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双曲螺线

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极径和极角成反比例的动点轨迹

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双曲螺线(hyperbolic spiral)是指极径和极角成反比例的动点轨迹。双曲螺线的极坐标方程是ρ=a/θ，双曲螺线ρ=a/θ以直线y=a为渐近线，曲线有两支，它们关于Y轴对称。

中文名: 双曲螺线
外文名: Hyperbolic spiral

别名: 倒数螺线，反螺线
简介: 极径和极角成反比例的动点轨迹
所属学科: 数学（平面几何）

目录

1定义
2方程
3基本性质
4图形

定义

播报

编辑

在极坐标系中，极径和极角成反比例的点的轨迹叫作双曲螺线(倒数螺线)^[1]。

方程

播报

编辑

由双曲螺线的定义可知，双曲螺线的极坐标方程为

(

的常数).

以极点为原点，以极轴为横轴的正半轴建立直角坐标系，由于

，又由

，这就得到直角坐标系中双曲螺线的参数方程

(

为参数).

基本性质

播报

编辑

双曲螺线

的基本性质：

(1)对称性用

代替方程中的

，方程不变，所以双曲螺线关于极垂线对称。容易验证，它关于极轴、极点都不对称。

(2)周期性不存在。

(3)存在范围因

的值可以无穷大，所以曲线无限延伸。

(4)渐近点与渐近线当

的绝对值由小趋向无穷大时，则

的绝对值就逐渐减小而逐向于0，这就是说，双曲螺线绕极点无限旋转，双曲螺线上的点与极点的距离趋近于0(这里达不到0)，所以极点是双曲螺线的渐近点。如果

的绝对值趋向于零，则

的绝对就趋向无穷大，因此双曲螺线向无穷远延伸。另外

(因

).

这就是说，双曲螺线上的点沿螺线向右或向左无穷远离时，螺线上的点就无限地接近于直线

，所以

是双曲螺线

的一条渐近线^[1]。

图形

播报

编辑

双曲螺线

的图形：

(1)当

时，用描点法先描出它的

的部分，

的部分可由它的对称性描出(图1)。

图1

(2)当常数

时，这时的双曲螺线也叫作反双曲螺线。反双曲螺线

与双曲螺线

关于极点对称。这是因为，若M是

上的任意一点，则M至少有一组坐标

满足这双曲螺线的方程，即

，由此就得

这个等式说明

是双曲螺线

上的一点，而

和

关于极点对称。这就证明了

上的每个点关于极点的对称点必在

上，反过来也成立，所以

与

关于极点对称，

与

是全等的，只是它们在平面上与极轴的相关位置不同(图2)^[1]。

图2

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