í . Si 0 < 8 < u y |x —u | ^ 8, se deja al lector demostrar que k W -íM I * 5 5 ^ 5 5 y que esta desigualdad no se puede mejorar, ya que, de hecho, la igualdad es válida para x = u - 8 . Si se quiere hacer |g (x )-g (u )j < e, entonces el valor más grande para 8 que se puede elegir es eu 8(e, u) = 1 + eu ' De modo que si u > 0 , g es continua en u ya que se puede elegir 8(e, u) = eu 2/( 1 + eu), y éste es el valor más grande que se puede escoger. Dado que no se puede obtener una 8(e, u ) > 0 que sea independiente de la elección de u para todos los puntos u > 0. Ahora se restringirá g a un dominio menor. De hecho, sea a > 0 y de­ fínase h(x) = 1/x para x 2 a. El análisis recién hecho prueba que se puede usar el mismo valor de 8(e, u). Sin embargo, esta vez el dominio es más pe­ queño y • i {í —eu— : « ¿ a 1 = 7 ea tnf - ---- >^ 0„ . l l + eu J 1 + ea De modo que si se define 8(e) = e a 2/(l + ea), se puede usar este número para todos los puntos U3r a. Para poder ordenar mejor estas ¡deas, el lector deberá revisar los ejemplos 20.5 y determinar en cuáles ejemplos la 8 se eligió para que depén- diera del punto en cuestión y en cuáles se eligió independientemente del punto. Con esta introducción se establece ahora la definición formal. 23.1 DEFINICION. Sea / la función con dominio Dff) en R p y rango en R \ Se dice que / es uniformemente continua en un conjunto A c D ( f ) si para cada e > 0 existe una 8 (e )> 0 tal que si x y u pertenecen a A y px —u|| £ 8(e), entonces |[/(x )-/(u )|| < e. Es claro que s i/ e s uniformemente continua en A entonces es continua en todo punto de A. Sin embargo, en general lo inverso no es válido. Es con­ 186 Introducción al análisis matemático veniente tener en mente qué se entiende a! decir que una función no es unifor­ memente continua. Una vez establecido el siguiente criterio se deja al lector demostrarlo. 23.2 LEMA. Una condición necesaria y suficiente para.que ¡a fu n ­ ción f j t o sea uniformemente continua en A £ D (/) es que existan e0> Oy dos sucesiones X —(x.), Y = (y„) en A tales que si n e N , entonces II*» —y»|| s 1/n y !l/(*.)-/(y»)ll>eo. A manera de ejercicio, el lector deberá aplicar este criterio para de­ mostrar que g (x )= 1 /x no es uniformemente continua en D(g) = {x :x > 0 }. En seguida se ofrece un resultado muy útil que asegura que una función continua de manera automática es uniformemente continua en cualquier con­ junto compacto en su dominio. 23.3. TEOREMA DE CONTINUIDAD UNIFORM E. Sea f u ñ a función continua con dominio D{f) en R* y rango en R*. S i K £ D(f)es com­ pacto. entonces f es uniformemente continua en K. PRIM ERA DEMOSTRACION. Suponga que / no es uniforme­ mente continua en K. Por el lema 23.2, existen e0> O y dos sucesiones(x,) y (y,)en K tales que si n e N , entonces (23.1) llxn-y,!!^ 1/n, ||/(*»)-/(y„)||>£o- Como K es compacto en R", la sucesión X es acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass 16.4, hay una subsucesión (x,<k)) de (x«)que converge a un elemento z. Dado que K es cerrado, el límite z pertenece a K y f es conti­ nua en z. Es claro que la subsucesión correspondiente (y„,k>) de Y también converge a z. Del teorema 20.2fe) se deduce que ambas sucesiones (/(x,(k))) y (/(y»<k))) convergen a JJz). Por lo tanto, cuando k es suficientemente grande, se tiene I!/(*»(m) ~ /(y»(k))|| < fin. Pero esto contradice la segunda relación en (23.1). SEGUNDA DEMOSTRACION. (Una demostración más corta se podría basar en el teorema de cobertura de Lebesgue 11.5; sin embargo, se ha convenido en usar la definición de compacidad) Supóngase que/ es continua en todo punto del conjunto compacto K. Según el teorema 20.2(8), dada £ > 0 y u en K hay un número 8Ge, u ) > 0 tal quex e K y ||x —u ||< 8(íe, u), entonces ||/( x ) - /( u ) ||< |e . Para cada u en K. forme la bola abierta G(u) —{ x e R |,:ljx -u ||< f8 G £ , u)};entonces el conjunto K ciertamente está contenido en la unión de la f a m i li a = {G (u):u eK },ya que para cada punto u en K hay una bola abierta G(u) que lo contiene. Dado que K es compacto, está contenido en la unión de un número finito de conjuntos en la familia % digamos G ( u i),. . . , G ( un). Se define ahora 8(e) = iin f{ 8 (|e, u,) ,. . . , 8(ie,ÚN>K. Fundones continuas 187 y se habrá de probar que 8(e) tiene la propiedad deseada. Suponga que x.u pertenecen a K y que ||x - u|| < 8(e) entonces existe un número natural k con 1 tal que x p erten ece al c o n ju n to G (ut); es d e c ir, ||x - m*||< jS(|e, u*). Dado que 8(e) £ |8 (|e , u*), se deduce que ||u - Util s - x|| + ||x - Ut|| < S(ie, ut). Por lo tanto, se tienen las relaciones l¡/(x)-/(uk)||< íe, ||f(u)-/(u*)||<Í£, de donde ||/(x) —/(u)|| < e. Se ha demostrado que si x.u son dos puntos arbi­ trarios de K para los cuales ||x - u ||< 8(e), entonces |¡/(x )-/(u )||< e . : O E .D . En secciones posteriores se hará uso en muchos casos del concepto de continuidad uniforme, de modo que en este momento no se darán aplicacio­ nes. Sin embargo se introducirá otra propiedad que a menudo es asequible y suficiente para garantizar la continuidad uniforme. IV 23.4 DEFINICION. S i/tie n e dominio D(f) contenido en R p y rango en R", se dice que/satisface una condición de Lipsch’ z t si existe una constan­ te A > 0 tal que (23.2) (23.2) ||/(x)-/(u)H < A || x - u |¡ ^ M " para todos los puntos x. u en D(f). En el caso en que la desigualdad (23.2) sea válida para una constante A < 1 , a la función de la llama una contracción. Es claro que si la relación (23.2) es válida entonces al fijar 8(e) = e/A se puede establecer la continuidad uniforme de / e n D(f). Por lo tanto, s i/sa tis­ face una condición de Lipschitz/ es uniformemente continua. Sin embargo, lo inverso, no se cumple, como se puede ver al considerar la función definida para D (f) = I por medio de f(x) = Vx. Si se cumple (23.2), entonces, fijando u = 0 se debe tener |/(x)| < A |x| para alguna constante A. pero fácilmente se ve que la última desigualdad no se puede satisfacer. Recordando el teorema 21.3 se puede ver que una función lineal con do­ minio R p y rango en R q satisface una condición de Lipschitz. Más aún, en la sección 27 se verá que cualquier función real con derivada acotada también satisface una condición de Lipschitz. Teoremas del punto fijo S i/ es una función con dominio D(f) y rango en el mismo espacio R p, en­ tonces se dice que un punto u en D(f) es un punto fijo de / siempre que tR U D O LPH LIPSCHITZ (1832-1903) fue profesor en Bonn. Hizo aportaciones en álgebra, teoría de números, geometría diferencial y análisis. 188 Introducción al análisis matemático f(u) = u. Muchos resultados importantes se pueden demostrar con base en la existencia de puntos fijos de funciones, de modo que resulta importante tener cierto criterio positivo én este sentido. El primer teorema que se da es de índole elemental; sin embargo, a menudo es útil y tiene la importante ventaja de que proporciona una construcción para el punto fijo. Para simplificar, pri­ mero se dará el resultado para el caso en que el dominio de la función es todo el espacio. 23.5 TEOREMA DEL PUNTO FIJO PARA CONTRACCIONES Sea f una contracción con dominio R p y rango contenido en R p. Entonces, f tiene un punto fijo único. DEMOSTRACION. Se está suponiendo que existe una constante C c o n O < C < l t a l que ||f(x )-/(y )||ss C j|x —yfl para todas x. y e n R p. Seaxi un punto arbitrario en R r y fije x2= /(x 0 ; inductivamente, fije. (23.3) Xm+i ~ /(x«), neN . t Se habrá de probar que la sucesión (x,) converge a un punto fijo único de/ y se calculará la rapidez de la convergencia. Para hacer esto, observe que ||x3- X2II= ||f(x2) - /(Xi)(j <; C ||x2- Xi|, e, inductivamente, que (23.4) ||x.+, - x.|¡ = ||/(x .) -/( x » -,) ||s C |x « - x . - , |<; C*- ’ |jjc2- x,|. Si m S: n, el uso repetido de (23.4) de B x » -x .|is |lx .-x « -,||+ ||x m- , - x « - 2!| + - • • + flx»+l-X,|] =s {C—2+ C " '3+ • • • ■+C •-*} ||x2- x i||. Por lo que se deduce que, para m s n, (23.5) f lx « - x » j |s ^ r^ ||x 2- x 1fl. Puesto que 0 < C < 1, la sucesión (C"-1) converge a cero. Por lo tanto,(x,,)es una sucesión de Cauchy. Si u = lim (xn), de (23.3) es claro que u es un punto fijo de / . De (23.5) y el lema 15.8 se obtiene el cálculo (23.6) i u ~ x-ll ^ Y - C I*2—X‘H para la rapidez de la convergencia. Por último, se demuestra que sólo hay un punto fijo para/ . De hecho, si u, v son dos puntos fijos, distintos, de / , entonces 11“ “ »l * llf(“ ) -/(«)B ^ C 11“ ~ ®ll- Funciones continuas 189 Puesto que u?41>, entonces ¡|u -v ||? í 0, por lo que esta relación implica que 1 s C , contrario a la hipótesis de que C < 1. q .e .d . Note que lo que realmenre se ha hecho es demostrar el siguiente resultado. 23.6 COROLARIO S i f es una contracción con C < 1, constantesi x t es un punto arbitrario en R p, y si ¡a sucesión X = (x«) está definida por Ia ecuación (23.3), entonces X converge al punto fijo único u de f con la rapidez calculada en (23.6). Para el caso en que la función/'no este definida en todo R r, se deberá te­ ner más cuidado para asegurar que la definición iterativa (23.3) de la sucesión se puede llevar a cabo y que los puntos permanezcan en el dominio de / Aun cuando son posibles otras formulaciones, habrá que conformarse con la si­ guiente. . 23.7 TEOREMA. Suponga que f es una contracción con C constante definida para D(f) = {x e R r :||x|| s B } ^ que Uf(0)|| s B ( l - C). Entonces la sucesión u Xi = 0 ,X 2 = f ( X l ) , . . . , X n + , = f ( X n ) , . . . converge al punto fijo único de f que se encuentra en el conjunto D(J). D E M O ST R A C IO N . En efecto, si x e D - D ( f ) , entonces ||/ ( x ) - / ( 0 ) ||s C ||x - 0|| s CB, por lo que se deduce que Bf(x)|| < |l/(0)|i+ C B s { 1 - C)B + CB = B. Por lo tanto, f(D) s D. De modo que la sucesión (x.) se puede definir y per­ manece en D y la demostración anterior es aplicable. q .e . d . El teorema de contracción que se acaba de establecer tiene ciertas venta­ jas: es constructivo, el error de aproximación se puede calcular y garantiza un punto fijo único. Sin embargo, tiene la desventaja de que el requisito de que/ sea una contracción es una restricción muy severa. Un hecho importane y profundo demostrado por primera vez en 1910 por L.E.J. Brouwer.t es que cualquier función continua con dominio D = {x e R v : j|x|| s B} y rango con­ tenido en D debe tener cuando menos un punto fijo. 23.8 TEOREMA DEL PUNTO FIJO DE BROWER. Sea B > 0 y sea D = { x e R r :||x|] ¡s B}. Entonces cualquier función continua con dominio D y rango contenido en D tiene cuando menos un punto fijo. La demostración de este resultado para p = 1 se dará como ejercicio. Para el caso p > 1, no obstante, la demostración se alejaría mucho del tema. tL . E. J. BROUWER (1881-1966) fue profesor en Amslerdam y decano de la escuela holandesa de matemáticas. Además de sus aportaciones a la topología, se le conoce por su trabajo en los fundamentos de las matemáticas. 190 Introducción al análisis matemático P a ra u n a d e m o stra c ió n b a s a d a só lo en c o n c ep to s elem e n ta les, véase D u n fo rd -S c h w a rt/, p ágs. 467-470. P a ra un in fo rm e m á s siste m a tiz a d o d e p u n to fijo y te o re m a s re la c io n a d o s, co n su lte el lib ro d e L ifschitz. Ejercicios , . 23. A. A nalizar cada una de las funciones del ejemplo 20.5 y probar que la función es uniformemente continua en su dominio o bien que no lo es. 23.B. Dar una demostración del teorema Je continuidad uniforme 23.3 usando el teoremic-d«. cobertura de Lebesgue 11.5. C 23.C/SÍ B está acotado en R ' y f: B —* R* es uniformemente continua, de- m o s tn f q u e /e s tá acotada en B. D em ostrar que esta conclusión no es válida si B no es acotado en R r. 23.D. D em ostrar que las funciones definidas para x e R por medio de /(*) = :1 + x ” g ( x )= s in x , son,afrifórmemenle continuas en R. ' J , 23.E. D em ostrar que las funciones definidas para D = {x 6 R :x a 0}, por medio h (x ) = x, k(x) = e ‘‘, son'tíhjfbTrnemente continuas en D. f 23.FADcmostrar que las siguientes funciones no son uniformemente continuas en suv d o n tmios. - ^ 7 (a) / ( x ) = l / x l, D (/) = (x e K : x > 0}, (b) g(x) = tan x, D (g ) = { x e R : 0 < x < ir/2 } , ' (c) h(x) = e \ D (h ) = R. (d) k(x) = s in ( l/x ) , D (k ) = { x e R : x > 0 } . 23.G. U na función g :R R ' es periódica si existe un número p > 0 tal que g(x + p) = g(x) para toda x e R . Demostrar que una función periódica continua es aco­ lada y uniformemente continua en R. 23.H. D e f í n a s e / d e D c R 'a R*, y suponga q u e /e s uniformemente continua en D. Si (x.)es una sucesión de Cauchy en D. dem ostrar que (/(x.)) es una sucesión de Cauchy en R \ 23.1. Suponga que / : ( 0 , 1 )—» R es uniformemente continua en (0,1). Demostrar q u e /s e puede definir en x = 0 y x = 1 de tal m anera que se vuelve continua en [0, 1], 23.J. Sea D = {x e R r : Ux|¡< 1}. D em ostrar que / : D —►R" se puede extender a una función continua de D , = {x e R ' :||x|| £ 1} a R* si y sólo s i / e s uniformemente continua en D. 23.K ^|S i/y g son uniformemente continuas de R a /?, dem ostrar q ue# es unifor­ memente continua en R, p e ro /? no necesariamente es uniformemente continua en R aun guando alguna de las d o s , / o g, esté acotada. \_23.LySi f: I —* I es continua, demostrar que/tiene en punto fijo en /. 'SugcrcH- «/fl^orisWcrar g(x) = /(x)-x.) V 2 3 .M /D a r un ejemplo de una función / : R" —» R ' tal que |l/( x ) - /( u ) || < ]¡x —u|| para todas x, u e R " que no tenga un punto fijo, (¿por qué no contradice esto al teo­ rema 23.5?) v Funciones continuas 191 23 .H y S ean / y g fu n cio n es c o n tin u a s [a, b] ta le s que el ran g o R ( / ) c R ( g ) = [ 0 , 1]. D emostrar que existe un punto c e [a, b] tal que /(c ) = g(c). Proyecto 23. a . Este proyecto introduce el concepto de la “ oscilación” de una función en un conjunto y en un punto. Sea í = [a, b] c R y sea f : I —* R acotada. Si A s i se de­ fine la oscilación d e / e n A com o el número '• ílf(A)»=sup{/(x)-/(y):x7yeA}. (a) Demostrar que 0 s f l , ( A ) < 2 s u p { |/( x )|:x e A } . Si A s B c J , entonces n ,( A ) < n ,(B ). (b) Si c e l , la oscilación de f en c se define por medio del número cü,(c) = infíl,(N.) en donde N , = { x e í: |x - X o |< 8 } dem ostrar que tdfíc) = ümfl,(N,). Además, si <o,(c)<a, entonces existe 8 > 0 tal que íl1( N ,)< a . (c) Demostrar que / e s continua en C € l si y sólo si to,(.c) = 0. (di Si a > 0 y si o ),(x )< a para toda x e l , entonces existe 6 > 0 tal que su diám etro d (A ) = s u p { |x - y |: x , y e A} es menor que 8, entonces í l , ( A ) < a . (el Si a > 0 , entonces el conjunto D . = {i e l :w,(x) s a} es un conjunto cerrado en R. Demostrar que D = U D. = U D1M «X> es el conjunto de puntos en d o n d e /e s discontinua. De donde el conjunto de puntos de discontinuidad de una función es la unión de una familia contable de conjuntos cerra­ dos. (Dicho conjunto recibe el nombre de conjunto F„.) Ifl Ampliar estas definiciones y resultados para una función definida en una celda cerrada en R '. Sección 24 Sucesiones de funciones continuas En muchas ocasiones es necesario considerar una sucesión de funciones continuas. En esta sección se dan varios teoremas interesantes e importantes acerca de dichas sucesiones. El teorema 24.1 es un resultado clave que se usará a menudo en lo sucesivo. Los demás teoremas no se usarán con frecuen­ cia; sin embargo, el lector deberá, cuando menos, familiarizarse con los enun­ ciados. En esta sección se deberá aclarar la importancia de la convergencia uni­ forme. Recuerde que una sucesión (/«) de funciones en un subconjunto D de 192 Introducción al análisis matemático R r a R q se dice que converge uniformemente en D a / si para toda e > 0 existe una N (e) tal que si rt a N (e) y x e D , entonces |[/»(x)—/( jc) ||< e. De nuevo, por el teorema 17.9, esto es válido si y sólo si j|/n - /]|D -» 0, cuando (/«) es una sucesión acotada. Intercambio de límite y continuidad Observe que el límite de una sucesión de funciones continuas puede no ser continuo. Es muy fácil ver esto; para n e N , y x e I, /,(x) = x*. En el ejemplo I7.2(b) se vio que la sucesión (/«)converge en / a la función/definida por /(x) = 0, O sK l, = 1, x —1. Por lo que, a pesar de la índole tan sencilla de las funciones continuas la función límite no es continua en el punto x = 1. Aun cuando la extensión de la discontinuidad de la función límite en el ejemplo recién dado no es muy grande, es evidente que se pueden construir ejemplos más complicados en los que se obtenga una discontinuidad más ex­ tensa. Sería interesante investigar qué tan discontinuo puede ser el límite de una sucesión de funciones continuas; sin embargo, esta investigación se saldría mucho del campo. Más aún, para la mayoría de las aplicaciones es más importante encontrar condiciones adicionales que garanticen que la fun­ ción límite es continua. En seguida se probará el hecho de que la convergencia uniforme de una sucesión de funciones continuas es suficiente para garantizar la continuidad de la función límite. 24.1 TEOREMA. Sea F = (/„) una sucesión de funciones continuas con dominio D en R r y rango en R* tal que converge uniformemente en D a la función f. Entonces f es continua en D. DEMOSTRACION. Como (/«) converge uniformemente en D a / , dada e > 0 existe un número natural N = N (e/3) tal que |[/n ( x ) - / ( x ) | | < c/3 para toda x en D. Para probar que/ es continua en un punto a en D, observe que (24.1) H/(x) —/(a)|| ¡s ||/( x) - / n(x)||+11/n (x) —/w(a)|| + ll^(a)-/(a)H s e / 3 + ||M x ) - / N(a)H+e/3. Dado que fN es continua, existe un número 8 = 8(e/3, a, / n ) > 0 tal que si ||x - ,a ||< S y xeD ,entonces ||/N( x ) - / N(a)||< e /3 . (Véase la figura 24.1.) Por lo tanto, para tal x se tiene ||/(x )-/(a )||< E . Esto prueba la continuidad de la función / en un punto arbitrario a en D. q .e . d . Funciones continuas 193 Se hace la aclaración de que aun cuando la convergencia uniforme de la sucesión de funciones continuas es suficiente para la continuidad de la función límite, no es necesaria. De modo que (/,)es una sucesión de funciones conti­ nuas que converge a una función continua/ . no se deduce que la convergencia sea uniforme (véase el ejercicio 24.A). Como se vio en el teorema 17.9, la convergencia uniforme en un con­ junto D de una sucesión de funciones está implícito por la convergencia en la norma uniforme en D. Por lo tanto, el teorema 24.1 se formula de la siguiente manera. 24.2 TEOREMA. Si (/..) es una sucesión de funciones en BC ^(D) tal que ||/« - /|| d -► 0, entonces f e B C ^ ( D ) . • • Teoremas de aproximación En muchas aplicaciones es conveniente “ aproximar” funciones conti­ nuas por medio de funciones de naturaleza elemental. A pesar de que existen varias definiciones razonables que se pueden emplear para hacer más precisa la palabra “ aproximar” , una de las más naturales, así como importante, es la que exige que en todo punto del dominio dado la función de aproximación no debe diferir de la función dada en más del error prefijado. A este juicio algu­ nas veces se le conoce como “ aproximación uniforme” y está íntimamente li­ gado a la convergencia uniforme. Suponiendo q u e /e s una función dada con dominio D = D(f). contenido en R p y con rango en R \ se dice que una fun­ ción g aproxima a / uniformemente en D en e > 0 , si lk (* )-/(x )||s s e para toda x e D ; o de modo equivalente si ||.e~ /||D = sup {||.e(x) - f(x)||: x € D} £ e. 194 Introducción a l análisis matemático Se ha usado en este caso la norma que se introdujo en la ecuación (17.S). Se dice que la función/se puede aproximar uniformemente en D por funciones en una clase 'S si para cada número e > 0 hay una función g, en tal que 0& “ /!*>< e ; o, lo que es lo mismo, si existe una sucesión de funciones en *3 que converge uniformemente en D a / 24.3 DEFINICION. A una función g con dominio R r y rango en R* se le llama una fonema escalonada si toma únicamente un número finito de valores distintos en tomándose cada valor distinto de cero en un intervalo en R r. Por ejemplo, si p = q = entonces la función g definida explícitamente por g(x) = 0, x ss-2 , = 1, - 2 < x s 0, = 3, 0 < x < 1, =*=—5, 1 s x s 3, = 0, x>3. es una función escalonada. En seguida se demuestra que una función continua cuyo dominio es una celda compacta se puede aproximar uniformemente por medio de funciones escalonadas. 24.4 TEOREMA. Sea f u ñ a función continua cuyo dominio D es una celda compacta en R r y cuyos valores pertenecen a R*. Entonces f se puede aproximar uniformemente en D por medio de funciones escalonadas. DEMOSTRACION. Sea e > 0 dada; como f e s uniformemente conti­ nua (teorema 23.3), existe un número 5( e ) > 0 tal que si x. y pertenecen a |x —y | < 5 ( e ), entonces |/( x ) —/(y )||< e . Divida el dominio D d e f e n celdas ajenas I t, . . . . L tales que si x. y pertenecen a Ik, entonces |x —y ||< 5 (e ). (¿cómo?) Sea x* cualquier punto perteneciente a la celda h, k = l , . . . , « y defínanse g.(.x)=f(xk) para x e t y g.(x) = 0 para x d D . Es claro entonces q u e |g .(x )—/ ( x ) |< c para x e D d e tal manera queg. aproxima a/uniform e­ mente en D en no más de e. (figura 24.2.) q .e . d . Es natural suponer que una función continua se puede aproximar unifor­ memente por funciones simples que también sean continuas (las funciones es­ calonadas no lo son). Para hacerlo más sencillo, el siguiente resultado se dará sólo para el caso en que p = q = 1 aunque es evidente que hay una generaliza­ ción para dimensiones más altas. Se dice que una función g definida en una celda compacta J = [a, b] de R con valores en R es lineal por partes si hay un número finito de puntos ck Funciones continuas 195 con a = Co<Ci<-c2< - *- < c . = b y números reales correspondientes Ak, Bk, k = 0 , 1 , . . . , n, tales que cuando x satisface la relación Ck-i<x <Ck, la función g es de la forma jf(x) = AkX + B», k = 0 ,l,...,n . Si g es continua en J, las constantes A*, I k deben satisfacer, desde luego, ciertas relaciones. 24.5 TEOREMA. Sea / una función continua cuyo dominio es una celda compacta J en R. Entonces/ se puede aproximar uniformemente en J por medio de funciones continuas lineales por partes. DEMOSTRACION. Como en el caso anterior, / es uniformemente continua en el conjunto compacto J. Por lo tanto, dada e > 0 , se divide J = [ a ,b ] e n celdas agregando puntos intermedios Ck, k = 0 , 1 , . . . , n, con a = c0< c s< c 2< — < c . = b de tal manera que —Ck-i<S(e). Una los puntos (Ck, /(ck)) mediante segmentos de línea y defina la función continua li­ neal por partes g que resulta. Es claro que g, aproxima a/uniform em ente en J en no más de e. O.E.D. Aproximación por polinomios Se demostrará ahora un resultado más profundo, útil e interesante que se refiere a la aproximación por polinomios. Primero se demuestra el teorema de aproximación de Weierstrass para p —q = l , usando los polinomios de S. Bernstein í 24.6 DEFINICION. Sea/ una función con dom inioI = [0,1] y rango en R. El enésimo polinomio de Bernstein para / se define como (24.2) tS I£R G E N . B ER N STEIN (1880-1968) hizo grandes aportaciones al análisis, a la teoría de aproximación y a la probabilidad. Nació en Odessa y fue profesor en Leningrado y en Moscú. 196 Introducción al análisis matemático (24.2) B„(x) = B „(x;/) = k¿ / ( £ ) ( £ ) x k<l ■ - x y ~ k. Estos polinomios de Bernstein no son tan complicados como parecen serlo a primera vista. El lector que tenga cierta experiencia en probabilidad pourá ver que detrás de esto está el binomio de distribución. Aun sin este tipo de experiencia, el lector deberá observar que el valor B„(x;/) del polinomio en el punto x se calcula a partir de los valores /(O), /(1/n), /(2/n),. .. ,/(l), con ciertos valores de peso no negativos <pk(x)= ^” ^x‘( l- x ) " 'k que se po­ drán ver muy pequeños para aquellos valores de k para los cuales k/n está le­ jos d e x De hecho, la función <f\ es no negativa en I y toma su valor máximo en el punto k/n. Más aún, como se verá en seguida, la suma de todas las (Pk(x), k = 0, 1, . . . , n, es 1 para cada x en /. Recuerde que el teorema del binomio asegura que (24.3) (24.3) ,j+ en donde denota al coeficiente binomio! \kj — ni__ k !(n -k )l Directamente se puede observar que (n- I V (n -1 )! u k(n\ (24.4) \k -1/ (k -l)l(n-k)! n\k/’ ( n .-2 \ ( n —2)! k ( k - l) /n \ (24.5) \fc —2 / ( k —2 ) ! ( n - k ) ! n (n -l)\k /‘ Ahora, sean s = x y í = l - x e n (24.3) para obtener (24.6) Escribiendo (24.6) con n reemplazada por n - 1 y k por j, se tiene Multiplicar esta última relación p orx y aplicar la igualdad (24:4) para obte­ ner Ahora sea k = j + 1, entonces Funciones continuas 197 Observe también que e! término correspondiente a k = 0 se puede incluir, que es cero. Por lo tanto, se tiene (24-7) Un cálculo análogo basado en (24.6) con n reemplazada por n - 2 y la igual­ dad (24.5) prueba que (n 2—n )x 2= t (k 2- k ) ( £ ) x k( l - x ) - 1k. ■ .• .. v v Por lo tanto, se concluye que ( 24 . 8, + Multiplicando (24.6) por x2, (24.7) por —2x, y sumándolas a (24.8) se obtiene (24.9) (l/ n )x ( l - x ) = t (x - k/n)2( ¡ j ) x k( l - x )“- \ que es un cálculo que se necesitará más adelante. Examinando la definición 24.6, la fórmula (24.6) dice que el enésimo po­ linomio de Bernstein para la función constante /o(x)= 1 coincide con /o. La fórmula (24.7) dice lo mismo para la función fi(x) = x. La fórmula (24.8) ase­ gura que el enésimo polinomio de Bernstein para la función /j(x) = x2 es B » (x ;/*) = (1 - l/ n )x 2+ (l/n )x , que converge uniformemente en / a / 2. En seguida se demostrará que S i/e s cualquier función continua de / a R entonces la sucesión de polinomios de Bernstein tiene la propiedad de que converge uniformemente en / a / Esto nos dará una demostración constructiva del teorema de aproximación de Weierstrass. En el desarrollo de esta demostración será necesaria la fórmula (24 9). í» 24.7 TEOREMA DE APROXIMACION DE BERNSTEIN. Sea f continua en I con valores en R. Entonces la sucesión de polinomios de Bernstein para f definida en la ecuación (24.2) converge uniformemente en l a f • - • ' • DEMOSTRACION. Al multiplicar la fórmula (24.6) p o r f x ) se ob­ tiene 198 Introducción al análisis matemático Por lo tanto, se obtiene la relación f ( x ) - B . ( x ) = ¿ o í/(x) - f ( k /n ) } ( " ) x k(l - x ) - k de donde se deduce que (24.10) |/(x) —B»(x)| s t |/(x)-/(fc/n)J (¡j)x k( l - x ) - \ / está acotada, digamos que por M. y también es uniformemente continua. Observe que si A: es tal que k/n está cerca de x entonces el término correspon­ diente en la suma (24.10) es pequeño por la continuidad de / en x; por otro lado, si k/n está lejos dex. el factor en relación con /só lo se puede decir que es menor que 2M y cualquier pequenez debe surgir de los otros factores. Por lo_ tanto, el camino a seguir es dividir (24.10) en dos partes: aquellos valores de k en donde x —kjn es pequeño y aquellos en los que x —kjn es grande. Sea e > 0 y sea 8(e) como en la definición de continuidad uniforme de/. Resulta conveniente elegir n de tal magnitud que (24.11) n Ü sup {(8( e ))~\ M / e 2}, y partir (24.10) en dos sumas. La suma tomada sobre aquellas A: para las cua les |x —k / n |< n -,/4< 8(e) da ? * « j , ( k ) I ‘<1“ , ) " ‘ * *• La suma tomada sobre aquellas k para las cuales |x - k/n| a n~t/4, es decir (x - klm)1a n~,/2,se puede calcular usando la fórmula (24.9). Para esta parte de la suma en (24.10) se obtiene la cota superior ya que x (l - x) < í en el intervalo /. Recordando la resolución (24.11) para n, se concluye que cada una de estas dos partes de (24.10) está acotada por arriba por e. Por lo tanto, para alguna n elegida en (24.11) se tiene |/(x) —S«(x)| < 2e, independientemente del valor de x. Esto prueba que la sucesión (B.) converge uniformemente en / a / q .e .b . Funciones continuas 199 Como corolario directo del teorema de Bemstein se tiene e! siguiente re­ sultado importante. 24.8 TEOREMA DE APROXIMACION DE W EIERSTRASS. Sea f u ñ a función continua en un intervalo compacto de R y con valores en R. Entonces f se puede aproximar uniformemente por polinomios. DEMOSTRACION. Si/ está definida en [a, b],entonces la función g definida en I =10,1] por medio de £(t) = f ((b - a )r + a ), tel, es continua. Por lo tanto, g se puede aproximar uniformemente por polino­ mios de Bernstein y un simple cambio de variable da una aproximación poli- nomial de f. qjex >. Se decidió repasar los detalles de la demostración del teorema de Bernstein 24.7 porque proporciona un método constructivo para encontrar una sucesión de polinomios que converja uniformemente en / a la función continua dada. Además, el método de la demostración del teorema 24.6 es típico de muchos argumentos analíticos y es importante desarrollar un enten­ dimiento de dichos argumentos. Por último, aun cuando en la sección 26 se establecerán resultados más generales de aproximación, para poder hacerlo es necesario saber que la función valor absoluto se puede aproximar unifor­ memente en un intervalo compacto por polinomios. Aun cuando seria posible -probar este caso especial en forma directa, la demostración no es tan sencilla. Para un análisis más completo de aproximación el lector podrá dirigirse al li­ bro de E. Chcney que aparece en la lista de libros de consulta. Ejercicios ' 24. A. Dar un ejemplo de una sucesión de (unciones continuas que converja a una fondón continua pero en donde la convergencia no sea uniforme. ' 24. B. Dar un ejemplo de una sucesión de fundones discontinuas en todas partes que converja uniformemente a una función continua. 24.C. Dar un ejemplo de una sucesión de funciones continuas que converja, en un conjunto compacto, a una función que tenga un número infinito de discontinuida­ des. 24.D. Sea (f„) una sucesión de funciones continuas d e D c g ' a ü ’ tal que (/.) converge uniformemente a / e n D y sea (x.) una sucesión de elementos en D que con­ verge a x 6 D. ¿Se deduce que (/.(x .)) converge a flx)? 24. E. Considere tas sucesiones (/.) definidas en D = { x c R : x 2 Ó} a R por me­ dio de las siguientes fórmulas: xm (a) n 9 (c) n + x" ’ X*■ (d) (e) 1+XX„ , (O n 1 + x*’ 200 Introducción al análisis matemático Analizar la convergencia y la convergencia uniforme de estas sucesiones y la continui­ dad de las funciones límite. En caso de que no haya convergencia uniforme en D. considere los intervalos apropiados en D. > '• * Í M . Sea ( /J u n a sucesión d e D c R ' a R ' que converge en D a /. Suponga que cada /» es cdntinua en c y que la sucesión converge uniformemente en alguna vecindad de c. D em ostrar que / es continua en c. • - > 24.G. Sea (/„) una sucesión de funciones continuas de D c R ' a R monótonamente decreciente en el sentido de que si * e D, entonces f,(.x) a /,(* ) & • • • a /„(x) ss 2; • • * Si lim(/„(c)) = Opara alguna c e D y e > 9 dem ostrar que existen m € JVy una vecindad U de c tales que si n a m y x e U D D , entonces / .( x ) < e. • ~ -> 2 4 .H . Usar el ejercicio anterior para dem ostrar el siguiente resultado de U. D ini.tS i ( / J e s una sucesión monótona de funciones continuas que converge en cada punto de un conjunto com pacto K en R r a una función / continua en K. entonces la convergencia es uniforme en K. 24!1. Demostrar, por medio de ejemplos, que el teorema de Dini no es válido si se omite cualquiera de las hipótesis: que K es com pacto o que / es continua. « —> 2 4 ,J . Demostrar el siguiente teorem a de G. P ólya.í Si para cada n e N la función /» de / a R es monótonamente creciente y si /(x ) = lim (/.(x )) es continua en / entonces la convergencia es uniforme en I. (Observe que no se está suponiendo que /„ sea conti­ nua.) • • • ' _ > • Sea (/«) una sucesión de funciones continuas de D c R ' a R ' y sea f(x) = lim (/„(x)) para x 6 D. Demostrar que fes continua en un punto c e D si y sólo si para cada e > 0 existen m e N y una vecindad U de c tales que si x e D O U, entonces If-W r/(x)M <e.' • , ‘ : • - p 24^t. Suponga que f : R -* R es uniformemente continua en R y para n e N, sea /.(* ) = /(* + 1ln) para x e R . D em ostrar que (/«) converge uniformemente en R a / t 24.M. Si / 2(x) = x 2para x e I, ¿qué tan grande debe ser n para que el enésimo po­ linomio de Bernstein B„ para f 2 satisfaga |/,( x ) - B .( x ) | s 1/1000 para toda x € Í ? 24.N. S i/j(x ) = x* para x e l , calcular el enésimo polinomio de Bernstein para f3. D emostrar directam ente que esta sucesión de polinomios converge uniformemente a f, en I. .............. 24.0. Diferenciar la ecuación (24.3) una vez con respecto a j y sustitui í = x,.t== 1 - x p a r a dar otra variación de la ecuación (24.7). 24.P. Diferenciar la ecuación (24.3) dos veces con respecto a s para dar otra va­ riación de la ecuación (24.8). • , , 24.Q. (al Sea J un intervalo com pacto en R y sean a e R , c e J . Dibujar una gráfica de la función R definida por medio de <p(x) = a + K |* - c | + x + c ) ., ibI Demostrar que toda función continua lineal por partes se puede escribir como la suma de un número finito de fu n c io n e s^ ,. . . , <p„de la forma dada en la parte la). (c) Suponiendo que en cualquier intervalo com pacto la función valor absoluto A (x ) = |xj es el límite uniforme de una sucesión de polinomios en x. usar la observa- ■fULISSE DINI (1845-1918) estudió y ejerció el magisterio en Pisa. Trabajó en geometría y en análisis, básicamente en series de Eourier. ÍGF.ORGE POLYA (1887- ) nació en Budapest y ejerció el magisterio en Zurich y Stanford. Es muy conocido por sus trabajos en análisis complejo, probabilidad, teoría de números y en la teoría de la inferencia. Funciones continuas 201 ción de la parte (b) para dar una demostración del teorem a de aproximación de Weierstrass. (El método de esta demostración se debe a Lebesguc.) — 24. R. Demostrar que la función x >-* e' en R no es el límite uniforme en R de una sucesión de polinomios. De donde, el teorema de aproxim ación de W eierstrass puede no ser válido para intervalos infinitos. 24.S. Demostrar que el teorema de aproximación de W eierstrass no es válido para intervalos abiertos acotados. Sección 25 Límites de funciones A pesar de que no es posible dar una definición precisa, por lo general se entiende que el “ anáiuis matemático” es la parte de las matemáticas en que se hace uso sistemático de varios conceptos de límite. Si esta afirmación es ra­ zonablemente aceptable, podrá pareccrle extraño al lector que se haya espe­ rado tanto tiempo para introducir una sección que trate de límites. Existen varias razones por las que se ha hecho esto; la principal es que el análisis ele­ mental trata varios tipos distintos de operaciones de límites. Se ha analizado ya la convergencia de sucesiones y los límites implícitos en el estudio de conti­ nuidad. En los siguientes capítulos se verán las operaciones de límites relacio­ nadas con la derivada y la integral. Aun cuando todos estos conceptos de límite son casos especiales de otro más general, el concepto general es de ca­ rácter más bien abstracto. Por este,motivo, es preferible introducir y analizar los conceptos por separado y no desarrollar primero la idea general de límite y después especificar. Una vez bien entendidos los casos especiales no es di­ fícil comprender el concepto abstractó. Para una excelente explicación de este límite abstracto, véase el artículo de E. J. McShane qut aparece en la lista de libros de consulta. * ' .................... • En esta sección nos ocuparemos del límite de una función en un punto y de algunas ligeras .variaciones del mismo tema. Por lo general, este tema se estudia antes de continuidad; de hecho, la misma definición de una función continua en, ocasiones se expresa en términos de este límite en vez de usar la definición que se dio en la sección 20. Una de las razones por las que se eligió estudiar por separado continuidad de límite es que se habrán de introducir dos definiciones ligeramente distintas del límite de una función en un punto. Debido a que las dos definiciones se usan bastante, se ofrecerán ambas tra­ tando de relacionarlas entre sí. A menos que se especifique lo contrario,/será una función con dominio D. contenido en R v y con valores en R" y se habrá de considerar al límite de/ en un punto de acumulación c de D. Por lo tanto, toda vecindad de c contiene una. infinidad de puntos de D. ■■■ • • i■ ■ ' ■. • ¿i" . •• 25.1 DEFINICION, (i) Se dice que un elemento b de R ' es el límite supreso de/ e n c si para toda vecindad V de b hay una vecindad U de c tal que 202 Introducción a/ análisis matemático si x pertenece a U f í D y x * c , entonces flx) pertenece a V. En este caso se escribe (25.1) b=lim f ó b = Iim/(jt). (¡i) Se dice que un elemento b de K* es el límite no supreso d e /e n c si para toda vecindad V de b hay una vecindad U de c tal que si x pertenece a U H D, entonces Jfx) pertenece a V. En este caso se escribe (25.2) b = L im / ó b = Lim /(x). c i-*c Observe que la diferencia entre estos dos conceptos se centra en el hecho de que el v a lo r/cl. cuando existe, se tome en cuenta o no. Observe también la diferencia, un tanto sutil, de la notación que se ha introducido en las ecuacio­ nes (25.1) y (25.2). Note que la mayoría de los autores utilizan sólo una de es­ tas notaciones, en cuyo caso se refieren a ella simplemente como “el limite” y por lo general es la notación (25.1) la que usan. Debido a^jue el límite supreso es el más común se decidió conservar el simbolismo tradicional al referirse a él. La unicidad de cualquiera de los límites, cuando existe, se plantea con facilidad. Será suficiente la siguiente afirmación. 25.2 LEMA, {al S i cualquiera de los límites lim* f y U n ^ .f existe en­ tonces está determinado de manera única. (él S i el límite no supreso existe, entonces el límite supreso existe y tím / = Lim f. (el S i c no pertenece al dominio D de f . entonces el límite supreso existe si y sólo si el límite no supreso existe. La parte f*) del lema recién planteado prueba que el concepto de límite no supreso es, en cierto modo, más restrictivo que el de limite supreso. La parte (c) prueba que los dos límites pueden ser distintos sólo en el caso en .que c pertenezca a D. Para dar un ejemplo en que estos dos conceptos difieran, considere la función / de R a R definida por /(x ) = 0, x*D, (25.3) = 1. x = 0. Si c = 0, entonces existe d límite supreso d e /e n c = 0 y es igual a 1). mientras que el limite no supreso no existe. Se establecerán ahora algunas condiciones necesarias y suficientes para la existencia de los límites, dejando las demostraciones paca el lector. Se de­ berá observar que en 1a parte (c) de imbos rcsultadosd limite se refiere al límite de una sucesión que se vio en la sección I4. Funciones continuas 203 25.3 TEOREMA. Las siguientes afirmaciones, relacionadas al límite supreso, son equivalentes. (al El límite supreso b = lime f existe. (b) S i e > 0, existe a 8 > 0 t a l que si x e D y 0 < ||x - c[| < S, entonces ||/(x )-b ||< E . (c) Si(Xn)es cualquier sucesión en D falque X n ¿ c y c = lim (x.), entonces b —lim (/(x„)). 25.4 TEOREMA. Las siguientes afirmaciones, referentes a! límite no supreso. son equivalentes. (a) El límite no supreso b = Lim* f existe. (bl S i e > 0 , existe 8 > 0 tal que si x e D y ¡|x —c ||< 8, entonces ll/(x)-bfl<E . (c) S i (x»)r.v cualquier sucesión en D tal quec —lim (x^)entonces se tiene b = lim(/(x«))- El siguiente resultado da una relación instructiva entre los dos limites y la continuidad de / en c. 25.5. TEOREMA. S i c es un puntode acumulación que pertenece al dominio D de f . entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes. (a) La función f e s continua en c. (b) € I límite supreso lintel existe y es igual a fie). (c) El límite no supreso Lim* f existe DEMOSTRACION. Si {a) es válido y V es una vecindad de fie). entonces existe una vecindad U d e r tal que si x pertenece a Lí HD,entonces fix l pertenece a V. Es claro que esto implica que L im /existe en r y es igual a fie). 'Análogamente, fix ) pertenece a V para toda x ^ c para la cual x e U O D, en cuyo caso lim /ex iste y es igual a fie ). A la inversa, es fácil ver que las afirmaciones (b) y (c) implican (a). q .e .d . S i /y g son dos funciones que tienen limite supreso (respectivamente, no supreso) en un punte de acumulación c de D{f+ g) = D {f)fl D(g), entonces la suma g tiene límite supreso (respectivamente, no supreso) en c y lim (/+ .?) = lim f +fim ir, ^respectivamente, Lim (/+ ,?) = L im /+ Lim g^. Resultados análogos son válidos para otras combinaciones algebraicas de funciones, como se puede ver fácilmente. El siguiente resultado, referente a la composición de dos funciones, es ligeramente más profundo y es un caso en que el Ijmke no supreso es más sencillo que el limite supreso. 204 Introducción al análisis matemático 25.6 TEOREMA. Suponga q u e f tiene domimio D(f) en R ry rango en R" y que g tiene dominio D(g) en R q y rango en R r. S e a g ° f una composición de g y f y tea c un punto de acumulación de D{g'°f). •;? (a) Si ambos límites supresos b = limc/> ’ a = lirmb g existen y s ig es con* tinua en b o bien f(x) # b para x en una vecindad de? c. entonces el límite su* preso de g ° f existe en c y a - lime g°f. !f¡¡ Ib) S i ambos límites no supresos b = Limcf y a = Lm ^gexisten entonces el limite no supreso de g ° f existe en c y a = Lim g °f. ' . ;T a DEMOSTRACION, (a) Sea W una vecindad de a en R r; dado que a = lim g en b. hay una vecindad V de b tal que si y pertenece a V fl D(g) y bentonces g(y) e W. Como 6 = lim /en c. hay unai vecindad U de c tal que si x pertenece a U t l D ( f ) y x ^ c,entonces f ( x ) e V.Poir lo tanto, si x pertenece al conjunto, posiblemente más pequeño, U H D(g °f), y x&c, entonces f ( x ) e V n D ( X ) . Si / ( x ) # 6 en alguna vecindad OJ, de c. se deduce que p a r a x ^ c en ( 1/ fl t/)O D (g « /), (g °f)(x)e W, de tal manera que a es el límite supreso de g ° f en c. Si g es continua en b. entomees (g°f)(x)e W para U n £ ) ( g o f ) y Xr¿ c . ¡ Para demostrar la parte (b). observe que las excejpciones hechas en la de­ mostración de (a) ya no son necesarias. Por lo que si x pertenece a UC\D(gof), entonces f ( x ) e V t l D ( g ) y, por lo tanito, (£ °/)(x )e W. Q.E.D. La conclusión de la parte (a) en el teorema anteriror puede no ser válida si se omite la condición de que g sea continua en A o quic f(x) s* b en una ve­ cindad de c. Para concretar esta observación, sea / l a función de R a R defi­ nida en la fórmula (25.3) y sean g = f y c = 0. Entoncces, g°f está dada por : ' ( g° f ) ( x) = 1, * x j t Q, = 0, ’ x = 0. Más aún, se tiene lim,_;o/(x) = 0, y lim,_*> g(y,) = 0, mientras que es claro que lim,-*>.(g°/)(x) =• 1. (Observe que los límites no suipresps no existen para estas funciones.) , , ... .... .. . . Límites superiores en un punto ‘ En lo que resta de esta sección se habrá de consáderar el caso en que q = 1. Así p u e s ,/e s una función con dominio D en R ‘.p y valores en R y el punto c en R p es un punto de acumulación de D. Se habrá de definir el límije por arriba o el límite superior de/ en c. De nuevo hay idos posibilidades que dependen del hecho de que se consideren vecindades supiresas o np supresas, y ambas se habrán de analizar. Es claro que se puede defimir el límite inferior de Funciones continuas 205 manera análoga. Una cosa que se debe observar aquí es que, aun cuando la existencia del limite en R (supreso o no) es un asunto relativamente delicado, los límites superiores que se habrán de definir tienen la propiedad de que si/ está acotada entonces su existencia está garantizada. Las ideas que se estudian en esta parte son paralelas al concepto de límite superior de una sucesión en R ” introducido en la sección 19. Sin em­ bargo, no se espera que haya familiarización con lo que allí se vio, excepto en algunos ejercicios. 25.7 DEFINICION. Suponga que/ esta acotada en una vecindad del punto c. Si r > 0 , defínanse <p(r) y <P(r) por medio de (a) ‘ <p(r) = sup {/(x): 0 < ||x - c|) < r, x e D}, (b) <t>(r) = sup {/(x): ||x - c|| < r, x e D} y establezca (c) lim s u p / = inf{<p(r):r>0}, (d) L im su p / = inf{<I>(r):r>0}. x -* c A estas cantidades se las llama el limite superior supreso y el límite superior no supreso de / en c, respectivamente. Debido a que estas cantidades están definidas como el ínfimo de la imagen bajo / de vecindades siempre decrecientes de c, probablemente no sea claro que merezcan la terminología “ límite superior” . En el siguiente lema se da una justificación de esta terminología. 25.8 LEMA. S i <p, y <P se definen como antes entonces (a) lim sup f = lim <p(r), .- . x -*c r —*0 (b) Lim sup f = lim 4>(r). DEMOSTRACION. Observe que si 0 < r < s , entonces lim sup / < <p(r) s <p(s). x -* e Más aún, por 25.7(c). si e > 0 existe una r« > 0 tal que <p(r,)< lim s u p /+ e. > Por lo tanto, si r satisface 0 < r < r«, se tiene |<p(r)-lim s u p ,-.c /|< e , que demuestra (a). La demostración de (b) es análoga y se habrá de omitir. Q.E.D. 206 Introducción aI análisis matemático 25.9 LEMA, (a) S i M >/#'/»/ sttp.—c f, entonces existe una vecindad U de c tal que f( x ) < M para ■c ^ x e D C M J . Ib) S i M > Lint supx-K /, entonces existe una vecindad U de c tal que f(x) < M para x e D flU . DEMOSTRACION, (a) Por 25.7(c) se tiene ¡nf{<p(r):r>0}<M . Por lo que existe un número real r i > 0 tal que <p(r,)<M y se puede tomar U = {x 6 W :||x -c ||< ri} . La demostración de (b) es análoga. q .e.d . 25.10 LEM A. Sean f y g funciones acotadas en una vecindad dec y su­ ponga que c es un punto de acumulación de D (f + g). Entonces (a) lim s u p (/+ g ) < lim su p /+ Iim su p g * ~ *c * -* c x—c (b) Lim sup ( / + g) < Lim sup / + Lim sup g. DEMOSTRACION. Por la relación s u p {/(*) + g ( x ) : ie A } < s u p {f(x):x e A } + su p { g (x ): x e A}, es claro que usando la notación de la definición 25.7 se tiene «Pf+«(0^1>»(r)+<Pt(r). Ahora usando el lema 25.8 y haciendo r —>0 se obtiene (a). q .e .d . Algunos resultados que atañen a otras combinaciones algebraicas se en­ contrarán en el ejercicio 25.F. Aunque no se podrá continuar con estos temas, en ciertas áreas del análi­ sis es útil tener la siguiente generalización del concepto de continuidad. 25.11 DEFINICION. Se dice que una función / de D a R es semicontinua superior en un punto c en D siempre que (25.4) /(c) = Lim su p /. x-*r Se dice que es semicontinua superior en D si es semicontinua superior en todo punto de D. En vez de definir la scmicontinuidad superior en términos de la ecuación (25.4) , se podría emplear la condición equivalente pero menos elegante (25.5) /(c) > lim sup /. Una de las claves de la importancia y la utilidad de funciones semicontinuas Funciones continuas 207 superiores se puede obtener del siguiente lema que se puede comparar con el teorema de continuidad global 22. 1. 25.12 LEMA. Sea f una función semicontinua superior con dominio D en R r y sea k un número reai arbitrario. Entonces existen un conjunto abierto G y un conjunto cerrado F tales que (25.6) G n D = { x e D :f (x ) < k } , F n D = { x e D : f ( x ) s : k}. DEMOSTRACION. Suponga que c es un punto en D tal que f(c)<k. De acuerdo con la definición 25.11 y el lema 25.9(b). hay una vecin­ dad U(c) de c tal que f(x) < k para toda x e n D f l U(c). Sin perder su carácter general, se puede elegir U(c) como una vecindad abierta; estableciendo, G = U { l / ( c ) : c e D |, I se tiene un conjunto abierto con la propiedad establecida en (25.6). Si F es el complemento de G. entonces F es cerrado en R r y satisface la condición dada. q .e .d . Usando el lema que se acaba de demostrar (cf. ejercicio 25.M) es posible probar que si K es un subconjunto compacto de R r y f e s semicontinua supe­ rior en K entonces / está acotada por arriba en K y existe un punto en K en donde f alcanza su supremo. De modo que las funciones semiconlinuas supe­ riores en conjuntos compactos poseen algunas de las propiedades que se han dado para funciones continuas, aun cuando una función semicontinua supe­ rior puede tener muchos puntos de discontinuidad. El lector se habrá imaginado que es posible extender el concepto de limite superior en un punto al caso en que la función no sea acotada usando ¡deas de los últimos renglones al final de la sección 18. Análogamente, se puede definir el limite superior como x -» ±°°. Estas ideas son muy útiles y se dejan como ejercicios. Ejercicios 25.A. Analizar la existencia de los limites supreso y no supreso de las siguientes funciones en el punto x = 0 . (a) /(x ) = |x|, (b) f(x) = 1/x, x#0, (c) /(x ) = x sen (1/x), x^O , (d) /(x ) = sen (1/x), x*0 25.B. Demostrar el lema 25.2. 25.C. Si / designa a la función definida en la ecuación (25.3), dem ostrar que el limite supreso en x = 0 es igual a 0 y que el límite no supreso en x = 0 no existe. Anali­ zar la existencia de estos dos límites para la composición / • / . 25.D. Demostrar el lema 25.4. L 20K Introducción al análisis matemático 25.E. Demostrar que las afirmaciones 25.51 b) y 25.5(c) implican la afirmación 25.5la). 25. F. Demostrar que s i / y g tienen limites supresosen un punto de acumulación c del conjunto D (/)nD (,(> ), entonces la suma f + .e tiene límite supreso en c y lim e ( / + .!,') = lim c f + lim e e. . ‘i , ,'i Con la misma hipótesis, el producto interno / • .<? tiene límite supreso en c y lim (/ • .V) = ^lim f j • ^Iim ¡;j. 25.G. Sea / la función definida en un subconjunto D(f) en R a R ". Si c es un punto de acumulación del conjunto V = {x e R :x e D(f), x >c}, y f¡ es la restricción de/ a V. entonces se define al limite supreso por la derecha de/en c como el lint, siempre que este límite exista. Algunas veces el límite se denota por limc» f o con /(c + 0). Formular y establecer un resultado análogo al teorema 25.3 para el limite supreso por la derecha. (Una definición análoga se puede dar para el límite no supreso por la de­ recha y para ambos limites por la izquierda en c.) - 25.H. Sea /u n a función definida en D = {xeR :x& 0} a R. Se dice que un ; número L es el limite de/ en +» si para cada e > 0 existe un número real m(e) tal ’ que si x a m(e), entonces |/(x) —L |< e. En este caso se escribe L =lim.-+./. Formu- , lar y demostrar un resultado análogo al teorema 25.3 para este limite. { 25.1. Si /está definida en un conjunto D(J) de R a R y c es un punto de acumu ción de D(J). entonces se dice que /(x )-> + « conforme x -» c, o que lim x -* c f = +°° siempre que para cada número positivo M exista una vecindad U de c tal que si x e U n D(J), x * c, entonces f(x) > M. Form ular y establecer un resultado análogo al teorema 25.3 para este límite. 25.J. Con base en los ejercicios 25.H y 25.1, dar una definición de lo que signifi­ can las expresiones: ] ] lim *-*+«• / = + » , lim *-*c / = -oo. I 25.K. Probar el lema 25.8 para el límite superior no supreso. Dar la demostración i del lema 25.9(b). 25.L. Definir lo que significa lim s u p ,^ * ./= L ,y lim inf —oo. 25.M. Probar que s i / e s una función semicontinua superior en un subconjunto ' compacto K de R r con valores en R entonces/ está acotada por arriba y alcanzan su supremo en K. 25.N. Probar que una función semicontinua superior en un conjunto com pacto '■ puede no estar acotada por abajo y puede no alcanzar su ínfimo. 25.0. Probar que si A es un subconjunto abierto de R ' y s i/e s tá definida de R ' R por medio de /(x ) = 1 para x e A , y /(x ) = 0 para x ¿ A , entonces / es una fun­ ción semicontinua inferior. Si A es un subconjunto cerrado de probar q u e /e s se­ micontinua superior. 25.P. Dar un ejemplo de una función semicontinua superior que ttnga un número ¡ infinito de puntos de discontinuidad. 25.Q. ¿Es verdad que una función de R p a R es continua en.un punto si y sólo si es semicontinua superior e inferior en este punto? Funciones continuas 209 25.R. Si (/.) es una sucesión acotada de funciones continuas de R* a R y si /* está definida en R ’ por medio de /*(x) = sup ( f.(x ): n e N} para x e R ', ¿entonces es verdad que /* es semiconlinua superior en R '? 25.S. Si (/.) es una sucesión acotada de funciones continuas de R ' a R y si / • está definida en R ppor medio de /,(x ) = inf {/«(x): rt e N} para x e R ', ¿entonces es verdad que /* es semicontinua superior en R '? 25.T. S ea/ una función definida en un subconjunto D de R' x R ’ con valores en R \ Sea (a, b) un punto de acumulación de D. Por analogía con la definición 19.4, defi­ nir el límite doble y los dos límites iterados d e / en {a. b). Probar que la existencia del límite doble y de los límites iterados implica su igualdad. Probar que el límite doble puede existir sin que exista ninguno de los limites iterados y que los dos límites itera­ dos pueden existir y ser iguales sin que exista el límite doble. 25.U. S ea/ como en el ejercicio anterior. Por analogía con las definiciones 17.4 y 19.8, definir lo que significa que £ (y ) = lim /(x ,y ) uniformemente para y en un conjunto. Form ular y probar un resultado análogo al te< - tem a 19.10. 25.V. S e a /c o m o en la definición 25.1 y supóngase que existe el límite supreso en c y que para algún elemento .4 en R* y r > 0 la desigualdad ||/(x) - A || < r es válida en alguna vecindad de c. Demostrar que ||lim ./ - A || £ f- ¿Es válida la misma conclu­ sión para el límite no supreso? 25.W. Analizar la semicontinuidad superior y la inferior de las funciones de loS incisos (g) y (h) del ejemplo 20.5. 25.X. Si / : [ 0 , +<*>)-* R es continua en [ 0 ,-H») y lim .-,*. /(x) = 0, probar q u e / es uniformemente continua en [0, +°°). Sección 26 Otros resultados En esta sección se plantearán algunos teoremas que no se aplicarán pos­ teriormente pero que a menudo son útiles en topología y análisis. Los prime­ ros resultados son extensiones (de largo alcance) del teorema de aproxima­ ción de Weierstrass, después hay un teorema que ofrece condiciones en que una función continua tiene una extensión continua y el último resultado es análogo al de Bolzano-Weierstrass en el espacio Q ,(K ) de funciones conti­ nuas en un conjunto compacto K. El teorema de Stone-Weierstrass Para facilitar el análisis se introduce la siguiente terminología. Si f y g son funciones con dominio D en R p y con valores en R entonces las funciones h y k. definidas para x en D por medio de h(x) = sup{/(x), g(x)}, k(x) = inf {/(x), g(x)}, 210 Introducción al análisis matemático reciben el nombre de supremo e ínfimo, respectivamente, de las funciones/ y g. Si/ y g son continuas en D. entonces h y k también son continuas. Esto se deduce del teorema 20.7 y la observación de que si a, b son números reales en­ tonces sup {a, b} = í{a + b + |a —f>]}, inf {a, b} = \{a + b - |a - b|}. En seguida se demuestra un modelo de la generalización de Stonet al teorema de aproximación de Weierstrass. No obstante su reciente descubri­ miento, ya se considera “clásico” y debe formar parte de los fundamentos de todo estudiante de matemáticas. El lector deberá consultar el articulo de Stone que aparece en la lista de libros de consulta para obtener extensiones, aplicaciones y un análisis más completo del que aquí se ofrece. 26.1. TEOREMA DE APROXIMACION DE STONE. Sea K un subconjunto compacto de R T y sea ¡£ una colección de funciones continuas de K a R con las siguientes propiedades: (a) S i f y g pertenecen a X,entonces sup {/, g} e in f {/, g} pertenecen a X. (b) Si b e R y x / y e K , con x, entonces existe una función f e n X tal que /(x) = a, /(y) = b. Entonces, cualquier función continua de K a R se puede aproximar uni­ formemente en K por funciones en X. DEMOSTRACION. Sea F una función continua de K a R. Si x, y pertenecen a K , sea gxy e X tal que g„(x) = F(x) y ,?«>(y) = F(y). Dado que las funciones F, gxy son continuas y tienen el mismo valor en y; dada e > 0 , hay una vecindad abierta U(y) de y tal que si z pertenece a K O U(y), enton­ ces (26.1) (26.1) gxy( z ) > F ( z ) - e . Fijando x, para cada y e K, elija una vecindad abierta U(y) con esta propie­ dad. Por la compacidad de K, se deduce que K está contenido en un número finito de vecindades como: L/(yO,. . . . D(y„). Si h, = sup {gxTi, • • •» 8»»-^ en* tonces a partir de la relación (26.1) se deduce que (26.2) (26.2) h « (z)> F (z)-e for z e K. Dado que g,„(x) = F(x), se puede ver que h,(x) = F(x) y, por lo tanto, hay una vecindad abierta V{x) de x tal que si z pertenece a K H V(x), entonces tM A R SH A LL H. STONE (1903- ) estudió en Harvard y ha sido profesor ahí y en las univer­ sidades de Chicago y Massachusetts. Hijo de un presidente de la Suprema Corte, ha hecho apor­ taciones básicas al análisis moderno, especialmente a las teorías del espacio de Hilbert y de las álgebras booleanas. Funciones continuas 211 (26.3) hI(z ) < F ( z ) + e. Usar una vez más la compacidad de K para obtener un número finito de ve­ cindades V (xi),. . . , V(Xm) y sea h = inf {K„ ■. •, Entonces h pertenece a iP y se deduce de (26.2) que h (z)> F (z )-e p a ra z e K . y de (26.3) que h (z )< F (z ) + e para z e K . Combinando estos resultados se tiene jh ( z ) - F ( z ) |< e , z 6 K, que da la aproximación deseada. q .e .d . El lector se podrá haber dado cuenta de que en este último resultado no se utilizó el teorema de aproximación de Weierstrass. En el siguiente resul­ tado se sustituye la condición (a) por tres condiciones algebraicas en el con­ junto de funciones. En esta ocasión se utiliza el clásico teorema de Weierstrass 24.8 para el caso especial de la función valor absoluto <p definida para / en R como <p(t) = |»|, para concluir que <p se puede aproximar por poli­ nomios en todo re ju n to compacto de números reales. 26.2 TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS. Sea K un subcon­ junto compacto de R" y sea sí una colección de funciones continuas de K a R con las siguientes propiedades: (a) La función constante e(x) -* /, x e K , pertenece a sí. (b) S i f g pertenecen a si, entonces a f + 0 g pertenecen a sí para todas a, P en R. (c) Si f , g pertenecen a sí, entonces fg pertenece a sí. (d) S i x ^ y son dos puntos de K, existe una función f en sí tal que f(x)*f(y). Entonces, cualquier función continua de K a R se puede aproximar uni­ formemente en K por funciones en sí. DEMOSTRACION. Sean a , b e R y x?*y tales que pertenezcan a K. De acuerdo con (d), hay una función / en sí tal que f(x)7i f ( y). Dado que e(x) = 1 = e(y), se deduce que hay números reales a, 0 tales que af(x) + pe(í) = a, af( y) + 0e(y) = b. Por lo tanto, por (b) existe una función g € sí tal que g(x) —a y g(y) = b. Ahora, sea el conjunto de todas las funciones continuas en K que se pueden aproximar uniformemente por funciones en sí. Es obvio que sí c.¡£, de tal manera que X tiene la propiedad (b) del teorema de aproximación de Stone 26.1. Se demostrará ahora que si h e £ , entonces |h |e if . Dado que 212 Introducción al análisis matemático sup{/, g} = i( /+ g + |/ - g |) , inf{/,g} = H f + g - |/- g |) , esto implicará que X tiene la propiedad 26.1 (a) y por lo tanto que toda fun­ ción continua de K a R pertenece a X. Como h es continua y K es compacto, se deduce que existe una M > 0 tal que ||H||K s M. Dado que h e X , hay una sucesión (h,)de funciones en sA que convergen uniformemente a A en A" y se puede suponer que ||K.||k< M +1 para toda n e N . (¿por qué?) Si e > 0 está dada, se aplica el teorema de apro­ ximación de Weierstrass 24.8 a la función valor absoluto en el intervalo [ - ( M + l ) , M + l] para obtener un polinomio p. tal que I |f|-p « (0 | ie para | t | s M + l. Se deduce por lo tanto que ||M x ) |- p .( M x ) ) |< j e p a ra x e K . Pero p. % pertenece a sA debido a las hipótesis (a), (b) y (c). Como ||fc (x )H M x )||* Ih-h.be se deduce que si n es suficientemente grande entonces se tiene | |h (x )|-p , o h ( x ) |s e p a ra x e K . Dado que e > 0 es arbitrario, se deduce que \ h \ e X y ahora el resultado se de­ duce del teorema anterior. q .e .d . Como caso especial del teorema de Stone-Weierstrass se obtendrá una forma más fuerte del teorema 24.8. Este resultado es más fuerte que el ante­ rior por dos razones: (i) permite que el dominio sea un subconjunto compacto arbitrario de R r y no únicamente una celda compacta en R y (ii) permite que el rango esté en cualquier espacio J f ’, y no sólo en R. Para entender el plan­ teamiento, recuerde que una función/ con dominio D en R p y rango en R q se puede considerar como q funciones de D a R con la representación de coorde­ nadas: (26.4) f(x) = ( f , M , . . . ,/ ,( x ) ) p a ra x e D . Si cada función coordenada f¡ es un polinomio en las p coordenadas ( x i,. . . , Xp), entonces se dice que / es una función polinomial. 26.3 TEOREMA DE APROXIMACION POLINOMIAL. Sea una función continua cuyo dominio K es un subconjunto compacto de R v y cuyo rango pertenece a R* y sea e > 0 . Entonces existe una función polino­ mial p de R r a R* tal que |l/( x )- p ( x )||< e p a r a x e K . Funciones continuas 213 DEMOSTRACION. Representar a f por medio de sus q funciones coordenadas, como en (26.4). Dado que / es continua en K, cada una de las funciones coordenadas /j es continua de K a R. Es evidente que las funciones polinomiales definidas de R r a R satisfacen las propiedades del teorema de Stone-Weierstrass. Por lo tanto, la función coordenada t se puede aproxi­ mar uniformemente en K en e/>/q por una función polinomial p¡. Estando p definida por p(x) = (p,(x),. . . , p„(x)), se obtiene una función polinomial de R p a R " que da la aproximación de­ seada en K a la función dada / q.e.d. Extensión de funciones continuas Algunas veces es deseable extender el dominio de una función continua a un conjunto más grande sin cambiar los valores del dominio original. Esto siempre se puede hacer de una manera trivial estableciendo que la función sea 0 fuera del dominio original, pero, en general, este método de extensión no da una función continua. Después de reflexionar un poco, el lector podrá ver que no siempre es posible obtener una extensión continua. Por ejemplo, si D = {x 6 R : x * 0} y si / está definida para x € D como f(x) = 1/x, entonces no es posible extender a / d e tal manera que se obtenga una función continua en todo R. Sin embargo, es importante saber que una extensión siempre es posible cuando el dominio es un conjunto cerrado. Además, no es necesario incrementar la cota de la función (si es que es acotada). Antes de demostrar este teorema de extensión, observe que si A y B son dos subconjuntos cerrados ajenos de R T, entonces existe una función continua <p definida en R T con valores de R tal que <p(x) = 0, xeA ; <p(x)=l, xeB ; 0 s < p (x )s l, x e R '. De hecho, si d(x, A ) = inf {||x - y||: y e a ) y d(x, B) = inf {||x - y||: y e B}, en­ tonces se puede definir <p para x e R ' por medio de la ecuación , ,_ d(x, A) d(x, A ) + d(x, B ) ' 26.4 TEOREMA DE EXTENSION DE TIE T Z E t. Sea f u ñ a función continua'acotada definida en un subconjunto cerrado D de R r y con valores en R. Entonces existe una función continua g de R r a R tal que g(x) = /(x) para x en D y tal que sup { ||g (x )||:x e llp}= sup{||/(x)||:x€D }. tH E IN R IC H TIETZE (1880-1964) fue profesor en Munich e investigador en topología, geome­ tría y álgebra. Este teorema de extensión data de 1914. 214 Introducción al análisis matemático DEM OSTRACION. Sea M = sup{|/(x)|:xeD } y considere Ai = { x e D : /( x ) < - M /3 ) y B, = {x € D :/(x) > M/3}. Por la continuidad d e /y el hecho de que D sea cerrado, del teorema 22.1(c) se deduce que A , y B I son subconjuntos cerrados de R p. De acuerdo con la observación que pre­ cede al planteamiento del teorema, hay una función continua <pideRpa R tal que < P i(* ) = -íM , x e A ,; <p,(x) = íM, x g B,; -ÍM < cj>i(x)< iM, x e R '. Fije /? = /-< p i y observe que f 2 es continua en D y que sup {|/2( x ) |:x e D } < |M. S ig u ie n d o , se d e f i n e n A 2 = {x g D : / 2( x ) s s - 53M }B2= {xe D : / 2(x)& S j M} y se obtiene una función continua <p2 de R p a R tal que <Pj (x) = -H M , x g A 2; <p2(x) = - j jM, x g B2; - j |M s ( p i ( x ) £ ||M , x g R p. Una vez que se haga esto, fije /j = / 2-<p2 y observe que/ 3= / - < p i - d e s c o n ­ tinua en D y que sup {|/3(x) |: x g D } < (§)2M. Siguiendo de esta manera se obtiene una sucesión (<p.)de funciones defi­ nidas de R p a R tales que, para cada n, (26.5) |/(x) —I d ( x) + d ( x) + • • • + <p„(x)]| (I)"M, para toda x en D y tal que (26.6) I d t o l < (i)(l)"_lM para x e R p. Defínase g, de R ' a R por medio de g„ = d + d + • • • + <p„> por lo que se deduce que &. es continua. De la desigualdad (26.6) se deduce que si m > n y x e R p, entonces |g» (x) - g. (x )| = | d ♦,(jc) + • • • + Vm(x )| s (5)(5)"M[ 1 + ! + (I)1 + • • •] < (I)"M, lo cual prueba que la sucesión (g„) converge uniformemente en R p a una fun­ ción que se denotará por g. Dado o.ue cada &. es continua en R p, entonces el teorema 24.1 implica queg es continua en todo punto de R p. Además, por la desigualdad (26.5) se puede ver que j/(x) —g„(x)| < (!)"M para x e D . Por lo tanto, se concluye que /(x) = g(x)para x in D. Por último, la desigualdad (26.6) implica que para cualquier x en R p se tiene lfr(* )l« iM (l + ! + • • • + © “■*] s M, que prueba la última afirmación del teorema. O.E.D. Fundones continuas 215 26.5 COROLARIO. Sea f una función continua acotada definida en un subconjunto cerrado D de R p y con valores en R q. Entonces existe una función continua g de R p a R q con g(x) = /(x) para x en D y tal que sup {||g(*)||: x € R p} s sup {||/(x)||: x € D}. DEMOSTRACION. Este resultado se acaba de probar para q = 1. Para el caso general, observe que/define a q funciones coordenadas conti­ nuas de valor real en D. digamos /( * ) = (/»(*), f2Íx),. . . . /,(x)). Dado que cada una de las /i, 1 < j ^ qtiene una extensión continua gi de R p a R, se define g de R p a R q por medio de g(x) = (gi(x), g2(x ),. . . , g,(x)). Se puede ver que la función g tiene las propiedades requeridas. q . e .d . Equicontinuidad Con frecuencia se ha usado el teorema de Bolzano-Weierstrass 10.6 para conjuntos (que asegura que todo subconjunto acotado infinito de R p tiene un punto de acumulación) y el teorema 16.4 equivalente para sucesiones (que asegura que toda sucesión acotada en R p tiene una subsucesión convergente). En seguida se presenta un teorema enteramente análogo al teorema Bolzano- Weierstrass pero para conjuntos de funciones continuas y no para conjuntos de puntos. Para que sea más sencillo y breve, se ofrecerá sólo una forma se- cuencial del teorema. En lo sucesivo, K será un subconjunto compacto fijo d e R p, y se estará tratando con funciones continuas en K con rango en R q. Por el teorema 22.5, cada una de estas funciones es acotada y por lo tanto Q ,(K ) = B Q ,(K ). Se dice que un conjunto 9 en Q ,(K ) es acotado (o uniformemente acotado) en K si existe una constante M tal que ||/||K < M, para toda / e n 9 . Es claro que cualquier conjunto finito 9 de dichas funciones es acotado, ya que si 9 = {/,, / 2, . . . , /„}, entonces se puede fijar m =sup{mu, ii/Hk,.... iimu}. En general, un conjunto infinito de funciones continuas de K a R q no será acotado. Sin embargo, una sucesión uniformemente convergente de funciones continua's es acotada. (Cf. ejercicio 26.M). Si / e s una función continua en un conjunto compacto K de R p, entonces el teorema 23.3 implica que es uniformemente continua. Por lo tanto, si e > 0 , existe 8( e ) > 0, tal que x.y pertenecen a K y j |x - y ||< 8(e), entonces ll/(x)—/(y)|| <e- Desde luego, el valor de 8 puede depender de la fun­ ción / así como de e por lo que a menudo se escribe 5(e, /). (Cuando se está 216 Introducción al análisis matemático tratando con más de una función, es conveniente indicar explícitamente esta dependencia.) Observe que si 9 = , /.} es un conjunto finito en Q ,(K ), entonces, fijando S ( e ,^ ) = inf {«(«,/,)........ 8(e, /»)}, se obtiene una 8 que “ sirve” para todas las funciones de este conjunto finito. 26.6 DEFINICION. Se dice que un conjunto de funciones de K a R* es uniformemente equicontinuo en K si para cada número real e > 0 hay un número 8(e) > 0 tal que si x,y pertenecen a ATy ||jc —y|| < 8(c) y / e s una fun­ ción de 9 , entonces ||/(x )-/(y )||< e. Se ha visto que un conjunto finito de funciones continuas en K es equi­ continuo. También es cierto que una sucesión de funciones continuas que con­ verge uniformemente en K también es equicontinua. (Cf. ejercicio 26.N.) Para que una sucesión en Q ,(K j sea uniformemente convergente en K es necesario que la sucesión sea acotada y uniformemente equicontinua en K . Se habrá de probar ahora que estas dos propiedades son necesarias y suficientes para que un conjunto 9 en Q ,(K ) tenga la propiedad de que toda sucesión de funciones de y tiene una subsucesión que converge uniformemente en K. Esto se puede considerar como una generalización del teorema de Bolzano- Weierstrass para conjuntos de funciones continuas y desempeña un papel im­ portante en la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales. 26.7 TEOREMA DE A R ZELA -A SC O Llt. Sea K un subconjunto compacto de R r y sea 9 una colección de funciones continuas en K y con va­ lores en R*. Las siguientes propiedades son equivalentes: (a) La familia 9 es acotada y uniformemente equicontinua en K. (b) Toda sucesión de 9 tiene una subsucesión que es uniformemente con­ vergente en K. DEMOSTRACION. Primero se probará que si la condición (a) es falsa, entonces también lo es la condición (b). Si 9 no es acotada, entonces existe una sucesión (/„) en 9 tal que |[/«||K a: n para n e N . Pero entonces nin­ guna subsucesión de (fn) puede ser uniformemente convergente. Además, si el conjunto 9 no es uniformemente equicontinuo, entonces para alguna eo> 0 existe (¿por qué?) una sucesión (/„) en 9 y sucesiones (x„) y (y„) en K con ||x»-y„||< 1/n pero tales que ||/„(x«)—/»(y„)|J> e0- Pero entonces ninguna sub­ sucesión de (/„) puede ser uniformemente convergen en K- tCESARE ARZELA (1847-1912) fue profesor en Bolonia. Dio las condiciones necesarias y sufi­ cientes para que el limite de una sucesión de funciones continuas en un intervalo cerrado sea con­ tinuo y estudió otros temas en relación con esto. GtULIO ASCOLI (1843-1912), profesor en Milán, formuló la definición de equicontinuidad en uil planteamiento geométrico. También hizo aportaciones en seríes de Fouríer. Funciones continuas 217 Se demostrará ahora que si el conjunto 9 satisface (a) entonces dada cualquier sucesión (/„) en 9 hay una subsucesión que converge uniforme­ mente en K. Para hacer esto, observe que a partir del ejercicio 10.H se deduce que existe un conjunto numerable C en K tal que si y e K y e > 0 , entonces existe un elemento x en C tal que ||x - y|| < le. Si C = {xi, x 2, . . entonces la sucesión (J,(x0) es acotada en R 4 del teorema de Bolzano-Weierstrass 16.4 se deduce que hay una subsucesión de (/.(xi)) que es convergente. Observe ahora que la sucesión (fk'(x2) : k 6 N) es acotada en R 4; por tanto, tiene una subsucesión (fi2(x2), f 2 (x2) , . . . , f . \ x 2) , . . .) que es convergente. Nuevamente, la sucesión (/i,2(x3) : n e N) es acotada en R \ por lo que alguna subsucesión ( f i \ x }), f 2\ x , ) , . . . , fn(x3) , . .. ) es convergente. Se prosigue de la misma manera y después se fija g„ = /„"de tal manera que g» sea la enésima función en la enésima subsucesión. Por la construcción, es claro que la sucesión (g») converge en cada punto de C. Se probará ahora que la sucesión (g„) converge en cada punto de K y que la convergencia es uniforme. Para hacer esto, sea e > 0 y sea 8(e) como en la definición 26.6. Sea C¡ = {yt, . . . , yk} un subconjunto finito de C tal que todo punto en K dista menos de 8(e) algún punto en Ci dado que las suce­ siones (g-(yi)), (g-(y2) ) ,. . . . (g-(yk)) convergen, exite un número natural M tal que si m, n s M, entonces l|g».(yi)-g»(yi)l|<e para i = 1 ,2 ........ k. Dada x e K , existe una y( 6 C¡ tal que ||x - yjfl< 8(e) de donde, por la equi- oontinuidad uniforme, se tiene i|gn(x)-g„(y/)||<e para toda n e N ; específi­ camente, esta desigualdad es válida para n > M. Por lo tanto, se tiene f e . 0 ) - g-(x)ll s ||g„(x)- g.(y,)IM|g»(y¡) - gm(y¡)|| + l|g"(yi)-g-.(x)ll< e + e + e = 3e, siempre que m, n > M . Esto prueba que ||g« - gm||k < 3e para m, n > M, por lo que la convergencia uniforme de la sucesión (g») en K se sigue del crite­ rio de Cauchy para convergencia uniforme dado en 17.11. q .e .d . 21H Introducción al análisis matemático En la demostración de este resultado se construyó una sucesión de subsucesiones de funciones y después se releccionó la sucesión “ diagonal” (g.), en donde g„ = /„“. A dicha construcción con frecuencia se le llama "proceso diagonal” o “ método diagonal de C antor" y con frecuencia es útil. El lector recordará que un tipo similar de argu­ mento se usó en la sección 3 para dem ostrar que los números reales no forman un con­ junto contable. Ejercicios 26.A. Demostrar que la condición (a) del teorema 26.1 es equivalente a la condi­ ción: (a ') Si / pertenece a X, entonces l/l pertenece a X. 26.B. Demostrar que toda función continua de valor real, en el intervalo [0, ir]es el límite uniforme de una sucesión de “ polinomios en eos x (es decir, de funciones (P„) en donde P .(*) = p.(cos x) para algún polinomio p„). — > 2 6 .Cx Demostrar que toda función continua de valor real en [0, -ir] es el límite uniforme de una sucesión de funciones de la forma x *-» Oo + a, eos x + a acos 2x + • • • + <«. eos nx. 26.D. Explicar por qué el resultado del ejercicio 26.B no es válido cuando eos kx se reemplaza por sen kx. keJV. —> 26.E. Usar el ejercicio 26.C para probar que toda función continua de valor real/ en [0, ir] con /(0 ) = /( ir ) e s el limite uniforme de una sucesión de funciones de la forma x ►-+ b0+ b, sen x + b, sen2x + • • • + b„ sen nx. —> 26.E. U sar los ejercicios 26.C y 26.E para probar que toda función continua de valor r e a l/e n [ - i r , irjc o n / ( - i r ) = /(ir)e s el límite uniforme de una sucesión de fun­ ciones de la forma x ►-* a 0 + a, eos x + b, sen x + • • ■+ a. eos nx + b„ sen nx. [ Sugerencia:dividir a / e n la suma / = /. + /„ de una función p a r/c(x) = K /( * )+ /( - *)) y de una función impar £ (x ) = K/(*) ] —>26.G . Dar una demostración para el ejercicio anterior basado en el teorema 26.3 aplicado al círculo unitario T = {(x, y ) e R , : x , + y , = 1} y las observaciones de que hay una correspondencia uno a uno entre funciones continuas de T a R y funciones continuas de [—ir, ir] a R que satisfacen / ( - i r ) = / ( ir). - >26.H . Sea J e R un intervalo com pacto y sea si una colección de funciones conti­ nuas en J —» R que satisfacen las propiedades del teorema de Stone-W eierstrass 26.2. Probar que cualquier función continua en J x J (in R 2) a R se puede aproxim ar uni­ formemente por funciones de la forma /.(* )g .(y )+ - • *+ /.(*)g .(y )- en donde /„ g, pertenecen a s i . 26.1. Probar que el teorema de Tietze 26.4 puede no ser válido si el dominio no es cerrado. Fundones continuas 2 IV 26.J. U sar el teorema de Tietze 26.4 para probar que si D c R ' es cerrado y si / es una fundión continua no acotada en D -» R entonces existe una extensión continua d e / a todo R ’. [Sugerencia: considere la composición 4>°f, en donde <#>(x)= A re tan x <£(x) = x /( l+ x ) .] 26.K. Sea 9 una colección de funciones de D c R ' a R \ Considere la siguiente propiedad en el punto c e D : si e > 0 , hay una 8 ( c , e ) > 0 tal que si x e D y Hx—c |< 8 ( c , e ) entonces H / ( * ) - /( c ) |< e para toda / e ? . Probar que 9 tiene esta propiedad en c 6 D si y sólo si para cada sucesión (x.) en D con c = lim (x«), entonces / ( c ) = lim (/(x»)) uniformemente para f e 9 . (Algunas veces se dice que 9 es equicontinua en c e D cuando se cumpla esta propiedad.) 26.L. Sea 9 igual que en ejercicio 26.K. si D es com pacto y se satisface la propie­ dad del ejercicio 26.K. Para toda c e D, probar que í? es uniformemente equicontinua en el sentido de la definición 26.6. 26. M. Si K s R 'e s compacto y (f,)es una sucesión de funciones continuas de K a R ’ uniformemente convergente en K. probar que la familia {/.} es acotada en K (en el sentido de que existe M > 0 tal que ||/L (x)^< M para toda x e K , n e N o H/.Hk £ M para n e N ) . —> 2 6 .N .S i K c R ' es compacto y (/„) es una sucesión de funciones continuas de K a R ' uniformemente convergente en K, probar que la familia {/.} es uniformemente equicontinua en K en el sentido de la definición 26.6. 26.0. Sea 9 una colección de funciones, acotada y uniformemente equicontinua, d c D c R ’ a R y defínase a /* en O —» R por medio de /* (x ) = sup { f ( x ) : f e 9 } . Probar que /* es continua- de D a R. 26.P. Demostrar que la conclusión del ejercicio anterior puede no ser válida si no se supone que 9 sea uniformemente equicontinua. " ^ * 2 6 .0 . Considere las siguientes sucesiones de funciones, las cuales prueban que el teorem a de Arzela-Ascoii 26.7 puede no ser válido si se eliminan las distintas hipóte­ sis. (a) f . ( x ) - x + n para x e [ 0 , 1]; (b) /„(x) = x* para x e [ 0 , 1]; (c) /„(x) = f x € [O, + »). - ^ 2 6 .R . Sea (f«) una sucesión de funciones continuas de R a R ’ que converge en cada punto del conjunto Q de números racionales. Si el conjunto {/„} es uniforme­ mente equicontinuo en R, probar que la sucesión converge en todo punto de R y que la convergencia es uniforme en lodo conjunto compacto de R pero no necesariamente uniforme en R. V FU N CIO N ES DE U N A VARIA BLE Se iniciará el estudio de diferenciación e integración de funciones. Para ello será conveniente considerar primero el caso de funciones de una variable; en los capítulos VII y VIII se volverán a ver funciones de más de una varia­ ble. Al comparar con estos capítulos se podrá ver que el caso de funciones con más de una variable es bastante parecido, en términos generales, a lo que se verá aquí; sin embargo, surgen ciertas complicaciones. Además, dado que en la teoría general se usan resultados del caso de una variable, es conveniente haber estudiado previamente este caso. En las secciones 27 y 28 se introduce la derivada de una función definida en un intervalo real y se demuestran el importante teorema del valor medio y algunos de sus corolarios. En la sección 29 se introduce la definición de la in­ tegral de Riemann (y Riemann-Stieltjes) de funciones acotadas en un inter­ valo [a, b], Las propiedades básicas de la integral se demuestran en esta sec­ ción y en las secciones 30 y 31, en ellas se analizan las integrales “ impropia" e infinita. Aun cuando los resultados de estas secciones se usan muy poco en las siguientes partes del libro, son importantes en muchas aplicaciones. Sección 27 Teorema del valor medio Como se supone que el lector ya está familiarizado con la relación que hay entre la derivada de una función de R a R y la pendiente de su gráfica y con el concepto de razón de cambio (instantánea), se concentra la atención por completo en los aspectos matemáticos de la derivada y no se verán las aplicaciones en física, economía, etc. En esta sección y en la siguiente se ha­ brá de considerar una función con dominio D y rango contenido en R. Aun cuando el principal interés está en la derivada en un punto interior, se definirá la derivada de una manera más general de manera que se pueda considerar, por ejemplo, al punto extremo de un intervalo. Sin embargo, sí se requiere que el punto en el que se está definiendo la derivada sea punto de acumulación de D y pertenezca a D. 221 222 Introducción al análisis matemático 27.1 DEFINICION. Si c es punto de acumulación de D y pertenece a D, se dice que un número real L es la derivada d e /e n c si para todo número e > 0 hay un número S (e )> 0 tal que si x pertenece a / ) y O < | x - c | < 8(e) entonces (27.1) IfOO-f(c) L < e. x —c En este caso se escribe f'(c) como L. Alternativamente, se podría definir a f'(c) como el límite lim£ ( £ H M (x eD ,x * c). *-* x —c Se debe observar que sí c es un punto interior de D entonces en (27.1) se considera a los puntos x tanto a la izquierda como a la derecha del punto c. Por otro lado, si D es un intervalo y c es el punto extremo izquierdo de D. entonces en (27.1) sólo se puede tomar x a la derecha de c. Siempre que exista la derivada d e /e n c su valor se denota por medio de /'(c). De esta manera se obtiene una función f cuyo dominio es un subcon­ junto del dominio de/ En seguida se demuestra que la continuidad d e /e n c es una condición necesaria para la existencia de la derivada en c. 27.2 LEMA. Si f tiene una derivada en c, entonces f es continua en ese punto. DEMOSTRACION. Sea e = 1 y tome S = 8(1) tal que x —c para toda x e D que satisfaga 0 <[x - c | < 8. Por la desigualdad del triángulo se deduce que para estos valores de x se tiene l / ( x ) - / ( c ) |s |x - c |{ |f ( c ) | + l}. El lado izquierdo de esta expresión se puede hacer menor que e si se toma x en D con |x —c |< in f{ 8, e /( |f (c)| +1)}. QJLD Es fácil ver que la continuidad en c no es una condición suficiente para que exista la derivada en c. Por ejemplo, si D = R y f(x) = |x|, entonces/es continua en lodo punto de R pero tiene derivada en el punto c si y sólo si c?* 0. Usando combinaciones algebraicas sencillas es fácil construir funciones continuas que no tengan alguna deri­ vada en un número finito, e incluso contable, de puntos. En 1872 Weierstrass revolu­ cionó el mundo de los matemáticos dando un ejemplo de una función que es continua en todo punto pero cuya derivada no existe en ninguna parte. (De hecho la función de­ finida por la serie /(*)= ¿ ¿ c o s (3 ’x), ■-0 ¿ Funciones de una variable 223 se puede probar que tiene esta propiedad. No se verán los detalles pero se recomien­ dan al lector los libros Titchmarsh y Boas para más información y como referencia.) 27.3 LEMA, (a) Si f tiene una derivada en c y f '(c )> 0 , existe un número S > 0 tal que si x e D v c < x < c + 8, -entonces / ( c) < f(x). (bj S i /'(c ) < 0, existe un número 8 > 0 tal que x je D y c - 8 < x < c , e n ­ tonces /(c) < /(x ). DEMOSTRACION la) Sea eo tal que 0 < e o < /'(c ) y tome 8 = 8(e0) dependiendo de e0 como en la definición 27.1. Si x e D y c < x < c + 8, enton­ ces se tiene -„ < íü h ¡!£ !-w . x -c Dado que x —c > 0 , esta relación implica que 0 < (/'(c) - e0)(x - c) < f ( x ) - f l c ) , lo cual prueba la afirmación (a). La demostración de (b) es análoga Q.E.D. Recuerde que se dice que una función / tiene un máximo relativo en un punto c en D si existe una 8 > 0 tal que /(x) < f(c) cuando x e D satisface |x - c| < 8. Una definición análoga es aplicable al término mínimo relativo. El siguiente resultado proporciona la justificación teórica del conocido proceso de encontrar puntos en los que/ tenga máximos y mínimos relativos, anali­ zando los ceros de la derivada. Observe que este procedimiento sólo es aplica­ ble a puntos interiores del intervalo. De hecho, si /(x) = x en D = [ 0 ,1], en­ tonces el punto extremo x = 0 da al único mínimo relativo y el punto extremo x = 1 da al único máximo relativo d e / - sin embargo, ninguno es raíz de la de­ rivada. Para hacerlo más sencillo, se probará este resultado sólo para máxi­ mos relativos, dejando al lector la formulación de los resultados correspon­ dientes para mínimos relativos. 27.4 TEOREMA DEL MAXIMO INTERIOR. Sea c un punto inte­ rior de D en donde f tiene un máximo relativo. Si existe la derivada de f en c, entonces debe ser igual a cero. Figura 27.1 224 Introducción al análisis matemático DEMOSTRACION. Si f ' ( c ) > 0, entonces por el lema 27.3(a) hay una 8 > 0 tai que s i c < x < c + 8 yxeD ,entonces f(c)<f(x). Esto contra­ dice el supuesto de que/tenga un máximo relativo en c. Si / '( c ) < 0, se usa el lema 27.3(b). Q.E.D. 27.5 TEOREMA DE ROLLE.t Suponga que f es continua en un in­ tervalo cerrado J = [a, b], que la derivada f existe en el intervalo abierto y que /(a ) = /(b) = 0. Entonces existe un punto c en (a.b) tal que f'(c) = 0. DEMOSTRACION Si / es constante en J. se puede tomar c = (a + b)l2. Por lo que se va a suponer q u e /n o es constante; substituyendo / por - / , si es que es necesario, se puede suponer que/ toma algunos valores positivos. Por el teorema del valor máximo 22.7, la función/adquiere el valor sup {/(x): x e J} en algún punto c de J. Dado que f(a) = f(b) = 0, el punto c satisface a < c < b . Por hipótesis, /'(c) existe y, dado que/ tiene un punto máximo relativo en c. el teorema del máximo interior implica que f'(c) = 0. Como consecuencia del teorema de Rolle, se obtiene el teorema del valor medio. 27.6 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Suponga que f e s continua en un intervalo cerrado J = [a,b] y que tiene una derivada en el intervalo abierto (a. b). Entonces existe un punto c en (a. b) tal que f(b)-f(a) = r(c)(b-a). DEMOSTRACION. Considere la función <p definida en J por *(*) = f ( x ) - f ( a ) - f (b)~ f } a) (x - a). o —a (Es fácil ver que <p es la diferencia entre/ y la función cuya gráfica consta del segmento de línea que pasa por los puntos (a,]\aI) y (b.flb)); véase la figura 27.2) De la hipótesis se deduce que <p es continua en J = [o, f>] y es fácil comprobar que <p tiene una derivada en (a. b). Más aún, se tiene <p(a) = <p(b) = 0. Aplicando el teorema de Rolle, existe un punto c dentro de J tal que m-f(a) 0 = <p'(c) = f ( c ) - b-a Cde donde se deduce el resultado tEsle teorema generalmente se le atribuye a MICHEL ROLLE (1652-1719). miembro de la Academia Erancesa, quien hizo aportaciones a la geometría analítica y a los primeros trabajos que dieron origen al cálculo. Funciones de una variable 225 27.7 COROLARIO. S i f iene una derivada en J = [a, b], entonces e.y.ste un punto c en (a. b) tal que f( b ) ~ f (a ) = f'(c)(b - a). En algunas ocasiones es conveniente tener una versión más general del teorema del valor medio para dos funciones. 27.8 TEOREMA DE CAUCHY DEL VALOR MEDIO. Sean f . g continuas en J = [a, b]y con derivadas dentro de (a. b). Entonces existe un punto c en (a, bI tal que /'(c)tg(b) - g(a)] = g '(c )[/(b )-/(a )]. DEMOSTRACION Cuando g(b) = g(a)el resultado es inmediato si se toma a c de tal manera que g'(c) = 0. Si g(b) z4 g(a), considere la función <p definida en J por medio de tgfc.) - g(a)]. Aplicando el teorema de Rolle a<p, se obtiene el resultado que se esperaba. Q.E.D. Aun cuando la derivada de una función no necesariamente es continua, existe un teorema elemental pero notable debido a Darbouxtque asegura que la derivada / ' alcanza todo valor entre f'(a) y /'(b ) en el intervalo [a, b]. (Véase el ejercicio 27.H.) Es fácil recordar el enunciado del teorema del valor medio dibujando diagramas apropiados. Esto no se debe descartar aun tiende a sugerir que su importancia es de naturaleza geométrica, lo que es un tanto erróneo De hecho, el teorema del valor medio es un lobo con piel de oveja y es el teorema t (¡ASTON DARBOUX (1842-1917) fue alumno de Hermitey profesor en el Colegio de Fran­ cia. A pesar de ser conocido primordialmenle como geómetra, también hizo importantes aporta­ ciones al análisis. 226 Introducción al análisis matemático fundamental del cálculo diferencial. Se cierra esta sección con algunas conse­ cuencias elementales de dicho resultado. Mas resultados se darán en la si- guinte sección, e incluso aparecerán aún más adelante. 27.9 TEOREMA. Supóngase que f e s continua en J = [a, b ]y que su derivada existe en (a, b). fi) S i f'(x) = 0 para a < x < b , entonces f es constante en J. (ii) Si f'(x) = g'(x) para a < x < b , entonces f y g difieren en J p o r una constante. (iii) S i f ( x ) > 0 para a < x < b y si xi < x2 pertenecen a J. entonces /(x,) < f(x2). (iv) Si f'( x )> 0 para a < x < b y si x \ < x 2 pertenecen a J, entonces /(x t) < / ( x 2). (v) S i f'(x) > 0 para a < x < a + 8, entonces a es un punto mínimo rela­ tivo de f (vi) Si f'(x) > 0 para b - 8 < x < b , entonces b es un punto máximo rela­ tivo de f [vii) S i |/'( x ) |< M para a < x < b , entonces f satisface la condición de Lipschitz: l/(*i)“ /(**)! M Ixj - X jI para Xj, x ¡in J . La demostración se le deja al lector. Ejercicios 27.A Usando la definición, calcular la derivada (cuando exista) de las*funciones dadas por las expresiones: (a) /(*) ==X* para xeR, (b) g(*) ==x* para xeR, (c) h(x) ==s/x para t a O , (d) F(x) == 1/X para x*0, (e) G(x) ==1*1 para xeR , (0 H(x) = l Ix1 para x*0. 27.B. S i / y g son funciones de valor real definidas en en un intervalo 7 y si son di­ ferenciales en un punto c. dem ostrar que su producto h. definido com o h(x) = /(*)g(x), para x e J , es diferenciable en c y b'(c) = f ’(c)g(c) + f(c)g'(c). 27.C. Probar que la función definida para x ^ O por medio de /(x ) = se n (l/x ) es diferenciante en cada número real distinto de cero. Probar que su derivada no está acotada en una vecindad de x = 0 . (Se puede hacer uso de identidades trigono­ métricas, la continuidad de las funciones seno y coseno y la relación elemental de límite (sen u)/u -* 1 cuando u —» 0.) I Funciones de una variable 227 27.D D emostrar que la función definida por g(x) = x J se n (l/x ), x*0, = 0, x = 0, es d iferen ciare para todos los números reales, pero g' no es continua en x = 0. 27.E. La función h : R - » R definida por medio de h(x) = x l para x e Q y h(x) = 0 para x ¿ Q es continua exactamente en un punto. ¿Es diferenciable en ese punto? 27 F. Sea c € D un punto de acumulación de D y sea f : D -» R. probar que f'(c) existe si y sólo si para toda sucesión (x.)en D con x» d e p a r a rt e N ial que (x.) = c, el límite de la sucesión existe. En este caso los limites de todas estas sucesiones son iguales a / '( c). 27.G. Si / : D -* R es diferenciable en c e D y si c + l / n e D para toda n e N , dem ostrar que f'(c ) = lim (n{/(c + l/i») -f(c)}). Sin em bargo, dem ostrar que la existencia del limite de esta sucesión no implica la exis­ tencia de la derivada. 27.H. (Darboux) Si / es diferenciable en [a, b], si f ’(a) = A , f'(b) = B y C está entre A y B. entonces existe un punto c en (a. b) para el cual f'(c) = C. ISugerencia: considere la cota inferior de la función g ( x ) - f( x )- C ( x —a).) 27.1. Si g(x) = 0 para x < 0 y g (x )= 1 para x a 1, dem ostrar que no existe una función / : R - » R tal que /'(x ) = g(x) para toda x e R . 27 J. Dar un ejemplo de una función continua con un único punto máximo rela­ tivo pero tal que la derivada no exista en ese punto. 27. K. Dar un ejemplo de una función uniformemente continua que sea diferencia- ble en (0.1) pero tal que su derivada no sea acotada en (0.1). 27.L. Sea f : [ a , b ] —» R diferenciable en c e [a, b]. D emostrar que si para toda e > 0 , existe una 8 ( e ) > 0 tal que si 0 < |x - y |< 8 ( e ) y a s x s c s y s b, entonces ! / ( « ) - /(y) f'(c) <£. I x -y 27.M. Sea f:[a, b}^> R diferenciable en [a, b]. Probar que / ' es continua en [o. b] si y sólo si p a ra to d a e > 0 e x is te u n a 8 ( e ) > 0 ta l q u e si 0 < |x - y |< S ( e ), x, y e [a, b], entonces f(*W (y) - f ’(x) < e . x -y 27.N. Sea / : [ a , b ] —‘ R continua en [o, b] y diferenciable en la. b). Si lim „f'(x) = A dem ostrar que /'( « ) existe y es igual a A. 27 O. Si R y / '( a ) existen, dem ostrar que fia t- h ) - f ( a —h ) f ( a }= * lim *—C 2h 228 Introducción al análisis matemático Sin em bargo, dar un ejemplo para probar que la existencia de este límite no implica la existencia de la derivada. 27.P. Se dice que una función / : R -» R es par si f(-x) = /(x) para toda x e R ,y que es impar si /(-x ) = -f(x) para toda x € R. S i / e s diferenciadle en R y par (impar, respectivamente), probar que / ' es im par (par, respectivamente). 27.Q. Sean f:(a,b)~*R y c e (a, b). Se escribe / ( c + ) = lim ,^ /(x )(el limite por la derecha de / en c). Si el límite por la derecha existe en R, se dice q u e /tie n e una de riv a d a p o r la d e rec h a en c y se denota a A , por me­ dio de f'*(c). Análogamente para las derivadas por la izquierda. Probar que si / e s continua en c entonces /'(c)ex iste si y sóio si /'.(c ) y f l(c ) exis­ ten y son iguales. D em ostrar que se puede tener g'_(c) = g t(c) sin que exista g'(c). 27. R. Sean / y J intervalos en R y sean f : I —» R y g : J - * R tales que g sea dife­ re n c ia re en un punto b e J y / sea diferenciable en un punto interior a = g(b) de /. Probar que la composición h = / ° g definida para {x e J : g ( x ) e I } es diferenciable en b y que h'(b) =f'(a)g'(b). (Sugerencia: defina a H en D(h) por medio de m x ) _ f < g (» ))-/(g « 0 ) si g(x) * g(c), W g (x )-g (b ) = /'(«) si g(x) = g(c). D e m o s t r a r q u e limkH (x ) = /'( a ) . D e s p u é s u s a r e l h e c h o d e q u e ( g U ) - g (b ) )H ( x ) = /( g ( x ) ) - /( g ( b ) ) p a r a toda x en D(hj.) 27.S. Sea f :[ 0 , +<»)—*• R diferenciable en ( 0 ,+ 00). (a) Si /'(x ) —» b e R cuando x -* +<*, probar que para cualquier h > 0 se tiene (b) Si f(x) -* a 6 R y f'(x) —►b e R cuando x -* + “ , entonces b = 0. fe) Si f'(x )-> b e R cuando x —» + » , entonces /(x)/x-*b cu an d o x —* + » . 27.T. S e a / : [a, b]-» R diferenciableconO C m =s/'(x) s M p ara xe[a, b] y sea /(a )< 0 < /(b). Dada x,e[a,b], defina la sucesión (x.) por medio de Demostrar que esta sucesión está bien definida y que converge a la raíz única x de la ecuación /(x ) = 0 en (a. b) y que para n s N . (Sugerencia: sea <p: [a, b] -► R tal que <p(x) = x -/(x)/M. Probar que <f es creciente y una contracción (véase 23.4) con constante \-m/M.) 27.U. Sea f : R - * R una función que tiene una derivada continua y tal que / ( a ) = b y / '( a ) / O . Sea 6 > 0 tal que si | x - a | s S entonces |/ '( x ) ~ / '( a ) | s i j / '( a ) |, y Funciones de una variable 229 sea tj —jS |/'( a ) |. Demostrar que si \y —b \ ^ n,entonces la sucesión (x.) definida por x, = a y / ( * .) - y neN f(a ) ’ converge al punto único x en [a - 8, a + 8] tal que /(x ) = y. (Sugerencia: probar que la función definida por <p(x) = x - (f(x) - y)/f'(a) es una contracción con constante j en el intervalo [ a - 5 , a + 8].) Sección 28 Otras aplicaciones del --------------- teorema del valor medio ✓ Es difícil que se pueda sobreenfatizar la importancia del teorema del va­ lor medio ya que desempeña un papel primordial en muchas consideraciones teóricas. De igual manera, es sumamente útil en muchos aspectos prácticos. En 27.9 se dieron algunas consecuencias inmediatas del teorema del valor me­ dio que a menudo son útiles. En seguida se proponen otras áreas en las que se puede aplicar; al hacer esto, se hará uso, con más libertad que antes, de la ex­ periencia y los conocimientos del lector en lo que respecta a ciertas funciones bien conocidas. 28.1 APLICACION. El teorema de Rolle se puede usar para localizar raíces de una función. Puesto que si una función g se puede identificar como la derivada de una funciónf entonces entre cualesquiera dos raíces de/ hay cuandc menos una raíz deg. Por ejemplo, sea g(x) = cos x;se sabe que g es la derivada de /(x ' = senx. Por lo tanto, entre cualesquiera dos raíces de sen x existe cuando menos una raíz de eos x. Por otro lado g’(x) = -sen x = ~f(x), y otra aplicación del teorema de Rolle nos dice que entre cualesquiera dos raíces de eos x hay cuando menos una raíz de sen x. Por lo tanto, se concluye que las raíces de sen x y eos x se entrelazan entre sí. Es probale que esta conclusión no sea novedad para el lector; sin embargo, el mismo tipo de argu­ mento es aplicable a las funciones de Besselt J„ de orden n = 0 ,1 ,2 , . . . usando las relaciones [x"Í.(x )r = x\f„-l(x), [x-J.(x)T = - x - J K+1(x) para x > 0. Los detalles de este argumento los deberá proporcionar el lector. 28.2 APLICACION. El teorema del valor medio se puede aplicar para cálculos aproximados y para obtener errores de estima. Por ejemplo, su­ póngase que se desea calcular >/l05. Se usa el teorema del valor medio con /(x) = y/x, a = 100, b = 105 para obtener tFR IE D R IC H WILHELM BESSEL ( 1784-.1846) fue astrónomo y matemático. Amigo cercano de Gauss. se le conoce principalmente por la ecuación diferencial que lleva su nombre. 230 Introducción al análisis matemático V Í0 5 -V Í0 0 = - ^ = , 2>/c p a r a a lg ú n n ú m e ro c c o n 100<c<105. D ado que 1 0 < V c < V T05<V l21 = 11, se puede asegurar que 5 5 <■^105 —10< 2 0 lj 2( 10) ’ por lo que se deduce que 10.22 < V l0 5 < 10.25. Este cálculo puede no ser tan preciso como se quisiera. Es claro que el calculo > /c< V l05< V l21 fue exagerado y se puede mejorar haciendo uso de la conclusión de que > /l05< 10.25. De modo que Vc< 10.25 y fácilmente se determina que 0.243 < < V l()5 -1 0 . 2(10.25) El cálculo obtenido es 10.243 < V l0 5 < 10.250 y cálculos más precisos se pueden obtener de esta manera. 28.3 APLICACION. El teorema del valor medio y sus corolarios se pueden usar para probar desigualdades y para extender desigualdades conoci­ das para valores enteros o racionales a valores reales. Por ejemplo, recuerde que la desigualdad de Bernoulli 5.C asegura que si 1 + x > 0 y n e N entonces(l + x)“ 2: 1 + nx. Se habrá de probar que esta desi­ gualdad es válida para cualquier exponente real r s l . Para hacer esto, sea /(* ) = ( l + x)r, de tal manera que /'(* ) = r(l + x ) " \ S i —l < x < 0 , e n ­ tonces /'( x ) < r , mientras que si x > 0 , entonces f'(x)>r. Si se aplica el teo­ rema del valor medio a estos dos casos se obtiene el resultado (1 + x)' > 1 + rx,1 cuando l + x > 0 Más aún, si r z 1. entonces existe la igualdad si y sólo si x =0. Como resultado análogo, sea a un número real que satisface 0 < a < 1 y sea g(x) = a x -x " p a ra x > 0. Entonces g'(x) = a ( l - x * _I),de tal manera que g '(x )< 0 para 0 < x < 1 y g '(x )> 0 para x > 1. Como consecuencia, si x > 0, entonces g(x) > g(l) y g(x) = g (l) si y sólo si x = 1. Por lo tanto, si x a Oy 0 < a < 1, entonces se tiene x“ £ a x + ( l —a). Si a > 0 y b > 0 y si x = a/b se multiplica por b se obtiene la desigualdad a“b '~' ^ oa + (l —a)b. en donde la igualdad es válida si y sólo si a = b. Esta desigualdad con frecuen­ cia es el punto de partida al demostrar la importante desigualdad de Hólder (cf. proyecto 8.p). Funciones de una variable 231 28.4 APLICACION. Las conocidas reglas de L’Hospital para el cálculo de “ formas indeterminadas” se pueden probar por medio del teorema del valor medio de Cauchy. Por ejemplo, suponga que/ , g son continuas en [a, b] y tienen derivadas en (a, b ), que f(a) = g(a) = 0 , pero queg, g' no desa­ parecen para x ^ a . Entonces existe punto c con a < c < b tal que /(b) _ /'(c) g(b) g'(c) * Se deduce que si existe lim *-„/'(x)/g'(x) entonces l i m ^ T = lim m g(x) *-*• g'(x) • El caso en el que las funciones llegan a ser infinito en x = a, o en el que el punto en que se toma el límite es infinito, o en el que se tiene un “ indetermi­ nante.” o alguna otra forma a menudo se puede tratar tomando logaritmos, exponenciales o alguna otra forma análoga. Por ejemplo, si a = 0 y se desea calcular el límite deh(x) = xlog x cuando x -*• 0, no se puede aplicar el argumento anterior. Se escribe h(x) de la forma f(x)/g(x) en donde /(x) = logx y g(x) = 1/x, x > 0 .S e puede ver que f ’(x) x = —x —*■0, cuando x -* 0. g'OO -1 Sea e > 0 y elija un número fijo 0 < X | < 1 tal que si 0 < x < x„ entonces |f'(x )/g '(x )|< e. Aplicando el teorema del valor medio de Cauchy se tiene I f(x)-f(x,) I I f'(x2) I < e, lg ( x ) - g ( x , ) | |g'(xj)| en donde x2 satisface 0 < x < x 2< x i. Dado que / ( x ) # 0 y g ( x ) / 0 para 0 < x < x » se puede escribir la cantidad que aparece del lado izquierdo de ma­ nera más conveniente como m J f(x ) g íx ) ' i - S Í i í ) g(x). t GUILLAUM E FRANCOIS L'HOSPITAL (1661-1704) fue alumno de Johann Bcmoulli (1667-174X). El Marqués de L’Hospital publicó sus trabajos de cátedra sobre cálculo diferencial en 1696, presentado así, el primer libro de texto sobre cálculo, al mundo. 232 Introducción al análisis matemático Manteniendo a x, fijo, se deja x -* 0. Dado que la cantidad entre corchetes converge a 1, excede a J para x lo suficientemente pequeña. De lo anterior se deduce que !h(x)| = /(*) <2e, g(x) para x suficientemente cerca de 0. Por lo que el límite en x = 0 de h es 0. Intercambio de límite y derivada Sea (/„) una sucesión de funciones definida en un intervalo y de R y con valores en R. Es fácil dar un ejemplo de una sucesión de funciones que tengan derivadas en todo punto de J y que converja en J a una función/ que no tenga derivada en algunos puntos de J. (Hacerlo.) Más aún, el ejemplo de Weierstrass mencionado antes se puede usar para dar un ejemplo de una suce­ sión de funciones que derivadas en todo punto de R y que converjan uniforme­ mente en R a una función continua que no tenga derivada en ningún punto. De modo que, en general, no es lícito diferenciar el límite de una sucesión convergente de funciones que tengan derivadas aun cuando la convergencia sea uniforme. Se habrá de probar ahora que si la sucesión de derivadas es uniforme­ mente convergente entonces todo está bien. Si se agrega la hipótesis de que las derivadas sean continuas entonces es posible dar una demostración corta con base en la integral de Riemann. Sin embargo, si no se supone que las deri­ vadas sean continuas, es necesario un argumento un poco delicado. 28.5 TEOREMA. Sea (/„) una sucesión de funciones definidas en un intervalo finito J de R y con valores en R. Suponga que hay un punto x0 en J en el que la sucesión (/„(x0)) converge, que las derivadas existen en J y que la sucesión (f’n) converge uniformemente en J a una función g. Entonces, la sucesión (/„) converge uniformemente en J a una función f q u e tiene una deri­ vada en todo punto de J y / ' = g. DEMOSTRACION. Suponga que los puntos terminales de J son a < b y sea x cualquier punto de J. Si m. n son números naturales, se aplica el teorema del valor medio a la diferencia fm - /« en el intervalo con puntos ter­ minales xo, x para concluir que existe un punto y (dependiendo de m, n) tal que /»(x) - /„(x) = /„(xo)-/„(xo) + (x - x0){ /U y )-/'(y )}- De donde se deduce que II/»-M I; =£ |/*(xo )-/.(xo )|+ (6 -a) || de modo que la sucesión (/„) converge uniformemente en J a una función que se denotará por medio de f Dado que las /„ son continuas y la convergencia de (/„) a / es uniforme, entonces / es continua en J. Funciones de una variable 233 Para probar la existencia de la derivada de/ en un punto c en J se aplica el teorema del valor medio a la diferencia fm en un intervalo con puntos terminales cj( para deducir que existe un punto z (dependiendo de m.n) tal que {/«(*) ~/n(x)} - { /« ( c ) - /„(c)} = (x - cM /Uz) - /i(z)}. Se deduce que cuando c / x , entonces j /"»(*) fm(c) fn(x) fn(c) j ^ ||^, _/JJIj Debido a la convergencia uniforme de la sucesión (/'„), el lado derecho está dominado por e cuando m, rt>M (e).Tom ando el límite con respecto a m, del lema 15.8 se deduce que | /U )-/(c ) /,( » ) - /,( c ) l cuando n 2= M (e). Dado que g(c) = lim (f¡,(c)), existe una N(e) tal que si n > N (e) entonces |/í,(c )-g (c )|< e . Ahora, seaK = sup{M (e), N(e)}.Por la existencia de f'K(c), si 0 < | x - c| < 8k(e ), entonces Por lo tanto, se deduce que si 0 < | x - c|< 8 k( e ), entonces Esto prueba que /'(c ) existe y es igual a g(c) Q.E.D. Teorema de Taylor Si la derivada /'(x) de/ existe en todo punto x del conjunto D. se puede considerar la existencia de la derivada de la función f en un punto c e D . Cuando f tenga una derivada en c, al número que resulta se le llama la segunda derivada de / en c y normalmente se denota como f ( c ) , o como / <2>(c). De manera análoga se define la tercera f m(c) = f (3>(c) , . . . , y la n- ésima derivada f {m\ c ) , . . . , siempre que estas derivadas existan. En seguida se obtiene el importante teorema que se atribuye a Brook Taylort que desempeña un papel importante en muchas investigaciones y que se puede considerar como una extensión del teorema del valor medio. 28.6 TEOREMA DE TAYLOR. Suponga que n es un número natu­ ral. que f y sus derivadas f , están definidas y son continuas en t BROOK TAYLOR (1685-1731) fue uno de lo» primeros matemáticos ingleses. En 1715 dio la expansión de series infinitas, pero, siendo fiel al espíritu de su época, no analizó la convergencia. Lo restante lo hizo Lagrange. 234 Introducción al análisis matemático J = [a, b], y que existe en (a. b). S i a, 0 pertenecen a J. entonces existe un número y entre f a y 0 tal que / O ) = /(a ) W - « ) + D í l O - «)* DEMOSTRACION. Sea P el número real definido por medio de la relación (28.1) í £ ^ P = / ( 0 ) - { / ( a ) + £ | p ( 0 —a ) y considere la función <¡p definida en J por <p(*)= m - {/(x)+ £ ^ ( 0 - x )+• •. ■ (0 - * r 1+ £ o - *)"}. Es claro que ip es continua en J y tiene una derivada en (a. h). Es evidente que <p(0) = O y de la definición de P se deduce que <p(o¡) = 0. Por el teorema de Rolle, existe un punto y entre a y 0 tal que <p'(y) = 0- Al calcular la derivada <p'(usando la fórmula común para la derivada de una suma y el producto de dos funciones), se obtiene la suma « p '( x ) = - { n x ) - n x ) + ^ ( 0 - x ) + - - - + ( - i ) g ^ ( 0 - x r 2 Dado que <p'(y) = 0, entonces P = / <",(*y), demostrándose la afirmación. Q.EJD. OBSERVACION. Al término residual fM f (28.2) que se dio antes, con frecuencia se le llama la forma de Lagrange del residuo. Existen muchas otras expresiones para el residuo, pero por el momento sólo se mencionará la forma de Cauchy que asegura que para algún número 0 con O <0<1, (28.3) R . = (1 - o r 1^ " ((1(n op) o - «>" Funciones de una variable 235 Para probar esta forma se puede repetir lo que se hizo hace un momento, ex­ cepto que del lado izquierdo de la ecuación (28.1) se pone (0 —x)Q/(n - 1)! y en el último término es(0 —a)Q/(n —1)! Los detalles quedan como ejercicio. (En la sección 31 se obtendrá otra forma en la que se hace uso de la integral para calcular el termino residual.) Ejercicios 28.A. Usando las fórmulas que aparecen en 28.1, probar que si n = 0 , 1 ,2 ......... entonces las raíces de las funciones de Bessel J. y J.*, en (0, +°°) se entrelazan entre si. 28.B. Probar que si x > 0 , entonces x x2 .------ x 1 + 2 _ g -á V l+ x < l+ 2 - 28.C. Calcular VÍT2 y >Í2. ¿Cual es la mejor aproximación de la que se puede es­ tar seguro? 28.D. Obtener cálculos análogos a los del ejercicio 28.B para (1 + x )10en el inter­ valo [0 ,7 ]. Usar éstos para calcular yJ2. 28.E. Suponga que 0 < r < l y —l < x . Probar que se tiene (1 + x )' a 1 + rxy que la igualdad es válida si y sólo si x = 0 . 28.E. Se dice que una raíz Xo de un polinomio p es simple (o que tiene m ultiplicidad uno) si p'(*0) ^ 0 , y q u e tie n e m ultiplicidad n si pUo) = p'(x0) = • • • = p ‘*_,,(xo) = 0, pero p'-’fx,,) * 0. Si o < b son raíces consecutivas de un polinomio, entonces existe un número im­ par (cóntando multiplicidades) de raíces de su derivada en (a. b). 28.G. Demostrar que si las raíces del polinomio p son todas reales, entonces las raíces de p' son todas reales. Si además las raíces d e p son todas simples, entonces las raíces de p' son todas simples. 28.H. Si f(x) = (x2—l) “ y si p es la n-ésima derivada d e/ , entonces p es un poli­ nomio de grado n cuyas raíces son simples y se encuentran en el intervalo abierto (- 1, 1). 28.1. Probar la forma de Cauchy del térm ino residual R . del teorema de Taylor dada en la fórmula (28.3). 28.J Una demostración para el teorema de Taylor 28.6 usando el teorema del va­ lor medio de Cauchy se puede dar si ' t •• R(*) = / ( x ) - [ / ( a ) + ^ f ( « ) + - • • + 7 ^ T í j r / '■ '» ] • Probar que R ( a ) = R ' ( a ) = - • • = R <“' ,,(a ) = 0 y R <">(x) = / " ,(x). Obsérvese que existe y, entre a y 0 tal que R (P ) R (p )-R (a ) R'('Y i) (p -a )’ O -a )--0 " n (7 l - a r ' - Continuar esto hasta encontrar que R (0 ) = (0 - a)mf M(ym)/nl para alguna y . entre a y 0. 236 Introducción al análisis matemático 28.K. Si /(x) = probar que el término residual en el teorema de Taylor con­ verge a cero conforme n - » » para cada una de las a, p. fijas. 28.L. Si /(x) = sen x, demostrar que el término residual del teorema de Taylor converge a cero conforme n —►<» para cada una de las a, P fijas. 28.M. Si /(x) = (l + x)“ en donde m e Q, |x|< 1, las fórmulas comunes de dife­ renciación del cálculo y del teorema de Taylor dan la expresión ( i + xi- - 1+ (7 )> + ( f > * + - --+ en donde R. se puede expresar en la forma de Lagrange como R. = x"f"'(6mx)/n!en donde 0<ft. <1. Demostrar que si 0 ^ x < 1, entonces lim(R„) = 0. Probar que si —l< x < 0 , entonces no se puede usar el mismo argumento para probar que (R.) = 0. 28.N. En el ejercicio anterior, usar la forma residual de Cauchy para obtener m(m - 1 ) • • • (m - n+1) (1 - fl.)-'x’ 1 - 2 • • • (m —1) (1 + O .x)"-’ en donde O<0„<1.Cuando |x |< l probar que |(1 —0„)/(l + (Uc)|’< l , y demostrar que lim (RJ = 0. 28.0. Sea /: R -»R , si /'(x) existe para x e R , y si /'(a ) existe, probar que ' »-<• H Dar un ejemplo en que este limite exista pero en que la función no tenga una segunda derivada en a. 28.P. Sea/L(x) = |x|’*,'“ para x en [—1,1]. probar que a cada /. es diferenciare en [-1 ,1 ] y que (/„) converge uniformemente en [-1,1] to/(x) = |x|. Proyectos 28.a. En este proyecto se considera a la función exponencial desde el punto de vista del cálculo diferencial. (al Suponga ue una función E de J = (a, b) a R tiene una derivada en todo punto de 7 y que E'(x) = E(x) para toda xeJ. Observe <jue E tiene derivadas de todos los órdenes en J y todas son igual a E. (b) Si E(a) = 0 para alguna a eJ, aplicar el teorema de Taylor 28.6 y el ejercicio 14.L para probar que E(x) = 0 para toda x eJ. (c) Demostrar que existe cuando más una función E de R a R que satisface E'(x) = E(x) paraxeR , E(0)=1. (d) Probar que si E satisface las condiciones del inciso (el entonces también satis­ face la ecuación funcional E(x + y) = E(x)£(y) para x, y e R. (Sugerencia: si /(x) = E(x + y)/E(y), entonces /'(x) = /(x) y /(0)=*1.) ferSea (E,)la sucesión de funciones definidas en R por medio de E,(x)= 1 + x, E»(x) = E»-,(x) + x"/n!. Funciones de una variable 237 Sea A cualquier número positivo; si |x| £ A y si m a n > 2 A , entonces |S .( x ) - E .( x ) | * ó £ ^ [ l + 7 T •+ en- Por lo tanto, la sucesión (E Jconverge uniformemente para |x | s A. 2A“ (n + 1)!' (f) Si (E ,)e s la sucesión de funciones definidas en el inciso (e). entonces E ;(x ) = E._,(x), para x e R . Probar que la sucesión (E»)converge en R a una función E con las propiedades expues­ tas en el inciso (c). Por lo tanto, E es la única función con estas propiedades. ig) Sea E la función con E '= E y E (0 ) = 1. Si e se define como el número e = E ( l) , entonces e está entre 2f y 2\.( Sugerencia: l + l + j + * < e < l + l + 5 + í + n- Más aún, se puede probar que 2 .7 0 8 < 2 + 5 j < e < 2 + }|<2.723.) 28.0. En este proyecto se pueden usar los resultados del anterior. Sea E la única función en R tal que E'= E y E (0 ) = 1 y sea e = E ( l) . (al Probar que E es estrictam ente creciente y que tiene rango P = {x e R :x > 0 }. (h) Sea L la función inversa de E. de tal manera que el dominio de L es P y su rango es todo R. Demostrar que L es estrictam ente creciente en P. que L ( l) = 0,y que L (e) = 1. (el Probar que L (xy) = L (x) + L (y )p a ra todas x. y en P. (di Si 0 < x < y , entonces i( y - x ) < L ( y ) - L ( x ) < Í ( y - x ) . y * (Sugerencia: aplicar el teorema del valor medio a £.) (el La función L tiene una derivada para x > 0 y L\x) = \/x. (fl El número e satisface ■e '= ,im ( ( 1+ ^ )')- (Sugerencia: calcular L '(l) usando la sucesión ((1 t-1 /n)) y la continuidad de E.) 28. y. En este proyecto se introducirán el seno y el coseno. (al Defina a /) en un intervalo J = (a, b) a R tal que satisfaga h"(x) + h(x) = 0 Para toda x e n ./. Demostrar que li tiene derivadas de todos los órdenes y que si hay un punto a en 7 tal que h(a) = 0, h'(<*) = 0, entonces h(x) = 0 para toda x e J. (Sugeren­ cia: usar el teorema de Taylor 28.6.) (b) Probar que existe cuando más una función C en R que satisface Jas condi­ ciones C " + C = 0, C(0) = 1, C'(0) = 0, 238 Introducción a l análisis matemático y cuando más una función S en R que satisface S " + S = 0, S(0) = 0, S'(0) = 1. I d Defina una sucesión (G.) por medio de C,(x) = 1 - *72, C.(x) = G-i(x) + (- D" ^ 7 . Sea A cualquier número positivo; si |x| < A y si m 2 B > A , entonces (ÉT 1 < \3/(2n + 2)! ‘ Por lo tanto, la sucesión(G.)converge uniformemente para ¡x| s A. Demostrar tam ­ bién que C Í = - C , - „ y que C .(0 )= 1 y Cü(0) = 0. Demostrar que el límite C de la su­ cesión (G .)es la única función con las propiedades del inciso Ib). , ld) Defina a ( S,) por medio de S,(x) = x, S .(x) = S«_i(x)-t-(—I)"-1 ■ Probar que (S.) converge uniformemente para |x| ^ A a la función única S con las propiedades del inciso (b). le) Demostrar que S ' = C y C ' = —S. (/) Probar la igualdad de Pitágoras S J + C I= l.lSugerencia: calcular la derivada de S’ + C J.) 28.8. En este proyecto se continúa el análisis de las funciones seno y coseno. pueden usar libremente las propiedades dem ostradas en el proyecto anterior. lal Suponga que h es una función en R que satisface la ecuación h "+ h = 0. Probar que existen constantes a, 0 tales que h = a C + 0S. ISugerencia: a = h ( 0 ) ,p = h'(0)) Ib) La función C es par y S es impar en el sentido de que C(-x) = C(x) y S(-x) = —S(x) para toda x en R (c) Probar que las “fórmulas de suma” C(x + y)= C(x)C(y) —S(x)S(y), S(x + y) = S(x)C(y) + C(x)S(y), son válidas para todas .r, r en R. <Sugerencia: sea r fija, defina h(x) - C(x + y), y de­ muestre que h " + h = 0.) Id) Probar que las fórmulas de duplicación. C(2x) = 2[C(x)]J- 1 = 2[S(x)]: +1, S(2x) = 2S(x)C(x), son válidas para toda ,v en R. leí Demostrar que C satisface la desigualdad Funciones de una variable 239 C ,(x) = l ~ j x C (x) £ 1'- y + Ya = C j(x). Por lo tanto, la mínima raíz positiva y de C está entre la raíz positiva de x 2- 2 = Oy la mínima raíz positiva de x4—12x2+ 24 = 0. Usando esto, dem ostrar que V 2 < y <>/3. (f) Se define a ir como la mínima raíz positiva de S. Probar que ir = 2 y y por lo tanto, que 2 ^ 2 < ir < 2-^3. (g) Demostrar que tanto C como S son funciones periódicas con periodo 2 ir en el sentido de que C (x + 2ir) = C (x) y S (x + 2 ir) = S(x) para toda x en R. Demostrar también que s w - c ( f - * ) = - 4 +f), C (x) = s ( | - x ) = s ( x + | ) , para toda x en R. 28. e . Siguiendo el modelo de los dos proyectos anteriores, introducir el coseno y seno hiperbólico como funciones que satisfagan c ' = c, c(0) = 1, c'(0) = 0, s" = s, s(0) = 0, s '( 0 ) = l , respectivamente. Probar la existencia y la unicidad de estas funciones y dem ostrar que c2- s 2= 1. D em ostrar resultados análogos a (a)-(d) del proyecto 28.8 y probar que si la función exponencial se denota por medio de E entonces c(x) = i(E (x ) + E (—x)), s(x) = 5(E(x) - E ( —x)). 28. £. Una función <p en un intervalo./ de R a R se dice que es convexa (de punto medio) siempre que <p(íy í)55 + para ca d ax , y en J. (Geométricamente: el punto medio de cualquier cuerda de la curva y = <p(x) está arriba o en la curva.) En este proyecto se habrá de suponer que <(>es una función continua convexa. (ct) Si n = 2"“ y si x f, . . . , x, pertenecen a J. entonces <p(* l + *2^1-----^ --^ £ ^ (< p (x ,) + - • - + <p(x.)). Ib) Si n < 2m y si x „ . . . , x. pertenecen a / , sea x, para / = n + 1 , . . . , 2" igual a Probar que se cumple la misma desigualdad que en el inciso (ai. (el Dado que <p es continua, probar que si .v, y pertenecen a y y t e I, entonces <p((l - t ) x + ry) ís ( l ~ 0<p(x)+ t<p(y). 240 Introducción al análisis matemático (Geométricamente: toda la cuerda está arriba o en la curva.) (d) Suponga que <p tiene una segunda derivada en J. Entonces, una condición ne­ cesaria y suficiente para que <p sea convexa en J es que <p"(x) a 0 para xeJ. (Suge­ rencia: para probar la condición necesaria, usar el ejercicio 28.0. Para probar la condi­ ción suficiente, usar el teorema de Taylor y desarrollar x —(x + y)/2.) (el Si <p es una función convexa continua e n y y s i x s y s z pertenecen a J. probar que <p(y)-«p(x) ^ <p(z)-<p(x) y -x - z -x Por lo tanto, si w s x s y s z pertenecen a J, entonces <p(x)-<p(w) , <p(z)-<p(y) x -w — z —y (/) Demostrar que una función convexa continua <p en J tiene una derivada por la izquierda y una derivada por la derecha en todo punto. Más aún, el subconjunto en donde <p' no existe en numerable. » Sección 29 La integral de Riemann-Stieltjes En esta sección se definirá la integral de Riemann-Stieltjestde fondones acotadas en un intervalo compacto de R. Como se supone que el lector está familiarizado, al menos informalmente, con la integral por algún curso de cálculo, no se hará muy extenso este tema. El lector que continúe sus estudios de análisis matemático deseará fami­ liarizarse pronto con la integral de Lebesgue que es más general. Sin em­ bargo, dado que las integrales de Riemann y Riemann-Stieltjes son apropia­ das para muchos propósitos y resultan más familiares al lector, es preferible tratarlas aquí y dejar para cursos posteriores la teoría de Lebesgue que es más avanzada. Se habrán de considerar funciones acotadas de valor real en intervalos cerrados del sistema de números reales, se definirá la integral de una de estas funciones con respecto a otra y se obtendrán las propiedades principales de esta integral. El tipo de integración que se considera aquí es, en cierto sentido, más general que el que se ve en cursos anteriores y la generalidad que se t (GEORGE FRIEDRICH) BERNHARD RIEMANN (1826-1866) fue hijo de un ministro campesino humilde y nació cerca de Hanover. Estudió en Gottingen y Berlín e impartió clases en Gotlingen. Fue uno de los fundadores de la teoría de funciones analíticas pero también hizo contribuciones fundamentales a la geometría, a la teoría de números y a la física matemática. TMOMAS JOANNES STIELTJES (1856-1894) fue astrónomo y matemático alemán. Es­ tudió en París con Hermite y obtuvo una cátedra en Toulouse. Su trabajo más famoso fue un in­ forme sobre fracciones continuas, el problema del momento y la integral de Stieltjes, que se pu­ blicó en el ultimo año de su córta vida. Funciones de una variable 241 agrega lo hace muy útil en ciertas aplicaciones, especialmente en estadística. Al mismo tiempo, es muy poca la complicación extra, en la maquinaria teórica que requiere un análisis riguroso de la integral de Riemann ordinaria. Por lo tanto, vale la pena desarrollar este tipo de teoría de integración tanto como sus aplicaciones más frecuentes lo requieren. Sean / y g funciones de valor real definidas en un intervalo cerrado J = [a, f>] de la recta real. Se habrá de suponer que tanto f como g están aco­ tadas en J; esta hipótesis constante no se repetirá. Una partición de y es una colección finita de intervalos no traslapados cuya unión es J. Por lo general, una partición P se describe haciendo específico un conjunto finito de números reales (x0, Xi,. , . , x») tal que a = x0 < Xi s • • • < x„ = b y tal que los subintervalos que ocurren en la partición P son los intervalos [xk-i, Xk], k = 1 , 2 , . . . , n. Más apropiadamente se hará referencia a los pun­ tos terminales Xk, le = 0 , 1 , . . . , n como los puntos de la partición correspondiente a P. Sin embargo, en la practica a menudo es conve­ niente y no causa ninguna confusión, usar la palabra “ partición” para desig­ nar la colección de subintervalos o bien la colección de puntos terminales de estos subintervalos. Por lo tanto, se escribe P = (x0, Xi,. . . , x„). Si P y Q son particiones de J. se dice que Q es un refinamiento de P o que Q es más fino que P siempre que todo subintervalo en Q esté contenido en al­ gún subintervalo en P. Esto es equivalente a la condición de que todo punto de la partición en P sea también un punto de la partición en Q. Por esta razón se escribe P s Q cuando Q es un refinamiento de P. 29.1 DEFINICION. Si P es una partición de J, entonces una suma de R iem ann-Stieltjes de / con respecto a g y correspondiente a P = (x0, Xt,. . . , Xn) es un número real S(P; f, g) de la forma (29.1) S(P;f, g )= I/(& ){g(xk)-g(xk-.)}. Se han elegido aquí número íjk que satisfacen xk- i < £ k < X k para Je = 1,2, Observe que si la función g está dada por g(x) = x, entonces la expresión en la ecuación (29.1) se reduce a (29.2) (29.2) É /(& )(*.-xk-,). k- t A la suma (29.2) por lo general se la llama suma de Riemann de/correspondiente a la participación P y se puede interpretar como el área de la unión de rectángulos con la­ dos [xk-i, xk] y alturas f(& ). (figura 29.1) De manera que si la partición P es muy fina, se espera que la suma de Riemann (29.2) dé una aproximación al “ área bajo la gráfica de / ' . Para una función general g. el lector deberá interpretar la suma de Riemann-Stieltjes (29.1) análoga a la suma de Riemann (29.2); excepto que en vez de 242 Introducción al análisis matemático Figura 29.1 La suma de Riemann como un área. considerar la longitud xk- x k del subintervalo [xk ,. xk], se está considerando otra medida de magnitud de este subintervalo, específicamente la diferencia g(xk) - g(xk.,). De modo que si g(.xl es la “masa” o “carga” total en el intervalo [a, x], entonces gíxO-gfo.^designa la “masa” o "carga” en el subintervalo [Xk_„ x»j. La idea es que se desea poder considerar medidas de magnitud de un intervalo distintas de longitud, de modo que se toman en cuenta las sumas (29.1) ligeramente más generales. Se observará que ambas sumas (29.1) y (29.2) dependen de la elección de los “puntos intermedios" es decir, de los números &, 1 s k s n. De modo que puede ser aconsejable introducir una notación que muestre la elección de estos números. Sin em­ bargo, al introducir una partición más fina siempre se puede suponer que los puntos intermedios & son puntos de pertición. De hecho, si se introduce la partición Q = (x» Xi, x.) y la suma S(Q ;/, g)en que los puntos intermedios se han tomado alternativamente de los puntos terminales a la derecha y a la izquierda en el subintervalo, entonces, la suma S(Q ;/, g)da el mismo valor que la suma de (29.l).Se podría suponer siempre que la partición divide al intervalo en un número par de subin­ tervalos y que los puntos intermedios son, alternativamente, los puntos terminales de la derecha y de la izquierda de estos subintervalos. Sin embargo, no será necesario re­ querir de este proceso de partición “modelo” ni tampoco será necesario exhibir estos puntos intermedios. 29.2. DEFINICION Se dice que / e s integrable con respecto a g en J si existe un número real / tal que para todo número e > 0 exista una partición P. de J tal que si P es cualquier refinamiento de P. y S(P;f;g) es cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondientes a P. entonces <29.3) |S ( P ; / , g ) - I |< c. En este caso el número I esta determinado de manera única y se define por medio de K W f * ) dg(t); Funciones de una variable 243 Se llama la integral de Riemann-Stieltjes de / con respecto a g sobre J = [a, b]. A la función / s e la llama el integrando y a g el integrante. Algunas veces se dice q u e /e s g-integrable s i/e s integrable con respecto a g. En el caso especial en que g(x) = x, si / e s integrable con respecto a g, generalmente se dice que / e s Riemann integrable. Antes de desarrollar cualquiera de las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes se verán algunos ejemplos. Con el objeto de que los cálcu­ los sean sencillos, algunos de estos ejemplos se eligieron como casos extre­ mos; ejemplos más típicos se encontrarán al combinar los que se dan en se­ guida. 29.3 EJEMPLOS, (a) Ya se ha visto que si g(x) = x, en entonces la inte­ gral se reduce a la integral común de Riemann Riemann del cálculo elemen­ tal.; lb) Si g es constante en el intervalo [a, b], entonces cualquier función/ es integrable con respecto a g y el valor de la integral es 0. lc) Definase g en J = [a, b] como g(x) = 0, x = a, = 1, a < x s b. Queda como ejercicio demostrar que una función/es integrable con respecto a g si y sólo si / es continua en a y que en este caso el valor de la integral es /la) ld) Sea c un punto interior del intervalo J = [a, b] y defina g como g(x) = 0, asxsc, = 1, c < x < b. Demostrar como ejercicio que una función/es integrable con respecto a g si y sólo si es continua en c por la derecha (en el sentido de que para toda e > 0 existe una 8( e) >U tal que si c < x < c + 8(e ) y x e J, entonces, se tiene |/ ( x ) - / ( c ) |< e). Si/ satisface esta condición entonces el valor de la integral es fie). (Observe que la función integrante descontinua en c por la izquierda.) le) Modificando el ejemplo anterior, sea h la función definida por h(x) = 0, a < x <c, = 1, c < x < b. Entonces, h es continua en c por la derecha y una función/es integrable con respecto a h si y sólo s i/e s continua en c por la izquierda. En este caso el va­ lor de la integral es Jlc). lf) Sean Ci <c 2 puntos interiores de J = [a ,b ] y defina g como g(x) = a ,, asx<c„ = <*2, c , < x = s c 2, = a 3, c2< x ^ b. 244 Introducción al análisis matemático Sí/ es continua en los puntos Ci, c2,entonces/ es integrable con respecto a g y J f d g = (a2-a ,) f (c i ) + (a3- a 2)f(c2). Tomando más puntos se puede obtener una suma en relación con los valores d e /e n puntos de J sopesados por los valores de los saltos degen estos puntos. (gl Sea / l a función discontinua de Dirichlet (cf. ejemplo 20.5 (g)) defi­ nida por /(x) = 1, si x es racional = 0, si x es irracional y sea g(x) = x. Considere estas fucniones en I = [ 0 ,1]. Si una partición P consta de n subintervalos iguales, entonces eligiendo a A: de los puntos inter­ medios en la suma S(P;f, g) como racionales y el resto como irracionales S (P ;/, g) = k/n. Se deduce que / no es Riemann integrable. (h) S e a /la función definida en / por /( 0 )= l,f(x ) = 0 para itracional y f(m/n) = 1/n cuando m y n son números naturales que no tienen factores co­ munes excepto 1. En el ejemplo 20.5 (h) se vio que / e s continua en todo número irracional y discontinuo en todo número racional. Si g(x) = x, enton­ ces queda como ejercicio demostrar que/ es integrable con respecto a g y que el valor de la integral es 0. 29.4 CRITERIO DE CAUCHY PARA INTEGRA BILI DAD. La funck .. f e s integrable con respecto a g sobre J = [a, b] si y sólo si para cada número e > 0 hay una partición de Q . y d e J tal que si P y Q son refinamien­ tos de Q. y si S(P; f, g) y S(Q;f, g) son cualesquiera sumas de Riemann- Stieltjes correspondientes, entonces (29.4) |S ( P ; /,g ) - S ( Q ;/ ,g ) |< e . DEMOSTRACION. Si / es integrable, existe una partición P. tal que si P.Q son refinamientos de P., entonces cualesquiera sumas de Riemann-Stieltjes correspondientes satisfacen |S (P ;/, g ) - I |< e / 2 y |S (Q ;/, g )-J |< e /2 .U s a n d o la desigualdad del triángulo se obtiene (29.4). Inversamente, supóngase que el criterio se satisface. Para demostrar que / es integrable con respecto a g, se debe producir el valor de su integral y usar la definición 29.2. Sea Qi una partición de J tal que si P y Q son refinamien­ tos de Q„ entonces |S (P ;/, g ) - S ( Q ; /, g )|< 1. Por inducción se elige Q ít como un refinamiento de Q„_j tal que si P y Q son refinamientos dcQ„, en­ tonces (29.5) |S ( P ; / ,g ) - S ( Q ; / ,g ) |< l / n . Considere sucesión (S(Q„; /, g)) de números reales obtenida de esta ma­ nera. Dado que Q„ es un refinamiento de Om cuando n > m, esta sucesión de sumas es una sucesión de Cauchy de números reales, independientemente de Funciones de una variable 245 cómo se elijan los puntos intermedios. Por el teorema 16.10, la sucesión con­ verge a algún número real L. Por lo que si e > 0 , hay un entero N tal que 2/N < e y |S(Q n ; f, g )—L | < e/2. Si P es un refinamiento de QN, entonces de la construcción de Qn se deduce que |S(P; f, g) - S(QN; /, g)| < 1IN < e/2. Por lo tanto, para cualquier refinamiento P de QN y cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondiente se tiene (29.6) ' |S ( P ; / ,g ) - L |< e , Esto prueba q u e /e s integrable con respecto a g sobre J y que el valor es esta integral es L. QED Algunas propiedades de la integral La siguiente propiedad en ocasiones es conocida como la bilinealidad de la integral de Riemann-Stieltjes. 29.5 TEOREMA (a) Si /i, / 2 son integrables con respecto a g e n J y a, 0 son números reales entonces afi + 0 /2 es integrable con respecto a g e n J y (29.7) | W i + 0A) dg = «j dg + ^ J 2 dg. (b) Si f e s integrable con a g1y g2en J y a, 0 son números reales, enton­ ces f es integrable con respecto a g = agi + 0g2 en J y r t> r t> (29.8) £ f d%= « |a / dg i+ 0 ja / d«2 DEMOSTRACION (al Sea e > 0 y sean P¡ = (x0, Xi , . . . , x„) y P í= (yo. yj. •••, y») particiones de J = [a, í>] tales que si Q es un refina­ miento tanto de P¡ como de P* entonces para cualesquiera sumas de Riemann-Stieltjes correspondientes se tiene \h ~ S (Q ; fu g)| < e, |Í2 - S (Q ; /* g)J< e. Sea P. una partición de J que sea un refinamiento de P, y de P2(por ejemplo, todos los puntos de partición en Pi y P 2se combinan para formar P,). Si Q es una partición de J tal que P, s Q, entonces las dos relaciones anteriores aún son válidas. Cuando se usan los mismos puntos intermedios, evidentemente se tiene \ 24 6 Introducción al análisis matemático S(Q ; af, + 0 /Jf g) = a S ( Q ; f„ g) + P S ( Q J 2, g). De esto y de las desigualdades anteriores se deduce que |a í, + p l2- S (Q ; « /, + 0 /„ g)| = |o{I, - S ( Q g ) } + 0{I2- S (Q ; / „ g)N —(Ial +I0l)e- Esto prueba que a li + f}l2 es la integral af, + pf2 con respecto a g. Esto de­ muestra la parte (ai; la demostración de la parte (b) es análoga y se deja al lector. q . e .d . Existe otra útil propiedad de sumabilidad que tiene la integral de Riemann- Stielt jes; a saber, con respecto al intervalo sobre el cual se extiende la integral. Es con el objeto de obtener el siguiente resultado que se usó el tipo de límite introducido en la definición 29.2. Un tipo más restrictivo de límite sería requerir de la desigualdad (29.3), Para cualquier suma de Riemann-Stieltjes, que corresponda a una partición P = (x<>, x ........ , x,) tal que ||P|¡ = sup {x, - x„, *2- X|,. . . , x. - X»-,} < S(e). Este tipo de límite por lo general se usa al definir la integral de Riemann y algunas ve­ ces al definir la integral de Riemann-Stieltjes. Sin em bargo, muchos autores emplean la definición que se dio, debida a S Pollard, ya que amplía ligeramente la clase de fun­ ciones integrables. Com o resultado de esta ampliación, el siguiente resultado es válido sin ninguna restricción adicional. Véanse los ejercicios 29.P-R. 29.6 TEOREMA, (a) Suponga que a s c £ b y q u e f es integrable co respecto a g sobre ambos subintervalos [a, c] y [c, 6]. Entonces, f es integra­ ble con respecto a g en el intervalo [a, b] y (29.9) J > g = J > g +j W (b) Sea f integrable con respecto a g en el intervalo [a, b] y sea c tal que satisfaga a s e s b . Entonces f e s integrable con respecto a g en los subinter­ valos [a, c] y fe, b] y la fórmula (29.9) es válida. DEMOSTRACION, (a) Si e > 0 , sea P', una partición de [a, c] tal que si P 'e s un refinamiento de Pí, entonces la desigualdad (29.3) es válida para cualquier suma de Riemann-Stieltjes. Sea P". una partición correspon­ diente de [c, b]. Si P. es la partición de [a, b] formada al usar los puntos de partición en P'. y Pí, y si P es un refinamiento de P., entonces S (P ;/,g ) = S ( P ';/,g ) + S (P ";/,g ), en donde P', P" designan las particiones de [a, c],[c, b] introducidas por P y en donde se usan los puntos intermedios correspondientes. Por lo tanto, se tiene Funciones de una variable 247 < | JJ d g - S(P'; f, g) | + | J 7 d g - S ( P /, g) | < 2e. Se deduce que/ es integrable con respecto a g sobre [a, b] y que el valor de su integral es \ j dg* í f dg' (b) Se usará el criterio de Cauchy 29.4 para demostrar q u e /e s integrable so­ bre [a, c]. Dado que/ es integrable sobre [a, b], dada e > 0 hay una partición O. de [a, b] tal que si P, Q son refinamientos de Q „ la relación (29.4) es válida para cualesquiera sumas de Riemann-Stieltjes correspondientes. Es claro que se puede suponer que el punto c pertenece a O, y Q'. será la parti­ ción de [a, c] que conste de aquellos puntos de Q, que pertenecen a [a, c]. Supóngase que P ' y Q ' son particiones de [a, c] que son refinamientos de o : y extiéndanse a particiones P y Q de [a, b] usando los puntos en Q« que pertenezcan a [c, b]. Dado que P, Q son refinamientos de O., la relación (29.4) es válida. Sin embargo a partir del hecho de que P, Q son idénticas en [c, b] es claro que si se usan los mismos puntos intermedios entonces. |S(P'; /, g) - S (Q '; /, g)| = ¡S(P; /, g) - S(Q ; f, g)| < e. Por lo tanto, el criterio de Cauchy prueba la integrabilidad de/ con respecto a g sobre el subintervalo [a, c] un argumento análogo también es aplicable al intervalo [c, b]. Una vez conocida esta integrabilidad, la parte (a) proporciona la validez de la fórmula (29.9). q.e j >. Hasta este momento no se han intercambiado los papeles del integrando / y del integrante g y podría no haberle ocurrido al lector que sería posible ha­ cerlo. Aun cuando el siguiente resultado no es exactamente lo mismo que la ‘,‘fórmula de integración por partes” de cálculo, la relación es muy estrecha y algunas veces se conoce a este resultado por el mismo nombre. 29.7 INTEGRACION POR PARTES Una función f e s integrable con respecto a g sobre [a, b] si y sólo si g es integrable con respecto a f sobre [a, b]. En este caso. (29.10) J /d g + J g d f = f(b)g(b)-f(a)g(a). DEMOSTRACION. Se va a suponer que f e s integrable con respecto a g. Sea e > 0 y sea P. una partición de [a, b] tal que si Q es un refinamiento de P« y S (Q ;/, g) es cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondiente, entonces 248 Introducción al análisis matemático Ahora, sea p un refinamiento deP, y considere una suma de Riemann- Stieltjes S(P; g ,/) dada por S ( P ;g ,/) = ¿ g(& ){/(*.)-/(*k-i)}, k-1 en donde xk-i < < x*. Sea Q = (y0, yk, . . . , y2n) la partición de [a, b] obte­ nida usando a £k y xk como puntos de partición de donde y2k = Xk y y2k-i = Sumar y restar los términos /(y 2k)g(y2k) para k = 0, l ........ n, S(P; g,f) y ordenarlos de tal manera que S(P; g,f) = f(b)g(b) ~f(a)g(a) - ¿ f ( rjk){g(yk) - g(yk-0}, .t en donde los puntos intermedios Tjk corresponden a los puntos x¡. De manera que se tiene S(P; g, /) = f(b)g(b)-f(a)g(a) - S ( Q ; /, g), en donde la partición Q = (y0, yi , . . . , y2„) es un refinamiento de P„ por la fórmula ( 9.11). S(P; g, f) - {/(b)g(b) - f( a )g ( a ) - j^Vdg j | < e siempre quep sea un refinamiento de P«. Esto demuestra que g es integrable con respecto a /s o b re [a, b] y se prueba la fórmula (29.10). Q.E.D. Modificación de la integral Cuando la función integrante g tiene una derivada continua, es posible, y con frecuencia conveniente, reemplazar la integral de Riemann-Stieltjes por una integral de Riemann. En seguida se prueba la validez de esta reducción. 29.8 TEOR EM A. Si la derivada g' existe y es continua e n J y si f e s inte grable coa respecto a g entonces el producto fg' es Riemann integrable y ( 2 9 . 1 J> g = J> DEMOSTRACION. La hipótesis implica que g' es uniformemente continua en J. Si e > 0 , seaP = (x0, Xi,. . . , x„) una partición de y tal que si & y £k pertenecen a f o - i , xk] entonces |g'(£k) - g '( £ k)|< e . Se considera la dife­ rencia de la suma de Riemann-Stieltjes S(P; /, g) y !a suma de Riemann S(P; /g'), usando los mismos puntos intermedios &. Al hacer esto se tiene una suma de términos de la forma / ( í k){g(xk) - 8 U k- 1) } - m k)g'(ek){xk - x k-1}. Funciones de una variable 249 Si se aplica el teorema del valor medio 27.6 a g, la diferencia se puede escri­ bir en la forma /($ .){g'(6.)-g'(& )K * en donde £k es algún punto en el intervalo [xk-i, xk]. Dado que este término está dominado por f ||/|| (xk- x k se concluye que |S(P; /, g ) - S ( P ; /g ')|< e ||/|| ( b - a), siempre que la partición p sea lo suficientemente fina. Dado que la integral del lado izquierdo de (29.11) existe y es el límite de las sumas de Riemann- Stieltjes S(P; /, g), se deduce que también existe la integral del lado derecho de (29.12) y que por lo tanto la igualdad es válida. % q .e . d . Como extensión de este resultado, véase el teorema 30.13. 29.9 EJEMPLOS (a) De algunos resultados que se demostrarán en la sección 3 0 se deduce que f(x) = x es integrable con respecto a g(x) = x2 en J = [0, !]■ Suponiendo esto, el teorema 29.8 muestra que í x d ( x 2) = f x ■2xdx = lx i \ = \ . Jo Jo |o 3 (Aquí se han utilizado resultados de cálculo que se demostrarán en la sección 30.) (b) Si se aplica el teorema 29.7 sobre integración por partes a las funcio­ nes de (al se obtiene [ x d ( x 2) = x 3| - f x2dx = l - í x | = § . Jo Io Jo Io 3 (el De algunos resultados que se demostrarán en la sección 30 se deduce que /(x) = sen x es integrable con respecto a / e n J = [0, ir/2]. Soponiendo esto, se tiene w/2 Pw/2 Iw/? i. Í sen x d(senx)= I sen x eos x d x - i(senx)22I Io 2 ’ (d) Si se aplica el teorema 29.7 sobre integración por partes al inciso (c) se obtiene »/2 I »/2 i >„/2 1o sen x d(senx) = (senx)2 lo - Jo senxd(senx), por lo que se deduce que sen x d(sen x) = ¿(sen x)2 i' 2' (e) S t introduce la función del entero máximo, de R a R, a la que se de­ nota por medio del símbolo especial [ • ] y se define como la función tal que si 250 Introducción al análisis matemático x e R, entonces [x] es el entero mayor, menor o igual a x. De donde M = 3 ,[e] = 2 ,[ - 2 .5 ] = - 3 . El lector deberá dibujar una gráfica de esta función y podrá observar que es continua por la derecha con saltos igual a 1 en los enteros. Se deduce que si/ es continua en [0, 5], entonces/ es integrable con respecto a g(x) = [x], x e [ 0 ,5], y que f V w d ( W ) = t / 0). Jo S-i (fl De algunos resultados de la sección 30 se deduce que f(x) = x 2es inte­ grable con respecto a gi(x) = x y a g2Íx) = [x] en [0,5]. Por lo tanto, es inte­ grable con respecto a g(x) = x + [ x ] y se tiene í x2d (x+ [x]) = í x 2dx+ [ x2 d([x]) JO Jo Jo = ]53+ l 2+ 2 2+ 32+ 42+ 52. Ejercicios ‘ 29. A. S i / e s constante en el intervalo [a, b], entonces es integrable con respecto a cualquier función g y | /d g = /(a ){ g (b )-g (a )} . 29,B. Si g es como en el ejemplo 29.3 (c), dem ostrar q ue/ es integrable a g si y sólo s i / e s continua en a. 29,0. Defina a g e n í = [ 0 , 1] como g(x) = 0 para O s i s | y g ( x ) = l p a r a i < x < 1. Probar q u e /e s integrable con respecto a g en / si y sólo si es continua por la derecha en J En este caso el valor de la integral es / ( j)- 29:D. Probar que la función/ dada en el ejemplo 29.3 ( h ) t s Riemann integrable en / y que el valor de su integral es 0. t 29.tj. Si / es integrable en [a, b] con respecto a / . entonces J V d/ =- HCf(í>))2- (/(a ))1}. • (al Demostrar esto examinando las dos sumas de Riemann-Slieltjes para una partición P = (x0, X i , o b t e n i d a lomando íi =Xt_, y & = X t. (Jj) Demostrar esto usando el teorema de integración por partes 29.7. v «TOE. Demostrar directam ente que si / es la función del entero máximo /(x ) = [x] definida en el ejemplo 29.9 (el entonces f no es integrable con respecto a / el intervalo [0, 2]. 29.G. Si / e s Riemann integrable en [0 ,1 ], entonces M ía 29 H. Demostrar que si g no es integrable en [0 ,1 ], entonces la sucesión de pro­ medias • ' ■ Funciones de unu variable 251 puede ser o puede no ser convergente. , 29.1 Demostrar que !a función h. definida en /, por h(x) = x para x racional y h(x) = 0 para ,t irracional, no es Riemann integrable en /. 29 J . Suponga que / e s Riemann integrable en [a , b]. Si f, es una función de [a , b] a R tal que ,/,(x ) = /(x ) excepto para un número finito de puntos en [a, b], de­ m ostrar que /, es Riemann integrable y que (De modo que se puede cam biar el valor de una función Riemann integrable, o dejarla indefinida, en un número finito de puntos.) 2 0 .K. Dar un ejemplo para m ostrar que la conclusión del ejercicio anterior •>uede no ser válida si el número de puntos excepcionales es infinito. . Sea c e ( a , b ) y defina a k en [a, b] como k(c) = 1 y k(x) = 0 para t x / c . S if :[ a , b ] -» R e s continua en r. probar directam ente que / e s k- integrable, que k es /-integrable y ’que jV d k = j ‘ kd/ = 0. 29.M. Suponga q u e / e s g-integrable en [a, b]. Si g , : [ a , b ] —» R es tal que g,(x) = g(x) excepto para un número finito de puntos en (a. b) en los q u e /e s continua, entonces / e s g,-integrable y J fdg, =^fdg. “ ““ ■29JM. Suponga que# es continua en [a, b], que x >-» g’(x) existe y es continua en [a, b]\{c}, y que los límites unilaterales g '( c - ) = lim g'(x), g '(c + ) = Bm g'(x) *<« *X existen. Si/ e s integrable con respecto a g en [a, b], entonces fg' se puede definir en c para ser Riemann-inlegrable en [a, b] y tal que \ e D *-J> (Sugerencia: considere el ejercicio 27.N.) 29.0. Si / es Riemann-integrable en [ - 5 , 5], probar q u e /e s integrable con res­ pecto a g(x) = |x| y Í> - ÍH > 29.P. Si P = (x0) X i,. . . . x.) es una partición de i = [a, b], defina a ||P|t como HP|| = sup{x, - x ,-,: j = l , 2 , . . . , n } ; 252 Introducción al análisis matemático a ||P|| se le llama la norma de partición P. Defina a/co m o(*)-integrablecon respecto a g en ./ siempre que exista un número A con la propiedad de que si e > 0 existe una S(e) > 0 tal que si ||P ||< 5 (e )y si S (P ; f, g)es cualquier suma de Riemann-Stieltjes co­ rrespondiente, entonccs|S(P; f, g ) - A | < e.S i esto se cumple, al número A se le llama la (*)-¡ntegral de/ con respecto a g en J. Demostrar que s i/e s ( * ) integrable con res­ pecto a g (en el sentido de la definición 29.2) y que los valores de estas integrales son i- guales. 29.Q. Defina a g en / como en el ejercicio'29.C. D emostrar que una función aco­ tada /c s(* )-in leg rab le con respecto a g. en el sentido del ejercicio anterior, si y sólo si / e s continua en j cuando el valor de la(*)-integral es f(¡). Si h se define por medio de h(x) = 0, 0s í <!, = 1, is rs l, entonces h es(*)-integrable con respecto a g en [0, i] y en [j, 1] pero no es( ^ -in te g ra ­ ble con respecto a g en [0 ,1 ], Por lo que el teorema 29.6(a) puede no cumplirse para la (*)-integral. wfcR . Sea g(x) = x para x e J . Demostrar que para este integrante una fu n ció n / es integrable en el sentido de la definición 29.2 si y sólo si es(*)-integrable en el sen­ tido del ejercicio 29.P. 29.S. S e a /R ie m a n n integrable en J y sea /(x ) a 0 para x e J . S i / e s continua e un punto c e J y si f ( c ) > 0, entonces. J > 0. 29.T. S e a /R ie m a n n integrable en J y sea /( x ) > 0 para x e J. D emostrar que j> ° . (Sugerencia: para cada n e JV, sea H„ la cerradura del conjunto de puntos x e J tales que f ( x ) > 1/n y aplicar el ejercicio II.N .) Proyectos 29. a. La siguiente esquematización se usa algunas veces como vía de acceso a la integral de Riemann-Stieltjes cuando la función integrante es monótonamente cre­ ciente en el intervalo./. (Este desarrollo tiene la ventaja de que usa la definición de las integrales superior e inferior que siempre existen para una función F. Sin embargo, tiene la desventaja de que le aum enta una restricción a g y tiende a dañar, en cierto sentido, la simetría de la integral de Riemann-Stieltjes dada por el teorema de integra­ ción por parles 29.7) Si P = (x0, x „ ... , x„):s una partición de J = [a, b] y /e s una fun­ ción acotada e n ./. defina a m,, M, como el Ínfimo y el supremo de { /(x ): x,-i s x ■& x,}, respectivamente. Correspondientes a la partición P, defina las sumas inferior y superior de / con respecto a g como L (P ; /, g) = ¿ "*>{«(-*»)—g(*i-i)}. I-* Funciones de una variable 253 U(P',f, g) = ¿ H íg (* ()- g ( * ) - .) }- 1-1 (a) Si S(P;f, g) es cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondiente a P. entonces L (P ;/,g )s S (P ;/,g )£ U (P ;/,g ). ih) Si e > 0 entonces existe una suma de Riemann-Stieltjes S,(P; f, g) correspon­ diente a P tal que S ,(P ;/,g)< ;L (P ;/,g) + e, y existe una suma de Riemann-Stieltjes S¡(P;f, g) correspondiente a P tal que V(P-,f,g)-e£S¿P;f,g). (c) Si P y Q son particiones de J y si Q es un refinamiento de P (es decir, P c Q), entonces L(P; /, g) s L(Q; /, g) £ U(Q; /, g) «; U(P; f, g). id) Si P, y Pj son cualesquiera particiones de J. entonces L ( P f , g) s l/(Pa; f, g). (Sugerencia: sea 0 una partición que es refinamiento tanto de Pi como de Pa y aplicar (c).] (e) Defina las integrales inferior y superior de/con respecto a g, respectivamente, como L(/,g) = sup{L(P;/,g)}, U(/,g) = inf{l/(P;/,g)}; aquí, el supremo y el ínfimo se toman sobre todas las particiones PdcJ. Demostrar que L(f, g) < U(f, g). (/) Demostrar que/es integrable con respecto a la función creciente g si y sólo si las integrales inferior y superior introducidas en (e) son iguales. En este caso, el valor común de estas integrales es igual a í> Demostrar que/es integrable con respecto a g si y sólo si la siguiente condición de Riemann se cumple: para toda e > 0 existe una partición P tal que U (P ;/,g )-L (P ;/,g )< e . (g) Si /, y f2 están acotadas en J. entonces las integrales inferior y -superior de fi + fi satisfacen L(/. + /„ g) a L(/„ g) + L(/2, g), U(f,+f» g ) < U (/„ g )+ [ ig j,g). Probar que la desigualdad propia puede ser válida en estas relaciones. 29.0. Este y los dos siguientes proyectos introducen y analizan la importante clase de funciones que tienen “variación acotada” en un intervalo compacto. Sea /:(a , b]—* R dada: si P = (a = x0< * i < ‘ • '<x» = b) es una partición de [a, b], de­ fínase u,(P) como 254 Introducción al análisis matemático k-l Si el conjunto { ty(P ):P es una partición de [a, fe]} es acotado, se dice que / tiene variación acotada en [a, fe]. La colección de todas las funciones que vienen variación acotada en [a, fe] se denota por B V ([a, b]) o con B V [a, b]. Si f e B V [a, fe], entonces se define V¡[a, b] = sup {iy(P): P es una partición de [a, 6]}. Al número V,[a. b] se le llama la variación total de / en [a, fe]. Demostrar que V}[a, fe] = 0 si y sólo si f es una función constante en [a, fe], (a) Si f:[a, fe]-* R , si P y Q son particiones de [a, fe], y si P 2 O ,dem ostrar que v,(P) & ty(Q ). Si f e B V [a, b], dem ostrar que existe una sucesión (P.) de particiones de [a, b] tal que Vj[a, b] = lim («,(?»)). (h) S i / e s monótonamente creciente en [a, b], dem ostrar que f e B V [a, b] y que V}[a, b] = / ( b ) - / ( a ) . ¿Qué sucede si / es monótonamente decreciente en [a, b]? (el Si g :[a, b ] - * R satisface la condición de Lipschilz |g ( x ) - g ( y ) | js M |x —y| para todas ,v. r en [a, b], dem ostrar que g e B V [a, b] y que V,[a, b] s M (b - a). Si jh'(x)| s M para toda x e [ a , b], entonces h e B V f a , b] y V Ja , b] < M ( b - a ) . Más aún. considere lc(x) = >/x en [0, 1]. (di Defina a / : [ 0 , 1 ] - » R como /(x ) = 0 para x = 0 y /(x ) = s e n (l/x ) para 0 < x s 1. Demostrar q u e / n o tiene variación acotada en [0 ,1 ], Si g se define como g(x) = xf(x) para x e [ 0 , 1], dem ostrar que g es continua pero no tiene variación aco­ tada en [0 ,1 ]. Sin em bargo, si h se define como h(x) = x 2f(x) para x € [ 0 , 1], de­ m ostrar que h si tiene variación acotada en [0 ,1 ]. (el Si f e B V si [a, b], dem ostrar que |/(x )| ^ |/( a ) | + V,[a, b] para toda x e [ a ,b ] , de tal manera que / está acotada en í = [o ,b ] y ||/||, «s |/( a ) |+ V;[a, b]. (Jl Si f, g e B V f a , b] y a e R, dem ostrar que a f y f + g pertenecen a B V [a, b] y que V-f[a, b ] = M V, [a, b], V , . , [ a . b ) s V ,[ a ,b ] + V t [a .b ]. por lo tanto, B V [a, b] es un espacio vectorial de funciones. (gI Si f, g e BV to, b], dem ostrar que el producto fg y que pertenece a B V [a, b] V jo , b] S ll/tl, V,[a, b] + Rg||, Vf[a, b]. Demostrar que el cociente de dos funciones en B V [a, b] puede no pertenecer a BV [o, b]. Ihl Demostrar que la aplicación /•-» Vf[a, b]no es una norma en el espacio vecto­ rial B V to, b], pero la aplicación / H I / ¡ |B v = |/( a ) | + Y$[a, b] es una norma en este espacio. 29. y. Se continúa con el estudio de funciones de variación acotada en un inter­ valo [a, b ] s R. (al Si f e B V [a, b ]y si c e (a, b), dem ostrar que las restricciones de / a [a, c] y [c, b] tienen variación acotada en estos intervalos y que Fundones de una variable 255 M[fl>b ] = V([a, c ]+ VJ[c, í>]. A la inversa, si g :[«, b ]-+ R es tal que para alguna c e (a, b) se tiene g e BV [a, c ] y í e B V f o , b], e n to n ce s geBV[a,b]. IhI Si xxxxxxxxxxxi entonces se define p,(x) = V^[a, x ]p a ra x e ( a , b], y p,(a) = 0. Demostrar que p, es una función creciente en [a, b], {el Observe que si a < x s y £ b, entonces f e £ V [ a , b], f ( y ) ~ f M s M tx,y], Demostrar que si se define nf(x) = p ,(x )-/(x )p a ra x e [ a ,b ] , entonces n, es una fun­ ción creciente. fd) Demostrar que una función f:[a, b] —►R pertenece a B V [a, b] si y sólo si es la diferencia de dos funciones crecientes. i el Si f e B V [a, b] es continua por la derecha en un punto c e [ a , b), y si e > 0 , dem ostrar que existe 8 > 0 una partición tal que si Q = ( c < X i< - • - < x , = b)es una partición suficientemente fina de [c, b] con x 1- c < 5 , entonces, V,[a, b ] - J e £ je + ¿ |/(x i ) - / ( x k. 1)| ^ je + V;[x„ b], k-2 por lo que se deduce que V,[c, * .]= V,[c, b ] - V,[x„ b ] < e . .Dem ostrar que / e s continua en c e [a, b] si y sólo si v, es continua en c. tj) Deducir que una función continua f:[a, b ] —* JR pertenece a B V [a, b] si y sólo si es la diferencia de dos funciones continuas crecientes. 29.8. Lebesgue demostró que una función con variación acotada, tiene derivada en todo punto, excepto posiblemente para un conjunto de “ medida cero” . La de­ mostración de este resultado es bastante difícil y no se analizará aquí, pero se ob­ tendrán otras propiedades de dichas funciones. (al Si f e B V f a , b ] y si c e (a, b), entonces existen los limites por la derecha y por la izquierda de / en c. Estos límites son iguales, excepto, posiblemente para una colección numerable de puntos en [a, b]. (bl Si (/„) es una sucesión de funciones continuas en B V [a, b] uniformemente convergente en [a, b] a una función / . probar que no se deduce que / pertenezca a BV fo, b]. le) Sea (f„) una sucesión en B V [a, b] que converge en todo punto de [a, b] a una fu n c ió n /y supóngase que para alguna M > 0 s e tiene V j a , b] s M para toda neN. Demostrar que / pertenece a B V [a, b] y que V,[a, b] ■<, M. (d) Sea (/„) una sucesión en B V [a, b] tal que Hf. _ / ™ | | - » 0 conforme b v m, n —►oo. Demostrar que existe una función f e BV [o, b] tal que ||/. —/||„ v -*• Ocon­ forme n —» oo. (e) S ea(/„)una sucesión de funciones monótonamente crecientes definidas en I = [a, b] tai que ||/„||, < M para toda neN. Usar el método de la diagonal para ob­ tener una subsucesión (g*) de (/„) que converja para cada número racional r en [a, b]. Defina g(r) = lim (gk(r)) para r e Q n [ a , b]. D emostrar que g es creciente en O n [ a , b]. Se define a g para x e [ a , b) como el límite por la derecha g(x) = lim,-.,* g(r). Demostrar que si c e ja , b) es un punto de continuidad, entonces g(c) = limk gi,(c). Dado que g tiene cuando más una colección numerable de puntos de disconti­ nuidad. otra aplicación del método de la diagonal se puede aplicar para obtener una subsucesión (lu ) de (g,) que converja en todo punto de [a, b]. 256 Introducción al análisis matemático (/) Haciendo uso de la parle (e) demostrar el siguiente resultadó, al que se llama teorema de selección de Helly: Sea (/„) una sucesión de funciones en BV[a, b] tal que II/»I|dv s M para toda neN. Entonces, existe una subsucesión de (/„) que converge en todo punto de [a, b] u una función /eB V [a, b] para la cual ||/||Bv £ M. Sección 30 Existencia de la integral En la sección anterior se demostraron algunas propiedades útiles de la integral de Riemann-Stieltjes. Sin embargo, aún no se ha demostrado la exis­ tencia de la integral para muchísimas funciones. En esta sección se pondrá especial atención a funciones integrantes mo­ nótonamente crecientes, aunque gran parte de lo que aquí se haga se puede extender a funciones g que tengan variación acotada en un intervalo J = [a, b] en el sentido de que exista una constante M > 0 t a l que si P = (xo, Xi,. . . , x») es cualquier partición de J entonces (30.1) ¿ |g(*j)-g(X f-i)M M. i-i Es claro que si g es monótonamente creciente, entonces, la suma en (30.1) se reduce y se puede tomar M = g(b) - g(a). Por lo tanto, una función monóto­ namente creciente tiene variación acotada. Por el contrario, se puede de­ mostrar que toda función con variación acotada es la diferencia de dos fun­ ciones crecientes. (Véase el proyecto 29.7.) Primero se demostrará un resultado muy eficaz. 30.1 CRITERI O DE RI EMANN PARA INTEGRA BILI DAD. S J = [a, b] r sea g monótonamente creciente en J. Una función f :J —* R e s in­ tegrable con respecto a g en J si y sólo si para toda e > 0 existe una partición P. de J tal que si P = (x0, Xt,. . . , Xn) es un refinamiento de P«, entonces. (30.2) ¿ (M/ - m y){g(x,)-g(x,-,)}<e, en donde M¡ = sup{/(x) :x e f o - i, xj]} y m¡ = ¡n f{ /(x ):x e [x f- l, xy]} para j = 1 , . . . , n. DEMOSTRACION. S i/ es integrable con respecto a g y e > 0 está dada, sea P, una partición de J tal que si P = (x0, Xi,. . . , x„) es un refinamiento de P«, entonces, ; t S(P;/,g)-jVdg|<e Para cualquier suma de Riemann-Stieltjes correspondiente a P. Ahora,- elíjase y¡ y z¡ en fxy-j, xy] tales que M j - e < / ( y (), f(z,)<m¡-t-e. Funciones de una variable 257 Esto implica que M¡- m í < /(y J) - / ( z ,) + 2£ y por lo tanto Z ( M |- m t){ g (x ,)-g (x (-i)} s¿ /(y i){ g (^ )-g (x ,-,)} j- i t-i ~ Z /(2i){g(x() - g ( x I-,)} + 2e{g(b)-g(a)}. El lado derecho de esta desigualdad contiene dos sumas de Riemann-Stieltjes correspondientes a P que no pueden diferir en más de 2e. Por lo tanto, la condición (30.2) se satisface con e reemplazada por 2e{l + g(b) —g(a)}. Por el contrario, suponga que e > 0 está dada y que P, es una partición tal que (30.2) es válida para cualquier partición P = (x0, x , , . . . , x„)que re­ fine a P.. Sea Q = (y0, y i ,. . . , y™) un refinamiento de P; se va a calcular la diferencia S(P;f, g) —S(Q; f, g) de dos sumas correspondientes. Dado que todo punto de P pertenece a Q se pueden expresar ambas sumas de la siguiente manera S(P;f, g )= k-I Z /(u 0 { g (y 0 -g (y k -i)} / S(Q;f, g )= Z /(t*){g(yO-g(yk->)}- * k-1 Sin embargo, para expresar S (P ;/, g)en términos de los puntos en Q. se debe permitir la repetición de los puntos n y no exigir que uk pertenezca a [yk-,, yk]. Ya que, tanto uk como uk pertenecen a algún intervalo [x¡-i, x¡] y en este caso |/(u k) - / ( u k)| s M ¡-m ,. Multiplicando Por g(yk) - g ( y k_i) > Oy sumando se obtiene |S(P; f, g) - S(Q ; /, g)| s Z (Mf ~ m.KgfXj)- g(x,-,)} < e. Finalmente, sean P y P' refinamientos arbitrarios de P y sea Q un refi­ namiento común para P y P'. Dado que el argumento anterior es aplicable tanto a P como a P', se deduce que cualesquiera sumas S(P; f, g) y S(P'; f, g) podrían diferir en cuando más 2e. Por lo tanto, el criterio de Cauchy se aplica para dar la integrabilidad de / q íjj 30.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD. Si / es continua y g es monótonamente creciente en J, entonces/ es integrable con respecto a g en J. DEMOSTRACION. Dado que / e s uniformemente continua en J, dada e > 0 , existe una 8 (e )> 0 tal que si x, y e J y |x - y j< 8 ( e ) , entonces, l/( * )- /(y ) l< e - Sea P. = (z0, z , , . . . , zr) una partición tal que sup {zk - zk-i} < 8(e). Si P = (x0, X i,. . . , x„) es un refinamiento de P., entonces también sup {x¡-x¡-i}< 8(e) de donde M, —m j< e , por lo que se sigue que X ( H - mi){g(Xj)- g(Xj-,)} < e (g (b ) - g (a)). 258 Introducción al análisis matemático Dado que e > 0 es arbitraria, el criterio de Riemann es aplicable. Q £ J ). 30.3 COROLARIO. S i f es monótona y g es continua en J. entonces, f es integrable con respecto a g en J. DEMOSTRACION. Aplicar el teorema, anterior y el teorema 29.7 a ± f. O.e . d . El criterio de Riemann nos permite demostrar que el valor absoluto y el producto de funciones integrables son integrables. 30.4 TEOREMA. Sea g monótonamente creciente en J = [a, b]. (a) S i es integrable, entonces. |/ | es integrable con respecto a g en J. (b ) S i fi y f 2 son integrables, entonces, el producto fif2 es integrable con respecto a g en J. DEMOSTRACION. Defina y m, como en el criterio de Riemann y observe que M ,- m, = s u p { /( x ) -/(y ) : x, y e [x |-,, x,]}. Para demostrar (a), observe que | |/( x ) |- |/( y ) | | < |/( x ) - /( y ) |, por lo que el criterio de Riemann implica que |/ | es integrable cuando / lo es. También se puede ver que si |/(x)| < K para x e J , entonces l(/(x))2- ( /( y ) ) 2| :£ 2K |/(x ) -/( y )|, por lo que el criterio de Riemann implica que j 2 es integrable cuando/lo es. Para probar que / i/ 2 es integrable cuando f i y f i lo son, observe que 2/./2 = (/l+ /I)2- / . 2- / 2í. Q.e .d . 30.5 LEMA. Sea g monótonamente creciente en J - [a, b] y supo que f es integrable con respecto a g en J. Entonces. (30.3) 11J d g | J j / I dg < H/|U (g(b)- g(a)). S i m s /(x) £ M para toda x € J, entonces. (30.4) m(g(b)-g(a))£ |Vdg =sM(g(b)-g(a)). DEMOSTRACION. Del teorema 30.4 se deduce que |/ | es integrable con respecto a g. Si P = (x0, Xi,. . . , x.)es una partición deJ y(zj)es conjunto de puntos intermedios, entonces, para / = 1 , 2 , . . . , n, se tiene -II/IU = -|/(2,)| * * |/(Z()| £ ll/IU. Multiplicar p o rg(xj)- g(x,_,) s Oy sumar para obtener la estimación Funciones de una variable 259 -li/l!/ (g(t>)~ g(a)) * —S(P; |/Ug) S(P; f, g) s S(P; |f |, g) ^ ll/IM g (b )-g (« )), por lo tanto, se sigue que |S (P ;/, g)| s S(P; |/|, g) s (j/IU (g(*>)-g(a)lo que implica la validez de (30.3). La demostración de (30.4) es análoga y se omi­ tirá. Q.E.D. Evaluación de la integral Los dos resultados siguientes son útiles por sí mismos pero también nos llevan al teorema fundamental que es la herramienta principal para calcular integrables de Riemann. 30.6 PRIM ER TEOREMA DEL VALOR MEDIO. S ig es creciente en J = [o, b] r f e s continua de J a R, entonces, existe un número c en J tal que (30.5) j j d g = f ( c ) [ kdg = /(c){g(b) - g(a)}. DEMOSTRACION. Si m = inf {f(x):x e J}yM = sup{/(x):x e J}en el lema anterior se vio que m { g (b )-g (a )} s | f d g =s M {g(b)-g(o)}. Si g(b) - g(a), entonces, la relación (30.5) es trivial; si g(b) > g(a), entonces, del teorema del valor intermedio de Bolzano 22.4 se sigue que existe un número c en J tal que /(c) = { [ V ¿ g } /íg ( b ) - g ( a ) } . q .e .d . 30.7 TEOREMA DE DIFERENCIACION. Suponga que f e s conti­ nua en J y que g es creciente en J y tiene una derivada en un punto c en J. En­ tonces. la función F definida para x en J por medio de F(*>= 1 f dg’ tiene una derivada en c y F '(c) = /(c)g'(c). DEMOSTR ACION. Si h > 0 es tal que c + h pertenece a J , entonces, del teorema 29.6 y del resultado anterior se sigue que re rc+h / d g - J /d g = jt fdg 260 Introducción al análisis matemático = /(ci){g(c + h )-g (c)} , para alguna ct con c s c i s c + h. Una relación análoga es válida si h < 0 . Dado q u e /e s continua y g tiene una derivada en c, entonces, F'(c) existe y es igual a /(c )g ’(c). Q£D Aplicando este teorema al caso de Riemann, se obtiene el resultado que proporciona las bases para el método de la evaluación de integrales en cálculo. 30.8 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO INTEGRAL. Sea f continua en J = [a, b]. Una función F en J satisface (30.6) F (x )-F (a ) = J / p a ra x e J, •/ V. ■ . • . • • •• •! . si y sólo si F' = f en J. ,, ¡ >>. ¡ DEMOSTRACION. Si la relación (30.6) es válida y c e J, entonces, por el teorema anterior se puede ver que F'(c) = /(c).' Por el contrario, defina a F„ para x en J como F .(x ) = [ 7 . j El teorema anterior asegura que FL = f e n J . Si F es tal que F' = f, entonces, del teorema 27.9 (ii), se sigue que existe una constante C tal que F(x) = F«(x) + C, para x e J . Dado que F«(a) = 0, entonces, C - F(a) por lo que se deduce que si F' = f en J, entonces, F(x)-F(a) = |V- Q.e .d . NOTA. Si F es una función definida en J tal que F' = f e n J , algunas ve­ ces se dice que F e s una integral indefinida, una anti-derivada o una primitiva de f Con esta terminología, el teorema de diferenciación 30.7 asegura que toda función continua tiene una primitiva. Algunas veces, el teorema funda­ mental del cálculo integral se formula de maneras distintas a la que se da en 30.8, pero siempre incluye la afirmación de que, bajo hipótesis convenientes, la integral de Riemann d e /s e puede calcular evaluando cualquier primitiva de/ en los punto puntos terminales del intervalo de integración. Se ha dado la formulación anterior que ofrece una condición necesaria y suficiente para que una función sea una primitiva de una función continua. Un resultado un poco más general que no requiere de la continuidad del integrando se encontrará en el ejercicio 30.J. No se debe suponer que el teorema fundamental asegura que si la deri­ vada / d e una función F existe en todo punto de J, entonces,/es integrable y (30.6) es válido. De hecho, puede suceder que / no sea Riemann integrable Funciones de una variable 261 (véase el ejercicio 30.K.) En forma análoga una función/puede ser Riemann integrable pero no tener una primitiva (véase el ejercicio 30.L.). Como consecuencia del teorema fundamental y del teorema 29.8, se ob­ tiene la siguiente variante del primer teorema del valor medio 30.6, estable­ cida aquí para integrales de Riemann. 30.9 PRIM ER TEOREMA DEL VALOR MEDIO. S i f y p s o n con­ tinuas en J = [a, b] y p(x) a 0 para toda x e J , entonces, existe un punto c e J tal que (30.7) £ f(x)p(x) dx = /(c ) £ p(x) dx. DEMOSTRACION Defina g : J - * R para x e J por medio de g(x)=!?(*>dU Dado que p(x) s 0, se puede ver que g es creciente y se deduce del teorema de diferenciación 30.7 que g' = p. Por el teorema 29.8, se concluye que J>=J> y del primer teorema del valor medio 30.6, se deduce que para alguna c en J J /(c)J f dg = p. Q.E.D. Como una segunda aplicación del teorema 29.8, se reformulará el teo­ rema 29.7 que se refiere a integración por partes en una forma más tradicio­ nal. La demostración se le deja al lector. 30.10 INTEGRACION POR PARTES. S i /y g tienen derivadas con­ tinuas en [a, b], entonces I V = f(b)g(b) - /(a )g (a ) - j j ' g . El siguiente resultado, con frecuencia es útil. 3 0 .1 1 SEGUNDO TEOREMA DEL VALOR MEDIO, (a) Si f e s creciente y g es continua en J = [a, b], entonces, existe un punto c e n j tal que (30.8) j 4 /d g = /(a ) d g + / ( b ) | dg. (b) S i f es creciente y h es continua en J, entonces, existe un punto c en J tal que 262 Introducción al análisis matemático (30.9) |V = / ( a ) f h + / ( i > ) |V <ci Si <pes no negativa y creciente y h es continua en J, entonces, existe un punto c en J tal que £ <ph = <p(b)| h. DEMOSTRACION. Las hipótesis, junto con el teorema de integrabi- lidad 30.6 implican que g es integrable con respecto a /e n J. Más aún, por el primer teorema del valor medio 30.2 [ ‘g d /= g (c X f(b )-/(a )} . Después de usar el teorema 29.7, que se refiere a integración por partes, se concluye que / es integrable con respectp a g y | J d g = {f(b)g(b)-f(a)g(a)}~ g (c){/(b)-/(a)} = /(a){g(c) - g (a)}+f (b){g(b) - g(c)} = / ( a ) [ ‘d g + /( b ) j\ig , lo que demuestra la parte (a). Para demostrar (b). defina a g en J por medio de + g(x) = £ h, de tal manera que g '= h . La conclusión se sigue entonces de la parte (a) usando el teorema 29.8. Para demostrar (c) defina a F igual a <p para x en (a, b] y defina F (a) = 0. Se aplica ahora la parte (b) a F. q .e . d . A la parte (el del teorema anterior frecuentemente se le llama la forma de Bonnett del segundo teorema del valor medio. Es evidente que hay un re­ sultado correspondiente para una función decreciente (cf. ejercicio 30.N.) Cambio de variable En seguida se demostrará un teorema que justifica la fórmula familiar relacionada con el “cambio de variable” en una integral de Riemann. 30.12 TEOREMA DEL CAMBIO DE VARIABLE. Sea la función definida de un intervalo [a, 0] a R en una derivada continua y suponga que a = <p(a) y b = <p(0). Si / e s continua en el rango de <p, entonces, tO S S IA N B O N N ET (1819-1892) se le conoce principalm ente por su trabajo en geometría dife­ rencial. Funciones de una variable 263 (30.10) | J ( x ) dx = JV(«P(t))«p'(t) di. DEMOSTRACION. Sea I —^([a, 0]) defina a F como F(£) = £ f(x) dx para £ e I y considere a la función H definida por H(t) = F(<p(t)) para a s t s f i . Observe que H(a) = F(a) = 0. Si se diferencia con respecto a / y se usa el hecho de que F* —f (¿por qué?), se obtiene H '(0 = F'(<p(t))<f>'(t) = f(q>(t))<p'(t). Se aplica ahora el teorema fundamental para deducir que j¡V(*> dx = F(b) = H (0 ) = |V(<P(0)<P'0) dt. qjld . Modificación de la integral El siguiente resultado con frecuencia sirve para reducir una integral de Riemann-Stieltjes a una integral de Riemann. 30.13 TEOREMA. Si g’ existe y / y g' son Riemann integrables en [a,-6], en tonces,/es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g y (30.11) j > =J > DEMOSTRACION. Sea M > 0 tal que |/(x)| s M para i e [ a , b ] y sea e > 0 . Del teorema 30.4 se sigue que /g' es Riemann integrable. Por lo tanto, existe una partición P. de [a, b] tal que si P - (x0, xt, . . . , x»)es algún refinamiento de P, y si (je lx j-i, x¡] para j = 1 , . . . , n, entonces, (30.12) I Í f ( i ) g 'Í S X ^ - x ,- ,) - f /g 'l< « . I j-l Ja | Como g' es Riemann integrable, también se puede suponer (en virtud del cri­ terio de Riemann 30.1) que P. se ha elegido de tai manera que (30.13) t (Mf- m j)(x1- x , - 1)< fi, en donde Mi = sup{g!(x):xe[x(-i, x,]} y m. = inf {g'(x):xe[X |-t, x¡]}. Si se usa el teorema del valor medio 27.6, se obtienen puntos ¿ e(xj->, x¡) tales que 264 Introducción al análisis matemático í /(&){g(X))-g(x,_,)}- í fg' i-« J* I / ( 6 ) g X W - * , - . ) - í 7 g '! í-1 Ja n * I / ( 6 ) { g '( 6 ) - g '( $ ) } ( * - * - . ) ! + /-1 ± /(6)g'(6KJ*i-ai-0- P/B' Ja Ahora, como |g '(íj)- g'(é)| £ - m(, se sigue de (30.12) y (30.13) que la expresión anterior está dominada por n M X (M, -m¡)(x¡ - x , - t) + e < (M + I)e. Dado que e > 0 y la elección de ¿ e[x,-i, x,] son arbitrarias, se sigue q u e /e s integrable con respecto a g y que (30.11) es válido. OED OBSERVACION. La demostración se puede modificar para apli­ carla al caso en que / es acotada y g es continua en [a , t>], y en el que g tiene una derivada excepto en un número finito de puntos en los que g’se puede de­ finir de tal manera que g' y fg’ sean Riemann integrables en [a, b]. Ejercicios 30.A. Demostrar que una función acotada que tenga cuando más un número fi­ nito de discontinuidades es Riemann integrable. 30.B . Si / : [a, b ) —» R es discontinua en algún punto del intervalo, entonces, existe una función g monótonamente creciente tal que / n o es g-integrable. ------- 3Q.C. Demostrar que el teorema de integrabilidad 30.2 es válido cuando g es una funciónde variación acotada en J. Dar un ejemplo de una función / que no sea Riemann integrable sobre J pero tqTque |/ | y / 2 sean Riemann integrables s o b r e / 30t E. Sea /p o s itiv a y continua en J = [ a , b ] y sea M = sup { /(x ): x € J}. De­ m ostrar que 30/IT Demostrar que el primer teorema del valor medio 30.6 puede no ser válido si / no es continua. <3 Í C . Demostrar que el teorem a de diferenciación 30.7 es válido si se supone que/ es integrable en J con respecto a una función creciente g. q u e /e s continua en c y que g es diferenciable en c. ~ 30jH. Suponga que / es integrable con respecto a una función creciente g en J = [ a ,b ] y defina a F para x e J como Funciones de una variable 265 Demostrar que: (a) si g es continua en c, entonces, Fe scontinua en c y (b) si / e s posi­ tiva, entonces, F es creciente •------3Cfl. Dar un ejemplo de una función Riemann in te g ra b le /e n ,/ta l que la función F definida para x s J por medio de F(x) = [7 , no tenga derivada en algunos puntos d eJ. ¿Puede usted encontrar una función intcgra- . ble / tal que no sea continua en 7? /-•- j ^ J . Si / es Riemann integrable en J = [a, b] y si F ' = / en J. entonces F (b)-F (a) = |V (Sugerencia: si P = (x„. Xi,. . . , x») es una partición de J, escribir F(b) —F(a) = É{F(x,) —F(x,.,)}. i-i 3Q.K. Defina a F como F (x) = x , s e n (l/x 2), 0 < x s l, = 0, x = 0. Entonces, F tiene una derivada en todo punto de /. Sin em bargo, F ' no es integrable en / y F no es la integral de su derivada. 30.^. Defina a /c o m o /(x ) = [x] para x e [ 0 , 2]. E n to n ces,/es Riemann integra­ ble en [0 ,2 ], pero no es la derivada de ninguna función. 30.IVJ. En el primer teorema del valor medio 30.9, suponga que Pe s Riemann in­ tegrable (en lugar de continua). Demostrar que la conclusión sigue siendo válida. 30. N. Si <p es no negativa y decreciente y h es continua en [a, b], entonces, existe un punto | e [ a , b] tal que | <ph = <p(a)J h. 3 0 .0 . Sea /c o n tin u a en f = [ 0 , 1], sea f„ = f, y defina a /„*, como /.♦i(x) = f /,(l) di para n e N, x e I. Jo P o r in d u c c ió n , d e m o s tr a r q u e |/.(x )| £ (M /n !)x “ «s M /n!, en d o n d e M = sup {|/(x)|:x e I}. Se sigue que la sucesión (/„) converge uniformemente en / a la función cero. 3 0 ^ Si / es integrable con respecto a g en J = [a, b], si <p es continua y estricta­ mente creciente en [c, d], y si <p(c) = a, <p(d) = b, entonces, f°<p es integrable con res­ pecto a g°<p y l^dg=I 30.Q. Si / es continua en [a, b] y si j 266 Introducción aI análisis matemático > para todas las funciones continuas h, entonces, f(x) = 0 para toda x. 30.R. S i / e s integrable en [a, b] y si para todas las funciones continuas h. entonces, f(x) = 0 para todos los puntos de con­ tinuidad d e / 3 0 .S YSea P continua y positiva en [a, b] y sea c > 0 . Si para toda x e [ a , b], dem ostrar que p(x) = 0 para toda x. 3 0 ./ . S ea/co n tin u a y tal que /(x ) & 0 para toda x e [ a , b]. Si g es estrictam ente creciente en [a, b] dem ostrar que si y sólo si f(x) = 0 para toda x e [ a , bj. 3 0 .U . Demostrar que si g es estrictam ente creciente en [a, b], entonces, en el primer teorema del valor medio 30.6 se puede tom ar c e (a, b). Hacer una modifica­ ción análoga de las partes (al y (bj del segundo teorema del valor medio 30.11. -•.■2»—3 0 ^ Evaluar las siguientes integrales de Riemann-Stieltjes. (Aquí, x £xJ la función del entero máximo.) Proyectos 30. a . El propósito de este proyecto es desarrollar el logaritmo usando una inte­ gral y su definición. Sea P = { x e R : x > 0 } . (a) Si x e P , defina L(x) como por lo que L(1) = 0. D em ostrar que L es d iferen ciare y que L ' ( x ) - l / x . (h) D em ostrar que L ( x ) < 0 para 0 < x < 1 y L ( x ) > 0 para x > l . De hecho. Funciones de una variable 267 1 —1/* < L (x) < x —1 p ara x > 0 . (el Demostrar que L (xy) = L (x) + L (y) para x. y en P. Por lo tanto, L (l/x ) = —L(x) para x en P. (Sugerencia: si y € P , defina a L, en P como L,(x) = L (xy) y dem ostrar que L ’, - L ' . ) (di Demostrar que si n e N , entonces ! + ! + . . . + i < L (n )< 1 + i + . . . + _ i _ . (el D emostrar que L es una función uno a uno que se aplica a P sobre todo R. Si e denota al único número tal que L(e) = 1, usando el hecho de que 1/(1) = 1, dem ostrar que e = lim ((1 + l/n )“). (f) Sea r cualquier número racional positivo, entonces, lim ,_ * .L (x )/x '= 0. (g) Observe que L (l + x Escribir (1 + t)~‘ como una serie geométrica finita para obtener L ( l + x) = " f x ‘ + R .(x ). k-1 K Demostrar que |R ,(x )| :£ l/( n + 1 ) para O s x s l y |R’( x ) |s (w + ll(l+ x) para' 1<X < 0- 30. p. Este proyecto dessarrolla las funciones trigonométricas empezando con una integral. (a) Defínase A para x en R como Entonces A es una función impar (es decir, A { —x) = - A ( x ) ) , es estrictamente cre­ ciente y está acotada por 2. Defina ir com oir/2 = s u p { A (x ):x e R } . (bl Sea T el inverso de A, de tal manera que T es una función estrictam ente cre­ ciente con dominio ( - ir /2 , ir/2). Demostrar que T tiene una derivada y que T '= 1 + T J. (el Defina C y 5 en ( -ir /2 , tt/2) por medio de las fórmulas 1 T c = 0 + t 5P ’ s = ( I + t 5F ' Por lo que C es par y S es impar en (—ir/2, tt/ 2). Demostrar que C(0) = 1 y S(0) = 0 y C (x) -* 0 y S(x) -» 1 conforme x —* tt/2. (di Demostrar que C '(x) = —S(x) y S'(x) = C (x) para x en ( -ir /2 , ir/2). Por lo tanto, tanto C como S satisfacen la ecuación diferencial h"+ h = 0 en el intervalo ( - tt/2, ir/2). (el Defina C (ir/2) = 0 y S(tr/2) = 0 y defina C.S.T fuera del intervalo (—tr/2, tt/2) por medio de las ecuaciones 268 Introducción al análisis matemático C(x + «•) = —C (x), S(x + ir) = -S (x ), T(x + ir) = T(x). Si esto se hace sucesivamente, entonces Cy S están definidas para todo R y tienen pe­ ríodo 2tt. Análogamente, T está definida excepto en múltiplos impares de tt/2 y tiene período ir- (f) Demostrar que las funciones C y S. como se definieron en R en la parte rior, son diferenciables en todo punto de R y siguen satisfaciendo las relaciones C' = -S , S' = C en todos R. 3().y. Este proyecto desarrolla la importante fórmula del producto de Wallis.t En dicha fórmula se tomará la) Si n >2, entonces, S„ = [(n-l)/n]S«.j. ISugerencia: integrar por partes. (h) Probar las fórmulas 1 • 3 • 5 • • • (2w - 1) tt 2 • 4 • • • (2n) 2 • 4 • 6 • • • (2n) 2 ’ aj"*‘ 1 • 3 • 5 • • • (2n +1)" le) Demostrar que la sucesión (S„) es monótonamente decreciente. (Sugerencia: t O s s e n x s 1.) ld) Defina W„ como 2 - 2 - 4 - 4 - Ó - 6 - - - (2w)(2rt) 1 - 3 - 3 - 5 - 5 - 7 * " ( 2 n - l) ( 2 n + l ) - Demostrar que lim(W„) = ír/2. (Producto de Wallis.) le) Demostrar que l¡m((n!)12*7(2n)! Vñ)* Vir. . • I 3t).S. Este proyecto desarrolla la importante fórmula de Stirlingí la cual estima 1 la magnitud de n!. la) Comparando el área bajo la hipérbola y = 1/x y el área de un trapezoide , inscrito en ella, demostrar que j 2 ^ T <1° g ( 1+ i ) . A partir de esto, demostrar que e <(1 + l/n)"*1”. Ih) Demostrar que tJO H N WAI i. 1S ( 16 16-1703). profesor de Savilia de geometría en Oxford durante sesenta años, fue un precursor de Newlon. Ayudó a implantar las bases para el desarrollo del calcula t JAMES STIRLING (1692-1770) fue un matemático inglés de la escuela Newloniana. la ^ fórmula que se le atribuye a Stirling en realidad fue demostrada anteriormente por ABRAHAM DE MOIVRE (1667-1754), un hugonote francés quien se estableció en Londres y fue amigo de Newton. Funciones de una variable 269 | log x dx = n log n - n +1 = log (n/e)* + 1. Considere la figura F hecha de rectángulos con bases [l,}],[rt - j , n] y alturas 2, log n, respectivamente, y de trapezoides con bases [k - i , k +5], k = 2 ,3 ,..., n —1, y con al­ turas inclinadas que pasan por los puntos fk.log k). Demostrar que el área de F es l + log2 + --- H o g (n - l) + jlog n = 1+log (n!)-log Vñ. (el Comparando las dos áreas de la parte (b), demostrar que (rVe)Nn<1 u. M1 * h e N. (d) Demostrar que la sucesión («,) es monótonamente creciente. (Sugerencia: considere Un,i/u»-) (e) Considerando UnVuj», y haciendo uso del resultado de la parte (el del proyecto anterior, demostrar que lim (tO = (2irY,n. (f) Obtener la fórmula de Stirling Sección 31 Otras propiedades de la integral •* i En esta sección se estudiarán otras propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes (y de la de Riemann) que con frecuencia son útiles. Primero se considera la posibilidad de “ tomar el límite bajo el signo de la integral’*, es decir, la integrabilidad del límite de una suce; Sn de funciones integrables. Suponga que g es monótonamente creciente en un intervalo J = [a, b] y que (f„) es una sucesión de funciones que son integrables con respecto a g y que convergen en todo punto de J a una función/ . Es bastante natural esperar que la función límite/ sea integrable y que (31.1) | f d g - lim j fndg. Sin embargo, éste no es necesariamente el caso aun para funciones muy exac­ tas. EJEMPLO. Sea J = [ 0 ,1], sea g(x) = x, y defina f. Para rt > 2 como /„(x) = n 2x, 0 < x < 1/n, = - n 2(x - 2/n), 1/n < x s 2/n, 270 Introducción al análisis matemático = 0, 2 / n s x s>l . Es claro que para cada n la función /„ es continua en J y por lo tanto es inte­ grable con respecto a g. (figura 31.1). Ya sea por medio de un cálculo directo o remitiéndose al significado de la integral como un área, se obtiene f / .( * ) d x = 1, n 2; 2. Además, la sucesión (/„) converge en todo punto de J a 0: Por lo que la fun­ ción límite / es idénticamente cero, es integrable y Jo7 (x )d x = 0. Por lo tanto, la ecuación (31.1) no es válida en este caso aún cuando ambos lados tengan un significado. Dado que la ecuación (31.1) es muy conveniente, nos preguntamos si existen algunas otras condiciones sencillas que la impliquen. En seguida se de­ muestra que si la convergencia es uniforme, entonces, esta relación es válida. 31.2 TEOREMA. Sea g una función monótonamente creciente en J y sea (/„) una sucesión de funciones integrables con respecto a g sobre J. Su­ ponga que la sucesión (/*) converge uniformemente en J a una función límite f Entonces, f es integrable con respecto a g y (31.1) £ 7 d g = U m |7,.dg. DEMOSTRACION. Sea e > 0 y sea IV tal que ||/N~ /|| j < e. Sea PN una partición de J tal que si P,Q son refinamientos de PN, entonces, Figura 31.1 (iráCica de /.. Funciones de una variable 271 ] S ( P ; f s , g ) ~ S ( Q ; f N, g)| < e, para cualquier elección de los puntos interme­ dios. Si se usan los mismos puntos intermedios para / y fN. entonces, |S (P ;/ n, g ) ~S (P ;f, g )|< ¿ {g(*)-g(x*-,)} ' k-1 = 11/n —/IU {g(b) - g(a)}< e{g(b) - g(a)}. Dado que un cálculo similar es válido para la partición Q, entonces, para los refinamientos P,Q de PN y sumas de Riemannn -Stieltjes correspondientes, se tiene |S(P; f, g) - S(Q ; /, g)| £ |S(P; /, g ) - S(P; fN, g)| + |S (P ;/N, g ) - S ( Q ; / N>g)| + |S ( 0 ; / N, g ) - S ( 0 ; / , g ) | s e (l + 2{g(6) —g(a)}). De acuerdo con el criterio de Cauchy 29.4, la función límite / es integrable con respecto a g. Para Probar (31.3) se usa el lema 30.5: |[WJ>gH f ( / - / . ) d g | ^ ||/- /- I M g ( b ) - g ( a ) } . Y dado que lim ||/~ /»|| j = 0, se obtiene la conclusión deseada. o . e .d . La hipótesis supuesta en el teorema 31.2 de que la convergencia de la su­ cesión (/„) es uniforme es un tanto severa y restringe la utilidad del resultado. Se establecerá ahora un resultado que no restringe tanto a la convergencia, pero que sí requiere de la integrabilidad de la función límite. Este resultado no se demostrará aquí, ya que la demostración más natural requeriría entrar a "teoría de la medida” . (Sin embargo, el lector puede consultar el artículo de Luxemberg que aparece en las referencias.) 31.3 TEOREMA DE CONVERGENCIA ACOTADA. Sea (f„) una sucesión de funciones integrables con respecto a una función g monótona­ mente creciente de J = [a,b J a R. Suponga que existe B > 0 tal que¡|/„(x)|| £ B para toda n e N , x e J . Si la función f(x) = lim (/„(*)), x e J , existe y es integrable con respecto a g en J. entonces, (31.1) J f dg = lim J /„ dg. La siguiente consecuencia del teorema de convergencia acotada con fre­ cuencia es útil por lo que se demostrará formalmente. 31.4 TEOREMA DE CONVERGENCIA MONOTONA. Sea (/„) una sucesión monótona de funciones integrables con respecto a una Junción 272 Introducción al análisis matemático m o n ó to n a m e n te crec ien te g de J = [a ,b ] a R . S i la fu n c ió n f(x) = lim (/„(x)), x e J , es integrable con respecto a g en J, entonces. (31.1) jVdg=limjV»dg. DEMOSTRACION. Suponga que f¡(x) < / 2(x) < • • • £ /(x) Para toda x e J . Entonces, ||/'„(x)||s B, en donde B = ||/i|U + ||/||j, Por lo que se puede a p lic a r 31.3. q .e .d . El principal motivo de la importancia de la teoría de integración de Le- besgue (y Lebesgue-Stieltjes) es que amplía la clase de funciones integrables de tal manera que la ecuación (31.1) es válida bajo supuestos más débiles de los que se dan en teoremas anteriores. Ver Los Elementos de Integración, del autor, que aparece en las referencias. >•< Forma integral para el residuo El lector recordará el teorema de Taylor 28.6’ que permite calcular el valor J\b) en términos de los valores /(a ), f'(a)........ / (" 'l,(a) y un término re­ sidual que comprende a / (n) evaluada en un punto entre a y b. Para muchas aplicaciones es más conveniente poder expresar el término residual como una integral que comprenda a f M. 31.5 TEOREMA DE TAYLOR. Suponga que f y sus derivadas f, / <n) son continuas de [a, fc] a R. Entonces. f(b) = fia) + £ $ (b - a) + • • • + (b - a )-* + R„ en donde el residuo está dado por (3i.2) DEMOSTRACION. Integrar R„ por partes para obtener Rn = ( ^ é j)r{ ( b - t r r n~l\ t) £ + (n - 1 ) j \ b - t r > r - ' \ t ) * } - - (S fi » ‘-«>■"■-(ira; J> •-o-T-M Si se continúa integrando por partes de esta manera, se obtiene la fórmula es­ tablecida. Q.E.D. Funciones de una variable 273 En lugar de la fórmula (31.2); a menudo es conveniente hacer el cambio dé variable t = (1 —s)a + sb, Para j en [0,1], y obtener la fórmula (31.3) R„ = ¿ ‘(I - s r 7 ("’[a + (i> - a)s] ds. Esta forma del residuo se puede extender al caso en que/ tiene dominio en R p y rango en R*. I! .' Integrales dependientes de un parámetro Con frecuencia es importante considerar integrales en las que los inte- grandos dependan de un parámetro. En tales casos, uno desea tener condicio­ nes que aseguren la continuidad la diferenciabilidad y la integrabilidad de la función resultante. Los siguientes resultados son útiles en relación con esto. Sea D el rectángulo en K x K dado Por D = {(x, t)'-a s x £ b, c < t ^ d}, y suponga q u e /e s continua de D a R. Entonces, se puede probar fácilmente (cf. ejercicio 22.G) que, para cada t fija en [c, d], la función que manda a .v a Jlx.t) es continua en [a, b] y por lo tanto, Riemann integrable. Se define F para t en [c, d ] por medio de la fórmula (31.4) Primero se demostrará que F es continua. 31.6 TEOREMA. Si f es continua de D a R y si F está definida por (31.4), entonces. F es continua de [c, d] a R. DEMOSTRACION. El teorema de continuidad uniforme 23.3 implica que si e > 0 , entonces, existe una S (e )> 0 tal que si / y t0 pertenecen a [c, d] y |t- to |< 8 ( e ) , entonces. |/(x, « )-/(* , to)| < e, Para toda .v en [a, b]. Del lema 30.5 se sigue que lo que prueba la continuidad de F. Q.E.D 274 Introducción al análisis matemático En los dos resultados siguientes, se usará el concepto de derivada parcial de una función de dos variables reales. Este concepto, familiar para el lector (por cálculo), se analizará más adelante, en el capítulo Vil. 31.7 TEOREMA. Si f y s u derivada parcial f x son continuas de D a R, entonces, la función F definida por (31.4) tiene una derivada en [c, d] y (31.5) F '(0 = [Y.(x, t) dx. DEMOSTRACION. Por la continuidad uniforme de f, en D se dedu- ce.que e > 0 , entonces, hay una 8 ( e ) > 0 ta l que.si | t - t 0|< 8 (e ) , entonces, |/,(x ,t)-/.(x , t o ) l < e Para toda x en [a, b]. Sean t, t0 tales que satisfagan esta condición, apliqúese el teorema del valor medio 27.6 para obtener una ti (que puede depender de* y esté entre t y fo) tal que j f(x, t ) - f ( x , to) = (t - to)f.(x, t,). i Combinando estas dos relaciones, se deduce que si 0 < Jt —to|< 8(e), enton- ; ces, ■ i | /(X’ -|~l ( o(X’ to)- / . (x,to) | < £ , para toda x en [o, b]. Aplicando el lema 30.5 se obtiene la estima | tí * | « f | tí\u s e(b-a), que prueba la ecuación (31.5). q .e jj . i i Algunas veces, el parámetro / entra en los límites de integración así como en el integrando. En el siguiente resultado se considera esta posibilidad. En su demostración, se hará uso de un caso muy especial de la regla de la ca­ dena (que se verá en el capítulo V il) la cual le será familiar al lector. 31.8 FORMULA DE LEIBNIZ. Suponga que f y f, son continuas de D a R, que a y (i son funciones diferenciales en el intervalo [c, d] y que tiene valores en [a, b]. S i <p está definida en [c, d ] por medio de Í e<*> /(x, t) dx, «(») entonces <p tiene una derivada para cada t en [c, d] que está dada por Funciones de una variable 275 (3 1 .7 ) <p’(t) = f(P(t), t)p ’(t)-f(ac(t), t)a'(t)+ f,(x, t) dx. s (O DEMOSTRACION. Defínase H para (u,vj) como H (u, v, t) = £ /(x, t) dx, cuando u. v pertenecen a [a, b] y t pertenece a [c, d]. La función <p definida en (31.6). es la composición dada por <p(t) = H((i(t), a(t), t). Aplicando la regla de la cadena se tiene <p'(t) - Hu(fS(t), a (t), t)f}'(t) + H.(f3(t),a(t), t)a'(t) + H<(fl(t), a (t), t). De acuerdo con el teorema de diferenciación 30.7, Hu(u, v, t) = /(w, í), Hv(u, v, t) = - / ( t>, í), y por el teorema anterior, se tiene H,(M,tl,t) = j/,(X,t)tl>C- Si se substituyen u = ^ ( 0 y t>= a (i), se obtiene la fórmula (31.7) o^x>. S i/e s continua de D a R y si Festá definida por la fórmula (31.4), entonces se demostró que el teorema 31.6 que F e s continua y por consecuencia Riemann integrable en el intervalo [c, d]. En seguida se demuestra que esta hipótesis de continuidad es suficiente para asegurar que se puede intercambiare! orden de integración. En fórmulas, esto se puede expresar como (31.8) f{f /(x, t) dx j dt =ru: /(x, f) d tj dx. 3I.9TEOREM A DE INTERCAMBIO. S i f es continua en D con va­ lores en R. entonces, ¡a fórmula 131.8) es válida. DEMOSTRACION. El teorema 31.6 y el teorema de integrabilidad 30.2 implican que las dos integrales iteradas que aparecen en (31.8) existen: sólo queda demostrar la igualdad. Dado que/ es uniformemente continua en D. si e > 0 existe una 8 (e )> 0 tal que si |x - x '|< 8 ( e ) y |t - l’|< 8 (e ),e n to n ­ ces, |/(x, t ) - / ( x ', t')|< e . Elija a n de tal magnitud que (b - a ) / n < S ( e ) y (d - c)/n < 8(e) y divida a D en rectángulos iguales dividiendo [a, b] y [c, d] en n partes iguales. Para / = 0 , 1 , . . . , n, sea x, = a + ( b -a ) ;/n , t, = c + ( d -c ) j/n . Se Puede escribir la integral de la izquierda en (31.8) como la suma 276 Introducción al análisis matemático Aplicando el primer teorema del valor medio 30.6 dos veces, se deduce que existe un número xj en [x¡-i, x¡] y un número tí en [fc-i, t ] tal que 1 { j j /(*’ *)<&] d* = /(x|, tiK xj-X j-.K tk-fc-,). Por lo tanto, se tiene í íí ^ X’^ dt =£% ^ X'h ~x,",^ík~ i La misma línea de razonamiento aplicada a la integral de la derecha en (31.8), da la existencia de números x" en [xj-», x¡] y tí en [fc-i, fe] tales que 1 { I ^ X’ ^ díl dX = £ ^ X"’ ~ Xi- 1^ ík ” k -')- Dado que xj y x¡ pertenecen a [x¡-i, Xj] y tí, tí pertenecen a [fc-i, fe], Por la continuidad uniforme d e /s e concluye que las dos sumas dobles y por lo tanto las dos integrales iteradas, difieren, cuando más, en e(b —a)(d —c). Dado que e > 0 es arbitraria, la igualdad de estas integrales se confirma. Q.E.D. Teorema de representación de Riesz i Esta sección concluirá con un teorema complejo que, a pesar de que no se aplica í más adelante, desempeña un papel muy importante en análisis fun­ cional. ! ir • Primero, será conveniente enunciar algunos resultados que ya se han de­ mostrado o que son consecuencia directa de lo que se ha hecho. Sea J = [a, t>] una celda cerrada en R, denote por C(J) el espacio vecto­ rial de todas las funciones continuas de J a R y sea C(J) la norma en C(J) definida Por ||/||, = su p { |/(x )|:x e J} . Una funcional lineal en C{J) es una función lineal G : C ( J ) —* R definida en el espacio vectorial C(J); Por lo que G(afi + pf2) = aG(fi) + pG(f2) para todas a, p en R y f i , f 2 en C{J). Una funcional lineal G en C(J) se dice que es positiva si para cada f e C(J) con f(x) > 0, x e J, se tiene G(f) > 0. Una funcional lineal G en QJ) se dice que es acotada si existe M > 0 tal que |G (/)| :£ M ||/||j t En una primera lectura el resto dé esta sección se puede omitir. Funciones de una variable 277 para toda f e C(J). 31.10 LEMA. Si g es una función monótonamente creciente en J y si G está definida para f en C(J) por medio de (31-9) G (/) = JW entonces G es una funcional lineal positiva acotada en C(J). DEMOSTRACION. De los teoremas 29.5 (a) y 30.2 se deduce que G es una función lineal en C(J) y del lema 30.5 que G es acotada con M = g ( b )- g (a ) . Si / pertenece a C(J) y f(x) 2:0 para x 6 J, entonces, to­ mando m = 0 en la fórmula (30.4) se concluye que G (/)& 0 . q.e.d Se demostrará ahora que, por el contrario, toda funcional lineal positiva acotada en C(J) está generada por la integral de Riemann-Stieltjes con res­ pecto a alguna función monótonamente creciente. Esta es una forma del céle­ bre “teorema de representación de Riesz” que es una de las claves para el tema “ análisis funcional” y tiene muchas generalizaciones y aplicaciones trascendentes. El teorema lo demostró el gran matemático húngaro Frederic Riesz ,t 31.11 TEOREMA DE REPRESENTACION DE RIESZ. S i G es una funcional lineal positiva acotada en C{J), entonces, existe una función g monótonamente creciente en J tal que (31.9) G (f) = [V d g , para toda f en C(J). DEMOSTRACION. Primero se definirá una función g monótona­ mente creciente y después se demostrará que (31.9) es válido. Existe una constante M tal que si 0 s /i(x) < f 2(x) para toda x en J, en­ tonces, 0 s G(f¡) ^ G(f2) ^ M 1/4,. Si t es cualquier número real tal que o < t < b, y si n es un número natural lo suficientemente grande, se toma a como la función (figura 31.2) en C(J) definida por <pt.(x) = 1, a s is l, (31.10) = 1 —n(x —t), f < x « s t + l/n, = 0, »+ l / n < x < b . Es fácil ver que si n s m, entonces, para cada t con a < t < b , t FREDERIC RIESZ (1880-1955), un brillante matemático húngaro, fué uno de los fundadores de topología y análisis funcional. También hizo valiosas aportaciones a la teoría potencial, er- gódica y de integración. 278 Introducción al análisis matemático O s; <p^m(x) s <¡fv, ( x) s 1, de tal manera que la sucesión ( G f o . ) : n e N) es una sucesión de números reales decreciente y acotada que converge a un número real. Se define gft) igual a este limite. Si a < t £ s < b y n e N , entonces, 0 s <Pu*(x) «s <p„(x) £ 1, por lo que se deduce que g(t) s g ( s ) . Se define g(a) = 0 y si <pt,mdenota la fun­ ción qy„(x) = 1, x e J, entonces, se fija g (b) = G(«pt.„). S i a < t < b y n e s l o suficientemente grande, entonces, para toda x en J se tiene 0 s <pw,(x) £ = 1, y g(a) = 0 s G(<Pm.) s G(«p».») = g(b). Esto prueba que g(a) s g (t)s g(b)y completa la construcción de la función g monótonamente creciente. Si/ es continua en J y e > 0 , hay una 6 (t¡)> 0 tal que si | x - y | < 8(e)y x, y 6 J, entonces, |/(x ) —/(y)| < c- Dado q u e /e s integrable con respecto a g, existe una partición P. de J tal que si Q es un refinamiento de P„ entonces, para cualquier suma de Riemann-Stieltjes se tiene Ahora, sea P = (to, t i,. . . , t») una partición de J, en puntos distintos, que es un refinamiento de P. tal que sup {fe —U_i}<é8(e) y sea n un número na­ tural tan grande que 2 /n < in f {tk-fc-i}. Entonces, sólo los intervalos consecutivos (31.11) [to, f, + 1/n]........ i»• ■• [fc-i, U + 1/n]......... [ c - i , C.] 1 I a t t+ l/n ». i Figure 31.2 O rática de Fundones de una variable 279 tienen puntos en común (figura 31.3). para cada k = 1 , . . . , m, la sucesión de­ creciente (G(<p*,„)) converge a g(fe) y se puede suponer que n es tan grande que (31.12) g(fc) s G (* v « )s g(tk) + (e/m H/&,). Considere ahora la función /* definida en J como (31.13) /*(*) = /(fi)<pi,^(x)+¿ /(tk){<p»l.-.(x)-<pfc_„„(x)}. k-2 Un elemento x en J pertenece a un intervalo o bien a dos en (31.11). Si perte­ nece a un intervalo, entonces, se debe tener to S X < ti y f* (x) = f(u ) o se tiene k-i + ( l / n ) < x s t k para alguna k = l , 2 , . . . , m en cuyo caso f*(x)= /(lie), (figura 31.4). Por lo tanto |/( x ) - /* ( x ) |< e . Si x pertenece a dos intervalos en (31.11), entonces, t s x s f c + l/n para alguna k — 1 , . . . , m - 1 y se deduce que f*(x) = f(tk)<p^.(x)+f(k*tH 1-<P~(*)}- Si se hace referencia a la definición de las íp’s en (31.10), se tiene f*(x) = /(fc)(l - n(x - fc))+/<fc*0»(x - fc). Dado que |x - ti,|< 8 ( e ) y |x -tk + i|< 8 (e ). se concluye que |/(x ) - / * ( x ) | |/(x)-/(ü c)| ( 1 - n (* " *)>+ l / W '“ /(fc*i>l » (* “ O < e { l- n ( x - t » ) + n ( x - lk ) } = * - Por consecuencia, se tiene el valor |/ - / * |» = sup fl/(x)•-/*(*)!:X e J} s e. Figura } U Gráfica de 280 Introducción al análisis matemático Dado que G es una función lineal en QJ). se tiene que (31.14) |G ( / ) - G ( T ) |s M e . Por la relación (31.12) se ve que |{G(<f>n.n) - G(<p^m)}- {g(tk) - g(tk-.)}| < e/2m ||/|U para k = 2, 3........ m. Aplicando G a la función /* definida por la ecuación (31.13) y recordando que g ( t o ) = 0, se obtiene j G ( / * ) - ¿ /(fc){g(tit)-g(tk-i)} J< «- Pero el segundo término del lado izquierdo es una suma de Riemann-Stieltjes S(P; /, g) para / con respecto a g correspondiente a la partición P que es un refinamiento de P.. Por lo tanto se tiene | J b/ d g - G ( n | ^ | [ ‘/ d g - S ( P ; / , g) | + |S (P ;/, g ) - G ( /* ) |< 2 e . Finalmente, usando la relación (31.14) se obtiene (31.15) | j V d g - G ( / ) |< ( M + 2)e. Funciones de una variable 281 Dado que e > 0 es arbitraria y el lado izquierdo de (31.15) no depende de ella, se concluye que t G (/) = J fdg. " " Q.E.D. Para algunos propósitos, es importante saber que hay una correspon­ dencia uno a uno entre funcionales lineales positivas acotadas en C(JI y cier­ tas funciones normalizadas monótonamente crecientes. Esta construcción se puede checar para probar que da una función creciente g tal que g(a) = 0 y g es continua por la derecha en todo punto interior de J. Con estas condiciones adicionales, hay una correspondencia uno a uno entre funcionales positivas y funciones crecientes. Ejercicios 31.A. Si a > 0, demostrar directamente que lim f « “ dx = 0. i» Jo ¿Cuáles de los resultados de esta sección son aplicables? 31.B. Si0<a<2,dem ostrar que t lim | e “ !dx =0. ¿Qué sucede si a = 0? 3I.C. Analizar lim nx(l - x )" dx. " • :• .i ■ ■ t1 3I.D. Si a > 0 , demostrar que lim [ ’ 55^ d x = 0 . * J. nx ¿Qué sucede si a = 0? 3I.E. Sea f„(x) = nx(l + nx)~‘ para* e[0, l]y sea f(x) = 0 para * = 0 y f(x) = 1 para x e ( 0 ,1], Demostrar que f„(x)->/(x) para toda x e [ 0 ,1] y que f ' f j x ) dx —►Jof Jo f(x) dx. 3I.F. Sea M«(x) = nxe‘“ 1 para xe[0, 1] y sea h(x) = 0. Demostrar que 0 = | h(x)dx?¿ lim J Hn(x )d x = |. 31.G. Sea (g.) una sucesión de funciones crecientes en [a, b] que convergen uni­ formemente a una función g en [a, b]. Si una función creciente/es integrable con res­ pecto a g« para toda ne N, demostrar que / es integrable con respecto a g y | fdg = lim | fdg.. 282 Introducción al análisis matemático 31.H. Dar un ejemplo para probar que la conclusión del ejercicio anterior puede no ser válida si la convergencia no es uniforme. 31.1. Si a >0, demostrar que t”(log t)J dt = 2/(a + 1)’. 3I.J. Suponga que / y su derivada parcial f, son continuas para {x.t) en [a, b]x[c, d]. Aplicar el teorema de intercambio 31.9 a | | | /,(*, f) dxj dt, c^tsd, y diferenciar para obtener otra demostración del teorema 31.7. 3I.K. Usar el teorema fundamental 30.8 para demostrar que si una sucesión (/.) de funciones converge en J a una función/ y si las derivadas (f0 son continuas y con­ vergen uniformemente en J a una función g, entonces, / ' existe y es igual a g. (Este re­ sultado es menos general que el teorema 28.5 pero es más fácil de probar.) 31.L. Sea {r„ rt, . . . , r»,. . .} una enumeración de los números racionales en /. Defina a /. como I si x e {r„. . . . r.} y como 0 en los otros casos. Entonces, f. es Rie- mann integrable en / y la sucesión (/.) converge monótonamente a la función disconti­ nua/de Dirichlet (que es igual.a I en IH Q e igual aOen J \ Q .) por lo tanto,el límite monótono de una sucesión de funciones Riemann integrables no necesariamente es Riemann integrable. 3I.M. Sea g una función fija monótonamente creciente en J = [a, b].Si/ es cual­ quier función integrable con respecto a g en J, entonces, se define ||/||, como l/lli-Jj/Mg. Demostrar que las siguientes “propiedades de norma,, se cumplen: la) H/ll, a 0; lb) Si /(x) = 0 para toda x e J, entonces.fl/H^O; (c) Si c e R , entonces,||c/||, = |c| U/|,; Id) | ll/lli —||H||, | < H/±h||, s ||/||1+ ||h|j1.Sin embargo.es posible tener ||/||, = 0 sin que se tenga/(x) = 0 para toda x e J. (¿puede esto suceder cuando g(x) = x?) 31.N. Si g es monótonamente creciente en J y si/y /«, n e N , son funciones inte­ grables con respecto a g. entonces, se dice que la sucesión (/,) converge en la media (con respecto a g) siempre que H /.-/II.-0. (La notación en este caso es la misma que en el ejercicio anterior.) Demostrar que si (/„) converge en la media a /, entonces, jf-dg->jfdg. Demostrar que si una sucesión (/„) de funciones integrables converge uniformemente en J a /, entonces, también converge en la media a /. De hecho. Sin embargo, si f. denota a la función del ejemplo 31.1 y si g» = (1ln)f„ entonces, la sucesión (g.) converge en la media (con respecto a g(x) = x] a la función cero pero la convergencia no es uniforme en /. Funciones de una variable 283 31.0. Sea g(x) = x en J = [0,2] y sea (I.) una sucesión de intervalos cerrados en J tales que (i) la longitud de l. es l/n, (ii) 1. OI.,, = 0, y (iii) todo punto x en J perte­ nece a una infinidad de los i.. Defina /„ como /„(x) = 1, x e JL = 0, x¿I.. Demostrar que la sucesión (/„) converge en la media (con respecto a g(x) = x] a la función cero en J pero que la sucesión (/„) no converge uniformemente. De hecho, la sucesión (/„) no converge en ningún punto: 3I.P. Sea g monótonamente creciente en J = [a, b). S i/y h son integrables con respeco a g deJ a R, se define al producto interno (f.h) y f y h por medio de la fórmula (/.h) = |V(*)h(x) dg(x). Verificar que todas las propiedades de la definición 8.3 se satisface excepto (ii). Si f = h es la función cero en J, entonces, (/,/) = 0; sin embargo, puede suceder que (/, /) = 0 para una función / que no es cero en todo punto de J. 31.0- Defina H/H^como de manera que = (/, f Yn- probar la desigualdad de Schwarz (teoremas 8.7 y 8.8). Probar que las propiedades de la norma 8.5 son validas, sólo que H/ll, = 0 no implica que /(x) = 0 para toda x en J. Demostrar que l / l « { « ( » ) - g(a)}M|fl» 31 R. Sean/y f„ n e N, integrables en J con respecto a una función crecienteg. Se dice que la sucesión (/„) converge en la media cuadrada (con respecto a g en J) a /si II/- ~/lla—♦ 0. lal Demostrar que si la sucesión es uniformemente convergente en, J entonces, también converge en la media cuadrada en la misma función. Ih) Demostrar que si la sucesión converge en media cuadrada, entonces, con­ verge en la media a la misma función. lc) Demostrar que el ejercicio 31.0 prueba que la convergencia en la media qua- dradu no implica la convergencia en cualquier punto de J. ld) Si, en el ejercicio 31.0, se toma I. de longitud l/n* y si se fija h, = n/„, enton­ ces, la sucesión(K.)converge en la media, pero no converge en la media cuadrada, a la función cero. 31.S. Probar que si la n-ésima derivada f" ‘ es continua en [a, b], entonces, la forma integral del teorema deTaylor 31.5 y el primer teorema del valor medio 30.9 se pueden usar para obtener la forma de Lagrange del residuo dada en 28.6. 31.T. Si Ji = [a, b], J , = [c, d], si /e s continua de J, x J , a R y g es Riemann inte­ grable en J „ entonces, la función F. definida en J , por medio de F ( « ) - J f(x, t)g (x) dx, 284 Introducción al análisis matemático es continua en J2. 31.U. Sea g una función creciente de = [a, f>] a R y suponga que para cada t fija en J 2 = [c, d], la integral F (f) = J /(*> 0 dgyx) existe. Si la derivada parcial f, es continua en J, x J 2, entonces, la derivada F' existe en h y está dada por F'(t) = J f.(x, t)dg(x). 31 V. Sean J, = [a, b] y J 2= [c, d]. Suponga que la función de valor real g es mo­ nótona en J u que h es monótona en J2, y q u e /e s continua en J, x J 2. Defina G en J2 y H en J , como G(t) = J /(*, t) dg(x), H(x) = J f(x, t) dh(t). Demostrar que G es integrable con respecto a h en J 2, que H e s integrable con res­ pecto a g en J, y que J O (0dh(t)« J'H (x )4 s(x ). Esta última ecuación se puede escribir de la forma > r t r f(x, t) dg(x)| dh(t) = | | | f(x, t) dh(t)J dg(x). 3 1 W. Sean, f, J„ y J 2 como en el ejercicio 31 .V. Si <p está en C (J,) (es decir, <p es una función continua de J¡ a R ), sea T(<p) la función definida en J 2 por medio de la fórmula T(<p)(0 = JV(*> 0«P(*) dx. D em ostrar que T es una transformación lineal de C (J,) a C (J2) en el sentido de que si <p, 11¡ pertenecen a C ( J t), entonces (a) 7(<p) pertenece a C(J2), (h) T(<p + * ) = T(<p) + i m (el T(c<p) = cT(<p) para c e R . Si M = sup{|/(x, t ) | : (x, t ) e / , x J 2}, entonces, T es acotada en el sentido de que Idl í|T(<f )|U s M||<p ||2i para <peC (J,). 3I.X . Continuando con la notación del ejercicio anterior, dem ostrar que si r > 0 , entonces, T manda a la colección B,={<pe C(J,):t|<p|l,, s r} hacia un conjunto uniformemente equicontinuo de funciones en C Í J J (véase la defini­ ción 28.6). Por lo tanto, si (<p.)es cualquier sucesión de funciones en B„ hay una subsu­ cesión (<p„) tal que la sucesión (T(<p^j) converge uniformemente en J2. Fundones de una variable 285 31.Y. Defínanse J i y J j como ya se hizo y se a/c o n tin u a de R x. J2a R. Si <pestá en C (Ji), sea S(<p) la función definida en J , por medio de la fórmula S(<p)(l) = | f(<pW, 0 dx. D em ostrar que S(«p) pertenece a C (J2), pero que, en general, i ' no es una transform a­ ción lineal en el sentido del ejercicio 31.W. Sin embargo, dem ostrar q u e S manda a la colección B, del ejercicio 31.X hacia el conjunto uniformemente equicontinuo de fun­ ciones en C (J2). Además, si (cp.)es cualquier sucesión en B„ existe una subsucesión tal que (S(<fO) converge uniformemente en Jt. (F.ste resultado es im portante en la teoría de ecuaciones integrales no lineales.) 3I.Z . Demostrar que si se definen G 0, G ,, G 2 para / e n C (I) como G „(/) = /(0), G,(/ ) = 2l > ) dx, g 3( /) = H /( 0 ) + /(!)} ; entonces, G 0, G i,y G, son funcionales lineales positivas acotadas en C (I). Dar fun­ ciones monótonamente crecientes go, gi, g3 que representen a estas funcionales linea­ les como integrales de Riemann-Stieltjes. D emostrar que la elección de estas ft no está determ inada de manera única a me­ nos de que se pida que ft(0) = 0 y que ft sea continua por la derecha en cada punto in­ terior de /. Proyecto 3 1 .a. Este proyecto prueba la existencia de una solución única de una ecuación diferencial de primer orden bajo una condición de Lipschitz. Sea í í c R 2abierto y sea f:S l-* R c o n t i n u a t al q u e s a t i s f a g a la c o n d i c i ó n de L i p s c h i t z : |/(x , y) - /(x , y')l s K |y - y’| para todos los puntos (x, y), (x, y') en SI. Sea / una celda cerrada I = ((*. y ) : |x - a | s a , |y - b\ s 0} contenida en Í1 y suponga que M o s 0, en donde |/(x, y ) | s M para (x, y ) e í . (a) Si J = [ a - a , a + a ] , defina <p0(x) = i> para x e J y, si n e N , defina <p„(x) = b + J f(t, <pm.,(l)) dt para x e J . dem ostrar por inducción que la sucesión (<p„) está bien definida en J y que (0 l< p.(x)-b| 0, (ii) ly .(x )-< p.-,(x)| a ^ |x - a|—, para toda x e J. (h) Demostrar que cada una de las funciones <p* es continua en J y que la sucesión (<p.) converge uniformemente en J a una función <p- feI Concluir que la función es continua en y. satisface <p(a) —b, y 286 Introducción al análisis matemático (p(x) = b + j/<t,<p(t))dt, para toda x e J. deducir que <p es diferencíame en y y satisface <p'(x) = /(x, <p(x)) para xe J. (d) Si i e s continua en J y satisface «Ha) = b, ip'(t) = f(x, if»(x)) para toda x e J , demostrar que ifi(x) = b + J f(t, +(»)) dt para x € J. (el Si 9 es como en (c) y es como en (d). demostrar por inducción que |<p(x) - i/»(x) | s k | J |qp(0—*fr(OI dt | |x-a|*. Por lo tantoU9-i/»||, ^ Ü9>—d'lb K'a"/n\,por lo que se deduce que <p(x) = «J»(x) para toda x 6 J. \ Sección 32 Integrales impropias e infinitas En las tres secciones anteriores ha habido dos suposiciones básicas: se re­ quiere que las funciones sean acotadas y se requiere que el dominio de inte­ gración sea compacto. Si alguna de estas hipótesis se elimina, la teoría de in­ tegración subsecuente no es aplicable sin algún cambio. Dado que hay varias aplicaciones importantes en donde es deseable que se permita una o las dos nuevas situaciones, en seguida se indicarán los cambios que se deben hacer. Funciones no acotadas / Sea J = [a, b] un intervalo en R y sea / u n a función de valor real defi­ nida al menos para las x que satisfacen a < x < b. S i/e s Riemann integrable en el intervafo [c, b] para cada c que satisfaga a < c s 6, sea (32.1) L =jj- Se definirá la integral impropia de / sobre J = [a, b] como el límite de íc cuando c -» a. 32.1 DEFINICION. Suponga que la integral de Riemann en (32.1) existe para cada c en (a, b]. Suponga que existe un número real / tal que para Funciones de una variable 287 toda e > 0 existe una 6 ( e ) > 0 tal que si a < c < a + 8(e)entonces, |Xc —í | < e. En este caso se dice que / es la integral impropia d e /so b re J = [a, b] y algu­ nas veces se denota el valor I de esta integral impropia por medio de (32.2) £ / o por £ f(x) dx, aunque es más usual no escribir el signo de suma en el límite inferior. 32.2 EJEMPLOS, (a) Suponga i:ue la función / está definida en (a, b] y está acotada en este intervalo. Si/ es Riemann integrable en todo intervalo [c, b] con a < c < b, entonces, fácilmente se ve (ejercicio 32. A) que la integral impropia (32.2) existe. De modo que la función f(x) = sen (1/x) tiene una in­ tegral impropia en el intervalo [0,1]. ib) Si f(x) = 1/x para x en (0, l j y si c está en (0,1] entonces, del teo­ rema fundamental 30.8 y del hecho de que/ es la derivada del logaritmo se si­ gue que 1 - log c = -lo g c. Dado que log c se hace no acotado conforme c -* 0, la integral impropia de/ en [0,1] no existe. (c) Sea f(x) = x* para x en (0,1]. Si a < 0 , la función es continua pero no acotada en (0,1]. Si a ¿ - 1, en to n ces,/es la derivada de g(x) = a + 1 Del teorema fundamental 30.8 se tiene que \ ! x ’ dx = a T í U - c"+')- Si a satisface - 1 < a < 0, entonces, c“+1 -» 0 cuando c -* 0 y /tien e una in­ tegral impropia. Por otro lado, a < - 1 , entonces, c“+1 no tiene un límite (fi­ nito) cuando c -» 0 , y por lo tanto / n o tiene una integral impropia. El análisis anterior pertenece a una función que no está definida o no, está acotada en el punto extremo izquierdo del intervalo. Resulta obvio cómo debe tratarse el caso análogo en el punto extremo derecho. El caso en el que la función no está definida o no está acotada en un punto interior del intervalo es un poco más interesante. Suponga que p es un punto interior de [a, b] y que/está definida en todo punto de [a, b] excepto, posiblemente/). Si las dos integrales impropias 2HH Introducción al análisis matemático existen, entonces, se define la integral impropia de / sobre [a, i»] como su , suma. En la notación del límite, se define la integral impropia de / sobre ■' [a, b] como (32.3) ü j n [ P f ( x ) d x + U m f ' +tf(x)dx. . ,| Es claro que si esos dos límites existen, entonces, el límite (32.4) H m jJ / W dx + \ ^ /(x) * í también existe y tiene el mismo valor. Sin embargo, la existencia del límite (32.4) no implica la existencia de (32.3). Por ejemplo, s i/e s tá definida para x e [ - l , 1], *5*0, por medio de /(x) = l / x \ entonces, es fácil ver que i para toda e que satisfaga 0 < e < 1. Sin embargo, en el ejemplo 32.2 fe) se vio que si a = —3, entonces, las integrales impropias. í °1 X J— P dx’ ÍJo+ ?X dx no existen. Los comentarios anteriores prueban que el límite en (32.4) puede existir sin que el límite en (32.3) exista. Se define la integral impropia (a la que algunas veces se le llama integral de Cauchy) de /c o m o aquella dada por (32.3). El ¡ límite en (32.4) también es de interés y se le llama el valor principal de Cauchy de la integral y se denota por medio de (CPV) | J ( x ) dx. Es claro que una función que tiene un número finito de puntos en donde no está definida o acotada se puede tratar partiendo el intervalo en subintervalos en donde estos puntos sean puntos extremos Integrales infinitas Es importante extender la integral a ciertas funciones que estén definidas en conjuntos no acotados. Por ejemplo, si / está definida de {x 6 R :x > a} a R y es Riemann integrables sobre [a, c] para toda c > a, se toma / como la integral parcial dada por (32.5) l = £ /. En seguida se definirá la “ integral infinita” d e /p a r a x s a como el límite de le cuando <■ aumenta. Funciones de una variable 289 32.3 DEFINICION Si/ es Riemann integrable sobre [a, c] para cada c > a, sea Ic la integral parcial dada por (32.5). Se dice que un número real / es la integral infinita de/sobre {x :x a a} si para toda e > 0, existe un número real M (e) tal que si c >M (e)entonces |I —Ic|< e . En .este caso se denota a / por medio de (32.6) ó Es necesario aclarar que a las integrales infinitas algunas veces se les llama "integrales impropias del primer tipo." Se ha elegido la terminología actual, debidas a H ardyt ya que es más simple y es paralela a la terminología que se usa en relación con series infinitas. 32.4 EJEMPLOS, (a) Si /(x) = 1/x para x > a > 0 , entonces, las inte­ grales parciales son Dado que log c se hace no acotado cuando c -* +°°, la integral infinita d e /n o existe. (b) Sea /(x) = x“ para x a o > 0 y a 54—1. Entonces Si a > - 1 , entonces, a + 1 > 0 y la integral infinita no existe. Sin embargo, si a < —1, entonces. (c) Sea f(x) = e~x para X 2 O. Entonces, por lo que la integral infinita d e /s o b re { x : x a 0} existe y es igual a 1. También es posible considerar la integral de una función definida en todo R. En este caso se requiere que/ sea Riemann integrable sobre todo in­ tervalo finito en R y se consideran los límites (32.7a) t íiKOKKREY H. HARDY (1877-1947) fue profesor en Cambridge y durante mucho tiempo Decano de las matemáticas inglesas. Hizo muchas y profundas contribuciones al análisis mate­ mático. 290 Introducción al análisis matemático (32.7b) | /(x )d x = U m J f(x )d x . Es fácil darse cuenta de que si ambos límites existen para un valor de a. entonces, existen para todos los valores de a. En este caso se define la integral infinita de /sob re R como la suma de estas dos integrales infinitas: (32.8) | /(x) dx = hrn J /(x) dx + Um J /(*) dx. Igual que en el caso de la integral impropia, la existencia de los dos límites en (32.8) implica la existencia del límite (32.9) lim { í /(x) dx + í /(x) dxl = lim í /(x) dx, C-*+ool. J - C Ja ) J~C y la igualdad de (32.8) y (32.9). Al límite en (32,9), cuando existe, a menudo se le llama el valor principal de Cauchy de la integral infinita sobre R y se de­ nota por (32.10) (C1V) J ~ /(x ) d x . Sin embargo, la existencia del valor principal de Cauchy no implica la exis­ tencia de la integral infinita (32.8). Esto se puede ver tomando /(x) = x, por lo que J ' x d x = Hc2- c 2) = 0 para toda c. De modo que el valor principal de Cauchy de la integral infinita para f(x ) = x existe y es igual pero b la integral infinita de esta función no existe ya que ninguna de las integrales infinitas en (32.7) existe. Existencia de la integral infinita Se obtendrán ahora algunas condiciones para la existencia de la integral infinita sobre el conjunto {x:x a a}. Estos resultados también se pueden aplicar para dar condiciones para la integral infinita sobre R ya que esta última implica la consideración de integrales infinitas sobre los conjuntos {x: x £ a} y (x : x a a). Primero se probará el criterio de Cauchy. 32.5 CRITERIO DE CAUCHY. Suponga que f e s integrable sobre [a, c] para toda c a á . Entonces la integral infinita P existe si y sólo si para toda e > 0 existe una K (e) tal que si b ^ c z . K(e), en­ tonces. Fundones de una variable 291 (32.11) / <e. DEMOSTRACION. La necesidad de la condición se prueba de la manera usual. Suponga que la condición se satisface y sea í, la integral par­ cial definida para n e N como Se puede ver que (í„) es una sucesión de Cauchy de números reales. Si í = lim (i,) y £ > 0 , entonces, existe N(e) tal que si n ^ N ( e ) , entonces. |I - I » |< e . Sea M (e) = sup{K(e), a + N (c) } + 1 y sea c > M (e ). Entonces, existe un número natural n > N (e) tal que K(e) £ a + n < c. Por lo tanto, la integral parcial L está dada por por lo que se deduce que | I - I c | < 2e. O.E.D. En el caso en que /(x) s 0 para toda x a a, el siguiente resultado pro­ porciona una prueba útil. 32.6 TEOREMA Supóngase que f(x) > 0 para toda x > a y que f e s integrable sobre [a, c] para toda c > a. Entonces, la integral infinita de f existe si y sólo si el conjunto ( í, : c < ú ) es acolado. En este caso 1 DEMOSTRACION. La hipótesis de que /(x) > 0 implica que h es una función monótonamente creciente de c. Por lo tanto, la existencia del lim xi es equivalente a la acotación de {L :c a a}. q.e.d. 32.7 PRUEBA DE COMPARACION. Suponga que f y g son integra­ bles sobre [a, c] para toda C i a r que |/(x)| < g(x) para toda x a a. Si la integra! infinita de g existe, entonces, la integral infinita de J' existe y DEMOSTRACION. Si a < c < b , entonces, del lema 30.5 se sigue que |/| es integrable en [c, b] y que If 'H M * Se sigue del criterio de Cauchy 32.5.que las integrales infinitas de/ y |/| exis­ ten. Más aún, se tienen 292 Introducción al análisis matemático íI 'H . g- 32.8 PRUEBA DE COMPARACION DEL LIMITE. Suponga q u e f y g son no negativas e integrables sobre [a, c] para toda c a y que 3 : (32.12) g(x) Entonces, las dos o ninguna de ¡as integrales ¡njinitas f, g existen. DEMOSTRACION. Por la relación (32.12) se deduce que existen números positivos A < B y K a a tales que Ag(x) < f(x) £ Bg(x) para x a K. La prueba de comparación 32.7 y esta relación muestran que ambas o nin­ guna de las integrales infinitas Jíc“ /, J¡T g existen. Dado que, tanto/com o g son integrables en [a, K], la afirmación se sigue. D 32.9 PRUEBA DE DIRICHLET. Suponga que f es continua para x a a, que las integrales parciales Ic = J /, caá, son acotadas y que ¡p es monótonamente decreciente a cero conforme x -* +<». Entonces, la integral infinita fl" fq> existe. DEMOSTRACION. Sea A cota para el conjunto { |L :|:c a a } . Si e > 0 , sea K(e) tal que si x a K(e), entonces O s <p(x) < e/2A. Si b a c > K(e), entonces, del ejercicio 30.N se sigue que existe un número £; en [c, Z>] tal que J <p(c)| f<P = f. A partir del cálculo £V|= |i«—X*|^ 2A, se tiene que <e en donde 5 > c exceden a K (e). Se puede aplicar entonces el criterio de Cauchy 32.5. oed 32.10 EJEMPLOS. (a) Si /(x )= 1/(1+ x 2) y g ( x ) = l/x 2 para x a a > O, entonces, 0 < / ( x ) s g ( x ) . Como ya se ha visto en el ejemplo Funciones de una variable 293 32A(b) que la integral infinita Jf“ (1/x2) dx existe, se sigue la prueba de com­ paración 32.7 que la integral infinita Jf” (1/(1 + x 2)) dx también existe. (Esto se podpa probar directamente observando que J. r1— +—x2 í dx = Are tan c - Are tan 1 y que Are tan c —*• ir/2conforme c -» +».) (b) Si h(x) = e"x> y g(x) = e~x entonces, 0 < h(x) s, g(x) para x a 1. En el ejemplo 32.4(el se vio que la integral infinita /o" e~x dx existe, por lo tanto, se infiere de la prueba de comparación 32.7 que la integral infinita J¡T e~*' dx también existe. En este caso, no es posible un cálculo directo de las integrales parciales usando funciones elementales. Sin embargo, más ade­ lante se verá que esta integral infinita es igual a Wrr. fe) Sea p > 0 y considere la existencia de la integral infinita f*“ senx dx. J. x' Si p > 1, el integrando está dominado por l/x p, que se vio que es convergente en el ejemplo 3.4(b). En este caso la prueba de comparación implica que la in­ tegral infinita converge. Si 0 < p s l , este argumento no es válido; sin em­ bargo, si se fijan /(x) = sen x y <p(x) = l/x p, entonces, la prueba de Dirichlet 32.9 demuestra que la integral infinita existe. i (d) Sea /(x )= sen jc2 para x & 0 y considere la integral de Fresne^t | senx2dx. •' Es claro que la integral sobre [0,1] existe, de modo que se analizará sola­ mente la integral sobre {x: x a 1}. Si se hace la substitución t - x2 y se aplica el teorema del cambio de variable 30.12, se obtiene fc 1 r ’ sent . sen x dx = - —y -d i. Ji 2 Ji Vt El ejemplo anterior muestra que la integral de la derecha converge cuando c -* +oo; por lo que se sigue que fr” sen x2 dx existe. (Observe que el inte­ grando no converge a 0 conforme x —►+<».) le) Suponga que a a 1 y defina T(a) por medio de la integral (32.13) r ( a ) = Jo V ' x a- ‘ dx. Para poder ver que esta integral infinita existe, considere la función g(x) = l/x 2 para x a 1. Dado que t AUGUSTIN FRESNEL (1788-1827) fue un físico matemático francés, ayudó a restable­ cer la teoría ondulatoria de la luz que se introdujo anteriormente por Huygens. 29* Introducción al análisis matemático se tiene que si e > U entoncei:, existe JC(e) tai que 0 < € -'x “_l < ex~2 para x s K(e). Como la integral infinita {JT x~2 dx existe, se deduce que la integral (32.13) también converge. La función definida para o a: 1 por medio de la fórmula (32.13) es conocida como función gama. Rápidamente se verá que si a < 1, entonces, el integrando e_'x *-1 llega a ser no acotado cerca de x = 0. Sin em­ bargo, si a satisface 0 < a < l,e n el ejemplo 32.2(c)se ha vistoque la función x*_1 tiene una integral impropia sobre el intervalo [0, lj. Dado que 0 < t ' ‘ s l para toda x a 0, fácilmente se prueba que la integral impropia existe cuando 0 < a < 1. Por lo tanto, se puede extender la definición de la función gama que se dé para toda a > 0 por una integral de la forma (32.13) siempre que se interprete como una suma de una integral impropia y de una integral infinita. Convergencia absoluta Si / e s Riemann integrable en [a, cj para todas c z a, entonces, se sigue del teorema 30Ata) que |/|, el valor absoluto de/ , también es Riemann inte­ grable en [a, c] para c a a. De la prueba de comparación 32.7 se sigue que si la integral infinita (32.14) existe, entonces, la integral infinita (32.15) también existe y está acotada en valor absoluto por (32.14) 31.11 DEFINICION. Si la integral infinita (32 14) existe, entonces, se dice que/ es absolutamente integrable sobre {x : x a a}, o que la integral infi­ nita (32.15) es absolutamente convergente. Se ha insistido en que s i/e s absolutamente integrable sobre {x :x a a}, entonces, la integral infinita (32.15) existe. Sin embargo, lo inverso no es cierto, como se poede ver al considerar la integral Funciones de una variable 295 p s s * . La convergencia de esta integral se probó en el ejemplo 32.10(cj. No obstante, se puede ver fácilmente que en cada intervalo [kir, (k + l)ir], k e N, hay un subintervalo de longitud 5 > 0 en el que |s e n x |a i. (De hecho, se puede tomar b = 2tr/3.) Por lo tanto, se tiene r 2 l2 ir 3ir +• y se sigue (ver 16.1\(cI) que la función /(x) = sen x/x no es absolutamente in­ tegrable sobre {x :x a 7r). Se puede ver que la prueba de comparación 32.7, de becho, prueba la convergencia absoluta de la integral infinita de / sobre el intervalo [a, +°o) Ejercicios 32.A. Suponga que/ es una función acotada de valor real en J = ta, 6] y que/ es integrable sobre [c, b] para toda c> a. Demostrar que la integral impropia de/sobre J existe. 32.B. Suponga que/ es integrable sobre [c, b] para toda c>a y que la integral impropia existe, demostrar que la integral impropia fi,/ existe, pero que lo in­ verso puede no ser cierto. 32.C. Suponga que / y g son integrables en [c, b] para toda ce(o,b). Si |/(x)| s g(x) para x e J = [a, b] y si g tiene una integral impropia en J. entonces, tam­ bién / la tiene. 32.D. Analizar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales impropias: (a) r d* r dx (b) ) o ( x - x T ” J. (x + x T ” f 1 x dx (c) (d) M l-x V (e) f ‘ x dx (0 J0 ( i - x 5r - l'ÍS * 32.E. Determinar los valores de/? y q para los cuales las siguientes integrales con­ vergen: (») x '( l- x ) ’ dx, (b) | x'(senx)' dx, (c> J (logx)'dx, (d) | x'(-log x)' dx. 296 Introducción al análisis matemático 32.F. Analizar la convergencia o la divergencia de las siguientes integrales. ¿Cuáles son absolutamente convergentes? 32.G. ¿Para qué valores d e p y q son convergentes las siguientes integrales? ¿para qué valores son absolutamente convergentes? 32.H. Si f e s integrable en cualquier intervalo [0, c] para si la integral infinita c > 0 existe. 32.1. Dar un ejemplo en donde la integral infinita J J " / exista pero q u e/ no esté acotada en el conjunto {x :x a 0}. 32.J. S i / e s monótona y la integral infinita J ~ / existe, entonces, x /(x )-+ 0 con­ forme x —* +<». Sección 33 Convergencia uniforme e integrales infinitas En muchas aplicaciones es importante considerar integrales infinitas en las que el integrando dependa de un parámetro. Para poder manejar fácil­ mente esta situación el concepto de convergencia uniforme de la integral con respecto al parámetro es de fundamental importancia. Primero se conside­ rará el caso en el que el parámetro pertenece a un intervalo J = [a, 0], 33.1. DEFINICION. Sea/ una función de valor real definida para (x. t) tal que satisfaga x ¿ a y a £ t £ 0 . Suponga que para cada / en J = [a, 0] la integral infinita (33.1) existe. Se dice que esta convergencia es uniforme en J si para toda e > 0 existe un número N(e) tal que si c a N (e) y í e /, entonces, Funciones de una variable 297 La diferencia entre la convergencia ordinaria de las integrales infinitas dadas en (33.1) y la convergencia uniforme es que M (e) se puedeclegir inde­ pendientemente del valor de / en J. Se le deja al lector escribir la definición de convergencia uniforme de las integrales infinitas cuando el parámetro t perte­ nece al conjunto { t : t ^ a } o al conjunto /V. Es útil tener algunas pruebas para convergencia uniforme de las integra­ les infinitas. 33.2CRITERIO DECAUCHY. Suponga que para cada te J , l a inte­ gral infinita (33.1) existe. Entonces, la convergencia es uniforme en J sisólo si para cada e > 0 existe un número K(e) tal que si b > c > K(e) y t e J, enton­ ces. (33.2) | JV (*. t) dx | < e. La demostración queda como ejercicio. 33.3 PRUEBA M DE W EIERSTRASS. Suponga que f e s Riemann in­ tegrable sobre [a, c] para todas c ^ a y toda t e J . Suponga que existe una función positiva M definida para x 2- a tal que ' |/(x, 0| ^ M(x) para x a a, t e J, y tal que la integral infinita M (x) dx exista. Entonces, para cada te J ,l a integral en (33.1) es (absolutamente) convergente y la convergencia es uni­ form e en J. DEMOSTRACION. La convergencia de J |/(x, 0 |d x para t e J , es consecuencia inmediata de la prueba de comparación y de las hipótesis. Por lo tanto la integral que da F (t) es absolutamente convergente para te J . Usando el criterio de Cauchy junto con el hecho J | f(x, t) dx j s J |/(x, 01 dx < | M (x) dx, fácilmente se puede probar la convergencia uniforme en J. q . f.. d . La prueba M de Weierstrass es útil cuando la convergencia es absoluta asi como uniforme, pero no es lo suficientemente sutil para tratar el caso de convergencia no absolutamente uniforme. Para esto, se dará una analogía de la prueba de Dirichlet 32.9. 33.4 PRUEBA DE DIRICHLET. Sea fcontinua en (x. t) para' x a a y t en J y suponga que existe una constante A tal que 29H Introducción al análisis matemático | j f(x , f) dx < A para c > a, teJ. Suponga que para cada t e J J a función <J>U, O es monótonamente decreciente para x > a, y converge uniformemente a O conforme x —> +°° para t e J. En­ tonces. Ia integral F(t) = J f(x, t)<p(x, t) dx converge uniformemente en J. DEMOSTRACION. Sea e > 0 y elíjase K(e)tal que x a K(e) y t e J , entonces, <p(x,t)<e/2A. Si b a c a K(e), entonces, del ejercicio 30.N se sigue que para cada t e J , existe un número £(t) en [c, b] tal que Í f(x, t)<p(x, t) dx = <p(c, t)J^ t> C«(D f(x, t) dx. Por lo tanto, si b a c a K(e) y t e J , se tiene ir /(x, t)(p(x, t) dx < <p(c, t)2A < e, de modo que la uniformidad de la convergencia se sigue del criterio de Cauchy 33.2. OF n . 33.5 EJEMPLOS, (a) S i / e s t á dada por /(x, 0 = xsO , teR , y si se define M (x) = ( l + x 2)_1, entonces |/(x, t)| ^ M (x). Dado que la inte­ gral infinita de M en [0, + ») existe, de la prueba M de Weierstrass se tiene que la integral infinita eos tx , r TT—2 1 + x dx converge uniformemente para t e R . Ih) Sea /(x, t) = e 'V para x a O . t a O . Se puede ver que la integral »+<*> J converge uniformemente para t en un intervalo [0, 0 ] para cualquier 0 >O. Sin embargo, no converge uniformemente en {t € R : 12 0}. (Ver el ejercicio 33.A.) (c) Si f(x, t) = e"“ sen .t para x s ¡ 0 y i 2 y > 0, entonces, |/(x, t)| =£ e “ £ e y'. Funciones de una variable • 299 Si se fija M(x) = e -r ‘, entonces, la prueba M de Weierstrass implica que la integral converge uniformemente para í & -y> 0 y un cálculo elemental prueba que converge a (1 + t2)"1. (Observe que si t = 0, entonces, la integral ya no con­ verge.) (d ) Considere la integral infinita para t > 0, en donde el integrando es I para x = 0. Dado que el integrando está domi­ nado por I es suficiente demostrar que la integral sobre £ < x converge uni­ formemente para t > 0. La prueba M de Weierstrass no es aplicable a este integrando. Sin embargo, si se toman /(x, t) = sen x y <p(x, t) = e~'7x, enton­ ces, las hipótesis de la prueba de Dirichlet se cumplen. Integrales infinitas dependiendo de un parámetro Suponga q u e / es una función continua de (x. ti definida para x s a y para I en J - [ a , 0]. Más aún, suponga que la integral infinita (33.1) existe para cada t e J . Se habrá de probar que si esta convergencia es uni­ forme entonces Fes continua enJ y su integrando se puede calcular intercam­ biando el orden de integración. Se demostrará un resultado análogo para la derivada. 33.6 TEOREMA. Suponga que f e s continua en (x. t ) para x s: a y i en J = [a, 0 ] y que la convergencia en (33.1) es uniforme en J. Entonces. F es continua en J. DEMOSTRACION. Si n e N , defina F„ en J por medio de Del teorema 31.6 se tiene que F , es continua en J. Dado que la sucesión (F„) converge a F uniformemente en J. del teorema 24.1 se sigue que Fes continua en J- O.E.D 33.7 TEOREMA. Bajo las hipótesis del teorema anterior se tiene 300 Introducción al análisis matemático J V ( t) * = J ~ { J V ( * . O dt} dx, que se puede escribir de la forma nr nr 1? f (33.3) f(x, í) dx} dt = /(x, t) d tj dx. DEMOSTRACION. Si F„ está definida como en la demostración an­ terior, entonces, del teorema 31.9 se sigue que J F„(í)dt = J j j f(x, t) d tj dx. Dado que (F„) converge a F uniformemente en J. entonces, el teorema 31.2 implica que | PF (t)d t = ü rn JSF„(í)dr. Combinando las dos últimas relaciones, se obtiene (33.3). qje .d . 33.8 TEOREMA. Suponga que f y su derivada parcial f son continuas en (x, t) para x > a y t en J = [a, /3]. Suponga que (33.1) existe para toda t e J y que G ( 0 = J ~ / .( x ,0 dx es uniformemente convergente en J. Entonces, F es diferenciable en J y F ' —G. En símbolos: s í. DEMOSTRACION. Si F„ est definida para t e J como Fn(f>= J f(Xj t) dx, entonces, del teorema 31.7 se sigue que F. es diferenciable y que ra+n Fi(t) = J f,(x,t)dx. Por hipótesis, la sucesión (F„) converge en J a F y la sucesión (Fi.) converge uniformemente en J a G. Del teorema 28.5 se sigue que F es diferenciable end y que F ’ = G. Q.E.D. 33.9 EJEMPLOS, (a) Se observa que si t > 0 , entonces Funciones de una variable 301 y que la convergencia es uniforme para í 2 to> 0 . Si se integran los dos lados de esta relación con respecto a t sobre un intervalo [a, 0J en donde O < a < 0 ,y se usa el teorema 33.7, si obtiene la fórmula log (0/a ) = J[7 dt = jo { £ c ' “ dtj dx .- a * _-0 x dx. ■f (Observe que el último integrando se puede definir como continuo en x = 0.) (b) En lugar de integrar con respecto a t se diferencia y se obtiene for­ malmente p = í xe~a dx. I JO i Dado que esta última integral converge uniformemente con respecto a t. siempre que t a t o > 0 , la fórmula es válida para t > 0 . Por inducción se ob­ tiene ¿ r = T x"e-“ dx para í > 0 . t JO Haciendo referencia a la definición de la función gama dada en el ejemplo 32.10 (e) se puede ver que r(n + l) = n!. I d Si a > 1 es un número real y x > 0 , entonces, x“~‘ = Por lo que /(a ) = x“~' es un función continua de (a, x). Más aún, se puede ver que existe una vecindad de a en la que la integral r(a) = Jo x - V d x es uniformemente convergente. Del teorema 33.6 se sigue que la función gama es continua cuando menos para a > 1. (Si 0 < a s 1, se puede obtener la misma conclusión, pero, se debe tomar en cuenta el hecho de que la integral es impropia en x = 0 ) Id) Sean t 2:0 u 2 0 y definase a F por medio de w , f - b sen ux , F(u) = e “ —— dx. Jo X Si t > 0 , entonces, esta integral es uniformemente convergente para.u > 0 lo mismo que la integral 302 Introducción al análisis matemático Más aún, la integración por partes muestra que Si se toma A —* +«>, se obtiene la fórmula lo t+ u Por lo tanto, existe una constante C tal que F(u) = Are tan (u/t) + C para u a 0. Para poder calcular la constante C. se usa el hecho de que F(0) = 0 y Are tan (0) = 0 y se deduce que C = 0. Por lo tanto tanto, si t > 0 y u s 0, entonces le) Ahora, mantenga u > 0 fija en la última fórmula y observe, como en el ejemplo 33.5 (d), que la integral converge uniformemente para í 2: 0 de tal manera que el límite es continuo para t a 0. Si se toma t —* 0+, se obtiene la importante fórmula (33.4) u > 0. Integrales infinitas de sucesiones Sea (f„) una sucesión de funciones de valor real definidas para x ¿ a s e habrá de suponer que las integrales infinitas £ “ /» existen y que el límite /(x) = lim (/„(x)) existe para cada x > a. Convendría poder concluir que la integral infinita d e /e x is te y que (33.5) En el teorema 31.2 se demostró que si una sucesión (/„) de funciones Rie- mann iniegrabics converge uniformemente en un intervalo [a, c] a una fun­ ción / , entonces,/es Riemann integrable y la integral d e /e s el límite de las integrales de las f„. El resultado correspondiente no necesariamente es verda­ dero para integrales infinitas; en el ejercicio 33.J se verá que la función límite no tiene que poseer una integral infinita. Además, aun cuando la integral infi­ nita exista y ambos lados de (33.5) tengan un significado, la igualdad puede no cumplirse (cf. ejercicio 33.K) Análogamente la extensión inmediata de! teorema de convergencia acolada 31.3 puede no ser válida para integrales in­ finitas. Sin embargo, existen dos resultados importantes y útiles que dan las condiciones bajo las cuales la ecuación (33.5) se cumple. Al demostrarlas se Fundones de una variable 303 hará uso del teorema de convergencia acotada 3 1.3. El primer resultado es un caso especial del célebre teorema atribuido a Lebesgue. (Dado que estamos tratando con integrales infinitas de Riemann, es necesario agregar la hipóte­ sis de que la función límite es integrable. En la teoría (más general) de inte­ gración de Lebesgue, esta hipótesis adicional no es necesaria) 33.10 TEOREMA DE CONVERGENCIA DOMINADA. Suponga que (/„) es una sucesión acotada de funciones de valor real, que f(x) ~ lim (/„(x)) para toda x 2: a ,y que f y n e N , son Riemann integra­ bles sobre [a, c] para toda c > a . Suponga que existe una función M que tiene una integral sobre x 2 a y que |/„(x )|< M (x ) para x 2: a, neN. E ntonces,/tiene una integral sobre x a a y (33.5) J + / = lim j fK. DEMOSTRACION. De la prueba de comparación 32.7 se sigue que las integrales infinitas | J /„ n e N, existen. Si e > 0 , sea K tal que Jk" M < e, de donde se sigue que Dudo que /(x) = lim (/„(x)) para toda x e [a , K]se sigue del teorema de con­ vergencia acotada 31.3 que / = lim„ Por lo tanto, tiene que es menor que 3e para n suficientemente grande. Q.E.D. 33.11 T E O R E M A DE C O N V E R G E N C I A M O N O T O N A . Supóngase que (/„) es una sucesión acotada de funciones positivas en { x : a > a } que es monótonamente creciente en el sentido de quefn(x) s /-♦ i(x) para n e N y x ^ a, r tal que f y cada fn tiene una integra! sobre [a, c] para toda c > a. Entonces, a función límite f tiene una integral sobre {x : x s a} sí y sólo si el conjunto {JI” /,: n e N} es acotado. En este caso J> “ .p DEMOSTRACION. Dado que la sucesión (/„) es monótonamente creciente, se deduce que la sucesión (£ “ / „ : n e N ) también es monótona­ 304 Introducción al análisis matemático mente creciente. S i/tie n e una integral sobre {x :x a: a},entonces, el teorema de convergencia dominada (con M = f ) prueba que J>H > :i Inversamente, suponga que el conjunto de integrales infinitas es acotado y sea S el supremo de este conjunto. Si c > a, entonces, el teorema de conver­ gencia monótona 31.4 implica que Í> H > ^ { Í'4 ; Dado que /„ > 0, se sigue que ^ f„ «s S, y por lo tanto, que £ / < S. Por el teorema 32.6 la integral infinita de / existe y = S U p | s u p | /„ j = S U p J /». Q-E.D. Integrales iteradas e infinitas En el teorema 33.7 se obtuvo un resultado que justifica el intercambio del orden de integración sobre la región {(x, l ) : d s i , « s i < p } . También es deseable poder intercambiar ei orden de integración de una integral iterada infinita. Es decir, se desea probar la igualdad (33.6) nr f(x, t) dx} dt =nr /(x, t) dt} dx, condición sencilla que también implique convergencia absoluta de las integra­ les. Sin embargo, para poder estudiar integrales iteradas infinitas, que no ne­ cesariamente sean absolutamente convergentes, se requiere de una serie de condiciones más complicadas. 33.12 TEOREMA. Suponga que f es una función positiva definida para (x, t) que satisface x > a, t > a. Suponga que (33.7) | || /(x, t ) d t j d x = | | | /(x, O d x j d t para cada b > a v que (33-7') £ |£ /(*> 0 dxJ dt = £ | | /(x, t) d tj dx para cada /3 > a. Entonces, si una de las integrales iteradas de la ecuación (33.6) existe, las otras también existen y son iguales. Funciones de una variable 305 DEMOSTRACION. Suponga que la integral del lado izquierdo en (33.6) existe. Dado que / es positiva J f(x,t)dx*; J f(x ,t )d x para cada I s a y i s a . Por lo tanto, se infiere de la prueba de comparación 32.7 que Usando la relación (33.7), se concluye que l(Í. f ( X . , ) d , j d x S {[ [ / ( « .r t d x } * para cada b > o. Una aplicación del teorema 32.6 muestra que se puede to­ mar el límite cuando b -* +°°, de tal manera que la otra integral iterada existe y n j > '> * } * - n r « * H * Si se repite este argumento y se aplica la ecuación (33.7'), se obtiene la desi­ gualdad inversa. Por lo tanto, la igualdad se debe cumplir. q .e . d . 33.13 TEOREMA. Suponga que f e s continua para x s a, t a a ,y que existen funciones positivas M y N tales que las integrales infinitas Ja” M y JÍ" N existen. S i la desigualdad (33.8) |/(x, t)| :s M (x)N (0, x 2: a, ( 2 a, se cumple, entonces, ambas integrales iteradas en (33.6) existen y son iguales. DEMOSTRACION. Defina g para 1 2 0 , 1 2 a por medio de g(x, !) = /(*, »)+M (x)N (r) de tal manera que 0 ¿ g(x, 0 £ 2M (x)N(0- Dado que N es acotada en cada intervalo [a, 0], se tiene de la desigualdad (33.8) y la prueba M de Weierstrass 33.3 que la integral g(x, 0 dx existe uniformemente para t € [a, 0 ] Aplicando el teorema 33.7 se puede ver que la ecuación (33.7*) es válida (con/ reemplazada por g) para cada 0 a a. Análogamente, (33.7) es válida (con / reemplazada por g) para cada b a o . 306 Introducción al análisis matemático También, la prueba de comparación 32.7 implica que las integrales en (33.6) existen (con/reemplazada por g). Del teorema 33.12 se deduce que estas inte­ grales iteradas de g son iguales. Pero esto implica que las integrales iteradas de / existen y son iguales. <• qjejj. Los resultados anteriores tratan el caso en que las integrales iteradas son absolutamente convergentes. En seguida se da un resultado en el que se trata el caso de convergencia no absoluta. 33.14 TEOREMA. Suponga que la función de valor real f e s continua en (x. t) para x s: a y t s o y que las integrales infinitas (33.9) | /(x, t) dx, J f(x, t) dt convergen uniformemente para t > a y x a a, respectivamente. Además, de­ fina a F para i s fl, P s a, por medio de F (x , 0) = JV (X , t) dt y suponga que la integral infinita (33.10) (33.10) J ~ F (x , 0) dx coverge uniformemente parafi & a. Entonces, ambas integrales iteradas infi­ nitas existe y son iguales. DEMOSTRACION. Como la integral infinita (33.10) es uniforme­ mente convergente para 0 2 a, si e > 0 existe un número A. a a tal que si A i A., entonces (33.11) | J V ( x ,0 ) d x - [ ~ F ( x ,0 ) d x | < e para toda f3 a a. También se puede ver que | V ( x , 0) dx = n r f(x, t) dtj dx Por el teorema 33.7 y la convergencia uniforme de la segunda integral en (33.9) se deduce que üm J F(x, 0) dx = | | | /(x, t) dtj dx. Por lo que existe un número B > a tal que si 0 2 a 0, > B, entonces. Funciones de una variable 307 (33.12) | J V ( x , 0 2) dx - J V í x , 0 .) dx| < e. Combinando (33.11) y (33.12) se puede ver que si 0 2S: 0 ife B, entonces, j| F(x, 0 j ) d x ~ J F(x, 0 ,) dx J < 3e, por lo que se tiene que al límite de J*" F(x, 0) dx existe cuando0 -* + ». Des­ pués de aplicar el teorema 33.7 a la convergencia uniforme de la primera inte­ gral en (33.9), se tiene Um F (x ,p )d x = fo n [ ( j _ /(*,!) di} d* ■ is .r u . i ( x ' , ) i x } d‘ - n o , o ^ d ,. Dado que los dos términos del lado izquierdo de (33.11) tienen límites con­ forme 0 -> +oo se concluye, al pasar al limite, que ira* °“•}ix- ni> °ix\ i,\s *• Si se hace A —» +oo, se obtiene la igualdad de las integrales iteradas impro­ pias. Q.E.D. Los teoremas recién dados que justifican el intercambio del orden de in­ tegración con frecuencia son útiles, pero aún dejan amplio margen para la in­ ventiva. Frecuentemente se usa en forma conjunta con los teoremas 33.10 y 33.11 de convergencia dominada o monótona. 33.15 EJEMPLOS, (a) Si f(x, t) = sen xi, entonces, se toma M(x) = e~* y N(t) = e~‘ para aplicar el teorema 33.13 y deducir que n p ~ - * d,} d, - „ d . ) <*,. (b) Si g(x, t) = e - ”, para x 2s 0 y t a U, entonces, existe un problema en las rectas x = 0 y t = 0. Sin embargo, si a > 0, a > 0, y x a a y t 2: a, se ob­ serva que e~u = e"w/2e_’“/2 < «‘“ 'V * 1'2, Si se fijan M(x) = e '“*/2y N(t) = e"“/2, entonces, el teorema 33.13 implica que 308 Introducción al análisis matemático r o M * - n /> -*}- . (c) Considere la función/(x, y) = xe-**<,+,’)para x > a > 0 y ^ O .S toma M (x) = xe"*' y N(y) = e~aiy\ entonces, se puede invertir el orden de integración sobre a s x y O s y . Dado que se tiene f+*> (*—■ M. -a*<l+y*) I v. J e = _____ J. 2(1 + y2) U . 2(1 + y2) ’ se deduce que o ? ? jy - m *• Si se introduce el cambio de variable t = xy, se obtiene Se deduce que ' -o^y* r +c» . f + y * dy - 2* * J « e Si a -> 0, la expresión del lado derecho converge a 2 Í2. En el lado izquierdo se puede ver que el integrando está dominado por la función integrable (1 + ; 2)-1. Aplicando el teorema de convergencia dominada se tiene ’ y,"O1»2 r f+y5dy= 2 I * ' Por lo tanto, J2= ít/4, que da una derivación de la fórmula (d) Si se integra por partes dos veces, se obtiene la fórmula (■+» c-«y \e~ay (33.13) e -*, senxdx = T-——c o s a + f —- 5sena. Jo i+y i +y Si x a a > 0 y y s = a > 0 , se puede argumentar igual que en el ejemplo (b) para demostrar que sen x -IT d y } d x .[ x dx. Funciones de una variable 309 Se quiere tomar el límite conforme a —* 0. En la última integral, esto, evidentemente se puede hacer y se obtiene (e"“ sen x/x) dx. Por el hecho de que e'** cosa está dominado por l para y a: 0, y la integral jr° (l/(l + y2)) dy existe, se puede usar el teorema de convergencia dominada 33.10 para concluir que e “y eos a 1 + y2 La segunda integral es un poco más complicada ya que el mismo tipo de cálculo muestra que I ye “Ysen a I y 1 + y 2 | ~ 1 + y2’ y la función dominante no es integrable, por lo tanto, se debe hacer algo me­ jor. Dado que u ^ e" y |scnu| < u para u a 0, se infiere que \e~‘y sen a | ^ 1/y, por lo tanto, se obtiene el cálculo más preciso I yg “y scn a ! 1 I 1 + y2 | 25 l + y2‘ Se puede usar ahora el teorema de convergenc límite bajo el signo de la integral para obtener üm p * e _ l s e n a «-0 J« 1+ y Se ha llegado a la fórmula i f*“ dy f +~ e _axsenx , J7T—Are tan a = I . / i ~ ----------- dx. J. 1 + y Jo x Se quiere tomar ahora el límite conforme a -* 0. Esta vez no se puede usar el teorema de convergencia dominada ya que JJ“ x"‘ sen x dx no es absoluta­ mente convergente. Aun cuando la convergencia de a I conforme a -+ 0 es monótona, ei hecho de que sen x tome ambos signos implica que la conver­ gencia de todo el integrando no es monótona. Afortunadamente, ya se ha visto en el ejemplo 33.5 (d) que la convergencia de la integral es uniforme para a 2r 0. De acuerdo con el teorema 33.6, la integral es continua para a > O y por lo tanto nuevamente se obtiene la fórmula (33.14) i* — dx = Í7r. Jo X Ejercicios 33.A. Demostrar que la integral So~ x 'e " dx converge uniformemente para t en un intervalo [0, pero que no converge uniformemente para t a 0. 310 Introducción al análisis matemático J3.B. Demostrar que la integral f-s e n O x )^ Jo x es uniformemente convergente para f ¡a 1, pero que no es absolutamente convergente para ninguno de estos valores de t. 33.C. ¿Para qué valores de t convergen uniformemente las siguientes integrales infinitas? (a) 1 xJ+ fJ ’ » nfc. (c) J e " eos tx dx, (d) | x'e~‘‘ eos txdx, (e) P dxt ®r?*" 33.D. Usar la fórmula (33.14) para demostrar que rG) = Vjr. 33.E. Usar la fórmula (33.14) para demostrar que j ” dx ='rfñft para t> 0 . Justificar la diferenciación y demostrar que 1 • 3 ■• • (2n —1) Vir. 33.F. Probar la existencia de la integral f!" (l —e ’’)x~2dx. (Observe que el *ntc- grando se puede definir como continuo en x=0.) Evaluar esta integral la) reemplazando «'*’ por e""1 y diferenciando con respecto a i; lb) integrando í f «*“* dx con respecto a t. Justificar todos los pasos. 33.G. Defina F para »eR como F(t) = j e"‘*eos tx dx. Diferenciar con respecto a / e integrar por partes para demostrar que F ’(0 = (~l/2)tF(t). Encontrar FU) y, después de un cambio de variable probar la fórmula I e"“J eos txdx = jVü/c c > 0. Jo 33.H. Defina G para |> 0 por medio de G(l)= dx. Diferenciar y cambiar variables para demostrar que G'(t) = -2G(t). Después en­ contrar G(t) y probar la fórmula |* ’ e - ,- ,'-, dx= iV üe-w. 33.1. Usar la fórmula (33.4), fórmulas trigonométricas elementales y artificios matemáticos para demostrar que Funciones de una variable 311 sen ax , , ------- d x = 1, a> 0, x = 0, a —0, — 1. a< 0. sen x eos ax dx = l , |a|< 1, = i. H = i. = 0, |a j> l. senxsenax , 1. a+1 — ---------dx = —log ----- , x 7T 6 l - a q+1 a-i’ W>i. 1. 33.J. Para n e N defina f. por medio de /.(x)= 1/x, lsxsn, = 0, x > n. Cada /. tiene una integral para r a l y la sucesión (/„) es acotada, monótonamente creciente converge uniformemente a una función continua que no es integrable sobre { l e R i i a 1}. 33.K. Defina g. por medio de g»(x) = 1/n, O s x s n\ = 0, x > n 1. Cada &. tiene una integral sobre x a 0 y la sucesión (g jes acotada y converge a una función g que tiene una integral sobre x a 0, pero, no es verdad que ¿Es monótona la convergencia? 33.L. Si /(x, t) = (x - f)/(x + 1) \ demostrar que para cada A a 1; dt>° para cada B a l . Por lo tanto, demostrar que i {J /( x ,t)d x |d t# J |J /(x, t) dij dx. 33. M. Usando un argumento semejante al del ejemplo 33.15fcj y las fórmulas de los ejercicios 33.G y 33.H, demostrar que 312 Introducción al análisis matemático f-co st* ir J. l + y’ dy 2e ■ 33.N. Considerando las integrales iteradas de e~‘**” * sen y sobre el cuadrante í a 0 , y a 0, probar la fórmula a >0. Proyectos 33.a. Este proyecto trata a la función gam a, que se introduce en el ejemplo 32.10 le). Recuerde que T está definida p a r a l e n P = { x s R : x > 0 } por medio de la inte­ gral Ya se ha visto que esta integral converge p a r a x e P y que r (i) = >/ir. (al Demostrar que T es continua en P. Ibl Demostrar que T(x + 1) = xT(x) para x e P. (Sugerencia: integrar por partes en el intervalo [e, c].) (el Demostrar que r ( n + l ) = n! para n e N . (d) Demostrar que x F (x )= 1. Por lo tanto, se deduce que T no está aco­ tada a la derecha de x = 0 . (el Demostrar que T es diferenciabie en P y que la segunda derivada siempre es positiva. (Por lo tanto, T es una función convexa en P.) IfI Cambiando la variable t. dem ostrar que 33.B. Se introduce la función beta de Euler Defina B (x, y) para x, y en P = { x e H : x > 0 } por medio de B (x ,y )= i ' p - ' d - í ) ’ "'dt. Jo* Si x a: 1 y y z 1, esta integral es propia, pero si 0 < x < l o 0 < y < l , l a integral es impropia. (al Probar la convergencia de la integral para x, y en P. (hl Demostrar que B(x, y) = B (y, x). (el Demostrar que si x. y pertenecen a P. entonces. y (d) Integrando la función positiva ¡'unciones de una variable 313 sobre {(t, u ):l, + u, = R1, t a 0, u a 0} y com parando esta integral con la integral so­ bre cuadrados inscritos y circunscritos, derivar la im portante fórmula r(x)r(y) B(x, y) = r(x + y) • (el Probar las fórmulas de integración •^ñrCw + j) _ 1 • 3 • 5 • • • (2w —1) 7t 2r(n + 1) 2 •4 •6 •••(2n) 2 ’ , s/írl/n-t-l) 2 • 4 • 6 • • • (2n) dx* 7 n » T r 1 • 3 • 5 • 7 • • • (2n + l ) ' 33.y. Este proyecto y el siguiente presentan algunas propiedades de la transfor­ mada de L aplacetque es im portante tanto para m atem áticas teóricas como aplicadas. Para simplificar el análisis, se restringirá la atención a funciones continuas/ definadas de { t e R U s O } a R. transformada de Laplace de / e s la función / definida en los números reales s por medio de la fórmula dt, siempre que esta integral converja- Algunas veces a f se le denota por # ( / ) . (al Suponga que existe un número real c tal que |/(t)| ^ e “ para una i suficientemente grande. Entonces, la integral que define la transform ada de Laplace / converge para para s > c . Más aún converge uniformemente para s a c + S si 8 > 0 . ( hl S i/sa tisfa c e la condición de ser acotada del inciso (a), entonces f es continua y tiene una derivada para s > c dada por medio de la fórmula (De modo que la derivada del transform ado de Laplace d e / e s es el transform ado de Laplace de la función g(t) = — (el Demostrar por inducción que bajo la condición de ser acotada del inciso (al. J tiene derivadas de todos los grados para s > c y que / (,>,(*) = [ V * ( - 0 7 (0 dt. (d) Suponga q u e /y g son funciones continuas tales que sus transform adas dó La- place / y g convergen para s > s 0, y tales que si a y b son números reales entonces la función af +b g tiene una transform ada de Laplace que converge para s > s0 y que es igual a af+bg. (el Si a > 0 y g(t) = /(at),entonces, g converge para s > a s „ y g(s) = j f ( s / a ) . Análogamente, si h(t) = (l/a)f(t/a), entonces h converge para s > s 0/a y t P IE R R E SIM O N L A PLA CE (1749-1827), hijo de un ranchero norm ando, llegó a ser profesor en la Escuela M ilitar de París y fue electo para la Academ ia de Ciencias. Es famoso por su trabajo en mecánica celeste y probabilidad. 314 Introducción al análisis matemático d(s) = / ( « ) . (I) Suponga que la transform ada de Laplace f d e /e x is te para s > s 0 y d efin a/, para t < 0 igual a 0. Si b > 0 y s i g ( 0 = / ( t - b ) , entonces, ¿converge para s > s ó y g(i) “ «'*•/(*). Análogamente, si h (t) = «*,/( t) para cualquier real b. entonces í converge para s > s 0+b y £ (* )= /(s-b ). 33.5. Este proyecto es continuación del anterior y hace uso de sus resultados. la) Probar la siguiente tabla de transform ados de Laplace. /<*) /(*) Intervalo de convergencia 1 1/J s > 0, 1" nl/s**1 s > 0, e“ (s - a)~‘ s> a, t"e" n!/(s —a)~* 5 > O, a sen at para toda s.2 +i a.a s eos at para toda S +fl a senh at s> a, s -a s cosh at s> a. s —a sen t Are tan (1/s) s > 0. t lb) Suponga que/ y / ' son continuas para l a: 0, que } converge para s > s 0 y que e " 7 ( í ) - * 0 y »-*+<* para toda s > s 0. Entonces, el transform ado de Laplace de / existe para s > s» y ? ( s ) = sf(s )-f(0 ). ISugerencia: integrar por partes.) lc) Suponga q u e / f y /" son continuas para t a 0 y que f converge para s > s 0. Además suponga que e'"f(t) y e~mf ( t ) se acercan a 0 conforme t —* +°° para toda s > s 0. Entonces, la transform ada de Laplace de / ' existe para s > s 0 y f{s) = s 7 ( s ) - s / ( 0 ) - / '( 0 ) . ld) Cuando todo el integrando o parte de él se ve que es una transform ada de La- place, la integral se puede calcular algunas veces cam biando el orden de integración. U sar este método para calcular la integral le) Se desea resolver la ecuación diferencial y '(0 + 2y(r) = 3 se n tf y (0 )= l. Funciones de una variable 315 Suponga que esta ecuación tiene una solución y Ia' quc las transformadas de Laplace de y existen para .vsuficientemente grande. En este caso el transformado de y debe satisfacer la ecuación sy(s)_ y(0) + 2y(s) = 4/(s_ l). s > l, de donde se deduce que „ s+ 3 y(s)“ ( T ^ ( n j - Usar fracciones parciales y la tabla del inciso <a) para obtener y (í) =*?«' —se'2*, que se puede probar directamente que es una solución. (f) Encontrar la solución de la ecuación y '+ y ' = 0, y(0) = a, y'(0) = 6, usando la transformada de Laplace. (g) Demostrar que una ecuación diferencial homogénea lineal con coeficientes constantes se puede resolver usando el transformado de Laplace y la técnica de des­ composición de una función racional en fracciones parciales. VI S E R IE S INFINITAS El propósito de este capítulo es demostrar los teoremas más importantes de la teoría de series infinitas. Aunque se incluyen algunos resultados secun­ darios, la atención se centra en las proposiciones básicas. Si el lector desea obtener resultados más avanzados y aplicaciones, deberá consultar tratados más extensos. En la primera sección se dan los principales teoremas referentes a con­ vergencia de series infinitas en R p. Se obtienen algunos resultados de tipo ge­ neral que sirven para probar la convergencia de series y justificar ciertas ma­ nipulaciones con series. En la sección 35 se dan algunas “ pruebas” familiares para la convergen­ cia absoluta de series. Además de garantizar la convergencia de las series a las que se aplican estas pruebas, cada una de ellas da un cálculo cuantitativo de la rapidez de la convergencia. En la siguiente sección se proporcionan algunas pruebas útiles de con­ vergencia condicional y se da un breve análisis de series dobles y de multipli­ cación de series. En la sección 37 se introduce el estudio de series de funciones y se prue­ ban las propiedades básicas de series de potencia. En la última sección de este capitulo se prueban algunos de ios principales resultados de la teoría de series de Fourier. Sección 34 Convergencia de series infinitas En los textos elementales algunas veces se “define” a una serie infinita como “ una expresión de la forma (34.1) x, + x 2+ - • - + x„ + - • Sin embargo, esta “definición” carece de claridad, ya que no hay ningún va­ lor particular que se pueda asociar a priori a este arreglo de símbolos que su- 317 318 Introducción al análisis matemático giere un número infinito de sumas por efectuar. A pesar de que existen otras definiciones adaptables, una serie infinita se considerará igual a una sucesión de sumas parciales. 34.1 DEFINICION. Si X = (x«) es una sucesión en R", entonces la serie infinita (o simplemente la serie) que genera X es la sucesión S = (s*) de­ finida por 51 = X i, 52= Si + X2 ( = x, + x2), Sfc=sk-1 + Xil ( = x, + x2+ - • - + Xk), Si S converge se hará referencia a lim 5 como la suma de series infinitas. Los elementos x„ se llaman términos y los elementos Sk se denominan sumas par­ ciales de esta serie infinita. Es convencional usar la expresión (34.1) o alguno de los símbolos Z (*»). Z OO. »-l Z *• «-I para denotar la serie infinita generada por la sucesión X = (x»), así como para desig­ nar lim S en el caso en que esta serie inGnita sea convergente. En la práctica, el uso do­ ble de estas notaciones no crea confusión siempre que se sobreentienda que se debe probar la convergencia de la serie. El lector deberá cuidarse de no confundir las palabras "sucesión" y “serie". En el lenguaje no matemático estas palabras se usan indistintamente; en cambio en mate­ máticas no son sinónimos. De acuerdo con nuestra definición una serie infinita es una sucesión 5 que se obtiene de una sucesión dada X según un procedimiento especial que antes se estableció. Hay muchas otras maneras de generar nuevas sucesiones y de au­ mentar "sumas" a la sucesión dada X. El lector deberá consultar libros relativos a seríes divergentes, series asintóticas y sumabilidad de series para obtener ejemplos-de dichas teorías. Una última aclaración con respecto a la notación. A pesar de que por lo general se les pone índice a los elementos de la serie con números naturales, algunas veces es más conveniente empezar con n = 0, con n = 5, o con n = k. cuando este sea el caso, las series resultantes o sus sumas se designarán como Z x ., «•O Z x ., k“3 Zk *-■ *— En la definición 14.2 se definió la suma y la diferencia de dos sucesiones X , Y en R p. De manera análoga si c es un número real y si w es un elemento de J tp, se definen las sucesiones cX = (ex*) y (w • x„) en R p y R, respectiva­ mente. Se estudiarán ahora las series generadas por estas sucesiones. Seríes infinitas 319 34.2 TEOREMA (a) S i las seríes £ (x,) y £ (y,) convergen entonces la serie X (x„ + y„) converge y las sumas se relacionan por medio de la fórmula Z (*-+y-)=Z (*«)+Z (y-)- Un resultado análogo es válido para la serie generada por X —Y. (b) Si la serie X (*») es convergente, c es un número real y w es un elemento fijo de R p: entonces las series £ (ex,) y £ (w • x,) convergen y L ( « ,) = c Z M > Z (w ‘ x" )= w ' Z (*»)• DEMOSTRACION. Este resultado se deduce directamente del teo­ rema 15.16 y la definición 34.1. q .e .d . Se podría pensar que si las sucesiones X = (x,)y Y = (y„)generan series convergentes, entonces la sucesión X • Y = (x, • y„)también genera una serie convergente. Se puede ver que esto no siempre ocurre tomando X = Y = ((-l)7 V ñ )e n R. En seguida se ofrece una condición necesaria muy sencilla para la con­ vergencia de una serie. Sin embargo, es más que suficiente. 34.3 LEMA. S i £(x„) converge en R ”, entonces, lim (xn) = 0. DEMOSTRACION. Por definición, la convergencia de £ (x„) signi­ fica que lim (sk) existe, Pero dado que Xk = Sk-Sk-i, entonces lim (Xk) = lim (Sk>- lim (sk-i) = 0. q .e .d . A pesar de tener un alcance limitado, el siguiente resultado es de gran importancia. . 34.4 TEOREMA. Sea (x„) una sucesión de números reales positivos. Entonces £ (x,) converge si y sólo si la sucesión S = (Sk) de sumas parciales es acotada. En este caso. Z x, = lim (sk) = sup {sk}. DEMOSTRACION. Dado que x„ > 0, la sucesión de sumas parciales es monótonamente creciente: Si :£ S 2S • • • < Sk : £ • ■ • si y sólo si es acotada. Q .E .D . 320 Introducción al análisis matemático Dado que el siguiente criterio de Cauchy es precisamente una reformula­ ción del teorema 16.10. se omitirá la demostración. 34.5 CRITERIO DE CAUCHV PARA SERIES. La serie E W en R p converge si y sólo si para cada número e > 0 hay un número natural M (e) tal que si m > n s M (e); entonces. ||Sm Sn || ” ||Xn +1~t""Xn +2"t" * *• + Xm||< £ . El concepto de convergencia absoluta con frecuencia es de gran impor­ tancia en lo que respecta a series, como se probará más adelante. 34.6 DEFINICION. Sea x = (x,,) una sucesión en R p. Se dice que la serie £ (x„) es absolutamente convergente si la serie £ (||x„||) es convergente en R. Se dice que una serie es condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente. Se hace hincapié en que para series cuyos elementos son números reales positivos no hay distinción entre la convergencia ordinaria y la convergencia absoluta. Sin embargo para otras series sí puede haber alguna diferencia. 34.7 TEOREMA. S i una serie en R p es absolutamente convergente entonces es convergente. DEMOSTRACION. Por hipótesis, la serie £ (1W D converge.,Por lo tanto, de la necesidad del criterio de Cauchy 34.5 se infiere que dada e > 0 hay un número natural M (e) tal que si m > n > M (e); entonces, ||x»-,||+ ||xn«||+ " • + ||x»||<e. De acuerdo con la desigualdad del triángulo, el lado izquierdo de esta rela­ ción domina a ||x»*i + X„+2 + • • - + xm||. Se aplica la suficiencia del criterio de Cauchy para concluir que £(x„)debc converger. Q.E.D. 34.8 EJEMPLOS, (a) considere la sucesión real X = (a n), que genera la serie geométrica (34.2) a + a 2+ • • • + a" + • • • Una condición necesaria para la convergencia es que el lim (a") = 0, lo que se requiere q u e |a |< 1. Si m s n, entonces (34.3) Series infinitas 321 que se puede verificar multiplicando ambos lados por 1 - a y observando la reducción del lado izquierdo. Por lo tanto, las sumas parciales satisfacen |sm—Sn| = |a"*1+- - •+ a " * |s l— man. Si | a | < l , entonces |a "*!| - » 0 de manera que el criterio de Cauchy implica que la serie geométrica (34.2) converge si y sólo si |a | < 1. Dejando n = 0 en (34.3) y pasando al límite con respecto a mse encuentra que (34.2) converge al límite a / ( l - a ) cuando j a |< l . (b) Considere la serie armónica £ (1/n), que como se sabe diverge. Dado que lim (l/n ) = 0, no se puede usar en el lema 34.3 para probar esta diver­ gencia; en cambio se desarrollará un argumento más delicado que se basará en el teorema 43.4. Se habrá de probar que una subsucesión de las sumas par­ ciales no es acotada. De hecho, si ki = 2, entonces _1 .1 i , . i+2’ y si fcj = 22, entonces 1,1, 1. 1 1.1 Skl~ i + 2 + 3 + 4 -Sk, + í+ 3 74>'S k l + 2 ' 7 ' = í+7> Por inducción matemática se demuestra que si k, —2 \ entonces skr> s k,.I4-2 ^ = Sk,_,+-2 > 1 + 2 • Por lo tanto, la subsucesión (sO no es acotada y la serie armónica no con­ verge. . (c) Ahora se tratarán las p-series £ ( l/n p) en donde 0 < p < 1 y se usa la desigualdad elemental np s, n, para n e N . De esto se deduce que cuando 0 < p < 1, entonces _1_ neN. n £ np ’ Dado que las sumas parciales de las series armónicas no son acotadas, esta desigualdad prueba que las sumas parciales de £ ( l/ n p) no están acota­ das para 0 < p < 1, por lo que la serie diverge para estos valores de p. (d) Considere la p-serie para p > l . Dado que las sumas parciales son monótonas, es suficiente demostrar que alguna sucesión permanece acotada para poder demostrar la convergencia de la serie. Si k, = 2’ —1 = 1, entonces s , = l . Si k2= 22—1 = 3, se tiene Sk, = T+ ( 2p+ 3p) < 1 + 2p== 1 + 2prT’ / 322 Introducción al análisis matemático y si k3 = 2J—1, se tiene ' • i ’ . .v — ( 4^ + 5^+ + 7 ? )<' Ski^"4»< ^"*"2p- 1"*”4p-1 ‘ Sea a = 1/2P~‘; dado que p > 1, se puede ver que 0 < a < 1. .Por inducción matématica se tiene que si Jc, = 2r - 1 ; entonces 0 < S k ,< l + a + a 2+ - • •.+ a r“ ‘ . Por lo tanto, el número 1/(1 —o) es una cota superior para las sumas parcia­ les de la p-serie cuando 1 < p. Del teorema 34.4 se deduce que para tales va­ lores de p la p-serie converge. (e) Considere la serie £ (l/(n 2+ n)). Usando fracciones parciales puede escribir 1 1 1 ___ 1_ fc2+k k(k + l) k k + 1 * Esta expresión prueba que las sumas parciales son desenvolventes y por lo tanto i , 1 , , 1 1 ___ L _ 1 -2 2 -3 n(n + l) 1 n + 1* Se infere que la sucesión (s») es convergente a 1. Reordenamiento de series Hablando comúnmente, un reordenamiento de una serie es otra serie que se obtiene de la serie dada usando todos los términos exactamente una vez pero revolviendo el orden en que se toman los términos. Por ejemplo, la serie armónica i+í +í + ...„ * + . 1 2 3 n tiene los reordenamientos 14 + U + . . . + 1 + - 1 t . 2 1 4 3 2n 2n —1 1,1 1 , 1, 1 . 1 1 2 4 3 5 7 El primer reordenamiento se obtiene intercambiando el primero y segundo términos, el tercero y el cuarto y así sucesivamente. El segundo reordena­ miento se obtiene de la serie armónica tomando un “ término impar” dos Series infinitas 323 “términos pares” tres “términos impares” etc. Es evidente que hay una infini­ dad de distintos reordenamientos posibles de la serie armónica. 34.9 DEFINICION. Una serie Y (ym) en R p es un reordenamiento de una serie Y (x») si existe una biyección/de N sobre N tal que y„ = Xf<„) para toda m e N . Existe una observación importante hecha por Riemann. Si £ (x.) es una serie en R, condicionalmente convergente (es decir, es convergente pero no absolutamente convergente) y si c es un número real arbitrario, entonces existe un reordenamiento de X (x.) que converge a c. La idea de la demostración de esta afirmación es muy elemen­ tal: se toman términos positivos hasta obtener una suma parcial que exceda a c. después se toman términos negativos de la serie dada hasta obtener una suma parcial de términos menores a c. etcétera. Dado que lim (x,) = 0, no es difícil ver que un reor­ denamiento que converja a c se puede construir. En las manipulaciones con series por lo general es conveniente asegurarse de que los reordenamientos no alterarán la convergencia o el valor del limite. 34.IOTEOREMA DEL REORDENAMIENTO. SeaY. M u ñ a serie absolu­ tamente convergente en R p. Entonces, cualquier reordenamiento de Y (x.) converge absolutamente al mismo valor. DEMOSTRACION. Seax = Y (x«),seaX (y«) un reordenamiento de Y (*»)> sea K una cotasuperior para las sumas parciales de Y (IWD- Es claro que si es una suma parcial de X(ym), entonces C = y i + * • - + yr llyill+• • • + ! * por lo que se infiere queX (ym)es absolutamente convergente a algún elemento r de JRP. Se desea probar que x —y. Si e > 0 , sea N (e) tal que si m > n s N(e) y s, = Xi + - • *+ x«, entonces ||x —S»|| < e L IM <e- k-i»+l Elija una suma parcial Ud Y (y-) tal que ||y —tr||< e y tal que cada Xi,X2, — , x„ ocurra en t,. Una vez que se haga esto, elija m > n tan grande que toda yk que aparezca en C también aparezca en s„ . Por lo tanto, ||x - y|] s ||x - $«11+ ||s„ - 1,|| + ||t, - y || < e + £ Hxkll + e < 3c. l*+1 ' Dado que e > 0 es arbitraria, se deduce que x = y. Q.E.D. Ejercicios 34.A. Sea Y (°-) una serie dada y sea Y (h.) una serie en la que los términos son los mismos que en Y (<*.), excepto aquellos para los cuales a . = 0 se han omitido. De­ m ostrar que Y («.) converge a un número A si y sólo si X(b„) converge a A. 324 Introducción al análisis matemático 34.B. Demostrar que la convergencia de una serie no se afecta al cam biar un número finito de sus términos. (Desde luego, es posible cam biar la suma) 34.C. Demostrar que al agrupar los términos de una serie convergente introdu­ ciendo paréntesis que contienen un número finito de términos no se destruye la conver­ gencia o el valor del limite. Sin em bargo, al agrupar términos en una serie divergente se puede producir convergencia. 34.D. Demostrar que si una serie convergente de números reales contiene sólo un número finito de términos negativos entonces es absolutam ente convergente. 34.E. Demostrar que si una serie de números reales es condicionalmente conver­ gente entonces la serie de términos positivos es divergente y la serie de términos nega­ tivos es divergente. >. 34.F. Usando fracciones parciales, dem ostrar que 1 (a) £ =— si a > 0 , „_o (<i + n)(at + n + 1) a /u\ y _____1______ I W “ ,n(n+l)(»t + 2) 4 ‘ (Í4 X í)s ¡ £ (a.) es una serie convergente de números reales, ¿entonces £ (a ,2) es siempre convergente? Si a . & 0, ¿es verdad que £ (Va^) siempre es convergente? 34.H. Si £ (a.) es convergente y a , a 0, ¿es £ (V a .a ,,,) convergente? 34.1. Sea £ (a.) una serie de números estrictam ente positivos y sea b„ n e N, d finida como b, = (a ,+ a 2+ - • - + a .)/n . D em ostrar'que £ ( b .) siempre diverge. 34.J. Sea £ (a.) convergente y sea c., neiV , definida como _ a, + 2 a 2+ * • • + na. C' ~ rt(n + l) Entonces, £ (c.) converge y es igual a £ (a.). 34.K. Sea £ ( a . ) una serie de números positivos monótonamente decrecientes. Demostrar que £ ;_ , (a.) converge si y sólo si la serie I r a 2' converge. A este resultado a menudo se le llama prueba de condensación de Cauchy. (Sugerencia: agrupar los términos en bloques como en el ejemplo 34.8(b.d).) 34.L. Usar la prueba de condensación de Cauchy para analizar la convergencia de la p-serie £ ( l/i* ') - 34.M. U sar la prueba de condensación de Cauchy para dem ostrar que las series — -— Y ----------- ----------- n log n ’ " n(log n)(log log n) ’ r ------------------ ------------------- «(log n)(log log n)(log log log n) son divergentes. 34.N. Demostrar que si A c > l , ! a s series Series infinitas 32.5 ___1 _______1_______ l n(log n)c ’ I n(log n)(log log n )' son convergentes. 34.0. Suponga que (a.) es una sucesión monótonamente decreciente de números positivos. Demostrar que si la serie £ ( a«) converge, entonces lim (n a.) = O. ¿Es válido lo inverso? 34.P. Si lim (a .) = O, entonces £ ( a . ) y £ (a .+ 2 a .* ,) son am bas convergentes o ambas divergentes. Sección 35 Pruebas para la convergencia absoluta En la sección anterior se obtuvieron algunos resultados con respecto a las manipulaciones de series infinitas, específicamente en el caso en que las series son absolutamente convergentes. Sin embargo, exceptuando el criterio de Cauchy y el hecho de que los términos de una serie convergente convergen a cero, no se probó ninguna condición necesaria o suficiente para la conver­ gencia de series infinitas. Ahora se darán algunos resultados que se pueden usar para probar la convergencia o divergencia de series infinitas. Dada su importancia, se pondrá atención especial a la convergencia absoluta. Puesto que la conver­ gencia absoluta de la serie £ (x„) en R 1’ es equivalente a la convergencia de la serie £ (||x,||)de elementos positivos de R, es claro que los resultados que prue­ ban la convergencia de series positivas reales son de interés particular. La primera prueba muestra que si los términos de una serie positiva real están regidos por los términos correspondientes de una serie convergente, en­ tonces, la primera serie es convergente. Se obtiene una prueba de convergen­ cia absoluta que el lector deberá formular. 35.1 PRUEBA DE COMPARACION. Sean X = (x.) y Y = (yn)su- cesiones reates positivas y suponga que para algún número natural K, (35.1) x„ < y„ para n & K, entonces, la convergencia de £ (y.) implica la convergencia de £(x„). DEMOSTRACION. Si m & n a sup {K, M(e)}, entonces, x.+i + • ■• +X .S y»+i + * • • + ym< e , de donde la afirmación es evidente. qje .d . 35.2 PRUEBA DE COMPARACION DEL LIMITE. Suponga que X = (x„) y Y —(y„) son sucesiones reales positivas. 326 Introducción al análisis matemático (a) S i la relación (35.2) lim (xjy„) # O es válida, entonces £ (x„) es convergente si y sólo si £ (y») es convergente. (b) S i el límite en (35.2} es cero y £ (y„) es convergente, entonces £ (x«) es convergente. DEMOSTRACION. De (35.2) se infiere que para algún número real c > l y algún número natural K, (l/c)y , s x. s cy« para n a JC. Si se aplica dos veces la prueba de comparación 35.1 se obtiene la afirmación del inciso (a). La demostración de (bj es análoga y se omitirá. q .e .d . Pruebas de la raíz y de la razón En seguida se dará una prueba importante realizada por Cauchy. 35.3 PRUEBA DE LA RAIZ, (a) Si X —(xn)es una sucesión en R r y existen un número positivo r< \ y un número natural K tales que (35.3) .. < IW r" ^ r para n a K, , entonces la serie £ (x*) es absolutamente convergente. (b) S i existe un número r> \ y un número natural K tales que (35.4) I M 1'" ^ r para n ^ K, entonces la serie £ (x„) es divergente. • DEMOSTRACION, (a) Si (35.3) es válido, entonces se tiene ||x„|| s r*. Ahora, para 0 < r s l , la serie £ (r") es convergente, como se vio en el ejemplo 34.8(a). Por lo que de la prueba de comparación se infiere que £ (x„) es absolutamente convergente. (b) Si (35.4) es válido, entonces ||x„|| a r". Pero, dado que r a 1, es falso que lim (||x„||) = 0. q .e .d . Además de probar la convergencia de £(x»), la prueba de la raíz se puede usar para obtener un cálculo de la rapidez de convergencia. Esta esti­ mación es útil en cálculos numéricos, así como en algunos cálculos teóricos. 35.4 COROLARIO. S i r satisface 0 < r < 1 y si ¡a sucesión X = (x„) satisface (35.3). entonces las sumas parciales sn, n > K, se aproximan a la suma s = £ (x„) de acuerdo con el cálculo. (35.5) ||s - s « ||¿ Y 3 ^ p a ra n a K. 1 Series infinitas 327 DEMOSTRACION. S ¡ m > n > K , s c tiene ■.♦i ||sm - s,|| = ||x„+, + • • • + x„|| ||x»+i||+■ • • + ||x„| < r*+1 + • • • + r" < Se toma ahora el límite con respecto a m para obtener (35.5). A menudo es conveniente hacer uso de la siguiente variante de la prueba de la raíz. 35.5 COROLARIO. Sea X = (x») una sucesión en R r y fíjese (35.6) r = lim (||x .¡n , siempre que este límite exista. Entonces, £ (x,) es absolutamente convergente cuando r < 1 y es divergente cuando r > 1. DEMOSTRACION. Se infiere que si el límite en (35.6) existe y es menor que I, entonces existe un número real r¡ con r < r¡ < 1 y un número na­ tural K tales que H * r - r< Para « as K. En este caso la serie es absolutamente convergente. Si este límite excede a 1, entonces hay un número natural real r2> 1 y un número natural K tales que , llx.ll1'" a r2 para n s K , en cuyo caso la serie es divergente. q .e .d . Este corolario se puede generalizar usando el límite superior en vez del límite. Los detalles se dejan como ejercicio. La siguiente prueba se debe a D’Alembertt 35.6 PRUEBA DE LA RAZON, (a) S i X = (x„) es una sucesión de elementos distintos de 0 de R r y hay un número positivo r < 1 y un número natural K tal es que (35.7) s r para n s K , Entonces la serie £ (x.) es absolutamente convergente. (b) S i existen un número r 5:1 y un número natural K tal que t JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1.717-1783) fue hijodel Caballero Destouches. Llegó a ser secretario de la Academia Francesa y el matemático líder de los enciclopedistas. Contribuyó en la dinámica y en ecuaciones diferenciales. 328 Introducción al análisis matemático .I (35.8) entonces la serie X (x«) es divergente DEMOSTRACION, (a) Si (35.7) es válido, entonces un argumento elemental de inducción prueba que ||xjc+m|| s r" ||xk|| para m & 1. Se infiere que para n > K los términos de X (x.) están dominados por un múltiplo fijo de los términos de la serie geométrica X (r") con 0 < r < 1. De la prueba de comparación 35.1 se deduce que E (x .) es abosulutamente convergente. Ib) Si (35.8) es válido, entonces un argumento elemental de inducción prueba que ||xK+ml| > rm ||xk|| para m > 1. Dado que r a 1, es imposible tener lim (||xn|¡) = 0 y la serie no puede converger. q .e .d . 35.7 COROLARIO. S i r satisface 0 s r < l y si la sucesión X - ( x n ) satisfce (35.7) para n > K, entonces las sumas parciales se aproximan a la suma s = X (x*) de acuerdo con el cálculo. (35.9) paran^K. DEMOSTRACION. La relación (35.7) implica que ||x,+k|| s r k I M cuando n s K . por lo tanto, si m > n & K, se tiene ||sm- S B|| = ||x.*i + - • - + Xm ||á |ix „ +l||+* • - + I M s (r + r2+ • • •+ rm ") |M < ll*J- De nuevo se toma el límite con respecto a m para obtener (35.9). q .e .d . 35.8 COROLARIO. Sea X = (x„) una sucesión R r y fije siempre que el límite exista. Entonces la serie X (x„) es absolutamente conver­ gente cuando r < 1 y divergente cuando r > 1. DEMOSTRACION. Suponga que el límite existe y r < 1. Si r, satis­ face r < f i < l , entonces hay un número natural K tal que < ti para n ¿ K . En este caso el teorema 35.6 prueba la convergencia absoluta de la serie. Si r-> l y si r2 satisface l < r 2< r, entonces hay un número natural K tal que Series infinitas 329 « !> „ "a ra " a K - y en este caso hay divergencia. q .e .d . Prueba de Raabe Si r = 1, fallan tanto la prueba de la razón como la prueba de la raíz y puede ocurrir que haya convergencia o divergencia. (Ver el ejemplo 35.13 (d) para ciertos fines es útil tener una forma más delicada de la prueba de la ra­ zón para el caso en que r = 1. El siguiente resultado, que se atribuye a Raabet, por lo general es adecuado. 35.9 PRUEBA DE RAABE. (a) Si X —(x«) es una sucesión de ele­ mentos distintos de cero de R r y existen un número real a > 1 y un número natural K tales que (35.10) (35.10) pa ra n s K, Itx-ll n entonces la serie £ (x,) es absolutamente convergente. (b) Si existen un número real a < 1 y un número natural K lates que (35.11) W U l-- para n ^ K, M n entonces la serie £ (x«) no es absolutamente convergente. DEMOSTRACION, (a) Suponiendo que la relación (35.10) es válida, se tiene k ||xk>,|| < (k - 1) ||xk || - (a - 1) ||xi, || para k & K. se infiere que (35.12) (k - 1 ) ||xk||- k ||xk+i|| a: (a - 1) ||xk||> 0 para k & K, de donde la sucesión (k ||x*+i|D es decreciente para k > K. Al sumar la rela­ ción (35.12) para k = K , . . . , n y observando que el lado izquierdo se reduce, se puede ver que (K - 1) M I - n ||x„+,|| > (a - l)(||xK|| + - • • + ||x„||). Esto prueba que las sumas parciales de £ (||xn||) están acotadas y se de­ muestra la convergencia absoluta de £ (x»). (b) Si la relación (35.11) es válida para n > K entonces, dado que a < 1, t JO SE PH L. RAABE (1801-1859) nació en Ucrania y dio clases enZ urich. Hizo aportaciones tam o en geometría como en análisis. 330 Introducción al análisis matemático n ||¿.+I|| > (n - a) ||x»H > (n - 1) ||x.fl. Por lo tanto, la sucesión (n ||x„+i|Des creciente para n a : K y existe un número c > 0 tal que ||x„+1||> c /n , n& K . Dado que diverge la serie armónica £ (1/n), entonces, £ (x„) no puede ser ab­ solutamente convergente. q .e .d . También se puede usar la prueba de Raabe para obtener información acerca de la rapidez de la Convergencia. 35.10 COROLARIO. Si a > l y si la sucesión X = (x«) satisface (35.10) entonces las sumas parciales se aproximan a la suma s de £ (x*) de acuerdo con el cálculo. (35.13) ||s - s„|| s — j ||x»+i|| para n a K . DEMOSTRACION. Sea m > n s K , sumar las desigualdades obte­ nidas de (35.12) para k = n + 1 , . . . , m para ob*«ner n ||xn+i||- m ||x„+i||;» (a -l)(||x ,+ i|| + - ’ - + ||Xm|D- Por lo tanto, se tiene IIs»- s-ll s ||xn+i||'t" *• •+ IM <; ||x»+,||; tomando el límite con respecto a m, se obtiene (35.13). q .e .d . En la aplicación de la prueba de Raabe puede ser conveniente usar la si­ guiente forma de límite menos rígida. 35.11 COROLARIO. Sea X = (x«) una sucesión de elementos distin­ tos de cero de R r y fíjese (35.14, o = « » (» (! siempre que este límite exista. Entonces £ (x„) es absolutamente convergente cuando a > 1 y no es absolutamente convergente cuando a < 1. DEMOSTRACION. Suponga que el límite (35.14) existe y satisface a > 1. si a i es cualquier número con a > a, > 1, entonces existe un número natural K tal que Series infinitas 331 Por lo tanto, se infiere que ll*vt>|] < i _ Bl «ara n >• K IM n p d ran sK y el teorema 35.9 asegura la convergencia absoluta de la serie. El caso en el que a < 1 es análogo y se omitirá. q .e .d . La prueba de la integral En seguida se da una prueba muy efectiva, debida a Maclaurint, para una serie de números positivos. 35.12 PRUEBA DE LA INTEGRAL. Sea f u ñ a función positiva, de­ creciente y continua e n { t:t s : 1}. Entonces, ¡a serie £ (f(n)) converge si y sólo si la integral infinita [~/(t)dt = lim([‘ /(t) dt) existe. En el caso de convergencia, la suma parcial s»=Xl-i (f(k))y/a suma s = £ “-> (f ( k )) satisfacen la estima (35.15) P /(í) df < s- s„ < f~/(t)dt. Jn+1 Jm DEMOSTRACION. Dado que f e s positiva, continua y decreciente en el intervalo [ f c - 1, fc], se infiere que (35.16) /(k)¿f f(t)d t< f(k-l). Jk-t Sumando esta desigualdad para k = 2, 3 , . . . , n, se obtiene la relación S„ “ / ( 1) á J f ( t ) d t <= S n -l, que prueba que ambos o ninguno de los límites lim ( S n ), U m (} , /( O d t) existe. Si existen, al sum ar la relación (35.16) se obtiene para k = n + 1, . . m, t COLIN MACLAURIN (1698-1746) fue alumno deNcwton y profesor en Edimburgo. Era el matemático británico líder de su ¿poca y contribuyó tanto a la geometría como a la fisica mate­ mática. 332 Introducción al análisis matemático Sn-SnfSj f ( t ) d t < Sm- i ~Sn-U de donde se infiere que í m+,/(t)dí= s&.-&.s f m/(Odí. Jn+1 Jn Si se loma el límite con respecto a m e n esta última desigualdad, se obtiene (35.15). Q.E.D. Se va a mostrar cómo se pueden aplicar los resultados de los teoremas 35.1 a 35.12 a las p-series que se introducen en el ejemplo 34.8(c). 35.13 EJEMPLOS, (a) Primero se aplicará la prueba de comparació Sabiendo que la serie armónica £ (1/n) diverge, se puede ver que si p < 1, en­ tonces n ' s R y por lo tanto 1 J_ n ^ n r' • ' | - ’ 1 Después de usar la prueba de comparación 35.1 se concluye que la p-serie £ ( l/ n p) diverge para p < 1. (b) Considere ahora el caso p = 2; es decir la serie £ (1/n2). Se compara la serie con la serie convergente £ [l/n (n + 1)] del ejemplo 34.8(e). Dado qut la relación 1 r 1 n(n + l) ñ 1 es válida y los términos del lado izquierdo forman una serie convergente, no se puede aplicar directamente el teorema de comparación. Sin embargo, se podría aplicar este teorema si se comparase el n-ésimo término de £ [ l/ n ( n + 1)] con el (n + l)-ésimo término de £ (1/n 2) en vez de ello se aplicará la prueba de comparación de límite 35.2 y se tiene 1 1_ n2 _ n n(n + l ) ñ * n(n + l ) ~ n + l ’ Dado que el límite de este cociente es I y £ [ l/ n ( n + 1)] converge, entonces también la serie £ ( l / n 2) converge. (c) Considere ahora el caso p > 2. si se observa quenp a n 2para p > 2, entonces n" 1?' Series infinitas 333 una aplicación directa de la prueba de comparación asegura que £ (l/ n p) con­ verge para p > 2. Alternativamente se podría aplicar la prueba de compara­ ción del límite y tener Si p > 2 , esta expresión converge a 0, por lo que del corolario 35.2(b) se de­ duce que la serie £ ( l/n p) converge para p a 2. Al usar la prueba de comparación no se puede obtener ninguna informa­ ción con respecto a las p-series para l < p < 2 a menos que sea posible en- comrar una serie cuyo carácter de convergencia sea conocido y que se puede comparar con la serie de este rango. (d) Se demuestran las pruebas de la raíz y de la razón como aplicada a las p-series. Observe que ( A y /" , (n - ,r = (n,/T , Se sabe que (véase el ejemplo I4.8(e)) la sucesión (n"") converge a I. Por lo tanto, se tiene de tal manera que la prueba de la raíz (en la forma del corolario 35.5) no es a- plicable. De la misma manera, dado que _ ! ___ , 1 np 1 (n + l ) p ' n p ( n + l) p (1 + 1/n)1” . t •. y puesto que la sucesión ((1 + l/n ) p) converge a 1, la prueba de la razón (en la forma del corolario 35.8) no es aplicable. (e) No habiendo otra alternativa, se aplica la prueba de Raabe a las p- series para valores integrales de p. Primero se intenta usar el corolario 35.11 Observe que ( ni + il )1 y) (n + l-m (n + 1)1 Si p es un entero, entonces se puede usar el teorema del binomio para obtener una estima para el último término. De hecho, 1 1 —1 + __P__ .EÍEZ1)' + n+1 n + 1 2(n + l)* •) 334 Introducción aI análisis matemático Si se toma el límite con respecto a n. se obtienep. De modo que estecorolario de la prueba de Raabe demuestra que la serie converge para valores enteros de p 2: 2 (y si fuese conocido el teorema del binomio para valores no enteros de p. esto se podría mejorar). (f) Por último se aplica la prueba de la integral a las p-series. Sea f(t) = t~p y recuerde que y df = log (n) —log (1), 1, ¿ * = ^ ( « - ' - 1 ) Para P * 1- A partir de estas relaciones se puede ver que la p-serie converge si p > 1 y di­ verge si p s l . Ejercicios 35.A. Probar la convergencia o la divergencia de las series cuyo n-ésimo término está dado por (a) (n + l)(it + 2) ’ W (n + l)(n + 2) ’ (c) 2~‘M, (d) n!2", (e) [«(n + l)]-1'», (f) [n’(n + l ) r n, (g) n!/n*. (h) (—l)*n/(n+ 1). 35.B. Para cada una de las series del ejercicio 35.A que converja, calcular el resi­ duo si sólo se toman cuatro términos. Si se desea determinar la suma con una aproxi­ mación menor que 1/1000. ¿cuántos términos se deben tomar? 35.C. Analizar la convergencia o la divergencia de las series cuyo n-ésimo término (para n suficientemente grande) está dado por (a) [log n ] ’, (b) [log n] \ (c) [logn]***, (d) [log n]‘1“,w \ (e) [nlogn]-’, (0 [n(logn)(log logn)2]-1. 35.D. Analizar la convergencia o la divergencia de las series con n-ésimo término (a) 2"«"\ (b) n 'e ". (c) e— *, (d) (log n) t~r', (e) n !e -, (0 n! t " 35.E. Demostrar que la serie i + ! + ! + ! + ., 1* 2’ 3* 4* es convergente pero que ni la prueba de la raíz ni la prueba de la razón son aplicables. 35.F. Si a y b son númros positivos, entonces 1 I (an + b)' converge si p > 1 y diverge si. p < l . Series infinitas 335 35.G. Analizar las series cuyo n-ésimo término es ________ ni________ M I (a) 3 • 5 • 7 • • • (2n +1) ’ (b) (2n)!’ 2 • 4 • • - (2n) 2 • 4 • • • (2n) (c) 3-5 — (2n + 1) ’ (d) 5 -7 • • -(2n + 3)- 35. H. La serie dada por converge para p > 2 y diverge para p s 2 . 35.1. Sea X = (x.) una sucesión en R r y r dado por r = limsup(||x.||1''). Entonces, £(x.) es absolutamente convergente si r < l y divergente si r > l . [El límite superior u = lim sup(b») de una sucesión acotada de números reales se definió en la sección 18. Es el único número u con las propiedades (i) si u < v entonces b. :s t) para toda neN , suficientemente grande y (ii) si w < u, entonces w ^ b. para una infi­ nidad de neN .] 35.J. Sea X = (x») una sucesión de elementos distintos de cero de Rr y sea r el número dado por r = limsupfl|x„.,||/||x.lD. (a) Demostrar que si r < l , entonces la serie £ (x«) es absolutamente conver­ gente. (b) Dar un ejemplo de una serie absolutamente convergente con r > l . fe) Si lim inf (1k,.||y1M)>l, demostrar que la serie £ (x,) no es absolutamente convergente. 35.K. Sea X = (x») una sucesión de elementos de R ' distintos de cero y su­ póngase que a está dado por a = lim sup (n(l-|k*ill/|WD)- (a) Si a < l , demostrar que la serie £(x„) no es absolutamente convergente. (b) Dar un ejemplo de una serie divergente con a > l . (c) Si lim inf (n(l —||x»,,||4klD)> 1 demostrar que la serie £(x«) es absoluta­ mente convergente. 35.L. Sea X = (x.) tal que x, > 0 para neN . Demostrar que la serie £ (x.) es di­ vergente si lim sup^(log n) 1- - 1j j < 1. 35.M. Sea x»>0 para n e N y supóngase que n ( l - x .,(/x.) = a + k j n r, en donde p > 0 y(fc„) es acotada. Entonces, la serie£(x») converge si a > 1 y diverge si a < 1. 35.N. Si p > 0 , q > 0 , entonces, la serie V (P+ l)(p + 2) • • • (p + n) ^ (q + l)(q +2) • • • (q + n) converge para q > p + l y diverge para q s p + l. 35.0 Demostrar que la serie £(2"n!)7(2n + L)l es divergente. 336 Introducción al análisis matemático 35.P. Sean x. > 0 y r = lim inf (—log x jlo g n). Demostrar queX (x.) converge si r> 1 y diverge si r < 1. 35.Q. Supóngase que ninguno de los números a.b.c. es un entero negativo o cero. D em ostrar que la serie hipergeométrica ab q (a + l)b (b + 1) a(a + l)(a + 2)b(b + l)(b + 2) l!c 2!c(c + 1 ) 3 ! c ( c + l) ( c + 2 ) es absolutamente convergente para c > a + b y divergente para c s a + b. 35. R. Sea a . > 0 y suponga que X (o-) converge. Construir una serie convergente £ (b„) con b. > 0 t^l que lim (a JK ) = 0 ; por lo tanto, X (b„) converge con menos rapi­ dez que X (a,). ISugerencia: sean (A .) las sumas parciales de £ (a.) y A su límite. Defínase r0 = A , r„ = A - A„ y b. = V r.., - Vr;.) 35.S. Sea a » > 0 y suponga que X (o.) diverge. Construir una serie divergen X (b.) con b„ > 0 tal que lim ( b ja „) = 0 ; por lo tanto, X (b„) diverge con menos rapidez que X (a„). (Sugerencia: sean b, = Vai y b, = V ñ ^ - V a . , n > l . ) 35.T. Sea {n„ n „ ...} la colección de números naturales que no usan el dígito 6 en su expansión decimal. D em ostrar que la serie X (l/n») converge a un número me­ nor que 90. Si {m„ m2, ...} es la colección que term ina en 6, entonces X ( l / m») d¡- verge. , Proyecto 35.a. a pesar de que los productos infinitos no ocurren con tanta frecuencia como las series infinitas, son im portantes en muchas investigaciones y aplicaciones. Para simplificar, se restringirá la atención a productos infinitos con términos a « > 0 . Si A = (a.) es una sucesión de números reales estrictam ente positivos, entonces el producto infinito, o la sucesión de productos parciales, generaldos por A es la sucesión P = (p„) definida por p i = <*i> P 2 = P iO ,( = f l i f l i ) , . . . , P- = p.-iO-( = a ,a 2 • • • a . - , a . ) , . . . . Si la sucesión P es convergente a un número distinto de cero, entonces al lim P se le llama el producto del producto infinito generado por A. En este caso se dice que el pro­ ducto infinito es convergente y se escribe lia ., n («O» o bien a,a¡a, • • • a. ■• • para denotar P y lim P. (Observación: la restricción de lim 0 no es esencial sino convencional ya que ase­ gura que ciertas propiedades de productos finitos se apliquen a productos infinitos.) (al Demostrar que una condición necesaria para la convergencia del producto in­ finito es que lim (a „ )= 1. (b) D em ostrar que una condición necesaria y suficiente para la convergencia de O a«, a» > 0, es la convergencia de Y 1°8 w-1 » -I (el Los producios infinitos a menudo tienen términos de la forma a„ = l + u«. M anteniendo la restricción inicial, se va a suponer que « . > —1 para toda rt 6 N. Si Series infinitas 337 u» a O, demostrar que una condición necesaria y suficiente para la convergencia del infinito es la convergencia de la serie infinita £(u«). (Sugerencia: usar la prueba de comparación del límite 35.2) (d) Sea u. > - l . Demostrar que si la serie infinita £(«») es absolutamente con­ vergente, entonces, el producto infinito fl(1 + u.) es convergente. (el Suponga que u. > —1 y que la serie £ («O es convergente. Entonces, una con­ dición i necesaria y suficiente para la convergencia del producto infinito 11(1 + «.) es la convergencia de la serie infinita £ (u.2). (Sugerencia: usar el teorema de Taylor y demostrar que existen constantes positivas A y B tales que si |u |< í, entonces A u*s u —log(1 + u ) s Bu!.) I Sección 36 Otros resultados para series Las pruebas que se dan en la sección 35 tienen la propiedad de garantizar que si ciertas hipótesis se cumplen entonces la serie £ (x,) es absolutamente convergente. Ahora se sabe que la convergencia absoluta implica convergen* cia ordinaria; sin embargo, analizando series especiales tales como !< = !£ . i m . n vn es fácil ver que la convergencia puede ocurrir aun cuando la convergencia ab­ soluta no se cumpla. Por lo tanto, es deseable tener una prueba que dé infor­ mación acerca de la convergencia ordinaria. Existen muchas de estas pruebas que son aplicables a tipos especiales de series. Posiblemente las de mayor aplicabilidad son las debidas a Abelt y a Dirichlet. Para demostrar estas pruebas se necesita un lema al que algunas veces se- le llama fórmula de la suma parcial, ya que pertenece a la conocida fórmula de integración por partes. En la mayoría de las aplicaciones las sucesiones X y Y son sucesiones en R, pero lo los resultados son válidos cuando X y Y son sucesiones en R p y se usa el producto interno o cuando alguna de las dos X o Y es una sucesión real y la otra está en R ’. 36.1 LEMA DE ABEL. Sean X = (x„) en R y Y = (y„) en R psucesio­ nes y desígnese a las sumas parciales de X (y*) por medio de(sk)- Si m a n, entonces m m (36.1) £ xjy( = (xm+Jsm-x„s.-I)+X (x,-x,+i)sj. i-» i- » t NIELS HENRIK ABEL (1802-1829) fue hijo de un ministro noruego pobre. Cuando tenía ape­ nas 22 años demostró la imposibilidad de resolver la ecuación general quinta por medio de radi­ cales. Este genio autodidacta también hi/o trabajos sobresalientes en series y funciones elípticas antes de su temprana muerte por tuberculosis. 338 Introducción al análisis matemático DEMOSTRACION. Se puede dar una demostración de este resul­ tado observando qutyj = s¡ -s¡-i y aparejando los términos en cada lado de la igualdad. Los detalles se le dejan al lector. q .e .d . Se aplica el lema de Abel para concluir que la serie £ (x„y,) es conver­ gente en un caso en que ambas series ¿ (x„) y £ (y„) pueden ser divergentes. 36.2 PRUEBA DE DIRICHLET. Suponga que las sumas parciales de I (y.) están acotadas, (a) Si la sucesión X = (xn) converge a cero, y si (36.2) ^ |Xn*“ Xn+l| es convergente, entonces la serie £ (x-y-i) es convergente. (b) En particular, si X = (x*) es una sucesión decreciente de númer reales positivos que converge a cero, entonces la serii£ (xny.) es convergente. DEMOSTRACION, (a) Suponga que ||s¡|¡<B para toda j. Usando (36.1), se tiene la estima (36.3) II¿ X(yJ s {|xm+i| + |xn|«+ ¿ |x ,- x ,+.|}B. lli-« II I-n Si lim(xB) = 0, los dos primeros términos de la derecha se pueden hacer arbi­ trariamente pequeños tomando a m y n suficientemente grandes. Además, si la serie (36.2) converge, entonces el criterio de Cauchy asegura que el último término de este lado se puede hacer menor que e tomando m 3: n 2: M (e). Por lo tanto, el criterio de Cauchy implica que la serie £ (x«y») es conver­ gente. (b) Si X i 2 i ; 2 : . . . , entonces la serie en (36.2) es reducible y conver­ gente. Q.E.D. 36.3 COROLARIO. En el inciso (b), se tiene el error de estima | ¿ *iyt ~ Z *iy| ^ 2Xn*lB, en donde B es una cota superior para las sumas parciales £ (y,). DEMOSTRACION. Esto se obtiene con facilidad de la relación (36.3). Q.E.D. La siguiente prueba fortalece la hipótesis en la serie £ (yn), pero debilita la hipótesis en £ (x«). 36.4 PRUEBA DE ABEL. Suponga que la serie £ (y„) converge en (a) Si la sucesión X - ( x n ) en R es tal que (36.2) £ |^Cn Xn+1¡ '■' ' . ' ..M Series . «- infinitas 339 es convergente, entonces la serie £(x„y„) es convergente. (b) en particular, si la sucesión X = (x„) es monótona y convergente a x en R, entonces la serie £ (x*y„) es convergente. DEMOSTRACION. (a) Por hipótesis, las sumas parciales sk de £ (y.) convergen a algún elemento s en R r. Por lo tanto, hay una cota B para {|¡Sk||:k eN } , y dada e > 0 hay N,(e) tal que si n s N i(e), entonces ||s .- s ||< e . Ahora, la hipótesis de que (36.2) es convergente implica que si n 6 N, en­ tonces |x„| £ |Xi + (x2~Xi) + - • • + (x»-X „-l)| n-I £ |xi|+ Y. |x»-Xfc+i| k-I de manera que |x„|< A para alguna A > 0 . Más aún, existe N2(e) tal que si m > n a N 2(e), entonces m (36.4) |xm+i - x , | £ £ tx#-n —x, 1c e . Ahora sea N 3(e) = sup{Ni(e), N2(e)} tal que si m > n >N i(e),entonces se tiene ||Xm*lSm XnS„-l|| £ llXm+lSm -X m +lSlI + IIXm+lS-XnSlI + IIXnS - X BSB-l|| £ IXm-nl ||Sm- s|| + |Xm»l - X„| ||s|| + |x„| ||j ~ S„-l|| £ Ae + eB + Ae —(2A + B)e. Por lo tanto, por el lema de Abel 36.1, si m > n > N 3(e), entonces se tiene | l * y | —(2A + B)e 4-| |¿ (x, - x,+i)s| £ ( 2 A + B)e + ^ ¿ Ixf-Xj^ij^B £ 2(A + B)e, en donde se usó (36.4) en el último paso. Dado que e > 0 es arbitraria, la con­ vergencia de £ (xjy¡)está probada. Ib) Si la sucesión (x„) es monótona y converge a x, entonces la serie (36.2) es reducible y converge a x - X i o bien a Xi - x. q .e .d . Usando el mismo tipo de argumento se puede probar el siguiente error de estima. 340 Introducción al análisis matemático 36.5 COROLARIO. En el inciso (b) se tiene el error de estima || ¿ */yí - É Xjy| S |x„ +,| ||s - Sn II+ 2 B |x - Xn>.|. Series alternantes Hay una clase de series reales en particular importante condicional­ mente convergentes, de manera específica, aquellas cuyos términos son alter­ nativamente positivos y negativos. 36.6 DEFINICION. Una sucesión X = (x„) de números reales distin­ tos de cero es alternante si los términos (—l)"x„, n = 1 , 2 , . . . , son números reales todos positivos (o todos negativos). Si una sucesión X = (x„) es alter­ nante, se dice que la serie £(x„) que genera es una serie alternante. Es útil fijar x„ = (-l)"z„ y pedir que z„ > 0 (o z „ < 0 ) para toda n= 1 , 2 , ___La convergencia de series alternantes se trata con facilidad cuando se pueda aplicar el siguiente resultado, demostrado por Leibniz. 36.7 PRUEBA DE SERIES ALTERNANTES. Sea Z = (zn)una su­ cesión decreciente de números estrictamente positivos con lim (z„) = 0. En­ tonces. la serie alternante Y ((~l)"z->) es convergente. Más aún. si S es la suma 'e esta serie y s„ es la n-ésima suma parcial, entonces se tiene la estima (36.5) |s - s „ | z„+, para la rapidez de convergencia. DEMOSTRACION. Esto se deduce inmediatamente de la prueba de Dirichlel 36.2 (b) si se toma y„ = (-1)", pero el error estimado dado en el co­ rolario 36.3 no es tan preciso como (36.5). También se puede proceder direc­ tamente y demostrar por inducción matemática que si m > n, entonces ¡Sm Sn | |Z n + l Z n + 2 ( 1) Zm j — ] Z n + l|* Esto da la convergencia así como la estima (36.5). q .e .d . 36.8 EJEMPLOS, (a) La serie £ ( ( - l) 7 n ) , que algunas veces se llama serie armónica alternante, no es absolutamente convergente. Sin embargo, de la prueba de series alternantes se deduce que es convergente. (b) En forma análoga la serie £ ( ( - l ) 2/>/ñ) es convergente, pero no abso­ lutamente convergente. (c) Sea x € JR y sea fceZ . Entonces, dado que Seríes infinitas 341 2 eos kx sen ix = sen(k + |)x - s e n (k - § )x . se infiere que 2 sen !x[cos x + ---1-eos nx] = sen (n + ])x -sen ¡x- Por lo tanto, si x no es un múltiplo entero de 2ir, entonces _sen(n + ])x -sen lx (36.6) eos x + • * • + eos nx = 2 senlx Por lo tanto, si x é { 2 k ir:k e Z } , entonces lcosx + - • *+ cos nx| < ¡— • 1 |s e n íx | Se puede aplicar entonces la prueba de Dirichlet 36.2 (b) para concluir que la serie £ ( l/n ) c o s nx converge para toda x ¿ { 2 k ir: k e Z}. Se puede ver que esta serie diverge cuando x = 2kir para alguna k e Z . (d) Sean x e R y k e Z . Entonces, dado que ’ 2 sen kx sen ¡x = eos (k - í)x - eos (k + í)x, se infiere que 2seníx[senx + - • *+sen nx] = c o s |x - c o s ( n + s)x. Por lo tanto, si x no es un múltiplo entero de 2ir, entonces c o s íx - c o s ( n + 5)x sen x + -----hsen nx = ------- x-----r -------- • 2 sen ix Por lo tanto, si x ¿ { 2 k i r : k e Z } , entonces 1 |senx + - • - + sennx| Isenjxj' Igual que antes, la prueba de Dirichlet implica la convergencia de la serie X ( 1/n) sen nx para toda x é {2k-n-: k € Z}. Se puede ver que esta serie tam bien converge cuando x = 2fcir para k e Z . (el Sea Y = (y«) una sucesión en R 2 cuyos elementos son y, = (1,0), y2 = ( 0 ,1), ya= (—1,0), y* = (0 ,- 1 ), . . . , y « +4= y»,----- Es fácil ver que la serie £ (y„) no converge, pero sus sumas parciales s* son acotadas; de hecho, se tiene ¡|s„||<>/2, por lo que la prueba de Dirichlet prueba que la serie £ (l/n )y „ es convergente en R 2. 342 Introducción al análisis matemático Series dobles Algunas veces es necesario considerar sumas infinitas dependiendo de dos índices enteros. La teoría de dichas series dobles se lleva a cabo redu­ ciéndolas a sucesiones dobles, de modo que todos los resultados de la sección 19 relacionados con sucesiones dobles se pueden interpretar para series do­ bles. Sin embargo, no se partirá de los resultados de la sección 19; en vez de ello la atención se limitará a series dobles absolutamente convergentes, ya que ese es el tipo de series dobles que ocurren con mayor frecuencia. Suponga que para todo par (i.j) en N x N se tiene un elemento en R r. Se define la (m, «/-¿sima suma parcial u como Smn X X ^4' Por analogía con la definición 34.1, se dirá que la serie doble X (x,¡) converge a un elemento x en R r para toda e > 0 existe un número natural M (e) tal que si n & M (e) y m & M (e) entonces ||x - s mn||< e . Por analogía con la definición 34.6, se dirá que la serie doble £(xy) es absolutamente convergente si la serie doble X (Itall) en R es convergente. Queda como ejercicio demostrar que si una serie doble es absolutamente convergente entonces es convergente. Más aún, un una serie doble es absolu­ tamente convergente si y sólo si el conjunto - (36.7) es un conjunto acotado de números reales. Se desea relacionar a las series dobles con las series iteradas, pero sólo se tratarán series absolutamente convergentes. El siguiente resultado es muy elemental pero da un criterio útil para la convergencia absoluta de las series dobles. 36.9 LEMA. Suponga que la serie iterada XT-i X*"-i IWI converge. En­ tonces la serie doble X (x«) es absolutamente convergente. DEMOSTRACION. Por hipótesis, cada serieXT-i ||xy|| converge a un número positivo a¡,jeN. Más aún, la serie X (<*i) converge a un número A. Es claro que A es una cota superior del conjunto (36.7). q .e .d . 36.10 TEOREMA. Suponga que la serie doble X (xti) converge abso­ lutamente a x en R". Entonces las dos series iteradas (36.8) ZZ*4. i-i i-i XZ i- i i-i también convergen a x. Seríes infinitas 34£ DEMOSTRACION. Por hipótesis, existe un número real positivo A que es cota superior del conjunto en (36.7). Si n es fija, se observa que £ im s i-ii-i i-t t £ihU^A> para cada m en N. Se deduce entonces que para dada n g N, la serie £7-i (xu) es absolutamente convergente a un elemento y» en R T. Si e > 0 , sea M (e) tal que si m , n a M (e); entonces (36.9) ||sm „-x||< e, Dada la relación Smn~ Z X i i + Z + +Z 1 -1 1-1 1-1 se infiere que lim (S m „ )= Z "> i-, *»+i-i X x*2+' ’ ' +i-i Z *<» = yi + y2+ - • - + y». Si se pasa al límite en (36.9) con respecto a m, se obtiene la relación X y/ ~ x| < e, « 2 M (e). Esto prueba que la primera suma iterada en (36.8) existe y es igual a x Una demostración análoga es aplicable a la segunda suma iterada. q .e .d . Hay otro método para sumar series dobles que se habrá de considerar, expresamente, a lo largo de las diagonales i+ j = ru 36.11 TEOREMA. Suponga que la serie doble £ (xi,) converge abso lutamente a x en R p. Si se define tk = Z * U = X t * - l + X j ,k - í + -----*-Xk-i,i, t+i-k entonces la serie I] (tk) converge absolutamente a x. DEMOSTRACION. Sea A el supremo del conjunto en (36.7). Ob­ serve que 344 Introducción al análisis matemático k -2 | —t 1—1 Por lo tanto, la serie £ (tk)es absolutamente convergente y que queda por de­ mostrar que converge a x. Sean e > 0 y M tales que A - e < £ I M I sA . i-i i-i Si m, n > M, entonces se sigue que ||sm„ - sMm|| no es mayor que la suma £ (ItalD extendida sobre todos los pares (i.j) que satisfacen M < i < m o bien M < / < n. Por lo tanto, ||sm« - sMm|¡< e, cuando m, n ^ M . De aquí se infiere que Hx - smmI I ^ c. Un argumento análogo prueba que si rt > 2M, entonces | Z f c -S M M ||< £ , por lo que se sigue que x = £ u.. q .e .d . Multiplicación de Cauchy En el proceso de multiplicar dos series de potencia y de juntar los térmi­ nos de acuerdo con las potencias surge naturalmente un nuevo método para generar una serie a partir de dos series dadas. De aquí que sea útil para la no­ tación distinguir a los términos de la serie por medio de los índices 0. I, 2......... 36.12 DEFINICION. Si £r.o(y¡)y £7-0 (z,) son series infinitas en su producto de Cauchy es la serie £ k - u (xk), en donde Xk = yo • zk + yt • Zk-i + • • • + yk • z0. En este caso el punto designa el producto interno en R p. De manera análoga se puede definir el producto de Cauchy de una serie en R y una serie en R p. Tal vez resulte un poco sorpréndeme que el producto de Cauchy de dos series convergentes pueda no converger. Sin embargo, se puede ver que la serie es convergente, pero el n-ésimo término del producto de Cauchy de esta serie consigo misma es !____ 1 (-!)■[ J VÍVit+T 'Jl -Jn Vñ+T VT]■ Series infinitas 345 Dado que hay n + 1 términos en los paréntesis y cada término excede a l/(n -t-2), los términos en el producto de Cauchy no convergen a cero. Por lo tanto, este producto de Cauchy no puede converger. 36.13 TEOREMA. Si las series £7-0 y¡ y U-o z¡ convergen absoluta­ mente a y. z en R r, entonces su producto de Cauchy converge absolutamente a y • z. . DEMOSTRACION. Si i, j - 0 , 1 , 2 , . . . , sea xi( = y¡ • z¡. Las hipóte­ sis implican que la serie iterada £7-o£r-o||x¡i|| converge. Por el lema 36.9, la serie doble £(x¡j)es absolutamente convergente a un número real x. Apli­ cando los teoremas 36.10 y 36.11 se deduce que ambas series I !-0 1-0 ¿7 x¡j, ^ ^ k-O i+ i-k x,¡ convergen a x. Se puede verificar con facilidad que la serie iterada converge a y • z y que la serie diagonal es el producto de Cauchy de £(y¡) y £(z,). Q .E .D . En el caso en que p — 1, Mertenst demostró que la convergencia abso­ luta de una de las series es suficiente para implicar la convergencia del pro­ ducto de Cauchy. Además, Cesáro demostró que la media aritmética de las sumas parciales del producto de Cauchy converge a yz. (Véanse los ejercicios 37.0,P) Ejercicios 36.A. Considere la serie 2 3 4 5 6 7 en donde los signos vienen por pares. ¿Es convergente? 36. B. sea o, e R para n e N y sea p <q. Si la serie £ (a jn p) es convergente, en­ tonces la serie Y,(aJn'') también es convergente. 36.C. Si p y q son números positivos, entonces (log n)' I (-1)“ n" es una serie convergente. 36.D. Analizar las series cuyos n-ésimos términos son (a) ( ^ (n + 1)"*’ t FRANZ (C.J) MERTENZ (1840-1927) estudió en Berlín y dió clases en Cracovia y Viena. Contribuyó principalmente a la geometría, la teoría de números y el álgebra. . .1 y. 346 introducción al análisis matemático (n + 1)’ (c) ( - I ) ’ n" ’ (d) (»-«♦I + !) Ti 36. E» Suponga que £ (a .) es una serie convergente de números reales. D em ost que £(bw) converge o bien dar un contraejemplo cuando b, se defina como (a) ajn, (b) •Jajn (a. a 0), (c) <z. sen n, (d) -Jajn ( n .e O ) , (e) n'«a., (f) M l + k l ) - 36.F. Demostrar que la serie i+H +!+H ++~* es divergente. 36.G. Si se elimina la hipótesis de que (z.) es decreciente, dem ostrar que la prueba de las series alternantes 36.7 puede no ser válida. 36.H. Para n e N , defínase c. como C’ = I + l + " + n " logW- Demostrar que (c.) es una sucesión decreciente de números positivos. El límite C de esta sucesión se llama constante de Euler y es aproxim adam ente igual a 0.577. De­ m ostrar que si se tom a b. 1 2 3 entonces la sucesión (t>r) converge a log 2. (Sugerencia: b, = c2. - c. + log 2.) 36.1. Sea £ ( 0 ,,) la serie doble dada por a~, = +1, si m —n = 1, = —1, si m - n = —1, = 0, en los otros casos Demostrar que ambas sumas iteradas existen pero no son iguales y que la suma doble no existe. Sin embargo, si ($„,) denota a las sumas parciales, entonces lim (s_„) existe. 36.J. Demostrar que si las series dobles y las series iteradas de £ ( a ».) existen, entonces son iguales. Demostrar que la existencia de la serie doble no implica la exis­ tencia de ta serie iterada; de hecho, la existencia de la serie doble ni siquiera implica que lim. (a~.) = 0 para cada m. 36.K. Demostrar que si p > l y q > l , las series dobles son convergentes. 36. L. Separando £ ( l / n J) en sus p anes im par y par, dem ostrar que Seríes infinitas 347 y - 1 = 4 7 - l _ = í y — -— '• k n \ * k ( 2 n y 3 k ( 2 n - i y 36.M. Si |a |< l y |b |< 1, demostrar que la serie a + b + a J+ b2+ a ’+ b ’-t-- • • converge. ¿Cuál es el límite? 36.N. Si £ (aS) y £ (b„*) son convergentes, entonces £ (a«b«) es absolutamente convergente y I ftA .id ft.T íZ h .T - Además, £ (a. + b„)2 converge y { I (a. + b.y}'” < ( Z a.J}''2+ b.2}"2. 36.0. Demostrar el teorema de Mertens: Si £ (a.) converge absolutamente a A y £ (h.) converge a B, entonces su producto de Cauchy converge a AB. fSugerencia: De­ nótese las sumas parciales por medio de A., B„ (i, respectivamente. Demostrar que lim (C3.-A .B .) = 0 y lim (C„.,-A ^B.) = 0.) 36.P. Demostrar el teorema de Cesáro: Sea £ (o.) tal que converge a A y £ (b„) tal que converge a B y sea £ (c.) su producto de Cauchy. Si (G.) es la sucesión de su­ mas parciales de £ (c.); entonces —(C, + C»+- • - + G ) —*■AB. n (Sugerencia: escribir C, + • ■• + C. = A,B» + ---- HA.B,, separar esta suma en tres partes y aplicar el hecho de que A ,- + A y B .- * B.) Sección 37 Series de funciones Dada la frecuencia con que aparecen y su importancia, se presentará en seguida un análisis de series infinitas de funciones. Puesto que la convergencia de una serie infinita se maneja examinando la sucesión de sumas parciales, las preguntas concernientes a series de funciones se resuelven examinando pre­ guntas correspondientes de sucesiones de funciones. Por este motivo, una parte de esta sección es simplemente una transformación de hechos ya de­ mostrados para sucesiones de funciones a la terminología de series. Por ejemplo, éste es el caso para la parte de la sección que trata de series de fun­ ciones generales. Sin embargo, en la segunda parte de esta sección, en la que se analizan series de potencia, surgen ciertos factores nuevos debido al tipo especial de funciones que se tratan. 37.1 DEFINICION. Si (/„) es una sucesión de funciones definida en un subconjunto D de R p con valores en R*1, la sucesión de sumas parciales (s„) de la serie infinita £ (/„) está definida para x en D por medio de 348 Introducción al análisis matemático si(x) = /i(x), S2(x) = s,(x) + f 2(x) t = /»(X )+M x)l sn+i(x) = s„(x) + /n+,(x) [ = /i(x) + -* • + /n (x)+ /R+J(x)], En caso de que la sucesión (s„) converja en D a una función/ . se dice que la se­ rie infinita de funciones £ (/„ ) converge a /e n D. Con frecuencia se escribirá !(/-), Itf .), ó £ /„ n —1 n*1 para denotar la serie o bien el límite de ía función, cuando exista. Si la serie £ (||/«(x)||) converge para cada x en D, entonces se dice que £ (/„) es absolutamente convergente en D. Si la sucesión (s„) es uniforme­ mente convergente a fí a /. entonces se dice que £ (/„ ) es uniformemente convergente en D. o que converge a f uniformemente en D. Uno de los puntos principales en series uniformemente convergentes de funciones es la validez de los siguientes resultados que proporcionan condi­ ciones que justifican el cambio de orden de la suma y de otras operaciones de límite. 37.2 TEOREMA. S i f„ es continua en D c R pa R* paracada n e N y si £(/,,) converge a f uniformemente en D, entonces f es continua en D. Esta es una transformación directa del teorema 24.1 para series. El si­ guiente resultado es un transformación del teorema 31.2 37.3 TEOREMA. Suponga que las funciones de valor real /„, n e N , son Riemann-Slielljes integrables con respecto a una función monótona g * = [«. b]. Si la serie I( f n ) converge a f uniformemente en J. entonces f es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a g y (37.1) Se expresará ahora el teorema de convergencia monótona 31.4 para se­ ries. 1 - 37.4 TEOREMA. S i las fn son funciones positivas Riemann integra­ bles en J = [a ,b ] y si su suma / = £ (/„) es Riemann integrable, entonces 0 (3 7 ¿ ) Series infinitas 349 En seguida se pasa el teorema correspondiente a diferenciación. Aquí se hará la suposición de que las series obtenidas después de una diferenciación término por término de la serie dada convergen uniformemente. Este resul­ tado es consecuencia inmediata del teorema 28.5. 37.5 TEOREMA. Para cada n s N, sea /„ una función de valor real en J = [a, b] que tiene una derivada / ' en J. Suponga que la serie infinita £ (/„) converge para al menos un punto de J y que la serie de derivadas £ (/') con­ verge uniformemente en J. Entonces, existe una función f de valor real en J tal que £ (/„) converge uniformemente e n J a fi Además, f tiene una derivada en J y (37.3) / '= £ / : . ■ Pruebas para la convergencia uniforme Ya que se han establecido algunas consecuencias de series, se estudiarán ahora algunas pruebas que se pueden usar para demostrar la convergencia u- niforme. 37.6 CRITERIO DE CAUCH Y. Sea (/„) una sucesión de funciones de D q R pa R 1. La serie infinita £ (/„ )es es uniformemente convergente en D si y sólo si para toda e > 0 existe una M(e) tal que si m > n ¿ M (e), en­ tonces (37.4) ||/B+ /„+i+ - • •+ /m||D< e. La demostración de este resultado es inmediata a partir de 17 .11, que es el criterio de Cauchy correspondiente para la convergencia uniforme de suce­ siones. 37.7 PRUEBA M DE WEIERSTRASS. Sea (M„) una sucesión de números reales no negativos tal que ||/„||D ¿ M„ para cada n e N . Si la serie infinita £ (M„) es convergente, entonces £ (/„) es uniformemente conver­ gente en D. DEMOSTRACION. Si m > n , se tiene la relación 11/»+*• ‘ + A . | | < ||/ „ || d d + • • •+II/"»IId < m „ + • • *+M„. La afirmación se infiere de los criterios de Cauchy 34.5 y 37.6 y de la conver­ gencia de £ (M„). q .e .d . Los dos resultados siguientes son muy útiles para probar la convergencia uniforme cuando la convergencia no es absoluta. Sus demostraciones se ob­ 350 Introducción al análisis matemático tienen modificando las demostraciones de 36.2 y 36.4 y se dejan como ejerci­ cios. 37.8 PRUEBA DE DIRICHLET. Sea (/,) una sucesión de funciones en D £ R p a R ’ tai que las sumas parciales H S» = Z ft> neN> /-i sean todas acotadas en la norma D. Sea (<p„) una sucesión decreciente de fun­ ciones de D a R que converge uniformemente en D a cero. Entonces, la serie L(<P*fn) converge uniformemente en D. 37.9 PRUEBA DE ABEL. Sea Y. (/■.) una serie de funciones de D s R pa R q uniformemente convergente en D. Sea (<pn)una sucesión monótona de fu n ­ ciones de valor real en D acotada en la norma D. Entonces, la serie L (<?»/») converge uniformemente en D. 37.10 EJEMPLOS, (a) Considere la serie (x"/n2). Si |x| £ 1, en­ tonces |x"/n2| £ 1/n2. Dado que la serie £ (1/n2) es convergente, de la prueba M de Weierstrass se infiere que la serie dada es uniformemente convergente en el intervalo [-1 ,1 ] , (b) La serie que se obtiene después de la diferenciación término por término de la serie en (a) es £ ”-i (x"_1/n). La prueba M de Weierstrass no es aplicable en el intervalo [ - 1 , l]d e modo que no se puede aplicar el teorema 37.5. De hecho, es claro que esta serie de derivadas no es convergente para x = 1. Sin embargo, si 0 < r < 1, entonces la serie geométrica X(r"~') con­ verge. Dado que para |x |< r, de la prueba M se infiere que la serie diferenciada es uniforme­ mente convergente en el intervalo [—r,.r]. (c) Una aplicación directa de la prueba M (con M„ = 1/n2)prueba que £ñ-i (1/n2) sen nx es uniformemente convergente para toda x en R. (d) Dado que la serie armónica X (1/n) diverge, no se puede aplicar la prueba M a ao (37.5) £ (1/n) sen nx. rt“ 1 Sin embargo, del análisis del ejemplo 36.8 (d) se deduce que si el intervalo J = [a, b] está contenido en el intervalo abierto (0, 2 tt), entonces las sumas parciales s„(x) = Xí_i sen kx son uniformemente acotadas en J. Dado que la sucesión (1/n) decrece a cero, la prueba de Dirichlet 37.8 implica que la serie (37.5) es uniformemente convergente en J. Series infinitas 351 (e) Considere £"_j ((—l)7 n )e " “ en el intervalo I = [ 0 ,1]. Dado que la norma de w-ésimo término en / es lM, no se puede aplicar la prueba de Weierstrass. La prueba de Dirichlet se puede aplicar si se demuestra que las sumas parciales de £ ( (-l)" e -,“ ) son acotadas. De manera alternativa la prueva de Abel es aplicable ya que £ ((-l)"/n )) es convergente y la sucesión acotada (e-'“ ) es monótonamente decreciente en I (pero no uniformemente convergente a cero). Series de potencia Se pasará ahora al análisis de series de potencia. Esta es un tipo impor­ tante de series de funciones y tiene ciertas propiedades que no son válidas para series generales de funciones. 37.11 DEFINICION. Una serie de funciones reales £ (/„) se dice que es una serie de potencia en torno a x = c si la función /„ es de la forma fn(x) = a .(x - c )" , en donde a„ y c pertenecen a R y en donde n = 0,1 , 2 , . . . . Con el objeto de simplificar la notación, sólo se tratará el caso en donde c = 0. Esto no implica pérdida de generalidad ya que la traslación x' = x - c reduce a una serie de potencia en torno a r a una serie de potencia en torno a 0. De modo que siempre que se haga referencia a una serie de potencia se tra­ tará de una serie de la forma 00 (37.6) Yj anXn = a 0+ ajX-l----- + OnX" + ***. n»0 Aun cuando las funciones que aparecen en (37.6) están definidas sobre todo R, no es de esperar que la serie (37.6) converja para toda x en R. Por ejemplo, usando la prueba de la razón 35.8 se puede demostrar que las series É n!x”> «-0 ¿ x\ n-»0 nZ— 0 x7n!, convergen para x en los conjuntos {0}, { x e R :|x |< 1}, R, respectivamente. De tal modo que ei conjunto en el que una serie de potencia converge puede ser chico, mediano o grande. Sin embargo, un subconjunto arbitrario de R no puede ser el conjunto preciso en que una serie de potencia converja, como se habrá de probar. Si (b„)es una sucesión acotada de números reales no negativos, entonces se define el límite superior de (b„)como el infimo de aquellos números v tales 352 Introducción al análisis matemático que b„ < v para toda n e IV suficientemente grande. Este ínfimo está determi­ nado de manera única y se designa por medio de ' • l •. lim sup(b„). Algunas otras caracterizaciones y propiedades del límite superior de una su­ cesión se dieron en la sección 18, pero lo único que se necesita saber es (i) que si v > lim sup (b„), entonces b„ < u para toda n e JV, suficientemente grande y (¡i) que si w < lim sup (b„), entonces w < b„ para una infinidad de n e N . 37.12 DEFINICION. Sea X(a*x") una serie de potencias. Si la suce­ sión (|<Jn|'M) es acotada, se fija p = lim sup (|an|l/"); si esta sucesión no es aco­ tada, se fija p = +oo. Se define el radio de convergencia de £ (a„xn) como R = O, si p= +oo, = 1/p, si 0<p<+oo, = +00, si p = O. El intervalo de convergencia es el intervalo abierto ( - R , R). Se justificará en seguida el término “ radio de convergencia” . 37.13 TEOREMA DE CAUCH Y -H A D A M A R D t. Si R es,el radio de convergencia de Ia serie de patencia X (a„x"), entonces la serie es absoluta­ mente convergente si |x |< R y divergente si |x| > R. DEMOSTRACION. Sólo se tratará el caso en que 0<R <+oo, de­ jando como ejercicio los casos R = O y R = + » . Si O< |x| < R, entonces existe un número positivo c < 1 tal que |x| < cR. Por lo tanto, p < c/|x| y se infiere que si n es suficientemente grande, entonces la*!1'" < c/|x|. Esto equivale a afirmar que (37.7) |o„x"| < c- para toda n suficientemente grande. Dado que c < l , la convergencia abso­ luta de X(a„x")se deduce de la prueba de comparación 35.1. Si |x |> R = 1/p, entonces hay una infinidad de n e N para las que se tiene |w" > l/|x |. Por lo tanto, |a„x"| > 1 para una infinidad de n. de tal ma­ nera que la sucesión (a^x") no converge a cero. q .e .d . tJA C Q U E S HADAMARD (1865-1963), decano de matemáticos franceses, durante mucho tiempo fue admitido en la ticole Polytechnique con el grado más alto obtenido durante su primer siglo. Kue el sucesor de Henri Poincaré en la Academia de Ciencias y demostró el teorema del número primo en 1896 a pesar de que este teorema lo había conjeturado Gauss muchos años an­ tes. Hadamard hizo otras aportaciones a la teoría de números, el análisis complejo, las ecuacio­ nes diferenciales parciales c incluso a la psicología. Series infinitas 353 Se podrá observar que el teorem a de Cauchy-H adam ard no hace ninguna afirm a­ ción acerca de si la serie de potencia converge cuando |x| = R. De hecho puede suceder cualquier cosa,'com o lo muestran los ejemplos (37.8) Dado que lim (nl/* )= l (cf. 14.8(e)), cada una de estas series de potencia tiene radio de convergencia igual a 1. La primera serie de potencia no con­ verge en ninguno de los puntos r = - l y x = + 1; la segunda serie converge en x = - l pero diverge en x = + l , y la tercera serie de potencia converge en x = - 1 , así como en x = +1. (Encontrar una serie de potencia con R = 1 que converja en x = + l pero que diverja en x = - l.) Queda como ejercicio demostrar que el radio de convergencia de £ (twc") también está dado por (37.9) siempre que este límite exista. Con frecuencia es más conveniente usar (37.9) que la definición 37.12. El argumento usado en la demostración del teorema de Cauchy- Hadamard da la convergencia uniforme de la serie de potencia en cualquier subconjunto compacto fijo en el intervalo de convergencia ( - R , R ). 37.14 TEOREMA. Sea R el radio de convergencia de £ (aje") r sea K un subconjunto compacto del intervalo de convergencia (—R, R). Entonces ¡a serie de potencia converge uniformemente en K. DEMOSTRACION. La compacidad de K c ( - R , R ) implica que existe una constante positiva c < l tal que |x |< c R para toda x€#C (¿por qué?) Por el argumento en 37.13 se deduce que para n suficientemente grande la estima (37.7) es válida para toda x e K . Dado que c < 1, la convergencia uniforme de £ (aje") en K es una consecuencia directa de la prueba M de Weierstrass con M„ = c". q .e .d . 37.15 TEOREMA. El límite de una serie de potencia es continuo en el intervalo de convergencia. Una serie de potencia se puede integrar término por término en cualquier inten alo compacto contenido en el intervalo de con­ vergencia. DEMOSTRACION. Si |x0|< R, entonces el resultado anterior ase­ gura que £ (a „ x ”) converge uniformemente en cualquier vecindad compacta d : x0 contenida en ( -R , R). La continuidad en Xo se sigue entonces del teo­ rema 37.2 y la integración término por término se justifica por el teorema 37.3. Q.E.D. 354 Introducción al análisis matemático En seguida se demuestra que una serie de potencia se puede diferenciar término por término. Al contrarío de la situación para series generales, no es necesario suponer que la serie diferenciada sea uniformemente convergente. De modo que este resultado es más aceptable que el resultado correspon­ diente para la diferencia de seríes infinitas. 37.16 TEOREMA DE DIFERENCIACION. Una serie de potenc se puede diferenciar término por término dentro del intervalo de convergen­ cia. De hecho, si /(* ) = Z (o-*'), entonces f ( x ) = ¿ ( i M w c " 1). n -0 Ambas series tienen el mismo radio de convergencia. DEMOSTRACION. Dado que lim ( n lM) = 1, la sucesión (|m u|,M) es acotada si y sólo si la sucesión (|o .|,m) es acotada. Más aún, con facilidad se puede ver que lim sup (|rui»|,/“) = lim sup t|a ,|1'"). Por lo tanto, el radio de convergencia de las dos series es el mismo, de modo que la serie formalmente diferenciada es uniformemente convergente en cada subconjunlo compacto del intervalo de convergencia. Se puede aplicar enton­ ces e! .eorema 37.5 para concluir que la serie formalmente diferenciada con­ verge a la derivada de la serie dada. q .e .d . Se debe observar que el teorem a no hace ninguna afirmación acerca de los puntos extremos del intervalo de convergencia. Si una serie es convergente en un punto extremo entonces la serie diferenciada puede ser o no ser convergente en este punto. Por ejemplo, la serie £ l.o (x*/n*) converge en am bos puntos terminales x = —1 x = + l . Sin em bargo, la serie diferenciada y X ^ = y X" n ...m + 1 converge en x = - l pero diverge en x = + l . Aplicando en forma repetida el resultado anterior se concluye que si A; es cualquier número natural, entonces la serie de potencia £T_0(a»x")puede di­ ferenciar término por término te veces para obtener y Fl! (37.10) aje « -k (n -k )! Más aún, esta serie converge a absolutamente para |x |< R y uniforme­ mente en cualquier subconjunto compacto del intervalo de convergencia. j Series infinitas 355 Si se substituye x = 0 en (37.10), se obtiene la importante fórmula (' (37.11) fík>(0)= k!ak. 37.17 TEOREMA DE UNICIDAD. S i Z í c u x ' ) y l i t e " ) convergen en algún intervalo ( - r , r), r > 0 , a la misma función f . entonces cu —b, para toda n e N. DEMOSTRACION. Las observaciones anteriores prueban que n ’.cu = ^ ( 0 ) = n!bn para n e N . q .e .d . Algunos resultados adicionalest Existen varios resultados de algunas combinaciones algebraicas de series de potencia, pero los que tratan de substitución e inversión demuestran de manera más natural usando argumentos de análisis complejo. Por este mo­ tivo no se adentrará en estas cuestiones y será suficiente un resultado en este sentido. Por suerte es uno de los más Utiles. 37.18 TEOREMA DE LA M ULTIPLICACION. S i f yg están dadas en el inten alo(-r, r) por medio de ¡as series de potencia f(x) - ¿ OnX', g(x) = ¿ kx", W-0 W-0 entonces su producto está dado en este intervalo por medio de la serie £ (CnX"), en donde los coeficientes (c,) son H G.= £ a * k - k paran = 0 , 1 , 2 , ----- k -0 DEMOSTRACION. En 37.13 se vio que si |x |< r , entonces las series que dan fix) y gfx) son absolutamente convergentes. Si se aplica el teorema 36.13 se obtiene la conclusión deseada. q .e .d . El teorema de la multiplicación asegura que el radio de convergencia del producto es cuando menos r. Sin embargo, puede ser más grande, como es fácilmente demostrado. Ya se ha visto que para que una función/ pueda estar dada por una serie de potencia en un intervalo(-r, r), r > 0 , es necesario que todas las derivadas de / existan en este intervalo. Se podría pensar que esta condición también es suficiente: sin embargo, las cosas no son tan sencillas. Por ejemplo, la función f. dada por /(x) = e-"*\ x t* 0, (37.12) = 0, x = 0, tK I resto de osla sección se puede om itir en la prim era lectura. 356 Introducción al análisis matemático se puede demostrar (véase el ejercicio 37.N) que posee derivadas de todos los grados y /*"'(()) = 0 para n = 0 , 1 , 2 , . . . . S i/ se puede dar en un intervalo (—r, r) por una serie de potencia en torno a x = 0, entonces del teorema de unicidad 37.17 se infiere que la serie se debe desvanecer de manera idéntica, contrario al hecho de que /(x J ^ O para x^O . No obstante, existen algunas condiciones suficientes útiles que se pue­ den dar, con el objeto de garantizar que/ se pueda dar por una serie de poten­ cia. Como ejemplo, observe que del teorema de Taylor 28.6 se infiere que si existe una constante B > 0 tal que (37.13) \fM(x)\ s B para toda |x |< r y n = 0 , 1 , 2 , . . . .entonces £ l - 0/'"'(Ojx'/n! converge a Jfx) para |x |< r. Condiciones análogas (pero menos rigurosas) se pueden dar acerca de la magnitud de las derivadas que ofrecen la misma conclusión Como un ejemplo se dará un resultado elegante y útil debido a Serge Bernstein que se refiere a la expansión unilateral de una función en una serie de potencia. 37.19 TEOREMA DE BERNSTEIN. Sea/ una función definida qu posee derivadas de todos los grados en un intervalo [0, r] y suponga que / y todas sus derivadas son positivas en el intervalo [0, r]. Si 0 < x < r, entonces J\x) está dada por la expansión i w - «Z-o » n !* - DEMOSTRACION. Se hará uso de la forma integral del residuo en el teorema de Taylor dado por la relación (31.3). Si 0 < x < r, entonces (37.14) / ( x ) = Z ,£ ^ x k + R-, en donde se tiene la fórmula Puesto que todos los términos de la suma en (37.14) son positivos, se tiene (37.15) /(r) > £ (1 - s ) " T ( s r ) ds. Dado que es positiva, f H) es creciente en [0, rj; por lo tanto, si x está en este intervalo, entonces (37.16) Series infinitas 357 Combinando (37.15) y (37.16) se tiene 0 < R« ■&(x/r)" */(r). Por lo tanto, si 0 < x < r , lim (R„) = 0. q .e .d . Ya se vio en el teorema 37.14 que una serie de potencia converge unifor­ memente en todo subconjunto compacto de su intervalo de convergencia. Sin embargo, no existe ninguna razón a priori para pensar que este resultado se pueda extender a los puntos extremos del intervalo de convergencia. No obstante, hay un teorema de Abel que afirma que si la convergencia ocurre en uno de los puntos extremos entonces la serie converge uniformemente fuera de estos puntos extremos. Para simplificar la notación se habrá de suponer que el radio de conver­ gencia de la serie es igual a I. Esto es sin pérdida de generalidad y siempre se puede obtener dejando x ' = x/R, que es simplemente un cambio de escala. 37.20 TEOREMA DE ABEL. Suponga que la serie de potencia X^-o (aje") converge a f ( x ) para |x |< 1 y que Y ^-o(ak ) converge a A . Enton­ ces. la serie de potencia converge uniformemente en I = [0,1] y (3 7 .1 7 ) Um /(x) = A. DEMOSTRACION. La prueba de Abel 37.9, con fH(x) = a* y 9»(x) = x", es aplicable para dar la convergencia uniforme de £ (aje") en /. Por lo tanto, el límite es continuo en I; puesto que coincide con fix) para O s x < l , se infiere la relación del límite (37.17) q .e . d . Uno de los aspectos más interesantes acerca de este resultado es que su­ giere un método para asociar un límite a series que puedan no ser convergen­ tes. De modo que si (b,) es una serie infinita, se puede formar la serie de potencia correspondiente £(&•*")• Si las b. no crecen con mucha repidez, esta serie de potencia converge a una funciónB(x)para |x |< 1. Si B(x) —» 0 conforme x —* 1 se dice que la serie £ (ix,) es Abel sumable a 0. Este tipo de suma es análogo (pero más poderoso) que el método de Cesáro de la media aritmética mencionado en la Sección 19 y tiene consecuencias complejas e in­ teresantes. El contenido del teorema de Abel 37.20 es análogo al teorema 19.3; asegura que si una serie ya es convergente, entonces es Abel sumable al mismo limite. Sin embargo, lo inverso no es válido ya que la serie £T-o (-1)" no es convergente, pero dado que 1 1+ x = L ( - 1 ) V se deduce que £ ( - l ) " e s Abel sumable a j. Algunas veces sucede que si se sabe que una serie es Abel sumable y si algunas otras condiciones se satisfacen, entonces se puede demostrar que la 358 Introducción al análisis matemático serie es realmente convergente. A los teoremas de esta naturaleza se les llama teorema de Tauberian y a menudo son muy profundos y difíciles de de­ mostrar. También son útiles porque hacen posible pasar de un tipo de conver­ gencia débil a un tipo más fuerte siempre que se cumplan ciertas hipótesis adi­ cionales. El último teorema es el primer resultado de este tipo y lo demostró A. Taubert en 1897. Proporciona un inverso parcial del teorema de Abel. 37.21 TEOREMA DE TAUBER. Suponga que la serie de potencia £ (aje") converge a fix ) para | x | < l y que lim (na*) = 0. S i lint f(x) = A con­ form e x —* 1 entonces la serie £ (a.) converge a A. DEMOSTRACION. Se desea calcular diferencias tales como £ N (a „ )-A . Para hacer esto se escribe (3 7 .1 8 ) t n-0 = f l a „ -/(x )} + { /(x )-A } ln -0 J - Z a « ( l —* " ) — ¿ a » x " + { /(x )-A } . Dado que 0 :£ x < 1, se tiene l - x “ = ( l- x ) ( l+ x H ----- bxH ') < n ( l—x), de modo que se puede dominar el primer término del lado derecho por medio de la expresión ( l - x ) £ « - 0 na.. Por hipótesis, lim (na„) = 0; por lo tanto, el teorema 19.3 implica que lim (—q -r £ na„) = 0. \m +1 .-o / Además, se tiene la relación A = lim f(x). Ahora sea e > 0 y elija un número natural N fijo que sea tan grande que (i) | Z n a « |< ( N + l) e ; n-0 (ii) la" l< jy + ’Y para toda n a N ; (iii) |/(x0) - A | < e p a ra x o -l-^ y . Se determinará la magnitud de (37.18) para este valor de N y xo. De (i), (¡i), (iii) y el hecho de que (1 - x 0)(N + 1 )= 1, se obtiene la estima i N I -N + 1 | Z a , - A | £ (l-X o )(N + 1 )8 + - ^ _ ^ ¡ + e < 3 e tA l.F R E D T A U B E R (1866-aproximadamenle 1947) fue profesor en Viena. Sus estudios fueron principalm ente en análisis. Series infinitas 359 Puesto que esto se puede hacer para cada e > 0, queda probada la convergen­ cia de £ (a«) a A. 0 £ j> . Ejercicios / 37.A. Analizar la convergencia y la convergencia uniforme de las seríes £ (f.), en donde /„(x) está dada por (a) (x’ + n V , (b) ( « r . x ^ O , (c) sen (x/n2), (d) (x ' + l) ‘,x 2r 0, (e) x V + i r ' . x a O , (0 (—l)"(n+x)**, x a 0. 37. B. Si £ (a.) es una serie absolutamente convergente, entonces la serie £ (a. sen nx) es absoluta y uniformemente convergente. 37.C. Sea (e.) una sucesión decreciente de números positivos. Si £ (c. sen nx) es uniformemente convergente, entonces lim (nc.) = 0. 37.D. Dar los detalles de la demostración de la prueba de Dirichlct 37.8. 37.E. Dar los detalles de la demostración de la prueba de Abel 37.9 37.F. Analizar los casos R = 0 , R = -H*>en el teorema de Cauchy-Hadamard 37.13. 37.G. Demostrar que el radio de convergencia R de la serie de potencia £ (aje") está dado por lim (|a .|/|a .,,|) siempre que este limite exista. Dar un ejemplo de una se­ rie de potencia en donde este límite no exista. 37.H. Determinar el radio de convergencia de la serie £ (aje"), en donde a, está dada por (a) 1/n", (b) n*/n!, (c) n"/n!, (d) (log n)~\ n a 2. (e) (n!)J/(2n)l, (f) n * 37.1. Si a , = 1 cuando n es el cuadrado de un número natural y a. = 0 en los otros casos, encontrar el radio de convergencia de £ (aje"). Si h, = 1 cuando n = m! para i m e N y b. — 0 en los otros casos, encontrar el radio de convergencia de £ (bjc*). 37.J. Demostrar con detalle que lim sup (|no»|l>) = lim sup(|a«|u*). 37.K. Si 0 < p £ |o_| £ q para toda n e N , encontrar el radio de convergencia de I (<*.*■)- 37.L. Sea /(x ) = £ (a jc " ) para |x |< R . S i/(x ) = / ( - x ) para toda |x |< R , de­ mostrar que a . = 0 para todas las n impares. 37.M. Demostrar que si/ está definida para |x |< r y existe una constante B tal que | f ‘(x)| s B para toda |x| < r y n e N, entonces la expansión de la serie de Tayior converge a f i x ) para |x |< r . 37.N. Demostrar por inducción que la función dada en la fórmula (37.12) tiene derivadas de todos los grados en todo punto y que todas estas derivadas se desvanecen en x = 0. De modo que esta función no está dada por su expansión de Tayior en tomo a x = 0. 37.0. Dar un ejemplo de una función que sea igual a su expansión de serie de Tayior en tomo a x = 0 para x a 0, pero que no sea igual a esta expansión para x < 0 . 360 Introducción al análisis matemático 37.P. El argumento delineado en el ejercicio 28.M prueba que la forma de La- grange del residuo se puede usar para justificar la expansión binomial general (1 + *)“ = cuando x está en el intervalo 0 < x < 1. De manera análoga, el ejercicio 28.N hace válida esta expansión para - K x s O , pero el argum ento se basa en la forma de Cauchy del residuo y algo más complicado. Para obtener una demostración alterna­ tiva de este segundo caso, aplicar el teorema de Bernsteín a g(x) = (1 — x)" para Os i < 1. 37.Q. Considere la expansión binomial en los puntos extremos x = ±1. De­ m ostrar que si x = —1, entonces la serie converge absolutamente para m a O y di­ verge para m < 0 . En x = + 1 , la serie converge absolutam ente para m s O , converge condicionalmente para —1 < m < 0 y diverge para m s. —1. 37.R. Sea f(x) = tan x para |x| < ir/2. U sar el hecho de q u e / e s im par y el teo­ rema de Bemstein para dem ostrar que en este intervalo/ está dada por su expansión de serie de Taylor en torno a x = 0. 37.S. U sar el teorema de Abel para dem ostrar que si = para |x ¡ < R , entonces siempre que la serie del lado derecho sea convergente aun cuando la serie original pueda no converger en x = R. Por ello se deduce que !o g 2 = X (- ir1 z lL «-I n ’ 4 „ .0 2n + 1 ' 37.T. Usando el teorema de Abel, dem ostrar que si la las series £ (a.) y 51 (fc.) convergen y si su producto de Cauchy £ (c« ) converge, entonces se tiene I ( c . ) = I (o.) •£(&,). 37.U. Suponga que o . a 0 y que /(x ) = £ (a«x") tiene radio de convergencia I . Si X (a .) diverge, dem ostrar que f ( x ) - * + ° ° conforme x -* 1 —. U sar este resultado para dem ostrar el elemental teorema de Tauberian: Si a . a: 0 y A = Jim X a jí', entonces £ (a .) converge a A. 37.V. Sea £¡;-o(pu) una serie divergente de números positivos tal que el radio de convergencia de £ (pux") sea I. Demostrar el teorem a de A ppellt: Si s = lim (ajp„), entonces el radio de convergencia de £ (aje") también es I y Xw" 7 PAUL APPFXL(1855-I930) fue alumno de Hermiic en la Sorbona. Hizo investigaciones en análisis complejo. Series infinitas 361 ISugerencia: es suficiente considerar el caso s = 0. Asimismo, usar el hecho de que [ £ (p jc * )] " ’ = 0 .) 37.W. Aplicar el teorema de Apell con p(x) = £T-o (x“) para obtener el teorema de Abel. 37.X. Si ( « J es una sucesión de números reales y Oo = 0, sea s; = a , + • • • + a , y sea c» = (s,H-------1- s.)/n. Demostrar el teorema de Frobeniust: Si s = lim ( a .) enton­ ces s = lim Y a« x \ "o O BSERV A C IO N . En la terminología de la teoría de sumabilidad este resultado afirm a que si una sucesión ( a j e s Cesáro sumable a s, entonces también es Abel suma- ble a s. ISugerencia: aplicar el teorem a de Appell a p(x) = (l - x ) ~ J = ]Tr_„(nx'~') y obsérvese que £ ( n • &./') = p ( x ) £ (a.x").) Proyectos 37.a. La teoría de series de potencia presentada en el texto se extiende a series de potencia complejas. ta) Por las observaciones de la sección 13, todas las definiciones y los teoremas que tienen significado y validez para series en R 1 también son válidos para series con elementos en C. En particular, los resultados que se refieren a la convergencia abso luta se extienden con facilidad (h) Examinar los resultados que se refieren a los reordenamientos y el producto de Cauchy para ver si se extienden a C. (c) Demostrar que las pruebas de com paración, raíz y razón se extienden a C. (di Sea R el radio de convergencia de una serie de potencia compleja z « “. ■•o D em ostrar que la serie converge absolutamente para |z | < R y uniformemente «... cualquier subconjunto compacto de { z e C : |z |< R } . (el Sean f y g funciones definidas para D = {z e C : |z |< r} con valores en C que son los limites en D de dos series de potencia. D em ostrar que s i/ y g coinciden en D fl R, entonces coinciden en todo D. (f) Demostrar que dos series de potencia en C se pueden multiplicar juntas en su círculo de convergencia común. 37. p. En este proyecto se detine la función exponencial en términos de series de potencia. Al hacer esto, se definirá para números complejos, así como reales. (al Defina £ para z e C por medio de la serie D em ostrar que la serie es absolutamente convergente para toda z e C y que es unifor­ memente convergente en cualquier subconjunto acotado de C. tG E O R G FRO BEN IU S(l849-l9l7) fue profesor en Berlín. Se le conoce por su trabajo en álge­ bra, así como en análisis. 362 Introducción al análisis matemático (b ) Demostrar que E es una función continua de C a C, que E(0) 1 y que E (z + w) = E (z)E (w ) para z. en C. <Sugerencia: el teorema bmomial para (z + w)* es válido cuando z, w e C y n e N . ) .. (c) S i x y v son números reales, definan E, y E 2 por med.o de E ,(z) = E(x), E 2(y) = E (iy); por lo que E ( x + ¿y)= E , ( x ) E 2(y). Demostrar que E, toma solamente valores reales pero que E 2 tiene algunos valores no reales. De inan C y S de R a R por medio de t C(y) = Re E 2(y), S(y) = Im E 2(y) para y e R y demostrar que C(y> + y*) = C(y,)C(y2)-S (y ,)S (y 2), S(y, + y2) = S(y.)C(y2)+ C(y,)S(y2). td) Demostrar que C y S , como se definieron en le), tienen las series de expansión (el Demostrar que C — —S y S , = C. Por lo tanto, (C + S 2) = 2CC*+2SS = 0 lo que implica que C J + S Jes idénticamente igual a I. En particular, esto implica que tanto C como 5 están acotadas en valor absoluto por I. (f ) I n f e r i r q u e la f u n n i ó n d e R a C. s a t i s f a c e E j ( 0 ) = i , E 2(y, + y2) = E^y.JEjfy,). Por lo tanto, E 2( - y ) = 1/E2(y) y |E ,( y ) |= l para toda r en R. Sección 38 • Series de Fourier Se da ah o ra la definición de la serie de F o u rie rtd e una función continua por partes con periodo 2 it. A un cuando el análisis es breve, se ofrecen los principales teorem as de convergencia en relación con las series de Fourier. Estos teorem as son de considerable im portancia en el análisis y en sus aplica­ ciones a la física. En adelante se habrá de suponer que f : R - * R tiene periodo 2ir;es decir que f ( x + 2 ir) = f ( x ) p ara toda x e R. T am bién se supondrá q u e / e s continua por partes, es d e c ir ,/e s continua excepto posiblem ente para un núm ero infi­ nito de puntos x t, . . . , x , en cualquier intervalo de longitud 2-ir, en donde / tiene lim ites por la ezquierda y por la derecha: t(J.-B .) Joseph Fourier (I768-1830) fue hijo de un sastre francés. Habiendo sido educado en un monasterio.'lo dejó para dedicarse a actividades matemáticas y revolucionarias. Acompañó a Napoleón a Kgiplo en 1798 y más tarde fué nombrado prefecto del Departamento de Isere en el sur de Francia. Durante esta época trabajó en sus logros más famosos: la teoría matemática del calor. Su trabajo dejó una huella sobresaliente en la física matemática y ha ejercido una gran influencia en ambas materias hasta nuestros días. Series infinitas 363 /(xí - ) = lim /(xj - h ) > /(x j+ ) = Iinif(X| + h). KX) hX) El conjunto de todas las funciones f : R - * R que tienen periodo2 v y que son continuas por partes se designará como PC(2ir). Es fácil ver que este con­ junto es un espacio vectorial con las operaciones: (/+ g )(* ) = /(x) + g(x)> (cf)(x) = cf(x), xeR. Por la periodicidad de f e PC(2ir) sólo es necesario analizar a / e n un inter­ valo de longitud 2 ir; por ejemplo, se tiene j ^ f(x) dx = J f(x) dx para cualquier c e R. * En el espacio PC(2ir) se pondrá atención en las dos normas . . __ ... .. ^ ___ I < ' ! / r* \in • ll/ü- = sup {J/(x)|: x e [—n-, irD, llflk = ( (f(x))2dx) r ____ I i r ------ . J - — » que están bien definidas, ya que una función en PC(2ir) es acotada y Rie- mann integrable. Es un ejercicio elemental demostrar que si f e PC(2ir), en­ tonces (38.1) |1/||2< V 2 Í|1 /||-. ' • De esta desigualdad se deduce que la convergencia en la norma ||*|¡. (es decir, convergencia uniforme) implica la convergencia en la norma ¡|-||2 (es decir convergencia del cuadrado medio). Sin embargo, lo inverso no es válido (Véanse los ejercicios 31.H y 38.L.) 38.1 DEFINICION. Si f e PC(2ir), entonces los coeficientes de Fou- rier de / son los números Oo, ai, a2, . . . , bi, b2, . . . definidos por (38.2) a. = — í f(t) eos ntdt, h. = — [ /(t) sen ntdt. ir ir J , La serie de Fourier de / es la serie (38.3) loo+ X (o« eos nx + b» sen nx). w—1 Para indicar la relación de la serie de Fouiier (38.3) con la función f con frecuencia se escribe /(x ) ~ ía o + X (a, eos n i + b» sen nx). 1 364 Introducción al análisis matemático Es conveniente aclarar que por medio de esta notación no se pretende hacer pensar que la serie de Fourier converja ajfx) en ningún punto específico x. De hecho, existen funciones continuas con periodo 2ir cuyas series de Fourier son divergentes en una infinidad de puntos. (Véanse Burkhill y Burkhill, página 317, y Hcwitt y Ross, página 300.) 38.2 EJEMPLOS. (a) Definase /i€ P C (2 ir) en (—ir, 7r] como fi(x) = —1 para —ir < x < 0 y /j(x) = + l para O s x s + ir. Queda como ejer­ cicio demostrar que la serie de Fourier para f, esta dada por 4fsenx , sen3x , sen5x , Se demostrará que esta serie de Fourier efectivamente converge a f¡ para 0 < )x| < ir, pero no converge /, en x = 0, ±ir. (¿por que?) Obsérvese que /, es continua por partes pero no es continua por los puntos de { n ir:n e Z } . (b) Defina f2e P C ( 2ir)en (—rr.irjcom o / 2(x) = |x|.Q ueda como ejerci­ cio demostrar que la serie de Fourier para f 2 está dada por ir 4 feos x , cos3x , cos5x 1 2 _ ^ L n r + ^ _ + ^ 5 T~ + " - J - Es claro que esta serie converge uniformemente en R y se demostrará mas adelante que converge a f 2. (c) Sea f e PC (2n) par, es decir f ( - x ) = f(x) para toda x e R . Para una función tal, los coeficientes de Fourier b. = 0 para n = 1 , 2 , . . . .mientras que 2 f’ a- = - f ( 0 eos ntdt, n = 0 , 1 , 2 , ___ TT J o (Observe que la función en (b) es par.) (d) Sea g e PC(2ir) impar, es decir g (-x ) = -g (x ) para toda x e R . Par una función tal los coeficientes de Fourier o« = 0 para n = 0 , 1 , 2 , . . . , mientras que b» = M g(0 sen ni dt, n ~ l,2 ,.... ir Jo (Observe que la función en (a) es impar.) (e) Sea/continua en R con periodo 2ir y sea su derivada f continua po partes en R (y con periodo 2ir.) Se van a relacionar los coeficientes de Fou­ rier a,, b» d e /c o n los coeficientes de Fourier a i, bñ de / ' para n = 1 ,2 ,___ De hecho, integrando por partes se tiene a i = — f f'(t) eos ntdt ir J w = ~ [ /( t) eos nt j - j ^ /(t)(—n) sen nt dt j. I Seríes infinitas 365 Si se usa el hecho de que t *-» /(<) eos nt tiene periodo 2-n- se puede ver que el primer termino se desvanece y entonces a¿=nb« para n = 1 ,2 ,----- en forma análoga se demuestra que b'H—-rw , para n = 1 , 2 , . . . , (Se puede ver que si /,, fi son las funciones en (a) y (b). entonces /i(x) = / 2(x) para xÉ?{n7r:neZ} y que los coeficientes de Fourier para f t y f 2 para n = 1 , 2 , . . . satisfacen las relaciones anteriores.) t En el siguiente lema se calculará el cuadrado de la distancia relativa a la norma j|-||2 de / en PC(2w) a una función arbitraria T, de la forma ( 3 8 .4 ) T«(x) = ¿ao+ Z (a k eos kx + p* se n kx); k-1 /' dicha función algunas veces se llama polinomio trigonométrico de grado n. Al hacer este cálculo, es útil hacer uso de las relaciones | (eos kx)2 dx = J (sen kx)2 d x - - n , k e N, í! sen kx sen nx dx - i eos kx eos nx dx = 0, k, n € N, k / n, | sen kx eos mx dx = 0, , k, m = 0 , 1 , 2 , . . . . 38.3 LEMA. S i f e PC(2rr) y T„ es un polinomio trigonométrico de grado n (es decir T„ es de la form a (38.4). entonces (38.5) |lf - T„||22= |lfl|22- 7r|2qo2+ t ( a f + b*2) } + ir|J(a „ - a 0)2+ ¿ [(Ok - Ok)2+ (Pk - bk )2] | . en donde a*, bk denotan a los coeficientes de Fourier de f. DEMOSTRACION. Se tiene | | / - q | 22= | * [ /( t) - T .(t)] 2dt = [/(t)]2 dt - 2 J ’ f u m o di + J ’ [T„(t)]2 dt. Ahora se puede ver con facilidad que f f(t)T«(t) dt = 2a 0 f f( 0 dt + Z «k í /(t)c o s k td t J-w J - tt k -1 J -ir + Z P* I /(*) senkl dt k- 1 J~» 366 Introducción a l análisis matemático = •7r|kr0ao+ £ (cmu + 0 kb k ) j- Más aún, usando las relaciones antes citadas se puede ver que J ’ [TU*)]2 dt = 7r { w + ¿ ( o ^ + f r 2)}- Si se insertan estas dos relaciones en la primera fórmula y se suma y resta I -ir{íao2+Zk-i (at2+f>k2)}, se obtiene la fórmula (38.5). q .ejd . El lema 38.3 tiene la siguiente interpretación “ geométrica” importante: entre todos los polinomios trigonométicos TB de grado n el que minimiza la expresión |lf—XJ122 está determinado de manera única y se obtiene esco­ giendo a los coeficientes o*, fk como los coeficientes de Fourier a*, bk de f, k = 0 , 1 , . . . , n. Si se denota a este polinomio trigonométrico minimizante (único) por medio de &.(/), entonces n (38.6) S.(f)(x) = í ao+ (Ok eos kx + bk sen kx) es la /i-ésima suma parcial de la serie de Fourier para / y la fórmula (38.5) implica (38.7) B/—& (/)|b2= |fl22-ir{¿ao2+ t (<*2+ k 2)}- Haciendo uso del ejercicio 26.F se puede probar que (38.8) .lim ||/-& ,(/)||2 = 0 para cada función continua con periodo 2-ir. Sin embargo, puesto que ese ejer­ cicio es el resultado de un análisis considerable, es preferible obtener este re­ sultado de una manera más directa. Para hacer esto serán necesarios los dos siguientes resultados. 38.4 DESIGUALDAD DE BESSEL. Si f e P C ( 2-»r), entonces (38.9) W + I (a^+bk7) ^ - H/H22. k-i ~ DEMOSTRACION. Si n e N es arbitraria, entonces de (38.7) se de­ duce que ¿ao2+ Y (a*2+k 2) ^ —ILflU2- k-i tr Por lo tanto, las sumas parciales de la serie del lado izquierdo en (38.9) están acotadas por arriba. Puesto que los términos son todos positivos, esta serie es convergente y se cumple (38.9). q .e .d . Series infinitas 367 El siguiente resultado es un caso especial de lo que por lo general se llama lema de Riemann-Lebesgue. 38.5 LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE. S i g e P C (2 ir), entonces lim j g(t) sen (n + í)t di = 0. DEMOSTRACION. Dado que sen (n + ])t = sen nt cos *t + eos nt sen k se tiene | g(t) sen (n + ])td t = ^ J [-irg(t) cos ]t] sen ntdt +v \ [•Jrg(t) sen |t] cos nt di. Puesto que g e PC (2n), se deduce que las funciones definidas para í e ( —ir, ir], por medio de gi(t) = irg(t) cos k g2(t) = irg(t)sen k tienen extensiones a R que pertenecen a PC(2 tt). Por lo tanto, las integrales del lado derecho de la fórmula anterior dan los coeficientes de Fourier para gi y giípor lo que por la desigualdad de Bessel estas Integrales convergen a 0 cuando n -* oo. q .e .d . 38.6 LEMA. Si f eP C (2 ir), entonces la suma parcial &,(/) de su serie de Fourier está dada por (38.10) S.(/)(x) = - T f(x + t)D.(t)dt IT ]~m en donde D , es el n-ésimo kernel de Dirichlel definido por sen (n+{)t 2 0 < |f| < ir, D„(t) = 2+ ¿ cos kf = 2 sen ]t ’ n + é, t = 0. DEMOSTRACION. De las fórmulas (38.2) y (38.6) se deduce que &•(/)(*)= í /(O dt + — f ¿ /(tKcos kx cos kt +scn kx sen kt} dt ltt ir k-t = ^ | ^ / ( t ) | í + c o s k(x - 1)} dt. Si se toma t = x + s y se usa el hecho de que el coseno es una función par y que la integral tiene periodo 2ir, se tiene 368 Introducción al análisis matemático S » ( /) 0 0 = — í /(x + s ){ i+ ¿ c o s k s } ds rr j - .- x l k-¡ J =^ J /(x + s ) |í + ¿ c o s k s j d s . Se aplica la fórmula (36.6) para obtener (38.10). q .e .d . Antes de seguir adelante recuerde (ver el ejercicio 27.Q) que la derivada por la derecha de una función f : R -* R en un punto c e K e n donde/ tiene por la derecha /(c+ ), es el límite / - .(c ).lim tííJ J Í= IÍ£ ± l ' »-*0 t »>o siempre que este límite exista. De manera análoga, la derivada por la iz­ quierda de / e n c es el límite. 7n o - »—0 t *<0 38.7TEOREMA DE LA CONVERGENCIA PUNTUAL. Suponga que f e PC(27r) y que f tiene derivadas por la derecha y por la iz­ quierda en c. Entonces, la serie de Fourier para f converge a i{ f ( c —)3 í f ( c + ) } en el punto c. Expresado en símbolos. (38.11) ! { /( c - ) + /( c + )} = £ao+ ¿ (a* eos nc + ix, sen nc). k-l DEMOSTRACION. De (36.6) se deduce que si sen jí^ O , entonces sen (n + í)t í+ ¿ eos k t = 2 sen jt Multiplicar p o r(l/ir)/(c + ) e integrar con respecto a / sobre[0, ir]. Dado que f? eos ktdt = 0 para k e N, se obtiene sen(n-t-|)t dt. *Kc+> -4 i r Jr/< o c+) 2scn2Í~ En forma análoga, si se multiplica la expresión anterior por (l/7 r)f(c -) y se integra con respecto a t sobre [—ir, 0], se obtiene « - > * !£ * * * • Si se restan estas expresiones de la lórmula (38.10) se obtiene Seríes infinitas 369 (*) S»(fKc)-H /(c-)+ f(c+ )} = ¿ £ /(C+2 s e / f } , 1 f ' f(c-M)~/(c + ) sen(n+ ])tdl. ir Jo 2 senil Ahora, puesto que f(c + t) —f(c+) *)~ f(c+ )____ t lim «-•O 2 senil 2 scnllj •M) = /;( c ) i= /i( c ), se infiere que !a función para t e (O, ir], = /:( c ) para 1= 0, = 0 para t e ( —ir, O), es continua por partes en (—ir, ir]. Por lo tanto, la segunda integral en (*9 converge a O cuando n -* oo. En forma análoga, la primera integral en (*) converge a O cuando n —*■o». Por lo tanto, se obtiene la conclusión deseada. q .e .d . 38.8 EJEMPLOS. (a) La función f t del ejemplo 38.2(a) está en PC(2ir), con / ( c - ) = / ( c ) = / ( c + ) para c e [ -ir, ir], c ^ - i r , O, +ir, en donde se tiene / ( - i r - ) = + l , / ( - i r + ) = - 1 , /( O—) = —1, /(0 + ) = l , / ( i r —) = 1 , en donde / ( ir + ) = —1. Puesto que las derivadas unilaterales existen en todas partes (y son iguales a 0), se deduce del teorema de conver­ gencia puntual 38.7 que la serie de Fourier para f, converge a f¡(c) siempre que c g [ -ir, ir], c?4 - ir , 0, ir y que en estos tres puntos la serie de Fourier para /, converge a 0. ib) La función f2 del ejemplo 38.2{b) es continua, tiene periodo 2ir y tiene derivadas unilaterales en todas partes. Por lo tanto, la serie de Fourier para f 2 converge en todo punto a f 2 y, como ya se vio, la convergencia es uni­ forme. Se puede ver que la derivada (por ambos lados) de f 2existe en [—ir, ir] excepto en los puntos 0, ± ir y que f 2 coincide con la función continua por partes /, para x £ { n ir:n e Z } . Recuerde que del teorema del valor medio (véase el ejercicio 27.N) se de­ duce que s í / ' g PC(2ir), entonces las derivadas de/ por la izquierda y por la derecha existen en los puntos de discontinuidad de /'. En seguida se de­ muestra que para una función / con periodo 2ir y tal que f e PC(2ir), la serie de Fourier para / es uniformemente convergente a f. 3K.‘>TEOREMA DE CONVERGENCIA UNIFORM E. S e a f conti­ nua. con periodo 2ir r supóngase que f e PC(2ir). Entonces, la serie de Fou- rier pura f converge uniformemente a f en R. 370 Introducción al análisis matemático DEMOSTRACION. Dado q u e /e s continua y las derivadas unilate­ rales de/existen en todo punto, del teorema de convergencia 38.7 se infiere que la serie de Fourier para/ converge a /e n todo punto. Falta demostrar que la convergencia es uniforme. Dada la desigualdad I • OO £ (a* eos kx + bk sen kx) < £ (|ofc| + |M)* U-l k-l basta con probar la convergencia de la última serie. De hecho, si se aplica la desigualdad de Bessel a /', se sabe que la serie £ (|aí|2+16£|2) es convergente. Pero como se vio en el ejemplo 38.2(e), a* = ~b¡Jk y bk = aí/k. Aplicando la desigualdad de Schwarz se tiene m m -i / m | \ 1/2/ m \l/2 k? . Ia*¡= k s C?, p ) (k? , Ibk0 • Puesto que una desigualdad similar es válida para £ |bk|, se obtiene la afirma­ ción deseada. q .e . d . Se demostrará ahora que las sumas parciales de la serie de Fourier para cualquier función / e n PC(2 tt) convergen a / e n la norma ||-||2- Aunque esto no garantiza que se pueda recuperar el valor de/ en algún punto en particular asignado con anterioridad, se pueden interpretar como que d a /e n un cierto sentido “ estadístico” . Para algunas aplicaciones este tipo de convergencia es tan útil como la convergencia puntual y existe la ventaja de que no se tienen que imponer restricciones de diferenciabilidad. 38.10 TEOREMA DE LA CONVERGENCIA NORMADA. Si f € PC(2ir) y si (&.(/)) es la sucesión de sumas parciales de la serie de Fourier para f entonces lim_- 1|/ - S»(/)|U = 0 . DEMOSTRACION. S e a /e P C (2 ir) y sea e > 0 dada. Queda como ejercicio demostrar que existe una función continua /, con periodo 2 n tal que II/—/i||2< e/7. Por el teorema 24.5, existe una función continua lineal por partes f 2 que se puede escoger con periodo 27r, y tal que ||/i - /zll-»< e/7. Del teorema de convergencia uniforme 38.9 se deduce que si n es suficientemente grande, entonces ||/2 -S ,(/2)|l»<e/7. De la fórmula (38.1) se tiene ||g||2 < V2ir||g||«,¿ 3 ||g||- para cualquier g e P C (2 ir); por lo tanto, se de­ duce que II/ - &.(/2)||2< | | / - / l||2+ ||/, - / 2||2+ ll/2- S„(/2)||2 Series infinitas 371 Ahora, S»(fi) es un polinomio trigonométrico de grado n que aproxima a / e n .v (con respecto a ||-||2). Puesto que en el lema 38.3 se probó que la suma parcial S„(f)es el polinomio trigonométrico de grado n que da la mejor apro­ ximación, se infiere que 11/ —S„(/)|U< e- Dado que e > 0 es arbitraria, se concluye que lim |[f-S„(/)l|2 = 0. Q.EJ>. El siguiente reforzamiento a la desigualdad de Bessel para fePC(2tr). se obtiene como un corolario de este resultado y del lema 38.3. 38.11 IGUALDAD DE PARSEVAL. S i f e PC(2ir), entonces (38.12) en donde a*, bk son los coeficientes de Fourier de f. Esta sección se terminará con una demostración del teorema de Fejért acerca de la sumabilidad de Cesáro de la serie de Fourier de una función con­ tinua. Si S„(/), n = 0,1, 2 , , designa las sumas parciales de la serie de Fourier correspondiente a / . desígnese con r „(/) la medida de Cesáro: r „(/)=£ [ s0(f)+s,(f)+• ••■+&..,(/)]. Sea D„, n = 0 ,1 , 2 , . , . , como en el lema 38.6. Haciendo uso de la fórmula elemental 2 sen(k -£ )tse n il = e o s ( k - l)r —eos kt, k = 0 , 1, 2 , . . . , se puede probar que y K, va a ser esta función a la que se va a llamar el n-ésimo kernel de Fejér. Es claro que K „ ( t) a 0 y puesto que para k = 0, 1, 2 , . . . , se deduce que (38.14) t L tO PO L D t- h J t R ( 1X80-1959) estudió y dio clases en Budapest. Hizo muchas aportaciones in­ teresantes en varias áreas de análisis real y complejo. 372 Introducción a l análisis matemático Además, si 0 < 8 < i r , del hecho de que sen 0 ^ 2 0 / v para 0 s 8 < tt/2 se deduce que (38.15) 0 K«(í) £ para 8 < |í| < ir. Por último, observe que por el lema 38.6 se puede expresar la medida de Cesáro por medio de la fórmula (38.16) r„(/)(x) = — T /(x + t)K .(t)d t ir J -, Se puede pasar ahora a la demostración del teorema de Fejcr. 38.12 TEOREMA DE FEJER. S i f es continua y tiene periodo 2ir, entonces la media de Cesáro de ¡a serie deFourier para f converge unifor­ memente a f en R. DEMOSTRACION. De (38.14) se infiere que ‘ / ( * ) = ir¿ j-w Í" /< * ) * • ( ')* . Restando esto de (38.16) se obtiene r .( / ) ( x ) - / ( x ) £ {/(x + 0 -/(x )} fC .(0 dt. Dado que JC (0 s 0 para toda t, se tiene |r„ (/)(x )-/(x )| < ¿ f ’ |/(x + t ) - / ( x ) | K .(t) d t IT J-, Sea e > 0 dada, ya que/ es uniformemente continua en R, existe un número 8 con 0 < 5 < ir tal que si |t| s 8, entonces |/(x + t ) - / ( x ) |< e para toda x 6 [ -ir, ir]. Por lo tanto, se tiene i f - , |/(i+ ° ~/(x)| k*(,) d t * i r . *■<*>d t ~ i r. K -(° = i • Por otro lado, por (38.15) se tiene i j > * + 0 - / ( » > l K .W d, l / u ( ¿ y ) s K i2 ^ ) ' que se puede hacer menor que e tomando a n suficientemente grande. Puesto que una estima análoga es válida para la integral en [ - ir , - 8 ] , se infiere que Series infinitas 373 l |T . ( / ) - / l - < ( 2 + ¿ ) e para n suficientemente grande Q.E.D. Puesto que se puede ver con facilidad que la función r .( /) e s un polino­ mio trigonométrico (de grado n - 1), se tiene otra demostración para el si­ guiente teorema de Weierstrass. 38.13 TEOREMA DE APROXIMACION DE WEIERSTRASS. Si f e s continua y tiene periodo 2ir, entonces se puede aproximar uniformemente por polinomios trigonométricos. Ejercicios 38.A. Sea g una función de valor real definida en una celda J en R con puntos extremos a < b. Se dice que g es continua por partes en J si (i) g tiene un límite por la derecha y por la izquierda. (a) Demostrar que si g es continua por partes en (—ir, ir], entonces existe una función única G en PC(2ir) tal que G(x) = g(x) para toda x e (—ir, ir]. (b) La función g tiene una derivada bilateral por la izquierda (respectivamente, por la derecha) en c e (—ir, ir) si y sólo si G la tiene. (el La función g tiene una derivada por la derecha en —ir (respectivamente, una derivada por la izquierda en ir) si y sólo si G la tiene. (d) Las derivadas unilaterales g¡(-ir), g'(ir) existen y son iguales si y sólo si G tiene una derivada en ¿-ir. 38.B. Si f e PC(2ir) y la derivada f'(x) existe para toda x e R , entonces f tiene periodo 2ir. (b) Si /ePC (2ir) y c e R, defina F :R —»• R por medio de F(x) = £ f(t) dt, de tal manera que F sea continua. Demostrar que F tiene periodo 2ir si y sólo si la media de / es cero, es decir 38.C. (a) Sea / e PC(2ir) impar. Entonces, /(±ir) = 0. S i/es continua en 0, en­ tonces /(0) = 0. (b) Sea gePC(2ir) par; entonces g(0+) = g(0—). Si la derivada g’(x) existe para toda x e R, entonces (véase el ejercicio 27.P) g' es impar, tiene periodo 2ir y g'(0) = g'(±,»r)= 0. 38. D. Sean Fy/funciones de PC(2ir) que tienen coeficientes de Fourier A « ,B . y a., b„ respectivamente. Si o, p 6 R y si h = aF+ pf, demostrar que h pertenece a PC(2ir) y tiene coeficientes de Fourier aA„ + 0a., aB. + pb.. (de donde los coefi­ cientes de Fourier de una función dependen linealmente en la función). 38. E. (al Sea /, la función del ejemplo 38.2(a). Calcular la serie de Fourier para fi y demostrar que esta serie de Fourier no converge uniformemente en [—ir, ir]. (b) Sea fi la función del ejemplo 38.2(6). Calcular la serie de Fourier para /, y demostrar que la derivada término por término de la serie de Fourier para /, coincide con la serie de Fourier para f¡. (c) Usando el hecho de que la serie de Fourier para f2converge a /2, deducir que 374 Introducción al análisis matemático z ! = l +l +± + ... 8 1' 3' 5' ,d> Sea f>(x) = ÍTr-f2(x) de tal manera que /,(x) = ]ir-|x | para x e (-ir, ir]. Usar el ejercicio 38.D para demostrar que la serie de Fourier para /j está dada por 11[cosx . cos3x . eos 5x ir|L l 2 + 32 + ]• 38.F. la) Sea g,ePC(2ir) tal qucg,(x) = x para x e (-ir, ir] y g,(ir) = 0. De­ mostrar que g, es una función impar y que la serie de Fourier está dada por fsenx sen2x,sen3x ] 2n 2 ~ +~ 3 i- Obsérvese que esta serie de Fourier converge a 0 en x = ±ir. Usar el teorema de con­ vergencia puntual 38.7 para demostrar que esta serie de Fourier converge a gi(x) para todo punto x e [-ir, ir]. Ib) Sea g2ePC(2ir) tal que g2(x) = x2 para x e ( —ir, ir].. Demostrar que g2es una función par y que su serie de Fourier está dada por 1r2 .fe08* cos2x,cos3x T ~ 4[ - ü ------ 2 T +~ y -------- Demostrar que esta serie de Fourier converge uniformemente a g2en [—ir, ir] y que su derivada término por término es el doble de la serie de Fourier para g,. (c) Demostrar que ir2 1 1 ^ 1 12= l 2 22 32 • Id) Sea h(x) = jir2- g 2(x) tal que h(x) = jir2- x 2 para x e (-ir,ir]. Entonces, la serie de Fourier para h está dada por .feosx cos2x,cos3x ] ------ v - +— >-------- 1 38.G. la) Sea k(x) = x* para toda x € R. Demostrar que k es continua e impar en R. Sin embargo, la función k,en PC(2ir) que coincide con K en (—ir, ir] no es conti­ nua. Ib) Sea h(x) = x3- i r 2x se tiene que Aes continua e imparen R. Sea h,la función en PC(2ir) que coincide con h en (-ir,ir]. Demostrar que h, es continua en Ay que h¡(x) = 3x2- i r 2para x e (-ir, ir]. (c) Usar el ejercicio 87.P, el ejemplo 38.2(e) y el ejercicio 38.C(</) para demostrar que la serie de Fourier para h, está dada por . -fsenx sen2x,sen3x ! - 12LT -- 2r~+~P----- J- Series infinitas 375 38.H. Sea / : [O, ir]-* R continua por partes y sea /. e P C (2 ir) la función defi­ nida por /•(*) = /( * ) para x e [0 ,7 r], = / ( —x) para x e [ - i r ,0 ) . la) Demostrar que /, es una función par, se le llama extensión par d e / con pe­ riodo 2 ir. <h) A la serie de Fourier de / . s e la llama serie coseno (de Fourier) de / De­ m ostrar que está dada por i a o + Z <K eos nx. ft-1 en donde 2 f* a. = — /(t) eos nt dt, n =0 ,1 ,2 ,, ir Jo le) Demostrar que si c 6 (0 , ir) y / tiene derivadas por la izquierda y por la de­ recha en c. entonces la serie coseno para / converge a í / ( c - ) + / ( c + )]. Asimismo, s i/tie n e una derivada por la derecha en 0, entonces la serie coseno p ara /co n v e rg e a /( 0 + ) . Si / tien una derivada por la izquierda en ir, entonces la serie coseno para / converge a / ( i r - ) . 38.1. Para cada una de las siguientes funciones definidas en [0, ir],calcular la se­ rie coseno y determ inar el límite de esta serie en cada punto. (a)/(x) = x; (b) f(x)=senx; (c )/(x )= l para 0 s x s iir, (d) /(x ) = ]ir —x para 0 ¡s x s jir, =0 para s ir < x s ir. =0 para jir < x ¡s ir. (e> /(x ) = x ( i r - x ) . 38.J. Sea / : [ 0 , i r ] —» R continua por partes y defínase f„ePC(2ir) por medio de /„ —f(x) para x e ( 0 , ir], =0 para x = 0 , = -/(-x ) para x e ( - i r , 0). (a) Demostrar que /. es una función im par, se la llama extensión impar d e/ con periodo 2ir. lb) La serie de Fourier de / . se llama serie seno (de Fourier) d e/ Demostrar que está dada por £ b.sennx, ••1 en donde bj = — í /(t)senntdt, t» = l , 2, ir Jo 376 Introducción al análisis matemático (e l Demostrar que si c e ( 0 , ir ) y s i/tie n e derivadas por la izquierda y por la de recha en c. entonces la serie seno para /c o n v e rg e a í / ( c - ) + / ( c + ) ] . En cual­ quiera de los casos la serie seno para / converge a 0 e m = 0 , i r . 38.K. Para cada una de las siguientes funciones definidas en [0, ir], calcular la serie seno y determinar el límite de esta serie en cada punto. (a) /(* ) = 1; (b) f(x ) = eos x ; (c) / ( x ) = l para O s i s iir, (d) /(x ) = i r - x ; = 0 para jw < x s ir; (e) f(x) = x ( i r —x). 38.L. Sea / . e PC(2tr) la función tal que /„(x) = n ,M para O s x s l / n = 0 para otra x € (—■ir, ir]. D emostrar que = 1/ n ,M de tal manera que la sucesión (/.) con­ verge a la función cero en la norma J-Jj pero dado que es no acotada, la convergencia no es uniforme. 38.M. Si f e P C (2ir) y si e > 0 , dem ostrar que existe una función continua / , con periodo 2 ir tal que ||/ —/iH j< e. 38.N. Mediante la igualdad de Parseval 38.11 compruebe las siguientes fórmulas 7r2 y 1 w’ = y (a) T “ L t Z i » (b) o r>i n 8 (2n 1Tfc y 1 (c) (d) 90 ¿ . n 4’ 945 “ ¿ n * 38.0. Si / y F pertenecen a P C (2ir) y tienen coeficientes de Fourier a., b. y A ., B„ respectivamente, dem ostrar que ¿ í* m m di = }0oA„ + 1 (O.A. + bJ3.). ir »-i (Sugerencia: aplicar la igualdad de Parseval a f+ F .) 38.P. U sar la prueba de Dirichiet 36.2 y el ejemplo 36.8 para dem ostrar que la serie trigonométrica v sen nx L n_ m converge para toda x. Demostrar que sin em bargo esta serie no puede ser la serie de Fourier de ninguna función en P C (2ir). 38.Q. Sea L > 0 y sea PC(2L) el espacio vectorial de todas las funciones f : R - * R que tienen periodo 2L y que son continuas por partes. (al Si se define f ■g =]*:,. /(t)g (t) di para f, g e P C ( 2 L ), dem ostrar que la apli­ cación (/, g ) —* f - 8 es un producto interno (en el sentido de la definición 8.3) en PC(2L). Más aún, la norma inducida por este producto interno (véase 8.7) es M i; m i 2<hT - (bI Se van a tom ar Co, CL, S„ n e N , como las funciones en P C (2L ) dadas por _ , . 1 „ , . 1 nirx „ , ,_ 1 rtirx Series infinitas 377 D em ostrar que este conjunto de funciones es ortonorm al en el sentido de que G. • &. = 0, C . • C L = &», S . X . = 8_ en donde 8 ^ = 1 n = m y 8 _ = 0 si n ^ m . (Sugerencia: si L = -ir, éstas son las rela­ ciones dadas antes de 38.3.) (c) Si /e P C ( 2 L ) , se define la serie de Fourier d e / e n [—L, L ] como la serie 1 . v* / n irx . . m rx\ 2 a*+ .?Afl’ C08_i r +htSeni r > en donde se tiene = f [ f(t)dt, o. = 7 f f(t) cos~ ^ dt,\ L. J- l % L J-i L b. =j - f ( t ) s e n ^ d t , para n = 1 ,2 ......... (d) Reformular los teorem as de convergencia 38.7, 38.9 y 38.10 para series de Fourier de funciones en PC(2L). ( Sugerencia: hacer un cam bio de variable.) (el Si /e P C ( 2 L ) , entonces la igualdad de Parseval se convierte en ¿ i i / y 4 « « i + É ( a-í+bL’)’ ■ en donde la norma de/ es como en el inciso (a) y los coeficientes de Fourier son como en el inciso (c). 38.R. Para cada una de las siguientes funciones en el intervalo especificado cal­ cular la serie de Fourier en este intervalo y determ inar el límite de esta serie en cada punto. (a) / ( * ) = * en ( - 2 ,2 ] ; (b) /(*) = 0 para —4 < x < 0, =X para 0<x^4; (c) / ( * ) = 0 para —3 < x < 0 , = 1 para O s is l, =0 para l< is 3 . 38.S. S ea/ continua y con periodo 2ir. D em ostrar que si la serie de F ourier/.con­ verge en c e [—ir, ir] a algún número, entonces converge a /(c ). 38.T. Sea / en P C (2 ir)y suponga que c e [ —ir, ir]. Si í \ ( / ) designa la n- ésjma media de Fejér definida en (38.16), dem ostrar que l¡m r.(/)(c)= ± [/(c-)+ /(c+ )]. 38 U Suponga que f y f son continuas con periodo 2 ir y que f e P C ( 2 n ) .( a ) Demostrar que los coeficientes de Fourier a,, b. de / s o n tales que la serie i n’íkl +M) ■• 1 37S Introducción al análisis matemático es convergente. Por lo tanto, existe una constante M > 0 tal que |a .| £ M/r»1 y |b„| £ M /n 1 para toda n e N. (hI Demostrar que la serie de Fourier para f e s la derivada término por término de la serie de Fourier para f. , 3 8 .V .(a )S i k e P C ( 2 ir ) y si x0, x e [ - i r , ir], usar la desigualdad de Schwarz para dem ostrar que |J fc(t) díj < ||fc|t2|x —x0|,/2 ^ Hfclk >/2tt. (hl Usar el inciso (a) y el teorema de convergencia normada 38. i 0 para dem ostrar que si f e PC{2 it) y x0e [ - i r , ir], entonces la serie de Fourier para / se puede integrar término por término: | /(r) dt = | a 0(x~Xo) + ¿ J (<*» cosnt + senní) y la serie que resulta es uniformemente convergente para x e [ —ir, ir]. 38.W. (a) Suponga que a > 0 no es un entero. D em ostrar que 2a senair|' 1 cosx cos2x cos 3x . ir 1.2a1 a 1- ! 1 a 1—21 a 1- 3 1+ para toda x e [ - i r , ir]. (h) Usar el inciso (a) para dem ostrar que si x é Z , entonces 1 ^2xf 1 cot irx = — + — 2- --------5» irx ir x —n irx ir.rix-n (el Diferenciar la primera serie en (hl término por término (justificar esto) para dem ostrar que si x é Z , entonoes *;• 1 ?=U_m Z (x - n )1 (senirx) (di Integrar la primera serie en (hl térm ino por térm ino (justificar esto) para de­ m ostrar que si x ¿ Z , entonces senirx irx Vil DIFERENCIACIO N EN Rr En este capítulo se estudia la teoría de funciones diferenciables en R p en donde p > 1. La teoría es parecida a la que se da en las secciones 27 y 28, pero surgen algunas complicaciones y aspectos nuevos. Varias de estas complica­ ciones se deben sólo a la inevitable complejidad de la notación, pero otras sur­ gen porque es posible llegar a un punto c e R p desde “ muchas direcciones” , de tal manera que pueden ocurrir fenómenos nuevos. En la sección 27 se definió la derivada de una función f : R ~ * R en un punto c e R de la manera tradicional, es decir, como el número L e R tal que cuando este límite existe. De manera equivalente se pudo haber definido esta derivada como el número L tal que 6mltS iízxM k- c *-*« X-C z ti£ zílU —el Se puede considerar que dicha relación de límite hace preciso el sentido en el que se aproximan los valores f[x), para x suficientemente cerca de c. por me­ dio de los valores de una aplicación afínt x*-»/(c) + L ( x - c ) , cuya gráfica da la recta tangente a la gráfica de / en el punto (c, /(c)). En este acceso a la derivada el que se usará para funciones d e R pa R q. De manera que la derivada de una función/definida en una vecindad de un punto c e R p con valores en R q será una aplicación lineal L : R P —» R q tal que fcn cursos elementales, dicha transformación se denomina “ lineal” . Sin embargo, para que haya consistencia con el uso más restringido del término “ lineal” introducido en la sección 21 se usará el termino "afín" al hacer referencia a la función que se obtiene al sumar una constante a una función lineal. 379 380 Introducción al análisis matemático . — I l* - c | ■ J De donde se está aproximando f(x), para x suficientemente cerca de c, por medio de la aplicación afin ¡I b I x >-* f(c) + L(x - c) de R p hacia R \ [El lector deberá observar que si p = 1, entonces la notación L(x —c) representa el producto de los números reales L y x —c; sin embargo, si p > 1, entonces L(x - c ) denota el valor de la aplicación lineal L en el vec­ tor x —c. J En la sección 39 se estudia la definición y se relaciona la derivada con las diversas derivadas “ parciales” . En la sección 40 se obtienen la regla de la ca­ dena y el teorema del valor medio que son de suma importancia. En la sección 41 se da un análisis detallado de las propiedades de aplicación de funciones diferenciales, llegando a los importantes teoremas de inversión y de funciones implícitas, y culminando con los teoremas de parametrización y rango. La última sección trata de las propiedades extremas de funciones de valor real en R p. vSección 39 La derivada en Rp . . I . ’ .- En la sección 27 se trató la derivada de una función con dominio y rango en R. En esta sección se habrá de considerar una función definida en un sub­ conjunto de R v y con valores en R q desde un punto de vista análogo. Si el lector revisa la definición 27.1 podrá ver que también es aplicable a una función definida en un intervalo J en R y con valores en el espacio carte­ siano R \ Desde luego, en este caso L es un vector en R ’. El único cambio que se requiere para esta extensión es el de reemplazar el valor absoluto de la ecuación (27.1) por la norma en el espacio R*. Excepto por ello, la definición 27.1 es aplicable al pie de la letra a esta situación más general. El hecho de que valga la pena estudiar esta situación es claro al saber que una función/ de J a R q se puede considerar como una curva en el espacio R* y que la derivada (cuando existe) de esta función en el punto x = c da un vector tangente a la curva en el puntoso). De manera alternativa, sí x designa tiempo, entonces la función / es la trayectoria de un punto en R q y la derivada /'(c) denota al vector velocidad del punto en el tiempo x = c. Una investigación más profunda de estas ideas nos haría estudiar geo­ metría diferencial y dinámica más de lo que es deseable en este momento. La meta que se tiene es más concreta: se desea organizar la maquinaria analítica que haría posible una investigación satisfactoria y eliminar la restricción de que el dominio esté en un espacio unidimensional haciendo posible que el do­ minio pertenezca al espacio cartesiano R r. En seguida se hará esto. Un análisis de la definición 27.1 prueba que el único lugar en que es ne­ cesario que el dominio conste de un subconjunto de R esen la ecuación (27.1), Diferenciación en R ' 381 en donde aparece un cociente. Dado que no tiene ningún significado el co- cíente de un vector en R q por un vector en R p, no se puede interpretar la ecuación (27.1) tal como aparece. Por tanto, hay la necesidad de encontrar re­ formulaciones para esta ecuación. Una posibilidad, que es de gran interés consiste en tomar “ rebanadas” que pasen por el punto c en el dominio. Para hacerlo más sencillo, se habrá de suponer que c es un punto interior del domi­ nio D de la función; entonces, para cualquier u en R p, el punto c + íu perte­ nece a D para números reales / suficientemente pequeños. 39.1 DEFINICION. S e a /la función definida en un subconjunto A de R p y con valores en R", sea c un punto interior de A y sea u cualquier punto en R p. Se dice que un vector L. e R ’ es la derivada parcial d e /e n c con res­ pecto a u si para cada número e > 0 hay una 8 (e )> 0 tal que para toda t e R que satisfaga 0 < |t|< 8 ( e ) , se tiene (39.1) |y í/(c + tw )~/(c)}—Luj < e. Se puede ver fácilmente que la derivada parcial L , definida en (39.1) está determ i­ nada de ... .ñera única cuando existe. En forma alternativa, se puede definir L* como el límite lim j{/ ( c + tu ) - /( c ) } , o como la derivada en t = 0 de la función F definida por F(c) = /( c + tti) para |f| Suficientemente pequeña y con valores en R \ Se escribirá Duf(c) o /„(c) para denotar la derivada parcial d e /e n c con respecto a u. Es preferible usar la primera notación cuando, como ocurre a menudo, el símbolo que denota a la función tiene un subíndice. Se denota a la función c >-* D„/(c) = fm(c) por medio de D.f o /„; eitá definida para aque­ llos puntos interiores c de A para los cuales el límite requerido existe y tiene valores en R*. Es claro que s i/e s de valor real (de tal manera que q = 1) y si u es el vec­ tor «i = (1, 0 , . . . , 0) en R p, entonces la derivada parcial de/ con respecto a e t coincide con lo que normalmente se llama la derivada parcial de/con respecto a su primera variable, que con frecuencia se denota por medio de O /, /„„ ó ^ . .De la misma manera, tomando e2“ ( 0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , cp = ( 0 , 0 , . . . , 1), se obtienen las derivadas parciales de / con respecto a las otras variables. * * - * • - £ ........ ’ H - f '- g - En caso de que el símbolo que denota a la función tenga un subíndice, a me­ nudo se insertará una coma para indicar una derivada parcial, de manera que D,f2 = h.i- 382 Introducción al análisis matemático Se debe observar que puede existir la derivada parcial de una función en un punto con respecto a un vector; sin embargo la derivada parcial con res­ pecto a otro vector no necesariamente existe (véase el ejercicio 39 A). Tam­ bién es claro que con hipótesis apropiadas hay relaciones algebraicas entre derivadas parciales de sumas y productos de funciones, etc. No se obtendrán aquí estas relaciones ya que son casos especiales de lo que se hará en seguida, o bien se pueden demostrar de manera análoga. Cabe mencionar algo acerca de la terminología. Si u es un vector unita­ rio en R p, entonces la derivada parcial Du/(c) = /„(c) a menudo se llama la derivada direccional de / en c en la dirección de u. La * derivada • l' i '• ‘ El principal inconveniente de la derivada parcial de una función/ en un punto c con respecto a un vector « es que sólo da una visión del comporta­ miento de/cerca de c en el conjunto inidimensional {c + tu : t e R}. Para po­ der obtener una información más completa acerca d e / e n una vecindad de c g R p, se introducirá el concepto de la derivada de / en c. que es una aplicación lineal de R p a R". 39.2 DEFiNICION. S ea/co n dominio A en R p y rango en R q,y sea c un punto interior de A. Se dice que/es difcrenciahlc en c si existe una función lineal L : R p —> R q tal que paia toda e > 0 existe í¡(e )> 0 tal que si k e R p es cualquier vector que satisface ||x - c || < 5(e), entonces x e A (39.2) ||/ ( x ) - / ( c ) - L ( x - c ) ||< e ||x -c ||. En forma alternativa, (39.2) se puede reformular pidiendo que para cualquier c > 0 exista 8(e)> 0tal que si,uel?1’ y ||u||< 8(e), entonces (39.3) ||/(c + u) - f(c) - L(u)|| == e ||u||, que a su vez se puede expresar de una manera más compacta escribiendo (39.4) Km t W-o M . En seguida se verá que dicha función lineal L está determinada de ma­ nera única cuando existe. Se le llama la derivada de/en c y a menudo se deno­ tará por medio de Dfícl en vez de L. Con frecuencia se escribirá DJIcKul para denotar L(u) y D /(c )(x -c ) para denotar L(x - c ) . Desde un punto de vista analítico, la existencia de la derivada d e /e n c refleja la posibilidad de aproximar la aplicación x »-> f(x) por la aplicación x *-*/(c) + L(x - c ) . La desigualdad (39.2) da una medida de la cercanía de t Se advierte al leetor que I. algunas vcees se llama la derivada de Kréchet o la diferencial de / en c y algunas veces se denota por tifie) o f i e ) , ele. Diferenciación en R" 383 esta aproximación cuando x está cerca de c. Debido a la linealidad de L se tiene /(c) + L ( x - c ) = (/(c )-L (c ))+ L (x ). De modo que se está aproximando x>->/(x) una función de la forma x >-» y0+ L (x), en donde y0 es fijo. A dichas funciones se Ies llama aplicaciones afines de R p a R*; son simplemente translaciones de aplica­ ciones lineales y por ello son muy sencillas. Desde un punto de vista geométrico, la existencia de la derivada d e /e n c refleja la existencia de un plano tangente a la superficie {(x ,/(x )):x e A} en R p x R q en el punto (c, f(c » ; específicamente el plano dado por la gráfica (3 9 .5 ) {(x J ( c ) + L ( x - c) ) : x € « p}. Se probará en seguida la unicidad de la derivada. 39.3 LEMA. La función f tiene cuando mucho una derivada en un punto. DEMOSTRACION. Suponga que L u L 2 son funciones lineales de Kp a R q y que satisfacen (39.3) para ||uj|< S(e). Entonces, se tiene 0 s ||L , ( u ) - L 2(M)t| ^ IIf(c + u ) - f ( c ) - L 1(u)H+ ||/(c + u) - f(c) - L 2(u)|| —2e ||u||. Por lo tanto, se tiene 0 < ||L i( u) - L 2( u)||< 2e ||w|| para toda h e R p con ||u ||< ó (e ). Si Li 5* L2, existe z e R p con L \ ( z ) ¿ L2(z), por lo que z^O . A hora sea z,, = (8(e)/||z||)z de m anera que ||z<)|| = 8(f ) de donde ||Li(z0) - E 2(zo)||^2e ||zol|. De modo que ||L i(z ) -L 2(z)||^ 2 e ||z|| para toda e > 0 , de modo que Li(z) = L2(z), loque es una contradicción. Por lo tanto, L, = L2. o F..D. 39.4 EJEM PLOS. (al Sea A c R p, y0e R ", y suponga que /0: A -* R q es la “ función constante” definida por / 0(x) = y0 para x e A. Si c es un punto interior de A y x e A, entonces /o (x ) -/0(c) = 0. Se deduce que fo es diferenciable en c y que la derivada Df0(c) = 0, “ la función lineal cero” que aplica a todo elemento de J tp al elemento cero de R 1". Por lo tanto, ¡a de­ rivada en cualquier punto de una función constante es la función lineal cero. (hI Sea A = R p y sea : A —> R" una función lineal. Si c e A y x e A, entonces / i( x ) - / i( c ) - /i ( x —c) = 0. De aquí que se deduce que /je s diferen­ ciable en c y que Df¡(c) = f¡. Por lo tanto, la derivada en cualquier punto de una función lineal es la función lineal misma. 39.5 LEMA. Si f: A —>R q es diferenciable en c e A , entonces existen números estrictamente positivos S, K tales que .?/[|x - c|j ^ 8, entonces 384 Introducción al análisis matemático (39.6) H /( x ) - /( c ) ||< K ||x - c ||. En particular, se deduce que f es continua en x = c. DEMOSTRACION. Por la definición de 39.2 se infiere que existe 6 > 0 tal que si 0 < ||x - c|| 8, entonces (39.2) es válido con e = 1. Usando la desigualdad del triángulo se tiene ll/(x )-/(c)|| ^ ||L(x —c)||+||x - c || p a ra 0 < | | x - c | | s 8. P o r el teo re m a 21.3, e x iste B > 0 tal que ||L(x —c)|| < B |¡x —c|j para toda x e R r. Por lo tanto, si 0 < ||x —cll ^ 6 se obtiene ||/( x ) - /( c ) ||< ( B + l ) ||x - c ||, y esta desigualdad también sigue sienao válida para x = c. o 6.D. A continuación se demuestra que la existencia de la derivada en un punto implica la existencia de todas tas derivadas parciales en ese punto. 39.6 TEOREMA S i A c R", si f : A —*R'' es diferenciaba en un punto c e A ,y si u es cualquier elemento de R T, entonces la derivada parcial D«/(c) de f en c con respecto a u existe. Más aún (39.7) D„/(c) = D/(c)(u). DEMOSTRACION. Puesto que / es diferenciable en c. dada e > 0 existe 8 ( e ) > 0 tal que ||/(c + fu) - / ( c ) - D/(c)(fu)]| < e M | siempre que ||tu|| < S(c). Si u = 0, entonces fácilmente, se puede ver que la de­ rivada parcial con respecto a 0 es 0 = D/(c)(0); por lo que se supone que u ^ O . De modo que si 0 < |f | ■&£(e)/|u||, se tiene | /(c + tu ) - / ( c) _ D /(c)(M)|| s 6 1|u(| Esto prueba que Df\c)[u) es !a derivada parcial d e / e n c con respecto a u. como se quería. q .e .d . 39.7 COROLA RIO. Sea A £ R p, sea f: A —* R y sea c un punto in­ terior de A. S i la derivada DJfc) existe, entonces cada una de las derivadas parciales D,f(c)........ DP/(c) existen en R v si u = ( u ,, . . . , u,) f=R r, entonces (39.8) D f ( c ) ( u ) = u , D ¡ f ( c ) + ' • • + upDp/(c). Diferenciación en R ' 385 DEMOSTRACION. El teorema implica que para cada uno de los vectores «l t . . . , eP las derivadas parciales D if (c) , . . . . Dp/ ( c ) existen y son iguales a Df(c)(ei) ,. . . ,Df(c)(eF). Sin embargo, dado que DJlc) es lineal y u = u,e, + • • • + uvev, se deduce que D /(c)(u) = ¿ UjDf(c)(ei) = ¿ UjDJ(c). q . e .d . (- i i-i O BSERV A C IO N ES, (a) El inverso del corolario 39.7 no siempre es válido, ya que las derivadas parciales pueden existir sin que exista la derivada. Por ejemplo, de­ finase f : R 2—* R como /( x ,y ) = 0 para (x, y) = (0,0), = P+75 para ( x ,y ) * ( 0 , 0). Queda como ejercicio dem ostrar que la derivada parcial de/ con respecto al vector (a. b ) en (0.0) está dada por (39.9) ' ' D „ » /( 0 ,0) = , (o, b) + (0 ,0 ). En particular D ,/( 0 ,0 ) = 0 y D 2/ ( 0 ,0 ) = 0. Si la derivada D f existiese en (0.0) el coro­ lario 39.7 implicaría que 0 ,0 ) = D /(0 .0 )(a . b) = a ! 0 + b • 0 = 0. contrario a (39.9). (h) En seguida se verá que si A c R ' y si las derivadas parciales de f : A - * R ' son continuas en c. entonces Dftc) existe. 39.8 EJEMPLOS, (a) Sea A s R y sea / : A —►R. Entonces,/esdife- renciable en un punto interior c de A en el sentido de la definición 39.2 si y sólo si la derivada ordinaria lim r—O /(c+t)-/(c)_ 1*0 existe. En este caso la derivada Df¡c) es la función lineal de R a R definida por u *-* f'(c)u. De modo que Dfíc) aplica u e R en el producto de f'(c) y u. (En la terminolo­ gía de matrices, la derivada Dfíc) es la aplicación lineal representada por la matriz 1 x 1 cuyo único elemento es f'(c).) Es costumbre que en vez de utilizar u para designar el número real en el que actúa la función lineal de Dfíc) se escriba el símbolo un tanto peculiar dx (en este caso la "d" desempeña el papel de un prefijo y no tiene ningún otro significado). Cuando esto se 386 Introducción al análisis matemático hace y se usa la notación de Liebniztpara la derivada, la fórmula Df(cXu) —f'(c)u se transforma en Df(c)(dx) = £ ( c ) dx. (b) Sea A £ R y sea / : A -*• R q (q > 1). De donde/ se puede represen­ tar por medio de las “ funciones coordenadas” /(* ) = ( f i W , ■ . ■ , /,(*)), xeA. Como ejercicio, el lector deberá probar q u e /e s diferenciare en un punto in­ terior c de A si y sólo si cada una de las funciones de valor real / i , . . . , /, tiene nna derivada en c. En este caso, la derivada DJ\c) es la función lineal de R a R* dada por u m(/;( c)........ fc(c)), ueR. < * Por lo tanto, DJ{c) aplica un número real u en el producto de u y un vector fijo /'(c ) = C/»(c),. . . , f'q(c)). C u a n d o /se considera una “ curva”, este vector se llama el “ vector tangente” a / en el punto /fe). fe) Sea A £ R p (p > 1) y sea f : A -* R. Entonces, del corolario 39.7 se deduce que si la derivada D/fc} existe en un punto c interior a A, entonces cada una de las derivadas parciales D , f ( c ) , D pf(c) deben existir y Dflc) es la aplicación lineal de u = ( u ,,. . . , u, ) e R p a R dada por D /(c)(u) —UiDif(c)-t— • + upDp/(c). 1 1 1 1 • ■ t • Aun cuando la simple existencia de estas derivadas parciales no implica la existencia de la derivada, se verá más adelante que su continuidad en r sí ga­ rantiza la existencia de la derivada. Algunas veces en vez de u —(u........ u,) se escribe dx = (dx„. . . , dx,) para indi­ car el punto en Jt' en que debe actuar la derivada. Cuando esto y la notación de Leib- niz se emplean para las derivadas parciales, la fórmula anterior se convierte en Df(c) (dx) = j t (c) dx, + - - •+ ^ (c) dx,. (d) Suponga ahora A c R ' y / : A -* R* en donde ambos p > 1, q > 1. En este caso se puede representar y = /(x ) por medio de un sistema yi = /i(xi........ A.) y* f i(xi»• • •, Xp), t GOTTOFRIED W ILH E L M L E IB N IZ (1646-1716) es, junto con ISA AC N EW TO N (1642- 1727), uno de los coinventores del cálculo. Leibniz dedicó la m ayor parte de su vida a servir a los duquez de Hanover y fue un genio universal Hizo grandes aportaciones en m atem áticas, leyes, Elosofia, teología, lingüistica e historia. Diferenciación en R ’ 387 de q funciones de p argumentos. Si / es diferenciable en un punto (c»,. . . , Cp) entonces queda como ejercicio demostrar que cada una de las derivadas parciales D ¡/¡( c )( = / i j ( c ) ) debe existir en c. (Una vez más, esta última condición no es suficiente, en general, para la diferenciabilidad d e /e n c.) Cuando D/Jc) existe, es la función lineal que aplica al punto u = ( u t, . . . , Up) de R' en el punto w = (w,,. . . , w,) de R" dado por Wj —D i/i(c)ui + D 2/ i(c) u i + - • • + Dp/i(c)up, (39.10) w, = D ,/,( c) u , + D 2/,( c) u2+ • • • + Dp/,(c)u,. La derivada DJJc) es la aplicación lineal de R 'a R" determinada por la ma­ triz de q x p cuyos elementos son D i/,(c) D 2/,( c) ••• Drf t(c)~ D ,/2(c) D 2/ 2(c) ••• D,fÁc) (39.11) _D,/,(c) D 2/,( c) ••• D ,/,(c) A.t(c) ' *• / i .p ( c ) Í2ÁC) fl.Á c ) • •• A,(c) U c) UAc) ••• Ya se ha aclarado (véase el teorema 2 i .2) que un arreglo tal de números reales determina una función lineal de R p a R \ A la matriz (39.11) se la , llama matriz Jacobiana del sistema (39.9) en el punto c. Cuando p = q, el de­ terminante de la matriz (39.11) se llama el determinante Jacobiano o simple­ mente el Jacobiano del sistema (39.10) en el punto c. Con frecuencia este de­ terminante Jacobianot se denota por d(A» fi, • ■■, /P) I o J,(c). d(jC i, X2, * * . , Xp) ] i « c Existencia de la derivada En el teorema 39.6 se demostró que la existencia de la derivada en un punto implica la existencia de todas las derivadas parciales en ese punto. En la aclaración que se hizo después del corolario 39.7 se vio que la simple exis­ tencia de las derivadas parciales no implica la existencia de la derivada aun cuando p = 2, q = 1. Se habrá de probar ahora que la continuidad de las deri­ vadas parciales en c es suficiente para la existencia de la derivada en c. tCARMG.J.).IACOBI( 1804-1851) fue profesor en Kónigsberg y Berlín. Su trabajo más impór­ tame se refiere a funciones eliptieus. pero también se le conoce por su trabajo en determinantes y dinámica. 388 Introducción al análisis matemático \ . . 4. . .; 39.9 TEOREMA. Sea A c R ft sea f \ A ~ * R q, y sea c un punto inte­ rior de A . Si las derivadas parciales D¡f¡ (i = í , . . . , q, j = 1, . . . , p) existen en una vecindad de c y son continuas en c, entonces f es diferenciadle en c. Más aún, DJ\c) está representada por la matriz q x p (39.11). DEMOSTRACION. Se tratará en detalle el caso q = 1 Si e > 0 , sea 8 (e )> 0 tal que si ||y —c|| < S(e) y j = 1 , 2 , . . . ,p, entonces (39.12) |Di/ ( y ) - D )/(c )|< e . Si x = (xi, x2, . . . , x,,) y c = (ci, c2, . . . , cp), denótense por medio de Zi, 2 2 ,..., Zp-i los puntos Z i “ (C ij X2» • • * * X p), ^2 ( C i, C2» X ji > * » i Xp ) , •••> Z p -l (til C 2, • . • , Cp—j) Xp) y sean z0 = x y zp = c. Si ||x —c|| < 8(e), entonces es fácil ver-que ||Z |- c ||s 8(e) para / = 0 , 1 , p. La diferencia / ( x ) - / ( c ) se escribe como una suma reducida . , / ( x ) - / ( c ) = É ( / ( z j- 1) - / ( z í )}. i-» Si se aplica el teorema del valor medio 27.6 aly'-ésimo término de esta suma, se obtiene un punto z¡, que está en el segmento de línea que une a Zj-i y Zj, tal que * . /(Zj-i)—/(z,) = (Xj - c¡)D¡f(z¡). Por lo tanto, se obtiene / ( x ) - / ( c ) - ¿ (xt - q)D,f(c) = ¿ (xj - C j ^ D /í f j) - Dj/(c)}. /-> i-i Por la desigualdad (39.12), cada cantidad que aparece entre corchetes en la última fórmula está dominada por e. Aplicando la desigualdad de Schwarz a esta última suma, se obtiene la estima | / W - / ( c ) - I (x, - c,)D,/(c) |< (e V p ) ||x - c||, siempre que ||x - c || s 8(e). Se ha demostrado q u e /e s diferenciable en c y que su derivada Df\c) es la función lineal de R f a R dada por u = ( u ,,. . . , Up) -» Df(c)(u) = ¿ UjDif(c). i-i En el caso en que/tom a valores en R q con q > 1, se aplica el mismo ar­ gumento a cada una de las funciones de valor real f¡, i = 1 , 2 , . . . . q, que in­ Diferenciación en R ' 389 tervienen en la representación coordenada de la aplicación / Se dejarán los detalles de este argumento como ejercicio. Ejercicios 39.A. Defina / : R J —►R por medio de /(* . y) = ^ para y * 0 , =0 para y = 0. D emostrar que las derivadas parciales D ,/ ( 0 ,0), D 2/(0 ,0 ) existen y son iguales a 0. Sin embargo, la derivada d e / en (0,0) con respecto a un vector u = (a, b) no existe si abi* 0. Demostrar que/ no es continua en (0,0); de h e c h o ,/n i siquiera es acotada en una vecindad de (0,0). 39.B. Defina g : R 2— por medio de g (x ,y ) = 0 para xy = 0 , = 1 para xy ¿ 0. Demostrar que las derivadas parciales D ,g ( 0 ,0), D 2g ( 0 ,0) existen y son iguales a 0. Sin em bargo, la derivada de g en (0,0) con respecto a un vector u = (a, b) no existe si abi* 0. Demostrar que g no es continua en (0,0); sin em bargo, g es acotada en una ve­ cindad de (0,0). 39 C. Suponga que h .R 1-* R está definida como h(x, y) = 0 para(x, y) = (0 .0 ). - " para (x, y) * ( 0 ,0 ) . Demostrar que las derivadas parciales D ,h ( 0 ,0), D 2h ( 0 ,0) existen y son iguales a 0. Sin em bargo, la derivada de h en (0,0) con respecto a un vector u = (a, b) no existe si a b * 0 . Demostrar que h no es continua en (0,0). 39.D. Suponga que k : R 1- * R está definida como k(x, y) = 0 para (x, y) = (0 ,0 ), = para (x, y ) * (0 ,0 ). Demostrar que la derivada parcial de k en (0,0) con respecto a cualquier vector u = (a, b) existe y que D„k( 0 ,0 ) = — s ia * 0 . a D em ostrar que k no es continua y por lo tanto no es diferenciable en (0,0). 39.E. Defina f :R * - * R como /( x ,y ) = 0 para (x, y) = (0 ,0 ), = -r£ -5 para(x, y) / (0,0 ). * *y 390 Introducción al análisis matemático D em ostrar que existe la derivada parcial de/ en (0,0) con respecto a cualquier vector u = (a, b) y que D J ( 0 , 0) = si (a, b) ¿ (0 ,0 ). a + d D em ostrar que / e s continua pero no diferenciable en (0,0). 39.F. Supóngase que F : R 2- * R está definida como F(x, y) = x 2+ y J si ambos, x. v son racionales, =0 en los otros casos. Demostrar que F e s continua solamente en el punto (0,0) y que es diferenciable allí. ~^39.G . Defina G : R 2—* R como G (x ,y ) = (x 2+ y 2) s e n l/( x 2+ y2) para (x, y ) * ( 0 , 0), =0 para (x, y) = (0 ,0 ). D em ostrar que G es diferenciable en todo punto de R 7 pero las derivadas parciales D ,G .D 2G no son acotadas (y por lo tanto no continuas) en una vecindad de (0,0). 39.H. Defina H : R 2- » R 2 como H ( x , y ) = ( x 2+ x 2s e n ^ , y ) para * ¡¿0 , = (0, y) para x = 0. Demostrar que D ,H existe en todo punto y que D¡H existe y es continua en una vecin­ dad de (0,0). Demostrar que H es diferenciable en (0,0). —>39.1. Sea A s R '. s e a / : A —» R ' diferenciable en un punto c interior de A y sea v 6 R \ Si se define g : A - * R como g(x) = f ( x ) ■v para toda x 6 A , dem ostrar que g es diferenciable en c y que D g (c)(u) = (D f(c)(u)) - 1> para u e R '. —>j39.J. Sea r un punto interior de A c R ' y sea / : A -» R. (a) Si / e s diferenciable en c. dem ostrar que existe un vector único vc e R ' tal que D J(c) = D /(c)(u ) = v. ■u para toda u € R '. Al vector v, se le llama el gradiente de / e n c y se denota por medio de V /,o por grad JJc). Demostrar que V J = ( D ,/( c ) ,...,D /( c ) ) . ( b l U sar la desigualdad de Schwarz para dem ostrar que si u e R ' y ||u|| = 1, en­ tonces la función u >-> D.f(c) tiene un valor máximo cuando u es un múltiplo positivo de V /. De modo que la dirección en que es máxima la derivada direccional de / e n c es la del gradiente de / en c. 39,K. Sea c un punto interior de A c R ', sean f, g : A —* R difercnciables en c y sea a e R . D emostrar que 's Diferenciación en RT 391 V«(a/) = a V J , V .( /+ g ) = Vt/ + v ,g , Vt (/g) = /(c )V tg + g(c)V c/. 39.L. Encontrar los gradientes de las siguientes funciones en un punto arbitrario en R 3. (a) fÁx, y, z ) = x 2+ y 2+ z 2; (b) / a( x ,y ,z ) = x 2- y z + z 2; (c) fÁx, y, z) = xyz. 39.M. Encontrar las derivadas direccionales de cada una de las funciones en 39.L en el punf) (0,1,2,) en la dirección hacía el punto (0,2,3). 39.N. Sea A £ R 2 y suponga que la función / : A - * R representa una superficie S¡ en R 3 explícitamente como su gráfica: $ = ((*> y, f(x, y)):(x, y ) e A}. Si f e s diferenciable en un punto interior (x«, y.) de A. entonces el plano tangente a S, en el punto (Xo, y* f(xo, y<>)) está dado por Iq gráfica de la aplicación afin A ^ ^ t R 1—*• R definida como A <«.„,(*, y) = /(x*, y0) + Df(xo, y0)(x - x., y - y0)- D em ostrar que el plano tangente a $ en este punto es {(x, y, z) e R 3: z = f(xo, y„) + D,/(x<* y„Kx - x,) + DJfxo, y.Xy - y»)}- 3 9 .0 . Encontrar los planos tangentes a las superficies en R 3 representadas como gráficas de las siguientes funciones de los puntos que se especifican. H acer un dibujo. (a) fÁx, y ) = x 2+ y 2 en (0 ,0 ) y en (1 ,2 ). (b) fÁx, y) = xy en (0 ,0 ) y en (1 ,2 ). (c) fÁx, y ) = (4 - (x2+ y2))1'2 en (0 ,0 ) y en (1 ,1 ). —> 39.P. Sea J c B un intervalo y suponga que g : J - * R 3 representa a una curva Q en R 3 paramétricamente: Q = {(g.(0. gi(t), g,(t)>: t € J}. Si g es diferenciable en un punto interior t« de y. entonces el espacio tangente a Q en el punto g(to) = (gi(to), g 2(t<>), g ](to ))eR 3 está dado param étricam ente por la aplicación afín A » : R - » R 3 definida por A»(t) = g(to)l- Dg(toKt - 1,). D em ostrar que el espacio tangente a C, en este punto es {(x, y, z ) e R 3: x = g,(to) + g;(to)(t - te), y = g2(to) + g'ÁUÁit - te), z = g,(t.) + gíítoK» - O}. Si no todos gí(to>, gí(to), g'ÁU) son cero, entonces este espacio tangente es una recta en R 3 y se le llama recta tangente. 39.Q. Encontrar ecuaciones param étricas para las rectas tangentes a las siguien- 392 Introducción al análisis matemático les curvas en R 1 en los puntos que se especifican: (a) g : t —►(x, y, z) = (t, » \ i*) en los puntos correspondientes a t = 0 y 1 = 1. (b) g : t - + ( x , y , 2 ) = ( t - l , t ’,2 ) en los puntos correspondientes a t = 0 y t = 1. (c) g : t -* (x, y, z) = (2 eos t, 2 sen t, t) en los puntos correspondientes a t = ir/2 y l = ir. 39.R. Sea A c R ’ y suponga que : A —►R ’ representa una superficie S»en R 3 paramétricamente: & = {(M*, t), h2(s, t), h ,(*, t) ) : (s, f) 6 A ). Si A es diferenciable en un punto interior (so, to) de A . entonces el espacio tangente a S, en el punto h(*o, t.) = (M*«, to). M*o, to), M ío, t . ) ) e R 5 está dado paramétricamente por la aplicación afin A ,.* * ,:* -* R 1 definida por Aobnifs, t) = h(*o, to) + Dh(s„, t„)(s - So, t - h). D em ostrar que el espacio tangente a S* en este punto es {(x, y, z ) e R ' : x = h ,(j0, CoJ + D .M s», t« )(s- j ,,) + D 2M so, to)(f-to), y = M ió , to)+ D.hjíSo, to)(s- s ,)+ D ,M So, t.)(t- to), 2 = hj(s„, to) + D,M*o, t»K* - So)+ D jM ío, to)(t - to)}. Si lo s v e c to re s (D ,M * o ,»«), D ,M *o,to), D ,h ,(s0,to)) y (D>h,(So, to), D j M * o, *o), D ,h,(so, lo)) en R 1 no son múltiplos entre ellos, entonces este espacio tangente es un plano en R J y recibe el nombre de plano tangente. 39.S. Encontrar ecuaciones param étricas para los planos tangentes a las siguien­ tes superficies en R s en los puntos que se especifican. (a) h :(*, t) •-» (x, y, 2 ) = (s, t, s* + r1)en los puntos correspondientes a ( s , t ) = (0, 0) y (1 ,1 ). (b) h :(j, t)*-» (x, y, 2 ) = (s + t, s —t, j ’ —t2) en los puntos correspondietes a ( * .r ) = (0 ,0 ) y (1 ,2 ). (c) h :(* ,t)> -» (x ,y , 2 ) = ( s c o s t ,s sen /. t) en los puntos correspondientes a (s, t ) = (1 ,0 ) y (2, ir/2). (d) h :(*, t)*-*(x, y, 2 ) = (eos s sen /. sen.r sen / J e n los puntos correspondientes a (j, t) = (0 ,0 ), (0, ir/2) y (ir/4, ir/4). *->39.T. Si A c R ' y / : a -* R es tal que las derivadas parciales D , f , . . . . D ,f exis­ ten y son acotadas en alguna vecindad de c e A , entonces/ es continua en c. ISugeren­ cia: usar el mismo argumento de la demostración del teorema 39.9.) >39.U. Defina a / e n una vecindad de un p u n to c e n e R ’ con valores en R. Suponga que D ,f existe y es continua en una vecindad de c y que D J existe en c. Demostrar que / e s diferenciable en c. 39.V. Sea A s R ' y suponga que f : A — R ' y g : A - » R r están dadas. Si F : A - * R ' x R = R ’ ' está definida como F (x) = (/(x ), g(x)) para x € A ,dem ostrar que F es diferenciable en un punto interior c e A si y sólo si/ y g son diferenciables en c. En este caso se tiene •J\ DF(cHu) = (D ffcXu), Dg(c'Xu)) para u e R '. Diferenciación en R ' 393 39.W. Sean A c R ' y B c R ' y suponga que G : A x B -* R r es di fe renda ble en un punto (a. A le n A x B . Se definen g , : A - + R 'y g i : B - + R' com o las “ aplicaciones parciales" en (a. b) dadas por g,(x) = G(x, b), g2(y) = G (a, y) para toda x e A , y e B . D em ostrar que g, y g2 son diferenciables en a y b, respectivamente, y que D g,(a)(u) = DG(a, b ) ( u , 0), D g2(b)(u) = D G (a , b)(0, o), para toda u e R *, v e R \ Más aún. se tiene DG(a, b)(u, v) = D g ,(a)(u ) + D g2(b)(o). (Algunas veces D g ,(a) e R ' ) y Dg2(b) e ¿£(jR’, R r) reciben el nombre de "d eri­ vadas parciales del blo ^ je" de G en (a, b) y se denotan por medio de D ,nG (a. b) y D i2»G(o. b).] Sección 40 La regla de la cadena y teoremas del valor medio Primero se demostrarán las relaciones algebraicas básicas relacionadas con la derivada. Estas propiedades, que son las mismas que para funciones de valor real de una variable, se usarán con frecuencia en lo sucesivo. 40.1. TEOREMA. Sea A c g ' y suponga que c es un punto interior de A. (a) S i f y g están definidas de A a R* y son diferenciables en c y si p e R , entonces la función h = a f + Pg es diferenciable en c y D h(c) = aD f(c) + pDg(c). (h) S i < p : A - * R y f: A —►R " son diferenciables en c. entonces la fu n ­ ción producto k = <pf:A->R" es diferenciable en c y Dk(c)(u) = {D«p(c)(u)}f(c) + (p(c){D/(c)(u)} para u e R p. DEMOSTRACION. (a) Si e > 0 , entonces existen 8 i( e ) > 0 y S2( e ) > 0 tales que si || x - c | | s inf {8,(e),82( e )}, entonces IIf M - m - D /(c)(x- c ) ||s e ||x - c||, llg(x) ~ g(C) ~ D g(c)(x - c)|| «S £ ||x ~ c||. De modo que si ||x —c ||< inf {8,( e ) ,8 i ( e )}, entonces ||h(x) - h(c) - {oD/(c)(x - c) + 0Dg(c)(x - c)}|| s (|a | + |0|)e ||x - c||. 394 Introducción al análisis matemático Dado que aDf(c) + (iDg(c) es una función lineal de R p a R \s e deduce que es diferenciable en c y que Dh(c) = aD /(c) + pDg(c). Ib) Mediante un cálculo sencillo se prueba que k(x) - k(c) - {D<p(c)(x - c)/(c) + 9 { c) D / ( c ) ( x - c)} = {<p(x>- <p(c) - D<p(c)(x - c)}/(x) + D<p(c)(x - c){f(x) - /( c ) } + <p(c){/(x)-/(c) - D/(c)(x - c)}. Dado que £>/?c) existe, del lema 39.5 se deduce que/ es continua en c; por lo tanto, existe una constante M tal que |lf(x)||<M para (|x —c() < S. De aquí se puede ver que todos los términos del lado derecho de la última ecuación se pueden hacer arbitrariamente pequeños escogiendo a |x —cl| lo suficiente­ mente pequeño. Esto prueba (b). q .e . d . El siguiente resultado, que es muy importante, asegura que la derivada de la composición de dos funciones diferenciables es la composición de sus de­ rivadas. 40.2 REGLA DE LA CADENA. Suponga que f tiene domini A c . R r y rango en R q, y suponga que g tiene dominio B c R * y rango en R r. Sea f diferenciable en c y sea g diferenciable en b = f(c). Entonces, la compo­ sición H = g ° f es diferenciable en c y (40.1) Dh(c)— Dg(b)°Df(c). Alternativamente se escribe (40.2) D (g °f)(c) = Dg(f(c))°Df(c). DEMOSTRACION. La hipótesis implica que c es un punto interior del dominio de h = g °f. (¿por qué?) Sea e > 0 y sean S (c,/) y 8(e, g)como en la definición 39.2. Del lema 39.5 se deduce que existen números estricta­ mente positivos y, K tales que si ||x —c|| < -y, entonces /( x ) e B y (40.3) • ||/ ( x ) - / ( c ) ||- K ||x - c ||. Para simplificar, se escribe L¡ = Df(c) y Li = Dg(b). Por el teorema 21.3 existe una constante M tal que (40.4) ||JL,(w)|| < M ||u|(, para u e R ’ . Si ||x - c || < inf { 7 , ( l/K ) 8(e, g)}, en to n ces (40.3) im plica que ||/(x) —f(c)|| < 8 (e, g), lo que significa que (40.5) ||g ( /( x )) - g (/(c ) )- L f( /( x )- /(c ) )t|< e |[ /( x ) - /( c ) ||á e K ||x - c ||. Diferenciación en R ' 395 Si además se pide que ||x —c ||< entonces por (40.4) se infiere que ||X ,{f(*)-/(c) - L f ( x - c)}|| < eM H* - c(J. Si se combina esta última relación con (40.5) se deduce que si *>j = {?»(1/íQ ¿>(e, g), S(e, /)} x e A y ||x - c|| s Si, entonces l|g (/(x ))-g (/(c ))- L ,(L ,(x - c))j| £ e(K + M) |jx —c||, lo cual significa que lis° f M - g ° f { c ) - L t °Lf( x - c)|| < e(K + M) ||x - c |. Se concluye que D h(c) = L,oJL,. q .e .d . Siguiendo con la notación de la demostración del teorema, L¡ = D f(c) una función lineal de R p a R* y L* = Dg(f>) es una función lineal de R q en R r. La composición LgOjL* es una función lineal de R p a R r, como se pide, ya que h —g ° f es una función definida en una parte de R 1’ con valores en R r. Se verán ahora algunos ejemplos de este resultado. 40.3 EJEMPLOS, (a) Sea p = q = r = 1; entonces la derivada Df[c) es una función lineal que manda al número real u hacia /'(c)u,y análogamente para Dgfb). Se infiere que la derivada de g ° f manda al número real u hacia g W (C )H . (b) Sea p > l , q = r= l . De acuerdo con el ejemplo 39.8(r), la derivada d e / e n c manda al punto w = (w i,. . . , wp)de R p hacia el número real D ,/(c)w , + - ■- + Dpf(c)wp y entonces la derivada de g ° f en c manda a este punto de R p hacia el número real g'(b)[D i/(c)w , + • • • + Dp/(c)wp]. (c) Sea q > 1, p = r ~ 1. De acuerdo con los ejemplos 39.8(6),el punto(r) la derivada Dfícl manda al número real u hacia el punto D /(c)(u) = u f(c) = ( /;( c ) u ,...,/;( c ) u ) en R", y la derivada Dg(b) manda al punto w = (w i,. . . , w,) en R ’ hacia el número real Dig(b)wt + • • - + Dqg(b)wq. Se infiere que la derivada de h = g °f lleva al número real u hacia el númdro real Dh(c)u = {D,g(b)/;(c) + ■• • + D,g(b)/;(c)}u = u{Dg(b)(/'(c))}. La cantidad entre corchetes, que es h'(c) = (g°f)'(c) algunas veces se denota de ma­ nera menos precisa mediante la notación 396 Introducción al análisis matemático +ÍS.4& dyt dx dy, dx En este sentido, ha de quedar claro que las derivadas se deben calcular en puntos apro­ piados. (d) Se considera el caso en que p = q = 2 y r = 3. Para simplificar la n ción, las coordenadas variables en K p se designarán como (x. y), en R" como (x, z) y en IT como (rj,t). Entonces una función/de R p a R " se puede expre­ sar en la forma w = W(x, y), z = Z(x, y) y una función g de R" a R r se puede expresar en la forma r = R(w, z), s = S(w, z), t = T(w, z). La derivada DJÍc) manda a (£, *j) hacia (o», £) de acuerdo con las fórmulas <o = W,(c)£ + W,(c) t,, (40.6) C —Z,(c)£ + Zy(c)-q. Aquí se escribe W , para denotar D tW = DZW, etcétera. Asimismo, la deri­ vada Dg(b) manda a («, £) hacia (p, cr, t) de acuerdo con las relaciones p = Rw(b)(ú + R,(b)¿¡, (40.7) cr = Sw(b)a> + Si(b)£, r = T*(b)o> + T1(b)£. Un calculo de rutina prueba que la derivada d e g ° / manda a (£ , tj) hacia (p, a, t) por medio de p = {Rw(b)WJ,(c) + RI(b)Z,(c)}í+{Rw(f>)Wy(c) + R l (b)Z,(c)}71> (40.8) <r = {S„(b) W,(c) + S,(b)Z.(c)}£ + {S*(b) W,(c) + S, (b)Z,(c )}tj, t = {Tw(b)W,(c) + Tj(b)Zi(c)}É + (Tw(b) W,(c) + Tj(b)Z, (c)}tj. Una notación más clásica consistiría en escribir dx, dy en vez de £, t j ; dw, dz en vez de &>, {; y dr, ds, dt en vez de p , cr, t . Si se designan los valores de la derivada par­ cial W, en el punto c por medio de dw/dx, etcétera, entonces (40.6) se transforma en análogamente, (40.7) se transforma en Diferenciación en R ' 397 y (40.8) se escribe en la forma •t En estos tres últimos conjuntos de fórmulas es importante darse cuenta de que todas las derivadas parciales indicadas se deben evaluar en puntos apropiados. Por lo tanto, los coeficientes de dx, dy, etcétera son números reales. La ecuación (40.6) se puede expresar en términos de una matriz afir­ mando que la aplicación D /(c) de (£, tj) en (o>, £) está dada por la matriz de 2x2 (40.9) Análogamente, (40.7) asegura que la aplicación Dg(b) de (<a, £) en (p, cr, t ) está dada por la matriz de 3 x 2 (40.10) Por último, la relación (40.8) asegura que la aplicación D (g°f)(c) de (£, tj) en (p, a, t ) está dada por la matriz de 3 x 2 Rw(b)Wx(c) + Rr(b)Z,( c) R„(b) W,(c) + R z(b)Z,(c)~ S .(b)W ,(c)+ S.(b)Z ,(c) S,(b)W ,(c) + St (b)Z,(c) _T.,(b)Wx(c) + Tt(b)ZI(c) T ^rtW ^cj + T ^ b ^ í c ) _ que es el producto de la matriz en (40.10) con la matriz en (40.9) en ese orden. 398 Introducción al análisis matemático Teorema del valor medio Se pasará ahora al problema de la obtención de una generalización del teorema del valor medio 27.6 para funciones diferenciables de R r a R \ Se verá que el análogo directo del teorema 27.6 no es válido cuando q > l.Se po­ dría esperar que si/ es diferenciable en todo punto de R r con valores en R \ y si a. b pertenecen a i ' , entonces existe un punto c (entre a y b) tal que (40.11) (40.11) f (b ) —f(a) = Df(c)(b —a). Esta conclusión no es válida aun cuando p = 1 y q = 2 como se puede ver con la función / definida de R a R 2 por medio de la fórmula /(x) = ( x - x , , x - x s). Aqui Dflc) es la función lineal de R a R 2 que manda al número real u al ele­ mento £>/( c ) ( u ) = ( ( 1 - 2 c ) u, ( 1 - 3 c 2) u ). Ahora bien, /(O) = (0,0) y /( l) = (0,0), pero no existe ningún punto c tal que D /(c)(u) = (0,0) para cualquier u distinta de cero en R. Por lo tanto, la fórmula (40.11) no puede ser válida en general cuando q > l , aún cuando p = 1. Sin embargo, para muchas aplicaciones basta considerar el caso en que q = 1 y entonces es fácil extender el teorema del valor medio. 40.4 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Sea f u ñ a función definid en un suheonjunto abierto Í1 de R" y con valores en R. Suponga que el con­ junto Í1 contiene a los puntos a.b y al segmento de línea que los une y que f e s diferenciable en todos las puntos de este segmento. Entonces existe un punto c en S tal que (40.11) f ( b ) - f ( a ) = Df(c)(b —a). DEMOSTRACION. Suponga que <p : R —>R" está definida por me­ dio de <p(r) = (l - t)a + tb = a + t ( b - a ) , de tal manera que <p(0) = a, <p(l) = b, y < p (r)eS £ Í1 para t € [ 0 , 1]. Dado que Í1 es abierto y <p es continua, existe un número -y > 0 tal que <p aplica al intervalo (—y, l+-y) en íl. Ahora, sea F : ( - y , 1 + y ) - * R definida como F(t) = f ° <p(t) —f((l —t)a + tb). Por la regla de la cadena véase 40.3(c) y 40.P se deduce que F ' ( t ) = D f ( ( l - t ) a + tb)(<p'(t)) = D/(( 1 —t)a + tb)(b —c) Diferenciación en * ' 399 Si se aplica el teorema del valor medio 27.6 a F se deduce que existe t0e (0,1) tal que F ( l) - F ( 0 ) = F(to). Si c = <p(to)eS, se obtiene f(b)-f(a) = F(l)-F(0) = F’(t0) = D f ( c ) ( b -a ) . Q-E.D. Aun cuando la extensión más natural del teorema del valor medio no es válida cuando el espacio del rango es R ", q > 1, hay algunas extensiones que son accesibles. Una de las más útiles se basa en una desigualdad y no en una i- gualdad 40.5 TEOREMA DEL VALOR MEDIO. Sea f l c R ' un conjunto abierto y sea R \ Suponga que O contiene a los puntos o, A y al seg­ mento de linea S que une a estos puntos y q u e /e s diferenciable en todo punto de 5. Entonces existe un punto c en S tal que (40.12) ||/(b) ~ /(a )|| ^ P /( c ) ( b - «)||. DEMOSTRACION. Si y0 = /( b ) - / ( a ) e s e l vector cero en enton­ ces el resultado es trivial. Si y0 ^ O.sea yi = yo/]|y<>||, use el producto interno en R ' para definir H : S l - > R como Fí ( x ) = /( jc) • yi p a r a x e íl. Es evidente que se tiene H (6 )- H (a ) = {/ (b )- / (a )}y ,= ||f(i» )- / (a )|| y fácilmente se puede ver (cf. ejercicio 40.H) que DH(x)(u) = {Df(x)(u)} • y, para x e S, u e R p. Del teorema del valor medio 40.4 se deduce que hay un punto c en S tal que H(b) —H(a) = D H (c ) (b - a ) = { D /( c ) ( b - a ) } y „ Usando la desigualdad de Schwarz y el hecho de que ||yi|| = 1, se tiene IfW ■-/(«)> = {Df(c)(b - a)} • y, < IIDf(c)(b - a)#, que es el resultado que se quería. q .e .d . Dado que por lo general no se sabe el valor exacto del punto c a menudo se aplica el teorema usando ei siguiente resultado, en cuya afirmación se usa el concepto de la norma de una aplicación lineal L de R ” a R q que se intro­ 400 Introducción al análisis matemático dujo en el ejercicio 2I.L. Sólo es necesario aclarar que ||L (u)||< M ||u|| para toda u e R ”, si y sólo si la norma ||L||„ M. 40.6 COROLARIO. Suponga que se cumplen las hipótesis del teo rema 40.5 y que existe M > 0 tal que ||¿>/(x)|U, < M para toda x e S . Enton­ ces se tiene . , ||/(f> )-/(a )||< M ||b -a ||. ’ DEMOSTRACION. Dado que ||D /(c)(b-a)\\ s ||D/(c)||„ \\b~a\\, y como c e S , se tiene y como \ m - /(a)|| - ||D/(c)(b - a)|| < ||D/(c)|U ||i>- a\\ < M \\b - a||. O.E.D. Intercambio del orden de diferenciación S i/e s una función con dominio en R p y rango en R. entonces/ puede te­ ner /?(primeras) derivadas parciales, las que se designan por medio de D¡f ó i— 1,2,—, p. Cada una de las derivadas parciales es una función con dominio en R v y rango en R de modo que cada una de estas p funciones puede tener p deriva­ das parciales. Siguiendo la notación americana aceptada, se hará referencia a las p2 funciones (o a aquellas que existan) como las segundas derivadas par­ ciales d e / y se designarán de la siguiente manera i ..i d2f IV ó i,j = í , 2 , . . . , p . Se debe observar que la derivada parcial representada por cualquiera de estos últimos símbolos es la derivada parcial con respecto a Xi de la derivada par­ cial d e /c o n respecto a Xi. (En otras palabras, primero y después x¡). De manera análoga se puede analizar la existencia de las terceras deri­ vadas parciales y de aquellas de mayor orden. En principio, una función de R p a R puede tener tantas como p" n-ésimas derivadas parciales. Sin em­ bargo. es muy conveniente que si las derivadas que resultan son continuas en­ tonces el orden de diferenciación no es significativo. Además de que hace que disminuya el número de de derivadas parciales de orden alto (potencialmente distintas), este resultado elimina en gran parte el peligro de la distinción de notación un tanto sutil que se emplea para distintos órdenes de diferencia­ ción. ' Diferenciación en K' 401 Basta con tomar en cuenta el intercambio de orden para segundas deri­ vadas. Manteniendo a todas las otras coordenadas constantes, se puede ver que no se pierde generalidad al considerar una función de R 2a R. Con el ob­ jeto de simplificar la notación se denota por medio de (x. y ) un punto en R 2 y se habrá de probar que si existen D„/, Dyf, y si D ,,/ es continua en un punto, entonces la derivada parcial D-^f existe en este punto y es igual a En el ejercicio 40.U se verá que es posible que tanto D ,,/ como D ,,f existan en un punto y sin embargo no sean iguales. El camino que se usará en esta demostración es el de probar que estas dos derivadas parciales mixtas en el punto (0,0) son el limite del cociente / ( h ,k ) - / ( h ,0 ) - / ( 0 ,k ) + /(0,0) hk conforme (h. k) se aproxima a (0,0). 40.7 LEMA. Suponga que f está definida en una vecindad U del ori­ gen en R 2con valores en R, que las derivadas parciales Dxf y D „ /existen en U r que Dy.f es continua en (0.0). Si A es la diferencia compuesta (40.13) A(h, k) = f(h, k ) - f ( h , 0 ) - /( 0 , k ) + / ( 0 ,0), entonces se tiene A (h, k) ' lim D „ /(0 ,0 ) = (K.k)-—(O.O) hk ‘ DEMOSTRACION. Sean e > 0 y S > 0 tan pequeños que si |h |< 8 y |k |< 8 , entonces el punto (h. k) pertenece a U y (40.14) |D „/(h, k) - Dy,f(0,0)| < e. Si |k| < S, se define B para |h j< 8 por medio de B(h) = f ( h , k ) - f ( h , 0 ) , de donde se infiere que A (h ,k ) = B (h )-B (0 ). Por hipótesis, la derivada parcial D,f existe en U y por lo tanto B tiene una derivada. Aplicando el teo­ rema del valor medio 27.6 a B existe un número h0 con 0 < |h o |< |h | tal que (40.15) A (h ,k ) = B (h )-B (0 )= h B '(h o ). (Se observa que el valor de ho depende del valor de k. pero esto no ocasionará ningún problema.) Haciendo referencia a la definición de B se tiene B'(ho) = D.f (he, k) - Dxf ( K , 0). Aplicando el teorema del valor medio al lado derecho de la última ecuación existe un número k0 con 0 < |ko| < |k| tal que 402 Introducción al análisis matemático (40.16) B'(ho) = k{Dyxf(ho,k0)}. Combinando las ecuaciones (40.15) y (40.16) se concluye que si 0 < |h |< 8 y 0 < |k |< 8 , entonces ^ ~ ^ = D yKf(h0, k 0), en donde 0 < |h o|< |h |, 0 < |k o|< |k |. Se sigue de la desigualdad (40.14) y la expresión anterior que ^ ^ - D yx/(0,0) < e siempre que 0 < |h |< 8 y 0 < |k |< 8 . q .e .d . Se puede obtener ahora una condición útil (debida a H.A. Schwarz) para la igualdad de las parciales mixtas. 40.8 TEOREMA. Suponga que f está definida en una vecindad U de un punto (x. y) en R 2 con valores en R. Suponga que las derivadas parciales Dxf, Dyf, y Dyxf existen en V y que Dxyf es continua en (x. y). Entonces Ia deri­ vada parcial Dyxf existe en Dx,/(x, y) = Dyx/(x, y). DEMOSTRACION. Sin perder generalidad se puede suponer que (x, y) = (0,0) y es lo que se hará. Si A es la función definida en el lema ante­ rior, entonces se vio que (40.17) D ,./(0,0) = J ¡ % j ^ > , siendo la existencia de este límite parte de la conclusión. Por hipótesis Dyf existe en U. de manera que (40.18) lim ¿ { D y/(h, 0 ) - D ,/(0,0)}, h*0. Si e > 0 , existe un número 8 (e )> 0 tal que si 0 < |h |< 8 ( e ) y 0 < |k |< 8 ( e ) , entonces ^ M - D „ / ( 0,0) < e. Tomando el límite en esta desigualdad con respecto a A: y usando (40.18), se obtiene i {Dyf(h, 0) - Dy/ ( 0 ,0)} - Oyx/ ( 0 ,0) e, para toda h que satisfaga 0 < ¡h |< 8 ( e ). Por lo tanto, Dxy/(0 ,0 ) existe y es igual a Dyxf ( 0 , 0) ‘ 1 ' o .e .d . Diferenciación en R ' 403 Derivadas de orden superior S i/e s una función con dominio en R p y rango en R, entonces la derivada DJh ) d e / e n c es la función lineal de R p a R tal que ll/(c + z )-/(c )-D /(c )(z )||< £ Hz||, para : suficientemente pequeña. Esto significa que DflcI es la función lineal que más se aproxima a la diferencia /(c + z ) - / ( c ) cuando z es pequeña. Cualquier otra función lineal llegaría a una aproximación menos exacta para r pequeña. A partir de esta propiedad descriptiva se puede ver que si Dflc) existe, entonces necesariamente está dada por la fórmula Df(c)(z) = D,f(c)z, + • • ■+ Dpf(c)Zp, en donde z = (z i,. . . ,z p) en R p. A pesar de que las aproximaciones lineales son en particular sencillas y son lo suficientemente exactas para mdchos propósitos, algunas veces es de­ seable obtener un mayor grado de aproximación usando funciones lineales. En tales casos resulta natural dirigirse a funciones cuadráticas, funciones cúbicas, etcétera, para efectuar aproximaciones más precisas. Dado que las funciones que aquí se tratan tienen sus dominios en R p, sería necesario el es­ tudio de funciones multilineales de R p a R para un análisis cabal de dichas funciones. Aun cuando dicho estudio no es particularmente difícil, significa­ ría salirse mucho del tema dadas las aplicaciones limitadas que se tienen en mente. Por este motivo, se definirá la segunda derivada D / ( c ) d e /e n c como la función de R px R p a R tal que si iv, z) pertenece a este producto y y = (y„ .. -, yp) y z = (z,........ z„), entonces D 2f(c )(y,z)= ¿ D„f(c)ya¡. i.j-1 Al estudiar la segunda derivada se habrá de suponer en lo subsiguiente que las segundas derivadas parciales de / existen y son continuas en una vecindad de <■. De manera análoga se define la tercera derivada D J/( c ) d e /e n c como la función de ly.z.w) en R p x R p x R 1’ dada por D 3f(c)(y, z, w) = ¿ Dkfi/(c)yiZjWj,. i. k- I Al analizar la tercera derivada se habrá de suponer que todas las terceras de­ rivadas parciales d e /e x iste n y son continuas en una vecindad de c. Hasta aquí, el método de formación de las derivadas de orden superior ya debe estar claro. (Dadas las observaciones anteriores con respecto al inter- c; mbio de orden en la diferenciación, si las derivadas parciales mixtas que re­ sultan son continuas, entonces son independientes del orden de diferencia­ ción.) 404 Introducción al análisis matemático Otra notación: se escribe D 2/(c)(w )2 para D 2f(c)(w, w), D 3f(c)(w)3 para D 3f( c)(w, w, w), D"/(c)(w)" para D"/(c)(w, w ,. . . , w). Si p = 2 y si sedesigna a un elemento de R 2 como (x, y) y w = (h, k), entonces D xf(c)(wy es igual a la expresión D „ /(c )h 2+ 2D*,/(c)hk + D „ /(c )k 2; en forma análoga D 3/(c)(w )3 es igual a Dm f(c)h3+ 3 D ^ f ( c ) h 2k + 3Dtyyf(c)hk* + Dm /( c ) k \ y D*/(c)(w)“ es igual a la expresión. D,...,/(c)h" + (")Dv ...,/(c)h-,k + .^/(cíh-^k2 i + • • • + D,...,/(c)k". Una vez introducida esta notación se habrá de probar una generalización importante del teorema de Taylor para funciones de R ' a R. 4^.9 TEOREMA DE TAYLOR. Suponga que f e s una función con dominio abierto íl en R r y rango en R y suponga que f tiene derivadas par­ ciales continuas de orden n en una vecindad de todo punto en un segmento de línea S que una a dos puntos a, b —a + u en íl. Entonces existe un punto c en S tal que f(a + u) = f i a ) + Dfia)iu) + ^ D 2/(a )(u )2 + " • + ( ^ r í j j D " '7 ( a ) ( « r ‘ + ¿ D 7 ( c ) ( u ) “. ‘f DEMOSTRACION. Suponga que F esta definida para / de / a R por medio de Fit) = fia + tu). Por el supuesto de que existen las derivadas parciales de / s e sigue que F ' i t ) - D f i a + tu)iu), F”it) = D 3fia + tu)iu)2, F ‘">(|) = D"/(o + tu)(u)“. Diferenciación en R ' 405 Si se ap lica la versión u n id im en sio n al del te o re m a d e T a y lo r 28.6 a la función F en / , se infiere q u e ex iste un n ú m e ro real to en / ta l q u e F(1) = F(0)+^F(P) + -' •+ S i se fija c = a + u¡u, el re su lta d o se d ed u c e Q-E-d . Ejercicios 40.A. Si /(x , y) = x 2+ y 2 y g(») = (3t + l , 2 t - 3 ) , sea F (t) = /°g (« ). Calcular F*(t) directam ente y usando la regla de la cadena. 4 0.B. Si /(x, y) = xy y g(s, t) = (2* + 3t, 4s + 1), sea F(s, l) = /° g (s , »). Evaluar D i F y D aF directam ente y usando la regla de la cadena. 40.C. Si f(x, y, z) = xyz y g(s, t) = (3s + s»,s, 0 , sea F (s,t)= f°g (s,t)- Evaluar D i F y D 2F directam ente y usando la regla de la cadena. 4 0 .D. Si / ( x ,y ,z ) = xy + yz + zx y g(s, t) = (cos s, sens eos l,sen i), sea < )= /° g (s, I). Evaluar D ,F y D aF directam ente usando la regla de la cadena. —;> 40. E. Si se hacen rotar los ejes de coordenadas en el plano con un ángulo 8, enton­ ces las nuevas coordenadas u. v del punto están relacionadas a las coordenadas origi­ nales x, y de la siguiente manera x = u eos 8 —1>sen 8, y = u sen 0 + o eos 0. Sea f:R*-*R diferenciable en R1 y sea F (u, v)« /(x, y) para toda x. y. D em ostrar que - [D ,F (u , c jJ '+ tD jF f u , u)]J - [D ,/(x, y)]2+ t W ( * . y)P- — > 40.F. Sea f : R 1- * R diferenciable en R \ suponga que g :(0 , + ® ) x * -* R está definida com ogfr, 0) = (r eos 0, rsen 8 ),y sea F = /<> g. C a lcu larD ,F y D ,F y dem ostrar que [D ,F (r, 0)]J+ i [D jF (r, 0)]’ = [ D J (r eos 0, r sen 0)]2 + [D i/(r eos 8, r sen 8)P- 40.G. Sea f : R - * R diferenciable en R. (a) Si F(x, y) = /(xy), entonces xD,F(x, y) = yDaF(x, y) para todo (x, y). (b) Si F(x, y) = /(ax + by) en donde a, be R, entonces bD,F(x, y) = aD,F(x, y) para lodo (x, y). (c) SiF(x, y) = /(x 1+ y I), entonces yD,F(x, y) = xDaF(x, y) para todo (x, y). (d) Si F(x, y) = /(xJ—yÓ, entonces yD,F(x. y) + xDaF(x, y) = 0 para todo (x, y). 40.H. Sea A c R 'y s e a r u n punto interior de A. Suponga que/, g están defini­ das de A a R ' y son diferenciables en c. Si h : A —»R está definida como h(x) = f(x) • g(x) para toda x e A, demostrar que h es diferenciable en c y que si u e R', entonces 406 Introducción al análisis matemático Dh(c)(«i) = (D /(c)(u)) • g(c) + f(c) -(D g (c)(u )). 40.1. Expresar el resultado del ejercicio 40.H en términos de las funciones coorde­ nadas. 40.J. Sea A c R y sea c un punto interior de A . Suponga que / : A —* R 'e s dife- renciable en c y es tal que |[/(x)|| = 1 para x € A. Demostrar que /(c ) • V,/ = 0, en donde Vef designa el gradiente d e /e n c (véase el ejercicio 39.J). Hacer una interpreta­ ción geométrica de esta conclusión. 40.K. Sea f : R ' - * R (absolutamente) homogénea de grado k en el sentido de que f(tx) = tkf(x) para x e R ', t > 0. tal Si f es diferenciable en R ', dem ostrar que satisface la relación de E u le rt: kf(x) = x ,D ,/(x ) + • • • + x^>,/(x) para toda x = { x „ . . . , x,) en R ' con x * 0. Ihi Inversamente se a / tal que satisface la relación de Euler y s c a c e R ', c ? 0. Sea g(») = f(tc) para t > 0 dem ostrar que tg'(t) = kg(t) para t > 0 . Usar esto para de­ m ostrar que / es homogénea de grado k. - •> 40.L. Sea A c R ' , / : A - » R ', y suponga que la función g : / ( A ) - » R ' es inversa de / e n el sentido de que /° g ( x ) = x, g ° /(y ) = y para toda x € A y y e / ( A ) . S i / e s diferenciable en un punto a e A y si g es diferencia- ble en b = f(a), dem ostrar que las funciones lineales Ojia) y Dgtb) son inversas entre si. es decir D /(a )°D g (b ) y Dg(b)°Df(a) son la identidad en R '. —1y fO.M. Sea B : R ’ x R ' = R 2" —» R ’ bilineal en el sentido de que B(ax + bx', y) = aB(x, y) + bB(x’f y), B(x, ay + by') = aB(x, y)+ bB(x, y') para todas a, b e R y todas x ,x ', y, y ' en R '. Se puede dem ostrar que existe M > 0 tal que ||B(x, y)|| s M ||x|| |¡y| para todas x. y en R '. Suponiendo esto, dem ostrar que B es diferenciable en todo punto (x, y ) e R ' x R ’ <* R 2' y que DB(x, y)(u, o) = B(x, v ) + B (u, y) para todo tu. vi en R ' XR ' = R 1'. 40.N. Sea B : R ’ x R ' - * R ’ bilineal en el mismo sentido del ejercicio anterior y g(x) = B (x ,x )p a ra toda x e R p. Demostrar que si x, u 6 R p, entonces (0 g(t*) = «2g(x) para toda t e R ; (ü) D g(x)(u) = B(x, u) + B (u, x) = D g(u)(x); (iii) g(x + u) = g(x) + D g(x)(u) + g(u). Más aún, si B es simétrica en el sentido de que B(x, y) = B (y, x), entonces t LEON ARO EULER (1707-1783), originario de Basel, estudió con Johann Bernoulli. Residió muchos años en la corte en San Petersburgo, pero su estancia fue interrumpida por veinticinco años en Berlín. No obstante el hecho de haber sido padre de trece hijos y de haber perdido la vista totalmente, fue capa/ de escribir más de ochocientos trabajos y libros y de hacer aportaciones fundamentales a todas las ramas de las matemáticas. Diferenciación en R ’ 407 (¡v) D g(x)(u) = 2 B (x ,u ). 4 0 .0 . Dar una demostración del ejercicio 40.H usando 40.M. 40.P. Sea f t c R ’ abierto y sea f : í l —* R*‘ diferencia ble en ft. Suponga que I = (a,b) es un intervalo abierto en R y sea g : I —►R ’ diferenciable en / y tal que g ( J ) £ f l. Si h = / ° g : / —►R ' dem ostrar que h '(c) = D f(g(c))(g'(c)). - > 4 0 . 0 - Sea f t c R ' abierto y sea R \ Suponga q u e f t contiene a los puntos o. ó y al segmento de línea S que une a estos puntos y que es diferenciable en todo punto de S. Demostrar que existe una aplicación lineal L : R r —►R* tal que f(b )-f(a ) = L (b -a ). — > 4 0 .R. Sea f t c R ' un conjunto conexo abierto y sea / : f t - » R * diferenciable en ft. Si D /(x ) = 0 para toda x e fl, dem ostrar que /(x ) = /(y ) para toda x, y e ft. De­ m ostrar que esta conclusión puede no ser válida si f t no es conexo. 40.S. Sea J c R ' una celda abierta y suponga que f : J ~ * R e s diferenciable en J. D emostrar que si la derivada parcial D ,/(x ) = 0 para toda x e J, entonces/ no de­ pende de la primera variable en el sentido de que /(X „ Xi, . . . , x ,) = /( x I , x 2, . . . . x, ) para cualesquiera dos puntos en J cuyas segunda...../>-ésima coordenadas sean la misma. 40.T. D emostrar que la conclusión del ejercicio anterior puede no ser válida si no se supone que J es una celda. 4Ü.U. Suponga que f : R 2- * R está definida como /(x, y)=»Xy^ ~ ? ~ p a ra (x, y) * ( 0 ,0 ) , =0 p a ra (x, y) = (0 ,0 ). Demostrar que las segundas derivadas parciales D „ / y D , J existen en (0,0) pero no son iguales.. 40.V. Usar el teorema del valor medio para determ inar aproxim adam ente la dis­ tancia del punto (3.2,4.1) al origen. Dar cotas de error para la estima, 40.W. Sea f t c R ' abierto y sea / : f t - » R \ Supóngase que f t contiene a los puntos a. b, al segmento de línea .9 que los une y q u e /tie n e derivadas parciales conti­ nuas en .9. Demostrar que f ( b ) - f ( a ) = | ’ D f ( a + t(b - a))(b - a ) dt. 40.X. Supóngase que /, g :R~*R tienen segundas derivadas continuas en R. (a) Si c e R y u(x, y) = /(x + cy) + g(x —cy), dem ostrar que u . R 1-* R satisface la “ ecuación de onda" c , D „u(x, y) = D „u(y, y) para todo f.v. y). ( b) Si o (x ,y ) = /(3 x + 2 y ) + g ( x - 2 y ),d e m o s tr a r que u : R J - * R satisface la ecuación /\ 408 Introducción al análisis matemático 4D„t>(x, y ) - 4 D „ ü( x, y ) - 3 D n »(x, y) = O para todo (x. y). 40.Y. Si f : R * - * R tiene segundas derivadas parciales continuas y si F (r, 0) = f(r eos 0, r sen 0) para r > 0 , O e R , dem ostrar que £>„/(x, y) + D „/(x , y) = D,F(r, 8) + y D,F(r, 0) + p D ^F (r, 6) = y D,(rDrF(r, 6)) + ^ D ^F (r, 0), en donde x = r eos 0, y = r sen 0. Proyecto 4 0 .a. (Este proyecto es una modificación del clásico método de Newton para la ubicación de ráices cuando se conoce una aproximación suficientemente cercana.) Su­ ponga q u e/ está definida y es continua en un conjunto abierto que contiene a la bola cerrada B,(i ,)={ j e R ' :||x - * o|| s t ) con valores en R \ Suponga q u e /e s diferencia- ble en todo punto de B,(xo) y que existe un número C. con 0 < C < 1, y una aplicación lineal inyectiva r t R ’ - » R 't a l que ||r ° / ( x « ) ||s ( l - C ) r y tal que ||/ - r « D f ( x ) L £ C p a ra x € B,(x.). (a) S ea g : B,(xo) -* R” la función d efin id a p o r g(x) = x - r « / ( x ) para x e B,(x<,). Demostrar que g es diferenciable en todo punto de B,(x0) y que g es una contracción con constante C < 1 (véase 23.4) en B,(xo). ( b ) D e fin a x, = g(x0) y x.., = g(x.) p a r a neN. D e m o s tra r q u e (jx.^., —x«|| s C" ||x, —Xo)|, de donde se infiere que ||x«»,-x_H ^ C“r para n s r m s O . Por lo tanto, ||x t—Xo||<r para Je = 0 , 1 , 2 , ----- (el Demostrar que (x*) es una sucesión de Cauchy y por lo tanto converge a un elemento x e B ,( x ,) f que es tal que g(x) = x. Más aún, se tiene la estima U xk-x||«; C*r. (di Demostrar que f ( i ) - 0 y x es el único elemento en B,(x0) en donde/ desapa­ rece Sección 41 Teoremas sobre transforma­ ciones y funciones implícitas Sea Í1 un conjunto abierto en J tr y sea f una función con dominio í l y rango en R " ;a reserva de que se especifique lo contrario, no se supondrá que p = q. Se probará que, con supuestos que se establecerán, el “ carácter local” de la transformación / en un punto c e í l está indicado por la transformación lineal Dflc). De manera un poco más precisa: (i) si p ^ q y DJfcl es inyectiva (= uno a uno), entonces/ es inyectiva en vecindades pequeñas de c; Diferenciación en R ' 409 (ii) si p > q y D f c ) es suprayectiva (= aplica a R p sobre R ’), entonces la imagen bajo / d e una vecindad pequeña de c es una vecindad de f e ) y (iii) si p = q y D f c ) es biyectiva (= uno a uno y sobre = invertible), en­ tonces /a p lic a una vecindad U de c en una forma uno a uno sobre una vecin­ dad V de f e ) . En el caso (iii) hay una función definida en V que es inversa a la restricción d e / a U. Como una consecuencia de estos teoremas sobre transformaciones, se obtendrá el teorema de la función implícita que es uno de los teoremas funda­ mentales en análisis y geometría. También se ofrecerá un útil teorema de pa- rametrización y el importante teorema del rango. La clase C*(fi) Tan sólo la existencia de la derivada no es suficiente para los propósitos que aquí se tienen, también es necesaria la continuidad de la derivada. Re­ cuerde que si f : í l —* R qes diferenciable en todo punto d e f t c R v, entonces la función x *-»D/(x)es una aplicación de ft hacia la colección ¿¿(R ^R ") de todas las transformaciones lineales de R p a R q. En la sección 21 se hizo la ob­ servación de que este conjunto ¿£(RP, R q) es un espacio vectorial y en el ejer­ cicio 2I.L, que este espacio es un espacio normado según la norma. (41.1) HL(U = sup {||L(x)||:x e R p, |x |< 1}. ' 41.1 DEFINICION. Si ft es abierto en R p y / : í l —►R \ se dice q u e / pertenece a la clase C ’(n ) si la derivada Df x) existe para toda x e f t y la transformación x •-» D /(x) de í l en ¿£(RP, R q) es continua bajo la norma (41.1) Recuerde del ejemplo 39.8(</), que para cada x e í l , la derivada D f x ) se puede representar por medio de la matriz jacobiana de q Xp[Dif¡(x)].Por lo que D /( x )- D /(y ) se representa por la matriz d e q x p [D M x)-D M y)l Ahora, de la desigualdad (21.5) se sigue que ||D /(x )-D /(y )|L ^ [ í t |Di/ 1( x ) - D / ( y ) |2}1'2 De donde la continuidad de cada una de las derivadas parciales DJ, en Í1 implica la continuidad dex>-> Df(x). Se le deja al lector demostrar que lo in­ verso también es válido. Por lo tanto, se tiene el siguiente resultado. 41.2 TEOREMA. Si ( l ^ R ’ es abierto y f :SI-* R* es diferenciable en todo punto de fi, entonces f pertenece a la clase si y sólo si las deri­ vadas parciales D¡f¡, i = 1 , . . . , q, j = 1 , . . . , p, de f son continuas en 11. El siguiente lema que es una vanante del teorema del valor medio será necesario. 410 Introducción al análisis matemático 41.3 LEMA. S e a í l s R " un conjunto abierto y sea f : í l - * R q diferen- ciahle en SI. Suponga que SI contiene a los puntos a. b r al segmento de linea S que une a estos puntos y sea x0 e íl. Entonces se tiene \\f(b)-f(a) - Df(x0)(b - a)|| < \\b - a|| sup {||D/(x) - D /(x0)|U}- SC S DEMOSTRACION. Defina g :Sl—* R q para x e í l como 8(jt) = /( x ) - D /( x 0)(x). Dado que D/(x0) es lineal, se sigue que Dg(x) = Df(x) - Df(x0) para x e SI. Si se aplica el teorema del valor medio 40.5, se infiere que existe un punto c e S tal que ||/(b) - / ( a ) - Df(x0)(b - a)|| = ||g(b) - g(a)|| ^ IlDg(c)(b - a)|| = ||(D/(c) - Df(x0))(b - a)|| < ||b —a|| sup{||D /(x)- D/(x„)||„}. Q . e .d . x<$ El siguiente resultado es el lema clave para los teoremas sobre transfor­ maciones. 41.4 LEMA DE APROXIMACION. Sea SI c R r abierto y suponga que / : í l —►JR’ pertenece a la clase C '(ft). S i x0e í l y e > 0 , entonces existe 8 (e )> 0 tal que si ||x* —Xo||s 8(e), k = 1, 2, entonces x* e í l (41.2) II/(xi) - / ( x2) - D / ( x0)(x1- x2)||< e ||x, —x2||. DEMOSTRACION. Dado que x*-*Df(x) es continua de í l a iP(R p, R q), entonces dada e > 0 existe 8 (e )> 0 tal que si ||x - x 0||< 8 (e ) en­ tonces x e í l y ||D /(x )-D /(x 0)|U <e. Ahora, suponga que Xi, x2 satisfacen ||Xk-Xo||s8(e), por lo que el segmento de línea que une a x t y x2 queda dentro de la bola cerrada con centro x0 y radio8(e),y, por lo tanto, dentro de íl. Se aplica ahora el lema 41.3 para obtener la conclusión deseada.q .e . d . El teorema de la transformación inyectiva En seguida se probará que si/pertenece a la clase C ‘(íl) y si Df[c) es inyectiva, entonces la restricción d e /p a ra una vecindad apropiada dec es una inyección. El lector que esté familiarizado con el concepto de “rango” de una transforma­ ción lineal recordará que L : R' -» R ' es inyectiva si y sólo si el rango (L) = p s q . 41.5 TEOREMA DE LA TRANSFORM ACION INYECTIVA. Suponga que Sl<=Rr es abierto, que f : S l —* R* pertenece a la dase C '(íl), Diferenciación en R ’ 411 y que L = Df(c) es una inyección. Entonces, existe un número 8 > 0 tal que la restricción de J a B» = {x € R ' :||x —c|| S 8}'.v una inyección. Más aún. el in­ verso de la restricción f | B» es una función continua en f ( B *) S JR’ o B » £ R p. DEMOSTRACION. Dudo que la función lineal L = D/(c) es una inyección, del corolario 22.7 se infiere que existe una r > 0 tal que (41.3) r ||u|| < j|D/(c)(w)|| p a ra u e lT . Se aplica ahora el lema de aproximación 41.4 con e - i r para obtener un número 8 > 0 tal que si ||xk —c|J < 8, k = 1, 2, entonces ll/(x.) ~ /(x 2) - L(x, - x2)|| s Jr ||x, - x2||. Si se aplica la desigualdad del triángulo al lado izquierdo de esta desigualdad se obtiene ||L(x, - x2)|| - ||/(x,) - /(x 2)|| < ir ||x, x2||. Combinando esto con (41.3), en donde u = X |- x 2, se obtiene (41.4) ir ||x i - x2|| < ||/(x,) - /(x 3)|| para xk € B». Esto prueba que la restricción de / B» es una inyección; por lo tanto, esta restricción tiene una función inversa a la que se designará por me­ dio de g. Si yk e/(B»), entonces existen puntos únicos xk = g(yk) en B« tal que yk = /(x k). Se infiere de (41.4) que llg(yt) —g(y2)|| ^ (2/r) ||y, —y2||, por lo que g = ( / | B*)~‘ es uniformemente continua de /(B») a R". Observe que g no está definida necesariamente en una. vecindad de Jlc), es decir Jlcl no necesariamente es un punto interior de Por este motivo, no se puede ase­ gurar nada acerca de la difercnciabilidad de g. En seguida se dem ostrará un teorema de inversión más efectivo con hipótesis adicionales. El teorema de transformación suprayectiva El siguiente resultado ya unido al teorema de transformación inyecliva. Este teorema, debido a L.M.Gravest,asegura que si/e stá en la clase C '((í)y si para alguna c e íl, la aplicación lineal DJfcJ es una suprayección de R r so­ bre R q, entonces/aplica una vecindad apropiada de c sobre sobre una vecin­ dad de Jlc). De modo que todo punto de R q suficientemente cerca a Jlc) es la imagen hajo / de un punto cerca de c. I.AWRENC E M. (iRAVIlS (1X9(1-197.1) nació en Kansas pero durante muchos años, como estudiante y profesor. Se le conoce principalmente por sus aportaciones al análisis funcional y al cálculo de variaciones. 412 Introducción al análisis matemático El lector que esté familiarizado con el concepto del “rango" de una transforma­ ción lineal recordará que L : R r -* R* es suprayectiva si y sólo si el rango (L) = q s p . 41.6 TEOREMA DE TRANSFORM ACION SUPRAYECTIVA. Sea C l s R " abierto y suponga que R* pertenece a la clase C '(íl). Suponga que para alguna c e SI, la función lineal L = D /(c) es una suprayec- ción de R p sobre R 1. Entonces, existen números m > 0 y a > 0 tales que si y e R * y ||y —/(c)|| < a/2m, entonces existe una x e f l t a l que ||x —c|[ s a y f(x) = y- DEMOSTRACION. Dado que L es una suprayección, cada uno de los vectores de la base usual e, = ( 1 , 0 , . . . , 0), e2= ( 0 , 1 , . . . , 0)..... .. = ( 0 , 0 , . . . , 1) en R q es la imagen bajo L de algún vector en R p, digamos u¡, u2, . . . , u,. Ahora, sea la función lineal que aplica e¡ en Uj para ¡ = 1,2, es decir ate^j = ¿ OiUt. Se sigue que L °M es la aplicación identidad enR";es decir L °M (y) = y para toda y e IT. Si se toma ™ Ihlf2} , entonces aplicación de las desigualdades del triángulo y de Schwarz implican que si y a<ei, entonces l|M (y )N É N N I i-l 1/2 Por el lema de aproximación 41.4, existe un número a > 0 tal que si lije* —c|| < a, k = 1,2, entonces Xk e í l y (41.5) |!/(x.) - f ( x 2) - L( xí - x2)|| < ||x, - x2||. Ahora, sea B„ = {x e R T :||x —c|( < a} y suponga que y e IT es tal que ||y - /( c ) ||¿ a /2 m . Se probará que existe un vector x con x e B . tal que y=/(*)• Sea x0~ c y sea Xi = x0+ M ( y - /( c ) ) de tal manera que ||x, - x0|| £ m ||y -f(c )|| «s |a , de donde Diferenciación en R ' 413 llx ,-x o |i< ! y ll**_ c lls ( 1 - | ) a - Suponga que c = Xo, Xi,. . . . x„ se han elegido por inducción en R r tales que • (41.6) ||xk —Xk-,11 ^ «/2k, ||x * - c || < ( l - l / 2 ‘)a, para k = 1 , . . . , n. Se define ahora x*+! (n s 1) como (41.7) X«+l ~X h—M[f(Xn) - f(Xn-l) —L(Xm —X«-i)]. De (41.5) se infiere que i Xn|| in ||/(x.) -/(x » -i) - L f a - Xn-i)]| por lo que ||x«+l-x»||^é(clt/2") = a/2"+, y ||x,+I- c ||á ||x „ +,-x „ || + ||x„-c|i ,, s (o/2"+,) + (1 —1/2" )a = (l-l/2"+V De donde (41.6) también queda probado para k = n + l . Por lo tanto, se puede construir una sucesión (xn) en B„ de esta manera. Si m 2: n, se tiene i|Xn —X„|| < ||x« —Xn+,|| + ||x*+, —X„+2||+ • * • + ||Xn.-, “ Xm|| a , a . a a ,. t —2',+l * 2 "^ * * * * ' ^ 2" * Se deduce que (x,) es una sucesión de Cauchy en R r y por lo tanto converge a algún elemento x. Dado que ||xn —c|| < (1 - l/2")a, se sigue que ||x —c|j s a de manera que x e B„. Como Xi-Xo = M (y -/(c )), se deduce que L ( x ,- x 0) = L °M (y —/(c)) = y - f(x„). Más aún. por (41.7) se tiene L(x,*i- x«) = -L o M [/(x „ )- f( x n -i )- L ( x * - x«-i)] =* -{/(*») ~ f(Xn-l) ~L(Xn —X„— l)} = L(X„ -X .-,)-[/(X n)-/(X n-l)] Por inducción se obtiene L(Xn+1-Xn) = y -/(X .), por lo que se infiere que y = lim f(x„) = f(x). Por lo tanto, todo punto y que 414 Introducción ul análisis matemático satisfaga ||y ~ /(c )||< a/2m es la imagen bajo / de un punto x e í l con II* - c | | s a . 41.7 TEOREMA DE LA TRANSFORM ACION ABIERTA. Sfea í í s R “ abierto y suponga que f : í l —* R q pertenece a la claseC ‘(íí). Si para cada x e Cl la derivada Dfíx) es suprayección y si G < Í2 es abierto, entonces f¡(i) es abierto en R q. DEMOSTRACION. Si b e f ( G ) , entonces existe un punto c e G tal que f(c) - b. Del teorema de aplicación suprayectiva 41.6 aplicado a / | G se infiere que existe 0 > Otal que si ||y —6|| < (3 entonces existe una x e G tal que si y = /(x).P or lo tanto, Jigl es abierto en R q. El teorema de inversión Ahora se combinarán los dos teoremas de aplicación para el caso p = q. En este caso se va a suponer que a derivada DJ\c) es una biyección. Este es el caso si y sólo si la derivada D/Jcl tiene inverso, que a su vez es cierto si y sólo si el determinante jacobiano J,(c) = det [D(/i(c)] = det [fu (c)] es distinto de cero. hl lector familiarizado con el concepto del “rango” de una transformación lineal re­ cordará que L :Rr —» R* es biyectiva si y sólo si el rango (L) = p = <j. De la continuidad de las derivadas parciales y del determinante se infiere que si D/fal es invertible, entonces Dflxl es invertible para x suficientemente cerca de c. 41.8 TEOREMA DE INVERSION. Sea í l s R pabierto y suponga que f : f l —* R p pertenece a la clase C '(fl). Si c e í l es tal que DJ (cl es una biyección. entonces existe una vecindad abierta U de c tal que V = f(U )‘s una vecindad abierta de /I d r la restricción de J a U es una biyección sobre V con inverso continuo. Más aún. ,? pertenece a la clase C ‘( V) y Dg(y) = rD/Xgty))]'1 para y e V. DEMOSTRACION. Por hipótesis L = Df(c) es invectiva; por lo tanto, el corolario 22.7 implica que existe r > 0 tal que 2 r||z||< ||D /(c )(z )|| para z e R r. Dado que /está en la clase C '(fl), hay una vecindad de c en ia que D/fxl es in- verlible y satisface Diferenciación en R” 415 (41.8) r||z||< ||D /(x )(z )|| p a ra z e R -, De nuevo la atención se limita a una vecindad U de c en la que f e s inyec- liva y que está contenida en un bola con centro c y radio a (como en el teo­ rema de transformación suprayectiva 41.6). Entonces, V = /(Lf) es una vecin­ dad de fie i y de los teoremas de transformación anteriores se infiere que la restricción f \ U tiene una función continua inversa g : V —* R p. Queda por demostrar que g es diferenciable en un punto arbitrario y ie V. Sea xi = g(y>)e U ;dado que es diferenciable en xi, se deduce que si x 6 U, entonces /(x) - f ( x t ) - Df(x,)(x - x,) = ||x —xi|| u(x), en donde ||u(x)||—» 0 conforme x —* Xi. Si Mi s el inverso de la función lineal Df(xO, entonces x - x, = M ,[D/(x,)(x - xi)] = M ,r/(x)- f ( x ,)- ||x - x,|| u(x)]. Si x e U , entonces x = g(y)para alguna y = /( x ) e V ; además yi = /(xi), y esta ecuación se puede escribir en la forma g ( y )- g(y«) - M,(y - yi) = - ||x - x,|| M,(u(x)). Dado que Df(x,) es inyectiva, como en la demostración del teorema de transformación inyectiva 41.5 se infiere que lly “ yil!= |[/(x) - /(x ,)|| 2 b ||x —x ,|| siempre que _r esté lo suficientemente cerca de y,. Además, de (41.8) se deduce que||Mi(u)j¡< (1/r) ||u|| para toda u e R r. Por lo tanto, se tiene ||g (y )- g(y>)- M,(y - y,)||< (2/r2) ||u(x)|| ||y - y,||. Ahora, como y -* y u entonces x = g(y) —> g(y,) = x, y ||u(x)||-»0. Se concluye, por lo tanto, que Dg(y¡) existe es igual a M, =(D /(xi))"'. El hecho de que g pertenezca a la clase C '(V ) se sigue de la relación f}g(y) = [D/(g(y)X r' para y e V, y de la continuidad de las aplicaciones y •-* g(y), x •-> D/(x), L L~' de V -> U, U -> n r t " , R p), y i^(R p, R p) -> ^ ( R p, R p), respectivamente. (Véase el ejercicio 4 .L) q .e .d . Funciones implícitas Suponga que F es una función definida en un subconjunto de R ' x R ’ a (Si se hace la identificación obvia de R p x R q con R p*‘l, entonces no es 416 Introducción al análisis matemático necesario definir lo que significa que Fsea continua oque sea diferenciableen un punto o que esté en la clase C ‘ en un conjunto.) Suponga que F aplica al punto (a. b) en el vector cero d e 5 If’.El problema de las funciones implícitas consiste en resolver la ecuación F(x,y) = 0 para un elemento (digamos, y) en términos del otro en el sentido de que se en­ cuentra una función q>definida en un subconjunto de R p con valores en R , tal que b = <p(a) y F (x ,V(x)) = 0 para toda v en el dominio de <p. Se supone que F es continua en una vecindad de la. b). se desea a la conclusión de que la “ función solución” <p es continua en una vecindad de a. Tal vez no sea ninguna sorpresa para el lector el que se deba suponer que F pertenece a la clase C 1en una vecindad de la. b); sin em­ bargo, aun esta hipótesis no es suficiente para garantizar la existencia y unici­ dad de una función solución continua <p definida en una vecindad de a. De hecho, si p = q = 1, la función dada por F(x, y) = x1- y 1 tiene dos funciones solución continuas<p,(x)-xy «pa(x) = —x correspondientes al punto (0,0). También tiene soluciones discontinuas, tales como <Pj(c) = x, x racional, = —x, x irracional. La función G(x, y) = x —y2 tiene dos funciones solución continuas correspondientes a (0,0). pero ninguna de ellas está definida en una vecindad del punto x = 0. Para dar un ejemplo más complejo, la función H : R 2—» R definida por H(x, y) = x, y =0, = x - y5sen y*0, pertenece a la clase C 1en una vecindad (0,0), pero no hay ninguna función solución continua definida en una vecindad de x = 0. En estos tres ejemplos la derivada parcial con respecto a y desaparece en el punto considerado. En el caso p = q = 1, la afirmación adicional necesaria para asegurar la existencia y unicidad de la función solución es que esta deri­ vada parcial sea distinta de cero. En el caso general, se observa que DF(a. b) es una función lineal continua de B ' x R ' a í ’ e induce una función lineal continua L 2:R'' R *definida por L 2(v ) = DF(a, b)(0, ti) para ver v e R \ En un sentido muy razonable, Li es la "derivada parcial” de Fcon respecto a y e R ' e n el punto (a. b). El supuesto adicional que se va a imponer es que L 2 sea invertible. Diferenciación en R ' 417 Se desea interpretar este problema ahora en términos de coordenadas. Si x = (x i,. . . , x„) y y = (y i,. . -, y,), entonces la ecuación F(x, y) = 0 toma la forma de q ecuaciones en los p + q argumentos Xi,. . . , x^, y ,,. . . , y, dadas por f,(x t, . . . . x„ y ,,. . . . y,) = 0, (41.9) ............................................... fi(xi) Xp, y i,. . . , y,) 0. Por conveniencia, suponga que a = 0 y b = 0 de tal manera que este sistema se satisface paraxi = 0 , . . . , Xp = 0, yi = 0 , . . . , y, = O.se desea resolver para las y, en términos de las x, al menos cuando las |x*| son suficientemente pe­ queñas. Si las funciones f¡ son lineales, entonces la condición de solubilidad es que el determinante de coeficientes de las y¡ deba ser distinto de cero. Si las funciones f¡ no son lineales, entonces la condición es que el determinante ja- cobiano d(/1,. . . , (a, b) / 0. d(yi........ y,) Cuando este es el caso, hay funciones ip), / = 1 , q, definidas y continuas cerca de a = 0 tales que si se sustituye y ,= «p,(x,,. . . , Xp), Y, tPq(X lj • • • >Xp), en el sistema (41.9), se obtiene una identida en las x¡. 4I.9TEOREM A DELA FUNCION IMPLICITA. Sea f l c R - x R ' abierto y sea (a, b) € íi. Suponga que F : ft -*■ R q pertenece a la clase C ‘(ft), que F(a, b) = 0, v que la aplicación lineal definida por L2(v) = DF(a, b)(0,v), veR', es una bivección de R" sobre R ’. la) Entonces existe una vecindadad abierta W de a e R r y una función única ip :W —* R" perteneciente a la dase C ‘(W) tal que b = <p(a) y F(x, <p(x)) = 0 para toda x e W. fb) Existe una vecindad abierta U de la. b) en R ' x R " tal que el par (x, y )e U satisface F(x, y) = 0 si y sólo si y = <p(x) para x € W. DEMOSTRACION. Sin perder generalidad se puede suponer que a = 0 y b = 0. Suponga que R v x R * está definida como H(x, y) = (x, F(x, y)) para(x, y)e íl. Se sigue fácilmente (véase el ejercicio 39.V) que H pertenece a la clase C ‘(íl) y que 418 Introducción al análisis matemático DH(x, y)(w, u) = (u, DFfx, y)(u, o)) parafx, y ) e í l y fu, tj)G R r x R ’. Se asegura ahora que 011(0,0) es invertible en R ^ x R " . De hecho, si se toma LiGÜffR1’, R q) definida como Li(u) = DF(0 , 0 )(u, 0 ) p a r a u e R ”; entonces el hecho de que DFfO, 0)(u, t7) = Li(u)+JL2(u) prueba que el inverso de DH(0,0) es la aplicación lineal K en R px R q definida por Kfx, z) = (x, L 2~'[z - Li(x)]). Por lo tanto, del teorema de inversión 41.8 se infiere que hay una vecin­ dad abierta U d e ( 0 ,0 ) e R 'x R 'ta l que V = H(U)es una vecindad abierta de (0 ,0 ) e R 'x R * y la restricción de H a U es una biyección sobre V con un in­ verso continuo <Í>:V -*U que pertenece a la clase C '(V ) y con <f»(0,0) = (0,0). Ahora <p es la forma <*>(*> z) = (<j>i(x, z), <p2(x, z)) para(x, z ) g V en donde q>t : V -* R p y <p2: V -» R \ Dado que 1 (x, z) = H ° <P(x, z) = H[<p,(x, z), <p2(x, z)] = [<pi(x, z), F(<p,(x, z), <p2(x, z))], se deduce que <p,(x, z) = x para toda (x, z ) g V. por lo que <|> toma la forma más simple <f>(x, z) = (x, <p2(x, z)) parafx, z ) g V. Ahora, si P : R p x R q -* R q está definida comoPfx, z) = z,entonces P es li­ neal y continua y <p2= P°<t>; por lo tanto, <p2 pertenece a la clase C '(V ) y se tiene z = F(x, q>2(x, z)) parafx, z )€ V. Sea ahora W = { x e R ’’ :(x, 0 )e V} de manera que W es una vecindad abierta de 0 en R r, y defina <p(x) = sp2fx, 0), para x e W. es evidente que <p(0) = 0, y de la fórmula anterior se infiere que F(x, <p(x)) = 0 para x g W. Más aún, D<p(x)(u) = D<p2(x, 0)(u, 0) para x G W, u G R p,por lo que se concluye que <p pertenece a la claseC’(W).Esto prueba la parte (a). Para completar la demostración de la parte (h). suponga que (x, y )c U satisface Ffx, y) = 0. Entonces H (x, y) = (x, Ffx, y)) = (x, 0) G V por lo que se sigue i g W. Además, (x, y) = d>(x, 0) = fx, <p2fx, 0)) = (x, <p(x)) d¿ tal ma­ nera que y = <p(x). q .e .d . Algunas veces es útil tener una fórmula explícita para la derivada de <p. Para poder dar esto, es conveniente introducir el concepto de las derivadas Diferenciación en R" 419 parciales de bloque de F. Si ( x ,y ) e íi, la derivada parcial de bloque Du)F(x, y) es la función lineal que aplica R ' -> R* dada por D(oF(x, y)(u) = Df(x, y)(u, 0) para u e R r, y la derivada parcial de bloque D (2>F(x, y) es la función lineal que aplica R r —* R* dada por D<2)F(x , y)(v) = DF(x, y)(0, o) para u e R \ Dado que (u, u) = (u, 0) + (0, v) es claro que (41.10) DF(x, y)(u, v) = D«„F(x, y)(u) + DmF(x, y)(v). Observe que las transformaciones L i y L 2 de la demostración anterior son D (i>F(0,0) y D(2)F(0,0), respectivniente. 41.10 COROLARIO. Con Ia hipótesis del torema. existe una y > 0 tal que si ||x —aU < y, entonces la derivada de <p en xes el elemento de S£{RP, R*) dado por (41.11) D<p(x) - —[D(2)F ( x, v (x ))r* [D (UF(x, <p ( x ))]. DEMOSTRACION. Suponga que K : W - * R px R * está definida por K(x) = (x, <p(x)) para x e W . Entonces, dado que F °K (x) = F(x, q>(x)) = 0,se tiene F « K : W -* R 9 es una función constante. Además, como fácilmente se puede ver que D K (x)(u)= (u, Dip(x)(u)) para u e l t ', de la regla de la cadena 40.2 aplicada a la función constante F °K se infiere que 0 = D (F°K )(x) = DF(K(x)) ° DK(x). Usando (41.10) se tiene DF(x, «p(x))(u, t>) = D(„F(x, <p(x))(u) + D(2>F(x, <p(x))(o). De aqui se deduce que si u e R p, entonces 0 = DF(x, <p(x))(u) = D„>F(x, <p(x))(u) + D<2>F(x, <p(x))(D<p(x)(u)) = D (i)F(x, <p(x))(u)+ [ D(2)F(x, <p ( x ))»D<íp( x )]( u ). Por lo que se tiene 0 = D(»F(x, <p(x)) + D<2)F(x, <p(x))°Dtp(x) para toda x e W . Por hipótesis,L2= D{2)F(a, b)es invertible. Dado que <py F son continuas, existe una y > 0 tal que si |x —a í < y , entonces D mF(x, q>(x)) 420 Introducción al análisis matemático también es invertible. Por lo tanto, la ecuación (41.11) se deduce de la ecua­ ción anterior. Q.E.D. Puede ser útil interpretar la fórmula (41.11) en términos de matrices. Suponga que se tiene un sistema de q ecuaciones en p + q argumentos dado por (41.9). Como ya se ha dicho antes, la hipótesis del teorema de la función implícita requiere que la matriz ft*+t * ‘ ' ft* + ‘I J * p+I ' ** sea invertible en el punto (a. b). (Recuerde que fw denota a la derivada parcial de ft con respecto al j-ésimo argumento.) En este caso la derivada de la fun­ ción solución cp en un punto x está dada por -1 /l.P + t *" ' /lj>+<| /l.I ' ’ • f¡4> j+ t ’ ’ ‘ /q.p_ en donde se entiende que ambas matrices están calculadas en el punto (x, <p(x)) cercano a (a, b). , Los teoremas de parametrización y de rango El teorema de la función implícita se puede considerar como aquel que da las condiciones bajo las cuales la “ curva de nivel” C = {(x, y )e R p x R q :F(x, y) = 0} que pasa por el punto (a, b) se puede parametrizar, cuando menos localmente, como la gráfica en R ” x R q de alguna función definida en una vecindad W de a e R ’’ a R q; es decir C = {(x, f(x )):x 6 W }. Se estudiará ahora otro teorema que ofrece condiciones bajo las cuales la imagen de una función que transforma un subconjunto abierto de R ' hacia R q se puede parametrizar por medio de una función q>definida en un conjunto abierto en un espacio de menor dimensión. Ai estudiar este teorema será necesario usar algunos hechos elementales pero importantes del álgebra lineal quepueden ser ya familiares para el lec­ tor. t Recuerde que si L : R P -> R q es una transformación lineal entonces la imagen RL de L es el subespacio de R q dado por t Para más detalles consultar los libros de HofTman y Kunzc o Finkbeincr que aparecen en la lista de referencias Diferenciación en R ’ 421 R l = (L (x ): x e R p}, y el espacio nulo (o el kemel).NL de L es el subespacio de R T dado por J N l = { i 6 R ' : L ( x ) = 0}. La dimensión rfL) de R L se llama el rango de L y la dimensión n(L) de NL se llama la nulidad de L. (De modo que el rango de L es el número de vectores li­ nealmente independientes en R* necesarios para generar la imagen RL, y la nulidad de L es el número de vectores linealmente independientes en R p nece­ sarios para generar el espacio nulo NL.) Queda como ejercicio demostrar que si { u ,,. . . , u.} (en donde n - n(L))es un conjunto linealmente independiente de vectores en R pque generan NLal que se le agregan p-n vectores u„+i , . . . , u, para obtener una base para R p, entonces el conjunto {L(u*+i) ,. . . , L(Up)} es un conjunto linealmente independiente de vectores en R* que generan R¡_. Por lo tanto, se sigue que p = n(L) + r(L); de donde: la dimensión del domi­ nio de /, es igual a la suma de la nulidad y el rango de L. Si L se representa por una matriz q x p como en (23.1), entonces se puede probar que el rango de L es el máximo número r tal que exista al menos una submatriz r x r con determinante distinto de cero. El teorema de parame- trización asegura que si f e s una aplicación C ' de un conjunto abierto í l e R p hacia R* tal que DJJx) tenga rango igual a rp a ra todax e í i y si f ( a ) - b e R ' < para alguna a e íi, entonces hay una vecindad V den tal que la restricción de/ a V se pueda dar como una aplicaciónC' ip definida en una vecindad en R \ 41.11 TEOREMA DE PARAM ETRIZACION. Sea í l ^ R ”abierto y suponga que / : i i —> R ppertenece a la clase C'(ft). Suponga que DJ\x) tiene rango r para toda x s í l y sea f(a) = b e R q para alguna a s i l . Entonces (i) existe una vecindad abierta V £ í l de a y una función a : V - * R ren la clase C '(V ), y (¡i) existe un conjunio abierto W s R ' y funciones fi : W - * R p y q>:W -* R \ tales que (iii) f(x) = (p°a(x) para toda x e V , y <p(f) = para toda t e W . DEMOSTRACION. Sin perder generalidad se puede suponer que a = 0 e R p y b = 0 s R q. Sea L = D /(0) de manera que L : R p -*• R ’ tega rango r y sea {xi,. . . , x,,} una base en R p tal quc{x,+i, • . . ,Xp}genere al espacio nulo de L. Se toma X t como el subespacio generador por {xi,. . . , x,} y X 3- N Lcomo el subespacio generado por {x ,n ,. . . , Xp}.Como se mencionó poco antes, se infiere que Y, = RL está generado por {yi = L ( x t) , . . . , y, = L(x,)}. Se elige {y,*t,. . , , y,}tal que{y,,. . . , y js e a una base para R ’ y suponga que Y 2es el subespacio generado por {y,+t, . . . , y,}. Se sigue que todo vector x 6 R p tiene una representación única de la forma x = CiXi + • • • + CpXp. Sean P, y P2 las transformaciones lineales en R p definidas como 422 Introducción aI análisis matemático P.(x) = £ c ,X i, P2(x) = £ c,x,. i-i /-t+i _ Es claro que la imagen de P¡ es igual a Xh j = 1, 2. De manera análoga se toman Q, y Q 2 como transformaciones lineales en R ’ definidas para y = Ciyi + • • - + c,y, como Q>(y) = £ c¡y¡, Q í(y)= £ <*»•' J-l i-r * l Claramente, la imagen de Q, es Y(, j = 1,2. Si Li es la restricción de L a Xi, entonces L¡ es una biyección deXiSobre Vi; sea A : Yi —* X id inverso de Li.se puede ver que. A ° L(x) = x para toda x e X i y L °A (y ) = y para toda y e V ,. se define ahora u de í l c R p a R p como .1 ¿ (4 1 .1 2 ) u ( x ) = A » 0 , ° / ^ x ) + P 2( x ), x e íl, de tal manera que u(0) = 0, u aplica X i f lí l en X 2, y Du(x) = A ° Qi ° £>/(x) + P2, xeíl; de donde, u pertenece a la clase C '(fl). Puesto que fácilmente se puede ver que Du(0\ es la transformación identidad en R p, del teorema de inversión 41.8 se infiere que existe una vecindad abierta U de a = 0 tal que U ' - u(U ) es una vecindad abierta de 0 y que la restricción de u a U es una biyección sobre U' con inverso w = u~':U' -* R r que pertenece a la clase C '(t/'). Además, reemplazando U y V por conjuntos más pequeños también se puede suponer que U ’ es convexo (es decir, contiene al segmento de línea que une a cuales­ quiera dos de sus puntos). Ahora, suponga que g : U ' —* R q se define como g(z) = /(w (z)), z e U ' c R p. Está claro que g pertenece a la clase C ’(li') y Dg(z) = D/(w (z))°D w (z), z e ü '. Dado que Dflx) tiene rango r para toda x e í l y Dw(z) es invertible para . x e U ' , entonces se sigue de un teorema de álgebra lineal que Dgfz) tiene rango r para toda z e U'. Por otro lado, g(z) = (Qi + Q 2) ° /( w( z )) - Q > ° /( w( z ))+ Q 2o/ ( w(2)). Dado que w = de (41.12) se infiere que 0 >.-■ •• y •1 * .,.i; , z = u(w (z))¿ A °Q .°/(w (z)) + p2(w(z)), z6 V. Pero como L » A » 0 , = Q , en R q y L ° P 2= 0 en R p, se tiene Diferenciación en R ' 423 (41.13) L(z) = Q,°f(w(z)) = Q ,° g ( z j de donde L = Qi°Dg(z) para z 6 l/'. por lo tanto, si z e U ',el operador Qi aplica a la imagen de Dg[z) (que tiene dimensión r) sobre la imagen de L (que también tiene dimensión r). Se sigue que Qi es ¡nyectiva en la imagen de Dgfz) para z e U'; por lo tanto, s i z e U 'y x G f i ' es tal queL(x) = 0,entonces Dg(z)(x) = 0. en consecuencia, si z e U ’ y z 2e X 2= N L, se infiere que Dg(z)(z2) = 0. Se demostrará ahora que g : LT -> R n depende sólo de z t € Xi en el sen­ tido de que si z e U ’ y z 2g X2 son tales que z + z2e U’; entonces, g(z + z2) ~ g(z).Para ver esto se aplica el teorema del valor medio 40.5 para deducir que existe un punto z„ en el segmento de linea que une a z y z + z¡ (y por lo tanto en U’) tal que 0 ||g(z + z 2) - g(z)|| < ||Dg(z0)(z2)|| = 0; por lo tanto, g(z + z2) = g(z), como se quería. Ahora ya se pueden definir las transformaciones a, 0, <p. Sea C : R r —* R e la transformación lineal que aplica a los elementos de la base usual e l f . . . , e, de R ' en los vectores xt, . . . , x, que forman una base para Xi. por lo tanto, C es una biyección de R ' sobre X , y entocesC_ ,:X i-* R ' existe. Sea W = C~‘(U ’) - C ~ ,(U'DXi),de tal manera q u c W s R r es una ve­ cindad abierta de 0 en R ’ y sea V £ U una vecindad abierta de a = 0 tal que P i° u (V )c U'. Se definen ahora a : V —» R 'y |3 : W —> R Pcomo (41.14) a(x ) = C -1°P i°u(x), 0 (t)= w°C(t) para x e V y te W .c s claro que a pertenece a la clase C ’(V )y a ( V ) s W, y que 0 pertenece a la clase C ‘(W) y 0 ( W ) c U. Se define <p:W~* R q para t G W como <p(í) = g°C (t), por lo que se sigue que <¡p(0 = (f° >v)0C(f) = /° 0(t). Más aún, si x g V, entonces /(x) = /(w °u(x)) = (/°*v)°u(x) = g<>u(x); sin embargo, se ha visto que g°u(x) = g®P,»u(xX de manera que /(*) = g ° « W = g 0(C » C "V (P ,"u )(x ) = (g °C)°(C~* ° P ,°u)(x) . = 9 °a (x ). Por lo tanto, /(x) = ^ ° a (x ) para toda xg V. , Q.E.D. 424 Introducción al análisis matemático Durante esta construcción, se ha establecido en realidad un poco más de información. En este corolario se hace uso de la notación que se desarrolló en la demostración del teorema. 41.12 COROLARIO, (a) La aplicación <p : W -* R* es de la forma (p,+ en donde ip2, <p¡es la restricción a W de la aplicación lineal de R ' -» R q que manda e¡ e R ' hacia y, = L(x¡), j = 1 , . . . , r, y en donde tp2( W) c Y2. (b) Si t e W, entonces a °p ( t) = t. (c) S i x e U D X t , entonces x e V y p « a ( x ) - x . DEMOSTRACION. (a) Dado que g = O i°g + Q 2°g, se infiere de (41.13) que g = L + Q2°g.Por lo tanto, a partir de la definición de<p,se tiene <p =-L °C + Q 20g 0C,que es de la forma establecida en (a). (b) Si t e W, entonces x - p ( t ) ~ w °C (t)e U tiene la propiedad de que « W = u»w «C (i) = C ( t ) e l J 'n X i; por lo tanto p ,°u(x) = C (t)e O ' de modo que x e V y a(x) = C -'°P ,°u (x ) = C -'»C (t) = t, que prueba la afirmación (b). (c) Si x e í i n X , , entonces, de (41.12) y del hecho de que P2(x) = 0, se deduce que u (x )e X i. Por lo tanto, si x e U C i X , se sigue que Pi°u(x) = u ( x ) ^ V ' r \ X t de tal manera que x e V. Más aún, P°a(x) = (w 0C )0(C~,0P i0u)(x) = w ° C ° C 'lou(x) = w ° m(x) = x. Q.E.D. Se puede usar ahora el resultado del teorema de parametrización para demostrar el teorema del rango. 41.13 TEOREMA DEL RANGO. Sea ( l e R p abierto y suponga que f :(l~* R" pertenece a la clase C \( l) . Suponga que D f x ) tiene rango r para toda x e ( l y sea f(a) = b e R q para alguna a e í l . Entonces (i) existen vecindades abiertas V de a y V' de 0 en R py una función cr:V -* V' en ¡a clase C'(V) que tiene un inverso a " 1:V ' —* V en la clase C ’(V'); (ii) existen vecindades abiertas Z de b y Z ' de 0 en R q, y una función r : Z ' —» Z en la clase C ’(Z') que tiene un inverso r~l : Z —* Z ' en la clase C ‘(Z ); (iii> si x e V entonces f(x) = T°i,°cr(x),en donde i ,: R p —*■Rq es ¡a apli­ cación definida por ir(c„ • - • , Cft Cr+lt • *• , Cp) ( C |, - • ■, Cr, 0, • • . , 0) € R . DEMOSTRACION. Se va a suponer que a = 0 y b = 0 y s e usarán la notación y los resultados establecidos en la demostración del teorema de pa­ rametrización. Sea B : R P—* R" la función lineal que transforma a los ele­ mentos de la base usual e¡,. . . , e, oí R r a ios vectores Xi,. . . , x,; entonces Diferenciación en R ’ 425 fí es una biyección de R p sobre R p y B~l existe. La aplicación <r : í l - * R p de­ finida por o-(x) = B ‘°u(x) pertenece a la clase C '(íl)y puesto que la restric­ ción de u a U tiene un inverso w : U' —* R ” que transforma sobre U. se sigue que la restricción de a a U tiene un inverso cr~' - w ° B que aplica B ’(U') so­ bre U. Sean I V e R ' y <p : W -» R q como en el teorema de parametrización y sea H : R q -* R q la función lineal que aplica los elementos de la base usual e l f . . . , e q de R q a los vectores y ,,. . . , y,; por lo tanto, H es una biyección de R q sobre R q y H "' existe. Se define W' = {(c„ . . . , c,)€ R q : ( c , -. -, c,)e W] y se considera a r : W' -* R" definido como t (C i , • » • , Cq/ <p(C 1, * * • , Cf) + H(0, . • *, 0, C r+t, - * • , Cq). Del corolario 41.12(a) se infiere que D t(0) = H ; por lo tanto, el teorema de inversión 41.8 implica que la restricción de r a alguna vecindad Z ' de 0 es una biyección sobre alguna vecindad Z de t ( 0 ) = 0. Restringiendo aún más a V, si es necesario, se puede suponer que / ( V ) s Z . Ahora, sea x e V y considere cr(x) = B~‘<>u(x). Si i, se define igual que como se acaba de hacer, entonces ¿,°cr(x) = (C~,oP i° u (x ),0) = (a(x), 0). Por lo tanto, r 0i,°a(x) = <p°<r(x) = f(x) para toda x € V . q .e .d . Ejercicios ' —^ 4 1 .A. Sea í l e R ' abierto y f:f i~ » R \ Si D/fx) existe para toda Df(x) y si x e f t i = l , ; . . , q , i = 1.........p, e n to n c e s d e m o s tra r que |Ü ,/i(x ) - D J :1(y)Í s ||ü f ( x ) - D /( y ) |lP,. De donde, s i/p e rte n e c e a la clase C '(fl), en­ tonces cada una de las derivadas parciales DJ¡ es continua en fi. — > 4 I B. Sea í l e R ’ abierto y / : f t - > R". S i/p e rte n e c e a l a c ta se C ‘(ft)y K c f i e s com pacto, dem ostrar que x •-» Df(x) es uniformemente continua en el sentido de que para toda e > 0 existe 8 > 0 tal que si x , y e K y ||x - y ||< 8 entonces ||D / ( x ) - D / ( y ) L < e. 41.C. Sea í l s R ' y í l . e R ' abiertos y suponga que / : í l - » R ’ pertenece a la clase C'(íl) y g :íl . -* R ' pertenece a la clase C'(íl,). Si