(PDF) Maquinas electricas (6a. ed.) - Fraile Mora, Jesus | ADELA FIGUEROA - Academia.edu

Maquinas electricas (6a. ed.) - Fraile Mora, Jesus

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Sexta edición Jesús Fraile Mora MÁQUINAS ELÉCTRICAS Sexta edición MMM MÁQUINAS ELÉCTRICAS Sexta edición Jesús Fraile Mora Catedrático de Electrotecnia E.T.S.I. Caminos, Canales y Puertos U.P.M. MADRID • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÉXICO NUEVA YORK • PANAMÁ • SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO AUCKLAND • HAMBURGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • PARÍS SAN FRANCISCO • SIDNEY • SINGAPUR • ST. LOUIS • TOKIO • TORONTO MÁQUINAS ELÉCTRICAS. Sexta edición No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informá- tico, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecá- nico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. DERECHOS RESERVADOS ? 2008, respecto a la sexta edición en español, por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S. A. U. Edificio Valrealty, 1.a planta Basauri, 17 28023 Aravaca (Madrid) ISBN: 978-84-481-6112-5 Depósito legal: M. Editor: José Luis García Jurado Técnico Editorial: Blanca Pecharromán Narro Preimpresión: Nuria Fernández Sánchez Diseño cubierta: Corporación Gráfica Preimpresión: MonoComp, S. A. Impreso en IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Contenido Acerca del autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv Agradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix Capítulo 1: CIRCUITOS MAGNÉTICOS Y CONVERSIÓN DE ENERGÍA . . . . . . 1 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Materiales magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Diamagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Paramagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.3. Ferromagnetismo y ciclo de histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Leyes de los circuitos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Imanes permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.2. Circuitos magnéticos con imanes permanentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3. Imán permanente de volumen mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.5. Energía y coenergía magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.6. Pérdidas de energía en los núcleos ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6.1. Pérdidas por histéresis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6.2. Pérdidas por corrientes de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.6.3. Consecuencias tecnológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.7. Circuitos magnéticos excitados con corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.2. Circuito eléctrico equivalente de una bobina con de hierro alimentada con c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 *1.7.3. Corriente de excitación en una bobina con núcleo de hierro alimentada con c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.8. Conversión de energía en sistemas magnéticos con movimiento de traslación. Electroimanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.9. Conversión de energía en sistemas magnéticos con movimiento de rotación. Má- quinas eléctricas rotativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.9.1. Sistemas magnéticos de rotación alimentados con una sola fuente. Moto- res de reluctancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 1.9.2. Sistemas magnéticos de rotación alimentados con dos fuentes . . . . . . . . 69 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 v vi CONTENIDO Capítulo 2: PRINCIPIOS GENERALES DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS . . . . 95 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.2. Elementos básicos de las máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 2.3. Colector de delgas y colector de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 2.4. Devanados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2.5. Pérdidas y calentamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 2.6. Potencia asignada o nominal. Tipos de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.7. Rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 2.8. F.m.m. y campo magnético en el entrehierro de una máquina eléctrica . . . . . . 121 2.8.1. Campo magnético y f.m.m. producida por un devanado concentrado de paso diametral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.8.2. F.m.m. producida por un devanado distribuido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 2.8.3. F.m.m. producida por un devanado trifásico. Campos giratorios. Teore- ma de Ferraris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2.8.4. Relación entre un campo alternativo y un campo giratorio. Teorema de Leblanc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 2.9. F.e.m. inducida en un devanado de una máquina eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 2.9.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 *2.9.2. Factores que afectan a la f.e.m. inducida en un devanado . . . . . . . . . . 145 *2.9.3. Armónicos de f.e.m.: origen y eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 *2.10. Par electromagnético en las máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2.11. Clasificación general de las máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 2.12. Análisis cualitativo de las principales máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.12.1. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.12.2. Máquinas síncronas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 2.12.3. Máquinas de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 2.12.4. Máquinas asíncronas o de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 2.12.5. Motores de c.a. de colector. Motores universales . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Capítulo 3: TRANSFORMADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.2. Principales aspectos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 3.3. Principio de funcionamiento de un transformador ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.4. Funcionamiento de un transformador real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 3.5. Circuito equivalente de un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 3.6. Ensayos del transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.6.1. Ensayo de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.6.2. Ensayo de cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 3.7. Caída de tensión en un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 3.8. Pérdidas y rendimiento de un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 3.9. Corriente de excitación o de vacío de un transformador. Armónicos de la co- rriente de vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 3.10. Corriente de conexión de un transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 3.11. Transformadores trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 CONTENIDO vii 3.11.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 *3.11.2. Armónicos en las corrientes de excitación de transformadores trifási- cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 3.11.3. Conexiones de los transformadores trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 3.12. Acoplamiento en paralelo de transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 3.13. Autotransformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 3.14. Transformadores con tomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 3.14.1. Tomas de regulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 3.14.2. Elementos de conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 3.15. Transformadores de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 3.15.1. Transformadores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 3.15.2. Transformadores de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 *3.16. Apéndice: Transformaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 3.16.1. Transformación trifásica a bifásica y viceversa. Conexión Scott . . . . 268 3.16.2. Transformación trifásica a hexafásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Capítulo 4: MÁQUINAS ASÍNCRONAS O DE INDUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 4.2. Aspectos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 4.3. Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 4.4. Circuito equivalente del motor asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 4.5. Ensayos del motor asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 4.5.1. Ensayo de vacío o de rotor libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 4.5.2. Ensayo de cortocircuito o de rotor bloqueado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 4.6. Balance de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 4.7. Par de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 4.7.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 4.7.2. Tipos de funcionamiento de la máquina asíncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 *4.8. Diagrama del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 4.8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 4.8.2. Deducción del diagrama circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 4.8.3. Elección de las escalas en el diagrama del círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 4.9. Arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 4.9.1. Arranque de los motores en jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 4.9.2. Arranque de los motores de rotor bobinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 4.10. Motores de doble jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 4.11. Regulación de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 4.11.1. Regulación por variación del número de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 4.11.2. Regulación por variación del deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 4.11.3. Regulación por variación en la frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 *4.12. Dinámica del motor asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 4.12.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 4.12.2. Tiempo de arranque de un motor asíncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 4.12.3. Pérdidas de energía en régimen dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 viii CONTENIDO 4.13. Motor de inducción monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 4.13.1. Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 4.13.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 4.13.3. Arranque de los motores de inducción monofásicos . . . . . . . . . . . . . . 383 *4.14. Funcionamiento del motor asíncrono trifásico alimentado con tensiones des- equilibradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 *4.15. Máquinas asíncronas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 4.15.1. Regulador de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 4.15.2. Selsyns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 4.15.3. Motor de inducción lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 *4.16. Apéndice: El par de rotación de un motor asíncrono desde el punto de vista físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 Capítulo 5: MÁQUINAS SÍNCRONAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 5.2. Aspectos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 5.3. Sistemas de excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 5.4. Principio de funcionamiento de un alternador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 5.4.1. Funcionamiento en vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 5.4.2. Funcionamiento en carga. Reacción de inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 5.5. Diagrama fasorial de un alternador. Regulación de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . 438 5.6. Análisis lineal de la máquina síncrona: el circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . 442 5.6.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 5.6.2. Método de Behn-Eschenburg. Impedancia síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . 443 5.6.3. Característica de vacío y cortocircuito de la máquina síncrona. Deter- minación de la impedancia síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 5.7. Análisis no lineal de la máquina síncrona: Método de Potier o del f.d.p. nulo. Cálculo de regulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 *5.8. Regulación de tensión en las máquinas síncronas de polos salientes. Teoría de las dos reacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 5.9. Funcionamiento de un alternador en una red aislada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 5.9.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 5.9.2. Funcionamiento del regulador de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 5.10. Acoplamiento de un alternador a la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 5.11. Potencia activa y reactiva desarrollada por una máquina síncrona acoplada a una red de potencia infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 5.12. Funcionamiento de una máquina síncrona conectada a una red de potencia infi- nita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 5.12.1. Efectos de la variación de excitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 5.12.2. Efectos de la variación del par mecánico (regulador de velocidad) . . 482 5.13. Funcionamiento en paralelo de alternadores de potencias similares . . . . . . . . . 488 5.14. Motor síncrono: Características y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 *5.15. Diagrama de límites de funcionamiento de una máquina síncrona . . . . . . . . . . 499 *5.16. Transitorio de cortocircuito de una máquina síncrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 CONTENIDO ix Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 Capítulo 6: MÁQUINAS DE CORRIENTE CONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 6.2. Aspectos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 6.3. Principio de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 6.4. Reacción del inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 6.5. Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 6.6. Generadores de c.c.: Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 6.7. Generadores de c.c.: Características de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 6.8. Motores de c.c.: Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 6.9. Motores de c.c.: Características de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 6.9.1. Motores de c.c. con excitación independiente y derivación. Sistema Ward-Leonard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 6.9.2. Motores de c.c. con excitación serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 6.9.3. Motores de c.c. con excitación compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 *6.10. Motor de c.c.: Métodos de frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 *6.11. Funcionamiento de una máquina de c.c. en cuatro cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . 585 6.12. Motor monofásico de c.a. con colector de delgas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 6.13. Motores de c.c. sin escobillas (brushless motors) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 Capítulo 7: ACCIONAMIENTOS ELÉCTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 7.2. Dispositivos semiconductores de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 7.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 7.2.2. Diodos rectificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 7.2.3. Tiristor o rectificador controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 7.2.4. Tiristor de apagado por puerta (GTO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 7.2.5. Transistor bipolar de unión (BJT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 7.2.6. Transistor MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 7.2.7. Transistor bipolar de puerta aislada IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613 7.2.8. Tiristor MCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 7.2.9. Funcionamiento ideal de los dispositivos semiconductores . . . . . . . . . 614 7.3. Convertidores electrónicos de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 7.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 7.4. Rectificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 7.4.1. Rectificador monofásico media onda con carga resistiva . . . . . . . . . . 618 7.4.2. Rectificador monofásico media onda (onda completa) con carga in- ductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 7.4.3. Rectificador monofásico de doble onda con carga resistiva . . . . . . . . 628 7.4.4. Rectificador monfásico de doble onda (onda completa) con carga in- ductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 x CONTENIDO 7.4.5. Rectificadores trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634 7.5. Rectificadores controlados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 7.5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 7.5.2. Principio de funcionamiento de un rectificador con control de fase . 643 7.5.3. Convertidor monofásico en puente completo con carga inductiva . . . 644 7.5.4. Convertidor trifásico en puente completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 7.6. Reguladores de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 7.6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 7.6.2. Regulador con control de fase y carga resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 7.6.3. Regulador con control de fase y carga inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 7.6.4. Regulador on-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 7.7. Convertidores c.c. a c.c. (Choppers o troceadores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 7.7.1. Chopper directo o reductor de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667 7.7.2. Chopper inverso o elevador de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671 7.7.3. Choppers de dos y cuatro cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 7.8. Convertidores c.c. a c.a. (onduladores o inversores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 7.8.1. Inversores monofásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 7.8.2. Inversor trifásico en puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677 7.8.3. Control de la tensión de salida en un inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 7.9. Convertidores c.a. a c.a. (cicloconvertidores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 7.10. Accionamientos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 7.10.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 7.10.2. Funcionamiento en cuatro cuadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 688 7.10.3. Dinámica de la combinación motor-carga. Estabilidad . . . . . . . . . . . . 689 7.11. Accionamientos eléctricos con motores de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 7.11.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 7.11.2. Regulación de la velocidad de motores de c.c. por medio de rectifica- dores controlados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695 7.11.3. Regulación de la velocidad de motores de c.c. por medio de choppers . 700 *7.11.4. Regulación de motores de c.c. mediante realimentación . . . . . . . . . . . 703 7.12. Accionamientos eléctricos con motores de c.a. asíncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 7.12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 7.12.2. Regulación de velocidad por control de la tensión de línea aplicada al estátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 708 7.12.3. Regulación de velocidad por control de la tensión y frecuencia de línea. Control escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 7.12.4. Regulación de velocidad por control estático de una resistencia adi- cional en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 7.12.5. Regulación de velocidad por recuperación de la potencia de desliza- miento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 *7.12.6. Control vectorial de motores asíncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 7.13. Accionamientos eléctricos con motores de c.a. síncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 7.13.1. Regulación de velocidad de motores síncronos en lazo abierto . . . . . 742 7.13.2. Regulación de velocidad de motores síncronos en lazo cerrado. Motor síncrono autopilotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 Biografías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756 CONTENIDO xi Apéndice 1: MÁQUINAS ELÉCTRICAS: ASPECTOS HISTÓRICOS . . . . . . . . . . . . 759 1. Los orígenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 2. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 2.1. Generadores de c.c. o dinamos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 2.2. Generadores de c.a. (alternadores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 3. Motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 3.1. Motores de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765 3.2. Motores asíncronos o de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 3.3. Motores síncronos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768 3.4. Motores especiales de c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769 3.5. Motores especiales de c.c. y otros motores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769 4. Transformadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770 5. Desarrollos tecnológicos en la construcción de máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . 772 6. Las máquinas eléctricas y la electrónica de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 6.1. Desarrollo de componentes electrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 6.2. Control electrónico de máquinas eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 6.2.1. Regulación de velocidad de motores de c.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 6.2.2. Regulación de velocidad de motores de c.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 Apéndice 2: REPASO DE SERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 2. Función periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781 3. Series trigonométricas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 4. Ortogonalidad del sistemas trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 5. Evaluación de los coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783 6. Simetría de la función f (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784 7. Coeficientes de Fourier de ondas simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785 Apéndice 3: EL SISTEMA POR UNIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 1. Magnitudes normalizadas. El sistema por unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794 3. Sistemas trifásicos. Análisis por unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 Índice biográfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809 MMM Acerca del autor Natural de Ayerbe (Huesca). Perito Industrial, Rama Eléctrica, por la Escuela Técnica de Peritos Industriales de Zaragoza, 1965 (en la actualidad: E.U. de Ingeniería Técnica Indus- trial). Ingeniero de Telecomunicación, Rama Electrónica, por la E.T.S. de Ingenieros de Tele- comunicación de Madrid, 1970. Doctor Ingeniero de Telecomunicación por la Universidad Politécnica de Madrid, 1974. Licenciado en Ciencias, Sección de Físicas, por la Universi- dad Complutense de Madrid, 1976. Maestro de Laboratorio de Electrotecnia de la E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación de Madrid, 1967-71. Profesor Encargado de Curso y de Clases Prácticas de Electrotecnia en la Escuela anterior, 1970-72. Profesor Encargado de Laboratorio de Electrotecnia de la E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación de Madrid, 1972-74. Profesor Adjunto de Laboratorio de Electrotecnia en la misma Escuela, 1974-75. Catedrático de Electrotecnia de la Escuela Uni- versitaria de Ingeniería Técnica de Obras Públicas de Madrid, 1972-78. Profesor Adjunto de Máquinas Eléctricas de la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Madrid, 1975-78. Catedrático de Electrotecnia de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad de Santander, 1978-80. Catedrático de Electrotecnia de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid, desde 1980, continuando en la actualidad. Profesor Encargado de la asignatura Instrumentación y Control de la Carrera de 2.o Ciclo de Ingeniero de Materiales de la UPM durante los Cursos 1995 a 1998. Director del Departamento de Energética de la Universidad de Santander, 1978-80. Secre- tario General de la Universidad de Santander, 1979-80. Secretario de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de Madrid, 1981-82. Subdirector de Investigación y Doctora- do de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos de Madrid, 1983-86. Member del IEEE (Institute of Electrical and Electronic Engineers) desde 1972, recibiendo el grado de Senior Member en 1985. Director del Departamento de Ingeniería Civil: Hidráulica y Energética de la UPM, 1994-2004. Premio de la Fundación General de la UPM a la labor docente desarrollada por un profesor en su vida académica, año 1991. Medalla de Oro de la Asociación Española para el Desarrollo de la Ingeniería Eléctrica, año 2005. Autor de diversos libros de texto y artículos en el Área de Ingeniería Eléctrica. Premio de la Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid al mejor libro de texto escrito por un profesor de la UPM por el libro Electromagnetismo y Circuitos Eléctricos, año 1993. Ha impartido gran número de Seminarios y Cursos de Doctorado en diversas Universidades Españolas. También ha dirigido o participado en numerosos Cursos de Formación y de Reci- clado para diversas Empresas e Instituciones. La labor investigadora desarrollada incluye los temas de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia; comportamiento transitorio de má- quinas síncronas; regulación electrónica de velocidad de motores de inducción trifásicos; sistemas de almacenamiento de energía eléctrica mediante bobinas superconductoras SMES; tecnologías de velocidad variable y control inteligente en la generación hidroeléctrica y tam- bién sobre historia de la ingeniería eléctrica. xiii Prólogo La excelente acogida que se ha venido dispensando a las cinco primeras ediciones de este libro de Máquinas Eléctricas, obligaban necesariamente a preparar esta sexta edición en la que se ha hecho un gran esfuerzo editorial para mejorar su calidad y presentación. El texto trata de los principios y aplicaciones de las máquinas eléctricas que todo ingeniero, cualquie- ra que sea su especialidad de origen, empleará a lo largo de toda su vida profesional, merced a su aplicación en las diferentes fases de los procesos productivos. El libro es el fruto de casi cuarenta años de experiencia en la enseñanza de las máquinas eléctricas dentro de los Cursos de Electrotecnia impartidos por el autor en diferentes Escuelas Técnicas Españolas de Inge- niería Superior y de Ingeniería Técnica. En la actualidad, gran parte del texto es utilizado por el autor para explicar la segunda parte de la asignatura Electricidad y Electrotecnia en la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politécnica de Madrid. El Capítulo 1 se refiere a los circuitos magnéticos y a los principios básicos de la con- versión de energía en el que se explican las leyes de los circuitos magnéticos, los imanes permanentes, las pérdidas en los materiales ferromagnéticos y también se deducen las ex- presiones de las fuerzas en sistemas de traslación, y las del par en sistemas de rotación. Se incluyen ejemplos de aplicación en los que se calculan los pares de diversas máquinas eléctricas desde un punto de vista unificado. El Capítulo 2 se dedica a los principios generales de las máquinas eléctricas. Se explican los conceptos básicos comunes a las máquinas tales como: estátor, rotor, inductor, inducido, tipos de colectores, devanados, etc. Se analizan las f.m.m.s. producidas por diferentes confi- guraciones de devanados, haciendo especial hincapié en el teorema de Ferraris que constituye el principio de funcionamiento de las máquinas de c.a. Se estudia de una forma general la generación de f.e.m. en una máquina eléctrica, explicando también la creación del par elec- tromagnético desde el punto de vista de interacción de las f.m.m.s. del estátor y rotor. El capítulo finaliza con un análisis cualitativo de las principales máquinas eléctricas, de tal modo que el estudiante pueda identificarlas con facilidad y conozca desde el principio las máquinas existentes y su funcionamiento básico. El Capítulo 3 se refiere a los transformadores. Se detallan los aspectos constructivos y el principio de funcionamiento del transformador ideal. A continuación se señalan los efectos reales que tienen lugar en esta máquina y se desarrollan los circuitos equivalentes del trans- formador de potencia, junto con los ensayos que se precisan para determinar los parámetros que intervienen en el circuito final. Este esquema organizativo es el que se sigue en el libro para estudiar el funcionamiento de todas las máquinas eléctricas. El Capítulo 4 está dedicado a las máquinas asíncronas o de inducción. Fundamentalmente el tema se refiere a los motores trifásicos, en el que se explican el principio de funcionamien- to, circuito equivalente y ensayos necesarios para la determinación del mismo. Se estudia el balance de potencias en estas máquinas y se determina la ecuación general del par de rota- ción. Se analiza más tarde el proceso de arranque de los motores trifásicos y los diversos xv xvi PRÓLOGO métodos existentes para lograrlo. Se explica también el motor de inducción monofásico y se describen algunas máquinas asíncronas especiales como: el regulador de inducción, los ejes eléctricos y el motor de inducción lineal. El Capítulo 5 se refiere a las máquinas síncronas, que en su funcionamiento como genera- dor es la máquina principal por antonomasia en las centrales eléctricas. Se explica el funcio- namiento del alternador en vacío y en carga, destacando el fenómeno de la reacción del inducido y la obtención del circuito equivalente. Se estudia el régimen de funcionamiento de un alternador tanto en una red aislada como conectado a una red de potencia infinita. Se analiza el motor síncrono y también el diagrama de límites de funcionamiento de una máqui- na síncrona. El Capítulo 6 se dedica a las máquinas de c.c.; se inicia el tema explicando los aspectos constructivos y el principio de funcionamiento que incluye el fenómeno de la reacción de inducido y la conmutación en estas máquinas. Se estudia el funcionamiento de la máquina en régimen generador y motor; en este caso se explica con detalle la regulación de velocidad que ofrecen, haciendo una referencia especial al sistema de regulación Ward-Leonard. También se explican los métodos de frenado de los motores de c.c. por procedimientos clásicos y el funcionamiento de la máquina de c.c. en cuatro cuadrantes. Se incluye también un epígrafe para comentar el funcionamiento de los motores de c.c. sin escobillas (brushless motors). El Capítulo 7 se dedica a los accionamientos eléctricos cuya importancia es cada vez mayor en la industria moderna. Es una materia interdisciplinar entre el mundo de la electróni- ca y el de la electrotecnia. Se explica de una forma sencilla el principio de funcionamiento de los semiconductores, describiendo los diversos tipos de convertidores electrónicos utilizados en la regulación de las máquinas eléctricas. Se describen luego los accionamientos eléctricos tanto con motores de c.c. como con motores de c.a. En ambos casos se incluyen notas infor- mativas de su aplicación específica a la tracción eléctrica española, por lo que será de gran interés para aquellos ingenieros que desarrollan su labor en los talleres de mantenimiento de ferrocarriles eléctricos y trenes metropolitanos. Se han incluido en el libro tres apéndices; el primero explica el desarrollo histórico de las máquinas eléctricas. En un principio el autor quería incorporar este apéndice como capítulo 0, a modo de introducción del libro, pero se consideró más tarde que era demasiado especializa- do para empezar el texto y por ello se ha dejado en este lugar. Esperamos fervientemente que este apéndice sea de utilidad para los profesores de ingeniería eléctrica. Es opinión del autor, que los profesores de Universidad estamos obligados a dar una formación más humanística a los alumnos y que debemos enseñarles cómo ha ido progresando la ciencia y la tecnología, y el porqué se ha avanzado en una dirección y no en la otra, porque esto ayuda a conocer las relaciones entre las diferentes ramas científicas. A guisa de ejemplo, podemos indicar que el desarrollo de la electrónica no hubiera sido posible sin un adelanto suficiente de la electrotec- nia, y de un modo análogo, el progreso de los ordenadores únicamente se puede justificar por un avance espectacular de la electrónica. En el Apéndice 2 del libro se hace un repaso de las series de Fourier, cuyo conocimiento es necesario para estudiar los armónicos de campo en el entrehierro de las máquinas eléctricas y también los armónicos de tensión producidos por los convertidores electrónicos utilizados en los diversos accionamientos eléctricos. En el Apéndice 3 se estudia el sistema por unidad que representa una normalización que se emplea frecuentemente en el análisis de sistemas eléctricos de potencia y que en el caso de las máquinas eléctricas constituye un método muy útil para comparar los parámetros de máquinas de diferentes potencias nominales. En cada capítulo del libro se han incluido una gran variedad de ejemplos de aplicación con su solución completa, facilitando por una parte la labor del profesor que lo utilice en su PRÓLOGO xvii asignatura, ya que podrá dedicar menos tiempo a la tediosa manipulación numérica y más a las deducciones básicas. Por otra parte, estos ejercicios facilitan el autoaprendizaje del alum- no, ya que cada nuevo concepto que se introduce, va seguido de unos ejemplos de aplicación que le servirán para comprender mejor la teoría presentada, lo que permite afianzar las ideas de un modo progresivo sin dejar lagunas en la interpretación de los conceptos implicados. Al final de cada capítulo se han incluido entre veinte y treinta problemas en los que se da única- mente la respuesta final. Con ello se pretende ayudar al profesor en la búsqueda de nuevos problemas para realizar en clase y facilitar el trabajo del alumno, para que pueda comprobar su propio progreso y nivel de conocimientos. Teniendo en cuenta los ejemplos resueltos a lo largo de cada capítulo y los problemas finales, el libro contiene cerca de trescientos proble- mas que facilitan el aprendizaje de esta materia. Algunos epígrafes llevan un asterisco y están escritos con una letra de menor tamaño, para reconocer en seguida aquellos temas más especializados que pueden suprimirse en una prime- ra lectura del texto. Por otro lado en cada capítulo se presentan con frecuencia anécdotas, comentarios prácticos y secciones de ampliación de conocimientos, que son puntos sugeren- tes de reflexión, que incentivan la lectura del libro, debido a su curiosidad y a los problemas a veces confusos que surgen en la práctica industrial. Se incluye también al final de cada capí- tulo una amplia bibliografía de ampliación de los temas estudiados en la lección, que puede ser útil para aquellos estudiantes que deseen una mayor profundización de los conceptos estudiados; representan parte de las referencias que ha utilizado el autor en la redacción de la obra. También se adjuntan diversas biografías de científicos, ingenieros y profesores que han contribuido directa o indirectamente al desarrollo de la ingeniería eléctrica. Ha sido una tarea bastante ardua encontrar algunas de estas reseñas, pero se ha hecho un gran esfuerzo para que el estudiante conozca los protagonistas de la historia eléctrica, a quienes con esta semblanza el autor rinde su homenaje. La lectura de estas gestas suavizará la lectura del libro y ayudará al estudiante a conocer las aportaciones más importantes que realizaron estos ingenieros, a los que la humanidad les debe por ello respeto y gratitud. Se ha intentado en la redacción del texto, conseguir la mayor claridad que ha sido posible; para ello el autor ha estado atento a todas las preguntas que le hacían los alumnos dentro y fuera del aula, comprobando qué partes de cada lección encerraban mayores dificultades para ellos y observando con detenimiento los errores que se producían con más frecuencia en los exámenes y evaluaciones. Los profesores de la asignatura prestaron una ayuda valiosísima, dando ideas para modificar los planteamientos iniciales. Todas estas observaciones aconseja- ron tener que efectuar diversos cambios; en algunos casos, se prepararon más figuras para facilitar una mejor comprensión; en otros, hubo que incluir más ejemplos de aplicación que ilustrasen con mayor vigor los conceptos teóricos. No sé si la obra que se ofrece al lector merecerá su aprobación, lo único que puede decir el autor, es que se ha puesto todo el empeño, para que el texto tuviera una alta calidad didáctica, en el que se combinasen de un modo adecuado la teoría y la práctica, facilitando a los estu- diantes su estudio. Consideramos que es un deber de todo educador lograr lo que nuestro gran filósofo Ortega y Gasset denominaba la economía de la enseñanza, es decir hacer fácil lo difícil, para optimizar el tiempo del alumno, haciendo que aprenda en un tiempo más breve. Quienes lleguen a utilizar este libro de texto quizá encuentren que algunas secciones debieran ampliarse o detallarse aún más. Cualquier sugerencia nueva o crítica, será bienvenida y se tomará en consideración para futuras ediciones. AAA Agradecimientos Deseo hacer patente mi agradecimiento a aquellas personas que en algún momento de mi vida causaron un gran impacto en mi formación. En primer lugar los recuerdos se dirigen a mis padres Jesús y Pilar, mis primeros y mejores maestros, su ejemplo de dedicación y esfuerzo han sido para mí la guía de mi vida. A los profesores que supieron inculcarme la pasión por esta asignatura: D. Valentín Abadía Lalana (E.U. de Ingeniería Técnica Industrial de Zarago- za); D. Guillermo Herranz Acero y D. Miguel Aguilar Fernández (E.T.S. de Ingenieros de Telecomunicación de Madrid); D. Ángel Alonso Rodríguez (E.T.S. de Ingenieros Industriales de Madrid). Quisiera también agradecer a mis compañeros y colaboradores, en los Centros donde he impartido docencia, por la ayuda prestada en cada momento y por la amistad que nos ha unido desde entonces. En orden cronológico me refiero a: D. Luis Santamaría Gago, D. Eugenio Bertolín Gómez y D. José María Pérez Martínez, de la E. U. de Ingeniería Técnica de Obras Públicas de Madrid. A D. Javier Sanz Feito, D. Luis Serrano Iribarnegaray, D. Ángel Molina Martín Urda y D. Manuel Fernández Flórez de la E.T.S. de Ingenieros Industriales de Madrid, los dos primeros destinados actualmente como Catedráticos de Ingeniería Eléctrica en las Universidades Carlos III de Madrid y Politécnica de Valencia respectivamente. A D. José Antonio Gurrutxaga Ruiz de la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de San- tander. A los profesores: D. José Román Wilhelmi Ayza, D. Antonio Ruiz Mateo, D. Pedro García Gutiérrez, D. José A. Sánchez Fernández, D. Luis Arévalo Muñoz, D. Jesús Fraile Ardanuy, Dña Nieves Herrero Martínez y al personal del Laboratorio de Electrotecnia: D. Enrique Arnau Lázaro, D. Carmelo Hernánz Bermúdez, Dña. Cristina Gordillo Iracheta y D. Jesús Maroto Reques, todos ellos pertenecientes a la E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Cana- les y Puertos de Madrid. Aprovecho la oportunidad para dar las gracias colectivamente a muchos profesores de Ingeniería Eléctrica de la Universidad Española y de Hispanoamérica, por las muy útiles sugerencias recibidas, en algunos casos de forma personal y en otros indirectamente a través del editor de Ingeniería; debo reconocer que son demasiado numerosas para agradecerlas individualmente, aunque no por ello menos apreciadas. Es enorme también la deuda de grati- tud a mis alumnos, por ayudarme con sus preguntas a buscar mejores ideas para escribir mejor y hacer más asequible la transmisión de información. A ellos va dirigido especialmente este libro, para que encuentren menos dificultades en el estudio de la asignatura. Representan el público de ese gran teatro que son las aulas, donde el actor desea ser escuchado con interés y cariño. Su actitud favorable y respetuosa en todo momento me proporcionaron el impulso suficiente para llevar a cabo esta ardua tarea. Cerrando esta sección de agradecimientos, llega la gratitud y reconocimiento a mi fami- lia. Este libro a través de sus diversas ediciones, ha supuesto muchos años de trabajo conti- nuado, en detrimento del tiempo dedicado a todos mis seres queridos. Les pido perdón a mi esposa y a mis hijos por esta desatención, que a veces parece concomitante con mi trabajo xix xx AGRADECIMIENTOS académico. Espero que a mi esposa Presen, a mis hijos Jesús y Cristina y a mis nietos Laura y Pablo, les estimule ojear este texto. Confío en que algún día, en la lejanía del tiempo, cuando se les ocurra releer esta obra, les agrade recordar con cariño a su padre o abuelo y le juzguen con benevolencia; si es así, me daré por satisfecho. Esta sexta edición se publica bajo el patrocinio de la editorial McGraw-Hill/Interamerica- na de España, y se debe a la perseverancia del editor de Ingeniería, D. José Luis García Jurado, que ha dedicado un gran esfuerzo y entusiasmo para que la obra se confeccionara en un tiempo récord y con una gran calidad. Mi reconocimiento a la labor de composición de la empresa MonoComp, S.A, que ha conseguido plasmar las ideas del autor, al lograr una atrac- tiva presentación del libro. Circuitos magnéticos CAPÍTULO 1 y conversión de energía 1.1. INTRODUCCIÓN En los circuitos eléctricos, la conexión existente entre los elementos pasivos se realiza por medio de materiales conductores que obligan a que la corriente eléctrica siga determinados recorridos, obedeciendo las leyes de Kirchhoff. Cuando se trata de estudiar las máquinas eléctricas, electroimanes y otros dispositivos electromagnéticos, se plantea un problema simi- lar de canalizar y concentrar altas densidades de flujo magnético, en las regiones donde se necesita, lo cual se logra por medio de materiales ferromagnéticos. Un circuito magnético está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrollan una o más bobinas por las que circulan corrientes, que dan lugar a los flujos que aparecen en el sistema. El cálculo riguroso de los flujos producidos es generalmente muy difícil y para una determi- nación precisa sería necesario emplear correctamente las ecuaciones de Maxwell y la ayuda de un calculador de tipo analógico o digital (ordenador); sin embargo, las reglas de los circuitos magnéticos que se estudian en este capítulo permiten resolver el problema de una forma aproxi- mada y la mayor parte de las veces suficiente para las aplicaciones que se dan en la Electrotecnia. El comportamiento de un circuito magnético viene determinado fundamentalmente por el carácter solenoidal de las líneas de inducción magnética (div B = 0) y por el hecho de que en los materiales ferromagnéticos la permeabilidad es elevada y muy superior a la del vacío (k >> k0). Estas condiciones corresponden, en el caso de circuitos eléctricos, a la considera- ción de que la densidad de corriente J es solenoidal, es decir, div J = 0 (lo cual es siempre cierto, en todos aquellos puntos en donde no existan almacenamientos de carga), ya que la conductividad p de un conductor es muy elevada frente a la de un aislador o dieléctrico. Esta similitud hace que puedan aplicarse a los circuitos magnéticos todos los teoremas de redes analizados en un curso de teoría de circuitos eléctricos, aunque la resolución es algo más compleja, debido al carácter no lineal del núcleo ferromagnético. En este capítulo se estudian los diferentes tipos de materiales magnéticos, haciendo espe- cial hincapié en los ferromagnéticos por su importancia como elemento estructural básico de las máquinas eléctricas. Se analizan las leyes de los circuitos magnéticos y se explican las analogías con los circuitos eléctricos, definiendo los conceptos de reluctancia y permeancia como conceptos análogos a la resistencia y conductancia. Se explican también los circuitos magnéticos que contienen imanes permanentes y que tanta importancia tienen en la actuali- dad en la construcción de máquinas eléctricas de pequeña potencia. Se analiza el efecto que tienen las ranuras en la determinación de la reluctancia del entrehierro de una máquina y que dan lugar al coeficiente de Carter, que es un concepto que utilizan los ingenieros de diseño. Se 1 2 Máquinas eléctricas desarrollan las expresiones de la energía y coenergía magnética y más tarde se calculan las expresiones de las pérdidas en el hierro: por histéresis y por corrientes de Foucault, dando a continuación una serie de ideas constructivas sobre las chapas magnéticas y su composición química. Se muestra después la medida de estas pérdidas en los laboratorios de electrometría mediante el método de Epstein. Se explican también los circuitos magnéticos excitados con bobinas alimentadas por c.a. y se comparan los fenómenos que tienen lugar con los que se presentan en las bobinas con núcleo de hierro alimentadas con c.c., se desarrolla el circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro y se determina la forma de onda de la corrien- te de excitación. El capítulo finaliza analizando la conversión de energía en sistemas magnéti- cos dotados de movimiento de traslación, dando detalles del funcionamiento de electroima- nes, relés y contactores y su importancia en los automatismos eléctricos. También se estudian los fenómenos de conversión de energía en sistemas de rotación, lo que permite una introduc- ción a los motores de reluctancia y a las máquinas eléctricas, comprendiendo la generación de par en las mismas y los fenómenos energéticos puestos en juego. 1.2. MATERIALES MAGNÉTICOS Como ya se conoce de un curso básico de electromagnetismo, las propiedades magnéticas macroscópicas de un material lineal, homogéneo e isótropo se definen en función del valor de la susceptibilidad magnética sm, que es un coeficiente adimensional que expresa la proporcio- nalidad entre la magnetización o imanación M y la intensidad del campo magnético H de acuerdo con la ecuación: M = sm H [A/m] (1.1) como quiera además que la inducción magnética B está relacionada con los campos H y M por: B = k0 (H + M) [T] (1.2) teniendo en cuenta (1.1) resulta: B = k0 (H + sm H) = k0(1 + sm) H = k0 kr H = kH (1.3) donde k representa la permeabilidad magnética del medio (k = k0 kr) y kr la permeabilidad relativa, que a su vez es igual a 1 + sm; k0 es la permeabilidad del vacío y que en unidades SI vale 4n 10−7 H/m. De acuerdo con el valor de kr, los materiales se clasifican en:  Diamagnéticos: si kr ] 1 (sm es del orden de −10−5)  Paramagnéticos: si kr ] 1 (sm es del orden de +10−3)  Ferromagnéticos: si kr A 1 (sm tiene un valor elevado) Para comprender el comportamiento magnético microscópico de un material es preciso recurrir a la mecánica cuántica. Sin embargo, se puede dar una descripción cualitativa de los fenómenos magnéticos en base al modelo atómico clásico de Bohr-Sommerfeld. De acuerdo con este modelo podemos suponer que el átomo está formado por un núcleo central fijo que contiene protones y neutrones alrededor del cual giran los electrones describiendo órbitas cerradas que pueden considerarse como circuitos eléctricos. Cada uno de estos circuitos ori- gina un momento magnético dipolar m (que es el producto de la corriente por la superficie de espira del circuito), que va asociado a un momento angular L o momento de la cantidad de movimiento (L = mr 2u, siendo m la masa del electrón, r el radio de su órbita y u la velocidad Circuitos magnéticos y conversión de energía 3 angular de giro). Hay que tener en cuenta también que el electrón gira sobre sí mismo (espín del electrón), lo que da lugar a un mayor momento angular y a un momento magnético dipolar adicional que se incorpora al átomo. Al efecto anterior se denomina interacción espín-orbital (o enlace L-S), gracias a la cual el momento orbital de los electrones se enlaza con su momen- to magnético de espín, formando el momento magnético total del átomo. 1.2.1. Diamagnetismo En un material diamagnético, el momento magnético neto debido a los movimientos orbitales de los electrones y a sus espines en cualquier átomo particular es cero en ausencia de campo magnético externo. Al aplicar un campo exterior de inducción B, aparecerá una fuerza sobre los electrones orbitales de acuerdo con la fórmula de Lorentz: Fm = q (u × B) [N] (1.4) donde q es la carga del electrón y u la velocidad de los mismos. La fuerza provoca un cambio en la velocidad angular de los electrones (hay que tener en cuenta que la fuerza centrípeta que surge como consecuencia del movimiento del electrón alrededor del núcleo es muy superior a las fuerzas que actúan sobre el electrón por parte de los campos exteriores, y por este motivo los radios de las órbitas no varían al colocar el átomo en un campo exterior y solamente se modifica la velocidad angular de los electrones). El cambio en esta velocidad se denomina frecuencia de Larmor. Como consecuencia del cambio en la velocidad, se modifica el valor de la corriente electrónica equivalente, lo que da lugar a la creación de un momento magnético neto. En defini- tiva, éste es un proceso de imanación inducida, que de acuerdo con la ley de Faraday-Lenz representa un momento magnético inducido que se opone siempre al campo aplicado, reducien- do de este modo el valor de la inducción. El efecto macroscópico del proceso es equivalente a una imanación negativa que se puede describir por medio de una susceptibilidad magnética sm negativa del orden de −10−5. El bismuto, el cobre, plomo, plata y oro presentan estos efectos. El diamagnetismo se debe principalmente al movimiento orbital de los electrones dentro de un átomo y está presente en todos los materiales. En la mayoría de ellos el efecto es muy débil y es por lo que a veces este fenómeno queda enmascarado por otros más fuertes, como así ocurre en los materiales paramagnéticos y ferromagnéticos, que se estudiarán más adelante. Los materia- les diamagnéticos no presentan magnetismo remanente, lo que significa que el momento mag- nético inducido desaparece cuando se anula el campo exterior aplicado. El valor de sm en los materiales diamagnéticos es independiente de la temperatura, y este fenómeno, que fue descu- bierto experimentalmente en 1895 por Pierre Curie, justifica el hecho de que el movimiento de Larmor de los electrones se establece muy pronto y tanto el movimiento térmico como las colisiones entre átomos no modifican la frecuencia de Larmor. 1.2.2. Paramagnetismo En algunos materiales, los momentos magnéticos debidos a los movimientos de los electrones, orbital y de espín, no se cancelan completamente y los átomos y moléculas tienen un momento magnético neto. Al aplicar un campo magnético externo, además de producirse un efecto dia- magnético débil, el campo tiende a alinear los momentos magnéticos moleculares en el sentido del mismo, lo que provoca un aumento de inducción. El efecto macroscópico es entonces equi- valente a una imanación positiva, es decir, a una susceptibilidad magnética positiva. El proceso de alineamiento es considerablemente contrarrestado por las vibraciones térmicas aleatorias del material. Hay poca interacción coherente entre átomos y por ello el aumento de la inducción es 4 Máquinas eléctricas bastante reducido, siendo sm del orden de 10−3. Los materiales que presentan este comporta- miento se denominan paramagnéticos, destacando entre ellos: aluminio, magnesio, titanio y wolframio. El paramagnetismo se produce fundamentalmente por los momentos dipolares mag- néticos de los espines de los electrones. Las fuerzas de alineamiento del campo actuando sobre los dipolos moleculares son contrarrestadas por la distorsión que produce la agitación térmica. Al contrario que el diamagnetismo, que es independiente de la temperatura, el efecto paramag- nético sí que depende de ella, siendo más fuerte a bajas temperaturas, cuando hay menos agita- ción térmica. La susceptibilidad paramagnética sigue la ley de Curie: C sm = (1.5) T en la que C es una constante y T la temperatura absoluta. A la temperatura ambiente el valor anterior es, como se ha mencionado antes, del orden de 10−3, es decir, del orden de cien veces la susceptibilidad diamagnética. Esto significa que en las sustancias paramagnéticas se puede prescindir del efecto diamagnético debido a su bajo valor. 1.2.3. Ferromagnetismo y ciclo de histéresis El tipo más importante de magnetismo (en cuanto a sus aplicaciones tecnólogicas se refiere) lo presentan los materiales ferromagnéticos. Reciben esta denominación aquellas sustancias que tienen imanaciones grandes aun en presencia de campos magnéticos muy débiles. A la tempera- tura ambiente y por encima de ella* sólo tres elementos, hierro, cobalto y níquel, son ferromag- néticos (también lo son los elementos de las tierras raras: gadolinio y dysprosio). Casi todas las aleaciones y compuestos ferromagnéticos contienen uno o más de estos tres elementos o de manganeso, que pertenecen al mismo grupo de elementos de transición en la tabla periódica. (Debe destacarse, sin embargo, que los aceros inoxidables con 18 por 100 de cromo y 8 por 100 de níquel, así como el acero al manganeso, con 14 por 100 de Mn, no son ferromag- néticos). La facilidad de imanación de estas sustancias procede de las fuerzas mecánico- cuánticas, que tienden a alinear paralelamente entre sí a los espines atómicos próximos, aun en ausencia de un campo magnético aplicado (estas fuerzas de intercambio que alinean los espines adyacentes se conocen como interacción espín-espín y dependen críticamente de la distancia entre los átomos). La citada alineación no se produce en todo el volumen del mate- rial, sino que se encuentra por zonas, denominadas dominios magnéticos, los cuales pueden tener volúmenes comprendidos entre 10−6 y 10−2 cm3, conteniendo entre 109 y 1015 átomos. La razón por la cual los materiales ferromagnéticos forman dominios es compleja; la capa elec- trónica 3d del átomo está parcialmente completa, como se muestra en la Figura 1.1 para el caso del hierro (existen cuatro espines no apareados), lo cual es una condición para que exista paramagnetismo. Sin embargo, la separación entre los átomos de los materiales ferromagnéti- cos es tal que las fuerzas de intercambio cuánticas que se producen hacen que los espines de los electrones de estos átomos se alineen paralelamente (interacción positiva). Cuando una muestra de material ferromagnético se coloca dentro de un campo magnético, los dominios tienden a alinearse, de tal forma que sus campos magnéticos se suman al campo * El ferromagnetismo es una propiedad que depende de la temperatura, y para cada material ferromagnético existe un valor, denominado temperatura de Curie, por encima del cual el material se hace paramagnético. Este fenómeno ocurre cuando el movimiento térmico es suficientemente grande para vencer las fuerzas de alineación. Para el hierro, la temperatura de Curie es de 770° C. Circuitos magnéticos y conversión de energía 5 K L M N n=1 2 3 4 NÚCLEO 1 1 3 13 5 1 Espines + +26 1 1 3 1 3 1 1 Espines – 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s Figura 1.1. Estructura atómica del hierro. externo, resultando un campo total más fuerte. Este efecto puede observarse por medio de la curva de la Figura 1.2, que relaciona la inducción B resultante en función de la intensidad de campo magnético H. Inicialmente, la muestra se encuentra en un estado magnéticamente neutro, debido a que los dominios tienen alineaciones orientadas al azar, resultando un momento magnético total nulo. Al aplicar una intensidad de campo magnético (o excitación magnética) definida por un HM (Fig. 1.2) de pequeño valor, se produce un desplazamiento de las paredes que separan los dominios, ensanchando éstos, a costa de los que están orientados menos favorablemente, los cuales se contraen. Este crecimiento es reversible, y si se elimina el campo H exterior, la densidad de flujo también desaparece. Si se va elevando el valor de H, los dominios continúan aumentando de volumen, a la par que van produciéndose rotaciones bruscas para que sus momentos magnéticos sigan la dirección más próxima a H. Este movimiento es irreversi- ble, y si deja de aplicarse la excitación magnética, permanece la alineación de los dominios que han rotado. Si se sigue incrementando el valor de H, el proceso de alineación continúa gradualmente, extendiéndose simultáneamente a los dominios (caso anterior) y a los mo- B Bsat Saturación Rotación dentro de los dominios N Muestra ferromagnética H Crecimiento Campo exterior irreversible aplicado de los dominios M Dominio Crecimiento reversible magnético O HM H Figura 1.2. Curva de imanación del hierro. 6 Máquinas eléctricas mentos magnéticos dentro de los mismos, de tal forma que cuando los dominios están alineados totalmente se dice que el material se ha saturado, resultando una permeabilidad relativa unidad. La curva dibujada en la Figura 1.2 se denomina curva de imanación de la muestra y en la Figura 1.3 se representan algunas formas de curvas de magnetización (o imanación) para diversos materiales empleados en la construcción de máquinas eléctricas. Se observa que la chapa magnética* posee mejores cualidades magnéticas que el hierro fundido o que el acero fundido, ya que para la misma excitación magnética H se consiguen inducciones más eleva- das, lo que supone un volumen menor del material. Para resolver ejercicios prácticos o estudiar con ayuda de un ordenador un circuito mag- nético es más conveniente utilizar una expresión analítica que relacione B con H. Una ecua- ción típica debida a Fröelich es: aH B= (1.6) 1 + bH que eligiendo unos valores adecuados para las constantes a y b, pueden aproximarse a las curvas de magnetización de los materiales reales. [En muchos de los problemas propuestos a lo largo de este capítulo se utilizará la expresión (1.6) para definir las diferentes curvas de magnetización, lo cual da una mayor agilidad a los cálculos; hay que resaltar que en los casos reales deberán utilizarse las curvas de magnetización que proporciona el fabricante]. Hay que destacar que la relación B = f (H) en estas curvas no es lineal, lo que indica que la permeabilidad del material definida por: B k= (1.7) H dependerá del valor de la excitación magnética que se aplique. B (teslas) 2,0 1,8 Chapa magnética 1,6 1,4 Acero fundido 1,2 1,0 0.8 0,6 Hierro fundido 0,4 0,2 1200 1500 1800 2100 2400 2700 3000 3300 3600 3900 4200 4500 300 600 900 H (Av/m) Figura 1.3. Curvas de imanación de diversos materiales. * En el epígrafe 1.6 se justifica la utilización de las chapas magnéticas en las máquinas eléctricas. Circuitos magnéticos y conversión de energía 7 Realmente, el valor de B que se produce en un material ferromagnético debido a una determinada excitación magnética H no es una función uniforme como se indica en la Figu- ra 1.3, sino que depende además de la historia del material. Para observar este fenómeno, consideremos que la muestra ferromagnética se introduce dentro de una bobina como indica la Figura 1.4a. En la Figura 1.4b se muestra la curva B = f (H) que se obtiene al aplicar excitaciones magnéticas H de diferente magnitud y signo. Se parte del material desmagneti- zado indicado por el punto a de la Figura 1.4b, y se aplica un campo H creciente introducien- do en la bobina una corriente, p. ej., en la dirección indicada en la Figura 1.4a, hasta que se alcanza el punto b. Cuando se hace disminuir H, se reduce el valor de B, pero según un camino diferente. Al volver H a cero persiste una cierta magnetización (punto c). Al valor de B en este punto se le conoce con el nombre de magnetismo o inducción remanente y consti- tuye el estado de magnetización permanente de la muestra. El punto d determina el campo coercitivo, que es el campo opuesto que resulta necesario aplicar para desmagnetizar la muestra (por inversión en el sentido de la corriente de la bobina de la Figura 1.4a). Si conti- nuamos hasta el punto e y después invertimos el sentido de cambio de H, llegaremos a formar una curva cerrada denominada ciclo de histéresis*. La causa de este ciclo es la dificultad que presenta el desplazar las paredes de los dominios. Las imperfecciones del cristal tienden a fijar las paredes, que como consecuencia no se mueven suavemente con el campo aplicado. Esta histéresis, que en algunos materiales resulta muy grande, es la que permite la existencia de imanes permanentes muy potentes. (La condición esencial de todo imán permanente es tener una estabilidad perfecta, es decir, guardar mucho tiempo sin variación sus propiedades magnéticas. Debe, pues, tener un magnetismo remanente intenso y una fuerza coercitiva importante. Para imantar una barra se enrollan a su alrededor espiras conductoras repartidas regularmente por toda su superficie y se hace circular durante un tiempo una corriente continua intensa. La evolución de los imanes permanentes ha sido conside- rable en los últimos cincuenta años. Al principio se utilizaba únicamente acero al carbono; actualmente se emplean aleaciones especiales a base de hierro, níquel, cobalto e incluso con Muestra B Bobina ferromagnética b c -Hm Br H d a f H´max Hmax H´´ max Hc i e -Bm a) Bobina con núcleo de hierro b) Ciclos de histéresis Figura 1.4. Ciclo de histéresis. * El término histéresis procede del griego y significa retraso, indicando con ello el retardo en la imanación de un material respecto al campo aplicado. Por ejemplo, cuando H es positivo y alcanza el valor cero, B es todavía positiva en el valor remanente Br, o cuando B llega a cero, entonces H tiene ya un valor negativo y representa el campo coercitivo Hc. 8 Máquinas eléctricas Tabla 1.1. Parámetros de la curva de histéresis para diversos materiales Composición kr Hc Br Resistividad Nombre % máxima A.v/m Teslas L − m × 10−8 Hierro 99,9 Fe 5.000 80 2,15 10 Hierro al silicio 4 Si; 96 Fe 7.000 48 1,97 59 Hierro al silicio 3,3 Si; 96,7 Fe 10.000 16 2 50 Permalloy 45 Ni; 54 Fe 25.000 24 1,6 50 Mumetal 75 Ni; 2 Cr; 5 Mn; 18 Fe 110.000 2,4 0,72 60 elementos de las tierras raras.) Las sustancias ferromagnéticas con mucha histéresis se llaman duras, mientras que las que presentan poca se denominan blandas o dulces. Se observa en la Figura 1.4b que para un valor de H corresponden varios de B, lo que matemáticamente expresa una función multiforme y que indica, como ya se adelantaba antes, que el estado magnético depende de la historia del material, es decir, depende de los estados magnéticos anteriores. Hay, sin embargo, una curva B(H) perfectamente determinada, y es la que se obtiene uniendo los vértices de los ciclos correspondientes a diversos Hmáx aplicados (Fig. 1.4b), lo que da origen a la curva de magnetización de la sustancia indicada en la Figura 1.3 para diversos materiales. En la Tabla 1.1 se muestran algunos valores caracte- rísticos de la curva de histéresis (y algunos otros parámetros) para diversos materiales em- pleados en la Tecnología Eléctrica. 1.3. LEYES DE LOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS La descripción exacta del campo magnético requiere el uso de las ecuaciones de Maxwell y el conocimiento de las relaciones entre la inducción B y la intensidad del campo magnético H en el medio en el que se establecen los campos. Como quiera que en lo concerniente a las máquinas eléctricas las frecuencias de las señales puestas en juego son bajas, se pueden emplear con suficiente exactitud las aproximaciones que implican la utilización de lo que en electromagnetismo se denomina campo cuasiestacionario. En definitiva, se puede despreciar la corriente de desplazamiento en las ecuaciones de Maxwell, siendo por consiguiente válidas las relaciones magnetostáticas siguientes: div B = 0 ; rot H = J ; B = kH (1.8) Recuérdese de un curso de electromagnetismo que la primera relación anterior indica la im- posibilidad física de poder aislar los polos magnéticos, representa de otro modo una forma elegante de justificar el carácter solenoidal de las líneas de inducción B (las líneas de campo magnético son cerradas, sin principio ni fin). La segunda ecuación (1.8) es la ley de Ampère en forma diferencial y que en forma integral se convierte en: c 3 H · dl = I S J · ds = G i = Ni = F [A.v] (1.9) que indica que la circulación del campo magnético H a lo largo de un camino cerrado c es igual a la suma de corrientes que atraviesan cualquier superficie S apoyada en el camino. Si existen N espiras llevando cada una la corriente i, la suma de corrientes será igual al produc- Circuitos magnéticos y conversión de energía 9 to Ni. Este producto tiene gran importancia en el estudio de las máquinas eléctricas y se denomina fuerza magnetomotriz F (de un modo abreviado, f.m.m.) y que se mide en una unidad útil para el ingeniero denominada amperivuelta (A.v). La f.m.m. es la causa de que se establezca un campo magnético en un circuito, de un modo análogo al de fuerza electromotriz (f.e.m.) que es la causa, en un circuito eléctrico, de que se establezca una corriente eléctrica. En la mayoría de las situaciones prácticas que se suelen dar en el estudio de las máquinas eléctricas, el camino c elegido para aplicar la ley de Ampère (1.9) coincide con la trayectoria media seguida por las líneas de campo magnético H; por otro lado, si el material es homogé- neo e isótropo, la magnitud de H es la misma en todo el recorrido, de ahí que (1.9) se transfor- me en la ecuación escalar siguiente: H, = F = Ni (1.10) en la que , representa la longitud magnética media de las líneas de H. Si el recinto c no es atravesado por ninguna corriente, la ecuación (1.9) nos indica que el campo magnético es entonces irrotacional y que por consiguiente procede del gradiente de un campo escalar denominado potencial magnético U, es decir: rot H = 0 ú 3 c H · dl = 0 ú H = − gradU [A.v/m] (1.11) el potencial magnético U es análogo al potencial escalar eléctrico V. La última ecuación (1.8) representa la relación existente entre los campos B y H y que se denomina permeabilidad. En los materiales homogéneos e isótropos se cumple la relación modular: B = kH [T] (1.12) ya que B y H son uniformes y los campos vectoriales correspondientes tienen la misma dirección y sentido. En los materiales ferromagnéticos, k tiene un valor elevado y no es uniforme, lo que significa que su magnitud depende del módulo de H. Para los demás mate- riales, sean aislantes o conductores eléctricos, la permeabilidad es prácticamente la del vacío : k0 = 4n · 10-7 [H/m] Otro concepto que se debe recordar es el de flujo magnético J que atraviesa un área S, que viene definido por: J= I S B · ds [Wb] (1.13) y que en unidades S.I. se mide en Webers. En la práctica, la inducción magnética es práctica- mente constante en la sección transversal de los núcleos ferromagnéticos y además tiene la misma dirección que la superficie, y por ello (1.13) se transforma en: J=BS [Wb] (1.14) de este modo, si se tienen en cuenta las expresiones (1.10), (1.12) y (1.14), resulta: B, , F = H, = =J [A.v] (1.15) k kS 10 Máquinas eléctricas Si se denomina reluctancia magnética R a: , R= [H−1] (1.16) kS la ecuación (1.15) se puede escribir: F=JR [A.v] (1.17) que es una expresión fundamental para el estudio de los circuitos magnéticos y que se deno- mina ley de Hopkinson, o ley de Ohm de los circuitos magnéticos, por su analogía con la ley de Ohm de las redes eléctricas: e=iR [V] (1.18) Como se deduce de las expresiones anteriores, existe una gran analogía entre los circuitos eléctricos y magnéticos que hacen que puedan estudiarse los circuitos magnéticos con las mismas técnicas desarrolladas en el análisis de los circuitos eléctricos. Pero antes de dar a conocer todas las analogías existentes entre ambos tipos de circuitos, conviene destacar que el circuito magnético difiere del circuito eléctrico en varios aspectos, que hacen difícil el que se pueda llegar al mismo grado de precisión en los cálculos de estructuras magnéticas que en los cálculos de circuitos eléctricos. La corriente eléctrica se considera que se limita a un camino definido (el hilo conductor); el aire circundante y los soportes aislantes del hilo tienen una resistencia muy elevada, de manera que las corrientes de dispersión que escapan del hilo son casi siempre despreciables comparadas con la corriente que pasa por dicho hilo. Pero no se conoce ningún aislante para el flujo magnético; de hecho, el propio aire es un conductor magnético relativamente bueno; por lo tanto, es imposible señalar a las líneas de campo magnético caminos definidos como los que se establecen para las co- rrientes eléctricas. Por ejemplo, en el circuito magnético de la Figura 1.5 se observa que del flujo total producido por la bobina Jt, parte se dispersa por el aire: Jd y otra parte que denominaremos flujo útil Ju atraviesa el núcleo de tal forma que se denomina coeficiente de dispersión o de Hopkinson l al cociente : Jt Ju + Jd J l= = =1+ d (1.19) Ju Ju Ju El flujo de dispersión oscila entre el 10 y el 30 por 100 del flujo útil, por lo que el coeficiente de Hopkinson varía entre l = 1,1 a 1,3. Este coeficiente tiene gran importancia en el análisis de los circuitos magnéticos de las máquinas eléctricas. Φu i Φd Entrehierro Φt Figura 1.5. Dispersión magnética en la bobina. Expansión del campo magnético en el entrehierro. Circuitos magnéticos y conversión de energía 11 Otro efecto a considerar en los circuitos magnéticos es la expansión que ofrecen las líneas de campo, al circular el flujo por espacios de aire, denominados entrehierros, como se indica en la Figura 1.5, lo que hace que se incremente el área efectiva de circulación del flujo en los mismos respecto a la superficie geométrica real. En el desarrollo de este capítulo se considerará, mientras no se diga lo contrario, que la dispersión y expansión de las líneas de campo son despreciables. Una vez hechas todas estas consideraciones y para comprender más plenamente todas las analogías entre los circuitos eléctricos y magnéticos, se van a considerar los esquemas de las Figuras 1.6a y b. En la Figura 1.6a se ha representado un circuito eléctrico formado por un conductor de conductividad p, longitud , y sección uniforme S, alimentado por una pila de f.e.m. e. En la Figura 1.6b se muestra un circuito magnético de permitividad k, longitud , y sección uniforme S, alimentado por una bobina de f.m.m. F = Ni. En el circuito eléctrico, el campo eléctrico no conservativo de la pila Eg produce una d.d.p. en bornes, que a su vez provoca un campo eléctrico E en todos los puntos del conduc- tor, dando lugar según la ley de Ohm a una densidad de corriente J = pE, cumpliéndose las relaciones básicas siguientes: a) Fuerza electromotriz: e = c Eg · dl3 b) Principio de continuidad: div J = 0 c) Ley de Ohm diferencial: J = pE d) Corriente eléctrica: i = I S J · ds I 2 e) D.d.p. entre dos puntos: V12 = V1 − V2 = E · dl 1 En el circuito magnético, la f.m.m. Ni provoca la aparición de un campo magnético H a lo largo de todo el circuito magnético, que da lugar a una inducción B = kH, cumpliéndose las relaciones básicas siguientes: a) Fuerza magnetomotriz (ley de Ampère): F = 3 c H · dl b) Carácter solenoidal de B: div B = 0 c) Relación del medio: B = kH i Φ σ E i μ H e Pila S Bobina S N J B l l a) Circuito eléctrico b) Circuito magnético Figura 1.6. Analogía circuito eléctrico-circuito magnético. 12 Máquinas eléctricas d) Flujo magnético: J = I S B · ds (1.20) I 2 e) D.d.p. magnético: U12 = U1 − U2 = H · dl (1.21) 1 Comparando las ecuaciones (1.20) y (1.21) podemos establecer las analogías mostradas en la Tabla 1.2. Se observa que la f.m.m. F = Ni en el circuito magnético cumple la misma función que la f.e.m. e en el circuito eléctrico, la inducción B es análoga a la densidad de corriente J, la permeabilidad k es análoga a la conductividad p, el campo magnético H es análogo al campo eléctrico E, el flujo magnético J es análogo a la corriente eléctrica i y el potencial magnético U es análogo al potencial eléctrico V. La tabla de analogías anterior puede ampliarse a magni- tudes más útiles para el ingeniero. Así, resulta más práctico emplear conceptos de relaciones entre tensiones y corrientes que de campos. Sabemos, por ejemplo, que el principio de conti- nuidad de la corriente en los circuitos eléctricos conduce al primer lema de Kirchhoff: div J = 0 ú 3 J · ds = 0 ú ∑ i = 0 (1.22) S que nos indica que la suma de corrientes que llegan a un nudo es igual a cero. De un modo equivalente, teniendo en cuenta que en los circuitos magnéticos el flujo es análogo a la corriente de los circuitos eléctricos, se cumplirá en un nudo magnético: div B = 0 ú 3 B · ds = 0 ú ∑ J = 0 (1.23) S ecuación que representa el primer lema de Kirchhoff aplicado a los circuitos magnéticos: la suma de flujos que llegan a un nudo magnético es igual a cero. Por otro lado, la ley de Ohm en forma diferencial: J = pE, se convierte en forma integral: e = Ri (1.24) donde R es la resistencia del circuito, que en función de la longitud ,, sección S y conductivi- dad p vale: 1, R= (1.25) pS Tabla 1.2. Parámetros equivalentes entre los circuitos eléctrico y magnético Circuito eléctrico Circuito magnético e: f.e.m. [V] F: f.m.m. [A.v] J: densidad de corriente [A/m] B: inducción [T] p: conductividad [S/m] k: permeabilidad [H/m] E: campo eléctrico [V/m] H: campo magnético [A.v/m] i: corriente eléctrica [A] J: flujo magnético [Wb] V: potencial eléctrico [V] U: potencial magnético [A.v] Circuitos magnéticos y conversión de energía 13 Para los circuitos magnéticos, la ecuación equivalente a (1.24) es la ley de Hopkinson que ya se determinó en (1.17): F=R·J (1.26) donde la reluctancia R se definió en (1.16): 1, R= (1.27) kS el lector comprobará las analogías entre las expresiones de la resistencia eléctrica (1.25) y la reluctancia magnética (1.27). Según (1.26), la unidad de reluctancia magnética es el cociente de A.v/Wb, que es la inversa del henrio, es decir, H−1. El inverso de la reluctancia magnética se denomina permeancia P = 1/R y su unidad es el henrio (H). En la práctica de los circuitos eléctricos, la ley de Ohm se convierte en el segundo lema de Kirchhoff: ∑ e = ∑ Ri (1.28) y de un modo análogo, en circuitos magnéticos, la ley de Hopkinson (1.26) se transforma en: ∑F=∑RJ (1.29) que indica que en un circuito magnético la suma de f.m.m.s. en una malla es igual a la suma de caídas de tensiones magnéticas, representadas por la suma de los productos de las reluctan- cias por los flujos. Las ecuaciones (1.23) y (1.29) son la base del cálculo de las estructuras magnéticas. En la Tabla 1.3 se han representado estas ecuaciones a modo de síntesis y su comparación con las ecuaciones de los circuitos eléctricos. También se muestran las leyes de asociación de reluc- tancias, que son análogas a las de asociación de resistencias. De lo que antecede se deduce que un circuito magnético puede resolverse, al menos a primera vista, como si se tratara de un circuito eléctrico, con las analogías presentadas en las Tablas 1.2 y 1.3. En realidad, la resolución es algo más compleja porque hay una diferencia esencial que hemos ocultado al lector, que hace que el cálculo no sea tan directo. Efectiva- mente, si en la resolución de un problema de circuitos magnéticos deseamos determinar las reluctancias de las diferentes partes del circuito con ayuda de la ecuación (1.27) para más tarde poder aplicar la ley de Hopkinson o su generalización en la forma del segundo lema de Kirchhoff, se caerá enseguida en la cuenta de que el problema no es obvio, ya que para Tabla 1.3. Leyes equivalentes circuito eléctrico-circuito magnético Circuito eléctrico Circuito magnético Primer lema de Kirchhoff: ∑ i = 0 Primer lema de Kirchhoff: ∑ J = 0 Segundo lema de Kirchhoff: ∑ e = ∑ Ri Segundo lema de Kirchhoff: ∑ F = ∑ R J 1, 1, Resistencia: R = [L] Reluctancia R = [H−1] pS kS Resistencias en serie: RT = ∑ Ri Reluctancia en serie: RT = ∑ Ri 1 1 1 1 Resistencias en paralelo: =∑ Reluctancias en paralelo: =∑ RT Ri RT Ri 14 Máquinas eléctricas determinar R se necesita saber el valor de k = k0kr, pero la permeabilidad relativa no se puede conocer hasta que no se conozca H o B, que es lo que en definitiva se desea calcular. En los problemas en los que se parte de una inducción conocida, el cálculo de la f.m.m. se realiza con ayuda de (1.29), donde suele ser más práctico sustituir el segundo miembro por el que se indica en la siguiente ecuación: ∑ F = ∑ U = ∑ H, (1.30) Ahora bien, en el caso de que el dato de referencia sea la f.m.m., la única forma de resolver el problema es por un procedimiento iterativo de ensayo y error; es decir, el cálculo comienza eligiendo un valor de B y determinando la f.m.m. necesaria, que se compara con la real aplicada, a continuación se modifica el valor de B anterior hacia arriba o hacia abajo para que la f.m.m. se acerque al valor original y así sucesivamente. Con un poco de práctica, se resuelve el problema con dos o tres iteraciones a lo sumo.  Ejemplo de aplicación 1.1 El núcleo central del circuito magnético de la Figura 1.7 está bobinado con 800 espiras. El material es acero fundido con un valor de la permeabilidad relativa kr = 1.000. Calcular la corriente i que debe aplicarse a la bobina para obtener en el entrehierro un flujo de 1 mWb. Núcleo central (l=250mm; s=4000mm2) i Entrehierro (g=1mm; s=4000mm2) Núcleos laterales (l=700mm; s=2000mm2) Figura 1.7. Solución El circuito eléctrico equivalente es el indicado en la Figura 1.8, donde R1 indica la reluctancia de los núcleos laterales, Rc indica la reluctancia del núcleo central y Re es la reluctancia del entrehierro. Los valores respectivos son: 1 700 · 10−3 R1 = = = 27,85 · 104 [H−1] ; kr k0 s 1.000 · 4n · 10−7 · 2.000 · 10−6 Rc = 4,97 · 104 [H−1] ; Re = 19,9 · 104 [H−1] donde se ha tenido en cuenta para el cálculo de Re que la permeabilidad relativa del aire es igual a la unidad (obsérvese que la reluctancia del entrehierro es prácticamente cuatro veces la reluctancia del núcleo magnético central, de lo que se deduce la conveniencia de limitar al máximo los espacios de aire en los circuitos magnéticos, para reducir lo más posible la f.m.m. de la bobina). Circuitos magnéticos y conversión de energía 15 Re Φ/2 Re Φ/2 Φ ' ' Rc R1 R1 Rc R 1/2 1 Ni Ni Figura 1.8. Figura 1.9. Las reluctancias R1 de la Figura 1.8 están en paralelo, resultando una reluctancia equivalente: R1 REQ = = 13,92 · 104 [H 1 ] 2 dando lugar al circuito de la Figura 1.9. En esta figura, aplicando el segundo lema de Kirchhoff resulta: ∑ Ni = ∑ J · R = 10−3 (4,97 + 19,9 + 13,92) · 104 = 387,9 A.v 387,9 de donde: i = = 0,485 A 800  Ejemplo de aplicación 1.2 Resolver el problema anterior supuesto que la curva de magnetización del acero fundido viene expresada por la ecuación: 1,8 · 10−3 H B= B: Teslas; H: A.v/m 1 + 10−3 H Solución Debido a la simetría del circuito y de acuerdo con la Figura 1.8, el flujo en las columnas laterales vale la mitad que en la columna central, es decir: J J1 = = 0,5 · 10−3 Wb 2 Como la sección lateral es igual a 2.000 mm2, la inducción en estas columnas valdrá: J1 0,5 · 10−3 B1 = = = 0,25 Teslas S 2.000 · 10−6 que llevando a la curva de magnetización del material da un valor de H1: 1,8 · 10−3 H1 0,25 = ú H1 = 161,29 A.v/m 1 + 10−3 H1 El núcleo tiene doble flujo y doble sección que las columnas laterales, por lo que se deduce idéntico valor de la inducción y en consecuencia de la excitación H, es decir: Hc = H1 = 161,29 A.v/m 16 Máquinas eléctricas En cuanto al entrehierro, se cumplirá: B 0,25 B = 0,25 Teslas ú He = = = 1,99 · 105 k0 4n · 10−7 Aplicando en segundo lema de Kirchhoff a la malla 1 del circuito de la Figura 1.8, de acuerdo con la fórmula se obtiene: 352,23 Ni = 161,29 · 0,7 + 161,29 · 0,25 + 1,99 · 105 · 10−3 = 352,23 A.v ú i = = 0,44 A 800  Ejemplo de aplicación 1.3 En la Figura 1.10 se muestra un circuito magnético realizado con chapa magnética de acero al silicio y cuya curva de imanación se muestra en la Figura 1.3. El entrehierro es de 1 mm, la longitud magnética media de la estructura de chapa es de 1 m y la sección transversal es uniforme de va- lor: 20 cm2. Calcular la inducción magnética en el entrehierro. 2A l =1 metro Φt N=750 espiras 1mm s=20cm2 Figura 1.10. Solución Cuando se conoce la f.m.m. de la bobina de un circuito magnético realizado con diversos materiales, el cálculo de los flujos o de las inducciones magnéticas no es directo y en general debe utilizarse un método de aproximaciones sucesivas, denominado también de ensayo y error. Sin embargo en casos simples como el que aquí se muestra, existe la posibilidad de utilizar un método gráfico más directo. Para que el lector comprenda la forma de resolución de este tipo de problemas, se van a aplicar aquí ambos procedimientos. 1. Procedimiento de ensayo y error. En la Figura 1.11 se muestra el circuito eléctrico equivalente del sistema magnético de la Figu- ra 1.10. En una primera aproximación, vamos a considerar que en el punto de trabajo del hierro la permeabilidad relativa de éste es del orden de kr = 1.000, lo que significa que 1m de hierro debe tener la misma reluctancia magnética que 1mm de aire (entrehierro), que son las dos longitudes que se muestran en la Figura 1.10 de este problema. RFe 1 2 F = 1500Av Φ Re 3 Figura 1.11. Circuitos magnéticos y conversión de energía 17 Como quiera que la f.m.m. de la bobina es: F = Ni = 750 · 2 = 1500 A.v Si como se ha supuesto se considera que las reluctancias RFe y Re son iguales, la d.d.p. magnéti- ca entre los nudos 1 y 2 será la misma que entre 2 y 3, y tendrá un valor de 1500/2 = 750 A.v, lo que significa que tanto el hierro como el entrehierro requieren una f.m.m. de la bobina de 750 A.v. Ahora bien como la reluctancia del entrehierro vale: ,e 1 · 10−3 Re = = = 3,98 · 105 [H−1] k0S 4n · 10−7 · 20 · 10−4 de acuerdo con la ley de Hopkinson, el flujo magnético y la inducción correspondiente en el entrehie- rro serán respectivamente: F 750 Je 1,88 · 10−3 Je = = = 1,88 mWb ú Be = = = 0,94 teslas Re 3,98 · 105 S 20 · 10−4 Al ser un circuito magnético serie, la inducción anterior será la misma que existirá en la estructu- ra de la chapa magnética, por ello si con esta inducción en el entrehierro se va a la curva de imana- ción de la Figura 1.3 se observa que la chapa magnética requiere un campo magnético del orden de 100 A.v/m y como la longitud del hierro es de 1 m corresponde a 100 A.v, que es muy inferior al valor previsto de 750 A.v. Lo cual significa que la inducción de 0,94 teslas que se ha obtenido con esta primera suposición ha quedado por debajo del valor real que debe tener la estructura magnética. Vamos a elevar por ello la inducción de trabajo a un valor de por ejemplo 1,5 teslas, en este caso el campo en el entrehierro será entonces: Be 1,5 He = = = 11,94 · 105 A.v/m k0 4n · 10−7 de este modo la d.d.p. magnética en el entrehierro (entre los nudos 2 y 3 de la Figura 1.11) será: U23 = He ,e = 11,94 · 105 · 1 · 10−3 = 1.194 A.v Para calcular la d.d.p. magnética en el hierro (entre los nudos 1 y 2 de la Figura 1.11) es preciso ver primero el campo magnético que requiere el hierro para la inducción de 1,5 teslas. La curva de imanación de la Figura 1.3 nos indica que se necesitan unos 510 A.v/m, por lo que la f.m.m. U12 será: U12 = HFe ,Fe = 510 · 1 = 510 A.v lo que requerirá una f.m.m. total en la bobina: F = U12 + U23 = 1.194 + 510 = 1.704 A.v/m que es superior al valor de 1.500 A.v que tiene la bobina según indica el enunciado, pero se acerca bastante a ella. Es preciso entonces reducir un poco la inducción de prueba, probemos ahora con 1,4 teslas, que es un valor algo inferior al anterior. En este caso el campo en el entrehierro tendrá un valor: Be 1,4 He = = = 1,11 · 106 A.v/m k0 4n · 10−7 y por consiguiente la diferencia de potencial magnético en el entrehierro será: U23 = He ,e = 1,11 · 106 · 1 · 10−3 = 1.110 A.v A continuación se calcula la d.d.p. magnética en el hierro. Como quiera que la inducción en el hierro es también de 1,4 Teslas, la curva de imanación de la Figura 1.3 nos indica que el campo magnético en el hierro es de 400 A.v/m por lo que la f.m.m. U12 será: U12 = HFe ,Fe = 400 · 1 = 400 A.v 18 Máquinas eléctricas lo que requerirá una f.m.m. total en la bobina: F = U12 + U23 = 1.110 + 400 = 1.510 A.v que coincide prácticamente con la f.m.m. que tiene la bobina. Es decir la inducción magnética en el entrehierro es prácticamente de 1,4 teslas. 2. Procedimiento gráfico. De acuerdo con el circuito eléctrico equivalente de la Figura 1.11, la f.m.m. de la bobina es igual a la suma de las d.d.p. magnético entre los nudos 1 y 2 (hierro) y 2-3 (entrehierro) es decir: F = Ni = HFe,Fe + He,e y al despejar el campo magnético en el hierro resulta la siguiente ecuación: Ni He,e HFe = − (a) ,Fe ,Fe y como quiera que la inducción magnética en el entrehierro coincide con la del hierro (circuito serie), el valor del campo en el entrehierro es: Be BFe He = = k0 k0 que al llevar a la ecuación (a) da lugar a: Ni BFe ,e HFE = − (b) ,Fe k0 ,Fe que es la ecuación de una recta que relaciona la inducción y el campo magnético en el hierro. Al dibujar esta recta en el gráfico de la curva de imanación del hierro tal como se muestra en la Figu- ra 1.12, la intersección con esta curva nos da directamente el resultado. Al sustituir valores numéri- cos en (b), la ecuación de la recta viene expresada por: 1.500 BFe 10−3 HFe = − = 1.500 − 796 BFe 1 4n · 10−7 1 B (teslas) 2,0 A 1,8 1,6 Chapa magnética 1,4 C 1,2 1,0 0.8 0,6 0,4 0,2 B 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 H (Av/m) Figura 1.12. Circuitos magnéticos y conversión de energía 19 La intersección de esta recta con el eje de ordenadas es: 1.500 HFe = 0 ú BFe = = 1,88 T 796 que corresponde al punto A de la Figura 1.13. La intersección con el eje de abscisas es: BFe = 0 ú HFe = 1.500 A.v/m que corresponde al punto B de la Figura 1.12. De este modo se puede dibujar la recta y la intersección de la misma con la curva de imanación da lugar al punto C que corresponde a una inducción magnéti- ca de prácticamente 1,4 teslas y a un campo magnético necesario de 400 A.v/m, y como la longitud del hierro es de 1 metro corresponden a un f.m.m. de 400 A.v por lo que el resto de 1.500 − 400 = = 1.100 A.v será la f.m.m. requerida por el entrehierro, valores que coinciden con los obtenidos con el procedimiento anterior de ensayo y error.  Ejemplo de aplicación 1.4 El esquema de la Figura 1.13 corresponde al circuito magnético de una máquina eléctrica rotativa. Existen dos núcleos polares sobre los que se colocan unos devanados de «excitación» cuya misión es crear el flujo que atraviese al «inducido», y éste va devanado con un bobinado (no indicado en la figura) donde se genera la f.e.m. de la máquina al girar el inducido movido por una energía mecáni- ca externa. Las dimensiones son las indicadas en la Figura 1.13, y los materiales con los que está construida la máquina son: Núcleos polares, inducido: chapa magnética. Culata: acero fundido. Las curvas de magnetización de estos materiales son las indicadas en la Figura 1.3. Calcular el número de Ampe- rios-vuelta por polo necesarios para producir una inducción en el entrehierro de 1 Tesla, supuesto que el coeficiente de Hopkinson entre los polos y el inducido vale 1,15. Núcleo polar nF (25 cm; 1.000 mm2) Culata (150 cm; 450 mm2) N nF/2 F Bobinas de Entrehierro F/2 F/2 excitación (0,6 mm; 1.200 mm2) F nF/2 Inducido S Zapata polar (50 cm; 500 mm2) nF Figura 1.13. Solución Para resolver este problema se seguirá el mismo desarrollo que en los ejemplos anteriores, calculan- do la d.d.p. magnética necesaria en cada parte de la máquina. En la Figura 1.14 se muestra el circuito eléctrico equivalente. Obsérvese que debido a la dispersión del flujo magnético al pasar éste del estátor al rotor, el flujo en los polos es lJ, siendo J el flujo en el entrehierro, y de este modo resulta: 20 Máquinas eléctricas a) Entrehierro. La inducción en esta zona vale 1 Tesla, lo que equivale a un campo magnético He: Be 1 He = = = 7,96 · 105 A.v/m k0 4n · 10−7 De este modo las diferencias de potenciales magnéticos en cada entrehierro serán: Ue = UCD = UEF = He le = 7,96 · 105 · 0,6 · 10−3 = 477,6 A.v A R polo νΦ B F C lΦ/2 ' lΦ/2 R entrehierro Φ2 D Φ2 R culata R inducido R inducido R culata E R Φ entrehierro F F lΦ G R polo H Figura 1.14. b) Inducido: El flujo que atraviesa el entrehierro vale: Je = J = B Se = 1 · 1.200 · 10−6 = 1,2 · 10−3 Wb Al llegar al inducido se divide en dos partes iguales: Ji = J/2 = 0,6 · 10−3 Wb, lo que corresponde a una inducción en el núcleo: Ji 0,6 · 10−3 Bi = = = 1,2 Teslas si 500 · 10−6 lo que equivale en la curva de chapa magnética de la Figura 1.3 a un campo magnético aproximado Hi = 200 A.v/m. Como la longitud de cada parte del inducido es de 50 cm, se tendrá una d.d.p. UDE dada por: Ui = UDE = Hi li = 200 · 0,5 = 100 A.v. c) Núcleos polares: El flujo en los polos, teniendo en cuenta la dispersión, es igual a 1,15 veces el flujo en el entrehierro, es decir: Jp 1,38 · 10−3 Jp = lJe = 1,15 · 1,2 · 10−3 = 1,38 · 10−3 Wb ú Bp = = = 1,38 Teslas sp 1.000 · 10−6 lo que equivale en la curva de chapa magnética de la Figura 1.3 a un campo magnético Hp = = 400 A.v/m. Como la longitud de cada polo es igual a 25 cm, se tendrán las siguientes diferencias de potencial magnético: Up = UAB = UGH = 400 · 0,25 = 100 A.v. Circuitos magnéticos y conversión de energía 21 d) Culata: El flujo que circula por cada una de las partes de la culata es la mitad del que atraviesa los polos, es decir: Jp 1,38 · 10−3 Jc 0,69 · 10−3 Jc = = = 0,69 ·10−3 Wb ú Bc = = = 1,53 Teslas 2 2 S 450 · 10−6 por lo que el campo Hc necesario, que se obtiene en la curva de imanación del acero fundido de la Figura 1.3, vale: Hc = 2.200 A.v/m, de este modo la d.d.p. magnética en cada parte de la culata será: Uc = UHA = Hc lc = 2.200 · 1,5 = 3.300 A.v Para calcular la f.m.m. total, obsérvese que en la Figura 1.14 se cumple: 2F = UAB + UCD + UDE + UEF + UGH + UHA ú 2F = 2 Ue + Ui + 2Up + Uc que al sustituir valores da lugar a una f.m.m. por polo: 2477,6 + 100 + 2.100 + 3.300 F= = 2.278 A.v 2  AMPLÍE SUS CONOCIMIENTOS 1. Efecto de las ranuras en la reluctancia del entrehierro. Coeficiente de Carter En el Ejemplo de Aplicación 1.4, se ha calculado la f.m.m. necesaria en los polos de una máqui- na eléctrica ideal en el que se ha hecho caso omiso de los efectos de las ranuras en la distribución del campo magnético en el entrehierro. En la práctica resulta difícil determinar con exactitud la reluctancia del entrehierro debido a que la combinación ranura-diente produce una distribución de la inducción magnética en el entrehierro que deja de ser radial y sigue una forma similar a la que se muestra en el rotor dentado de la Figura 1.15a , es decir el campo se hace más denso por encima de los dientes y se rarifica por encima de las ranuras, recorriendo en este caso un camino que es muy superior al valor del espesor del entrehierro. De este modo la determinación precisa de la reluctancia del entrehierro no es un problema obvio ya que no está claro cuál es el área efectiva de paso de flujo magnético en el entrehierro y tampoco cuál es la longitud equivalente del mismo. Este problema es muy importante para los ingenieros que se dedican al proyecto y construcción de máquinas eléctricas. Es evidente que si se considera un rotor liso con un entrehierro de espesor constante g, la reluctancia del entrehierro correspondiente a un paso de ranura qr para un rotor de longitud axial L viene expresada por: g Rliso = (1) k0Lqr en el caso opuesto, si se supone que no pasa flujo magnético por las ranuras, la reluctancia correspondiente sería: g Rsolo dientes = (2) k0L(qr − br) donde br es la anchura de una ranura. Evidentemente ninguna de las dos ecuaciones anteriores es la correcta. La reluctancia real estará comprendida entre las dos anteriores. El ingeniero inglés 22 Máquinas eléctricas Frederick William Carter (1870-1952) demostró en 1901* que la reluctancia correcta era de la forma: g Rran = (3) k0L(qr − pbr) donde p se denomina coeficiente de ranura. σ Estátor 0,7 0,6 τr 0,5 br L 0,4 g 0,3 d 0,2 Rotor 0,1 br/g 0 Diente Líneas de inducción Ranura 0 2 4 6 8 10 magnética a) b) Figura 1.15. a) Distribución de la inducción magnética en un rotor dentado. b) Coeficiente de ranura. Para resolver este problema Carter utilizó la ecuación de Laplace bidimensional para la tensión magnética y determinó las superficies equipotenciales entre el rotor ranurado y las su- perficies polares (analogía eléctrica-magnética), supuso para ello que las ranuras eran abiertas y de profundidad infinita y utilizó la transformación conforme de Schwarz-Christoffel para modi- ficar la geometría real de las ranuras en el plano complejo z = x + jy en otra más simple en el plano transformado w = u + jv, llegando a la conclusión que el coeficiente de ranura incluido en la ecuación (3) venía expresado por: E C A B DF 2 2 br g br p= arctg − ln 1 + (4) n 2g br 2g En la Figura 1.15b se muestra el valor del coeficiente de ranura p en función del cociente br /g. Posteriormente otros investigadores encontraron una expresión más simple de (4) y que da prácticamente los mismos resultados que la ecuación original para los cocientes br/g que apare- cen en los diseños reales y que responde a la ecuación de la siguiente hipérbola: br /g p= (5) 5 + br /g Posteriormente Carter introdujo un parámetro kc mayor que la unidad denominado factor de Carter, que es el cociente entre las reluctancias de un rotor ranurado y un rotor liso, de tal modo que según (1) y (3) se cumple: Rran qr − pbr kc = = (6) Rliso qr * F. W. Carter, Air-Gap Induction, Electrical World, 38 (1901), pp. 884-888. Circuitos magnéticos y conversión de energía 23 expresión que relaciona el factor de Carter kc con el coeficiente de ranura p. De la ecuación anterior (6) y teniendo en cuenta (1) se puede escribir: g geq Rran = kcRliso = kc = (7) k0Lqr k0Lqr donde geq= kc g. La ecuación anterior (7) es muy importante porque permite calcular la reluctan- cia de un rotor ranurado como si fuera liso con tal de utilizar un entrehierro equivalente o efectivo geq que viene relacionado con el entrehierro real g por medio del factor de Carter. En definitiva y como resumen: el proceso a seguir para el cálculo de la reluctancia de una máquina dentada (estén los dientes en el estátor o en el rotor) consiste en determinar el cociente br/g, de tal modo que con ayuda de la curva de la Figura 1.15b (o la expresión aproximada (5)) se obtiene el coeficiente de ranura p, después por medio de (6) se calcula el factor de Carter kc y finalmente mediante (7) se determina la reluctancia real. Desde un punto de vista estricto el desarrollo analizado solamente es válido para una máquina con ranuras abiertas, pero estudios posteriores demostraron que se puede aplicar sin demasiado error a otros tipos de ranuras de tipo semicerrado o semiabierto. El esquema de la Figura 1.15a representa en particular el circuito magnético de una máquina de c.c. en la que en el estátor están los polos y en el rotor el inducido, que tiene ranuras y dientes. En el caso de otras máquinas, como por ejemplo el motor asíncrono o de inducción, se dispone de dientes y ranuras tanto en la estructura del estátor como la del rotor. El procedimiento anterior sigue siendo válido introduciendo factores de Carter tanto para el estátor como para el rotor, de tal modo que el factor de Carter resultante es el producto de los dos factores considerados. El aumento de la reluctancia de entrehierro debido a la presencia de ranuras y dientes supone que para una misma f.m.m. aplicada a la máquina se produce una reducción de la inducción magnética respecto a una estructura magnética lisa o de otro modo, si se desea conseguir una determinada inducción magnética en el entrehierro se requiere una ma- yor f.m.m. en el devanado de excitación de la máquina que el previsto con estructura lisa. Efectos similares aparecen cuando existen conductos de ventilación en el apilamiento axial de las chapas magnéticas utilizados en la construcción de las máquinas eléctricas. En la actualidad el análisis de la distribución de campo magnético en las máquinas eléctricas se realiza con programas matemáticos que utilizan el método de los elementos finitos. 1.4. IMANES PERMANENTES 1.4.1. Generalidades Los imanes permanentes son materiales magnéticos duros, lo que significa, según se ha seña- lado en el epígrafe 1.2.3, que poseen un ciclo de histéresis definido por una alta inducción remanente Br y sobre todo por un campo coercitivo Hc muy elevado para que de este modo presenten una buena resistencia a la desmagnetización cuando trabajan en campos magnéti- cos externos. El primer imán permanente conocido fue la piedra imán que era un óxido de hierro conocido por el nombre de magnetita (Fe2O3), y cuyas acciones de atracción sobre el hierro asombraban a los griegos (600 años a.C.). Las primeras máquinas eléctricas construi- das en la década de 1870 utilizaban imanes permanentes realizados con aleaciones de hierro, pero enseguida se sustituyeron por electroimanes para conseguir las altas inducciones que se requerían en los entrehierros de las máquinas eléctricas. Con el desarrollo de los aceros espe- ciales con cromo y cobalto en la década de 1920, se produjeron imanes permanentes artificia- les de mejores características. Sin embargo el gran paso en la construcción de imanes perma- nentes se produjo en la década de 1930, con el desarrollo de imanes de ALNICO, cuyo nombre procede de los elementos utilizados en su elaboración que aparte del hierro son alu- 24 Máquinas eléctricas minio, níquel y cobalto. Una vez magnetizados los imanes mediante la excitación con deva- nados alimentados por corriente continua, los imanes de Alnico desarrollaban fuerzas de cinco a quince veces superiores a la magnetita. En la década de 1950 la Compañía holandesa Philips inventó los primeros imanes no metálicos, a base de cerámicas formadas por polvo de óxido de hierro mezclado con bario o estroncio y que se moldeaban a alta temperatura y presión; estas cerámicas se conocen con el nombre genérico de ferritas y tienen una gran aplicación en la industria de la electrónica y de las comunicaciones. En la década de 1970, el Dr. Karl Strnat, que trabajaba en el Laboratorio de Materiales de las fuerzas aéreas norteame- ricanas, descubrió un tipo de imán permanente a base de materiales de las tierras raras, forma- dos por samario y cobalto, que trabajaban a alta temperatura y que desarrollaban una fuer- za 50 veces superior a la magnetita. Por fin en la década de 1980, se produce otra nueva revolución en la construcción de imanes permanentes, cuando la Compañía japonesa Sumi- moto y la empresa americana General Motors, anuncian el descubrimiento de imanes perma- nentes a base de neodimio-hierro-boro, que producen una fuerza de atracción 75 veces supe- riores a la magnetita. Estos últimos descubrimientos han provocado grandes cambios en la industria eléctrica, ya que han permitido sustituir los electroimanes de los devanados de exci- tación de las máquinas por imanes permanentes en la construcción de pequeños generadores y motores eléctricos, el desarrollo de nuevos tipos de relés, aparatos de medida eléctricos de tipo analógico, servomotores, contadores eléctricos, separadores magnéticos, motores de ac- cionamiento de discos duros de ordenador, etc. En la Figura 1.16 se muestran las curvas de desmagnetización de los materiales emplea- dos en la fabricación de imanes permanentes citados anteriormente. Estas curvas son la repre- sentación en el segundo cuadrante de los ciclos de histéresis correspondientes. Los imanes tipo Alnico tienen una inducción remanente Br que puede llegar hasta 1,2 T y un campo coercitivo Hc comprendido entre 90 y 140 kA/m; la temperatura de Curie es cercana a los 750 °C y el producto (BmHm)máx es del orden de 50 kJ/m3. Los imanes de Alnico son mecánicamente duros y son por ello difíciles de mecanizar. Las ferritas tienen una inducción remanente Br de 0,4 T y un campo coercitivo que llega a Hc ] 250 kA/m; la temperatura de Curie es cercana a los 450 °C y el producto (BmHm)máx es del orden de 20 kJ/m3. Las ferritas son de la familia de las cerámicas, por lo que no son conductoras de la electricidad y se utilizan mucho para formar los polos de los motores de c.c. Los imanes de samario-cobalto responden a las formulaciones químicas Sm1 Co5 y Sm2 Co17 y tienen una inducción remanen- B (T) 1,5 NdxFeyBz 1 Alnico 0,5 Hc=900 Sm xCoy Ferrita H (kA/m) 600 500 400 300 200 100 0 Figura 1.16. Curvas de desmagnetización de diversos materiales empleados en la construcción de imanes permanentes. Circuitos magnéticos y conversión de energía 25 te Br de 0,7 T a 1,1 T y un campo coercitivo Hc comprendido entre 500 y 900 kA/m; la temperatura de Curie es cercana a los 450 °C y el producto (BmHm)máx es del orden de 20 kJ/m3. Los imanes de neodimio-hierro-boro responden a la expresión genérica Nd2Fe14B y tienen una inducción remanente Br de 1 T a 1,3 T y un campo coercitivo Hc comprendido entre 600 y 900 kA/m; la temperatura de Curie es cercana a los 310 °C y el producto (BmHm)máx puede llegar a 400 kJ/m3. 1.4.2. Circuitos magnéticos con imanes permanentes En la Figura 1.17 se muestra un circuito magnético serie, constituido por un imán permanente como fuente de flujo magnético y definido por su longitud ,m, su sección transversal Sm y por la curva de de desmagnetización Bm = f (Hm) correspondiente. El entrehierro tiene una longi- tud ,e, y una sección transversal Se y las piezas de hierro superior e inferior de cierre de flujo magnético se suponen que tienen permeabilidad infinita. Asimismo por simplicidad se van a considerar despreciables los flujos de dispersión y la deformación de las líneas de campo magnético en el entrehierro. El problema consiste en determinar los valores de Bm y Hm en el imán permanente y por ende los valores de Be y He en el entrehierro. Al ser un circuito magnético en serie, el flujo magnético es el mismo en todo el circuito, es decir: Jm = Bm Sm = Je = Be Se (1.31) Por otro lado al aplicar la ley de Ampère al circuito magnético medio se cumple: Hm,m + He,e = 0 (1.32) donde los sentidos de Hm y He son los del flujo magnético común. Teniendo en cuenta además que en el entrehierro se cumple la relación Be=k0He, de las ecuaciones (1.31) y (1.32) se obtiene: Se S , S Bm = Be = k0He e = −k0 m Hm e (1.33) Sm Sm ,e Sm es decir: C D ,m Se Bm = − k0 H (1.34) ,e Sm m Hierro (μr=infinito) Φm=Φe N Be lm le Bm Se Imán permanente Sm S Figura 1.17. Circuito magnético con imán permanente y entrehierro. 26 Máquinas eléctricas que es la ecuación de una recta denominada línea de carga o recta de entrehierro y cuya intersección con la curva de desmagnetización del imán (situada en el segundo cuadrante), da lugar al punto de funcionamiento del circuito. En la Figura 1.18 se muestra este resultado, donde OR es la recta de entrehierro definida por la expresión (1.34) y M representa el punto de funcionamiento definido por las coordenadas Bm y Hm. Obsérvese que Hm siempre es negativo y de ahí que reciba el nombre de campo desmagnetizante, mientras que Bm siempre es positivo. Si en la situación anterior se aumenta el espesor del entrehierro del valor inicial ,e hasta otro final ,e1 (con ,e1 > ,e ), es evidente que de acuerdo con la ecuación (1.34) la nueva línea de carga tendrá menos pendiente, lo que aumenta el grado de desmagnetización del imán. En la Figura 1.18 se ha dibujado la nueva línea de carga ORñ correspondiente a este aumento del entrehierro. Evidentemente el nuevo punto de trabajo será M1 habiendo pasado el punto de trabajo inicial M hasta el final M1 siguiendo la curva de desmagnetización del imán. ¿Pero qué sucedería a continuación si el entrehierro vuelve a su valor inicial ,e? En este caso el punto de funcionamiento M1 no vuelve a M sino que va hasta M2 siguiendo una recta, cuya pendiente, según demuestra la experiencia, tiene un valor prácticamente igual a la pen- diente de la recta tangente a la curva de desmagnetización del imán en el punto correspon- diente al magnetismo remanente Br. Esta línea M1 M2 recibe el nombre de recta de retroceso, de tal modo que si el entrehierro vuelve a aumentar nuevamente hasta el valor ,e1 el punto M2 pasará a M1. En realidad si el entrehierro variara de una forma periódica entre los valores mínimo ,e y máximo ,e1, la trayectoria del punto de funcionamiento describiría un ciclo de histéresis local entre los dos puntos extremos M1 y M2, representado en la Figura 1.18 por un lazo cerrado sombreado. En la mayoría de los imanes permanentes el ciclo de histéresis local es muy estrecho, por lo que se confunde con la recta de retroceso que une M1 con M2. Otro aspecto importante a señalar al trabajar con imanes permanentes es qué sucede cuan- do el espesor del entrehierro se hace muy grande. Supóngase por ejemplo en el caso de la Figura 1.18, que estando trabajando el circuito magnético en el punto M correspondiente a un entrehierro de espesor ,e se aumente éste a un valor muy elevado (,e2 >> ,e), de tal modo que la recta de entrehierro se convierta en la horizontal OHc. Evidentemente el punto de funciona- miento inicial M pasará a Hc, pero si ahora se retorna al entrehierro inicial, el punto de funcionamiento seguirá la recta de retroceso trazada desde Hc, hasta su intersección con la B Recta de carga (menor entrehierro) R Br M Ciclo de histéresis local Bm Recta tangente en Br Recta de carga R´ M2 Bm2 (mayor entrehierro) M1 Bm1 Recta de retroceso M3 Bm3 H Hc Hm1 Hm Hm2 O Figura 1.18. Curva de desmagnetización de un imán permanente, rectas de carga y de retroceso. Circuitos magnéticos y conversión de energía 27 B R M Br Curva de desmagnetización Bm del imán permanente M2 Recta de retroceso H Hc Hm O Figura 1.19. Curva de desmagnetización y recta de retroceso para un imán permanente de característica cuasilineal. recta de carga OR dando lugar al punto M3 que corresponde a una inducción de trabajo Bm3 muy reducida. Es decir el imán permanente se ha desmagnetizado. La situación anterior ocurre por ejemplo cuando se desmonta una máquina eléctrica que dispone de imanes perma- nentes; es ésta una operación que debe realizarse con mucha precaución, ya que requerirá volver a magnetizar el imán con una bobina de excitación externa. A esto se debe el que los imanes permanentes se magnetizan una vez montado el conjunto de la máquina. Este proble- ma es menos grave con los imanes permanentes en los que la curva que une Br con Hc (curva de desmagnetización) es prácticamente recta, como en los modernos de Sm-Co y sobre todo en los de Nd-Fe-B, ya que entonces la recta de retroceso coincide prácticamente con la curva (recta) de desmagnetización del imán tal como se muestra en la Figura 1.19, por lo que los puntos de trabajo M y M2 son muy próximos. 1.4.3. Imán permanente de volumen mínimo Debido a los elevados costes de fabricación de los imanes permanentes y a la necesidad en muchos casos prácticos de colocarlos en máquinas eléctricas de pequeño tamaño (micromo- tores y servomotores) conviene que en su diseño se utilice el menor volumen posible de material magnético para cada aplicación específica. Considérese por ejemplo el esquema de la Figura 1.17, que dispone de un entrehierro de longitud ,e y sección Se , de acuerdo con la ecuación (1.32) el valor absoluto del campo magnético Hm (que corresponde al punto de trabajo M en la Figura 1.18) es igual a: He,e Be ,e J , Hm = = = e e (1.35) ,m k0 ,m k0Se ,m donde Je representa el flujo magnético del entrehierro que coincide según (1.31) con el flujo magnético del imán. Si se denomina Re a la reluctancia magnética del entrehierro cuyo valor es: ,e Re = (1.36) k0Se la expresión (1.35) se puede escribir así: JeRe Hm = (1.37) ,m 28 Máquinas eléctricas de donde se deduce el valor de la longitud del imán JmRe ,m = (1.38) Hm por otro lado de la ecuación (1.32) se puede escribir: Jm Je Bm = = (1.39) Sm Sm por lo que la sección del imán vale: Je Sm = (1.40) Bm es por ello que el volumen del imán Volm , teniendo en cuenta (1.38) y (1.40) tiene un valor: JeRe Je J2e Volm = ,mSm = = Re (1.41) Hm Bm HmBm de esta ecuación se deduce que para un determinado entrehierro definido por su reluctancia magnética Re y para un flujo magnético específico en el entrehierro Je, el volumen del imán será mínimo cuando el producto HmBm sea máximo. Ésta es la justificación de que los fabri- cantes suministren en sus catálogos el valor de este producto como un dato importante para el diseño de sistemas magnéticos con imanes permanentes. Como se verá en el siguiente epígra- fe el producto anterior tiene dimensiones de densidad de energía magnética y es por ello que los fabricantes lo denominan producto energético máximo (HmBm)máx. 1.5. ENERGÍA Y COENERGÍA MAGNÉTICA Considérese una bobina de N espiras arrollada en un núcleo ferromagnético, tal como se muestra en la Figura 1.20a, que se conecta a una fuente de tensión variable l(t); como conse- cuencia de ello se establecerá una corriente i(t) en la bobina que producirá un flujo variable J(t) en el núcleo. De acuerdo con la ley de Faraday, el flujo anterior creará una f.e.m. inducida en cada una de las espiras del devanado, dando lugar a una f.e.m. total, que puede considerarse bien como una elevación de tensión en el sentido de la corriente (véase Fig. 1.20b) de valor: dJ e = −N (1.42) dt R l metros i(t) d' e =– { v(t) d' i(t) dt e=–N dt R ohmios '(t) b) v(t) S N espiras R '(t) i(t) d' d' v(t) e = +N e=+ dt dt a) c) '(t) Figura 1.20. F.e.m. y f.c.e.m. inducida en una bobina con núcleo de hierro. Circuitos magnéticos y conversión de energía 29 o bien como una caída de tensión en el sentido de la corriente (véase Fig 1.20c), denominán- dose entonces fuerza contraelectromotriz (abreviadamente f.c.e.m.) cuya magnitud es: dJ e = +N (1.43) dt Las dos formas anteriores de expresar la misma ley (ley de Faraday-Lenz) suele ser motivo de confusión entre los estudiantes, no habiendo razón alguna a este dislate. Para ilustrar más eficazmente la aplicación de la ley de Faraday, en la parte central superior de la Figura 1.20 se ha aislado una espira del devanado para ver el sentido de la f.e.m. y corriente inducida. Se observa que la polaridad de la f.e.m. inducida es tal que produce una corriente (si la espira está cerrada) que da lugar a un flujo inducido en el mismo sentido del flujo inductor J(t), y es por ello que se hace necesario incluir el signo menos en la expresión de la f.e.m., para tener en cuenta la ley de Lenz, de oposición al cambio de flujo. En la Figura 1.20b se muestra el circuito eléctrico equivalente de la bobina, donde se observa que el sentido de elevación de la f.e.m. coincide con el sentido de la corriente (se ha considerado que la bobina tiene una resistencia R). En el caso de la espira dibujada en la parte central inferior de la Figura 1.20, se observa que la polaridad de la f.e.m. inducida es contraria a la considerada en el caso anterior; en esta situación se produce una corriente en la espira, que da lugar a un flujo inducido que se opone al flujo principal J(t); es por ello por lo que no es necesario incluir el signo menos en la expresión de la f.e.m., puesto que con la polaridad asignada se obtiene un flujo inducido que es antagónico al principal. En la Figura 1.20c se ha representado el circuito equivalente de la bobina correspondiente, en el que se observa que ahora el sentido de elevación de tensión de la f.e.m. es contrario a la corriente, y de ahí la justificación de la denominación antes indicada de fuerza contraelectromotriz. Una vez hechas estas aclaraciones, vamos a calcular el balance energético que se produce en el circuito. Si aplicamos el segundo lema de Kirchhoff a la red de la Figura 1.20c resulta: dJ v = Ri + N (1.44) dt donde las expresiones v, i y J son funciones del tiempo, aunque no se hagan constar explícita- mente en la ecuación anterior. Si en (1.44) se multiplican ambos miembros por i dt resulta: vi dt = R i2 dt + Ni dJ (1.45) o expresado de otro modo: dWe = dWR + dWm (1.46) donde: dWe: diferencial de energía eléctrica que entra al circuito. dWR: diferencial de energía disipada en la resistencia R de la bobina por efecto Joule. dWm: diferencial de energía suministrada al campo magnético (diferencial de energía magnética). La ecuación (1.46) representa el balance energético del circuito o simplemente la ley de conservación de la energía. El término dWm se puede escribir: dWm = Ni dJ = F dJ (1.47) 30 Máquinas eléctricas donde F representa la f.m.m. de la bobina. Si suponemos que en el instante inicial (t = 0) el flujo en el núcleo es nulo y la corriente es cero, y si se incrementan estos valores hasta unas magnitudes finales J e i, se tendrá una energía magnética total suministrada al núcleo magné- tico por la fuente: I J Wm = F dJ (1.48) 0 La ecuación anterior indica que cuando se incrementa el campo magnético asociado con un núcleo, la energía fluye de la fuente al campo. Así pues, esta energía es almacenada por el campo magnético tanto tiempo como el flujo se mantenga en el mismo valor, en nuestro caso J. Si se considera que la curva de imanación del material ferromagnético del núcleo es la mostrada en la Figura 1.21, que es análoga a la indicada en la Figura 1.2, pero en la que ahora (Fig. 1.21) se ha representado en abscisas la f.m.m. en vez del campo H, y en ordenadas el flujo J en vez de la inducción B, entonces la energía magnética Wm de la expresión (1.48) vendrá expresada por el área comprendida entre la curva de imanación y el eje de flujos (área sombreada horizontalmente). En la teoría de los circuitos magnéticos es interesante definir una magnitud denominada coenergía y que responde a la ecuación: I F W mñ = J dF (1.49) 0 que es el área comprendida entre la curva de imanación y el eje de f.m.m.s. (área sombreada verticalmente en la Figura 1.21). La coenergía no tiene un significado físico directo pero es de gran utilidad para el cálculo de fuerzas en los dispositivos electromagnéticos. Obsérvese que la suma de la energía más la coenergía magnética es el área del rectángulo F J de la Figura 1.21. Las expresiones (1.48) y (1.49) pueden también definirse en función de los campos mag- néticos H y B. Si se considera el esquema de la Figura 1.20, en el que el núcleo tiene una sección uniforme S y , es la longitud magnética media (longitud geométrica media), si se suponen uniformes los campos magnéticos, se podrá escribir: J=BS d J = S dB F=H, d F = , dH (1.50) F F Wm Wm@ F F Figura 1.21. Energía y coenergía magnética. Circuitos magnéticos y conversión de energía 31 De este modo la expresión de la energía magnética almacenada (1.48) se convertirá en: I I J B Wm = F dJ = vol · H dB (1.51) 0 0 donde vol = S , representa el volumen del núcleo ferromagnético. La energía almacenada por unidad de volumen, y que se denomina densidad de energía magnética, valdrá entonces: I B Wm wm = = H dB (1.52) vol 0 De un modo análogo, teniendo en cuenta (1.49) y (1.50) se obtiene una densidad de coenergía magnética: I H w mñ = B dH (1.53) 0 que tienen unas interpretaciones gráficas similares a las de la Figura 1.21, si se representan ahora el campo magnético H en abscisas y la inducción B en ordenadas. Cuando la curva de imanación del núcleo se considera lineal, los resultados precedentes dan lugar a expresiones muy simples. En primer lugar, es fácil darse cuenta en la Figura 1.21 que si la curva de imanación es una recta, entonces coinciden los valores numéricos de la energía y coenergía que corresponden a triángulos rectángulos cuyos catetos son J y F, y de este modo (1.48) y (1.49) admiten las versiones siguientes: 1 1 1F 2 Wm = W mñ = F J = R J2 = (1.54) 2 2 2 R donde se ha tenido en cuenta la ley de Hopkinson (1.26). De un modo análogo coinciden también las expresiones de las densidades de energía y coenergía (1.52) y (1.53): 1 1 B2 1 wm = wñm = HB = = kH 2 (1.55) 2 2 k 2 La ecuación (1.54) puede expresarse también en función de la inductancia L de la bobina. Recuérdese que la inductancia en un medio lineal viene definida por el cociente: J L=N (1.56) i y teniendo en cuenta la ley de Hopkinson: F=RJ (1.57) (1.56) se transforma en: J J N2 L = N2 = N2 = (1.58) Ni F R y por consiguiente (1.54) admite la siguiente versión: 1 F2 1 2 Wm = Wmñ = L = Li (1.59) 2 N2 2 que el lector recordará de un Curso de Teoría de Circuitos. 32 Máquinas eléctricas 1.6. PÉRDIDAS DE ENERGÍA EN LOS NÚCLEOS FERROMAGNÉTICOS Cuando se reducen los campos magnéticos asociados con núcleos ferromagnéticos, parte de la energía almacenada es devuelta a la fuente. Sin embargo, parte de la energía almacenada se pierde irremediablemente en el núcleo en forma de calor. Esta pérdida de energía es debida a dos causas: a) característica de histéresis del material (pérdidas por histéresis) y b) corrien- tes inducidas en el núcleo (pérdidas por corrientes parásitas o corrientes de Foucault). También se tienen pérdidas de energía en núcleos sujetos a imanaciones y desimanaciones cíclicas por medio de excitaciones periódicas. 1.6.1. Pérdidas por histéresis Supóngase que el núcleo ferromagnético mostrado en la Figura 1.20a es excitado por una bobina alimentada por una fuente de variación periódica (en particular por una tensiónsinusoi- dal) y que el ciclo de histéresis del material magnético es el que se muestra en la Figura 1.22. Supóngase que la amplitud del campo magnético varía entre +Hm y −Hm, correspondien- do a variaciones de la inducción entre +Bm y −Bm . Si se considera inicialmente que la induc- ción en el núcleo varía desde −Br (punto a) hasta Bm (punto c) siguiendo el tramo de cur- va «abc», se tendrá un aumento de inducción en el núcleo, lo que corresponde a una energía absorbida por el campo magnético y almacenada durante esta parte del ciclo, que de acuerdo con (1.51) valdrá: I Bm Wac = vol H dB = vol · w1 (1.60) −Br La integral w1 de la expresión anterior representará, de acuerdo con lo indicado en el epígrafe anterior, el área de la superficie «abcdea» de la Figura 1.22. Si se considera ahora que la inducción se reduce desde Bm (punto c) hasta Br (punto e), siguiendo el tramo «ce» de la curva de histéresis, entonces resultará una energía devuelta a la fuente (red) durante esta parte del ciclo porque es negativa, y cuyo valor es: I Br Wce = vol H dB = vol · w2 (1.61) Bm B d Bm c Br e Ciclo de histéresis –Hm O H b Hm a –B r –Bm Figura 1.22. Áreas del ciclo de histéresis. Circuitos magnéticos y conversión de energía 33 El área «cdec» de la Figura 1.22 representará la densidad de energía correspondiente, que es el valor w2 de la parte integral de (1.61). Es evidente entonces que si se somete al núcleo a una inducción creciente entre −Br y Bm siguiendo el camino «abc» y luego a otra inducción decreciente entre Bm y Br, siguiendo el camino «ce», la superficie resultante «abcea» de la Figura 1.22 representará la densidad de energía absorbida por el núcleo ferrromagnético en esta excitación cíclica y que no es devuelta a la red, sino que es disipada en el núcleo en forma de calor. Es evidente, según se muestra en la Figura 1.22, que el área más clara corresponde a la mitad del ciclo de histéresis y representa la diferencia de energías w2 − w1. Parece lógico, de acuerdo con la conclusión anterior, que si las variaciones de campo se producen entre ±Hm correspondiendo a variaciones de inducción ±Bm, la energía total disipada en el núcleo en forma de calor en este ciclo completo, y que designaremos por WH, será: WH = (vol) 3 H dB (1.62) donde la integral curvilínea se extiende a todo el ciclo de histéresis, por lo que el resultado de la integral representará el área que encierra el ciclo de histéresis, que según (1.62) significará la energía perdida por histéresis por ciclo y por unidad de volumen del material magnético. En la práctica, es conveniente hablar de pérdida de energía por segundo en el núcleo, es decir, de potencia perdida por histéresis. Si el número de ciclos de imanación completa es f (donde f representa la frecuencia de la tensión de alimentación a la bobina), entonces la potencia perdida será: PH = f WH = f (vol) 3 H dB = f (vol) (área del ciclo) (1.63) La ecuación anterior es independiente de la forma de onda de la fuente de alimentación, depende únicamente de la amplitud de la inducción, la frecuencia de la fuente (red) y la naturaleza del material magnético (área del ciclo). Experimentalmente, C. P. Steinmetz propuso en 1892 una fórmula empírica para definir el cálculo de (1.63) y que viene expresada por la ecuación: PH = kH f (vol) B am (1.64) Los valores de kH (denominado coeficiente de Steinmetz) y a (denominado exponente de Steinmetz) dependen de la naturaleza del núcleo ferromagnético. El exponente a varía en- tre 1,5 y 2,5, siendo un valor frecuente a = 1,6, mientras que kH varía en el caso de acero al silicio entre 100 y 200. 1.6.2. Pérdidas por corrientes de Foucault Considérese el esquema de la Figura 1.23a, donde se muestra una bobina arrollada sobre un núcleo de hierro macizo. Al alimentar la bobina con corriente alterna se producirá, de acuerdo con la ley de Ampère, un campo magnético alterno de inducción Bz = Bm cos ut que atravesa- rá toda la masa de hierro en el sentido del eje Z (eje de la bobina). De acuerdo con la ley de Faraday, aparecerán en el material unas f.e.m.s. inducidas que darán lugar a unas corrientes parásitas que circularán por el material. Téngase en cuenta que el hierro es conductor de la electricidad, y aunque su conductividad es pequeña en compara- ción con la del cobre, las f.e.m.s. inducidas provocarán corrientes de circulación por la masa del hierro. Estas corrientes, denominadas corrientes de Foucault (eddy currents o corrientes 34 Máquinas eléctricas b b a L L Corrientes de Foucault Bm cosωt Corrientes de Foucault Bm cosωt a) Corrientes de Foucault en un núcleo de hierro b) Corrientes de Foucault en un núcleo laminado b Y c) Detalle de una chapa magnética Detalle de una L chapa magnética dy i y i a X Bm cosωt Z Figura 1.23. Corrientes de Foucault en las masas y chapas de hierro. de torbellino en la bibliografía inglesa), se han señalado en la Figura 1.23a por medio de círculos concéntricos en planos perpendiculares al flujo inductor y cuyo sentido de circula- ción es tal, que el flujo producido por estas corrientes se opone (ley de Lenz) al flujo inductor de la bobina. Estas corrientes pueden originar grandes pérdidas de potencia, con el consi- guiente calentamiento de los núcleos. Para prevenir estas pérdidas, el hierro empleado en los circuitos magnéticos suele estar laminado, en forma de chapas magnéticas de pequeño espe- sor, tal como se señala en la Figura 1.23b. El plano de las chapas es paralelo al flujo, por lo que las corrientes parásitas quedan confinadas a trayectorias de sección transversal pequeña. Consideremos una de estas chapas de dimensiones transversales a × b (donde a << b) y profundidad L, tal como se señala en la Figura 1.23c, que es atravesada por el campo magnéti- co Bz = Bm cos ut. Suponiendo que el campo es uniforme en la sección transversal de la chapa, el flujo que atraviesa la espira sombreada de la Figura 1.23c es: J = 2by Bm cos ut (1.65) ya que la superficie cerrada de la espira es 2by. Por la ley de Faraday, la f.e.m. inducida tiene un valor modular dado por: e = 2uby Bm sen ut (1.66) Tomando una longitud unidad en la dirección del eje Z, la f.e.m. anterior produce una corriente de alrededor de la espira indicada, cuya resistencia vale: 2b R= (1.67) p dy Circuitos magnéticos y conversión de energía 35 donde se ha tenido en cuenta que a @ b y que la conductividad del material es p. La potencia instantánea en la espira será: e 2 4u2b2y2B2mp sen2 ut dy dPF = R · i 2 = = (1.68) R 2b que corresponde a un valor medio: dPF = u2by2B2mp dy (1.69) y a una potencia disipada total: I a/2 u2 2 3 PF = u2B2m bpy2 dy = Bma bp (1.70) 0 24 lo que representa una potencia disipada por unidad de volumen: PF/vol = n2f 2B2m a2p/6 = kF f 2B2ma2p (1.71) donde se ha llamado kF a n2/6 y se ha tenido en cuenta que el volumen es: vol = abL = ab, al haber considerado una profundidad unidad. Las ecuaciones anteriores son válidas solamente para valores de las frecuencias tales que la distribución del campo magnético no esté afectada por las propias corrientes parásitas. Cuando la frecuencia es elevada, el flujo que atraviesa las chapas no se distribuye uniforme- mente y se deben utilizar chapas más delgadas. De las ecuaciones (1.64) y (1.71) observamos que las pérdidas totales en el hierro son : PFe = PH + PF = (kH fBma + kF f 2B2ma2p) vol (1.72) siendo vol el volumen de hierro. En la práctica, el fabricante de material magnético, suminis- tra unas curvas donde se muestran estas pérdidas totales en función de B, a frecuencia cons- tante. En la Figura 1.24 puede verse un ejemplo de ello para chapas magnéticas laminadas en frío o en caliente. W/kg f = 50 Hz f = 50 Hz 2,0 1,8 Chapa magnética 1,6 laminada en caliente 1,4 1,2 Chapa magnética 1,0 laminada en frío 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 B en Teslas Figura 1.24. Curvas de pérdidas en el hierro. 36 Máquinas eléctricas 1.6.3. Consecuencias tecnológicas Para reducir las pérdidas en el hierro de las máquinas eléctricas, se deduce de todo lo anterior que deben emplearse chapas magnéticas de pequeño espesor y baja conductividad (es decir, alta resistividad) y que tengan además un ciclo de histéresis pequeño. Las chapas magnéticas se caracterizan, fundamentalmente, por contener silicio en la proporción de 4 o 5 por 100. Esta adición de silicio ha constituido un progreso considerable, ya que ha tenido como efecto la disminución de las pérdidas por corrientes de Foucault (a consecuencia del aumento de la resistividad, que alcanza de 5 a 6 veces la del hierro ordinario, como indica la Tabla 1.1). La incorporación del silicio presenta, sin embargo, inconvenientes desde el punto de vista mecá- nico, ya que el hierro se vuelve duro y quebradizo. La calidad magnética de una chapa está influida no sólo por la composición química del hierro que la constituye, sino también por los procedimientos de fabricación, particularmente por el sistema de laminado y los tratamientos térmicos. Antiguamente se empleaba un tipo de laminado en caliente y las chapas tenían unas pérdidas a 1 Tesla y 50 Hz que oscilaban entre 1,1 y 1,5 W/kg (véase Fig. 1.24); moderna- mente se emplea el laminado en frío, que tiene por efecto alinear las redes cristalinas que se producen en la aleación hierro-silicio (malla del tipo cúbico centrado), por medio de una deformación plástica, y por ello esta clase de lámina de acero recibe también el nombre de chapa de cristales o granos orientados. Este tipo de chapa no contiene más de 3 a 3,5 por 100 de silicio y se obtiene partiendo de un hierro más puro aún que el de las chapas ordinarias (laminado en caliente), sobre todo en lo concerniente al carbono, que desciende a 0,005 en vez de 0,04 por 100. Para eliminar las tensiones internas que se producen en las chapas de grano orientado, debe procederse, después de la laminación, a un recocido en atmósfera no oxidante (normalmente de hidrógeno); las pérdidas en estas chapas varían según sea la dirección del flujo respecto a la orientación del grano, y para la dirección del laminado vienen a valer de 0,3 a 0,6 W/kg (a 1 Tesla y 50 Hz), pero estos valores se triplican cuando el flujo forma 90° con la alineación de los cristales. Para reducir las pérdidas por corrientes de Foucault, aparte de disminuir el espesor de las chapas (actualmente se construyen con espesores comprendidos entre 0,3 y 0,5 mm), es preci- so intercalar entre las mismas un aislante. Al principio se utilizaba el papel como aislante, y para ello se pegaba por una cara de la chapa una hoja de papel fino de 0,02 a 0,03 mm de espesor, pero éste se alteraba fácilmente por el calor; posteriormente se utilizó un barniz de silicato sódico que recubría las dos caras, con un espesor total de 2 × 0,005 = 0,01 mm; últimamente las chapas de grano orientado vienen preparadas mediante un tratamiento ter- moquímico especial, conocido con el nombre comercial de carlite, que crea una película aislante extremadamente delgada (0,001 mm) cuya adherencia e inalterabilidad al calor son notables.  COMENTARIOS PRÁCTICOS 1. Existen aplicaciones de las pérdidas por corrientes de Foucault Considérese un disco metálico girando; si se acerca el polo de un imán, el disco disminuye su velocidad y se detiene rápidamente, al ser frenado por la acción de las corrientes de Foucault que se inducen en el disco. Este procedimiento de frenado se utiliza para amortiguar las agujas de ciertos aparatos de medida, en el frenado del disco de un contador de energía eléctrica y en la automoción se emplea como un freno adicional en los camiones. Circuitos magnéticos y conversión de energía 37 2. Medida de las pérdidas en el hierro. Método de Epstein El método de Epstein es un procedimiento que se utiliza en los Laboratorios de Electrometría para medir las pérdidas en el hierro de muestras de chapas magnéticas y que fue inventado por el físico alemán Josef Epstein (1862-1930). El aparato de Epstein consta esencialmente de cuatro arrollamientos de magnetización conectados en serie (o devanado primario que tie- ne 150 espiras por brazo uniformemente distribuidas) colocados formando un cuadrado tal como se muestra en la Figura 1.25, en los cuales se han de introducir las muestras de hierro que se trata de analizar. El estudio se hace con una gran cantidad de chapas de hierro, con el fin de obtener un buen valor medio, y poder, al mismo tiempo, obtener unas potencias fácilmente medibles. Los paquetes de chapas deben tener en total un peso de unos 10 kg. Cada uno de los paquetes tiene unas dimensiones de 3 cm de anchura por 50 cm de longitud. Dos de estos paquetes se cortan en el sentido de laminación de las chapas y los otros dos en sentido transver- sal. Las capas de chapa están aisladas entre sí por papel aislante para disminuir las pérdidas por corrientes de Foucault, aunque en la actualidad no es necesario si van recubiertas de barniz aislante tipo carlite. La figura 1.25 muestra también los instrumentos de medida necesarios para determinar las pérdidas en el hierro. La alimentación se realiza generalmente a través de una red de corriente alterna y se coloca un autotransformador de relación variable (variac) para poder regular la tensión aplicada al conjunto del devanado primario. P A N1/4 espiras/brazo de tensión regulable Primario Red de c.a. E1 Secundario v1 = 2V1 cos ωt E2=V2 V2 N2/4 espiras/brazo (N1=N2) V3 Muestras de chapa magnética Figura 1.25. Medida de las pérdidas en el hierro por el método de Epstein. Con objeto de evitar los errores de medida por pérdidas en el cobre en el arrollamiento primario de magnetización, el aparato va provisto de un arrollamiento secundario formado generalmente por el mismo número de espiras del primario, es decir 150 espiras uniformemente distribuidas en cada brazo y bobinadas encima del devanado primario. Estos cuatro devanados están conectados en serie y alimentan a un voltímetro y a la bobina voltimétrica del vatímetro. Antes de efectuar la medida se calcula la tensión correspondiente a la inducción deseada. Tal como se demuestra en el capítulo 2 la f.e.m. eficaz inducida E2 en una bobina de N2 espiras a frecuencia f, con un flujo máximo Jm y un factor de forma Kf de la onda aplicada, tiene un valor dado por la siguiente expresión: E2 = 4Kf N2 f Jm (1) donde el valor del flujo máximo es el producto de la inducción máxima Bm en el núcleo por la sección transversal del hierro S, es decir: Jm = BmS (2) El factor de forma Kf de la f.e.m. inducida E2 es el cociente entre el valor eficaz y el valor medio de la misma. Cuando la onda es sinusoidal este factor es igual a 1,11, pero éste depende 38 Máquinas eléctricas de la relación no lineal de la curva de imanación B = f (H) de la muestra de hierro, es por ello que en el secundario se conectan dos voltímetros: el voltímetro V2 es un voltímetro clásico de c.a. de hierro móvil que mide el valor eficaz de la tensión inducida (E2=V2), y el voltímetro V3 que es un voltímetro de cuadro móvil que tiene un diodo rectificador en serie para medir el valor medio de la tensión, de este modo el cociente de las lecturas de estos dos voltímetros permite obtener el factor de forma de la onda de f.e.m. inducida. De las ecuaciones (1) y (2) se obtiene la inducción máxima en las chapas de hierro: E2 Bm = (3) 4Kf N2 fS y en la ecuación anterior se cumple: V2 E2 = V2 ; Kf = ; N2 = 600 espiras ; f = 50 Hz (4) V3 La sección del hierro S se calcula a partir del peso específico de las chapas c (entre 7,5 y 7,7, pero debe conocerse exactamente) y teniendo en cuenta la longitud total L de los paquetes de chapas (L = 4 × 50 cm = 2 metros) y el peso total de las chapas G (unos 10 kg, pero debe pesarse exactamente), lo que da lugar a una sección: G S= (5) Lc Para comenzar las medidas se debe variar primeramente la tensión de alimentación V1 con un variac hasta que la tensión secundaria V2 tome el valor calculado anteriormente de acuerdo con la inducción requerida y se debe leer a continuación la potencia que señala el vatímetro P. Debe tenerse en cuenta sin embargo, que la potencia que señala el vatímetro, mide no solamen- te las pérdidas en el hierro de las muestras ensayadas, sino también las potencias disipadas en la resistencia interna del voltímetro y en la bobina voltimétrica del vatímetro. Es por ello que las pérdidas en el hierro PFe vienen determinadas por la siguiente ecuación: V22 V22 PFE = P − − (6) RV RW donde P es la potencia señalada por el vatímetro, V2 es la tensión eficaz de la f.e.m. inducida en el secundario, y RV y RW son respectivamente las resistencias internas del voltímetro y de la bobina voltimétrica del vatímetro. En la actualidad con los equipos de medida digitales, las resistencias anteriores de los instrumentos de medida son muy elevadas y prácticamente la medida del vatímetro coincide con las pérdidas en el hierro. Sin embargo debe destacarse la gran importancia de calcular correctamente el factor de forma, ya que si se quieren calcular las pérdidas a inducciones elevadas, es decir por encima del codo de la curva de imanación, la deformación de la onda de flujo es importante, por lo que el factor de forma puede alcanzar valores superiores a 1,14. Debe tenerse en cuenta que como las pérdidas en el hierro suelen ser del orden de 1 a 1,5 W/kg, para un peso de 10 kg las pérdidas totales en el hierro serán del orden de 10 a 15 W, lo que justifica minimizar todos los errores tanto de los consumos de los instrumentos de medida como los debidos a la variación del factor de forma. ¡Una determina- ción exacta de las pérdidas requiere una gran meticulosidad en las medidas! Las pérdidas en el hierro se suelen expresar en vatios por kilogramo es decir PFe /G. NOTA: En el caso de que los devanados del equipo de Esptein no tengan el mismo número de espiras, la potencia del vatímetro P señalada en (6) deberá multiplicarse por el cociente del número de espiras N1/N2 para que dé la potencia real que absorbe el equipo. Circuitos magnéticos y conversión de energía 39  Ejemplo de aplicación 1.5 Un material ferromagnético se ha sometido a tres ensayos con diferentes frecuencias e inducciones, dando lugar a las pérdidas totales en el hierro mostradas en la siguiente tabla: Frecuencia Inducción Pérdidas en Ensayo N.o (Hz) máxima (Teslas) el hierro (W/kg) 1 50 1 2 2 50 1,5 4 3 100 1 5 Calcular: a) Pérdidas por histéresis y por corrientes de Foucault en cada uno de los ensayos. b) Valor del exponente a de Steinmetz. Solución Designando con los subíndices 1, 2 y 3 las pérdidas en cada ensayo resulta: PH1 + PF1 = 2 ; PH2 + PF2 = 4 ; PH3 + PF3 = 5 (a) donde PH indica la pérdida de potencia por histéresis y PF las pérdidas por corrientes de Foucault. Teniendo en cuenta asimismo que estas pérdidas obedecen, de acuerdo con (1.72), a las ecuaciones generales siguientes: PH = K1 · f · Bma ; PF = K2 f 2 B 2m en las que K1 y K2 representan parámetros constantes, se podrán escribir las siguientes relaciones: PH1 1 PH1 1 PF1 1 PF1 1 = a ; = ; = 2 ; = (b) PH2 1,5 PH3 2 PF2 1,5 PF3 22 Si evitamos utilizar la primera ecuación (b), la primera y tercera ecuación (a) nos da: PH1 + PF1 = 2 ; 2 PH1 + 4 PF1 = 5 que da lugar a los siguientes valores: PH1 = 1,5 W/kg ; PF1 = 0,5 W/kg ; PH3 = 3 W/kg ; PF3 = 2 W/kg Ahora bien, de las relaciones, (b) obtenemos también: PF2 = 1,52 PF1 = 1,125 W/kg ; PH2 = 4 − 1,125 = 2,875 W/kg y teniendo en cuenta la primera ecuación (b) resultará: PH1 1,5 1 = = ú a ] 1,60 PH2 2,875 1,5a  Ejemplo de aplicación 1.6 Las pérdidas en el hierro de una muestra de material ferromagnético son de 1.000 W a 50 Hz. Cuando se aumenta la frecuencia hasta 100 Hz, manteniendo la inducción constante, las pérdidas totales correspondientes han sido de 2.500 W. Calcular las pérdidas por histéresis y por corrientes de Foucault para ambas frecuencias. Solución Al ser la inducción constante, las ecuaciones de las pérdidas admiten las siguientes expresiones: PH = M f ; PF = N f 2 40 Máquinas eléctricas dando lugar a las pérdidas totales en el hierro: PFe = M f + N f 2 que corresponden a unas pérdidas por unidad de frecuencia: PFe/ f = M + N f y al aplicar la ecuación anterior a los datos del problema resulta: 1.000 2.500 = M + 50 N ; = M + 100 N ú M = 15 ; N = 0,10 50 100 lo que da lugar a la distribución de pérdidas siguiente: A 50 Hz: PH1 = M f 1 = 15 · 50 = 750 W; PF1 = N f 21 = 0,10 · 502 = 250 W A 100 Hz: PH2 = M f 2 = 15 · 100 = 1.500 W; PF2 = N f 22 = 0,10 · 1002 = 1.000 W 1.7. CIRCUITOS MAGNÉTICOS EXCITADOS CON CORRIENTE ALTERNA 1.7.1. Generalidades En el epígrafe 1.3 se han estudiado las leyes de los circuitos magnéticos, observando la analogía existente con los circuitos eléctricos. La ley de Hopkinson expresada por la ecuación: F J= (1.73) R define la relación básica entre las magnitudes: J (flujo), F (f.m.m.) y R (reluctancia). Si se considera el circuito magnético de la Figura 1.26, donde se muestra una bobina de N espiras, de resistencia eléctrica total R, arrollada sobre un núcleo de sección uniforme S y longitud magnética media ,, al aplicar una tensión de alimentación de c.c. a la bobina, se producirá, de acuerdo con la ley de Ohm, una corriente I = V/R, que dará lugar a una f.m.m. F = Ni, y que según sea el valor de la reluctancia del circuito magnético determinará el flujo resultante J = F /R. En la Figura 1.27 se muestra la sucesión de efectos que tiene lugar. Está claro que cuando la bobina se alimenta con una excitación de c.c., la corriente es función directa de la tensión aplicada, pero es absolutamente independiente de la naturaleza y características magnéticas del material que constituye el núcleo. Si, para ser más explícitos, se considera el sistema magnético mostrado en la Figura 1.26 y se aumenta la reluctancia del circuito magnético (un procedimiento sería, por ejemplo, ' i v(t) N espiras S R l Figura 1.26. Bobina con núcleo de hierro. Circuitos magnéticos y conversión de energía 41 I=V/R F=NI Φ=F /R V I F Φ Figura 1.27. Sucesión de efectos en una bobina alimentada con c.c. practicar un entrehierro en el núcleo), entonces el flujo magnético se reducirá pero no habrá cambio en la corriente absorbida por la bobina. Supóngase ahora que la bobina de la Figura 1.26 se alimenta con una tensión de c.a. senoidal: v(t) = ∂2 V cos ut (1.74) donde V expresa el valor eficaz de la tensión alterna aplicada y u = 2nf la pulsación de la misma. En este caso se producirá una corriente de circulación i(t) que provocará un flujo J(t) en el núcleo. Este flujo variable dará lugar a una f.e.m. inducida en la bobina, de tal modo que si se aplica el segundo lema de Kirchhoff al circuito eléctrico de la Figura 1.26 se cumplirá de acuerdo con (1.44): dJ v = Ri + N (1.75) dt Suponiendo que la caída de tensión en la resistencia de la bobina es pequeña en compara- ción con la f.e.m. inducida, la ecuación (1.75) se puede escribir: dJ v=N (1.76) dt de donde se deduce el valor del flujo J(t): I 1 ∂2 J(t) = v · dt = V sen ut (1.77) N Nu La constante de integración es nula siempre que se considere que en t = 0 no existe magnetismo remanente en el núcleo. La ecuación (1.77) puede escribirse en la forma clásica: J(t) = Jm sen ut = Jm cos (ut − 90°) (1.78) donde el flujo máximo Jm vale: ∂2 V Jm = (1.79) Nu y teniendo en cuenta que u = 2nf, la relación (1.79) se puede escribir: 2n V= f NJm = 4,44 f NJm (1.80) ∂2 Debe destacarse que en la ecuación anterior la tensión está expresada en valor eficaz, mientras que el flujo está definido por su valor máximo. Otro hecho a destacar, comparando (1.74) y (1.78), es que el flujo se retrasa 90° respecto a la tensión aplicada a la bobina. Sin embargo, lo más importante que hay que resaltar aquí es que la tensión de alimentación y su frecuencia imponen el valor que va a tener el flujo en el 42 Máquinas eléctricas V=4,44fNΦm F=ΦR F=NI V Φ F I Figura 1.28. Sucesión de efectos en una bobina alimentada con c.c. núcleo [de acuerdo con la ecuación (1.80)], por lo que según sea el valor de la reluctancia del circuito magnético se tendrá, de acuerdo con la ley de Hopkinson, una corriente absorbida por la bobina. En la Figura 1.28 se muestra la sucesión de efectos que tiene lugar. Debe quedar claro, por tanto, que cuando la bobina se alimenta con una excitación de c.a., el flujo es función directa de la magnitud y frecuencia de la tensión aplicada, pero es absolutamente inde- pendiente de la naturaleza y características magnéticas del material que constituye el núcleo. De un modo análogo al estudiado anteriormente, si se considera el sistema magnético mos- trado en la Figura 1.26, en el que ahora se alimenta la bobina con c.a. y se aumenta la reluctan- cia del circuito magnético (por haber practicado, por ejemplo, un entrehierro en el núcleo), enton- ces no habrá ninguna modificación en el flujo magnético, pero la bobina absorberá más corriente de la red para poder mantener el flujo constante en el valor que le impone la tensión aplicada. Es importante que el lector distinga a la perfección el comportamiento de una bobina con núcleo de hierro según se alimente con c.c. o con c.a., ya que le permitirá comprender más fácilmente el funcionamiento de las máquinas eléctricas y de muchos dispositivos electro- magnéticos.  COMENTARIOS PRÁCTICOS 1. Si se dispone de un catálogo de características técnicas de contactores (véase en el epígra- fe 1.8 el concepto de contactor, que es en definitiva un electroimán alimentado con c.a.), se observará que la potencia o corriente absorbida en el momento de la conexión es muy superior a la que consume en régimen permanente, es decir, al cabo de un cierto tiempo en el que se produce el cierre de la armadura móvil sobre la fija. Este efecto se debe a que inicialmente la reluctancia del circuito magnético es elevada, ya que la armadura móvil está separada de la fija por un gran entrehierro de aire; sin embargo, la corriente de mantenimiento o permanente es reducida debido a que en esta situación la armadura móvil queda pegada sobre la fija (entrehierro despreciable). Una avería relativamente frecuente en los contactores utilizados en las maniobras de los equipos eléctricos de obras (p. ej., en los motores de grúas, montacargas, hormigone- ras, etc.) es cuando se introduce en el entrehierro del contactor alguna partícula de grava que impide el cierre completo del contactor, por lo que la corriente absorbida por la bobina del mismo es elevada, lo que provocará la destrucción de la bobina por calentamiento. 2. Si una máquina eléctrica de c.a. se conecta por error a una tensión más elevada que la nominal (p. ej., si es de 220 V y se conecta a 380 V), de acuerdo con (1.80) se producirá un flujo ∂3 veces (que es el cociente 380/220) el nominal; como quiera que el material mag- nético suele diseñarse por el constructor en el codo de la curva de imanación (que corres- ponde a 1,4 o 1,5 teslas para la chapa magnética de la Fig. 1.3), se observa en esta figura que el campo magnético H necesario, que es proporcional a la corriente absorbida, aumen- ta enormemente siguiendo un valor asintótico a la curva de imanación. Es por ello que el devanado se quemará en muy poco tiempo. Circuitos magnéticos y conversión de energía 43 3. Si se desmonta un motor eléctrico de c.a. y se separa el rotor del estátor (por ejemplo, cuando se rebobinan motores eléctricos), debe tenerse sumo cuidado de no aplicar como tensión de prueba del estátor su valor nominal, porque entonces se quemará el devanado, lo que se justifica por el hecho de que al quitar el rotor, la reluctancia del motor es muy elevada y el devanado absorberá una gran corriente de la red. Debe probarse el bobinado con tensión reducida del orden de 1/5 a 1/10 de la nominal. 1.7.2. Circuito eléctrico equivalente de una bobina con núcleo de hierro alimentada con c.a. Acabamos de demostrar en el epígrafe anterior que una bobina alimentada con c.a. da lugar a un flujo función de la magnitud y frecuencia de la tensión y que además, según las expresio- nes (1.74) y (1.78), el flujo se retrasa de la tensión un ángulo de 90°. En la Figura 1.29 se muestran los fasores correspondientes, habiendo tomado la tensión como referencia. Es evidente, según se ha demostrado, que si el flujo en el núcleo es independiente de la naturaleza del material magnético, los efectos de saturación, histéresis, etc., deberán tener alguna influencia en la corriente absorbida. Nuestro objetivo ahora es intentar buscar las relaciones analíticas que unen a la tensión con la corriente para obtener circuitos eléctricos equivalentes que permitan analizar un sistema magnético excitado con c.a. con todo el poten- cial que nos presenta la teoría de circuitos. En un principio, para facilitar los cálculos, se va a considerar que el circuito magnético es lineal, lo que equivale a suponer que el sistema tiene una permeabilidad constante. En el epígrafe 1.7.3 se ampliarán los conceptos correspondientes para tener en cuenta la no lineali- dad que presenta la curva de imanación de un material ferromagnético real. Para determinar los circuitos equivalentes de una bobina con núcleo de hierro es preciso considerar dos situa- ciones: a) que el núcleo no tenga pérdidas en el hierro y b) que el núcleo tenga pérdidas. a) Núcleo sin pérdidas Si consideramos que el núcleo magnético no tiene pérdidas y suponemos también desprecia- ble la resistencia de la bobina, en esta situación la potencia activa absorbida (por la bobina) de la red será nula. De acuerdo con la ley de Hopkinson, se tendrá: F Niexc Niexc J= = =k S (1.81) R , , kS donde se ha llamado iexc a la corriente de excitación instantánea que circula por el devanado, , a la longitud magnética media, S a la sección transversal del núcleo de la Figura 1.26 y k la permeabilidad, que suponemos constante. V ' Figura 1.29. Fasores de tensión y flujo magnético. 44 Máquinas eléctricas Teniendo en cuenta la relación (1.76) se puede escribir: dJ kN 2S diexc v=N = (1.82) dt , dt que comparando con la tensión en una bobina de coeficiente de autoinducción L, llevando una corriente iexc: diexc v=L (1.83) dt indica que L viene expresado por: kN 2 S L= (1.84) , lo cual quiere decir que el circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro (Fig. 1.30a) puede representarse por una autoinducción (Fig. 1.30b) cuya magnitud se expresa por (1.84), resultando el diagrama fasorial de la Figura 1.30c, donde se observa que Iexc va en fase con el flujo como indica (1.82) o (1.83), lo que está de acuerdo con el concepto de que la potencia activa absorbida es nula (por no existir pérdidas en el sistema). b) Núcleo con pérdidas En el caso de que el núcleo tenga pérdidas en el hierro, la corriente de excitación Iexc no formará 90° con la tensión, ya que la potencia activa absorbida de la red debe vencer esas pérdidas, de tal forma que si denominamos rv al ángulo que forman V e Iexc y PFe a las pérdidas en el hierro, se cumplirá: PFe = VIexc cos rv (1.85) y el diagrama fasorial del sistema será el indicado en la Figura 1.31, donde puede observarse que Iexc tiene dos componentes, una IFe llamada componente de pérdidas en el hierro y otra Ik llamada corriente magnetizante, que vienen expresadas por: a) IFe = Iexc cos rv ; b) Ik = Iexc sen rv ; c) Iexc = IFe + Ik (1.86) La identidad vectorial (1.86c) y el diagrama fasorial de la Figura 1.31 permite obtener el llamado circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro, indicado en la Figu- ra 1.32b. En el nudo A de este circuito vemos que se cumple la ecuación (1.86c). i exc(t) PFe = 0 V i exc (t) v(t) L v(t) I exc ' a) b) c) Figura 1.30. Circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro sin pérdidas. Circuitos magnéticos y conversión de energía 45 I Fe V rv Ik I exc ' Figura 1.31. Diagrama fasorial de una bobina con núcleo real. La corriente IFe debe pasar por una resistencia RFe, denominada resistencia de pérdidas en el hierro, ya que según indica la Figura 1.31, IFe va en fase con la tensión (circuito resistivo), mientras que la corriente Ik debe pasar por una reactancia Xk , llamada reactancia magnetizan- te, pues de la Figura 1.31 se observa que Ik se retrasa 90° respecto de la tensión (circuito inductivo). Los valores de RFe y Xk serán: V V RFe = ; Xk = (1.87) IFe Ik 2 Las pérdidas RFe IFe indicarán las pérdidas en el núcleo del sistema magnético de la Figu- ra 1.32a, mientras que la corriente Ik expresa, al igual que en el caso del núcleo sin pérdidas, la corriente necesaria para magnetizar el material. *1.7.3. Corriente de excitación en una bobina con núcleo de hierro alimentada con c.a. En el epígrafe anterior, la determinación de la corriente de excitación se ha realizado suponiendo un circuito magnético lineal, de permeabilidad constante, lo que ha permitido obtener expresiones simples que relacionan la tensión con la corriente, o el flujo con la corriente. De hecho la linealidad implica que si la tensión aplicada es sinusoidal, son también sinusoidales las formas de onda de flujos y corrientes. En la práctica, la curva de imanación de un material ferromagnético es no lineal y de hecho el punto de trabajo normal en las máquinas eléctricas está en el codo de la curva de magnetización del material, lo que ejerce gran influencia en la forma de la curva de la corriente de excitación, que va a dejar de ser Iexc P Fe ¹ 0 i exc (t) A V v(t) R Fe X k = Lu IFe Ik B a) b) Figura 1.32. Circuito equivalente de una bobina con núcleo de hierro con pérdidas. 46 Máquinas eléctricas sinusoidal y teniendo que recurrir para su determinación a soluciones gráficas por ser imposible utilizar técnicas analíticas. De un modo análogo al efectuado en 1.7.2, se va a determinar la forma de la corrien- te de excitación, considerando dos casos: a) Núcleo sin pérdidas, b) Núcleo con pérdidas. a) Núcleo sin pérdidas La relación en este caso, entre el flujo J y la corriente de excitación iexc, se obtiene gráficamente de la curva de magnetización del material, donde en vez de emplear, como se indicaba en la Figura 1.3, el eje de ordenadas para inducciones B, se utiliza la magnitud proporcional J = BS, y donde en el eje de abscisas se empleaba H = Niexc /, se emplea ahora iexc. En la Figura 1.33 se muestra este cálculo gráfico: en la a) se muestra la curva de magnetización del material J = f (iexc), en la Figura 1.33b se observa la forma sinusoidal de la tensión aplicada y la del flujo retrasado 90° respecto a V, como requiere la ecuación (1.82). Al punto A de la curva b) de flujo le corresponde el punto Añ en la curva de corrientes en virtud de la correspondencia J-iexc; al punto B de la curva de flujo le corresponde Bñ en la de corriente, y así sucesivamente hasta obtener la forma completa de la curva de la corriente de excitación del núcleo. Se observa que la forma no es sinusoidal y por desarrollo en serie de Fourier puede demostrarse que aparecen armónicos impares: 1, 3, 5, etc. En la Figura 1.34a se muestra la curva acampanada de la corriente, que aparece como suma de una onda fundamental y un tercer armónico. En la Figura 1.34b se muestra la curva v(t) y la corriente iexc (t), que van desfasadas 90°. b) Núcleo con pérdidas Suponiendo que el núcleo tenga únicamente pérdidas por histéresis, se obtiene la composición gráfica de la Figura 1.35, donde se ha superpuesto la curva iexc con la del flujo para observar que aparte de la v(t) Φ(t) Φ Período T C Onda de flujo Φ(t) B D Onda de tensión v(t) a) iexc E t b) A A F H G { A´ iexc iexc1 Primer armónico de la B´ corriente de excitación T/4 C´ T/2 t Período T T O E´ T/2 D´ F´ G´ 3T/4 Tercer armónico de la c) iexc3 corriente de excitación H´ t T O t Figura 1.33. Deformación de la corriente de excitación de una bobina con núcleo sin pérdidas. Circuitos magnéticos y conversión de energía 47 iexc v(t) iexc(t) iexc(t) iexc(t) 1er armónico v(t) 3er armónico v(t) t t O O iexc3(t) iexc1(t) a) b) Figura 1.34. a) Corriente de vacío y sus armónicos. b) Ondas de tensión y corriente. deformación de la curva de vacío de la corriente, ésta va desfasada del flujo debido a las pérdidas núcleo. Puede demostrarse que la existencia de las pérdidas por corrientes de Foucault hace que se ensanche más el ciclo de pérdidas obligando a un nuevo desfase de las curvas de iexc y J, lo cual está en correspon- dencia con el diagrama vectorial de la Figura 1.31, donde en la construcción se ha supuesto que iexc es una senoide equivalente a la curva de vacío real, indicando con ello una onda sinusoidal que al circular por la bobina de excitación produzca las mismas pérdidas que la corriente real. v(t) '(t) Período T ' C C D Onda de flujo ' ( t ) B D B Onda de tensión v(t) iexc E E t A A A F H F H G G A@ iexc '(t ) B@ v(t) T/4 C@ iexc (t) Período T iexc (t) E@ D@ F@ T/2 '( t ) G@ 3T/4 T/2 t H@ O T/4 3T/4 T T A@ t v(t) Figura 1.35. Deformación de la corriente de excitación de una bobina con núcleo con pérdidas. 48 Máquinas eléctricas Es necesario puntualizar que la representación fasorial es solamente válida para dibujar magnitudes sinusoidales y por ello el diagrama fasorial de la Figura 1.31 y el circuito equivalente correspondiente a que da lugar (Fig. 1.32b) es correcto cuando se considera el circuito magnético lineal. En el caso de tener en cuenta la no linealidad, la corriente de excitación de la Figura 1.31 representaría, como se acaba de indicar, una onda sinusoidal equivalente, que tendría un valor eficaz igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores eficaces de la corriente fundamental y sus armónicos.  Ejemplo de aplicación 1.7 Considerar el núcleo magnético de la Figura 1.26, donde la longitud de la trayectoria magnética media es de 50 cm y la sección del núcleo es de 10 cm2. El número de espiras es 300 y la tensión eficaz aplicada es 150/∂2 voltios. La resistencia de la bobina se supone despreciable y la curva de magnetización del material responde a la expresión: 1,8 · 10−2 H B= B: Teslas; H: A.v/m 1 + 10−2 H Calcular: a) Las corrientes IFe, Ik e Iexc y el ángulo de desfase rv. b) Parámetros RFe y Xk del circuito equivalente de la bobina. Datos: La frecuencia de la tensión es de 50 Hz y las pérdidas en el hierro con la tensión aplicada son de 20 W. Solución a) De acuerdo con la expresión (1.80), el valor del flujo máximo es: V 150/∂2 Jm = = = 1,59 ·10−3 Wb 4,44 f N 4,44 · 50 · 300 que corresponde a una densidad de flujo Bm: Jm 1,59 · 10−3 Bm = = = 1,59 Teslas S 10 · 10−4 que llevando a la curva de imanación del material, se obtiene: 1,8 · 10−2 Hm Bm = 1,59 = ú Hm = 757 A.v/m 1 + 10[2 Hm «Suponiendo» que la curva de Hm fuera sinusoidal, el valor eficaz de H sería: Hm 757 H= = = 535,28 A.v/m ∂2 2 H, 535,28 · 0,5 y como H = NIk /,, quedaría: Ik = = = 0,9 A N 300 Por otra parte, las pérdidas en el hierro son de 20 W y de acuerdo con (1.85) se tiene: 150 150 20 = · Iexc cos rv = IFe ú IFe = 0,19 A ∂2 ∂2 Circuitos magnéticos y conversión de energía 49 De acuerdo con el diagrama fasorial de la Figura 1.31, se cumple: 2 Iexc = ∂IFe + Ik2 = ∂0,192 + 0,92 = 0,92 A ú IFe 0,19 ú cos rv = = = 0,21 ú rv = 78,08° Ik 0,92 b) Los valores de RFe y Xk pueden obtenerse de las ecuaciones (1.87): V 150/∂2 V 150/∂2 RFe = = = 558,24 L ; Xk = = = 117,85 L IFe 0,19 Ik 0,9 1.8. CONVERSIÓN DE ENERGÍA EN SISTEMAS MAGNÉTICOS CON MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN. ELECTROIMANES En el epígrafe 1.5 se ha demostrado que un campo magnético almacena energía; por otro lado, un campo magnético también ejerce fuerzas mecánicas en las estructuras o partes de las estructuras asociadas con él. Estas dos propiedades hacen que se utilice el campo magnético como un enlace eficaz entre las partes eléctricas y mecánicas de muchos dispositivos electro- mecánicos y en particular de las máquinas eléctricas que son convertidores electromecánicos de la energía. En este epígrafe y en el siguiente se van a explicar los principios básicos de la conversión electromecánica de la energía, cuyo fundamento, como sistema físico que es, está basado en el principio general de la conservación de la energía. Nuestro objetivo va a ser aplicar esta ley a sistemas que utilizan el campo magnético como medio de enlace en la conversión. Considérese, para iniciar nuestro estudio, el sistema magnético dotado de movi- miento de traslación indicado en la Figura 1.36, que tiene un devanado de excitación de N espiras arrolladas sobre una armadura fija. Existe una armadura móvil que tiene un solo grado de libertad (su movimiento se restrin- ge al plano horizontal). Cuando circula una corriente por la bobina de excitación, se establece un flujo magnético en el núcleo que provoca una fuerza de atracción sobre la armadura móvil, x Armadura móvil f i v(t) e N espiras Entrehierro Armadura fija Figura 1.36. Sistema electromecánico de traslación. 50 Máquinas eléctricas lo que reduce el entrehierro central, con la consiguiente disminución en la reluctancia del circuito magnético y la variación subsiguiente en la energía magnética almacenada. En la Figura 1.36 se han señalado los sentidos positivos de referencia, tanto en lo que concierne al terminal eléctrico, tensión y corriente, como al terminal mecánico, fuerza y desplazamiento. Si la armadura móvil se desliza hacia la izquierda desde una posición inicial x1 = x hasta una posición final x2 = x − dx, el principio de conservación de la energía aplicado al sistema nos dará la ecuación: dWe = dWm + dWmec + dWp (1.88) y en la expresión anterior se ha denominado: dWe: cambio en la energía eléctrica absorbida de la red. dWm: cambio en la energía magnética almacenada en el sistema. dWmec: cambio en la energía mecánica debida al movimiento de la armadura móvil. dWp: cambio en la energía perdida. La ecuación anterior representa la ley de conservación de la energía aplicada a un sistema motor, es decir, a una transformación de energía eléctrica en mecánica. En el supuesto de considerar despreciables las pérdidas en el sistema, la ecuación (1.88) se transforma en: dWe = dWm + dWmec (1.89) Las pérdidas inherentes al sistema son: a) pérdidas por efecto Joule en la bobina, b) pérdidas en el hierro en el núcleo ferromagnético: histéresis y corrientes de Foucault, y c) pérdidas mecánicas de rozamiento de la armadura móvil. Vamos a analizar a continuación cada uno de los términos mostrados en la ecuación (1.89). Comenzamos con la energía mag- nética. En la Figura 1.37 se han representado las dos curvas de imanación del sistema magné- tico de la Figura 1.36, correspondientes a las dos posiciones de la armadura móvil: x1 = x y x2 = x − dx. Es evidente que existe una curva de imanación para cada una de las posiciones de la armadura móvil, o de otro modo, que la curva de imanación depende de la distancia x. Si se considera, por ejemplo, un flujo constante, definido por J1 en la Figura 1.37, para la posición inicial x1 = x se necesita una f.m.m. F1, mientras que para la posición final x2 = x − dx se Menor ' entrehierro x 2 = x – dx Mayor c b a '1 entrehierro x 1= x *Wmec = –*Wm O F2 F1 F Figura 1.37. Energías en un sistema electromecánico no lineal. Funcionamiento a flujo constante. Circuitos magnéticos y conversión de energía 51 necesita una f.m.m. F2, que es menor que F1, ya que corresponde a un menor entrehierro, es decir, a una reluctancia menor, lo que está de acuerdo con la ley de Hopkinson: F J= ; F = JR (1.90) R Se observa en la ecuación anterior que si J es constante, a menor reluctancia corresponde menor f.m.m. Se puede razonar también de otro modo: si se considera una f.m.m. constante el flujo es tanto mayor cuanto menor es la reluctancia del circuito magnético (menor entrehie- rro). De ahí que en las curvas de imanación de la Figura 1.37, la curva más alta corresponda a un menor entrehierro (es decir, la armadura móvil se ha acercado a la armadura fija). De acuerdo con el epigrafe 1.5 (véase Fig. 1.21 y ecuación 1.48), si suponemos una situación inicial con un entrehierro x1 = x y un flujo en el núcleo J1 (punto a de la Fig. 1.37), la energía magnética almacenada vendrá expresada por el área «oaco». Cuando se mueve la armadura móvil, la posición de ésta cambia desde x1 a x2. La localización del nuevo punto de trabajo (nuevo estado) del sistema depende de cómo se ha efectuado el cambio de x1 a x2. Existen dos formas básicas en la práctica de la ingeniería eléctrica que tienen interés: a) El movimiento se realiza a flujo constante Esta situación se logra ajustando la corriente durante el movimiento, o considerando que la traslación del núcleo es suficientemente rápida como para que no le dé tiempo a cambiar al flujo durante la transición. En este caso la energía eléctrica absorbida de la red será cero. Téngase en cuenta en la Figura 1.36 y ecuación (1.89) que la energía aléctrica absorbida durante la traslación vale: dJ dWe = v i dt = N i dt = N i dJ (1.91) dt y al no existir variación de flujo durante el movimiento indicará que dWe = 0, es decir, no hay aportación de energía eléctrica. Por consiguiente, la ecuación (1.89) se transformará en: 0 = dWm + dWmec (1.92) es decir: dWmec = − dWm (1.93) lo que se expresa diciendo que el trabajo mecánico se realiza a expensas de la reducción en la energía magnética almacenada. Si el flujo permanece constante en la transición de la armadura móvil, el nuevo estado de equilibrio corresponderá en la Figura 1.37 al punto b, para el cual la energía magnética alma- cenada en este estado final viene expresada por el área «obco». De este modo se ha producido una reducción de la energía magnética durante la traslación, que viene expresada en la Figu- ra 1.37 por el área rayada «oabo» y que teniendo en cuenta (1.93) será igual al trabajo mecá- nico desarrollado. Si la fuerza de atracción se designa por f, el trabajo mecánico producido valdrá f · dx, por lo que la expresión de la fuerza en función de la energía magnética almace- nada, teniendo en cuenta (1.93), será: C D LWm f=− (1.94) Lx J=cte 52 Máquinas eléctricas En la ecuación anterior la derivada parcial indica que al depender la energía magnética almacenada del espesor del entrehierro y de otras variables, la derivación debe hacerse res- pecto a x, considerando constante el flujo. De acuerdo con (1.94), la fuerza mecánica sobre la armadura móvil tiende a reducir la energía almacenada en el circuito magnético, y como quiera que ésta se reduce cuando disminuye el entrehierro, el sentido de la fuerza que se ejerce sobre la armadura móvil de la Figura 1.36 es siempre de atracción. Si las curvas de imanación de la Figura 1.37 son líneas rectas (lo que ocurre en la práctica cuando los entrehierros son grandes), entonces, de acuerdo con (1.54), la expresión de la energía magnética almacenada será: 1 Wm = R J2 (1.95) 2 por lo que según (1.94) dará lugar a la fuerza: 1 dR f = − J2 (1.96) 2 dx De acuerdo con esta expresión, la fuerza sobre la armadura móvil tendrá el sentido de reducir la reluctancia del circuito magnético. No habrá fuerza en otras direcciones en las que el movimiento no produzca cambio en la reluctancia magnética. b) El movimiento se realiza con corriente constante Esta situación se produce en la práctica si el movimiento de la armadura móvil es suficiente- mente lento. Si se parte de la posición inicial mostrada en la Figura 1.38 por el punto a, definido por la f.m.m. F1 y flujo J1, el nuevo estado de equilibrio (si se mantiene la corriente constante o, lo que es lo mismo, si es constante la f.m.m.) corresponderá al punto e, para el cual el flujo tiene un valor J2. Al existir un cambio de flujo en el sistema, existirá, de acuerdo con (1.91), un cambio en la energía eléctrica de entrada a la bobina durante la transición. Para poder determinar el sentido geométrico de la energía mecánica desarrollada en esta situación Menor ' entrehierro x 2 = x – dx '2 e Mayor entrehierro '1 x1 = x a *Wmec = *Wm@ d O F1 F Figura 1.38. Energías en un sistema electromecánico no lineal. Funcionamiento a corriente constante. Circuitos magnéticos y conversión de energía 53 es conveniente emplear el concepto de coenergía definido en el epígrafe 1.5. Téngase en cuenta que el principio de conservación de la energía expresado en (1.89) nos da: dWe = dWm + dWmec = N i dJ = F dJ (1.97) donde el último término representa, según (1.80), el cambio en la energía eléctrica de entrada. Como quiera además que de acuerdo con la Figura 1.21 se cumple: Wm + Wñm = F J (1.98) donde Wñm representa la coenergía magnética, al diferenciar la ecuación anterior resultará: dWm + dWñm = F dJ + J dF (1.99) y llevando el valor de dWm de (1.99) a (1.97) se obtiene: (F dJ + J dF − dWñm) + dWmec = F dJ (1.100) Simplificando la ecuación anterior y teniendo en cuenta que dF = 0 en la transición (debido a que la f.m.m. se mantiene constante), resulta: dWmec = dWñm (1.101) lo que indica que el trabajo mecánico se realiza ahora a expensas del aumento en la coenergía magnética almacenada. En el caso de la Figura 1.38, y teniendo en cuenta el significado geométrico de la coenergía mostrado en la Figura 1.21, la coenergía inicial corresponde al área «odao», mientras que la coenergía final corresponderá al área «odeo», por lo que el cambio en la coenergía (valor final menos el inicial) vendrá expresado por el área rayada «oaeo» y que según (1.101) define también el trabajo mecánico desarrollado en el movimien- to. Como quiera que el trabajo anterior es igual a f · dx, resultará una expresión para la fuerza: C D LWñm f=+ (1.102) Lx i=cte Si se considera el sistema lineal, la coenergía vendrá expresada según (1.54) por: 1F2 Wñm = (1.103) 2 R y al llevar (1.103) a (1.102) resulta: AB 1 2 d 1 1 dP f= F = F2 (1.104) 2 dx R 2 dx donde P = 1/R expresa la denominada permeancia del circuito magnético, análoga a la conductancia de los circuitos eléctricos. A veces es más interesante expresar la ecuación anterior en función de la inductancia del circuito. Si se tiene en cuenta entonces (1.59), resul- tará: 1 2 dL f= i (1.105) 2 dx ecuación que es más útil desde el punto de vista de la teoría de circuitos y que significa que la fuerza tiende a incrementar el valor de la inductancia L. Esta expresión se conoce en la bibliografía francesa como fórmula de Picou. 54 Máquinas eléctricas En la mayoría de las situaciones prácticas se suele considerar que se trabaja con sistemas lineales, por lo que las expresiones (1.96), (1.104) y (1.105) son equivalentes y por consi- guiente redundantes. El sentido de la fuerza corresponde en cada caso a reducir la reluctancia (1.105) si la corriente es constante. El sentido es siempre de atracción. La aplicación más importante de la fuerza magnética en la ingeniería eléctrica está en los electroimanes. Para grandes potencias los electroimanes se emplean para levantar vigas de hierro, viruta, chatarra, etcétera; en otros casos, al actuar sobre unas zapatas se pueden emplear como frenos eléctri- cos, embragues, electroimanes, etc. En potencias menores los electroimanes constituyen la base de los relés y contactores, en los que la corriente en una bobina hace que se produzca una atracción sobre una armadura móvil en oposición a la fuerza antagonista de un muelle. Los relés se utilizan en instalaciones de semáforos, en sistemas de control automático y se han empleado hasta fechas muy recientes en las centrales telefónicas tipo rotary (hoy día estas centrales funcionan mediante sistemas digitales controlados por ordenador). Cuando el relé permite activar una carga trifásica se denomina contactor, y este dispositivo es la base de los automatismos para el control de motores eléctricos y otros tipos de instalaciones. La gran ventaja de los relés y contactores estriba en que actuando sobre las pequeñas corrientes absor- bidas por las bobinas de su circuito magnético se pueden controlar mediante el cierre o la apertura de su armadura móvil otros circuitos que consumen intensidades mayores (acción de rele-vo). En la Figura 1.39 se muestra el esquema básico de un relé. Un aspecto importante a considerar en los electroimanes (relés, contactores, etc.) es el tipo de alimentación a la bobina, que puede hacerse con c.c. o c.a. Supóngase el circuito magnético de la Figura 1.39, en el que se desprecia la reluctancia del hierro frente a la del entrehierro. En el supuesto de que el movimiento de la armadura se realice a flujo constante, la fuerza magnética, de acuerdo con (1.96), tendrá la siguiente expresión: 1 dR f = − J2 (1.106) 2 dx lo que significa que la fuerza tiende a reducir la reluctancia del circuito magnético. Si se denomina x el espesor del entrehierro, S la sección del mismo y k0 la permeabilidad del aire, la reluctancia del sistema magnético que se limita a la reluctancia del entrehierro valdrá: x R= (1.107) k0S x fx i ' Armadura móvil v(t) e N espiras O Armadura fija Figura 1.39. Principio de funcionamiento de un electroimán (relé). Circuitos magnéticos y conversión de energía 55 y al sustituir en (1.106) resulta una expresión para la fuerza: 1 1 f = − J2 (1.108) 2 k0 S Como se ha indicado antes, el significado del signo − (menos) es que la fuerza tiende a reducir el entrehierro y se produce en cada uno de los posibles entrehierros que tenga el circuito. Es evidente en la expresión anterior que si la bobina se alimenta con c.c. el flujo tendrá un valor independiente del tiempo, lo que provocará una fuerza, según (1.108), que no depende- rá del tiempo. Ahora bien, si la bobina se alimenta con c.a., el flujo será alterno y en consecuen- cia la fuerza dependerá del tiempo. Si se parte, por ejemplo, de un flujo de la forma: J = Jm sen ut (1.109) La fuerza de atracción se obtiene al sustituir (1.109) en (1.108), resultando ser: Jm2 J2 f (t) = sen2 ut = m (1 − cos 2ut) (1.110) 2k0 S 4k0 S En la Figura 1.40 se ha representado la evolución con el tiempo del flujo y de la fuerza instantánea. Como indica la expresión (1.110), la fuerza electromagnética en un electroimán alimentado por c.a. tiene una frecuencia doble que la de alimentación pasando por un valor cero a otro fmáx. Como quiera que, en general, la armadura de los mecanismos electromagnéti- cos está constantemente sometida a la acción de la fuerza antagonista de un muelle fant, o al peso del sistema móvil (véase Fig. 1.41). En los intérvalos de tiempo en los que f (t) < fant, la armadura se separa de los polos, mientras que cuando f (t) > fant, la armadura móvil queda atraída por la fija. Este hecho es un inconveniente y es totalmente inadmisible, ya que provoca la vibración de la armadura del electroimán, deformando los polos y provocando ruidos intensos. El medio más eficaz para evitar la vibración de la armadura es colocar unas espiras cortocircuitadas sobre los polos del electroimán, denominadas espiras de sombra (o espiras de Frager en la bibliografía francesa) en la Figura 1.41 puede observarse la colocación de una de estas espiras, en un circuito magnético de un solo entrehierro, y se observa que la fuerza antagonista está producida por el peso mg de la armadura móvil. v(t) '(t) Fuerza instantánea f (t) fmáx = '2m /2k0 S fmedia = '2m /4k0S fant 0 n 2n 3n 4n wt v(t) Fm sen wt Figura 1.40. Curva de fuerza magnética en un electroimán alimentado con c.a. 56 Máquinas eléctricas v(t) Φ i Ampliación de imagen Φcc Φ N Espira de sombra Φcc Φ1 Φ2 Φcc Φcc Φcc Φ1total Φ2total O Φcc fant=mg Φcc Figura 1.41. Electroimán con espira de sombra. Detalle de los flujos. El flujo J creado por la bobina del electroimán se divide en dos partes J1 y J2; el flujo J1 pasa por la espira cortocircuitada e induce una f.e.m. que produce una corriente en la misma, creando su propio flujo Jcc , de tal forma que el flujo total que atraviesa la parte del polo abrazada por la espira (J1 − Jcc) y el flujo de la parte del polo no abrazada (J2 + Jcc) están desfasadas un ángulo a. Si estos flujos vienen expresados por: J1total = J1 − Jcc = Jm1 cos (ut + a) J2total = J2 + Jcc = Jm2 cos ut (1.111) la fuerza resultante en el entrehierro, de acuerdo con (1.110), será de la forma: 2 2 ftotal = f1 + f2 = K1Jm1 cos (ut + a) + K2Jm2 cos2 ut (1.112) cuya curva de variación con el tiempo se indica en la Figura 1.42. Esta fuerza varía entre fmín y fmáx sin pasar por cero. Si fmín > fant no existirán vibraciones en la armadura. Normalmente la superficie abrazada por la espira suele variar entre el 75 y el 80 por 100 de la sección total del polo, de esta forma se minimizan las pérdidas por efecto Joule en la espira y se obtiene una fuerza óptima en el entrehierro. f (t) ftotal f1 fmáx. f2 fmín. wt Figura 1.42. Fuerzas componentes en un electroimán con espira de sombra. Circuitos magnéticos y conversión de energía 57  COMENTARIOS PRÁCTICOS Si se quitan las espiras de sombra de un contactor, se notará una fuerte vibración en el mismo, y si éste se utiliza para la puesta en marcha de un motor, se pueden provocar fuertes corrientes de cierre y apertura en el circuito principal, que normalmente hacen actuar los cortacircuitos fusibles de protección. Ésta era una broma que hacían los antiguos maestros industriales a los peritos o ingenieros técnicos que se incorporaban al taller eléctrico de la empresa y que éstos transmitían luego a los nuevos ingenieros. Era desconcertante repasar continuamente el circui- to del automatismo del motor y comprobar que era correcto y sin embargo el conjunto funciona- ba mal. ¡La ausencia de las espiras de sombra eran las culpables de tal desaguisado! ¡Qué mala sombra tenía la cosa!  Ejemplo de aplicación 1.8 La Figura 1.43 muestra el circuito magnético de un electroimán cuya bobina tiene 1.000 espiras. La sección transversal de todas las trayectorias magnéticas es de 10 cm2. Se desprecia la reluctancia del hierro y la dispersión magnética en el entrehierro. Si se hace circular por la bobina una corrien- te continua de 10 A, calcular para las separaciones x = 2 cm y x = 1 cm las siguientes magnitudes: 1) Flujo e inducción magnética en el entrehierro; 2) inductancia de la bobina; 3) energía y densidad de energía magnética en el entrehierro; 4) fuerza que actúa sobre la armadura móvil; 5) si la armadura móvil se mueve muy lentamente desde x = 2 cm a x = 1 cm, determinar: a) cambio en la energía magnética almacenada; b) energía eléctrica suministrada por la fuente de alimentación, suponiendo despreciable la resistencia eléctrica de la bobina y el rozamiento de la armadura móvil; c) trabajo mecánico realizado, comprobando el balance energético del sistema; 6) contestar a la pregunta 5 si se supone que el movimiento de la armadura móvil es lo suficientemente rápido para que el flujo total no cambie durante la traslación. Solución 1. La reluctancia del circuito magnético se limita a la reluctancia del entrehierro, cuyo valor para cada espesor del mismo es: x 2 · 10−2 x = 2 cm ú R 1 = = = 15,92 · 106 A.v/Wb k0 S 4n · 10−7 · 10−3 x 1 · 10−2 x = 1 cm ú R 2 = = = 7,96 · 106 A.v/Wb k0 S 4n · 10−7 · 10−3 N =1.000 espiras x s = 10 cm2 v(t) Armadura móvil Armadura fija Figura 1.43. 58 Máquinas eléctricas La f.m.m. aplicada a la bobina es F = Ni = 104 A.v, por lo que los flujos correspondien- tes serán: F 104 F 104 J1 = = 6 = 6,28 · 10−4 Wb ; J2 = = = 12,56 · 10−4 Wb R1 15,92 · 10 R2 7,96 · 106 que corresponden a unas inducciones (B = J/S): B1 = 0,628 teslas ; B2 = 1,256 teslas 2. La inductancia de la bobina es, según (1.58): N2 N 2 k0 S L= = R x que al sustituir valores da lugar en cada caso a unas inductancias: L1 = 0,0628 henrios ; L2 = 0,1256 henrios 3. La energía magnética es, según (1.59), igual a: 1 Wm = L i2 2 que teniendo en cuenta el apartado anterior corresponde a los valores: Wm1 = 3,14 julios ; Wm2 = 6,28 julios Como quiera que el volumen del entrehiero es en cada caso: V1 = S x1 = 10−3 · 2 · 10−2 = 2 · 10−5 m3 ; V2 = S x2 = 10−3 · 1 · 10−2 = 1 · 10−5 m3 se obtienen unas densidades de energía magnética (energía por unidad de vo- lumen): Wm1 3,14 Wm2 6,28 wm1 = = −5 = 1,57 · 105 J/m3 ; wm2 = = = 6,28 · 105 J/m3 V1 2 · 10 V2 1 · 10−5 cuyos valores pueden obtenerse también aplicando la ecuación (1.55), como puede compro- bar fácilmente el lector. 4. De acuerdo con (1.105), se tiene: 1 dL f= i2 2 dx y teniendo en cuenta la expresión de la inductancia determinada en el apartado 2 resulta: dL N 2k0 S L 1 L =− =− ú f = − i2 dx x x 2 x que para x = 2 cm y x = 1 cm nos da unos valores de la fuerza: 1 0,0628 1 0,1256 Y f1 Y = 102 = 157 newton ; Y f2 Y = 102 = 628 newton 2 2 · 10−2 2 1 · 10[2 Circuitos magnéticos y conversión de energía 59 El lector puede llegar también a los mismos resultados anteriores aplicando la expre- sión (1.108). 5. a) Si la armadura se mueve muy lentamente, la traslación se realizará a corriente constante. El cambio en la energía magnética almacenada, de acuerdo con los resultados obtenidos en el apartado 3, será: BWm = Wm2 − Wm1 = 6,28 − 3,14 = 3,14 julios b) La energía eléctrica suministrada por la fuente vendrá expresada por la integración de (1.97), dando lugar a: We = F (J2 − J1) = 104 (12,56 · 10−4 − 6,28 · 10−4) = 6,28 Julios c) El trabajo mecánico desarrollado será: I I I L2 1 dL 1 1 Wmec = f dx = − i2 dx = − i 2 dL = − i 2 (L2 − L1) 2 dx L1 2 2 es decir: 1 Wmec = 102 (0,1256 − 0,0628) = 3,14 julios 2 y de este modo se cumple el principio de conservación de la energía (1.97), que aplicado a este caso nos da: We = BWm + BWmec ú 6,28 = 3,14 + 3,14 julios Se puede dar una interpretación del trabajo mecánico desarrollado en función de la varia- ción en la coenergía magnética. Téngase en cuenta que según (1.98) se cumple: Wñm = F J − Wm por lo que las coenergías magnéticas para cada valor del entrehierro serán: Wñm1 = F J1 − Wm1 = 104 · 6,28 · 10−4 − 3,14 = 3,14 julios Wñm2 = F J2 − Wm2 = 104 · 12,56 · 10−4 − 6,28 = 6,28 julios que coinciden con las energías magnéticas calculadas en el apartado 3, en virtud de la lineali- dad del circuito magnético. De este modo el cambio en la coenergía magnética será: BWñm = Wñm2 − Wñm1 = 6,28 − 3,14 = 3,14 julios que coincide con el trabajo mecánico Wmec calculado anteriormente, lo que confirma la con- dición (1.101): Wmec = BWñm = 3,14 julios Es decir, el trabajo mecánico se ha realizado a expensas del aumento en la coenergía magné- tica almacenada en el sistema. 6. a) Si el movimiento se realiza a flujo constante, la energía magnética almacenada respon- derá a la expresión (1.95) 1 1 x Wm = R J2 = J2 2 2 k0 S 60 Máquinas eléctricas donde el flujo es un parámetro constante y que para x1 = 2 cm vale, según el apartado 1: J = J1 = 6,28 · 10−4 Wb De este modo las energías magnéticas almacenadas para x1 = 2 cm y x2 = 1 cm son: 1 2 · 10−2 Wm1 = (6,28 · 10−4)2 = 3,14 Julios 2 4n · 10−7 · 10−3 1 1 · 10−2 Wm2 = (6,28 · 10−4)2 = 1,57 Julios 2 4n · 10−7 · 10−3 y como consecuencia de ello el cambio en la energía magnética almacenada será: BWm = Wm2 − Wm1 = −1,57 Julios lo que implica una reducción en la energía magnética almacenada. b) Si el flujo es constante, de acuerdo con (1.91) no habrá energía eléctrica suministrada por la fuente, es decir, We = 0. c) El trabajo mecánico desarrollado se obtendrá integrando (1.96): I I I R2 1 dR 1 1 Wmec = f dx = − J2 dx = − J2 dR = − J2 (R 2 − R 1) 2 dx R1 2 2 es decir: 1 Wmec = − (6,28 · 10−4)2(7,96 · 106) = +1,57 Julios 2 y el principio de conservación de la energía nos dará: We = BWm + Wmec ú 0 = BWm + Wmec que sustituyendo valores es: 0 = −1,57 + 1,57 = 0 lo que indica que el trabajo mecánico se ha realizado a expensas de la reducción en la energía magnética almacenada. Es instructivo para el lector que desarrolle los aparta- dos 5 y 6 de este ejemplo, construyendo las Figuras 1.38 y 1.37, respectivamente, para cada situación. Téngase en cuenta que las relaciones flujo-f.m.m. representadas en estas figuras serán ahora líneas rectas en virtud de considerar la reluctancia del hierro despre- ciable.  Ejemplo de aplicación 1.9: Relé electromagnético En la Figura 1.44 se muestra el mecanismo de un relé electromagnético. Al aplicar una corriente continua a la bobina, se produce la atracción de la armadura móvil que cierra los contactos a y añ haciendo funcionar una carga de mayor consumo que la necesaria por la bobina del relé, lo que permite controlar grandes intensidades de cargas por actuación sobre intensidades pequeñas nece- sarias para la excitación de la bobina. Si la corriente que circula por la bobina es igual a 20 mA, y se desprecia la f.m.m. necesaria para el hierro, calcular: a) Fuerza y coeficiente de autoinducción de la bobina cuando el entrehierro x es igual a 3 mm. b) Ídem cuando x = 3,6 mm. c) Si la resistencia de la bobina es igual a 100 L, calcular la tensión que es necesario aplicar a la misma para mantener constante la corriente, cuando la armadura se mueve entre las dos posiciones (el tiempo necesario para esta traslación es de 11 ms). Circuitos magnéticos y conversión de energía 61 RED a a@ CARGA x i ' 40 mm f Armadura móvil v(t) N = 6.000 espiras O Armadura fija Figura 1.44. Relé electromagnético. Solución a) La fuerza producida a corriente constante será: C D A B A B 2 LWñm L 1 L 1F f=+ = R J2 = Lx i=cte Lx 2 Lx 2 R y como quiera que: x F = Ni ; R = k0 S se tendrá: A B d 1 k0 S 1 k0 S f= N2 i2 =− N2i2 dx 2 x 2 x2 cuando x = 3 mm, y teniendo en cuenta que n d2 n 402 S= = = 1.256 mm2 ; Ni = 6.000 · 20 · 10−3 = 120 A.v 4 4 se obtiene: 1 4n · 10−7 · 1.256 · 10−6 f= 1202 = 1,263 newton 2 (3 · 10−3)2 Como quiera que el coeficiente de autoinducción de la bobina vale: J F /R N2 k0 S L=N =N = = N2 i i R x se obtiene: 4n · 10−7 · 1.256 · 10−6 L = 6.0002 = 18,94 henrios 3 · 10−3 b) Aplicando los mismos conceptos que en el apartado anterior se obtiene: L = 15,783 H ; f = 0,877 newton 62 Máquinas eléctricas c) La tensión aplicada a la bobina será: dJ d di dL v = Ri + N = Ri + (Li) = Ri + L +i dt dt dt dt Como quiera que no hay variación de la corriente, se tendrá: BL 18,94 − 15,783 v = Ri + i = 1.000 · 20 · 10−3 + 20 · 10−3 = 25,74 V Bt 11 · 10−3  Ejemplo de aplicación 1.10: Contactor electromagnético En la Figura 1.45 se muestra el circuito magnético de un dispositivo electromecánico denominado contactor. El sistema consiste en un núcleo ferromagnético en forma de E, cuya sección central lleva el devanado de excitación, y tiene doble superficie que las secciones laterales. Se tiene una pestaña P que limita el espesor del entrehierro a un valor adecuado. Existen unos contactos m y n que se cierran al aplicar a la bobina una excitación de c.a. dando alimentación a una carga externa. Considerando las dimensiones indicadas en la Figura 1.45, que el entrehierro es de 0,5 cm y que se aplica a la bobina una tensión del tipo v = ∂2 220 cos ut con una frecuencia de 50 Hz, calcular, N=1500 espiras S=4cm2 M Motor de c.a. S l=2cm 2 CARGA S l=2cm 2 v(t) R=5Ω m RED P e n Figura 1.45. Contactor electromagnético. en el supuesto de que se desprecie la reluctancia del hierro y que la resistencia eléctrica de la bobina es de 5 L: a) Coeficiente de autoinducción de la bobina. b) Corriente instantánea que circula por la bobina. c) Expresión instantánea del flujo y de la inducción en el núcleo central. d) Expresión de la fuerza instantánea ejercida sobre la armadura móvil. e) Comprobar que el valor del flujo obtenido en el apartado. c) partiendo del estudio magnético del sistema no coincide con el obtenido aplicando la expresión (1.80), ¿a qué se debe esta diferencia? Solución a) El circuito equivalente eléctrico es el indicado en la Figura 1.46. Las reluctancias de los entrehierros valen: e e 2e R = ; R1 = = k0 S k0 S1 k0 S ya que S1 = S/2. Circuitos magnéticos y conversión de energía 63 El flujo en la columna central, teniendo en cuenta el circuito de la Figura 1.46b, será: Ni Ni J= = k0 S R + R 1/2 2e resultando un valor para el coeficiente de autoinducción de la bobina, dado por: J k0 S 4n · 10−7 · 4 · 10−4 L=N = N2 = 1.5002 = 0,113 H i e 2 · 0,5 · 10−2 b) Para obtener el valor de la corriente, es preciso calcular antes la reactancia e impedancia del circuito eléctrico. La reactancia será: XL = Lu = 0,113 · 2n · 50 = 35,53 L y como la resistencia de la bobina es igual a 5 L, la impedancia compleja valdrá: Z = R + j XL = 5 + j 35,53 = 35,88 7 81,99° La corriente que circula por la bobina será: V 220 7 0° I= = = 6,13 7 −81,99° Z 35,88 7 81,99° donde se ha tomado como referencia la tensión aplicada. '/2 '/2 Ni ' ' ' R1 R1 R 1/2 R R a) b) Figura 1.46. La expresión instantánea de la corriente será, en consecuencia: i = ∂2 · 6,13 cos (ut − 81,99°) c) El flujo en la sección central vale, según lo calculado en el apartado a): k0 SNi 4n · 10−7 · 4 · 10−4 · 1.500 · 6,13 J= = = 4,62 · 10−4 Wb 2e 2 · 0,5 · 10−3 que corresponde a un valor instantáneo: J = ∂2 · 4,62 · 10−4 cos (ut − 81,99°) = 6,53 · 10−4 cos (ut − 81,99°) lo que indica una densidad de flujo en la columna central: J B= = 1,64 cos (ut − 81,99°) Teslas S En las columnas laterales la densidad de flujo es la misma, pues existe un flujo mitad con sección mitad que en la columna central. 64 Máquinas eléctricas d) La fuerza en cada entrehierro será de la forma: 1 B2S f= 2 k0 que al aplicar a nuestro sistema da: A B 1 B2S 1 B 2 S1 fT = +2 2 k0 2 k0 ya que existen dos secciones laterales. Pero como quiera que S1 = S/2, resulta una fuerza total: B2 S [1,64 cos (ut − 81,99°)]2 · 4 · 10−4 fT = = k0 4n · 10−7 cuyo valor es: fT = 856,64 cos2 (ut − 81,99°) e) El valor del flujo instantáneo, de acuerdo con el apartado c), era: J = 6,53 · 10−4 cos (ut − 81,99°) que corresponde a un valor máximo: Jm = 6,53 · 10−4 Wb Si se aplica directamente (1.80) se obtiene: V = 4,44 f NJm siendo V la tensión aplicada eficaz, y de aquí se deduce el valor máximo del flujo: 220 Jm = = 6,60 · 10−4 Wb 4,44 · 50 · 1.500 que no coincide con el valor anterior. Esto se debe a que la expresión (1.80) es aproximada y que se suponía que la resistencia del devanado era despreciable. La expresión correcta es la (1.75), que volvemos a escribir: dJ v = Ri + N dt o en forma compleja (llamando E al valor complejo de N dJ/dt), queda: E = V − RI = 220 7 0° − 5 · 6,13 7 − 81,99° = 217,85 7 + 8,01° o en forma instantánea: dJ ∂2 · 217,85 cos (ut + 8,01°) = N dt de donde se deduce, integrando: ∂2 · 217,85 sen (ut + 8,01°) ∂2 · 217,85 Jm = = cos (ut − 81,99°) uN uN y teniendo en cuenta que u = 2nf = 314 rad/s y N = 1.500 espiras, resulta: ∂2 · 217,85 Jm = = 6,53 · 10−4 Wb 314 · 1.500 que coincide exactamente con el valor de flujo obtenido en el apartado c). Circuitos magnéticos y conversión de energía 65 1.9. CONVERSIÓN DE ENERGÍA EN SISTEMAS MAGNÉTICOS CON MOVIMIENTO DE ROTACIÓN. MÁQUINAS ELÉCTRICAS ROTATIVAS En el epígrafe anterior se ha analizado la conversión de energía en sistemas magnéticos excitados por una sola fuente y que disponen de una armadura móvil dotada de movimiento de traslación, lo que ha permitido explicar el funcionamiento de los electroimanes. En general, las máquinas eléctricas son dispositivos electromagnéticos dotados de movi- miento de rotación. Para analizar la conversión de energía en estos sistemas vamos a conside- rar las dos situaciones que frecuentemente se presentan en la práctica: a) que el sistema magnético disponga de una sola fuente de alimentación, b) que el sistema magnético dispon- ga de varias fuentes de alimentación, normalmente dos. 1.9.1. Sistemas magnéticos de rotación alimentados con una sola fuente. Motores de reluctancia Considérese el sistema mostrado en la Figura 1.47, que es la versión rotativa del sistema de traslación mostrado en la Figura 1.36. La parte fija de este convertidor se denomina estátor y la parte móvil recibe el nombre de rotor. Sobre el estátor está arrollada una bobina de N espiras conectada a una red de v(t) voltios. En la Figura 1.47 se muestran los respectivos ejes magnéticos (ejes de simetría) del estátor y del rotor, que forman un ángulo h entre sí. De un modo análogo al estudiado en el epígrafe anterior aparecerán fuerzas en el sistema móvil que tenderán a producir un movimiento de rotación. Si se considera que el giro se produce a flujo constante, la ecuación (1.93) represen- tará el principio de conservación de la energía aplicado al sistema: dWmec = − dWm (1.113) Eje magnético del rotor tor Eje q n d el ro Ωt θ ció 0 Posi en t= Ω δ Eje magnético del estator θ=0 Eje d N espiras i(t) v(t) Figura 1.47. Motor de reluctancia variable. 66 Máquinas eléctricas Ahora bien, si se denomina T al par desarrollado y dh al ángulo girado por el rotor, el primer miembro de la ecuación anterior será igual a: dWmec = T dh (1.114) de donde se deduce el valor del par: C D LWm T=− (1.115) Lh J=cte que es una ecuación análoga a (1.94) aplicada a sistemas de rotación. Si el sistema se conside- ra lineal, lo que equivale a suponer que la única reluctancia existente es la del entrehierro, entonces se cumplirá: 1 Wm = R J2 (1.116) 2 valor que llevado a (1.115) nos da: 1 2 dR T=− J (1.117) 2 dh lo que indica que el par actúa en el sentido de reducir la reluctancia entre el estátor y el rotor, que en términos prácticos significa que el par tiende a alinear el eje magnético del rotor con el del estátor. De una forma similar a la analizada en los movimientos de traslación, si el movimiento se produce a corriente constante (f.m.m. constante), las ecuaciones (1.104) y (1.105) se transforman, respectivamente, en: 1 2 dP 1 dL T= F ; T = i2 (1.118) 2 dh 2 dh en las que P y L representan, respectivamente, la permeancia del circuito magnético y la inductancia de la bobina. Es fácil demostrar, observando la Figura 1.47, que tanto la reluctancia como la permean- cia y la inductancia es función doble del ángulo h que forman el estátor con el rotor. Desde el punto de vista de la teoría de circuitos resulta más útil trabajar con parámetros de inductancia que con valores de reluctancias o permeancias, por lo que será más práctico emplear la última expresión del par (1.118). Por consiguiente, vamos a demostrar únicamente la evolución de la inductancia L con el ángulo h para poder determinar el sentido del par que se ejerce sobre el rotor. De acuerdo con la definición de inductancia (1.56) y (1.58), su valor será máximo cuando el rotor esté alineado con el eje del estátor (denominado eje directo), ya que corresponde a una posición de máximo flujo en el entrehierro o mínima reluctancia del mismo, y denomi- nando Ld a este valor se tendrá: L(h = 0) = L(h = n) = Ld (1.119) Análogamente, la inductancia será mínima cuando el rotor forme 90° (eje cuadratura) con el eje del estátor. Denominando Lq a este valor se tendrá: L(h = n/2) = L(h =3n/2) = Lq (1.120) Circuitos magnéticos y conversión de energía 67 L(h) L2 = (Ld – Lq)/2 Ld L1 = (Ld + Lq)/2 Lq h 0 n/2 n 3n/2 2n Figura 1.48. Variación de la inductancia con la posición del rotor. En la Figura 1.48 se muestra la variación de L con h, que se considera que evoluciona entre Ld y Lq siguiendo una ley sinusoidal: L(h) = L1 + L2 cos 2h (1.121) en h = 0 se cumplirá: L(h = 0) = L1 + L2 = Ld (1.122) y en h = n/2: L(h = n/2) = L1 − L2 = Lq (1.123) lo que permite identificar a L1 y L2 en función de las inductancias Ld y Lq como: Ld + Lq L − Lq L1 = ; L2 = d (1.124) 2 2 y llevando la expresión (1.121) a la ecuación del par resultará: 1 2 d T= i (L + L2 cos 2h) (1.125) 2 dh 1 es decir: Ld − Lq T = − i 2L2 sen 2h = − i 2 sen 2h (1.126) 2 Es evidente de la expresión anterior que si Ld = Lq no se desarrolla ningún par. Esta situación se produce cuando el rotor es cilíndrico y por consiguiente el entrehierro es unifor- me. Cuando el rotor es asimétrico, como es el caso de la Figura 1.47, existe un par expresado por (1.126). Si se considera que la corriente de alimentación es constante (tipo c.c.) y se supone que el rotor se desplaza de la posición horizontal un ángulo h en dirección contraria a las agujas del reloj (posición mostrada en la Fig. 1.47), el par (1.126) es un par restaurador orientado en el sentido de las agujas del reloj. Si en el proceso de regresar el rotor a la posición horizontal, debido a su momento, sobrepasa esta posición, el campo magnético ejerce entonces un par en sentido contrario a las agujas del reloj. En otras palabras, si la corriente es constante, el par que se ejerce sobre el rotor no es unidireccional y está orientado en sentido contrario al que el rotor tiende a moverse. Es por ello que el rotor permanecerá estacionario en posición horizontal (mínima reluctancia); cualquier modificación de la posición del rotor pro- ducirá una oscilación sobre el eje horizontal hasta que se pare finalmente en esta posición. 68 Máquinas eléctricas Supóngase ahora que el rotor se mueve (accionado en principio por un motor exterior) a una velocidad L; entonces la posición del rotor, de acuerdo con el esquema de la Figura 1.47, será: h = Lt + d (1.127) donde h = + d representa la posición del rotor en t = 0. Si en esta situación se alimenta el estátor con una corriente sinusoidal: i(t) = Im cos ut (1.128) entonces, de acuerdo con (1.126), se producirá un par: T = − i 2L2 sen 2h = − Im2 cos2 ut L2 sen 2(Lt + d) (1.129) y teniendo en cuenta que: 1 + cos 2ut cos2 ut = (1.130) 2 por lo que el par se puede escribir: 1 2 T=− I L sen 2(Lt + d)(1 + cos 2ut) (1.131) 2 m 2 y sabiendo de trigonometría que: 1 sen a cos b \ [sen (a + b) + sen (a − b)] (1.132) 2 resulta finalmente: 1 2 1 T=− I L Osen 2(Lt + d) + sen 2[(L + u)t + d] + 2 m 2 2 1 + sen 2[(L − u)t + d]P (1.133) 2 se observa en la expresión anterior que el par medio es cero para velocidades L | u. Sin embargo si el rotor gira a la velocidad u, (L = u), denominada velocidad de sincronismo, el par medio es: I 2n 1 1 2 Tmed = T d(ut) = − I L sen 2d (1.134) 2n 0 4 m 2 lo que demuestra que si se verifica: YLY = YuY ú L = ± u (1.135) se producirá un par medio de rotación, para los dos sentidos de giro que cumplan (1.135). Esta velocidad de rotación se denomina velocidad de sincronismo, lo que significa que la veloci- dad mecánica de rotación L en rad/s coincide con la pulsación o frecuencia angular u de la alimentación. Éste es el principio en que se basan los motores de reluctancia. El motor tiende a mantener su sentido de giro aun después de que se desconecte el motor primario. En la Figura 1.49 se muestra la representación del par medio (1.134) en función del ángulo d, que se denomina ángulo de par. Para d < 0 el par medio es positivo, lo que signifi- ca, de acuerdo con la Figura 1.47, que actúa en el sentido de rotación de la máquina, que Circuitos magnéticos y conversión de energía 69 Tmed A GENERADOR I m2 L2 Tmax = 4 −π/2 −π/4 π/4 δ π/2 MOTOR ZONA ESTABLE Figura 1.49. Variación del par electromagnético desarrollado por un motor de reluctancia. trabaja entonces como motor. Si se considera el motor ideal (sin pérdidas) y que no existe par resistente, entonces la máquina girará inicialmente con d = 0, y al arrastrar en este caso una carga mecánica, se necesitará que la máquina genere un par motor. Como en la situación anterior el par motor era cero, se producirá un régimen dinámico en el que se reducirá la velocidad, y como resultado de ello el ángulo d comenzará a tomar valores negativos y desa- rrollará un par motor definido por (1.134) que equilibrará al par resistente y la máquina volverá a girar a la velocidad de sincronismo. Conforme el par resistente aumente, el ángulo d se hará cada vez más negativo; esta situación puede llegar hasta que el valor de d sea igual a − n/4, ya que entonces el par desarro- llado alcanza su valor máximo; si el par resistente es superior a este valor, la máquina se saldrá del sincronismo y se acabará parando. De este modo la zona estable como motor está comprendida entre 0 y − n/4, ya que en esta zona a medida que aumenta el par resistente también aumenta el par motor debido a que d toma valores (absolutos) mayores; sin embargo, si se sobrepasa el punto A, un aumento del par resistente no se ve compensado por un aumen- to del par motor. Si d > 0, el par desarrollado es negativo, lo que significa, de acuerdo con la Figura 1.47, que actúa en sentido contrario al giro de la máquina, y trabajando entonces como generador, el dispositivo mecánico conectado al eje debe suministrar par y potencia al rotor. Hay enton- ces un flujo de potencia eléctrica de la máquina a la red. De un modo análogo al estudiado en el comportamiento como motor, la zona estable como generador está comprendida entre 0 y + n/4. La aplicación más conocida de los motores de reluctancia está en los relojes eléctricos, y como quiera que no producen par de arranque, se inicia el giro dando un impulso mecánico al rotor por encima de la velocidad de sincronismo, de tal forma que se alcanza un estado estable al pasar por la velocidad de sincronismo, manteniendo esta velocidad. 1.9.2. Sistemas magnéticos de rotación alimentados con dos fuentes Estos sistemas son los que normalmente se encuentran en las máquinas eléctricas convencio- nales. Considérese el esquema de la Figura 1.50, que muestra un sistema magnético con dos alimentaciones tanto en el estátor como en el rotor. 70 Máquinas eléctricas Eje magnético del rotor tor del ro θ ció n 0 i2 Ωt Posi en t= Ω v2 δ Eje magnético θ=0 del estátor N espiras i1 v1 Figura 1.50. Sistema electromagnético doblemente alimentado. Si se considera el sistema magnético lineal y recordando la teoría de los circuitos acopla- dos, los flujos magnéticos totales t1 y t2 que atraviesan los devanados 1 y 2 estarán expresa- dos por las siguientes ecuaciones: t1 = L11 i1 + L12 i2 = N1J1 ; t2 = L21 i1 + L22 i2 = N2J2 (1.136a) que en forma matricial se escribe: EF C DE F t1 L11 L12 i1 = ú OtP = [L]OiP (1.136b) t2 L21 L22 i2 donde OtP es el vector de flujos, [L] es la matriz de inductancias de los devanados en la que L11 representa el coeficiente de autoinducción del devanado 1, L22 es el correspondiente del devanado 2 y L12 = L21 es el coeficiente de inducción mutua entre ambos devanados, y final- mente OiP es el vector de las corrientes que circulan por los arrollamientos. Los flujos magnéticos J1 y J2 son los flujos que atraviesan cada una de las espiras de los devanados del estátor y del rotor, respectivamente. De acuerdo con esta nomenclatura, la energía magnética total almacenada (que es igual a la coenergía por ser el sistema lineal) se obtendrá aplicando (1.54) a cada uno de los arrollamientos, lo que da lugar a: 1 1 1 1 Wm = Wñm = FJ + FJ = it + it (1.137) 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ya que: F1 = N1 i1 ; F2 = N2 i2 (1.138) y teniendo en cuenta (1.136), la ecuación (1.137) se transforma en: 1 1 Wm = Wñm = L11 i12 + L22 i22 + L12 i1 i2 (1.139) 2 2 Circuitos magnéticos y conversión de energía 71 y de un modo análogo a (1.102) puede demostrarse que aparece un par en el rotor de valor: C D LWñm T=+ (1.140) Lh i=cte y al sustituir (1.139) en (1.140) resulta: 1 2 dL11 1 2 dL22 dL T= i1 + i2 + i1i2 12 (1.141a) 2 dh 2 dh dh o en notación matricial: C DC D 1 L L11 L12 i1 1 t L T= [i1 i2] ú T= OiP O[L]OiPP (1.141b) 2 Lh L21 L22 i2 2 Lh donde OiPt es el vector traspuesto de OiP. Como era de esperar, las ecuaciones anteriores (1.141a) o (1.141b) son una generalización del resultado (1.118) que se obtuvo para sistemas alimentados con una sola fuente. Los dos primeros sumandos de (1.141a) representan pares de reluctancia debidas a las inductancias propias de cada devanado; el tercer sumando repre- senta el par que se obtiene cuando varía la inductancia mutua entre ambos devanados. En general, para una disposición magnética como la que se indica en la Figura 1.50, y de acuerdo con lo desarrollado en el epígrage 1.9.2, las expresiones de L11 y L22 serán de la forma: L11 = La + Lb cos 2h ; L22 = Lc + Ld cos 2h (1.142) mientras que el coeficiente de inducción mutua dependerá del ángulo que forman entre sí los ejes magnéticos del estátor y del rotor: L12 = Lm cos h (1.143) lo que era lógico suponer teniendo en cuenta la propia definición del coeficiente de inducción mutua, como flujo que llega a un devanado producido por el otro. Cuando los ejes están alineados el flujo será máximo, es decir, todo el flujo que produce un devanado atravesará el otro; cuando los ejes formen 90° no habrá flujo que saliendo de un devanado atraviese el otro. En general, para una posición arbitraria deberá aplicarse la ecuación (1.143), que es váli- da sean cuales sean las disposiciones magnéticas del estátor y del rotor. No ocurre así con las expresiones (1.142), ya que la evolución de las inductancias propias o coeficientes de autoin- ducción en función de h dependerá de las simetrías magnéticas de las estructuras del estátor y rotor. Por ejemplo, si ambas son cilíndricas, L11 y L22 serán constantes y no dependerán de h porque al moverse el rotor ninguno de los devanados apreciará ningún cambio de reluctancia. Si el estátor tiene salientes magnéticos y el rotor es cilíndrico, entonces L11 será constante y L22 vendrá expresado por la segunda ecuación (1.142), y a la inversa, si el estátor es cilíndrico y el rotor tiene polos salientes, entonces L22 será constante y L11 tendrá la forma indicada en (1.142). En el caso de que se desee relacionar las tensiones aplicadas con las corrientes en cada devanado deberá aplicarse el 2.o lema de Kirchhoff a cada arrollamiento. Si se denomina R1 y R2 a las resistencias respectivas de los devanados, teniendo en cuenta (1.136) resultará: dt1 d v1 = R1i1 + = R1i1 + (L11 i1 + L12 i2) dt dt dt2 d v2 = R2i2 + = R2i2 + (L21 i1 + L22 i2) (1.144a) dt dt 72 Máquinas eléctricas o en notación matricial: EF C DE F C DC D v1 R1 0 i1 d L11 L12 i1 d = + ú OvP = [R]OiP + [L]OiP (1.144b) v2 0 R2 i2 dt L21 L22 i2 dt En el caso genérico de que existan más de dos devanados (excitación múltiple), el estudio correspondiente es análogo al aquí expuesto, teniendo en cuenta que entonces la ecuación (1.139) de la energía almacenada será de la forma: n n Wm = Wñm = ; ; Lij ii ij (1.145a) i=1 j= 1 o en notación matricial: 1 t Wm = Wñm = OiP [L]OiP (1.145b) 2 Las notaciones matriciales son expresiones más convenientes cuando se desea realizar un estudio generalizado de las máquinas eléctricas.  Ejemplo de aplicación 1.11: Motores monofásicos síncronos y asíncronos Considérese la máquina con simetría cilíndrica mostrada en la Figura 1.51. Los valores de las inductancias de los devanados son de la forma: L11 = a (constante); L22 = b (constante); L12 = Lm cos h, en donde h está medido a partir de la posición de referencia en sentido contrario a las agujas del reloj. a) Si el rotor se alimenta con una corriente continua i1 = I1 y se aplica al estátor una c.a. de la forma i2 = Im2 cos ut, determinar la expresión del par instantáneo y medio desarrollado si el rotor gira a una velocidad angular L = u. Este montaje describe el comportamiento de un motor síncrono monofásico de polos lisos o rotor cilíndrico. b) Si se aplican corrientes alternas a ambos devanados de la forma: i1 = Im1 sen u1t ; i2 = Im2 sen u2t y el rotor gira a una velocidad angular L rad/s, ¿cuál debe ser la relación entre u1, u2 y L para que se produzca un par neto en el rotor? ¿Cuál será la expresión del par medio en esas condiciones? Este montaje describe el comportamiento de un motor asíncrono monofásico. Eje magnético del rotor otor i2 n del r θ osici t=0 ó Ωt P en Ω δ Eje magnético v2 θ=0 del estátor i1 v1 Figura 1.51. Motor asíncrono monofásico. Motor síncrono con rotor de polos lisos (cilíndrico). Circuitos magnéticos y conversión de energía 73 Solución a) De acuerdo con (1.141), y teniendo en cuenta que L11 y L22 son constantes, se tendrá un par: dL12 T = i1i2 = I1 Im2 cos ut (− Lm sen h) dh como quiera además que h = Lt + d, y al ser L = u resultará: T = − Lm I1 Im2 cos ut sen (ut + d) que haciendo una transformación trigonométrica se convierte en un par instantáneo: LmI1Im2 T=− [sen (2ut + d) + sen d] 2 Ahora bien, si se tiene en cuenta que el valor medio del término dependiente del tiempo es cero, el valor medio del par resultante será: I 2n 1 Lm I1 Im2 Tmed = Td(ut) = − sen d 2n 0 2 La expresión anterior indica: 1) existe un par medio distinto de cero que es proporcional a sen d, 2) la máquina no puede arrancar por sí misma pero puede desarrollar un par neto si gira a la velocidad L = u (velocidad de sincronismo) para lo cual se requiere la acción de un motor primario externo que impulse el rotor hasta la velocidad de sincronismo; en ese momen- to, aunque se desconecte el motor externo, la máquina podrá seguir girando por sí misma. b) Si se aplican corrientes alternas a ambos devanados, al aplicar (1.141) se obtendrá un par instantáneo: T = (Im1 sen u1t)(Im2 sen u2t)(−Lm sen h) y teniendo en cuenta que h = Lt + d, después de una transformación trigonométrica resulta: Im1 Im2 Lm T=− sen u1t [cos (u2t − Lt − d) − cos (u2t + Lt + d)] 2 es decir: Im1 Im2 Lm T=− [sen u1t cos (u2t − Lt − d) − sen u1t cos (u2t + Lt + d)] 2 y aplicando a cada sumando contenido entre los corchetes la transformación trigonométrica (1.132) se obtiene: Im1 Im2 Lm T=− Osen [(u1 + u2 − L)t − d] + sen [(u1 − u2 + L)t + d]P + 4 Im1 Im2 Lm + Osen [(u1 + u2 + L)t + d] + sen [(u1 − u2 − L)t − d]` 4 si se elige la velocidad del rotor de tal modo que se cumpla: YLY = Yu1 − u2Y ú L = ±(u1 − u2) (a) se obtiene tanto para el signo positivo de L como para el signo negativo un par medio resultante distinto de cero de valor: Im1 Im2 Lm Tmed = − sen d (b) 4 74 Máquinas eléctricas La condición (a) indica que la velocidad de rotación está relacionada directamente con las frecuencias de las corrientes que circulan por los devanados del estátor y del rotor. Como se señalará más adelante en el Capítulo 2, el cociente entre las frecuencias del rotor y del estátor se denomina deslizamiento y se representa por la letra s, es decir: u2 2nf2 f2 s= = = u1 2nf1 f1 de donde se deduce que la expresión a) se puede escribir así: L = ±(u1 − u2) = ±u1(1 − s) (c) la descripción anterior explica el comportamiento de un motor asíncrono o de inducción monofásico que produce un par medio resultante proporcional a sen d. La máquina no puede arrancar por sí misma y tiene que ser impulsada por un medio mecánico exterior en el sentido de rotación que se desee. Realmente, por el devanado del rotor no se introduce ninguna corriente externa, la corrien- te i2 se obtiene por inducción del campo magnético del estátor estando el bobinado del rotor en cortocircuito. El deslizamiento de estos motores suele estar comprendido entre el 10 y el 20 por 100, de ahí que según (c) haya que impulsar el rotor hasta velocidades del orden de 80 al 90 por 100 de u1 para obtener un par neto en el eje. En el Capítulo 4 se explicará con detalle el funcionamiento de este tipo de motores.  Ejemplo de aplicación 1.12: Motor monofásico síncrono y de reluctancia En la Figura 1.52 se muestra una máquina eléctrica denominada de polos salientes (situados en el rotor): L11 = a (constante) ; L22 = La + Lb cos 2h ; L12 = Lm cos h en donde h está medido a partir de la posición de referencia en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Las resistencias de los devanados son despreciables: a) Si el rotor se alimenta con una corriente continua i1 = I1 y se aplica al estátor una c.a. de la forma i2 = Im2 cos ut, ¿cuál deberá ser la velocidad del rotor para que se obtenga un par neto en el eje del mismo? Determinar a continuación el par medio resultante. Este montaje describe el comportamiento de un motor síncrono monofásico de polos salientes. b) Responder a la pregunta anterior si el devanado del rotor se deja abierto (i1 = 0) y la corriente del estátor sigue siendo la misma. Este montaje describe el comportamiento de un motor sincrono de reluctancia variable. Eje magnético del rotor tor n d el ro i2 θ ció 0 Ωt Posi en t= i1 v1 Ω δ Eje magnético v2 del estátor θ=0 Figura 1.52. Motor síncrono de polos salientes. Motor de reluctancia. Circuitos magnéticos y conversión de energía 75 Solución a) De acuerdo con (1.141), la expresión del par desarrollado será igual a: 1 T= i22 (−2Lb sen 2h) + i1i2 (−Lm sen h) 2 que al sustituir los valores de i1, i2 y h nos da lugar a: 2 T = − Im2 Lb cos2 ut sen 2(Lt + d) − I1 Im2 Lm cos ut sen (Lt + d) y teniendo en cuenta que: 1 + cos 2ut cos2 ut = 2 resulta: 2 Im2 T=− Lb (1 + cos 2ut) sen 2(Lt + d) − I1 Im2 Lm cos ut sen (Lt + d) 2 y al aplicar la transformación trigonométrica (1.132) se convierte en: E F 2 Im2 1 1 T=− Lb sen 2(Lt + d) + [sen 2(ut + Lt + d)] + [sen 2(− ut + Lt + d)] − 2 2 2 I1Im2 − LmOsen (ut + Lt + d) + sen (− ut + Lt + d)P 2 Cada término de la ecuación anterior es una función senoidal del tiempo, por lo que el valor medio del par será nulo. Para que se obtenga un par medio diferente de cero, el rotor deberá girar a una velocidad: YLY = YuY ú L = ±u ya que en esta situación se obtiene un par: 1. Para L = u : C D 2 Im2 1 1 T=− Lb sen 2(ut + d) + sen 2(2ut + d) + sen 2d − 2 2 2 I1 Im2 − Lm [sen (2ut + d) + sen d)] 2 2. Para L = − u: C D 2 Im2 1 1 T=− Lb sen 2(− ut + d) + sen 2d + sen 2(− 2ut + d) − 2 2 2 I1 Im2 − Lm [sen d + sen (− 2ut + d)] 2 que en ambos casos da lugar a un par medio: 2 Im2 I1 Im2 Tmed = − Lb sen 2d − Lm sen d 2 2 La expresión anterior indica que el par medio se compone de dos términos: el primero representa el par de reluctancia que se debe a la forma de polos salientes que tiene el rotor y que no depende de la corriente que circula por este devanado, el segundo representa el par de excitación que es función de la corriente rotórica. La máquina no puede arrancar por sí misma pero desarrolla un par neto cuando gira a velocidad L = ± u. 76 Máquinas eléctricas b) En esta situación solamente se produce un par de reluctancia de valor medio: 2 Im2 Lb Tm = − sen 2d 4 siempre que el rotor gire a la velocidad de sincronismo L = ± u, como ya se ha demostrado en el apartado anterior.  Ejemplo de aplicación 1.13: Motor bifásico síncrono Considérese la máquina con simetría cilíndrica mostrada en la Figura 1.53. El estátor tiene dos devanados desfasados 90° en el espacio (se dice entonces que están situados en cuadratura), que se alimentan por medio de dos corrientes alternas desfasadas en el tiempo 90°, es decir: ia = Im1 cos u1t ; ib = Im1 sen u1t El rotor lleva incorporado un devanado 2, siendo las inductancias de los devanados las si- guientes: Laa = Lbb = L1 ; L22 = L2 ; La2 = Lm cos h ; Lb2 = Lm sen h ; Lab = 0 a) Si el rotor gira a una velocidad angular L y se alimenta con una c.c. de valor i2 = I2, ¿cuál deberá ser el valor de L para que se obtenga un par neto en el rotor? ¿Qué par medio desarrolla la máquina? Este montaje describe el comportamiento de un motor síncrono bifásico de polos lisos. b) Si el rotor gira a una velocidad angular L y se aplica al devanado del mismo una corriente alterna de valor i2 = Im2 cos u2t, ¿para qué velocidad del rotor se obtiene un par medio distinto de cero? ¿Cuál es el valor del par medio correspondiente? Las corrientes del está- tor son las definidas previamente. Eje magnético del rotor Eje b del estátor tor θ n del ro Ωt ció 0 a Posi en t= Ω δ 2 Eje a del estátor b 2´ b´ θ=0 a´ Figura 1.53. Motor síncrono bifásico de polos lisos. Solución a) El par responderá a la expresión genérica matricial (1.141b), teniendo en cuenta que existen tres devanados que interaccionan entre sí. Y así se obtiene: C DC D Laa Lab La2 ia 1 L T= Oia ib i2P Lba Lbb Lb2 ib 2 Lh L2a L2b L22 i2 Circuitos magnéticos y conversión de energía 77 que al desarrollar conduce a la siguiente expresión: 1 dLaa 1 dLbb 1 dL22 dLab dLa2 dLb2 T= ia2 + ib2 + i22 + iaib + iai2 + ibi2 2 dh 2 dh 2 dh dh dh dh que teniendo en cuenta que existen inductancias que no dependen de h, se obtiene: dLa2 dLb2 T = iai2 + ibi2 dh dh al sustituir los valores resulta un par instantáneo: T = I2 Im1 cos u1t (−Lm sen h) + I2 Im1 sen u1t (Lm cos h) es decir: T = Im1 I2 Lm (− sen h cos u1t + cos h sen u1t) = Im1 I2 Lm sen (u1t − h) y como quiera que h = Lt + d, se convierte en: T = Im1 I2 Lm sen (u1t − Lt − d) (a) si el rotor gira a una velocidad L = u1, denominada velocidad de sincronismo, se obtiene un par instantáneo que no depende del tiempo: T = − Im1 I2 Lm sen d (b) Lo anterior explica el funcionamiento de un motor síncrono de polos lisos. La máquina no puede arrancar por sí misma, ya que cuando L = 0 el par medio es nulo; sin embargo, se obtiene un par neto resultante si la máquina gira a la velocidad de sincronismo L = u1. Estos motores requieren un accionamiento o motor primario externo que impulse el rotor hasta la velocidad de sincronismo; alcanzada esta velocidad el rotor se enclava magnéticamente con el denominado campo giratorio del estátor de tal modo que aunque se desconecte el motor externo, la máquina podrá seguir girando por sí misma. Es importante que el lector se dé cuenta de que si L = − u1, el par medio resultante es, según la expresión (a), igual a cero. A diferencia con el motor síncrono monofásico (véase ejemplo de aplicación 1.11), que produ- ce un par neto a velocidades L = ± u1, el motor bifásico (y en general polifásico) tiene un sentido de rotación definido. Esto se debe, como se demostrará en el Capítulo 2, a que el devanado bifásico, trifásico, etc., produce un campo magnético giratorio que arrastra el rotor como si estuviera enclavado mecánicamente con él. El ángulo d de la Figura 1.53 representa entonces la diferencia de fase espacial entre el eje del campo magnético giratorio que se produce en el estátor con el eje magnético del rotor. Para unas determinadas corrientes Im1 e I2, la expresión (b) nos indica que el par motor producido es proporcional al sen d. El par resistente se equilibra con el par motor para un determinado ángulo d, y si en esta situación el par resistente aumenta se elevará el ángulo d hasta un valor máximo de 90°; por encima de este valor, el par, según (b), vuelve a disminuir, y al no poder arrastrar la carga resistente el motor síncrono pierde su sincronismo, es decir, L deja de ser igual a u1, por lo que el valor del par medio se hace cero. En esta situación el par resistente del motor obligará a reducir la velocidad del rotor hasta que finalmente se pare. b) El par resultante, de un modo análogo al calculado en el apartado anterior, será igual a: dLa2 dLb2 T = iai2 + ibi2 dh dh que al sustituir valores nos da: T = Im1 Im2 Lm cos u2t sen (u1t − h) 78 Máquinas eléctricas y teniendo en cuenta que h = Lt + d, resulta: T = Im1 Im2 Lm cos u2t sen (u1t − Lt − d) que haciendo una transformación trigonométrica da lugar a: Im1 Im2 Lm T= Osen [(u1 + u2 − L)t − d] + sen [(u1 − u2 − L)t − d]P 2 si L = u1 ± u2, se obtiene un par medio de valor: Im1 Im2 Lm Tmed = − sen d 2 Obsérvese también que a diferencia con el caso anterior, si L = u1, el par medio es cero. La velocidad a la que puede girar el motor depende de las frecuencias del rotor y el estátor y la máquina no puede arrancar por sí misma, ya que para L = 0 el par medio es cero.  Ejemplo de aplicación 1.14: Motor asíncrono bifásico con rotor monofásico Considérese la máquina con simetría cilíndrica mostrada en la Figura 1.54. Al igual que en el ejemplo anterior, el estátor tiene dos devanados desfasados 90° en el espacio que se alimentan con corrientes bifásicas: ia = Im1 cos u1t ; ib = Im1 sen u1t El rotor lleva incorporado un devanado 2 de resistencia R2 ohmios, siendo las inductancias de los devanados las siguientes: Laa = Lbb = L1 ; L22 = L2 ; La2 = Lm cos h ; Lb2 = Lm sen h ; Lab = 0 a) Si el rotor gira a velocidad angular L, calcular la expresión de la f.e.m. inducida en el mismo en circuito abierto. b) Si se cortocircuita el devanado del rotor, determinar la corriente que circulará por este devanado en régimen permanente. c) Calcular en la situación del apartado anterior el par medio que se produce en el rotor y la potencia mecánica desarrollada por la máquina. Eje magnético del rotor Eje b del estátor otor θ ón del r Ωt ci 0 a Posi en t= Ω δ 2 Eje a del estátor b 2´ b´ θ=0 a´ Figura 1.54. Motor asíncrono bifásico. Circuitos magnéticos y conversión de energía 79 Solución a) La f.e.m. inducida en el rotor será: dt2 e2 = − dt donde t2 representa el flujo total concatenado por el devanado del rotor. De un modo análo- go a (1.136), el flujo anterior será igual a: t2 = La2ia + Lb2ib + L22i2 = La2ia + Lb2ib donde se ha tenido en cuenta la propiedad conmutativa de los coeficientes de inducción mutua y que i2 = 0 al estar el rotor abierto. De este modo la f.e.m. inducida en el rotor será: C D C D d d dLa2 dia dLb2 dib e2 = − (La2ia) + (Lb2ib) = − ia + La2 + ib + Lb2 (a) dt dt dt dt dt dt donde los valores de las derivadas, teniendo en cuenta que h = Lt + d, son: dLa2 d dLb2 = [Lm cos (Lt + d)] = −LLm sen (Lt + d) ; = LLm cos (Lt + d) dt dt dt dia dib = − Im1u1 sen u1t ; = Im2u1 cos u1t dt dt y al sustituir los valores anteriores en la ecuación a) y haciendo algunas transformaciones trigonométricas se obtiene: e2 = Lm Im1 (u1 − L) sen [(u1 − L)t − d] obsérvese en la expresión anterior que si el motor girase a la velocidad de sincronismo (L = u1) no se producirá f.e.m. en este devanado. La pulsación de la f.e.m. vale u2: u2 = u1 − L si se denominan n1 a las r.p.m. del rotor y f1 y f2 a las frecuencias del estátor y del rotor, respectivamente, la última ecuación se puede escribir así: n n 2nf2 = 2nf1 − 2n ú f2 = f1 − 60 60 expresión que relaciona la frecuencia del rotor con la del estátor y la velocidad de giro. Al estudiar motores asíncronos (véase Capítulo 4) se acostumbra a definir el concepto de desli- zamiento del motor s como cociente de las frecuencias estátor/rotor: f2 u2 s= ú s= f1 u1 de este modo se puede escribir: u2 = su1 = u1 − L ú L = u1 (1 − s) que al sustituir en la expresión de la f.e.m. e2 da lugar a: e2 = LmIm1 su1 sen (su1t − d) que se puede escribir de la forma e2 = sEm2 sen (u2t − d) 80 Máquinas eléctricas donde se ha llamado Em2 y u2 a: Em2 = Lm u1 Im1 ; u2 = su1 Em2 representa la f.e.m. máxima inducida en el rotor cuando s = 1, es decir, cuando L = 0 (rotor parado). b) Al cortocircuitar el rotor se producirá una corriente de circulación por el mismo que se obtendrá aplicando el 2.o lema de Kirchhoff a este circuito, resultando la siguiente ecuación diferencial: di1 e2 = sEm2 sen (u2t − d) = L2 + R2i2 (b) dt para determinar la corriente instantánea i2 de régimen permanente, que es la solución parti- cular de la ecuación diferencial anterior, se resolverá la ecuación fasorial (en valores máxi- mos y tomando como referencia la función seno) siguiente: sEm2 7 − d = R2Im2 + ju2 L2 Im2 que conduce a un valor complejo de Im2: sEm2 7 − d sEm2 Im2 = = 7 (− d − r) R2 + ju2 L2 ∂R + u22 L22 2 2 u2 L2 donde r = arctg , por lo que la correspondiente corriente instantánea o solución de la R2 ecuación (b) será: sEm2 i2 = sen (u2t − d − r) ∂R + u22 L22 2 2 y como quiera que u2 = su1, si se denomina X2 = u1 L2, la expresión de la corriente será: sEm2 i2 = sen (u2t − d − r) = Im2 sen (u2t − d − r) ∂R22 + s2 X22 sEm2 donde Im2 = ∂R22 + s2 X22 c) El par desarrollado por la máquina responde a la ecuación: dLa2 dLb2 T = iai2 + ibi2 (c) dh dh que teniendo en cuenta que: dLa2 d = (Lm cos h) = − Lm sen h = − Lm sen (Lt + d) dh dh dLb2 d = (Lm sen h) = + Lm cos h = + Lm cos (Lt + d) dh dh y los valores de ia e ib: ia = Im1 cos u1t ; ib = Im1 sen u1t y recordando que L = u1 (1 − s); u2 = su1, al sustituir en (c) resulta: T = Lm Im1 i2 sen (u2t − d) Circuitos magnéticos y conversión de energía 81 Y al sustituir el valor de i2 calculado en el epígrafe anterior se obtiene: T = Lm Im1 Im2 sen (u2t − d − r) sen (u2t − d) es decir Lm Im1 Im2 T= [cos r − cos (2u2t − 2d − r)] 2 que corresponde a un valor medio: Lm Im1 Im2 Tmed = cos r 2 pero teniendo en cuenta que al ser tg r = u2 L2 /R2, el valor del cos r es: 1 R2 cos r = = ; X2 = u1 L2 2 ∂1 + tg r ∂R + s2 X22 2 2 y como quiera que Em2 = Lm u1 Im1 resulta un par medio: Em2 Im2 R2 Tmed = 2u1 ∂R22 + s2 X22 y como además se tiene que: sEm2 Im2 = ∂R22 + s2 X22 el valor del par medio en función de Im2 es: 2 R2Im2 Tmed = 2su1 Como quiera además que para una onda sinusoidal, la corriente eficaz I2 es igual al valor máximo Im2 dividido por ∂2, el par medio resultante anterior se puede expresar también como: R2I22 Tmed = su1 o en función de la f.e.m. eficaz E2 del rotor: R2s2E22 Tmed = u1 (R22 + s2 X22) de este modo el motor asíncrono bifásico produce un par medio distinto de cero, cuya magni- tud depende de la velocidad. En particular en el arranque se cumple s = 1, por lo que el par correspondiente será: R2E22 Ta = u1 (R22 + X22) Obsérvese que si L fuera igual a u1 se cumplirá s = 0, y en estas condiciones el par medio sería cero. El motor nunca podrá girar a la velocidad de sincronismo y es por ello que 82 Máquinas eléctricas estos motores se denominan asíncronos. Generalmente el motor suele trabajar para desliza- mientos comprendidos entre el 2 y el 8 por 100. La potencia mecánica que desarrollará el motor cuando gire a la velocidad angular um será: Pmec = Tmed · L pero teniendo en cuenta que L = u1 (1 − s), resultará: A B R2I22 1 Pmec = u1 (1 − s) = R2I22 −1 su1 s expresión que se demostrará de un modo más tradicional en el Capítulo 4, dedicado a moto- res asíncronos.  Ejemplo de aplicación 1.15: Motores paso a paso de reluctancia variable. (4) Un motor paso a paso (step-step o stepper) es un dispositivo electromecánico que convierte una serie de impulsos eléctricos en desplazamientos angulares discretos. En la Figura 1.55 se representa un motor de este tipo cuyo estátor consta de tres secciones: a, b y c. El rotor tiene ocho salientes magnéticos. Cada devanado del estátor está distribuido alrededor de la periferia formando ocho salientes magnéticos, de tal modo que los salientes o dientes correspondientes a cada fase están desplazados 15° entre sí. Las inductancias de cada devanado o fase son máximas cuando están en- frentados los dientes del rotor con los correspondientes del estátor de cada fase. Si se denomina h al ángulo que forma el centro de un diente del rotor con el correspondiente más cercano del estátor de la fase «a» (medido, por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj), las inductancias propias de los devanados de cada fase, en función de la posición del rotor, vendrán expresadas por las ecuaciones: La = L0 + Lm cos 8h ; Lb = L0 + Lm cos 8(h − 15°) ; Lc = L0 + Lm cos 8(h + 15°) Calcular la expresión del par resultante en el rotor en los casos siguientes: 1) cuando se excita únicamente el devanado «a»; 2) cuando se excita solamente el devanado «b»; 3) cuando se excitan a la vez los devanados a y b. Devanado del estator Sección por fase a Sección por fase b Sección por fase c polos del estator entrehierro polos del rotor fase a fase b fase c Secciones o fases del estator Figura 1.55. Motor paso a paso. Circuitos magnéticos y conversión de energía 83 Solución 1. La expresión del par, de acuerdo con (1.118), será: 1 dLa Ta = ia2 = − 4ia2 Lm sen 8h 2 dh lo que significa que el rotor girará en sentido contrario a las agujas del reloj (signo menos de la expresión anterior) hasta que el par sea nulo, es decir, para h = 0, lo que corresponde a una posición en la que se enfrentan los dientes del rotor con los correspondientes del estátor de la fase a. 2. En este caso resultará: 1 dLb Ta = ib2 = − 4ib2 Lm sen 8(h − 15°) 2 dh que significa que el rotor girará un ángulo de 15° en sentido antihorario, lo que corresponde al enfrentamiento de los dientes del rotor con los del estátor de la fase b. 3. En este caso se cumplirá: Tab = Ta + Tb = − 4ib2 Lm [sen 8h + sen 8(h − 15°)] donde se ha supuesto que las corrientes de ambos devanados son iguales, es decir: ia = ib = i y el par anterior se puede escribir también: Tab = − 8i 2 cos 60° Lm sen 8(h − 7,5°) = − 4∂3 i 2 Lm sen 8(h − 7,5°) El par anterior se anula para h = 7,5° y tiene un valor máximo que es ∂3 veces del que se obtiene excitando una sola bobina. Si se hubiera partido de la excitación de la bobina a, se observa que al excitar a la vez dos devanados a y b se producirá un giro antihorario de 7,5°. De este modo el motor paso a paso aquí descrito permite realizar desplazamientos angulares de 7,5°. En la práctica existen motores paso a paso con escalones de 2; 2,5; 5; 7,5 y 15° por cada impulso aplicado a los devanados del estátor. Este tipo de motores se utiliza en sistemas de control digital, en los que el motor recibe un tren de impulsos para situar la posición del rotor en el ángulo deseado. Cada impulso aplicado a las bobinas del estátor hace girar el rotor el ángulo hg de paso. El sentido puede ser directo o inverso según sea el orden de sucesión de impulsos en las bobinas. Las ventajas de estos motores son: 1) respuesta rápida (menos de 1 milisegundo), 2) insensibilidad a las vibraciones y choques, 3) larga duración (del orden de millones de ciclos), 4) posicionamiento preciso, 5) insensibilidad a las variaciones de tensión y a las amplitudes de los impulsos. La versatilidad de estos motores es también muy impor- tante y se pueden utilizar como: a) motores de frecuencia variable, es decir, de velocidad variable; b) motores de c.c. sin escobillas; c) servomotores en circuito abierto que eliminan la realimentación, y d) motores síncronos. Las aplicaciones más importantes incluyen el posicionamiento de piezas en máquinas- herramientas, impresoras de ordenador, accionamientos para plumillas de sistemas registra- dores, plotters x-y, relojes eléctricos, etc. Por ejemplo, en las impresoras de ordenadores, los motores paso-paso se utilizan para efectuar el avance del papel; existe un sistema de engra- najes o caja de velocidad de relación 4,5:1 entre el motor y el papel, de tal modo que al aplicar impulsos al devanado del estátor, se pueden conseguir avances con pasos en el papel de 6 a 8 líneas por pulgada. 84 Máquinas eléctricas PROBLEMAS 1.1. Calcular la intensidad que debe aplicarse a la bobina del circuito magnético de la Figura P.1.1. para establecer en la columna derecha un flujo de 10−3 Wb. La permea- bilidad relativa se supone que es constante en todos los puntos y de valor kr = 400, y la sección S = 10 cm2 es la misma en toda la estructura, excepto en la columna izquierda, que vale 20 cm2. La longitud l es igual a 10 cm. Calcular también el flujo en el brazo central. l l i l S S´=2S S N=104 espiras l l S l l Figura P.1.1. [Resp.: I = 9,95 A; J = 2,2 mWb.] 1.2. Un circuito magnético tiene una sección uniforme de 8 cm2 y una longitud magnética media igual a 0,3 metros. Si la curva de magnetización del material viene expresada aproximadamente por la ecuación: 1,55 H B= B: Teslas; H: A.v/m 77 + H Calcular la c.c. en amperios que debe introducirse en la bobina de excitación, que tiene 100 espiras, para producir un flujo en el núcleo de 8 · 10−4 Wb. [Resp.: 0,42 A.] 1.3. Calcular la corriente necesaria en la bobina de la Figura P.1.2 para producir una densidad de flujo en el entrehierro igual a 0,8 Teslas. El núcleo está hecho de un material cuya curva de imanación viene dada por: 1,6 H B= B: Teslas; H: A.v/m 75 + H 2cm A B 0,1 cm C 8 cm D N=100 espiras E 2cm F 2cm 6 cm 4 cm 6 cm 2cm 4 cm Figura P.1.2. [Resp.: 6,83 A.] Circuitos magnéticos y conversión de energía 85 1.4. En la estructura magnética mostrada en la Figura P. 1.3, la densidad de flujo en el entrehierro de la derecha es de 1 Wb/m2. El núcleo está hecho de un material cuya curva de imanación viene dada por: 1,5 H B= B: Teslas; H: A.v/m 1.000 + H 2mm l l I1 I2 l 50 espiras 200 espiras 1mm l l l l Figura P.1.3. la longitud 1 = 10 cm y la sección transversal es uniforme y vale 5 cm2. Calcular las corrientes I1 e I2 que deben circular por las bobinas para que el flujo en el entrehie- rro izquierdo sea nulo. [Resp.: I1 ] 28 A; I2 ] 8 A.] 1.5. La estructura magnética mostrada en la Figura P. 1.4 está construida con un material cuya curva de imanación se expresa por: 1,5 H B= B: Teslas; H: A.v/m 100 + H 6A Φ NA= 1000 espiras 2mm NB 6cm 6A Figura P.1.4. La longitud de la trayectoria magnética media en el núcleo es igual a 0,75 m. Las medidas de la sección transversal son de 6 × 8 cm2. La longitud del entrehierro es de 2 mm y el flujo en el mismo es igual a 4 mWb (en el sentido indicado en la Fi- gura P.1.4). Determinar el número de espiras de la bobina B. [Resp.: NB ] 1.237 espiras.] 86 Máquinas eléctricas 1.6. El núcleo magnético mostrado en la Figura P.1.5 tiene una sección transversal uni- forme igual a 100 cm2. La bobina A tiene 1.000 espiras, circulando una c.c. de 0,5 A. en la dirección indicada. Determinar la corriente IB, para conseguir un flujo nulo en el brazo central. La permeabilidad relativa es kr = 200. [Resp.: IB = 1,25 A.] l =0,5m l IA IB S =100cm 2 l NA= 1000 NB= 200 l l l l Figura P.1.5. 1.7. El circuito magnético de la Figura P.1.6 está construido con un material, cuya curva de magnetización viene dada por: 1,5 H B= B: Teslas; H: A.v/m 50 + H S=25cm2 65cm I1 I2 S=50cm2 5mm N1 N2 30cm 65cm Figura P.1.6. La sección de la columna central vale 50 cm2 y en el resto es uniforme y de valor 25 cm2. Si N1 = N2 = 360 espiras, calcular el valor de I1 = I2 para producir un flujo de 5 · 10−3 Wb en el entrehierro. [Resp.: 11,32 A.] 1.8. La estructura magnética de la Figura P.1.7 está fabricada con dos tipos de materiales, cuyas curvas de magnetización vienen expresadas por las ecuaciones: 1,1 H1 2,1 H2 B1 = ; B2 = B: Teslas; H: A.v/m 5.000 + H1 2.000 + H2 Circuitos magnéticos y conversión de energía 87 0,2 m 0,4 m I N =140 espiras S=15cm2 Figura P.1.7. Calcular la intensidad I que debe circular por la bobina para producir un flujo de 1,5 · 10−4 Wb, si la sección es uniforme y vale 15 cm2. [Resp.: 1 A.] 1.9. Una estructura magnética homogénea tiene una longitud magnética media igual a 50 cm; y tiene una sección uniforme de 10 cm2. Si la bobina tiene 100 espiras y la curva de magnetización viene expresada por: 15 H B= B: Teslas; H: A.v/m 100 + H Cuando circula por la bobina una intensidad de 0,1 A se pide el valor del coeficien- te de autoinducción calculado por los tres procedimientos siguientes: a) Empleando la fórmula: L = N dJ/di. b) Utilizando la expresión: L = N J/i. c) Calculando la energía magnética almacenada por medio de la expresión (1.54) e igualando a 1/2 Li 2. [Resp.: a) 2,08 H; b) 2,5 H; c) 2,34 H.] 1.10. Una bobina con núcleo de hierro, tiene 500 espiras, siendo su resistencia desprecia- ble. La sección del núcleo es uniforme y vale 25 cm2, siendo la longitud magnética media igual a 80 cm. La curva de imanación del material es: 2H B= B: Teslas; H: A.v/m 150 + H Si la tensión aplicada es alterna y de 220 V eficaces y la frecuencia es de 50 Hz, calcular: a) Circuito equivalente de la bobina. b) Corriente de excitación. NOTA: Se conoce, por la información proporcionada por el constructor, que a la tensión nominal de 220 V las pérdidas en el núcleo son de 5 W/kg. El peso especí- fico del material es igual a 7,8 kg/dm3. [Resp.: a) RFe = 620,5 L; Xk = 1.972 L; b) 0,372 A.] 1.11. Una bobina con núcleo de hierro absorbe una corriente de 0,5 A cuando se aplica una tensión sinusoidal de 220 V eficaces a sus bornes. Si la potencia absorbida fue de 30 W, deducir el circuito equivalente de la bobina. [Resp.: RFe = 1.617,64 L; Xk = 457,38 L.] 1.12. Un cerrojo eléctrico consiste en una armadura fija cilíndrica hueca y un vástago cilíndrico, dispuestos como se indica en la Figura P.1.8. Supuesto que la reluctancia 88 Máquinas eléctricas del hierro es despreciable frente a la del entrehierro, y que la unión vástago-armadura presenta un entrehierro despreciable frente al entrehierro principal e, calcular: a) La energía almacenada en el entrehierro en julios si e = 1 cm; la superficie del entrehie- rro es de 0,8 cm2 y la intensidad de excitación es de 1 A de c.c. b) Fuerza magnética en el caso anterior. Vástago Bobina e F Armadura N=1000 espiras Figura P.1.8. [Resp.: a) 5 · 10−3 julios; b) 0,497 Newton.] 1.13. El núcleo magnético de la Figura P.1.9 tiene una sección transversal cuadrada de 3 × 3 cm. El entrehierro x = 5 mm. La bobina tiene 250 espiras y una resistencia de 11 L. La f.m.m. que necesita el hierro es despreciable. Calcular la energía alma- cenada en el entrehierro y la fuerza total que actúa sobre la armadura cuando se aplican a la bobina 220 V de c.c. x=5mm fx i Φ 250 espiras 220V Armadura móvil R=11Ω S=9cm2 Armadura fija Figura P.1.9. [Resp.: 2,82 julios; 565,8 N.] 1.14. La estructura magnética de la Figura P.1.10 tiene una permeabilidad relativa kr = 100; la longitud de la trayectoria magnética media es igual a 1 m en el hierro. El valor de la sección transversal es de 100 cm2. La longitud total del entrehierro (dos partes) es de 0,2 cm. El flujo en el entrehierro es de 4 · 10−3 Wb y su sentido es el indicado en la figura. La bobina A tiene 1.000 espiras y la B tiene N espiras, circu- lando por ambas bobinas una c.c. de 6 A. Se pide: a) Determinar el número de espiras de la bobina B. b) Calcular la fuerza con que es atraída la armadura móvil. c) Si se coloca una espira como se indica en la Figura P.1.10, ¿cuál será la lectura del voltímetro? 1) Si la corriente de alimentación es de c.c. 2) Si la corriente de alimentación es sinusoidal y de tal magnitud que produzca el mismo valor eficaz de flujo en el entrehierro. La frecuencia es de 50 Hz. Circuitos magnéticos y conversión de energía 89 NOTA: Se supone que para resolver el apartado. c) el entrehierro está abierto. [Resp.: a) 363 espiras. b) 130 kg. c) 0 volt., 1,25 V.] 6A Φ A 1000 espiras V B 6A Figura P.1.10 1.15. Hallar una expresión de la fuerza en el bloque deslizante A de la Figura P.1.11. Despreciar la reluctancia del hierro. Las bobinas están alimentadas con c.c. y los parámetros son: N1 = 200 ; N2 = 100 ; il = 10 A ; i2 =15 A ; x = 3 mm ; a = 10 mm ; s = 10 cm2 [Resp.: 250,4 N hacia la izquierda.] x a-x I1 A Entrehierro N2 N1 despreciable I2 Figura P.1.11. 1.16. Las inductancias de un dispositivo electromagnético mostrado en la Figura P.1.12 son: Laa = L1 + L2 cos 2h ; Lbb = L1 − L2 cos 2h ; La2 = Lm cos h ; Lb2 = Lm sen h ; Lab = L2 sen 2h ; L22 = constante Si el rotor se mueve a una velocidad angular L = u, estando definida su posición por la expresión h = Lt + d. Calcular la expresión del par producido si las corrientes son de la forma: ia = Im cos ut ; ib = Im sen ut ; i2 = I2 [Resp.: T = − Im2 L2 sen 2d − LmImI2 sen d.] 90 Máquinas eléctricas Eje magnético Eje b del estátor del rotor or ia=Imcosωt l rot θ c ión d=e0 i Pos en t a Ωt Ω v2 δ b i2 b´ va Eje a del estátor θ=0 a´ ib=Imsenωt vb Figura P.1.12. 1.17. Para el sistema de la Figura 1.50 del capítulo, los valores de las inductancias son: L11 = 5 + 2 cos 2h ; L22 = 3 + cos 2h ; L12 = 10 cos h si los devanados se alimentan con corrientes continuas de valores: i1 = 1 A; i2= 0,5 A. Calcular: a) Energía magnética almacenada en función de h; b) Par mecánico desa- rrollado en función de h. [Resp.: a) Wm = 2,875 + 1,125 cos 2h + 5 cos h; b) T = − 2,25 sen 2h − 5 sen h.] 1.18. El dispositivo electromagnético mostrado en la Figura 1.50 del capítulo tiene una inductancia máxima y mínima en el devanado del rotor de 0,6 H y 0,3 H, respectiva- mente, y los valores máximos y mínimos de la inductancia correspondiente del está- tor son de 1 H y 0,5 H, respectivamente. La inductancia mutua máxima es de 0,7 H. Ambos devanados llevan una corriente constante de valor ∂2 amperios. a) Calcular el par cuando h = 45°. b) Si el rotor se mueve lentamente desde h = 90° hasta h = 0°, calcular: 1) trabajo mecánico realizado, 2) cambio en la energía magnética almace- nada, 3) entrada eléctrica. c) Si el rotor gira a una velocidad de 100 rad/s, calcular las f.e.m.s. e1 y e2 producidas en las bobinas cuando h = 45°. [Resp.: a) −1,79 N.m.; b) 1) 2,2 Julios, 2) 2,2 Julios, 3) 4,4 Julios; c) +140,71 V, +112,43 V.] 1.19. Una máquina eléctrica tiene forma cilíndrica tanto en la estructura del estátor como en la del rotor. Los valores de las inductancias son: L11 (estátor) = 0,1 [H] ; L22 (rotor) = 0,04 [H] ; L12 = 0,05 cos h [H] donde h expresa el ángulo que forman los ejes de ambos devanados. a) Si la máquina gira a una velocidad L = 200 rad/s y por uno de los devanados circula una corriente 10 sen 200t, ¿cuál será la f.e.m. máxima (de pico) inducida en la otra bobina? b) Supóngase que los devanados se conectan en serie y circula por ellos una corriente 10 sen 200t. ¿Para qué velocidades del rotor desarrollará la máquina un par medio? c) ¿Cuál es el valor máximo del par medio que puede obtenerse en el caso b)? NOTA: Despreciar las resistencias eléctricas de los devanados. [Resp.: a) 100 V; b) 0; 2u = 2 · 200 = 400 rad/s; c) 1,25 N.m.] Circuitos magnéticos y conversión de energía 91 1.20. Una máquina eléctrica con salientes magnéticos tanto en el estátor como en el rotor tiene las siguientes inductancias: L11 (estátor) = 0,75 + 0,35 cos 2h Henrios ; L22 (rotor) = 0,5 + 0,2 cos 2h Henrios L12 (estátor-rotor) = 0,8 cos h Henrios Las resistencias de los devanados son despreciables. Si por el devanado del está- tor circula una corriente i1(t) = ∂2 sen 314t, y el rotor está en cortocircuito, calcular la corriente i2(t) que circulará por el rotor y el par resultante, cuando h = 135°. [Resp.: i2(t) = 1,6 sen 314t; T = 0,034 (cos 628t − 1).] Biografías BARKHAUSEN, Heinrich (1881-1956). Físico alemán. Catedrático de Comunicaciones en la Univer- sidad de Dresden (1911). Su mayor contribución a la física se refiere a la magnetización del hierro. Al someter al hierro a un campo magnético continuamente creciente, su magnetización se incre- menta a saltos, y no continuamente. Esos saltos van acompañados de sonidos que, previamente amplificados, se pueden escuchar en un altavoz, como una serie de chasquidos. Este efecto Bark- hausen se explicó finalmente, al llegarse a conocer que el hierro está constituido por unas zonas o dominios, en los que los espines están alineados; la alineación de las zonas ocasiona rozamientos entre ellas; provocando los chasquidos que se pueden escuchar en el altavoz. BELL, Alexander Graham (1847-1922). Físico inglés-americano. Estudió en Londres y más tarde en Canadá, estuvo perfeccionando el sistema de enseñanza para sordomudos inventado por su pa- dre. Fue nombrado profesor de fisiología vocal en Boston (1872). Se interesó en la producción mecánica del sonido, basando su trabajo en las teorías de Helmholtz. Inventó más tarde, en 1876, el teléfono, solicitando el mismo día que Elisha Gray la patente correspondiente. Mejoró también el fonógrafo de Edison; inventó la balanza de inducción, se interesó por la aeronáutica e hizo experi- mentos en relación con el aire acondicionado. No descuidó en ningún momento sus estudios peda- gógicos, sobre todo en lo relacionado con la enseñanza de los sordomudos. BOHR, Niels Henrik David (1885-1962). Físico danés. Estudió en la Universidad de Copenhague y amplió estudios en Cambridge, donde trabajó con Rutherford. En 1916 fue nombrado catedrático de Física en Copenhague. Basándose en las teorías de Rutherford y en la teoría cuántica de Planck, demostró un modelo del átomo de hidrógeno que explicaba las líneas espectrales descubiertas por Fraunhofer y las regularidades descritas por Balmer. El modelo creado por Bohr fue completado por Sommerfeld considerando las órbitas de los electrones de forma elíptica. Premio Nobel de Física en 1922. En 1943, durante la Segunda Guerra Mundial, se trasladó a los Estados Unidos para evitar ser encarcelado por los alemanes; trabajó en el proyecto de la bomba atómica en los Álamos hasta 1945. Bohr trabajó incansablemente en favor del desarrollo de la energía atómica para usos pacíficos. FOUCAULT, Jean Bernard Leon (1819-1868). Físico francés. Estudió Medicina hasta doctorarse, pero abandonó esta carrera para dedicarse exclusivamente a las ciencias físicas y, sobre todo, a la óptica (trabajando con Armand Fizau). Son importantes sus experimentos para determinar la veloci- dad de la luz, demostrando que la velocidad en el aire es mucho mayor que en el agua. El nombre de Foucault se asocia más a menudo con una serie de experimentos espectaculares que empezaron en 1851 para estudiar el movimiento de rotación de la Tierra con ayuda del péndulo. FROELICH, Oskar (1843-1909). Ingeniero eléctrico suizo. Estudió en Berna y Königsberg. Trabajó como ingeniero en la Casa de Siemens y Halske (1873). En 1902 fue nombrado profesor de metalur- gia práctica y electroquímica de la Escuela Superior Industrial de Charlotenburgo. Publicó varios 92 Máquinas eléctricas libros de electricidad y magnetismo y otro de máquinas dinamoeléctricas. Fue el primero en dar una aproximación matemática a la curva de imanación de un material ferromagnético, para simplificar el modelo del circuito magnético de una máquina eléctrica. GILBERT, William (1540-1603). Físico y médico inglés. Ejerció la medicina en Londres; más tarde fue médico de la reina Isabel y del rey Jacobo I, de los cuales recibió una pensión anual para sus investigaciones científicas. Su obra maestra fue De magnete magneticisque corporibus, en la que resumía todos los conocimientos que en esa época se conocían sobre el magnetismo terrestre. La gran contribución de Gilbert consistió en considerar a la Tierra como un inmenso imán esférico, por lo que las agujas imantadas apuntaban hacia los polos magnéticos terrestres. También elaboró teo- rías sobre la estructura del universo que fueron avanzadas y atrevidas para aquella época. HOPKINSON, John (1849-1898). Ingeniero y físico inglés. Estudió en el Trinity College de Cam- bridge y más tarde en Londres (1871). Entre 1872 y 1878 trabajó en una fábrica de faros en Bir- minghan, introduciendo grandes perfeccionamientos en estos aparatos, y luego se estableció como ingeniero consultor en Londres. En 1890 fue nombrado catedrático del recién fundado Laboratorio Siemens en el King’s College de Londres. Hopkinson tenía una gran formación teórica y mostraba una gran habilidad práctica, por lo que son notables sus investigaciones teóricas y la solución concreta de problemas de ingeniería. Escribió más de sesenta artículos, con una gran maestría y conocimiento de la materia, y varios libros sobre la corriente alterna y máquinas eléctricas. Sus trabajos fundamenta- les se refieren al estudio de la magnetización del hierro, asentando las bases científicas para la cons- trucción y el cálculo de las máquinas eléctricas (junto con su hermano Edward); fue el primero que estudió con rigor la estabilidad estática del acoplamiento de alternadores y las condiciones que debían cumplirse para poder efectuar dicho acoplamiento. Fue ingeniero consultor de la English Edison Company, donde su misión era rediseñar las dinamos ineficientes construidas por la Compañía Edison americana. Desgraciadamente, murió prematuramente en un accidente de montaña en una ascensión a los Alpes junto con tres de sus hijos. MORSE, Samuel Finley Breese (1791-1872). Inventor americano. Graduado en Yale, estudió arte en Inglaterra. Se aficionó a los experimentos eléctricos y fue ayudado por Henry en todas sus dudas cuando estuvo construyendo su célebre telégrafo (1844). El primer mensaje de Morse fue ¿Qué ha creado Dios?, que envió en una clave de puntos y rayas invención suya, y que por ello aún se denomina «código Morse». Morse nunca reconoció la ayuda de Henry en sus experimentos. Real- mente la idea del telégrafo se debe a varios científicos: Henry en Estados Unidos, y Wheatstone, Gauss y Weber en Europa. El mérito de Morse fue crear su celébre código. PICOU, Romuald Victor (1855-1942). Ingeniero francés. Estudió en la Escuela Central de Artes y Oficios (1877). En ese mismo año realizó una instalación de alumbrado por arco eléctrico alimenta- da por una dinamo Gramme. En la Exposición Internacional de París de 1881 fue invitado por un grupo de financieros franceses para que hiciera un informe sobre las primeras lámparas Edison expuestas en la Feria y los sistemas de generación y distribución de energía eléctrica para instala- ciones de alumbrado. Su informe favorable hizo que se estableciera la Compañía Edison francesa en 1882 y Picou se encargó de la supervisión de la construcción de la fábrica de lámparas en Ivry. Unos meses más tarde se trasladó a los Estados Unidos, donde conoció a Edison y aprendió a diseñar y proyectar centrales eléctricas. A su vuelta a Francia en 1883 se le nombró director de la planta de Ivry. Como ingeniero proyectó gran número de Centrales eléctricas para la Sociedad Lebon y otras Compañías. Fue ingeniero jefe responsable de los Servicios eléctricos en las Exposi- ciones de París de 1889 y 1900. Autor de varios libros de texto sobre máquinas eléctricas, distribu- ción y transporte de la electricidad, etc. Fue profesor de Electrotecnia durante diez años en la Ecole National des Ponts et Chaussées. Miembro fundador de la sociedad francesa de Electricistas, siendo Presidente de la misma en 1898. ROTERS, Herbert C. (1903-1973). Ingeniero eléctrico americano. Se graduó en el Instituto de Tecnología Stevens y más tarde, en 1930, obtuvo el título de Master en Ciencias en el MIT. Fue profesor adjunto de Ingeniería Eléctrica en Stevens durante más de quince años. Escribió en 1941 el Circuitos magnéticos y conversión de energía 93 libro Electromagnetic Devices, que fue y sigue siendo un texto de referencia sobre circuitos magné- ticos para muchos ingenieros, habiéndose traducido a varios idiomas, entre ellos el ruso. Ganó fama mundial por sus estudios sobre el motor de histéresis. En 1947 fue premiado por el AIEE por sus investigaciones sobre máquinas eléctricas. Fue presidente de la Empresa Hysteresis Motor Re- search, una firma especializada en el diseño y desarrollo del motor de histéresis. WEBER, Wilhelm Eduard (1804-1891). Físico alemán. Estudió en la Universidad de Halle, donde obtuvo el grado de Doctor en 1826. En 1831 fue nombrado catedrático de Física en Gotinga, donde permaneció hasta 1837, fecha en que fue expulsado de la Universidad por protestar contra el rey de Hannover (duque de Cumberland), que había derogado la constitución. En 1833 inventó un primitivo telégrafo electromagnético. En 1843 aceptó la Cátedra de Física en Leipzig y seis años más tarde volvió a Gotinga para hacerse cargo de su antiguo puesto, en el que permaneció el resto de su vida. Colaboró con el gran matemático Gauss en teorías del magnetismo. Introdujo en 1846 un sistema lógico de unidades eléctricas, de un modo análogo al que unos años antes había desarrollado Gauss con las unidades magnéticas. Referencias CHATELAIN, J.: Traité d’électricité, vol. X, Machines électriques. Éditions Georgi, Lausanne, 1983. CHAI, H.D.: Electromechanical Motion Devices. Prentice Hall PTR, Upper-Saddle River, NJ, 1998. DANIELS, A. R.: Introduction to Electrical Machines. MacMillan Press, London, 1976. DEL TORO, V.: Electric Machines and Power Systems. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1985. EL-HAWARY, M. E.: Principles of Electric Machines with Power Electronic Applications. Reston Book, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1986. ENGELMANN, R. H.: Static and Rotating Electromagnetic Devices. Marcel Sekker, Inc., New York, 1982. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY, CH. Jr.; UMANS, S. D.: Electric Machinery, fourth ed. (SI). McGraw-Hill Book Co., New York, 1985. GEHMLICH, D. K.; HAMMOND, S. B.: Electromechanical Systems. McGraw-Hill Book Co., New York, 1967. GIBBS, W. J.: Conformal Transformations in Electrical Engineering, Chapman & Hall, London, 1958. GÖNEN, T.: Electrical Machines. Power International Press, California, 1998. GOURISHANKAR, V.: Conversión de Energía Electromecánica. Representaciones y Servicios de Ingeniería S. A., International Textbook Co., México, 1969. GRAY, C. B.: Máquinas Eléctricas y Sistemas Accionadores. Ed. Alfaomega, S.A. México D.F, 1993. GRELLET, G.; CLERC, G.: Actionneurs Électriques. Principles. Modèles. Commande, Ed. Enrolles, Paris, 1997. GURU, B. S., HIZIROGLU, H. R.: Electrical Machinery and Transformers, 2nd Ed. Oxford University Press, New York, 1995. KINNARD, I. F.: Medidas Eléctricas y sus aplicaciones. Ediciones Técnicas Marcombo S.A.; Barce- lona, 1967. MATSCH, L. W.: Máquinas electromagnéticas y electromecánicas. Representaciones y Servicios de Ingeniería S.A., International Textbook Co., México, 1974. MIT: Magnetic Circuit and Transformers. Department of Electrical Engineering, Massachusetts Institute of Technology. J. Wiley & Sons, New York, 13th Printing, 1961. MORGAN, A. T.: General theory of Electrical Machines. Heyden, London, 1979. NAGRATH, I. 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Van Nostrand Reinhold Co., England, 1983. Principios generales CAPÍTULO 2 de las máquinas eléctricas 2.1. INTRODUCCIÓN Las máquinas eléctricas son el resultado de una aplicación inteligente de los principios del electromagnetismo y en particular de la ley de inducción de Faraday. Las máquinas eléctricas se caracterizan por tener circuitos eléctricos y magnéticos entrelazados. Durante todo el proceso histórico de su desarrollo desempeñaron un papel rector, que determinaba el movimiento de toda la ingeniería eléctrica, merced a su aplicación en los campos de la generación, transporte, distribución y utilización de la energía eléctrica. Las máquinas eléctricas realizan una conver- sión de energía de una forma a otra, una de las cuales, al menos, es eléctrica. En base a este punto de vista, estrictamente energético, es posible clasificarlas en tres tipos fundamentales: 1. GENERADOR: que transforma la energía mecánica en eléctrica. La acción se desa- rrolla por el movimiento de una bobina en un campo magnético, resultando una f.e.m. inducida que al aplicarla a un circuito externo produce una corriente que interacciona con el campo y desarrolla una fuerza mecánica que se opone al movimiento. En consecuencia, el generador necesita una energía mecánica de entrada para producir la energía eléctrica correspondiente. 2. MOTOR: que transforma la energía eléctrica en mecánica. La acción se desarrolla introduciendo una corriente en la máquina por medio de una fuente externa, que interacciona con el campo produciendo un movimiento de la máquina; aparece enton- ces una f.e.m. inducida que se opone a la corriente y que por ello se denomina fuerza contraelectromotriz. En consecuencia, el motor necesita una energía eléctrica de en- trada para producir la energía mecánica correspondiente. 3. TRANSFORMADOR: que transforma una energía eléctrica de entrada (de c.a.) con determinadas magnitudes de tensión y corriente en otra energía eléctrica de salida (de c.a.) con magnitudes diferentes. Los generadores y motores tienen un acceso mecánico y por ello son máquinas dotadas de movimiento, que normalmente es de rotación; por el contrario, los transformadores son má- quinas eléctricas que tienen únicamente accesos eléctricos y son máquinas estáticas. Cada máquina en particular cumple el principio de reciprocidad electromagnética, lo cual quiere decir que son reversibles, pudiendo funcionar como generador o como motor (en la práctica, existe en realidad alguna diferencia en su construcción, que caracteriza uno u otro modo de funcionamiento). El estudio de las máquinas eléctricas ha experimentado grandes cambios en su exposición a lo largo de la historia. El análisis tradicional consistía en estudiar 95 96 Máquinas eléctricas independientemente cada una de las máquinas por separado, destacando las diferencias entre ellas desde el punto de vista de funcionamiento, diseño, construcción, etc.; actualmente, y a partir de los estudios de Park y Kron, se han expuesto teorías generalizadas y unificadas, dando lugar a una serie de textos ya clásicos en esta materia debidos a White-Woodson, Adkins, Jones, Gibbs, etc., donde se destacaban más las analogías que las diferencias, permi- tiendo también un análisis transitorio de estas máquinas, a base de ecuaciones de circuito del tipo matricial e incluso tensorial; este enfoque tiene un gran atractivo en cursos de doctorado pero resulta poco físico para aquellos ingenieros cuya formación requiere un conocimiento práctico de las máquinas en cuanto a sus aplicaciones tecnológicas se refiere. Por ello, en este libro sobre máquinas eléctricas se ha preferido seguir un método que se acerca más a la enseñanza tradicional, pero destacando en este capítulo aquellos aspectos que son comunes a todas las máquinas eléctricas, de tal forma que en lecciones posteriores pueda hacerse un análisis particular de cada tipo de máquina, dejando a un lado aquellos aspectos de diseño y construcción que pertenecen a áreas más específicas de la ingeniería. El capítulo comienza describiendo los elementos básicos que incorporan las máquinas eléctricas rotativas, en sus aspectos eléctricos magnéticos y mecánicos. Se muestran detalles constructivos de la forma del estampado de las chapas magnéticas, ranuras, etc. Se analiza el comportamiento de los colectores de anillos y del colector de delgas o conmutador, haciendo especial hincapié en la forma de ondas que se obtienen en los mismos. A continuación, se incluye una descripción sucinta de la forma de los devanados de las máquinas eléctricas, pero sin llegar a estudiar las leyes de los bobinados, que pertenecen a áreas más especializadas de la ingeniería eléctrica. Se analizan los conceptos generales de pérdidas y calentamiento, des- cribiendo los tipos de aislamientos empleados de acuerdo con la Norma UNE EN 60034- 1:2005 y CEI-85 (1984). Se incluye a continuación una pregunta en la sección de Amplíe sus Conocimientos, sobre el calentamiento y enfriamiento de las máquinas eléctricas. Se indica el concepto de potencia asignada de una máquina, las clases de protección IP y los tipos de servicio a los que se destinan. También se hace un análisis del rendimiento de las máquinas eléctricas, destacando la variación del rendimiento en función de la potencia suministrada. Comienza luego el análisis de las f.m.m.s. y campo magnético en el entrehierro producido por diferentes configuraciones de los devanados: concentrado y distribuido. Se realiza con gran detalle la exposición del teorema de Ferraris y su importancia en la producción de cam- pos magnéticos giratorios. Se expone el teorema de Leblanc, en el que se identifica un campo alternativo con un doble campo giratorio. Se incluye una Sección de Ampliación en la que se estudia la f.m.m. producida por un devanado trifásico alimentado con corrientes desequilibra- das, para destacar que entonces el campo giratorio tiene naturaleza elíptica. También se anali- zan los campos giratorios producidos por sistemas bifásicos y trifásicos utilizando métodos geométricos. A continuación, se hace un análisis general de la f.e.m. inducida en una máquina eléctrica y los factores que intervienen en la mejora de la calidad de la onda producida; en especial se estudian los armónicos de f.e.m. y su eliminación utilizando el acortamiento y distribución de las bobinas. Se completa el estudio anterior con el análisis de los distintos campos giratorios que aparecen en las máquinas eléctricas que presentan armónicos espaciales. También se estudia la creación del par electromagnético en una máquina eléctrica a partir de los fasores espaciales de f.m.m. Se analiza también la potencia y el tamaño de las máquinas eléctricas y la variación tanto de la potencia como de las pérdidas en máquinas homotéticas para ver la influencia de los factores de escala, lo que es importante para los ingenieros de diseño y construcción de máquinas eléctricas. Posteriormente, y de acuerdo con la relación entre las frecuencias de inductor e inducido y la velocidad del rotor, se hace una clasificación general Principios generales de las máquinas eléctricas 97 de las máquinas y posteriormente se describen de un modo cualitativo los principales tipos de maquinas. En capítulos posteriores se hacen los estudios detallados de cada una de las máqui- nas eléctricas. 2.2. ELEMENTOS BÁSICOS DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS En términos generales, se puede decir que una máquina eléctrica rotativa se compone de dos partes, como se indica esquemáticamente en la Figura 2.1. Hay una parte fija, que se denomi- na estátor y que tiene forma cilíndrica; en el caso de máquinas de gran velocidad, dicho cilindro es largo en comparación con su diámetro, mientras que para las de pequeña velocidad es relativamente corto. En la cavidad del estátor se coloca el rotor, que, como su nombre indica, es la parte giratoria de la máquina. El rotor se monta en un eje que descansa en dos rodamientos o cojinetes; éstos pueden estar montados en sendos pedestales que se apoyan en la bancada, o formar parte de las culatas o tapas que están sujetas a la carcasa del estátor. El espacio de aire que separa el estátor del rotor, necesario para que pueda girar la máquina, se denomina entrehierro, siendo el campo magnético existente en el mismo el que constituye el medio de acoplamiento entre los sistemas eléctrico y mecánico. Normalmente tanto en el estátor como en el rotor existen devanados hechos con conduc- tores de cobre por los que circulan corrientes suministradas o cedidas a un circuito exterior que constituye el sistema eléctrico. Uno de los devanados tiene por misión crear un flujo en el entrehierro y por ello se denomina inductor, y también excitación o campo. El otro deva- nado recibe el flujo del primero y se inducen en él corrientes que se cierran por el circuito exterior y se denomina inducido. Lo mismo puede situarse el inductor en el estátor y el inducido en el rotor o viceversa; lo que realmente cuenta es el movimiento relativo entre ambos devanados y teóricamente puede elegirse cualquiera de ambas soluciones, aunque en la práctica su situación la determinan las condiciones tecnológicas de facilidad de construc- ción, aislamiento, refrigeración, etc. Desde el punto de vista de la construcción, el estátor tiene su parte exterior recubierta por la carcasa o culata, estando constituida por un cilindro hueco al que se unen los pies y los dispositivos de fijación de la máquina (Fig. 2.2). En las máquinas pequeñas se construye en forma de un monobloque de fundición de hierro colado y en las máquinas grandes se compone de dos o cuatro partes ensambladas. La forma de la carcasa varía de un constructor a otro, estando condicionada por el sistema de refrigeración y por la protección exigible en el lugar de trabajo (contra objetos sólidos, polvo, agua, antide- DO R ERA GEN SISTEMA Estátor MECÁNICO Rotor MÁQUINA ELÉCTRICA Ω T v1,i1 SISTEMA ELÉCTRICO v2,i2 TOR MO Entrehierro Figura 2.1. La máquina eléctrica como convertidor de energía. 98 Máquinas eléctricas Anillo de elevación Núcleos magnéticos (chapas) de estátor y rotor Devanado del estátor Devanado del rotor Carcasa Chavetero Eje Rodamiento Rodamiento Entrehierro Patas de fijación Figura 2.2. Aspectos constructivos de una máquina eléctrica. flagrantes, etc.) En los lados de la carcasa van colocadas las tapas que cerrarán el motor y que tienen un hueco central en su interior para alojar los cojinetes del rotor. El estátor y el rotor se construyen con material ferromagnético, de tal forma que para evitar pérdidas en el hierro suelen realizarse con chapas magnéticas de acero al silicio, conve- nientemente ranuradas para alojar en su interior los devanados correspondientes. En la Figura 2.3 se muestran diversas formas de chapas magnéticas empleadas en la construcción de máquinas eléctricas; se observa que las que configuran el rotor disponen en el centro de un agujero circular, para introducir por el mismo el eje, disponiendo también de su correspondiente chavetero para que la sujeción sea perfecta. En las máquinas grandes existen también unos agujeros en las chapas distribuidos en su superficie que hacen de conductos de ventilación, para que penetre por ellos el aire producido por un ventilador acoplado al mismo eje, evitándose en gran parte el aumento de temperatura que se obtendría debido a las pérdi- das en el hierro. Las ranuras para alojar los conductores de los devanados pueden ser del tipo abierto, semicerrado y cerrado, como se indica en la Figura 2.4. Exceptuando el caso de las ranuras cerradas, que se emplean casi exclusivamente en la construcción del devanado del rotor de los Chapa de rotor Chapa de estátor Pieza polar del rotor Chapas de estátor y rotor Chapas de transformadores Pieza polar del estátor Figura 2.3. Tipos de chapas magnéticas. Principios generales de las máquinas eléctricas 99 Ranura Diente Chapa de estátor Detalle Cuña de cierre Tipos de ranura Conductores a) Ranura abierta b) Ranura semicerrada c) Ranura cerrada Figura 2.4. Tipos de ranura. motores de inducción (asíncronos) en jaula de ardilla, las ranuras suelen presentar una sección del tipo rectangular; las abiertas se utilizan en las grandes máquinas, donde el devanado se prepara con sus bobinas totalmente acabadas en una bobinadora o torno de baja velocidad, de tal forma que permite la colocación de la bobina entera en la ranura, cerrando ésta por medio de un calzo aislante; las ranuras semicerradas se emplean en las máquinas pequeñas, donde el devanado se coloca, haciendo deslizar los hilos conductores de la bobina, uno por uno por la garganta de entrada. Desde el punto de vista de la configuración física, las máquinas eléctricas adoptan tres formas básicas, como se indica en la Figura 2.5. En el caso a) se tienen dos superficies totalmente cilíndricas, con un entrehierro uniforme; esta disposición se encuentra en las má- quinas asíncronas, estando situado el inductor en el estátor y también se emplea en los tur- boalternadores de las centrales térmicas, situando el inductor en el rotor. En los casos b) y c) la superficie del estátor o del rotor presenta unos «salientes» magnéticos denominados polos que están provistos a su vez de unas expansiones o cuernos polares (Fig. 2.5c); en estos polos se sitúa siempre el devanado inductor, recorrido normalmente por c.c. y creando un campo Línea neutra Estátor Estátor Estátor N S N S N S Rotor Rotor Rotor a) Estátor y rotor cilíndricos b) Estátor cilíndrico y rotor c) Estátor con polos salientes con polos salientes y rotor cilíndrico Figura 2.5. Configuraciones básicas de estátor-rotor. 100 Máquinas eléctricas magnético que puede asimilarse al que produce un imán permanente. La disposición indicada en la Figura 2.5b es la empleada en las máquinas síncronas y la de la Figura 2.5c se utiliza en las máquinas de c.c. Todos los esquemas de la Figura 2.5 presentan un circuito magnético que forma dos polos; se dice entonces que la máquina es bipolar. La máquina mostrada en la Figura 2.6a es también bipolar, pero existen máquinas con un número superior de polos, denominadas multi- polares, donde los polos N y S se suceden de una forma alternativa; por ejemplo, en la Figura 2.6b se muestra una máquina tetrapolar. La línea media entre un polo y el siguiente se denomina línea neutra, y la distancia entre dos polos consecutivos se denomina paso polar. En una máquina bipolar, por ejemplo la de la Figura 2.6a, se produce un ciclo completo magnético en una vuelta completa del rotor; sin embargo, para una máquina multipolar con p pares de polos, en una revolución completa del rotor se recorren p ciclos magnéticos comple- tos; por ej., para la máquina representada en la Figura 2.6b, se tiene p = 2 (es decir, 4 polos), y una revolución del rotor corresponde a dos ciclos magnéticos. Como quiera que una revolu- ción del rotor corresponde a un ángulo geométrico de 360°, y un ciclo magnético correspon- de a un recorrido de 360° magnéticos, se concluye que para una máquina de p pares de polos un ángulo geométrico a corresponde a un ángulo magnético h dado por la siguiente igualdad: h=p·a (2.1) La expresión anterior es muy importante en el estudio de las máquinas eléctricas ya que permite relacionar los ángulos geométricos medidos por un observador con los grados mag- néticos que efectivamente vé la máquina. Por ejemplo, para la máquina bipolar (p = 1) de la Figura 2.6a, el ángulo geométrico entre los polos N y S es de 180° que corresponde a medio ciclo magnético, es decir a 180° magnéticos, sin embargo para la máquina tetrapolar (p = 2) de la Figura 2.6b, el ángulo geométrico entre dos polos N y S consecutivos es de 90°, que corresponde a medio ciclo magnético, es decir, a 180° magnéticos. En lo sucesivo, si no existe una indicación especial, expresaremos los ángulos sólo en grados magnéticos, también llamados grados eléctricos, ya que las f.e.m.s. inducidas en las bobinas dependen de la varia- ción entre posiciones magnéticas. Líneas neutras (interpolares) Línea neutra (interpolar) S N S N N S Paso polar = 180º geométricos = Paso polar = 90º geométricos = =180º magnéticos =180º eléctricos =180º magnéticos =180º eléctricos a) Máquina bipolar b) Máquina tetrapolar Figura 2.6. Máquinas bipolares y tetrapolares. Ángulos geométricos y eléctricos. Principios generales de las máquinas eléctricas 101  COMENTARIOS PRÁCTICOS ¿Por qué las máquinas eléctricas utilizan material de hierro para la conversión de energía electromecánica? La respuesta a esta simple pregunta no suele ser razonada adecuadamente por los estudiantes. En primer lugar, es evidente que para conseguir altas f.e.m.s inducidas en los devanados de las máquinas eléctricas conviene, de acuerdo con la ley de Faraday, tener grandes flujos magnéticos en los entrehierros de las máquinas eléctricas (y por supuesto deben variar además con respecto al tiempo), lo que se consigue utilizando deva- nados inductores de cobre alimentados por c.c. o c.a, ya que con corrientes relativamente reducidas que circulen por estos arrollamientos (es decir con un pequeño campo magnético H aplicado) se pueden conseguir grandes inducciones B en los entrehierros, debido a la alta permeabilidad relativa de los materiales ferromagnéticos. Por otro lado, los entrehierros de las máquinas eléctricas almacenan la energía de campo magnético procedente de las corrientes que circulan por sus devanados inductor e inducido. La densidad de energía magnética almacenada en el entrehierro (energía por unidad de volumen) tiene un valor B2/2k0 y como las inducciones en el aire del entrehierro suelen ser del orden de 1 tesla, la densidad de energía magnética almacenada correspondiente es por ello de 4.105 J/m3. Para hacerse una idea de lo que representa el valor anterior, se puede comparar con la densi- dad de energía eléctrica almacenada por una máquina electrostática que responde a la expre- sión e0E2/2 y teniendo en cuenta que la rigidez dieléctrica del aire es del orden de 3.106V/m (que representa el máximo campo eléctrico posible en el aire sin que se produzca disrupción en el mismo), la densidad de energía electrostática correspondiente sería del orden de 40 J/m3. Es decir, de estos simples cálculos se deduce que la densidad de energía magnética es 10.000 veces superior a la densidad de energía electrostática y de ahí la justificación de construir máquinas electromagnéticas y no electrostáticas. Nota adicional: Debe señalarse que los sistemas hidroneumáticos manejan fluidos con pre- siones máximas del orden de 300 bares (1 bar = 105 N/m2) que corresponde a una densidad de energía (igual a la presión) del orden de 3.107J/m3, es decir 75 veces superiores a los sistemas electromagnéticos. Es por ello que en el proceso productivo industrial se utilizan muy a menudo sistemas oleohidráulicos para el accionamiento de muchas máquinas y en especial las emplea- das en obras civiles que requieren accionamientos que deben desarrollar fuerzas muy elevadas. Otros aspectos complementarios como por ejemplo los relativos a la respuesta en el dominio de la frecuencia hacen que en la práctica se utilicen unos u otros sistemas; por ejemplo los siste- mas mecánicos tienen una frecuencia máxima de actuación del orden de 100Hz sin embargo los sistemas magnéticos alcanzan 50 kHz y los electrostáticos llegan a 1 MHz. 2.3. COLECTOR DE DELGAS Y COLECTOR DE ANILLOS Se ha indicado en el apartado anterior que una máquina eléctrica rotativa está formada por dos partes denominadas estátor y rotor, que llevan unos devanados que reciben los nombres de inductor e inducido. Para introducir o sacar corrientes de los bobinados situados en el estátor de la máquina basta con hacer unas conexiones fijas directas desde el sistema exterior a estos devanados; sin embargo, para realizar esta operación con las bobinas del rotor es preciso recu- rrir a sistemas colectores, que difieren entre sí, según sea la máquina de c.a. o de c.c. Para ver el funcionamiento de estos colectores se va a considerar el estudio de un genera- dor elemental, constituido por un imán en el estátor, que hace de inductor, y una espira en el rotor, que hace de inducido. Consideremos el esquema de la Figura 2.7, donde una espira gira a una velocidad L rad/s dentro del campo magnético B de un imán permanente. Los extremos 102 Máquinas eléctricas Líneas de inducción Ω S pα B N S Polo inductor Anillos colectores F.e.m. generada en la espira Escobillas Tensión en la carga externa R (Carga externa) Figura 2.7. Colector de anillos. de la espira van a parar a dos anillos de bronce sobre los que rozan unas escobillas de grafito, a las cuales se conecta el circuito exterior, compuesto por un receptor de energía, simulado por una resistencia de carga R. Los vectores B, inducción magnética, y S, superficie de la espira, forman en un momento determinado un ángulo eléctrico pa, siendo p el número de pares de polos de la máquina y a el ángulo geométrico correspondiente. De acuerdo con la ley de Faraday, la f.e.m. inducida en la espira al girar dentro del campo magnético del imán será: dJ d e=− = − (B S cos pa) (2.2) dt dt teniendo en cuenta que se cumple: da n L= = 2n (2.3) dt 60 donde n indica el número de r.p.m. de la espira, y tomando como referencia pa = 0 en t = 0, se obtendrá la siguiente f.e.m. en el inducido: e = B S pL sen pLt (2.4) que al comparar con la expresión general de una f.e.m. alterna de pulsación u = 2n f, siendo f la frecuencia en Hz, expresada por: e = Em sen ut (2.5) se deduce que la relación entre las r.p.m. de la máquina y la frecuencia de la f.e.m. alterna obtenida es: n u = 2n f = pL = p2n (2.6) 60 es decir: np f= (2.7) 60 En consecuencia, en la espira se obtiene una f.e.m. alterna, cuya frecuencia es proporcio- nal a la velocidad de giro y al número de pares de polos de la máquina. Por otra parte, al estar Principios generales de las máquinas eléctricas 103 Muelle de apriete Casquillo de cierre Anillo deslizante Eje Conductor de salida Escobilla Portaescobilla Figura 2.8. Anillo deslizante y escobilla. las escobillas rozando los anillos colectores, se consigue que la corriente que circula por el circuito exterior sea de la misma forma que la que se obtiene en la espira del inducido. Para evitar falsos contactos, existe un muelle que presiona ligeramente la escobilla a la super- ficie cilíndrica del anillo, como se observa en la Figura 2.8. Las escobillas se hacen moderna- mente con grafito electrolítico, aunque a veces son metalografíticas; la elección de este ele- mento se debe a su ventaja de poseer buena conductividad eléctrica a la par de no desgastar excesivamente los anillos. Existe otra forma de enviar la f.e.m. inducida en la espira a un circuito exterior, y es emplear el llamado colector de delgas, cuyo funcionamiento, en el caso más elemental, se puede explicar con ayuda del esquema de la Figura 2.9. Se observa que ahora los extremos de la espira van a parar a un anillo formado por dos segmentos de cobre, denominados delgas, aislados entre sí y del eje de la máquina por medio de un cilindro de mica. Sobre las delgas van colocadas unas escobillas, fijas en el espacio, a las cuales se conecta el circuito exterior. La misión del colector de delgas es obligar a que la corriente que atraviesa el circuito exterior circule siempre en el mismo sentido, de tal forma que aunque la f.e.m. inducida en la espira sea sinusoidal (c.a.), y como ya se ha demostrado en el caso anterior, la corriente que atravie- sa el circuito sea unidireccional; esta operación se denomina rectificación, y se realiza de una forma automática con el colector de delgas. La posición de las escobillas no es indiferente, ya que para rectificar totalmente la c.a. del inducido es necesario colocar las escobillas tal como Líneas de inducción Ω b a c N S Colector de delgas d Inducido F.e.m. generada en la espira A B i i Escobillas Tensión aplicada a la carga R (carga externa) i Figura 2.9. Colector de dos delgas. 104 Máquinas eléctricas muestra la Figura 2.9, es decir, de tal modo que la f.e.m. inducida en la espira sea igual a cero en el momento en el que la escobilla pasa de una delga a la otra. Para ver más claramente el proceso de rectificación, en la Figura 2.10 se ha representado una revolución completa de la espira, habiéndose sustituido la resistencia R del circuito de la Figura 2.9 por un milivoltíme- tro con el cero en el centro, para hacer más patente la polaridad de la tensión resultante entre las escobillas de la máquina. En la parte inferior de la Figura 2.10 se ha representado la tensión correspondiente en cada instante de tiempo. Para comprender la forma de esta onda generada, debe suponerse que la inducción producida por el imán se distribuye de forma sinusoidal en el entrehierro de la máquina, es decir, la inducción es máxima debajo de cada polo y nula en la zona de la línea neutra. La f.e.m. inducida en la espira viene expresada por la ley de Faraday y es una f.e.m. de movimiento: dJ e=− dt = 3 c (v × B) dl (2.8) En el caso de la Figura 2.10, en el instante t1, el plano de la espira es vertical, por lo que el flujo magnético es máximo y en consecuencia la f.e.m. inducida es nula, lo que está de acuerdo con (2.2), que es en definitiva la parte izquierda de (2.8). Al mismo resultado se llega analizan- do el término integral de (2.8); en este caso en los tramos ab y cd de la espira se inducen unas f.e.m.s. nulas, ya que en esta situación las inducciones en ambas ramas de la espira son nulas por estar situadas en la línea neutra, y en consecuencia el voltímetro de la Figura 2.10a señalará cero voltios. Al pasar la espira desde el instante t1 al instante t2, la f.e.m. inducida irá aumentan- do progresivamente, ya que va elevándose la inducción en las ramas de la espira, al acercarse las mismas al centro de los polos. De hecho, en el instante t2 la f.e.m. inducida será máxima ya que corresponde a la máxima inducción en las ramas de la espira, la f.e.m. en la parte oscura de la espira se dirigirá de b a a, en el sentido atrás-adelante, que es el sentido del producto vectorial v × B que aparece en (2.8), mientras que en la parte clara de la espira la f.e.m. inducida irá de d a c, sentido adelante-atrás, y de ahí el sentido de la desviación que aparece en el voltímetro de b Ω Ω b c a N c S N a d S Tensión entre escobillas d e b) Instante t2 a) Instante t1 Emax=E A B t A B e=0 voltios e=+E voltios t1 t2 t3 t4 t1 Ω 1 Revolución Ω c c b d N b S N S d a a c) Instante t3 d) Instante t4 A B A B e=0 voltios e=+E voltios Figura 2.10. Funcionamiento del colector de delgas y tensión obtenida entre escobillas. Principios generales de las máquinas eléctricas 105 Espira 2 Ω F.e.m. espira 1 90º180º 360º 0º 270º N S F.e.m. espira 2 Espira 1 0º 180º 360º a) e Espira 1 Espira 2 A B Forma de onda en el circuito exterior b) 45º 0º 90º 180º 270º 360º Al circuito exterior Figura 2.11. Inducido con dos bobinas y colector con cuatro delgas. la Figura 2.10 en el instante t2, que se dirige de la escobilla negra a la escobilla blanca. Como quiera que al moverse la espira, la escobilla negra/blanca siempre hace contacto con el conductor que se encuentra bajo el polo norte/sur, la polaridad de la escobilla negra/blanca será siempre positiva/negativa, por lo que la corriente se dirigirá siempre en el circuito exterior desde la escobi- lla negra a la escobilla blanca, lo que significa que la tensión de salida tiene carácter unidireccio- nal. De este modo con un colector de delgas se consigue que la forma de onda que se obtiene en el circuito exterior sea diferente a la forma de onda que existe en el inducido. En particular, una señal de c.a. en el inducido se transforma en unidireccional (c.c.) en el circuito exterior. En la práctica, para obtener una c.c. que tenga menos rizado (menor oscilación) se aumen- ta el número de delgas del colector, con más bobinas en el inducido. En la Figura 2.11a se muestra un colector con cuatro delgas y dos bobinas, observándose en la Figura 2.11b que la forma de onda que se obtiene posee menos variación, y se acerca más a una c.c. menos oscilatoria (es decir con menor rizado). En las máquinas reales, con el fin de que las ondulaciones de la f.e.m. se reduzcan aún más y de que la d.d.p. entre las delgas no llegue a ser tan alta que produzca chispas en el colector, se procura que el número de delgas sea relativamente grande. En la Figura 2.12 se Conexión del inducido a la delga Talón de la delga Delga de cobre Cubo del colector Aislamiento de mica Anillo de presión Anillo cónico Tornillo de apriete Anillos aislantes de mica Figura 2.12. Perspectiva y sección de un colector de delgas. 106 Máquinas eléctricas muestra un colector de delgas, también llamado conmutador. Las delgas son de cobre endu- recido a las que se da una forma adecuada para ser montadas en una estructura circular. Cada delga va soldada y remachada con un conductor vertical o talón para que sirva de pieza de contacto con la bobina correspondiente. El remache asegura la resistencia mecánica suficien- te para la conexión y la soldadura mantiene un buen contacto eléctrico. Para evitar que las delgas puedan salirse del colector por la fuerza centrífuga, se construyen en forma de cola de milano. Las delgas van aisladas entre sí por separadores de mica y también están aisladas del cilindro soporte por láminas del mismo dieléctrico. 2.4. DEVANADOS Se denominan devanados de una máquina eléctrica a los arrollamientos del inductor y del inducido. El material para la realización de las bobinas suele ser el cobre en forma de hilo esmaltado (la misión del aislante es ofrecer una separación eléctrica entre las espiras) en las máquinas pequeñas y en forma de pletina para las máquinas de gran potencia, cuyo aislamien- to se realiza recubriéndolas con cinta de algodón. También se emplea el aluminio, pero su aplicación es casi exclusiva de los rotores en jaula de ardilla de los motores asíncronos. Los inductores de las máquinas síncronas y de las máquinas de c.c. se ejecutan en forma de arrollamiento concentrado, devanando una bobina alrededor de los polos tal como se señala en la Figura 2.13. Este sistema se emplea también en los transformadores, pero con detalles más específicos que se explicarán en el Capítulo 3. Los inducidos de las máquinas de c.a. y c.c. se ejecutan en forma de arrollamientos distri- buidos para cubrir toda la periferia de la máquina, situando las bobinas en las ranuras practi- cadas al efecto. En los albores de la electricidad estos arrollamientos se ejecutaban en forma de devanado en anillo, ejemplo de lo cual fue la célebre dinamo de Gramme (Fig. 2.14a), donde se arrollaba el hilo sobre un anillo cilíndrico recorriendo la periferia del inducido. El defecto de este tipo de bobinado es que sólo se aprovechan los conductores de la periferia exterior para producir f.e.m., ya que los conductores internos no son atravesados por ninguna inducción, debido a que el campo magnético después de saltar el entrehierro se encauza por dentro del anillo ferromagnético, antes de seguir recto, cruzando el cilindro interior del anillo, que presenta mayor reluctancia magnética. Hoy día solamente se emplean los devanados en tambor, donde la totalidad de los conductores están colocados en la superficie exterior del cilindro ferromagnético que forma el inducido. En la Figura 2.14b se muestra un ejemplo de este tipo de bobinado aplicado a un inducido de una máquina de c.c.; se observa en este devanado que, exceptuando las dos partes frontales, Devanado concentrado Conductores del devanado Pieza polar (apilamiento de chapas) Figura 2.13. Perspectiva y sección del devanado concentrado de un polo. Principios generales de las máquinas eléctricas 107 N S N S Inducido Colector de delgas a) Devanado en anillo b) Devanado en tambor Figura 2.14. Tipos de inducidos. todo el cobre del inducido es activo, es decir, corta o es atravesado por la inducción y actúa, por lo tanto, como generador de f.e.m. Normalmente las bobinas que forman el devanado suelen construirse fuera de la máquina, y posteriormente son encintadas antes de colocarlas en las ranuras correspondientes, con lo que se consigue una gran rapidez en la formación del inducido. Dependiendo del número de ramas de bobina existente en una ranura, los devanados se clasifican en arrollamientos de una capa y de dos capas. En el arrollamiento de una capa, en cada ranura se sitúa un solo lado de bobina, mientras que en el de dos capas se sitúan dos lados de bobina por ranura; en este último caso, un lado de la bobina está colocado en la parte superior de una ranura y el otro lado se sitúa en la parte inferior de la otra. Los devanados pueden ser abiertos o cerrados; los devanados abiertos tienen un principio y un final y se emplean en las máquinas de c.a.; los devanados cerrados no tienen ni principio ni fin, y para sacar la corriente al exterior deben hacerse tomas intermedias (por medio de delgas), y este tipo de devanado es el que se emplea en las máquinas de c.c. Desde el punto de vista de la forma de las bobinas, los devanados pueden clasificarse en concéntricos y excéntricos (empleados en c.a.), y también en ondulados e imbricados (em- pleados en c.c.). Los devanados concéntricos están formados por bobinas de diferente anchu- ra o paso, que tienen un eje común; un ejemplo de ellos se muestra en la Figura 2.15a. Los 1 12 2 11 Desarrollo 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 9 4 8 5 6 7 a) Devanado concéntrico 1 12 Desarrollo 2 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 10 9 4 8 b) Devanado excéntrico 5 6 7 Figura 2.15. Devanados concéntricos y excéntricos. 108 Máquinas eléctricas B y1 F LEY: y=y1 -y2 y y2 N C A Desarrollo E G B F C G D devanado Devanado S imbricado H N S Delga A E D H Colector de delgas B y y1 y2 LEY: y=y1+y2 C N A D S F Desarrollo B C F G devanado Devanado E N G N S N S ondulado ondulado A D E H H Figura 2.16. Devanado imbricado (arriba). Devanado ondulado (abajo). devanados excéntricos están constituidos por bobinas de igual paso pero desfasadas entre sí en el espacio, como se indica en la Figura 2.15b. Los devanados imbricados son análogos en la forma a los excéntricos y se emplean en las máquinas de c.c., haciéndose derivaciones al colector de delgas como indica la Figura 2.16a. Los devanados ondulados se caracterizan porque al bobinar se va recorriendo el inducido y en consecuencia el colector, formando las ramas de las bobinas una figura de onda como se indica en la Figura 2.16b. El estudio de la teoría de los bobinados no se dará en este libro, porque pertenece más a una asignatura de Cálculo y Construcción de Máquinas Eléctricas; sin embargo, como normas básicas se pueden citar los dos principios generales siguientes: a) la anchura (paso) de cada bobina debe hacerse lo más cercana a un paso polar con objeto de que los dos lados de la bobina queden frente a dos polos adyacentes N y S, para obtener así la máxima f.e.m. inducida en cada una de las bobinas y aprovechar de este modo lo más posible el cobre del arrollamiento; b) en los devanados de los generadores de c.a. es conveniente que el arrollamiento se prevea para que genere una f.e.m. sinusoidal exenta lo más posible de armónicos, y para ello es preciso distribuir el devanado en las ranuras y emplear acorta- mientos de paso en las bobinas. 2.5. PÉRDIDAS Y CALENTAMIENTO En la transformación electromecánica de la energía que tiene lugar en una máquina eléctrica, una fracción de la potencia transformada se convierte en calor y prácticamente no se utiliza, constituyendo el conjunto las llamadas pérdidas de la máquina. Desde el punto de vista físico, una máquina tiene un circuito eléctrico, constituido por los devanados del inductor e inducido, donde se producen unas pérdidas por efecto Joule, llamadas vulgarmente pérdi- das en el cobre, por ser éste el material que suele utilizarse para la fabricación de los bobina- Principios generales de las máquinas eléctricas 109 dos (aunque también puede ser el aluminio); por otra parte, los arrollamientos se colocan en una estructura magnética, realizada con chapas de acero al silicio que ofrecen, debido a los campos magnéticos variables, unas pérdidas denominadas pérdidas en el hierro; como quie- ra que además la máquina ofrece un acceso mecánico, aparecen en él unas pérdidas mecáni- cas debidas a los rozamientos o fricciones de las diversas partes del sistema. El estudio de estas pérdidas es de gran interés, porque influyen sobre dos magnitudes muy importantes en la explotación: el rendimiento y el calentamiento de una máquina eléctrica. Vamos a analizar en consecuencia y más detalladamente cada una de estas pérdidas: a) Pérdidas en el cobre Son consecuencia de la inevitable resistencia que presentan los conductores eléctricos, dando lugar a una pérdida en forma de calor por efecto de Joule. En términos generales responden a la ecuación: Pcu = ; Rj ij2 (2.9) en donde Rj e ij representan, respectivamente, la resistencia y corriente que corresponden al devanado j, ya sea del inductor o del inducido. Denominando oj a la resistividad de los conductores, lj a su longitud y sj a su sección transversal; sustituyendo en (2.9) la resistencia por su valor oj lj /sj resulta: AB AB lj 2 i 2 Pcu = ; oj ij = ; oj lj j sj (2.10) sj sj llamando Jj a la densidad de la corriente, es decir, al cociente: ij /sj y al ser el volumen del cobre igual a lj sj se obtiene: Pcu = ; o · Jj2 · (volumen) (2.11) que expresa las pérdidas en el cobre en función de la resistividad, densidad de corriente y volumen del bobinado empleado. Se observa que las pérdidas son proporcionales al volumen del material y a la densidad de corriente que circula por los conductores, y esta densidad suele tomar un valor que varía entre 5 A/mm2 para las máquinas pequeñas a 3 A/mm2 en las máqui- nas grandes. b) Pérdidas en el hierro Se producen en todos los órganos de las máquinas que son recorridos por flujos variables. Como ya se ha estudiado en el capítulo anterior, se componen a su vez de las pérdidas por histéresis y las pérdidas por corrientes de Foucault (parásitas), y de acuerdo con (1.72) se tiene: PFe = PH + PF = (kH fBma + kF f 2Bm2 a 2p) · vol (2.12) siendo kH y kF constantes; f, la frecuencia; Bm, la inducción máxima; a, el espesor de las chapas magnéticas; p, la conductividad de las mismas; a, un parámetro, y vol, el volumen de hierro. Como ya se ha indicado en el capítulo anterior, la forma de reducir estas pérdidas es emplear núcleos magnéticos de acero al silicio en forma de chapas; esto disminuye el valor de las pérdidas por histéresis (ya que el ciclo se hace más estrecho) y reduce las pérdidas por corriente de Foucault debido a la adición de silicio y a aislar las chapas entre sí. La lamina- ción puede hacerse en caliente o en frío (granos orientados), resultando unas pérdidas del orden de 0,8 a 1,3 W/kg a 1 Tesla para las chapas ordinarias (laminadas en caliente) y de 0,4 EnfocusSoftware-CustomerSupport 110 Máquinas eléctricas a 0,5 W/kg a 1 Tesla para las de grano orientado. Estas pérdidas se transforman en calor en la masa de hierro. c) Pérdidas mecánicas Son debidas a los rozamientos de los cojinetes, a la fricción de las escobillas y a la ventilación (rozamiento con el aire). Como es lógico estas pérdidas sólo existen en las máquinas que disponen de un órgano giratorio. Las pérdidas por rozamiento y fricción son directamente proporcionales a la velocidad, mientras que las pérdidas por ventilación se consideran propor- cionales a la tercera potencia de la velocidad. En consecuencia: Pm = A n + B n3 (2.13) La clasificación anterior se ha realizado teniendo en cuenta el lugar donde se producen las pérdidas, pero también puede realizarse teniendo en cuenta la forma en que varían las mismas y así se tienen: a) Pérdidas fijas: Pf ; b) Pérdidas variables: PV . Las pérdidas fijas son aquellas que no varían aunque cambie la potencia absorbida o cedida por la máquina. A este respecto se observa que las pérdidas mecánicas, según se ha comentado en los párrafos anteriores, sólo dependen de la velocidad, y como quiera que la mayor parte de las máquinas tienen velocidad constante o sensiblemente constante, se podrán considerar estas pérdidas como constantes. También pueden suponerse fijas las pérdidas en el hierro, ya que las máquinas suelen trabajar con unos valores de B y f constantes y de acuerdo con (2.12) implicarán unas pérdidas constantes. Las pérdidas variables son aquellas que va- rían según sea la potencia que absorbe o cede la máquina; como quiera que una variación de potencia supone un cambio correspondiente en la corriente (la tensión de una máquina es sensiblemente constante), aparecerá una variación también en las pérdidas por efecto Joule en los devanados. De los párrafos anteriores se deducen las siguientes igualdades: Pf = PFe + Pm ; PV = Pcu (2.14 ) es decir, las pérdidas fijas están constituidas por las pérdidas en el hierro y mecánicas, mien- tras que las pérdidas variables son debidas al efecto Joule en el cobre. Todas las pérdidas anteriores son transformadas en calor. Este calor se transmite en parte al ambiente, por radiación y convección, y es absorbido en parte por la estructura de la máquina, elevando su temperatura, elevación que está en relación con su calor específico. Cuando esta temperatura alcanza un determinado valor para el cual la cantidad de calor pro- ducida, correspondiente a las pérdidas, se iguala con la cantidad de calor cedida al ambiente, la temperatura permanece constante. Se dice entonces que la máquina ha alcanzado la tempe- ratura de régimen. La temperatura de régimen es una magnitud de gran importancia, ya que mediante la misma se puede determinar si los materiales aislantes con los que está construida la máquina van a trabajar correctamente. En efecto, los aislantes, constituidos en su gran parte por ma- teriales orgánicos, se carbonizan a una determinada temperatura, perdiendo su cualidad de tales; también a temperaturas inferiores sufren un deterioro, siendo éste tanto más rápido cuanto más elevada sea la temperatura a la que están sometidos. Es evidente que al degenerar la función aislante de estos materiales, la máquina no trabaje en buenas condiciones y acabe averiándose al producirse cortocircuitos entre espiras o defectos a tierra. Existe una regla aproximada pero muy ilustrativa, llamada de Montsinger, debida a V. M. Montsinger, in- geniero de la General Electric, quien en 1930, tras un estudio exhaustivo de nueve años Principios generales de las máquinas eléctricas 111 sobre aislantes de transformadores, proporcionó una fórmula empírica conocida como la ley de los 10 °C, lo que significa que para cada incremento de 10 °C de temperatura sobre el máximo recomendado, la vida del aislante se reducía a la mitad, e inversamente, una disminución de 10 °C doblaría su vida. Debido a esto, se han establecido normas que es- pecifican aquellas temperaturas máximas que no se deben sobrepasar en los devanados y en las diferentes partes de una máquina; más concretamente, en España las Normas UNE 21-305, UNE EN 60034-1:2005 y CEI-85 (1984) fijan una temperatura ambiente conven- cional y determinan la máxima temperatura que pueden soportar los aislantes, y en función de ésta se clasifican en: 1. AISLAMIENTO CLASE A. Son aislamientos constituidos por materiales fibrosos a base de celulosa o seda, impregnados con líquidos aislantes; la temperatura máxi- ma que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislantes es de 105 °C. 2. AISLAMIENTO CLASE E. Son aislamientos a base de fibras orgánicas sintéticas; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislan- tes es de 120 °C. 3. AISLAMIENTO CLASE B. Son aislamientos formados por materiales a base de poliéster y poliimidos aglutinados con materiales orgánicos o impregnados con és- tos; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislantes es de 130 °C. 4. AISLAMIENTO CLASE F. Son aislamientos formados por materiales a base de fibra de mica, amianto y fibra de vidrio aglutinados con materiales sintéticos, como siliconas, poliésteres o epóxidos; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislantes es de 155 °C. 5. AISLAMIENTO CLASE H. Son aislamientos formados por materiales a base de mica, amianto o fibra de vidrio aglutinados con siliconas de alta estabilidad térmica; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislan- tes es de 180 °C. 6. AISLAMIENTO CLASE 200. Son aislamientos formados por materiales a base de mica, vidrio, cerámica, etc.; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobre- pasarse en este tipo de aislantes es de 200 °C. 7. AISLAMIENTO CLASE 220. Son aislamientos formados por materiales a base de mica, vidrio, cerámica, etc., poliimidas tipo Kapton; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislantes es de 220 °C. 8. AISLAMIENTO CLASE 250. Son aislamientos formados por materiales a base de mica, vidrio, cerámica, etc., poliimidas tipo Kapton; la temperatura máxima que en ningún caso debe sobrepasarse en este tipo de aislantes es de 250 °C. La temperatura ambiente del fluido refrigerante se toma, de acuerdo con la misma Norma, como 40 °C (para menos de 1.000 m de altitud)*. En consecuencia, los calentamientos (eleva- ción de temperatura respecto de la ambiente) admisibles para los aislantes anteriores serán:  Clase A: 65 °C; Clase E: 80 °C; Clase B: 90 °C; Clase F: 115 °C; Clase H: 140 °C.  Clase 200: 160 °C; Clase 220: 180 °C; Clase 250: 210 °C. * A grandes alturas la evacuación del calor de la máquina disminuye por ser menor la densidad del aire. Los datos expuestos se refieren a altitudes inferiores a 1.000 m. Para altitudes superiores se deben consultar las Normas (se estable- cen reducciones en los calentamientos que oscilan entre un 2 y un 5 por 100 por cada 500 m que sobrepasen los 1.000 m). 112 Máquinas eléctricas  AMPLÍE SUS CONOCIMIENTOS Calentamiento y enfriamiento de las máquinas eléctricas Se puede realizar un estudio generalizado del calentamiento de una máquina eléctrica suponien- do que es un cuerpo homogéneo e isótropo ideal, en el que se produce una cantidad de calor Q (medida en julios) que depende de la potencia perdida en la máquina Pp, de tal modo que en un diferencial de tiempo dt se tiene una energía calorífica: Calor = dQ = Pp dt (1) esta energía calorífica provoca una elevación de temperatura de la máquina respecto a la tempe- ratura ambiente. Si se denomina ht a la temperatura que adquiere la máquina y ha la temperatura ambiente, se denomina sobreelevación de temperatura ha: h = ht − ha (2) Si M es la masa total de la máquina, ce su calor específico y dh el incremento de temperatura producido en la máquina en un dt, el calor almacenado por la máquina y que eleva su temperatu- ra tiene un valor: dQ1 = Mce dh (3) Por otra parte, existe un calor emitido por la superficie exterior de la máquina S que depende del coeficiente de emisividad k del material, de la sobreelevación de temperatura dh y del dife- rencial de tiempo dt, de acuerdo con la siguiente expresión: dQ2 = kSh dt (4) de este modo la ecuación diferencial de calentamiento de la máquina viene expresada por: Pp dt = Mce dh + kSh dt (5) Cuando se alcanza un estado de equilibrio o de régimen, la sobreelevación de temperatura alcanza su valor final hmáx y no existe variación de la temperatura del cuerpo y todo el calor producido debido a las pérdidas en la máquina eléctrica se emite por la superficie externa, lo que equivale a decir que la ecuación (5) se convierte en: Pp dt = kShmáx dt (6) de donde se deduce la sobreelevación máxima de la temperatura que alcanza la máquina: Pp hmáx = (7) kS Si ahora en la ecuación (5) se divide cada término por kS se obtiene: Pp Mce dt = dh+ h dt (8) kS kS denominando constante de tiempo térmica T al cociente: Mce T= (9) kS Al sustituir (7) y (9) en (8) resulta: hmáx dt = T dh + h dt (10) Principios generales de las máquinas eléctricas 113 es decir: dh T= (11) hmáx − h ecuación diferencial que al integrar da como resultado: h = hmáx(1 − e−t/T) (12) En la Figura 2.17a se representa la ecuación anterior, y que muestra la evolución de la sobreelevación de temperatura con el tiempo. Obsérvese en esta figura que la constante de tiempo T es el tiempo necesario para llevar la máquina hasta la temperatura máxima si no se refrigera, es decir si todo el calor provocado por las pérdidas se invirtiera en incrementar la temperatura. Para comprobarlo téngase en cuenta de acuerdo con (7) y (9) que se puede escribir: Mce Mcehmáx T= = (13) kS Pp θ θ θmax θmax T t t a) Curva de calentamiento b) Curva de enfriamiento Figura 2.17. Curvas de calentamiento y enfriamiento. El valor de la constante de tiempo térmica varía entre 30 minutos para las máquinas más pequeñas hasta dos o tres horas para las máquinas de gran potencia. Por otra parte, si una vez que la máquina ha alcanzado la temperatura de régimen, representada por la sobreelevación de temperatura hmáx, se para la máquina, es decir se interrumpe el suministro de calor a la misma al no existir pérdidas en esas condiciones, entonces la ecuación (5) se convierte en: 0 = Mce dh + kSh dt (14) que se puede escribir teniendo en cuenta (9) en: dh dt 0 = T dh + h dt ú =− (15) h T de donde se deduce: h = hmáxe−t/T (16) Donde se ha tenido en cuenta que para t = 0 se cumple h = hmáx. La ecuación (16) define la curva de enfriamiento de la máquina eléctrica y se ha representado en la Figura 2.17b. Cuando la máquina trabaja en régimen intermitente se producen alternativamente períodos de calentamien- to y enfriamiento sucesivos. 114 Máquinas eléctricas 2.6. POTENCIA ASIGNADA O NOMINAL. TIPOS DE SERVICIO De acuerdo con la Norma UNE EN 60034-1:2005 referente a máquinas eléctricas rotativas. Parte 1: Características asignadas y características de funcionamiento, en su sección 2 de definiciones se señala lo siguiente:  Valor asignado: valor de una magnitud, asignado generalmente por un fabricante, para una condición de funcionamiento especificada de una máquina.  Potencia asignada: valor numérico de la potencia incluido en las características asig- nadas. Se incluyen también en esta sección de la Norma UNE otras magnitudes asignadas para máquinas rotativas, indicándose más adelante que estas magnitudes son atribuidas por el fabricante, el cual debe elegir una de las clases asignadas según el tipo de servicio, y que en muchos casos suele ser el correspondiente al tipo continuo máximo basado en el servicio S1 (servicio continuo). De este modo la potencia asignada es un valor que señala libremente el fabricante en función de la clase de servicio a que se destine la máquina sin que se produzcan calentamientos inadmisibles para la vida de los aislantes; por ejemplo, para un motor que vaya a funcionar en servicio continuo el fabricante le puede asignar una potencia de 11 kW, pero si va a funcionar en régimen temporal con grandes períodos de reposo puede asignarle una potencia superior como por ejemplo 15 kW, teniendo en cuenta que los calentamientos previstos van a ser menores. La Norma UNE indicada señala también que las características asignadas de una máquina eléctrica se deben marcar en la placa de características. En definiti- va, la potencia asignada es un concepto más versátil que el antiguo de potencia nominal (aunque en alguna parte de este libro se tomen como sinónimos debido a que la potencia asignada se marca o nomina en la placa de características) y representa la potencia que puede desarrollar una máquina, cuando las restantes condiciones son las asignadas, sin que aparez- can calentamientos en sus diversos órganos que alcancen o sobrepasen las correspondientes temperaturas límites expuestas en el apartado anterior y que dependen de la clase de servicio. Se observa de esta definición que la potencia asignada está estrechamente vinculada al pro- blema del calentamiento de sus diversas partes constitutivas y en consecuencia a los aislantes que intervienen en su elaboración. En el epígrafe 8 de la Norma UNE EN 60034-1: 2005. Parte 1 se definen además las potencias asignadas de la forma siguiente: a) En generadores de c.c.: la potencia asignada es la potencia eléctrica en los bornes, y debe expresarse en vatios (W). b) En generadores de c.a.: la potencia asignada es la potencia eléctrica aparente en los bornes, y debe expresarse en voltio-amperios (VA) junto con la indicación del factor de potencia. El f.d.p. asignado para los generadores síncronos debe ser 0,8 sobreexci- tado, salvo especificación contraria. c) En motores: la potencia asignada es la potencia mecánica disponible en el eje, y debe expresarse en vatios (W). d) En transformadores: la potencia asignada es la potencia eléctrica aparente en bor- nes del primario o del secundario y debe expresarse en voltamperios (VA). (Norma UNE 20-101.) De acuerdo con la Sección 10 de la Norma UNE EN 60034-1:2005, todas las máquinas eléctricas deben estar provistas de una o varias placas de características en las que deben Principios generales de las máquinas eléctricas 115 marcarse de forma indeleble los puntos aplicables de la lista siguiente: 1) Nombre o marca del constructor. 2) Número de serie del fabricante o marca de fabricación. 3) Información para identificar el año de fabricación. 4) Código del fabricante para la máquina. 5) Para las máqui- nas de c.a., el número de fases. 6) Número(s) de las normas aplicables para las características asignadas y las características de funcionamiento. Si se indica 34, quiere decir que se cum- plen todas las normas de la serie 34 de la CEI que sean pertinentes. 7) Grado de protección proporcionada por las envolventes (Código IP) de acuerdo con CEI 34-5. 8) Clasificación térmica o el calentamiento admisible. 9) Clase(s) de características asignadas y el(los) servi- cio(s) tipo(s) si la máquina está diseñada para características asignadas diferentes de las del tipo continuo máximo, servicio tipo S1. 10) Potencia(s) asignada(s). 11) Tensión(es) asig- nadas(s) o gama de tensiones asignadas. 12) Para las máquinas de c.a., la frecuencia asignada o la gama de frecuencias asignadas. 13) Intensidad(es) asignada(s). 14) Velocidad(es) asigna- da(s). 15) Para las máquinas trifásicas de c.a. con más de tres puntos de conexión, instruccio- nes de conexión mediante un diagrama en forma de texto... 26) Para máquinas previstas para funcionar en un solo sentido de giro, el sentido de giro indicado por una flecha. En la Figura 2.18 se muestra a modo de ejemplo una placa de características típica de un motor asíncrono en el que se señalan las magnitudes asignadas más importantes. El grado de protección de envolventes señalado en el punto 7 de la relación anterior viene definido en las Normas UNE-EN 60034-5:2003 (Máquinas eléctricas rotativas. Parte 5: Gra- dos de protección proporcionados para el diseño integral de las máquinas eléctricas rotativas, código IP. Clasificación) y CEI 34-5:1991 y se expresa con las letras IP (Índice de Protec- ción) seguidas de tres números: el primero indica la protección contra objetos sólidos, el segundo la protección contra el agua y el tercero la protección contra choques mecánicos, de acuerdo con lo indicado en la Tabla 2.1. La clase de protección representa en definitiva las características de la envolvente de la máquina con vistas a: 1.o Proteger a las personas contra el peligro de tocar directamente partes móviles o que estén en contacto con partes bajo tensión. Es lo que se denomina protección contra contactos directos. 2.o Proteger la máquina contra la entrada de cuerpos sólidos y líquidos desde el medio ambiente exterior. 3.o Proteger la máquina contra choques mecánicos (generalmente omitido). Se pueden obtener tantas clases de protección como combinaciones posibles nos da la tabla, aunque no todas esas posibilidades se realizan en la práctica (por ejemplo la protección Fabricante: Ibérica de Motores S.A. Tipo: Motor 3 Nº Serie:01224/M/00 Tensión: 400/230V Corriente: 29/50A Potencia: 15 kW F.d.p.: 0,90 Clase F Velocidad: 1440 rpm Frecuencia : 50Hz Protección: IP44 CEI 34 Año: 2008 Figura 2.18. Placa de características de un motor eléctrico. 116 Máquinas eléctricas Tabla 2.1. Dígitos para indicar la clase de protección CIFRA SIGNIFICADO 1.a CIFRA 2.a CIFRA 3.a CIFRA Protección contra contactos Protección contra la Protección contra los directos y cuerpos extraños penetración de líquidos choques mecánicos 0 Sin protección Sin protección Sin protección 1 Protección contra contactos di- Protección contra la Energía de choque: rectos casuales de grandes su- caída vertical de go- 0,225 julios. perficies, por ejemplo con la tas de agua. mano. Protección contra la pe- netración de cuerpos sólidos extraños de diámetro superior a 50 mm. 2 Protección contra contactos di- Protección contra la caí- rectos con los dedos. Protec- da de gotas de agua ción contra la penetración de inclinadas en cual- cuerpos sólidos extraños de quier ángulo hasta diámetro superior a 12 mm. 15° con la vertical. 3 Protección contra contactos di- Protección contra el Energía de choque: rectos de herramientas, hilos, rociado de agua en 0,5 julios. etc., mayores de 2,5 mm de un ángulo de hasta diámetro. Protección contra la 60° con la vertical. penetración de cuerpos sólidos extraños de diámetro superior a 2,5 mm. 4 Protección contra contactos direc- Protección contra la tos con herramientas, hilos, etc., proyección de agua mayores de 1 mm de diámetro. en todas las direc- Protección contra la penetración ciones. de cuerpos sólidos extraños de diámetro superior a 1 mm. 5 Protección total contra contactos Protección contra cho- Energía de choque: directos. Protección contra de- rros de agua en to- 2 julios. pósitos de polvo perjudiciales. das las direcciones. 6 Protección total contra contactos Protección contra inun- directos. Protección total con- daciones pasajeras. tra la penetración de polvo. 7 Protección contra los Energía de choque: efectos de inmersión. 6 julios. 8 Protección contra in- mersión prolongada. 9 Energía de choque: 20 julios Principios generales de las máquinas eléctricas 117 de las máquinas eléctricas contra choque mecánicos generalmente se omite). El tipo de pro- tección que se utiliza con mayor frecuencia en ingeniería civil es el IP 44, pero dependiendo de las condiciones en las que se prevea el trabajo de la máquina, el usuario deberá definir el grado IP que más se adapte a sus necesidades. Por ejemplo los grupos motobomba sumergi- dos en pozos para suministro de agua a poblaciones tienen una protección IP68. En el caso de cuadros generales y acometidas eléctricas de obras que son de tipo intemperie y de montaje provisional es aconsejable que sean de al menos IP55. Otro aspecto a considerar en las máquinas eléctricas es el concepto de servicio, y que se define como los períodos de funcionamiento en vacío y reposo a los que está sometida una máquina teniendo en cuenta su duración y secuencia en el tiempo. Las Normas UNE 20-113-7 y UNE-EN 60034-1:2005 definen diez clases de servicios (señalados con la letra S seguida de un dígito, del 1 al 10) y que significan: 1. Servicio continuo - Servicio tipo S1. Funcionamiento con carga constante y de una duración suficiente para que se establezca el equilibrio térmico. 2. Servicio temporal - Servicio tipo S2. Funcionamiento con carga constante durante un período de tiempo determinado, menor que el requerido para alcanzar el equi- librio térmico, seguido de un período de reposo suficiente para que la temperatura descienda hasta igualarse a la del fluido de refrigeración dentro de un margen de 2 K. 3. Servicio intermitente periódico - Servicio tipo S3. Sucesión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de funcionamiento con carga cons- tante y un período de reposo. En este servicio el ciclo es tal que la intensidad de arranque no influye de forma apreciable en el calentamiento. 4. Servicio intermitente periódico con arranque - Servicio tipo S4. Sucesión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de tiempo de arranque, un período de funcionamiento con carga constante y un período de re- poso. 5. Servicio intermitente periódico con frenado eléctrico - Servicio tipo S5. Suce- sión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de tiempo de arranque, un período de funcionamiento con carga constante, un período de fre- nado eléctrico rápido y un período de reposo. 6. Servicio ininterrumpido periódico con carga intermitente - Servicio tipo S6. Su- cesión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de funcio- namiento con carga constante y un período de vacío. No existe período de reposo. 7. Servicio ininterrumpido periódico con frenado eléctrico - Servicio tipo S7. Su- cesión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de arranque, un período de funcionamiento con carga constante y un período de frena- do eléctrico. No existe período de reposo. 8. Servicio ininterrumpido periódico con cambios de carga y de velocidad relacio- nados - Servicio tipo S8. Sucesión de ciclos de servicios idénticos, comprendiendo cada uno un período de funcionamiento con carga constante correspondiente a una velocidad de giro determinada, seguido de uno o varios períodos de funcionamiento con otras cargas constantes correspondientes a velocidades de giro diferentes (reali- zados, por ejemplo, por cambio del número de polos en el caso de motores de induc- ción). No existe período de reposo. 9. Servicio con variaciones no periódicas de carga y de velocidad - Servicio tipo S9. Servicio en el cual la carga y la velocidad tienen generalmente una variación no 118 Máquinas eléctricas periódica en el margen de funcionamiento admisible. Este servicio incluye frecuente- mente sobrecargas aplicadas que pueden ser ampliamente superiores a la plena carga. 10. Servicio con cargas constantes diferentes - Servicio tipo S10. Servicio que consiste en un máximo de cuatro valores diferentes de carga, cada uno de los cuales se mantie- ne un tiempo suficiente para permitir que la máquina alcance el equilibrio térmico. La carga máxima en un ciclo de servicio puede tener un valor cero (vacío o reposo). Finalmente, otro detalle a destacar en las máquinas son las formas constructivas externas. En España vienen definidas por la Norma UNE-EN 60034-7/A1-2003 (Máquinas eléctricas rotativas. Parte 7. Clasificación de los tipos de construcción, de las disposiciones de montaje y posición de caja de bornes, código IM). Existen dos códigos, el más simple utiliza una letra mayúscula B o V seguida de una o dos cifras, que sirven para definir la posición del eje: horizontal o vertical, si existe brida de sujeción o plato soporte, cojinetes, etc. Por otra parte, para reducir costes y permitir el intercambio de motores procedentes de distintos fabricantes, se ha llevado a cabo una normalización de las principales dimensiones mecánicas relativas al montaje de las máquinas: diámetro y longitud del eje, distancia entre patas, diámetro de la brida de anclaje, alturas de ejes, etc. 2.7. RENDIMIENTO Como ya se ha indicado en el apartado 2.5, en las máquinas eléctricas, como en cualquier otro dispositivo de transformación de la energía, existen unas pérdidas, de tal forma que solamente se entrega a la salida una parte de la energía absorbida en la entrada. El rendimiento se define como el cociente entre la potencia útil y la potencia absorbida o total, de acuerdo con la expresión: Potencia útil Pu g= = (2.15) Potencia total PT llamando Pp a la potencia perdida se verifica: PT = Pu + Pp (2.16) en consecuencia (2.15), toma la forma: Pu g= (2.17) Pu + Pp En el caso de un generador, la potencia útil es la potencia eléctrica entregada a la carga y en el caso de un motor es la potencia mecánica en el árbol de la máquina. La potencia perdida, teniendo en cuenta el apartado 2.5, es igual a: Pp = PFe + Pm + Pcu (2.18) que teniendo en cuenta (2.14) se puede poner: Pp = Pf + PV (2.19) donde Pf indica las pérdidas constantes de la máquina y PV las pérdidas variables con la carga. Las pérdidas variables son debidas a las pérdidas en el cobre, y en consecuencia son proporcionales a I 2. Como quiera además que la corriente es proporcional a la potencia apa- rente (S = VI), se podrá escribir: PV = bS 2 (2.20) Principios generales de las máquinas eléctricas 119 Teniendo en cuenta que Pu = VI cos r = S cos r, la expresión (2.17) se podrá escribir: S cos r S g= 2 = (2.21) S cos r + Pf + bS S + (Pf + bS 2)/cos r lo que indica que para una misma potencia aparente S, el rendimiento es tanto mejor cuanto mayor es el f.d.p. Si el f.d.p. es constante, (2.21) se podrá escribir denominando a al cos r, y resulta: aS g= (2.22) aS + Pf + bS 2 Se puede dibujar ahora la curva g = f (S), expresada por la ecuación anterior. Se observa que g = 0 para S = 0, y además la función tiene un máximo, definido por la condición: dg = 0 ú Pf = bS 2 (2.23) dS es decir, el rendimiento es máximo para una potencia aparente S tal, que coinciden para ese régimen las pérdidas fijas con las variables, esto es, las pérdidas en el cobre (pérdidas varia- bles) son iguales a la suma de las pérdidas mecánicas más las del hierro (pérdidas fijas). Se denomina índice de carga o factor de utilización: C, al cociente entre la potencia aparente útil S y la asignada SN , de tal forma que: S C= (2.24) SN El índice de carga es el óptimo cuando la potencia útil es la de máximo rendimiento, es decir: Sgmáx Copt = (2.25) SN pero teniendo en cuenta (2.23): Sgmáx = J Pf b (2.26) que al sustituir en (2.25) resulta: Copt = J J Pf bSN2 = Pérdidas fijas Pérdidas variables a la potencia nominal (2.27) En la Figura 2.19 se indica la función g = f (S), para un f.d.p. constante; se señala también a trazos la misma curva para un f.d.p. menor. Observando la variación del rendimiento con la potencia, se pueden deducir las siguientes consecuencias prácticas: a) Se debe evitar el funcionamiento con cargas reducidas, ya que el rendimiento sería pequeño. b) Se debe procurar que la máquina funcione con un índice de carga próximo al óptimo para obtener un mejor rendimiento. 120 Máquinas eléctricas η ηmáx cosϕ. cosϕ´<cosϕ Sηmax S Figura 2.19. Curvas de rendimiento en función de la potencia para diversos f.d.p. c) Se debe rechazar toda máquina cuya potencia asignada sea demasiado elevada res- pecto al servicio a que se destina, pues trabajaría con carga reducida y su rendi- miento sería pequeño. En consecuencia, para un mismo trabajo, la energía absorbi- da y pagada sería mayor.  Ejemplo de aplicación 2.1 Una máquina eléctrica de 40 kVA tiene unas pérdidas en el hierro de 750 W, las pérdidas en el cobre a plena carga o asignada son de 2.000 W y las pérdidas mecánicas son de 1.000 W. Calcular: a) Potencia aparente de máximo rendimiento. b) Pérdidas en el cobre en el caso anterior. c) Rendi- miento máximo para un f.d.p. unidad. d) Rendimiento a plena carga con f.d.p. 0,8. e) Rendimiento a media carga con f.d.p. 0,6. Solución a) El índice de carga óptimo de acuerdo con (2.27) es: C= J 750 + 1.000 2.000 = 0,9354 lo que indica una potencia aparente de máximo rendimiento, según (2.25): Sgmáx = 0,9354 · 40 = 37,41 kVA b) Cuando trabaja la máquina con máximo rendimiento, de acuerdo con (2.23) las pérdidas fijas y variables coinciden, es decir: PV = Pf = PFe + Pm = 750 + 1.000 = 1.750 W c) El rendimiento máximo será: Sgmáx cos r 37,41 · 1 g= = = 91,44 % Sgmáx cos r + 2Pf 37,41 · 1 + 2 · 1,75 d) A plena carga el rendimiento tendrá por expresión: SN cos r 40.000 · 0,8 g= = = 89,51 % SN cos r + Pf + PV 40.000 · 0,8 + 1.750 + 2.000 Principios generales de las máquinas eléctricas 121 e) A media carga, es decir, mitad de potencia, las pérdidas del cobre, de acuerdo con (2.20) se reducirán a la cuarta parte, esto es, serán de 500 W y el rendimiento valdrá: (SN /2) cos r 20.000 · 0,6 g= = = 84,21 % (SN /2) cos r + Pf + PV 20.000 · 0,6 + 1.750 + 500 2.8. F.M.M. Y CAMPO MAGNÉTICO EN EL ENTREHIERRO DE UNA MÁQUINA ELÉCTRICA El campo magnético en el entrehierro de una máquina eléctrica es el resultado de las f.m.m.s. combinadas de los devanados inductor e inducido que actúan en esa región. En principio, es el devanado inductor el que produce el campo en el entrehierro, creando f.e.m.s. en el devanado del inducido, que dan lugar a corrientes cuando se cierra el circuito por un sistema exterior (generador). Al circular una intensidad por el devanado del inducido, se crea una f.m.m. de reacción de inducido, que al combinarse con la f.m.m. del inductor origina, de acuerdo con la ley de Ampère, el campo magnético resultante en el entrehierro de la máquina. Teniendo en cuenta además que, de acuerdo con la ley de Faraday, la f.e.m. inducida es función de la inducción, se podrá comprender la importancia de la distribución del campo magnético en la forma de onda de la f.e.m. Se van a analizar en este apartado las formas de las f.m.m.s. y campos producidos por diferentes tipos de devanados para poder estudiar posteriormente las f.e.m.s. que se obtienen en el inducido y los pares electromagnéticos a que dan lugar. Con objeto de hacer más senci- llo el cálculo, para destacar más claramente los principios físicos involucrados, se supondrá una máquina rotativa cilíndrica, es decir, sin polos salientes tanto en el estátor como en el rotor, lo que representa la existencia de un entrehierro de espesor uniforme. Se admitirá asimismo que la permeabilidad del hierro es infinita, lo que da lugar a considerar que la reluctancia del hierro es despreciable, por lo que no se requiere ninguna f.m.m. para producir la inducción en esta parte del circuito magnético. Para simplificar las figuras se supondrá también que la máquina es bipolar, coincidiendo en este caso, de acuerdo con (2.1), el número de grados geométricos con los magnéticos. 2.8.1. Campo magnético y f.m.m. producida por un devanado concentrado de paso diametral Consideramos en primer lugar una bobina de N espiras representada por el esquema simplifi- cado de la Figura 2.20a. (Por motivos didácticos, se han alargado las cabezas de bobina para facilitar la visión de la misma. En la práctica constructiva real, estas cabezas se doblan adap- tando su recorrido a la periferia del estátor para no impedir así el movimiento del rotor). Se trata de determinar la forma de la distribución tanto del campo magnético como de la f.m.m. a lo largo del entrehierro. La bobina está recorrida por una corriente de i amperios, que en principio supondremos que es de c.c. En la Figura 2.20a se han representado las líneas de campo magnético que produce la bobina; estas líneas atraviesan radialmente el entrehierro y se cierran por los núcleos ferromag- néticos de estátor y rotor (campo solenoidal). El sentido de las líneas de inducción viene deter- minado por la regla de Ampère de la mano derecha y van de la cara izquierda a la cara derecha de la bobina. Debe destacarse que desde el punto de vista del entrehierro de la máquina, la parte 122 Máquinas eléctricas Líneas de inducción magnética N S N S i i Bobina con N espiras a) Campo magnético producido por b) Polos equivalentes producidos por una bobina de paso diametral una bobina de paso diametral Figura 2.20. Bobina de paso diametral y sentido del campo magnético que produce. izquierda del estátor se comporta como un polo norte, ya que las líneas de inducción magnética se dirigen del material ferromagnético del estátor al entrehierro pasando después al rotor, mien- tras que la parte derecha del estátor es un polo sur porque las líneas de inducción magnética pasan del entrehierro a la parte derecha del estátor. El retorno de las líneas de campo se realiza por el núcleo ferromagnético del estátor. En la Figura 2.20b se muestra el modelo magnético equivalente de la Figura 2.20a, en el que se representa un estátor con unos imanes imaginarios norte y sur que simulan el campo magnético equivalente de la bobina. En el esquema de la Figura 2.20 se ha considerado que la bobina tiene una anchura de 180° magnéticos, lo cual indica, para el caso de que la máquina tenga dos polos, que el paso de bobina es diametral*. En la Figura 2.21 se representa en la parte superior izquierda la sección transversal de la máquina de la Figura 2.20a, en la que se muestran las líneas de inducción B producidas por la bobina. A su derecha se ha dibujado un esquema desarrollado de la máquina al cortar el conjunto por la sección MMñ. El eje de la bobina se toma como referencia de posiciones angulares (h = 0). En la Figura 2.21b se han señalado el sentido de las líneas de inducción en el entrehierro (para dar claridad a la figura se ha evitado dibujar el cierre de las líneas de inducción magnética en el estátor y el rotor). Se han asignado los sentidos de las líneas de inducción en el entrehierro de la Figura 2.21b teniendo en cuenta la regla de la mano derecha; entre A y Añ aparece un polo sur, mientras que entre Añ y A se obtiene un polo norte, lo que está de acuerdo con el sentido dibujado en la Figura 2.21a. Para poder determinar la magnitud de la inducción en cada punto del entrehierro será nece- sario aplicar al circuito magnético de la Figura 2.21b la ley de Ampère en forma integral: 3 c H · dl = Ni (2.28) Para utilizar la ley anterior es preciso recordar que si se considera infinita la permeabili- dad del hierro tanto en el estátor como en el rotor, la diferencia de potencial magnético en * La denominación diametral se emplea también para definir bobinas cuya anchura sea de un paso polar (180° magnéti- cos) aunque la máquina tenga cualquier número de polos. También se utiliza la expresión de paso completo o polar. Principios generales de las máquinas eléctricas 123 Eje de la bobina 180º 1 a d h 2 e A A´ M A M N M´ S Eje de g M la bobina M´ b c g f M´ A´ θ b) Β(θ) a) μ 0 Ni onda de inducción 2g θ -180º -90º 0º +90º +180º c) F (θ) Ni onda de f.m.m. 2 θ -180º -90º 0º +90º +180º d) f) Primer armónico F (θ) N 4 Ni e) π 2 N S θ -180º -90º 0º +90º +180º S S Tercer armónico Quinto armónico Distribución de la Desarrollo en serie de Fourier de la f.m.m. f.m.m. senoidal Figura 2.21. Inducción y f.m.m. de una bobina y su desarrollo en serie de Fourier. estas zonas, definida por la ecuación (1.21) del capítulo anterior, será igual a cero, o de otro modo: la f.m.m. necesaria en la bobina para producir una inducción en el hierro es desprecia- ble. Por consiguiente, toda la f.m.m. aplicada a la bobina se requiere únicamente para crear el campo magnético en el entrehierro. El recinto c indicado en la ley de Ampère (2.28) puede ser cualquiera siempre que sea cerrado. Considérese, por ejemplo, que se ha elegido el circuito 1 (que coincide con una línea de inducción) de la Figura 2.21b; al aplicar (2.28) resultará: I I I I b c d a 3c H · dl = a H · dl + b(rotor) H · dl + c H · dl + d(estátor) H · dl = Ni (2.29) y teniendo en cuenta que la f.m.m. necesaria, tanto en el rotor como en el estátor, es igual a cero, se obtiene: I I b d H · dl + H · dl = Ni (2.30) a c EnfocusSoftware-CustomerSupport 124 Máquinas eléctricas Para deducir las ecuaciones (2.29) y (2.30) debe comprobar el lector que el circuito 1 de la Figura 2.21b se ha recorrido a izquierdas, por lo que son positivas las corrientes que atravie- san este circuito en sentido saliente al plano del papel. En nuestro caso, como existen N conductores llevando una corriente i cada uno en la ranura A, se obtiene un valor +Ni (ya que las corrientes «i» son salientes). Otro aspecto a considerar en la ecuación (2.30) es que en general, si no se elige el recinto de integración c aprovechando algún tipo de simetría del circuito magnético, no resulta inme- diato el cálculo de los campos H a lo largo del entrehierro. Por ejemplo, en el circuito 1 elegido, los campos H de «a» a «b» y de «c» a «d» pueden no ser iguales, por lo que en la ecuación (2.30) se tienen dos campos incógnitas, lo que haría necesario aplicar la ley de Ampère a un nuevo circuito para poder resolver el problema. Se hace necesario, por consiguiente, saber elegir el recinto de integración c de un modo más inteligente. Debe destacarse entonces el hecho de que cualquier máquina eléctrica rotati- va tiene simetría circular con un número par de polos, y es por ello que sea cual sea la distribución del devanado, el campo magnético en el entrehierro para un ángulo h tiene siem- pre la misma magnitud que el campo en h + 180° (magnéticos), pero de sentido opuesto; es decir, se cumple: H(h) = − H(h + n) (2.31) Es evidente, por tanto, que si se elige un recinto de integración con una anchura de 180°, se simplificará enormemente el problema. En la Figura 2.21b el recinto 2 se ha elegido cum- pliendo esta condición. Si se aplica a este circuito el teorema de Ampère resultará: I I f h H · dl + H · dl = Ni (2.32) e g pero teniendo en cuenta (2.31) dará lugar a: Ni H · g + H · g = Ni ú H = (2.33) 2g donde g representa el espesor del entrehierro. Es indudable la ventaja obtenida, ya que nos ha permitido obtener de un modo inmediato el campo en las zonas «ef» y «gh». Si se desea ahora determinar el campo en cualquier punto del entrehierro, lo más conveniente será tomar el circuito 2 e irlo trasladando hacia la izquierda o derecha para ir barriendo todos los puntos del entrehierro. En nuestro caso, en el que se dispone de una única bobina, no se obtiene informa- ción adicional alguna, ya que para cualquier posición del circuito 2 siempre se obtiene la misma ecuación (2.32). El campo es en consecuencia uniforme y su valor es el expresado en (2.33). El valor de la inducción en el entrehierro se obtiene de una forma inmediata, resultando ser: k0 Ni B = k0 H = (2.34) 2g En la Figura 2.21c se ha representado la distribución de la inducción B en el entrehierro en función de h. Es una onda rectangular cuya amplitud viene definida por (2.34) y que invierte su signo en los puntos donde se localizan los conductores. La onda es positiva en aquellas zonas en las que las líneas de campo se dirigen del rotor al estátor (polo sur), mientras que es negativa en la región en que las líneas de campo van del estátor al rotor (polo norte). En el estudio de las máquinas eléctricas resulta más interesante representar la distribución de la f.m.m. en el entrehierro que la onda de inducción, y esto es debido a que la onda de Principios generales de las máquinas eléctricas 125 f.m.m. (realmente la onda de tensión magnética en el entrehierro) es independiente del espe- sor de entrehierro. Otra ventaja adicional es que la f.m.m. es una función lineal de la corrien- te, por lo que puede aplicarse el principio de superposición a una combinación de f.m.m.s.; de hecho es la f.m.m. total la que origina la inducción resultante en el entrehierro. Sin embargo, debido a que la curva de imanación de un material magnético es no lineal, no puede aplicarse el principio de superposición a las inducciones. Es por ello que a partir de ahora en los ejemplos que se tratarán posteriormente únicamente se estudiará la distribución de la f.m.m. en el entrehierro. Para el caso que nos ocupa, se define como f.m.m. o tensión magnética en un punto del entrehierro de referencia angular h a: F (h) = I H · dl (2.35) El cálculo de la f.m.m. anterior se realiza de un modo similar al del campo magnético ya estudiado, ya que se cumple una relación similar a (2.31), es decir: F (h) = −F (h + n) (2.36) y eligiendo el circuito 2 de la Figura 2.21b, que tiene una anchura de 180°, y aplicando al mismo la ley de Ampère se obtiene la relación (2.32), y teniendo en cuenta (2.35), resulta: F (h) = −F (h + n) = Ni (2.37) pero de acuerdo con (2.36) se transforma en: Ni 2F (h) = Ni ú F (h) = (2.38) 2 El resultado (2.37) se obtiene teniendo en cuenta que al igual que las inducciones, se conside- ran como f.m.m.s. positivas las que van de rotor al estátor y negativas las que se dirigen de estátor al rotor. Moviendo el recinto de integración 2 se obtendrá el valor de F (h) en cual- quier punto del entrehierro. En la Figura 2.21d se ha dibujado la distribución de f.m.m., que es una onda rectangular de valor máximo Ni/ 2 y que es positiva entre −90° y +90° y negativa entre 90° y −90°. La onda de f.m.m. (y también la de inducción) es una función periódica que se puede descomponer en serie de Fourier. El lector puede demostrar que el desarrollo es de la forma: F (h) = F1 cos h + F3 cos 3h + ñ + Fh cos hh + ñ (2.39) donde los valores Fh vienen definidos por: I n/2 2 Fh = F (h) cos hh dh (2.40) n −n/2 y teniendo en cuenta el valor de F (h) expresado en (2.38), la integral anterior da lugar a: 4 1 Ni hn Fh = sen (2.41) nh 2 2 que al llevar a (2.39) nos da: C D 4 Ni 1 1 F (h) = cos h − cos 3h + cos 5h + ñ (2.42) n 2 3 5 126 Máquinas eléctricas En definitiva, la onda rectangular de f.m.m. es la suma de una onda fundamental sinusoi- dal que responde a la expresión: 4 Ni F (h)1 = cos h (2.43) n 2 y de armónicos impares cuya amplitud es 1/h veces el fundamental. En la Figura 2.21e se han representado las componentes: fundamental, tercero y quinto armónico de la onda de f.m.m. El dibujo está hecho a escala para que se aprecien claramente las relaciones entre las amplitu- des de las tres ondas. El lector puede comprobar además que la distribución espacial del armónico h tiene h máximos en un ciclo completo. Si se consideran despreciables los armóni- cos, entonces la distribución de f.m.m. se puede suponer que obedece a la expresión: 4 Ni F (h) = F (h)1 = cos h (2.44) n 2 que es una onda distribuida de forma sinusoidal en el entrehierro de la máquina y cuyo valor de pico está alineado con el eje magnético de la bobina. Esta f.m.m. producirá una inducción en el entrehierro de la misma forma, ya que de acuerdo con (2.35) resulta: F (h) H(h) = ; B(h) = k0 H(h) (2.45) g es decir: F (h) 4 Ni B(h) = k0 = k0 cos h (2.46) g n 2g que corresponde a la componente fundamental de inducción de la onda de la Figura 2.21c. En la Figura 2.21f se ha representado esta distribución sinusoidal de campo magnético en el entrehierro por unas componentes de líneas de fuerza que están más concentradas en el eje de la bobina y se van separando a medida que llegan a las posiciones de ±90° respecto del eje. Es una forma gráfica de hacer patente que el campo es mayor (está más concentrado) en la zona correspondiente al eje de la bobina. Para evitar la incomodidad de tener que dibujar la distri- bución de inducción o en general de f.m.m. de la forma mostrada en la Figura 2.21f se utiliza en Ingeniería Eléctrica el concepto de fasor espacial*. Es un concepto análogo en cierto modo al de los fasores temporales que se emplea con acierto en el estudio de los circuitos de c.a. Para mostrarlo de un modo gráfico, considérese la distribución de f.m.m. sinusoidal (2.44), que se puede escribir: 4 Ni F (h) = Fm cos h donde Fm = (2.47) n 2 En la Figura 2.22 se ha vuelto a dibujar en la parte izquierda el esquema de la Figu- ra 2.21f que representaba la onda de distribución espacial de f.m.m. definida en (2.47). Se observa que esta distribución queda definida completamente si se conoce su amplitud Fm y la posición espacial del máximo positivo de la onda (eje de la onda). Para esa información basta dibujar un segmento orientado apuntando hacia la región del espacio donde la onda presenta su máximo positivo y cuyo módulo sea igual a la amplitud de la onda. Este segmento orienta- do se ha dibujado en la parte derecha de la Figura 2.22 y representa el fasor espacial de la * El lector interesado en el tema de fasores espaciales puede consultar el libro Fundamentos de máquinas eléctri- cas rotativas, de Luis Serrano Iribarnegaray (Ed. Marcombo, Barcelona, 1989). Principios generales de las máquinas eléctricas 127 θ N S Fm Distribución de la Fasor espacial equivalente f.m.m. senoidal a la distribución senoidal Figura 2.22. Distribución sinusoidal de f.m.m. y fasor de f.m.m equivalente. f.m.m. señalada a la izquierda. En definitiva el fasor espacial corresponde en este caso a una onda estacionaria de f.m.m. cuya distribución espacial por la periferia del entrehierro la des- cribe la función cos h; su máximo coincide con el eje magnético de la bobina. Este modo de representar distribuciones sinusoidales de f.m.m.s. en el entrehierro es muy útil en la descrip- ción de los fenómenos magnéticos en las máquinas eléctricas. Si, partiendo de la ecuación (2.47), se supone que se alimenta la bobina con una corriente sinusoidal: i = Im cos ut, entonces la f.m.m. producida será: 4 NIm F (h, t) = cos ut cos h = [Fm cos ut] cos h (2.48) n 2 donde se ha denominado Fm a: 4 NIm Fm = (2.49) n 2 Para ver el significado de la expresión (2.48), en la Figura 2.23 se ha dibujado el fasor espacial F (h, t) en diferentes instantes de tiempo. En la parte superior de la figura se ha vuelto a representar la bobina en sección transversal. En la parte central se muestra la forma de la corriente alterna i = Im cos ut y en la parte inferior se observa el fasor espacial de f.m.m. A P θ i(t) Eje bobina i(t)=Im cosωt A´ A B Im Im Im/2 120º 150º 180º 210º 240º Im/2 ωt 0º 30º 60º 90º -Im/2 -Im/2 270º 300º 330º 360º -I m Fm Fm/2 Fm/2 Fm Fm/2 Fm/2 Fm Figura 2.23. F.m.m. producida por un devanado concentrado alimentado con c.a. EnfocusSoftware-CustomerSupport 128 Máquinas eléctricas en el entrehierro que está orientado con el eje de la bobina y cuya amplitud es proporcional al valor de la corriente en cada instante. Por ejemplo, si se considera el instante inicial (t = 0, ut = 0), la corriente es Im y el valor de la f.m.m. de acuerdo con (2.48), será igual al valor señalado en (2.49), que es una onda de f.m.m. de amplitud Fm y que está distribuida de forma sinusoidal por el entrehierro y cuyo fasor espacial correspondiente se muestra en el primer esquema de la parte inferior de la Figura 2.23. A medida que evoluciona el tiempo, la corriente que circula por la bobina sigue una distribución sinusoidal, lo que hace modificar la amplitud de f.m.m., por lo que el fasor correspondiente va cambiando su amplitud tal como se señala en la parte inferior de la Figu- ra 2.23. En definitiva, la onda de f.m.m. y su fasor espacial permanecen fijos en el espacio pero su amplitud varía de forma sinusoidal con el tiempo. Se dice entonces que la onda estacionaria de f.m.m. es alternativa o pulsante. 2.8.2. F.m.m. producida por un devanado distribuido En la práctica constructiva habitual de las máquinas eléctricas, con objeto de aprovechar toda la periferia tanto del estátor como del rotor, las bobinas se distribuyen en ranuras, lo que permite no solamente una utilización más óptima de la máquina sino también una mejora en la calidad de la onda de f.m.m. e inducción, que se traducirá en una f.e.m. inducida en las bobinas de carácter más sinusoidal. Para comprobar de un modo más fehaciente este hecho se va a considerar el esquema de la Figura 2.24, que representa un devanado constituido por tres bobinas de N espiras cada una llevando una corriente de i amperios (las bobinas están conec- tadas en serie). La determinación de la f.m.m. resultante se muestra en la Figura 2.25. En la Figura 2.25a se ha representado el esquema desarrollado de la máquina de la Figura 2.24. En la parte inferior derecha de la Figura 2.25 se han dibujado las ondas de f.m.m. de cada una de las bobinas, cuyos ejes no están alineados y que responden a lo estudiado en el epígrafe anterior. En la Figura 2.25b se ha obtenido la f.m.m. resultante aplicando simplemente el principio de superposición. Es una onda escalonada que obviamente se parece más a una senoide. Cada vez que se atraviesa una ranura se tiene un salto Ni/2 en la f.m.m. La obtención de la onda de f.m.m. puede hacerse también aplicando la ley de Ampère. En la Figura 2.25a se ilustra el procedimiento. Se ha elegido un recinto de integración abcd de 180° magnéticos de anchura. Si denominamos F1 a la tensión magnética existente en el entrehierro en la zona correspon- diente a la línea ad, el valor correspondiente en cb será el mismo pero de sentido contrario A B C i C´ A´ B´ i Figura 2.24. Devanado distribuido y formado por tres bobinas. Principios generales de las máquinas eléctricas 129 Eje del devanado 180º A B C a a´ a´´ a´´´ b b´ b´´ b´´´ a) A B C A´ B´ C´ θ d d´ d´´ d´´´ c c´ c´´ c´´´ C´ A´ B´ θ F1 Armónico fundamental Ni F2 3 b) 2 θ F3 F4 FAA´ Ni/2 c) θ FBB´ Ni/2 θ d) FCC´ Ni/2 e) θ Figura 2.25. Distribución de f.m.m. producida por un devanado distribuido de tres bobinas. debido a la simetría del sistema y que se expresó mediante la ecuación (2.36). Si se aplica la ley de Ampère a este recinto resultará: 2F1 = Ni + Ni + Ni = 3Ni (2.50) es decir: Ni F1 = 3 (2.51) 2 Como ya se ha indicado en el epígrafe anterior, si se desea calcular las f.m.m.s. o tensio- nes magnéticas en el entrehierro en otros puntos, se deberá hacer un barrido con el recinto de integración, y así resulta: Ni Contorno añbñcñdñ: 2F2 = 2Ni − Ni = Ni ú F2 = + 2 Ni Contorno aññbññcññdññ: 2F3 = Ni − 2Ni = − Ni ú F3 = − (2.52) 2 Ni Contorno añññbñññcñññdñññ: 2F4 = − 3Ni ú F4 = − 3 2 130 Máquinas eléctricas En las expresiones anteriores se han considerado las tensiones magnéticas positivas en aquellas zonas en las que las líneas de campo magnético se dirigen del rotor al estátor. Como era de esperar, los resultados obtenidos son acordes con los logrados aplicando el principio de superposición. Un análisis de Fourier de la onda escalonada de la Figura 2.25b da como resultado para el fundamental de f.m.m., y que puede considerarse como aproximación de la onda real es- calonada, la expresión siguiente: 4 4 Ni F (h) = Kw 3Fm cos h = Kw 3 cos h (2.53) n n 2 El factor Kw tiene en cuenta el efecto de la distribución del devanado (en el epígrafe 2.9.2 se demostrará su valor aplicado al cálculo de f.e.m.s. de devanados distribuidos). La onda de f.m.m. sigue siendo una onda pulsatoria o estacionaria de amplitud constante y que se distri- buye de forma sinusoidal por el entrehierro. Si se alimenta el devanado con una corriente alterna i = Im cos ut el valor de la f.m.m. será de la forma: 4 3NIm F (h, t) = Fm cos ut cos h ; Fm = Kw (2.54) n 2 que es análoga a la expresada en (2.47). En general los devanados de las máquinas eléctricas están distribuidos en diferentes fases y polos. Si se considera una máquina de 2p polos y Nf espiras por fase distribuidas en varias bobinas, la f.m.m. resultante equivalente a (2.53) será: 4 Ni F (h) = Kw f cos h (2.55) n 2p Téngase en cuenta, para obtener este resultado, que si en cada fase hay b bobinas en serie por cada par de polos y es N el número de espiras que integran cada bobina, se podrá escribir: Nf Nf = b · N · p ú bN = (2.56) p En (2.53) b era igual a 3, por lo que se puede pasar de (2.53) a (2.55) simplemente sustituyendo 3N por Nf /p. 2.8.3. F.m.m. producida por un devanado trifásico. Campos giratorios. Teorema de Ferraris Vamos a estudiar ahora un caso que tiene una gran utilidad práctica en el funcionamiento de las máquinas eléctricas. Consideremos un sistema formado por tres devanados, colocados bien sea en el estátor o en el rotor, de tal forma que estén desfasados entre sí 120° eléctricos en el espacio, como se indica de una forma esquemática en la Figura 2.26. Se señalan tres grupos de bobinas cuyos principios son A, B, C (corrientes salientes del plano de la página) y sus finales son Añ, Bñ, Cñ (corrientes entrantes). Interesa calcular la f.m.m. que existe en un punto del entrehierro, determinado por el ángulo h, respecto al eje del devanado AAñ (fase a), debido a la contribución de los tres arrollamientos, al circular por ellos un sistema de corrientes trifásicas equilibradas, a saber: ia = Im cos ut ; ib = Im cos (ut − 120°) ; ic = Im cos (ut + 120°) (2.57) EnfocusSoftware-CustomerSupport Principios generales de las máquinas eléctricas 131 Eje bobina BB´ A θ C´ P B´ Estator trifásico Eje bobina AA´ C B Eje bobina CC´ A´ Figura 2.26. Tres devanados desfasados en el espacio 120° eléctricos. Suponiendo, como ya se ha indicado en los casos anteriores, que la distribución de la f.m.m. de cada devanado sea sinusoidal en el espacio [véanse expresiones (2.48) y (2.55)], cada devanado producirá una f.m.m. pulsatoria o alternativa orientada en su eje respectivo. Como quiera que los ejes magnéticos están desfasados 120° eléctricos en el espacio, las f.m.m.s. que producen cada devanado en el punto P del entrehierro serán: Fa = Fm cos ut cos h ; Fb = Fm cos (ut − 120°) cos (h − 120°) Fc = Fm cos (ut + 120°) cos (h + 120°) (2.58) Debe recalcarse que los devanados llevan corrientes desfasadas 120° en el tiempo y que los bobinados están desfasados 120° eléctricos en el espacio. En consecuencia la onda de f.m.m. resultante en el punto P será igual a la suma de las tres ondas pulsatorias anteriores: F (h, t) = Fa + Fb + Fc (2.59) F (h, t) = Fm [cos ut cos h + cos (ut − 120°) cos (h − 120°) + + cos (ut + 120°) cos (h + 120°)] (2.60a) Si se hace uso de la igualdad trigonométrica: 1 cos A cos B = [cos (A − B) + cos (A + B)] (2.60b) 2 la ecuación (2.59) se convierte en: 3 F F (h, t) = F cos (ut − h) + m [cos (ut + h) + 2 m 2 + cos (ut + h − 120°) + cos (ut + h + 120°)] (2.61) Los tres sumandos contenidos entre corchetes representan tres fasores simétricos desfasa- dos 120°, por lo que su resultante es nula. De este modo el resultado final es: 3 3 F (h, t) = Fm cos (ut − h) = Fm cos (ut − pa) (2.62) 2 2 que representa la f.m.m. resultante en el entrehierro. Obsérvese que en un mismo punto del espacio (a = constante) la f.m.m. varía en función del tiempo según una sinusoide de amplitud (3/2)Fm y en el mismo instante de tiempo (t = constante) está distribuida de forma sinusoidal en el entrehierro. En consecuencia (2.62) tiene el carácter de una onda que se mueve alrede- dor del entrehierro, es una f.m.m. giratoria. EnfocusSoftware-CustomerSupport 132 Máquinas eléctricas Para comprender el significado físico de esta f.m.m., en la parte superior de la Figura 2.27 se ha representado la evolución con el tiempo de las tres corrientes. En la parte inferior se ha efectuado la suma haciendo uso de los fasores espaciales, lo que representa una gran ventaja didáctica, ya que se hacen más visibles las componentes de las f.m.m.s. individuales. Para comprender el mensaje de la Figura 2.27 vamos a considerar dos tiempos de estudio de los seis representados. Para t = 0, es decir, ut = 0, los valores de las corrientes en las bobinas, de acuerdo con (2.57), son: ia = Im ; ib = Im cos (−120°) = −Im/2 ; ic = Im cos (+120°) = −Im /2 (2.63) Estos valores se pueden comprobar en las curvas de corrientes instantáneas de la parte superior de la Figura 2.27. De acuerdo con estos valores, se observa que en este tiempo t = 0, la f.m.m. Fa vale Fm y está orientada hacia el eje positivo de la fase a, mientras que las f.m.m.s. Fb y Fc valen −Fm /2 y por ser negativas están orientadas hacia los ejes negativos de las fases b y c. Se comprueba que el módulo de la suma de estos tres fasores es: AB F 3 Fm + 2 m cos 60° = Fm (2.64) 2 2 i(t) ia(t)=Imcosωt ib(t)=Imcos(ωt−120º) ic(t)=Imcos(ωt+120º) M N ia=ib=Im/2 ia=Im 0º 120º 180º 240º 300º 360º ωt 60º ib=ic=-Im/2 30º 90º 150º 210º 270º 330º ic=-Im 3 Fm A 2 A A A C´ Fc=Fm/2 B´ Fm B´ B´ B´ C´ C´ C´ Fm/2 Fm/2 Fm 3 Fm/2 3 Fm Fm/2 Fm Fa=Fm 2 Fm/2 2 Fb=Fm/2 Fm/2 B C B C B Fm C B C A´ A´ 3 A´ A´ Fm 2 θ=0º θ=120º θ=240º θ=360º 3 Fm A 2 A A C´ Fm B´ B´ B´ C´ Fm/2 C´ Fm/2 Fm/2 3 Fm Fm/2 Fm/2 2 Fm Fm/2 B B C B Fm C C A´ A´ A´ 3 Fm 2 θ=60º θ=180º θ=300º Figura 2.27. F.m.m. de un devanado trifásico alimentado con corrientes trifásicas. Principios generales de las máquinas eléctricas 133 El primer sumando de la ecuación representa el valor de la amplitud de Fa , mientras que el segundo evidencia la ley del paralelogramo para sumar Fb y Fc, que tienen una amplitud Fm /2 y forman 60° con la dirección de Fa. Evidentemente, la suma se orienta hacia el ángulo h = 0°. Si se pasa al instante t = T/6, es decir, ut = 60°, los valores de las corrientes son ahora: Im ia = ib = ; ic = − Im (2.65) 2 Es por ello que las ondas de f.m.m. de las fases a y b son positivas (se orientan en el sentido positivo del eje de sus bobinas) y tienen una amplitud Fm /2, mientras que la f.m.m. de la fase c, de acuerdo con (2.65), será negativa y de magnitud Fm . Tal situación se ha plasmado en el segundo esquema de la parte inferior de la Figura 2.27. Se observa que la suma sigue siendo 3Fm /2 pero que el máximo de la onda se produce ahora en h = 60°, valor que coincide con el lapso de tiempo transcurrido de T/6 segundos (es decir, ut = 60°). En la Figura 2.27 se ha representado un ciclo completo de las corrientes en el tiempo y se observa gráficamente que corresponde a un ciclo completo de rotación del fasor de f.m.m. resultante. Es interesante destacar en esta figura que el valor máximo de la f.m.m. resultante coincide con el eje del devanado que está llevando en ese momento la corriente máxima o de pico (sea ésta positiva o negativa). Se dice entonces que se ha producido un campo magnéti- co giratorio que presenta dos características fundamentales: 1) tiene una amplitud constan- te, y 2) gira a velocidad constante. Si la máquina es bipolar, que es el caso representado en la Figura 2.27, se observa que una variación de 360° eléctricos en el tiempo corresponde a un giro de 360° magnéticos en el espacio. Como quiera que para una máquina bipolar coinciden los grados magnéticos con los geométricos o mecánicos, cada ciclo de variación de la corriente provoca una revolución completa de la f.m.m. Si se realiza el devanado para cuatro polos, entonces serán necesarios dos ciclos de variación de la corriente para obtener una revolución en la f.m.m. En general, si la máquina tiene 2p polos la velocidad de giro del fasor espacial de f.m.m. será: u L= (2.66) p y como quiera que si se denomina n a la velocidad de giro de la f.m.m. en r.p.m. y f a la frecuencia de las corrientes se cumple: n L = 2n ; u = 2nf (2.67) 60 al sustituir en (2.66) resultará: 60f n= (2.68) p que se denomina velocidad de sincronismo del campo giratorio y que es función directa de la frecuencia y función inversa del número de pares de polos de la máquina. Existe una forma alternativa (más analítica) para demostrar que la onda de f.m.m. expre- sada en (2.62) es giratoria. Como quiera que la ecuación de la f.m.m. producida por un devanado trifásico es: 3 F (h, t) = F cos (ut − h) (2.69) 2 m 134 Máquinas eléctricas al considerar un observador que viaje con la onda en un punto de fase constante h0, que para ser más concretos puede ser incluso la cresta de la onda, en la que se cumple h0 = 0, la posición de tal observador viene definida por la condición: ut − h = h0 = 0 ú F (h, t) = (3/2)Fm (cresta de la onda) ; h = ut (2.70) lo que significa que el punto álgido de la onda en la que se encuentra el observador se desplaza alrededor de la circunferencia del entrehierro, ya que su posición h depende del tiempo*. La velocidad de la onda se puede obtener derivando la última expresión (2.70) respecto del tiempo, y así resulta: dh =u (2.71) dt Como quiera además que según (2.1) el ángulo magnético h = pa, siendo a el ángulo geométrico o mecánico, resultará: da u−p =0 (2.72) dt pero como quiera que la derivada de la ecuación anterior representa la velocidad angular mecánica de movimiento L de la onda se tendrá: da u L= = (2.73) dt p y teniendo en cuenta (2.67) se obtiene una velocidad en r.p.m.: 60f n= (2.74) p que es el mismo valor que se calculó en (2.68). Si se considera el caso de España, donde la frecuencia es de 50 Hz, las velocidades de sincronismo que se obtienen según sea el número de polos (2, 4, 6, 8, etc.) son 3.000, 1.500, 1.000, 750, etc., respectivamente. El estudio anterior constituye la demostración del teorema de Ferraris, e indica la posi- bilidad de producir un campo magnético giratorio, a partir de un sistema de tres devanados fijos desfasados 120° eléctricos en el espacio, por los que se introducen corrientes desfasa- das 120° en el tiempo. (Obsérvese la coincidencia de los grados de desfase tanto en el espacio como en el tiempo.) El teorema es válido y se puede generalizar para un sistema de m arrollamientos desfasa- dos en el espacio 2p /m radianes eléctricos, por los que circulan corrientes desfasadas 2p /m radianes en el tiempo. El resultado que se obtiene, equivalente a (2.62), es ahora: m F (h, t) = F cos (ut − h) (2.75) 2 m * Para mayor claridad y a modo de comparación: es como cuando un windsurfista se monta con su tabla en la cresta de una ola del mar: la ola (onda) se mueve hacia la playa, sin embargo el windsurfista (si es lo suficientemente hábil) varía su posición absoluta respecto de la playa, pero conservando su situación encima de la cresta de la ola, es decir, sobre el mismo punto de ella. Principios generales de las máquinas eléctricas 135 Para el caso particular de sistemas bifásicos, se dispone de dos devanados a 90° eléctricos en el espacio con corrientes desfasadas 90° en el tiempo. El resultado (2.75) es válido hacien- do m = 2. Es muy importante que el lector asimile con profundidad el teorema de Ferraris, ya que es la base del funcionamiento de las máquinas eléctricas de c.a. Es indudable que el resultado es sorprendente: con tres devanados que cada uno de ellos produce un campo alternativo se ha logrado, al combinarlos adecuadamente en el espacio y con corrientes apropiadas en el tiempo, un campo magnético de amplitud constante (circular) y que es giratorio, o de otro modo, el fenómeno es equivalente en cierta manera a un imán permanente que se moviera a la velocidad de sincronismo. Otro aspecto a destacar en este teorema es que el sentido del campo giratorio puede invertirse, si se permutan entre sí las corrientes de dos cualesquiera de las fases que constitu- yen el sistema trifásico. Por ejemplo, si en el caso de la Figura 2.26 se intercambian las corrientes de los devanados b y c expresadas en (2.57) se tendrá ahora: ia = Im cos ut ; ib = Im cos (ut + 120°) ; ic = Im cos (ut − 120°) (2.76) y operando de un modo similar al demostrado anteriormente se obtiene una f.m.m. total análoga a (2.62) y que obedece a la ecuación: 3 3 F (h, t) = Fm cos (ut + h) = Fm cos (ut + pa) (2.77) 2 2 que representa un campo magnético giratorio de amplitud constante 3Fm /2 y que gira a una velocidad: da u 60f L=− =− ; n=− (2.78) dt p p es decir, de sentido contrario al original y de la misma magnitud.  COMENTARIOS PRÁCTICOS En un laboratorio de Electrotecnia se puede comprobar fácilmente la existencia del campo giratorio de una forma muy simple si se dispone de un motor asíncrono trifásico. Para ello debe desmontarse el motor y separar el rotor del estátor. Se introduce a continuación una bola de acero (por ejemplo, de un viejo cojinete) dentro del estátor y se aplica a éste una tensión trifásica alterna regulable mediante un autotransformador trifásico (la tensión aplicada debe ser del orden de 1/10 a 1/5 de la tensión asignada). Se observará que la bola empieza a rodar dentro de la periferia del estátor siguiendo al campo magnético giratorio que se forma. Al invertir dos fases de la alimentación, se comprobará que la bola rueda en sentido inverso. Este fenómeno, que suele causar un fuerte impacto a los estudiantes, se emplea en los talleres de reparación de devanados eléctricos para comprobar que el rebobinado se ha hecho correctamente. La bola de cojinete se puede sustituir por un bote metálico al que previamente se le ha incorporado un eje, y se comprobará que el bote gira arrastrado por el campo magnético giratorio. Éste es el principio de funcionamiento del motor asíncrono trifásico, que se estudia con detalle en el Capítulo 4. Nota adicional: Si se realiza la experiencia de la bola y a continuación la del bote, se observa que éste se mueve en sentido inverso al de la bola; esto se debe a que la bola rueda sobre la periferia del estátor, mientras que el bote gira sobre su eje. EnfocusSoftware-CustomerSupport 136 Máquinas eléctricas 2.8.4. Relación entre un campo alternativo y un campo giratorio. Teorema de Leblanc Una vez conocido el funcionamiento de un campo giratorio podemos dar una nueva interpre- tación al campo alternativo producido por una bobina. Si se parte de la expresión (2.47) de la f.m.m. producida por un devanado concentrado alimentado con corriente alterna: F (h, t) = Fm cos ut cos h = Fm cos ut cos pa (2.79) teniendo en cuenta la igualdad trigonométrica (2.60), la ecuación anterior se transforma en: Fm F F (h, t) = cos (ut − pa) + m cos (ut + pa) (2.80) 2 2 El primer sumando anterior, que es similar a (2.62), corresponde a una onda de f.m.m. rotativa de amplitud Fm /2 que gira en sentido directo (es decir, para el ángulo a positivo de la Figura 2.26 y que corresponde al contrario a las agujas del reloj) a velocidad angular L = + u/p (es decir, n = + 60f/p). El segundo sumando de (2.80) es una onda de f.m.m. rotativa de amplitud Fm /2 que gira en sentido inverso a velocidad angular L = − u/p (es decir, n = − 60f/p). En definitiva, la f.m.m. pulsatoria (2.79) producida por una bobina recorrida por c.a. puede representarse pos dos f.m.m.s. rotativas que giran en sentidos contrarios a velocidades: u 60f L=± ú n=± (2.81) p p La definición anterior constituye el teorema de Leblanc. El hecho de que la f.m.m. de un devanado monofásico excitado por c.a. se pueda descomponer en dos f.m.m.s. rotativas de sentidos contrarios es un paso conceptual importante para comprender el funcionamiento del motor de inducción monofásico, como el lector comprobará al estudiar el Capítulo 4.  AMPLÍE SUS CONOCIMIENTOS 1. F.m.m. producida por un devanado trifásico alimentado por corrientes desequilibradas. Campo giratorio elíptico Cuando el devanado trifásico mostrado en la Figura 2.26 está recorrido por corrientes desequili- bradas sinusoidales, la determinación de la f.m.m. resultante requiere el empleo de las compo- nentes simétricas. De acuerdo con el teorema de Fortescue, tres corrientes desiguales (en general tanto en magnitud como en fase) ia, ib e ic se pueden considerar como la superposición de tres sistemas trifásicos de corrientes equilibradas, denominados directo o de secuencia positiva, in- verso o de secuencia negativa y homopolar o de secuencia cero, de acuerdo con las expresiones siguientes: ia = Im(d) cos (ut + rd) + Im(i) cos (ut + ri) + Im(0) cos(ut + r0) ib = Im(d) cos (ut + rd − 120°) + Im(i) cos (ut + ri + 120°) + Im(0) cos (ut + r0) (1) ic = Im(d) cos (ut + rd + 120°) + Im(i) cos (ut + ri − 120°) + Im(0) cos (ut + r0) En la Figura 2.28 se muestra la composición fasorial correspondiente a las ecuaciones (1). Im(d) representa el valor máximo de la corriente de secuencia directa; Im(i) es el valor máximo de la corriente de secuencia inversa e Im(0) es el valor máximo de la corriente de secuencia homopolar. Principios generales de las máquinas eléctricas 137 Ia(d) ω Ia Ib(i) ω ϕd ϕ0 Ic(d) ϕi Ic Ib Ic(i) Ia(i) Ia(0)=Ib(0)=Ic(0) Sistema directo Sistema inverso Sistema homopolar Corrientes desequilibradas Ib(d) Ia(i) Ia(0) Ia(d) Ia Composición Composición Ic(i) Ic(d) Ic(0) Ic Ib Ib(d) Ib(0) Ib(i) Figura 2.28. Demostración gráfica del teorema de Fortescue. El sistema de corrientes de secuencia directa al pasar por las tres fases de un devanado trifásico, produce una f.m.m. resultante en un punto P del entrehierro (véase Figura 2.26) que forma h = pa grados eléctricos con el eje del devanado AAñ , que de acuerdo con la expresión (2.62) tiene un valor: Fd(h, t) = Fm(d) cos (ut + rd) cos pa + Fm(d) cos (ut + rd − 120°) cos (pa − 120°) + + Fm(d) cos (ut + rd + 120°) cos (pa + 120°) (2) y cuyo resultado es análogo al señalado en (2.62): 3 Fd (h, t) = Fm(d) cos (ut + rd − pa) (3) 2 Las expresiones de Fm(d) y de la velocidad del campo giratorio son: 4 Nf Im(d) 60f Fm(d) = Kw ; n=+ (4) n 2p p De un modo análogo el sistema de corrientes de secuencia inversa produce una f.m.m. resul- tante en el entrehierro de valor: 3 Fi (h, t) = Fm(i) cos (ut + ri + pa) (5) 2 La expresiones de Fm(d) y de la velocidad del campo giratorio son: 4 Nf Im(i) 60f Fm(i) = Kw ; n=− (6) n 2p p El sistema homopolar no produce ninguna f.m.m. resultante ya que se cumple: F0(h, t) = Fm(0) cos (ut + r0)[cos h + cos (h − 120°) + cos (h + 120°)] = 0 (7) EnfocusSoftware-CustomerSupport 138 Máquinas eléctricas Ya que la expresión entre corchetes representa la suma de tres fasores idénticos en magnitud pero desfasados 120° por lo que suma es cero. En definitiva la f.m.m. resultante o total se compone de una f.m.m directa (3) y otra inversa (5), es decir: 3 3 Ft (h, t) = Fm(d) cos (ut + rd − pa) + Fm(i) cos (ut + ri + pa) (8) 2 2 En la Figura 2.29 se muestra la suma fasorial correspondiente a ambas f.m.m.s. Para mayor claridad de la construcción se ha mostrado la evolución de los fasores espaciales de f.m.m. directa e inversa en seis períodos de tiempo separados T/6 segundos y que son: t = 0, T/6; T/3; T/2; 2T/3 y 5T/6, siendo T el período de la corriente sinusoidal aplicada. Obsérvese que en el caso de la f.m.m. directa el fasor gira en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj) a una velocidad angular u/p rad/s, que corresponde a una velocidad en r.p.m. n = 60f/p, mientras que la f.m.m inversa gira en sentido contrario a la misma velocidad. Los radios correspondientes a cada círculo representan los valores máximos señalados en la expresión (8). Se observa en la parte inferior de la Figura 2.29, en la que se ha realizado la suma de los fasores espaciales anteriores, que el lugar geométrico del fasor espacial de la f.m.m resultante es una elipse. Para facilitar la comprensión de este diagrama al lector, se ha especificado con detalle la suma de ambos fasores en el tiempo t = 0. Los puntos de la elipse A y Añ son aquéllos en los que los fasores directo e inverso coinciden en dirección y sentido y corresponden a los puntos del semie- je mayor de la elipse en los que la f.m.m. vale 3(Fm(d) + Fm(i))/2. Los puntos de la elipse B y B ñ son aquéllos en los que los fasores directo e inverso coinciden en dirección pero tienen sentido contrario y corresponden a los puntos del semieje menor de la elipse en los que la f.m.m. vale t=T/6 t=0 3Fm(d) / 2 Ω=ω/p t=2T/3 Ω=ω/p ϕd t=T/2 t=5T/6 t=T/3 t=5T/6 ϕi t=T/3 3Fm(i) / 2 t=0 t=T/6 F.m.m.s del sistema inverso Composición Composición t=T/2 t=2T/3 F.m.m.s del sistema directo eje Y´ eje Y 3Fm(i) / 2 B t=0 t=T/6 FX´ Ω=ω/p Fm(total) A´ eje X´ θtotal 3Fm(d) / 2 t=5T/6 θ=(ϕd−ϕi)/ 2 eje X -F m(i)) t=T/3 O 3 (F m(d) A t=2T/3 t=T/2 B´ ) +Fm(i) 3 (Fm(d) Figura 2.29. Campo elíptico producido por un sistemas de corrientes desequilibradas. EnfocusSoftware-CustomerSupport Principios generales de las máquinas eléctricas 139 3(Fm(d) - Fm(i))/2. En definitiva la ecuación de la elipse respecto de los ejes Xñ e Yñ viene expresa- da por: F2xñ F2yñ + =1 (9) C D C D 2 2 3 3 (Fm(d) + Fm(i)) (Fm(d) − Fm(i)) 2 2 El ángulo que forman los ejes OX y OX ñ es h=(rd − ri)/2. El afijo de la f.m.m resultante en el entrehierro se mueve con una velocidad media constante en sentido directo que es igual a u/p en rad/s, sin embargo la velocidad instantánea es variable, siendo máxima cuando la amplitud es mínima (puntos B y Bñ) y es mínima cuando la amplitud es máxima (puntos A y Añ). El lector puede comprobar lo anterior de una forma intuitiva, basta observar en la Figura 2.29 que entre t=0 y t =T/6 el recorrido angular es mayor que entre t=T/3 y t=T/2, es decir en el mismo espacio de tiempo el arco descrito por la f.m.m. resultante es mayor en el primer caso que en el segundo. 2. F.m.m. producida por un devanado bifásico Si se dispone de la máquina eléctrica mostrada en la Figura 2.30 que consiste en dos devana- dos desfasados 90° eléctricos en el espacio y alimentados por corrientes bifásicas, es decir: ia = Im cos ut ; ib = Im cos (ut − 90°) = Im sen ut (10) Las f.m.m.s que produce cada uno de los devanados anteriores en sus ejes respectivos son de la forma: Fa = Fm cos ut ; Fb = Fm sen ut (11) En la Figura 2.30 se muestra la composición vectorial de estas dos f.m.m.s y que dan lugar a una resultante o total: Ft = ∂Fa 2 + Fb 2 = ∂Fa2 cos2 ut + Fm2 sen2 ut = Fm (12) es decir la f.m.m. total tiene una amplitud constante y de valor Fm. El ángulo h = pa que esta resultante forma con el eje de abscisas (eje de la bobina AAñ), de acuerdo con el diagrama vectorial de la Figura 2.30, cumple la relación siguiente: Fb Fm sen ut tg h = = = tg ut (13) Fa Fm cos ut por lo que resulta: da u 60f h = pa = ut ú L= = ú n= (14) dt p p Eje bobina BB´ Fb Ft A P θ Estator bifásico Eje bobina AA´ B B´ Fa A´ Figura 2.30. Dos devanados desfasados en el espacio 90° eléctricos. 140 Máquinas eléctricas Es decir la f.m.m. resultante tiene amplitud constante y es rotativa moviéndose a la veloci- dad de sincronismo definida por la expresión (14). 3. F.m.m. producida por un devanado trifásico Si se dispone de la máquina eléctrica mostrada en la Figura 2.31 que consiste en tres devana- dos desfasados 120° eléctricos en el espacio y alimentados por corrientes trifásicas equilibradas, es decir: ia = Im cos ut ; ib = Im cos (ut − 120°) ; ic = Im cos (ut + 120°) (15) Eje bobina BB´ Eje Y Fb Fy Ft A P B´ Fx Fa C ´ 60º θ Eje X Estátor trifásico B 60º C Eje bobina AA´ Fc A´ Eje bobina CC´ Figura 2.31. Tres devanados desfasados en el espacio 120° eléctricos. Se puede calcular la f.m.m resultante por el mismo procedimiento geométrico que en el caso anterior y que es distinto al empleado en el desarrollo analítico utilizado en el epígrafe 2.8.3. Evidentemente las f.m.m.s que produce cada uno de los devanados anteriores en sus ejes res- pectivos son de la forma: Fa = Fm cos ut ; Fb = Fm cos (ut − 120°) ; Fc = Fm cos (ut + 120°) (16) Proyectando cada una de las f.m.m.s anteriores en los ejes cartesianos XY, resulta: Fx = Fa − Fb cos 60° − Fc cos 60° ; Fy = Fb sen 60° − Fc sen 60° (17) y que al operar da lugar a: 3 3 Fx = Fm cos ut ; Fx = Fm sen ut (18) 2 2 Por lo que la f.m.m resultante tiene un valor: 3 3 Ft = ∂Fx 2 + Fy 2 = ∂Fm2 cos2 ut + Fm2 sen2 ut = Fm (19) 2 2 es decir la f.m.m. resultante tiene una amplitud constante y de valor 3Fm/2. El ángulo h = pa que esta resultante forma con el eje de abscisas (eje de la bobina AAñ), de acuerdo con el diagrama vectorial de la Figura 2.31, cumple la relación siguiente: 3 Fm sen ut Fy 2 tg h = = = tg ut (20) Fx 3 Fm cos ut 2 Principios generales de las máquinas eléctricas 141 por lo que resulta: da u 60f h = pa = ut ú L= = ú n= (21) dt p p Es decir la f.m.m. resultante tiene amplitud constante y es rotativa moviéndose a la veloci- dad de sincronismo definida por la expresión (21). Estos resultados coinciden con lo demostrado por vía analítica en el epígrafe 2.8.3. 2.9. F.E.M. INDUCIDA EN UN DEVANADO DE UNA MÁQUINA ELÉCTRICA 2.9.1. Generalidades En los devanados de las máquinas eléctricas se inducen f.e.m.s. debidas a las variaciones del flujo enlazado por los arrollamientos. Estos cambios son el resultado de: a) La variación con el tiempo de la magnitud del flujo, lo que da lugar a la llamada f.e.m. de pulsación o de acción transformadora: ep . b) Del movimiento del circuito inducido, respecto del flujo, resultando una f.e.m. de rotación, velocidad o movimiento: er . c) De la combinación de los dos casos anteriores, apareciendo las f.e.m.s. ep y er . El cálculo de la f.e.m. se realiza en cada caso, aplicando la ley de Faraday, y para analizar este problema de generación se va a considerar el prototipo de máquina eléctrica que se indica en la Figura 2.32, constituido por un devanado inductor 1, y un arrollamiento inducido 2, que consiste en un bobinado de N2 espiras concentradas de paso diametral. Ambos devanados están situados en el estátor y en el rotor, respectivamente, girando éste a una velocidad L rad/s. Se van a considerar además las siguientes hipótesis: 1) El flujo inductor J1 varía de forma sinusoidal con el tiempo; para ello se introduce en el estátor una corriente alterna de frecuencia f1 y pulsación u1. 2) El flujo inductor se distribuye de forma sinusoidal por la periferia del entrehierro. Eje del rotor i1 θ = pα 1 2 Ω Red de c.a ω1 , f1 Inducido Eje del estátor Inductor i1 Figura 2.32. Máquina eléctrica elemental con dos devanados. 142 Máquinas eléctricas 3) El eje del devanado del rotor tiene una posición respecto del eje de flujo del estátor, definido por la expresión a = Lt, es decir, en t = 0 se tiene a = 0 (a es el número de grados geométricos L es la velocidad angular mecánica en rad/s). 4) El bobinado del inducido está en circuito abierto, para considerar únicamente el efec- to de generación de f.e.m.; la frecuencia de la señal obtenida se denominará f2, que corresponde a una pulsación u2. De acuerdo con las hipótesis anteriores, y teniendo en cuenta la expresión (2.47) de la onda de f.m.m. producida por un devanado concentrado, si para simplificar suponemos que la reluctancia del circuito magnético es constante, al aplicar la ley de Hopkinson se obtendrá una expresión para el flujo distribuido en el entrehierro similar a la de la f.m.m., es decir: J1 = Jm cos ut cos pa (2.82) donde Jm expresa el valor máximo de flujo. En consecuencia, la f.e.m. inducida será: dJ e2 = − N2 = N2u1Jm sen u1t cos pa + N2 pLJm cos u1t sen pa (2.83) dt El primer término del segundo miembro corresponde a la f.e.m. debida a la pulsación de flujo, mientras que el segundo término corresponde a la f.e.m. debida a la rotación del indu- cido. La expresión (2.83) se puede escribir de la siguiente manera: N2u1Jm e2 = [sen (u1 + pL)t + sen (u1 − pL)t] + 2 N2 pLJm + [sen (u1 + pL)t − sen (u1 − pL)t] (2.84) 2 expresión que responde a la forma general: N2Jm e2 = [(u1 + pL) sen (u1 + pL)t + (u1 − pL) sen (u1 − pL)t] (2.85) 2 La ecuación anterior indica que la f.e.m. inducida en el rotor, e2, contiene pulsaciones de valor u2 que responden a la expresión general: u2 = u1 ± pL (2.86) y teniendo en cuenta que: n u1 = 2nf1 ; u2 = 2nf2 ; L = 2n (2.87) 60 la expresión (2.86) se transforma en: np f2 = f1 ± (2.88) 60 ecuación muy importante que relaciona las frecuencias de los circuitos inductor e inducido con la velocidad del rotor y el número de polos. Esta expresión permitirá en el apartado 2.10 realizar una clasificación general de las máquinas eléctricas. Principios generales de las máquinas eléctricas 143 La ecuación general de la f.e.m. definida por (2.83) permite analizar los dos casos particu- lares siguientes: a) Inducido fijo. Flujo variable En este caso L = 0, ya que el devanado del rotor es estacionario, y de acuerdo con (2.83) la f.e.m. resultante, debida a la pulsación del flujo, será: e2 = N2 u1Jm sen u1t cos pa (2.89) esta situación corresponde a una máquina denominada regulador de inducción monofásico; existe un rotor cuya posición se puede variar respecto al estátor, y se observa que cuando pa = n/2 la f.e.m. resultante es nula, lo cual puede comprobarse en la Figura 2.32, ya que el rotor no abraza ningún flujo. También corresponde al caso del transformador para el cual pa = 0; es decir, todo el flujo producido por el inductor, que ahora se denomina primario, es abrazado por el induci- do, que recibe el nombre secundario. En el caso real, no es necesario recurrir a la disposición de la Figura 2.32, y ambos devanados están arrollados sobre el mismo núcleo magnético sin necesidad de entrehierros. La f.e.m. inducida tendrá una expresión instantánea definida por: e2 = N2 u1Jm sen u1t (2.90) que corresponde a la (2.89) cuando pa = 0. El valor eficaz de la f.e.m. será: N2 u1Jm E2 = (2.91) ∂2 que teniendo en cuenta (2.87) da lugar a: 2n E2 = N2 f1Jm = 4,44 N2 f1Jm (2.92) ∂2 expresión importante y que se empleará en el estudio de los transformadores. De acuerdo con (2.88) se observa que las frecuencias de las corrientes del inducido f2 coinciden con las del inductor f1, es decir, f2 = f1. b) Inducido móvil. Flujo constante En este caso u1 = 0, lo que indica que el devanado inductor está alimentado por una c.c.; de acuerdo con la expresión general (2.83), la f.e.m. resultante, debida al movimiento del inducido, será: e2 = N2 pLJm sen pa (2.93) y teniendo en cuenta que a = Lt es: e2 = N2 pLJm sen pLt (2.94) que expresa una f.e.m. de valor eficaz: N2pLJm E2 = (2.95) ∂2 y cuya pulsación vale: np u2 = pL ú f2 = (2.96) 60 144 Máquinas eléctricas que está de acuerdo con la ecuación general (2.88), que relaciona las frecuencias del inductor e inducido. Las máquinas que responden a estas consideraciones se denominan síncronas, y deben su nombre a que según (2.96) la frecuencia del inducido es proporcional a la velocidad del rotor (como ya se verá más tarde, las máquinas de c.c. pertenecen también a esta clasifica- ción, pero debido a la rectificación mecánica del colector de delgas, la expresión de la f.e.m. difiere de la expresada aquí). La expresión (2.95) de la f.e.m. para las máquinas síncronas puede tomar otra forma si se tiene en cuenta que L = 2nn/60, resultando: 2n pn pn E2 = N2Jm = 4,44 NJ (2.97) ∂2 60 60 2 m y teniendo en cuenta la identidad (2.96), resulta: E2 = 4,44 N2 f2Jm (2.98) En realidad las expresiones anteriores vienen afectadas por unos coeficientes que tienen en cuenta la forma real del flujo y la distribución del devanado, como se demostrará en el epígrafe 2.9.2.  Ejemplo de aplicación 2.2 Se tiene un transformador monofásico, constituido por dos devanados, primario y secundario, colo- cados en un núcleo magnético de sección uniforme S = 10 cm2, como indica la Figura 2.33. Los devanados primario y secundario tienen 400 y 639 espiras, respectivamente. El primario se conecta a una red de 127 V, 50 Hz. En el supuesto de despreciar la caída de tensión del primario, calcular: 1) Densidad de flujo máxima existente en el núcleo. 2) F.e.m. inducida en el secundario. E2 V1=127 voltios N1=400 espiras N2=693 espiras Figura 2.33. Solución 1. Al despreciar la caída de tensión en el devanado primario se cumple V1 = E1, y de acuerdo con la expresión (2.92) aplicada al primario, se cumplirá: V1 = E1 = 4,44 N2 f1Jm, de donde se deduce: 127 Jm = = 1,43 · 10−3 Wb 4,44 · 50 · 400 y como quiera que Jm = Bm . S, se tendrá: 1,43 · 10−3 B= = 1,43 Teslas 10 · 10−4 2. Al aplicar (2.92) al secundario se obtiene: E2 = 4,44 N2 f1Jm , que al sustituir valores, resulta: E2 = 4,44 · 693 · 50 · 1,43 · 10−3 = 220 V Principios generales de las máquinas eléctricas 145 *2.9.2. Factores que afectan a la f.e.m. inducida en un devanado En el epígrafe anterior se ha demostrado la expresión general de la f.e.m. que aparece en un devanado; el análisis ha partido de unas hipótesis que facilitaban el cálculo, pero que en la realidad no son correctas. Las máquinas eléctricas rotativas reales, a diferencia del prototipo de máquina indicado en la Figu- ra 2.32, muestran las siguientes diferencias: a) El flujo inductor no se reparte siempre de una forma sinusoidal por el entrehierro. b) El devanado no se encuentra concentrado, sino que está distribuido en ranuras a lo largo de la periferia de la máquina. c) Los arrollamientos no son siempre de paso diametral, sino que presentan acortamientos de paso, con objeto de mejorar la onda de f.e.m. inducida. Cada uno de estos inconvenientes que aparecen en las máquinas reales introduce un factor, por el cual la f.e.m. inducida, en la práctica, es menor que la calculada anteriormente. De acuerdo con las diferencias apuntadas aparecen los factores de reducción correspondientes, denominados: factor de for- ma, factor de distribución y factor de paso o acortamiento. Veamos el significado y cálculo de cada uno de ellos: 1. Factor de forma Este factor aparece debido a que el flujo no tiene una distribución sinusoidal en el entrehierro. Si se considera el prototipo de máquina de la Figura 2.32, en el supuesto de que el flujo inductor sea constante y de valor máximo Jm , aparecerá una f.e.m. cuyo valor medio vendrá expresado por: BJ Jm − (− Jm) Em = N2 = N2 = 4 N2 f2Jm (2.99) Bt T/2 donde T indica el tiempo que tarda en recorrer un ciclo magnético completo (en una máquina con 2p = 2 coincide con el tiempo de una revolución completa del rotor). El cálculo expresado en (2.99) se ha realizado observando el flujo que barre el inducido en un semiperíodo. Se observa que la expresión anterior no tiene en cuenta la forma de este flujo para calcular el valor medio de la f.e.m.; sin embargo, para calcular el valor eficaz de la misma deberá multiplicarse (2.99) por un coeficiente que sí tiene en cuenta esta forma de onda, que se denomina factor de forma y que se define como: valor eficaz Kf = (2.100) valor medio de este modo, teniendo en cuenta (2.99) y (2.100), la expresión de la f.e.m. eficaz inducida será: E = 4 Kf N2 f2 Jm (2.101) en el caso de que la onda de flujo se reparta de forma sinusoidal por el entrehierro, se cumplirá: C D 1 Bmáx ∂2 n Kf = = = 1,11 (2.102) C D 2 2∂2 Bmáx n donde se ha tenido en cuenta las expresiones del valor medio y eficaz de una onda alterna y que conoce el lector de un Curso de Teoría de Circuitos. En la práctica se consigue que la distribución sea sinusoidal aumentando la curvatura de los polos inductores frente a la superficie del inducido. En las máquinas con inductor cilíndrico se emplean técni- cas de distribución del devanado, como ya se ha indicado en el epígrafe 2.8.2. 146 Máquinas eléctricas 2. Factor de distribución En el epígrafe anterior se ha calculado la f.e.m. producida por un devanado concentrado y de paso diametral. En la práctica el arrollamiento está distribuido en ranuras a lo largo de toda la periferia de tal forma que las f.e.m.s. del bobinado van desfasadas y su suma no es aritmética sino vectorial. Si denominamos q al número de ranuras por polo y fase de la máquina, m al número de fases y 2p al número de polos, el número de ranuras de la máquina designado por K será: K = q m 2p (2.103) El ángulo geométrico entre dos ranuras consecutivas será: 360° c= (2.104) K que corresponde a un ángulo eléctrico pc. Supongamos que se trata de calcular la f.e.m. debida a las tres bobinas de la misma fase que se indican en la Figura 2.34, donde cada bobina tiene N espiras. Las f.e.m.s. de cada bobina serán iguales pero irán desfasadas en el tiempo, lo mismo que van en el espacio, resultando el diagrama fasorial de la Figura 2.35; el número de bobinas existentes es en general q y las f.e.m.s. parciales están representadas por vectores iguales Ebob = YABY = YBCY = YCDY. Todos los extremos de los vectores que representan las f.e.m.s. se encuentran situados sobre una circunferencia de radio genérico R. La f.e.m. resultante Ef debida a todo el devanado está representada por el vector AD y su magnitud es: qpc Ef = YADY = 2YQDY = 2R sen (2.105) 2 Si se llega a considerar que el devanado está concentrado, la f.e.m. teórica hubiera sido: pc Et = qEbobina = qYABY = q2YAPY = 2qR sen (2.106) 2 El coeficiente o factor de distribución se define como cociente de la f.e.m. geométrica Ef y la teórica Et , y se designa con el símbolo Kd , resultando: qpc sen Ef 2 Kd = = (2.107) Et pc q · sen 2 pγ B C A A´ Ef C´ B´ Figura 2.34. Devanado distribuido de tres bobinas por fase. Principios generales de las máquinas eléctricas 147 D O qpγ 2 Q C R pγ 2 P A B Figura 2.35. Composición geométrica o fasorial de f.e.m.s. En consecuencia, y de acuerdo con la fórmula anterior, la f.e.m. producida por un devanado distri- buido se podrá calcular como si estuviera concentrado, como ya se hizo en el epígrafe anterior, y el resultado habrá que multiplicarlo por Kd para obtener la f.e.m. real, que tiene en cuenta la diferencia de fase entre las f.e.m.s. parciales de cada bobina. Si el número de ranuras es muy elevado puede considerarse que forman un arco continuo; si se denomina ct = qc el ángulo geométrico total que abarca todo el bobinado, se tendrá: pct pct sen sen 2 2 Kd = lím = (2.108) qn£ pct pct q · sen 2q 2 que puede obtenerse también como cociente de la cuerda al arco que subtiende (devanado uniforme- mente distribuido). Para una máquina trifásica se cumple: pct = n/3, y en consecuencia el coeficiente de distribución valdrá: n sen 6 Kd = = 0,955 n 6 y para una máquina de c.c. se tiene: pct = n, y en consecuencia: pct sen 2 2 Kd = = = 0,637 n n 2 3. Factor de paso o acortamiento Los devanados reales tienen un paso acortado en vez de un paso diametral, ya que de esta forma se eliminan armónicos. Para una bobina de paso diametral le corresponde una anchura de 180° eléctricos, lo cual quiere decir que si una rama está situada frente a un polo norte, (véase rama A de la Fig. 2.36a), la otra parte de la bobina está situada frente al polo sur (rama Aññ). En el caso de la Figura 2.36a, si una rama de la bobina está situada en A y la otra en Añ se ha acortado el paso en un ángulo pa eléctrico. Si se 148 Máquinas eléctricas A´ R Ebobina pα Er S pα N S pα/2 A´´ P Er Q A a) Disposición de una bobina de paso acortado b) F.e.m. de una bobina de paso acortado Figura 2.36. Bobina con paso acortado. denomina Er la f.e.m. de cada rama, la f.e.m. real de la bobina vendrá expresada por la suma vectorial indicada en la Figura 2.36b, cuyo valor es: pa Ebob = |PR| = 2YPSY = 2Er cos (2.109) 2 Si las f.e.m.s. llegan a sumarse aritméticamente, que es lo que sucede con las bobinas de paso diametral, se obtendrá una f.e.m. teórica Et dada por: Et = 2Er (2.110) El factor de acortamiento Ka define el cociente: Ebob pa Ka = = cos (2.111) Et 2 En consecuencia, y teniendo en cuenta todos los coeficientes de devanado: distribución y paso y el de forma, la f.e.m. de un devanado en su forma más general posible, teniendo en cuenta (2.101), (2.107) y (2.111), será: E = 4 Kf Kd Ka N2 f2 Jm (2.112) En el caso particular de distribución sinusoidal de flujo en el entrehierro, Kf = 1,11, resultando: E = 4,44 Kd Ka N2 f2 Jm (2.113) En consecuencia, las expresiones demostradas en el epígrafe 2.9.1 deberán aplicarse multiplicadas por el factor de devanado Kw = Kd Ka , para tener en cuenta la distribución y acortamiento del mismo. Las expresiones (2.107) y (2.111) pueden utilizarse para calcular las f.e.m.s. debidas a los armónicos de f.m.m., de tal forma que si h es el orden de un armónico los coeficientes Kd y Ka vienen expresados por: qhpc sen 2 pha Kd = ; Ka = cos (2.114) hpc 2 q · sen 2 ya que para un armónico de orden h, el ángulo es h veces mayor. Esta afirmación es fácil de comprender si se observa el gráfico de la Figura 2.21e, en el que se mostraban las f.m.m.s. fundamental, de tercero y quinto armónico que aparecían en el entrehierro para el caso de un devanado concentrado. Se advierte que mientras la onda fundamental cubre un ciclo en 360° eléctricos, en el mismo espacio el tercer armónico da tres ciclos exactos. O de otro modo, un ángulo eléctrico de 360° para la onda fundamental es observado como un ángulo de 3.360 = 1.080° para el tercer armónico y de 5.360 = 1.800° para el quinto armónico. De este modo un ángulo de u grados para el fundamental es interpretado como un ángulo hu para el armónico de orden h. Principios generales de las máquinas eléctricas 149  Ejemplo de aplicación 2.3 Una máquina eléctrica tiene un devanado trifásico distribuido en 36 ranuras. Cada bobina está acortada un ángulo de 30° eléctricos y está formada por 40 espiras, devanadas en una sola capa. La máquina tiene 4 polos y gira a una velocidad de 1.500 r.p.m. El flujo por polo es de 0,2 Wb y está distribuido de forma sinusoidal por el entrehierro. Calcular la f.e.m. inducida por fase. Solución La f.e.m. vendrá expresada por: E = 4,44 Kd Ka f2 N2 Jm; N2 es el número de espiras por fase, cuyo valor es: 36 · 40 N2 = = 240 espiras/fase 2·3 La frecuencia f2 vale: np 1.500 · 2 f2 = = = 50 Hz 60 60 El coeficiente de distribución es: qpc sen 2 Kd = pc q · sen 2 El ángulo geométrico entre dos ranuras es: 360° c= = 10° 36 y el número de ranuras por polo y fase es: K 36 q= = =3 2pm 4·3 en consecuencia: 3 · 2 · 10 sen 2 Kd = = 0,960 2 · 10 3 sen 2 el coeficiente de acortamiento será: pa Ka = cos = cos 15° = 0,966 2 y la f.e.m. por fase tendrá una magnitud: E = 4,44 · 0,960 · 0,966 · 50 · 240 · 0,2 = 9.882 voltios 150 Máquinas eléctricas * 2.9.3. Armónicos de f.e.m.: origen y eliminación Al estudiar en los epígrafes 2.8.1. y 2.8.2. la distribución de f.m.m. producida por un devanado, bien sea concentrado o distribuido, se demostró (véanse Figs. 2.21 y 2.25) que la f.m.m. no era sinusoidal y que por tanto contenía armónicos. Se demostró asimismo (véase ecuación 2.41) que debido a la simetría del circuito magnético solamente se producían armónicos impares. Las f.m.m.s. combinadas de inductor e inducido dan lugar a la inducción en el entrehierro y que a su vez es el origen de las f.e.m.s inducidas en la máquina. En definitiva, lo que sucede es que los diferentes armónicos presentes en la onda de f.m.m. estarán presentes (en principio) en la f.e.m. inducida de la máquina. Si como es evidente se desea conseguir un tipo de onda de forma sinusoidal, será necesario proceder a la eliminación de los armóni- cos. Desgraciadamente, una anulación total es imposible, pero dado que de acuerdo con (2.40) y (2.41) las amplitudes de los armónicos son inversamente proporcionales a su orden, es decir, el armónico tercero tiene una amplitud 1/3 del fundamental, el armónico quinto tienen una amplitud 1/5 del funda- mental, etc., con llegar a anular hasta el quinto o séptimo armónico se habrá conseguido una onda prácticamente sinusoidal. Para comprender el proceso de eliminación de armónicos se va a considerar que se dispone de una máquina con inducido trifásico (por ejemplo, una máquina síncrona o alternador), vamos a prestar atención primero a las f.e.m.s. de tercer armónico. Si las f.e.m.s. de primer armónico o fundamental de cada una de las fases son de la forma: ea1 = E1m cos ut ; eb1 = E1m cos (ut − 120°) ; ec1 = E1m cos (ut + 120°) (2.115) y las f.e.m.s. de tercer armónico son: ea3 = E3m cos 3ut ; eb3 = E3m cos (3ut − 3 · 120°) = E3m cos 3ut ec3 = E3m cos (3ut + 3 · 120°) = E3m cos 3ut (2.116) para comprender las expresiones anteriores hay que tener en cuenta que un ángulo eléctrico h para el primer armónico corresponde a un ángulo eléctrico hh para el armónico de orden h. Se observa en (2.116) que las f.e.m.s. de tercer armónico inducidas en las tres fases son iguales en módulo y fase. Si los devanados se conectan en estrella (véase Fig. 2.37a), y se denomina E3 al fasor de f.e.m. de tercer armónico, que teniendo en cuenta (2.116) es la misma para las tres fases, las tensiones compuestas de tercer armónico serán: Eab3 = Ea3 − Eb3 = E3 − E3 = 0 ; Ebc3 = Eb3 − Ec3 = E3 − E3 = 0 Eca3 = Ec3 − Ea3 = E3 − E3 = 0 (2.117) que nos indica que aunque las tensiones de tercer armónico están presentes en cada una de las fases, no aparecerán en los terminales de la máquina. En la Figura 2.37, Z3 representa la impedancia de cada fase a las corrientes de tercer armónico. a a Ea3 Z3 Ea3 Z3 Z3 Ec3 Z3 Ec3 Eb3 Z3 Z3 c Eb3 b c b a) Conexión estrella b) Conexión triángulo Figura 2.37. Tercer armónico en conexiones estrella y triángulo. Principios generales de las máquinas eléctricas 151 Si se considera ahora que los devanados se conectan en triángulo (Fig. 2.37b), aun funcionando la máquina en vacío, es decir, sin conectar una carga entre los terminales, se obtendrá una corriente de circulación de tercer armónico en los bobinados de la máquina, de valor: 3E3 E3 I3 = = (2.118) 3Z3 Z3 y las tensiones de tercer armónico que aparecerán entre los terminales externos serán: Eab3 = E3 − Z3I3 = 0 ; Ebc3 = E3 − Z3I3 = 0 ; Eca3 = E3 − Z3I3 = 0 (2.119) En consecuencia, independientemente de que los devanados se conecten en estrella o triángulo, no aparecerán tensiones de tercer armónico en los terminales de línea. El mismo resultado se obtiene para todos los armónicos múltiplos de 3 tales como el 9, 15, 21, etc., (no se han incluido en esta relación los armónicos pares múltiplos de 3, que como ya sabemos, por razones de simetría no existen). General- mente los alternadores de las centrales eléctricas se conectan en estrella para evitar la circulación de corriente de tercer armónico que estarían presentes si los devanados se conectaran en triángulo. En resumen, los armónicos presentes en la f.e.m. de una máquina trifásica son: h = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, etc. (2.120) Si se desean eliminar más armónicos, será preciso recurrir, como se ha explicado en el epígra- fe 2.9.2, al acortamiento y distribución de las bobinas. En las ecuaciones (2.114) se dan las expresiones de los coeficientes de acortamiento y distribución en función del orden del armónico. Si se desea elimi- nar el quinto armónico actuando sobre el acortamiento de las bobinas será necesario proceder a acortar las bobinas 1/5 del paso polar; es decir, según la Figura 2.36, se tomará: 1 pa = 180° = 36° (2.121) 5 En esta situación, de acuerdo con (2.114), resultará un coeficiente de acortamiento para el 5° armó- nico: hpa 5 · 36° Ka5 = cos = cos = cos 90° = 0 (2.122) 2 2 En general, para eliminar por acortamiento de bobina una f.e.m. del armónico de orden h, será necesario elegir un ángulo pa, de valor 1/h del paso polar. Así, para el 7.° armónico el ángulo eléctrico de acortamiento deberá ser: 1 pa = 180° = 25,71° (2.123) 7 Es evidente que si se desean eliminar simultáneamente los armónicos 5.° y 7.°, deberá elegirse un ángulo de acortamiento comprendido entre los valores calculados en (2.121) y (2.123); por ejemplo, si se toma pa = 30°, resultarán los siguientes coeficientes de acortamiento: 5 · 30° 7 · 30° Ka5 = cos = 0,259 ; Ka7 = cos = − 0,259 (2.124) 2 2 que no logra una anulación completa de ninguno de los dos armónicos pero donde se ha conseguido una reducción ostensible de ambos. (El signo menos en Ka7 indica la inversión de fase en el 7.° armónico.) Si se aprovecha simultáneamente la distribución de las bobinas en diferentes ranuras, se podrá lograr una reducción adicional. Supóngase, por ejemplo, un devanado trifásico con tres ranuras por polo y fase (devanado de 1 capa). El ángulo eléctrico entre ranuras será: paso polar 180° pc = = = 20° (2.125) ranuras/polo 3·3 152 Máquinas eléctricas y al ser q = 3, aplicando (2.114) resultará: 3 · 5 · 20 3 · 7 · 20 sen sen 2 sen 150° 2 sen 210° Kd5 = = = 0,218 ; Kd7 = = = − 0,177 (2.126) 5 · 20 3 sen 50° 7 · 20 3 sen 70° 3 · sen 3 · sen 2 2 De este modo los factores de devanado resultantes para los armónicos 5.o y 7.o serán: Kw5 = Kd5 Ka5 = 0,259 · 0,218 = 0,0565 Kw7 = Kd 7 Ka7 = (− 0,259)(− 0,177 ) = 0,0458 (2.127) que nos indica una reducción bastante efectiva de estos armónicos. Deben destacarse dos aspectos adicionales: 1) Al efectuar un acortamiento y distribución de las bobinas se reducirán los armónicos no sólo de tensión sino también de f.m.m., lo que se traducirá en una mayor pureza de la onda de f.e.m. de salida. 2) La realización de tales medidas también reduce el valor de la f.e.m. fundamental, pero esta disminución se ve compensada con creces por la perfección en la senoide de salida. Así, por ejemplo, en la situación aquí estudiada con: pa = 30° ; q = 3 ; pc = 20° (2.128) los coeficientes de devanado para la onda fundamental, de acuerdo con (2.107) y (2.111), serán: 30° sen 30° Ka cos = 0,966 ; Kd = = 0,960 (2.129) 2 3 sen 10° lo que representa un factor de reducción: K1 = KaKd = 0,966 · 0,96 = 0,927 (2.130) que prácticamente no modifica la magnitud de la f.e.m. fundamental (representa una reducción inferior al 8 por 100).  AMPLÍE SUS CONOCIMIENTOS Campos giratorios armónicos Como ya se indicó en la expresión (2.55) del epígrafe 2.8.2, la distribución espacial de f.m.m. en el entrehierro para un devanado de Nf espiras, 2p polos, coeficiente de devanado Kw (que en general es igual a KdKa) que lleva una corriente i y para un ángulo eléctrico h = pa respecto de su eje, viene expresada para el armónico fundamental por: 4 Nf i F(h) = Kw cos h (1) n 2p y en general para un armónico de orden h, la f.m.m, de acuerdo con lo explicado en 2.8.1 será de la forma: 41 Nf i Fh(h) = Kwh cos hh (2) nh 2p Principios generales de las máquinas eléctricas 153 donde Kwh = KdhKah y los factores Kdh y Kah están determinados por las ecuaciones (2.114) para un armónico de orden h y que son: qhpc sen 2 pha Kdh = ; Kah = cos (3) hpc 2 q · sen 2 En estas fórmulas c representa el ángulo geométrico entre dos ranuras consecutivas, q el número de ranuras por polo y fase y a el ángulo geométrico de acortamiento de las bobinas. En definitiva, en un estudio riguroso de la distribución espacial de f.m.m. en el entrehierro, existen armónicos de esta onda (efecto que se ha despreciado en el estudio realizado en el epígrafe 2.8). De acuerdo con la expresión anterior (2), la amplitud de un armónico de f.m.m. es inversamente proporcional a su orden h y proporcional al factor de devanado para el armónico considerado. Los factores de distribución y acortamiento de un devanado, definidos por las ecuaciones (3), influyen tanto en la forma de la f.e.m. inducida en un devanado como en la forma de la f.m.m. espacial en el entrehierro producida por un devanado inductor, es decir en ambos casos ayudan a que las ondas tanto de f.e.m. como de f.m.m. sean lo más sinusoidales posibles. Debe destacarse además que en ambos casos solamente existen armónicos impares, h = 1, 3, 5, 7, 9, etc., debido a la simetría media onda o impar de ambas distribuciones. ¿Qué sucede entonces si se estudia la f.m.m. producida por una máquina eléctrica trifásica, en la que no pueden despreciarse los armónicos espaciales de f.m.m.? Evidentemente para el armónico fundamental se producirá un campo magnético giratorio tal como ya se ha estudiado en el epígrafe 2.8.3, pero también los armónicos espaciales de f.m.m. producirán campos mag- néticos giratorios tal como se va a demostrar a continuación. Si se considera que el devanado trifásico está alimentado por corrientes trifásicas equilibradas de la forma: ia = Im cos ut ; ib = Im cos (ut − 120°) ; ic = Im cos (ut + 120°) (4) La f.m.m. producida por la bobina de la fase a y para el armónico de orden h, de acuerdo con (2) y (4) será de la forma: 41 NfIm Fah = (h, t) = Kwh cos ut cos hh (5) nh 2p donde h representa el ángulo eléctrico que forma el eje de la fase a con el punto del entrehierro donde se calcula el valor de la f.m.m. Si se denomina Fmh a la amplitud máxima del armónico anterior, es decir: 41 NfIm Fmh = Kwh (6) nh 2p La expresión (5) se puede escribir de una forma simplificada del siguiente modo: Fah(h, t) = Fmh cos ut cos hh (7) y las expresiones de las f.m.m.s producidas en el mismo punto del entrehierro, por las fases b y c que están desfasadas 120° en adelanto y retraso respecto de la fase a, de un modo análogo a (2.58) serán: Fbh(h, t) = Fmh cos (ut − 120°) cos h(h − 120°) ; (8) Fch(h, t) = Fmh cos (ut + 120°) cos h(h + 120°) En consecuencia la onda de f.m.m. resultante o total en el entrehierro Fth(h, t) será igual a la suma de las tres ondas pulsatorias anteriores: Fbh(h, t) = Fah(h, t) + Fbh(h, t) + Fch(h, t) (9) 154 Máquinas eléctricas Es decir: Fbh (h, t) = Fmh[cos ut cos hh + cos (ut − 120°) cos h(h − 120°) + + cos (ut + 120°) cos h(h + 120°)] (10) si se hace uso de la igualdad trigonométrica: 1 cos A cos B = [cos (A − B) + cos (A + B)] (11) 2 la ecuación (10) se transforma en: Fmh Fth (h, t) = _cos (ut − hh) + cos [ut − hh + (h − 1)120°] + cos [ut − hh − (h − 1)120°]` + 2 Fmh + _cos (ut + hh) + cos [ut + hh + (h + 1)120°] + cos [ut + hh − (h + 1)120°]` (12) 2 Para h = 1, se tiene el armónico fundamental y el resultado de (12) es: 3Fm1 3Fm1 Ft1(h, t) = cos (ut − h) = cos (ut − pa) (13) 2 2 que representa una f.m.m. giratoria de amplitud 3Fm1/2 cuyo valor de acuerdo con (6) es: C D 3 3 4 Nf Im Fm1 = Kw1 (14) 2 2 n 2p y que gira a una velocidad angular mecánica: da u ut − pa = constante ú L1 = = (15) dt p y como quiera que si se denomina n1 a la velocidad de giro de la f.m.m. en r.p.m. y f a la frecuencia de las corrientes se cumple: n1 L1 = 2n ; u = 2nf (16) 60 al sustituir en (15) resultará: 60f n1 = (17) p que es la velocidad de sincronismo del primer armónico de f.m.m. Para h = 3, se tiene el tercer armónico y el resultado de (12) es: Fm3 Ft3(h, t) = [cos (ut − 3h) + cos (ut − 3h + 120°) + cos (ut − 3h − 120°)] + 2 Fm3 + [cos (ut + 3h) + cos (ut + 3h − 120°) + cos (ut + 3h + 120°)] = 0 (18) 2 Téngase en cuenta que las expresiones entre corchetes representan tres fasores simétricos desfasados 120°, por lo que su resultante es nula. Es decir no existe f.m.m. espacial de tercer armónico, y por el mismo motivo tampoco f.m.m.s. de armónicos múltiplos de 3. Para h = 5, se tiene el quinto armónico y el resultado de (12) es: Fm5 Ft5(h, t) = _cos (ut − 5h) + cos [ut − 5h + 120°] + cos [ut − 5h − 120°]` + 2 Fm5 3Fm5 3Fm5 + _cos (ut +5h)+cos (ut +5h)+cos (ut +5h)` = cos (ut+ 5h) = cos (ut+5pa) (19) 2 2 2 Principios generales de las máquinas eléctricas 155 ya que los tres términos contenidos en el primer corchete representan tres fasores simétricos desfasados 120° por lo que su resultante es nula. Es decir, el resultado representa una f.m.m. giratoria de amplitud 3Fm5/2 cuyo valor de acuerdo con (6) es: C D 3 3 4 1 Nf I m Fm5 = · · Kw5 (20) 2 2 n 5 2p y que gira a una velocidad angular mecánica: da 1u 1 60f n1 L5 = =− ú n5 = − =− (21) dt 5 p 5 p 5 Es decir el quinto armónico tiene una velocidad que es igual a la quinta parte de la velocidad de sincronismo del armónico fundamental y de sentido contrario al mismo. Es por consiguiente un campo giratorio inverso. Para h = 7, se tiene el séptimo armónico y el resultado de (12) es: Fm7 Ft7(h, t) = _cos (ut − 7h) + cos (ut − 7h) + cos (ut − 7h)` + 2 Fm7 + _cos (ut + 7h) + cos (ut + 7h − 120°) + cos (ut + 7h + 120°)` = (22) 2 3Fm7 3Fm7 = cos (ut − 7h) = cos (ut − 7pa) 2 2 ya que los tres términos contenidos en el segundo corchete representan tres fasores simétricos desfasados 120° por lo que su resultante es nula. Es decir el resultado representa una f.m.m. giratoria de amplitud 3Fm7/2 cuyo valor de acuerdo con (6) es: C D 3 3 4 1 Nf Im Fm7 = · Kw7 (23) 2 2 n 7 2p y que gira a una velocidad angular mecánica: da 1u 1 60f n1 L7 = =+ ú n7 = + =+ (24) dt 7 p 7 p 7 Es decir, el séptimo armónico tiene una velocidad que es igual a la séptima parte de la velocidad de sincronismo del armónico fundamental y del mismo sentido que él. Es por consi- guiente un campo giratorio directo. Conclusiones: Las máquinas eléctricas trifásicas alimentadas por corrientes equilibradas sinu- soidales, pero en las que cada fase no produce una distribución de f.m.m. espacial sinusoidal, dan lugar a una f.m.m. resultante de acuerdo con las siguientes reglas: 1. La f.m.m. resultante de todos los armónicos espaciales de orden h = 3k (k = 1, 2, 3,..., es decir múltiplos de tres) desaparecen. 2. La f.m.m. de los armónicos espaciales de orden h = 6k-1, es decir h = 5, 11, 17,..., tienen el factor cos(ut + hpa) y por eso se mueven en sentido contrario al de la f.m.m. funda- mental y a velocidades nh = −n1/h. 3. La f.m.m. de los armónicos espaciales de orden h = 6k + 1, es decir h = 7, 13, 19, ..., tienen el factor cos(ut − hpa) y por eso se mueven en sentido contrario al de la f.m.m. fundamental y a velocidades nh = +n1/h. 156 Máquinas eléctricas *2.10. PAR ELECTROMAGNÉTICO EN LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS En el epígrafe 1.9 del Capítulo 1 se estudió la creación de un par electromagnético en un sistema de rotación desde el punto de vista del acoplamiento magnético entre bobinas, es decir, basado en las variaciones que sufren las inductancias de los devanados al cambiar la posición del rotor. Este enfoque tiene la gran ventaja didáctica de que al considerar las bobinas como arrollamientos concentrados no es necesario profundizar sobre cómo están constituidos los devanados: distribución en ranuras, acorta- miento de bobinas, etc., y solamente se presta atención a los fenómenos implicados en la producción del par: posición de reluctancia mínima, alineamiento entre ejes, etc. Existe un procedimiento alternativo para demostrar cómo se genera el par electromagnético en una máquina eléctrica que se basa en la interacción de las f.m.m.s. producidas por los devanados situados en el estátor y en el rotor. Se ha estudiado en el epígrafe 2.8 de este capítulo la producción de f.m.m.s. por diversos devanados; por ejemplo, cuando el estátor tiene polos salientes y se sitúa un devanado concen- trado alimentado con c.c., la f.m.m. correspondiente es de amplitud constante y fija en el espacio; en el caso de que los polos estén colocados en el rotor y si éste se mueve a velocidad angular mecánica L, la f.m.m. aunque es constante en amplitud se mueve con una velocidad angular eléctrica pL. En el caso de que se disponga en el estátor de un devanado trifásico (o en general polifásico) alimentado por corrien- tes trifásicas (en general polifásicas) de pulsación u1 = 2n f1, la f.m.m. resultante es, según (2.62), de amplitud constante, se distribuye de forma sinusoidal por el entrehierro y además es de naturaleza rotativa, por lo que para su representación se debe utilizar el concepto de fasor espacial. El fasor espacial es una generalización del fasor temporal utilizado en el estudio de los circuitos de c.a. y es un vector cuyo módulo es igual a la magnitud que representa: campo magnético, f.m.m., etc., y que apunta hacia el lugar del entrehierro en el que su valor es máximo positivo; en el caso de que se trate de magnitudes fijas en el espacio, el fasor espacial también tendrá una posición fija en el espacio (lo que significa que no se trata de un fasor sino de un vector espacial), pero si representa un campo magnético o f.m.m. rotativa, el correspondiente fasor espacial también girará a la velocidad correspondiente a la magnitud que representa. Cuando el devanado trifásico se sitúa en el rotor, el fasor espacial de f.m.m. se moverá respecto al propio rotor a una velocidad angular correspondiente a su frecuencia; si ésta es f2, la velocidad angular será u2 = 2n f2, pero a la que habrá que sumar o restar en su caso la velocidad angular eléctrica del rotor pL; si se considera que ambos sentidos son coincidentes, la velocidad angular eléctri- ca total de la f.m.m. del rotor será igual a u2 + pL y que de acuerdo con (2.86) es igual a u1. Esto significa que si, por ejemplo, se dispone de devanados trifásicos tanto en el estátor como en el rotor (lo que se cumple si se trata de una máquina asíncrona o de inducción), las f.m.m.s. se mueven a la misma velocidad angular eléctrica correspondiente a la pulsación de las corrientes estatóricas u1. Esta coinci- dencia entre ambas velocidades es un principio fundamental en todas las máquinas eléctricas; por ejem- plo, en las máquinas síncronas el rotor o inductor se alimenta con c.c. u1 = 0, y al girar a una velocidad angular mecánica L, la velocidad angular eléctrica correspondiente de su f.m.m. será igual a pL; si se considera que en el estátor se ha colocado un devanado trifásico, la pulsación de sus corrientes u1 debe ser igual al valor anterior, es decir, se cumple u2 = pL, lo que está de acuerdo con la expresión general (2.86). Para poder comprender cómo se combinan las f.m.m.s. de una máquina eléctrica para engendrar un par electromagnético se va a considerar una máquina con simetría cilíndrica tal como se muestra en la Figura 2.38a. Se va a suponer que tanto en el estátor como en el rotor se sitúan sendos devanados trifásicos (polifásicos) por los que circulan corrientes trifásicas (polifásicas) de tal manera que las f.m.m.s. producidas se distribuyen de forma sinusoidal por el entrehierro y girando, como ya se ha indicado en el párrafo anterior, a la misma velocidad angular eléctrica u1 (esta configuración correspon- de realmente a una máquina asíncrona, pero el análisis es similar para cualquier tipo de máquina eléctri- ca). Debe destacarse que para simplificar el dibujo, en la Figura 2.38a no se han representado los devanados reales de la máquina sino unos arrollamientos equivalentes que producen las f.m.m.s. de los devanados del estátor F1 y del rotor F2 (que de un modo simplificado equivalen a la aparición de sendos polos norte y sur, tanto en el estátor como en el rotor). En la Figura 2.38b se muestran los fasores EnfocusSoftware-CustomerSupport Principios generales de las máquinas eléctricas 157 2 nδ se =F nδ pΩ Generador se ω1 ω1 δ(+) 1 ω1 F S Eje estátor F1 F2 senδ=F senδ1 N ω2 S δ1 N δ(−) δ2 δ ω1 δ Motor F F2 Eje rotor ω2+pΩ=ω1 ω1=ω2+pΩ a) Situación de los polos b) Composición de las f.m.m.s. Figura 2.38. Máquina eléctrica de polos lisos. espaciales correspondientes, que giran a la misma velocidad angular eléctrica u1 y que están desfasados entre sí un ángulo eléctrico d, que se denomina ángulo de par o ángulo de potencia porque su valor depende de la carga aplicada a la máquina. El par electromagnético que aparece entre el estátor y el rotor es en definitiva consecuencia de la acción que tiene lugar entre ambas ondas de f.m.m. para intentar alinear sus ejes magnéticos (en su versión con los polos o imanes equivalentes, lo que sucede es que el polo norte/sur del rotor intentará seguir al polo sur/norte móvil del estátor). En régimen permanente el ángulo d es constante; en otras palabras, los fasores espaciales de f.m.m. se mueven a la misma velocidad angular u1 y están desfasados un ángulo eléctrico d, dando lugar a una f.m.m. resultante F en el entrehierro que al igual que sus componentes tiene una evolución sinusoidal en el espacio. La relación entre F1, F2 y F se obtiene de la diagonal del paralelogramo y se puede escribir: F 2 = F12 + F22 + 2 F1F2 cos d (2.131) donde F1, F2 y F son los valores máximos o de pico de las ondas de f.m.m. Suponiendo la permeabilidad del hierro infinita y el campo magnético radial, la ley de Ampère permite calcular el valor de la intensi- dad de campo magnético H en el entrehierro y que viene expresada por: F H= (2.132) g donde g es el espesor del entrehierro y H se expresa en valores máximos (al igual que F ). Si el circuito magnético es lineal, coinciden los valores de la energía y coenergía magnética almacenadas en el entre- hierro por unidad de volumen y cuyos valores, de acuerdo con (1.55), son: 1 2 1 H2 k0F 2 wm = wñm = k0 Hmed = k0 = (2.133) 2 2 2 4g2 En la ecuación anterior se ha tenido en cuenta que al ser el campo H sinusoidal, el valor medio del cuadrado de una onda de este tipo es igual a la mitad del cuadrado de su valor máximo. Si se considera que el diámetro medio del entrehierro es D y que la longitud axial de la máquina es ,, la coenergía magnética almacenada en el entrehierro será entonces: k0 F 2 Wmñ = wñm (volumen del entrehierro) = (n D , g) (2.134) 4g2 EnfocusSoftware-CustomerSupport 158 Máquinas eléctricas y al sustituir el valor de F calculado en (2.130) en la ecuación anterior (2.134) resulta: k0 n D , Wmñ = (F12 + F22 + 2F1F2 cos d) (2.135) 4g De acuerdo con (1.140), el par electromagnético es la derivada de la coenergía magnética respecto a la posición geométrica del rotor, cuyo valor en grados eléctricos es h = d y que equivale a d/p en grados mecánicos o geométricos, siendo p el número de pares de polos de la máquina. De este modo se puede escribir: LWmñ k0 n D , T= = −p F1F2 sen d = − KF1F2 sen d (2.135) L(d/p) 2g k0 n D , donde K = p es una constante que depende de las dimensiones físicas de la máquina. La 2g ecuación anterior indica que el par electromagnético es proporcional a los valores máximos o de pico de las f.m.m.s. del estátor F1 y del rotor F2 y también al seno del ángulo d que forman ambos fasores espaciales. El signo menos significa que las f.m.m.s. tienden a alinearse reduciendo el ángulo d que forman ambas ondas. Debe destacarse que el par anterior aparece tanto en el estátor como en el rotor, siendo contrarios entre sí. Si la máquina funciona como motor, el par anterior provocará el movimiento del rotor (y si funciona como generador tenderá a frenarlo). En ambos casos el par en el estátor se transmitirá a la cimentación de la máquina. Se pueden escribir fórmulas alternativas a (2.135) teniendo en cuenta que, según la Figura 2.38b, se cumplen las siguientes igualdades: F1 sen d = F sen d2 ; F2 sen d = F sen d1 (2.136) por lo que (2.135) admite también las siguientes expresiones equivalentes: T = − KFF1 sen d1 ; T = −KFF2 sen d2 (2.137) En cada una de las ecuaciones anteriores interviene la f.m.m. resultante F e incluyen en cada caso solamente una de las f.m.m.s. parciales, bien sea F1 o F2 y el seno del ángulo que forman cada una de ellas con la f.m.m. resultante F. Si se desprecia la saturación magnética, para que se considere que hay proporcionalidad entre f.m.m. y flujo se puede obtener otra fórmula del par en función del flujo magné- tico por polo. Téngase en cuenta para ello que la inducción magnética máxima en el entrehierro B producida por la f.m.m. resultante F, teniendo en cuenta (2.132), es igual a: k0 F B = k0 H = (2.138) g y por consiguiente el flujo medio por polo tendrá un valor: A B 2 2 k0 F n D J= · B · (área del polo) = · · , (2.139) n n g 2p El factor 2/n de la expresión anterior procede de expresar el valor medio de la senoide de inducción en función de su valor máximo; se ha tenido también en cuenta que un polo cubre 1/2 p de la circunfe- rencia total del entrehierro, que es de espesor g, y que la máquina tiene una profundidad en sentido axial igual a ,. De este modo la expresión (2.135) se puede escribir en función del flujo del siguiente modo: n n T=− p2 J F1 sen d1 = p2 J F2 sen d2 (2.140) 2 2 donde el flujo magnético J es consecuencia de la f.m.m. resultante F producida por ambos devanados. EnfocusSoftware-CustomerSupport Principios generales de las máquinas eléctricas 159  COMENTARIOS PRÁCTICOS 1. Potencia y tamaño de las máquinas eléctricas Los dos factores principales que determinan el tamaño de una máquina eléctrica, que tiene una determinada potencia asignada, son la inducción magnética media en el entrehierro y la deno- minada carga o capa de corriente que es función de la intensidad que circula por los conducto- res del inducido. La inducción magnética está limitada por la saturación del núcleo magnético y la capa de corriente depende del tipo de refrigeración y de la clase de aislamiento de los devanados. Vamos a relacionar la potencia de una máquina de corriente alterna con estos parámetros. Para ello debe tenerse en cuenta que la f.e.m. inducida por fase en una máquina eléctrica de corriente alterna rotativa que tiene N espiras por fase, frecuencia f, flujo máximo Jm y con factores de forma Kf y de devanados de distribución y acortamiento: Kd y Ka respecti- vamente, viene expresada por la ecuación (2.112): E = 4Kf Kd Ka Nf Jm (1) y si se denomina K = KfKdKa y Z al número de conductores del inducido que es igual al doble del número de espiras N, y teniendo en cuenta que la frecuencia f es igual según (2.96) a np/60, siendo n la velocidad del rotor en r.p.m. y p el número de pares de polos de la máquina, la expresión anterior se puede escribir del siguiente modo: np E = 2KZ Jm (2) 60 Si la corriente que circula para cada fase del inducido es I, la potencia aparente por fase de la máquina eléctrica es igual a: K S = EI = 2pJmZIn (3) 60 Si el inducido de la máquina tiene un diámetro D y una longitud axial L, entonces el paso polar q es igual a nD/2p y como la inducción magnética media debajo de cada polo es Bmed = Jm/qL, se puede escribir: Jm Bmed = ú 2pJm = nDLBmed (4) nD L 2p Por otro lado si se denomina carga de corriente de la máquina, o simplemente capa de corriente (que se simboliza por la letra A), al número de amperio-conductores del inducido de la máquina por metro de circunferencia del rotor, se tiene: ZI A= (5) nD De este modo si se sustituyen las ecuaciones (4) y (5) en (3), la expresión de la potencia aparente por fase de la máquina eléctrica es: K S= n2D2 LBmedAn (6) 60 Si se denomina coeficiente de potencia C de la máquina a: K C= (n2BmedA) (7) 60 160 Máquinas eléctricas La expresión (6) se escribe de una forma simplificada del siguiente modo: S = CD2Ln (8) 2 El producto D L es proporcional al volumen del inducido (en definitiva el tamaño de la máquina), y la ecuación (8) indica que para una determinada potencia de una máquina, el tamaño es tanto menor cuanto mayor es la velocidad n de la máquina. A esto se debe el empleo de una frecuencia de 400 Hz en las aeronaves (que con una máquina de 4 polos supone veloci- dades de giro de 12.000 r.p.m), de este modo utilizando aislamientos de alta temperatura y sistemas de refrigeración especiales con chorro de aceite se consiguen alternadores de mucha potencia con una tamaño entre diez y veinte veces más pequeño en volumen que un alternador convencional de 50 Hz. Por otro lado, como quiera que el par electromagnético de un motor es el cociente entre su potencia mecánica y la velocidad angular de giro, el par de un motor de acuerdo con la expresión (8), será proporcional al volumen de la máquina. Es decir el tamaño de cualquier máquina eléctrica está determinado por sus necesidades de par a plena carga. Es decir, a pesar de la opinión popular, no es la potencia la que determina el tamaño físico de una máquina eléctrica, sino más bien el par. Es por esta causa que una máquina eléctrica de 30 kW a 3000 rpm, tiene el mismo tamaño (y prácticamente el mismo peso) que otra de 15 kW a 1500 r.p.m, o el de otra de 7,5 kW a 750 r.p.m. Debe añadirse también que el tipo de motor también afecta al tamaño físico; en general para la misma potencia y velocidad, los motores de c.c. y los asíncronos de rotor devanado tiene mayor volumen o tamaño que un simple motor asíncrono de jaula de ardilla, debido a que necesitan más espacio para el conmutador y escobi- llas en el caso de los motores de c.c, y el colector de anillos y escobillas para los motores de rotor devanado. 2. Variación de la potencia de una máquina eléctrica y las pérdidas con las dimensiones lineales. Si se consideran dos máquinas eléctricas con todas sus dimensiones lineales homotéticas entre sí y de relación c:1, y que tengan la misma velocidad, la misma inducción magnética y la misma densidad de corriente en los conductores eléctricos de sus devanados, de acuerdo con (6) se cumple que la potencia aparente S es proporcional al producto D2LBmedAn, es decir: S $ D2LBmedAn (9) Donde $ indica el signo de proporcionalidad. Pero teniendo en cuenta que Bmed y n son constantes, la expresión anterior se puede poner: S $ D2LA (10) Pero D $ c; L $ c; A $ c por lo que: S $ c4 (11) Pero de acuerdo con (2.11) y (2.12), las pérdidas en el cobre y en el hierro son proporciona- les a los volúmenes de cobre y hierro respectivamente, es decir ambas pérdidas son proporcio- nales a c3. Esto significa de acuerdo con (11) que la potencia perdida en una máquina varía del siguiente modo: Pp $ c3 (12) De este modo, teniendo en cuenta (11) y (12) el cociente potencia aparente asignada de la máquina respecto de las pérdidas de potencia vale: S $c (13) Pp EnfocusSoftware-CustomerSupport Principios generales de las máquinas eléctricas 161 Lo que significa que la potencia de una máquina aumenta más rápidamente que sus pérdi- das, y a esto se debe el que cuanto mayor sea la potencia de una máquina eléctrica, tanto mayor será su rendimiento. Sin embargo, al contrario, las grandes máquinas eléctricas son más difíci- les de refrigerar, ya que el área de emisión de calor es proporcional a c 2, lo que significa que las pérdidas por unidad de área son proporcionales a c, lo cual explica el porqué las máquinas eléctricas de pequeña potencia se refrigeran por convección natural del aire, las máquinas de tamaño medio requieren el uso de ventiladores acoplados en el mismo eje, las de tamaño grande utilizan radiadores externos con circulación de agua y los turboalternadores de las Centrales Nucleares que pueden alcanzar los 1.500 MVA en los que se utiliza como refrigerante el hidró- geno en vez del aire. 2.11. CLASIFICACIÓN GENERAL DE LAS MÁQUINAS ELÉCTRICAS En la expresión (2.88) se han relacionado las frecuencias del inductor e inducido de una máquina eléctrica por medio del número de polos y las r.p.m. del rotor, de acuerdo a la ecuación general: np f2 = f1 ± (2.141) 60 Los diferentes tipos de máquinas se pueden clasificar (véase Fig. 2.39) atendiendo a una serie de criterios selectivos y ordenados que tienen en cuenta la existencia de órganos móvi- les, el tipo de corriente aplicada al inductor y la forma de las conexiones externas, de acuerdo con el siguiente proceso: PRIMER CRITERIO: Movimiento del inductor o inducido. a) Si no existen órganos móviles, n = 0, lo que indica, de acuerdo con (2.141), que: f2 = f1 (2.142) es decir, coinciden las frecuencias del inductor e inducido, resultando las llamadas máquinas estáticas. b) En el caso en que n | 0, se sigue conservando la expresión general: np f2 = f 1 ± (2.143) 60 dando origen a las máquinas rotativas. SEGUNDO CRITERIO: Características del flujo inductor. a) Si el flujo inductor es constante, es decir, independiente del tiempo, indica que la frecuencia de la corriente que alimenta este devanado es f1 = 0. En el caso de máqui- nas estáticas, teniendo en cuenta (2.142) se cumpliría: f2 = f1 = 0 (2.144) no existiendo ninguna máquina que cumpla esta condición, ya que al no aparecer variaciones de flujo en el inducido no se tiene conversión de energía. 162 Máquinas eléctricas f2=f1=0 No existe SI f L ≠ f2 MÁQUINAS ¿f1=0? ESTÁTICAS NO NO ¿f2=fL? fL=f 2=f1 f2=f1 f 2=f1 SI Transformador SI Conex. fijas ¿n=0? M. Síncronas Anillos o SI np NO np f L = f2 = f2 = 60 60 ¿f2=fL? Polos salientes np np f 2 = f1 ± f2 = ; f L ≠ f2; f L = 0 60 60 Delgas NO SI M. corriente continua MÁQUINAS ¿f1=0? ROTATIVAS NO M. Asíncronas Anillos Polos lisos SI np f L = f 2 = f1 ± 60 ¿f2=fL? np f 2 = f1 ± np 60 f 2 = f1 ± ; f L ≠ f2 60 Delgas NO Motores c.a. universales Figura 2.39. Cuadro de clasificación general de las máquinas eléctricas. Para las máquinas dotadas de movimiento, la condición f1 = 0, teniendo en cuenta (2.143), da lugar a la expresión general: np f2 = ± (2.145) 60 es decir, la frecuencia del inducido es función directa de la velocidad del rotor. Nor- malmente cuando el inductor está recorrido por una c.c. ( f1 = 0), la máquina tiene una estructura física en forma de polos salientes, tal como se observa en las Figuras 2.5b y c, sobre los cuales van arrolladas las bobinas inductoras. b) Si el flujo inductor es variable, es f1 | 0, lo cual indica, en el caso de máquinas estáticas, y de acuerdo con (2.142), que: f 2 = f1 | 0 (2.146) y para las máquinas rotativas se sigue cumpliendo la expresión general (2.141). Principios generales de las máquinas eléctricas 163 TERCER CRITERIO: Dispositivo de conexión al circuito exterior. a) Si la máquina tiene un inducido cuya unión con el circuito exterior se realiza por medio de conexiones fijas (caso en que el inducido está situado en el estátor) o por anillos (inducido en el rotor), de acuerdo con lo explicado en el epígrafe 2.3, la frecuencia en el circuito exterior definida por fL es igual que la frecuencia del induci- do f2, es decir: fL = f2 (2.147) en el caso de máquinas estáticas se obtiene el transformador y el regulador de inducción monofásico. En el caso de máquinas móviles con f1 = 0, teniendo en cuenta (2.141), se cumplirá: np fL = f 2 = ± (2.148) 60 que dan origen a las máquinas síncronas constituidas por el generador síncrono o alternador y el motor síncrono. En el caso de máquinas móviles con f1 | 0, teniendo en cuenta que responden a la expresión general (2.141), se cumplirá: np f L = f2 = f1 ± (2.149) 60 que dan lugar a las máquinas asíncronas o de inducción, constituidas por el gene- rador asíncrono, el motor asíncrono y los convertidores asíncronos. b) Si la máquina tiene un inducido cuya unión con el circuito exterior se realiza por medio de colector de delgas, de acuerdo con lo explicado en el epígrafe 2.3, la fre- cuencia en el circuito exterior es de diferente valor que la del inducido, es decir: fL | f 2 (2.150) el colector de delgas se coloca siempre en el rotor, y por ello en las máquinas estáti- cas esta combinación no existe. En las máquinas móviles en que f1 = 0, de acuerdo con (2.145) se cumplirá: np f2 = ± ; fL | f2 ; ( fL = 0) (2.151) 60 que dan origen a las máquinas de c.c. (denominadas así porque en ellas se cumple: fL = 0); estas máquinas incluyen: el generador de c.c. o dinamo, el motor de c.c., la conmutatriz y otras máquinas especiales como la amplidina, la metadina, el ro- totrol, etc. En las máquinas móviles en las que f1 | 0, teniendo en cuenta que responden a la expresión general (2.141), se cumplirá: np f2 = f1 = ± ; fL ≠ f2 (2.152) 60 que dan lugar a los motores de c.a. con conmutador o con colector de delgas. En el cuadro de clasificación general de las máquinas eléctricas de la Figura 2.39, los cuadros en forma de rombos indican los interrogantes a cada uno de los criterios comentados. EnfocusSoftware-CustomerSupport 164 Máquinas eléctricas Con este diagrama se puede estudiar de forma cualitativa y general el funcionamiento y propiedades de cada grupo de máquinas, tal como se va a realizar en el epígrafe 2.12. En posteriores capítulos se hará un análisis más profundo de cada una de las máquinas eléctricas. 2.12. ANÁLISIS CUALITATIVO DE LAS PRINCIPALES MÁQUINAS ELÉCTRICAS Vamos a realizar en este apartado un análisis básico de funcionamiento de las principales máquinas eléctricas a partir del cuadro general de clasificación de la Figura 2.39. 2.12.1. Transformadores Son máquinas estáticas, n = 0, constituidas por dos devanados, inductor e inducido. El deva- nado inductor se conecta a una fuente de c.a. de frecuencia f1 y se denomina primario. El devanado inducido tiene una frecuencia f2 = f1 y entrega energía eléctrica a un circuito exte- rior por medio de conexiones fijas ( fL = f2); este arrollamiento inducido recibe el nombre de secundario. Para aumentar la inducción magnética del sistema y mejorar el acoplamiento entre ambos devanados, éstos van arrollados sobre un núcleo cerrado común, constituido por un apilamiento de chapas magnéticas de acero al silicio, tal como se muestra en la Figu- ra 2.40. Si la tensión entre los terminales del arrollamiento primario, V1, es menor que la tensión secundaria, V2, es decir, V1 < V2, el transformador se denomina elevador; en el caso contrario se llama transformador reductor (V1 > V2). En el supuesto de considerar el transformador ideal, sin pérdidas ni caídas de tensión, de acuerdo a la expresión (2.92) se cumplirá en primario y secundario: E1 = V1 = 4,44 N1 f1 Jm ; E2 = V2 = 4,44 N2 f1 Jm (2.153) siendo Jm el flujo máximo que atraviesa ambos arrollamientos y N1 y N2 los números de espiras respectivas. De las ecuaciones anteriores (2.153) se deduce: V1 N1 = =m (2.154) V2 N2 Red primaria de alta tensión Red secundaria de baja tensión G M Central eléctrica TRANSFORMADOR Motores y otras cargas I1 I2 Φ V1 V2 Primario Secundario N1 N2 Figura 2.40. Transformador. Principios generales de las máquinas eléctricas 165 que se denomina relación de transformación. Si designamos con I1 e I2 las corrientes prima- ria y secundaria, en el caso ideal se cumplirá: V1 I1 = V2 I2 (2.155) que expresa la igualdad entre las potencias de entrada y salida. Teniendo en cuenta además (2.154) se puede poner: V1 I2 N1 = = =m (2.156) V2 I1 N2 que indica que para una determinada potencia a transmitir, si se eleva la tensión V2 > V1, se obtiene I2 < I1, lo que indica la conveniencia de instalar los transformadores en las grandes redes eléctricas, pues manejando altas tensiones las corrientes se reducen y como consecuen- cia de ello se requiere una menor sección en los conductores de cobre de la línea, con el consiguiente ahorro económico. Los transformadores permiten, en consecuencia, adaptar de un modo sencillo las tensiones de las redes a los valores más adecuados y económicos. Si el devanado secundario se coloca en un rotor de tal forma que se pueda controlar la posición entre el inductor y el inducido, se obtiene el llamado regulador de inducción monofásico, que permite obtener una tensión V2 función de la posición. En la práctica los reguladores de inducción son trifásicos y se basan en un principio de funcionamiento diferente, más cercano a los de las máquinas asíncronas o de inducción. 2.12.2. Máquinas síncronas Son máquinas rotativas, n | 0, y de acuerdo con la Figura 2.39 se caracterizan por ser: np f1 = 0 ; f2 = ± ; fL = f2 (2.157) 60 Es decir, consisten en un inductor alimentado por c.c. ( f1 = 0), que se denomina también devanado de excitación o campo, que suele colocarse en el rotor (Fig. 2.41), alimentado por medio de dos anillos. El inducido normalmente es trifásico y suele colocarse en el estátor (en las máquinas de pequeña potencia se utiliza con frecuencia la posición inversa, es decir, se sitúa el inductor en el estátor y el inducido en el rotor, existiendo entonces tres anillos en el rotor). Cuando funciona como generador (alternador), se introduce energía mecánica por el eje, y al aplicar c.c. al inductor, se obtiene en el inducido una f.e.m. de frecuencia f2 = ±np/60, que se aplica a la carga. La c.c. necesaria para alimentar el inductor se obtiene de una pequeña dinamo excitatriz, que está situada en el mismo eje de la máquina (véase epígrafe 2.12.3)*. El alternador es con mucho la máquina generadora más importante que existe, y propor- ciona la mayor parte de la energía eléctrica que hoy se consume; están situados en las centra- les hidráulicas, térmicas y nucleares con potencias de hasta 1.000 MW; también se encuen- tran en los grupos electrógenos acoplados a motores de combustión interna que se utilizan como alimentación eléctrica en obras civiles aisladas, alejadas de las redes de distribución de energía eléctrica y también se dispone de grupos electrógenos en hospitales, aeropuertos, campos deportivos, grandes centros comerciales y en general en aquellos servicios públicos * Modernamente la c.c. se extrae de un alternador piloto colocado en el mismo eje, previa rectificación (conver- sión de la c.a. en c.c.). EnfocusSoftware-CustomerSupport 166 Máquinas eléctricas Inductor de polos salientes (>4 polos) Estátor cilíndrico (Centrales hidráulicas) Anillos para introducir Inducido (devanado trifásico) la corriente continua en los polos Salida eléctrica (alternadores) Inductor de polos lisos (2 ó 4polos) Entrada eléctrica (motores síncronos) Centrales térmicas Figura 2.41. Tipos de máquinas síncronas. donde por seguridad debe asegurarse una alimentación eléctrica de emergencia a ciertos cir- cuitos básicos como alumbrado de señalización que determinen con claridad las puertas de salida del público, en los quirófanos (en el caso de hospitales), en los equipos informáticos y centros de comunicación (como es el caso de aeropuertos), etc. A este respecto, debe señalar- se que cuando los consumos de las cargas son pequeños, los grupos electrógenos se sustituyen por equipos electrónicos denominados SAIs (Sistemas de Alimentación Ininterrumpida), que son equipos estáticos basados en inversores u onduladores (véase capítulo 7) que transforman la corriente continua de unas baterías eléctricas (que en situación normal se van cargando por medio de rectificadores) en corriente alterna para alimentar servicios de emergencia durante un período de tiempo reducido. Se observa que la frecuencia de la carga fL que coincide con la del inducido (fL = f2 = = ±np/60) es directamente proporcional a la velocidad; como quiera que la frecuencia es una magnitud que debe mantenerse esencialmente constante, para que sea posible un enlace entre las diversas centrales de un país es preciso que los motores primarios que mueven los alterna- dores: turbinas hidráulicas del tipo Pelton, Francis y Kaplan, turbinas térmicas, etc., giren a velocidad constante; para ello se dota a estas últimas máquinas de reguladores tacométricos, que actúan sobre la entrada de agua o vapor en formas muy diversas. La máquina síncrona puede funcionar también como motor introduciendo una c.a. de frecuencia f2 por el inducido (teniendo el inductor f1 = 0), apareciendo un par en el rotor que lo hace girar a velocidad: 60f2 n= (2.158) p cuya magnitud se observa que es función directa de la frecuencia (velocidad de sincronismo). Este motor tiene el inconveniente de que gira a una velocidad fija, con el consiguiente proble- ma de arranque y pérdida de sincronismo cuando se producen pares de frenado bruscos. Los motores síncronos se utilizan cuando interesa una gran constancia en la velocidad, como en relojes eléctricos y en algunos tipos de servomecanismos. Como quiera que también tienen la propiedad de poder regular su f.d.p. actuando sobre la c.c. de excitación, se emplean también para regular el f.d.p. de las instalaciones (se dice entonces que funcionan como condensado- Principios generales de las máquinas eléctricas 167 res síncronos). El mismo alternador de una central eléctrica puede funcionar como motor síncrono, operación que se realiza en las modernas centrales de bombeo tomando energía eléctrica de la red y acumulando energía hidráulica aguas arriba de la presa. 2.12.3. Máquinas de c.c. Son máquinas rotativas, n | 0, y de acuerdo con la Figura 2.39, se caracterizan por ser: np f 1 = 0 ; f2 = ± ; fL | f2 ; ( fL = 0) (2.159) 60 El nombre de máquinas de c.c, se debe a que el valor de la frecuencia de la carga es fL = 0, lo cual se consigue por la acción rectificadora del colector. Estas máquinas disponen de un inductor alimentado por c.c. ( f1 = 0), que al igual que las máquinas síncronas se denomina también devanado de excitación o campo y se sitúa en el estátor (Fig. 2.42). Cuando funcio- na en régimen generador, se suministra una energía de rotación al eje y se aplica una c.c. a la excitación, obteniéndose en el inducido una corriente alterna de frecuencia: np f2 = ± (2.160) 60 Debido a la acción rectificadora del colector se obtiene una c.c. entre las escobillas de salida ( fL = 0), energía que es aplicada a la carga. El generador de c.c. se conoce con el nombre de dinamo, y tiene la importancia histórica de ser el primer tipo de generador em- pleado para la obtención de energía eléctrica a gran escala. Hoy en día se han sustituido para esta misión por rectificadores que permiten obtener una c.c. por conversión de la c.a. de la red. Cuando funcionan como motores de c.c., es preciso introducir c.c. por el inductor y por las escobillas del inducido, apareciendo un par que hace girar el rotor de la máquina. La velocidad de giro puede regularse fácilmente, controlando la corriente del inductor o del inducido, o de ambas a la vez. Esta facilidad de regulación de velocidad de los motores de c.c., unida a los altos pares de arranque que se pueden obtener, ha hecho que este tipo de motor fuera insustituible en aquellas aplicaciones que necesitaban velocidad variable, tales como trenes de laminación y tracción eléctrica. (En España, la tracción eléctrica se realiza a 3.000 V de c.c. en los ferrocarriles y de 600 V a 1.500 V de c.c. en los trenes metropolitanos Terminales de alimentación Estátor con al inductor (excitación) polos salientes (inductor) Devanado inducido Delgas Rotor con colector de delgas Devanados de los polos Figura 2.42. Máquina de c.c. EnfocusSoftware-CustomerSupport 168 Máquinas eléctricas Terminales de alimentación Estátor con al inductor (excitación) polos salientes (inductor) Devanado inducido Anillos Colector de Delgas Rotor con anillos en un extremo Devanados de los polos y con colector de delgas en el otro Figura 2.43. Conmutatriz. «Metro»*. El tren de alta velocidad español AVE funciona con corriente alterna monofásica a 25 kV). Si los devanados inductor e inducido llevan alimentaciones separadas, se tiene la llamada máquina con excitación independiente. Normalmente, ambos circuitos se conectan eléctrica- mente entre sí; cuando se conectan en paralelo, se obtiene la máquina derivación o shunt, en la que el inductor está formado por un devanado de muchas espiras de hilo delgado por el que se deriva una corriente pequeña. Cuando se conectan en serie, el inductor tiene pocas espiras de hilo grueso, ya que por él circula toda la corriente del inducido (de gran valor). Si la máquina dispone de ambos tipos de excitación, serie y paralelo, se denomina compuesta o compound. Estos sistemas de conexión se emplean para producir la autoexcitación de la máqui- na, a partir del magnetismo remanente de los polos inductores. Es frecuente (aunque no son normas generales) emplear la conexión serie en motores y la shunt y compound en generadores. Si a la máquina de c.c. básica de la Figura 2.42 se la hacen conexiones adecuadas en el devanado del inducido y son llevadas al exterior por medio de anillos colectores como indica la Figura 2.43, se obtiene una máquina denominada conmutatriz o convertidor síncrono. Tal máquina puede funcionar: a) entregando al exterior c.a. y c.c.; b) trabajando como motor síncrono y generador de c.c. simultáneamente; c) trabajando como motor de c.c. y generador de c.a. simultáneamente. Este tipo de máquina se ha utilizado sobre todo funcionando como en el caso b) y se empleaba para convertir, en un solo grupo, la c.a. de la red en c.c. (por ejemplo, para suministrar la energía de c.c. de los tranvías); hoy en día ya han desaparecido, siendo sustituidas por convertidores estáticos electrónicos. 2.12.4. Máquinas asíncronas o de inducción Son máquinas rotativas, n | 0, y de acuerdo con el cuadro de clasificación general de la Figura 2.39 se caracterizan por: np f1 | 0 ; f2 = f1 ± ; fL = f2 (2.161) 60 * Desde el año 2002, el tren metropolitano de Madrid, debido a su gran extensión, ha comenzado a construir redes de 1.500 V de c.c. para alimentar algunas de sus líneas. Por ejemplo, la nueva línea 8, que enlaza Nuevos Ministerios con el aeropuerto de Barajas, se inauguró en mayo de 2002 con las unidades S/8.000, que disponen de equipo de tracción bitensión (1.500/600 V de c.c.) y con motores de c.a. asíncronos alimentados mediante ondulado- res o inversores electrónicos equipados con IGBT. Principios generales de las máquinas eléctricas 169 Están constituidas por un devanado inductor situado en el estátor por el que se introduce una c.a. de frecuencia f1. En el caso de máquinas de potencia superior a 1/2 CV, el devanado anterior es trifásico, al igual que la corriente de alimentación, apareciendo, de acuerdo con el apartado 2.8.3, un campo magnético giratorio cuya velocidad, teniendo en cuenta la expre- sión (2.68), es: 60f1 n1 = (2.162) p El devanado inducido está en el rotor y puede ser trifásico o no; sin embargo, y como se comprenderá más adelante al estudiar el Capítulo 4, debe estar bobinado para el mismo número de polos que el devanado del estátor. En la Figura 2.44 se indica el esquema básico, donde se ha supuesto un arrollamiento trifásico en el rotor, cuyas salidas van a tres anillos, donde se conecta no una carga, sino un reóstato de arranque. En la mayoría de los casos el rotor está formado por una serie de conductores puestos en cortocircuito por dos anillos extremos, formando un devanado que se conoce con el nombre de jaula de ardilla. La máquina puede funcionar como: a) Motor. Es el caso más normal. En esta situación el campo giratorio del estátor induce f.e.m.s. en el devanado del rotor y al estar éste en cortocircuito (jaula de ardilla) o cerrado por medio de un reóstato de arranque (rotor devanado o con anillos) aparecen corrientes en el rotor que, al reaccionar con el campo giratorio del estátor, mueven la máquina a una veloci- dad n muy cercana y por debajo de la de sincronismo n1, de tal forma que la identidad segunda de (2.161) queda expresada: np f2 = f1 − (2.163) 60 Se denomina deslizamiento «s» al cociente: n1 − n s= (2.164) n1 Barras de la jaula Sección de la jaula Estátor cilíndrico Frontal de la jaula Rotor en jaula de ardilla (en forma de aspas) Rotor con anillos Anillos Devanado trifásico Figura 2.44. Tipos de máquinas asíncronas o de inducción. 170 Máquinas eléctricas que teniendo en cuenta (2.162) se expresa: 60 f1 −n p f s= = 2 (2.165) 60 f1 f1 p Los deslizamientos a plena carga de estos motores que giran a una velocidad asíncrona respecto al campo giratorio del estátor varían entre el 3 y 8 por 100 y es difícil de regular; sin embargo, la simplicidad y robustez de estos motores (sobre todo en el caso de rotor en jaula de ardilla) los hacen aptos para todo tipo de trabajo en el que no sea necesario un control pre- ciso de la velocidad, como en grúas, ascensores, máquinas herramientas, hormigoneras, etc., y por ello es la máquina electromagnética de mayor aplicación en la ingeniería, cubriendo más del 80 por 100 de los motores eléctricos empleados en la industria. En potencias peque- ñas (< 1/2 CV) el estátor es monofásico y de acuerdo con el apartado 2.8.4 se obtienen dos campos giratorios de sentido contrario, que no producen par de arranque en el rotor, teniendo que recurrir a procedimientos especiales de arranque, como ya se explicará en el Capítulo 4. b) Generador. Si girando la máquina asíncrona como motor, a una velocidad n < n1, se obliga a mover el rotor, por un medio exterior, a una velocidad superior a la de sincronismo y en su mismo sentido, de acuerdo con (2.164) el deslizamiento se hace negativo y la máquina absorbe entonces energía mecánica que se convierte en eléctrica, devuelta a la red por el estátor a frecuencia f1. La máquina trabaja entonces como generador, pero este tipo de funcio- namiento no se utiliza casi nunca en la práctica porque no es autónomo, siendo necesaria la red eléctrica de «alimentación» para suministrar la corriente de magnetización de la máquina. No obstante, existen procedimientos de autoexcitación de generadores asíncronos a base de condensadores, como comprobará el lector en el Capítulo 4. c) Convertidor de frecuencia. Si se alimenta el estátor de una máquina eléctrica por medio de una red de c.a. de frecuencia f1 y se mueve el rotor por un medio mecánico exterior a velocidad n, se obtiene una frecuencia en el rotor, cuyo valor está definido en (2.161): np f2 = f1 ± (2.166) 60 el sumando es positivo o negativo según que el sentido de giro del rotor tenga diferente o igual sentido que el campo giratorio del estátor. La máquina recibe energía eléctrica por el inductor y energía mecánica por el eje, de tal forma que por los anillos del inducido se puede alimentar una carga eléctrica a frecuencia f2 | f1. 2.12.5. Motores de c.a. de colector. Motores universales Son máquinas rotativas, n | 0, y de acuerdo con la Figura 2.39 se caracterizan por ser: np f1 | 0 ; f2 = f1 ± ; fL | f2 (2.167) 60 es decir, consisten en un inductor, situado en el estátor, alimentado generalmente por c.a. monofásica. El inducido está en el rotor y dispone de colector de delgas con una apariencia física análoga a las máquinas de c.c. (Figura 2.42). Normalmente los devanados del estátor y Principios generales de las máquinas eléctricas 171 rotor van en serie, resultando una máquina con características similares al motor serie de c.c. En su versión de pequeña potencia (fracción de CV) son muy empleadas en aparatos electro- domésticos: batidoras, máquinas de afeitar, taladros eléctricos de mano, secadores, etc. Con potencias más elevadas se utilizan en tracción eléctrica a frecuencias que oscilan entre 50 Hz y 50/3 = 16,66 Hz. Pueden adaptarse también a un funcionamiento con c.a. o c.c., recibiendo entonces el nombre de motores universales. PROBLEMAS 2.1. Una máquina eléctrica de 100 kVA tiene unas pérdidas fijas de 1.000 W y unas pérdidas variables de 1.500 W a plena carga (asignada). Calcular: a) Rendimiento de la máquina, cuando trabaja a 1/2 de la plena carga con f.d.p. 0,8. b) Potencia de máximo rendimiento. c) Índice de carga óptimo. [Resp.: a) 96,68 %; b) 81,65 kVA; c) 0,8165.] 2.2. Una máquina de 20 kVA tiene unas pérdidas en el cobre a plena carga de 400 W, unas pérdidas en el hierro de 150 W y unas pérdidas mecánicas de 200 W. Determi- nar: a) Rendimiento a 3/4 de la plena carga con f.d.p. 0,8; b) Rendimiento a plena carga con f.d.p. 0,9; c) Potencia aparente de máximo rendimiento; d) Rendimiento en el caso anterior para f.d.p. unidad. [Resp.: a) 95,43 %; b) 96%; c) 18,71 kVA; d) 96,39 %.] 2.3. Se tiene la estructura magnética de la Figura P.2.1. El entrehierro tiene un espesor g. Se coloca en el rotor una bobina de paso diametral AAñ formada por N espiras por las que circula una corriente i. Dibujar la curva de inducción B producida y dar la expre- sión del desarrollo en serie de Fourier de la misma. Se desprecia la reluctancia del hierro. Β(α) Βm α α 0º A A´ A π A´ Βm 2π A rotor g Figura P.2.1. Figura P.2.2. [Resp.: La curva de distribución de la inducción se indica en la Figura P.2.2. C A 4 Ni 1 El desarrollo en serie de Fourier es: B(a) = k0 sen a + sen 3a + ñ + n 2g 3 BD 1 sen ha + ñ . h 172 Máquinas eléctricas 2.4. Se tiene la estructura magnética de la Figura P.2.3. Los parámetros son idénticos a los del problema anterior, pero ahora las bobinas A-Añ y B-Bñ están acortadas un ángulo eléctrico c. Dibujar la curva de inducción B producida y obtener el desarrollo en serie de Fourier de la misma. Deducir conclusiones prácticas. Β(α) α γ/2 γ/2 γ/2 A´ γ/2 A 2 Ni 2π Bm = μ 0 π 0º 2g α 0º B´ π A´ B B´ B γ/2 A g Rotor Figura P.2.3. Figura P.2.4. [Resp.: La curva de distribución de B se indica en la Figura P.2.4. El desarrollo en serie de Fourier es: A B 4 Ni c 1 3c 1 hc B(a) = k cos sen a + cos sen 3a + ñ + cos sen ha + ñ n 0 2g 2 3 2 h 2 Se observa que el resultado es el mismo que se obtendría considerando las bobinas de paso diametral, pero introduciendo un factor de acortamiento expresado por: hc Ka = cos , donde h indica el orden del armónico.] 2 2.5. Considerar la estructura magnética de la Figura P.2.5, que contiene 8 ranuras donde se colocan 4 bobinas de N espiras cada una, recorridas por una corriente i. En el supuesto de despreciar la reluctancia del hierro, dibujar la curva de inducción magné- tica producida por el conjunto. Deducir conclusiones prácticas. Β(α) θ 2 Ni Bm = 4 μ0 A A´ θ/2 2g α B´ Βm/2 π 2π B 0º α π 0º C B A D´ C´ B´ A´ D C C´ D g D´ Rotor Figura P.2.5 Figura P.2.6 [Resp.: La distribución de la inducción se muestra en la Figura P.2.6, cuyo desa- rrollo en serie de Fourier es: Principios generales de las máquinas eléctricas 173 A B qh q3h qhh sen sen sen 4 Ni 2 1 2 1 2 B(a) = q · k0 sen a + sen 3a + ñ + sen ha + ñ n 2g h 3 3h h hh q sen q sen q sen 2 2 2 donde q indica el número de ranuras por polo, que en este caso vale 4. Se observa que el resultado es el mismo que el que se obtendría considerando las cuatro bobi- nas concentradas, pero introduciendo un factor de distribución expresado por: qhh sen 1 2 Kd = , donde h indica el ángulo eléctrico entre ranuras consecutivas.] h hh q sen 2 2.6. Considerar la estructura magnética de la Figura P.2.7, donde se muestra un rotor bobinado con un arrollamiento uniformemente distribuido, con un total de N espiras. El devanado puede considerarse como una generalización del problema anterior cuando el número de ranuras se hace muy elevado. Dibujar la forma de B y obtener su desarrollo en serie de Fourier. π/2 Β(α) α π/2 π 3π/2 2π 0º α π 0º Rotor g Figura P.2.7. Figura P.2.8. [Resp.: El esquema de B se indica en la Figura P.2.8, cuyo desarrollo es: A B n 3n hn sen sen sen 4 Ni 2 1 2 1 2 B(a) = k0 sen a + sen 3a + ñ + sen ha + ñ n 2g n 3 3n h hn 2 2 2 El resultado es un caso particular del problema 2.5 cuando la extensión del deva- nado es qh = n, que se denomina extensión de fase. La distribución anterior es típica de los arrollamientos del inducido de las máquinas de c.c.] 174 Máquinas eléctricas 2.7. Considerar la estructura magnética de la Figura P.2.9, donde se muestra un rotor bobinado con un arrollamiento uniformemente distribuido, con un total de N espiras que ocupan una extensión de fase de p radianes. Dibujar la forma de la inducción B y obtener su desarrollo en serie de Fourier. π/2 Β(α) σ π/2 π 3π/2 2π 0º α σ 0º π Rotor g Figura P.2.9. Figura P.2.10. [Resp.: El esquema de B es el indicado en la Figura P.2.10, cuyo desarrollo es: A B p 3p hp sen sen sen 4 Ni 2 1 2 1 2 B(a) = k0 sen a + sen 3a + ñ + sen ha + ñ n 2g p 3 3p h hp 2 2 2 que coincide con la solución del prob. 2.6 cuando la extensión de fase p = n. Esta forma de B se obtiene en los devanados de excitación de los turboalternadores de las centrales térmicas.] 2.8. El diagrama de la Figura P.2.11 representa la forma del campo de un polo saliente de un alternador. Calcular: a) la amplitud del fundamental de la onda de inducción; b) amplitud de la onda fundamental cuando h = n/6; c) factor de forma de la onda de inducción cuando h = n/6. Β(α) θ θ θ Bm π 2π α Figura P.2.11. [Resp.: a) 4Bm cos h n ; b) 2∂3Bm 2 ; c) J 6 4 = 1,255.] 2.9. Se tiene el circuito magnético de la Figura P.2.12 formado por un devanado inductor situado en el estátor, alimentado por una c.a. de 50 Hz, que produce un flujo sinusoi- dal en el entrehierro de valor máximo 8 mWb. En el rotor se sitúa un arrollamiento Principios generales de las máquinas eléctricas 175 de 10 espiras concentradas de paso diametral. Calcular la f.e.m. inducida en la bobina del rotor cuando gira a 1.500 r.p.m. Si se considera como referencia que en t = 0, h = 0. Eje magnético del rotor θ Eje magnético Φ del estátor 2 i1 v1 Figura P.2.12. [Resp.: e = −25,12 cos 314 t cos 157 t + 12,56 sen 314 t sen 157 t.] 2.10. Calcular el valor del factor de distribución de una máquina trifásica que tiene 12 ranuras por polo. [Resp.: 0,958.] 2.11. El inducido de una máquina bipolar está completamente bobinado con N espiras uniformemente distribuidas de paso diametral. La f.e.m. inducida en cada espira tiene un valor eficaz de 10 V. ¿Cuál será la f.e.m. inducida en todo el devanado con todas las espiras en serie? 20 [Resp.: N voltios.] n 2.12. El inducido de una máquina bipolar tiene dos bobinas de paso diametral, una de 100 espiras y otra de 50 espiras, que forman entre sí un ángulo de 30°. El inducido está en el rotor y se hace girar éste a una velocidad de 1.000 r.p.m. dentro del campo unifor- me de los polos, cuya inducción vale 100 gauss. El área de cada bobina es de 400 cm2. Si las bobinas se conectan en serie, hallar la lectura que se obtendrá en un voltímetro conectado entre las escobillas de la máquina. [Resp.: 4,31 V o 1,83 V.] 2.13. Un alternador trifásico de 20 polos tiene un devanado conectado en estrella de 180 ranuras y 10 conductores por ranura. El flujo por polo tiene un valor máximo de 0,04 Wb, y está distribuido de forma sinusoidal en el entrehierro. La velocidad es de 300 r.p.m. Hallar las f.e.m.s. de fase y línea, en el supuesto de que las bobinas sean de paso diametral. [Resp.: 2.557,45 V; 4.429,6 V.] 176 Máquinas eléctricas 2.14. Un alternador trifásico conectado en estrella tiene 6 polos y debe dar una f.e.m. de 380 V a 50 Hz. El estátor tiene 3 ranuras por polo y fase y 4 conductores por ranura. Calcular: a) las r.p.m. a las que debe girar el rotor; b) el flujo máximo por polo si tiene una distribución sinusoidal. NOTA: Las bobinas son de paso diametral. [Resp.: a) 1.000 r.p.m; b) 0,0287 Wb.] 2.15. El inducido de una alternador de 20 polos, 50 Hz, tiene un total de 180 ranuras. Calcular las f.e.m.s. que se obtienen en los siguientes casos: a) cuando se bobina un devanado monofásico que cubre 5 ranuras por polo; b) ídem cuando se cubren todas las ranuras; c) cuando se bobina un arrollamiento trifásico que cubre todas las ranu- ras. Las bobinas son de paso diametral, y en cada ranura se colocan 6 conductores. El flujo está distribuido de forma sinusoidal en el entrehierro y tiene un valor máximo de 0,025 Wb. [Resp.: a) 1.470 V; b) 1.920 V; c) 960 V/fase. Si se comparan los resultados a) y b) se observa que en el 2.o caso se obtiene un 30 por 100 más de f.e.m. pero emplean- do un 80 por 100 más de material (cobre); de aquí se deduce la conveniencia de no devanar enteramente un inducido cuando el arrollamiento es monofásico.] 2.16. Una máquina eléctrica tiene un inducido con 9 ranuras por polo, estando las bobinas acortadas en 2 ranuras. Calcular el factor de acortamiento del devanado. [Resp.: 0,940.] 2.17. Un rotor bipolar, excitado para dar un flujo máximo por polo de 0,02 Wb, gira a 3.000 r.p.m. dentro de un estátor que contiene 18 ranuras. Se colocan dos bobinas de 50 espiras A y B en el estátor del modo siguiente: Bobina A: Lados de bobina en las ranuras 1 y 11; Bobina B: Lados de bobina en las ranuras 2 y 10. Calcular la f.e.m. resultante cuando las bobinas se conectan en serie. La distribución de flujo es sinu- soidal. [Resp.: 437,25 V o 0 V; dependiendo de si las f.e.m.s. son aditivas o substractivas.] 2.18. Resolver el problema anterior si la bobina B está situada entre las ranuras 2 y 12. [Resp.: 430,61 V o 75,93 V.] 2.19. Un alternador trifásico de 20 polos, conectado en estrella, gira a 300 r.p.m. El induci- do tiene 360 ranuras y 6 conductores por ranura. La anchura de las bobinas es de 5/6 del paso polar. Si el flujo máximo por polo, de distribución sinusoidal, es de 0,086 Wb, ¿cuáles serán los valores de las f.e.m.s. de fase y de línea? [Resp.: 6.347,3 V; 10.993,8 V.] 2.20. Se dispone de una máquina eléctrica bipolar experimental de entrehierro uniforme, que tiene una distribución de inducción en el entrehierro expresada por la ecuación: B(h) = 1,05 cos h + 0,35 cos 3h + 0,21 cos 5h + 0,15 cos 7h Teslas El paso polar es de 50 cm y la longitud del núcleo de 40 cm. Si el inducido consta de una bobina de 5 espiras con una anchura de 4/5 del paso polar y la frecuencia de la f.e.m. generada es de 50 Hz, calcular la f.e.m. inducida en la bobina y su valor eficaz. [Resp.: e = 199,72 cos h + 41,14 cos 3h − 17,63 cos 7h; h = ut; 144,72 V.] Principios generales de las máquinas eléctricas 177 Biografías DAVENPORT, Thomas (1802-1851). Inventor norteamericano. Comenzó haciendo experiencias con electroimanes. En 1831 construyó un motor eléctrico, probablemente el primero que se conoce en la historia de la ingeniería eléctrica. Consistía en dos electroimanes fijos y otros dos móviles, situando estos últimos en los radios de una rueda y estando unidos a un dispositivo conmutador; el motor se alimentaba mediante una batería de Volta. Este motor fue utilizado por Davenport para mover un cochecito alrededor de una vía circular, lo que representaba en cierto modo el primer prototipo de ferrocarril con tracción eléctrica. FERRARIS, Galileo (1847-1897). Físico e ingeniero italiano. Obtuvo su título de ingeniero en 1869, y leyó su tesis doctoral en 1872, que versaba sobre la teoría matemática de la propagación de la electricidad en sólidos homogéneos. Fue profesor de la Escuela Militar de Turín. Presidente de la Exposición Internacional de Electricidad de Turín en 1883, en la que se expuso por primera vez el transformador de Gaulard y Gibbs. Basándose en sus conocimientos sobre la polarización circular de la luz, se le ocurrió hacer un experimento similar con electroimanes, colocando dos de ellos en ángulo recto y alimentándolos con corrientes en cuadratura y de este modo consiguió un campo magnético giratorio (1885); más tarde aplicó estas ideas en la construcción de un motor basado en este principio (motor asíncrono o de inducción), que presentó a la Real Academia de Turín en 1888. Se atribuye, sin embargo, a Tesla la paternidad de este motor y a Ferraris el invento del campo magnético giratorio. Ferraris participó con la AEG-Oerlikon en el diseño de la red de transporte de c.a. de 175 km de longitud entre Lauffen y Frankfurt para la Exposición Internacional en esta última ciudad en 1891. FITZGERALD, Arthur Eugene (1909-1978). Ingeniero americano. Estudió en el Politécnico de Brooklyn (1929) y más tarde se graduó en el MIT (1931), doctorándose en este centro en 1937. En 1931 ingresó en el MIT en calidad de ayudante de investigación, en 1940 era profesor ayudante, asociado en 1945 y catedrático de Ingeniería Eléctrica en 1952. Fue el responsable de la organiza- ción de las enseñanzas de Ingeniería eléctrica en el MIT para estudiantes no especialistas y especia- listas en electricidad; escribió para los primeros, un libro de texto de ingeniería eléctrica que fue adoptado por más de 100 universidades de todo el mundo y para los segundos escribió un texto moderno sobre máquinas eléctricas que también se enseñó en más de 50 universidades (este último libro fue escrito en colaboración con Charles Kingsley). Dirigió el analizador de redes del MIT y supervisó los estudios de sistemas eléctricos de potencia. Trabajó también como ingeniero consultor de la empresa Jackson y Moreland. Fellow del IEEE en 1956. KRON, Gabriel (1901-1967). Ingeniero eléctrico y matemático húngaro-americano. Se graduó en la Universidad de Michigan (1924). En 1926 amplió su formación en Europa, dedicándose a estudiar la teoría del análisis tensorial. En 1934 se incorporó a la General Electric de Estados Unidos, para trabajar en el análisis de sistemas eléctricos de potencia. En 1935 ganó el Premio Montefiore por su artículo: Non-Riemanian Dynamics of Rotating Electrical Machinery. Escribió varios libros y una gran cantidad de artículos sobre las aplicaciones de la geometría no euclidiana y el cálculo tensorial a la ingeniería eléctrica. Sus aportaciones han sido a menudo comparadas con las que hizo Stein- metz en la teoría de circuitos a principio del siglo XX. La máquina generalizada de Kron permitió profundizar en el análisis dinámico y transitorio de las máquinas eléctricas, lo que transformó enormemente la enseñanza de esta materia en todas las universidades del mundo. En 1966 se jubiló de la General Electric cuando estaba trabajando en el análisis de redes dimensionales. LEBLANC, Maurice (1857-1923). Ingeniero francés. Se graduó en la Escuela Politécnica (1878). Trabajó en la Compañía de ferrocarriles del Este, haciendo mejoras en las locomotoras eléctricas orientado por Marcel Deprez. A partir de 1888 se dedicó a sus investigaciones sobre aparatos eléctricos: alternadores, transformadores, conmutatrices, cambiadores de frecuencia, etc. Inventó, en unión con Hutin, el devanado amortiguador en los alternadores para mejorar su comportamiento transitorio. En 1897 la General Electric le ofreció el puesto de Ingeniero Jefe pero no aceptó. Más tarde, en 1901, George Westinghouse obtuvo permiso para explotar sus patentes en Estados Unidos 178 Máquinas eléctricas A raíz de sus contactos con esta empresa fue nombrado Ingeniero Jefe del Consejo de Administra- ción de la Compañía Westinghouse en Francia. En sus últimos años se dedicó a la mecánica, para hacer un frigorífico doméstico, estudiando compresores y condensadores; también diseñó motores para aviones y propuso utilizar corrientes de alta frecuencia para la propulsión de trenes eléctricos. Fue Presidente del Comité Electrotécnico Internacional entre 1912 y 1914. MONTSINGER, Vincent Melanchton (1884-?). Ingeniero americano. Se graduó en la Universidad de Carolina del Norte (1909). Ingresó a continuación en la General Electric, donde fue asignado al departamento de ensayos eléctricos. Entre 1912 y 1919 realizó investigaciones en el Laboratorio de Desarrollo. A partir de 1922 se dedicó al diseño de transformadores y a los problemas de calenta- miento y aislamiento de los devanados. A él se debe la célebre ley de que la vida de un aislante se reduce a la mitad por cada 10 °C de elevación de temperatura respecto a la máxima admitida. Perteneció a diversos Comités de patrones y normas. Fue uno de los representantes americanos de la Comisión Electrotécnica Internacional entre 1937 y 1944. PARK, Robert H. (1902-1994). Ingeniero eléctrico americano. Nació en Estrasburgo (Alemania) el 15 de marzo de 1902 (sus padres eran americanos). Murió el 18 de febrero de 1994 en Providen- ce, Estados Unidos. Se graduó en el Massachusetts Institute of Technology en 1923. Amplió estu- dios en Estocolmo. Su publicación que le dio a conocer mundialmente fue el artículo publicado en dos partes: Two-Reaction Theory of Synchronous Machines. (Part I, Generalized Method of Analy- sis. AIEE Trans., Vol. 48, págs. 716-730, July, 1929); Part II, AIEE Trans., Vol. 52, págs. 352-355, June, 1933). En este trabajo Park, basándose en los ejes d y q de Blondel, desarrolló las ecuaciones de las máquinas síncronas que servirían más tarde a Gabriel Kron para realizar un estudio generali- zado y unificado de todas las máquinas eléctricas. Irónicamente, recibió un Premio del AIEE en 1931 por otro artículo: Circuit Breaker Recovery Voltages-Magnitudes and Rates of Rise (AIEE Trans., Vol. 50, págs. 204-238, March, 1931). De cualquier modo, prácticamente estos dos artículos le consagraron mundialmente al principio de su carrera. Fundó en 1950 su propia empresa para fabricar botellas de plástico y contribuyó mucho a su automatización. Premiado en 1972 con la medalla Lamme del IEEE. Estaba en posesión de 17 patentes industriales. ROWLAND, Henry Augustus (1848-1901). Físico americano. Se graduó en Ingeniería en el Politéc- nico de Rensselaer, N. Y., en 1870. Estudió en Berlín bajo las enseñanzas de Helmholz. En 1876 se hizo cargo de la Cátedra de Física en la Universidad John Hopkins en Baltimore, puesto que ejerció hasta su muerte. Estudió el campo magnético producido por cuerpos cargados en movimiento. Redeterminó el valor del ohmio y el equivalente mecánico del calor. Diseñó redes de difracción que tenían grandes ventajas en espectroscopia astronómica. No tuvo gran notoriedad en su país, pero en palabras de Maxwell, se le puede considerar como uno de los mejores físicos americanos del si- glo XIX. En sus últimos años estuvo desarrollando un sistema múltiplex de telegrafía. SAXTON, Joseph (1799-1873). Inventor americano. Desde pequeño mostró grandes cualidades ma- nuales y un gran talento en la construcción de aparatos de precisión. Fue aprendiz de relojero y en 1824 recibió un premio del Instituto Franklin por la construcción de un reloj de péndulo con compensación de temperatura. Inventó también una rueda dentada para relojes de forma epicicloi- dal y un pirómetro. En 1829 se trasladó a Londres, donde expuso instrumental científico construido por él mismo; entre los visitantes de la exposición se encontraban Faraday, Wheatstone y los inge- nieros Cubitt y Telford. Saxton construyó un contador eléctrico para Cubitt y algunos motores eléctricos basados en el principio de inducción que acababa de descubrir Faraday. En 1835 volvió a Estados Unidos, encargándose de la construcción de balanzas de precisión para laboratorios. Desde 1844 fue el Director de la Oficina de Pesos y Medidas americana. WILDE, Henry (1833-1919). Inventor inglés. Mostró desde muy joven grandes dotes manuales. Diseñó a los veinticinco años un código telegráfico con su adaptador al transmisor y al receptor. Sus principales trabajos se refieren a la construcción de máquinas eléctricas. En 1863 obtuvo una paten- te (núm. 3.006 del mes de diciembre) por un generador electromagnético con excitatriz magnetoe- léctrica. En 1866 presentó un artículo a la Royal Society titulado A new powerful generator of Principios generales de las máquinas eléctricas 179 Dynamic Electricity, en el que demostraba su principio dinamoeléctrico. Creó la Compañía Wilde en Manchester, dedicada al desarrollo de sus patentes. Construyó en sus talleres, alternadores y dinamos que exportaba a toda Europa. Se dio cuenta de la importancia del acoplamiento en paralelo de alternadores, aunque la teoría matemática fue desarrollada algo más tarde por J. Hopkinson. Diseñó lámparas de arco para alumbrado y contribuyó con sus métodos constructivos al desarrollo de las máquinas eléctricas. En sus últimos años realizó estudios sobre magnetismo terrestre y «loco- moción aérea». Referencias ADKINS, B.: General Theory of Electrical Machines. Chapman Hall, London, 1957. CORTES, M.: Curso Moderno de Máquinas Eléctricas Rotativas. Editores Técnicos Asociados, Barcelona, 1973. CHATELAIN, J.: Traité d’électricité. Vol. X: Machines eléctriques. Editions Georgi Lausanne, 1983. DANIELS, A. R.: Introduction to Electrical Machines. MacMillan Press, London, 1976. DEL TORO, V.: Electric Machines and Power Systems. Prentice Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1985. EL-HAWARY, M. E.: Principles of Electric Machines with Power Electronic Applications. Reston Book, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1986. FITZGERALD, A. E.; KINGSLEY, CH. Jr.; UMANS, S. D.: Electric Machinery, fourth ed. (S. I.). McGraw-Hill Book Co., New York, 1985. GIBBS, W. J.: Tensors in Electrical Machine Theory. Chapman Hall, London, 1973. GINGRICH, H. W.: Máquinas Eléctricas, Transformadores y Controles. Prentice Hall, Inc., Engle- wood Cliffs, N. J. Edición en castellano de Ed. Dossat S. A., Madrid, 1980. HERRANZ, G.: Convertidores Electromecánicos de Energía. Marcombo, Boixareu Editores, Barce- lona, 1980. IVANOV-SMOLENSKY.: Electrical Machines. Mir Pub., Moscow, 1982. JONES, C. V.: Unified Theory of Electrical Machines. Butterworth, London, 1967. KRON, G.: Generalized Theory of Electrical Machinery. Transactions AIEE, 49, 666 (1930). LIBBY, C. C.: Motor Selection and Application; McGraw-Hill Book Company, New York, 1960. McPHERSON, G.: An Introduction to Electrical Machines and Transformers. John Wiley & Sons, New York, 1981. NAGRATH, I. J.; KOTHARI, D. P.: Electric Machines. Tata McGraw-Hill Pub, New Delhi, 1985. PARK, R. H.: Two-Reaction Theory of Synchronous Machines. Transactions AIEE, 48, 716 (1929). PARKER SMITH, S.: Problemas de Ingeniería Eléctrica. Ed. Selecciones Científicas, Madrid, 1961. SANJURJO, R.: Máquinas Eléctricas. McGraw-Hill/Interamericana de España S. 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INTRODUCCIÓN Como ya se ha indicado brevemente en el capítulo anterior, el transformador* es una máqui- na eléctrica estática, destinada a funcionar con corriente alterna, constituida por dos arrolla- mientos, primario y secundario, que permite transformar la energía eléctrica, con unas mag- nitudes V-I determinadas, a otras con valores en general diferentes. La importancia de los transformadores, se debe, a que gracias a ellos ha sido posible el enorme desarrollo de la industria eléctrica, al haberse logrado la realización práctica y económica del transporte de energía eléctrica a grandes distancias. Téngase en cuenta que el transporte de la energía eléctrica desde los lugares donde se produce (Centrales), hasta los centros de consumo, es tanto más económica cuanto más alta es la tensión de las líneas, puesto que para una cierta potencia a transportar al elevar la tensión en la red de transporte, disminuye la corriente que circula por los conductores de la línea, y como quiera que las pérdidas por efecto Joule son proporcionales al cuadrado de la corriente que circula por los conductores, se reducen estas pérdidas, aumentando con ello el rendimiento del transporte de energía eléctrica. Por ejemplo si la tensión generada en una Central eléctrica se multiplica por diez, se reduce la corriente en la red de transporte en la misma cantidad, y a consecuencia de ello las pérdidas por efecto Joule en la línea se reducen cien veces. Sin embargo hay que tener en cuenta que las tensiones generadas en los alternadores de las Centrales Eléctricas están limitadas, por consideraciones tecnológicas, a valores que osci- lan entre los 15 y 30 kV, que son insuficientes para alcanzar tal objetivo; por otro lado, salvo casos sumamente raros, la corriente a alta tensión no puede enviarse directamente a los apara- tos de utilización, porque éstos requieren normalmente tensiones más bajas. Los transforma- dores permiten conciliar de una forma idónea estas necesidades opuestas, de tal forma que para reducir las pérdidas en la línea se realiza una primera transformación que eleva la tensión de salida de los alternadores a valores del orden de 400 kV (y que en algunos países por su extensión, se ha llegado a sobrepasar los 1.000 kV), a los cuales se realiza el transporte de energía; existiendo en los centros receptores otros transformadores que realizan el proceso inverso, reduciendo la tensión hasta los niveles que se consideren convenientes para la distri- bución y consumo de esta energía. El arrollamiento de mayor tensión recibe el nombre de devanado de alta tensión (A.T.) y el de menor tensión se denomina devanado de baja tensión (B.T.). El proceso de transformación tiene un gran rendimiento al no disponer la * En el argot eléctrico, al transformador se le denomina trafo. 181 182 Máquinas eléctricas máquina de órganos móviles, pudiéndose llegar en los grandes transformadores a valores del orden del 99,7 por 100. Este capítulo comienza describiendo los aspectos constructivos de los transformadores, mostrando las formas básicas de los núcleos, indicando el tipo de chapa magnética y la forma de su apilamiento; se observa después la disposición de los devanados en el núcleo y su aislamiento, analizando luego los sistemas de refrigeración más comunes. Se indican los tipos de aceite y sus propiedades dieléctricas y refrigerantes, y se deduce la necesidad de un depósi- to conservador o de expansión en los transformadores, finalizando este epígrafe con la des- cripción de los pasatapas empleados, haciendo una breve introducción a la misión del relé Buchholz y explicando el significado de los valores asignados que contiene la placa de carac- terísticas del transformador. Continúa el capítulo estudiando el principio de funcionamiento del transformador ideal, donde se observan las relaciones básicas existentes entre las diferen- tes magnitudes que intervienen, relacionando la corriente de vacío de la máquina con la corriente de excitación absorbida por una bobina con núcleo de hierro, que se estudió en el Capítulo 1. Se completa más tarde el análisis introduciendo los efectos de resistencia y disper- sión de los arrollamientos, indicándose el diagrama vectorial en carga. Se deduce luego el circuito equivalente del transformador y se comentan los ensayos necesarios para su determina- ción completa. A partir de este esquema se deduce la caída de tensión mediante el diagrama de Kapp, haciendo especial mención al efecto Ferranti, y se completa el estudio con el análisis de las pérdidas y el rendimiento de estas máquinas. Más tarde se analizan los armónicos de la corriente de vacío de un transformador y los efectos que producen cuando circulan estas corrientes por las líneas aéreas. Se explica la corriente de conexión de los transformadores y los valores transitorios a que dan lugar, que pueden confundirse a veces con corrientes de cortocircuito de la instalación. Se estudian luego los transformadores trifásicos, haciendo especial hincapié en la determinación del ángulo horario. Se analizan los armónicos en las corrientes de excitación de los transformado- res trifásicos y la forma de evitarlos. A continuación se hace una descripción de las principales conexiones de estos transformadores y sus propiedades. Se incluye después el acoplamiento en paralelo de transformadores explicando las condiciones que deben cumplir para distribuir la carga de un modo adecuado. También se estudia el autotransformador, indicando sus ventajas e inconvenientes respecto al transformador clásico. Se explican los transformadores con tomas, dando detalles prácticos de la colocación de los elementos de conmutación. Se explican después los transformadores de medida, que son necesarios para poder detec- tar altas tensiones y altas corrientes, adaptándolas a los calibres normalizados de los instru- mentos de medición como voltímetros, amperímetros, etc., y también para aplicar estos trans- formadores en los sistemas de protección de máquinas: relés de máxima, diferenciales, etc. El capítulo finaliza con un apéndice dedicado a transformaciones especiales; en particular expli- ca la transformación de trifásica a bifásica o conexión Scott y la transformación de trifásica a hexafásica utilizada en los equipos rectificadores. 3.2. PRINCIPALES ASPECTOS CONSTRUCTIVOS El transformador consta de las siguientes partes principales: a) núcleo, b) devanado, c) siste- ma de refrigeración y d) aisladores pasantes de salida. a) Núcleo Se denomina núcleo del transformador el sistema que forma su circuito magnético, que está constituido por chapas de acero al silicio, modernamente laminadas en frío (grano orientado), Transformadores 183 Devanado de B.T. Devanado de A.T. Núcleo magnético (exterior) Devanado de A.T.(exterior) (interior) culatas columnas ventana Devanado de B.T.(interior) a) Acorazado b) De columnas Figura 3.1. Circuitos magnéticos de transformadores monofásicos. que han sido sometidas a un tratamiento químico especial denominado comercialmente carli- te, que las recubre de una capa aislante muy delgada (0,01 mm), lo que reduce considerable- mente las pérdidas en el hierro. El circuito magnético está compuesto por las columnas, que son las partes donde se montan los devanados, y las culatas, que son las partes que realizan la unión entre las colum- nas. Los espacios entre las columnas y las culatas, por los cuales pasan los devanados, se llaman ventanas del núcleo. Según sea la posición relativa entre el núcleo y los devanados, los transformadores se clasifican en acorazados, en los que, como muestra la Figura 3.1a, los devanados están en su mayor parte abrazados o «acorazados» por el núcleo magnético, y de columnas (Fig. 3.1b), en los que son los devanados los que rodean casi por completo el núcleo magnético. En el tipo acorazado las espiras quedan más sujetas, pero el tipo de colum- nas es de construcción más sencilla y se adapta mejor a las altas tensiones, porque la superfi- cie que ha de aislarse es más reducida; por ello es el que se utiliza más generalmente en la práctica (excepto en transformadores monofásicos de baja potencia y tensión). Los circuitos magnéticos de la Figura 3.1 corresponden a transformadores monofásicos, y las secciones de las columnas y culatas son iguales para hacer que la inducción sea la misma en todo el circuito magnético; en el caso de la Figura 3.1a, la columna central tiene doble Tres columnas idénticas Primario y secundario Segunda fase Tercera fase de la primera fase Figura 3.2. Circuito magnético y devanados de un transformador trifásico. 184 Máquinas eléctricas Φ Φ Φ PARES IMPARES a) Uniones a tope b) Uniones al solape Figura 3.3. Uniones de chapas de transformadores. superficie que las laterales ya que por ella circula doble flujo que en estas últimas. Cuando se trata de transformadores trifásicos, el circuito magnético consta de tres columnas idénticas, tal como se muestra en la Figura 3.2. Las uniones de las columnas con las culatas se denominan juntas, y deben tener un espesor lo más pequeño posible con objeto de reducir al máximo la reluctancia del circuito magnético. La culata superior se tiene que poder abrir para poder colocar las bobinas y los aislantes. Las uniones o juntas pueden realizarse a tope (o plana) o bien al solape (entrelaza- da). En la construcción a tope (Fig. 3.3a) las columnas y las culatas se montan separadamente y luego se unen con ayuda de piezas de sujeción. En la construcción al solape todo el núcleo magnético se construye de una vez, de tal forma que, como indica la Figura 3.3b, se van ensamblando las chapas con un desfase de posición entre capas sucesivas (pares e impares) igual a la anchura de las chapas de la culata; este montaje, aunque es más complicado que el anterior, permite un aumento de la estabilidad mecánica del conjunto. En cualquiera de los dos casos, existe una zona al lado de la junta en la que el flujo no sigue la dirección de laminación y esto origina, en el caso de chapas de grano orientado, un calentamiento local debido al aumento de pérdidas en el hierro; para evitar esto, las uniones, bien sean a tope o al solape, no se realizan a 90° como indica la Figura 3.3, sino a 45°. 1kVA 10kVA 100kVA 1.000kVA 7 16 14 12 53 42 36 d=100 10 9 71 d c b a c=0,423d b=0,707d a=0,906d Figura 3.4. Núcleos de transformador tipo cruciforme. Transformadores 185 Otro aspecto característico de los núcleos lo muestran las secciones transversales de las columnas, que en los transformadores pequeños se construyen de forma cuadrada (Fig. 3.1). Sin embargo, en la mayoría de los casos, para obtener un mejor aprovechamiento del área interior de los devanados (de sección circular), la sección transversal de cada rama tiene forma de un polígono escalonado, con un número de escalones que es tanto mayor cuanto más elevada sea la potencia del transformador. Se dice entonces que la sección es del tipo cruciforme. En la Figura 3.4 se muestran algunos ejemplos típicos indicando también la potencia máxima de utilización correspondiente a cada configuración. En los transformadores de gran potencia, para mejorar la evacuación de calor se intercalan canales de ventilación entre los paquetes de chapas. El conjunto de las chapas debe ser finalmente apretado por medio de bridas de madera o de perfiles de hierro con la ayuda de bulones aislados; de esta forma se consigue dar rigidez mecánica al conjunto y se evitan vibraciones (véase Fig. 3.2).  COMENTARIOS PRÁCTICOS Nota de diseño Las dimensiones mostradas en la Figura 3.4 proceden de calcular el área máxima para un deter- minado tipo de sección cruciforme. Por ejemplo, si se considera una sección con tres escalones, el área real de hierro vale: S = b2 + 2ac − 2bc; las condiciones geométricas que se deducen de la figura son: d 2 = a2 + c2; d 2 = 2b2, despejando de estas dos últimas ecuaciones c en función de d y a; y b en función de d, y sustituyendo en la expresión de la sección del hierro, resulta: S = (d 2/2) + 2a∂d 2 − a2 − d∂2(d 2 − a2) Para un determinado diámetro d, el valor de la anchura a para conseguir la máxima sección se obtiene derivando S respecto de a e igualando esta derivada a cero, lo que da lugar a: a = 0,906d; como consecuencia de ello, los valores de b y c se obtienen de las condiciones geométricas, resultando ser: b = 0,707d; c = 0,423d, que son los valores mostrados en la Figura 3.4. El lector puede extender este resultado para cualquier otro número de escalones de la sección cruciforme y demostrar de este modo los valores de las dimensiones mostradas en la figura. b) Devanados Constituyen el circuito eléctrico del transformador; se realizan por medio de conductores de cobre, en forma de hilos redondos (para diámetros inferiores a 4 mm) o de sección rectangular (pletinas de cobre) cuando se requieren secciones mayores. Los conductores están recubiertos por una capa aislante, que suele ser de barniz en los pequeños transformadores y que en el caso de pletinas está formada por una o varias capas de fibra de algodón o cinta de papel. Según sea la disposición relativa entre los arrollamientos de A.T. y B.T., los devanados pue- den ser concéntricos o alternados. En los devanados concéntricos los bobinados tienen for- ma de cilindros coaxiales (Fig. 3.5a); generalmente se coloca más cerca de la columna el arrollamiento de B.T., ya que es más fácil de aislar que el devanado de A.T., y entre ambos bobinados se intercala un cilindro aislante de cartón o papel baquelizado. En los devanados alternados (Fig. 3.5b) los arrollamientos se subdividen en secciones o «galletas», de tal forma que las partes de los devanados de A.T. y B.T. se suceden alternativamente a lo largo de 186 Máquinas eléctricas A.T. B.T. A.T. B.T. A.T. B.T. B.T. a) Devanado concéntrico b) Devanado alternado (en galletas) Figura 3.5. Devanados concéntricos y alternados. la columna. Para disminuir el flujo de dispersión, es frecuente que en cada extremo se coloque media bobina, que por razones obvias de aislamiento pertenecen al arrollamiento de B.T. Debe señalarse también que las sobretensiones de alta frecuencia, y particularmente las de frente escarpado de origen atmosférico (tipo rayo), ponen a prueba simultáneamente el aisla- miento de los devanados del transformador con relación a tierra y el aislamiento entre espiras y entre bobinas. Puede demostrarse que la distribución de una sobretensión atmosférica en el devanado de alta tensión de un transformador sigue una ley de tipo hiperbólico, haciendo que la parte del devanado de alta tensión conectada a la línea esté sometida a mayores gradientes de tensión que el resto del mismo y es por ello que en la fabricación de los transformadores se refuerza el aislamiento de las primeras espiras y de las primeras bobinas del devanado de alta tensión de estas máquinas para evitar los problemas de ruptura dieléctrica de los aislamientos. Otro procedimiento constructivo para mejorar el comportamiento de un transformador frente a las sobretensiones atmosféricas es colocar un apantallamiento electrostático rodeando el devanado de alta tensión y unido a la línea (y que consiste en una lámina de material aislante cuya superficie externa está metalizada), con ello se consigue crear una distribución uniforme de la sobretensión atmosférica sobre todas las espiras de este devanado, dando lugar a los denominados transformadores antiresonantes. c) Sistemas de refrigeración En un transformador, como en cualquier otro tipo de máquina eléctrica, existen una serie de pérdidas que se transforman en calor y que contribuyen al calentamiento de la máquina. Para evitar que se consigan altas temperaturas que puedan afectar la vida de los aislamientos de los devanados es preciso dotar al transformador de un sistema de refrigeración adecuado. Para potencias pequeñas, la superficie externa de la máquina es suficiente para lograr la evacua- ción de calor necesaria, lo que da lugar a los llamados transformadores en seco. Para poten- cias elevadas se emplea como medio refrigerante el aceite, resultando los transformadores en baño de aceite. El aceite tiene una doble misión de refrigerante y aislante, ya que posee una capacidad térmica y una rigidez dieléctrica superior a la del aire. En estos transformado- res, la parte activa se introduce en una cuba de aceite mineral, cuyo aspecto externo puede tener forma plana, ondulada, con tubos o con radiadores adosados, realizándose la elimina- ción del calor por radiación y convección natural. El aceite mineral empleado procede de un subproducto de la destilación fraccionada del petróleo y con el tiempo puede experimentar un proceso de envejecimiento, lo que indica que se oxida y polimeriza formando lodos, proceso Transformadores 187 que es activado por la temperatura, la humedad y el contacto con el oxígeno del aire; con ello, el aceite presenta una disminución de sus propiedades refrigerantes y aislantes. Para atenuar este efecto suelen añadirse al aceite productos químicos inhibidores, y también se dota a la cuba de un depósito de expansión o conservador colocado en la parte alta del transformador (Fig. 3.6). La misión de este depósito es doble: por una parte se logra que la cuba principal esté totalmente llena de aceite, de tal forma que sólo existe una pequeña superficie de contacto con el aire en el conservador (la capacidad de este depósito es del orden del 8 por 100 del total); por otra parte, este depósito es el que absorbe las dilataciones del aceite al calentarse. Cuando el transformador se enfría, el aire penetra por él (se dice entonces que el transforma- dor respira), y como el aire arrastra humedad, que es absorbida por el aceite, para evitarlo se coloca a la entrada un desecador de cloruro cálcico o un gel de sílice. Desde un punto de vista histórico, la utilización del aceite mineral en su doble vertiente de aislante y refrigerante hizo posible el desarrollo de transformadores de gran potencia. El aceite mineral tiene, sin embargo, dos inconvenientes graves, a saber: 1) es inflamable, Depósito conservador Tapón del aceite del aceite Nivel del aceite Pasatapas de A.T. Pasatapas de B.T. Argolla de elevación Tapa de cierre Conexión de B.T. de la cuba Bridas de apriete (madera) Conexión de A.T. Núcleo magnético (cruciforme) Devanado de B.T. Bobina aislante Devanado de A.T. (galletas) Bridas de apriete (madera) Ruedas de transporte Cuba principal con aletas de refrigeración Figura 3.6. Aspectos constructivos de un transformador. 188 Máquinas eléctricas y 2) sus vapores, en ciertas condiciones, forman con el aire mezclas explosivas. Por estos motivos la utilización del aceite mineral está prohibida en ciertos locales y ambientes. Hasta 1932 no se había logrado un sustituto del aceite mineral que fuera útil para los transformadores. En este año se logró desarrollar un líquido aislante sintético (aceite sintéti- co) conocido con el nombre genérico de askarel, que era en realidad un hidrocarburo aromá- tico clorado que ofrecía grandes ventajas frente a los aceites clásicos de transformadores (hidrocarburos puros), ya que no era ni inflamable ni explosivo. Estos aceites sintéticos se han conocido en el mercado con los nombres comerciales de pyranol, pyraleno, inerteen, etc. Desgraciadamente, debido a las dificultades de eliminación y reducción del pyraleno, con el consiguiente impacto ecológico que representa, a partir de la década de los ochenta, se ha prohibido su utilización en la construcción de nuevos transformadores. Modernamente se ha impulsado el uso de los denominados aceites de siliconas, que representan un nuevo avance tecnológico para intentar aunar las misiones aislantes y refrigerantes con un reducido impacto ambiental. En la Tabla 3.1 se muestran las características fundamentales de los principales aceites utilizados en la construcción de transformadores y su comparación con las del aire. Los transformadores de distribución de menos de 200 kVA están normalmente sumergi- dos en aceite dentro de la cuba principal de acero. El aceite transmite el calor a la cuba, desde donde se dispersa por convección y por radiación al aire exterior. A medida que la potencia asignada va siendo mayor, se van añadiendo radiadores externos para aumentar la superficie de enfrentamiento de la cuba llena de aceite. El aceite circula alrededor de los devanados hacia los radiadores, en donde el calor es cedido al aire exterior. En el caso de potencias más elevadas, se insufla aire sobre los radiadores mediante ventiladores adecuados. En transfor- madores del orden de los MVA se puede refrigerar mediante un intercambiador de calor aceite-agua. El aceite caliente se bombea a través de un serpentín en contacto con agua fría. Este sistema es muy eficaz pero también muy costoso, ya que a su vez debe enfriarse el agua para ponerla otra vez en circulación. El tipo de refrigeración de un transformador se designa según las Normas IEC (CEI, Comisión Electrotécnica Internacional) por cuatro letras. Las dos primeras se refieren al tipo de refrigerante en contacto con los arrollamientos y a la naturaleza de su circulación y las otras dos letras se refieren al refrigerante en contacto con el sistema de refrigeración exterior y a su modo de circulación. Los símbolos empleados son los indicados en la Tabla 3.2. Por ejemplo, un transformador en baño de aceite, con circulación natural por convección, que a su vez está refrigerado por aire con movimiento natural, se designará por las letras ONAN. Si el movimiento del aire llega a hacerse con la ayuda de ventiladores se hubiera designado por ONAF. Tabla 3.1. Características de aceites de transformador Permitividad Rigidez Densidad Conductividad Denominación dieléctrica dieléctrica (kg/m3) térmica (W/m °C) relativa (kV/cm) Hidrocarburos 900 0,16 2,2 200 puros (aceite de trafo) Pyralenos 1.820 0,01 4,5 290 Aceite de silicio 960 0,15 2,56 200 a 300 Aire 1.293 0,024 1 32 Transformadores 189 Tabla 3.2. Símbolos empleados para señalar la naturaleza del refrigerante y su modo de circulación Naturaleza del refrigerante Símbolo Naturaleza de la circulación Símbolo Aceite mineral O Natural N Pyraleno L Forzada F Gas G Agua W Aire A Aislante sólido S Al inicio de la década de 1980 se inició un nuevo sistema de construcción de transforma- dores secos encapsulados en resina epoxi. Este tipo de transformador es el más idóneo para instalaciones que requieren gran seguridad, fundamentalmente en interiores, locales de públi- ca concurrencia, hospitales, centros comerciales, ferrocarriles metropolitanos, fábricas de productos combustibles, minas, etc. No propagan el fuego, son autoextinguibles, no se derra- ma material infamable ni contaminante en caso de avería, como ocurre con el aceite y la silicona. No requieren mantenimiento, no tienen niveles que controlar ni foso colector de aceites y no requieren equipos contra incendios. Todo ello hace que sea el transformador más seguro y fiable del mercado en la actualidad. Los arrollamientos de alta tensión están comple- tamente encapsulados en una masa de resina epoxi cargada con silicato de fluor, tratada convenientemente para mejorar la adherencia y la resistencia a la humedad; el conductor es en forma de hilos esmaltados o pletinas recubiertas con papel aislante. Los devanados de baja tensión emplean conductores en forma de pletinas de cobre aisladas con papel; a partir de los 400 kVA se utiliza la técnica de bobinados en bandas, que consiste en enrollar, sobre un modelo cilíndrico, una banda de conductor junto con otra de un aislamiento flexible. La aplicación de esta técnica, junto con el empleo de aislamientos preimpregnados, permite obtener unos arrollamientos compactos, resistentes a la humedad, de fácil disipación de calor y muy buen comportamiento a los esfuerzos dinámicos que se producen en caso de cortocircuitos. d) Aisladores pasantes y otros elementos Los bornes de los transformadores de media tensión se llevan al exterior de la cuba mediante unos aisladores pasantes (pasatapas) de porcelana, rellenos de aire o aceite. Cuando se utili- zan altas tensiones aparece un fuerte campo eléctrico entre el conductor terminal y el borde del orificio en la tapa superior de la cuba, y para evitar la perforación del aislador, éste se realiza con una serie de cilindros que rodean la borna metálica dentro del espacio cerrado que contiene el aceite. Los pasatapas de A.T. y B.T. en un transformador se distinguen por su altura, siendo tanto más altos cuanto mayor es la tensión, como se puede observar en la Figura 3.6. Otro elemento que suelen llevar los transformadores de gran potencia es el llama- do relé de gas o relé Buchholz (véase Fig. 3.7), que protege a la máquina de sobrecargas peligrosas, fallos de aislamiento, etc. Este relé se coloca en el tubo que une la cuba principal con el depósito de expansión, y funciona por el movimiento del vapor de aceite producido por un calentamiento anómalo del transformador que hace bascular un sistema de dos flotadores: el primero (núm. 1 de la Fig. 3.7) es sensible a las sobrecargas ligeras, y al descender de la posición mostrada en la figura provoca la activación de una alarma acústica; el segundo (núm. 2 de la Fig. 3.7) es 190 Máquinas eléctricas Red de A.T. Relé Depósito conservador Alarma acústica Disyuntor de A.T. Flotador 1 muelle antagonista TRANSFORMADOR eje de giro Relé RELÉ BUCHHOLZ burbujas Flotador 2 de gas Disyuntor de B.T. CUBA PRINCIPAL Red de B.T. Figura 3.7. Relé Buchholz y esquema eléctrico de protección. sensible a las sobrecargas elevadas, que dan lugar a una formación tumultuosa de gas en la cuba principal, que al empujar al flotador provoca el cierre del circuito de unos relés que controlan el disparo de unos disyuntores de entrada y salida del transformador. En la Figura 3.8 se muestra un esquema detallado de un transformador con sus tres pro- yecciones principales, donde pueden apreciarse cada uno de los elementos mencionados en este apartado. Se observa que mirando el transformador por la parte de A.T. aparecen las n a b c A B C Figura 3.8. Alzado, perfil y planta de un transformador. Transformadores 191 letras ABC (de izquierda a derecha) para designar los terminales de A.T. e igualmente para el lado de B.T., pero en este caso las letras van con minúscula. El neutro se señala con n o N (B.T. o A.T., respectivamente) y va colocado a la izquierda del terminal a o A. Las potencias comerciales empleadas en los transformadores de distribución (en kVA) están relacionadas por el factor 21/3 ] 1,26 y responden a los valores asignados siguientes: 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 31,5 40 50 63 80 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1.000 ... En la Tabla 3.3 se muestra un cuadro de características técnicas de transformadores trifá- sicos de la serie de 24 kV, que incluyen la potencia, grupo de conexión (se verá más adelante su significado), pérdidas, etc. También se señalan las dimensiones principales y el peso total con aceite. Los principales símbolos empleados para representar los transformadores se indican en la Figura 3.9. El símbolo a) suele ser el más utilizado, y en este caso representa un transforma- dor trifásico de 100 kVA, conexión triángulo-estrella, y relación 15.000 V/380-220 V (el doble valor secundario indica que la estrella tiene neutro). Cuando el transformador es mono- fásico las líneas de entrada y salida van cruzadas por dos barras (en vez de las tres que se indican en la Figura 3.9a). Los símbolos b) y c) representan un transformador monofásico de 10 kVA, 50 Hz, relación 3.000 V/220 V. e) Placa de características del transformador La placa de características de un transformador es una cartulina metálica serigrafiada que incluye los datos de potencia asignada, tensiones asignadas, frecuencia e impedancia equiva- lente en tanto por ciento, o caída de tensión relativa de cortocircuito (véase epígrafe 3.6.2). Si el transformador tiene tomas variadoras de tensión, se incluyen asimismo las tensiones de las Tabla 3.3. Características técnicas de transformadores trifásicos CARACTERÍSTICAS TÉCNICAS DE TRANSFORMADORES TRIFÁSICOS SERIE 24 kV (SEGÚN NORMAS UNE 20.101 y CEI 76) Potencia kVA 50 75 100 125 160 200 250 315 400 500 630 800 1.000 Grupo de Yyn Yyn Yyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn Dyn conexión 0 0 0 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 P0 (kW) 0,24 0,33 0,40 0,48 0,58 0,69 0,82 0,98 1,17 1,38 1,64 1,96 2,15 Pcc (kW) 1,39 1,87 2,20 2,53 2,97 3,49 4,10 4,86 5,80 6,89 8,22 10,24 13,3 ecc (%) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 6 6 I0 en % I1n 4,7 4,1 3,3 3 2,7 2,4 2,2 2,1 2 2 1,9 1,8 1,6 Long. (m) 0,8 0,9 0,9 1,0 1,2 1,3 1,4 1,4 1,5 1,5 1,7 1,9 2,0 Anch. (m) 0,7 0,7 0,8 0,8 0,8 0,8 0,9 0,9 1,0 1,0 1,2 1,3 1,3 Altura (m) 1,2 1,3 1,4 1,4 1,4 1,5 1,5 1,5 1,5 1,6 1,7 1,7 1,9 Peso (kg) 385 481 570 655 731 834 976 1.100 1.422 1.640 1.930 2.267 2.645 192 Máquinas eléctricas 15kV 3000V 3000V 50Hz 100kVA 50Hz 10kVA 50Hz 10kVA 220V 220V 380/220V a) b) c) Figura 3.9. Símbolos empleados para designar un transformador. diferentes derivaciones (véase epígrafe 3.14). También se indica el esquema de conexiones internas, la especificación del tipo de transformador, clase de refrigeración, nombre del fabri- cante, serie, código y en algunos casos referencias sobre las instrucciones de funcionamiento. Para el lector interesado en normativa técnica es interesante conocer la Instrucción IEC-76:1 dedicada a transformadores de potencia, o en su caso la UNE-EN60076-1/A1:2002, cuyo título es Transformadores de potencia. Parte 5: Generalidades. También es interesante las Normas del Instituto de Ingenieros Eléctricos de Estados Unidos, en concreto la C.57.12.91- 2001 denominada IEEE Standard test code for dry-type distribution and power transformers y la C.57.12.00-2006 que lleva por título: IEEE Standard general requeriments for liquid- inmmersed distribution, power and regulating transformers. Las tensiones asignadas o nominales son aquellas para las cuales se ha proyectado el transformador y serán los valores base empleados en los ensayos y en la utilización del trans- formador. La potencia asignada siempre se refiere a la potencia aparente y se aplica tanto al devanado primario como al secundario. Para transformadores monofásicos sería igual a: Sn = V1n · I1n = V2n · I2n (a) donde el subíndice n indica asignada o nominal y los subíndices 1 y 2 se aplican a magnitudes de primario y secundario, respectivamente. Para transformadores trifásicos se escribiría en función de los valores de línea: Sn = ∂3V1n I1n = ∂3V2n I2n (b) La potencia asignada junto con las tensiones asignadas fijan la capacidad de corriente de los devanados del transformador. De la magnitud de la corriente dependen las pérdidas en el cobre, las cuales a su vez inciden en el calentamiento de los arrollamientos; el que ello suceda es crítico, ya que un sobrecalentamiento acorta drásticamente la vida de los aislantes. Los transfor- madores pueden llegar a tener más de una potencia asignada, según se utilice o no refrigeración forzada o dependiendo de la altitud de la zona en la que vaya a trabajar la máquina. Los términos asignada y plena carga son sinónimos. Conocidas las tensiones asignadas de primario y secundario, y la potencia aparente asignada, las ecuaciones (a) y (b) permiten calcu- lar las corrientes asignadas o de plena carga del transformador para cada uno de los devanados. Transformadores 193 3.3. PRINCIPIO DE FUNCIONAMIENTO DE UN TRANSFORMADOR IDEAL Consideremos el transformador monofásico de la Figura 3.10, constituido por un núcleo mag- nético real de permeabilidad finita, que presenta unas pérdidas en el hierro PFe y unos arrolla- mientos primario y secundario con un número de espiras N1 y N2, respectivamente. Supondre- mos que el transformador se alimenta por el devanado de tensión más elevada, es decir, se considera que la máquina va a trabajar como transformador reductor. Los convenios de signos adoptados para las corrientes y tensiones en la Figura 3.10 corres- ponden al sentido normal de transferencia de la energía, es decir: 1) el primario constituye un receptor respecto a la fuente de alimentación (la red), lo que significa que este devanado absorbe una corriente y una potencia y desarrolla una f.c.e.m. (fuerza contraelectromotriz); 2) el secundario se comporta como un generador respecto a la carga conectada en sus bornes, suministrando una corriente y una potencia, siendo a su vez el asiento de una f.e.m. inducida. Para comprender mejor el funcionamiento del transformador, sin que las imperfecciones reales que tiene la máquina enmascaren los fenómenos físicos que tienen lugar, vamos a suponer que en un principio se cumplen las condiciones ideales siguientes: a) Los devanados primario y secundario tienen resistencias óhmicas despreciables, lo que significa que no hay pérdidas por efecto Joule y no existen caídas de tensiones resistivas en el transformador. En el sistema real estas resistencias son de pequeño valor pero no nulas. b) No existen flujos de dispersión, lo que significa que todo el flujo magnético está confinado al núcleo y enlaza ambos devanados primario y secundario. En el trans- formador real existen pequeñas partes del flujo que solamente atraviesan a cada uno de los arrollamientos y que son los flujos de dispersión que completan su circuito a través del aire. Al aplicar una tensión alterna v1 al primario, circulará por él una corriente alterna, que producirá a su vez un flujo alterno en el núcleo cuyo sentido vendrá determinado por la ley de Ampère aplicada a este arrollamiento. En la Figura 3.10 se muestran los sentidos positivos de la corriente y el flujo para el instante definido por la polaridad de la tensión aplicada. Debido a la variación periódica de este flujo se crearán f.e.m.s. inducidas en los arrollamientos, que de acuerdo con la ley de Faraday responderán a las ecuaciones: dJ dJ e1 = N1 ; e2 = N2 (3.1) dt dt i0 i´2 PFe ≠ 0 i2 Φ S i1 A a e1 N1 N2 e2 v2 CARGA v1 Z L∠ϕ 2 A´ a´ Figura 3.10. Transformador monofásico con núcleo real. 194 Máquinas eléctricas Estas f.e.m.s. tienen las polaridades señaladas en la Figura 3.10 para que estén de acuerdo con la ley de Lenz, de oposición al cambio de flujo. Realmente e1 representa una f.c.e.m. porque se opone a la tensión aplicada v1 y limita de hecho la corriente de primario. La polaridad asignada a e2 en la Figura 3.10 tiene en cuenta que al cerrar el interruptor S del secundario se tendería a producir una corriente i2 en el sentido mostrado en la figura, de tal modo que al circular por el devanado secundario daría lugar (aplicar la ley de Ampère a este arrollamien- to) a una acción antagonista sobre el flujo primario como así lo requiere la ley de Lenz. De ahí la no inclusión del signo menos en las expresiones (3.1), porque ya se ha tenido en cuenta al señalar las polaridades de las f.e.m.s. en la Figura 3.10. En definitiva, de acuerdo con este convenio de signos la f.m.m. del secundario actúa en contra de la f.m.m. primaria producien- do un efecto desmagnetizante sobre ésta. Se observa en la Figura 3.10 que los terminales superiores de los devanados primario y secundario tienen en el instante indicado una polaridad positiva respecto de los otros. Para destacar este hecho, en la teoría de circuitos con acoplamientos magnéticos se suelen señalar con un punto aquellos terminales de las bobinas que tienen simultáneamente la misma polari- dad instantánea, de ahí la justificación de haber dibujado un punto en los terminales superio- res de los devanados del transformador de la Figura 3.10. Existe un modo más inmediato de identificar estos bornes homólogos, y es considerar primeramente un sentido de flujo positivo en el núcleo y señalar a continuación con un punto aquellos extremos de los arrollamientos por los que hay que introducir corriente para obtener flujos de sentido positivo. Obsérvese en el caso de la Figura 3.10 que si se considera un flujo positivo con sentido dextrógiro, habrá que introducir corriente por los terminales superiores para que, teniendo en cuenta la ley de Ampère, se originen flujos de sentido positivo, y de ahí una nueva justificación de que los terminales superiores son homólogos y que por ello se han señalado con un punto. Existe una Recomendación de las Normas IEC (Comité Electrotécnico Internacional), y que también se ha aplicado al esquema de la Figura 3.10, por la que se deben designar los terminales de la misma polaridad con la misma letra, mayúscula para el lado de A.T. y minúscula para el lado de B.T., los extremos positivos en la forma A-a y los negativos en la forma Añ-añ ( si el transformador es trifásico se emplean las letras B y C para las otras dos fases); en la Figu- ra 3.10 puede comprobar el lector esta doble simbología de letras y puntos. La ventaja de estos convenios es la de conocer las polaridades de los devanados sin necesidad de tener en cuenta los sentidos de los arrollamientos en el núcleo del transformador. Una vez designados los sentidos de las f.e.m.s. y de las corrientes en el transformador, interesa conocer las relacio- nes existentes entre las tensiones, los flujos y las f.e.m.s. Como quiera que los devanados son ideales, la aplicación del 2.o lema de Kirchhoff a los circuitos primario y secundario de la Figura 3.10 nos da: dJ dJ v1 = e1 = N1 ; e2 = v2 = N2 (3.2) dt dt Si se parte de un flujo sinusoidal de la forma: J = Jm sen ut = Jm cos (ut − 90°) (3.3) teniendo en cuenta (3.1) y (3.2) se cumplirá: v1 = e1 = N1uJm cos ut ; e2 = v2 = N2uJm cos ut (3.4) Transformadores 195 lo que indica que las tensiones y f.e.m.s. van adelantadas 90° respecto al flujo, siendo sus valores eficaces: N uJ V1 = E1 = 1 m = 4,44 f N1Jm ∂2 N2uJm V2 = E 2 = = 4,44 f N2Jm (3.5) ∂2 Dividiendo entre sí las ecuaciones anteriores resulta: V1 E1 N1 = = =m (3.6) V2 E2 N2 donde el factor m se denomina relación de transformación. De este modo, en un transforma- dor ideal la relación de tensiones coincide con la relación de espiras, que es en definitiva la relación de transformación. Si el interruptor S de la Figura 3.10 está abierto, el transformador funciona sin carga o en régimen de vacío. El primario se comportará como una bobina con núcleo de hierro, cuyo estudio ya se realizó en el epígrafe 1.7.2. En este caso el transformador absorberá una corrien- te de vacío i0 análoga a la corriente iexc analizada en aquel apartado. La corriente i0 forma un ángulo r0 con la tensión aplicada V1, de tal forma que la potencia absorbida en vacío, denomi- nada P0, será igual a las pérdidas en el hierro PFe en el núcleo del transformador, cumpliéndose una identidad análoga a (1.85): P0 = PFe = V1 I0 cos r0 (3.7) donde V1 e I0 representan los valores eficaces de la tensión y la corriente, respectivamente. La corriente I0 tiene dos componente, una activa IFe y otra reactiva Ik. En la Figura 3.11 se muestra el diagrama fasorial de un transformador ideal en vacío, donde se muestran las mag- nitudes anteriores con sus fases correspondientes, habiéndose tomado como referencia de fases la tensión aplicada V1. Cuando se cierra el interruptor S (Figura 3.10), el transformador funciona en carga y aparece una corriente i2 que circula por el circuito secundario, que responde a un valor complejo o fasorial: E2 E2 7 0° E2 I2 = = = 7 − r2 (3.8) ZL ZL 7 r2 ZL es decir, I2 se retrasa r2 de la f.e.m. E2. I Fe V2=E2 V1=E1 ϕ0 Iμ I0 Φ Figura 3.11. Diagrama fasorial de tensiones y corrientes en vacío. EnfocusSoftware-CustomerSupport 196 Máquinas eléctricas La corriente i2 al circular por el devanado secundario produce una f.m.m. desmagnetizan- te N2 i2 que se opone a la f.m.m. primaria existente N1 i0. Es por ello que si esta f.m.m. de secundario no queda neutralizada por una corriente adicional que circule por el primario, el flujo en el núcleo se verá reducido profundamente, con las consiguientes reducciones en las f.e.m.s. e1 y e2 que son proporcionales a él y se romperá el equilibrio entre v1 y e1 en el primario (ecuación 3.2). Para que pueda restablecerse el equilibrio es preciso neutralizar la f.m.m. N2 i2 del secundario, mediante una corriente adicional primaria iñ2 equivalente a una f.m.m. N1 iñ2 de valor: N1 iñ2 = N2 i2 (3.9) de donde se deduce el valor de la corriente iñ2 adicional primaria: N2 i N iñ2 = i2 = 2 ; m = 1 (3.10) N1 m N2 De este modo, y como se indica en la Figura 3.10, la corriente total necesaria en el primario i1 será igual a: i2 i1 = i0 + iñ2 = i0 + (3.11) m que corresponde en forma fasorial a: I2 I1 = I0 + Iñ2 = I0 + (3.12) m donde se ha denominado Iñ2 a I2/m. La ecuación anterior expresa la relación entre la corriente primaria I1, de vacío I0 y secundaria I2. Esta ecuación (3.12) o su equivalente en forma instantánea (3.11) nos indica que la corriente primaria tiene dos componentes. 1. Una corriente de excitación o de vacío I0 cuya misión es producir el flujo en el núcleo magnético y vencer las pérdidas en el hierro a través de sus componentes Ik e IFe, respectivamente. 2. Una componente de carga Iñ2 que equilibra o contrarresta la acción desmagnetizante de la f.m.m. secundaria para que el flujo en el núcleo permanezca constante e inde- pendiente de la carga, como así lo requiere la ecuación (3.5). Un modo más simple de demostrar la ecuación (3.12) es proceder en sentido inverso. Así, la primera ecuación (3.5) nos indica que si la tensión primaria V1 es constante deberá perma- necer constante el flujo Jm en el núcleo magnético, para cualquier régimen de carga. Si se denomina R a la reluctancia del circuito magnético del transformador, la ley de Hopkinson (1.17) nos indica que si el flujo es constante, también deberá ser constante la f.m.m. necesaria para producirlo en cualquier régimen de carga. En particular deberán ser iguales las f.m.m.s. en vacío y en carga. En vacío, como las corrientes que circulan por los devanados son I1 = I0 e I2 = 0, resultará una f.m.m. total: F = N1 I0 (3.13) mientras que en carga, cuando las corrientes de circulación son I1 e I2, se tiene una f.m.m. resultante: F = N1 I1 − N2 I2 (3.14) Transformadores 197 El signo menos de la expresión anterior está de acuerdo con la acción desmagnetizante del secundario y que puede comprobar el lector aplicando la teoría de los circuitos magnéticos al esquema de la Figura 3.10. Al igualar (3.13) y (3.14) resulta: N1 I0 = N1 I1 − N2 I2 (3.15) de donde se deduce: N2 I I1 = I0 + I = I0 + 2 = I0 + Iñ2 (3.16) N1 2 m que coincide con la expresión ya demostrada (3.12). A plena carga la corriente Iñ2 es de ordinario veinte veces por lo menos mayor que I0, por lo que puede desp