(PDF) Calculo-una-variable-11vo-edicic3b3n-george-b-thomas | Jorge Esli Perez Reyes - Academia.edu

Calculo-una-variable-11vo-edicic3b3n-george-b-thomas

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THOMAS CÁLCULO U N A VA R I A B L E UNDÉCIMA EDICIÓN REGLAS DE DERIVACIÓN Fórmulas generales Funciones trigonométricas inversas Suponiendo que u y v son funciones diferenciables de x. d 1 d 1 ssen-1 xd = scos-1 xd = - d dx 21 - x2 dx 21 - x2 Constante: scd = 0 dx d 1 d 1 d du dy stan-1 xd = ssec-1 xd = Suma: su + yd = dx 1 + x2 dx ƒ x ƒ 2x 2 - 1 + dx dx dx d du dy d 1 d 1 Diferencia: su - yd = - scot-1 xd = - scsc-1 xd = - dx dx dx dx 1 + x2 dx ƒ x ƒ 2x 2 - 1 d du Múltiplo constante: scud = c dx dx Funciones hiperbólicas d dy du Producto: suyd = u + y dx dx dx d d ssenh xd = cosh x scosh xd = senh x dx dx du dy y - u d d a b = d u dx dx stanh xd = sech2 x ssech xd = - sech x tanh x Cociente: dx dx dx y y 2 d n d d Potencia: x = nx n-1 scoth xd = - csch2 x scsch xd = - csch x coth x dx dx dx d Regla de la cadena: sƒsgsxdd = ƒ¿sgsxdd # g¿sxd dx Funciones hiperbólicas inversas d 1 d 1 Funciones trigonométricas ssenh-1 xd = scosh-1 xd = dx 21 + x2 dx 2x - 1 2 d d d 1 d 1 ssen xd = cos x scos xd = - sen x stanh-1 xd = ssech-1 xd = - dx dx dx 1 - x2 dx x21 - x 2 d d stan xd = sec2 x ssec xd = sec x tan x d 1 d 1 dx dx scoth-1 xd = scsch-1 xd = - d d dx 1 - x2 dx ƒ x ƒ 21 + x 2 scot xd = - csc2 x scsc xd = - csc x cot x dx dx Ecuaciones paramétricas Funciones exponenciales y logarítmicas Si x = ƒstd y y = gstd son diferenciables, entonces d x d 1 e = ex ln x = x dy dy>dt d2y dy¿>dt dx dx y¿ = = y = dx dx>dt 2 dx>dt dx d x d 1 a = a x ln a sloga xd = dx dx x ln a CÁLCULO U N A VA R I A B L E U N D É C I M A E D I C I Ó N George B. Thomas, Jr. Massachusetts Institute of Technology Revisado por: Maurice D. Weir Joel Hass Frank R. Giordano Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School TRADUCCIÓN Elena de Oteyza de Oteyza Víctor Hugo Ibarra Mercado Instituto de Matemáticas, Escuela Superior de Física y Matemáticas Universidad Nacional Autónoma de México Instituto Politécnico Nacional REVISIÓN TÉCNICA Dr. Carlos Bosh Giral Francisco Javier González Piña Óscar Andrés Montaño Carreño Departamento de Matemáticas Departamento de Matemáticas, CUCEI Departamento de Ciencias Naturales Instituto Tecnológico Autónomo de México Universidad de Guadalajara y Matemáticas (ITAM) Pontificia Universidad Javeriana Carlos J. Zea Rivera Colombia César Luis García García Coordinación de Ciencias Físico-Matemáticas Departamento de Matemáticas Universidad Iberoamericana Leonardo Sánchez Instituto Tecnológico Autónomo de México campus Torreón Profesor del Departamento de Ingeniería (ITAM) Matemática Claudia Gómez Wulschner José Botto Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Rosario, Facultad Universidad de Chile Instituto Tecnológico Autónomo de México de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (ITAM) Argentina René Jorge Piedra de la Torre Director del Departamento de Matemática y Mauricio Pedraza Pérez Emilio Sastre Física Departamento de Matemáticas Universidad Nacional de Rosario, Facultad Pontificia Universidad Católica Madre y Escuela Superior de Ingeniería Mecánica de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura Maestra y Eléctrica Argentina República Dominicana Unidad Azcapotzalco Instituto Politécnico Nacional Antonio Merchan Abril María Rosa Brito Coordinador Cálculo Diferencial Profesora de Cálculo María Elisa Barrón García, M.E. Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Simón Bolívar,Venezuela Pontificia Universidad Javeriana Superiores de Monterrey Colombia Antonio José Syers Hernández campus Guadalajara Coordinador de Cálculo Roberto Núñez Malherbe Universidad Metropolitana,Venezuela Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO) Datos de catalogación bibliográfica Dedicado a THOMAS, JR., GEORGE B. Cálculo. Una variable. Undécima edición Ross Lee Finney III PEARSON EDUCACIÓN, México, 2006 (1933-2000) ISBN: 970-26-0643-8 Área: Universitarios profesor, mentor, autor, Formato: 21 × 27 cm Páginas: 824 gran persona, y amigo de todos Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved. ISBN 0-321-185587 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño Edición en inglés: Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Publisher: Greg Tobin Associate Media Producer: Sara Anderson Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Software Editors: David Malone, Bob Carroll Managing Editor: Karen Wernholm Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Production Supervisor: Julie LaChance James Illustrations: Techsetters, Inc. Marketing Manager: Phyllis Hubard Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Marketing Assistant: Heather Peck Cover Design: Barbara T. Atkinson Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz UNDÉCIMA EDICIÓN, 2006 D.R. © 2006 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México E-mail: editorial.universidades@pearsoned.com Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0643-8 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 09 08 07 06 CONTENIDO Prefacio ix Volumen I 1 Preliminares 1 1.1 Los números reales y la recta real 1 1.2 Rectas, círculos y parábolas 9 1.3 Funciones y sus gráficas 19 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 28 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 38 1.6 Funciones trigonométricas 48 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59 PREGUNTAS DE REPASO 68 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71 2 Límites y continuidad 73 2.1 Razón de cambio y límites 73 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 84 2.3 La definición formal de límite 91 2.4 Límites laterales y límites al infinito 102 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 115 2.6 Continuidad 124 2.7 Tangentes y derivadas 134 PREGUNTAS DE REPASO 141 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 142 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 144 3 Derivadas 147 3.1 La derivada como una función 147 3.2 Reglas de diferenciación 159 iii iv Contenido 3.3 La derivada como razón de cambio 171 3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 183 3.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 190 3.6 Diferenciación implícita 205 3.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 213 3.8 Linealización y diferenciales 221 PREGUNTAS DE REPASO 235 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 235 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 240 4 Aplicaciones de las derivadas 244 4.1 Valores extremos de una ecuación 244 4.2 El teorema del valor medio 255 4.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 262 4.4 Concavidad y trazado de curvas 267 4.5 Problemas de optimización aplicados 278 4.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 292 4.7 El método de Newton 299 4.8 Antiderivadas 307 PREGUNTAS DE REPASO 318 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 318 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 322 5 Integración 325 5.1 Estimación con sumas finitas 325 5.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 335 5.3 La integral definida 343 5.4 El teorema fundamental del cálculo 356 5.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 368 5.6 Sustitución y áreas entre curvas 376 PREGUNTAS DE REPASO 387 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 388 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 391 6 Aplicaciones de las integrales definidas 396 6.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación alrededor de un eje 396 6.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 409 6.3 Longitudes de curvas planas 416 6.4 Momentos y centro de masa 424 6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436 6.6 Trabajo 447 6.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456 Contenido v PREGUNTAS DE REPASO 461 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 461 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 464 7 Funciones trascendentes 466 7.1 Funciones inversas y sus derivadas 466 7.2 Logaritmos naturales 476 7.3 La función exponencial 486 7.4 a x y loga x 495 7.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 502 7.6 Razones de crecimiento relativas 511 7.7 Funciones trigonométricas inversas 517 7.8 Funciones hiperbólicas 535 PREGUNTAS DE REPASO 546 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 547 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 550 8 Técnicas de integración 553 8.1 Fórmulas básicas de integración 553 8.2 Integración por partes 561 8.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 570 8.4 Integrales trigonométricas 581 8.5 Sustituciones trigonométricas 586 8.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 593 8.7 Integración numérica 603 8.8 Integrales impropias 619 PREGUNTAS DE REPASO 633 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 634 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 638 9 Aplicaciones adicionales de integración 642 9.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 642 9.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 650 9.3 Método de Euler 659 9.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 665 9.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673 PREGUNTAS DE REPASO 682 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 682 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 683 vi Contenido Volumen II 10 Secciones cónicas y coordenadas polares 685 10.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 685 10.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 697 10.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 702 10.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 709 10.5 Coordenadas polares 714 10.6 Gráficas en coordenadas polares 719 10.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares 725 10.8 Secciones cónicas en coordenadas polares 732 PREGUNTAS DE REPASO 739 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 739 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 742 11 Sucesiones y series infinitas 746 11.1 Sucesiones 747 11.2 Series infinitas 761 11.3 Criterio de la integral 772 11.4 Pruebas de comparación 777 11.5 Pruebas de la raíz y de la razón 781 11.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 787 11.7 Series de potencias 794 11.8 Series de Taylor y de Maclaurin 805 11.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 811 11.10 Aplicaciones de las series de potencias 822 11.11 Series de Fourier 833 PREGUNTAS DE REPASO 839 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 840 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 843 12 Los vectores y la geometría del espacio 848 12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 848 12.2 Vectores 853 12.3 El producto punto 862 12.4 El producto cruz 873 12.5 Rectas y planos en el espacio 880 12.6 Cilindros y superficies cuádricas 889 PREGUNTAS DE REPASO 899 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 900 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 902 Contenido vii 13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 906 13.1 Funciones vectoriales 906 13.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 920 13.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 931 13.4 Curvatura y el vector unitario normal N 936 13.5 Torsión y el vector unitario binormal B 943 13.6 Movimiento de planetas y satélites 950 PREGUNTAS DE REPASO 959 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 960 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 962 14 Derivadas parciales 965 14.1 Funciones de varias variables 965 14.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores 976 14.3 Derivadas parciales 984 14.4 Regla de la cadena 996 14.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 1005 14.6 Planos tangentes y diferenciales 1015 14.7 Valores extremos y puntos de silla 1027 14.8 Multiplicadores de Lagrange 1038 14.9 Derivadas parciales con variables restringidas 1049 14.10 Fórmula de Taylor para dos variables 1054 PREGUNTAS DE REPASO 1059 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1060 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1063 15 Integrales Múltiples 1067 15.1 Integrales dobles 1067 15.2 Área, momentos y centros de masa 1081 15.3 Integrales dobles en forma polar 1092 15.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 1098 15.5 Masas y momentos en tres dimensiones 1109 15.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 1114 15.7 Sustitución en integrales múltiples 1128 PREGUNTAS DE REPASO 1137 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1138 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1140 viii Contenido 16 Integración en Campos Vectoriales 1143 16.1 Integrales de línea 1143 16.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 1149 16.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales y campos conservativos 1160 16.4 Teorema de Green en el plano 1169 16.5 Área de superficies e integrales de superficie 1182 16.6 Superficies parametrizadas 1192 16.7 Teorema de Stokes 1201 16.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211 PREGUNTAS DE REPASO 1222 EJERCICIOS DE PRÁCTICA 1223 EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 1226 Apéndices AP-1 A.1 Inducción matemática AP-1 A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4 A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7 A.4 Teoría de los números reales AP-9 A.5 Números complejos AP-12 A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22 A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23 A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28 A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29 Respuestas R-1 Índice I-1 Breve tabla de integrales T-1 Créditos C-1 PREFACIO INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos querido mantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas. Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las ediciones clásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues- tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruido los ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor, George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como ha sido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos y congruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re- trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudado a crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros y científicos. En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y las aplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate- mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revela la teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicación de ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave de las matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica en torno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu- diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar sus conocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de lo analizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creación valga la pena. Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos en el lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosas situaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos de ecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado. Cambios en la undécima edición EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje del cálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versiones anteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer- cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero los problemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones. Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé- todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en el marco de una estructura matemática coherente. ix x Prefacio RIGOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del tex- to es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendo una clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostracio- nes accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el material pueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, a pesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobar varios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado de manera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como en las ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella. CONTENIDO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las su- gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculo de Thomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos. TOMO I • Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar por obviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientos para que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudian- tes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente en las calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función. • Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostra- ciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y sus relaciones con las asíntotas de una gráfica). • Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicaciones más importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta- blecen las bases para la integración. • Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5 introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva. Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando de- rivadas y antiderivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con la regla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicional de aplicaciones de las integrales definidas. • Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas de integración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción a las funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y la función exponencial como su inversa. • Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuaciones diferenciales básicas ahora está organizado solamente en el capítulo 9. Esta disposi- ción permite que los profesores encuentren la flexibilidad idónea para cubrir los te- mas correspondientes. TOMO II • Cónicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el capítulo 10 ha sido total- mente reescrito. Por otro lado, este capítulo completa el material de ecuaciones paramé- tricas, dando las parametrizaciones para las parábolas, las hipérbolas y las cicloides. • Series En comparación con ediciones anteriores, en el capítulo 11 hemos desarro- llado de manera más completa los criterios de convergencia para series. También in- cluimos, al final del capítulo, una breve sección para presentar las series de Fourier (cuyo estudio puede omitirse, según convenga). Prefacio xi • Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun- damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensiones en un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones de valores vectoriales en el plano y en el espacio. • Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevemente la teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo. ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de gran importancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras de este libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacen referencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las que podemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes). FIGURA 6.11, página 402 y Determinación del volumen del sólido generado al hacer girar la región (a) alrededor del eje y. 4 x ⫽ 2y y 1 R( y) ⫽ 2y x 0 2 (a) y 4 x ⫽ 2y ⎛ 2 , y⎛ ⎝y ⎝ y 1 0 R( y) ⫽ 2y 2 x (b) FIGURA 6.13, página 403 y y Las secciones transversales y ( x, R(x)) del sólido de rotación (x, r(x)) generado aquí son arandelas, no discos. 0 0 0 y ⫽ R(x) x x a y ⫽ r(x) x x x b x Arandela xii Prefacio Otras características PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare- cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejercicios prácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayor envergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectos para que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos más largos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis- ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas. EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecen a lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedad de conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis- ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos de estos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico. RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando es adecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente. EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidado en afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cada definición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari- dad y exactitud matemática. LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus- ca ser fácil de leer, interactivo y matemáticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordado con claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones a problemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte- rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am- pliado a lo largo de las últimas ediciones. TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicas del cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu- los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según los propósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso de la tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras: • Con una T si se requiere una calculadora o computadora para su resolución. • Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software matemático (como Maple o Mathematica) para contestarlos. Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés) MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOS Maple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State University Mathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State University Stanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth College TI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University. Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83 Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofrece guía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadora a lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos. Prefacio xiii COURSECOMPASS CourseCompass es una plataforma para cursos en línea que Pearson Educación ofrece de manera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar- gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL, el sistema de tutoriales, tareas y evaluación en línea de Addison Wesley. MyMathLab pro- porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, así como ejercicios generados algorítmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos pueden utilizar también herramientas en línea, como clases en vídeo, animaciones, una versión electrónica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensión y desempeño. Además, los estudiantes pueden responder exámenes por capítulo y obtener un plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesores pueden emplear los administradores de tareas y exámenes que proporciona CourseCom- pass para seleccionar y asignar ejercicios en línea relacionados directamente con el libro, así como importar exámenes de TestGen para obtener más flexibilidad. El libro de notas de MyMathLab —diseñado específicamente para matemáticas y estadística— lleva un registro automático de las tareas y los resultados de los exámenes de los alumnos, y da control al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass está disponible para quienes adopten el libro. Para obtener más información, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com, o pida una demostración del producto al representante de ven- tas de Pearson Educación que lo atiende. TESTGEN CON QUIZMASTER TestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exámenes mediante un banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex- to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear múltiples versiones de la misma pregunta o del mismo examen con sólo hacer clic en un botón. Los maestros pueden también modificar las preguntas del banco de exámenes o agregar nuevos reactivos utilizando además el editor integrado para crear o importar gráficas, insertar notación matemática, números variables o texto. Los exámenes pueden imprimirse o dis- tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass o Blackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebas en una red de área local. El software está disponible en un CD-ROM para las plataformas Windows y Macintosh. SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web del libro Cálculo de Thomas proporciona al alumno biografías más amplias de los personajes históricos referidos en el libro, así como artículos relacionados. Asimis- mo, pone a su disposición un conjunto de módulos de Maple y Mathematica que puede utilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio también ofrece al profesor un vínculo hacia el sitio de descarga de materiales (en inglés) de este libro. Agradecimientos Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu- ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edición. Editores de desarrollo Correctores Elka Block William Ardis David Chelton Karl Kattchee Frank Purcell Douglas B. Meade Robert Pierce Frank Purcell Marie Vanisko Thomas Wegleitner xiv Prefacio Jefatura de revisión Troy Riggs, Union University Harry Allen, Ohio State University Ferinand Rivera, San Jose State University Rebecca Goldin, George Mason University Mohammed Saleem, San Jose State University Christopher Heil, Georgia Institute of Technology Tatiana Shubin, San Jose State University Dominic Naughton, Purdue University Alex Smith, University of Wisconsin-Eau Claire Maria Terrell, Cornell University Donald Solomon, University of Wisconsin-Milwaukee Clifford Weil, Michigan State University Chia Chi Tung, Minnesota State University William L. VanAlstine, Aiken Technology College Revisión técnica Bobby Winters, Pittsburg State University Robert Anderson, University of Wisconsin–Milwaukee Dennis Wortman, University of Massachusetts at Boston Charles Ashley, Villanova University David Bachman, California Polytechnic State University Participantes en encuestas Elizabeth Bator, University of North Texas Omar Adawi, Parkland College William Bogley, Oregon State University Siham Alfred, Raritan Valley Community College Kaddour Boukaabar, California University of Donna J. Bailey, Truman State University Pennsylvania Rajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State University Deborah Brandon, Carnegie Mellon University Robert C. Brigham, University of Central Florida (retired) Mark Bridger, Northeastern University Thomas A. Carnevale, Valdosta State University Sean Cleary, The City College of New York Lenny Chastkofsky, The University of Georgia Edward Crotty, University of Pennsylvania Richard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech- Mark Davidson, Louisiana State University nical College Richard Davitt, University of Louisville Lloyd Davis, College of San Mateo Elias Deeba, University of Houston, Downtown Campus Will-Matthis Dunn III, Montgomery College Anne Dougherty, University of Colorado George F. Feissner, SUNY College at Cortland Rafael Espericueta, Bakersfield College Bruno Harris, Brown University Klaus Fischer, George Mason University Celeste Hernandez, Richland College William Fitzgibbon, University of Houston Wei-Min Huang, Lehigh University Carol Flakus, Lower Columbia College Herbert E. Kasube, Bradley University Tim Flood, Pittsburg State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert Gardner, East Tennessee State University Michael Kent, Borough of Manhattan Community Colle- John Gilbert, The University of Texas at Austin ge Mark Hanish, Calvin College Robert Levine, Community College of Allegheny County, Zahid Hasan, California State University, San Bernardino Boyce Campus Jo W. Heath, Auburn University John Martin, Santa Rosa Junior College Ken Holladay, University of New Orleans Michael Scott McClendon, University of Central Okla- Hugh Howards, Wake Forest University homa Dwanye Jennings, Union University Ching-Tsuan Pan, Northern Illinois University Matthias Kawaski, Arizona State University Emma Previato, Boston University Bill Kincaid, Wilmington College S.S. Ravindran, University of Alabama Mark M. Maxwell, Robert Morris University Dan Rothe, Alpena Community College Jack Mealy, Austin College John T. Saccoman, Seton Hall University Richard Mercer, Wright State University Mansour Samimi, Winston-Salem State University Victor Nestor, Pennsylvania State University Ned W. Schillow, Lehigh Carbon Community College Michael O’Leary, Towson University W.R. Schrank, Angelina College Bogdan Oporowski, Louisiana State University Mark R. Woodard, Furman University Agradecimientos a los profesores Agradecemos a todos los profesores que han Rafael Guzmán Universidad Católica de Colombia sido leales usuarios y han impartido la materia Ricardo Mancipe Ana Mercedes Márquez de Cálculo en los países de habla hispana con Ricardo Quintana Carlos Daza el apoyo del reconocido libro de Thomas. Sus Sandra Isabel Gutiérrez Carlos Hernando Pinzón valiosos comentarios han servido para enri- Víctor Ardila Felipe Lara quecer el desarrollo de la actual edición. Espe- William Estrada Gerardo Ardila ramos que con el uso de este texto cumplan sa- Germán Beltrán tisfactoriamente los objetivos del programa del Fundación del Área Andina Javier Manotas curso y preparen a sus alumnos para enfrentar Mario Duarte Libardo Ortegón los retos actuales dentro del ámbito de las Ma- Rosario Granados Lorenzo Zubieta temáticas. En especial deseamos agradecer el Miguel Ángel Martínez apoyo y retroalimentación que nos han dado INPAHU Régulo Miguel Hernández los siguientes profesores: Edgar Borras Rubén Darío Castañeda COLOMBIA Pontificia Universidad Javeriana Universidad de América Abrahan Jiménez Edgar Rodríguez Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Antonio Merchan Héctor Lozano Garavito Ana Alicia Guzmán Diego Guerrero Jaime Bolaños Benjamín Rafael Sarmiento Eddy Herrera Margarita Ruiz Bernarda Aldana Eduardo Estrada Boris Mauricio Pulido Fabio Molina Universidad de la Sabana Campo Elías Velosa Fernando Suárez Héctor López Carlos Abel Álvarez Francisco Soler María Lilia Perilla Carlos Enrique Frasser Gerardo Tole Carmenza Moreno Guillermo Arias Universidad de San Buenaventura Clara Teresa Triviño Gustavo Nieto Elmer Villegas Claudia Castro Harold Noriega Hernán Pineda Diego Parada Héctor Orlando Linares Patricia Mateus Edgar Obonaga Irina Reyes Wilson Soto Edith Zoraida Pinzón Ismael García Eduardo Brieva Iván Castro Universidad de San Martín Ernesto Acosta Jesús Fernando Novoa Jaime Preciado Gloria Inés Bernal José Humberto Serrano Guiomar Lleras José Severino Niño Universidad del Bosque Guiomar Mora Juan Carlos Quintero Libardo Munevar Gustavo Erazo Julio César Melo Herbert Alonso Dueñas Lennin Reyes Universidad Distrital Francisco José de Isabel Carlota López Liliana Ángel Caldas Jaime Alonso Castillo Liliana Barreto Abrahan Jiménez Jaime Arango Luis Alejandro Bello Adrián Ricardo Gómez Jairo Scarpeta Luis Alfonso Mejía Carmen Leonor Pulido Jorge Augusto Pérez Luz Marina Moya Claudia Vela Jorge Bateman Luz Mary Ariza Clemencia Garavito José Francisco Amador María C. Rodríguez Gloria Neira Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Martha Alvarado Ignacio Rodríguez Juan Manuel Ospina Martha Moreno Janeth Galeano Juan Manuel Sarmiento Matilde Páez José María Pino Luis Alejandro Fonseca Nelson Urrego José Villada Luis Miguel Acosta Nicolás Civetta Luis Martín Manuel Casabianca Rafael Castro María Astrid Cuida Manuel Díaz Vladimir Moreno María del Pilar Bohórquez Margarita Mónica Rey Nayive Nieves María Consuelo Cortés Universidad Antonio Nariño Pablo Acosta María Viviana Bernal Orlando Vanegas Rodrigo Javier Herrera Néstor Raúl Pachón Zulima Ortiz Olga Maritza Camacho Universidad Autónoma Óscar Antonio Pulido Gladys Villamarín Universidad INCCA de Colombia Óscar Darío Zárate Marco Tulio Millán Jorge Eliécer Rodríguez xvi Agradecimientos a los profesores Universidad Militar Nueva Granada Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Autónoma de San Luis Potosí Arturo Ramírez Superiores de Monterrey, campus Toluca José César Hernández García Felipe A. Riaño José Arturo Tar Ortiz Peralta María Guadalupe Silva Esparza José Farid Patiño Luis Antonio Meza Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Autónoma de Tamaulipas Superiores de Monterrey, campus Sinaloa Ramiro Garza Molina Universidad Nacional José Benigno Valdez Torres Héctor Useche Instituto Tecnológico de Veracruz Herbert Dueñas Instituto Tecnológico y de Estudios Mario Martínez Cano Superiores de Monterrey, campus Universidad Piloto Guadalajara Universidad Veracruzana Carlos Garzón Abel Vázquez Pérez Dolores Vera Dector William Arley Rincón Abelardo Ernesto Damy Solís Uriel García Ortiz Guillermo Rodríguez López Humberto Hipólito García Díaz PERÚ Universidad Santo Tomás Jesús Cuauhtémoc Ruvalcaba Álvarez Eunice Chara Luis Eduardo Falcón Morales Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Gloria Torres Luz María González Ureña Marlene Garzón Agustín Curo María Elisa Barrón García REPÚBLICA DOMINICANA GUATEMALA Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus León Instituto Tecnológico de Santo Domingo Universidad de San Carlos Enrique Garibay Ruiz Coride Pérez Arturo Samayoa Máximo A. Campuzano Instituto Tecnológico de Estudios Superiores MÉXICO de Occidente (ITESO), Guadalajara Pontificia Universidad Católica Madre y César Espinosa Abundis Maestra Instituto Tecnológico Autónomo de México Enrique Rodríguez Ruiz Masako Saito (ITAM) Héctor Vidaurri Aguirre Beatriz Rumbos Pellicer Roberto Núñez Malherbe Universidad Autónoma de Santo Domingo Claudia Gómez Wulschner Carlos Feliz Sánchez Lorena Zogaib Centro de Enseñanza Técnica Industrial, Carlos Mayobanet Cabral María del Carmen López Laiseca Guadalajara David Torrez Michael Vollger Zaepfel Unidad Profesional Interdisciplinaria de Universidad Apec Ingeniería y Tecnologías Avanzadas Universidad de Guadalajara Francisco Javier González Piña Justo Báez Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros Guadalupe Isabel Rodríguez Medina Jorge Mario Arellano Hernández Universidad Católica Tecnológica del Cibao José de Jesús Uribe Madrigal Cristian Mercedes Cruz Universidad Anáhuac del Sur Vicente Rivera Lucía González Rendón María de Lourdes Martínez Silva Universidad Iberoamericana María Esther Mejía Marín Máximo Santana Universidad Iberoamericana Tomás Ignacio Villaseñor Saavedra Humberto Mondragón Suárez VENEZUELA Universidad Autónoma de Nuevo León Universidad La Salle Alejandro García García Universidad Central de Venezuela Gustavo Velázquez Garduño Angélica Tovar Gómez María de Armas Bertha Arellano Silva Martha Zerpa Instituto Tecnológico de Estudios Superiores Gloria Pedroza Cantú de Ecatepec María Magdalena de la Rosa Reséndiz Universidad Metropolitana Francisco Javier Vargas Mancilla Santiago Neyra Rosales Antonio Syers Gabriel Ramírez Dámaso Sergio Elizondo Arroyave Lida Niño Yenny Valenzuela Murillo Instituto Tecnológico y de Estudios Universidad Simón Bolívar Superiores de Monterrey, campus Estado de Universidad Regiomontana María Rosa Brito México Luis Alberto Rodríguez Escamilla Faustino Yescas Martínez Ma. Teresa Narváez Flores Universidad del Zulia Rubén Darío Santiago Acosta Neyda Eliza López Leal Daniel Duque Capítulo 1 PRELIMINARES INTRODUCCIÓN En este capítulo se presenta un repaso de las ideas básicas necesarias pa- ra iniciar el estudio del cálculo. Entre los temas se incluyen el sistema de números reales, las coordenadas en el plano cartesiano, las líneas rectas, las parábolas, los círculos, las funciones y la trigonometría. También se analiza el uso de calculadoras graficadoras y de programas para graficación por computadora. Los números reales y la recta real 1.1 Esta sección trata de los números reales, las desigualdades, los intervalos y las propieda- des del valor absoluto. Números reales Gran parte del cálculo se basa en las propiedades del sistema de números reales. Los nú- meros reales son aquellos que pueden expresarse como decimales, por ejemplo 3 - = - 0.75000 Á 4 1 = 0.33333 Á 3 22 = 1.4142 Á En cada caso, los puntos suspensivos … indican que la sucesión de dígitos decimales con- tinúa indefinidamente. Cualquier expansión decimal posible representa un número real, aunque algunos números tienen dos representaciones. Por ejemplo, los decimales infinitos .999… y 1.000… representan el mismo número real, 1. Una afirmación similar es válida para cualquier número con una infinita fila de nueves. Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos sobre una recta numérica, llamada recta real. –2 –1 – 3 0 1 1 2 2 3␲ 4 4 3 El símbolo  denota tanto al sistema de números reales como a la recta real. Las propiedades del sistema de números reales se clasifican en tres categorías: pro- piedades algebraicas, propiedades de orden y propiedad de completez. Las propiedades algebraicas establecen que los números reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto entre 0) para obtener más números reales bajo las reglas usuales de la aritmética. No es posible dividir entre 0. 1 2 Capítulo 1: Preliminares En el apéndice 4 se dan las propiedades de orden de los números reales. A partir de ellas pueden obtenerse las siguientes reglas útiles, donde el símbolo Q significa “implica”. Reglas para desigualdades Si a, b y c son números reales, entonces: 1. a 6 b Q a + c 6 b + c 2. a 6 b Q a - c 6 b - c 3. a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc 4. a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac Caso especial: a 6 b Q -b 6 - a 1 5. a 7 0 Q a 7 0 6. Si tanto a como b son ambos positivos o ambos negativos, entonces 1 1 a 6 b Q 6 a b Tenga en cuenta las reglas para multiplicar una desigualdad por un número. Al multiplicar por un número positivo se conserva el sentido de desigualdad; cuando se multiplica por un número negativo el sentido de desigualdad cambia. Por otro lado, tomar recíprocos invier- te el sentido de desigualdad cuando los números son del mismo signo. Por ejemplo, 2 6 5 pero - 2 7 - 5 y 1>2 7 1>5. En el caso del sistema de números reales, la propiedad de completez* es compleja y difícil de definir con precisión; sin embargo, es esencial para comprender el concepto de límite (capítulo 2). A grandes rasgos, la propiedad de completez afirma que hay suficien- tes números reales para “completar” la recta real, en el sentido que no haya “vacíos” o “fal- tantes” o huecos en ella. Si el sistema de números reales no cumpliera con esta propiedad, muchos teoremas de cálculo carecerían de validez. Por conveniencia, el tema se deja para un curso más avanzado, pero el apéndice 4 da una idea de sus implicaciones y de cómo se construyen los números reales. Entre los números reales pueden distinguirse tres subconjuntos especiales. 1. Los números naturales, digamos 1, 2, 3, 4, . . . 2. Los números enteros, como 0, ;1, ;2, ;3, Á 3. Los números racionales, es decir, aquellos que pueden expresarse como una fracción m/n, donde m y n son enteros y n Z 0. Por ejemplo 1 4 -4 4 200 57 , - = = , , y 57 = . 3 9 9 -9 13 1 Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones deci- males, que son (a) finitas (terminan con una secuencia infinita de ceros), por ejemplo 3 = 0.75000 Á = 0.75 o 4 (b) periódicas (terminan con un bloque de dígitos que se repite una y otra vez), por ejemplo, La barra indica el 23 = 2.090909 Á = 2.09 bloque de dígitos 11 que se repite. * A este término también se le conoce como propiedad de densidad o de completitud. 1.1 Los números reales y la recta real 3 Las expansiones decimales finitas representan un tipo especial de repetición decimal de final de ceros repetidos. El conjunto de números racionales tiene todas las propiedades algebraicas y de orden de los números reales, pero carece de la propiedad de completez. Por ejemplo, no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2; esto quiere decir que hay un “vacío” en la recta ra- cional, donde debería estar 22. Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales, y se carac- terizan por tener expansiones decimales no finitas y no periódicas. Por ejemplo, p, 22, 2 3 5, y log10 3. Como cada expansión decimal representa un número real, resulta evidente que la cantidad de números irracionales es infinita. Podemos encontrar tanto números racio- nales como irracionales arbitrariamente cercanos a cualquier punto de la recta real. La notación de conjuntos es muy útil para especificar un subconjunto de números rea- les. Un conjunto es una colección de objetos, los mismos que constituyen los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación a H S significa que a es un elemento de S, y a x S significa que a no es un elemento de S. Si S y T son conjuntos, S ´ T es su unión, y ésta consiste de todos los elementos que pertenecen a S o a T (o tanto a S como a T). La intersección S ¨ T consiste de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, S y T. El conjunto vacío ¤ es aquel que no tiene elementos. Por ejemplo, la intersección de los números racionales y los números irracionales es el conjunto vacío. Algunos conjuntos pueden describirse al listar sus elementos separados por comas entre llaves. Por ejemplo, el conjunto A, conformado por los números naturales (o enteros positivos) menores que 6, puede expresarse como A = 51, 2, 3, 4, 56. El conjunto de todos los números enteros se escribe como 50, ;1, ;2, ; 3, Á 6. Otra manera de describir un conjunto, consiste en encerrar entre llaves una regla que genere todos los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto A = 5x ƒ x es un entero y 0 6 x 6 66 es el conjunto de los enteros positivos menores que 6. Intervalos Un subconjunto de la recta real recibe el nombre de intervalo si contiene por lo menos dos números y todos los números reales que están entre cualquier par de sus elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales x tales que x 7 6 es un intervalo, así co- mo el conjunto de todos los x tales que - 2 … x … 5. El conjunto de todos los números reales distintos de cero no es un intervalo; como el 0 no se incluye, el conjunto no cumple con la condición de contener todos los números reales entre -1 y 1 (por ejemplo). Geométricamente, los intervalos corresponden a rayos y segmentos de recta sobre la rec- ta real o a lo largo de la misma. Los intervalos de números que corresponden a segmentos de recta son intervalos finitos; los intervalos que corresponden a rayos y a la recta real son in- tervalos infinitos. Decimos que un intervalo finito es cerrado si incluye sus dos extremos, semiabierto si incluye uno de sus extremos pero no el otro, y abierto si no incluye ninguno de sus ex- tremos. Los extremos también se llaman puntos frontera, ya que conforman precisamen- te la frontera del intervalo. El resto de los puntos del intervalo son puntos interiores, y constituyen el interior del intervalo. Los intervalos infinitos, que corresponden a rayos, son cerrados si contienen su extremo finito, de lo contrario son abiertos. La recta real completa  es un intervalo infinito que es tanto abierto como cerrado. Resolución de desigualdades Al proceso de encontrar el intervalo o intervalos de números que satisfacen una desigual- dad en x se le llama resolver la desigualdad. 4 Capítulo 1: Preliminares TABLA 1.1 Tipos de intervalos Descripción Notación del conjunto Tipo Figura Finito: (a, b) 5x ƒ a 6 x 6 b6 Abierto a b [a, b] 5x ƒ a … x … b6 Cerrado a b [a, b) 5x ƒ a … x 6 b6 Semiabierto a b (a, b] 5x ƒ a 6 x … b6 Semiabierto a b Infinito: sa, q d 5x ƒ x 7 a6 Abierto a [a, q d 5x ƒ x Ú a6 Cerrado a s - q , bd 5x ƒ x 6 b6 Abierto b s - q , b] 5x ƒ x … b6 Cerrado b s - q, q d  (conjunto de todos Ambos los números reales) abierto y cerrado EJEMPLO 1 Resolver las siguientes desigualdades y mostrar su solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo y en forma gráfica. x 6 (a) 2x - 1 6 x + 3 (b) - 6 2x + 1 (c) Ú 5 3 x - 1 Solución (a) 2x - 1 6 x + 3 x 0 1 4 2x 6 x + 4 Sumar 1 en ambos lados. (a) x 6 4 Restar x en ambos lados. x –3 0 1 7 El conjunto solución es el intervalo abierto s - q , 4d (figura 1.1a). (b) x x (b) - 6 2x + 1 0 1 11 3 5 -x 6 6x + 3 Multiplicar por 3 ambos lados. (c) 0 6 7x + 3 Sumar x en ambos lados. FIGURA 1.1 Conjuntos solución para las desigualdades del ejemplo 1. -3 6 7x Restar 3 en ambos lados. 3 - 6 x Dividir entre 7. 7 1.1 Los números reales y la recta real 5 El conjunto solución es el intervalo abierto s -3>7, q d (figura 1.1b). (c) La desigualdad 6>sx - 1d Ú 5 puede satisfacerse solamente si x 7 1, ya que en cual- quier otro caso 6>sx - 1d no está definido o es negativo. Así, sx - 1d es positivo y la desigualdad no se altera si multiplicamos ambos lados por sx - 1d, y tenemos que 6 Ú 5 x - 1 6 Ú 5x - 5 Multiplicar ambos lados por sx - 1d . 11 Ú 5x Sumar 5 en ambos lados. 11 11 Ú x. Ox … . 5 5 El conjunto solución es el intervalo semiabierto (1, 11>5] (figura 1.1c). Valor absoluto El valor absoluto de un número x, denotado por ƒ x ƒ , se define como ƒxƒ = e x, x Ú 0 - x, x 6 0. EJEMPLO 2 Encontrar los valores absolutos ƒ 3 ƒ = 3, ƒ 0 ƒ = 0, ƒ -5 ƒ = - s -5d = 5, ƒ - ƒaƒƒ = ƒaƒ Geométricamente, el valor absoluto de x es la distancia de x a 0 sobre la recta real. Como las distancias siempre son positivas o 0, si vemos que ƒ x ƒ Ú 0 para todo número real x, y ƒ x ƒ = 0 si y sólo si x = 0. También ƒ x - y ƒ = es igual a la distancia entre x y y – 5  5 3 la distancia entre x y y sobre la recta real (figura 1.2). –5 0 3 Como el símbolo 2a denota siempre la raíz cuadrada no negativa de a, una defini- 4  1  1  4   3 ción alternativa de ƒ x ƒ es 1 4 ƒ x ƒ = 2x 2 . FIGURA 1.2 Los valores absolutos Es importante recordar que 2a 2 = ƒ a ƒ . No se puede escribir 2a 2 = a a menos que se- indican las distancias entre los puntos de la pamos de antemano que a Ú 0. recta numérica. El valor absoluto tiene las propiedades siguientes. (Se le pedirá que pruebe estas pro- piedades en los ejercicios). Propiedades del valor absoluto 1. ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ Un número y su inverso aditivo o negativo tienen el mismo valor absoluto. 2. ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos. ` ` = a ƒaƒ 3. El valor absoluto de un cociente es el cociente de b ƒbƒ los valores absolutos. 4. ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ La desigualdad triangular. El valor absoluto de la suma de dos números es menor o igual que la suma de sus valores absolutos. 6 Capítulo 1: Preliminares Observe que ƒ -a ƒ Z - ƒ a ƒ . Por ejemplo, ƒ -3 ƒ = 3, mientras que - ƒ 3 ƒ = - 3. Si a y b tienen distinto signo, entonces ƒ a + b ƒ en cualquier otro caso, ƒ a ƒ + ƒ b ƒ . En expresiones como ƒ a + b ƒ es igual a ƒ a ƒ + ƒ b ƒ . Las barras que denotan valor absoluto ƒ - 3 + 5 ƒ fun- cionan como los paréntesis: deben realizarse las operaciones aritméticas del interior antes de tomar el valor absoluto. a a a x 0 a EJEMPLO 3 Ilustrar la desigualdad triangular x ƒ -3 + 5 ƒ = ƒ 2 ƒ = 2 6 ƒ -3 ƒ + ƒ 5 ƒ = 8 FIGURA 1.3 ƒ x ƒ 6 a significa que x está ƒ3 + 5ƒ = ƒ8ƒ = ƒ3ƒ + ƒ5ƒ entre - a y a. ƒ -3 - 5 ƒ = ƒ - 8 ƒ = 8 = ƒ - 3 ƒ + ƒ -5 ƒ La desigualdad ƒ x ƒ 6 a indica que la distancia de x a 0 es menor que el número posi- tivo a. Esto significa que x debe estar entre -a y a, como puede verse en la figura 1.3. Todos los siguientes enunciados son consecuencia de la definición de valor absoluto, y suelen ser útiles en la resolución de ecuaciones o desigualdades con valor absoluto. Valores absolutos e intervalos Si a es cualquier número positivo, entonces 5. ƒxƒ = a si y sólo si x = ;a 6. ƒxƒ 6 a si y sólo si -a 6 x 6 a 7. ƒxƒ 7 a si y sólo si x 7 a o x 6 -a 8. ƒxƒ … a si y sólo si -a … x … a 9. ƒxƒ Ú a si y sólo si x Ú a o x … -a En matemática, el símbolo 3 denota con frecuencia la relación lógica “si y sólo si”. También significa “implica y es implicado por”. EJEMPLO 4 Resolver una ecuación con valores absolutos Resolver la ecuación ƒ 2x - 3 ƒ = 7. Solución De acuerdo con la propiedad 5, 2x - 3 = ; 7, así que hay dos posibilidades: Ecuaciones equivalentes 2x - 3 = 7 2x - 3 = - 7 sin valores abolutos. 2x = 10 2x = - 4 Resolver como de costumbre. x = 5 x = -2 Las soluciones de ƒ 2x - 3 ƒ = 7 son x = 5 y x = - 2. EJEMPLO 5 Resolver una desigualdad con valor absoluto Resolver la desigualdad ` 5 - x ` 6 1. 2 1.1 Los números reales y la recta real 7 Solución Tenemos ` 5 - x ` 6 1 3 -1 6 5 - x 6 1 2 2 Propiedad 6 2 3 -6 6 - x 6 -4 Restar 5. 1 1 33 7 x 7 2 Multiplicar por - . 2 1 1 3 6 x 6 . Tomar recíprocos. 3 2 Observe cómo se emplearon aquí las distintas reglas para las desigualdades. Multiplicar por un número negativo cambia el sentido de la desigualdad. Sucede lo mismo al tomar recípro- cos en una desigualdad cuyos dos lados son positivos. La desigualdad original se satisface si y sólo si s1>3d 6 x 6 s1>2d . El conjunto solución es el intervalo abierto (1>3 , 1>2 ). EJEMPLO 6 Resolver la desigualdad y mostrar el conjunto solución en la recta real: (a) ƒ 2x - 3 ƒ … 1 (b) ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1 x Solución 1 2 (a) (a) ƒ 2x - 3 ƒ … 1 x -1 … 2x - 3 … 1 Propiedad 8 1 2 (b) 2 … 2x … 4 Restar 3. FIGURA 1.4 Los conjuntos solución 1 … x … 2 Dividir entre 2. (a) [1, 2] y (b) s - q , 1] ´ [2, q d del El conjunto solución es el intervalo cerrado [1, 2] (figura 1.4a). ejemplo 6. (b) ƒ 2x - 3 ƒ Ú 1 2x - 3 Ú 1 o 2x - 3 … - 1 Propiedad 9 3 1 3 1 x - Ú o x - … - Dividir entre 2. 2 2 2 2 3 x Ú 2 o x … 1 Sumar 2 . El conjunto solución es s - q , 1] ´ [2, q d (figura 1.4b). EJERCICIOS 1.1 Representación decimal Desigualdades 1. Exprese 1/9 como un decimal periódico, usando una barra para 3. Si 2 6 x 6 6 , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de x indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de- son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente ciertas? cimales de las siguientes fracciones: 2/9, 3/9, 8/9 y 9/9? a. 0 6 x 6 4 b. 0 6 x - 2 6 4 2. Exprese 1/11 como un decimal periódico, usando una barra para x 1 1 1 c. 1 6 6 3 d. 6 x 6 indicar los dígitos que se repiten. ¿Cuáles son las expansiones de- 2 6 2 cimales de las siguientes fracciones: 2/11, 3/11, 9/11 y 11/11? 6 e. 1 6 x 6 3 f. ƒ x - 4 ƒ 6 2 g. -6 6 -x 6 2 h. - 6 6 - x 6 - 2 8 Capítulo 1: Preliminares 4. Si -1 6 y - 5 6 1 , ¿cuáles de las siguientes afirmaciones acer- Desigualdades cuadráticas ca de y son necesariamente ciertas y cuáles no son necesariamente Resuelva las desigualdades en los ejercicios 35-42. Exprese el conjun- ciertas? to solución en forma de intervalos o uniones de intervalos, y en forma a. 4 6 y 6 6 b. - 6 6 y 6 - 4 gráfica (en la recta real). Use el resultado 2a 2 = ƒ a ƒ según convenga. c. y 7 4 d. y 6 6 35. x 2 6 2 36. 4 … x 2 37. 4 6 x 2 6 9 y 1 1 e. 0 6 y - 4 6 2 f. 2 6 6 3 38. 6 x2 6 39. sx - 1d2 6 4 40. sx + 3d2 6 2 2 9 4 g. 1 1 6 y 6 1 h. ƒ y - 5 ƒ 6 1 41. x 2 - x 6 0 42. x 2 - x - 2 Ú 0 6 4 En los ejercicios 5-12, resuelva las desigualdades y muestre su con- Teoría y ejemplos junto solución en forma gráfica (sobre la recta real). 43. Evite caer en el error de que ƒ -a ƒ = a . ¿Para cuáles números reales a es verdadera esta ecuación? ¿Para cuáles números reales es falsa? 5. - 2x 7 4 6. 8 - 3x Ú 5 44. Resuelva la ecuación ƒ x - 1 ƒ = 1 - x . 7. 5x - 3 … 7 - 3x 8. 3s2 - xd 7 2s3 + xd 45. Una demostración de la desigualdad triangular Dé una ra- 1 7 6 - x 3x - 4 zón que justifique cada uno de los pasos numerados en la siguiente 9. 2x - Ú 7x + 10. 6 2 6 4 2 demostración de la desigualdad triangular. 4 1 x + 5 12 + 3x ƒ a + b ƒ 2 = sa + bd2 (1) 11. sx - 2d 6 sx - 6d 12. - … 5 3 2 4 2 2 = a + 2ab + b … a2 + 2 ƒ a ƒ ƒ b ƒ + b2 (2) Valor absoluto 2 2 = ƒaƒ + 2ƒaƒ ƒbƒ + ƒbƒ (3) Resuelva las ecuaciones en los ejercicios 13-18. 2 = sƒaƒ + ƒbƒd 13. ƒ y ƒ = 3 14. ƒ y - 3 ƒ = 7 15. ƒ 2t + 5 ƒ = 4 ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ (4) 18. ` - 1` = 1 9 s 16. ƒ 1 - t ƒ = 1 17. ƒ 8 - 3s ƒ = 46. Demuestre que ƒ ab ƒ = ƒ a ƒ ƒ b ƒ para cualesquiera números a y b. 2 2 Resuelva las desigualdades en los ejercicios 19-34, expresando los 47. Si ƒ x ƒ … 3 y x 7 - 1>2 , ¿qué se puede decir acerca de x? conjuntos solución como intervalos o uniones de intervalos. Asimismo, 48. Trace la gráfica de la desigualdad ƒ x ƒ + ƒ y ƒ … 1 . muestre el conjunto solución en forma gráfica (sobre la recta real). 49. Sea ƒsxd = 2x + 1 y sea d 7 0 cualquier número positivo. De- 19. ƒ x ƒ 6 2 20. ƒ x ƒ … 2 21. ƒ t - 1 ƒ … 3 muestre que ƒ x - 1 ƒ 6 d implica ƒ ƒsxd - ƒs1d ƒ 6 2d . Aquí la notación ƒ(a) se refiere al valor de la expresión 2x + 1 cuando 22. ƒ t + 2 ƒ 6 1 23. ƒ 3y - 7 ƒ 6 4 24. ƒ 2y + 5 ƒ 6 1 x = a. Esta notación de función se explica en la sección 1.3. 25. ` - 1` … 1 26. ` z - 1` … 2 27. ` 3 - x ` 6 z 3 1 1 5 2 2 50. Sea ƒsxd = 2x + 3 y sea P 7 0 cualquier número positivo. P Demuestre que ƒ ƒsxd - ƒs0d ƒ 6 P siempre que ƒ x - 0 ƒ 6 2 . 28. ` x - 4 ` 6 3 2 1 Aquí la notación ƒ(a) se refiere al valor de la expresión 2x + 3 29. ƒ 2s ƒ Ú 4 30. ƒ s + 3 ƒ Ú 2 cuando x = a. (Vea la sección 1.3). 33. ` ` Ú 1 r + 1 51. Demuestre que ƒ -a ƒ = ƒ a ƒ . para cualquier número a. 31. ƒ 1 - x ƒ 7 1 32. ƒ 2 - 3x ƒ 7 5 2 52. Sea a cualquier número positivo. Demuestre que ƒ x ƒ 7 a si y sólo 34. ` - 1` 7 3r 2 si x 7 a o x 6 - a . 5 5 53. a. Si b es cualquier número real distinto de cero, demuestre que ƒ 1>b ƒ = 1> ƒ b ƒ . b. Demuestre que ` ` = a ƒaƒ para cualesquiera números a y b Z 0. b ƒbƒ 54. Usando inducción matemática (vea el apéndice 1), demuestre que n n ƒ a ƒ = ƒ a ƒ para cualquier número a y n un entero positivo. 1.2 Rectas, círculos y parábolas 9 1.2 Rectas, círculos y parábolas En esta sección hablaremos de coordenadas cartesianas, rectas, distancia, círculos y pará- bolas en el plano. También se discutirá el concepto de incremento. y Coordenadas cartesianas en el plano b P(a, b) En la sección anterior identificamos puntos sobre la recta con números reales asignándo- Eje y positivo les coordenadas. Los puntos que están en el plano pueden identificarse como pares orde- 3 nados de números reales. Para empezar, trazamos dos rectas coordenadas perpendiculares 2 que se intersecan en el punto 0 de cada recta. Estas rectas se llaman ejes coordenados en el plano. En el eje horizontal x, los números se denotan mediante x y se incrementan hacia la 1 Origen derecha. En el eje vertical y, los números se denotan mediante y y se incrementan hacia Eje x negativo x arriba (figura 1.5). En consecuencia, “hacia arriba” y “hacia la derecha” son direcciones 3 2 1 0 1 2 a3 positivas, mientras que “hacia abajo” y “hacia la izquierda” son consideradas como negati- 1 vas. El origen O —también identificado con un 0— del sistema de coordenadas es el punto Eje x positivo Eje y negativo del plano donde x y y son cero. 2 Si P es cualquier punto en el plano, puede ser localizado mediante, exactamente, un par ordenado de números reales de la siguiente manera. Se trazan rectas que pasen por P y 3 sean perpendiculares a los dos ejes coordenados. Si estas rectas intersecan los ejes x y y en puntos con coordenadas a y b, respectivamente (figura 1.5), entonces el par ordenado (a, b) FIGURA 1.5 Las coordenadas cartesianas se asigna al punto P, y se llama par coordenado. El primer número, a, es la coordenada x del plano se basan en dos ejes perpendiculares (o abscisa) de P; el segundo número, b, es la coordenada y (u ordenada) de P. La coor- que se intersecan en el origen. denada x de cualquier punto en el eje y es 0. La coordenada y de cualquier punto en el eje x es 0. El origen es el punto (0, 0). Empezando con un par ordenado (a, b), podemos invertir el proceso y llegar al punto P correspondiente en el plano. Frecuentemente identificamos P con el par ordenado y escri- bimos P(a, b). Algunas veces también nos referimos al “punto (a, b)” y el contexto nos permitirá saber cuando (a, b) se refiere a un punto en el plano y no a un intervalo abierto y en la recta real. En la figura 1.6 se muestran varios puntos identificados por sus coordenadas. (1, 3) Este sistema de coordenadas se denomina sistema rectangular de coordenadas o 3 sistema de coordenadas cartesianas (en honor de René Descartes, matemático francés del siglo XVI). Los ejes coordenados de este plano coordenado o cartesiano dividen el pla- Segundo Primer no en cuatro regiones llamadas cuadrantes, numerados en sentido contrario al movimien- cuadrante 2 cuadrante to de las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 1.6. (, ) (, ) La gráfica de una ecuación o desigualdad en las variables x y y es el conjunto de todos 1 los puntos P(x, y) en el plano, cuyas coordenadas satisfacen la ecuación o desigualdad. ( 2, 1) (0, 0) (2, 1) Cuando se grafican datos en el plano cartesiano o se traza la gráfica de fórmulas con va- (1, 0) riables que tienen distintas unidades de medida, no es necesario usar la misma escala en x los dos ejes. Si graficamos, por ejemplo, tiempo contra fuerza de propulsión al analizar el 2 1 0 1 2 comportamiento del motor de un cohete, no hay razón para colocar la marca que muestra ( 2, 1) 1 1 segundo a la misma distancia del origen sobre el eje del tiempo, que la marca que identi- Tercer Cuarto fica 1 libra sobre el eje de la fuerza de propulsión. cuadrante cuadrante (, ) (, ) En general, cuando se grafican funciones cuyas variables no representan medidas físicas 2 y cuando se trazan figuras en el plano cartesiano para estudiar su geometría y trigonome- (1, 2) tría, se intenta que las marcas de las escalas sean idénticas en ambos ejes. Así, una unidad vertical de distancia se ve igual que una unidad horizontal. Como en un mapa topográfico FIGURA 1.6 Identificación de puntos en o en un dibujo a escala, los segmentos de recta que supuestamente tengan la misma longi- el plano xy o plano cartesiano. Todos los tud se verán de un largo equivalente, y los ángulos que supuestamente sean congruentes se puntos sobre los ejes tienen un par verán congruentes. coordenado, pero usualmente están Las pantallas de calculadoras o computadoras son otro asunto. Las escalas vertical y marcados con un solo número real (de horizontal de las gráficas generadas por computadora suelen diferir, y existen distorsiones manera que (1, 0) en el eje x se identifica en distancias, pendientes y ángulos. Los círculos se pueden ver como elipses, los rectángulos con 1). Observe los patrones de los signos pueden verse como cuadrados, los ángulos rectos como agudos u obtusos, etcétera. En la de las coordenadas en los cuadrantes. sección 1.7 estudiaremos con más detalle estas imágenes y distorsiones. 10 Capítulo 1: Preliminares y Incrementos y rectas C(5, 6) 6 Cuando una partícula se mueve de un punto del plano a otro, los cambios netos en sus coor- B(2, 5) denadas reciben el nombre de incrementos. Tales incrementos se calculan restando las 5 coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. Si x cambia de x1 a x2 , el 4 incremento en x es y  5, x  0 3 ¢x = x2 - x1 . 2 y  8 1 EJEMPLO 1 Si vamos del punto As4, - 3d al punto B(2, 5), los incrementos en las coor- D(5, 1) denadas x y y son x 0 1 2 3 4 5 1 ¢x = 2 - 4 = - 2, ¢y = 5 - s -3d = 8. 2 De C(5, 6) a D(5, 1), los incrementos de las coordenadas son 3 A(4, 3) (2, 3) ¢x = 5 - 5 = 0, ¢y = 1 - 6 = - 5. x  2 Vea la figura 1.7. FIGURA 1.7 Los incrementos de las Dados dos puntos P1sx1, y1 d y P2sx2, y2 d en el plano, llamamos a los incrementos coordenadas pueden ser positivos, ¢x = x2 - x1 y ¢y = y2 - y1 el avance y la elevación, respectivamente, entre P1 y P2 . negativos o nulos (ejemplo 1). Dos puntos determinan siempre una única línea recta (por lo general denominada simple- BIOGRAFÍA HISTÓRICA* mente recta) que pasa por ambos. La llamamos recta P1 P2 . Cualquier recta no vertical en el plano tiene la propiedad de que la razón René Descartes (1596–1650) elevación ¢y y2 - y1 m = = = x2 - x1 corrida ¢x y Es la fórmula dados dos puntos P1sx1, y1 d y P2sx2, y2 d en la recta (figura 1.8). Esto se debe P2 L a que las razones de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son iguales. P2 (x2, y2) DEFINICIÓN Pendiente y La constante (eleva ción) y y2 - y1 elevación ¢y m = = = x2 - x1 P1 (x1, y1) corrida ¢x x Q(x2, y1) es la pendiente de la recta no vertical P1 P2 . (corrida) P1 Q x La pendiente nos indica la dirección (hacia arriba, hacia abajo) a la derecha y la incli- x nación de una recta. Una recta con pendiente positiva va hacia arriba a la derecha; una rec- 0 ta con pendiente negativa va hacia abajo a la derecha (figura 1.9). A medida que aumenta FIGURA 1.8 Los triángulos P1 QP2 y el valor absoluto de la pendiente, más rápido es el ascenso o el descenso de la recta, es de- P1 ¿Q¿P2 ¿ son semejantes, de manera que la cir, mayor es su inclinación. Una recta con pendiente cero tiene dirección horizontal y no razón de sus lados tiene el mismo valor tiene inclinación. La pendiente de una recta vertical es indefinida. Como el avance ¢x es para cualesquiera dos puntos sobre la cero en el caso de una recta vertical, resulta imposible evaluar la razón de la pendiente m. recta. Este valor común es la pendiente La dirección y la inclinación de una recta también pueden medirse con un ángulo. El de la recta. ángulo de inclinación de una recta que cruza el eje x es el menor ángulo medido en senti- do contrario al movimiento de las manecillas del reloj del eje x a la recta (figura 1.10). La inclinación de una recta horizontal es 0º. La inclinación de una recta vertical es 90º. Si f (la letra griega phi, o fi) es la inclinación de una recta, entonces 0 … f 6 180°. *Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principales del cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas. 1.2 Rectas, círculos y parábolas 11 y En la figura 1.11 se muestra la relación entre la pendiente m de una recta no vertical y L1 el ángulo de inclinación f de la misma: 6 P4(3, 6) m = tan f. P1(0, 5) L2 Las rectas tienen ecuaciones relativamente sencillas. Todos los puntos sobre la recta 4 vertical que pasa por el punto a, en el eje x tienen coordenadas x iguales a a. Por lo tanto, 3 x = a es una ecuación para la recta vertical. De manera similar, y = b es una ecuación P2(4, 2) 2 para la recta horizontal que interseca el eje y en b. (Vea la figura 1.12). 1 Podemos escribir una ecuación para una recta no vertical L si conocemos su pendiente 0 1 2 3 4 5 6 x m y las coordenadas, P1sx1, y1 d de uno de sus puntos. Si P(x, y) es cualquier otro punto en 1 L, podemos usar los dos puntos P1 y P para calcular la pendiente: P3(0, 2) y - y1 m = x - x1 FIGURA 1.9 La pendiente de L1 es de manera que ¢y 6 - s - 2d 8 m = ¢x = 3 - 0 = . 3 y - y1 = msx - x1 d o y = y1 + msx - x1 d. Esto es, y aumenta 8 unidades cada vez que x se incrementa 3 unidades. La pendiente de L2 es La ecuación ¢y 2 - 5 -3 m = = = . y = y1 + msx - x1 d ¢x 4 - 0 4 Esto es, y disminuye 3 unidades cada vez es la ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por el punto sx1, y1 d y tiene que x se reduce 4 unidades. pendiente m. EJEMPLO 2 Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y tiene pendiente –3/2. este sí este sí x x Solución Sustituimos x1 = 2, y1 = 3, y m = - 3>2 en la ecuación punto-pendiente para este no este no obtener Ax - 2B, 3 3 FIGURA 1.10 Los ángulos de inclinación y = 3 - o y = - x + 6. 2 2 se miden en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, a Cuando x = 0, y = 6 así la recta interseca el eje y en y = 6. partir del eje x. EJEMPLO 3 Una recta que pasa por dos puntos Encontrar la ecuación de la recta que pasa por s -2, - 1d y (3, 4). y P2 Solución La pendiente de la recta es L -1 - 4 -5 y m = = = 1. -2 - 3 -5 P1 ␾ Podemos usar esta pendiente con cualquiera de los dos puntos dados en la ecuación punto- x pendiente: y m  tan ␾ x Con sx1 , y1 d  s2, 1d Con sx1 , y1 d  s3, 4d x y = -1 + 1 # sx - s - 2dd y = 4 + 1 # sx - 3d y = -1 + x + 2 y = 4 + x - 3 FIGURA 1.11 La pendiente de una recta y = x + 1 y = x + 1 no vertical es la tangente de su ángulo de Algunos resultados inclinación. Esto es, y = x + 1 es la ecuación de la recta (figura 1.13). 12 Capítulo 1: Preliminares y La coordenada y del punto donde una recta no vertical interseca el eje y se llama or- denada al origen de la recta. De forma similar, la abscisa al origen de una recta no hori- A lo largo de esta recta, 6 x2 zontal es la coordenada x del punto donde interseca el eje x (figura 1.14). Una recta con 5 pendiente m y ordenada al origen b en y pasa por el punto (0, b), tiene la ecuación 4 A lo largo de esta recta, y = b + msx - 0d, o, simplemente, y = mx + b. y3 3 (2, 3) 2 1 x La ecuación 0 1 2 3 4 y = mx + b FIGURA 1.12 Las ecuaciones estándar se denomina ecuación pendiente-ordenada al origen de la recta con pendiente para las rectas vertical y horizontal que m e intersección con el eje y, u ordenada al origen, b. pasan por (2, 3) son x = 2 y y = 3. Las rectas con ecuaciones de la forma y = mx tienen intersección con el eje y 0 y, por lo tanto, pasan por el origen. Las ecuaciones de esas rectas reciben el nombre de ecuaciones lineales. La ecuación Ax + By = C sA o B distintas de cerod y se conoce como ecuación general lineal en x y y, ya que su gráfica siempre representa una recta y toda recta tiene una ecuación con esta forma (incluyendo las rectas con pen- 4 (3, 4) diente indefinida). yx1 EJEMPLO 4 Encontrar la pendiente y la ordenada al origen Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta y 8x + 5y = 20. x –2 0 1 2 3 Solución Se despeja y de la ecuación a fin de ponerla en la forma pendiente-ordenada al –1 (–2, –1) origen: 8x + 5y = 20 FIGURA 1.13 La recta del ejemplo 3. 5y = - 8x + 20 8 y = - x + 4. 5 La pendiente es m = - 8>5. La ordenada y al origen es b = 4. y Rectas paralelas y perpendiculares Las rectas paralelas tienen el mismo ángulo de inclinación, de manera que tienen la misma b pendiente (si no son verticales). Recíprocamente, las rectas con pendientes iguales tienen el mismo ángulo de inclinación y son, por lo tanto, paralelas. L Si dos rectas no verticales L1 y L2 son perpendiculares, sus pendientes m1 y m2 satis- facen m1 m2 = - 1, de manera que cada pendiente es el recíproco negativo de la otra: x 1 1 0 a m1 = - m2 , m2 = - m1 . FIGURA 1.14 La recta L tiene una Para comprobarlo, observe que, de acuerdo con los triángulos semejantes de la figura intersección x a y una intersección y b. 1.15, m1 = a>h, y m2 = - h>a. Por lo tanto, m1 m2 = sa>hds - h>ad = - 1. 1.2 Rectas, círculos y parábolas 13 y Distancia y círculos en el plano L1 L2 La distancia entre puntos en el plano se calcula a partir de la fórmula del teorema de Pitá- goras (figura 1.16). C Pendiente ␾1 Pendiente m 2 m1 y h ␾2 Esta distancia es ␾1 0 A D a B x d   x2 – x12   y2 – y12 y2 Q(x2 , y2)   (x2 – x1)2  (y2 – y1)2 ⎩ ⎪ ⎪  y2  y1 ⎨ FIGURA 1.15 ¢ADC es semejante a ⎪ ¢CDB . En consecuencia, f1 también es el P(x1, y1) ⎪ ⎧ ángulo superior en ¢CDB . A partir de los y1 C(x2 , y1) ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ lados de ¢CDB , vemos que tan f1 = a>h .  x2  x1 x 0 x1 x2 FIGURA 1.16 Para calcular la distancia entre Psx1 , y1 d y Qsx2 , y2 d , aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo PCQ. Fórmula de distancia para puntos en el plano La distancia entre Psx1 , y1 d y Qsx2 , y2 d es d = 2s ¢xd2 + s ¢yd2 = 2sx2 - x1 d2 + s y2 - y1 d2 . EJEMPLO 5 Calcular la distancia entre dos puntos (a) La distancia del origen al punto Ps - 1, 2d y Q(3, 4) es 2s3 - s -1dd2 + s4 - 2d2 = 2s4d2 + s2d2 = 220 = 24 # 5 = 225 . y (b) La distancia entre el origen y P(x, y) es P(x, y) 2sx - 0d2 + s y - 0d2 = 2x 2 + y 2 . a Por definición, un círculo de radio a es el conjunto de todos los puntos P(x, y) cuya distancia desde algún punto fijo, llamado centro del círculo, C(h, k) es igual a a (figura C(h, k) 1.17). De acuerdo con la fórmula de la distancia, P está en el círculo si y sólo si 2sx - hd2 + s y - kd2 = a, (x  h) 2  ( y  k) 2  a 2 x de manera que 0 FIGURA 1.17 Un círculo con radio a en (x - h) 2 + ( y - k) 2 = a 2. (1) el plano xy y centro en (h, k) . La ecuación (1) es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y radio a. El círculo de radio a = 1 y centro en el origen es el círculo unitario, con ecuación x 2 + y 2 = 1. 14 Capítulo 1: Preliminares EJEMPLO 6 (a) La ecuación estándar del círculo de radio 2 y centro en (3, 4) es sx - 3d2 + s y - 4d2 = 22 = 4 . (b) El círculo sx - 1d2 + s y + 5d2 = 3 tiene h = 1, k = - 5, y a = 23. El centro es el punto sh, kd = s1, - 5d y el radio es a = 23. Si la ecuación de un círculo no está en la forma estándar, para encontrar su centro y su radio primero deberá convertirse la ecuación a dicha forma. La técnica algebraica para ha- cerlo consiste en completar los cuadrados (vea el apéndice 9). EJEMPLO 7 Encontrar el centro y el radio de un círculo Encontrar el centro y el radio del círculo x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0. Solución Convertimos la ecuación a la forma estándar, completando los cuadrados en x y en y. x 2 + y 2 + 4x - 6y - 3 = 0 Empezamos con la ecuación dada. Agrupamos términos. Pasamos la sx 2 + 4x d + s y 2 - 6y d = 3 constante al lado derecho. 2 2 Sumamos el cuadrado de la mitad ax 2 + 4x + a b b + ay 2 - 6y + a b b = y 4 -6 del coeficiente de x en ambos Exterior: (x  h) 2  (y  k) 2  a 2 2 2 lados de la ecuación. Hacemos lo En: (x  h)2  (y  k)2  a2 mismo con y. Las expresiones que 2 2 están dentro de los paréntesis en 3 + a b + a b 4 -6 el lado izquierdo son ahora 2 2 cuadrados perfectos. a k sx 2 + 4x + 4d + s y 2 - 6y + 9d = 3 + 4 + 9 Factorizamos los trinomios cua- (h, k) drados perfectos, como binomios sx + 2d2 + s y - 3d2 = 16 cuadrados. El centro es s - 2, 3d y el radio es a = 4. Interior: (x  h) 2  ( y  k) 2  a 2 Los puntos (x, y) que satisfacen la desigualdad x 0 h sx - hd2 + s y - kd2 6 a 2 FIGURA 1.18 El interior y el exterior del forman la región interior del círculo con centro en (h, k) y radio a (figura 1.18). El exte- círculo sx - hd2 + s y - kd2 = a 2 . rior del círculo consiste de los puntos (x, y) que satisfacen sx - hd2 + s y - kd2 7 a 2 . Parábolas La definición geométrica y las propiedades generales de las parábolas se abordan en la sección 10.1. Aquí hablaremos de las parábolas que surgen al graficar las ecuaciones de la forma y = ax 2 + bx + c. 1.2 Rectas, círculos y parábolas 15 y EJEMPLO 8 La parábola y = x 2 y x2 (–2, 4) (2, 4) Considere la ecuación y = x 2 . Algunos de los puntos que satisfacen esta ecuación son 4 s0, 0d, s1, 1d, a , b, s -1, 1d, s2, 4d, y s - 2, 4d. Estos puntos (y todos los demás que sa- 3 9 2 4 ⎛ 3 , 9⎛ tisfacen la ecuación), forman una curva suave llamada parábola (figura 1.19). ⎝ 2 4⎝ (–1, 1) (1, 1) La gráfica de una ecuación de la forma 1 y = ax 2 x –2 –1 0 1 2 es una parábola cuyo eje de simetría es el eje y. El vértice de la parábola (el punto donde FIGURA 1.19 La parábola y = x 2 la parábola interseca su eje de simetría) está en el origen. La parábola abre hacia arriba si (ejemplo 8). a 7 0 y hacia abajo si a 6 0. Entre más grande sea el valor de ƒ a ƒ , la parábola será más angosta (figura 1.20). Generalmente, la gráfica de y = ax 2 + bx + c es una parábola desplazada en forma horizontal y vertical de la parábola y = x 2 . En la sección 1.5 discutiremos con más detalle el desplazamiento horizontal y vertical de las gráficas de las funciones cuadráticas. La gráfica de y = ax2 + bx + c, a Z 0 La gráfica de la ecuación y = ax 2 + bx + c, a Z 0, es una parábola. La pará- y bola abre hacia arriba si a 7 0 y hacia abajo si a 6 0. El eje x es la recta y  2x 2 b x = - . (2) 2a x2 y 2 El vértice de la parábola es el punto donde el eje y la parábola se intersecan. Su simetría coordenada x es x = - b>2a; su coordenada y se encuentra sustituyendo y x2 x = - b>2a en la ecuación de la parábola. 10 1 x 4 3 2 2 3 4 1 Observe que si a = 0, tenemos y = bx + c la cual es la ecuación de una recta. El eje, dado por la ecuación (2), puede encontrarse completando el cuadrado o usando una 2 Eje de y x técnica que estudiaremos en la sección 4.1. Vértice 6 en el origen y  x2 EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una parábola FIGURA 1.20 Además de determinar la 1 2 Trazar la gráfica de la ecuación y = - x - x + 4. 2 dirección en la que abre la parábola y = ax 2 , el número a es un factor de escalamiento. La parábola se ensancha Solución Comparando la ecuación con y = ax 2 + bx + c vemos que conforme a se acerca a cero, y se estrecha conforme ƒ a ƒ aumenta. 1 a = - , b = - 1, c = 4. 2 Dado que a 6 0, la parábola abre hacia abajo. De acuerdo con la ecuación (2), su eje es la recta vertical b s -1d x = - = - = - 1. 2a 2s - 1>2d 16 Capítulo 1: Preliminares El vértice es ⎛–1, 9⎛ y Cuando x = - 1, tenemos ⎝ 2⎝ Punto simétrico Con intersección 1 9 en y = 4 y = - s - 1d2 - s -1d + 4 = . con intersección y 2 2 (–2, 4) (0, 4) El vértice es s -1, 9>2d. 1 Ejes: x = –1 3 y = – x2  x + 4 Las intersecciones con el eje x se dan en los puntos donde y = 0: 2 2 1 1 2 - x - x + 4 = 0 x 2 –3 –2 0 1 x 2 + 2x - 8 = 0 Con intersección en sx - 2dsx + 4d = 0 x = –4 y x = 2 x = 2, x = -4 FIGURA 1.21 La parábola del ejemplo 9. Graficamos algunos puntos, trazamos el eje y usamos las reglas de dirección de la apertu- ra de la parábola para completar la gráfica de la figura 1.21. EJERCICIOS 1.2 Incrementos y distancia 18. Pasa por (2, –3) con pendiente 1/2 En los ejercicios 1-4, una partícula se mueve de A a B en el plano 19. Pasa por (3, 4) y (–2, 5) coordenado. Encuentre los incrementos ¢x y ¢y en las coordenadas 20. Pasa por (–8, 0) y (–1, 3) de la partícula. Determine también la distancia de A a B. 21. Tiene pendiente –5/4 y ordenada al origen 6 1. As - 3, 2d, Bs - 1, - 2d 2. As -1, - 2d, Bs -3, 2d 22. Tiene pendiente 1/2 y ordenada al origen –3 3. As - 3.2, - 2d, Bs -8.1, - 2d 4. As 22, 4d, Bs0, 1.5d 23. Pasa por (–12, –9) y tiene pendiente 0 Describa las gráficas de las ecuaciones de los ejercicios 5-8. 24. Pasa por (1/3, 4) y la recta es vertical 5. x 2 + y 2 = 1 6. x 2 + y 2 = 2 25. Tiene y abscisa al origen 4 y abscisa al origen –1 2 2 7. x + y … 3 8. x 2 + y 2 = 0 26. Tiene y abscisa al origen –6 y abscisa al origen 2 27. Pasa por (5, –1) y es paralela a la recta 2x + 5y = 15 Pendientes, rectas e intersecciones 28. Pasa por A - 22, 2 B y es paralela a la recta 22x + 5y = 23 En los ejercicios 9-12, grafique los puntos y encuentre la pendiente (si 29. Pasa por (4, 10) y es perpendicular a la recta 6x - 3y = 5 existe) de la recta que éstos determinan. Encuentre también la pen- diente común (si existe) de las rectas perpendiculares a la recta AB. 30. Pasa por (0, 1) y es perpendicular a la recta 8x - 13y = 13 9. As - 1, 2d, Bs - 2, - 1d 10. As -2, 1d, Bs2, -2d En los ejercicios 31-34, encuentre las intersecciones con los ejes x y y, 11. As2, 3d, Bs - 1, 3d 12. As -2, 0d, Bs -2, -2d y utilice esta información para trazar la gráfica de la recta. En los ejercicios 13-16, encuentre la ecuación para (a) la recta verti- 31. 3x + 4y = 12 32. x + 2y = - 4 cal, y (b) la recta horizontal que pasa por el punto dado. 33. 22x - 23y = 26 34. 1.5x - y = - 3 13. s - 1, 4>3d 14. A 22, - 1.3 B 35. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas 15. A 0, - 22 B 16. s - p, 0d Ax + By = C1 y Bx - Ay = C2 sA Z 0, B Z 0d ? Justifique su respuesta. En los ejercicios 17-30, encuentre la ecuación de la recta, dados los datos siguientes. 36. ¿Encuentra algo especial en la relación entre las rectas Ax + By = C1 y Ax + By = C2 sA Z 0, B Z 0d ? Justifique su 17. Pasa por s - 1, 1d con pendiente -1 respuesta. 1.2 Rectas, círculos y parábolas 17 Incrementos y movimiento 68. x 2 + y 2 - 4x + 2y 7 4, x 7 2 37. Una partícula empieza en As - 2, 3d y sus coordenadas cambian con 69. Determine una desigualdad que describa los puntos que están incrementos ¢x = 5, ¢y = - 6 . Determine su nueva posición. dentro del círculo con centro en (–2, 1) y radio 26 . 38. Una partícula empieza en A(6, 0) y sus coordenadas cambian con 70. Determine una desigualdad que describa los puntos que están fue- incrementos ¢x = - 6, ¢y = 0 . Encuentre su nueva posición. ra del círculo con centro en (–4, 2) y radio 4. 39. Las coordenadas de una partícula cambian con ¢x = 5 y ¢y = 6 71. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que conforme se mueve de A(x, y) a Bs3, - 3d . Determine su nueva están dentro o sobre el círculo con centro en (0, 0) y radio 22 , y posición. sobre o a la derecha de la recta vertical que pasa por (1, 0). 40. Una partícula empieza en A(1, 0), da una vuelta alrededor del ori- gen, en sentido contrario al movimiento de las manecillas del re- 72. Determine un par de desigualdades que describan los puntos que loj, y regresa a A(1, 0). ¿Cuáles fueron los cambios netos en sus están fuera del círculo con centro en (0, 0) y radio 2, y dentro del coordenadas? círculo que tiene centro en (1, 3) y pasa por el origen. Círculos Intersección de rectas, círculos y parábolas En los ejercicios 41-46, encuentre la ecuación para el círculo con el En los ejercicios 73-80, grafique las dos ecuaciones y encuentre los centro C(h, k) y el radio a. Después, trace el círculo en el plano xy. In- puntos en donde se intersecan las gráficas. cluya el centro del círculo en su gráfica, e identifique, de existir, las 73. y = 2x, x2 + y2 = 1 intersecciones del círculo con los ejes x y y. Etiquete estos puntos con sus pares coordenados. 74. x + y = 1, sx - 1d2 + y 2 = 1 41. Cs0, 2d, a = 2 42. Cs - 3, 0d, a = 3 75. y - x = 1, y = x2 43. Cs -1, 5d, a = 210 44. Cs1, 1d, a = 22 76. x + y = 0, y = - sx - 1d2 45. C A - 23, - 2 B , a = 2 46. Cs3, 1>2d, a = 5 77. y = - x 2, y = 2x 2 - 1 Grafique los círculos cuyas ecuaciones se dan en los ejercicios 47-52. 1 2 78. y = x , y = sx - 1d2 Determine el centro de cada círculo y las intersecciones con los ejes 4 (si existen) con sus pares coordenados. 79. x 2 + y 2 = 1, sx - 1d2 + y 2 = 1 2 2 47. x + y + 4x - 4y + 4 = 0 80. x 2 + y 2 = 1, x2 + y = 1 48. x2 + y2 - 8x + 4y + 16 = 0 49. x2 + y2 - 3y - 4 = 0 Aplicaciones 50. x2 + y2 - 4x - s9>4d = 0 81. Aislantes Mida las pendientes de la siguiente figura para esti- 51. x2 + y2 - 4x + 4y = 0 mar el cambio de temperatura, en grados por pulgada, para estos 52. x2 + y2 + 2x = 3 aislantes: (a) tablero de yeso; (b) fibra de vidrio; (c) revestimiento de madera. Parábolas Grafique las parábolas de los ejercicios 53-60. Determine, en cada ca- 80° so, las coordenadas del vértice, el eje de simetría y las intersecciones Revestimiento con los ejes si existen. Tablero de yeso de madera 70° 53. y = x 2 - 2x - 3 54. y = x 2 + 4x + 3 55. y = - x 2 + 4x 56. y = - x 2 + 4x - 5 60° Fibra de vidrio Tablas de 57. y = - x 2 - 6x - 5 58. y = 2x 2 - x + 3 acabado 50° Aire Temperatura (ºF) 1 2 1 2 dentro 59. y = x + x + 4 60. y = - x + 2x + 4 2 4 de la 40° habita Desigualdades Aire exterior ción a 0ºF En los ejercicios 61-68, describa las regiones definidas por las desi- 30° a 72ºF gualdades o pares de desigualdades. 61. x 2 + y 2 7 7 20° 62. x 2 + y 2 6 5 63. sx - 1d2 + y 2 … 4 10° 2 2 64. x + sy - 2d Ú 4 0° 65. x 2 + y 2 7 1, x2 + y2 6 4 0 1 2 3 4 5 6 7 66. x 2 + y 2 … 4, sx + 2d2 + y 2 … 4 Distancia entre la pared (pulgadas) 67. x 2 + y 2 + 6y 6 0, y 7 -3 Cambios de temperatura en la pared, ejercicios 81 y 82. 18 Capítulo 1: Preliminares 82. Aislantes De acuerdo con la figura del ejercicio 81, ¿cuál de los 88. Demuestre que el triángulo con vértices en A(0, 0), B A 1, 23 B , y materiales es mejor aislante? ¿Cuál es el peor? Explique. C (2, 0) es equilátero. 83. Presión bajo el agua De acuerdo con la fórmula p = kd + 1 89. Pruebe que los puntos As2, - 1d , B(1, 3) y Cs -3, 2d son vértices (k constante), la presión p que experimenta un buzo bajo el agua de un cuadrado, y encuentre el cuarto vértice. está relacionada con la profundidad d a la que se encuentra. La presión es de 1 atmósfera en la superficie; a 100 metros es, aproxi- 90. El rectángulo que se muestra enseguida tiene lados paralelos a los madamente, 10.94 atmósferas. Determine la presión a 50 metros. ejes, es tres veces más largo que ancho y tiene un perímetro de 56 84. Reflexión de la luz Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta unidades. Encuentre las coordenadas de los vértices A, B y C. x + y = 1 desde el segundo cuadrante, y se refleja sobre el eje x y (vea la siguiente figura). El ángulo de incidencia es igual al ángu- lo de reflexión. Escriba la ecuación de la recta por la que viaja la luz. A D(9, 2) y x 0 xy1 B C 1 Ángulo de Ángulo de incidencia reflexión 91. Tres paralelogramos diferentes tienen vértices en s - 1, 1d , (2, 0) y (2, 3). Trácelos y encuentre las coordenadas del cuarto vértice de cada uno. x 0 1 92. Como se muestra en la figura, una rotación de 90º alrededor del origen en sentido contrario al movimiento de las manecillas del La trayectoria del rayo de luz del ejercicio reloj, manda el punto (2, 0) a (0, 2) y (0, 3) a s - 3, 0d , ¿A dónde 84. Los ángulos de incidencia y de reflexión manda cada uno de siguientes pares? se miden desde la perpendicular. a. (4, 1) b. s -2, -3d c. s2, - 5d d. (x, 0) e. (0, y) f. (x, y) 85. Grados Fahrenheit y grados Celsius Trace la gráfica de la ecuación g. ¿De qué punto proviene (10, 3)? 5 C = sF - 32d y 9 en el plano FC, que relaciona las temperaturas de grados Fahrenheit (0, 3) y Celsius. Trace en el mismo plano la gráfica de la recta C = F. ¿Hay alguna temperatura en la que el termómetro Celsius dé la (0, 2) (4, 1) misma lectura numérica que el termómetro Fahrenheit? Si la res- x puesta es afirmativa, determínela. (–3, 0) (2, 0) 86. Vía férrea Los ingenieros civiles calculan la pendiente del fir- me para una vía férrea como la razón de la distancia que se sube o (–2, –3) baja entre la distancia horizontal que se recorre. Los especialistas denominan esta razón inclinación del firme de la vía, y casi siempre la escriben como porcentaje. A lo largo de la costa, la in- (2, –5) clinación de las vías comerciales suele ser inferior a 2%. En las montañas puede llegar hasta 4%. Las inclinaciones de las autopis- tas son, por lo general, menores que 5%. 93. ¿Para qué valor de k la recta 2x + ky = 3 es perpendicular a la La parte más empinada de la vía férrea metropolitana Was- recta 4x + y = 1 ? ¿Para qué valor de k estas rectas son paralelas? hington Cog, en New Hampshire, tiene una inclinación excepcio- 94. Encuentre la recta que pasa por el punto (1, 2) y por el punto en nal, de 37.1%. A lo largo de esta parte del trayecto, los asientos donde se intersectan las dos rectas x + 2y = 3 y 2x - 3y = - 1 . delanteros de los vagones del tren están 14 pies arriba de los tra- seros. ¿Qué tan apartadas están las filas de asientos delanteros y 95. Punto medio de un segmento de recta Demuestre que el punto traseros? con coordenadas a b x1 + x2 y1 + y2 Teoría y ejemplos 2 , 2 87. Para probar que el triángulo con vértices en los puntos A(1, 2), B(5, 5), y Cs4, -2d es isósceles y no equilátero, calcule las longi- es el punto medio del segmento de recta que une Psx1 , y1 d y tudes de sus lados. Qsx2 , y2 d . 1.3 Funciones y sus gráficas 19 96. La distancia entre un punto y una recta Podemos encontrar la 3. Encuentre la distancia entre P y Q. distancia entre un punto Psx0 , y0 d y la recta L: Ax + By = C si- Emplee estos pasos para encontrar la distancia entre P y L en cada guiendo los pasos que se describen a continuación (en la sección uno de los siguientes casos. 12.5 veremos un método más rápido): a. Ps2, 1d, L: y = x + 2 1. Encuentre la ecuación de la recta M que pasa por P y es per- pendicular a L. b. Ps4, 6d, L : 4x + 3y = 12 2. Determine las coordenadas del punto Q en donde se intersecan c. Psa, bd, L : x = -1 M y L. d. Psx0 , y0 d, L : Ax + By = C 1.3 Funciones y sus gráficas Las funciones representan el principal objeto de análisis en el cálculo, ya que constituyen la clave para describir el mundo real en términos matemáticos. En esta sección se repasa el concepto de función, su graficación y las maneras de representarla. Funciones, dominio y rango La temperatura a la que hierve el agua depende de la altura sobre el nivel del mar (el pun- to de ebullición disminuye conforme se asciende). La tasa de interés que se paga por una inversión monetaria depende de cuánto tiempo dure invertido el dinero. El área del círculo depende de su radio. La distancia que viaja un objeto desde un punto inicial a lo largo de una trayectoria recta depende de su velocidad. En cada uno de estos casos, el valor de una cantidad variable, que podemos llamar y, depende del valor de otra variable, que podemos llamar x. Debido a que el valor de y está totalmente determinado por el valor de x, decimos que y es una función de x. Frecuente- mente el valor de y está dado por una regla o fórmula que nos indica cómo calcularlo a partir de la variable x. Por ejemplo, la ecuación A = pr 2 es una regla para calcular el área A de un círculo a partir de su radio r. En cálculo, es posible que en algún momento queramos referirnos a una función no específica sin contar con una fórmula determinada. Una manera simbólica de decir “y es una función de x”, consiste en escribir y = ƒsxd s“y es igual a ƒ de x”d En esta notación, el símbolo f representa la función. La letra x, denominada variable inde- pendiente, representa el valor de entrada de f, y y, la variable dependiente, representa el valor resultante de f en x. DEFINICIÓN Función Una función de un conjunto D a un conjunto Y es una regla que asigna un ele- mento único ƒsxd H Y a cada elemento x H D. El conjunto D de todos los valores de entrada posibles se llama dominio de la fun- ción. El conjunto de todos los valores de ƒ(x) a medida que x varía en todo D se denomina rango de la función. El rango puede no incluir todos los elementos del conjunto Y. x f f (x) El dominio y el rango de una función pueden ser cualesquiera conjuntos de objetos, Entrada Salida pero en cálculo suelen ser conjuntos de números reales. (En los capítulos 13 a 16 veremos (dominio) (rango) que pueden involucrarse muchas variables). FIGURA 1.22 Diagrama mostrando una Pensemos en una función f como una especie de máquina que produce un valor ƒ(x) en su función como una especie de máquina. rango siempre que la “alimentemos” con un valor de entrada x de su dominio (figura 1.22). 20 Capítulo 1: Preliminares Un ejemplo de esta analogía está representada por las teclas de función de las calculado- ras: la tecla 2x produce un valor (la raíz cuadrada) cuando se le oprime después de escri- bir un número no negativo 2x. El valor resultante que aparece en la pantalla casi siempre es una aproximación decimal de la raíz cuadrada de x. Si escribimos un número x 6 0, la calculadora indicará un error, porque x 6 0 no forma parte del dominio de la función y, por lo tanto, no es un valor de entrada aceptable. La tecla 2x de una calculadora no da el mismo resultado que la función matemática exacta f, definida por ƒsxd = 2x, ya que su operación se limita a producir resultados decimales y acepta únicamente un número finito de entradas. Una función también puede ilustrarse como un diagrama de flechas (figura 1.23). Cada flecha asocia un elemento del dominio D con un único elemento del conjunto Y. En la figura 1.23, las flechas indican que ƒ(a) está asociada con a, ƒ(x) está asociada con x, y así sucesivamente. El dominio de una función puede restringirse según el contexto. Por ejemplo, el domi- nio de la función de área dado por A = pr 2 solamente permite que los radios r sean posi- x tivos (ya que es una distancia). Cuando definimos una función y = ƒsxd con una fórmula a f (a) f(x) y el dominio no se da explícitamente o está restringido por el contexto, se supone que es el máximo conjunto de valores de x reales para los que la fórmula da valores reales de y; este D conjunto del Y Conjunto que dominio contiene el rango dominio se llama dominio natural. Si queremos restringir el dominio de alguna manera, debemos especificarlo. El dominio de y = x 2 es todo el conjunto completo de números FIGURA 1.23 Una función del conjunto reales. Para restringir el dominio de una función, digamos, a los valores positivos de x, de- D al conjunto Y asigna un único elemento bemos escribir “y = x 2, x 7 0.” de Y a cada elemento de D. Si cambiamos el dominio donde aplicamos una fórmula, por lo general también cam- bia el rango. El rango de y = x 2 es [0, q d . El rango de y = x 2, x Ú 2, es el conjunto de números obtenidos al elevar al cuadrado los números mayores que o iguales a 2. En nota- ción de conjuntos, el rango es 5x 2 ƒ x Ú 26 o 5y ƒ y Ú 46 o [4, q d. Cuando el rango de una función es un conjunto de números reales, se dice que la fun- ción es de valor real. Los dominios y rangos de muchas funciones reales de una variable real son intervalos o uniones de intervalos. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos, y finitos o infinitos. EJEMPLO 1 Identificar el dominio y el rango Verifique los dominios y rangos de estas funciones. Función Dominio (x) Rango ( y) y = x2 s - q, q d [0, q d y = 1/x s - q , 0d ´ s0, q d s - q , 0d ´ s0, q d y = 2x [0, q d [0, q d y = 24 - x s - q , 4] [0, q d y = 21 - x 2 [- 1, 1] [0, 1] Solución La función y = x 2 a valores reales en y para cualquier número real x, de mane- ra que el dominio es s - q , q d. El rango de y = x 2 es [0, q d ya que el cuadrado de cual- quier número real es no negativo, y cualquier número y no negativo es el cuadrado de su propia raíz cuadrada, y = A 2y B 2 para y Ú 0. La función y = 1>x da valores reales en y para toda x, excepto x = 0. No se puede di- vidir ningún número entre cero. El rango de y = 1>x, el conjunto de recíprocos de todo número real distinto de cero, es el conjunto de todos los reales distintos de cero, ya que y = 1>(1>y). La función y = 2x da valores reales en y sólo si x Ú 0. El rango de y = 2x es [0, q d, ya que todo número no negativo es la raíz cuadrada de algún número (es decir, es la raíz cuadrada de su propio cuadrado). 1.3 Funciones y sus gráficas 21 En y = 24 - x, el término 4 - x no puede ser negativo, por estar dentro de una raíz. Esto es, 4 - x Ú 0, o x … 4. La función da valores reales en y para todo x … 4. El rango de 24 - x es [0, q d, es decir, el conjunto de todos los números no negativos. La función y = 21 - x da valores reales en y para toda x en el intervalo cerrado de 2 –1 a 1. Fuera de este dominio, 1 - x 2 los valores dentro de la raíz son negativos y por lo tanto su raíz cuadrada no es un número real. Los valores de 1 - x 2 varían de 0 a 1 en el dominio dado, lo mismo que las raíces cuadradas de estos valores. El rango de 21 - x 2 es [0, 1]. Graficación de funciones Otra manera de visualizar una función es mediante su gráfica. Si f es una función con do- minio D, su gráfica consiste en el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano cu- yas coordenadas son los pares (ordenados) entrada-salida de f. En notación de conjuntos, la gráfica es 5sx, ƒsxdd ƒ x H D6. La gráfica de la función ƒsxd = x + 2 es el conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano con coordenadas (x, y) para los que y = x + 2. La gráfica se ha trazado en la figura 1.24. La gráfica de una función f es una representación visual de su comportamiento. Si (x, y) es un punto de la gráfica, entonces y = ƒsxd es la altura de la gráfica justo arriba del punto x. La altura puede ser positiva o negativa, dependiendo del signo de ƒsxd (figu- ra 1.25). y y f (1) f(2) x yx2 x 0 1 2 2 f(x) (x, y) x –2 0 FIGURA 1.24 La gráfica de FIGURA 1.25 Si (x, y) está en la gráfica ƒsxd = x + 2 es el conjunto de puntos de f, el valor y = ƒsxd es la altura de la (x, y) para los que y tiene el valor x + 2 . gráfica por encima del punto x (o por x y  x2 debajo de x si ƒ(x) es negativa). -2 4 -1 1 EJEMPLO 2 Trazar una gráfica 0 0 Trazar la gráfica de la función y = x 2 en el intervalo [- 2, 2]. 1 1 3 9 Solución 2 4 1. Haga una tabla de los pares (x,y) que satisfacen la regla de correspondencia de la fun- 2 4 ción y = x 2 . 22 Capítulo 1: Preliminares 2. Grafique los puntos (x, y) cuyas 3. Dibuje una curva suave que una los coordenadas aparecen en la tabla. puntos marcados Etiquétela con el Puede usar fracciones cuando sea nombre de su función conveniente para los cálculos y y (–2, 4) (2, 4) 4 4 y  x2 3 3 ⎛3 , 9⎛ 2 ⎝2 4⎝ 2 (–1, 1) 1 (1, 1) 1 x x –2 –1 0 1 2 –2 –1 0 1 2 Las computadoras y las calculadoras ¿Cómo sabemos que la gráfica de y = x 2 no se parece a una de estas curvas? graficadoras funcionan de esta manera en gran medida —encadenando los y y puntos marcados—, dando lugar al mismo cuestionamiento. y  x 2? y  x 2? x x Para averiguarlo podemos marcar más puntos. Pero, ¿cómo debemos conectarlos? La pregunta básica no ha sido respondida aún: ¿de qué manera se puede prever con segu- ridad la apariencia que tendrá la gráfica al unir los puntos que marcamos? Como vere- mos en el capítulo 4, el cálculo puede darnos la respuesta. Ahí usaremos la derivada para determinar la forma que tendrá la curva aun sin conectar los puntos marcados. Mientras tanto, nos conformaremos con localizar tales puntos y unirlos de la mejor manera posible. EJEMPLO 3 Evaluar una función a partir de su gráfica En la figura 1.26 se muestra la gráfica de una población p del insecto conocido como p “mosca de la fruta”. 350 (a) Determine la población que habrá de este insecto dentro de 20 y 45 días. 300 250 (b) ¿Cuál es el rango (aproximado) de la función de población en el intervalo 0 … t … 50? 200 150 Solución 100 50 (a) En la figura 1.26 observamos que el punto (20, 100) se ubica sobre la gráfica, de ma- 0 10 20 30 40 50 t nera que el valor de la población p en 20 es ps20d = 100. De la misma forma, el va- Tiempo (días) lor de p(45) es de más o menos 340. (b) El rango de la función población en 0 … t … 50 es aproximadamente [0, 345]. Tam- FIGURA 1.26 Gráfica de la mosca de la bién observamos que, conforme pasa el tiempo, la población se acerca cada vez más fruta contra el tiempo (ejemplo 3). al valor p = 350 . 1.3 Funciones y sus gráficas 23 Representación numérica de una función Hemos visto cómo una función puede representarse algebraicamente mediante una fórmu- la (por ejemplo: la función área), o visualmente mediante una gráfica (ejemplos 2 y 3). Otra manera de representar una función es numéricamente, mediante una tabla de valores. Los ingenieros y los profesionales en ciencias aplicadas suelen utilizar este tipo de repre- sentaciones. Por ejemplo, es posible —tal vez con ayuda de una computadora— obtener una gráfica de la función a partir de una tabla de valores apropiada y utilizando el método ilustrado en el ejemplo 2. La gráfica que se obtiene empleando únicamente los puntos de- terminados en una tabla se conoce como diagrama de dispersión. EJEMPLO 4 Una función definida por una tabla de valores Las notas musicales son ondas de presión en el aire y son susceptibles de registrarse. Los datos de la tabla 1.2 corresponden a los registros del desplazamiento de presión generado por una nota musical producida por un diapasón, en relación con el tiempo —en segun- dos— que dura el sonido. La tabla nos ofrece una representación de la función presión contra el tiempo. Si hacemos primero un diagrama de dispersión y después conectamos los puntos (t, p) determinados con ayuda de la tabla, obtenemos la gráfica de la figura 1.27. p (presión) TABLA 1.2 Datos del diapasón 1.0 Tiempo Presión Tiempo Presión 0.8 Datos 0.6 0.00091 -0.080 0.00362 0.217 0.4 0.00108 0.200 0.00379 0.480 0.2 t (seg.) 0.00125 0.480 0.00398 0.681 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.2 0.00144 0.693 0.00416 0.810 0.4 0.6 0.00162 0.816 0.00435 0.827 0.00180 0.844 0.00453 0.749 FIGURA 1.27 Curva suave que pasa por los puntos 0.00198 0.771 0.00471 0.581 trazados da una gráfica de la función presión representada por 0.00216 0.603 0.00489 0.346 la tabla 1.2. 0.00234 0.368 0.00507 0.077 0.00253 0.099 0.00525 - 0.164 0.00271 -0.141 0.00543 - 0.320 0.00289 -0.309 0.00562 - 0.354 0.00307 -0.348 0.00579 - 0.248 0.00325 -0.248 0.00598 - 0.035 0.00344 - 0.041 La prueba de la recta vertical No todas las curvas son gráficas de funciones. Una función f sólo puede tener un valor ƒ(x) para cada x en su dominio, de manera que ninguna recta vertical puede intersecar más de una vez la gráfica de una función. De acuerdo con ello, un círculo no puede ser la grá- fica de una función, ya que al trazar una recta vertical ésta intersecará al círculo dos veces (figura 1.28a). Si a está en el dominio de una función f, la recta vertical x = a intersecará a la gráfica de la función f en un solo punto (a, ƒ(a)). El círculo de la figura 1.28a, sin embargo, contiene la gráfica de dos funciones de x; el semicírculo superior, definido por la función ƒsxd = 21 - x 2 y el semicírculo infe- rior, definido por la función gsxd = - 21 - x 2 (figuras 1.28b y 1.28c). 24 Capítulo 1: Preliminares y y y 1 1 x x x 1 0 1 1 0 1 0 (a) x 2  y 2  1 (b) y  1  x 2 (c) y  1  x 2 FIGURA 1.28 El círculo no es la gráfica de una función, ya que no cumple la prueba de la recta vertical. (b) El semicírculo superior es la gráfica de la función ƒsxd = 21 - x 2 . (c) El semicírculo inferior es la gráfica de la función gsxd = - 21 - x 2 . y Funciones definidas por partes y  x y  –x 3 En ocasiones, una función se describe usando distintas fórmulas en diferentes partes de su yx 2 dominio. Un ejemplo de esto es la función valor absoluto 1 ƒxƒ = e x, x Ú 0 x - x, x 6 0, –3 –2 –1 0 1 2 3 cuya gráfica se da en la figura 1.29. A continuación se ofrecen otros ejemplos. FIGURA 1.29 La función valor absoluto tiene el dominio s - q , q d y el rango [0, q d . EJEMPLO 5 Trazar la gráfica de la función definida por partes La función es -x, x 6 0 ƒsxd = • x 2, 0 … x … 1 1, x 7 1 Está definida para todo número real, pero tiene valores dados por diferentes fórmulas, de- y pendiendo de la posición de x. Los valores de f están dados por: y = - x cuando x 6 0, y = x 2 cuando 0 … x … 1 y y = 1 cuando x 7 1. Sin embargo, se trata de una y  –x y  f (x) sola función cuyo dominio es todo el conjunto de los números reales (figura 1.30). 2 y1 1 y  x2 EJEMPLO 6 La función mayor entero x La función cuyo valor en cualquier número x es el mayor entero menor que o igual a x se –2 –1 0 1 2 llama función mayor entero, o función piso entero. Esta función se denota mediante :x; , FIGURA 1.30 Para trazar la o, en algunos libros, con [x] o [[x]] o int x. En la figura 1.31 se muestra la gráfica. Obser- gráfica de la función y = ƒsxd, ve que :2.4; = 2, :1.9; = 1, :0; = 0, : -1.2; = - 2, ilustrada aquí, aplicamos diferentes fórmulas para distintas partes del dominio (ejemplo 5). :2; = 2, :0.2; = 0, : -0.3; = - 1 : -2; = - 2. 1.3 Funciones y sus gráficas 25 y FIGURA 1.31 La gráfica de la yx función mayor entero y = :x; está 3 sobre o por debajo de la recta 2 y = x , de manera que ofrece un y  ⎣x⎦ piso entero para x (ejemplo 6). 1 x 2 1 1 2 3 2 EJEMPLO 7 La función menor entero y La función cuyo valor en cualquier número x es el menor entero mayor que o igual a x se yx llama función menor entero, o función techo entero. Esta función se denota mediante < x = . La figura 1.32 muestra la gráfica. Para valores positivos de x, esta función puede re- 3 2 presentar, por ejemplo, el costo de utilizar x horas un lugar de estacionamiento, pagando y  ⎡x⎤ 1 $1 por cada hora o fracción de hora. x 2 1 1 2 3 EJEMPLO 8 Encontrar fórmulas para funciones definidas por partes 1 2 Encuentre una fórmula para la función y = ƒsxd, cuya gráfica se ilustra en la figura 1.33 y consiste de dos segmentos de recta. FIGURA 1.32 La gráfica de la función menor entero y = < x = Solución Primero encontramos las fórmulas para los segmentos de (0, 0) a (1, 1) y (1, 0) está sobre o por encima de la recta a (2, 1) y luego unimos ambas partes, como en el ejemplo 5. y = x , así que proporciona un Segmento de (0, 0) a (1, 1) La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente techo completo para x (ejemplo 7). m = s1 - 0d>s1 - 0d = 1 y ordenada al origen b = 0. Su ecuación punto-pendiente es y = x. El segmento que pasa por (0, 0) a (1, 1) que incluye el punto (0, 0) pero no el pun- to (1, 1) es la gráfica de la función y = x restringida al intervalo semiabierto 0 … x 6 1, es decir, y = x, 0 … x 6 1. El segmento de (1, 0) a (2, 1)La recta que pasa por (1, 0) y (2, 1) tiene pendiente m = s1 - 0d>s2 - 1d = 1 y pasa por el punto (1, 0). La ecuación punto pendiente co- y rrespondiente a esta recta es y  f (x) (1, 1) (2, 1) y = 0 + 1(x - 1), o y = x - 1. 1 El segmento de (1, 0) a (2, 1), que incluye ambos extremos, es la gráfica de y = x - 1, restringida al intervalo cerrado 1 … x … 2, es decir, x 0 1 2 y = x - 1, 1 … x … 2. FIGURA 1.33 El segmento de la La función por partes Al combinar las fórmulas para las dos partes de la gráfica, obte- izquierda contiene a (0, 0) pero no a nemos (1, 1). El segmento de la derecha ƒsxd = e contiene ambos puntos extremos x, 0 … x 6 1 (ejemplo 8). x - 1, 1 … x … 2. 26 Capítulo 1: Preliminares EJERCICIOS 1.3 Funciones 12. Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud d de su diagonal. Después, exprese el área del cuadra- En los ejercicios 1-6, encuentre el dominio y el rango de cada función. do como una función de la longitud de su diagonal. 1. ƒsxd = 1 + x 2 2. ƒsxd = 1 - 2x 13. Exprese la longitud de la arista de un cubo como una función de 1 1 la longitud d de su diagonal. Después, exprese el área y el volu- 3. F std = 4. F std = men del cubo como una función de la longitud de su diagonal. 2t 1 + 2t 1 14. Un punto P del primer cuadrante se ubica en la gráfica de la fun- 5. g szd = 24 - z 2 6. g szd = ción ƒsxd = 2x . Exprese las coordenadas de P como función de 24 - z 2 la pendiente de la recta que une P con el origen. De las gráficas que se muestran en los ejercicios 7 y 8, determine cuá- les de ellas corresponden a funciones de x así como cuáles de ellas no lo son. Justifique sus respuestas. Funciones y gráficas 7. a. y b. y Encuentre el dominio y grafique cada función de los ejercicios 15-20. 15. ƒsxd = 5 - 2x 16. ƒsxd = 1 - 2x - x 2 17. g sxd = 2ƒ x ƒ 18. g sxd = 2 - x 19. F std = t> ƒ t ƒ 20. G std = 1> ƒ t ƒ 21. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, y explique por qué x x no son las gráficas de funciones de x. 0 0 a. ƒ y ƒ = x b. y 2 = x 2 8. a. y b. y 22. Trace la gráfica de las siguientes ecuaciones, y explique por qué no son las gráficas de funciones de x. a. ƒ x ƒ + ƒ y ƒ = 1 b. ƒ x + y ƒ = 1 Funciones definidas por partes x x Trace la gráfica de las funciones de los ejercicios 23-26. 0 0 23. ƒsxd = e x, 0 … x … 1 2 - x, 1 6 x … 2 9. Considere la función y = 2s1>xd - 1 . 24. g sxd = e 1 - x, 0 … x … 1 a. ¿x puede ser negativa? 2 - x, 1 6 x … 2 b. ¿x puede ser igual a 0? 25. F sxd = e 3 - x, x … 1 c. ¿x puede ser mayor que 1? 2x , x 7 1 d. ¿Cuál es el dominio de la función? 26. G sxd = e 1>x , x 6 0 x, 0 … x 10. Considere la función y = 22 - 1x . a. ¿x puede ser negativa? 27. Encuentre una fórmula para cada función graficada. b. ¿ 2x puede ser mayor que 2? a. y b. y c. ¿Cuál es el dominio de la función? (1, 1) 1 2 Determinación de fórmulas para funciones 11. Exprese el área y el perímetro de un triángulo equilátero como x t una función de la longitud x del lado del triángulo. 0 2 0 1 2 3 4 1.3 Funciones y sus gráficas 27 28. a. y b. y Teoría y ejemplos 37. Se construye una caja sin tapa con una pieza rectangular de cartón 2 3 (2, 1) que mide 14 por 22 pulgadas, cortando en cada esquina cuadra- 2 dos del mismo tamaño de lado x, y doblando después los cuatro x 2 5 1 extremos hacia arriba, como se ilustra en la figura. Exprese el vo- x lumen V que admite la caja, o capacidad de la caja, como una fun- –1 1 2 –1 ción de x. (2, –1) –2 22 –3 x x x x 14 x x 29. a. y b. y x x (–1, 1) (1, 1) 2 1 38. En la siguiente figura se muestra un rectángulo inscrito en un x triángulo rectángulo isósceles cuya hipotenusa mide 2 unidades 3 x 1 de largo. (–2, –1) (1, –1) (3, –1) a. Exprese la coordenada y del punto P en términos de x. (Podría empezar por escribir una ecuación para la recta AB). b. Exprese el área del rectángulo en términos de x. 30. a. y b. y (T, 1) y 1 A B t 0 T T 3T 2T 2 2 x A 0 T T P(x, ?) 2 A x T 31. a. Grafique juntas, en el mismo sistema de coordenadas (o plano 1 0 x 1 cartesiano), las funciones ƒsxd = x>2 y g sxd = 1 + s4>xd e identifique los valores de x para los cuales se cumple que x 4 39. Problema acerca de un cono Comience este ejercicio con una 7 1 + x. 2 pieza circular de papel con un radio de 4 pulgadas, como se mues- b. Confirme algebraicamente que sus valores encontrados para x tra en la figura de la parte (a). Corte un sector con una longitud de cumplen con el inciso (a). arco x. Junte las dos aristas de la parte restante para formar la su- T 32. a. Grafique juntas, en el mismo sistema de coordenadas, las fun- perficie de un cono con radio r y altura h, como se ilustra en la ciones ƒsxd = 3>sx - 1d y g sxd = 2>sx + 1d e identifique parte (b) de la figura. los valores de x para los cuales se cumple que 3 2 6 . x - 1 x + 1 b. Confirme algebraicamente que sus valores encontrados para x cumplen con el inciso (a). 4 pulg. Las funciones mayor y menor entero 4 pulg. 33. ¿Para qué valores de x? h a. : x ; = 0 ? b. < x = = 0 ? x r 34. ¿Qué números reales x satisfacen la ecuación :x ; = < x = ? (a) (b) 35. ¿ < - x = = - : x; para toda x real? Justifique su respuesta. a. Explique por qué la circunferencia de la base del cono es 36. ¿Para qué valores de x? 8p - x . : x ;, ƒsxd = e x Ú 0 b. Exprese el radio r como una función de x. <x=, x 6 0 c. Exprese la altura h como una función de x. ¿Por qué a ƒ(x) se le denomina parte entera de x? d. Exprese el volumen V del cono como una función de x. 28 Capítulo 1: Preliminares 40. Costo industrial La compañía Dayton Power and Light tiene directamente opuesto a la planta. Escriba una función C(x) una planta eléctrica en el río Miami, en un sector donde el torrente para determinar cuánto costaría tender el cable en términos de tiene un ancho de 800 pies. Tender un nuevo cable de la planta la distancia x. hasta un lugar de la ciudad que se encuentra a 2 millas río abajo b. Genere una tabla de valores para determinar si la posición del en el lado opuesto cuesta $180 por pie a través del río y $100 por punto Q menos costosa está a menos de 2000 pies o a más de pie en tierra. 2000 pies del punto P. 41. Una curva es simétrica con respecto al eje x, si cada vez que el 2 millas punto (x, y) está sobre la curva el punto sx, -yd también lo está y P x Q Dayton viceversa. Explique por qué una curva simétrica con respecto al eje x no es la gráfica de una función, a menos que esta última sea y = 0. 800 pies 42. Un truco de magia Quizás haya oído hablar acerca de este tru- co de magia: piense en un número cualquiera; luego súmele 5 y duplique el resultado; reste 6 y divida el resultado entre 2; por úl- Planta eléctrica (No está a escala) timo, reste 2. Al terminar, se dice la respuesta y el mago adivina el número con el que se empezó. Elija un número e inténtelo. Para comprender cuál es el truco, deje que x sea el número a. Supongamos que el cable va de la planta a un punto Q en el original y siga los pasos para hacer una fórmula, respecto de x ƒ(x) lado opuesto del río, lugar que se ubica a x pies del punto P y encontrar el número con el que se concluye. 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos En el cálculo existen diversos tipos de funciones. A continuación las identificaremos y ha- remos un breve resumen de cada una de ellas. Funciones lineales Las funciones de la forma ƒsxd = mx + b, para constantes m y b, reciben el nombre de funciones lineales. En la figura 1.34 se muestra un conjunto de rec- tas ƒsxd = mx donde b = 0, de manera que estas rectas pasan por el origen. Las funcio- nes constantes se presentan cuando la pendiente m = 0 (figura 1.35). y m 3 m2 y  3x y  2x m 1 m1 yx y y x 1 m 2 1 y x 2 0 x 2 y3 2 1 x 0 1 2 FIGURA 1.34 El grupo de rectas y = mx tiene pendiente m y todas las rectas pasan FIGURA 1.35 Una función por el origen. constante tiene pendiente m = 0 . 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 29 a Funciones de potencias Las funciones ƒsxd = x , donde a es una constante, se llaman funciones de potencia. Dentro de esta categoría hay varios casos importantes a considerar. (a) a = n, un entero positivo. En la figura 1.36 se muestran las gráficas de ƒsxd = x n , para n = 1, 2, 3, 4, 5. Estas fun- ciones están definidas para todos los valores reales de x. Observe que, a medida que au- menta la potencia n, las curvas tienden a ensancharse hacia el eje x en el intervalo s - 1, 1d, y también que se elevan con una inclinación mayor para ƒ x ƒ 7 1. Cada curva pasa por el punto (1, 1) y por el origen. y yx y y y y y x5 y  x2 y  x3 y  x4  1 1 1 1 1 x x x x x –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 0 1 –1 –1 –1 –1 –1 FIGURA 1.36 Gráficas de ƒsxd = x n, n = 1, 2, 3, 4, 5 definidas para - q 6 x 6 q . (b) a = - 1 o a = -2. En la figura 1.37 se muestran las gráficas de las funciones ƒsxd = x -1 = 1>x y gsxd = x-2 = 1>x2. Ambas funciones están definidas para todo x Z 0 (en ningún caso es posible dividir entre cero). La gráfica de y = 1>x es la hipérbola xy = 1 que se aproxima a los ejes coordenados lejos del origen. La gráfica de y = 1>x 2 también se aproxima a los ejes coordenados. y y y  1x y  12 x 1 x 0 1 1 Dominio: x  0 x Rango: y  0 0 1 Dominio: x  0 Rango: y  0 (a) (b) FIGURA 1.37 Gráficas de las funciones de potencia ƒsxd = x a para el inciso (a) a = - 1 y para el inciso (b) a = - 2 . 1 1 3 2 (c) a = , , y . 2 3 2 3 Las funciones ƒsxd = x 1>2 = 2x y gsxd = x 1>3 = 2 3 x son las funciones raíz cuadra- da y raíz cúbica, respectivamente. El dominio de la función raíz cuadrada es [0, q d, pero la función raíz cúbica está definida para todo x real. En la figura 1.38 se muestran sus gráficas, junto con las gráficas de y = x 3>2 y y = x 2>3 . (Recuerde que x 3>2 = sx 1>2 d3 y x 2>3 = sx 1>3 d2). 30 Capítulo 1: Preliminares y y y  x 3 1 y  x 1 x x 0 1 0 1 Dominio: 0  x   Dominio:   x   Rango: 0  y   Rango: y y y y  x 32 y  x 23 1 1 x x 0 1 0 1 Dominio: 0  x   Dominio:   x   Rango: 0  y   Rango: 0  y   1 1 3 2 FIGURA 1.38 Gráficas de funciones de potencia ƒsxd = x a para a = , , ,y . 2 3 2 3 Polinomios Una función p es un polinomio o función polinomial si psxd = an x n + an - 1x n - 1 + Á + a1 x + a0 En donde n es un entero no negativo y los números a0 , a1 , a2 , Á , an son constantes reales (llamados coeficientes del polinomio). Todas las funciones polinomiales tienen como do- minio s - q , q d . Si el coeficiente del término dominante es an Z 0 y n 7 0, entonces n es el grado del polinomio. Las funciones lineales con m Z 0 son polinomios de grado 1. Usualmente los polinomios de grado 2 se escriben como psxd = ax 2 + bx + c, y se lla- man funciones cuadráticas. De manera similar, las funciones cúbicas son polinomios psxd = ax 3 + bx 2 + cx + d de grado 3. En la figura 1.39 se muestran las gráficas de tres funciones polinomiales. En el capítulo 4 aprenderemos a graficar funciones polinomiales. 3 2 y  x  x  2x  1 3 2 3 y 4 y y y  (x  2)4(x  1)3(x  1) y  8x 4  14x 3  9x 2  11x  1 16 2 2 x –1 1 2 x –2 –4 –2 0 2 4 –4 x –1 0 1 2 –6 –2 –8 –10 –16 –4 –12 (a) (b) (c) FIGURA 1.39 Gráficas de tres funciones polinomiales. 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 31 Funciones racionales Una función racional es un cociente o razón de dos polinomios de la forma: psxd ƒsxd = qsxd en donde p y q son polinomios. El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales x para los que qsxd Z 0. Por ejemplo, 2x 2 - 3 ƒsxd = 7x + 4 es una función racional con el dominio 5x ƒ x Z - 4>76. Su gráfica se muestra en la figu- ra 1.40a, junto con las de otras dos funciones racionales (1.40b y 1.40c). y y 8 y  11x3  2 y 2 2x  1 4 y  5x 2 8x  3 6 3x  2 2 2 4 2 y  2x  3 Recta y  5 7x  4 3 1 2 x x x –4 –2 2 4 –5 0 5 10 –4 –2 0 2 4 6 –1 –2 –2 –4 –2 –4 NO ESTÁ A ESCALA –6 –8 (a) (b) (c) FIGURA 1.40 Gráficas de tres funciones racionales. Funciones algebraicas Una función algebraica es la que se construye a partir de po- linomios usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división y con raíces). Las funciones racionales son casos especiales de las funciones algebraicas. En la figura 1.41 se muestran tres gráficas de funciones algebraicas. Funciones trigonométricas En la sección 1.6 repasaremos las funciones trigonométri- cas. En la figura 1.42 se muestran las gráficas de las funciones seno y coseno. Funciones exponenciales Las funciones de la forma ƒsxd = a x , donde la base a 7 0 es una constante positiva y a Z 1, se llaman funciones exponenciales. Todas las funciones exponenciales tienen dominio s - q , q d y rango s0, q d. Así, una función exponencial nunca vale cero. En la figura 1.43 se muestran las gráficas de algunas funciones exponen- ciales; su estudio desde el punto de vista del cálculo se abordará en el capítulo 7. Funciones logarítmicas Son las funciones ƒsxd = loga x, donde la base a Z 1 es una constante positiva. Se trata de las funciones inversas de las funciones exponenciales, y su 32 Capítulo 1: Preliminares y y y  x(1  x)2/5 y  x 1/3(x  4) 4 y  3 (x 2  1) 2/3 3 4 y 2 1 1 x x x –1 0 4 0 0 5 1 7 –1 –2 –1 –3 (a) (b) (c) FIGURA 1.41 Gráficas de tres funciones algebraicas. y y 1 p 1 3p 5p 3p 2 2 2 x x p 0 p 2p 0 p 1 1 2 (a) f (x) 5 sen x (b) f (x) 5 cos x FIGURA 1.42 Gráficas de las funciones seno y coseno. y y y 10 x y  10 x 12 12 10 10 8 8 x 6 y3 6 y  3x 4 4 2 2 y  2x y2 x x x 1 0.5 0 0.5 1 1 0.5 0 0.5 1 (a) y  2 x, y  3 x, y  10 x (b) y  2 x, y  3 x, y  10 x FIGURA 1.43 Gráficas de funciones exponenciales. estudio se abordará en el capítulo 7. En la figura 1.44 se muestran las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con distintas bases. En cada caso el dominio es s0, q d y el rango es s - q , q d. Funciones trascendentes Son funciones no algebraicas. Entre ellas están las funciones trigonométricas, las inversas trigonométricas, las exponenciales, las logarítmicas y muchas 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 33 y y  log 2 x otras (tales como las funciones hiperbólicas que analizaremos en el capítulo 7). Un ejem- y  log 3 x plo de una función trascendente es la catenaria. Su gráfica toma la forma de un cable, co- mo el del teléfono o el televisor, cuyos extremos están sujetos por dos soportes, y que 1 cuelga libremente por su propio peso (figura 1.45). x 0 1 y  log5 x EJEMPLO 1 Identificar el tipo de función 1 y  log10 x De acuerdo con la descripción de la sección precedente, identifique a qué tipo pertenece cada una de las funciones dadas a continuación. Tenga en cuenta que algunas funciones pueden pertenecer a más de una categoría. Por ejemplo, ƒsxd = x 2 es, al mismo tiempo, FIGURA 1.44 Gráficas de cuatro una función potencia y una función polinomial de segundo grado. funciones logarítmicas. 1 5 (a) ƒsxd = 1 + x - x (b) gsxd = 7x (c) hszd = z 7 2 (d) ystd = sen Qt - R p y 4 Solución 1 5 (a) ƒsxd = 1 + x - x es una función polinomial de grado 5. 2 (b) gsxd = 7x es una función exponencial de base 7. Observe que la variable x es el ex- 1 ponente. x (c) hszd = z 7 es una función potencia. (La variable z es la base). –1 0 1 (d) ystd = sen Qt - R es una función trigonométrica. p FIGURA 1.45 Gráfica de una catenaria 4 (del latín catena, que significa “cadena”) o cable colgante. Funciones crecientes y decrecientes Si la gráfica de una función sube o se eleva conforme nos movemos de izquierda a derecha (por el eje x), decimos que la función es creciente; si desciende o baja a medida que nos movemos de izquierda a derecha, decimos que es decreciente. En la sección 4.3 se dan las definiciones formales de funciones crecientes y funciones decrecientes, y se explica cómo encontrar los intervalos en los que una función es creciente y en los que es decreciente. Los siguientes son ejemplos que se ilustran en las figuras 1.36, 1.37 y 1.38. Función Donde crece Donde decrece y = x2 0 … x 6 q -q 6 x … 0 y = x3 -q 6 x 6 q Ningún punto y = 1>x Ningún punto -q 6 x 6 0y0 6 x 6 q y = 1>x 2 -q 6 x 6 0 0 6 x 6 q y = 2x 0 … x 6 q Ningún punto 2>3 y = x 0 … x 6 q -q 6 x … 0 Funciones pares y funciones impares: simetría Las gráficas de funciones pares e impares se caracterizan por sus propiedades de simetría. 34 Capítulo 1: Preliminares DEFINICIONES Función par, función impar Una función y = ƒsxd es una función par de x si ƒs -xd = ƒsxd, función impar de x si ƒs -xd = - ƒsxd, para toda x en el dominio de la función. y Los nombres de par e impar para las funciones se deben a las potencias de x. Si y es una potencia par de x como en y = x 2 o y = x 4 , constituye una función par de x (ya que y  x2 s -xd2 = x 2 y s - xd4 = x 4 d. Si y es una potencia impar de x, como en y = x o y = x 3 , re- presenta una función impar de x (ya que s -xd1 = - x y s -xd3 = - x 3 d. ( x, y) (x, y) La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. Como ƒs -xd = ƒsxd, un punto (x, y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto s -x , yd también lo está (figura x 1.46a). Una reflexión sobre del eje y deja la gráfica igual. 0 La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Como (a) ƒs - xd = - ƒsxd, un punto (x, y) está sobre la gráfica si y sólo si el punto s -x, - yd tam- bién lo está (figura 1.46b). De manera equivalente, una gráfica es simétrica respecto al y origen si una rotación de 180º alrededor del mismo deja la gráfica igual. Observe que las y  x3 definiciones implican que tanto -x deben estar en el dominio de f. (x, y) EJEMPLO 2 Reconocer funciones pares e impares x 0 ƒsxd = x 2 Función par: s -xd2 = x 2 para todo x; es simetría respecto al eje y ƒsxd = x 2 + 1 Función par: s -xd2 + 1 = x 2 + 1 para todo x; es simetría respec- ( x, y) to al eje y (figura 1.47a). ƒsxd = x Función impar: s -xd = - x para todo x; es simetría respecto al (b) origen FIGURA 1.46 En la parte (a), la gráfica de y = x 2 (una función par) es simétrica y y respecto del eje y. En la parte (b), la y  x2  1 gráfica de y = x 3 (una función impar) es simétrica respecto del origen. y  x2 yx1 yx 1 1 x x 0 –1 0 (a) (b) FIGURA 1.47 (a) Cuando sumamos el término constante 1 a la función y = x 2 , la función resultante y = x 2 + 1 sigue siendo par y su gráfica sigue siendo simétrica respecto del eje y (b) Cuando sumamos el término constante 1 a la función y = x , la función resultante y = x + 1 ya no es impar. La simetría respecto del origen se pierde (ejemplo 2). 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 35 ƒsxd = x + 1 No es impar: ƒs - xd = - x + 1 , pero - ƒsxd = - x - 1 . Las dos son diferentes. No es par: s - xd + 1 Z x + 1 para toda x Z 0 (figura 1.47b). Ninguna de las dos. Modelos matemáticos Para ayudarnos a entender mejor nuestro mundo, es frecuente que recurramos a descrip- ciones matemáticas de fenómenos particulares, por ejemplo, utilizando una función o una ecuación. Tales descripciones son llamados modelos matemáticos que constituyen una idealización de los fenómenos del mundo real, y rara vez son representaciones completa- mente exactas. A pesar de que todos los modelos tienen limitaciones, uno bueno puede proveer valiosos resultados y conclusiones, tal como se ilustra en la figura 1.48. Datos del Simplificación Construcción mundo real del modelo Verificación Análisis Predicciones/ Conclusiones explicaciones matemáticas Interpretación FIGURA 1.48 Flujo del proceso de modelado, empezando con un análisis de los datos del mundo real. Casi todos los modelos simplifican la realidad, y sólo son capaces de imitar el com- portamiento del mundo real de forma aproximada. Una relación que permite este tipo de simplificación es la proporcionalidad. DEFINICIÓN Proporcionalidad Dos variables y y x son proporcionales (una respecto a la otra) si una siempre es una constante multiplicada por la otra; es decir, si y = kx para alguna constante k distinta de cero. La definición anterior implica que la gráfica de y contra x es de una recta que pasa por el origen. Esta observación gráfica es útil para probar si una colección de datos determina- da da por resultado una relación razonable de proporcionalidad. Si una proporcionalidad es razonable, la graficación de una variable contra la otra debe aproximarse a una recta que pasa por el origen. EJEMPLO 3 La Tercera Ley de Kepler La Tercera Ley de Kepler es una famosa proporcionalidad, postulada por el astrónomo ale- mán Johannes Kepler a principios del siglo XVII. Si T es el periodo, en días, que transcu- rre para que un planeta describa una órbita completa alrededor del Sol, y R es la distancia media entre el planeta y el Sol, de acuerdo con Kepler T es proporcional a R elevado a la potencia 3/2. Esto es, para alguna constante k, T = kR 3>2 . 36 Capítulo 1: Preliminares Comparemos la ley de Kepler con los datos de la tabla 1.3, tomados de un almanaque mundial publicado en 1993. TABLA 1.3 Periodos orbitales y distancias medias de los planetas al Sol T R Distancia media Planeta Periodo (días) (miles de millones) Mercurio 88.0 36 Venus 224.7 67.25 Tierra 365.3 93 Marte 687.0 141.75 Júpiter 4,331.8 483.80 Saturno 10,760.0 887.97 Urano 30,684.0 1,764.50 Neptuno 60,188.3 2,791.05 Plutón 90,466.8 3,653.90 El principio gráfico de este ejemplo puede ser nuevo para usted. Para trazar la gráfica de T contra R 3>2 primero calculamos el valor de R 3>2 para cada valor de la tabla 1.3. Por ejemplo, 3653.90 3>2 L 220,869.1 y 363>2 = 216. El eje horizontal representa R 3>2 (no los valores de R) y graficamos los pares ordenados sR 3>2, Td en el plano cartesiano como se muestra en la figura 1.49. La graficación de los pares ordenados, o diagrama de disper- sión, nos da una representación gráfica del periodo contra la distancia media elevada a la potencia 3/2. Observe que el diagrama de dispersión ilustrado en la figura está, aproximada- mente, a lo largo de la recta que pasa por el origen. Tomando dos puntos que estén en dicha recta podemos estimar con facilidad la pendiente, que es la constante de proporcionalidad (en días por millas * 10 -4). 90, 466.8 - 88 k = pendiente = L 0.410 220,869.1 - 216 Estimamos que el modelo de la Tercera Ley de Kepler es T = 0.410R 3>2 (el resultado de- pende de las unidades que decidamos utilizar). Es preciso que seamos cautos y puntualice- mos que ésta no es una prueba de la Tercera Ley de Kepler. No podemos probar o verificar T 90,000 Periodo (días) 60,000 30,000 0 R 3/2 0 80,000 160,000 240,000 (Millas 10 4 ) FIGURA 1.49 Gráfica de la tercera ley de Kepler como una proporcionalidad: T = 0.410R 3>2 (ejemplo 3). 1.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 37 un teorema a partir de sólo unos cuantos ejemplos. Sin embargo, la figura 1.49 sugiere que la Tercera Ley de Kepler es razonable. El concepto de proporcionalidad es una manera de verificar qué tan razonable es la relación que se ha supuesto entre dos variables, como en el ejemplo 3. También puede dar- nos la base para construir íntegramente un modelo empírico a partir de una tabla de datos recopilados, para el modelo. EJERCICIOS 1.4 Reconocimiento de funciones 6. a. y = 5x b. y = 5x c. y = x 5 En los ejercicios 1-4, identifique de qué tipo de función se trata en y cada caso: constante, lineal, de potencia, polinomial (establezca el g grado), racional, algebraica, trigonométrica, exponencial o logarítmi- ca. Recuerde que algunas funciones pueden corresponder a más de una categoría. h 1. a. ƒsxd = 7 - 3x b. gsxd = 2 5 x x x2 - 1 0 c. hsxd = d. rsxd = 8x x2 + 1 2. a. Fstd = t 4 - t b. Gstd = 5t f c. Hszd = 2z 3 + 1 d. Rszd = 2 3 7 z 3 + 2x 3. a. y = b. y = x 5>2 - 2x + 1 x - 1 Funciones crecientes y decrecientes c. y = tan px d. y = log7 x Trace las gráficas de las funciones de los ejercicios 7-18. ¿Qué sime- trías (si las hay) tienen las gráficas? Especifique los intervalos en don- 4. a. y = log5 a t b 5 1 z b. ƒszd = de la función es creciente y los intervalos donde es decreciente. 2z + 1 d. w = 5 cos a + b t p 1 c. gsxd = 21>x 7. y = - x 3 8. y = - 2 6 x2 1 1 9. y = - x 10. y = En los ejercicios 5 y 6, relacione cada función con su gráfica. No utilice ƒxƒ calculadora graficadora ni computadora, y justifique sus respuestas. 11. y = 2ƒ x ƒ 12. y = 2 -x 5. a. y = x 4 b. y = x 7 c. y = x 10 13. y = x 3>8 14. y = - 4 2x 3>2 y 15. y = - x 16. y = s -xd3>2 g 17. y = s - xd2>3 18. y = - x 2>3 h Funciones pares e impares En los ejercicios 19-30, determine si la función es par, impar o ningu- x na de las dos. Justifique sus respuestas usando la definición. 0 f 19. ƒsxd = 3 20. ƒsxd = x -5 21. ƒsxd = x 2 + 1 22. ƒsxd = x 2 + x 23. gsxd = x 3 + x 24. gsxd = x 4 + 3x 2 - 1 38 Capítulo 1: Preliminares 1 x tentativamente “Quaoar”. El planeta “nuevo” está aproximada- 25. gsxd = 26. gsxd = x2 - 1 x2 - 1 mente a 4000 millones de millas de la Tierra, en el extremo del 1 sistema solar conocido como Cinturón de Kuiper. Usando la Ter- 27. hstd = 28. hstd = ƒ t 3 ƒ cera Ley de Kepler, estime el tiempo T que requiere Quaoar para t - 1 describir una órbita completa alrededor del Sol. 29. hstd = 2t + 1 30. hstd = 2 ƒ t ƒ + 1 T 35. Alargamiento de un resorte Es necesario crear un modelo pa- ra determinar la respuesta de un resorte con diferentes cargas, con Proporcionalidad el propósito de diseñar un vehículo que responda apropiadamente En los ejercicios 31 y 32, evalúe si el conjunto de datos dados satisfa- a las condiciones de un camino, sin importar que se trate de un cen razonablemente la suposición de proporcionalidad señalada. Trace camión de volteo, un vehículo utilitario o un auto de lujo. Se rea- un diagrama de dispersión apropiado para su investigación y, si la hi- lizó un experimento para medir el estiramiento y de un resorte, en pótesis de proporcionalidad parece razonable, estime la constante de pulgadas, como una función del número x de unidades de masa proporcionalidad. colocadas como carga en él. 31. a. y es proporcional respecto a x x (núm. de uni- y 1 2 3 4 5 6 7 8 dades de masa) 0 1 2 3 4 5 x 5.9 12.1 17.9 23.9 29.9 36.2 41.8 48.2 y (alargamiento 1>2 en pulgadas) 0 0.875 1.721 2.641 3.531 4.391 b. y es proporcional respecto a x y 3.5 5 6 7 8 x (núm. de uni- dades de masa) 6 7 8 9 10 x 3 6 9 12 15 y (alargamiento 32. a. y es proporcional respecto a 3x en pulgadas) 5.241 6.120 6.992 7.869 8.741 y 5 15 45 135 405 1215 3645 10,935 a. Trace un diagrama de dispersión a partir de los datos, para x 0 1 2 3 4 5 6 7 comprobar qué tan razonable es la hipótesis de que el estira- miento y es proporcional respecto a la masa x. b. y es proporcional respecto a x b. Estime la constante de proporcionalidad mediante la gráfica y 2 4.8 5.3 6.5 8.0 10.5 14.4 15.0 que obtuvo en el inciso (a). x 2.0 5.0 6.0 9.0 14.0 35.0 120.0 150.0 c. Prediga el estiramiento del resorte con una carga de 13 unida- T 33. La siguiente tabla muestra la distancia recorrida por un automóvil des de masa. durante el tiempo que pasa entre la reacción del conductor y el 36. Pinos de La Ponderosa En la tabla siguiente, x representa la uso de los frenos (distancia de reacción), y la distancia que reco- cincha (circunferencia), medida en pulgadas (in.), que tiene un pi- rre el auto entre el uso de los frenos y el frenado completo (dis- no a una altura determinada, y y representa el número de pies de tancia de frenado). Las distancias (en pies) dependen de la veloci- tabla (pt) de la madera que se obtiene de él finalmente. dad a la que esté circulando el auto (en millas por hora). Determine si las siguientes suposiciones de proporcionalidad son x (pulg.) 17 19 20 23 25 28 32 38 39 41 razonables, y estime las constantes de proporcionalidad. y (pt) 19 25 32 57 71 113 123 252 259 294 a. la distancia de reacción es proporcional a la velocidad. Formule y compruebe estos dos modelos: que el número de pies b. la distancia de frenado es proporcional al cuadrado de la velocidad. de tabla utilizables es proporcional (a) al cuadrado de la cincha, y 34. En octubre de 2002 los astrónomos descubrieron, más allá de (b) al cubo de la cincha. ¿Cuál de estos modelos ofrece una “ex- Neptuno, un pequeño planeta congelado y rocoso al que llamaron plicación” más apropiada que el otro? Rapidez (mph) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 Distancia de reacción (pies) 22 28 33 39 44 50 55 61 66 72 77 83 88 Distancia de frenado (pies) 20 28 41 53 72 93 118 149 182 221 266 318 376 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas En esta sección se analizarán las principales métodos para combinar funciones y transfor- marlas en nuevas funciones. 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 39 Sumas, restas, productos y cocientes Como los números, las funciones reales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse (excepto cuando el denominador es cero) para obtener nuevas funciones. Si f y g son fun- ciones reales, definidas para toda x que pertenezca al dominio tanto de f como de g (esto es, para x H Dsƒd ¨ Dsgd), definimos las funciones ƒ + g, ƒ - g, y ƒg mediante las fórmulas sƒ + gdsxd = ƒsxd + gsxd . sƒ - gdsxd = ƒsxd - gsxd. sƒgdsxd = ƒsxdgsxd. Observe que el signo + en el lado izquierdo de la primera función representa la operación de suma de funciones, mientras que el signo + en el lado derecho de la misma significa la suma de los números reales ƒ(x) y g(x). Para cualquier punto de Dsƒd ¨ Dsgd en el que gsxd Z 0, también podemos definir la función ƒ>g mediante la fórmula a g bsxd = ƒ ƒsxd sdonde gsxd Z 0d. gsxd Las funciones también pueden multiplicarse por constantes: si c es un número real, la función cƒ está definida para toda x real en el dominio de f mediante scƒdsxd = cƒsxd. EJEMPLO 1 Combinación de funciones algebraicamente Las funciones definidas por las fórmulas ƒsxd = 2x y g sxd = 21 - x, tienen los dominios Dsƒd = [0, q d y Dsgd = s - q , 1]. Los puntos comunes de estos dominios son [0, q d ¨ s - q , 1] = [0, 1]. La tabla siguiente resume las fórmulas y dominios para diversas combinaciones algebrai- cas de las dos funciones. También escribimos ƒ # g para la función producto ƒg. Función Fórmula Dominio ƒ + g s ƒ + gdsxd = 2x + 21 - x [0, 1] = Dsƒd ¨ Dsgd ƒ - g sƒ - gdsxd = 2x - 21 - x [0, 1] g - ƒ sg - ƒdsxd = 21 - x - 2x [0, 1] ƒ#g sƒ # gdsxd = ƒsxdgsxd = 2xs1 - xd [0, 1] ƒ ƒsxd x ƒ>g g sxd = gsxd = A 1 - x [0, 1) sx = 1 excluidod g gsxd 1 - x g>ƒ sxd = = (0, 1] sx = 0 excluidod ƒ ƒsxd A x La gráfica de la función ƒ + g se obtiene a partir de las gráficas de f y g, sumando las coordenadas y correspondientes de ƒ(x) y g(x) para cada punto x H Dsƒd ¨ Dsgd, como en la figura 1.50. En la figura 1.51 se muestran las gráficas de ƒ + g y ƒ # g a partir del ejem- plo 1. 40 Capítulo 1: Preliminares y y yfg 8 g(x)  1  x f(x)  x y  ( f  g)(x) 1 6 4 y  g(x) 1 2 f (a)  g(a) yf•g 2 g(a) y  f (x) f (a) x x 0 a 0 1 2 3 4 1 5 5 5 5 FIGURA 1.50 Suma gráfica de dos FIGURA 1.51 El dominio de la función ƒ + g es la funciones. intersección de los dominios de ƒ y g, el intervalo [0, 1] en el eje x, donde estos dominios se traslapan. El intervalo también es el dominio de la función ƒ # g (ejemplo 1). Composición de funciones La composición es otra manera de combinar funciones. DEFINICIÓN Composición de funciones Dadas f y g dos funciones, composición ƒ  g (“f composición g”) está definida por sƒ  gdsxd = ƒsgsxdd . El dominio de ƒ  g consiste en los números x del dominio de g para los que g(x) está definida en el dominio de f. La definición afirma que ƒ  g puede formarse cuando el rango de g está en el domi- nio de f. Para encontrar sƒ  gdsxd, primero determinamos g(x) y luego encontramos ƒ(g(x)). En la figura 1.52 se ilustra ƒ  g acomo un diagrama de máquina, y en la figura 1.53 se muestra la composición como un diagrama de flechas. f g f(g(x)) x f g x g g(x) f f (g(x)) FIGURA 1.52 Dos funciones pueden componerse en x siempre que el valor de una función en x esté g(x) en el dominio de la otra. La composición se denota mediante ƒ  g . FIGURA 1.53 Diagrama de flechas para ƒ  g . 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 41 EJEMPLO 2 Mostrar una función como una composición de funciones La función y = 21 - x 2 puede pensarse como un procedimiento en donde primero se calcula 1 - x 2 y después se saca la raíz cuadrada del resultado. La función y es la compo- sición de la función gsxd = 1 - x 2 y la función ƒsxd = 2x. Observe que 1 - x 2 no puede ser negativo (el interior de la raíz). El dominio de la composición es [-1, 1]. Para evaluar la composición g  ƒ (cuando esté definida) invertimos el orden, encon- trando primero ƒ(x) y después g(ƒ(x)). El dominio de g  ƒ es el conjunto de números x en el dominio de f(x), tales que está en el dominio de g. Por lo general, las funciones ƒ  g y g  ƒ son bastante distintas. EJEMPLO 3 Determinar las siguientes composiciones Dadas las funciones ƒsxd = 2x y gsxd = x + 1, encuentre (a) sƒ  gdsxd (b) sg  ƒdsxd (c) sƒ  ƒdsxd (d) sg  gdsxd. Solución Composición Dominio (a) sƒ  gdsxd = ƒsg sxdd = 2g sxd = 2x + 1 [-1, q d (b) sg  ƒdsxd = g sƒsxdd = ƒsxd + 1 = 2x + 1 [0, q d (c) sƒ  ƒdsxd = ƒsƒsxdd = 2ƒsxd = 21x = x 1>4 [0, q d (d) sg  gdsxd = g sg sxdd = g sxd + 1 = sx + 1d + 1 = x + 2 s - q, q d Para comprender por qué el dominio de ƒ  g es [ -1, q d , observe que gsxd = x + 1 es- tá definida para todo número real x, pero pertenece al dominio de f solamente si x + 1 Ú 0, por estar dentro de la raíz x Ú - 1. Observe que si ƒsxd = x 2 y g sxd = 2x, entonces sƒ  gdsxd = A 2x B 2 = x. Sin embargo, el dominio de ƒ  g es [0, q d, y no s - q , q d. Traslación de la gráfica de una función Para trasladar hacia arriba la gráfica de una función y = ƒsxd se suma una constante posi- tiva al lado derecho de la fórmula y = ƒsxd. Para trasladar hacia abajo la gráfica de una función y = ƒsxd se suma una constante negativa al lado derecho de la fórmula y = ƒsxd. Para trasladar hacia la izquierda la gráfica de y = ƒsxd se suma una constante positi- va a x. Para trasladar hacia la derecha la gráfica de y = ƒsxd se suma una constante nega- tiva a x. Reglas de traducción Traslaciones verticales y = ƒsxd + k Desplaza hacia arriba la gráfica de f k unidades si k 7 0 La desplaza hacia abajo ƒ k ƒ unidades si k 6 0 Traslaciones horizontales y = ƒsx + hd Desplaza hacia la izquierda la gráfica de f, h unidades si h 7 0 La desplaza hacia la derecha ƒ h ƒ unidades si h 6 0 42 Capítulo 1: Preliminares y EJEMPLO 4 Trasladar una gráfica y  x2  2 (a) Si sumamos 1 en el lado derecho de la fórmula y = x 2 para obtener y = x 2 + 1, la y  x2  1 gráfica se traslada 1 unidad hacia arriba (figura 1.54). y  x2 (b) Si sumamos –2 en el lado derecho de la fórmula y = x 2 para obtener y = x 2 - 2 , la gráfica se traslada 2 unidades hacia abajo, la gráfica no se voltea (figura 1.54). y  x2  2 (c) Si sumamos 3 a x en y = x 2 para obtener y = sx + 3d2, la gráfica se traslada 3 uni- dades hacia la izquierda (figura 1.55). 2 1 unidad (d) Si sumamos –2 a x en y = ƒ x ƒ , y después sumamos –1 al resultado, obtenemos 1 y = ƒ x - 2 ƒ - 1 y la gráfica se desplaza 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad ha- x cia abajo (figura 1.56). 2 0 2 1 2 unidades 2 Sumar una constante Sumar una constante FIGURA 1.54 Para desplazar la positiva a x. negativa a x. y y gráfica de ƒsxd = x 2 hacia arriba y  x – 2 – 1 4 (o hacia abajo), sumamos a la y  (x  3) 2 yx 2 y  (x  2) 2 fórmula de f constantes positivas (o negativas) (ejemplos 4a y 4b). 1 1 x –4 –2 2 4 6 –1 x 3 0 1 2 FIGURA 1.55 Para desplazar la gráfica de y = x 2 FIGURA 1.56 Desplazamiento de la hacia la izquierda, sumamos una constante positiva gráfica de y = ƒ x ƒ 2 2 unidades hacia la a x. Para desplazar la gráfica hacia la derecha, derecha y 1 unidad hacia abajo sumamos una constante negativa a x. (ejemplo 4d). Cambio de tamaño y reflexión de la gráfica de una función Cambiar el tamaño de la gráfica de una función y = ƒsxd significa estirar la gráfica o comprimirla, ya sea vertical u horizontalmente. Esto se logra multiplicando la función f o la variable independiente x por una constante apropiada c. Las reflexiones a través de los ejes coordenados son casos especiales cuando c = - 1. Fórmulas para cambio de tamaño vertical u horizontal, y para reflexión Para c 7 1, y = cƒsxd Dilata o estira verticalmente la gráfica de f por un factor de c. 1 y = c ƒsxd Comprime verticalmente la gráfica de f por un factor de c. y = ƒscxd Comprime horizontalmente la gráfica de f por un factor de c. y = ƒsx>cd Dilata o estira horizontalmente la gráfica de f por un factor de c. Para c = - 1, y = - ƒsxd Refleja la gráfica de f a través del eje x. y = ƒs - xd Refleja la gráfica de f a través del eje y. 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 43 EJEMPLO 5 Reflejar una gráfica y cambiar su tamaño (a) Cambio vertical: Multiplicar el lado derecho de y = 2x por 3 para obtener y = 32x dilata o estira la gráfica verticalmente por un factor de 3, mientras que multiplicarlo por 1/3 comprime la gráfica por un factor de 3 (figura 1.57). (b) Cambio horizontal: La gráfica de y = 23x es una compresión horizontal de la grá- fica de y = 2x por un factor de 3, y la gráfica de y = 2x>3 es una dilatación hori- zontal por un factor de 3 (figura 1.58). Observe que y = 23x = 232x, de mane- ra que una compresión horizontal podría corresponder a una dilatación vertical por un factor de escala diferente. De la misma manera, una dilatación horizontal podría co- rresponder a una compresión vertical por un factor de escala diferente. (c) Reflexión: La gráfica de y = - 2x es una reflexión de y = 2x a través del eje x, y y = 2 -x es una reflexión a través del eje y (figura 1.59). y y y y x 5 y  3x 4 y  x 4 y  3 x 1 3 3 dilatar y  x comprimir 2 y  x x 2 1 dilatar 3 2 1 1 2 3 y  3 x 1 y  x3 1 comprimir 1 x x 1 0 1 2 3 4 –1 0 1 2 3 4 y  x FIGURA 1.57 Dilatación y compresión FIGURA 1.58 Dilatación y compresión FIGURA 1.59 Reflexiones de la gráfica vertical de la gráfica y = 1x por un horizontal de la gráfica y = 1x por un factor y = 1x a lo largo de los ejes factor de 3 (ejemplo 5a). de 3 (ejemplo 5a). coordenados (ejemplo 5c). EJEMPLO 6 Combinar cambios de tamaño y reflexiones Dada la función ƒsxd = x 4 - 4x 3 + 10 (figura 1.60a), encuentre las fórmulas para (a) comprimir la gráfica horizontalmente por un factor de 2, seguido por una reflexión a través del eje y (figura 1.60b). (b) comprimir la gráfica verticalmente por un factor de 2, seguido por una reflexión a tra- vés del eje x (figura 1.60c). y y  16x 4  32x 3  10 y y f (x)  x4  4x 3  10 20 20 1 4 y 2 x  2x 3  5 10 10 10 x x x 1 0 1 2 3 4 2 1 0 1 1 0 1 2 3 4 10 10 10 20 20 (a) (b) (c) FIGURA 1.60 (a) La gráfica original de f. (b) La compresión horizontal de y = ƒsxd en la parte (a) por un factor de 2, seguida por una reflexión a lo largo del eje y. (c) La compresión vertical de y = ƒsxd en la parte (a) por un factor de 2, seguida por una reflexión a lo largo del eje x (ejemplo 6). 44 Capítulo 1: Preliminares Solución (a) La fórmula se obtiene al sustituir x por -2x en el lado derecho de la ecuación para f y = ƒs - 2xd = s -2xd4 - 4s -2xd3 + 10 = 16x 4 + 32x 3 + 10 . (b) La fórmula es 1 1 y = - ƒsxd = - x 4 + 2x 3 - 5. 2 2 Elipses Al sustituir x por cx en la ecuación estándar del círculo con radio r y centro en el origen, se obtiene c 2x 2 + y 2 = r 2 . (1) Si 0 6 c 6 1, la gráfica de la ecuación (1) estira al círculo horizontalmente; si c 7 1 el círculo se comprime horizontalmente. En cualquier caso, la gráfica de la ecuación (1) es una elipse (figura 1.61). Observe, en la figura 1.61, que las intersecciones con el eje y en las tres gráficas siempre son -r y r. En la figura 1.61b, el segmento de recta que une los pun- tos s ;r>c, 0d se conoce como eje mayor de la elipse; el eje menor es el segmento de rec- ta que une s0, ;rd. En la figura 1.61c, los ejes de la elipse están invertidos: el eje mayor es el segmento de recta que une los puntos s0, ; rd y el eje menor es el segmento de recta que une los puntos s ; r>c, 0d. En ambos casos, el eje mayor es el segmento de recta de longi- tud mayor. y y y r x2  y2  r2 r c 2x 2  y 2  r 2 r c 2x 2  y 2  r 2 x x x –r 0 r – cr 0 r – cr 0 r c c –r –r –r (a) círculo (b) elipse, 0  c  1 (c) elipse, c  1 FIGURA 1.61 La dilatación horizontal o compresión de un círculo produce gráficas de elipses. Si dividimos ambos lados de la ecuación (1) entre r 2 , obtenemos x2 y2 2 + 2 = 1. (2) a b En donde a = r>c y b = r. Si a 7 b, el eje mayor es horizontal; si a 6 b, el eje mayor es vertical. El centro de la elipse dada por la ecuación (2) es el origen (figura 1.62). 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 45 y FIGURA 1.62 Gráfica de la elipse x2 y2 + = 1, a 7 b , donde el eje mayor a2 b2 es horizontal. b Eje mayor x a Centro a b Si sustituimos x por x – h y y por y – k en la ecuación (2), resulta sx - hd2 s y - kd2 2 + = 1. (3) a b2 La ecuación (3) es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k). En la sección 10.1 se revisará la definición geométrica y las propiedades de la elipse. EJERCICIOS 1.5 Sumas, restas, productos y cocientes 7. Si usxd = 4x - 5, ysxd = x 2 , y ƒsxd = 1>x , encuentre las si- En los ejercicios 1 y 2, encuentre el dominio y el rango de guientes composiciones. ƒ, g, ƒ + g , y ƒ # g . a. u(y (ƒ(x))) b. u (ƒ(y (x))) 1. ƒsxd = x, g sxd = 2x - 1 c. y (u (ƒ(x))) d. y (ƒ (u (x))) 2. ƒsxd = 2x + 1, g sxd = 2x - 1 e. ƒ (u (y (x))) f. ƒ(y (u (x))) En los ejercicios 3 y 4, encuentre el dominio y el rango de ƒ>g, y g >ƒ. 8. Si ƒsxd = 2x, g sxd = x>4 , y hsxd = 4x - 8 , encuentre las si- guientes composiciones. 3. ƒsxd = 2, g sxd = x 2 + 1 a. h(g (ƒ(x))) b. h(ƒ(g (x))) 4. ƒsxd = 1, g sxd = 1 + 2x c. g (h (ƒ(x))) d. g (ƒ(h(x))) e. ƒ(g (h(x))) f. ƒ(h(g(x))) Composición de funciones 5. Si ƒsxd = x + 5 y g sxd = x 2 - 3 , encuentre lo siguiente. Sean ƒsxd = x - 3, g sxd = 2x , hsxd = x 3 , y jsxd = 2x . Ex- prese cada una de las funciones de los ejercicios 9 y 10 como una a. ƒ( g (0)) b. g (ƒ(0)) composición donde están involucradas una o más funciones ƒ, g, h, y j. c. ƒ( g (x)) d. g (ƒ(x)) 9. a. y = 2x - 3 b. y = 2 2x e. ƒ(ƒ(- 5)) f. g (g (2)) 1>4 c. y = x d. y = 4x g. ƒ(ƒ(x)) h. g (g (x)) 6. Si ƒsxd = x - 1 y gsxd = 1>sx + 1d , encuentre lo siguiente. e. y = 2sx - 3d3 f. y = s2x - 6d3 a. ƒ(g (1>2)) b. g (ƒ(1>2)) 10. a. y = 2x - 3 b. y = x 3>2 c. ƒ(g (x)) d. g (ƒ(x)) c. y = x 9 d. y = x - 6 e. ƒ(ƒ(2)) f. g (g (2)) e. y = 22x - 3 f. y = 2x 3 - 3 g. ƒ(ƒ(x)) h. g (g (x)) 46 Capítulo 1: Preliminares 11. Copie y complete la tabla siguiente. 16. La figura siguiente muestra la gráfica de y = x 2 desplazada a g(x) ƒ(x) (ƒ  g)(x) dos posiciones nuevas. Determine las funciones para las gráficas nuevas. a. x - 7 2x y b. x + 2 3x Posición (a) c. 2x - 5 2x - 52 x x y  x2 d. x - 1 x - 1 3 1 e. 1 + x x 1 x f. x x 0 Posición (b) 12. Copie y complete la tabla siguiente. g(x) ƒ(x) (ƒ  g)(x) 5 1 a. x - 1 ƒxƒ ? 17. Relacione las funciones listadas en los incisos (a)-(d) con las grá- ficas de la figura. x - 1 x b. ? x a. y = sx - 1d2 - 4 b. y = sx - 2d2 + 2 x + 1 2 c. y = sx + 2d + 2 d. y = sx + 3d2 - 2 c. ? 2x ƒxƒ y d. 2x ? ƒxƒ En los ejercicios 13 y 14, (a) escriba una fórmula para ƒ  g y g  ƒ y Posición 2 Posición 1 encuentre (b) el dominio y (c) el rango de cada función. 1 3 13. ƒ(x) = 2x + 1, g (x) = x 2 ( 2, 2) (2, 2) 14. ƒ(x) = x , 2 g (x) = 1 - 2x Posición 3 1 x 4 3 2 1 0 1 2 3 Posición 4 Traslación de gráficas ( 3, 2) 15. La figura siguiente muestra la gráfica de y = - x 2 desplazada a dos posiciones nuevas. Determine las funciones para las gráficas nuevas. (1, 4) y 18. La figura siguiente muestra la gráfica de y = - x 2 desplazada a cuatro posiciones nuevas. Determine la función para cada nueva x gráfica. 7 0 4 y (1, 4) ( 2, 3) Posición (a) y  x2 Posición (b) (b) (a) (2, 0) x ( 4, 1) (c) (d) 1.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 47 En los ejercicios 19-28 se establece cuántas unidades y en qué direc- 50. La figura siguiente muestra la gráfica de una función g(t ) con do- ciones se trasladarán las gráficas de las ecuaciones dadas, y determine minio [-4, 0] y rango [- 3, 0] . Encuentre el dominio y el rango una ecuación para la gráfica desplazada; después trace, en un mismo de las funciones siguientes, y trace sus gráficas. plano cartesiano, la gráfica de la función original y la gráfica de la ecuación desplazada, etiquetando cada gráfica con la ecuación que le y corresponda. x –4 –2 0 19. x 2 + y 2 = 49 Abajo 3, izquierda 2 20. x 2 + y 2 = 25 Arriba 3, izquierda 4 21. y = x 3 Izquierda 1, abajo 1 y  g(t) –3 22. y = x 2>3 Derecha 1, abajo 1 23. y = 2x Izquierda 0.81 24. y = - 2x Derecha 3 a. g s - td b. - g std 25. y = 2x - 7 Arriba 7 c. g std + 3 d. 1 - g std e. g s - t + 2d f. g st - 2d 1 26. y = sx + 1d + 5 Abajo 5, derecha 1 2 g. g s1 - td h. - g st - 4d 27. y = 1>x Arriba 1, derecha 1 28. y = 1>x 2 Izquierda 2, abajo 1 Cambio de tamaño, vertical y horizontal Grafique las funciones de los ejercicios 29-48. En los ejercicios 51-60, se establece por qué factor y en qué dirección se estirarán o comprimirán las gráficas de las funciones dadas. En- 29. y = 2x + 4 30. y = 29 - x cuentre una ecuación para cada gráfica estirada o comprimida 31. y = ƒ x - 2 ƒ 32. y = ƒ 1 - x ƒ - 1 51. y = x2 - 1, estirada verticalmente por un factor de 3. 33. y = 1 + 2x - 1 34. y = 1 - 2x 52. y = x2 - 1, comprimida horizontalmente por un factor de 2. 2>3 2>3 35. y = sx + 1d 36. y = sx - 8d 1 37. y = 1 - x 2>3 38. y + 4 = x 2>3 53. y = 1 + , comprimida verticalmente por un factor de 2. x2 39. y = 2 3 x - 1 - 1 40. y = sx + 2d3>2 + 1 1 1 1 54. y = 1 + , estirada horizontalmente por un factor de 3. 41. y = 42. y = x - 2 x2 x - 2 55. y = 2x + 1, comprimida horizontalmente por un factor de 4. 1 1 43. y = x + 2 44. y = x + 2 56. y = 2x + 1, estirada verticalmente por un factor de 3. 1 1 57. y = 24 - x2, estirada horizontalmente por un factor de 2. 45. y = 46. y = - 1 sx - 1d2 x2 58. y = 24 - x2, comprimida verticalmente por un factor de 3. 1 1 59. y = 1 - x3, comprimida horizontalmente por un factor de 3. 47. y = + 1 48. y = x2 sx + 1d2 60. y = 1 - x3, estirada horizontalmente por un factor de 2. 49. La siguiente figura muestra la gráfica de una función ƒ(x) con do- minio [0, 2] y rango [0, 1]. Encuentre los dominios y los rangos de las funciones siguientes, y trace sus gráficas. Graficación y En los ejercicios 61-68, trace la gráfica de cada función, sin graficar puntos (es decir sin tabular), sino a partir de la gráfica de una de las funciones estándar presentadas en las figuras 1.36-1.38, y aplicando la transformación apropiada. 1 y  f (x) x 61. y = - 22x + 1 62. y = 1 - A 2 0 2 x 63. y = sx - 1d3 + 2 64. y = s1 - xd3 + 2 1 2 65. y = - 1 66. y = + 1 a. ƒsxd + 2 b. ƒsxd - 1 2x x2 c. 2ƒ(x) d. - ƒsxd 67. y = - 2 3 x 68. y = s -2xd2>3 e. ƒsx + 2d f. ƒsx - 1d 69. Trace la gráfica de la función y = ƒ x 2 - 1 ƒ . g. ƒs - xd h. - ƒsx + 1d + 1 70. Trace la gráfica de la función y = 2ƒ x ƒ . 48 Capítulo 1: Preliminares Elipses Funciones pares e impares En los ejercicios 71-76 se dan las ecuaciones de elipses en forma ge- 79. Suponga que f es una función par, g es una función impar y am- neral; cambie cada ecuación a la forma estándar y trace la gráfica de bas, ƒ y g están definidas para todo número real  . ¿Cuáles de las la elipse. siguientes funciones (de estar definidas) son pares? ¿Cuáles son impares? 71. 9x 2 + 25y 2 = 225 72. 16x 2 + 7y 2 = 112 a. ƒg b. ƒ>g c. g >ƒ 73. 3x 2 + s y - 2d2 = 3 74. sx + 1d2 + 2y 2 = 4 d. ƒ 2 = ƒƒ e. g 2 = g g f. ƒ  g 75. 3sx - 1d2 + 2s y + 2d2 = 6 g. g  ƒ h. ƒ  ƒ i. g  g 2 2 76. 6 ax + b + 9 ay - b = 54 3 1 80. ¿Una función puede ser par e impar al mismo tiempo? Justifique 2 2 su respuesta. 77. Escriba una ecuación para la elipse sx 2>16d + sy 2>9d = 1 des- T 81. (Continuación del ejemplo 1) Trace las gráficas de las funciones plazada 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia arriba. ƒsxd = 2x y g sxd = 21 - x junto con su (a) suma, (b) pro- Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor. ducto, (c) sus dos restas, (d) sus dos cocientes, en el mismo plano 78. Escriba una ecuación para la elipse sx 2>4d + sy 2>25d = 1 des- cartesiano. plazada 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo. T 82. Sean ƒsxd = x - 7 y g sxd = x 2 . Trace las gráficas de f y g junto Trace la gráfica de la elipse e identifique su centro y su eje mayor. con ƒ  g y g  ƒ . 1.6 Funciones trigonométricas B' En esta sección se revisan las funciones trigonométricas básicas. Las funciones trigono- s métricas son importantes, porque son periódicas o se repiten y, por lo tanto, éstas modelan B muchos procesos naturales periódicos. θ 1 A' C A Medida en radianes r rio ír c C u l o u n ita En navegación y astronomía los ángulos se miden en grados, pero en el cálculo es mejor usar las unidades llamadas radianes, debido a que simplifican los cálculos. C ír dio culo co n ra La medida en radianes del ángulo ACB en el centro del círculo unitario (figura 1.63), es igual a la longitud del arco que corta ACB del círculo unitario. En la figura 1.63 se FIGURA 1.63 La medida en radianes de muestra que s = ru es la longitud del arco de un círculo con radio r cuando el ángulo un ángulo ACB del arco u es la longitud AB subtendido u que produce el arco se mide en radianes. en el círculo unitario con centro en C. El Como la circunferencia del círculo es 2p y una revolución completa del círculo equi- valor de u se puede encontrar a partir de vale a 360º, la relación entre radianes y grados está dada por cualquier otro círculo, como la razón s>r. Así, s = r u es la longitud de arco en un p radianes = 180°. círculo con radio r cuando u está medido en radianes. Por ejemplo, en radianes, 45º equivalen a p p 45 # = rad, 180 4 Fórmulas de conversión y p>6 radianes es p 1 grado = s L0.02d radianes p # 180 180 = 30°. Para convertir grados a radianes: 6 p p multiplicar por En la figura 1.64 se muestran los ángulos de dos triángulos muy usuales en ambas medidas. 180 180 Se dice que un ángulo en el plano xy está en posición estándar o canónica si su vérti- 1 radianes = p s L57d grados ce se ubica en el origen y su rayo (lado) inicial está a lo largo del eje x positivo (figura 1.65). A los ángulos medidos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del re- Para convertir radianes a grados: 180 loj desde el eje x positivo, se les asignan medidas positivas; a los ángulos medidos en el multiplicar por p sentido del movimiento de las manecillas del reloj se les asignan medidas negativas. 1.6 Funciones trigonométricas 49 Grados Radianes 45 p 4 2 1 2 1 p p 45 90 4 2 1 1 y y Rayo terminal 30 p Rayo inicial 6 x 2 3 2 3 Medida Rayo inicial Rayo Medida positiva terminal p p x negativa 60 90 3 2 1 1 FIGURA 1.64 Los ángulos de dos FIGURA 1.65 Ángulos en la posición estándar en el plano xy. triángulos cualesquiera, en grados y en radianes. Cuando se usan ángulos para describir rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, nuestras medidas pueden ser arbitrariamente mayores que 2p radianes o 360º. De manera similar, los ángulos que describen rotaciones en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj pueden tener medidas negativas de cualquier tama- ño (figura 1.66). y y 3 x x 9p 4 y y 5p 2 x x 3p 4 FIGURA 1.66 Medidas en radianes distintas de cero; pueden ser positivas o negativas, y pueden ir más allá de 2p . 50 Capítulo 1: Preliminares Convención para ángulos: uso de radianes hipotenusa A partir de este momento, en este libro se dará por sentado que todos los ángulos opuesto están medidos en radianes, a menos que se indique explícitamente que se trata de grados o alguna otra unidad. Cuando hablemos del ángulo p>3, nos estaremos ␪ adyacente refiriendo a p>3 radianes (que equivalen a 60º), y no a p>3 grados. Cuando re- suelva sus ejercicios de cálculo, mantenga la calculadora en modo de radianes. op hip sen ␪  csc ␪  hip op ady hip cos ␪  sec ␪  hip ady Las seis funciones trigonométricas básicas op ady tan ␪  cot ␪  Probablemente usted conoce la definición de las funciones trigonométricas de un ángulo ady op agudo en términos de los lados de un triángulo rectángulo (figura 1.67). A continuación FIGURA 1.67 Razones ampliaremos esta definición a ángulos obtusos y negativos. Para ello, colocaremos prime- trigonométricas de un ángulo ro el ángulo en posición estándar (canónica) en un círculo con radio r; después definire- agudo. mos las funciones trigonométricas en términos de las coordenadas del punto P(x, y) donde el lado terminal del ángulo interseca el círculo (figura 1.68). y r seno: sen u = r cosecante: csc u = y x r y coseno: cos u = r secante: sec u = x y x tangente: tan u = x cotangente: cot u = y P(x, y) r u Estas definiciones ampliadas coinciden con las definiciones del triángulo rectángulo x cuando el ángulo es agudo (figura 1.69). 0 r Tenga en cuenta también las definiciones siguientes, siempre que los cocientes estén definidos. sen u 1 tan u = cot u = cos u tan u FIGURA 1.68 Las funciones 1 1 sec u = csc u = trigonométricas de un ángulo cos u sen u general u se definen en términos Como puede ver, tan u y sec u no están definidas si x = 0. Esto significa que no están de- de x, y y r. finidas si u es ; p>2, ;3p>2, Á . De forma análoga, cot u y csc u no están definidos para valores de u para los que y = 0, es decir, u = 0, ; p, ;2p, Á . Los valores exactos de estas razones trigonométricas para algunos ángulos pueden de- ducirse de los triángulos de la figura 1.64. Por ejemplo, p 1 p 1 p 23 sen = sen = sen = y 4 22 6 2 3 2 p 1 p 23 p 1 cos = cos = cos = 4 22 6 2 3 2 hipotenusa P(x, y) p p 1 p r tan = 1 tan = tan = 23 y opuesto 4 6 23 3 u x La regla TOSE TACO (figura 1.70) es útil para recordar cuáles de las funciones tri- 0 x adyacente gonométricas son positivas o negativas. Por ejemplo, en el triángulo en la figura 1.71 vemos que 2p 23 2p 1 2p sen = , cos = - , tan = - 23. 3 2 3 2 3 FIGURA 1.69 Las definiciones nueva y Usando un método similar, determinamos los valores de sen u, cos u, y tan u que se mues- anterior coinciden para ángulos agudos. tran en la tabla 1.4. 1.6 Funciones trigonométricas 51 ⎛cos 2 p , sen 2 p ⎛  ⎛ 1 , 3 ⎛ ⎝ 3 3⎝ ⎝ 2 2 ⎝ y y P SE TO 1 sen pos. todos pos. 3 2p 2 3 x x 1 2 TA CO tan pos. cos pos. FIGURA 1.70 La regla FIGURA 1.71 El triángulo para TOSE TACO nos permite recordar calcular el seno y el coseno de 2p>3 qué funciones trigonométricas son radianes. La longitud de los lados se positivas en cada cuadrante. deriva de la geometría de triángulos rectángulos. Casi todas las calculadoras y computadoras están listas para proporcionar los valores de las funciones trigonométricas de ángulos dados, ya sea en radianes o en grados. TABLA 1.4 Valores de sen u, cos u y tan u para valores seleccionados de u Grados 180 135 90 45 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 3p p p p p p p 2p 3p 5p 3p u (radianes) P 0 p 2p 4 2 4 6 4 3 2 3 4 6 2 - 22 - 22 1 22 23 23 22 1 sen u 0 -1 0 1 0 -1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 - 22 22 23 22 1 1 - 22 - 23 cos u -1 0 1 0 - -1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 23 - 23 tan u 0 1 -1 0 1 23 - 23 -1 0 0 3 3 EJEMPLO 1 Encontrar los valores de las funciones trigonométricas Si tan u = 3>2 y 0 6 u 6 p>2, encuentre los valores de las otras cinco funciones trigo- nométricas de u. Solución A partir de tan u = 3>2, construimos el triángulo rectángulo de la figura 1.72, con altura 3 (cateto opuesto) y base 2 (cateto adyacente). El teorema de Pitágoras nos da la longitud de la hipotenusa, 24 + 9 = 213. Una vez que encontramos los valores de ca- da lado del triángulo, escribimos los valores de las otras cinco funciones trigonométricas: 2 3 213 213 2 cos u = , sen u = , sec u = , csc u = , cot u = 213 213 2 3 3 52 Capítulo 1: Preliminares y Periodicidad y gráficas de las funciones trigonométricas Cuando un ángulo de medida u y un ángulo que mide u + 2p están en posición estándar, sus lados terminales coinciden. Por lo tanto, las funciones trigonométricas de los dos án- 13 gulos tienen los mismos valores: 3 u cos su + 2pd = cos u sen su + 2pd = sen u tan su + 2pd = tan u x 0 2 sec su + 2pd = sec u csc su + 2pd = csc u cot su + 2pd = cot u De manera similar, cos su - 2pd = cos u, sen su - 2pd = sen u, y así sucesivamente. Para describir este comportamiento repetitivo, decimos que las seis funciones trigonomé- tricas básicas son periódicas. FIGURA 1.72 El triángulo para calcular las funciones trigonométricas del ejemplo 1. DEFINICIÓN Función periódica Una función ƒ(x) es periódica si existe un número positivo p tal que ƒsx + pd = ƒsxd para todo valor de x. El menor de los posibles valores de p es el periodo de f. Cuando graficamos funciones trigonométricas en el plano cartesiano, por lo general deno- tamos la variable independiente mediante x en lugar de hacerlo con u. Vea la figura 1.73. y y  tan x y y y  cos x y  sen x x x x 3p p p 0 p p 3p p p 0 p p 3p 2p p p 0 p p 3p 2p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dominio:   x   Dominio:   x   Dominio: x  p , 3p , . . . 2 2 Rango: 1  y  1 Rango: 1y1 y Periodo: 2p Periodo: 2p Rango: (a) (b) Periodo: p (c) y y y y  sec x y  csc x y  cot x 1 1 1 x 3p p p p p 3p x x 0 p p 0 p p 3p 2p p p 0 p p 3p 2p 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Dominio: x  p , 3p , . . . Dominio: x  0, p, 2p, . . . Dominio: x  0, p, 2p, . . . 2 2 Rango: y  1 y y  1 Rango: y Rango: y  1 y y  1 Periodo: 2p Periodo: p Periodo: 2p (d) (e) (f) FIGURA 1.73 Las gráficas de las funciones (a) coseno, (b) seno, (c) tangente, (d) secante, (e) cosecante, y (f) cotangente, medidas en radianes. El sombreado en cada función trigonométrica indica su periodicidad. 1.6 Funciones trigonométricas 53 Como podemos ver en la figura 1.73, las funciones tangente y cotangente tienen pe- Periodos de las funciones riodo p = p. Las otras cuatro funciones tienen periodo 2p. Las funciones periódicas son trigonométricas importantes, ya que muchos de los comportamientos que se estudian en ciencias son casi Periodo P : tan sx + pd = tan x periódicos. Uno de los teoremas de cálculo avanzado afirma que todas las funciones periódi- cot sx + pd = cot x cas que se usan en la creación de modelos matemáticos pueden escribirse como una com- Periodo 2P : sen sx + 2pd = sen x binación algebraica de senos y cosenos. En la sección 11.11 se muestra cómo hacer esto. En la figura 1.73, las simetrías de las gráficas revelan que las funciones coseno y se- cos sx + 2pd = cos x cante son pares y las otras cuatro funciones son impares: sec sx + 2pd = sec x csc sx + 2pd = csc x Pares Impares cos s - xd = cos x sen s -xd = - sen x sec s -xd = sec x tan s -xd = - tan x csc s -xd = - csc x cot s - xd = - cot x y P(cos u, sen u) Identidades Trigonométricas x 2  y2  1 Las coordenadas de cualquier punto P(x, y) en el plano pueden expresarse en términos de la distancia entre el punto y origen, y el ángulo que hace el rayo OP con el eje x positivo sen u  u (figura 1.69). Como x>r = cos u y y>r = sen u, tenemos x cos u  1 x = r cos u, y = r sen u. Cuando r = 1 podemos aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de referen- cia en la figura 1.74, y obtener la ecuación FIGURA 1.74 El triángulo de referencia para un ángulo general u . cos2 u + sen2 u = 1. (1) Esta identidad, la más usada en trigonometría, es válida para todos los valores de u, y es llamada identidad pitagórica. Dividiendo por turnos esta identidad entre cos2 u y sen2 u da por resultado 1 + tan2 u = sec2 u. 1 + cot2 u = csc2 u. Las fórmulas siguientes se satisfacen para todos los ángulos A y B (ejercicios 53 y 54). Fórmulas para la suma de ángulos cos sA + Bd = cos A cos B - sen A sen B (2) sen sA + Bd = sen A cos B + cos A sen B 54 Capítulo 1: Preliminares Existen fórmulas similares para cos sA - Bd y sen sA - Bd (ejercicios 35 y 36). Todas las identidades trigonométricas que se necesitan en este libro se deducen de las ecuaciones (1) y (2). Por ejemplo, sustituir A y B por u en las fórmulas de suma da por resultado Fórmulas para el doble de un ángulo cos 2u = cos2 u - sen2 u (3) sen 2u = 2 sen u cos u Estas fórmulas se obtienen al combinar las identidades cos2 u + sen2 u = 1, cos2 u - sen2 u = cos 2u. Sumamos las dos identidades para obtener 2 cos2 u = 1 + cos 2u y restamos la segunda de la primera para obtener 2 sen2 u = 1 - cos 2u. Esto da por resultado las identidades siguientes, que son muy útiles en cálculo integral. Más fórmulas para el doble de un ángulo 1 + cos 2u cos2 u = (4) 2 1 - cos 2u sen2 u = (5) 2 La ley de los cosenos Si a, b y c son los lados de un triángulo ABC, y si u es el ángulo opuesto a c, entonces c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos u. (6) Esta ecuación se conoce como ley de los cosenos. y Para comprender la validez de la ley, podemos introducir ejes coordenados con el ori- gen en C y el eje x positivo a lo largo de un lado del triángulo, como en la figura 1.75. Las B(a cos u, a sen u) coordenadas de A son (b, 0); las coordenadas de B son sa cos u, a sen ud. El cuadrado de la distancia entre A y B es, por lo tanto, c c 2 = sa cos u - bd2 + sa sen ud2 a = a2scos2 u + sen2 ud + b2 - 2ab cos u u ('')''* 1 x C b A(b, 0) = a 2 + b 2 - 2ab cos u. FIGURA 1.75 El cuadrado de la distancia La ley de los cosenos generaliza el teorema de Pitágoras. Si u = p>2, entonces, entre A y B da la ley de los cosenos. cos u = 0 y c 2 = a 2 + b 2 . 1.6 Funciones trigonométricas 55 Transformaciones de las gráficas trigonométricas Las reglas de desplazamiento, dilatación, compresión y reflexión de la gráfica de una fun- ción se aplican también a las funciones trigonométricas. El diagrama siguiente le recorda- rá los parámetros de control. Dilatación o compresión vertical; si es Desplazamiento vertical negativo, reflexión alrededor del eje x y = aƒ(bsx + cdd + d Dilatación o compresión horizontal; si es Desplazamiento horizontal negativo, reflexión alrededor del eje y EJEMPLO 2 Modelo de la temperatura en Alaska Los constructores de un oleoducto en Alaska usaron un forro aislante para evitar que el ca- lor de la tubería derritiera el suelo congelado permanentemente debajo de él. Para diseñar el forro fue necesario tomar en cuenta la variación de la temperatura del aire durante el año. La variación fue representada en los cálculos mediante una función senoidal o senu- soide de la forma ƒsxd = A sen c sx - Cd d + D, 2p B En donde ƒ A ƒ es la amplitud, ƒ B ƒ es el periodo, C es el desplazamiento horizontal, y D es el desplazamiento vertical (figura 1.76). y D  A Desplaza- ( ) y  A sen 2␲ (x  C)  D B miento ho- rizontal (C) Amplitud (A) Este eje es la recta y  D. D Desplazamiento vertical (D) DA Esta distancia es el periodo (B). x 0 FIGURA 1.76 La curva seno y = A sen [s2p>Bdsx - Cd] + D , con A, B, C y D positivos (ejemplo 2). En la figura 1.77 se muestra cómo usar esta función para representar los datos sobre la temperatura. En ella se han graficado las temperaturas medias diarias del aire en Fair- banks, Alaska, de acuerdo con los registros del Servicio Nacional Meteorológico de 1941 a 1970. La función senoidal que se usó para ajustar los datos es ƒsxd = 37 sen c sx - 101d d + 25, 2p 365 56 Capítulo 1: Preliminares En donde f es la temperatura en grados Fahrenheit, y x es el número de días transcurridos desde el inicio del año. Como veremos en la sección siguiente, el ajuste, obtenido mediante la regresión senoidal en una calculadora o computadora, logra reflejar muy bien la tenden- cia de los datos. 60 Temperatura (°F) 40 20 0 20 Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Ene Feb Mar FIGURA 1.77 Media normal de las temperaturas del aire para Fairbanks, Alaska, trazados como puntos de datos (en color gris). La función seno (en color azul) que los aproxima es ƒsxd = 37 sen [s2p>365dsx - 101d] + 25 . EJERCICIOS 1.6 Radianes, grados y arcos circulares 6. Copie la siguiente tabla de valores para  en radianes y complete 1. En un círculo con radio de 10 m, ¿cuál es la longitud de un arco los valores para cada función trigonométrica. Si la función no es- que subtiende un ángulo central de (a) 4p>5 radianes? ¿Cuál es su tá definida en un ángulo dado, escriba “IND”. No utilice calcula- longitud si el ángulo central es de (b) 110º? dora ni tablas. 2. Un ángulo central en un círculo con radio de 8 está subtendido por un arco cuya longitud es de 10. Determine la medida del án- U 3P>2 P>3 P>6 P>4 5P>6 gulo en radianes y en grados. sen u 3. Se quiere construir un ángulo de 80º haciendo un arco en el perí- cos u metro de un disco de 12 pulgadas de diámetro, y dibujando rectas de los extremos del arco al centro del disco. ¿De qué longitud de- tan u be ser el arco, redondeando a décimos de pulgada? cot u sec u 4. Si una llanta de 1 m de diámetro se rueda hacia delante 30 cm so- bre el piso, ¿ qué ángulo girará la llanta? Dé su respuesta en radia- csc u nes (redondeando al décimo más cercano) y en grados (redon- deando al grado más cercano). En los ejercicios 7-12, una de las funciones sen x, cos x y tan x está da- da. Encuentre las otras dos si x está en el intervalo indicado. Evaluación de funciones trigonométricas x  c , pd x  c0, d 3 p p 5. Copie la siguiente tabla de valores para  en radianes y complete 7. sen x = 5 , 2 8. tan x = 2, 2 los valores para cada función trigonométrica. Si la función no es- x  c- , 0 d 10. cos x = - , x  c , pd tá definida en un ángulo dado, escriba “IND”. No utilice calcula- 1 p 5 p 9. cos x = , dora ni tablas. 3 2 13 2 x  cp, d x  cp, d 1 3p 1 3p U P 2P>3 0 P>2 3P>4 11. tan x = , 12. sen x = - , 2 2 2 2 sen u cos u tan u Gráficas de funciones trigonométricas cot u Trace las gráficas de las funciones trigonométricas dadas de los ejer- sec u cicios del 13-22. ¿Cuál es el periodo de cada función? csc u 13. sen 2x 14. sen ( x>2) 1.6 Funciones trigonométricas 57 px como sen a + b . 15. cos px 16. cos 7p p p 2 43. Evaluar sen px 12 4 3 17. -sen 18. -cos 2px 3 como cos a + b. 11p p 2p 44. Evaluar cos 19. cos ax - b 20. sen ax + b p p 12 4 3 2 2 p 21. sen ax - b + 1 22. cos ax + b - 1 p p 45. Evaluar cos . 12 4 4 5p 46. Evaluar sen . Trace las gráficas de las funciones trigonométricas dadas de los ejer- 12 cicios del 23-26 en el plano ts (t eje horizontal, s eje vertical). ¿Cuál es el periodo de cada función? ¿Qué tipo de simetrías tienen las gráficas? Uso de las fórmulas para el doble de un ángulo 23. s = cot 2t 24. s = - tan pt Encuentre los valores en el ángulo indicado de las siguientes funcio- nes trigonométricas de los ejercicios 47-50. 25. s = sec a b 26. s = csc a b pt t 2 2 p p 47. cos2 48. cos2 8 12 T 27. a. Grafique y = cos x y y = sec x en el mismo plano cartesiano p p para - 3p>2 … x … 3p>2 . Comente el comportamiento de sec 49. sen2 50. sen2 12 8 x en relación con los signos y valores de cos x. b. Grafique y = sen x y y = csc x en el mismo plano cartesiano para - p … x … 2p . Comente el comportamiento de csc x en Teoría y ejemplos relación con los signos y valores de sen x. 51. La fórmula de la tangente de una suma La fórmula estándar T 28. Grafique y = tan x y y = cot x en el mismo plano cartesiano pa- para la tangente de la suma de dos ángulos es ra - 7 … x … 7 . Comente el comportamiento de cot x en relación tan A + tan B con los signos y valores de tan x. tansA + Bd = . 1 - tan A tan B 29. Grafique y = sen x y y = : sen x; en el mismo plano cartesiano. Aplicando las identidades de senos y cosenos encuentre esta iden- ¿Cuáles son el dominio y el rango de :sen x ; ? tidad trigonométrica para la tangente. 30. Grafique y = sen x y y = < sen x = en el mismo plano cartesiano. 52. (Continuación del ejercicio 51). Aplique la identidad trigonomé- ¿Cuáles son el dominio y el rango de < sen x = ? trica dada en el ejercicio 51 para encontrar tan sA - Bd . 53. Aplique la ley de los cosenos al triángulo de la figura siguiente a Identidades trigonométricas adicionales fin de obtener la fórmula para cos sA - Bd . Use las fórmulas de suma de ángulos para deducir las identidades de y los ejercicios 31-36. 1 31. cos ax - b = sen x 32. cos ax + b = - sen x p p 2 2 33. sen ax + b = cos x 34. sen ax - b = - cos x p p A 2 2 B 1 x 35. cos sA - Bd = cos A cos B + sen A sen B (En el ejercicio 53 se 0 1 muestra un proceso distinto para obtenerlas). 36. sen sA - Bd = sen A cos B - cos A sen B 37. ¿Qué pasa si tomamos B = A en la identidad cos sA - Bd = cos A cos B + sen A sen B ? ¿El resultado con- cuerda con algo que ya conoce? 54. a. Aplique la fórmula para cos sA - Bd a la identidad sen u = 38. ¿Qué pasa si tomamos B = 2p en las fórmulas de suma? ¿El re- cos a - u b a fin de obtener la fórmula de suma para p sultado concuerda con algo que ya conoce? 2 Uso de las fórmulas de suma sen sA + Bd . En los ejercicios 39-42, exprese la cantidad dada en términos de sen x y cos x. b. Use la identidad cos sA + Bd sustituyendo –B por B en la identidad para obtener cos sA - Bd de manera diferente a co- 39. cos sp + xd 40. sen s2p - xd mo se obtuvo en el ejercicio 35. 41. sen a - xb 42. cos a + xb 3p 3p 55. Un triángulo tiene lados a = 2 y b = 3 y el ángulo C = 60° . En- 2 2 cuentre la longitud del lado c. 58 Capítulo 1: Preliminares 56. Un triángulo tiene lados a = 2 y b = 3 y el ángulo C = 40° . En- 65. Temperatura en Fairbanks, Alaska Encuentre (a) la amplitud, cuentre la longitud del lado c. (b) el periodo, (c) el desplazamiento horizontal, y (d) el desplaza- miento vertical de la función seno dada en forma estándar 57. La ley de los senos La ley de los senos afirma que si a, b, y c son ƒsxd = 37 sen a sx - 101d b + 25 . los lados opuestos a los ángulos A, B y C en un triángulo, entonces 2p 365 sen A sen B sen C a = b = c . 66. Temperatura en Fairbanks, Alaska Use la ecuación del ejerci- cio 65 para calcular las respuestas de las siguientes preguntas Use las siguientes figuras y, si lo requiere, la identidad acerca de las temperaturas en Fairbanks, Alaska, cuya gráfica se sen sp - ud = sen u , para obtener la ley de senos. muestra en la figura 1.77. Suponga que el año tiene 365 días exactos. A A a. ¿Cuáles son las temperaturas medias más alta y más baja que se muestran? c h b c h b. ¿Cuál es el promedio de las temperaturas medias más alta y b más baja que se muestran? ¿Explique por qué este promedio representa un desplazamiento vertical de la función? B a C B a C EXPLORACIONES CON COMPUTADORA 58. Un triángulo tiene lados a = 2 y b = 3 y el ángulo C = 60° (co- En los ejercicios 67-70, usted investigará que pasa gráficamente con mo en el ejercicio 55). Encuentre el seno del ángulo B usando la la función seno dada en forma estándar ley de los senos. ƒsxd = A sen a sx - Cd b + D 2p T 59. Un triángulo tiene lados c = 2 y el ángulo A = p>4 y B = p>3 . B Encuentre la longitud del lado a opuesto a A. a medida que cambia los valores de las constantes A, B, C y D. Use un 60. La aproximación sen x  x Siempre es útil saber que, cuando software matemático o una calculadora graficadora a fin de realizar x se mide en radianes, sen x L x para valores numéricamente pe- los procedimientos correctos para responder los siguientes ejercicios. queños de x. En la sección 3.8 veremos por qué es válida esta 67. El periodo B Fije las constantes A = 3, C = D = 0 . aproximación. El error de aproximación es menor que 1 en 5000 si ƒ x ƒ 6 0.1 . a. Grafique ƒ(x) para los valores B = 1, 3, 2p, 5p en el interva- lo -4p … x … 4p . Describa qué le sucede a la gráfica de la a. Con su calculadora graficadora en modo de radianes, trace función seno dada en forma estándar conforme aumenta el juntas las gráficas de y = sen x y y = x en una ventana alre- periodo. dedor del origen. ¿Explique qué observa conforme x se acerca al origen? b. Explique, ¿qué le pasa a la gráfica para valores negativos de B? Inténtelo con B = - 3 y B = - 2p . b. Con su calculadora graficadora en modo de grados, trace jun- 68. El desplazamiento horizontal C Fije las constantes A = 3, tas las gráficas de y = sen y y = x en una ventana alrededor B = 6, D = 0 . del origen. ¿Qué tan diferente es la figura obtenida en el mo- do de radianes? a. Grafique ƒ(x) para los valores C = 0, 1 , sobre el intervalo - 4p … x … 4p . Describa qué le sucede a la gráfica de la c. Una verificación rápida para modo de radianes. Si su función seno dada en forma estándar conforme C aumenta calculadora está en modo de radianes, evalúe sen x en un va- dándole valores positivos. lor de x cercano al origen, para verificar digamos x = 0.1 . Si sen x L x , significa que su calculadora está en modo de ra- b. ¿Explique qué le pasa a la gráfica para valores negativos de C? dianes; si no obtiene tal aproximación, no lo está. Inténtelo. c. ¿Cuál es el menor valor positivo que debemos asignar a C, de manera que la gráfica no presente desplazamiento horizontal? Confirme su respuesta graficándola. Curvas senoidales generales 69. El desplazamiento vertical D Fije las constantes A = 3, Para B = 6, C = 0 . ƒsxd = A sen a 2p a. Grafique ƒ(x) para los valores D = 0, 1 y 3 sobre el intervalo sx - Cdb + D , B - 4p … x … 4p . Describa qué le sucede a la gráfica de la función seno dada conforme D aumenta para valores positivos. identifique A, B, C y D para las funciones seno de los ejercicios 61- b. ¿Explique qué le sucede a la gráfica para valores negativos de D? 64, y trace sus gráficas (vea la figura 1.76). 70. La amplitud A Fije las constantes B = 6, C = D = 0 . 1 1 a. Describa qué le sucede a la gráfica de la función seno dada 61. y = 2 sen sx + pd - 1 62. y = sen spx - pd + 2 2 conforme A aumenta para valores positivos. Confirme su res- puesta graficando f(x) para los valores A = 1, 5 , y 9. 63. y = - p sen a tb + p 2 p 1 L 2pt 64. y = sen , L 7 0 2 2p L b. ¿Explique qué le sucede a la gráfica para valores negativos de A? 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras Las calculadoras graficadoras y las computadoras con software para graficación nos per- miten trazar con gran precisión las gráficas de funciones muy complicadas. Muchas de es- tas funciones no pueden graficarse fácilmente de otra manera. Sin embargo, hay que tener cuidado cuando usamos tales dispositivos para graficación, debido a los problemas que abordaremos en esta sección. En el capítulo 4 veremos de qué manera el cálculo puede ayudarnos a tener la certeza de que estamos tomando en consideración todas las caracte- rísticas importantes de la gráfica de una función. Ventanas de graficación Cuando se utiliza una calculadora graficadora o una computadora como herramienta de graficación, una parte de la gráfica se despliega en la pantalla o ventana rectangular de es- tos dispositivos. Muchas veces, esta ventana predeterminada ofrece una imagen incompleta o distorsionada de la gráfica. Se usa el término ventana cuadrada cuando las unidades o escalas en ambos ejes son iguales. Este término no implica que la ventana en sí tenga for- ma cuadrada (en general, las pantallas de visualización son rectangulares); lo que significa en realidad es que las unidades x son iguales a las unidades y. Al desplegarse en la ventana predeterminada, es posible que la escala de las unidades x de la gráfica sea diferente al de las unidades y para que ésta se ajuste al tamaño de la pantalla. Las características de la ventana de visualización que se empleará se determinan especificando los valores mínimo y máximo de las variables independiente y dependiente. Esto es, se especifica un intervalo para x a … x … b y un rango para y c … y … d. La computadora elige cierto número de valores equidistantes entre a y b. El procedimien- to comienza con el primer valor para x; si dicho valor está dentro del dominio de la función f que se está graficando, y si ƒ(x) está dentro del rango [c, d], se grafica el punto (x, ƒ(x)). Si x está fuera del dominio de f o ƒ(x) está fuera del rango especificado [c, d], la máquina cam- bia al siguiente valor para x, ya que no puede graficar el punto (x, ƒ(x)) si ese es el caso. La calculadora o computadora grafica de esta manera una gran cantidad de puntos (x, ƒ(x)) y calcula la curva que representa la gráfica dibujando un pequeño segmento entre cada par de puntos graficado, tal como lo haríamos a mano. Por lo general, los puntos adyacentes están tan cercanos entre sí que la representación gráfica tiene la apariencia de una curva suave. Sin embargo, las gráficas podrían no salir muy bien mediante este procedimiento de- bido a varios problemas comunes que ilustraremos con los siguientes ejemplos. EJEMPLO 1 Elegir las características de la ventana de visualización Grafique la función ƒsxd = x 3 - 7x 2 + 28 en cada uno de las siguientes tipos de venta- nas de pantalla: (a) [-10, 10] por [-10, 10] (b) [-4, 4] por [- 50, 10] (c) [-4, 10] por [-60, 60] Solución (a) Seleccionamos a = - 10, b = 10, c = - 10, y d = 10 para especificar el intervalo del dominio de los valores de x y el rango de los valores de y con el fin de determinar el tipo de ventana. La gráfica resultante se muestra en la figura 1.78a. Parece que la ventana corta las partes inferior y superior de la gráfica, y que el intervalo de valores de x es demasiado grande. Intentemos con el siguiente tipo de ventana. (b) Ahora vemos más rasgos de la gráfica (figura 1.78b), pero falta la parte superior de la misma y necesitamos tener una imagen más completa hacia la derecha de x = 4. Tal vez el siguiente tipo de ventana nos ayude a lograrlo. (c) En la figura 1.78c se muestra la gráfica en esta nueva ventana. Observe que tenemos una imagen más completa de la gráfica en esta ventana, lo que nos permite decir que 60 Capítulo 1: Preliminares 10 10 60 –4 4 –10 10 –4 10 –10 –50 –60 (a) (b) (c) FIGURA 1.78 La gráfica de ƒsxd = x 3 - 7x 2 + 28 ilustrada en ventanas de visualización de diferentes tamaños (ejem- plo 1). se trata de una gráfica razonable de un polinomio de tercer grado. La elección correc- ta de las características de la ventana o pantalla es un proceso de prueba y error, en el que se hace necesario resolver las dificultades que vayan surgiendo. EJEMPLO 2 Ventana cuadrada Cuando se despliega una gráfica, la escala de las unidades x puede diferir de la escala de las unidades y, como en las gráficas que se muestran en las figuras 1.78b y 1.78c. La ima- gen resultante está distorsionada y puede ser engañosa. Para evitarlo, es posible hacer que la ventana tome una forma cuadrada comprimiendo o estirando las unidades en un eje para igualar la escala en el otro, con lo cual se obtendría la gráfica correcta. Muchos sistemas tienen funciones integradas que permiten lograr la ventana “cuadrada”. Si el que usted uti- liza no las incluye, tendrá que hacer algunos cálculos y especificar manualmente el tama- ño de la pantalla para obtener una ventana cuadrada, o pronosticar de alguna forma cómo se vería la imagen real. En la figura 1.79a se muestran las gráficas de dos rectas perpendiculares y = x y y  -x + 3 22, junto con el semicírculo y una de ellas tangente a un punto del semicírculo y = 29 - x 2 , en una ventana con medidas [ -6, 6] por [- 6, 8] y que, por lo tanto, no es cuadrada. Observe la distorsión. Las rectas no se ven perpendiculares y el semicírculo tie- ne forma elíptica. En la figura 1.79b se muestran las gráficas de las mismas funciones en una ventana cuadrada, en donde la escala de las unidades x es igual a la de las unidades y. Observe que la ventana, que ahora mide [- 6, 6] por [-4, 4] tiene el mismo eje x en ambas figuras, pero en la última la escala de dicho eje fue comprimida para lograr la ventana cuadrada. La figu- ra 1.79c ofrece una imagen más grande, gracias a la ventana cuadrada de [- 3, 3] por [0, 4]. Si el denominador de una función racional es cero en algún valor de x dentro de la ventana, en una calculadora graficadora o un software para graficación por computadora 8 4 4 6 6 6 6 3 3 6 4 0 (a) (b) (c) FIGURA 1.79 Gráficas de las rectas perpendiculares y = x y y = - x + 322 , y el semicírculo y = 29 - x 2 , en (a) una ventana no cuadrada, y (b) y (c) pantallas cuadradas (ejemplo 2). 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 61 podría producir un segmento de recta con inclinación casi vertical de arriba a abajo de la pantalla, como en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 3 Graficar una función racional 1 Grafique la función de y = . 2 - x Solución La figura 1.80a muestra la gráfica en la ventana cuadrada predeterminada de un software para graficación, cuyas medidas son [-10, 10] por [- 10, 10] . Observe la línea recta vertical en x = 2. En realidad, este segmento no pertenece a la gráfica, ya que x = 2 no está en el dominio de la función. Utilizando un procedimiento de prueba y error podemos eliminar la recta cambiando la escala para lograr una ventana de visualización más pequeña, de [ -6, 6] por [- 4, 4], con lo cual obtendremos una gráfica más confiable (figura 1.80b). 10 4 –10 10 –6 6 –10 –4 (a) (b) 1 FIGURA 1.80 Gráficas de la función y = (ejemplo 3). 2 - x Algunas veces la gráfica de una función trigonométrica oscila muy rápido. Cuando una calculadora graficadora o un software de computadora gráfica traza y conecta los puntos de la gráfica, muchos de los puntos máximos y mínimos se pueden perder de hecho se pierden, con lo cual la gráfica resultante es muy engañosa. EJEMPLO 4 Graficar una función que oscila con rapidez Grafique la función de ƒsxd = sen 100x. Solución En la figura 1.81a se muestra la gráfica de f en una ventana de [-12, 12] por [-1, 1]. Cómo vemos, la gráfica luce muy extraña, porque la curva seno debe oscilar pe- riódicamente entre –1 y 1. Este comportamiento no es notorio en la figura 1.81a. Para solu- cionar este problema podríamos probar con una ventana más pequeña, digamos de [-6, 6] por [- 1, 1], pero, como se observa en la figura 1.81b, la gráfica no mejora mucho en reali- dad. La dificultad está en que el periodo de la función trigonométrica y = sen 100x es muy pequeño, s2p>100 L 0.063d. Si elegimos una ventana mucho más pequeña, de 1 1 1 –12 12 –6 6 –0.1 0.1 –1 –1 –1 (a) (b) (c) FIGURA 1.81 Gráficas de la función y = sen 100x en tres ventanas de visualización. Debido a que el periodo es 2p>100 L 0.063 , la ventana pequeña en (c) muestra mejor el verdadero aspecto de esta función rápidamente oscilante (ejemplo 4). 62 Capítulo 1: Preliminares [-0.1, 0.1] por [ -1, 1] obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 1.81c. Esta gráfi- ca revela las oscilaciones esperadas de una curva seno dentro de un intervalo pequeño. EJEMPLO 5 Otra función que oscila con rapidez 1 Grafique la función de y = cos x + sen 50x. 50 Solución En una ventana de [ -6, 6] por [ -1, 1] la gráfica se parece más a la función co- seno, con sólo algunos picos suaves en ella (figura 1.82a). Se obtiene una mejor imagen cuando el tamaño de la ventana se reduce significativamente, a [-0.6, 0.6] por [0.8, 1.02], como se ilustra en la figura 1.82b. Ahora vemos las pequeñas pero rápidas oscilaciones del segundo término, 1>50 sen 50x, sumadas con los valores comparativamente grandes de la curva coseno. 1 1.02 –6 6 –0.6 0.6 –1 0.8 (a) (b) FIGURA 1.82 En (b) vemos un acercamiento de la función 1 y = cos x + sen 50x graficada en (a). Resulta claro que el término cos x 50 1 domina el segundo término sen 50x , que produce las rápidas oscilaciones 50 a lo largo de la curva coseno (ejemplo 5). EJEMPLO 6 Graficar una función impar con potencia fraccionaria Grafique la función de y = x 1>3 . Solución Muchos dispositivos para graficación muestran la gráfica que se ilustra en la figura 1.83a. Cuando la comparamos con la gráfica de y = x 1>3 = 2 3 x de la figura 1.38, vemos que falta la parte izquierda para x 6 0. La razón por la que las gráficas difieren, 2 2 –3 3 –3 3 –2 –2 (a) (b) FIGURA 1.83 En (a) se pierde la rama izquierda de la gráfica de y = x 1>3. x # 1>3 En (b) trazamos la gráfica de la función ƒsxd = ƒ x ƒ obteniendo ƒxƒ ambas ramas. (Vea el ejemplo 6). 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 63 radica en que muchas calculadoras graficadoras y software para graficación calculan x 1>3 como e s1>3dln x . (En el capítulo 7 se estudiarán las funciones exponencial y logarítmica). Y como la función logarítmica no está definida para valores negativos de x, los dispositi- vos para graficación sólo pueden producir la parte derecha, donde x 7 0. Para obtener la imagen completa, que muestre las dos partes, podemos graficar la función x # 1>3 ƒsxd = ƒxƒ . x ƒ ƒ Esta función es igual que x 1>3 excepto en x = 0 (donde f no está definida, aunque 0 1>3 = 0). En la figura 1.83b se muestra la gráfica de f. Modelado empírico: cómo reflejar la tendencia de los datos recopilados En el ejemplo 3 de la sección 1.4 verificamos la validez de la hipótesis de Kepler, según la cual el periodo de la órbita planetaria es proporcional a la distancia media entre los plane- tas y el Sol, elevada a la potencia 3/2. Cuando resulta imposible plantear la hipótesis de una relación entre una variable dependiente y una variable independiente, podemos reco- pilar datos y tratar de encontrar una curva que se “ajuste” a ellos de manera que se refleje la tendencia del diagrama de dispersión. El procedimiento mediante el cual se trata de en- contrar una curva que se ajuste a los datos se conoce como análisis de regresión, y a la curva resultante se le llama curva de regresión. Una calculadora graficadora o un software para graficación realizan el análisis de regresión buscando una curva que minimice la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos determinados por los datos y la curva. Este método de mínimos cuadrados se revisará en la sección de ejercicios 14.7. Hay varios tipos útiles de curvas de regresión, tales como rectas, potencias, polino- mios, exponenciales, logarítmicas y curvas senoidales. Muchas calculadoras graficadoras y programas para graficación por computadora incluyen funciones de análisis de regresión para ajustar una variedad de curvas de regresión típicas. El ejemplo siguiente ilustra el uso de la función de regresión lineal de una calculadora graficadora para ajustar los datos de la tabla 1.5 a una ecuación lineal. EJEMPLO 7 Ajustar una recta de regresión TABLA 1.5 Precio de Construya, a partir de los datos de la tabla 1.5, un modelo para determinar el precio de una una estampilla postal estampilla postal como función del tiempo. Después de verificar la “validez” del modelo, Año x Costo y utilícelo para predecir el precio que tendrá la estampilla en el 2010. 1968 0.06 Solución Queremos construir un modelo para determinar el precio de una estampilla 1971 0.08 postal desde 1968. Hubo dos aumentos en 1981: uno de tres centavos y luego otro de dos 1974 0.10 centavos. Para poder comparar 1981 con los demás años en la lista, sumamos ambos incre- 1975 0.13 mentos para un aumento total de cinco centavos, y obtenemos los datos de la tabla 1.6. En la figura 1.84a se muestra el diagrama de dispersión resultante. 1977 0.15 1981 0.18 1981 0.20 TABLA 1.6 Precio de una estampilla postal desde 1968 1985 0.22 x 0 3 6 7 9 13 17 19 23 27 30 34 1987 0.25 y 6 8 10 13 15 20 22 25 29 32 33 37 1991 0.29 1995 0.32 1998 0.33 Como el diagrama de dispersión es bastante lineal, intentamos el uso de un modelo lineal. 2002 0.37 Después de introducir los datos en una calculadora graficadora (o software para grafica- ción) y seleccionar la opción de regresión lineal, encontramos que la recta de regresión es 64 Capítulo 1: Preliminares y Precio de las estampillas (centavos) 60 50 40 30 20 10 x 0 10 20 30 40 50 60 Año después 1968 (a) (b) FIGURA 1.84 (a) Gráfica de dispersión de los datos (x, y) de la tabla 1.6. (b) Uso de la recta de regresión para estimar el precio de una estampilla en 2010. (Ejemplo 7). y = 0.94x + 6.10. La figura 1.84b muestra simultáneamente el diagrama de dispersión y la recta a la que se aproximó. La calidad del ajuste es notable, así que el modelo parece razonable. Al evaluar la recta de regresión, concluimos que en 2010 sx = 42d, el precio de la es- tampilla será y = 0.94s42d + 6.10 L 46 cents. El punto rojo que aparece sobre la recta de regresión de la figura 1.84b representa este pronóstico. EJEMPLO 8 Encontrar una curva para predecir niveles de población. Queremos predecir el tamaño de una población a futuro, por ejemplo, el número de tru- chas o barbos en una granja de peces. La figura 1.85 muestra el diagrama de dispersión de los datos recolectados por R. Pearl para una población de células de levadura (medida en biomasa) que crece con el paso del tiempo (medido en horas) en un nutriente. y 300 250 Biomasa 200 150 100 50 x 0 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo FIGURA 1.85 Biomasa del cultivo de levadura contra tiempo transcurrido (ejemplo 8). (Los datos se obtuvieron de “The Growth of Population”, Quart. Rev. Biol., Vol. 2(1927), pp. 532-548). Los puntos de la gráfica parecen describir una curva razonablemente suave que tiende hacia arriba (tiende a ser creciente). Podríamos tratar de reflejar esta tendencia ajustando a una función polinomial (por ejemplo, una cuadrática y = ax 2 + bx + c), a una función de potencia s y = ax b d, o a una función exponencial s y = ae bx d. En la figura 1.86 se muestra el resultado obtenido con una calculadora al ajustar a un modelo cuadrático. 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 65 y El modelo cuadrático y = 6.10x 2 - 9.28x + 16.43 parece ajustarse razonablemente bien los datos recopilados (figura 1.86). Usando este modelo, podemos predecir que, des- 250 pués de 17 horas, la población será ys17d = 1622.65. Examinemos más a fondo los datos 200 Biomasa obtenidos para ver si nuestro modelo cuadrático sigue siendo válido. 150 En la figura 1.87 se ilustra una gráfica que incluye todos los datos. Vemos ahora que 100 la predicción de ys17d = 1622.65 sobreestimó en gran medida el crecimiento de la pobla- 50 ción observada, que es de 659.6. ¿A qué se debe que el modelo cuadrático no pudiera pre- x decir un valor más exacto? 0 1 2 3 4 5 6 7 Tiempo y 2000 FIGURA 1.86 Ajuste de una función cuadrática a los datos dados en la 1800 ecuación y = 6.10x 2 - 9.28x + 16.43 1600 y la predicción y s17d = 1622.65 (ejemplo 8). 1400 Población de levadura 1200 Observación Predicción 1000 800 600 400 200 x 0 4.5 9 13.5 18 Tiempo (horas) FIGURA 1.87 El resto de los datos de Pearl (ejemplo 8). El problema radica en el riesgo de predecir más allá del rango de los datos usados pa- ra construir el modelo empírico. (El rango de datos utilizado para crear nuestro modelo fue 0 … x … 7.) Tal extrapolación es especialmente peligrosa cuando el modelo elegido no está sustentado por alguna razón fundamental que sugiera cuáles serían sus característi- cas más apropiadas. ¿Qué nos llevó a decidir, en nuestro ejemplo de la levadura, que una función cuadrática nos ayudaría a predecir el crecimiento poblacional? ¿Por qué no elegi- mos una función exponencial? ¿Cómo predecir valores futuros cuando nos enfrentamos a este tipo de disyuntiva? Como veremos al modelar el crecimiento poblacional en el capítu- lo 9, muchas veces el cálculo puede ayudarnos. Análisis de regresión El análisis de regresión consta de cuatro pasos: 1. Trazar los datos (en un diagrama de dispersión). 2. Encontrar una función de regresión. Por ejemplo: para una recta, dicha fun- ción tiene la forma y = mx + b, y, en el caso de una función cuadrática, la forma y = ax 2 + bx + c. 3. Superponer la gráfica de la función de regresión al diagrama de dispersión pa- ra ver que tan bien se ajustan. 4. Si el ajuste es satisfactorio, usar la función de regresión para predecir el valor de y dando valores de x que no estén en la tabla. 66 Capítulo 1: Preliminares EJERCICIOS 1.7 Elección del tamaño de la ventana de visualización 31. Grafique la mitad inferior del círculo definido por la ecuación x 2 + 2x = 4 + 4y - y 2 . En los ejercicios 1-4, use una calculadora graficadora o una computa- dora con un software para graficación para que determine cuál de las 32. Grafique la rama superior de la hipérbola y 2 - 16x 2 = 1 . escalas de tamaño de las ventanas de visualización que se dan muestra 33. Grafique cuatro periodos de la función ƒsxd = - tan 2x . la gráfica más apropiada de la función especificada. x 1. ƒsxd = x 4 - 7x 2 + 6x 34. Grafique dos periodos de la función ƒsxd = 3 cot 2 + 1. a. [- 1, 1] por [- 1, 1] b. [ -2, 2] por [- 5, 5] 35. Grafique la función ƒsxd = sen 2x + cos 3x . c. [- 10, 10] por [- 10, 10] d. [- 5, 5] por [- 25, 15] 36. Grafique la función ƒsxd = sen3 x . 3 2 2. ƒsxd = x - 4x - 4x + 16 a. [- 1, 1] por [-5, 5] b. [- 3, 3] por [-10, 10] Graficación en modo de puntos c. [- 5, 5] por [-10, 20] d. [-20, 20] por [- 100, 100] Otra forma de evitar las conexiones incorrectas cuando se usa un dis- 3. ƒsxd = 5 + 12x - x 3 positivo para graficación, consiste en utilizar el “modo de puntos” que, como indica su nombre, sólo grafica puntos. Si el dispositivo que a. [-1, 1] por [- 1, 1] b. [- 5, 5] por [ -10, 10] usted utiliza cuenta con esta función, empléela para graficar las fun- c. [- 4, 4] por [-20, 20] d. [-4, 5] por [- 15, 25] ciones de los ejercicios 37-40. 4. ƒsxd = 25 + 4x - x 2 37. y = 1 1 38. y = sen x x - 3 a. [ -2, 2] por [- 2, 2] b. [- 2, 6] por [-1, 4] 39. y = x :x ; x3 - 1 c. [- 3, 7] por [0, 10] d. [- 10, 10] por [- 10, 10] 40. y = x2 - 1 Análisis de regresión Determinación de los parámetros de la ventana T 41. En la tabla 1.7 se muestra el salario medio anual de los trabajado- de visualización res de la industria de la construcción. En los ejercicios 5-30, determine la escala apropiada de la ventana pa- ra la función dada, y úsela para mostrar su gráfica. x3 x2 5. ƒsxd = x 4 - 4x 3 + 15 6. ƒsxd = - - 2x + 1 TABLA 1.7 Promedio de la compensación 3 2 anual de los trabajadores de la construcción 7. ƒsxd = x 5 - 5x 4 + 10 8. ƒsxd = 4x 3 - x 4 Compensación anual 9. ƒsxd = x 29 - x 2 10. ƒsxd = x 2s6 - x 3 d Año (dólares) 11. y = 2x - 3x 2>3 12. y = x 1>3sx 2 - 8d 13. y = 5x 2>5 - 2x 14. y = x 2>3s5 - xd 1980 22,033 2 15. y = ƒ x - 1 ƒ 16. y = ƒ x 2 - x ƒ 1985 27,581 x + 3 1 1988 30,466 17. y = 18. y = 1 - x + 2 x + 3 1990 32,836 x2 + 2 x2 - 1 1992 34,815 19. ƒsxd = 20. ƒsxd = x2 + 1 x2 + 1 1995 37,996 x - 1 8 1999 42,236 21. ƒsxd = 2 22. ƒsxd = 2 x - x - 6 x - 9 2002 45,413 6x 2 - 15x + 6 x2 - 3 23. ƒsxd = 24. ƒsxd = 4x 2 - 10x x - 2 Fuente: Oficina de análisis económico de EUA. 25. y = sen 250x 26. y = 3 cos 60x 27. y = cos a b sen a b x 1 x 28. y = 50 10 10 a. Encuentre una función de regresión lineal para los datos. 1 1 b. Encuentre la pendiente de la recta de regresión. Explique 29. y = x + sen 30x 30. y = x 2 + cos 100x ¿qué representa la pendiente? 10 50 1.7 Graficación con calculadoras y computadoras 67 c. Superponga la gráfica de la ecuación de regresión lineal al diagrama de dispersión de los datos. TABLA 1.9 Distancia de frenado de un vehículo d. Use la ecuación de regresión para predecir el promedio sala- Promedio de la distancia rial anual de los trabajadores de la industria de la construc- ción en el 2010. Rapidez (mph) de frenado total (pies) T 42. El precio medio de las casas unifamiliares se ha incrementado de 20 42 manera continua desde 1970. Sin embargo, los datos de la tabla 25 56 1.8 indican que tal aumento ha sido diferente en distintas partes 30 73.5 del país. 35 91.5 a. Encuentre una ecuación de regresión lineal para el costo de 40 116 las casas en el noreste del país. 45 142.5 b. ¿Qué representa la pendiente de la recta de regresión? 50 173 c. Encuentre una ecuación de regresión lineal para el costo de 55 209.5 las casas en el medio oeste de la nación. 60 248 d. ¿En qué región del país se está incrementando más rápida- 65 292.5 mente el precio medio, en el noreste o en el medio oeste? 70 343 75 401 TABLA 1.8 Precio medio de las casas unifamiliares 80 464 Noreste Medio oeste Fuente: Oficina de carreteras públicas de EUA. Año (dólares) (dólares) 1970 25,200 20,100 1975 39,300 30,100 la distancia entre las crestas de estas olas (su longitud de onda) 1980 60,800 51,900 aumenta según la velocidad del barco. La tabla 1.10 muestra la re- 1985 88,900 58,900 lación entre la longitud de onda y la velocidad del barco. 1990 141,200 74,000 a. Encuentre una función de regresión potencia y = ax b para los 1995 197,100 88,300 datos de la tabla 1.10, donde x es la longitud de onda y y es la velocidad del barco. 2000 264,700 97,000 b. Superponga la gráfica de la ecuación de regresión potencia al diagrama de dispersión de los datos. Fuente: Asociación Nacional de Bienes Raíces®. T 43. Distancia de frenado de un vehículo La tabla 1.9 muestra la distancia de frenado total de un automóvil como una función de su velocidad. TABLA 1.10 Longitud de onda a. Encuentre una ecuación de regresión cuadrática para los datos Longitud de Rapidez de la tabla 1.9. onda (m) (km/h) b. Superponga la gráfica de la ecuación de regresión en forma cuadrática al diagrama de dispersión de los datos. 0.20 1.8 c. Use la gráfica de la ecuación de regresión cuadrática para 0.65 3.6 predecir el promedio de la distancia total de frenado para las 1.13 5.4 velocidades de 72 y 85 mph. Confirme algebraicamente. 2.55 7.2 d. Ahora use una de regresión lineal para predecir el promedio 4.00 9.0 de la distancia total de frenado para las velocidades de 72 5.75 10.8 y 85 mph. Superponga la recta de regresión al diagrama 7.80 12.6 de dispersión de los datos. ¿Cuál gráfica ofrece el mejor 10.20 14.4 ajuste, la de regresión lineal o la de regresión cuadrática del inciso (b)? 12.90 16.2 16.00 18.0 T 44. Ola de popa Las observaciones de las olas de popa que siguen 18.40 19.8 a un barco en ángulo recto a lo largo de su curso han revelado que 68 Capítulo 1: Preliminares c. Use la gráfica de la ecuación de regresión potencia para pre- la regresión lineal al diagrama de dispersión de los datos. decir la velocidad del barco cuando la longitud de onda es de ¿Cuál de las gráficas ofrece el mejor ajuste, la de la regresión 11 m. Confirme algebraicamente. lineal o la de la regresión potencia del inciso (b)? d. Emplee ahora una regresión lineal para predecir la velocidad del barco cuando la longitud de onda es de 11 m. Superponga Capítulo 1 Preguntas de repaso 1. ¿Cómo se representan los números reales? ¿Cuáles son las princi- 16. ¿Qué es una función? ¿Qué es el dominio de una función? ¿Qué pales categorías que caracterizan las propiedades del conjunto de es el rango? ¿Qué es un diagrama de flechas de una función? Dé los números reales? ¿Cuál son los principales subconjuntos de los ejemplos. números reales? 17. ¿Qué es una función de valor real de variable real? ¿Qué es la 2. ¿Cómo se describen los números racionales en términos de ex- prueba de la recta vertical? pansiones decimales? ¿Qué son los números irracionales? Pro- 18. ¿Qué es una función definida por partes? Proporcione ejemplos. porcione ejemplos. 3. ¿Cuáles son las propiedades de orden de los números reales? 19. ¿Cuáles son los tipos de funciones más importantes que suelen ¿Cómo se les utiliza en la resolución de problemas y ecuaciones? encontrarse en cálculo? Dé un ejemplo de cada tipo. 4. ¿Qué es el valor absoluto de un número? Proporcione ejemplos. 20. ¿Qué se entiende por función creciente, en términos de su gráfi- ¿Cómo están relacionados ƒ -a ƒ , ƒ ab ƒ , ƒ a>b ƒ y ƒ a + b ƒ con ƒ a ƒ ca?¿Y por función decreciente? Dé un ejemplo de cada una. y ƒ b ƒ? 21. ¿Qué es una función par? ¿Qué es una función impar? ¿Qué pro- 5. ¿Cómo se usan los valores absolutos para describir intervalos o piedades de simetría tienen las gráficas de dichas funciones? uniones de intervalos? Proporcione ejemplos. ¿Qué ventaja podemos sacar de esto? Dé un ejemplo de una fun- 6. ¿Cómo identificamos puntos en el plano usando el sistema de ción que no sea par ni impar. coordenadas cartesianas? ¿Qué es la gráfica de una ecuación en 22. ¿Qué significa que y es proporcional a x? ¿Qué significa que y es las variables x y y? proporcional a x 3>2 ? ¿Cuál es la interpretación geométrica de pro- 7. ¿Cómo podemos encontrar una ecuación para una recta si cono- porcionalidad? ¿Cómo se puede usar esta interpretación para cemos las coordenadas de dos puntos en la misma? ¿Cómo hacer- probar una proporcionalidad propuesta? lo si conocemos la pendiente de la recta y las coordenadas de un 23. Si ƒ y g son funciones de valor real, ¿cómo se relacionan los do- punto en la recta? ¿Y si conocemos la pendiente de la recta y, y su minios de ƒ + g, ƒ - g, ƒg y ƒ>g con los dominios de ƒ y g? Dé ordenada al origen? Proporcione, ejemplos. ejemplos. 8. ¿Cuáles son las ecuaciones estándar para las rectas perpendicula- 24. ¿Cuándo es posible realizar una composición de una función con res a los ejes coordenados? otra? Dé ejemplos de composiciones y sus valores en varios pun- 9. ¿Cómo se relacionan entre sí las pendientes de rectas mutuamente tos. ¿Tiene importancia el orden en el que se componen las fun- perpendiculares? ¿Cómo se relacionan entre sí las pendientes de ciones? dos rectas paralelas? Explique y proporcione ejemplos. 25. ¿Cómo cambiaría la ecuación y = ƒsxd para desplazar su gráfica 10. ¿Cuál es la relación entre la pendiente de una recta no vertical y verticalmente hacia arriba o hacia abajo por un factor de k 7 0 ? su ángulo de inclinación? ¿Cómo lo haría para desplazar su gráfica horizontalmente hacia 11. ¿Cómo se determina la distancia entre dos puntos en el plano car- la izquierda o hacia la derecha? Dé ejemplos. tesiano? 26. ¿Cómo cambiaría la ecuación y = ƒsxd para comprimir o estirar 12. ¿Cuál es la ecuación estándar de un círculo con centro en (h, k) y la gráfica por c 7 1 ? ¿Cómo lo haría para reflejar la gráfica a lo radio a? ¿Qué es un círculo unitario y cuál es su ecuación? largo de los ejes coordenados? Dé ejemplos. 13. Describa los pasos que deben seguirse para graficar el círculo 27. ¿Cuál es la ecuación estándar de una elipse con centro en (h, k)? x 2 + y 2 + 4x - 6y + 12 = 0 . ¿Cuál es su eje mayor? ¿Cuál su eje menor? Dé ejemplos. 14. ¿Cuáles desigualdades describen los puntos del plano cartesiano 28. ¿Qué es la medición en radianes? ¿Cómo se hace la conversión de que están dentro de un círculo con radio a y centro en el punto radianes a grados? ¿Cómo se hace la conversión de grados a ra- (h, k)? ¿Cuáles describen los puntos que están dentro o sobre el dianes? círculo? ¿Cuáles los que están fuera del círculo? ¿Cuáles los que están fuera o sobre el círculo? 29. Grafique las seis funciones trigonométricas básicas. ¿Qué sime- 15. Si a, b y c son constantes y a Z 0 , ¿qué se puede decir acerca de trías tienen las gráficas? la gráfica de la ecuación y = ax 2 + bx + c ? En particular, ¿có- 30. ¿Qué es una función periódica? Dé ejemplos. ¿Cuáles son los pe- mo graficaría la curva y = 2x 2 + 4x ? riodos de las seis funciones trigonométricas básicas? Capítulo 1 Ejercicios de práctica 69 31. Comenzando con la identidad sen2 u + cos2 u = 1 y las fórmulas ejemplos. Trace la gráfica de la función seno dada en forma es- para cos sA + Bd y sen sA + Bd , muestre de qué manera pueden tándar e identifique las constantes A, B, C y D. obtenerse otras funciones trigonométricas. 33. Mencione tres problemas que pueden surgir al graficar funciones 32. ¿Cómo puede relacionarse la fórmula de la función seno dada en con una calculadora graficadora o con un software de graficación forma estándar ƒsxd = A sen ss2p>Bdsx - Cdd + con el despla- por computadora. zamiento, dilatación, compresión y reflexión de su gráfica? Dé Capítulo 1 Ejercicios de práctica Desigualdades 16. Pasa por los puntos s -3, 6d y s1, - 2d En los ejercicios 1-4, resuelva las desigualdades y muestre el conjunto 17. La recta horizontal que pasa por (0, 2) solución en forma gráfica (sobre la recta real). 18. Pasa por (3, 3) y s - 2, 5d 1. 7 + 2x Ú 3 2. -3x 6 10 19. Con pendiente - 3 y ordenada al origen 3 1 1 x - 3 4 + x 20. Pasa por el punto (3, 1) y es paralela a la recta 2x - y = - 2 3. sx - 1d 6 sx - 2d 4. Ú - 5 4 2 3 21. Pasa por el punto s4, - 12d y es paralela a la recta 4x + 3y = 12 22. Pasa por el punto s -2, -3d y es perpendicular a la recta Valor absoluto 3x - 5y = 1 Resuelva las ecuaciones o las desigualdades de los ejercicios 5-8. 23. Pasa por el punto s -1, 2d y es perpendicular a la recta 5. ƒ x + 1 ƒ = 7 6. ƒ y - 3 ƒ 6 4 s1>2dx + s1>3dy = 1 24. Con abscisa al origen 3 y ordenada al origen - 5 7. ` 1 - ` 7 8. ` ` … 5 x 3 2x + 7 2 2 3 Funciones y gráficas Coordenadas 25. Exprese el área y la circunferencia de un círculo como funciones 9. Una partícula se mueve en el plano, del punto As -2, 5d al eje y, de su radio. Después, exprese el área del círculo como una fun- de manera que ¢y iguala a 3¢x . ¿Cuáles son las nuevas coorde- ción de su circunferencia. nadas de la partícula? 26. Exprese el radio de una esfera como una función de su área super- 10. a. Grafique los puntos As8, 1d, Bs2, 10d, Cs -4, 6d, Ds2, -3d y ficial. Después, exprese el área superficial de la esfera como una E(14>3, 6). función de su volumen. b. Encuentre las pendientes de las rectas AB, BC, CD, DA, CE 27. Un punto P en el primer cuadrante está sobre la parábola y = x 2 . y BD. Exprese las coordenadas de P como funciones del ángulo de in- c. ¿Alguna combinación de cuatro de estos cinco puntos A, B, clinación de la recta que une P con el origen. C, D y E forma un paralelogramo? 28. Un globo de aire caliente se eleva en línea recta desde el nivel del d. ¿Alguna combinación de tres de los cinco puntos es colineal? suelo, y es rastreado desde una estación que está localizada a 500 ¿Cómo lo sabe? Explique pies del lugar del lanzamiento. Exprese la altura del globo como función del ángulo que forma la recta que va desde la estación e. ¿Cuáles de las rectas determinadas por los cinco puntos pasan hasta el globo en relación con el piso. por el origen? 11. ¿Los puntos As6, 4d, Bs4, -3d y Cs - 2, 3d forman un triángulo En los ejercicios 29-32, determine si la gráfica de la función es simé- isósceles? ¿Un triángulo rectángulo? ¿Cómo lo sabe? Explique trica respecto al eje y, al origen, o a ninguno de los dos. 12. Encuentre las coordenadas del punto de la recta y = 3x + 1 que 29. y = x 1>5 30. y = x 2>5 sea equidistante de (0, 0) y s - 3, 4d . 2 31. y = x - 2x - 1 32. y = e -x 2 En los ejercicios 33-40, determine si la función es par, impar o ningu- Rectas na de las dos. En los ejercicios 13-24, escriba la ecuación de la recta, dados los datos 33. y = x 2 + 1 34. y = x 5 - x 3 - x siguientes. 35. y = 1 - cos x 36. y = sec x tan x 13. Pasa por el punto s1, -6d con pendiente 3 4 x + 1 37. y = 38. y = 1 - sen x 14. Pasa por el punto s -1, 2d con pendiente -1>2 x 3 - 2x 15. La recta es vertical y pasa por el punto s0, - 3d 39. y = x + cos x 40. y = 2x 4 - 1 70 Capítulo 1: Preliminares En los ejercicios 41-50, encuentre (a) el dominio, y (b) el rango. Composición con valores absolutos En los ejercicios 65-68, grafi- 41. y = ƒ x ƒ - 2 42. y = - 2 + 21 - x que juntas g2. Después, explique cómo se ve afectada la gráfica al to- mar valores absolutos después de aplicar g1. 43. y = 216 - x 2 44. y = 32 - x + 1 45. y = 2e -x - 3 46. y = tan s2x - pd g1sxd g2sxd  ƒ g1sxd ƒ 47. y = 2 sen s3x + pd - 1 48. y = x 2>5 65. x 3 ƒ x3 ƒ 49. y = ln sx - 3d + 1 50. y = - 1 + 2 3 2 - x 66. 2x ƒ 2x ƒ 2 67. 4 - x ƒ 4 - x2 ƒ Funciones definidas por partes 68. x 2 + x ƒ x2 + x ƒ En los ejercicios 51 y 52, encuentre (a) el dominio, y (b) el rango. 2 - x, Trigonometría 51. y = e -4 … x … 0 2x, 0 6 x … 4 En los ejercicios 69-72, grafique la función dada. ¿Cuál es el periodo - x - 2, -2 … x … -1 de la función? 52. y = • x, -1 6 x … 1 x 69. y = cos 2x 70. y = sen - x + 2, 1 6 x … 2 2 px En los ejercicios 53 y 54, escriba una fórmula para definir por partes 71. y = sen px 72. y = cos 2 cada función. 73. Grafique y = 2 cos ax - b. y p 53. y 54. 3 (2, 5) 5 74. Grafique y = 1 + sen ax + b. 1 p 4 x 0 1 2 En los ejercicios 75-78, ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en C. Los ángulos A, B y C son opuestos a los lados a, b y c, res- x 0 4 pectivamente. 75. a. Encuentre a y b si c = 2, B = p>3 . Composición de funciones b. Encuentre a y c si b = 2, B = p>3 . En los ejercicios 55 y 56, encuentre 76. a. Exprese a en términos de A y c. a. sƒ  gds -1d . b. sg  ƒds2d . b. Exprese a en términos de A y b. c. sƒ  ƒdsxd . d. sg  gdsxd . 77. a. Exprese a en términos de B y b. 1 1 55. ƒsxd = x , g sxd = b. Exprese c en términos de A y a. 2x + 2 78. a. Exprese seno A en términos de a y c. 56. ƒsxd = 2 - x, g sxd = 2 3 x + 1 b. Exprese seno A en términos de b y c. En los ejercicios 57 y 58, (a) escriba la composición resultante pa- 79. Altura de un poste Dos cables van de la parte superior T de un ra ƒ  g y g  ƒ, y encuentre (b) el dominio y (c) el rango de cada poste vertical, a dos puntos, B y C, colocados en el piso, donde C una. está 10 m más cerca de la base del poste que B. Si el cable BT forma 57. ƒsxd = 2 - x 2, g sxd = 2x + 2 un ángulo de 35o con la horizontal y el cable CT forma un ángulo 58. ƒsxd = 2x, g sxd = 21 - x de 50o con la horizontal, ¿cuál es la altura del poste? 80. Altura de un globo meteorológico Dos observadores colocados Composición con valores absolutos En los ejercicios 59-64, grafique en las posiciones A y B y separados entre sí 2 km, miden simultá- juntas ƒ1 y ƒ2. Después, explique cómo se ve afectada la gráfica al neamente el ángulo de elevación de un globo meteorológico, siendo aplicar la función valor absoluto antes de aplicar ƒ1 las medidas de 40o y 70o, respectivamente. Determine la altura ƒ1sxd ƒ2sxd  ƒ1s ƒ x ƒ d del globo si éste se ubica justo sobre un punto del segmento de recta entre A y B. 59. x ƒxƒ 3 T 81. a. Grafique la función ƒsxd = sen x + cossx>2d . 60. x ƒ x ƒ3 b. ¿Cuál es el periodo de la función? 61. x 2 ƒxƒ 2 c. Confirme algebraicamente la respuesta que dio en el inciso (b). 1 1 62. x T 82. a. Grafique la función ƒsxd = sen s1>xd . ƒxƒ 63. 2x 2ƒ x ƒ b. ¿Cuáles son el dominio y el rango de f ? 64. sen x sen ƒ x ƒ c. La gráfica de f está dada. Grafique cada función. Capítulo 1 Ejercicios adicionales y avanzados 71 Capítulo 1 Ejercicios adicionales y avanzados Funciones y gráficas 13. Encuentre sen B si a = 2, b = 3, c = 4 . 1. La gráfica de f está dada. Grafique cada función. 14. Encuentre sen C si a = 2, b = 4, c = 5 . a. y = ƒs - xd b. y = - ƒsxd c. y = - 2ƒsx + 1d + 1 d. y = 3ƒsx - 2d - 2 Deducciones y pruebas 15. Demuestre las siguientes identidades trigonométricas. y 1 - cos x sen x a. sen x = 1 + cos x 1 - cos x x 1 b. = tan2 1 + cos x 2 x –1 16. Explique la siguiente “prueba sin palabras” de la ley de los cose- nos. (Fuente: “Proof without Words: The Law of Cosines”, Sid- ney H. Kung, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5, dic. 1990, 2. A continuación se muestra una parte de la gráfica de una función p. 342). definida en [- 3, 3] . Complete la gráfica suponiendo que la fun- ción es 2a cos u  b a. par. b. impar. ac c b y u a a (3, 2) a 2 1 x 0 1 2 3 17. Demuestre que el área del triángulo ABC está dada por –1 s1>2dab sen C = s1>2dbc sen A = s1>2dca sen B . (1, –1) C 3. ¿Explique si existen dos funciones f y g tales que ƒ  g = g  ƒ ? Justifique su respuesta. b a 4. ¿Existen dos funciones f y g con la propiedad siguiente? Las grá- ficas de f y g no son rectas, pero la gráfica de ƒ  g sí lo es. Justi- fique su respuesta. A c B 5. Si ƒ(x) es impar, ¿se puede decir algo de g sxd = ƒsxd - 2? ¿Qué ocurriría si f fuera par? Justifique su respuesta. 18. Demuestre que el área del triángulo ABC está dada por 6. Si g(x) es una función impar definida para todos los valores de x, 2sss - adss - bdss - cd donde s = sa + b + cd>2 es el semi- ¿se puede decir algo acerca de g (0)? Justifique su respuesta. perímetro del triángulo. 7. Grafique la ecuación ƒ x ƒ + ƒ y ƒ = 1 + x . 19. Propiedades de las desigualdades Si a y b son números reales, 8. Grafique la ecuación y + ƒ y ƒ = x + ƒ x ƒ . decimos que a es menor que b, y escribimos a 6 b si (y sólo si) b - a es positivo. Use esta definición para probar las siguientes Trigonometría propiedades de las desigualdades. Si a, b y c son números reales, entonces: En los ejercicios 9-14, ABC es un triángulo arbitrario con lados a, b y c y ángulos opuestos A, B y C, respectivamente. 1. a 6 b Q a + c 6 b + c 9. Encuentre b si a = 23, A = p>3, B = p>4 . 2. a 6 b Q a - c 6 b - c 10. Encuentre sen B si a = 4, b = 3, A = p>4 . 3. a 6 b y c 7 0 Q ac 6 bc 11. Encuentre cos A si a = 2, b = 2, c = 3 . 4. a 6 b y c 6 0 Q bc 6 ac 12. Encuentre c si a = 2, b = 3, C = p>4 . (Caso especial: a 6 b Q -b 6 - a) 72 Capítulo 1: Preliminares 1 b. b cambia (a y c fijos, a Z 0)? 5. a 7 0 Q a 7 0 c. c cambia (a y b fijos, a Z 0)? 1 1 6. 0 6 a 6 b Q 6 a 27. Encuentre todos los valores de la pendiente de la recta b y = mx + 2 para los que la intersección con el eje x excede 1>2 . 1 1 7. a 6 b 6 0 Q 6 a b 20. Pruebe que las siguientes desigualdades se cumplen para cual- Geometría quier número real a y b. 28. El centro de masa de un objeto se mueve a una velocidad constante 2 a. ƒ a ƒ 6 ƒ b ƒ si y sólo si a 6 b v a lo largo de una recta que pasa por el origen. La figura siguien- te muestra el sistema coordenado y la recta de movimiento. Los b. ƒ a - b ƒ Ú ƒ ƒ a ƒ - ƒ b ƒ ƒ puntos indican las posiciones del objeto en cada segundo. ¿Por Generalización de la desigualdad triangular Demuestre, median- qué todas las áreas A1, A2 , Á , A5 de la figura son iguales? Como te inducción matemática, que las desigualdades de los ejercicios 21 y en la ley de áreas iguales de Kepler (vea la sección 13.6), la recta 22 se satisfacen para cualesquiera n números reales a1, a2 , Á , an . (El que une el centro de masa del objeto recorre áreas iguales en apéndice 1 revisa la inducción matemática). tiempos iguales. 21. ƒ a1 + a2 + Á + an ƒ … ƒ a1 ƒ + ƒ a2 ƒ + Á + ƒ an ƒ y 22. ƒ a1 + a2 + Á + an ƒ Ú ƒ a1 ƒ - ƒ a2 ƒ - Á - ƒ an ƒ 23. Demuestre que si f es tanto par como impar, entonces ƒsxd = 0 10 t6 para toda x en el dominio de f. t5 24. a. Descomposiciones par-impar Sea f una función cuyo domi- Kilómetros nio es simétrico respecto al origen, esto es, que -x pertenece A5 y t al dominio siempre que x también pertenezca a él. Pruebe que A4 5 y t f es la suma de una función par y una función impar: A3 t2 ƒsxd = Esxd + O sxd , A2 A1 t1 donde E es una función par y O es una función impar. (Suge- rencia: Sea Esxd = sƒsxd + ƒs - xdd>2 demuestre que x Es - xd = Esxd , de manera que E es par. Después demuestre 0 5 10 15 que O sxd = ƒsxd - Esxd es impar). Kilómetros b. Unicidad Demuestre que existe sólo una manera de escribir f como la suma de una función par y una impar. (Sugerencia: 29. a. Encuentre la pendiente de la recta desde el origen al punto me- Una manera se mencionó en el inciso (a). Si también dio P del lado AB del triángulo ilustrado en la figura siguiente ƒsxd = E1sxd + O1sxd donde E1 es par y O1 es impar, de- sa, b 7 0d . muestre que E - E1 = O1 - O . Después use el ejercicio 23 y para probar que E = E1 y O = O1). Exploraciones con calculadoras graficadoras o B(0, b) computadoras con algún software para graficar. Efectos de los parámetros P 2 25. ¿Qué le pasa a la gráfica de y = ax + bx + c conforme a. a cambia mientras b y c permanecen fijos? x O A(a, 0) b. b cambia (a y c fijos, a Z 0)? c. c cambia (a y b fijos, a Z 0)? b. ¿Cuándo OP es perpendicular a AB? 3 26. ¿Qué le pasa a la gráfica de y = asx + bd + c conforme a. a cambia mientras b y c permanecen fijos? Capítulo 1 Proyectos de aplicación tecnológica Un vistazo Una revisión de Mathematica es suficiente para completar los módulos de Mathematica que aparecen en el sitio Web. Módulo Mathematica/Maple Trabajo con modelos matemáticos: Resortes, conducción automovilística segura, radioactividad, árboles, peces y mamíferos. Construya e interprete modelos matemáticos; analícelos y mejórelos, y haga predicciones a partir de ellos. Capítulo 2 LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN El concepto que marca la diferencia entre el cálculo y el álgebra y la tri- gonometría, es el de límite. El límite es fundamental para determinar la tangente a una cur- va o la velocidad de un objeto. En este capítulo se desarrolla dicho concepto, primero de manera intuitiva y luego formalmente. Usaremos límites para describir la forma en que varía una función f. Algunas funciones varían continuamente; los cambios pequeños en x producen ligeras modifica- ciones en ƒ(x). Otras funciones pueden tener valores que saltan o que cambian con brus- quedad. El concepto de límite nos proporciona un método preciso para distinguir entre es- tos comportamientos. La aplicación geométrica del límite para definir la tangente a una curva, conduce directamente al importante concepto de la derivada de una función. La de- rivada, que analizaremos a fondo en el capítulo 3, cuantifica la manera en que cambian los valores de una función. 2.1 Razón de cambio y límites En esta sección hablaremos de las razones de cambio promedio e instantáneo. A partir de ellas abordaremos nuestro concepto principal: la idea de límite. Velocidad promedio y velocidad instantánea La velocidad promedio que tiene un cuerpo en movimiento durante un intervalo de tiem- po, se encuentra al dividir la distancia recorrida entre el lapso de tiempo. La unidad de me- dida es longitud por unidad de tiempo: kilómetros por hora, pies por segundo o cualquiera otra que sea adecuada para el problema en cuestión. EJEMPLO 1 Determinación de la velocidad promedio Una piedra cae de un acantilado desde el reposo. ¿Cuál es su velocidad promedio (a) durante los primeros dos segundos de la caída? (b) durante el intervalo de un segundo entre el segundo 1 y el segundo 2? Solución Para resolver este problema usamos el hecho, descubierto por Galileo a finales del siglo XVI, de que un objeto sólido que se deja caer desde el reposo (sin moverse), de manera que descienda libremente cerca de la superficie de la tierra, recorrerá una distancia proporcional al cuadrado del tiempo que dura la caída. (Esto supone despreciar la resisten- cia que ejerce el aire y frena el objeto, y descartar la influencia de fuerzas distintas a la gravedad sobre el objeto en caída. A este tipo de movimiento se le denomina caída libre). 73 74 Capítulo 2: Límites y continuidad BIOGRAFÍA HISTÓRICA* Si y denota la distancia recorrida en pies después de t segundos, de acuerdo con la ley de Galileo Galilei Galileo (1564-1642) y = 16t 2 , donde 16 es la constante de proporcionalidad. La velocidad promedio de la piedra durante un intervalo de tiempo dado, es igual al cambio en la distancia, ¢y , dividido entre el intervalo de tiempo, ¢t. ¢y 16s2d2 - 16s0d2 pies (a) Para los primeros 2 segundos: = = 32 seg ¢t 2 - 0 ¢y 16s2d2 - 16s1d2 pies (b) Del segundo 1 al segundo 2: = = 48 seg ¢t 2 - 1 En el ejemplo siguiente se examina qué pasa cuando se busca la velocidad promedio de un objeto que cae, en intervalos de tiempo cada vez más cortos. EJEMPLO 2 Determinación de la velocidad instantánea Encontrar la velocidad de la piedra que cae en t = 1 y t = 2 seg. Solución Podemos calcular la velocidad promedio de la piedra en el intervalo de tiempo [t0, t0 + h], cuya longitud ¢t = h, como ¢y 16st0 + hd2 - 16t0 2 = . (1) ¢t h No es posible usar esta fórmula para calcular la velocidad “instantánea” en t0 sustituyendo h = 0, ya que la división por cero no está definida. Sin embargo, sí podemos emplearla para calcular la velocidad promedio en lapsos cada vez más cortos, empezando en t0 = 1 y t0 = 2. Cuando lo hacemos así, vemos un patrón (tabla 2.1). TABLA 2.1 Velocidad promedio en intervalos de tiempo pequeños ¢y 16st0 + hd2 - 16t0 2 Velocidad promedio: = ¢t h Longitud del Velocidad promedio Velocidad promedio intervalo en intervalo de longitud en intervalo de longitud de tiempo h h empezando en t0 = 1 h empezando en t0 = 2 1 48 80 0.1 33.6 65.6 0.01 32.16 64.16 0.001 32.016 64.016 0.0001 32.0016 64.0016 La velocidad promedio a medida que disminuye la longitud del intervalo que empieza en t0 = 1, aparentemente se aproxima a un valor límite igual a 32 a medida que disminuye la longitud del intervalo. Esto sugiere que la piedra está cayendo a una velocidad de 32 pies/seg en t0 = 1 seg. Confirmemos esto algebraicamente. *Para aprender más acerca de estos personajes históricos y sobre el desarrollo de los principales temas y elementos relacionados con el cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas. 2.1 Razón de cambio y límites 75 Si fijamos t0 = 1, y luego desarrollamos el numerador de la ecuación (1) y simplifica- mos, encontramos que ¢y 16s1 + hd2 - 16s1d2 16s1 + 2h + h 2 d - 16 = = ¢t h h 32h + 16h 2 = = 32 + 16h. h Para valores de h distintos de 0, las expresiones de la derecha y la izquierda son equivalen- tes, y la velocidad promedio es 32 + 16h pies/seg. Ahora podemos ver por qué la velocidad promedio tiene el valor límite 32 + 16(0) = 32 pies/seg a medida que h tiende a 0. De manera similar, al fijar t0 = 2 en la ecuación (1), el procedimiento da por resultado ¢y = 64 + 16h ¢t para valores de h distintos de 0. Conforme h se acerca cada vez más a 0, la velocidad pro- medio en t0 = 2 seg tiene el valor límite de 64 pies/seg. Razones de cambio promedio y rectas secantes Dada una función arbitraria y = f (x), calculamos la razón de cambio promedio de y respec- to de x en el intervalo [x1, x2] dividiendo el cambio en el valor de y, ∆y = f(x2) – f(x1), en- tre la longitud ∆x = x2 – x1 = h del intervalo donde ocurre el cambio. DEFINICIÓN Razón de cambio promedio en un intervalo La razón de cambio promedio de y = f (x) respecto de x en el intervalo [x1, x2] es ¢y ƒsx2 d - ƒsx1 d ƒsx1 + hd - ƒsx1 d = x2 - x1 = , h Z 0. ¢x h Geométricamente, la razón de cambio de f en [x1, x2] es la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(x1, f(x1)) y Q(x2, f(x2)) (figura 2.1). En geometría, la recta que une dos puntos de una curva es una secante de la misma. En consecuencia, la razón de cambio promedio de f desde x1 a x2 es idéntica a la pendiente de la secante PQ. y Muchas veces, los biólogos experimentales quieren saber la razón a la que crecen las y  f (x) poblaciones bajo condiciones controladas en el laboratorio. Q(x 2, f (x 2 )) EJEMPLO 3 La razón promedio de crecimiento en una población analizada en laboratorio Secante En la figura 2.2 se muestra el crecimiento poblacional de la mosca de la fruta (Drosophila) y durante un experimento de 50 días. El número de moscas se contó en intervalos regulares P(x1, f (x1)) de tiempo, y los valores se graficaron en relación con el tiempo; los puntos resultantes fue- ron unidos mediante una curva suave (de color azul en la figura 2.2). Encontrar la razón x  h promedio de crecimiento entre los días 23 y 45. x 0 x1 x2 Solución El día 23 había 150 moscas, y 340 el día 45. Por lo tanto, el número de moscas FIGURA 2.1 Una secante de la se incrementó 340 – 150 = 190 en 45 – 23 = 22 días. La razón de cambio promedio de la gráfica y = f (x). Su pendiente es población entre los días 23 y 45 fue ∆y/∆x, la razón de cambio promedio ¢p 340 - 150 190 de f en el intervalo [x1, x2]. Razón de cambio promedio: = = L 8.6 moscas/día. ¢t 45 - 23 22 76 Capítulo 2: Límites y continuidad p 350 Q(45, 340) 300 Número de moscas 250 p  190 200 p  8.6 (moscas/día) P(23, 150) t 150 t  22 100 50 t 0 10 20 30 40 50 Tiempo (días) FIGURA 2.2 Crecimiento de la población de la mosca de la fruta en un experimento controlado. La razón de cambio promedio en 22 días es la pendiente ∆y/∆x de la recta secante. Este promedio es la pendiente de la secante que pasa por los puntos P y Q en la gráfica de la figura 2.2. Sin embargo, la razón de cambio promedio entre los días 23 y 45 calculada en el ejem- plo 3 no nos indica qué tan rápido se modificó la población tan sólo el día 23. Para conocer ese dato necesitamos examinar intervalos de tiempo más cercanos al día en cuestión. EJEMPLO 4 La razón de crecimiento en el día 23 ¿Qué tan rápido aumentó la población de moscas del ejemplo 3 el día 23? Solución Para contestar esta pregunta, examinamos las razones de cambio promedio en intervalos de tiempo cada vez más pequeños a partir del día 23. En términos geométricos, para encontrar estas razones debemos calcular las pendientes de las secantes de P a Q, pa- ra una serie de puntos Q que se acercan a P a lo largo de la curva (figura 2.3). Los valores de la tabla muestran que las pendientes de las secantes aumentan de 8.6 a 16.4 a medida que la coordenada t de Q decrece de 45 a 30, lo que nos permitiría suponer que las pendientes se incrementarán ligeramente a medida que t siga su camino hacia 23. p Pendiente de PQ  ≤p/≤t 350 B(35, 350) Q (moscas / día) Q(45, 340) 300 Número de moscas 340 - 150 250 (45, 340) L 8.6 45 - 23 200 330 - 150 P(23, 150) (40, 330) L 10.6 150 40 - 23 100 310 - 150 (35, 310) L 13.3 50 35 - 23 265 - 150 t (30, 265) L 16.4 0 10 20 30 40 50 30 - 23 A(14, 0) Tiempo (días) FIGURA 2.3 Las posiciones y las pendientes de cuatro secantes por el punto P en la gráfica de las moscas de la fruta (ejemplo 4). 2.1 Razón de cambio y límites 77 Desde el punto de vista geométrico, las secantes giran alrededor de P y parecen acercarse a la recta de color más sólido de la figura, que pasa por P siguiendo la misma dirección que la curva que atraviesa en el punto P. Como veremos, esta recta se denomina tangente de la curva en P. En vista de que aparentemente la recta pasa por los puntos (14, 0) y (35, 350), tiene una pendiente 350 - 0 = 16.7 moscas/día (aproximadamente). 35 - 14 El día 23, la población se incrementó a una razón de más o menos 16.7 moscas/día. Las razones a las que cayó la piedra del ejemplo 2 en los instantes t = 1 y t = 2, y la ra- zón a la que se modificó la población del ejemplo 4 el día t = 23, se denominan razones de cambio instantáneas. Como sugieren los ejemplos, para encontrar las razones instantáneas debemos determinar los valores límite de razones promedio. En el ejemplo 4 también se explicó que la recta tangente a la curva de población en el día 23 representa una posición límite de las rectas secantes. Las razones instantáneas y las rectas tangentes, conceptos ín- timamente relacionados, aparecen en muchos otros contextos. Para hablar de forma cons- tructiva acerca de ellas y entender mejor su conexión, es necesario investigar el proceso por medio del cual se determinan los valores límite, o simplemente límites, como los lla- maremos de aquí en adelante. Límites de valores de funciones Aunque nuestros ejemplos han sugerido la idea de límite, es necesario dar una definición informal de dicho concepto. Sin embargo, pospondremos la definición formal hasta contar con más información. Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto, posiblemente, en el mismo punto x0. Si f (x) se acerca tanto como queramos a L (tanto como queramos) para to- da x lo suficientemente cerca de x0, decimos que f se aproxima al límite L cuando x se acerca a x0, y escribimos lím ƒsxd = L, x:x0 el cual se lee como “el límite de f(x) cuando x tiende a x0 es L”. En esencia, la definición afirma que los valores de f(x) están cerca del número L siempre que x está cerca de x0 (por cualesquiera de los lados de x0). Esta definición es “informal” ya que frases como tanto como queramos y suficientemente cerca son imprecisas; su significado depende del con- texto. Para un mecánico que fabrica un pistón, cerca significa milésimas de pulgada. Para un astrónomo que estudia las galaxias distantes, cerca significa algunos miles de años luz. A pesar de ello, la definición es lo bastante clara para permitirnos reconocer y evaluar lí- mites de funciones específicas; no obstante, cuando probemos teoremas relacionados con límites —en la sección 2.3—, necesitaremos una definición más precisa. EJEMPLO 5 Comportamiento de una función cerca de un punto ¿Cómo se comporta la función x2 - 1 ƒsxd = x - 1 al estar cerca de x = 1? Solución La fórmula dada define a f para todos los números reales x, excepto x = 1 (no es posible dividir entre cero). Para cualquier x Z 1, podemos simplificar la fórmula facto- rizando el numerador y eliminando los factores comunes: sx - 1dsx + 1d ƒsxd = = x + 1 para x Z 1. x - 1 78 Capítulo 2: Límites y continuidad y Por lo tanto, la gráfica de f es la recta y = x + 1 sin el punto (1, 2). En la figura 2.4 se indi- ca dicho punto eliminado mediante un círculo vacio o “hueco”. Aun cuando f(1) no está definida, es claro que podemos determinar el valor de f (x) tan cerca como queramos de 2, 2 eligiendo un valor de x lo suficientemente cercano a 1 (tabla 2.2). y  f (x)  x  1 2 1 x 1 TABLA 2.2 Cuando x está más cerca de 1, ƒ(x)  (x 2  1)/(x  1) parece estar más cerca de 2 x 1 0 1 x2  1 Valores de x arriba y debajo de 1 ƒ(x)   x  1, x 1 x 1 y 0.9 1.9 1.1 2.1 0.99 1.99 2 1.01 2.01 yx1 0.999 1.999 1 1.001 2.001 0.999999 1.999999 x 1 0 1 1.000001 2.000001 FIGURA 2.4 La gráfica de f es idéntica a la recta y = x + 1 excepto en el punto x = 1, donde f no está definida (ejemplo 5). Decimos que el límite de f(x) se acerca a 2 a medida que x se aproxima a 1, y escribimos x2 - 1 lím ƒsxd = 2, o lím = 2. x:1 x:1 x - 1 EJEMPLO 6 El valor límite no depende de cómo se define la función en x0 En la figura 2.5, la función f tiene límite 2 cuando x : 1 a pesar de que f no está definida en x = 1. La función g tiene límite 2 a medida que x : 1 aun cuando 2 Z gs1d. La función h es la única cuyo límite es x : 1 igual a su valor en x = 1. Tenemos que para h, y y y 2 2 2 1 1 1 x x x 1 0 1 1 0 1 1 0 1 ⎧ x2  1 , x 1 ⎪  (a) f (x)  x  1 2 (b) g(x)  ⎨ x  1 (c) h(x)  x  1 x 1 ⎪ 1, ⎩ x1 FIGURA 2.5 Los límites de f(x), g(x) y h(x) son iguales a 2 conforme x se acerca a 1. Sin embargo, solamente h(x) tiene el mismo valor de la función que su límite en el punto x = 1 (ejemplo 6). 2.1 Razón de cambio y límites 79 y límx:1 hsxd = hs1d. Esta igualdad del límite y el valor de la función es especial; volvere- yx mos a hablar de ella en la sección 2.6. Algunas veces se puede evaluar límx:x0 ƒsxd calculando f(x0). Esta afirmación es vá- x0 lida, por ejemplo, siempre que f (x) es una combinación algebraica de funciones polino- miales y trigonométricas para la que f(x0) está definida. (En las secciones 2.2 y 2.6 vere- mos más acerca de esto). x x0 EJEMPLO 7 Determinación de límites calculando ƒ(x0) (a) Función identidad (a) lím s4d = 4 x:2 y (b) lím s4d = 4 x: -13 (c) lím x = 3 k yk x:3 (d) lím s5x - 3d = 10 - 3 = 7 x:2 x 3x + 4 -6 + 4 2 0 x0 (e) lím = = - x: -2 x + 5 -2 + 5 3 (b) Función constante EJEMPLO 8 Las funciones identidad y constante tienen límites en cualquier punto FIGURA 2.6 Las funciones del ejemplo 8. (a) Si f es la función identidad f (x) = x, para cualquier valor de x0 (figura 2.6a) lím ƒsxd = lím x = x0 . x :x0 x :x0 (b) Si f es la función constante f(x) = k (una función con el valor k constante), para cual- quier valor de x0 (figura 2.6b), lím ƒsxd = lím k = k . x :x0 x :x0 Por ejemplo, lím x = 3 y lím s4d = lím s4d = 4. x:3 x: -7 x:2 Estos resultados se comprueban en el ejemplo 3 de la sección 2.3. En la figura 2.7 se ilustran algunas formas en las que los límites podrían ser inexisten- tes; en el siguiente ejemplo describiremos estos casos. y y y ⎧ 0, x  0 ⎧1 y⎨ ⎪ , x0 1 y ⎨x ⎩ 1, x  0 ⎪ 0, x  0 1 ⎩ x x x 0 0 0 ⎧ ⎪ 0, x 0 y⎨ ⎪ sen 1 x , x 0 ⎩ 1 (a) Función escalón unitario U(x) (b) g(x) (c) f(x) FIGURA 2.7 Ninguna de estas funciones tiene límite conforme x se acerca a 0 (ejemplo 9). 80 Capítulo 2: Límites y continuidad EJEMPLO 9 Una función podría carecer de límite en un punto de su dominio Analicemos el comportamiento de las funciones siguientes cuando x : 0. (a) Usxd = e 0, x 6 0 1, x Ú 0 1 (b) gsxd = L x, x Z 0 0, x = 0 (c) ƒsxd = • 0, x … 0 1 sen x , x 7 0 Solución (a) La función presentada en (a) tiene un salto: La función escalón unitario U(x) no tiene límite a medida que x : 0 ya que sus valores saltan en x = 0. Para valores negativos de x arbitrariamente cercanos a cero, Usxd = 0. Para valores positivos de x arbitraria- mente cercanos a cero, Usxd = 1. No hay un único valor de L al que U(x) se acerque cuando U(x) como x : 0 (figura 2.7a). (b) La función presentada en (b) crece demasiado: g(x) no tiene límite a medida que x : 0 ya que los valores de g aumentan arbitrariamente en valor absoluto cuando x : 0 y no permanecen cerca de ningún número real (figura 2.7b). (c) La función presentada en (c) oscila demasiado: f(x) no tiene límite a medida que x : 0 ya que sus valores oscilan entre +1 y –1 en todo intervalo abierto que contenga a 0. Los valores no permanecen cerca de ningún número cuando x : 0 (figura 2.7c). Uso de calculadoras y computadoras para estimar límites Las tablas 2.1 y 2.2 ilustran el uso de calculadoras o computadoras para calcular numéri- camente un límite a medida que x se acerca cada vez más a x0. Este procedimiento también podría ser útil para determinar los límites de funciones como los que se presentaron en el ejemplo 7 (llamadas funciones continuas; analizaremos este tipo de funciones en la sec- ción 2.6). Sin embargo, las calculadoras y computadoras pueden dar valores falsos y pro- vocar impresiones engañosas para funciones que no están definidas en un punto, o en los casos en los que no existe límite. El cálculo diferencial nos ayudará a determinar los valo- res reales cuando una calculadora o computadora provea información extraña o ambigua en relación con el comportamiento de una función cerca de algún punto (vea las secciones 4.4 y 4.6). Por el momento, lo único que hace falta es tener presente la posibilidad de que el uso de calculadoras o computadoras para aproximar el valor de un límite dé resultados erróneos. He aquí un ejemplo. EJEMPLO 10 Adivinando un límite 2x2 + 100 - 10 Calcular el valor de lím . x:0 x2 Solución En la tabla 2.3 se listan los valores de la función para varios valores cercanos a x = 0. Cuando x se aproxima a 0 pasando por los valores ; 1, ;0.5, ; 0.10 y ; 0.01, parece que la función se aproxima al número 0.05. Al tomar valores aún más pequeños de x, ;0.0005, ;0.0001, ;0.00001 y ; 0.000001, parece que la función se aproxima al número 0. Entonces, ¿cuál es la respuesta? ¿Es 0.05, 0 o algún otro valor? Los valores obtenidos mediante calculadora o computadora son ambiguos, pero los teoremas de límites que se presentan en la siguiente sección nos confirmarán que el valor correcto del límite es 2.1 Razón de cambio y límites 81 2x 2 + 100 - 10 TABLA 2.3 Valores de la computadora de ƒ(x)  x2 cerca de x  0 x ƒ(x) ;1 0.049876 ;0.5 0.049969 t ¿se aproxima a 0.05? ;0.1 0.049999 ;0.01 0.050000 ;0.0005 0.080000 ;0.0001 0.000000 t ¿se aproxima a 0? ;0.00001 0.000000 ;0.000001 0.000000 0.05( = 1/20). Problemas de este tipo demuestran el poder que tiene el razonamiento mate- mático —una vez que se ha cultivado— sobre las conclusiones a las que podemos llegar a partir de unas cuantas observaciones. Ambos enfoques tienen ventajas y desventajas al momento de tratar de desentrañar la naturaleza de la realidad. EJERCICIOS 2.1 Límites a partir de gráficas 3. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes acerca de la función y = f (x), cuya gráfica se muestra a continuación, son ciertas y cuáles 1. Determine los límites que se piden para la función g(x), cuya grá- son falsas? fica se muestra a continuación, o explique por qué no existen. a. lím ƒsxd existe. a. lím g sxd b. lím g sxd c. lím g sxd x :0 x: 1 x: 2 x :3 b. lím ƒsxd = 0 . x :0 y c. lím ƒsxd = 1 . x :0 d. lím ƒsxd = 1 . y  g(x) x :1 1 e. lím ƒsxd = 0 . x :1 f. lím ƒsxd existe en cualquier punto x0 en (–1, 1). x :x0 x 1 2 3 y 2. Encuentre los límites que se piden para la función f(t), cuya gráfi- 1 y  f(x) ca se muestra a continuación, o explique por qué no existen. a. lím ƒstd b. lím ƒstd c. lím ƒstd x t : -2 t : -1 t: 0 1 1 2 s 1 1 s  f (t) 4. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes acerca de la función y = t f (x), cuya gráfica se muestra a continuación, son ciertas y cuáles 2 1 0 1 son falsas? 1 a. lím ƒsxd no existe. x :2 b. lím ƒsxd = 2 . x :2 82 Capítulo 2: Límites y continuidad c. lím ƒsxd no existe. 13. Sea Gsxd = sx + 6d>sx 2 + 4x - 12d . x: 1 d. lím ƒsxd existe en cualquier punto x0 en (–1, 1). a. Haga una tabla de los valores de G en x = –5.9, –5.99, –5.999 x: x0 y así sucesivamente. Después estime límx:-6 Gsxd . ¿Qué re- e. lím ƒsxd existe en cualquier punto x0 en (1, 3). x: x0 sultados obtendría si en lugar de utilizar dichos puntos eva- y luara G en x = –6.1, –6.01, –6.001...? y  f (x) b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando 1 G, y use las funciones Zoom y Trace de su calculadora para estimar los valores de y cuando x : - 6 . x 1 1 2 3 c. Encontrar algebraicamente límx:-6 Gsxd. 1 14. Sea hsxd = sx 2 - 2x - 3d>sx 2 - 4x + 3d . 2 a. Haga una tabla con los valores de h en x = 2.9, 2.99, 2.999 y así sucesivamente. Después estime límx:3 hsxd . ¿Qué resulta- dos obtendría si evalúa h en x = 3.1, 3.01, 3.001...? Existencia de límites b. Apoye las conclusiones a las que llegó en el inciso (a) grafi- En los ejercicios 5 y 6, explique por qué no existen los límites. cando h cerca de x0 = 3, y emplee las funciones Zoom y Trace de su calculadora para estimar los valores de y cuando x : 3 . x 1 5. lím 6. lím c. Encuentre límx:3 hsxd algebraicamente. x: 0 ƒxƒ x: 1 x - 1 7. Suponga que una función f(x) está definida para todos los valores 15. Sea ƒsxd = sx 2 - 1d>s ƒ x ƒ - 1d . reales de x, excepto para x = x0. ¿Qué puede decirse respecto de la a. Haga una tabla para consignar los valores de f en los valores existencia del límx:x0 ƒsxd ? Justifique su respuesta. de x que se acercan a x0 = —1, por abajo y por arriba. 8. Suponga que una función f (x) está definida para toda x en [–1, 1]. Después estime límx:-1 ƒsxd . ¿Qué puede decirse respecto de la existencia del límx:0 ƒsxd ? b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando Justifique su respuesta. f cerca de x0 = –1, y use las funciones Zoom y Trace de su calculadora para estimar los valores de y cuando x : - 1 . 9. Si límx:1 ƒsxd = 5 , ¿debe estar definida f en x = 1? De ser así, ¿debe f (1) = 5? ¿Es posible concluir algo respecto de los valores c. Encuentre límx:-1 ƒsxd algebraicamente. de f en x = 1? Explique. 16. Sea Fsxd = sx 2 + 3x + 2d>s2 - ƒ x ƒ d . 10. Si f(1) = 5, ¿debe existir el límx:1 ƒsxd? De ser así, ¿debe el a. Haga una tabla para consignar los valores de F en los valores límx:1 ƒsxd ? ¿Es posible concluir algo respecto del límx:1 de x que se acercan a x0 = –2 por abajo y por arriba. Después ƒsxd = 5 ? Explique. estime límx:-2 Fsxd . b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando Estimación de límites F cerca de x0 = –2, y emplee las funciones Zoom y Trace de su calculadora para estimar los valores de y cuando x : -2 . T Una calculadora gráfica podría serle útil para resolver los ejercicios 11 a 20. c. Encuentre límx:-2 Fsxd algebraicamente. 11. Sea ƒsxd = sx 2 - 9d>sx + 3d . 17. Sea g sud = ssen ud>u . a. Haga una tabla con los valores de f en los puntos x = –3.1, a. Haga una tabla de los valores de g en los valores de u que se –3.01, –3.001 y así sucesivamente hasta donde lo permita su acercan u0 = 0 por abajo y por arriba. Después estime calculadora. Después estime límx:-3 ƒsxd . ¿Qué estimacio- límu:0 g sud . nes obtendría si evalúa f en x = –2.9, –2.99, –2.999...? b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando b. Apoye las conclusiones a las que llegó en el inciso (a) grafi- g cerca de u0 = 0 . cando f cerca de x0= –3, y emplee las funciones Zoom y Trace 18. Sea Gstd = s1 - cos td>t 2 . de su calculadora para estimar los valores de y en la gráfica a. Haga una tabla para consignar los valores de G en los valores cuando x : - 3 . de t que se acercan a t0 = 0 por abajo y por arriba. Después es- c. Encuentre límx:-3 ƒsxd algebraicamente, como en el ejemplo 5. time límt:0 Gstd . 12. Sea g sxd = sx2 - 2d> A x - 22 B . b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando a. Haga una tabla con los valores de g en los puntos x = 1.4, G cerca de t0 = 0. 1.41, 1.414 y así sucesivamente con todas las aproximaciones 19. Sea ƒsxd = x 1>s1 - xd . decimales de 22 . Estime límx:22 g sxd . a. Haga una tabla para consignar los valores de f en los valores b. Apoye las conclusiones a las que llegó en el inciso (a) grafi- de x que se acercan a x0 = 1 por abajo y por arriba. ¿Parece cando g cerca de x0 = 22 y emplee las funciones Zoom y que f tiene un límite cuando x : 1 ? De ser así, ¿cuál es dicho Trace de su calculadora para estimar los valores de y en la límite? Si su respuesta es negativa, explique por qué. gráfica conforme x : 22 . b. Apoye las conclusiones a las que llegó en el inciso (a) grafi- c. Encuentre límx:22 g sxd algebraicamente. cando f cerca de x0 = 1. 2.1 Razón de cambio y límites 83 20. Sea ƒsxd = s3x - 1d>x . a. Estime las pendientes de las secantes PQ1, PQ2, PQ3 y PQ4, a. Haga una tabla para consignar los valores de f en los valores ordenándolas en una tabla como la de la figura 2.3. ¿Cuáles de x que se acercan a x0 = 0 por abajo y por arriba. ¿Parece son las unidades apropiadas para estas pendientes? que f tiene un límite cuando x : 0 ? De ser así, ¿cuál es dicho b. Después, calcule la velocidad del Cobra en el tiempo t = 20 seg. límite? Si su respuesta es negativa, explique por qué. 36. La siguiente figura muestra la gráfica de la distancia de caída b. Apoye las conclusiones a que llegó en el inciso (a) graficando contra el tiempo para un objeto que cae desde un módulo espacial f cerca de x0 = 0 . que está a una distancia de 80 m de la superficie de la Luna. a. Estime las pendientes de las secantes PQ1, PQ2, PQ3 y PQ4, Determinación de límites por sustitución ordenándolas en una tabla como la de la figura 2.3. En los ejercicios 21 a 28, encuentre los límites por sustitución. De ser b. ¿Cuál será la velocidad del objeto al golpear la superficie? posible, compruebe sus respuestas con una calculadora o computadora. 21. lím 2x 22. lím 2x y x: 2 x: 0 Distancia de la caída (m) 80 P -1 Q4 23. lím s3x - 1d 24. lím x: 1>3 x: 1 s3x - 1d 60 Q3 3x2 25. lím 3xs2x - 1d 26. lím 40 Q2 x: -1 x: -1 2x - 1 cos x Q1 27. lím x sen x 28. lím 20 x: p>2 x: p 1 - p t 0 5 10 Razones de cambio promedio Tiempo transcurrido (seg) En los ejercicios 29 a 34, encuentre la razón de cambio promedio de la función en el intervalo o intervalos dados. T 37. En la siguiente tabla se dan las utilidades de una pequeña empresa 3 en cada uno de los primeros cinco años de operación: 29. ƒsxd = x + 1 ; a. [2, 3] b. [ -1, 1] Utilidades 2 30. g sxd = x ; Año en miles de $ a. [- 1, 1] b. [ - 2, 0] 1990 6 31. hstd = cot t ; 1991 27 a. [p>4, 3p>4] b. [p>6, p>2] 1992 62 1993 111 32. g std = 2 + cos t ; 1994 174 a. [0, p] b. [ -p, p] 33. Rsud = 24u + 1; [0, 2] a. Trace los puntos que representan las utilidades como una fun- 3 2 ción del año, y únalos con una curva suave. 34. Psud = u - 4 u + 5u; [1, 2] b. ¿Cuál es la razón de incremento promedio de las utilidades 35. Velocidad de un Ford Mustang Cobra La siguiente figura entre 1992 y 1994? muestra la gráfica tiempo-distancia de un Ford Mustang Cobra 1994 acelerando desde el reposo. c. Use su gráfica para estimar la razón en la que cambiaron las utilidades en 1992. s P T 38. Haga una tabla de valores para la función F(x) = (x + 2)/(x – 2) en 650 600 los puntos x = 1.2, x = 11/10, x = 101/100, x = 1001/1000, x = Q4 10001/10000 y x = 1. 500 Q3 a. Encuentre la razón de cambio promedio de F(x) en los inter- Distancia (m) 400 Q2 valos [1, x] para cada x Z 1 usando su tabla. b. Si es necesario, amplíe su tabla para tratar de determinar la 300 Q1 razón de cambio de F(x) en x = 1. 200 T 39. Sea g sxd = 2x para x Ú 0 . 100 a. Encuentre la razón de cambio promedio de g(x) respecto de x en los intervalos [1, 2], [1, 1.5] y [1, 1 + h]. t 0 5 10 15 20 b. Haga una tabla de valores de la razón de cambio promedio de Tiempo transcurrido (seg) g respecto de x en el intervalo [1, 1 + h] para algunos valores 84 Capítulo 2: Límites y continuidad de h cercanos a cero, digamos h = 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, Para sustituir T = 2 tendrá que realizar algunas operaciones 0.00001 y 0.000001. algebraicas. c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es la razón de cambio de g(x) respecto de x en x = 1? EXPLORACIONES CON COMPUTADORA d. Calcule el límite cuando h se aproxima a cero de la razón de Estimaciones de límites mediante gráficas cambio promedio de g(x) respecto a x en el intervalo [1, 1 + h]. En los ejercicios 41 a 46, use un software matemático para realizar los T 40. Sea ƒstd = 1>t para t Z 0 . pasos siguientes: a. Encuentre la razón de cambio promedio de f respecto a t en a. Grafique la función al aproximarse al punto x0. los intervalos (i) de t = 2 a t = 3, y (ii) de t = 2 a t = T. b. Deduzca el valor del límite a partir de su gráfica. b. Haga una tabla de valores de la razón de cambio promedio de f respecto a t en el intervalo [2, T] para algunos valores de T x4 - 16 x3 - x2 - 5x - 3 cercanos a 2, digamos T = 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, 2.00001 y 41. lím 42. lím x :2 x - 2 x : -1 sx + 1d2 2.000001. c. De acuerdo con su tabla, ¿cuál es la razón de cambio de f res- 2 3 1 + x - 1 x2 - 9 43. lím x 44. lím pecto a t en t = 2? x :0 x :3 2x2 + 7 - 4 d. Calcule el límite conforme T se aproxima a 2 de la razón de 1 - cos x 2x2 cambio promedio de f respecto a t en el intervalo de 2 a T. 45. lím x sen x 46. lím x :0 x :0 3 - 3 cos x 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites ENSAYO HISTÓRICO* En la sección 2.1 usamos gráficas y calculadoras para averiguar los valores de los límites. En Límites esta sección se presentan los teoremas para calcular límites. Los primeros tres de ellos nos permiten llegar a los resultados del ejemplo 8 de la sección anterior, determinando límites de funciones polinomiales, funciones racionales y potencias. El cuarto y el quinto nos pre- paran para cálculos que se harán más adelante en el texto. Las leyes de los límites El teorema siguiente nos indica cómo calcular límites de funciones que son combinacio- nes aritméticas de otras cuyos límites ya se conocen. TEOREMA 1 Leyes de los límites Si L, M, c y k son números reales y lím ƒsxd = L y lím gsxd = M, entonces x:c x:c 1. Regla de la suma: lím sƒsxd + gsxdd = L + M x:c El límite de la suma de dos funciones es la suma de sus límites. 2. Regla de la diferencia: lím sƒsxd - gsxdd = L - M x:c El límite de la diferencia de dos funciones es la diferencia de sus límites. 3. Regla del producto: lím sƒsxd # gsxdd = L # M x:c El límite del producto de dos funciones es el producto de sus límites. *Para aprender más acerca de las figuras históricas y del desarrollo de los elementos y temas principales del cálculo, visite www.aw-bc.com/thomas. 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 85 4. Regla del múltiplo constante: lím sk # ƒsxdd = k # L x:c El límite de una constante multiplicada por una función es la constante por el lí- mite de la función. ƒsxd L 5. Regla del cociente: lím = , M Z 0 x:c gsxd M El límite del cociente de dos funciones es el cociente de sus límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero. 6. Regla de la potencia: Si r y s son enteros sin factores comunes y s Z 0, entonces lím sƒsxddr>s = Lr>s x:c siempre y cuando Lr/s sea un número real. (Si s es par, suponemos que L > 0). El límite de una potencia racional de una función es el límite de la función eleva- do a esa potencia, siempre y cuando esta última sea un número real. Es fácil convencernos de que las propiedades del teorema 1 son válidas (aunque estos argumentos intuitivos no constituyen una prueba de ello). De acuerdo con nuestra defini- ción informal de límite, si x está suficientemente cerca de c, f(x) está cerca de L y g(x) es- tá cerca de M. Por lo tanto, es razonable que f (x) + g(x) esté cerca de L + M; que f (x) – g(x) esté cerca de L – M; que f(x)g(x) esté cerca de LM; que kf(x) esté cerca de kL; y que f (x)/g(x) esté cerca de L/M si M es distinto de cero. En la sección 2.3 probaremos la regla de la suma, basándonos en una definición más precisa de límite que se discutió antes. Las reglas 2-5 se comprueban en el apéndice 2. La regla 6 se prueba en textos más avanzados. A continuación se dan algunos ejemplos en los que puede usarse el teorema 1 para en- contrar los límites de funciones polinomiales y racionales. EJEMPLO 1 Uso de las leyes de los límites Usar las observaciones límx:c k = k y límx:c x = c (ejemplo 8 de la sección 2.1) y las propiedades de los límites para encontrar los siguientes límites. x4 + x2 - 1 (a) lím sx3 + 4x2 - 3d (b) lím (c) lím 24x2 - 3 x:c x:c x2 + 5 x: -2 Solución (a) lím sx3 + 4x2 - 3d = lím x3 + lím 4x2 - lím 3 Reglas de la suma y la diferencia x:c x:c x:c x:c = c 3 + 4c 2 - 3 Reglas del producto y el múltiplo lím sx4 + x2 - 1d x4 + x2 - 1 x:c (b) lím = Regla del cociente x:c x2 + 5 lím sx2 + 5d x:c lím x4 + lím x2 - lím 1 x:c x:c x:c = Reglas de la suma y la diferencia lím x2 + lím 5 x:c x:c c4 + c2 - 1 = Regla de la potencia o el producto c2 + 5 86 Capítulo 2: Límites y continuidad (c) lím 24x2 - 3 = 2 lím s4x2 - 3d Regla de la potencia con r>s = 12 x: -2 x: -2 = 2 lím 4x2 - lím 3 Regla de la diferencia x: -2 x: -2 = 24s -2d2 - 3 Reglas del producto y del múltiplo = 216 - 3 = 213 Dos consecuencias del teorema 1 simplifican aún más la tarea de calcular límites de fun- ciones polinomiales y funciones racionales. Para evaluar el límite de una función polino- mial cuando x se aproxima a c, todo lo que tenemos que hacer es sustituir x por c en la fórmula de la función esto se debe a que estas funciones son continuas, propiedad que se discutirá más adelante. Para evaluar el límite de una función racional cuando x se aproxima a un punto c cuyo denominador es distinto de cero, sustituimos x por c en la fórmula de la función. (Vea los ejemplos 1a y 1b). TEOREMA 2 Los límites de las funciones polinomiales pueden encon- trarse por sustitución Si Psxd = an x + an - 1 x n - 1 + Á + a0 , entonces n lím Psxd = Pscd = an cn + an - 1 cn - 1 + Á + a 0 . x:c TEOREMA 3 Los límites de las funciones racionales pueden encontrarse por sustitución si el límite del denominador es distinto de cero Si P(x) y Q(x) son funciones polinomiales y Q(c) Z 0, entonces Psxd Pscd lím = . x:c Qsxd Qscd EJEMPLO 2 Límite de una función racional x3 + 4x2 - 3 s -1d3 + 4s -1d2 - 3 0 lím = = = 0 x: -1 2 x + 5 2 s - 1d + 5 6 Este resultado es similar al segundo límite del ejemplo 1, en donde c = –1, aunque en esta ocasión se llegó a él en un solo paso. Identificación de factores comunes Eliminación algebraica de denominadores iguales a cero Es posible comprobar que si Q(x) es El teorema 3 es aplicable únicamente si el denominador de la función racional es distinto una función polinomial y Q(c) = 0, en- tonces (x – c) es un factor de Q(x). Por de cero en el punto límite c. Si el denominador es igual a cero, eliminar los factores comu- lo tanto, si tanto el numerador como el nes en el numerador y el denominador puede reducir la fracción de manera que ésta ya no denominador de una función racional sea igual a cero en c. Si esto ocurre, es posible encontrar el límite por sustitución en la de x son iguales a cero en x = c, tienen fracción simplificada. como factor común a (x – c). EJEMPLO 3 Eliminación de un factor común Evaluar x2 + x - 2 lím . x:1 x2 - x 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 87 y Solución No podemos sustituir x = 1, ya que obtendríamos un denominador igual a cero. 2 y x  x2 Por otro lado, evaluamos el numerador en x = 1 para ver si también es igual a cero. Lo es, x2  x así que tiene a (x – 1) como factor común con el denominador. Al eliminar (x – 1) obtene- (1, 3) 3 mos una fracción más simple con los mismos valores que la original para x Z 1: x2 + x - 2 sx - 1dsx + 2d x + 2 2 = = x , si x Z 1. x - x xsx - 1d x 2 0 1 Usando la fracción más simple, encontramos por sustitución el límite de estos valores cuando x : 1: (a) x2 + x - 2 x + 2 1 + 2 lím = lím x = = 3. y x:1 2 x - x x:1 1 yx2 Vea la figura 2.8. x 3 (1, 3) EJEMPLO 4 Crear y eliminar un factor común Evaluar 2 0 1 x 2x2 + 100 - 10 lím . x:0 x2 (b) Solución Éste es el límite que consideramos en el ejemplo 10 de la sección anterior. No FIGURA 2.8 La gráfica de podemos sustituir x = 0, y el numerador y el denominador no tienen factores comunes f (x) = (x2 + x – 2)/(x2 – x) de la parte (a) es obvios. Podemos crear un factor común multiplicando ambos, numerador y denominador, la misma gráfica de g(x) = (x + 2)/x de la por la expresión 2x2 + 100 + 10 (que se obtiene al cambiar el signo que aparece des- parte (b), excepto en el punto x = 1, donde pués de la raíz cuadrada). Para racionalizar el numerador utilizamos primero propiedades f no está definida. Las funciones tienen el algebraicas: mismo límite conforme x : 1 (ejemplo 3). 2x2 + 100 - 10 2x2 + 100 - 10 # 2x2 + 100 + 10 = x2 x2 2x2 + 100 + 10 x2 + 100 - 100 x A 2x2 + 100 + 10 B = 2 x2 x A 2x + 100 + 10 B = Factor común x2 2 2 1 = . Eliminar x2 para x Z 0 2x + 100 + 10 2 Por lo tanto, 2x2 + 100 - 10 1 lím = lím x:0 x2 x:0 2x2 + 100 + 10 Denominador 1 = distinto de 0 en 20 + 100 + 10 2 x = 0; sustituir 1 = = 0.05. 20 Estos cálculos dan la respuesta correcta, a diferencia de los resultados ambiguos que obtu- vimos utilizando una computadora o calculadora en el ejemplo 10 de la sección anterior. El teorema del sandwich El teorema siguiente nos permitirá calcular una variedad de límites en los capítulos subse- cuentes. Se le conoce como Teorema del sandwich, porque se refiere a una función f cuyos 88 Capítulo 2: Límites y continuidad y valores están entre los valores de otras dos funciones g y h que tienen el mismo límite L en el punto c. Al estar “atrapados” entre los valores de dos funciones que se acercan a L, los h valores de f también deben acercarse a L (figura 2.9). En el apéndice 2 se encuentra una f demostración. L g TEOREMA 4 El teorema del sandwich x Supongamos que gsxd … ƒsxd … hsxd para toda x en algún intervalo abierto que 0 c contenga a c, excepto posiblemente en el mismo x = c. Supongamos también que FIGURA 2.9 La gráfica de f está entre las lím gsxd = lím hsxd = L. gráficas de g y h. x:c x:c Entonces, límx:c ƒsxd = L. y 2 y1 x 2 Algunas veces al teorema del sándwich se le conoce también como teorema del emparedado. 2 y  u(x) EJEMPLO 5 Aplicación del teorema del sandwich 1 2 Dado que y1 x 4 x2 x2 1 - … usxd … 1 + para todo x Z 0, x 4 2 1 0 1 encontrar límx:0 usxd , sin importar que tan complicado sea u. FIGURA 2.10 Cualquier función u(x) cuya gráfica está en la región entre Solución Como y = 1 + sx 2>2d y y = 1 - sx 2>4d tiene límite 1 conforme x : 0 (ejemplo 5). lím s1 - sx2>4dd = 1 y lím s1 + sx2>2dd = 1, x:0 x:0 el teorema del sandwich implica que límx:0 usxd = 1 (figura 2.10). EJEMPLO 6 Más aplicaciones del teorema del sandwich (a) (Figura 2.11a). De acuerdo con la definición de sen u, sabemos que - ƒ u ƒ … sen u … ƒ u ƒ para toda u, y como límu:0 s - ƒ u ƒ d = límu:0 ƒ u ƒ = 0, tenemos que lím sen u = 0 . u:0 y y y  ⎢ ⎢ y  ⎢ ⎢ 2 y  sen  1 1 y  1  cos      2 1 0 1 2 1 y ⎢ ⎢ (b) (a) FIGURA 2.11 El teorema del sandwich confirma que (a) límu:0 sen u = 0 y (b) límu:0 s1 - cos ud = 0 (ejemplo 6). 2.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 89 (b) (Figura 2.11b). De acuerdo con la definición de cos u, 0 … 1 - cos u … ƒ u ƒ para toda u, y tenemos que límu:0 s1 - cos ud = 0 o lím cos u = 1 . u:0 (c) Para cualquier función f(x), si límx:c ƒ ƒsxd ƒ = 0, entonces límx:c ƒsxd = 0. El argu- mento - ƒ ƒsxd ƒ … ƒsxd … ƒ ƒsxd ƒ y - ƒ ƒsxd ƒ y ƒ ƒsxd ƒ tiene límite 0 cuando x : c. En el teorema 5 se hace referencia a otra importante propiedad de los límites. En la si- guiente sección se hará la comprobación correspondiente. TEOREMA 5 Si ƒsxd … gsxd para toda x en algún intervalo abierto que con- tenga a c, excepto posiblemente en el mismo x = c, y existen los límites de f y g cuando x se aproxima a c, entonces lím ƒsxd … lím gsxd . x:c x:c Si sustituimos el signo menor o igual que … por la desigualdad estricta 6 la afirma- ción del teorema 5 resulta falsa. En la figura 2.11a se muestra que para u Z 0, - ƒ u ƒ 6 sen u 6 ƒ u ƒ , pero en el límite la igualdad sigue siendo válida cuando u : 0. EJERCICIOS 2.2 Cálculo de límites Encuentre los límites solicitados en los ejercicios 19 a 36. Encuentre los límites solicitados en los ejercicios 1 a 18. x - 5 x + 3 19. lím 20. lím x :5 x2 - 25 x : -3 x2 + 4x + 3 1. lím s2x + 5d 2. lím s10 - 3xd x: -7 x: 12 x2 + 3x - 10 x2 - 7x + 10 2 21. lím 22. lím 3. lím s - x + 5x - 2d 4. lím sx3 - 2x2 + 4x + 8d x : -5 x + 5 x :2 x - 2 x: 2 x: -2 5. lím 8st - 5dst - 7d 6. lím 3ss2s - 1d t2 + t - 2 t2 + 3t + 2 23. lím 24. lím t :6 s: 2>3 t: 1 t2 - 1 t : -1 t2 - t - 2 x + 3 4 -2x - 4 5y3 + 8y2 7. lím 8. lím 25. lím 26. lím x: 2 x + 6 x: 5 x - 7 x : -2 x3 + 2x2 y :0 3y4 - 16y2 2 y y + 2 9. lím 10. lím u4 - 1 y3 - 8 y: -5 5 - y y: 2 2 y + 5y + 6 27. lím 28. lím u:1 u3 - 1 y :2 y4 - 16 11. lím 3s2x - 1d2 12. lím sx + 3d1984 x: -1 x: -4 2x - 3 4x - x2 29. lím 30. lím 13. lím s5 - yd4>3 14. lím s2z - 8d1>3 x :9 x - 9 x :4 2 - 2x y: -3 z: 0 3 5 x - 1 2x2 + 8 - 3 15. lím 16. lím 31. lím 32. lím x :1 2x + 3 - 2 x : -1 x + 1 h:0 23h + 1 + 1 h :0 25h + 4 + 2 23h + 1 - 1 25h + 4 - 2 2x2 + 12 - 4 x + 2 17. lím 18. lím 33. lím 34. lím h:0 h h :0 h x :2 x - 2 x : -2 2x2 + 5 - 3 90 Capítulo 2: Límites y continuidad 2 - 2x2 - 5 4 - x 42. Suponga que límx:-2 psxd = 4, límx:-2 r sxd = 0 , y 35. lím 36. lím límx:-2 ssxd = - 3 . Encuentre x: -3 x + 3 x: 4 5 - 2x2 + 9 a. lím spsxd + r sxd + ssxdd x : -2 b. lím psxd # r sxd # ssxd Aplicación de las reglas de los límites x : -2 37. Suponga que límx:0 ƒsxd = 1 y límx:0 g sxd = - 5 . Señale qué c. lím s - 4psxd + 5r sxdd>ssxd x : -2 reglas del teorema 1 se usan para realizar los pasos (a), (b) y (c) del cálculo siguiente. Límites de razones de cambio promedio 2ƒsxd - g sxd lím s2ƒsxd - g sxdd x:0 Debido a la relación que existe entre rectas secantes, tangentes y razo- lím 2>3 = 2>3 (a) nes instantáneas, los límites de la forma x:0 sƒsxd + 7d lím sƒsxd + 7d x: 0 ƒsx + hd - ƒsxd lím 2ƒsxd - lím g sxd lím x: 0 x :0 h:0 h A lím A ƒsxd + 7 B B 2>3 = (b) aparecen frecuentemente en cálculo. En los ejercicios 43 a 48, evalúe x: 0 este límite para el valor de x dado y la función f. 2 lím ƒsxd - lím g sxd x:0 x :0 43. ƒsxd = x 2, x = 1 44. ƒsxd = x 2, x = -2 A lím ƒ(x) + lím 7 B = (c) 2>3 x: 0 x :0 45. ƒsxd = 3x - 4, x = 2 46. ƒsxd = 1>x, x = -2 47. ƒsxd = 2x, x = 7 48. ƒsxd = 23x + 1, x = 0 s2ds1d - s - 5d 7 = = s1 + 7d2>3 4 Aplicación del teorema del sandwich 38. Sean límx:1 hsxd = 5, límx:1 psxd = 1 y límx:1 r sxd = 2 . Se- ñale qué reglas del teorema 1 se usan para realizar los pasos (a), 49. Si 25 - 2x2 … ƒsxd … 25 - x2 para - 1 … x … 1 , encuen- (b) y (c) del cálculo siguiente. tre límx:0 ƒsxd . 50. Si 2 - x 2 … g sxd … 2 cos x para toda x, encuentre límx:0 g sxd . lím 25hsxd 25hsxd x: 1 51. a. Se puede probar que las desigualdades lím = (a) x: 1 psxds4 - rsxdd lím spsxds4 - rsxddd x2 x sen x x:1 1 - 6 6 1 6 2 - 2 cos x 2 lím 5hsxd x:1 A lím p(x) B A lím A 4 - r(x) B B = (b) son válidas para toda x cercana a cero. ¿Esto nos indica algo acerca del x: 1 x: 1 x sen x 25 lím hsxd lím ? x:1 x :0 2 - 2 cos x A lím p(x) B A lím 4 - lím r (x) B = (c) x: 1 x: 1 x :1 Justifique su respuesta. T b. Grafique 2s5ds5d y = 1 - sx2>6d, y = sx sen xd>s2 - 2 cos xd y y = 1 5 = = s1ds4 - 2d 2 en una misma gráfica para - 2 … x … 2 . Comente el com- 39. Suponga que límx:c ƒsxd = 5 y límx:c g sxd = - 2 . Encuentre portamiento de las gráficas cuando x : 0 . a. lím ƒsxdg sxd b. lím 2ƒsxdg sxd 52. a. Suponga que las desigualdades x: c x: c ƒsxd 1 x2 1 - cos x 1 c. lím sƒsxd + 3g sxdd d. lím - 6 6 2 24 x2 2 x: c x: c ƒsxd - g sxd son válidas para toda x cercana a cero. (Sí, son válidas, tal co- 40. Suponga que límx:4 ƒsxd = 0 y límx:4 g sxd = - 3 . Encuentre mo comprobaremos en la sección 11.9). ¿Qué nos indica esto a. lím sg sxd + 3d b. lím xƒsxd acerca del x: 4 x: 4 g sxd 1 - cos x c. lím sg sxdd2 d. lím lím ? x: 4 x: 4 ƒsxd - 1 x :0 x2 41. Suponga que límx:b ƒsxd = 7 y límx:b g sxd = - 3 . Encuentre Justifique su respuesta. b. Grafique en una misma gráfica las ecuaciones a. lím sƒsxd + g sxdd x: b b. lím ƒsxd # g sxd x: b y = s1>2d - sx 2>24d, y = s1 - cos xd>x2 y y = 1>2 para - 2 … x … 2 . Comente el comportamiento de las gráficas c. lím 4g sxd d. lím ƒsxd>g sxd x: b x: b conforme x : 0 . 2.3 La definición formal de límite 91 Teoría y ejemplos 57. a. Si lím ƒsxd - 5 = 3 , encuentre lím ƒsxd . 4 2 53. Si x … ƒsxd … x para x en [- 1, 1] y x … ƒsxd … x para 2 4 x :2 x - 2 x :2 x 6 - 1 y x 7 1 , ¿en qué puntos c sabemos automáticamente ƒsxd - 5 que límx:c ƒsxd ? ¿Qué se puede decir respecto al valor del límite b. Si lím = 4 , encuentre lím ƒsxd . x :2 x - 2 x :2 en esos puntos? ƒsxd 54. Suponga que g sxd … ƒsxd … hsxd para toda x Z 2, y que 58. Si lím = 1 , encuentre x :0 x2 lím g sxd = lím hsxd = - 5 . x: 2 x:2 ƒsxd a. lím ƒsxd b. lím ¿Puede concluirse algo acerca de los valores de f, g y h en x = 2? x :0 x :0 x ¿Es posible que f(2) = 0? ¿Es posible que límx:2 ƒsxd = 0 ? Justi- T 59. a. Grafique g(x) = x sen(1/x) para estimar límx:0 g sxd , acercán- fique sus respuestas dose al origen tanto como sea necesario. ƒsxd - 5 55. Si lím = 1 , encuentre lím ƒsxd . b. Confirme con una prueba el resultado que obtuvo en el inciso (a). x :4 x - 2 x:4 ƒsxd T 60. a. Grafique h(x) = x2 cos(1/x3) para estimar límx:0 hsxd , acer- 56. Si lím = 1 , encuentre cándose al origen tanto como sea necesario. x : -2 x2 ƒsxd b. Confirme mediante una prueba el resultado que obtuvo en el a. lím ƒsxd b. lím x x: -2 x: -2 inciso (a). 2.3 La definición formal de límite Ahora que entendemos un poco mejor el concepto de límite habiendo trabajado intuitiva- mente a partir de su definición informal, concentraremos nuestra atención en su definición precisa. Para ello, reemplazaremos las frases vagas como “se acerca arbitrariamente a” que utilizamos en la definición informal, con condiciones específicas que pueden aplicarse a cualquier ejemplo particular. Gracias a la definición formal seremos capaces de realizar pruebas rigurosas sobre las propiedades de los límites que se analizaron en la sección anterior, y podremos establecer otros límites específicos importantes para el estudio del cálculo. Para comprobar que el límite de f(x) cuando x : x0 es igual al número L, necesitamos probar primero que la brecha entre f (x) y L puede hacerse “tan pequeña como quera- mos” si x se mantiene lo “suficientemente cerca” de x0. Veamos cómo podemos conseguir esto si especificamos el tamaño de la diferencia entre f(x) y L. EJEMPLO 1 Una función lineal Considerar la función y = 2x – 1 cerca de x0 = 4. Desde el punto de vista intuitivo, resulta evidente que y está cerca de 7 cuando x está cerca de 4, así que límx:4 s2x - 1d = 7. Sin y embargo, ¿qué tan cerca debe estar x de x0 = 4 para que y = 2x — 1 difiera de 7, digamos y  2x  1 por menos de 2 unidades? Cota superior Solución Podemos preguntarnos: ¿para qué valores de x, es |y – 7| < 2? Para encontrar la y9 ⎧9 respuesta, primero expresamos |y – 7| en términos de x: Para ⎪ satisfacer ⎨7 ƒ y - 7 ƒ = ƒ s2x - 1d - 7 ƒ = ƒ 2x - 8 ƒ . ⎪ esto ⎩5 Entonces, la pregunta se convierte en: ¿qué valores de x, cercanos a 4, satisfacen la desi- Cota inferior y5 gualdad |2x – 8| < 2? Para encontrarlos resolvemos la desigualdad: ƒ 2x - 8 ƒ 6 2 x -2 6 2x - 8 6 2 0 3 4 5 ⎧ ⎨ ⎩ Restringir 6 6 2x 6 10 a esto 3 6 x 6 5 FIGURA 2.12 Al mantener x a 1 unidad -1 6 x - 4 6 1. de x0 = 4 mantendremos y a 2 unidades de Al mantener x a una unidad o menos de x0 = 4, mantendremos y a 2 unidades o menos de y0 = 7. y0 = 7 (figura 2.12). 92 Capítulo 2: Límites y continuidad y En el ejemplo anterior determinamos qué tan cerca debe estar x de un valor particular de x0 para asegurarnos de que los resultados f (x) de alguna función están dentro del inter- 1 valo prescrito alrededor del valor límite L. Para comprobar que el límite de f(x) cuando L x : x0 en realidad es igual a L, debemos ser capaces de probar que la diferencia entre f(x) 10 f(x) f (x) está y L puede hacerse menor que cualquier error prescrito, sin importar cuán pequeño sea és- L aquí te, tomando a x lo suficientemente cerca de x0. 1 L 10 para toda x  x0 Definición de límite aquí Suponga que estamos viendo los valores de una función f (x) cuando x se aproxima a x0   x (sin tomar en cuenta el valor del mismo x0). Ciertamente nos interesa poder decir que f(x) x 0 x0   x0 x0   permanece a una décima de unidad de L tan pronto como x está a una distancia d de x0 (fi- gura 2.13). Pero esto no es suficiente en sí mismo, ya que, a medida que x continúa su ca- FIGURA 2.13 ¿Cómo podemos definir mino hacia x0 ¿qué impediría que f (x) oscilara en el intervalo de L – (1/10) a L + (1/10) sin d 7 0 de manera que, tomando x en el tender hacia L? intervalo sx0 - d, x0 + dd f (x) se Se nos podría decir que el error no puede ser mayor que 1/100 o 1/1000 o 1/100,000. mantenga dentro del intervalo Cada vez encontramos un nuevo intervalo d alrededor de x0, de manera que manteniendo a aL - b? 1 1 x dentro de ese intervalo se satisface el nuevo error de tolerancia. Y siempre existe la posi- ,L + 10 10 bilidad de que f(x) oscile alejándose de L en algún momento. Las figuras de la siguiente página ilustran el problema. Podríamos comparar esta si- y tuación con una discusión entre un escéptico y un académico. El escéptico presenta P-reto para probar que el límite no existe, o más precisamente, que hay lugar a dudas; el académi- co contesta a cada P reto con un d intervalo alrededor de x0. ¿Cómo podemos acabar con esta serie de retos y respuestas aparentemente intermina- L ble? Probando que para todo error de tolerancia P que pueda generar el escéptico, es posible f (x) está encontrar, calcular o conjeturar una distancia d correspondiente que mantenga a x “lo sufi- L aquí cientemente cerca” de x0 para que f (x) esté dentro del rango de tolerancia de L (figura f(x) 2.14). Esto nos lleva a la definición formal de límite. L para toda x  x 0 aquí DEFINICIÓN Límite de una función   Sea f(x) definida en un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente el x mismo x0. Decimos que el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 es el x 0 número L, y escribimos x0   x0 x0   FIGURA 2.14 La relación entre d y P en la lím ƒsxd = L, x:x0 definición de límite. si, para cada número P 7 0, existe un número d > 0 correspondiente tal que, pa- ra toda x, 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . Una manera de interpretar esta definición, consiste en suponer que estamos operando un taladro de precisión y que deseamos hacer un orificio de diámetro L, pero como nada es perfecto, debemos darnos por satisfechos con un diámetro f(x) entre los valores L – P y L + P. La d es la medida de qué tan preciso debe ser nuestro control para garantizar este grado de exactitud en el diámetro del orificio. Observe que, a medida que la tolerancia de error se haga más estricta, tal vez tengamos que ajustar d. Esto es, el valor de d —que de- termina qué tan estricto debe ser nuestro control—, depende del valor de P, que es la tole- rancia de error. 2.3 La definición formal de límite 93 y y y y y  f (x) y  f (x) y  f (x) y  f(x) 1 1 L L 10 10 1 1 L L 100 100 L L L L 1 1 1 1 L L L 100 100 10 L 10 x x x x 0 x0 0 x0 0 x0 0 x0 x 0  1/10 x 0  1/10 x 0  1/100 x 0  1/100 La discusión: Respuesta: Nueva discusión: Respuesta: Hace f (x) – L    1 x  x 0  1/10 (es un número) Hace f (x) – L    1 x  x 0  1/100 10 100 y y y  f (x) y  f (x) 1 1 L L 1000 1000 L L 1 1 L L 1000 1000 x x 0 x0 0 x0 Nueva discusión: Respuesta:  1 x  x 0  1/1000 1000 y y y y  f (x) y  f (x) y  f(x) 1 1 L L 100,000 100,000 L L L 1 1 L L 100,000 100,000 x x x 0 x0 0 x0 x0 0 Nueva discusión: Respuesta: Nueva discusión: 1  100,000 x  x 0  1/100,000   ... Ejemplos: comprobación de la definición La definición formal de límite no nos dice cómo encontrar el límite de una función, pero nos permite verificar si el cálculo de un límite es correcto. Los siguientes ejemplos mues- tran cómo puede usarse la definición para verificar los límites de funciones específicas. (Los primeros dos ejemplos corresponden a partes de los ejemplos 7 y 8 de la sección 2.1). Sin embargo, el propósito real de la definición no es hacer cálculos como éstos, sino comprobar teoremas generales de manera que los cálculos de límites específicos puedan simplificarse. 94 Capítulo 2: Límites y continuidad y EJEMPLO 2 Comprobación de la definición y  5x  3 Probar que 2 lím s5x - 3d = 2. x:1 2 2 Solución Sean x0 = 1, f (x) = 5x – 3 y L = 2 en la definición de límite. Para cualquier P 7 0, dada, debemos encontrar una d > 0 conveniente, de manera que si x Z 1 y x está a x una distancia menor que d de x0 = 1, es decir, siempre que 0 1 1 1 5 5 0 6 ƒ x - 1 ƒ 6 d, es cierto que f (x) está a una distancia menor que P de L = 2, de modo que ƒ ƒsxd - 2 ƒ 6 P . 3 Para determinar d, trabajamos hacia atrás a partir de la desigualdad P: NO ESTÁ A ESCALA ƒ s5x - 3d - 2 ƒ = ƒ 5x - 5 ƒ 6 P FIGURA 2.15 Si ƒsxd = 5x - 3 , 5ƒx - 1ƒ 6 P 0 6 ƒ x - 1 ƒ 6 P>5 garantiza que ƒ ƒsxd - 2 ƒ 6 P (ejemplo 2). ƒ x - 1 ƒ 6 P>5. Por lo tanto, podemos tomar d = P/5 (figura 2.15). Si 0 < |x – 1| < d = P/5, entonces ƒ s5x - 3d - 2 ƒ = ƒ 5x - 5 ƒ = 5 ƒ x - 1 ƒ 6 5sP>5d = P , lo que prueba que límx:1s5x - 3d = 2. El valor de d = P/5 no es el único que hará que 0 < |x – 1| < d implique |5x – 5| < P. Cualquier d positiva menor lo hará. La definición no exige encontrar la “mejor” d positiva, y sino simplemente una que funcione. yx x0   EJEMPLO 3 Límites de las funciones identidad y constante x0   Probar que: x0 x0   (a) lím x = x0 (b) lím k = k (k constante). x:x0 x:x0 x0   Solución x (a) Sea P > 0 dado. Debemos encontrar d > 0 tal que para toda x 0 x0   x0 x0   0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d implique ƒ x - x0 ƒ 6 P . FIGURA 2.16 Para la función ƒsxd = x , encontramos que 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d La implicación será válida si d es igual a P o a cualquier número positivo menor (figu- garantizará que ƒ ƒsxd - x0 ƒ 6 P siempre y ra 2.16). Esto prueba que límx:x0 x = x0 . cuando d … P (ejemplo 3a). (b) Sea P > 0 dado. Debemos encontrar d > 0 tal que para toda x 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d implique ƒ k - k ƒ 6 P. Como k – k = 0, podemos usar cualquier número positivo para d, y la implicación será válida (figura 2.17). Esto prueba que límx:x0 k = k . Determinación algebraica de una delta para épsilon dado En los ejemplos 2 y 3, el intervalo de valores alrededor de x0 para los que |f (x) – L| era menor que P, era simétrico alrededor de x0, lo que nos permitió considerar que d fuera 2.3 La definición formal de límite 95 y equivalente a la mitad de la longitud de ese intervalo. Cuando no existe tal simetría —lo cual es bastante común—, podemos tomar d como la distancia entre x0 y el extremo más yk k cercano al intervalo. k k EJEMPLO 4 Determinación algebraica de delta Para el límite límx:5 2x - 1 = 2, encontrar una d > 0 que funcione para P = 1. Esto es, x encontrar una d > 0 tal que para toda x 0 x0   x0 x0   0 6 ƒx - 5ƒ 6 d Q ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1. FIGURA 2.17 Para la función f(x) = k encontramos que ƒ ƒsxd - k ƒ 6 P para cualquier positiva d (ejemplo 3b). Solución Organizaremos la búsqueda en dos pasos, como se explica a continuación. 1. Resolver la desigualdad ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1 para encontrar un intervalo que con- tenga a x0 = 5, en donde la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0. ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1 -1 6 2x - 1 - 2 6 1 1 6 2x - 1 6 3 1 6 x - 1 6 9 2 6 x 6 10 La desigualdad se satisface para toda x en el intervalo abierto (2, 10), de manera que también se satisface para toda x Z 5 en este intervalo (vea la figura 2.19). 2. Encontrar un valor de d > 0 para colocar el intervalo centrado 5 – d < x < 5 + d (con centro en x0 = 5) dentro del intervalo (2, 10). La distancia entre 5 y el extremo más cercano de (2, 10) es 3 (figura 2.18). Si tomamos d = 3 o a cualquier número positivo menor, la desigualdad 0 < |x – 5| < d colocará automáticamente a x entre 2 y 10 para hacer que ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1 (figura 2.19) 0 6 ƒx - 5ƒ 6 3 Q ƒ 2x - 1 - 2 ƒ 6 1. y y  x  1 3 2 1 3 3 3 3 x x 2 5 8 10 0 1 2 5 8 10 NO ESTÁ A ESCALA FIGURA 2.18 Un intervalo abierto de radio 3 alrededor de x0 = 5 estará en el FIGURA 2.19 La función y los intervalos intervalo abierto (2, 10). del ejemplo 4. 96 Capítulo 2: Límites y continuidad Cómo encontrar D algebraicamente para f, L, x0 y P>0 dados El proceso para encontrar una d > 0 tal que para toda x 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P puede llevarse a cabo en dos pasos. 1. Resolver la desigualdad ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P para encontrar un intervalo abierto (a, b) que contenga a x0 en el que la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0 . 2. Encontrar un valor de d 7 0 que coloque el intervalo abierto sx0 - d, x0 + dd centrado en x0 dentro del intervalo (a, b). La desigualdad ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P se cumplirá para toda x Z x0 en este d intervalo. EJEMPLO 5 Determinación algebraica de delta Probar que límx:2 ƒsxd = 4 si x 2, ƒsxd = e x Z 2 1, x = 2. y y  x2 Solución Nuestra tarea consiste en probar que dado P > 0, existe una d > 0 tal que para toda x 4 0 6 ƒx - 2ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P . 4 (2, 4) 1. Resolver la desigualdad ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P para encontrar un intervalo abierto que contenga a x0 = 2 en el que la desigualdad se satisfaga para toda x Z x0 . 4 Para x Z x0 = 2, tenemos que f (x) = x2, y la desigualdad a resolver es |x2 – 4| < P: (2, 1) ƒ x2 - 4 ƒ 6 P x -P 6 x 2 - 4 6 P 0 2 4   4   4 - P 6 x2 6 4 + P 24 - P 6 ƒ x ƒ 6 24 + P Suponga que P < 4; vea abajo. FIGURA 2.20 Un intervalo que contiene x = 2, de manera que la función del 24 - P 6 x 6 24 + P. Un intervalo abierto alrededor de x0 = 2 que resuelve la ejemplo 5 satisface ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P . desigualdad La desigualdad ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P se satisface para toda x Z 2 en el intervalo abierto A 24 - P, 24 + P B (figura 2.20). 2. Encontrar un valor de d > 0 que coloque el intervalo centrado (2 – d, 2 + d dentro del intervalo A 24 - P, 24 + P B . Sea d la distancia de entre x0 = 2 y el extremo más cercano de A 24 - P, 24 + P B . En otras palabras, tomamos d = mín E 2 - 24 - P, 24 + P - 2 F , es decir, el mínimo (el más pequeño) de los dos números 2 - 24 - P y 24 + P - 2. Son d tiene éste o cualquier valor menor positivo, la desigualdad 0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d colocará automática- mente a x entre 24 - P y 24 + P para hacer que ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P . Para toda x, 0 6 ƒx - 2ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P . Esto completa la prueba. 2.3 La definición formal de límite 97 ¿A qué se debe que sea correcto suponer que P 6 4? A que al buscar una d tal que para toda x, x, 0 6 ƒ x - 2 ƒ 6 d implique ƒ ƒsxd - 4 ƒ 6 P 6 4, encontramos una d que también funcionaría para cualquier P más grande. Por último, observe la libertad que obtenemos al tomar d = min E 2 - 24 - P, 24 + P - 2 F . De esta forma ya no tenemos que perder tiempo en decidir cuál de los dos números es menor. Simplemente representamos el menor mediante d y continuamos para concluir el argumento. Uso de la definición para comprobar teoremas Casi nunca se emplea la definición de límite para verificar límites específicos como los que se presentaron en los ejemplos anteriores. Para ello resultan más útiles los teoremas generales sobre límites, en particular los teoremas de la sección 2.2. La definición se utili- za, más bien, para probar dichos teoremas (como lo haremos en el apéndice 2). A manera de ejemplo, probaremos la parte 1 del teorema 1, es decir, la regla de la suma. EJEMPLO 6 Comprobación de la regla para el límite de una suma Dado que límx:c ƒsxd = L y límx:c gsxd = M, probar que lím sƒsxd + gsxdd = L + M. x:c Solución Sea P > 0 dado. Queremos encontrar un número positivo d tal que para toda x 0 6 ƒx - cƒ 6 d Q ƒ ƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ 6 P . Reagrupando términos obtenemos ƒ ƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ = ƒ sƒsxd - Ld + sgsxd - Md ƒ Desigualdad del triángulo: … ƒ ƒsxd - L ƒ + ƒ gsxd - M ƒ . ƒa + bƒ … ƒaƒ + ƒbƒ Como límx:c ƒsxd = L, existe un número d1 > 0 tal que para toda x 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d1 Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P>2. De manera similar, como límx:c gsxd = M, existe un número d2 > 0 tal que para toda x 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d2 Q ƒ gsxd - M ƒ 6 P>2. Sea d = mín {d1, d2} el menor de d1 y d2, Si 0 < |x – c| < d, entonces |x – c| < d1, de mane- ra que |f(x) – L| < P/2, y |x – c| < d2, de manera que |g(x) – M| < P/2. Por lo tanto, P P ƒ ƒsxd + gsxd - sL + Md ƒ 6 2 + 2 = P . Esto demuestra que límx:c sƒsxd + gsxdd = L + M. Comprobemos también el teorema 5 de la sección 2.2. EJEMPLO 7 Dado que límx:c ƒsxd = L y límx:c gsxd = M, y que ƒsxd … gsxd para toda x en un intervalo abierto que contiene a c (excepto posiblemente la misma c), probar que L … M. Solución Usaremos el método de prueba por contradicción. En otras palabras, supondre- mos lo contrario de lo que se afirma, es decir, que L > M. Entonces, de acuerdo con la pro- piedad del límite de una diferencia del teorema 1, lím s gsxd - ƒsxdd = M - L. x:c En consecuencia, para cualquier P > 0 existe d > 0 tal que ƒ sgsxd - ƒsxdd - sM - Ld ƒ 6 P siempre que 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d. 98 Capítulo 2: Límites y continuidad Como, por hipótesis, L – M > 0, tomamos P = L – M en particular, y tenemos un número d > 0 tal que ƒ sgsxd - ƒsxdd - sM - Ld ƒ 6 L - M siempre que 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d. Como a … ƒ a ƒ para cualquier número a, tenemos que sg sxd - ƒsxdd - sM - Ld 6 L - M siempre que 0 6 ƒx - cƒ 6 d que se simplifica en gsxd 6 ƒsxd siempre que 0 6 ƒ x - c ƒ 6 d. Pero esto contradice ƒsxd … gsxd. Por lo tanto, la desigualdad L 7 M debe ser falsa. En consecuencia, L … M . EJERCICIOS 2.3 Centrar intervalos en torno a un punto 9. 10. f (x)  x y En los ejercicios 1 a 6, trace el intervalo (a, b) en el eje x, colocando el f(x)  2x  1 y x0  1 punto x0 en el interior. Después encuentre un valor de d > 0 tal que pa- L1 x0  3 ra toda x, 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q a 6 x 6 b . 1 L4 e y  x 5 4 e  0.2 1. a = 1, b = 7, x0 = 5 4 1 y  2x  1 2. a = 1, b = 7, x0 = 2 3 4.2 4 4 3. a = - 7>2, b = - 1>2, x0 = - 3 3.8 4. a = - 7>2, b = - 1>2, x0 = - 3>2 5. a = 4>9, b = 4>7, x0 = 1>2 x 2 0 9 1 25 6. a = 2.7591, b = 3.2391, x0 = 3 16 16 x 1 0 2.61 3 3.41 Determinación gráfica de deltas NO ESTÁ A ESCALA En los ejercicios 7 a 14, use las gráficas para encontrar una d > 0 tal que para toda x 11. 12. y y 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . f (x)  4  x 2 f (x) x2 x0  1 7. 8. x0  2 L3 y L4 3.25 y e  0.25 f (x)  3 x  3 e1 y  2x  4 2 x0  3 y  4  x2 3 L  7.5 y  x2 5 6.2 f (x)  2x  4  0.15 6 x0  5 4 2.75 5.8 L6 y  3x  3 e  0.2 2 3 7.65 7.5 x x 7.35 0 2 0 5 3 5 4.9 5.1 NO ESTÁ A ESCALA NO ESTÁ A ESCALA x 5 1 3 0 x 2 2 3 0 3.1 2.9 NO ESTÁ A ESCALA NO ESTÁ A ESCALA 2.3 La definición formal de límite 99 13. 14. Más ejercicios con límites formales y y En cada uno de los ejercicios 31 a 36 se da una función f (x), un punto 2 x0 y un número positivo P. Encuentre L = lím ƒsxd. Después en- f(x)  x :x0  x f (x)  1x cuentre un número d > 0 tal que para toda x x0  1 L2 x0  1 2.01 2 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . e  0.5 L2 e  0.01 y 2 2 31. ƒsxd = 3 - 2 x, x0 = 3, P = 0.02  x 2.5 32. ƒsxd = - 3x - 2, x0 = - 1, P = 0.03 1.99 2 2 x - 4 33. ƒsxd = , x0 = 2, P = 0.05 y  1x x - 2 1.5 x 2 + 6x + 5 34. ƒsxd = , x0 = - 5, P = 0.05 x + 5 35. ƒsxd = 21 - 5x, x0 = - 3, P = 0.5 x 36. ƒsxd = 4>x, x0 = 2, P = 0.4 x 0 1 16 1 16 0 1 1 2 Pruebe los límites de los ejercicios 37 a 50. 9 25 2.01 1.99 NO ESTÁ A ESCALA 37. lím s9 - xd = 5 38. lím s3x - 7d = 2 x :4 x :3 39. lím 2x - 5 = 2 40. lím 24 - x = 2 Determinación algebraica de deltas x :9 x :0 x2, ƒsxd = e En cada uno de los ejercicios 15 a 30 se dan una función f (x) y los nú- x Z 1 41. lím ƒsxd = 1 si meros L, x0 y P > 0. Encuentre, en cada caso, un intervalo abierto alre- x :1 2, x = 1 dedor de x0 en donde se cumpla la desigualdad |f(x) – L| < P. Después x2, ƒsxd = e x Z -2 dé un valor para d > 0 tal que para toda x que satisfaga 0 < |x – x0| < d 42. lím ƒsxd = 4 si x : -2 1, x = -2 se cumpla la desigualdad |f(x) – L| < P. 1 43. lím x = 1 15. ƒsxd = x + 1, L = 5, x0 = 4, P = 0.01 x :1 16. ƒsxd = 2x - 2, L = - 6, x0 = - 2, P = 0.02 1 1 44. lím = x: 2 3 x2 3 17. ƒsxd = 2x + 1, L = 1, x0 = 0, P = 0.1 x2 - 9 x2 - 1 18. ƒsxd = 2x, L = 1>2, x0 = 1>4, P = 0.1 45. lím = -6 46. lím = 2 x : -3 x + 3 x :1 x - 1 19. ƒsxd = 219 - x, ƒsxd = e L = 3, x0 = 10, P = 1 4 - 2x, x 6 1 47. lím ƒsxd = 2 si x :1 6x - 4, x Ú 1 20. ƒsxd = 2x - 7, L = 4, x0 = 23, P = 1 ƒsxd = e 2x, x 6 0 21. ƒsxd = 1>x, L = 1>4, x0 = 4, P = 0.05 48. lím ƒsxd = 0 si x :0 x>2, x Ú 0 22. ƒsxd = x 2, L = 3, x0 = 2 3, P = 0.1 1 49. lím x sen x = 0 2 x :0 23. ƒsxd = x , L = 4, x0 = - 2, P = 0.5 y 24. ƒsxd = 1>x, L = - 1, x0 = - 1, P = 0.1 25. ƒsxd = x 2 - 5, L = 11, x0 = 4, P = 1 26. ƒsxd = 120>x, L = 5, x0 = 24, P = 1 27. ƒsxd = mx, m 7 0, L = 2m, x0 = 2, P = 0.03 1 1 y  x sen 1x 2p 2p 28. ƒsxd = mx, m 7 0, L = 3m, x0 = 3, x 1 1 P = c 7 0 p p 29. ƒsxd = mx + b, m 7 0, L = sm>2d + b, x0 = 1>2, P = c 7 0 30. ƒsxd = mx + b, m 7 0, L = m + b, x0 = 1, P = 0.05 100 Capítulo 2: Límites y continuidad 1 tios, e I sea de 5 ; 0.1 amperes . ¿En qué intervalo debe encon- 50. lím x2 sen x = 0 x: 0 trarse R para que I esté a menos de 1 ampere del valor I0 = 5 ? y 1 y  x2  V I R  y  x 2 sen 1x ¿Qué ocurre cuando un número L no es el límite x de f(x) cuando x : x0 ? 1 2 0 2 1 p p Podemos probar que límx:x0 ƒsxd Z L proporcionando una P 7 0 tal que ninguna d 7 0 satisfaga la condición Para toda x, 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . 1 y  x2 A fin de lograr lo anterior para nuestro candidato P probando que para cada d 7 0 existe un valor de x tal que 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d y ƒ ƒsxd - L ƒ Ú P . Teoría y ejemplos 51. Explique qué significa afirmar que lím g sxd = k . y x:0 52. Pruebe que lím ƒsxd = L si y sólo si lím ƒsh + cd = L . y  f(x) x:c h :0 53. Una afirmación errónea acerca de límites Compruebe me- L diante un ejemplo que la afirmación siguiente es incorrecta: El número L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 si f (x) L se acerca más a L a medida que x se aproxima a x0. Explique por qué la función de su ejemplo no tiene el valor L da- L do como un límite conforme x : x0 . f (x) 54. Otra afirmación incorrecta acerca de límites Compruebe mediante un ejemplo que la afirmación siguiente es incorrecta: x 0 x0   x0 x0   El número L es el límite de f (x) cuando x se aproxima a x0 si, un valor de x para el cual dada cualquier P 7 0 , existe un valor de x para el que 0  x  x 0   y f (x)  L   ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . Explique por qué la función de su ejemplo no tiene el valor L da- do como un límite conforme x : x0 . 57. Sea ƒsxd = e x, x 6 1 T 55. Fabricación de cilindros Antes de solicitar la fabricación x + 1, x 7 1. de cilindros para motor de automóvil con un área transversal de 9 pulg2, usted necesita saber qué tanta desviación respecto del y diámetro ideal del cilindro (que es de x0 = 3.385 pulgadas) puede yx1 permitir para obtener un área con un error menor que 0.01 pulg2 a partir de las 9 pulg2 requeridas. Para averiguarlo, defina A = psx>2d2 y busque un intervalo x para hacer que ƒ A - 9 ƒ … 0.01 . 2 ¿Cuál es ese intervalo? y  f(x) 56. Fabricación de resistencias eléctricas La ley de Ohm para cir- 1 cuitos eléctricos como el que se muestra en la figura siguiente, es- tablece que V = RI . En la ecuación, V es una constante de volta- x 1 je, en volts, I es la corriente, en amperes, y R es la resistencia, en ohms. A la empresa en donde usted trabaja le han pedido que sus- yx tituya las resistencias por un circuito en donde V sea de 120 vol- 2.3 La definición formal de límite 101 a. Sea P = 1>2 . Demuestre que ninguna posible d 7 0 satisface 60. a. A partir de la función cuya gráfica se muestra aquí, demuestre la condición siguiente: que límx : -1 g sxd Z 2 . b. ¿Existirá límx : -1 g sxd? Si es el caso, ¿cuál es el valor del lí- Para toda x, 0 6 ƒx - 1ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - 2 ƒ 6 1>2. mite? Si no existe, explique por qué. Esto es, para cada d > 0, compruebe que hay un valor de x tal y que 0 6 ƒx - 1ƒ 6 d y ƒ ƒsxd - 2 ƒ Ú 1>2. 2 Esto probará que límx:1 ƒsxd Z 2 . b. Demuestre que límx:1 ƒsxd Z 1 . y  g(x) 1 c. Compruebe que límx:1 ƒsxd Z 1.5 . x2, x 6 2 58. Sea hsxd = • 3, x = 2 x 2, x 7 2. 1 0 y EXPLORACIONES CON COMPUTADORA y  h(x) En los ejercicios 61 a 66, usted explorará con más detalle la determi- 4 nación gráfica de delta. Use un software matemático para realizar los pasos siguientes: 3 a. Grafique la función y = f (x) cerca del punto x0 al que se quiere y2 2 aproximar. b. Suponga cuál es el valor del límite L, y después evalúe simbóli- 1 y  x2 camente el límite para ver si su suposición es correcta. c. Utilizando el valor P = 0.2 , trace en la misma gráfica las rectas x 0 2 de la banda y1 = L - P y y2 = L + P junto con la función f cer- ca de x0 . Compruebe que d. A partir de la gráfica obtenida en el inciso (c), estime una d 7 0 a. lím hsxd Z 4 tal que para toda x x: 2 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . b. lím hsxd Z 3 x: 2 Compruebe su estimación graficando ƒ, y1 y y2 en el intervalo c. lím hsxd Z 2 x: 2 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d . Use x0 - 2d … x … x0 + 2d y L - 2P 59. A partir de la función cuya gráfica se muestra aquí, explique por … y … L + 2P para establecer el tamaño de su pantalla de vi- qué sualización. Si algún valor de la función está fuera del intervalo [L - P, L + P] , significa que eligió una d demasiado grande. a. lím ƒsxd Z 4 x: 3 Inténtelo nuevamente con una estimación menor. b. lím ƒsxd Z 4.8 x: 3 e. Repita sucesivamente los pasos indicados en los incisos (c) y (d) c. lím ƒsxd Z 3 para P = 0.1, 0.05 y 0.001. x: 3 x 4 - 81 y 61. ƒsxd = , x0 = 3 x - 3 5x 3 + 9x 2 62. ƒsxd = , x0 = 0 4.8 2x 5 + 3x 2 sen 2x 4 63. ƒsxd = , x0 = 0 y  f (x) 3x 3 xs1 - cos xd 64. ƒsxd = x - sen x , x0 = 0 23 x - 1 65. ƒsxd = , x0 = 1 x - 1 x 3x2 - s7x + 1d2x + 5 0 3 66. ƒsxd = , x0 = 1 x - 1 102 Capítulo 2: Límites y continuidad 2.4 Límites laterales y límites al infinito y En esta sección ampliaremos el concepto de límite para abordar los límites laterales, que son aquellos que se dan solamente a medida que x se aproxima únicamente por la izquierda y x al número x0 (donde x 6 x0) o únicamente por la derecha (donde x 7 x0). También analiza- x 1 remos las gráficas de ciertas funciones racionales, así como otras funciones con el com- portamiento de límite cuando x : ; q . x 0 Límites laterales Para que una función f tenga límite L cuando x se aproxima a c, debe estar definida a 1 ambos lados de c, y los valores de f (x) deben aproximarse a L a medida que x se aproxima a c. Debido a ello, los límites ordinarios se llaman bilaterales. Aun cuando f no tenga un límite bilateral en c, podría tener un límite lateral, esto es, un límite si la aproximación es sólo por un lado. Si la aproximación es por la derecha, el lí- FIGURA 2.21 Límites laterales derecho e mite es un límite lateral derecho. Si es por la izquierda, es un límite lateral izquierdo. izquierdo, diferentes en el origen. La función ƒsxd = x> ƒ x ƒ (figura 2.21) tiene límite 1 cuando x se aproxima a 0 por la derecha, y límite –1 cuando x se aproxima a 0 por la izquierda. Como estos valores de lí- mites laterales son diferentes, no hay un solo número al que f(x) se aproxime cuando x se acerca a 0. De manera que f(x) no tiene límite (bilateral) en 0. Intuitivamente, si f(x) está definida en un intervalo (c, b), donde c 6 b, y se aproxima arbitrariamente a L cuando x se aproxima a c dentro de ese intervalo, f tiene límite lateral derecho L en c. Escribimos lím ƒsxd = L. x:c + El símbolo “x : c + ” significa que consideramos solamente los valores de x mayores que c. De manera similar, si f(x) está definida en un intervalo (a, c), donde a < c y se aproxima arbitrariamente a M cuando x se aproxima a c dentro de ese intervalo, f tiene límite lateral izquierdo M en c. Escribimos lím ƒsxd = M. x:c - El símbolo “x : c - ” significa que consideramos solamente los valores de x menores que c. En la figura 2.22 se ilustran estas definiciones informales. Para la función ƒsxd = x> ƒ x ƒ de la figura 2.21, tenemos lím ƒsxd = 1 y lím ƒsxd = - 1. x:0 + x:0 - y y f (x) M L f (x) x x 0 c x 0 x c (a) lím f (x)  L (b) lím f (x)  M x→c x→c FIGURA 2.22 Límite lateral derecho conforme x se aproxima a c. (b) Límite lateral izquierdo conforme x se aproxima a c. 2.4 Límites laterales y límites al infinito 103 y EJEMPLO 1 Límites laterales para un semicírculo El dominio de ƒsxd = 24 - x2 es [ -2, 2]; su gráfica es el semicírculo de la figura 2.23. y  4  x 2 Tenemos lím 24 - x2 = 0 y lím 24 - x2 = 0. x: -2 + x:2 - La función no tiene límite lateral izquierdo en x = –2, ni límite lateral derecho en x = 2. x 2 0 2 Tampoco tiene límites bilaterales normales, ni en –2 ni en 2. FIGURA 2.23 lím 24 - x2 = 0 y Los límites laterales tienen todas las propiedades listadas en el teorema 1 de la sec- x: 2 - lím 24 - x = 0 (ejemplo 1). 2 ción 2.2. El límite lateral derecho de la suma de dos funciones es la suma de los límites la- x: - 2 + terales derechos, y así sucesivamente. Los teoremas de límites de funciones polinomiales y racionales se satisfacen con límites laterales, lo mismo que el teorema del sandwich y el teorema 5. Los límites laterales están relacionados con los límites de la manera siguiente. TEOREMA 6 Una función f(x) tiene un límite cuando x se aproxima a c si y sólo si existen los límites laterales izquierdo y derecho, y además estos límites laterales son iguales: lím ƒsxd = L 3 lím ƒsxd = L y lím ƒsxd = L . x:c x:c - x:c + y EJEMPLO 2 Límites de la función graficada en la figura 2.24 y  f (x) En x = 0: límx:0+ ƒsxd = 1, 2 límx:0- ƒsxd y límx:0 ƒsxd no existen. La función no está definida a 1 la izquierda de x = 0. En x = 1: límx:1- ƒsxd = 0 aunque ƒs1d = 1, x 0 1 2 3 4 límx:1+ ƒsxd = 1, FIGURA 2.24 Gráfica de la función límx:1 ƒsxd no existen. Los límites laterales derecho e izquierdo no del ejemplo 2. son iguales. En x = 2: límx:2- ƒsxd = 1, límx:2+ ƒsxd = 1, límx:2 ƒsxd = 1 aunque ƒs2d = 2. En x = 3: límx:3- ƒsxd = límx:3+ ƒsxd = límx:3 ƒsxd = ƒs3d = 2. En x = 4: límx:4- ƒsxd = 1 aunque ƒs4d Z 1, límx:4+ ƒsxd y límx:4 ƒsxd no existen. La función no está definida a la derecha de x = 4. En cualquier otro punto c en [0, 4], f (x) tiene límite f(c). Definición formal de límites laterales La definición formal de límite que se dio en la sección 2.3 puede modificarse fácilmente para los límites laterales. 104 Capítulo 2: Límites y continuidad y DEFINICIONES Límites laterales derecho e izquierdo Decimos que f (x) tiene límite lateral derecho L en x0, y escribimos lím ƒsxd = L (vea la figura 2.25) x:x0 + Le f(x) si para todo número P 7 0 existe un número d 7 0 correspondiente, tal que para f (x) está toda x L aquí x0 6 x 6 x0 + d Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . Le Decimos que f tiene límite L lateral izquierdo en x0, y escribimos para toda x  x 0 lím ƒsxd = L (vea la figura 2.26) aquí x:x0 - d si para todo número P 7 0 existe un número d 7 0 correspondiente, tal que para x x toda x 0 x0 x0  d x0 - d 6 x 6 x0 Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . FIGURA 2.25 Intervalos asociados con la definición de límite lateral derecho. EJEMPLO 3 Aplicación de la definición para encontrar un delta y Probar que lím 2x = 0. x:0 + Solución Sea P 7 0 dada. Aquí x0 = 0 y L = 0, de manera que queremos encontrar una Le f(x) d 7 0 tal que para toda x f (x) está L aquí 0 6 x 6 d Q ƒ 2x - 0 ƒ 6 P , o Le 0 6 x 6 d Q 2x 6 P . para toda x  x 0 aquí Elevando al cuadrado ambos lados de la última desigualdad, tenemos d x 6 P2 si 0 6 x 6 d. x x Si elegimos d = P2 tenemos 0 x0  d x0 0 6 x 6 d = P2 Q 2x 6 P , FIGURA 2.26 Intervalos asociados con la definición de límite lateral izquierdo. o 0 6 x 6 P2 Q ƒ 2x - 0 ƒ 6 P . y De acuerdo con la definición, esto prueba que límx:0+ 2x = 0 (figura 2.27). Las funciones que hemos examinado hasta aquí han tenido algún tipo de límite en ca- f (x)  x da punto de interés. Sin embargo, en general esto no ocurre así. e EJEMPLO 4 Una función que oscila demasiado f(x) Probar que y = sen s1>xd no tiene límite cuando x se aproxima a cero por cualquier lado x (figura 2.28). L0 x d  e2 Solución Cuando x se aproxima a cero, su recíproco, 1>x, aumenta sin cota y los valores FIGURA 2.27 lím 1x = 0 del ejemplo 3. x: 0 + de sen (1>x) se repiten periódicamente entre –1 y 1. No hay un solo número L al que los 2.4 Límites laterales y límites al infinito 105 y 1 x 0 y  sen 1x 1 FIGURA 2.28 La función y = sen s1>xd no tiene límite lateral derecho ni límite lateral izquierdo conforme x se aproxima a cero (ejemplo 4). valores de la función estén suficientemente cercanos cuando x se aproxima a cero. Esto es cierto aún cuando restrinjamos x a valores positivos o a valores negativos. La función no tiene límites laterales izquierdo o derecho en x = 0. Límites que involucran (sen U)/U Un hecho importante acerca de ssen ud>u consiste en que, medido en radianes, su límite cuando u : 0 es 1. Podemos ver esto en la figura 2.29, y confirmarlo algebraicamente mediante el teorema del sandwich. y y  sen u (radianes) 1 u 3p 2p p p 2p 3p NO ESTÁ A ESCALA y FIGURA 2.29 La gráfica de ƒsud = ssin ud>u . T 1 P TEOREMA 7 tan u sen u 1 lím = 1 su en radianesd (1) u:0 u sen u u cos u x O Q A(1, 0) Demostración El plan es probar que ambos límites laterales, derecho e izquierdo, son ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 iguales a 1. Por lo tanto, el límite bilateral también es igual a 1. Para probar que el límite lateral derecho es 1, empezamos con valores positivos de u FIGURA 2.30 La figura para la prueba menores que p>2 (figura 2.30). Observe que del teorema 7, TA>OA = tan u , pero OA = 1 , de manera que TA = tan u . Área ¢OAP 6 área del sector OAP 6 área ¢OAT . 106 Capítulo 2: Límites y continuidad La medición en radianes aparece en la Podemos expresar estas áreas en términos de u como sigue: ecuación (2): el área del sector OAP es 1 1 1 u>2 sólo si u se mide en radianes. Área ¢OAP = base * altura = s1dssen ud = sen u 2 2 2 1 2 1 u Área sector OAP = r u = s1d2u = (2) 2 2 2 1 1 1 Área ¢OAT = base * altura = s1dstan ud = tan u. 2 2 2 Por lo tanto, 1 1 1 sen u 6 u 6 tan u. 2 2 2 Esta última desigualdad no se altera si dividimos los tres términos entre el número (1>2) sen u, que es positivo, ya que 0 6 u 6 p>2: u 1 1 6 6 . sen u cos u Las desigualdades se invierten al tomar recíprocos: sen u 1 7 7 cos u. u Dado que límu:0+ cos u = 1 (ejemplo 6b, sección 2.2), el teorema del sandwich nos da sen u lím = 1. u:0 + u Recuerde que tanto sen u como u son funciones impares (sección 1.4). Por lo tanto, ƒsud = ssen ud>u es una función par, con una gráfica simétrica respecto del eje y (vea la fi- gura 2.29). Esta simetría implica que existe límite lateral izquierdo en 0, y tiene el mismo valor que el límite lateral derecho: sen u sen u lím = 1 = lím+ , u:0 - u u:0 u así, de acuerdo con el teorema 6, límu:0 ssen ud>u = 1 . sen u EJEMPLO 5 Usando lím = 1 u:0 u cos h - 1 sen 2x 2 Probar que (a) lím = 0 y (b) lím = . h:0 h x:0 5x 5 Solución (a) Utilizando la fórmula del ángulo medio, cos h = 1 - 2 sen2 sh>2d, calculamos cos h - 1 2 sen2 sh>2d lím = lím - h:0 h h:0 h sen u = - lím sen u Sea u = h>2 . u:0 u = - s1ds0d = 0. 2.4 Límites laterales y límites al infinito 107 (b) La ecuación (1) no se aplica a la fracción original. Necesitamos un 2x en el denomina- dor, no un 5x. Para obtenerlo multiplicamos por 2>5 el numerador y el denominador: : sen 2x s2>5d # sen 2x y lím = lím x:0 5x x:0 s2>5d # 5x 4 2 sen 2x Ahora se aplica la = lím ecuación (1) con u  2x. 3 5 x:0 2x 2 y  1x 2 2 = s1d = 1 5 5 x 1 0 1 2 3 4 1 Límites finitos cuando x : — ˆ El símbolo que designa infinito s q d no representa un número real. Lo usamos para des- cribir el comportamiento de una función cuando los valores sobrepasan, en su dominio o rango, cualesquiera cotas finitas. Por ejemplo, la función f (x) 0 1/x está definida para toda x Z 0 (figura 2.31). Cuando x es positiva y se vuelve muy grande, 1/x se hace cada vez más FIGURA 2.31 La gráfica de y = 1>x . pequeña. Cuando x es negativo y su magnitud se vuelve cada vez más grande, nuevamente 1/x se hace pequeña. Para resumir estas observaciones, diremos que f(x) = 1/x tiene límite 0 cuando x : ; q o que 0 es el límite de f (x) = 1/x al infinito, tanto positivo como nega- tivo. A continuación se da la definición exacta. DEFINICIONES Límite cuando x se aproxima a ˆ o  ˆ 1. Decimos que f(x) tiene el límite L cuando x tiende al infinito, y escribimos lím ƒsxd = L x: q si, para cada número P > 0, existe un número M correspondiente tal que para toda x x 7 M Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . 2. Decimos que f (x) tiene el límite L cuando x tiende a menos infinito, y escri- bimos lím ƒsxd = L x: - q si, para cada número P > 0, existe un número N correspondiente tal que para toda x x 6 N Q ƒ ƒsxd - L ƒ 6 P . Intuitivamente, límx: q ƒsxd = L si cuando x se aleja cada vez más del origen en direc- ción positiva, f (x) se acerca arbitrariamente a L. De manera similar límx:- q ƒsxd = L si, cuando x se aleja del origen en dirección negativa, f(x) se acerca arbitrariamente a L. La estrategia para calcular límites de funciones cuando x : ; q es similar a la que se explicó en la sección 2.2 para determinar límites finitos. Ahí primero encontramos los límites de las funciones constante e identidad, y = k y y = x. Después extendimos los resul- tados a otras funciones, mediante la aplicación de un teorema sobre límites de combina- ciones algebraicas. Aquí haremos lo mismo, pero empezaremos con las funciones y = k y y = 1/x en lugar de y = k y y = x. 108 Capítulo 2: Límites y continuidad Sin importar qué Los hechos básicos que debemos verificar al aplicar la definición formal, son y número positivo sea e la gráfica entra 1 en esta banda en x  1e lím k = k y lím x = 0. (3) y  1x y ahí se queda x: ; q x: ; q ye A continuación probaremos esta última afirmación, y dejaremos la comprobación de la e primera para los ejercicios 71 y 72. N  1e x 1 0 M  1e EJEMPLO 6 Los límites al infinito para ƒsxd = x y e e Probar que Sin importar qué número positivo sea e 1 1 (a) lím x = 0 (b) lím x = 0. la gráfica entra x: q x: - q en esta banda en x  1e y ahí se queda Solución FIGURA 2.32 La geometría detrás del (a) Sea P 7 0 dada. Debemos encontrar un número M tal que para toda x argumento del ejemplo 6. ` x - 0 ` = ` x ` 6 P. 1 1 x 7 M Q Esta implicación se satisface si M = 1>P o a cualquier número positivo mayor (figura 2.32). Esto prueba que límx: q s1>xd = 0. (b) Sea P 7 0 dada. Debemos encontrar un número N tal que para todo x ` x - 0 ` = ` x ` 6 P. 1 1 x 6 N Q Esta implicación se satisface si N = - 1>P o a cualquier número menor que -1>P (fi- gura 2.32). Esto prueba que límx:- q s1>xd = 0. Los límites al infinito tienen propiedades similares a las de los límites finitos. TEOREMA 8 Leyes de los límites cuando x : — ˆ Si L, M y k son números reales y lím ƒsxd = L y lím gsxd = M, entonces x: ; q x: ; q 1. Regla de la suma: lím sƒsxd + gsxdd = L + M x: ; q 2. Regla de la diferencia: lím sƒsxd - gsxdd = L - M x: ; q 3. Regla del producto: lím sƒsxd # gsxdd = L # M x: ; q 4. Regla del múltiplo constante: lím sk # ƒsxdd = k # L x: ; q ƒsxd L 5. Regla del cociente: lím = , M Z 0 x: ; q gsxd M 6. Regla de la potencia: Si r y s son enteros sin factores comunes, s Z 0, entonces lím sƒsxddr>s = Lr>s x: ; q siempre y cuando Lr/s sea un número real. (Si s es par, damos por hecho que L > 0). 2.4 Límites laterales y límites al infinito 109 Estas propiedades son similares a las del teorema 1 de la sección 2.2, y se utilizan de la misma manera. EJEMPLO 7 Uso del teorema 8 (a) lím a5 + x b = lím 5 + lím x 1 1 Regla de la suma x: q x: q x: q = 5 + 0 = 5 Límites conocidos p2 3 1 1 (b) lím = lím p2 3 # x # x x: - q x2 x: - q 1 1 = lím p2 3 # lím x # lím x Regla del producto y y 5x 2  8x  3 x: - q x: - q x: - q 3x 2  2 2 = p2 3 # 0 # 0 = 0 Límites conocidos Recta  5 1 3 Límites al infinito de funciones racionales x 5 0 5 10 Para determinar el límite de una función racional cuando x : ; q , podemos dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador. Lo que pase 1 después dependerá de los grados de los polinomios involucrados. 2 NO ESTÁ A ESCALA EJEMPLO 8 El numerador y el denominador tienen el mismo grado FIGURA 2.33 La gráfica de la función 5x2 + 8x - 3 5 + s8>xd - s3>x2 d Dividir el numerador del ejemplo 8. La gráfica se aproxima a lím = lím y el denominador x: q 3x2 + 2 x: q 3 + s2>x2 d entre x2. la recta y = 5>3 conforme ƒ x ƒ crece. 5 + 0 - 0 5 = = Vea la figura 2.33. 3 + 0 3 EJEMPLO 9 El grado del numerador es menor que el grado del denominador 11x + 2 s11>x2 d + s2>x3 d Dividir el numerador y lím = lím x: - q 2x3 - 1 x: - q 2 - s1>x3 d y el denominador 8 11x  2 entre x3. y 0 + 0 2x 3  1 = = 0 Vea la figura 2.34. 6 2 - 0 4 En la siguiente sección se da un ejemplo del caso en donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador (ejemplo 8, sección 2.5). 2 x Asíntotas horizontales 4 2 0 2 4 6 Si la distancia entre la gráfica de una función y alguna recta fija se aproxima a cero 2 cuando un punto de la gráfica se aleja cada vez más del origen, decimos que la gráfica se aproxima asintóticamente a la recta, y esa recta es una asíntota de la gráfica. 4 Al analizar ƒsxd = 1>x (vea la figura 2.31), observamos que el eje x es una asíntota de la curva por la derecha, ya que 6 1 8 lím x = 0 x: q FIGURA 2.34 La gráfica de la función y una asíntota de la curva por la izquierda, ya que del ejemplo 9. La gráfica se aproxima al 1 eje x conforme ƒ x ƒ crece. lím x = 0. x: - q 110 Capítulo 2: Límites y continuidad Decimos que el eje x es un asíntota horizontal de la gráfica de ƒsxd = 1>x. DEFINICIÓN Asíntota horizontal Una recta y = b es una asíntota horizontal de la gráfica de una función y = f(x), si se satisface alguna de las condiciones siguientes lím ƒsxd = b o lím ƒsxd = b. x: q x: - q La curva 5x 2 + 8x - 3 ƒsxd = 3x 2 + 2 trazada en la figura 2.33 (ejemplo 8), tiene como asíntota horizontal, tanto a la derecha co- mo a la izquierda, la recta y = 5/3, ya que 5 5 lím ƒsxd = y lím ƒsxd = . x: q 3 x: - q 3 EJEMPLO 10 Sustitución de una nueva variable Encontrar lím sen s1>xd . x: q Solución Introducimos una nueva variable, t = 1>x. De acuerdo con el ejemplo 6, sabe- mos que t : 0 + cuando x : q (vea la figura 2.31). Por lo tanto, 1 lím sen x = lím+ sen t = 0. x: q t:0 Otra aplicación del teorema del sandwich El teorema del sandwich también se cumple para límites cuando x : ; q . EJEMPLO 11 Una curva puede atravesar su asíntota horizontal Usar el teorema del sandwich para encontrar la asíntota horizontal de la curva sen x y = 2 + x . y Solución Estamos interesados en lo que ocurra cuando x : ; q . Como y  2  sen x x 0 … ` x ` … `x` 2 sen x 1 1 y límx:; q ƒ 1>x ƒ = 0, de acuerdo con el teorema del sandwich tenemos que límx:; q x ssen xd>x = 0. En consecuencia, 3p 2p p 0 p 2p 3p lím a2 + x b = 2 + 0 = 2, sen x x: ; q FIGURA 2.35 Una curva puede cruzar una de sus asíntotas una infinidad de veces y la recta y = 2 es una asíntota horizontal de la curva, tanto a la izquierda como a la dere- (ejemplo 11). cha (figura 2.35). 2.4 Límites laterales y límites al infinito 111 Este ejemplo ilustra que una curva puede —quizás varias veces— atravesar una de sus asíntotas horizontales. Asíntotas oblicuas Si el grado del numerador de una función racional es mayor en una unidad que el grado del denominador, la gráfica tiene una asíntota oblicua (inclinada). Encontramos una ecuación para la asíntota dividiendo el numerador entre el denominador, con el propósito de expresar f como una función lineal más un residuo que tiende a cero cuando x : ; q . Veamos un ejemplo. EJEMPLO 12 Encontrar una asíntota oblicua Encontrar la asíntota oblicua de la gráfica de 2x 2 - 3 ƒsxd = 7x + 4 ilustrada en la figura 2.36. Solución Dividiendo los polinomios encontramos 2x 2 - 3 y ƒsxd = 7x + 4 4 = a x - b + 2 8 - 115 2x 2  3 7 49 49s7x + 4d y 2 7x  4 ('')''* ('')''* función lineal gsxd residuo x 4 2 2 4 A medida que x : ; q , el residuo, cuya magnitud representa la distancia vertical entre las gráficas de f y g, tiende a cero, haciendo que la recta (oblicua) 2 2 8 gsxd = x - 4 7 49 sea una asíntota de la gráfica de f (figura 2.36). La recta y = g(x) es una asíntota tanto a la derecha como a la izquierda. En la sección siguiente veremos que la función f(x) crece ar- FIGURA 2.36 La gráfica del ejemplo 12 bitrariamente en valor absoluto cuando x se aproxima a –4/7, donde el denominador se tiene una asíntota oblicua. convierte en cero (figura 2.36). EJERCICIOS 2.4 Determinación gráfica de límites a. lím ƒsxd = 1 x : -1 + b. lím- ƒsxd = 0 x :0 1. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de la función y = c. lím- ƒsxd = 1 d. lím- ƒsxd = lím+ ƒsxd f (x), cuya gráfica aparece a continuación, son verdaderas y cuáles x :0 x :0 x :0 falsas? e. lím ƒsxd existe f. lím ƒsxd = 0 x :0 x :0 y y  f (x) g. lím ƒsxd = 1 h. lím ƒsxd = 1 x :0 x :1 1 i. lím ƒsxd = 0 j. lím- ƒsxd = 2 x :1 x :2 x 1 0 1 2 k. lím ƒsxd no existe . l. lím+ ƒsxd = 0 x : -1 - x :2 112 Capítulo 2: Límites y continuidad 2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones acerca de la función y = a. Encuentre límx:2+ ƒsxd, límx:2- ƒsxd , y ƒ(2). f (x), cuya gráfica aparece a continuación, son verdaderas y cuáles b. ¿límx:2 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es ne- son falsas? gativa, explique por qué. y c. Encuentre límx:-1- ƒsxd y límx:-1+ ƒsxd . y  f (x) d. Encuentre límx:-1 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su res- puesta es negativa, explique por qué. 2 0, x … 0 5. Sea ƒsxd = • 1 1 sen x , x 7 0. x y 1 0 1 2 3 1 a. lím + ƒsxd = 1 b. lím ƒsxd no existe. x: -1 x: 2 c. lím ƒsxd = 2 d. lím- ƒsxd = 2 x: 2 x: 1 e. lím+ ƒsxd = 1 f. lím ƒsxd no existe. x: 1 x: 1 x g. lím+ ƒsxd = lím- ƒsxd 0 ⎧ x: 0 x: 0 ⎪0, x0 h. lím ƒsxd existe para toda c en el intervalo abierto s - 1, 1d . y⎨ 1 x: c ⎪ sen x , x  0 ⎩ i. lím ƒsxd existe para toda c en el intervalo abierto (1, 3). x: c 1 j. lím - ƒsxd = 0 k. lím+ ƒsxd no existe. x: -1 x: 3 3 - x, x 6 2 a. ¿límx:0+ ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es 3. Sea ƒsxd = • x negativa, explique por qué. + 1, x 7 2. 2 b. ¿límx:0- ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es negativa, explique por qué. y c. ¿límx:0 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es y3x negativa, explique por qué. 3 6. Sea g sxd = 2x sens1>xd . y x1 2 y x 1 y  x 0 2 4 a. Encuentre límx:2+ ƒsxd y límx:2- ƒsxd . y  x sen 1x b. ¿límx:2 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es negativa, explique por qué. c. Encuentre límx:4- ƒsxd y límx:4+ ƒsxd . 1 2 x d. ¿límx:4 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es 0 1 2 1 negativa, explique por qué.   3 - x, x 6 2 4. Sea ƒsxd = d 2, x = 2 x , x 7 2. 2 y –1 y  –x a. ¿límx:0+ g sxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es y3x negativa, explique por qué. 3 b. ¿límx:0- g sxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es y x negativa, explique por qué. 2 x c. ¿límx:0 g sxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es 2 0 2 negativa, explique por qué. 2.4 Límites laterales y límites al infinito 113 7. a. Grafique ƒsxd = e x 3, x Z 1 sen U Uso de lím 1 0, x = 1. U:0 U b. Encuentre límx:1- ƒsxd y límx:1+ ƒsxd . Encuentre los límites de los ejercicios 21 a 36. c. ¿límx:1 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es ne- sen 22u sen kt gativa, explique por qué. 21. lím 22. lím t sk constanted 2 u :0 22u t :0 8. a. Grafique ƒsxd = e 1 - x , x Z 1 sen 3y h 2, x = 1. 23. lím 24. lím- y :0 4y h: 0 sen 3h b. Encuentre límx:1+ ƒsxd y límx:1- ƒsxd . c. ¿límx:1 ƒsxd existe? Si es así, ¿cuál es? Si su respuesta es ne- tan 2x 2t 25. lím x 26. lím x :0 t :0 tan t gativa, explique por qué. x csc 2x Trace las gráficas de las funciones de los ejercicios 9 y 10. Después, 27. lím 28. lím 6x2scot xdscsc 2xd x :0 cos 5x x :0 conteste estas preguntas. a. ¿Cuáles son el dominio y el rango de f? x + x cos x x2 - x + sen x 29. lím sen x cos x 30. lím x :0 x :0 2x b. ¿En qué puntos c existe límx:c ƒsxd? c. ¿En qué puntos sólo existe el límite lateral izquierdo? sen s1 - cos td sen ssen hd 31. lím 32. lím t: 0 1 - cos t h: 0 sen h d. ¿En qué puntos sólo existe el límite lateral derecho? 21 - x2, 0 … x 6 1 sen u sen 5x 33. lím 34. lím 9. ƒsxd = • 1, u :0 sen 2u x :0 sen 4x 1 … x 6 2 2, x = 2 tan 3x sen 3y cot 5y 35. lím 36. lím x :0 sen 8x y :0 y cot 4y x, - 1 … x 6 0, o 0 6 x … 1 10. ƒsxd = • 1, x = 0 0, x 6 - 1, o x 7 1 Cálculo de límites conforme x : — ˆ En los ejercicios 37 a 42, encuentre el límite de cada función (a) cuando x : q y (b) cuando x : - q . (Puede utilizar una calculadora grafi- Determinación algebraica de límites laterales cadora o una computadora para ver la respuesta gráficamente). Encuentre los límites de los ejercicios 11 a 18. 2 2 37. ƒsxd = x - 3 38. ƒsxd = p - x + 2 x - 1 x2 11. lím 12. lím+ x: -0.5 - A x + 1 x: 1 Ax + 2 1 1 39. g sxd = 40. g sxd = 2 + s1>xd 8 - s5>x 2 d lím a ba 2 b x 2x + 5 13. x: -2 + x + 1 x + x - 5 + s7>xd 3 - s2>xd A 22>x2 B 41. hsxd = 42. hsxd = 14. lím- a ba x ba b 1 x + 6 3 - x 3 - s1>x 2 d 4 + x: 1 x + 1 7 Encuentre los límites de los ejercicios 43 a 46. 2h2 + 4h + 5 - 25 15. lím+ h:0 h sen 2x cos u 43. lím x 44. lím x: q 3u 26 - 25h + 11h + 6 2 u: - q 16. lím- h:0 h 2 - t + sen t r + sen r 45. lím 46. lím ƒx + 2ƒ ƒx + 2ƒ t: - q t + cos t r: q 2r + 7 - 5 sen r 17. a. lím sx + 3d b. lím sx + 3d x: -2 + x + 2 x: -2 - x + 2 22x sx - 1d 22x sx - 1d Límites de funciones racionales 18. a. lím+ b. lím- x: 1 ƒx - 1ƒ x: 1 ƒx - 1ƒ En los ejercicios 47 a 56, encuentre el límite de cada función racional (a) cuando x : q y (b) cuando x : - q . Use la gráfica de la función mayor entero y = :x ; (que se denota a veces como y = ent x) figura 1.31, sección 1.3, para encontrar los lími- 2x + 3 2x 3 + 7 47. ƒsxd = 48. ƒsxd = 5x + 7 x - x2 + x + 7 3 tes de los ejercicios 19 y 20. :u; :u ; x + 1 3x + 7 49. ƒsxd = 50. ƒsxd = 19. a. lím+ b. lím- x2 + 3 x2 - 2 u: 3 u u: 3 u 7x 3 20. a. lím+st - : t; d b. lím-st - :t ; d 1 51. hsxd = 52. g sxd = t :4 t :4 x - 3x 2 + 6x 3 x 3 - 4x + 1 114 Capítulo 2: Límites y continuidad 10x 5 + x 4 + 31 Definiciones formales de límites laterales 53. g sxd = x6 73. Dado P > 0, encuentre un intervalo I = s5, 5 + dd, d 7 0 , tal 9x 4 + x que si x está en I, entonces 2x - 5 6 P . ¿Qué límite se está ve- 54. hsxd = 2x + 5x 2 - x + 6 4 rificando y cuál es su valor? -2x 3 - 2x + 3 74. Dado P 7 0 , encuentre un intervalo I = s4 - d, 4d, d 7 0 , tal 55. hsxd = 3x 3 + 3x 2 - 5x que si x está en I, entonces 24 - x 6 P . ¿Qué límite se está ve- -x4 rificando y cuál es su valor? 56. hsxd = x - 7x + 7x 2 + 9 4 3 Use las definiciones de límites lateral derecho e izquierdo para probar los límites propuestos en los ejercicios 75 y 76. Límites con potencias no enteras o negativas El proceso mediante el que determinamos los límites de funciones x x - 2 75. lím- = -1 76. lím+ = 1 racionales funciona también para calcular razones que contienen po- x :0 ƒxƒ x :2 ƒx - 2ƒ tencias no enteras o negativas de x, y consiste en dividir el numerador 77. Función mayor entero Encuentre (a) límx:400+ :x ; y (b) y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador, y límx:400- :x ; ; después, emplee las definiciones de límites para proceder a partir de ahí. De acuerdo con ello, encuentre los límites de verificar sus resultados. (c) Con base en las conclusiones a que los ejercicios 57 a 62. llegó en los incisos (a) y (b), ¿puede decir algo acerca de límx:400 :x ; ? Justifique sus respuestas. 2 2x + x-1 2 + 2x 57. lím 58. lím x2 sen s1>xd, x 6 0 Sea ƒsxd = e x: q 3x - 7 x: q 2 - 2x 78. Límites laterales 5 2x, x 7 0. 2 3 x - 2x x-1 + x-4 59. lím 5 60. lím x: - q 2x + 2x 3 x: q x-2 - x-3 Encuentre (a) límx:0+ ƒsxd y (b) límx:0- ƒsxd ; después use las defini- ciones de límites para verificar sus resultados. (c) Con base en las 2x5>3 - x1>3 + 7 2x - 5x + 3 3 61. lím 62. lím conclusiones a que llegó en los incisos (a) y (b), ¿puede decir algo x: q x8>5 + 3x + 2x x: - q 2x + x2>3 - 4 acerca de límx:0 ƒsxd ? Justifique sus respuestas. Teoría y ejemplos Exploraciones gráficas: cómo “ver” límites 63. Si conocemos límx:a+ ƒsxd y límx:a- ƒsxd en un punto interior del dominio de f, ¿conocemos también límx:a ƒsxd ? Justifique su al infinito respuesta. Algunas veces un cambio de variable puede modificar una expresión poco familiar para convertirla en una cuyo límite sabemos cómo en- 64. Si sabemos que límx:c ƒsxd existe, ¿es posible encontrar su valor contrar. Por ejemplo, calculando límx:c+ ƒsxd ? Justifique su respuesta. 65. Suponga que f es una función impar de x. ¿Saber que límx:0+ 1 lím sen x = lím+ sen u Sustituir u = 1>x ƒsxd = 3 nos indica algo acerca de límx:0- ƒsxd ? Justifique su x: q u :0 respuesta. = 0. 66. Suponga que f es una función par de x. ¿Saber que límx:2- ƒsxd = 7 nos indica algo acerca de límx:-2- ƒsxd o límx:-2+ ƒsxd ? Esto sugiere una manera creativa de “ver” los límites al infinito. Des- Justifique su respuesta. criba el procedimiento y úselo para ilustrar y determinar los límites de los ejercicios 79 a 84. 67. Suponga que f y g son funciones polinomiales en x, y que límx: q sƒsxd>g sxdd = 2 . ¿A partir de esos datos es posible con- 1 79. lím x sen x cluir algo respecto de límx:- q sƒsxd>g sxdd ? Justifique su res- x: ;q puesta. cos s1>xd 80. lím 68. Suponga que f(x) y g(x) son funciones polinomiales en x. En ese x: -q 1 + s1>xd caso, ¿la gráfica de f (x)/g(x) puede tener una asíntota si g(x) nun- 3x + 4 ca es cero? Justifique su respuesta. 81. lím x: ;q 2x - 5 69. ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de una fun- 1>x 82. lím a x b 1 ción racional dada? Justifique su respuesta. 70. Encuentre lím A 2x2 + x - 2x2 - x B . x: q lím a3 + x b acos x b x: q 2 1 83. x: ;q Use las definiciones formales de límites cuando x : ; q para esta- 84. lím a - cos x b a1 + sen x b blecer los límites de los ejercicios 71 y 72. 3 1 1 x: q x2 71. Si f tiene el valor constante ƒsxd = k , entonces lím ƒsxd = k . x: q 72. Si f tiene el valor constante ƒsxd = k , entonces lím ƒsxd = k . x: -q 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 115 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales En esta sección ampliaremos el concepto de límite a los límites infinitos que, a diferencia de los que hemos hablado hasta el momento, exigen una definición completamente nueva. Los límites infinitos proveen símbolos y conceptos útiles para describir el comportamiento de funciones cuyos valores positivos o negativos se vuelven arbitrariamente grandes. Con- tinuaremos el análisis de las gráficas de funciones racionales que realizamos en la última sección, usando asíntotas verticales y términos dominantes para valores numéricamente grandes de x. y Límites infinitos Se puede llegar tan alto como se desee Veamos nuevamente la función f (x) = 1/x. Cuando x : 0 + , los valores de f crecen sin co- tomando x suficien ta, alcanzando y sobrepasando todo número real positivo. Esto es, dado cualquier número temente cercana a 0. real positivo B, tan grande como queramos, los valores de f se vuelven todavía mayores No importa que tan B alta esté B la gráfica (figura 2.37). Por lo tanto, f no tiene límite cuando x : 0 + . Sin embargo, es conveniente va más alto. describir el comportamiento de f diciendo que f (x) se aproxima a q cuando x : 0 + . y  1x Escribimos x x0 x 1 No importan que lím ƒsxd = lím+ x = q . x:0 + x:0 tan baja esté B la Se puede llegar tan gráfica va más bajo. Al escribir esto no estamos diciendo que el límite existe, Y tampoco que hay un número bajo como se quiera B real q , ya que no existe tal número. Más bien, estamos diciendo que límx:0+ s1>xd no tomando x suficiente mente cercana a 0. existe, porque 1/x se vuelve arbitrariamente grande y positiva cuando x : 0 + . A medida que x : 0 - , los valores de f (x) = 1/x se vuelven arbitrariamente grandes en FIGURA 2.37 Límites laterales infinitos: valor absoluto y negativos. Dado cualquier número real –B, los valores de f terminan ubi- 1 1 cándose por debajo de –B. (Vea la figura 2.37). Escribimos lím = q y lím = -q x: 0 + x x: 0 - x 1 lím ƒsxd = lím- x = - q . x:0 - x:0 Una vez más, no se está afirmando que el límite existe, ni que es igual al número - q . No existe ningún número real - q . En realidad, estamos describiendo el comportamiento de una función cuyo límite cuando x : 0 - no existe, porque sus valores son arbitrariamente y grandes en valor absoluto y negativos. y 1 x1 EJEMPLO 1 Límites laterales infinitos 1 1 1 Encuentre lím+ y lím . x:1 x - 1 x:1 - x - 1 x 1 0 1 2 3 Solución geométrica La gráfica de y = 1/(x – 1) es la gráfica de y = 1/x, desplazada una unidad a la derecha (figura 2.38). Por lo tanto, el comportamiento de y = 1/(x – 1) cerca del 1 es exactamente el mismo que el de y = 1/x cerca del cero: 1 1 lím = q y lím = -q. FIGURA 2.38 Cerca de x = 1, la función x:1 + x - 1 x:1 - x - 1 y = 1>sx - 1d se comporta igual que la función y = 1>x cerca de x = 0. Su gráfica Solución analíticaPiense en el número x – 1 y su recíproco. Cuando x : 1+ , tenemos es la gráfica de y = 1>x desplazada 1 sx - 1d : 0 y 1>sx - 1d : q . Cuando x : 1- , tenemos sx - 1d : 0 - y + unidad a la derecha (ejemplo 1). 1>sx - 1d : - q . 116 Capítulo 2: Límites y continuidad y EJEMPLO 2 Límites bilaterales infinitos Discutir el comportamiento de No importa que tan B alta esté B, la gráfica 1 va más alto. (a) ƒsxd = cerca de x = 0, x2 1 f(x)  12 (b) g sxd = cerca de x = - 3. x sx + 3d2 x Solución x 0 x (a) Cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, los valores de 1/x2 son positivos y se (a) vuelven arbitrariamente grandes (figura 2.39a): 1 1 g(x)  lím ƒsxd = lím = q. (x  3)2 y x:0 x:0 x2 5 (b) La gráfica de g(x) = 1/(x + 3)2 es la gráfica de f(x) = 1/x2 desplazada 3 unidades a la izquierda (figura 2.39b). Por lo tanto, g se comporta exactamente igual cerca de –3 4 que f cerca de cero. 3 1 2 lím gsxd = lím = q. x: -3 x: -3 sx + 3d2 1 La función y = 1/x muestra un comportamiento inconsistente cuando x : 0. Tenemos x que 1>x : q si x : 0 + , pero 1>x : - q si x : 0 - . Lo único que podemos decir acerca –5 –4 –3 –2 –1 0 del límx:0 s1>xd es que no existe. La función y = 1/x2 es distinta. Sus valores tienden al in- (b) finito cuando x se aproxima a cero por cualquier lado, de manera que podemos decir que límx:0 s1>x2 d = q . FIGURA 2.39 Las gráficas de las funciones del ejemplo 2. (a) f (x) tiende a EJEMPLO 3 Las funciones racionales pueden comportarse de distintas maneras cerca infinito conforme x : 0 . (b) g(x) tiende a infinito conforme x : -3 . de los ceros de sus denominadores sx - 2d2 sx - 2d2 x - 2 (a) lím = lím = lím = 0 x:2 x2 - 4 x:2 sx - 2dsx + 2d x:2 x + 2 x - 2 x - 2 1 1 (b) lím = lím = lím = x:2 x2 - 4 x:2 sx - 2dsx + 2d x:2 x + 2 4 Los valores son x - 3 x - 3 negativos para x > 2, x (c) lím+ 2 = lím+ = -q x:2 x - 4 x:2 sx - 2dsx + 2d cerca de 2. x - 3 x - 3 Los valores son positivos (d) lím- = lím- = q x:2 x2 - 4 x:2 sx - 2dsx + 2d para x < 2, x cerca de 2. x - 3 x - 3 (e) lím = lím no existe. Vea los incisos (c) y (d) x2 - 4 x:2 x:2 sx - 2dsx + 2d 2 - x -sx - 2d -1 (f) lím = lím = lím = -q x:2 sx - 2d3 x:2 sx - 2d3 x:2 sx - 2d2 En los incisos (a) y (b), el efecto del cero en el denominador en x = 2 se cancela, ya que el numerador también es cero. Por lo tanto, existe un límite finito. Esto es falso en el inciso (f), donde la cancelación todavía deja un cero en el denominador. Definición formal de los límites infinitos En lugar de requerir que f(x) esté arbitrariamente cercano de un número finito L para toda x suficientemente cerca de x0, las definiciones de límites infinitos requieren que f(x) se 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 117 y ubique arbitrariamente lejos del origen. Excepto por este cambio, el lenguaje es idéntico al y  f (x) que hemos visto antes. Las figuras 2.40 y 2.41 ilustran estas definiciones. DEFINICIONES Infinito y menos infinito como límites B 1. Decimos que f(x) tiende al infinito cuando x se aproxima a x0, y escribimos lím ƒsxd = q , x:x0 si para todo número real positivo B existe un correspondiente d > 0 tal que x0 x para toda x 0 x0  d x0  d 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒsxd 7 B. 2. Decimos que f (x) tiende a menos infinito cuando x se aproxima a x0, y es- FIGURA 2.40 f (x) tiende al infinito cribimos conforme x : x0 . lím ƒsxd = - q , x:x0 y si para todo número real –B existe un correspondiente d > 0 tal que para toda x x0  d x0  d x0 0 6 ƒ x - x0 ƒ 6 d Q ƒsxd 6 - B. x 0 Las definiciones precisas de los límites laterales infinitos en x0 son similares y se estable- B cen en los ejercicios. EJEMPLO 4 Aplicación de la definición de límites infinitos y  f (x) 1 Probar que lím = q. x:0 x2 Solución Dada B 7 0, queremos encontrar d 7 0 tal que FIGURA 2.41 f(x) tiende a menos infinito conforme x : x0 . 1 0 6 ƒx - 0ƒ 6 d implique 7 B. x2 Ahora, 1 1 7 B si y sólo si x2 6 x2 B o, de manera equivalente, 1 ƒxƒ 6 . 2 B En consecuencia, eligiendo d = 1> 2 B (o cualquier número positivo menor), vemos que 1 1 ƒxƒ 6 d implique 7 2 Ú B. x2 d Por lo tanto, de acuerdo con la definición, 1 lím = q. x:0 x2 118 Capítulo 2: Límites y continuidad y Asíntotas verticales Observe que la distancia entre un punto de la gráfica de y = 1/x y el eje y se aproxima a Asíntota vertical cero cuando el punto se mueve verticalmente a lo largo de la gráfica y lejos del origen (fi- gura 2.42). Este comportamiento ocurre debido a que y  1x Asíntota 1 1 1 lím+ x = q y lím- x = - q . horizontal x:0 x:0 x 0 1 Asíntota horizontal Decimos que la recta x = 0 (el eje y) es una asíntota vertical de la gráfica de y = 1/x. Ob- y0 serve que el denominador es cero en x = 0 y la función no está definida ahí. Asíntota vertical x0 DEFINICIÓN Asíntota vertical Una recta x = a es una asíntota vertical de la gráfica de una función y = f (x) ya FIGURA 2.42 Los ejes coordenados son sea que asíntotas de ambas ramas de la hipérbola lím ƒsxd = ; q o lím ƒsxd = ; q . y = 1>x . x:a + x:a - y Asíntota EJEMPLO 5 Búsqueda de asíntotas vertical 6 Encontrar las asíntotas horizontal y vertical de la curva x 2 5 x3 y 4 x2 1 x + 3 1 y = . Asíntota 3 x2 x + 2 horizontal 2 y1 Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x : ; q y cuando 1 x : - 2, donde el denominador es cero. x 5 4 3 2 1 0 1 2 3 Las asíntotas se descubren rápidamente si escribimos la función racional como una 1 polinomial con un residuo, dividiendo (x + 2) entre (x + 3). 2 3 1 4 x + 2 x + 3 x + 2 1 FIGURA 2.43 Las rectas y = 1 y x = –2 son asíntotas de la curva Este resultado nos permite rescribir y: y = sx + 3d>sx + 2d (ejemplo 5). 1 y = 1 + . x + 2 Ahora vemos que la curva en cuestión es la gráfica de y = 1/x desplazada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la izquierda (figura 2.43). Las asíntotas, en lugar de ser los ejes coordenados, son ahora las rectas y = 1 y x = –2. EJEMPLO 6 Las asíntotas no necesariamente son bilaterales Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de la gráfica de 8 ƒsxd = - 2 . x - 4 Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x : ; q y conforme x : ;2, donde el denominador es cero. Observe que f es una función par de x, de manera que su gráfica es simétrica respecto del eje y. (a) El comportamiento cuando x : ; q . Como límx: q ƒsxd = 0, la recta y = 0 la rec- ta y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica a la derecha. Por simetría, también hay 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 119 y una asíntota por la izquierda (figura 2.44). Observe que la curva se aproxima al eje x 8 8 sólo por el lado negativo (o por debajo). y 7 x2  4 (b) El comportamiento cuando x : ; 2. Como 6 5 Asíntota Asíntota 4 vertical x  2 lím ƒsxd = - q y lím ƒsxd = q , x:2 + x:2 - vertical 3 Asíntota x 2 2 la recta x = 2 es una asíntota vertical tanto a la derecha como a la izquierda. Por sime- horizontal y  0 1 tría, sucede lo mismo con la recta x = –2. x 4 3 2 10 1 2 3 4 No hay otras asíntotas, porque f tiene un límite finito en cualquier otro punto. EJEMPLO 7 Curvas con infinidad de asíntotas Las curvas 1 sen x FIGURA 2.44 Gráfica de y = sec x = cos x y y = tan x = cos x y = - 8>sx 2 - 4d . Observe que la curva se aproxima al eje x solamente por un lado. tienen asíntotas verticales en los múltiplos enteros impares de p>2, donde cos x = 0 (figu- Las asíntotas no tienen que ser bilaterales ra 2.45). (ejemplo 6). y y y  sec x y  tan x 1 1 x x 3p p p 0 p p 3p 3p p p 0 p p 3p 1 2 2 2 2 2 2 2 2 FIGURA 2.45 Las gráficas de sec x y tan x tienen una infinidad de asíntotas verticales (ejemplo 7). Las gráficas de 1 cos x y = csc x = sen x y y = cot x = sen x tienen asíntotas verticales en los múltiplos enteros de p, donde sen x = 0 (figura 2.46). y y  csc x y y  cot x 1 1 x x p p 0 p p 3p 2p p p 0 p p 3p 2p 2 2 2 2 2 2 FIGURA 2.46 Las gráficas de csc x y cot x (ejemplo 7). 120 Capítulo 2: Límites y continuidad EJEMPLO 8 Una función racional con el grado del numerador mayor que el grado del denominador Encontrar las asíntotas de la gráfica de x2 - 3 2 ƒsxd = . y x 3x1 1 2x - 4 2x  4 2 2x  4 y La distancia vertical entre la Solución Estamos interesados en el comportamiento cuando x : ; q y también curva y la recta tiende 6 a cero conforme x → cuando x : 2, donde el denominador es cero. Dividimos s2x - 4d entre sx 2 - 3d: 5 x 4 Asíntota + 1 x2 2 3 oblicua 2x - 4  x 2 - 3 2 y x 1 2 x 2 - 2x 1 2x - 3 x 1 0 1 2 3 4 x 2x - 4 1 1 2 Asíntota vertical Esto nos indica que 3 x2 x2 - 3 x 1 ƒsxd = = + 1 + . FIGURA 2.47 La gráfica de 2x - 4 2 123 2x - 4 14243 ƒsxd = sx 2 - 3d>s2x - 4d tiene asíntota lineal residuo vertical y asíntota oblicua (ejemplo 8). Como límx:2+ ƒsxd = q y límx:2- ƒsxd = - q , la recta x = 2 es una asíntota vertical bilateral. Cuando x : ; q , el residuo se aproxima a 0 y ƒsxd : sx>2d + 1. La recta y = (x/2) + 1 es una asíntota oblicua tanto por la derecha como por la izquierda (figura 2.47). Observe, en el ejemplo 8, que si el grado del numerador en una función racional es mayor que el grado del denominador, el límite es + q o - q , dependiendo del signo del nume- rador y del denominador cuando |x| se hace más grande. Términos dominantes De todas las observaciones que podamos hacer rápidamente acerca de la función x2 - 3 ƒsxd = 2x - 4 del ejemplo 8, probablemente la más útil es que x 1 ƒsxd = + 1 + . 2 2x - 4 Esto nos indica inmediatamente que x ƒsxd L + 1 Para x numéricamente grande 2 1 ƒsxd L Para x cerca de 2 2x - 4 Si queremos saber cómo se comporta f, ésta es la manera de encontrarlo. Se comporta co- mo y = (x/2) + 1 cuando x es numéricamente grande, y la contribución de 1/(2x – 4) al va- 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 121 lor total de f es insignificante. Se comporta como 1/(2x – 4) cuando x está tan cerca de 2 que 1/(2x – 4) hace la contribución dominante. Decimos que (x/2) + 1 domina cuando x es numéricamente grande, y también que 1/(2x – 4) domina cuando x está cerca de 2. Los términos dominantes como éstos son la clave para predecir el comportamiento de las funciones. Aquí hay otro ejemplo. EJEMPLO 9 Dos gráficas que parecen idénticas a gran escala Sean f(x) = 3x – 2x3 + 3x2 – 5x + 6 y g(x) = 3x4. Probar que, aunque f y g son bastante di- 4 ferentes para valores numéricos pequeños de x, son prácticamente idénticas para |x| muy grande. Solución Las gráficas de f y g se comportan de manera bastante diferente cerca del ori- gen (figura 2.48a), pero parecen prácticamente idénticas en gran escala (figura 2.48b). y y 20 500,000 15 300,000 10 f (x) 5 100,000 g(x) x x 2 1 0 1 2 20 10 0 10 20 5 100,000 (a) (b) FIGURA 2.48 Las gráficas de f y g (a) son distintas para ƒ x ƒ pequeña, y (b) casi idénticas para ƒ x ƒ grande (ejemplo 9). Podemos probar que el término 3x4 en f, representado gráficamente por g, domina a la polinomial f para valores numéricos grandes de x, examinando la razón de las dos funcio- nes cuando x : ; q . Encontramos que ƒsxd 3x4 - 2x3 + 3x2 - 5x + 6 lím = lím x: ; q gsxd x: ; q 3x4 lím a1 - + 2 - 3 + 4b 2 1 5 2 = x: ; q 3x x 3x x = 1, de manera que f y g son casi idénticas para |x| grande. 122 Capítulo 2: Límites y continuidad EJERCICIOS 2.5 Límites infinitos x 2 - 3x + 2 21. lím cuando Encuentre los límites en los ejercicios 1 a 12. x 3 - 2x 2 a. x : 0 + b. x : 2+ 1 5 c. x : 2- d. x : 2 1. lím+ 2. lím- x: 0 3x x: 0 2x e. ¿Qué puede decirse acerca del límite conforme x : 0 ? 3 1 3. lím- 4. lím+ x 2 - 3x + 2 x: 2 x - 2 x: 3 x - 3 22. lím cuando x 3 - 4x 2x 3x 5. lím 6. lím a. x : 2+ b. x : - 2+ x: -8 + x + 8 x: -5 - 2x + 10 c. x : 0 - d. x : 1+ 4 -1 e. ¿Qué puede decirse acerca del límite conforme x : 0 ? 7. lím 8. lím x: 7 sx - 7d2 x: 0 x2sx + 1d Encuentre los límites en los ejercicios 23 a 26. 2 2 9. a. lím+ b. lím- 3x1>3 3x1>3 23. lím a2 - b cuando x: 0 x:0 3 2 2 t 1>3 10. a. lím+ b. lím- x: 0 x1>5 x:0 x1>5 a. t : 0 + b. t : 0 - 24. lím a 4 1 1 11. lím 12. lím + 7b cuando x: 0 x2>5 x: 0 x2>3 t 3>5 a. t : 0 + b. t : 0 - Encuentre los límites en los ejercicios 13 a 16. 25. lím a b cuando 1 2 13. lím tan x 14. lím sec x 2>3 + x: sp>2d - x: s-p>2d + x sx - 1d2>3 a. x : 0 + b. x : 0 - 15. lím- s1 + csc ud 16. lím s2 - cot ud u :0 u: 0 c. x : 1+ d. x : 1- 26. lím a b cuando 1 1 Cálculos adicionales x 1>3 - sx - 1d4>3 Encuentre los límites en los ejercicios 17 a 22. a. x : 0 + b. x : 0 - 1 c. x : 1+ d. x : 1- 17. lím cuando x2 - 4 a. x : 2+ b. x : 2- Graficación de funciones racionales c. x : - 2 + d. x : - 2 - En los ejercicios 27 a 38, trace la gráfica de las funciones racionales. Incluya las gráficas y las ecuaciones de las asíntotas y los términos x dominantes. 18. lím cuando x2 - 1 1 1 27. y = 28. y = a. x : 1+ b. x : 1- x - 1 x + 1 c. x : - 1+ d. x : -1- 1 -3 29. y = 30. y = 2x + 4 x - 3 19. lím a - x b cuando x2 1 2 x + 3 2x 31. y = 32. y = x + 2 x + 1 a. x : 0 + b. x : 0 - c. x : 22 3 d. x : - 1 x2 x2 + 1 33. y = 34. y = x - 1 x - 1 x2 - 1 x2 - 4 x2 - 1 20. lím cuando 35. y = 36. y = 2x + 4 x - 1 2x + 4 a. x : - 2+ b. x : -2- x2 - 1 x3 + 1 37. y = x 38. y = c. x : 1 d. x : 0 x2 + - 2.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 123 Creación de gráficas a partir de valores y límites Modifique la definición de manera que sea válida para los casos si- guientes. En los ejercicios 39 a 42, trace la gráfica de una función y = f (x) que satisfaga las condiciones dadas. No es necesario que incluya fórmulas, a. lím ƒsxd = q solamente marque los ejes coordenados y trace una gráfica apropiada. x :x0 - (Las respuestas no son únicas, de manera que sus gráficas podrían ser b. lím ƒsxd = - q distintas de las que se dan en la sección de respuestas). x :x0 + c. lím - ƒsxd = - q 39. ƒs0d = 0, ƒs1d = 2, ƒs - 1d = - 2, lím ƒsxd = - 1, y x :x0 x: -q lím ƒsxd = 1 Use las definiciones formales del ejercicio 51 para probar los límites x: q enunciados en los ejercicios 52 a 56. 40. ƒs0d = 0, lím ƒsxd = 0, lím+ ƒsxd = 2, y x: ; q x:0 1 lím- ƒsxd = - 2 52. lím+ x = q x: 0 x :0 41. ƒs0d = 0, lím ƒsxd = 0, lím- ƒsxd = lím + ƒsxd = q , 1 x: ; q x:1 x : -1 53. lím- x = - q x :0 lím ƒsxd = - q y lím - ƒsxd = - q x: 1 + x : -1 1 54. lím- = -q 42. ƒs2d = 1, ƒs - 1d = 0, lím ƒsxd = 0, lím+ ƒsxd = q , x :2 x - 2 x: q x :0 lím- ƒsxd = - q y lím ƒsxd = 1 1 55. lím+ = q x: 0 x: - q x :2 x - 2 1 Creación de funciones 56. lím- = q x :1 1 - x2 En los ejercicios 43 a 46, encuentre una función que satisfaga las con- diciones dadas y trace su gráfica. (Las respuestas no son únicas. Cual- quier función que satisfaga las condiciones es aceptable. Siéntase libre Graficación de términos de usar fórmulas definidas a pedazos si eso le ayuda). Cada una de las funciones de los ejercicios 57 a 60 está dada como la 43. lím ƒsxd = 0, lím- ƒsxd = q y lím+ ƒsxd = q suma o diferencia de dos términos. Comience por graficar los térmi- x: ; q x: 2 x:2 nos (en el mismo sistema de ejes). Después, emplee las gráficas resul- 44. lím g sxd = 0, lím- g sxd = - q y lím+ g sxd = q tantes como guías para graficar la función. x: ; q x: 3 x:3 45. lím hsxd = - 1, lím hsxd = 1, lím- hsxd = - 1 y 1 p p x: - q x: q x:0 57. y = sec x + x , - 6 x 6 2 2 lím hsxd = 1 x: 0 + 1 p p 46. lím k sxd = 1, lím- k sxd = q y lím+ k sxd = - q 58. y = sec x - , - 6 x 6 x: ; q x: 1 x: 1 x2 2 2 1 p p Definición formal de límite infinito 59. y = tan x + , - 6 x 6 x2 2 2 Use las definiciones formales para probar los límites enunciados en p p 1 los ejercicios 47 a 50. 60. y = x - tan x, - 6 x 6 2 2 -1 1 47. lím = -q 48. lím = q x: 0 x2 x: 0 ƒxƒ -2 1 Exploraciones gráficas: comparación de gráficas 49. lím = -q 50. lím = q x: 3 sx - 3d2 x: -5 sx + 5d2 con fórmulas Grafique las curvas de los ejercicios 61 a 64. Explique la relación en- Definiciones formales de límites laterales infinitos tre la fórmula de la curva y la gráfica. 51. La siguiente es la definición de límite lateral derecho infinito. x 61. y = 24 - x2 -1 Decimos que f(x) tiende al infinito cuando x se aproxima 62. y = 24 - x2 por la derecha a x0, y escribimos 1 63. y = x 2>3 + 1>3 lím ƒsxd = q , x x : x0 + 64. y = sen a 2 b p si, para todo número real positivo B, existe un número d > 0 x + 1 correspondiente tal que para toda x x0 6 x 6 x0 + d Q ƒsxd 7 B. 124 Capítulo 2: Límites y continuidad 2.6 Continuidad y Cuando se dibujan los valores de una función, ya sea generados en un laboratorio o reco- 80 P pilados en el campo, es frecuente que los puntos se unan mediante una curva continua Distancia de caída (m) Q4 para mostrar los valores de la función en los tiempos que no se midieron (figura 2.49). Al 60 Q3 hacerlo, suponemos que estamos trabajando con una función continua, de manera que los Q2 resultados varían de forma continua de acuerdo con los datos, en lugar de “saltar” de un 40 valor a otro sin tomar en cuenta los valores intermedios. El límite de una función continua Q1 20 cuando x se aproxima a c puede encontrarse con sólo calcular el valor de la función en c. (En la sección 2.2 concluimos que esto es válido para las funciones polinomiales). t 0 5 10 Cualquier función y = f (x) cuya gráfica pueda trazarse sobre su dominio con un movi- Tiempo transcurrido (seg) miento ininterrumpido, es decir, sin levantar el lápiz de la hoja de papel, es un ejemplo de función continua. En esta sección investigaremos con más precisión qué significa que FIGURA 2.49 Conecte los puntos una función sea continua. También estudiaremos las propiedades de las funciones conti- marcados por una curva sin rupturas para nuas y veremos que muchas de las funciones presentadas en la sección 1.4 son continuas. los datos experimentales Q1, Q2, Q3, ... para un objeto cayendo. Continuidad en un punto Para entender la continuidad es necesario considerar una función como la de la figura 2.50, cuyos límites investigamos en el ejemplo 2 de la sección 2.4. EJEMPLO 1 Análisis de la continuidad y Encontrar los puntos en los que la función f de la figura 2.50 es continua, y los puntos en los que es discontinua. 2 y  f (x) Solución La función f es continua en todos los puntos de su dominio [0, 4], excepto en 1 x = 1, x = 2 y x = 4. En estos puntos de la gráfica se dan rupturas. Observe la relación entre el límite de f y el valor de f en cada punto del dominio de la función. x 0 1 2 3 4 Puntos en los que f es continua: FIGURA 2.50 La función es continua en [0, 4], excepto en x = 1, x = 2 y x = 4 Pero x = 0, lím ƒsxd = ƒs0d. x:0 + (ejemplo 1). Pero x = 3, lím ƒsxd = ƒs3d . x:3 Pero 0 6 c 6 4, c Z 1, 2, lím ƒsxd = ƒscd . x:c Puntos en los que f es discontinua: Pero x = 1, lím ƒsxd no existe x:1 Continuidad Continuidad por la derecha bilateral Continuidad Pero x = 2, lím ƒsxd = 1, pero 1 Z ƒs2d. por la izquierda x:2 Pero x = 4, lím ƒsxd = 1, pero 1 Z ƒs4d. x:4 - y  f (x) Pero c 6 0, c 7 4, estos puntos no están en el dominio de f x a c b Para definir la continuidad en un punto del dominio de una función, necesitamos defi- FIGURA 2.51 Continuidad en los puntos nir la continuidad en un punto interior (lo cual involucra un límite bilateral) y la continui- a, b y c. dad en un punto extremo (lo cual involucra un límite lateral) (figura 2.51). 2.6 Continuidad 125 DEFINICIÓN Continuidad en un punto Punto interior: Una función y = f(x) es continua en un punto interior c de su dominio si lím ƒsxd = ƒscd . x:c Punto extremo: Una función y = f(x) es continua en un punto extremo izquier- do a o es continua en un punto extremo derecho b de su dominio si lím ƒsxd = ƒsad o lím ƒsxd = ƒsbd, respectivamente. x:a + x:b - Si una función f no es continua en un punto c, decimos que f es discontinua en c y que c es un punto de discontinuidad de f. Observe que no es necesario que c esté en el dominio de f. y Una función f es continua por la derecha (o continua desde la derecha) en un punto y  4  x 2 x = c de su dominio si límx:c+ ƒsxd = ƒscd . Por otro lado, es continua por la izquierda 2 (o continua desde la izquierda) en c si límx:c- ƒsxd = ƒscd. Por lo tanto, una función es continua en el punto extremo izquierdo a de su dominio si es continua por la derecha en a, x y es continua en el punto extremo derecho b de su dominio si es continua por la izquierda 2 0 2 en b. Una función es continua en un punto interior c de su dominio si y sólo si es, al mis- mo tiempo, continua por la derecha y continua por la izquierda en c (figura 2.51). FIGURA 2.52 Una función continua en todo punto de su dominio EJEMPLO 2 Una función continua en todo su dominio (ejemplo 2). La función ƒsxd = 24 - x2 es continua en todos los puntos de su dominio, [–2, 2] (figu- ra 2.52), incluyendo x = –2, donde f es continua por la derecha y x = 2, donde f es continua y por la izquierda. y  U(x) 1 EJEMPLO 3 La función escalonada unitaria tiene una discontinuidad de salto x La función escalonada unitaria U(x), graficada en la figura 2.53, es continua por la dere- 0 cha en x = 0, pero no es ni continua por la izquierda ni continua en el punto. Tiene una dis- FIGURA 2.53 Una continuidad de salto en x = 0. función que es continua A continuación se resumen las condiciones que deben cumplirse para la continuidad por la derecha pero no por en un punto. la izquierda, en el origen. Hay una discontinuidad en ese punto (ejemplo 3). Condiciones para la continuidad Una función f (x) es continua en x = c si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes. 1. ƒ(c) existe (c está en el dominio de f ) 2. límx:c ƒsxd existe (f tiene un límite cuando x : c) 3. límx:c ƒsxd = ƒscd (el límite es igual al valor de la función) Para la continuidad lateral y la continuidad en un punto extremo, los límites de las condiciones 2 y 3 deben reemplazarse por los límites laterales apropiados. 126 Capítulo 2: Límites y continuidad y EJEMPLO 4 La función parte entera 4 La función y = :x; o y = ent x, de la que se habló por primera vez en el capítulo 1, apare- y  ent x o ce graficada en la figura 2.54. Dicha función es discontinua en todos los enteros, porque el 3 y  ⎣x⎦ límite no existe en ningún entero n: 2 lím ent x = n - 1 y lím ent x = n x:n - x:n + 1 de modo que los límites laterales izquierdo y derecho no son iguales cuando x : n. Como x ent n = n, la función mayor entero es continua por la derecha en todo entero n (pero no es 1 1 2 3 4 continua por la izquierda). La función parte entera es continua en cualquier número real que no sea entero. Por 2 ejemplo lím ent x = 1 = ent 1.5. FIGURA 2.54 La función mayor entero x:1.5 es continua en todo punto no entero. En general, si n – 1 < c < n, siendo n un entero, entonces Es continua por la derecha pero no por la izquierda, en todo punto entero lím ent x = n - 1 = ent c. x:c (ejemplo 4). La figura 2.55 es un catálogo de tipos de discontinuidades. La función de la figura 2.55a es continua en x = 0. La función de la figura 2.55b sería continua si tuviera f (0) = 1. La función de la figura 2.55c sería continua si f(0) fuera 1 en lugar de 2. Las discontinuida- des de las figuras 2.55b y c son removibles (evitables). Cada función tiene un límite cuando x : 0 y podemos evitar la discontinuidad haciendo que f (0) sea igual a ese límite. En la figura 2.55d las discontinuidades a lo largo de f son más serias: límx:0 ƒsxd no existe y no hay manera de resolver la situación cambiando f en 0. La función escalonada de la figura 2.55d tiene una discontinuidad de salto: existen límites laterales, pero tienen valores distintos. La función f(x) = 1/x2 de la figura 2.55e tiene una discontinuidad infi- nita. La función de la figura 2.55f tiene una discontinuidad oscilante: oscila demasiado para tener un límite cuando x : 0. y y y y 2 y  f (x) y  f (x) y  f (x) y  f(x) 1 1 1 1 x x x x 0 0 0 0 (a) (b) (c) (d) y  sen 2xp y y y  f (x)  12 1 x x 1 0 x 0 1 (e) (f) FIGURA 2.55 Una función en (a) es continua en x = 0; las funciones en (b) a (f) no lo son. 2.6 Continuidad 127 y Funciones continuas Una función es continua en un intervalo si y sólo si es continua en todos los puntos del y  1x mismo. Por ejemplo, la función semicírculo graficada en la figura 2.52 es continua en el intervalo [–2, 2], que es su dominio. Una función continua es aquella que es continua en todos los puntos de su dominio, aunque no es necesario que lo sea en todos los interva- x los. Por ejemplo, y = 1/x no es continua en [–1, 1] (figura 2.56) pero sí lo es en su dominio 0 s - q , 0d ´ s0, q d. EJEMPLO 5 Identificación de funciones continuas (a) La función y = 1/x (figura 2.56) es continua, porque es continua en todos los puntos FIGURA 2.56 La función y = 1>x es de su dominio. Sin embargo, tiene un punto de discontinuidad en x = 0, ya que no es- continua en todo valor de x excepto en tá definida ahí. x = 0. Tiene un punto de discontinuidad en x = 0 (ejemplo 5). (b) De acuerdo con el ejemplo 3 de la sección 2.3, la función identidad f(x) = x y las fun- ciones constantes son continuas en toda la recta real. Las combinaciones algebraicas de funciones continuas son continuas, siempre y cuando estén definidas, es decir son continuas en su dominio. TEOREMA 9 Propiedades de las funciones continuas Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las combinaciones siguien- tes son continuas en x = c. 1. Sumas: ƒ + g 2. Diferencias: ƒ - g 3. Productos: ƒ#g 4. Múltiplos constantes: k # ƒ, para cualquier número k 5. Cocientes: ƒ>g siempre y cuando gscd Z 0 6. Potencias: f r>s , siempre y cuando esté definida en un intervalo abierto que contenga a c, donde r y s son enteros. Casi todos los resultados del teorema 9 pueden comprobarse fácilmente a partir de las reglas de los límites del teorema 1, sección 2.2. Por ejemplo, para probar la propiedad de la suma tenemos lím sƒ + gdsxd = lím sƒsxd + gsxdd x:c x:c = lím ƒsxd + lím gsxd, Regla de la suma, teorema 1 x:c x:c = ƒscd + gscd Continuidad de f, g en c = sƒ + gdscd. Esto prueba que f + g es continua. EJEMPLO 6 Las funciones polinomiales y racionales son continuas (a) Cualquier función polinomial Psxd = an x n + an - 1x n - 1 + Á + a0 es continua, porque lím Psxd = Pscd de acuerdo con el teorema 2, sección 2.2. x:c 128 Capítulo 2: Límites y continuidad (b) Si P(x) y Q(x) son polinomios, entonces la función racional P(x)/Q(x) es continua siempre que esté definida (Q(c) Z 0), según la regla del cociente del teorema 9. EJEMPLO 7 Continuidad de la función valor absoluto La función f (x) = |x| es continua en todo valor de x. Si x > 0, tenemos f(x) = x, una función polinomial. Si x < 0, tenemos f(x) = –x, otra función polinomial. Finalmente, en el origen, límx:0 ƒ x ƒ = 0 = ƒ 0 ƒ . Las funciones y = sen x y y = cos x son continuas en x = 0, de acuerdo con el ejem- plo 6 de la sección 2.2. Ambas funciones son, de hecho, continuas en todos lados (vea el ejercicio 62). En consecuencia, según el teorema 9, las seis funciones trigonométricas son continuas siempre que estén definidas. Por ejemplo, y = tan x es continua en Á ´ s - p>2, p>2d ´ sp>2, 3p>2d ´ Á . Funciones compuestas Todas las composiciones de funciones continuas son continuas. La idea es que si f (x) es continua en x = c y g(x) es continua en x = f(c), entonces g  f es continua en x = c (figura 2.57). En este caso, el límite cuando x : c es g( f (c)). g f ˚ Continua en c f g Continua Continua en c en f (c) c f (c) g( f(c)) FIGURA 2.57 La composición de funciones continuas es continua. TEOREMA 10 Composición de funciones continuas Si f es continua en c y g es continua en f(c), entonces la composición g  f es continua en c. Desde el punto de vista intuitivo, el teorema 10 es razonable, ya que si x está cerca de c, entonces f (x) está cerca de f (c), y como g es continua en f (c), resulta que g( f (x)) está cerca de g(f (c)). La continuidad de composiciones se cumple para cualquier número finito de funcio- nes. El único requerimiento es que cada función sea continua donde está aplicada. En el ejercicio 6 del Apéndice 2 se presenta un resumen de la prueba del teorema 10. EJEMPLO 8 Aplicación de los teoremas 9 y 10 Probar que las funciones siguientes son continuas en todos los puntos de sus respectivos dominios. x 2>3 (a) y = 2x2 - 2x - 5 (b) y = 1 + x4 (c) y = ` ` (d) y = ` ` x - 2 x sen x x2 - 2 x2 + 2 2.6 Continuidad 129 y Solución (a) La función raíz cuadrada es continua en [0, q d ya que es una potencia racional de la 0.4 función identidad continua ƒsxd = x (parte 6, teorema 9). En consecuencia, la fun- 0.3 ción dada es la composición de la función polinomial f(x) = x2 – 2x – 5 con la función raíz cuadrada gstd = 2t. 0.2 (b) El numerador es una potencia racional de la función identidad; el denominador es 0.1 una función polinomial positiva en todos sus puntos. Por lo tanto, el cociente es con- tinuo. x 2p p 0 p 2p (c) El cociente sx - 2d>sx 2 - 2d es continuo para todo x Z ; 22, y la función es la composición de este cociente con la función continua valor absoluto (ejemplo 7). FIGURA 2.58 La gráfica sugiere que y = ƒ sx sen xd>sx2 + 2d ƒ es continua (d) Debido a que la función seno es continua en todos sus puntos (ejercicio 62), el término (ejemplo 8d). del numerador x sen x es el producto de funciones continuas, y el término del denomi- nador x2 + 2 es una función polinomial positiva en todos sus puntos. La función dada es la composición de un cociente de funciones continuas con la función continua va- lor absoluto (figura 2.58). Extensión continua para un punto La función y = (sen x)/x es continua en todos los puntos, excepto en x = 0. En este punto es parecida a la función y = 1/x. Pero y = (sen x)/x es distinta de y = 1/x, toda vez que tiene un límite finito cuando x : 0 (teorema 7). Por lo tanto, es posible extender el dominio de la función para incluir el punto x = 0 de tal manera que la función extendida es continua en x = 0. Definimos sen x Fsxd = L x , x Z 0 1, x = 0. La función F(x) es continua en x = 0, ya que sen x lím x = Fs0d x:0 (figura 2.59). y y (0, 1) (0, 1) f (x) F(x) ⎛ p , 2⎛ ⎛p , 2⎛ ⎛ p , 2⎛ ⎛p , 2⎛ ⎝ 2 p⎝ ⎝ 2 p⎝ ⎝ 2 p⎝ ⎝ 2 p⎝ p 0 p x p 0 p x 2 2 2 2 (a) (b) FIGURA 2.59 La gráfica (a) de ƒsxd = ssen xd>x para -p>2 … x … p>2 no incluye el punto (0, 1), ya que la función no está definida en x = 0. (b) Podemos eliminar la discontinuidad de la gráfica definiendo la nueva función F(x) con F(0) = 1 y F(x) = f (x) en cualquier otro lado. Observe que Fs0d = lím ƒsxd . x :0 130 Capítulo 2: Límites y continuidad De forma más general, una función (como una función racional) puede tener un lími- te incluso en un punto donde no esté definida. Si f (c) no está definida, pero límx:c ƒsxd = L existe, podemos definir una nueva función F(x) mediante la regla Fsxd = e ƒsxd, si x si en el dominio de f L, si x = c. La función F es continua en x = c. Para referirnos a ella, decimos que es la extensión con- tinua de f para x = c. Para funciones racionales f, las extensiones continuas usualmente se encuentran eliminando factores comunes. EJEMPLO 9 Una extensión continua Probar que y x2 + x - 6 ƒsxd = x2  x  6 x2 - 4 2 y x2  4 1 tiene una extensión continua para x = 2, y encontrar esa extensión. x 1 0 1 2 3 4 Solución A pesar de que f(2) no está definida, si x Z 2 tenemos (a) y x2 + x - 6 sx - 2dsx + 3d x + 3 y  x 3 ƒsxd = = = . 2 2 x - 4 sx - 2dsx + 2d x + 2 x2 5 4 1 La nueva función x 1 0 1 2 3 4 x + 3 Fsxd = (b) x + 2 FIGURA 2.60 (a) La gráfica de es igual a f (x) para x Z 2, pero es continua en x = 2, y ahí tiene el valor 5/4. Así, F es la ex- f (x) y (b) la gráfica de su tensión continua de f para x = 2 y extensión continua F(x) (ejemplo 9). x2 + x - 6 5 lím = lím ƒsxd = . x:2 x2 - 4 x:2 4 En la figura 2.60 se muestra la gráfica de f. La extensión continua F tiene la misma gráfi- ca, pero sin el hueco en (2, 5/4). Efectivamente, F es la función f con su punto de disconti- nuidad en x = 2 removido. El teorema del valor intermedio para funciones continuas Las funciones que son continuas en intervalos tienen propiedades que las hacen particular- mente útiles en matemáticas y en sus aplicaciones. Una de éstas es la propiedad del valor intermedio. Se dice que una función tiene la propiedad del valor intermedio si siempre que toma dos valores también toma todos los valores entre esos dos. TEOREMA 11 El teorema del valor intermedio para funciones continuas Una función y = f (x) que es continua en un intervalo cerrado [a, b] toma todos los valores entre f(a) y f(b). En otras palabras, si y0 es cualquier valor entre f(a) y f(b), entonces y0 = f (c) para algún c en [a, b]. 2.6 Continuidad 131 y y  f (x) f (b) y0 f (a) x 0 a c b Geométricamente, el teorema del valor intermedio dice que cualquier recta horizontal y = y0 que cruza el eje y entre los números f(a) y f(b) cruzará la curva y = f (x) al menos una vez sobre el intervalo [a, b]. La demostración del teorema del valor intermedio depende de la propiedad de com- pletez (completitud) del sistema de los números reales, y se puede encontrar en textos más y avanzados. La continuidad de f en el intervalo es esencial para el teorema 11. Si f es discontinua 3 aunque sea en un solo punto, la afirmación del teorema podría no cumplirse, como sucede en el caso de la función graficada en la figura 2.61. 2 Una consecuencia para la graficación: conectividad El teorema 11 es la razón por la 1 que la gráfica de una función continua en un intervalo no puede tener rupturas sobre el intervalo. Será conexa,es decir, una curva simple sin rupturas, como la gráfica de sen x. x No tendrá saltos, al contrario de lo que ocurre con la gráfica de la función parte entera (fi- 0 1 2 3 4 gura 2.54) ni ramas separadas, como la gráfica de 1/x (figura 2.56). FIGURA 2.61 La función Una consecuencia para la determinación de raíces Llamamos raíz de la ecuación o ƒsxd = e 2x - 2, 1 … x 6 2 cero de la función f a una solución de la ecuación f(x) = 0. El teorema del valor intermedio 3, 2 … x … 4 nos dice que si f es continua, cualquier intervalo en donde f cambie de signo contendrá un no toma todos los valores entre cero de la función. f (1) = 0 y f(4) = 3; pierde todos los En términos prácticos, cuando vemos en una pantalla de computadora que la gráfica valores entre 2 y 3. de una función continua cruza el eje horizontal, sabemos que no lo brinca. Realmente hay un punto donde el valor de la función es cero. Esta consecuencia nos lleva a un procedi- miento para estimar los ceros de cualquier función continua que podamos graficar: 1. Graficamos la función sobre un intervalo grande para ver de forma general donde es- tán los ceros. 2. Hacemos un acercamiento en cada cero para estimar su valor en la coordenada x. Puede practicar este procedimiento utilizando su calculadora graficadora o compu- tadora para resolver algunos de los ejercicios. En la figura 2.62 se muestra la secuencia de pasos típicos para encontrar una solución gráfica para la ecuación x 3 - x - 1 = 0. 132 Capítulo 2: Límites y continuidad 1 1.6 1 2 2 1 (a) (b) 0.02 0.003 1.320 1.330 1.3240 1.3248 0.02 0.003 (c) (d) FIGURA 2.62 Acercamiento al cero de la función ƒsxd = x 3 - x - 1 . El cero está cerca de x = 1.3247 . EJERCICIOS 2.6 Continuidad a partir de la gráfica Los ejercicios 5 a 10 son acerca de la función En los ejercicios 1 a 4, diga si la función graficada es continua en [–1, 3]. Si no lo es, explique en dónde falla la continuidad y por qué. x 2 - 1, -1 … x 6 0 1. 2. 2x, 0 6 x 6 1 y y ƒsxd = e 1, x = 1 - 2x + 4, 1 6 x 6 2 y  f (x) y  g(x) 0, 2 6 x 6 3 2 2 1 cuya gráfica aparece en la figura siguiente. 1 x x 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 y y  f (x) 3. 4. (1, 2) 2 y y y  2x y  2x  4 1 (1, 1) y  h(x) y  k(x) 2 2 x 1 0 1 2 3 1 1 1 y  x2  1 x x 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 Gráfica para los ejercicios 5 a 10 2.6 Continuidad 133 33. lím cos a b 5. a. ¿ƒs -1d existe? p b. ¿límx: -1+ ƒsxd existe? t: 0 219 - 3 sec 2t c. ¿límx:-1+ ƒsxd = ƒs - 1d ? 34. lím 2csc2 x + 513 tan x x :p>6 d. ¿Es f continua en x = - 1 ? 6. a. ¿ƒ(1) existe? Extensiones continuas b. ¿límx:1 ƒsxd existe? 35. Defina g(3) de manera que extienda g sxd = sx 2 - 9d>sx - 3d c. ¿límx:1 ƒsxd = ƒs1d ? para que sea continua en x = 3. d. ¿Es f continua en x = 1 ? 36. Defina h(2) de manera que extienda hstd = st2 + 3t - 10d> st - 2d para que sea continua en t = 2 . 7. a. ¿Está f definida en x = 2? (Vea la definición de f). b. ¿Es f continua en x = 2? 37. Defina f(1) de manera que extienda ƒssd = ss 3 - 1d>ss 2 - 1d para que sea continua en s = 1 . 8. ¿En qué valores de x es continua f ? 38. Defina f(1) de manera que extienda g sxd = sx 2 - 16d> 9. ¿Qué valor debe asignarse a f (2) para que la función extendida sx 2 - 3x - 4d para que sea continua en x = 4 . sea continua en x = 2? 39. ¿Para qué valor de a es 10. ¿A qué nuevo valor hay que cambiar f (1) para remover la discon- x 2 - 1, ƒsxd = e tinuidad? x 6 3 2ax, x Ú 3 Aplicación de la prueba de continuidad continua en toda x? ¿En qué puntos las funciones de los ejercicios 11 y 12 no son conti- 40. ¿Para qué valor de b es nuas? ¿En qué puntos, si hay alguno, es posible remover las disconti- g sxd = e nuidades? ¿En cuáles no es posible remover? Justifique sus respuestas x, x 6 -2 11. Ejercicio 1 de la sección 2.4 12. Ejercicio 2 de la sección 2.4 bx 2, x Ú -2 ¿En qué puntos son continuas las funciones de los ejercicios 13 a 28? continua en toda x? 1 1 T En los ejercicios 41 a 44, grafique la función f para ver si parece tener 13. y = - 3x 14. y = + 4 x - 2 sx + 2d2 una extensión continua en el origen. De ser así, utilice las funciones Trace y Zoom para encontrar un punto que sea apropiado para el valor x + 1 x + 3 15. y = 16. y = de la función extendida en x = 0. Si la función no parece tener una ex- x 2 - 4x + 3 x 2 - 3x - 10 tensión continua, ¿es posible extenderla para que sea continua en el 1 x2 origen por la derecha o por la izquierda? De ser así, ¿cuál debe ser 17. y = ƒ x - 1 ƒ + sen x 18. y = - ƒxƒ + 1 2 el valor (o valores) de la función extendida? cos x x + 2 19. y = x 20. y = cos x 10 x - 1 10 ƒ x ƒ - 1 41. ƒsxd = x 42. ƒsxd = x px 21. y = csc 2x 22. y = tan 2 sen x x tan x 2x4 + 1 43. ƒsxd = 44. ƒsxd = s1 + 2xd1>x 23. y = 2 24. y = ƒxƒ x + 1 1 + sen2 x 4 25. y = 22x + 3 26. y = 23x - 1 Teoría y ejemplos 27. y = s2x - 1d1>3 28. y = s2 - xd1>5 45. Se sabe que una función continua y = f (x) es negativa en x = 0, y positiva en x = 1. ¿Por qué la ecuación f (x) = 0 tiene al menos una Funciones compuestas solución entre x = 0 y x = 1? Ilústrelo con un bosquejo. Encuentre los límites en los ejercicios 29 a 34. ¿Las funciones son 46. Explique por qué la ecuación cos x = x tiene al menos una solución. continuas en el punto al que se aproximan? 47. Raíces cúbicas Pruebe que la ecuación x3 – 15x + 1 = 0 tiene 29. lím sen sx - sen xd x: p tres soluciones en el intervalo [–4, 4]. 30. lím sen a p cos stan tdb 48. Un valor de la función Pruebe que la función F(x) = (x – a)2. t :0 2 (x – b)2 + x toma el valor (a + b)/2 para algún valor de x. 31. lím sec sy sec2 y - tan2 y - 1d y: 1 49. Resolución de una ecuación Si f(x) = x3 – 8x + 10, pruebe que hay valores de c para los que f(c) es igual a (a) p ; (b) - 23 ; (c) 32. lím tan a p cos ssen x1>3 db x: 0 4 5,000,000. 134 Capítulo 2: Límites y continuidad 50. Explique por qué los cinco enunciados siguientes están solicitan- 58. Estiramiento de una liga de hule ¿Es cierto que si se estira do la misma información. una liga de hule jalando uno de sus extremos hacia la derecha y el otro hacia la izquierda algún punto de la misma terminará en su a. Encuentre las raíces de ƒsxd = x 3 - 3x - 1 . posición original? Justifique su respuesta. b. Encuentre las coordenadas x de los puntos donde la curva y = x3 cruza la recta y = 3x + 1. 59. Un teorema de punto fijo Suponga que una función f es conti- nua en un intervalo cerrado [0, 1] y que 0 … ƒsxd … 1 para toda c. Encuentre los valores de x para los que x3 – 3x = 1. x en [0, 1]. Demuestre que debe existir un número c en [0, 1] tal d. Encuentre las coordenadas x de los puntos donde la curva cú- que f (c) = c (c se denomina punto fijo de f). bica y = x3 – 3x cruza la recta y = 1. 60. La propiedad de conservar el signo en funciones continuas e. Resuelva la ecuación x3 – 3x – 1 = 0. Sea f definida en un intervalo (a, b), y suponga que f (c) Z 0 en 51. Discontinuidad removible Dé un ejemplo de una función alguna c donde f es continua. Demuestre que existe un intervalo f(x) que sea continua para todos los valores de x, excepto x = 2, en (c – d, c + d) alrededor de c donde f tiene el mismo signo que f (c). donde tenga una discontinuidad que sea posible eliminar. Expli- Observe qué importante es esta conclusión. A pesar de que f está que cómo sabe que f es discontinua en x = 2, y cómo sabe que la definida en todo (a, b), no se requiere que sea continua en cual- discontinuidad se puede eliminar. quier punto, excepto en c. Esto, y la condición f (c) Z 0, es sufi- ciente para hacer f distinta de cero (ya sea positiva o negativa) en 52. Discontinuidad no removible Dé un ejemplo de una función todo un intervalo. g(x) que sea continua para todos los valores de x, excepto x = –1, donde tenga una discontinuidad que no sea posible eliminar. Ex- 61. Demuestre que f es continua en c si y sólo si plique cómo sabe que g es discontinua ahí, y por qué no se puede lím ƒsc + hd = ƒscd . eliminar la discontinuidad. h:0 62. Use el ejercicio 61 y las identidades 53. Una función discontinua en todos los puntos a. Use el hecho de que todo intervalo no vacío de números rea- sen sh + cd = sen h cos c + cos h sen c , les contiene números racionales e irracionales, para probar cos sh + cd = cos h cos c - sen h sen c que la función para probar que f (x) = sen x y g(x) = cos x son continuas en cual- ƒsxd = e 1, si x es racional quier punto x = c. 0, si x es irracional es discontinua en todos los puntos. Resolución gráfica de ecuaciones b. ¿f es continua por la derecha o por la izquierda en algún T Use una calculadora graficadora o una computadora para resolver las punto? ecuaciones de los ejercicios 63 a 70. 54. Si las funciones f(x) y g(x) son continuas para 0 … x … 1 , 63. x 3 - 3x - 1 = 0 ¿f(x)/g(x) podría ser discontinua en un punto de [0, 1]? Justifique su respuesta. 64. 2x 3 - 2x 2 - 2x + 1 = 0 55. Si la función producto hsxd = ƒsxd # g sxd es continua en x = 0 , 65. xsx - 1d2 = 1 suna raízd ¿f (x) y g(x) deben ser continuas en x = 0? Justifique su respuesta. x 66. x = 2 56. Composición discontinua de funciones continuas Dé un ejem- 67. 2x + 21 + x = 4 plo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las que la 68. x3 - 15x + 1 = 0 suna raízd composición ƒ  g sea discontinua en x = 0. ¿Esto contradice el teorema 10? Justifique su respuesta. 69. cos x = x (una raíz). Asegúrese de estar usando el modo ra- 57. Funciones continuas que nunca son cero ¿Es cierto que una dianes. función continua que nunca es cero en un intervalo nunca cambia 70. 2 sen x = x (tres raíces). Asegúrese de estar usando el modo de signo en ese intervalo? Justifique su respuesta. radianes. 2.7 Tangentes y derivadas En esta sección continuaremos el análisis de las secantes y las tangentes, que comenzamos en la sección 2.1. Calcularemos los límites de las pendientes de las secantes para encontrar las tangentes a las curvas. ¿Qué es la tangente a una curva? En el caso de los círculos, comprender qué es una tangente resulta bastante sencillo. Una recta L es tangente a un círculo en un punto P si L pasa por P y es perpendicular al radio 2.7 Tangentes y derivadas 135 en P (figura 2.63). Tal recta solo toca al círculo. Pero, ¿qué significa que una recta L sea P tangente a cualquier otra curva C en un punto P? Generalizando a partir de la geometría L del círculo, podemos decir que significa cualquiera de las afirmaciones siguientes: O 1. L pasa por P, es perpendicular a de la recta que se forma entre P y el centro de C. 2. L pasa sólo por un punto de C, digamos, P. 3. L pasa por P y se ubica únicamente en uno de los lados de C. FIGURA 2.63 L es tangente al círculo en P si pasa por P y es Aunque estas afirmaciones son válidas si C es un círculo, ninguna de ellas funciona para perpendicular al radio OP. todas las curvas más generales. Pocas curvas tienen centro, y la recta que podríamos califi- car como tangente tal vez cortaría a C en puntos distintos, o quizá cruzaría C en el punto de tangencia (figura 2.64). L C L C C L P P P L corta a C sólo en P L es tangente a C en P pero L es tangente a C en P pero está en pero no es tangente a C. corta a C en varios puntos. los dos lados de C, cruzando C en P. FIGURA 2.64 Exploración de mitos acerca de las rectas tangentes. BIOGRAFÍA HISTÓRICA Para definir la tangencia para curvas generales, necesitamos una aproximación diná- Pierre de Fermat mica que tome en cuenta el comportamiento de las secantes que pasan por P y los puntos (1601–1665) cercanos Q, moviendose hacia P a lo largo de la curva (figura 2.65). Tal aproximación consistiría en lo siguiente: 1. Empezamos con lo que podemos calcular, a saber, la pendiente de la secante PQ. 2. Investigamos el límite de la pendiente de la secante cuando Q se acerca a P a lo largo de la curva. 3. Si el límite existe, lo tomamos como la pendiente de la curva en P, y definimos la tan- gente a la curva en P como la recta que pasa por P con esta pendiente. Estos pasos son los que realizamos en los ejemplos de la caída de la piedra y las moscas de la fruta en la sección 2.1. Tangente Secantes P P Q Tangente Secantes Q FIGURA 2.65 Aproximación dinámica de la tangente. La tangente a la curva en P es la recta que pasa por P cuya pendiente es el límite de las pendientes de las secantes cuando Q : P por ambos lados. 136 Capítulo 2: Límites y continuidad EJEMPLO 1 Recta tangente a una parábola Encontrar la pendiente de la parábola y = x2 en el punto P(2, 4). Escribir una ecuación pa- ra la tangente a la parábola en este punto. Solución Empezamos con una recta secante que pasa por P(2, 4) y Q(2 + h, (2 + h)2). Después escribimos una expresión para la pendiente de la secante PQ e investigamos qué pasa con la pendiente cuando Q se acerca a P a lo largo de la curva: ¢y s2 + hd2 - 22 h2 + 4h + 4 - 4 Pendiente de la secante = = = ¢x h h h 2 + 4h = = h + 4. h Si h > 0, entonces Q está arriba y a la derecha de P, como en la figura 2.66. Si h < 0, en- tonces Q está a la izquierda de P (este caso no se ilustra en la figura). En cualquier caso, cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva, h se aproxima a cero y la pendiente de la secante se aproxima a 4: lím sh + 4d = 4. h:0 Tomamos 4 para que sea la pendiente de la parábola en P. La tangente a la parábola en P es la recta que pasa por P con pendiente 4: y = 4 + 4sx - 2d Ecuación punto-pendiente y = 4x - 4. y y  x2 (2  h) 2  4 La pendiente de la secante es:  h  4. h Q(2  h, (2  h) 2) Pendiente de la tangente  4 ∆y  (2  h)2  4 P(2, 4) ∆x  h x 0 2 2h NO ESTÁ A ESCALA FIGURA 2.66 Encontrar la pendiente de la parábola y = x2 en el punto P(2, 4) (ejemplo 1). Determinación de una tangente a la gráfica de una función La determinación de una tangente a una curva fue el problema matemático dominante a principios del siglo XVII. En óptica, la tangente determina el ángulo por el que un rayo de luz atraviesa una lente curva. En mecánica, la tangente determina la dirección del movi- miento de un cuerpo a lo largo de todos los puntos de una trayectoria. En geometría, las tangentes a dos curvas en un punto de intersección determinan los ángulos en los que éstas se cortan. Para encontrar una tangente a una curva arbitraria y = f (x) en un punto P(x0, f(x0)), usamos el mismo proceso dinámico. Calculamos la pendiente de la secante a través de P y un punto Q(x0 + h, f(x0 + h)). Después investigamos el límite de la pendiente cuando h : 0 (figura 2.67). Si el límite existe, lo llamamos la pendiente de la curva en P, y definimos la tangente en P como la recta que pasa por P y tiene esta pendiente. 2.7 Tangentes y derivadas 137 y y  f (x) DEFINICIONES Pendiente, recta tangente Q(x 0  h, f (x 0  h)) La pendiente de la curva y = f (x) en el punto P(x0, f (x0)) es el número f (x 0  h)  f (x 0) ƒsx0 + hd - ƒsx0 d m = lím (siempre y cuando el límite exista). h:0 h La recta tangente a la curva en P es la recta que pasa por P con esta pendiente. P(x 0, f (x 0)) h x 0 x0 x0  h Siempre que damos una definición nueva, la comprobamos mediante situaciones fa- miliares para asegurarnos de que es consistente con los resultados esperados en esos casos. FIGURA 2.67 Encontrar la pendiente El ejemplo 2 muestra que la nueva definición de pendiente coincide con la que se dio del de la recta tangente en P es mismo concepto en la sección 1.2, cuando lo aplicamos a rectas no verticales. ƒsx0 + hd - ƒsx0 d lím . h:0 h EJEMPLO 2 Comprobación de la definición Demostrar que la recta y = mx + b es su propia tangente en cualquier punto (x0, mx0 + b). Solución Hacemos f(x) = mx + b, y organizamos el trabajo en tres pasos. 1. Encontrar f(x0) y f (x0 + h) ƒsx0 d = mx0 + b ƒsx0 + hd = msx0 + hd + b = mx0 + mh + b 2. Encontrar la pendiente lím sƒsx0 + hd - ƒsx0 dd>h. h:0 ƒsx0 + hd - ƒsx0 d smx0 + mh + bd - smx0 + bd lím = lím h:0 h h:0 h mh = lím = m h:0 h 3. Encontrar la recta tangente usando la ecuación punto-pendiente. La recta tangente en el punto (x0, mx0 + b) es y = smx0 + bd + msx - x0 d y = mx0 + b + mx - mx0 y = mx + b. Resumamos los pasos del ejemplo 2. Determinación de la tangente a la curva y  ƒsxd en sx0 , y0 d 1. Calcular f(x0) y f (x0 + h). 2. Calcular la pendiente ƒsx0 + hd - ƒsx0 d m = lím . h:0 h 3. Si el límite existe, encontrar la recta tangente como y = y0 + msx - x0 d. 138 Capítulo 2: Límites y continuidad EJEMPLO 3 Pendiente y tangente de y = 1>x, x Z 0 (a) Encontrar la pendiente de la curva y = 1>x en x = a Z 0. (b) ¿En qué punto la pendiente es igual a -1>4? (c) ¿Qué pasa con la tangente a la curva en el punto (a, 1Na) a medida que cambia a? Solución (a) Aquí f (x) = 1/x. La pendiente en (a, 1/a) es 1 1 - a ƒsa + hd - ƒsad a + h lím = lím h:0 h h:0 h 1 a - sa + hd = lím h:0 h asa + hd -h = lím h:0 hasa + hd -1 1 = lím = - 2. h:0 asa + hd a Observe cómo fue necesario seguir escribiendo “límh:0” antes de cada fracción, has- ta llegar a la etapa en donde pudimos evaluar el límite sustituyendo h = 0. El número a puede ser positivo o negativo, pero no cero. (b) La pendiente de y = 1/x en el punto donde x = a es –1/a2. Será –1/4 siempre y cuando 1 1 - = - . a 2 4 Esta ecuación es equivalente a a2 = 4, de manera que a = 2 o a = –2. La curva tiene pendiente –1/4 en los dos puntos, (2, 1/2) y (–2, –1/2) (figura 2.68). (c) Observe que la pendiente —1/a2 siempre es negativa si a Z 0. Cuando a : 0 +, la pendiente tiende a - q y la tangente se hace cada vez más inclinada (figura 2.69).