विभाज्यता और शेषफल MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Divisibility and Remainder - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on May 24, 2024
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विभाज्यता और शेषफल Question 1:
23 और 100 के बीच ऐसी कितनी प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 6 से पूर्णतः विभाज्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 1 Detailed Solution
दिया गया है:
समान्तर श्रेणी 24, 30, 36......................96 है।
प्रयुक्त सूत्र:
an = a + (n - 1) × d
d = a2 - a1
गणना:
a = 24
an = 96
d = a2 - a1
⇒ d = 30 - 24 = 6
an = a + (n - 1) × d
⇒ 96 = 24 + (n - 1) × 6
⇒ 72 = (n - 1) × 6
⇒ n = 13
∴ 23 और 100 के बीच 13 प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 6 से पूर्णतः विभाज्य हैं।
सही विकल्प 3 अर्थात 13 है।
विभाज्यता और शेषफल Question 2:
यदि 7 अंकों की संख्या 760x93y 72 से विभाज्य है, तो (3x - 2y) का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 2 Detailed Solution
दिया गया है:
संख्या = 760x93y
अवधारणा:
एक संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य हैं।
एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हैं।
गणना:
8 के विभाज्यता नियम के लिए
संख्या के अंतिम तीन अंक = 93y
y का संभावित मान = 6
9 के विभाज्यता नियम के लिए
संख्या के अंकों का योग = 7 + 6 + 0 + x + 9 + 3 + 6 = 31 + x
x का संभावित मान = 5,
तो,
⇒ (3x - 2y) = (3 × 5) - (2 × 6) = 15 - 12 = 3
∴ अभीष्ट परिणाम 3 होगा।
विभाज्यता और शेषफल Question 3:
यदि 9 अंकों की संख्या 9386x378y, 72 से विभाज्य है तो \(\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - y{}^2}}\) का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 3 Detailed Solution
दिया गया:
संख्या = 9386x378y
संकल्पना:
यदि अंकों का योग 9 से विभाज्य है तो संख्या स्वयं 9 से विभाज्य होगी
यदि किसी संख्या के अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य हैं तो संख्या स्वयं 8 से विभाज्य होगी
गणना:
y = 4 का संभावित मान
तब संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य होंगे = \({784\over 8}\ =\ 98\)
x का संभावित मान = 6
अंकों का योग = 9 + 3 + 8 + 6 + 6 + 3 + 7 + 8 + 4 = 54 जो 9 से विभाज्य है
अब, x2 + y2 = 62 + 42
⇒ 36 + 16 = 52
⇒ x2 - y2 = 62 - 42
⇒ 36 - 16 = 20
आवश्यक अनुपात = \({13\over 5}\)
∴ आवश्यक परिणाम \({13\over 5}\) होगा।
विभाज्यता और शेषफल Question 4:
यदि 7 अंकों की संख्या 760x93y 72 से विभाज्य है, तो (3x - 2y) का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
संख्या = 760x93y
अवधारणा:
एक संख्या 8 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंतिम 3 अंक 8 से विभाज्य हैं।
एक संख्या 9 से विभाज्य होती है यदि संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य हैं।
गणना:
8 के विभाज्यता नियम के लिए
संख्या के अंतिम तीन अंक = 93y
y का संभावित मान = 6
9 के विभाज्यता नियम के लिए
संख्या के अंकों का योग = 7 + 6 + 0 + x + 9 + 3 + 6 = 31 + x
x का संभावित मान = 5,
तो,
⇒ (3x - 2y) = (3 × 5) - (2 × 6) = 15 - 12 = 3
∴ अभीष्ट परिणाम 3 होगा।
विभाज्यता और शेषफल Question 5:
यदि 42906K2 3 से विभाज्य है, तो K का न्यूनतम मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 5 Detailed Solution
दिया गया है:
42906K2, 3 से पूर्णतः विभाज्य है।
प्रयुक्त अवधारणा:
3 का विभाज्यता नियम: यदि किसी संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, तो पूरी संख्या 3 से विभाज्य होगी।
गणना:
(K) के बिना अंकों का योगफल = 4 + 2 + 9 + 0 + 6 + 2 = 23
⇒ 23 + (K)
न्यूनतम (K) के लिए:
सबसे छोटा (K) जिसे 23 में जोड़ने पर कुल योगफल 3 से विभाज्य होता है, वह 1 है, जिससे योगफल 24 प्राप्त होता है (क्योंकि 24, 3 से विभाज्य है)।
∴ (K) का न्यूनतम मान 1 है।
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निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या \((49^{15} - 1) \) का भाजक है?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 6 Detailed Solution
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\((49^{15} - 1) \)
प्रयुक्त अवधारणा:
an - bn, (a + b) से विभाज्य है जब n एक सम धनात्मक पूर्णांक है।
यहां, a और b अभाज्य संख्या होनी चाहिए।
गणना:
\((49^{15} - 1) \)
⇒ \(({(7^2)}^{15} - 1) \)
⇒ \((7^{30} - 1) \)
यहाँ, 30 एक धनात्मक पूर्णांक है।
अवधारणा के अनुसार,
\((7^{30} - 1) \), (7 + 1) अर्थात् 8 से विभाज्य है।
∴ 8, \((49^{15} - 1) \) का भाजक है।
यदि 5 अंकों की संख्या 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो (3x - 5y) का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 7 Detailed Solution
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676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है।
अवधारणा:
जब 676xy, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो यह 3, 7 और 11 के लघुत्तम समापवर्त्य से भी विभाज्य होगा।
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
गणना:
(3, 7, 11) लघुत्तम समापवर्त्य = 231
5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 67699 लेकर उसे 231 से भाग देने पर।
∵ 67699 = 231 × 293 + 16
⇒ 67699 = 67683 + 16
⇒ 67699 - 16 = 67683 (231 से पूर्णतः विभाज्य)
∴ 67683 = 676xy (जहाँ x = 8, y = 3)
(3x - 5y) = 3 × 8 - 5 × 3
⇒ 24 - 15 = 9
∴ अभीष्ट परिणाम = 9
500 से 650 तक (दोनों को मिलाकर) ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 8 Detailed Solution
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संख्याएँ 500 से 650 तक हैं जो न तो 3 से विभाज्य हैं और न ही 7 से विभाज्य हैं।
गणना:
3 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/3 → 166 (भागफल)
7 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/7 → 71 (भागफल)
21 से विभाज्य 500 तक की कुल संख्याएँ = 500/21 → 23 (भागफल)
3 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/3 → 216 (भागफल)
7 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/7 → 92 (भागफल)
21 से विभाज्य 650 तक की कुल संख्याएँ = 650/21 → 30 (भागफल)
⇒ 500 और 650 के बीच 3 से विभाज्य कुल संख्याएं = 216 - 166 = 50
⇒ 500 और 650 के बीच 7 से विभाज्य कुल संख्याएं = 92 - 71 = 21
⇒ 500 और 650 के बीच 21 से विभाज्य कुल संख्याएं = 30 - 23 = 7
500 और 650 के बीच कुल संख्याएं = 150 + 1 = 151
∴ अभीष्ट संख्या = 151 - (50 + 21 - 7) = 151 - 64 = 87
∴ 500 से 650 तक (दोनों को मिलाकर) ऐसी 87 संख्याएँ हैं जो न तो 3 से और न ही 7 से विभाज्य हैं।
2384 को 17 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 9 Detailed Solution
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2384 को 17 से विभाजित किया गया है।
गणना:
2384 = 2(4 × 96) = 1696
हम जानते हैं कि जब 16 को 17 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल -1 प्राप्त होता है
जब 1696 को 17 से विभाजित किया जाता है तब शेषफल = (-1)96 = 1
यदि 289 को 9 से विभाजित किया जाए तो शेषफल क्या आएगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 10 Detailed Solution
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289 को 9 से विभाजित किया गया है।
अवधारणा:
यदि हम 8 को 9 से भाग दें तो हमें शेषफल इस प्रकार प्राप्त होगा - 1
लेकिन शेष ऋणात्मक नहीं हो सकता
इसलिए हम शेषफल के रूप में -1 का उपयोग नहीं कर सकते हैं
गणना को सरल बनाने के लिए, हम शेषफल 9 - 1 = 8 का उपयोग करते हैं
गणना:
(289/9)
⇒ {(23)29 × 22}/9
⇒ {(8)29 × 4}/9
⇒ {(-1)29 × 4}/9
⇒ (-1 × 4)/9
⇒ - 4/9
⇒ शेषफल = -4 + 9 = 5
∴ यदि 289 को 9 से विभाजित किया जाता है यो शेषफल 5 होगा।
यदि 5 अंकों की संख्या 750PQ, 3, 7 और 11 से विभाज्य है, तो P + 2Q का मान क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
पाँच अंकों की संख्या 750PQ, 3, 7 और 11 से विभाज्य है।
प्रयुक्त अवधारणा:
लघुत्तम समापवर्त्य की अवधारणा
गणना:
3, 7 और 11 का लघुत्तम समापवर्त्य 231 है।
5 अंकों की सबसे बड़ी संख्या 75099 लेकर उसमें 231 से भाग करने पर,
यदि हम 75099 को 231 से भाग करें तो हमें भागफल 325 और शेषफल 24 प्राप्त होता है।
तो, पाँच अंकों की संख्या 75099 - 24 = 75075
संख्या = 75075 और P = 7, Q = 5
अब,
P + 2Q = 7 + 10 = 17
∴ P + 2Q का मान 17 है।
यदि एक संख्या 5x423y, 88 से पूर्णतः विभाज्य है तो 5x - 8y का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है
यदि एक संख्या 5x423y, 88 से पूर्णतः विभाज्य है।
प्रयुक्त अवधारणा
8 की भाजकता का नियम = किसी भी संख्या के अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य हो तो संख्या 8 से विभाज्य होगी।
88 की भाजकता का नियम = संख्या 8 और 11 दोनों से विभाज्य होनी चाहिए।
11 की भाजकता का नियम = विषम स्थान के अंक का योग - सम अंक वाले स्थान का योग = 0 या 11 के गुणज
गणना
यदि एक संख्या 5x423y, 88 से पूर्णतः विभाज्य है।
इसलिए, 8 के विभाज्यता नियम का प्रयोग करने पर
y = 2 क्योंकि 232, 8 से विभाज्य है।
अब, 11 के विभाज्यता नियम का प्रयोग करने पर
⇒ (x + 2 + 2) - (5+4+3) = 0
⇒ (4 + x) - (12) = 0
⇒ x = 8
5x - 8y का मान = 40 - 16 = 24
∴ आवश्यक उत्तर 24 है।
244 और 332 के बीच कितनी पूर्ण संख्याएं हैं जो कि 7 से पूर्ण रूप से विभाज्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDF244 और 332 के बीच संख्याएं जो कि 7 से विभाज्य हैं,
⇒ 245, 252, ..............................329
Using AP:
an = a + (n - 1)d
329 = 245 + (n - 1) × 7
n = 13
∴ 244 और 332 के बीच 13 संख्याएं हैं जो कि 7 से विभाज्य हैं।
742 को 48 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त अवधारणा:
यदि (n + 1)a को n से विभाजित किया जाता है।
तब,
शेषफल 1 आता है।
गणना:
742 = (72)21
⇒ (49)21
⇒ (48 + 1)21
अत: शेषफल 1 है।
∴ अभीष्ट उत्तर 1 है।
2727 + 27 को 28 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Divisibility and Remainder Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
2727 + 27
प्रयुक्त अवधारणा:
An + Bn, (A + B) द्वारा विभाज्य है जब n विषम है।
गणना:
अब, (2727 + 27)
⇒ (2727 + 127 + 27 - 1)
⇒ (2727 + 127) + 26
यहाँ अवधारणा के अनुसार (2727 + 127), (27 + 1) से विभाज्य है अर्थात 28
अत: शेषफल = 26
∴ 2727 + 27 को 28 से विभाजित करने पर शेषफल 26 होगा।
