Identidades trigonométricas (ejemplos y ejercicios)

Las identidades trigonométricas son relaciones entre razones trigonométricas, las cuales son ciertas para cualquier valor de la variable. Por ejemplo:

tan θ = sen θ /cos θ

Es una identidad trigonométrica que relaciona tres razones del ángulo θ, la tangente, el seno y el coseno de dicho ángulo.

Esta identidad es cierta para todo valor, excepto aquellos que hacen 0 el denominador. El cos θ es 0 para θ = ± π/2, ± 3π/2, ± 5π/2 … Otro ejemplo de identidad trigonométrica es:

sen x . sec x . ctg x = 1

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Demostración

Hay dos formas básicas de demostrar que una identidad trigonométrica es cierta:

1- Transformando uno de los miembros de la igualdad en el otro, mediante manipulaciones algebraicas convenientes.

2- Desarrollar ambos miembros de la igualdad por separado, hasta que las respectivas expresiones finales de cada uno sean exactamente iguales.

En la identidad propuesta, vamos a transformar el lado izquierdo de la igualdad, para lo cual expresamos ctg x  y sec x en términos de seno y coseno de la siguiente manera:

ctg x = cos x / sen x

sec x = 1 /cos x

Sustituimos esta expresión en el lado izquierdo de la identidad y simplificamos:

sen x . (1/cos x). (cos x / sen x) = (sen x. cos x / cos x . sen x) = 1

Y ya está comprobada la veracidad de la identidad.

Tipos de identidades trigonométricas

Hay varias clases de identidades trigonométricas. A continuación describiremos brevemente las principales:

– Identidades trigonométricas fundamentales

Distinguimos dos tipos de identidades fundamentales:

I) Las que se expresan a través de las razones básicas seno, coseno y tangente:

• sec x = 1 /cos x
• cosec x / 1 /sen x
• ctg x = 1 / tg x
• tg x = sen x /cos x
• ctg x = cos x / sen x

II) Las que se derivan de la paridad. Sabemos a través de su gráfica que sen x es una función impar, lo cual significa que:

sen (-x) = – sen x

Por su parte cos x es una función par, por lo tanto:

cos (-x) = cos x

Entonces:

tg (-x) = sen (-x) / cos (-x) = -sen x / cos x

De igual forma:

• cotg (-x) = -ctg x
• sec (-x) = sec x
• cosec (-x) = – cosec x

– Identidades pitagóricas

Son las que se obtienen a partir de la aplicación del teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa c. Veamos:

El teorema de Pitágoras afirma que:

c² = a² + b²

Dividiendo todo entre c²:

c² / c² = (a² / c²) +  (b² / c²)

El término a la izquierda es 1 y recordando que seno y coseno del ángulo agudo α se definen como:

sen α = a/c

cos α = b/c

Resulta:

1 = (sen α)² + (cos α)²

Esta identidad se conoce como identidad fundamental.

El procedimiento se puede llevar a cabo dividiendo entre a² y b², lo que da lugar a dos identidades más:

sec² α =1 + tg² α

cosec² α =1 + ctg² α

– Fórmulas para el coseno y el seno de la suma/resta de ángulos

Las principales identidades trigonométricas para coseno, seno y tangente de la suma y la resta son las siguientes:

Demostración de sen (α + β) y cos (α + β)

Estas identidades se pueden demostrar geométricamente o también mediante la fórmula de Euler:

e^iα = cos α + i sen α

Veamos lo que le sucede a la fórmula al sustituir la suma de dos ángulos α y β:

e^{i(α +β)} = cos (α + β) + i sen (α + β)

Esta expresión es compleja, su parte real es cos (α+β)  y su parte imaginaria es i sen (α + β). Guardamos este resultado para usarlo luego y nos concentramos en desarrollar la parte exponencial:

e^{i(α +β)} = e^iα ⋅  e^iβ = (cos α + i sen α) . (cos β + i sen β) =

= cos α⋅cos β + cos α⋅i sen β + i⋅sen α cos β – sen α⋅sen β

La parte real de esta expresión es la que no está multiplicada por la unidad imaginaria “i”:

cos α⋅cos β  – sen α. sen β

La parte imaginaria por lo tanto es:

i (cos α⋅sen β + sen α⋅cos β)

Para que dos expresiones complejas sean iguales, la parte real de una debe ser igual a la parte real de la otra. Lo mismo sucede con las partes imaginarias.

Tomamos  el resultado guardado y lo comparamos con este:

cos α. cos β  – sen α. sen β  = cos (α + β)

i (cos α⋅sen β + sen α⋅cos β) = i sen (α + β)

sen (α + β) = (cos α. sen β + sen α⋅cos β)

– Fórmulas para el ángulo doble

En las fórmulas anteriores tomamos β = α y desarrollamos:

sen (α + α) = sen 2 α = sen α⋅cos α + cos α. sen α =  2⋅ sen α ⋅ cos α

cos (α + α) = cos 2 α = cos α⋅cos α – sen α⋅sen α = cos² α – sen ² α

tg (α + α) = tg 2 α = [tg α + tg α] / [1- tg α⋅tg α] = 2tg α / 1- tg² α

Si en la segunda expresión se sustituye cos² α  = 1 – sen² α  se obtiene:

cos 2 α = cos² α  – (1- cos² α) = 2 cos² α  -1

– Fórmulas para el ángulo mitad

En esta última expresión sustituyamos α por α/2, queda lo siguiente:

cos α = 2 cos ²(α/2)  -1

Despejando:

Ejercicios resueltos

– Ejercicio 1

Demostrar que:

Solución

Vamos a trabajar algebraicamente el término izquierdo para que se parezca al derecho. Como en el término derecho aparece sen x, el primer paso es expresar cos²x en términos de sen x para que todo quede en términos de una misma razón trigonométrica:

Seguidamente se factoriza 1 – sen² x por ser una diferencia de cuadrados perfectos. Para ello se despeja de la identidad fundamental:

cos²x = 1 – sen² x

1 – sen² x = (1- sen x)(1+senx)

Y se sustituye la factorización en la expresión original:

El término (1- senx) se simplifica y queda una igualdad:

1 + sen x = 1 + senx

– Ejercicio 2

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica y dar la solución para valores comprendidos entre 0 y 360º:

tg x + sec² x = 3

Solución

En el término de la izquierda hay dos razones trigonométricas, por lo tanto hay que reducir todo a una sola, con la finalidad de poder despejar la incógnita. El término sec² x se expresa a través de una de las identidades pitagóricas:

sec² α =1 + tg² α

Al sustituir en la ecuación queda:

tg x + 1 + tg² x = 3

Reordenando los términos:

tg² x + tg x + 1 = 3

Esta ecuación se resuelve haciendo el cambio de variable:

tg x = u

u² + u + 1 – 3 = 0 → u² + u – 2 = 0

Esta ecuación de segundo grado se resuelve fácilmente por factorización:

(u +2) (u-1) = 0

Por lo tanto u₁ = -2 y u₂ = 1, que equivale a:

tg x₁ = -2

tg x₂ = 1

Finalmente:

x₁ = arctg (-2) = 296.6º

x₂  = arctg (1) = 45º

Referencias