Come studiare convessità, concavità e punti di flesso con la derivata seconda
Dopo aver introdotto le derivate successive al primo ordine, in questa lezione vediamo i teoremi che legano la derivata seconda con la concavità e convessità di una funzione. In altre parole, spieghiamo come studiare la convessità, la concavità e i punti di flesso con la derivata seconda.
Per cominciare diamo alcune definizioni preliminari e ripassiamo le definizioni di funzione convessa e di funzione concava, con le relative caratterizzazioni; poi passiamo ai teoremi che collegano il segno della derivata seconda con la concavità e convessità.
Per chi non lo sapesse, questo argomento rientra nella procedura dello studio di funzione. Prudenza, perché è molto importante! La lezione è lunga, ma solo perché non diamo nulla per scontato: ogni definizione e teorema è propedeutico per il successivo, e il tutto culmina nel metodo di studio della derivata seconda.
Indice
- Convessità e concavità
- Caratterizzazione per funzioni derivabili
- Teoremi sulla derivata seconda
- Punti di flesso
- Metodo generale
Convessità e concavità di una funzione
Partiamo da un ripasso delle definizioni di funzione convessa e funzione concava, prima in termini concettuali e poi rigorosi. Per tutti gli approfondimenti del caso vi rimandiamo alla relativa lezione.
Consideriamo una funzione reale a valori reali f:Dom(f) ⊆ R → R e sia I un intervallo contenuto nel suo dominio.
Diciamo che f(x) è convessa in I se, comunque si prendono due punti del suo grafico con riferimento all'intervallo I, il segmento che li congiunge sta al di sopra del grafico stesso.
Diciamo che f(x) è concava in I se, comunque si prendono due punti del suo grafico con riferimento all'intervallo I, il segmento che li congiunge sta al di sotto del grafico stesso.
Da un punto di vista formale, diciamo che f(x) è:
una funzione convessa in I se:
f(t x_1+(1−t)x_2) ≤ t f(x_1)+(1−t)f(x_2) ∀ x_1,x_2∈ I e t∈ [0,1]
una funzione strettamente convessa in I se vale la disuguaglianza stretta:
f(t x_1+(1−t)x_2) < t f(x_1)+(1−t) f(x_2) ∀ x_1 ne x_2∈ I e t∈ (0,1)
una funzione concava in I se:
f(t x_1+(1−t)x_2) ≥ t f(x_1)+(1−t)f(x_2) ∀ x_1,x_2∈ I e t∈ [0, 1]
una funzione strettamente concava in I se vale la disuguaglianza stretta:
f(t x_1+(1−t)x_2) > t f(x_1)+(1−t)f(x_2) ∀ x_1 ≠ x_2∈ I e t∈ (0,1)
Un paio di suggerimenti per la corretta interpretazione delle definizioni.
A sinistra del simbolo di disuguaglianza, il generico punto tx_1+(1−t)x_2 in cui viene valutata f al variare di t individua tutti e soli i possibili punti tra x_1 e x_2; la valutazione f(t x_1+(1−t)x_2) individua tutte e sole le ordinate del grafico tra f(x_1) e f(x_2).
A destra del simbolo di disuguaglianza abbiamo le ordinate di tutti e soli i punti del segmento comprese tra f(x_1) e f(x_2).
In entrambi i casi si utilizza la rappresentazione del segmento in forma parametrica: nel primo abbiamo un segmento sulle ascisse, nel secondo le ordinate del segmento tra i due punti del grafico.
Da notare che non abbiamo richiesto che la funzione f sia derivabile: questa semplice osservazione è fondamentale, e avrete modo di apprezzarla a lezione conclusa. ;)
Esempi di funzioni concave e di funzioni convesse
La funzione valore assoluto f(x) = |x| è una funzione convessa in R.
La funzione logaritmica f(x) = ln(x) è una funzione concava in (0,+∞).
La funzione identità f(x) = x è una funzione sia concava e sia convessa in R.
Caratterizzazione della convessità per funzioni derivabili al primo ordine
Se la funzione è derivabile in un intervallo (a,b) allora possiamo riscrivere la definizione di concavità e convessità in una forma caratteristica.
Sia f(x) una funzione derivabile in un intervallo (a,b) contenuto nel dominio di f. Allora la funzione f(x) è convessa se e solo se:
f(x) ≥ f(x_0)+f'(x_0)(x−x_0) ∀ x∈ (a, b), ∀ x_0∈ (a,b)
Invece, la funzione è concava nell'intervallo (a,b) se e solo se:
f(x) ≤ f(x_0)+f'(x_0)(x−x_0) ∀ x∈ (a,b), ∀ x_0∈ (a,b)
Dal punto di vista geometrico una funzione derivabile è convessa (rispettivamente concava) in un intervallo (a,b) se e solo se per ogni x_0∈ (a,b) la retta tangente in x_0 al grafico della funzione sta al di sotto o coincide (rispettivamente al di sopra o coincide) con il grafico della funzione.
L'ipotesi di derivabilità, dunque, ci permette di usare le tangenti al grafico in tutti i punti dell'intervallo come elemento di controllo.
Teorema (Convessità e concavità per funzioni derivabili una volta)
Sia f(x) una funzione derivabile in (a,b). Allora:
- f(x) è convessa in (a,b) se e solo se la derivata prima è debolmente crescente in (a,b);
- f(x) è concava in (a,b) se e solo se la derivata prima è debolmente decrescente in (a,b).
La dimostrazione richiede un po' di tecnicismi e abbiamo convenuto di non riportarla qui, per non appesantire troppo la lezione, ma riteniamo utile riportare un esempio grafico. Attenzione: quella che segue non è la dimostrazione del teorema!
La funzione rappresentata in figura è convessa, e si vede che...
- Nel punto x_0 la retta tangente al grafico è decrescente, dunque il coefficiente angolare è negativo; ricordando l'interpretazione geometrica della derivata prima in un punto, si ha che f'(x_0) < 0.
- Nel punto x_1 la retta tangente al grafico è parallela all'asse x, di conseguenza il coefficiente angolare della retta è nullo: f'(x_1) = 0.
- Nel punto x_2 la retta tangente al grafico è crescente, di conseguenza il coefficiente angolare è positivo: f'(x_2) > 0.
Al crescere di x il coefficiente angolare della retta cresce sempre, dunque la derivata prima della funzione è sempre crescente; in accordo con quanto stabilito dal teorema, la funzione è convessa.
Teoremi sulla derivata seconda e sulla convessità
Fin qui abbiamo capito che la convessità e la concavità non sono concetti vincolati esclusivamente alla nozione di derivata seconda, come molti pensano. Se però la funzione f(x) è derivabile due volte, allora il legame diventa intenso. ;)
Teorema (Convessità e concavità per funzioni derivabili due volte)
Consideriamo una funzione reale a valori reali f(x) che sia derivabile due volte nell'intervallo (a,b).
- La funzione f(x) è convessa in (a,b) se e solo se f''(x) ≥ 0 ∀ x∈ (a,b).
- La funzione f(x) è concava in (a,b) se e solo se f''(x) ≤ 0 ∀ x∈ (a,b).
Dimostrazione: dimostriamo il primo caso, per il secondo varranno considerazioni analoghe.
Cominciamo con l'implicazione Longleft → : dall'ipotesi di derivata seconda non negativa dobbiamo risalire alla convessità.
Fissiamo x_1, x_2∈ [a,b] con x_1 < x_2. La funzione f'(x) rispetta le ipotesi del teorema di Lagrange, infatti essa è continua in [x_1,x_2] ed è derivabile in (x_1,x_2).
Di conseguenza esiste un punto c∈ (x_1,x_2) tale che:
f'(x_2)−f'(x_1) = f''(c)(x_2−x_1)
Sappiamo che x_2−x_1 > 0, perché abbiamo supposto x_1 < x_2.
Inoltre, nella nostra ipotesi è f''(x) ≥ 0 ∀ x∈(a,b), dunque deve essere f''(c) ≥ 0, dunque il prodotto al secondo membro è non negativo. Tale deve essere anche il primo membro:
f'(x_2)−f'(x_1) ≥ 0 ⇒ f'(x_2) ≥ f'(x_1) ∀ x_1,x_2∈ (a,b)
La derivata prima è debolmente crescente, quindi per il teorema su convessità e funzioni derivabili una volta risulta che la funzione è convessa in (a,b).
Passiamo all'implicazione Long → : partendo dalla convessità dobbiamo dimostrare che la derivata seconda è non negativa.
Sappiamo per ipotesi che f(x) è convessa in (a,b). Per il teorema su convessità e funzioni derivabili una volta, la derivata prima deve essere debolmente crescente in (a,b).
Di conseguenza, comunque si fissino x, x_0∈ (a,b) con x ne x_0, vale la seguente disuguaglianza:
(f'(x)−f'(x_0))/(x−x_0) ≥ 0
Questo perché la funzione è crescente, e la differenza di ordinate deve essere concorde alla differenza di ascisse.
Facendo tendere x → x_0, per definizione di derivata seconda come limite del rapporto incrementale della derivata prima:
f''(x_0) = lim_(x → x_0)(f'(x)−f'(x_0))/(x−x_0) ≥ 0
Dall'arbitrarietà di x_0 si ha la tesi, ossia la derivata seconda è non negativa.
square
Vediamo un ulteriore teorema, in questo caso relativo alla convessità e alla concavità strette, di cui omettiamo la dimostrazione.
Teorema (Convessità e concavità strette per funzioni derivabili due volte)
Sia f(x) una funzione derivabile due volte in un intervallo (a,b):
- se f''(x) > 0 per ogni x∈ (a,b), allora la funzione è strettamente convessa in (a,b)
- se f''(x) < 0 per ogni x∈ (a,b), allora la funzione è strettamente concava in (a,b)
Attenzione: non vale il viceversa! Se una funzione è derivabile due volte ed è strettamente convessa (rispettivamente concava) in un intervallo non possiamo concludere che la derivata seconda è positiva (rispettivamente negativa)!
A tal proposito possiamo liquidare il discorso con un semplice controesempio: f(x) = x^4 è una funzione strettamente convessa su tutto l'asse reale; la sua derivata seconda è f''(x) = 12 x^2 e, com'è evidente, si annulla in x = 0.
Derivata seconda e punti di flesso
In molti casi le funzioni con cui avremo a che fare non saranno sempre concave o convesse sul proprio dominio, e presenteranno uno o più cambi di concavità.
Un cambio di concavità fa sì che la funzione passi da concava a convessa, o viceversa; il punto in cui avviene la variazione prende il nome di punto di flesso.
Cerchiamo di essere più precisi: consideriamo una funzione f(x). Un punto x_0∈Dom(f) è:
un punto di flesso ascendente se esiste un intorno I(x_0) contenuto nel dominio in cui valgono entrambe le condizioni:
f(x) < f'(x_0)(x−x_0)+f(x_0) se x < x_0 ; f(x) > f'(x_0)(x−x_0)+f(x_0) se x > x_0
un punto di flesso discendente se esiste un intorno I(x_0) contenuto nel dominio in cui valgono entrambe le condizioni:
f(x) > f'(x_0)(x−x_0)+f(x_0) se x < x_0 ; f(x) < f'(x_0)(x−x_0)+f(x_0) se x > x_0
In entrambi i casi, se f'(x_0) = 0 allora x_0 è anche detto punto di flesso a tangente orizzontale.
Dal punto di vista geometrico, nell'intorno di un punto di flesso x_0 il grafico della funzione f attraversa la retta tangente al grafico stesso nel punto: se passa da sotto a sopra, allora passa da concava a convessa e il flesso è ascendente; se passa da sopra a sotto, allora passa da convessa a concava e il flesso è discendente.
Arriviamo al cuore della lezione e vediamo un teorema molto importante nella pratica, di cui omettiamo la dimostrazione.
Teorema (Caratterizzazione dei punti di flesso con la derivata seconda)
Sia f è derivabile due volte in un intorno di x_0. Valgono le seguenti implicazioni:
- se x_0 è un punto di flesso, allora f''(x_0) = 0;
- se f''(x) è negativa in un intorno sinistro di x_0 e positiva in un intorno destro di x_0, allora x_0 è un punto di flesso ascendente;
- se f''(x) è positiva in un intorno sinistro di x_0 e negativa in un intorno destro di x_0, allora x_0 è un punto di flesso discendente.
Dulcis in fundo, un rapido cenno ai punti di flesso a tangente verticale di cui abbiamo già parlato in una delle precedenti lezioni. Questo particolare tipo di punti non rientra nelle casistiche che abbiamo elencato, perché per definizione è un punto di non derivabilità. Nonostante ciò si tratta comunque di un punto in cui avviene un cambio di convessità, ed è bene ricordarsene.
Metodo per studiare convessità, concavità e punti di flesso
L'ultimo accenno è utile per rimandarci a un'osservazione più generale, che spesso confonde gli studenti alle prese con lo studio della derivata seconda e della convessità delle funzioni.
Il fatto che una funzione non sia derivabile non ci impedisce di studiarne la convessità, solo che dovremo ricorrere ad altri mezzi per farlo rispetto a quelli forniti dai precedenti teoremi. Quali, di preciso? Niente più e niente meno che la definizione.
Di contro, avere la condizione di derivabilità fino al secondo ordine ci permette di agevolare lo studio usando i teoremi appena visti: si tratta di effettuare uno studio degli zeri e del segno della derivata seconda. In questa ipotesi, dovremo:
- calcolare la derivata seconda f''(x);
- individuare i candidati punti di flesso risolvendo l'equazione f''(x) = 0;
- risolvere la disequazione f''(x) > 0 per conoscere il segno della derivata seconda;
- usare i teoremi e risalire dal segno della derivata seconda alla convessità della funzione, individuando i punti di flesso tra le soluzioni della precedente equazione;
- gli eventuali punti di non derivabilità richiedono un controllo manuale, mediante la definizione di convessità.
I più attenti di voi avranno sicuramente notato le analogie rispetto al metodo per studiare monotonia e punti estremanti, e in effetti ce ne sono parecchie. Nel caso della convessità, però, il coinvolgimento di un ordine superiore di derivata richiede maggiore attenzione.
Come anticipato a inizio lezione, nella guida sullo studio di funzione è presente una sintesi degli aspetti pratici che riguardano lo studio della derivata seconda.
Per il resto vi raccomandiamo di fare tanti esercizi, a partire da quelli della scheda correlata, e di usare la barra di ricerca interna per ogni evenienza. ;)
Ahoj, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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