Algebra Lineal 7ma Edi Stanley Gross-1-192

Contenido III

ÁLGEBRA

LINEAL

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÂO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO

Stanley I. Grossman S.

University of Montana University College London

José Job Flores Godoy

Universidad Iberoamericana Ciudad de México

Revisión técnica:

Elsa Fabiola Vázquez Valencia Universidad Iberoamericana Ciudad de México

Carmen Judith Vanegas

Universidad Simón Bolívar Caracas, Venezuela

Eleazar Luna Barraza Universidad Autónoma de Sinaloa, México

M. Rosalba Espinoza Sánchez Universidad de Guadalajara México

María del Pilar Goñi Vélez Universidad Autónoma de Nuevo León, México

Adrián Infante Universidad Simón Bolívar Caracas, Venezuela

Séptima edición

Prefacio ................................................................................................... XI Agradecimientos ........................................................................................ XVIII

• Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales Examen diagnóstico XXI
  • 1 Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
  • y gaussiana 1 m ecuaciones con n incógnitas: eliminación de Gauss-Jordan
  • 1 Introducción a MATLAB
  • 1 Sistemas homogéneos de ecuaciones
• Capítulo 2 Vectores y matrices
  • 2 Deiniciones generales
  • 2 Productos vectorial y matricial
  • 2 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
  • 2 Inversa de una matriz cuadrada
  • 2 Transpuesta de una matriz
  • 2 Matrices elementales y matrices inversas
  • 2 Factorizaciones LU de una matriz
  • 2 Teoría de gráicas: una aplicación de matrices
• Capítulo 3 Determinantes
  • 3 Deiniciones
  • 3 Propiedades de los determinantes
  • 3 Determinantes e inversas
  • 3 Regla de Cramer
  • 3 Demostración de tres teoremas importantes y algo de historia
• Capítulo 4 Vectores en R 2 y R
  • 4 Vectores en el plano
  • 4 El producto escalar y las proyecciones en R
  • 4 Vectores en el espacio...............................................................................
  • 4 El producto cruz de dos vectores
  • 4 Rectas y planos en el espacio
  • Capítulo 5 Espacios vectoriales VIII Contenido
    • 5 Deinición y propiedades básicas
    • 5 Subespacios vectoriales
    • 5 Combinación lineal y espacio generado
    • 5 Independencia lineal
    • 5 Bases y dimensión
    • 5 Cambio de bases
    • 5 Rango, nulidad, espacio renglón y espacio columna
    • existencia de una base (opcional) 5 Fundamentos de la teoría de espacios vectoriales:
  • Capítulo 6 Espacios vectoriales con producto interno
    • 6 Bases ortonormales y proyecciones en R n
    • 6 Aproximaciones por mínimos cuadrados
    • 6 Espacios con producto interno y proyecciones
  • Capítulo 7 Transformaciones lineales
    • 7 Deinición y ejemplos...............................................................................
    • 7 Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo
    • 7 Representación matricial de una transformación lineal
    • 7 Isomorismos
    • 7 Isometrías
• característicos y formas canónicas Capítulo 8 Valores característicos, vectores - 8 Valores característicos y vectores característicos - 8 Un modelo de crecimiento de población (opcional) - 8 Matrices semejantes y diagonalización..................................................... - 8 Matrices simétricas y diagonalización ortogonal - 8 Formas cuadráticas y secciones cónicas - 8 Forma canónica de Jordan - de ecuaciones diferenciales 8 Una aplicación importante: forma matricial - y Gershgorin 8 Una perspectiva diferente: los teoremas de Cayley-Hamilton
• Apéndice A Inducción matemática
• Apéndice B Números complejos
• computacional Apéndice C El error numérico en los cálculos y la complejidad
• Apéndice D Eliminación gaussiana con pivoteo
• Apéndice E Uso de MATLAB

Anteriormente el estudio del álgebra lineal era parte de los planes de estudios de los alumnos de matemáticas y física, principalmente, y también recurrían a ella aquellos que necesitaban conocimientos de la teoría de matrices para trabajar en áreas técnicas como la estadística mul- tivariable. Hoy en día, el álgebra lineal se estudia en diversas disciplinas gracias al uso de las computadoras y al aumento general en las aplicaciones de las matemáticas en áreas que, por tradición, no son técnicas.

Prerrequisitos

Al escribir este libro tuve en mente dos metas. Intenté volver accesibles un gran número de temas de álgebra lineal para una gran variedad de estudiantes que necesitan únicamente cono- cimientos irmes del álgebra correspondientes a la enseñanza media superior. Como muchos estudiantes habrán llevado un curso de cálculo de al menos un año, incluí también varios ejem- plos y ejercicios que involucran algunos temas de esta materia. Éstos se indican con el símbolo

Cálculo. La sección 8 es opcional y sí requiere el uso de herramientas de cálculo, pero salvo

este caso, el cálculo no es un prerrequisito para este texto.

Aplicaciones

Mi segunda meta fue convencer a los estudiantes de la importancia del álgebra lineal en sus campos de estudio. De este modo el contexto de los ejemplos y ejercicios hace referencia a diferentes disciplinas. Algunos de los ejemplos son cortos, como las aplicaciones de la multipli- cación de matrices al proceso de contagio de una enfermedad (página 67). Otros son un poco más grandes; entre éstos se pueden contar el modelo de insumo-producto de Leontief (páginas 18 a 19 y 111 a 113), la teoría de gráicas (sección 2), la aproximación por mínimos cuadrados (sección 6) y un modelo de crecimiento poblacional (sección 8). Además, se puede encontrar un número signiicativo de aplicaciones sugestivas en las sec- ciones de MATLAB®.

Teoría

Para muchos estudiantes el curso de álgebra lineal constituye el primer curso real de matemáticas. Aquí se solicita a los estudiantes no sólo que lleven a cabo cálculos matemáticos sino también que desarrollen demostraciones. Intenté, en este libro, alcanzar un equilibrio entre la técnica y la teoría. Todas las técnicas importantes se describen con minucioso detalle y se ofrecen ejemplos que ilustran su utilización. Al mismo tiempo, se demuestran todos los teoremas que se pueden probar utilizando los resultados dados aquí. Las demostraciones más difíciles se dan al inal de las secciones o en apartados especiales, pero siempre se dan. El resultado es un libro que propor-

Prefacio

Prefacio XIII

Autoevaluación

Los problemas de autoevaluación están diseñados para valorar si el estudiante comprende las ideas básicas de la sección, y es conveniente que los resuelva antes de que intente solucionar los problemas más generales que les siguen. Casi todos ellos comienzan con preguntas de opción múltiple o falso-verdadero que requieren pocos o ningún cálculo.

Manejo de calculadora

En la actualidad existe una gran variedad de calculadoras graicadoras disponibles, con las que es posible realizar operaciones con matrices y vectores. Desde la edición anterior, el texto incluye secciones de “manejo de calculadora” que tienen por objeto ayudar a los estudiantes a usar sus calculadoras en este curso. Para esta edición se han actualizado estas secciones con uno de los modelos de vanguardia. Se presentan secciones donde se detalla el uso de la calculadora Hewlett-Packard HP 50g para la resolución de problemas. Se han incluido problemas cuyo objetivo es utilizar la calculadora para encontrar las soluciones. Sin embargo, debe hacerse hincapié en que no se requiere que los alumnos cuenten con una calculadora graicadora para que el uso de este libro sea efectivo. Las secciones de manejo de calculadora son una característica opcional que debe usarse a discreción del profesor.

Resúmenes de secciones

Al inal de cada sección aparece un repaso detallado de los resultados importantes hallados en ésta. Incluye referencias a las páginas de la sección en las que se encuentra la información completa.

Geometría

Algunas ideas importantes en álgebra lineal se entienden mejor observando su interpretación geométrica. Por esa razón se han resaltado las interpretaciones geométricas de conceptos im- portantes en varios lugares de esta edición. Éstas incluyen:

• La geometría de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (p. 20)
• La interpretación geométrica de un determinante de 2 3 2 (pp. 183, 272)
• La interpretación geométrica del triple producto escalar (p. 273)
• Cómo dibujar un plano (p. 282)
• La interpretación geométrica de la dependencia lineal en R 3 (p. 334)
• La geometría de una transformación lineal de R 2 en R 2 (pp. 510-517)
• Las isometrías de R 2 (p. 536)

Semblanzas históricas

Las matemáticas son más interesantes si se conoce algo sobre el desarrollo histórico del tema. Para estimular este interés se incluyen varias notas históricas breves, dispersas en el libro. Ade- más, hay siete semblanzas no tan breves y con más detalles, entre las que se cuentan las de:

• Carl Friedrich Gauss (p. 21)
• Sir William Rowan Hamilton (p. 54)

XIV Prefacio

• Arthur Cayley y el álgebra de matrices (p. 76)
• Breve historia de los determinantes (p. 228)
• Josiah Willard Gibbs y los orígenes del análisis vectorial (p. 274)
• Historia de la inducción matemática (p. 651)

Características nuevas de la séptima edición

Gracias a la participación de profesores y revisores, la nueva edición se ha enriquecido con diversos cambios, como son: - Se ha renovado el diseño de las páginas con la inalidad de que la obra posea una es- tructura más organizada y amable para el lector. - La mayoría de las notas y las observaciones se reubicaron al margen a in de resaltar su importancia y evitar distraer al lector en el discurso del tema. - Algunos capítulos de la edición anterior fueron reorganizados con objeto de propor- cionar lexibilidad a los profesores en cuanto a los temas que habrán de abordar. - Se incluye un breve examen diagnóstico cuya inalidad es ayudar a los estudiantes a identiicar las habilidades mínimas necesarias para aprovechar de la mejor manera el contenido de este libro. - Las tutorías y problemas de MATLAB también se han actualizado, incluyendo ahora mayores referencias e incluso muchos de los códigos necesarios. - Gran cantidad de problemas nuevos, además de otros actualizados, que permitirán ejercitar y aplicar las habilidades adquiridas. Por ende, la sección de respuestas al inal del libro ha cambiado por completo.

MATLAB

®

El texto cuenta con más de 230 problemas opcionales para MATLAB®, muchos de los cua- les tienen varios incisos, que aparecen después de la mayoría de las secciones de problemas (MATLAB® es una marca registrada de The Math Works, Inc.). MATLAB® es un paquete po- deroso pero amigable, diseñado para manejar problemas de una amplia variedad que requieren cálculos con matrices y conceptos de álgebra lineal. Se puede ver mayor información sobre este programa en la sección de apéndices. Los problemas relacionados directamente con los ejemplos y los problemas normales exhortan al estudiante a explotar el poder de cálculo de MATLAB® y explorar los principios del álgebra lineal mediante el análisis y la obtención de conclusiones. Además, se cuenta con varios incisos de “papel y lápiz” que permiten que el alumno ejercite su juicio y demuestre su aprendizaje de los conceptos. La sección 1 es la primera que contiene problemas de MATLAB®; antes de estos proble- mas se presenta una introducción y una tutoría breve. Los problemas de MATLAB® en cada sección están diseñados para que el usuario conozca los comandos de MATLAB® a medida que se van requiriendo para la resolución de problemas. Se cuenta con numerosas aplicaciones y problemas proyecto que demuestran la relevancia del álgebra lineal en el mundo real; éstos pueden servir como trabajos de grupo o proyectos cortos. Muchos de los problemas de MATLAB® están diseñados para animar a los estudiantes a describir teoremas de álgebra lineal. Por ejemplo, un estudiante que genere varias matrices triangulares superiores y calcule sus inversas obtendrá la conclusión natural de que la inversa de una matriz triangular superior es otra triangular superior. La demostración de este resul-

XVI Prefacio

ción 5) y los conceptos de rango y nulidad de matrices (sección 5), por considerar que ésta es una secuencia de conceptos más clara. En la sección opcional (5) se demuestra que todo espacio vectorial tiene una base. Al hacerlo se analizan los conjuntos ordenados y el lema de Zorn. Dicho material es más complicado que cualquier otro tema en el libro y se puede omitir. Sin embargo, como el álgebra lineal a menudo se considera el primer curso en el que las demos- traciones son tan importantes como los cálculos, en mi opinión el estudiante interesado debe disponer de una demostración de este resultado fundamental. En el capítulo 6 se presenta la relación existente entre los espacios vectoriales y los productos internos, y se incluye una sección (6) de aplicaciones interesantes sobre la aproximación por mínimos cuadrados. El capítulo 7 continúa el análisis que se inició en el capítulo 5 con una introducción a las transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro. Comienza con dos ejemplos que mues- tran la manera natural en la que pueden surgir las transformaciones. La sección 7 describe de manera detallada la geometría de las transformaciones de R 2 en R 2 , e incluye expansiones, compresiones, relexiones y cortes. La sección 7 ahora contiene un estudio más detallado de las isometrías de R 2. El capítulo 8 describe la teoría de los valores y vectores característicos o valores y vectores propios. Se introducen en la sección 8 y en la sección 8 se da una aplicación biológica minu- ciosa del crecimiento poblacional. Las secciones 8, 8 y 8 presentan la diagonalización de una matriz, mientras que la sección 8 ilustra, para unos cuantos casos, cómo se puede reducir una matriz a su forma canónica de Jordan. La sección 8 estudia las ecuaciones diferenciales matriciales y es la única sección del libro que requiere conocimiento del primer curso de cálculo. Esta sección proporciona un ejemplo de la utilidad de reducir una matriz a su forma canónica de Jordan (que suele ser una matriz diagonal). En la sección 8 introduje dos de mis resultados fa- voritos acerca de la teoría de matrices: el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema de los círculos de Gershgorin. El teorema de los círculos de Gershgorin es un resultado muy rara vez estudiado en los libros de álgebra lineal elemental, que proporciona una manera sencilla de estimar los va- lores propios de una matriz. En el capítulo 8 tuve que tomar una decisión difícil: si analizar o no valores y vectores pro- pios complejos. Decidí incluirlos porque me pareció lo más adecuado. Algunas de las matrices “más agradables” tienen valores propios complejos. Si se deine un valor propio como un núme- ro real, sólo en un principio se pueden simpliicar las cosas, aunque esto sea un error. Todavía más, en muchas aplicaciones que involucran valores propios (incluyendo algunas de la sección 8), los modelos más interesantes se relacionan con fenómenos periódicos y éstos requieren valores propios complejos. Los números complejos no se evitan en este libro. Los estudiantes que no los han estudiado antes pueden encontrar las pocas propiedades que necesitan en el apéndice B. El libro tiene cinco apéndices, el primero sobre inducción matemática y el segundo sobre números complejos. Algunas de las demostraciones en este libro hacen uso de la inducción matemática, por lo que el apéndice A proporciona una breve introducción a esta importante técnica para los estudiantes que no la han utilizado. El apéndice C analiza el concepto básico de la complejidad de los cálculos que, entre otras cosas, ayudará a los estudiantes a entender las razones por las cuales quienes desarrollan soft- ware eligen algoritmos especíicos. El apéndice D presenta un método razonablemente eiciente para obtener la solución numérica de los sistemas de ecuaciones. Por último, el apéndice E incluye algunos detalles técnicos sobre el uso de MATLAB® en este libro. Una nota sobre la interdependencia de los capítulos: este libro está escrito en forma se- cuencial. Cada capítulo depende de los anteriores, con una excepción: el capítulo 8 se puede cubrir sin necesidad de gran parte del material del capítulo 7. Las secciones marcadas como “opcional” se pueden omitir sin pérdida de la continuidad.

Prefacio XVII

Materiales de apoyo

Esta obra cuenta con interesantes complementos que fortalecen los procesos de enseñanza- aprendizaje, así como facilitan su evaluación, los cuales se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener más información y conocer la política de entrega de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill.

Agradecimientos

Estoy agradecido con muchas personas que me ayudaron cuando escribía este libro. Parte del material apareció primero en Mathematics for the Biological Sciences (Nueva York, Macmillan, 1974) escrito por James E. Turner y por mí. Quiero agradecer al profesor Turner por el permiso que me otorgó para hacer uso de este material. Gran parte de este libro fue escrita mientras trabajaba como investigador asociado en la University College London. Deseo agradecer al departamento de matemáticas de UCL por proporcionarme servicios de oicina, sugerencias matemáticas y, en especial, su amistad duran- te mis visitas anuales. El material de MATLAB® fue escrito por Cecelia Laurie, de la University of Alabama. Gracias a la profesora Laurie por la manera sobresaliente en que utilizó la computadora para mejorar el proceso de enseñanza. Éste es un mejor libro debido a sus esfuerzos. También me gustaría extender mi agradecimiento a Cristina Palumbo, de The MathWorks, Inc., por proporcionarnos la información más reciente sobre MATLAB®. La efectividad de un libro de texto de matemáticas depende en cierto grado de la exactitud de las respuestas. Ya en la edición anterior del libro se hicieron esfuerzos considerables para tratar de evitar los errores al máximo. Las respuestas fueron veriicadas por varios profesores, entre los que cabe destacar la importantísima labor de Sudhir Goel, de Valdosta State College, y David Ragozin, de la University of Washington, quien elaboró el Manual de Soluciones del libro. Cecelia Laurie preparó las soluciones a los problemas de MATLAB®. En el caso de esta nueva edición, las soluciones a los problemas nuevos están elaboradas por los profesores que los aportaron. Dado que hay gran cantidad de problemas nuevos, la sección de respuestas al inal del libro se modiicó casi por completo. Agradezco a aquellas personas que hicieron comentarios a la edición anterior. Todos ellos son muy valiosos. En esta edición fue posible incorporar muchos de ellos. Mi agradecimiento a los siguientes usuarios experimentados de MATLAB® por la revisión de los problemas de MATLAB®:

Thomas Cairns, University of Tulsa Karen Donelly, Saint Joseph’s College Roger Horn, University of Utah Irving Katz, George Washington University Gary Platt, University of Wisconsin-Whitewater Stanley I. Grossman Missoula, Montana José Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana

Agradecimientos XIX

• Carlos Camacho Sánchez, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Carlos Garzón, Universidad Javeriana, Cali, Colombia

• Carlos Rodríguez Provenza, Universidad Politécnica de Querétaro

• César Meza Mendoza, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Dinaky Glaros, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacán

• Edgar Hernández López, Universidad Iberoamericana, campus León

• Edith Salazar Vázquez, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

• Edmundo Barajas Ramírez, Universidad Iberoamericana, campus León

• Eduardo Miranda Montoya, Iteso

• Eréndira Gabriela Avilés Rabanales, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

• Erik Norman Guevara Corona, Universidad Nacional Autónoma de México

• Esperanza Méndez Ortiz, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

• Fernando López, Escuela de Ingenierías Químico-Biológicas, Universidad Autónoma de Sinaloa

• Gabriel Martínez, Instituto Tecnológico de Hermosillo

• Gerardo Campos Carrillo, Instituto Tecnológico de Mazatlán

• Gonzalo Veyro Santamaría, Universidad Iberoamericana, campus León

• Guillermo Luisillo Ramírez, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional

• Héctor Escobosa, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Hortensia Beltrán Ochoa, Instituto Tecnológico de Los Mochis

• Irma Yolanda Paredes, Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías, Universidad de Guadalajara

• Javier Núñez Verdugo, Universidad de Occidente, unidad Guamúchil

• Jesús Gamboa Hinojosa, Instituto Tecnológico de Los Mochis

• Jesús Manuel Canizalez, Universidad de Occidente, unidad Mazatlán

• Jesús Vicente González Sosa, Universidad Nacional Autónoma de México

• Jorge Alberto Castellón, Universidad Autónoma de Baja California

• Jorge Luis Herrera Arellano, Instituto Tecnológico de Tijuana

• José Alberto Gutiérrez Palacios, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma del Estado de México, campus Toluca

• José Antonio Castro Inzunza, Universidad de Occidente, unidad Culiacán

• José Carlos Ahumada, Instituto Tecnológico de Hermosillo

• José Carlos Aragón Hernández, Instituto Tecnológico de Culiacán

• José Espíndola Hernández, Tecnológico Regional de Querétaro

• José González Vázquez, Universidad Autónoma de Baja California

• José Guadalupe Octavio Cabrera Lazarini, Universidad Politécnica de Querétaro

• José Guadalupe Torres Morales, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional

• José Guillermo Cárdenas López, Instituto Tecnológico de Tijuana

• José Luis Gómez Sánchez, Universidad de Occidente, unidad Mazatlán

• José Luis Herrera, Tecnológico Regional de San Luis Potosí

• José Noé de la Rocha, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Juan Carlos Pedraza, Tecnológico Regional de Querétaro

• Juan Castañeda, Escuela de Ingenierías Químico-Biológicas, Universidad Autónoma de Sinaloa

• Juan Leoncio Núñez Armenta, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Juana Murillo Castro, Escuela de Ingeniería, UAS

• Leonel Monroy, Universidad del Valle, Cali, Colombia

• Linda Medina, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México

• Lorenza de Jesús, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Lucía Ramos Montiel, Universidad Iberoamericana, campus León

• Lucio López Cavazos, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

• Luis Felipe Flores, Instituto Tecnológico de Los Mochis

• Luis López Barrientos, EPCA

• Marco Antonio Blanco Olivares, Tecnológico Regional de San Luis Potosí

• Marco Antonio Rodríguez Rodríguez, Instituto Tecnológico de Los Mochis

• María Sara Valentina Sánchez Salinas, Universidad Nacional Autónoma de México

• Maritza Peña Becerril, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

• Martha Gutiérrez Munguía, Universidad Iberoamericana, campus León

• Martín Muñoz Chávez, UNIVA

• Michell Gómez, Universidad ICESI, Cali, Colombia

• Miguel Ángel Aguirre Pitol, Universidad Autónoma del Estado de México

• Nasario Mendoza Patiño, Tecnológico Regional de Querétaro

• Norma Olivia Bravo, Universidad Autónoma de Baja California

• Oscar Guerrero, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Culiacán

• Oscar René Valdez Casillas, Universidad Nacional Autónoma de México

• Oswaldo Verdugo Verdugo, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Poririo López, Universidad de Occidente, unidad Guamúchil

• Ramón Duarte, Escuela de Ingeniería, Universidad Autónoma de Sinaloa

• Raúl Soto López, Universidad de Occidente, Unidad Culiacán

• Ricardo Betancourt Riera, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Hermosillo

• Ricardo Martínez Gómez, Universidad Nacional Autónoma de México

• Roberto Guzmán González, Universidad Nacional Autónoma de México

• Roberto Robledo Pérez, Instituto Tecnológico de León

• Rosa María Rodríguez González, Universidad Iberoamericana, campus León

• Rosalba Rodríguez Chávez, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional Autónoma de México

• Salvador Rojo Lugo, Instituto Tecnológico de Culiacán

• Sithanatham Kanthimathinathan, Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

• Susana Pineda Cabello, ESIME Culhuacán, Instituto Politécnico Nacional

• Walter Magaña, Universidad de Sanbuenaventura, Cali, Colombia

XX Agradecimientos

XXII Examen diagnóstico

c ) 1 111 x

d )

1

1

1

ab c

c ab

Problema 5. Factorice las siguientes expresiones. a ) m 2 2 9 m 1 20 b ) m 2 2 4 mn 2 21 n 2 c ) 4 x 21 8 xy 1 4 y 2

d ) 3 x 2

7

4

x 1

1

8

Problema 6. Resuelva las siguientes ecuaciones. a ) 3 x 1 6 5 24 x 2 8

b )

5

6

7

4

2

3

3

5

12 3

21 5 2 1

xx x

x

c ) y 2 1 a 2 5 ( a 1 y ) 2 2 a ( a 1 1)

d )

1

2

1

2

1

2

1

1

5

2

2

za ab

za ab

zb ab

zb ab

Problema 7. Encuentre las raíces de los siguientes polinomios. a ) 5 x 2 1 3 x 2 2 b ) x 2 1 8 x 2 240

c )

17

10

x 2 1 3 x 1 5

d ) 3 x 2 1 e ) 4 x 2 2

Sistemas de ecuaciones lineales

Objetivos del capítulo

En este capítulo el estudiante...

• Recordará algunos conceptos asociados con rectas en el pla- no y un método de solución de ecuaciones algebraicas simul- táneas con dos variables (sección 1).

• Estudiará el método de la reducción gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas, junto con términos que se usarán a lo largo del texto (sección 1).

• Se familiarizará con el programa Matlab, a fin de resolver problemas relacionados con sistemas de ecuaciones (sección 1).

• Aprenderá los sistemas homogéneos y las características de su solución (sección 1).

Capítulo

1

En ingeniería civil, al diseñar y analizar estructuras se resuelven sistemas de ecuaciones que describen los esfuerzos que tendrá que soportar la construcción.