拉格朗日中值定理_百度百科
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拉格朗日中值定理

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数学定理
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本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。
拉格朗日中值定理，又称拉氏定理、有限增量定理，是微分学中的基本定理之一，反映了可导函数在闭区间上整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。 [1] [4] [8]
1797年，拉格朗日中值定理由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先提出，并提供了最初的证明。现代形式的拉格朗日中值定理由法国数学家O.博内提出。 [1]
拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系。在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面，都可能用到拉格朗日中值定理。 [6]
中文名
拉格朗日中值定理
外文名
Lagrange mean value theorem [12]
Lagrange's Mean Value Theorem [17]
别    名
拉氏定理、有限增量定理
表达式
f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)(a<ξ<b)
提出者
约瑟夫·拉格朗日
提出时间
1797年
适用领域
微分学
应用学科
高等数学

目录

  1. 1发展历程
  2. 2定理内容
  3. ▪定理表述
  4. ▪结论变形
  1. 3推导验证
  2. 4定理推广
  3. ▪学术意义
  4. ▪推理推论
  1. 5定理应用
  2. 6运用示例
  3. 7意义影响

发展历程

播报
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人类对微分中值定理的认识始于古希腊时代。当时的数学家们发现，过抛物线顶点的切线必平行于抛物线底端的连线，阿基米德还利用该结论求出了抛物线弓形的面积。这其实就是拉格朗日中值定理的特殊情形。
1635年，意大利数学家博纳文图拉·卡瓦列里在《不可分量几何学》中描述：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦，即卡瓦列里定理。它反映了微分中值定理的几何形式。
1637年，法国数学家皮耶·德·费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了费马定理，即函数在极值点处的导数为零。
1691年，法国数学家米歇尔·罗尔在《方程的解法》中给出了多项式形式的罗尔中值定理，后来发展成一般函数的罗尔定理，并且正是由费马定理推导而出。
1797年，法国数学家约瑟夫·拉格朗日在《解析函数论》中首先给出了拉格朗日中值定理，并予以证明。它也是微分中值定理中最为主要的定理。
19世纪10年代至20年代，法国的数学家奥古斯丁·路易斯·柯西对微分中值定理进行了更加深入的研究。他的三部巨著《分析教程》《无穷小计算教程概论》和《微分计算教程》，在分析上进行了严格的叙述和论证，对微积分理论进行了重构。他在《无穷小计算教程概论》中严格地证明了拉格朗日中值定理，后来又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为广义中值定理——柯西中值定理。
现代形式的拉格朗日中值定理是法国数学家O.博内在其著作《Cours de Calcul Differentiel et integral》中提出的，他并非利用
的连续性，而是利用了罗尔中值定理对拉格朗日中值定理加以重新证明 [1]。

定理内容

播报
编辑

定理表述

  • 最初形式
函数
在
和
之间连续，
的最大值为
，最小值为
，则
必取
，
中的一个值 [1] [4]。
  • 现代形式
如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
上可导，那么在开区间
内至少存在一点
使得
[1] [4]。

结论变形

拉格朗日中值定理的结论有几种变形：
或令
，
，
，有
若把
记成
，则
上面第一式称为拉格朗日中值公式，第二式和第三式称为有限增量公式。
拉格朗日中值定理也称为有限增量定理，视其重要性，又称为微分中值定理 [2]。

推导验证

播报
编辑
设
，由于
在闭区间
上连续，在
内可导，因此
在闭区间
上连续，在
内可导。
又
，所以根据罗尔中值定理，在
内至少存在一点
，使
亦即
或
以上证明是在
的情况下得到的，如果
，同样可证得定理的结论 [3]。

定理推广

播报
编辑

学术意义

  • 几何意义
拉格朗日中值定理的几何意义
若连续曲线
在点
，
之间的每一点处都有不垂直于
轴的切线，则曲线在
、
间至少存在一点
，使得该点处的切线与割线
平行。 [4-5]
  • 运动学意义
对于曲线运动，在任意一个运动过程中至少存在一个位置（或一个时刻）的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。 [4-5]

推理推论

根据拉格朗日中值定理，可以得到下列推论：
推论1：若函数
在区间
上的任意点
处的导数
恒等于零，则函数
在区间
内是一个常数。
推论2：若函数
和
在区间内的每一点导数
与
都相等，则这两个函数在此区间内至多相差一个常数。 [3]
柯西中值定理被认为是拉格朗日中值定理的推广，它的内容是：设
和
在
上连续，在
上可导，并且
在
上不为零，这时对于某一点
，有
。 [1]

定理应用

播报
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拉格朗日中值定理是微分学理论中非常突出的成果，在理论和应用上都有着极其重要的意义。它沟通了函数与其导数的联系，因此很多时候可以从导数的角度来研究函数在其定义域上的性质。 [6-7]
拉格朗日中值定理的应用比罗尔中值定理和柯西中值定理的应用更加广泛，因为它对函数的要求更低，而且建立了函数增量、自变量增量及导数之间的联系，这为利用导数解决函数的相关问题提供了重要支撑。 [10] [14]
总的来说，在研究函数的单调性、凹凸性以及求极限、恒等式、不等式的证明、判别函数方程根的存在性、判断级数的敛散性以及证明与函数差值有关的命题，以及计算未定式极限等方面，都可能会用到拉格朗日中值定理。 [7] [14-15]
拉格朗日中值定理的几何意义也有较为广泛的应用。此外，拉格朗日中值定理的变形公式指出了函数与导数的一种关系，因此，可以利用这种关系研究函数的性质。 [13]
在化学、物理等其他专业领域，也可以利用拉格朗日中值定理来进行计算和研究，例如在化学中计算相对于时间的反应级数，在物理中研究航空重力异常向下延拓方法等。 [9] [16]

运用示例

播报
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  • 证明等式
例1：设
在
上连续，在
内可导，证明：在
内至少存在一点
使得
。
证明：设
，则
在
内可导，在
上连续，于是根据拉格朗日中值定理可知至少存在一点
，使得
，因此
，即
。
例2：设
在
内可导，在
上连续，且
，证明：在
内至少存在
，
，使得
。
证明：设
，则
在
内可导，在
上连续，因此由拉格朗日中值定理有，在
内至少存在
，使得
，即
，又因为
，所以
设
，则
在
内可导，在
上连续，满足拉格朗日中值定理的条件，所以在
内至少存在一点
，使得
，即
由
及
得
，即
[10]。
  • 证明不等式
例3：设函数
在
内可导，在
上连续，且
，证明：如果
在
上不恒等于零，则必有
，使得
。
证明：设
，则
在
内可导，在
上连续，
，所以
，使
，从而
在
内可导，在
上连续，拉格朗日中值定理的条件满足，如此，
，使
，即
[10]。
  • 求函数极限
例4：求
。
解：令
，则
在
上连续，在
内可导，拉格朗日中值定理的条件满足，所以
，使得
，且显然
时
，所以
[10]。

意义影响

播报
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拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心内容，是罗尔中值定理的直接推广，而柯西中值定理和泰勒中值定理又是拉格朗日中值定理在形式和应用上的推广。
拉格朗日中值定理是将函数与导数联系起来的一座桥梁，是研究函数的重要理论工具，是微积分学的重要组成部分，在微积分学中占有十分重要的地位，有着广泛应用。 [11]
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