Derivata della arcotangente: formula, dimostrazione e generalizzazione

Formula per la derivata dell'arcotangente

La derivata dell'arcotangente è data dal reciproco della somma tra 1 e il quadrato di x, ossia la derivata di f(x)=arctan(x) è f'(x)=1/(1+x^2), e si calcola applicando il teorema per la derivata della funzione inversa.

(d)/(dx) arctan(x) = (1)/(1+x^2)

Dimostrazione: derivata di arctan(x)

Per calcolare la derivata dell'arcotangente bisogna applicare il teorema di derivazione della funzione inversa. Nel farlo daremo per nota la derivata della tangente, che è:

(d)/(dz) tan(z) = (1)/(cos^2{(z)})

Consideriamo la funzione arcotangente y = arctan(x). Essa è definita su tutto R ed è a valori in (−(π)/(2), (π)/(2)).

arctan:R → (−(π)/(2), (π)/(2))

Inoltre l'arcotangente è invertibile e ammette come funzione inversa la funzione tangente, a patto che quest'ultima sia ristretta all'intervallo (−(π)/(2),(π)/(2)).

tan:(−(π)/(2), (π)/(2)) → R

In sintesi, se y∈ (−(π)/(2), (π)/(2)) possiamo scrivere:

y = arctan(x) ↔ x = tan(y)

Applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa: possiamo farlo perché, con la precedente restrizione, tutte le ipotesi sono soddisfatte. Consideriamo x_0 e y_0 tali che:

y_0 = arctan(x_0) ; x_0 = tan(y_0)

Dunque

(d)/(dx) arctan(x)|_(x = x_0) = (1)/((d)/(dy) tan(y)|_(y = y_0))

dove la notazione |_(...) indica il punto di valutazione della derivata prima.

Sostituiamo la derivata a noi nota:

(d)/(dx) arctan(x)|_(x = x_0) = (1)/((d)/(dy) tan(y)|_(y = y_0)) = (1)/((1)/(cos^2{(y_0)})) = cos^2{(y_0)}

Ora dobbiamo esprimere il coseno al quadrato in termini della tangente. Applicando le formule trigonometriche si ricava l'uguaglianza:

cos^2{(y_0)} = (1)/(1+tan^2{(y_0)})

Quindi

(d)/(dx) arctan(x)|_(x = x_0) = (1)/(1+tan^2{(y_0)})

e dato che nella nostra ipotesi è x_0 = tan(y_0), concludiamo che:

(d)/(dx) arctan(x)|_(x = x_0) = (1)/(1+x_0^2)

Dalla generalità della coppia (x_0 , y_0) possiamo scrivere la formula per la derivata dell'arcotangente.

(d)/(dx) arctan(x) = (1)/(1+x^2)

Derivata dell'arcotangente di una funzione

La derivata dell'arcotangente di una funzione f(x) è uguale alla derivata prima di f(x) fratto la somma tra 1 e il quadrato di f(x), in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta.

(d)/(dx) arctan([f(x)]) = (f'(x))/(1+[f(x)]^2)

Per fissare le idee vediamo un esempio e calcoliamo la derivata dell'arcotangente di 1/x.

(d)/(dx) arctan((1)/(x)) =

Applichiamo la formula per la derivata dell'arcotangente di una funzione e sostituiamo f(x)=1/x.

= (1)/(1+((1)/(x))^2)·(d)/(dx)[(1)/(x)] =

La derivata di 1/x è nota:

= (1)/(1+((1)/(x))^2)·(−(1)/(x^2)) = (−(1)/(x^2))/(1+(1)/(x^2)) =

Calcoliamo la somma a denominatore:

= (−(1)/(x^2))/((x^2+1)/(x^2)) =

Scriviamo la frazione di frazioni come moltiplicazione

= −(1)/(x^2)·(x^2)/(x^2+1)

e infine scriviamo tutto come un unico rapporto, ottenendo il risultato.

(d)/(dx) arctan((1)/(x)) = −(1)/(x^2+1)

Riferimenti