(PDF) .1 Fundamentos de circuitos eléctricos, 5ta. Edición sadiku | Alexander Miranda - Academia.edu
Fundamentos de circuitos eléctricos quinta edición Fundamentos de circuitos eléctricos Charles K. Alexander Department of Electrical and Computer Engineering Cleveland State University Matthew N. O. Sadiku Department of Electrical Engineering Prairie View A&M University REVISIÓN TÉCNICA: Edgar Omar López Caudana Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México Francisco Martín del Campo Universidad Iberoamericana José Francisco Piñón Rizo Universidad La Salle MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO Director general México: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Zúñiga Gutiérrez Supervisor de producción: Zeferino García García Traductores: Carlos Roberto Cordero Pedraza, Hugo Villagómez Velázquez FUNDAMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Quinta edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2013, 2006, respecto a la tercera edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 736 ISBN: 978-607-15-0948-2 ISBN anterior: 978-970-10-5606-6 Traducido de la quinta edición de: Fundamentals of Electric Circuits, de Charles K. Alexander y Matthew N. O. Sadiku. Copyright © 2013, 2009, 2007 and 2004 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 978-0-07-7338057-5 1234567890 2456789013 Impreso en México Printed in Mexico Dedicado a nuestras esposas, Kikelomo y Hannah, cuya comprensión y ayuda hicieron posible la realización de este libro. Matthew y Chuck Contenido Prefacio xi Capítulo 3 Métodos de análisis 67 Nota para el estudiante xvii Acerca de los autores xix 3.1 Introducción 67 3.2 Análisis nodal 68 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 74 3.4 Análisis de lazo 77 3.5 Análisis de lazo con fuentes PARTE 1 Circuitos de cd 2 de corriente 81 3.6 Análisis nodal y de lazo Capítulo 1 Conceptos básicos 3 por inspección 83 1.1 Introducción 4 3.7 Comparación del análisis nodal 1.2 Sistemas de unidades 5 con el de lazo 87 1.3 Carga y corriente 5 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 87 1.4 Tensión 8 3.9 Aplicaciones: Circuitos transistorizados 1.5 Potencia y energía 9 de cd 89 1.6 Elementos de circuitos 12 3.10 Resumen 93 1.7 Aplicaciones 14 Preguntas de repaso 93 1.7.1 Tubo de imagen del televisor 14 Problemas 94 1.7.2 Recibos de consumo de electricidad 16 Problemas de mayor extensión 105 1.8 Solución de problemas 17 1.9 Resumen 20 Preguntas de repaso 20 Problemas 21 Problemas de mayor extensión 23 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 107 4.1 Introducción 108 4.2 Propiedad de linealidad 108 Capítulo 2 Leyes básicas 25 4.3 Superposición 110 2.1 Introducción 25 4.4 Transformación de fuentes 114 2.2 Ley de Ohm 26 4.5 Teorema de Thevenin 117 2.3 Nodos, ramas y lazos 30 4.6 Teorema de Norton 122 2.4 Leyes de Kirchhoff 32 4.7 Derivación de los teoremas de Thevenin 2.5 Resistores en serie y división de tensión 37 y Norton 125 2.6 Resistores en paralelo y división 4.8 Máxima transferencia de potencia 126 de corriente 38 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos 2.7 Transformaciones estrella-delta 44 con PSpice 128 2.8 Aplicaciones 48 4.10 Aplicaciones 131 2.8.1 Sistemas de iluminación 49 4.10.1 Modelado de fuentes 131 2.8.2 Diseño de medidores de cd 50 4.10.2 Medición de la resistencia 133 2.9 Resumen 54 4.11 Resumen 135 Preguntas de repaso 54 Preguntas de repaso 136 Problemas 55 Problemas 136 Problemas de mayor extensión 65 Problemas de mayor extensión 147 viii Contenido Problemas 257 Capítulo 5 Amplificadores Problemas de mayor extensión 266 operacionales 149 5.1 Introducción 149 5.2 Amplificadores operacionales 150 Capítulo 8 Circuitos de segundo orden 269 5.3 Amplificador operacional ideal 153 5.4 Amplificador inversor 154 8.1 Introducción 269 5.5 Amplificador no inversor 156 8.2 Determinación de valores iniciales 5.6 Amplificador sumador 158 y finales 270 5.7 Amplificador diferencial 159 8.3 Circuito RLC en serie sin fuente 274 5.8 Circuitos con amplificadores operacionales 8.4 Circuito RLC en paralelo sin fuente 280 en cascada 162 8.5 Respuesta escalón de un circuito RLC 5.9 Análisis de circuitos con amplificadores en serie 285 operacionales con PSpice 165 8.6 Respuesta escalón de un circuito RLC 5.10 Aplicaciones 166 en paralelo 290 5.10.1 Convertidor digital-analógico 166 8.7 Circuitos generales de segundo orden 292 5.10.2 Amplificadores para instrumentación 167 8.8 Circuitos de segundo orden con amplificadores 5.11 Resumen 169 operacionales 296 Preguntas de repaso 170 8.9 Análisis de circuitos RLC con PSpice 298 Problemas 171 8.10 Dualidad 302 Problemas de mayor extensión 181 8.11 Aplicaciones 304 8.11.1 Sistema de encendido de un automóvil 304 8.11.2 Circuitos suavizadores 306 Capítulo 6 Capacitores e inductores 183 8.12 Resumen 307 Preguntas de repaso 308 6.1 Introducción 183 Problemas 309 6.2 Capacitores 184 Problemas de mayor extensión 317 6.3 Capacitores en serie y en paralelo 189 6.4 Inductores 192 6.5 Inductores en serie y en paralelo 196 6.6 Aplicaciones 199 6.6.1 Integrador 200 PARTE 2 Circuitos de ca 318 6.6.2 Diferenciador 201 6.6.3 Computadora analógica 202 Capítulo 9 Senoides y fasores 319 6.7 Resumen 206 9.1 Introducción 319 Preguntas de repaso 206 9.2 Senoides 321 Problemas 207 9.3 Fasores 325 Problemas de mayor extensión 215 9.4 Relaciones fasoriales de elementos de circuitos 331 Capítulo 7 Circuitos de primer orden 217 9.5 Impedancia y admitancia 333 9.6 Las leyes de Kirchhoff en el dominio 7.1 Introducción 217 frecuencial 335 7.2 Circuito RC sin fuente 218 9.7 Combinaciones de impedancias 336 7.3 Circuito RL sin fuente 222 9.8 Aplicaciones 341 7.4 Funciones de singularidad 227 9.8.1 Desfasadores 341 7.5 Respuesta escalón de un circuito RC 235 9.8.2 Puentes de ca 343 7.6 Respuesta escalón de un circuito RL 240 9.9 Resumen 346 7.7 Circuitos de primer orden con amplificadores Preguntas de repaso 347 operacionales 244 Problemas 347 7.8 Análisis transitorio con PSpice 247 Problemas de mayor extensión 354 7.9 Aplicaciones 251 7.9.1 Circuitos de retraso 251 7.9.2 Unidad de flash fotográfico 252 Capítulo 10 Análisis senoidal en estado 7.9.3 Circuitos relevadores 254 estable 357 7.9.4 Circuito de encendido de un automóvil 255 7.10 Resumen 256 10.1 Introducción 357 Preguntas de repaso 256 10.2 Análisis nodal 358 Contenido ix 10.3 Análisis de lazo 360 Capítulo 13 Circuitos magnéticamente 10.4 Teorema de superposición 363 acoplados 477 10.5 Transformación de fuentes 366 10.6 Circuitos equivalentes de Thevenin 13.1 Introducción 477 y Norton 367 13.2 Inductancia mutua 478 10.7 Circuitos de ca con amplificadores 13.3 Energía en un circuito acoplado 485 operacionales 371 13.4 Transformadores lineales 488 10.8 Análisis de ca con el uso de PSpice 373 13.5 Transformadores ideales 493 10.9 Aplicaciones 377 13.6 Autotransformadores ideales 499 10.9.1 Multiplicador de capacitancia 377 13.7 Transformadores trifásicos 502 10.9.2 Osciladores 378 13.8 Análisis con PSpice de circuitos 10.10 Resumen 380 magnéticamente acoplados 504 Preguntas de repaso 380 13.9 Aplicaciones 509 Problemas 381 13.9.1 El transformador como dispositivo de aislamiento 509 13.9.2 El transformador como dispositivo de acoplamiento 511 Capítulo 11 Análisis de potencia 13.9.3 Distribución de potencia 512 de ca 393 13.10 Resumen 513 Preguntas de repaso 514 11.1 Introducción 393 Problemas 515 11.2 Potencias instantánea y promedio 394 Problemas de mayor extensión 525 11.3 Máxima transferencia de potencia promedio 399 11.4 Valor eficaz o rms 402 Capítulo 14 Respuestas en frecuencia 527 11.5 Potencia aparente y factor de potencia 404 14.1 Introducción 527 11.6 Potencia compleja 407 14.2 Función de transferencia 528 11.7 Conservación de la potencia de ca 410 14.3 La escala de decibeles 531 11.8 Corrección del factor de potencia 413 14.4 Diagramas de Bode 532 11.9 Aplicaciones 415 14.5 Resonancia en serie 542 11.9.1 Medición de la potencia 415 14.6 Resonancia en paralelo 546 11.9.2 Costo del consumo de electricidad 417 14.7 Filtros pasivos 548 11.10 Resumen 419 14.7.1 Filtro pasabajas 549 Preguntas de repaso 420 14.7.2 Filtro pasaaltas 550 Problemas 420 14.7.3 Filtro pasabanda 550 Problemas de mayor extensión 428 14.7.4 Filtro rechazabanda 551 14.8 Filtros activos 553 14.8.1 Filtro pasabajas de primer orden 553 14.8.2 Filtro pasaaltas de primer orden 554 Capítulo 12 Circuitos trifásicos 431 14.8.3 Filtro pasabanda 554 12.1 Introducción 431 14.8.4 Filtro rechazabanda (o de muesca) 555 12.2 Tensiones trifásicas balanceadas 433 14.9 Escalamiento 558 12.3 Conexión estrella-estrella balanceada 436 14.9.1 Escalamiento de magnitud 559 12.4 Conexión estrella-delta balanceada 438 14.9.2 Escalamiento de frecuencia 559 12.5 Conexión delta-delta balanceada 441 14.9.3 Escalamiento de magnitud 12.6 Conexión delta-estrella balanceada 442 y de frecuencia 560 12.7 Potencia en un sistema balanceado 445 14.10 Respuesta en frecuencia utilizando PSpice 561 12.8 Sistemas trifásicos desbalanceados 451 14.11 Computación con MATLAB 564 12.9 PSpice para circuitos trifásicos 454 14.12 Aplicaciones 566 12.10 Aplicaciones 459 14.12.1 Receptor de radio 566 12.10.1 Medición de la potencia trifásica 459 14.12.2 Teléfono de tonos por teclas 568 12.10.2 Instalación eléctrica residencial 464 14.12.3 Red de separación de tonos 569 12.11 Resumen 466 14.13 Resumen 570 Preguntas de repaso 466 Preguntas de repaso 571 Problemas 467 Problemas 571 Problemas de mayor extensión 474 Problemas de mayor extensión 579 x Contenido 17.9 Resumen 694 PARTE 3 Análisis avanzado Preguntas de repaso 694 de circuitos 580 Problemas 695 Problemas de mayor extensión 703 Capítulo 15 Introducción a la transformada de Laplace 581 Capítulo 18 Transformada de Fourier 705 15.1 Introducción 581 15.2 Definición de la transformada 18.1 Introducción 706 de Laplace 582 18.2 Definición de la transformada 15.3 Propiedades de la transformada de Fourier 706 de Laplace 585 18.3 Propiedades de la transformada 15.4 Transformada inversa de Laplace 594 de Fourier 711 15.4.1 Polos simples 595 18.4 Aplicaciones en circuitos 723 15.4.2 Polos repetidos 596 18.5 Teorema de Parseval 725 15.4.3 Polos complejos 596 18.6 Comparación de las transformadas 15.5 Integral de convolución 601 de Fourier y de Laplace 728 15.6 Aplicación a las ecuaciones 18.7 Aplicaciones 729 integrodiferenciales 609 18.7.1 Modulación de amplitud 729 15.7 Resumen 611 18.7.2 Muestreo 731 Preguntas de repaso 611 18.8 Resumen 732 Problemas 612 Preguntas de repaso 732 Problemas 733 Problemas de mayor extensión 739 Capítulo 16 Aplicaciones de la transformada de Laplace 617 Capítulo 19 Redes de dos puertos 741 16.1 Introducción 618 16.2 Modelos de los elementos 19.1 Introducción 742 de un circuito 618 19.2 Parámetros de impedancia 742 16.3 Análisis de circuitos 623 19.3 Parámetros de admitancia 746 16.4 Funciones de transferencia 626 19.4 Parámetros híbridos 749 16.5 Variables de estado 630 19.5 Parámetros de transmisión 754 16.6 Aplicaciones 636 19.6 Relaciones entre parámetros 757 16.6.1 Estabilidad de una red 637 19.7 Interconexión de redes 761 16.6.2 Síntesis de red 639 19.8 Cálculo de los parámetros de dos puertos 16.7 Resumen 644 utilizando PSpice 766 Preguntas de repaso 644 19.9 Aplicaciones 768 Problemas 645 19.9.1 Circuitos transistorizados 768 Problemas de mayor extensión 655 19.9.2 Síntesis de redes en escalera 773 19.10 Resumen 776 Capítulo 17 Las series de Fourier 657 Preguntas de repaso 776 Problemas 777 17.1 Introducción 658 Problemas de mayor extensión 786 17.2 Serie trigonométrica de Fourier 658 17.3 Consideraciones de simetría 665 17.3.1 Simetría par 665 Apéndice A Ecuaciones simultáneas e inversión 17.3.2 Simetría impar 667 de matrices A-1 17.3.3 Simetría de media onda 668 17.4 Aplicaciones en circuitos 674 Apéndice B Números complejos A-9 17.5 Potencia promedio y valores rms 677 17.6 Serie exponencial de Fourier 681 Apéndice C Fórmulas matemáticas A-16 17.7 Análisis de Fourier con PSpice 686 17.7.1 Transformada discreta de Fourier 686 Apéndice D Respuestas a los problemas con número 17.7.2 Transformada rápida de Fourier 687 impar A-21 17.8 Aplicaciones 691 17.8.1 Analizadores de espectro 691 Bibliografía seleccionada B-1 17.8.2 Filtros 691 Índice analítico Í-1 Prefacio Uno se pregunta por qué se seleccionó la foto del Rover, explorador de Marte de la NASA, para la portada de este libro. En realidad se eligió por varias razones. Obvia- mente, es muy emocionante; de hecho, ¡el espacio representa la frontera más excitante para todo el mundo! Además, mucho del Rover en sí consta de todo tipo de circuitos. ¡Circuitos que deben funcionar sin necesidad de mantenimiento! ¡Cuando se está en Marte, resulta difícil encontrar un técnico! El Rover debe contar con un sistema de potencia que pueda suministrar toda la energía para que se desplace, le ayude a colectar muestras y analizarlas, transmitir los resultados a la Tierra y recibir instrucciones desde ésta. Una de las cuestiones importan- tes que constituyen el problema de trabajar con este vehículo es que se requieren alrede- dor de 20 minutos para que la comunicación vaya de la Tierra a Marte, de modo que el Rover no realiza con rapidez los cambios requeridos por la NASA. Lo más sorprendente es que este dispositivo electromecánico tan sofisticado y com- plicado puede operar con exactitud y de manera confiable ¡después de haber volado millones de kilómetros y haber rebotado en el suelo! Ésta es una liga para ver un video completamente increíble de lo que es el Rover y cómo llegó a Marte: http://www.youtube.com/watch?v=5UmRx4dEdRI. ¡Disfrútelo! Características Lo nuevo de esta edición En el capítulo 13 se presenta un modelo de acoplamiento magnético para facilitar el análisis y mejorar su capacidad para encontrar errores. Hemos usado este modelo exito- samente durante años y consideramos que ahora es el momento de incluirlo en el libro. Asimismo, al final de los capítulos hay más de 600 nuevos problemas, problemas cam- biados y problemas de práctica modificados. También hemos añadido soluciones de National Instruments MultisimTM para casi todos los problemas usando PSpice®. En nuestra página web hay disponible un tutorial de Multisim. Hemos incluido el Multisim de National Instruments porque es muy ami- gable con el usuario y tiene muchas más opciones para el análisis que PSpice. Además, permite la capacidad de modificar con facilidad los circuitos con objeto de ver la mane- ra en que el cambio de parámetros del circuito impacta las tensiones, las corrientes y la potencia. Asimismo, hemos desplazado los tutoriales de PSpice, MATLAB® y KCIDE a nuestra página web para ayudarnos a seguir el ritmo de los cambios en el software. Además, hemos agregado 43 problemas nuevos en el capítulo 16, a efecto de mejo- rar las poderosas técnicas de análisis en el dominio s para encontrar tensiones y corrien- tes en circuitos. Lo que se conserva de las ediciones anteriores Un curso en análisis de circuitos quizá es la primera exposición que tienen los estudian- tes a la ingeniería eléctrica. También es un espacio donde podemos mejorar algunas de xii Prefacio las habilidades que requerirán después a medida que aprendan a diseñar. Una parte im- portante de este libro son los 121 problemas de Diseñe un problema. Estos problemas fueron desarrollados para mejorar habilidades que forman parte importante del proceso de diseño. Sabemos que no es posible desarrollar por completo las habilidades de diseño de un estudiante en un curso fundamental como el de circuitos. Para desarrollar por completo estas habilidades, un estudiante requiere de experiencia en diseño que normal- mente está reservada para el último año de la carrera. Esto no significa que algunas de dichas habilidades no puedan ser desarrolladas y ejercitadas en un curso de circuitos. El texto ya incluía preguntas abiertas que ayudan a los estudiantes a ser creativos, lo cual es parte importante del aprendizaje sobre cómo diseñar. Ya teníamos algunas preguntas abiertas, aunque deseábamos añadir muchas más al texto en esta área importante, y para lograrlo creamos un método. Cuando desarrollamos problemas para que los resuelva el estudiante, nuestro objetivo es que en el ejercicio de resolverlos aprenda más sobre la teoría y el proceso de solución. ¿Por qué no dejar que los estudiantes diseñen problemas como lo hacemos nosotros? Eso es exactamente lo que les pedimos en cada capítulo. En el conjunto de problemas normales, hay algunos en que se solicita que el estudiante di- señe uno para ayudar a otros estudiantes a comprender mejor un concepto importante. Esto produce dos importantes resultados. El primero es optimizar la comprensión de la teoría básica y el segundo, mejorar algunas de las habilidades básicas de diseño del es- tudiante. Hacemos uso efectivo del principio de aprender enseñando. Esencialmente, todos aprendemos mejor cuando exponemos un tema. El diseño de problemas efectivos es parte fundamental del proceso de enseñanza. Es necesario alentar a los estudiantes para que desarrollen problemas, y cuando sea idóneo, que presenten cifras agradables y no necesariamente recalquen manipulaciones matemáticas complicadas. Una ventaja muy importante de nuestro libro de texto es que presentamos un total de ¡2 447 ejemplos, problemas de práctica, preguntas de repaso y problemas al final de los capítulos! Proporcionamos las respuestas de todos los problemas de práctica, así como los de número impar al final de cada capítulo. El principal objetivo de la quinta edición de este libro es el mismo que en las edi- ciones previas: presentar el análisis de circuitos de una manera más clara, interesante y fácil de entender que en otros textos sobre circuitos, así como ayudar al estudiante a comenzar a ver la “diversión” en la ingeniería. Este objetivo se logra de las formas si- guientes: • Introducción y resumen en cada capítulo Cada capítulo inicia con un análisis acerca de cómo desarrollar las habilidades que contribuyan al éxito en la solución de problemas, así como al éxito en la profesión o con una plática orientada a la profesión sobre alguna subdisciplina de la ingenie- ría eléctrica. A esto le sigue una introducción que vincula ese capítulo con los ante- riores y plantea los objetivos de dicho capítulo. Éste finaliza con un resumen de los puntos y fórmulas principales. • Metodología en la solución de problemas El capítulo 1 presenta un método de seis pasos para resolver problemas sobre cir- cuitos, el cual se utiliza de manera consistente a lo largo del texto y de los suple- mentos multimedia a fin de promover las prácticas más actuales para la solución de problemas. • Estilo de escritura amigable para el estudiante Todos los principios se presentan de manera clara, lógica y detallada. Tratamos de evitar redundancias y detalles superfluos que podrían ocultar los conceptos e impe- dir la comprensión total del material. • Fórmulas y términos clave encerrados en recuadro Las fórmulas importantes se encierran en un recuadro como una forma de ayudar a los estudiantes a clasificar qué es esencial y qué no; asimismo, se definen y desta- Prefacio xiii can términos clave, a fin de asegurar que los estudiantes perciban claramente la esencia de la materia. • Notas al margen Las notas al margen se utilizan como una ayuda pedagógica y sirven para varios propósitos: sugerencias, referencias cruzadas, mayor exposición, advertencias, re- cordatorios para no cometer errores comunes y estrategias para la solución de pro- blemas. • Ejemplos desarrollados Al final de cada sección se incluyen abundantes ejemplos completamente trabaja- dos, los cuales se consideran como parte del texto y se explican con toda clari- dad, sin que se pida al lector que complete los pasos. De este modo se proporcio- na a los estudiantes una comprensión adecuada de la solución y la confianza para que resuelvan problemas por cuenta propia. Algunos de éstos se resuelven de dos o tres formas para facilitar su comprensión y la comparación de los diferentes mé- todos. • Problemas de práctica Para proporcionar a los estudiantes la oportunidad de practicar, a cada ejemplo ilustrativo le sigue de inmediato un problema práctico con la respuesta. Los estu- diantes pueden seguir el ejemplo paso a paso para resolver el problema práctico sin hojear páginas o buscar al final del libro las respuestas. El objetivo del problema de práctica es verificar también que el estudiante haya comprendido el ejemplo ante- rior. Esto reforzará la comprensión del material antes de pasar a la siguiente sec- ción. En nuestra página web se encuentran disponibles para los estudiantes las so- luciones completas a los problemas de práctica. • Secciones de aplicación La última sección en cada capítulo se dedica a las aplicaciones prácticas de los conceptos examinados en éste. Cada capítulo cuenta al menos con uno o dos pro- blemas prácticos o dispositivos, lo cual ayuda a que los estudiantes apliquen los conceptos a situaciones de la vida real. • Preguntas de repaso Se incluyen 10 preguntas de repaso de opción múltiple al final de cada capítulo, con sus respuestas. Su propósito es describir los pequeños “trucos” que quizá no abar- quen los ejemplos y los problemas de fin de capítulo. Sirven como un dispositivo de autoevaluación y ayudan a los estudiantes a determinar qué tan bien han llegado a dominar el capítulo. • Herramientas de cómputo A fin de reconocer el requerimiento de la ABET relativo a la integración de herra- mientas computarizadas, el uso de PSpice, Multisim, MATLAB y KCIDE para cir- cuitos se fomenta de manera amigable para el estudiante. PSpice se aborda al prin- cipio del texto de tal forma que los estudiantes se familiaricen y lo utilicen a lo largo del texto. En nuestra página web hay tutoriales de todo lo anterior. Al princi- pio del libro también se presenta MATLAB. • Problemas de Diseñe un problema Por último, se incluyen los problemas de Diseñe un problema para ayudar al estu- diante a mejorar habilidades que se necesitarán en el proceso de diseño. • Gusto por la historia Bosquejos históricos a través del texto proporcionan perfiles de pioneros importan- tes y eventos relevantes en el estudio de la ingeniería eléctrica. xiv Prefacio • Estudio del amplificador operacional al principio del texto El amplificador operacional (amp op) como elemento básico se presenta al princi- pio del texto. • Amplia cobertura de las transformadas de Fourier y de Laplace Para facilitar la transición entre el curso de circuitos y los cursos de señales y siste- mas, las transformadas de Fourier y de Laplace se abordan clara y ampliamente. Los capítulos se presentan de tal manera que el profesor interesado en el tema pue- da ir desde las soluciones de los circuitos de primer orden hasta el capítulo 15. Lo anterior facilita una secuencia muy natural a partir de Laplace a Fourier y terminan- do con ca. • Diseño de diagramas El diseño de este libro lleva los diagramas de circuitos a la vida cotidiana y mejora los elementos pedagógicos clave en todo el texto. • Ejemplos ampliados El desarrollo de ejemplos detallados de acuerdo con el método de los seis pasos para la solución de problemas proporciona una guía para el estudiante con el fin de que resuelva los problemas de manera consistente. Al menos un ejemplo en cada capítulo se presenta de esta forma. • Introducción a los capítulos EC 2000 Con base en el nuevo CRITERIO 3, basado en habilidades, de ABET, estas presen- taciones de capítulo se dedican a analizar cómo los estudiantes pueden adquirir las destrezas que los conducirán a mejorar de manera muy significativa sus carreras como ingenieros. Debido a que estas destrezas son de vital importancia para el es- tudiante durante sus años universitarios, así como a lo largo de su carrera, se usará el encabezado “Mejore sus habilidades y su carrera”. • Problemas de tarea Hay 468 problemas nuevos o cambiados al final de cada capítulo que ofrecen a los estudiantes mucha práctica y refuerzan los conceptos fundamentales sobre la materia. • Iconos en los problemas de tarea Los iconos se utilizan para resaltar los problemas relacionados con el diseño en ingeniería, así como también los problemas que pueden resolverse utilizando PSpice, Multisim, KCIDE o MATLAB. Organización Este libro se escribió para un curso sobre análisis de circuitos lineales que abarque dos semestres o tres trimestres. Es factible utilizarlo también para un curso de un semestre, mediante la elección adecuada de los capítulos y las secciones por parte del profesor. Está dividido claramente en tres partes. • En la parte 1, que abarca los capítulos 1 al 8, se estudian los circuitos de cd. Aborda las leyes y teoremas fundamentales, las técnicas de circuitos, así como los elemen- tos pasivos y activos. • En la parte 2, que incluye del capítulo 9 al 14, se abordan los circuitos de ca. Se presentan los fasores, el análisis senoidal en estado estable, la potencia de ca, los valores rms, los sistemas trifásicos y la respuesta en frecuencia. • En la parte 3, que engloba los capítulos 15 al 19, se estudian las técnicas avanzadas para el análisis de redes. Se ofrece una sólida introducción a la transformada de Prefacio xv Laplace, las series de Fourier, la transformada de Fourier y al análisis de las redes de dos puertos. El material en las tres partes es más que suficiente para un curso de dos semestres, de manera que el profesor debe elegir cuáles capítulos o secciones deberá abordar. Las sec- ciones que se marcan con un signo de daga (†) pueden saltarse, explicarse en forma breve o asignarse como tareas. Es posible omitirlas sin pérdida de continuidad. Cada capítulo tiene gran cantidad de problemas, agrupados de acuerdo con las secciones del material relacionado, y son lo suficientemente variados para que el profesor elija algunos como ejemplos y asigne otros para que se trabajen en casa. Como se comentó con ante- rioridad, se utilizan tres iconos en esta edición. Se utiliza para denotar los problemas que requieran ya sea PSpice en el proceso de su solución, donde la complejidad del cir- cuito sea tal que PSpice o Multisim puedan facilitar el proceso de solución y donde estas herramientas pueden utilizarse para verificar si un problema ha sido resuelto de manera correcta. Se utiliza para denotar problemas donde se requiere de MATLAB en el pro- ceso de solución, donde tenga sentido utilizarlo por la naturaleza del problema y su complejidad, y donde pueda llevar a cabo una buena verificación para ver si el problema ha sido resuelto de manera correcta. Por último, se utiliza para identificar los proble- mas que ayudan al estudiante a desarrollar las destrezas necesarias en el diseño en la in- geniería. Los problemas de mayor dificultad están marcados con un asterisco (*). Los problemas que tienen una mayor profundidad se encuentran a continuación de los problemas al final de capítulo. En su mayor parte son problemas de aplicación que requieren de destrezas aprendidas en el capítulo en particular. Prerrequisitos Al igual que con la mayor parte de los cursos introductorios de circuitos, los principales prerrequisitos son la física y el cálculo. Si bien resulta de utilidad en la última parte del libro, no se requiere tener familiaridad con los números complejos. Una ventaja muy importante de esta obra es que TODAS las ecuaciones matemáticas y fundamentos de física que el estudiante necesita se encuentran incluidas en el texto. Las herramientas informáticas promueven la flexibilidad y cumplen con los requisitos de ABET* • PSpice® para Windows es una herramienta amigable para los usuarios de la obra, se presenta al principio del texto y se utiliza en todo éste, con análisis y ejemplos al final del capítulo correspondiente. En el sitio web del texto (www.mhhe.com/alexander) hay un tutorial sobre PSpice para Windows y un tutorial acerca de MATLAB® para fomentar su uso en el análisis de circuitos. • Algo nuevo en esta quinta edición es la incorporación de MultisimTM, de National Instruments. Para el profesor, en Multisim se presentan las soluciones de casi todos los problemas resueltos utilizando PSpice. Para los estudiantes, hay un tutorial Multisim en nuestro sitio web. Hemos añadido Multisim porque es muy amigable con el usuario y contiene más opciones para análisis que PSpice. Además, permite al usuario modificar fácilmente los circuitos con el fin de ver cómo el cambio de los parámetros del circuito impacta las tensiones, las corrientes y la potencia. • Seguimos ofreciendo KCIDE para circuitos (Ambiente de diseño integral para la obtención del conocimiento) a fin de ayudar a los estudiantes a resolver proble- mas de circuitos de manera organizada siguiendo el proceso de resolución de pro- blemas utilizado en el libro. El paquete de software puede ser descargado desde * N. del Editor. La Acreditation Board for Engineering and Technology, Inc. (ABET) es una organización no gubernamental que acredita los programas educativos posteriores al bachillerato en ciencias aplicadas, com- putación, ingeniería e ingeniería en tecnología en Estados Unidos y a nivel internacional. xvi Prefacio http://kcide.fennresearch.org. Al igual que con PSpice y Multisim, hay un tutorial disponible en nuestro sitio web. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de ense- ñanza-aprendizaje, así como la evaluación de éstos. Dichos materiales se otorgan a pro- fesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. Ambiente de diseño integral para la obtención del conocimiento (Knowledge Capturing Integrated Design Environment, KCIDE) para circuitos Este software, desarrollado en la Universidad Estatal de Cleveland y financiado por la NASA, está diseñado a fin de ayudar al estudiante que trabaje en un problema sobre circuitos de manera organizada utilizando la metodología de los seis pasos en la solu- ción de problemas del libro. KCIDE para circuitos permite al estudiante solucionar problemas de circuitos en PSpice y MATLAB, mantener un registro de la evolución de su solución y guardar un registro de sus procesos para alguna futura referencia. Además, el software genera de manera automática un documento en Word y/o una presentación en PowerPoint. El paquete de software puede bajarse de la red sin costo alguno. Se espera que el libro y los materiales complementarios proporcionen al maestro todas las herramientas pedagógicas necesarias para la presentación eficaz de los temas. Reconocimientos Queremos expresar nuestro reconocimiento por el amoroso apoyo que recibimos de nuestras esposas (Hannah y Kikelomo), nuestras hijas (Christina, Tamara, Jennifer, Mo- tunrayo, Ann y Joyce), nuestro hijo (Baixi) y de todos los miembros de nuestras fami- lias. También deseamos agradecer a Baixi (ahora Dr. Baixi Su Alexander) por su ayuda en la comprobación de los problemas para efectos de claridad y precisión. En McGraw-Hill deseamos agradecer al siguiente personal editorial y de produc- ción: Raghu Srinivasan, editor y editor sponsor; Lora Kalb-Neyens, editora de desarrollo; Curt Reynolds, gerente de marketing; Joyce Watters, director del proyecto; y Margarite Reynolds, diseñadora. La quinta edición se ha beneficiado bastante gracias a los numerosos y destacados revisores y asistentes del simposio, ¡quienes contribuyeron al éxito de las cuatro prime- ras ediciones! Además, las siguientes personas hicieron aportaciones importantes a esta edición (en orden alfabético): Alok Berry, George Mason University Vahe Caliskan, University of Illinois-Chicago Archie Holmes, University of Virginia Anton Kruger, University of Iowa Arnost Neugroschel, University of Florida Arun Ravindran, University of North Carolina-Charlotte Por último, queremos agradecer la realimentación recibida de los profesores y estudian- tes que utilizaron las ediciones anteriores del libro. Deseamos que esto se siga haciendo, de modo que solicitamos que nos envíen correos electrónicos a nosotros o directamente al editor. Pueden entrar en contacto con Charles Alexander en la página c.alexander@ ieee.org y con Matthew Sadiku en sadiku@ieee.org. C.K. Alexander y M.N.O. Sadiku Nota para el estudiante Este tal vez sea su primer curso de la carrera de ingeniería eléctrica. Aunque esta carre- ra es una disciplina atractiva y desafiante, quizá el curso pueda amedrentarlo. Este libro se escribió para evitar esto. Un buen libro de texto y un buen profesor representan una gran ventaja, pero usted es el único que habrá de aprender. Si tiene en cuenta las si- guientes sugerencias, tendrá un gran aprovechamiento durante el curso. • Este curso es el fundamento sobre el que otros cursos del plan de estudios de la carrera de ingeniería eléctrica se basarán. Por esta razón, haga el máximo esfuerzo posible. Estudie el curso con regularidad. • La solución de problemas es una parte esencial del proceso de aprendizaje. Resuel- va tantos problemas como pueda. Comience solucionando los problemas de prácti- ca siguiendo cada ejemplo, y después continúe con los problemas que están al final del capítulo. La mejor forma de aprender es resolviendo una gran cantidad de pro- blemas. Cuando un asterisco anteceda a un problema, quiere decir que éste es un problema que plantea un desafío. • Spice o Multisim, programas de computadora para el análisis de circuitos, se utili- zan a lo largo de todo el libro. PSpice, la versión para computadora personal de Spice, es el programa popular y estándar para el análisis de circuitos en la mayoría de las universidades. En nuestra página web se describen a PSpice para Windows y Multisim. Haga un esfuerzo para aprender a utilizar PSpice y/o Multisim, ya que puede verificar cualquier problema sobre circuitos con estos programas; asimismo, podrá estar seguro de utilizarlos para encontrar la solución correcta de un problema. • MATLAB es otro paquete de software muy útil en el análisis de circuitos y en otros cursos que tomará en el futuro. En nuestra página web se proporciona un breve tu- torial sobre MATLAB a fin de que se familiarice con él. La mejor forma de aprender MATLAB es comenzar a trabajar con él una vez que haya aprendido a utilizar algu- nos comandos. • Cada capítulo termina con una sección en la que se describe la forma en que puede aplicarse el material que se estudió a situaciones de la vida real. Los conceptos de esta sección quizá le resulten novedosos y avanzados. Sin duda alguna, aprenderá los detalles en otros cursos. Aquí nos interesa, ante todo, familiarizarlo de manera general con esas ideas. • Intente contestar las preguntas de revisión que están al final de cada capítulo. Le ayudarán a descubrir algunos “trucos” que no se muestran en la clase o en el libro de texto. • Es evidente que se ha realizado un gran esfuerzo para facilitar la comprensión de los detalles técnicos de este libro. Asimismo, este libro contiene toda la física y las matemáticas necesarias para comprender la teoría y será de gran utilidad en otros cursos de ingeniería que tome. Sin embargo, también nos hemos enfocado en la creación de un libro de referencia a fin de que lo pueda utilizar tanto en la universi- dad como en la industria o cuando se encuentre estudiando un posgrado. • Es muy tentadora la idea de vender este libro cuando haya terminado el curso; sin embargo, nuestro consejo es que ¡NO VENDA SUS LIBROS DE INGENIERÍA! Los xviii Nota para el estudiante libros siempre han sido artículos caros; sin embargo, el costo de este libro es prác- ticamente el mismo que el que pagué por mi libro de texto sobre circuitos a princi- pios de la década de 1960 en términos de dólares reales. De hecho, en realidad es más barato. Además, los libros de ingeniería de años anteriores no están tan com- pletos como los que se encuentran disponibles en la actualidad. Cuando era un estudiante, no vendí ninguno de mis libros sobre ingeniería, ¡y estoy muy contento de no haberlo hecho! Me di cuenta que necesitaba la mayoría de ellos a lo largo de mi vida profesional. En el apéndice A se proporciona una revisión breve sobre el cálculo de determinan- tes. En el apéndice B se estudian de igual manera los números complejos y en el apén- dice C se proporcionan fórmulas matemáticas. Las respuestas a los problemas impares se dan en el apéndice D. ¡Qué se divierta! C.K.A. y M.N.O.S. Acerca de los autores Charles K. Alexander es profesor de ingeniería eléctrica y en computación en el Fenn College of Engineering en Cleveland State University, Cleveland, Ohio. También es el director del Center for Research in Electronics and Aerospace Technology (CREATE). De 2002 a 2006 fue decano del Fenn College of Engineering. De 2004 a 2007 fue direc- tor de Ohio ICE, un centro de investigación en instrumentación, controles, electrónica y sensores (una coalición de CSU, Case, la University of Akron y varias industrias de Ohio). De 1998 a 2002 fue director interino (2000 y 2001) del Institute for Corrosion and Multiphase Technologies y profesor visitante Stocker de ingeniería eléctrica y cien- cia de la computación en la Ohio University. De 1994-1996 fue director de ingeniería y ciencias de la computación en la California State University, Northridge. De 1989 a 1994 fue director de la escuela de ingeniería de la Temple University, y de 1986 a 1989 fue profesor y jefe del departamento de ingeniería eléctrica en Temple. De 1980 a 1986 ocupó las mismas posiciones en la Tennessee Technological Universi- ty. Fue profesor asociado y profesor de ingeniería eléctrica en la Youngstown State University de 1972 a 1980, donde fue nombrado Profesor Distinguido en 1977 como reconocimiento por su “distinguida labor en la enseñanza e investigación”. Fue profesor asistente de ingeniería eléctrica en la Ohio University de Ohio de 1971 a 1972. Recibió el título honorario de Doctor en Ingeniería de la Ohio Northern University (2009), su Charles K. Alexander doctorado (Ph.D.) (1971) y su maestría en ingeniería eléctrica M.S.E.E. (1967) de la Ohio University y su licenciatura B.S.E.E. (1965) de la Ohio Northern University. El Dr. Alexander ha sido consultor de 23 compañías y organizaciones gubernamen- tales, incluidas la Air Force y Navy y algunas firmas de abogados. Ha recibido financia- miento por más de 85 millones de dólares para la investigación y desarrollo de proyectos que van desde energía solar hasta ingeniería de software. Es autor de más de 40 publica- ciones, entre las que se incluyen un cuaderno de trabajo y una serie de conferencias en videotape; además, es coautor de Fundamentals of Electric Circuits, Problem Solving Made Almost Easy y la quinta edición del Standard Handbook of Electronic Engineering con McGraw-Hill. Ha escrito más de 500 presentaciones de artículos. El Dr. Alexander es miembro del IEEE y fue su presidente y CEO en 1997. En 1993 y 1994 fue vicepresidente del IEEE, de actividades profesionales y jefe de la United States Activities Board (USAB). En 1991-1992 fue director de la región 2, colaborando en el Regional Activities Board (RAB) y USAB. También ha sido miembro de Educa- tional Activities Board. Colaboró como presidente del Member Activities Council del USAB y vicepresidente del Professional Activities Council for Engineers del USAB y presidió el Student Activities Committee del RAB y el Student Professional Awareness Committee del USAB. En 1998 recibió el Distinguished Engineering Education Achievement Award del Engineering Council y en 1996 el Distinguished Engineering Education Leadership Award del mismo grupo. Cuando se convirtió en miembro del IEEE en 1994, la referen- cia decía “por su liderazgo en el campo de la educación en la ingeniería y el desarrollo profesional de los estudiantes de ingeniería”. En 1984 recibió la IEEE Centennial Medal y en 1983 recibió el IEEE/RAB Innovation Award, otorgado al miembro del IEEE que ha contribuido de una forma distinguida a alcanzar los objetivos y metas del RAB. xx Acerca de los autores Matthew N. O. Sadiku es actualmente profesor en la Prairie View A&M University. Antes de ingresar a Praire View, dio clases en la Florida Atlantic University, Boca Ra- ton, y en la Temple University, Philadelphia. También ha trabajado en Lucent/Avaya y en la Boeing Satellite Systems. El Dr. Sadiku es autor de más de 170 artículos profesionales y de más de 30 libros entre los que se incluyen Elements of Electromagnetics (Oxford University Press, 3a. ed., 2001), Numerical Techniques in Electromagnetics (2a. ed., CRC Press, 2000), Simulation of Local Area Networks (con M. Ilyas, CRC Press,1994), Metropolitan Area Networks (CRC Press, 1994), y Fundamentals of Electric Circuits (con C. K. Alexan- der, McGraw-Hill). Sus libros se utilizan en todo el mundo y algunos de ellos han sido traducidos a los idiomas coreano, chino, italiano y español. Recibió el McGraw-Hill/Ja- cob Millman Award en 2000 por sus sobresalientes contribuciones en el campo de la in- geniería eléctrica. Fue presidente del Student Activities Committee de la región 2 del IEEE y es editor asociado del IEEE “Transactions on Education”. Recibió su doctorado (Ph.D.) en la Tennessee Technological University, Cookeville. Matthew N. O. Sadiku Fundamentos de circuitos eléctricos PARTE 1 Circuitos de cd CONTENIDO 1 Conceptos básicos 2 Leyes básicas 3 Métodos de análisis 4 Teoremas de circuitos 5 Amplificadores operacionales 6 Capacitores e inductores 7 Circuitos de primer orden 8 Circuitos de segundo orden NASA capítulo Conceptos básicos Algunos libros son para probarlos, otros para ingerirlos, y algunos pocos para masti- 1 carlos y digerirlos. —Francis Bacon Mejore sus habilidades y su carrera Criterios de ABET EC 2000 (3.a), capacidad para aplicar conocimientos de matemáticas, ciencias e ingeniería. Como estudiante, usted necesita estudiar matemáticas, ciencias e ingeniería con el pro- pósito de ser capaz de aplicar esos conocimientos a la solución de problemas de inge- niería. La habilidad aquí es la capacidad para aplicar los fundamentos de esas áreas a la solución de un problema. Así que, ¿cómo desarrollará y mejorará esta habilidad? El mejor método es resolver tantos problemas como sea posible en todos sus cur- sos. Sin embargo, para que realmente pueda tener éxito con esto, debe dedicar tiempo a analizar dónde, cuándo y por qué tiene dificultades y así llegar fácilmente a soluciones exitosas. Quizá le sorprenda descubrir que la mayoría de sus dificultades para la resolu- ción de problemas tienen que ver con las matemáticas, más que con su comprensión de Fotografía de Charles Alexander. la teoría. También podría descubrir que comienza a resolver los problemas demasiado pronto. Tomarse tiempo para reflexionar en los problemas y en la manera en que debería resolverlos siempre le ahorrará a la larga tiempo y frustraciones. He descubierto que lo que me da mejor resultado es aplicar nuestra técnica de resolu- ción de problemas de seis pasos. Después identifico cuidadosamente las áreas en las que tengo dificultades para resolver el problema. Muchas veces mis deficiencias residen en mi comprensión y capacidad para usar de manera correcta ciertos principios matemáticos. Regreso entonces a mis textos fundamentales de matemáticas y repaso detenidamente las secciones apropiadas, y en algunos casos resuelvo algunos problemas de ejemplo de esos textos. Esto me lleva a otra sugerencia importante que usted siempre debería hacer: tener a la mano todos sus libros de texto básicos de matemáticas, ciencias e ingeniería. Al principio, este proceso de continuo examen de material que usted pensaba que había adquirido en cursos anteriores podría parecer muy tedioso; pero conforme usted desarrolle sus habilidades e incremente sus conocimientos, el proceso se volverá cada vez más fácil. En lo personal, fue justamente este proceso lo que me llevó de ser alguien menos que un estudiante promedio a ser alguien capaz de conseguir un doctorado y convertirse en un investigador exitoso. 4 Capítulo 1 Conceptos básicos 1.1 Introducción Las dos teorías fundamentales en las que se apoyan todas las ramas de la ingeniería eléctrica son la de circuitos eléctricos y la electromagnética. Muchas ramas de la inge- niería eléctrica, como potencia, máquinas eléctricas, control, electrónica, comunicacio- nes e instrumentación, se basan en la teoría de circuitos eléctricos. Por lo tanto, el curso básico de teoría de circuitos eléctricos es el más importante para un estudiante de inge- niería eléctrica, y constituye siempre un excelente punto de partida para quien inicia su educación en ingeniería eléctrica. La teoría de circuitos también es valiosa para estu- diantes que se especializan en otras ramas de las ciencias físicas, porque los circuitos son un buen modelo para el estudio de sistemas de energía en general, y también por la matemática aplicada, la física y la topología implicadas. En ingeniería eléctrica, a menudo interesa comunicar o transferir energía de un punto a otro. Hacerlo requiere una interconexión de dispositivos eléctricos. A tal inter- conexión se le conoce como circuito eléctrico, y a cada componente del circuito como elemento. Un circuito eléctrico es una interconexión de elementos eléctricos. Corriente Un circuito eléctrico simple se presenta en la figura 1.1. Consta de tres elementos bási- cos: una batería, una lámpara y alambres de conexión. Un circuito simple como éste ⫹ puede existir por sí mismo; tiene varias aplicaciones, como las de linterna, reflector, ⫺ etcétera. Batería Lámpara Un circuito complejo real se muestra en la figura 1.2, la cual representa el diagrama esquemático de un transmisor de radio. Aunque parece complicado, este circuito puede analizarse usando las técnicas incluidas en este libro. La meta de este texto es aprender varias técnicas analíticas y aplicaciones de software de computación para describir el Figura 1.1 Circuito eléctrico simple. comportamiento de un circuito como éste. + 9 V (DC) Antena C4 L1 R1 R2 R4 R6 C3 C2 C1 Q2 C5 + Q1 Micrófono R3 R5 R7 − Figura 1.2 Circuito eléctrico de un transmisor de radio. Los circuitos eléctricos se usan en numerosos sistemas eléctricos para realizar dife- rentes tareas. El objetivo de este libro no es el estudio de diversos usos y aplicaciones de circuitos. Más bien, el principal interés es el análisis de los circuitos. Por análisis de un circuito se entiende un estudio del comportamiento del circuito: ¿cómo responde a una entrada determinada? ¿Cómo interactúan los elementos y dispositivos interconecta- dos en el circuito? Este estudio inicia con la definición de algunos conceptos básicos. Estos conceptos son carga, corriente, tensión, elementos de circuito, potencia y energía. Pero antes de definirlos, primero se debe establecer el sistema de unidades que se usará a lo largo del texto. 1.3 Carga y corriente 5 1.2 Sistemas de unidades Los ingenieros eléctricos trabajan con cantidades mensurables. Esta medición, sin em- bargo, debe ser comunicada en un lenguaje estándar que prácticamente todos los profe- sionales puedan entender, sin importar el país donde se realice la medición. Tal lengua- je internacional de medición es el Sistema Internacional de Unidades (SI), adoptado por la Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960. En este sistema hay siete unidades principales de las que pueden derivarse las unidades de todas las demás cantidades físi- cas. En la tabla 1.1 aparecen esas seis unidades y una unidad derivada que son relevan- tes para este texto. Las unidades del SI se usarán a todo lo largo de este texto. Una gran ventaja de las unidades del SI es que utilizan prefijos basados en las po- TABLA 1.2 Prefijos del SI. tencias de 10 para relacionar unidades mayores y menores con la unidad básica. En la Multiplicador Prefijo Símbolo tabla 1.2 aparecen los prefijos del SI y sus símbolos. Por ejemplo, las siguientes son expresiones de la misma distancia en metros (m): 1018 exa E 1015 peta P 600 000 000 mm 600 000 m 600 km 1012 tera T 109 giga G 106 mega M TABLA 1.1 Las seis unidades básicas del SI y una unidad derivada 103 kilo k relevantes para este texto. 102 hecto h 10 deca da Cantidad Unidad básica Símbolo 10⫺1 deci d Longitud metro m 10⫺2 centi c Masa kilogramo kg 10⫺3 mili m Tiempo segundo s 10⫺6 micro ␮ Corriente eléctrica ampere A 10⫺9 nano n Temperatura termodinámica kelvin K 10⫺12 pico p Intensidad luminosa candela cd 10⫺15 femto f Carga coulomb C 10⫺18 atto a 1.3 Carga y corriente El concepto de carga eléctrica es el principio fundamental para explicar todos los fenó- menos eléctricos. Asimismo, la cantidad básica en un circuito eléctrico es la carga eléc- trica. Todas las personas experimentan el efecto de la carga eléctrica cuando intentan quitarse un suéter de lana y éste se pega al cuerpo o cuando atraviesan una alfombra y reciben un choque. Carga es una propiedad eléctrica de las partículas atómicas de las que se compone la materia, medida en coulombs (C). Gracias a la física elemental se sabe que toda la materia se compone de bloques consti- tutivos fundamentales conocidos como átomos y que cada átomo consta de electrones, protones y neutrones. También se sabe que la carga e de un electrón es negativa e igual en magnitud a 1.602 ⫻ 10⫺19, en tanto que un protón lleva una carga positiva de la mis- ma magnitud que la del electrón. La presencia de igual número de protones y electrones deja a un átomo cargado neutralmente. Cabe señalar los siguientes puntos sobre la carga eléctrica: 1. El coulomb es una unidad grande para cargas. En 1 C de carga, hay 1兾(1.602 ⫻ 10⫺19) ⫽ 6.24 ⫻ 1018 electrones. Así, valores realistas o de laboratorio de cargas son del orden de pC, nC o ␮C.1 1 Sin embargo, un capacitor grande de una fuente de poder puede almacenar hasta 0.5 C de carga. 6 Capítulo 1 Conceptos básicos 2. De acuerdo con observaciones experimentales, las únicas cargas que ocurren en la naturaleza son múltiplos enteros de la carga electrónica e ⫽ ⫺1.602 ⫻ 10⫺19 C. 3. La ley de la conservación de la carga establece que la carga no puede ser creada ni destruida, sólo transferida. Así, la suma algebraica de las cargas eléctricas en un sistema no cambia. Se considerará ahora el flujo de las cargas eléctricas. Una característica peculiar de I ⫺ ⫺ ⫺ ⫺ la carga eléctrica o electricidad es el hecho de que es móvil; esto es, puede ser transfe- rida de un lugar a otro, donde puede ser convertida en otra forma de energía. Cuando un alambre conductor (integrado por varios átomos) se conecta a una bate- ⫹ ⫺ ría (una fuente de fuerza electromotriz), las cargas son obligadas a moverse; las cargas Batería positivas se mueven en una dirección, mientras que las cargas negativas se mueven en Figura 1.3 Corriente eléctrica debida la dirección opuesta. Este movimiento de cargas crea corriente eléctrica. Por conven- al flujo de carga electrónica en un con- ción se considera al flujo de corriente como el movimiento de cargas positivas. Esto es, ductor. opuesto al flujo de cargas negativas, tal como lo ilustra la figura 1.3. Esta convención la introdujo Benjamin Franklin (1706-1790), el científico e inventor estadounidense. Aun- Una convención es una manera que ahora se sabe que la corriente en conductores metálicos se debe a electrones con estándar de describir algo para que carga negativa, en este texto se seguirá la convención universalmente aceptada de que otros en la profesión puedan la corriente es el flujo neto de cargas positivas. Así, entender lo que significa. En este libro se usarán las convenciones del Corriente eléctrica es la velocidad de cambio de la carga respecto al tiempo, medida Institute of Electrical and Electronics en amperes (A). Engineers (IEEE). Matemáticamente, la relación entre la corriente i, la carga q y el tiempo t es ⌬ dq i⫽ (1.1) dt donde la corriente se mide en amperes (A), y 1 ampere ⫽ 1 coulomb兾segundo La carga transferida entre el tiempo t0 y t se obtiene integrando ambos miembros de la ecuación (1.1). Se obtiene t ¢ Q i dt (1.2) t0 Perfiles históricos André-Marie Ampère (1775-1836), matemático y físico francés, sentó las bases de la electrodinámica. Definió la corriente eléctrica y desarrolló una manera de medirla en la década de 1820. Ampère nació en Lyon, Francia; a los 12 años de edad dominó el latín en unas cuantas semanas, pues le interesaban vivamente las matemáticas, y muchas de las me- jores obras de matemáticas estaban en latín. Fue un brillante científico y un prolífico autor. Formuló las leyes del electromagnetismo. Inventó el electroimán y el amperíme- tro. La unidad de corriente eléctrica, el ampere, lleva su nombre. The Burndy Library Collection en The Huntington Library, San Marino, California. 1.3 Carga y corriente 7 La forma en que se define la corriente como i en la ecuación (1.1) indica que no es ne- I cesario que la corriente sea una función de valor constante. Como lo sugerirán mu- chos de los ejemplos y problemas de este capítulo y capítulos subsecuentes, puede ha- ber varios tipos de corriente; es decir, la carga puede variar con el tiempo de diversas maneras. Si la corriente no cambia con el tiempo, sino que permanece constante, se conoce como corriente directa (cd). 0 t a) Una corriente directa (cd) es una corriente que permanece constante en el tiempo. i Por convención, el símbolo I se usa para representar tal corriente constante. Una corriente que varía con el tiempo se representa con el símbolo i. Una forma común de corriente que varía con el tiempo es la corriente senoidal o corriente alter- na (ca). 0 t Una corriente alterna (ca) es una corriente que varía senoidalmente con el tiempo. b) Figura 1.4 Dos tipos comunes de corriente: a) corriente directa (cd); b) co- rriente alterna (ca). Esta corriente se emplea en los hogares, para accionar el acondicionador de aire, refrige- rador, lavadora y otros aparatos eléctricos. En la figura 1.4 se muestran la corriente direc- ta y la corriente alterna; éstos son los dos tipos de corriente más comunes. Otros tipos se considerarán más adelante. 5A ⫺5 A Una vez definida la corriente como el movimiento de carga, es de esperar que la corriente tenga una dirección asociada de flujo. Como ya se mencionó, por convención se considera que la dirección del flujo de la corriente es la dirección del movimiento de la carga positiva. Con base en esta convención, una corriente de 5 A puede representar- a) b) se positiva o negativamente, como se observa en la figura 1.5. En otras palabras, una Figura 1.5 Flujo de corriente conven- corriente negativa de ⫺5 A que fluye en una dirección, como se muestra en la figura cional: a) flujo de corriente positiva, b) 1.5b), es igual a una corriente de ⫹5 A que fluye en la dirección opuesta. flujo de corriente negativa. ¿Cuánta carga representan 4 600 electrones? Ejemplo 1.1 Solución: Cada electrón tiene ⫺1.602 ⫻ 10⫺19 C. Así, 4 600 electrones tendrán ⫺1.602 ⫻ 10⫺19 C兾electrón ⫻ 4 600 electrones ⫽ ⫺7.369 ⫻ 10⫺16 C Calcule la cantidad de carga representada por seis millones de protones. Problema de práctica 1.1 Respuesta: ⫹9.612 ⫻ 10⫺13 C. La carga total que entra a una terminal está determinada por q ⫽ 5t sen 4␲ t mC. Calcu- Ejemplo 1.2 le la corriente en t ⫽ 0.5 s. dq d Solución: i ⫽ ⫽ (5t sen 4␲t) mC/s ⫽ (5 sen 4␲t ⫹ 20␲t cos 4␲t) mA dt dt En t ⫽ 0.5, i ⫽ 5 sen 2␲ ⫹ 10␲ cos 2␲ ⫽ 0 ⫹ 10␲ ⫽ 31.42 mA Si en el ejemplo 1.2, q ⫽ (10 ⫺ 10e⫺2t) mC, halle la corriente en t ⫽ 1.0 s. Problema de práctica 1.2 Respuesta: 2.707 mA. 8 Capítulo 1 Conceptos básicos Ejemplo 1.3 Determine la carga total que entra a una terminal entre t ⫽ 1 s y t ⫽ 2 s si la corriente que pasa por la terminal es i ⫽ (3t2 ⫺ t) A. 2 2 Solución: Q i dt (3t 2 t) dt t 1 1 t2 2 at 3 b` a1 b 1 (8 2) 5.5 C 2 1 2 Problema de práctica 1.3 La corriente que fluye a través de un elemento es 0 6 t 6 1 e 4 A, i 4t 2 A, t 7 1 Calcule la carga que entra al elemento de t = 0 a t = 2 s. Respuesta: 13.333 C. 1.4 Tensión Como se explicó brevemente en la sección anterior, para mover el electrón en un con- ductor en una dirección particular es necesario realizar algo de trabajo o transferir ener- gía. Este trabajo lo lleva a cabo una fuerza electromotriz externa (fem), habitualmente representada por la batería en la figura 1.3. Esta fem también se conoce como tensión o diferencia de potencial. La tensión vab entre dos puntos a y b en un circuito eléctrico es la energía (o trabajo) necesaria(o) para mover una carga unitaria desde a hasta b; mate- máticamente, ⌬ dw vab ⫽ (1.3) dq donde w es la energía en joules (J), y q es la carga en coulombs (C). La tensión vab, o simplemente v, se mide en volts (V), así llamados en honor al físico italiano Alessandro Antonio Volta (1745-1827), quien inventó la primera batería voltaica. Con base en la ecuación (1.3) es evidente que a + 1 volt ⫽ 1 joule/coulomb ⫽ 1 newton-metro/coulomb vab Así, – Tensión (o diferencia de potencial) es la energía requerida para mover una carga uni- b Figura 1.6 Polaridad de tensión vab. taria a través de un elemento, medida en volts (V). a a En la figura 1.6 aparece la tensión entre los extremos de un elemento (representado por + – un bloque rectangular) conectado a los puntos a y b. Los signos más (⫹) y menos (⫺) se usan para definir la dirección de referencia o polaridad de la tensión. El voltaje vab 9V –9V puede interpretarse de dos maneras: 1) el punto a está a un potencial de vab volts mayor que el punto b, o 2) el potencial en el punto a respecto del punto b es vab. De esto se – + b b desprende lógicamente que en general a) b) vab ⫽ ⫺vba (1.4) Figura 1.7 Dos representaciones equivalentes de la misma tensión vab: Por ejemplo, en la figura 1.7 tenemos dos representaciones de la misma tensión. En la a) el punto a tiene 9 V más que el punto figura 1.7a), el punto a tiene ⫹9 V más que el punto b; en la figura 1.7b), el punto b b, b) el punto b tiene ⫺9 V más que el tiene ⫺9 V más que el punto a. Podemos decir que en la figura 1.7a) hay una caída de punto a. tensión de 9 V de a a b o, en forma equivalente, un aumento de tensión de 9 V de b a a. 1.5 Potencia y energía 9 Perfiles históricos Alessandro Antonio Volta (1745-1827), físico italiano, inventó la batería eléctrica, la cual brindó el primer flujo continuo de electricidad, y el capacitor. Nacido en el seno de una familia noble en Como, Italia, Volta ya realizaba experi- mentos eléctricos a los 18 años de edad. Su invención de la batería en 1796 revolucionó el uso de la electricidad. La publicación de su obra en 1800 marcó el inicio de la teoría de los circuitos eléctricos. Volta recibió muchos honores durante su vida. La unidad de tensión o diferencia de potencial, el volt, fue llamada así en su honor. The Burndy Library Collection en The Huntington Library, San Marino, California. En otras palabras, una caída de tensión de a a b es equivalente a un aumento de tensión de b a a. Corriente y tensión son las dos variables básicas en circuitos eléctricos. El término Tenga presente que la corriente común señal se aplica a una cantidad eléctrica como una corriente o tensión (o incluso eléctrica siempre ocurre a través de una onda electromagnética) cuando se usa para transmitir información. Los ingenieros un elemento y que la tensión eléctrica prefieren llamar señales a esas variables, más que funciones matemáticas del tiempo, a siempre ocurre entre los extremos del causa de su importancia en las comunicaciones y otras disciplinas. Al igual que en el elemento o entre dos puntos. caso de la corriente eléctrica, a una tensión constante se le llama tensión de cd y se le representa como V, mientras que a una tensión que varía senoidalmente con el tiempo se le llama tensión de ca y se le representa como v. Una tensión de cd la produce común- mente una batería; una tensión de ca la produce un generador eléctrico. 1.5 Potencia y energía Aunque corriente y tensión son las dos variables básicas en un circuito eléctrico, no son suficientes por sí mismas. Para efectos prácticos, se necesita saber cuánta potencia puede manejar un dispositivo eléctrico. Todos los lectores saben por experiencia que un foco de 100 watts da más luz que uno de 60 watts. También saben que al pagar una cuenta a la compañía suministradora de electricidad, pagan la energía eléctrica consumida durante cierto periodo. Así, los cálculos de potencia y energía son importantes en el análisis de circuitos. Para relacionar potencia y energía con tensión y corriente, recuérdese de la física que Potencia es la variación respecto del tiempo de gasto o absorción de energía, medida en watts (W). Esta relación se escribe como ⌬ dw p⫽ (1.5) dt donde p es la potencia, en watts (W); w es la energía, en joules (J), y t es el tiempo, en segundos (s). De las ecuaciones (1.1), (1.3) y (1.5) se desprende que 10 Capítulo 1 Conceptos básicos dw dw dq p⫽ ⫽ · ⫽ vi (1.6) dt dq dt o sea p ⫽ vi (1.7) Si las direcciones de tensión y La potencia p en la ecuación (1.7) es una cantidad que varía con el tiempo y se llama corriente son como se muestra en la potencia instantánea. Así, la potencia absorbida o suministrada por un elemento es el figura 1.8b), se tiene la convención producto de la tensión entre los extremos del elemento y la corriente a través de él. Si la activa de signos y p = +vi. potencia tiene signo ⫹, se está suministrando o la está absorbiendo el elemento. Si, por el contrario, tiene signo ⫺, está siendo suministrada por el elemento. Pero, ¿cómo saber cuándo la potencia tiene signo negativo o positivo? i i La dirección de corriente y polaridad de tensión desempeñan un papel primordial + + en la determinación del signo de la potencia. Por lo tanto, es importante que se preste atención a la relación entre la corriente i y la tensión v en la figura 1.8a). La polaridad v v de tensión y dirección de corriente deben ajustarse a las que aparecen en la figura 1.8a) para que la potencia tenga signo positivo. Esto se conoce como convención pasiva de – – signos. Por efecto de la convención pasiva de los signos, la corriente entra por la pola- p = +vi p = – vi ridad positiva de la tensión. En este caso, p ⫽ ⫹vi o vi ⬎ 0 implica que el elemento está absorbiendo potencia. En cambio, si p ⫽ ⫺vi o vi ⬍ 0, como en la figura 1.8b), el ele- a) b) mento está liberando o suministrando potencia. Figura 1.8 Polaridades de referencia para la potencia con el uso de la conven- ción pasiva del signo: a) absorción de La convención pasiva de signos se satisface cuando la corriente entra por la terminal potencia, b) suministro de potencia. positiva de un elemento y p = +vi. Si la corriente entra por la terminal negativa, p = –vi. 3A 3A A menos que se indique otra cosa, en este texto se seguirá la convención pasiva de signos. Por ejemplo, el elemento en los dos circuitos en la figura 1.9 tiene una absorción + – de potencia de ⫹12 W, porque una corriente positiva entra a la terminal positiva en ambos casos. En la figura 1.10, en cambio, el elemento suministra una potencia de ⫹12 4V 4V W, porque una corriente positiva entra a la terminal negativa. Desde luego, una absor- + ción de potencia de ⫺12 W es equivalente a un suministro de potencia de ⫹12 W. En – general, a) b) ⫹Potencia absorbida ⫽ ⫺Potencia suministrada Figura 1.9 Dos casos de un elemento con una absorción de potencia de 12 W: De hecho, la ley de conservación de la energía debe cumplirse en cualquier circui- a) p ⫽ 4 ⫻ 3 ⫽ 12 W, b) p ⫽ 4 ⫻ 3 ⫽ to eléctrico. Por esta razón, la suma algebraica de la potencia en un circuito, en cualquier 12 W. instante, debe ser cero: 3A 3A ap 0 (1.8) + – Esto confirma de nueva cuenta el hecho de que la potencia total suministrada al circuito 4V 4V debe equilibrar la potencia total absorbida. + A partir de la ecuación (1.6), la energía absorbida o suministrada por un elemento – del tiempo t0 al tiempo t es a) b) t t Figura 1.10 Dos casos de un elemento w p dt vi dt (1.9) con un suministro de potencia de 12 W: t0 t0 a) p ⫽ ⫺4 ⫻ 3 ⫽ ⫺12 W, b) p ⫽ ⫺4 ⫻ 3 ⫽ ⫺12 W. Energía es la capacidad para realizar trabajo, medida en joules (J). Las compañías abastecedoras de electricidad miden la energía en watts-horas (Wh), donde 1 Wh ⫽ 3 600 J 1.5 Potencia y energía 11 Una fuente de energía fuerza una corriente constante de 2 A durante 10 s para que fluya Ejemplo 1.4 por una bombilla eléctrica. Si 2.3 kJ se emiten en forma de luz y energía térmica, calcu- le la caída de tensión en la bombilla. Solución: La carga total es ⌬q ⫽ i ⌬t ⫽ 2 ⫻ 10 ⫽ 20 C La caída de tensión es ¢w 2.3 103 v 115 V ¢q 20 Para mover la carga q del punto a al punto b se requieren –30 J. Halle la caída de tensión Problema de práctica 1.4 vab si: a) q ⫽ 6 C, b) q ⫽ ⫺3 C. Respuesta: a) ⫺5 V, b) 10 V. Halle la potencia que se entrega a un elemento en t = 3 ms si la corriente que entra a su Ejemplo 1.5 terminal positiva es i ⫽ 5 cos 60 ␲t A y la tensión es: a) v ⫽ 3i, b) v ⫽ 3 di兾dt. Solución: a) La tensión es v ⫽ 3i ⫽ 15 cos 60 ␲t; así, la potencia es p ⫽ vi = 75 cos2 60␲t W En t ⫽ 3 ms, p 75 cos2 (60 p 3 10 3) 75 cos2 0.18 p 53.48 W b) Se encuentra la tensión y la potencia como di v⫽3 ⫽ 3(⫺60␲)5 sen 60␲t ⫽ ⫺900␲ sen 60␲t V dt p ⫽ vi ⫽ ⫺4 500␲ sen 60␲t cos 60␲t W En t ⫽ 3 ms, p ⫽ ⫺4 500␲ sen 0.18␲ cos 0.18␲ W ⫽ ⫺14 137.167 sen 32.4⬚ cos 32.4⬚ ⫽ ⫺6.396 kW Halle la potencia provista al elemento del ejemplo 1.5 en t ⫽ 5 ms si la corriente se Problema de práctica 1.5 mantiene sin cambios pero la tensión es: a) v ⫽ 2i V, t b) v a10 5 i dtb V. 0 Respuesta: a) 17.27 W, b) 29.7 W. ¿Cuánta energía consume una bombilla eléctrica de 100 W en dos horas? Ejemplo 1.6 Solución: w pt 100 (W) 2 (h) 60 (min/h) 60 (s/min) 720 000 J 720 kJ Esto es lo mismo que w pt 100 W 2h 200 Wh 12 Capítulo 1 Conceptos básicos Problema de práctica 1.6 Un elemento de una estufa eléctrica requiere 15 A cuando está conectado a una línea de 240 V. ¿Cuánto tiempo tarda en consumir 180 kJ? Respuesta: 50 s. Perfiles históricos Exhibición de 1884 En Estados Unidos, nada promovió tanto el futuro de la electrici- dad como la International Electrical Exhibition de 1884. Basta imaginar un mundo sin electricidad, un mundo iluminado por velas y lámparas de gas, un mundo donde el transporte más común era caminar, montar a caballo o abordar un carruaje tirado por caballos. En ese mundo se creó una exhibición que puso de relieve a Thomas Edison y reflejó su muy desarrollada capacidad para promover sus inventos y productos. Su ex- posición comprendió espectaculares muestras de iluminación alimentadas por un impre- sionante generador “Jumbo” de 100 kW. Dinamos y lámparas de Edward Weston se presentaron en el pabellón de la United States Electric Lighting Company. También se exhibió la conocida colección de instru- mentos científicos de Weston. Otros destacados expositores fueron Frank Sprague, Elihu Thompson y la Brush Electric Company de Cleveland. El American Institute of Electrical Engineers (AIEE) celebró su primera reunión técnica el 7 y el 8 de octubre en el Franklin Institute durante la exhibición. El AIEE se fusionó con el Institute of Radio Engineers (IRE) en 1964 para formar el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Instituto Smithsoniano. 1.6 Elementos de circuitos Como se explicó en la sección 1.1, un elemento es el bloque constitutivo básico de un circuito. Un circuito eléctrico es simplemente una interconexión de los elementos. El análisis de circuitos es el proceso de determinar las tensiones (o las corrientes) a través de los elementos del circuito. 1.6 Elementos de circuitos 13 Hay dos tipos de elementos en los circuitos eléctricos: elementos pasivos y elemen- tos activos. Un elemento activo es capaz de generar energía, mientras que un elemento pasivo no. Ejemplos de elementos pasivos son los resistores, los capacitores y los induc- tores. Los elementos activos más comunes incluyen a los generadores, las baterías y los amplificadores operacionales. El propósito en esta sección es que el lector se familiarice con algunos importantes elementos activos. Los elementos activos más importantes son las fuentes de tensión o de corriente, que generalmente suministran potencia al circuito conectado a ellas. Hay dos tipos de + v + V fuentes: independientes y dependientes. – – Una fuente independiente ideal es un elemento activo que suministra una tensión o corriente especificada y que es totalmente independiente de los demás elementos del a) b) circuito. Figura 1.11 Símbolos para fuentes de tensión independientes: a) usado En otras palabras, una fuente independiente ideal de tensión suministra al circuito la para tensión constante o que varía con el tiempo, b) usado para tensión constante corriente necesaria para mantener su tensión entre las terminales. Fuentes físicas como (cd). las baterías y los generadores pueden considerarse aproximaciones de fuentes de ten- sión ideal. En la figura 1.11 aparecen los símbolos de fuentes de tensión independientes. Nótese que los dos símbolos en la figura 1.11a) y b) pueden usarse para representar una fuente de tensión de cd, pero solamente el símbolo en la figura 1.11a) puede usarse para una fuente de tensión que varía con el tiempo. De igual manera, una fuente de corriente i independiente ideal es un elemento activo que suministra una corriente especificada completamente independiente de la tensión entre los extremos de la fuente. Esto es, la fuente de corriente aporta al circuito la tensión necesaria para mantener la corriente designada. El símbolo de una fuente de corriente independiente se presenta en la figura Figura 1.12 Símbolo para fuente de 1.12, donde la flecha indica la dirección de la corriente i. corriente independiente. Una fuente dependiente ideal (o controlada) es un elemento activo en el que la magni- tud de la fuente se controla por medio de otra tensión o corriente. v + i – Las fuentes dependientes suelen indicarse con símbolos en forma de diamante, como se muestra en la figura 1.13. Puesto que el control de la fuente dependiente lo ejerce una tensión o corriente de otro elemento en el circuito, y dado que la fuente puede ser de ten- a) b) sión o de corriente, se concluye que existen cuatro posibles tipos de fuentes dependien- Figura 1.13 Símbolos de: a) fuente de tes, a saber: tensión dependiente, b) fuente de corriente dependiente. 1. Fuente de tensión controlada por tensión (FTCT). 2. Fuente de tensión controlada por corriente (FTCC). 3. Fuente de corriente controlada por tensión (FCCT). A B 4. Fuente de corriente controlada por corriente (FCCC). i + + Las fuentes dependientes son útiles en el modelado de elementos como transistores, 5V C – 10i amplificadores operacionales y circuitos integrados. Un ejemplo de una fuente de ten- – sión controlada por corriente se muestra en la parte derecha de la figura 1.14, donde la tensión 10i de la fuente de tensión depende de la corriente i a través del elemento C. A Figura 1.14 La fuente de la parte de- los estudiantes podría sorprenderles que el valor de la fuente de tensión dependiente sea recha es una fuente de tensión controlada de 10i V (y no de 10i A), puesto que es una fuente de tensión. La idea clave para tener por corriente. en cuenta es que una fuente de tensión contiene polaridades (⫹ ⫺) en su símbolo, mientras que una fuente de corriente se presenta con una flecha, sin importar de qué dependa. Cabe señalar que una fuente de tensión ideal (dependiente o independiente) produ- cirá cualquier corriente necesaria para asegurar que la tensión entre las terminales sea la requerida, mientras que una fuente de corriente ideal producirá la tensión necesaria para asegurar el flujo de corriente establecido. Así, en teoría una fuente ideal podría suminis- trar un monto infinito de energía. Cabe indicar asimismo que las fuentes no sólo sumi- 14 Capítulo 1 Conceptos básicos nistran potencia a un circuito, sino que también pueden absorber potencia de un circuito. En cuanto a una fuente de tensión, se conoce la tensión, pero no la corriente que alimen- ta o extrae. Por la misma razón se conoce la corriente suministrada por una fuente de corriente, pero no la tensión a través de ella. Ejemplo 1.7 Calcule la potencia suministrada o absorbida por cada elemento en la figura 1.15. I=5A p2 Solución: Se aplica la convención de los signos para la potencia mostrada en las figuras + – 1.8 y 1.9. En el caso de p1, la corriente de 5 A sale de la terminal positiva (o entra a la 12 V 6A terminal negativa); así, + 20 V + p1 p3 p4 0.2 I p1 ⫽ 20(⫺5) ⫽ ⫺100 W     Potencia suministrada – 8V – En p2 y p3, la corriente fluye a la terminal positiva del elemento en cada caso. p2 ⫽ 12(5) ⫽ 60 W     Potencia absorbida Figura 1.15 Para el ejemplo 1.7. p3 ⫽ 8(6) ⫽ 48 W       Potencia absorbida Para p4, se debe hacer hincapié en que la tensión es de 8 V (positivo en el extremo supe- rior), igual que la tensión para p3, pues tanto el elemento pasivo como la fuente depen- diente están conectados a las mismas terminales. (Recuérdese que la tensión siempre se mide a través de un elemento en un circuito.) Dado que la corriente sale de la terminal po- sitiva, p4 ⫽ 8(⫺0.2I) ⫽ 8(⫺0.2 ⫻ 5) ⫽ ⫺8 W    Potencia suministrada Obsérvese que la fuente de tensión independiente de 20 V y la fuente de corriente de- pendiente de 0.2I están suministrando potencia al resto de la red, mientras que los dos elementos pasivos la están absorbiendo. Asimismo, p1 ⫹ p2 ⫹ p3 ⫹ p4 ⫽ ⫺100 ⫹ 60 ⫹ 48 ⫺ 8 ⫽ 0 De acuerdo con la ecuación (1.8), la potencia total suministrada equivale a la potencia total absorbida. Problema de práctica 1.7 Calcule la potencia absorbida o suministrada por cada componente del circuito en la figura 1.16. 9A 2V I=5A Respuesta: p1 ⫽ ⫺45 W, p2 ⫽ 18 W, p3 ⫽ 12 W, p4 ⫽ 15 W. +– p2 4A + + ä p3 + p4 † Aplicaciones2 p1 0.6I 3V 5V – – + – 1.7 En esta sección se considerarán dos aplicaciones prácticas de los conceptos presentados en este capítulo. La primera tiene que ver con el tubo de imagen del televisor, y la otra Figura 1.16 Para el problema de práctica 1.7. con la manera en que las compañías abastecedoras de energía eléctrica determinan la cuenta de la electricidad que el usuario consume. 1.7.1 Tubo de imagen del televisor Una importante aplicación del movimiento de electrones se encuentra tanto en la trans- misión como en la recepción de señales de televisión. En el extremo de la transmisión, una cámara de televisión convierte la imagen óptica de una escena en una señal eléctri- ca. El barrido se realiza con un fino haz de electrones en un tubo de la cámara de ico- noscopio. 2 El signo de cruz (†) que precede al título de una sección indica que ésta puede omitirse, explicarse breve- mente o asignarse como tarea. 1.7 Aplicaciones 15 (A) Cañón de electrones Placas para la (B) deflexión deflexió ón horizontal Placas para la – deflexión vertical – Filamento calentadoo (fuente de electrones) s) Cátodo do Ánodo + (–) (+) + Haz de electrones Recubrimiento conductor Pantalla fluorescente Figura 1.17 Tubo de rayos catódicos. En el extremo de la recepción, la imagen se reconstruye usando un tubo de rayos catódicos (TRC) localizado en el receptor de televisión.3 El TRC se representa en la fi- gura 1.17. A diferencia del tubo de iconoscopio, que produce un haz de electrones de intensidad constante, el haz del TRC varía en intensidad de acuerdo con la señal de en- trada. El cañón de electrones, mantenido en un potencial alto, activa el haz de electrones. El haz pasa por dos series de placas para las deflexiones vertical y horizontal, a fin de que el punto sobre la pantalla donde el haz impacta pueda moverse a derecha e izquierda y arriba y abajo. Cuando el haz de electrones incide la pantalla fluorescente, produce luz en ese punto. Así se consigue que el haz “plasme” una imagen en la pantalla del televisor. Perfiles históricos Karl Ferdinand Braun y Vladimir K. Zworykin Karl Ferdinand Braun (1850-1918), de la Universidad de Estrasburgo, inventó en 1879 el tubo de rayos catódicos de Braun. Éste se convirtió después en la base del cinescopio utilizado durante muchos años en los televisores. Hoy sigue siendo el dispositivo más económico, aunque el precio de los sistemas de pantalla plana se está volviendo rápida- mente competitivo. Antes de que el tubo de Braun pudiera ser utilizado en la televisión, se precisó de la inventiva de Vladimir K. Zworykin (1889-1982) para desarrollar el iconoscopio, a fin de que la televisión moderna se hiciera realidad. El iconoscopio evo- lucionó en el orticonoscopio y el orticonoscopio de imagen, que permitían la captura de imágenes y su conversión en señales que pudieran enviarse al receptor de televisión. Así Zworykin con un iconoscopio. nació la cámara de televisión. © Bettmann/Corbis. El haz de electrones en un tubo de imagen de un televisor conduce 1015 electrones por Ejemplo 1.8 segundo. Como ingeniero de diseño, determine la tensión Vo necesaria para acelerar el haz de electrones a fin de que alcance los 4 W. 3 Los tubos de los televisores modernos usan una tecnología diferente. 16 Capítulo 1 Conceptos básicos Solución: La carga en un electrón es e ⫽ ⫺1.6 ⫻ 10⫺19 C Si el número de electrones es n, entonces q ⫽ ne y i dq dn 19 i e ( 1.6 10 )(1015) 1.6 10 4 A q dt dt Vo El signo negativo indica que la corriente fluye en dirección opuesta al flujo de electro- Figura 1.18 Diagrama simplificado nes, como se muestra en la figura 1.18, la cual es un diagrama simplificado del TRC del tubo de rayos catódicos, para el para el caso en que las placas de deflexión vertical no conduzcan ninguna carga. La ejemplo 1.8. potencia del haz es p 4 p ⫽ Voi      o      Vo = = = 25 000 V i 1.6 10⫺4 ⫻ Así, la tensión requerida es de 25 kV. Problema de práctica 1.8 Si el haz de electrones de un tubo de imagen de un televisor conduce 1013 electrones por segundo y pasa por placas mantenidas en una diferencia de potencial de 30 kV, calcule TABLA 1.3 Consumo la potencia en el haz. mensual promedio típico de electrodomésticos. Respuesta: 48 mW. kWh Aparato consumidos 1.7.2 Recibos de consumo de electricidad Calentador de agua 500 La segunda aplicación tiene que ver con la manera en que las compañías abastecedoras Lavadora 120 de electricidad les cobran a sus clientes. El costo de la electricidad depende del monto Refrigerador 100 de energía consumida en kilowatts-horas (kWh). (Otros factores que afectan al costo Estufa eléctrica 100 Iluminación 100 incluyen factores de demanda y potencia, que se ignoran por ahora.) Sin embargo, aun Secadora 80 si un consumidor no usa nada de energía, hay un cargo mínimo de servicio que el cliente Lavavajillas 35 debe pagar, porque la conexión permanente a la línea eléctrica tiene un costo monetario. Horno de microondas 25 Al aumentar el consumo de energía, el costo por kWh disminuye. Es interesante exami- Plancha 15 nar el consumo mensual promedio de electrodomésticos para una familia de cinco inte- Computadora 12 grantes, mostrado en la tabla 1.3. TV 10 Radio 8 Tostador 4 Reloj 2 Ejemplo 1.9 El dueño de una casa consume 700 kWh en enero. Determine la cuenta de electricidad de ese mes con base en el siguiente plan de tarifa residencial: Cargo mensual base de $12.00. Primeros 100 kWh por mes, a 16 centavos/kWh. Siguientes 200 kWh por mes, a 10 centavos/kWh. Arriba de 300 kWh por mes, a 6 centavos/kWh. Solución: Se calcula la cuenta de electricidad como sigue. Cargo mensual base = $12.00 Primeros 100 kWh @ 0.16/kWh centavos de dólar = $16.00 Siguientes 200 kWh @ 0.10/kWh centavos de dólar = $20.00 Restantes 400 kWh @ 0.06/kWh centavos de dólar = $24.00 Cargo total = $72.00 1.8 Solución de problemas 17 centavos $72 de dólar Costo promedio = = 10.2 100 ⫹ 200 ⫹ 400 kWh En referencia al plan de tarifa residencial del ejemplo 1.9, calcule el costo promedio por Problema de práctica 1.5 kWh si sólo se consumen 350 kWh en julio, cuando la familia está de vacaciones la mayor parte del tiempo. Respuesta: 14.571 centavos de dólar/kWh. † 1.8 Solución de problemas Aunque los problemas por resolver durante la carrera individual variarán en compleji- dad y magnitud, los principios básicos que deben seguirse son siempre los mismos. El proceso que se describirá aquí lo han practicado los autores a lo largo de muchos años de resolución de problemas con estudiantes, para solucionar problemas de ingeniería en la industria y en la investigación. Primero se listan los pasos y después se explican. 1. Definir cuidadosamente el problema. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofrece la mayor probabilidad de éxito. 4. Intentar una solución del problema. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solu- ción; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. 1. Definir cuidadosamente el problema. Ésta es quizá la parte más importante del proceso, ya que se convierte en el fundamento de los demás pasos. En general, la presentación de problemas de ingeniería es un tanto incompleta. Se debe hacer todo lo posible por cerciorarse de comprender el problema en forma tan completa como quien lo presenta. El tiempo dedicado a la clara identificación del problema ahorra- rá considerable tiempo y frustración posteriores. El estudiante puede clarificar el planteamiento de un problema en un libro de texto pidiéndole a su profesor que le ayude a comprenderlo mejor. Un problema que se le presente en la industria podría requerir la consulta a varios individuos. En este paso es importante formular pre- guntas que deban responderse antes de continuar con el proceso de solución. Si existen tales preguntas, se debe consultar a los individuos o recursos apropiados para obtener las respuestas correspondientes. Con estas respuestas se puede depurar el problema y usar esa depuración como enunciado del problema para el resto del proceso de solución. 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. El lector ya está preparado para escribir todo lo que sabe sobre el problema y sus posibles soluciones. Este importan- te paso ahorrará tiempo y frustración posteriores. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofrece la ma- yor probabilidad de éxito. Casi todo problema tendrá varias rutas posibles a la so- lución. Es altamente deseable identificar tantas de esas rutas como sea posible. En este punto también se debe determinar las herramientas de que se dispone, como PSpice y MATLAB y otros paquetes de software que pueden reducir enormemente el esfuerzo e incrementar la exactitud. Hay que destacar una vez más que el tiempo que se dedique a la cuidadosa definición del problema y a la investigación de mé- todos alternativos de solución rendirán después grandes dividendos. Evaluar las alternativas y determinar cuál ofrece la mayor probabilidad de éxito puede ser difí- 18 Capítulo 1 Conceptos básicos cil, pero bien valdrá el esfuerzo. Se debe documentar minuciosamente este proceso, ya que deberá volver a él si el primer método no da resultado. 4. Intentar una solución del problema. Éste es el momento en que realmente se debe proceder a la solución del problema. Se debe documentar de manera minuciosa el proceso que se siga, para presentar una solución detallada si tiene éxito, o para evaluar el proceso si no se tiene. Esta evaluación pormenorizada puede llevar a correcciones que conduzcan después a una solución exitosa. También puede des- embocar en el ensayo de nuevas alternativas. Muchas veces es recomendable esta- blecer por completo una solución antes de poner números en las ecuaciones. Esto ayudará a verificar sus resultados. 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Se debe evaluar todo lo realizado y decidir si la solución es aceptable, la cual el lector estaría dispuesto a presentar a su equipo, jefe o profesor. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solu- ción; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Ahora se debe presentar la solución o probar otra alternativa. En este punto, presentar la solución podría poner fin al proceso. A menudo, sin embargo, la presentación de una solu- ción conduce a una mayor depuración de la definición del problema, y el proceso continúa. Seguir este proceso llevará finalmente a una conclusión satisfactoria. Este proceso se examina ahora en relación con un estudiante del curso de funda- mentos de ingeniería eléctrica y computacional. (El proceso básico se aplica también a casi cualquier curso de ingeniería.) Téngase presente que aunque se simplificaron los pasos para aplicarlos a problemas de tipo académico, el proceso formulado debe seguir- se siempre. Considérese un ejemplo simple. Ejemplo 1.10 Determine la corriente que fluye por el resistor de 8 ⍀ en la figura 1.19. 2⍀ 4⍀ Solución: + 1. Definir cuidadosamente el problema. Éste es un ejemplo sencillo, pero de inmedia- 5V – 8⍀ 3V to es posible advertir que no se conoce la polaridad en la fuente de 3 V. Hay las siguientes opciones. Podría preguntar al profesor cuál debía ser la polaridad. De no Figura 1.19 Ejemplo ilustrativo. ser posible esto, debe decidir qué hacer en seguida. Si hay tiempo para resolver el problema de las dos maneras, puede determinar la corriente cuando la fuente de 3 V es positiva en el extremo superior y luego positiva en el inferior. Si no hay tiem- po para ello, suponga una polaridad y después documente detalladamente su deci- sión. Supóngase que el profesor dice que la fuente es positiva en el extremo infe- 2⍀ 4⍀ rior, como se muestra en la figura 1.20. i8 ⍀ 2. Presentar todo lo que se sabe sobre el problema. Registrar todo lo que sabe sobre + – el problema implica en este caso rotular claramente el circuito, para que defina lo 5V – 8⍀ + 3V que busca. Dado el circuito en la figura 1.20, debe determinar i8⍀. Figura 1.20 Definición del problema. Verifique entonces con el profesor, de ser razonable, para saber si el problema ha sido apropiadamente definido. 3. Establecer una serie de soluciones alternativas y determinar la que ofrece la ma- yor probabilidad de éxito. En esencia pueden usarse tres técnicas para resolver este problema. Más adelante descubrirá que podría emplear el análisis de circuitos (con el uso de las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm), el análisis nodal y el análisis de malla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de circuitos conducirá finalmente a una solución, pero es probable que implique más trabajo que el análisis nodal o de ma- lla. Determinar i8⍀ mediante el análisis de malla requerirá escribir dos ecuaciones 1.8 Solución de problemas 19 simultáneas para hallar las dos corrientes de lazo indicadas en la figura 2⍀ i1 i3 4⍀ v1 1.21. Usar el análisis nodal requiere despejar sólo una incógnita. Éste + v – + v4⍀ – es el método más sencillo. 2⍀ i2 5V + + – 3V En consecuencia, se determina i8⍀ usando el análisis nodal. – Lazo 1 v8⍀ Lazo 2 + 8⍀ – 4. Intentar una solución del problema. Primero se escriben todas las ecuaciones que se necesitan para hallar i8⍀. Figura 1.21 Uso del análisis nodal. v1 v1 i8 i2, i2 , i8 8 8 v1 5 v1 0 v1 3 0 2 8 4 Es posible resolver ahora para v1. 8c d v1 5 v1 0 v1 3 0 2 8 4 lleva a (4v1 20) (v1) (2v1 6) 0 v1 2 7v1 14, v1 2 V, i8 0.25 A 8 8 5. Evaluar la solución y comprobar su exactitud. Ahora puede recurrirse a la ley de tensión de Kirchhoff (LTK) para comprobar los resultados. v1 5 32 5 i1 1.5 A 2 2 2 i2 i8 0.25 A v1 3 2 3 5 i3 1.25 A 4 4 4 i1 i2 i3 1.5 0.25 1.25 0 (Verificación.) Al aplicar la LTK al lazo 1, 5 v2 v8 5 ( i1 2) (i2 8) 5 ( ( 1.5)2) (0.25 8) 5 3 2 0 (Verificación.) Aplicando la LTK al lazo 2, v8 v4 3 (i2 8) (i3 4) 3 (0.25 8) (1.25 4) 3 2 5 3 0 (Verificación.) Así, ahora hay un muy alto grado de confianza en la exactitud de la respuesta. 6. ¿El problema ha sido resuelto satisfactoriamente? Si es así, se presenta la solu- ción; de lo contrario, se regresa al paso 3 y se repite el proceso. Este problema ha sido resuelto satisfactoriamente. La corriente a través del resistor de 8 ⍀ es de 0.25 A y circula hacia abajo por el resistor de 8 ⍀. 20 Capítulo 1 Conceptos básicos Problema de práctica 1.10 Pruebe la aplicación de este proceso en algunos de los problemas más difíciles que están al final de este capítulo. 1.9 Resumen 1. Un circuito eléctrico consta de elementos eléctricos conectados 5. La potencia es la energía suministrada o absorbida por unidad de entre sí. tiempo. También es el producto de tensión y corriente. 2. El Sistema Internacional de Unidades (SI) es el lenguaje interna- dw cional de medición, el cual permite a los ingenieros comunicar p⫽ ⫽ vi dt sus resultados. De las siete unidades principales pueden derivar- se las unidades de las demás cantidades físicas. 6. De acuerdo con la convención pasiva de los signos, la potencia 3. La corriente es la velocidad del flujo de carga que pasa por un adopta signo positivo cuando la corriente entra por la polaridad punto dado en una dirección específica. positiva de la tensión a lo largo de un elemento. 7. Una fuente de tensión ideal produce una diferencia de potencial específica entre sus terminales sin importar a qué se conecte. dq i⫽ Una fuente de corriente ideal produce una corriente específica a dt través de sus terminales sin importar a qué se conecte. 8. Las fuentes de tensión y de corriente pueden ser dependientes o 4. La tensión es la energía requerida para mover 1 C de carga por independientes. Una fuente dependiente es aquella cuyo valor un elemento. depende de otra variable del circuito. 9. Dos áreas de aplicación de los conceptos incluidos en este capí- dw tulo son el tubo de imagen del televisor y el procedimiento de v⫽ dq facturación de la electricidad. Preguntas de repaso 1.1 Un milivolt es un millonésimo de un volt. 1.8 La tensión a través de un tostador de 1.1 kW que produce una a) Cierto b) Falso corriente de 10 A es de: a) 11 kV b) 1 100 V c) 110 V d) 11 V 1.2 El prefijo micro significa: a) 106 b) 103 c) 10⫺3 d ) 10⫺6 1.9 ¿Cuál de las siguientes no es una cantidad eléctrica? 1.3 La tensión de 2 000 000 V puede expresarse en potencias de a) carga b) tiempo c) tensión 10 como: d) corriente e) potencia a) 2 mV b) 2 kV c) 2 MV d ) 2 GV 1.10 La fuente dependiente en la figura 1.22 es una: 1.4 Una carga de 2 C que fluye por un punto dado cada segundo a) fuente de corriente controlada por tensión es una corriente de 2 A. b) fuente de tensión controlada por voltaje a) Cierto b) Falso c) fuente de tensión controlada por corriente d) fuente de corriente controlada por corriente 1.5 La unidad de corriente es: a) coulomb b) ampere c) volt d ) joule io 1.6 La tensión se mide en: vs ⫹ 6io ⫺ a) watts b) amperes c) volts d) joules por segundo 1.7 Una corriente de 4 A que carga a un material dieléctrico acu- Figura 1.22 Para la pregunta de repaso 1.10. mulará una carga de 24 C después de 6 s. a) Cierto b) Falso Respuestas: 1.1b, 1.2d, 1.3c, 1.4a, 1.5b, 1.6c, 1.7a, 1.8c, 1.9b, 1.10d. Problemas 21 Problemas Sección 1.3 Carga y corriente 1.8 La corriente que fluye por un punto en un dispositivo se muestra en la figura 1.25. Calcule la carga total a través del 1.1 ¿Cuántos coulombs representan las siguientes cantidades de punto. electrones? i (mA) a) 6.482 ⫻ 1017 b) 1.24 ⫻ 1018 c) 2.46 ⫻ 1019 d) 1.628 ⫻ 1020 10 1.2 Determine la corriente que fluye a través de un elemento si el flujo de la carga está dado por 0 1 2 t (ms) a) q(t) ⫽ (3t ⫹ 8) mC Figura 1.25 Para el problema 1.8. b) q(t) ⫽ (8t 2 ⫹ 4t ⫺ 2) C c) q(t) ⫽ (3e ⫺t ⫺ 5e ⫺2t ) nC 1.9 La corriente a través de un elemento se muestra en la figura d) q(t) ⫽ 10 sen 120␲t pC 1.26. Determine la carga total que pasó por el elemento en: e) q(t) ⫽ 20e ⫺4t cos 50t␮ C a) t ⫽ 1 s b) t ⫽ 3 s c) t ⫽ 5 s 1.3 Halle la carga q(t) que fluye a través de un dispositivo si la i (A) corriente es: 10 a) i(t) ⫽ 3 A, q(0) ⫽ 1 C 5 b) i(t) ⫽ (2t ⫹ 5) mA, q(0) ⫽ 0 c) i(t) ⫽ 20 cos(10t ⫹ ␲兾6) ␮A, q(0) ⫽ 2 ␮C d) i(t) ⫽ 10 e ⫺30t sen 40t A, q(0) ⫽ 0 0 1 2 3 4 5 t (s) 1.4 Una corriente de 7.4 A fluye a través de un conductor. Calcu- Figura 1.26 Para el problema 1.9. le cuánta carga pasa por cualquier sección transversal del conductor en 20 s. Secciones 1.4 y 1.5 Tensión, potencia y energía 1.5 Determine la carga total transferida durante el intervalo de 1.10 Un rayo con 8 kA impacta un objeto durante 15 ␮s. ¿Cuánta tiempo 0 ⱕ t ⱕ 10s cuando i(t) ⫽ 1–2 t A. carga se deposita en el objeto? 1.6 La carga que entra a cierto elemento se muestra en la figura 1.11 La batería recargable de una linterna es capaz de suministrar 1.23. Halle la corriente en: 90 mA durante alrededor de 12 h. ¿Cuánta carga puede libe- a) t ⫽ 1 ms b) t ⫽ 6 ms c) t ⫽ 10 ms rar a esa tasa? Si su tensión en las terminales es de 1.5 V, ¿cuánta energía puede suministrar? q(t) (mC) 30 1.12 Si la corriente que fluye a través de un elemento está dada por 3tA, 0 t 6 6s t 6 10 s μ 18A, 6 i(t) 12A, 10 t 6 15 s 0, t 15 s Grafique la carga almacenada en el elemento sobre 0 2 4 6 8 10 12 t (ms) 0 < t ⬍ 20 s. Figura 1.23 Para el problema 1.6. 1.13 La carga que entra a la terminal positiva de un elemento es 1.7 La carga que fluye en un alambre se grafica en la figura 1.24. q ⫽ 5 sen 4␲t mC Trace la corriente correspondiente. mientras que la tensión a través del elemento (de más a me- nos) es q (C) 50 v ⫽ 3 sen 4␲t V a) Halle la potencia suministrada al elemento en t ⫽ 0.3 s. 0 b) Calcule la energía suministrada al elemento entre 0 y 0.6 s. 2 4 6 8 t (s) 1.14 La tensión v a través de un dispositivo y la corriente i a través – 50 de él son Figura 1.24 Para el problema 1.7. v(t) ⫽ 10 cos 2t V,          i(t) ⫽ 20(1 ⫺ e⫺0.5t) mA 22 Capítulo 1 Conceptos básicos Calcule: I = 10 A 10 V 8V 4A + – + – a) La carga total en el dispositivo en t ⫽ 1 s. p2 14 A p4 b) La potencia consumida por el dispositivo en t ⫽ 1 s. + + p5 30 V + p1 p3 12 V – 20 V 1.15 La corriente que entra a la terminal positiva de un dispositivo – – 0.4I es i(t) ⫽ 6e⫺2t mA y la tensión a través del dispositivo es v(t) ⫽ 10 di兾dt V. a) Halle la carga suministrada al dispositivo entre t ⫽ 0 y t ⫽ Figura 1.29 Para el problema 1.18. 2 s. 1.19 Halle I y la potencia absorbida por cada uno de los elementos b) Calcule la potencia absorbida. en la red en la figura 1.30. c) Determine la energía absorbida en 3 s. I 2A + Sección 1.6 Elementos de circuito 3V + + 1.16 En la figura 1.27 se presentan la corriente y la tensión a través 8A 9V 9V – de un elemento. – – + 6V – a) Trace la potencia suministrada al elemento en t ⬎ 0. b) Halle la energía total absorbida por el elemento en el perio- do 0 ⬍ t ⬍ 4 s. Figura 1.30 Para el problema 1.19. i (mA) 1.20 Halle Vo y la potencia absorbida por cada elemento en el 60 circuito en la figura 1.31. Io = 2 A + – 0 2 4 t (s) 28 V 6A 12 V 1A + – v (V) 5 3A + – 28 V + + – 5Io 30 V – Vo + 0 – 2 4 t (s) 6A 3A –5 Figura 1.31 Para el problema 1.20. Figura 1.27 Para el problema 1.16. Sección 1.7 Aplicaciones 1.21 Una bombilla incandescente de 60 W opera a 120 V. ¿Cuán- 1.17 En la figura 1.28 se presenta un circuito con cinco elementos. tos electrones y coulombs fluyen por ésta en un día? Si p1 ⫽ ⫺205 W, p2 ⫽ 60 W, p4 ⫽ 45 W, p5 ⫽ 30 W, calcu- le la potencia p3 recibida o suministrada por el elemento 3. 1.22 Un rayo impacta un avión con 40 kA durante 1.7 ms. ¿Cuán- tos coulombs de carga se depositan en el avión? 2 4 1.23 Un calentador eléctrico de 1.8 kW tarda 15 min en hervir cierta cantidad de agua. Si esto se hace una vez al día y la energía eléctrica cuesta 10 centavos de dólar/kWh, ¿cuál es el 1 3 5 costo de operación del calentador durante 30 días? 1.24 Una compañía abastecedora de electricidad cobra 8.2 centa- vos de dólar/kWh. Si un consumidor opera continuamente Figura 1.28 Para el problema 1.17. una bombilla de 60 W durante un día, ¿cuánto se le cobrará? 1.25 Un tostador de 1.5 kW tarda aproximadamente 3.5 minutos en calentar cuatro rebanadas de pan. Halle el costo de operar- 1.18 Halle la potencia absorbida por cada uno de los elementos en lo una vez al día durante un mes (30 días). Suponga que la la figura 1.29. energía cuesta 8.2 centavos de dólar/kWh. Problemas de mayor extensión 23 1.26 La batería de una linterna tiene un valor nominal de 0.8 am- 1.29 Una estufa eléctrica con cuatro quemadores y un horno se usa pere-horas (Ah) y un ciclo de vida de 10 horas. para preparar una comida de la siguiente manera. a) ¿Cuánta corriente puede suministrar? Quemador 1: 20 minutos Quemador 2: 40 minutos b) ¿Cuánta potencia puede proporcionar si la tensión en sus Quemador 3: 15 minutos Quemador 4: 45 minutos terminales es de 6 V? Horno: 30 minutos c) ¿Cuánta energía se almacena en ella en kWh? Si la capacidad de cada quemador es de 1.2 kW y la del horno de 1.8 kW, y si la electricidad cuesta 12 centavos de dólar por 1.27 Una corriente constante de 3 A durante cuatro horas se re- kWh, calcule el costo de la electricidad usada en la prepara- quiere para cargar una batería de automóvil. Si la tensión en ción de la comida. las terminales es de 10 ⫹ t兾2 V, donde t está en horas, 1.30 Reliant Energy (la compañía eléctrica en Houston, Texas) a) ¿Cuánta carga se transporta como resultado de la carga? cobra a sus clientes como sigue: b) ¿Cuánta energía se consume? Cargo mensual 6 dólares c) ¿Cuánto cuesta la carga? Suponga que la electricidad cues- Primeros 250 kWh @ $0.02/kWh ta 9 centavos de dólar/kWh. Todos los kWh adicionales @ $0.07/kWh 1.28 Una lámpara incandescente de 60 W está conectada a una Si un cliente consume 2 436 kWh en un mes, ¿cuánto le co- fuente de 120 V y se le deja encendida continuamente en brará Reliant Energy? una escalera a oscuras. Determine: 1.31 En un hogar, una computadora personal (PC) de 120 W fun- a) La corriente a través de la lámpara. ciona durante 4 h/día, mientras que una bombilla de 60 W funciona durante 8 h /día. Si la compañía abastecedora de b) Su costo de operación durante un año ininterrumpido si la electricidad cobra $0.12/kWh, calcule cuánto paga al año esa electricidad cuesta 9.5 centavos de dólar por kWh. familia por la PC y la bombilla. Problemas de mayor extensión 1.32 Por un cable telefónico fluye una corriente de 20 ␮A. ¿Cuán- p (MW) to tarda una carga de 15 C en pasar por el cable? 8 1.33 Un rayo condujo una corriente de 2 kA y duró 3 ms. ¿Cuántos 5 coulombs de carga contenía el rayo? 4 3 1.34 En la figura 1.32 aparece el consumo de electricidad de cierto hogar en un día. Calcule: 8.00 8.05 8.10 8.15 8.20 8.25 8.30 t a) La energía total consumida en kWh. Figura 1.33 Para el problema 1.35. b) La potencia promedio por hora durante el periodo total de 24 horas. 1.36 La capacidad de una batería puede expresarse en amperes- horas (Ah). La de una batería de plomo-ácido es de 160 Ah. 1 200 W p a) ¿Cuál es la corriente máxima que puede suministrar duran- 800 W te 40 h? b) ¿Cuántos días durará si se descarga a 1 mA? 200 W 1.37 Una batería de 12 V requiere una carga total de 40 Ah duran- te su carga. ¿Cuántos joules se le suministran? t (h) 12 2 4 6 8 10 12 2 4 6 8 10 12 mediodía 1.38 ¿Cuánta energía suministra un motor de 10 hp en 30 minutos? Figura 1.32 Para el problema 1.34. Suponga que 1 caballo de fuerza ⫽ 746 W. 1.35 La gráfica en la figura 1.33 representa la potencia tomada por 1.39 Un receptor de televisión de 600 W permanece encendido una planta industrial entre las 8:00 y las 8:30 a. m. Calcule la durante 4 h sin que nadie lo vea. Si la electricidad cuesta 10 energía total en MWh consumida por la planta. centavos de dólar/kWh, ¿cuánto dinero se desperdicia? capítulo Leyes básicas ¡Hay mucha gente orando porque se eliminen las montañas de dificultad, cuando lo que 2 realmente necesitan es el coraje para subir! —Anónimo Mejore sus habilidades y su carrera Criterios de ABET EC 2000 (3.b), capacidad para diseñar un sistema, componente o proceso para satisfacer necesidades deseadas. Los ingenieros deben ser capaces de diseñar y realizar experimentos, así como de ana- lizar e interpretar datos. La mayoría de los estudiantes ha dedicado muchas horas a realizar experimentos en la preparatoria y la universidad. Para estos momentos ya se le ha pedido analizar e interpretar datos. Así, ya debería estar calificado para esas dos ac- tividades. Mi recomendación es que, en el proceso de realización de experimentos en el Fotografía de Charles Alexander. futuro, dedique más tiempo a analizar e interpretar datos en el contexto del experimento. ¿Qué significa esto? Si observa una gráfica de tensión contra resistencia o de corriente contra resistencia o de potencia contra resistencia, ¿qué es lo que realmente ve? ¿La curva tiene sentido? ¿Es congruente con lo que la teoría le dice? ¿Difiere de las expectativas y, de ser así, por qué? Evidentemente, la práctica del análisis e interpretación de datos desarrollará esta habilidad. Dado que la mayoría de, si no es que todos, los experimentos que debe hacer como estudiante implican escasa o nula práctica en el diseño del experimento, ¿cómo puede generar e incrementar esta habilidad? En realidad, desarrollar esa habilidad bajo tal restricción no es tan difícil como pa- rece. Lo que debe hacer es tomar el experimento y analizarlo. Descomponerlo en sus partes más simples, reconstruirlo tratando de entender por qué cada elemento está ahí y, finalmente, determinar qué está tratando de enseñar el autor del experimento. Aunque quizá no siempre parezca así, todos los experimentos que haga fueron diseñados por alguien que estaba sinceramente motivado a enseñarle algo. 2.1 Introducción En el capítulo 1 se presentaron conceptos básicos como corriente, tensión y potencia en un circuito eléctrico. Determinar realmente los valores de esas variables en un circuito dado requiere que se conozcan algunas leyes fundamentales que gobiernan a los circui- 26 Capítulo 2 Leyes básicas tos eléctricos. Estas leyes, conocidas como la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, son la base en la que se apoya el análisis de circuitos eléctricos. En este capítulo, además de esas leyes, se expondrán algunas técnicas comúnmente aplicadas en el diseño y análisis de circuitos. Estas técnicas incluyen la combinación de resistores en serie o en paralelo, la división de tensión, la división de corriente y las transformaciones delta a estrella y estrella a delta. La aplicación de estas leyes y técni- cas se restringirá en este capítulo a circuitos resistivos. Por último, se aplicarán tales leyes y técnicas a problemas reales de iluminación eléctrica y de diseño de medidores de cd. 2.2 Ley de Ohm l i Los materiales en general poseen el comportamiento característico de oponer resisten- cia al flujo de la carga eléctrica. Esta propiedad física, o capacidad para resistir a la co- + rriente, se conoce como resistencia y se representa con el símbolo R. La resistencia de v R cualquier material con un área de sección transversal uniforme A depende de ésta y su − longitud ᐍ, como se muestra en la figura 2.1a). Se puede representar la resistencia (me- Material con resistividad ␳ dida en el laboratorio), en forma matemática, como Área de la sección ᐍ transversal A R␳ (2.1) a) b) A Figura 2.1 a) Resistor, b) símbolo de donde ␳ se llama resistividad del material, en ohm-metros. Los buenos conductores, circuito para la resistencia. como el cobre y el aluminio, tienen baja resistividad, mientras que los aislantes, como la mica y el papel, tienen alta resistividad. En la tabla 2.1 se presentan los valores de ␳ de algunos materiales comunes y se indica qué materiales se utilizan como conductores, aislantes y semiconductores. El elemento de circuito que se usa para modelar el comportamiento de resistencia a la corriente de un material es el resistor. Para efectos de fabricación de circuitos, los resistores suelen hacerse de aleaciones metálicas y compuestos de carbono. El símbolo de circuito del resistor se presenta en la figura 2.1b), donde R significa la resistencia del resistor. El resistor es el elemento pasivo más simple. Se acredita a Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán, el descubrimiento de la relación entre corriente y tensión en un resistor. Esta relación se conoce como ley de Ohm. La ley de Ohm establece que la tensión v a lo largo de un resistor es directamente pro- porcional a la corriente i que fluye a través del resistor. TABLA 2.1 Resistividad de materiales comunes. Material Resistividad ( · m) Uso 8 Plata 1.64  10 Conductor Cobre 1.72  108 Conductor Aluminio 2.8  108 Conductor Oro 2.45  108 Conductor Carbón 4  105 Semiconductor Germanio 47  102 Semiconductor Silicio 6.4  102 Semiconductor Papel 1010 Aislante Mica 5  1011 Aislante Vidrio 1012 Aislante Teflón 3  1012 Aislante 2.2 Ley de Ohm 27 Esto es, vi (2.2) Ohm definió la constante de proporcionalidad de un resistor como la resistencia, R. (La resistencia es una propiedad material que puede cambiar si se alteran las condiciones internas o externas del elemento; por ejemplo, si hay cambios en la temperatura.) Así, la ecuación (2.2) se convierte en v  iR (2.3) la cual es la forma matemática de la ley de Ohm. R en la ecuación (2.3) se mide en la unidad llamada ohm, designada como . Así, La resistencia R de un elemento denota su capacidad para resistirse al flujo de la corrien- te eléctrica; se mide en ohms (). De la ecuación (2.3) se deduce que v R (2.4) i + i de modo que 1   1 V/A v=0 R=0 Para aplicar la ley de Ohm como se establece en la ecuación (2.3), se debe prestar cuidadosa atención a la dirección de la corriente y la polaridad de la tensión. La direc- − ción de la corriente i y la polaridad de la tensión v deben ajustarse a la convención pa- siva de los signos, como se indica en la figura 2.1b). Esto implica que la corriente fluye a) de un potencial mayor a uno menor, a fin de que v  iR. Si la corriente fluye de un potencial menor a uno mayor, v  iR. Puesto que el valor de R puede ir de cero al infinito, es importante considerar los + i=0 dos posibles valores extremos de R. Un elemento con R  0 se llama cortocircuito, como se señala en la figura 2.2a). En el caso de un cortocircuito, v R=∞ v  iR  0 (2.5) − lo que indica que la tensión es de cero pero que la corriente podría ser de cualquier va- lor. En la práctica, un cortocircuito suele ser un alambre conectado, que se supone que es un conductor ideal. Así, b) Figura 2.2 a) Cortocircuito (R  0), b) Un cortocircuito es un elemento de circuito con resistencia que se aproxima a cero. circuito abierto (R  ). Perfiles históricos Georg Simon Ohm (1787-1854), físico alemán, determinó experimentalmente en 1826 la ley fundamental que relaciona a la tensión y la corriente en un resistor. La obra de Ohm fue al principio rechazada por los críticos. Nacido en humildes condiciones en Erlangen, Baviera, Ohm se consagró a la inves- © SSPL via Getty Images tigación eléctrica. Sus esfuerzos dieron fruto en su famosa ley. La Royal Society of London lo galardonó en 1841 con la Medalla Copley. En 1849 se le otorgó la cátedra de profesor de física de la Universidad de Munich. Para honrarlo, la unidad de la resisten- cia lleva su nombre. 28 Capítulo 2 Leyes básicas De igual forma, un elemento con R   se conoce como circuito abierto, como se se- ñala en la figura 2.2b). En el caso de un circuito abierto, v i  lím 0 (2.6) R  R lo que indica que la corriente es de cero aunque la tensión podría ser de cualquiera. Así, a) Un circuito abierto es un elemento del circuito con resistencia que tiende al infinito. Un resistor es fijo o variable. La mayoría de los resistores son del tipo fijo, lo que signi- fica que su resistencia se mantiene constante. Los dos tipos más comunes de resistores fijos (el bobinado y el compuesto) se presentan en la figura 2.3. Los resistores compues- tos se usan cuando se requiere una gran resistencia. El símbolo de circuito de la figura b) 2.1b) corresponde a un resistor fijo. Los resistores variables tienen resistencia ajustable. Figura 2.3 Resistores fijos: a) tipo El símbolo de un resistor variable aparece en la figura 2.4a). Un resistor variable común bobinado, b) tipo película de carbón. se conoce como potenciómetro o pot, cuyo símbolo se muestra en la figura 2.4b). El Cortesía de Tech America. potenciómetro es un elemento de tres terminales con un contacto deslizante. Al deslizar dicho contacto, las resistencias entre la terminal del contacto deslizante y las terminales fijas varían. Como los resistores fijos, los variables pueden ser del tipo bobinado o el compuesto, como se observa en la figura 2.5. Aunque resistores como los de las figuras 2.3 y 2.5 se usan en diseños de circuitos, hoy la mayoría de los componentes de circuito que incluyen resistores montados superficialmente o integrados, por lo general como se indica en la figura 2.6. Cabe señalar que no todos los resistores cumplen con la ley de Ohm. A un resistor que cumple con la ley de Ohm se le conoce como resistor lineal. Tiene una resistencia a) b) constante, y por lo tanto su característica de corriente-tensión es como se ilustra en la Figura 2.4 Símbolos de circuitos de: figura 2.7a): su gráfica de i-v es una línea recta que pasa por el origen. Un resistor no a) un resistor variable en general, b) un lineal no cumple con la ley de Ohm. Su resistencia varía con la corriente y su caracte- potenciómetro. rística de i-v es habitualmente como la que aparece en la figura 2.7b). Ejemplos de dispositivos con resistencia no lineal son la bombilla y el diodo. Aunque todos los resis- tores prácticos pueden exhibir comportamiento no lineal en ciertas condiciones, en este libro se supondrá que todos los elementos diseña- dos como resistores son lineales. Una cantidad útil en el análisis de circuito es el recíproco de la resistencia R, conocido como conductancia y denotado por G: 1 i G  (2.7) R v a) b) La conductancia es una medida de lo bien que un elemento condu- Figura 2.5 Resistores variables: a) tipo compuesto, b) cirá corriente eléctrica. La unidad de conductancia es el mho (ohm es-  potenciómetro deslizable. crito al revés) u ohm recíproco, con el símbolo , la omega invertida. Cortesía de Tech America. Aunque los ingenieros suelen usar el mho, en este libro se prefiere utilizar el siemens (S), la unidad de conductancia del SI:  1S1  1A/V (2.8) Así, © Eric Tomey/Alamy RF La conductancia es la capacidad de un elemento para conducir corriente eléctrica; se  mide en mhos ( ) o siemens (S). La misma resistencia puede expresarse en ohms o siemens. Por ejemplo, 10  equivale a 0.1 S. A partir de la ecuación (2.7) es posible escribir Figura 2.6 Resistores en una pleca de circuito integrado. i  Gv (2.9) 2.2 Ley de Ohm 29 La potencia que disipa un resistor puede expresarse en términos de R. Con base en v las ecuaciones (1.7) y (2.3), v2 p  vi  i2R  (2.10) R Pendiente = R La potencia que disipa un resistor también puede expresarse en términos de G como i2 p  vi  v2G  (2.11) i G a) Cabe señalar dos cosas respecto de las ecuaciones (2.10) y (2.11): v 1. La potencia disipada en un resistor es una función no lineal de la corriente o la tensión. 2. Puesto que R y G son cantidades positivas, la potencia disipada en un resistor siem- pre es positiva. Así, un resistor siempre absorbe potencia del circuito. Esto confir- ma la idea de que un resistor es un elemento pasivo, incapaz de generar energía. Pendiente = R i Figura 2.7 Característica de i-v de: a) un resistor lineal, b) un resistor no lineal. b) Una plancha eléctrica requiere 2 A a 120 V. Halle su resistencia. Ejemplo 2.1 Solución: Con base en la ley de Ohm, v 120 R   60  i 2 El componente esencial de un tostador es un elemento eléctrico (resistor) que convierte Problema de práctica 2.1 energía eléctrica en energía térmica. ¿Cuánta corriente toma un tostador con resistencia de 15  a 110 V? Respuesta: 7.333 A. En el circuito que aparece en la figura 2.8, calcule la corriente i, la conductancia G y la Ejemplo 2.2 potencia p. i Solución: La tensión en resistor es la misma que la tensión de la fuente (30 V), porque + ambos están conectados al mismo par de terminales. Así, la corriente es 30 V + 5 kΩ v − − v 30 i   6 mA R 5  103 1 1 Figura 2.8 Para el ejemplo 2.2. La conductancia es G   0.2 mS R 5  103 Es posible calcular la potencia de varias maneras, mediante las ecuaciones (1.7), (2.10) o (2.11). p  vi  30(6  103)  180 mW o sea p  i2R  (6  103)25  103  180 mW o sea p  v2G  (30)20.2  103  180 mW Para el circuito mostrado en la figura 2.9, calcule la tensión v, la conductancia G y la Problema de práctica 2.2 potencia p. i + Respuesta: 30 V, 100 ␮S, 90 mW. 3 mA 10 kΩ v − Figura 2.9 Para el problema de práctica 2.2. 30 Capítulo 2 Leyes básicas Ejemplo 2.3 Una fuente de tensión de 20 sen ␲t V está conectada a través de un resistor de 5 k. Halle la corriente a través del resistor y la potencia que se disipa en él. v 20 sen ␲ t Solución: i   4 sen ␲t mA R 5  103 Así, p  vi  80 sen2 ␲t mW Problema de práctica 2.3 Un resistor absorbe una potencia instantánea de 30 cos2 t mW cuando se conecta a una fuente de tensión v  15 cos t V. Halle i y R. Respuesta: 2 cos t mA, 7.5 k. † 2.3 Nodos, ramas y lazos Dado que los elementos de un circuito eléctrico pueden interconectarse de varias mane- ras, es necesario conocer algunos conceptos básicos de topología de redes. Para diferen- ciar entre un circuito y una red, se puede considerar a una red como una interconexión de elementos o dispositivos, mientras que un circuito es una red que proporciona una o más trayectorias cerradas. La convención, al hacer referencia a la topología de red, es usar la palabra red más que circuito. Se hace así pese a que las palabras red y circuito signifiquen lo mismo cuando se usan en este contexto. En topología de redes se estudian a 5Ω b las propiedades relativas a la disposición de elementos en la red y la configuración geométrica de la misma. Tales elementos son ramas, nodos y lazos. 10 V + − 2Ω 3Ω 2A Una rama representa un solo elemento, como una fuente de tensión o un resistor. c En otras palabras, una rama representa a cualquier elemento de dos terminales. El cir- Figura 2.10 Nodos, ramas y lazos. cuito de la figura 2.10 tiene cinco ramas, a saber: la fuente de tensión de 10 V, la fuente de corriente de 2 A y los tres resistores. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. Un nodo suele indicarse con un punto en un circuito. Si un cortocircuito (un alambre de conexión) conecta a dos nodos, éstos constituyen un solo nodo. El circuito de la figura 2.10 tiene tres nodos, a, b y c. Nótese que los tres puntos que forman el nodo b están conectados por alambres perfectamente conductores, y constituyen, por lo tanto, un solo punto. Lo mismo puede decirse de los cuatro puntos que forman el nodo c. Se demuestra que el circuito de la figura 2.10 sólo tiene tres nodos volviendo a trazarlo en la figura 2.11. Los circuitos de las figuras 2.10 y 2.11 son idénticos. Sin embargo, en afán de mayor claridad, los nodos b y c se exhiben con conductores ideales, como en la figura 2.10. b Un lazo es cualquier trayectoria cerrada en un circuito. 5Ω 2Ω Un lazo es una trayectoria cerrada que se inicia en un nodo, pasa por un conjunto de 3Ω 2A nodos y retorna al nodo inicial sin pasar por ningún nodo más de una vez. Se dice que a un lazo es independiente si contiene al menos una rama que no forma parte de ningún + − otro lazo independiente. Los lazos o trayectorias independientes dan por resultado con- 10 V c juntos independientes de ecuaciones. Figura 2.11 Nuevo trazo del circuito Es posible formar un conjunto de lazos independientes en el que uno de los lazos de tres nodos de la figura 2.10. no contenga una rama así. En la figura 2.11, abca, con el resistor de 2 , es independien- 2.3 Nodos, ramas y lazos 31 te. Un segundo lazo, con el resistor de 3  y la fuente de corriente, es independiente. El tercer lazo podría ser aquel con el resistor de 2  en paralelo con el resistor de 3 . Esto forma un conjunto de lazos independientes. Una red con b ramas, n nodos y l lazos independientes satisfará el teorema funda- mental de la topología de redes: bln1 (2.12) Como lo demuestran las dos definiciones siguientes, la topología de circuitos es de enorme valor para el estudio de tensiones y corrientes en un circuito eléctrico. Dos o más elementos están en serie si comparten exclusivamente un solo nodo y condu- cen en consecuencia la misma corriente. Dos o más elementos están en paralelo si están conectados a los dos mismos nodos y tienen en consecuencia la misma tensión entre sus terminales. Los elementos están en serie cuando están conectados en cadena o secuencialmente, terminal con terminal. Por ejemplo, dos elementos están en serie si comparten un nodo y ningún otro elemento está conectado a él. Elementos en paralelo están conectados al mismo par de terminales. Los elementos pueden estar conectados de tal forma que no estén en serie ni en paralelo. En el circuito que aparece en la figura 2.10, la fuente de tensión y el resistor de 5  están en serie, porque a través de ellos fluirá la misma co- rriente. El resistor de 2 , el resistor de 3  y la fuente de corriente están en paralelo, ya que están conectados a los dos mismos nodos (b y c), y en consecuencia tienen la misma tensión entre ellos. Los resistores de 5 y 2  no están en serie ni en paralelo en- tre sí. Determine el número de ramas y nodos en el circuito que se muestra en la figura 2.12. Ejemplo 2.4 Identifique qué elementos están en serie y cuáles en paralelo. 5Ω Solución: Puesto que hay cuatro elementos en el circuito, éste tiene cuatro ramas: 10 V, 5 , 6  y 2 A. El circuito tiene tres nodos, los cuales se identifican en la figura 2.13. + 10 V − 6Ω 2A El resistor de 5  está en serie con la fuente de tensión de 10 V, porque en ambos fluiría la misma corriente. El resistor de 6  está en paralelo con la fuente de corriente de 2 A, porque ambos están conectados a los mismos nodos 2 y 3. Figura 2.12 Para el ejemplo 2.4. 1 5Ω 2 + 10 V − 6Ω 2A 3 Figura 2.13 Los tres nodos del circuito de la figura 2.12. ¿Cuántas ramas y nodos tiene el circuito de la figura 2.14? Identifique los elementos que Problema de práctica 2.4 están en serie y en paralelo. Respuesta: Cinco ramas y tres nodos se identifican en la figura 2.15. Los resistores de 1 y 2  están en paralelo. El resistor de 4  y la fuente de 10 V también están en para- lelo. 32 Capítulo 2 Leyes básicas 1 5Ω 2 5Ω 1Ω 2Ω + 10 V 4Ω − 1Ω 2Ω + 10 V 4Ω − 3 Figura 2.14 Para el problema de Figura 2.15 Respuesta del problema de práctica 2.4. práctica 2.4. 2.4 Leyes de Kirchhoff La ley de Ohm no es suficiente en sí misma para analizar circuitos. Pero cuando se le une con las dos leyes de Kirchhoff, hay un conjunto suficiente y eficaz de herramientas para analizar gran variedad de circuitos eléctricos. Las leyes de Kirchhoff las introdujo en 1847 el físico alemán Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887). Se les conoce formal- mente como la ley de corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). La primera ley de Kirchhoff se basa en la ley de la conservación de la carga, de acuerdo con la cual la suma algebraica de las cargas dentro de un sistema no puede cambiar. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrien- tes que entran a un nodo (o frontera cerrada) es de cero. Matemáticamente, la LCK implica que N a in 0 (2.13) n 1 donde N es el número de ramas conectadas al nodo e in es la n-ésima corriente que entra al (o sale del) nodo. Por efecto de esta ley, las corrientes que entran a un nodo pueden considerarse positivas, mientras que las corrientes que salen del nodo llegan a conside- rarse negativas, o viceversa. Perfiles históricos Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), físico alemán, enunció en 1847 dos leyes bá- sicas concernientes a la relación entre corrientes y tensiones en una red eléctrica. Las leyes de Kirchhoff, junto con la ley de Ohm, forman la base de la teoría de circuitos. Hijo de un abogado de Königsberg, Prusia oriental, Kirchhoff ingresó a la Univer- sidad de Königsberg a los 18 años de edad y después fue maestro en Berlín. Su colabo- © Pixtal/age Fotostock RF ración en espectroscopia con el químico alemán Robert Bunsen derivó en el descubri- miento del cesio en 1860 y del rubidio en 1861. A Kirchhoff también se le acreditó la ley de la radiación de Kirchhoff. Así, es famoso entre los ingenieros, los químicos y los físicos. 2.4 Leyes de Kirchhoff 33 Para comprobar la LCK, supóngase que un conjunto de corrientes ik(t), k  1, 2, …, fluye en un nodo. La suma algebraica de las corrientes en el nodo es i5 i1 iT(t)  i1(t)  i2(t)  i3(t)  · · · (2.14) i4 La integración de ambos miembros de la ecuación (2.14) produce i2 i3 qT(t)  q1(t)  q2(t)  q3(t)  · · · (2.15) donde qk(t)  兰ik(t)dt y qT (t)  兰iT (t)dt. Sin embargo, la ley de la conservación de la Figura 2.16 Corrientes en un nodo que carga eléctrica requiere que no cambie la suma algebraica de las cargas eléctricas en el ilustran la LCK. nodo; esto es, que el nodo no almacene ninguna carga neta. Así, qT (t)  0 → iT (t)  0, lo que confirma la validez de la LCK. Considérese el nodo de la figura 2.16. La aplicación de la LCK da como resultado i1  (i2)  i3  i4  (i5)  0 (2.16) puesto que las corrientes i1, i3 e i4 entran al nodo, mientras que las corrientes i2 e i5 salen Frontera cerrada de él. De la reordenación de los términos se obtiene i 1  i3  i 4  i2  i 3 (2.17) La ecuación (2.17) es una forma alterna de la LCK: La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen de él. Obsérvese que la LCK también se aplica a una frontera cerrada. Esto podría juzgarse un caso generalizado, porque a un nodo se le podría considerar una superficie cerrada con- Figura 2.17 Aplicación de la LCK a traída en un punto. En dos dimensiones, una frontera cerrada es igual a una trayectoria una frontera cerrada. cerrada. Como lo ilustra representativamente el circuito de la figura 2.17, la corriente total que entra a la superficie cerrada es igual a la corriente total que sale de ella. Una aplicación simple de la LCK es la combinación de fuentes de corriente en para- Se dice que dos fuentes (o circuitos lelo. La corriente combinada es la suma algebraica de la corriente suministrada por las en general) son equivalentes si tienen fuentes individuales. Por ejemplo, las fuentes de corriente que aparecen en la figura la misma relación i-v en un par de 2.18a) pueden combinarse como en la figura 2.18b). La fuente de corriente combinada terminales. o equivalente puede determinarse aplicando la LCK al nodo a. IT IT  I2  I1  I3 a o sea IT  I1  I2  I3 (2.18) Un circuito no puede contener dos corrientes diferentes, I1 e I2, en serie, a menos que I1 I2 I3 I1  I2; de lo contrario, se infringirá la LCK. b La segunda ley de Kirchhoff se basa en el principio de la conservación de la ener- a) gía: IT La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma algebraica de todas las a tensiones alrededor de una trayectoria cerrada (o lazo) es cero. I T = I 1 – I2 + I3 b Expresada matemáticamente, la LTK establece que b) M Figura 2.18 Fuentes de corriente en paralelo: a) circuito original, b) circuito a vm 0 (2.19) m 1 equivalente. donde M es el número de tensiones (o el número de ramas en el lazo) y vm es la m-ésima tensión. Para ilustrar la LTK, considérese el circuito de la figura 2.19. El signo en cada ten- sión es la polaridad de la primera terminal encontrada al recorrer el lazo. Se puede co- 34 Capítulo 2 Leyes básicas La LTK puede aplicarse de dos menzar con cualquier rama y recorrer el lazo en el sentido de las manecillas del reloj o maneras: recorriendo el lazo en el en el sentido contrario. Supóngase que se inicia con la fuente de tensión y que recorre el sentido de las manecillas del reloj o lazo en el sentido de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura; así, las ten- en el contrario alrededor del lazo. De siones serían v1, v2, v3, v4 y v5, en ese orden. Por ejemplo, al llegar a la rama una u otra forma, la suma algebraica 3, la primera terminal encontrada es la positiva, y de ahí que se tenga v3. En cuanto a de las tensiones a lo largo del lazo es la rama 4, se llega primero a la terminal negativa, y de ahí que v4. Por lo tanto, la LTK de cero. establece v1  v2  v3  v4  v5  0 (2.20) + v2 − + v3 − La reordenación de los términos produce − v 2  v 3  v5  v 1  v4 (2.21) v1 + v4 − + lo que puede interpretarse como − + v5 Figura 2.19 Circuito de un solo lazo Suma de caídas de tensión = Suma de aumentos de tensión (2.22) que ilustra la LTK. Ésta es una forma alternativa de la LTK. Adviértase que si se hubiera recorrido el lazo a en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el resultado habría sido v1, v5, v4, + v3 y v2, igual que antes, salvo que los signos están invertidos. Así, las ecua- + V1 ciones (2.20) y (2.21) permanecen iguales. − Cuando fuentes de tensión se conectan en serie, la LTK puede aplicarse a para obtener la tensión total. La tensión combinada es la suma algebraica de las Vab + V2 + − tensiones de las fuentes individuales. Por ejemplo, en relación con las fuentes de + V =V +V −V tensión que aparecen en la figura 2.20a), la fuente de tensión combinada o equi- − Vab − S 1 2 3 + V3 valente en la figura 2.20b) se obtiene aplicando la LTK. − − b b Vab  V1  V2  V3  0 a) b) o sea Vab  V1  V2  V3 (2.23) Figura 2.20 Fuentes de tensión en serie: a) circuito original, b) circuito equivalente. Para no infringir la LTK, un circuito no puede contener dos tensiones diferentes V1 y V2 en paralelo a menos que V1  V2. Ejemplo 2.5 En referencia al circuito de la figura 2.21a), halle las tensiones v1 y v2. 2Ω Solución: Para hallar v1 y v2, se aplica la ley de Ohm y la ley de tensión de Kirchhoff. + v1 − Supóngase que la corriente i fluye a través del lazo como se muestra en la figura 2.21b). − Con base en la ley de Ohm, 20 V + v2 3Ω − + v1  2i, v2  3i (2.5.1) a) La aplicación de la LTK alrededor del lazo produce 2Ω 20  v1  v2  0 (2.5.2) + v1 − − Al sustituir la ecuación (2.5.1) en la ecuación (2.5.2) se obtiene 20 V + v2 3Ω − i 20  2i  3i  0 5i  0 i4A + o --> La sustitución de i en la ecuación (2.5.1) origina finalmente b) Figura 2.21 Para el ejemplo 2.5. v1  8 V, v2  12 V 2.4 Leyes de Kirchhoff 35 Halle vo y v2 en el circuito de la figura 2.22. Problema de práctica 2.5 Respuesta: 16 V, 8 V. 4Ω + v1 − − 32 V + 8V − + + v2 − Figura 2.22 Para el problema de práctica 2.5. 2Ω Determine vo e i en el circuito que aparece en la figura 2.23a). Ejemplo 2.6 Solución: Se aplica la LTK a lo largo del lazo como se indica en la figura 2.23b). El i 4Ω 2vo resultado es +− − 12  4i  2vo  4  6i  0 (2.6.1) 12 V + − 4V + 6Ω La aplicación de la ley de Ohm al resistor de 6  produce + vo − vo  6i (2.6.2) a) La sustitución de la ecuación (2.6.2) en la ecuación (2.6.1) da 4Ω 2vo +− 16  10i  12i  0 1 i  8 A i − 12 V + − 4V + y vo  48 V. 6Ω + vo − Figura 2.23 Para el ejemplo 2.6. b) Halle vx y vo en el circuito de la figura 2.24. Problema de práctica 2.6 Respuesta: 20 V, 40 V. 10 Ω + vx − + 70 V + − − 2vx 5Ω Figura 2.24 Para el problema de práctica 2.6. + vo − Halle la corriente io y la tensión vo en el circuito que aparece en la figura 2.25. Ejemplo 2.7 a Solución: Al aplicar la LCK al nodo a se obtiene io 3  0.5io  io 1 io  6 A + 0.5io vo 4Ω 3A En cuanto al resistor de 4 , la ley de Ohm da como resultado − vo  4io  24 V Figura 2.25 Para el ejemplo 2.7. 36 Capítulo 2 Leyes básicas Problema de práctica 2.7 Halle vo e io en el circuito de la figura 2.26. io Respuesta: 12 V, 6 A. + io vo 9A 2Ω 8Ω 4 − Figura 2.26 Para el problema de práctica 2.7. Ejemplo 2.8 Halle las corrientes y tensiones en el circuito que se presenta en la figura 2.27a). i1 i3 8Ω a Solución: Se aplica la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff. Por efecto de la ley + v1 − de Ohm, i2 + + v1  8i1, v2  3i2, v3  6i3 (2.8.1) 30 V + − v2 3Ω v3 6Ω − − Puesto que la tensión y la corriente de cada resistor están relacionadas por la ley de Ohm como se indica, en realidad se están buscando tres cosas (v1, v2, v3) o (i1, i2, i3). En el nodo a, la LCK da como resultado a) i1  i2  i3  0 (2.8.2) i1 i3 Al aplicar la LTK al lazo 1 como en la figura 2.27b), 8Ω a + v1 − i2 30  v1  v2  0 + + Se expresa esto en términos de i1 e i2 como en la ecuación (2.8.1) para ob- 30 V + − Lazo 1 v2 3Ω Lazo 2 v3 6Ω − − tener 30  8i1  3i2  0 30  3i2 b) o sea i1  (2.8.3) 8 Figura 2.27 Para el ejemplo 2.8. Al aplicar la LTK al lazo 2, v2  v3  0 1 v3  v 2 (2.8.4) como era de esperar, ya que los dos resistores están en paralelo. Se expresa v1 y v2 en términos de i1 e i2 como en la ecuación (2.8.1). La ecuación (2.8.4) se convierte en i2 6i3  3i2 1 i3  (2.8.5) 2 La sustitución de las ecuaciones (2.8.3) y (2.8.5) en la ecuación (2.8.2) produce 30  3i2 i  i2  2 = 0 8 2 o i2  2 A. Con el valor de i2, ahora se usan las ecuaciones (2.8.1) a (2.8.5) para obtener i1  3 A, i3  1 A, v1  24 V, v2  6 V, v3  6 V Problema de práctica 2.8 Halle las corrientes y tensiones del circuito que aparece en la figura 2.28. i1 i3 2Ω 4Ω Respuesta: v1  6 V, v2  4 V, v3  10 V, i1  3 A, i2  500 mA, i3  2.5 A. + v1 − i2 + v3 − + 10 V + − − v2 8Ω + 6V − Figura 2.28 Para el problema de práctica 2.8. 2.5 Resistores en serie y división de tensión 37 i a R1 R2 2.5 Resistores en serie y división de tensión + v1 − + v2 − La necesidad de combinar resistores en serie o en paralelo ocurre tan frecuentemente + v − que justifica especial atención. El proceso de combinar los resistores se ve facilitado por su combinación de dos a la vez. Con esto presente, considérese el circuito de un solo lazo de la figura 2.29. Los dos resistores están en serie, ya que en ambos fluye la misma b corriente i. Al aplicar la ley de Ohm a cada uno de los resistores se obtiene Figura 2.29 Circuito de un solo lazo v1  iR1, v2  iR2 (2.24) con dos resistores en serie. Si se aplica la LTK al lazo (desplazándonos en el sentido de las manecillas del reloj), se tiene v  v1  v2  0 (2.25) De la combinación de las ecuaciones (2.24) y (2.25) se obtiene v  v1  v2  i(R1  R2) (2.26) v o sea i (2.27) R1  R 2 Nótese que la ecuación (2.26) puede escribirse como v  iReq (2.28) i a Req lo que implica que los dos resistores pueden reemplazarse por un resistor equivalente Req; esto es, + v − Req  R1  R2 (2.29) v + − Así, la figura 2.29 puede reemplazarse por el circuito equivalente de la figura 2.30. Los circuitos de ambas figuras son equivalentes porque exhiben las mismas relaciones ten- b sión-corriente en las terminales a-b. Un circuito equivalente como el de la figura 2.30 es Figura 2.30 Circuito equivalente al útil en la simplificación del análisis de un circuito. En general, circuito de la figura 2.29. La resistencia equivalente de cualquier número de resistores conectados en serie es la suma de las resistencias individuales. Así, en el caso de N resistores en serie, Los resistores en serie se comportan como un resistor único, cuya N resistencia es igual a la suma de las Req R1 R2 p RN (2.30) resistencias de los resistores indivi- a Rn duales. n 1 Para determinar la tensión a lo largo de cada resistor de la figura 2.29, se sustituye la ecuación (2.26) en la ecuación (2.24) y se obtiene R1 R2 v1  v, v2  v (2.31) R1  R2 R1  R2 Obsérvese que la tensión en la fuente v se divide entre los resistores en proporción di- recta a sus resistencias; a mayor resistencia, mayor caída de tensión. Esto se llama principio de división de tensión, y el circuito de la figura 2.29 se llama divisor de ten- sión. En general, si un divisor de tensión tiene N resistores (R1, R2, . . . , RN) en serie con la tensión en la fuente v, el n-ésimo resistor (Rn) tendrá una caída de tensión de Rn vn  v (2.32) R1  R2   RN 38 Capítulo 2 Leyes básicas i Nodo a 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente i1 i2 Considérese el circuito de la figura 2.31, donde dos resistores están conectados en para- v + lelo y, por lo tanto, tienen la misma tensión. Con base en la ley de Ohm, − R1 R2 v  i1R1  i2R2 v v Nodo b o sea i1  , i2  (2.33) R1 R2 Figura 2.31 Dos resistores en paralelo. La aplicación de la LCK al nodo a produce la corriente total i como i 1  i1  i2 (2.34) Al sustituir la ecuación (2.33) en la ecuación (2.34) se obtienen v v v i R1  R2 v 1 R1  ( 1 R2  Req ) (2.35) donde Req es la resistencia equivalente de los resistores en paralelo: 1 1 1   (2.36) Req R1 R2 1 R1  R2 o sea  Req R1R2 R1R2 o sea Req  (2.37) R1  R 2 Así, La resistencia equivalente de dos resistores en paralelo es igual al producto de sus resistencias dividido entre su suma. Debe subrayarse que esto sólo se aplica a dos resistores en paralelo. Con base en la ecuación (2.37), si R1  R2, entonces Req  R1兾2. Es posible extender el resultado de la ecuación (2.36) al caso general de un circuito con N resistores en paralelo. La resistencia equivalente es 1 1 1 1     (2.38) Req R1 R2 RN Nótese que Req siempre es menor que la resistencia del resistor menor en la combinación en paralelo. Si R1  R2   ⭈  RN  R, entonces R Req  (2.39) N Por ejemplo, si cuatro resistores de 100  se conectan en paralelo, su resistencia equi- Las conductancias en paralelo se valente es de 25 . comportan como una conductancia A menudo es más conveniente usar la conductancia en vez de la resistencia al tratar única, cuyo valor es igual a la suma de con resistores en paralelo. Partiendo de la ecuación (2.38), la conductancia equivalente las conductancias individuales. para N resistores en paralelo es Geq  G1  G2  G3  ⭈ ⭈  GN (2.40) 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 39 donde Geq  1兾Req, G1  1兾R1, G2  1兾R2, G3  1兾R3, . . . GN  1兾RN. La ecuación (2.40) establece que La conductancia equivalente de resistores conectados en paralelo es la suma de sus conductancias individuales. Esto significa que es posible reemplazar el circuito de la figura 2.31 por el de la figura i a 2.32. Nótese la semejanza entre las ecuaciones (2.30) y (2.40). La conductancia equiva- lente de resistores en paralelo se obtiene de la misma manera que la resistencia equi- valente de resistores en serie. De igual forma, la conductancia equivalente de resistores + v v − Req o Geq en serie se obtiene de la misma manera que la resistencia de resistores en paralelo. Así, la conductancia Geq de N resistores en serie (como se muestra en la figura 2.29) es b 1  1  1  1   1 (2.41) Figura 2.32 Circuito equivalente al de Geq G1 G2 G3 GN la figura 2.31. Dada la corriente total i que entra al nodo a en la figura 2.31, ¿cómo se obtienen las corrientes i1 e i2? Se sabe que el resistor equivalente tiene la misma tensión, o sea iR1R2 v  iReq  (2.42) R1  R 2 La combinación de las ecuaciones (2.33) y (2.42) da R2 i R1 i i1  , i2  (2.43) R1  R2 R1  R2 lo que indica que la corriente total i es compartida por los resistores en proporción in- i versa a sus resistencias. Esto se conoce como principio de división de corriente, y el circuito de la figura 2.31 se conoce como divisor de corriente. Nótese que la corriente i1 = 0 i2 = i mayor fluye por la resistencia menor. R1 R2 = 0 Como un caso extremo, supóngase que uno de los resistores de la figura 2.31 es de cero, digamos R2  0; esto es, R2 es un cortocircuito, como se observa en la figura 2.33a). De la ecuación (2.43), R2  0 implica que i1  0, i2  i. Esto significa que la corriente total i salta a R1 y fluye por el cortocircuito R2  0, la trayectoria de menor a) resistencia. Así, cuando un circuito se pone en cortocircuito, como se muestra en la fi- gura 2.33a), se deben tener en cuenta dos cosas: i 1. La resistencia equivalente Req  0. [Véase lo que ocurre cuando R2  0 en la ecua- i1 = i i2 = 0 ción (2.37).] R1 R2 = ∞ 2. La corriente total fluye por el cortocircuito. Como otro caso extremo, supóngase que R2  ∞; es decir, que R2 es un circuito abierto, como se muestra en la figura 2.33b). La corriente sigue fluyendo por la trayec- b) toria de menor resistencia, R1. Tomando el límite de la ecuación (2.37) cuando R2 → ∞, Figura 2.33 a) Cortocircuito, se obtiene Req  R1 en este caso. b) circuito abierto. Si se divide tanto el numerador como el denominador entre R1R2, la ecuación (2.43) se convierte en G1 i1  i (2.44a) G1  G 2 G2 i2  i (2.44b) G1  G 2 40 Capítulo 2 Leyes básicas Así, en general, si un divisor de corriente tiene N conductores (G1, G2, ..., GN) en para- lelo con la corriente en la fuente i, el n-ésimo conductor (Gn) tendrá una corriente Gn in  i (2.45) G1  G2   GN En general, a menudo es conveniente y posible combinar resistores en serie y en paralelo y reducir una red resistiva a una sola resistencia equivalente Req. Una resisten- cia equivalente de este tipo es la resistencia entre las terminales designadas de la red y debe exhibir las mismas características de i-v que la red original en las terminales. Ejemplo 2.9 Halle Req en el circuito que se muestra en la figura 2.34. 4Ω 1Ω Solución: Para obtener Req se combinan resistores en serie y en paralelo. Los resistores de 6 y 3  están en paralelo, así que su resistencia equivalente es 2Ω Req 5Ω 63 6储3 2 63 6Ω 3Ω 8Ω (El símbolo 储 se usa para indicar una combinación en paralelo.) De igual forma, los re- Figura 2.34 Para el ejemplo 2.9. sistores de 1 y 5  están en serie, y de ahí que su resistencia equivalente sea 156 4Ω Así, el circuito de la figura 2.34 se transforma en el de la figura 2.35a). En esta última 2Ω figura se advierte que los dos resistores de 2  están en serie, así que la resistencia Req equivalente es 6Ω 2Ω 224 8Ω Este resistor de 4  está ahora en paralelo con el resistor de 6  de la figura 2.35a); su a) resistencia equivalente es 4Ω 46 4储6  2.4  46 Req 2.4 Ω El circuito de la figura 2.35a) es reemplazado ahora por el de la figura 2.35b). En esta 8Ω última figura, los tres resistores están en serie. Así, la resistencia equivalente del circui- to es b) Figura 2.35 Circuitos equivalentes Req  4   2.4   8   14.4  para el ejemplo 2.9. Problema de práctica 2.9 Combinando los resistores de la figura 2.36, halle Req. 4Ω 3Ω 4Ω Respuesta: 10 . Req 6Ω 4Ω 5Ω 3Ω 3Ω Figura 2.36 Para el problema de práctica 2.9. Ejemplo 2.10 Calcule la resistencia equivalente Rab en el circuito de la figura 2.37. Solución: Los resistores de 3 y 6  están en paralelo, porque están conectados a los mismos dos nodos c y b. Su resistencia combinada es 36 3储6 2 (2.10.1) 36 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 41 De igual manera, los resistores de 12 y 4  están en paralelo, ya que están 10 Ω c 1Ω d 1Ω conectados a los dos mismos nodos d y b. Por lo tanto, a 6Ω 12  4 Rab 12  储 4   3 (2.10.2) 3Ω 4Ω 5Ω 12  4 12 Ω Asimismo, los resistores de 1 y 5  están en serie, y de ahí que su resistencia b equivalente sea b b Figura 2.37 Para el ejemplo 2.10. 156 (2.10.3) Con estas tres combinaciones, se puede reemplazar el circuito de la figura 2.37 por el de 10 Ω c 1Ω d la figura 2.38a). En esta última figura, 3  en paralelo con 6  produce 2 , como se a calculó en la ecuación (2.10.1). Esta resistencia equivalente de 2  está ahora en serie con la resistencia de 1 , lo que produce una resistencia combinada de 1   2   2Ω 3Ω 6Ω 3 . Así, se reemplaza el circuito de la figura 2.38a) por el de la figura 2.38b). En esta última figura se combinan los resistores de 2 y 3  en paralelo para obtener b b b b 23 a) 2储3  1.2  23 10 Ω c a Este resistor de 1.2  está en serie con el resistor de 10 , de manera que Rab  10  1.2  11.2  2Ω 3Ω b b b Figura 2.38 Circuitos equivalentes para el ejemplo 2.10. b) Halle Rab en el circuito de la figura 2.39. Problema de práctica 2.10 Respuesta: 19 . 20 Ω 16 Ω 5Ω a Rab 18 Ω 20 Ω 1Ω 9Ω Figura 2.39 Para el problema 2Ω de práctica 2.10. b Halle la conductancia equivalente Geq del circuito de la figura 2.40a). Ejemplo 2.11 Solución: Los resistores de 8 y 12 S están en paralelo, así que su conductancia es 8 S  12 S  20 S El resistor de 20 S está ahora en serie con el de 5 S, como se advierte en la figura 2.40b), así que la conductancia combinada es 20  5 4S 20  5 Esto está en paralelo con el resistor de 6 S. En consecuencia, Geq  6  4  10 S Cabe señalar que el circuito de la figura 2.40a) es igual al de la figura 2.40c). Mien- tras que los resistores de la figura 2.40a) se expresan en siemens, los de la figura 2.40c) lo están en ohms. Para demostrar que esos circuitos son iguales, se halla Req para el circuito de la figura 2.40c). 42 Capítulo 2 Leyes básicas ga g b ga b g 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Req 6 5 8 12 6 5 20 6 4 1 1 6 4 1 1 1 6 4 10 1 Geq 10 S Req Esto es igual a lo obtenido anteriormente. 1 5S 5S 5 Ω Geq Geq Req 1 1 1 6S 8S 12 S 6S 20 S 6 Ω 8 Ω 12 Ω a) b) c) Figura 2.40 Para el ejemplo 2.11: a) circuito original, b) su circuito equivalente, c) el mismo circuito que en a), aunque los resistores se expresan en ohms. Problema de práctica 2.11 Calcule Geq en el circuito de la figura 2.41. Respuesta: 4 S. 8S 4S Geq 2S 6S Figura 2.41 Para el problema 12 S de práctica 2.11. Ejemplo 2.12 Halle io y vo en el circuito mostrado en la figura 2.42a). Calcule la potencia disipada en el resistor de 3 . i 4Ω io a Solución: Los resistores de 6 y 3  están en paralelo, así que su resistencia combina- + da es 12 V + − 6Ω vo 3Ω − 63 6储3 2 b 63 a) En consecuencia, el circuito se reduce al mostrado en la figura 2.42b). Nótese que vo no se ve afectado por la combinación de los resistores, porque los resistores están en para- i 4Ω a lelo y, por lo tanto, tienen la misma tensión vo. En la figura 2.42b) se puede obtener vo de dos maneras. Una de ellas es aplicar la ley de Ohm para obtener + 12 V + − vo 2Ω 12 − i 2A 42 b por lo tanto, vo  2i  2  2  4 V. Otra manera es aplicar la división de tensión, ya b) que los 12 V de la figura 2.42b) se dividen entre los resistores de 4 y 2 . Así, Figura 2.42 Para el ejemplo 2.12: 2 a) circuito original, b) su circuito vo  (12 V)  4 V equivalente. 24 De igual forma, io puede obtenerse de dos maneras. Un método es aplicar la ley de Ohm al resistor de 3  de la figura 2.42a) ahora que se conoce vo; así, 4 vo  3io  4 1 io  A 3 2.6 Resistores en paralelo y división de corriente 43 Otro método es aplicar la división de corriente al circuito de la figura 2.42a) ahora que se conoce i, escribiendo 6 2 4 io  i (2 A)  A  6 3 3 3 La potencia disipada en el resistor de 3  es () po  voio  4 4  5.333 W 3 Halle v1 y v2 en el circuito que aparece en la figura 2.43. También calcule i1 e i2 y la Problema de práctica 2.12 potencia disipada en los resistores de 12 y 40 . i1 12 Ω Respuesta: v1  10 V, i1  833.3 mA, p1  8.333 W, v2  20 V, i2  500 mA, + v1 − p2  10 W. 6Ω i2 + 30 V + 10 Ω v2 40 Ω − − Figura 2.43 Para el problema de práctica 2.12. En referencia al circuito que se muestra en la figura 2.44a), determine: a) la tensión vo, Ejemplo 2.13 b) la potencia suministrada por la fuente de corriente, c) la potencia absorbida por cada resistor. 6 kΩ + Solución: a) Los resistores de 6 y 12  están en serie, así que su valor combinado es vo 30 mA 9 kΩ 12 kΩ de 6  12  18 k. De este modo, el circuito de la figura 2.44a) se transforma en el que − se muestra en la figura 2.44b). Ahora se aplica la técnica de división de corriente para hallar i1 e i2. a) 18 000 i1  (30 mA)  20 mA io i2 9 000  18 000 i1 9 000 + i2  (30 mA)  10 mA vo 9 000  18 000 30 mA 9 kΩ 18 kΩ − Adviértase que la tensión a lo largo de los resistores de 9 y 18 k es la misma, y que vo  9 000i1  18 000i2  180 V, como se esperaba. b) b) La potencia suministrada por la fuente es Figura 2.44 Para el ejemplo 2.13: po  voio  180(30) mW  5.4 W a) circuito original, b) su circuito equivalente. c) La potencia absorbida por el resistor de 12 k es p  iv  i2(i2R)  i22 R  (10  103)2 (12 000)  1.2 W La potencia absorbida por el resistor de 6  es p  i22 R  (10  103)2 (6 000)  0.6 W La potencia absorbida por el resistor de 9 k es vo2 (180)2 p   3.6 W R 9 000 o sea p  voi1  180(20) mW  3.6 W 44 Capítulo 2 Leyes básicas Nótese que la potencia suministrada (5.4 W) es igual a la potencia absorbida (1.2  0.6  3.6  5.4 W). Ésta es una manera de comprobar resultados. Problema de práctica 2.13 En referencia al circuito que aparece en la figura 2.45, halle: a) v1 y v2, b) la potencia disipada en los resistores de 3 y 20 k y c) la potencia suministrada por la fuente de 1 kΩ corriente. + + Respuesta: a) 45 V, 60 V, b) 675 mW, 180 mW, c) 1.8 mW. 3 kΩ v1 30 mA 5 kΩ v2 20 kΩ − − Figura 2.45 Para el problema de práctica 2.13. † 2.7 Transformaciones estrella-delta R1 En el análisis de circuitos suelen surgir situaciones en las que los resistores no están en paralelo ni en serie. Por ejemplo, considérese el circuito puente de la figura 2.46. ¿Cómo se combinan los resistores R1 a R6 cuando no están en serie ni en paralelo? Muchos R2 R3 circuitos del tipo mostrado en la figura 2.46 pueden simplificarse usando redes equiva- R4 lentes de tres terminales. Éstas son la red en estrella (Y) o en te (T) que aparece en la vs + − figura 2.47 y la red delta (6) o pi (Π) que aparece en la figura 2.48. Estas redes se pre- R5 R6 sentan por sí mismas o como parte de una red mayor. Se usan en redes trifásicas, filtros eléctricos y redes de acoplamiento. El principal interés es cómo identificarlas cuando aparecen como parte de una red y cómo aplicar la transformación estrella-delta en el Figura 2.46 Red puente. análisis de esa red. Conversión delta a estrella 1 3 Supóngase que es más conveniente trabajar con una red en estrella en R1 R2 R1 R2 un lugar donde el circuito contiene una configuración en delta. Se 1 3 superpone una red en estrella en la red en delta existente y se hallan R3 las resistencias equivalentes en la red en estrella. Para obtener las R3 resistencias equivalentes en la red en estrella, hay que comparar 2 4 2 4 las  dos redes y cerciorarse de que la resistencia entre cada par de a) b) nodos en la red (o ) sea igual a la resistencia entre el mismo par Figura 2.47 Dos formas de la misma red: a) Y, b) T. de nodos en la red Y (o T). Para las terminales 1 y 2 de las figuras 2.47 y 2.48, por ejemplo, R12(Y)  R1  R3 (2.46) Rc R12( )  Rb 储 (Ra  Rc) 1 3 Dejando R12(Y)  R12( ), se obtiene Rb Ra Rb(Ra  Rc) R12  R1  R3  (2.47a) Ra  Rb  Rc 2 4 a) Rc(Ra  Rb) De igual manera, R13  R1  R2  (2.47b) Rc Ra  Rb  Rc 1 3 Ra(Rb  Rc) R34  R2  R3  (2.47c) Ra  Rb  Rc Rb Ra Al sustraer la ecuación (2.47c) de la ecuación (2.47a) se obtiene 2 4 Rc(Rb  Ra) b) R1  R2  (2.48) Ra  Rb  Rc Figura 2.48 Dos formas de la misma red: a) , b) . La suma de las ecuaciones (2.47b) y (2.48) origina 2.7 Transformaciones estrella-delta 45 R bR c R1  (2.49) Ra  R b  R c y la sustracción de la ecuación (2.48) de la ecuación (2.47b) origina Rc Ra R2  (2.50) Ra  R b  R c Al restar la ecuación (2.49) de la ecuación (2.47a) se obtiene RaRb R3  (2.51) Ra  R b  R c No es necesario memorizar las ecuaciones (2.49) a (2.51). Para transformar una red en Y, se crea un nodo extra n, como se indica en la figura 2.49, y se sigue esta regla de conversión: Rc Cada resistor de la red Y es el producto de los resistores de las dos ramas adyacentes a b dividido entre la suma de los tres resistores de . R1 R2 n Se puede seguir esta regla y obtener las ecuaciones (2.49) a (2.51) a partir de la figura 2.49. Rb Ra Conversión estrella a delta R3 Para obtener las fórmulas de conversión que transformen una red en estrella en una red delta equivalente, en las ecuaciones (2.49) a (2.51) se advierte que c R R R (R  Rb  Rc) Figura 2.49 Superposición de redes Y R1R2  R2R3  R3R1  a b c a (Ra  Rb  Rc)2 y como ayuda en la transformación de (2.52) una en otra. RaRbRc  R a  Rb  Rc La división de la ecuación (2.52) entre cada una de las ecuaciones (2.49) a (2.51) con- duce a las siguientes ecuaciones: R1R2  R2R3  R3R1 Ra  (2.53) R1 R1R2  R2R3  R3R1 Rb  (2.54) R2 R1R2  R2R3  R3R1 Rc  (2.55) R3 Con base en las ecuaciones (2.53) a (2.55) y en la figura 2.49, la regla de conversión para Y en es la siguiente: Cada resistor de la red es la suma de todos los productos posibles de los resistores Y tomados de dos en dos, dividido entre el resistor opuesto en Y. Se dice que las redes Y y están equilibradas cuando R1  R2  R3  RY, R a  R b  R c  Rd (2.56) 46 Capítulo 2 Leyes básicas En estas condiciones, las fórmulas de conversión vienen a ser R RY  o sea R  3 RY (2.57) 3 Es posible que provoque sorpresa que RY sea menor que R . A este respecto, obsérvese que la conexión en Y es como una conexión “en serie”, mientras que la conexión en es como una conexión “en paralelo”. Nótese que al hacer la transformación, no se quita nada del circuito ni se agrega algo nuevo en él. Solamente se están sustituyendo patrones de red, de tres terminales diferentes, equivalentes matemáticamente para crear un circuito en el que los resistores estén en serie o en paralelo, lo que nos permite calcular la Req de ser necesario. Ejemplo 2.14 Convierta la red de la figura 2.50a) en una red Y equivalente. Solución: Al usar las ecuaciones (2.49) a (2.51) se obtiene R bR c 10  25 250 R1    5 R a  R b  Rc 15  10  25 50 RcRa 25  15 R2    7.5  R a  R b  Rc 50 RaRb 15  10 R3   3 R a  R b  Rc 50 La red Y equivalente se muestra en la figura 2.50b). Rc a b a b 25 Ω 5Ω 7.5 Ω R1 R2 10 Ω 15 Ω Rb Ra R3 3Ω c c a) b) Figura 2.50 Para el ejemplo 2.14: a) red original, b) red Y equivalente. Problema de práctica 2.14 Transforme la red en estrella de la figura 2.51 en una red delta. R1 R2 Respuesta: Ra  140 , Rb  70 , Rc  35 . a b 10 Ω 20 Ω R3 40 Ω Figura 2.51 Para el problema de c práctica 2.14. 2.7 Transformaciones estrella-delta 47 Obtenga la resistencia equivalente Rab para el circuito de la figura 2.52 y úsela para Ejemplo 2.15 hallar la corriente i. i a a Solución: 1. Definir. El problema está definido con claridad. Tenga en cuenta, sin embargo, que normalmente esta parte consumirá de manera merecida mucho más tiempo. 12.5 Ω 10 Ω 2. Presentar. Es obvio que si se elimina la fuente de tensión, se termina con un cir- 5Ω cuito puramente resistivo. Dado que éste está compuesto por deltas y estrellas, se 120 V +− c n 30 Ω tiene un proceso más complejo de combinación de los elementos. Se pueden usar transformaciones estrella-delta como un método para hallar una solución. Es útil 15 Ω 20 Ω localizar las estrellas (hay dos de ellas, una en n y la otra en c) y las deltas (hay tres: can, abn, cnb). b b 3. Alternativas. Pueden usarse varios métodos para resolver este problema. Puesto que el tema de la sección 2.7 es la transformación estrella-delta, ésta debería ser la técnica Figura 2.52 Para el ejemplo 2.15. por usar. Otro método sería determinar la resistencia equivalente inyectando una co- rriente de un amperio en el circuito y hallando la tensión entre a y b; este método se aprenderá en el capítulo 4. El método que se puede aplicar aquí como comprobación sería usar una trans- formación estrella-delta como la primera solución del problema. Después se puede comprobar la solución comenzando con una transformación delta-estrella. 4. Intentar. En este circuito hay dos redes Y y tres redes . La transformación de sólo una de ellas simplificará el circuito. Si se convierte la red Y comprendida por los re- sistores de 5, 10 y 20 , se puede seleccionar R1  10 , R2  20 , R3  5  a Así, con las ecuaciones (2.53) a (2.55) se tiene 12.5 Ω R1R2  R2R3  R3R1 10  20  20  5  5  10 17.5 Ω Ra   R1 10 70 Ω 30 Ω 350 35 Ω   35  15 Ω 10 b R1R2  R2R3  R3R1 350 Rb    17.5  a) R2 20 a R1R2  R2R3  R3R1 350 Rc    70  7.292 Ω R3 5 21 Ω Con la Y convertida en , el circuito equivalente (con la fuente de tensión 10.5 Ω eliminada por ahora) se presenta en la figura 2.53a). Al combinar los tres pares de b resistores en paralelo se obtiene b) 70  30 a 70 储 30   21  70  30 4.545 Ω 12.5  17.5 12.5 储 17.5   7.292  12.5  17.5 d 15  35 2.273 Ω 1.8182 Ω 30 Ω 15 储 35   10.5  15  35 c n por lo que el circuito equivalente es el que se muestra en la figura 2.53b). De este 15 Ω 20 Ω modo, se halla 17.792  21 b Rab  (7.292  10.5) 储 21   9.632 ⍀ 17.792  21 c) Figura 2.53 Circuitos equivalentes a vs 120 la figura 2.52, con la fuente de tensión Entonces, i  ⴝ 12.458 A Rab 9.632 eliminada. 48 Capítulo 2 Leyes básicas Obsérvese que se ha resuelto exitosamente el problema. Ahora se debe evaluar la solución. 5. Evaluar. Ahora se debe determinar si la respuesta es correcta, y después evaluar la solución final. Es relativamente fácil comprobar la respuesta; se hace resolviendo el problema a partir de una transformación delta-estrella. Se transforma la delta, can, en estrella. Sean Rc  10 , Ra  5  y Rn  12.5 . Esto conducirá a (concediendo que d representa la parte media de la estrella): Rc Rn 10  12.5 Rad    4.545  Ra  R c  R n 5  10  12.5 RaRn 5  12.5 Rcd    2.273  27.5 27.5 RaRc 5  10 Rnd    1.8182  27.5 27.5 Esto conduce ahora al circuito que se muestra en la figura 2.53c). Si se examina la resistencia entre d y b, se tienen en paralelo dos combinaciones en serie, lo que produce (2.273 15)(1.8182 20) 376.9 Rdb 9.642 2.273 15 1.8182 20 39.09 Esto está en serie con el resistor de 4.545 , los que a su vez están en paralelo con el resistor de 30 . Esto proporciona entonces la resistencia equivalente del circuito. (9.642 4.545)30 425.6 Rab 9.631 9.642 4.545 30 44.19 Esto conduce ahora a vs 120 i 12.46 A Rab 9.631 Adviértase que el empleo de las dos variantes de la transformación estrella-delta ofrece el mismo resultado. Esto representa una muy buena comprobación. 6. ¿Satisfactorio? Dado que se ha hallado la respuesta deseada determinando primero la resistencia equivalente del circuito y comprobando después la respuesta, es evi- dente que la solución es satisfactoria. Esto quiere decir que se le podría presentar a quien planteó el problema. Problema de práctica 2.15 En referencia a la red puente de la figura 2.54, halle Rab e i. i a 13 Ω Respuesta: 40 , 6 A. 24 Ω 10 Ω 20 Ω † 240 V + − 2.8 Aplicaciones 30 Ω 50 Ω Los resistores se usan con frecuencia para modelar dispositivos que convierten energía eléctrica en térmica o en otras formas de energía. Tales dispositivos incluyen alambre conductor, bombillas eléctricas, calentadores eléctricos, estufas y hornos eléctricos, y b altavoces. En esta sección consideraremos dos problemas reales en los que se aplican Figura 2.54 Para el problema de práctica 2.15. los conceptos tratados en este capítulo: sistemas de iluminación eléctrica y diseño de medidores de cd. 2.8 Aplicaciones 49 Perfiles históricos Thomas Alva Edison (1847-1931) fue quizá el mayor inventor estadounidense. Paten- tó 1 093 inventos, de tanta trascendencia histórica como la bombilla eléctrica incandes- cente, el fonógrafo y los primeros filmes comerciales. Nació en Milan, Ohio, y fue el menor de siete hijos. Edison sólo recibió tres meses de educación formal, pues detestaba la escuela. Su madre lo educó en casa, y pronto leía por sí solo. En 1868 leyó uno de los libros de Faraday y encontró su vocación. En 1876 se trasladó a Menlo Park, Nueva Jersey, donde administró un laboratorio de investiga- ción bien abastecido de personal. La mayoría de sus inventos salió de ese laboratorio, el cual sirvió como modelo para modernas organizaciones de investigación. A causa de la diversidad de sus intereses y del abrumador número de sus inventos y patentes, Edison empezó a establecer compañías manufactureras para la fabricación de los aparatos que inventaba. Diseñó la primera estación de energía eléctrica para el suministro de luz. La Biblioteca del Congreso educación formal en ingeniería eléctrica comenzó a mediados de la década de 1880, con Edison como modelo y líder. 2.8.1 Sistemas de iluminación Los sistemas de iluminación, como el de una casa o un árbol de Navidad, suelen constar Hasta aquí se ha supuesto que los de N lámparas conectadas ya sea en paralelo o en serie, como se indica en la figura 2.55. alambres de conexión son conducto- Cada lámpara es modelada como resistor. Suponiendo que todas las lámparas son idén- res perfectos (es decir, conductores ticas y que Vo es la tensión de la línea eléctrica, la tensión en cada lámpara es Vo en el de resistencia cero). Pero en los caso de la conexión en paralelo y a Vo/N en la conexión en serie. Esta última es fácil de sistemas físicos reales, la resistencia fabricar, pero rara vez se usa en la práctica, por al menos dos razones. Primero, es menos del alambre de conexión puede ser apreciablemente grande, y la confiable; cuando una lámpara falla, todas se apagan. Segundo, es más difícil de mante- modelación del sistema debe incluir ner; cuando una lámpara está dañada, deben probarse todas una por una para detectar la esa resistencia. defectuosa. 1 2 + Vo − 1 2 3 N + 3 Vo − Toma de N corriente a) Lámpara b) Figura 2.55 a) Conexión en paralelo de bombillas eléctricas, b) conexión en serie de bombillas eléctricas. Tres bombillas eléctricas están conectadas a una batería de 9 V, como se indica en la Ejemplo 2.16 figura 2.56a). Calcule: a) la corriente total suministrada por la batería, b) la corriente que circula por cada bombilla, c) la resistencia de cada bombilla. Solución: a) La potencia total suministrada por la batería es igual a la potencia total absorbida por las bombillas; es decir, p  15  10  20  45 W 50 Capítulo 2 Leyes básicas Puesto que p  VI, la corriente total suministrada por la batería es 15 W p 45 9V 20 W I  5A 10 W V 9 b) Las bombillas pueden modelarse como resistores, como se muestra en la figura a) 2.56b). Dado que R1 (la bombilla de 20 W) está en paralelo con la batería lo mismo que I I1 con la combinación en serie de R2 y R3, V 1  V2  V3  9 V I2 + V2 La corriente a través de R1 es R2 − + 9V V1 p1 20 + R1 I1    2.222 A − V1 9 V3 R3 − Por la LCK, la corriente a través de la combinación en serie de R2 y R3 es I2  I  I1  5  2.222  2.778 A b) Figura 2.56 a) Sistema de iluminación c) Puesto que p  I R,2 con tres bombillas, b) modelo del circuito equivalente resistivo. p1 20 R1 4.05 I 12 2.222 2 p2 15 R2 1.945 I 22 2.777 2 p3 10 R3 1.297 I 32 2.777 2 Problema de práctica 2.16 Remítase a la figura 2.55 y supóngase que hay 10 bombillas eléctricas que pueden co- nectarse en paralelo y 10 que pueden conectarse en serie, cada una de ellas con un valor nominal de potencia de 40 W. Si la tensión en la toma de corriente es de 110 V para las conexiones en paralelo y en serie, calcule la corriente que circula a través de cada bom- billa en ambos casos. Respuesta: 364 mA (en paralelo), 3.64 A (en serie). 2.8.2 Diseño de medidores de cd a Por su propia naturaleza, los resistores se usan para controlar el flujo de corriente. Esta propiedad se aprovecha en varias aplicaciones, como en un potenciómetro (figura 2.57). Máx La palabra potenciómetro, derivada de las palabras potencial y medidor, implica que el b potencial puede medirse. El potenciómetro (o pot para abreviar) es un dispositivo de tres Vent + − + terminales que opera con base en el principio de la división de tensión. Es en esencia un Vsal divisor de tensión ajustable. En su calidad de regulador de tensión, se utiliza como con- Mín − trol de volumen o nivel en radios, televisores y otros aparatos. En la figura 2.57, c Figura 2.57 Niveles de potencial Rbc controlados por el potenciómetro. Vsal  Vbc  Vent (2.58) Rac donde Rac  Rab  Rbc. Así, Vsal disminuye o aumenta cuando el contacto deslizante del potenciómetro se mueve hacia c o a, respectivamente. Otra aplicación en la que se utilizan los resistores para controlar el flujo de corrien- te es la de los medidores de cd analógicos: el amperímetro, el voltímetro y el óhmetro, Un instrumento capaz de medir los cuales miden corriente, tensión y resistencia, respectivamente. En todos esos medi- tensión, corriente y resistencia se dores se emplea el mecanismo del medidor de d’Arsonval, que se muestra en la figura llama multímetro o medidor de 2.58. Este mecanismo consta en esencia de una bobina de núcleo de hierro móvil mon- volt-ohm. tada sobre un pivote entre los polos de un imán permanente. Cuando fluye corriente por 2.8 Aplicaciones 51 Escala Resorte Aguja Amperímetro I A S + Imán permanente Voltímetro V V Elemento N − Resorte Bobina rotatoria Núcleo de hierro estacionario Figura 2.59 Conexión de un voltí- Figura 2.58 Mecanismo del medidor de d’Arsonval. metro y un amperímetro a un elemento. la bobina, ésta produce un momento de torsión que causa que la aguja se desvíe. La cantidad de corriente que circula a través de la bobina determina la desviación de la aguja, la cual es registrada en una escala unida al movimiento del medidor. Por ejemplo, si el mecanismo del medidor tiene una especificación de 1 mA, 50 , se necesitaría 1 mA para causar una desviación de máxima escala en el mecanismo del medidor. Me- diante la introducción de circuitería adicional al mecanismo del medidor de d’Arsonval es posible construir un amperímetro, voltímetro u óhmetro. Considérese la figura 2.59, en la que un voltímetro y un amperímetro analógicos están conectados a un elemento. El voltímetro mide la tensión en una carga, por lo tanto, está conectado en paralelo con el elemento. Como se observa en la figura 2.60a), el vol- Una carga es un componente que tímetro consta de un mecanismo de d’Arsonval en serie con un resistor cuya resistencia recibe energía (un receptor de Rm se hace deliberadamente muy grande (infinita en teoría), para minimizar la corriente energía), en oposición a un genera- tomada del circuito. Para ampliar el intervalo de tensión que puede medir el medidor, dor, que suministra energía (una suelen conectarse resistores multiplicadores en serie con los voltímetros, como se mues- fuente de energía). En la sección 4.9.1 tra en la figura 2.60b). El voltímetro de intervalo múltiple de dicha figura puede medir se explicará más sobre la carga. tensiones de 0 a 1 V, 0 a 10 V o 0 a 100 V, dependiendo de que el interruptor esté conec- tado a R1, R2 o R3, respectivamente. Ahora se presenta el cálculo del resistor multiplicador Rn para el Multiplicador Medidor voltímetro de un solo intervalo de la figura 2.60a), o Rn  R1, R2 o R3 Rn para el voltímetro de intervalo múltiple de la figura 2.60b). Se necesi- + Im Rm ta determinar el valor del Rn que se va a conectar en serie con la resis- Sondas V tencia interna Rm del voltímetro. En cualquier diseño se considera la − condición del peor de los casos. En esta circunstancia, el peor de los casos ocurre cuando la corriente de escala máxima Ifs  Im fluye por el medidor. Esto debería corresponder a la lectura de tensión máxima a) o a la tensión de escala máxima Vfs.* Dado que la resistencia multipli- cadora Rn está en serie con la resistencia interna Rm, R1 Vfs  Ifs(Rn  Rm) (2.59) 1V Medidor R2 10 V Interruptor V De esto se obtiene Rn  fs  Rm (2.60) + 100 V Im Rm Ifs Sondas V R3 − De igual forma, el amperímetro mide la corriente que circula por la carga y está conectada en serie con él. Como se indica en la figura 2.61a), el amperímetro consta de un mecanismo de d’Arsonval b) en paralelo con un resistor, cuya resistencia Rm se hace deliberada- Figura 2.60 Voltímetros: a) tipo de una escala, b) tipo de mente muy pequeña (teóricamente cero) para minimizar la caída de escala múltiple. * Nota de RT: Vfs también se conoce como Vem en algunos países de habla hispana. 52 Capítulo 2 Leyes básicas Rn tensión en sus terminales. Con el fin de permitir los intervalos múltiples, casi siempre se In conectan resistores en derivación en paralelo con Rm, como se advierte en la figura Medidor 2.61b). Estos resistores permiten al medidor realizar mediciones en el intervalo 0-10 mA, 0-100 mA o 0-1 A, dependiendo de que el interruptor se conecte a R1, R2 o R3, Im respectivamente. Rm Ahora el objetivo es obtener la Rn en derivación multiplicadora para el amperímetro I de un solo intervalo de la figura 2.61a), o Rn  R1, R2 o R3 para el amperímetro de in- tervalo múltiple de la figura 2.61b). Obsérvese que Rm y Rn están en paralelo y que la Sondas lectura de escala máxima I  Ifs  Im  In, donde In es la corriente que pasa por el re- a) sistor en derivación Rn en derivación. La aplicación del principio de división de corrien- te produce R1 Rn 10 mA Im  Ifs R n  Rm R2 100 mA Interruptor Im o sea Rm  Im (2.61) 1A Ifs  Im R3 La resistencia Rx de un resistor lineal puede medirse de dos nodos. Una manera Medidor indirecta es medir la corriente I que fluye por la resistencia al conectar a la misma un Im amperímetro en serie, y la tensión V en sus terminales conectándole un voltímetro en paralelo, como se muestra en la figura 2.62a). Así pues, Rm I V Rx  (2.62) I Sondas b) El método directo para medir la resistencia es usar un óhmetro. Éste consta básicamen- Figura 2.61 Amperímetros: a) tipo de te de un mecanismo de d’Arsonval, un resistor variable o potenciómetro y una batería, una escala, b) tipo de escala múltiple. como se advierte en la figura 2.62b). La aplicación de la LTK al circuito de esta última figura da como resultado E  (R  Rm  Rx)Im A E o sea Rx   (R  Rm) (2.63) I Im + Rx V V El resistor R es seleccionado de manera que el medidor registre una desviación de − escala máxima; esto es, Im  Ifs cuando Rx  0. Esto implica que E  (R  Rm)Ifs (2.64) a) La sustitución de la ecuación (2.64) en la (2.63) conduce a Im Óhmetro Rx  ( ) Ifs Im  1 (R  Rm) (2.65) Rm R Como ya se mencionó, los tipos de medidores expuestos se conocen como medi- dores analógicos y se basan en el mecanismo del medidor de d’Arsonval. Otro tipo de E Rx medidor, llamado medidor digital, se basa en elementos de circuitos activos como los amplificadores operacionales. Por ejemplo, un multímetro digital presenta como nú- meros discretos a las mediciones de tensión de cd o ca, corriente y resistencia, en vez b) de utilizar la desviación de la aguja en una escala continua como ocurre con el multí- Figura 2.62 Dos maneras de medir la metro analógico. Los medidores digitales son los que con mayor probabilidad utiliza- resistencia: a) con un amperímetro y un ría el lector en un laboratorio moderno. Sin embargo, el diseño de medidores digitales voltímetro, b) con un óhmetro. escapa al alcance de este libro. Ejemplo 2.17 Siguiendo el arreglo del voltímetro de la figura 2.60 diseñe un voltímetro para los si- guientes intervalos múltiples: a) 0-1 V b) 0-5 V c) 0-50 V d) 0-100 V 2.8 Aplicaciones 53 Perfiles históricos Samuel F. B. Morse (1791-1872), pintor estadounidense, inventó el telégrafo, la prime- ra aplicación práctica comercializada de la electricidad. Morse nació en Charlestown, Massachusetts, y estudió en Yale y en la Royal Aca- demy of Arts de Londres para ser artista. En la década de 1830 se interesó en el desarro- llo de un telégrafo. Ya tenía un modelo funcional en 1836, y solicitó una patente en 1838. El senado de Estados Unidos le asignó fondos para la construcción de una línea telegráfica entre Baltimore y Washington D.C. El 24 de mayo de 1844 envió el famoso primer mensaje: “¡Qué ha hecho Dios!” Morse también elaboró un código de puntos y rayas en representación de letras y números, para el envío de mensajes por el telégrafo. La creación del telégrafo llevó a la invención del teléfono. Biblioteca del Congreso Suponga que la resistencia interna Rm  2 k y la corriente de escala máxima Ifs  100 ␮A. Solución: Se aplica la ecuación (2.60) y se supone que R1, R2, R3 y R4 corresponden a los intervalos 0-1 V, 0-5 V, 0-50 V y 0-100 V, respectivamente. a) Para el intervalo 0-1 V, 1 R1  ——————  2 000  10 000  2 000  8 k 100  106 b) Para el intervalo 0-5 V, 5 R2  ——————  2 000  50 000  2 000  48 k 100  106 c) Para el intervalo 0-50 V, 50 R3  ——————  2 000  500 000  2 000  498 k 100  106 d) Para el intervalo 0-100 V, 100 V R4  ——————  2 000  1 000 000  2 000  998 k 100  106 Nótese que la proporción entre la resistencia total (Rn  Rm) y la tensión a escala máxi- ma Vfs es constante e igual a 1兾Ifs en los cuatro intervalos. Esta proporción (dada en ohms por volt, o 兾V) se conoce como sensibilidad del voltímetro. Cuanto mayor sea la sensibilidad, mejor es el voltímetro. Siguiendo el arreglo del amperímetro de la figura 2.61, diseñe un aparato de este tipo Problema de práctica 2.17 para los siguientes intervalos múltiples: a) 0-1 A b) 0-100 mA c) 0-10 mA Suponga la corriente de escala máxima del medidor como Im  1 mA y la resistencia interna del amperímetro como Rm  50 . Respuesta: Resistores en derivación: 50 m, 505 m, 5.556 . 54 Capítulo 2 Leyes básicas 2.9 Resumen 1. Un resistor es un elemento pasivo en el cual su tensión v es di- 8. Cuando dos resistores R1(1兾G1) y R2(1兾G2) están en serie, rectamente proporcional a la corriente i que circula por él. Es su resistencia equivalente Req y su conductancia equivalente Geq decir, es un dispositivo que cumple la ley de Ohm, son v  iR G1G2 Req R1 R2, Geq G1 G2 donde R es la resistencia del resistor. 9. Cuando dos resistores R1(1兾G1) y R2(1兾G2) están en para- 2. Un cortocircuito es un resistor (un alambre perfectamente con- lelo, su resistencia equivalente Req y su conductancia equivalen- ductor) con resistencia cero (R  0). Un circuito abierto es un te Geq son resistor con resistencia infinita (R  ∞). 3. La conductancia G de un resistor es el recíproco de su resisten- R1R2 Req , Geq G1 G2 cia: R1 R2 1 10. El principio de división de tensión de dos resistores en serie es G R R1 R2 v1 v, v2 v 4. Una rama es un elemento de dos terminales en un circuito eléc- R1 R2 R1 R2 trico. Un nodo es el punto de conexión entre dos o más ramas. 11. El principio de división de corriente para dos resistores en para- Un lazo corresponde a una trayectoria cerrada en un circuito. El lelo corresponde a número de ramas b, el número de nodos n y el de lazos indepen- dientes l en una red se relacionan de la siguiente manera: R2 R1 i1 i, i2 i R1 R2 R1 R2 bln1 12. Las fórmulas para una transformación delta a estrella son 5. La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma Rb Rc Rc Ra algebraica de las corrientes en cualquier nodo es igual a cero. En R1 , R2 otras palabras, la suma de las corrientes que entran a un nodo es Ra Rb Rc Ra Rb Rc igual a la suma de las corrientes que salen de él. Ra Rb R3 6. La ley de tensión de Kirchhoff (LTK) establece que la suma al- Ra Rb Rc gebraica de las tensiones alrededor de una trayectoria cerrada es 13. Las fórmulas para una transformación estrella a delta son igual a cero. En otras palabras, la suma de los aumentos de ten- siones es igual a la suma de las caídas de tensión. R1 R2 R2 R3 R3 R1 R1 R2 R2 R3 R3 R1 7. Dos elementos se encuentran en serie cuando están conectados Ra , Rb R1 R2 secuencialmente, terminal con terminal. Cuando los elementos R1 R2 R2 R3 R3 R1 están en serie, circula por ellos la misma corriente (i1  i2). Se Rc encuentran en paralelo si están conectados a los dos mismos R3 nodos. Elementos en paralelo siempre tienen la misma tensión 14. Las leyes básicas incluidas en este capítulo pueden aplicarse a (v1  v2). problemas de iluminación eléctrica y diseño de medidores de cd. Preguntas de repaso 2.1 El recíproco de la resistencia es: 2.4 La corriente máxima que un resistor de 2 W y 80 k puede conducir con seguridad es: a) tensión b) corriente c) conductancia d) coulombs a) 160 kA b) 40 kA c) 5 mA d) 25 ␮A 2.2 Un calefactor eléctrico toma 10 A de una línea de 120 V. La resistencia del calefactor es: 2.5 Una red tiene 12 ramas y 8 lazos independientes. ¿Cuántos nodos hay en ella? a) 1 200  b) 120  c) 12  d) 1.2  a) 19 b) 17 c) 5 d) 4 2.3 La caída de tensión en un tostador de 1.5 kW que toma una corriente de 12 A es: 2.6 La corriente I en el circuito de la figura 2.63 es de: a) 18 kV b) 125 V a) 0.8 A b) 0.2 A c) 120 V d) 10.42 V c) 0.2 A d) 0.8 A Problemas 55 4Ω I 5V 5V +− a −+ a 3V + − + − 5V 6Ω 3V + − 3V + − Figura 2.63 Para la pregunta de repaso 2.6. +− b +− b 1V 1V a) b) 2.7 La corriente Io de la figura 2.64 es de: a) 4 A b) 2 A 5V 5V c) 4 A d) 16 A +− a −+ a 10 A 3V + − 3V + − 2A 4A −+ b −+ b 1V 1V c) d) Figura 2.66 Para la pregunta de repaso 2.9. Io 2.10 En el circuito de la figura 2.67, un decremento en R3 lleva a Figura 2.64 Para la pregunta de repaso 2.7. un decremento de; seleccione todo lo que proceda: a) corriente a través de R3 2.8 En el circuito de la figura 2.65, V es igual a: b) tensión alrededor de R3 c) tensión alrededor de R1 a) 30 V b) 14 V d) potencia disipada en R2 c) 10 V d) 6 V e) ninguno de los casos anteriores 10 V R1 + − Vs + R2 R3 12 V + + 8V − − − Figura 2.67 Para la pregunta de repaso 2.10. + − V Figura 2.65 Para la pregunta de repaso 2.8. Respuestas: 2.1c, 2.2c, 2.3b, 2.4c, 2.5c, 2.6b, 2.7a, 2.8d, 2.9d, 2.9 ¿Cuál de los circuitos de la figura 2.66 producirá Vab  7 V? 2.10b, d. Problemas Sección 2.2 Ley de Ohm 2.3 Una barra de silicio es de 4 cm de largo con sección transver- 2.1 Diseñe un problema completo con solución para ayudar a los sal circular. Si su resistencia es de 240  a temperatura am- estudiantes a comprender mejor la ley de Ohm. Use por lo biente, ¿cuál es el radio de su sección transversal? menos dos resistores y una fuente de tensión. Sugerencia: es 2.4 a) Calcule la corriente i en la figura 2.68 cuando el interruptor posible usar ambos resistores juntos, uno a la vez; usted deci- está en la posición 1. de. Sea creativo. 2.2 Halle la resistencia en caliente de una bombilla eléctrica de b) Halle la corriente cuando el interruptor está en la posición valor nominal de 60 W y 120 V. 2. 56 Capítulo 2 Leyes básicas 1 2 ia i i1 100 Ω + 250 Ω ib − 40 V i2 i3 ic Figura 2.68 Para el problema 2.4. Figura 2.72 Para el problema 2.8. 2.9 Halle i1, i2 e i3 en la figura 2.73. Sección 2.3 Nodos, ramas y lazos 4A 2.5 Para la gráfica de la red en la figura 2.69, halle el número de nodos, ramas y lazos. 2A i2 5A A B i3 i1 6A 7A C 2A Figura 2.73 Para el problema 2.9. 2.10 Determine i1 e i2 en el circuito de la figura 2.74. Figura 2.69 Para el problema 2.5. 8 A 4A 2.6 En la gráfica de la red que se muestra en la figura 2.70, deter- mine el número de ramas y nodos. i2 i1 6 A Figura 2.74 Para el problema 2.10. 2.11 En el circuito de la figura 2.75, calcule V1 y V2. Figura 2.70 Para el problema 2.6. 1V 2V + − + − + + + 2.7 Determine el número de ramas y nodos en el circuito de la figura 2.71. V1 5V V2 − − − 1Ω 4Ω Figura 2.75 Para el problema 2.11. 12 V + 8Ω 5Ω 2A − 2.12 En el circuito de la figura 2.76, obtenga v1, v2 y v3. Figura 2.71 Para el problema 2.7. 30 V + − 50 V 20 V − + + − + v2 − Sección 2.4 Leyes de Kirchhoff 2.8 Diseñe un problema completo con solución para ayudar a + + + otros estudiantes a comprender mejor la LCK. Diseñe el pro- 40 V v1 v3 blema especificando valores de ia, ib e ic mostrados en la figu- − − − ra 2.72 y pidiéndoles que lo resuelvan para valores de i1, i2 e i3. Tenga cuidado al especificar corrientes realistas. Figura 2.76 Para el problema 2.12. Problemas 57 2.13 En referencia al circuito de la figura 2.77, aplique la LCK 2.18 Halle I y Vab en el circuito de la figura 2.82. para hallar las corrientes de las ramas I1 a I4. 10 V 2A 3Ω a 5Ω +− I + 30 V + Vab + 8V I2 7A I4 − − − b 3A I3 4A Figura 2.82 Para el problema 2.18. I1 2.19 En el circuito de la figura 2.83, halle I, la potencia disipada Figura 2.77 Para el problema 2.13. por el resistor y la potencia suministrada por cada fuente. 2.14 Dado el circuito de la figura 2.78, aplique la LTK para hallar 10 V las tensiones de las ramas V1 a V4. +− I + + – 3V V1 V2 12 V + 3Ω − – – + 2V – + – + – + + V3 +− 4V V4 5V + – – −8 V Figura 2.83 Para el problema 2.19. Figura 2.78 Para el problema 2.14. 2.15 Calcule v e ix en el circuito de la figura 2.79. 2.20 Determine io en el circuito de la figura 2.84. 16 V io 12 Ω + − 22 Ω + v − ix 54 V + + 5io + − − 10 V + + 3ix − 4V − − Figura 2.84 Para el problema 2.20. Figura 2.79 Para el problema 2.15. 2.21 Halle Vx en el circuito de la figura 2.85. 2.16 Determine Vo en el circuito de la figura 2.80. 2 Vx 1Ω 16 Ω 14 Ω − + + + 15 V + 5Ω − Vx 10 V + − Vo + 25 V − − − 2Ω Figura 2.80 Para el problema 2.16. Figura 2.85 Para el problema 2.21. 2.17 Obtenga v1 a v3 en el circuito de la figura 2.81. 2.22 Halle Vo en el circuito de la figura 2.86 y la potencia disipada + v1 − por la fuente controlada. 10 Ω v2 − + 24 V + v3 + 10 V + Vo − − + − − 10 Ω 25 A 2 Vo −+ 12 V Figura 2.81 Para el problema 2.17. Figura 2.86 Para el problema 2.22. 58 Capítulo 2 Leyes básicas 2.23 En el circuito que se muestra en la figura 2.87, determine vx 2.28 Diseñe un problema, usando la figura 2.92, para ayudar a y la potencia absorbida por el resistor de 12 . otros estudiantes a comprender los circuitos en serie y en pa- ralelo. 1Ω 1.2 Ω +v – R1 x 4Ω + v1 − 20 A 2Ω 8Ω 12 Ω + + Vs + − v2 R2 v3 R3 3Ω 6Ω − − Figura 2.92 Para el problema 2.28. Figura 2.87 Para el problema 2.23. 2.29 Todos los resistores de la figura 2.93 son de 5 . Halle Req. 2.24 En referencia al circuito de la figura 2.88, halle Vo兾Vs en tér- minos de a, R1, R2, R3 y R4. Si R1  R2  R3  R4, ¿qué valor de a producirá |Vo兾Vs|  10? Req Io R1 + Vs + R2 ␣Io R3 R4 Vo Figura 2.93 Para el problema 2.29. − − 2.30 Halle Req para el circuito de la figura 2.94. Figura 2.88 Para el problema 2.24. 2.25 Para la red de la figura 2.89, halle la corriente, tensión y po- tencia asociadas con el resistor de 20 k. 25 Ω 180 Ω 60 Ω + 5 mA 10 kΩ Vo 0.01Vo 5 kΩ 20 kΩ Req 60 Ω − Figura 2.89 Para el problema 2.25. Figura 2.94 Para el problema 2.30. 2.31 Para el circuito de la figura 2.95, determine i1 a i5. Secciones 2.5 y 2.6 Resistores en serie y en paralelo i1 2.26 Para el circuito de la figura 2.90, io  2 A. Calcule ix y la 3Ω potencia total disipada por el circuito. i3 i2 ix io 10 Ω 200 V + − 4Ω i4 2 Ω i5 1Ω 8Ω 4Ω 2Ω 16 Ω Figura 2.95 Para el problema 2.31. Figura 2.90 Para el problema 2.26. 2.32 Halle i1 a i4 en el circuito de la figura 2.96. 2.27 Calcule Io en el circuito de la figura 2.91. i4 60 Ω i2 200 Ω 8Ω 40 Ω 50 Ω Io i1 i3 10 V + − 3Ω 6Ω 16 A Figura 2.91 Para el problema 2.27. Figura 2.96 Para el problema 2.32. Problemas 59 2.33 Obtenga v e i en el circuito de la figura 2.97. 2.38 Halle Req e io en el circuito de la figura 2.102. i 4S 6S 60 Ω 12 Ω + 9A v 1S 2S 3S − io 2.5 Ω 6Ω 80 Ω Figura 2.97 Para el problema 2.33. 35 V + 15 Ω 20 Ω − 2.34 Usando la combinación de resistencias en serie/en paralelo, halle la resistencia equivalente vista por la fuente en el circui- Req to de la figura 2.98. Halle la potencia total disipada. Figura 2.102 Para el problema 2.38. 20 Ω 28 Ω 60 Ω 2.39 Evalúe Req en cada uno de los circuitos que aparecen en la 200 V + − 160 Ω 160 Ω 80 Ω figura 2.103. 6 kΩ 52 Ω 20 Ω Figura 2.98 Para el problema 2.34. 2 kΩ 1 kΩ 4 kΩ 12 kΩ 2.35 Calcule Vo e Io en el circuito de la figura 2.99. 2 kΩ 1 kΩ 12 kΩ 70 Ω 30 Ω Io a) b) 200 V + − + Figura 2.103 Para el problema 2.39. 20 Ω Vo 5Ω − Figura 2.99 Para el problema 2.35. 2.40 Para la red en escalera de la figura 2.104 halle I y Req. I 8Ω 2Ω 1Ω 2.36 Halle i y Vo en el circuito de la figura 2.100. i 80 Ω 24 Ω 50 Ω 15 V + 4Ω 6Ω 2Ω − 25 Ω Req + 20 V + 20 Ω 30 Ω Figura 2.104 Para el problema 2.40. − Vo − 60 Ω 20 Ω 2.41 Si Req  50  en el circuito de la figura 2.105, halle R. Figura 2.100 Para el problema 2.36. 10 Ω R 30 Ω 2.37 Halle R en el circuito de la figura 2.101. Req 12 Ω 12 Ω 12 Ω R 10 Ω 60 Ω + 10 V − Figura 2.105 Para el problema 2.41. 20 V + − 30 V − + 2.42 Reduzca cada uno de los circuitos de la figura 2.106 a un solo Figura 2.101 Para el problema 2.37. resistor en las terminales a-b. 60 Capítulo 2 Leyes básicas 5Ω 10 Ω a b 40 Ω 8Ω 20 Ω 20 Ω a 30 Ω 30 Ω 5Ω a) 50 Ω b 2Ω 4Ω 5Ω a) a b 30 Ω 5Ω 3Ω 10 Ω 12 Ω 8Ω 4Ω 5Ω 20 Ω b) Figura 2.106 Para el problema 2.42. 25 Ω 60 Ω 15 Ω 10 Ω 2.43 Calcule la resistencia equivalente Rab en las terminales a-b de cada uno de los circuitos de la figura 2.107. b) Figura 2.109 Para el problema 2.45. 5Ω a 2.46 Halle I en el circuito de la figura 2.110. 20 Ω 10 Ω 40 Ω 20 Ω 15 Ω I 12 Ω b 15 Ω a) 10 Ω 5Ω 15 Ω a 80 V + 5Ω − 24 Ω 80 Ω 60 Ω 20 Ω 30 Ω b b) 8Ω Figura 2.107 Para el problema 2.43. Figura 2.110 Para el problema 2.46. 2.47 Halle la resistencia equivalente Rab en el circuito de la figura 2.44 Para los circuitos de la figura 2.108, obtenga la resistencia 2.111. equivalente en las terminales a-b. c 5Ω 20 Ω a 5Ω 6Ω 10 Ω 8Ω 2Ω 3Ω d a e b b Figura 2.108 Para el problema 2.44. 20 Ω 3Ω f 2.45 Halle la resistencia equivalente en las terminales a-b de cada circuito de la figura 2.109. Figura 2.111 Para el problema 2.47. Problemas 61 Sección 2.7 Transformaciones estrella-delta 30 Ω 2.48 Convierta los circuitos de la figura 2.112 de Y a . 25 Ω 10 Ω 20 Ω a 10 Ω 10 Ω 30 Ω 20 Ω a b a b 5Ω 15 Ω 10 Ω 50 Ω b b) c c Figura 2.115 Para el problema 2.51. a) b) Figura 2.112 Para el problema 2.48. *2.52 En referencia al circuito que se muestra en la figura 2.116, halle la resistencia equivalente. Todos los resistores son de 3 . 2.49 Transforme los circuitos de la figura 2.113 de a Y. 12 Ω 60 Ω a b a b 12 Ω 12 Ω 30 Ω 10 Ω c c Req a) b) Figura 2.116 Para el problema 2.52. Figura 2.113 Para el problema 2.49. *2.53 Obtenga la resistencia equivalente Rab en cada uno de los cir- cuitos de la figura 2.117. En b), todos los resistores tienen un 2.50 Diseñe un problema para ayudar a otros estudiantes a com- valor de 30 . prender mejor la transformación estrella-delta, usando la fi- gura 2.114. 30 Ω 40 Ω 20 Ω a 10 Ω R R R 80 Ω 9 mA 60 Ω 50 Ω R R b a) a Figura 2.114 Para el problema 2.50. 30 Ω 2.51 Obtenga la resistencia equivalente en las terminales a-b de cada uno de los circuitos de la figura 2.115. b b) a Figura 2.117 Para el problema 2.53. 10 Ω 20 Ω 10 Ω 30 Ω 2.54 Considere el circuito de la figura 2.118. Halle la resistencia 10 Ω 20 Ω equivalente en las terminales: a) a-b, b) c-d. b a) * Un asterisco indica un problema difícil. 62 Capítulo 2 Leyes básicas 50 Ω 150 Ω 60 Ω 40 Ω a c 100 Ω 100 Ω Vs + Bombilla 60 Ω − b d 150 Ω Figura 2.122 Para el problema 2.58. Figura 2.118 Para el problema 2.54. 2.55 Calcule Io en el circuito de la figura 2.119. 2.59 Tres bombillas están conectadas en serie a una batería de 120 V, como se observa en la figura 2.123. Halle la corriente I que Io circula por las bombillas. Cada bombilla tiene el valor nomi- nal de 120 volts. ¿Cuánta potencia absorbe cada bombilla? ¿Las bombillas generan mucha luz? 20 Ω 60 Ω 40 Ω 30 W 40 W 50 W + I 24 V − 10 Ω 50 Ω 20 Ω 120 V + − Figura 2.119 Para el problema 2.55. Figura 2.123 Para el problema 2.59. 2.56 Determine V en el circuito de la figura 2.120. 30 Ω 2.60 Si las tres bombillas del problema 2.59 están conectadas en paralelo a la batería de 120 V, calcule la corriente a través de 16 Ω 15 Ω 10 Ω cada bombilla. + 100 V + V 35 Ω 12 Ω 20 Ω 2.61 Como ingeniero de diseño se le pide diseñar un sistema de − − iluminación consistente en una fuente de alimentación de 70 W y dos bombillas, como se advierte en la figura 2.124. Debe Figura 2.120 Para el problema 2.56. seleccionar las dos bombillas entre los tres siguientes tipos disponibles: *2.57 Halle Req e I en el circuito de la figura 2.121. R1  80 , costo  0.60 dólares (tamaño estándar) I R2  90 , costo  0.90 dólares (tamaño estándar) 4Ω 2Ω R3  100 , costo  0.75 dólares (tamaño no estándar) 6Ω 1Ω El sistema debe diseñarse en función de un costo mínimo, de 12 Ω modo que I  1.2 A 5 por ciento. I 20 V + 8Ω 2Ω − + 4Ω Fuente de alimentación Rx Ry de 70 W 10 Ω 3Ω − 5Ω Figura 2.124 Para el problema 2.61. Req Figura 2.121 Para el problema 2.57. 2.62 Un sistema de tres hilos alimenta a dos cargas A y B, como se Sección 2.8 Aplicaciones muestra en la figura 2.125. La carga A consta de un motor que toma una corriente de 8 A, mientras que la carga B es una PC 2.58 La bombilla eléctrica de 60 W de la figura 2.122 tiene el valor que toma 2 A. Suponiendo 10 h/día de uso durante 365 días y nominal de 120 V. Calcule Vs para conseguir que la bombilla 6 centavos de dólar/kWh, calcule el costo anual de energía opere en las condiciones establecidas. del sistema. Problemas 63 1 kΩ + A 110 V – + 2 mA 5 kΩ 4 kΩ Vo − 110 V + – B a) 1 kΩ Figura 2.125 Para el problema 2.62. + 2 mA 5 kΩ 4 kΩ Vo Voltímetro − 2.63 Si un amperímetro con una resistencia interna de 100  y una b) capacidad de corriente de 2 mA debe medir 5 A, determine el Figura 2.127 Para el problema 2.67. valor de la resistencia necesaria. Calcule la potencia disipada en el resistor en derivación. 2.68 a) Halle la corriente I en el circuito de la figura 2.128a). b) Un amperímetro con una resistencia interna de 1  se 2.64 El potenciómetro (resistor ajustable) Rx de la figura 2.126 inserta en la red para medir I , como se advierte en la debe diseñarse para ajustar la corriente ix de 1 A a 10 A. Cal- figura 2.128b). ¿Cuál es el valor de I ? cule los valores de R y Rx para conseguir ese objetivo. c) Calcule el error porcentual introducido por el medidor como ` ` I I¿ 100% I ix R I 16 Ω Rx 110 V + − ix 4V + − 40 Ω 60 Ω Figura 2.126 Para el problema 2.64. a) Amperímetro I' 16 Ω 2.65 Un medidor de d’Arsonval con una resistencia interna de 1 k requiere 10 mA para producir una desviación de escala máxima. Calcule el valor de una resistencia en serie necesaria 4V + 40 Ω 60 Ω − para medir 50 V de escala máxima. 2.66 Un voltímetro de 20 k/V lee 10 V como escala máxima. b) a) ¿Qué resistencia en serie se requiere para hacer que lea Figura 2.128 Para el problema 2.68. una escala máxima de 50 V? b) ¿Qué potencia disipará el resistor en serie cuando el 2.69 Un voltímetro se usa para medir Vo en el circuito de la figura medidor registre la escala máxima? 2.129. El modelo del voltímetro consta de un voltímetro ideal en paralelo con un resistor de 100 k. Si Vs  40 V, Rs  10 2.67 a) Obtenga la tensión Vo en el circuito de la figura 2.127a). k y R1  20 k. Calcule Vo con y sin el voltímetro cuando b) Determine la tensión Vo medida cuando un voltímetro a) R2  1 k b) R2  10 k con resistencia interna de 6 k se conecta como se c) R2  100 k muestra en la figura 2.127b). Rs c) La resistencia finita del medidor introduce un error en la medición. Calcule el error porcentual como R1 Vo¿ ` ` Vo Vs + 100% − Vo + R2 Vo 100 kΩ V − d) Halle el error porcentual si la resistencia interna fuera de 36 k. Figura 2.129 Para el problema 2.69. 64 Capítulo 2 Leyes básicas 2.70 a) Considere el puente de Wheatstone que se muestra en la figura 2.130. Calcule va, vb y vab. b) Repita el inciso a) si la tierra se pone en a en vez de en o. amperímetro 20 Ω Modelo de 8 kΩ 15 kΩ A 25 V + – a b I R Rx 12 kΩ 10 kΩ o Figura 2.130 Para el problema 2.70. Figura 2.133 Para el problema 2.73. 2.74 El circuito de la figura 2.134 sirve para controlar la velocidad 2.71 La figura 2.131 representa un modelo de un panel fotovoltai- de un motor de modo que tome corrientes de 5 A, 3 A y 1 A co solar. Dado que Vs  30 V, R1  20  e iL  1 A, halle RL. cuando el interruptor esté en las posiciones alta, media y baja, respectivamente. El motor puede modelarse como una resis- R1 tencia de carga de 20 m. Determine las resistencias de caída en serie R1, R2 y R3. iL Vs + − RL Baja R1 Fusible de 10 A, 0.01 Ω Figura 2.131 Para el problema 2.71. Media Alta R2 2.72 Halle Vo en el circuito divisor de potencia bidireccional de la 6V figura 2.132. R3 1Ω 1Ω Motor 1Ω Vo 2Ω Figura 2.134 Para el problema 2.74. + 2.75 Halle Rab en el circuito divisor de potencia tetradireccional de 10 V − 1Ω 1Ω la figura 2.135. Suponga que cada elemento es de 1 . 1 1 Figura 2.132 Para el problema 2.72. 1 1 1 1 1 a 1 1 1 2.73 Un modelo de amperímetro consta de un amperímetro ideal en serie con un resistor de 20 . Está conectado con una fuente de corriente y con un resistor desconocido Rx, como se 1 1 muestra en la figura 2.133. Se registran las lecturas del ampe- 1 1 rímetro. Al añadirse un potenciómetro R y ajustarse hasta que la lectura del amperímetro disminuya a la mitad de su lectura b anterior, R  65 . ¿Cuál es el valor de Rx? Figura 2.135 Para el problema 2.75. Problemas de mayor extensión 65 Problemas de mayor extensión 2.76 Repita el problema 2.75 en relación con el divisor octadirec- Interruptor Rx cional que aparece en la figura 2.136. 1 1 9V 1 1 1 1 Figura 2.138 Para el problema 2.79. 1 1 1 2.80 Un altavoz está conectado a un amplificador como se mues- tra en la figura 2.139. Si un altavoz de 10  toma la potencia 1 máxima de 12 W del amplificador, determine la poten- 1 1 cia máxima que tomará un altavoz de 4 . 1 1 1 a 1 1 1 Amplificador 1 1 1 Altavoz 1 1 Figura 2.139 Para el problema 2.80. 1 1 1 2.81 En cierta aplicación, el circuito de la figura 2.140 debe dise- ñarse para satisfacer estos dos criterios: 1 1 a) Vo兾Vs  0.05 b) Req  40 k 1 1 Si el resistor de carga de 5 k es fijo, halle R1 y R2 para satis- b facer esos criterios. Figura 2.136 Para el problema 2.76. R1 2.77 Suponga que su laboratorio de circuitos tiene en grandes can- + tidades los siguientes resistores estándar comerciales: Vs + R2 Vo 5 kΩ − 1.8  20  300  24 k 56 k − Usando combinaciones en serie y en paralelo y un número mínimo de resistores disponibles, ¿cómo obtendría las si- Req guientes resistencias en un diseño de circuito electrónico? Figura 2.140 Para el problema 2.81. a) 5  b) 311.8  c) 40 k d) 52.32 k 2.82 El diagrama de conexiones de un arreglo de resistencias se presenta en la figura 2.141. Halle la resistencia equivalente 2.78 En el circuito de la figura 2.137, el contacto deslizante para los siguientes casos: divide la resistencia del potenciómetro entre ␣R y a) 1 y 2 (1  ␣)R, 0  ␣  1. Halle vo兾vs. b) 1 y 3 c) 1 y 4 R + 4 3 vs + vo 20 Ω 20 Ω − R ␣R − 10 Ω 40 Ω Figura 2.137 Para el problema 2.78. 10 Ω 80 Ω 2.79 Un sacapuntas eléctrico de especificaciones a 240 mW, 6 V, está conectado a una batería de 9 V, como se indica en la fi- gura 2.138. Calcule el valor del resistor de reducción en serie 1 2 Rx necesario para activar al sacapuntas. Figura 2.141 Para el problema 2.82. 66 Capítulo 2 Leyes básicas 2.83 Dos dispositivos delicados se especifican como se indica en Fusible de 60 mA, 2 Ω la figura 2.142. Halle los valores de los resistores R1 y R2 necesarios para alimentar los dispositivos con una batería de 24 V, 480 mW 24 V. R1 Dispositivo 2 24 V Dispositivo 1 R2 9 V, 45 mW Figura 2.142 Para el problema 2.83. capítulo Métodos de análisis Nunca alguna gran obra se ha hecho de prisa. Lograr un gran descubrimiento científi- 3 co, imprimir una excelente fotografía, escribir un poema inmortal, convertirse en mi- nistro o en un general famoso: hacer cualquier gran logro requiere tiempo, paciencia y perseverancia. Estos logros se hacen gradualmente, “poco a poco”. —W. J. Wilmont Buxton Desarrollo de su carrera Carrera en electrónica Un área de aplicación para el análisis de circuitos eléctricos es la electrónica. El término electrónica se usó originalmente para distinguir circuitos de muy bajos niveles de co- rriente. Esta distinción ya no procede, puesto que los dispositivos semiconductores de energía eléctrica operan a niveles altos de corriente. Hoy la electrónica se considera la ciencia del movimiento de cargas en un gas, en el vacío o en semiconductores. La elec- trónica moderna implica transistores y circuitos transistorizados. Los primeros circuitos electrónicos se ensamblaron a partir de componentes. Ahora muchos circuitos electró- nicos se producen como circuitos integrados, fabricados en un sustrato o pastilla semi- conductor. Los circuitos electrónicos se aplican en muchas áreas, como automatización, trans- misión, computación e instrumentación. La variedad de los dispositivos que usan circui- tos electrónicos es enorme y sólo está limitada por la imaginación. Radio, televisión, Identificación de problemas de un ta- computadoras y sistemas estereofónicos son apenas unos cuantos. blero de circuitería electrónica. El ingeniero eléctrico usualmente desempeña diversas funciones y es probable que © BrandX Pictures/Punchstock use, diseñe o construya sistemas que incorporen alguna forma de circuitos electrónicos. Así, es esencial para el ingeniero eléctrico el conocimiento de la operación y análisis de la electrónica. Ésta se ha convertido en una especialidad distinta a otras disciplinas den- tro de la ingeniería eléctrica. A causa de que el campo de la electrónica está en perma- nente avance, un ingeniero electrónico debe actualizar sus conocimientos periódica- mente. La mejor manera de hacerlo es integrarse a una organización profesional como el Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). Con más de 300 000 miem- bros, el IEEE es la mayor organización profesional del mundo. Sus miembros se bene- fician enormemente de las numerosas revistas, publicaciones, actas e informes de con- ferencias y simposios anualmente editados por el IEEE. Usted debería considerar la posibilidad de convertirse en miembro de este instituto. 3.1 Introducción Ya comprendidas las leyes fundamentales de la teoría de circuitos (la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff), se está listo para aplicarlas al desarrollo de dos eficaces técnicas de 68 Capítulo 3 Métodos de análisis análisis de circuitos: el análisis nodal, el cual se basa en una aplicación sistemática de la ley de corriente de Kirchhoff (LCK), y el análisis de lazo, el cual se basa en una aplica- ción sistemática de la ley de tensión de Kirchhoff (LTK). Estas dos técnicas son tan im- portantes que este capítulo debería considerarse el más relevante del libro. Por lo tanto, se debe prestar detenida atención. Con las dos técnicas por presentar en este capítulo es posible analizar cualquier circuito lineal mediante la obtención de un conjunto de ecuaciones simultáneas que después sean resueltas para obtener los valores requeridos de corriente o tensión. Un método para la resolución de ecuaciones simultáneas implica la regla de Cramer, la cual permite calcular las variables de circuito como un cociente de determinantes. Los ejem- plos de este capítulo ilustrarán este método; en el apéndice A también se resumen bre- vemente los aspectos esenciales que el lector debe conocer para aplicar la regla de Cra- mer. Otro método para la resolución de ecuaciones simultáneas es usar MATLAB, software de computación que se explica en el apéndice E. En este capítulo se presentará asimismo el uso de PSpice for Windows, programa de software de computación para la simulación de circuitos que se usará a lo largo del texto. Por último, se aplicarán las técnicas aprendidas en este capítulo para analizar circuitos transistorizados. 3.2 Análisis nodal El análisis nodal también se conoce El análisis nodal brinda un procedimiento general para el análisis de circuitos con el uso como método de la tensión de nodo. de tensiones de nodo como variables de circuito. La elección de las tensiones de nodo en vez de tensiones de elemento como las variables de circuito es conveniente y reduce el número de ecuaciones que deben resolverse en forma simultánea. Para simplificar las cosas, en esta sección se supondrá que los circuitos no contie- nen fuentes de tensión. Circuitos que contienen fuentes de tensión se analizarán en la siguiente sección. En el análisis nodal interesa hallar las tensiones de nodo. Dado un circuito con n nodos sin fuentes de tensión, el análisis nodal del circuito implica los tres pasos si- guientes. Pasos para determinar las tensiones de los nodos: 1. Seleccione un nodo como nodo de referencia. Asigne las tensiones v1, v2, . . . , vn–1, a los n  1 nodos restantes. Las tensiones se asignan respecto al nodo de referencia. 2. Aplique la LCK a cada uno de los n – 1 nodos de no referencia. Use la ley de Ohm para expresar las corrientes de rama en términos de tensiones de nodo. 3. Resuelva las ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las tensiones de nodo desconocidas. Ahora se explicarán y aplicarán estos tres pasos. El primer paso del análisis nodal es seleccionar un nodo como nodo de referencia o de base. El nodo de referencia se llama comúnmente tierra, pues se supone que tiene po- a) b) c) tencial cero. El nodo de referencia se indica con cualquiera de los tres símbolos de la figu- Figura 3.1 Símbolos comunes para ra 3.1. El tipo de tierra de la figura 3.1c) se llama tierra de chasis (armazón) y se usa en indicar el nodo de referencia: a) tierra dispositivos en los que la caja, recipiente o chasis actúa como punto de referencia para común, b) tierra, c) tierra de chasis. todos los circuitos. Cuando el potencial de la tierra se usa como referencia, se utiliza la tierra física de la figura 3.1a) o b). Aquí se usará siempre el símbolo de la figura 3.1c). El número de nodos de no referencia Una vez seleccionado el nodo de referencia, se hacen designaciones de tensión a los es igual al número de ecuaciones nodos de no referencia. Considérese, por ejemplo, el circuito de la figura 3.2a). El nodo 0 independientes que se derivará. es el nodo de referencia (v  0), mientras que a los nodos 1 y 2 se les asignan las ten- 3.2 Análisis nodal 69 siones v1 y v2, respectivamente. Téngase en cuenta que las tensiones de nodo se definen I2 respecto al nodo de referencia. Como se ilustra en la figura 3.2a), cada tensión de nodo es la elevación de la tensión respecto al nodo de referencia desde el nodo correspondien- R2 te distinto de tierra, o simplemente la tensión de ese nodo respecto al nodo de referencia. 1 2 Como segundo paso, se aplica la LCK a cada nodo de no referencia en el circuito. + + Para no recargar de información el mismo circuito, el circuito de la figura 3.2a), se ha I1 v1 R1 v2 R3 redibujado en la figura 3.2b), donde ahora se añaden i1, i2 e i3, como las corrientes a − − través de los resistores R1, R2 y R3, respectivamente. En el nodo 1, la aplicación de la 0 LCK produce I1  I2  i1  i2 (3.1) a) En el nodo 2, I2  i2  i3 (3.2) I2 Ahora se aplica la ley de Ohm para expresar las corrientes desconocidas i1, i2 e i3, en térmi- nos de tensiones de nodo. La idea clave por tener en cuenta es que, puesto que la resisten- i2 R2 i2 v1 v2 cia es un elemento pasivo, por la convención pasiva de los signos la corriente siempre i1 i3 debe fluir de un potencial mayor a uno menor. I1 R1 R3 La corriente fluye de un potencial mayor a un potencial menor en un resistor. Este principio se puede expresar como b) vmayor  vmenor Figura 3.2 Circuito usual para el i (3.3) análisis nodal. R Nótese que este principio concuerda con la manera en que se definió la resistencia en el capítulo 2 (véase figura 2.1). Con esto presente, de la figura 3.2b) se obtiene, v1  0 i1  o bien i1  G1v1 R1 v 1  v2 i2  o bien i2  G2(v1  v2) (3.4) R2 v2  0 i3  o bien i3  G3v2 R3 La sustitución de la ecuación (3.4) en las ecuaciones (3.1) y (3.2) da, respectivamente, v1 v 1  v2 I1  I2   (3.5) R1 R2 vz  v 2 v I2   2 (3.6) R2 R3 En términos de las conductancias, las ecuaciones (3.5) y (3.6) se convierten en I1  I2  G1v1  G2(v1  v2) (3.7) I2  G2(v1  v2)  G3v2 (3.8) El tercer paso del análisis nodal es determinar las tensiones de nodo. Si se aplica la LCK a los n  1 nodos de no referencia, se obtienen n  1 ecuaciones simultáneas como las ecuaciones (3.5) y (3.6) o (3.7) y (3.8). En el caso del circuito de la figura 3.2, se re- suelven las ecuaciones (3.5) y (3.6) o (3.7) y (3.8) para obtener las tensiones de nodo v1 y v2, usando cualquier método estándar, como el método de sustitución, el método de elimi- nación, la regla de Cramer o la inversión de matrices. Para utilizar alguno de los dos últimos En el apéndice A se analiza la métodos, las ecuaciones simultáneas deben enunciarse en forma matricial. Por ejemplo, las aplicación de la regla de Cramer. ecuaciones (3.7) y (3.8) pueden enunciarse en forma matricial como 冤 冥 冤 vv 冥 冤 冥 G 1  G2 G2 1 I1  I2  (3.9) G2 G2  G3 2 I2 70 Capítulo 3 Métodos de análisis la cual puede resolverse para obtener v1 y v2. La ecuación 3.9 se generalizará en la sec- ción 3.6. Las ecuaciones simultáneas también pueden resolverse con calculadora o con paquetes de software como MATLAB, Mathcad, Maple y Quattro Pro. Ejemplo 3.1 Calcule las tensiones de nodo en el circuito que se muestra en la figura 3.3a). 5A Solución: Considérese la figura 3.3b), donde el circuito de la figura 3.3a) se ha preparado para el análisis nodal. Nótese cómo se han seleccionado las corrientes para la aplica- ción de la LCK. Excepto por las ramas con fuentes de corriente, la rotulación de las co- 4Ω 2 1 rrientes es arbitraria, pero coherente. (Por coherente entendemos que si, por ejemplo, se supone que i2 entra al resistor de 4  por el lado izquierdo, i2 debe salir de ese resistor por 2Ω 6Ω 10 A el lado derecho.) Se selecciona el nodo de referencia y se determinan las tensiones de nodo v1 y v2. En el nodo 1, la aplicación de la LCK y de la ley de Ohm produce a) v1  v2 v1  0 i1  i2  i3 1 5  4 2 5A Al multiplicar cada término de esta última ecuación por 4 se obtiene i1 = 5 i1 = 5 i2 i4 = 10 20  v1  v2  2v1 4Ω v2 v1 o sea 3v1  v2  20 (3.1.1) i3 i2 i 5 En el nodo 2 se hace lo mismo y se obtiene 2Ω 6Ω 10 A v1  v2 v2  0 i2  i4  i1  i5 1  10  5  4 6 La multiplicación de cada término por 12 produce b) 3v1  3v2  120  60  2v2 Figura 3.3 Para el ejemplo 3.1: a) circuito original, b) circuito para o sea 3v1  5v2  60 (3.1.2) análisis. Ahora hay dos ecuaciones simultáneas, (3.1.1) y (3.1.2). Se pueden resolver con cual- quier método para obtener los valores de v1 y v2.  MÉTODO 1 Si se aplica la técnica de eliminación se suman las ecuaciones (3.1.1) y (3.1.2). 4v2  80 1 v2  20 V La sustitución de v2  20 en la ecuación (3.1.1) produce 40 3v1  20  20 1 v1   13.33 V 3  MÉTODO 2 Si se aplica la regla de Cramer se deben enunciar las ecuaciones (3.1.1) y (3.1.2) en forma matricial, de esta manera: v1 冤 冥冤 冥 冤 冥 3 1 20  (3.1.3) 3 5 v2 60 El determinante de la matriz es 1 冷 3 冷 3   15  3  12 5 3.2 Análisis nodal 71 Ahora se obtienen v1 y v2 de esta forma: 1 冷 60 冷 20 1 5 100  60 v1     13.33 V 12 冷3 冷 3 20 2 60 180  60 v2     20 V 12 lo que da el mismo resultado que con el método de eliminación. Si se necesitan las corrientes, se pueden calcular fácilmente a partir de los valores de las tensiones de nodo. v 1  v2 v1 i1  5 A, i2   1.6668 A, i3   6.666 A 4 2 v2 i4  10 A, i5   3.333 A 6 El hecho de que i2 sea negativa indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la supuesta. Obtenga las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.4. Problema de práctica 3.1 Respuesta: v1  6 V, v2  42 V. 1 6Ω 2 3A 2Ω 7Ω 12 A Figura 3.4 Para el problema de práctica 3.1. Determine las tensiones en los nodos de la figura 3.5a). Ejemplo 3.2 Solución: El circuito de este ejemplo tiene tres nodos de no referencia, a diferencia del ejemplo anterior, en el que había dos nodos de no referencia. Se asignan tensiones a los tres nodos como se señala en la figura 3.5b) y se rotulan las corrientes. En el nodo 1, v1  v3 v1  v 2 3  i1  ix 1 3  4 2 4Ω 4Ω ix i1 i1 i2 i2 2Ω 2 8Ω 2Ω v2 8Ω 1 3 v1 v3 3A ix ix i3 3A 4Ω 2ix 3A 4Ω 2ix 0 a) b) Figura 3.5 Para el ejemplo 3.2: a) circuito original, b) circuito para análisis. 72 Capítulo 3 Métodos de análisis Al multiplicar por 4 y reordenar los términos se obtiene 3v1  2v2  v3  12 (3.2.1) En el nodo 2, v1  v2 v2  v 3 v2  0 ix  i2  i3 1   2 8 4 Al multiplicar por 8 y reordenar los términos se obtienen 4v1  7v2  v3  0 (3.2.2) En el nodo 3, v1  v3 v2  v3 2(v1  v2) i1  i2  2ix 1   4 8 2 Al multiplicar por 8, reordenar los términos y dividir entre 3 se obtiene 2v1  3v2  v3  0 (3.2.3) Se tiene tres ecuaciones simultáneas por resolver para obtener las tensiones de nodo v1, v2 y v3. Se resolverán las ecuaciones de tres maneras.  MÉTODO 1 Aplicando la técnica de eliminación, se suman las ecuaciones (3.2.1) y (3.2.3). 5v1  5v2  12 12 o sea v1  v2   2.4 (3.2.4) 5 La suma de las ecuaciones (3.2.2) y (3.2.3) da por resultado 2v1  4v2  0 1 v1  2v2 (3.2.5) La sustitución de la ecuación (3.2.5) en la ecuación (3.2.4) produce 2v2  v2  2.4 1 v2  2.4, v1  2v2  4.8 V De la ecuación (3.2.3) se obtiene v3  3v2  2v1  3v2  4v2  v2  2.4 V Así, v1  4.8 V, v2  2.4 V v3  2.4 V  MÉTODO 2 Para aplicar la regla de Cramer, se enuncian las ecuaciones (3.2.1) a (3.2.3) en forma matricial. 3 2 1 v1 12 £ 4 7 1 § £ v2 § £ 0§ (3.2.6) 2 3 1 v3 0 De esto se obtiene 1 2 3 v1  , v2  , v3  donde , 1, 2 y 3 son los determinantes por calcular, de la siguiente manera. Como se explica en el apéndice A, para calcular el determinante de una matriz de 3 por 3, se repiten las dos primeras hileras y se multiplica en forma cruzada. 3.2 Análisis nodal 73 3 2 1 3 2 1 4 7 1 ¢ 3 4 7 13 5 2 3 15 2 3 1 3 2 1 4 7 1 21 12 4 14 9 8 10 De igual forma se obtiene 12 2 1 0 7 1 ¢1 5 0 3 15 84 0 0 0 36 0 48 12 2 1 0 7 1 3 12 1 4 0 1 ¢2 5 2 0 15 0 0 24 0 0 48 24 3 12 1 4 0 1 3 2 12 4 7 0 ¢3 5 2 3 05 0 144 0 168 0 0 24 3 2 12 4 7 0 Así, se halla 1 48 2 24 v1    4.8 V, v2    2.4 V 10 10 3 24 v3    2.4 V 10 como se obtuvo con el método 1.  MÉTODO 3 Ahora se usa MATLAB para resolver la matriz. La ecuación (3.2.6) puede escribirse como AV  B 1 V  A1B donde A es la matriz cuadrada de 3 por 3, B es el vector de columna y V es el vector de columna comprendido por v1, v2 y v3 que se desea determinar. Se usa MATLAB para determinar V como sigue: A  [3 2 1; 4 7 1; 2 3 1]; B  [12 0 0] ; V  inv(A) * B 4.8000 V 2.4000 2.4000 Así, v1  4.8 V, v2  2.4 V y v3  2.4 V, como se obtuvo anteriormente. 74 Capítulo 3 Métodos de análisis Problema de práctica 3.2 Halle las tensiones en los tres nodos de no referencia en el circuito de la figura 3.6. 2Ω Respuesta: v1  32 V, v2  25.6 V, v3  62.4 V. 4ix 3Ω 2 1 3 ix 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 4A 4Ω 6Ω Considérese ahora cómo fuentes de tensión afectan el análisis nodal. Se usará el circui- to de la figura 3.7 para efectos ilustrativos. Considérense las dos siguientes posibili- dades. Figura 3.6 Para el problema de  CASO 1 Si una fuente de tensión está conectada entre el nodo de referencia y un práctica 3.2. nodo de no referencia, simplemente se fija la tensión en el nodo de no referencia como igual a la tensión de la fuente de tensión. En la figura 3.7, por ejemplo, v1  10 V (3.10) Así, el análisis se simplifica un poco por el conocimiento de la tensión en este nodo. Un supernodo puede considerarse  CASO 2 Si la fuente de tensión (dependiente o independiente) está conectada como una superficie cerrada que entre dos nodos de no referencia, los dos nodos de no referencia forman un nodo gene- envuelve la fuente de tensión y sus ralizado o supernodo; se aplica tanto la LCK como la LTK para determinar las tensio- dos nodos. nes de nodo. 4Ω Un supernodo incluye a una fuente de tensión (dependiente o inde- Supernodo pendiente) conectada entre dos nodos de no referencia y a cuales- i4 quiera elementos conectados en paralelo con ella. i1 5V 2Ω v2 v1 +− v3 En la figura 3.7, los nodos 2 y 3 forman un supernodo. (Un supernodo puede estar formado por más de dos nodos. Véase, por ejemplo, el cir- i2 i3 cuito de la figura 3.14.) Un circuito con supernodos se analiza siguien- do los tres mismos pasos mencionados en la sección anterior, salvo que 10 V + − 8Ω 6Ω a los supernodos se les trata de diferente manera. ¿Por qué? Porque un componente esencial del análisis nodal es la aplicación de la LCK, lo que requiere conocer la corriente a través de cada elemento. Pero no hay manera de conocer con anticipación la corriente a través de una fuente de tensión. Sin embargo, la LCK debe satisfacerse en un supernodo como en cualquier otro nodo. Así, en el supernodo de la figura 3.7, Figura 3.7 Circuito con un supernodo. i 1  i 4  i2  i3 (3.11a) v 1  v2 v1  v3 v2  0 v3  0 o sea    (3.11b) 2 4 8 6 Para aplicar la ley de tensión de Kirchhoff al supernodo de la figura 3.7, se redibuja el circuito como se muestra en la figura 3.8. Al recorrer el lazo en el sentido de las mane- cillas del reloj v2  5  v3  0 1 v2  v 3  5 (3.12) 5V +− De las ecuaciones (3.10), (3.11b) y (3.12) se obtienen las tensiones de nodo. + + Cabe reparar en las siguientes propiedades de un supernodo: v2 v3 1. La fuente de tensión dentro del supernodo aporta una ecuación de restricción nece- − − saria para determinar las tensiones de nodo. Figura 3.8 Aplicación de la LTK a un 2. Un supernodo no tiene tensión propia. supernodo. 3. Un supernodo requiere la aplicación tanto de la LCK como de la LTK. 3.3 Análisis nodal con fuentes de tensión 75 En relación con el circuito que se muestra en la figura 3.9, halle las tensiones de nodo. Ejemplo 3.3 Solución: El supernodo contiene la fuente de 2 V, los nodos 1 y 2 y el resistor de 10 . 10 Ω La aplicación de la LCK al supernodo como se indica en la figura 3.10a) da 2V 2  i1  i2  7 v1 +− v2 Al expresar i1 e 12 en términos de las tensiones de nodo, 2A 2Ω 4Ω 7A v1  0 v2  0 2  7 1 8  2v1  v2  28 2 4 o sea v2  20  2v1 (3.3.1) Figura 3.9 Para el ejemplo 3.3. 1 v1 2 v2 2V 1 +− 2 2A i1 i2 7 A + + 2A 2Ω 4Ω 7A v1 v2 − − b) a) Figura 3.10 Aplicación de: a) la LCK al supernodo, b) la LTK al lazo. Para obtener la relación entre v1 y v2, se aplica la LTK al circuito de la figura 3.10b). Al recorrer el lazo se obtiene v1  2  v2  0 1 v2  v 1  2 (3.3.2) A partir de las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2) se escribe v2  v1  2  20  2v1 o sea 3v1  22 1 v1  7.333 V y v2  v1  2  5.333 V. Nótese que el resistor de 10  no hace ninguna diferencia, porque está conectado a través del supernodo. Halle v e i en el circuito de la figura 3.11. Problema de práctica 3.3 Respuesta: 400 mV, 2.8 A. 4Ω 6V +− i + 14 V + − 3Ω v 2Ω 6Ω − Figura 3.11 Para el problema de práctica 3.3. Halle las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.12. Ejemplo 3.4 Solución: Los nodos 1 y 2 forman un supernodo, lo mismo que los nodos 3 y 4. Se aplica la LCK a los dos supernodos como en la figura 3.13a). En el supernodo 1-2, i3  10  i1  i2 Al expresar esto en términos de las tensiones de nodo, v3  v2 v  v4 v  10  1  1 6 3 2 76 Capítulo 3 Métodos de análisis 3Ω + vx − 20 V 3vx 2 6Ω 3 1 +− +− 4 2Ω 10 A 4Ω 1Ω Figura 3.12 Para el ejemplo 3.4. 3Ω 3Ω + vx − + vx − i1 i1 Lazo 3 v2 6Ω v3 20 V i3 3vx v1 v4 +− +− i3 i3 + + 6Ω + + i2 i5 i4 2Ω 10 A 4Ω 1Ω v1 v2 v3 Lazo 2 v4 Lazo 1 − − − − a) b) Figura 3.13 Aplicación de: a) la LCK a los dos supernodos, b) la LTK a los lazos. o sea 5v1  v2  v3  2v4  60 (3.4.1) En el supernodo 3-4, v1  v4 v 3  v2 v v3 i1  i3  i4  i5 1   4  3 6 1 4 o sea 4v1  2v2  5v3  16v4  0 (3.4.2) Ahora se aplica la LTK a las ramas que implican a las fuentes de tensión como se mues- tra en la figura 3.13b). En cuanto al lazo 1, v1  20  v2  0 1 v1  v2  20 (3.4.3) En cuanto al lazo 2, v3  3vx  v4  0 Pero vx  v1  v4, así que 3v1  v3  2v4  0 (3.4.4) En cuanto al lazo 3, vx  3vx  6i3  20  0 Pero 6i3  v3  v2 y vx  v1  v4. Por lo tanto, 2v1  v2  v3  2v4  20 (3.4.5) Se necesitan cuatro tensiones de nodo, v1, v2, v3 y v4, y para hallarlas sólo se re- quieren cuatro de las cinco ecuaciones (3.4.1) a (3.4.5). Aunque la quinta ecuación es redundante, puede utilizarse para comprobar resultados. Se pueden resolver las ecuacio- nes (3.4.1) a (3.4.4) directamente usando MATLAB. Se puede eliminar una tensión de nodo para resolver tres ecuaciones simultáneas en vez de cuatro. Con base en la ecua- ción (3.4.3), v2  v1  20. La sustitución de esto en las ecuaciones (3.4.1) y (3.4.2), respectivamente, da por resultado 6v1  v3  2v4  80 (3.4.6) y 6v1  5v3  16v4  40 (3.4.7) 3.4 Análisis de lazo 77 Las ecuaciones (3.4.4), (3.4.6) y (3.4.7) pueden enunciarse en forma matricial como 3 1 2 v1 0 £6 1 2 § £ v3 § £ 80 § 6 5 16 v4 40 La aplicación de la regla de Cramer da como resultado 3 1 2 0 1 2 ¢ †6 1 2† 18, ¢1 † 80 1 2† 480 6 5 16 40 5 16 3 0 2 3 1 0 ¢3 † 6 80 2† 3 120, ¢4 †6 1 80 † 840 6 40 16 6 5 40 Así, se obtienen las tensiones de nodo de esta forma: 1 480 3 3 120 v1    26.67 V, v3    173.33 V 18 18 4 840 v4    46.67 V 18 y v2  v1 20  6.667 V. No se ha usado la ecuación (3.4.5); aunque puede recurrir a ella para comprobar los resultados. Halle v1, v2 y v3 en el circuito de la figura 3.14 aplicando el análisis nodal. Problema de práctica 3.4 Respuesta: v1  7.608 V, v2  17.39 V, v3  1.6305 V. 6Ω 25 V 5i v2 v1 +− +− v3 3.4 Análisis de lazo i El análisis de lazo brinda otro procedimiento general para el análisis de circuitos, con el 2Ω 4Ω 3Ω uso de corrientes de lazo como las variables de circuito. Utilizar corrientes de lazo en vez de corrientes de elemento como variables de circuito es conveniente y reduce el número de ecuaciones que deben resolverse en forma simultánea. Recuérdese que un lazo es una trayectoria cerrada que no pasa más de una vez por un nodo. Una malla es Figura 3.14 Para el problema de un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. práctica 3.4. En el análisis nodal se aplica la LCK para hallar las tensiones desconocidas en un El análisis de lazo también se conoce circuito dado, mientras que en el análisis de lazo se aplica la LTK para hallar las corrien- como método de la corriente de lazo. tes desconocidas. El análisis de lazo no es tan general como el nodal, porque sólo es aplicable a un circuito con disposición plana. Un circuito de este tipo es aquel que pue- de dibujarse en un plano sin ramas cruzadas; de lo contrario, no es de disposición plana. Un circuito puede tener ramas cruzadas y ser de disposición plana de todos modos si es posible volver a dibujarlo sin ramas que se cruzan. Por ejemplo, el circuito de la figura 3.15a) tiene dos ramas que se cruzan, pero puede volver a dibujarse como en la figu- ra  3.15b). Así, el circuito de la figura 3.15a) es de disposición plana. En cambio, el circuito de la figura 3.16 no es de disposición plana, porque no hay manera de volver a dibujarlo y de evitar el cruce de ramas. Los circuitos que no son de disposición plana pueden manejarse con el análisis nodal, pero no se considerarán en este texto. Para comprender el análisis de lazo, es necesario explicar más lo que se entiende por malla. Una malla es un lazo que no contiene algún otro lazo dentro de ella. 78 Capítulo 3 Métodos de análisis 1A 1Ω 2Ω 5Ω 4Ω 7Ω 2Ω 6Ω 3Ω 1Ω 5Ω 6Ω 3Ω 13 Ω 4Ω 5A 12 Ω 9Ω 11 Ω 8Ω 8Ω 7Ω 10 Ω a) Figura 3.16 Circuito sin disposición plana. 1A En la figura 3.17, por ejemplo, las trayectorias abefa y bcdeb son mallas, pero la trayec- toria abcdefa no es una malla. La corriente a través de una malla se conoce como co- 2Ω rriente de malla. En el análisis de malla interesa aplicar la LTK para hallar las corrientes de malla en un circuito dado. 1Ω 3Ω I1 R1 I2 R2 4Ω a b c 5Ω 6Ω I3 8Ω 7Ω i1 i2 V1 + + V − R3 − 2 b) Figura 3.15 a) Circuito con disposición plana con ramas que se f e d cruzan, b) el mismo circuito dibujado de Figura 3.17 Circuito con dos mallas. nuevo sin ramas que se cruzan. En esta sección se aplica el análisis de lazo a circuitos planares que no contienen fuen- Aunque la trayectoria abcdefa es un tes de corriente. En las siguientes secciones se considerarán circuitos con fuentes de co- lazo y no una malla, se sigue cum- pliendo la LTK. Ésta es la razón del rriente. En el análisis de lazo de un circuito con n lazos se dan los tres pasos siguientes: uso indistinto de los términos análisis de lazo y análisis de malla para designar lo mismo. Pasos para determinar las corrientes de lazo: 1. Asigne las corrientes de lazo i1, i2, …, in a los n lazos. 2. Aplique la LTK a cada uno de los n lazos. Use la ley de Ohm para expresar las tensiones en términos de las corrientes de lazo. 3. Resuelva las n ecuaciones simultáneas resultantes para obtener las corrientes de lazo. La dirección de la corriente de lazo Para ilustrar estos pasos, considérese el circuito de la figura 3.17. El primer paso es arbitraria (en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido requiere asignar las corrientes de lazo i1 e i2 a los lazos 1 y 2. Aunque una corriente de contrario) y no afecta la validez de lazo puede asignarse a cada lazo en una dirección arbitraria, por convención se supone la solución. que cada corriente de lazo fluye en la dirección de las manecillas del reloj. Como segundo paso, se aplica la LTK a cada lazo. De la aplicación de la LTK al lazo 1 se obtiene V1  R1i1  R3(i1  i2)  0 o sea (R1  R3)i1  R3i2  V1 (3.13) En el caso del lazo 2, la aplicación de la LTK produce R2i2  V2  R3(i2  i1)  0 o R3i1  (R2  R3)i2  V2 (3.14) 3.4 Análisis de lazo 79 Adviértase en la ecuación (3.13) que el coeficiente de i1 es la suma de las resistencias en Este atajo no se aplicará si una la primera malla, mientras que el coeficiente de i2 es el negativo de la resistencia común corriente de lazo se supone que va en a los lazos 1 y 2. Obsérvese ahora que lo mismo puede decirse de la ecuación (3.14). la dirección de las manecillas del reloj Esto puede servir como atajo para escribir las ecuaciones de lazo. Esta idea se explotará y la otra se considera en sentido en la sección 3.6. contrario, aunque esto es permisible. El tercer paso consiste en resolver respecto a las corrientes de malla. El arreglo de las ecuaciones (3.13) y (3.14) en forma de matriz genera c d c d c d R1 R3 R3 i1 V1 (3.15) R3 R2 R3 i2 V2 la cual puede resolverse para obtener las corrientes de lazo i1 e i2. Hay libertad de usar cualquier técnica para resolver las ecuaciones simultáneas. De acuerdo con la ecuación (2.12), si un circuito tiene n nodos, b ramas y l lazos independientes, entonces l  b  n  1. Así, l ecuaciones simultáneas independientes se requieren para resolver el circui- to con el uso del análisis de lazo. Nótese que las corrientes de rama son diferentes a las corrientes de lazo a menos que el lazo esté aislado. Para distinguir entre esos dos tipos de corrientes, se usa i para una corriente de lazo e I para una corriente de rama. Los elementos de corriente I1, I2 e I3 son sumas algebraicas de las corrientes de lazo. En la figura 3.17 es evidente que I1  i1, I2  i2, I3  i1  i2 (3.16) En relación con el circuito de la figura 3.18 halle las corrientes de rama I1, I2 e I3 apli- Ejemplo 3.5 cando el análisis de malla. I1 I2 5Ω 6Ω Solución: Primero se obtienen las corrientes de lazo aplicando la LTK. En cuanto al lazo 1, I3 15  5i1  10(i1  i2)  10  0 10 Ω o sea 3i1  2i2  1 (3.5.1) 15 V +− i1 i2 4Ω En cuanto al lazo 2, + 10 V − 6i2  4i2  10(i2  i1)  10  0 o sea i1  2i2  1 (3.5.2) Figura 3.18 Para el ejemplo 3.5.  MÉTODO 1 Siguiendo el método de sustitución, se sustituye la ecuación (3.5.2) en la ecuación (3.5.1) y se escribe 6i2  3  2i2  1 1 i2  1 A Con base en la ecuación (3.5.2), i1  2i2  1  2  1  1 A. Así, I1  i1  1 A, I2  i2  1 A, I3  i1  i2  0  MÉTODO 2 Para aplicar la regla de Cramer, se enuncian las ecuaciones (3.5.1) y (3.5.2) en forma de matriz como c d c d c d 3 2 i1 1 1 2 i2 1 Se obtienen los determinantes, ` ` 3 2 ¢ 6 2 4 1 2 ` ` ` ` 1 2 3 1 ¢1 2 2 4, ¢2 3 1 4 1 2 1 1 80 Capítulo 3 Métodos de análisis 1 2 Así, i1   1 A, i2  1A como antes. Problema de práctica 3.5 Calcule las corrientes de malla i1 e i2 en el circuito de la figura 3.19. 2Ω 9Ω Respuesta: i1  2.5 A, i2  0 A. 12 Ω 45 V + i1 + 30 V − i2 − 4Ω 3Ω Figura 3.19 Para el problema de práctica 3.5. Ejemplo 3.6 Aplique el análisis de malla para hallar la corriente Io en el circuito de la figura 3.20. i1 i2 Solución: Se aplica la LTK a cada uno de los tres lazos. En cuanto al lazo 1, A Io 24  10(i1  i2)  12(i1  i3)  0 i2 10 Ω 24 Ω o sea 11i1  5i2  6i3  12 (3.6.1) 4Ω 24 V + − i1 Para el lazo 2, 24i2  4(i2  i3)  10(i2  i1)  0 12 Ω i3 + 4Io o sea 5i1  19i2  2i3  0 (3.6.2) − Para el lazo 3, 4Io  12(i3  i1)  4(i3  i2)  0 Figura 3.20 Para el ejemplo 3.6. Pero en el nodo A, Io  i1 – i2, así que 4(i1  i2)  12(i3  i1)  4(i3  i2)  0 o sea i1  i2  2i3  0 (3.6.3) En forma de matriz, las ecuaciones (3.6.1) a (3.6.3) se convierten en 11 5 6 i1 12 £ 5 19 2 § £ i2 § £ 0§ 1 1 2 i3 0 Los determinantes se obtienen de este modo: 11 5 6 5 19 2 ¢ 5 1 1 25 11 5 6 5 19 2 418 30 10 114 22 50 192 12 5 6 0 19 2 ¢1 5 0 1 25 456 24 432 12 5 6 0 19 2 3.5 Análisis de lazo con fuentes de corriente 81 11 12 6 5 0 2 ¢2 5 1 0 25 24 120 144 11 12 6 5 0 2 11 5 12 5 19 0 ¢3 5 1 1 05 60 228 288 11 5 12 5 19 0 Se calculan las corrientes de lazo aplicando la regla de Cramer de esta manera: 1 432 2 144 i1    2.25 A, i2    0.75 A 192 192 3 288 i3    1.5 A 192 Así, Io  i1  i2  1.5 A. Aplicando el análisis de lazo, halle Io en el circuito de la figura 3.21. Problema de práctica 3.6 Respuesta: 4 A. 6Ω i3 Io 4Ω 8Ω 3.5 Análisis de lazo con fuentes de corriente + 2Ω − Aplicar el análisis de lazo a circuitos que contienen fuentes de corriente (dependientes 16 V − i1 i2 + 10io o independientes) puede parecer complicado. Pero en realidad es mucho más fácil que lo visto en la sección anterior, porque la presencia de las fuentes de corriente reduce el Figura 3.21 Para el problema de número de ecuaciones. Considérense los dos posibles casos siguientes. práctica 3.6.  CASO 1 Cuando existe una fuente de corriente sólo en un lazo: considérese el circuito de la figura 3.22, por ejemplo. Se establece i2 = 5 A y se escribe una ecuación 4Ω 3Ω de lazo para el otro lazo en la forma acostumbrada; esto es, 10  4i1  6(i1  i2)  0 1 i1  2 A (3.17) 10 V + − i1 6Ω i2 5A  CASO 2 Cuando existe una fuente de corriente entre dos lazos: considérese el circuito de la figura 3.23a), por ejemplo. Se crea un superlazo excluyendo la fuente de Figura 3.22 Circuito con una fuente de corriente y cualesquiera elementos conectados en serie con éste, como se advierte en la corriente. figura 3.23b). Así, Se obtiene un superlazo cuando dos lazos tienen una fuente de corriente (dependiente o independiente) en común. Como se muestra en la figura 3.23b), se crea un superlazo como resultado de la periferia de los dos lazos y se trata de diferente manera. (Si un circuito tiene dos o más superlazos que se intersecan, deben combinarse para formar un superlazo más grande.) ¿Por qué se trata de manera diferente al superlazo? Porque en el análisis de lazo se aplica la LTK, lo cual requiere que se conozca la tensión en cada rama, y no se conoce con anticipación 82 Capítulo 3 Métodos de análisis 6Ω 10 Ω la tensión en la fuente de corriente. Sin embargo, un superlazo debe satis- facer la LTK como cualquier otro lazo. En consecuencia, la aplicación de la LTK al superlazo de la figura 3.23b) produce 2Ω + 20  6i1  10i2  4i2  0 20 V − i1 i2 4Ω o sea 6i1  14i2  20 (3.18) 6A Se aplica la LCK a un nodo de la rama donde se intersecan los dos lazos. i1 0 i2 La aplicación de la LCK al nodo 0 de la figura 3.23a) da como resultado Se excluyen estos a) elementos i2  i1  6 (3.19) 6Ω 10 Ω Al resolver las ecuaciones (3.18) y (3.19) se obtiene i1  3.2 A, i2  2.8 A (3.20) 20 V + − i1 i2 4Ω Se observan las siguientes propiedades de un superlazo: 1. La fuente de corriente en el superlazo aporta la ecuación de restric- ción necesaria para determinar las corrientes de lazo. b) 2. Un superlazo no tiene corriente propia. Figura 3.23 a) Dos lazos con una fuente de corriente 3. Un superlazo requiere la aplicación tanto de la LTK como de la LCK. en común, b) un superlazo creado al excluir la fuente de corriente. Ejemplo 3.7 Para el circuito de la figura 3.24 halle i1 a i4 aplicando el análisis de lazo. 2Ω i1 i1 4Ω 2Ω P i2 5A Io 6Ω i2 3Io i3 8Ω i4 + 10 V − Q i2 i3 Figura 3.24 Para el ejemplo 3.7. Solución: Nótese que los lazos 1 y 2 forman un superlazo, ya que tienen una fuente de corriente independiente en común. Asimismo, los lazos 2 y 3 forman otro superlazo, porque tienen una fuente de corriente dependiente en común. Los dos superlazos se in- tersecan y forman un superlazo más grande, como se indica. Al aplicar la LTK al super- lazo más grande, 2i1  4i3  8(i3  i4)  6i2  0 o sea i1  3i2  6i3  4i4  0 (3.7.1) Para la fuente de corriente independiente, se aplica la LCK en nodo P: i2  i1  5 (3.7.2) Para la fuente de corriente dependiente, se aplica la LCK en nodo Q: i2  i3  3Io 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 83 Pero io  i4, así que i2  i3  3i4 (3.7.3) Al aplicar la LTK al lazo 4, 2i4  8(i4  i3)  10  0 o sea 5i4  4i3  5 (3.7.4) Con base en las ecuaciones (3.7.1) a (3.7.4), i1  7.5 A, i2  2.5 A, i3  3.93 A, i4  2.143 A Aplique el análisis de lazo para determinar i1, i2 e i3 en la figura 3.25. Problema de práctica 3.7 Respuesta: i1  4.632 A, i2  631.6 A, i3  1.4736 A. 2Ω i3 2Ω 8V + − i1 4Ω † 4A 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección i2 8Ω Esta sección presenta un procedimiento generalizado para el análisis nodal o de lazo. Es 1Ω un atajo que se basa en la mera inspección de un circuito. Cuando todas las fuentes en un circuito son fuentes de corriente independientes, no Figura 3.25 Para el problema de es necesario aplicar la LCK a cada nodo para obtener las ecuaciones de tensión de nodo práctica 3.7. como se vio en la sección 3.2. Se pueden obtener las ecuaciones por mera inspección del circuito. Como ejemplo reexamínese el circuito de la figura 3.2, el cual se reproduce en la figura 3.26a) para mayor comodidad. Este circuito tiene dos nodos de no referencia I2 y las ecuaciones de nodo se derivaron en la sección 3.2 como G2 c d c d c d G1 G2 G2 v1 I1 I2 v1 (3.21) v2 G2 G2 G3 v2 I2 Obsérvese que cada uno de los términos diagonales es la suma de las conductancias I1 G1 G3 conectadas directamente al nodo 1 o 2, mientras que los términos no diagonales son los negativos de las conductancias conectadas entre los nodos. Asimismo, cada término del miembro derecho de la ecuación (3.21) es la suma algebraica de las corrientes que en- tran al nodo. a) En general, si un circuito con fuentes de corriente independientes tiene N nodos distintos del de referencia, las ecuaciones de tensión de nodo pueden escribirse en tér- R1 R2 minos de las conductancias como G11 G12 p G1N v1 i1 V1 + i1 R3 i3 + V2 − − p ≥ ¥ ≥ ¥ ≥ ¥ G21 G22 G2N v2 i2 (3.22) o o o o o o GN1 GN2 p GNN vN iN b) Figura 3.26 a) Circuito de la figura o simplemente Gv  i (3.23) 3.2, b) circuito de la figura 3.17. donde Gkk  Suma de las conductancias conectadas al nodo k Gkj  Gjk  Negativo de la suma de las conductancias que conectan directamente a los nodos k y j, k Z j vk  Tensión desconocida en el nodo k ik  Suma de todas las fuentes de corriente independientes directamente conec- tadas al nodo k, con las corrientes que entran al nodo consideradas positivas G se llama matriz de las conductancias; v es el vector de salida, e i es el vector de en- trada. La ecuación (3.22) puede resolverse para obtener las tensiones de nodo descono- cidas. Téngase en cuenta que esto es válido para circuitos con sólo fuentes de corriente independientes y resistores lineales. 84 Capítulo 3 Métodos de análisis De igual forma, se pueden obtener ecuaciones de corriente de lazo por inspección cuando un circuito resistivo lineal tiene sólo fuentes de tensión independientes. Consi- dérese el circuito de la figura 3.17, el cual se ha reproducido en la figura 3.26b) para mayor comodidad. Este circuito tiene dos nodos no de referencia y las ecuaciones de nodo que ya se obtuvieron en la sección 3.4 como c d c d c d R1 R3 R3 i1 v1 (3.24) R3 R2 R3 i2 v2 Adviértase que cada uno de los términos diagonales es la suma de las resistencias en el lazo correspondiente, mientras que cada uno de los términos no diagonales es el negati- vo de la resistencia común a los lazos 1 y 2. Cada uno de los términos del miembro derecho de la ecuación (3.24) es la suma algebraica en el sentido de las manecillas del reloj de todas las fuentes de tensión independientes en el lazo correspondiente. En general, si el circuito tiene N lazos, las ecuaciones de corriente de lazo pueden expresarse en términos de la resistencia como R11 R12 p R1N i1 v1 p ≥ ¥ ≥ ¥ ≥ ¥ R21 R22 R2N i2 v2 (3.25) o o o o o o RN1 RN2 p RNN iN vN o simplemente Ri  v (3.26) donde Rkk  Suma de las resistencias en el lazo k Rkj  Rjk  Negativo de la suma de las resistencias en común de los lazos k y j, k Z j ik  Corriente de lazo desconocida para el lazo k en el sentido de las manecillas del reloj vk  Suma en el sentido de las manecillas del reloj de todas las fuentes de tensión independientes en el lazo k, tratando como positivo el aumento de tensión R se conoce como matriz de resistencia; i es el vector de salida, y v es el vector de en- trada. Se puede resolver la ecuación (3.25) para obtener las corrientes de lazo descono- cidas. Ejemplo 3.8 Escriba por inspección la matriz de las ecuaciones de tensión de nodos del circuito de la figura 3.27. 2A 1Ω v1 5 Ω v2 8Ω v3 8Ω v4 3A 10 Ω 1A 4Ω 2Ω 4A Figura 3.27 Para el ejemplo 3.8. 3.6 Análisis nodal y de lazo por inspección 85 Solución: El circuito de la figura 3.27 tiene cuatro nodos de no referencia, así que se necesitan cuatro ecuaciones de nodo. Esto implica que el tamaño de la matriz de con- ductancia G es de 4 por 4. Los términos diagonales de G, en siemens, son 1 1 1 1 1 G11    0.3, G22     1.325 5 10 5 8 1 1 1 1 1 1 1 G33     0.5, G44     1.625 8 8 4 8 2 1 Los términos no diagonales son 1 G12    0.2, G13  G14  0 5 1 1 G21  0.2, G23    0.125, G24    1 8 1 1 G31  0, G32  0.125, G34    0.125 8 G41  0, G42  1, G43  0.125 El vector de corriente de entrada i tiene los siguientes términos, en amperes: i1  3, i2  1  2  3, i3  0, i4  2  4  6 Así, las ecuaciones de tensión de nodo son 0.3 0.2 0 0 v1 3 ≥ ¥ ≥ ¥ ≥ ¥ 0.2 1.325 0.125 1 v2 3 0 0.125 0.5 0.125 v3 0 0 1 0.125 1.625 v4 6 las cuales pueden resolverse usando MATLAB para obtener las tensiones de nodo v1, v2, v3 y v4. Por inspección, obtenga las ecuaciones de tensión de nodo del circuito de la figura 3.28. Problema de práctica 3.8 Respuesta: 1Ω v3 4Ω v4 1.25 0.2 1 0 v1 0 ≥ ¥ ≥ ¥ ≥ ¥ 0.2 0.2 0 0 v2 3 3A 1 0 1.25 0.25 v3 1 5Ω v1 v2 1Ω 2A 0 0 0.25 0.75 v4 3 20 Ω 2A Figura 3.28 Para el problema de práctica 3.8. Por inspección escriba las ecuaciones de corriente de lazo del circuito de la figura 3.29. Ejemplo 3.9 Solución: Hay cinco lazos, así que la matriz de resistencia es de 5 por 5. Los términos de la diagonal, en ohms, son: R11  5  2  2  9, R22  2  4  1  1  2  10 R33  2  3  4  9, R44  1  3  4  8, R55  1  3  4 86 Capítulo 3 Métodos de análisis 5Ω i1 2Ω 4V 2Ω +− 2Ω i2 4Ω 3Ω 10 V + − 1Ω 1Ω i3 + 12 V + − 4Ω i4 3Ω i5 − 6V Figura 3.29 Para el ejemplo 3.9. Los términos fuera de la diagonal son: R12  2, R13  2, R14  0  R15 R21  2, R23  4, R24  1, R25  1 R31  2, R32  4, R34  0  R35 R41  0, R42  1, R43  0, R45  3 R51  0, R52  1, R53  0, R54  3 El vector de tensiones de entrada v tiene los siguientes términos, en volts: v1  4, v2  10  4  6 v3  12  6  6, v4  0, v5  6 Así, las ecuaciones de corriente de lazo son 9 2 2 0 0 i1 4 2 10 4 1 1 i2 6 E 2 4 9 0 0U Ei3U E 6U 0 1 0 8 3 i4 0 0 1 0 3 4 i5 6 A partir de esto, se puede usar MATLAB para obtener las corrientes de lazo i1, i2, i3, i4 e i5. Problema de práctica 3.9 Por inspección obtenga las ecuaciones de corriente de lazo del circuito de la figura 3.30. 50 Ω 20 Ω + 12 V 30 Ω − i2 i3 15 Ω 20 Ω 30 V + − i1 i4 i5 − 80 Ω + 20 V 60 Ω Figura 3.30 Para el problema de práctica 3.9. 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 87 Respuesta: 150 40 0 80 0 i1 30 40 65 30 15 0 i2 0 E 0 30 50 0 20U Ei3U E 12U 80 15 0 95 0 i4 20 0 0 20 0 80 i5 20 3.7 Comparación del análisis nodal con el de lazo Los análisis tanto nodal como de lazo brindan un medio sistemático para analizar una red compleja. Pero cabría preguntarse: dada una red por analizar, ¿cómo saber qué método es mejor o más eficiente? La selección del mejor método la determinan dos factores. El primer factor es la naturaleza de la red particular. Las redes que contienen mu- chos elementos conectados en serie, fuentes de tensión o superlazos son más adecuadas para el análisis de lazo, mientras que las redes con elementos conectados en paralelo, fuentes de corriente o supernodos son más adecuadas para el análisis nodal. Asimismo, un circuito con menos nodos que lazos se analiza mejor con el análisis nodal, mientras que un circuito con menos lazos que nodos se analiza mejor con el análisis de lazo. La clave es seleccionar el método que produce un número menor de ecuaciones. El segundo factor es la información requerida. Si se requieren tensiones de nodo, puede ser ventajoso aplicar el análisis nodal. Si se requieren corrientes de rama o la- zo, puede ser mejor aplicar el análisis de lazo. Es útil familiarizarse con ambos métodos de análisis, por al menos dos razones. Primero, un método, de ser posible, puede emplearse para comprobar los resultados del otro. Segundo, dado que cada método tiene sus limitaciones, únicamente uno de ellos podría ser conveniente para un problema particular. Por ejemplo, el análisis de lazo es el único método que se usa al analizar circuitos transistorizados, como se verá en la sección 3.9. Sin embargo, el análisis de lazo no es fácil de utilizar para resolver un cir- cuito amplificador operacional, como se verá en el capítulo 5, porque no hay una mane- ra directa de obtener la tensión en el propio amplificador operacional. En el caso de re- des que no son de disposición plana, el análisis nodal es la única opción, porque el análisis de lazo sólo se aplica a redes de disposición plana. Asimismo, el análisis nodal es más compatible con la solución por computadora, ya que es fácil de programar. Esto permite analizar circuitos complicados que desafían el cálculo manual. En seguida se presenta un paquete de software de computación basado en el análisis nodal. 3.8 Análisis de circuitos con PSpice PSpice es un programa de software de computación para el análisis de circuitos que En el apéndice D se proporciona aprenderán a usar gradualmente en el curso de este texto. Esta sección ilustra cómo usar un tutorial sobre el uso de PSpice PSpice for Windows para analizar los circuitos de cd que se han estudiado hasta aquí. for Windows. Se espera que el lector consulte las secciones D.1 a D.3 del apéndice D antes de proceder con esta sección. Cabe señalar que PSpice sólo es útil en la determinación de tensiones y corrientes de rama cuando se conocen los valores numéricos de todos los componentes de un circuito. Use PSpice para hallar las tensiones de nodo en el circuito de la figura 3.31. Ejemplo 3.10 Solución: El primer paso es dibujar el circuito dado con el uso de Schematics. Si se siguen las instrucciones de las secciones D.2 y D.3 del apéndice D, se produce el esque- 88 Capítulo 3 Métodos de análisis 1 20 Ω 2 10 Ω 3 120.0000 R1 81.2900 R3 89.0320 1 2 3 20 10 120 V + − 30 Ω 40 Ω 3A + IDC 120 V V1 R2 30 R4 40 I1 3A − 0 Figura 3.31 Para el ejemplo 3.10. 0 Figura 3.32 Para el ejemplo 3.10; esquema del circuito de la figura 3.31. ma de la figura 3.32. Puesto que éste es un análisis de cd, se usa la fuente de tensión VDC y la fuente de corriente IDC. Se añade el seudocomponente VIEWPOINTS para exhibir las tensiones de nodo requeridas. Una vez dibujado el circuito y guardado como exam310.sch, se ejecuta PSpice seleccionando Analysis/Simulate. Se simula el circuito y los resultados se presentan en VIEWPOINTS y se guardan en el archivo de salida exam310.out. El archivo de salida incluye lo siguiente: NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE (1) 120.0000 (2) 81.2900 (3) 89.0320 lo que indica que V1  120 V, V2  81.29 V, V3  89.032 V. Problema de práctica 3.10 Para el circuito de la figura 3.33, use PSpice para hallar las tensiones de nodo. 500 mA 1 2 100 Ω 3 30 Ω 60 Ω 50 Ω 25 Ω + 50 V − Figura 3.33 Para el problema de práctica 3.10. 0 Respuesta: V1  10 V, V2  14.286 V, V3  50 V. Ejemplo 3.11 En el circuito de la figura 3.34, determine las corrientes i1, i2 e i3. 1Ω 3vo 4Ω 2Ω +− i1 i2 i3 + 24 V + − 2Ω 8Ω 4Ω vo − Figura 3.34 Para el ejemplo 3.11. Solución: El esquema aparece en la figura 3.35. (Este esquema incluye los resultados de salida, lo que implica que es el exhibido en la pantalla después de la simulación.) Obsérvese que la fuente de tensión controlada por tensión E1 en la figura 3.35 está co- nectada de tal manera que la tensión en su entrada sea la del resistor de 4 ; su ganancia se fija igual a 3. Para exhibir las corrientes requeridas, se inserta el seudocomponente 3.9 Aplicaciones: circuitos transistorizados de cd 89 E E1 − + 2 −+ R5 R1 1 4 R6 + R2 2 R3 8 R4 4 24 V V1 − 1.333E + 00 1.333E + 00 2.667E + 00 0 Figura 3.35 Esquema del circuito de la figura 3.34. IPROBES en las ramas apropiadas. El circuito esquemático se guarda como exam311.sch y se simula seleccionando Analysis/Simulate. Los resultados se presentan en IPRO- BES como se muestra en la figura 3.35 y se guardan en el archivo de salida exam311. out. Del archivo de salida o de IPROBES se obtiene i1  i2  1.333 A e i3  2.667 A. Use PSpice para determinar las corrientes i1, i2 e i3 en el circuito de la figura 3.36. Problema de práctica 3.11 Respuesta: i1  428.6 mA, i2  2.286 A, i3  2 A. i1 4Ω 2A † 3.9 Aplicaciones: circuitos transistorizados de cd i2 i3 La mayoría de los lectores trata con productos electrónicos en forma rutinaria y tiene 2Ω cierta experiencia con computadoras personales. Un componente básico de los circuitos 1Ω i1 2Ω 10 V + electrónicos que se hallan en esos aparatos electrónicos y computadoras es el dispositi- − vo activo de tres terminales conocido como transistor. Conocer el transistor es esencial para que un ingeniero pueda emprender el diseño de un circuito electrónico. Figura 3.36 Para el problema de En la figura 3.37 se muestran varios tipos de transistores comerciales. Hay dos tipos práctica 3.11. básicos de transistores: los transistores de unión bipolar (BJT) y los transistores de efecto de campo (FET). Aquí sólo se considerarán los BJT, el primer tipo básico en aparecer y aún en uso. El objetivo es presentar detalles suficientes sobre los BJT que permitan aplicar las técnicas presentadas en este capítulo para analizar circuitos transistorizados de cd. Hay dos tipos de BJT: npn y pnp, cuyos símbolos de circuitos se indican en la figura 3.38. Cada tipo tiene tres terminales, designadas como emisor (E), base (B) y colector (C). En el caso del transistor npn, las corrientes y tensiones del transistor se especifican como en la figura 3.39. La aplicación de la LCK a la figura 3.39a) produce IE  IB  IC (3.27) donde IE, IC e IB, son las corrientes del emisor, colector y base, respec- tivamente. De igual manera, la aplicación de la LTK a la figura 3.39b) produce VCE  VEB  VBC  0 (3.28) donde VCE, VEB y VBC, son las tensiones colector-emisor, emisor-base y base-colector. El BJT puede operar en uno de tres modos: activo, de corte y de saturación. Cuando los transistores operan en el modo activo, habitualmente VBE ⯝ 0.7 V, Figura 3.37 Varios tipos de transistores. IC  ␣IE (3.29) (Cortesía de Tech America.) 90 Capítulo 3 Métodos de análisis Perfiles históricos William Schockley (1910-1989), John Bardeen (1908-1991) y Walter Brattain (1902-1987) coinventaron el transistor. Nada ha tenido tanto impacto en la transición de la “era industrial” a la “era de la ingeniería” como el transistor. Seguramente los doctores Schockley, Bardeen y Brattain no tenían la menor idea de que tendrían tan increíble efecto en la historia. Mientras trabajaban en los Bell Laboratories probaron con éxito el transistor de puntos de contac- to, inventado por Bardeen y Brattain en 1947, y el transistor de unión, que Schockley concibió en 1948 y produjo exitosamente en 1951. Es interesante señalar que la idea del transistor de efecto de campo, el de uso más común en la actualidad, la concibió originalmente en 1925-1928 J. E. Lilienfeld, in- migrante alemán en Estados Unidos. Esto es evidente a partir de sus patentes de lo que parece ser un transistor de efecto de campo. Por desgracia, la tecnología para producir Cortesía de Lucent Technologies/ ese dispositivo tuvo que esperar hasta 1954, cuando se hizo realidad el transistor de Bell Labs efecto de campo de Schockley. ¡Basta imaginar cómo serían hoy las cosas si se hubiera tenido este transistor 30 años antes! Por sus contribuciones a la creación del transistor, los doctores Schockley, Bardeen y Brattain recibieron en 1956 el Pre- mio Nobel de física. Cabe indicar que el doctor Bardeen es el único individuo que ha ganado dos premios Nobel de física; recibió el segundo por su posterior labor en la superconductividad en la Universidad de Illinois. Colector C donde ␣ se llama ganancia de corriente de base común. En la ecuación (3.29) ␣ denota la fracción de electrones inyectada por el emisor que recoge el colector. Asimismo, n Base p B IC  ␤IB (3.30) n donde ␤ se conoce como ganancia de corriente de emisor común. La ␣ y la ␤ son pro- Emisor E piedades características de un transistor dado y toman valores constantes para ese tran- sistor. Usualmente, ␣ adopta valores en la gama de 0.98 a 0.999, mientras que ␤ adopta a) valores en la gama de 50 a 1 000. Con base en las ecuaciones (3.27) a (3.30), es eviden- Colector te que C IE  (1  ␤)IB (3.31) p Base n B ␣ y ␤ (3.32) p 1␣ Emisor E Estas ecuaciones indican que, en el modo activo, el BJT puede modelarse como una fuente de corriente dependiente controlada por corriente. Así, en el análisis de circuitos, b) el modelo equivalente de cd de la figura 3.40b) puede usarse para reemplazar al transis- Figura 3.38 Dos tipos de BJT y sus tor npn de la figura 3.40a). Puesto que ␤ en la ecuación (3.32) es grande, una corriente símbolos de circuitos: a) npn, b) pnp. de base pequeña controla corrientes altas en el circuito de salida. En consecuencia, es factible que el transistor bipolar sirva como amplificador, pues produce tanto ganancia de corriente como de tensión. Tales amplificadores se utilizan para proporcionar una cantidad considerable de potencia a transductores, como los altavoces o los motores de control. De hecho, los circuitos transistoriza- En los siguientes ejemplos debe repararse en que los circuitos transistorizados no dos fomentan el estudio de las pueden analizarse directamente con el análisis nodal, a causa de la diferencia de potencial fuentes dependientes. entre las terminales del transistor. Sólo cuando el transistor se sustituye por su modelo equivalente es posible aplicar el análisis nodal. 3.9 Aplicaciones: circuitos transistorizados de cd 91 C C IC + + IB IC IB C VCB B C B + + − + B VCE IB VBE ␤IB IE + VCE − B + VCE E VBE − − VBE − − a) E − E E b) a) b) Figura 3.39 Variables de terminales de un transistor Figura 3.40 a) Transistor npn, b) su modelo npn: a) corrientes, b) tensiones. equivalente de cd. Halle IB, Ic y vo en el circuito transistorizado de la figura 3.41. Suponga que el transistor Ejemplo 3.12 opera en el modo activo y que ␤  50. IC 100 Ω Solución: En relación con el lazo de entrada, la LTK da + 4  IB(20  103)  VBE  0 IB 20 kΩ + Puesto que VBE  0.7 V en el modo activo, + vo 6V + VBE Lazo de − 4  0.7 Lazo de − 4V − salida IB   165 ␮A − entrada 20  103 Pero, IC  ␤IB  50  165 ␮A  8.25 mA Para el lazo de salida, la LTK produce Figura 3.41 Para el ejemplo 3.12. vo  100IC  6  0 o sea vo  6  100IC  6  0.825  5.175 V Nótese que vo  VCE en este caso. Para el circuito transistorizado de la figura 3.42, sea ␤  100 y VBE  0.7 V. Determine Problema de práctica 3.12 vo yVCE. Respuesta: 2.876 V, 1.984 V. 500 Ω + + 10 kΩ VCE 12 V + − + VBE − − 5V + − 200 Ω vo Figura 3.42 Para el problema − de práctica 3.12. En el circuito BJT de la figura 3.43, ␤  150 y VBE  0.7 V. Halle vo. Ejemplo 3.13 Solución: 1. Definir. El circuito está claramente definido y el problema formulado con claridad. Al parecer, no hay preguntas adicionales por plantear. 2. Presentar. Se debe determinar la tensión de salida del circuito que aparece en la figura 3.43. Este circuito contiene un transistor ideal con ␤  150 y VBE  0.7 V. 92 Capítulo 3 Métodos de análisis 1 kΩ 3. Alternativas. Se puede aplicar el análisis de lazos para determinar vo. Es posible reemplazar el transistor por su circuito equivalente y aplicar el análisis nodal. Se pueden probar ambos métodos y usarlos para comprobarlos entre sí. Como tercera + comprobación se puede emplear el circuito equivalente y resolver usando PSpice. 100 kΩ + vo 4. Intentar. 16 V + − 2V 200 kΩ −  MÉTODO 1 Trabajando con la figura 3.44a), se comienza con el primer lazo. − 2  100kI1  200k(I1  I2)  0 o 3I1  2I2  2  105 (3.13.1) Ahora, en cuanto al lazo número 2, Figura 3.43 Para el ejemplo 3.13. 200k(I2  I1)  VBE  0 o 2I1  2I2  0.7  105 (3.13.2) Dado que hay dos ecuaciones y dos incógnitas, se puede determinar I1 e I2. Al sumar la ecuación (3.13.1) y (3.13.2) se obtiene I1  1.3  105 A e I2  (0.7  2.6)105兾2  9.5 ␮A Puesto que I3  150I2  1.425 mA, ahora se puede determinar vo usando el lazo 3: vo  1kI3  16  0 o vo  1.425  16  14.575 V  MÉTODO 2 El reemplazo del transistor por su circuito equivalente produce el circuito que se observa en la figura 3.44b). Ahora se puede usar el análisis nodal para determinar vo. 1 kΩ + 100 kΩ vo + I3 + 16 V − − 2V I1 200 kΩ I2 − a) 1 kΩ 100 kΩ V1 IB 150IB + + + vo + 2V 200 kΩ 0.7 V − 16 V − − − b) 700.00mV 14.58 V R1 R3 100k 1k + + + F1 2V R2 200k 0.7 V 16 V − − − F Figura 3.44 Solución del problema del ejemplo 3.13: a) método 1, b) método 2, c) método 3. c) Preguntas de repaso 93 En el nodo número 1: V1  0.7 V (0.7  2)兾100k  0.7兾200k  IB  0 o IB  9.5 ␮A En el nodo número 2 se tiene 150IB  (vo  16)兾1k  0 o vo  16  150  103  9.5  106  14.575 V 5. Evaluar. Las respuestas se comprueban, pero para una comprobación adicional se puede usar PSpice (método 3), el que da la solución que se muestra en la figura 3.44c). 6. ¿Satisfactorio? Obviamente se ha obtenido la respuesta deseada con un muy alto nivel de confianza. Ahora se puede presentar el trabajo como solución del pro- blema. El circuito transistorizado de la figura 3.45 tiene ␤  80 y VBE  0.7 V. Halle vo e Io. Problema de práctica 3.13 Respuesta: 12 V, 600 ␮A. 10 kΩ Io + 120 kΩ + 20 V 10 kΩ vo + + − 1V VBE − − − Figura 3.45 Para el problema de práctica 3.13. 3.10 Resumen 1. El análisis nodal es la aplicación de la ley de la corriente de solución de las ecuaciones simultáneas produce las corrientes de Kirchhoff a los nodos distintos del de referencia. (Se aplica tanto lazo. a circuitos de disposición plana como no plana.) Se expresa el 4. Una supermalla consta de dos lazos que tienen una fuente de resultado en términos de tensiones de nodo. La solución de las corriente (dependiente o independiente) en común. ecuaciones simultáneas produce las tensiones de los nodos. 5. El análisis nodal se aplica normalmente cuando un circuito tiene 2. Un supernodo consta de dos nodos distintos del de referencia menos ecuaciones de nodo que de lazo. El análisis de lazo se conectados mediante una fuente de tensión (dependiente o inde- aplica normalmente cuando un circuito tiene menos ecuaciones pendiente). de lazo que ecuaciones de nodo. 3. El análisis de lazo es la aplicación de la ley de tensión de Kir- 6. El análisis de circuitos puede realizarse usando PSpice. chhoff a alrededor de los lazos en un circuito de disposición pla- 7. Los circuitos transistorizados de cd pueden analizarse siguiendo na. El resultado se expresa en términos de corrientes de lazo. La las técnicas cubiertas en este capítulo. Preguntas de repaso 3.1 En el nodo 1 del circuito de la figura 3.46, la aplicación de la LCK da: 2A 8Ω 12  v1 v1 v1  v2 a) 2    3Ω v1 4Ω 3 6 4 v2 v1  12 v1 v2  v1 1 2 b) 2    3 6 4 12 V + − 6Ω 6Ω 12  v1 0  v1 v1  v2 c) 2    3 6 4 v1  12 0  v1 v2  v 1 d) 2    Figura 3.46 Para las preguntas de repaso 3.1 y 3.2. 3 6 4 94 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.2 En el circuito de la figura 3.46, la aplicación de la LCK al 3.6 La ecuación de lazo del circuito de la figura 3.48 es: nodo 2 da: a) 10  4i  6  2i  0 v  v1 v2 v2 b) 10  4i  6  2i  0 a) 2   4 8 6 c) 10  4i  6  2i  0 v  v2 v2 v2 b) 1   d) 10  4i  6  2i  0 4 8 6 v1  v2 12  v2 v 3.7 En el circuito de la figura 3.49, la corriente i1 es de: c)   2 4 8 6 a) 4 A b) 3 A c) 2 A d) 1 A v2  v1 v  12 v d)  2  2 2Ω 1Ω 4 8 6 3.3 En el circuito de la figura 3.47, v1 y v2 se relacionan como: + 20 V + i1 v 2A i2 a) v1  6i  8  v2 b) v1  6i  8  v2 − − c) v1  6i  8  v2 d) v1  6i  8  v2 3Ω 4Ω 6Ω 8V Figura 3.49 Para las preguntas de repaso 3.7 y 3.8. v1 v2 +− i 3.8 La tensión v de la fuente de corriente del circuito de la figura + 12 V − 4Ω 3.49 es de: a) 20 V b) 15 V c) 10 V d) 5 V Figura 3.47 Para las preguntas de repaso 3.3 y 3.4. 3.9 El nombre de la parte de PSpice para una fuente de tensión controlada por corriente es: 3.4 En el circuito de la figura 3.47, la tensión v2 es de: a) EX b) FX c) HX d) GX a) 8 V b) 1.6 V 3.10 ¿Cuáles de los siguientes enunciados no son ciertos respecto c) 1.6 V d) 8 V del seudocomponente IPROBE? 3.5 La corriente i en el circuito de la figura 3.48 es de: a) Debe conectarse en serie. a) 2.667 A b) 0.667 A b) Grafica la corriente de rama. c) 0.667 A d) 2.667 A c) Muestra la corriente a través de la rama en la que está conectado. 4Ω d) Puede utilizarse para exhibir tensión conectándolo en paralelo. e) Sólo se utiliza para análisis de cd. 10 V + i + 6V − − f) No corresponde a ningún elemento de circuitos particular. 2Ω Respuestas: 3.1a, 3.2c, 3.3a, 3.4c, 3.5c, 3.6a, 3.7d, 3.8b, 3.9c, Figura 3.48 Para las preguntas de repaso 3.5 y 3.6. 3.10b, d. Problemas Secciones 3.2 y 3.3 Análisis nodal R1 R2 3.1 Use la figura 3.50 para diseñar un problema que ayude a los Ix otros estudiantes a comprender mejor el análisis nodal. 12 V + R3 + 9V − − Figura 3.50 Para los problemas 3.1 y 3.39. Problemas 95 3.2 Para el circuito de la figura 3.51, obtenga v1 y v2. 3.7 Aplique el análisis nodal para determinar Vx en el circuito de la figura 3.56. 2Ω 6A + v1 v2 2A 10 Ω Vx 20 Ω 0.2Vx − 10 Ω 5Ω 4Ω 3A Figura 3.56 Para el problema 3.7. Figura 3.51 Para el problema 3.2. 3.8 Aplicando el análisis nodal, halle vo en el circuito de la figura 3.57. 3.3 Halle las corrientes I1 a I4 y la tensión vo en el circuito de la 6Ω 20 Ω figura 3.52. 60 V + vo + − vo + 4Ω − 5vo I1 I2 I3 I4 − 20 Ω 8A 10 Ω 20 Ω 30 Ω 20 A 60 Ω Figura 3.57 Para los problemas 3.8 y 3.37. 3.9 Determine Ib en el circuito de la figura 3.58 aplicando el aná- lisis nodal. Figura 3.52 Para el problema 3.3. Ib 60Ib 250 Ω 3.4 Dado el circuito de la figura 3.53, calcule las corrientes I1 a I4. +− 2A 24 V + − 50 Ω 150 Ω i1 i2 i3 i4 Figura 3.58 Para el problema 3.9. 6A 20 Ω 10 Ω 40 Ω 40 Ω 2A 3.10 Halle Io en el circuito de la figura 3.59. Figura 3.53 Para el problema 3.4. 1Ω 3.5 Obtenga vo en el circuito de la figura 3.54. 2 Io 4A Io 30 V + 20 V + − − + 4 kΩ vo 8Ω 2Ω 4Ω 2 kΩ 5 kΩ − Figura 3.59 Para el problema 3.10. Figura 3.54 Para el problema 3.5. 3.11 Halle v0 y la potencia disipada en todos los resistores del cir- 3.6 Aplique el análisis nodal para obtener v1 en el circuito de la cuito de la figura 3.60. figura 3.55. 12 Ω Vo 6Ω 10 Ω 4Ω 60 V + 12 Ω − 24 V 5Ω + − + 10 V + V1 10 Ω + 20 V − − − Figura 3.55 Para el problema 3.6. Figura 3.60 Para el problema 3.11. 96 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.12 Aplicando el análisis nodal, determine vo en el circuito de la 2S figura 3.61. 2vo 20 Ω 10 Ω v1 v2 8S +− v3 Ix + + + + 10 Ω 2A 1S vo 4S − 13 V 40 V − 20 Ω Vo − 4 Ix − Figura 3.65 Para el problema 3.16. Figura 3.61 Para el problema 3.12. 3.17 Aplicando el análisis nodal, halle la corriente i1 en el circuito de la figura 3.66. 3.13 Calcule v1 y v2 en el circuito de la figura 3.62 aplicando el análisis nodal. io 2Ω 10 V v1 v2 +− 4Ω 2Ω 10 Ω 8Ω 4Ω 15 A 8Ω 60 V + − 3io Figura 3.62 Para el problema 3.13. Figura 3.66 Para el problema 3.17. 3.14 Aplicando el análisis nodal, halle vo en el circuito de la figura 3.18 Determine las tensiones de los nodos en el circuito de la figu- 3.63. ra 3.67 aplicando el análisis nodal. 12.5 A 30 V +− 2Ω 8Ω 2Ω 2 2Ω 1 3 1Ω + vo − 4Ω 15 A 8Ω 4Ω + 50 V + − 100 V − Figura 3.63 Para el problema 3.14. Figura 3.67 Para el problema 3.18. 3.15 Aplique el análisis nodal para hallar io y la potencia disipada 3.19 Aplique el análisis nodal para hallar v1, v2 y v3 en el circuito en cada resistor del circuito de la figura 3.64. de la figura 3.68. 2A 3A 2Ω 10 V 3S 8Ω v2 4Ω +− v1 v3 io 6S 5S 4A 8Ω 5A 4Ω 2Ω Figura 3.64 Para el problema 3.15. + – 12 V 3.16 Determine las tensiones v1 a v3 en el circuito de la figura 3.65 aplicando el análisis nodal. Figura 3.68 Para el problema 3.19. Problemas 97 3.20 Para el circuito de la figura 3.69, halle v1, v2 y v3 aplicando el 8Ω análisis nodal. + Vo − 12 V 4A 4Ω 2A +– 2i v1 v2 2Ω v3 +– 1Ω 2Ω 2Ω 1Ω i 4Ω 1Ω 4Ω Figura 3.73 Para el problema 3.24. 3.25 Aplique el análisis nodal junto con MATLAB para determinar las tensiones en los nodos de la figura 3.74. Figura 3.69 Para el problema 3.20. 20 Ω v4 3.21 Para el circuito de la figura 3.70, halle v1 y v2 aplicando el 10 Ω 1Ω v2 10 Ω análisis nodal. v1 v3 30 Ω 4 kΩ 4A 8Ω 20 Ω 3vo 2 kΩ v1 −+ v2 + Figura 3.74 Para el problema 3.25. 3 mA 1 kΩ vo − 3.26 Calcule las tensiones de nodo v1, v2 y v3 en el circuito de la figura 3.75. 3A Figura 3.70 Para el problema 3.21. io 10 Ω 3.22 Determine v1 y v2 en el circuito de la figura 3.71. v1 5Ω v2 5Ω v3 8Ω 20 Ω 5Ω 15 Ω 2Ω 3A v1 + v2 + 4io − + vo − 15 V − − + 10 V 1Ω 12 V + 4Ω − − 5vo + Figura 3.75 Para el problema 3.26. *3.27 Aplique el análisis nodal para determinar las tensiones v1, v2 y v3, en el circuito de la figura 3.76. Figura 3.71 Para el problema 3.22. 4S 3.23 Aplique el análisis nodal para hallar vo en el circuito de la io figura 3.72. 2Vo 1Ω 4Ω +− v1 1S v2 1S v3 + + io 30 V − 2Ω Vo 16 Ω 3A − 2A 2S 4S 2S 4A Figura 3.72 Para el problema 3.23. 3.24 Aplique el análisis nodal y MATLAB para hallar Vo en el Figura 3.76 Para el problema 3.27. circuito de la figura 3.73. * Un asterisco indica un problema difícil. 98 Capítulo 3 Métodos de análisis *3.28 Use MATLAB para hallar las tensiones en los nodos a, b, c y 3.32 Obtenga las tensiones de los nodos v1, v2 y v3 en el circuito d en el circuito de la figura 3.77. de la figura 3.81. c 5 kΩ 10 V v2 20 V 10 Ω 5Ω 4Ω v1 −+ +− v3 20 Ω 8Ω + 12 V d b 4 mA − 10 kΩ 4Ω 8Ω 16 Ω − + Figura 3.81 Para el problema 3.32. 60 V 90 V + − a Secciones 3.4 y 3.5 Análisis de malla Figura 3.77 Para el problema 3.28. 3.33 ¿Cuál de los circuitos de la figura 3.82 es de disposición pla- 3.29 Use MATLAB para determinar las tensiones de nodo en el na? Para determinarlo, vuelva a dibujar los circuitos sin que circuito de la figura 3.78. se crucen las ramas. V4 1Ω 2A 3S 1S 1S 3Ω 4Ω 5Ω 2Ω V1 1S V2 4S V3 6Ω 5A 2S 2S 6A 2A Figura 3.78 Para el problema 3.29. a) 3Ω 3.30 Aplicando el análisis nodal, halle v0 e io en el circuito de la figura 3.79. 4Ω 96 V 5Ω 40 Ω + −+ 12 V − 2Ω 10 Ω i0 20 Ω + 1Ω 80 V + + vo − 4vo − 2i0 80 Ω − b) Figura 3.82 Para el problema 3.33. Figura 3.79 Para el problema 3.30. 3.34 Determine cuál de los circuitos de la figura 3.83 es de dispo- sición plana y redibújelo sin ramas que se crucen. 3.31 Halle las tensiones de los nodos del circuito de la figura 3.80. 2Ω 1Ω + vo − 1Ω 5Ω 4Io 2vo v1 v2 v3 2 Ω 7Ω 3Ω −+ Io + + 6Ω 1A 4Ω 1Ω 4Ω − 10 V 10 V − 4Ω Figura 3.80 Para el problema 3.31. a) Problemas 99 8Ω io 2 kΩ 5Ω 4Ω 6 kΩ 6 kΩ 2 kΩ 56 V + − 1Ω 6Ω 3Ω 7Ω 2Ω 4 kΩ 4 kΩ Figura 3.86 Para el problema 3.40. 4A b) 3.41 Aplique el análisis de lazo para hallar i en la figura 3.87. Figura 3.83 Para el problema 3.34. 10 Ω 3.35 Repita el problema 3.5 aplicando el análisis de lazos. i1 2Ω 6V +− 3.36 Aplique el análisis de lazos para obtener i1, i2 e i3 en el circui- i to de la figura 3.84. 1Ω 4Ω i2 i3 5Ω 10 V 4Ω + +– − 8V i1 i2 i3 12 V + 6Ω 2Ω Figura 3.87 Para el problema 3.41. − Figura 3.84 Para el problema 3.36 . 3.42 Use la figura 3.88 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor el análisis de lazo usando matrices. 3.37 Resuelva el problema 3.8 aplicando el análisis de lazos. 20 Ω 30 Ω 10 Ω 3.38 Aplique el análisis de malla al circuito de la figura 3.85 y obtenga Io. + i1 30 Ω 40 Ω i3 – V1 + V3 – i2 4Ω 3Ω +– V2 60 V + − 10 A 1Ω Figura 3.88 Para el problema 3.42. 2Ω 2Ω 3.43 Aplique el análisis de lazos para hallar vab e io en el circuito Io de la figura 3.89. + 22.5 V 1Ω 1Ω − 20 Ω io 30 Ω 4Ω 80 V + − 5A 20 Ω + Figura 3.85 Para el problema 3.38. 30 Ω vab − 80 V + − 30 Ω 3.39 Use la figura 3.50 del problema 3.1 para diseñar un problema 20 Ω que ayude a otros estudiantes a comprender mejor el análisis de lazo. Figura 3.89 Para el problema 3.43. 3.40 Para la red puente de la figura 3.86 halle io aplicando el aná- lisis del lazo. 3.44 Aplique el análisis de lazos para obtener io en el circuito de la figura 3.90. 100 Capítulo 3 Métodos de análisis 90 V 3Ω +− 1Ω vo 2Ω 2Ω 4Ω io 1Ω io + 180 V − + 27 V 2Ω 2io − 5Ω 45 A Figura 3.90 Para el problema 3.44. Figura 3.94 Para el problema 3.49. 3.45 Halle la corriente i en el circuito de la figura 3.91. 3.50 Aplique el análisis de lazo para hallar la corriente io en el circuito de la figura 3.95. 4Ω 8Ω io 4A 4Ω 2Ω 2Ω 6Ω 10 Ω 8Ω i 30 V + − 3Ω 1Ω 35 V + − 3io Figura 3.91 Para el problema 3.45. Figura 3.95 Para el problema 3.50. 3.51 Aplicar el análisis de lazo para hallar vo en el circuito de la 3.46 Calcule las corrientes de lazos i1 e i2 en la figura 3.92. figura 3.96. 5A 3Ω 6Ω + vo − 2Ω vo 8Ω 8Ω + 12 V + − i1 i2 − 2vo 1Ω 4Ω − + 20 V Figura 3.92 Para el problema 3.46. 40 V + − 3.47 Repita el problema 3.19 aplicando el análisis de lazo. Figura 3.96 Para el problema 3.51. 3.52 Aplique el análisis de lazos para hallar i1, i2 e i3 en el circuito 3.48 Determine la corriente a través del resistor de 10 k en el de la figura 3.97. circuito de la figura 3.93 aplicando el análisis de lazo. + i2 3 kΩ vo 2Ω 8Ω − 3A 4 kΩ 2 kΩ 5 kΩ 12 V + − i1 1 kΩ 4Ω i3 + 2vo − − 6V + 3V − 10 kΩ + + 4V − Figura 3.97 Para el problema 3.52. Figura 3.93 Para el problema 3.48. 3.53 Hallar las corrientes de lazo en el circuito de la figura 3.98 usando MATLAB. 3.49 Halle vo e io en el circuito de la figura 3.94. Problemas 101 2 kΩ io + R 3 kΩ V1 I5 − 6 kΩ 8 kΩ + 90 V − + 4 kΩ V2 I3 I4 − 8 kΩ 3 mA 1 kΩ 4 kΩ Figura 3.102 Para el problema 3.57. 12 V + − I1 3 kΩ I2 3.58 Halle i1, i2 e i3 en el circuito de la figura 3.103. 30 Ω Figura 3.98 Para el problema 3.53. i2 10 Ω 3.54 Hallar las corrientes de lazos i1, i2 e i3 en el circuito de la fi- gura 3.99. 10 Ω i1 i3 1 kΩ 1 kΩ 1 kΩ 30 Ω + 120 V 30 Ω − i1 1 kΩ + i3 12 V − 1 kΩ Figura 3.103 Para el problema 3.58. + i2 − 10 V − + 12 V 3.59 Repita el problema 3.30 aplicando el análisis de lazo. Figura 3.99 Para el problema 3.54. *3.55 En el circuito de la figura 3.100, determinar I1, I2 e I3. 3.60 Calcular la potencia disipada en cada resistor del circuito de la figura 3.104. 10 V +− 0.5io 6Ω I1 1A I3 4Ω 8Ω 4A 2Ω 12 Ω I2 4Ω io 1Ω + 56 V 2Ω +− − 8V Figura 3.100 Para el problema 3.55. Figura 3.104 Para el problema 3.60. 3.56 Determine v1 y v2 en el circuito de la figura 3.101. 3.61 Calcular la ganancia de corriente io兾is en el circuito de la fi- gura 3.105. 2Ω + v1 − 20 Ω 10 Ω 2Ω 2Ω io + + is vo 30 Ω – 5vo 40 Ω + 12 V + 2Ω v2 2Ω − − − Figura 3.105 Para el problema 3.61. Figura 3.101 Para el problema 3.56. 3.62 Hallar las corrientes de lazo i1, i2 e i3 en la red de la figura 3.57 En el circuito de la figura 3.102 halle los valores de R, V1 y V2 3.106. dado que io  15 mA. 102 Capítulo 3 Métodos de análisis 4 kΩ 8 kΩ 2 kΩ 10 Ω 10 Ω 100 V + i1 4 mA i2 2i1 i3 + 40 V 8Ω 4Ω 8Ω − − i1 i2 + + + 12 V − 6Ω − 24 V − 40 V Figura 3.106 Para el problema 3.62. 2Ω 2Ω 6Ω 8Ω 8Ω 3.63 Hallar vx e ix en el circuito que se muestra en la figura 3.107. i3 4Ω i4 4Ω i5 + + 30 V − 32 V − ix 10 Ω Figura 3.110 Para el problema 3.66. vx 3A 5Ω 4 50 V + − + Sección 3.6 Análisis nodal y de lazo vx 2Ω + − 4ix por inspección − 3.67 Obtenga las ecuaciones de tensión de los nodos del circuito Figura 3.107 Para el problema 3.63. de la figura 3.111 por inspección. Después determine Vo. 5A 3.64 Halle vo e io en el circuito de la figura 3.108. 50 Ω 10 Ω 4Ω 2Ω io + vo − + Vo − 10 Ω + 4io − 3Vo 10 Ω 5Ω 10 A 250 V + − 40 Ω 0.2vo 5A Figura 3.111 Para el problema 3.67. Figura 3.108 Para el problema 3.64. 3.68 Use la figura 3.112 para diseñar un problema para obtener Vo, 3.65 Use MATLAB para resolver las corrientes de lazo del circuito que ayude a otros estudiantes a comprender mejor el análisis de la figura 3.109. de nodo. Haga su mejor esfuerzo para trabajar con valores que faciliten los cálculos. 6V 10 V 3Ω 4Ω I2 −+ −+ i4 2Ω i5 1Ω 1Ω 1Ω 1Ω R2 R3 5Ω 6Ω + i1 6Ω i2 8Ω i3 I1 R1 Vo R4 + V + − − 1 12 V − + 9V − Figura 3.109 Para el problema 3.65. Figura 3.112 Para el problema 3.68. 3.66 Escriba el conjunto de ecuaciones de los lazos para el circuito de la figura 3.110. Use MATLAB para determinar las corrien- 3.69 En referencia al circuito que aparece en la figura 3.113, escri- tes de lazo. ba las ecuaciones de tensión de los nodos por inspección. Problemas 103 1 kΩ 3.73 Escriba las ecuaciones de corriente de los lazos del circuito de la figura 3.117. 5 mA 2Ω 5Ω v1 4 kΩ v2 4 kΩ v3 − 6V + i1 3Ω i2 4V − + 20 mA 2 kΩ 2 kΩ 10 mA 4Ω i3 i4 1Ω 1Ω 1Ω Figura 3.113 Para el problema 3.69. +− +− 3.70 Escriba las ecuaciones de tensión de nodo por inspección y 2V 3V después determine los valores de V1 y V2 en el circuito de la Figura 3.117 Para el problema 3.73. figura 3.114. 4ix 3.74 Por inspección obtenga las ecuaciones de corriente de los la- V1 V2 zos del circuito de la figura 3.118. ix R1 R2 R3 20 A 1S 2S 5S 7A i2 R5 V1 + i1 R4 − V2 + R6 − i4 + V − 4 Figura 3.114 Para el problema 3.70. i3 R8 3.71 Escriba las ecuaciones de corriente de los lazos del circuito +− de la figura 3.115. Después determine los valores de i1, i2 e i3. R7 V3 Figura 3.118 Para el problema 3.74. 5Ω i3 3Ω Sección 3.8 Análisis de circuitos con PSpice 1Ω o MultiSim 30 V + i1 − 2Ω 4Ω i2 + 15 V 3.75 Use PSpice o MultiSim para resolver el problema 3.58. − 3.76 Use PSpice o MultiSim para resolver el problema 3.27. Figura 3.115 Para el problema 3.71. 3.77 Determine V1 y V2 en el circuito de la figura 3.119 usando PSpice o MultiSim. 3.72 Por inspección, escriba las ecuaciones de corriente de los la- 2ix zos del circuito de la figura 3.116. 4Ω V1 5Ω V2 i4 8V 4V 1Ω +− +− 5A 2Ω 1Ω 2A i1 i2 i3 + 10 V ix 5Ω 2Ω 4Ω − Figura 3.116 Para el problema 3.72. Figura 3.119 Para el problema 3.77. 104 Capítulo 3 Métodos de análisis 3.78 Resuelva el problema 3.20 usando PSpice o MultiSim. 3.85 Un amplificador de audio con una resistencia de 9  suminis- tra energía a un altavoz. ¿Cuál debería ser la resistencia del 3.79 Repita el problema 3.28 usando PSpice o MultiSim. altavoz para el suministro de la energía máxima? 3.80 Halle las tensiones nodales v1 a v4 en el circuito de la figura 3.86 Para el circuito transistorizado simplificado de la figura 3.120 usando PSpice o MultiSim. 3.122, calcule la tensión vo. 6Io 1 kΩ +− I 400I + 10 Ω v2 12 Ω v1 v3 47 mV + − 5 kΩ vo − 2 kΩ 8A 4Ω 2Ω v4 + 20 V Figura 3.122 Para el problema 3.86. − Io 1Ω 3.87 Para el circuito de la figura 3.123, hallar la ganancia vo兾vs. Figura 3.120 Para el problema 3.80. 2 kΩ 200 Ω + + vs + v1 500 Ω − 60v1 400 Ω vo 3.81 Use PSpice o MultiSim para resolver el problema del ejemplo − + − − 3.4. 3.82 Si la Schematics Netlist de una red es la siguiente, trace la red. Figura 3.123 Para el problema 3.87. R_R1 1 2 2K R_R2 2 0 4K R_R3 3 0 8K *3.88 Determinar la ganancia vo兾vs del circuito amplificador tran- R_R4 3 4 6K sistorizado de la figura 3.124. R_R5 1 3 3K V_VS 4 0 DC 100 Io I_IS 0 1 DC 4 200 Ω 2 kΩ F_F1 1 3 VF_F1 2 VF_F1 5 0 0V + E_E1 3 2 1 3 3 vo + vo vs + − 100 Ω 40Io 10 kΩ 1 000 − 3.83 El siguiente programa es la Schematics Netlist de un circui- − to  particular. Trace el circuito y determine la tensión en el nodo 2. Figura 3.124 Para el problema 3.88. R_R1 1 2 20 R_R2 2 0 50 R_R3 2 3 70 R_R4 3 0 30 3.89 Para el circuito transistorizado que aparece en la figura 3.125, V_VS 1 0 20V halle IB y VCE. Sea ␤  100 y VBE  0.7 V. I_IS 2 0 DC 2A 0.7 V 100 kΩ − + + 15 V − Sección 3.9 Aplicaciones 2.25 V 1 kΩ 3.84 Calcule vo e Io en el circuito de la figura 3.121. + − Io 4 kΩ + Figura 3.125 Para el problema 3.89. vo + 15 mV + − 100 − 50Io 20 kΩ vo − 3.90 Calcule vs en el transistor de la figura 3.126 dado que vo  4 Figura 3.121 Para el problema 3.84. V, ␤  150, VBE  0.7 V. Problema de mayor extensión 105 1 kΩ 3.92 Use la figura 3.128 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor los transistores. ¡Haga su mejor esfuerzo para trabajar con valores razonables! 10 kΩ + R2 18 V R1 − VC vs + 500 Ω vo + − V1 IB − Figura 3.126 Para el problema 3.90. R3 3.91 Para el circuito transistorizado de la figura 3.127, hallar IB, VCE y vo. Suponga ␤  200, VBE  0.7 V. Figura 3.128 Para el problema 3.92. 5 kΩ + IB 6 kΩ VCE + 9V − − 3V 2 kΩ + 400 Ω vo − Figura 3.127 Para el problema 3.91. Problema de mayor extensión *3.93 Rehaga el ejercicio 3.11 con los cálculos a mano. capítulo Teoremas de circuitos ¡Tu éxito como ingeniero será directamente proporcional a tu habilidad para 4 comunicarte! —Charles K. Alexander Mejore sus habilidades y su carrera Desarrollo de sus habilidades de comunicación Tomar un curso de análisis de circuitos es un paso en su preparación para una carrera en ingeniería eléctrica. Ya que dedicará gran parte de su tiempo a comunicarse, el mejora- miento de sus habilidades de comunicación mientras está en la universidad también debería estar presente en esa preparación. Los miembros de la industria se quejan de que los ingenieros recién graduados es- tán deficientemente preparados en comunicación escrita y oral. Un ingeniero que se comunica de manera eficaz se convierte en un bien muy valioso. Es probable que usted hable o escriba con facilidad y rapidez. Pero, ¿qué tan eficaz- La capacidad para la comunicación mente se comunica? El arte de la comunicación eficaz es de la mayor importancia para eficaz es considerada por muchos como su éxito como ingeniero. el paso más importante para el ascenso Para los ingenieros industriales, la comunicación es clave para el ascenso. Conside- de un ejecutivo. © IT Stock/Punchstock re el resultado de una encuesta realizada entre corporaciones de Estados Unidos en la que se preguntó qué factores influyen en el ascenso de los gerentes. Esta encuesta in- cluía una lista de 22 cualidades personales y su importancia para el progreso profesio- nal. Tal vez le sorprenda saber que la “habilidad técnica basada en la experiencia” que- dó en cuarto lugar de abajo para arriba. Atributos como la seguridad en uno mismo; la ambición; la flexibilidad; la madurez; la habilidad para tomar decisiones correctas, ob- tener resultados y hacerse entender por los demás, y la capacidad para trabajar con tesón ocuparon lugares más altos. El primer lugar de la lista fue para la “capacidad para co- municarse”. Cuanto más alto llegue usted en su carrera profesional, más tendrá que comunicarse. En consecuencia, debería considerar la comunicación eficaz como una importante herramienta en su instrumental de ingeniería. Aprender a comunicarse de manera eficaz es una tarea de toda la vida en la que deberíamos esmerarnos siempre. El mejor momento para empezar es durante la estancia en la universidad. Busque continuamente oportunidades para mejorar y fortalecer sus habilidades de lectura, redacción, escucha y habla. Puede hacerlo mediante presentacio- nes en el salón de clases, proyectos en equipo, la activa participación en organizaciones estudiantiles y la inscripción en cursos de comunicación. Los riesgos son menores, en- tonces, que más tarde en un centro de trabajo. 108 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 4.1 Introducción Una de las principales ventajas de analizar circuitos con el uso de las leyes de Kirchhoff, como se hizo en el capítulo 3, es que se puede analizar un circuito sin alterar su confi- guración original. Una de las principales desventajas de ese método es que implica en gran medida circuitos complejos y tediosos cálculos. El aumento de las áreas de aplicación de circuitos eléctricos ha causado una evolu- ción de circuitos simples a complejos. Para enfrentar esa complejidad, a lo largo de los años los ingenieros han desarrollado algunos teoremas para simplificar el análisis de circuitos. Entre ellos están los teoremas de Thevenin y Norton. Como estos teoremas se aplican a circuitos lineales, primero se expondrá el concepto de linealidad de los circui- tos. Además de teoremas de circuitos, en este capítulo se expondrán los conceptos de superposición, transformación de fuentes y máxima transferencia de potencia. Los con- ceptos desarrollados se aplicarán en la última sección a la modelación de fuentes y la medición de la resistencia. 4.2 Propiedad de linealidad La linealidad es la propiedad de un elemento que describe una relación lineal entre cau- sa y efecto. Aunque tal propiedad se aplica a muchos elementos de circuitos, en este capítulo se limitará su aplicación a resistores. Esta característica es una combinación de la propiedad de homogeneidad (escalamiento) y la propiedad aditiva. La propiedad de homogeneidad establece que si la entrada (también llamada exci- tación) se multiplica por una constante, la salida (también llamada respuesta) se multi- plica por la misma constante. En el caso de un resistor, por ejemplo, la ley de Ohm re- laciona la entrada i con la salida v, v  iR (4.1) Si la corriente se incrementa por una constante k, la tensión se incrementa en consecuen- cia por k; esto es, kiR  kv (4.2) La propiedad aditiva establece que la respuesta a una suma de entradas es la suma de las respuestas a cada entrada aplicada por separado. Con base en la relación tensión- corriente de un resistor, si v1  i1R (4.3a) y v2  i2R (4.3b) entonces la aplicación de (i1  i2) da como resultado v  (i1  i2) R  i1R  i2R  v1  v2 (4.4) Se dice que un resistor es un elemento lineal a causa de que la relación tensión-corrien- te satisface las propiedades tanto de homogeneidad como de aditividad. Por ejemplo, cuando la corriente i1 En general, un circuito es lineal si es tanto aditivo como homogéneo. Un circuito fluye por el resistor R, la potencia es p1  Ri 21 , y cuando la corriente i2 fluye lineal consta únicamente de elementos lineales, fuentes lineales dependientes y fuen- por R, la potencia es p2  Ri 22 . Si la tes lineales independientes. corriente i1  i2 fluye por R, la potencia absorbida es p3  R(i1  i2)2 Un circuito lineal es aquel cuya salida se relaciona linealmente con (o es directamente  Ri 21  Ri 22  2Ri1i2 Z p1  p2. Así, la proporcional a) su entrada. relación con la potencia es no lineal. 4.2 Propiedad de linealidad 109 En este libro sólo se consideran circuitos lineales. Nótese que como p  i2R  v2/R (lo i que hace de ella una función cuadrática más que lineal), la relación entre potencia y tensión (o corriente) es no lineal. Por lo tanto, los teoremas cubiertos en este capítulo no vs + Circuito lineal R − son aplicables a la potencia. Para ilustrar el principio de linealidad, considérese el circuito lineal que se muestra en la figura 4.1. Este circuito lineal no tiene dentro de él fuentes independientes. Es excitado por una fuente de tensión vs, la cual sirve como entrada. El circuito termina con Figura 4.1 Circuito lineal con entrada una carga R. Puede tomarse la corriente i a través de R como salida. Supóngase que vs y salida i. vs  10 V da i  2 A. De acuerdo con el principio de linealidad, vs  1 V dará en i  0.2 A. Por la misma razón, i  1 mA tiene que deberse a vs  5 mV. Para el circuito de la figura 4.2, halle Io cuando vs  12 V y vs  24 V. Ejemplo 4.1 Solución: Al aplicar la LTK a las dos mallas se obtiene 2Ω 8Ω 12i1  4i2  vs  0 (4.1.1) + vx − Io 4i1  16i2  3vx  vs  0 (4.1.2) 4Ω 4Ω 6Ω i1 i2 Pero vx  2i1. Así, la ecuación (4.1.2) se convierte en vs + − − 10i1  16i2  vs  0 (4.1.3) + 3vx La suma de las ecuaciones (4.1.1) y (4.1.3) produce 2i1  12i2  0 1 i1  6i2 Figura 4.2 Para el ejemplo 4.1. Al sustituir esto en la ecuación (4.1.1) se obtiene vs 76i2  vs  0 1 i2  76 12 Cuando vs  12 V, I o  i2  A 76 24 Cuando vs  24 V, I o  i2  A 76 lo que demuestra que cuando el valor de la fuente se duplica, Io se duplica. Para el circuito de la figura 4.3, halle vo cuando is  30 e is  45 A. Problema de práctica 4.1 Respuesta: 40 V, 60 V. 12 Ω + is 4Ω 8Ω vo Figura 4.3 Para el problema − de práctica 4.1. Suponga que Io  1 A y aplique el principio de la linealidad para hallar el valor real de Ejemplo 4.2 Io en el circuito de la figura 4.4. I4 6Ω 2 V I 2Ω 1 V 3Ω 2 2 1 I3 I1 Io I s = 15 A 7Ω 4Ω 5Ω Figura 4.4 Para el ejemplo 4.2. 110 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Solución: Si Io  1 A, entonces V1  (3  5)Io  8 V e I1  V1兾4  2 A. La aplicación de la LCK al nodo 1 da I2  I1  Io  3 A V2 V2  V1  2I2  8  6  14 V, I3  2A 7 La aplicación de la LCK al nodo 2 da I4  I3  I2  5 A Por lo tanto, Is  5 A. Esto demuestra que al suponer que Io  1 da por resultado Is  5 A, la fuente real de corriente de 15 A dará Io  3 A como el valor real. Problema de práctica 4.2 Suponga que Vo  1 V y aplique el principio de la linealidad para calcular el valor real de Vo en el circuito de la figura 4.5. 12 Ω + Respuesta: 16 V. 40 V + 5Ω 8Ω Vo − − Figura 4.5 Para el problema de 4.3 Superposición práctica 4.2. Si un circuito tiene dos o más fuentes independientes, una forma de determinar el valor de una variable específica (tensión o corriente) es aplicar el análisis nodal o de malla, La superposición no se limita al como en el capítulo 3. Otra es determinar la contribución de cada fuente independiente a análisis de circuitos, también se la variable y después sumarlas. Este último método se conoce como superposición. aplica a muchos otros campos en los La idea de la superposición se basa en la propiedad de la linealidad. que causa y efecto guardan una relación lineal entre sí. El principio de superposición establece que la tensión entre los extremos (o la corrien- te a través) de un elemento en un circuito lineal es la suma algebraica de las tensiones (o corrientes) a través de ese elemento debido a que cada fuente independiente actúa sola. El principio de superposición ayuda a analizar un circuito lineal con más de una fuente independiente, mediante el cálculo de la contribución de cada fuente independiente por separado. Sin embargo, al aplicarlo deben tenerse en cuenta dos cosas: Términos como muerto, inactivo, 1. Las fuentes independientes se consideran una a la vez mientras todas las demás apagado o igual a cero suelen usarse fuentes independientes están apagadas. Esto implica que cada fuente de tensión se para transmitir la misma idea. reemplaza por 0 V (o cortocircuito) y cada fuente de corriente por 0 A (o circuito abierto). De este modo se obtiene un circuito más simple y manejable. 2. Las fuentes dependientes se dejan intactas, porque las controlan variables de circui- tos. Con esto en cuenta, el principio de superposición se aplica en tres pasos: Pasos para aplicar el principio de superposición: 1. Apague todas las fuentes independientes, excepto una. Determine la salida (tensión o corriente) debida a esa fuente activa, aplicando las técnicas cubier- tas en los capítulos 2 y 3. 2. Repita el paso 1 en cada una de las demás fuentes independientes. 3. Halle la contribución total sumando algebraicamente todas las contribuciones debidas a las fuentes independientes. 4.3 Superposición 111 El análisis de un circuito aplicando la superposición tiene una gran desventaja: muy probablemente puede implicar más trabajo. Si el circuito tiene tres fuentes independien- tes, quizá deban analizarse tres circuitos más simples, cada uno de los cuales proporcio- na la contribución debida a la respectiva fuente individual. Sin embargo, la superposi- ción ayuda a reducir un circuito complejo en circuitos más simples mediante el reemplazo de fuentes de tensión por cortocircuitos y de fuentes de corriente por circui- tos abiertos. Tenga en cuenta que la superposición se basa en la linealidad. Por esta razón, no es aplicable al efecto sobre la potencia debido a cada fuente, porque la potencia absorbida por un resistor depende del cuadrado de la tensión o de la corriente. De necesitarse el valor de la potencia, primero debe calcularse la corriente (o tensión) a través del ele- mento aplicando la superposición. Aplique el teorema de la superposición para hallar v en el circuito de la figura 4.6. Ejemplo 4.3 Solución: Puesto que hay dos fuentes, se tiene 8Ω v  v 1  v2 + 6V + 4Ω v 3A − donde v1 y v2 son las contribuciones de la fuente de tensión de 6 V y a la fuente de co- − rriente de 3 A, respectivamente. Para obtener v1, la fuente de corriente se iguala en cero, como se indica en la figura 4.7a). La aplicación de la LTK al lazo de esta última figura Figura 4.6 Para el ejemplo 4.3. se tiene 8Ω 12i1  6  0 1 i1  0.5 A Así, v1  4i1  2 V 6V + i1 4Ω + v1 − − También se puede aplicar la división de tensión para obtener v1 escribiendo 4 a) v1  (6)  2 V 48 8Ω i2 Para obtener v2, la fuente de tensión se iguala en cero, como en la figura 4.7b). Al apli- i3 car el divisor de corriente, + 4Ω v2 3A 8 − i3  (3)  2 A 48 b) Por lo tanto, v2  4i3  8 V Figura 4.7 Para el ejemplo 4.3: Y se halla v  v1  v2  2  8  10 V a) cálculo de v1, b) cálculo de v2. Aplicando el teorema de la superposición, halle vo en el circuito de la figura 4.8. Problema de práctica 4.3 Respuesta: 7.4 V. 3Ω 5Ω + vo 2Ω 5A + 12 V − Figura 4.8 Para el problema − de práctica 4.3. Halle io en el circuito de la figura 4.9 aplicando la superposición. Ejemplo 4.4 Solución: El circuito de la figura 4.9 incluye una fuente dependiente, la cual debe de- jarse intacta. Sea io  i o  io (4.4.1) 112 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 2Ω donde i o e io se deben a la fuente de corriente de 4 A y a la fuente de tensión de 20 V, respectivamente. Para obtener i o se desactiva la fuente de 20 V, para conseguir el circui- to de la figura 4.10a). Se aplica el análisis de malla a fin de obtener i o. En cuanto al 3Ω lazo 1, 5io 1Ω 4A +− i1  4 A (4.4.2) io 5Ω 4Ω En cuanto al lazo 2, 3i1  6i2  1i3  5i o  0 (4.4.3) En cuanto al lazo 3, 5i1  1i2  10i3  5i o  0 (4.4.4) +− 20 V Pero en el nodo 0, i3  i1  i o  4  i o (4.4.5) Figura 4.9 Para el ejemplo 4.4. 2Ω 2Ω i4 3Ω i2 3Ω i1 5i o′′ 5io′ 1Ω 1Ω +− +− 4A i o′′ i5 5Ω 4Ω 5Ω i3 4Ω Figura 4.10 Para el ejemplo 4.4: aplicación de la i1 i o′ i3 +− superposición para a) obtener i o, 0 20 V b) obtener io. a) b) La sustitución de las ecuaciones (4.4.2) y (4.4.5) en las ecuaciones (4.4.3) y (4.4.4) da como resultado dos ecuaciones simultáneas, 3i2  2i o  8 (4.4.6) i2  5i o  20 (4.4.7) las que pueden resolverse para obtener 52 i o  A (4.4.8) 17 Para obtener io se desactiva la fuente de corriente de 4 A, a fin de que el circuito sea como el que aparece en la figura 4.10b). En cuanto al lazo 4, la LTK da 6i4  i5  5io  0 (4.4.9) y en cuanto al lazo 5, i4  10i5  20  5io  0 (4.4.10) Pero i5  io. La sustitución de esto en las ecuaciones (4.4.9) y (4.4.10) da por resultado 6i4  4io  0 (4.4.11) i4  5io  20 (4.4.12) que se resuelven para obtener 60 i o   A (4.4.13) 17 Ahora, la sustitución de las ecuaciones (4.4.8) y (4.4.13) en la ecuación (4.4.1) deriva en 8 io    0.4706 A 17 4.3 Superposición 113 Aplique la superposición para hallar vx en el circuito de la figura 4.11. Problema de práctica 4.4 20 Ω vx Respuesta: vx  31.25 V. 25 V + 5A 4Ω 0.1vx − Figura 4.11 Para el problema de práctica 4.4. En relación con el circuito de la figura 4.12, aplique el teorema de la superposición para Ejemplo 4.5 hallar i. 24 V 8Ω Solución: En este caso se tienen tres fuentes. Se tiene +− i  i1  i2  i3 4Ω 4Ω i donde i1, i2 e i3 se deben a las fuentes de 12 V, 24 V y 3 A, respectivamente. Para obte- ner i1 considérese el circuito de la figura 4.13a). La combinación de 4  (a la derecha) 12 V + 3Ω − 3A en serie con 8  se tiene 12 . El 12  en paralelo con 4  da por resultado 12  4/16  3 . Así, 12 Figura 4.12 Para el ejemplo 4.5. i1  2A 6 Para obtener i2 considérese el circuito de la figura 4.13b). La aplicación del análisis de malla da como resultado 16ia  4ib  24  0 1 4ia  ib  6 (4.5.1) 7 7ib  4ia  0 1 ia  ib (4.5.2) 4 La sustitución de la ecuación (4.5.2) en la ecuación (4.5.1) produce i2  ib  1 8Ω 4Ω 4Ω 3Ω i1 i1 12 V + 3Ω 12 V + 3Ω − − a) 24 V 8Ω 8Ω +− ia 4Ω 4Ω 4Ω v1 4Ω v2 i2 i3 ib 3Ω 3Ω 3A b) c) Figura 4.13 Para el ejemplo 4.5. 114 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Para obtener i3 considérese el circuito de la figura 4.13c). La aplicación del análisis nodal da por resultado v2 v  v1 3  2 1 24  3v2  2v1 (4.5.3) 8 4 v 2  v1 v v 10  1 1 1 v2  v1 (4.5.4) 4 4 3 3 La sustitución de la ecuación (4.5.4) en la ecuación (4.5.3) conduce a v1  3 e v1 i3  1A 3 Así, i  i1  i2  i3  2 1  1  2 A Problema de práctica 4.5 Halle I en el circuito de la figura 4.14 aplicando el principio de superposición. 2Ω 6Ω I 8Ω 8V + + 6V − 2A − Figura 4.14 Para el problema de práctica 4.5. Respuesta: 375 mA. 4.4 Transformación de fuentes Se ha señalado que la combinación en serie-paralelo y la transformación estrella-delta ayudan a simplificar circuitos. La transformación de fuentes es otra herramienta para simplificar circuitos. Para estas herramientas es básico el concepto de equivalencia. Recuérdese que un circuito equivalente es aquel cuyas características de v-i son idénti- cas a las del circuito original. En la sección 3.6 se vio que es posible obtener ecuaciones de tensión de nodo (o corriente de malla) por mera inspección de un circuito cuando todas las fuentes de corriente son independientes (o son de tensión independientes). Por lo tanto, en análisis de circuitos es útil poder sustituir una fuente de tensión en serie con un resistor por una fuente de corriente en paralelo con una resistencia o viceversa, como se muestra en la figura 4.15. Cualquier sustitución se conoce como transformación de fuente. R a a vs + is R − Figura 4.15 Transformación de fuentes independientes. b b Una transformación de fuentes es el proceso de reemplazar una fuente de tensión vs en serie con un resistor R por una fuente de corriente is en paralelo con un resistor R o vice- versa. Los dos circuitos de la figura 4.15 son equivalentes, en tanto tengan la misma relación tensión-corriente en las terminales a-b. Es fácil demostrar que en efecto son equivalen- tes. Si las fuentes se apagan, la resistencia equivalente en las terminales a-b en ambos 4.4 Transformación de fuentes 115 circuitos es R. Asimismo, cuando las terminales a-b están en cortocircuito, la corriente correspondiente que fluye de a a b es isc  vs兾R en el circuito de la izquierda e isc  is en el de la derecha. Así, vs兾R  is para que ambos circuitos sean equivalentes. En con- secuencia, la transformación de fuente requiere que vs v s = is R o is  (4.5) R La transformación de fuentes también se aplica a fuentes dependientes, siempre y cuando se maneje con cuidado la variable dependiente. Como se muestra en la figura 4.16, una fuente de tensión dependiente en serie con un resistor puede transformarse en una fuente de corriente dependiente en paralelo con el resistor o viceversa, confirmando que se satisfaga la ecuación (4.5). R a a vs + − is R Figura 4.16 Transformación de b b fuentes dependientes. Al igual que la transformación estrella-delta que se estudió en el capítulo 2, una transformación de fuente no afecta a la parte restante del circuito. Cuando es aplicable, la transformación de fuentes es una herramienta eficaz que permite manipulaciones de circuitos para facilitar su análisis. No obstante, se deben tener en cuenta los siguientes puntos al tratar con la transformación de fuentes. 1. Como se advierte en la figura 4.15 (o 4.16), la flecha de la fuente de corriente apun- ta hacia la terminal positiva de la fuente de tensión. 2. Como se deduce de la ecuación (4.5), la transformación de fuente no es posible cuando R  0, el cual es el caso de una fuente de tensión ideal. Sin embargo, en una fuente de tensión real no ideal, R Z 0. De igual forma, una fuente de corriente ideal con R   no puede reemplazarse por una fuente de tensión finita. En la sección 4.10.1 se abundará en fuentes ideales y no ideales. Aplique la transformación de fuente para encontrar vo en el circuito de la figura 4.17. Ejemplo 4.6 Solución: Primero hay que transformar las fuentes de corriente y de tensión para obte- 2Ω 3Ω ner el circuito de la figura 4.18a). La combinación de los resistores de 4  y 2  en serie + y la transformación de la fuente de tensión de 12 V dan por resultado la figura 4.18b). 4Ω 3A 8Ω vo + 12 V − Ahora se combinan los resistores de 3  y 6  en paralelo, para obtener 2 . Se com- − binan asimismo las fuentes de corriente de 2 A y 4 A, para obtener una fuente de 2 A. Figura 4.17 Para el ejemplo 4.6. 4Ω 2Ω + 12 V − 8Ω vo 3Ω 4A + − a) i + + 2A 6Ω 8Ω vo 3Ω 4A 8Ω vo 2Ω 2A − − b) c) Figura 4.18 Para el ejemplo 4.6. 116 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Así, mediante la repetida aplicación de transformaciones de fuente, se obtiene el circui- to de la figura 4.18c). Se aplica la división de corriente a la figura 4.18c), para obtener 2 i (2)  0.4 A 28 y vo  8i  8(0.4)  3.2 V Alternativamente, puesto que los resistores de 8  y 2  de la figura 4.18c) están en paralelo, tienen la misma tensión vo entre sus extremos. Así, 82 vo  (8 || 2)(2 A)  (2)  3.2 V 10 Problema de práctica 4.6 Encuentre io en el circuito de la figura 4.19 aplicando la transformación de fuente. 5V 1Ω −+ io 6Ω 5A 3Ω 7Ω 3A 4Ω Figura 4.19 Para el problema de práctica 4.6. Respuesta: 1.78 A. Ejemplo 4.7 Encuentre vx en la figura 4.20 aplicando la transformación de fuente. 4Ω Solución: El circuito de la figura 4.20 incluye una fuente dependiente de corriente controlada por tensión. Se transforma esta fuente de corriente dependiente, lo mismo 0.25vx que la fuente de tensión independiente de 6 V, como se indica en la figura 4.21a). La 2Ω fuente de tensión de 18 V no se transforma, porque no está conectada en serie con nin- + gún resistor. Los dos resistores de 2  en paralelo se combinan, para dar por resultado + 2Ω vx + 18 V un resistor de 1 , el cual está en paralelo con la fuente de corriente de 3 A. La fuente 6V − − − de corriente se transforma en fuente de tensión, como se indica en la figura 4.21b). Ob- sérvese que las terminales de vx están intactas. La aplicación de la LTK alrededor de la malla de la figura 4.21b) produce Figura 4.20 Para el ejemplo 4.7. 3  5i  vx  18  0 (4.7.1) La aplicación de la LTK alrededor de la malla que contiene únicamente la fuente de tensión de 3 V, el resistor de 1  y vx produce 3  1i  vx  0 1 vx  3  i (4.7.2) Al sustituir esto en la ecuación (4.7.1) se obtiene 15  5i  3  i  0 1 i  4.5 A vx vx 4Ω 1Ω 4Ω +− +− + + 3A 2Ω 2Ω vx + 18 V − 3V + − vx i + 18 V − − − a) b) Figura 4.21 Para el ejemplo 4.7: aplicación de la transformación de fuente al circuito de la figura 4.20. 4.5 Teorema de Thevenin 117 Alternativamente, se puede aplicar la LTK al lazo que contiene vx, el resistor de 4 , la fuente dependiente de voltaje controlada por tensión y la fuente de voltaje de 18 V en la figura 4.21b). De eso se obtiene vx  4i  vx  18  0 1 i  4.5 A Así, vx  3  i  7.5 V. Aplique la transformación de fuentes para hallar ix en el circuito que se muestra en la Problema de práctica 4.7 figura 4.22. 5Ω Respuesta: 7.059 mA. ix 24 mA − 2ix 10 Ω + 4.5 Teorema de Thevenin Figura 4.22 Para el problema En la práctica suele ocurrir que un elemento particular de un circuito sea variable (usual- de práctica 4.7. mente llamado carga) mientras que los demás elementos permanecen fijos. Como ejem- plo habitual, en una toma de corriente doméstica se pueden conectar diferentes apara- tos, los que constituyen una carga variable. Cada vez que el elemento variable cambia, el circuito entero tiene que volver a analizarse de nuevo. Para evitar este problema, el I a teorema de Thevenin proporciona una técnica mediante la cual la parte fija del circuito Circuito lineal + se reemplaza por un circuito equivalente. con dos Carga V De acuerdo con el teorema de Thevenin, el circuito lineal de la figura 4.23a) puede terminales − reemplazarse por el de la figura 4.23b). (La carga en la figura 4.23 puede ser un solo b resistor u otro circuito.) El circuito a la izquierda de las terminales a-b en la figura 4.23b) se conoce como circuito equivalente de Thevenin y fue desarrollado en 1883 por a) el ingeniero de telégrafos francés M. Leon Thevenin (1857-1926). R Th I a + El teorema de Thevenin establece que un circuito lineal de dos terminales puede reem- VTh + Carga − V plazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de tensión VTh en serie con − un resistor RTh, donde VTh es la tensión de circuito abierto en las terminales y RTh es la en- b trada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes se b) apagan. Figura 4.23 Reemplazo de un circuito lineal de dos terminales por su La demostración de este teorema se dará más adelante, en la sección 4.7. Por ahora el equivalente de Thevenin: a) circuito principal interés es cómo hallar la tensión equivalente de Thevenin VTh y la resistencia original, b) circuito equivalente de RTh. Para hacerlo, supóngase que los dos circuitos de la figura 4.23 son equivalentes. Se Thevenin. dice que dos circuitos son equivalentes si tienen la misma relación tensión-corriente en sus terminales. Indáguese qué vuelve equivalentes a los circuitos de la figura 4.23. Si las terminales a-b están en circuito abierto (mediante la eliminación de la carga), ninguna a corriente fluye, así que la tensión de circuito abierto entre las terminales a-b de la figura Circuito lineal + 4.23a) debe ser igual a la fuente de tensión VTh de la figura 4.23b), ya que ambos circui- con dos voc tos son equivalentes. Así, VTh es la tensión de circuito abierto entre las terminales, como terminales − b se indica en la figura 4.24a); es decir, V Th = voc VTh  voc (4.6) a) De nueva cuenta, con la carga desconectada y las terminales a-b en circuito abierto, Circuito lineal a se apagan todas las fuentes independientes. La resistencia de entrada (o resistencia equi- con todas las fuentes R en valente) del circuito apagado en las terminales a-b de la figura 4.23a) debe ser igual a independientes RTh en la figura 4.23b), porque ambos circuitos son equivalentes. Así, RTh es la resisten- iguales a cero b cia de entrada en las terminales cuando las fuentes independientes se apagan, como se RTh = R en muestra en la figura 4.24b); es decir, b) RTh  Ren (4.7) Figura 4.24 Cálculo de VTh y RTh. 118 Capítulo 4 Teoremas de circuitos a io Para aplicar esta idea en el cálculo de la resistencia de Thevenin RTh se deben con- Circuito con todas siderar dos casos. las fuentes + − vo independientes ■ CASO 1 Si la red no tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes inde- iguales a cero pendientes. RTh es la resistencia de entrada que aparece entre las terminales a y b, como b se advierte en la figura 4.24b). vo RTh = io ■ CASO 2 Si la red tiene fuentes dependientes, se apagan todas las fuentes indepen- a) dientes. Como en el caso de la superposición, las fuentes dependientes no se desactivan, a porque son controladas por las variables del circuito. Se aplica una fuente de tensión vo Circuito con todas + en las terminales a y b y se determina la corriente resultante io. Así, RTh  vo /io, como las fuentes independientes vo io se señala en la figura 4.25a). Alternativamente, puede insertarse una fuente de corriente iguales a cero − io en las terminales a-b, como se muestra en la figura 4.25b), y hallar la tensión entre b las terminales vo. De nuevo, RTh  vo /io. Los dos métodos dan el mismo resultado. En RTh = vo ambos puede suponerse cualquier valor de vo e io. Por ejemplo, puede usarse vo  1 V io o io  1 A, o incluso valores no especificados de vo o io. b) Suele suceder que RTh adopte un valor negativo. En este caso, la resistencia negativa Figura 4.25 Determinación de (v  iR) implica que el circuito suministra potencia. Esto es posible en un circuito con RTh cuando el circuito tiene fuentes fuentes dependientes; el ejemplo 4.10 lo ilustrará. dependientes. El teorema de Thevenin es muy importante en el análisis de circuitos. Ayuda a Más adelante se verá que una forma simplificar un circuito. Un circuito complicado puede reemplazarse por una sola fuente alterna de hallar RTh es RTh = voc /isc. de tensión independiente y un solo resistor. Esta técnica de reemplazo es una eficaz herramienta en el diseño de circuitos. a Como ya se mencionó, un circuito lineal con una carga variable puede reemplazar- IL se por el equivalente de Thevenin, exclusivo para la carga. La red equivalente se com- Circuito lineal RL porta externamente de la misma manera que el circuito original. Considérese un circuito lineal que termina con una carga RL, como se advierte en la figura 4.26a). La corriente IL a través de la carga y la tensión VL en sus terminales se determinan con facilidad una b vez que se obtiene el equivalente de Thevenin del circuito en las terminales de la carga, a) como se muestra en la figura 4.26b). Con base en esta última figura, se obtiene R Th a VTh IL  (4.8a) IL RTh  RL VTh + RL − RL VL  RL IL  V (4.8b) RTh  RL Th b b) Nótese en la figura 4.26b) que el equivalente de Thevenin es un divisor de tensión sim- Figura 4.26 Circuito con una carga: ple, lo que produce VL por mera inspección. a) circuito original, b) equivalente de Thevenin. Ejemplo 4.8 Halle el circuito equivalente de Thevenin del circuito que aparece en la figura 4.27 a la izquierda de las terminales a-b. Halle después la corriente a través de RL  6, 16 y 4Ω 1Ω a 36 . 32 V + − 12 Ω 2A RL Solución: Se halla RTh apagando la fuente de tensión de 32 V (reemplazándola por un cortocircuito) y la fuente de corriente de 2 A (reemplazándola por un circuito b abierto). El circuito se convierte en el que aparece en la figura 4.28a). Así, Figura 4.27 Para el ejemplo 4.8. 4  12 RTh  4 || 12  1  14 16 4.5 Teorema de Thevenin 119 4Ω 1Ω 4Ω VTh 1Ω a a + R Th + 12 Ω 32 V − i1 12 Ω i2 2A VTh − b b Figura 4.28 Para el ejemplo 4.8: a) b) a) cálculo de RTh, b) cálculo de VTh. Para hallar VTh considérese el circuito de la figura 4.28b). Al aplicar el análisis de malla a los dos lazos se obtiene 32  4i1  12(i1  i2)  0, i2  2 A Al despejar i1 se obtiene i1  0.5 A. Así, VTh  12(i1  i2)  12(0.5  2.0)  30 V Alternativamente es todavía más fácil aplicar el análisis nodal. Se ignora el resistor de 1 , pues no fluye corriente por él. En el nodo superior, la LCK da 32  VTh V  2  Th 4 12 o sea 96  3VTh  24  VTh 1 VTh  30 V como se obtuvo antes. Para hallar VTh también podría aplicarse la transformación de 4Ω a fuente. IL El circuito equivalente de Thevenin aparece en la figura 4.29. La corriente a través de RL es 30 V + RL − VTh 30 IL   RTh  RL 4  RL b Cuando RL  6, Figura 4.29 Circuito equivalente de 30 Thevenin del ejemplo 4.8. IL  3A 10 Cuando RL  16, 30 IL   1.5 A 20 Cuando RL  36, 30 IL   0.75 A 40 Aplicando el teorema de Thevenin, halle el circuito equivalente a la izquierda de las Problema de práctica 4.8 terminales en el circuito de la figura 4.30. Después halle I. 6Ω 6Ω a Respuesta: VTh  6 V, RTh  3 , I  1.5 A. I 12 V + 2A 4Ω 1Ω − Figura 4.30 Para el problema de práctica 4.8. b Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.31 en las terminales a-b. Ejemplo 4.9 Solución: Este circuito contiene una fuente dependiente, a diferencia del circuito del ejemplo anterior. Para hallar RTh se establece la fuente independiente en cero, pero se 120 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 2vx deja intacta la fuente dependiente sola. A causa de la presencia de esta última, sin em- − + bargo, se excita la red con una fuente de tensión vo conectada a las terminales, como se indica en la figura 4.32a). Se puede fijar vo  1 V para facilitar el cálculo, ya que el 2Ω 2Ω circuito es lineal. El objetivo es hallar la corriente io a través de las terminales y des- a pués obtener R  1/i . (Alternativamente se puede insertar una fuente de corriente de Th o + 1 A, calcular la tensión correspondiente vo y obtener RTh  vo /1.) 5A 4Ω vx 6Ω − La aplicación del análisis de lazo al lazo 1 del circuito de la figura 4.32a) da por resultado b Figura 4.31 Para el ejemplo 4.9. 2vx  2(i1  i2)  0 o v x  i 1  i2 2vx 2vx − + − + i1 i3 2Ω 2Ω a 2Ω 2Ω a io + + + 4Ω vx 6Ω + vo = 1 V 5A 4Ω vx 6Ω voc i2 i3 − i1 i2 − − − b b a) b) Figura 4.32 Cálculo de RTh y VTh para el ejemplo 4.9. Pero 4i2  vx  i1  i2; por lo tanto, i1  3i2 (4.9.1) En cuanto a los lazos 2 y 3, la aplicación de la LTK produce 4i2  2(i2  i1)  6(i2  i3)  0 (4.9.2) 6(i3  i2)  2i3  2  0 (4.9.3) La resolución de estas ecuaciones deriva en 1 i3   A 6 Pero io  i3  1兾6 A. En consecuencia, 1V RTh  6 io Para obtener VTh se halla voc en el circuito de la figura 4.32b). Al aplicar el análisis de lazo se obtiene i1  5 (4.9.4) 2vx  2(i3  i2)  0 1 v x  i3  i2 (4.9.5) 4(i2  i1)  2(i2  i3)  6i2  0 6Ω a o sea 12i2  4i1  2i3  0 (4.9.6) + 20 V − Pero 4(i1  i2)  vx. La resolución de estas ecuaciones conduce a i2  10/3. Así, b VTh  voc  6i2  20 V Figura 4.33 Equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.31. El equivalente de Thevenin se muestra en la figura 4.33. 4.5 Teorema de Thevenin 121 Halle el circuito equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.34 a la izquierda de Problema de práctica 4.9 las terminales. 5Ω Ix 3Ω Respuesta: VTh  5.333 V, RTh  444.4 m. a 6V + 1.5Ix 4Ω − Figura 4.34 Para el problema de práctica 4.9. b Determine el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.35a) en las terminales Ejemplo 4.10 a-b. Solución: 1. Definir. El problema está claramente definido; se debe determinar el equivalente de Thevenin del circuito que aparece en la figura 4.35a). 2. Presentar. Este circuito contiene un resistor de 2  en paralelo con un resistor de 4 . A su vez, éstos están en paralelo con una fuente de corriente dependiente. Es importante señalar que no hay fuentes independientes. 3. Alternativas. Lo primero por considerar es que, dado que en este circuito no se tienen fuentes independientes, se le debe excitar externamente o hallar un circuito equivalente real. Además, cuando no se tienen fuentes independientes, no se tendrá a un valor para VTh; sólo debe hallarse RTh. ix El método más simple es excitar el circuito con una fuente de tensión de 1 V o 2ix 4Ω 2Ω una fuente de corriente de 1 A. Como al final habrá una resistencia equivalente (positiva o negativa), el autor prefiere usar la fuente de corriente y el análisis nodal, lo que producirá una tensión en las terminales de salida igual a la resistencia (con b una entrada de 1 A, vo es igual a 1 multiplicado por la resistencia equivalente). a) Como alternativa, este circuito también podría excitarse con una fuente de ten- vo a sión de 1 V y se le podría aplicar el análisis de malla para hallar la resistencia equi- valente. ix 4. Intentar. Se comienza escribiendo la ecuación nodal en a en la figura 4.35b) asu- 2ix 4Ω 2Ω io miendo que io  1 A. 2ix  (vo  0)兾4  (vo  0)兾2  (1)  0 (4.10.1) b Puesto que hay dos incógnitas y sólo una ecuación, se necesitará una ecuación de b) restricción. 4Ω a 9Ω ix  (0  vo)兾2  vo兾2 (4.10.2) ix La sustitución de la ecuación (4.10.2) en la ecuación (4.10.1) produce 8ix − i1 2Ω i2 + 10 V + − 2(vo兾2)  (vo  0)兾4  (vo  0)兾2  (1)  0  (1  –14  –12)vo  1 o vo  4 V b Dado que vo  1  RTh, entonces RTh  vo /1  4 ⍀. c) El valor negativo de la resistencia indica que, de acuerdo con la convención pasiva de los signos, el circuito de la figura 4.35a) está suministrando potencia. −4 Ω a 9Ω Desde luego que los resistores de esa figura no pueden suministrar potencia (absor- ben potencia); es la fuente dependiente la que suministra potencia. Éste es un ejem- plo del uso de una fuente dependiente y de resistores para simular una resistencia i + 10 V − negativa. 5. Evaluar. Antes que nada, adviértase que la respuesta tiene un valor negativo. Se  sabe que esto no es posible en un circuito pasivo, pero en este circuito hay b un dispositivo activo (la fuente dependiente de corriente). Así, el circuito equiva- d) lente es en esencia un circuito activo que puede suministrar potencia en ciertas condiciones. Figura 4.35 Para el ejemplo 4.10. 122 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Ahora se debe evaluar la solución. La mejor manera de hacerlo es efectuar una comprobación, usando un método diferente, y ver si se obtiene la misma solución. Inténtese la conexión de un resistor de 9  en serie con una fuente de tensión de 10 V entre las terminales de salida del circuito original, y después el equivalente de Thevenin. Para que el circuito sea más fácil de resolver, entonces se puede tomar la fuente de corriente y el resistor de 4  en paralelo y convertirlos en una fuente de tensión y un resistor de 4  en serie aplicando la transformación de fuente. Esto, junto con la nueva carga, da por resultado el circuito que aparece en la figura 4.35c). Ahora pueden escribirse dos ecuaciones de malla. 8ix  4i1  2(i1  i2)  0 2(i2  i1)  9i2  10  0 Nótese que sólo hay dos ecuaciones pero tres incógnitas, así que se necesita una ecuación de restricción. Se puede emplear ix  i2  i1 Esto conduce a una nueva ecuación para la malla 1. La simplificación conduce a (4  2  8)i1  (2  8)i2  0 o sea 2i1  6i2  0 o i1  3i2 2i1  11i2  10 La sustitución de la primera ecuación en la segunda da como resultado 6i2  11i2  10 o i2  10兾5  ⴚ2 A La aplicación del equivalente de Thevenin es sumamente fácil, ya que sólo se tiene una malla, como se advierte en la figura 4.35d). 4i  9i  10  0 o i  10兾5  ⴚ2 A 6. ¿Satisfactorio? Es obvio que se ha hallado el valor del circuito equivalente, como lo pedía el enunciado del problema. La comprobación valida esa solución (se com- para la respuesta obtenida mediante la aplicación del circuito equivalente con la que se logró mediante el uso de la carga con el circuito original). Se puede presentar todo esto como solución del problema. Problema de práctica 4.10 Obtenga el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4.36. 4vx 10 Ω Respuesta: VTh  0 V, RTh  7.5 . +− a + vx 5Ω 15 Ω − b 4.6 Teorema de Norton Figura 4.36 Para el problema de En 1926, casi 43 años después de que Thevenin publicó su teorema, E. L. Norton, inge- práctica 4.10. niero estadounidense de Bell Telephone Laboratories, propuso un teorema similar. El teorema de Norton establece que un circuito lineal de dos terminales puede reem- plazarse por un circuito equivalente que consta de una fuente de corriente IN en paralelo con un resistor RN, donde IN es la corriente de cortocircuito a través de las terminales y RN es la resistencia de entrada o resistencia equivalente en las terminales cuando las fuentes independientes están desactivadas. Así, el circuito de la figura 4.37a) puede reemplazarse por el de la figura 4.37b). La demostración del teorema de Norton se dará en la siguiente sección. Por ahora interesa principalmente cómo obtener RN e IN. RN se halla de la misma manera que 4.6 Teorema de Norton 123 RTh. De hecho, por lo que ya se sabe sobre la transformación de fuente, las resistencias de Thevenin y de Norton son iguales; es decir, Circuito a lineal con dos RN  RTh (4.9) terminales b Para encontrar la corriente de Norton IN, se determina la corriente de cortocircuito a) que fluye de la terminal a a la b en los dos circuitos de la figura 4.37. Es evidente que la a corriente de cortocircuito de la figura 4.37b) es IN. Ésta debe ser igual a la corriente de cortocircuito de la terminal a a la b de la figura 4.37a), ya que ambos circuitos son equi- IN RN valentes. Así, b IN  isc (4.10) b) como se indica en la figura 4.38. Las fuentes dependientes e independientes se tratan Figura 4.37 a) Circuito original, igual que en el teorema de Thevenin. b) circuito equivalente de Norton. Obsérvese la estrecha relación entre los teoremas de Norton y de Thevenin: RN  RTh como en la ecuación (4.9) e VTh IN  4.11) RTh Esto es en esencia la transformación de una fuente. Por esta razón, a la transformación Los circuitos equivalentes de Thevenin de fuentes suele llamársele transformación de Thevenin-Norton. y de Norton se relacionan por una Puesto que VTh, IN y RTh se relacionan de acuerdo con la ecuación (4.11), para de- transformación de fuentes. terminar el circuito equivalente de Thevenin o de Norton se requiere hallar: • La tensión de circuito abierto voc entre las terminales a y b. a • La corriente de cortocircuito isc por las terminales a y b. Circuito lineal • La resistencia equivalente o de entrada Ren en las terminales a y b cuando todas las con dos isc = IN fuentes independientes están apagadas. terminales b Se pueden calcular dos de las tres siguiendo el método que implique el menor esfuerzo y emplearlas para obtener la tercera aplicando la ley de Ohm. El ejemplo 4.11 lo ilustra- Figura 4.38 Cálculo de la corriente de rá. Asimismo, como Norton. VTh  voc (4.12a) IN  isc (4.12b) voc RTh   RN (4.12c) isc las pruebas en circuito abierto y en cortocircuito son suficientes para hallar cualquier equivalente de Thevenin o Norton de un circuito que contenga al menos una fuente in- dependiente. Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.39 en las terminales Ejemplo 4.11 a-b. 8Ω a Solución: Se halla RN de la misma manera que se calculó RTh en el circuito equivalente de Thevenin. Iguale las fuentes independientes en cero. Esto propicia el circuito de la 4Ω figura 4.40a), del que se obtiene RN. Así, 2A 5Ω + 12 V − 20  5 RN  5 储 (8  4  8)  5 储 20  4 b 25 8Ω Para hallar IN se ponen en cortocircuito las terminales a y b, como se muestra en la figu- Figura 4.39 Para el ejemplo 4.11. ra 4.40b). Se ignora el resistor de 5 , porque se ha puesto en cortocircuito. Al aplicar el análisis de malla se obtiene i1  2 A, 20i2  4i1  12  0 124 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 8Ω 8Ω a a isc = IN i2 i1 4Ω RN 4Ω 5Ω 2A + 12 V 5Ω − 8Ω 8Ω b b a) b) 8Ω a + i4 i3 4Ω 2A 5Ω VTh = voc + 12 V − 8Ω − b Figura 4.40 Para el ejemplo 4.11; cálculo de: a) RN, b) IN  isc, c) VTh  voc. c) De estas ecuaciones se obtiene i2  1 A  isc  IN Alternativamente, se puede determinar IN a partir de VTh/RTh. Se obtiene VTh como la tensión en circuito abierto entre las terminales a y b de la figura 4.40c). Al aplicar el análisis de malla se obtiene i3  2 A 25i4  4i3  12  0 1 i4  0.8 A y voc  VTh  5i4  4 V a 4Ω VTh 4 1A Por lo tanto, IN   1A RTh 4 b como se obtuvo anteriormente. Esto también sirve para confirmar la ecuación (4.12c), Figura 4.41 Equivalente de Norton del que RTh  voc兾isc  4兾1  4 . Así, el circuito equivalente de Norton es el que se circuito de la figura 4.39. muestra en la figura 4.41. Problema de práctica 4.11 Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.42 en las terminales a-b. 3Ω 3Ω a Respuesta: RN  3 , IN  4.5 A. 15 V + 4A 6Ω − Figura 4.42 Para el problema b de práctica 4.11. Ejemplo 4.12 Aplicando el teorema de Norton, halle RN e IN en el circuito de la figura 4.43 en las terminales a-b. Solución: Para hallar RN se pone en cero la fuente de tensión independiente y se conec- ta a las terminales una fuente de tensión de vo  1 V (o cualquier tensión no especifica- da). Así, se obtiene el circuito de la figura 4.44a). Se ignora el resistor de 4 , porque está en cortocircuito. También debido al cortocircuito, el resistor de 5 , la fuente de 4.7 Derivación de los teoremas de Thevenin y Norton 125 tensión y la fuente de corriente dependiente están en paralelo. Así, ix  0. En el nodo a, 2 ix io  1v 5  0.2 A, y – vo 1 RN   5 5Ω io 0.2 ix a Para hallar IN se ponen en cortocircuito las terminales a y b y se halla la corriente 4Ω + 10 V − isc, como se indica en la figura 4.44b). Nótese en esta última figura que el resistor de 4 , la fuente de tensión de 10 V, el resistor de 5  y la fuente de corriente dependiente b están en paralelo. Por lo tanto, Figura 4.43 Para el ejemplo 4.12. 10 is   2.5 A 4 En el nodo a, la LCK resulta en 10 isc   2ix  2  2(2.5)  7 A 5 Así, IN  7 A 2ix 2ix 5Ω a 5Ω a ix ix io + + 10 V isc = IN 4Ω − vo = 1 V 4Ω − b b Figura 4.44 Para el ejemplo 4.12: a) b) a) cálculo de RN, b) cálculo de IN. Halle el circuito equivalente de Norton del circuito de la figura 4.45 en las terminales Problema de práctica 4.12 a-b. 2vx Respuesta: RN  1 , IN  10 A. + − a + 6Ω 10 A 2Ω vx − † b 4.7 Derivación de los teoremas de Thevenin Figura 4.45 Para el problema de y Norton práctica 4.12. En esta sección se comprobarán los teoremas de Thevenin y Norton aplicando el princi- pio de superposición. Considérese el circuito lineal de la figura 4.46a). Supóngase que este circuito con- tiene resistores y fuentes dependientes e independientes. Se tiene acceso a él vía las termi- nales a y b, a través de las cuales se aplica corriente desde una fuente externa. El obje- tivo es cerciorarse de que la relación tensión-corriente en las terminales a y b es idéntica a la del equivalente de Thevenin de la figura 4.46b). Para mayor simplicidad, supóngase que el circuito lineal de la figura 4.46a) contiene dos fuentes de tensión independientes vs1 y vs2 y dos fuentes de corriente independientes is1 e is2. Se puede obtener cualquier variable del circuito, como la tensión en las terminales v, aplicando el teorema de la superposición. Esto es, se considera la contribución debida a cada fuente independiente, incluida la fuente externa i. Por superposición, la tensión en las terminales v es v  A0i  A1vs1  A2vs2  A3is1  A4is2 (4.13) 126 Capítulo 4 Teoremas de circuitos a donde A0, A1, A2, A3 y A4 son constantes. Cada término del miembro derecho de la ecua- ción (4.13) es la contribución relacionada de la fuente independiente; es decir, A0i es la + i v Circuito contribución a v debida a la fuente de corriente externa i, A1vs1 es la contribución debi- − lineal da a la fuente de tensión vs1 y así sucesivamente. Se pueden reunir los términos de las b fuentes independientes internas en B0, de manera que la ecuación (4.13) se convierte en a) v  A0i  B0 (4.14) a R Th donde B0  A1vs1  A2vs2  A3is1  A4is2. Ahora se desea evaluar los valores de las constantes A0 y B0. Cuando las terminales a y b están en circuito abierto, i  0 y v  B0. + Así, B0 es la tensión de circuito abierto, la cual es igual a voc, de modo que VTh i v + V − Th B0  VTh (4.15) − b Cuando todas las fuentes internas se apagan, B0  0. El circuito puede reemplazarse entonces por una resistencia equivalente Req, la cual es igual a RTh, así que la ecuación b) (4.14) se convierte en Figura 4.46 Derivación del v  A0i  RThi 1 A0  RTh (4.16) equivalente de Thevenin: a) circuito excitado por corriente, b) su equivalente La sustitución de los valores de A0 y B0 en la ecuación (4.14) da como resultado de Thevenin. v  RThi  VTh (4.17) la cual expresa la relación tensión-corriente en las terminales a y b del circuito de la fi- gura 4.46b). Así, los dos circuitos de la figura 4.46a) y 4.46b) son equivalentes. Cuando el mismo circuito lineal se excita con una fuente de tensión v como se in- dica en la figura 4.47a), la corriente que entra al circuito puede obtenerse por superpo- i a sición como + Circuito i  C0v  D0 (4.18) v − lineal donde C0v es la contribución a i debida a la fuente de tensión externa v y D0 contiene b las contribuciones a i debidas a todas las fuentes independientes internas. Cuando las a) terminales a-b se ponen en cortocircuito, v  0, de manera que, donde i  D0  isc, donde isc es la corriente de cortocircuito que sale de la terminal a, la cual es igual a la i a corriente de Norton IN; es decir, D0  IN (4.19) v + RN IN − Cuando todas las fuentes independientes internas se apagan, D0  0, y el circuito puede reemplazarse por una resistencia equivalente Req (o una conductancia equivalente Geq  b 1/Req), la cual es igual a RTh o RN. Así, la ecuación (4.19) se convierte en b) v i  IN (4.20) Figura 4.47 Derivación del RTh equivalente de Norton: a) circuito excitado por tensión, b) su equivalente Esto expresa la relación tensión-corriente en las terminales a-b del circuito de la figura de Norton. 4.47b), lo que confirma que los circuitos de las figuras 4.47a) y 4.47b) son equivalentes. 4.8 Máxima transferencia de potencia En muchas situaciones prácticas, un circuito se diseña para suministrar potencia a una carga. Hay aplicaciones en áreas como comunicaciones en las que es deseable maximi- zar la potencia suministrada a una carga. Ahora se abordará el problema del suministro de la máxima potencia a una carga dado un sistema con pérdidas internas conocidas. Cabe señalar que esto dará por resultado pérdidas internas significativas, mayores que o iguales a la potencia suministrada a la carga. El equivalente de Thevenin es útil para hallar la máxima potencia que un circuito lineal puede suministrar a una carga. Supóngase que se puede ajustar la resistencia de 4.8 Máxima transferencia de potencia 127 carga RL. Si el circuito entero se reemplaza por su equivalente de Thevenin exceptuando RTh a la carga, como se muestra en la figura 4.48, la potencia suministrada a la carga es i p  i2RL  ( VTh RTh  RL ) 2 RL (4.21) VTh + − RL En un circuito dado, VTh y RTh son fijos. Al variar la resistencia de carga RL, la potencia suministrada a la carga varía como se indica gráficamente en la figura 4.49. En esta fi- b gura se advierte que la potencia es mínima para valores pequeños o grandes de RL, pero Figura 4.48 Circuito empleado para máxima respecto de algún valor de RL entre 0 y . Ahora se debe demostrar que la máxima transferencia de potencia. esta máxima potencia ocurre cuando RL es igual a RTh. Esto se conoce como teorema de máxima potencia. La máxima potencia se transfiere a la carga cuando la resistencia de la carga es igual a la resistencia de Thevenin vista desde la carga (RL  RTh). p pmáx Para comprobar el teorema de la máxima transferencia de potencia, se deriva p en la ecuación (4.21) respecto a RL y se fija el resultado en cero. De ello se obtiene (RTh  RL)2  2RL(RTh  RL)  V2Th c d dp dRL (RTh  RL)4 0 RTh RL (RTh  RL  2RL)  V2Th c d0 Figura 4.49 Potencia suministrada a (RTh  RL)3 la carga como función de RL. Esto implica que 0  (RTh  RL  2RL)  (RTh  RL) (4.42) lo cual produce RL  RTh (4.23) lo que demuestra que la máxima transferencia de potencia tiene lugar cuando la resis- tencia de carga RL es igual a la resistencia de Thevenin RTh. Se puede confirmar fácil- mente que la ecuación (4.23) brinda la máxima potencia demostrando que d2p兾dR2L  0. Se dice que la fuente y la carga se La máxima potencia transferida se obtiene sustituyendo la ecuación (4.23) en la igualan cuando RL  RTh. ecuación (4.21), de lo que resulta V2Th pmáx  (4.24) 4RTh La ecuación (4.24) sólo se aplica cuando RL  RTh. Cuando RL Z RTh, la potencia sumi- nistrada a la carga se calcula mediante la ecuación (4.21). Halle el valor de RL para la máxima transferencia de potencia en el circuito de la figura Ejemplo 4.13 4.50. Halle la máxima potencia. 6Ω 3Ω 2Ω a 12 V + 12 Ω 2A RL − b Figura 4.50 Para el ejemplo 4.13. Solución: Se necesita hallar la resistencia de Thevenin RTh y la tensión de Thevenin entre las terminales a-b. Para obtener RTh se emplea el circuito de la figura 4.51a) y se obtiene 6  12 RTh  2  3  6 || 12  5  ————  9  18 128 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 6Ω 3Ω 2Ω 6Ω 3Ω 2Ω + RTh 12 Ω 12 V + 12 Ω 2A − i1 i2 VTh − Figura 4.51 Para el ejemplo 4.13: a) cálculo de RTh, b) cálculo de VTh. a) b) Para obtener VTh se considera el circuito de la figura 4.51b). La aplicación del análisis de malla da como resultado 12  18i1  12i2  0, i2  2 A Al despejar i1 se obtiene i1  2/3. La aplicación de la LTK a lo largo del lazo exterior para obtener VTh entre las terminales a-b produce 12  6i1  3i2  2(0)  VTh  0 1 VTh  22 V Para la máxima transferencia de potencia, RL  RTh  9  y la máxima potencia es V2Th 222 pmáx    13.44 W 4RL 49 Problema de práctica 4.13 Determine el valor de RL que tomará la máxima potencia del resto del circuito de la fi- gura 4.52. Calcule la máxima potencia. 2Ω 4Ω Respuesta: 4.222 , 2.901 W. + vx − 1Ω 9V + RL − + − 3vx 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice Figura 4.52 Para el problema de En esta sección se aprenderá a usar PSpice para comprobar los teoremas cubiertos en práctica 4.13. este capítulo. Específicamente, se considerará el uso del análisis barrido en CD para hallar el equivalente de Thevenin o de Norton entre cualquier par de nodos en un circui- to así como la máxima transferencia de potencia a una carga. Se recomienda al lector consultar la sección D.3 del apéndice D para estudiar esta sección. A fin de hallar el equivalente de Thevenin de un circuito en un par de terminales abiertas usando PSpice, se emplea el editor de diagramas para dibujar el circuito e insertar entre las terminales una fuente independiente de corriente de prueba, por decir Ip. El nom- bre de parte de la fuente de corriente de prueba debe ser ISRC. Después se ejecuta un ba- rrido en CD en Ip, como se explica en la sección D.3. Generalmente es posible lograr que la corriente a través de Ip varíe de 0 a 1 A en incrementos de 0.1 A. Luego de guardar y simular el circuito, se utiliza el menú Probe para ilustrar de una gráfica de la tensión entre los extremos de Ip contra la corriente a través de Ip. La intersección en cero de la gráfica nos proporciona la tensión equivalente de Thevenin, mientras que la pendiente de la grá- fica es igual a la resistencia de Thevenin. Hallar el equivalente de Norton implica pasos similares, excepto que entre las ter- minales se inserta una fuente de tensión independiente de prueba (con nombre de parte VSRC), por decir Vp. Se ejecuta un barrido en DC en Vp y se permite que Vp varíe de 0 a 1 V en incrementos de 0.1 V. Una gráfica de la corriente a través de Vp contra la tensión entre los extremos de Vp se obtiene usando el menú Probe después de la simu- lación. La intersección en cero es igual a la corriente de Norton, y la pendiente de la gráfica es igual a la conductancia de Norton. Hallar con PSpice la máxima transferencia de potencia a una carga implica ejecutar un barrido paramétrico sobre el valor componente de RL en la figura 4.48 y diagramar 4.9 Comprobación de teoremas de circuitos con PSpice 129 la potencia suministrada a la carga como función de RL. De acuerdo con la figura 4.49, la máxima potencia ocurre cuando RL  RTh. Esto se ilustra mejor con un ejemplo, el 4.15. Se usan VSRC e ISRC como nombres de parte de las fuentes de tensión y corriente independientes, respectivamente. Considere el circuito de la figura 4.31 (véase el ejemplo 4.9). Use PSpice para hallar los Ejemplo 4.14 circuitos equivalentes de Thevenin y Norton. Solución: a) Para hallar la resistencia de Thevenin RTh y la tensión de Thevenin VTh en las termi- nales a-b del circuito de la figura 4.31, primero se usa el menú Schematics para dibujar el circuito que se muestra en la figura 4.53a). Nótese que en las terminales se ha inser- tado una fuente de corriente de prueba I2. En el menú Analysis/Setup se selecciona DC Sweep. En el recuadro de diálogo DC Sweep se selecciona Linear en Sweep Type y Current Source en Sweep Var. Type. Se teclea I2 bajo el cuadro Name, 0 como Start Value, 1 como End Value y 0.1 como Increment. Después de la simulación, se añade el trazado V(I2:) en la ventana A/D de PSpice y se obtiene la gráfica que aparece en la figura 4.53b). Con base en esta gráfica se obtiene 26  20 VTh  Intersección en cero  20 V, RTh  Pendiente  6 1 Estos valores coinciden con los que se obtuvieron analíticamente en el ejemplo 4.9. 26 V R2 R4 2 2 24 V E1 + + I1 R4 4 − R3 6 I2 22 V − GAIN=2 20 V 0 A 0.2 A 0.4 A 0.6 A 0.8 A 1.0 A 0 = V(I2:_) a) b) Figura 4.53 Para el ejemplo 4.14: a) esquema y b) gráfica para hallar RTh y VTh. b) Para hallar el equivalente de Norton, se modifica el esquema de la figura 4.53a) sus- tituyendo la fuente de corriente de prueba por una fuente de tensión de prueba V1. El resultado es el esquema de la figura 4.54a). De nueva cuenta, en el cuadro de diálogo 3.4 A R2 R1 2 2 3.3 A E1 + + I1 R4 4 − R3 6 V1 + − 3.2 A − GAIN=2 3.1 A 0 V 0.2 V 0.4 V 0.6 V 0.8 V 1.0 V 0 I(V1) V_V1 a) b) Figura 4.54 Para el ejemplo 4.14: a) esquema y b) gráfica para hallar GN e IN. 130 Capítulo 4 Teoremas de circuitos DC Sweep se selecciona Linear en Sweep Type y Voltage Source en Sweep Var. Type. Se teclea V1 bajo el recuadro Name, 0 como Start Value, 1 como End Value y 0.1 como Increment. En la ventana A/D de PSpice se añade el trazado I (V1) y se obtiene la grá- fica de la figura 4.54b). De esta gráfica se obtiene IN  Intersección en cero  3.335 A 3.335  3.165 GN  Pendiente   0.17 S 1 Problema de práctica 4.14 Repita el problema de práctica 4.9 usando PSpice. Respuesta: VTh  5.333 V, RTh  444.4 m. Ejemplo 4.15 Remítase al circuito de la figura 4.55. Use PSpice para hallar la máxima transferencia de potencia a RL. 1 kΩ Solución: Debe ejecutarse un barrido de CD sobre RL para determinar en qué momento + la potencia alcanza su máximo valor. Primero se dibuja el circuito con el uso de Sche- 1V − RL matics, como se muestra en la figura 4.56. Una vez dibujado el circuito, se dan los tres pasos siguientes para la preparación complementaria del circuito para un barrido de CD. Figura 4.55 Para el ejemplo 4.15. El primer paso implica definir el valor de RL como parámetro, puesto que se desea variarlo. Para hacerlo: PARÁMETROS: 1. Haga doble clic con el botón izquierdo del ratón sobre el valor 1k de R2 (que repre- RL 2k senta a RL) para abrir el cuadro de diálogo Set Attribute Value. R1 2. Remplace 1k por {RL} y haga clic en OK para aceptar el cambio. 1k V1 Cabe señalar que las llaves son indispensables. DC=1 V + {RL} El segundo paso es definir el parámetro. Para conseguirlo: − R2 1. Seleccione Draw/Get New Part/Libraries…/special.slb. 0 2. Teclee PARAM en el cuadro PartName y haga clic en OK. 3. Arrastre el cuadro a cualquier posición cerca del circuito. Figura 4.56 Esquema del circuito de la 4. Haga clic en el botón izquierdo del ratón para poner fin al modo de colocación. figura 4.55. 5. Haga doble clic en el botón izquierdo para abrir el cuadro de diálogo PartName: PARAM. 6. Haga clic con el botón izquierdo en NAME1 = y teclee RL (sin llaves) en el cua- dro Value, y después haga clic con el botón izquierdo en Save Attr para aceptar el cambio. 7. Haga clic con el botón izquierdo en VALUE1 = y teclee 2k en el cuadro Value; después haga clic con el botón izquierdo en Save Attr para aceptar el cambio. 8. Haga clic en OK. El valor 2k en el punto 7 es indispensable para el cálculo del punto de polarización; no puede dejarse en blanco. El tercer paso es preparar el barrido en DC para explorar el parámetro. Para hacerlo: 1. Seleccione Analysis/Setup para que aparezca el cuadro de diálogo DC Sweep. 2. En Sweep Type, seleccione Linear (u Octave para una amplia gama de RL). 3. En Sweep Var. Type, seleccione Global Parameter. 4. Bajo el cuadro Name, teclee RL. 5. En el cuadro Start Value, teclee 100. 6. En el cuadro End Value, teclee 5k. 7. En el cuadro Increment, teclee 100. 8. Haga clic en OK y en Close para aceptar los parámetros. 4.10 Aplicaciones 131 Después de dar esos pasos y guardar el circuito, está listo para simular. Seleccione 250 uW Analysis/Simulate. Si no hay errores, seleccione Add Trace en la ventana A/D de PSpice y teclee –V(R2:2)*I(R2) en el cuadro Trace Command. [El signo negativo es 200 uW indispensable, ya que I(R2) es negativa.] Esto produce la gráfica de la potencia sumi- nistrada a RL cuando RL varía de 100  a 5 k. También puede obtenerse la potencia absorbida por RL tecleando V(R2:2)*V(R2:2)/RL en el cuadro Trace Command. De 150 uW una u otra forma, se obtiene la gráfica de la figura 4.57. En ella salta a la vista que la máxima potencia es 250 W. Nótese que ese valor máximo ocurre cuando RL  1 k, como era de esperar analíticamente. 100 uW 50 uW 0 2.0 K 4.0 K 6.0 K Figura 4.57 Para el ejemplo 4.15: –V(R2:2)*I(R2) gráfica de la potencia a través de RL. RL Halle la máxima potencia transferida a RL si el resistor de 1 k de la figura 4.55 se Problema de práctica 4.15 reemplaza por un resistor de 2 k. Respuesta: 125 mW. † 4.10 Aplicaciones Rs En esta sección se expondrán dos importantes aplicaciones prácticas de los conceptos cubiertos en este capítulo: modelado de fuentes y medición de la resistencia. vs + − 4.10.1 Modelado de fuentes El modelado de fuentes brinda un ejemplo de la utilidad del equivalente de Thevenin o a) de Norton. Una fuente activa como una batería suele caracterizarse por medio de su circuito equivalente de Thevenin o de Norton. Una fuente de tensión ideal suministra una tensión constante independientemente de la corriente tomada por la carga, mientras que una fuente de corriente ideal suministra una corriente constante independientemen- te de la tensión de carga. Como se advierte en la figura 4.58, las fuentes de tensión y Rp is corriente prácticas no son ideales, debido a sus resistencias internas o resistencias de fuente Rs y Rp. Se vuelven ideales cuando Rs → 0 y Rp → . Para demostrar que éste es el caso, considérese el efecto de la carga sobre fuentes de tensión, como se muestra en la figura 4.59a). Por el principio de división de tensión, la tensión de carga es b) RL vL  v (4.25) Figura 4.58 a) Fuente de tensión R s  RL s práctica, b) fuente de corriente práctica. Cuando RL se incrementa, la tensión de carga se aproxima a una tensión de fuente vs, como se ilustra en la figura 4.59b). En la ecuación (4.25) cabe reparar en que: 1. La tensión de carga será constante si la resistencia interna Rs de la fuente es de cero o, al menos, Rs   RL. En otras palabras, cuanto menor sea Rs en comparación con RL, más cerca estará de ser ideal la fuente de tensión. vL Rs Fuente ideal vs + vs + vL RL Fuente práctica − Figura 4.59 a) Fuente de tensión − práctica conectada a una carga RL, 0 b) la tensión de carga disminuye al RL a) b) decrecer RL. 132 Capítulo 4 Teoremas de circuitos IL 2. Cuando la carga se desconecta (es decir, cuando la fuente se pone en circuito abier- to de manera que RL → ), voc  vs. Así, vs puede considerarse la tensión de la fuente sin carga. La conexión de la carga causa que la tensión entre las terminales is Rp RL disminuya en magnitud; esto se conoce como efecto de carga. La misma argumentación podría hacerse en relación con una fuente de corriente prácti- ca cuando se conecta a una carga como se observa en la figura 4.60a). Por el principio a) de la división de corriente, IL Rp iL  is (4.26) is Fuente ideal Rp  RL En la figura 4.60b) se muestra la variación en la corriente de carga al aumentar la resis- Fuente práctica tencia de carga. Esta vez se advierte una caída de corriente debida a la carga (efecto de carga), y la corriente de carga es constante (fuente de corriente ideal) cuando la resisten- 0 RL cia interna es muy grande (es decir, cuando Rp →  o, al menos, Rp  RL). A veces se necesita conocer la tensión de fuente sin carga vs y la resistencia interna b) Rs de una fuente de tensión. Para hallar vs y Rs se sigue el procedimiento ilustrado en la figura 4.61. Primero se mide la tensión de circuito abierto voc como en la figura 4.61a) Figura 4.60 a) Fuente de corriente y se establece que práctica conectada a una carga RL, b) la carga de la corriente disminuye vs  voc (4.27) al aumentar RL. Después se conecta una carga variable RL en las terminales como en la figura 4.61b). Se ajusta la resistencia RL hasta medir una tensión de carga de exactamente la mitad de la tensión de circuito abierto, vL  voc 兾2, porque ahora RL  RTh  Rs. En este punto se desconecta RL y se mide. Se establece que Rs  RL (4.28) Por ejemplo, una batería de automóvil puede tener vs 12 V y Rs  0.05 . + + Fuente de voc Fuente de señal vL RL señal − − Figura 4.61 a) Medición de voc, b) medición de vL. a) b) Ejemplo 4.16 La tensión entre las terminales de una fuente de tensión es de 12 V cuando se conecta a una carga de 2 W. Cuando la carga se desconecta, la tensión en las terminales aumenta Rs iL a 12.4 V. a) Calcule la tensión de fuente vs y la resistencia interna Rs. b) Determine la tensión cuando una carga de 8  se conecta a la fuente. + vs + vL RL − Solución: − a) Se reemplaza la fuente por su equivalente de Thevenin. La tensión en las terminales al desconectar la carga es la de circuito abierto, a) vs  voc  12.4 V Al desconectar la carga, como se muestra en la figura 4.62a), vL  12 V y PL  2 W. 2.4 Ω De ahí que + v2L v2L 122 12.4 V + − v 8Ω pL  1 RL    72  RL pL 2 − b) Figura 4.62 Para el ejemplo 4.16. 4.10 Aplicaciones 133 La corriente de carga es vL 12 1 iL    A RL 72 6 La tensión a través de Rs es la diferencia entre la tensión de fuente vs y la tensión de carga vL, o 0.4 12.4  12  0.4  RsiL, Rs   2.4  IL b) Una vez que se conoce el equivalente de Thevenin de la fuente, se conecta la carga de 8  entre los extremos en el equivalente de Thevenin, como se indica en la figura 4.62b). De la división de tensión se obtiene 8 v (12.4)  9.538 V 8  2.4 La tensión de circuito abierto medida en cierto amplificador es de 9 V. Esa tensión cae Problema de práctica 4.16 a 8 V cuando un altavoz de 20  se conecta al amplificador. Calcule la tensión al usarse un altavoz de 10 . Respuesta: 7.2 V. 4.10.2 Medición de la resistencia Aunque el método del óhmetro es el medio más simple para medir la resistencia, una medición más exacta puede obtenerse con el uso del puente de Wheatstone. Mientras que los óhmetros están diseñados para medir la resistencia en un rango bajo, medio o alto, el puente de Wheatstone se utiliza para medirla en el rango medio, entre, por ejem- plo, 1  y 1 M. Valores de resistencia muy bajos se miden con un milióhmetro, en Nota histórica: Este puente lo inventó tanto que valores muy altos se miden con un probador de Megger. Charles Wheatstone (1802-1875), El circuito del puente de Wheatstone (o puente de resistencia) se emplea en varias profesor inglés que también inventó aplicaciones. Aquí se usará para medir una resistencia desconocida. La resistencia des- el telégrafo, como lo hizo por conocida Rx está conectada al puente como se indica en la figura 4.63. La resistencia separado Samuel Morse en Estados Unidos. variable se ajusta hasta que no fluya corriente por el galvanómetro, el cual es en esencia un mecanismo d’Arsonval que opera como un sensible dispositivo indicador de corrien- te, a la manera de un amperímetro en el rango de los microamperes. En esta condición v1  v2 y se dice que el puente está equilibrado. Puesto que no fluye corriente por el galvanómetro, R1 y R2 se comportan como si estuvieran en serie, lo mismo que R3 y Rx. El hecho de que no fluya corriente por el galvanómetro también implica que v1  v2. Al R1 R3 Galvanómetro aplicar el principio de división de tensión, + v − + + R2 Rx v1  v  v2  v (4.29) R2 v1 v2 Rx R1  R2 R3  R x − − Así, no fluye corriente por el galvanómetro cuando Figura 4.63 Puente de Wheatstone; Rx R2 Rx  1 R2R3  R1Rx es la resistencia por medir. R1  R 2 R3  R x R3 o sea Rx  R (4.30) R1 2 Si R1  R3 y R2 se ajusta hasta que no fluya corriente por el galvanómetro, entonces Rx  R2. ¿Cómo se halla la corriente a través del galvanómetro cuando el puente de Wheat- stone está desequilibrado? Se halla el equivalente de Thevenin (VTh y RTh) respecto a las 134 Capítulo 4 Teoremas de circuitos terminales del galvanómetro. Si Rm es la resistencia del galvanómetro, la corriente a través de él en la condición de desequilibrio es VTh I (4.31) RTh  Rm El ejemplo 4.18 ilustrará esto. Ejemplo 4.17 En la figura 4.63, R1  500  y R3  200 . El puente está equilibrado cuando R2 se ajusta a 125 . Determine la resistencia desconocida Rx. Solución: El empleo de la ecuación (4.30) da como resultado R3 200 Rx  R2  125  50  R1 500 Problema de práctica 4.17 Un puente de Wheatstone tiene R1  R3  1 k. R2 se ajusta hasta que ninguna corrien- te fluya por el galvanómetro. En ese punto, R2  3.2 k. ¿Cuál es el valor de la resis- tencia desconocida? Respuesta: 3.2 k. Ejemplo 4.18 El circuito de la figura 4.64 representa un puente desequilibrado. Si el galvanómetro tiene una resistencia de 40 , halle la corriente que fluye por él. 3 kΩ 400 Ω a 40 Ω b 220 V + G − 1 kΩ 600 Ω Figura 4.64 Puente desequilibrado del ejemplo 4.18. Solución: Primero se debe reemplazar el circuito por su equivalente de Thevenin en las terminales a y b. La resistencia de Thevenin se halla empleando el circuito de la figura 4.65a). Obsérvese que los resistores de 3 k y 1 k están en paralelo, lo mismo que los resistores de 400  y 600 . Las dos combinaciones en paralelo forman una combina- ción en serie respecto a las terminales a y b. Por lo tanto, RTh  3 000 储 1 000  400 储 600 3 000  1 000  400  600   750  240  990  3 000  1 000 400  600 Para hallar la tensión de Thevenin, considérese el circuito de la figura 4.65b). La aplica- ción del principio de división de tensión da por resultado 1 000 600 v1  (220)  55 V, v2  (220)  132 V 1 000  3 000 600  400 La aplicación de la LTK a lo largo del lazo ab produce v1  VTh  v2  0 o VTh  v1  v2  55  132  77 V Habiendo determinado el equivalente de Thevenin, la corriente por el galvanómetro se halla con base en la figura 4.65c). VTh 77 IG    74.76 mA RTh  Rm 990  40 4.11 Resumen 135 3 kΩ 400 Ω 3 kΩ 400 Ω + − RTh 220 V + − VTh a b + a b + 1 kΩ 600 Ω 1 kΩ v1 v2 600 Ω − − a) b) RTh a IG 40 Ω VTh + − G Figura 4.65 Para el ejemplo 4.18: a) cálculo de RTh, b) cálculo de b VTh, c) cálculo de la corriente por el c) galvanómetro. El signo negativo indica que la corriente fluye en la dirección contraria a la supuesta, es decir, de la terminal b a la terminal a. Obtenga la corriente que fluye a través del galvanómetro, el cual tiene una resistencia Problema de práctica 4.18 de 14 , en el puente de Wheatstone que aparece en la figura 4.66. Respuesta: 64 mA. 20 Ω 30 Ω G 14 Ω 60 Ω 40 Ω Figura 4.66 Para el problema de práctica 4.18. 16 V 4.11 Resumen 1. Una red lineal consta de elementos lineales, fuentes dependien- una red equivalente. El equivalente de Thevenin consta de una tes lineales y fuentes independientes lineales. fuente de tensión VTh en serie con un resistor RTh, en tanto que el 2. Los teoremas de redes se usan para reducir un circuito comple- equivalente de Norton consta de una fuente de corriente IN en jo  en uno simple, lo que facilita enormemente el análisis de paralelo con un resistor RN. Ambos teoremas se relacionan por la circuitos. transformación de fuente. 3. El principio de superposición establece que, en un circuito con VTh fuentes independientes múltiples, la tensión a través de un ele- RN  RTh, IN  RTh mento (o corriente que lo atraviesa) es igual a la suma algebraica de todas las tensiones individuales (o corrientes) debidas a cada 6. En un circuito equivalente de Thevenin dado, la máxima transfe- fuente independiente al actuar por separado. rencia de potencia ocurre cuando RL  RTh; es decir, cuando la 4. La transformación de las fuentes es un procedimiento para trans- resistencia de carga es igual a la resistencia de Thevenin. formar una fuente de tensión en serie con un resistor en una fuen- 7. El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que te de corriente en paralelo con un resistor o viceversa. una fuente suministra la máxima potencia a la carga RL cuando 5. Los teoremas de Thevenin y Norton también permiten aislar una RL es igual a RTh, la resistencia de Thevenin en las terminales de porción de una red mientras la porción restante se reemplaza por la carga. 136 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 8. PSpice puede usarse para comprobar los teoremas de circuitos 9. El modelado de fuentes y la medición de la resistencia con el uso cubiertos en este capítulo. del puente de Wheatstone son aplicaciones del teorema de The- venin. Preguntas de repaso 4.1 La corriente a través de una rama en una red lineal es de 2 A 4.7 La resistencia de Norton RN es exactamente igual a la resis- cuando la tensión de la fuente de entrada es de 10 V. Si la tencia de Thevenin RTh. tensión se reduce a 1 V y la polaridad se invierte, la corriente a) Cierto b) Falso por la rama es de: a) –2 A b) –0.2 A c) 0.2 A 4.8 ¿Qué par de circuitos de la figura 4.68 son equivalentes? d) 2 A e) 20 A a) a y b b) b y d 4.2 Para la superposición no se requiere considerar una por una c) a y c d) c y d las fuentes independientes; cualquier número de fuentes inde- pendientes puede considerarse simultáneamente. 5Ω 5Ω a) Cierto b) Falso 4.3 El principio de superposición se aplica al cálculo de la poten- 20 V + 4A − cia. a) Cierto b) Falso a) b) 4.4 Remítase a la figura 4.67. La resistencia de Thevenin en las terminales a y b es de: a) 25  b) 20  5Ω + c) 5  d) 4  4A 20 V − 5Ω 5Ω c) b) a 50 V + − 20 Ω b Figura 4.68 Para la pregunta de repaso 4.8. 4.9 Una carga se conecta a una red. En las terminales a las que se Figura 4.67 Para las preguntas de repaso 4.4 a 4.6. conecta, RTh  10  y VTh  40 V. La máxima potencia que es posible suministrar a la carga es de: 4.5 La tensión de Thevenin entre las terminales a y b del circuito a) 160 W b) 80 W de la figura 4.67 es de: c) 40 W d) 1 W a) 50 V b) 40 V 4.10 La fuente suministra la máxima potencia a la carga cuando la c) 20 V d) 10 V resistencia de carga es igual a la resistencia de fuente. 4.6 La corriente de Norton en las terminales a y b del circuito de a) Cierto b) Falso la figura 4.67 es de: a) 10 A b) 2.5 A c) 2 A d) 0 A Respuestas: 4.1b, 4.2a, 4.3b, 4.4d, 4.5b, 4.6a, 4.7a, 4.8c, 4.9c, 4.10a. Problemas Sección 4.2 Propiedad de linealidad 5Ω 25 Ω 4.1 Calcule la corriente io en el circuito de la figura 4.69. ¿Qué io valor de tensión de entrada se necesita para hacer que io sea + 30 V − 40 Ω 15 Ω igual a 5 amperes? Figura 4.69 Para el problema 4.1. Problemas 137 4.2 Use la figura 4.70 para diseñar un problema que ayude a otros Experimento Vs Vo estudiantes a comprender mejor la linealidad. 1 12 V 4V 2 16 V R2 R4 3 1V 4 2 V + I R1 R3 R5 vo − + Vs + Circuito Vo − Figura 4.70 Para el problema 4.2. lineal – 4.3 a) En el circuito de la figura 4.71, calcule vo e io cuando vs  1 V. Figura 4.74 Para el problema 4.6. b) Halle vo e io cuando vs  10 V. c) ¿Qué valores adoptan vo e io cuando cada uno de los resis- 4.7 Use la linealidad y el supuesto de que Vo  1 V para hallar el tores de 1  se reemplaza por un resistor de 10  y vs  valor real de Vo en la figura 4.75. 10 V? 1Ω 4Ω 1Ω + 1Ω 1Ω + 4V − 3Ω 2Ω Vo − io + vs + 1Ω vo 1Ω − − Figura 4.75 Para el problema 4.7. Figura 4.71 Para el problema 4.3. Sección 4.3 Superposición 4.8 Usando la superposición, halle Vo en el circuito de la figura 4.4 Use la linealidad para determinar io en el circuito de la figura 4.76. Compruebe con PSpice o MultiSim. 4.72. 4Ω Vo 1Ω 3Ω 2Ω 3Ω io 5Ω + 3V − + 9V 6Ω 4Ω 9A − Figura 4.76 Para el problema 4.8. Figura 4.72 Para el problema 4.4. 4.9 Dado que I  4 A cuando Vs  40 V e Is  4 A con I  1 A 4.5 Para el circuito de la figura 4.73, suponga que vo  1 V y cuando Vs  20 V e Is  0, use el principio de superposición aplique la linealidad para hallar el valor real de vo. y linealidad para determinar el valor de I cuando Vs  60 V e Is  2 A. 2Ω 3Ω vo 2Ω 15 V + − 6Ω 6Ω 4Ω Vs + − I Is Figura 4.77 Para el problema 4.9. Figura 4.73 Para el problema 4.5. 4.10 Use la figura 4.78, para diseñar un problema que ayude a 4.6 Para el circuito lineal que aparece en la figura 4.74, aplique la otros estudiantes a comprender mejor el principio de super- linealidad para completar la siguiente tabla. posición. Observe que la letra k es una ganancia que puede 138 Capítulo 4 Teoremas de circuitos especificar para facilitar la solución del problema, aunque k 6Ω debe ser diferente de cero. 2A kVab R +− a 4Ω 2Ω + + I + V − Vab + vo 20 V − 1A 3Ω − − b Figura 4.78 Para el problema 4.10. Figura 4.82 Para el problema 4.14. 4.11 Use el principio de superposición para hallar io y vo en el 4.15 Para el circuito de la figura 4.83 use la superposición para ha- circuito de la figura 4.79. llar i. Calcule la potencia suministrada al resistor de 3 . io 10 Ω 20 Ω 1Ω 2A + vo − + 4Ω 20 V − 6A 40 Ω 4io − 30 V + i 2Ω − 16 V 3Ω + Figura 4.79 Para el problema 4.11. Figura 4.83 Para los problemas 4.15 y 4.56. 4.12 Determine vo en el circuito de la figura 4.80 aplicando el principio de superposición. 4.16 Dado el circuito de la figura 4.84 aplique la superposición para obtener io. 2A 4A 6Ω 5Ω 4Ω + v − io 4Ω 3Ω 2Ω o 12 V + 3Ω 12 Ω + 19 V − − + 10 Ω 5Ω 2A 12 V − Figura 4.80 Para el problema 4.12. Figura 4.84 Para el problema 4.16. 4.13 Use la superposición para hallar vo en el circuito de la figura 4.81. 4.17 Use la superposición para obtener vx en el circuito de la figu- ra 4.85. Compruebe su resultado usando PSpice o MultiSim. 4A 30 Ω 10 Ω 20 Ω 8Ω + vx − −+ + + 60 Ω 6A 30 Ω + 12 V 90 V − − 40 V 2A 10 Ω 5Ω vo − Figura 4.81 Para el problema 4.13. Figura 4.85 Para el problema 4.17. 4.14 Use el principio de superposición para hallar vo en el circuito 4.18 Use la superposición para hallar Vo en el circuito de la figura de la figura 4.82. 4.86. Problemas 139 4.22 En referencia al circuito de la figura 4.90 use la transforma- 1Ω ción de fuentes para hallar i. 0.5Vo 5Ω 10 Ω 2Ω i + 10 V + − 2A 4Ω Vo 2A 5Ω 4Ω + − 20 V − Figura 4.86 Para el problema 4.18. Figura 4.90 Para el problema 4.22. 4.19 Use la superposición para determinar vx en el circuito de la 4.23 En referencia a la figura 4.91 use la transformación de fuen- figura 4.87. tes para determinar la corriente y potencia absorbida en el resistor de 8 . 8Ω 3Ω ix + 2Ω 6A 4A 8Ω vx − 3A 10 Ω 6Ω + − 15 V − + 4ix Figura 4.91 Para el problema 4.23. Figura 4.87 Para el problema 4.19. 4.24 Use la transformación de fuentes para hallar la tensión Vx en el circuito de la figura 4.92. Sección 4.4 Transformación de fuentes 3A 4.20 Use la transformación de fuentes para reducir el circuito de la figura 4.88 en una sola fuente de tensión en serie con un solo 8Ω 10 Ω resistor. + Vx − 40 V + 10 Ω 2Vx − 10 Ω 20 Ω 40 Ω 3A Figura 4.92 Para el problema 4.24. 12 V + − + 16 V − 4.25 Obtenga vo en el circuito de la figura 4.93 aplicando la trans- formación de fuentes. Compruebe su resultado usando PSpi- ce o MultiSim. Figura 4.88 Para el problema 4.20. 2A 4.21 Use la figura 4.89 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor la transformación de fuentes. 9Ω 3A 4Ω 5Ω 6A io R1 + vo − +− + 2Ω + vo 30 V V − R2 I − Figura 4.93 Para el problema 4.25. 4.26 Use la transformación de fuentes para hallar io en el circuito Figura 4.89 Para el problema 4.21. de la figura 4.94. 140 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 5Ω 4.31 Determine vx en el circuito de la figura 4.99 aplicando la transformación de fuentes. 3A io 4Ω 3Ω 6Ω + vx − 6A 2Ω + 20 V − + 8Ω + 2vx 12 V − − Figura 4.94 Para el problema 4.26. 4.27 Aplique la transformación de fuentes para hallar vx en el cir- Figura 4.99 Para el problema 4.31. cuito de la figura 4.95. 4.32 Use la transformación de fuentes para hallar ix en el circuito 10 Ω a 12 Ω b 20 Ω de la figura 4.100. + vx − 10 Ω + 40 Ω 8A + 40 V 50 V − − 0.5ix ix 15 Ω Figura 4.95 Para los problemas 4.27 y 4.40. + 50 Ω 40 Ω 60 V − 4.28 Use la transformación de fuentes para hallar Io en la figura 4.96. 1Ω Io 4Ω Figura 4.100 Para el problema 4.32. + Vo − Secciones 4.5 y 4.6 Teoremas de Thevenin y Norton 8V + 3Ω 1 V − 3 o 4.33 Determine el circuito equivalente de Thevenin mostrado en de la figura 4.101, revisando el resistor de 5 . Luego calcule la corriente que fluye a través del resistor de 5 . Figura 4.96 Para el problema 4.28. 10 Ω 4.29 Use la transformación de fuentes para hallar vo en el circuito de la figura 4.97. 4A 10 Ω 5Ω 4 kΩ 3vo 2 kΩ − + Figura 4.101 Para el problema 4.33. + 3 mA 1 kΩ vo 4.34 Use la figura 4.102 para diseñar un problema que ayude a − otros estudiantes a comprender mejor los circuitos equivalen- tes de Thevenin. Figura 4.97 Para el problema 4.29. I 4.30 Use la transformación de fuentes al circuito que se muestra en la figura 4.98 y halle ix. R1 R3 a ix 24 Ω 60 Ω V + − R2 b 12 V + 30 Ω 10 Ω − 0.7ix Figura 4.102 Para los problemas 4.34 y 4.49. 4.35 Aplique el teorema de Thevenin para hallar vo en el problema Figura 4.98 Para el problema 4.30. 4.12. Problemas 141 4.36 Determine la corriente i en el circuito de la figura 4.103 apli- 4.40 Halle el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del cando el teorema de Thevenin. (Sugerencia: Halle el equiva- circuito de la figura 4.107. lente de Thevenin a través del resistor de 12 .) + V − o i 10 kΩ 20 kΩ a 10 Ω 12 Ω + + 40 Ω 70 V − − 4Vo b + + 30 V 50 V − − Figura 4.107 Para el problema 4.40. Figura 4.103 Para el problema 4.36. 4.41 Halle los equivalentes de Thevenin y Norton en las termina- 4.37 Halle el equivalente de Norton respecto a las terminales a-b les a-b del circuito que se muestra en la figura 4.108. en el circuito que aparece en la figura 4.104. 14 V 14 Ω 2A −+ a 20 Ω a 1A 6Ω 3A 5Ω 120 V + 40 Ω 12 Ω b − b Figura 4.108 Para el problema 4.41. Figura 4.104 Para el problema 4.37. *4.42 Para el circuito de la figura 4.109 halle el equivalente de The- venin entre las terminales a y b. 4.38 Aplique el teorema de Thevenin para hallar Vo en el circuito de la figura 4.105. 20 Ω − 4Ω 1Ω + 20 V 10 Ω 20 Ω a b 5Ω + 10 Ω 3A 16 Ω 10 Ω Vo 5A 10 Ω 10 Ω – + 12 V 30 V + − − Figura 4.105 Para el problema 4.38. Figura 4.109 Para el problema 4.42. 4.39 Obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b del 4.43 Halle el equivalente de Thevenin revisando las terminales a-b circuito de la figura 4.106. del circuito de la figura 4.110 y determine ix. 3A 10 Ω a 6Ω b 10 Ω 16 Ω ix a 20 V + 10 Ω 5Ω 2A − 10 Ω 5Ω 24 V + − Figura 4.110 Para el problema 4.43. b Figura 4.106 Para el problema 4.39. * Un asterisco indica un problema difícil. 142 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 4.44 Para el circuito de la figura 4.111 obtenga el equivalente de 10io Thevenin revisando las terminales: 2Ω a) a-b b) b-c + − a io 3Ω 1Ω 2A 4Ω a 24 V + − 4Ω b b Figura 4.115 Para el problema 4.48. 2Ω 5Ω 2A c 4.49 Halle el equivalente de Norton revisando las terminales a-b del circuito de la figura 4.102. Sean V  40 V, I  3 A, R1  10 , R2  40  y R3  20 . Figura 4.111 Para el problema 4.44. 4.50 Obtenga el equivalente de Norton del circuito de la figura 4.45 Halle el equivalente de Norton del circuito de la figura 4.112, 4.116 a la izquierda de las terminales a-b. Use el resultado revisando las terminales a y b. para hallar la corriente i. 6Ω 12 V 6Ω a +− a i 4A 6Ω 4Ω 2A 4Ω 5Ω 4A b b Figura 4.112 Para el problema 4.45. Figura 4.116 Para el problema 4.50. 4.46 Use la figura 4.113 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor los circuitos equivalen- tes de Norton. 4.51 Dado el circuito de la figura 4.117 obtenga el equivalente de Norton visto desde las terminales: R2 a) a-b b) c-d a I a b R1 R3 6Ω 4Ω c b 120 V + 3Ω 6A 2Ω − Figura 4.113 Para el problema 4.46. d 4.47 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en el circuito de la figura 4.114 respecto a las terminales a y b. Figura 4.117 Para el problema 4.51. 12 Ω a 4.52 Para el modelo transistorizado de la figura 4.118, obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. + + 30 V − Vx 60 Ω 2Vx − 3 kΩ a Io b + 20Io 2 kΩ 6V − Figura 4.114 Para el problema 4.47. b 4.48 Determine el equivalente de Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.115. Figura 4.118 Para el problema 4.52. Problemas 143 4.53 Halle el equivalente de Norton en las terminales a-b del 3Ω 2Ω circuito de la figura 4.119. a + + 6Ω vx 0.5vx 10 Ω 0.25vo 50 V − − b 6Ω 2Ω a Figura 4.123 Para los problemas 4.57 y 4.79. + + 3Ω vo 4.58 La red de la figura 4.124 modela un transistor bipolar de am- 18 V − − plificador de emisor común conectado a una carga. Halle la b resistencia de Thevenin vista desde la carga. Figura 4.119 Para el problema 4.53. bib ib R1 4.54 Halle el equivalente de Thevenin entre las terminales a-b del circuito de la figura 4.120. vs + R2 RL − 1 kΩ a Io Figura 4.124 Para el problema 4.58. + + 40Io + 3V − 2Vx 50 Ω − Vx – 4.59 Determine los equivalentes de Thevenin y Norton en las ter- b minales a-b del circuito de la figura 4.125. Figura 4.120 Para el problema 4.54. 10 Ω 20 Ω *4.55 Obtenga el equivalente de Norton en las terminales a-b del 8A a b circuito de la figura 4.121. 50 Ω 40 Ω 8 kΩ I a + Figura 4.125 Para los problemas 4.59 y 4.80. + 0.001Vab + 50 kΩ Vab 2V − − 80I − *4.60 Para el circuito de la figura 4.126 halle los circuitos equiva- b lentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b. Figura 4.121 Para el problema 4.55. 2A 4.56 Use el teorema de Norton para hallar Vo en el circuito de la figura 4.122. 18 V 4Ω 6Ω a +− b 12 kΩ 2 kΩ 10 kΩ 3A + 5Ω + 36 V − 24 kΩ 3 mA 1 kΩ Vo +− − 10 V Figura 4.126 Para los problemas 4.60 y 4.81. Figura 4.122 Para el problema 4.56. *4.61 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en 4.57 Obtenga los circuitos equivalentes de Thevenin y Norton en las terminales a-b del circuito de la figura 4.127. las terminales a-b del circuito de la figura 4.123. 144 Capítulo 4 Teoremas de circuitos 2Ω 4Ω 2Ω Io a 6Ω 6Ω + 12 V + + 12 V 32 V + 12 Ω − − − Vo − 6Ω 2Ω 2Ω − Figura 4.131 Para el problema 4.65. + 12 V b Sección 4.8 Máxima transferencia de potencia Figura 4.127 Para el problema 4.61. 4.66 Halle la máxima potencia que puede suministrarse al resistor *4.62 Halle el equivalente de Thevenin del circuito de la figura R en el circuito de la figura 4.132. 4.128. 2Ω 10 V 0.1io −+ a 3Ω R + 10 Ω vo − + 20 V − 5Ω 6A io 40 Ω 20 Ω +− Figura 4.132 Para el problema 4.66. b 2vo 4.67 El resistor variable R en la figura 4.133 se ajusta hasta que absorbe la máxima potencia del circuito. Figura 4.128 Para el problema 4.62. a) Calcule el valor de R para la máxima potencia. 4.63 Halle el equivalente de Norton del circuito de la figura 4.129. b) Determine la máxima potencia absorbida por R. 10 Ω 80 Ω 20 Ω 40 V + +− R vo 20 Ω 0.5vo − 10 Ω 90 Ω Figura 4.129 Para el problema 4.63. Figura 4.133 Para el problema 4.67. 4.64 Obtenga el equivalente de Thevenin visto en las terminales *4.68 Calcule el valor de R que resulta en la máxima transferencia a-b del circuito de la figura 4.130. de potencia al resistor de 10  de la figura 4.134. Halle la máxima potencia. 4Ω 1Ω a R ix 10ix + 2Ω 10 Ω − + 20 Ω 12 V − + − 8V b Figura 4.130 Para el problema 4.64. Figura 4.134 Para el problema 4.68. 4.65 Para el circuito que se muestra en la figura 4.131 determine la 4.69 Halle la máxima potencia transferida al resistor R en el circui- relación entre Vo e Io. to de la figura 4.135. Problemas 145 10 kΩ 22 kΩ 4.73 Determine la máxima potencia que puede suministrarse al resistor variable R en el circuito de la figura 4.139. + 100 V + − vo 40 kΩ 0.003v 30 kΩ R 10 Ω − o 25 Ω R + 60 V − Figura 4.135 Para el problema 4.69. 20 Ω 5Ω 4.70 Determine la máxima potencia suministrada al resistor varia- ble R que aparece en el circuito de la figura 4.136. Figura 4.139 Para el problema 4.73. 3 Vx 4.74 En referencia al circuito puente que se muestra en la figura 4.140, halle la carga RL para la máxima transferencia de po- tencia y la máxima potencia absorbida por la carga. 5Ω 5Ω + 15 Ω R R1 R3 4V − RL vs + 6Ω − + − R2 R4 Vx Figura 4.136 Para el problema 4.70. Figura 4.140 Para el problema 4.74. 4.71 En relación con el circuito de la figura 4.137, ¿qué resistor conectado entre las terminales a-b absorberá la máxima po- *4.75 Para el circuito de la figura 4.141 determine el valor de R de tencia del circuito? ¿Cuál es esa potencia? manera que la máxima potencia suministrada a la carga sea de 3 mW. 3 kΩ 10 kΩ a R + − R + vo 1 kΩ 120vo 40 kΩ 8V − + − R b RL 1V + − + 2V + 3V − − Figura 4.137 Para el problema 4.71. 4.72 a) Obtenga el equivalente de Thevenin en las terminales a-b, Figura 4.141 Para el problema 4.75. para el circuito de la figura 4.138. b) Calcule la corriente en RL  8 . Sección 4.9 Comprobación de teoremas c) Halle RL para la máxima potencia suministrable a RL. de circuitos con PSpice d) Determine la máxima potencia. 4.76 Resuelva el problema 4.34 usando PSpice o MultiSim. Sean V  40 V, I  3 A, R1  10 , R2  40  y R3  20 . 2A 4.77 Use PSpice o MultiSim para resolver el problema 4.44. 4Ω 6Ω a 4.78 Use PSpice o MultiSim para resolver el problema 4.52. 4.79 Obtenga el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 4A 2Ω RL 4.123 usando PSpice o MultiSim. +− 4.80 Use PSpice o MultiSim para hallar el circuito equivalente de b Thevenin en las terminales a-b del circuito de la figura 4.125. 20 V 4.81 Para el circuito de la figura 4.126, use PSpice o MultiSim para Figura 4.138 Para el problema 4.72. hallar el equivalente de Thevenin en las terminales a-b. 146 Capítulo 4 Teoremas de circuitos Sección 4.10 Aplicaciones 4.87 Un transductor se modela con una fuente de corriente Is y una resistencia en paralelo Rs. De la corriente en las terminales de 4.82 Una batería tiene una corriente de cortocircuito de 20 A y una la fuente se obtiene una medida de 9.975 mA al emplearse un tensión de circuito abierto de 12 V. Si la batería se conecta a amperímetro con una resistencia interna de 20 . una bombilla eléctrica con 2  de resistencia, calcule la po- a) Si la adición de un resistor de 2 k entre las terminales de tencia disipada por la bombilla. la fuente causa que la lectura del amperímetro disminuya 4.83 Los siguientes resultados se obtuvieron en mediciones toma- a 9.876 mA, calcule Is y Rs. das entre las dos terminales de una red resistiva. b) ¿Cuál será la lectura del amperímetro si la resistencia entre las terminales de la fuente cambia a 4 k? Tensión entre las terminales 12 V 0V 4.88 Considere el circuito de la figura 4.144. Un amperímetro con Corriente en las terminales 0A 1.5 A resistencia interna Ri se inserta entre A y B para medir Io. Determine la lectura del amperímetro si: a) Ri  500 , b) Ri Halle el equivalente de Thevenin de la red.  0 . (Sugerencia: Halle el circuito equivalente de Theve- 4.84 Conectada a un resistor de 4 , una batería tiene una tensión nin en las terminales a-b.) entre sus terminales de 10.8 V, pero produce 12 V en circuito abierto. Determine el circuito equivalente de Thevenin de la a 2 kΩ b 5 kΩ batería. 4.85 El equivalente de Thevenin en las terminales a-b de la red Io 30 kΩ 4 mA 20 kΩ + 60 V lineal que aparece en la figura 4.142 debe determinarse por − medición. Cuando un resistor de 10 k se conecta a las ter- minales a-b, se obtiene una medida de 6 V de la tensión. Cuando un resistor de 30 k se conecta a las terminales, la 10 kΩ medida obtenida de Vab es de 12 V. Determine: a) el equiva- lente de Thevenin en las terminales a-b, b) Vab cuando un Figura 4.144 Para el problema 4.88. resistor de 20 k se conecta a las terminales a-b. 4.89 Considere el circuito de la figura 4.145. a) Remplace el resis- tor RL por un amperímetro de resistencia cero y determine la a lectura del amperímetro. b) Para comprobar el teorema de Red reciprocidad, intercambie el amperímetro y la fuente de 12 V y determine de nuevo la lectura del amperímetro. lineal b 10 kΩ 20 kΩ RL Figura 4.142 Para el problema 4.85. 12 V + − 4.86 Una caja negra conteniendo un circuito se conecta a un resis- 12 kΩ 15 kΩ tor variable. Un amperímetro ideal (con resistencia cero) y un voltímetro ideal (con resistencia infinita) se usan para medir la corriente y la tensión, como se advierte en la figura 4.143. Figura 4.145 Para el problema 4.89. Los resultados aparecen en la tabla siguiente. 4.90 El circuito puente de Wheatstone que aparece en la figura 4.146 se usa para medir la resistencia de un medidor de defor- i mación. El resistor ajustable tiene una graduación de varia- A ción lineal con un valor máximo de 100 . Si se halla que la Caja resistencia del medidor de deformación es de 42.6 , ¿qué V R negra fracción del recorrido completo del cursor se tendrá cuando el puente está equilibrado? Rs Figura 4.143 Para el problema 4.86. 2 kΩ 4 kΩ a) Halle i cuando R = 4 . b) Determine la máxima potencia desde la caja. vs + G − 100 Ω R(⍀) V(V) i(A) 2 3 1.5 8 8 1.0 Rx 14 10.5 0.75 Figura 4.146 Para el problema 4.90. Problemas de mayor extensión 147 4.91 a) En el circuito puente de Wheatstone de la figura 4.147 *4.92 Considere el circuito puente de la figura 4.148. ¿Está equili- seleccione los valores de R1 y R3 de manera que el puente brado? Si el resistor de 10 k se reemplaza por uno de 18 k, pueda medir Rx en el rango 0-10 . ¿cuál resistor conectado entre las terminales a-b absorbe la máxima potencia? ¿Cuál es esa potencia? 2 kΩ R1 R3 3 kΩ 6 kΩ + G V − 220 V + a b 50 Ω Rx − 5 kΩ 10 kΩ Figura 4.147 Para el problema 4.91. Figura 4.148 Para el problema 4.92. b) Repita en relación con el rango de 0-100 . Problemas de mayor extensión 4.93 El circuito en la figura 4.149 modela un amplificador de tran- *4.95 Un voltímetro de cd con una sensibilidad de 20 k/V se usa sistor de emisor común. Halle ix aplicando la transformación para hallar el equivalente de Thevenin de una red lineal. Las de fuentes. lecturas en dos escalas son las siguientes: a) Escala 0-10 V: 4 V b) Escala 0-50 V: 5 V ix Rs Obtenga la tensión de Thevenin y la resistencia de Thevenin de la red. vs + Ro ␤ix − *4.96 Un sistema de resistencias se conecta a un resistor de carga R y una batería de 9 V como se muestra en la figura 4.151. a) Halle el valor de R de manera que Vo  1.8 V. Figura 4.149 Para el problema 4.93. b) Calcule el valor de R que extraerá máxima corriente. ¿Cuál es la corriente máxima? 4.94 Un atenuador es un circuito de interfase que reduce el nivel de tensión sin alterar la resistencia de salida. R a) Especificando Rs y Rp del circuito de interfase de la figura 4.150, diseñe un atenuador que satisfaga los siguientes re- + V − o quisitos: 3 Vo 10 Ω 0.125, Req RTh Rg 100 Vg 60 Ω 10 Ω 2 b) Con base en la interfase diseñada en el inciso a), calcule la 8Ω 8Ω corriente a través de una carga de RL  50  cuando Vg  4 12 V. 10 Ω 40 Ω Rg Rs 1 + + + 9V − Vg − Rp Vo RL − Figura 4.151 Para el problema 4.96. Carga Atenuador Req 4.97 Un circuito de un amplificador de emisor común se presenta en la figura 4.152. Obtenga el equivalente de Thevenin a la Figura 4.150 Para el problema 4.94. izquierda de los puntos B y E. 148 Capítulo 4 Teoremas de circuitos *4.98 Para el problema de práctica 4.18 determine la corriente a tra- RL vés del resistor de 40  y la potencia disipada por el resistor. 6 kΩ B + 12 V − 4 kΩ Rc E Figura 4.152 Para el problema 4.97. capítulo Amplificadores operacionales 5 El que no quiere razonar es un fanático, el que no puede es un tonto y el que no se atre- ve es un esclavo. —Lord Byron Desarrollo de su carrera Carrera en instrumentación electrónica La ingeniería implica aplicar principios físicos para diseñar dispositivos en beneficio de la humanidad. Pero los principios físicos no pueden comprenderse sin medición. De hecho, los físicos suelen afirmar que la física es la ciencia que mide la realidad. Así como las mediciones son una herramienta para conocer el mundo físico, los instrumen- tos son herramientas para medición. El amplificador operacional, el cual se presentará en este capítulo, es uno de los componentes de la instrumentación electrónica moderna. Por lo tanto, dominar sus aspectos fundamentales es decisivo para cualquier aplicación práctica de circuitos electrónicos. Los instrumentos electrónicos se usan en todos los campos de la ciencia y la inge- niería. Han proliferado en la ciencia y la tecnología hasta tal punto que sería ridículo adquirir una educación científica o técnica sin tener contacto con instrumentos electró- Instrumentos electrónicos usados en la nicos. Por ejemplo, los físicos, fisiólogos, químicos y biólogos deben aprender a usar investigación médica. instrumentos electrónicos. En cuanto a los estudiantes de ingeniería eléctrica en particu- © Royalty-Free/Corbis. lar, la habilidad para operar instrumentos electrónicos digitales y analógicos es crucial. Tales instrumentos incluyen amperímetros, voltímetros, óhmetros, osciloscopios, anali- zadores de espectro y generadores de señales. Además de desarrollar la habilidad para operar esos instrumentos, algunos ingenie- ros eléctricos se especializan en el diseño y construcción de instrumentos electrónicos. A estos ingenieros les gusta producir sus propios instrumentos. La mayoría de ellos realizan inventos y los patentan. Los especialistas en instrumentos electrónicos hallan empleo en escuelas de medicina, hospitales, laboratorios de investigación, la industria aeronáutica y miles de industrias más en las que es rutinario el uso de instrumentos electrónicos. 5.1 Introducción Luego de aprender las leyes y teoremas básicos del análisis de circuitos, ya se está pre- parado para estudiar un elemento activo de circuitos de suma importancia: el amplifica- dor operacional o amp op: un versátil componente de circuitos. 150 Capítulo 5 Amplificadores operacionales El término amplificador operacional se debe a John Ragazzini y sus El amplificador operacional es una unidad electrónica que se comporta como una fuen- colegas, quienes lo acuñaron en 1947 te de tensión controlada por tensión. en un estudio sobre computadoras analógicas para el National Defense Puede servir asimismo para producir una fuente de corriente controlada por tensión o Research Council de Estados Unidos por corriente. Un amplificador operacional puede sumar señales, amplificar una señal, después de la Segunda Guerra integrarla o diferenciarla. Su capacidad para ejecutar esas operaciones matemáticas es Mundial. Los primeros amplificadores la razón de que se llame amplificador operacional. Lo es también por su extendido uso operacionales contenían tubos al vacío en vez de transistores. en el diseño analógico. Los amplificadores operacionales son muy comunes en diseños prácticos de circuitos a causa de su versatilidad, bajo costo, facilidad de uso y grato manejo. Un amplificador operacional también Se inicia su estudio con la explicación del amplificador operacional ideal y después puede considerarse un amplificador se tratará el no ideal. Con el uso del análisis nodal como herramienta, se tratarán los de tensión de muy alta ganancia. circuitos de amplificadores operacionales ideales como el inversor, el seguidor de ten- sión, el sumador y el amplificador diferencial. También se analizarán circuitos del am- plificador operacional con PSpice. Por último, se verá cómo se usa un amplificador ope- racional en convertidores digitales-analógicos y en amplificadores para instrumentos. 5.2 Amplificadores operacionales Un amplificador operacional se diseña para ejecutar algunas operaciones matemáticas cuando componentes externos, como resistores y capacitores, están conectados a sus terminales. Así, Un amplificador operacional es un elemento de circuitos activo diseñado para realizar operaciones matemáticas de suma, resta, multiplicación, división, diferenciación e inte- gración. Figura 5.1 Amplificador operacional El amplificador operacional es un dispositivo electrónico que consta de un complejo común. sistema de resistores, transistores, capacitores y diodos. Una exposición completa de lo Cortesía de Tech America. que se halla dentro del amplificador operacional escapa al alcance de este libro. Aquí bastará con tratarlo como un componente de circuitos y con estudiar lo que ocurre en sus terminales. El diagrama de terminales de la figura Los amplificadores operacionales se venden en paquetes de circuitos integrados de 5.2a) corresponde al amplificador diversas presentaciones. En la figura 5.1 aparece un empaque usual de amplificador opera- operacional de propósitos generales cional. Uno habitual es el empaque en línea doble (dual in-line package, DIP por sus siglas 741 fabricado por Fairchild Semicon- ductor. en inglés) de ocho terminales que se muestra en la figura 5.2a). La terminal 8 no se usa, y las terminales 1 y 5 son de escaso interés para el objetivo de esta sección. Las cinco termi- nales importantes son: 1. La entrada inversora, terminal 2. 2. La entrada no inversora, terminal 3. 3. La salida, terminal 6. 4. El suministro de potencia positivo V, terminal 7. 5. El suministro de potencia negativo V , terminal 4. El símbolo de circuitos del amplificador operacional es el triángulo de la figura 5.2b); como se advierte en ella, el amplificador operacional tiene dos entradas y una salida. Las entradas se han marcado con los signos menos () y más () para especificar las entradas inversora y no inversora, respectivamente. Una entrada aplicada a la terminal no inversora aparecerá con la misma polaridad en la salida, mientras que una entrada aplicada a la terminal inversora aparecerá invertida en la salida. Como elemento activo es necesario un suministro de tensión al amplificador opera- cional, como se muestra del modo común en la figura 5.3. Aunque, para mayor simpli- cidad, en diagramas del circuito del amplificador operacional suelen ignorarse las fuen- 5.2 Amplificadores operacionales 151 V+ 7 Balance 1 8 Sin conexión Entrada inversora 2 − 6 Salida Entrada inversora 2 7 V+ Salida no inversora 3 + Entrada no inversora 3 6 Salida 415 V− 4 5 Balance Figura 5.2 Amplificador V− operacional común: Cero de compensación a) configuración de terminales, a) b) b) símbolo de circuitos. tes de suministro, las corrientes de éstas no deben pasarse por alto. Por efecto de la + i+ LCK, i1 VCC 7 io − 2 io  i1  i2  i  i (5.1) 6 3 + El modelo de circuito equivalente de un amplificador operacional se presenta en la 4 i2 VCC i− figura 5.4. La sección de salida consta de una fuente controlada por tensión en serie con − la resistencia de salida Ro. En la figura 5.4 es evidente que la resistencia de entrada Ri es la resistencia equivalente de Thevenin vista en las terminales de entrada, mientras Figura 5.3 Alimentación del que la resistencia de salida Ro es la resistencia equivalente de Thevenin vista en la sali- amplificador operacional. da. La tensión de entrada diferencial vd está dada por v d  v2  v 1 (5.2) donde v1 es la tensión entre la terminal inversora y tierra y v2 la tensión entre la terminal v 1 no inversora y tierra. El amplificador operacional percibe la diferencia entre esas dos entradas, la multiplica por la ganancia A y provoca que la tensión resultante aparezca en − Ro la salida. Así, la salida vo está dada por vd Ri vo + + vd − vo  Avd  A(v2  v1) (5.3) v2 A se llama ganancia en tensión de lazo abierto, porque es la ganancia del amplificador operacional sin retroalimentación externa de la salida a la entrada. En la tabla 5.1 apa- recen los valores habituales de la ganancia en tensión A, la resistencia de entrada Ri, la Figura 5.4 Circuito equivalente de un resistencia de salida Ro y la tensión del suministro VCC. amplificador operacional no ideal. El concepto de retroalimentación es crucial para la comprensión de los circuitos de amplificadores operacionales. Una retroalimentación negativa se obtiene cuando la sa- A veces la ganancia en tensión se lida se retroalimenta a la terminal inversora del amplificador operacional. Como se de- expresa en decibeles (dB), como mostrará en el ejemplo 5.1, cuando hay una vía de retroalimentación de la salida a la se explicará en el capítulo 14. entrada, la proporción entre la tensión de salida y la tensión de entrada se llama ganan- cia de lazo cerrado. Como resultado de la retroalimentación negativa es posible demos- A dB  20 log10 A trar que la ganancia de lazo cerrado es casi insensible a la ganancia de lazo abierto A del amplificador operacional. Por esta razón se usan amplificadores operacionales en cir- vo cuitos con trayectorias de retroalimentación. Una limitación práctica del amplificador operacional es que la magnitud de su ten- sión de salida no puede exceder de 兩VCC 兩. En otras palabras, la tensión de salida depende Saturación positiva VCC de y está limitada por la tensión de alimentación. La figura 5.5 ilustra que el amplifica- 0 vd TABLA 5.1 Gamas habituales de parámetros del amplificador operacional. −V VCC Saturación negativa Parámetro Rango típico Valores ideales Ganancia de lazo abierto, A 105 a 108  Resistencia de entrada, Ri 105 a 1013   Figura 5.5 Tensión de salida o del Resistencia de salida, Ro 10 a 100  0 amplificador operacional como función Tensión de suministro, VCC 5 a 24 V de la tensión de entrada diferencial d. 152 Capítulo 5 Amplificadores operacionales dor operacional puede funcionar en tres modos, dependiendo de la tensión de entrada diferencial vd: 1. Saturación positiva, vo  VCC. 2. Región lineal, VCC  vo  Avd  VCC. 3. Saturación negativa, vo  VCC. Si se intenta incrementar vd más allá del rango lineal, el amplificador operacional se satura y produce vo  VCC o vo  VCC. En este libro se supondrá que los amplificado- res operacionales funcionan en el modo lineal. Esto significa que la tensión de salida En este libro se supondrá que un está restringida por amplificador operacional funciona VCC  vo  VCC (5.4) en el rango lineal. Tenga en cuenta la restricción de la tensión sobre el Aunque siempre funciona el amplificador operacional en la región lineal, la posibilidad amplificador operacional en este de saturación debe tenerse en cuenta al realizar diseños que lo incluyan, para no diseñar modo. circuitos de amplificadores operacionales que no funcionen en el laboratorio. Ejemplo 5.1 Un amplificador operacional 741 tiene una ganancia en tensión de lazo abierto de 2  105, una resistencia de entrada de 2 M y una resistencia de salida de 50 . Tal amplificador se usa en el circuito de la figura 5.6a). Halle la ganancia de lazo cerrado vo /vs. Determine la corriente i cuando vs  2 V. 20 kΩ 20 kΩ i 10 kΩ v1 Ro = 50 Ω v 10 kΩ 1 i o − 1 O 741 − i + O + + + vs + vs − vd Ri = 2 MΩ Avd − vo − + − Figura 5.6 Para el ejemplo 5.1: a) circuito original, b) circuito equivalente. a) b) Solución: Con base en el modelo de amplificador operacional de la figura 5.4, se obtie- ne el circuito equivalente de la figura 5.6a), el cual se muestra en la figura 5.6b). Ahora se resuelve el circuito de esta última figura aplicando el análisis nodal. En el nodo 1, la LCK da como resultado vs v1 v1 v1 vo 3 3 10 10 2 000 10 20 103 Al multiplicar 2 000  103 se obtiene 200vs  301v1  100v0 2vs vo o sea 2vs 3v1 vo 1 v1 (5.1.1) 3 v1 vo vo Avd En el nodo O, 20 103 50 Pero vd  v1 y A  200 000. Por lo tanto, v1  vo  400(vo  200 000v1) (5.1.2) La sustitución de v1 de la ecuación (5.1.1) en la ecuación (5.1.2) da por resultado vo 0 26 667 067vo 53 333 333vs 1 1.9999699 vs 5.3 Amplificador operacional ideal 153 Ésta es la ganancia de lazo cerrado, porque el resistor de retroalimentación de 20 k cierra el lazo entre las terminales de salida y entrada. Cuando vs  2 V, vo  3.9999398 V. De la ecuación (5.1.1) se obtiene v1  20.066667 V. Así, v1 vo i 0.19999 mA 20 103 Es evidente que trabajar con un amplificador operacional no ideal es tedioso, ya que se trata con números muy grandes. Si el mismo amplificador operacional 741 del ejemplo 5.1 se emplea en el circuito de la Problema de práctica 5.1 figura 5.7, calcule la ganancia de lazo cerrado vo /vs. Halle io cuando vs  1 V. io + 741 Respuesta: 9.00041, 657 mA. − vs + − 40 kΩ + 5 kΩ 20 kΩ vo 5.3 Amplificador operacional ideal − Para facilitar la comprensión de los circuitos de amplificadores operacionales, se supon- drá que son amplificadores operacionales ideales. Un amplificador operacional es ideal Figura 5.7 Para el problema de si tiene las siguientes características: práctica 5.1. 1. Ganancia infinita de lazo abierto, A ⯝ . 2. Resistencia de entrada infinita, Ri ⯝ . 3. Resistencia de salida cero, Ro ⯝ 0. Un amplificador operacional ideal es aquel con ganancia infinita de lazo abierto, resis- i1 = 0 tencia de entrada infinita y resistencia de salida cero. − + − vd Aunque suponer un amplificador operacional ideal brinda apenas un análisis aproxi- i2 = 0 + + mado, la mayoría de los amplificadores modernos tienen ganancias e impedancias de + v1 + entrada tan grandes que el análisis aproximado es aceptable. A menos que se indique vo v2 v1 otra cosa, en adelante se supondrá que todos los amplificadores operacionales son idea- − − − les. Para efectos de análisis de circuitos, el amplificador operacional ideal se ilustra en la figura 5.8, la cual se deriva del modelo no ideal de la figura 5.4. Dos importantes Figura 5.8 Modelo del amplificador características del amplificador operacional ideal son: operacional ideal. 1. Las corrientes por las dos terminales de entrada son de cero: i1  0, i2  0 (5.5) Esto se debe a la resistencia de entrada infinita. Una resistencia infinita entre las terminales de entrada implica que ahí existe un circuito abierto y que no puede en- trar corriente en el amplificador operacional. En cambio, la corriente de salida no necesariamente es de cero, de acuerdo con la ecuación (5.1). 2. La tensión entre las terminales de entrada es igual a cero; es decir. vd  v2  v1  0 (5.6) Estas dos características pueden o sea v 1  v2 (5.7) explotarse señalando que para cálculos de tensión el puerto de De este modo, un amplificador operacional ideal tiene corriente cero en sus dos termi- entrada se comporta como un nales de entrada y la tensión entre las dos terminales de entrada es igual a cero. Las cortocircuito y para cálculos de ecuaciones (5.5) y (5.7) son sumamente importantes y deben considerarse los recursos corriente se comporta como un clave para analizar circuitos de amplificadores operacionales. circuito abierto. 154 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Ejemplo 5.2 Repita el problema de práctica 5.1 con el uso del modelo de amplificador operacional ideal. i2 = 0 v2 + Solución: Se puede reemplazar el amplificador operacional de la figura 5.7 por su mo- v1 − i0 delo equivalente de la figura 5.9, como se hizo en el ejemplo 5.1. Pero en realidad no es i1 = 0 necesario hacer esto. Basta con tener presentes las ecuaciones (5.5) y (5.7) al analizar el circuito de la figura 5.7. Así, el circuito de esta última figura se presenta como en la fi- vs + O − 40 kΩ gura 5.9. Nótese que + 5 kΩ vo 20 kΩ v 2  vs (5.2.1) − Puesto que i1  0, los resistores de 40  y 5 k están en serie; por ellos fluye la misma corriente. v1 es la tensión entre los extremos del resistor de 5 k. Así, al aplicar el prin- Figura 5.9 Para el ejemplo 5.2. cipio de la división de tensión, 5 vo v1 vo (5.2.2) 5 40 9 De acuerdo con la ecuación (5.7), v2  v1 (5.2.3) La sustitución de las ecuaciones (5.2.1) y (5.2.2) en la ecuación (5.2.3) produce la ga- nancia de lazo cerrado, vo vo vs 1 9 (5.2.4) 9 vs valor muy cercano al de 9.00041 obtenido con el modelo no ideal en el problema de práctica 5.1. Esto demuestra que se produce un error despreciable al suponer el amplifi- cador operacional de características ideales. En el nodo O, vo vo io mA (5.2.5) 40 5 20 De la ecuación (5.2.4), cuando vs  1 V, vo  9 V. La sustitución de vo  9 V en la ecuación (5.2.5) produce io  0.2  0.45  0.65 mA También este valor es cercano al de 0.657 mA obtenido en el problema de práctica 5.1 con el modelo no ideal. Problema de práctica 5.2 Repita el ejemplo 5.1 con el uso del modelo de amplificador operacional ideal. Respuesta: 2, 200 mA. i2 5.4 Amplificador inversor Rf En ésta y las siguientes secciones se considerarán algunos circuitos de amplificadores i1 R1 0A operacionales útiles que suelen servir como módulos para el diseño de circuitos más v1 complejos. El primero de tales circuitos es el amplificador inversor, el cual se muestra − − 1 0V en la figura 5.10. En este circuito, la entrada no inversora se conecta a tierra, vi se co- vi + v2 + + necta a la entrada inversora a través de R1 y el resistor de retroalimentación Rf se conec- − + vo ta entre la entrada inversora y la salida. El objetivo es obtener la relación entre la tensión − de entrada vi y la tensión de salida vo. Al aplicar la LCK en el nodo 1, vi v1 v1 vo i1 i2 1 (5.8) Figura 5.10 Amplificador inversor. R1 Rf 5.4 Amplificador inversor 155 Pero v1  v2  0 para un amplificador operacional ideal, ya que la terminal no inverso- Un rasgo clave del amplificador ra se conecta a tierra. Por lo tanto, inversor es que tanto la señal de entrada como la retroalimentación se vi vo aplican en la terminal inversora del R1 Rf amplificador operacional. Rf Nótese que hay dos tipos de o sea vo vi (5.9) ganancia: la de aquí es la ganancia en R1 tensión de lazo cerrado Av, mientras que el amplificador operacional La ganancia en tensión es Av  vo /vi  Rf /R1. La designación del circuito de la figu- mismo tiene una ganancia en tensión ra 5.10 como inversor procede del signo negativo. Así, de lazo abierto A. Un amplificador inversor invierte la polaridad de la señal de entrada mientras la amplifica. + + vi R1 – Rf v vo + R1 i Obsérvese que la ganancia es la resistencia de retroalimentación dividida entre la − − resistencia de entrada, lo que significa que la ganancia depende únicamente de los ele- mentos externos conectados al amplificador operacional. En vista de la ecuación (5.9), en la figura 5.11 se presenta el circuito equivalente del amplificador inversor. Este am- Figura 5.11 Circuito equivalente del plificador se utiliza, por ejemplo, en un convertidor de corriente a tensión. inversor de la figura 5.10. Remítase al amplificador operacional de la figura 5.12. Si vi  0.5 V, calcule: a) la Ejemplo 5.3 tensión de salida vo y b) la corriente en el resistor de 10 k. 25 kΩ Solución: 10 kΩ a) Con base en la ecuación (5.9), − + + vi + vo Rf 25 − vo 2.5 − vi R1 10 vo  2.5vi  2.5(0.5)  1.25 V Figura 5.12 Para el ejemplo 5.3. b) La corriente a través del resistor de 10 k es vi 0 0.5 0 i 50 mA R1 10 103 Halle la salida del circuito del amplificador operacional que aparece en la figura 5.13. Problema de práctica 5.3 Calcule la corriente a través del resistor de retroalimentación. 280 kΩ Respuesta: –3.15 V, 26.25 mA. 4 kΩ − + + 45 mV + − vo − Figura 5.13 Para el problema de práctica 5.3. Determine vo en el circuito del amplificador operacional que se muestra en la figura Ejemplo 5.4 5.14. Solución: Al aplicar la LCK al nodo a, va vo 6 va 40 k 20 k va  vo  12  2va ⇒ vo  2va  12 156 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 40 kΩ Pero va  vb  2 V para un amplificador operacional ideal, a causa de la caída de ten- sión a cero entre sus terminales de entrada. Así, 20 kΩ a − vo  6  12  6 V b + + + Adviértase que si vb  0  va, entonces vo  12, como era de esperar de la ecuación 6V − 2V + − vo (5.9). − Figura 5.14 Para el ejemplo 5.4. Problema de práctica 5.4 Dos tipos de convertidores de corriente a tensión (también conocidos como amplifica- dores de transresistencia) aparecen en la figura 5.15. R a) Demuestre que para el convertidor de la figura 5.15a), − + + vo R is vo is − b) Demuestre que para el convertidor de la figura 5.15b), R1a1 b vo R3 R3 a) is R1 R2 R1 R2 Respuesta: Comprobación. R3 − + + is vo 5.5 Amplificador no inversor − Otra importante aplicación del amplificador operacional es el amplificador no inversor que se muestra en la figura 5.16. En este caso, la tensión de entrada vi se aplica directa- b) mente a la terminal de entrada no inversora, y el resistor R1 se conecta entre la tierra y la terminal inversora. Interesan la tensión de salida y la ganancia en tensión. La aplica- Figura 5.15 Para el problema de ción de la LCK en la terminal inversora da por resultado práctica 5.4. 0 v1 v1 vo i1 i2 1 (5.10) R1 Rf Pero v1  v2  vi. Así, la ecuación (5.10) se convierte en vi vi vo R1 Rf Rf o sea vo a1 b vi (5.11) R1 La ganancia en tensión es Av  vo /vi  1  Rf /R1, la cual no tiene signo negativo. Así, i2 Rf la salida tiene la misma polaridad que la entrada. R1 i1 v1 − Un amplificador no inversor es un circuito de amplificador operacional diseñado para + suministrar una ganancia en tensión positiva. v2 + vi + vo − Nótese de nueva cuenta que la ganancia sólo depende de los resistores externos. − Obsérvese asimismo que si el resistor de retroalimentación Rf  0 (cortocircuito) o R1   (circuito abierto) o ambos, la ganancia se convierte en 1. En estas condiciones Figura 5.16 Amplificador no inversor. (Rf  0 y R1  ), el circuito de la figura 5.16 se convierte en el que aparece en la figu- 5.5 Amplificador no inversor 157 ra 5.17, el cual se llama seguidor de tensión (o amplificador de ganancia unitaria), a causa de que la salida sigue a la entrada. Así, en un seguidor de tensión − + + v o  vi (5.12) vi + vo = vi − Tal circuito tiene una impedancia de entrada muy alta y, por lo tanto, es útil como am- − plificador de etapa intermedia (o buffer) para aislar un circuito de otro, como se describe en la figura 5.18. El seguidor de tensión minimiza la interacción entre las dos etapas y Figura 5.17 Seguidor de tensión. elimina la carga interetapas. − + Primera + + Segunda Figura 5.18 Seguidor de tensión vi etapa vo etapa usado para aislar dos etapas en − − cascada de un circuito. Ejemplo 5.5 En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.19 calcule la tensión de sali- da vo. 10 kΩ 4 kΩ a Solución: Se puede resolver este problema de dos maneras: aplicando la superposición − o el análisis nodal. b + + 6V + − 4V + vo ■ MÉTODO 1 Aplicando la superposición, se tiene − − vo  vo1  vo2 donde vo1 se debe a la fuente de tensión de 6 V y vo2 a la entrada de 4 V. Para obtener Figura 5.19 Para el ejemplo 5.5. vo1 se pone en cero la fuente de 4 V. En esta condición, el circuito se convierte en inver- sor. Así, la ecuación (5.9) da como resultado 10 vo1 (6) 15 V 4 Para obtener vo2 se pone en cero la fuente de 6 V. El circuito se convierte en amplifica- dor no inversor, así que se aplica la ecuación (5.11). a1 b4 10 vo2 14 V 4 De este modo, vo  vo1  vo2  15  14  1 V 4 kΩ ■ MÉTODO 2 Al aplicar la LCK al nodo a, + − + 6 va va vo 4 10 + 3V − 8 kΩ 5 kΩ vo Pero va  vb  4, así que 2 kΩ − 6 4 4 vo 1 5 4 vo 4 10 Figura 5.20 Para el problema de o vo  1 V, como se obtuvo anteriormente. práctica 5.5. Calcule vo en el circuito de la figura 5.20. Problema de práctica 5.5 Respuesta: 7 V. 158 Capítulo 5 Amplificadores operacionales i1 Rf i R1 v1 5.6 Amplificador sumador i2 i 0 Aparte de amplificación, el amplificador operacional también puede realizar sumas y R2 v2 − restas. La suma la ejecuta el amplificador sumador cubierto en esta sección; la resta, el a R3 i3 + + amplificador de diferencia, el cual se presenta en la siguiente sección. v3 0 vo − Un amplificador sumador es un circuito del amplificador operacional que combina va- rias entradas y produce una salida que es la suma ponderada de las entradas. Figura 5.21 Amplificador sumador. El amplificador sumador, el cual se muestra en la figura 5.21, es una variante del ampli- ficador inversor. Se beneficia del hecho de que la configuración del inversor puede manejar muchas entradas al mismo tiempo. Téngase en cuenta que la corriente que entra a cada terminal del amplificador operacional es de cero. La aplicación de la LCK al nodo a da por resultado i  i1  i2  i3 (5.13) v1 va v2 va Pero i1 , i2 R1 R2 (5.14) v3 va va vo i3 , i R3 Rf Nótese que va  0, y al sustituir la ecuación (5.14) en la ecuación (5.13) se obtiene Rf Rf Rf vo a v1 v2 v3 b (5.15) R1 R2 R3 lo que indica que la tensión de salida es una suma ponderada de las entradas. Por esta razón, el circuito de la figura 5.21 se llama sumador. Sobra decir que el sumador puede tener más de tres entradas. Ejemplo 5.6 Calcule vo e io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.22. 5 kΩ 10 kΩ a io − + + 2.5 kΩ b 2V − + 2 kΩ vo + 1V − − Figura 5.22 Para el ejemplo 5.6. Solución: Éste es un sumador con dos entradas. El uso de la ecuación (5.15) da como resultado c (1) d 10 10 vo (2) (4 4) 8V 5 2.5 La corriente io es la suma de las corrientes a través de los resistores de 10 y 2 k. Ambos resistores tienen una tensión vo  8 V entre sus extremos, puesto que va  vb  0. Así, vo 0 vo 0 io mA 0.8 4 4.8 mA 10 2 5.7 Amplificador diferencial 159 Halle vo e io en el circuito del amplificador operacional que se muestra en la figura 5.23. Problema de práctica 5.6 20 kΩ 8 kΩ 10 kΩ io − 6 kΩ + + 1.5 V − + + 2V − + 4 kΩ vo − 1.2 V − Figura 5.23 Para el problema de práctica 5.6. Respuesta: 3.8 V, 1.425 mA. 5.7 Amplificador diferencial Los amplificadores de diferencia (o diferenciales) se utilizan en varias aplicaciones en las que hay necesidad de amplificar la diferencia entre las señales de entrada. Son pri- El amplificador de diferencia también mos hermanos del amplificador para instrumentos, el amplificador más útil y popular, se conoce como el restador, por del que se tratará en la sección 5.10. razones que se indicarán más adelante. Un amplificador de diferencia es un dispositivo que amplifica la diferencia entre dos entradas pero rechaza toda señal común a las dos entradas. Considérese el circuito del amplificador operacional que aparece en la figura 5.24. Tén- gase en cuenta que corrientes cero entran a las terminales del amplificador operacional. Al aplicar la LCK al nodo a, v1 va va vo R1 R2 a R2 R2 o sea vo 1b va v1 (5.16) R1 R1 R2 R1 0 va − R3 0 vb + + v1 + − vo + v R4 − 2 − Figura 5.24 Amplificador de diferencia. Al aplicar la LCK al nodo b, v2 vb vb 0 R3 R4 R4 o sea vb v2 (5.17) R3 R4 160 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Pero va  vb. La sustitución de la ecuación (5.17) en la ecuación (5.16) produce a R2 R4 R2 vo 1b v2 v1 R1 R3 R4 R1 R2 (1 R1 R2) R2 o sea vo v2 v1 (5.18) R1 (1 R3 R4) R1 Como un amplificador de diferencia debe rechazar una señal común a las dos entradas, debe tener la propiedad de que vo  0 cuando v1  v2. Esta propiedad existe cuando R1 R3 (5.19) R2 R4 Así, cuando el circuito del amplificador operacional es un amplificador de diferencia, la ecuación (5.18) se convierte en R2 vo (v2 v1) (5.20) R1 Si R2  R1 y R3  R4, el amplificador de diferencia se convierte en restador, con la sa- lida v o  v2  v 1 (5.21) Ejemplo 5.7 Diseñe un circuito del amplificador operacional con entradas v1 y v2 de manera que vo  5v1  3v2. Solución: El circuito requiere que vo  3v2  5v1 (5.7.1) Este circuito puede realizarse de dos maneras. DISEÑO 1 Si se desea utilizar sólo un amplificador operacional se puede recurrir al circuito del amplificador operacional de la figura 5.24. Al comparar la ecuación (5.7.1) con la ecuación (5.18) se advierte que R2 5 1 R2 5R1 (5.7.2) R1 Asimismo, 6 (1 R1 R2) 5 3 5 3 1 (1 R3 R4) 1 R3 R4 5 R3 o sea 2 1 1 R3 R4 (5.7.3) R4 3R3 5R1 Si se elige R1  10 k y R3  20 k, entonces R2  50 k y R4  20 k. R3 v2 − 5R1 − DISEÑO 2 Si se desea utilizar más de un amplificador operacional, es posible conec- + va vo + tar en cascada un amplificador inversor y un sumador inversor con dos entradas, como se muestra en la figura 5.25. En cuanto al sumador, R1 v1 vo  va  5v1 (5.7.4) Figura 5.25 Para el ejemplo 5.7. y en cuanto al inversor, va  3v2 (5.7.5) 5.7 Amplificador diferencial 161 La combinación de las ecuaciones (5.7.4) y (5.7.5) da por resultado vo  3v2  5v1 el cual es el resultado deseado. En la figura 5.25 se puede seleccionar R1  10 k y R3  20 k o R1  R3  10 k. Diseñe un amplificador diferencial con una ganancia de 7.5. Problema de práctica 5.7 Respuesta: Usual: R1  R3  20 k, R2  R4  150 k. Un amplificador para instrumentos, el cual aparece en la figura 5.26, es un amplificador Ejemplo 5.8 de señales de bajo nivel que se emplea en el control de procesos o en aplicaciones de medición y se vende en unidades de un solo paquete. Demuestre que a1 b (v2 R2 2R3 vo v1) R1 R4 Solución: Se sabe que el amplificador A3 de la figura 5.26 es un amplificador diferen- cial. Así, a partir de la ecuación (5.20), R2 vo (vo2 vo1) (5.8.1) R1 Puesto que los amplificadores operacionales A1 y A2 no toman corriente, la corriente i fluye a través de los tres resistores como si estuvieran en serie. Así, vo1  vo2  i(R3  R4  R3)  i(2R3  R4) (5.8.2) + vo1 R1 R2 v1 + − A1 − R3 0 va − R4 i A3 vo 0 + vb R3 − R1 A2 + vo2 R2 v2 + − Figura 5.26 Amplificador para instrumentos; para el ejemplo 5.8. va vb Pero i R4 y vo  v1, vb  v2. Por lo tanto, v1 v2 i (5.8.3) R4 Al sustituir las ecuaciones (5.8.2) y (5.8.3) en la ecuación (5.8.1) da por resultado a1 b (v2 R2 2R3 vo v1) R1 R4 como se requirió. El amplificador para instrumentos se tratará con detalle en la sección 5.10. 162 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Problema de práctica 5.8 Obtenga io en el circuito amplificador para instrumentos de la figura 5.27. 6.98 V + 40 kΩ − 20 kΩ − + io Figura 5.27 Amplificador para 20 kΩ − instrumentos; para el problema de práctica 5.8. 7V + 40 kΩ 50 kΩ Respuesta: 800 A. 5.8 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada Como es sabido, los circuitos de amplificadores operacionales son módulos o compo- nentes para el diseño de circuitos complejos. En aplicaciones prácticas suele ser necesa- rio conectar circuitos de amplificadores operacionales en cascada (es decir, uno tras otro) para conseguir una ganancia total grande. En general, dos circuitos se disponen en cascada cuando se conectan en tándem, sucediéndose uno a otro en una sola fila. Una conexión en cascada es un arreglo de dos o más circuitos de amplificadores ope- racionales dispuestos uno tras otro, de manera que la salida de uno es la entrada del si- guiente. Cuando se conectan en cascada circuitos de amplificadores operacionales, a cada circui- to de la cadena se le llama una etapa; la señal de entrada original se incrementa con la ganancia de la etapa individual. Los circuitos de amplificadores operacionales tienen la ventaja de que pueden disponerse en cascada sin alterar sus relaciones de entrada-salida. Esto se debe al hecho de que cada circuito del amplificador operacional (ideal) tiene re- sistencia de entrada infinita y resistencia de salida cero. La figura 5.28 muestra una re- presentación del diagrama en bloques de tres circuitos de amplificadores operacionales en cascada. Dado que la salida de una etapa es la entrada de la siguiente, la ganancia total de la conexión en cascada es el producto de las ganancias de los circuitos de am- plificadores operacionales individuales, o A  A1A2A3 (5.22) Aunque la conexión en cascada no afecta las relaciones de entrada-salida de los ampli- ficadores operacionales, se debe tener cuidado en el diseño de un circuito del amplifica- dor operacional real, para asegurar que la carga debida a la siguiente etapa en la cascada no sature el amplificador. + + + + Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 v1 v 2 = A1v 1 v 3 = A2v 2 vo 3v 3 Figura 5.28 Conexión A1 A2 A3 − − − − en cascada de tres etapas. Ejemplo 5.9 Halle vo e io en el circuito de la figura 5.29. 5.8 Circuitos de amplificadores operacionales en cascada 163 Solución: Este circuito consta de dos amplificadores no inversores en cascada. En la + a + salida del primer amplificador operacional, − − + io a1 b (20) 12 b va 100 mV 12 kΩ 3 20 mV + 10 kΩ − vo 3 kΩ 4 kΩ En la salida del segundo amplificador operacional, − a1 b va 10 vo (1 2.5)100 350 mV 4 Figura 5.29 Para el ejemplo 5.9. La corriente requerida io es la corriente a través del resistor de 10 k. vo vb io mA 10 Pero vb  va  100 mV. Así, 3 (350 100) 10 io 25 mA 10 103 Determine vo e io en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.30. Problema de práctica 5.9 Respuesta: 6 V, 24 mA. + + − − + 1.2 V + − 200 kΩ vo 50 kΩ io − Figura 5.30 Para el problema de práctica 5.9. Si v1  1 V y v2  2 V, halle vo en el circuito del amplificador operacional de la figura Ejemplo 5.10 5.31. A 6 kΩ 2 kΩ C 5 kΩ v1 − + a 10 kΩ B − + vo 8 kΩ 4 kΩ 15 kΩ v2 − + b Figura 5.31 Para el ejemplo 5.10. Solución: 1. Definir. El problema está claramente definido. 2. Presentar. Con una entrada de v1 de 1 V y de v2 de 2 V, determine la tensión de salida del circuito que aparece en la figura 5.31. Este circuito del amplificador operacional se compone en realidad de tres circuitos. El primero actúa como am- 164 Capítulo 5 Amplificadores operacionales plificador de la ganancia 3(6 k/2 k) para v1, y el segundo como amplifica- dor de la ganancia –2(8 k/4 k) para v2. El último sirve como sumador de dos ganancias diferentes para la salida de los otros dos circuitos. 3. Alternativas. Este circuito puede resolverse de varias maneras. Dado que implica amplificadores operacionales ideales, un método puramente matemático funciona- rá de manera muy fácil. Un segundo método sería usar PSpice como confirmación de las operaciones matemáticas. 4. Intentar. Desígnese v11 a la salida del primer circuito del amplificador operacional y v22 a la salida del segundo. Así se obtiene v11  3v1  3  1  3 V, v22  2v2  2  2  4 V En el tercer circuito se tiene vo  (10 k/5 k)v11  [(10 k/15 k)v22]  2(3)  (2/3)(4)  6  2.667  8.667 V 5. Evaluar. Para evaluar adecuadamente la solución, se debe identificar una compro- bación razonable. Aquí se puede usar fácilmente PSpice para disponer de esa com- probación. Ahora se puede simular esto en PSpice. Véanse los resultados en la figura 5.32. −3.000 R4 6 kΩ R6 OPAMP − 2 kΩ R2 v1 1V 5 kΩ 8.667 V − + R1 U1 10 kΩ OPAMP − −4.000 R5 + U3 8 kΩ R7 OPAMP − 4 kΩ R3 + v2 2V 15 kΩ − + U2 Figura 5.32 Para el ejemplo 5.10. Nótese que se obtienen los mismos resultados siguiendo dos técnicas por completo diferentes (la primera fue tratar a los circuitos de amplificadores operacionales úni- camente como ganancias y un sumador y la segunda aplicar el análisis de circuitos con PSpice). Éste es un muy buen método para garantizar que se tiene la respuesta correcta. 6. ¿Satisfactorio? Se está satisfecho por haber obtenido el resultado solicitado. Aho- ra es posible presentar el trabajo como solución del problema. Problema de práctica 5.10 Si v1  7 V y v2  3.1 V, halle vo en el circuito del amplificador operacional de la fi- gura 5.33. 5.9 Análisis de circuitos de amplificadores operacionales con PSpice 165 60 kΩ 20 kΩ − + − + vo v1 + − 500 kΩ 30 kΩ 10 kΩ − + v2 + − Figura 5.33 Para el problema de práctica 5.10. Respuesta: 10 V. 5.9 Análisis de circuitos de amplificadores operacionales con PSpice PSpice for Windows no tiene un modelo para un amplificador operacional ideal, aunque puede crearse uno como subcircuito utilizando la línea Create Subcircuit del menú Tools. Pero en vez de crear un amplificador operacional ideal, aquí se utilizará uno de los cuatro amplificadores operacionales no ideales comercialmente disponibles pro- vistos en la biblioteca eval.slb de PSpice. Esos modelos de amplificador operacional tienen los nombres de parte LF411, LM111, LM324 y uA741, como se advierte en la figura 5.34. Cada uno de ellos puede obtenerse en Draw/Get New Part/libraries…/ eval.lib, o simplemente seleccionando Draw/Get New Part y tecleando el nombre de parte en el cuadro de diálogo PartName, como de costumbre. Cabe señalar que cada uno de estos modelos requiere fuentes de alimentación de cd, sin las cuales el amplificador operacional no funcionará. Las fuentes de cd deben conectarse como se señala en la fi- gura 5.3. U4 U2 U3 3 7 2 85 3 4 U1A 3 7 + 5 + 6 + + 5 V+ B2 6 V+ BB §S 7 V+ 1 V+ 052 6 B1 V− G 051 2 V− 3 2 V− 2 V− − 1 − 1 − − 1 4 4 11 4 LF411 LM111 LM324 uA741 a) Subcircuito del b) Subcircuito del c) Subcircuito del d) Subcircuito del amplificador amplificador amplificador amplificador Figura 5.34 Modelos del amplificador operacional de operacional operacional de operacional de operacional no ideal disponibles en entrada JFET cinco conexiones cinco conexiones PSpice. Use PSpice para resolver el circuito del amplificador operacional del ejemplo 5.1. Ejemplo 5.11 Solución: Con el uso del diagrama Schematics se dibuja el circuito de la figura 5.6a) como se muestra en la figura 5.35. Adviértase que la terminal positiva de la fuente de tensión vs está conectada a la terminal inversora (terminal 2) vía el resistor de 10 k, mientras que la terminal no inversora (terminal 3) está conectada a tierra, como lo re- quiere la figura 5.6a). Adviértase asimismo cómo el amplificador operacional está ali- mentado; la terminal de alimentación positiva V (terminal 7) está conectada a la fuen- te de tensión de cd de 15 V, mientras que la terminal de alimentación negativa V (terminal 4) está conectada a 15 V. Las terminales 1 y 5 se dejan sin conexión, porque se usan para el ajuste de compensación del cero, lo cual no es de interés en este capítulo. 166 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Además de agregar las fuentes de alimentación de cd al circuito original de la figura 5.6a), también se han añadido los seudocomponentes VIEWPOINT e IPROBE para medir la tensión de salida vo en la terminal 6 y la corriente requerida i a través del resis- tor de 20 k, respectivamente. 0 V2 U1 + − VS + 2V 3 7 15 V + 5 ⫺3.9983 − V+ 052 6 R1 V− 051 + 2 − 1 15 V 0 4 − 10 K uA741 V3 1.999E–04 R2 Figura 5.35 Esquema para el ejemplo 5.11. 20 K Después de guardar el esquema, se simula el circuito seleccionando Analysis/Si- mulate y se obtienen los resultados en VIEWPOINT e IPROBE. A partir de esos resul- tados, la ganancia de lazo cerrado es vo 3.9983 1.99915 vs 2 e i = 0.1999 mA, en coincidencia con los resultados obtenidos analíticamente en el ejemplo 5.1. Problema de práctica 5.11 Repita el problema de práctica 5.1 usando PSpice. Respuesta: 9.0027, 650.2 mA. † 5.10 Aplicaciones El amplificador operacional es un componente fundamental de la instrumentación elec- trónica moderna. Se utiliza extensamente en muchos dispositivos, junto con resistores y Entrada CDA otros elementos pasivos. Entre las numerosas aplicaciones prácticas se encuentran am- Salida digital de cuatro plificadores para instrumentos, convertidores digitales-analógicos, computadoras ana- análoga (0000-1111) bits lógicas, cambiadores de nivel, filtros, circuitos de calibración, inversores, sumadores, integradores, diferenciadores, restadores, amplificadores logarítmicos, comparadores, a) elementos rotatorios, osciladores, rectificadores, reguladores, convertidores de tensión V1 V2 V3 V4 a corriente, convertidores de corriente a tensión y recortadores. Ya se han considerado algunos de ellos. Aquí se consideran dos aplicaciones más: el convertidor digital-analó- Rf gico y el amplificador para instrumentación. R1 R2 R3 R4 − MSB LSB + Vo 5.10.1 Convertidor digital-analógico El convertidor digital-analógico (CDA) transforma señales digitales en analógicas. En b) la figura 5.36a) se ilustra un ejemplo usual de un CDA de cuatro bits. Éste puede reali- Figura 5.36 CDA de cuatro bits: zarse de muchas maneras. Una realización simple es la escalera ponderada binaria que a) diagrama en bloques, b) tipo de aparece en la figura 5.36b). Los bits son ponderaciones según la magnitud de su valor escalera ponderada binaria. de posición, por valor descendente de Rf /Rn, de modo que cada bit menor tiene la mitad 5.10 Aplicaciones 167 de peso del inmediato superior. Éste es obviamente un amplificador sumador inversor. La salida se relaciona con las entradas como se indicó en la ecuación (5.15). Así, Rf Rf Rf Rf Vo V1 V2 V3 V4 (5.23) R1 R2 R3 R4 La entrada V1 se llama bit más significativo (BMS o MSB por sus siglas en inglés), en tanto que la entrada V1 es el bit menos significativo (BMES o LSB por sus siglas en in- glés). Cada una de las cuatro entradas binarias V1, … , V4 sólo puede asumir dos niveles En la práctica, los niveles de tensión de tensión: 0 o 1 V. Aplicando los valores adecuados de entrada y resistor de retroali- pueden ser habitualmente de 0 y mentación, el CDA arroja una sola salida, la cual es proporcional a las entradas. 5 V. En el circuito del amplificador operacional de la figura 5.36b), sean Rf  10 k y R1  Ejemplo 5.12 10 k, R2  20 k, R3  40 k y R4  80 k. Obtenga la salida analógica de las en- tradas binarias [0000], [0001], [0010], …, [1111]. Solución: La sustitución de los valores dados de las entradas y los resistores de retro- alimentación en la ecuación (5.23) da por resultado Rf Rf Rf Rf Vo V1 V2 V3 V4 R1 R2 R3 R4 TABLA 5.2 Valores de entrada V1 0.5V2 0.25V3 0.125V4 y salida del CDA de cuatro bits. Con base en esta ecuación, una entrada digital [V1V2V3V4]  [0000] produce una sa- Entrada binaria Valor Salida lida analógica de Vo  0 V; [V1V2V3V4]  [0001] lo cual da Vo  0.125 V. [V1V2V3V4] decimal Vo De igual manera, 0000 0 0 [V1V2V3V4] = [0010] ⇒ Vo  0.25 V 0001 1 0.125 [V1V2V3V4] = [0011] ⇒ Vo  0.25  0.125  0.375 V 0010 2 0.25 [V1V2V3V4] = [0100] ⇒ Vo  0.5 V 0011 3 0.375 .. 0100 4 0.5 . 0101 5 0.625 [V1V2V3V4] = [1111] ⇒ Vo  1  0.5  0.25  0.125 0110 6 0.75  1.875 V 0111 7 0.875 1000 8 1.0 En la tabla 5.2 se resume el resultado de la conversión digital-analógica. Nótese que se 1001 9 1.125 ha supuesto que cada bit tiene un valor de 0.125 V. Así, en este sistema no se puede 1010 10 1.25 representar una tensión entre 1.000 y 1.125, por ejemplo. Esta falta de resolución es una 1011 11 1.375 limitación importante de las conversiones digital-analógicas. Para mayor exactitud se 1100 12 1.5 requiere una representación en palabras con un mayor número de bits. Aun así, una re- 1101 13 1.625 presentación digital de una tensión analógica nunca es exacta. Pese a esta representa- 1110 14 1.75 ción inexacta, la representación digital se ha empleado para conseguir resultados tan 1111 15 1.875 notables como los discos compactos de audio y la fotografía digital. Un CDA de tres bits se muestra en la figura 5.37. Problema de práctica 5.12 a) Determine |Vo | para [V1V2V3]  [010]. 10 kΩ 10 kΩ v1 b) Halle |Vo | si [V1V2V3]  [110]. 20 kΩ c) Si se desea |Vo |  1.25 V, ¿cuál debería ser el valor de [V1V2V3]? v2 − + vo d ) Para obtener |Vo |  1.75 V, ¿cuál debe ser [V1V2V3]? 40 kΩ v3 Respuesta: 0.5 V, 1.5 V, [101], [111]. Figura 5.37 CDA de tres bits; para el problema de práctica 5.12. 5.10.2 Amplificadores para instrumentación Uno de los circuitos de amplificadores operacionales más útiles y versátiles para medi- das de precisión y control de procesos es el amplificador para instrumentación (AI), así 168 Capítulo 5 Amplificadores operacionales llamado a causa de su extendido uso en sistemas de medición. Aplicaciones usuales de AI incluyen amplificadores de aislamiento, amplificadores de termopar y sistemas de adquisición de datos. El amplificador de instrumentación es una prolongación del amplificador diferen- cial en cuanto que amplifica la diferencia entre sus señales de entrada. Como se mostró en la figura 5.26 (véase ejemplo 5.8), un amplificador para instrumentos suele constar de tres amplificadores operacionales y siete resistores. Para mayor comodidad, ese am- plificador se reproduce en la figura 5.38a), donde aparecen los mismos resistores excep- to por el resistor de ajuste de ganancia externa RG, conectado entre las terminales de ajuste de ganancia. En la figura 5.38b) aparece su símbolo esquemático. En el ejemplo 5.8 se demostró que vo  Av (v2  v1) (5.24) Entrada inversora v1 + R R Ajuste de ganancia −1 R − +3 vo Salida RG R Ajuste de ganancia R − Entrada no inversora v 2 +2 − R Figura 5.38 a) Amplificador para + instrumentos con una resistencia externa para ajustar la ganancia, b) circuito esquemático. a) b) donde la ganancia en tensión es 2R Av 1 (5.25) RG Como se muestra en la figura 5.39, el amplificador para instrumentos amplifica pequeñas tensiones de señales diferenciales sobrepuestas sobre tensiones en modo co- mún mayores. Dado que las tensiones en modo común son iguales, se cancelan entre sí. El AI tiene tres características principales: 1. La ganancia en tensión es ajustada por una resistencia externa RG. 2. La impedancia de entrada de ambas entradas es muy alta y no varía al ajustarse la ganancia. 3. La salida vo depende de la diferencia entre las entradas v1 y v2, no de la tensión común a ellas (tensión en modo común). Debido al difundido uso de los AI, los fabricantes los han desarrollado en unidades de un solo paquete. Un ejemplo usual es el LH0036, producido por National Semicon- ductor. La ganancia puede variar de 1 a 1 000 por efecto de una resistencia externa, cuyo valor puede variar a su vez de 100  a 10 k. Figura 5.39 El AI rechaza tensiones comunes, pero amplifica las tensiones − de señal pequeña. RG Thomas L. Floyd, Electronic Devices, 4a. ed., © 1995, p. + 795. Reimpreso con permiso de Pearson Education, Inc. Señales diferenciales pequeñas montadas Amplificador para instrumentos Señal diferencial amplificada, Upper Saddle River, NJ. sobre señales en modo común mayores señal en modo no común 5.11 Resumen 169 En la figura 5.38, sean R  10 k, v1  2.011 V y v2  2.017 V. Si RG se ajusta en Ejemplo 5.13 500 , determine: a) la ganancia en tensión, b) la tensión de salida vo. Solución: a) La ganancia en tensión es 2R 2 10 000 Av 1 1 41 RG 500 b) La tensión de salida es vo  Av (v2  v1)  41(2.017  2.011)  41(6) mV  246 mV Determine el valor del resistor de ajuste de ganancia externo RG requerido por el AI de Problema de práctica 5.13 la figura 5.38 para producir una ganancia de 142 cuando R  25 k. Respuesta: 354.6 . 5.11 Resumen 1. El amplificador operacional es un amplificador de alta ganan- TABLA 5.3 Resumen de circuitos de amplificador cia con resistencia de entrada muy alta y baja resistencia de operacional básicos. salida. Circuito del Nombre/relación 2. En la tabla 5.3 se resumen los circuitos de amplificadores ope- amplificador de salida-entrada racionales considerados en este capítulo. La expresión para la ganancia de cada circuito del amplificador es válida aunque R2 Amplificador inversor las entradas sean de cd, ca o variables en el tiempo en general. R1 3. Un amplificador operacional ideal tiene una resistencia de en- vi − R2 + vo vo vi trada infinita, una resistencia de salida cero y una ganancia R1 infinita. 4. En un amplificador operacional ideal, la corriente por cada R2 Amplificador no inversor una de sus dos terminales de entrada es de cero y la tensión entre las terminales de entrada es despreciable. R1 a1 b vi − R2 vi vo vo + R1 5. En un amplificador inversor, la tensión de salida es un múlti- plo negativo de la entrada. Seguidor de tensión 6. En un amplificador no inversor, la salida es un múltiplo posi- − vo tivo de la entrada. vi + vo vi 7. En un seguidor de tensión, la salida sigue a la entrada. R1 Sumador Rf v1 8. En un amplificador sumador, la salida es la suma ponderada de R2 Rf Rf Rf a v3 b las entradas. v2 − vo vo v1 v2 + R1 R2 R3 9. En un amplificador diferencial, la salida es proporcional a la R3 v3 diferencia de las dos entradas. 10. Los circuitos del amplificador operacional pueden disponerse R1 R2 Amplificador de diferencia v1 en cascada sin alterar sus relaciones de entrada-salida. − R2 11. PSpice puede usarse para analizar un circuito de amplificador vo vo (v2 v1) + R1 operacional. R1 R2 12. Las aplicaciones usuales de los amplificadores operacionales v2 considerados en este capítulo incluyen el convertidor digital- analógico y el amplificador de instrumentación. 170 Capítulo 5 Amplificadores operacionales Preguntas de repaso 5.1 Las dos terminales de entrada de un amplificador operacional 5.6 Si vs  8 mV en el circuito de la figura 5.41, la tensión de se llaman: salida es de: a) Alta y baja. a) 44 mV b) 8 mV b) Positiva y negativa. c) 4 mV d) 7 mV c) Inversora y no inversora. d) Diferencial y no diferencial. 5.7 Remítase a la figura 5.41. Si vs  8 mV, la tensión va es de: 5.2 En un amplificador operacional ideal, ¿cuáles de los siguien- a) 8 mV b) 0 mV tes enunciados no son ciertos? c) 10/3 mV d) 8 mV a) La tensión diferencial entre las terminales de entrada es de cero. 5.8 La potencia absorbida por el resistor de 4 k en la figura 5.42 b) La corriente hacia las terminales de entrada es de cero. es de: c) La corriente procedente de la terminal de salida es de a) 9 mW b) 4 mW cero. c) 2 mW d) 1 mW d) La resistencia de entrada es de cero. e) La resistencia de salida es de cero. 4 kΩ + − 5.3 Para el circuito de la figura 5.40, la tensión vo es de: + 6V + a) –6 V b) –5 V − 2 kΩ vo c) –1.2 V d) –0.2 V − ix 10 kΩ Figura 5.42 Para la pregunta de repaso 5.8. 2 kΩ − + + 1V + vo 5.9 ¿Cuál de estos amplificadores se emplea en un convertidor − 3 kΩ − digital-analógico? a) no inversor b) seguidor de tensión Figura 5.40 Para las preguntas de repaso 5.3 y 5.4. c) sumador 5.4 Para el circuito de la figura 5.40, la corriente ix es de: d) amplificador de diferencia a) 0.6 mA b) 0.5 mA c) 0.2 mA d) 1/12 mA 5.10 Los amplificadores de diferencia se utilizan en (compruebe todos los válidos): 5.5 Si vs  0 en el circuito de la figura 5.41, la corriente io es de: a) amplificadores para instrumentos a) –10 mA b) –2.5 mA c) 10/12 mA d) 10/14 mA b) seguidores de tensión c) reguladores de tensión 8 kΩ d) buffers 4 kΩ − e) amplificadores sumadores a + io f ) amplificadores restadores + 10 mV + − vs + − 2 kΩ vo − Respuestas: 5.1c, 5.2c, d, 5.3b, 5.4b, 5.5a, 5.6c, 5.7d, 5.8b, 5.9c, Figura 5.41 Para las preguntas de repaso 5.5 a 5.7. 5.10a, f. Problemas 171 Problemas Sección 5.2 Amplificadores operacionales 5.7 El amplificador operacional de la figura 5.46 tiene Ri  100 k, Ro  100 , A  100 000. Halle la tensión diferencial 5.1 El modelo equivalente de cierto amplificador operacional se vd y la tensión de salida vo. muestra en la figura 5.43. Determine: a) la resistencia de entrada − + vd b) la resistencia de salida + − c) la ganancia en tensión en dB 10 kΩ 100 kΩ 60 Ω + − 1 mV + vo − vd 1.5 MΩ + × 4v − − d + Figura 5.46 Para el problema 5.7. Figura 5.43 Para el problema 5.1. 5.2 La ganancia de lazo abierto de un amplificador operacional Sección 5.3 Amplificador operacional ideal es de 100 000. Calcule la tensión de salida cuando hay entra- das de 10 V en la terminal inversora y 20 V en la ter- 5.8 Obtenga vo para cada uno de los circuitos de amplificadores minal no inversora. operacionales de la figura 5.47. 5.3 Determine la tensión de salida cuando –20 V se aplica a la 10 kΩ terminal inversora de un amplificador operacional y +30 V a su terminal no inversora. Suponga que el amplificador 2 kΩ − tiene una ganancia de lazo abierto de 200 000. 2V + 5.4 La tensión de salida de un amplificador operacional es de − − 4 V cuando la entrada no inversora es de 1 mV. Si la ganan- + + + cia de lazo abierto del amplificador es de 2  106, ¿cuál es la + 1 mA vo + 2 kΩ vo entrada inversora? 1V − − − 5.5 El circuito del amplificador operacional de la figura 5.44 tie- ne una ganancia de lazo abierto de 100 000, una resistencia de entrada de 10 k y una resistencia de salida de 100 . Halle a) b) la ganancia en tensión vo /vi usando el modelo de amplifica- dor operacional no ideal. Figura 5.47 Para el problema 5.8. 5.9 Determine vo para cada uno de los circuitos de amplificado- − res operacionales de la figura 5.48. + + vi + vo 2 kΩ − − − + + Figura 5.44 Para el problema 5.5. 1 mA + vo − 4V 5.6 Con base en los mismos parámetros del amplificador opera- − cional 741 en el ejemplo 5.1, determine vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.45. + − + 741 vo + 1V + − 3V + − − vo 2 kΩ − +− 1 mV Figura 5.45 Para el problema 5.6. Figura 5.48 Para el problema 5.9. 172 Capítulo 5 Amplificadores operacionales 5.10 Halle la ganancia vo /vs del circuito de la figura 5.49. 5.14 Determine la tensión de salida vo en el circuito de la figura 5.53. 20 kΩ + − + 10 kΩ 10 kΩ vs + − vo 10 kΩ 20 kΩ 10 kΩ − − + + 2 mA 5 kΩ vo − Figura 5.49 Para el problema 5.10. 5.11 Use la figura 5.50 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor la manera en que trabajan los Figura 5.53 Para el problema 5.14. amplificadores operacionales. R2 Sección 5.4 Amplificador inversor 5.15 a) Determine la proporción vo /is en el circuito del amplifica- R1 dor operacional de la figura 5.54. io − b) Evalúe esa proporción para R1  20 k, R2  25 k, + R3 R3  40 k. + + R4 R5 vo V − − R1 R3 R2 Figura 5.50 Para el problema 5.11. − 5.12 Calcule la ganancia de tensión vo /vs en el circuito del ampli- + + ficador operacional de la figura 5.51. Suponga un amplifica- is vo dor ideal. − 25 kΩ 5 kΩ Figura 5.54 Para el problema 5.15. − + 5.16 Use la figura 5.55 para diseñar un problema que ayude a otros + vs + estudiantes a comprender mejor los amplificadores operacio- − 10 kΩ vo − nales inversores. R3 Figura 5.51 Para el problema 5.12. R1 ix iy – 5.13 Halle vo e io en el circuito de la figura 5.52. + + V − R4 10 kΩ + io R2 − 1V + − 100 kΩ + 90 kΩ 10 kΩ vo − 50 kΩ Figura 5.55 Para el problema 5.16. 5.17 Calcule la ganancia vo /vi cuando el interruptor de la figura 5.56 está en la: Figura 5.52 Para el problema 5.13. a) posición 1 b) posición 2 c) posición 3 Problemas 173 12 kΩ 5.21 Calcule vo en el circuito del amplificador operacional de la figura 5.60. 1 80 kΩ 2 10 kΩ 2 MΩ 3 4 kΩ 5 kΩ − − + + + + vi + + + vo − 10 kΩ vo 3V − 1V − − − Figura 5.56 Para el problema 5.17. Figura 5.60 Para el problema 5.21. *5.18 En referencia al circuito de la figura 5.57 halle el circuito equivalente de Thevenin en las terminales A y B. 5.22 Diseñe un amplificador inversor con una ganancia de –15. 10 kΩ 5.23 Para el circuito del amplificador operacional de la figura 10 kΩ − 5.61, halle la ganancia en tensión vo /vs. + 7.5 V + − 2.5 Ω Rf R1 ñ Figura 5.57 Para el problema 5.18. + + vs + − R2 vo 5.19 Determine io en el circuito de la figura 5.58. − 2 kΩ 4 kΩ 10 kΩ io Figura 5.61 Para el problema 5.23. + − 750 mV − 4 kΩ + 2 kΩ 5.24 En el circuito que aparece en la figura 5.62 halle k en la fun- ción de transferencia de tensión vo  kvs. Figura 5.58 Para el problema 5.19. Rf 5.20 En el circuito de la figura 5.59 calcule vo si vs  2 V. R1 R2 vs − −+ + + 8 kΩ R3 R4 vo 2 kΩ 4 kΩ 4 kΩ − − + + 9V + + − vs − vo Figura 5.62 Para el problema 5.24. − Figura 5.59 Para el problema 5.20. Sección 5.5 Amplificador no inversor 5.25 Calcule vo en el circuito del amplificador operacional de la * Un asterisco indica un problema difícil. figura 5.63. 174 Capítulo 5 Amplificadores operacionales R1 12 kΩ + − + − + + 3.7 V + − 20 kΩ vo vi + − R2 R2 vo − R1 – Figura 5.63 Para el problema 5.25. Figura 5.67 Para el problema 5.29. 5.26 Use la figura 5.64 para diseñar un problema que ayude a otros estudiantes a comprender mejor los amplificadores operacio- 5.30 En el circuito que aparece en la figura 5.68 halle ix y la poten- nales no inversores. cia absorbida por el resistor de 20 k. + − io 60 kΩ − + ix V + − R2 R3 R1 + 30 kΩ 20 kΩ 1.2 V − Figura 5.64 Para el problema 5.26. Figura 5.68 Para el problema 5.30. 5.27 Halle vo en el circuito del amplificador operacional de la fi- gura 5.65. 5.31 Para el circuito de la figura 5.69 halle ix. 12 kΩ 16 Ω 8Ω v1 − v2 + 6 kΩ + + ix − + + 7.5 V − 24 Ω 12 Ω vo − 4 mA 3 kΩ 6 kΩ vo − Figura 5.65 Para el problema 5.27. Figura 5.69 Para el problema 5.31. 5.28 Halle io en el circuito del amplificador operacional de la figu- ra 5.66. 5.32 Calcule ix y vo en el circuito de la figura 5.70. Halle la poten- cia que disipa el resistor de 60 k. 50 kΩ ix + 20 kΩ − − + io + 4 mV + 50 kΩ vo 10 kΩ + − 60 kΩ 30 kΩ − 0.4 V 20 kΩ − 10 kΩ Figura 5.66 Para el problema 5.28. Figura 5.70 Para el problema 5.32. 5.29 Determine la ganancia en tensión vo /vi del circuito del ampli- 5.33 Remítase al circuito del amplificador operacional de la figura ficador operacional de la figura 5.67. 5.71. Calcule ix y la potencia que disipa el resistor de 3 k. Problemas 175 1 kΩ