(PDF) Métodos Cuantitativos Para Los Negocios - Render - Pearson 11 Edición | Neithan Guerra - Academia.edu
RENDER Métodos cuantitativos para los negocios ofrece a los estudiantes una base sólida para los • STAIR • HANNA Métodos cuantitativos métodos cuantitativos y su uso en la administración. para los negocios Métodos cuantitativos para los negocios Esta edición mejoró aún más gracias a los comentarios y sugerencias recibidos de los múl- tiples usuarios y revisores de este libro: • Se pone mayor énfasis en el modelado y se estudian en menor grado las aproxima- ciones algorítmicas y los métodos manuales para la resolución de problemas. RENDER • STAIR • HANNA • El uso de Excel tiene mayor prevalencia que en las ediciones pasadas y se incorpora ¡Incluye código de acceso para el uso de Excel 2010 para trabajar los ejemplos. Se analizan las diferencias más rele- descargar vantes entre Excel 2010 y Excel 2007. Excel QM y POM-QM! • Se incluyen más de 40 problemas nuevos. • Se han actualizado y ampliado muchas secciones de gran aceptación en las edicio- nes anteriores del libro (por ejemplo, los recuadros de Modelado en el mundo real e Historia, los problemas de tarea en Internet, las autoevaluaciones y los estudios de caso). Este libro incluye código de acceso a los programas Excel QM y POM-QM para Windows, problemas y casos adicionales, así como a otros materiales de consulta, los cuales están disponibles en el sitio Web: www.pearsonenespañol.com/render undécima edición ISBN 978-607-32-1264-9 undécima u ndécima eedición dición Visítenos en: www.pearsonenespañol.com ACCESO AL MATERIAL ADICIONAL Y PROGRAMAS MENCIONADOS EN EL LIBRO Para acceder al material adicional y a los programas Excel QM y POM-QM, visite el sitio Web de este libro: http://www.pearsonenespañol.com/render Seleccione el vínculo Companion Website (Profesores y alumnos) y diríjase a la sección Register Your Access Code para introducir el siguiente código de acceso. (Utilice una moneda para descubrir el código de acceso. No use objetos filosos porque podría dañar el código). IMPORTANTE: ¡Este código de acceso solo puede usarse una vez y no puede reemplazarse en caso de daño! Asegúrese de que el código no aparezca descubierto. Métodos cuantitativos para los negocios UNDÉCIMA EDICIÓN Métodos cuantitativos para los negocios UNDÉCIMA EDICIÓN BARRY RENDER Profesor Distinguido Charles Harwood de Ciencias de la Administración Graduate School of Business, Rollins College RALPH M. STAIR, JR. Profesor de Ciencias de la Información y la Administración Florida State University MICHAEL E. HANNA Profesor de Ciencias de la Decisión University of Houston-Clear Lake Traducción: Marcia Aída González Osuna Traductora especialista en Métodos numéricos Revisión técnica: Ignacio García Juárez María de Guadalupe Arroyo Santisteban Iren Castillo Saldaña Vinicio Pérez Fonseca José Cruz Ramos Báez Academia de Matemáticas Escuela de Ciencias Económicas y Empresariales (ECEE) Universidad Panamericana Carlos Héctor Lacavex Eguiarte Universidad Regiomontana Datos de catalogación bibliográfica RENDER, BARRY Métodos cuantitativos para los negocios. Undécima edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2012 ISBN: 978-607-32-1264-9 Área: Matemáticas Formato: 21 ⫻ 27 cm Páginas: 672 Authorized translation from the English language edition, entitled QUANTITATIVE ANALYSIS FOR MANAGEMENT 11th Edition, by BARRY RENDER, RALPH STAIR and MICHAEL HANNA, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall, Copyright © 2012. All rights reserved. ISBN 9780132149112 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada QUANTITATIVE ANALYSIS FOR MANAGEMENT 11ª edición por BARRY RENDER, RALPH STAIR y MICHAEL HANNA publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall, Copyright © 2012. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Dirección general: Dirección Educación Superior: Mario Contreras Editora: Gabriela López Ballesteros e-mail: gabriela.lopezballesteros@pearson.com Editor de desarrollo: Felipe Hernández Carrasco Supervisor de Producción: José D. Hernández Garduño Diagramación: focageditorial Gerencia Editorial Educación Superior Latinoamérica: Marisa de Anta UNDÉCIMA EDICIÓN, 2012 D.R. © 2012 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN VERSIÓN IMPRESA: 978-607-32-1264-9 ISBN VERSIÓN E-BOOK: 978-607-32-1265-6 ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-1266-3 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 15 14 13 12 DEDICATORIA A mi esposa y a mis hijos – BR A Lila y a Leslie – RMS A Susan, a Meckey y a Katie – MEH ACERCA DE LOS AUTORES Barry Render es Profesor Emérito, como Profesor Distinguido Charles Harwood de ciencias de la administración en Roy E. Crummer Graduate School of Business de Rollins College en Winter Park, Florida. Tiene maestría en investigación de operaciones y doctorado en análisis cuantitativo por la University of Cincinnati. Antes, enseñó en George Washington University, Univesity of New Orleans, Boston University y George Mason University, donde tuvo la distinción de Mason Foundation Professorship en ciencias de la decisión y fue jefe del departamento de ciencias de la decisión. El Dr. Render también ha trabajado en la industria aeroespacial para General Electric, McDonnell Douglas y la NASA. Es coautor de 10 libros de texto publicados por Prentice Hall, que incluyen Managerial Decision Modeling with Spreadsheets, Operations Management, Principles of Operations Management, Service Management, Introduction to Management Science y Cases and Readings in Management Science. Los más de 100 artículos del Dr. Render sobre una variedad de temas de administración han aparecido en Decision Sciences, Production and Operations Management, Interfaces, Information and Management, Journal of Management Information Systems, Socio-Economic Planning Sciences, IIE Solutions and Operations Management Review, entre otras publicaciones. Entre los honores recibidos por el Dr. Render está la AACSB Fellow; fue nombrado Senior Fullbright Scholar en 1982 y de nuevo en 1993. Dos veces fue vicepresidente del Decision Science Intitute Southeast Region, y sirvió como editor revisor de software para Decision Line de 1989 a 1995. También ha sido editor de números especiales de Administración de Operaciones del New York Times de 1996 a 2001. De 1984 1993, el Dr. Render fue presidente de Management Service Associates of Virginia, Inc., cuyos clientes tecnológicos incluyeron al FBI; la Marina estadounidense, Fairfax County, Virginia, y C&P Telephone. El Dr. Render ha impartido cursos de administración de operaciones en la maestría de Rollin’s College, así como en programas de maestría para ejecutivos. Recibió el Premio Welsh de la universidad como profesor líder y fue premiado en 1996 por la Roosvelt University con el Premio St. Claire Drake for Outstanding Scholarship. En 2005, el Dr. Render recibió el Premio Rollins College MBA Student por el mejor curso general y en 2009 fue nombrado profesor del año por los estudiantes de tiempo completo de la maestría en administración. Ralph Stair es Profesor Emérito en la Florida State University. Obtuvo su licenciatura en ingeniería química en Purdue University y una maestría en administración en Tulane University. Con la guía de Ken Ramsing y Alan Eliason, recibió un doctorado en administración de operaciones en University of Oregon. Ha enseñado en la University of Oregon, la University of Washington, la University of New Orleans y la Florida State University. Dio clases dos veces en el programa Florida State University’s Study Abroad en Londres. Al pasar los años, su enseñanza se ha concentrado en las áreas de sistemas de información, investigación de opera- ciones y administración de operaciones. El Dr. Stair es miembro de varias organizaciones académicas, que incluyen Decision Sciences Institute e INFORMS; participa con regularidad en reuniones nacionales. Ha publicado innumerables artículos y libros entre los que destacan Managerial Decision Modeling with Spreadsheets, Introduction to Management Science, Cases and Readings in Management Science, Production and Operations Management: A Self-Correction Approach, Fundamentals of Information Systems, Principles of Information Systems, Introduction to Information Systems, Computers in Today’s World, Principles of Data Processing, Learning to Live with Computers, Programming in BASIC, Essentials of BASIC Programming, Essentials of FORTRAN Programming y Essentials of COBOL Programming. El Dr. Stair divide su tiempo entre Florida y Colorado. Disfruta esquiar, ciclismo, remo en kayac y otras activi- dades al aire libre. vii viii ACERCA DE LOS AUTORES Michael E. Hanna es profesor de ciencias de la decisión en la University of Houston-Clear Lake (UHCL). Tiene licenciatura en economía, maestría en matemáticas y doctorado en investigación de operaciones por la Texas Tech University. Durante más de 25 años ha impartido cursos de estadística, ciencias administrativas, pronósticos y otros métodos cuantitativos. Su dedicación a la enseñanza se ha reconocido con el Premio a la Enseñanza Beta Alpha Psi en 1995 y el Premio Outstanding Educator en 2006 otorgado por Southwest Decision Sciences Institute (SWDSI). El Dr. Hanna es autor de libros de texto de ciencias administrativas y métodos cualitativos, ha publi- cado diversos artículos e informes profesionales; colaboró con el Comité Editorial Asesor de Computers and Operations Research. In 1996 UHCL Chapter of Beta Gamma Sigma le otorgó el Premio Outstanding Scholar. El Dr. Hanna es una persona muy activa en el Decision Sciences Institute; también ha colaborado en el Innovative Education Committee, el Regional Advisory Committee y el Nominating Committee. Ha participado en dos equipos del consejo directivo de Decision Sciences Institute (DSI) y como vicepresi- dente del DSI por elección regional. En SWDSI ha tenido varios puestos, que incluyen el de presidente; recibió el Premio SWDSI Distinguished Service en 1997. Por su servicio profesional general y a la uni- versidad, recibió el Premio UHCL President’s Distinguished Service en 2001. CONTENIDO BREVE CAPÍTULO 1 Introducción al análisis cuantitativo 1 CAPÍTULO 12 Administración de proyectos 459 CAPÍTULO 2 Conceptos de probabilidad CAPÍTULO 13 Modelos de teorías de colas y de líneas de y aplicaciones 21 espera 499 CAPÍTULO 3 Análisis de decisiones 69 CAPÍTULO 14 Modelado con simulación 533 CAPÍTULO 4 Modelos de regresión 115 CAPÍTULO 15 Análisis de Markov 573 CAPÍTULO 5 Pronósticos 153 CAPÍTULO 16 Control estadístico de la calidad 601 CAPÍTULO 6 Modelos de control de inventarios 195 MÓDULOS EN LÍNEA (en inglés) 1 Analytic Hierarchy Process M1-1 CAPÍTULO 7 Modelos de programación lineal: métodos gráficos y por computadora 249 2 Dynamic Programming M2-1 3 Decision Theory and the Normal CAPÍTULO 8 Aplicaciones de programación lineal 307 Distribution M3-1 CAPÍTULO 9 Modelos de transporte y asignación 341 4 Game Theory M4-1 5 Mathematical Tools: Determinants and CAPÍTULO 10 Programación entera, programación por Matrices M5-1 metas y programación no lineal 395 6 Calculus-Based Optimization M6-1 CAPÍTULO 11 Modelos de redes 429 7 Linear Programming: The Simplex Method M7-1 ix CONTENIDO PREFACIO xix Suma de eventos mutuamente excluyentes 26 Ley de la suma para eventos que no son CAPÍTULO 1 Introducción al análisis cuantitativo 1 mutuamente excluyentes 26 1.1 Introducción 2 2.4 Eventos estadísticamente independientes 27 1.2 ¿Qué es el análisis cuantitativo? 2 2.5 Eventos estadísticamente dependientes 28 1.3 Enfoque del análisis cuantitativo 3 2.6 Probabilidades revisadas aplicando el teorema Definición del problema 3 de Bayes 29 Desarrollo de un modelo 3 Forma general del teorema de Bayes 31 Obtención de los datos de entrada 4 2.7 Revisiones de probabilidades ulteriores 32 Desarrollo de una solución 5 2.8 Variables aleatorias 33 Prueba de la solución 5 2.9 Distribuciones de probabilidad 34 Análisis de resultados y análisis de sensibilidad 5 Distribución de probabilidad de una variable Implementación de resultados 5 aleatoria discreta 34 Enfoque del análisis cuantitativo y modelado Valor esperado de una distribución de en el mundo real 7 probabilidad discreta 35 1.4 Cómo desarrollar un modelo de análisis Varianza de una distribución de probabilidad cuantitativo 7 discreta 36 Ventajas del modelado matemático 8 Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua 36 Modelos matemáticos clasificados según el riesgo 8 2.10 La distribución binomial 38 1.5 Papel de las computadoras y los modelos de Solución de problemas con la fórmula binomial 39 hojas de cálculo en el análisis cuantitativo 9 Solución de problemas con tablas binomiales 40 1.6 Problemas posibles del enfoque del análisis 2.11 La distribución normal 41 cuantitativo 12 Área bajo la curva normal 42 Definición del problema 12 Uso de la tabla normal estándar 42 Desarrollo de un modelo 13 Ejemplo de la compañía Hynes Construction 44 Recolección de datos 13 Regla empírica 48 Desarrollo de una solución 14 2.12 La distribución F 48 Pruebas de la solución 14 2.13 La distribución exponencial 50 Análisis de los resultados 14 Ejemplo de Arnold’s Moffler 51 1.7 Implementación: no es tan solo el paso final 15 Falta de compromiso y resistencia al cambio 15 2.14 La distribución de Poisson 52 Falta de compromiso de los analistas Resumen 54 Glosario 54 Ecuaciones clave 55 cuantitativos 15 Problemas resueltos 56 Autoevaluación 59 Preguntas y problemas para análisis 60 Estudio Resumen 16 Glosario 16 Ecuaciones clave 16 de caso: WTVX 65 Bibliografía 66 Autoevaluación 17 Preguntas y problemas para análisis 17 Estudio de caso: Alimentos y bebidas en Apéndice 2.1 Derivación del teorema de Bayes 66 juegos de futbol de Southwestern University 19 Apéndice 2.2 Estadística básica con Excel 66 Bibliografía 19 CAPÍTULO 3 Análisis de decisiones 69 CAPÍTULO 2 Conceptos de probabilidad 3.1 Introducción 70 y aplicaciones 21 3.2 Los seis pasos en la toma de decisiones 70 2.1 Introducción 22 3.3 Tipos de entorno para la toma de decisiones 71 2.2 Conceptos fundamentales 22 3.4 Toma de decisiones con incertidumbre 72 Tipos de probabilidad 23 Optimista 72 2.3 Eventos mutuamente excluyentes Pesimista 73 y colectivamente exhaustivos 24 Criterio de realismo (criterio de Hurwicz) 73 xi xii CONTENIDO Probabilidades iguales (Laplace) 74 Resumen 136 Glosario 137 Ecuaciones Arrepentimiento minimax 74 clave 137 Problemas resueltos 138 Autoevaluación 140 Preguntas y problemas para 3.5 Toma de decisiones con riesgo 76 análisis 140 Estudio de caso: North–South Valor monetario esperado 76 Airline 145 Bibliografía 146 Valor esperado de la información perfecta 77 Apéndice 4.1 Fórmulas para cálculos de regresión 146 Pérdida de oportunidad esperada 78 Apéndice 4.2 Modelos de regresión usando QM para Análisis de sensibilidad 79 Windows 148 Uso de Excel QM para resolver problemas de Apéndice 4.3 Análisis de regresión en Excel QM o teoría de decisiones 80 Excel 2007 150 3.6 Árboles de decisiones 81 Eficiencia de la información muestral 86 Análisis de sensibilidad 86 CAPÍTULO 5 Pronósticos 153 3.7 Cómo se estiman los valores de probabilidad 5.1 Introducción 154 en el análisis bayesiano 87 5.2 Tipos de pronósticos 154 Cálculo de las probabilidades revisadas 87 Modelos de series de tiempo 154 Problema potencial en el uso de los resultados de Modelos causales 154 un estudio 89 Modelos cualitativos 155 3.8 Teoría de la utilidad 90 5.3 Diagramas de dispersión y series de tiempo 156 Medición de la utilidad y construcción de una 5.4 Medidas de exactitud del pronóstico 158 curva de la utilidad 91 5.5 Modelos de pronósticos de series de tiempo 160 La utilidad como un criterio para la toma de Componentes de una serie de tiempo 160 decisiones 93 Promedios móviles 161 Resumen 95 Glosario 95 Ecuaciones clave 96 Problemas resueltos 97 Autoevaluación 102 Suavizamiento exponencial 164 Preguntas y problemas para análisis 103 Estudio Uso de Excel QM para suavizamiento exponencial de caso: Corporación Starting Right 110 con ajuste de tendencia 169 Estudio de caso: Blake Electronics 111 Proyecciones de tendencia 169 Bibliografía 113 Variaciones estacionales 171 Apéndice 3.1 Modelos de decisiones con QM para Windows 113 Variaciones estacionales con tendencia 173 Apéndice 3.2 Árboles de decisiones con QM para Método de descomposición del pronóstico con Windows 114 componentes de tendencia y estacional 175 Uso de regresión con componentes de tendencia y estacional 177 CAPÍTULO 4 Modelos de regresión 115 4.1 Introducción 116 5.6 Monitoreo y control de los pronósticos 179 Suavizamiento adaptable 181 4.2 Diagramas de dispersión 116 Resumen 181 Glosario 182 Ecuaciones clave 182 4.3 Regresión lineal simple 117 Problemas resueltos 183 Autoevaluación 184 4.4 Medición del ajuste del modelo de regresión 119 Preguntas y problemas para análisis 185 Estudio de Coeficiente de determinación 120 caso: pronóstico de la asistencia a los juegos de fútbol Coeficiente de correlación 121 de la SWU 189 Estudio de caso: Pronósticos de ventas mensuales 190 Bibliografía 191 4.5 Uso de software de cómputo para regresión 122 Apéndice 5.1 Pronósticos con QM para Windows 191 4.6 Supuestos del modelo de regresión 123 CAPÍTULO 6 Modelos de control de inventarios 195 Estimación de la varianza 125 6.1 Introducción 196 4.7 Prueba de la significancia del modelo 125 6.2 Importancia del control de inventarios 196 Ejemplo de Triple A Construction 127 Función de desacoplamiento 197 Tabla de análisis de varianza (ANOVA) 127 Almacenamiento de recursos 197 Ejemplo de análisis de varianza para Triple A Construction 128 Oferta y demanda irregulares 197 4.8 Análisis de regresión múltiple 128 Descuentos por cantidad 197 Evaluación del modelo de regresión múltiple 129 Reducción o eliminación de faltantes 197 Ejemplo de Jenny Wilson Realty 130 6.3 Decisiones de inventario 197 4.9 Variables binarias o ficticias 131 6.4 Cantidad del lote económico: Determinación de cuánto ordenar 199 4.10 Construcción de modelos 132 Costos de inventario en la situación de la CLE 200 4.11 Regresión no lineal 133 Cómo calcular la CLE 202 4.12 Advertencias y fallas en el análisis de regresión 136 Ejemplo de la compañía Sumco Pump 202 CONTENIDO xiii Costo de compra de los artículos del 7.6 Solución de problemas de minimización 269 inventario 203 Rancho Holiday Meal Turkey 270 Análisis de sensibilidad con el modelo 7.7 Cuatro casos especiales de PL 274 de la CLE 204 Solución no factible 274 6.5 Punto de reorden: Determinación de cuándo ordenar 205 Región no acotada 275 6.6 CLE sin el supuesto de reabastecimiento Redundancia 275 instantáneo 206 Soluciones óptimas múltiples 276 Costo anual por almacenar para el modelo de 7.8 Análisis de sensibilidad 276 corrida de producción 207 Compañía High Note Sound 278 Costo anual por preparación o costo anual por Cambios en el coeficiente de la función ordenar 208 objetivo 278 Determinación de la cantidad óptima de QM para Windows y cambios en los coeficientes producción 208 de la función objetivo 279 Ejemplo de Brown Manufacturing 208 Solver de Excel y cambios en los coeficientes de la 6.7 Modelos de descuentos por cantidad 210 función objetivo 280 Ejemplo de la tienda por departamentos Cambios en los coeficientes tecnológicos 280 Brass 212 Cambios en los recursos o los valores del lado 6.8 Uso del inventario de seguridad 213 derecho (RHS) 282 6.9 Modelos de inventarios de un solo periodo 220 QM para Windows y cambios en los valores del Análisis marginal con distribuciones discretas 221 lado derecho 283 Ejemplo de Café du Donut 222 Solver de Excel y cambios en los valores del lado derecho 285 Análisis marginal con distribución normal 222 Resumen 285 Glosario 285 Problemas Ejemplo del periódico 223 resueltos 286 Autoevaluación 291 Preguntas y 6.10 Análisis ABC 225 problemas para análisis 292 Estudio de caso: 6.11 Demanda dependiente: Caso para planeación Mexicana Wire Works 300 Bibliografía 302 de requerimiento de materiales 226 Apéndice 7.1 Excel QM 302 Árbol de la estructura de materiales 226 Plan de requerimientos brutos y netos CAPÍTULO 8 Aplicaciones de programación lineal 307 de materiales 227 8.1 Introducción 308 Dos o más productos finales 229 8.2 Aplicaciones de marketing 308 6.12 Control de inventarios justo a tiempo 230 Selección de medios de comunicación 308 6.13 Planeación de recursos de la empresa 232 Investigación de mercados 309 Resumen 232 Glosario 232 Ecuaciones 8.3 Aplicaciones de manufactura 312 clave 233 Problemas resueltos 234 Autoevaluación 237 Preguntas y problemas para Mezcla de productos 312 análisis 238 Estudio de caso: Corporación Programación de la producción 313 Martin-Pullin Bicycle 245 Bibliografía 246 8.4 Aplicaciones de programación de mano Apéndice 6.1 Control de inventarios con QM para de obra 317 Windows 246 Planeación de mano de obra 317 8.5 Aplicaciones de finanzas 319 CAPÍTULO 7 Modelos de programación lineal: métodos Selección de portafolios 319 gráficos y por computadora 249 Problema de carga de un camión 322 7.1 Introducción 250 8.6 Aplicaciones de mezcla de ingredientes 324 7.2 Requerimientos de un problema de programación lineal 250 Problemas de la dieta 324 7.3 Formulación de problemas de PL 251 Problemas de mezclas y proporciones de ingredientes 325 Compañía Flair Furniture 252 8.7 Aplicaciones de transporte 327 7.4 Solución gráfica a un problema de PL 253 Problema de embarques 327 Representación gráfica de las restricciones 253 Resumen 330 Autoevaluación 330 Método de solución de la recta de isoutilidad 257 Problemas 331 Estudio de caso: Chase Método de solución del punto esquina 260 Manhattan Bank 339 Bibliografía 339 Holgura y excedente 262 7.5 Solución del problema de PL de Flair Furniture CAPÍTULO 9 Modelos de transporte y asignación 341 usando QM para Windows y Excel 263 9.1 Introducción 342 Uso de QM para Windows 263 9.2 Problema de transporte 342 Uso de la instrucción Solver de Excel para Programación lineal para el ejemplo de problemas de PL 264 transporte 342 xiv CONTENIDO Un modelo general de PL para problemas de Extensión a metas múltiples igualmente transporte 343 importantes 409 9.3 Problema de asignación 344 Clasificación de metas por niveles de Programación lineal para el ejemplo de prioridad 409 asignación 345 Programación por metas con metas 9.4 Problema de trasbordo 346 ponderadas 410 Programación lineal para el ejemplo de 10.5 Programación no lineal 411 trasbordo 347 Función objetivo no lineal y restricciones 9.5 Algoritmo de transporte 348 lineales 412 Desarrollo de una solución inicial: Regla de la Función objetivo no lineal y restricciones no esquina noroeste 350 lineales 413 Método del salto de piedra en piedra: Encontrar Función objetivo lineal con restricciones la solución de menor costo 352 no lineales 414 9.6 Situaciones especiales con el algoritmo de Resumen 415 Glosario 415 Problemas transporte 358 resueltos 416 Autoevaluación 419 Preguntas y problemas para análisis 419 Estudio de caso: Problemas de transportes desbalanceados 358 Schank Marketing Research 425 Estudio de caso: Degeneración en los problemas de transporte 359 Puente sobre el río Oakton 425 Bibliografía 426 Más de una solución óptima 362 Maximización en problemas de transporte 362 CAPÍTULO 11 Modelos de redes 429 Rutas prohibidas o inaceptables 362 11.1 Introducción 430 Otros métodos de transporte 362 11.2 Problema del árbol de expansión mínima 430 9.7 Análisis de localización de instalaciones 363 11.3 Problema del flujo máximo 433 Localización de una nueva fábrica para la Técnica del flujo máximo 433 compañía Hardgrave Machine 363 Programación lineal para flujo máximo 438 9.8 Algoritmo de asignación 365 11.4 Problema de la ruta más corta 439 Método húngaro (técnica de Flood) 366 Técnica de la ruta más corta 439 Hacer la asignación final 369 Programación lineal para el problema de la ruta 9.9 Situaciones especiales con el algoritmo de más corta 441 asignación 371 Resumen 444 Glosario 444 Problemas Problemas de asignación no balanceados 371 resueltos 445 Autoevaluación 447 Preguntas y Problemas de asignación de maximización 371 problemas para análisis 448 Estudio de caso: Binder’s Beverage 455 Estudio de caso: Problemas Resumen 373 Glosario 373 Problemas de tránsito en Southwestern University 456 resueltos 374 Autoevaluación 380 Preguntas y Bibliografía 457 problemas para análisis 381 Estudio de caso: Andrew–Carter, Inc. 391 Estudio de caso: Tienda Old Oregon Wood 392 Bibliografía 393 CAPÍTULO 12 Administración de proyectos 459 Apéndice 9.1 Uso de QM para Windows 393 12.1 Introducción 460 12.2 PERT/CPM 460 CAPÍTULO 10 Programación entera, programación por Ejemplo de General Foundry: PERT/CPM 461 metas y programación no lineal 395 Cómo dibujar la red PERT/CPM 462 10.1 Introducción 396 Tiempos de las actividades 463 10.2 Programación entera 396 Cómo encontrar la ruta crítica 464 Ejemplo de programación entera de la compañía Probabilidad de terminación de un proyecto 469 Harrison Electric 396 Qué proporcionó PERT 471 Uso de software para resolver el problema de Uso de Excel QM para el ejemplo de General programación entera de Harrison 398 Foundry 471 Ejemplo de problema de programación entera Análisis de sensibilidad y administración de mixta 400 proyectos 471 10.3 Planteamiento con variables 0-1 (binarias) 402 12.3 PERT/costo 473 Ejemplo de presupuesto de capital 402 Planeación y programación de los costos Limitación del número de alternativas de un proyecto: proceso de elaboración del seleccionadas 404 presupuesto 473 Selecciones dependientes 404 Supervisión y control de los costos del Ejemplo de problema de cargo fijo 404 proyecto 477 Ejemplo de inversión financiera 405 12.4 Aceleración del proyecto 479 10.4 Programación por metas 406 Ejemplo de General Foundry 480 Ejemplo de programación por metas: Una Aceleración del proyecto con programación revisión a la compañía Harrison Electric 408 lineal 480 CONTENIDO xv 12.5 Otros temas de administración de proyectos 484 CAPÍTULO 14 Modelado con simulación 533 Subproyectos 484 14.1 Introducción 534 Hitos o momentos importantes 484 14.2 Ventajas y desventajas de la simulación 535 Nivelación de recursos 484 14.3 Simulación Monte Carlo 536 Software 484 Ejemplo de Auto Tire de Harry 536 Resumen 484 Glosario 485 Ecuaciones QM para Windows para simulación 541 clave 485 Problemas resueltos 486 Simulación con hojas de cálculo de Excel 541 Autoevaluación 487 Preguntas y problemas para análisis 488 Estudio de caso: construcción del 14.4 Simulación y análisis de inventarios 545 estadio en la Southwestern University 494 Ferretería Simkin 545 Estudio de caso: centro de investigación de Análisis de costos del inventario de Simkin 548 planeación familiar en Nigeria 494 Bibliografía 496 14.5 Simulación de un problema de colas 550 Apéndice 12.1 Administración de proyectos con QM para Puerto de Nueva Orleans 550 Windows 497 Uso de Excel para simular el problema de colas del Puerto de Nueva Orleans 551 CAPÍTULO 13 Modelos de teorías de colas y de líneas de 14.6 Modelo de simulación para una política de espera 499 mantenimiento 553 13.1 Introducción 500 Compañía Three Hills Power 553 13.2 Costos de líneas de espera 500 Análisis de costos de la simulación 557 Ejemplo de la compañía Three Rivers 14.7 Otros aspectos de la simulación 557 Shipping 501 Otros dos tipos de modelos de simulación 557 13.3 Características de un sistema de colas 501 Verificación y validación 559 Características de llegada 501 Papel de las computadoras en la simulación 560 Características de las líneas de espera 502 Resumen 560 Glosario 560 Problemas Características de las instalaciones de servicio 503 resueltos 561 Autoevaluación 564 Identificación de modelos usando notación de Preguntas y problemas para análisis 565 Kendall 503 Estudio de caso: Alabama Airlines 570 Estudio de caso: Corporación de Desarrollo Estatal 571 13.4 Modelo de colas de un solo canal con llegadas Bibliografía 572 de Poisson y tiempos de servicio exponenciales (M/M/1) 506 Suposiciones del modelo 506 CAPÍTULO 15 Análisis de Markov 573 Ecuaciones de colas 506 15.1 Introducción 574 Caso del taller de silenciadores (mofles) 15.2 Estados y probabilidades de los estados 574 Arnold 507 Vector de probabilidades de estado para el Mejora del entorno de la cola 511 ejemplo de las tres tiendas de abarrotes 575 13.5 Modelo de colas de canales múltiples con 15.3 Matriz de probabilidades de transición 576 llegadas de Poisson y tiempos de servicio Probabilidades de transición para las tres tiendas exponenciales (M/M/m) 511 de abarrotes 577 Ecuaciones del modelo de colas multicanal 512 15.4 Predicción de la participación futura en el Nueva visita al taller de silenciadores mercado 577 de Arnold 512 15.5 Análisis de Markov en operación de 13.6 Modelo de tiempo de servicio constante maquinaria 578 (M/D/1) 514 15.6 Condiciones de equilibrio 579 Ecuaciones para el modelo del tiempo de servicio 15.7 Estados absorbentes y matriz fundamental: constante 515 Cuentas por cobrar 582 Compañía García-Golding Recycling 515 Resumen 586 Glosario 587 Ecuaciones 13.7 Modelo de población finita (M/M/1 con fuente clave 587 Problemas resueltos 587 finita) 516 Autoevaluación 591 Preguntas y problemas para Ecuaciones para el modelo de población finita 517 análisis 591 Estudio de caso: Rentall Trucks 595 Ejemplo del departamento de comercio 517 Bibliografía 597 13.8 Algunas relaciones características de operación Apéndice 15.1 Análisis de Markov con QM para generales 519 Windows 597 13.9 Modelos de colas más complejos y uso de Apéndice 15.2 Análisis de Markov con Excel 599 simulación 519 Resumen 520 Glosario 520 Ecuaciones clave 521 CAPÍTULO 16 Control estadístico de la calidad 601 Problemas resueltos 522 Autoevaluación 524 16.1 Introducción 602 Preguntas y problemas para análisis 525 Estudio de caso: New England Foundry 530 Estudio de 16.2 Definición de calidad y TQM 602 caso: Hotel Winter Park 531 Bibliografía 532 16.3 Control estadístico de procesos 603 Apéndice 13.1 Uso de QM para Windows 532 Variabilidad en el proceso 603 xvi CONTENIDO 16.4 Gráficas de control para variables 605 M2.3 Dynamic Programming Terminology M2-6 Teorema del límite central 605 M2.4 Dynamic Programming Notation M2-8 Establecimiento de límites en las gráficas x 606 M2.5 Knapsack Problem M2-9 Determinación de límites en la gráfica R 609 Types of Knapsack Problems M2-9 16.5 Gráficas de control para atributos 610 Roller’s Air Transport Service Gráficas p 610 Problem M2-9 Gráficas c 613 Summary M2-16 Glossary M2-16 Key Equations M2-16 Solved Problems M2-17 Resumen 614 Glosario 614 Ecuaciones Self-Test M2-19 Discussion Questions clave 614 Problemas resueltos 615 and Problems M2-20 Case Study: United Autoevaluación 616 Preguntas y problemas para Trucking M2-22 Internet Case Study M2-22 análisis 617 Bibliografía 619 Bibliography M2-23 Apéndice 16.1 Uso de QM para Windows para CEP 619 MODULE 3 Decision Theory and the Normal Distribution M3-1 APÉNDICES 621 M3.1 Introduction M3-2 APÉNDICE A Áreas bajo la curva normal estándar 622 M3.2 Break-Even Analysis and the Normal APÉNDICE B Probabilidades binomiales 624 Distribution M3-2 APÉNDICE C Valores de e ⴚL para utilizar en la Barclay Brothers Company’s New Product distribución de Poisson 629 Decision M3-2 Probability Distribution of Demand M3-3 APÉNDICE D Valores de la distribución F 630 Using Expected Monetary Value to Make a APÉNDICE E Uso de POM-QM para Windows 632 Decision M3-5 APÉNDICE F Uso de Excel QM y complementos M3.3 Expected Value of Perfect Information and the de Excel 635 Normal Distribution M3-6 APÉNDICE G Soluciones a problemas seleccionados 636 Opportunity Loss Function M3-6 Expected Opportunity Loss M3-6 APÉNDICE H Soluciones a las autoevaluaciones 639 Summary M3-8 Glossary M3-8 Key Equations M3-8 Solved Problems ÍNDICE ANALÍTICO 641 M3-9 Self-Test M3-10 Discussion Questions and Problems M3-10 MÓDULOS EN LÍNEA (en inglés) Bibliography M3-12 MODULE 1 Analytic Hierarchy Process M1-1 Appendix M3.1 Derivation of the Break-Even M1.1 Introduction M1-2 Point M3-12 M1.2 Multifactor Evaluation Process M1-2 Appendix M3.2 Unit Normal Loss Integral M3-13 M1.3 Analytic Hierarchy Process M1-4 Judy Grim’s Computer Decision M1-4 MODULE 4 Game Theory M4-1 Using Pairwise Comparisons M1-5 M4.1 Introduction M4-2 Evaluations for Hardware M1-7 M4.2 Language of Games M4-2 Determining the Consistency Ratio M1-7 M4.3 The Minimax Criterion M4-3 Evaluations for the Other Factors M1-9 M4.4 Pure Strategy Games M4-4 Determining Factor Weights M1-10 M4.5 Mixed Strategy Games M4-5 Overall Ranking M1-10 M4.6 Dominance M4-7 Using the Computer to Solve Analytic Hierarchy Summary M4-7 Glossary M4-8 Process Problems M1-10 Solved Problems M4-8 Self-Test M4-10 M1.4 Comparison of Multifactor Evaluation and Discussion Questions and Problems M4-10 Analytic Hierarchy Processes M1-11 Bibliography M4-12 Summary M1-12 Glossary M1-12 Key Appendix M4.1 Game Theory Equations M1-12 Solved Problems M1-12 Self- with QM for Windows M4-12 Test M1-14 Discussion Questions and Problems M1-14 Bibliography M1-16 MODULE 5 Mathematical Tools: Determinants Appendix M1.1 Using Excel for the Analytic Hierarchy Process and Matrices M5-1 M1-16 M5.1 Introduction M5-2 M5.2 Matrices and Matrix MODULE 2 Dynamic Programming M2-1 Operations M5-2 M2.1 Introduction M2-2 Matrix Addition and Subtraction M5-2 M2.2 Shortest-Route Problem Solved using Dynamic Matrix Multiplication M5-3 Programming M2-2 CONTENIDO xvii Matrix Notation for Systems M7.7 Surplus and Artificial Variables M7-16 of Equations M5-6 Surplus Variables M7-17 Matrix Transpose M5-6 Artificial Variables M7-17 M5.3 Determinants, Cofactors, Surplus and Artificial Variables in the Objective and Adjoints M5-7 Function M7-18 Determinants M5-7 M7.8 Solving Minimization Problems M7-18 Matrix of Cofactors and Adjoint M5-9 The Muddy River Chemical Company M5.4 Finding the Inverse of a Matrix M5-10 Example M7-18 Summary M5-12 Glossary M5-12 Graphical Analysis M7-19 Key Equations M5-12 Self-Test M5-13 Converting the Constraints and Objective Discussion Questions and Problems M5-13 Function M7-20 Bibliography M5-14 Rules of the Simplex Method for Minimization Appendix M5.1 Using Excel for Matrix Calculations M5-15 Problems M7-21 First Simplex Tableau for the Muddy River MODULE 6 Calculus-Based Optimization M6-1 Chemical Corporation Problem M7-21 M6.1 Introduction M6-2 Developing a Second Tableau M7-23 M6.2 Slope of a Straight Line M6-2 Developing a Third Tableau M7-24 M6.3 Slope of a Nonlinear Function M6-3 Fourth Tableau for the Muddy River Chemical M6.4 Some Common Derivatives M6-5 Corporation Problem M7-26 Second Derivatives M6-6 M7.9 Review of Procedures for Solving LP Minimization Problems M7-27 M6.5 Maximum and Minimum M6-6 M7.10 Special Cases M7-28 M6.6 Applications M6-8 Infeasibility M7-28 Economic Order Quantity M6-8 Unbounded Solutions M7-28 Total Revenue M6-9 Degeneracy M7-29 Summary M6-10 Glossary M6-10 Key Equations M6-10 Solved Problem M6-11 More Than One Optimal Solution M7-30 Self-Test M6-11 Discussion Questions and M7.11 Sensitivity Analysis with the Simplex Problems M6-12 Bibliography M6-12 Tableau M7-30 High Note Sound Company Revisited M7-30 MODULE 7 Linear Programming: The Simplex Changes in the Objective Function Method M7-1 Coefficients M7-31 M7.1 Introduction M7-2 Changes in Resources or RHS Values M7-33 M7.2 How to Set Up the Initial Simplex M7.12 The Dual M7-35 Solution M7-2 Dual Formulation Procedures M7-37 Converting the Constraints to Equations M7-3 Solving the Dual of the High Note Sound Finding an Initial Solution Algebraically M7-3 Company Problem M7-37 The First Simplex Tableau M7-4 M7.13 Karmarkar’s Algorithm M7-39 M7.3 Simplex Solution Procedures M7-8 Summary M7-39 Glossary M7-39 Key Equation M7-40 Solved Problems M7-40 M7.4 The Second Simplex Tableau M7-9 Self-Test M7-44 Discussion Questions and Interpreting the Second Tableau M7-12 Problems M7-45 Bibliography M7-53 M7.5 Developing the Third Tableau M7-13 M7.6 Review of Procedures for Solving LP Maximization Problems M7-16 PREFACIO DESCRIPCIÓN GENERAL La undécima edición de Métodos cuantitativos para los negocios continúa ofreciendo a los estudiantes de licenciatura y posgrado una base sólida para los métodos cuantitativos y las ciencias de la administración. Gracias a los comentarios y sugerencias que nos hicieron usuarios y revisores de este libro durante los últimos treinta años, pudimos hacer aún mejor esta excelente edición. Continuamos haciendo hincapié en la construcción de modelos y las aplicaciones por computadora, con la finalidad de ayudar a los usuarios en la comprensión de la forma en que las técnicas presentadas en este libro se usan actualmente en las situaciones reales de negocios. En cada capítulo se presentan pro- blemas administrativos para brindar la motivación en el aprendizaje de las técnicas que son de utilidad al resolver tales problemas. Después, se presentan los modelos matemáticos con todas las suposiciones necesarias, de una manera sencilla y concisa. Las técnicas se aplican a problemas típicos, con todos los detalles completos. Hemos encontrado que este método de presentación es muy efectivo y los estu- diantes aprecian este enfoque. Si los cálculos matemáticos para alguna técnica son detallados, los detalles matemáticos se presentan de forma que el profesor pueda omitir con facilidad tales secciones, sin in- terrumpir el flujo del material. El uso de software permite que el profesor se dedique al problema de aplicación y pase menos tiempo en los detalles matemáticos de los algoritmos. Se proporciona la salida o los resultados de la computadora para muchos ejemplos. El único prerrequisito matemático para este libro de texto es álgebra. Un capítulo sobre probabilidad y otro sobre análisis de regresión proporcionan el material introductorio de los temas. Usamos notación, terminología y ecuaciones estándar en toda la obra. Se dan explicaciones verbales cuidadosas para la notación matemática y las ecuaciones utilizadas. LO NUEVO EN ESTA EDICIÓN 䊉 Se incorporó Excel 2010 en todos los capítulos. 䊉 Los análisis de la distribución de Poisson y la distribución exponencial se cambiaron al capítulo 2, con el resto del material estadístico de apoyo que se usa en el libro. 䊉 El contenido del algoritmo símplex se cambió del libro al módulo 7 en la página Web que acompaña al libro. 䊉 Hay 11 secciones nuevas de AC en acción, 4 recuadros nuevos de Modelado en el mundo real y más de 40 problemas inéditos. 䊉 Se da menos importancia al enfoque algorítmico para resolver problemas de los modelos de transporte y asignación. 䊉 Se da más importancia al modelado y menos a los métodos manuales de solución. xix xx PREFACIO CARACTERÍSTICAS ESPECIALES Muchas características fueron populares en las ediciones anteriores del libro y se actualizaron y amplia- ron en esta edición. Incluyen lo siguiente: 䊉 Los recuadros de Modelado en el mundo real demuestran la aplicación del enfoque de análisis cuantitativo para cada técnica estudiada en el libro. Se agregaron varios recuadros nuevos. 䊉 Las secciones de Procedimiento resumen las técnicas cuantitativas más complejas con la presentación de una serie de pasos de fácil comprensión. 䊉 Las notas al margen destacan los temas importantes en el libro. 䊉 Los recuadros de Historia se refieren a casos interesantes relacionados con el desarrollo de las técnicas y las personas que las originaron. 䊉 Las secciones de AC en acción ilustran cómo se ha utilizado el análisis cuantitativo en organizaciones reales para resolver problemas. Se agregaron 11 secciones nuevas de estas. 䊉 Los problemas resueltos incluidos al final de cada capítulo sirven como modelos cuando los estudiantes resuelven sus propios problemas de tarea. 䊉 Las preguntas para análisis se presentan al final de cada capítulo para probar su comprensión de los conceptos y las definiciones tratados en el capítulo. 䊉 Los problemas incluidos en cada capítulo son aplicaciones orientadas para evaluar la habilidad del estudiante en la solución de problemas tipo examen. Se muestra su nivel de dificultad: introductorio (un punto), moderado (dos puntos) y desafiante (tres puntos). Se agregaron más de 40 problemas nuevos. 䊉 Los problemas de tarea en Internet ofrecen problemas adicionales para los estudiantes y están disponibles en el sitio Web que acompaña al libro. 䊉 Las autoevaluaciones permiten que los estudiantes prueben su conocimiento de los términos y conceptos importantes en la preparación de sus exámenes. 䊉 Los Estudios de caso al final de cada capítulo presentan aplicaciones administrativas adicionales que son desafiantes. 䊉 Los glosarios al final de cada capítulo definen los términos importantes. 䊉 Las ecuaciones clave al final de cada capítulo listan las ecuaciones presentadas. 䊉 La bibliografía de fin del capítulo da una selección actualizada de los libros y artículos más avanzados. 䊉 El software POM-QM para Windows usa todas las capacidades de Windows para resolver problemas de análisis cuantitativo. 䊉 Excel QM y Excel 2010 se utilizan para resolver problemas en todo el libro. 䊉 Los archivos de datos con hojas de cálculo de Excel y de POM-QM para Windows contienen todos los ejemplos del libro y están disponibles para que los estudiantes los descarguen de la página Web del libro. Los profesores pueden descargarlos junto con archivos adicionales con las soluciones por computadora para los problemas relevantes de final de capítulo, desde la página Web del centro de recursos para profesores. 䊉 Los módulos en línea proporcionan cobertura adicional de temas de análisis cuantitativo. 䊉 El sitio Web que acompaña al libro, en www.pearsonenespañol.com/render, incluye los módulos en línea, problemas y casos adicionales, así como otros materiales para casi cualquier capítulo. CAMBIOS SIGNIFICATIVOS EN LA UNDÉCIMA EDICIÓN En la undécima edición incorporamos el uso de Excel 2010 en todos los capítulos. Mientras que la infor- mación relativa a Excel 2007 también se incluye en los apéndices adecuados, se usan ampliamente las ven- tanas desplegadas y las fórmulas de Excel 2010. También se dan las soluciones para la mayoría de los ejemplos. El complemento Excel QM se usa con Excel 2010 para presentar al estudiante los métodos más actualizados disponibles. Se da una importancia aún mayor al modelado, en tanto que el algoritmo símplex se cambió del libro a un módulo en línea. Los modelos de programación lineal se presentan con los problemas de transporte, trasbordo y asignación, los cuales tienen un enfoque de redes y sirven para realizar un análisis coherente y consistente de estos tipos importantes de problemas. También se incluyen modelos de programación lineal para algunos otros modelos de redes. Unos cuantos algoritmos con fines especiales todavía están disponibles en el libro; no obstante, sería fácil omitirlos sin pérdida de continuidad cuando el profesor elija esa opción. PREFACIO xxi Además del uso de Excel 2010, en todo el libro se usan nuevas ventanas desplegables y se examinan los cambios en el software. Se han hecho otras modificaciones a casi todos los capítulos. A continuación veremos un resumen de ellas. Capítulo 1 Introducción al análisis cuantitativo. Se agregaron secciones nuevas de AC en acción y apli- caciones de Administración en el mundo real. Se agregó un problema nuevo. Capítulo 2 Conceptos de probabilidad y aplicaciones. Se modificó la presentación de variables aleato- rias discretas. Se incorporó la regla empírica y se modificó el análisis de la distribución normal. Se am- pliaron las presentaciones de las distribuciones exponencial y de Poisson, que son importantes en el capí- tulo sobre líneas de espera. Se agregaron tres problemas nuevos. Capítulo 3 Análisis de decisiones. Se modificó la presentación del criterio del valor esperado. Se incluye un análisis del uso de los criterios de decisión para problemas de maximización y minimización. Se incluyó una hoja de cálculo de Excel 2010 para los cálculos con el teorema de Bayes. Se agregó un cuadro de AC en acción y seis problemas nuevos. Capítulo 4 Modelos de regresión. La regresión se menciona al estudiar la elaboración del modelo. Se agregaron dos problemas nuevos. Asimismo, se modificaron otros problemas de final de capítulo. Capítulo 5 Pronósticos. La presentación del suavizamiento exponencial con tendencia se modificó. Se agregaron tres problemas y un caso nuevos. Capítulo 6 Modelos de control de inventarios. Se modificó de manera significativa el uso del inventario de seguridad, con la presentación de tres situaciones diferentes que requieren un inventario de seguridad. Se incorporó el análisis de la posición del inventario. Se agregaron un nuevo recuadro de AC en acción, cinco problemas y dos problemas resueltos nuevos. Capítulo 7 Modelos de programación lineal: métodos gráficos y por computadora. Se amplió el estudio de la interpretación de los resultados por computadora, el uso de variables de holgura y excedente, así como la presentación de restricciones precisas. La utilización de Solver en Excel 2010 tiene modifica- ciones significativas respecto a Excel 2007 y el uso del nuevo Solver se presenta con claridad. Se agre- garon dos problemas y otros se modificaron. Capítulo 8 Aplicaciones de programación lineal. Se modificó el problema de la mezcla de producción. Para mejorar el enfoque sobre la elaboración de modelos, se amplió el estudio del desarrollo de modelos para varios ejemplos. Se agregaron un cuadro de AC en acción y dos problemas de fin de capítulo nuevos. Capítulo 9 Modelos de transporte y asignación. Se hicieron cambios importantes en este capítulo, ya que se dio menos importancia al enfoque algorítmico de solución de estos problemas. Se incluyen una representación de redes y el modelo de programación lineal para cada tipo de problema. El problema de trasbordo se presenta como una extensión del problema de transporte. Se incluyen los algoritmos bási- cos de transporte y asignación, aunque están al final del capítulo y podrían omitirse sin alterar el flujo. Se agregaron dos cuadros de AC en acción, una situación de administración en el mundo real y 11 proble- mas de final de capítulo nuevos. Capítulo 10 Programación entera, programación por metas y programación no lineal. Se da más impor- tancia al modelado y menos a los métodos manuales de solución. Se agregaron un recuadro de aplicación de la Administración en el mundo real, un problema resuelto y tres problemas nuevos. Capítulo 11 Modelos de redes. Se agregaron formulaciones de programación lineal para los problemas de flujo máximo y de la ruta más corta. Se conservaron los algoritmos para resolver tales problemas de redes, pero es sencillo omitirlos sin pérdida de continuidad. Se agregaron seis problemas de final de capí- tulo nuevos. Capítulo 12 Administración de proyectos. Se agregaron ventanas desplegables de la aplicación del soft- ware Excel QM. Se añadió un problema nuevo. Capítulo 13 Modelos de teoría de colas y de líneas de espera. El análisis de las distribuciones de Poisson y exponencial se movió al capítulo 2, con el resto del material de antecedentes de estadística en el libro. Se agregaron dos cuadros de AC en acción y dos problemas de final de capítulo. Capítulo 14 Modelado con simulación. El uso de Excel 2010 es un cambio importante en este capítulo. Capítulo 15 Análisis de Markov. Se agregó una aplicación de administración en el mundo real. Capítulo 16 Control estadístico de la calidad. Se agregó una sección nueva de AC en acción. El capítulo sobre el método símplex se convirtió en un módulo que ahora está disponible en la página Web que acompaña al libro con los otros módulos. Los profesores que deseen cubrir este material pueden solicitar a sus alumnos que descarguen el análisis completo. xxii PREFACIO MÓDULOS EN LÍNEA Con la finalidad de aligerar el material, siete temas están contenidos en módulos disponibles en el sitio Web que acompaña al libro. 1. Proceso analítico de jerarquías (Analytic Hierarchy Process) 2. Programación dinámica (Dynamic Programming) 3. Teoría de decisiones y la distribución normal (Decision Theory and the Normal Distribution) 4. Teoría de juegos (Game Theory) 5. Herramientas matemáticas: matrices y determinantes (Mathematical Tools: Matrices and Determinants) 6. Optimización basada en cálculo (Calculus-Based Optimization) 7. Programación lineal: El método símplex (Linear Programming: The Simplex Method) SOFTWARE Excel 2010 Se proporcionan instrucciones y ventanas desplegables para utilizar Excel 2010 en todo el libro. El análisis de las diferencias entre Excel 2010 y Excel 2007 se presenta cuando es relevante. Las instrucciones para activar los complementos Solver y las herramientas de análisis se proporcionan en el apéndice para ambas versiones, Excel 2010 y Excel 2007. El uso de Excel es más frecuente en esta edi- ción del libro que en las anteriores. Excel QM El complemento de Excel QM, que está disponible en el sitio Web del libro, hace que Excel sea más sencillo. Los estudiantes con experiencia limitada en Excel pueden usarlo y aprender acerca de las fórmulas que proporciona de manera automática Excel QM. Este software es útil en muchos capítulos. POM-QM para Windows Este software, desarrollado por el profesor Howard Weiss, está disponible para los estudiantes en el sitio Web del libro. Es muy amigable y se ha convertido en una herramienta di- gital muy popular para los usuarios de este libro. Contiene módulos para los tipos de problemas más importantes incluidos en el libro. SITIO DE INTERNET QUE ACOMPAÑA AL LIBRO El sitio Web del libro, localizado en www.pearsonenespañol.com/render, contiene una amplia gama de materiales en inglés para ayudar al estudiante a dominar el material de este curso. Contiene: Módulos Hay siete módulos con material adicional que el profesor puede elegir como parte del curso. Los estudiantes pueden descargar esos módulos desde el sitio Web. Autoevaluaciones Se dispone para cada capítulo de preguntas de opción múltiple, falso o verdadero, llenar el espacio y para análisis, con la finalidad de ayudar al estudiante a que se evalúe a sí mismo sobre el material cubierto en el capítulo. Archivos de los ejemplos en Excel, Excel QM y POM-QM para Windows El estudiante puede descargar los archivos que se usaron como ejemplos en el libro; esto le ayudará a familiarizarse con el software, así como a comprender la entrada y las fórmulas necesarias para trabajar los ejemplos. Problemas de tarea en Internet Además de los problemas de final de capítulo en el libro, se cuenta con problemas adicionales que los profesores pueden asignar. Están disponibles para descarga en el sitio Web del libro. Estudios de caso en Internet Se dispone de casos de estudio adicionales para casi todos los capítulos. POM-QM para Windows Desarrollado por Howard Weiss, este amigable software sirve para resolver la mayoría de los problemas del libro. PREFACIO xxiii Excel QM Este complemento de Excel creará de manera automática hojas de trabajo para la solución de problemas. Esto es muy útil para los profesores que elijan usar Excel en sus clases, pero que tengan estudiantes con experiencia limitada en el programa. Los estudiantes aprenderán examinando las fórmulas que se crearon, y observando los datos de entrada que se generan automáticamente al usar el complemento Solver de programación lineal. RECURSOS PARA EL PROFESOR 䊉 Centro de recursos para el profesor. Este centro contiene los archivos electrónicos del banco de pruebas, diapositivas de PowerPoint, manual de soluciones y archivos de datos, tanto de Excel como de POM-QM para Windows, de todos los ejemplos y problemas de final de capítulo relevantes (www.pearsonenespañol.com/render). 䊉 Registro e ingreso. En www.pearsonhighered/irc, los profesores tienen acceso a una variedad de recursos para imprimir, medios didácticos y presentaciones, que están disponibles con este libro en formato digital descargable. Para casi todos los textos, los recursos están disponibles también para plataformas de administración de cursos como Blackboard, WebCT y Course Compass. 䊉 ¿Necesita ayuda? Nuestro equipo de apoyo técnico dedicado está listo para atender a los profesores que tengan preguntas acerca de los complementos digitales que acompañan a este libro. Visite http://247.prenhall.com/ para encontrar las respuestas a las preguntas frecuentes. Los complementos están disponibles para los profesores que adopten el libro. Las descripciones detalladas se incluyen en el Centro de recursos del profesor. Manual de soluciones El manual de soluciones para el profesor, actualizado por los autores, está disponible para los que adoptan el libro impreso y como descarga del Centro de recursos del profesor. Las soluciones a todos los problemas de tarea en Internet y los estudios de caso en Internet también se incluyen en el manual. Archivo de reactivos para examen Este archivo actualizado está disponible para los profesores que adopten el libro como descarga del Centro de recursos para el profesor. TestGen El paquete computarizado TestGen permite a los docentes personalizar, guardar y generar pruebas para el aula de clase. El programa de exámenes permite a los profesores editar, agregar o elimi- nar preguntas del banco de exámenes; editar las gráficas existentes y crear nuevas; analizar los resultados de los exámenes y organizar una base de datos de exámenes y resultados de los estudiantes. Este software tiene una extensa flexibilidad y facilidad de uso. Ofrece muchas opciones para organizar y desplegar los exámenes, al igual que funciones de búsqueda y clasificación. El software y los bancos de exámenes se pueden descargar de www.perasonenespañol.com/render. RECONOCIMIENTOS Agradecemos a los usuarios de las ediciones anteriores y a los revisores que brindaron sugerencias e ideas invaluables para esta edición. Su retroalimentación es valiosa para nuestros esfuerzos de mejora continua. El éxito duradero de Métodos cuantitativos para los negocios es un resultado directo de la retroalimentación del profesor y el estudiante, lo cual en realidad es apreciable. Los autores están en deuda con muchas personas cuyas contribuciones a este proyecto han sido ampliamente significativas. Agradecemos en especial a los profesores F. Bruce Simmons III, Khala Chand Sealm, Victor E. Sower, Michael Ballot, Curtis P. McLaughlin y Zbigniew H. Przanyski, por sus contribuciones a los excelentes casos incluidos en esta edición. Gracias especiales también a Trevor Hale por su enorme ayuda con las viñetas de Modelado en el mundo real y las aplicaciones de AC en acción, al igual que por servir como caja de resonancia para muchas ideas, cuyos resultados fueron mejoras con- siderables para esta edición. xxiv PREFACIO Damos las gracias a Howard Weiss por suministrar Excel QM y POM-QM para Windows, dos de los software más sobresalientes en el área de los métodos cuantitativos. También queremos agradecer a los revisores que ayudaron a que este fuera uno de los libros de texto de mayor uso en el campo del análi- sis cuantitativo: Stephen Achtenhagen, San Jose University Shahriar Mostashari, Campbell University M. Jill Austin, Middle Tennessee State University David Murphy, Boston College Raju Balakrishnan, Clemson University Robert Myers, University of Louisville Hooshang Beheshti, Radford University Barin Nag, Towson State University Bruce K. Blaylock, Radford University Nizam S. Najd, Oklahoma State University Rodney L. Carlson, Tennessee Technological University Harvey Nye, Central State University Edward Chu, California State University, Dominguez Hills Alan D. Olinsky, Bryant College John Cozzolino, Pace University–Pleasantville Savas Ozatalay, Widener University Shad Dowlatshahi, University of Wisconsin, Platteville Young Park, California University of Pennsylvania Ike Ehie, Southeast Missouri State University Cy Peebles, Eastern Kentucky University Sean Eom, Southeast Missouri State University Yusheng Peng, Brooklyn College Ephrem Eyob, Virginia State University Dane K. Peterson, Mira Ezvan, Lindenwood University Southwest Missouri State University Wade Ferguson, Western Kentucky University Sanjeev Phukan, Bemidji State University Robert Fiore, Springfield College Ranga Ramasesh, Texas Christian University Frank G. Forst, Loyola University of Chicago William Rife, West Virginia University Ed Gillenwater, University of Mississippi Bonnie Robeson, Johns Hopkins University Stephen H. Goodman, University of Central Florida Grover Rodich, Portland State University Irwin Greenberg, George Mason University L. Wayne Shell, Nicholls State University Trevor S. Hale, University of Houston–Downtown Richard Slovacek, North Central College Nicholas G. Hall, Ohio State University John Swearingen, Bryant College Robert R. Hill, University of Houston–Clear Lake F. S. Tanaka, Slippery Rock State University Gordon Jacox, Weber State University Jack Taylor, Portland State University Bharat Jain, Towson State University Madeline Thimmes, Utah State University Vassilios Karavas, University of Massachusetts–Amherst M. Keith Thomas, Olivet College Darlene R. Lanier, Louisiana State University Andrew Tiger, Southeastern Oklahoma State University Kenneth D. Lawrence, New Jersey Institute of Technology Chris Vertullo, Marist College Jooh Lee, Rowan College James Vigen, California State University, Bakersfield Richard D. Legault, University of Massachusetts–Dartmouth William Webster, The University of Texas at San Antonio Douglas Lonnstrom, Siena College Larry Weinstein, Eastern Kentucky University Daniel McNamara, University of St. Thomas Fred E. Williams, University of Michigan-Flint Robert C. Meyers, University of Louisiana Mela Wyeth, Charleston Southern University Peter Miller, University of Windsor Ralph Miller, California State Polytechnic University Estamos muy agradecidos con todas las personas de Pearson-Prentice Hall que trabajaron tan duro para hacer de este libro un éxito y que incluyen a Chuck Synovec, nuestro editor; Judy Leale, editora se- nior de administración; Mary Kate Murray, gerente de proyecto, y Jason Calcano, asistente editorial. También agradecemos a Jen Carley, nuestro gerente de proyecto en PreMediaGlobal Book Services. Apreciamos mucho el trabajo de Annie Puciloski por la corrección de errores en el libro y el manual de soluciones. ¡Muchas gracias a todos! Barry Render brender@rollins.edu Ralph Stair Michael Hanna 281-283-3201 (teléfono) 281-226-7304 (fax) hanna@uhcl.edu AGRADECIMIENTOS Pearson agradece a los profesores usuarios de esta obra y a los centros de estudio por su apoyo y retroali- mentación, elementos fundamentales para esta nueva edición de Métodos cuantitativos para los negocios. COLOMBIA Facultad de Química Héctor López Hernández Universidad de La Salle Miguel Muñoz Hernández Facultad de Administración de Empresas José Gregorio Medina Universidad Tecnológica de Querétaro José Manuel Fuquen Procesos Industriales José Luis Ramírez Mendoza Universidad EAN Ingeniaría Industrial Coordinación de Gestión de Operaciones Juan López Mendoza Johanna Mildred Méndez ESTADO DE MÉXICO Universidad Nacional de Colombia Facultad de Administración de Empresas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Guillermo Ospina Campus Toluca Departamento Académico de Administración Universidad Santo Tomás de Aquino Escuela de Negocios y Ciencias Sociales Facultad de Administración de Empresas – Distancia Reyna Karina Rosas Contreras Alexander Rozo Carlos Parra Instituto Tecnológico de Tlalnepantla Jorge Aguirre Gutiérrez COSTA RICA Ricardo García Hernández Silvia Santiago Cruz Universidad de Costa Rica Escuela de Administración de Negocios JALISCO Enrique León Parra Fernando Sánchez González Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente Departamento de Procesos Tecnológicos Industriales MÉXICO Sylvia Vázquez Rodríguez DISTRITO FEDERAL Universidad de Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas Universidad Anáhuac del Norte (CUCEA) William Henry De Lano Frier Salvador Sandoval Bravo Universidad Anáhuac del Sur Universidad del Valle de Atemajac José Antonio Bohon Devars Departamento de Administración y Economía Sandra Aviña Plata Leopoldo Cárdenas González Universidad Nacional Autónoma de México Universidad del Valle de México, Facultad de Contaduría y Administración Campus Guadalajara Sur Antonio Castro Martínez Departamento de Ingeniería Industrial Mario Alfonso Toledano Castillo Porfirio Pérez Cisneros Yolanda Moreno Camilli xxv xxvi AGRADECIMIENTOS NUEVO LEÓN Universidad De Las Américas Puebla Departamento de Turismo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Escuela de Negocios y Economía Campus Monterrey Alfonso Rocha Herrera Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Leopoldo Cárdenas Barrón Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla Departamento de Mercadotecnia y Negocios Internacionales Departamento Administración Fernando Gómez Escuela de Negocios Gerardo Treviño Garza Claudia Malcón Cervera María Armandina Rodarte R. Samuel Rodríguez SINALOA Universidad Autónoma de Nuevo León Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Facultad de Ciencias Químicas Campus Sinaloa Escuela de Graduados en Administración e Ingeniería Industrial Centro de Agrobionegocios (EGAII) José Benigno Valdez Torres Argelia Vargas Moreno Sergio Gerardo Elizondo Arroyave TAMAULIPAS Universidad de Monterrey Universidad Autónoma de Tamaulipas Departamento Académico de Ingeniería Escuela de Posgrado Bernardo Villarreal Celestino Oscar Flores Rosales Leopoldo Delgado Garza Unidad Académica Multidisciplinaria Reynosa Rodhe José Guadalupe Rivera Martínez Universidad Regiomontana Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas (FACCEA) YUCATÁN Posgrado de Negocios Gerardo Montes Sifuentes Universidad Anáhuac Mayab Facultad de Ingeniería y Arquitectura (FACIYA) Facultad de Economía y Negocios Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Departamento de Negocios Rogelio Escamilla López Eric José Esquivel Cortés Escuela de Ingeniería Civil PUEBLA Carlos Andrés Wabi Peniche Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Universidad Autónoma de Yucatán Campus Puebla Facultad de Contaduría y Administración Departamento Académico de Administración Alonso Vargas Rosado Escuela de Negocios y Ciencias Sociales Pedro Pablo Canto Leal Jorge Alberto González Mendivil Miguel Guadalupe Díaz Sánchez Instituto Tecnológico de Puebla Departamento Ingeniería Industrial Escuela de Ingeniería Alfonso Serrano Gálvez CAPÍTULO 1 Introducción al análisis cuantitativo OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al terminar de estudiar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Describir el enfoque del análisis cuantitativo. 4. Usar computadoras y modelos de hoja de cálculo 2. Entender la aplicación del análisis cuantitativo en para realizar análisis cuantitativo. una situación real. 5. Analizar los posibles problemas al utilizar el análisis 3. Describir el uso del modelado en el análisis cuantitativo. cuantitativo. 6. Realizar un análisis de punto de equilibrio. CONTENIDO DEL CAPÍTULO 1.1 Introducción 1.5 Función de las computadoras y los modelos de hoja 1.2 ¿Qué es el análisis cuantitativo? de cálculo en el enfoque del análisis cuantitativo 1.3 Enfoque del análisis cuantitativo 1.6 Posibles problemas en el enfoque del análisis cuantitativo 1.4 Cómo desarrollar un modelo de análisis cuantitativo 1.7 Implementación: no solo el paso final Resumen • Glosario • Ecuaciones clave • Autoevaluación • Preguntas y problemas para análisis • Estudio de caso: alimentos y bebidas en los juegos de futbol de la Universidad Southwestern • Bibliografía 1 2 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO 1.1 Introducción Durante miles de años, los seres humanos han utilizado las herramientas matemáticas para resolver problemas; sin embargo, el estudio formal y la aplicación de las técnicas cuantitativas a la toma de decisiones prácticas es en gran medida un producto del siglo XX. Las técnicas que estudiaremos en este libro se aplican con éxito a una gama de problemas complejos cada vez más amplia en nego- cios, gobierno, cuidado de la salud, educación y muchas otras áreas. Muchas de tales aplicaciones exitosas se estudian a lo largo de esta obra. Sin embargo, no es suficiente saber tan solo la parte matemática del funcionamiento de una técnica cuantitativa específica; también se debe estar familiarizado con las limitaciones, las supo- siciones y la aplicabilidad particular de la técnica. El uso exitoso de las técnicas cuantitativas suele dar como resultado una solución oportuna, precisa, flexible, económica, confiable y fácil de en- tender y utilizar. En este y otros capítulos, se incluyen cuadros de AC (análisis cuantitativo) en acción que pre- sentan historias de éxito de las aplicaciones de la ciencia administrativa. Muestran la forma en que las organizaciones han empleado técnicas cuantitativas para tomar mejores decisiones, operar con mayor eficiencia y generar más ganancias. Taco Bell reportó un ahorro de más de 150 millones de dólares con mejores pronósticos de la demanda y mejor programación de su fuerza laboral. La cadena de televisión NBC aumentó su ingreso publicitario en más de $200 millones entre 1996 y 2000 con la aplicación de un modelo para ayudar a desarrollar los planes de ventas para los anun- ciantes. Continental Airlines ahorró más de $40 millones anuales usando modelos matemáticos para la rápida recuperación de los problemas por retrasos ocasionados por el clima y otros factores. Estas son solamente unas cuantas de muchas organizaciones que se presentan en los cuadros de AC en Acción a lo largo de todo el libro. Para consultar otros ejemplos de cómo las compañías utilizan el análisis cuantitativo o los mé- todos de investigación de operaciones para operar mejor y con mayor eficiencia, visite el sitio web www.scienceofbetter.org. Las historias de éxito presentadas ahí están clasificadas por industria, área funcional y beneficios. Asimismo, ilustran cómo la investigación de operaciones es realmente la “ciencia para mejorar”. 1.2 ¿Qué es el análisis cuantitativo? El análisis cuantitativo utiliza El análisis cuantitativo es el enfoque científico de la toma de decisiones administrativa. El capricho, un enfoque científico para la las emociones y la adivinación no forman parte del enfoque del análisis cuantitativo. Este enfo- toma de decisiones. que comienza con datos. Al igual que con la materia prima para una fábrica, los datos se manipulan o se procesan para convertirlos en información para quienes toman decisiones. Este proceso y mani- pulación de los datos convertidos en información significativa son la esencia del análisis cuantitativo. Las computadoras han jugado un papel decisivo en el uso creciente del análisis cuantitativo. Al resolver un problema, los gerentes deben considerar factores tanto cualitativos como cuanti- tativos. Por ejemplo, podríamos considerar varias alternativas de inversión distintas que incluyan certificados de depósito bancario, inversiones en el mercado de valores y una inversión en bienes raíces. Podemos usar análisis cuantitativo para determinar cuánto valdría nuestra inversión en el futuro, si depositamos en un banco a una tasa de interés dada por cierto número de años. El análisis cualitativo también sirve para calcular razones financieras de los estados de resultados en varias com- pañías cuyas acciones se estén considerando. Algunas compañías de bienes raíces han desarrollado programas de cómputo que utilizan análisis cuantitativo para examinar flujos de efectivo y tasas de rendimiento para las inversiones en propiedades. Deben tomarse en cuenta factores Además del análisis cuantitativo, deberían considerarse factores cualitativos. El clima, la le- tanto cualitativos como gislación estatal y federal, los nuevos desarrollos tecnológicos, los resultados de una elección y cuantitativos. otros son factores que quizá sean difíciles de cuantificar. Debido a la importancia de los factores cualitativos, el papel del análisis cuantitativo en el pro- ceso de toma de decisiones podría variar. Cuando no haya factores cualitativos, y cuando el problema, el modelo y los datos de entrada permanezcan iguales, los resultados del análisis cuantitativo pueden automatizar el proceso de toma de decisiones. Por ejemplo, algunas compañías usan modelos cuan- titativos de inventarios para determinar de manera automática cuándo ordenar materiales adicionales. No obstante, en la mayoría de los casos, el análisis cuantitativo será una ayuda para el proceso de toma de decisiones. Los resultados del análisis cuantitativo se combinarán con otra información (cualitativa) en la toma de decisiones. 1.3 ENFOQUE DEL ANÁLISIS CUANTITATIVO 3 HISTORIA Origen del análisis cuantitativo E l análisis cuantitativo ha existido desde el inicio de la historia escrita, pero fue Frederick W. Taylor —a principios del siglo XX—, el a consultores en investigación de operaciones o en ciencias admi- nistrativas, con la finalidad de aplicar los principios de la adminis- tración científica a problemas y oportunidades. En este libro se usan pionero en aplicar los principios del método científico a la adminis- los términos ciencia administrativa, investigación de operaciones tración. Durante la Segunda Guerra Mundial se desarrollaron y análisis cuantitativo de manera indistinta. muchas técnicas científicas y cuantitativas nuevas para ayudar a la El origen de muchas de las técnicas estudiadas en esta obra milicia. Los nuevos desarrollos tuvieron tanto éxito que después se remonta a individuos y organizaciones que han aplicado los de la guerra muchas compañías comenzaron a usar técnicas simi- principios de la administración científica desarrollados original- lares en la toma de decisiones administrativas y en la planeación. mente por Taylor. Se exponen en las secciones Historia distribui- En la actualidad, muchas organizaciones contratan a personal o das a lo largo del libro. 1.3 Enfoque del análisis cuantitativo Definir el problema puede ser El enfoque del análisis cuantitativo consiste en definir un problema, desarrollar un modelo, obtener el paso más importante. los datos de entrada, desarrollar una solución, probar la solución, analizar los resultados e imple- mentarlos (véase la figura 1.1). No es necesario que un paso termine por completo antes de comen- Hay que concentrarse tan solo en unos cuantos problemas. zar el siguiente; en la mayoría de los casos, uno o más de dichos pasos se modificarán en alguna medida antes de implementar los resultados finales. Esto ocasionará que cambien todos los pasos FIGURA 1.1 subsecuentes. Algunas veces, las pruebas de la solución podrían dejar ver que el modelo o los da- tos de entrada no son correctos, lo cual significaría que todos los pasos siguientes en la definición Enfoque del análisis del problema deberían modificarse. cuantitativo Definición Definición del problema del problema El primer paso en el enfoque cuantitativo es desarrollar un enunciado claro y conciso acerca del problema. Este enunciado dará dirección y significado a los siguientes pasos. En muchos casos, definir el problema es el paso más importante y más difícil. Es esencial ir más Desarrollo de un modelo allá de los síntomas del problema e identificar las causas reales. Un problema puede relacionarse con otros problemas; resolver un problema sin tomar en cuenta los otros haría que toda la situación empeore. Por consiguiente, es importante analizar de qué manera la solución de un problema afecta Recolección otros problemas o la situación en general. de datos Es probable que una organización enfrente varios problemas. Sin embargo, es frecuente que un grupo de análisis cuantitativo no sea capaz de manejar todos los problemas de una organización al mismo tiempo. Entonces, suele ser necesario concentrarse tan solo en unos cuantos problemas. Desarrollo de Para muchas compañías, ello significa seleccionar aquellos problemas cuya solución dará el mayor una solución incremento en sus ganancias o la mayor reducción en sus costos. Debe destacarse la importancia de seleccionar los problemas adecuados para resolverlos. La experiencia ha demostrado que una mala definición del problema es una razón primordial para el fracaso de los grupos de ciencias adminis- Pruebas de trativas o de investigación de operaciones en el buen servicio a sus organizaciones. la solución Cuando resulta difícil cuantificar un problema, quizá sea necesario desarrollar objetivos especí- ficos medibles. Un problema podría ser el mal servicio en un hospital. Entonces, los objetivos serían Análisis de aumentar el número de camas, reducir el número promedio de días de estancia de un paciente en el los resultados hospital, incrementar la razón doctor-paciente, etcétera. No obstante, al usar los objetivos debe te- nerse en mente el problema real. Es importante evitar la obtención de objetivos específicos medibles que tal vez no resuelvan el problema. Implementación de resultados Desarrollo de un modelo Una vez seleccionado el problema que se va a analizar, el siguiente paso consiste en desarrollar un modelo. Dicho en forma sencilla, un modelo es una representación (casi siempre matemática) de una situación. Aun cuando fuera de manera inconsciente, usted ha empleado modelos la mayoría de su vida. Quizás haya desarrollado modelos acerca del comportamiento de los individuos. Su modelo podría ser que la amistad se basa en la reciprocidad: un intercambio de favores. Si necesita un favor como Los tipos de modelos son físico, un modesto préstamo, su modelo sugeriría que lo pida a un buen amigo. a escala, esquemático y Por supuesto, existen muchos otros tipos de modelos. En ocasiones los arquitectos elaboran un matemático. modelo físico del edificio que van a construir. Los ingenieros desarrollan modelos a escala de plantas 4 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO EN ACCIÓN La investigación de operaciones y los derrames de petróleo Muchas herramientas cuantitativas han ayudado en las áreas L os investigadores de operaciones y los científicos de las deci- siones investigaron la respuesta frente a los derrames de petróleo de análisis de riesgo, seguros, preparación logística y gestión de suministros, planeación de evacuación y desarrollo de sistemas y las estrategias para remediar las consecuencias, mucho antes del de comunicación. La investigación reciente ha demostrado que desastre en 2010 por el derrame de British Petroleum en el Golfo mientras se han logrado avances y se han hecho descubrimientos de México. Surgió un sistema de clasificación de cuatro fases para importantes, todavía se necesita mucha investigación. Sin duda, la investigación de la respuesta al desastre: mitigación, prepara- cada una de las cuatro áreas de respuesta al desastre puede be- ción, respuesta y recuperación. Mitigación significa reducir la pro- neficiarse de investigaciones adicionales, pero la recuperación babilidad de que ocurra un desastre e implementar estrategias parecería la preocupación fundamental y quizá la más promete- robustas y a futuro para reducir los efectos de un desastre que sí dora para la investigación futura. ocurre. Preparación es cualquier esfuerzo de organización que sucede antes de un desastre (a priori). Respuesta es la localización, Fuente: Basada en N. Altay y W. Green. ”OR/MS Research in Disaster Opera- asignación y coordinación global de recursos y procedimientos tions Management”, European Journal of Operational Research 175, 1 (2006): durante el desastre, dirigidos a la preservación de la vida y la pro- 475-493. piedad. Recuperación es el conjunto de acciones tomadas para minimizar los efectos a largo plazo de un desastre en particular, una vez que se estabiliza la situación inmediata. químicas, llamadas plantas piloto. Un modelo esquemático es una imagen, un dibujo o una gráfica de la realidad. Automóviles, podadoras de césped, engranajes, ventiladores, máquinas de escribir y muchos otros dispositivos tienen modelos esquemáticos (dibujos e imágenes) que revelan su funcionamiento. Lo que diferencia el análisis cuantitativo de otras técnicas es que los modelos que se usan son matemáticos. Un modelo matemático es un conjunto de relaciones matemáticas. Casi siempre, estas relaciones se expresan como ecuaciones y desigualdades, ya que se encuentran en un modelo de hoja de cálculo que suma, saca promedios o desviaciones estándar. Aunque existe una flexibilidad considerable en el desarrollo de modelos, gran parte de los modelos presentados en este libro contienen una o más variables y parámetros. Una variable, como su nombre indica, es una cantidad medible que puede variar o está sujeta a cambios. Las va- riables pueden ser controlables o incontrolables. Una variable controlable también se conoce como variable de decisión. Un ejemplo sería cuántos artículos de inventario ordenar. Un parámetro es una cantidad medible que es inherente al problema. El costo de colocar una orden de más artícu- los de inventario es un ejemplo de parámetro. En casi todos los casos, las variables son cantidades desconocidas, mientras que los parámetros sí se conocen. Todos los modelos deberían desarro- llarse con cuidado. Deben poderse resolver, ser realistas y fáciles de comprender y modificar; también tiene que ser factible obtener los datos de entrada requeridos. El desarrollador del mo- delo debe tener cuidado de incluir el grado adecuado de detalle para que se logre resolver y sea realista. Obtención de los datos de entrada Una vez desarrollado un modelo, debemos obtener los datos que se usarán en él (datos de entrada). La obtención de datos precisos para el modelo es fundamental; aun cuando el modelo sea una repre- sentación perfecta de la realidad, los datos inadecuados llevarán a resultados equivocados. Esta “Entra basura, sale basura” situación se conoce como entra basura, sale basura. Para un problema más grande, la recolección significa que los datos inadecuados de datos precisos sería uno de los pasos más difíciles al realizar un análisis cuantitativo. darán resultados equivocados. Hay varias fuentes que son útiles para recolectar datos. En algunos casos, los informes y los documentos de la compañía se utilizan para tal fin. Otra fuente son las entrevistas con empleados u otros individuos relacionadas con la empresa. Estos individuos a veces suministran información excelente, y su experiencia y criterio pueden ser invaluables. Un supervisor de producción, por ejemplo, tal vez sea capaz de decirle con mucha mayor exactitud el tiempo que toma producir un artículo específico. El muestreo y la medición directa son otra fuente de datos para el modelo. Quizá necesite saber cuántas libras de materia prima se usan para fabricar un nuevo producto foto- químico. Esta información se obtendría en la planta y, de hecho, midiendo con básculas la cantidad de materia prima que se utiliza. En otros casos, los procedimientos estadísticos de muestreo se uti- lizan para tal fin. 1.3 ENFOQUE DEL ANÁLISIS CUANTITATIVO 5 Desarrollo de una solución El desarrollo de una solución implica la manipulación del modelo para llegar a la mejor solución (óptima) del problema. En algunos casos, esto requiere resolver una ecuación para lograr la me- jor decisión. En otros casos, se podría usar el método de ensayo y error, intentando varios enfoques y eligiendo aquel que resulte en la mejor decisión. Para ciertos problemas, tal vez usted quiera tratar todos los valores posibles de las variables del modelo para llegar a la mejor decisión. Esto se conoce como numeración completa. Este libro también muestra cómo resolver problemas muy difíciles y complejos repitiendo unos cuantos pasos sencillos hasta que se encuentra la mejor solución. Una serie de pasos o procedimientos que se repiten se llama algoritmo, en honor a Algorismus, un ma- temático árabe de siglo IX. La precisión de una solución depende de la precisión de los datos de entrada y del modelo. Si los Los datos de entrada y el modelo datos de entrada son precisos tan solo con dos cifras significativas, entonces los resultados pueden determinan la exactitud de la tener una precisión de únicamente dos cifras significativas. Por ejemplo, el resultado de dividir 2.6 solución. entre 1.4 debe ser 1.9, no 1.857142857. Prueba de la solución Antes de analizar e implementar una solución, es necesario probarla cabalmente. Como la solución depende de los datos de entrada y el modelo, ambos requieren pruebas. Antes de analizar los resultados Probar los datos de entrada y el modelo incluye determinar la exactitud y la integridad de los se prueban los datos y el modelo. datos usados por el modelo. Los datos no exactos llevarán a una solución imprecisa. Existen varias maneras de probar los datos de entrada. Un método para hacerlo consiste en recolectar datos adi- cionales de una fuente diferente. Si los datos originales se recolectaron empleando entrevistas, quizás algunos otros se pueden reunir con medición directa o muestreo. Los datos adicionales se compararían con los originales y, luego, se usarían pruebas estadísticas para determinar si hay dife- rencias entre ambos. Cuando haya diferencias significativas, se requerirá más esfuerzo para obtener datos de entrada precisos. Si la exactitud es buena pero los resultados son incongruentes con el pro- blema, tal vez el modelo no sea adecuado. El modelo se puede verificar para asegurarse de que sea lógico y represente la situación real. Aunque muchas de las técnicas cuantitativas estudiadas en esta obra se han computarizado, tal vez usted deba resolver varios problemas a mano. Para ayudar a detectar errores tanto lógicos como de cálculo, debería verificar los resultados asegurándose de que sean congruentes con la estruc- tura del problema. Por ejemplo, (1.96) (301.7) es cercano a (2) (300) que es igual a 600. Si sus cálcu- los son significativamente diferentes de 600, es seguro que haya cometido un error. Análisis de resultados y análisis de sensibilidad El análisis de resultados comienza con la determinación de las implicaciones de la solución. En la mayoría de los casos, una solución a un problema causará un tipo de acción o cambio en la forma en que opera una organización. Las implicaciones de tales acciones o cambios deben determinarse y analizarse antes de implementar los resultados. Puesto que un modelo es tan solo una aproximación de la realidad, la sensibilidad de la solu- ción a los cambios en el modelo y los datos de entrada forma una parte muy importante del análisis El análisis de sensibilidad de resultados. Este tipo de análisis se denomina análisis de sensibilidad o análisis posóptimo. Deter- determina cómo cambian las mina cuánto cambiará la solución si hay cambios en el modelo o en los datos de entrada. Cuando la soluciones con un modelo solución es sensible a los cambios en los datos de entrada y las especificaciones del modelo, se de- o datos de entrada diferentes. berían realizar más pruebas para asegurarse de que los datos y el modelo sean precisos y válidos. Si el modelo o los datos tienen errores, la solución podría estar mal, y se tendrían pérdidas financieras o ganancias reducidas. Nunca es suficiente el énfasis en la importancia del análisis de sensibilidad. Como los datos de entrada no siempre son precisos o las suposiciones del modelo quizá no sean totalmente ade- cuadas, el análisis de sensibilidad se puede convertir en una parte importante del enfoque del análisis cuantitativo. Casi todos los capítulos del libro cubren el uso del análisis de sensibilidad como parte de la toma de decisiones y el proceso de solución de problemas. Implementación de resultados El paso final es implementar los resultados. Es el proceso de incorporar la solución a la compañía y suele ser más difícil de lo que se imagina. Incluso si la solución es óptima y dará ganancias adi- cionales de millones de dólares, si los gerentes se oponen a la nueva solución, todos los efectos del análisis dejan de tener valor. La experiencia ha demostrado que un gran número de equipos de análi- 6 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO El ferrocarril utiliza modelos de MODELADO EN EL MUNDO REAL optimización para ahorrar millones Definición del problema Definición del problema CSX Transportation, Inc., tiene 35,000 empleados e ingresos anuales de $11 mil millones. Ofrece servicios de carga por tren a 23 estados del este del río Mississippi, así como a partes de Canadá. CSX recibe órdenes de entrega y debe enviar carros de ferrocarril (vagones) vacíos al lugar de los clientes. Mover estos vagones significa cientos de miles de millas de carros vacíos todos los días. Si las asignaciones de vagones a los clientes no se realizan bien, sur- gen problemas por exceso de costos, desgaste de los sistemas y congestión en las vías y las estaciones. Desarrollo de un modelo Desarrollo de un modelo Con la finalidad de brindar un sistema más eficiente de programación, CSX pasó 2 años y gastó $5 millones en el desarrollo de su sistema de “planeación dinámica de carros de ferrocarril” (DCP, por dynamic car-planning). Este modelo minimiza los costos, incluyendo la distancia recorrida por los carros, el manejo de los costos en las estaciones, el tiempo de viaje de los vagones, y los costos por llegar temprano o tarde. Hace esto al tiempo que llena las órdenes, asegurando que se asigne el tipo de carro adecuado para el trabajo y llevándolo a su destino en el tiempo permitido. Recolección de datos Recolección de datos Para desarrollar el modelo, la compañía usó datos históricos para las pruebas. Al correr el modelo, el DCP usa tres fuentes externas de información sobre las órdenes de carros por parte de los clientes, los carros disponibles del tipo requerido y los estándares de tiempo de tránsito. Asimismo, dos fuentes internas suministran informa- ción acerca de las prioridades y las preferencias de los clientes, y de los parámetros de costos. Desarrollo de Desarrollo de una solución una solución Este modelo toma alrededor de 1 minuto en cargar, pero tan solo 10 segundos en dar una respuesta. Como la oferta y la demanda están en constante cambio, el modelo se corre aproximadamente cada 15 minutos, lo cual permite que la decisión final se tome hasta que sea absolutamente necesario. Pruebas de la solución Pruebas de la solución El modelo se validó y verificó con los datos existentes. Se encontró que las soluciones obtenidas con el DCP eran muy buenas comparadas con las tareas realizadas sin DCP. Análisis de los resultados Análisis de los resultados Desde la implementación del DCP en 1997, se han ahorrado más de $51 millones anuales. Debido a la mayor eficiencia, se estimó que CSX evitó gastar $1.4 miles de millones en la compra de 18,000 carros de ferrocarril adicionales que se habrían necesitado sin la DCP. Otros beneficios incluyen menor congestionamiento en los pa- tios de servicio y en las vías, que eran preocupaciones importantes. Mayor eficiencia significa que es posible enviar más carga por ferrocarril en vez de por camión, lo cual representa beneficios públicos significativos. Estos beneficios incluyen menor contaminación y reducción en gases de efecto invernadero, mayor seguridad en las carreteras y menores costos de mantenimiento en las mismas. Implementación de resultados Implementación Tanto la alta gerencia que apoyó la DCP como los expertos clave en la distribución de carros de ferrocarril que de resultados ayudaron al nuevo enfoque fueron instrumentales para lograr la aceptación del sistema nuevo y vencer los pro- blemas durante la implementación. La descripción del trabajo de los distribuidores de vagones cambió de despachadores de carros de ferrocarril a técnicos de costos, quienes son responsables de asegurar que la infor- mación de costos que se alimenta al DCP sea precisa, así como de administrar cualquier excepción que deba realizarse. Se les dio una extensa capacitación sobre el funcionamiento de la DCP para que comprendieran y aceptaran mejor el nuevo sistema. Debido al éxito de la DCP, otras compañías ferroviarias han implementado sistemas similares y han logrado beneficios parecidos. CSX continúa mejorando la DCP para hacerla aún más ami- gable con el cliente y mejorar los pronósticos de las órdenes de vagones. Fuente: Basada en M. F. Gorman, et al. ”CSX Railway Uses OR to Cash in on Optimized Equipment Distribution”, Interfaces 40, 1 (enero-febrero, 2010): 5-16. sis cuantitativo han fallado en sus esfuerzos porque no implementaron una solución óptima de ma- nera adecuada. Una vez que se implementa la solución, debería vigilarse de cerca. Con el tiempo, surgen diver- sos cambios que necesitan modificaciones a la solución original. Una economía cambiante, la demanda fluctuante y las mejoras al modelo solicitadas por los gerentes y tomadores de decisiones son tan solo unos cuantos ejemplos de cambios que quizá requieran que se modifique el análisis. 1.4 CÓMO DESARROLLAR UN MODELO DE ANÁLISIS CUANTITATIVO 7 Enfoque del análisis cuantitativo y modelado en el mundo real El enfoque del análisis cuantitativo se utiliza ampliamente en el mundo real. Estos pasos, vistos por primera vez en la figura 1.1 y descritos en esta sección, son los bloques de construcción de cual- quier aplicación exitosa del análisis cuantitativo. Como se vio en el primer cuadro de Modelado en el mundo real, los pasos del análisis cuantitativo se pueden usar para ayudar a una compañía grande como CSX a planear sus necesidades críticas de programación presentes y futuras. A lo largo del libro, usted verá cómo se siguen los pasos del análisis cuantitativo para ayudar a países y a com- pañías de todos tamaños a ahorrar millones de dólares, planear el futuro, aumentar sus ingresos y ofrecer productos y servicios de más alta calidad. En cada capítulo los cuadros de Modelado en el mundo real le mostrarán el poder y la importancia del análisis cuantitativo para la solución de pro- blemas reales en organizaciones reales. Sin embargo, usar los pasos del análisis cuantitativo no garantiza el éxito, pues también deberían aplicarse con cuidado. 1.4 Cómo desarrollar un modelo de análisis cuantitativo El desarrollo de un modelo es una parte importante del enfoque de análisis cuantitativo. Veamos cómo utilizar el siguiente modelo matemático, que representa la ganancia: Ganancia 5 ingresos 2 gastos Los gastos incluyen los costos En muchos casos, podemos expresar los ingresos como precio por unidad multiplicado por el número fijos y variables. de unidades vendidas. Los gastos con frecuencia se determinan sumando los costos fijos y los costos variables. El costo variable suele expresarse como costo variable por unidad multiplicado por el número de unidades. Por consiguiente, podemos también expresar la ganancia con el siguiente modelo matemático: Ganancia 5 ingreso 2 (costo fijo 1 costo variable) Ganancia 5 (precio de venta por unidad)(número de unidades vendidas) 2 [costo fijo 1 (costo variable por unidad)(número de unidades vendidas)] Ganancia 5 sX 2 [ f 1 nX] Ganancia 5 sX 2 f 1 nX (1-1) donde: s 5 precio de venta por unidad f 5 costo fijo n 5 costo variable por unidad X 5 número de unidades vendidas Los parámetros en este modelo son f, n y s, ya que son datos de entrada inherentes al modelo. El número de unidades vendidas (X) es la variable de decisión que interesa. EJEMPLO: RELOJERÍA FINA DE PRITCHETT Se usará el taller de reparación de relojes de Bill Pritchett como ejemplo para demostrar el uso de los modelos matemáticos. La compañía de Bill, Relojería Fina de Pritchett, compra, vende y repara relojes antiguos y sus partes. Bill vende resortes reconstrui- dos a un precio de $10 por unidad. El costo fijo del equipo para construir los resortes es de $1,000. El costo variable por unidad es de $5 por el material del resorte. En este ejemplo, s 5 100 f 5 1,000 n 55 El número de resortes vendidas es X y nuestro modelo de ganancia se convierte en Ganancia 5 $10X 2 $1,000 2 $5X Si las ventas son de 0, Bill tiene una pérdida de $1,000. Si vende 1,000 unidades, obtendrá una ganan- cia de $4,000 ($4,000 5 ($10)(1,000) 2 $1,000 2 ($5)(1,000)). Vea si puede determinar la ganancia para otros valores de unidades vendidas. 8 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO El PE tiene un valor de $0 Además de los modelos de ganancia mostrados aquí, quienes toman decisiones a menudo se in- de ganancia. teresan en el punto de equilibrio (PE), que es el número de unidades vendidas que da como resul- tado una ganancia de $0. Se establece la ganancia igual a $0 y se resuelve para X, el número de unidades del punto de equilibrio: 0 5 sX 2 f 2 nX Esto también se escribe como 0 5 (s 2 n)X 2 f Al despejar X, se tiene f 5 (s 2 n)X f X = s - n Esta cantidad (X ) que da una ganancia de cero es el PE, para el cual ahora se tiene el siguiente modelo: Costo fijo PE = (Precio de venta por unidad) - (Costo variable por unidad) f PE = (1-2) s - n Para el ejemplo de Relojería Fina de Pritchett, el PE se calcula como: PE 5 $1,000/($10 2 $5) 5 200 unidades, o resortes, en el punto de equilibrio Ventajas del modelado matemático Existen varias ventajas al usar modelos matemáticos: 1. Los modelos pueden representar la realidad con precisión. Si se formula de manera adecuada, un modelo podría ser preciso en extremo. Un modelo válido es preciso y representa correcta- mente el problema o sistema que se investiga. El modelo de ganancia en el ejemplo es exacto y válido para muchos problemas de negocios. 2. Los modelos ayudan a quien toma decisiones a formular problemas. En el modelo de la ganancia, por ejemplo, un tomador de decisiones determina los factores importantes o qué contribuye a los ingresos y a los gastos, como ventas, rendimientos, gastos de venta, costos de producción, costos de transporte, etcétera. 3. Los modelos brindan conocimiento e información. Por ejemplo, al usar el modelo de la ganancia de la sección anterior, se observa qué impacto tienen los cambios en ingresos y en gastos sobre las ganancias. Como se analizó en la sección anterior, el estudio del impacto de los cambios en un modelo, como un modelo de ganancias, se denomina análisis de sensibilidad. 4. Los modelos podrían ahorrar tiempo y dinero en la toma de decisiones y en la solución de pro- blemas. Es usual que tome menos tiempo, esfuerzo y gasto analizar un modelo. Un modelo de ganancias sirve para analizar la influencia de una nueva campaña de marketing sobre la ganan- cia, los ingresos y los gastos. En la mayoría de los casos, es más rápido y menos costoso usar modelos que, de hecho, intentar una nueva campaña de marketing en un negocio real estable- ciendo y observando los resultados. 5. Un modelo quizá sea la única forma de resolver oportunamente algunos problemas grandes o complejos. Una compañía grande, por ejemplo, fabricaría literalmente miles de tamaños de tuercas, tornillos y sujetadores. Tal vez la compañía desee obtener las mayores ganancias posibles dadas sus restricciones de manufactura. Un modelo matemático sería el único medio para determinar las mayores ganancias que podría lograr la compañía en tales circunstancias. 6. Un modelo sirve para comunicar problemas y soluciones a otros. Una analista de decisiones comparte su trabajo con otros analistas de decisiones. Las soluciones de un modelo matemá- tico pueden entregarse a los gerentes y a los ejecutivos para ayudarlos a tomar las decisiones finales. Modelos matemáticos clasificados según el riesgo Algunos modelos matemáticos, como los modelos de ganancias o de punto de equilibrio que se presen- Determinístico significa con taron, no implican riesgo o azar. Se supone que se conocen con total certeza todos los valores utilizados certidumbre completa. en el modelo. Estos se llaman modelos determinísticos. Una compañía quizá busque minimizar 1.5 PAPEL DE LAS COMPUTADORAS Y LOS MODELOS DE HOJAS DE CÁLCULO EN EL ANÁLISIS CUANTITATIVO 9 los costos de manufactura y mantener cierto nivel de calidad. Si se conocen todos estos valores con cer- tidumbre, el modelo es determinístico. Otros modelos incluyen el riesgo o el azar. Por ejemplo, el mercado de un nuevo producto puede ser “bueno” con posibilidad de 60% (una probabilidad de 0.6) o “no bueno” con posibilidad de 40% (una probabilidad de 0.4). Los modelos que incluyen el riesgo o las posibilidades, con frecuencia medidos como valores de probabilidad, se llaman modelos probabilísticos. En este libro investiga- remos modelos tanto determinísticos como probabilísticos. 1.5 Papel de las computadoras y los modelos de hojas de cálculo en el análisis cuantitativo Desarrollar una solución, probarla y analizar los resultados son pasos importantes en el enfoque del análisis cuantitativo. Como usaremos modelos matemáticos, estos pasos requieren cálculos matemá- ticos. Por fortuna, se cuenta con la computadora para facilitar estos pasos. Dos programas que permiten resolver muchos de los problemas encontrados en este libro se proporcionan en el sitio Web que acompaña a este libro: 1. POM-QM para Windows es un sistema de apoyo para las decisiones fácil de usar, desarrollado para utilizarse en cursos de administración de la producción/operaciones (POM) y de métodos cuantitativos o administración cuantitativa (QM). POM para Windows y QM para Windows en su origen eran paquetes de software separados para cada tipo de curso. Ahora están combinados en un programa llamado POM-QM para Windows. Como se ve en el programa 1.1 es posible des- plegar todos los módulos, tan solo los módulos de POM o únicamente los de QM. Las imágenes mostradas en este libro típicamente mostrarán los módulos de QM, ya que por lo general se hará referencia a QM para Windows. El apéndice E al final de este libro y muchos de los apéndices de final de capítulo ofrecen mayor información acerca de QM para Windows. 2. Excel QM, que también se puede usar para resolver muchos problemas estudiados en este libro, trabaja de forma automática dentro de las hojas de cálculo de Excel. El programa incluso vuelve más fácil el uso de las hojas de cálculo, pues ofrece menús personalizados y procedimientos de solución para guiar al usuario en cada paso. En Excel 2007, el menú principal se encuentra en la pestaña de Add-Ins (Complementos), como se indica en el programa 1.2. El apéndice F contiene más detalles de cómo instalar este complemento en Excel 2010 y Excel 2007. Para resolver el problema del punto de equilibrio presentado en la sección 1.4, las características de Excel QM se ilustran en los programas 1.3A y 1.3B. PROGRAMA 1.1 Menú principal Menú principal de Barra de herramientas modelos cuantitativos en QM para Windows Instrucción Área de datos Barra de estado 10 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO PROGRAMA 1.2 Menú principal de modelos cuantitativos en Excel QM para Excel 2010 Seleccionar la pestaña Select the Add-Ins tab. de complementos. Con ClickunExcel clic en QM Excel and QM the drop-down se despliega elmenu menúopens con lawith listathe de list modelos of models disponibles available in en Excel ExcelQM. QM. PROGRAMA 1.3A Selección de análisis de punto de equilibrio en Excel QM Seleccionar la pestaña de complementos. Seleccionar Excel QM. Elegir Breakeven Analysis y, luego, Breakeven (Cost vs Revenue). Los programas complementarios hacen que Excel, que ya es una herramienta admirable para el modelado, sea aún más poderosa para la solución de problemas de análisis cuantitativo. Excel QM y los archivos de Excel usados en los ejemplos a lo largo del libro también se incluyen en el sitio Web que acompaña este libro. Hay otras dos características poderosas integradas de Excel que facilitan la resolución de problemas de análisis cuantitativo: 1. Solver. Es una técnica de optimización que maximiza o minimiza una cantidad dado un conjunto de limitaciones o restricciones. Usaremos Solver en el libro para resolver 1.5 PAPEL DE LAS COMPUTADORAS Y LOS MODELOS DE HOJAS DE CÁLCULO EN EL ANÁLISIS CUANTITATIVO 11 PROGRAMA 1.3B Para ver la fórmula que se usa en los cálculos, oprima Análisis de punto de Ctrl + ` (acento grave). Hacer esto una segunda vez equilibrio en Excel QM despliega los resultados. Ponga cualquier valor en B13 y Excel calcula la ganancia en B23. El punto de equilibrio está dado en unidades y también en dólares. problemas de optimización. Se describe con detalle en el capítulo 7 y se utiliza en los capítulos 7 a 12. 2. Goal Seek (Buscar objetivo). Esta característica de Excel permite especificar una meta (definir celda) y cuál variable (cambiar celda) desea que Excel modifique para lograr la meta deseada. Bill Prithett, por ejemplo, quiere determinar cuántos resortes debe vender para tener una ganan- cia de $175. El programa 1.4 muestra cómo se utiliza Goal Seek para realizar los cálculos necesarios. PROGRAMA 1.4 Uso de Goal Seek en el problema del punto de equilibrio para lograr una ganancia especificada Elegir la pestaña de Data y, luego, seleccionar What-If Analysis. Ahí elegir Goal Seek. Poner la celda que contiene la ganancia (B23) en la ventana Set Cell. Poner la ganancia deseada y especificar la ubicación de la Hacer clic en Ok hará que Excel cambie el celda con el volumen (B13). valor en la celda B13. Otras celdas cambian de acuerdo con la fórmula que contengan. 12 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO Equipo de investigación de operaciones EN ACCIÓN en el Departamento de Agricultura ese momento, Tom Vilsack, había nacido y crecido en Pittsburgh E n 1997, los Piratas de Pittsburgh contrataron a Ross Ohlendorf por su pelota recta que viajaba a 95 mph. No sabían que Ross y era un ávido aficionado de los Piratas. Ross pasó dos meses del descanso entre temporadas utilizando sus antecedentes acadé- tenía habilidades de investigación de operaciones también mere- micos en investigación de operaciones, para ayudar a rastrear cedoras del reconocimiento nacional. Ross Ohlendorf se graduó la migración de enfermedades en el ganado, un tema que in- de Princeton University con un promedio de 3.8 (lo máximo es teresaba sobremanera a Ross, ya que su familia posee un rancho 4.0) en investigación de operaciones e ingeniería financiera. ganadero en Texas. Además, cuando ABC News preguntó a Ross Sin duda, después de la temporada de béisbol de 2009, acerca de su experiencia de práctica sin remuneración, respondió: cuando Ross solicitó una práctica de ocho semanas sin pago en “Esta ha sido, diría yo, el periodo entre temporadas más emo- el Departamento de Agricultura de Estados Unidos, no necesitó cionante que haya vivido”. explicar mucho a su jefe, porque el secretario de agricultura en 1.6 Problemas posibles del enfoque del análisis cuantitativo Hemos presentado el análisis cuantitativo como un medio lógico y sistemático de enfrentar proble- mas de toma de decisiones. Aun cuando estos pasos se sigan con cuidado, existen muchas dificul- tades que podrían dañar las posibilidades de implementar las soluciones a los problemas en el mundo real. Veremos qué sucede durante cada uno de los pasos. Definición del problema Un punto de vista de quienes toman decisiones es que se sienten en su escritorio todo el día, es- perando hasta que surja un problema, y se paren y ataquen el problema hasta que lo resuelvan. Una vez resuelto, se sientan nuevamente, se relajan y esperan el siguiente gran problema. En los mundos de negocios, gobierno y educación, por desgracia no es sencillo identificar los problemas. Existen cua- tro obstáculos potenciales que enfrenta el análisis cuantitativo para definir un problema. Como ejem- plo, en esta sección se usará una aplicación: el análisis de inventarios. Todos los puntos de vista deberían PUNTOS DE VISTA EN CONFLICTO La primera dificultad es que el analista cuantitativo con frecuen- considerarse antes de definir cia debe considerar puntos de vista opuestos al momento de definir el problema. Hay por lo menos formalmente el problema. dos formas en que los gerentes, por ejemplo, manejan los problemas de inventario. Los admi- nistradores financieros con frecuencia piensan que el inventario es muy alto, pues representa dinero que no tienen para otras inversiones. Por otro lado, los gerentes de ventas sienten que el inventario es muy bajo, porque quizá necesitarían niveles de inventario altos para satisfacer una orden inesperada. Si el analista toma una de estas posiciones como definición del problema, en esencia, aceptan la per- cepción de un gerente y podrían esperar resistencia del otro cuando lleguen a la “solución”. Por ello es importante considerar ambos puntos de vista, antes de comenzar a atender el problema. Los mode- los matemáticos buenos deberían incluir toda la información pertinente. Como veremos en el capí- tulo 6, estos dos factores se incluyen en los modelos de inventarios. IMPACTO SOBRE OTROS DEPARTAMENTOS La siguiente dificultad es que los problemas no existen aislados ni le conciernen tan solo a un departamento de la empresa. El inventario tiene una relación estrecha con los flujos de efectivo y diferentes problemas de producción. Un cambio en la política de órdenes podría dañar seriamente los flujos de efectivo y perturbar la programación de la producción al grado de que los ahorros en inventario quedarían más que anulados por un incremento en costos de finanzas y producción. Entonces, la definición del problema tiene que ser tan amplia como sea posi- ble e incluir datos de todos los departamentos relacionados con la posible solución. Cuando se en- cuentra una solución, deberían identificarse los beneficios para todas las áreas de la organización y comunicarse a las personas involucradas. SUPOSICIONES INICIALES La tercera dificultad es que los individuos suelen mostrar una tendencia a formular los problemas en términos de soluciones. La afirmación de que el inventario es demasiado bajo implica la solución de que los niveles tendrían que elevarse. El analista cuantitativo que inicia 1.6 PROBLEMAS POSIBLES DEL ENFOQUE DE ANÁLISIS CUANTITATIVO 13 con esta suposición sin duda descubrirá que el inventario debería incrementarse. Desde el punto de vista de la implementación, una “buena” solución para el problema correcto es mucho mejor que la Una solución óptima para el solución óptima del problema equivocado. Si un problema se define en términos de una solución de- problema equivocado deja seada, el analista tendría que preguntar por qué se desea esta solución. Al averiguar más, el verdadero el problema real sin resolver. problema saldrá a la superficie y se podrá definir de manera adecuada. SOLUCIÓN OBSOLETA Incluso con las mejores definiciones de problemas, existe un cuarto riesgo. Es posible que el problema cambie mientras se está desarrollando el modelo. En nuestro entorno de negocios que cambia con rapidez, no es raro que los problemas aparezcan o desaparezcan de un día para otro. El analista que presenta una solución a un problema que ya no existe no esperaría recibir crédito por brindar ayuda oportuna. Sin embargo, uno de los beneficios de los modelos matemáticos es que una vez que se desarrolla el modelo original, se puede utilizar una y otra vez cuando surgen problemas similares. Esto permite obtener una solución con facilidad y a tiempo. Desarrollo de un modelo AJUSTES DE LOS MODELOS DEL LIBRO DE TEXTO Un problema al desarrollar modelos cuantita- tivos es que la percepción que tiene el gerente acerca de un problema no siempre se ajustará al enfoque de los libros. La mayoría de los modelos de inventarios incluyen la minimización de los cos- tos totales por mantener inventario y ordenar. Algunos gerentes consideran dichos costos como poco importantes; en cambio, ven el problema en términos de flujo de efectivo, rotación de personal y nivel de satisfacción del cliente. Los resultados de un modelo basado en costos de mantener in- ventario y de ordenar tal vez no sean aceptables para esos gerentes. Por lo tanto, el analista debe tener un conocimiento completo del modelo y no simplemente usar la computadora como “caja negra”, donde los datos son la entrada y los resultados se obtienen sin comprender el proceso. El analista que entiende el proceso explicará al gerente la manera en que el modelo considera estos otros fac- tores cuando se estiman diferentes tipos de costos de inventario. Si los otros factores son también importantes, el analista puede tomarlos en cuenta y usar análisis de sensibilidad y su buen juicio, para modificar la solución computacional antes de implementarla. COMPRENSIÓN DEL MODELO La segunda preocupación importante se refiere al intercambio entre la complejidad del modelo y la facilidad para entenderlo. Los gerentes simplemente se rehúsan a uti- lizar los resultados de un modelo que no entienden. No obstante, los problemas complejos requie- ren modelos complejos. Un intercambio es simplificar las suposiciones con la finalidad de obtener un modelo que la gerencia comprenda mejor. El modelo pierde algo de su realidad pero gana algo de aceptación. Una suposición que facilita el modelado de los inventarios es que la demanda se conozca y sea constante, lo cual quiere decir que no se necesitan distribuciones de probabilidad y que es posible elaborar modelos sencillos de fácil comprensión. Sin embargo, la demanda rara vez se conoce y es constante, de manera que al modelo le falta algo de realidad. La introducción de distribuciones de probabilidad brinda más realismo pero quizás ubique la comprensión más allá de cualquiera, me- nos de los gerentes versados en matemáticas. Un enfoque es que el analista comience con el modelo sencillo y se asegure de que se entienda cabalmente. Después, poco a poco se introducen modelos más complejos, conforme los gerentes tengan más confianza en el nuevo enfoque. Explicar el im- pacto de los modelos más avanzados (como mantener unidades adicionales llamadas inventario de seguridad) sin entrar en los detalles matemáticos suele ser muy útil. Los gerentes pueden com- prender este concepto e identificarse con él, aun cuando no entiendan por completo las matemáticas específicas usadas para determinar la cantidad adecuada de inventario de seguridad. Recolección de datos Reunir los datos que se usarán en el enfoque cuantitativo para resolver problemas con frecuencia no resulta una tarea sencilla. En un estudio reciente, la quinta parte de todas las empresas tuvieron dificultad para lograr acceso a los datos. La obtención de datos de entrada USO DE DATOS CONTABLES Un problema es que la mayoría de los datos generados en una empresa precisos puede volverse una tarea vienen de los reportes básicos de contabilidad. El departamento de contabilidad recolecta sus da- ardua. tos de inventarios, por ejemplo, en términos de flujos de efectivo y rotación. No obstante, el analista que enfrenta un problema de inventarios necesita recolectar datos de costos de mantener inventario y costos por ordenar. Si solicitan esos datos, tal vez se asombre cuando descubran que nunca se recabaron datos de esos costos específicos. 14 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO El profesor Gene Woolsey cuenta la historia de un joven analista que enviaron a contabilidad a solicitar “los costos diarios de mantener en inventario por pieza de la parte 23456/AZ”. El contador le preguntó si quería la cifra de primero en entrar, primero en salir, la cifra de último en entrar primero en salir, la cifra del menor costo o del costo de mercado, o la cifra de “cómo lo hacemos”. El joven respondió que el modelo de inventario requería tan solo un número. El contador del siguiente escri- torio señaló: “Caray, Joe, dale al muchacho un número”. Y le dieron un número y se marchó. VALIDEZ DE LOS DATOS La carencia de “datos buenos y limpios” significa que cualesquiera que sean los datos disponibles, casi siempre hay que extraerlos y manipularlos (le llamamos “manoseo”) antes de usarlos en un modelo. Por desgracia, la validez de los resultados de un modelo no es mejor que la validez de los datos que entren en él. No podemos culpar a los gerentes por oponer resisten- cia a los resultados “científicos” de un modelo, cuando ellos saben que se usaron datos cuestionables como insumo. Así se resalta la importancia de que el analista entienda otras funciones del negocio para que encuentre y evalúe datos buenos. También se hace hincapié en la importancia del análisis de sensibilidad, que sirve para determinar el impacto de cambios menores en los datos de entrada. Algunas soluciones son muy robustas y no cambiarían en absoluto si se modificaran ciertos datos de entrada. Desarrollo de una solución Matemáticas difíciles de entender MATEMÁTICAS DIFÍCILES DE ENTENDER La primera preocupación al desarrollar soluciones es que y una respuesta podrían ser un aunque los modelos matemáticos sean complejos y poderosos, tal vez no los entiendan por completo. problema en el desarrollo de Las soluciones avanzadas a los problemas pueden tener fallas en la lógica o en los datos. El aura una solución. de las matemáticas a menudo hace que los gerentes permanezcan en silencio cuando deberían opinar. El conocido investigador de operaciones C. W. Churchman advierte que “dado que en las matemá- ticas son una disciplina tan respetada en los últimos años, tiende a aturdir al confiado y lo hace creer que quien piensa de manera elaborada piensa bien”.1 UNA SOLA RESPUESTA ES LIMITANTE El segundo problema es que los modelos cuantitativos suelen dar tan solo una respuesta a un problema. Casi todos los gerentes quieren tener una gama de opcio- nes y no quedarse en una posición de tómalo o déjalo. Una estrategia más adecuada es que el analista presente varias alternativas, indicando el efecto de que cada solución tendría sobre la función meta. Esto daría a los administradores opciones e información sobre cuánto costará desviarse de la solu- ción óptima, a la vez que permite que los problemas se vean desde una perspectiva más amplia, ya que se pueden considerar factores no cuantitativos. Pruebas de la solución Los resultados del análisis cuantitativo con frecuencia toman la forma de predicciones sobre cómo funcionarán las cosas en el futuro, si se realizan ciertos cambios ahora. Para tener una idea previa de qué tan bien funcionará la solución en realidad, los gerentes suelen preguntar qué tan buena consideran la solución. El problema es que los modelos complejos tienden a dar soluciones que no son intuitivamente obvias. Los administradores con frecuencia rechazan tales soluciones. El analista tiene entonces la oportunidad de trabajar todo el modelo y las suposiciones con el gerente, en un esfuerzo por convencerlo de la validez de los resultados. En el proceso de convencimiento, el analista Deberían revisarse las tendrá que revisar cada suposición que quedó en el modelo. Si hay errores, podrían revelarse durante suposiciones. esta revisión. Además, el gerente estará revisando con ojo crítico todo lo que entró al modelo y, si queda convencido de que el modelo es válido, hay una gran posibilidad de que la solución tam- bién sea válida. Análisis de los resultados Una vez probada una solución, los resultados deben analizarse en términos de cómo afectarán a la organización en su conjunto. Tiene que estar consciente de que incluso los cambios pequeños en las organizaciones suelen ser difíciles de realizar. Si los resultados indican grandes cambios en la política organizacional, el analista puede esperar resistencia. Al analizar los resultados, debería com- probar quién debe cambiar y cuánto, si las personas que deben cambiar estarán mejor o peor, y quién tiene el poder de dirigir el cambio. 1 C. W. Churchman. “Relativity Models in the Social Sciences”, Interfaces 4, 1 (noviembre, 1973). 1.7 IMPLEMENTACIÓN: NO ES TAN SOLO EL PASO FINAL 15 PLATO ayuda a los Juegos Olímpicos EN ACCIÓN de 2004 en Atenas Technical Optimization). Se utilizaron técnicas innovadoras de la L os Juegos Olímpicos de 2004 se llevaron a cabo en Atenas, Grecia, durante 16 días. Más de 2,000 atletas compitieron en 300 ciencia administrativa, ingeniería de sistemas y tecnología de la in- formación, con la finalidad de cambiar la planeación, el diseño eventos de 28 deportes. Las competencias se realizaron en 36 lu- y la operación de los escenarios. gares (estadios, centros deportivos, etcétera) y se vendieron 3.6 mi- Los objetivos del PLATO eran: 1. facilitar la transformación or- llones de boletos a personas que verían esos eventos. Además, ganizacional efectiva, 2. ayudar a planear y administrar los recursos 2,500 miembros de los comités internacionales y 22,000 periodis- de manera efectiva en costos, y 3. documentar las lecciones apren- tas estuvieron presentes en estos juegos. Los televidentes pasaron didas para beneficiar a comités olímpicos futuros. El proyecto del más de 34 mil millones de horas viendo las competencias depor- PLATO desarrolló modelos de negocios para los diferentes escena- tivas. Los Juegos Olímpicos de 2004 fueron el evento deportivo rios, creó modelos de simulación que permitieron la generación de más grande en la historia del mundo hasta ese momento. escenarios del tipo “qué pasa si”, desarrolló software para ayudar Además de los escenarios deportivos, debieron considerar otras a la creación y el manejo de estos modelos, e ideó los pasos del pro- sedes que no eran de competencias, como el aeropuerto y la villa ceso para la capacitación el personal del COJOA en el uso de tales Olímpica. Una olimpiada exitosa requiere una planeación enorme modelos. Se desarrollaron soluciones genéricas para que este para el sistema de transporte que manejará los millones de espec- conocimiento y enfoque estuvieran disponibles para otros usuarios. tadores. Fueron necesarios tres años de trabajo y planeación para El COJOA recibió el crédito de reducir el costo de las Olim- los 16 días de olimpiadas. piadas de 2004 en más de $69 millones. Quizás aún más impor- El Comité Organizador de los Juegos Olímpicos en Atenas tante es el hecho de que los juegos de Atenas fueron considerados (COJOA) tuvo que planear, diseñar y coordinar los sistemas entre- por todo el mundo un éxito sin precedentes. Se espera que el in- gados por contratistas externos. El personal del COJOA sería más cremento subsecuente en el turismo dé un beneficio económico adelante responsable por administrar los esfuerzos de voluntarios y a Grecia durante muchos años en el futuro. por remunerar al personal durante las operaciones de los juegos. Para lograr que la Olimpiada de Atenas funcionara con eficiencia Fuente: Basada en D. A. Beis, et al. “PLATO Helps Athens Win Gold: Olym- y eficacia, se inició el proyecto de optimización técnica avanzada pic Games Knowledge Modeling for Organizational Change and Resource de la logística del proceso (PLATO, Process Logistics Advanced Management”, Interfaces 36, 1 (enero-febrero, 2006): 26-42. 1.7 Implementación: no es tan solo el paso final Acabamos de presentar algunos de los múltiples problemas que pueden afectar la aceptación final del en- foque del análisis cuantitativo y el uso de sus modelos. Debería quedar claro que ahora la implementación no es solo otro paso que tiene lugar cuando termina el proceso de modelado. Cada uno de estos pasos afecta significativamente la posibilidad de implementar los resultados de un estudio cuantitativo. Falta de compromiso y resistencia al cambio Aunque muchas decisiones de negocios se toman siguiendo la intuición, con base en una corazonada y por la experiencia, hay cada vez más situaciones donde los modelos cuantitativos podrían ayudar. Sin embargo, algunos gerentes temen que el uso de un proceso de análisis formal reducirá su poder de tomar decisiones. Otros temen que pueda exponer como inadecuadas algunas decisiones intuitivas anteriores. Otros más únicamente se sienten incómodos porque tienen que invertir sus patrones de pensamiento con una toma de decisiones más formal. Estos gerentes con frecuencia presentan argu- mentos contra el uso de los métodos cuantitativos. A muchos gerentes orientados hacia la acción no les agrada el proceso de toma de decisiones formal y largo, y prefieren que las cosas se hagan con rapidez. Optan por las técnicas “rápidas y su- cias” que traigan resultados inmediatos. Una vez que los gerentes ven algunos resultados rápidos que tienen un rendimiento sustancial, queda listo el escenario para convencerlos de que el análisis cuanti- tativo es una herramienta que los beneficia. El apoyo gerencial y la Sabemos desde hace algún tiempo que el apoyo de la gerencia y la participación del usuario son participación del usuario cruciales para que tenga éxito la implementación de proyectos de análisis cuantitativos. Un estudio son importantes. en Suecia encontró que tan solo 40% de los proyectos sugeridos por analistas cuantitativos llegan a implementarse, pero se implementan 70% de los proyectos cuantitativos iniciado por los usuarios y casi 98% de los proyectos sugeridos por la alta gerencia. Falta de compromiso de los analistas cuantitativos Así como puede culparse a las actitudes de los gerentes por algunos problemas de implementación, las actitudes de los analistas son culpables de otros. Cuando el analista no forma una parte integral 16 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO del departamento que enfrenta los cambios, algunas veces tiende a tratar la actividad de modelado como un fin en sí mismo. Esto es, el analista acepta el problema como lo establece el gerente y cons- truye un modelo para resolver únicamente ese problema. Cuando calcula los resultados, los entrega al gerente y considera el trabajo terminado. El analista que no está interesado en ver si los resultados ayudaron a la decisión final, no está preocupado por la implementación. Una implementación exitosa requiere que el analista no diga a los usuarios qué hacer, sino que trabaje con ellos y tome en cuenta sus sentimientos. Un artículo en la revista Operations Research describe un sistema de control de inventarios que calculaba los puntos de reorden y las cantidades a ordenar; sin embargo, en vez de insistir en que se ordenaran las cantidades calculadas por compu- tadora, se instaló un control manual. El control manual se usaba con bastante frecuencia cuando el sistema recién se instaló. No obstante, gradualmente, conforme los usuarios se daban cuenta de que las cifras calculadas estaban correctas casi todo el tiempo, dejaron que las cifras del sistema se quedaran. Con el tiempo, el control manual se usaba solamente en circunstancias especiales. Es un buen ejemplo de cómo una buena relación ayuda a la implementación del modelo. Resumen El análisis cuantitativo es un enfoque científico para la toma de de- nes iniciales, soluciones obsoletas, ajuste de modelos de los libros, cisiones. El enfoque del análisis cuantitativo incluye definición del entendimiento del modelo, recolección de datos de entrada buenos, problema, desarrollo de un modelo, recolección de datos, desa- las matemáticas difíciles, la obtención de una sola respuesta, las rrollo de una solución, pruebas de la solución, análisis de resul- pruebas de la solución y el análisis de resultados. Al usar el en- tados e implementación de los resultados. Sin embargo, al usar foque del análisis cuantitativo, la implementación no es el paso el enfoque cuantitativo, pueden surgir problemas potenciales, que final. Pueden enfrentarse una falta de compromiso y una resis- incluyen puntos de vista en conflicto, la influencia de los mode- tencia al cambio. los de análisis cuantitativo sobre otros departamentos, suposicio- Glosario Algoritmo Conjunto de operaciones matemáticas y lógicas Modelo matemático Modelo que usa ecuaciones matemáticas realizadas en una secuencia específica. y afirmaciones que representan las relaciones dentro del Análisis cuantitativo o ciencia administrativa Enfoque modelo. científico que utiliza técnicas cuantitativas como herramienta Modelo probabilístico Modelo donde todos los valores que en la toma de decisiones. se utilizan no se conocen con certidumbre, sino más bien Análisis de sensibilidad Proceso que involucra determinar incluyen cierta posibilidad o riesgo de ocurrir, con frecuencia qué tan sensible es una solución a cambios en la formulación medido como un valor de probabilidad. de un problema. Parámetro Cantidad de entrada medible que es inherente al Datos de entrada Datos que se utilizan en un modelo para problema. llegar a la solución final. Problema Un enunciado que debe venir de un gerente y que Modelo Representación de la realidad o de una situación de indica un problema a resolver, o bien, un objetivo o una meta la vida real. a lograr. Modelo determinístico Modelo donde todos los valores usados Punto de equilibrio Cantidad de ventas cuyo resultado es una se conocen con certidumbre completa. ganancia de cero. Modelo estocástico Otro nombre para modelo probabilístico. Variable Cantidad medible que está sujeta a cambios. Ecuaciones clave (1-1) Ganancia 5 sX 2 f 2 nX f (1-2) PE = donde s - n s 5 precio de venta por unidad Ecuación para determinar el punto de equilibrio (PE) en f 5 costo fijo unidades en función del precio de venta por unidad (s), los n 5 costo variable por unidad costos fijos ( f ) y los costos variables (n). X 5 número de unidades Ecuación para determinar la ganancia en función del precio de venta por unidad, los costos fijos, los costos variables y el número de unidades vendidas. PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 17 Autoevaluación 䊉 Antes de resolver la autoevaluación, consulte los objetivos de aprendizaje al inicio del capítulo, las notas al margen y el glosario al final del capítulo. 䊉 Utilice la solución al final del libro para corregir sus respuestas. 䊉 Estudie de nuevo las páginas que corresponden a cualquier pregunta cuya respuesta sea incorrecta o el material con el que se sienta inseguro. 1. Al analizar un problema, usted por lo general debería c) implementación de resultados estudiar d ) análisis de resultados a) los aspectos cualitativos. 8. Un modelo determinístico es aquel para el que b) los aspectos cuantitativos. a) hay cierta incertidumbre acerca de los parámetros usados c) tanto a) como b). en el modelo. d ) ni a) ni b). b) hay un resultado medible. 2. El análisis cuantitativo es c) todos los parámetros del modelo se conocen con total a) un enfoque lógico para la toma de decisiones. certidumbre. b) un enfoque racional para la toma de decisiones. d ) no existe software disponible. c) un enfoque científico para la toma de decisiones. 9. El término algoritmo d ) todo lo anterior. a) se debe a Algorismus. 3. Frederick Winslow Taylor b) se debe a un matemático árabe del siglo IX. a) fue un investigador militar durante la Segunda Guerra c) describe una serie de pasos o procedimientos que se Mundial. repiten. b) fue el pionero en los principios de la administración d ) todo lo anterior. científica. 10. Un análisis para determinar cuánto cambiaría una solución c) desarrolló el uso del algoritmo para el AC. si se modifican el modelo o los datos de entrada se llama d ) todo lo anterior. a) análisis de sensibilidad o posóptimo. 4. Una entrada para un modelo (como el costo variable por b) análisis esquemático o icónico. unidad o el costo fijo) es un ejemplo de c) condicionamiento futurama. a) una variable de decisión. d ) tanto b) como c). b) un parámetro. 11. Las variables de decisión son c) un algoritmo. a) controlables. d ) una variable estocástica. b) incontrolables. 5. El punto donde el ingreso total es igual al costo total c) parámetros. (es decir, cero ganancia) se llama d ) valores numéricos constantes asociados con cualquier a) solución de ganancia cero. problema complejo. b) solución de ganancia óptima. 12. ____________ es el enfoque científico para la toma de c) punto de equilibrio. decisiones administrativa. d ) solución de costo fijo. 13. ____________ es el primer paso en un análisis cuantitativo. 6. El análisis cuantitativo en general se asocia con el uso de 14. ____________ es una imagen, un dibujo o una gráfica de a) modelos esquemáticos. la realidad. b) modelos físicos. 15. Una serie de pasos que se repiten hasta encontrar una c) modelos matemáticos. solución se llama ____________. d ) modelos a escala. 7. ¿Con qué paso del análisis cuantitativo casi siempre se asocia el análisis de sensibilidad? a) definición del problema b) recolección de datos Preguntas y problemas para análisis Preguntas para análisis 1-4 Dé una descripción breve de la historia del análisis 1-1 ¿Cuál es la diferencia entre análisis cuantitativo y aná- cuantitativo. ¿Qué le ocurrió al desarrollo del análi- lisis cualitativo? Dé varios ejemplos. sis cuantitativo durante la Segunda Guerra Mundial? 1-2 Defina análisis cuantitativo. ¿Cuáles son algunas 1-5 Mencione algunos ejemplos de los diferentes tipos de organizaciones que apoyan el uso del enfoque cien- modelos. ¿Qué es un modelo matemático? Desarrolle tífico? dos ejemplos de modelos matemáticos. 1-3 ¿Qué es el proceso del análisis cuantitativo? Dé varios 1-6 Numere algunas fuentes de datos de entrada. ejemplos de este proceso. 1-7 ¿Qué es la implementación y por qué es importante? 18 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO 1-8 Describa el uso del análisis de sensibilidad y posóp- una racha perdedora y la asistencia a los juegos ha dis- timo en el análisis de resultados. minuido. De hecho, piensa que venderá tan solo 500 1-9 Los gerentes aseguran siempre que los analistas cuanti- programas el siguiente juego. Si fuera posible elevar tativos les hablan en una jerga que no suena como su el precio de venta del programa y de todas formas idioma. Liste cuatro términos que quizá no entienda el vender 500, ¿cuál deberá ser el precio para que Kathe- gerente. Luego, explique en términos que no sean téc- rine quede en el punto de equilibrio con la venta de nicos el significado de cada uno. 500 programas? 1-10 ¿Por qué piensa usted que muchos analistas cuanti- 1-19 Farris Billiard Supply vende todo tipo de equipo para tativos no quieren participar en el proceso de imple- billar y quiere fabricar su propia marca de tacos. Mysti mentación? ¿Qué se podría hacer para cambiar esa Farris, la gerente de producción, está investigando la actitud? producción de un taco de billar estándar que debería ser 1-11 ¿Debería la gente que va a utilizar los resultados de un muy popular. Después de analizar los costos, Mysti de- nuevo modelo cuantitativo involucrarse en los aspectos termina que el costo de materiales y mano de obra por técnicos del procedimiento de solución del problema? cada taco es de $25 y el costo fijo que debe cubrir es de $2,400 por semana. Con un precio de venta de $40 1-12 C. W. Churchman dijo una vez que “las matemáticas cada uno, ¿cuántos tacos debe vender para alcanzar [...] tienden a aturdir al confiado para hacerlo creer que el punto de equilibrio? ¿Cuál sería el ingreso total quien piensa de manera elaborada piensa bien”. ¿Cree necesario para este punto de equilibrio? que los mejores modelos del AC son los más elabora- dos y complejos matemáticamente? ¿Por qué? 1-20 Mysti Farris (problema 1-19) piensa subir el precio de 1-13 ¿Qué es el punto de equilibrio? ¿Qué parámetros se venta por cada taco a $50 en vez de $40. Si hace esto necesitan para calcularlo? y los costos no cambian, ¿cuál sería el nuevo punto de equilibrio? ¿Cuál sería el ingreso total para esta can- tidad? Problemas 1-21 Mysti Farris (problema 1-19) cree que hay una alta 1-14 Gina Fox ha iniciado su propia compañía, Foxy Shirts, probabilidad de vender 120 tacos de billar, si el precio que fabrica camisetas impresas para ocasiones espe- de venta establecido es adecuado. ¿Qué precio de venta ciales. Como está comenzando a operar, renta el equipo hará que el punto de equilibrio sea de 120? a un taller de impresiones local cuando es necesario. El 1-22 Golden Age Retirement Planers se especializa en costo de usar el equipo es de $350. Los materiales usa- brindar asesoría financiera para lograr una jubila- dos en una camiseta cuestan $8 y Gina puede venderlas ción cómoda. La compañía ofrece seminarios sobre en $15 cada una. el importante tema de la planeación del retiro. Por a) Si Gina vende 20 camisetas, ¿cuál será su ingreso un seminario típico, la renta de espacio en un hotel total? ¿Cuál será su costo variable total? es de $1,000 y el costo de publicidad e imprevistos es b) ¿Cuántas camisetas debe vender Gina para alcanzar cerca de $10,000 por seminario. El costo de los mate- el punto de equilibrio? ¿Cuál es el ingreso total en riales y regalos especiales por cada asistente es de este caso? $60 por persona que asiste. La compañía cobra $250 1-15 Ray Bond vende decoraciones artesanales para jar- por persona para asistir al seminario, ya que así pa- dín en ferias de la región. El costo variable para hacer- recería competitiva frente a otras empresas en el mis- las es $20 por cada una y las vende a $50. El costo de mo ramo. ¿Cuántas personas deben asistir a cada rentar un kiosco en la feria es $150. ¿Cuántas decora- seminario para que Golden Age alcance el punto de ciones debe vender Ray para quedar en el punto de equilibrio? equilibrio? 1-23 Un par de estudiantes emprendedores de adminis- 1-16 Ray Bond, del problema 1-15, intenta encontrar un tración de la Universidad Estatal decidieron llevar nuevo proveedor para reducir su costo variable de pro- su educación a la práctica desarrollando una com- ducción a $15 por unidad. Si pudiera reducir este cos- pañía de clases particulares para estudiantes de ad- to, ¿cuál sería su punto de equilibrio? ministración. Aunque se ofrece asesoría privada, 1-17 Katherine D’Ann planea financiar su educación uni- determinaron que las clases en grupos grandes de versitaria vendiendo programas en los juegos de futbol estadística antes de exámenes tendrían más bene- para la universidad del estado. Existe un costo fijo ficios. Los estudiantes rentaron un espacio cerca del de $400 por imprimir los programas y el costo variable campus en $300 por 3 horas. Desarrollaron material es de $3. También hay una cuota de $1,000 que se paga para entregar (incluyendo gráficas en color) basado a la universidad por el derecho a vender estos pro- en exámenes anteriores que cuestan $5 cada uno. Se gramas. Si Katherine logra vender los programas a $5 paga $25 por hora al asesor, es decir, $75 por cada cada uno, ¿cuántos tendría que vender para alcanzar sesión de tutoría. el punto de equilibrio? a) Si se cobra a los estudiantes $20 por asistir a 1-18 Katherine D’Ann, del problema 1-17, está preocupada la sesión, ¿cuántos estudiantes deben inscribirse de que las ventas se caigan porque el equipo está en para que la compañía alcance el punto de equi- librio? b) Está disponible un espacio un poco más pequeño Nota: significa que el problema se resuelve con QM para Windows; en $200 por 3 horas. La compañía está conside- indica que el problema se resuelve con Excel QM y quiere decir rando esta posibilidad. ¿Cómo afectaría esto el que el problema se resuelve con QM para Windows y/o con Excel QM. punto de equilibrio? BIBLIOGRAFÍA 19 Estudio de caso Alimentos y bebidas en juegos de futbol de Southwestern University Southwestern University (SWU), una universidad grande del estado en Stephenville, Texas, 30 millas al sur de la zona metro- PRECIO COSTO PORCENTAJE politana de Dallas/Fort Worth, inscribe a cerca de 20,000 estu- DE VENTA/ VARIABLE/ DE diantes. La escuela es la fuerza dominante en la pequeña ciudad, ARTÍCULO UNIDAD UNIDAD INGRESOS con más estudiantes durante el otoño y la primavera que residentes permanentes. Bebida gaseosa $1.50 $0.75 25% Una potencia futbolera desde hace mucho tiempo, SWU es Café 2.00 0.50 25% miembro de la conferencia de los Once Grandes y suele estar entre las 20 primeras universidades. Para reforzar sus posibi- Hot dog 2.00 0.80 20% lidades de lograr la elusiva y deseada clasificación de primero Hamburguesa 2.50 1.00 20% en la lista, en 2010 contrató al legendario Bo Pitterno como entre- nador en jefe. Aunque el número uno siguió fuera del alcance, au- Botanas mentó la asistencia a los cinco juegos en casa de los sábados cada (tentempiés) año. Antes de la llegada de Pitterno, la asistencia promediaba ge- varia(o)s 1.00 0.40 10% neralmente entre 25,000 y 29,000. Las ventas de boletos por tem- porada subieron en 10,000 tan solo con el anuncio del nuevo entrenador. ¡Stephenville y SWU estaban listos para llegar a su época dorada! en cada uno de los seis kioscos por 5 horas a $7 la hora. Estos cos- Con el incremento en la asistencia vino más fama, la nece- tos fijos se asignarán de manera proporcional a cada uno de los sidad de un estadio más grande y más quejas sobre los asientos, el productos, con base en los porcentajes señalados en la tabla. estacionamiento, las largas filas y los precios de concesión de los Por ejemplo, se espera que el ingreso por bebidas gaseosas cubra kioscos. El presidente de la universidad, el doctor Marty Starr, 25% de los costos fijos totales. estaba preocupado no solo por el costo de expandir el estadio exis- Maddux quiere estar seguro de que tiene varias cosas para el tente frente a la posibilidad de construir uno nuevo, sino también presidente Starr: 1. los costos fijos totales que deben cubrirse en por las actividades auxiliares. Quería estar seguro de que tales cada juego; 2. la parte de los costos fijos asignada a cada artículo; actividades de apoyo generaran el ingreso adecuado para que 3. cuáles serían sus ventas unitarias en el punto de equilibrio para fueran autosuficientes. En consecuencia, quería que estaciona- cada artículo, es decir, qué ventas de gaseosas, café, hot dogs y mientos, programas de los juegos y servicios de alimentos, todos, hamburguesas se necesitan para cubrir la porción de los costos se manejaran como centros lucrativos. En una junta reciente para fijos asignada a cada artículo; 4. cuál sería la venta en dólares para discutir el nuevo estadio, Starr dijo al gerente del estadio, Hank cada uno en este punto de equilibrio, y 5. estimaciones realistas Maddux, que desarrollara una gráfica de punto de equilibrio y los de las ventas por empleado para una asistencia de 60,000 y de datos relacionados para cada uno de los centros. Le dio instruc- 35,000. (En otras palabras, desea saber cuántos dólares gasta cada ciones de tener el informe de punto de equilibrio para el área empleado en alimentos para su punto de equilibrio proyectado de servicio de alimentos para la siguiente junta. Después de discu- de ventas en el presente, y si la asistencia crece a 60,000). Piensa tir con otros gerentes de instalaciones y sus subalternos, Maddux que este último trozo de información será útil para entender qué desarrolló la siguiente tabla que muestra los precios de venta su- tan realistas son las suposiciones de su modelo y esta información geridos, los costos variables estimados y el porcentaje de ingre- se podría comparar con cifras similares de temporadas anteriores. sos por artículo. También incluye una estimación del porcentaje de los ingresos totales que se esperarían por cada artículo con base Pregunta para análisis en datos históricos. Los costos fijos de Maddux son interesantes. Estimó que la 1. Prepare un informe breve con los aspectos anotados, de ma- porción prorrateada del costo del estadio sería la siguiente: sala- nera que esté listo para el doctor Starr en la siguiente junta. rios para servicios de alimentos, $100,000 ($20,000 por cada cinco juegos en casa); 2,400 pies cuadrados de espacio en el esta- Adaptado de J. Heizer y B. Render. Operations Management, 6a. ed. Upper dio a $2 por pie cuadrado por juego; y seis personas por kiosco Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2000, pp. 274-275. Bibliografía Ackoff. R. L. Scientific Method: Optimizing Applied Research Decisions. Churchman, C. W. “Relativity Models in the Social Sciences”, Interfaces 4, Nueva York: John Wiley & Sons, 1962. 1 (noviembre, 1973). Beam, Carrie. “ASP, the Art and Science of Practice: How I Started an OR/MS Churchman, C. W. The Systems Approach. Nueva York: Delacort Press, Consulting Practice with a Laptop, a Phone, and a PhD”, Interfaces 34 1968. (julio-agosto, 2004): 265-271. Dutta, Goutam. “Lessons for Success in OR/MS Practice Gained from Board, John, Charles Sutcliffe y William T. Ziemba. “Applying Operations Experiences in Indian and U.S. Steel Plants”, Interfaces 30, 5 Research Techniques to Financial Markets”, Interfaces 33 (marzo-abril, (septiembre-octubre, 2000): 23-30. 2003): 12-24. 20 CAPÍTULO 1 • INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS CUANTITATIVO Eom, Sean B. y Eyong B. Kim. “A Survey of Decision Support System Pidd, Michael. “Just Modeling Through: A Rough Guide to Modeling”, Applications (1995-2001)”, Journal of the Operational Research Society Interfaces 29, 2 (marzo-abril, 1999): 118-132. 57, 11 (2006): 1264-1278. Saaty, T. L. “Reflections and Projections on Creativity in Operations Research Horowitz, Ira. “Aggregating Expert Ratings Using Preference-Neutral and Management Science: A Pressing Need for a Shifting Paradigm”, Weights: The Case of the College Football Pollis”, Interfaces 34 Operations Research 46, 1 (1998): 9-16. (julio-agosto, 2004): 314-320. Salveson, Melvin. “The Institute of Management Science: A Prehistory and Keskinocak, Pinar y Sridhar Tayur. “Quantitative Analysis for Internet- Commentary”, Interfaces 27, 3 (mayo-junio, 1997): 74-85. Enabled Supply Chains”, Interfaces 31, 2 (marzo-abril, 2001): 70-89. Wright, P. Daniel, Matthew J. Liberatore, y Robert L. Nydick. “A Survey of Laval, Claude, Marc Feyhl y Steve Kakouros. “Hewlett-Packard Combined Operations Research Models and Applications in Homeland Security”, OR and Expert Knowledge to Design Its Supply Chains”, Interfaces 35 Interfaces 36 (noviembre-diciembre, 2006): 514-529. (mayo-junio, 2005): 238-247. CAPÍTULO 2 Conceptos de probabilidad y aplicaciones OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al terminar de estudiar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Comprender los elementos básicos del análisis de 4. Describir y dar ejemplos de variables aleatorias probabilidad. discretas y continuas. 2. Describir eventos estadísticamente dependientes 5. Explicar la diferencia entre distribuciones de e independientes. probabilidad discretas y continuas. 3. Usar el teorema de Bayes para establecer 6. Calcular valores esperados y varianzas, y utilizar probabilidades posteriores. la tabla de la normal. CONTENIDO DEL CAPÍTULO 2.1 Introducción 2.7 Revisiones de probabilidades ulteriores 2.2 Conceptos fundamentales 2.8 Variables aleatorias 2.3 Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente 2.9 Distribuciones de probabilidad exhaustivos 2.10 Distribución binomial 2.4 Eventos estadísticamente independientes 2.11 Distribución normal 2.5 Eventos estadísticamente dependientes 2.12 Distribución F 2.6 Probabilidades revisadas aplicando el teorema de 2.13 Distribución exponencial Bayes 2.14 Distribución de Poisson Resumen • Glosario • Ecuaciones clave • Problemas resueltos • Autoevaluación • Preguntas y problemas para análisis • Problemas de tarea en Internet • Estudio de caso: WTVX • Bibliografía Apéndice 2.1: Derivación del teorema de Bayes Apéndice 2.2: Estadística básica con Excel 21 22 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES 2.1 Introducción La vida sería más sencilla si supiéramos sin lugar a dudas qué va a ocurrir en el futuro. El resultado de cualquier decisión dependería tan sólo de qué tan lógica y racional fuera la decisión. Si usted perdiera dinero en el mercado de valores, sería porque no consideró toda la información o porque no tomó una decisión lógica. Si queda atrapado en la lluvia, sería porque simplemente olvidó su paraguas. Siempre podría evitar construir una planta que resulte muy grande, invertir en una com- pañía que pierda dinero, quedar sin suministros o perder la cosecha por mal clima. No habría cues- tiones como una inversión de riesgo. La vida sería más sencilla, pero aburrida. Fue hasta el siglo XVI que los individuos comenzaron a cuantificar los riesgos y a aplicar el con- cepto a situaciones cotidianas. En la actualidad, la idea de riesgo o probabilidad forma parte de nues- tras vidas. “La posibilidad de lluvia en Omaha hoy es de 40%”. “Para este sábado, los Seminoles de Florida State University son favoritos 2 a 1 sobre los Tigres de Louisiana State University”. “Existe una posibilidad de 50-50 de que el mes próximo el mercado de valores alcance la marca más alta de todos los tiempos.” Una probabilidad es una expresión Una probabilidad es una expresión numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. En este numérica acerca de la posibilidad capítulo se examinan los conceptos, las definiciones y las relaciones básicos de probabilidad, así de que ocurra un evento. como las distribuciones de probabilidad que son útiles para resolver muchos problemas de análisis cuantitativo. La tabla 2.1 lista algunos de los temas cubiertos en este libro, que se apoyan en la teoría de probabilidad. Se observa que el estudio del análisis cuantitativo sería bastante difícil sin ella. 2.2 Conceptos fundamentales Hay dos reglas básicas respecto a las matemáticas de probabilidades: Con frecuencia las personas usan 1. La probabilidad, P, de ocurrencia de cualquier evento o estado de la naturaleza es mayor que o mal las dos reglas básicas de la igual a 0 y menor que o igual a 1. Es decir, probabilidad cuando utilizan afirmaciones como: “Estoy 110% 0 … P1evento2 … 1 (2-1) seguro de que vamos a ganar el juego”. Una probabilidad de 0 indica que se espera que un evento nunca ocurra. Una probabilidad de 1 significa que se espera que un evento ocurra siempre. 2. La suma de las probabilidades simples de todos los resultados posibles de una actividad debe ser igual a 1. Ambos conceptos se ilustran en el ejemplo 1. TABLA 2.1 CAPÍTULO TÍTULO Capítulos de este libro donde se utiliza 3 Análisis de decisiones probabilidad 4 Modelos de regresión 5 Pronósticos 6 Modelos de control de inventarios 12 Administración de proyectos 13 Modelos de teoría de colas y de líneas de espera 14 Modelado con simulación 15 Análisis de Markov 16 Control estadístico de la calidad Módulo 3 Teoría de decisiones y distribución normal Módulo 4 Teoría de juegos 2.2 CONCEPTOS FUNDAMENTALES 23 EJEMPLO 1: DOS REGLAS DE PROBABILIDAD La demanda de una pintura blanca de látex en Di- versey Paint and Supply siempre ha sido de 0, 1, 2, 3 o 4 galones por día (no hay otros resultados posibles y cuando ocurre alguno de ellos ningún otro ocurre). Durante los últimos 200 días laborales, el propietario observa las siguientes frecuencias de demanda. CANTIDAD DEMANDADA (GALONES) NÚMERO DE DÍAS 0 40 1 80 2 50 3 20 4 10 Total 200 Si la distribución en el pasado es un buen indicador de las ventas futuras, podemos encontrar las probabilidades de que ocurra cada resultado posible en el futuro, convirtiendo los datos en porcenta- jes del total: CANTIDAD DEMANDADA PROBABILIDAD 0 0.20 1= 40>2002 1 0.40 1= 80>2002 2 0.25 1= 50>2002 3 0.10 1= 20>2002 4 0.05 1= 10>2002 Total 1.001 = 200>2002 Entonces, la probabilidad de que las ventas sean 2 galones de pintura en un día dado es P(2 galones) 5 0.25 5 25%. La probabilidad de cualquier nivel de ventas debe ser mayor que o igual a 0, y menor que o igual a 1. Como 0, 1, 2, 3 y 4 galones abarcan todos los eventos o resultados posibles, la suma de sus probabilidades debe ser igual a 1. Tipos de probabilidad Existen dos maneras diferentes de determinar la probabilidad: el enfoque objetivo y el enfoque sub- jetivo. PROBABILIDAD OBJETIVA El ejemplo 1 ofrece una ilustración de la evaluación de la probabilidad ob- jetiva. La probabilidad de cualquier nivel de demanda de pintura es la frecuencia relativa de ocurren- cia de esa demanda en un número grande de observaciones (200 días, en este caso). En general, Número de ocurrencias del evento P1evento2 = Número total de ensayos o resultados La probabilidad objetiva también puede establecerse usando lo que se llama el método lógico o clásico. Sin realizar una serie de ensayos, muchas veces podemos determinar de manera lógica cuáles 24 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES deberían ser las probabilidades de varios eventos. Por ejemplo, la probabilidad de lanzar una vez al aire una moneda y obtener cara es: 1 Número de formas de obtener cara P1cara2 = 2 Número de resultados posibles (cara o cruz) Asimismo, la probabilidad de sacar una espada (pica) de un mazo de 52 cartas se establece con la lógica como 13 Número de oportunidades de sacar una espada P1espada2 = Número de resultados posibles 52 = 1冫4 = 0.25 = 25% PROBABILIDAD SUBJETIVA Cuando la lógica y la historia pasada no son adecuadas, los valores de las probabilidades se pueden estimar de manera subjetiva. La exactitud de las probabilidades subjeti- vas depende de la experiencia y el buen juicio de quien realiza las estimaciones. Diversos valores de probabilidad no se logran determinar a menos que se emplee el enfoque subjetivo. ¿Cuál es la proba- bilidad de que el precio de la gasolina sea más de $4 en los próximos años? ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra economía enfrente una depresión severa en 2015? ¿Cuál es la probabilidad de que ¿De dónde vienen las usted sea presidente de una corporación importante dentro de 20 años? probabilidades? Algunas veces son Existen varios métodos para la evaluación subjetiva de las probabilidades. Las encuestas de subjetivas y se basan en las opinión sirven para ayudar a determinar probabilidades subjetivas para los resultados posibles en experiencias personales. Otras veces son objetivas y se basan en elecciones y los candidatos políticos potenciales. En algunos casos, se aprovechan la experiencia y el las observaciones lógicas, como buen juicio para asignar valores subjetivos de probabilidad. Un gerente de producción, por ejemplo, el lanzamiento de un dado. A podría creer que la probabilidad de fabricar un producto nuevo sin un solo defecto es de 0.85. Con el menudo las probabilidades se método Delphi, se reúne un panel de expertos para hacer sus predicciones del futuro. Este enfoque se derivan de datos históricos. estudia en el capítulo 5. 2.3 Eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si solo uno de ellos puede ocurrir en un en- sayo cualquiera. Se llaman colectivamente exhaustivos si la lista de resultados incluye todos los re- sultados posibles. Muchas experiencias cotidianas involucran eventos que tienen ambas propiedades. Por ejemplo, al lanzar una moneda, los resultados posibles son cara o cruz. Como no pueden ocurrir ambos a la vez en un lanzamiento, los resultados cara o cruz son mutuamente excluyentes. Como obtener cara y obtener cruz representan todos los resultados posibles, también son colectivamente ex- haustivos. EJEMPLO 2: LANZAMIENTO DE UN DADO Lanzar un dado es un experimento sencillo que tiene seis resultados posibles, numerados en la siguiente tabla y cada uno con su probabilidad correspondiente: RESULTADO DEL LANZAMIENTO PROBABILIDAD 1 1> 6 2 1> 6 3 1> 6 4 1> 6 5 1> 6 6 1> 6 Total 1 2.3 EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS 25 Trasplantes de hígado MODELADO EN EL MUNDO REAL en Estados Unidos Definición Definición del problema del problema La escasez de hígados para trasplantes ha llegado a niveles alarmantes en Estados Unidos; 1,131 individuos murieron en 1997 esperando un trasplante. Con tan sólo 4,000 donaciones de este órgano por año, hay más de 10,000 pacientes en la lista de espera y se agregan 8,000 cada año. Existe la necesidad de desarrollar un modelo para evaluar las políticas de asignación de los hígados a enfermos terminales que los necesitan. Desarrollo de un modelo Desarrollo de un modelo Doctores, ingenieros, investigadores y científicos trabajaron junto con los consultores de Pritsker Corp. en el proceso de crear el modelo de asignación de hígados, llamado ULAM. Una de las tareas del modelo consiste en evaluar si hay que colocar en la lista a receptores potenciales a nivel nacional o a nivel regional. Recolección Recolección de datos de datos Se disponía de información histórica de UNOS (United Network for Organ Sharing), de 1990 a 1995. Los datos se almacenaron en el ULAM. El proceso de probabilidad de Poisson describe la llegada de donadores a 63 centros de manejo de órganos y la llegada de pacientes a los 106 centros de trasplante de hígado. Desarrollo de una solución Desarrollo de una solución ULAM proporciona la probabilidad de aceptar un hígado, donde la probabilidad es una función del estado clínico de los pacientes, del centro de trasplantes y de la calidad del órgano ofrecido. ULAM también modela la probabilidad diaria de que un paciente cambie de un estado crítico a otro. Prueba de la solución Pruebas de la solución Las pruebas incluyeron una comparación del resultado arrojados por el modelo con los resultados reales durante el periodo de 1992 a 1994. Los resultados del modelo eran suficientemente cercanos a los reales, por lo que el ULAM se declaró válido. Análisis de Análisis de los resultados los resultados ULAM se usó para comparar más de 100 políticas de asignación de hígado y luego, se actualizó en 1998, con datos más recientes, para su presentación en el Congreso. Implementación de resultados Implementación de resultados Con base en los resultados proyectados, el comité UNOS votó 18 a 0 para implementar una política de asig- nación basada en listas de espera regionales, no nacionales. Se espera que esta decisión salve 2,414 vidas en un periodo de 8 años. Fuente: Basada en A. A. B. Pritsker. ”Life and Death Decisions”, OR/MS Today (agosto de 1998): 22-28. Estos eventos son mutuamente excluyentes (en cualquier lanzamiento solo puede ocurrir uno de seis eventos) y también son colectivamente exhaustivos (uno de ellos debe ocurrir, pues el total de sus probabilidades es 1). EJEMPLO 3: SACAR UNA CARTA Le piden a usted que saque una carta de un mazo de 52 cartas. Usando la evaluación lógica de las probabilidades, es fácil establecer algunas relaciones, como P1sacar un 72 = 4>52 = 1>13 P1sacar un corazón2 = 13>52 = 1>4 También vemos que estos eventos (sacar un 7 y sacar un corazón) no son mutuamente excluyentes, ya que se puede sacar un 7 de corazones. Tampoco son colectivamente exhaustivos pues hay otras cartas en la mazo, además del 7 y los corazones. 26 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES También puede probar su comprensión de estos conceptos examinando los siguientes casos: Esta tabla es muy útil para comprender la diferencia entre ¿ES MUTUAMENTE ¿ES COLECTIVAMENTE mutuamente excluyente y EXTRACCIÓN EXCLUYENTE? EXHAUSTIVO? colectivamente exhaustivo. 1. Extraer una espada y un trébol Sí No 2. Sacar una carta con rostro y una con número Sí Sí 3. Extraer un as y un 3 Sí No 4. Sacar una con trébol y una sin trébol Sí Sí 5. Extraer un 5 y un diamante No No 6. Extraer una carta roja y un diamante No No Suma de eventos mutuamente excluyentes A menudo nos interesa saber si ocurrirá un evento o un segundo evento, lo cual se conoce como la unión de dos eventos. Cuando los dos eventos son mutuamente excluyentes, la ley de la suma es sim- plemente: P1evento A o evento B2 = P1evento A2 + P1evento B2 FIGURA 2.1 o, de manera más breve, Ley de la suma para eventos mutuamente P1A o B2 = P1A2 + P1B2 (2-2) excluyentes Por ejemplo, acabamos de ver que los eventos de sacar una espada o sacar un trébol de un mazo de cartas son mutuamente excluyentes. Como P1espada2 = 13>52 y P1trébol2 = 13>52, la probabili- dad de sacar una espada o un trébol es P1espada o trébol2 = P1espada2 + P1trébol2 = 13>52 + 13>52 = 26>52 = 1>2 = 0.50 = 50% P(A) P(B) El diagrama de Venn en la figura 2.1 describe la probabilidad de ocurrencia de eventos mutuamente excluyentes. P(A o B)  P(A)  P(B) Ley de la suma para eventos que no son mutuamente excluyentes Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes, la ecuación 2-2 debe modificarse para tomar en cuenta el conteo doble. La ecuación correcta reduce la probabilidad porque se restan las posibilidades de que ambos eventos ocurran al mismo tiempo: P1evento A o evento B2 = P1evento A2 + P1evento B2 - P1ocurrencia de ambos, evento A y evento B2 Esto se expresa en forma abreviada como P1A o B2 = P1A2 + P1B2 - P1A y B2 (2-3) La figura 2.2 ilustra este concepto que resta la probabilidad de los resultados que son comunes a am- bos eventos. Cuando los eventos son mutuamente excluyentes, el área de traslape, llamada intersec- ción, es 0, como se indica en la figura 2.1. FIGURA 2.2 Ley de la suma para P(A y B) eventos que no son mutuamente excluyentes P(A) P(B) P(A o B)  P(A)  P(B)  P(A y B) 2.4 EVENTOS ESTADÍSTICAMENTE INDEPENDIENTES 27 La fórmula para sumar eventos que Considere los eventos de sacar un 5 y sacar un diamante de un mazo de cartas. Estos eventos no no son mutuamente excluyentes es son mutuamente excluyentes, de manera que debe aplicarse la ecuación 2-3 para calcular la probabi- P1A o B2 ⴝ P1A2 ⴙ lidad de extraer un 5 o un diamante: P1B2 ⴚ P1A y B2. ¿Comprende por qué se resta P1A y B2? P1cinco o diamante2 = P1cinco2 + P1diamante2 - P1cinco y diamante2 = 4冫52 + 13冫52 - 1冫52 16 = 冫52 = 4冫13 2.4 Eventos estadísticamente independientes Los eventos pueden ser independientes o dependientes. Cuando son independientes, la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia de otro evento. Examinemos cuatro conjuntos de eventos para determinar cuáles son independientes: 1. a) Su educación Eventos dependientes b) Su nivel de ingresos ¿Puede explicar por qué? 2. a) Sacar un jack (sota) de corazones de un mazo completo de 52 cartas Eventos independientes b) Sacar un jack de tréboles de un mazo completo de 52 cartas 3. a) Los Cachorros de Chicago ganan la Liga Nacional Eventos dependientes b) Los Cachorros de Chicago ganan la Serie Mundial 4. a) Nieve en Santiago, Chile Eventos independientes b) Lluvia en Tel Aviv, Israel Los tres tipos de probabilidad bajo independencia y dependencia estadística son 1. marginal, 2. conjunta y 3. condicional. Cuando los eventos son independientes, es muy sencillo calcular los tres tipos, como se verá. Una probabilidad marginal es la Una probabilidad marginal (o simple) es tan solo la probabilidad de que ocurra un evento. Por probabilidad de que ocurra un ejemplo, si lanzamos un dado, la probabilidad marginal de obtener 2 es P1dado es un 22 = evento. 冫6 1 = 0.166. Como cada lanzamiento es un evento independiente (es decir, lo que obtenemos en el primer lanzamiento no tiene absolutamente ningún efecto en lanzamientos subsecuentes), la proba- bilidad marginal de cada resultado posible es 1冫6. Una probabilidad conjunta es el La probabilidad conjunta de que ocurran dos o más eventos independientes es el producto de producto de las probabilidades sus probabilidades marginales o simples, lo cual se escribe como marginales. P1AB2 = P1A2 * P1B2 (2-4) donde P(AB) 5 probabilidad conjunta de que los eventos A y B ocurran juntos, o uno después del otro P(A) 5 probabilidad marginal del evento A P(B) 5 probabilidad marginal del evento B Por ejemplo, con un dado la probabilidad de lanzar un 6 la primera vez y un 2 la segunda vez es P(6 primero y 2 luego) = P1lanzar un 62 * P1lanzar un 22 = 1冫6 * 1冫6 = 1冫36 = 0.028 Una probabilidad condicional El tercer tipo, la probabilidad condicional, se expresa como P1B ƒ A2, o la “probabilidad del es la probabilidad de que ocurra evento B, dado que ocurrió el evento A”. De manera similar, P1A ƒ B2 quiere decir la “probabilidad un evento dado que ocurrió otro condicional del evento A, dado que sucedió el evento B”. Como los eventos son independientes, la evento. ocurrencia de uno no afecta el resultado del otro, P1A ƒ B2 = P1A2 y P1B ƒ A2 = P1B2. 28 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES EJEMPLO 4: PROBABILIDADES CUANDO LOS EVENTOS SON INDEPENDIENTES Un cesto contiene 3 pelotas negras (B) y 7 pelotas verdes (G). Sacamos una pelota del cesto la regresamos y sacamos una segunda pelota. Determinamos la probabilidad de que ocurra cada uno de los siguientes eventos: 1. Se extrae una pelota negra la primera vez: P1B2 = 0.30 (Esta es una probabilidad marginal). 2. Se sacan dos pelotas verdes: P1GG2 = P1G2 * P1G2 = 10.7210.72 = 0.49 (Esta es una probabilidad conjunta para dos eventos independientes). 3. Se extrae una pelota negra la segunda vez, si la primera fue verde: P1B ƒ G2 = P1B2 = 0.30 (Esta es una probabilidad condicional pero igual a la marginal, porque las dos extracciones son eventos independientes). 4. Una pelota verde la segunda vez, si la primera fue verde: P1G ƒ G2 = P1G2 = 0.70 (Esta es una probabilidad condicional como en el evento 3.) 2.5 Eventos estadísticamente dependientes Cuando los eventos son estadísticamente dependientes, la ocurrencia de un evento afecta la probabi- lidad de que otro evento ocurra. Las probabilidades marginal, condicional y conjunta existen con la dependencia al igual que con la independencia, pero la forma de las dos últimas cambia. Una probabilidad marginal se calcula exactamente igual que para eventos independientes. De nuevo, la probabilidad marginal de que ocurra el evento A se denota por P(A). Calcular una probabilidad condicional con dependencia es un poco más complicado que bajo independencia. La fórmula para la probabilidad condicional de A, dado que sucede el evento B, se es- tablece como P1AB2 P1A ƒ B2 = (2-5) P1B2 De la ecuación 2-5, la fórmula para la probabilidad conjunta es P1AB2 = P1A ƒ B2P1B2 (2-6) EJEMPLO 5: PROBABILIDADES CUANDO LOS EVENTOS SON DEPENDIENTES Suponga que tenemos una urna que contiene 10 pelotas de la siguiente descripción: 4 son blancas (W) y con letra (L) 2 son blancas (W) y con número (N) 3 son amarillas (Y) y con letra (L) 1 es amarilla (Y) y con número (N) Se extrae una pelota al azar de la urna y es amarilla. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que esta pelota tenga letra? (Véase la figura 2.3). Como hay 10 pelotas, tan solo se tabula una serie de probabilidades: P1WL2 = 4冫10 = 0.4 P1YL2 = 3冫10 = 0.3 P1WN2 = 2冫10 = 0.2 P1YN2 = 1冫10 = 0.1 P1W2 = 6冫10 = 0.6, o P1W2 = P1WL2 + P1WN2 = 0.4 + 0.2 = 0.6 P1L2 = 7冫10 = 0.7, o P1L2 = P1WL2 + P1YL2 = 0.4 + 0.3 = 0.7 P1Y2 = 4冫10 = 0.4, o P1Y2 = P1YL2 + P1YN2 = 0.3 + 0.1 = 0.4 P1N2 = 3冫10 = 0.3, o P1N2 = P1WN2 + P1YN2 = 0.2 + 0.1 = 0.3 2.6 PROBABILIDADES REVISADAS APLICANDO EL TEOREMA DE BAYES 29 FIGURA 2.3 ⎩ Eventos dependientes ⎪ ⎪ del ejemplo 5 ⎪ 4 pelotas ⎪ blancas (W ) 4 ⎪ Probabilidad (WL)  ⎪ con letra (L) 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 pelotas ⎪ blancas (W ) La urna ⎨ con número 2 contiene 10 ⎪ Probabilidad (WN)  pelotas (N ) 10 ⎪ ⎪ ⎪ 3 pelotas ⎪ amarillas ⎪ (Y ) 3 ⎪ Probabilidad (YL)  con letra (L) 10 ⎪ ⎪ ⎪ 1 pelota amarilla ⎪ 1 ⎪ (Y ) Probabilidad (YN )  ⎧ con número (N ) 10 Ahora calculamos la probabilidad condicional de que la pelota extraída tenga letra, dado que es amarilla: P1YL2 0.3 P1L ƒ Y2 = = = 0.75 P1Y2 0.4 Esta ecuación muestra que dividimos la probabilidad de pelotas amarillas y con letra (3 de 10) entre la probabilidad de pelotas amarillas (4 de 10). Existe una probabilidad de 0.75 de que la pelota ama- rilla extraída tenga letra. Se utiliza la fórmula de probabilidad conjunta para verificar que P(YL) 5 0.3, que se obtuvo por inspección en el ejemplo 5, multiplicando P1L ƒ Y2 por P1Y2: P1YL2 = P1L ƒ Y2 * P1Y2 = 10.75210.42 = 0.3 EJEMPLO 6: PROBABILIDAD CONJUNTA CUANDO LOS EVENTOS SON DEPENDIENTES Su corredor de bolsa le informa que si el mercado de valores llega al nivel de 12,500 puntos para enero, hay una probabilidad de 70% de que Tubeless Electronics suba de valor. Sus propios sentimientos le dicen que hay tan solo una probabilidad de 40% de que el promedio del mercado llegue a 12,500 puntos para enero. ¿Puede calcular la probabilidad de que ocurran ambos: que el mercado de valores llegue a 12,500 puntos y se incremente el precio de Tubeless Electronics? Sea M el evento de que el mercado de valores llegue a 12,500, y sea T el evento de que Tubeless aumente su valor. Entonces, P1MT2 = P1T ƒ M2 * P1M2 = 10.70210.402 = 0.28 Así, existe solamente 28% de posibilidad de que ambos eventos ocurran. 2.6 Probabilidades revisadas aplicando el teorema de Bayes El teorema de Bayes se emplea para incluir información adicional cuando esté disponible y ayuda a crear probabilidades posteriores o revisadas. Esto significa que podemos tomar datos nuevos o re- cientes y luego revisar y mejorar nuestras estimaciones de probabilidades anteriores para un evento (véase la figura 2.4). Consideremos el siguiente ejemplo. EJEMPLO 7: PROBABILIDADES POSTERIORES Un vaso contiene dos dados idénticos en apariencia. Sin embargo, uno es legal (no está cargado) y el otro no es legal (sí está cargado). La probabilidad de obtener un 3 en el dado legal es 1冫6 . La probabilidad de obtener el mismo número en el dado cargado es 0.60. 30 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.4 Probabilidades Uso del proceso de Bayes previas Proceso Probabilidades de Bayes posteriores Información nueva No tenemos idea de cuál es el dado legal o el dado que no es legal, pero seleccionamos uno al azar y lo lanzamos. El resultado es un 3. Dada esta información adicional, ¿podemos encontrar la probabilidad (revisada) de que el dado lanzado fuera el legal? ¿Podemos determinar la probabilidad de que el dado que lanzamos era el cargado? La respuesta a estas preguntas es sí, y lo hacemos con la fórmula de probabilidad conjunta con dependencia estadística y el teorema de Bayes. Primero, examinamos la información y las probabili- dades disponibles. Sabemos, por ejemplo, que como seleccionamos aleatoriamente el dado, la proba- bilidad de que haya sido el legal o el cargado es 0.50: P1legal2 = 0.50 P1cargado2 = 0.50 También sabemos que P13 ƒ legal2 = 0.166 P13 ƒ cargado2 = 0.60 Ahora calculamos las probabilidades conjuntas P(3 y legal) y P(3 y cargado) con la fórmula P1AB2 = P1A ƒ B2 * P1B2: P13 y legal2 = P13 ƒ legal2 * P1legal2 = 10.166210.502 = 0.083 P13 y cargado2 = P13 ƒ cargado2 * P1cargado2 = 10.60210.502 = 0.300 Un 3 puede ocurrir en combinación con el estado “dado legal” o en combinación con el estado “dado cargado”. La suma de sus probabilidades da la probabilidad incondicional o marginal de un 3 en el lanzamiento; a saber, P132 = 0.083 + 0.300 = 0.383. Si ocurre un 3 y si no sabemos de cuál dado se obtuvo, la probabilidad de que haya sido del dado legal es P1legal y 32 0.083 P1legal ƒ 32 = = = 0.22 P132 0.383 La probabilidad de que el dado lanzado fuera el cargado es P1cargado y 32 0.300 P1cargado ƒ 32 = = = 0.78 P132 0.383 Estas dos probabilidades condicionales se llaman probabilidades revisadas o posteriores para el siguiente lanzamiento del dado. Antes de lanzar el dado en el ejemplo anterior, lo mejor que podríamos decir era que había una oportunidad de 50-50 de que el dado fuera legal (0.50 de probabilidad) y 50-50 de que fuera el car- gado. No obstante, después de un lanzamiento del dado, podemos revisar nuestras estimaciones de probabilidades previas. La nueva estimación posterior es que se tiene una probabilidad de 0.78 de que el dado lanzado sea el cargado y solamente una probabilidad de 0.22 de que no lo fuera. A menudo ayuda usar una tabla al realizar los cálculos asociados con el teorema de Bayes. La tabla 2.2 indica su distribución general, y la tabla 2.3 la de este ejemplo específico. 2.6 PROBABILIDADES REVISADAS APLICANDO EL TEOREMA DE BAYES 31 TABLA 2.2 ESTADO DE P(B | ESTADO DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDAD Forma tabular de los NATURALEZA NATURALEZA) PREVIA CONJUNTA POSTERIOR cálculos de Bayes dado que ocurrió el evento B A P1B ƒ A2 *P1A2 =P1B y A2 P1B y A2>P1B2 = P1A ƒ B2 A¿ P1B ƒ A¿2 *P1A¿2 =P1B y A¿2 P1B y A¿2>P1B2 = P1A¿ ƒ B2 P1B2 TABLA 2.3 ESTADO DE P(3 | ESTADO DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDAD Cálculos de Bayes dado NATURALEZA NATURALEZA) PREVIA CONJUNTA POSTERIOR que se obtiene un 3 en el ejemplo 7 Dado legal 0.166 *0.5 = 0.083 0.083>0.383 = 0.22 Dado cargado 0.600 *0.5 = 0.300 0.300>0.383 = 0.78 P132 = 0.383 Forma general del teorema de Bayes Otra manera de calcular las Las probabilidades revisadas también se calculan de manera más directa usando la forma general del probabilidades revisadas es teorema de Bayes: con el teorema de Bayes. P1B ƒ A2P1A2 P1A ƒ B2 = (2-7) P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 donde A¿ = el complemento del evento A; por ejemplo, si A es el evento “dado legal”, entonces, A¿ es “dado cargado” Originalmente vimos en la ecuación (2-5) que la probabilidad condicional del evento A, dado el evento B, es P1AB2 P1A ƒ B2 = P1B2 Un ministro presbiteriano, Thomas Thomas Bayes derivó su teorema a partir de esto. El apéndice 2.1 muestra los pasos matemáticos que Bayes (1702-1761), hizo el llevaron a la ecuación 2-7. Ahora regresemos al ejemplo 7. desarrollo que llevó a este teorema. Aunque quizá no sea evidente a primera vista, usamos esta ecuación básica para calcular las probabilidades revisadas. Por ejemplo, si queremos la probabilidad de que se haya lanzado el dado legal, dado que se obtuvo un 3 en el primer lanzamiento, es decir, P(dado legalƒsalió 3), hacemos que evento “dado legal” sustituya a A en la ecuación 2-7 evento “dado cargado” sustituya a A en la ecuación 2-7 evento “salió 3” sustituya a B en la ecuación 2-7 Se reescribe la ecuación 2-7 y se resuelve como sigue: P1dado legal ƒ salió 32 P13 ƒ legal2P1legal2 = P13 ƒ legal2P1legal2 + P13 ƒ cargado2P1cargado2 10.166210.502 10.166210.502 + 10.60210.502 = 0.083 = = 0.22 0.383 Esta es la misma respuesta que la calculada en el ejemplo 7. ¿Puede usar este enfoque alternativo para demostrar que P(dado cargadoƒsalió 3) 5 0.78? Cualquier método es perfectamente aceptable, pero cuando consideremos probabilidades revisadas otra vez en el capítulo 3, veremos que aplicar la ecuación 2-7 o el enfoque tabular es más sencillo. En el capítulo 3 se usa una hoja de cálculo de Ex- cel para el método tabular. 32 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES 2.7 Revisiones de probabilidades ulteriores Aunque una revisión de las probabilidades previas suele brindar estimaciones útiles acerca de probabili- dades posteriores, puede obtenerse información adicional al realizar el experimento una segunda vez. Si vale la pena financieramente, un tomador de decisiones decidiría hacer incluso varias revisiones más. EJEMPLO 8: SEGUNDA REVISIÓN DE PROBABILIDADES Regresando al ejemplo 7, ahora intentamos obtener más información acerca de las probabilidades posteriores, en cuanto a si el dado lanzado era legal o estaba cargado. Para hacerlo, lanzamos el dado una segunda vez. De nuevo, obtenemos un 3. ¿Cuáles son las probabilidades revisadas de nuevo? Para responder la pregunta, procedemos como antes, con tan solo una excepción. Las probabili- dades P(legal) 5 0.50 y P(cargado) 5 0.50 siguen iguales, pero ahora debemos calcular P(3,3 | legal) 5 (0.166)(0.166) 5 0.027 y P(3,3 | cargado) 5 (0.6)(0.6) 5 0.36. Con estas probabilidades conjun- tas de dos veces obtener un 3 en lanzamientos sucesivos, dados los dos tipos de dado, revisamos las probabilidades: P13, 3 y legal2 = P13, 3 | legal2 * P1legal2 = 10.027210.52 = 0.013 P13, 3 y cargado2 = P13, 3 | cargado2 * P1cargado2 = 10.36210.52 = 0.18 Así, la probabilidad de lanzar dos veces un 3, una probabilidad marginal, es 0.013 1 0.18 5 0.193, la suma de las dos probabilidades conjuntas: P13, 3 y legal2 P1legal| 3, 32 = P13, 32 0.013 = = 0.067 0.193 P13, 3 y cargado2 P1cargado| 3, 32 = P13, 32 0.18 = = 0.933 0.193 EN ACCIÓN Seguridad en vuelo y análisis de probabilidad probabilidad de salvar vidas, el resultado es un costo de alrededor D ados los terribles acontecimientos del 11 de septiembre de 2001 y el uso de aviones comerciales como armas de destrucción masiva, de mil millones de dólares por cada vida salvada en promedio. Usar análisis de probabilidad ayudará a determinar cuál programa la seguridad en las líneas aéreas se ha vuelto un asunto internacional de seguridad dará como resultado el mayor beneficio y tales pro- todavía más importante. ¿Cómo reducir el impacto del terrorismo en gramas se pueden extender. la seguridad en el aire? ¿Qué puede hacerse para que el viaje aéreo Además, algunos aspectos de seguridad no son totalmente sea más seguro en general? Una respuesta es evaluar los diferentes certeros. Por ejemplo, un dispositivo de análisis térmico de neu- programas de seguridad en el aire y utilizar la teoría de probabili- trones para detectar explosivos en aeropuertos tiene una probabili- dades en el análisis de costos de estos programas. dad de 0.15 de dar una falsa alarma, con el resultado de altos Determinar la seguridad de las líneas aéreas es cuestión de costos de inspección y retrasos significativos en los vuelos. Esto in- aplicar los conceptos del análisis objetivo de la probabilidad. La dicaría que el dinero debería gastarse en desarrollar equipos más posibilidad de morir en un vuelo nacional es cercana a 1 en 5 mi- confiables para detectar explosivos. El resultado sería un viaje aéreo llones. Esto es una probabilidad aproximada de 0.0000002. Otra más seguro y con menos retrasos innecesarios. medida es el número de muertes por pasajero-milla volada. El Sin duda, el uso del análisis de probabilidad para determinar número es cerca de 1 pasajero por mil millones de pasajeros-millas y mejorar la seguridad en los vuelos es indispensable. Muchos ex- voladas, o una probabilidad aproximada de 0.000000001. Sin pertos en transporte esperan que los mismos modelos de proba- duda, volar es más seguro que muchas otras formas de transporte, bilidad rigurosos que se utilizan en la industria aérea algún día se incluyendo manejar. En un fin de semana típico, más personas apliquen al sistema mucho más mortífero de carreteras y conduc- mueren en accidentes automovilísticos que en un desastre aéreo. tores que circulan por ellas. Analizar las nuevas medidas de seguridad en las aerolíneas in- cluye costos y la probabilidad subjetiva de que se salvarán vidas. Fuentes: Basada en Robert Machol. ”Flying Scared”, OR/MS Today (octubre, Un experto en líneas aéreas propuso varias medidas nuevas de 1997): 32-37; y Arnold Barnett. ”The Worst Day Ever”, OR/MS Today (diciem- seguridad. Cuando se toman en cuenta los costos implicados y la bre, 2001): 28-31. 2.8 VARIABLES ALEATORIAS 33 ¿Qué logró este segundo lanzamiento? Antes de lanzar el dado la primera vez, únicamente sabe- mos que hay una probabilidad de 0.50 de que fuera legal o estuviera cargado. Cuando se lanzó el primer dado en el ejemplo 7, pudimos revisar estas probabilidades: probabilidad de un dado legal 5 0.22 probabilidad de un dado cargado 5 0.78 Ahora, después del segundo lanzamiento en el ejemplo 8, nuestras revisiones refinadas nos indican que probabilidad de un dado legal 5 0.067 probabilidad de un dado cargado 5 0.933 Este tipo de información suele ser muy valiosa en la toma de decisiones empresariales. 2.8 Variables aleatorias Acabamos de examinar varias formas de asignar valores de probabilidad a los resultados de un expe- rimento. Ahora usaremos esa información de probabilidad para calcular el resultado esperado, la va- rianza y la desviación estándar del experimento, lo cual ayuda a tomar las mejores decisiones entre diferentes alternativas. Una variable aleatoria asigna un número real a cada resultado o evento posible de un experi- mento. Por lo general, se representa con la letra X o Y. Cuando el resultado en sí es una cantidad numérica o cuantitativa, los resultados pueden ser la variable aleatoria. Por ejemplo, considere las ventas de un refrigerador en una tienda de electrodomésticos (línea blanca). El número de refrigera- dores vendidos en un día dado sería la variable aleatoria. Si se utiliza X para representar esta variable aleatoria, podemos expresar esta relación como: X 5 número de refrigeradores vendidos durante el día En general, siempre que el experimento tenga resultados cuantificables, se sugiere definir estos resul- tados cuantitativos como la variable aleatoria. La tabla 2.4 presenta algunos ejemplos. Cuando el resultado en sí no es numérico ni cuantitativo, es necesario definir una variable aleato- ria que asocie cada resultado con un número real único. Se dan varios ejemplos en la tabla 2.5. Hay dos tipos de variables aleatorias; variables aleatorias discretas y variables aleatorias con- tinuas. El desarrollo de las distribuciones de probabilidad y los cálculos basados en estas distribu- ciones depende del tipo de variable aleatoria. Trate de desarrollar algunos otros Una variable aleatoria será una variable aleatoria discreta si se puede suponer tan solo un con- ejemplos de variables aleatorias junto finito o limitado de valores. ¿Cuáles de las variables aleatorias de la tabla 2.4 son variables discretas para asegurarse de que aleatorias discretas? En la tabla 2.4 observamos que poner a la venta 50 árboles de Navidad, inspec- entendió este concepto. cionar 600 artículos y enviar 5,000 cartas son ejemplos de variables aleatorias discretas. Cada una de estas variables aleatorias puede tener solamente un conjunto finito o limitado de valores. El número de árboles de Navidad vendidos, por ejemplo, tan sólo pueden ser números enteros de 0 a 50. Hay 51 valores que puede tomar la variable aleatoria en este ejemplo. TABLA 2.4 Ejemplos de variables aleatorias RANGO DE LAS VARIABLES EXPERIMENTO RESULTADO VARIABLE ALEATORIA ALEATORIAS Ofrecer en venta 50 árboles de Número de árboles de Navidad X 5 número de árboles de Navidad 0, 1, 2, Á , 50 Navidad vendidos vendidos Inspeccionar 600 artículos Número de artículos aceptables Y 5 número de artículos aceptables 0, 1, 2, Á , 600 Enviar 5,000 cartas de ofertas Número de personas que responden Z 5 número de personas que responden 0, 1, 2, Á , 5,000 a las cartas a las cartas Construir un edificio de Porcentaje del edificio terminado R 5 porcentaje del edificio terminado a 0 … R … 100 apartamentos a los 4 meses. los 4 meses Probar la vida útil de una Tiempo que dura la bombilla S 5 tiempo en que se funde la bombilla 0 … S … 80,000 bombilla eléctrica (minutos) hasta 80,000 minutos 34 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES TABLA 2.5 RANGO DE LAS Variables aleatorias VARIABLES VARIABLES para resultados que EXPERIMENTO RESULTADO ALEATORIAS ALEATORIAS son no numéricos Estudiantes que Completamente de acuerdo (CA) 5 si CA 1, 2, 3, 4, 5 responden un De acuerdo (A) 4 si A cuestionario Neutral (N) X 3 si N En desacuerdo (ED) 2 si ED Completamente en desacuerdo (CD) 1 si CD Inspección de una Defectuosa 0 si es defectuosa 0, 1 máquina No defectuosa Y 1 si es no defectuosa Consumidores que Mucho 3 si mucho 1, 2, 3 responden cuánto les Regular Z 2 si regular gusta un producto Poco 1 si poco Una variable aleatoria continua es una variable aleatoria que tiene un conjunto infinito o ilimi- tado de valores. ¿Hay algún ejemplo de variable aleatoria continua en las tablas 2.4 o 2.5? Al obser- var la tabla 2.4, vemos que probar la vida de una bombilla eléctrica es un experimento que puede describirse con una variable aleatoria continua. En este caso, la variable aleatoria, S, es el tiempo que tarda en fundirse a la bombilla. Puede durar 3,206 minutos, 6,500.7 minutos, 251.726 minutos o cualquier otro valor entre 0 y 80,000 minutos. En la mayoría de los casos, el rango de una variable aleatoria continua se establece como: valor inferior # S # valor superior, como 0 # S # 80,000. La variable aleatoria R en la tabla 2.4 también es continua. ¿Puede usted explicar por qué? 2.9 Distribuciones de probabilidad Antes se estudiaron los valores de probabilidad de un evento. Ahora exploraremos las propiedades de las distribuciones de probabilidad. Veremos la manera en que las distribuciones más conocidas, como la distribución de probabilidad normal, de Poisson, binomial y exponencial, ayudan a ahorrar tiempo y esfuerzo. Como una variable aleatoria puede ser discreta o continua, consideraremos los dos tipos por separado. Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta Cuando tenemos una variable aleatoria discreta, existe un valor de probabilidad asignado a cada evento. Estos valores deben estar entre 0 y 1, y todos deben sumar 1. Veamos un ejemplo. Los 100 estudiantes en la clase de estadística de Pat Shannon acaban de terminar un examen de matemáticas que se aplica el primer día de clases. El examen consiste en cinco problemas de álgebra muy difíciles. La calificación del examen es el número de respuestas correctas, de manera que en teoría las calificaciones pueden tener valores entre 0 y 5. Sin embargo, nadie en la clase recibe calificación de 0, por lo que las calificaciones van de 1 a 5. La variable aleatoria X se define como la calificación del examen y las calificaciones se resumen en la tabla 2.6. Esta distribución de probabilidad discreta se de- sarrolló usando el enfoque de frecuencia relativa presentado anteriormente. TABLA 2.6 VARIABLE ALEATORIA PROBABILIDAD Distribución de CALIFICACIÓN (X ) NÚMERO P(X) probabilidad para 5 10 0.1  10/100 las calificaciones del examen 4 20 0.2  20/100 3 30 0.3  30/100 2 30 0.3  30/100 1 10 0.1  10/100 Total 100 1.0  100/100 2.9 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 35 La distribución cumple las tres reglas requeridas para todas las distribuciones de probabilidad: 1. los eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, 2. los valores de probabili- dad individuales están entre 0 y 1 inclusive, y 3. el total de los valores de probabilidad suma 1. Aunque listar la distribución de probabilidad como se hizo en la tabla 2.6 es adecuado, quizá sea difícil tener una idea de las características de la distribución. Para vencer este obstáculo, los valores de probabilidad con frecuencia se presentan en forma gráfica. La gráfica de la distribución de la tabla 2.6 se presenta en la figura 2.5. La gráfica de esta distribución de probabilidad nos da una idea de su forma y ayuda a identificar la tendencia central de la distribución, llamada media o valor esperado y la variabilidad o dispersión de la distribución, llamada varianza. Valor esperado de una distribución de probabilidad discreta El valor esperado de una Una vez establecida la distribución de probabilidad, la primera característica que suele ser de interés distribución discreta es un es la tendencia central de la distribución. El valor esperado es una medida de tendencia central, que promedio ponderado de los se calcula como el promedio ponderado de los valores de la variable aleatoria: valores de la variable aleatoria. n E1X2 = a XiP1Xi2 i=1 = X1P1X12 + X2P1X22 + Á + XnP1Xn2 (2-8) donde: Xi = valores posibles de la variable aleatoria P1Xi2 = probabilidad de cada valor posible de la variable aleatoria n a = signo de sumatoria que indica que sumamos los n valores posibles i=1 E1X2 = valor esperado o media de la variable aleatoria El valor esperado o la media de cualquier distribución de probabilidad discreta se calcula multi- plicando cada valor posible de la variable aleatoria, Xi, por la probabilidad, P1Xi2, de que ocurra el resultado y sumando, g, los resultados. Ahora se muestra cómo calcular el valor esperado para las calificaciones del examen: 5 E1X2 = a XiP1Xi2 i=1 = X1P1X12 + X2P1X22 + X3P1X32 + X4P1X42 + X5P1X52 = 15210.12 + 14210.22 + 13210.32 + 12210.32 + 11210.12 = 2.9 El valor esperado de 2.9 es la media de las calificaciones del examen. FIGURA 2.5 0.4 Distribución de probabilidad para la clase del Dr. Shannon 0.3 P(X) 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 X 36 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES Varianza de una distribución de probabilidad discreta Además de la tendencia central de una distribución de probabilidad, muchas personas están intere- sadas en la variabilidad o la dispersión de la distribución. Si la variabilidad es baja, es mucho más probable que el resultado de un experimento sea cercano al promedio o valor esperado. Por otro lado, si la variabilidad de la distribución es alta, lo cual significa que la probabilidad está dispersa por los diferentes valores de la variable aleatoria, hay una posibilidad menor de que el resultado del experi- mento sea cercano al valor esperado. Una distribución de probabilidad La varianza de una distribución de probabilidad es un número que revela la dispersión general con frecuencia se describe por su de los datos o dispersión de la distribución. Para una distribución de probabilidad discreta, se calcula media y su varianza. Incluso si la mediante la siguiente ecuación: mayoría de los hombres en la clase n (o en Estados Unidos) tienen s2 = varianza = a 3Xi - E1X242P1Xi2 (2-9) alturas entre 5 pies 6 pulgadas y i=1 6 pies 2 pulgadas, todavía existe una pequeña probabilidad de que donde: haya valores atípicos. Xi = valores posibles de la variable aleatoria E1X2 = valor esperado de la variable aleatoria 3Xi - E1X24 = diferencia entre cada valor de la variable aleatoria y el valor esperado P1Xi2 = probabilidad de cada valor posible de la variable aleatoria Para calcular la varianza, cada valor de la variable aleatoria se resta del valor esperado, la dife- rencia se eleva al cuadrado y se multiplica por la probabilidad de ocurrencia de ese valor. Luego, se suman los resultados para obtener la varianza. Veamos cómo funciona este procedimiento para las calificaciones del examen del Dr. Shannon: 5 varianza = a 3Xi - E1X242P1Xi2 i=1 varianza = 15 - 2.92210.12 + 14 - 2.92210.22 + 13 - 2.92210.32 + 12 - 2.92210.32 + 11 - 2.92210.12 = 12.12210.12 + 11.12210.22 + 10.12210.32 + 1-0.92210.32 + 1-1.92210.12 = 0.441 + 0.242 + 0.003 + 0.243 + 0.361 = 1.29 Una medida de dispersión relacionada es la desviación estándar. Esta cantidad también se uti- liza en muchos cálculos referentes a distribuciones de probabilidad. La desviación estándar es tan solo la raíz cuadrada de la varianza: s = 1Varianza = 2s2 (2-10) donde: 1 = raíz cuadrada s = desviación estándar La desviación estándar para la variable aleatoria X del ejemplo es: s = 1Varianza = 11.29 = 1.14 Es fácil realizar estos cálculos en Excel. El programa 2.1A muestra las entradas y las fórmulas en Ex- cel para calcular media, varianza y desviación estándar para este ejemplo. El programa 2.1B indica los resultados de este ejemplo. Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua Existen muchos ejemplos de variables aleatorias continuas. El tiempo que lleva terminar un proyecto, el número de onzas en un barril de mantequilla, las temperaturas altas durante un día dado, la longitud exacta de un tipo dado de madera y el peso de un vagón de ferrocarril con carbón son 2.9 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 37 PROGRAMA 2.1A Fórmulas en una hoja de Excel para el ejemplo del Dr. Shannon PROGRAMA 2.1B Resultados de Excel para el ejemplo del Dr. Shannon ejemplos de variables aleatorias continuas. Como las variables aleatorias pueden tomar un número infinito de valores, deben modificarse las reglas de probabilidad fundamentales para variables aleato- rias continuas. Igual que con las distribuciones de probabilidad discretas, la suma de los valores de probabilidad debe ser igual a 1. Sin embargo, como hay un número infinito de valores de la variable aleatoria, la probabilidad de cada valor debe ser 0. Si los valores de probabilidad para los valores de la variable aleatoria fueran mayores que cero, la suma sería infinitamente grande. Para una distribución de probabilidad continua, existe una función matemática continua que des- cribe la distribución de probabilidad. Esta función se llama función de densidad de probabilidad o Una función de densidad de simplemente función de probabilidad. En general, se representa con f(X). Cuando se trabaja con probabilidad, f(X), es una forma distribuciones de probabilidad continuas, se grafica la función de probabilidad y el área bajo la curva matemática de describir la representa la probabilidad. Entonces, para encontrar cualquier probabilidad, simplemente calculamos distribución de probabilidad. el área bajo la curva asociada con el intervalo de interés. Veremos el bosquejo de una función de densidad de una muestra en la figura 2.6. Esta curva representa la función de densidad de probabilidad del peso de una pieza específica elaborada por una máquina. El peso varía de 5.06 a 5.30 gramos, donde los pesos alrededor de 5.18 gramos son los más probables. El área sombreada representa la probabilidad de que el peso esté entre 5.22 y 5.26 gramos. Si queremos conocer la probabilidad de que una pieza pese exactamente 5.1300000 gramos, por ejemplo, tendríamos que calcular el área de una línea de ancho 0. Desde luego, esto sería 0, cuyo re- sultado parecería extraño, pero si insistimos en suficientes lugares decimales de exactitud, encon- tramos que el peso será diferente de 5.1300000 gramos exactamente, aunque la diferencia sea muy pequeña. 38 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.6 Ejemplo de la función de densidad de una muestra Probabilidad 5.06 5.10 5.14 5.18 5.22 5.26 5.30 Peso (gramos) Esto es importante porque parece que, para cualquier distribución continua, la probabilidad no cambia si se agrega un solo punto al intervalo de valores que se considera. En la figura 2.6 esto sig- nifica que las siguientes probabilidades son exactamente iguales: P15.22 6 X 6 5.262 = P15.22 6 X … 5.262 = P15.22 … X 6 5.262 = P15.22 … X … 5.262 La inclusión o exclusión de cualquier punto extremo (5.22 o 5.26) no tiene influencia sobre la proba- bilidad. En esta sección examinamos las características fundamentales y las propiedades de las distribu- ciones de probabilidad en general. En las siguientes tres secciones se presentarán tres distribuciones continuas importantes —la distribución normal, la distribución F y la distribución exponencial—, así como dos distribuciones discretas —la distribución de Poisson y la distribución binomial. 2.10 La distribución binomial Muchos experimentos de negocios se pueden caracterizar por un proceso Bernoulli. La probabilidad de obtener resultados específicos en un proceso Bernoulli se describe con la distribución de probabi- lidad binomial. Para que un proceso se considere Bernoulli, un experimento debe tener las siguientes características: 1. Cada ensayo en un proceso Bernoulli tiene solo dos posibles resultados. Estos típicamente se llaman éxito y fracaso, aunque en algunos ejemplos pueden ser sí o no, cara o cruz, pasa o no pasa, defectuoso o aceptable, etcétera. 2. La probabilidad no cambia de un ensayo al siguiente. 3. Los ensayos son estadísticamente independientes. 4. El número de ensayos es un entero positivo. Un ejemplo común es el proceso de lanzar una moneda. La distribución binomial se utiliza para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos en n ensayos de un proceso Bernoulli. Para determinar esta probabilidad, es necesario conocer lo siguiente: n 5 número de ensayos p 5 la probabilidad de éxito en un solo ensayo Sean: r 5 el número de éxitos q 5 1 2 p 5 probabilidad de fracaso 2.10 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 39 10.52r 10.525 - r TABLA 2.7 NÚMERO DE CARAS 5! PROBABILIDAD ⴝ Distribución de (r) r!15 ⴚ r2! probabilidad 10.520 10.525 - 0 5! binomial para n = 5 y 0 0.03125 = 0!15 - 02! p = 0.50 10.521 10.525 - 1 5! 1 0.15625 = 1!15 - 12! 10.522 10.525 - 2 5! 2 0.31250 = 2!15 - 22! 10.523 10.525 - 3 5! 3 0.31250 = 3!15 - 32! 10.524 10.525 - 4 5! 4 0.15625 = 4!15 - 42! 10.525 10.525 - 5 5! 5 0.03125 = 5!15 - 52! La fórmula binomial es: n! Probabilidad de r éxitos en n ensayos = pr qn - r (2-11) r!1n - r2! El símbolo ! significa factorial, y n! = n1n - 121n - 2 Á (1). Por ejemplo, 4! = 142132122112 = 24 Asimismo, 1! = 1, y 0! = 1 por definición. Solución de problemas con la fórmula binomial Un ejemplo común de una distribución binomial es lanzar una moneda y contar el número de caras. Por ejemplo, si queremos encontrar la probabilidad de 4 caras en 5 lanzamientos de una moneda, n = 5, r = 4, p = 0.5, y q = 1 - 0.5 = 0.5 Entonces: 5! P14 éxitos en 5 ensayos2 = 0.540.55 - 4 4!15 - 42! 10.0625210.52 = 0.15625 5142132122112 = 413212211211!2 Así, la probabilidad de 4 caras en 5 lanzamientos de una moneda es de 0.15625 o aproximadamente 16%. Si utilizamos la ecuación 2-11, también es posible encontrar la distribución de probabilidad completa (todos los valores posibles de r y las probabilidades correspondientes) para un experimento binomial. La distribución de probabilidad para el número de caras en 5 lanzamientos de una moneda se muestra en la tabla 2.7 y su gráfica en la figura 2.7. FIGURA 2.7 0.4 Distribución de Probabilidad, P(r) probabilidad binomial 0.3 para n ⴝ 5 y p ⴝ 0.50 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 Valores de r (número de éxitos) 40 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES Solución de problemas con tablas binomiales MSA Electronics está experimentando con la manufactura de un nuevo tipo de transistor que es muy difícil de producir en masa con un nivel de calidad aceptable. Cada hora un supervisor toma una muestra al azar de 5 transistores producidos en la línea de ensamble. Se considera que la probabilidad de que un transistor esté defectuoso es de 0.15. MSA quiere conocer la probabilidad de encontrar 3, 4 o 5 defectuosos si el porcentaje de defectos real es de 15%. Para este problema, n 5 5, p 5 0.15 y r 5 3, 4 o 5. Aunque podíamos usar la fórmula para cada uno de estos valores, es más sencillo usar las tablas binomiales para ello. El apéndice B contie- ne una tabla binomial para una amplia gama de valores de n, r y p. Una parte de este apéndice se muestra en la tabla 2.8. Para encontrar tales probabilidades, vemos en la sección de n 5 5 y encon- tramos la columna de p 5 0.15. En la fila donde r 5 3, vemos 0.0244. Entonces, P(r 5 3) 5 0.0244. De manera similar, P(r 5 4) 5 0.0022 y P(r 5 5) 5 0.0001. Al sumar las tres probabilidades, tene- mos la probabilidad de que el número de defectuosos sea de 3 o más: P13 defectuosos o más2 = P132 + P142 + P152 = 0.0244 + 0.0022 + 0.0001 = 0.0267 El valor esperado (o media) y la varianza de una variable aleatoria binomial se determina con fa- cilidad: Valor esperado 1media2 = np (2-12) Varianza = np11 - p2 (2-13) TABLA 2.8 Una tabla de la distribución binomial P n r 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 1 0 0.9500 0.9000 0.8500 0.8000 0.7500 0.7000 0.6500 0.6000 0.5500 0.5000 1 0.0500 0.1000 0.1500 0.2000 0.2500 0.3000 0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 2 0 0.9025 0.8100 0.7225 0.6400 0.5625 0.4900 0.4225 0.3600 0.3025 0.2500 1 0.0950 0.1800 0.2500 0.3200 0.3750 0.4200 0.4550 0.4800 0.4950 0.5000 2 0.0025 0.0100 0.0225 0.0400 0.0625 0.0900 0.1225 0.1600 0.2025 0.2500 3 0 0.8574 0.7290 0.6141 0.5120 0.4219 0.3430 0.2746 0.2160 0.1664 0.1250 1 0.1354 0.2430 0.3251 0.3840 0.4219 0.4410 0.4436 0.4320 0.4084 0.3750 2 0.0071 0.0270 0.0574 0.0960 0.1406 0.1890 0.2389 0.2880 0.3341 0.3750 3 0.0001 0.0010 0.0034 0.0080 0.0156 0.0270 0.0429 0.0640 0.0911 0.1250 4 0 0.8145 0.6561 0.5220 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625 1 0.1715 0.2916 0.3685 0.4096 0.4219 0.4116 0.3845 0.3456 0.2995 0.2500 2 0.0135 0.0486 0.0975 0.1536 0.2109 0.2646 0.3105 0.3456 0.3675 0.3750 3 0.0005 0.0036 0.0115 0.0256 0.0469 0.0756 0.1115 0.1536 0.2005 0.2500 4 0.0000 0.0001 0.0005 0.0016 0.0039 0.0081 0.0150 0.0256 0.0410 0.0625 5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.1160 0.0778 0.0503 0.0313 1 0.2036 0.3281 0.3915 0.4096 0.3955 0.3602 0.3124 0.2592 0.2059 0.1563 2 0.0214 0.0729 0.1382 0.2048 0.2637 0.3087 0.3364 0.3456 0.3369 0.3125 3 0.0011 0.0081 0.0244 0.0512 0.0879 0.1323 0.1811 0.2304 0.2757 0.3125 4 0.0000 0.0005 0.0022 0.0064 0.0146 0.0284 0.0488 0.0768 0.1128 0.1563 5 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0010 0.0024 0.0053 0.0102 0.0185 0.0313 6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.1780 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156 1 0.2321 0.3543 0.3993 0.3932 0.3560 0.3025 0.2437 0.1866 0.1359 0.0938 2 0.0305 0.0984 0.1762 0.2458 0.2966 0.3241 0.3280 0.3110 0.2780 0.2344 3 0.0021 0.0146 0.0415 0.0819 0.1318 0.1852 0.2355 0.2765 0.3032 0.3125 4 0.0001 0.0012 0.0055 0.0154 0.0330 0.0595 0.0951 0.1382 0.1861 0.2344 5 0.0000 0.0001 0.0004 0.0015 0.0044 0.0102 0.0205 0.0369 0.0609 0.0938 6 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0007 0.0018 0.0041 0.0083 0.0156 2.11 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 41 El valor esperado y la varianza para el ejemplo de MSA Electronics se calculan como: Valor esperado = np = 510.152 = 0.75 Varianza = np11 - p2 = 510.15210.852 = 0.6375 Los programas 2.2A y 2.2B ilustran cómo se usa Excel para las probabilidades binomiales. PROGRAMA 2.2A El uso de referencias de celda elimina la necesidad de reescribir Función para la fórmula, si se cambia un parámetro, p o r. probabilidades binomiales en una La función BINOM.DIST hoja de Excel 2010 (r,n,p,TRUE) regresa la probabilidad acumulada. PROGRAMA 2.2B Resultados de Excel para el ejemplo binomial 2.11 La distribución normal La distribución normal afecta un Una de las distribuciones de probabilidades continuas más populares y útiles es la distribución nor- gran número de procesos en mal. La función de densidad de probabilidad de esta distribución está dada por la fórmula, que es un nuestras vidas (por ejemplo, tanto compleja, llenado de cajas de cereal con 32 -1x - m22 onzas de hojuelas de maíz). Cada distribución normal depende de la 1 2s 2 f1X2 = e (2-14) media y la desviación estándar. s12p La distribución normal queda especificada por completo cuando se conocen los valores de la me- dia, , y la desviación estándar, . La figura 2.8 presenta varias distribuciones normales con la misma desviación estándar y diferentes medias. Como se observa, los diferentes valores de  mueven el promedio o centro de la distribución normal. La forma general de la distribución es la misma. Por otro lado, cuando varía la desviación estándar, la curva normal se aplana o se hace más pronunciada, lo cual se ilustra en la figura 2.9. Cuando la desviación estándar, , se hace pequeña, la distribución normal se vuelve más pro- nunciada. Cuando la desviación estándar es más grande, la distribución normal tiene la tendencia a aplanarse o volverse más ancha. 42 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.8 Distribución normal con diferentes valores de ␮ 40   50 60  más pequeña,  sin cambio   40 50 60  más grande,  sin cambio 40 50   60 EN ACCIÓN Evaluaciones de probabilidad de los campeones de curling por ser el último que desliza la roca. Se dice que este equipo “tiene L as probabilidades sirven todos los días en las actividades deporti- vas. En muchos eventos, se hacen preguntas acerca de estrategias el martillo”. Se hizo una encuesta entre un grupo de expertos en curling, que incluyó a varios campeones mundiales. En ella, cerca de que deben responderse para brindar la mayor oportunidad de ganar 58% de los que respondieron preferían tener el martillo y estar un el juego. En el béisbol, ¿se debería dejar avanzar intencionalmente a punto abajo al llegar al último end. Tan solo cerca de 42% prefirió cierto bateador en situaciones clave al final de juego? En futbol estar arriba y no tener el martillo. americano, ¿debería el equipo intentar una conversión de dos pun- También se recolectaron datos de 1985 a 1997 en el Campeo- tos después de un touchdown? En futbol soccer, ¿debería un tiro nato Varonil Canadiense de Curling (también conocido como el penal dirigirse directamente hacia el guardameta? En curling, en la Brier). Con base en los resultados de este periodo, es mejor estar última ronda, o “end” del juego, ¿es mejor estar atrás un punto y adelante por un punto y no tener el martillo al final del noveno tener el martillo , o es mejor estar adelante un punto y no tener el end, en vez de estar atrás por uno y tener el martillo, como mu- martillo? Se hace un intento para responder la última pregunta. chos individuos prefieren. Esto difirió de los resultados de la en- En el juego de curling, una piedra de granito, la “roca”, cuesta. Parece que los campeones del mundo y otros expertos se desliza sobre un corredor de hielo de 14 pies de ancho por 146 prefieren tener más control de su destino y el martillo, aun pies de largo. Cuatro jugadores de cada equipo toman turnos alter- cuando los ponga en una posición peor. nados para deslizar la roca, tratando de que quede lo más cerca posible del centro de un círculo llamado “casa” o “diana”. El equipo con la roca más cercana a esta gana puntos. El equipo que está atrás Fuente: Basada en Keith A. Willoughby y Kent J. Kostuk. “Preferred Scena- al término de una ronda o end tiene la ventaja en el siguiente end rios in the Sport of Curling”, lnterfaces 34, 2 (marzo-abril, 2004): 117-122. Área bajo la curva normal Debido a que la distribución normal es simétrica, su punto medio (y más alto) está en la media. En- tonces, los valores en el eje X se miden en términos de cuántas desviaciones estándar están separados de la media. Como recordará del estudio anterior de distribuciones de probabilidad, el área bajo la curva (en una distribución continua) describe la probabilidad de que una variable aleatoria tenga un valor en un intervalo específico. Cuando se trata de la distribución uniforme, es sencillo calcular el área entre dos puntos a y b. La distribución normal requiere cálculos matemáticos que están más allá del alcance de este libro, pero se dispone de tablas que dan las áreas o las probabilidades. Uso de la tabla normal estándar Al encontrar probabilidades para la distribución normal, es mejor dibujar la curva normal y sombrear el área que corresponde a la probabilidad que se busca. Luego, se emplea la tabla de distribución nor- mal para encontrar las probabilidades siguiendo los dos pasos que se indican a continuación. Paso 1. Convertir la distribución normal en lo que llamamos distribución normal estándar. Una distribución normal estándar tiene media 0 y desviación estándar igual a 1. Todas las tablas normales 2.11 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 43 FIGURA 2.9 Distribución normal con valores diferentes de S  sin cambio,  más pequeña  sin cambio,  más grande  se establecen para manejar variables con m 5 0 y s 5 1. Sin una distribución normal estándar, se necesitaría una tabla diferente para cada par de valores de m y s. Llamamos Z a la nueva variable aleatoria estándar. El valor para Z en cualquier distribución normal se calcula con la ecuación: X -  Z = (2-15)  donde X 5 valor de la variable aleatoria que se busca medir m 5 media de la distribución s 5 desviación estándar de la distribución Z 5 número de desviaciones estándar entre X y la media m Por ejemplo, si m 5 100, s 5 15, y nos interesa encontrar la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor que 130, queremos P(X , 130): X -  130 - 100 Z = =  15 30 = = 2 desviaciones estándar 15 Esto significa que el punto X está a 2.0 desviaciones estándar a la derecha de la media, como se in- dica en la figura 2.10. Paso 2. Buscar la probabilidad en la tabla de áreas de la curva normal. La tabla 2.9 que también aparece en el apéndice A, es la tabla de áreas para la distribución normal estándar. Se establece para proporcionar el área bajo la curva a la izquierda de cualquier valor especificado de Z. Ahora veamos cómo se utiliza la tabla 2.9. La columna de la izquierda numera los valores de Z donde el segundo lugar decimal de Z aparece en la primera fila. Por ejemplo, para el valor de Z 5 2.00 que se acaba de calcular, encuentre 2.0 en la columna de la izquierda y 0.00 en la primera fila. En el cuerpo de la tabla, encontramos que el área buscada es 0.97725 o 97.7%. Entonces, P1X 6 1302 = P1Z 6 2.002 = 97.7% Esto sugiere que si la puntuación media del CI es de 100 con una desviación estándar de 15 pun- tos, la probabilidad de que el CI de una persona seleccionada al azar sea menor que 130 es de 97.7%. Esta también es la probabilidad de que el CI sea menor que o igual a 130. Para encontrar la probabili- dad de que el CI sea mayor que 130, simplemente observamos que se trata del complemento del evento anterior y el área total bajo la curva (la probabilidad total) es 1. Así, P1X 7 1302 = 1 - P1X … 1302 = 1 - P1Z … 22 = 1 - 0.97725 = 0.02275 44 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.10 Distribución normal que muestra la relación entre los valores de Z y los valores de X   100 P(X < 130)   15 X  CI 55 70 85 100 115 130 145  x– Z  –3 –2 –1 0 1 2 3 Para que esté seguro de que Mientras que la tabla 2.9 no da valores negativos de Z, la simetría de la distribución normal se utiliza para entiende el concepto de simetría en encontrar probabilidades asociadas con valores negativos de Z. Por ejemplo, P(Z , 22) 5 P(Z . 2). la tabla 2.9, intente encontrar la Para sentirnos cómodos con el uso de la tabla de probabilidad normal estándar, debemos trabajar probabilidad de que X sea menor unos cuantos ejemplos más. Ahora usaremos la compañía Hynes Construction como caso. que 85, P1X<852. Observe que la tabla normal estándar muestra únicamente valores positivos de Z. Ejemplo de la compañía Hynes Construction La compañía Hynes Construction construye básicamente edificios de tres apartamentos y cuatro apartamentos para inversionistas y se piensa que el tiempo total de construcción en días sigue una distribución normal. El tiempo medio para construir un edificio de tres apartamentos es de 100 días y la desviación estándar es de 20 días. Recientemente, el presidente de Hynes Construction firmó un contrato para terminar un edificio de tres apartamentos en 125 días. Si falla en la entrega en los 125 días tendría que pagar una multa severa como penalización. ¿Cuál es la probabilidad de que Hynes no incumpla con su contrato de construcción? La distribución normal para la construcción de los edi- ficios de tres apartamentos se muestra en la figura 2.11. Para calcular esta probabilidad, necesitamos encontrar el área sombreada bajo la curva. Comen- zamos por calcular Z para este problema X -  Z =  125 - 100 = 20 25 = = 1.25 20 Al buscar en la tabla 2.9 el valor de Z de 1.25, encontramos el área bajo la curva de 0.89435. (Hacemos esto buscando 1.2 en la columna de la izquierda de la tabla y, luego, moviéndonos por la fila hacia la columna de 0.05 para encontrar el valor Z 5 1.25.) Por lo tanto, la probabilidad de no in- cumplir con el contrato es de 0.89435, es decir, una posibilidad cercana al 89%. Ahora veamos el problema de Hynes desde otra perspectiva. Si la empresa termina el edificio de tres apartamentos en 75 días o menos, obtendrá un bono de $5,000. ¿Cuál es la probabilidad de que Hynes reciba el bono? 2.11 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 45 TABLA 2.9 Función de distribución normal estandarizada ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 .50000 .50399 .50798 .51197 .51595 .51994 .52392 .52790 .53188 .53586 0.1 .53983 .54380 .54776 .55172 .55567 .55962 .56356 .56749 .57142 .57535 0.2 .57926 .58317 .58706 .59095 .59483 .59871 .60257 .60642 .61026 .61409 0.3 .61791 .62172 .62552 .62930 .63307 .63683 .64058 .64431 .64803 .65173 0.4 .65542 .65910 .66276 .66640 .67003 .67364 .67724 .68082 .68439 .68793 0.5 .69146 .69497 .69847 .70194 .70540 .70884 .71226 .71566 .71904 .72240 0.6 .72575 .72907 .73237 .73536 .73891 .74215 .74537 .74857 .75175 .75490 0.7 .75804 .76115 .76424 .76730 .77035 .77337 .77637 .77935 .78230 .78524 0.8 .78814 .79103 .79389 .79673 .79955 .80234 .80511 .80785 .81057 .81327 0.9 .81594 .81859 .82121 .82381 .82639 .82894 .83147 .83398 .83646 .83891 1.0 .84134 .84375 .84614 .84849 .85083 .85314 .85543 .85769 .85993 .86214 1.1 .86433 .86650 .86864 .87076 .87286 .87493 .87698 .87900 .88100 .88298 1.2 .88493 .88686 .88877 .89065 .89251 .89435 .89617 .89796 .89973 .90147 1.3 .90320 .90490 .90658 .90824 .90988 .91149 .91309 .91466 .91621 .91774 1.4 .91924 .92073 .92220 .92364 .92507 .92647 .92785 .92922 .93056 .93189 1.5 .93319 .93448 .93574 .93699 .93822 .93943 .94062 .94179 .94295 .94408 1.6 .94520 .94630 .94738 .94845 .94950 .95053 .95154 .95254 .95352 .95449 1.7 .95543 .95637 .95728 .95818 .95907 .95994 .96080 .96164 .96246 .96327 1.8 .96407 .96485 .96562 .96638 .96712 .96784 .96856 .96926 .96995 .97062 1.9 .97128 .97193 .97257 .97320 .97381 .97441 .97500 .97558 .97615 .97670 2.0 .97725 .97784 .97831 .97882 .97932 .97982 .98030 .98077 .98124 .98169 2.1 .98214 .98257 .98300 .98341 .98382 .98422 .98461 .98500 .98537 .98574 2.2 .98610 .98645 .98679 .98713 .98745 .98778 .98809 .98840 .98870 .98899 2.3 .98928 .98956 .98983 .99010 .99036 .99061 .99086 .99111 .99134 .99158 2.4 .99180 .99202 .99224 .99245 .99266 .99286 .99305 .99324 .99343 .99361 2.5 .99379 .99396 .99413 .99430 .99446 .99461 .99477 .99492 .99506 .99520 2.6 .99534 .99547 .99560 .99573 .99585 .99598 .99609 .99621 .99632 .99643 2.7 .99653 .99664 .99674 .99683 .99693 .99702 .99711 .99720 .99728 .99736 2.8 .99744 .99752 .99760 .99767 .99774 .99781 .99788 .99795 .99801 .99807 2.9 .99813 .99819 .99825 .99831 .99836 .99841 .99846 .99851 .99856 .99861 3.0 .99865 .99869 .99874 .99878 .99882 .99886 .99889 .99893 .99896 .99900 3.1 .99903 .99906 .99910 .99913 .99916 .99918 .99921 .99924 .99926 .99929 3.2 .99931 .99934 .99936 .99938 .99940 .99942 .99944 .99946 .99948 .99950 3.3 .99952 .99953 .99955 .99957 .99958 .99960 .99961 .99962 .99964 .99965 3.4 .99966 .99968 .99969 .99970 .99971 .99972 .99973 .99974 .99975 .99976 3.5 .99977 .99978 .99978 .99979 .99980 .99981 .99981 .99982 .99983 .99983 3.6 .99984 .99985 .99985 .99986 .99986 .99987 .99987 .99988 .99988 .99989 3.7 .99989 .99990 .99990 .99990 .99991 .99991 .99992 .99992 .99992 .99992 3.8 .99993 .99993 .99993 .99994 .99994 .99994 .99994 .99995 .99995 .99995 3.9 .99995 .99995 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99996 .99997 .99997 Fuente: Richard I. Levin y Charles A. Kirkpatrick. Quantitative Approaches to Management, 4a. ed. Copyright © 1978, 1975, 1971, 1965 de McGraw- Hill, Inc. Usado con autorización de McGraw-Hill Book Company. 46 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.11 Distribución normal para P (X  125) Hynes Construction 0.89435   100 días X  125 días   20 días Z  1.25 La figura 2.12 ilustra la probabilidad que buscamos con el área sombreada. El primer paso es de nueva cuenta calcular el valor de Z: X - m Z = s 75 - 100 = 20 -25 = = - 1.25 20 Este valor de Z indica que 75 días está a –1.25 desviaciones estándar a la izquierda de la media. Sin embargo, la tabla normal estándar está estructurada para manejar tan solo valores de Z positivos. Para resolver este problema, observamos que la curva es simétrica. La probabilidad de que Haynes ter- mine en 75 días o menos es equivalente a la probabilidad de que termine en más de 125 días. Hace un momento (en la figura 2.11) encontramos la probabilidad de que Haynes termine en menos de 125 días. Ese valor es de 0.89435. De manera que la probabilidad de que le lleve más de 125 días es P1X 7 1252 = 1.0 - P1X … 1252 = 1.0 - 0.89435 = 0.10565 Así, la probabilidad de que termine la construcción del edificio de tres apartamentos en 75 días o menos es de 0.10565, o aproximadamente 11%. Un ejemplo final: ¿cuál es la probabilidad de que la construcción del edificio de tres apartamen- tos tome entre 110 y 125 días? Vemos en la figura 2.13 que P1110 6 X 6 1252 = P1X … 1252 - P1X 6 1102 Es decir, el área sombreada en la gráfica se calcula con la probabilidad de terminar la construcción en 125 días o menos, menos la probabilidad de terminar en 110 días o menos. FIGURA 2.12 Probabilidad de que Haynes reciba el bono P(X  75 días) por terminar en 75 días Área de 0.89435 o menos interés X  75 días   100 días Z  1.25 2.11 LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 47 FIGURA 2.13 Probabilidad de que Hynes termine entre   20 días 110 y 125 días   100 110 125 días días días Recuerde que P(X # 125 días) es igual a 0.89435. Para encontrar P(X , 110 días), seguimos los dos pasos desarrollados antes: X - m 110 - 100 10 1. Z = = = s 20 20 = 0.5 desviaciones estándar 2. De la tabla 2.9, el área para Z 5 0.50 es de 0.69146. De modo que la probabilidad de terminar el edificio de tres apartamentos en menos de 110 días es de 0.69146. Por último, P1110 … X … 1252 = 0.89435 - 0.69146 = 0.20289 La probabilidad de que tome entre 110 y 125 es aproximadamente de 20%. PROGRAMA 2.3A Función de la distribución normal para el ejemplo en una hoja de Excel 2010 PROGRAMA 2.3B Resultados de Excel para el ejemplo de la distribución normal 48 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.14 Probabilidades aproximadas con la regla 16% 68% empírica 16% La figura 2.14 es muy importante y  1  1 usted debería entender el a  b significado de áreas simétricas de ±1, 2 y 3 desviaciones estándar. Los gerentes con frecuencia hablan de intervalos de confianza de 95% 95% 2.5% 2.5% y 99% que, de manera burda, se refieren a gráficas de ± 2 y 3 desviaciones estándar. 2 2 a  b 0.15% 99.7% 0.15% 3 3 a  b Regla empírica Mientras que las tablas de la distribución normal suelen dar probabilidades precisas, muchas situa- ciones requieren menos precisión. La regla empírica se derivó de la distribución normal y una mane- ra sencilla de recordar cierta información básica acerca de la distribución normal. La regla empírica establece que para una distribución normal aproximadamente 68% de los valores estarán dentro de 1 desviación estándar de la media aproximadamente 95% de los valores estarán dentro de 2 desviaciones estándar de la media casi todos (cerca de 99.7%) los valores estarán dentro de 3 desviaciones estándar de la media La figura 2.14 ilustra la regla empírica. El área del punto a al punto b en el primer dibujo representa la probabilidad, aproximadamente de 68%, de que la variable aleatoria esté dentro de una desviación estándar de la media. El segundo dibujo ilustra la probabilidad, aproximadamente de 95%, de que la variable aleatoria esté dentro de 2 desviaciones estándar de la media. El último dibujo ilustra la pro- babilidad, cerca de 99.7% (casi todos), de que los valores de la variable aleatoria estén dentro de 3 desviaciones estándar de la media. 2.12 La distribución F La distribución F es una distribución de probabilidad continua útil en las pruebas de hipótesis acer- ca de las varianzas. La distribución F se utiliza en el capítulo 4 cuando se prueban los modelos de re- gresión por significancia. La figura 2.15 presenta una gráfica de la distribución F. Igual que con la gráfica de cualquier distribución continua, el área bajo la curva representa la probabilidad. Observe que para un valor grande de F, la probabilidad es muy pequeña. 2.12 LA DISTRIBUCIÓN F 49 FIGURA 2.15 Distribución F Fα El estadístico F es la razón de dos varianzas muestrales de distribuciones normales independien- tes. Cada distribución F tiene asociados dos conjuntos de grados de libertad (df). Uno de los grados de libertad se asocia con el numerador de la razón; y el otro, con el denominador de la razón. Los gra- dos de libertad se basan en los tamaños de las muestras usadas para calcular el numerador y el de- nominador. El apéndice D incluye valores de F asociados con la cola superior de la distribución para ciertas probabilidades (denotadas con ) y los grados de libertad para el numerador (df1) y los grados de li- bertad para el denominador (df2). Para encontrar el valor de F que está asociado con una probabilidad en particular y los grados de libertad, nos remitimos al apéndice D. Se usará la siguiente notación: df1 5 grados de libertad para el numerador df2 5 grados de libertad para el denominador Considere el siguiente ejemplo: df1 = 5 df2 = 6 = 0.05 Del apéndice D, F , df1, df2 = F0.05, 5, 6 = 4.39 lo cual significa P1F 7 4.392 = 0.05 La probabilidad es muy baja (tan solo 5%) de que el valor de F exceda 4.39. Existen 95% de proba- bilidades de que no exceda 4.39. Esto se ilustra en la figura 2.16. El apéndice D también incluye los valores de F asociados con 5 0.01. Los programas 2.4A y 2.4B ilustran las funciones de Excel para la distribución F. FIGURA 2.16 Valor de F para probabilidad de 0.05 con 5 y 6 grados de libertad 0.05 F = 4.39 50 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES PROGRAMA 2.4A Funciones para la distribución F en una Dados los grados de libertad y la probabilidad hoja de cálculo de Excel α = 0.05, esto regresa el valor de F 2010 correspondiente a 5% del área de la cola derecha. Esto da la probabilidad a la derecha del valor de F que se especifica. PROGRAMA 2.4B Resultados de Excel para la distribución F 2.13 La distribución exponencial La distribución exponencial, también llamada distribución exponencial negativa, se utiliza para calcu- lar problemas de líneas de espera. Esta distribución con frecuencia describe el tiempo requerido para atender a un cliente. La distribución exponencial es una distribución continua. Su función de probabili- dad está dada por f1X2 = ␮ e -␮x (2-16) donde X 5 variable aleatoria (tiempos de servicio) ␮ 5 número promedio de unidades que puede manejar la estación de servicio en un periodo específico e 5 2.718 (la base del logaritmo natural) 2.13 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL 51 FIGURA 2.17 f(X) Distribución exponencial X La forma general de la distribución exponencial se ilustra en la figura 2.17. Se puede demostrar que su valor esperado y varianza son 1 Valor esperado = = tiempo de servicio promedio (2-17) m 1 Varianza = (2-18) m2 Al igual que con otras distribuciones continuas, las probabilidades se encuentran determinando el área bajo la curva. Para la distribución normal, encontramos el área usando una tabla de probabili- dades. Para la distribución exponencial, las probabilidades se determinan usando la tecla exponente en una calculadora con la fórmula siguiente. La probabilidad de que el tiempo requerido (X), dis- tribuido exponencialmente, para atender a un cliente sea menor o igual que el tiempo t está dada por la fórmula P1X … t2 = 1 - e -t (2-19) El tiempo utilizado en la descripción de  determina las unidades para el tiempo t. Por ejemplo, si  es el número promedio atendido por hora, el tiempo t debe darse en horas. Si  es el número prome- dio atendido por minuto, el tiempo t debe darse en minutos. Ejemplo de Arnold’s Moffler El taller Arnold’s Muffler instala silenciadores en automóviles y camiones pequeños. El mecánico puede instalar silenciadores nuevos a una tasa aproximada de tres por hora y este tiempo de servicio sigue una distribución exponencial. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo para instalar un silencia- dor nuevo sea de 1冫2 hora o menos? Con la ecuación 2-19, X 5 tiempo de servicio con distribución exponencial  5 número promedio que se puede atender por periodo 5 3 por hora t = 1冫2 hora = 0.5 hora P1X … 0.52 = 1 - e-310.52 = 1 - e-1.5 = 1 - 0.2231 = 0.7769 La figura 2.18 muestra que el área bajo la curva de 0 a 0.5 es de 0.7769. Entonces, hay una probabili- dad cercana a 78% de que el tiempo no sea mayor que 0.5 horas, y de 22% de que el tiempo sea más largo. De manera similar, determinamos la probabilidad de que el tiempo de servicio no sea mayor que 1/3 de hora o 2/3 de hora, como sigue: b = 1 - e -3A3 B = 1 - e = 1 - 0.3679 = 0.6321 1 1 -1 PaX … 3 A2 B PaX … b = 1 - e -3 3 = 1 - e = 1 - 0.1353 = 0.8647 2 -2 3 52 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES FIGURA 2.18 2.5 Probabilidad de que el mecánico instale un silenciador en 0.5 horas 2 1.5 P(tiempo de servicio  0.5) = 0.7769 1 0.7769 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Mientras que la ecuación 2-19 da la probabilidad de que el tiempo (X) sea menor o igual que un valor dado de t, la probabilidad de que el tiempo sea mayor que un valor dado de t se encuentra observando que estos dos eventos son complementarios. Por ejemplo, para encontrar la probabilidad de que el mecánico del taller Arnold’s Muffler tarde más de 0.5 horas, tenemos P1X 7 0.52 = 1 - P1X … 0.52 = 1 - 0.7769 = 0.2231 Los programas 2.5A y 2.5B ilustran cómo una función en Excel puede encontrar probabilidades ex- ponenciales. PROGRAMA 2.5A Función para la distribución exponencial en una hoja de cálculo de Excel PROGRAMA 2.5B Resultados de Excel para la distribución exponencial 2.14 La distribución de Poisson La distribución de probabilidad de Una distribución de probabilidad discreta importante es la distribución de Poisson.1 La exami- Poisson se usa en muchos modelos namos porque tiene un rol fundamental para complementar la distribución exponencial en la teoría de de líneas de espera para líneas de espera en el capítulo 13. La distribución describe situaciones donde los clientes llegan representar patrones de llegada. de manera independiente durante cierto intervalo de tiempo y el número de llegadas depende de la 1Esta distribución, derivada por Simeon Denis Poisson en 1837, se pronuncia “Poason”. 2.14 LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 53 longitud del intervalo de tiempo. Los ejemplos incluyen pacientes que llegan a una clínica de salud, clientes que llegan a la ventanilla de un banco, la llegada de pasajeros a un aeropuerto y las llamadas telefónicas que pasan a través de una central. La fórmula de la distribución de Poisson es xe - P1X2 = (2-20) X! donde P(X) 5 probabilidad de que haya exactamente X llegadas u ocurrencias 5 número promedio de llegadas por unidad de tiempo (tasa media de llegadas), se pronuncia “lamda” e 5 2.718, base del logaritmo natural X 5 número de ocurrencias (0, 1, 2, . . .) La media y la varianza de la distribución de Poisson son iguales y se calculan simplemente como Valor esperado 5 (2-21) Varianza 5 (2-22) Con ayuda de la tabla en el apéndice C, es fácil encontrar los valores de e– y podemos usarlos en la fórmula para calcular las probabilidades. Por ejemplo, si 5 2, en el apéndice C vemos que e–2 5 0.1353. Las probabilidades de Poisson de que X sea 0, 1 y 2 cuando 5 2 son: e-llx P1X2 = X! e -220 10.135321 P102 = = = 0.1353 L 14% 0! 1 e -2 21 e -2 2 0.1353122 P112 = = = = 0.2706 L 27% 1! 1 1 e -2 22 e -2 4 0.1353142 P122 = = = = 0.2706 L 27% 2! 2112 2 Estas probabilidades, al igual que otras para 5 2 y 5 4, se muestran en la figura 2.19. Observe que la posibilidad de que lleguen 9 clientes o más en un periodo dado son prácticamente nulas. Los programas 2.6A y 2.6B ilustran cómo utilizar Excel para encontrar las probabilidades de Poisson. Debería notarse que las distribuciones exponencial y de Poisson están relacionadas. Si el número de ocurrencias por periodo sigue una distribución de Poisson, entonces, el tiempo entre ocurrencias sigue una distribución exponencial. Por ejemplo, si el número de llamadas telefónicas que llegan a un centro de servicio a clientes sigue una distribución de Poisson con media de 10 llamadas por hora, el tiempo entre cada llamada será exponencial con tiempo medio entre llamadas de 1>10 horas (6 minutos). FIGURA 2.19 Distribuciones de Poisson muestra con ␭ ⴝ 2 y ␭ ⴝ 4 0.30 0.25 0.25 0.20 Probabilidad Probabilidad 0.20 0.15 0.15 0.10 0.10 0.05 0.05 0.00 0.00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X X λ  2 Distribución λ  4 Distribución 54 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES PROGRAMA 2.6A Funciones para la distribución de Poisson en una hoja de cálculo de Excel 2010 PROGRAMA 2.6B Resultados de Excel para la distribución de Poisson Resumen Este capítulo presenta los conceptos fundamentales de probabili- También se cubrieron los temas de variables aleatorias, dis- dad y de las distribuciones de probabilidad. Los valores de proba- tribuciones de probabilidad discretas (como de Poisson y bino- bilidad se obtienen tanto objetiva como subjetivamente. Un solo mial), y distribuciones de probabilidad continuas (como normal, valor de probabilidad debe estar entre 0 y 1, y la suma de todos los F y exponencial). Una distribución de probabilidad es cualquier valores de probabilidad para todos los resultados posibles debe ser función de probabilidad que tiene un conjunto de eventos colecti- igual a 1. Además, los valores de probabilidad y los eventos vamente exhaustivos y mutuamente excluyentes. Todas las dis- pueden tener varias propiedades, como ser eventos mutuamente tribuciones de probabilidad siguen las reglas de probabilidad excluyentes, colectivamente exhaustivos, estadísticamente inde- básica mencionadas. pendientes y estadísticamente dependientes. Las reglas para calcu- Los temas estudiados aquí serán muy importantes en muchos lar los valores de probabilidad dependen de dichas propiedades capítulos por venir. Los conceptos básicos de probabilidad y de fundamentales. También es posible revisar los valores de probabi- distribuciones se utilizan para teoría de decisiones, control de in- lidad cuando se dispone de nueva información. Esto se hace me- ventarios, análisis de Markov, administración de proyectos, simu- diante el teorema de Bayes. lación y control estadístico de la calidad. Glosario Desviación estándar Raíz cuadrada de la varianza. Distribución normal Distribución continua con forma de Distribución binomial Distribución discreta que describe el campana que es una función de dos parámetros, la media y la número de éxitos en ensayos independientes de un proceso de desviación estándar de la distribución. Bernoulli. Enfoque clásico o lógico Manera objetiva de evaluar las Distribución de Poisson Distribución de probabilidad discreta probabilidades con base en la lógica. usada en la teoría de filas de espera. Enfoque de frecuencia relativa Una manera objetiva de Distribución de probabilidad Conjunto de todos los valores determinar las probabilidades con base en las frecuencias posibles de una variable aleatoria y sus probabilidades observadas en cierto número de ensayos. asociadas. Enfoque subjetivo Método para determinar los valores de Distribución de probabilidad continua Distribución de pro-babilidad con base en la experiencia o el juicio propios. probabilidad de una variable aleatoria continua. Eventos colectivamente exhaustivos Colección de todos los Distribución de probabilidad discreta Distribución de resultados posibles de un experimento. probabilidad de una variable aleatoria discreta. Eventos dependientes Situación en la cual la ocurrencia de un Distribución exponencial negativa Distribución de evento afecta la probabilidad de ocurrencia de otro evento. probabilidad continua que describe el tiempo entre las llegadas Eventos independientes Situación en que la ocurrencia de un de clientes a una fila de espera. evento no tiene efecto en la probabilidad de ocurrencia de Distribución F Distribución de probabilidad continua que es la un segundo evento. razón de las varianzas de muestras de dos distribuciones Eventos mutuamente excluyentes Situación donde tan solo un normales independientes. evento puede ocurrir en un ensayo o un experimento dado. ECUACIONES CLAVE 55 Función de densidad de probabilidad Función matemática Proceso de Bernoulli Proceso con dos resultados posibles, en que describe una distribución de probabilidad continua. Se cada serie de ensayos independientes, donde no cambian las representa mediante f (X). probabilidades de los resultados. Probabilidad Declaración acerca de la posibilidad de que Teorema de Bayes Fórmula que sirve para revisar ocurra un evento. Se expresa como un valor numérico entre probabilidades con base en nueva información. 0 y 1, inclusive. Valor esperado Promedio (ponderado) en una distribución de Probabilidad condicional Probabilidad de que ocurra un evento probabilidad. dado que otro tuvo lugar. Variable aleatoria Variable que asigna un número a cada Probabilidad conjunta Probabilidad de eventos que ocurren evento posible de un experimento. juntos (o uno después de otro). Variable aleatoria continua Variable aleatoria que puede tomar Probabilidad marginal Probabilidad simple de la ocurrencia de un conjunto de valores infinito o ilimitado. un evento. Variable aleatoria discreta Variable aleatoria que tan solo Probabilidad previa Valor de probabilidad determinado antes puede tomar un conjunto de valores finito o limitado. de obtener información nueva o adicional. Algunas veces se Varianza Medida de dispersión de la distribución de llama estimación de probabilidad a priori. probabilidad. Probabilidades posteriores o revisadas Valor de probabilidad que resulta de información nueva o adicional y las probabilidades previas. Ecuaciones clave (2-1) 0 … P1evento2 … 1 (2-12) Valor esperado 1media2 = np Declaración básica de probabilidad. Valor esperado de la distribución binomial. (2-2) P1A o B2 = P1A2 + P1B2 (2-13) Varianza = np11 - p2 Ley de la suma para eventos mutuamente excluyentes. Varianza de la distribución binomial. -1x - m22 (2-3) P1A o B2 = P1A2 + P1B2 - P1A y B2 1 2s 2 Ley de la suma para eventos que no son mutuamente ex- (2-14) f1X2 = e s12p cluyentes. Función de densidad para la distribución de probabilidad (2-4) P1AB2 = P1A2P1B2 normal. Probabilidad conjunta para eventos independientes. X - m P1AB2 (2-15) Z = s (2-5) P1A ƒ B2 = p1B2 Ecuación para calcular el número de desviaciones estándar, Probabilidad condicional. Z, a las que está el punto X de la media . (2-6) P1AB2 = P1A ƒ B2P1B2 (2-16) f1X2 = e -x Probabilidad conjunta para eventos dependientes. Distribución exponencial. P1B ƒ A2P1A2 1 (2-7) P1A ƒ B2 = (2-17) Valor esperado = P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 m Forma general del teorema de Bayes. Valor esperado de una distribución exponencial. n (2-8) E1X2 = a XiP1Xi2 1 (2-18) Varianza = i=1 m2 Ecuación para calcular el valor esperado (media) de una Varianza de la distribución exponencial. distribución de probabilidad discreta. (2-19) P1X … t2 = 1 - e -t n (2-9) s2 = Varianza = a 3Xi - E1X242P1Xi2 Fórmula para encontrar la probabilidad de que una variable i=1 aleatoria exponencial (X) sea menor o igual que el tiempo t. Ecuación para calcular la varianza de una distribución de probabilidad discreta. xe - (2-20) P1X2 = X! (2-10) s = 1varianza = 2s2 Distribución de Poisson. Ecuación para calcular la desviación estándar de la varianza. (2-21) Valor esperado = l n! Media de una distribución de Poisson. (2-11) Probabilidad de r éxitos en n ensayos = pr qn - r r!1n - r2! (2-22) Varianza = l Fórmula para calcular las probabilidades de una distribu- Varianza de la distribución de Poisson. ción de probabilidad binomial. 56 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES Problemas resueltos Problema resuelto 2-1 En los últimos 30 días, Roger’s Rural Roundup ha vendido 8, 9, 10 u 11 billetes de lotería. Nunca vendió menos de 8 ni más de 11. Suponiendo que el pasado es similar al futuro, determine la probabilidad para el número de billetes vendidos, si las ventas fueran de 8 billetes en 10 días, 9 billetes en 12 días, 10 billetes en 6 días y 11 billetes en 2 días. Solución VENTAS NÚM. DE DÍAS PROBABILIDAD 8 10 0.333 9 12 0.400 10 6 0.200 11 2 0.067 Total 30 1.000 Problema resuelto 2-2 Una clase tiene 30 estudiantes. Diez son mujeres (F) y ciudadanas estadounidenses (U); 12 son hombres (M) y ciudadanos estadounidenses; 6 son mujeres que no son ciudadanas estadounidenses (N); 2 son hom- bres que no son ciudadanos estadounidenses. Se selecciona un nombre al azar de la lista de la clase y es mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que la estu- diante sea ciudadana estadounidense? Solución 10 P1FU2 =冫30 = 0.333 6 P1FN2 冫30 = 0.200 = 12 P1MU2 =冫30 = 0.400 2 P1MN2 冫30 = 0.067 = P1F2 P1FU2 + P1FN2 = 0.333 + 0.200 = 0.533 = P1M2 P1MU2 + P1MN2 = 0.400 + 0.067 = 0.467 = P1U2 P1FU2 + P1MU2 = 0.333 + 0.400 = 0.733 = P1N2 P1FN2 + P1MN2 = 0.200 + 0.067 = 0.267 = P1FU2 0.333 P1U ƒ F2 = = = 0.625 P1F2 0.533 Problema resuelto 2-3 Su profesor le dice que si puede obtener 85 o más en su examen, tendrá 90% de posibilidades de alcanzar una A en el curso. Usted piensa que su posibilidad es tan solo de 50% de obtener 85 o más. Encuentre la probabilidad de ambos, que su calificación sea de 85 o más y que obtenga A en el curso. Solución P1A y 852 = P1A ƒ 852 * P1852 = 10.90210.502 = 45% PROBLEMAS RESUELTOS 57 Problema resuelto 2-4 Se preguntó a los estudiantes de una clase de estadística si creían que todos los exámenes en lunes después de un juego de futbol americano donde se gana al rival acérrimo deberían posponerse automáticamente. Los resultados fueron: Fuertemente de acuerdo 40 De acuerdo 30 Neutral 20 En desacuerdo 10 Fuertemente en desacuerdo 0 100 Transformamos esto en una calificación numérica, usando la siguiente escala para la variable aleatoria, para encontrar la distribución de probabilidades para los resultados: Fuertemente de acuerdo 5 De acuerdo 4 Neutral 3 En desacuerdo 2 Fuertemente en desacuerdo 1 Solución RESULTADO PROBABILIDAD, P (X) Fuertemente de acuerdo (5) 0.4 = 40>100 De acuerdo (4) 0.3 = 30>100 Neutral (3) 0.2 = 20>100 En desacuerdo (2) 0.1 = 10>100 Fuertemente en desacuerdo (1) 0.0 = 0>100 Total 1.0 = 100>100 Problema resuelto 2-5 Para el problema resuelto 2-4, sea X la calificación numérica. Calcule el valor esperado de X. Solución 5 E1X2 = a XiP1Xi2 = X1P1X12 + X2P1X22 i=1 + X3P1X32 + X4P1X42 + X5P1X52 = 510.42 + 410.32 + 310.22 + 210.12 + 1102 = 4.0 Problema resuelto 2-6 Calcule la varianza y la desviación estándar para la variable aleatoria X en los problemas resueltos 2-4 y 2-5. Solución 5 Varianza = a 1xi - E(x2)2P1xi2 i=1 = 15 - 42210.42 + 14 - 42210.32 + 13 - 42210.22 + 12 - 42210.12 + 11 - 42210.02 = 112210.42 + 102210.32 + 1-12210.22 + 1-22210.12 + 1-32210.02 = 0.4 + 0.0 + 0.2 + 0.4 + 0.0 = 1.0 58 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES La desviación estándar es s = 1Varianza = 11 = 1 Problema resuelto 2-7 Una candidata a un puesto de elección asegura que 60% de los electores votarán por ella. Si se toma una muestra de 5 electores registrados, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 digan que está en favor de esta candidata? Solución Utilizamos la distribución binomial con n 5 5, p 5 0.6 y r 5 3: 10.62310.425 - 3 = 0.3456 n! 5! P1exactamente 3 éxitos en 5 ensayos2 = pr qn - r = r!1n - r2! 3!15 - 32! Problema resuelto 2-8 Se puede decir que la longitud de las barras que salen de una nueva máquina cortadora se aproxima a una distribución normal con media de 10 pulgadas y desviación estándar de 0.2 pulgadas. Encuentre la proba- bilidad de que una barra seleccionada al azar tenga una longitud a) menor que 10.0 pulgadas b) entre 10.0 y 10.4 pulgadas c) entre 10.0 y 10.1 pulgadas d) entre 10.1 y 10.4 pulgadas e) entre 9.6 y 9.9 pulgadas f) entre 9.9 y 10.4 pulgadas g) entre 9.886 y 10.406 pulgadas Solución Primero calcule la distribución normal estándar, el valor de Z: X - m Z = s Después encuentre el área bajo la curva para el valor de Z dado usando la tabla de la distribución normal es- tándar. a) P1X 6 10.02 = 0.50000 b) P110.0 6 X 6 10.42 = 0.97725 - 0.50000 = 0.47725 c) P110.0 6 X 6 10.12 = 0.69146 - 0.50000 = 0.19146 d) P110.1 6 X 6 10.42 = 0.97725 - 0.69146 = 0.28579 e) P19.6 6 X 6 9.92 = 0.97725 - 0.69146 = 0.28579 f) P19.9 6 X 6 10.42 = 0.19146 + 0.47725 = 0.66871 g) P19.886 6 X 6 10.4062 = 0.47882 + 0.21566 = 0.69448 AUTOEVALUACIÓN 59 Autoevaluación 䊉 Antes de resolver la autoevaluación, consulte los objetivos de aprendizaje al inicio del capítulo, las notas al margen y el glosario al final del capítulo. 䊉 Utilice las soluciones al final del libro para corregir sus respuestas. 䊉 Estudie de nuevo las páginas que corresponden a cualquier pregunta cuya respuesta sea incorrecta o al material con el que se sienta inseguro. 1. Si tan solo puede ocurrir un evento en cualquier ensayo, 9. En una distribución normal estándar, la media es igual a entonces se dice que los eventos son a) 1. a) independientes. b) 0. b) exhaustivos. c) la varianza. c) mutuamente excluyentes. d) la desviación estándar. d) continuos. 10. La probabilidad de dos o más eventos independientes que 2. Las nuevas probabilidades que se encontraron con el ocurren es teorema de Bayes se denominan a) la probabilidad marginal. a) probabilidades previas. b) la probabilidad simple. b) probabilidades posteriores. c) la probabilidad condicional. c) probabilidades bayesianas. d) la probabilidad conjunta. d) probabilidades conjuntas. e) todo lo anterior. 3. Una medida de tendencia central es 11. En la distribución normal, 95.45% de la población está a) el valor esperado. dentro de b) la varianza. a) 1 desviación estándar de la media. c) la desviación estándar. b) 2 desviación estándar de la media. d) todo lo anterior. c) 3 desviación estándar de la media. 4. Para calcular la varianza se necesita conocer d) 4 desviación estándar de la media. a) los valores posibles de la variable. 12. Si una distribución normal tiene media de 200 y desviación b) el valor esperado de la variable. estándar de 10, ¿99.7% de la población cae dentro de qué c) la probabilidad de cada valor posible de la variable. intervalo de valores? d) todo lo anterior. a) 170–230 5. La raíz cuadrada de la varianza es b) 180–220 a) el valor esperado. c) 190–210 b) la desviación estándar. d) 175–225 c) el área bajo la curva. e) 170–220 d) todo lo anterior. 13. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces, la 6. ¿Cuál de los siguientes es un ejemplo de distribución probabilidad de la intersección de estos dos eventos es igual a discreta? a) 0. a) la distribución normal. b) 0.5. b) la distribución exponencial. c) 1.0. c) la distribución de Poisson. d) no puede determinarse sin más información. d) la distribución Z. 14. Si P(A) 5 0.4, P(B) 5 0.5 y P(A y B) 5 0.2, entonces, 7. El área total bajo la curva de cualquier distribución continua P(A|B) 5 debe ser igual a a) 0.80. a) 1. b) 0.50. b) 0. c) 0.10 c) 0.5. d) 0.40. d) ninguno de los anteriores. e) ninguno de los anteriores 8. Las probabilidades de todos los valores posibles de una 15. Si P(A) 5 0.4, P(B) 5 0.5 y P(A y B) 5 0.2, entonces, variable aleatoria discreta P(A o B) 5 a) pueden ser mayores que 1. a) 0.7. b) pueden ser negativas en algunas ocasiones. b) 0.9. c) deben sumar 1. c) 1.1. d) están representadas por el área bajo la curva. d) 0.2. e) ninguno de los anteriores. 60 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES Preguntas y problemas para análisis Preguntas para análisis A, B, C, D o F. La distribución de las calificaciones en 2-1 ¿Cuáles son las dos leyes de probabilidad básicas? los últimos dos años es la siguiente: 2-2 ¿Qué significa eventos mutuamente excluyentes? ¿Qué quiere decir colectivamente exhaustivos? Dé un ejem- CALIFICACIÓN NÚMERO DE ESTUDIANTES plo de cada uno. 2-3 Describa los diferentes enfoques usados para determi- A 80 nar valores de probabilidad. B 75 2-4 ¿Por qué la probabilidad de la intersección de dos even- C 90 tos se resta de la suma de las probabilidades de los dos eventos? D 30 2-5 ¿Cuál es la diferencia entre eventos dependientes y F 25 eventos independientes? Total 300 2-6 ¿Qué es el teorema de Bayes y cuándo se puede usar? 2-7 Describa las características de un proceso de Bernoulli. ¿Cómo se asocia un proceso de Bernoulli con la dis- Si esta distribución histórica es un buen indicador de tribución binomial? las calificaciones futuras, ¿cuál es la probabilidad 2-8 ¿Qué es una variable aleatoria? ¿Cuáles son los dife- de que un estudiante obtenga C en el curso? rentes tipos de variables aleatorias? 2-15 Un dólar de plata se lanza dos veces. Calcule la proba- 2-9 ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de proba- bilidad de que ocurra cada uno de los siguientes eventos: bilidad discreta y una distribución de probabilidad con- a) una cara en el primer lanzamiento tinua? Dé sus propios ejemplos de cada una. b) una cruz en el segundo lanzamiento dado que el 2-10 ¿Qué es el valor esperado y qué mide? ¿Cómo se calcu- primero fue cara la para una distribución de probabilidad discreta? c) dos cruces 2-11 ¿Qué es la varianza y qué mide? ¿Cómo se calcula para d) una cruz en el primero y una cara en el segundo una distribución de probabilidad discreta? e) una cruz en el primero y una cara en el segundo, o una cara en el primero y una cruz en el segundo 2-12 Mencione tres procesos de negocios que se puedan des- f) al menos una cara en los dos lanzamientos cribir mediante una distribución normal. 2-16 Una urna contiene 8 fichas rojas, 10 verdes y 2 blancas. 2-13 Después de evaluar la respuesta de los estudiantes a Se extrae una ficha y se reemplaza y, después, se extrae una pregunta acerca de un caso usado en clase, el pro- una segunda ficha. ¿Cuál es la probabilidad de sacar fesor elaboró la siguiente distribución de probabilidad. a) una ficha blanca la primera vez? ¿Qué tipo de distribución de probabilidad es? b) una ficha blanca la primera vez y una ficha roja la segunda vez? c) dos fichas verdes? RESPUESTA VARIABLE ALEATORIA, X PROBABILIDAD d) una ficha roja la segunda vez, dado que se extrajo una ficha blanca la primera vez? Excelente 5 0.05 2-17 Evertight, un fabricante líder de clavos de calidad, pro- Buena 4 0.25 duce clavos de 1, 2, 3, 4 y 5 pulgadas para diferentes Promedio 3 0.40 usos. En el proceso de producción, si hay un exceso de clavos o los clavos tiene un pequeño defecto, se colo- Regular 2 0.15 can en un contenedor común. Ayer, se colocaron en el Mala 1 0.15 contenedor 651 clavos de 1 pulgada, 243 de 2 pulgadas, 41 de 3 pulgadas, 451 de 4 pulgadas y 333 de 5 pul- gadas. Problemas a) ¿Cuál es la probabilidad de introducir la mano al contenedor y extraer un clavo de 4 pulgadas? 2-14 Un estudiante que cursa la asignatura de Ciencias Ad- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un clavo de 5 ministrativas 301 en East Haven University recibirá pulgadas? una de las cinco calificaciones posibles para el curso: c) Si una aplicación en particular requiere un clavo de 3 pulgadas o más corto, ¿cuál es la probabilidad de obtener un clavo que satisfaga el requerimiento de la aplicación? Nota: significa que el problema se resuelve con QM para Windows, indica 2-18 El año pasado, en la compañía Northern Manufactu- que el problema se resuelve con Excel QM y quiere decir que el problema se ring, 200 personas se resfriaron durante el año; 155 resuelve con QM para Windows o con Excel QM. personas que no hacen ejercicio tuvieron resfriado y el PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 61 resto de las personas con resfriado están en un pro- trar en el oasis que acaba de encontrar. Cierra sus ojos, grama de ejercicio semanal. La mitad de los 1,000 em- dormita durante 15 minutos, se despierta y camina al pleados realizan algún tipo de ejercicio. centro del oasis. La primera persona que ve esta vez es a) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado se también un beduino. ¿Cuál es la probabilidad posterior resfríe el próximo año? de que esté en El Kamin? b) Dado que un empleado interviene en un programa 2-23 Ace Machine Works estima que la probabilidad de que de ejercicio, ¿cuál es la probabilidad de que él o su torno esté bien ajustado es de 0.8. Cuando está bien ella se resfríe el próximo año? ajustado, hay una probabilidad de 0.9 de que las piezas c) ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que producidas pasen la inspección. Si el torno está fuera de no hace ejercicio se resfríe el próximo año? ajuste, sin embargo, la probabilidad de que la pieza pro- d) ¿Son eventos independientes hacer ejercicio y res- ducida sea buena es de solo 0.2. Se elige una pieza al friarse? Explique su respuesta. azar, se inspecciona y se encuentra que es aceptable. En 2-19 Los Reyes de Springfield, un equipo profesional de este punto, ¿cuál es la probabilidad posterior de que el básquetbol, ha ganado 12 de sus últimos 20 juegos y se torno esté bien ajustado? espera que continúe ganando a la misma tasa por- 2-24 La Liga de Softbol Boston South Fifth Street consiste centual. El gerente de boletaje del equipo está ansioso en tres equipos: equipo 1, Mama’s Boys, equipo 2, por atraer a una gran multitud al juego de mañana; no Killers; y equipo 3, Machos. Cada equipo juega con los obstante, piensa que ello depende de qué tan bien otros tan solo una vez durante la temporada. El registro jueguen esta noche los Reyes contra los Cometas de de resultados de los últimos 5 años es el siguiente: Galveston. Cree que la probabilidad de reunir a una gran multitud debería ser de 0.90 si el equipo gana hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo gane esta GANADOR (1) (2) (3) noche y que haya una gran multitud en el juego de mañana? Mama’s Boys (1) X 3 4 2-20 David Mashley es profesor en dos cursos de estadística The Killers (2) 2 X 1 en licenciatura en Kansas College. La clase de Estadís- The Machos (3) 1 4 X tica 201 consiste en 7 alumnos de segundo año y 3 de tercer año. El curso más avanzado de Estadística 301 tiene 2 estudiantes de segundo año y ocho de tercero. Cada fila representa el número de victorias en los últi- Como ejemplo de una técnica de muestreo de negocios, mos 5 años. Mama’s Boys vencieron 3 veces a los Ki- el profesor Mashley selecciona al azar, de las tarjetas de llers, 4 veces a los Machos, etcétera. Para el año pró- registro de Estadística 201, la tarjeta de un estudiante y ximo: luego la regresa. Si ese estudiante es de segundo año, a) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers ganen Mashley saca otra del mismo grupo; si no, extrae una todos los juegos? tarjeta al azar del grupo 301. ¿Son estas extracciones de b) ¿Cuál es la probabilidad de que los Machos ganen tarjeta eventos independientes? ¿Cuál es la probabili- al menos un juego? dad de que c) ¿Cuál es la probabilidad de que los Mama’s Boys a) salga un estudiante de tercer año la primera vez? ganen exactamente un juego? b) salga un estudiante de tercer año la segunda vez, d) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers ganen dado que primero salió uno de segundo año? menos de dos juegos? c) salga un estudiante de tercer año la segunda vez, 2-25 El calendario de juegos de los Killers para el próximo dado que primero salió uno de tercer año? año es el siguiente (remítase al problema 2-24): d) salga un estudiante de segundo año las dos veces? Juego 1: Machos e) salga un estudiante de tercer año las dos veces? Juego 2: Mama’s Boys f) salgan un estudiante de segundo año y uno de ter- a) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers ganen su cer año en las dos muestras, sin importar el orden? primer juego? 2-21 El oasis de Abu Ilan, en el centro del desierto de Negev, b) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers ganen su tiene una población de 20 hombres de la tribu beduina último juego? y 20 hombres de la tribu farime. El Kamin, un oasis c) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers alcancen cercano, tiene una población de 32 hombres beduinos y su punto de equilibrio: que ganen exactamente un 8 hombres farimes. Un soldado israelita perdido, y ac- juego? cidentalmente separado de su unidad, camina por el de- d) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers ganen sierto y llega a la orilla de uno de los oasis. No tiene todos los juegos? idea de cuál oasis encontró, pero el primer individuo e) ¿Cuál es la probabilidad de que los Killers pierdan que ve a la distancia es un beduino. ¿Cuál es la proba- todos los juegos? bilidad de que haya llegado a Abu Ilan? ¿Cuál es la f) ¿Le gustaría a usted ser el entrenador de los Killers? probabilidad de que esté en El Kamin? 2-26 El equipo de Northside Rifle tiene dos tiradores, Dick 2-22 El soldado israelita perdido mencionado en el pro- y Sally. Dick hace una diana 90% de las veces; y Sally blema 2-21 decide descansar unos minutos antes de en- 95% de las veces. 62 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES a) ¿Cuál es la probabilidad de que Dick o Sally, o am- 2-30 Harrington Health Food almacena 5 panes de caja de bos, hagan una diana si cada uno tira una vez? Neutro Bread. La distribución de probabilidad de la b) ¿Cuál es la probabilidad de que Dick y Sally hagan venta de este pan se proporciona en la siguiente tabla. ambos una diana? ¿Cuántos panes vende Harrington en promedio? c) ¿Hizo alguna suposición para responder a las pre- guntas anteriores? Si su respuesta es sí, ¿cree que NÚMERO DE PANES VENDIDOS PROBABILIDAD se justifica(n) la(s) suposición(es)? 0 0.05 2-27 En una muestra de 1,000 que representa una encuesta a 1 0.15 toda la población, 650 personas eran de Laketown y el resto eran de River City. De la muestra, 19 personas 2 0.20 tenían algún tipo de cáncer. De estas personas, 13 eran 3 0.25 de Laketown. 4 0.20 a) ¿Son independientes los eventos de vivir en Lake- town y tener algún tipo de cáncer? 5 0.15 b) ¿En cuál ciudad preferiría vivir, suponiendo que su objetivo principal es evitar tener cáncer? 2-31 ¿Cuáles son el valor esperado y la varianza de la si- 2-28 Calcule la probabilidad de que “el dado esté cargado, si guiente distribución de probabilidad? obtuvo un 3”, como se indica en ejemplo 7; esta vez VARIABLE ALEATORIA X PROBABILIDAD use la forma general del teorema de Bayes de la ecuación 2-7. 1 0.05 2-29 ¿Cuáles de las siguientes son distribuciones de proba- 2 0.05 bilidad? ¿Por qué? 3 0.10 a) 4 0.10 5 0.15 VARIABLE ALEATORIA X PROBABILIDAD 6 0.15 2 0.1 7 0.25 –1 0.2 8 0.15 0 0.3 2-32 Se tienen 10 preguntas de falso-verdadero en un exa- 1 0.25 men. Un estudiante se siente mal preparado para ese 2 0.15 examen y contesta las preguntas adivinando al azar cada una de ellas. b) a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga exactamente 7 aciertos? VARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga 1 1.1 exactamente 8 aciertos? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga 1.5 0.2 exactamente 9 aciertos? 2 0.3 d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga 2.5 0.25 exactamente 10 aciertos? e) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante tenga 3 –1.25 más de 6 aciertos? 2-33 Gary Schwartz es el vendedor estrella de su compañía. c) Los registros indican que logra una venta en 70% de sus visitas. Si ve a cuatro clientes potenciales, ¿cuál es la VARIABLE ALEATORIA Z PROBABILIDAD probabilidad de que logre exactamente 3 ventas? ¿Cuál 1 0.1 es la probabilidad de que logre exactamente 4 ventas? 2-34 Si 10% de todos los lectores de disco producidos en 2 0.2 una línea de ensamble están defectuosos, ¿cuál es la 3 0.3 probabilidad de que haya exactamente un lector defec- 4 0.4 tuoso en una muestra aleatoria de 5 lectores? ¿Cuál es la probabilidad de que no haya defectuosos en una 5 0.0 muestra aleatoria de 5? 2-35 Trowbridge Manufacturing produce estuches para computadoras personales y otros equipos electrónicos. El inspector de control de calidad de esta compañía cree que un proceso en particular está fuera de control. PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 63 En general, tan solo 5% de todos los estuches se con- durante los últimos 6 años. En promedio, Armstrong sideran defectuosos debido a decoloraciones. Si se Faber ha vendido 457,000 lápices cada año. Más aún, toma una muestra de 6 de esos estuches, ¿cuál es la 90% de las veces las ventas han estado entre 454,000 y probabilidad de que haya 0 defectuosos si el proceso 460,000 lápices. Se espera que las ventas sigan una dis- funciona correctamente? ¿Cuál es la probabilidad de tribución normal con media de 457,000 lápices. Estime que haya exactamente 1 estuche defectuoso? la desviación estándar de la distribución. (Sugerencia: 2-36 En referencia al ejemplo de Trowbridge Manufactu- trabaje hacia atrás en la tabla de la distribución normal ring del problema 2-35, el proceso de inspección de para determinar Z. Después aplique la ecuación 2-15.) control de la calidad es seleccionar 6 artículos, y si hay 2-41 El tiempo para terminar un proyecto de construcción 0 o 1 estuches defectuosos en el grupo de 6, se dice tiene distribución normal con media de 60 semanas y que el proceso está bajo control. Si el número de de- desviación estándar de 4 semanas. fectuosos es mayor que 1, el proceso está fuera de con- a) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto ter- trol. Suponga que la proporción real de artículos mine en 62 semanas o menos? defectuosos es de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de b) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto ter- que haya 0 o 1 defectuosos en una muestra de 6, si la mine en 66 semanas o menos? proporción real de defectuosos es de 0.15? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto tome 2-37 Un horno industrial utilizado para curar núcleos de más de 65 semanas? arena en una fábrica de bloques de motor para au- 2-42 Un nuevo sistema de cómputo integrado se va a instalar tomóviles pequeños puede mantener temperaturas alrededor del mundo para una corporación importante. más o menos constantes. El rango de temperatura del Se solicitan presupuestos para el proyecto y el contrato horno sigue una distribución normal con media de se dará a una de las licitaciones. Como parte de la pro- 450 °F y una desviación estándar de 25 °F. Leslie puesta del proyecto, los licitadores deben especificar Larsen, presidenta de la fábrica, está preocupada por cuánto tiempo les llevará. Habrá una multa significativa el alto número de núcleos defectuosos que se han pro- por terminar retrasados. Un contratista potencial deter- ducido en los últimos meses. Si el horno se calienta a mina que el tiempo promedio para terminar el proyecto más de 475 °F, el núcleo sale defectuoso. ¿Cuál es la es de 40 semanas con una desviación estándar de 5 se- probabilidad de que el horno ocasione un núcleo de- manas. Se supone que el tiempo requerido para termi- fectuoso? ¿Cuál es la probabilidad de que la tempe- nar este proyecto tiene distribución normal. ratura del horno esté entre 460° y 470 °F? a) Si la fecha de entrega del proyecto se establece en 2-38 Steve Goodman, supervisor de producción en la com- 40 semanas, ¿cuál es la probabilidad de que el pañía Florida Gold Fruit, estima que la venta promedio contratista tenga que pagar la multa (es decir, que de naranjas es de 4,700 y la desviación estándar es de el proyecto no se termine oportunamente)? 500 naranjas. Las ventas siguen una distribución normal. b) Si la fecha de entrega del proyecto se establece en a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean 43 semanas, ¿cuál es la probabilidad de que el mayores de 5,500 naranjas? contratista tenga que pagar la multa (es decir, que b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean el proyecto no se termine oportunamente)? mayores de 4,500 naranjas? c) Si el licitador desea establecer la fecha de entrega c) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean en la propuesta, de manera que haya una posibili- menores de 4,900 naranjas? dad tan solo de 5% de terminar retrasados (y, en d) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean consecuencia, una probabilidad de solo 5% de menores de 4,300 naranjas? tener que pagar la multa), ¿qué fecha de entrega 2-39 Susan Williams ha sido gerente de producción de se debería establecer? Medical Suppliers, Inc., durante los últimos 17 años. Me- 2-43 Los pacientes llegan a la sala de urgencias del hospi- dical Suppliers es un fabricante de vendajes y ca- tal Costa Valley a un promedio de 5 por día. La de- bestrillos. Durante los últimos 5 años, la demanda de manda de tratamiento en la sala de urgencias en el vendajes ha sido bastante constante. En promedio, hospital sigue una distribución de Poisson. las ventas aproximadas han sido de 87,000 paquetes a) Use el apéndice C para calcular la probabilidad de de vendajes. Susan tiene razón para creer que la dis- que haya exactamente 0, 1, 2, 3, 4 y 5 llegadas por tribución de los vendajes se comporta como una curva día. normal, con desviación estándar de 4,000 paquetes. b) ¿Cuál es la suma de estas probabilidades y por ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean qué el número es menor que 1? menores de 81,000 paquetes? 2-44 Use los datos del problema 2-43 para determinar la 2-40 Armstrong Faber fabrica un lápiz estándar del número probabilidad de más de 3 visitas para atención en la sa- 2 llamado Ultra-Lite. Desde que Chuck Armstrong la de urgencias durante cualquier día. fundó Armstrong Faber, las ventas han crecido de ma- 2-45 Los automóviles son enviados al taller Carla’s Muffler nera estable. Con el incremento en el precio de produc- para trabajos de reparación a una tasa de 3 por hora, tos de madera, Chuck se ha visto forzado a aumentar el siguiendo una distribución exponencial. precio de los lápices Ultra-Lite. Como resultado, la de- a) ¿Cuál es el tiempo esperado entre llegadas? manda del Ultra-Lite se ha mantenido bastante estable b) ¿Cuál es la varianza del tiempo entre llegadas? 64 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES 2-46 Después de un encuentro profesional de atletismo, debe el restaurante tendrá éxito, ¿cuál es la probabilidad de usarse una prueba específica para detectar la presencia que en realidad sea exitoso? de esteroides. Si hay esteroides, la prueba lo indicará 2-50 Un prestamista intentó incrementar su negocio anun- con precisión del 95% de las veces. Sin embargo, si no ciando una hipoteca de alto riesgo. Esta hipoteca está hay esteroides la prueba lo indicará 90% de las veces diseñada para clientes con una calificación de crédito (de manera que 10% de las veces es incorrecta y predice baja y la tasa de interés es más alta para compensar el la presencia de esteroides). Con base en datos históri- riesgo adicional. Durante el año pasado, 20% de estas cos, se cree que 2% de los atletas usan esteroides. Esta hipotecas resultaron en embargo, ya que los clientes no prueba se realiza a un atleta y resulta positiva. ¿Cuál pagaron sus préstamos. Se ha desarrollado un nuevo es la probabilidad de que esta persona realmente use es- sistema de selección para determinar si se aprueban a teroides? los clientes para los préstamos riesgosos. Cuando se 2-47 Se contrata a Market Researchers, Inc., para realizar un aplicó el sistema a una solicitud de crédito, el sistema estudio que determine si el mercado para un nuevo pro- la clasifica como “aprobado para préstamo”, o bien, ducto será bueno o malo. En estudios similares realiza- “rechazado para préstamo”. Cuando el nuevo sistema dos en el pasado, siempre que el mercado era en se aplicó a clientes recientes que no pagaron sus prés- realidad bueno, el estudio de investigación de mercado tamos, 90% de estos clientes se clasificaron como “re- indicó que sería bueno 85% de las veces. Por otro lado, chazado”. Cuando el mismo sistema se aplicó a clientes cuando el mercado era en realidad malo, el estudio recientes que pagaron sus préstamos, clasificó a 70% predijo incorrectamente que sería bueno 20% de las ve- de estos clientes como “aprobado”. ces. Antes de realizar el estudio, se cree que hay una a) Si un cliente paga su préstamo, ¿cuál es la proba- posibilidad de 70% de que el mercado sea bueno. bilidad de que el sistema lo hubiera clasificado en Cuando Market Researchers realiza un estudio para la categoría de solicitante rechazado? este producto, los resultados predicen que el mercado b) Si el sistema lo clasificó en la categoría de recha- será bueno. Dados los resultados de este estudio, ¿cuál zado, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente pa- es la probabilidad de que el mercado sea en realidad gará su préstamo? bueno? 2-51 Use la tabla F en el apéndice D para encontrar el valor 2-48 Policy Pollsters es una empresa de investigación de de F para el 5% superior de la distribución F con mercados que se especializa en encuestas políticas. a) df1 = 5, df2 = 10 Los registros indican que en elecciones pasadas, b) df1 = 8, df2 = 7 cuando se eligió a un candidato, Policy Pollsters había c) df1 = 3, df2 = 5 predicho con precisión esto 80% de las veces y estu- d) df1 = 10, df2 = 4 vieron equivocados 20% de las veces. Los registros 2-52 Use la tabla F en el apéndice D para encontrar el valor también muestran los candidatos que perdieron. Policy de F para el 1% superior de la distribución F con Pollsters predijo con exactitud que perderían 90% de a) df1 = 15, df2 = 6 las veces, y se equivocaron tan solo 10% de las veces. b) df1 = 12, df2 = 8 Antes de tomar la encuesta, existe una posibilidad de c) df1 = 3, df2 = 5 50% de ganar la elección. Si Policy Pollsters predice d) df1 = 9, df2 = 7 que un candidato ganará la elección, ¿cuál es la proba- 2-53 Para cada uno de los siguientes valores de F, determi- bilidad de que el candidato gane realmente? Si Policy ne si la probabilidad indicada es mayor o menor que Pollsters predice que un candidato perderá la elección, 5%: ¿cuál es la probabilidad de que el candidato pierda a) P1F3,4 7 6.82 realmente? b) P1F7,3 7 3.62 2-49 Burger City es una cadena grande de restaurantes de c) P1F20,20 7 2.62 comida rápida que se especializa en hamburguesas d) P1F7,5 7 5.12 gourmet. Ahora se utiliza un modelo matemático para e) P1F7,5 6 5.12 predecir el éxito de un nuevo restaurante según la loca- 2-54 Para cada uno de los siguientes valores de F, determi- lización y la información demográfica para esa área. En ne si la probabilidad indicada es mayor o menor que el pasado, 70% de todos los restaurantes que se abrie- 1%: ron tuvieron éxito. El modelo matemático se ha pro- a) P1F5,4 7 142 bado en restaurantes existentes para determinar su b) P1F6,3 7 302 efectividad. Para los restaurantes que tuvieron éxito, c) P1F10,12 7 4.22 90% de las veces el modelo lo predijo; mientras que d) P1F2,3 7 352 10% de las veces predijo un fracaso. Para los restau- e) P1F2,3 6 352 rantes que no tuvieron éxito, cuando se aplicó el mode- 2-55 Nite Time Inn tiene un número telefónico sin costo lo matemático 20% de las veces predijo de modo para que los clientes llamen en cualquier momento para equivocado que sería exitoso, en tanto que 80% de las hacer una reservación. Una llamada típica toma alrede- veces fue correcto y predijo que no tendría éxito. Si el dor de 4 minutos y el tiempo requerido sigue una dis- modelo se usa en un nuevo restaurante y predice que ESTUDIO DE CASO 65 tribución exponencial. Encuentre la probabilidad de c) exactamente de 3 que d) exactamente de 6 a) una llamada tome 3 minutos o menos e) menor que 2 b) una llamada tome 4 minutos o menos 2-57 En el ejemplo de Arnold’s Muffler para la distribución c) una llamada tome 5 minutos o menos exponencial en este capítulo, la tasa promedio de servi- d) una llamada tome más de 5 minutos cio dada es de 3 por hora, y los tiempos se expresaron 2-56 Durante las horas de trabajo normales en la costa este, en horas. Convierta la tasa promedio de servicio a las llamadas sin costo al número de reservaciones de números por minuto y convierta los tiempos a minutos. Nite Time Inn llegan a una tasa de 5 por minuto. Se ha Encuentre la probabilidad de que el tiempo de servicio determinado que el número de llamadas por minuto sea menor que 1/2 hora, 1/3 de hora y 2/3 de hora. puede describirse mediante la distribución de Poisson. Compare estas probabilidades con las encontradas en el Encuentre la probabilidad de que en el siguiente minu- ejemplo. to, el número de llamadas entrantes sea a) exactamente de 5 b) exactamente de 4 Problemas de tarea en Internet Vea en nuestra página de Internet, en www.pearsonenespañol.com/render, los problemas adi- cionales de tarea, problemas 2-58 a 2-65. Estudio de caso WTVX WTVX, canal 6, se encuentra en Eugene, Oregon, sede del equipo momento. Una vez un niño de 10 años preguntó qué ocasiona la de futbol americano de la University of Oregon. La estación neblina y Joe hizo un excelente trabajo al describir algunas de las pertenece a George Wilcox, un ex jugador del equipo, y es opera- diferentes causas. da por él mismo. Aunque hay otras estaciones de televisión en Eu- En ocasiones, no obstante, Joe comete errores. Por ejemplo, gene, WTVX es la única que tiene un reportero del clima que es una estudiante de preparatoria le preguntó que cuál era la posibili- miembro de la American Meteorological Society (AMS). Cada dad de tener 15 días de lluvia el siguiente mes (30 días). Joe hizo noche se presentaba a Joe Hummel como la única persona en el re- un cálculo rápido: (70%) ⫻ (15 días/30 días) 5 (70%)(1/2) 5 35%. porte del clima que es miembro de la AMS. Esto era idea de George Joe se dio cuenta rápidamente lo que se sentía equivocarse en una y creía que así daba a su estación el sello de calidad y ayudaba con ciudad universitaria. Recibió más de 50 llamadas de científicos, su participación de mercado. matemáticos y profesores para decirle que había cometido un Además de ser miembro de la AMS, Joe también es la persona error grave al calcular las posibilidades de tener 15 días de lluvia más popular en cualquiera de los programas locales nuevos. Joe durante los siguientes 30 días. Aunque Joe no entendía todas las siempre trata de encontrar maneras innovadoras de crear interés en fórmulas que le mencionaban los profesores, estaba decidido a en- el clima y esto suele ser difícil, sobre todo durante los meses de in- contrar la respuesta adecuada y hacer la corrección en una trans- vierno, cuando el clima parece ser el mismo durante largos perio- misión futura. dos de tiempo. El pronóstico de Joe para el próximo mes, por ejemplo, es que habrá 70% de posibilidades de lluvia todos los Preguntas para análisis días, y que lo que ocurra un día (lluvia o sol) no depende de 1. ¿Cuáles son las posibilidades de tener 15 días de lluvia du- ningún modo de lo que ocurra el día anterior. rante los siguientes 30 días? Una de las características más conocidas de Joe en el reporte 2. ¿Qué piensa de las suposiciones de Joe respecto al clima del clima es que invita a hacer preguntas durante la transmisión en para los siguientes 30 días? vivo. Las preguntas se hacen por teléfono y Joe las responde en el 66 CAPÍTULO 2 • CONCEPTOS DE PROBABILIDAD Y APLICACIONES Bibliografía Berenson, Mark, David Levine y Timothy Krehbiel. Basic Business Statistics, Hanke, J. E., A. G. Reitsch y D. W. Wichern. Business Forecasting, 9a. ed. 10a. ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2006. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008. Campbell, S. Flaws and Fallacies in Statistical Thinking. Upper Saddle River, Huff, D. How to Lie with Statistics. Nueva York: W. W. Norton & Company, NJ: Prentice Hall, 1974. Inc., 1954. Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vols. 1 y Newbold, Paul, William Carlson y Betty Thorne. Statistics for Business and 2. Nueva York: John Wiley & Sons, 1957 y 1968. Economics, 6a. ed., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2007. Groebner, David, Patrick Shannon, Phillip Fry y Kent Smith. Business Statis- tics, 8a. ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2011. Apéndice 2.1 Derivación del teorema de Bayes Sabemos que las fórmulas son correctas: P1AB2 P1A ƒ B2 = (1) P1B2 P1AB2 P1B ƒ A2 = P1A2 3que se pueden reescribir como P1AB2 = P1B ƒ A2P1A24 y (2) P1A¿B2 P1B ƒ A¿2 = P1A¿2 3que se puede reescribir como P1A¿B2 = P1B ƒ A¿2P1A¿24. (3) Más aún, por definición, sabemos que P1B2 = P1AB2 + P1A¿B2 = P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 (4) de (2) de (3) Al sustituir las ecuaciones 2 y 4 en la ecuación 1, P1AB2 de (2) P1A ƒ B2 = P1B2 P1B ƒ A2P1A2 = (5) P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 de (4) Esta es la forma general del teorema de Bayes, mostrada como la ecuación 2-7 en este capítulo. Apéndice 2.2 Estadística básica con Excel Funciones estadísticas Muchas funciones de estadística están disponibles en Excel 2010 y en versiones anteriores. Para ver la lista completa de funciones disponibles, de la pestaña de fórmulas en Excel 2010 o 2007, selec- cione fx (Insert function) y, luego, Statistical, como se indica en el programa 2.7. Despliegue la lista para ver todas las funciones disponibles. Los nombres de algunas de ellas cambian un poco de Excel 2007 a Excel 2010. Por ejemplo, la función para obtener una probabilidad con la distribución normal era NORMDIST en Excel 2007, mientras que la misma función en Excel 2010 es NORM.DIST (se agregó un punto entre NORM y DIST). APÉNDICE 2.2: ESTADÍSTICA BÁSICA CON EXCEL 67 PROGRAMA 2.7 Seleccione fx –Insert function. Acceso a las funciones de Seleccione la pestaña Formulas. estadística en Excel 2010 También puede llegar a estas funciones estadísticas haciendo clic en More Functions. Haga clic para desplazar el menú y, luego, seleccione Statistical. Despliegue la lista para ver todas las funciones. Resumen de información Se dispone de otros procedimientos estadísticos en el Analysis ToolPak, que es un complemento que viene con Excel. Este complemento proporciona un resumen de estadística descriptiva y realiza otros procedimientos estadísticos como regresión, que se estudia en el capítulo 4. Véase en el apéndice F al final del libro los detalles para activar ese complemento. CAPÍTULO 3 Análisis de decisiones OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al terminar de estudiar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Listar los pasos del proceso de toma de decisiones. 5. Desarrollar árboles de decisiones precisos y útiles. 2. Describir los tipos de situaciones para la toma de 6. Revisar estimaciones de probabilidad usando decisiones. análisis bayesiano. 3. Tomar decisiones con incertidumbre. 7. Usar la computadora para resolver problemas básicos 4. Usar valores de probabilidad para tomar decisiones de toma de decisiones. con riesgo. 8. Entender la importancia y el uso de la teoría de la utilidad en la toma de decisiones. CONTENIDO DEL CAPÍTULO 3.1 Introducción 3.6 Árboles de decisiones 3.2 Los seis pasos en la toma de decisiones 3.7 Cómo se estiman los valores de probabilidad en el 3.3 Tipos de entorno para la toma de decisiones análisis bayesiano 3.4 Toma de decisiones con incertidumbre 3.8 Teoría de la utilidad 3.5 Toma de decisiones con riesgo Resumen • Glosario • Ecuaciones clave • Problemas resueltos • Autoevaluación • Preguntas y problemas para análisis • Problemas de tarea en Internet • Estudio de caso: inicio de la corporación Right • Estudio de caso: Blake Electronics • Estudios caso en Internet • Bibliografía Apéndice 3.1 Modelos de decisiones con QM para Windows Apéndice 3.2 Árboles de decisiones con QM para Windows 69 70 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES 3.1 Introducción En gran medida, el éxito o el fracaso que experimenta un ser humano en la vida dependen de las de- cisiones que tome. La persona que dirigió el malogrado proyecto del transbordador Challenger ya no trabaja en la NASA. El individuo que diseñó el exitoso Mustang se convirtió en presidente de Ford. ¿Por qué y cómo tomaron sus decisiones estas personas? En general, ¿qué implica tomar buenas de- cisiones? Una decisión puede marcar la diferencia entre una carrera de éxitos y una no exitosa. La La teoría de decisiones es una teoría de las decisiones es un enfoque analítico y sistemático para el estudio de la toma de deci- manera analítica y sistemática de siones. En este capítulo, presentamos los modelos matemáticos útiles para ayudar a los gerentes a enfrentar los problemas. tomar las mejores decisiones posibles. Una buena decisión se basa en la ¿Qué marca la diferencia entre las buenas y las malas decisiones? Una buena decisión es aquella lógica. que se basa en la lógica, considera todos los datos disponibles y las alternativas posibles, y aplica el enfoque cuantitativo que se vaya a describir. En ocasiones, una buena decisión tiene un resultado ines- perado o desfavorable. No obstante, si se realiza de manera adecuada, todavía sería una buena de- cisión. Una mala decisión no está basada en la lógica, no utiliza toda la información disponible, no considera todas las alternativas ni emplea las técnicas cuantitativas adecuadas. Si alguien toma una mala decisión, pero es afortunado y ocurre un resultado favorable, de igual forma, tomó una mala de- cisión. Aunque algunas veces buenas decisiones lleven a malos resultados, a largo plazo, el uso de la teoría de las decisiones tendrá resultados exitosos. 3.2 Los seis pasos en la toma de decisiones Ya sea que usted esté decidiendo cortarse el cabello hoy, construir una planta de varios millones de dólares o comprar una cámara digital nueva, los pasos para tomar una buena decisión son en esencia los mismos: Seis pasos en la toma de decisiones 1. Definir con claridad el problema que enfrenta. 2. Hacer una lista de las alternativas posibles. 3. Identificar los resultados posibles o los estados de naturaleza. 4. Numerar los pagos (típicamente las ganancias) de cada combinación de alternativas y resultados. 5. Elegir uno de los modelos matemáticos de la teoría de las decisiones. 6. Aplicar el modelo y tomar la decisión. Usamos el caso de la compañía Thompson Lumber para ilustrar estos pasos de la teoría de las decisiones. John Thompson es el fundador y presidente de la compañía Thompson Lumber, una em- presa rentable localizada en Portland, Oregon. El primer paso consiste en definir Paso 1. El problema que identifica John Thompson es si expandir su línea de productos fabricando y el problema. comercializando un nuevo producto: casetas de almacenamiento para patios. El segundo paso de Thompson consiste en generar las alternativas que estén disponibles. En la teoría de las decisiones, una alternativa se define como un curso de acción o una estrategia que puede elegir el tomador de decisiones. El segundo paso es listar las Paso 2. John decide que sus alternativas son construir 1. una nueva planta grande para fabricar las alternativas casetas, 2. una planta pequeña, o bien, 3. ninguna planta (es decir, tiene la opción de no desarrollar la nueva línea del producto). Uno de los errores más grande que cometen quienes toman decisiones es omitir alternativas im- portantes. Aunque una alternativa en particular parezca inadecuada o de escaso valor, quizá resulte ser la mejor opción. El siguiente paso incluye identificar los resultados posibles de las diferentes alternativas. Un error común es olvidarse de algunos de los resultados posibles. Los tomadores de decisiones optimis- tas suelen ignorar los malos resultados, en tanto que los pesimistas podrían soslayar los resultados favorables. Si usted no considera todas las posibilidades, no tomará una decisión lógica y los resulta- dos podrían ser indeseables. Si no piensa que puede ocurrir lo peor, tal vez diseñe otro automóvil Ed- sel y pierda millones. En la teoría de las decisiones, esos resultados sobre los que el tomador de decisiones tiene escaso o ningún control se llaman estados de naturaleza. 3.3 TIPOS DE ENTORNO PARA LA TOMA DE DECISIONES 71 TABLA 3.1 ESTADO DE NATURALEZA Tabla de decisiones con valores condicionales MERCADO FAVORABLE MERCADO DESFAVORABLE ALTERNATIVA ($) ($) para Thompson Lumber Construir una planta 200,000 –180,000 grande Construir una planta 100,000 –20,000 pequeña No hacer nada 0 0 Nota: Es importante incluir todas las alternativas, como “no hacer nada”. El tercer paso consiste en Paso 3. Thompson determina que hay solamente dos resultados posibles: el mercado para las casetas identificar los resultados posibles. de almacenamiento podría ser favorable, lo cual significa que existe una demanda alta para el producto, o bien, ser desfavorable, es decir, que haya poca demanda para las casetas. Una vez identificadas las alternativas y los estados de naturaleza, el siguiente paso es expresar los pagos resultantes de cada combinación posible de alternativas y resultados. En la teoría de las de- cisiones, estos pagos reciben el nombre de valores condicionales. Desde luego, no todas las deci- siones deben basarse tan solo en dinero, ya que es aceptable cualquier medio apropiado de medir los beneficios. El cuarto paso consiste en listar los Paso 4. Como Thompson desea maximizar sus utilidades, puede usar la ganancia para evaluar cada pagos. consecuencia. John Thompson ya evaluó la ganancia potencial asociada con los diferentes resultados. Con un Durante el cuarto paso, quien toma las decisiones puede construir mercado favorable, piensa que la instalación grande daría una ganancia neta de $200,000 a su em- la tabla de decisiones o de pagos. presa. Aquí, $200,000 es un valor condicional porque el hecho de que Thompson reciba el dinero está condicionado, tanto a que construya una fábrica grande como a tener un buen mercado. Si el mercado es desfavorable, el valor condicional sería una pérdida neta de $180,000. Una planta pe- queña daría una ganancia neta de $100,000 en un mercado favorable, aunque habría una pérdida neta de $20,000 si el mercado fuera desfavorable. Por último, no hacer nada daría como resultado $0 de ganancia en cualquier mercado. La forma más sencilla de presentar estos valores es construyendo una tabla de decisiones, algunas veces llamada tabla de pagos. La tabla de decisiones para los valores condicionales de Thompson se presenta en la tabla 3.1. Todas las alternativas se colocan en la columna izquierda de la tabla, y todos los resultados posibles o estados de naturaleza se colocan en la primera fila. El cuerpo de la tabla contiene los pagos reales. Los dos últimos pasos son elegir y Pasos 5 y 6. Los dos últimos pasos son seleccionar un modelo de la teoría de las decisiones y aplicar el modelo de la teoría de las aplicarlo a los datos para ayudar a tomar la decisión. Seleccionar el modelo depende del entorno decisiones. donde está operando y de la cantidad de riesgo e incertidumbre que implica. 3.3 Tipos de entorno para la toma de decisiones Los tipos de decisiones que toma la gente dependen de cuánto conocimiento o información tengan acerca de la situación. Hay tres entornos para la toma de decisiones: 䊉 Toma de decisiones con certidumbre 䊉 Toma de decisiones con incertidumbre 䊉 Toma de decisiones con riesgo TIPO 1: TOMA DE DECISIONES CON CERTIDUMBRE En el entorno de toma de decisiones con cer- tidumbre, quienes toman las decisiones conocen con certeza la consecuencia de cada alternativa u opción de decisión. Naturalmente, elegirán la alternativa que maximice su bienestar o que dé el mejor resultado. Por ejemplo, digamos que usted tiene $1,000 para invertir durante 1 año. Una alternativa es abrir una cuenta de ahorros que paga 6% de interés y otra es invertir en un bono del Tesoro que paga 10% de interés. Si ambas inversiones son seguras y están garantizadas, existe la certidumbre de que el bono del Tesoro pagará un rendimiento mayor. El rendimiento después de un año será de $100 en intereses. 72 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES TIPO 2: TOMA DE DECISIONES CON INCERTIDUMBRE En la toma de decisiones con incertidum- bre, existen varios resultados posibles para cada alternativa y el tomador de decisiones no conoce las Las probabilidades no se conocen. probabilidades de los diferentes resultados. Como ejemplo, no se conoce la probabilidad de que un demócrata sea presidente de Estados Unidos dentro de 25 años. Algunas veces es imposible evaluar la probabilidad de éxito de un nuevo proyecto o producto. Los criterios de decisión con incertidum- bre se explican en la sección 3.4. TIPO 3: TOMA DE DECISIONES CON RIESGO En la toma de decisiones con riesgo, hay varios resul- Se conocen las probabilidades. tados posibles para cada alternativa y el tomador de decisiones conoce la probabilidad de ocurrencia de cada resultado. Sabemos, por ejemplo, que cuando se juega cartas con un mazo estándar, la proba- bilidad de que nos llegue un trébol es de 0.25. La probabilidad de obtener 5 al lanzar un dado es de 1/6. En la toma de decisiones con riesgo, quien toma las decisiones suele intentar maximizar su bienes- tar esperado. Los modelos de la teoría de las decisiones para problemas de negocios en este entorno casi siempre usan dos criterios equivalentes: maximizar el valor monetario esperado y minimizar la pérdida esperada. Veamos ahora cómo la toma de decisiones con certidumbre (entorno tipo 1) afectaría a John Thompson. Suponemos que John sabe exactamente qué pasará en el futuro. Si resulta que sabe con se- guridad que el mercado para las casetas de almacenamiento será favorable, ¿qué debería hacer? Ob- serve de nuevo los valores condicionales de Thompson Lumber en la tabla 3.1. Como el mercado es favorable, debería construir una planta grande, la cual tiene la ganancia más alta: $200,000. Pocos gerentes son tan afortunados como para tener información completa y conocimiento acerca de los estados de naturaleza que se consideran. La toma de decisiones con incertidumbre, que se estu- dia a continuación, es una situación más complicada. Podemos encontrar que dos personas diferentes con perspectivas distintas pueden elegir de manera adecuada dos alternativas diferentes. 3.4 Toma de decisiones con incertidumbre Cuando existen varios estados de naturaleza y un gerente no puede evaluar la probabilidad del resul- Los datos de probabilidades no tado con confianza, o cuando prácticamente no se dispone de datos de probabilidad, el entorno se están disponibles. llama toma de decisiones con incertidumbre. Hay varios criterios para tomar decisiones en estas condiciones. Las que se cubren en esta sección son las siguientes: 1. Optimista (maximax) 2. Pesimista (maximin) 3. Criterio de realismo (Hurwicz) 4. Probabilidades iguales (Laplace) 5. Arrepentimiento minimax Los primeros cuatro criterios se calculan directamente de la tabla de decisiones (de pagos), en tanto que el criterio arrepentimiento minimax requiere el uso de la tabla de la pérdida esperada. La presentación de los criterios para la toma de decisiones con incertidumbre (y también para la toma de decisiones con riesgo) se basa en la suposición de que el pago es algo donde son mejores los mayores valores y son deseables los valores altos. Para pagos como ganancias, ventas totales, rendimiento total sobre la inversión e interés ganado, la mejor decisión sería una cuyo resultado fuera algún tipo de pago máximo. Sin embargo, existen situaciones donde menores pagos (como costos) son mejores y estos pagos se minimizarían en vez de maximizarse. El enunciado del criterio de de- cisión se modificaría un poco para tales problemas de minimización. Se verá cada uno de los cinco modelos y se aplicará al ejemplo de Thompson Lumber. Optimista Maximax es un enfoque optimista. A utilizar el criterio optimista, se considera el mejor pago (máximo) para cada alternativa, y se elige la alternativa con el mejor (máximo) de ellos. El criterio optimista recibe el nombre de maximax. En la tabla 3.2 vemos que la opción optimista de Thompson es la primera alternativa, “construir una planta grande”. Al usar este criterio, puede lograrse el pago más alto de todos ($200,000 en este ejemplo), mientras que si se elige cualquier otra alternativa sería imposible lograr este pago tan alto. 3.4 TOMA DE DECISIONES CON INCERTIDUMBRE 73 TABLA 3.2 ESTADO DE NATURALEZA Decisión maximax de Thompson MERCADO MERCADO FAVORABLE DESFAVORABLE MÁXIMO DE ALTERNATIVA ($) ($) LA FILA ($) Construir una 200,000 –180,000 200,000 planta grande Maximax Construir una 100,000 –20,000 100,000 planta pequeña No hacer nada 0 0 0 Al usar el criterio optimista para minimizar problemas donde son mejores los pagos menores (como costos), usted vería el mejor pago (mínimo) de cada alternativa y elegiría aquella con la mejor (mínimo) de ellas. Pesimista Maximin es un enfoque pesimista. Al utilizar el criterio pesimista, se considera el peor pago (mínimo) de cada alternativa y se elige la que tiene el mejor (máximo) de ellas. Por consiguiente, el criterio pesimista en ocasiones se llama criterio maximin. Este criterio garantiza que el pago será al menos el valor maximin (el mejor de los peores valores). Elegir otra alternativa quizá permitiría que hubiera un peor pago (más bajo). La elección maximin de Thompson, “no hacer nada”, se muestra en la tabla 3.3. Esta decisión se asocia con el máximo de los números mínimos en cada fila o alternativa. Al usar el criterio pesimista para problemas de minimización donde los menores pagos (como costos) son mejores, se busca el peor pago (máximo) para cada alternativa y se elige la que tiene el mejor (mínimo) de ellos. Ambos criterios, maximax y maximin consideran tan solo un pago extremo para cada alterna- tiva, mientras que se ignoran los otros pagos. El siguiente criterio toma en cuenta ambos extremos. Criterio de realismo (criterio de Hurwicz) El criterio de realismo usa el Con frecuencia llamado promedio ponderado, el criterio de realismo (criterio de Hurwicz) es enfoque del promedio ponderado. un compromiso entre una decisión optimista y una pesimista. Para comenzar, se selecciona un coefi- ciente de realismo, ␣; esto mide el nivel de optimismo del tomador de decisiones. El valor de este coe- ficiente está entre 0 y 1. Cuando ␣ es 1, quien toma las decisiones está 100% optimista acerca del fu- turo. Cuando ␣ es 0, quien toma las decisiones es 100% pesimista acerca del futuro. La ventaja de este enfoque es que permite al tomador de decisiones manejar sentimientos personales acerca del opti- mismo y pesimismo relativos. El promedio ponderado se calcula como: Promedio ponderado ⫽ ␣ (mejor fila) ⫹ (1 – ␣)(peor fila) Para problemas de maximización, el mejor pago para una alternativa es el valor más alto, y el peor pago es el valor más bajo. Observe que cuando ␣ ⫽ 1, este criterio es el mismo que el optimista y TABLA 3.3 ESTADO DE NATURALEZA Decisión maximin de Thompson MERCADO MERCADO FAVORABLE DESFAVORABLE MÍNIMO DE ALTERNATIVA ($) ($) LA FILA ($) Construir una 200,000 –180,000 –180,000 planta grande Construir una 100,000 –20,000 –20,000 planta pequeña No hacer nada 0 0 0 Maximin 74 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES TABLA 3.4 ESTADO DE NATURALEZA Decisión con el criterio de realismo MERCADO MERCADO CRITERIO DE REALISMO FAVORABLE DESFAVORABLE O PROMEDIO PONDERADO de Thompson ALTERNATIVA ($) ($) (␣ ⴝ 0.8) $ Construir una 200,000 –180,000 124,000 planta grande Realismo Construir una 100,000 –20,000 76,000 planta pequeña No hacer nada 0 0 0 cuando ␣ ⫽ 0 este criterio es el mismo que el pesimista. Su valor se calcula para cada alternativa, y la alternativa con el mayor promedio ponderado es la elección. Si suponemos que John Thompson establece su coeficiente de realismo, ␣, en 0.80, la mejor de- cisión sería construir una planta grande. Como se observa en la tabla 3.4, esta alternativa tiene el mayor promedio ponderado: $124,000 ⫽ (0.80) ($200,00) ⫹ (0.20)(⫺$180,000). Al usar el criterio de realismo para problemas de minimización, el mejor pago para una alterna- tiva será la más baja en la fila y la peor sería la más alta en la fila. Se elige la alternativa con el menor promedio ponderado. Debido a que tan solo hay dos estados de naturaleza en el ejemplo de Thompson Lumber, única- mente están presentes dos pagos para cada alternativa y ambos se consideran. Sin embargo, si hay más de dos estados de naturaleza, este criterio ignora todos los pagos, excepto el mejor y el peor. El siguiente criterio toma en cuenta todos los pagos posibles de cada decisión. Probabilidades iguales (Laplace) El criterio de probabilidades Un criterio que usa todos los pagos para cada alternativa es el criterio de decisión de probabilidades iguales usa el resultado promedio. iguales, también llamado de Laplace. Ahora debe encontrarse el pago promedio para cada alterna- tiva y se elegirá la alternativa con el mejor promedio o el más alto. El enfoque de probabilidades iguales supone que todas las probabilidades de ocurrencia para los estados de naturaleza son las mis- mas y con ello cada estado de naturaleza tiene probabilidades iguales. La opción de probabilidades iguales para Thompon Lumber es la segunda alternativa, “construir una planta pequeña”, cuya estrategia, mostrada en la tabla 3.5, es la que tiene el máximo pago promedio. Al utilizar el criterio de probabilidades iguales para problemas de minimización, los cálculos son exactamente los mismos, pero la mejor alternativa es la que tiene el menor pago promedio. Arrepentimiento minimax El criterio de arrepentimiento El siguiente criterio de decisión que se estudiará se basa en la pérdida de oportunidad o el arrepen- minimax se basa en la pérdida de timiento. La pérdida de la oportunidad se refiere a la diferencia entre la ganancia o el pago óptimo oportunidad. por un estado de naturaleza dado y el pago real recibido por una decisión específica. En otras pala- bras, es la pérdida por no elegir la mejor alternativa en un estado de naturaleza dado. Ford usa la teoría de las decisiones para EN ACCIÓN elegir proveedores de refacciones pidió a los tomadores de decisiones en Ford que proporcionaran F ord Motor Company fabrica cerca de 5 millones de automóviles y camiones al año y emplea a más de 200,000 trabajadores en datos de sus proveedores (costos de refacciones, distancias, tiem- pos de entrega, confiabilidad del proveedor, etcétera) al igual que aproximadamente 100 instalaciones alrededor del mundo. Una el tipo de criterios de decisión que querían usar. Una vez ingresa- compañía tan grande con frecuencia necesita tomar grandes deci- dos los datos, el modelo da el mejor conjunto de proveedores para siones sobre proveedores con fechas de entrega rigurosas. cumplir una necesidad específica. El resultado es un sistema que Esta era la situación cuando los investigadores del MIT hicieron actualmente ahorra a Ford Motor Company más de $40 millones equipo con la gerencia de Ford y desarrollaron una herramienta de anuales. selección de proveedores impulsada por los datos. Este programa Fuente: Basada en E. Klampfl, Y. Fradkin, C. McDaniel y M. Wolcott. “Ford de cómputo ayuda en la toma de decisiones, aplicando algunos Uses OR to Make Urgent Sourcing Decisions in a Distressed Supplier Environ- criterios de toma de decisiones presentados en este capítulo. Se ment”. Interfaces 39, 5 (2009): 428-442. 3.4 TOMA DE DECISIONES CON INCERTIDUMBRE 75 TABLA 3.5 ESTADO DE NATURALEZA Decisiones con probabilidades iguales MERCADO MERCADO PROMEDIO FAVORABLE DESFAVORABLE DE LA FILA de Thompson ALTERNATIVA ($) ($) ($) Construir una 200,000 –180,000 10,000 planta grande Construir una 100,000 –20,000 40,000 planta pequeña Probabilidades iguales No hacer nada 0 0 0 El primer paso es crear la tabla de la pérdida de oportunidad determinando las pérdidas por no elegir la mejor alternativa para cada estado de naturaleza. La pérdida de oportunidad para cualquier estado de naturaleza, o cualquier columna, se calcula restando cada pago en la columna del mejor pago en la misma columna. Para un mercado favorable, el mejor pago es de $200,000, como resul- tado de la primera alternativa, “construir una planta grande”. Si se elige la segunda alternativa, se ob- tiene una ganancia de $100,000 en un mercado favorable y esto se compara con el mejor pago de $200,000. Así, la pérdida de oportunidad es 200,000 ⫺ 100,000 ⫽ 100,000. De manera similar, si se elige “no hacer nada” la pérdida de oportunidad es 200,000 ⫺ 0 ⫽ 200,000. Para un mercado desfavorable, el mejor pago es $0 como resultado de la tercera alternativa, “no hacer nada”, de manera que 0 es la pérdida de oportunidad. Las pérdidas de oportunidades para las otras alternativas se encuentran restando los pagos de este mejor pago ($0) en este estado de natu- raleza, como se indica en la tabla 3.6. La tabla de la pérdida de oportunidad para Thompson se mues- tra en la tabla 3.7. Si usamos la tabla de la pérdida de oportunidad (arrepentimiento), el criterio de arrepen- timiento minimax encuentra la alternativa que minimiza la pérdida de oportunidad máxima dentro de cada alternativa. Primero se encuentra la máxima (peor) pérdida de oportunidad para cada alterna- tiva. Luego, entre estos valores máximos, se elige la alternativa con el número mínimo (mejor). Al hacerlo, se garantiza que la pérdida de oportunidad que ocurre en realidad no sea mayor que este valor minimax. En la tabla 3.8 se observa que la elección de arrepentimiento minimax es la segunda alternativa, “construir una planta pequeña” y así se minimiza la pérdida de oportunidad máxima. Al calcular la pérdida de oportunidad para problemas de minimización como los que incluyen costos, el mejor pago o el mejor costo (más bajo) en una columna se resta de cada pago en esa columna. Una vez elaborada la tabla de la pérdida de oportunidad, se aplica el criterio de arrepen- timiento minimax de la misma manera descrita. Se encuentra la pérdida de oportunidad máxima para cada alternativa y se selecciona aquella que tiene el mínimo de estos máximos. Al igual que en los problemas de maximización, el costo de oportunidad nunca puede ser negativo. Hemos considerado varios criterios de toma de decisiones para utilizarlos cuando las probabili- dades de los estados de naturaleza no se conocen y no se pueden estimar. Ahora veremos qué hacer si se dispone de estas probabilidades. TABLA 3.6 TABLA 3.7 Determinación de las pérdidas de Tabla de la pérdida de oportunidad para Thompson Lumber oportunidad para Thompson Lumber ESTADO DE NATURALEZA ESTADO DE NATURALEZA MERCADO MERCADO MERCADO MERCADO ALTERNATIVA FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) Construir una 0 180,000 200,000 – 200,000 0 – (–180,000) planta grande 200,000 – 100,000 0 – (–20,000) Construir una 100,000 20,000 planta pequeña 200,000 – 0 0–0 No hacer nada 200,000 0 76 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES TABLA 3.8 ESTADO DE NATURALEZA Decisión minimax de Thompson usando la MERCADO MERCADO FAVORABLE DESFAVORABLE MÁXIMO DE pérdida de oportunidad ALTERNATIVA ($) ($) LA FILA($) Construir una 0 180,000 180,000 planta grande Construir una 100,000 20,000 100,000 planta pequeña Minimax No hacer nada 200,000 0 200,000 3.5 Toma de decisiones con riesgo La toma de decisiones con riesgo es una situación de decisión donde pueden ocurrir varios estados de naturaleza posibles y se conocen las probabilidades de que sucedan. En esta sección consideramos uno de los métodos más populares para la toma de decisiones con riesgo: seleccionar la alternativa con el mayor valor monetario esperado (o simplemente valor esperado). También se utilizan las probabili- dades con la tabla de la pérdida de oportunidad para minimizar la pérdida de oportunidad esperada. Valor monetario esperado Dada una tabla de decisiones con valores condicionales (pagos) que son valores monetarios y las pro- babilidades evaluadas para todos los estados de naturaleza, es posible determinar el valor monetario El VME es la suma ponderada esperado (VME) para cada alternativa. El valor esperado o valor medio es el valor promedio a largo de los pagos posibles para cada plazo de esa decisión. El VME para una alternativa es tan solo la suma de los pagos posibles de la al- alternativa. ternativa, cada uno ponderado por la probabilidad de que ese pago ocurra. Esto también se expresa simplemente como el valor esperado de X o E(X), que se estudió en la sección 2.9 del capítulo 2. VME1alternativo2 = ©XiP1Xi2 (3-1) donde: Xi = pago para el estado de naturaleza i P1Xi2 = probabilidad de lograr el pago Xi (es decir, probabilidad del estado de naturaleza i) © = símbolo de sumatoria Si esta suma se expande, se convierte en VME (alternativo) ⫽ (pago en el primer estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del primer estado de naturaleza) ⫹ (pago en el segundo estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del segundo estado de naturaleza) ⫹ ... ⫹ (pago en el último estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del último estado de naturaleza) Se elige entonces la alternativa con el máximo VME. Suponga que John Thompson piensa ahora que la probabilidad de un mercado favorable es exac- tamente la misma que la probabilidad de un mercado desfavorable: es decir, cada estado de naturaleza tiene una probabilidad de 0.50. ¿Qué alternativa daría el mayor valor monetario esperado? Para de- terminarla, John expande la tabla de decisiones, como se indica en la tabla 3.9. Sus cálculos son los siguientes: VME (planta grande) = 1$200,000210.502 + 1 - $180,000210.502 = $10,000 VME (planta pequeña) = 1$100,000210.502 + 1 - $20,000210.502 = $40,000 VME (no hacer nada) = 1$0210.502 + 1$0210.502 = $0 El valor esperado más grande ($40,000) es el resultado de la segunda alternativa, “construir una planta pequeña”. Así, Thompson debería proceder con el proyecto y hacer una planta pequeña para 3.5 TOMA DE DECISIONES CON RIESGO 77 TABLA 3.9 ESTADO DE NATURALEZA Tabla de decisiones con probabilidades y VME MERCADO MERCADO ALTERNATIVA FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) VME ($) para Thompson Lumber Construir una planta grande 200,000 –180,000 10,000 Construir una planta pequeña 100,000 –20,000 40,000 No hacer nada 0 0 0 Probabilidades 0.50 0.50 fabricar las casetas de almacenamiento. Los VME para la planta grande y no hacer nada son de $10,000 y $0, respectivamente. Cuando se emplea el criterio del valor monetario esperado en problemas de minimización, los cálculos son los mismos, pero se selecciona la alternativa con el menor VME. Valor esperado de la información perfecta Scientific Marketing, Inc., una empresa que propone ayudar a John a tomar decisiones sobre si cons- truir una planta para fabricar las casetas de almacenamiento, se acercó a John Thompson. Scientific Marketing asegura que su análisis técnico indicará a John con certidumbre si el mercado es favo- rable para su producto propuesto. En otras palabras, cambiará su entorno de una toma de decisiones con riesgo en uno de toma de decisiones con certidumbre. Esta información ayudaría a evitar que John cometa un error muy costoso. Scientific Marketing cobrará a Thompson $65,000 por la infor- mación. ¿Qué recomendaría usted a John? ¿Debería contratar a la empresa para hacer el estudio de mercado? Incluso si la información del estudio fuera perfectamente exacta, ¿valdría $65,000? ¿Cuánto valdría? Aunque es difícil contestar algunas de estas preguntas, determinar el valor de tal información perfecta sería muy útil. Obtener una cota superior sobre lo que debería estar dispuesto a gastar en información como la que vende Scientific Marketing. En esta sección se investigan dos El VEIP coloca una cota superior términos relacionados: el valor esperado de la información perfecta (VEIP) y el valor esperado sobre cuánto hay que pagar por la con información perfecta (VECIP). Las técnicas ayudarían a John a tomar su decisión acerca de información. contratar a la empresa de investigación de mercados. El valor esperado con información perfecta es el rendimiento promedio o esperado, a largo plazo, si tenemos información perfecta antes de tomar una decisión. Para calcular este valor, elegi- mos la mejor alternativa para cada estado de naturaleza y multiplicamos su pago por la probabilidad de ocurrencia de ese estado de naturaleza. VECIP ⫽ ⌺(mejor pago en el estado de naturaleza i) (probabilidad del estado de naturaleza i) (3-2) Si expandimos esto, se convierte en VECIP⫽ (mejor pago en el primer estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del primer estado de naturaleza) ⫹ (mejor pago en el segundo estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del segundo estado de naturaleza) ⫹ ... ⫹ (mejor pago en el último estado de naturaleza) ⫻ (probabilidad del último estado de naturaleza) El valor esperado de la información perfecta, VEIP, es el valor esperado con información perfecta, menos el valor esperado sin información perfecta (es decir, el VME mejor o máximo). Entonces, el VEIP es la mejora en el VME que resulta al tener información perfecta. VEIP ⫽ VECIP – el mejor VME (3-3) Remitiéndonos a la tabla 3.9, Thompson puede calcular el máximo que pagaría por información, El VEIP es el valor esperado con es decir, el valor esperado de la información perfecta o VEIP. El proceso consta de tres etapas. Primero, información perfecta menos el se encuentra la mejor retribución en cada estado de naturaleza. Si la información perfecta indica que el máximo VME. mercado será favorable, construirá la planta grande y la ganancia será de $200,000. Si la información perfecta indica que el mercado será desfavorable, se elige la alternativa “no hacer nada”, y la ganancia será de $0. Estos valores se muestran en la fila “con información perfecta” de la tabla 3.10. Segundo, se calcula el valor esperado con información perfecta. Luego, usando este resultado, se calcula el VEIP. 78 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES TABLA 3.10 ESTADO DE NATURALEZA Tabla de decisiones con información MERCADO MERCADO ALTERNATIVA FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) VME ($) perfecta Construir una planta grande 200,000 –180,000 10,000 Construir una planta pequeña 100,000 –20,000 40,000 No hacer nada 0 0 0 Con información perfecta 200,000 0 100,000 VECIP Probabilidades 0.50 0.50 El valor esperado con información perfecta es: VECIP = 1$200,000210.502 + 1$0210.502 = $100,000 Por ello, si tuviéramos información perfecta, el pago promediaría $100,000. El VME máximo sin información adicional es de $40,000 (de la tabla 3.9). Por lo tanto, el incre- mento en el VME es: VEIP ⫽ VECIP – VME máximo = $100,000 - $40,000 = $60,000 Así, lo más que Thompson estaría dispuesto a pagar por información perfecta son $60,000. Desde luego, esto se basa de nuevo en la suposición de que la probabilidad de cada estado de naturaleza es de 0.50. Este VEIP también nos indica que lo más que pagaríamos por cualquier información (perfecta o imperfecta) son $60,000. En una sección posterior veremos cómo dar un valor a la información im- perfecta o a la información de una muestra. Para encontrar el VEIP en problemas de minimización, el enfoque es similar. Se encuentra el mejor pago en cada estado de naturaleza, pero ahora es el menor pago de ese estado de naturaleza, en vez del mayor. El VECIP se calcula con estos valores más bajos y se compara con el mejor (menor) VME sin información perfecta. El VEIP es la mejora que resulta, y es el mejor VME – VECIP. Pérdida de oportunidad esperada La POE es el costo de no elegir la Un enfoque alternativo para maximizar el VME es minimizar la pérdida de oportunidad esperada mejor solución. (POE). Primero se construye una tabla de pérdida de oportunidad. Luego, se calcula la POE para cada alternativa, multiplicando la pérdida de oportunidad por la probabilidad y sumando los resultados. En la tabla 3.7 se presenta la pérdida de oportunidad para el ejemplo de Thompson Lumber. Si usamos estas pérdidas de oportunidad, calculamos el POE de cada alternativa multiplicando por la probabili- dad de cada estado de naturaleza por el valor adecuado de la pérdida de oportunidad, y sumamos los resultados: POE1construir una planta grande2 = 10.521$02 + 10.521$180,0002 = $90,000 POE1construir una planta pequeña2 = 10.521$100,0002 + 10.521$20,0002 = $60,000 POE1no hacer nada2 = 10.521$200,0002 + 10.521$02 = $100,000 La tabla 3.11 da estos resultados. Usando la POE mínima como criterio de decisión, la segunda alter- nativa “construir una planta pequeña” sería la mejor decisión. La POE siempre dará como Es importante observar que la mínima POE siempre dará como resultado la misma decisión que resultado la misma decisión que el el VME máximo y que el VEIP siempre será igual que la mínima POE. Si nos referimos al caso Thomp- máximo VME. son, usamos la tabla de pagos para calcular el VEIP en $60,000. Observe que este es la POE mínima que acabamos de calcular. 3.5 TOMA DE DECISIONES CON RIESGO 79 TABLA 3.11 ESTADO DE NATURALEZA Tabla de la POE para Thompson Lumber MERCADO MERCADO ALTERNATIVA FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) POE Construir una planta grande 0 180,000 90,000 Construir una planta pequeña 100,000 20,000 60,000 No hacer nada 200,000 0 100,000 Probabilidades 0.50 0.50 Análisis de sensibilidad En las secciones anteriores determinamos que la mejor decisión (con probabilidades conocidas) para Thompson Lumber era construir la planta pequeña, con un valor esperado de $40,000. Esta con- clusión depende de los valores de las consecuencias económicas y de dos valores de probabilidad El análisis de sensibilidad investiga para un mercado favorable y desfavorable. El análisis de sensibilidad investiga de qué modo cam- la forma en que cambiaría nuestra biaría nuestra decisión dado un cambio en los datos del problema. En esta sección, investigamos la decisión si los datos de entrada influencia que tendría un cambio en los valores de probabilidad sobre la decisión que enfrenta fueran diferentes. Thompson Lumber. Primero, definimos la siguiente variable: P ⫽ probabilidad de un mercado favorable Como únicamente hay dos estados de naturaleza, la probabilidad de un mercado desfavorable debe ser 1 ⫺ P. Podemos ahora expresar los VME en términos de P, como se indica en las siguientes ecuaciones. Una gráfica de estos valores del VME se ilustra en la figura 3.1. VME (planta grande) = $200,000P - $180,00011 - P2 = $200,000P - $180,000 + 180,000P = $380,000P - $180,000 VME (planta pequeña) = $100,000P - $20,00011 - P2 = $100,000P - $20,000 + 20,000P = $120,000P - $20,000 VME (no hacer nada) = $0P + $011 - P2 = $0 Como se observa en la figura 3.1, la mejor decisión es no hacer nada mientras P esté entre 0 y la probabilidad asociada con el punto 1, donde el VME por no hacer nada es igual al VME de la planta pequeña. Cuando P está entre las probabilidades de los puntos 1 y 2, la mejor decisión es construir la planta pequeña. El punto 2 es donde el VME para la planta pequeña es igual al VME para la planta FIGURA 3.1 Valores Análisis de sensibilidad del VME $300,000 $200,000 Punto 2 VME (planta grande) $100,000 Punto 1 VME (planta pequeña) 0 VME (no hacer nada) .167 .615 1 Valores de P ⫺$100,000 ⫺$200,000 80 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES grande. Cuando P es mayor que la probabilidad para el punto 2, la mejor decisión es construir la planta grande. Desde luego, esto es lo que se esperaría cuando P aumente. El valor de P en los puntos 1 y 2 se calcula como sigue: Punto 1: VME (no hacer nada) ⫽ VME (planta pequeña) 20,000 0 = $120,000P - $20,000 P = = 0.167 120,000 Punto 2: VME (planta pequeña) ⫽ VME (planta grande) $120,000P - $20,000 = $380,000P - $180,000 160,000 260,000P = 160,000 P = = 0.615 260,000 Los resultados de este análisis de sensibilidad se presentan en la siguiente tabla: MEJOR RANGO DE ALTERNATIVA VALORES DE P No hacer nada Menor que 0.167 Construir una planta pequeña 0.167 a 0.615 Construir una planta grande Mayor que 0.615 Uso de Excel QM para resolver problemas de teoría de decisiones Excel QM sirve para resolver una variedad de problemas de la teoría de las decisiones estudiados en este capítulo. Los programas 3.1A y 3.1B muestran el uso de Excel QM para resolver el caso Thomp- son Lumber. El programa 3.1A proporciona las fórmulas necesarias para calcular VME, maximin, maximax y otras medidas. El programa 3.1B son los resultados de estas fórmulas. PROGRAMA 3.1A Datos de entrada para el problema de Thompson Lumber usando Excel QM Calcule el VME (EMV en inglés) para cada alternativa usando la función SUMPRODUCT, el peor caso usando la función MIN y el mejor caso con la función MAX. Para calcular el VEIP (EVPI en inglés), encuentre el mejor resultado para cada escenario. Encuentre el mejor resultado para cada medida usando la función MAX Use SUMPRODUCT para calcular el producto de los mejores resultados por las probabilidades y encuentre la diferencia entre este y el mejor valor esperado que lleve al VEIP. 3.6 ÁRBOLES DE DECISIONES 81 PROGRAMA 3.1B Resultados para el problema de Thompson Lumber usando Excel QM 3.6 Árboles de decisiones Cualquier problema que se pueda presentar en una tabla de decisiones también se puede ilustrar con una gráfica denominada árbol de decisiones. Todos los árboles de decisiones son similares en cuanto a que contienen puntos de decisión o nodos de decisión y puntos de estados de naturaleza o nodos de estado de naturaleza: 䊉 Un nodo de decisión es aquel donde se puede elegir una entre varias alternativas 䊉 Un nodo de estado de naturaleza indica de los estados de naturaleza que pueden ocurrir Al dibujar un árbol, comenzamos por la izquierda y nos movemos hacia la derecha. Así, el árbol pre- senta decisiones y resultados en orden secuencial. Las líneas o ramas que salen de los cuadros (nodos de decisión) representan alternativas; en tanto que las ramas que salen de los círculos representan es- tados de naturaleza. La figura 3.2 da el árbol de decisiones básico para el ejemplo de Thompson Lum- ber. Primero, John decide entre construir una planta grande, una pequeña o ninguna. Después, una vez que toma esta decisión, ocurren los posibles estados de naturaleza o resultados (mercado favo- rable o desfavorable). El siguiente paso es colocar los pagos y las probabilidades en el árbol y comen- zar el análisis. El análisis de problemas con árboles de decisiones incluye cinco pasos: Cinco pasos para el análisis del árbol de decisiones 1. Definir el problema. 2. Estructurar o dibujar un árbol de decisiones. 3. Asignar probabilidades a cada estado de naturaleza. 4. Estimar los pagos para cada combinación posible de alternativas y estados de naturaleza. 5. Resolver el problema comparando los valores monetarios esperados (VME) para cada nodo de estado de naturaleza. Esto se hace trabajando hacia atrás, es decir, comenzando en la derecha del árbol y trabajando hacia atrás a los nodos de decisión a la izquierda. Además, en cada nodo de decisión, se selecciona la alternativa con el mejor VME. El árbol de decisiones final con los pagos y las probabilidades para la situación de decisión de John Thompson se muestra en la figura 3.3. Observe que los pagos se colocan a la derecha de cada rama del árbol. Las probabilidades se muestran entre paréntesis al lado de cada estado de natura- leza. Comenzando con los pagos a la derecha de la figura, se calculan los VME para cada estado de naturaleza y, luego, se colocan al lado de sus respectivos nodos. El VME del primer nodo es 82 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES FIGURA 3.2 Un nodo de decisión Un estado de naturaleza Árbol de decisiones de Thompson Mercado favorable a 1 un tr uir nde Mercado desfavorable ns ra Co nta g p l a Mercado favorable Construir una planta pequeña 2 No Mercado desfavorable ha cer na da de $10,000. Esto representa la rama desde el nodo de decisión de construir una planta grande. El VME para el nodo 2, construir una planta pequeña, es de $40,000. No construir o no hacer nada, desde luego, tiene un pago de $0. Debería elegirse la rama que sale el nodo de decisión que lleva al nodo del estado de naturaleza con el mayor VME. En el caso Thompson, tendría que construirse una planta pequeña. UNA DECISIÓN MÁS COMPLEJA PARA THOMPSON LUMBER: INFORMACIÓN MUESTRAL Cuando es necesario tomar decisiones secuenciales, los árboles de decisiones son una herramienta mucho más poderosa que las tablas de decisiones. Digamos que John Thompson tiene que tomar dos deci- siones, con la segunda decisión dependiente del resultado de la primera. Antes de decidir acerca de la construcción de la nueva planta, John tiene la opción de realizar su propio estudio de investigación de mercados a un costo de $10,000. La información de su estudio puede ayudarle a decidir si construir una planta grande, una pequeña o ninguna. John reconoce que ese estudio de mercado no le propor- cionará la información perfecta, aunque podría ayudarlo bastante de todas formas. El nuevo árbol de decisiones de John se representa en la figura 3.4. Observemos con cuidado Deben considerarse todos los este árbol más complejo. Note que incluye todos los resultados y las alternativas posibles en su se- resultados y todas las alternativas. cuencia lógica. Esta es una de las fortalezas de usar árboles de decisiones al tomar decisiones. El usuario está forzado a examinar todos los resultados posibles, incluyendo los desfavorables. También está forzado a tomar decisiones de manera lógica y secuencial. Al examinar el árbol, vemos que el primer punto de decisión de Thompson es realizar el estudio de mercado de $10,000. Si elige no hacerlo (parte inferior del árbol), puede ya sea construir una planta grande, una pequeña o ninguna. Este es el segundo punto de decisión de John. El mercado será favo- rable (probabilidad de 0.50) o desfavorable (también probabilidad de 0.50) si construye. Los pagos para cada una de las consecuencias posibles se listan en el lado derecho. De hecho, la parte inferior del árbol de John es idéntica al árbol de decisión más sencillo que se ilustra en la figura 3.3. ¿Por qué? FIGURA 3.3 Árbol de decisiones para VME para nodo 1 = (0.5)($200,000) + (0.5)( –$180,000) Thompson Lumber = $10,000 completo y resuelto Pagos Mercado favorable (0.5) Se elige la alternativa $200,000 con el mejor VME e r and 1 ta g Mercado desfavorable (0.5) plan –$180,000 la ruir nst Mercado favorable (0.5) Co Construir la planta $100,000 pequeña 2 No Mercado desfavorable (0.5) ha –$20,000 cer na da VME para nodo 2 = (0.5)($100,000) + (0.5)( –$20,000) = $40,000 $0 3.6 ÁRBOLES DE DECISIONES 83 FIGURA 3.4 Árbol de decisión más grande con pagos y probabilidades para Thompson Lumber Primer punto Segundo punto Pagos de decisión de decisión Mercado favorable (0.78) $190,000 e 2 Mercado desfavorable (0.22) nd –$190,000 gra nta Pla Mercado favorable (0.78) $90,000 Planta 3 Mercado desfavorable (0.22) pequeña ra do 5) –$30,000 fa su (0.4 es s Re dio vo lta tu Ninguna planta bl –$10,000 Es 1 Mercado favorable (0.27) Es $190,000 do tu de 4 di ltad s rca n Mercado desfavorable (0.73) Re ga o gra –$190,000 (0 os ne su tivo me nta .5 Pla 5) Mercado favorable (0.27) de Planta $90,000 io 5 Mercado desfavorable (0.73) tud pequeña –$30,000 r es za Ninguna planta ali –$10,000 Re No rea Mercado favorable (0.50) liza $200,000 re 6 stu d n de Mercado desfavorable (0.50) io d gra –$180,000 em n ta erc ad Pla Mercado favorable (0.50) $100,000 o Planta 7 Mercado desfavorable (0.50) pequeña –$20,000 Ninguna planta $0 La parte superior de la figura 3.4 refleja la decisión de realizar el estudio de mercado. El nodo 1 del estado de naturaleza tiene dos ramas. Hay 45% de posibilidades de que el estudio indique un mer- cado favorable para las casetas de almacenamiento. También vemos que la probabilidad de que el es- tudio resulte negativo es de 0.55. La derivación de esta probabilidad se analizará en la siguiente sección. La mayoría de las probabilidades El resto de las probabilidades que se muestran entre paréntesis en la figura 3.4 son todas proba- son probabilidades condicionales. bilidades condicionales o probabilidades posteriores (estas probabilidades también se analizarán en la siguiente sección). Por ejemplo, 0.78 es la probabilidad de un mercado favorable para las case- tas dado un resultado favorable en el estudio. Desde luego, se esperaría encontrar una alta probabili- dad de un mercado favorable, pues la investigación indicó que el mercado era bueno; sin embargo, no olvide que existe la posibilidad de que el estudio de $10,000 de John no proporcione información perfecta o ni siquiera confiable. Cualquier estudio de mercado está sujeto a error. En este caso, existe 22% de posibilidades de que el mercado para las casetas sea desfavorable dado que los resultados del estudio son positivos. Observamos que hay 27% de posibilidades de que el mercado de las casetas sea favorable dado que el estudio de John resulte negativo. La probabilidad es mucho mayor, 0.73, de que el mercado sea de hecho desfavorable dado que el estudio era negativo. El costo del estudio tiene que Por último, cuando vemos la columna de pagos en la figura 3.4, notamos que $10,000, el costo restarse de los pagos originales. del estudio de mercado, debería restarse de cada una de las 10 ramas superiores del árbol. Así, una planta grande con un mercado favorable generalmente daría una ganancia neta de $200,000; pero 84 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES como se realizó el estudio de mercado, esta cifra se reduce en $10,000, quedando en $190,000. El caso desfavorable, la pérdida de $180,000 aumentaría a una pérdida mayor de $190,000. De manera similar, realizar el estudio y no construir una planta ahora da como resultado un pago de –$10,000. Comenzamos por calcular el VME Con todas las probabilidades y pagos especificados, calculamos el VME en cada nodo del es- de cada rama. tado de naturaleza. Comenzamos por el final o por el lado derecho del árbol de decisiones, y traba- jamos hacia atrás hasta el origen. Al terminar, se conocerán las mejores decisiones. 1. Dado un resultado favorable en el estudio de mercado, VME (nodo 2) ⫽ VME (planta grande ƒ estudio positivo) = 10.7821$190,0002 + 10.2221 - $190,0002 = $106,400 VME (nodo 3) ⫽ VME (planta pequeña ƒ estudio positivo) = 10.7821$90,0002 + 10.2221 - $30,0002 = $63,600 Primero se hacen los cálculos del El VME de no construir la planta en este caso es de –$10,000. Así, cuando el estudio resulta VME para los resultados favorable, debería construirse una planta grande. Note que llevamos el valor esperado de esta favorables del estudio. decisión ($106,400) al nodo de decisión para indicar que, si los resultados del estudio son posi- tivos, nuestro valor esperado será de $106,400. Esto se muestra en la figura 3.5. 2. Dado un resultado negativo del estudio, VME (nodo 4) ⫽ VME (planta grande ƒ estudio negativo) = 10.2721$190,0002 + 10.7321 - $190,0002 = - $87,400 VME (nodo 5) ⫽ VME (planta pequeña ƒ estudio negativo) = 10.2721$90,0002 + 10.7321 - $30,0002 = $2,400 Los cálculos del VME para El VME de ninguna planta es de nuevo –$10,000 para esta rama. Así, dado un resultado resultados del estudio negativo del estudio, John debería construir una planta pequeña con un valor esperado de desfavorables se realizan después. $2,400 y esta cifra se indica en el nodo de decisión. 3. Continuando en la parte superior del árbol y moviéndonos hacia atrás, calculamos el valor esperado de realizar un estudio de mercado: Continuamos trabajando hacia VME (nodo 1) ⫽ VME (realizar estudio) atrás hasta el origen, calculando = 10.4521$106,4002 + 10.5521$2,4002 los VME. = $47,880 + $1,320 = $49,200 4. Si no se realiza el estudio de mercado, VME (nodo 6) ⫽ VME (planta grande) = 10.5021$200,0002 + 10.5021 - $180,0002 = $10,000 VME (nodo 7) ⫽ VME (planta pequeña) = 10.5021$100,0002 + 10.5021 - $20,0002 = $40,000 El VME de ninguna planta es de $0. Entonces, construir una planta pequeña es la mejor elección, dado que el estudio de mercado no se realiza, como se vio antes. 5. Nos movemos hacia atrás al primer nodo de decisión y elegimos la mejor alternativa. El valor monetario esperado de realizar el estudio es de $49,200 contra un VME de $40,000 cuando no se realiza el estudio, de manera que la mejor opción es buscar información de marketing. Si el estudio resulta favorable, John debería construir una planta grande; pero si resulta negativo, de- bería construir una planta pequeña. En la figura 3.5, estos valores esperados se colocan en el árbol de decisiones. Observe que en el árbol un par de diagonales / / que cruzan una rama de decisiones indican que se deja de considerar una alternativa específica. Esto se debe a que su VME es más bajo que el VME para la mejor alterna- tiva. Después de resolver varios problemas del árbol de decisiones, es posible que encuentre más sen- cillo hacer todos los cálculos en el diagrama de árbol. 3.6 ÁRBOLES DE DECISIONES 85 FIGURA 3.5 Árbol de decisiones para Thompson que muestra los VME Primer punto Segundo punto Pagos de decisión de decisión $106,400 Mercado favorable (0.78) $190,000 nta 2 Mercado desfavorable (0.22) Pla nde –$190,000 gra $63,600 $106,400 Mercado favorable (0.78) Planta $90,000 3 o Mercado desfavorable (0.22) fa l e ltad pequeña o –$30,000 (0 rab udi de esu 5) e vo st l R Ninguna planta .4 –$10,000 Re l e tivo 49,200 1 de ga –$87,400 su tu Mercado favorable (0.27) $190,000 do ne .55 lta dio s do rca nta 4 Mercado desfavorable (0.73) (0 Pla nde –$190,000 me gr a ) de $2,400 Mercado favorable (0.27) $2,400 $90,000 io Planta tud 5 Mercado desfavorable (0.73) pequeña –$30,000 es un ar Ninguna planta aliz –$10,000 Re $49,200 No rea liza ru ne stu $10,000 Mercado favorable (0.50) dio $200,000 de 6 me nta Mercado desfavorable (0.50) rca Pla nde –$180,000 do gra $40,000 Mercado favorable (0.50) $40,000 Planta $100,000 7 Mercado desfavorable (0.50) pequeña –$20,000 Ninguna planta $0 VALOR ESPERADO DE LA INFORMACIÓN MUESTRAL Con el estudio de mercado que intenta realizar, John Thompson sabe que su mejor decisión será construir una planta grande si el estudio es favorable, o bien, una planta pequeña si el estudio resulta negativo. No obstante, John también se da cuenta de que investigar el mercado no es gratis. Le gustaría saber cuál es el valor real de hacer un estudio. Una forma de medir el valor de la información de mercado es calcular el valor esperado de la información mues- tral (VEIM), que es el incremento en el valor esperado como resultado de la información muestral. El valor esperado con información muestral (VE con IM) se encuentra a partir del árbol de deci- siones y el costo de la información muestral se agrega a este, pues se restó de todas los pagos antes El VEIM mide el valor de la de calcular el VE con IM. Ahora, el valor esperado sin información muestral (VE sin IM) se resta de información muestral. esto para determinar el valor de la información de la muestra. VEIM ⫽ (VE con IM ⫹ costo) – (VE sin IM) (3-4) donde: VEIM ⫽ valor esperado de la información muestral VE con IM ⫽ valor esperado con información muestral VE sin IM ⫽ valor esperado sin información muestral En el caso de John, su VME sería $59,000 si no hubiera restado el costo de $10,000 del estudio en cada pago. (¿Comprende a que se debe esto? Si no, sume $10,000 a cada pago, como en el problema 86 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES original de Thompson y recalcule el VME de realizar el estudio de mercado). En la rama inferior de la figura 3.5, vemos que el VME de no reunir la información de una muestra es de $40,000. Así, VEIM = 1$49,200 + $10,0002 - $40,000 = $59,200 - $40,000 = $19,200 Esto significa que John pagaría hasta $19,200 por un estudio de mercado y aún así ganar. Como cuesta tan solo $10,000, sin duda vale la pena el estudio. Eficiencia de la información muestral Quizás haya muchos tipos de información muestral disponible para un tomador de decisiones. Al de- sarrollar un nuevo producto, la información se obtiene mediante encuestas, de un grupo de enfoque, con otras técnicas de investigación de mercados o, de hecho, usando un mercado de prueba para saber cómo será la venta. Mientras que ninguna de estas fuentes de información es perfecta, pueden eva- luarse comparando el VEIM con el VEIP. Si la información de una muestra fuera perfecta, entonces, la eficiencia sería de 100%. La eficiencia de la información muestral es: VEIM Eficiencia de información muestral = 100% (3-5) VEIM En el ejemplo de Thompson Lumber, 19,200 Eficiencia de la información muestral = 100% = 32% 60,000 Así, el estudio de mercado tiene una eficiencia de tan solo 32% como información perfecta. Análisis de sensibilidad Al igual que con las tablas de pagos, el análisis de sensibilidad se aplica a los árboles de decisiones. El enfoque general es el mismo. Considere un árbol de decisiones para el problema extendido de Thompson Lumber que se presenta en la figura 3.5. ¿Qué tan sensible es nuestra decisión (realizar un estudio de mercado) ante la probabilidad de obtener resultados favorables? Sea p la probabilidad de resultados favorables del estudio. Entonces (1 – p) es la probabilidad de resultados negativos. Dada esta información, desarrollamos una expresión para el VME de realizar el estudio, que es el nodo 1: VME1nodo 12 = 1$106,4002p + 1$2,400211 - p2 = $104,000p + $2,400 Existe indiferencia cuando el VME de realizar un estudio de mercado, nodo 1, es el mismo que el VME de no realizar el estudio, que es de $40,000. Determinamos el punto de indiferencia igualando el VME (nodo 1) a $40,000: $104,000p + $2,400 = $40,000 $104,000p = $37,600 $37,600 p = = 0.36 $104,000 Siempre que la probabilidad de resultados favorables del estudio, p, sea mayor que 0.36, nuestra de- cisión no cambiará. Cuando p sea menor que 0.36, nuestra decisión será no realizar el estudio. También se puede hacer un análisis de sensibilidad para otros parámetros del problema. Por ejemplo, ver qué tan sensible es nuestra decisión ante la probabilidad de un mercado favorable, dado que los resultados del estudio son favorables. En este punto, la probabilidad es de 0.78. Si este valor sube, la planta grande se vuelve más atractiva. En tal caso, nuestra decisión no cambiaría. ¿Qué ocurre si la probabilidad baja? El análisis se vuelve más complejo. Cuando baja la probabilidad de un mercado favorable dado un resultado favorable del estudio, la planta pequeña parecería más atractiva. En algún punto, la planta pequeña dará un mayor VME (dados resultados favorables del es- tudio) que la planta grande. No obstante, esto no concluye nuestro análisis. Si la probabilidad de un mercado favorable dados resultados favorables del estudio sigue bajando, habrá un punto donde no realizar el estudio, con un VME de $40,000, será mejor que sí realizarlo. Dejamos los cálculos al lector. Es importante observar que el análisis de sensibilidad debería considerar todas las consecuen- cias posibles. 3.7 CÓMO SE ESTIMAN LOS VALORES DE PROBABILIDAD EN EL ANÁLISIS BAYESIANO 87 3.7 Cómo se estiman los valores de probabilidad en el análisis bayesiano Existen muchas maneras de obtener datos de probabilidades para un problema como el de Thomp- son. Los números (como 0.78, 0.22, 0.27, 0.73 en la figura 3.4) pueden ser evaluados por un gerente con experiencia e intuición. También es posible derivar de datos históricos o calcularlos a partir de El teorema de Bayes permite a los otros datos disponibles mediante el teorema de Bayes. La ventaja del teorema de Bayes es que incor- tomadores de decisiones revisar pora tanto las estimaciones iniciales de las probabilidades como información acerca de la precisión los valores de probabilidad. de la fuente de información (como un estudio de mercado). El enfoque del teorema de Bayes reconoce que un tomador de decisiones no sabe con certidum- bre qué estado de naturaleza ocurrirá. Permite al gerente revisar su evaluación inicial de las probabili- dades con base en información nueva. Las probabilidades revisadas se llaman probabilidades poste- riores. (Antes de continuar, tal vez quiera repasar el teorema de Bayes en el capítulo 2). Cálculo de las probabilidades revisadas En el caso de Thompson Lumber resuelto en la sección 3.6, hicimos la suposición de que se conocían las siguientes cuatro probabilidades condicionales: P(mercado favorable (MF) ƒ resultado positivo del estudio) ⫽ 0.78 P(mercado desfavorable (MD) ƒ resultado positivo del estudio) ⫽ 0.22 P(mercado favorable (MF) ƒ resultado negativo del estudio) ⫽ 0.27 P(mercado desfavorable (MD) ƒ resultado negativo del estudio) ⫽ 0.73 Ahora veremos cómo John Thompson pudo derivar estos valores con el teorema de Bayes. Por la dis- cusión con los especialistas en estudios de mercado en la universidad de su ciudad, John sabe que los estudios especiales como el de él resultarán positivos (es decir, predecirán un mercado favorable) o negativos (es decir, predecirán un mercado desfavorable). Los expertos han dicho a John que, estadís- ticamente, de todos los nuevos productos con un mercado favorable (MF), los estudios de mercado eran positivos y predijeron el éxito correctamente 70% de las veces, y 30% de las veces los estudios predijeron falsamente resultados negativos, o mercado desfavorable (MD). Por otro lado, cuando en realidad había un mercado desfavorable para un nuevo producto, 80% de los estudios predijeron correctamente resultados negativos. Los estudios dieron una predicción incorrecta de resultados posi- tivos el restante 20% de las veces. Estas probabilidades condicionales se resumen en la tabla 3.12. Son una indicación de la precisión del estudio que John piensa realizar. Recuerde que sin información del estudio de mercado, las mejores estimaciones de John de un mercado favorable y un mercado desfavorable son P(MF) ⫽ 0.50 P(MD) ⫽ 0.50 Estas se conocen como probabilidades previas. Ahora estamos listos para calcular las probabilidades revisadas o posteriores de Thompson. Las probabilidades deseadas son el inverso de las probabilidades de la tabla 3.12. Necesitamos la proba- bilidad de un mercado favorable o desfavorable dado un resultado positivo o negativo del estudio de mercado. La forma general del teorema de Bayes presentada en el capítulo 2 es: P1B ƒ A2P1A2 P1A ƒ B2 = (3-6) P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 TABLA 3.12 ESTADO DE NATURALEZA Confiabilidad del estudio de mercado para RESULTADO MERCADO FAVORABLE MERCADO DESFAVORABLE predecir estados de DEL ESTUDIO (MF) (MD) naturaleza Positivo (predice P(estudio positivo ƒ MF) ⫽ 0.70 P(estudio positivo ƒ MD) ⫽ 0.20 mercado favorable para el producto) Negativo (predice P(estudio negativo ƒ MF) ⫽ 0.30 P(estudio negativo ƒ MD) ⫽ 0.80 mercado desfavorable para el producto) 88 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES donde: A, B ⫽ cualesquier dos eventos A⬘⫽ complemento de A Podemos decir que A representa un mercado favorable y B representa un estudio de mercado positivo. Entonces, sustituyendo los números adecuados en esta ecuación, obtenemos las probabili- dades condicionales, dado que el estudio de mercado es positivo: P1estudio positivo ƒ MF2P1MF2 P1MF ƒ estudio positivo2 = P1estudio positivo ƒ MF2P1MF2 + P1estudio positivo ƒ MD2P1MD2 10.70210.502 0.35 10.70210.502 + 10.20210.502 = = = 0.78 0.45 P1estudio positivo ƒ MD2P1MD2 P1MD ƒ estudio positivo2 = P1estudio positivo ƒ MD2P1MD2 + P1estudio positivo ƒ MF2P1MF2 10.20210.502 0.10 10.20210.502 + 10.70210.502 = = = 0.22 0.45 Observe que el denominador (0.45) en estos cálculos es la probabilidad de un estudio positivo. Un método alternativo para estos cálculos consiste en usar una tabla de probabilidades como la tabla 3.13. Las probabilidades condicionales, dado que el estudio de mercado es negativo, son: P1estudio negativo ƒ MF2P1MF2 P1MF ƒ estudio negativo2 = P1estudio negativo ƒ MF2P1MF2 + P1estudio negativo ƒ MD2P1MD2 10.30210.502 0.15 10.30210.502 + 10.80210.502 = = = 0.27 0.55 P1estudio negativo ƒ MD2P1MD2 P1MD ƒ estudio negativo2 = P1estudio negativo ƒ MD2P1MD2 + P1estudio negativo ƒ MF2P1MF2 10.80210.502 0.40 10.80210.502 + 10.30210.502 = = = 0.73 0.55 Advierta que el denominador (0.55) en estos cálculos es la probabilidad de un estudio negativo. Estos cálculos dado un estudio negativo también podrían realizarse en una tabla, como la tabla 3.14. Los cálculos mostrados en las tablas 3.13 y 3.14 se realizan en una hoja de cálculo de Excel. El programa 3.2A muestra las fórmulas usadas en Excel, y el programa 3.2B presenta la salida final para este ejemplo. Las probabilidades posteriores ahora dan a John estimaciones para cada estado de naturaleza, si Las nuevas probabilidades brindan los resultados del estudio son positivos o negativos. Como sabe, la probabilidad previa de John para información valiosa. el éxito sin un estudio de mercado era de solo 0.50. Ahora está consciente de que la probabilidad de éxito para comercializar casetas de almacenamiento será de 0.78, si los resultados de su estudio son TABLA 3.13 Probabilidades revisadas dado un estudio positivo PROBABILIDADES POSTERIORES PROBABILIDAD P(ESTADO CONDICIONAL DE NAT. ƒ ESTADO DE P (ESTUDIO POSITIVO ƒ PROBABILIDAD PROBABILIDAD ESTUDIO NATURALEZA ESTADO DE NAT.) PREVIA CONJUNTA POSITIVO) MF 0.70 ⫻0.50 ⫽ 0.35 0.35/0.45 ⫽ 0.78 MD 0.20 ⫻0.50 ⫽ 0.10 0.10/0.45 ⫽ 0.22 P(estudio positivo) ⫽ 0.45 1.00 3.7 CÓMO SE ESTIMAN LOS VALORES DE PROBABILIDAD EN EL ANÁLISIS BAYESIANO 89 TABLA 3.14 Probabilidades revisadas dado un estudio negativo PROBABILIDADES POSTERIORES PROBABILIDAD P(ESTADO CONDICIONAL DE NAT. ƒ ESTADO DE P(ESTUDIO NEGATIVO ƒ PROBABILIDAD PROBABILIDAD ESTUDIO NATURALEZA ESTADO DE NAT.) PREVIA CONJUNTA NEGATIVO) MF 0.30 ⫻0.50 ⫽ 0.15 0.15/0.55 ⫽ 0.27 MD 0.80 ⫻0.50 ⫽ 0.40 0.40/0.55 ⫽ 0.73 P(estudio negativo) ⫽ 0.55 1.00 PROGRAMA 3.2A Fórmulas usadas para los cálculos de Bayes con Excel Ingrese P(mercado favorable) en la celda C7. Ingrese P(estudio positivo| mercado favorable) en la celda B7. Ingrese P(estudio positivo| mercado desfavorable) en la celda B8. PROGRAMA 3.2B Resultados de los cálculos de Bayes con Excel positivos. Sus posibilidades de éxito bajan a 27% cuando el estudio es negativo. Se trata de informa- ción valiosa para la gerencia, como vimos antes en el análisis del árbol de decisiones. Problema potencial en el uso de los resultados de un estudio En muchos problemas de toma de decisiones, los resultados de estudios o los estudios piloto se ha- cen antes de tomar una decisión real (como construir una nueva planta o tomar un curso de acción es- pecífico). Como se ha analizado en esta sección, el análisis de Bayes sirve para ayudar a determinar las probabilidades condicionales correctas que se necesitan para resolver este tipo de problemas de teoría de las decisiones. Al calcular las probabilidades condicionales, debemos tener datos acerca de los estudios y su exactitud. Si se toma una decisión de construir una planta o de realizar alguna otra acción, podemos determinar la exactitud de nuestros estudios. Por desgracia, no siempre 90 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES podemos obtener datos acerca de esas situaciones en que la decisión fue no construir una planta o no seguir algún otro curso de acción. Por lo tanto, algunas veces cuando usamos resultados de estudios, estamos basando nuestras probabilidades tan solo en esos casos donde, de hecho, se tomó la decisión de construir una planta o seguir algún curso de acción. Esto significa que, en algunas situaciones, la información de la probabilidad condicional quizá no sea tan precisa como quisiéramos. Aun así, calcular las probabilidades condicionales ayuda a refinar el proceso de toma de decisiones y, en gene- ral, a tomar mejores decisiones. 3.8 Teoría de la utilidad Nos hemos centrado en el criterio del VME para tomar decisiones con riesgo. Sin embargo, existen ocasiones en las cuales los individuos toman decisiones que parecerían incongruentes con el criterio del VME. Cuando alguien compra un seguro, la cantidad de la prima es mayor que el pago esperado de la compañía de seguros, porque la prima incluye el pago esperado, el costo general y la ganancia de la compañía de seguros. Una persona involucrada en una demanda legal quizás elija pactar fuera de la corte en vez de ir a juicio aun cuando el valor esperado de ir a juicio sea mayor que el arreglo pro- puesto. Un individuo compra billetes de lotería aun cuando el rendimiento esperado sea negativo. Los juegos de casino de todo tipo tienen rendimiento esperado negativo para el jugador, pero millones de personas los juegan. Un hombre de negocios puede descartar una decisión potencial porque llevaría a la quiebra a la empresa si las cosas salen mal, aunque el rendimiento esperado de esta decisión sea mejor que todas las otras alternativas. ¿Por qué las personas toman decisiones que no maximizan su VME? Lo hacen porque el valor monetario no siempre es un indicador válido del valor general del resultado de la decisión. El va- lor general de un resultado específico se llama utilidad, y las personas racionales toman decisiones El valor general del resultado de que maximizan la utilidad esperada. Aunque algunas veces el valor monetario es un buen indicador una decisión se llama utilidad. de la utilidad, otras no lo es. Esto es cierto sobre todo cuando algunos de los valores implican un pago enormemente grande o una pérdida significativa en extremo. Por ejemplo, suponga que tiene la suerte de tener un billete de lotería. Dentro de cinco minutos, puede lanzarse una moneda y si cae cruz, ga- naría $5 millones. Si sale cara, no ganaría nada. Hace tan solo un momento, una persona adinerada le ofreció $2 millones por su billete. Supongamos que no tiene duda respeto a la validez de la oferta. La persona le dará un cheque certificado por la cantidad completa y usted está absolutamente seguro de que el cheque será bueno. La figura 3.6 presenta un árbol de decisiones para esta situación. El VME de rechazar la oferta indica que debería quedarse con su billete, pero ¿qué va a hacer? Piense, $2 millones seguros en vez de una posibilidad de 50% de obtener nada. Suponga que usted es lo suficientemente codicioso para quedarse con el billete y luego pierde. ¿Cómo lo explicaría a sus amigos? ¿No hubieran sido sufi- cientes $2 millones para gozar comodidades por un rato? FIGURA 3.6 Su árbol de decisiones $2,000,000 para el billete de lotería Aceptar la oferta $0 Caras Rechazar (0.5) la oferta Cruces (0.5) VME = $2,500,000 $5,000,000 3.8 TEORÍA DE LA UTILIDAD 91 La mayoría de la gente optaría por vender el billete por los $2 millones. Tal vez, casi todos nosotros estaríamos dispuestos a pactar por mucho menos. Qué tanto bajaríamos, desde luego, es asunto de las preferencias personales. Las personas tienen sentimientos diferentes acerca de buscar o evitar el riesgo. El VME no siempre es el mejor Usar tan solo el VME no siempre es una buena manera de tomar esta clase de decisiones. enfoque. Una forma de incorporar sus propias actitudes hacia el riesgo es mediante la teoría de la utili- dad. En la siguiente sección exploraremos primero cómo medir la utilidad y, luego, cómo usar la me- dida de la utilidad en la toma de decisiones. Medición de la utilidad y construcción de una curva de la utilidad El primer paso al usar la teoría de la utilidad es asignar los valores de la utilidad a cada valor mone- La evaluación de la utilidad asigna tario en una situación específica. Es conveniente comenzar la evaluación de la utilidad asignando al al peor resultado una utilidad de 0 peor resultado una utilidad de 0 y al mejor resultado una utilidad de 1. Aunque se pueden usar cuales- y al mejor resultado una utilidad quiera valores siempre que la utilidad para el mejor resultado sea mayor que la utilidad para el peor de 1. resultado, usar 0 y 1 tiene algunos beneficios. Como elegimos usar 0 y 1, todos los demás resultados tendrán un valor de la utilidad entre 0 y 1. Al determinar las utilidades de todos los resultados, dife- rentes del mejor y el peor, se considera un juego estándar, que se muestra en la figura 3.7. En la figura 3.7, p es la probabilidad de obtener el mejor resultado y (1 – p) es la probabilidad de obtener el peor resultado. Evaluar la utilidad de cualquier otro resultado implica determinar la proba- Cuando se es indiferente, las bilidad (p), que lo hace indiferente entre la alternativa 1, que es el juego entre el mejor y el peor re- utilidades esperadas son iguales. sultado, y la alternativa 2, que es obtener con seguridad el otro resultado. Cuando hay indiferencia entre las alternativas 1 y 2, las utilidades esperadas para esas dos alternativas deben ser iguales. Esta relación se muestra como Utilidad esperada de alternativa 2 ⫽ utilidad esperada de alternativa 1 Utilidad de otro resultado ⫽ (p) (utilidad del mejor resultado, que es 1) (3-7) ⫹ (1 – p) (utilidad del peor resultado, que es 0) Utilidad de otro resultado ⫽ (p) (1) ⫹ (1 – p) (0) ⫽ p Ahora todo lo que tiene que hacer es determinar el valor de la probabilidad (p) que lo hace in- diferente entre las alternativas 1 y 2. Al establecer la probabilidad, debería estar consciente de que la evaluación de la utilidad es completamente subjetiva. Es un valor establecido por el tomador de deci- siones que no se puede medir en una escala objetiva. Veamos un ejemplo. Jane Dickson quiere construir una curva de la utilidad que revele su preferencia por el dinero en- Una vez determinados los valores tre $0 y $10,000. Una curva de la utilidad es una gráfica que presenta los valores de la utilidad con- de la utilidad se puede construir tra el valor monetario. Ella puede invertir su dinero en una cuenta de ahorros bancaria, o bien, invertir una curva de la utilidad. el mismo dinero en la compra de bienes raíces. Si invierte el dinero en el banco, en tres años Jane tendría $5,000. Si lo invierte en bienes raíces, después de tres años podría no tener nada o $10,000. Pero Jane es muy conservadora. A menos que tenga una posibilidad de 80% de obtener $10,000 en la compra de bienes raíces, preferiría tener su dinero en el banco, donde está seguro. Lo que acaba de hacer Jane es evaluar su utilidad para $5,000. Cuando tiene una posibilidad de 80% (esto significa que p es 0.8) de obtener $10,000, Jane es indife- rente entre poner su dinero en bienes raíces o en el banco. Entonces, la utilidad de Jane para $5,000 es igual a 0.8, que es la misma que el valor de p. Esta evaluación de la utilidad se ilustra en la figura 3.8. FIGURA 3.7 (p) Utilidad del mejor Juego estándar para la resultado = 1 evaluación de la utilidad (1 – p) Utilidad del peor 1 ti va resultado = 0 e rna Alt Alt ern ati va 2 Utilidad de otro resultado = ? 92 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES FIGURA 3.8 Utilidad de $5,000 p = 0.80 $10,000 U ($10,000) = 1.0 (1 – p) = 0.20 $0 n ir e s U ($0.00) = 0.0 v ert raíce In es n bie Inv ert ir e ne lb an co $5,000 U ($5,000) = p = 0.80 Utilidad para $5,000 = U ($5,000) = pU ($10,000) + (1 – p) U ($0) = (0.8)(1) + (0.2)(0) = 0.8 Otros valores de la utilidad se evalúan del mismo modo. Por ejemplo, ¿cuál es la utilidad de Jane para $7,000? ¿Qué valor de p haría que Jane sea indiferente entre $7,000 y la alternativa que daría como resultado $10,000 o $0? Para Jane, debe ser una posibilidad de 90% obtener $10,000. De otra manera, preferiría los $7,000 seguros. Entonces, su utilidad para $7,000 es de 0.90. La utilidad de Jane para $3,000 se puede determinar de la misma manera. Si hubiera una oportunidad de 50% de obtener los $10,000, Jane sería indiferente entre tener $3,000 seguros y tomar el riesgo de $10,000 o nada. Por consiguiente, la utilidad de $3,000 para Jane es de 0.5. Desde luego, este proceso puede continuar hasta que Jane haya evaluado la utilidad para todos los valores monetarios que desee. No obstante, estas evaluaciones son suficientes para tener una idea de los sentimientos de Jane hacia el riesgo. De hecho, se pueden graficar estos puntos en una curva de la utilidad, como en la figura 3.9, donde los puntos de la utilidad evaluados, $3,000, $5,000 y $7,000, se muestran con puntos, y el resto de la curva se infiere a partir de ellos. La curva de la utilidad de Jane es típica de alguien adverso al riesgo. Quien evita el riesgo es un tomador de decisiones que obtiene menos utilidad o placer de un riego mayor, y suele evitar situa- ciones que impliquen pérdidas significativas. Cuando el valor monetario crece en su curva de la utili- dad, la utilidad aumenta a una tasa más lenta. FIGURA 3.9 U ($10,000) = 1.0 Curva de la utilidad para 1.0 Jane Dickson U ($7,000) = 0.90 0.9 U ($5,000) = 0.80 0.8 0.7 0.6 Utilidad U ($3,000) = 0.50 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 U ($0) = 0 $0 $1,000 $3,000 $5,000 $7,000 $10,000 Valor monetario 3.8 TEORÍA DE LA UTILIDAD 93 FIGURA 3.10 Preferencias respecto al riesgo Adverso al riesgo o sg rie Utilidad al e nt re fe di In Buscador de riesgo Resultado monetario La forma de la curva de la utilidad La figura 3.10 ilustra que una persona que busca el riesgo tiene una curva de la utilidad con la de una persona depende de muchos forma opuesta. Este tomador de decisiones obtiene más utilidad de un riesgo mayor y un pago poten- factores. cial más alto. Cuando el valor monetario aumenta en su curva de la utilidad, la utilidad aumenta a una tasa creciente. Un individuo que es indiferente al riesgo tiene una curva de la utilidad en línea recta. La forma de la curva de la utilidad de una persona depende de la decisión específica que se está con- siderando, los valores monetarios involucrados en la situación, el cuadro psicológico del individuo y de cómo se siente acerca del futuro. Quizás usted tenga una curva de la utilidad para algunas situa- ciones que enfrenta y otras curvas totalmente diferentes para otras. La utilidad como un criterio para la toma de decisiones Después de determinar una curva de la utilidad, se emplean los valores de la utilidad de la curva en la Los valores de la utilidad toma de decisiones. Los resultados o valores monetarios se sustituyen con los valores de la utilidad sustituyen los valores monetarios. adecuados y, luego, se realiza el análisis de decisiones como de costumbre. Se calcula la utilidad es- perada para cada alternativa en vez del VME. Veamos un ejemplo donde se utiliza un árbol de deci- siones, y los valores de la utilidad esperados se calculan para seleccionar la mejor alternativa. A Mark Simkin le encanta jugar. Decide practicar un juego que se trata de lanzar tachuelas (chinchetas) al aire. Si la punta de la tachuela está hacia arriba cuando cae, Mark gana $10,000. Si la punta de la tachuela está hacia abajo, Mark pierde $10,000. ¿Debería Mark jugarlo (alternativa 1) o no debería jugarlo (alternativa 2)? Las alternativas 1 y 2 se presentan en el árbol de la figura 3.11. Como se observa, la alternativa 1 es jugar. Mark piensa que hay 45% de posibilidades de ganar $10,000 y 55% de posibilidades de sufrir la pérdida de $10,000. La alternativa 2 es no jugar. ¿Qué debería hacer Mark? Desde luego, ello FIGURA 3.11 Decisión que enfrenta La tachuela cae Mark Simkin punta arriba (0.45) $10,000 La tachuela cae 1 punta abajo (0.55) a tiva a –$10,000 er n e g Alt ark ju M Alt ern ati va 2 Mark no juega $0 94 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES FIGURA 3.12 Curva de la utilidad para Mark Simkin 1.00 0.75 Utilidad 0.50 0.30 0.25 0.15 0.05 0 –$20,000 –$10,000 $0 $10,000 $20,000 Resultado monetario depende de la utilidad del dinero para Mark. Como se dijo, le encanta jugar. Usando el procedimien- to descrito, Mark fue capaz de construir una curva de la utilidad que muestra sus preferencias por el dinero. Mark tiene un total de $20,000 para jugar, de manera que construyó la curva de la utilidad con base en un mejor pago de $20,000 y en un peor pago con una pérdida de $20,000. Esta curva aparece en la figura 3.12. El objetivo de Mark es maximizar Vemos que la utilidad de –$10,000 para Mark es de 0.05, su utilidad por no jugar ($0) es de 0.15 su utilidad esperada. y su utilidad por $10,000 es de 0.30. Esto valores se pueden usar en el árbol de decisiones. El obje- tivo de Mark es maximizar su utilidad esperada, que se puede hacer como sigue: Paso 1. U1- $10,0002 = 0.05 U1$02 = 0.15 U1$10,0002 = 0.30 Un modelo de la utilidad multiatributos EN ACCIÓN ayuda a desechar armas nucleares Se usaron un total de 37 medidas de desempeño para eva- C uando terminó la Guerra Fría entre Estados Unidos y la URSS, los dos países acordaron desmantelar un gran número de armas luar 13 alternativas posibles. El MUM combinó estas medidas y ayudó a jerarquizar las alternativas, así como a identificar las defi- nucleares. El número exacto no se conoce, pero el número total se ciencias de algunas de ellas. La ODMF recomendó 2 de las alter- ha estimado en más de 40,000. El plutonio recuperado al desman- nativas con la jerarquía más alta y se inició el desarrollo de ambas. telar las armas significó varias preocupaciones. La National Acade- Este desarrollo paralelo permitió que Estados Unidos reaccionara my of Sciences consideró la posibilidad de que el plutonio pudiera con rapidez cuando se desarrolló el plan de la URSS, quien utilizó caer en manos de terroristas como un verdadero peligro. Además, un análisis basado en el mismo enfoque del MUM. Estados Unidos el plutonio es muy tóxico para el ambiente, de manera que era y la URSS eligieron convertir el plutonio de las armas nucleares en fundamental contar con un proceso de desecho seguro. Decidir combustible de óxidos mixtos, que se utiliza en los reactores nu- qué proceso de desecho se usaría no fue una tarea sencilla. cleares para generar electricidad. Una vez que el plutonio se con- Debido a la larga relación entre Estados Unidos y la URSS durante vierte de esta forma, ya no es útil en armas nucleares. la Guerra Fría, fue necesario que el proceso de desecho del plutonio El modelo MUM ayudó a Estados Unidos y la URSS a manejar para cada país ocurriera aproximadamente al mismo tiempo. un asunto muy sensible y potencialmente riesgoso de una mane- Cualquiera que fuera el método seleccionado por un país tendría que ra que consideraba aspectos económicos, de no proliferación y ser aprobado por el otro. El Departamento de Energía (DE) formó la ecológicos. El marco de referencia se usa ahora en Rusia para Oficina para el Desecho de Materiales de Fusión (ODMF) para super- evaluar otras políticas relacionadas con la energía nuclear. visar el proceso de seleccionar del enfoque que se usaría para el dese- cho del plutonio. Reconociendo que la decisión podía ser contro- versial, la ODMF contrató a un equipo de analistas en investigación de operaciones asociados con el Amarillo National Research Center. Este Fuente: Basada en John C. Butler et al. “The United States and Russia Eva- grupo de IO usó un modelo de la utilidad con multiatributos (MUM) luate Plutonium Disposition Options with Multiattribute Utility Theory”, Inter- para combinar varias medidas de desempeño en una sola medida. faces 35, I (enero-febrero, 2005): 88-101. GLOSARIO 95 FIGURA 3.13 Uso de las utilidades Utilidad La tachuela cae esperadas en la toma punta arriba (0.45) de decisiones 0.30 La tachuela cae punta abajo (0.55) 1 tiva 0.05 na Alter ga k jue r Ma Alt ern ati va 2 Mark no juega 0.15 Paso 2. Se sustituyen los valores monetarios con los valores de la utilidad. Véase la figura 3.13. Aquí se muestran las utilidades esperadas para las alternativas 1 y 2: E1alternativa 1: jugar2 = 10.45210.302 + 10.55210.052 = 0.135 + 0.027 = 0.162 E1alternativa 2: no jugar2 = 0.15 Por lo tanto, la alternativa 1 es la mejor estrategia si se emplea la utilidad como criterio de decisión. Si se hubiera usado el VME, la alternativa 2 habría sido la mejor estrategia. La curva de la utilidad es una curva para un buscador de riesgo y la elección de jugar sin duda refleja esta preferencia por el riesgo. Resumen La teoría de las decisiones es un enfoque analítico y sistemático cisión antes de tomar otra(s). Por ejemplo, una decisión de tomar para el estudio de la toma de decisiones. En general, se siguen seis una muestra y realizar una investigación de mercados se toma pasos para la toma de decisiones en tres entornos: toma de deci- antes de decidir construir una planta grande, una pequeña o siones con certidumbre, con incertidumbre y con riesgo. En la ninguna. En este caso, también podemos calcular el valor espera- toma de decisiones con incertidumbre, se construyen tablas de de- do de la información muestral (VEIM) para determinar el valor del cisiones para calcular criterios como maximax, maximin, de rea- estudio de mercado. La eficiencia de la información muestral com- lismo, probabilidades iguales y de arrepentimiento minimax. Los para el VEIM con el VEIP. El análisis bayesiano sirve para revisar métodos como determinar el valor monetario esperado (VME), el o actualizar las probabilidades, usando las probabilidades previas valor esperado de la información perfecta (VEIP), la pérdida de y otras probabilidades relacionadas con la exactitud de la fuente oportunidad esperada (POE) y el análisis de sensibilidad se usan de información. en la toma de decisiones con riesgo. Los árboles de decisiones son otra opción, sobre todo para problemas de decisión más grandes, cuando debe tomarse una de- Glosario Adverso al riesgo Un individuo que evita el riesgo. En la curva Arrepentimiento minimax Criterio que minimiza la máxima de la utilidad, cuando el valor monetario aumenta, la utilidad pérdida de oportunidad. aumenta a una tasa decreciente. Este tomador de decisiones Buscador de riesgo Persona que busca el riesgo. En la curva de obtiene menor utilidad cuando el riesgo es mayor y los la utilidad, cuando el valor monetario aumenta, la utilidad rendimientos potenciales son más altos. aumenta a una tasa creciente. Este tomador de decisiones Alternativa Curso de acción o estrategia que un tomador de obtiene más placer por un mayor riesgo y mayores decisiones puede elegir. rendimientos potenciales. Árbol de decisiones Representación gráfica de una situación Coeficiente de realismo (␣) Número entre 0 y 1. Cuando el de toma de decisiones. coeficiente es cercano a 1, el criterio de decisión es optimista. Arrepentimiento Pérdida de oportunidad. Cuando el coeficiente está cerca de 0, el criterio de decisión es pesimista. 96 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES Criterio de Hurwicz Criterio de realismo. Probabilidad previa Probabilidad inicial de un estado de Criterio de Laplace Criterio de probabilidades iguales. naturaleza antes de emplear la información muestral con el Criterio de realismo Criterio para la toma de decisiones que teorema de Bayes, para obtener la probabilidad posterior. usa un promedio ponderado de los pagos posibles mejor y peor Probabilidades iguales Criterio de decisión que asigna pesos para cada alternativa. iguales a todos los estados de naturaleza. Criterio del promedio ponderado Otro nombre para el criterio Tabla de decisiones La tabla de pagos. de realismo. Tabla de pagos Tabla que presenta alternativas, estados de Criterio optimista Criterio maximax. naturaleza y pagos en una situación de toma de decisiones. Curva de la utilidad Gráfica o curva que revela la relación Teoría de la utilidad Teoría que permite a los tomadores de entre la utilidad y los valores monetarios. Al construir esta decisiones incorporar sus preferencias al riesgo y otros curva, sus valores de la utilidad se pueden usar en el proceso factores en el proceso de toma de decisiones. de toma de decisiones. Teoría de las decisiones Enfoque analítico y sistémico para la Decisiones secuenciales Decisiones en las que el resultado de toma de decisiones. una decisión influye en otras decisiones. Toma de decisiones con certidumbre Entorno para la toma de Eficiencia de la información muestral Medida de qué tan decisiones donde se conocen los resultados o los estados de buena es la información de la muestra respecto a la naturaleza futuros. información perfecta. Toma de decisiones con incertidumbre Entorno para la toma Estado de naturaleza Resultado u ocurrencia sobre la cual el de decisiones en el cual pueden ocurrir varios resultados o tomador de decisiones tiene muy poco o ningún control. estados de naturaleza. Sin embargo, no se conocen las Evaluación de la utilidad Proceso para determinar la utilidad probabilidades de estos resultados. de los diferentes resultados. Suele hacerse usando un juego Toma de decisiones con riesgo Entorno para la toma de estándar entre un resultado seguro y arriesgarse entre el peor decisiones donde pueden ocurrir varios resultados o estados y el mejor de los resultados. de naturaleza como resultado de una decisión o alternativa. Se Juego estándar Proceso utilizado para determinar valores de la conocen las probabilidades de los resultados o estados de utilidad. naturaleza. Maximax Criterio de toma de decisiones optimista. Selecciona Utilidad Valor general de un resultado en particular. la alternativa con el mayor rendimiento posible. Valor condicional o pago Consecuencia, normalmente Maximin Criterio de toma de decisiones pesimista. Maximiza expresada como valor monetario, que ocurre como resultado el pago mínimo. Selecciona la alternativa con la mejor de los de una alternativa y un estado de naturaleza específicos. peores pagos posibles. Valor esperado con información perfecta (VECIP) Valor Nodo de estado de naturaleza En un árbol de decisiones, un esperado o promedio de una decisión, si se tuviera punto donde se calcula el VME. Las ramas que salen de este conocimiento perfecto del futuro. nodo representan los estados de naturaleza. Valor esperado de la información muestral Nodo (punto) de decisión En un árbol de decisiones, punto (VEIM) Incremento en el VME que resulta de tener donde se elige la mejor de las alternativas disponibles. Las información muestral o información imperfecta. ramas representan las alternativas. Valor esperado de la información perfecta (VEIP) Valor Pérdida de oportunidad Cantidad que se perdería al no elegir esperado o promedio de la información, si fuera la mejor alternativa. Para cualquier estado de naturaleza, completamente exacta. El incremento en el VME que resulta es la diferencia entre las consecuencias de cualquier alternativa de contar con información perfecta. y la mejor alternativa posible. Valor monetario esperado (VME) Valor promedio de una Probabilidad condicional Una probabilidad posterior. decisión, si se puede repetir muchas veces. Se determina Probabilidad posterior Probabilidad condicional de un estado multiplicando los valores monetarios por sus probabilidades de naturaleza que se ha ajustado según la información respectivas. Los resultados se suman para obtener el VME. muestral. Se encuentra usando el teorema de Bayes. Ecuaciones clave (3-1) VME (alternativa i) = ©XiP1Xi2 (3-4) VEIM ⫽ (VE con IM ⫹ costo) – (VE sin IM) Ecuación que calcula el valor monetario esperado. Ecuación que calcula el valor esperado (VE) de la informa- ción muestral (IM) (3-2) VECIP ⫽ ⌺(mejor pago en el estado de naturaleza i) ⫻ (probabilidad del estado de naturaleza i) VEIM Ecuación que calcula el valor esperado con información (3-5) Eficiencia de la información muestral = 100% VEIP perfecta. Ecuación que compara la información muestral con la in- (3-3) VEPI ⫽ VECIP – (mejor VME) formación perfecta. Ecuación que calcula el valor esperado con información perfecta. PROBLEMAS RESUELTOS 97 P1B ƒ A2P1A2 (3-7) Utilidad de otro resultado ⫽ (p)(1) ⫹ (1 – p)(0) ⫽ p (3-6) P1A ƒ B2 = Ecuación que determina la utilidad de un resultado inter- P1B ƒ A2P1A2 + P1B ƒ A¿2P1A¿2 medio. Teorema de Bayes: la probabilidad condicional del evento A dado que ocurrió el evento B. Problemas resueltos Problema resuelto 3-1 María Rojas está considerando la posibilidad de abrir una pequeña tienda de vestidos en Fairbanks Avenue, a pocas cuadras de la universidad. Ha localizado un buen centro comercial que atrae a estudiantes. Sus op- ciones son abrir una tienda pequeña, una tienda mediana o no abrirla en absoluto. El mercado para una tienda de vestidos puede ser bueno, regular o malo. Las probabilidades de estas tres posibilidades son 0.2 para un mercado bueno, 0.5 para un mercado regular y 0.3 para un mercado malo. La ganancia o pérdida neta para las tiendas mediana y pequeña en las diferentes condiciones del mercado se dan en la siguiente tabla. No abrir una tienda no tiene pérdida ni ganancia. a) ¿Qué recomienda a María? b) Calcule el VEIP. c) Desarrolle la tabla de pérdida de oportunidad para esta situación. ¿Qué decisiones se tomarán usando el criterio de arrepentimiento minimax y el criterio de POE mínima? MERCADO MERCADO MERCADO BUENO REGULAR MALO ALTERNATIVA ($) ($) ($) Tienda pequeña 75,000 25,000 –40,000 Tienda mediana 100,000 35,000 –60,000 Ninguna tienda 0 0 0 Solución a) Como el entorno de toma de decisiones es de riesgo (se conocen las probabilidades), es adecuado usar el criterio del VME. El problema se resuelve desarrollando la tabla de pagos que contiene todas las al- ternativas, estados de naturaleza y valores de probabilidad. El VME para cada alternativa también se calcula como en la siguiente tabla: ESTADOS DE NATURALEZA MERCADO MERCADO MERCADO BUENO REGULAR MALO VME ALTERNATIVA ($) ($) ($) ($) Tienda pequeña 75,000 25,000 –40,000 15,500 Tienda mediana 100,000 35,000 –60,000 19,500 Ninguna tienda 0 0 0 0 Probabilidades 0.20 0.50 0.30 VME (tienda pequeña) = 10.221$75,0002 + 10.521$25,0002 +10.321 - $40,0002 = $15,500 VME (tienda mediana) = 10.221$100,0002 + 10.521$35,0002 +10.321 - $60,0002 = $19,500 VME (ninguna tienda) = 10.221$02 + 10.521$02 + 10.321$02 = $0 98 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES Como se observa, la mejor decisión es abrir una tienda mediana. El VME para esta alternativa es de $19,500. b) VMCIP = 10.22$100,000 + 10.52$35,000 + 10.32$0 = $37,500 VEIP = $37,500 - $19,500 = $18,000 c) La tabla de la pérdida de oportunidad se muestra a continuación. ESTADOS DE NATURALEZA MERCADO MERCADO MERCADO BUENO REGULAR MALO MÁXIMO POE ALTERNATIVA ($) ($) ($) ($) ($) Tienda pequeña 25,000 10,000 40,000 40,000 22,000 Tienda mediana 0 0 60,000 60,000 18,000 Ninguna tienda 100,000 35,000 0 100,000 37,500 Probabilidades 0.20 0.50 0.30 El mejor pago en un buen mercado son 100,000, de manera que la pérdida de oportunidad en la primera columna indica qué tanto es peor cada pago que 100,000. El mejor pago en un mercado regular es de 35,000, de manera que las pérdidas de oportunidad en la segunda columna indican qué tanto es peor cada pago que 35,000. El mejor pago en un mercado malo es de 0, por lo que la pérdida de oportunidad en la ter- cera columna indica cuánto es peor cada pago que 0. El criterio de arrepentimiento minimax considera el arrepentimiento máximo para cada decisión, y se selecciona la decisión correspondiente al mínimo de estas. La decisión sería abrir una tienda pequeña, ya que el arrepentimiento máximo es de 40,000, en tanto que el arrepentimiento máximo para cada una de las otras dos alternativas es más alto, como se indica en la tabla de pérdida de oportunidad. La decisión basada en el criterio de la POE sería abrir una tienda mediana. Observe que la POE míni- ma ($18,000) es igual que el VEIP calculado en el inciso b. Los cálculos son POE (pequeña) = 10.2225,000 + 10.5210,000 + 10.3240,000 = 22,000 POE (mediana) = 10.220 + 10.520 + 10.3260,000 = 18,000 POE (ninguna) = 10.22100,000 + 10.5235,000 + 10.320 = 37,500 Problema resuelto 3-2 Cal Bender y Becky Addison se conocen desde la escuela secundaria. Hace dos años ingresaron a la misma universidad y hoy toman cursos en la licenciatura en administración. Ambos esperan graduarse con espe- cialidad en finanzas. En un intento por hacer dinero extra y usar parte de lo aprendido en sus cursos, Cal y Becky deciden evaluar la posibilidad de comenzar una pequeña compañía que proporcionaría servicio de procesamiento de textos a estudiantes que necesiten trabajos de fin de cursos, o bien, otros informes elabo- rados de manera profesional. Usando un enfoque de sistemas, Cal y Becky identifican tres estrategias. La estrategia 1 es invertir en un sistema de microcomputadora costoso con una impresora láser de alta calidad. En un mercado favorable deberían lograr una ganancia neta de $10,000 en los siguientes dos años. Si el mercado es desfavorable, podrían perder $8,000. La estrategia 2 es comprar un sistema menos costoso. Con un mercado favorable, podrían obtener un rendimiento durante los siguientes dos años de $8,000. Con un mercado desfavorable, incurrirían en una pérdida de $4,000. Su estrategia final, la estrategia 3, es no hacer nada. Cal básicamente corre riesgos, mientras que Becky trata de evitarlos. a) ¿Qué tipo de procedimiento de decisión debería usar Cal? ¿Cuál sería la decisión de Cal? b) ¿Qué tipo de tomador de decisiones es Becky? ¿Cuál sería su decisión? c) Si Cal y Necky fueran indiferentes al riesgo, ¿qué tipo de enfoque de decisiones deberían usar? ¿Qué les recomendaría si esta fuera la situación? PROBLEMAS RESUELTOS 99 Solución El problema es de toma de decisiones con incertidumbre. Antes de contestar las preguntas específicas, de- bería desarrollarse una tabla de decisiones con las alternativas, los estados de naturaleza y las consecuencias relacionadas. MERCADO MERCADO ALTERNATIVA FAVORABLE ($) DESFAVORABLE ($) Estrategia 1 10,000 –8,000 Estrategia 2 8,000 –4,000 Estrategia 3 0 0 a) Si Cal es un buscador de riesgo, debe usar el criterio de decisión maximax. Este enfoque selecciona la fila que tiene el valor más alto o máximo. El valor de $10,000, que es el valor máximo de la tabla, está en la fila 1. Así, la decisión de Cal es seleccionar la estrategia 1, que es un enfoque de decisiones opti- mista. b) Becky debería usar el criterio maximin porque desea evitar el riesgo. Se identifica el peor resultado o mínimo para cada fila o estrategia. Los resultados son –$8,000 para la estrategia 1, –$4,000 para la es- trategia 2 y $0 para la estrategia 3. Se elige el máximo de estos valores. Así, Becky elegiría la estrate- gia 3, que refleja un enfoque de decisiones pesimista. c) Si Cal y Becky fueran indiferentes al riesgo, podrían utilizar el enfoque de probabilidades iguales, donde se selecciona la alternativa que maximiza los promedios por fila. El promedio de la fila para la estrategia 1 es $1,000 [$1,000 ⫽ ($10,000 – $8,000)/2]. El promedio para la estrategia 2 es $2,000 y el promedio para la estrategia 3 es $0. Así, con el enfoque de probabilidades iguales, la decisión es selec- cionar la estrategia 2, que maximiza los promedios de las filas. Problema resuelto 3-3 Mónica Britt ha disfrutado la navegación en barcos pequeños desde que tenía 7 años, cuando su madre comenzó a navegar con ella. En la actualidad Mónica considera la posibilidad de comenzar una compañía para fabricar veleros pequeños para el mercado recreacional. A diferencia de la producción de veleros en masa, estos veleros se harían específicamente para niños de entre 10 y 15 años. Los botes serán de la más alta calidad y extremadamente estables, y el tamaño de las velas se reducirá para evitar que se volteen. Su decisión básica es si construir una planta de manufactura grande, una pequeña o no construir ninguna. Con un mercado favorable, Mónica puede esperar un ingreso de $90,000 con la planta grande, o bien, $60,000 con la planta más pequeña. Sin embargo, si el mercado es desfavorable, Mónica estima que perdería $30,000 con una planta grande y tan solo $20,000 con una planta pequeña. Debido a los gastos para desarrollar los moldes iniciales y adquirir el equipo necesario para producir veleros de fibra de vidrio pa- ra niños, Mónica ha decidido realizar un estudio piloto para asegurase de que el mercado de veleros será adecuado. Estima que el estudio piloto le costará $10,000. Asimismo, el estudio puede ser favorable o des- favorable. Mónica estima que la probabilidad de un mercado favorable dado que el estudio piloto fue favo- rable es de 0.8. La probabilidad de un mercado desfavorable dado que el estudio fue desfavorable se estima en 0.9. Mónica piensa que hay una posibilidad de 0.65 de que el estudio piloto sea favorable. Desde luego, Mónica puede saltarse el estudio piloto y simplemente tomar la decisión de construir una planta grande, una pequeña o ninguna. Sin hacer pruebas con un estudio piloto, estima que la probabilidad de un mercado favorable es de 0.6. ¿Qué le recomendaría? Calcule el VEIM. Solución Antes de que Mónica comience a resolver este problema, debería desarrollar un árbol de decisiones que muestre todas las alternativas, estados de naturaleza, valores de probabilidad y consecuencias económicas. Este árbol de decisiones se ilustra en la figura 3.14. 100 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES FIGURA 3.14 Árbol de decisiones (0.6) Mercado favorable $60,000 de Mónica con eña 2 equ (0.4) Mercado desfavorable alternativas, estados n ta p –$20,000 Pla de naturaleza, valores Planta (0.6) Mercado favorable B $90,000 de probabilidad y grande 3 (0.4) Mercado desfavorable resultados financieros –$30,000 para el problema No realizar el estudio Ninguna planta resuelto 3-3 $0 (0.8) Mercado favorable $50,000 eña 4 pequ (0.2) Mercado desfavorable –$30,000 n ta Pla Planta (0.8) Mercado favorable A C $80,000 ra io grande 5 (0.2) Mercado desfavorable vo ud e –$40,000 bl fa Est 5) .6 Ninguna planta (0 –$10,000 1 (0. udio ble de Realizar Es vora 35 sfa el estudio (0.1) Mercado favorable t ) $50,000 a ueñ 6 (0.9) Mercado desfavorable peq –$30,000 nta Pla D (0.1) Mercado favorable Planta $80,000 grande 7 (0.9) Mercado desfavorable –$40,000 Ninguna planta –$10,000 El VME en cada nodo numerado se calcula como: VME1nodo 22 = 60,00010.62 + 1-20,00020.4 = 28,000 VME1nodo 32 = 90,00010.62 + 1-30,00020.4 = 42,000 VME1nodo 42 = 50,00010.82 + 1-30,00020.2 = 34,000 VME1nodo 52 = 80,00010.82 + 1-40,00020.2 = 56,000 VME1nodo 62 = 50,00010.12 + 1-30,00020.9 = - 22,000 VME1nodo 72 = 80,00010.12 + 1-40,00020.9 = - 28,000 VME1nodo 12 = 56,00010.652 + 1-10,00020.35 = 32,900 En cada nodo cuadrado con letra, las decisiones serían: Nodo B: Elegir planta grande ya que el VME ⫽ $42,000 Nodo C: Elegir planta pequeña ya que el VME ⫽ $56,000 Nodo D: Elegir ninguna planta ya que el VME ⫽ –$10,000 Nodo A: Elegir no realizar el estudio ya que el VME ($42,000) para esto es más alto que el VME (nodo 1), que es $32,900 Con base en el criterio del VME, Mónica seleccionaría no realizar el estudio y luego elegiría la planta grande. El VME de esta decisión es de $42,000. Si elige realizar el estudio el resultado sería un VME de $32,900. Entonces, el valor esperado de la información muestral es: VEIM = $32,900 + $10,000 - $42,000 = $900 PROBLEMAS RESUELTOS 101 Problema resuelto 3-4 Desarrollar un pequeño campo de práctica para golfistas de todos los niveles ha sido por mucho tiempo el sueño de John Jenkins. No obstante, John cree que la posibilidad de tener un campo de prácticas exitoso es tan solo de alrededor de 40%. Un amigo de John le sugiere que haga un estudio de mercado en la comu- nidad para tener mejor idea de la demanda por este tipo de instalación. Existe una probabilidad de 0.9 de que el estudio sea favorable, si el campo de práctica tendrá éxito. Además, se estima que hay una probabili- dad de 0.8 de que el estudio de mercado sea desfavorable, si la instalación no va a tener éxito. A John le gustaría determinar las posibilidades de un campo de práctica exitoso dado un resultado favorable para el estudio de mercado. Solución Este problema requiere usar el teorema de Bayes. Antes de comenzar a resolver el problema, definiremos los siguientes términos: P(IE) ⫽ probabilidad de una instalación exitosa para práctica de golf P(IN) ⫽ probabilidad de una instalación no exitosa para práctica de golf P(EF ƒ IE) ⫽ probabilidad de un estudio favorable dada una instalación exitosa P(ED ƒ IE) ⫽ probabilidad de un estudio desfavorable dada una instalación exitosa P(ED ƒ IN) ⫽ probabilidad de un estudio desfavorable dada una instalación no exitosa P(EF ƒ IN) ⫽ probabilidad de un estudio favorable dada una instalación no exitosa Ahora, resumimos lo que sabemos: P(IE) ⫽ 0.4 P(EF ƒ IE) ⫽ 0.9 P(ED ƒ IN) ⫽ 0.8 A partir de esta información calculamos tres probabilidades adicionales que necesitamos para resolver el problema: P(IN) ⫽ 1 – P(IE) ⫽ 1 – 0.4 ⫽ 0.6 P(ED ƒ IE) ⫽ 1 – P(EF ƒ IE) ⫽ 1 – 0.9 ⫽ 0.1 P(EF ƒ IN) ⫽ 1 – P(ED ƒ IN) ⫽ 1 – 0.8 ⫽ 0.2 Ahora sustituimos estos valores en el teorema de Bayes para calcular la probabilidad deseada: P1EF ƒ IE2 * P1IE2 P1IE ƒ EF2 = P1EF ƒ IE2 * P1IE2 + P1EF ƒ IN2 * P1IN2 10.9210.42 10.9210.42 + 10.2210.62 = 0.36 0.36 10.36 + 0.122 = = = 0.75 0.48 Además de usar las fórmulas para resolver el problema de John, es posible realizar otros cálculos en una tabla: Probabilidades revisadas dado un estudio de mercado favorable ESTADO DE PROBABILIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDAD PROBABILIDAD NATURALEZA CONDICIONAL PREVIA CONJUNTA POSTERIOR Mercado favorable 0.9 ⫻ 0.4 ⫽ 0.36 0.36/0.48 = 0.75 Mercado desfavorable 0.2 ⫻ 0.6 ⫽ 0.12 0.12/0.48 = 0.25 0.48 Como se observa en la tabla, los resultados son los mismos. La probabilidad de un campo de práctica (instalación) exitoso(a) dado un resultado favorable del estudio de mercado es 0.36/0.48, o bien, 0.75. 102 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES Autoevaluación 䊉 Antes de resolver la autoevaluación, consulte los objetivos de aprendizaje al inicio del capítulo, las notas al margen y el glosario al final del capítulo. 䊉 Utilice la solución al final del libro para corregir sus respuestas. 䊉 Estudie de nuevo las páginas que corresponden a cualquier pregunta cuya respuesta sea incorrecta o al material con el que se sienta inseguro. 1. En la terminología de la teoría de decisiones, un curso c) se usa el criterio maximax. de acción o una estrategia que puede elegir un d) el objetivo es maximizar el arrepentimiento. tomador de decisiones se llama 10. El teorema de Bayes se utiliza para revisar las probabilidades. a) pago. Las nuevas probabilidades (revisadas) se llaman b) alternativa. a) probabilidades previas. c) estado de naturaleza. b) probabilidades muestrales. d) ninguna de los anteriores. c) probabilidades del estudio. 2. En la teoría de las decisiones, las probabilidades están d) probabilidades posteriores. asociadas con 11. En un árbol de decisiones, en cada nodo de estado de a) pagos. naturaleza, b) alternativas. a) se elige la alternativa con el mayor VME. c) estados de naturaleza. b) se calcula el VME. d) ninguna de los anteriores. c) se suman todas las probabilidades. 3. Si el tomador de decisiones dispone de probabilidades, d) se elige la rama con la probabilidad más alta. entonces el entorno de la toma de decisiones se llama 12. El VEIM a) de certidumbre. a) se encuentra restando el VME sin información muestral b) de incertidumbre. del VME con información muestral. c) de riesgo. b) siempre es igual al valor esperado de la información d) ninguna de los anteriores. perfecta. 4. ¿Cuál de los siguientes es un criterio para tomar decisiones c) es igual al VME con información muestral, suponiendo que se usa en la toma de decisiones con riesgo? que no hay costo por la información menos el VME sin a) criterio del valor monetario esperado. información muestral. b) criterio de Huwicz (de realismo). d) generalmente es negativo. c) criterio optimista (maximax). 13. La eficiencia de la información muestral d) criterio de probabilidades iguales. a) es el VEIM/(VME máximo sin IM) expresado como 5. La pérdida de oportunidad mínima esperada porcentaje. a) es igual al pago esperado más alto. b) es el VEIP/VEIM expresado como porcentaje. b) es mayor que el valor esperado con información perfecta. c) sería de 100% si la información muestral fuera perfecta. c) es igual al valor esperado de la información perfecta. d) se calcula usando tan solo el VEIP y el máximo VME. d) se calcula al encontrar la decisión de arrepentimiento 14. En un árbol de decisiones, una vez que se dibuja el árbol y mínima. se colocan los pagos y las probabilidades, el análisis 6. Al usar el criterio de realismo (criterio de Hurwicz), el (cálculo del VME y elección de la mejor alternativa) coeficiente de realismo (␣) a) se hace trabajando hacia atrás (iniciando en la derecha y a) es la probabilidad de un buen estado de naturaleza. moviéndose hacia la izquierda). b) describe el grado de optimismo del tomador de decisiones. b) se hace trabajando hacia adelante (comenzando en la c) describe el grado de pesimismo del tomador de decisiones. izquierda y moviéndose hacia la derecha). d) usualmente es menor que cero. c) se hace iniciando hasta arriba del árbol y moviéndose 7. Lo más que una persona debería pagar por la información hacia abajo. perfecta es d) se hace comenzando en la parte inferior del árbol y a) el VEIP. moviéndose hacia arriba. b) el VME máximo menos el VME mínimo. 15. Al evaluar los valores de la utilidad, c) la POE máxima. a) se asigna al peor resultado una utilidad de –1. d) el VME máximo. b) se asigna al mejor resultado una utilidad de 0. 8. El criterio de la mínima POE siempre dará como resultado c) se asigna al peor resultado una utilidad de 0. la misma decisión que d) se asigna al mejor resultado un valor de –1. a) el criterio maximax. 16. Si una persona racional elige una alternativa que no b) el criterio de arrepentimiento minimax. maximiza el VME, esperaríamos que esta alternativa c) el criterio del VME máximo. a) maximice el VME. d) el criterio de probabilidades iguales. b) maximice la utilidad esperada. 9. Un árbol de decisiones es preferible a una tabla de decisiones c) minimice la utilidad esperada. cuando d) tenga una utilidad de 0 asociada a cada pago posible. a) deben tomarse varias decisiones secuenciales. b) están disponibles las probabilidades. PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 103 Preguntas y problemas para análisis Preguntas para análisis Brown Oil debido a la competencia. Sus alternativas se muestran en la siguiente tabla. 3-1 Dé un ejemplo de una buena decisión que haya tomado y cuyo resultado haya sido malo. También mencione un MERCADO MERCADO ejemplo de una mala decisión que haya tomado y que FAVORABLE DESFAVORABLE tuvo un buen resultado. ¿Por qué cada decisión fue EQUIPO ($) ($) buena o mala? Sub 100 300,000 –200,000 3-2 Describa qué incluye el proceso de decisiones. Oiler J 250,000 –100,000 3-3 ¿Qué es una alternativa? ¿Qué es un estado de la natu- raleza? Texan 75,000 –18,000 3-4 Analice las diferencias entre la toma decisiones con certidumbre, la toma de decisiones con riesgo y la toma Por ejemplo, si Ken compra un Sub 100 y hay un mer- de decisiones con incertidumbre. cado favorable, obtendrá una ganancia de $300,000. 3-5 ¿Qué técnicas se utilizan para resolver problemas de Por otro lado, si el mercado es desfavorable, Ken toma de decisiones con incertidumbre? ¿Cuál técnica sufrirá una pérdida de $200,000. Pero Ken siempre ha da como resultado una decisión optimista? ¿Qué téc- sido un tomador de decisiones muy optimista. nica da como resultado una decisión optimista? a) ¿Qué tipo de decisión enfrenta Ken? b) ¿Qué criterio de decisión debería utilizar? 3-6 Defina pérdida de oportunidad. ¿Qué criterios de toma c) ¿Cuál alternativa es la mejor? de decisiones se usan con una tabla de pérdida de opor- tunidad? 3-18 Aunque Ken Brown (del problema 3-17) es el principal propietario de Brown Oil, su hermano Bob tiene el 3-7 ¿Qué información debería colocarse en un árbol de deci- crédito de haber hecho a la compañía un éxito fi- siones? nanciero. Bob es vicepresidente de finanzas, y atribuye 3-8 Describa cómo determinaría la mejor decisión usando su éxito a su actitud pesimista acerca del negocio y de el criterio del VME con un árbol de decisiones. la industria del petróleo. Dada la información del pro- 3-9 ¿Cuál es la diferencia entre las probabilidades previas blema 3-17, es probable que Bob llegue a una decisión y las posteriores? diferente. ¿Qué criterio de decisión debería emplear 3-10 ¿Cuál es el propósito del análisis bayesiano? Describa Bob y qué alternativa elegirá? cómo usaría el análisis bayesiano en el proceso de toma 3-19 Lubricant es un boletín de noticias energéticas costoso de decisiones. al que muchos gigantes del petróleo se suscriben, in- 3-11 ¿Qué es el VEIM? ¿Cómo se calcula? cluyendo a Ken Brown (véase el problema 3-17 por lo 3-12 ¿Cómo se calcula la eficiencia de la información mues- detalles). En el último número, el boletín describía la tral? forma en que la demanda de petróleo y sus derivados 3-13 ¿Cuál es el propósito general de la teoría de la utilidad? sería extremadamente alta. Parece que el consumidor estadounidense continuará usando productos de petró- 3-14 Analice brevemente cómo se evalúa una función de la leo, aun cuando se duplique su precio. Sin duda uno de utilidad. ¿Qué es el juego estándar y cómo se utiliza al los artículos en el Lubricant establece que la posibili- determinar valores de la utilidad? dad de un mercado petrolero favorable es de 70%, en 3-15 ¿Cómo se emplea la curva de la utilidad al seleccionar tanto que la posibilidad de un mercado desfavorable es la mejor decisión para un problema en particular? de solo 30%. A Ken le gustaría usar estas probabili- 3-16 ¿Qué es un buscador de riesgo? ¿Qué es ser adverso al dades para determinar la mejor decisión. riesgo? ¿En qué difieren las curvas de la utilidad para a) ¿Qué modelo de decisión debería usar? estos tipos de tomadores de decisiones? b) ¿Cuál es la decisión óptima? c) Ken piensa que la cifra de $300,000 para el Sub Problemas 100 con un mercado favorable es demasiado alta. 3-17 Kenneth Brown es el principal propietario de Brown ¿Cuánto tendría que disminuir esta cifra para que Oil, Inc. Después de dejar su trabajo académico en la Ken cambiara la decisión tomada en el inciso b)? universidad, Ken ha podido aumentar su salario anual 3-20 Mickey Lawson considera invertir un dinero que por un factor mayor que 100. En la actualidad, Ken se heredó. La siguiente tabla de pagos da las ganancias ve forzado a considerar la compra de más equipo para que obtendría durante el siguiente año para cada una de Nota: significa que el problema se resuelve con QM para Windows, indica que el problema se resuelve con Excel QM, y quiere decir que el problema se resuelve con QM para Windows y/o con Excel QM. 104 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES las tres alternativas de inversión que Mickey está con- 3-24 Today’s Electronics se especializa en fabricar compo- siderando: nentes electrónicos modernos y también fabrica el equipo para producirlos. Phyllis Wienberg, responsable ESTADO DE NATURALEZA de asesorar al presidente de Today’s Electronics en ALTERNATIVA ECONOMÍA ECONOMÍA cuanto a la fabricación del equipo, ha desarrollado la DE DECISIÓN BUENA MALA siguiente tabla respecto a una instalación propuesta: Mercado de valores 80,000 –20,000 GANANCIA ($) Bonos 30,000 20,000 MERCADO MERCADO MERCADO Certificados de depósito 23,000 23,000 FUERTE REGULAR MALO Probabilidad 0.5 0.5 Instalación grande 550,000 110,000 –310,000 a) ¿Qué decisión maximizaría las ganancias esperadas? Instalación mediana 300,000 129,000 –100,000 b) ¿Cuál es la cantidad máxima que debería pagar por un pronóstico perfecto de la economía? Instalación pequeña 200,000 100,000 –32,000 3-21 Desarrolle una tabla de pérdida de oportunidad para el Ninguna instalación 0 0 0 problema de inversión que enfrenta Mickey Lawson en el problema 3-20. ¿Qué decisión minimiza la pérdida de oportunidad esperada? ¿Cuál es la POE mínima? a) Desarrolle una tabla de pérdida de oportunidad. 3-22 Allen Young siempre ha estado orgulloso de sus estrate- b) ¿Cuál es la decisión de arrepentimiento minimax? gias de inversión personales y le ha ido muy bien en los 3-25 Brilliant Color es un modesto proveedor de químicos años recientes. Invierte principalmente en el mercado de y equipo que se usa en algunas tiendas fotográficas valores. Sin embargo, durante los últimos meses Allen para revelar película de 35 mm. Un producto de Bri- ha estado muy preocupado por el mercado de valores lliant Color es el BC-6. John Kubick, presidente de como una buena inversión. En algunos casos, hubiera Brilliant Color, suele almacenar 11, 12 o 13 cajas sido mejor que tuviera su dinero en un banco y no en la de BC-6 cada semana. Por cada caja que John vende, bolsa de valores. Durante el siguiente año, Allen debe recibe una ganancia de $35. Al igual que muchos decidir si invertir $10,000 en el mercado de valores o en químicos fotográficos, el BC-6 tiene una vida de un certificado de depósito (CD) a una tasa de interés de repisa muy corta, de manera que si una caja no se 9%. Si el mercado es bueno, Allen cree que puede tener vende para el fin de la semana, John debe desecharla. un rendimiento de 14% sobre su dinero. Con un mer- Como cada caja cuesta $56, John pierde $56 por cada cado regular, espera obtener 8% de rendimiento. Si el caja que no se vende para el fin de semana. Hay una mercado es malo, lo más probable es que no tenga probabilidad de 0.45 de vender 11 cajas, una probabi- rendimiento —en otras palabras, el retorno sería de 0%. lidad de 0.35 de vender 12 cajas y una probabilidad de Allen estima que la probabilidad de un mercado bueno 0.2 de vender 13 cajas. es de 0.4, la probabilidad de un mercado regular es de a) Construya una tabla de decisiones para este pro- 0.4, y la probabilidad de un mercado malo es de 0.2, y blema. Incluya todos los valores y las probabili- él busca maximizar su rendimiento promedio a largo dades condicionales en la tabla. plazo. b) ¿Qué curso de acción recomienda? a) Desarrolle una tabla de decisiones para este pro- c) Si John puede desarrollar el BC-6 con un ingre- blema. diente que lo estabilice, de modo que ya no tenga b) ¿Cuál es la mejor decisión? que desecharse, ¿cómo cambiaría esto su curso de 3-23 En el problema 3-22 ayudó a Allen Young a determinar acción recomendado? la mejor estrategia de inversión. Ahora Young está pen- 3-26 La compañía Megley Cheese es un pequeño fabricante sando pagar por un boletín de noticias del mercado de de varios productos de queso diferentes. Uno de los valores. Un amigo de Young le dice que este tipo de bo- productos es un queso para untar que se vende a tien- letines suelen predecir con mucha exactitud si el mer- das al menudeo. Jason Megley tiene que decidir cuán- cado será bueno, regular o malo. Entonces, con base en tas cajas de queso para untar debe producir cada mes. estas predicciones, Allen podría tomar mejores deci- La probabilidad de que la demanda sea de seis cajas es siones de inversión. de 0.1, para 7 cajas es de 0.3, para 8 es de 0.5 y para 9 a) ¿Cuánto es lo más que Allen estaría dispuesto a pa- es de 0.1. El costo de cada caja es de $45 y el precio gar por un boletín? que Jason obtiene por cada caja es de $95. Por desgra- b) Young piensa que un buen mercado le dará un cia, las cajas que no se venden al final del mes no rendimiento de tan solo 11% en vez de 14%. tienen valor, porque se descomponen. ¿Cuántas cajas ¿Cambia esta información la cantidad que Allen es- de queso debería fabricar John cada mes? taría dispuesto a pagar por el boletín? Si su res- 3-27 Farm Grown, Inc., produce cajas de productos alimen- puesta es afirmativa, determine lo más que Allen ticios perecederos. Cada caja contiene una variedad de pagaría por el boletín, dada esta nueva información. vegetales y otros productos agrícolas. Cada caja cuesta PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 105 $5 y se vende en $15. Si hay cajas que no se hayan ven- COSTO POR dido al final del día, se venden a una compañía grande CONTRATO COSTO MILLAS MILLA procesadora de alimentos en $3 por caja. La probabili- DE 3 AÑOS MENSUAL INCLUIDAS ADICIONAL dad de que la demanda diaria sea de 100 cajas es de 0.3, de que sea de 200 cajas es de 0.4 y de que sea de 300 ca- Opción 1 $330 36,000 $0.35 jas es de 0.3. Farm Gown tiene la política de siempre satisfacer la demanda de los clientes. Si su propia Opción 2 $380 45,000 $0.25 reserva de cajas es menor que la demanda, compra los Opción 3 $430 54,000 $0.15 vegetales necesarios a un competidor. El costo esti- mado de hacer esto es de $16 por caja. a) Dibuje un árbol de decisiones para este problema. b) ¿Qué recomendaría? Beverly estima que durante los 3 años del contrato, hay 3-28 Aun cuando las estaciones de gasolina independientes 40% de posibilidades de que maneje un promedio de enfrentan tiempos difíciles, Susan Solomon ha estado 12,000 millas anuales, 30% de posibilidades de que sea pensado emprender su propia estación de servicio. El un promedio de 15,000 millas anuales y 30% de posibili- problema de Susan es decidir qué tan grande debería dades de que llegue a 18,000 millas anuales. Al evaluar ser. Los rendimientos anuales dependerán del tamaño estas opciones de arrendamiento, a Beverly le gustaría de su instalación y de varios factores de comerciali- mantener sus costos tan bajos como sea posible. zación relacionados con la industria del petróleo y la a) Desarrolle una tabla de pagos (costos) para esta demanda de gasolina. Después de un análisis cuida- situación. doso, Susan desarrolló la siguiente tabla: b) ¿Qué decisión tomaría Beverly si fuera optimista? c) ¿Qué decisión tomaría si fuera pesimista? d) ¿Qué decisión tomaría si quisiera minimizar su TAMAÑO DE MERCADO MERCADO MERCADO costo (valor monetario) esperado? LA PRIMERA BUENO REGULAR MALO e) Calcule el valor esperado de la información per- ESTACIÓN ($) ($) ($) fecta para este problema. Pequeña 50,000 20,000 –10,000 3-30 Con referencia a la decisión de renta que enfrenta Be- Mediana 80,000 30,000 –20,000 verly Mills en el problema 3.29, desarrolle la tabla de Grande 100,000 30,000 –40,000 pérdida de oportunidad para esa situación. ¿Cuál op- ción elegiría según el criterio de arrepentimiento mini- Muy grande 300,000 25,000 –160,000 max? ¿Qué alternativa daría como resultado la menor pérdida de oportunidad esperada? 3-31 El juego de ruleta es popular en muchos casinos en Por ejemplo, si Susan construye una estación pequeña todo el mundo. En Las Vegas, una ruleta ordinaria tiene y el mercado es bueno, obtendrá una ganancia de los números 1 a 36 en las muescas. La mitad de estas $50,000. son rojas y la otra mitad son negras. En Estados a) Desarrolle una tabla de decisiones para esta situa- Unidos, la ruleta suele tener también los números 0 ción. (cero) y 00 (doble cero), y estos dos números se en- b) ¿Cuál es la decisión maximax? cuentran en muescas verdes. Entonces, hay 38 muescas c) ¿Cuál es la decisión maximin? en una rueda. El crupier impulsa la rueda y lanza una d) ¿Cuál es la decisión de probabilidades iguales? pequeña pelota en dirección opuesta al giro de la rueda. e) ¿Cuál es la decisión con el criterio de realismo? Cuando la rueda pierde velocidad, la pelota cae en una Use un valor de ␣ de 0.8. de las muescas y ese es el número y el color que ganan. f) Desarrolle una tabla de pérdida de oportunidad. Una de las apuestas disponibles es simplemente rojo o g) ¿Cuál es la decisión del arrepentimiento minimax? negro, para la cual las posibilidades son 1 a 1. Si el ju- 3-29 Beverly Mill ha decidido rentar un automóvil híbrido gador apuesta ya sea rojo o negro, y ocurre que acierta para ahorrar gastos de gasolina y contribuir con el al color ganador, el jugador obtiene la cantidad de su cuidado del ambiente. El auto seleccionado está apuesta. Por ejemplo, si el jugador apuesta $5 al rojo y disponible solamente con un distribuidor en el área, gana, le pagan $5 y todavía tiene su apuesta original. aunque este tiene varias opciones de arrendamiento Por otro lado, si el color ganador es negro o verde para ajustarse a una gama de patrones de manejo. To- cuando el jugador apuesta al rojo, pierde toda su dos los contratos de renta son por 3 años y no requieren apuesta. pago inicial (enganche). La primera opción tiene un a) ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador que costo mensual de $330, una autorización de 36,000 apuesta rojo gane? millas (un promedio de 12,000 millas por año) y un b) Si un jugador apuesta $10 a rojo cada vez que se costo de $0.35 por milla adicional a las 36,000. La gira la ruleta, ¿cuál es el valor monetario (ganan- siguiente tabla resume las tres opciones de renta: cia) esperado(a)? 106 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES c) En Europa se acostumbra a que no haya 00 en la probabilidad de un mercado favorable dado rueda, tan solo 0. Con este tipo de juego, ¿cuál es un estudio favorable ⫽ 0.82 la probabilidad de que un jugador que apuesta rojo probabilidad de un mercado desfavorable dado gane? Si un jugador apuesta $10 al rojo todas las un estudio favorable ⫽ 0.18 veces en este juego (sin 00), ¿cuál es el valor mone- tario esperado? probabilidad de un mercado favorable dado d) Como la utilidad esperada (ganancia) en un juego un estudio desfavorable ⫽ 0.11 de ruleta es negativa, ¿por qué seguiría jugando una probabilidad de un mercado desfavorable dado persona racional? un estudio desfavorable ⫽ 0.89 3-32 Remítase al problema 3-31 para los detalles del juego probabilidad de un estudio de ruleta. Otra apuesta en la ruleta se llama “directa”, favorable ⫽ 0.55 que significa que el jugador apuesta que el número probabilidad de un estudio ganador será el número que eligió. En un juego con 0 y desfavorable ⫽ 0.45 00, hay un total de 38 resultados posibles (los números 1 a 36 más 0 y 00), y cada uno tiene la misma posibili- a) Desarrolle un nuevo árbol de decisiones para los dad de ocurrir. El pago por este tipo de apuesta es 35 a profesionales médicos, que refleje las opciones que 1, lo cual significa que el jugador obtiene 35 y conserva se abren ahora con el estudio de mercado. su apuesta original. Si un jugador apuesta $10 al b) Use el VME para recomendar una estrategia. número 7 (o cualquier otro número sencillo), ¿cuál es c) ¿Cuál es el valor esperado de la información mues- el valor monetario (ganancia) esperado(a)? tral? ¿Cuánto estarían los médicos dispuestos a pa- 3-33 La compañía Technically Techno tiene varias patentes gar por un estudio de mercado? para diferentes dispositivos de almacenamiento que se d) Calcule la eficiencia de la información muestral. utilizan en las computadoras, los teléfonos celulares y 3-36 Jerry Smith está pensando abrir una tienda de bicicletas una gama de productos. Un competidor recientemente en su ciudad natal. A Jerry le encanta llevar su bicicle- introdujo un producto basado en una tecnología similar ta en viajes de 50 millas con sus amigos, pero cree que a algo patentado por Technically Techno el año pasado. cualquier negocio pequeño debería iniciarse tan solo si En consecuencia, Technically Techno demandó al com- hay una buena posibilidad de ganar dinero. Jerry puede petidor por transgresión de sus derechos. Con base en abrir una tienda pequeña, una tienda grande o no abrir los hechos del caso, al igual que el registro de los abo- una tienda. Las ganancias dependerían del tamaño de la gados involucrados, Technically Techno cree que tiene tienda, y de si el mercado es favorable o desfavorable una probabilidad de 40% de que le otorguen $300,000 para sus productos. Como hay un local para rentar por si la demanda llega a los tribunales. Tiene una probabi- 5 años en un edificio que Jerry está pensando usar, lidad de 30% de que le otorguen sólo $50,000 si van a quiere asegurase de tomar la decisión correcta. Jerry juicio y ganan, y una probabilidad de 30% de que pier- también piensa contratar a su antiguo profesor de mar- dan el caso y no obtengan dinero. El costo legal esti- keting para realizar un estudio de mercado. Si el estu- mado si van a la corte es de $50,000. Sin embargo, la dio se realiza podría ser favorable (es decir, predecir un otra compañía ha ofrecido pagar a Technically Techno mercado favorable) o desfavorable (predecir un mer- $75,000 para arreglar la disputa sin ir a juicio. El costo cado desfavorable). Desarrolle un árbol de decisiones legal estimado de esto sería de $10,000. Si Technically para Jerry. Techno desea maximizar la ganancia esperada, ¿debería 3-37 Jerry Smith (véase el problema 3-36) hizo un análisis aceptar la oferta de arreglo fuera de los tribunales? de la rentabilidad de la tienda de bicicletas. Si Jerry 3-34 Un grupo de profesionales médicos está considerando abre una tienda grande, ganará $60,000 si el mercado construir una clínica privada. Si la demanda médica es es favorable, pero perderá $40,000 si es desfavorable. alta (es decir, si el mercado es favorable para la La tienda pequeña le hará ganar $30,000 en un mer- clínica), los médicos pueden recibir una ganancia neta cado favorable y perder $10,000 en un mercado desfa- de $100,000. Si el mercado no es favorable, podrían vorable. Actualmente, él cree que hay una posibilidad perder $40,000. Desde luego, no tienen que seguir ade- de 50-50 de que el mercado sea favorable. Su antiguo lante, en cuyo caso no hay costo. En ausencia de datos profesor de marketing le cobrará $5,000 por el estudio de mercado, lo mejor que pueden adivinar los médicos de mercado. Se estima que hay una probabilidad de es que hay una posibilidad de 50-50 de que la clínica 0.6 de que el estudio de mercado sea favorable y una tenga éxito. Construya un árbol de decisiones que probabilidad de 0.9 de que el mercado sea favorable ayude a analizar este problema. ¿Qué deberían hacer dado un resultado favorable para el estudio. Sin em- los profesionales médicos? bargo, el profesor advirtió a Jerry que tan solo hay una 3-35 Un investigador de mercados se acercó a los doctores probabilidad de 0.12 de un mercado favorable, si los del problema 3-34 y les ofrece realizar un estudio de resultados del estudio no son favorables. Jerry está mercado con un costo de $5,000. Los investigadores confundido. de mercado aseguran que su experiencia les permite a) ¿Debe Jerry usar el estudio de mercado? usar el teorema de Bayes para hacer las siguientes afir- b) Sin embargo, Jerry no está seguro de que la pro- maciones de probabilidad: babilidad de 0.6 para un estudio de mercado favo- PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 107 rable sea correcta. ¿Qué tan sensible es la decisión 3-41 Un asesor financiero recomienda dos fondos mutuos de Jerry a este valor de probabilidad? ¿Cuánto se posibles para inversión: el fondo A y el fondo B. El puede desviar este valor de 0.6 sin ocasionar que rendimiento que logrará cada uno depende de si la eco- Jerry cambie su decisión? nomía es buena, regular o mala. Se ha construido una 3-38 Bill Holliday no está seguro de qué debería hacer. tabla de pagos para ilustrar la situación: Puede construir un edificio de cuatro departamentos, uno de dos, reunir información adicional o simplemente ESTADO DE NATURALEZA no hacer nada. Si reúne información adicional, los re- ECONOMÍA ECONOMÍA ECONOMÍA sultados podrían ser favorables o desfavorables, pero INVERSIÓN BUENA REGULAR MALA le costaría $3,000 reunirla. Bill piensa que hay una Fondo A $10,000 $2,000 ⫺$5,000 posibilidad de 50-50 de que la información sea favo- rable. Si el mercado de renta es favorable, Bill ganará Fondo B $6,000 $4,000 0 $15,000 con cuatro departamentos o $5,000 con dos. Probabilidad 0.2 0.3 0.5 Él no tiene recursos financieros para llevar a cabo am- bas opciones, pero con un mercado de renta desfavo- a) Dibuje un árbol de decisiones que represente esta rable perdería $20,000 con cuatro departamentos o situación. $10,000 con dos. Sin reunir información adicional, b) Realice los cálculos necesarios para determinar Bill estima que la probabilidad de un mercado de renta cuál de los dos fondos mutuos es mejor. ¿Cuál de- favorable es de 0.7. Un reporte favorable del estudio bería elegir para maximizar el valor esperado? aumentaría la probabilidad de un mercado de renta fa- c) Suponga que hay una pregunta acerca del ren- vorable a 0.9. Más aún, un reporte desfavorable de la dimiento del fondo A en una buena economía. Po- información adicional disminuiría la probabilidad de dría ser mayor o menor que $10,000. ¿Qué valor un mercado de renta favorable a 0.4. Desde luego, Bill de este ocasionaría que una persona sea indiferente puede olvidar estos números y no construir. ¿Qué entre el fondo A y el fondo B (es decir, para el que aconsejaría a Bill? el VME sería igual)? 3-39 Peter Martin ayudará a su hermano que quiere abrir una 3-42 Jim Sellers está pensando producir un nuevo tipo de tienda de alimentos. Peter inicialmente cree que hay maquinilla para afeitar para hombre. Si el mercado una posibilidad de 50-50 de que la tienda de alimentos fuera favorable, obtendría un rendimiento de $100,000 de su hermano tenga éxito. Peter está considerando pero si el mercado de este nuevo tipo de maquinilla hacer un estudio de mercado. Con base en datos históri- para afeitar fuera desfavorable, perdería $60,000. cos, hay una probabilidad de 0.8 de que la investi- Como Ron Bush es un buen amigo de Jim Sellers, Jim gación de mercado sea favorable dada una tienda con considera la posibilidad de contratar a Bush Marketing éxito. Todavía más, hay una probabilidad de 0.7 de que Research para reunir información adicional acerca del el estudio de mercado sea desfavorable dada un tienda mercado de la maquinilla para afeitar. Ron sugiere que sin éxito. Jim use una encuesta o un estudio piloto para probar el a) Si el estudio de mercado es favorable, ¿cuál es la mercado. La encuesta sería un cuestionario complejo probabilidad revisada de Peter de una tienda con aplicado a un mercado de prueba y costaría $5,000. éxito para su hermano? Otra alternativa es realizar un estudio piloto, que in- b) Si el estudio de mercado es desfavorable, ¿cuál es cluye producir un número limitado de maquinillas para la probabilidad revisada de Peter para una tienda afeitar y tratar de venderlas en dos ciudades que sean con éxito para su hermano? típicamente estadounidenses. El estudio piloto es más c) Si la probabilidad inicial de una tienda con éxito es preciso pero también más costoso: sería de $20,000. de 0.60 (en vez de 0.50), encuentre las probabili- Ron Bush sugiere que sería buena idea que Jim rea- dades de los incisos a) y b). lizara uno de los dos antes de tomar una decisión res- 3-40 Mark Martinko ha sido un raquetbolista de clase A du- pecto a producir la nueva maquinilla para afeitar; sin rante los últimos cinco años y una de sus metas más embargo, Jim no está seguro de que el valor de la en- importantes es ser dueño de una instalación de raquet- cuesta o del estudio piloto valgan la pena. bol y administrarla. Por desgracia, Mark piensa que la Jim estima que la probabilidad de un mercado exi- posibilidad de tener éxito es tan solo de 30%. El abo- toso sin hacer una encuesta o un estudio piloto es de gado de Mark le recomienda que use uno de los grupos 0.5. Todavía más, la probabilidad de una encuesta fa- locales de investigación de mercados para realizar un vorable dado un mercado favorable para las máquinas estudio respecto al éxito o fracaso de la instalación para para afeitar es de 0.7 y la probabilidad de un resultado raquetbol. Existe una probabilidad de 0.8 de que el estu- favorable de la encuesta dado un mercado desfavorable dio sea favorable dada una instalación exitosa. Además, es de 0.2. Además, la probabilidad de un estudio piloto hay una probabilidad de 0.7 de que el estudio sea desfa- desfavorable dado un mercado desfavorable es de 0.9 y vorable dada una instalación no exitosa. Calcule las la probabilidad de un estudio piloto sin éxito dado un probabilidades revisadas de una instalación para raquet- mercado favorable es de 0.2. bol exitosa, dados un estudio favorable y un estudio a) Dibuje el árbol de decisiones para este problema desfavorable. sin los valores de probabilidad. 108 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES b) Calcule las probabilidades revisadas necesarias perado como criterio de decisión. Este grupo evaluó para completar la decisión y colóquelas en el árbol también su utilidad para el dinero: U(–$45,000) ⫽ 0, de decisiones. U(–$40,000) ⫽ 0.1, U(–$5,000) ⫽ 0.7, U($0) ⫽ 0.9, c) ¿Cuál es la mejor decisión para Jim? Use el VME U($95,000) ⫽ 0.99 y U($100,000) ⫽ l. Use la utilidad como criterio de decisión. esperada como criterio de decisión y determine la 3-43 Jim Sellers pudo estimar su utilidad para varios valores. mejor decisión para los profesionales médicos. ¿Los Le gustaría usar estos valores de la utilidad para tomar profesionales médicos son buscadores de riesgo o ad- la decisión en el problema 3-42: U(–$80,000) ⫽ 0, versos al riesgo? U(–$65,000) ⫽ 0.5, U(–$60,000) ⫽ 0.55, U(–$20,000) 3-47 En este capítulo se desarrolló un árbol de decisiones ⫽ 0.7, U(–$5,000) ⫽ 0.8, U($0) ⫽ 0.81, U($80,000) ⫽ para John Thompson (véase en la figura 3.5 el árbol de 0.9, U($95,000) ⫽ 0.95, y U($100,000) ⫽ 1. Resuelva decisiones completo). Después de terminar el análisis, el problema 3-42 usando los valores de la utilidad. ¿Es John no estaba muy seguro de que fuera indiferente al Jim adverso al riesgo? riesgo. Luego de revisar varios de los juegos estándar, 3-44 Hay dos estados de naturaleza para una situación par- John pudo evaluar su utilidad para el dinero. Algunas ticular; una economía buena y una economía mala. Se de sus evaluaciones son: U(–$190,000) ⫽ 0, puede realizar un estudio económico para obtener más U(–$180,000) ⫽ 0.05, U(–$30,000) ⫽ 0.10, información acerca de cuál de ellos ocurrirá durante el U(–$20,000) ⫽ 0.15, U(–$10,000) ⫽ 0.2, U($0) ⫽ 0.3, año próximo. El estudio pronosticaría una economía U($90,000) ⫽ 0.5, U($100,000) ⫽ 0.6, U($190,000) buena o una mala. En la actualidad hay 60% de posibili- ⫽ 0.95 y U($200,000) ⫽ 1.0. Si John maximiza su utili- dades de que la economía sea buena y 40% de que sea dad esperada, ¿cambia su decisión? mala. En el pasado, siempre que la economía era 3-48 En los años recientes, han empeorado los problemas de buena, el estudio económico predijo que sería buena tránsito vehicular en la ciudad donde nació Lynn McKell. 80% de las veces. (El otro 20% de las veces su predic- Ahora Broad Street está congestionada cerca de la mi- ción fue errónea.) En el pasado, cuando la economía tad del tiempo. El tiempo normal de traslado al trabajo era mala, el estudio económico predijo que sería mala para Lynn es de tan solo 15 minutos cuando usa Broad 90% de las veces. (El otro 10% de las veces su predic- Street y no está congestionada; pero si se congestiona, ción estuvo equivocada.) le lleva 40 minutos a Lynn llegar al trabajo. Si decide a) Use el teorema de Bayes para encontrar lo si- tomar la vía rápida, tomará 30 minutos sin importar las guiente: condiciones de tránsito. La utilidad de Lynn para el P(economía buena ƒ predicción de economía buena) tiempo de traslado es: U(15 minutos) ⫽ 0.9, U(30 mi- P(economía mala ƒ predicción de economía buena) nutos) ⫽ 0.7 y U(40 minutos) ⫽ 0.2. P(economía buena ƒ predicción de economía mala) a) ¿Qué ruta minimiza el tiempo de traslado esperado de Lynn? P(economía mala ƒ predicción de economía mala) b) ¿Qué ruta maximiza la utilidad de Lynn? b) Suponga que la probabilidad inicial (previa) de c) En lo se refiere a tiempo de traslado, ¿es Lynn una una economía buena es de 70% (en vez de 60%) y buscadora de riesgo o adversa al riesgo? que la probabilidad de una economía mala es de 30% (en vez de 40%). Encuentre las probabili- 3-49 Coren Chemical, Inc., desarrolla químicos industriales dades posteriores en el inciso a) usando estos valo- que usan otros fabricantes para producir químicos fo- res nuevos. tográficos, preservativos y lubricantes. Uno de sus pro- ductos, K-1000, se usa por varias compañías para hacer 3-45 La compañía Long Island Life Insurance vende una un químico necesario en el procesamiento de revelado póliza de seguro de vida a término. Si el titular de de película. Para producir el K-1000 de manera efi- la póliza muere durante la vigencia de la póliza, la ciente, Coren emplea el enfoque por lotes, donde cierto compañía paga $100,000. Si la persona no muere, número de galones se produce a la vez. Así se reducen la compañía no paga y la póliza deja de tener valor. La los costos de preparación y permite a Coren Chemical compañía usa tablas actuariales para determinar la producir K-1000 a un precio competitivo. Desafortu- probabilidad de que una persona con ciertas caracterís- nadamente, K-1000 tiene una vida corta en los estantes: ticas muera durante el año siguiente. Para cierto indi- cerca de un mes. viduo, se determina que existe una posibilidad de Coren Chemical produce K-1000 en lotes de 500 0.001 de que muera en el siguiente año y una posibili- galones, 1,000 galones, 1,500 galones y 2,000 galones. dad de 0.999 de que viva y la compañía no pague. El Con los datos históricos, David Coren pudo determinar costo de esta póliza es de $200 por año. Según el crite- que la probabilidad de vender 500 galones de K-1000 rio del VME, ¿debería el individuo comprar esta pó- es de 0.2. Las probabilidades de vender 1,000, 1,500 y liza de seguro? ¿Cómo ayudaría la teoría de la utilidad 2,000 galones son respectivamente 0.3, 0.4 y 0.1. La a explicar por qué una persona compraría esta póliza pregunta que debe contestar David es cuántos galones de seguro? de K-1000 producir en la siguiente corrida del lote. 3-46 En el problema 3-35, ayudó a los profesionales médi- K-1000 se vende en $20 por galón. El costo de fabri- cos a analizar su decisión usando el valor monetario es- PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 109 cación es de $12 por galón, en tanto que los costos de de basura. El costo de la investigación es de $50,000. manejo y almacenaje se estiman en $1 por galón. En el Para ayudar a que Bob determine si seguir adelante con pasado, David ha asignado costos de publicidad al el estudio de mercado, la empresa le proporcionó la K-1000 en $3 por galón. Si K-1000 no se vende des- siguiente información: pués de producir el lote, los químicos pierden gran P(resultados del estudio ƒ resultados posibles) parte de sus propiedades importantes para el revelado. Sin embargo, se puede vender a un valor de recu- RESULTADOS DEL ESTUDIO peración de $13 por galón. Más aún, David garantiza a sus clientes que siempre habrá una abasto adecuado de RESULTADO RESULTADO RESULTADO RESULTADO POSIBLE BAJO MEDIO ALTO K-1000. Si los productos se agotan, David garantiza que comprará un producto similar a un competidor en Demanda baja 0.7 0.2 0.1 $25 por galón. David vende todos los químicos a $20 Demanda media 0.4 0.5 0.1 por galón, de manera que sus faltantes significan que Demanda alta 0.1 0.3 0.6 David pierde los $5 al comprar un químico más cos- toso. a) Desarrolle un árbol de decisiones para este pro- Como se observa, la encuesta podría dar tres resul- blema. tados posibles. Un resultado bajo significa que es pro- b) ¿Cuál es la mejor solución? bable que haya una demanda baja. De manera similar, c) Determine el valor esperado de la información per- los resultados medio o alto serían de una demanda fecta. media o alta, respectivamente. ¿Qué debería hacer Bob? 3-50 La corporación Jamis participa en la administración de basura. Durante los últimos 10 años se ha convertido en 3-51 Mary está considerando abrir una nueva tienda de abar- una de las compañías más grandes de manejo de resi- rotes en el condado. Evalúa tres lugares: el centro, la duos en el medio oeste; da servicio principalmente a plaza comercial y los suburbios. Mary calculó el valor Wisconsin, Illinois y Michigan. Bob Jamis, presidente de tiendas exitosas en estos lugares como sigue: en el de la compañía, está considerando la posibilidad de es- centro, $250,000; en la plaza, $300,000; en los subur- tablecer una planta de tratamiento de basura en Missis- bios, $400,000. Mary calculó las pérdidas si no tiene sippi. Por su experiencia, Bob cree que una planta éxito como $100,000 en el centro o la plaza, y pequeña en el norte de Mississippi daría $500,000 de $200,000 en los suburbios. Mary piensa que su posibi- ganancias, sin importar el mercado para la instalación. lidad de éxito es de 50% en el centro, 60% en la plaza El éxito de una planta de tratamiento mediana depen- y 75% en los suburbios. dería del mercado. Con una demanda baja de tra- a) Dibuje un árbol de decisiones para Mary y selec- tamiento de basura, Bob espera un rendimiento de cione su mejor alternativa. $200,000. Una demanda media daría un rendimiento b) Una empresa de investigación de mercados se acer- de $700,000, según la estimación de Bob; y una de- có a Mary y le ofrece estudiar el área para determi- manda alta daría un rendimiento de $800,000. Aunque nar si se necesita otra tienda de abarrotes. El costo una instalación grande es mucho más riesgosa, el de este estudio es de $30,000. Mary cree que hay rendimiento potencial es mucho mayor. Con una de- 60% de posibilidad de que los resultados del estu- manda alta de tratamiento de basura en Mississippi, la dio sean positivos (muestren una necesidad de otra instalación grande debería dar un rendimiento de un tienda de abarrotes). REP ⫽ resultado del estudio millón de dólares. Con una demanda media, la insta- positivo, REN ⫽ resultado del estudio negativo, lación grande daría $400,000. Bob estima que la ins- EP ⫽ éxito en la plaza, EC ⫽ éxito en el centro, ES talación grande sería una gran pérdida si la demanda de ⫽ éxito en los suburbios, SES ⫽ sin éxito en los tratamiento fuera baja. Estima que perdería alrededor suburbios, etcétera. Para estudios de esta natu- de $200,000 con una demanda baja y una planta raleza: P(REP ƒ éxito) ⫽ 0.7; P(REN ƒ éxito) ⫽ 0.3; grande. Al observar las condiciones económicas en la P(REP ƒ sin éxito) ⫽ 0.2, y P(REN ƒ sin éxito) ⫽ parte norte de Mississippi y usar su experiencia en este 0.8. Calcule las probabilidades revisadas para el campo, Bob estima que la probabilidad de una de- éxito (y el sin éxito) para cada lugar, dependiendo manda baja para la planta de tratamiento es de 0.15. La de los resultados del estudio. probabilidad de una demanda media es aproximada- c) ¿Cuánto vale el estudio de mercado para Mary? mente 0.40 y la probabilidad de una demanda alta es Calcule el VEIM. de 0.45. 3-52 Sue Reynolds tiene que decidir si debería obtener in- Debido a la inversión con gran potencial y la formación (a un costo de $20,000) para invertir en una posibilidad de una pérdida, Bob decidió contratar a un tienda al menudeo. Si obtiene la información, existe una equipo de investigación de mercados con sede en Jack- probabilidad de 0.6 de que sea favorable y una probabili- son, Mississippi. Este equipo realizará un estudio para dad de 0.4 de que no sea favorable. Si la información es tener una mejor idea de la probabilidad de una de- favorable, existe una probabilidad de 0.9 de que la manda baja, una media o una alta para el tratamiento tienda tenga éxito. Si la información es desfavorable, 110 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES la probabilidad de éxito de la tienda es de tan solo 0.2. VALOR Sin información, Sue estima que la probabilidad de éxi- MONETARIO UTILIDAD to en la tienda será de 0.6. Una tienda exitosa dará un rendimiento de $100,000. Si la tienda se abre pero no $100,000 1 tiene éxito, Sue tendrá una pérdida de $80,000. Desde $80,000 0.4 luego, puede decidir no abrirla. $0 0.2 a) ¿Qué recomienda? b) ¿Qué influencia tendría en la decisión de Sue una –$20,000 0.1 probabilidad de 0.7 de obtener información favo- –$80,000 0.05 rable? La probabilidad de obtener información des- –$100,000 0˚ favorable sería de 0.3. c) Sue cree que las probabilidades de una tienda con f) Calcule la utilidad esperada dada la siguiente tabla éxito y una sin éxito dado que la información es fa- de la utilidad. ¿Esta tabla de la utilidad representa a vorable son de 0.8 y 0.2, respectivamente, en vez un buscador de riesgo o a alguien adverso al riesgo? de los respectivos 0.9 y 0.1. ¿Qué influencia, si la hay, tendrá esto en la decisión de Sue y en el mejor VME? VALOR d) Sue tiene que pagar $20,000 para obtener informa- MONETARIO UTILIDAD ción. ¿Cambiaría su decisión si el costo de la infor- $100,000 1 mación aumentara a $30,000? $80,000 0.9 e) Usando los datos de este problema y la siguiente $0 0.8 tabla de la utilidad, calcule la utilidad esperada. ¿Es ésta la curva de un buscador de riesgo o de un indi- –$20,000 0.6 viduo adverso al riesgo? –$80,000 0.4 –$100,000 0 Problemas de tarea en Internet Nuestra página en Internet, en www. pearsonenespañol.com/render, contiene problemas de tarea adicionales: problemas 3-53 a 3-66. Estudio de caso Corporación Starting Right Después de ver una película acerca de una joven mujer que deja su Lograr que individuos capaces trabajaran para la nueva com- carrera en una corporación exitosa para iniciar su propia empresa pañía también era importante. Julia decidió contratar a personas de alimento para bebé, Julia Day decidió que quería hacer lo con experiencia en finanzas, marketing y producción para Starting mismo. En la película, la compañía de alimento para bebé era muy Right. Con su entusiasmo y carisma, Julia logró encontrar a un exitosa. Sin embargo, Julia sabía que es mucho más fácil hacer grupo así. Su primer paso fue desarrollar los prototipos del nuevo una película sobre una mujer exitosa que inicia su propia empresa, alimento congelado para bebé y realizar una pequeña prueba pi- que hacerlo en la vida real. El producto tiene que ser de la más alta loto del nuevo producto, la cual recibió opiniones entusiastas. calidad y Julia tenía que encontrar a las mejores personas para lan- El último punto para dar a la compañía un buen inicio era reu- zar su nueva compañía. Julia renunció a su trabajo y lanzó su nir fondos. Consideró tres opciones: bonos corporativos, acciones nueva compañía: Starting Right. preferenciales y acciones comunes. Julia decidió que cada inver- Julia decidió dirigirse al sector alto del mercado de alimento sión debía hacerse en bloques de $30,000. Más aún, cada inversio- para bebé produciendo alimentos sin conservadores y con un gran nista debía tener un ingreso anual de al menos $40,000 y un valor sabor. Aunque el precio sería un poco más elevado que el alimento neto de $100,000 para ser elegible para invertir en Starting Right. para bebé existente, Julia pensaba que los padres estarían dis- Los bonos corporativos tendrían un rendimiento de 13% anual du- puestos a pagar más por alimentos de alta calidad. En vez de colo- rante los siguientes cinco años. Julia además garantizó que los in- car papillas en frascos, que requiere conservadores para estabilizar versionistas en bonos corporativos obtendrían al menos $20,000 la comida, Julia decidió intentar un nuevo enfoque. El alimento de rendimiento al final de los cinco años. Los inversionistas en ac- para bebé estaría congelado. Esto permitiría ingredientes natu- ciones preferenciales deberían ver crecer su inversión inicial por rales, sin conservadores y con nutrición sobresaliente. un factor de 4 con un buen mercado, o bien, ver que la inversión ESTUDIO DE CASO 111 valía tan solo la mitad de la inversión inicial con un mercado des- 3. Lila Battle ha decidido invertir en Starting Right. Mientras favorable. Las acciones comunes tenían el mayor potencial. Se es- que piensa que Julia tiene una buena posibilidad de lograr el peraba que la inversión inicial creciera por un factor de 8 con un éxito, Lila evita el riesgo y es muy conservadora. ¿Qué le re- buen mercado, pero los inversionistas perderían todo si el mercado comendaría? es desfavorable. Durante los siguientes cinco años, se espera que 4. George Yates cree que hay la misma posibilidad de tener la inflación aumente por un factor de 4.5% anual. éxito que no tenerlo. ¿Qué le recomendaría? 5. Peter Metarko es extremadamente optimista acerca del mer- cado para el nuevo alimento para bebé. ¿Cuál es su consejo para Peter? Preguntas para análisis 6. Le han dicho a Julia que desarrollar la documentación legal 1. Sue Pansky, una maestra de primaria jubilada, está con- para cada tipo de inversión es costoso. A Julia le gustaría siderando invertir en Starting Right. Es muy conservadora y ofrecer alternativas tanto para quienes tienen aversión al adversa al riesgo. ¿Qué le recomendaría? riesgo como para los inversionistas que lo buscan. ¿Puede 2. Ray Cahn, que actualmente es un corredor de bienes, tam- Julia eliminar una de las alternativas financieras y todavía bién considera una inversión, aunque piensa que hay tan solo ofrecer opciones de inversión para quienes se arriesgan y una posibilidad de éxito de 11%. ¿Qué le recomienda? para los que evitan el riesgo? Estudio de caso Blake electronics En 1979 Steve Blake fundó Blake Electronics en Long Beach, nerales comenzaron a esfumarse las ganancias y, en 2009, se en- California, para fabricar resistencias, capacitores, inductores y frentó a la posibilidad de enfrentar una pérdida por primera vez en otros componentes electrónicos. Durante la guerra de Vietnam, la historia. Steve era un operador de radio y durante este tiempo adquirió En 2010 Steve decidió estudiar la posibilidad de fabricar competencia en la reparación de radios y otros equipos de comu- componentes electrónicos para uso en el hogar. Aunque se trataba nicación. Steve vio su experiencia de cuatro años con el ejército de un mercado totalmente nuevo para Blake Electronics, Steve es- con sentimientos mezclados. Odió la vida militar, pero su expe- taba convencido de que era la única manera de hacer que la com- riencia le dio la confianza y la iniciativa para comenzar su propia pañía no cayera en números rojos. El equipo de investigación se empresa de electrónicos. dio a la tarea de desarrollar nuevos dispositivos electrónicos para Al pasar los años, Steve mantuvo el negocio relativamente sin uso doméstico. La primera idea del equipo fue el “centro de con- cambios. Para 1992, las ventas totales anuales eran de más de trol maestro”. Los componentes básicos para este sistema se ilus- $2 millones. En 1996 el hijo de Steve, Jim, se unió a la compañía tran en la figura 3.15. después de terminar la preparatoria y dos años de cursos en elec- trónica en el Long Beach Communitiy College. Jim era siempre dinámico en el atletismo de la escuela y se volvió más dinámico FIGURA 3.15 como gerente general de ventas de Blake Electronics. Este di- Centro de control maestro namismo molestaba un poco a Steve, que era más conservador. Jim hacía tratos para abastecer componentes electrónicos a las compañías antes de molestarse en averiguar si Blake Electronics BLAKE tenía la capacidad para producirlos. En varias ocasiones su com- portamiento ocasionó algunos momentos embarazosos cuando Blake Electronics no fue capaz de producir los componentes según los tratos de Jim. En 2000 Jim comenzó a buscar contratos de abastecimiento de componentes electrónicos con el gobierno. Para 2002, las ven- tas totales anuales habían aumentado a más de $10 millones y el Caja de control maestro número de empleados excedía los 200. Muchos de estos emplea- dos eran especialistas en electrónica y graduados de ingeniería eléctrica de programas de universidades importantes. No obstante, la tendencia de Jim a estirar los contratos continuó y, para 2007, Blake Electronics tenía una reputación con las dependencias del gobierno de una compañía que no cumplía lo que prometía. Casi de la noche a la mañana, los contratos con el gobierno cesaron y Adaptador Adaptador para Disco para Blake Electronics se quedó con una fuerza de trabajo ociosa eléctrico el interruptor de bombilla electricidad y equipo de manufactura que no se usaba. Estos altos costos ge- 112 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES El corazón del sistema es la caja de control maestro. La TABLA 3.15 Cifras de éxito para MAI unidad, que tendría un precio al menudeo de $250, tiene dos filas de cinco botones. Cada botón controla una luz o un aparato y RESULTADOS DE ENCUESTAS puede establecerse como interruptor o reóstato. Cuando se es- tablece como interruptor, un toque ligero con el dedo en el botón RESULTADO FAVORABLE DESFAVORABLE TOTAL enciende o apaga la luz o el aparato. Cuando se establece como Proyecto reóstato, un toque ligero en el botón controla la intensidad de la exitoso 35 20 55 luz. Si se deja el dedo en el botón, la luz va un ciclo completo de Proyecto que no brillo máximo a apagado y de regreso. es exitoso 15 30 45 Para permitir la máxima flexibilidad, cada de control maestro funciona con dos baterías D que pueden durar hasta un año, de- pendiendo del uso. Además, el equipo de investigación ha desa- vestigación de mercado adicional a 30 compañías de investigación rrollado tres versiones del control maestro: A, B y C. Si una de mercado en el sur de California familia quiere controlar más de 10 luces o aparatos, se puede com- La primera PDP que regresó era de una compañía pequeña lla- prar otro control maestro. mada Marketing Associates, Inc. (MAI), que cobraría $100,000 El disco para la bombilla, que tiene un precio al menudeo de por la investigación. Según su propuesta, MAI ha estado en el ne- $2.50, se controla con el control maestro y sirve para controlar la gocio durante tres años y ha realizado cerca de 100 proyectos del intensidad de cualquier bombilla. Un disco diferente está dispo- ramo. La mayor fortaleza de MAI parece ser la atención indivi- nible para cada posición del botón de las tres cajas del control dual a cada cuenta, personal especializado y trabajo rápido. Steve maestro. Al insertar el disco para la bombilla entre la bombilla y su estuvo muy interesado en una parte de la propuesta, la cual le reve- enchufe, el botón adecuado en el control maestro puede controlar ló el registro de éxitos de MAI con cuentas anteriores. Esto se totalmente la intensidad de la luz. Si se usa un interruptor estándar, muestra en la tabla 3.15. debe estar encendido siempre para que funcione el control maestro. La única otra propuesta que regresó era de una sucursal de In- Una desventaja al usar un interruptor estándar es que tan solo vestine and Walker, una de las compañías de investigación de mer- se puede usar la caja del control maestro para controlar esa luz. cados más grandes en el país. El costo de un estudio completo Para evitar este problema, el equipo de investigación desarrolló un sería de $300,000. Mientras que la propuesta no contenía el mismo adaptador especial para el interruptor que se vendería en $15. registro de éxitos de MAI, sí incluía cierta información intere- Cuando se instala este dispositivo, la luz se puede controlar con la sante. La posibilidad de obtener un resultado favorable, dado un caja del control maestro o con el adaptador del interruptor. proyecto exitoso, era de 90%. Por otro lado, la oportunidad de Cuando se usa para controlar los aparatos diferentes a la luz, obtener un resultado desfavorable en el estudio, dado un proyecto la caja del control maestro se debe usar junto con uno o más adap- que no es exitoso es de 80%. Así, le pareció a Steve que Investine tadores de enchufe. Los adaptadores se conectan al enchufe están- and Walker podrían predecir el éxito o fracaso de la caja de con- dar en la pared y el aparato se conecta al adaptador. Cada trol maestro con una buena cantidad de certidumbre. adaptador tiene un interruptor en la parte superior que permite que Steve ponderó la situación. Por desgracia, ambos equipos de el aparato se controle con el control maestro o con el adaptador. El investigación de mercados daban distintos tipos de información en precio de cada adaptador es de $25. sus propuestas. Steve concluyó que no tendría manera de com- El equipo de investigación estima que costaría $500,000 de- parar las dos propuestas a menos que obtuviera información adi- sarrollar el equipo y los procedimientos necesarios para fabricar la cional de Investine and Walker. Todavía más, Steve no estaba caja del control maestro y los accesorios. Si tiene éxito, esta em- seguro de qué haría con la información y si valdría la pena el gasto presa podría aumentar sus ventas en aproximadamente $2 mi- de contratar a una de esas compañías. llones. Pero, ¿tendrá éxito el control maestro? Con una oportunidad de 60% de éxito estimada por el equipo de investigación, Steve Preguntas para análisis tiene serias dudas acerca de tratar de vender el control maestro, 1. ¿Necesita Steve información adicional de Investine and aun cuando le gusta la idea básica. Debido a esta incertidumbre, Walker? Steve decide enviar peticiones de propuestas (PDP) para una in- 2. ¿Qué recomendaría? Estudio de caso en Internet Visite nuestro sitio de Internet en www.pearsonenespañol.com/render, donde encontrará casos de estudio adicionales: 1. Drink-At-Home, Inc.: este caso trata el desarrollo y la comercialización de una nueva bebida. 2. Operación de bypass en el corazón de Ruth Jones (Ruth Jones’ Heart Bypass Operation): este caso implica una decisión médica respecto a una cirugía. 3. Esquíe bien (Ski Right): este caso es acerca del desarrollo y comercialización de un nuevo casco para esquiar. 4. Tiempo de estudio (Study Time): trata de un estudiante que debe programar su tiempo para estu- diar para un examen final. APÉNDICE 3.1 MODELOS DE DECISIONES CON QM PARA WINDOWS 113 Bibliografía Abbas, Ali E. “Invariant Utility Functions and Certain Equivalent Transforma- Maxwell, Dan. “Software Survey: Decision Analysis-Find a Tool That Fits”, tions”, Decision Analysis 4, 1 (marzo, 2007): 17-31. OR/MS Today 35, 5 (octubre, 2008): 56-64. Carassus, Laurence y Miklos Rasonyi. “Optimal Strategies and Utility-Based Paté-Cornell, M. Elisabeth y Robin L. Dillon. “The Respective Roles of Risk Prices Converge When Agents’ Preferences Do”, Mathematics of Opera- and Decision Analyses in Decision Support”, Decision Analysis 3 tions Research 32, 1 (febrero, 2007): 102-117. (diciembre, 2006): 220-232. Congdon, Peter. Bayesian Statistical Modeling. Nueva York: John Wiley & Pennings, Joost M. E. y Ale Smidts. “The Shape of Utility Functions and Or- Sons, Inc., 2001. ganizational Behavior”, Management Science 49, 9 (septiembre, 2003): Duarte, B. P. M. “The Expected Utility Theory Applied to an Industrial Deci- 1251-1263. sion Problem-What Technological Alternative to Implement to Treat In- Raiffa, Howard, John W. Pratt y Robert Schlaifer. Introduction to Statistical dustrial Solid Residuals”, Computers and Operations Research 28, 4 Decision Theory. Boston: MIT Press, 1995. (abril, 2001): 357-380. Raiffa, Howard y Robert Schlaifer. Applied Statistical Decision Theory. New Ewing, Paul L., Jr. “Use of Decision Analysis in the Army Base Realignment York: John Wiley & Sons, Inc., 2000. and Closure (BRAC) 2005 Military Value Analysis”, Decision Analysis 3 Render, B. y R. M. Stair. Cases and Readings in Management Science, 2a. ed. (marzo, 2006): 33-49. Boston: Allyn & Bacon, Inc., 1988. Hammond, J. S., R. L. Kenney y H. Raiffa. “The Hidden Traps in Decision Schlaifer, R. Analysis of Decisions under Uncertainty. Nueva York: McGraw- Making”, Harvard Business Review (septiembre-octubre, 1998): 47-60. Hill Book Company, 1969. Hurley, William J. “The 2002 Ryder Cup: Was Strange’s Decision to Put Tiger Smith, James E. y Robert L. Winkler. “The Optimizer’s Curse: Skepticism and Woods in the Anchor Match a Good One?” Decision Analysis 4, I Postdecision Surprise in Decision Analysis”, Management Science 52 (marzo, 2007): 41-45. (marzo, 2006): 311-322. Kirkwood, C. W. “An Overview of Methods for Applied Decision Analysis”, Van Binsbergen, Jules H. y Leslie M. Marx. “Exploring Relations between Interfaces 22, 6 (noviembre-diciembre, 1992): 28-39. Decision Analysis and Game Theory”, Decision Analysis 4, 1 (marzo, Kirkwood, Craig W. “Approximating Risk Aversion in Decision Analysis 2007): 32-40. Applications”, Decision Analysis I (marzo, 2004): 51-67. Wallace, Stein W. “Decision Making Under Uncertainty: Is Sensitivity Analy- Luce, R y H. Raiffa. Games and Decisions. Nueva York: John Wiley & Sons, sis of Any Use?” Operations Research 48, 1 (2000): 20-25. Inc., 1957. Maxwell, Daniel T. “Improving Hard Decisions”, OR/MS Today 33, 6 (diciem- bre, 2006): 51-61. Apéndice 3.1: Modelos de decisión con QM para Windows QM para Windows sirve para resolver los problemas de teoría de decisiones estudiados en este capí- tulo. Este apéndice muestra cómo resolver problemas de teoría de decisiones directos que incluyen tablas. En este capítulo se resolvió el problema de Tompson Lumber. Las alternativas incluyen la cons- trucción de una planta grande, una planta pequeña o no hacer nada. Las probabilidades de un mer- cado desfavorable o favorable, junto con la información financiera, se presentaron en la tabla 3.9. Para demostrar QM para Windows, usaremos estos datos para resolver el problema de Thomp- son Lumber. El programa 3.3 muestra los resultados. Observe que la mejor alternativa es construir la planta mediana, con un VME de $40,000. Este capítulo también cubrió la toma de decisiones con incertidumbre, donde los valores de probabilidad no estaban disponibles o no eran adecuados. Las técnicas de solución para estos tipos de problemas se presentaron en la sección 3.4. El programa 3.3 muestra estos resultados, incluyendo las soluciones maximax, maximin y Hurwicz. El capítulo 3 también cubrió la pérdida de oportunidad. Para demostrar el uso de QM para Win- dows, podemos determinar la POE para el problema de Thompson Lumber. Los resultados se pre- sentan en el programa 3.4. Note que este programa también calcula el VEIP. 114 CAPÍTULO 3 • ANÁLISIS DE DECISIONES PROGRAMA 3.3 Cálculo del VME para el Seleccione Window y Perfect Information u problema de la compañía Oportunity Loss para ver la salida adicional. Thompson Lumber Ingrese el valor de ␣ para ver los usando QM para resultados del criterio de Hurwicz. Windows PROGRAMA 3.4 Pérdida de oportunidad y VEIP para el problema de la compañía Thompson Lumber usando QM para Windows Apéndice 3.2: árboles de decisiones con QM para Windows Para ilustrar el uso de QM para Windows para árboles de decisiones, usaremos los datos del ejemplo de Thompson Lumber. El programa 3.5 muestra los resultados de salida, incluyendo los datos origi- nales, los resultados intermedios y la mejor decisión, que tiene un VME de $106,400. Note que los nodos deben numerarse y las probabilidades incluirse para cada rama de estado de naturaleza, mien- tras los pagos se incluyen en los lugares adecuados. El programa 3.5 ofrece solo una pequeña porción de este árbol ya que todo el árbol tiene 25 ramas. PROGRAMA 3.5 Este es el valor esperado dado QM para Windows en un estudio favorable. El árbol decisiones secuenciales completo requeriría 25 ramas. El punto terminal de cada rama Estas son las probabilidades revisadas debe identificarse con un nodo. dado un estudio favorable. CAPÍTULO 4 Modelos de regresión OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al terminar de estudiar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Identificar las variables y usarlas en un modelo de 6. Desarrollar un modelo de regresión múltiple y usarlo regresión. con fines de predicción. 2. Desarrollar ecuaciones de regresión lineal simple 7. Utilizar variables ficticias para modelar datos a partir de datos muestrales, e interpretar la categóricos. pendiente y la ordenada al origen (intersección). 8. Determinar cuáles variables deberían incluirse en un 3. Calcular el coeficiente de determinación y el coeficiente modelo de regresión múltiple. de correlación, e interpretar sus significados. 9. Transformar funciones no lineales en lineales para 4. Interpretar la prueba F en un modelo de regresión usarlas en un modelo de regresión. lineal. 10. Entender y evitar errores comunes al utilizar el 5. Identificar los supuestos utilizados en un modelo de análisis de regresión. regresión y usar las gráficas residuales para identi- ficar problemas. CONTENIDO DEL CAPÍTULO 4.1 Introducción 4.7 Pruebas de significancia del modelo de regresión 4.2 Diagramas de dispersión 4.8 Análisis de regresión múltiple 4.3 Regresión lineal simple 4.9 Variables binarias o ficticias 4.4 Medición del ajuste del modelo de regresión 4.10 Construcción de modelos 4.5 Utilizar software de cómputo para regresión 4.11 Regresión no lineal 4.6 Supuestos del modelo de regresión 4.12 Advertencias y fallas en el análisis de regresión Resumen • Glosario • Ecuaciones clave • Problemas resueltos • Autoevaluación • Preguntas y problemas para análisis Estudio de caso: North-South Airline • Bibliografía Apéndice 4.1 Fórmulas para cálculos de regresión Apéndice 4.2 Modelos de regresión usando QM para Windows Apéndice 4.3 Análisis de regresión en Excel QM o Excel 2007 115 116 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN 4.1 Introducción El análisis de regresión es una herramienta muy valiosa para el gerente actual. La regresión se ha utilizado para modelar cuestiones como la relación entre el nivel de educación y el ingreso, el precio de una casa y los pies cuadrados de construcción, así como el volumen de ventas para una compañía en relación con el dinero gastado en publicidad. Cuando un negocio intenta decidir cuál lugar es mejor para abrir una nueva tienda o sucursal, los modelos de regresión se utilizan con frecuencia. Los modelos de estimación de costos muchas veces son modelos de regresión. Las posibilidades de apli- cación del análisis de regresión son prácticamente ilimitadas. Dos propósitos del análisis de En general, hay dos propósitos en el análisis de regresión. El primero es entender la relación en- regresión son entender la relación tre las variables como gastos en publicidad y ventas. El segundo es predecir el valor de una de las entre las variables y predecir el variables con base en el valor de la otra. Por ello, la regresión es una técnica muy importante para rea- valor de una basado en la otra. lizar predicciones y se verá de nuevo en el capítulo 5. En este capítulo, primero se desarrollará el modelo de regresión lineal simple y, luego, se usará un modelo más complejo de regresión múltiple para incorporar incluso más variables en el modelo. En cualquier modelo de regresión, la variable que se quiere predecir se llama variable dependiente o variable de respuesta. Se dice que su valor es dependiente del valor de una variable independiente, que algunas veces se llama variable explicativa o variable predictiva. 4.2 Diagramas de dispersión Para investigar la relación entre las variables, es útil ver una gráfica de los datos. Esa gráfica se llama Un diagrama de dispersión es una diagrama de dispersión o gráfica de dispersión. Generalmente, la variable independiente se grafica gráfica de los datos. en el eje horizontal y la variable dependiente en el eje vertical. El siguiente ejemplo ilustrará esto. La compañía Triple A Construction remodela casas antiguas en Albany. Con el tiempo, la com- pañía encontró que su volumen de trabajo de remodelación en dólares dependía de la nómina del área de Albany. Las cifras para los ingresos de Triple A y la cantidad de dinero ganado por los traba- jadores de Albany en los últimos seis años se presentan en la tabla 4.1. Los economistas han antici- pado que la nómina en el área local será de $600 millones el próximo año y Triple A quiere planear de acuerdo con eso. La figura 4.1 es un diagrama de dispersión para los datos de Triple A Construction dados en la tabla 4.1. Esta grafica indica que los valores más altos para la nómina local parecen dar como resul- tado mayores ventas para la compañía. No hay una relación perfecta porque no todos los puntos están en línea recta, pero existe una relación. Se trazó una recta a través de los datos para ayudar a mostrar la relación que hay entre la nómina y las ventas. Los puntos no están todos sobre la recta, de manera que habría cierto error si tratáramos de predecir las ventas con base en la nómina, usando esta u otra recta. Pudieron dibujarse muchas líneas con estos puntos, pero ¿cuál es la que representa mejor la relación verdadera? El análisis de regresión ofrece la respuesta a esta pregunta. TABLA 4.1 VENTAS DE Ventas de la compañía TRIPLE A NÓMINA LOCAL Triple A Construction y la ($100,000) (POR $100,000,000) nómina local 6 3 8 4 9 6 5 4 4.5 2 9.5 5 4.3 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE 117 FIGURA 4.1 12 Diagrama de dispersión de los datos de la compañía Triple A 10 Construction Ventas (por $100,000) 8 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nómina (por $100 millones) 4.3 Regresión lineal simple En cualquier modelo de regresión se tiene el supuesto implícito (que se puede probar) de que existe una relación entre las variables. También hay un error aleatorio que no se puede predecir. El modelo de regresión lineal simple fundamental es: Y = b 0 + b 1X + P (4-1) donde: La variable dependiente es Y y la variable independiente es X. Y  variable dependiente (variable de respuesta) X  variable independiente (variable predictiva o variable explicativa) 0  intersección (ordenada al origen, valor de Y cuando X  0) 1  pendiente de regresión lineal   error aleatorio Las estimaciones de la pendiente y No se conocen los valores reales para la intersección: se estiman usando los datos de la muestra. la intersección se encuentran a La ecuación de regresión basada en los datos de la muestra está dada por: partir de los datos muestrales. YN = b0 + b1X (4-2) donde: YN = valor pronosticado de Y b0  estimación de 0, según los resultados de la muestra b1  estimación de 1, según los resultados de la muestra En el ejemplo de Triple A Construction, intentamos predecir las ventas, de modo que la variable dependiente (Y) serán las ventas. La variable que usamos para ayudar a predecir las ventas es la nómina en el área de Albany; entonces, esta es la variable independiente (X). Aunque se puede dibu- jar cualquier número de rectas a través de estos puntos para mostrar la relación entre X y Y en la figura 4.1, la recta que se elegirá es aquella que de alguna manera minimiza los errores. El error se define como: Error  (valor real) – (valor pronosticado) e = Y - YN (4-3) La recta de regresión minimiza la suma de los cuadrados de los Como los errores son positivos o negativos, el error promedio debe ser cero aunque haya errores errores. muy grandes, tanto positivos como negativos. Para eliminar la dificultad de que los errores negativos 118 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN TABLA 4.2 – – – Y X (X – X )2 (X – X )(Y – Y ) Cálculos de regresión para Triple A 6 3 (3 – 4)2 = 1 (3 – 4)(6 – 7) = 1 Construction 8 4 (4 – 4)2 = 0 (4 – 4)(8 – 7) = 0 9 6 (6 – 4)2 =4 (6 – 4)(9 – 7) = 4 5 4 (4 – 4)2 =0 (4 – 4)(5 – 7) = 0 4.5 2 (2 – 4)2 =4 (2 – 4)(4.5 – 7) = 5 9.5 5 (5 – 4)2 = 1 (5 – 4)(9.5 – 7) = 2.5 g Y  42 g X  24 g1X - X2 = 10 2 g1X - X21Y - Y2 = 12.5 Y = 42>6 = 7 Y = 24>6 = 4 cancelen los errores positivos, los errores se elevan al cuadrado. La mejor recta de regresión se define como la que tiene la suma mínima de los cuadrados de los errores. Por tal razón, algunas veces el análisis de regresión se conoce como regresión de mínimos cuadrados. Los estadísticos han desarrollado fórmulas para encontrar la ecuación de una recta que minimiza la suma de los cuadrados de los errores. La ecuación de regresión lineal simple es: YN = b0 + b1X Las siguientes fórmulas sirven para calcular la intersección y la pendiente: ©X X = = promedio (media) de los valores X n ©Y Y = = promedio (media) de los valores Y n ©1X - X21Y - Y2 b1 = (4-4) ©1X - X22 b0 = Y - b1X (4-5) Los cálculos preliminares se dan en la tabla 4.2. Hay otras fórmulas “cortas” útiles cuando los cálculos se realizan con una calculadora y se incluyen en el apéndice 4.1. No se presentarán aquí, ya que se usa- rá el software de cómputo en la mayoría de los ejemplos de este capítulo. Al calcular la pendiente y la intersección de la ecuación de regresión para el ejemplo de la com- pañía Triple A Construction, tenemos: ©X 24 X = = = 4 6 6 ©X 42 Y = = = 7 6 6 ©1X - X21Y - Y2 12.5 b1 = 2 = = 1.25 ©1X - X2 10 b0 = Y - b1X = 7 - 11.252142 = 2 La ecuación de regresión estimada es, entonces: YN = 2 + 1.25X es decir: ventas = 2 + 1.251nómina2 Si la nómina para el próximo año es de $600 millones (X  6), entonces, el valor anticipado sería: YN = 2 + 1.25162 = 9.5 o bien $950,000. 4.4 MEDICIÓN DEL AJUSTE DEL MODELO DE REGRESIÓN 119 Uno de los propósitos de la regresión es entender la relación entre variables. Este modelo nos in- dica que por cada $100 millones (representados por X) de incremento en la nómina, esperaríamos que las ventas aumenten $125,000, ya que b1  1.25 (por $100,000). Este modelo ayuda a Triple A Cons- truction a entender cómo se relacionan la economía local y las ventas de la compañía. 4.4 Medición del ajuste del modelo de regresión Una ecuación de regresión se desarrolla para cualesquiera variables X y Y, e incluso números aleato- rios. Sin duda no tendríamos confianza en la capacidad de un número aleatorio para predecir el valor de otro número aleatorio. ¿Cómo sabemos que el modelo realmente ayuda a predecir Y con base en Las desviaciones (errores) pueden X? ¿Deberíamos tener confianza en este modelo? ¿Da las mejores predicciones (menores errores) que ser positivas o negativas. tan solo utilizar el promedio de los valores de Y? En el ejemplo de Triple A Construction, las cifras de ventas (Y) varían del valor más bajo de 4.5 al valor más alto de 9.5, y la media es 7. Si cada valor de ventas se compara con la media, vemos cuánto se desvía de la media y podríamos calcular una medida de la variabilidad total en las ventas. Como Y algunas veces es mayor o menor que la media, puede haber desviaciones tanto positivas como negati- vas. Con tan solo sumar estos valores podría llevar a un error porque los negativos anularían los posi- tivos, haciendo que parezca que los números están más cerca de la media de lo que en realidad están. La SCT mide la variabilidad total Para evitar este problema, usaremos la suma de cuadrados total (SCT) para medir la variabilidad de Y alrededor de la media. total de Y: SCT = g1Y - Y22 (4-6) Si no usáramos X para predecir Y, simplemente utilizaríamos la media de Y como predicción y la SCT mediría la exactitud de nuestras predicciones. Sin embargo, una recta de regresión se puede usar para predecir el valor de Y y, aunque todavía hay errores, la suma de los cuadrados de estos errores La SCE mide la variabilidad en Y será menor que la suma de los cuadrados total que se acaba de calcular. La suma de los cuadrados de alrededor de la recta de regresión los errores (SCE) es: SCE = ge2 = g1Y - YN 22 (4-7) La tabla 4.3 presenta los cálculos para el ejemplo de Triple A Construction. La media 1Y = 72 se compara con cada valor y obtenemos: SCT = 22.5 La predicción 1YN 2 para cada observación se calcula y se compara al valor real, lo cual da como resultado: SCE = 6.875 La SCE es mucho menor que la SCT. Emplear la línea de regresión ha reducido la variabilidad en la suma de cuadrados por 22.5 – 6.875  15.625. Esto se llama suma de cuadrados debido a la TABLA 4.3 Suma de cuadrados para Triple A Construction – – Y X (Y  Y )2 Yˆ (Y Y) ˆ2 (Yˆ  Y )2 6 3 (6 – 7)2  1 2  1.25(3)  5.75 0.0625 1.563 8 4 (8 – 7)2  1 2  1.25(4)  7.00 1 0 9 6 (9 – 7)2 4 2  1.25(6)  9.50 0.25 6.25 5 4 (5 – 7)2 4 2  1.25(4)  7.00 4 0 4.5 2 (4.5 – 7)2  6.25 2  1.25(2)  4.50 0 6.25 9.5 5 (9.5 – 7)2  6.25 2  1.25(5)  8.25 1.5625 1.563 g 1Y - Y2 = 22.5 2 g1Y - YN 22 = 6.875 g 1Y - Y22 = 15.625 N Y = 7 SCT  22.5 SCE  6.875 SCR  15.625 120 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN FIGURA 4.2 Y 12 Desviaciones de la ^ Y = 2  1.25 X recta de regresión y de la media 10 ^⎧ ⎧ Y–Y⎨ ⎪ ⎨Y – Y Ventas (por $100,000) 8 ⎪⎪ ^ ⎧ Y–Y⎩ ⎩ Y 6 4 2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Nómina (por $100 millones) X regresión (SCR) e indica cuánto de la variabilidad total en Y se explica por el modelo de regresión. Matemáticamente, esto se calcula como: SCR = g1YN - Y22 (4-8) La tabla 4.3 indica que: SCR = 15.625 Hay una relación muy importante entre las sumas de los cuadrados que calculamos: (Suma de cuadrados total)  (suma de cuadrados debido a la regresión)  (suma de cuadrados de los errores) SCT  SCR  SCE (4-9) La figura 4.2 presenta los datos para Triple A Construction. Se ilustra la recta de regresión, lo mismo que la recta de la media de los valores de Y. Los errores que se utilizan para calcular las sumas de cuadrados también se observan en esta gráfica. Note que los puntos de la muestra están más cer- canos a la recta de regresión que a la media. Coeficiente de determinación Algunas veces nos referimos a la SCR como la variabilidad explicada en Y y a la SCE como la varia- r 2 es la proporción de la bilidad no explicada en Y. La proporción de la variabilidad en Y que se explica por la ecuación de re- variabilidad en Y que se explica gresión se llama coeficiente de determinación y se denota con r2. Entonces: por la ecuación de regresión. SCR SCE r2 = = 1 - (4-10) SCT SCT Por lo tanto, r2 se calcula usando la SCR o la SCE. Para Triple A Construction: 15.625 r2 = = 0.6944 22.5 Esto significa que aproximadamente 69% de la variabilidad en las ventas (Y) se explica por la ecuación de regresión basada en la nómina (X). Si todos los puntos están en la Si cada punto de la muestra estuviera sobre la recta de regresión (es decir, si todos los errores recta de regresión, r2 = 1 y fueran 0), entonces, la ecuación de regresión explicaría 100% de la variabilidad en Y, de manera que SCE = 0. r2  1 y SCE  0. El menor valor posible de r2 es 0 e indica que X explica 0% de la variabilidad en Y. Así, r2 puede tener valores desde 0, el más bajo, hasta 1, el más alto. Al desarrollar las ecuaciones de regresión, un buen modelo tendrá un valor de r2 cercano a 1. 4.4 MEDICIÓN DEL AJUSTE DEL MODELO DE REGRESIÓN 121 FIGURA 4.3 Cuatro valores Y Y del coeficiente de correlación a) Correlación X b) Correlación positiva X positiva perfecta 0  r 1 r  1 Y Y c) No hay correlación: X d ) Correlación X r 0 negativa perfecta: r  1 Coeficiente de correlación Otra medida relacionada con el coeficiente de determinación es el coeficiente de correlación. Esta medida también expresa el grado o fuerza de la relación lineal. En general, se expresa como r y El coeficiente de correlación tiene puede ser cualquier número entre 1 y –1, incluyendo ambos valores. La figura 4.3 ilustra los dia- valores entre –1 y +1. gramas de dispersión posibles para diferentes valores de r. El valor de r es la raíz cuadrada de r2. Es negativo si la pendiente es negativa y es positivo si la pendiente es positiva. Entonces: r = 2r2 (4-11) En el ejemplo de Triple A Construction con r2  0.6944, r = 10.6944 = 0.8333 Sabemos que es positivo porque la pendiente es 1.25. Modelado de regresión múltiple EN ACCIÓN en TransAlta Utilities de Canadá fueran fáciles de cuantificar con base en los datos disponibles. Al final, T ransAlta Utilities (TAU) es una compañía de $1,600 millones que opera en Canadá, Nueva Zelanda, Australia, Argentina y Estados las variables explicativas fueron número de clientes urbanos, número de clientes rurales y tamaño del área geográfica de servicio. Las su- Unidos. Con sede en Alberta, Canadá, TAU es el proveedor de ener- posiciones implícitas en este modelo son que el tiempo dedicado a los gía más grande de ese país. Da servicio a 340,000 consumidores en clientes es proporcional al número de clientes; en tanto que el tiempo Alberta con sus 57 instalaciones de servicio, cada una de las cuales dedicado a las instalaciones (patrullaje de líneas y verificación de tiene de 5 a 20 operadores. Los 270 puestos de operadores mane- subestaciones) y a los viajes es proporcional al tamaño de la región jan las nuevas conexiones y reparaciones, y patrullan las líneas de de servicio. Por definición, el tiempo no explicado en el modelo es res- energía para verificar las subestaciones. Este sistema existente no es ponsable del tiempo que no está explicado por las tres variables (como el resultado de alguna planeación central óptima, sino que se fue or- juntas, recesos y tiempo no productivo). ganizando por etapas conforme la compañía crecía. Los resultados del modelo no solo agradaron a los gerentes de Con la ayuda de la Universidad de Alberta, TAU quería desarrollar TAU, sino que el proyecto (que incluía la optimización del número un modelo causal para decidir cuántos operadores sería mejor asignar de instalaciones y su localización) ahorró $4 millones anuales. a cada instalación. El equipo de investigación decidió construir un modelo de regresión múltiple con únicamente tres variables indepen- Fuente: Basada en E. Erkut, T. Myroon y K. Strangway. “TransAlta Redesigns dientes. La parte más difícil de la tarea fue seleccionar variables que Its Service-Delivery Network”, Interfaces (marzo-abril de 2000): 54-69. 122 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN 4.5 Uso de software de cómputo para regresión Con frecuencia se emplea software como QM para Windows (apéndice 4.2), Excel y Excel QM (apéndice 4.3) para los cálculos de regresión. Utilizaremos Excel para la mayoría de los cálculos en lo que resta del capítulo. Al usar Excel para desarrollar un modelo de regresión, la entrada y la salida para Excel 2007 y Excel 2010 son las mismas. Se usará el ejemplo de Triple A Construction para ilustrar cómo desarrollar un modelo de regre- sión en Excel 2010. Vaya a la pestaña de Data y elija Data Analysis, como se indica en el programa 4.1A. Si no aparece Data Analysis, entonces, debe activar este complemento de Excel en el paquete de herramientas de análisis. El apéndice F al final del libro brinda las instrucciones para la activación de este y otros complementos de Excel 2010 y Excel 2007. Una vez activado el complemento, quedará en la pestaña Data para uso futuro. Cuando se abre la ventana de Data Analysis, recórrala y señale Regression, oprima OK, como se ilustra en el programa 4.1A. Se abrirá la ventana de Regression, como se observa en el programa 4.1B, y puede ingresar los rangos X y Y. Active el cuadro Labels porque las celdas con los nombres de las variables se incluyeron en la primera fila de los rangos de X y Y. Para que los resultados se pre- senten en esta hoja de trabajo y no en una nueva, seleccione Output Range y dé una dirección de celda para el inicio de los resultados. Oprima OK y estos aparecerán en las celdas especificadas. El programa 4.1C muestra la intersección (2), la pendiente (1.25) y otra información que se calculó antes para el ejemplo de Triple A Construction. Los errores también reciben el La suma de cuadrados se muestra en la columna con SS. Otro nombre para el error es residuo. nombre de residuos. En Excel, la suma de cuadrados de los errores se muestra como la suma de cuadrados residual. Los valores en estos resultados son los mismos que los contenidos en la tabla 4.3. Suma de cuadrados de la regresión  SCR  15.625 Suma de cuadrados de los errores (residuo)  SCE  6.8750 Suma de cuadrados total  SCT  22.5 El coeficiente de determinación (r2) se muestra como 0.6944. El coeficiente de correlación (r) de- nominado Multiple R en la salida de Excel es 0.8333. PROGRAMA 4.1A Seleccione Data Analysis. Acceso a la opción de regresión en Excel 2010 Vaya a la pestaña Data. Clic OK. Cuando abra la ventana Data Analysis, busque Regression. 4.6 SUPUESTOS DEL MODELO DE REGRESIÓN 123 PROGRAMA 4.1B Active el cuadro Labels si la primera fila en los Especifique los rangos X y Y. Datos de entrada para rangos X y Y incluye los nombres de las variables. regresión en Excel Oprima OK para que Excel desarrolle el modelo de regresión. Especifique la localización de la salida. Para ponerla en la hoja de trabajo actual, seleccione Output Range y dé la localización de la celda inicial. PROGRAMA 4.1C Salida de Excel para Es deseable una r 2 alta (cercana a 1). el ejemplo de Triple A Construction Las SCR (regresión), SCE (error o residuo) y SCT (total) se muestran en la columna de suma de cuadrados (SS) de la tabla de análisis de varianza (ANOVA). Un valor crítico de F (Significance F, valor p en el modelo general) bajo (por ejemplo, menor que 0.05) indica una relación significativa entre X y Y. Los coeficientes de regresión están dados en esta columna. 4.6 Supuestos del modelo de regresión Si podemos hacer ciertos supuestos acerca de los errores en un modelo de regresión, podremos rea- lizar pruebas estadísticas para determinar si el modelo es útil. Se plantean los siguientes supuestos acerca de los errores: 1. Los errores son independientes. 2. Los errores siguen una distribución normal. 3. Los errores tienen una media de cero. 4. Los errores tienen una varianza constante (sin importar el valor de X). 124 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Una gráfica de los errores puede Es posible validar los datos para saber si estos supuestos se cumplen. Con frecuencia una gráfica de resaltar problemas con el modelo. los residuos resaltará cualesquiera transgresiones evidentes de los supuestos. Cuando los errores (residuos) se grafican contra la variable independiente, debería aparecer un patrón aleatorio. La figura 4.4 presenta algunos patrones de errores típicos, donde la figura 4.4A despliega un pa- trón que se espera cuando se cumplen las suposiciones y el modelo es adecuado. Los errores son aleatorios y no está presente un patrón discernible. La figura 4.4B ilustra un patrón donde los errores aumentan cuando X crece, lo cual transgrede el supuesto de varianza constante. La figura 4.4C ilustra FIGURA 4.4A Patrones de errores que indican aleatoriedad Error X FIGURA 4.4B Varianza del error no constante Error X FIGURA 4.4C Errores que indican que la relación no es lineal Error X 4.7 PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DEL MODELO 125 errores que primero aumentan y luego disminuyen de manera consistente. Un patrón de este tipo indica que el modelo no es lineal y debería usarse alguna otra forma (tal vez cuadrática). En gene- ral, los patrones en la gráfica de errores indican problemas con los supuestos o la especificación del modelo. Estimación de la varianza Mientras que se supone que los errores tienen una varianza ( 2) constante, esto en general no se sabe. La varianza del error se estima Se puede estimar a partir de los resultados de la muestra. La estimación de 2 es el error medio mediante el EMC. de cuadrados (EMC) y se denota con s2. El EMC es la suma de cuadrados debidos al error dividida entre los grados de libertad:* SCE s2 = EMC = (4-12) n - k - 1 donde: n  número de observaciones en la muestra k  número de variables independientes En este ejemplo, n  6 y k  1. De manera que EMC 6.8750 6.8750 s2 = SCE = = = = 1.7188 n - k - 1 6 - 1 - 1 4 De esto, estimamos la desviación estándar como: s = 1EMC (4-13) Esto se llama error estándar de la estimación o desviación estándar de la regresión. En el ejemplo mostrado en el programa 4.1D, s = 1EMC = 11.7188 = 1.31 Esto se utiliza en muchas pruebas estadísticas acerca del modelo. También sirve para estimar los intervalos de Y y de los coeficientes de regresión.** 4.7 Prueba de la significancia del modelo El EMC y r2 proporcionan una medida de la exactitud del modelo de regresión. Sin embargo, cuando el tamaño de la muestra es demasiado pequeño, es posible obtener buenos valores de estas dos medi- das, aun cuando no exista una relación entre las variables en el modelo de regresión. Para determinar si estos valores son significativos, es necesario probar la significancia (valor crítico) del modelo. Para saber si existe una relación lineal entre X y Y, se realiza una prueba de hipótesis estadística. El modelo lineal fundamental se dio en la ecuación 4-1 como: Y = b 0 + b 1X + P Si 1  0, entonces, Y no depende de X de ninguna manera. La hipótesis nula indica que no hay una relación lineal entre las dos variables (es decir, 1  0). La hipótesis alternativa (1 0) indica que existe una relación lineal. Si la hipótesis nula se pude rechazar, entonces, hemos demostrado que sí exis- Una prueba F sirve para te una relación lineal, de manera que X es útil para predecir Y. La distribución F se utiliza para probar determinar si existe una relación esta hipótesis. El apéndice D contiene valores de la distribución F que se pueden usar cuando se rea- entre X y Y. lizan los cálculos a mano. Consulte en el capítulo la distribución F. Los resultados de la prueba tam- bién se obtienen con Excel y en QM para Windows. *La bibliografía al final de este capítulo contiene libros con más detalles. **ElEMC es una medida común de exactitud en las predicciones. Cuando se utiliza con otras técnicas diferentes a la regresión, es común dividir la SCE entre n en vez de entre n – k – 1. 126 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN El estadístico F usado en la prueba de hipótesis se basa en el EMC (estudiado en la sección ante- rior) y en la regresión media cuadrada (RMC), que se calcula como SCR RMC = (4-14) k donde, k  número de variables independientes en el modelo El estadístico F es: RMC F = (4-15) EMC Con base en los supuestos respecto a los errores en un modelo de regresión, el estadístico F calcu- lado está descrito por la distribución F con: grados del libertad para el numerador  df1  k grados de libertad para el denominador  df2  n – k – 1 donde k  número de variables independientes (X) Si existe poco error, el denominador (EMC) del estadístico F es muy pequeño con respecto al nu- merador RMC, y el estadístico F que resulta será grande. Esto indicaría que el modelo es útil. Des- Si el nivel de significancia para pués se encuentra un nivel de significancia relacionado con el valor del estadístico F. Siempre que el la prueba F es bajo, existe una valor de F sea grande, el nivel de significancia (valor-p) será bajo, lo cual indica que es muy improba- relación entre X y Y. ble que esto haya ocurrido al azar. Cuando el valor de F es grande (con un nivel de significancia bajo como resultado), podemos rechazar la hipótesis nula de que no existe una relación lineal. Esto sig- nifica que hay una relación lineal y los valores de EMC y r2 son significativos. La prueba de hipótesis recién descrita se resume a continuación: Pasos de la prueba de hipótesis para un modelo de regresión significativo 1. Especificar las hipótesis nula y alternativa: H0:b 1 = 0 H1:b 1 Z 0 2. Seleccionar el nivel de significancia ( ). Los valores comunes son 0.01 y 0.05. 3. Calcular el valor del estadístico usando la fórmula RMC F = EMC 4. Tomar una decisión usando uno de los siguientes métodos: a) Rechazar la hipótesis nula si el estadístico de prueba es mayor que el valor de F en la tabla del apéndice D. De otra manera, no rechazar la hipótesis nula: Rechazar si Fcalculada 7 Fa,df1,df2 df1 = k df2 = n - k - 1 b) Rechazar la hipótesis nula si el nivel de significancia observado, o valor-p, es menor que el nivel de significancia ( ). De otra manera, no rechazar la hipótesis nula: valor-p  P(F estadístico de prueba calculado) Rechazar si valor-p  4.7 PRUEBA DE SIGNIFICANCIA DEL MODELO 127 FIGURA 4.5 Distribución F para la prueba de significancia de Tripe A Construction 0.05 F ⫽ 7.71 9.09 Ejemplo de Triple A Construction Para ilustrar el proceso de prueba de hipótesis acerca de una relación significativa, considere el ejem- plo de Triple A Construction. Se usará el apéndice D para obtener los valores de la distribución F. Paso 1. H0 : b 1 = 0 1no hay relación lineal entre X y Y2 H1 : b 1 Z 0 1existe una relación lineal entre X y Y2 Paso 2. Seleccionar  0.05, Paso 3. Calcular el valor del estadístico de prueba. El EMC ya se calculó como 1.7188. El RMC se calcula para encontrar F: SCR 15.6250 RMC = = = 15.6250 k 1 RMS 15.6250 F = = = 9.09 EMC 1.7188 Paso 4. a) Rechazar la hipótesis nula si el estadístico de prueba es mayor que el valor de F en la tabla del apéndice D: df1 = k = 1 df2 = n - k - 1 = 6 - 1 - 1 = 4 El valor de F asociado con un nivel de significancia de 5% y con 1 y 4 grados de libertad se encuen- tra en el apéndice D. La figura 4.5 ilustra esto: F0.05,1,4 = 7.71 Fcalculada = 9.09 Se rechaza la hipótesis H0 porque 9.09 7 7.71 Entonces, se tienen datos suficientes para concluir que existe una relación estadísticamente significa- tiva entre X y Y, de manera que el modelo es útil. La fortaleza de esta relación se mide por r2  0.69. Así, podemos concluir que cerca de 69% de la variabilidad en las ventas (Y) está explicada por el modelo de regresión que se basa en la nómina local (X). Tabla de análisis de varianza (ANOVA) Cuando el software como Excel o QM para Windows se utiliza para desarrollar los modelos de regre- sión, la salida proporciona el nivel de significancia observado, o valor-p, para el valor calculado de F. Luego, esto se compara con el nivel de significancia ( ) para tomar una decisión. 128 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN TABLA 4.4 DF SC MC F SIGNIFICANCIA F Tabla de análisis de varianza (ANOVA) Regresión k SCR RMC  SCR/k RMC/EMC P(F > RMC/EMC) para regresión Residuo n–k–1 SCE EMC = SCE/(n – k – 1) Total n–1 SCT La tabla 4.4 ofrece un resumen de la tabla de análisis de varianza. Indica cómo se calculan los números en las últimas tres columnas. La última columna de esta tabla, Significancia F, es el valor-p, o el nivel de significancia observado, que se puede utilizar en la prueba de hipótesis sobre el modelo de regresión. Ejemplo de análisis de varianza para Triple A Construction La salida de Excel que incluye la tabla de análisis de varianza para los datos de Triple A Construction se ilustra en el programa 4.1C. El nivel de significancia observado para F  9.0909 está dado por 0.0394, lo cual significa que: P1F 7 9.09092 = 0.0394 Como esta probabilidad es menor que 0.05 ( ), rechazaríamos la hipótesis de que no hay relación li- neal, y concluimos que existe una relación lineal entre X y Y. Observe en la figura 4.5 que el área bajo la curva a la derecha de 9.09 es claramente menor que 0.05, que es el área a la derecha del valor F asociado con un nivel de significancia de 0.05. 4.8 Análisis de regresión múltiple Un modelo de regresión múltiple El modelo de regresión múltiple es una extensión práctica del modelo que acabamos de observar. tiene más de una variable Nos permite construir un modelo con varias variables independientes. El modelo fundamental es: independiente. Y = b 0 + b 1X1 + b 2X2 + Á + b kXk + P (4-16) donde: Y  variable dependiente (variable de respuesta) Xi  i-ésima variable independiente (variable predictiva o variable explicativa) 0  intersección (valor de Y cuando Xi  0, ordenada al origen) i  coeficiente de la i-ésima variable independiente k  número de variables independientes   error aleatorio Para estimar los valores de estos coeficientes, se toma una muestra y se desarrolla la siguiente ecuación: YN = b0 + b1X1 + b2X2 + Á + bkXk (4-17) donde YN = valor pronosticado de Y b0 = intersección de la muestra (estimación de 0) bi = coeficiente muestral de la i-ésima variable (estimación de i) Considere el caso de Jenny Wilson Realty, una compañía de bienes raíces en Montgomery, Ala- bama. Jenny Wilson, dueña y corredora de esta compañía, quiere desarrollar un modelo para determi- nar los precios listados sugeridos para las casas con base en el tamaño y la antigüedad de estas. Selecciona una muestra de casas que se hayan vendido recientemente en un área específica y registra el precio de venta, los pies cuadrados de construcción y la antigüedad de cada una; además, regis- tra la condición (buena, excelente o nueva) como se indica en la tabla 4.5. Inicialmente Jenny planea 4.8 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE 129 TABLA 4.5 PRECIO DE PIES Datos de bienes VENTA ($) CUADRADOS ANTIGÜEDAD CONDICIÓN raíces de Jenny 95,000 1,926 30 Buena Wilson 119,000 2,069 40 Excelente 124,800 1,720 30 Excelente 135,000 1,396 15 Buena 142,800 1,706 32 Nueva 145,000 1,847 38 Nueva 159,000 1,950 27 Nueva 165,000 2,323 30 Excelente 182,000 2,285 26 Nueva 183,000 3,752 35 Buena 200,000 2,300 18 Buena 211,000 2,525 17 Buena 215,000 3,800 40 Excelente 219,000 1,740 12 Nueva usar tan solo los pies cuadrados de construcción y la antigüedad para desarrollar un modelo, aunque quiere guardar la información sobre la condición de la casa para usarla después. Desea encontrar los coeficientes del siguiente modelo de regresión múltiple: YN = b0 + b1X1 + b2X2 donde: YN = predicción del valor de la variable dependiente (precio de venta) b0  intersección de Y X1 y X2  valor de las dos variables independientes (pies cuadrados y antigüedad), respectivamente b1 y b2  pendientes de X1 y X2, respectivamente Las matemáticas de la regresión múltiple se vuelven bastante complejas, de manera que dejamos Se puede usar Excel para las fórmulas para b0, b1 y b2 para los libros de regresión.* Se puede usar Excel para desarrollar un desarrollar modelos de regresión modelo de regresión múltiple tal como se utilizó para el modelo de regresión lineal simple. Cuando múltiple. ingresamos los datos en Excel, es importante que todas las variables independientes estén en colum- nas contiguas para facilitar la captura. De la pestaña Data en Excel, seleccione Data Analysis y luego Regression, como se ilustró en el programa 4.1A. Así se abre la ventana de regresión para permitir la entrada de datos, como se mostró en el programa 4.2A. Note que el rango de X incluye los datos en dos columnas (B y C) porque hay dos variables independientes. La salida de Excel que obtiene Jenny Wilson se ilustra en el programa 4.2B y proporciona la siguiente ecuación: YN = b0 + b1X1 + b2X2 = 146,630.89 + 43.82 X1 - 2898.69 X2 Evaluación del modelo de regresión múltiple Un modelo de regresión múltiple se evalúa de forma similar a como se evaluó el modelo de regresión lineal simple. En los modelos de regresión múltiple, el valor-p para la prueba F y r2 se interpreta igual que en los modelos de regresión lineal simple. Sin embargo, como hay más de una variable *Véase, por ejemplo, Norman R. Draper y Harry Smith. Applied Regression Analysis, 3a. ed. Nueva York: John Wiley & Sons, 1998. 130 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN independiente, la hipótesis que se prueba con la prueba F es que todos los coeficientes son iguales a 0. Si todos son 0, entonces, ninguna de las variables del modelo es útil para predecir la variable de- pendiente. PROGRAMA 4.2A Los nombres de la variables (en la fila 3) se incluyen Pantalla de entrada para en los rangos de X y Y, por lo que debe activarse Labels. el ejemplo de regresión múltiple de Jenny Wilson Realty Ingrese el rango de X de modo que incluya ambas columnas B y C. El rango de salida comienza en la celda A19. PROGRAMA 4.2B El coeficiente de determinación (r2) es 0.67. Salida para el ejemplo de regresión múltiple de Los coeficientes de regresión se encuentran aquí. Jenny Wilson Realty Un nivel de significancia bajo para F prueba que hay una relación entre Y y al menos una de las variables independientes (X). Los valores-p se utilizan para probar la significancia de las variables individuales. Para determinar cuál de las variables independientes en un modelo de regresión múltiple es sig- nificativa, se realiza una prueba de significancia sobre los coeficientes de cada variable. Mientras que los libros de estadística proporcionan detalles de estas pruebas, los resultados se despliegan de mane- ra automática en la salida de Excel. La hipótesis nula es que el coeficiente es cero (H0:i  0) y la hipótesis alternativa es que no es cero (H1: i 0). El estadístico de prueba se calcula en Excel y da los valores p. Si el valor p es menor que el nivel de significancia ( ), entonces, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la variable es significativa. Ejemplo de Jenny Wilson Realty En el ejemplo de Jenny Wilson Realty en el programa 4.2B, el modelo completo es estadísticamente significativo y útil para predecir el precio de venta de la casa, ya que el valor-p de la prueba F es de 0.02. El valor r2 es 0.6719, de manera que 67% de la variabilidad en el precio de venta de estas casas podría explicarse por el modelo de regresión. Sin embargo, hay dos variables independientes en el modelo: pies cuadrados de construcción y antigüedad. Es posible que una de ellas sea significativa y la otra no. La prueba F tan solo indica que el modelo como un todo es significativo. 4.9 VARIABLES BINARIAS O FICTICIAS 131 Se pueden realizar dos pruebas de significancia para determinar si los pies cuadrados de cons- trucción o la antigüedad (o ambos) son significativos. En el programa 4.2B, se presentan los resulta- dos de dos pruebas de hipótesis. La primera prueba para la variable X1 (pies cuadrados) es: H0:b 1 = 0 H1:b 1 Z 0 Si usamos un nivel de significancia de 5% (  0.05), se rechaza la hipótesis nula porque el valor-p que corresponde es de 0.0013. Así, los pies cuadrados de construcción son útiles en la predicción del precio de una casa. De igual manera, se prueba la variable X2 (antigüedad) aprovechando la salida de Excel, y el valor-p es de 0.0039. Se rechaza la hipótesis nula porque ese valor es menor que 0.05. Entonces, la edad también es útil en la predicción del precio de una casa. 4.9 Variables binarias o ficticias Todas las variables que hemos usado en los ejemplos de regresión han sido variables cuantitativas como cifras de ventas, nóminas, pies cuadrados y antigüedad. Todas se han podido medir con facili- dad y han tenido números asociados. Existen muchas situaciones en las cuales pensamos que una variable cualitativa en vez de una cuantitativa sería útil para predecir la variable dependiente Y. Por ejemplo, se puede usar regresión para encontrar una relación entre el ingreso anual y ciertas carac- terísticas de los empleados. Los años de experiencia en un trabajo dado serían una variable cuantita- tiva. Sin embargo, la información respecto a si un individuo tiene o no una carrera universitaria también podría ser importante. Este atributo no es un valor ni una cantidad medible, por lo que se Una variable ficticia se llama usará una variable llamada ficticia (variable binaria o indicativa). A una variable ficticia se le también variable indicativa o asigna un valor de 1 si se cumple una condición específica (como que una persona tenga carrera uni- binaria. versitaria) y un valor de 0 si no se cumple. Regrese al ejemplo de Jenny Wilson Realty. Jenny cree que se puede desarrollar un modelo mejor si incluye la condición de la propiedad. Para incorporar esta condición de la casa en el modelo, Jenny ve la información disponible (tabla 4.5) y se da cuenta de que las tres categorías son las condiciones buena, excelente y nueva. Como estas no son variables cuantitativas, debe utilizar variables ficticias que se definen como X3  1 si la condición de la casa es excelente  0 de otra manera X4  1 si la casa es nueva  0 de otra manera Observe que no hay una variable separada para la condición “buena”. Si X3 y X4 son ambas cero, en- tonces, la casa no puede estar en condición excelente o nueva, de manera que debe estar en condición buena. Cuando se usan variables ficticias, el número de variables debe ser 1 menos que el número de categorías. En este problema, hay tres categorías (condiciones buena, excelente y nueva), por lo que El número de variables ficticias debemos tener dos variables ficticias. Si por error usamos demasiadas variables y el número de varia- debe ser igual a uno menos que el bles ficticias es igual al número de categorías, entonces, los cálculos matemáticos no se podrán rea- número de categorías de una lizar o no darían valores confiables. variable cualitativa. Estas variables ficticias se usarán con las dos variables anteriores (X1, los pies cuadrados; y X2, la antigüedad) para intentar predecir el precio de venta de las casas para Jenny Wilson. Los progra- mas 4.3A y 4.3B presentan la entrada y salida de Excel para estos datos nuevos, e indican cómo se codificó la variable ficticia. El nivel de significancia para la prueba F es de 0.00017, de manera que este modelo es estadísticamente significativo. El coeficiente de determinación (r2) es 0.898, de modo que es un modelo mucho mejor que el anterior. La ecuación de regresión es: YN = 121,658 + 56.43X1 - 3,962X2 + 33,162X3 + 47,369X4 Esto indica que una casa en condición excelente (X3  1, X4  0) se vendería en cerca de $33,162 más que una casa en condición buena (X3  0, X4  0). Una casa nueva (X3  0, X4  1) se venderá en aproximadamente $47,369 más alto que una casa en condición buena. 132 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN PROGRAMA 4.3A Ventana de entrada para el ejemplo de Jenny Wilson Realty con variables ficticias El rango de X incluye las columnas B, C, D y E, pero no la columna F. PROGRAMA 4.3B Salida para el ejemplo de Jenny Wilson Realty con variables ficticias El coeficiente de antigüedad es negativo, lo cual indica que el precio disminuye conforme la casa se hace más vieja. El modelo completo es útil porque la probabilidad de la significancia F (valor crítico F) es baja (mucho menor que 5%). Las variables individualmente son útiles porque los valores-p de cada una son bajos (mucho menor que 5%). 4.10 Construcción de modelos Al desarrollar un buen modelo de regresión, se identifican las posibles variables independientes y se seleccionan las mejores para incluirlas en el modelo. El modelo estadísticamente significativo es el mejor, con una r2 alta y pocas variables. El valor de r2 nunca puede Conforme se agreguen más variables al modelo de regresión, en general r2 aumentará y no podrá disminuir cuando se agregan más disminuir. Es tentador seguir agregando variables al modelo para intentar que aumente r2. No obs- variables al modelo. tante, si se incluyen demasiadas variables independientes, quizá surjan problemas. Por ello, con fre- cuencia se usa el valor ajustado de r2 (en vez de r2), para determinar si una variable independiente adicional será beneficiosa. El valor ajustado de r2 toma en cuenta el número de variables independien- La r2 ajustada puede disminuir tes en el modelo y es posible que disminuya. La fórmula para r2 es: cuando se agregan más variables al modelo. SCR SCE r2 = = 1 - SCT SCT 4.11 REGRESIÓN NO LINEAL 133 La r2 ajustada es: SCE>1n - k - 12 r2 ajustada = 1 - (4-18) SCT>1n - 12 Advierta que cuando el número de variables (k) aumenta, n  k  1 disminuye. Esto ocasiona que SCE/(n  k  1) aumente y, en consecuencia, la r2 ajustada disminuya, a menos que una variable adicional en el modelo ocasione una disminución significativa en la SCE. Así, la reducción en el error (y en la SCE) debe ser suficiente para compensar el cambio en k. No debería agregarse una variable Como regla empírica general, si la r2 ajustada aumenta cuando se agrega una nueva variable al al modelo si ocasiona que modelo, la variable tal vez deba conservarse en el modelo. Si la r2 ajustada disminuye cuando se disminuya la r2 ajustada. agrega una nueva variable al modelo, la variable no debería dejarse ahí. También hay que considerar otros factores cuando se intenta construir un modelo, pero están más allá del nivel introductorio de este capítulo. REGRESIÓN POR PASOS Mientras que el proceso de construcción del modelo quizá parezca tedioso, existen muchos paquetes de software estadístico que incluyen procedimientos de regresión por pasos para hacerlo. La regresión por pasos es un proceso automatizado para agregar o eliminar variables independientes de manera sistemática en un modelo de regresión. Un procedimiento por pasos hacia adelante coloca primero la variable más significativa en el modelo y, luego, agrega la siguiente varia- ble que mejorará más al modelo, dado que la primera variable ya está incluida. Se siguen agregando variables de esta manera, hasta que el modelo incluye todas las variables o hasta que las variables que quedan no mejoren el modelo de forma significativa. Un procedimiento por pasos hacia atrás comienza con todas las variables independientes en el modelo, y se eliminan una a una las variables menos útiles. Así se continúa hasta que solamente queden variables significativas. Existen muchas variaciones de estos modelos por pasos. MULTICOLINEALIDAD En el ejemplo de Jenny Wilson Realty ilustrado en el programa 4.3B, vimos una r2 cercana a 0.90 y una r2 ajustada de 0.85. Mientras que otras variables como el tamaño del lote, el número de dormitorios y el número de cuartos de baño podrían relacionarse con el precio de venta de una casa, tal vez no queramos incluirlas en el modelo. Es posible que estas variables se correlacio- nen con los pies cuadrados de la casa (por ejemplo, más dormitorios suele significar una casa más grande), que ya está incluido en el modelo. Entonces, la información proporcionada por estas varia- bles adicionales duplicaría la información que ya tiene el modelo. Cuando una variable independiente se correlaciona con otra variable independiente, se dice que las variables son colineales. Si una variable independiente se correlaciona con una combinación de La multicolinealidad existe cuando otras variables independientes, existe la condición de multicolinealidad. Esto suele causar proble- una variable se correlaciona con mas al interpretar los coeficientes de las variables, pues varias de ellas dan información duplicada. otras variables. Por ejemplo, si dos variables independientes fueran los gastos por nómina mensual de una compañía y los gastos anuales por salario de una compañía, la información proporcionada por una también la proporciona la otra. Varios conjuntos de coeficientes de regresión para estas dos variables llevarían justo a los mismos resultados. Por consiguiente, la interpretación de estas variables sería cuestiona- ble, aun cuando el modelo en sí fuera todavía bueno respecto a los fines de predicción. Cuando hay multicolinealidad, la prueba F general aún es válida, pero las pruebas de hipótesis relacionadas con los coeficientes individuales no lo son. Una variable quizá parezca significativa cuando no lo es, o bien, una variable tal vez parezca insignificante cuando es significativa. 4.11 Regresión no lineal Los modelos de regresión que hemos visto son modelos lineales. Sin embargo, algunas veces existen relaciones no lineales entre las variables. Se pueden aplicar algunas transformaciones de variables sencillas para crear un modelo aparentemente lineal a partir de una relación no lineal. Esto nos per- mite usar Excel y otros programas de regresión lineales para realizar los cálculos. Se demostrará esto con el siguiente ejemplo. Las transformaciones se pueden Por cada automóvil nuevo vendido en Estados Unidos, la eficiencia de combustible (medida en usar para convertir un modelo no millas por galón de gasolina [MPG] del automóvil) se despliega prominentemente en el engomado lineal en un modelo lineal. del parabrisas. Las MPG están relacionadas con varios factores, uno de los cuales es el peso del auto. En un intento por mejorar la eficiencia de la gasolina, se pide a los ingenieros de Colonel Motors que estudien el impacto del peso sobre las MPG. Ellos deciden que deberían usar un modelo de regresión para hacerlo. 134 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Se seleccionó una muestra de 12 automóviles nuevos y se registraron el peso y las MPG. La tabla 4.6 presenta los datos. El diagrama de dispersión de estos datos de la figura 4.6A indica el peso y las MPG. Se dibuja una recta de regresión a través de los puntos. Se usa Excel para desarrollar una ecuación de regresión lineal simple que relacione las MPG (Y) con el peso en miles de libras (X1) como YN = b0 + b1X1 TABLA 4.6 PESO PESO Peso contra MPG del MPG (1,000 lb) MPG (1,000 lb) automóvil 12 4.58 20 3.18 13 4.66 23 2.68 15 4.02 24 2.65 18 2.53 33 1.70 19 3.09 36 1.95 19 3.11 42 1.92 FIGURA 4.6A 45 Modelo no lineal para los datos de MPG 40 35 30 25 MPG 20 15 10 5 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Peso (1,000 lb) FIGURA 4.6B 45 Modelo no lineal para los datos de MPG 40 35 30 25 MPG 20 15 10 5 0 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 Peso (1,000 lb) 4.11 REGRESIÓN NO LINEAL 135 PROGRAMA 4.4 Salida de Excel para el modelo de regresión lineal con los datos de MPG La salida de Excel se ilustra en el programa 4.4. De ahí obtenemos la ecuación YN = 47.6 - 8.2X1 es decir, MPG  47.6 – 8.2 (peso en 1,000 lb) El modelo es útil pues el nivel de significancia para la prueba F es pequeño y r2  0.7446. No obstante, un examen más detallado de la gráfica de la figura 4.6A genera la pregunta acerca del uso de un modelo lineal. Tal vez exista una relación no lineal y quizás el modelo debería modificarse para tomar esto en cuenta. Un modelo cuadrático se ilustra en la figura 4.6B. Este modelo sería de la forma MPG  b0  b1(peso)  b2(peso)2 La forma más sencilla de desarrollar este modelo es definir una nueva variable X2  (peso)2 que nos da el modelo YN = b0 + b1X1 + b2X2 Podemos crear otra columna en Excel y correr de nuevo la herramienta de regresión. La salida se muestra en el programa 4.5. La nueva ecuación es: YN = 79.8 - 30.2X1 + 3.4X2 Un valor de significancia bajo para El nivel de significancia para F es bajo (0.0002), de manera que el modelo es útil y r2  0.8478. La F y un valor alto para r2 indican un r2 ajustada aumentó de 0.719 a 0.814, de modo que esta nueva variable mejoró definitivamente el buen modelo. modelo. Este modelo sirve para realizar predicciones. Sin embargo, no deberíamos tratar de interpretar los coeficientes de las variables debido a la correlación entre X1 (peso) y X2 (peso al cuadrado). En general, interpretaríamos el coeficiente de X1 como el cambio en Y que resulta de un cambio de 1 unidad en X1, mientras que todas las demás variables se mantienen constantes. Es evidente que man- tener una variable constante al tiempo que se cambia la otra es imposible en este ejemplo, ya que PROGRAMA 4.5 Salida de Excel para el modelo de regresión no lineal con datos de MPG 136 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN X2  X12. Si X1 cambia, X2 también debe cambiar. Este es un ejemplo de un problema que existe cuando está presente la multicolinealidad. Otros tipos de no linealidades se manejan utilizando un enfoque similar. Existen varias transfor- maciones que ayudan a desarrollar un modelo lineal a partir de variables con relaciones no lineales. 4.12 Advertencias y fallas en el análisis de regresión Este capítulo proporcionó una breve introducción al análisis de regresión, una de las técnicas cuanti- tativas que más se utiliza en los negocios. Sin embargo, se cometen ciertas fallas comunes con los modelos de regresión, de manera que debería tenerse cuidado al usarlos. Si los supuestos no se cumplen, quizá no sean válidas las pruebas estadísticas. Las estimaciones de intervalos también serán inválidas, aunque el modelo todavía pueda usarse para fines de predic- ción. Una alta correlación no significa Correlación no necesariamente significa causa. Dos variables (como el precio del automóvil y su que una variable ocasione un salario anual) podrían tener una alta correlación entre sí, pero una no es causa de que la otra cambie. cambio en otra. Ambas pueden cambiar debido a otros factores como la economía en general o la tasa de inflación. Si en un modelo de regresión múltiple está presente la multicolinealidad, el modelo todavía es bueno para predecir, aunque la interpretación de los coeficientes individuales sería cuestionable. Las pruebas individuales sobre los coeficientes de regresión no son válidas. Usar la ecuación de regresión fuera del intervalo de X es muy cuestionable. Puede existir una La ecuación de regresión no relación lineal dentro del intervalo de valores de X en la muestra. Lo que ocurre más allá de este in- debería usarse con valores de X tervalo se desconoce; la relación lineal puede convertirse en no lineal en algún momento. Por ejem- menores que el valor más bajo de plo, suele haber una relación lineal entre la publicidad y las ventas dentro del intervalo limitado. X, ni mayores que el valor más alto Conforme se gasta más dinero en publicidad, las ventas tienden a aumentar incluso si todo lo demás de X que se encuentran en la se mantiene constante. Sin embargo, en algún punto, aumentar los gastos en publicidad tendrá menor muestra. impacto sobre las ventas, a menos que la compañía haga otras cosas para ayudar, como apertura de nuevos mercados o expansión de los productos que ofrece. Si la publicidad se incrementa y no cam- bia algo más, las ventas tal vez se estabilicen en algún punto. Relacionado con la limitación del intervalo de X está la interpretación de la intersección (b0). Como el valor más bajo de X en la muestra con frecuencia es mucho mayor que 0, la intersección es un punto sobre la recta de regresión fuera del rango de X. Por lo tanto, no deberíamos preocuparnos si la prueba t para el coeficiente no es significativa, ya que no debemos usar la ecuación de regresión para predecir un valor de Y cuando X  0. Esta intersección tan solo se usa para definir la recta que mejor se ajusta a los puntos de la muestra. Aplicar la prueba F y concluir que un modelo de regresión lineal es útil para predecir Y no sig- nifica que ésta sea la mejor relación. Mientras que el modelo puede explicar gran parte de la variabi- lidad en Y, también es posible que una relación no lineal pueda explicar todavía más. De manera similar, si se concluye que no existe una relación no lineal, quizás haya otro tipo de relación. Un valor de F significativo puede Una relación estadísticamente significativa no quiere decir que tenga un valor práctico. Con ocurrir aun cuando la relación no muestras suficientemente grandes, es posible tener una relación estadística significativa, pero r2 po- sea fuerte. dría ser 0.01. Esto por lo general tiene poco uso para un gerente. De la misma manera, podría encon- trarse que una r2 alta se debe la aleatoriedad si la muestra es pequeña. La prueba F también debe mostrar significancia para dar cualquier valor a r2. Resumen El análisis de regresión es una herramienta cuantitativa suma- La regresión múltiple incluye más de una variable indepen- mente valiosa. Los diagramas de dispersión ayudan a ver las rela- diente. Las variables ficticias (variables binarias o indicativas) se ciones entre las variables. La prueba F sirve para determinar si los utilizan con datos cualitativos o categóricos. Los modelos no li- resultados se pueden considerar útiles. El coeficiente de determi- neales se pueden transformar en modelos lineales. nación (r2) mide la proporción de la variabilidad en Y que se ex- Vimos cómo se usa Excel para desarrollar modelos de regre- plica por el modelo de regresión. El coeficiente de correlación sión. Se presentó la interpretación de la salida de computadora y mide la relación entre dos variables. se dieron varios ejemplos. ECUACIONES CLAVE 137 Glosario Análisis de regresión Procedimiento de predicción que utiliza r2 ajustada Medida del poder explicativo de un modelo de el criterio de mínimos cuadrados en una o más variables inde- regresión que toma en cuenta el número de variables indepen- pendientes para desarrollar un modelo de predicción. dientes en el modelo. Coeficiente de correlación (r) Medida de la fortaleza de la Regresión por pasos Proceso automatizado para agregar o relación entre dos variables. eliminar sistemáticamente variables independientes a partir de Coeficiente de determinación (r2) Porcentaje de la variabilidad un modelo de regresión. de la variable dependiente (Y) que se explica por la ecuación de Residuo Otro nombre para el error. regresión. Suma de cuadrados de la regresión (SCR) Suma total de los Colinealidad Condición que existe cuando una variable cuadrados de la diferencia entre cada valor pronosticado y la independiente se correlaciona con otra variable independiente. media 1YN 2. Diagrama de dispersión Diagrama de la variable que se quiere Suma de cuadrados total (SCT) Suma total de los cuadrados predecir, graficada contra otra variable, como el tiempo. Tam- de la diferencia entre cada observación (Y) y la media 1YN 2. bién se llaman gráficas de dispersión. Suma de los cuadrados de los errores (SCE) Suma total de los Error Diferencia entre el valor real (Y) y el valor pronosticado 1YN 2. cuadrados de las diferencias entre cada observación (Y) y el valor que se pronostica 1YN 2. Error estándar de la estimación Estimación de la desviación Valor-p Valor de probabilidad que se utiliza al probar una estándar de los errores que a veces se denomina desviación es- hipótesis. La hipótesis se rechaza cuando este valor es bajo. tándar de la regresión. Variable binaria. Véase variable ficticia. Error medio de cuadrados (EMC) Estimación de la varianza Variable de respuesta La variable dependiente en una ecuación del error. de regresión. Mínimos cuadrados Referencia al criterio usado para Variable dependiente Variable Y en un modelo de regresión. Es seleccionar la recta de regresión, de modo que se minimiza la lo que va a predecirse. suma de los cuadrados de las distancias entre la recta estimada Variable explicativa Variable independiente en una ecuación de y los valores observados. regresión. Modelo de regresión múltiple Modelo de regresión que tiene Variable ficticia Variable que sirve para representar un factor o más de una variable independiente. condición cualitativa. Las variables ficticias tienen valores 0 o 1. Multicolinealidad Condición que existe cuando una variable in- También se llaman variables binarias o variables indicativas. dependiente se correlaciona con otras variables independientes. Variable independiente Variable X en una ecuación de regresión. Nivel de significancia del observador Otro nombre para el Se usa para ayudar a predecir la variable dependiente. valor-p. Variable predictiva Otro nombre para variable explicativa. Ecuaciones clave (4-1) Y = b 0 + b 1X + P (4-9) SCT = SCR + SCE Modelo lineal fundamental para regresión lineal simple. Relación entre las sumas de cuadrados en la regresión. (4-2) YN = b0 + b1X SCR SCE Modelo de regresión lineal simple calculado para una (4-10) r2 = = 1 - SCT SCT muestra. Coeficiente de determinación. (4-3) e = Y - YN (4-11) r = ; 2r2 Error en el modelo de regresión. Coeficiente de correlación; tiene el mismo signo que la ©1X - X21Y - Y2 pendiente. (4-4) b1 = ©1X - X22 SCE (4-12) s2 = EMC = Pendiente de la recta de regresión. n - k - 1 Estimación de la varianza de los errores en la regresión; n (4-5) b0 = Y - b1X es el tamaño de la muestra y k es el número de variables Intersección de la recta de regresión. independientes. (4-6) SCT = g1Y - Y22 (4-13) s = 1EMC Suma de cuadrados total. Estimación de la desviación estándar de los errores; tam- (4-7) SCE = ge2 = g1Y - YN 22 bién se llama error estándar de la estimación. Suma de cuadrados de los errores. (4-8) SCR = g1YN - Y22 Suma de cuadrados de la regresión. 138 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN SCR (4-16) Y = b 0 + b 1X1 + b 2X2 + Á + b kXk + P (4-14) RMC = Modelo fundamental para regresión múltiple. k Regresión media de cuadrados. k es el número de varia- (4-17) YN = b0 + b1X1 + b2X2 + Á + bkXk bles independientes. Modelo de regresión múltiple calculado a partir de la RMC muestra. (4-15) F = EMC SCE>1n - k - 12 Estadístico F usado para probar la significancia del mode- (4-18) r2 ajustada = 1 - SCT>1n - 12 lo de regresión general. r2 ajustada que sirve para construir modelos de regresión múltiple. Problemas resueltos Problema resuelto 4-1 Judith Thompson tiene una florería en la costa del Golfo de México en el estado de Texas, y se especializa en arreglos florales para bodas y otros eventos especiales. Se anuncia cada semana en los periódicos locales y está considerando aumentar su presupuesto de publicidad. Antes de hacerlo, decide evaluar la efectividad histórica de sus anuncios. Se muestrearon cinco semanas, el dinero gastado y el volumen de ventas para cada una se presenta en la siguiente tabla. Desarrolle una ecuación de regresión que ayude a Judith a evaluar su publicidad. Encuentre el coeficiente de determinación para este modelo. VENTAS ($1,000) PUBLICIDAD ($100) 11 5 6 3 10 7 6 2 12 8 Solución VENTAS Y PUBLICIDAD X 1X - X22 1X ⴚ X21Y ⴚ Y2 11 5 (5 - 5)2 =0 (5 - 5)(11 - 9) = 0 6 3 (3 - 5)2 =4 (3 - 5)(6 - 9) = 6 10 7 (7 - 5)2 = 4 (7 - 5)(10 - 9) = 2 6 2 (2 - 5)2 = 9 (2 - 5)(6 - 9) = 9 12 8 (8 - 5)2 =9 (8 - 5)(12 - 9) = 9 g Y  45 g X  25 g1X - X2 = 262 g 1X - X21Y - Y2 = 26 Y = 45>5 X = 25>5 9 5 ©1X - X21Y - Y2 26 b1 = 2 = = 1 ©1X - X2 26 b0 = Y - b1X = 9 - 112152 = 4 La ecuación de regresión es: YN = 4 + 1X PROBLEMAS RESUELTOS 139 Para calcular r2, usamos la siguiente tabla: Y X YN ⴝ 4 ⴙ 1X 1Y - YN 22 1Y - Y22 11 5 9 (11 - 9)2 = 4 (11 - 9)2 = 4 6 3 7 (6 - 7)2 = 1 (6 - 9)2 = 9 10 7 11 (10 - 11)2 = 1 (10 - 9)2 = 1 6 2 6 (6 - 6)2 = 0 (6 - 9)2 = 9 12 8 12 (12 - 12)2 =0 (12 - 9)2 = 9 gY = 45 gX = 25 g1Y - YN 22 = 6 g1Y - Y22 = 32 Y = 9 X = 5 SCE SCT La pendiente (b1  1) nos indica que por cada unidad de incremento en X (o $100 en publicidad), las ventas aumentan una unidad (o bien, $1,000). Además, r2  0.8125 significa que aproximadamente 81% de la varia- bilidad en las ventas se explica con el modelo de regresión donde la publicidad es la variable independiente. Problema resuelto 4-2 Utilice Excel y los datos del problema resuelto 4.1 para encontrar el modelo de regresión. ¿Qué indica la prueba F respecto a este modelo? Solución El programa 4.6 presenta la salida de Excel para este problema. Vemos que la ecuación es: YN = 4 + 1X El coeficiente de determinación (r2) tiene un valor de 0.8125. El nivel de significancia (o valor crítico) de la prueba F es de 0.0366, que es menor que 0.05. Esto indica que el modelo es estadísticamente significativo. Entonces, existe suficiente evidencia en los datos para concluir que el modelo es útil y que hay una relación entre X (publicidad) y Y (ventas). PROGRAMA 4.6 Salida de Excel para el problema resuelto 4-2 140 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Autoevaluación 䊉 Antes de resolver la autoevaluación, consulte los objetivos de aprendizaje al inicio del capítulo, las notas al margen y el glosario al final del capítulo. 䊉 Utilice la solución al final del libro para corregir sus respuestas. 䊉 Estudie de nuevo las páginas que correspondan a cualquier pregunta cuya respuesta sea incorrecta o al material con el que se sienta inseguro. 1. Uno de los supuestos en el análisis de regresión es que c) el coeficiente de determinación es –1. a) los errores tienen media de 1. d) el coeficiente de determinación es 0. b) los errores tienen media de 0. 8. Cuando se usan variables ficticias en una ecuación de regre- c) las observaciones (Y) tienen media de 1. sión para modelar una variable cualitativa o categórica, el d) las observaciones (Y) tienen media de 0. número de variables ficticias debería ser igual a 2. Se usará una gráfica de los puntos de la muestra para desa- a) el número de categorías. rrollar una línea de regresión llamada b) una más que el número de categorías. a) gráfica de la muestra. c) una menos que el número de categorías. b) diagrama de regresión. d) el número de otras variables independientes en el modelo. c) diagrama de dispersión. 9. Un modelo de regresión múltiple difiere de un modelo de re- d) gráfica de regresión. gresión lineal simple en que el modelo de regresión múltiple 3. Al usar regresión, un error se llama también tiene más de un(a) a) intersección. a) variable independiente. b) predicción. b) variable dependiente. c) coeficiente. c) intersección. d) residuo. d) error. 4. En un modelo de regresión, Y se llama 10. La significancia general de un modelo de regresión se a) variable independiente. prueba con la prueba F. El modelo es significativo si b) variable dependiente. a) el valor F es bajo. c) variable de regresión. b) el nivel de significancia del valor F es bajo. d) variable predictiva. c) el valor r2 es bajo. 5. Una cantidad que proporciona una medida de qué tan lejos d) la pendiente es menor que la intersección. de la recta de regresión está cada punto de la muestra es 11. No debe agregarse una nueva variable a un modelo de regre- a) la SCR. sión múltiple, si esa variable ocasiona que b) la SCE. a) r2 disminuya. c) la SCT. b) r2 ajustada disminuya. d) la RMC. c) la SCT disminuya. 6. El porcentaje de variación en la variable dependiente que d) la intersección disminuya. explica la ecuación de regresión se mide por 12. Un buen modelo de regresión debería tener a) el coeficiente de correlación. a) una r2 baja y un nivel de significancia bajo en la b) el EMC. prueba F. c) el coeficiente de determinación. b) una r2 alta y un nivel de significancia alto en la prueba F. d) la pendiente. c) una r2 alta y un nivel de significancia bajo en la prueba F. 7. En un modelo de regresión, si cada punto de la muestra está d) una r2 baja y un nivel de significancia alto en la prueba F. sobre la recta de regresión (todos los errores son 0), entonces, a) el coeficiente de correlación es 0. b) el coeficiente de correlación es –1 o 1. Preguntas y problemas para análisis Preguntas para análisis 4-5 Explique cómo se utiliza la r2 ajustada en el desarrollo 4-1 ¿Cuál es el significado de mínimos cuadrados en un de un modelo de regresión. modelo de regresión? 4-6 Explique qué información ofrece la prueba F. 4-2 Analice el uso de variables ficticias en el análisis de re- 4-7 ¿Qué es la SCE? ¿Cómo se relaciona con la SCT y con gresión. la SCR? 4-3 Analice cómo se relacionan el coeficiente de determi- 4-8 Explique de qué manera se puede usar una gráfica de nación y el coeficiente de correlación, y cómo se uti- residuos en el desarrollo de un modelo de regresión. lizan en el análisis de regresión. 4-4 Explique cómo se utiliza un diagrama de dispersión para identificar el tipo de regresión que se debe aplicar. PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 141 Problemas ESTUDIANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4-9 John Smith ha desarrollado el siguiente modelo de Calificación de examen 1 98 77 88 80 96 61 66 95 69 pronósticos: Promedio final 93 78 84 73 84 64 64 95 76 YN = 36 + 4.3X1 donde: a) Desarrolle un modelo de regresión que sirva para YN = demanda de los acondicionadores de aire K10 predecir el promedio final en el curso, de acuerdo X1 = temperatura exterior (°F) con la calificación del primer examen. b) Prediga el promedio final de un estudiante que ob- a) Pronostique la demanda de K10 cuando la tempe- tuvo 83 en el primer examen. ratura sea de 70 °F c) Dé los valores de r y r2 para este modelo. Interprete b) ¿Cuál es la demanda cuando la temperatura es de el valor de r2 en el contexto de este problema. 80 °F? c) ¿Cuál es la demanda cuando la temperatura es de 4-14 Con los datos del problema 4-13, pruebe si hay una 90 °F? relación estadísticamente significativa entre la califi- cación en el primer examen y el promedio final para un 4-10 El gerente de operaciones de un distribuidor de instru- nivel de significancia de 0.05. Use las fórmulas de este mentos musicales piensa que la demanda de baterías capítulo y el apéndice D. puede relacionarse con el número de apariciones en televisión del popular grupo de rock Green Shades du- 4-15 Use un software de cómputo para encontrar la recta de rante el mes anterior. El gerente recolectó los datos que regresión de mínimos cuadrados con los datos del se presentan en la siguiente tabla: problema 4-13. Con base en la prueba F, ¿existe una relación estadísticamente significativa entre la califi- DEMANDA DE APARICIONES EN TV cación del primer examen y el promedio final en el BATERÍAS DE GREEN SHADES curso? 3 3 4-16 Steve Caples, un evaluador de bienes raíces en Lake Charles, Louisiana, desarrolló un modelo de regresión 6 4 para ayudar a los avalúos residenciales en el área local. 7 7 Construyó el modelo usando las casas vendidas recien- 5 6 temente en un vecindario específico. El precio (Y) de la 10 8 casa se basa en los pies cuadrados de construcción (X). 8 5 El modelo es: YN = 13,473 + 37.65X a) Grafique estos datos para saber si la ecuación de una recta podría describir la relación entre los programas El coeficiente de correlación para el modelo es de 0.63. de televisión del grupo y las ventas de baterías. a) Use el modelo para predecir el precio de venta de b) Con las ecuaciones presentadas en este capítulo una casa de 1,860 pies cuadrados. calcule SCT, SCE y SCR. Encuentre la recta de re- b) Una casa con 1,860 pies cuadrados se vendió hace gresión de mínimos cuadrados para tales datos. poco en $95,000. Explique por qué esto no es lo c) ¿Cuál es su estimación para las ventas de baterías que el modelo predice. si Green Shades actuó en televisión seis veces el c) Si usara regresión múltiple para desarrollar un mes pasado? modelo de avalúos, ¿qué otras variables cuantitati- vas incluiría en él? 4-11 Utilice los datos del problema 4-10 para probar si existe d) ¿Cuál es el coeficiente de determinación para este una relación estadísticamente significativa entre las ven- modelo? tas y las apariciones en televisión, para un nivel de sig- nificancia de 0.05. Use las fórmulas de este capítulo y 4-17 Los contadores de la empresa Walker and Walker pien- del apéndice D. san que varios ejecutivos que viajan presentan compro- bantes de gastos demasiado altos cuando regresan de 4-12 Con un software de cómputo encuentre la recta de re- viajes de negocios. Los contadores tomaron una mues- gresión de mínimos cuadrados para los datos del pro- tra de 200 comprobantes entregados durante el año blema 4-10. Según la prueba F, ¿existe una relación pasado; luego, desarrollaron la siguiente ecuación de re- estadísticamente significativa entre la demanda de gresión múltiple que relaciona el costo esperado de baterías y el número de actuaciones en televisión? viaje (Y) con el número de días de duración (X1) y la 4-13 Los estudiantes en una clase de ciencias de la adminis- distancia recorrida (X2) en millas: tración acaban de recibir sus calificaciones del primer examen. El profesor les dio información acerca de es- YN = $90.00 + $48.50X1 + $0.40X2 tas calificaciones en algunas clases anteriores y del promedio final para los mismos estudiantes. Se obtuvo una muestra de algunas calificaciones: Nota: significa que el problema se resuelve con QM para Windows, indica que el problema se resuelve con Excel QM y quiere decir que el problema se resuelve con QM para Windows o con Excel QM. 142 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN El coeficiente de correlación calculado es de 0.68. a) Grafique estos datos y determine si es razonable un a) Si Thomas Williams regresa de un viaje de 300 modelo de regresión lineal. millas que le tomó cinco días, ¿cuál es la cantidad b) Desarrolle un modelo de regresión. esperada que debería entregar como gastos? c) ¿Cuál es el número esperado de viajes si en la ciu- b) Williams presentó una solicitud de reembolso de dad hay 10 millones de turistas? $685; ¿qué debería hacer el contador? d) Si no hay turistas, explique el número de viajes es- c) Comente la validez de este modelo. ¿Deben in- perado. cluirse otras variables? ¿Cuáles? ¿Por qué? 4-20 Utilice un software de cómputo para desarrollar un 4-18 Trece estudiantes se inscribieron a un programa de ne- modelo de regresión para los datos del problema 4-19. gocios de licenciatura en Rollins College hace dos Explique qué indica esta salida acerca de la utilidad de años. La siguiente tabla indica sus promedios de califi- este modelo. caciones (GPA, grade point average) después de 2 años 4-21 Los siguientes datos proporcionan el salario inicial para en el programa y la puntuación del SAT (examen están- estudiantes recién graduados de una universidad local dar de admisión a universidades en Estados Unidos, que aceptaron trabajos poco tiempo después. Se in- con un máximo de 2400 puntos) cuando estaban en cluyen el salario inicial, el promedio de calificaciones preparatoria. ¿Hay alguna relación significativa entre (GPA) y el área académica (administración u otra). las calificaciones y las puntuaciones en el SAT? Si un estudiante tiene 1200 en el SAT, ¿cuál piensa que será SALARIO $29,500 $46,000 $39,800 $36,500 su GPA? ¿Cuál sería si hubiera obtenido 2400 puntos? GPA 3.1 3.5 3.8 2.9 Área Otra Administración Administración Otra ESTU- PUNTOS GPA ESTU- PUNTOS GPA DIANTE EN SAT DIANTE EN SAT SALARIO $42,000 $31,500 $36,200 A 1263 2.90 H 1443 2.53 GPA 3.4 2.1 2.5 B 1131 2.93 I 2187 3.22 Área Administración Otra Administración C 1755 3.00 J 1503 1.99 a) Utilice una computadora para desarrollar un mo- D 2070 3.45 K 1839 2.75 delo de regresión que sirva para predecir el salario E 1824 3.66 L 2127 3.90 inicial según el GPA y área. F 1170 2.88 M 1098 1.60 b) Use este modelo para predecir el salario inicial para un estudiante de administración con GPA de 3.0. G 1245 2.15 c) ¿Qué indica el modelo acerca del salario inicial para un estudiante de administración en compara- 4-19 El número de viajes en autobús y metro (subway) en el ción con el de un estudiante de otra carrera? área de Washington, D.C. durante los meses de verano d) ¿Cree que este modelo sea útil para predecir el parecen estar muy vinculados al número de turistas que salario inicial? Justifique su respuesta usando la in- visitan la ciudad. Durante los 12 últimos años se ob- formación proporcionada en la salida de compu- tuvieron los siguientes datos: tadora. 4-22 Los siguientes datos incluyen el precio de venta, los pies cuadrados, el número de dormitorios y la antigüedad de NÚMERO DE NÚMERO DE las casas que se han vendido en el área en los últimos 6 TURISTAS VIAJES meses. Desarrolle tres modelos de regresión para prede- AÑO (millones) (cientos de miles) cir el precio de venta basado en cada factor de manera 1 7 15 individual. ¿Cuál es mejor? 2 2 10 3 6 13 PRECIO DE PIES DORMI- ANTIGÜEDAD VENTA($) CUADRADOS TORIOS (AÑOS) 4 4 15 64,000 1,670 2 30 5 14 25 59,000 1,339 2 25 6 15 27 61,500 1,712 3 30 7 16 24 79,000 1,840 3 40 8 12 20 87,500 2,300 3 18 9 14 27 92,500 2,234 3 30 10 20 44 95,000 2,311 3 19 11 15 34 113,000 2,377 3 7 12 7 17 (Continúa en la siguiente página) PREGUNTAS Y PROBLEMAS PARA ANÁLISIS 143 4-26 Los gastos totales de un hospital se relacionan con mu- PRECIO DE PIES DORMI- ANTIGÜEDAD chos factores. Dos de ellos son el número de camas en VENTA($) CUADRADOS TORIOS (AÑOS) el hospital y el número de admisiones. Se recolectaron 115,000 2,736 4 10 datos en 14 hospitales, como se indica en la siguiente 138,000 2,500 3 1 tabla: 142,500 2,500 4 3 GASTOS 144,000 2,479 3 3 NÚMERO DE ADMISIONES TOTALES 145,000 2,400 3 1 HOSPITAL CAMAS (CIENTOS) (MILLONES) 147,500 3,124 4 0 1 215 77 57 144,000 2,500 3 2 2 336 160 127 155,500 4,062 4 10 3 520 230 157 165,000 2,854 3 3 4 135 43 24 5 35 9 14 4-23 Use los datos del problema 4-22 para desarrollar un mo- 6 210 155 93 delo de regresión que prediga el precio de venta con base 7 140 53 45 en los pies cuadrados y el número de dormitorios. Use este modelo para predecir el precio de venta de una casa 8 90 6 6 con 2,000 pies cuadrados y tres dormitorios. Compare 9 410 159 99 este modelo con los del problema 4-22. ¿Debería incluirse 10 50 18 12 el número de dormitorios en el modelo? ¿Por qué sí? 11 65 16 11 4-24 Utilice los datos del problema 4-22 para desarrollar un modelo de regresión que prediga el precio de venta 12 42 29 15 basado en los pies cuadrados, el número de dormitorios 13 110 28 21 y la antigüedad de la casa. Use esto para predecir el 14 305 98 63 precio de venta de una casa construida hace 10 años, con 2,000 pies cuadrados y tres dormitorios. Encuentre el mejor modelo de regresión para predecir 4-25 Tim Cooper planea invertir dinero en un fondo mutuo los gastos totales de un hospital. Analice la exactitud de que está ligado a uno de los principales índices del este modelo. ¿Deberían incluirse ambas variables en el mercado, ya sea S&P 500 o Dow Jones Industrial Ave- modelo? ¿Por qué? rage (DJIA). Para obtener mayor diversificación, Tim 4-27 Se tomó una muestra de 20 automóviles y se registraron piensa invertir en ambos. Para determinar si esto ayu- las millas por galón (MPG), los caballos de potencia y daría, Tim decide tomar 20 semanas de datos y com- el peso total. Desarrolle un modelo de regresión lineal parar los dos mercados. El precio de cierre de cada para predecir las MPG, usando los caballos de potencia índice se muestra en la tabla que sigue: como la única variable independiente. Desarrolle otro modelo con el peso como la variable independiente. ¿Cuál de estos dos modelos es mejor? Explique. SEMANA 1 2 3 4 5 6 7 DJIA 10,226 10,473 10,452 10,442 10,471 10,213 10,187 S&P 1,107 1,141 1,135 1,139 1,142 1,108 1,110 MPG CABALLOS DE POTENCIA PESO 44 67 1,844 SEMANA 8 9 10 11 12 13 14 44 50 1,998 DJIA 10,240 10,596 10,584 10,619 10,628 10,593 10,488 40 62 1,752 S&P 1,121 1,157 1,145 1,144 1,146 1,143 1,131 37 69 1,980 SEMANA15 16 17 18 19 20 37 66 1,797 DJIA 10,568 10,601 10,459 10,410 10,325 10,278 34 63 2,199 S&P 1,142 1,140 1,122 1,108 1,096 1,089 35 90 2,404 32 99 2,611 Desarrolle un modelo de regresión que ayude a prede- 30 63 3,236 cir el DJIA basado en el índice S&P 500. Según este 28 91 2,606 modelo, ¿cuál esperaría que fuera el valor de DJIA cuando S&P es de 1,100? ¿Cuál es el coeficiente de 26 94 2,580 correlación (r) entre los dos mercados? 26 88 2,507 (Continúa en la siguiente página) 144 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Analice qué tan precisos cree que sean estos resultados MPG CABALLOS DE POTENCIA PESO usando la información relacionada con el modelo de re- 25 124 2,922 gresión. 22 97 2,434 4-31 En 2008, la nómina total para los Yankees de Nueva York 20 114 3,248 era de $209.1 millones, en tanto que la nómina total para los Rayos de Tampa Bay era alrededor de $43.8 millones, 21 102 2,812 o cerca de un quinto de la de los Yankees. Muchas per- 18 114 3,382 sonas han sugerido que algunos equipos pueden comprar 18 142 3,197 temporadas ganadoras y campeonatos gastando mucho dinero en los jugadores más talentosos disponibles. La 16 153 4,380 siguiente tabla presenta las nóminas (en millones de 16 139 4,036 dólares) para los 14 equipos de las Ligas Mayores de Béisbol en la Liga Americana, al igual que el número 4-28 Use los datos del problema 4-27 para desarrollar un total de victorias para cada uno en la temporada de 2008: modelo de regresión lineal múltiple. ¿Cuál es la compara- ción con cada uno de los modelos del problema 4-27? 4-29 Use los datos del problema 4-27 para encontrar el NÓMINA NÚMERO DE mejor modelo de regresión cuadrática. (Existe más de EQUIPO (MILLONES) VICTORIAS uno.) ¿Cuál es la comparación con los modelos de los Yankees de Nueva York 209.1 89 problemas 4-27 y 4-28? Tigres de Detroit 138.7 74 4-30 Se obtuvo una muestra de nueve universidades públicas Medias Rojas de Boston 133.4 95 y nueve privadas. Se registraron el costo total por año (incluyendo hospedaje y alimentos) y la mediana del Medias Blancas de Chicago 121.2 89 SAT (máximo de 2,400) en cada escuela. Se piensa que Indios de Cleveland 79.0 81 las escuelas con una mediana más alta en el SAT ten- Orioles de Baltimore 67.2 68 drían mejor reputación y como resultado cobrarían Atléticos de Oakland 48.0 75 más. Los datos se incluyen en la tabla. Use una regre- sión como ayuda para contestar las siguientes pregun- Angelinos de Los Ángeles 119.2 100 tas con base en esta muestra. ¿Cobran más colegiatura Marineros de Seattle 118.0 61 las escuelas con mayores puntuaciones del SAT? ¿Son Azulejos de Toronto 98.6 86 más costosas las escuelas privadas que las públicas cuando se toman en cuenta las puntuaciones del SAT? Mellizos de Minnesota 62.2 88 Reales de Kansas City 58.2 75 CATEGORÍA COSTO TOTAL ($) MEDIANA DEL SAT Rayos de Tampa Bay 43.8 97 Pública 21,700 1990 Rangers de Texas 68.2 79 Pública 15,600 1620 Pública 16,900 1810 Desarrolle un modelo de regresión para predecir el número total de victorias con base en la nómina de un Pública 15,400 1540 equipo. De acuerdo con los resultados de salida de Pública 23,100 1540 computadora, analice qué tan preciso es el modelo. Pública 21,400 1600 Utilice el modelo para predecir el número de victorias Pública 16,500 1560 de un equipo con nómina de $79 millones. 4-32 En 2009, Los Yankees de Nueva York ganaron 103 jue- Pública 23,500 1890 gos de béisbol durante la temporada regular. La tabla Pública 20,200 1620 siguiente presenta el número de juegos ganados (G), las Privada 30,400 1630 carreras limpias permitidas (CLP) y el promedio de ba- teo (PROM) de cada equipo de la Liga Americana. Las Privada 41,500 1840 CLP son una medida de efectividad del equipo de lan- Privada 36,100 1980 zamiento, y un número bajo es mejor. El promedio de Privada 42,100 1930 bateo es una medida de efectividad del bateador y un Privada 27,100 2130 número grande es mejor. a) Desarrolle un modelo de regresión que se pueda Privada 34,800 2010 usar para predecir el número de victorias con base Privada 32,100 1590 en las CLP. Privada 31,800 1720 b) Desarrolle un modelo de regresión que se pueda usar para predecir el número de victorias con base Privada 32,100 1770 en el promedio de bateo. ESTUDIO DE CASO 145 EQUIPO G CLP PROM MES DJIA ACCIÓN 1 ACCIÓN 2 Yankees de Nueva York 103 4.26 0.283 1 11,168 48.5 32.4 Angelinos de Los Ángeles 97 4.45 0.285 2 11,150 48.2 31.7 Medias Rojas de Boston 95 4.35 0.270 3 11,186 44.5 31.9 Mellizos de Minnesota 87 4.50 0.274 4 11,381 44.7 36.6 Rangers de Texas 87 4.38 0.260 5 11,679 49.3 36.7 Tigres de Detroit 86 4.29 0.260 6 12,081 49.3 38.7 Marineros de Seattle 85 3.87 0.258 7 12,222 46.1 39.5 Rayos de Tampa Bey 84 4.33 0.263 8 12,463 46.2 41.2 Medias Blancas de Chicago 79 4.14 0.258 9 12,622 47.7 43.3 Azulejos de Toronto 75 4.47 0.266 10 12,269 48.3 39.4 Atléticos de Oakland 75 4.26 0.262 11 12,354 47.0 40.1 Indios de Cleveland 65 5.06 0.264 12 13,063 47.9 42.1 Reales de Kansas City 65 4.83 0.259 13 13,326 47.8 45.2 Orioles de Baltimore 64 5.15 0.268 c) ¿Cuál de los dos modelos es mejor para predecir el a) Desarrolle un modelo de regresión para predecir el número de victorias? precio de la acción 1 según el Dow Jones Industrial d) Desarrolle un modelo de regresión múltiple que in- Average. cluya las CLP y el promedio de bateo. ¿Cuál es la b) Desarrolle un modelo de regresión para predecir el comparación con los modelos anteriores? precio de la acción 2 según el Dow Jones Industrial 4-33 El precio de cierre para dos acciones se registró durante Average. un periodo de 12 meses. El precio de cierre para el c) ¿Cuál de las dos acciones tiene la correlación más Dow Jones Industrial Average (DJIA) también se re- alta con el Dow Jones en este periodo? gistró para este mismo periodo. Los valores se mues- tran en la siguiente tabla: Estudio de caso North–South Airline En enero de 2008, Northern Airlines se fusionó con Southeast Air- rectos de mantenimiento del motor. Peg debía regresar a más tar- lines para crear la cuarta compañía aérea más grande de Estados dar el 26 de febrero con la respuesta y con descripciones cuantita- Unidos. La nueva North-South Airline heredó tanto una flota de tivas y gráficas de la relación. Boeing 727-300 antiguos como a Stephen Ruth. Stephen era un El primer paso de Peg fue que su personal analizara la duro ex Secretario de la Marina que llegó como el nuevo presi- antigüedad promedio de las flotas de Northern y Southeast B727- dente y director del consejo de administración. 300, por trimestre, desde la introducción de ese equipo por cada La primera preocupación de Stephen para crear una compañía línea aérea desde fines de 1993 y principios de 1994. La antigüedad financieramente sólida fueron los costos de mantenimiento. Por lo promedio de cada flota se calculó primero multiplicando el núme- común se suponía en la industria aérea que los costos de manteni- ro total de días calendario que cada aeronave había estado en servi- miento se elevaban con la antigüedad de las aeronaves. Él pronto cio en el momento pertinente de tiempo, por la utilización pro- notó que históricamente había una diferencia significativa en los medio diaria de la flota correspondiente respecto de las horas totales costos de mantenimiento reportados del B727-300 (en la forma voladas por la flota. Las horas totales de la flota se dividieron en- 41s de ATA) en las áreas del fuselaje y el motor entre Northern tonces entre el número de equipos en servicio en ese momento, Airlines y Southeast Airlines, donde Southeast tenía la flota más dada una antigüedad de la aeronave “promedio” en la flota. nueva. La utilización promedio se encontró tomando las horas reales El 12 de febrero de 2008, Stephen llamó a su oficina Peg voladas totales de la flota el 30 de septiembre de 2007, de los Jones, vicepresidente de operaciones y mantenimiento, y le pre- datos de Northern and Southeast, y dividiendo entre el número to- guntó sobre este asunto. Específicamente, Stephen quería saber si tal de días en servicio para todas las aeronaves en ese momento. la antigüedad promedio de la flota se correlacionaba con los cos- La utilización promedio para Southeast era de 8.3 horas diarias y tos directos de mantenimiento del fuselaje, así como si había una para Northern era de 8.7 horas diarias. Como los datos disponibles relación entre la antigüedad promedio de la flota y los costos di- de costos se calcularon para cada periodo de un año que terminaba 146 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN al final del primer trimestre, la antigüedad promedio de la flota se Pregunta para análisis calculó en los mismos momentos. Los datos de la flota se presen- tan en la siguiente tabla. Los datos de costo para el fuselaje y el 1. Prepare la respuesta de Peg Jones a Stephen Ruth. motor se incluyen junto con la antigüedad promedio de la flota. Nota: Las fechas y los nombres de las líneas aéreas y las personas se cam- biaron en este caso para mantener la confidencialidad. Los datos y aspectos des- critos aquí son reales. Datos de North-South Airline para los aviones Boeing 727-300 DATOS DE NORTHERN AIRLINE DATOS DE SOUTHEAST AIRLINE COSTO PARA COSTO PARA ANTIGÜEDAD COSTO PARA COSTO PARA ANTIGÜEDAD FUSELAJE POR MOTOR POR PROMEDIO FUSELAJE POR MOTOR POR PROMEDIO AÑO AERONAVE ($) AERONAVE ($) (HORAS) AERONAVE ($) AERONAVE ($) HORAS 2001 51.80 43.49 6,512 13.29 18.86 5,107 2002 54.92 38.58 8,404 25.15 31.55 8,145 2003 69.70 51.48 11,077 32.18 40.43 7,360 2004 68.90 58.72 11,717 31.78 22.10 5,773 2005 63.72 45.47 13,275 25.34 19.69 7,150 2006 84.73 50.26 15,215 32.78 32.58 9,364 2007 78.74 79.60 18,390 35.56 38.07 8,259 Bibliografía Berenson, Mark L., David M. Levine y Timothy C. Kriehbiel. Basic Business Kutner, Michael, John Neier, Chris J. Nachtsheim y William Wasserman. Statistics: Concepts and Applications, 11a. ed. Upper Saddle River, NJ: Applied Linear Regression Models, 4a. ed., Boston; Nueva York: Prentice Hall, 2009. McGraw-Hill/Irwin, 2004. Black, Ken. Business Statistics: For Contemporary Decision Making, 6a. ed. Mendenhall, William y Terry L. Sincich. A Second Course in Statistics: John Wiley & Sons, Inc., 2010. Regression Analysis, 6a. ed., Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Draper, Norman R. y Harry Smith. Applied Regression Analysis, 3a. ed. Nueva 2004. York: John Wiley & Sons, Inc., 1998. Apéndice 4.1 Fórmulas para cálculos de regresión Cuando se realizan los cálculos de regresión a mano, existen otras fórmulas que suelen facilitar la tarea y son matemáticamente equivalentes a las presentadas en el capítulo. Sin embargo, dificultan ver la lógica detrás de las fórmulas y la comprensión del significado real de los resultados. Cuando se aplican estas fórmulas, son una ayuda para establecer una tabla con las columnas que se presentan en la tabla 4.7, la cual contiene los datos de la compañía Triple A Construction que se presentó anteriormente en el capítulo. El tamaño de la muestra (n) es 6. Se presentan los totales para todas las columnas y se calculan los promedios para X y Y. Una vez hecho esto, podemos emplear las siguientes fórmulas para los cálculos de un modelo de regresión lineal simple (con una variable inde- pendiente). De nuevo, la ecuación de regresión lineal simple está dada por: YN = b0 + b1X La pendiente de la ecuación de regresión es: ©XY - nXY b1 = ©X2 - nX2 180.5 - 6142172 106 - 61422 b1 = = 1.25 APÉNDICE 4.1 FÓRMULAS PARA CÁLCULOS DE REGRESIÓN 147 TABLA 4.7 Y X Y2 X2 XY Cálculos preliminares para Triple A 6 3 62  36 32  9 3(6)  18 Construction 8 4 82  64 42  16 4(8)  32 9 6 92  81 62 36 6(9)  54 5 4 52  25 42  16 4(5)  20 4.5 2 4.52  20.25 22 4 2(4.5)  9 9.5 5 9.52  90.25 52  25 5(9.5)  47.5 gY  42 gX  24 gY2  316.5 gX2  106 gXY  180.5 Y = 42>6 = 7 X = 24>6 = 4 La intersección de la ecuación de regresión es: b0 = Y - b1X b0 = 7 - 1.25142 = 2 Suma de cuadrados de los errores: SCE = ©Y2 - b0 ©Y - b1 ©XY SCE = 316.5 - 21422 - 1.251180.52 = 6.875 Estimación de la varianza del error: SCE s2 = EMC = n - 2 6.875 s2 = = 1.71875 6 - 2 Estimación de la desviación estándar del error: s = 1EMC s = 21.71875 = 1.311 Coeficiente de determinación: SCE r2 = 1 - ©Y - nY 2 2 6.875 r2 = 1 - 316.5 - 61722 = 0.6944 Esta fórmula para el coeficiente de correlación determina de manera automática el signo de r. Este también se podría encontrar sacando la raíz cuadrada de r2 y dándole el mismo signo que la pendiente: n©XY - ©X©Y r = 23n©X2 - 1©X2243n©Y2 - 1©Y224 61180.52 - 12421422 r = = 0.833 23611062 - 2424361316.52 - 4224 148 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Apéndice 4.2 Modelos de regresión usando QM para Windows El manejo de QM para Windows para desarrollar un modelo de regresión es muy sencillo. Usaremos los datos de Triple A Construction para ilustrarlo. Después de iniciar QM para Windows, bajo Mo- dules seleccionamos Forecasting. Para ingresar el problema seleccionamos New y especificamos Least Squares – Simple and Multiple Regression, como se ilustra en el programa 4.7A. Esto abre la ventana del programa 4.7B. Ingresamos el número de observaciones, que es 6 en el ejemplo. Tan solo hay 1 variable independiente (X). Cuando se oprime OK, se abre una ventana y se ingresan los datos como se indica en el programa 4.7C. Después de ingresar los datos, oprima Solve y los resultados de los pronósticos aparecen como en el programa 4.7D. La ecuación y otra información se proporcionan es esta ventana. Se dispone de una salida adicional haciendo clic en la opción Window en la barra de herramientas. Recuerde que el EMC es una estimación de la varianza del error ( 2) y la raíz cuadrada de esta es el error estándar de la estimación. La fórmula que se presentó en el capítulo y se usó en Excel es: EMC = SCE>1n - k - 12 donde n es el tamaño de la muestra y k es el número de variables independientes. Esta es una esti- mación no sesgada de 2. En QM para Windows, el error medio de cuadrados se calcula como: EMC = SCE>n Este es simplemente el error promedio y es una estimación sesgada de 2. El error estándar mostrado en el programa 4-7D no es la raíz cuadrada del EMC en los resultados, más bien se encuentra usan- do el denominador n – 2. Si el error estándar se eleva al cuadrado, se obtiene el EMC que se vio antes en la salida de Excel. PROGRAMA 4.7A Ventana inicial de entrada para QM en File – New – Least Squares – Simple and Multiple Regression PROGRAMA 4.7B Segunda ventana de entrada en QM para Hay seis pares de observaciones en esta muestra. Windows Se tiene tan solo una variable independiente. APÉNDICE 4.2 MODELOS DE REGRESIÓN USANDO QM PARA WINDOWS 149 La prueba F se usó para probar la hipótesis acerca de la efectividad general del modelo. Para ver la tabla de análisis de varianza, después de resolver el problema, seleccione Window – ANOVA Sum- mary y se desplegará la ventana mostrada en el programa 4.7E. PROGRAMA 4.7C Datos de entrada para el ejemplo de Triple A Construction PROGRAMA 4.7D Salida de QM para Windows con los datos de Triple A Construction El EMC es la SCE dividido entre n. El error estándar es la raíz cuadrada de la SCE dividida entre n – 2. La ecuación de regresión se muestra en estas dos filas. PROGRAMA 4.7E Salida del resumen de análisis de varianza (ANOVA) en QM para Windows 150 CAPÍTULO 4 • MODELOS DE REGRESIÓN Apéndice 4.3 Análisis de regresión en Excel QM o Excel 2007 Excel QM Quizá la manera más sencilla de realizar un análisis de regresión con Excel (2007 o 2010) es usar Ex- cel QM que está disponible en el sitio Web para este libro. Una vez instalado Excel QM como com- plemento de Excel (véase las instrucciones en el apéndice F al final del libro), vaya a la pestaña Add-Ins y haga clic en Excel QM, como se indica en el programa 4.8A. Cuando aparece el menú, señale Forecasting y aparecerán las opciones. Haga clic en Multiple Regression como se indica en el programa 4.8A, para llegar a los modelos de regresión simple o múltiple. Se abre una ventana, como se observa en el programa 4.8B. Ingrese el número de observaciones anteriores y el número de variables independientes (X). También puede ingresar el nombre o título del problema. Para ingresar los datos del ejemplo de Triple A Construction de este capítulo, ingrese 6 para los periodos (observaciones) anteriores y 1 para el número de variables independientes. Esto ini- ciará el tamaño de la hoja de cálculo que aparecerá como se indica en el programa 4.8C. El área sombreada bajo Y y x 1 estará vacía, pero se ingresan los datos en esta área y los cálcu- los se realizan de manera automática. En el programa 4.8C, la intersección es 2 (el coeficiente en la columna Y) y la pendiente es 1.25 (el coeficiente en la columna x 1), lo cual resulta en la ecuación de regresión Y = 2 + 1.25X que es la ecuación encontrada en este capítulo. Excel 2007 Cuando se realiza una regresión en Excel (sin el complemento Excel QM), se usa el complemento Data Analysis tanto en Excel 2010 como en Excel 2007. Los pasos e ilustraciones para Excel 2010 que se estudiaron en el capítulo también funcionan en Excel 2007. Sin embargo, la activación de este o de cualquier otro complemento de Excel varía dependiendo de la versión. Véase las instrucciones para las dos versiones en el apéndice F. PROGRAMA 4.8A Uso de Excel QM para regresión Vaya a la pestaña Add-In en Excel 2007 o 2010. Haga clic en Excel QM. Cuando aparecen las opciones Mueva el cursor a Forecasting. haga clic en Multiple Regression. APÉNDICE 4.3 ANÁLISIS DE REGRESIÓN EN EXCEL QM O EXCEL 2007 151 PROGRAMA 4.8B Inicio de la hoja en Excel QM Ingrese un título. Ingrese el número de observaciones. Haga clic en OK. Ingrese el número de variables independientes (X). PROGRAMA 4.8C Entrada y resultados de Ingrese las observaciones de Y y X. Los regresión en Excel QM resultados aparecen en forma automática. Para pronosticar Y con base en cualquier valor Las intersecciones y la de X, tan solo ingrese aquí el valor de X. pendiente se muestran aquí. El coeficiente de correlación se da aquí. CAPÍTULO 5 Pronósticos OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Al terminar de estudiar este capítulo, el alumno será capaz de: 1. Entender y saber cuándo usar las diferentes familias 4. Comprender el enfoque Delphi y otros enfoques de modelos de pronósticos. cualitativos para la toma de decisiones. 2. Comparar promedios móviles, suavizamiento 5. Calcular varias medidas de error. exponencial y otro modelo de series de tiempo. 3. Ajustar los datos estacionalmente. CONTENIDO DEL CAPÍTULO 5.1 Introducción 5.4 Medidas de exactitud del pronóstico 5.2 Tipos de pronósticos 5.5 Modelos de pronósticos de series de tiempo 5.3 Diagramas de dispersión y series de tiempo 5.6 Monitoreo y control de pronósticos Resumen • Glosario • Ecuaciones clave • Problemas resueltos • Autoevaluación • Preguntas y problemas para análisis • Problemas de tarea en Internet • Estudio de caso: pronóstico de la asistencia a los juegos de futbol de la SWU • Estudio de caso: pronósticos de ventas mensuales • Estudio de caso en Internet • Bibliografía Apéndice 5.1: Pronósticos con QM para Windows 153 154 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS 5.1 Introducción Todos los días, los gerentes toman decisiones sin saber lo que ocurrirá en el futuro. Se ordena el in- ventario aunque no se sepa cuánto se venderá, se compra equipo nuevo aunque nadie conozca la de- manda de productos y se realizan inversiones sin saber cuáles serán las ganancias. Los gerentes tratan siempre de reducir la incertidumbre e intentan hacer mejores estimaciones de lo que sucederá en el futuro. Lograr esto es el objetivo principal de la elaboración de los pronósticos. Existen muchas formas de pronosticar el futuro. En muchas empresas (sobre todo las pequeñas), el proceso completo es subjetivo e incluye los métodos improvisados, la intuición y los años de experien- cia. También existen muchos modelos de pronósticos cuantitativos, como promedios móviles, suaviza- miento exponencial, proyecciones de tendencias y análisis de regresión por mínimos cuadrados. Los siguientes pasos ayudan en el desarrollo de un sistema de pronósticos. Mientras que los pa- sos 5 y 6 quizá no sean relevantes si se selecciona el modelo cuantitativo en el paso 4, los datos sin duda son necesarios para los modelos de pronósticos cuantitativos presentados en este capítulo. Ocho pasos para elaborar pronósticos 1. Determinar el uso del pronóstico: ¿qué meta tratamos de alcanzar? 2. Seleccionar los artículos o las cantidades que se van a pronosticar. 3. Determinar el horizonte de tiempo del pronóstico: ¿30 días (corto plazo), de 1 mes a un año (mediano plazo) o más de un año (largo plazo)? 4. Seleccionar el modelo o los modelos de pronósticos. 5. Reunir los datos o la información necesaria para realizar el pronóstico. 6. Validar el modelo del pronóstico. 7. Efectuar el pronóstico. 8. Implementar los resultados. Estos pasos indican de una manera sistemática cómo iniciar, diseñar e implementar un sistema de pronósticos. Cuando el sistema de pronósticos se usa para generar pronósticos periódicamente, los datos deben recolectarse por rutina, y los cálculos o procedimientos reales utilizados para hacer el pronóstico pueden hacerse de forma automática. Pocas veces existe un único método de pronósticos que sea superior. Una organización podría Ningún método es superior. El encontrar que la regresión es efectiva, otra tal vez aplique varios enfoques, y una tercera quizá com- que funcione mejor es el que debe bine técnicas cuantitativas y subjetivas. Cualquiera que sea la herramienta que funcione para una em- usarse. presa, esa es la que debería usarse. 5.2 Tipos de pronósticos Las tres categorías de modelos En este capítulo consideramos modelos de pronósticos que se clasifican en una de tres categorías: son de series de tiempo, causal y modelos de series de tiempo, modelos causales y modelos cualitativos (véase la figura 5.1). cualitativo. Modelos de series de tiempo Los modelos de series de tiempo intentan predecir el futuro usando datos históricos. Estos modelos suponen que lo que ocurra en el futuro es una función de lo que haya sucedido en el pasado. En otras palabras, los modelos de series de tiempo ven qué ha pasado durante un periodo y usan una serie de datos históricos para realizar un pronóstico. Entonces, si queremos pronosticar las ventas semanales de las podadoras de césped, utilizamos las ventas semanales anteriores de las podadoras para realizar el pronóstico. Los modelos de series de tiempo que examinaremos en este capítulo son promedios móviles, suavizamiento exponencial, proyecciones de tendencia y descomposición. Es posible recurrir al análi- sis de regresión en las proyecciones de tendencia y en un tipo de modelo de descomposición. En este capítulo se da la mayor importancia a los pronósticos de series de tiempo. Modelos causales Los modelos causales incorporan las variables o factores que pueden influir en la cantidad que se pronostica con el modelo de elaboración de pronósticos. Por ejemplo, las ventas diarias de una gaseosa de cola quizá dependan de la estación, la temperatura promedio, la humedad promedio, si es fin de se- mana o día laborable, etcétera. Los modelos causales intentarán incluir factores como temperatura, humedad, estación, día de la semana, etcétera. Los modelos causales también pueden incluir datos históricos de ventas, como hacen los modelos de series de tiempo, pero incluyen otros factores. 5.2 TIPOS DE PRONÓSTICOS 155 FIGURA 5.1 Técnicas de Modelos de pronósticos pronósticos Modelos Métodos de Métodos cualitativos series de tiempo causales Método Promedios Análisis de Delphi móviles regresión Jurado de Suavizamiento Regresión opinión ejecutiva exponencial múltiple Compuesto de Proyecciones fuerza de ventas de tendencia Encuesta Descomposición al mercado de consumidores Nuestro trabajo como analistas cuantitativos es desarrollar la mejor relación estadística entre las ventas o la variable que pronosticamos, y el conjunto de variables independientes. El modelo causal cuantitativo más común es el análisis de regresión que se presentó en el capítulo 4. Los ejemplos en las secciones 4.8 y 4.9 ilustran la manera de aplicar un modelo de regresión en los pronósticos. En especial, demuestran cómo predecir el precio de venta de una casa con base en características como tamaño, antigüedad y condición. Existen otros modelos causales y muchos de ellos se basan en el análisis de regresión. Modelos cualitativos En tanto que las series de tiempo y los modelos causales se basan en datos cuantitativos, los modelos cualitativos intentan incorporar factores subjetivos o de opiniones en los modelos de pronósticos. Se suelen tomar en cuenta las opiniones de expertos, las experiencias y los juicios individuales, u otros factores subjetivos. Los modelos cualitativos son útiles sobre todo cuando se espera que los factores subjetivos sean muy importantes o cuando es difícil obtener datos cuantitativos precisos. Se presenta una descripción breve de cuatro diferentes técnicas cualitativas de pronósticos: 1. Método Delphi. Este proceso iterativo de grupo permite que expertos, quienes podrían encontrarse en diferentes lugares, hagan pronósticos. Hay tres tipos de participantes diferentes en el proceso Resumen de cuatro enfoques Delphi: quienes toman decisiones, el personal y encuestados. El grupo que toma las decisiones cualitativos o subjetivos: Delphi, suele consistir entre 5 a 10 expertos que harán en realidad el pronóstico. El personal ayuda a los jurado de opinión ejecutiva, que toman las decisiones para preparar, distribuir, recolectar, y resumir una serie de cuestionarios consulta a vendedores y encuesta y resultados de las encuestas. Los encuestados son un grupo de individuos cuyo juicio se valora y al mercado de consumidores. se busca obtener. Este grupo brinda información a quienes toman las decisiones antes de realizar el pronóstico. En el método Delphi, cuando se obtienen los resultados del primer cuestionario, estos se re- sumen y se modifica el cuestionario. Tanto el resumen de resultados como el nuevo cuestionario se envían al mismo grupo de encuestados para una nueva ronda de respuestas. Quienes respon- den, después de ver los resultados del primer cuestionario, quizá vean las cosas de manera dife- rente y modifiquen sus respuestas originales. Este proceso se repite con la esperanza de llegar a un consenso. 2. Jurado de opinión ejecutiva. Este método toma las opiniones de un pequeño grupo de gerentes de alto nivel, con frecuencia en combinación con modelos estadísticos y los resultados de la es- timación de la demanda. 3. Consulta a vendedores. En este enfoque, cada persona de ventas estima las ventas en su región; estos pronósticos se revisan para asegurar que sean realistas y después se combinan a niveles de región y nacional, para llegar a un pronóstico general. 4. Encuesta al mercado de consumidores. Este método solicita información a los consumidores o clientes potenciales respecto a sus planes de compra futuros. Puede ayudar no solo a elaborar un pronóstico, sino también a mejorar el diseño del producto y la planeación de nuevos productos. 156 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS Pronósticos de localización de la llegada de EN ACCIÓN huracanes y la desviación media absoluta se registran cuando el huracán está a 72, 48, 36, 24 y 12 horas L os científicos del Centro Nacional de Huracanes (CNH) de Esta- dos Unidos del Servicio Nacional de Meteorología han tenido un de tocar tierra. Una vez que el huracán llega a la costa, los pronósticos se comparan con la localización real de llegada y se trabajo difícil para predecir dónde tocará tierra el ojo del huracán. registra el error (en millas). Al final de la temporada de huracanes, Los pronósticos precisos son muy importantes para los negocios y los errores para todos los huracanes del año se usan para calcular residentes de la costa, quienes necesitarían prepararse para una la DMA de cada tipo de pronóstico (a 12 horas, a 24 horas, tormenta y quizá incluso para evacuación. También son impor- etcétera). La siguiente gráfica indica la mejora en los pronósticos tantes para los funcionarios del gobierno local, las dependencias de acerca de las llegadas desde 1989. A principios de la década de seguridad y otros servicios de emergencia que brindarán ayuda una 1990, el pronóstico del punto de llegada cuando el huracán es- vez que pase la tormenta. Con el transcurso de los años, el CNH ha taba a 48 horas, tenía una DMA cercana a las 200 millas; en mejorado enormemente la exactitud de sus pronósticos (medida 2009, este número está en aproximadamente 75 millas. Es evi- por la desviación media absoluta [DMA]) en cuanto a la predicción dente que se tiene una gran mejora en la exactitud del pronóstico del lugar de llegada para los huracanes que se originan en el y esta tendencia continúa. Océano Atlántico. El CNH ofrece pronósticos y actualizaciones periódicas acerca Fuente: Basada en datos del Centro Nacional de Huracanes, http://www. de dónde tocará tierra el huracán. Esas predicciones de la llegada nhc.noaa.gov DMA (en millas) para el pronóstico de la localización de la llegada del huracán, 1989-2009 a 12 horas Millas a 24 horas a 36 horas a 48 horas a 72 horas Año 5.3 Diagramas de dispersión y series de tiempo Un diagrama de dispersión ayuda a Al igual que con los modelos de regresión, los diagramas de dispersión son muy útiles cuando se obtener ideas acerca de la relación. pronostican series de tiempo. Un diagrama de dispersión para una serie de tiempo se grafica en dos dimensiones, con el tiempo en el eje horizontal. La variable que se pronostica (como las ventas) se coloca en el eje vertical. Consideremos el ejemplo de una empresa que necesita pronosticar las ven- tas para tres productos diferentes. Wacker Distributors observa las ventas anuales de tres de sus productos –televisores, radios y re- productores de CD– durante los últimos 10 años (tabla 5.1). Una manera sencilla de examinar estos datos históricos y quizás usarlos para establecer un pronóstico, es dibujar un diagrama de dispersión para cada producto (figura 5.2). La gráfica ilustra la relación entre las ventas de un producto y el tiempo, y es útil para descubrir las tendencias o los ciclos. Después se desarrolla un modelo matemático exacto que describa esta situación, si parece razonable hacerlo. 5.3 DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN Y SERIES DE TIEMPO 157 TABLA 5.1 AÑO TELEVISORES RADIOS REPRODUCTORES DE CD Ventas anuales de 1 250 300 110 tres productos 2 250 310 100 3 250 320 120 4 250 330 140 5 250 340 170 6 250 350 150 7 250 360 160 8 250 370 190 9 250 380 200 10 250 390 190 FIGURA 5.2 Diagrama de dispersión a) Ventas anuales de televisores Las ventas parecen constantes en el para ventas 300 tiempo. Esta recta horizontal se describe 250 con la ecuación 200 Ventas = 250 150 Es decir, no importa qué año (1, 2, 3, etcétera) insertemos en la ecuación, las 100 ventas no cambiarán. Una buena estimación de ventas futuras (en el año 50 11) es de ¡250 televisores! 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años) b) 420 Las ventas parecen aumentar a una tasa constante de 10 radios cada año. Si esta 400 Ventas anuales de radios línea se extiende a la izquierda hacia el 380 eje vertical, vemos que serían de 290 en el año 0. La ecuación 360 Ventas = 290 + 10(año) 340 describe mejor esta relación entre las 320 ventas y el tiempo. Una estimación razonable de ventas de radios en el año 300 11 es de 400; y en el año 12, de 410. 280 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años) Ventas anuales de reproductores de CD Esta recta de tendencia quizá no tenga c) una buena exactitud debido a la variación 200 de un año a otro; no obstante, las ventas de reproductores sí parecen haber 180 aumentado en los últimos 10 años. 160 Si tuviéramos que pronosticar las ventas futuras, tal vez elegiríamos una cifra más 140 grande cada año. 120 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tiempo (años) 158 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS 5.4 Medidas de exactitud del pronóstico Analizamos varios modelos de pronósticos diferentes en este capítulo. Para saber qué tan bien fun- ciona un modelo o para comparar un modelo con otros, los valores pronosticados se comparan con los valores reales u observados. El error del pronóstico (o desviación) se define como: Error de pronóstico  valor real  valor pronosticado Una medida de exactitud es la desviación media absoluta (DMA), que se calcula tomando la suma de los valores absolutos de los errores de pronósticos individuales y, luego, dividiendo entre el número de errores (n): g ƒ error del pronóstico ƒ DMA = (5-1) n Considere las ventas de Wacker Distributors de reproductores de CD que se presentan en la tabla 5.1. Suponga que en el pasado, Wacker había pronosticado las ventas de cada año como las ventas que se El pronóstico simple para el lograban en realidad en el año anterior. Algunas veces esto se conoce como modelo simple. La tabla siguiente periodo es el valor 5.2 da estos pronósticos, así como los valores absolutos de los errores. Al pronosticar el siguiente pe- real observado en el periodo riodo (año 11), el pronóstico sería de 190. Observe que no hay error calculado para el año 1 pues no actual. se pronosticó, ni tampoco hay error para el año 11, cuyo valor real todavía no se conoce. Así, el número de errores (n) es 9. De esto, obtenemos lo siguiente: a ƒ error del pronóstico ƒ 160 DMA = = = 17.8 n 9 Lo cual significa que, en promedio, cada pronóstico difiere del valor real en 17.8 unidades. Además de la DMA, en ocasiones se emplean otras medidas de la exactitud de los errores históricos al pronosticar. Una de las más comunes es el error cuadrado medio (ECM), que es el promedio de los cuadrados de los errores:* a 1error2 2 ECM = (5-2) n TABLA 5.2 VENTAS REALES DE VALOR ABSOLUTO DE LOS Cálculo de la REPRODUCTORES PRONÓSTICO ERRORES (DESVIACIÓN). desviación media AÑO DE CD DE VENTAS |REAL-PRONÓSTICO| absoluta (DMA) 1 110 — — 2 100 110 ƒ100  110ƒ  10 3 120 100 ƒ120  100ƒ  20 4 140 120 ƒ140  120ƒ  20 5 170 140 ƒ170  140ƒ  30 6 150 170 ƒ150  170ƒ  20 7 160 150 ƒ160  150ƒ  10 8 190 160 ƒ190  160ƒ  30 9 200 190 ƒ200  190ƒ  10 10 190 200 ƒ190  200ƒ  10 11 — 190 — Suma de ƒerroresƒ  160 DMA  160/9  17.8 *En el análisis de regresión, la fórmula del ECM suele ajustarse para brindar un estimado no sesgado de la varianza del error. En todo este capítulo, usaremos la fórmula dada aquí. 5.4 MEDIDAS DE EXACTITUD DEL PRONÓSTICO 159 Pronósticos en Tupperware MODELADO EN EL MUNDO REAL International Definición Definición del problema del problema Para manejar la producción en cada una de las 15 plantas de Tupperware en Estados Unidos, América Latina, África, Europa y Asia, la empresa necesita pronósticos precisos de la demanda de sus productos. Desarrollo del modelo Desarrollo del modelo Se emplea una variedad de modelos estadísticos, incluyendo promedios móviles, suavizamiento exponen- cial y análisis de regresión. El análisis cualitativo también se utiliza en el proceso. Recolección de datos Recolección En su oficina matriz en Orlando, Florida, se mantienen enormes bases de datos que registran las ventas de cada de datos producto, los resultados de mercados de prueba de cada nuevo producto (ya que 20% de las ventas viene de productos con menos de 2 años de antigüedad) y donde cada producto cae en su propio ciclo de vida. Desarrollo de Desarrollo de una solución una solución Cada uno de los centros de utilidades de Tupperware alrededor del mundo desarrolla proyecciones compu- tarizadas de ventas mensuales, trimestrales y anuales. Estas se agregan por región y luego globalmente. Pruebas de Pruebas de la solución la solución Las revisiones de los pronósticos se llevan a cabo en los departamentos de ventas, marketing, finanzas y producción. Análisis de Análisis de los resultados los resultados Los gerentes que participan analizan los pronósticos según la versión de Tupperware de un “jurado de opinión ejecutiva”. Implementación de resultados Implementación de resultados Los pronósticos sirven para programar materiales, equipo y personal en cada planta. Fuente: Entrevista de los autores a los ejecutivos de Tupperware. Además de la DMA y el ECM, algunas veces se utiliza el error medio absoluto porcentual (EMAP), que es el promedio de los valores absolutos de los errores expresados como porcentajes de los valores reales. Esto se calcula como: g` ` error real EMAP = 100% (5-3) n Tres medidas comunes del error son Existe otro término común asociado con el error del pronóstico. Sesgo es el error promedio e in- DMA, ECM y EMAP. El sesgo da dica si el pronóstico tiende a ser demasiado alto o demasiado bajo y por cuánto. Entonces, el sesgo el error promedio y puede ser puede ser negativo o positivo. Aunque no es una buena medida del tamaño real de los errores, ya que positivo o negativo. los errores negativos pueden cancelar los errores positivos. 160 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS 5.5 Modelos de pronósticos de series de tiempo Una serie de tiempo se basa en una secuencia de datos igualmente espaciados (semanales, mensuales, trimestrales, etcétera). Los ejemplos incluyen ventas semanales de computadoras personales HP, re- porte de ingresos trimestrales de Microsoft Corporation, envíos diarios de baterías Eveready e índices anuales de precios al consumidor en el país. Pronosticar con datos de series de tiempo implica que se predicen valores futuros tan solo a partir de datos históricos de esa variable (como vimos en la tabla 5.1) y que se ignoran otras variables, sin importar su valor potencial. Componentes de una serie de tiempo Analizar una serie de tiempo significa desglosar los datos históricos en sus componentes y, luego, Cuatro componentes de series proyectarlos hacia el futuro. En general, una serie de tiempo tiene cuatro componentes: de tiempo son tendencia, estacionalidad, ciclos y 1. Tendencia (T) es el movimiento gradual hacia arriba o hacia abajo de los datos en el tiempo. variaciones aleatorias. 2. Estacionalidad (S, por seasonality) es el patrón de la fluctuación de la demanda arriba o abajo de la recta de tendencia que se repite a intervalos regulares. 3. Ciclos (C) son patrones en los datos anuales que ocurren cada cierto número de años. Suelen es- tar vinculados al ciclo de negocios. 4. Variaciones aleatorias (R por Random variations) son “saltos” en los datos ocasionados por el azar y por situaciones inusuales; no siguen un patrón discernible. La figura 5.3 presenta una serie de tiempo y sus componentes. En estadística existen dos formas generales de los modelos de series de tiempo. La primera es un modelo multiplicativo que supone que la demanda es el producto de las cuatro componentes y se es- tablece como: Demanda  T  S  C  R Un modelo aditivo suma las componentes para dar una estimación. Con frecuencia se usa un modelo de regresión múltiple para desarrollar los modelos aditivos. Esta relación aditiva se establece como: Demanda  T  S  C  R Hay otros modelos que pueden ser una combinación de estos. Por ejemplo, una de las componentes (como la tendencia) puede ser aditiva, en tanto que otra (como la estacionalidad) puede ser multi- plicativa. Entender las componentes de una serie de tiempo ayudará a seleccionar una técnica de pronósti- cos adecuada. Si todas las variaciones en una serie de tiempo se deben a variaciones aleatorias, sin componentes de tendencia, estacional o cíclica, se recomienda algún tipo de modelo de promedios o de suavizamiento. Las técnicas de promedios en este capítulo son promedios móviles, promedio móvil ponderado y suavizamiento exponencial. Estos métodos suavizarán los pronósticos y no ten- FIGURA 5.3 Demanda de productos graficada para 4 años, Componente Demanda del producto o servicio con tendencia y de tendencia estacionalidad Picos estacionales Línea de demanda real Demanda promedio durante 4 años Año Año Año Año 1 2 3 4 Tiempo 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 161 drán demasiada influencia de las variaciones aleatorias. Sin embargo, si hay en los datos un patrón de tendencia o estacional, entonces, se debería usar una técnica que incorpore esa componente en particu- lar en el pronóstico. Dos de tales técnicas son el suavizamiento exponencial con tendencia y las proyecciones de tendencia. Si existe un patrón estacional presente en los datos, podría desarrollarse un índice estacional y usarse con cualquier método de promedios. Si están presentes las componentes de tendencia y estacional, entonces, deberá emplearse un método como el de descomposición. Promedios móviles Los promedios móviles suavizan Los promedios móviles son útiles si podemos suponer que las demandas del mercado permanecerán las variaciones cuando las bastante estables en el tiempo. Un promedio móvil de cuatro meses, por ejemplo, se encuentra simple- demandas pronosticadas son mente sumando la demanda durante los últimos cuatro meses y dividiéndola entre 4. Con cada mes bastante estables. que pasa, los datos del mes más reciente se suman a los datos de los tres meses anteriores y se elimina el mes más lejano. Esto tiende a suavizar las irregularidades del corto plazo en la serie de datos. Un pronóstico de promedio móvil de n periodos, que sirve como estimación de la demanda del siguiente periodo, se expresa como: suma de demandas de n periodos anteriores Pronóstico de promedio móvil = (5-4) n Matemáticamente, esto se escribe como Yt + Yt - 1 + Á + Yt - n + 1 Ft + 1 = (5-5) n donde Ft1  pronóstico para el periodo t  1 Yt  valor real en el periodo t n  número de periodos para promediar Un promedio móvil de 4 meses tiene n  4; si el promedio móvil es de 5 meses, n  5. EJEMPLO DE SUMINISTROS DE WALLACE GARDEN Las ventas de naves de almacenamiento de Wa- llace Garden se presentan en la columna central de la tabla 5.3. El promedio móvil de 3 meses se in- dica a la derecha. Usando esta técnica, el pronóstico para el siguiente enero es de 16. Si únicamente nos pidieran hacer un pronóstico para enero, haríamos nada más este cálculo. Los otros pronósticos son necesarios tan solo si deseamos calcular la DMA u otra medida de exactitud. Se pueden usar pesos para dar más PROMEDIO MÓVIL PONDERADO Un promedio móvil simple da el mismo peso (1/n) a cada obser- importancia a los periodos vación pasada que se usa para desarrollar el pronóstico. Por otro lado, un promedio móvil ponde- recientes. rado permite asignar diferentes pesos a las observaciones previas. Como el método de promedio TABLA 5.3 VENTAS REALES DE NAVES PROMEDIO MÓVIL DE 3 MESES Ventas de naves de MES DE ALMACENAMIENTO almacenamiento Enero 10 de Wallace Garden Febrero 12 Marzo 13 Abril 16 (10 + 12 + 13)/3 = 11.67 Mayo 19 (12 + 13 + 16)/3 = 13.67 Junio 23 (13 + 16 + 19)/3 = 16.00 Julio 26 (16 + 19 + 23)/3 = 19.33 Agosto 30 (19 + 23 + 26)/3 = 22.67 Septiembre 28 (23 + 26 + 30)/3 = 26.33 Octubre 18 (26 + 30 + 28)/3 = 28.00 Noviembre 16 (30 + 28 + 18)/3 = 25.33 Diciembre 14 (28 + 18 + 16)/3 = 20.67 Enero — (18 + 16 + 14)/3 = 16.00 162 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS móvil ponderado suele asignar mayor peso a las observaciones más recientes, este pronóstico es más sensible ante los cambios que ocurran en el patrón de los datos. Sin embargo, esto también es una desventaja potencial del método, debido a que el mayor peso también responde rápido a las fluctua- ciones aleatorias. Un promedio móvil ponderado se expresa como a 1peso del periodo i21valor real de periodo i2 a 1pesos2 Ft + 1 = (5-6) Matemáticamente, esto es w1Yt + w2Yt - 1 + Á + wnYt - n + 1 Ft + 1 = (5-7) w1 + w2 + Á + wn donde wi  peso para la i-ésima observación Wallace Garden decide usar un pronóstico de promedio móvil ponderado de 3 meses con pesos de 3 para la observación más reciente, 2 para la siguiente y 1 para la más lejana, lo cual se implemen- taría como sigue: PESOS APLICADOS PERIODO 3 Último mes 2 Hace 2 meses 1 Hace 3 meses 3  ventas del mes pasado + 2  ventas de hace 2 meses  1  ventas de hace 3 meses 6 Suma de los pesos Los resultados del pronóstico del promedio ponderado para Wallace Garden se muestran en la tabla 5.4. En esta situación de pronósticos en particular, se observa que ponderar el último mes con más peso da una proyección más precisa, en tanto que calcular la DMA para cada uno lo verificaría. La elección de los pesos evidentemente tiene una influencia importante sobre los pronósticos. Una manera de elegir los pesos es intentar varias combinaciones, calcular la DMA para cada una y elegir el conjunto de pesos que dé como resultado el menor valor de la DMA. Algunos paquetes de software de pronósticos tienen una opción para buscar las mejores ponderaciones, y brinda los pronósticos con esos pesos. El mejor conjunto de ponderaciones también se encuentra usando pro- gramación no lineal, como se verá en un capítulo posterior. Algunos paquetes de software requieren que los pesos sumen 1, y esto simplificaría la ecuación 5-7 porque el denominador sería 1. Forzar a los pesos a que sumen 1 es sencillo si se divide cada uno entre la suma de los pesos. En el ejemplo de Wallace Garden en la tabla 5.4, los pesos son 3, 2 y 1, que suman 6. Estos pesos se pueden revisar a los nuevos pesos 3/6, 2/6 y 1/6, que suman 1. Al utilizar dichos pesos, se obtienen los mismos pronósticos de la tabla 5.4. Los dos promedios móviles simples y ponderados son efectivos en cuanto a suavizar fluctua- ciones repentinas en el patrón de demanda, con la finalidad de dar estimaciones estables. Sin em- Los promedios móviles tienen dos bargo, los promedios móviles tienen dos problemas. Primero, aumentar el tamaño de n (el número de desventajas: si el número de periodos promediados) suaviza mejor las fluctuaciones, aunque hace al método menos sensible a los periodos es grande quizá suavicen cambios reales en los datos si ocurren. Segundo, los promedios móviles no pueden captar muy bien los cambios reales y no captan la las tendencias. Como son promedios, siempre estarán dentro de los niveles del pasado y no pronosti- tendencia. carán un cambio a un nivel más alto o más bajo. USO DE EXCEL Y EXCEL QM PARA PRONÓSTICOS Excel y las hojas de cálculo en general se utilizan con frecuencia para pronosticar. Muchas técnicas de pronósticos tienen funciones integradas en Ex- cel. También se puede usar el módulo de pronósticos de Excel QM, que incluye varias componentes. Para acceder a Excel QM una vez instalado en Excel 2010 o Excel 2007 (consulte las instrucciones de 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 163 TABLA 5.4 VENTAS REALES DE NAVES Pronóstico MES DE ALMACENAMIENTO PROMEDIO MÓVIL DE 3 MESES con promedio Enero 10 móvil ponderado para Wallace Garden Febrero 12 Marzo 13 Abril 16 [(3  13)  (2  12)  (10)]>6  12.17 Mayo 19 [(3  16)  (2  13)  (12)]>6  14.33 Junio 23 [(3  19)  (2  16)  (13)]>6  17.00 Julio 26 [(3  23)  (2  19)  (16)]>6  20.5 Agosto 30 [(3  26)  (2  23)  (19)]>6  23.83 Septiembre 28 [(3  30)  (2  26)  (23)]>6  27.5 Octubre 18 [(3  28)  (2  30)  (26)]>6  28.33 Noviembre 16 [(3  18)  (2  28)  (30)]>6  23.33 Diciembre 14 [(3  16)  (2  18)  (28)]>6  18.67 Enero — [(3  14)  (2  16)  (18)]>6  15.33 instalación en el apéndice F), vaya a la pestaña Add-Ins y seleccione Excel QM; luego, elija Forecas- ting. Si da clic en una técnica como Moving Averages, Weighted Moving Average o Exponential Smoothing, se abre una ventana de entrada. Use Excel QM para el pronóstico con promedio móvil ponderado de Wallace Garden, seleccionando Forecasting-Weighted Moving Average, como se indica en el programa 5.1A. Ingrese el número de periodos anteriores de datos y el número de periodos a promediar, como en el programa 5.1B. Dé clic en OK cuando termine y se inicia la hoja. Simple- mente ingrese las observaciones pasadas y cualesquiera parámetros, como el número de periodos del promedio y la salida aparecerá en forma automática, ya que Excel QM genera las fórmulas. El pro- grama 5.1C presenta los resultados. Para desplegar las fórmulas en Excel, simplemente presione las teclas Ctrl  (acento grave). Presionando de nuevo, despliega los valores en vez de las fórmulas. PROGRAMA 5.1A Selección del módulo de pronósticos en Excel QM Desde la pestaña Add-Ins seleccione Excel QM. Coloque el cursor en Forecasting. Elija el método que aparece a la derecha. 164 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS PROGRAMA 5.1B Ingrese el título. Ventana de inicio para Ingrese el número de observaciones pasadas. el promedio móvil ponderado Puede elegir ver una gráfica de los datos. Ingrese el número de periodos para el promedio. Haga clic en OK. PROGRAMA 5.1C Promedio móvil Ingrese las observaciones pasadas. ponderado en Excel QM para Wallace Garden Los nombres de los periodos Se muestran pronósticos pasados, errores y medidas de exactitud. se pueden cambiar. Ingrese la ponderación. Note que el mayor peso es para la observación más reciente. Este es el pronóstico para el siguiente periodo. Suavizamiento exponencial El suavizamiento exponencial es un método de pronósticos de uso sencillo y se maneja con eficien- cia en la computadora. Aunque es un tipo de técnica de promedio móvil, necesita llevar un registro de los datos pasados. La fórmula básica para el suavizamiento exponencial es: Nuevo pronóstico  pronóstico del último periodo (5-8)  (demanda real del último periodo – pronóstico del último periodo) donde  es un peso (o constante de suavizamiento) que tiene un valor entre 0 y 1, inclusive. 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 165 La ecuación 5-8 también se escribe matemáticamente como Ft + 1 = Ft + 1Yt - Ft2 (5-9) donde Ft1  nuevo pronóstico (para el periodo t  1) Ft  pronóstico previo (para el periodo t)   constante de suavizamiento (0    1) Yt  demanda real para el periodo anterior El concepto no es complejo. La última estimación de la demanda es igual a la estimación previa ajus- tada por una fracción del error (la demanda real del último periodo menos la estimación anterior). La constante de suavizamiento, ␣, La constante de suavizamiento, , se puede modificar para dar más peso a los datos recientes permite a los gerentes asignar un con un valor alto o a los datos pasados cuando es bajo. Por ejemplo, si   0.5, se puede demostrar peso a los datos recientes. matemáticamente que el nuevo pronóstico se basa casi por completo en la demanda de los tres últi- mos periodos. Cuando   0.1, el pronóstico asigna poco peso a cualquier periodo, incluso en el más reciente, y toma en cuenta muchos periodos de valores históricos (cerca de 19).* Por ejemplo, en enero, un distribuidor predijo una demanda de 142 automóviles de cierto mo- delo para febrero. La demanda real en febrero fue de 153 autos. Utilizando una constante de suaviza- miento   0.20, podemos pronosticar la demanda de marzo usando el modelo de suavizamiento exponencial. Al sustituir en la fórmula, Pronóstico nuevo (para demanda de marzo)  142  0.2(153  142)  144.2 Entonces, el pronóstico de la demanda de autos en marzo es de 144. Suponga que la demanda real de autos en marzo fue de 136. Un pronóstico para la demanda en abril, usando el modelo de suavizamiento exponencial con una constante   0.20, es Pronóstico nuevo (para demanda de abril)  144.2  0.2(136  144.2)  142.6, o bien, 143 automóviles SELECCIÓN DE LA CONSTANTE DE SUAVIZAMIENTO El enfoque de suavizamiento exponencial es fácil de emplear y se ha utilizado con éxito en bancos, compañías de manufactura, distribuidoras mayoristas y otras organizaciones. Sin embargo, el valor adecuado de la constante de suavizamiento, , podría marcar la diferencia entre un pronóstico exacto y uno inexacto. Al elegir un valor para la constante de suavizamiento, el propósito es obtener el pronóstico más exacto. Se pueden tratar varios valores de la constante de suavizamiento y se seleccionaría aquel que dé la menor DMA. Esto es si- milar a la forma en que se eligen los pesos en un pronóstico de promedio móvil ponderado. Algunos paquetes de software de pronósticos hacen una selección automática de la mejor constante de suavizamiento. QM para Windows desplegará la DMA que se obtendría con valores de  entre 0 y 1 en incrementos de 0.01. EJEMPLO DEL PUERTO DE BALTIMORE Apliquemos a un ejemplo este concepto con una técnica de ensayo y error de dos valores de . El puerto de Baltimore ha descargado grandes cantidades de grano de los barcos durante los últimos ocho trimestres. El gerente de operaciones del puerto quiere probar el uso del suavizamiento exponencial para saber qué tan bien funciona la técnica para predecir las toneladas descargadas. Supone que el pronóstico de grano descargado en el primer trimestre fue de 175 toneladas. Se examinan dos valores de :   .10 y   .50. La tabla 5.5 presenta los cálculos detallados únicamente para   0.10. *Seusa el término suavizamiento exponencial porque el peso de la demanda de cualquier periodo en un pronóstico decrece exponencialmente en el tiempo. Consulte la prueba algebraica en un libro avanzado de elaboración de pronósticos. 166 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS TABLA 5.5 TONELADAS Pronósticos para el DESCARGADAS PRONÓSTICO PRONOSTICO puerto de Baltimore TRIMESTRE REALES CON ␣ = 0.10 CON ␣ = 0.50 con suavizamiento 1 180 175 175 exponencial para ␣ = 0.10 2 168 175.5  175.00  0.10(180  175) 177.5 y ␣ = 0.50 3 159 174.75  175.50  0.10(168  175.50) 172.75 4 175 173.18  174.75  0.10(159  174.75) 165.88 5 190 173.36  173.18  0.10(175  173.18) 170.44 6 205 175.02  173.36  0.10(190  173.36) 180.22 7 180 178.02  175.02  0.10(205  175.02) 192.61 8 182 178.22  178.02  0.10(180  178.02) 186.30 9 ? 178.60  178.22  0.10(182  178.22) 184.15 Para evaluar la exactitud de cada constante de suavizamiento, calculamos las desviaciones abso- lutas y la DMA (véase la tabla 5.6). Con base en este análisis, se prefiere una constante de suaviza- miento de   0.10 y no de   0.50 porque su DMA es menor. USO DE EXCEL QM PARA SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL El programa 5.2 ilustra la manera en que Excel QM maneja el suavizamiento exponencial con el ejemplo del puerto de Baltimore. SUAVIZAMIENTO EXPONENCIAL CON AJUSTE DE TENDENCIA Las técnicas para promediar o suavizar el pronóstico son útiles cuando una serie de tiempo tiene tan solo una componente aleatoria; sin embargo, tales técnicas no responden a las tendencias. Si hay una tendencia presente en los datos, debería usarse un modelo de pronóstico que la incorpore de manera explícita en el pronóstico. Una de esas técnicas es el modelo de suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia. La idea es de- sarrollar un pronóstico de suavizamiento exponencial y, luego, ajustarlo por la tendencia. Se emplean dos constantes de suavizamiento,  y , en este modelo y ambos valores deben estar entre 0 y 1. El nivel del pronóstico se ajusta multiplicando primero la constante de suavizamiento, , por el error del Se utilizan dos constantes de pronóstico más reciente y sumarlo al pronóstico anterior. La tendencia se ajusta multiplicando la se- suavizamiento. gunda constante de suavizamiento, , por el error más reciente o la cantidad en exceso de la tenden- cia. Un valor más alto da más peso a las observaciones recientes y, con ello, responde con mayor rapidez a los cambios en los patrones. Al igual que con el suavizamiento exponencial simple, la primera vez que se desarrolla un pronóstico, debe darse o estimarse un pronóstico anterior (Ft). Si no se dispone de uno, con frecuen- TABLA 5.6 TONELADAS DESVIACIONES DESVIACIONES Desviaciones TRI- DESCARGADAS PRONÓSTICO ABSOLUTAS PRONÓSTICO ABSOLUTAS absolutas y DMA MESTRE REALES CON ␣ = 0.10 PARA ␣ = 0.10 CON ␣ = 0.50 PARA ␣ = 0.50 para el ejemplo del 1 180 175 5 175 5 puerto de Baltimore 2 168 175.5 7.5 177.5 9.5 3 159 174.75 15.75 172.75 13.75 4 175 173.18 1.82 165.88 9.12 5 190 173.36 16.64 170.44 19.56 6 205 175.02 29.98 180.22 24.78 7 180 178.02 1.98 192.61 12.61 8 182 178.22 3.78 186.30 4.3 Suma de las desviaciones absolutas 82.45 98.63 gƒdesviaciónƒ DMA = = 10.31 DMA = 12.33 n 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 167 PROGRAMA 5.2 Ejemplo de Si el pronóstico inicial está dado, ingréselo aquí. Si no quiere suavizamiento incluir el error para este pronóstico inicial, celdas E10:H10. exponencial del puerto de Baltimore en Excel QM Ingrese los datos y alfa. Este es el pronóstico para el trimestre 9. cia se supone que el pronóstico inicial es perfecto. Asimismo, debe darse o estimarse una tendencia previa (Tt), que muchas veces es estima usando otros datos históricos, si están disponibles, o bien, Estime o suponga los valores utilizando medios subjetivos o calculando el incremento (o decremento) observado durante los iniciales para Ft y Tt. primeros periodos de los datos disponibles. Sin esa estimación disponible, en ocasiones se supone que la tendencia es 0 inicialmente, aunque podría llevar a pronósticos deficientes, si la tendencia es grande y  es pequeño. Una vez establecidas las condiciones iniciales, se desarrolla el pronóstico de suavizamiento exponencial incluyendo la tendencia (FITT) mediante los siguientes tres pasos: Paso 1. Calcular el pronóstico suavizamiento (Ft1) para el periodo t  1 usando la ecuación Pronóstico suavizamiento  pronóstico previo incluyendo tendencia  (último error) Ft + 1 = FITt + 1Yt - FITt2 (5-10) Paso 2. Actualizar la tendencia (Tt1) con la ecuación Tendencia suavizada  tendencia previa  (error o exceso de tendencia) Tt + 1 = Tt + 1Ft + 1 - FITt2 (5-11) Paso 3. Calcular el pronóstico de suavizamiento exponencial ajustado por la tendencia (FITt1) usando la ecuación Pronóstico con tendencia (FITt1)  pronóstico suavizamiento (Ft1)  tendencia suavizada (Tt1) FITt + 1 = Ft + 1 + Tt + 1 (5-12) donde Tt  tendencia suavizada para el periodo t Ft  pronóstico suavizamiento para el periodo t FITt  Pronóstico incluyendo tendencia para el periodo t   constante de suavizamiento para el pronóstico   constante de suavizamiento para la tendencia 168 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS TABLA 5.7 AÑO GENERADORES ELÉCTRICOS VENDIDOS Demanda de Midwestern 2004 74 Manufacturing 2005 79 2006 80 2007 90 2008 105 2009 142 2010 122 Considere el caso de la compañía Midwestern Manufacturing que, en el periodo de 2004 a 2010, ha tenido la demanda de generadores eléctricos que se presenta en la tabla 5.7. Para usar el método de suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia, primero se establecen las condiciones iniciales (valores previos para F y T), y se eligen  y . Suponiendo que F1 es perfecto y T1 es 0, y eligiendo 0.3 y 0.4 como las constantes de suavizamiento, F1 = 74 T1 = 0  = 0.3  = 0.4 lo cual da como resultado FIT1 = F1 + T1 = 74 + 0 = 74 Siguiendo los tres pasos para obtener el pronóstico para 2005 (periodo 2), tenemos Paso 1. Calcular Ft1 con la ecuación Ft + 1 = FITt + 1Yt - FITt2 F2 = FIT1 + 0.31Y1 - FIT12 = 74 + 0.3174 - 742 = 74 Paso 2. Actualizar la tendencia (Tt1) usando la ecuación Tt + 1 = Tt + 1Ft + 1 - FITt2 T2 = T1 + 0.41F2 - FIT12 = 0 + 0.4174 - 742 = 0 Paso 3. Calcular el pronóstico de suavizamiento exponencial de ajuste de tendencia (FITt1) usando la ecuación FIT2 = F2 + T2 = 74 + 0 = 74 Para 2006 (periodo 3), tenemos Paso 1. F3 = FIT2 + 0.31Y2 - FIT22 = 74 + 0.3179 - 742 = 75.5 Paso 2. T3 = T2 + 0.41F3 - FIT22 = 0 + 0.4175.5 - 742 = 0.6 Paso 3. FIT3 = F3 + T3 = 75.5 + 0.6 = 76.1 Los otros resultados se muestran en la tabla 5.8. El pronóstico para 2011 sería de aproximadamente 131.35. 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 169 Uso de Excel QM para suavizamiento exponencial con ajuste de tendencia El programa 5.3 indica cómo utilizar Excel QM para el pronóstico de suavizamiento exponencial con tendencia. TABLA 5.8 Pronósticos con suavizamiento exponencial con tendencia para Midwestern Manufacturing 1Yt2 Ftⴙ1 ⴝ FITt ⴙ 0.31Yt ⴚ FITt2 Ttⴙ1 ⴝ Tt ⴙ 0.41Ftⴙ1 ⴚ FITt2 TIEMPO DEMANDA (t) FITtⴙ1 ⴝ Ftⴙ1 ⴙ Ttⴙ1 1 74 74 0 74 2 79 74 = 74 + 0.3174 - 742 0 = 0 + 0.4174 - 742 74 = 74 + 0 3 80 75.5 = 74 + 0.3179 - 742 0.6 = 0 + 0.4175.5 - 742 76.1 = 75.5 + 0.6 4 90 77.270 1.068 78.338 = 77.270 + 1.068 = 76.1 + 0.3180 - 76.12 = 0.6 + 0.4177.27 - 76.12 5 105 81.837 2.468 84.305 = 81.837 + 2.468 = 78.338 + 0.3190 - 78.3382 = 1.068 + 0.4181.837 - 78.3382 6 142 90.514 4.952 95.466 = 90.514 + 4.952 = 84.305 + 0.31105 - 84.3052 = 2.468 + 0.4190.514 - 84.3052 7 122 109.426 10.536 119.962 = 109.426 + 10.536 = 95.466 + 0.31142 - 95.4662 = 4.952 + 0.41109.426 - 95.4662 8 120.573 10.780 131.353 = 120.573 + 10.780 = 119.962 + 0.31122 - 119.9622 = 10.536 + 0.41120.573 - 119.9622 PROGRAMA 5.3 Suavizamiento Ingrese los valores de las constantes de suavizamiento. exponencial con ajuste de tendencia para Midwestern Manufacturing con Excel QM Puede ingresar valores iniciales para F1 y T1. Ingrese las observaciones pasadas. Este es el pronóstico para el siguiente año. Proyecciones de tendencia Una recta de tendencia es una ecuación de regresión con el Otro método para pronósticos de series de tiempo con tendencia se llama proyecciones de tendencia, tiempo como variable que es una técnica que ajusta una recta de tendencia a una serie de datos históricos y, luego, proyecta independiente. la línea al futuro para obtener pronósticos a mediano y largo plazos. Existen varias ecuaciones de 170 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS tendencia que se pueden desarrollar (por ejemplo, exponencial y cuadrática); no obstante, en esta sec- ción tan solo veremos tendencias lineales (en línea recta). Una tendencia lineal es simplemente una ecuación de regresión lineal donde la variable independiente (X) es el tiempo. La forma de esto es YN = b0 + b1X donde YN = valor predicho b0 = intersección b1 = pendiente de la recta X = periodo (es decir, X = 1, 2, 3, Á , n) El método de regresión de mínimos cuadrados se aplica para encontrar los coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados de los errores y, de esta forma, minimizan el error cuadrático medio (ECM). El capítulo 4 ofrece una explicación detallada de la regresión por mínimos cuadrados, en tanto que las fórmulas para calcular los coeficientes a mano se encuentran en la sección 4.3. En esta sección, los cálculos se realizarán con Excel o con Excel QM. EJEMPLO DE LA COMPAÑÍA MIDWESTERN MANUFACTURING Consideremos el caso de Midwes- tern Manufacturing. En el periodo 2004-2010, la demanda de generadores eléctricos para esa empresa se mostró en la tabla 5.7. Se puede desarrollar una recta de tendencia para predecir la demanda (Y) basada en el tiempo, usando un modelo de regresión. Si 2004 es el periodo 1 (X  1), entonces, 2005 es el periodo 2 (X  2), y así sucesivamente. La recta de regresión se puede desarrollar en Excel 2010 (consulte los detalles en el capítulo 4) en la pestaña Data y seleccionando Data Analysis-Regression, e ingresando la información como en el programa 5.4A. Los resultados se ilustran en el programa 5.4B. De esto obtenemos YN = 56.71 + 10.54X Para proyectar la demanda en 2011, primero denotamos el año 2011 en nuestro nuevo sistema de codificación como X  8: 1ventas en 20112 = 56.71 + 10.54182 = 141.03, o 141 generadores Podemos estimar la demanda para 2012 insertando X  9 en la misma ecuación: 1ventas en 20122 = 56.71 + 10.54192 = 151.57, o 152 generadores PROGRAMA 5.4A Ventana de entrada de Excel para la recta de tendencia de Midwestern Manufacturing 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 171 PROGRAMA 5.4B Salida de Excel para la recta de tendencia de Midwestern Manufacturing El siguiente año será el periodo 8. La pendiente de la recta de tendencia es de 10.54. Una gráfica de la demanda histórica y de la recta de tendencia se ilustra en la figura 5.4, en cuyo caso será mejor ser precavidos y tratar de entender los cambios en la demanda durante 2009-2010. USO DE EXCEL QM EN ANÁLISIS DE TENDENCIA La regresión también se efectúa con Excel QM. Vaya a la pestaña Add-Ins en Excel 2010 y seleccione Excel QM-Forecasting-Regression/Trend Analy- sis. Ingrese el número de periodos de datos (7 en este ejemplo), e ingrese el título y el nombre de los periodos (por ejemplo, semana, mes, año) si lo desea, después, haga clic en OK. Cuando aparezca la hoja de inicio, ingrese los datos históricos y los periodos, como se indica en el programa 5.5. Variaciones estacionales El pronóstico de series de tiempo como en el ejemplo de Midwestern Manufacturing requiere obser- var la tendencia de los datos en una serie de momentos. Sin embargo, algunas veces las variaciones recurrentes en ciertas estaciones del año hacen necesario un ajuste estacional en el pronóstico de la FIGURA 5.4 Los generadores 160 eléctricos y la recta de 150 tendencia calculada 140 Recta de tendencia Demanda de generadores 130 Yˆ  56.71  10.54X 120 110 100 90 80 Línea de demanda real 70 60 50 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 Año 172 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS PROGRAMA 5.5 Modelo de proyección de Los pronósticos pasados y los errores se presentan aquí. tendencia en Excel QM Ingrese los datos pasados y sus periodos. Estas son la intersección (b0) y la pendiente (b1). Para obtener un pronóstico para un periodo futuro, ingrese el periodo aquí. recta de tendencia. La demanda de carbón y combustible, por ejemplo, suele tener su pico durante los meses de invierno; mientras que la demanda de palos de golf o lociones bronceadoras suele ser mayor en verano. Analizar los datos en términos de meses o trimestres facilita la detección de los patrones estacionales. Con frecuencia se emplea un índice estacional en los modelos de pronósticos con se- ries de tiempo multiplicativas, para realizar un ajuste en el pronóstico cuando existe una compo- nente estacional. Una alternativa es usar un modelo aditivo como el modelo de regresión que se introducirá en una sección posterior. Un índice estacional indica la comparación de una estación dada (como mes o trimestre) y una Una estación promedio tiene un estación promedio. Cuando no hay una tendencia, el índice se determina dividiendo el valor prome- índice de 1. dio para una estación específica entre el promedio de todos los datos. Así, un índice de 1 significa que la estación es promedio. Por ejemplo, si las ventas promedio en enero fueran de 120 y las ventas promedio en todos los meses fueran de 200, el índice estacional para enero sería de 120/200  0.60, de manera que enero está abajo del promedio. El siguiente ejemplo ilustra cómo calcular los índices estacionales de los datos históricos y usarlos para pronosticar valores futuros. Las ventas mensuales de una marca de contestador telefónico en Eichler Supplies se muestran en la tabla 5.9, para los dos últimos años. Se calcula la demanda promedio cada mes y los valores se dividen entre el promedio general (94) para encontrar el índice estacional de cada mes. Después, usa- mos los índices estacionales de la tabla 5.9 para ajustar los pronósticos futuros. Por ejemplo, suponga que esperamos que la demanda anual de contestadores en el tercer año sea de 1,200 unidades, que son 100 por mes. No pronosticamos que cada mes tiene una demanda de 100, sino que las ajustamos de acuerdo con los índices estacionales de la siguiente manera: 1,200 1,200 Ene. * 0.957 = 96 Jul. * 1.117 = 112 12 12 1,200 1,200 Feb. * 0.851 = 85 Ago. * 1.064 = 106 12 12 1,200 1,200 Mar. * 0.904 = 90 Sep. * 0.957 = 96 12 12 1,200 1,200 Abr. * 1.064 = 106 Oct. * 0.851 = 85 12 12 1,200 1,200 May * 1.309 = 131 Nov. * 0.851 = 85 12 12 1,200 1,200 Jun. * 1.223 = 122 Dic. * 0.851 = 85 12 12 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 173 TABLA 5.9 DEMANDA ÍNDICE Ventas de DEMANDA DE VENTAS PROMEDIO DEMANDA ESTACIONAL contestadores e MES AÑO 1 AÑO 2 DE 2 AÑOS MENSUALa PROMEDIOb índices estacionales Enero 80 100 90 94 0.957 Febrero 85 75 80 94 0.851 Marzo 80 90 85 94 0.904 Abril 110 90 100 94 1.064 Mayo 115 131 123 94 1.309 Junio 120 110 115 94 1.223 Julio 100 110 105 94 1.117 Agosto 110 90 100 94 1.064 Septiembre 85 95 90 94 0.957 Octubre 75 85 80 94 0.851 Noviembre 85 75 80 94 0.851 Diciembre 80 80 80 94 0.851 Demanda promedio total = 1,128 aDemanda 1,128 bÍndice demanda promedio de 2 años promedio mensual = = 94 estacional = 12 meses demanda promedio mensual Variaciones estacionales con tendencia Cuando ambas componentes, de tendencia y estacional, están presentes en una serie de tiempo, un cambio de un mes a otro se podría deber a tendencia, variación estacional o simplemente a fluc- tuaciones aleatorias. Para ayudar con este problema, deberían calcularse los índices estacionales con Los promedios móviles centrados un enfoque de promedio móvil centrado (PMC) siempre que esté presente una tendencia. Este en- sirven para calcular índices foque previene que una variación causada por la tendencia se interprete incorrectamente como una estacionales cuando existe una variación estacional. Considere el siguiente ejemplo. tendencia. Las cifras de ventas trimestrales para Turner Industries se muestran en la tabla 5.10. Advierta que existe una tendencia definida, ya que el total de ventas aumenta cada año y, también, hay un in- cremento para cada trimestre de un año al siguiente. La componente estacional es evidente, pues hay una baja definitiva del cuarto trimestre de un año al primero del siguiente. Un patrón similar se ob- serva al comparar los terceros trimestres con los cuartos trimestres. Si se calcula el índice estacional del trimestre 1 usando el promedio general, el índice sería de- masiado bajo y dará la idea equivocada, ya que este trimestre tiene menos tendencia que cualquier otro en la muestra. Si se omitiera el primer trimestre del año 1 y se sustituyera por el primer trimestre del año 4 (si estuviera disponible), el promedio para el trimestre 1 (y por lo tanto el índice estacional del trimestre 1) sería considerablemente más alto. Para derivar un índice estacional preciso, de- beríamos usar el PMC. Considere el trimestre 3 del año 1 en el ejemplo de Turner Industries. Las ventas reales en ese trimestre fueron de 150. Para determinar la magnitud de la variación estacional, deberíamos com- parar esta con un promedio del trimestre centrado en ese periodo. Así, tendríamos un total de cuatro trimestres (1 año de datos) con un número igual de trimestres antes y después del trimestre 3, de mane- ra que la tendencia se promedia. Entonces, necesitamos 1.5 trimestre antes del trimestre 3, y 1.5 TABLA 5.10 TRIMESTRE AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 PROMEDIO Ventas trimestrales (millones) para 1 108 116 123 115.67 Turner Industries 2 125 134 142 133.67 3 150 159 168 159.00 4 141 152 165 152.67 Promedio 131.00 140.25 149.50 140.25 174 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS TABLA 5.11 AÑO TRIMESTRE VENTAS (MILLONES) PMC RAZÓN ESTACIONAL Promedios móviles centrados y razones 1 1 108 estacionales para 2 125 Turner Industries 3 150 132.000 1.136 4 141 134.125 1.051 2 1 116 136.375 0.851 2 134 138.875 0.965 3 159 141.125 1.127 4 152 143.000 1.063 3 1 123 145.125 0.848 2 142 147.875 0.960 3 168 4 165 trimestres después. Para obtener el PMC, tomamos los trimestres 2, 3 y 4 del año 1, más la mitad del trimestre 1 del año 1 y la mitad del trimestre 1 del año 2. El promedio será PMC 1trimestre 3 del año 12 = 0.511082 + 125 + 150 + 141 + 0.511162 = 132.00 4 Comparamos las ventas reales en este trimestre con el PMC y tenemos la siguiente razón esta- cional: ventas del trimestre 3 150 Razón estacional = = = 1.136 PMC 132.00 Entonces, las ventas en el trimestre 3 del año 1 son aproximadamente de 13.6% mayores que un tri- mestre promedio en este tiempo. Todos los PMC y las razones estacionales se muestran en la tabla 5.11. Como hay dos razones estacionales para cada trimestre, las promediamos para obtener el índice estacional. Por lo tanto, Índice trimestral 1 = I1 = 10.851 + 0.8482>2 = 0.85 Índice trimestral 2 = I2 = 10.965 + 0.9602>2 = 0.96 Índice trimestral 3 = I3 = 11.136 + 1.1272>2 = 1.13 Índice trimestral 4 = I4 = 11.051 + 1.0632>2 = 1.06 La suma de estos índices tiene que ser el número de estaciones (4), ya que una estación promedio de- bería tener índice igual a 1. En este ejemplo, la suma es 4. Si la suma no fuera 4, se haría un ajuste, multiplicando cada índice por 4 y dividiéndolo entre la suma de los índices. Pasos para determinar los índices estacionales basados en los PMC 1. Calcular el PMC para cada observación (cuando sea posible). 2. Calcular la razón estacional  observación/PMC para esa observación. 3. Promediar las razones estacionales para obtener los índices estacionales. 4. Si los índices estacionales no suman el número de estaciones, multiplicar cada índice por (número de estaciones)/(suma de índices). La figura 5.5 ilustra un diagrama de dispersión de los datos de Turner Industries y los PMC. Note que el diagrama de los PMC es mucho más suave que el de los datos originales. Se observa una ten- dencia definida en los datos. 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 175 FIGURA 5.5 200 PMC Diagrama de dispersión de las ventas de Turner 150 Industries y el promedio Ventas móvil centrado 100 50 Cifras de ventas originales 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Periodo Método de descomposición del pronóstico con componentes de tendencia y estacional El proceso de aislar los factores de tendencia lineal y estacional para desarrollar pronósticos más exac- tos se llama descomposición. El primer paso es calcular los índices estacionales para cada estación, como lo hicimos con los datos de Turner Industries. Luego, se elimina la estacionalidad de los datos dividiendo cada número entre su índice estacional, como se indica en la tabla 5.12. Después se encuentra una recta de tendencia usando los datos sin estacionalidad. Mediante un software de cómputo aplicado a estos datos, obtenemos* b1 = 2.34 b0 = 124.78 La ecuación de tendencia es YN = 124.78 + 2.34X donde X  tiempo Esta ecuación sirve para desarrollar el pronóstico basado en la tendencia, y el resultado se multi- plica por el índice estacional correspondiente para efectuar el ajuste estacional. Para los datos de TABLA 5.12 VENTAS ÍNDICE VENTAS SIN ESTACIO- Datos sin (MILLONES) ESTACIONAL NALIDAD (MILLONES) estacionalidad para 108 0.85 127.059 Turner Industries 125 0.96 130.208 150 1.13 132.743 141 1.06 133.019 116 0.85 136.471 134 0.96 139.583 159 1.13 140.708 152 1.06 143.396 123 0.85 144.706 142 0.96 147.917 168 1.13 148.673 165 1.06 155.660 *Si realiza los cálculos a mano, quizá los números difieran un poco debido al redondeo. 176 CAPÍTULO 5 • PRONÓSTICOS Turner Industries, el pronóstico para el primer trimestre del año 4 (periodo X  13 e índice estacional I1  0.85) se encuentra como sigue: YN = 124.78 + 2.34X = 124.78 + 2.341132  155.2 (pronóstico antes del ajuste de estacionalidad) Multiplicamos esto por el índice estacional del trimestre 1 y obtenemos YN * I1 = 155.2 * 0.85 = 131.92 Usando el mismo procedimiento, encontramos los pronósticos para los trimestres 2, 3 y 4 del año próximo como 151.24, 180.66 y 171.95, respectivamente. Pasos para desarrollar un pronóstico usando el método de descomposición 1. Calcular los índices estacionales usando los PMC. 2. Eliminar la estacionalidad de los datos dividiendo cada número entre su índice estacional. 3. Encontrar la ecuación de la recta de tendencia empleando los datos sin estacionalidad. 4. Pronosticar para periodos futuros con la recta de tendencia. 5. Multiplicar el pronóstico de la recta de tendencia por el índice estacional adecuado. Muchos paquetes de software de pronósticos —por ejemplo, Excel QM y QM para Windows— in- cluyen el método de descomposición como una de las técnicas disponibles. Este calcula en forma au- tomática los PMC, elimina la estacionalidad de los datos, desarrolla la recta de tendencia, hace los pronósticos con la ecuación de tendencia y ajusta el pronóstico final por estacionalidad. Los siguientes ejemplos brindan otra aplicación de este proceso. Los índices estacionales y la recta de tendencia ya se calcularon siguiendo el proceso de descomposición. EJEMPLO DEL HOSPITAL SAN DIEGO Un hospital de San Diego usó 66 meses de días de hospita- lización de pacientes adultos para llegar a la siguiente ecuación: YN = 8,091 + 21.5X donde YN = pronóstico de días-paciente X = tiempo en meses Con base en este modelo, el hospital pronostica los días-paciente para el siguiente mes (periodo 67) como Días-paciente  8.091  (21.5)(67)  9,532 (solo tendencia) Este modelo reconoce la ligera tendencia ascendente en la demanda de servicios para pacientes inter- nados, pero ignora la estacionalidad que la administración sabe que está presente. La tabla 5.13 pre- senta los índices estacionales basados en los 66 meses. Dicho sea de paso, se encontró que esos datos TABLA 5.13 MES ÍNDICE DE ESTACIONALIDAD MES ÍNDICE DE ESTACIONALIDAD Índices estacionales Enero 1.0436 Julio 1.0302 para días de Febrero 0.9669 Agosto 1.0405 hospitalización de pacientes adultos en Marzo 1.0203 Septiembre 0.9653 el Hospital San Diego Abril 1.0087 Octubre 1.0048 Mayo 0.9935 Noviembre 0.9598 Junio 0.9906 Diciembre 0.9805 Fuente: W. E. Sterk y E. G. Shryock. “Modern Methods Improve Hospital Forecasting“, Healthcare Fi- nancial Management (marzo de 1987): 97. Reimpreso con autorización del autor. 5.5 MODELOS DE PRONÓSTICOS DE SERIES DE TIEMPO 177 estacionales son típicos de los hospitales en todo el país. Observe que enero, marzo, julio y agosto parecen mostrar promedios de días-paciente significativamente mayores, en tanto que febrero, sep- tiembre, noviembre y diciembre experimentan cifras más bajas. Para corregir la extrapolación de la serie de tiempo por estacionalidad, el hospital multiplica el pronóstico mensual por el índice de estacionalidad adecuado. Así, para el periodo 67, que era enero, Días-paciente  (9.532)(1.0436)  9,948 (tendencia y estacionalidad) Con este método se pronosticaron los días-paciente de enero a junio (periodos 67 a 72) como 9,948, 9,236, 9,768, 9,678, 9,554 y 9,547. Este estudio llevó a mejores pronósticos, al igual que a la pre- visión de un presupuesto más preciso. USO DE EXCEL QM PARA DESCOMPOSICIÓN En Excel QM, para llegar al procedimiento de descom- posici