(PDF) LIBRO DE RAZONAMIENTO MATEMATICO DE PREPARATORIA PREUNIVERSITARIA | carlos junior cobeñas cava - Academia.edu
El objetivo principal de este capítulo es las cantidades a calcular es mayor que que el alumno utilice adecuadamente la otra. las cuatro operaciones fundamentales (+; -; x; ÷). SD SD Las cuatro operaciones fundamentales, N° mayor = N° menor = 2 2 es el instrumento matemático mas antiguo utilizado por el hombre que nos permite resolver problemas de carácter II) SUMA Y COCIENTE comercial y de la vida diaria. En el caso que tengamos como Ejemplo 1: Un comerciante compra dato la suma de dos números (S) y el cierta cantidad de agendas en S/.1424 cociente de ambos (q), podemos y los vende todos en S/.2492, ganando calcular ambos números mediante la así S/.1,50 por agenda. ¿Cuántas siguiente relación: agendas compró y cuánto le costó cada S S .q una? N° menor = N° mayor = q 1 q 1 Resolución: Precio de costo total: S/. 1424 Precio de venta total: S/. 2492 III) DIFERENCIA Y COCIENTE Entonces: Ganancia total = S/. 1068 En el caso que tengamos como Como ganancia en cada agenda es dato la diferencia (D) y el cociente de S/.1,50 ambos (q), podemos calcular ambos Entonces: N° de agendas = 1068/1,50 números mediante la siguiente = 712 relación: Ejemplo 2: Un sastre pensó D D.q confeccionar 100 camisas en 20 días, N° menor = N° mayor = q 1 q 1 pero tardó 5 días más por trabajar 2,5 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó por día? Nota: Es recomendable saber que el cociente Resolución: es la relación del número mayor al El sastre perdió 2,5 horas por día, número menor. durante 20 días; es decir: Perdió: 2,5 x 20 = 50 horas * En un enunciado, al decir que: Las que recupera en cinco días, a razón - Un número es el triple del otro 50h significa que su cociente es 3 de:  10h / d 5d (q = 3). - Un número es la mitad del otro CALCULO DE DOS NÚMEROS, significa que su cociente es 2 CONOCIENDO: (q = 2). I) LA SUMA Y DIFERENCIA - Un número es los 4/7 de otro Se emplea solamente para significa que: q = ...... determinar dos cantidades, si conocemos la suma (S) y diferencia (D) de ambos, lo que implica que una de Ejemplo 3: En cierto día, las horas  Actualmente tenemos: transcurridas exceden a las que faltan 49 y 29 años. transcurrir en 6 horas. ¿A qué hora ocurre esto? MÉTODOS OPERATIVOS El propósito de este tema es mostrar Resolución: los “métodos” usados con mayor Sean “tiempo transcurrido” (t.t) y frecuencia, que han demostrado su “tiempo no transcurrido”. eficacia frente a otros procedimientos; Sabemos que la suma y la diferencia de aunque es necesario reconocer en que estos dos tiempos es: casos se deben aplicar. S = 24h; D = 6h 24  6 METODO DE LAS DIFERENCIAS  t.t. (mayor) = = 15 horas 2 (Método del rectángulo)  Hora: 3 p.m. Es un método que se aplica a problemas donde participan dos Ejemplo 4 :Dos personas tienen cantidades excluyentes, una mayor que S/.900 y S/.300, respectivamente. Se la otra, las que se comparan en dos ponen a jugar a las cartas a S/.10 cada oportunidades originando, partida y al final la primera que ha generalmente, en un caso sobrante o ganado todas las partidas, tiene el ganancia y en el otro caso un faltante o cuádruple de lo que tiene el segundo. pérdida. ¿Cuántas partidas se jugaron? Ejemplo 1: Un comerciante analiza: si Resolución compro a S/.15 el kilo de carne me La suma total de dinero, entre juego y faltaría S/.400; pero si sólo compro de juego, no varía. S/.8 el kilo me sobraría S/.160.  S = S/.1200 ¿Cuántos kilogramos necesita comprar Luego de “n” jugadas: q = 4 y de que suma dispone? En ese momento el ganador tiene: 1200 x 4 Resolución:  S / .960 f 4 1 Si compro a S/.15 c/Kg ------- S/.400 habiendo ganado: s S/.960 – S/.900 = S/.60 S/. 8 c/Kg -------- S/.160 a S/. 10 cada partida. S / .60 Du = S/. 7 c/Kg Dt = S/.560  Nº de partidas = n = 6 S / .10 Dt S / .560  Cantidad (Kg) = = = 80 Du S / .7 Ejemplo 5: En aquel entonces tu tenías 20 años más que yo, que tenía la  Dinero disponible = quinta parte de la edad que tenías. Si 80Kg x S/.8 + S/.160 = S/. 800 eso sucedió en 1980, actualmente (2004) que edad tenemos, asumiendo Ejemplo 2: Para ganar $28 en la rifa que ya cumplimos años. de una filmadora se hicieron 90 boletos, vendiéndose únicamente 75 boletos y Resolución: originando así una pérdida de $17. En 1980 la diferencia y el cociente de Calcular el costo de cada boleto y el nuestras edades era: valor de la filmadora. D= 20 ; q= 5 Teníamos: 20 x5 Tu (mayor) =  25 5 1 Yo ( menor) = 25 - 20 = 5. Resolución: Resolución: g Considerando el Nivel inicial del agua: H Si vendiera 90 bol -------- $28 Del problema deducimos que, en cada p hora, queda la mitad menos dos metros 75 bol -------- $17 de agua.  = 15 bol  = $45 Entonces, en tres horas, queda: H  2 - 2  2 - 2  2 - 2 = 0 $45  Costo c/boleto = = $3 Aplicando operaciones inversas, a partir 15bol del final, tenemos: H = 0 + 2 x 2 + 2 x 2 + 2 x 2  Valor de la filmadora = 90 x 3 - 28 H = 28 m. = $242 Teniendo en cuenta que el volumen de METODO DEL CANGREJO un tanque circular es: (Método Inverso) V = Area de la base x altura Es un método utilizado en problemas  V = 5 m2 x 28 m donde interviene una variable a la cual = 140 m3 se realiza una serie de operaciones directas hasta llegar a un resultado METODO DE FALSA SUPOSICION final. Se denomina “método inverso”, (Regla del Rombo) porque a partir del dato final se realizan Se aplica cuando en un problema las operaciones inversas hasta llegar al participan un número de elementos valor inicial. divididos en dos grupos cuyos valores Ejemplo 3: Al preguntarle a “Pepito” unitarios (o características) se conocen por su edad, el contestó con evasivas y además nos proporcionan el valor diciendo lo siguiente: “si le agregas 10, total, que es la resultante de sumar al resultado lo multiplicas por 5 y todos los valores unitarios. enseguida le restas 26 para luego extraerle la raíz cuadrada y por último Ejemplo 5: En el salón de clase el peso lo multiplicas por 3, obtendrás 24”. promedio de cada alumno es de 75 kg y ¿Cuál es la edad de “Pepito”? de cada alumna 60 kg, si el peso total de todos es de 4020 kg. ¿En cuánto Resolución: excede el número de mujeres al de los Considerando la edad de Pepito: E; y varones, si en total son 60? aplicando las operaciones consecutivamente, como lo indicado por Resolución: Aplicando el método de “Pepito”, tenemos : la falsa suposición: Supongamos que los 60 alumnos pesan 75 Kg c/u. E + 10 x 5 – 26 x 3 = 24  Peso de todos los alumnos sería Aplicando operaciones inversas, (Valor supuesto) = 60 x 75 = 4500 Kg tenemos: Este valor excede al real en: E = 24  3  2 + 26  5 - 10 4500 – 4020 = 480 Kg E = 8 años. Este exceso es por que asumimos que todos eran varones, por lo que dimos Ejemplo 4: El nivel del agua de un un valor agregado a cada alumna de: tanque en cada hora desciende 2m por 75 – 60 = 15 Kg. debajo de su mitad, hasta quedar vacío 480 el tanque luego de 3 horas. Qué  N de alumnas = = 32 15 volumen de agua se ha utilizado, N de alumnos = 60 – 32 = 28 sabiendo que el tanque tiene una base   = 32 – 28 = 4 circular de 5m2. * Las operaciones efectuadas en la Resolución: solución de este problema se pueden resumir en: 50 x - 75 24 - 560 x - 60 - 4020 10 60 24 x50  560  N billetes (S/.10) = 50  10 60 x75  4020 = 16 N Alumnas = = 32 75  60 N billetes (S/.50) = 24 – 16 = 8 Esta es la regla práctica del método de REGLA CONJUNTA la falsa suposición, llamada REGLA DEL ROMBO, que consiste en ubicar la Es un método que nos permite información del problema en los cuatro determinar la equivalencia de dos vértices del rombo, de la siguiente elementos. manera: Procedimiento: M 1. Colocar la serie de equivalencias formando columnas. 2. Procurar que en cada columna no NE VT se repitan los elementos; si se repiten cambiar el sentido de la equivalencia. m 3. Multiplicar los elementos de cada columna. donde: 4. Despejar la incógnita. NE : Número total de elementos. Ejemplo 7: Si 4 soles equivale a una M : Mayor valor unitario. libra esterlina; 3 yenes equivale a 2 m : menor valor unitario. libras esterlinas; 5 marcos equivale a 6 VT : Valor total. yenes; y 9 marcos equivale a 6 pesetas. Si se desea calcular el número de elementos que tienen el menor valor ¿Cuántas pesetas equivale a 16 soles? unitario, se procede de la siguiente manera: Resolución: S/. 4   1 l.e. NExM  VT 2 l.e.   3 yenes N = 6 yen.   5 marcos M m 9 mar.   6 pesetas X pes.   S/. 16 Ejemplo 6: En una billetera hay 24 billetes que hacen un total de 560 4.2.6.9.X = 1.3.5.6.16 soles. Si solamente hay billetes de 50 y X = 10/3 10 soles, cuántas eran de cada clase? EJERCICIOS 6. Un ómnibus que hace su recorrido de Lima a Huaral, y en uno de sus 1. Se ha pagado una deuda de S/. 170 viajes recaudó en total la suma de con monedas de S/. 5 y S/.2. El S/. 228. El precio único del pasaje número de monedas de S/. 2 es es de S/. 6.00, cualquiera que sea el mayor que la de S/. 5 en 15. punto donde baje o suba el ¿Cuánto suman las monedas de S/. pasajero; cada vez que bajó un 5 y S/. 2? pasajero subieron 3 y el ómnibus Rpta ........................................... llego a Huaral con 27 pasajeros se desea saber el N° de pasajeros que 2. Un carnicero compró 152 kg de llevaba el ómnibus al salir de Lima carne a S/. 15 el kg, después de haber vendido 32 kg a S/. 18 el kg. Rpta ........................................... guarda la carne por varios días y se le malogra el 30%. ¿A como debe 7. Hallar el mayor de dos números vender el kg de lo que le queda sabiendo que la suma es el máximo para ganar en total 144 soles? número de 3 cifras y su diferencia es el máximo número de 2 cifras. Rpta ........................................... 3. Compre varios radios portátiles por Rpta ........................................... $2800; vendí parte de ellos en $900 a $60 cada radio perdiendo 8. En una fiesta en la cual hay 42 $20 en cada uno. ¿A como debo personas, la primera dama baila con vender cada uno de los restantes 7 caballeros; la segunda dama con para que pueda ganar $ 500 en la 8; la tercera con nueve y así venta total? sucesivamente hasta que la última Rpta ........................................... baila con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros asistieron? 4. Un tanque de agua de 540m³ de capacidad, puede ser desaguado Rpta:.......................................... mediante 3 bombas A, B y C colocadas equidistantemente de arriba hacia abajo; los caudales 9. Si le pago S/. 15 a cada uno de mis respectivos son de 3; 10 y empleados, me faltarían S/. 400, 5m³/min. Si estando lleno el tanque pero si sólo le pago S/. 8 me se ponen en funcionamiento las sobrarían S/. 160. ¿Cuántos bombas. ¿En que tiempo será empleados tengo? desaguado totalmente? Rpta:.......................................... Rpta ........................................... 5. Para la elección de la Junta Directiva 10. Un padre va al cine con sus hijos y del mejor equipo del mundo “TODO al sacar entradas de S/. 3 observa SPORT” se presentaron tres listas A, que le falta para 3 de ellos, y B y C, 150 hombres no votaron por entonces tiene que sacar entradas C; 170 mujeres no votaron por B; de S/. 1,50. Así entonces entran 90 hombres votaron por C; 180 todos y aún le sobran S/. 3 votaron A y 50 hombres votaron por ¿Cuántos eran los hijos? B. ¿Cuántos fueron los votantes y que lista ganó, si 200 votaron por Rpta: ........................................ B? Rpta ........................................... 11. Mientras iba al mercado a vender sus sandías un comerciante pensaba: si los vendo cada uno a mencionado: lo elevo al cuadrado, S/. 18, me compraré mi terno y me restó tres a la potencia, dividió sobrarán S/. 60; pero si los vendo a entre dos la diferencia, elevó al cubo S/.20 cada uno, me sobrarían S/.90 el cociente, le agregó nueve a la luego de comprarme mi terno. ¿Qué potencia, le extrajo la raíz cuadrada precio tiene el terno? a la suma y finalmente multiplico por 9 la raíz, obteniendo de esta Rpta: ......................................... forma 54. Calcular el duplo del número elegido. 12.Para ganar S/. 28 en la rifa de una radio se hicieron 90 boletos, Rpta.: ...................................... vendiendo únicamente 75 y originando una pérdida de S/. 17. 17.Dos amigos decidieron jugar una ¿Cuál es el valor de la radio? partida de cartas con la condición que el que pierda duplicará el dinero Rpta: ......................................... del otro. Si cada uno ha perdido una partida quedándole a cada uno 13.A un número le sumamos 2; luego S/.40. ¿Cuánto tenían inicialmente lo multiplicamos por 10 al resultado cada uno? le sumamos 14 y obtenemos 54 como resultado final. De qué Rpta: ......................................... número se trata. 18. A, B, C deciden jugar teniendo en Rpta: ......................................... cuenta la siguiente regla que el perdedor deberá duplicar el dinero 14.Se tiene un número de dos cifras al de los demás. Pierden en el orden cuál se le multiplica por 4, luego se indicado y al final quedaron como le suma 36, se le divide entre 2, sigue A con S/. 16, B con S/. 24 y C nuevamente lo multiplicamos por 3 con S/. 60. ¿Cuánto tenía A al para al final restarle 33, obteniendo principio? como resultado final el máximo Rpta: ………………………………………… número de 2 cifras. Dar como respuesta la suma de las cifras de 19. Tres amigos están jugando con la dicho número. condición que aquel que pierda deberá duplicar el dinero de los Rpta:.......................................... otros dos. Si cada uno ha perdido una partida quedándole luego de la 15.Paquito ha pensado un número en la tercera partida con S/. 60 c/u; cuál le realiza las siguientes dígase cuánto tenía inicialmente operaciones consecutivas; le agrega c/u. 2 a este resultado lo multiplica por 4 luego le merma 4, este resultado le Rpta:………………………………………………… extrae la raíz cuadrada, luego lo divide entre 2 y por último le quita uno; obteniendo como resultado final uno. ¿Cuál es el número? Rpta: ......................................... 16.Una niña escogió un número con el cual realizó las siguientes operaciones en el orden La facultad de observación y percepción 2. Si sólo observamos y utilizamos de cambios en muchas situaciones nuestra memoria registramos estas visuales está unida con la lógica y la imágenes: memoria. Es necesario por eso, plantearse este tipo de situaciones, tales como las que aparecen en esta lista preliminar: 1 2 3 4 - Comparar dos objetos para notar si son idénticos - Encontrar un objeto oculto, basándose en un modelo. 5 6 - Enumerar y contar el conjunto de objetos observados - Descubrir el trazo de un recorrido Los números indican los 6 triángulos oculto. reconocidos. - Elegir un recorrido óptimo entre varias rutas disponibles, etc. Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay en Para algunos de estos problemas se la figura? dispone de ciertos métodos sistemáticos o algunas fórmulas pre establecidas, mientras que para otros sólo podemos contar con nuestra intuición e imaginación para obtener la solución. Haremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen. I. CONTEO DE FIGURAS Resolución: Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos se pueden Asignándole letras a las figuras más observar en la figura? pequeñas A a b c g f d e h B C D E Tenemos que la cantidad de triángulos Resolución: buscados son: Podemos contar de dos formas: con 1 letra a, b, c, d, g, h  6 1. Si utilizamos los vértices para 2 letras ab; bc; ad; be; cf; de; fg 7 identificarlos tendremos los 3 letras  abc; cfh 2 siguientes triángulos: 4 letras  abde; defg; defh 3 ABE, ABC, ACD, ADE, ABD y ACE 5 letras  bcefh 1 = 6 triángulos 7 letras  abcdefh 1  Total = 20 Ejemplo 3: ¿Cuántos segmentos hay Resolución: en la siguiente figura? Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. A B C D E Entonces, para n = 5 Nº 5(6) triángulos = = 15 Resolución : 2 Si asignamos a cada uno de los pequeños segmentos una letra (e), Ejemplo 5: Cuántos cuadriláteros hay tenemos: en la figura? e e e e A B C D E Con 1 letra: 4 segmentos Con 2 letras: 3 segmentos Con 3 letras: 2 segmentos Con 4 letras: 1 segmento. Resolución: Calcularemos primero Total de segmentos: los cuadriláteros que habrían sin las S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ó líneas horizontales interiores y luego S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 los cuadriláteros que habrían sin las líneas verticales interiores. Sumando miembro a miembro: Es decir: 2 S = 5+5+5+5 = 20 Es decir que para 4 “e”, tenemos: 4(5) S= = 10 2 Generalizando, para “n” espacios, tenemos 4(5) Nº de cuadriláteros = = 10 n(n  1) 2 N Seg. = 2 Nota: Esta expresión matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. 3(4) Nº de cuadriláteros = = 6 2 Ejemplo 4: Cuántos triángulos hay en la figura? Luego, al superponerlos, se multiplican  Nº cuadriláteros = 10 x 6 = 60 II. FIGURAS DE TRAZO CONTINUO - Cualquier otra situación diferente a Es posible dibujar algunas figuras con los dos casos, no da lugar a realizar trazo continuo, esto es, sin recorrer dos la figura de un solo trazo. veces la misma línea y sin levantar el - Si deseamos dibujar de un solo lápiz del papel. Con otros resulta trazo, una figura con mas de dos imposible hacerlo. vértices impares, repetiremos como i2 Ejemplo 6: ¿Cuáles de las figuras mínimo líneas; donde “i” es el 2 siguientes se puede dibujar con un solo número de vértices impares. trazo? Ejemplo 7: ¿Cuáles de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por la misma línea? a b A B C c d Ejemplo 8: Como mínimo una araña Sólo las figuras a, b y d se pueden emplea 5 minutos en recorrer todas las dibujar de un solo trazo. aristas de un cubo construido de La figura “c” es imposible trazarla, a alambre de 60 cms. de longitud. ¿Cuál menos que se repita un segmento. es el tiempo que emplea en recorrer una arista? * Las razones se basan en una teoría que se conoce desde la época de Resolución: Leonard Euler (1759) y de la cual Para emplear el mínimo tiempo en extraemos algunos principios. recorrer una arista, la araña debe iniciar un recorrido en uno de los vértices. - Para que una figura se pueda dibujar Debido a que los 8 vértices son impares de un solo trazo; es decir, sin levantar no podrá hacer el recorrido sin repetir el lápiz del papel y sin repetir ninguna algunos de ellos. línea, es necesario estar en alguno de  el mínimo de aristas que repite en su los siguientes casos: 82 recorrido será: =3 Caso I: Todos los vértices de la figura 2 dada deben ser pares; entendiéndose  recorrió: 12 + 3 = 15 aristas como vértice par aquel punto o nudo donde concurren un número par de Resolviendo por regla de tres simple, líneas. tenemos: La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los vértices y concluir en el 15 aristas 5 min < > 300 seg. mismo. 1 arista x 1x300 x= = 20 seg Caso II: La figura debe tener sólo dos 15 vértices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los vértices impares y concluir en el otro vértice impar. PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Calcular el número de triángulos en la figura Rpta. .................... 7. Rpta. .................... 2. Rpta. .................... 8. 1 2 3 4 . .5 . . Rpta. .................... . . 98 99 3. 100 Rpta. .................... 9. Calculo del N° de cuadriláteros Rpta. .................... Rpta. .................... 10. 4. Rpta. .................... 11. Rpta. .................... 5. Calcule el número de segmentos A Ñ O 2 0 0 4 Rpta. .................... Rpta. .................... 6. 12. ¿Cuántos cuadrados se pueden contar como máximo en un 16. ¿Cuántos cubos se contarán como tablero de ajedrez? máximo en el siguiente sólido? Rpta. .................... 13. ¿Cuántos cuadrados se: a) Observan en la siguiente figura Rpta. .................... 17. Para esta torre de 3 pisos se han utilizado 36 cubos. ¿Cuántos cubos serán necesarios para construir una torre similar de 20 pisos? b) ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay en la figura? Rpta. .................... 14.¿Cuántos agudos se pueden contar en las siguientes figuras? Rpta. .................... a) b) A B 18. ¿Cuántas de las figuras siguientes se puede dibujar con un solo trazo C continúo ni pasar dos veces por o D una misma línea? E F Dar como respuesta “a + b” Rpta. .................... (I) (II) (III) (IV) 15. ¿Cuántos cubos como máximo hay en el siguiente sólido? (V) (VI) (VII) (VIII) Rpta. .................... Rpta. .................... 19. Aquí mostramos los planos de TAREA DOMICILIARIA ciertos departamentos. ¿Cuál o cuales de ellos se prestan para 1. En la figura ¿Cuántos triángulos pasar por todas las puertas de hay? una sola vez empezando y terminando afuera? a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 2. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? a) 6 (1) (2) b) 7 20. ¿Cuántas rutas mínimas c) 8 diferentes se tiene para llegar al d) 9 punto “B” partiendo de “A”? e) 10 A 3. En nuestro tablero de ajedrez A trazamos la diagonal principal, ¿Cuántos triángulos contaremos como máximo? B B a) 72 b) 86 c) 98 (I) (II) d) 110 e) 126 4. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo 21. De cuántas maneras puedo leer menos tengan un asterisco hay en “INGRESO” en la siguiente la siguiente figura? distribución I N N G G G R R R R E E E E E a) 36 b) 49 c) 75 d) 81 e) 69 S S S S S S O O O O O O O 5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? a) 40 b) 48 c) 52 d) 60 e) 72 6. ¿Cuáles de las siguientes figuras 10. ¿Cuántos triángulos se pueden se puede dibujar, sin levantar el contar en la siguiente figura? lápiz del papel, ni pasar dos veces por la misma línea? a) 15 (Indicar Si o No) b) 17 c) 19 d) 21 e) 23 11. ¿Cuántos cuadriláteros hay en esta figura? 7. ¿Cuántos sectores circulares a) 35 presentan en su interior un *? b) 37 c) 39 d) 41 e) 42 * 12. De cuántas formas se podrá leer * * la palabra “UNAC” * a) 6 Rpta. .................... U N A C b) 8 8. ¿Cuántos cuadriláteros hay como N A C U c) 10 máximo en cada una de las A C U N siguientes figuras? d) 20 e) 24 C U N A 1 2 3 . Rpta. .................... . . . . 13. ¿Cuántos triángulos y cuántos . n cuadriláteros hay en la figura? n+1 9. ¿Cuántos triángulos se contarán a) 12; 10 en la siguiente figura? b) 10; 18 c) 12; 12 a) 19 d) 8; 10 e) 12; 8 b) 21 c) 23 14. Se tiene monedas de las mismas dimensiones. El número máximo d) 25 de monedas tangentes dosadas e) 27 que pueden colocarse tangencialmente alrededor de una de ellas es: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 CONCEPTO: Es un procedimiento Si se trata de operar ( 1  2 )  4, matemático que sirve para transformar, se procede por partes y desde los sujeto a ciertas reglas, una o varias símbolos de colección; es decir, cantidades en otras; basándonos en el empezando por la pareja entre principio de valor numérico; es decir, paréntesis. cambiando letras por números. OPERACIONES DEFINIDAS POR OPERADOR: Es un símbolo arbitrario TABLAS: que sirve para representar a una En lugar de una ley de formación, para determinada operación matemática y obtener el resultado, la operación esta sujeto a una determinada regla de binaria puede presentar estos definición. resultados en una tabla. OPERACIÓN MATEMATICA: Consiste Ejemplo 2: Para números enteros en la asociación de una pareja de definimos las siguientes operaciones: números para obtener uno nuevo que es resultado de la operación. La a * b = a2 – b ; adición, sustracción, multiplicación y a  b = 3ª - b2; y división son ejemplos de operaciones a  b = 2a +3b matemáticas. Se pueden definir “nuevas operaciones” asignándoles Si x * x = 12 ; un operador que las distinga de las que y  y = - 10 ; ya conocemos, empleándose por lo general un asterisco (*) o cualquier Hallar el valor de x  y ; para x e y otro símbolo. No debemos olvidar que positivos cada “nuevo” operador debe acompañarse de la regla o ley de Resolución: formación que la define. Aplicando la operación a* b en x * x, tenemos: ESTRUCTURA: x2 - x = 12 Operador x2 - x – 12 = 0 a*b = a + b + ab (x–4)(x+3)=0  x = 4; x = -3 Operación binaria Ley de formación Aplicando la operación a  b en y  y , Ejemplo 1: Si se define la operación tenemos: a  b según la regla siguiente: 3y – y2 = - 10 a  b = a + b + 2ab y2 – 3y – 10 = 0 Hallar: 3  5 (y – 5) (y + 2) = 0  y = 5 ; y = -2 Resolución:  como x e y deben ser positivos: Para operar 3  5 ; reemplazamos a = 3 y b = 5; en la x  y = 4  5 = 2 (4) + 3 (5) = 23 regla de definición dada:  3  5 = 3 + 5 + 2( 3 x 5 ) = 8 + 2(15) = 8 + 30 = 38  NOTA: Ejemplo 3: Dada la tabla En la tabla no encontramos el resultado para 4  7 ; pero como los elementos * 7 5 2 distribuidos en el interior de la tabla son resultados de una ley de formación 3 7 5 4 para una operación binaria, nuestra tarea será ahora hallarla. 8 8 3 1 De la tabla observamos que: 9 10 1 2 13=3 que proviene de 1 + 3 - 1 24=5 2+4–1 Hallar:  ( 8 * 7 ) * 5  * 2 43=6 4+3–1 Resolución: Generalizando: Partimos de la operación binaria a * b ab=a+b-1 de modo que el primer elemento se ubica en la primera columna y el  4  7 = 4 + 7 – 1 = 10 segundo elemento en la primera fila. 63=6+3–1= 8 Por lo que el resultado de 8 * 7 se ubica en la intersección de estos Finalmente: 10  8 = 10 + 8 – 1 = 17 números. OPERACIONES COMO FUNCIONES: 7 Probablemente se recordará la típica * frase “f de x”; de ciertas tareas escolares, que usualmente escribimos “f(x)”; esta notación es la función. 8 8 No parece evidente pero cada operador es una función en la que empleamos x para indicar lo que ingresa como dato y f(x) para indicar lo que se obtiene (el Es decir que: 8 * 7 = 8 resultado)  nos queda ( 8 * 5 ) * 2 Procediendo de manera semejante, Así, la operación: tenemos que 8*5=3 Finalmente: 3*2=4 x = 2 x2 + 1 Ejemplo 4: Se puede escribir: Se define la operación a  b, según la tabla adjunta. f (x) = 2 x2 + 1  1 2 3 4 Del mismo modo: 1 1 2 3 4 3 X  2Y X#Y = 2 2 3 4 5 5 3 3 4 5 6 Se puede escribir: 4 4 5 6 7 3 X  2Y f(X,Y) = 5 Hallar: (47)(63) Resolución: Ejemplo 5: Si definimos: Resolución: 2 f (x ) = 2x + 1 Al no tener definida la operación Hallar: f(1) + f(0) triángulo, debemos despejar de la segunda expresión, aplicando la Resolución: primera; es decir: Por comparación hacemos que: Si x = 1  f(1) = 2.12 + 1 = 3 = + 24 Si x = 0  f(0) = 2.02 + 1 = 1 x x x Luego: f(1) + f(0) = 3 + 1 = 4 Pero por definición de la segunda Ejemplo 6: Si F(2x + 1) = x - 1 operación, tenemos: Hallar: F(3x – 2) Resolución: 4 x – 40 = + 24 En este tipo de problemas seguiremos x x el siguiente procedimiento: - Igualamos los dos argumentos 2 2x + 1 = 3x - 2 X + 24 X = 4 X - 40 - Despejamos el “x” que nos dan en función de la “x” que nos piden 2x = 3x - 3 2 3x  3 X + 24 X + 144 = 4 X – 40 + 144 x = 2 - Finalmente, reemplazamos en la 2 función que nos dan Es decir: + 12 = 4 X + 104 X 3x  3 3x  5 F(3x – 2) = -1 = 2 2 OPERACIONES COMPUESTAS X Consiste en combinar dos o mas + 12 = 4 X  104 operadores, con sus respectivas leyes de formación, incluyendo en una de ellas una operación desconocida; la cual X =2 X  26 - 12 hay que definirla empleando las operaciones dadas. Ejemplo 7: Se define en los R:  Aplicando la regla de formación de esta nueva operación: a = a(a + 24) 23 = 2 23  26 - 12 = 2 x 7 – 12 = 4x - 40 x =2 Calcular 23 Ejemplo 8: Se define las operaciones OPERACIONES BINARIAS Consiste en la asociación de un par de n = 2n – 5 elementos de un conjunto para obtener uno nuevo, que es resultado de la operación. n =2 n Pueden emplearse diferentes signos para indicar una operación binaria; las Hallar “x”, en: más usadas son: *; . * Cuando el resultado de la operación x = 6 - 3 es un elemento del conjunto de partida se dice que el conjunto es cerrado (C) respecto a la operación definida; en caso contrario se dice Resolución: que el conjunto es abierto (A) Reemplazando la primera operación en respecto a la operación. la segunda, tenemos: Ejemplo: en el campo de lN n = 2 ( 2n – 5 ) = 4n – 10 3 + 4 = 7  lN  C 3 - 4 = -1  lN  A Entonces, resolviendo por partes 3 x 4 = 12  lN  C 3  4 = 0,75  lN  A 6 = 4 (6) – 10 = 14 * Propiedades: Reemplazando en 1. Conmutativa: a,b  M 6 = 14 = 2(14) – 5 = 23 a*b = b*a 2. Asociativa: a,b,c  M Luego: (a*b)*c=a*(b*c) 3 = 2 (3) – 5 = 1 3. Distributiva: a,b,c  M Reemplazando en: a*(b#c) = (a*b) # (a*c) 3 = 1 = 4 (1) – 10 = - 6 En este caso la operación * es distributiva respecto a la operación # 4. Elemento neutro Por lo tanto: a  M  e/a* e = a e : elemento neutro x = 23 – ( - 6 ) = 29  En el caso de la adición e=0  a+0=a Finalmente; aplicando , tenemos  En el caso de la Multiplicación 2x – 5 = 29  x = 17 e=1  ax1=a 5. Elemento inverso Ejemplo 10: Si se define la operación mediante la tabla adjunta a  M  a-1/a *a-1 = e a-1 : Elemento inverso * 5 6 7 En el caso de la adición. 5 5 6 7 a-1 = -a  a+(-a) = 0 6 6 7 5 En el caso de la multiplicación 1 1 7 7 5 6 a-1 =  a. =1 Hallar: (5-1 * 6-1) * 7 a a Ejemplo 9: Se define la operación * Resolución mediante la sgte. tabla: 1o Calculamos el elemento neutro 5* = 5  =5 * a b C d 2o De la tabla obtenemos los inversos a c d A b de 5 y 6 b d a B c 5-1 = 5 c a b C d 6–1 = 7 d b c D a  (5-1 * 6-1) * 7 = (5*7) * 7 =7*7=6 Hallar “x” en: a-1 * b-1 = x * c Resolución: EJERCICIOS 1. Si: p # q = 2q – 5p 1o Calculamos el elemento neutro Hallar: E = (3#7) # (2#6) a* = a =c Rpta: .............................. 2o Marcamos en la tabla c 2. Si (x + 1) * 2y = x(y + 1) * a b c d Hallar: 3*6 a c d a b b d a b c Rpta : ............................. c a b c d d b c d a 3. Si: m * n = 2m + 3n - 1 Hallar “x”, en : 3o Hallamos los inversos (x – 1) * (2x + 2) = 15 respectivos Rpta: .............................. a-1 = a 4. Si: b-1 = d ab c-1 = c a & b = ; a>b 3 d-1 = b ba a & b = ; a<b  a-1*b-1 = x * c 4 a*d = x * c Hallar: b =x*c E = ( 17 & 8 ) & ( 11 & 31 ) x =b Rpta: .............................. 5. Si: f(x) = x3 - 1 g(x) = 2x + 1 10. Si: Hallar: a * b2 = 2 ( b * a2 ) - ab E = f (g ( f ( g ( -1 ) ) ) ) Calcular: Rpta: .............................. 3*2 E 6 6. Si: # a b c d a a a a a Rpta: .............................. b a b c d c a c c a d a d a d 11. Si: a*b = 4a Hallar (a # c) # a + (b # d) # c [ (a # b) # ( c # d )] # d = (a-1)2 + 4 a Rpta: .............................. Calcular: 10 * 87 m2n – 3mn Rpta: .............................. 7. Si: m#n= 14n 12. Si: Hallar: n(n  1) E = 7 # { 7 # [ 7 # ( .... ) ] } n = 2 Rpta: .............................. Calcular “ X “, en: 8. Si: a =2 a ; A = 21 Además a = (a2 + 5a ) / 3; y A=2X+1 a * b = a . b-1 Rpta: .............................. Hallar: 13. Si: P(x) = x2 + xy + xz + yz * 3 Calcular: 1 P ( y ).P ( z ).P (o) Rpta: .............................. Rpta: .............................. 9. Si: f(n) = n f(n-1) ; 14. Hallar: f ( f (5 )) Además f(6) = 7200 Sabiendo que: Calcular: f(2) – f(1) P[ f (x+1) = x-1 , y Rpta: .............................. P(x-2) = x-3 Rpta: .............................. 15. Si: 19. Si se define la operación x = x2 - 9 mediante la tabla adjunta * 3 4 5 6 x 3 6 3 4 5 = x (x+6) 4 3 4 5 6 Calcular: 5 4 5 6 3 6 5 6 3 4 E= 2 + 2 - 2 Hallar x en: 16. Sea la tabla:  3 4 5 (x-1*3)-1*(6-1*4-1)-1 = 5-1 3 A 5 7 Rpta: .............................. 4 5 V 11 5 7 11 R Calcular: A + V + R Rpta: .............................. 17. Se define: a * b3 = a – b 2 Calcular: ( 4*27) * (6 2 * 512) Rpta: .............................. 18. Sabiendo que: x-1 = 3x +2 x+1 = 9x – 10 Hallar la expresión equivalente a x+2 -8 Rpta:.............................. En este capítulo vamos a plantear  Como el nadador es el más joven, situaciones en los que solo Luis no puede ser nadador (ya que necesitaremos una pequeña dosis de es el de más edad). concentración para dar con la respuesta  Luis no juega básquet, ya que es debida; sin necesidad de recurrir a la vecino del basquetbolista. teoría matemática, sino al sentido  Juan es menor que el tenista, luego común. Juan no es el tenista.  Juan no juega básquet, ya que el Veremos problemas sobre: basquetbolista es mujeriego y Juan - Test de decisiones. es tímido. - Cortes y Estacas. - Parentesco (Relaciones familiares) Colocando en un cuadro todo lo - Máximos y Mínimos. Certezas analizado, tendremos: - Orden de Información - Razonamiento lógico. Natación Básquet Fútbol Tenis - Razonamiento Inductivo-Deductivo. Juan NO NO NO Mario NO TEST DE DECISIONES: Luis NO NO Está formado por problemas con un Jorge aparente caos en su redacción, donde existen muchos datos en desorden, los Como cada personaje practica sólo un deporte, en que pueden ser ordenados por lo cada columna debe haber un SI y en cada fila general en cuadros. también; Esto hace que si una fila y columna tienen en este caso tres veces NO, el cuarto Ejemplo 1: En un club se encuentran casillero se completa con SI. cuatro deportistas cuyos nombres son: Entonces el cuadro completo será: Juan, Mario, Luis y Jorge. Los deportes Natación Básquet Fútbol Tenis que practican son: natación, básquet, Juan NO NO SI NO fútbol y tenis. Cada uno juega sólo un deporte. Mario NO SI NO NO - El nadador, que es primo de Juan, es cuñado de Luis NO NO NO SI Mario y además es el más joven del grupo. Jorge SI NO NO NO - Luis que es el de más edad, es vecino del básquetbolista, quien a su vez es un Por lo tanto, el que practica básquet es mujeriego empedernido. Mario. - Juan que es sumamente tímido con las mujeres y es 7 años menor que el CORTES Y ESTACAS: tenista. ¿Quién practica básquet? Si tuviéramos una varilla de 12 cm, necesitamos hacer un corte para lograr Resolución: dos piezas iguales, o dos cortes para Analicemos con cuidado: lograr tres piezas iguales o tres cortes para lograr cuatro piezas iguales.  Si el nadador es primo de Juan, Representamos esto gráficamente: entonces Juan no es nadador.  Como el nadador es cuñado de 12 Mario, entonces Mario no es nadador. 6 6 12 Nº de Cortes = 1 = -1 12 6 12 3 3 3 3 4 4 4 12 Nº Estacas = 5 = +1 12 3 Nº de Cortes = 2 = -1 4 En general : 12 LT ....... 3 3 3 3 LU LU LU 12 Nº de Cortes = 3 = -1 Nº ESTACAS = Lt +1 3 Lu En el último ejemplo, 12 es la Longitud Total (Lt) de la varilla y 3 es la Longitud Ejemplo 2: Un joyero cobra S/.5 por de cada pieza o Longitud Unitaria (LU), dividir una barra de hierro en dos de modo que en general: partes. Cuánto se tendrá que pagar si debe partirla en 7 pedazos? * El Nº de CORTES que podemos hacer en una varilla estará dado por la Resolución: siguiente relación: Con 1 corte obtenemos 2 pedazos 2 cortes 3 pedazos Lt 3 cortes 4 pedazos Nº CORTES = -1 : : Lu  6 cortes 7 pedazos  Pago = 6 x 5 = S/.30 * Para considerar el hecho de colocar postes o estacas, cada cierta distancia; como en el caso de PROBLEMAS SOBRE PARENTESCO cortes, lo consideramos gráficamente: Algunos problemas lógicos - deductivos 12 interrogan sobre el número de integrantes de una familia, sobre un 6 6 tipo especifico de relación familiar, etc. La resolución, en algunos casos, consiste en tener presente que cada 12 uno de nosotros, dentro de nuestra Nº ESTACAS = 3 ó Nº ESTACAS= +1 familia, desempeña diferentes roles; 6 así, se puede ser al mismo tiempo 12 padre, hijo, hermano, esposo, etc. Ejemplo 3: En una familia se notan 2 4 4 4 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. Al menos, cuántas personas conforman esta familia? 12 Nº Estacas = 4 = +1 4 Resolución: “Por lo menos” , “Al menos” sirven para Resolución: expresar la mínima cantidad. Judith 2 hermanos Jessica PAPA MAMA TIO Soledad MAMA MAMA Susy 2 esposos  La menor es Susy. b) Ordenamiento horizontal: se 3 HIJAS aplica para ordenamiento de personas en una hilera o sentados 3 hermanas en butacas o uno al lado de otro; 3 sobrinas para autos en hilera, entre otros.  Mínimo nº de personas = 6 Ejemplo 6: Seis amigos: A, B, C, D, E, PROBLEMAS SOBRE MAXIMOS Y F; se sientan en seis asientos MINIMOS contiguos en el cine. A se sienta junto y Ejemplo 4: Una urna tiene 15 bolas a la izquierda de B; C está a la derecha negras, 12 rojas y 9 amarillas. Cuál es de A, entre F y D; D está junto y a la mínima cantidad que debo sacar para la izquierda de E; F está a la izquierda tener al menos una de cada color? de E. Quién ocupa el cuarto asiento, si los contamos de izquierda a derecha? Resolución: Supongamos que la primera bola que Resolución: se extrae es negra (son las que mas Ubicando de acuerdo a la información, hay); luego necesito sacar una roja y tenemos: finalmente una amarilla para tener una Izquierda Derecha de cada color; pero la próxima puede A B F C D E seguir siendo negra y asÍ sucesivamente.  el 4º asiento es ocupado por C Por lo tanto, las primeras bolas que se extraen son las 15 de color negro; las c) Ordenamiento circular: se aplica siguientes serán las 12 de color rojo y cuando un conjunto de seres se finalmente se sacará una de color ordenan alredor de una mesa amarillo. circular o eliptica, o juegan a la  Bolas extraídas = 15 + 12 + 1 = 28 ronda. Ejemplo 7: Seis amigos están ORDEN DE INFORMACIÓN sentados alrededor de una mesa Los principales casos son: eliptica. Si se sabe que Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José. a) Ordenamiento vertical: se aplica Fernando no está al lado de Gustavo ni para el ordenamiento de alturas de José. Enrique no está al lado de tamaños, edades, puntajes Gustavo ni de Fernando. Pedro está obtenidos por personas, entre otros. sentado junto a Enrique, a su derecha. Quién está sentado a la izquierda de Ejemplo 5: Judith es mayor que Susy. Enrique. Soledad es menor que Jessica. Susy es menor que Soledad. Quién es la menor? Resolución: RAZONAMIENTO INDUCTIVO Ubicando de acuerdo a la información Es aquel tipo de razonamiento que tenemos: partiendo de casos particulares llega a una conclusión en general: J G Ejemplo 9: ¿Cuántos triángulos simples, en total, hay en la figura? E L 1 P F 2 3  JOSÉ es el que está sentado a la izquierda de Enrique. RAZONAMIENTO LÓGICO: 19 A continuación abordaremos problemas que no requieren de alguna teoría 20 matemática compleja, sólo nuestro sentido lógico. Resolución: Si asignamos letras a las figuras Ejemplo 8: Mañana será el ayer del pequeñas, ellas sólo serían los antes de ayer del mañana del sábado. triángulos simples. Que día fue ayer?  Contando, en forma acumulada, por Resolución: filas, tendremos: Empezamos por el final; es decir: Mañana del sábado : Domingo. Hasta la fila: Total de triángulos: Antes de ayer del domingo: Viernes Ayer del viernes : Jueves. 1 1 = 12 2 4 = 22  Mañana será jueves 3 9 = 32 Hoy es Miércoles. 4 16 = 42 : :  Ayer fue MARTES. 20 202  Tendremos en total 400 triángulos simples. RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Es aquel tipo de razonamiento que partiendo de una conclusión general se llega a verificar una premisa particular. Ejm 10: Los hijos de la señora Carmela son inteligentes. Laura, es hija de la señora Carmela.  Laura es inteligente. son hijas únicas. Carmen y Sonia EJERCICIOS son amigas de la odontóloga, la cual está de novia. ¿Quién es la 1. Tres hombres se encuentran en la abogada? calle: el señor Prado, el señor Iglesias y el señor Mercado. Rpta:………………………………………… El señor Prado dice: - “Uno de nosotros vive al costado 5. En una reunión del directorio de de un prado, otro al costado de una empresa se encuentran: el una iglesia, y otro al costado de presidente, el vicepresidente, el un mercado, pero ninguno vive secretario y un trabajador de la al costado del sitio que lleva su empresa, cuyos nombres (no nombre” necesariamente en ese orden) son: - “Pues es verdad”, dice el hombre Emilio, Ricardo, Samuel e Inocencio que vive al costado de un Se sabe: mercado - Samuel y el trabajador son muy ¿Podrías decir al costado de qué vive amigos. el señor Iglesias? - Ricardo es primo del secretario - Emilio y el vicepresidente no se Rpta:………………………………………… llevan bien - El presidente y el trabajador son 2. Raúl, Carlos, Pedro y Miguel tienen amigos de Inocencio. diferentes ocupaciones: - El secretario se llama Emilio - Raúl y el profesor están enojados ¿Quién es el presidente y quién es el con Miguel. trabajador? - Carlos es amigo del ingeniero - El médico es muy amigo de Rpta:………………………………………………… Pedro y del Ingeniero. - Raúl desde muy joven se dedicó 6. Cuatro amigos viven en un edificio a vender abarrotes de cuatro pisos. Arturo vive en el ¿Cuál es la ocupación de Pedro? primer piso, Mario vive más abajo que Jorge y Willy vive un piso más Rpta:………………………………………………… arriba que Mario. ¿En que piso vive Jorge? 3. Manuel es 4 años menor que Alberto, Raúl es un año mayor que Rpta:………………………………………………… Pedro, Raúl es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años mayor que 7. En cierto campeonato de fútbol (a Juan. Al restar la edad de Alberto y una sola rueda) la siguiente tabla la edad de Pedro, obtenemos: muestra las respectivas posiciones de cada equipo. Rpta:………………………………………………… Equipos PJ PG PE PP Puntos AA 6 6 0 0 18 4. Se sabe que las profesiones de BB 6 5 0 1 15 Adela, Carmen, Katty y Sonia son CC 6 2 1 3 7 arqueóloga, abogada, odontóloga y DD 6 2 0 4 6 profesora, aunque no EE 5 1 2 2 5 necesariamente en ese orden. FF 5 1 1 3 4 Adela está casada con el hermano GG 6 0 2 4 2 de la abogada. Carmen y la Al único que derroto “EE” fue: profesora van a trabajar en la movilidad de la abogada. Las Rpta:………………………………………………… solteras de Katty y la arqueóloga 8. Armando, Benito, Carlos y Daniel 11. Tres estudiantes de Historia, practican los siguientes deportes: Economía e Ingeniería viven natación, atletismo, fútbol y tenis, y en Chiclayo, Lima y Arequipa. viven en los distritos de Los Olivos,  El primero no vive en Lima, ni Breña, San Borja y Miraflores. Se estudia Ingeniería. sabe:  El segundo no vive en Chiclayo y - Carlos no vive en los Olivos ni en estudia Economía Breña.  El Historiador vive en Arequipa. - El atleta vive en los Olivos ¿Qué estudia el tercero y dónde - Armando vive en Miraflores vive? - Daniel es futbolista - El nadador nunca ha emigrado Rpta. .......................................... de San Borja ¿Qué deporte practica Armando? 12.Colocar en las casillas los dígitos del 1 al 8, de modo que 2 números Rpta:………………………………………………… consecutivos no sean contiguos, ni por un lado ni por el vértice. Cuál 9. A una fiesta fueron invitadas tres es la suma de las casillas con parejas de esposos y de ellos se asterisco (*)? tiene la siguiente información: * - Hay dos colombianos, dos bolivianos y dos panameños (varón o mujer) - Alberto es colombiano y la * esposa de Miguel es panameña. - No hay dos hombres de la misma Rpta. .......................................... nacionalidad. - No hay una pareja de esposos de 13.Se tiene 9 bolas de billar, de un la misma nación. mismo tamaño y de un mismo peso, ¿Qué nacionalidad tiene Miguel y a excepción de una bola que pesa que nacionalidad tiene la esposa de más. Empleando una balanza de dos Roberto? platillos sin pesas, cuántas pesadas deben hacerse como mínimo para Rpta:………………………………………………… encontrar esa bola? 10.Tres parejas de esposos asisten al Rpta. .......................................... matrimonio de un amigo. Ellos son Jorge; Alberto y Oswaldo y ellas 14.Expedición : Planeta L son: Rosa, Maribel y Lourdes. Una Biólogo : Profesor K de ellas fue con un vestido negro, Informe : “El tercer día vimos otra de azul y la otra de rojo. La seres extraños, aunque tienen veinte esposa de Jorge fue de negro; dedos en total, como nosotros, Oswaldo no bailó con Maribel en tienen una extremidad menos y un ningún momento. Rosa y la del dedo más en cada extremidad, lo vestido azul fueron al matrimonio de que les da, por cierto, un aspecto Lourdes. Alberto es primo de espantoso” ¿Cuántas extremidades Lourdes. Jorge y el esposo de tienen los seres del planeta L? Lourdes siempre se reúnen con el hermano de Alberto. Entonces es Rpta. .......................................... cierto que: Rpta:………………………………………………… 15. Seis hombres y dos muchachas 20. Sobre una mesa hay 3 naipes en tienen que cruzar un río en una hilera. canoa, en cada viaje puede ir uno Si sabemos que: de los hombres o las dos - A la izquierda del rey hay un As muchachas, pero no un hombre y - A la derecha de una jota hay un una muchacha a la vez. ¿ Cuál es diamante. el número de veces que la canoa - A la izquierda del diamante hay tiene que cruzar el río, en un trébol cualquier sentido, para pasen a - A la derecha del corazón hay una todos? jota. ¿Cuál es el naipe del medio? Rpta. ........................................ Rpta. ...................................... 16. Milagros al acordarse de una persona se puso a pensar de la siguiente manera: “Yo lo conocí un viernes, a los tres viernes siguientes discutí con él y lo deje de ver, lo extraño mucho porque son cinco viernes que no lo veo ¿Qué fecha lo conoció si hoy es Domingo 13 de Mayo?” Rpta. ....................................... 17. Seis personas juegan al póker alrededor de una mesa circular. Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José; Fernando no está al lado de Gustavo ni de José; Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. Si Pedro está junto a Enrique, quién está al frente de Luis? Rpta. ....................................... 18. En un aro de 10m de longitud se desea realizar cortes cada metro de longitud ¿ Cuántos cortes se efectuarán? Rpta. ....................................... 19. Para encerrar un terreno rectangular se sabe que se pueden colocar 8 y 12 columnas por lado y a cada 4m, colocando una columna en cada vértice ¿Cuál es el perímetro del terreno? Rpta. ....................................... Ejemplos: PLANTEO DE ECUACIONES Un número, aumentado en 5 da como suma 23 Para resolver un problema relativo a números o cantidades desconocidas se n + 5 = 23 debe expresar una información escrita S/.6 menos que el costo de un sombrero es S/. 17 en idioma normal, en el simplificado idioma de las proposiciones -6 x matemáticas, las cuales nos permiten  x - 6 = 17 operar con más comodidad y rapidez que otros procedimientos. Esto implica Procedimiento para resolver problemas realizar una especie de traducción de La experiencia nos permite proponer situaciones de la vida real, al que lo esencial para resolver un simbolismo matemático, tarea que problema planteando ecuaciones, constituye el argumento más útil en consiste en la habilidad para seguir todo el proceso de solución. cada uno de los siguientes pasos: A continuación presentamos un listado 1) Representación de las cantidades de frases típicas que suelen aparecer desconocidas o incógnitas por en los problemas, y a un costado su variables (x, y, z, ... etc.). respectiva traducción matemática: 2) Planteo de las ecuaciones que relacionan a las incógnitas con los El resultado de sumar datos del problema. un número a 7 7+X 3) Solución de las ecuaciones planteadas; esto es, determinar los La suma de algún valores de las variables. número y 13 + 13 4) Prueba o verificación de los valores obtenidos para ver si cumplen las El resultado de restar condiciones del problema. a 18 algún número 18 - Z No está demás afirmar que las etapas de representación y planteo, requieren Dos veces la suma de la mayor concentración posible, pues al un número y 5 2( + 5) realizarlas correctamente se asegura una solución del problema. Es por eso Nótese que cada vez que nos hemos que a estas etapas les daremos mayor referido a un número o algún número, énfasis en los ejemplos que en la traducción matemática, ésta se ha presentaremos a continuación. representado por una letra (X,Y,Z) o un Ejemplo 1 símbolo: □ ;  El cuadrado de un número, disminuido Ahora, cuando tengas que traducir una en 9 equivale a 8 veces el exceso del frase a una ecuación, debes determinar número sobre 2. el significado de cada parte y asimismo Hallar el número. tendrás que reconocer qué es lo que vas a reemplazar por una variable. Resolución: Sea “N” el número buscado e interpretando la información, tenemos: N² - 9 = 8 (N-2) N² - 9 = 8N – 16 N² - 8N + 7 = 0 (N-7) (N-1) = 0 Lunes : x N-7 = 0 ó N–1=0 Martes: x+6 N=7 N=1 Miércoles: x + 12 Ejemplo 2 Jueves: x + 18 El exceso de 8 veces un número sobre Además lo del jueves es el cuádruple 60 equivale al exceso de 60 sobre 7 del lunes; Es decir: veces el número. Hallar el número. x + 18 = 4x 3x = 18 Resolución x=6 Sea “N” el número. El miércoles gané: 6 + 12 = S/. 18 Del primer párrafo obtenemos: 8N - 60 Ejemplo 5 Del segundo párrafo obtenemos: El largo de una sala excede a su ancho 60 – 7N en 4 m. Si cada dimensión aumentara 4 Las cuales son equivalentes m, el área aumentaría al doble. Hallar  8N – 60 = 60 – 7N las dimensiones de la sala. 15N = 120 N=8 Resolución Ejemplo 3 Haciendo el esquema de una sala, para Compré el cuádruple del número de la primera condición, tenemos: caballos que vacas, si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas x más, el número de caballos sería 2 veces mayor que el número de vacas. x+4 ¿Cuántos caballos compré? A1 = x (x + 4) Si las dimensiones aumentaran en 4 m Resolución tendríamos: Del primer párrafo encontramos: Caballos: 4x x+4 Vacas : x Del segundo párrafo obtenemos: x+8 Caballos: 4x + 5 Vacas: x + 5 A2=(x+4 )(x+8) Caballos sería 2 veces mayor que vacas Del dato tenemos que: A2 = 2A1 3  (x + 4) (x + 8) = 2x (x + 4) 4x + 5 = 3(x+5) x + 8 = 2x 4x + 5 = 3x + 15 x=8 x = 10  dimensiones 8 m y 12 m.  caballos comprados son: 4(10) = 40 Ejemplo 6 Una mecanógrafa escribe 85 palabras Ejemplo 4 por minuto. Empieza su trabajo a las En cada día, de lunes a jueves, gané $6 8:00 am; y 40 minutos después, más que lo que gané el día anterior. Si empieza otra mecanógrafa que escribe el jueves gané el cuádruplo de lo que 102 palabras por minuto. gané el lunes, ¿Cuánto gané el ¿A qué hora habrán escrito estas el miércoles? mismo número de palabras? Resolución Resolución De la información obtenemos que: La 1º mecanógrafa escribe 85 palabras por minuto, entonces: en x minutos escribirá: 85x hay en el tercero es el cuádruple de lo La 2º mecanógrafa escribe 102 que hay en el segundo; es decir: palabras por minutos, y empieza 40 4(3x) = 12x. min después, entonces: en (x-40) min escribirá: 102 (x-40) Gráficamente Como las mecanógrafas han escrito el mismo número de palabras: 102 (x-40) = 85x 102x – 4080 = 85x 17x = 4080 x = 240 min (4 horas) 12x 4x  hora 8 a.m. + 4 h = 12 m 3x Ejemplo 7 1º 2º 3º En un aula los alumnos están agrupados en bancas de 6 alumnos por Sumando todos los ladrillos debemos banca. Si se les coloca en bancas de 4 tener 950. alumnos por banca se necesitarían 3 4x + 3x + 12x = 950 bancas más. Cuántos alumnos hay en 19x = 950 el aula? x = 50 Primer tabique : 200 Resolución Segundo tabique : 150 Sea N el número de alumnos en el aula Tercer tabique : 600 y “x” el número de bancas. Al agruparlos de 6 en 6 tenemos: Ejemplo 9 N = 6x Se tiene tres números tales que el Al agruparlos de 4 en 4 tenemos: segundo es 4/5 del primero, el tercero N = 4(x+3) es ¾ del segundo y el producto de los Como son iguales entonces tres números es 3840. Hallar el menor. 6x = 4x + 12 2x = 12 Resolución x=6 Sea N1, N2 y N3 los tres números Finalmente N = 6.6 = 36 alumnos 4 N2 4 N2  N1   5 N1 5 Ejemplo 8 Con 950 ladrillos se han hecho tres tabiques. En el primero entran una 3 N3 3 N3  N2   tercera parte más que el segundo, y en 4 N2 4 este la cuarta parte de los que entran De esta proporcionalidad obtenemos en el tercero. ¿Cuántos ladrillos se que: emplearon en cada tabique? N2 = 4K N1 = 5k Resolución N3 = 3K Si la cantidad de ladrillos en el segundo El producto es 3840 tabique consideramos como 3x,  (5K) (4K) (3K) = 3840 entonces la tercera parte será x; por lo 60K3 = 3840 tanto: K3 = 64 Segundo tabique: 3x K=4 Primer tabique: 3x+ x = 4x  el menor es N3 = 3 (4) = 12 Los ladrillos del segundo tabique son la Ejemplo 10 cuarta parte de los del tercer tabique; Se reparte 3000 soles entre 4 personas esto quiere decir también que lo que de tal manera que a la primera le corresponda 400 soles más que a la segunda; a ésta, 4/5 de lo que le corresponde a la tercera; y ésta 100 soles más de lo que le corresponde a la PROBLEMAS PARA cuarta. ¿Cuánto recibió la segunda RESOLVER EN CLASE persona? Resolución 1. Traducir a su respectiva expresión Al repartir los S/. 3000 entre 4 matemática. personas y empezando el análisis entre a) El triple, de un número la 2da y 3era persona, luego entre la 1era aumentando en 8 y la 2da y finalmente entre la 3era y la 4ta b) El triple de un número, tendremos aumentado en 8 P1 = 4k + 400 c) Lo que gana Ana es dos más de P2 = 4K lo que gana Betty 3000 P3 = 5K d) Ana gana dos veces lo que gana P4 = 5k – 100 Betty e) Ana gana dos veces más lo que  4k+400+4k+5k+5k–100 = 3000 gana Betty 18k = 2700 f) Un número es dos veces menos k = 150 que otro número  La segunda persona recibió: g) La edad de María excede a la de 4(150) = S/. 600 Diana en 19 Ejemplo 11 h) Lo que tiene A excede a B, tanto De un tonel de 140 litros se extrae como 100 excede al doble de B tanto como 4 veces no se extrae, de lo i) La suma de cuatro impares que queda se extrae tanto como no se consecutivos equivale al doble extrae. ¿Cuánto queda en el tonel? del mayor, mas 6. j) El doble, del cuadrado de un Resolución número disminuido en 6 equivale Graficando un tonel e interpretando la al exceso de 105 sobre el primera condición, tenemos: máximo número de dos cifras. k) El cuadrado, del doble de un número disminuido en 3 4x 4x + x = 140 5x = 140 2. Al resolver un problema que se x = 28 reduce a una ecuación de segundo x grado un estudiante comete un 140 error en el término independiente  Ha quedado 28 litros de la ecuación y obtiene como Graficando en un tonel lo que a raíces 8 y 2. Otro estudiante comete quedado e interpretando la segunda un error en el coeficiente del condición, tenemos: término de primer grado y obtiene como raíces –9 y –1. La ecuación Y correcta es: y + y = 28 y  y = 14 Rpta:........................  Queda en el tonel 14 litros. 3. Se tienen 48 palitos de fósforo, divididos en 3 grupos, del primer grupo se pasan al segundo tantos palitos como hay en este; luego del segundo grupo se pasan al tercero tantos palitos como este tiene, y lo mismo se hizo del tercero al primero, quedando los tres grupos Rpta:........................ con la misma cantidad de palitos. 10. Un grupo de abejas igual a la raíz ¿Cuántos palitos tenía el primer cuadrada de la mitad de todo el grupo al inicio? enjambre se posó sobre cierta flor, dejando atrás a 8/9 de todo el Rpta:........................ enjambre y sólo una revoloteaba en torno a una flor atraída por el 4. Encontrar un número impar, tal que zumbido de una de sus amigas. al agregarle sus cuatro impares ¿Cuántas abejas forman el consecutivos nos dé un total de enjambre? 555. Rpta:........................ Rpta:........................ 11. Entre 4 hermanos tienen 30 5. Un kilo de manzanas cuestan 3 manzanas. Si el número de soles más medio kilo de manzanas. manzanas del primero se ¿Cuánto cuesta el kilo y medio? incrementa en 1, el del segundo se Rpta:........................ reduce en 4, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a 6. El producto de tres números enteros la mitad, todos tendrán la misma consecutivos es 24 veces el número cantidad. El primero y el tercero central. Calcular su suma. tenían juntos. Rpta:........................ Rpta:........................ 12. Al dividir un número de 3 cifras, 7. En un corral hay gallinas y conejos, entre otro de 2 cifras, se obtiene 11 y el número de patas es 14 más 2 de cociente y 25 de residuo. Se les veces el número de cabezas. toma el complemento aritmético y ¿Cuántos conejos hay? se les vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de Rpta:........................ residuo. Hallar la suma de las cifras del dividendo. 8. En una fiesta habían 68 personas; Un primer caballero bailó con 7 Rpta:........................ damas; el segundo con 9, el tercero con 11 y así sucesivamente hasta 13. Una persona fabrica un número que el último bailó con todas. determinado de sillas. Si duplica su ¿Cuántas damas habían? producción y vende 60, le quedan más de 24 sillas; luego fabrica 10 Rpta:........................ más y vende 28, quedándole entonces menos de 10 sillas. Señale 9. Un comerciante tenía determinada cuántas sillas se fabricaron. suma de dinero. El primer año se Rpta:........................ gastó 100 libras y aumentó el resto con un tercio de este. El año 14. Un número entero consta de 3 siguiente volvió a gastar 100 lbs y dígitos. El dígito de las centenas es aumentó la suma restante en un la suma de los otros dos, y el tercio de ella. El tercer año gastó de quíntuplo de las unidades es igual a nuevo 100 lbs y después de que la suma de las decenas y de las hubo agregado su tercera parte, el centenas. Hállese este número capital llegó al doble del inicial. sabiendo que si se invierten los Hallar el capital inicial. dígitos resulta disminuido en 594. Rpta:........................ 15. Una persona se pone a jugar con 19. El número de alumnos de un salón cierta suma de dinero en la puede ubicarse en filas de 9. Pero primera vuelta duplica su dinero y si se ponen dos alumnos menos en gasta luego S/. 100. En la cada fila hay que poner dos filas segunda vuelta gana el doble de lo más. ¿Cuántos alumnos hay? que tiene y gasta luego S/. 400. En la tercera vuelta triplica su Rpta:........................ dinero y gasta luego S/. 500. Si aún le quedan S/. 1000, ¿cuánto 20. Dos cirios de igual altura se tenía inicialmente? encienden simultáneamente, el primero se consume en cuatro Rpta:........................ horas y el segundo en tres horas. Si cada cirio se quemó en forma 16. Cuatro personas: A, B, C y D, se constante, cuántas horas después pusieron a jugar teniendo en de haber encendido los ciros, la cuenta las siguientes reglas: altura del primero es el doble de  El que pierda el primero del segundo?. cuadruplicará el dinero de cada uno de los demás . Rpta:........................  El segundo perdedor aumentará S/. 50 a c/u de los demás. 21. En una reunión se cuentan tantos  El tercero aumentará S/. 20 a caballeros como tres veces el cada uno de los demás. número de damas. Si luego de  El cuarto aumentará S/. 30 a cada retirarse 8 parejas el número de uno. caballeros que aún quedan es Se sabe que perdieron en el orden igual a 5 veces el número de alfabético y al finalizar la cuarta damas, cuántos caballeros habían partida cada uno quedó con inicialmente?. S/150, S/180, S/120 y S/40 , respectivamente. Cuánto tenía C Rpta:........................ al principio ? 22. Un matrimonio dispone de una Rpta:........................ suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas 17. En una playa de estacionamiento de 8 soles le faltaría 12 soles y si hay 20 vehículos entre autos y adquiere entradas de 5 soles le motos. Si cada auto lleva una sobraría 15 soles ¿ Cuantos hijos llanta de repuesto, y en total se tiene el matrimonio?. cuentan 73 neumáticos. ¿Cuántos autos hay? Rpta:........................ Rpta:........................ 23. Lo que cobra y lo que gasta un profesor suman 600. Lo que gasta 18. Al vender una articulo pensé ganar y lo que cobra esta en la relación la mitad de los me costó, pero al de 2 a 3. En cuánto tiene que momento de vender tuve que disminuir el gasto para que dicha rebajar la mitad de lo que pensé relación sea de 3 a 5. ganar, por lo que gané S/. 600 menos de lo que me costó. Rpta:........................ ¿Cuánto me costo? Rpta:........................ Este tema corresponde esencialmente Edad hace 10 años: E - 10 al planteamiento de ecuaciones. La solución a este tipo de problema  Podemos plantear: involucra reconocer cada uno de los E + 20 = 2(E – 10) siguientes elementos: E + 20 = 2E - 20 E = 40 - SUJETOS: Debemos identificar el  Dentro de 2 años tendrá 42 años número de sujetos que intervienen. Ejemplo 2 - TIEMPO (verbo): debemos tener Si al cuádruplo de la edad que tendré presente que la acción del problema dentro de 10 años, le restamos el triple se desarrolla en distintos tiempos. de la edad que tenía hace 5 años “Hace 5 años” resulta el doble de mi edad actual. Que “Actualmente” edad tenía hace 5 años. “Dentro de 8 años”. - CONDICIONES: relación entre los Resolución: personajes, en el tiempo. Edad actual: E “Hace 5 años tu edad era el triple Dentro de 10 años: E + 10 de la edad que tengo” Hace 5 años: E - 5 “Dentro de 10 años mi edad será el  Planteando la ecuación: doble de la que tenías hace 3 años”. 4(E + 10) – 3(E – 5) = 2E 4E + 40 – 3E + 15 = 2E PROBLEMAS SOBRE EDADES E = 55  Hace 5 años tenía 50 años TIPO I: Ejemplo 3 CUANDO INTERVIENE LA EDAD Pedro tiene 45 años. Dentro de cuántos (E) DE UN SOLO SUJETO años tendrá el doble de la edad que tenía hace 15 años? Analicemos en tres tiempos: Resolución: Hace “m” años Dentro de “n” años Edad actual: 45 años Hace 15 años tenía: 45 – 15 = 30 años El doble de esa edad es: 2(30) = 60 años E–m E E+n El tendrá 60 años dentro de: Pasado Presente Futuro 60 – 45 = 15 años Ejemplo 1 TIPO II: Dentro de 20 años Pedro tendrá el CUANDO INTERVIENEN LAS doble de la edad que tenía hace 10 EDADES DE DOS O MÁS SUJETOS años. ¿Qué edad tendrá dentro de 2 años? Es conveniente para la solución de este tipo de problema el uso de un cuadro. Resolución: Por ejemplo, analicemos para tres Edad actual: E sujetos en tres tiempos y luego Edad dentro de 20 años: E + 20 completamos el cuadro: TIEMPOS  El tiene 3x = 3(10) = 30 años Ella tiene y; es decir: 20 años PASADO PRESENTE FUTURO Ejemplo 5 S Dentro de 20 años, la edad de María U A 30 será a la de Diana como 4 es a 3. ¿Cuál J es la edad de ambas si hace 13 años la E B 15 edad de María era el quíntuplo de la de Diana? T O C 42 Resolución: S Empleando cuadro de doble entrada, para dos personajes y tres tiempos. Partiendo de la información en el futuro HACE 5 DENTRO (dentro de 20 años), tenemos: AÑOS 8 AÑOS Pasado Presente Futuro Se observa que: - La diferencia de edades entre dos María 4k personas, en el transcurso del tiempo no varía. Diana 3k Ejemplo 4 Con este dato completamos el cuadro, El le dice a Ella: “Yo tengo el triple de la para el presente y el pasado (hace 13 edad que tu tenías cuando yo tenía la años). edad que tu tienes”. ¿Cuántos años tienen ambos, si sus edades suman 50 Pasado Presente Futuro años? Resolución: María 4k – 33 4k – 20 4k Empleando un cuadro para 2 personajes, en dos tiempos, tenemos: Diana 3k - 33 3k – 20 3k Pasado Presente. Teniendo en cuenta que hace 13 años EL y 3x la edad de María era el quíntuplo del de Diana, planteamos la siguiente ELLA x y ecuación: 4k – 33 = 5(3k – 33) Aplicando diferencia de edades, en el 4k – 33 = 15k – 165 pasado y el presente, y teniendo en 11 k = 132 cuenta que no varía, tenemos: k = 12 y – x = 3x – y  Edad de María = 4(12) – 20 y + y = x + 3x = 28 años 2y = 4x Edad de Diana = 3(12) – 20 y = 2x = 16 años Del dato, que sus edades actuales Ejemplo 6 suman 50 años: Roberto tiene 24 años; su edad es el 3x + y = 50 séxtuplo de la edad que tenía Betty 3x + 2x = 50 cuando Roberto tenía la tercera parte x = 10 de la edad que tiene Betty. Qué edad tiene Betty? Resolución: P = 2H Pasado Presente 4x + 20 = 2(x + 20) 4x + 20 = 2x + 40 2x = 20 Roberto x 24 = 6.4 x = 10 Betty 4 3x  Edad del Padre = 4(10) + 8 = 48 años  Hijo = 18 años Aplicando diferencias de edades o sumando en aspa, tenemos: Ejemplo 8 4x = 28 José le dice a Pablo: “Yo tengo el doble de la x=7 edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que  Edad de Betty = 3x = 3(7) tienes; pero cuando tu tengas la edad que yo = 21 años tengo, la suma de nuestras edades será 63 Ejemplo 7 años”. Hallar ambas edades actuales. Hallar la edad de un padre y la de su hijo sabiendo que hace 8 años la edad Resolución: del primero fue el cuádruple de la del Empleando cuadro para dos personas y en tres segundo; dentro de 12 años sólo será tiempos; así como ubicando la información de el doble de la de su hijo. la primera condición del problema, tenemos: Resolución: Pasado Present Futuro De acuerdo a los datos, emplearemos un e cuadro para dos personas en tres tiempos José Y 2X Hace Present Dentro Pablo X Y 8 años e de 12 años De la segunda condición: “ nuestras Padre edades sumarán 63 años” Si Pablo tendrá 2x, entonces José Hijo tendrá 63 – 2x Pasado Present Futuro P=4H P=2H e José Y 2X 63 - 2X - Digamos que hace 8 años el hijo tenía “x” años; en tanto que el padre tenía “4x”. Pablo X Y 2X - En la actualidad el hijo tendrá “x+8” y el padre “4x + 8” Por diferencia de edades (no cambia - Dentro de 12 años tendrán “x + 20” y “4x con el transcurso del tiempo): + 20”. - Tiempos pasado y presente Ubicando esta información en el cuadro y – x = 2x – y tenemos: 2x = 3y .... (I) Hace Present Dentro - Tiempos presente y futuro 8 años e de 2x – y = (63 – 2x) – 2x 12 años 2x – y = 63 – 4x y = 6x – 63 ..... (II) Padre 4X 4X + 8 4X + 20 Hijo X X+8 X + 20 De la segunda condición: Reemplazando en (I) tenemos Ejemplo 10 2(6x – 63) = 3x Una persona tiene en 1988 tantos años 12x – 126 = 3x como el producto de las dos últimas x = 14 cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál En (II): es su edad actual (2004), y = 6(14) – 63 = 21 considerando que este año ya celebró  las edades son: su onomástico? José: 2(14) = 28 años Pablo : 21 años Resolución: Considerando año de nacimiento: 19ab TIPO III: Tendremos que: USO DEL CRITERIO ARITMÉTICO a(b) = 1988 – 19ab Aplicaremos la siguiente relación: a(b) = 1988 – 1900 – 10a – b ordenando E = Año de referencia – Año de nac. 10a + b + a(b) = 88 10a + b(1 + a) = 88 Esta igualdad cumple para: Ejemplo 9 a=6yb=4 Una persona nació en 19ab y en ya que: 19ba cumplió (a+b) años. ¿En qué año 10(6) + 4(1 + 6) = 88 cumplió a(b) años?  Año de nacimiento: 1964  Edad actual = 2004 – 1964 Resolución: = 40 años Empleando Ejemplo 11 Edad = Año Ref. – Año Nac. Un profesor nació en 19ab y en 1990 Tenemos: a + b = 19ba – 19ab tuvo (a + b) años. En que año llegó a descomponiendo polinómicamente: tener (2a + b) años? a+b = 1900+10b+a–(1900+10a+b) a+b =1900+10b+a–1900–10a-b Resolución: Edad = Año de ref. – Año de nac. desarrollando encontramos que: a + b = 1990 – 19ab 10a = 8b a + b = 1990 – 1900 – 10a – b 5a = 4b ordenando Teniendo en cuenta que a y b son 11a + 2b = 90 números de una cifra, esta igualdad esta igualdad cumple para: cumple para: a = 4 y b = 5 a=8 y b=1 porque 11(8) + 2(1) = 90  Año de Nacimiento: 1945  Año de nacimiento: 1981  Llegó a tener: 2a+b =2(8)+ 1 = 17 Para saber en que año cumplió a(b) en: 1981 + 17 = 1998 años, es decir: 4(5) = 20 años esta edad la sumaremos a su año de nacimiento; es decir: 1945 + 20 = 1965 Ejemplo 12 Juan le dice a José: Cuando tú tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, 3. Si Ricardo hubiera nacido en el año yo tenía 3 años menos de la edad que 19ba en el año 2030 tendría ba tú tienes y cuando tenga el doble de la años. Sin embargo nació en el año edad que tu tienes, nuestras edades 19aa. ¿Cuántos años tenía en el sumarán 66 años. ¿Qué edad tiene año 1999? José? Rpta:..................................... Resolución: 4. La edad de Carlos en 1975 era Como el problema relaciona a tres tanto como la mitad de las dos tiempos, entonces hacemos el esquema últimas cifras del año de su para el primer párrafo: nacimiento, que edad tiene actualmente (2004) si ya celebró su Pasado Presente Futuro cumpleaños. Juan y-3 x Rpta:..................................... José x-7 y 5. “Diego” y su abuelo tenían en 1928 Según el segundo párrafo tenemos: tantos años como indica las dos Pasado Presente Futuro últimas cifras del año de su Juan x 2y nacimiento. Cual era la edad del José y 66-2y abuelo cuando nació “Diego”. Rpta:..................................... De los dos esquemas, aplicando diferencia de edades, tenemos: 6. Bertha tenía en 1962, tantos años (y-3)-(x-7) = x-y  x = y+2 como el producto de las dos últimas 2y-(66-2y) = x-y  x = 5y-66 cifras del año de su nacimiento. Igualando: ¿Cuál era su edad en aquel año, si 5y – 66 = y+2 en un año más su edad será un número cuadrado perfecto? 4y = 68 y = 17 Rpta:.....................................  José tiene 17 años 7. Elsa es 6 años mas joven que Ivan. PROBLEMAS PARA RESOLVER EN Hace 3 años Ivan tenía el triple de CLASE la edad que Elsa tenía entonces. Encontrar la edad de Ivan. 1. Si al doble de mi edad actual, se le Rpta:..................................... quita mi edad aumentada en 10, se tendría 19. ¿Qué edad tengo? 8. Miguel tiene 5 años menos que Doris. Hace cuatro años la suma de Rpta:..................................... sus edades era 21 años. ¿Qué edad tiene Doris? 2. La tercera parte de la edad de María es 13 años más que la edad de Rpta:..................................... Norma y el quíntuplo de la edad de Norma es 25 años menos que la 9. Denise es 3 veces mayor de edad edad de María. Hallar la edad de que Clara. Hace 5 años la suma de Norma. sus edades era 40 años. ¿Qué edad tiene Clara? Rpta:..................................... tenga el doble de la edad que tu Rpta:..................................... tienes, nuestras edades sumarán 66 años. ¿Qué edad tiene Toño? 10. Juan tiene 2 años más que su hermano Roberto y la edad del Rpta:..................................... padre es el cuádruplo de la edad de su hijo Roberto. Si hace 5 años la 16. Un discípulo le dice a su maestro: suma de las edades de los tres era “Cuando tu tenías el triple de la 47 años. ¿Cuántos años tiene edad que yo tengo, yo tenía la actualmente el Padre? onceava parte de la edad que tu tienes, pero cuando tú tengas el Rpta: .................................. cuádruplo de la edad que tengo yo, la suma de nuestras edades será 80 11. La edad de un Padre supera en 5 años. años a la suma de las edades de ¿Qué edad tiene el discípulo? sus 3 hijos. Dentro de 10 años su edad será el doble que la del Rpta:..................................... primero, dentro de 20 años su edad será el doble del segundo y dentro 17. Dentro de 8 años la suma de de 30 años será el doble que la del nuestras edades será 42 años; pero tercero. hace “n” años la diferencia de ¿Cuál es la edad del hijo menor? nuestras edades era de 8 años. Rpta:..................................... ¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple de la del otro? 12. La edad actual de un hijo es los 4/9 Rpta:..................................... de la edad de su padre, si dentro de 5 años, la mitad de la edad del 18. Cuando transcurran desde hoy padre será igual a la del hijo. ¿Cuál tantos años como los años que es la edad del Padre? pasaron desde que nací hasta la edad que tenía hace 10 años, Rpta:..................................... tendré el cuadrado de la edad que tenía hace 9 años. ¿Cuántos años 13. Romeo le dice a Julieta: Tu tienes tenía hace 3 años? 18 años pero cuando tu tengas la edad que yo tengo, la suma de Rpta:...................................... nuestras edades será 48 años. ¿Qué edad tendrá Romeo dentro de 19. Saúl le dice a Erick: Tengo el triple 8 años? de la edad que tu tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes Rpta:..................................... y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad 14. Un padre le dice a su hijo: Hace 8 que tenías hace 12 años. Cuántos años mi edad era el cuádruplo de la años suman sus edades actuales edad que tu tenías, pero dentro de 8 años únicamente será el doble. Rpta:................................... ¿Cuál es la edad actual del hijo? Rpta:..................................... 15. Toño le dice a Alex: “Cuando tu tenías 7 años menos de la edad que yo tengo, yo tenía 3 años menos de la edad que tu tienes y cuando b) Velocidad ( v ): Es un magnitud ¿Quién llegará vectorial que nos indica la rapidez con primero a la PRE? la que se mueve un objeto (móvil) y la dirección en que lo hace. PRE-UNAC Para la solución de estos problemas 30K/h 10m/s debemos tener cuidado que las unidades sean consistentes; por ejemplo si la rapidez esta expresada en m/s, el tiempo debe estar en segundos y la distancia en metros. Ejemplo 1: Los problemas referentes a móviles Cinco horas demora un auto en viajar de consideran a carros, trenes, aviones o Lima a Huancayo a razón de 80 km/h. Si personas; asimismo, hacen mención a cada 10 km en la carretera que une ambas metros por segundo, kilómetros por hora o ciudades se desea colocar un banderín, a cualquier otra terminología relacionada ¿Cuántos banderines se requieren, con el movimiento. considerando que debe haber uno al principio y otro al final? Estos problemas se resuelven básicamente con la fórmula: Resolución distancia = rapidez x tiempo, que Debemos primero calcular la distancia corresponde a un movimiento uniforme. entre Lima y Huancayo, para lo cual contamos con la rapidez con que viaja el Además: auto y el tiempo que emplea; por lo tanto: 80km e d=xt= x5h h d = 400 km  t Cálculo del número de banderines a e e colocar; para lo cual tenemos: e = .t. = t= dT = 400 km t  du = 10 km e = espacio o distancia recorrida 400  = rapidez empleada Nº banderines =  1  41 t = tiempo empleado 10 Definiciones Importantes: Rapidez Promedio: Se refiere a la distancia total recorrida a) Rapidez (): Característica física de un dividida entre el tiempo total empleado móvil que nos informa que tan rápido este móvil pasa de una posición a otra. Dis tan cia Total Se expresa en unidades de longitud por p  Tiempo Total tiempo (e/t); ejemplos: m/s, m/min; km/h. Ejemplo 2: 2; 1: rapidez con la que viajan los Un auto viaja de una ciudad A a otra B, móviles. distantes 500 km, a razón de 100 km/h y regresa hacia A con una rapidez de 50 Ejemplo 3: km/h. Hallar la rapidez promedio durante La distancia entre dos ciudades es de 400 el viaje de ida y vuelta. km. Un auto parte de la ciudad A hacia B a razón de 50 km/h y en el mismo instante parte de B hacia A otro auto a razón de 30 100 km/h km/h. Después de cuánto tiempo se A B encontrarán y a que distancia del punto B?. 50 km/h Resolución 500 km VA = 50 km/h VB = 30km/h Resolución te Tiempo de viaje de ida: A dA dB B 500km ti =  5h 400 km 100km / h Cálculo del tiempo de encuentro: Tiempo de viaje de regreso 500km tr = =10h 400km 400km 50km / h te =   5h (50  30)km / h 80km / h  tiempo total = 5 + 10 = 15 h. Cálculo de la distancia de B hasta el punto Distancia total recorrida = 500 + 500 de encuentro: = 1000 km. dB = VB x te = 30 km/h x 5 h   prom = 1000km 200 2   66 km / h 15h 3 3 = 150 km Tiempo de encuentro: Tiempo de Alcance: Si dos móviles parten simultáneamente de Si dos móviles parten simultáneamente y diferentes puntos y viajan en la misma viajan en la misma dirección; en el mismo dirección pero en sentidos opuestos, una el sentido y el segundo viaja con mayor encuentro del otro, se encontrarán en un rapidez, entonces lo alcanzará el primero tiempo te, definido por: en un tiempo ta, definido por: V1 V2 V2 V1 d e d te = d v 2  v1 ta = donde: v 2  v1 te : tiempo de encuentro donde: d : distancia que los separa al inicio ta : tiempo de alcance d : distancia que los separa al inicio 2; 1: rapidez con la que viajan los Resolución móviles.   Ejemplo 4: La distancia entre dos ciudades A y B, es de 200 km. Un auto parte de la ciudad A hacia otra C, situada a 350 km al Este de B, 120 m 240 m a razón de 50 km/h; en el mismo instante parte de B otro auto hacia C; a razón de 30 km/h. Después de cuánto tiempo alcanzará La distancia total que recorre el el móvil que partió de A al que partió de B tren para cruzar es: y a que distancia de C ? 240 m + 120 m = 360 m Resolución En un tiempo de 6 min (360 seg) ta 360m ta =  1m / seg 360seg VA = 50 km/h VB = 30 km/h Ejemplo 6: A B C Luis viajó de Lima a Huancayo empleando dB 8 horas. Si al regreso aumenta su rapidez 200 km en 15 km/h llegando en 6 horas, ¿cuál es la distancia total recorrida?. Cálculo de tiempo de alcance: Resolución A la ida recorre una distancia “D” con una 200km 200 rapidez de  km/h llegando en 8 h. ta =   10h (50  30)km / h 20  D = 8  ....... (I) Distancia recorrida por B: A la vuelta recorre la misma distancia “D” con una rapidez de ( + 15) km/h llegando 30km en 6 h. dB = x10h  300km h  D = 6(+15) ....... (II)  Se da el alcance a 50 km de C. Como (I) y (II) son iguales, Ejemplo 5: tenemos: Un Tren de 120 metros de longitud se demora en pasar por un puente, de 240 8  = 6 ( + 15) metros de largo, 6 minutos. ¿Cuál es la 8  = 6 + 90 rapidez del tren? 2  = 90   = 45 km/h  distancia total recorrida = 2D En (I) = 2 (8.45) = 720 km. Ejemplo 7 La distancia entre T y L es de 550 km. Abner sale de T a L y Josué de L a T, ambos simultáneamente a las 10 pm. El ómnibus en que viaja Abner recorre a un promedio de 90 km por hora y el de Josué a 85 km por hora ¿A qué hora y a qué Ejemplo 9 distancia de T se cruzarán? “Vladi” sale de su casa con una rapidez de “a” km/h y dos horas más tarde “Fuji” sale Resolución a buscarlo siguiendo la misma ruta, con  = 90 km/h  = 85 km/h una rapidez de “a+b” km/h. ¿En cuántas horas lo alcanzará? T L Resolución 550 km "a" km/h Para saber a que hora se cruzan, aplicaremos tiempo de encuentro: d 550km te =  3.14h  3h09 min. “Vladi” en 2 horas le ha tomado una (90  85)km / h ventaja de:  Se cruzarán a: d=.t d = 2a 10 pm + 3 h 9 minutos 1:09 am "Fuji" DT = 90 x 3.14 = 282 km 857m "Vladi" Ejemplo 8: Un ladronzuelo corre a razón de 8m/s. Un 2a policía que se encuentra a 150 m de distancia empieza a perseguirlo y logra alcanzarlo luego de 4 min. Con qué rapidez Que “fuji” debe descontarlo en: d 2a 2a corrió el policía. ta    . Vf  Vv (a  b)  a b Resolución Aplicando tiempo de alcance Ejemplo 10 d Dos motociclistas parten de un punto A, en ta = p  ve el mismo sentido, a razón de 30 y 50 km/h. ¿Que tiempo deberá transcurrir para que ta = 4 min estén separados 100 km? 150m  (4 x 60) seg = (Vp  8)m / s Resolución Con los datos hacemos el siguiente 150 diagrama: 240 = , simplificando ts Vp  8 100 km V1= 30 Km/h A 5 V2= 50 Km/h B C 8= Vp  8 ts 8 p – 64 = 5 Conforme pasa el tiempo el motociclista p = 69 m/seg = 8,62 m/s que viaja con mayor rapidez se va 8 separando más. Para determinar el tiempo que emplean para estar separados 100 km aplicamos: Resolución ds 100km Analicemos bajo el siguiente esquema: ts =   5h V2  V1 (50  30)km / h D Ejemplo 11 P L Dos ciclistas están separado por 200 metros 5 pm 2 pm y avanzan en sentidos contrarios con velocidades de 15 y 10 m/s separándose cada vez más. En qué tiempo estarán separado 3400 m? D Resolución P L Con los datos efectuamos el siguiente 7pm 9 am diagrama: VA = 15m/s VB = 10m/s Ambos autos recorren la misma distancia, D entre Piura y Lima, empleando ts ts diferentes tiempos t1 = 21 horas t2 = 14 horas C A B D 200 m la rapidez con la que viajan son: 3400 m D D 1 = ; 2 = 21 14 Ambos ciclistas, el que parte de A hasta C y el que parte de B hasta D, emplean el Como el auto 1 partió dos horas antes que mismo tiempo para separarse el auto 2, le toma una ventaja “d” adicionalmente: equivalente a: 3400 – 200 = 3200 m D 2D d=.t= .2 d= 21 21 d 3200m ts    128seg VA  VB (10  15)m / s El auto 2 que es más veloz lo alcanzará y lo pasará en un tiempo ta: ts = 2 min con 8 seg. 2D 2D 2D Ejemplo 12 d ta =  21  21  21 Una auto parte de Piura a las 5 pm y llega  2  1 D D 3D  2 D D  a Lima el día siguiente a las 2 pm otro 14 21 42 42 auto sale de Piura a las 7 pm y llega a Lima el día siguiente a las 9 am. ¿A qué hora el 2D x 42 segundo auto pasó al primero? ta =  4h 21 x D el 2º auto pasó al 1º a las: 7 pm + 4 h = 11 pm EJERCICIO 6. Un bote a motor desarrolla una rapidez de 40 km/h en aguas 1. Una persona viaja en auto de Lima a tranquilas. Si el mismo bote marcha Huaraz con una velocidad constante en un río, en contra de la corriente de 60 Km/h y el regreso lo hace a durante 2 horas avanza 60 Km. 80 km/h. Si en total ha empleado 14 Luego da la vuelta y viaja río abajo horas, ¿cuántos kilómetros a durante una hora y se detiene. ¿A recorrido? qué distancia del punto de partida se detuvo? Rpta.:.................. Rpta.:.................. 2. Un alumno del Centro Preuniversitario, viajando en 7. En el siguiente gráfico, después de ómnibus a razón de 40 km/h, que tiempo el móvil “1” distará de B generalmente llega a tiempo; sin tanto como el móvil “2” distará de embargo un día llegó con un retraso “A”? de 10 minutos, debido a que el ómnibus sólo pudo desarrollar 30 1 = 6m/s 2 = 8m/s km/h. ¿A qué distancia del Centro 6 8 Preuniversitario toma el ómnibus el estudiante? Rpta.:.................. 280m A B 3. Una persona sale de su casa todos los días a la misma hora y llega a su Rpta:..................... centro de trabajo a las 8 a.m. Un día salió atrasado 25 minutos y duplica 8. Los móviles están igualmente su rapidez y aún así llega con 10 distanciados y pasan minutos de atraso. ¿Cuánto tiempo simultáneamente como indica el demora normalmente? gráfico, en el mismo sentido con velocidades: a, b y c. Luego de un Rpta.:.................. tiempo se encuentran en un mismo punto. Hallar la velocidad de b en 4. Dos autos con velocidades de 60 función de a y c. m/s y 40 m/s, se introducen por un mismo lado de un túnel, uno de a b c ellos, aparece 2 segundos después que el otro. ¿Cuál es la longitud del túnel? Rpta.:.................. Rpta.:.................. 5. Un tren de 200m de longitud y otro 9. Un automóvil que viaja a 60 Km/h de 250m viajan sobre vías paralelas pasa por un punto A; otro automóvil a 72 Km/h y 90 Km/h. Hallar: que viaja a 40 km/h pasa, en el a) ¿En qué tiempo se cruzan, si mismo instante, por un punto B. El viajan en sentidos opuestos? punto B está situado a la derecha b) ¿En qué tiempo el más rápido del punto A y entre estos dos puntos pasa al otro, si viajan en el hay una distancia de 80 km. Ambos mismo sentido? siguen la misma dirección y el mismo sentido. Se desea saber a Rpta.:.................. qué distancia del punto A, se min, sale otro también hacia el norte encontrarán. y con la misma velocidad. Con qué velocidad en km/h constante venía Rpta.:.................. un tren desde el norte, si se cruzó con el primer tren en cierto instante 10.Un tren parte a las 8:20 para hacer y luego de 4 min con el segundo un recorrido de 500 Km; lo que tren efectúa en 16h 40 min. ¿Qué velocidad debe llevar un segundo Rpta.:.................. tren que parte 2h 58 min después que el primero, para que alcance a 16.Una liebre perseguida por un galgo éste en una estación situada a 356 se encuentra a 80 saltos delante del km del punto de partida? galgo. La liebre da 4 saltos mientras el galgo da 3; pero 5 saltos de galgo Rpta.:.................. equivalen a 7 saltos de la liebre. ¿Cuántos saltos dio la liebre antes 11.Dos autos arrancan del mismo punto de ser alcanzada por el galgo? viajando en sentidos opuestos. La velocidad de uno es de 80 km/h Rpta.:.................. hacia el norte y la del otro es 70 km/h. hacia el sur. ¿En cuántas 17.Dos barcos parten de dos orillas horas llegan a separarse 375Km? opuestas de un río, siguiendo una dirección perpendicular a las orillas Rpta.:.................. y se encuentran por primera vez a 120 metros de una orilla, llegan y 12.Un carro sale de A hacia B a 80 vuelven al punto de partida, km/h y regresa a 50 km/h, después produciéndose el nuevo encuentro a de 16 horas. Si el carro se detuvo 150 metros de la otra orilla. Hallar el en B por 2 horas y 1 hora en el ancho del río camino de regreso. Determinar la distancia AB. Rpta.:.................. Rpta.:.................. 18.Cuando un bote a motor navega aguas arriba, en un río, durante 3 13.Viajando a 40 km/h un piloto llega a horas y apaga el motor durante su destino a las 16 horas; viajando media hora, puede retornar al punto a 60 km/h llegaría a las 14 horas. Si de partida en 2 horas. Cuánto desea llegar a las 15 horas, ¿a qué tiempo podrá demorarse en retornar velocidad debe ir? si repite la experiencia pero ahora aguas abajo? Rpta.:.................. Rpta.:.................. 14.Abel salió en su carro con una rapidez de 40 km/h. Dos horas después María salió del mismo lugar manejando por la misma carretera a 50 Km/h. ¿Cuántas horas había manejado María cuando alcanzó a Abel? Rpta.:.................. 15.Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h, luego de 10 Capítulo relacionado en gran parte con el tema de planteo de ecuaciones y 5x = 72 – 3x Razonamiento Lógico. 8x = 72 x=9 Los relojes y su utilidad para la  Hora = 9 h. = 9 am medición del tiempo son motivo de una gran variedad de problemas y acertijos Otra forma: tiempo transcurrido 3  que para un mejor estudio se trata t. que falta transcurrir 5 como tema aparte, teniendo en cuenta los siguientes objetivos específicos 3k 5k 1. ANALIZAR Y COMPRENDER LA RELACIÓN ENTRE EL TIEMPO 24 h TRANSCURRIDO Y EL TIEMPO NO TRANSCURRIDO, PARA UN 3k + 5k = 24 TIEMPO DETERMINADO. k=3  Hora = 3(3) = 9 horas ¿Qué hora es? Ejemplo 2: Tiempo Total A que hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que Gu falta para las 12 del mediodía. Tiempo Tiempo no Resolución Transcurrido Transcurrido En el primer ejemplo el intervalo de tiempo involucrado era todo el día (24 horas); en este caso es sólo el medio Ejemplo 1 día; es decir: ¿Qué hora es cuando la parte transcurrida del día es igual a las 3/5 de lo que falta para terminar el día? 0h 12 h Tiempo Transcurrido 5 Resolución  Tiempo que falta t. 4 Un día: 24 horas Tiempo transcurrido: x Tiempo que falta transcurrir: 24-x 5k 4k Gráficamente 12 horas x 24 - x 9k = 12 k = 4/3  Las Horas transcurridas son: 0h 24 h 5 (4/3) = 20/3 = 6 2/3 h Planteando una ecuación, tenemos: 6 Horas 40 min. 3 “parte transcurrida” “es” (“falta para  Hora que marca el reloj = 6:40 am. 5 terminar”) 3 x= (24 - x) 5 Ejemplo 3 Mediante las siguientes expresiones: Son más de las 2 sin ser las 3 de esta HM = HR - Atraso tarde, pero dentro de 40 minutos faltarán para las 4 el mismo tiempo que ha transcurrido desde la 1 hasta hace HM = HR + Adelanto 40 minutos. ¿Qué hora es? Resolución Ejemplo 4: De acuerdo a la información, el Un reloj se adelanta 2 min cada 15 min. intervalo a considerar es entre la 1 y Si esta desperfecto ocurre ya hace 7 las 4; por lo tanto: horas, que hora marcará las agujas de tal reloj si la hora exacta es 3h 58 min. 1 2 3 4 Resolución Consideramos tiempo transcurrido a Aplicando “regla de tres simple” partir de 1 pm : “x” min Si se adelanta 2 min en 15 min; en 7 horas (7 x 60 = 420 min), ¿Cuánto se Dentro de 40 min: x + 40 habrá adelantado? Desde la 1 hasta hace 40 min: x – 40  lo que falta para las 4 es (x – 40) Se adelanta 2 min ____ 15 min 40 40 X ____ 420 min 2 x 420 X= = 56 min 15 x-40 x - 40 1 2 3 4  La hora marcada, aplicando HM = HR + Adelanto; será: x x + 40 HM = 3 h 58 min + 56 min HM = 4 h 54 min Planteando la ecuación, tenemos: (x + 40) + (x - 40) = 3h <> 180 min Ejemplo 5: x + 40 + x – 40 = 180 Hace 10 horas que un reloj se atrasa 3 x = 90 min min cada media hora. ¿Cuál es la hora Significa que desde la 1 pm han exacta si el reloj indica que son las 11 h transcurrida 90 min <> 1 h 30 min 28 min?  Serán las 2:30 pm Resolución 2. PROBLEMAS SOBRE Aplicando “Regla de Tres Simple”: ADELANTOS Y ATRASOS. Para desarrollar estos problemas, se Se atrasa 3 min ____ ½ hora puede aplicar criterios lógicos y regla X ____ 10 horas de tres; teniendo en cuenta lo siguiente: 3.10 X=  60 min  1 hora 1/ 2  Hora marcada (hora falsa)  hora exacta (hora real), aplicando  Hora correcta (hora real) HR = HM + atraso ; será HR = 11 h 28 min + 1 h HR = 12 h 28 min Ejemplo 6 Un reloj se adelanta 5 min cada 18 EH  5div. EH  1  x horas a partir de las 8 am. ¿Cuánto EM 60div EM 12 12x tiempo deberá transcurrir para que vuelva a dar la hora correcta? EH = Espacio recorrido por el horario EM = Espacio recorrido por el minutero Resolución (en 1 hora) Para resolver este problema debemos Ejemplo: Desde las 3 en punto hasta las 4 en tener presente que: para que un reloj punto vuelva a marcar la hora correcta deberá adelantarse (atrasarse) en 12 total 12 horas (720 min). Entonces, resolviendo por “Regla de Tres Simple”, tenemos: 9 3 Se adelanta 5 min ____ 18 h EM EH 720 min ____ x 4 720 x 18 x=  144 x 18 horas 5 6 144 x 18 Qué en días será:  108 También: 24  60  En 60 min el horario avanza   = 30º  2  3. ESTUDIO DEL RELOJ Y SUS º MANECILLAS M  En M min el horario avanza   . Equivalencia entre espacio, ángulo  2 y tiempo (1 vuelta) Espacio (div) Ángulo Tiempo (min.) Angulo que forman las manecillas del reloj (Horario–Minutero): 60 <> 360º <> 60 30 <> 180º <> 30 Cuando el reloj marca las “H” horas “M” minutos 15 <> 90º <> 15 o abreviadamente H:M el ángulo “” formado por 5 <> 30º <> 5 el horario y el minutero se obtiene directamente con la siguiente fórmula: 1div <> 6º <> 1min 11    30H  M 2 1 Donde: º= 12 =6 H  hora de referencia (0H12) 1d M   de minutos transcurridos a 9 3 partir de la hora de referencia 30º=6º+6º+6º+6º+6º   Medida del ángulo que forman las 4 manecillas del reloj (en grados sexagesimales) 6 Relación entre el espacio recorrido por la manecilla del horario y minutero (en 1 hora) El minutero recorre 60 divisiones en el mismo tiempo que el horario recorre 5 divisiones, por lo tanto se puede escribir una relación: Caso I: Cuando el horario adelanta al Notas: minutero. a. Dado un tiempo determinado la hora 12 referencial será la hora exacta anterior a la Mi hora que nos dan. b. Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj; se entiende que es por 12x el menor ángulo. 9 3 Hf x Mf Ejemplo 7:  ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj en cada Hi caso? 6 30Hi a) 4h 40 min Para las H horas y M minutos, de la figura se b) 8h 25 min observa que: c) 12 h 36 min 12x +  = 30H + x Resolución Para estos casos, aplicamos la expresión general: 11 Última hora pasada por el horario  = + 30 H  M 2 Transponiendo términos, obtenemos: Sin necesidad de emplear los signos; ya que el  = 30 H – 11x ángulo debe ser positivo. Teniendo en cuenta que xº es lo que avanza el 11 horario en M minutos, entonces: a)  = 30(4) (40) 2  = -120 + 220 M  = 100º  = 30 H – 11    2 11 b)  = 30(8) (25) 2 Caso II: Cuando el minutero adelanta al 275 horario  = 240 2 12 30H 480  275 205 =  Mi 2 2 Mf  = 102º30´ 9 Hi 3 c) Cuando son las 12h, en la expresión, H se x  Hf reemplaza por 0 (cero) 11 12x  = 30(0) (36) 2 6 Para las H horas y M minutos, de la figura se  = 0 + 198º observa que: Como debe considerarse el menor ángulo  ´ = 360 – 198 30H + x +  = 12x ´ = 162º  = 11x – 30H Ejemplo 8 Indicar cuántos minutos después de la 1 forman M ángulo recto las manecillas de un reloj.  = 11   - 30H  2 Resolución Empleando la expresión: Conclusión: El signo negativo acompañará a la 11 manecilla que se encuentra rezagada y el positivo =H  M 2 al que se encuentra adelantada (tomando en y reemplazando los datos tendremos 2 cuenta siempre el movimiento de las manecillas situaciones: (en ambos casos el Minutero adelanta del reloj). al Horario; es decir, el H esta rezagado, por lo que a esta manecilla le asignaremos signo negativo). I) Cuando el menor ángulo es 90º 11 11 90 = -30 (1) + M II) 60 = 240 - M 2 2 11 11 90 = -30 +M M = 180 2 2 240 9 360 8 M= = 21 min M=  32 11 11 11 11 II) Cuando el ángulo sea 270º (mayor ángulo) La hora en que formarán 60º las manecillas será 11 8 270 = - 30(1)+ M por primera vez a las 8h 32 min y por segunda 2 11 11 6 300 = M vez a las 8h 54 min. 2 11 600 6 M= = 54 min 4. PROBLEMAS SOBRE 11 11 CAMPANADAS El tiempo que se mide al tocar una cantidad “n” Habrán dos situaciones entre la 1 y las 2 en que de campanadas siempre es a partir de una que las agujas del reloj formarán ángulo recto. “marca al poro”; es decir que lo medimos por 9 intervalos. Por primera vez a la 1 con 21 ;y 11 6 Gráficamente: Por segunda vez a la 1 con 54 11 1 2 3 "n" campanadas ........ Ejemplo 9 A que hora entre las 8 y las 9 el menor ángulo i i i i i (n-1) intervalos formado por las manecillas del reloj es la quinta parte del mayor ángulo? i = tiempo que demora cada intervalo Resolución Ejemplo 10: Los dos ángulos (menor y mayor) suman 360º Un reloj señala la hora con igual número de campanas. Para indicar las 6 am. demoró 15 seg. Mayor + Menor = 360º ¿Cuánto demorará para indicar las 9 am? 5x + x = 360º x = 60º Resolución La solución a este tipo de problemas se hace Este ángulo lo formaron cuando eran las 8h M aplicando “regla de tres simple”, tomando en min. cuenta los intervalos y generados entre Para calcular “M” aplicamos: campanada y campanada. Es decir: 11  = 30 H M 6 am <> 6 camp  5 int ____ 15 seg 2 9 am <> 9 camp  8 int ____ x 11 8.15 60 = 30(8) 2 M x=  24 seg. 5  se demorará 24 segundos Considerando signos, puede darse dos situaciones: 11 I) 60 = -240 + M 2 11 300 = M 2 600 6 M=  54 11 11 EJERCICIOS 8. Cierto día un reloj se empezó a atrasar 10 minutos cada hora, a 1. Un campanario tarda 4s en tocar 5 partir de las 8:00 a.m. ¿ Qué hora campanadas. ¿Cuánto tardará en marcó el reloj a las 2:00 p.m. del tocar 10 campanadas? mismo día? Rpta.:.............. Rpta.:.............. 2. Un campanario señala las horas con 9. Un reloj se atrasa 2 horas cada igual número de campanadas. Si día. ¿Cuál debe ser el menor para indicar las 5:00 am demora 8 número de días que debe transcurrir segundos, ¿cuánto demorará para para que marque la hora exacta? indicar las 12 m.? Rpta.:.............. Rpta.:.............. 10. Un reloj se adelanta y se calcula 3. El campanario de una iglesia estuvo que deben transcurrir 60 días para tocando durante 38 segundos, si se que dé la hora exacta. ¿Cuánto se escuchan tantas campanadas como adelanta el reloj cada día? 10 veces el tiempo que hay entre Rpta.:.............. campanada y campanada. ¿Cuánto tiempo empleará este campanario 11. ¿Qué ángulo forman las agujas de para tocar 7 campanadas? un reloj en cada uno de los Rpta.:.............. siguientes casos: a) 6h 10min b) 4h 12 min 4. Nací en 1972, cuando la cuarta c) 14h 24 min d) 9h 35 min parte de la diferencia entre el número de días que faltaban 12. ¿Qué hora indica el reloj en la transcurrir y el número de días siguiente figura? transcurridos era igual al número de días transcurridos. ¿ Qué día nací? Rpta.:..............  5. Son más de las seis sin ser las ocho de esta mañana. Hace diez minutos 2 los minutos que habían transcurrido desde las 6 eran iguales a 1/9 del Rpta.:.............. tiempo que faltarían transcurrir hasta las ocho dentro de diez minutos. ¿Qué hora es? Rpta.:.............. 6. Son más de las 7 pero menos de las 8 de la mañana. Dentro de 30 minutos faltarán para las 9 el mismo tiempo que paso desde las 6 hasta hace 20 minutos ¿Qué hora es? Rpta.:.............. 7. Un reloj se adelanta 8 minutos cada 5 horas. Si se sincroniza con reloj en buen estado a las 3:30 a.m., ¿qué hora marcará el reloj cuando transcurran 25 horas? Rpta.:.............. CONCEPTO: 123 x (366+134) = 123 x 500 En este capítulo se proporciona al estudiante una técnica que le permita Agrupando ahora el segundo y el cuatro efectuar operaciones aritméticas con producto se obtiene: mayor rapidez que lo común, para lo cual se ha recopilado una serie de 177 x (134+366) = 177 x 500 situaciones en las que hay que operar con números enteros, con números Procedemos igual con los productos decimales, con expresiones algebraicas; obtenidos: abarcando además de las cuatro operaciones fundamentales, la 123x500+177x500 = (123+177) 500 potenciación y la radicación. = 300 x 500 Queda sobreentendido el conocimiento = 150000 básico de dichas operaciones. II. OPERACIONES Y TÉCNICAS CALCULO RÁPIDO CON ENTEROS ALGEBRAICAS Ejm. 1: Ejm. 3: Si se sabe que: El número N=248-1, es exactamente 5x6x7x8x9x10x11x12 = 19958400 divisible por dos números que están ¿Cuál es el valor de: comprendidos entre 60 y 70. ¿Cuál es 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 ? la suma de estos números? Solución: Solución: No se trata de multiplicar todos los Del álgebra elemental sabemos que números, sólo hay que notar entre a2-b2 = (a+b)(a-b) otras cosas, que el primer producto y al aplicar transformaciones sucesivas tiene el factor 12, el cual no aparece en de este tipo al número N tendremos: el Segundo Grupo y este tiene el factor N = 248 – 1 = (224-1)(224+1) 4 en lugar de 12. =( 212 – 1) (2 12+1) (224+1) Podemos decir que como 4 es la tercera = (26 – 1) (26 + 1) (212+1) (224+1) parte de 12, el producto que se está N = (63)(65)(212+1)(224+1) buscando es la tercera parte del primero. De este resultado vemos que N es divisible por 63 y 65, los cuales se  4 x 5 x ... x 10 x 11 = 19958400  3 encuentran comprendidos entre 60 y 70, y que nos piden sumar. = 6652800 Luego: 63+65=128 Ejm. 2: ¿Cuánto se obtiene al efectuar esta operación? Ejm. 4: 123x366+177x134+123x134+177x Hallar la raíz cuadrada de: x: 366 X= 3 2 2 - 32 2 Solución: Agrupando el primer y el tercer producto se obtiene: Solución: n cifras  (66..66)² = 44...44355...556 x2 = ( 3  2 2 ) 2 – 2 ( 3 2 2 ) (n-1) (n-1) 2 cifras cifras ( 32 2 ) + ( 32 2 ) = 3+2 2 - 2 3 2 – (2 2 ) 2 + 3- 2 2  Suma de cifras = 9 n =6–2 98 = 4 x2 = 4  x = 2  x = 2 2 cifras  (99)² = 9801 III. INDUCCIÓN MATEMÁTICA  Suma de cifras = 18 = 9 (2) Tenemos que observar los casos en las 3 cifras  (999)² = 998001 cuales una ley de formación se cumple.  Suma de cifras = 27 = 9 (3) CASO III.1 4 cifras  (9999)² = 99980001 Cuando elevamos al cuadrado un  Suma de cifras = 36 = 9 (4) numeral formado únicamente por cifras 3,6 ó 9. 5 cifras  (99999)² = 9999800001  Suma de cifras = 45 = 9 (5) 2 cifras  (33)² = 1089 :  Suma de cifras = 18 = 9 (2) n cifras  (99..99)² = 99...99800...001 (n-1) (n-1) 3 cifras  (333)² = 110889 cifras cifras  Suma de cifras = 27 = 9 (3)  Suma de cifras = 9 n 4 cifras  (3333)² = 11108889  Suma de cifras = 36 = 9 (4) En general observamos que al elevar al cuadrado un número formado por cifras 5 cifras  (33333)² = 1111088889 3,6 ó 9, siempre en el resultado se  Suma de cifras = 45 = 9 (5) observará que: : Suma de cifras = 9n : Número de cifras = 2n n cifras  (3...33)² = 11..11088...889 Donde “n” es igual al número de cifras (n-1) (n-1) cifras cifras al número de cifras del número que vamos a elevar al cuadrado.  Suma de cifras = 9 n 2 cifras  (66)² = 4356  Suma de cifras = 18 = 9 (2) Ejm. 5: Hallar la suma de cifras de “W” si: 3 cifras  (666)² = 443556 W = (1077...777 – 77...778)²  Suma de cifras = 27 = 9 (3) 79 cifras 77 cifras 4 cifras  (6666)² = 44435556  Suma de cifras = 36 = 9 (4) 5 cifras  (66666)² = 4444355556  Suma de cifras = 45 = 9 (5) Solución: : Observaremos que como el sustraendo Ejm. 6: tiene 2 cifras menos que el minuendo Hallar el valor de “W” si: estará dos lugares a la derecha de éste. W  10305050301  2040604020 79 cifras Solución: 1077....777- Operando primero la cantidad 77....778 subradical: 999....999 10305050301+ 2040604020 78 cifras 12345654321 W = (99...99)² ; n = 78 Observamos que este número es el desarrollo de: 78 cifras 12345654321=(111111)²  Suma de cifras = 9(78) = 702 W= (111111) 2 = 111111 CASO III.2 CASO III.3 Cuando tengamos un numeral formado Veamos que sucede con un número que únicamente por cifras 1: termina en cifra 5 cuando se eleva al cuadrado: 2 cifras  (11)² = 121  1x 2  Suma de cifras = 4 = 2² (15)² = 225 = 2 25  2 x3 3 cifras  (111)² = 12321 (25)² = 625 = 6 25  Suma de cifras = 9 = 3²  3x 4 4 cifras  (1111)² = 1234321 (35)² = 1225 = 12 25  Suma de cifras = 16 = 4² :  8x 9 5 cifras  (11111)² = 123454321 (85)² = 7225 = 72 25  Suma de cifras = 25= 5² : :  11 x 12 : (115)² = 13225 = 132 25 n cifras  (111...11)² = 12...n...21 En general veremos que todo número  Suma de cifras = n² ; n < 10 que termina en cifra 5 al elevarse al cuadrado va a terminar en 25 y las otras cifras serán igual al producto de “n” tiene que ser como máximo “9” las cifras que no son 5 por el número puesto que es el mayor valor que consecutivo: puede tomar una cifra. Además los números que se forman son números   n ( n 1)   capicúas; es decir números en las 2 n5  ..........25 cuales las cifras que equidistan de los extremos son iguales y por lo tanto se pueden leer indistintamente de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Ejm. 7: Hallar “m+n” si: En general diremos que si operamos: (1 x 3 x 5 x 7 x...)² = ......mn n(n+1)(n+2)(n+3)+1= n(n+3)+1² Solución: Observaremos que lo que esta elevado Ejm. 8: al cuadrado es un número formado por factores impares, siendo uno de los Hallar la suma de cifras de “M” si: factores el número 5. Además recordemos que: M= 100 x 101 x 102 x 103  1 Par x N = Par Solución: Sin importar si N es par o impar Operando: Impar x Impar = Impar M= (100 x 103  1) 2 También sabemos que al multiplicar un número por otro que termina en cifra 5 M = 10300 + 1 = 10301 se observa: Suma de cifras de M es: Par x (....5) = ...0 1+0+3+0+1=5 Impar x (....5) = ...5 Entonces: CASO III.5 (1x3x5x7x...)²=(...5)²=...25 = .....mn También tenemos el caso del producto de dos números formados por la misma Por lo tanto : m=2 ; n=5 cantidad de cifras 9 y las cifras de las m+n=7 unidades suman 10. (99...99a ) (99...99b)  (99 ...900...0 a x b) CASO III.4        "n " cifras "n " cifras ( n 1) ( n 1) 2 cifras cifras cifras Ahora veamos que sucede cuando multiplicamos 4 números consecutivos y le agregamos la unidad. Además a + b = 10 Por ejemplo: Ejm. 9: 1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 25 Hallar el resultado de “P” si: P = (999997) (999993) (1 x 4 + 1)² = 5² = 25 Solución: 2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 121 Suman 10 (2 x 5 + 1)² = 11² = 121 P = (999997) (999993) = 3 x 4 x 5 x 6+ 1 = 361 999990000021 (3 x 6 + 1)² = 19² = 361 Igual cantidad de cifras “9” Solución: Operando las cifras terminales: IV. CIFRAS TERMINALES Se llama así a la cifra de las P = (...9)+(...9)-(...2) LO.MAXIMO unidades, después de efectuar diferentes operaciones, lo cual P = ...6 LO.MAXIMO sólo se realiza con las cifras de las unidades. Un número que termina en 6 al elevarse a cualquier potencia termina en 6, por lo tanto: Ejm. 10: P = ...6 LO.MAXIMO =6 Hallar la cifra de las unidades al efectuar: * También observaremos que a. (21438) + (43156) – (3142) sucede cuando el número termina en cifra 4 ó 9 y lo = (...8) + (...6) - (...2) = ...2 elevamos a cualquier potencia: (...4)²=(...4)(...4)=....6 b. (31437) (83473) (21319) = (...4)3=(...4)(...4)(...4)= ....4 (...4)4=(...4)(...4)(...4)(...4)= ....6 (...7) (...3) (...9) = ...9 (...4)5=(...4)(...4)(...4)(...4)(...4)=...4 (...1) (...9) Por inducción vemos que cuando: Si, n es impar  ...4 c. (43173)3 = (...3)3 (...4)n Si, n es par  ...6 (...3) (...3) (...3) = ...7 Ahora veremos cuándo termina en 9: (...9) (...3) (...9)²=(...9)(...9)=....1 En la división, ni en la radicación se (...9)3=(...9)(...9)(...9)= ....9 puede determinar la cifra terminal; (...9)4=(...9)(...9)(...9)(...9)= ....1 pero en la potenciación vamos a (...9)5=(...9)(...9)(...9)(...9)(...9)=...9 observar que: * Cuando elevamos a cualquier Por inducción vemos que cuando: potencia un número que termina Si, n es impar  ...9 en 0, 1, 5 ó 6, el resultado (...9)n Si, n es par  ...1 terminará en la misma cifra: Ejm. 12: (...0)n = ....0 Hallar la cifra terminal de: (...1)n = ....1 (...5)n = ....5 A = (21474)1217 + (32879)3146 (...6)n = ....6 Solución: Ejm. 11: Hallar la cifra terminal de: (21474)1217 = (...4)IMPAR = ...4 (32879)3146 = (...9)PAR = ...1  P = RAZONAMIENTO19  MATEMATICO99  12  LO . MAXIMO Entonces: A = (...4) + (...1) = ...5 * Pero también tenemos que un número puede terminar en 2,3,7 48 4 ú 8. En esos casos dividiremos el -8 12 exponente entre 4 y si el residuo es 1,2 ó 3 la cifra terminal de la 0  residuo  la cifra terminal (...7) base se multiplica dicha cantidad se repite 4 veces de veces; pero si la división es C = (...7) (...7) (...7) (...7) =...1 exacta entonces la cifra terminal se multiplica por si misma 4 * D = (21422)4314 = (...2)14 veces. Dividiendo: Observación Sólo es necesario dividir las 2 14 4 últimas cifras del exponente. 3 Ejm. 13: 2  residuo  la cifra terminal (...2) Hallar la cifra terminal de: se repite 2 veces A = (2143)4375 D = (...2) (...2) =...4 B = (3148)7473 C = (31427)2148 D = (21422)4314 PROBLEMAS PARA DESARROLLAR EN CLASE Solución: * A = (2143)4375 = (...3)75 01. Hallar la suma de las cifras del resultado: Dividiendo: 75 4 A= (10000)(10001)(10002)(10003)  1 35 18 3  residuo  la cifra terminal (...3) Rpta. ................................... se repite 3 veces A = (...3) (...3) (...3) = ...7 02. Hallar la suma de las cifras al resolver: 3 veces B = ( 111 ...... 1 ) 2 9 cifras * B = (3148)7473 = (...8)73 Rpta. ................................... Dividiendo: 73 4 03. Hallar la suma de las cifras del 33 18 resultado: C = ( 6666 .....6)2 1  residuo  la cifra terminal (...8) se repite 1 vez (n-1) cifras B = (...8) = ...8 Rpta. ................................... 1 vez 04. Hallar la suma de las cifras al resolver: * C = (31427)2148 = (...7)48 D = 999952 + 9999952 + 99999952 Dividiendo: Rpta. ................................... Rpta. ................................... 05. Resolver: 12. Hallar la cifra terminal al E= 16 (1x3x5x17 x 257)  1 desarrollar: E= 227 Rpta. ................................... 218 06. Hallar la suma de las cifras del Rpta. ................................... resultado: F = 555......5 x 999..... 9 13. Si: abcd x 9999999 = ....... 3518 40 cifras 40 cifras Calcular: a+b+c+d Rpta. ................................... Rpta. ................................... 07. Hallar la suma de las cifras del 14. Hallar la suma de las cifras al resultado: resolver: G = 727272... 72 x 999 ... 9 E = 9999999998 x 9999999992 100 cifras 150 cifras Rpta. ................................... Rpta. ................................... 15. Hallar “x”, si 08. Hallar la cifra terminal al (4747)278.(12389)6001+(888)243–(256)199 desarrollar: =....x H = (2+1)(22+1)(23+1)...(2700+1) Rpta. ................................... Rpta. ................................... 16.Hallar: 09. Si: T0C + T0C + ENTRE , Si: 1 x3 x 5 x 7   ...............ab x......  abc factores T0C x T0C = ENTRE Hallar: “a x b” Rpta. ................................... En el cual 0 = cero y letras 10. Si: diferentes, tienen valores (ab5)2 + (cd5)4 + (ef5)6 = ... MP diferentes Hallar: (M+P) Rpta. ................................... Rpta. ................................... 11. Calcular: E = 4 – 4 + 4 – 4 + ........ 17. Si: 999999 x 5678 = .......... abcd Hallar: a + b + c + d Rpta. ................................... 18. Si: (a+b+c)2 = 441 Hallar: abc + bca + cab Rpta. ................................... 19. Hallar la suma de las cifras de “R” R = (1030 +1)(1030-1) Rpta. ................................... 20. Siendo a,b y c cifras; hallar “b+c” si: (a+b+c)² = a25 Rpta. ................................... CONCEPTO: FRACCIONES HETEROGÉNEAS: Se denomina fracción a una o varias Dos o más fracciones son heterogéneas partes que se toma de la unidad si presentan denominadores diferentes. dividida. 5 8 10 12 Todo <> UNIDAD Ejemplos: ; ; ; 8 9 11 13 a c e 1 1 1 1 1 1 en general ; ; ;bdf 6 6 6 6 6 6 b d f FRACCIONES ORDINARIAS: 5  Numerador Son aquellas cuyo denominador es 6  Denominador diferente a una potencia de 10: CLASES DE FRACCIONES 7 5 7 Ejemplos: ; ; FRACCIÓN PROPIA: 9 4 6 Si el numerador es menor que el a en general: ; b  10n ; n  N denominador. b Ejemplos: 4 5 21 ; ; ; etc. FRACCIONES DECIMALES 5 9 49 Son aquellas cuyo denominador es una a potencia de 10: en general: <1 a < b 3 7 11 b Ejemplos: ; ; 10 100 10000 FRACCIÓN IMPROPIA: Si el numerador es mayor que el FRACCIONES IRREDUCTIBLES: denominador. Son aquellos cuyos términos (numerador y denominador) son 7 9 18 números primos entre si o sea no Ejemplos: ; ; . tienen divisores comunes. (lo que 3 5 7 queremos decir son fracciones que no a En general: >1 a > b se pueden simplificar). b 7 4 15 17 Nota: Toda fracción impropia origina Ejemplos: ; ; ; 8 9 26 23 una fracción mixta. 7 1 9 4 2 ; 1 FRACCIONES REDUCTIBLES: 3 3 5 5 Son aquellas cuyos términos (numerador y denominador) no son FRACCIONES HOMOGÉNEAS: primos entre sí o sea tienen divisores Dos o más fracciones son homogéneas comunes (se pueden simplificar). si presentan el mismo denominador: 8 3 11 Ejemplos: ; ; .... 3 7 7 a b c en general: ; ; ;...... b b b 9 21 4 10 5º Propiedad: Si el numerador de una Ejemplos: ; ; ; fracción se le multiplica o divide por 12 49 8 100 un número sin variar el FRACCIONES EQUIVALENTES: denominador, la fracción queda Una fracción es equivalente a otra multiplicada o dividida por dicho cuando tiene el mismo valor, pero sus número, respectivamente. términos son diferentes. 6º Propiedad, Si al denominador de 3 6 4 12 5 10 una fracción se le multiplica o divide Ejemplos:   :  por un número sin variar el 5 10 9 27 7 14 numerador, entonces la fracción queda dividida o multiplicada por En general: dicho número, respectivamente. ak a es equivalente ; k  Z 7º Propiedad: Si se multiplica o b bk divide por un mismo número los dos términos de una fracción, no se PROPIEDADES DE LAS FRACCIONES altera el valor de la fracción. 1º Propiedad: Si dos fracciones NÚMERO DECIMAL tienen igual denominador, es mayor que el que tiene mayor numerador. Es la representación de una fracción en 11 7 su forma lineal, la cual contiene dos Ejm:  4 4 partes, una parte entera y una parte decimal. 2º Propiedad: Si dos fracciones 15 tienen igual numerador, es mayor el Ejemplos : = 0,576923 que tiene menor denominador: 26 7 7 27 Ejm:  = 2,076923 12 15 18 4 = 0,8 3º Propiedad: Si a los términos de 5 una fracción propia se le suma o se le resta un mismo número, la CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS fracción aumenta o disminuye DECIMALES respectivamente. 6 6  5 11 11 6 EXACTOS O LIMITADOS Ejm:     Cuando el número de la parte decimal 11 11  5 16 16 11 tiene cifras limitadas 6 62 4 4 6     11 11  2 9 9 11 75 3 0,75 = = 100 4 4º Propiedad: Si a los términos de una fracción impropia, se le suma o 8 4 0,8 =  se le resta un mismo número la 10 5 fracción disminuye o aumenta respectivamente. INEXACTOS O ILIMITADOS 11 11  3 14 14 11 Cuando el número de la parte decimal Ejm:     tiene cifras ilimitadas. 6 63 9 9 6 11 11  3 8 8 11     6 63 3 3 6 a) Periódicos puros 1 1 ejemplo: de indica que la fracción 9 4 a 1 0,aaa ............... = 0, a = se ha dividido en 9 partes iguales, 9 4 ab de los que se ha tomado 1 0, abab............. =0, ab = 99 0,555 ............... = 0,2727 ............. =  1/4 b) Periódicos mixtos ab  a 1 de 1 0, abbb ............ = 0, ab = 9 4 90 Ejm. 2 abc  a 3 3 2 0, abcbc ........... = 0, abc = Calcular los de las de los de 72 990 4 7 9 0,24111 ........... = Solución: 0.7333 ............. = 3 3 2 3x3x 2 x 72 9x8 36 1 x x x 72    5 4 7 9 4x7x9 2x 7 7 7 0,9111 ............. = FRACCION COMO RELACION 0,0111 ............. = "Parte - Todo" a, bccc ............. = a, bc = a+0, bc f= Parte  es; son Todo  de; del 2,4666 ............. = Ejm. 3: 11,3222 ........... = En una reunión asistieron 80 personas donde 30 eran varones en determinado Ejm. 1: momento 15 parejas están bailando. Hallar una fracción equivalente a 4/5, si la suma de sus términos es 117. i) ¿Qué parte de los reunidos son mujeres? Sol. P Mujeres 30 3 4 f=     4k + 5k = 117 T Todos 80 8 5 k = 13 ii) ¿Qué parte del número de hombres 4.13 52 es el número de mujeres? f=  5.13 65 P 30 3 f=   FRACCIÓN DE FRACCIÓN T 50 5 Se denomina así a las partes que se iii) ¿Qué parte es el número de consideran de una fracción que se ha personas que bailan respecto al número dividido en partes iguales. Así por de personas que no bailan? P 30 3 f=   T 50 5 Resolución iv) ¿Qué parte de los hombres Gasta = 2 (no gasta) bailadores son los hombres no 5 bailadores? Gasta 2 = No Gasta 5 P 15 f=  1 T 15  Gasta : 2x No Gasta: 5x Pierde: x v) ¿Qué parte respecto de las mujeres No pierde: 4x que no bailan son los varones que si bailan? Si se quedó con S/.32  4x = 32 x=8 P 15 3  Tenía 7x = 7(8) = 56 f=   T 35 7 Ejm. 6 * Análisis de cuanto se saca Diana va al mercado y gasta en carne (pierde) o agrega (gana) de 1/3 de lo que tiene; en cereales 1/4 de una cantidad: lo que le quedaba y 3/8 del resto en verduras. Si todavía le queda S/. 20. Se saca Agrego ¿Cuánto gastó? Queda Resulta o pierde o gano Sus: 3 1 1 3 Resolución   Suponemos que tiene “x” soles. 4 4 2 2 Gasta de la sgte. manera: 1 2 3 8 17 i) En carne: x   3 5 5 9 9 2 entonces le queda x 4 11 3 10 3   15 15 7 7 12  ii) En cereales:  x  4 3  3 2  Ejm: 4 le queda  x  Una persona tenía S/. 240 pierde y 4 3  gana alternadamente en cinco juegos 3  3  2  de azar: 1/3; 3/4; 2/7; 3/5; 7/8 iii) En verduras:   x  8  4  3   ¿Cuánto dinero le quedó finalmente? 5  3  2  le queda   x  8  4  3   Resolución Por dato:  1  3  2  3  7 5 3 2 1   1   1   1   1    240   x  20  3  4  7   5  8  8 4 3 2 7 5 8 1 x = 64      240  40 3 4 7 5 8  Gastó: 64 – 20 = S/. 44 Ejm: 5 Ejm. 7: María va al mercado y gasta 2/5 de lo Dos tercios de los profesores de un que no gasta; luego pierde 1/4 de lo colegio son mujeres. Doce de los que no pierde. Si al final le quedó profesores varones son solteros, S/.32. ¿Cuánto tenía inicialmente? mientras que los 3/5 son casados. Problemas sobre MEZCLAS ¿Cuál es el número de profesores? Ejm. 9: Un depósito contiene 36 litros de leche Resolución y 18 litros de agua. Se extraen 15 litros de mezcla. ¿Cuántos litros de leche quedaron? 2 Resolución: Prof.: x M: x Mezcla Inicial: 3 1 3 1  V: x C:  x 36 2 3 5 3  54 Leche: 36  f =  54 3 2 1  1 S:  x Agua: 18  fa = 5 3  3 Dato: Profesores solteros: 12 Esto quiere decir que en cualquier parte 21  2 de la mezcla las partes son de leche,   x   12 x = 90 53  3 1 en tanto que la otra parte es de Ejm. 8 3 Felipe entra a dos librerías en forma agua. sucesiva; en la primera gasta 1/3 de lo Al extraer 15 de la mezcla, se extrae que tenía más S/. 10 y en la segunda leche y agua: gasta 1/10 de lo que le queda más 2 Leche: (15) = 10 S/.10. si regresa a su casa con S/.53 3 ¿Cuál es la cantidad que tenía al inicio?. 15 1 Agua: (15) = 5 Resolución 3 Quedando en el depósito: Cantidad Inicial: x 36 – 10 = 26 de leche Gasta Queda 1 2 Ejem. 10 L1 x  10 x  10 En un tonel hay 60 litros de vino A y 40 3 3 litros de vino B. Si cada litro de vino A 1 2  9 2  cuesta S/. 10 y cada litro de vino B L2  x  10   10  x  10   10 10  3  10  3  cuesta S/.5; ¿Cuánto cuesta 45 litros de la mezcla? Dato: Regresa a casa con S/. 53 Resolución: 9 2    x  10   10  53 Mezcla Inicial 10  3  60 3 VA = 60  fVA = = 100 100 5 9 2  2  x  10   53 VB = 40  fVB = 10 3  5 2  x – 10 = 70 3 3 VA = (45) = 27 5 45  x = S/. 120 2 VB = (45) = 18 5  Costo: 27 x S/.10 = S/. 270 18 x S/. 5 = S/. 90 Total S/. 360 REDUCCION A LA UNIDAD 1 1 1   = 20 30 T Aplicable a problemas en los que intervienen grifos, llaves, obreros. m.c.m. = 60T Ejm. 11 3T + 2T = 60 Un obrero puede realizar un trabajo en 5T = 60 20 horas, otro obrero lo puede hacer en T = 12h 30 horas. Si trabajan los dos juntos, qué tiempo se tardarán en realizar Ejm. 12 dicho trabajo Una bomba A puede llenar una piscina funcionando sólo en 4 horas. Otra Resolución bomba B lo puede llenar en 5 horas, pero otra bomba C lo puede descargar Tiempo que emplea c/u de los obreros: totalmente en 20 horas. ¿Qué tiempo t1 = 20h emplearán las tres bombas funcionando t2 = 30h a la vez para llenar totalmente la Analizando el trabajo que hacen en una piscina? hora: 1 Resolución: El 1º obrero hará de la obra. 20 1 Podemos aplicar directamente: El 2º obrero hará de la obra. 30  los dos juntos harán: 1 1 1 1 P    .....   1 1 5 1 t1 t 2 t 3 tn T + = = de la obra. 20 30 60 12 Toda la obra lo harán en : donde: (aplicando “regla de tres”) tk : tiempo que emplea c/grifo en llenar 12 horas o descargar un depósito. P : parte del depósito a llenar Para este tipo de problemas es T : tiempo que demora en llenarse recomendable aplicar: (+) cuando llena (-) cuando descarga 1 1 1 1 P    .....   1 1 1 1 t1 t 2 t 3 tn T     4 5 20 T Donde: m.c.m. = 20T tk = tiempo que demora c/obrero en hacer la obra. 5T + 4T - T = 20 P = parte de la obra a hacer. 8T = 20 Si es toda  P = 1 20 5 T=   2,5 8 2 T: tiempo que demora en hacerse la T = 2h 30 min parte de la obra, actuando juntos. * Para el ejemplo anterior: t1 = 20h ; t2 = 30 h PROBLEMAS PARA DESARROLLAR EN CLASE 1) Simplificar: presentes, ¿Qué fracción de los alumnos estuvieron ausentes? 0,666...  0,5  0,833... E 2 3 10 Rpta. ...................   5 5 9 Rpta. ................... 8) De un tonel de 1400 litros se extrae 1/4 de lo que no se 2) Simplificar la siguiente extrae, luego 1/4 de lo que ya se expresión: había extraído. ¿Cuánto se 1 2 3 1 extrajo en total?    E 3 3 4 4 Rpta. ................... 8 4 2 3    15 15 5 5 9) Un tonel está lleno un cuarto de Rpta. ................... lo que no está lleno. ¿Qué fracción del tonel queda vacío si 3) Gasté los 2/3 de los 3/5 de los se vacía un tercio de lo que no se 5/8 de mi dinero y aún me vacía? quedan los 3/4 de los 2/3 de los 2/7 de S/.4200. ¿Cuánto tenía al Rpta. ................... principio? 10) Dos cilindros contienen en total Rpta. ................... 688 litros. Si se saca 1/4 del contenido del primero y 2/5 del 4) Si a los términos de una fracción segundo, queda 30 litros más en se les resta 1, el valor de la el primero que en el segundo. fracción es 1/3 y si a los dos ¿Cuántos litros hay en cada términos se le añade 3, el valor cilindro? de la fracción es 1/2. Determinar la fracción. Rpta. ................... Rpta. ................... 11) La suma de un número más los 3/4 del mismo es igual a 21 más 5) A los términos de una fracción se la mitad de aquella suma. ¿Cuál le suma el denominador y al es la tercera parte de dicho resultado se les resta la fracción número? original, obteniéndose la fracción original. ¿Cuál es la fracción? Rpta. ................... Rpta. ................... 12) Hallar una fracción tal que si se le agrega su cubo, la suma que 6) De un salón de "x" alumnos, 2/3 resulta es igual al cubo de la dieron examen y los 3/7 de estos misma fracción, multiplicada por aprobaron, de los cuales sólo 1/4 13/4. tuvieron notas mayores que 15. Cuántos dieron examen, si los Rpta. ................... que tienen nota mayores de 15 son 6? Rpta. ................... 7) En una clase de "a" alumnos, la tercera parte de los ausentes es igual a la séptima parte de los 13) Una piscina está llena hasta sus 18) Estando el desagüe de una 2/3 partes. Si se sacara 2100 piscina cerrado, un caño demora litros, estaría llena hasta sus 3/8. 6 horas en llenarla; y estando ¿Cuántos litros falta para abierto el desagüe, el caño llenarla? demora 9 horas en llenarla. Si llenamos la piscina y cerramos el Rpta. ................... caño. ¿En cuánto tiempo se vaciará completamente la 14) Un camión cargado con arroz piscina? pesa 15900 kg y cuando esta Rpta.: ............ lleno hasta los 5/7 pesa los 9/5 del camión vacío. Encontrar el 19) Dos obreros pueden realizar un peso del camión vacío. trabajo en 15 días, si uno de ellos se demora 16 días más que Rpta. ................... el otro trabajando solo. ¿En qué tiempo haría la obra el más 15) A y B pueden hacer un trabajo en eficiente? 6 2/3 dias; A y C pueden hacer el mismo trabajo en 4 4/5 dias; y Rpta.: ............ A, B y C pueden hacer la obra en 3 3/4 dias. ¿Cuánto tiempo 20) Diana puede hacer un trabajo en tardará A para hacer solo dicho 12 días y María hace el mismo trabajo? trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante 2 días se Rpta.: ............ retira Diana. ¿En qué tiempo terminará María la parte que 16) Una tubería "A" puede llenar un falta? estanque en 6 horas y otra tubería "B" de desagüe la puede Rpta.: ............ vaciar en 8 horas. Estando vacío el estanque se hace funcionar "A" 23) Una compañía tiene 3 durante dos horas y luego se pintores; Luis que puede abre la otra tubería "B" pintar una casa en 6 días; José funcionando así las dos. ¿Qué que puede pintar una casa en tiempo total emplearon para 8 días y Pedro que puede llenar el estanque? pintar una casa en 12 días. La Rpta.: ............ compañía firma un contrato para pintar 3 casas. Empieza 17) Tres tuberías "A"; "B" y "C" Luis, quien trabaja 8 días; funcionando juntas, pueden luego lo reemplaza José, quien llenar la mitad de un tanque en trabaja durante 6 días, y es cuatro horas. Si funcionando sólo reemplazado por Pedro, quien "A" y "B" pueden llenar todo el concluye el contrato. ¿Cuántos estanque en 10 horas; y si días trabaja Pedro? funcionando "B" y "C" lo llenan Rpta:...................... en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del estanque la tubería "B", si funciona sola? Rpta.: ............ TANTO POR CUANTO: Ejemplos: Veamos un ejemplo, tenemos un terreno de forma cuadrada y la - El 6 por 25 <> .......... dividimos en parcelas de 9 partes iguales y tomamos 4 de esas partes: - El 70 por 200 <> .......... Total <> 9 partes - El 300 por 40 <> .......... - El 87 por ciento <> .......... - El 20 por ciento <> .......... - El a por b <> ............ 4 partes - El x% <> ........... => 4 partes de 9 <> 4/9 "el 4 por 9" Equivalencias: Además: - 25% <> .......... Total <> 9 partes <> 9/9 <> "el 9 por 9" - 30% <> .......... En general, dividimos una cantidad en - 18% <> .......... "n" partes y tomemos "m" partes, entonces: m partes <> m/n <> "el m - 33 1/3% <> ......... por n" - 2/5 <> .......... Ejemplo: Del Centro Preuniversitario ingresarán - 3/5 <> .......... 20 de cada 30 postulantes - 20 de cada 30 ingresarán - 7/8 <> .......... - 20 por cada 30 ingresarán - 20 por 30 ingresarán - 3 <> .......... EL TANTO POR CIENTO (%) - 1,5 <> ........... Es un caso particular de la regla del Calcular: tanto por cuanto, donde la cantidad se divide en 100 partes iguales de los a) el 56% de 3000 ......... cuales tomaremos "m" partes iguales. b) el 53% de 200 ......... m partes <> m/100 <> m % c) el 13 por 20 de 60 ......... d) el 5 por 8 del 4 por 7 de 28 .......  “el m por ciento”. e) el 10% del 30% del 50% de 2000 Se pueden sumar o restar porcentajes de una misma cantidad: Ejemplos: 1 100 Mujeres: 33 %(42)  % (42)  14 3 3 a) N + 20% N = ........... Total de alumnos: 42 + 14 = 56 b) B - 30% B = ........... c) 2A + 40% A - 3/5 A = ........... P 42 d) 60% A + 2 (13%A) - 0,5 A = .....  100   100  75% T 56 RELACIÓN PARTE - TODO EN TANTO POR CIENTO APLICACIONES Parte Respecto a un total (100%)  100 Todo Pierde Queda Gano Tengo Parte: se indica con los términos: 20% 80% 10% 110% "es" "son", "serán" ......... 60% 40% 33% 133% Todo: se indica con los términos: de, del, de los, .......... m% (100-m)% X% (100+x)% Ejemplos: Ejemplos: 1. ¿Qué tanto por ciento es 20 respecto a 80? 1. Una persona tenía S/.240 y perdió 3 veces consecutivas el P 20 25%; 10% y 50%  100   100  25% respectivamente, lo que le iba T 80 quedando. ¿Cuánto le quedo al final? 2. ¿Qué tanto por ciento de 60 es 6? Solución: P 6  100   100  10% T 60 Si pierde: 25% 10% 50% 3. ¿Qué tanto por ciento es A de B? Le queda: 75% 90% 50% P A 100A  100   100  T B B 75 90 50    240  S / . 81 100 100 100 4. ¿Qué tanto por ciento de (m+1) es m2-1? Otro procedimiento: P ( m  1)( m  1) 240 - 25% le queda 180 (240-60)  100   100  100( m  1) T ( m  1) 180 - 10% le queda 162 (180-18) 162 - 50% le queda 81 (162-81) 5. En nuestro salón de clases se observa que hay 42 alumnos 2. En una sala de "BINGO" una hombres y las mujeres persona tenía cierta cantidad de representan el 33 1/3% de dinero y apuesta 4 veces aquellos. ¿Qué tanto por ciento consecutivos. En las dos primeras representa los varones respecto pierde el 10% y 30% y en las al total de alumnos? dos últimas ganan el 20% y 25%; siempre de lo que iba quedando. Si al final se retiró con Varones: 42 S/.1890. ¿Cuánto tenía al inicio? ¿Ganó o perdió?. Solución: varía el precio, con respecto al Dinero inicial: x inicial? De acuerdo al enunciado 10% 30% 20% 25% tenemos: 90% 70% 120% 125% 20% 10% 90 70 120 125 80 110      x  1890 80% 110%    88 % 100 100 100 100 100 100 x = 2000. Comparando con el número base el precio disminuye en 12%.  perdió: 2000 – 1890 = S/. 110 VARIACIONES PORCENTUALES DESCUENTOS Y AUMENTOS Se denomina así al cambio que SUCESIVOS experimenta una cantidad, con relación Ejemplos: a su valor original y que es expresado en tanto por ciento. 1. ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos Ejemplos: sucesivos del 10% y 30%? 1. Si un número aumenta en 20%. Aplicando el método práctico ¿En qué tanto por ciento aumenta su cuadrado? 10% 30% Podemos analizar tomando como 90 70 63 base un número cualquiera que 90% 70%    63% para nuestro caso es conveniente 100 100 100 el número 10 debido a que su Comparando con el número base cuadrado me dará como Se ha descontado el 37%. resultado 100. 2. ¿A qué aumento único equivalen 10  100 (100%) dos aumentos sucesivos del 10% 20% y 30%? 12  144 (144%) Aplicando el método práctico: Aumenta en 44% 10% 30% Otro procedimiento: Número base: 100% 110 130 Aumentamos su 20%  120% 110% 130%   143% 100 100 Su cuadrado  (120%)² = Comparando con el número base 2 equivale a un aumento del 43%.  120   144       144%  100   100  3. El precio del azúcar en este mes ha bajado en un 20% pero para Por lo tanto aumenta en 44% el próximo mes se proyecta un incremento del 10%. En cuánto 2. Si un número disminuye en 40%. especificación contraria en el ¿En qué tanto por ciento problema. disminuye su cuadrado? 2. Los tantos por cientos de rebaja o descuento se aplican al precio fijado o de lista, salvo otra 100%  60%  (60%)² = 36% especificación. Ejemplos: -40% su cuadrado 1. Se compra un T.V. en $ 800. ¿A cómo deberá vender si se quiere Por lo tanto a disminuido en 64% ganar el 20% del costo? 3. Si el radio de un cilindro aumenta PC = $ 800 en 10% y su altura disminuye en G = 20% 20%. ¿En qué tanto por ciento PV = 800 + 20% (800) varía su volumen? PC = $ 960 El volumen de un cilindro está 2. Vendiendo un juego en 1500 relacionado de la forma soles se gana el 20% del costo. siguiente: ¿Cuál es su costo? V = r² . h PV = $ 1500 G = 20% Notamos que la variación del volumen depende directamente 1500 = PC + 20% PC de “r” y “h” 1500 = 120% PC PC = $ 1250 r² . h 3. Un artículo que costó S/. 600 se  110  2  80  vendió haciendo un descuento (110%) (80%)       96.8% del 20% y aún así se ganó el  100   100  20% del precio de costo. Hallar el precio fijado. Con respecto al número base a disminuido en 3,2% Costo Aumento APLICACIONES COMERCIALES S/. 600 X En las transacciones comerciales se D = 20% (600 + X) involucra tres elementos básicos que son: G = 20% (600) PV = Precio de venta Del gráfico podemos observar: PC = Precio de costo X = 20% (600 + x) + 20% (600) G = Ganancia o P = Pérdida X = 120 + 20%x + 120 PV = PC + G 80%x = 240 PV = PC - P X = 300 Observaciones: El precio fijado será el costo mas 1. Los tantos por cientos de el aumento: ganancias y de pérdida se aplican PF = 600 + 300 PF = 900 al precio de costo, salvo PROBLEMAS RESUELTOS 16 40 V: 16  x 100 = 40% 40 1. Jorge vende su televisor en $120 M: 24  60% perdiendo en la venta $ 30. ¿Qué % perdió? - X Mujeres +24 Solución: V: 16 .................= 64% PV = $ 120 Pérdida: $ 30  Pc = $ 150 40-X M: 24 – X ...........= 36% 30  Perdió (%) : x 100 150 16 = 20%   64% 40  x 2. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 20% de lo que 16 64  me queda, perdería $160. 40  x 100 ¿Cuánto tengo? Desarrollando: Solución: 40 - x = 25 Tengo: x x = 15 Si gastara: 30%x  me quedaría: 70%x 5. Si la base de un triángulo si ganara: 20% (70%x) = 14%x disminuye 30% y la altura tendría 84% de x aumenta 40%. ¿En qué  perdería: 100-84 = 16%x porcentaje varía su área? 16%x <> $160  x = $ 1000 Solución: 3. El señor López vendió dos pipas a b -30% 70% b $120 c/u. Basada en el costo, su ganancia en una fue 20% y su pérdida en la otra fue 20%. h +40% 140%h ¿Cuánto perdió?  b .h  A   Solución:  2  Pv1 = 120 Pv2 = 120 G1 = 20% Pc1 P2= 20% Pc2 Ai = b.h Af = (70%b) (140%h) Pv1 = 120% Pc1 Pv2= 80%Pc2 120 = 120% Pc1 120=80%Pc2 Ai = 100%(bh) Af = 98%(b.h) PET = 100 PC2 = 150 PVTOTAL = $ 240  disminuye en 2% PCTOTAL = $250  perdió: $10 4. En un salón de clase hay 16 varones y 24 mujeres. ¿Cuántas mujeres deben retirarse para que el porcentaje de hombres aumente en 24%? Solución: 6. Se tiene 80 litros de una mezcla que contiene Alcohol y H2O, al PROBLEMAS PARA RESOLVER 60% de Alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar, para EN CLASE obtener una nueva mezcla al 20% de alcohol? 1. En cada caso Solución: a) Hallar el 30% de 900 b) Hallar el 0,8% de 2000 Alcohol: 60% (80) = 48 c) Hallar el 1/3% de 900 80 Agua: 40% (80) = 32  ab  d) Hallar el (a-b)% de   a b  2 2 + x litros de agua e) Hallar x+y, sabiendo que x% del y% 400 es 2x; y el x% de Alcohol: 48 ....... 20% 500 es 2y. 80 + x Agua: 32 + x 2. Hallar 48 a) El 4% de un número es 12.   20% Hallar dicho número. 80  x b) El 25% de que número es 40. c) El 25% de una cantidad es 30. 48 20 1   Hallar el 10% de dicha 80  x 100 5 cantidad. 240 = 80 + x 3. Si Roberto tuviera 20% más de la edad que tiene, tendría 48 x = 160 años. ¿Qué edad tiene? 7. A puede hacer un trabajo en 9 Rpta. .......................... días, B es 50% más eficiente que A; el número de días que B 4. Si se disminuye el 20% del emplea para hacer el mismo dinero que tiene Pedro, le trabajo, es: quedaría S/.40. ¿Cuánto tiene? Solución: Rpta. .......................... Trabajador T(días) Eficiencia A 9 100% 5. Resolver: B x 150% a) ¿Qué tanto por ciento de 400 es 10? A mayor eficiencia, menor b) ¿Qué tanto por ciento de 2500 cantidad de días; por lo tanto, es 600? aplicando “regla de tres simple inversa”, tenemos: 6. En un salón de clase hay 60 alumnos, de los cuales 45 son 9 (100) = x (150) mujeres, ¿Qué tanto por ciento del total son varones? x = 6 días Rpta. .......................... 7. Si el 40% del 50% de "A" es el 30% de "B" ¿Qué tanto por ciento de (2A + 7B) es (A + B)? Rpta. .......................... Rpta. .......................... 16. Un padre compra a su hijo un 8. El precio de lista de un artefacto "skateboard" en $ 80, pero como al eléctrico es de $ 1200. Sobre hijo no le gusta el modelo, lo quiere esta cantidad se hacen dos vender ganando el 20%. ¿A cómo lo descuentos sucesivos del 30% y venderá? 20% al realizarse la venta, ¿Cuál ha sido el descuento total? Rpta. .......................... Rpta. .......................... 17. Un artículo que costó S/. 1500 se vendió ganando el 40% del precio 9. Los descuentos sucesivos del ..... de venta. ¿Cuál fue el precio de a) 20% y 25% es equivalente a .... venta? b) 10% y 20% es equivalente a ..... c) 10% y 5% es equivalente a ...... Rpta. .......................... 10. Si un número aumenta en 10% ¿En 18. Si se vendiera un artículo en qué tanto por ciento aumenta su S/.2530 se ganará el 15% del 10% cuadrado? del 80% del costo. ¿A cuánto debe vender el objeto para ganar el 20% Rpta. .......................... del 25% del 60% del costo? 11. Si un número aumenta en 20% ¿En Rpta. .......................... qué tanto por ciento aumenta su cubo? 19. De un total de 120 personas, 80 son hombres y el resto mujeres. Si Rpta. .......................... se retiran la cuarta parte de los hombres y la mitad de las mujeres, 12. Sea la expresión E=x.y; si "x" ¿Cuál será el porcentaje de las aumenta en un 40% e "y" aumenta mujeres? en un 50%. ¿En qué tanto por ciento aumenta la expresión? Rpta. .......................... Rpta. .......................... 20. En un recipiente hay 40 Lt. de alcohol al 90% de pureza, en el otro 13. En qué tanto por ciento varía el 60 Lt de alcohol al 70%. Si área de un círculo, si su radio se mezclamos, calcular el grado de triplica? pureza de la mezcla Rpta. .......................... Rpta. .......................... 14. En qué tanto por ciento varía el área de un rectángulo si su lado se incrementa en un 20% y su ancho disminuye en un 10% Rpta. .......................... 15. ¿En qué tanto por ciento varía el área de un triángulo si su base se incrementa en un 20% y su altura disminuye en un 10%? NOCIÓN DE SUCESIÓN Ejm. 1: Una sucesión es un conjunto ordenado Hallar los 5 primeros términos en cada de elementos (número, letras, figuras) caso, teniendo en cuenta las siguientes tales que cada uno ocupa un lugar fórmulas de recurrencia: establecido, de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el a) tn = 2n3 +1 tercero y así sucesivamente; acorde con una ley de formación, criterio de Solución: orden o fórmula de recurrencia. A los elementos de este conjunto se les Aplicando el principio de valor denominan términos de la sucesión. numérico, tenemos: Las sucesiones pueden ser: t1 = 2 x 13 + 1 = 2+1=3 - Sucesiones gráficas t2 = 2 x 23 + 1 = 16 + 1 = 17 - Sucesiones literales t3 = 2 x 33 + 1 = 54 + 1 = 55 - Sucesiones numéricas t4 = 2 x 43 + 1 = 128 + 1 = 129 t5 = 2 x 53 + 1 = 250 + 1 = 251 En ocasiones se presentan algunas sucesiones que son combinación de las  los términos de la sucesión son: anteriores. 3, 17, 55, 129, 251, ..... Ejemplos: n2 b) tn  n 1 a) 5; 7;11;17; .... b) 17; 33; 65; 129; .... Solución: c) 1; 8; 27; 64; .... d) 5; 12; 20; 30; 43; .... 12 1 22 4 t1 =  t2 =  e) F; H; J; L; N;... 11 2 2 1 3 SUCESION NUMERICA 32 9 42 16 t3 =  t4 =  3 1 4 4 1 5 Es un conjunto ordenado de números en el que cada uno de ellos tiene un orden designado; es decir que a cada 52 25 t5 =  uno de los términos de la sucesión le 5 1 6 corresponde un número ordinal. Así  Los términos de la sucesión # Ordinal: 1º 2º 3º 4º..........nº son: 1 4 9 16 25 ; ; ; ; ;.... 2 3 4 5 6 Términos de la sucesión: t1 t2 t3 t4......... tn c) tn = n2 + 4  .................. d) tn = 3n +1 + (n-1) (n-2) SUCESIONES NUMERICAS  .................. IMPORTANTES e) tn = n +2 (n-1)(n-2)(n-3) SUCESIÓN ARITMÉTICA (Sucesión Lineal o de Primer Orden)  .................. La diferencia entre dos términos consecutivos (también llamada razón Ejm. 2: aritmética) es siempre constante. Su término enésimo está dado por: Hallar el término enésimo en cada caso. tn = rn + t0 ; t0 = t1 – r a) 4; 9; 16; 25; ....... tn: Término enésimo Solución: t0 : Término anterior al primero Analizando cada uno de los t0 = t1-r términos. r : Razón aritmética r = t2 - t1 t1 t2 t3 t4 ...... tn n: Lugar del término enésimo 4 9 16 25 Ejm. 3: 2² 3² 4² 5² (n/1)² Hallar el término enésimo en cada caso:  tn = (n/1)² a) 7; 12; 17; 22; ....... b) 2; 6; 12; 20 .......... Solución: Solución 7 12 17 22.... +5 +5 +5 Analizando cada uno de los términos  r = 5; to = 7-5 = 2 t1 t2 t3 t4 ...... tn  tn = 5n + 2 2 6 12 20 b) 45, 39, 33, 27,..... 1x2 2x3 3x4 4x5  n(n+1) Solución:  tn = n(n+1) 45 39 33 27 -6 -6 -6 c) 1, ½, 1,4,25,216,..  r = -6 ; to = 45 – (-6) = 51 tn = ....................  tn = -6n + 51 ó tn = 51 – 6n d) 3; 6; 11; 18; ........ tn = .................... c) 4, 12, 20, 28,... 3 3 9 6 e) ; ; ; ;..... 5 4 11 7 Solución: tn = .................... ............................................ ............................................ b) -5; -9; -9; -5; 3 SUCESIÓN POLINOMIAL DE SEGUNDO ORDEN O CUADRÁTICA. Solución: En toda sucesión cuadrática el -5 -9 -9 -5 3 término enésimo es de la forma: -4 0 +4 +3 tn = a.n2 + b.n + c +4 +4 +4 donde a, b y c son valores constantes r=4 que se hallan de la siguiente manera: mo = -4 – 4 = -8 t0 ; t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; t5 ; ..... to = -5 – (-8) = 3 +m0 +m1 +m2 +m3 +m4 - Cálculo de a, b y c: +r +r +r +r r 4 a=  a=2 2 2 a=r/2 b = m0 - a c = t0 b = mo – a = -8 – 2  b = -10 c = to  c = 3 Donde: r : m2 – m1  tn = 2n² - 10n + 3 mo = m1 - r to = t1 – mo c) 2; 7; 13; 20; 28;...... Ejm. 4: Solución: Hallar el término enésimo en cada caso: SUCESIÓN GEOMÉTRICA; En general: a) 5; 11; 19; 29; 41; ...... Dada la sucesión geométrica: Solución: t1; t2; t3; t4; t5; ....... 5 11 19 29 41 xq xq xq xq +6 +8 +10 +12 q: razón geométrica +2 +2 +2 Entonces:  r=2 tn = t1 x qn-1 mo = 6-2  m0 = 4 to = 5-4  t0 = 1 Ejm. 5: - Cálculo de a; b y c Hallar el término enésimo en: r 2 a=  a = 1  a = 1 2 2 a) 2; 6; 18; 54; 162;.... b = mo – a  mo = 4-1 = 3 Solución: c = to c=1 2 6 18 54 162  tn = n² + 3n + 1 x3 x3 x3 x3  razón(q) q=3 +3 +5 +7 Observación: t1 = 2 +2 +2 t2 = 2 x 3 t3 = 2 x 32 t1 = 4; a = 2; t4 = 2 x 33 p1 = 3; r = 2; :  tn = 2 x 3n-1 El término enésimo tendrá la forma: tn = t n  t1C0n 1  aC1n 1  p1C 2n 1  r C3n 1 b) 3; 12; 48; 192;....  tn = 4  2 n  1  3 n  1n  2  2 n  1n  2n  3 5 5 2.1 3.2.1 c) 40;10; ; ;....  2 8 tn = 4  2 n  1  3 n  1n  2  n  1n  2n  3 SUCESIÓN POLINOMIAL DE ORDEN 2 3 SUPERIOR Veamos por ejemplo una sucesión de Ejm. 7: cuarto orden. Hallar el término que sigue en: 1º 2º 3º 4º 5º 6º........nº a) 1; 3; 6; 10; .......... t1, t2 , t3 , t4 , t5 , t6,.......,tn a b c d e Solución: p1 p2 p3 p4 q1 q2 q3 1 3 6 10 15 r r +2 +3 +4 +5 Su término enésimo viene dado por: +1 +1 +1 t n  t1 C n0 1  aC1n 1  p1C n2 1  q1C n3 1  rC n4 1  t5 = 15 5 5 17 b) 1; ; ; ; ............ donde: 3 2 5 n (n  1)(n  2)... “k” factores C nk  Solución: k (k  1)(k  2)...(1) Encontrando fracciones equivalentes 0  K  n; K   ; n     para t2 y t4, tenemos: Ejm. 6: 2 5 10 17 ; ; ; Calcular el término enésimo en: 2 3 4 5 Analizando numerador y 4; 6; 11; 21; 38;.... denominador: * 2 5 10 17 26 Solución: +3 +5 +7 +9 4 6 11 21 38 +2 +2 +2 +2 +5 +10 +17 * 2 3 4 5  6  t5 = 9 x 10 = 90 Ejm. 8: +1 +1 +1 Calcular el término enésimo de cada una de las sucesiones siguientes: 26 13  t5 =  a) 4; 9; 14; 19; ........ 6 3 c) I; E;G; F; E;G; Solución: Solución: Observamos que la letra E se 4 9 14 19 repite, por lo que podemos suponer +5 +5 +5  r=5 que se trata de dos sucesiones La sucesión es de primer orden, alternadas, las cuales las donde to = 4-5 = -1 individualizamos, de modo que tenemos:  tn = 5n –1 b) 5; 12; 23; 38; ........ * I G E C Solución: H F D 5 12 23 38 * E F G  H +7 +11 +15  t7 = C +4 +4 d) 1; 4; 27; 256; ........ Solución:  r=4 Analizando cada uno de los términos: La sucesión es de segundo orden t1 = 1 = 11 t2 = 4 = 2² 2 - 5 12 23 38 t3 = 27 = 33 t4 = 256 = 44 +3 - +7 +11 +15  t5 = 55 = 3125 +4 +4 +4 e) 2; 12; 30; 56; r=4 ; mo = 3 to = 2 4 Solución: a= =2 b = 3-2=1 c=2 Analizando cada uno de los 2 términos: t1 = 2 = 1 x 2  tn = 2n² + n + 2 t2 = 12 = 3 x 4 c) 3; 7; 11; 24;....... t3 = 30 = 5 x 6 t4 = 56 = 7 x 8 Solución: 3 7 11 24 PROBLEMAS PARA DESARROLLAR EN +4 +4 +13 CLASE 0 +9 1. Hallar el término que sigue en: De acuerdo al análisis no se puede a) 2; 3; 5; 7; 11;....... determinar que orden es; por lo b) 1; 1; 2; 3; 5; 8;....... tanto asumimos que se trata de c) 1; 1; 2; 4; 7; 13;....... primer orden, cuya razón es: d) F; H; K; L; O; O; ....;.... r = 4; e) W; T; P; N; J;... de donde: to = 3-4 = -1 f) Y; W; S; N;...  tn = 4n – 1 De donde: g) A; D; G; K; Ñ; S; ... t1 = 4(1)-1 = 3 t2 = 4(2)-1 = 7 t3 = 4(3)-1 = 11 h) 6; 14; 14; 14; 32; 96;… t4 = 4(4)-1 = 15 (no cumple) Como a cumplido para tres i) 1; 1; 1; 2; 12;… términos, entonces concluiremos que el término general será de tercer orden y tendrá la forma: j) 1; 2; 10; 37;… An = tn + k (n-1) (n-2) (n-3) k) 40; 0; 0; 30; 90; 200; 410; .... Es decir: An = 4n – 1 + k (n-1) (n-2)(n-3) (..I) - Debemos calcular “K”, para la cual tenemos de la sucesión 2. Calcular el término enésimo de principal tenemos que A4 = 24 cada una de las sucesiones siguientes: En (I) tenemos:  24 = 4(4) – 1 + k(4-1)(4-2)(4-3) a) 36; 31; 26; 21; ..... 24 = 15 + k (3)(2)(1) de donde k = 3 b) –19;- 16; -13; -10;... 2 3 c) 2; 7; 14; 23;……  An = 4n – 1 + (n-1) (n-2) (n-2) 2 2 5 17 d) ; ; 1; ; ........ 3 6 15 3. Se sabe que seis términos páginas, el tercer día 15 páginas, consecutivos de la sucesión: 8; el cuarto día 24 páginas, y así 11; 14; 17 ;...... suman 147. sucesivamente hasta que cierto calcular el quinto término de los día se da cuenta que el número seis mencionados. de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días Rpta:............ que ha estado leyendo. Hallar el número de páginas leídas en 4. Hallar el segundo término dicho día. negativo de la sucesión 213; 207; 201; 195;..... Rpta:............ Rpta:............ 10. Hallar el valor de “n” en la siguiente sucesión: (a+3); 5. Se tiene la progresión aritmética (a+7) ;(a +11) ;......;(a+118-n)n 3 5 creciente: aaa; ab4; ac1;..... Rpta:........... Hallar el séptimo término. 11. Los términos de la sucesión definidos por: tn = 8n2-6n+3 Rpta:............ ocupan los lugares impares de una nueva sucesión y los 6. En el siguiente triángulo términos de la sucesión definidos numérico, hallar la suma del por tn = 8n2 +2n +2 ocupan los primer y último término de la fila lugares pares de la misma nueva 20. sucesión. Calcular el término 1  F1 enésimo de la nueva sucesión 3 5  F2 formada. 7 9 11  F3 13 15 17 19  F4 Rpta:........... 21 23 25 27 29  F5 12. ¿Cuántos términos de tres cifras presenta la siguiente sucesión? Rpta:............ 3, 9, 19, 33,........ 7. Calcular el número de términos Rpta:........... de la siguientes sucesión; así como el valor de “a” 13. Calcular la diferencia de los 3 5 9 15 a términos “n-ésimos” en: ; ; ; ;...... 2 6 10 14 4 28 70 130 1720 ; ; ; ; ........ 3 5 7 9 Rpta:............ 1 1 11 8 ; ; ; ; 9 2 15 9 8. Dada la siguiente sucesión: 2, 9, 28, 65, 126........ Rpta:........... ¿Cuántos términos son de 4 cifras? 14. Juan va a una tienda y compra un caramelo, regalándole el vendedor Rpta:............ un caramelo por su compra. En una segunda vez compra 3 caramelos y 9. Ruth se propone leer una novela le regalan 2, en la tercera compra 6 diariamente, el primer día lee 3 y le regalan 3, en la cuarta vez páginas, el segundo día lee 8 compra 10 y regalan 4, en la quinta vez compra 15 y regalan 5 y así sucesivamente, ¿Cuántos caramelos recibirá en total cuando entra a la tienda a compra por vigésima vez? Rpta:............. 15. Hallar el número de términos en: 4; 6; 7; 9; 10; 12; 13;...; 301 Rpta:............. 16. ¿Cuál es el término más cercano a 1000, en: 20; 39; 58; 77;.... Rpta:............. 17. Cuántos términos hay entre 200 y 300, en la siguiente sucesión? 7; 18; 29; ... Rpta:............. 18. Hallar el término que sigue en: 1; 2; 3; 4; 125;...... Se denomina serie numérica a la Cada término de la serie es igual al adición indicada de los términos de anterior aumentado en tres; es decir una sucesión numérica y al resultado que la diferencia entre dos términos de la adición se le llama valor de la consecutivos es 3; por lo tanto: serie r=3 Ejm: 9; 18; 27; 36; .... sucesión numérica  61  4  61  1   65  60   S=        9 + 18 + 27 + 36 = 90  2  3   2  3  Serie numérica Valor de la serie S = 650 SERIE ARITMÉTICA SERIE GEOMETRICA t1 + t2 + t3 + t4+.... + tn-1 + tn t1+ t2 + t3 + t4+....+ tn-1 + tn +r +r +r +r xq xq xq xq t t  t n .q  t 1 S=  n 1 n S=  2  q 1 tn  t0  qn  1  n= S = t1   r  q 1  n = Número de términos S = Suma de términos tn = t1 qn-1 tn = Último término t1 = Primer término t0 = Término anterior al primero S = Suma de términos r = Razón de la serie t1 = Primer término tn= Enésimo término n = Números de términos r = t2 – t1 q = Razón de la serie Ejm. 1. Ejm. 2: Hallar el valor de la siguiente serie Calcular el valor de la siguiente serie S = 4 + 7 + 10 + 13 +.......+ 58+ 61 S = 3 + 6 + 12 + 24 +.......+ 1536 Solución: Observamos que cada término de la serie es el doble del anterior, entonces: Solución q=2 1. Nº de términos de una sumatoria 1536x 2  3 n S= 2 1  3069 x ik i  x k  x k 1  ...  x n  2n  1  ó S = 3 x   Nº términos = n – k + 1  2 1  Calculo de n: Ejemplo: 1536 = 3 x 2n-1 25 2n-1 = 512 = 29 x i  hay 25-3 + 1 n -1 = 9 i 3  n = 10  S = 3 (210-1) = (1024-1) 2. Para sumas o diferencias de dos S = 3069 o más variables SERIE GEOMÉTRICA DECRECIENTE n E INFINITA: (0<Q<1)  ik (ai+ bi - ci) = a +b -c i i i El valor aproximado de “S” lo obtendremos: aplicando: 3. La sumatoria de una constante es igual al Nº de términos por la t1 constante SLIMITE = 1 q  a  n  k  1a n t1 = Primer término ik q = Razón 4. Una  se puede descomponer en Ejm.3: dos o más  parciales Hallar el valor de “S”, si S = 32 + 16 + 8 + 4 + 2..... n k n x  x  x i 1 i i 1 i i  k 1 i Solución: Observamos que cada término de la 5. Sumatoria de una constante y serie es la mitad del término anterior; una o más variables por lo tanto: 1 q= k n n 2  (ax i 1 i  by i )  a  x i  b y i i 1 i 1 32 32 S=   64 11/ 2 1/ 2 REPRESENTACIÓN DE UNA SUMATORIA: SERIES (Sumas) NOTABLES 1. Suma de los “n” primeros IN n consecutivos a i k i  a k  a k 1  ...  a n Se lee: sumatoria de los “ai” desde i= k n n(n  1) hasta i = n; donde “k” y “n” son los  i  1  2  3  ...  n  i1 2 límites inferior y superior de la , e “i” se llama índice de la sumatoria PROPIEDADES Ejm. 4  51  1 2 P=3   Hallar el valor de:  2  S = 1 + 2 + 3 + ... + 50 = 3 (26)² = 2028 = 50(51)/2 = 1275 Q = 51+53+...+139 2 2 Y= 1 3  1   2  ...  120  139  1   49  1  Q=     2 2  2   2  = 1  2  3  ...  240 1 2 Q = 4900-325 = 4275 1  240(241)  = 2  2   3. Suma de cuadrados de los “n” primeros IN consecutivos = 14460 n A = 31 + 32 + ...+89 i i1 2  12  2 2  3 2  ...  n 2 En este caso le sumamos y restamos n(n  1)(2n  1)  (1+2+3+...+30). 6 A = (1+2+3+...+30) + 31+32+...+89 -(1+2+3+...+30) Ejm. 6: Hallar el valor de: 89(90) 30(31) A=   3540 2 2 A = 1 + 4 + 9 + 16 +...+ 361 A = 1² + 2² + 3² + 4² + ...+19² n n (n  1) o(o  1) A = 19(20)(39)/6 = 2470 i  i  n1 2  2 S = 11² + 12² + 13² + ...+24² Sumando y restando: (1² + 2² + 3² + ...+10²) 2. Suma de los “n” primeros IN impares consecutivos 24(25)(49) 10(11)(21) S=  n 6 6  (2i  1)  1  3  5  ...  (2n  1) i 1 S = 4900-385 S = 4515  n2 4. Suma de cubos de los “n” Ejm. 5: primeros IN consecutivos: Hallar el valor de: n S = 1 + 3 + 5 + ... + 69 i i 1 3  13  2 3  33  ...  n 3  n(n  1)  2 2n – 1 = 69; n = 35   2  S = 35² = 1225 P = 3 + 9 + 15 + .... + 153 = 3 (1 + 3 + 5 +...+51) Ejm. 7: 7. Suma de cuadrados de los “n” Hallar el valor de: primeros números pares consecutivos S = 1+8+27+64+...+8000 S = 13 + 23 + 33 + ...+203 2  20(21)  S=    210 2  44100  2  A = 125+216+343+...+1728  2i n n  12n  1 n 2  2 2  4 2  6 2  ( 2n ) 2  2 A = 53 + 63 + 73 + ... +123 3 i 1 2 2  12(13)   4(5)  A=      5984  2   2  Ejm. 10: Hallar el valor de: 5. Suma de cuadrados de los “n” M = 4 + 16 + 36 + ... + 3600 primeros números impares M = 2² + 4² + 6² + ...+ 60² consecutivos n = 30 2 M= x 30 (31) (61) = 37820 3 n  2i  1  12  3 2  5 2  ...  2n  1 2 2 PROBLEMAS RESUELTOS i1 n(2n  1)(2n  1) 1. A las 8:00 am Luis y Verónica  3 escuchan una noticia. Luis comunica esta noticia a dos de sus amigos, cada uno de los cuales lo comunica Ejm. 8: a otros dos caballeros y así Hallar el valor de: sucesivamente. Verónica comunica S = 1 + 9 + 25 + ... + 2601 la noticia a tres de sus amigas, cada S = 1² + 3² + 5² + ... + 51² una de las cuales lo comunica a 2n –1 = 51 ; n = 26 otras tres damas y así sucesivamente.  S = 26 (4 x 26² -1)/3 = 23436 Si cada persona demora 10 6. Suma de los “n” números pares minutos en comunicar la noticia a consecutivos n sus oyentes.  2i  2  4  6  ...  2n  n(n  1) i 1 ¿Cuántos caballeros y cuántas damas conocerán esta noticia a las 9 am.? Ejm. 9: Resolución Hallar el valor de: Haciendo el análisis tenemos que la S = 2 + 4 + 6 + ... + 40 cantidad de personas que se enteran de S = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 +... + 2 x 40 la noticia a las: n = 20 8:00 8:10 8:20.... 9:00 S = 20 (21) = 420. son 1 (L)  2  4 ...... 1 (V)  3  9 ...... M = 12+14+16+...+40 M = 20 (21) – 5 (6) = 390 Como la noticia “corre” en progresión geométrica, la cantidad total de  Suma de cifras de “S” = 18 + 9 = 27 caballeros y damas que conocerán la noticia serán: 3. Dada la sucesión: 1,2,-3,4,5,-6,7,8,-9.....  27  1  La suma de sus cien primeros  S Cab  1  2  4  ...  1 x    127  términos es:  2  1  Resolución  37  1   S Dam  1  3  9  ...  1 x    1093  Agrupándolos de tres en tres, tenemos:  3 1  S= 1+2–3 + 4+5–6 + 7+8-9 2. Determinar la suma de cifras del + ... + 97+98–99 + 100 resultado: S= 0 + 3 + 6 + ... + 96 + 100 S= S= 3.1 + 3.2 + ... + 3.32 + 100 1+3+5+11+33+55+111+333+555 +..  32.33  S= 3    100  2  60 sumandos Resolución S= 1684 Agrupando de tres en tres, tenemos: 4. La suma de los 20 primeros S= términos de la serie:  1  5  11 3   33   55  111 333    ... 555 3 + 5 +9 + 15 + ........ es: S= 9  99  999  ...  20 20 sumandos Resolución Para analizar los términos de la serie S= (10-1) + (100-1) + (1000-1) +... los ubicamos como una sucesión S= 10   100   1000   ...  1 1 1 ...  1 3; 3; 5; 9; 15 ; 20 20 0 +2 +4 +6 Los términos de la serie del primer grupo aumentan geométricamente, 2 +2 +2 r=2 entonces:  la serie es cuadrática, donde el término general es de la forma: 10 20  1 S= 10 x  20 10  1 tn = an² + bn + c 10  10 21 S   20 r 2 9 donde: a=   a 1 21 cifras 2 2 b = mo–a = 0–1 b = -1 10  190 21 999...9810 c = to  c = 3 S= = 9 9 Es decir: S= 111...1090 tn = n² - n+ 3 21 cifras 20  3 59   15....   (n 2  n  3) S = 32 + 33 + 34 + 35 + ... + 126 20 SUMANDOS n 1 20.21.41 20.21  126  32  =   3.20 S=   . 95  7505 6 2  2  = 2870 – 210 + 60 = 2720 Fila Nº términos tn 5. Si: 0 < n <1; la suma de: 1 x3-1 2 +0 2 1 + 2n +3n2 +4n3 +5n4 +.... 2 5 +1 6 es igual a: 3 8 +2 10 4 11 +3 14 Resolución . Dándole otra forma a la serie tenemos: . . 1 1 + n + n² + n3 + n4 + ...  S1 = 32 x3–1 95  32+94 = 126 1 n n 7. ¿Cuál es la suma de todos los n + n² + n3 + n4 + ...  S2 = 1 n números de tres cifras que comienzan n2 en 3 y son múltiplos de 3? n² + n3 + n4 + ...  S3 = 1 n Resolución n3 S = 300 + 303 + 306 + 309 + ...+ 399 n3 + n4 + ...  S4 = 1 n 399  300 399  297 S= X 4 n4 2 3 n + ... S5 = 1 n S= 699 102 x  11883 Entonces: 2 3 S = S1 + S2 + S3 + S4 + ... 8. Calcular: 1 i n S= 1 n (1 + n + n² + n3 + n4 + ...)  (3i i1 2  3i  1) 1 1 S= x = (1 – n)-2 1 n 1 n Resolución Aplicando propiedades de sumatorias, 6. En esta secuencia tenemos:  3i  Fila 1: 1,2 n n n n Fila 2: 2, 3, 4, 5, 6 2  3i  1  3  i 2  3 i  1 Fila 3: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 1 1 1 1 Fila 4: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, n (n  1)(2n  1) n (n  1) = 3 3  1.n 12, 13, 14 6 2 : n(n  1)(2n  1)  3(n  1)  2 = : 2 Hallar la suma de los números de la fila = n3 32 Resolución Proyectándonos a la fila 32, tenemos: Fila 32 : 32, 33, 34, 35, ....,126 Que al sumarlos, obtenemos: comienzan a leer el 1ero de PROBLEMAS PARA RESOLVER mayo, ¿en qué fecha llegarán a EN LA CLASE la misma página? 1. Hallar: E = 1x2 + 2x4 + 3x6+ ...+15x30 Rpta:............. Rpta:............ 9. Calcular la suma de los números 2. La suma de los “n” primeros de la fila 30 números naturales consecutivos, Fila 1 1 pares consecutivos e impares Fila 2 3 5 consecutivos es 31n+ 6. Fila 3 5 7 9 Hallar “n”. Fila 4 7 9 11 13 Fila 5 9 11 13 15 17 Rpta:............ 3. Reducir: Rpta:............ E = 1 – 4 + 9 – 16 + ... + 225 10.Se deja caer una pelota desde una Rpta:............ altura de 90 metros; si en cada rebote se eleva 1/3 de la altura de 4. Hallar el valor de la siguiente la cual cayó por última vez, qué serie: distancia recorrió la pelota hasta S = 1+2+ 5 + 10 + 17 +....+122 quedar en reposo? Rpta:............ Rpta:.............. 20  n  x  5. Hallar la siguiente suma: 11. Calcular:     2  n1  x 1  i1  E= 1+ 1+2+2+3+4+3+5+6+...+30+59+60 Rpta:.............. 12.Al sumar los cincuenta últimos 90 términos números múltiplos de 4, que tengan Rpta......... 3 cifras, se obtiene: 6. Hallar el valor de “M” si: Rpta: .............. M=1/(1x3)+1/(3x5)+1/(5x7)+....+1/(1 9x21) 13. Calcular (m+n); si tanto en el Rpta:.......... numerador como en el denominador existe el mismo 7. En las series: número de términos. A = 1 +4+9+16+....+576 111  113  115  ..  m B = 1+2+3+4+.......+69  11 C = 3 +7+11+15+....+ U 1  3  5  ..  n Hallar el valor de “U”, para que Rpta: .............. se cumpla: A = B + C 14. Hallar la suma Rpta:......... 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........+60 8. Mary y Mariela leen una novela 2 +3+ 4 + 5 + ........+60 de 3000 páginas; Mary lee 100 3 +4+ 5 + ........+60 páginas diarias y Mariela lee 10 4 +5+ ........+60 páginas en el primer día, 20 el : segundo, 30 el tercero y así 60 sucesivamente. Si ambas Rpta:............. FACTORIAL : (L ó !) El factorial de un número entero y Solución positivo se define como el producto de Como cada falda puede ponerse con todos los enteros consecutivos que cada una de las blusas empiezan con la unidad y termina con  Maneras de vestirse será el numero dado. 3 x 4 = 12 Ejemplo 1: PRINCIPIO DE ADICION Si un evento “A” ocurre o se puede 6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. efectuar de “m” maneras y otro evento 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces “A” ó “B”, se puede efectuar EN GENERAL: de: n = n! = n (n-1) (n-2) (n-3)... (1) “m + n” MANERAS. * POR CONVENCIÓN: 0 = 0! = 1 Ejemplo 2: Ejemplo 4 “Katy” desea viajar de Lima a 1. Calcular: Cajamarca; si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres ¿de cuantas 20!21!22! maneras diferentes puede realizar el E 20! x 22 2 viaje? 2. Hallar (a+b), si: Solución: 8! Para viajar de Lima a Cajamarca, puede  56 hacerlo por línea aérea (4 maneras) o a! xb! por línea terrestre (2 maneras). PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (PRINCIPIO FUNDAMENTAL) Maneras de viajar: 4 + 2 = 6 Si un evento “A” se puede realizar de “m” maneras y para cada una de estas, VARIACIÓN (v) otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras,. entonces los eventos A y Es cada uno de los diversos B se pueden efectuar simultáneamente ordenamientos que pueden formarse o uno seguido del otro, de: tomando alguno o todos, de un numero dado de objetos y teniendo en cuenta el “m x n” MANERAS. orden en que se toman estos. * Este principio se puede generalizar n! Vrn  para mas de 2 sucesos (n  r )! Ejemplo 3: “Teresita” tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de n = número total de elementos diferentes modelos; de cuántas maneras r = número de elementos tomados diferentes se puede vestir. (agrupados) Ejemplo 5: Solución Cuántas variaciones se pueden obtener con los elementos a,b,c,d,e tomados de PERMUTACIÓN (P): 2 en 2. Si se toma todos los elementos del conjunto para ordenarlos, la variación Solución recibe el nombre de permutación es decir si: v = n * Tener presente que si interesa el orden de colocación de cada  V nn  Pn  n! elemento, es decir que: ab  ba Ejemplo 7 ¿Cuántas permutaciones se obtienen Entonces, las variaciones serán con los elementos 1,2,3? ab, ac, ad, ae ba, bc, bd, be ca, cb, cd, ce = 20 V da, db, dc, de Solución ea, eb, ec, ed Al tomar todos los elementos para ordenarlos, tenemos: Matemáticamente designaremos la variación para “n” elementos tomados 123 132 de r en r, por: 213 231  6 permutaciones Vrn = n (n-1) (n-2) ... (r factores) 312 321 P3 = 3! = 6 V25  5 x 4 = 20 Ejemplo 8 ¿De cuántas maneras se pueden o también aplicando: ordenar 5 personas en una fila? n! 5! Solución:............................... Vrn   V25   20 (n  r )! 3! PERMUTACIÓN CIRCULAR (Pc) Cuando “n” elementos se disponen Ejemplo 6: alrededor de un circulo, el número de En una competencia, en la que permutaciones, si se cuenta siempre en participarán 5 atletas, se entregarán el mismo sentido a partir de un mismo medallas de oro, plata y bronce a los 3 elemento, será: primeros en llegar a la meta. Si llegasen, uno a continuación del otro, Pcn  (n  1)! de cuántas maneras se puede efectuar la premiación?. Ejemplo 9 ¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda? Solución: P7 = 7! = 5040 Ejemplo 10: ¿De cuántas maneras se pueden sentar COMBINACIÓN (C) 5 personas alrededor de una fogata? Es cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, Solución: tomando todos los elementos o grupos .................................................... de estos, no importando el orden en que se tomen estos. PERMUTACIÓN CON REPETICION Si se tiene n elementos donde hay: n! r1 = elementos de una primera clase C rn  (n  r )!.r! r2 = elementos de una segunda clase r3 = elementos de una tercera clase n = Número total de elementos rk = elementos de una k – ésima clase r = Número de elementos tomados (agrupados) El numero de permutaciones diferentes que se puede formar con ellos es: Ejemplo 13 Se desean saber cuántas n!  combinaciones se puedan realizar r .r2 ... rk Pn 1 r1 ! x r2 ! x r3 ! x...xrk ! con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2. Donde: r1 + r2 .... + rk < n Solución Ejemplo 11 Tener en cuenta que no interesa el Cuántas palabras de 5 letras se pueden orden de ubicación de los elemento, es formar con las letras de la palabra decir que: ab = ba, entonces las MENEM. combinaciones serán: Solución ab ac ad ae En la palabra encontraremos 5 letras de bc bd be = 10 las cuales se repiten las letras E y M, es cd ce decir: de n = 5; r1 = 2; r2 = 2 Ejemplo 14 ¿Cuántos comités de 4 personas se Entonces pueden formar con un grupo de 6 n! 5! personas?    30 r , r2 Pn 1 r1! x r2 ! 2!2! Solución: Ejemplo 12: OBSERVACIONES En cuántas formas se pueden ordenar los siguientes cubos: 1. C on  1 C1n  n C nn  1 2 rojos, 3 verdes y 2 azules 2. C rn  C nnr Solución (C. Complementarias) En total hay 7 cubos para ordenarlos 3. C on  C1n  C 2n  ...  C nn  2 n uno a continuación de otro; pero se repiten los colores, por lo que los ordenamientos distintos serán: C1n  C n2  ...  C nn  2 n  1 7!   210 2 , 3, 2 P7 2! 3! 2! DIFERENCIA ENTRE  maneras = V46  6 x 5 x 4 x 3  360 COMBINACIONES Y VARIACIONES Las combinaciones se diferencian por 3. Un estudiante tiene que resolver sus elementos; en tanto que las 10 preguntas de 13 en un variaciones por el orden de los mismos. examen. ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene?  Para las variaciones el orden de sus elementos si interesa, Resolución ya que no es lo mismo decir 23 que 32. Se tiene que escoger 10 preguntas, sin  Para las combinaciones el interesar el orden; entonces: orden no interesa. 13!  Dos combinaciones son 10  Maneras = C13  286 diferentes sólo si difieren por 10! x 3! lo menos en un elemento: abc; abd; bcd; acd. 4. De cuántas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos PROBLEMAS RESUELTOS pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad 1. Cuántos números de 3 cifras se sienten juntos? pueden formarse con 5 dígitos sin que se repita uno de ellos en Resolución el número formado  Las tres nacionalidades pueden ordenarse en una fila Resolución: de 3! maneras. Aplicando el método de las cajas:  Los dos peruanos pueden sentarse de 2!  Los cuatro colombianos de 4!     Los tres paraguayos de 3! 5 4 3  Dígitos posibles de ubicar en cada caja.  Hay 3! x 2! x 4! x 3! = 1728 maneras Nº de maneras = 5 x 4 x 3 = 60 5. De cuántas maneras pueden * Aplicando análisis combinatorio: escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un Como si nos interesa el orden: grupo de 7 hombres y 5 mujeres. m! Vnm  Resolución (m  n )! * De los 7 hombres se puede 5! 120 V35   = 60 escoger 3 de C 37 maneras 5  3! 2 * De las 5 mujeres se puede 2. De cuántas maneras distintas escoger 2 de C 52 maneras pueden sentarse en una banca de  El comité puede escogerse de: 6 asientos 4 personas. C 37 x C 52 = 350 maneras Resolución 6. Un total de 120 estrechados de manos se efectuaron al final de Interesa el orden en que están una fiesta. Suponiendo que cada sentados uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, cuál es el número de personas se puede extraer por lo menos presentes? una bola? Resolución Rpta.: ............ Del total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el 6. La mama de Ruth tiene 2 orden, entonces: manzanas y 3 peras. Cada día n! durante 5 dias seguidos, da a su C n2   120 hijo una fruta. ¿De cuántas (n  2)! x 2! maneras puede efectuarse esto? n (n  1)(n  2)! Rpta.: ............  120 (n  2)! x 2! 7. Con 6 colores diferentes, ¿Cuántas banderas tricolor se n (n  1) pueden formar?  120 2 Rpta.: ............  n  16 8. Un edificio tiene 7 oficinas. ¿Cuántos cables de conexión son EJERCICIOS necesarios para comunicar dos de dichas oficinas? 1. Señale cuántos números mayores que 800 y menores que 900 Rpta.: ............ pueden formarse con los números 2,3,5,8 y 9. 9. ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes y que terminan en R Rpta.: ............ se pueden obtener cambiando de lugar las letras de la palabra 2. De cuántas formas se puede CANTOR? ubicar 6 niños en una fila, si dos de ellos deben estar siempre Rpta.: ............ juntos. 10. ¿De cuántas maneras pueden Rpta.: ............ repartirse 8 camisas diferentes entre 4 personas? 3. Con 7 consonantes y 4 vocales, cuántas palabras pueden Rpta.: ............ formarse que contengan cada una 3 consonantes y 2 vocales? 11. De Lima a Trujillo hay 7 buses diferentes. ¿De cuántas maneras Rpta.: ............ se puede ir a Trujillo y regresar en un bus diferente? 4. Con las frutas: piña, manzana, Rpta.: ............ papaya y naranja, cuántos jugos de diferentes sabor se podrá 12. ¿De cuántas maneras diferentes hacer? se puede formar una terna, siendo 8 los candidatos? Rpta.: ............ Rpta.: ............ 5. Se tiene una urna con cinco bolas 13. Se tienen 4 libros diferentes de numeradas, de cuantas maneras Geometría y 3 libros diferentes de Química. ¿De cuántas Rpta.: ............ maneras se pueden ordenar en 7 20. Con las cifras 1; 3; 4; 6; 7 y 9. casilleros, si los de química ¿Cuántos números mayores de deben ir juntos? 5000 y de 4 dígitos no repetidos podemos formar? Rpta.: ............ Rpta.: ............ 14. Tres personas llegan a un lugar 21. En una oficina hay 4 escritorios donde hay 5 hoteles. ¿De que pueden ser ocupados cada uno cuántas maneras diferentes hasta por dos personas; si hay 3 podrán ubicarse en hoteles secretarias de cuántas maneras diferentes? pueden sentarse? Rpta.: ............ Rpta.: ............ 22. Si un conjunto tiene 4 elementos 15. ¿Cuántas palabras diferentes se cuántos subconjuntos con más de pueden obtener con las letras de un elemento se puede formar? la palabra COCOROCO, sin Rpta.: ............ importar si tienen o no sentido las palabras? 23. Se tiene los siguientes libros: - cuatro libros de Matemática; Rpta.: ............ - seis libros de Física y - tres libros de Química; 16. ¿Cuántos números diferentes de todos los libros pertenecen a diferentes autores. De cuántas 5 cifras cada una, sin que maneras se podrán ordenar 6 ninguna se repita, se puede libros en un estante, si se escogen formar con las cifras: 3 de Matemáticas, 2 de Física y 1,2,3,4,5,6,7, de tal manera que uno de Química? NOTA: Los libros todos empiecen con 2 y acaben de un mismo curso deben ir con 1? juntos. Rpta.: ............ Rpta.: ............ 17. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 24. Un inspector visita 6 máquinas sumandos cada una, se pueden diferentes durante el día. A fin de obtener con los números: 1, 3, 5, impedir que los operadores sepan 11, 21, 41? el momento de la visita, varía el Rpta.: ............ orden. ¿De cuántas maneras puede hacer las visitas? 18. En una biblioteca hay 5 textos de Rpta.: ............ Física, 4 de Química y 5 de Estadística. Se desea sacar 3 textos de Física, 2 de Química y 4 de Estadística. ¿Cuántas selecciones diferentes se pueden hacer? Rpta.: ............ 19. ¿En cuántas formas se pueden ordenar las siguientes fichas: 3 rojas, 2 azules y 2 blancas? El cálculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para la descripción y análisis de fenómenos estadísticos. La teoría de probabilidades es de trascendental importancia en las matemáticas, pues tiene una aplicación directa en muchos problemas de ingeniería, administración, economía, etc, donde es necesario tomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadísticos. Ejm: ¿Cuál es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado? EXPERIMENTO ALEATORIO (ε) Se denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente la prueba. EJEMPLOS ε1 : Se lanza una moneda dos veces y se observa los resultados posibles ε2 : Se lanza un dado y se observa el número que resulta ESPACIO MUESTRAL (). Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Para los ejemplos antes mencionados: 1 = (c,c); (c,s); (s,c); (s,s) 2 = (1;2;3;4;5;6) EVENTOS O SUCESOS: Un evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. Se denota generalmente por letras mayúsculas del alfabeto (A; B; ....). Del ejemplo 1 antes mencionado, sea el evento A = en los 2 lanzamientos sale un cara, por lo menos A = (c,c); (c,s); (s,c) OPERACIONES ENTRE SUCESOS: Se han indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos y como tales cumplen todas las operaciones de los mismos. Operación Se lee: A  B: Ocurre A, ocurre B o ambas Ocurre al menos uno de ellos. A  B: Ocurre A y ocurre B; Ocurre ambas a la vez A – B: Ocurre solamente A; Ocurre A pero no B AC : No ocurre el suceso A. CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS * SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son mutuamente excluyentes si y sólo si A B =  ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simultáneamente). Ejemplo: En una aula de Pre UNAC, se tiene los siguientes sucesos: A: Un grupo de alumnos tienen de 15 a 17 años B: Un grupo de alumnos tienen más de 17 años pero no más de 19 años C: Un grupo de alumnos son mayores de 19 años.  Si se elige a un alumno, este pertenecerá a alguno de los tres grupos. * SUCESOS COMPATIBLES Aquellos que pueden presentarse simultáneamente. Ejemplo: Lanzar dos dados y que aparezcan un dos o un cinco. * SUCESOS INDEPENDIENTES: Dados los sucesos A y B se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultánea o sucesivamente B; es decir, que la ocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se lanza un dado 2 veces D: Sale 3 en el primer lanzamiento E: Sale 3 en el segundo lanzamiento. * SUCESOS DEPENDIENTES Cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Ejemplo: Se tiene dos urnas A y B, la urna A contiene 3 bolas rojas y 4 bolas negras, en tanto que la urna B tiene 4 bolas rojas y 7 bolas negras. Si se saca de la urna A una bola y se deposita en la urna B; al sacar una bola de la urna B, el resultado dependerá de la bola que se sacó de la urna A. * DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD. (Definición Clásica). Si A es un suceso de un espacio muestral , entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota P (A) y está dado por la relación: Número de resultados favorables al suceso A n( A) P( A)   Número de resultados n() posibles de  Ejm 1: Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. Solución  = 1,2,3,4,5,6 A = 2,3,5  P(A) = 3/6 = 1/2 En forma general para “n” dados se cumple que Nº casos totales = 6n  Cuando se lanzan dos dados simultáneamente, aumenta la diversidad de eventos que puedan ocurrir, esto es: 6² = 36 casos en total Los eventos más frecuentes, son aquellos que involucran a la SUMA de los números que aparecen en sus caras superiores. CUADRO de las SUMAS que se OBTIENEN al LANZAR DOS DADOS: Dado 2 Dado 1  1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 De este cuadro se deduce que: * SUMA MAS PROBABLE que salga es el 7 y su probabilidad es de 6/36. * SUMAS MENOS PROBABLES son el 2 y el 12 y su respectiva probabilidad es de 1/36, para cada uno. Resumen del cuadro de Sumas: Sum 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 a 0 1 2 Nº 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 de casos Prob 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 a- 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 bilida 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 d Ejm. 2: ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados, su suma sea un múltiplo de 3? Solución: Para que sea múltiplo de 3, la suma debe ser 3,6,9 o 12, siendo los casos favorables de 2,5,4 y 1 respectivamente, que en total hacen 2+5+4+1, igual a 12 casos favorables, con respecto a 36 casos en total. Por lo tanto, la probabilidad será: 12 1  36 3 Para el caso de NAIPES: Debemos saber que el mazo consta de 52 cartas: - palo de 13 cartas de corazones() - palo e 13 cartas de diamantes () - palo de 13 cartas de Tréboles () - palo de 13 cartas de Espadas () Ejm 3: De un mazo de 52 cartas, al extraer una de ellas ¿Cuál es la probabilidad de que sea un as? Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 4 ases, entonces la probabilidad será: 4 1  52 13 Para el caso de MONEDAS: Una moneda tiene una CARA y un SELLO, es decir, cada moneda tiene dos casos totales. En general, para “n” monedas, se cumple que: Nº de casos totales = 2n Deducción sencilla: en cada MONEDA, se cumple que: Probabilidad para obtener CARA = ½ Probabilidad para obtener SELLO = ½ AXIOMAS DE PROBABILIDADES 1. Si A es un suceso definido en el espacio muestral () entonces: O < P(A) < 1 ; O% < P(A) < 100% 2. Al espacio muestral () le corresponde P() = I * La probabilidad será 1 cuando el suceso sea seguro. * La probabilidad será cero cuando el suceso sea imposible TEOREMA DE LA ADICIÓN: Si A y B son sucesos no excluyentes definidos en un espacio muestral, entonces: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes A  B = ; P (A  B) =0 P(A  B) = P(A) + P (B) TEOREMA DE LA MULTIPLICACION Sean A y B dos sucesos incluidos en el espacio muestral , entonces: - Si A y B son sucesos no independientes P(A  B) = P(A) x P(B/A) Ejm. 4: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Solución P(b a) = P(b) x P(a/b) 4 6 4 = x  10 9 15 - Si A y B son independientes P(A  B) = P(A) x P(B) Ejm. 5: Una urna contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen dos bolitas sucesivamente, con reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. Solución: P(a y b) = P(a) x P(b) 6 4 6 = x  10 10 25 EXTRACCIÓN SIMPLE Para naipes, bolas y otras, cuando se quiere extraer de una en una, la probabilidad se determina por un simple cociente de los casos favorables respecto a los casos totales. Ejm. 6: De una caja que contiene 5 bolas rojas y 3 negras, se extrae uno de ellos al azar. Determinar la probabilidad que sea negra. Solución n () = 8 n (N) = 3 => P(N) = 3/8 EXTRACCIÓN MÚLTIPLE Cuando se extraen DOS o más objetos, se puede hallar la Probabilidad por dos métodos. a) MÉTODO DE LA FRACCIÓN Hacer el PRODUCTO de tantas fracciones como EXTRACCIONES se hayan realizado. Nº de Fracciones = Nº de Extracciones Ejm. 7: De un mazo de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres al azar, éstas sean una figura (J, Q, K)? Solución: En un mazo de 52 cartas existen 4 cartas “J”, 4 cartas “Q” y 4 cartas “K”, entonces tendremos 12 cartas favorables que se van a extraer de una en una. 12 La probabilidad de la primera será: 52 11 La probabilidad de la segunda será: , ya que hay una figura menos. 51 10 La probabilidad de la tercera será 50 12 11 10 La probabilidad respuesta será el producto: , , 52 51 50 b) MÉTODO DE LAS COMBINACIONES Cuando se extraen varios objetos, se cumple que la “Probabilidad de la Extracción Múltiple equivale a un COCIENTE de COMBINACIONES”. Se debe aplicar una COMBINACIÓN, tanto a los CASOS FAVORABLES como a los CASOS TOTALES. C kr P(k) = C nr Siendo: K = Número de casos favorables que se extraen al azar de “r” en “r” (r>1) M = Número de casos totales, que se extraen al azar de “r” en “r”. Ejm. 8: De un mazo, se extraen 2 cartas ¿Cuál es la probabilidad que sean espadas? Solución: Como en un mazo de 52 cartas hay 13 espadas, por el método de las combinaciones, tenemos que: La probabilidad será: 1 2 / C2 = C13 52 17 Ejm. 9: En una urna se tiene 4 bolas negras, 5 blancas y 7 verdes. Al extraer tres de ellas, ¿Cuál es la probabilidad que sean negras? Solución: La probabilidad será de 4.3.2 1 3 = C34 / C16  16.15.14 140 Ejm. 10: Se tienen 10 objetos buenos, 4 dañados y otos 2 con daños importantes. ¿Cuál es la probabilidad que al sacar 2 objetos al azar, éstos sean buenos?. Solución: En total son: 10+4+2 = 16 objetos en total Por el método de las fracciones, será: 10 9 3 x  16 15 8 Por el método de las combinaciones: C10 10 . 9 3 2 16   C 2 16 . 15 8 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determina la probabilidad de realizar el siguiente suceso: “Obtener cara por lo menos 2 veces al lanzar al aire 3 veces una moneda” Solución: Si lanzamos por vez primera, puede que resulte cara y si no cae cara tiene que ser sello; luego si lanzamos la moneda por 2da vez y después por 3ra vez se presentarán las ocurrencias que ilustramos en el diagrama adjunto. LANZAMIENTO DE LA MONEDA 1 vez 2 veces 3 veces CCC CC CCS C CSC CS CSS SCC SC S SCS SSC SS SSS Como nos piden hallar la probabilidad de sacar por lo menos 2 caras, esto es 2 o más caras, entonces las caras favorables que observamos en la tercera columna son: ccc, ccs, csc y scc, siendo 4 posibilidades de un total de 8, luego: 4 1 P(por lo menos 2 caras) =  8 2 2. En una caja hay 5 bolas rojas y 3 negras. Sin mirar se saca una bola y no se devuelve a la caja, luego se saca otra bola. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas que se sacaron sean rojas? Solución: 5 5 La probabilidad de sacar una bola roja la primera vez es de:  , y la 53 8 5 1 4 probabilidad de sacar una bola roja la segunda vez es de:  . 8 1 7 Como la ocurrencia de los sucesos están ligadas mutuamente, aplicamos el teorema dado: 5 4 20 5 P(R y R) = P(R) + P(R) = x   8 7 56 14 3. Se escogen al azar 4 naranjas entre 10 naranjas que habían en una caja, de las cuales 6 estaban malogradas, ¿Cuál es la probabilidad de que 2 exactamente sean malogrados? Solución: Según los datos se tiene: Total de naranjas: 10 6 malogrados 4 sanos a) Si se extraen 4 naranjas del total de naranjas (10), entonces el número de maneras se obtendrá: 10x9x8x 7 4  C10  210 maneras 1x 2 x3x 4 b) Si se extraen 4 naranjas, donde dos naranjas deben ser malogradas entonces los otros dos serán sanas. El conjunto de casos posibles de extraer dos naranjas malogradas de los 6 y 2 sanas de los 4 será. 6x5 4x3 C62 x C 42  x = 90 maneras 2 2  la probabilidad es de: 90 3 P(A) =  210 7 4. Un profesor de aula ha seleccionado a 10 niños y 4 niñas para recitar 3 poesías para actuación central del aniversario del plante. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros sean niños y la última sea niña? Solución: Según los datos el total de alumnos seleccionados son: 10 niños 14 alumnos 4 niños Determinando las probabilidades tenemos: 10 5 Que el primero sea niño:  14 7 9 Que el segundo sea niño: 13 4 1 Que el tercero sea niña:  12 3 Como los tres eventos son independientes uno del otro, la probabilidad final será: 5 9 1 15 P(F) = x x  7 13 3 91 5. Nueve personas se sientan al azar en una mesa redonda. ¿Cuál es la probabilidad de que 3 personas queden contiguas? Solución: Sean A, B y C las personas que van a sentarse siempre juntas o contiguas, entonces: Calculamos el número total de formas en que se puedan sentar las 9 personas: (9- 1)!= 8! Si las 3 personas (A, B y C), siempre están juntos, entonces las formas que se pueden ubicar es: 3 x 2 x 1 = 6 formas Las 6 personas restantes se podrán ubicar de: 6! formas Finalmente la probabilidad (P(A)) de que las tres personas queden contiguas es: 6 x 6! 6 x 6! 3 (P(A)) =   8! 8x 7 x 6! 28 EJERCICIOS 1. Se tiene una baraja de 52 cartas y de ellas se extrae una. Hallar la probabilidad de que la carta extraída: a. Sea una reina de “oros” b. Sea un As c. Sea de figura negra d. Represente su valor con un número 2. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 veces una moneda se obtenga: a. 2 caras y un sello b. Por lo menos 2 veces cara c. Caras únicamente d. A lo sumo 2 veces sello Además, hallar la probabilidad que: e. 2 caras no aparezcan consecutivamente f. Todos los resultados no sean iguales g. No se obtengan 3 sellos 3. Se va a seleccionar un comité de 5 hombres, a partir de un grupo de 8 norteamericanos, 5 ingleses y 3 franceses. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté compuesto por 2 norteamericanos, 2 ingleses y 1 francés? Rpta.: ........ 4. Se lanza un par de dados. Si la suma es 6, ¿Hallar la probabilidad de que uno de los dados sea dos ?. Rpta.: ........ 5. Una caja contiene 4 bolas rojas, 3 bolas blancas y 2 bolas azules. Si se extraen 3 bolas al azar, determinar la probabilidad de que: a. Las 3 bolas sean rojas b. 2 sean rojas y 1 sea blanca c. Las 3 bolas sean blancas d. Salga una de cada color Dar como respuesta la suma de dichos resultados Rpta.: ........ 6. Se lanza una moneda cuatro veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan todos iguales? Rpta.: ........ 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la suma 7 u 11 en el lanzamiento de dos dados? Rpta.: ........ 8. De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determinar las probabilidades siguientes: a. Que todos sean ases. b. Que todos sean tréboles c. Que todos sean del mismo palo Rpta.: ........ La facultad de observación y percepción 2. Si sólo observamos y utilizamos de cambios en muchas situaciones nuestra memoria registramos estas visuales está unida con la lógica y la imágenes: memoria. Es necesario por eso, plantearse este tipo de situaciones, tales como las que aparecen en esta lista preliminar: 1 2 3 4 - Comparar dos objetos para notar si son idénticos - Encontrar un objeto oculto, basándose en un modelo. 5 6 - Enumerar y contar el conjunto de objetos observados - Descubrir el trazo de un recorrido Los números indican los 6 triángulos oculto. reconocidos. - Elegir un recorrido óptimo entre varias rutas disponibles, etc. Ejemplo 2: ¿Cuántos triángulos hay Para algunos de estos problemas se en la figura? dispone de ciertos métodos sistemáticos o algunas fórmulas pre establecidas, mientras que para otros sólo podemos contar con nuestra intuición e imaginación para obtener la solución. Haremos entonces un estudio por separado de los casos que se conocen. Resolución: II. CONTEO DE FIGURAS Asignándole letras a las figuras más Ejemplo 1: ¿Cuántos triángulos se pueden pequeñas observar en la figura? A a b c g f d e h B C D E Tenemos que la cantidad de triángulos buscados son: Resolución: con 1 letra a, b, c, d, g, h  6 Podemos contar de dos formas: 2 letras ab; bc; ad; be; cf; de; fg 7 1. Si utilizamos los vértices para 3 letras  abc; cfh 2 identificarlos tendremos los 4 letras  abde; defg; defh 3 siguientes triángulos: 5 letras  bcefh 1 ABE, ABC, ACD, ADE, ABD y ACE 7 letras  abcdefh 1 = 6 triángulos  Total = 20 Ejemplo 3: ¿Cuántos segmentos hay Resolución: en la siguiente figura? Observamos que cada uno de los segmentos, en la base del triángulo, genera a su vez una figura pedida. A B C D E Entonces, para n = 5 5(6) Nº triángulos = = 15 Resolución : 2 Si asignamos a cada uno de los pequeños segmentos una letra (e), Ejemplo 5: Cuántos cuadriláteros hay tenemos: en la figura? e e e e A B C D E Con 1 letra: 4 segmentos Con 2 letras: 3 segmentos Con 3 letras: 2 segmentos Con 4 letras: 1 segmento. Resolución: Calcularemos primero Total de segmentos: los cuadriláteros que habrían sin las S = 4 + 3 + 2 + 1 = 10 ó líneas horizontales interiores y luego S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 los cuadriláteros que habrían sin las líneas verticales interiores. Sumando miembro a miembro: Es decir: 2 S = 5+5+5+5 = 20 Es decir que para 4 “e”, tenemos: 4(5) S= = 10 2 Generalizando, para “n” espacios, tenemos 4(5) Nº de cuadriláteros = = 10 n(n  1) 2 N Seg. = 2 Nota: Esta expresión matemática podemos aplicarla a otras figuras, siempre y cuando cada segmento genere la figura pedida. 3(4) Nº de cuadriláteros = = 6 2 Ejemplo 4: Cuántos triángulos hay en la figura? Luego, al superponerlos, se multiplican  Nº cuadriláteros = 10 x 6 = 60 II. FIGURAS DE TRAZO CONTINUO - Cualquier otra situación diferente a Es posible dibujar algunas figuras con los dos casos, no da lugar a realizar trazo continuo, esto es, sin recorrer dos la figura de un solo trazo. veces la misma línea y sin levantar el - Si deseamos dibujar de un solo lápiz del papel. Con otros resulta trazo, una figura con mas de dos imposible hacerlo. vértices impares, repetiremos como i2 Ejemplo 6: ¿Cuáles de las figuras mínimo líneas; donde “i” es el 2 siguientes se puede dibujar con un solo número de vértices impares. trazo? Ejemplo 7: ¿Cuáles de las siguientes figuras, se pueden graficar de un trazo, sin levantar el lápiz, ni pasar dos veces por la misma línea? a b A B C c d Ejemplo 8: Como mínimo una araña Sólo las figuras a, b y d se pueden emplea 5 minutos en recorrer todas las dibujar de un solo trazo. aristas de un cubo construido de La figura “c” es imposible trazarla, a alambre de 60 cms. de longitud. ¿Cuál menos que se repita un segmento. es el tiempo que emplea en recorrer una arista? * Las razones se basan en una teoría que se conoce desde la época de Resolución: Leonard Euler (1759) y de la cual Para emplear el mínimo tiempo en extraemos algunos principios. recorrer una arista, la araña debe iniciar un recorrido en uno de los - Para que una figura se pueda dibujar vértices. Debido a que los 8 vértices de un solo trazo; es decir, sin levantar son impares no podrá hacer el recorrido el lápiz del papel y sin repetir ninguna sin repetir algunos de ellos. línea, es necesario estar en alguno de  el mínimo de aristas que repite en su los siguientes casos: 82 recorrido será: =3 Caso I: Todos los vértices de la figura 2 dada deben ser pares; entendiéndose  recorrió: 12 + 3 = 15 aristas como vértice par aquel punto o nudo donde concurren un número par de Resolviendo por regla de tres simple, líneas. tenemos: La trayectoria del trazo debe iniciarse en alguno de los vértices y concluir en 15 aristas 5 min < > 300 seg. el mismo. 1 arista x 1x300 x= = 20 seg Caso II: La figura debe tener sólo dos 15 vértices impares. La trayectoria del trazo debe iniciarse en uno de los vértices impares y concluir en el otro vértice impar. PROBLEMAS PARA RESOLVER EN CLASE 1. Calcular el número de triángulos en la figura Rpta. .................... 7. Rpta. .................... 2. Rpta. .................... 8. 1 2 3 4 . .5 . . Rpta. .................... . . 98 99 3. 100 Rpta. .................... 9. Calculo del N° de cuadriláteros Rpta. .................... Rpta. .................... 10. 4. Rpta. .................... 11. Rpta. .................... 5. Calcule el número de segmentos A Ñ O 2 0 0 4 Rpta. .................... Rpta. .................... 6. 12. ¿Cuántos cuadrados se pueden contar como máximo en un 16. ¿Cuántos cubos se contarán tablero de ajedrez? como máximo en el siguiente sólido? Rpta. .................... 13. ¿Cuántos cuadrados se: c) Observan en la siguiente figura Rpta. .................... 17. Para esta torre de 3 pisos se han utilizado 36 cubos. ¿Cuántos cubos serán necesarios para construir una torre similar de 20 d) ¿Cuántos cuadriláteros que no pisos? son cuadrados hay en la figura? Rpta. .................... 14.¿Cuántos agudos se pueden contar en las siguientes figuras? a) b) Rpta. .................... A B 18. ¿Cuántas de las figuras C siguientes se puede dibujar con o D un solo trazo continúo ni pasar E dos veces por una misma línea? F Dar como respuesta “a + b” Rpta. .................... 15. ¿Cuántos cubos como máximo (I) (II) (III) (IV) hay en el siguiente sólido? (V) (VI) (VII) (VIII) Rpta. .................... Rpta. .................... 19. Aquí mostramos los planos de ADICIONALES ciertos departamentos. ¿Cuál o cuales de ellos se prestan para 1. En la figura ¿Cuántos triángulos pasar por todas las puertas de hay? una sola vez empezando y terminando afuera? f) 8 g) 9 h) 10 i) 11 j) 12 2. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? f) 6 (1) (2) g) 7 20. ¿Cuántas rutas mínimas h) 8 diferentes se tiene para llegar al punto “B” partiendo de “A”? i) 9 j) 10 A 3. En nuestro tablero de ajedrez A trazamos la diagonal principal, ¿Cuántos triángulos contaremos como máximo? B B a) 72 b) 86 c) 98 (I) (II) d) 110 e) 126 4. ¿Cuántos cuadriláteros que por lo 21. De cuántas maneras puedo leer menos tengan un asterisco hay “INGRESO” en la siguiente en la siguiente figura? distribución I N N G G G R R R R E E E E E a) 36 b) 49 c) 75 d) 81 e) 69 S S S S S S O O O O O O O 5. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A)40 B)48 C)52 D)60 E)72