①
②
③负数与零无对数.
④
⑤
在a>0且a≠1，N>0时
设：当logaN=t，满足(t∈R)
则有at=N;
alogaN=at=N;
证明完毕
①
②
③
④
(M,N∈R+)
基本性质：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
推导：
1、因为
2、MN=M×N
由基本性质1(换掉M和N)
由指数的性质
3、与（2）类似处理 M/N=M÷N
由基本性质1(换掉M和N)
4、与（2）类似处理
由基本性质1(换掉M)
由指数的性质
又因为指数函数是单调函数，所以
或
图1 对数基本性质4推导过程
基本性质4推广
换底公式的推导： 设
其中
得：
由基本性质4可得
再由换底公式
换底公式设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn) ①
对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m ②
对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn ③
③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a) [2]
推导二：
注：log(a)(b)表示以a为底b的对数。
换底公式拓展：
logae=1/（lna） [3]
log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)
loga(b)*logb(a)=1
loge(x)=ln(x)
lg(x)=log10(x)
(xlogax)'=logax+1/lna
(logax)'=1/xlna
特殊的即a=e时有
(logex)'=(lnx)'=1/x [4]
