Sviluppo in serie di Taylor: definizione, formula e tipi di resto
Questa lezione è di estrema importanza per tutti gli studenti universitari che affrontano un qualsiasi corso di Analisi 1. Qui e nelle successive trattiamo un argomento cruciale per lo studio delle funzioni reali di variabile reale: gli sviluppi in serie di Taylor.
Le applicazioni, come potete intuire, sono tante perché Taylor fornisce una rappresentazione locale alternativa della funzione; non solo alternativa, anche semplice, infatti è di tipo polinomiale.
Indice
Teorema: formula di Taylor (cos'è uno sviluppo di Taylor)
Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione in un punto, se esiste, è una rappresentazione della funzione nell'intorno del punto come polinomio con infiniti termini; arrestando lo sviluppo di Taylor a un certo ordine, è possibile esprimere la funzione come somma di un polinomio con un numero finito di termini e un'altra opportuna funzione.
Partiamo dal teorema di Taylor nella forma più generale, e ricordiamo che il punto esclamativo come operatore indica il fattoriale.
Sia f:[a,b] ⊆ R → R una funzione, sia x_0∈(a,b) e supponiamo che f sia derivabile ∞ volte in un intorno di I di x_0.
Vale la formula per lo sviluppo di Taylor di f in x_0:
f(x) = Σ_(k = 0)^(∞){(f^(k)(x_0))/(k!)(x−x_0)^k} ∀ x∈ I
Se supponiamo che la funzione sia derivabile n volte in un intorno I di x_0, vale la formula per lo sviluppo di Taylor di f con centro x_0 e ordine n:
f(x) = Σ_(k = 0)^(n){(f^(k)(x_0))/(k!)(x−x_0)^k}+R_n(x) ∀ x∈ I
Esplicitamente:
f(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x−x_0)+(f''(x_0))/(2)(x−x_0)^2+...+(f^(n)(x_0))/(n!)(x−x_0)^n+; +R_n(x) ∀ x∈ I
Significato della formula con ordine n
Sviluppare una funzione in serie di Taylor in un punto x_0 equivale, sotto opportune ipotesi di derivabilità, a fornire una rappresentazione esatta della funzione nell'intorno del punto.
Tale rappresentazione avviene per mezzo di un polinomio T_n(x) di grado n e di una funzione R_n(x), detta resto.
Nella versione generale del teorema non sappiamo a priori che forma abbia la funzione R_n(x), e nemmeno ci interessa: la formula ha valore teorico. Però, possiamo dire di più e avere informazioni qualitative o quantitative su di essa.
Vi sono due principali tipi di resto che possiamo prendere in considerazione: il resto di Peano e il resto di Lagrange. Attenzione ai dettagli, e soprattutto alle ipotesi rispetto all'enunciato generale!
Teorema (Formula di Taylor con resto di Peano)
Sia f:[a,b] ⊆ R → R una funzione, sia x_0∈(a,b) e supponiamo che la funzione sia derivabile (n−1) volte in un intorno I di x_0.
Se esiste la derivata di ordine n nel punto x_0, ossia f^(n)(x_0), vale la formula di Taylor con resto di Peano, con ordine n:
f(x) = Σ_(k = 0)^(n){(f^(k)(x_0))/(k!)(x−x_0)^k}+o[(x−x_0)^n]
L'ultimo termine dell'uguaglianza prende il nome di resto di Peano di ordine n:
R_n(x) = o[(x−x_0)^n]
Il termine o[(x−x_0)^n], per definizione di o-piccolo, è tale da essere un infinitesimo di ordine superiore a (x−x_0)^n per x → x_0:
lim_(x → x_0){(R_n(x))/((x−x_0)^n)} = 0
Se siete interessati alla dimostrazione della formula di Taylor con resto di Peano, la proponiamo nel relativo approfondimento.
Significato del resto di Peano (è qualitativo)
Il resto di Peano fornisce informazioni di tipo qualitativo.
È cruciale capire da subito che non importa sapere quale sia esattamente la funzione R_n(x) che rende vera l'uguaglianza; piuttosto, è importante capire qual è il suo comportamento qualitativo.
Il termine o[(x−x_0)^n] esprime una semplice proprietà: per x che tende a x_0 tende a zero più velocemente di (x−x_0)^n. Tanto basta.
Teorema (Formula di Taylor con resto di Lagrange)
Sia f:[a,b] ⊆ R → R una funzione, sia x_0∈(a,b) e supponiamo che la funzione sia derivabile n volte in un intorno I di x_0.
Se la funzione è derivabile n+1 volte in I−{x_0}, allora esiste un punto c∈ I−{x_0} tale che:
f(x) = Σ_(k = 0)^(n){(f^(k)(x_0))/(k!)(x−x_0)^k}+(f^(n+1)(c))/((n+1)!)(x−x_0)^(n+1)
L'ultimo termine dell'uguaglianza è detto resto di Lagrange:
R_n(x) = (f^(n+1)(c))/((n+1)!)(x−x_0)^(n+1)
Per la dimostrazione relativa al resto di Lagrange vi rimandiamo al relativo approfondimento.
Significato del resto di Lagrange (è quantitativo)
Il resto di Lagrange, a differenza di quello di Peano, fornisce informazioni quantitative sul resto.
Anche in questo caso non sappiamo né ci interessa capire quale sia il punto c per cui vale l'uguaglianza. È sufficiente sapere che esiste e che la valutazione della derivata (n+1)-esima in tale punto conduce ad una rappresentazione esatta.
Nomenclatura: sviluppo in serie di Taylor-Mc Laurin, polinomio di Taylor e affini
Per concludere questa prima lezione sull'argomento, vogliamo precisare la nomenclatura relativa agli sviluppi di Taylor, onde evitare fraintendimenti. Useremo i seguenti nomi.
- Sviluppo di Taylor con centro x_0: è il polinomio infinito T(x) che equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.
- Sviluppo di Taylor all'ordine n con centro x_0: è la somma tra il polinomio T_n(x) di grado n e il resto R_n(x) dello sviluppo, ed equivale alla funzione nell'intorno del centro di sviluppo.
- Sviluppo in serie di Mc Laurin, o sviluppo di Taylor-Mc Laurin: è uno sviluppo in cui il centro è x_0 = 0.
- Polinomio di Taylor all'ordine n con centro x_0: è il polinomio T_n(x) di grado n, senza il resto dello sviluppo, che approssima la funzione nell'intorno del centro di sviluppo.
Vogliamo passare all'azione e vedere un po' di sviluppi in serie di Taylor di funzioni elementari? Ne parliamo nella prossima lezione; ma se siete impazienti, potete già passare alla spiegazione pratica sul calcolo degli sviluppi di Taylor.
Nel frattempo vi invitiamo a dare uno sguardo agli esercizi svolti della scheda correlata, e in caso di necessità a usare il tool per gli sviluppi di Taylor online e la barra di ricerca interna: qui su YouMath abbiamo risolto migliaia di esercizi e risposto ad altrettante domande. ;)
సలాము, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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