Cálculo 1 Cálculo 1 de una variable Novena edición Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College Bruce H. Edwards University of Florida Revisión técnica Marlene Aguilar Abalo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México José Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca Linda M. Medina Herrera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Joel Ibarra Escutia, Ángel Hernández Fernández, Gabriel Nagore Cázares, Norma Angélica Moreno Chávez CÁLCULO 1 DE UNA VARIABLE Novena edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la novena edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma Núm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 978-607-15-0273-5 Traducido de la novena edición en inglés de Calculus Copyright © 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. 1234567890 109876543210 Impreso en China Printed in China C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Características CAPÍTULO P CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 Preparación para el cálculo 1 P.1 P.2 P.3 P.4 Gráficas y modelos Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Funciones y sus gráficas Ajuste de modelos a colecciones de datos Ejercicios de repaso SP Solución de problemas 2 10 19 31 37 39 Límites y sus propiedades 41 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 42 48 59 70 83 Una mirada previa al cálculo Cálculo de límites de manera gráfica y numérica Cálculo analítico de límites Continuidad y límites laterales o unilaterales Límites infinitos PROYE CT O DE T RABAJ O : Gráficas y límites de las funciones trigonométricas Ejercicios de repaso SP Solución de problemas 90 91 93 Derivación 95 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 96 107 119 130 141 148 149 158 161 La derivada y el problema de la recta tangente Reglas básicas de derivación y ritmos o velocidades de cambio Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior La regla de la cadena Derivación implícita PROYE CT O DE T RABAJ O : Ilusiones ópticas 2.6 Ritmos o velocidades relacionados Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 3 ix x xii Aplicaciones de la derivada 3.1 Extremos en un intervalo 163 164 v vi Contenido 3.2 3.3 El teorema de Rolle y el teorema del valor medio Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada PROYE CT O DE T RABAJ O : Arco iris 3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada 3.5 Límites al infinito 3.6 Análisis de gráficas 3.7 Problemas de optimización PROYE CT O DE T RABAJ O : Río Connecticut 3.8 Método de Newton 3.9 Diferenciales Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 4 Integración 4.1 4.2 4.3 4.4 Antiderivadas o primitivas e integración indefinida Área Sumas de Riemann e integrales definidas El teorema fundamental del cálculo PROYE CT O DE T RABAJ O : Demostración del teorema fundamental 4.5 Integración por sustitución 4.6 Integración numérica Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 5 Funciones logarítmica, exponencial y otras funciones trascendentes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 La función logaritmo natural: derivación La función logaritmo natural: integración Funciones inversas Funciones exponenciales: derivación e integración Otras bases distintas de e y aplicaciones PROYE CT O DE T RABAJ O : Estimación gráfica de pendientes 5.6 Funciones trigonométricas inversas: derivación 5.7 Funciones trigonométricas inversas: integración 5.8 Funciones hiperbólicas PROYE CT O DE T RABAJ O : Arco de San Luis Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 6 Ecuaciones diferenciales 6.1 6.2 Campos de pendientes y método de Euler Ecuaciones diferenciales: crecimiento y decrecimiento 172 179 189 190 198 209 218 228 229 235 242 245 247 248 259 271 282 296 297 311 318 321 323 324 334 343 352 362 372 373 382 390 400 401 403 405 406 415 Contenido 6.3 6.4 Separación de variables y la ecuación logística Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden PROYE CT O DE T RABAJ O : Pérdida de peso Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 7 Aplicaciones de la integral 7.1 7.2 7.3 Área de una región entre dos curvas Volumen: el método de los discos Volumen: el método de las capas PROYE CT O DE T RABAJ O : Saturno 7.4 Longitud de arco y superficies de revolución 7.5 Trabajo PROYE CT O DE T RABAJ O : Energía de la marea 7.6 Momentos, centros de masa y centroides 7.7 Presión y fuerza de un fluido Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 8 Técnicas de integración, regla de L’Hôpital e integrales impropias 8.1 8.2 8.3 Reglas básicas de integración Integración por partes Integrales trigonométricas PROYE CT O DE T RABAJ O : Líneas de potencia 8.4 Sustituciones trigonométricas 8.5 Fracciones simples o parciales 8.6 Integración por tablas y otras técnicas de integración 8.7 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 8.8 Integrales impropias Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 9 Series infinitas 9.1 9.2 Sucesiones Series y convergencia PROYE CT O DE T RABAJ O : La mesa que desaparece 9.3 Criterio de la integral y series p PROYE CT O DE T RABAJ O : La serie armónica 9.4 Comparación de series PROYE CT O DE T RABAJ O : El método de la solera 9.5 Series alternadas o alternantes 9.6 El criterio del cociente y el criterio de la raíz 9.7 Polinomios de Taylor y aproximación vii 423 434 442 443 445 447 448 458 469 477 478 489 497 498 509 515 517 519 520 527 536 544 545 554 563 569 580 591 593 595 596 608 618 619 625 626 632 633 641 650 viii Contenido 9.8 Series de potencias 9.9 Representación de funciones en series de potencias 9.10 Series de Taylor y de Maclaurin Ejercicios de repaso SP Solución de problemas 661 671 678 690 693 Apéndice A Demostración de algunos teoremas A-2 Apéndice B Tablas de integración Soluciones de los ejercicios impares S-1 Índice de aplicaciones I-1 Índice analítico I-5 A-20 C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Características CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Cónicas y cálculo 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamórfico 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Vectores en el plano Coordenadas y vectores en el espacio El producto escalar de dos vectores El producto vectorial de dos vectores en el espacio Rectas y planos en el espacio PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 11.6 Superficies en el espacio 11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales 12.1 Funciones vectoriales PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 12.3 Velocidad y aceleración 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 12.5 Longitud de arco y curvatura Ejercicios de repaso SP Solución de problemas ix x xii 695 696 711 720 721 731 740 741 750 758 761 763 764 775 783 792 800 811 812 822 829 831 833 834 841 842 850 859 869 881 883 v 0-Prelim L2.indd v 1/12/09 18:04:22 vi Contenido CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables 13.1 13.2 13.3 Introducción a las funciones de varias variables Límites y continuidad Derivadas parciales PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moiré 13.4 Diferenciales 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 13.7 Planos tangentes y rectas normales PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 13.8 Extremos de funciones de dos variables 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables PROYECTO DE TRABAJO: Construcción de un oleoducto 13.10 Multiplicadores de Lagrange Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 14 962 969 970 978 981 983 14.1 14.2 14.3 14.4 984 992 1004 1012 1019 1020 1026 1027 1038 1044 1045 1052 1055 Análisis vectorial 15.1 15.2 15.3 Campos vectoriales Integrales de línea Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.4 Teorema de Green PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperbólicas y trigonométricas 15.5 Superficies paramétricas 15.6 Integrales de superficie PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 15.7 Teorema de la divergencia 0-Prelim L2.indd vi 886 898 908 917 918 925 933 945 953 954 Integración múltiple Integrales iteradas y área en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presión sobre una vela 14.5 Área de una superficie PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 14.8 Cambio de variables: jacobianos Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 15 885 1057 1058 1069 1083 1093 1101 1102 1112 1123 1124 1/12/09 18:04:22 Contenido 15.8 Teorema de Stokes Ejercicios de repaso PROYECTO DE TRABAJO: El planímetro SP Solución de problemas 0-Prelim L2.indd vii vii 1132 1138 1140 1141 Apéndice A Demostración de teoremas seleccionados A-2 Apéndice B Tablas de integración A-4 Soluciones de los ejercicios impares Índice analítico A-9 I-57 1/12/09 18:04:22 U nas palabras de los autores ¡Bienvenido a la novena edición de Cálculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edición hace más de 35 años. En cada edición los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro. A lo largo de los años, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisión y de manera legible conceptos fundamentales del cálculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer características y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseñanza amplio que emplea técnicas pedagógicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma más eficiente el tiempo en el salón de clase. También hemos agregado en esta edición una nueva característica denominada ejercicios Para discusión. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensión de cada uno de los conceptos de sección. Los ejercicios Para discusión son excelentes para esa actividad en el salón de clase o en la preparación de exámenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la sección. Éstas y otras nuevas características se unen a nuestra pedagogía probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la novena edición de Cálculo. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra. Ron Larson Bruce H. Edwards ix A gradecimientos Nos gustaría dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los últimos 35 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables. Revisores de la novena edición Ray Cannon, Baylor University Sadeq Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel, Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion, Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett, University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at Arlington Miembros del Comité de Asesores de la novena edición Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central Florida Revisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; x Agradecimientos xi Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institución, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto. Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los más de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra. También quisiéramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoyó en la preparación del manuscrito, realizó el diseño editorial, levantó la tipografía y leyó las pruebas de las páginas y suplementos en la edición en inglés. En el ámbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota especial de gratitud para R. Scott O’Neil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor siéntanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los años hemos recibido muchos comentarios útiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards C aracterísticas Herramientas pedagógicas PARA DISCUSIÓN Para discusión 72. ¡NUEVO! Los ejercicios para discusión que aparecen ahora en cada sección sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cómo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparación de exámenes. y f B C A y 5 D E x ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón de cambio promedio de la función? ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor o menor que el la razón de cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio promedio de la función entre C y D. a) b) Desarrollo de conceptos 11. Considerar la longitud de la gráfica de f(x) (1, 5) hasta (5, 1): Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas. 5/x, desde y (1, 5) 5 (1, 5) DESARROLLO DE CONCEPTOS 4 4 3 3 2 (5, 1) 1 x 1 2 3 4 5 2 (5, 1) 1 x 1 2 3 4 5 a) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera figura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda figura. c) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta de la longitud de la curva. Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseñadas para evaluar la comprensión de los estudiantes en torno a los conceptos básicos de cada sección. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicación técnica que serán invaluables en sus futuras carreras. AYUDAS DE ESTUDIO Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusión, y amplían a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes información puntual, similar a los comentarios del profesor en clase. EJEMPLO 1 Levantamiento de un objeto Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies. Solución La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la figura 7.48. Así, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es W xii FD Trabajo 50S4D Fuerza 200 libras-pies. (fuerza)(distancia). 50 libras, distancia 4 pies. AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definición para encontrar la derivada de una función, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 también se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa que y x6 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puede comprobar la respuesta de un problema de integración al derivar la C l j l 7 3x4 3x2 EJEMPLOS A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y técnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensión amplia de los conceptos del cálculo. 1 Características xiii EJERCICIOS La práctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizándolos y revisándolos; el resultado es un completo y sólido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada sección para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes. 4.3 Ejercicios En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el límite lím n n O f Xc C 13. xi i 1 i En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que produce el área de la región. (No evaluar la integral.) f x 2. f SxD
x, 0, y 0, x (Sugerencia: Sea ci 3i 2Yn 2.) f SxD x 3
x, 0, y 0, x 3 x 1 En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la definición de límite. 6 3. 3 63.2 Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo2 1 1 nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima x x 2 1 0.1729t 1 2 3 4 5 0.1522t 2 0.0374t 3 donde mediante 1 2 3 4 el5 modelo V t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en losx pulmones16. durante un ciclo. f SxD x 2 15. f SxD 4 x dx 2 1 4 5. 6. x3 dx 1 4x2 dx 1 1 x 2 2x2 8. 1 dx \\ 64. Promedio de ventas Unay compañía ajusta un modelo a los datos y de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es 8 4 t t 3 0 t 24 1.8 0.5 sen , SSt6D 4 6 3 4. 8 dx 2 4 una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleración constante. y 15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. f f ¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial? c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial? a) x x b) En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida. 5. 7.    4x2 x4 3 dx x 8 x3 2x 4. 6. dx 9 sen x dx 8.    16. 2 3  3x x4 dx 4x2 x2 5 cos x 1 dx 10. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒ (x) 6(x 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto. Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuación diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado. b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficación para representar la solución. 2x 4, S4, 2D dy dx 12. y −1 1 2 x 2 2x, S6, 2D 5 0 5 10 15 20 25 30 v1 0 2.5 7 16 29 45 65 6 60 1 32 1 33 10 20 30 40 50 60 0 5 21 40 62 78 83 Emplear una herramienta de graficación para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos. a) 64 1 31 18. 3n1 n 1 3n2 n 1 . . . 2 2 20 x 20. 2i 1 20 20 1 12 12 22. i 4i 1 ii 2 1 Calcular cada suma para x1 7 2, x2 SeaFSxD f SxD dx  f 1 a) Utilizar una herramienta de graficación para completar la tabla. x 0 1.0 1.5 1.9 2.0 2.1 2.5 3.0 4.0 5.0  1
3 f 
13 . % 1 a) Utilizar esta fórmula para aproximar el error de la aproximación. cos x dx. Encontrar 1 % 1 b) sen t 2 dt. Utilizar esta fórmula para aproximar 1 1 1 x2 dx. c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor. 7. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a del producto de la base y la altura (ver la figura). FXxC x h FXxC % x 1 1 sen t 2 dt. Utilizar una FSxD x 2 x 2 2 herramienta de graficacón para completar la tabla y estimar lím GSxD. b) Sea GSxD x 5, x4 b a) Graficar el arco parabólico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el área A. b) Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmula de Arquímedes. c) Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábola general. 2 x 1.9 1.95 1.99 2.01 2.1 GXxC 3y c) Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valor exacto del límite lím GSxD. x SOLUCIÓN DE PROBLEMAS 1 2 1 1, x3 % La aproximación gaussiana de dos puntos para f es % x 2. 23. Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 · · · 42. 24. 6. 1 dt, x > 0. t a) Encontrar L(1). b) Encontrar L (x) y L (1). c) Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. d) Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2. 2 1 i i 1 % x 65 3nn n 1 . . . Solución de problemas Sea SxD 1 310 17. 19. 7 51 En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribir la suma. i −2 38 Reescribir las velocidades en pies por segundo. Usar las capacidades de regresión de una herramienta de graficación para encontrar los modelos cuadráticos para los datos en el apartado a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias. i −1 21 1. a) b) 21. −6 0 SP En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas. y x t v2 Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒ (x) 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2). dy dx 0 v Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t está en segundos. 2 sec2 x dx 9. 11. t Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada capítulo proporcionan a los estudiantes más oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisión completa de los conceptos del capítulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen. Ejercicios de repaso En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de f para dibujar una gráfica de ƒ. 3. 65. Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto. EJERCICIOS DE REPASO Integración 2.  a) Utilizar una herramienta de graficación para representar ƒ(t) 0.5 sen( tY6) para 0 t 24. Emplear la gráfica para explicar por qué el valor medio de ƒ(t) es cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de graficación para representar S(t) y la recta g(t) tY4 1.8 en la misma ventana de observación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartado a) para explicar por qué g recibe el nombre recta de tendencia. “¿Cuándo usaré esto?”, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dónde se usa (o puede usarse) el cálculo fomenta una comprensión más completa del material. y 2 donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses. 2 1 3 dx 2 APLICACIONES 1. 3x 6 5 4 3 i 3n3.) (Sugerencia: Sea ci 1 4 6 y 4 1. 7. CAPÍTULO 4 f x 5 sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. 2 318 14. 5 y 2 En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de la función dada definida sobre el intervalo indicado como un límite. Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límite tili d l lt d d l t d b) 8. Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposición relativa a los objetos en caída libre: El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién- Estos conjuntos de ejercicios al final de cada capítulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento. xiv Características Cálculos clásicos con relevancia contemporánea TEOREMAS Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rápida referencia visual. Las demostraciones más importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras más en un apéndice. TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de ƒ en el intervalo [a, b], entonces % b f SxD dx FSbD FSaD. a DEFINICIONES Al igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; también se separan del texto mediante recuadros para tener una rápida referencia visual. DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO Sea la función dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es % b s
1 F f SxDG 2 dx. a Similarmente, para una curva suave dada por x c y d es % g(y), la longitud de arco de g entre d s
1 F g S yDG 2 dy. c La regla de L’Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7. Forma indeterminada 00 EJEMPLO 6 Encontrar lím sen x x. x PROCEDIMIENTOS y NOTAS Los procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fácil. Estas líneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarán a resolver problemas de manera rápida y eficiente. 0 Solución Porque la sustitución directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el límite existe y es igual a y. ln y lím sen x x x Forma indeterminada 00. 0 ln lím sen x x x 0  Tomar un logaritmo natural de cada lado. lím ln sen x x Continuidad. lím x ln sen x  Forma indeterminada 0 · ( x x 0 0 ln sen x lím x 0 1 x cot x lím x 0 1 x2 x2 lím x 0 tan x 2x lím x 0 sec2x Forma indeterminada Regla de L’Hôpital. Forma indeterminada 0Y0. 0 Regla de L’Hôpital. Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundización adicional o generalizaciones importantes que los estulím sen x 1. diantes podrían omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por las notas resultan invaluax ⫽ cos t y y ⫽ sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 ⱕ t ⱕ 2␲, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes. valo 0 ⱕ t ⱕ 4␲. I 0 x x 0 Y . ). xv Características Ampliar la experiencia del cálculo ENTRADAS DE CAPÍTULO Ecuaciones diferenciales 6 Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para el material que se abordará en el capítulo. Además de los objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del cálculo en la vida. En este capítulo se estudiará una de las más importantes aplicaciones del cálculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprenderá nuevos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogéneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicará esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicación. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo generar un campo de pendientes de una ecuación diferencial y encontrar una solución particular. (6.1) n Cómo usar una función exponencial para modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2) n Como usar el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) n Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación diferencial de Bernoulli. (6.4) EXPLORACIÓN Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras condiciones? ■ ■ EXPLORACIÓN Suponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. ¿Cuál elegiría? Explicar la respuesta. EXPLORACIONES Las exploraciones proporcionan a los estudiantes retos únicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que están estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera más amplia. a) % % % %
x3 x 2
x3 b) 1 dx o 1 dx tanS3xD sec 2 S3xD dx Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1) o 405 tan S3xD dx NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS Las notas históricas proporcionan a los estudiantes información sobre los fundamentos del cálculo; las biografías les ayudan a sensibilizar y a enseñarles acerca de las personas que contribuyeron a la creación formal del cálculo. DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM n n1 o n  1 n 8? 134. Demostrar que si x es positivo, entonces  loge 1   1 1 . > x 1x Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exámenes Putnam reales. Estos ejercicios extenderán los límites del entendimiento de los estudiantes en relación con el cálculo y brindarán desafíos adicionales para aquellos más interesados. The Granger Collection Preparación del examen Putnam 133. ¿Cuál es mayor donde n Dr. Dennis Kunkel/Getty Images Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.) LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS BLAISE PASCAL (1623-1662) El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidió a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro no pudo evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss: Pascal es bien conocido por sus .. . 1 2 3 100 contribuciones a diversas áreas de las ... 99 98 1 matemáticas y de la física, así como por 100 ... 101 101 101 su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 100 101 parte de su obra en cálculo fue intuitiva y 5 050 carente del rigor exigible en las matemáticas 2 modernas, Pascal anticipó muchos Esto se generaliza por medio del teorema resultados relevantes. 4.2, donde 100 Oi t 1 100S101D 2 5 050. PROYECTOS DE SECCIÓN Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se están estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta. PROYECTO DE TRABAJO Demostración del teorema fundamental Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y1 . Sea F(x) la siguiente función sen2t en el intervalo 0 t de x. % x FSxD b) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para representar F. c) Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación para hacer la gráfica de F (x). ¿Cómo se relaciona esta gráfica con la gráfica de la parte b)? d) Verificar que la derivada de y (1Y2)t (sen 2t)Y4 es sen2t. Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c). sen 2 t dt 0 a) Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo. x FXxC 0 Y6 Y3 Y2 2 Y3 5 Y6 xvi Características Tecnología integrada para el mundo actual % x
2x Encontrar INVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA Cambio de variables EJEMPLO 5 1 dx. Los ejemplos a lo largo del libro se acompañan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple®) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el cálculo manipulando funciones, gráficas, etc., y observar los resultados. Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx duY2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos de u, como se muestra. u 2x Su x 1 1DY2 Resolver para x en términos de u. Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene % x
2x 1 dx % % u 1 2 1 Su3Y2 4 1 u5Y2 4 5Y2  1 S2x 10 u1Y2 du2 u1Y2D du u3Y2 3Y2 C 1 S2x 6 1D5Y2 1D3Y2 C. Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de graficación para representar gráficamente la función, b) representar su función inversa utilizando la herramienta de graficación y c) determinar si la gráfica de la relación inversa es una función inversa. Explicar la respuesta. EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIÓN La comprensión con frecuencia mejora utilizando una gráfica o visualización. Los ejercicios de tecnología de graficación piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficación para ayudar a encontrar una solución. 55. f SxD x3 x dy dx 0.25y, y0 4 68. dy dx 4 y0 6 y, 69. dy dx 0.02y 10 70. dy dx 0.2x 2 71. dy dx 0.4y 3 72. dy 1
e dx 2 x 8 y, y0 y0 9 x, y0 1 y , 4 y0
2 79. 81. 2 y, sen CAS En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por compu- a % % 1 4x x2 1 13 dx 80. 1 d sen 82. hSxD x
4 x2 A lo largo del libro, los recuadros de tecnología dan a los estudiantes una visión de cómo la tecnología puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del cálculo. No sólo proporcionan discusiones acerca de dónde la tecnología tiene éxito, sino también sobre dónde puede fracasar. tadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la gráfica de dos antiderivadas. Describir la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas. 67. 56. TECNOLOGÍA CAS Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la gráfica del campo de pendientes para la ecuación diferencial y b) trazar la gráfica de la solución que satisface la condición inicial especificada. 4 % % x x2 2 4x ex e 2 13 x 3  dx dx CAS En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computado- ra para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la gráfica de la antiderivada resultante. 33. 35.   x 2 5x dx, 6, 0
34. 10x  25 x2  x  2 dx, 0, 1
x 2  2
2 36.   6x 2  1 dx, 2, 1
x 2x 1
3 x3 x 2 4
2 dx, 3, 4 EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA ¡NUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficación, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edición. TECNOLOGÍA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximación del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximación es 1.839). Al usar la integración numérica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los límites de integración están cercanos a una asíntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del cálculo, se obtiene % 1.99 0 x
4 3 dx  6.213. x2 Aplicando la regla de Simpson (con n mación de 6.889. 10) para esta integral se produce una aproxi- P Preparación para el cálculo En este capítulo se revisan varios conceptos que lo ayudarán a prepararse para el estudio del cálculo. Estos conceptos incluyen el dibujo de gráficas y funciones así como el ajuste de modelos matemáticos a conjuntos de datos. Es importante repasar estos conceptos antes de adentrarse en el cálculo. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo identificar las características de ■ las ecuaciones y dibujar sus gráficas. (P.1) n Cómo encontrar y graficar ecuaciones de rectas, incluidas rectas paralelas y perpendiculares, utilizando el concepto de pendiente. (P.2) n Cómo evaluar y graficar funciones y sus diferentes transformaciones. (P.3) n Cómo ajustar modelos matemáticos a conjuntos de datos encontrados en la vida real. (P.4) Jeremy Walker/Getty Images ■ En 2006, China rebasó a Estados Unidos como el mayor emisor de dióxido de carbono del mundo, el principal gas del efecto invernadero. Dadas las concentraciones de dióxido de carbono en la atmósfera durante varios años, ¿pueden los viejos modelos matemáticos predecir con exactitud las futuras concentraciones atmosféricas en comparación con modelos más recientes? (Ver la sección P.1, ejemplo 6.) Los modelos matemáticos se usan generalmente para describir conjuntos de datos y pueden representarse por diferentes tipos de funciones tales como las lineales, cuadráticas, cúbicas, racionales y trigonométricas. (Ver la sección P.4.) 1 2 CAPÍTULO P P.1 Preparación para el cálculo Gráficas y modelos ■ ■ ■ ■ ■ Trazar la gráfica de una ecuación. Encontrar las intersecciones de una gráfica con los ejes. Analizar las posibles simetrías de una gráfica con respecto a un eje y el origen. Encontrar los puntos de intersección de dos gráficas. Interpretar modelos matemáticos con datos de la vida real. Archive Photos La gráfica de una ecuación RENÉ DESCARTES (1596-1650) Descartes hizo numerosas contribuciones a la filosofía, la ciencia y las matemáticas. En su libro La Géométrie, publicado en 1637, describió la idea de representar los puntos del plano por medio de pares de números reales y las curvas en el plano mediante ecuaciones. y 8 (1, 4) 4 2 3x 7 y (2, 1) 2 2 4 6 (3, 2) 4 x 8 3x Método analítico. Ahora, elaboramos una tabla de valores dando valores de x. x 0 1 2 y 7 4 1 3 2 4 Método numérico. 5 7, en realidad sólo NOTA Aunque se mencione el dibujo de la figura P.1 como la gráfica de 3x + y representa una porción de la misma. La gráfica completa se extendería fuera de la página. (4, 5) 6 7 y A partir de la tabla, puede verse que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, 2) y (4, 5) son soluciones de la ecuación inicial 3x + y 7. Al igual que muchas ecuaciones, ésta tiene una cantidad infinita de soluciones. El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación, como ilustra la figura P.1. (0, 7) 6 En 1637, el matemático francés René Descartes revolucionó las matemáticas al unir sus dos ramas principales: álgebra y geometría. Con ayuda del plano coordenado de Descartes, los conceptos geométricos se pudieron formular de manera analítica y los algebraicos visualizarse de forma gráfica. La potencia de este método es tal que durante un siglo se consiguió desarrollar la mayor parte del cálculo. Las posibilidades de éxito en el cálculo aumentarán siguiendo el mismo método. Es decir, realizar el cálculo desde múltiples perspectivas —gráfica, analítica y numérica— incrementará la comprensión de los conceptos fundamentales. Considerar la ecuación 3x + y 7. El punto (2, 1) es un punto solución de la ecuación puesto que esta última se satisface (es verdadera) cuando se sustituye x por 2 y y por 1. Esta ecuación tiene muchas otras soluciones, como (1, 4) y (0, 7). Para encontrarlas de manera sistemática, despejar y de la ecuación inicial. Procedimiento gráfico: 3x 7 y Figura P.1 En este curso se estudiarán varias técnicas para la representación gráfica. La más simple consiste en dibujar puntos hasta que la forma esencial de la gráfica se haga evidente. EJEMPLO 1 Dibujo de una gráfica mediante el trazado de puntos y Dibujar la gráfica de y 7 6 5 4 x2 y 2 x2 2. Solución Primero construimos una tabla de valores. A continuación, marcamos los puntos dados en la tabla. 3 x 2 1 x 4 3 2 La parábola y Figura P.2 2 x2 3 2 y 2 2 1 1 0 2 1 1 2 3 2 7 4 Por último, unir los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura P.2. Esta gráfica es una parábola. Se trata de una de las cónicas que se estudiarán en el capítulo 10. SECCIÓN P.1 Gráficas y modelos 3 Uno de los inconvenientes de la representación mediante el trazado de puntos radica en que la obtención de una idea confiable de la forma de una gráfica puede exigir que se marque un gran número de puntos. Utilizando sólo unos pocos, se corre el riesgo de obtener una visión deformada de la gráfica. Por ejemplo, suponiendo que para dibujar la gráfica de 1 30 x y 10x2 39 x4 se han marcado sólo cinco puntos: ( 3, 3), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1) y (3, 3), como se muestra en la figura P.3a. A partir de estos cinco puntos, se podría concluir que la gráfica es una recta. Sin embargo, esto no es correcto. Trazando varios puntos más puede verse que la gráfica es más complicada, como se observa en la figura P.3b. y y x (39 y (3, 3) 3 10x 2 x 4) 3 2 2 (1, 1) 1 1 (0, 0) x 3 2 1 ( 1, 1) 1 1 2 ( 3, 3) 2 3 x 3 Si se marcan pocos puntos, puede obtenerse una gráfica incorrecta 3 2 1 a) b) c) d) e) f) y y y y y y 3x2 2x 5 3x2 2x 25 x3 3x2 20x 5 3x3 40x2 50x 45 (x 12)3 (x 2)(x 4)(x 6) 3 2 3 a) b) Figura P.3 TECNOLOGÍA La tecnología moderna ha simplificado el dibujo de gráficas. No obstante, incluso recurriendo a ella, es posible desfigurar una gráfica. Por ejemplo, las pantallas de una herramienta de graficación de la figura P.4 muestran una porción de la gráfica de x3 x3 Resolver este problema usando sólo métodos gráficos conllevaría una estrategia simple de “intuición, comprobación y revisión”. ¿Qué tipo de aspectos podría involucrar un planteamiento analítico? Por ejemplo, ¿tiene simetrías la gráfica?, ¿tiene inflexiones? Si es así, ¿dónde están? A medida que se avance por los capítulos 1, 2 y 3 de este texto, se estudiarán muchas herramientas analíticas nuevas que serán de ayuda para analizar gráficas de ecuaciones como éstas. 2 1 EXPLORACIÓN Comparación de los métodos gráfico y analítico Utilizar una herramienta de graficación para representar cada una de las siguientes ecuaciones. En cada caso, encontrar una ventana de representación que muestre las principales características de la gráfica. 1 y x3 x2 25. La pantalla de la izquierda puede inducir a pensar que la gráfica es una recta. Sin embargo, la de la derecha muestra que no es así. Entonces, cuando se dibuja una gráfica ya sea a mano o mediante una herramienta de graficación, debe tenerse en cuenta que las diferentes ventanas de representación pueden dar lugar a imágenes muy distintas de la gráfica. Al elegir una ventana, la clave está en mostrar una imagen de la gráfica que se adecue al contexto del problema. 5 10 5 10 5 10 35 10 Visualizaciones en la pantalla de una herramienta de graficación de y 3 x 2 x 25 Figura P.4 NOTA En este libro, el término herramienta de graficación se refiere a una calculadora graficadora o a un programa graficador como Maple, Mathematica o a la calculadora TI-89. 4 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Intersecciones de una gráfica con los ejes Dos tipos de puntos solución útiles al representar gráficamente una ecuación son aquellos en los que la coordenada x o y es cero. Tales puntos se denominan intersecciones con los ejes porque son los puntos en que la gráfica corta (hace intersección con) el eje x o el eje y. Un punto del tipo (a, 0) es una intersección en x de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de ésta. Para determinar las intersecciones en x de una gráfica, igualar y a cero y despejar x de la ecuación resultante. De manera análoga, un punto del tipo (0, b) es una intersección en y de la gráfica de una ecuación si es un punto solución de la misma. Para encontrar las intersecciones en y de una gráfica, igualar x a cero y despejar y de la ecuación resultante. En algunos textos se denomina x intersección a la coordenada x del punto (a, 0) en lugar NOTA del propio punto. Salvo que sea necesario distinguirlos, se usará el término intersección para denotar tanto al punto de intersección con el eje x como a su abscisa. Es posible que una gráfica carezca de intersecciones con los ejes, o que presente varias de ellas. Por ejemplo, considerar las cuatro gráficas de la figura P.5. y y y x y x x No hay intersecciones con el eje x Una intersección con el eje y Tres intersecciones con el eje x Una intersección con el eje y Una intersección con el eje x Dos intersecciones con el eje y x No hay intersecciones Figura P.5 Determinación de las intersecciones con los ejes x y y EJEMPLO 2 Encontrar las intersecciones con los ejes en la gráfica de y x3 4 4x 3 ( 2, 0) x(x (0, 0) (2, 0) x 4 3 1 1 1 2 3 4 Intersecciones de una gráfica Figura P.6 4x. Solución Para determinar las intersecciones en x, hacer y igual a cero y despejar x. y y x3 3 4 x3 4x 0 y se iguala a cero. 2) (x 2) x 0 0, 2 o Factorizar. 2 Despejar x. Puesto que esta ecuación admite tres soluciones, se puede concluir que la gráfica tiene tres intersecciones en x: (0, 0), (2, 0) y ( 2, 0) Intersecciones en x. Para encontrar las intersecciones en y, igualar x a cero. Resulta entonces y la intersección en y es (0, 0) 0. Por tanto, Intersección en y. (Ver la figura P.6.) TECNOLOGÍA En el ejemplo 2 se utiliza un método analítico para determinar las intersecciones con los ejes. Cuando no es posible tal enfoque analítico, se puede recurrir a métodos gráficos, buscando los puntos donde la gráfica toca los ejes. Utilizar una herramienta de graficación para aproximar las intersecciones. SECCIÓN P.1 y Gráficas y modelos 5 Simetrías de una gráfica Es útil conocer la simetría de una gráfica antes de intentar trazarla, puesto que sólo se necesitarán la mitad de los puntos para hacerlo. Los tres tipos siguientes de simetrías pueden servir de ayuda para dibujar la gráfica de una ecuación (ver la figura P.7). (x, y) ( x, y) x 1. Simetría con respecto al eje y Una gráfica es simétrica respecto al eje y si, para cada punto (x, y) de la gráfica, el punto ( x, y) también pertenece a la gráfica. Esto significa que la porción de la gráfica situada a la izquierda del eje y es la imagen especular de la situada a la derecha de dicho eje. Una gráfica es simétrica respecto al eje x si, para cada punto (x, y) de la gráfica, el punto (x, y) también pertenece a la gráfica. Esto quiere decir que la porción de la gráfica situada sobre el eje x es la imagen especular de la situada bajo el mismo eje. Una gráfica es simétrica respecto al origen si, para cada punto (x, y) de la gráfica, el punto ( x, y) también pertenece a la gráfica. Esto significa que la gráfica permanece inalterada si se efectúa una rotación de 180° respecto al origen. 2. y 3. (x, y) CRITERIOS DE SIMETRÍA x 1. (x, y) Simetría con respecto al eje x La gráfica de una ecuación en x y y es simétrica respecto al eje y si al sustituir x por x en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente. La gráfica de una ecuación en x y y es simétrica respecto al eje x si al sustituir y por y en la ecuación resulta una ecuación equivalente. 2. y 3. La gráfica de un polinomio es simétrica respecto al eje y si cada uno de los términos tiene exponente par (o es una constante). Por ejemplo, la gráfica de y 2x4 x2 2 es simétrica respecto al eje y. La gráfica de un polinomio es simétrica respecto al origen si cada uno de los términos tiene exponente impar, como se ilustra en el ejemplo 3. (x, y) x ( x, y) La gráfica de una ecuación en x y y es simétrica respecto al origen si al sustituir x por x y y por y en la ecuación se obtiene una ecuación equivalente. Simetría con respecto al origen Comprobación de la simetría EJEMPLO 3 Figura P.7 Verificar si la gráfica de y 2x3 x es simétrica respecto al eje y y respecto al origen. Solución Simetría respecto al eje y: 2x3 y y y = 2x 3 x y 2( x) y 2x3 y (1, 1) 1 ( 1, 1) 1 1 2 Simetría con respecto al origen Figura P.8 ฀x 2 2x3 Sustituir x por x. Simplificar. No es una ecuación equivalente. ฀x Escribir ecuación original. 3 y 2( x) y 2x3 y 3 x 1 ( x) Simetría respecto al origen: 2 2 Escribir ecuación original. x 3 2x ( x) x x Sustituir x por x y y por y. Simplificar. Ecuación equivalente. Puesto que la sustitución x por x y y por y produce una ecuación equivalente, se concluye que la gráfica de y 2x3 x es simétrica con respecto al origen, como se muestra en la figura P.8. 6 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo EJEMPLO 4 Uso de las intersecciones y de las simetrías para representar una gráfica y2 Dibujar la gráfica de x 1. y y2 x Solución La gráfica es simétrica respecto al eje x porque al sustituir y por una ecuación equivalente. (5, 2) 1 2 (2, 1) 1 x (1, 0) 2 3 4 x 5 x 1 Intersección en x 2 y2 1 Escribir ecuación original. 2 1 1 Sustituir y por ( y) x y2 y se obtiene y. Ecuación equivalente. Esto significa que la porción de la gráfica situada bajo el eje x es una imagen especular de la porción situada sobre el eje. Para dibujar la gráfica, graficar primero la intersección con el eje x y la porción sobre el eje x. Después, reflejar el dibujo en el eje x y obtener la gráfica completa, como se muestra en la figura P.9. Figura P.9 TECNOLOGÍA Las herramientas de graficación están diseñadas para dibujar con mayor facilidad ecuaciones en las que y está en función de x (ver la definición de función en la sección P.3). Para representar otro tipo de ecuaciones, es necesario dividir la gráfica en dos o más partes, o bien, utilizar un modo gráfico diferente. Por ejemplo, la gráfica de la ecuación del ejemplo 4, puede dividirse en dos partes: y1 x 1 Porción superior de la gráfica. y2 x 1 Porción inferior de la gráfica. Puntos de intersección Se llama punto de intersección de las gráficas de dos ecuaciones a todo punto que satisfaga ambas ecuaciones. Los puntos de intersección de dos gráficas se determinan al resolver sus ecuaciones de manera simultánea. EJEMPLO 5 Determinación de los puntos de intersección y 2 x y Calcular los puntos de intersección de las gráficas de x2 1 1 (2, 1) x 2 1 1 2 1 ( 1, 2) x y 3 x2 Dos puntos de intersección Figura P.10 AYUDA DE ESTUDIO Verificar los puntos de intersección del ejemplo 5 sustituyéndolos en la ecuación original o usando la función de intersección de su herramienta de graficación o computadora. 3yx y 1. Solución Comenzar por representar las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, como se muestra en la figura P.10. Hecho esto, resulta evidente que las gráficas tienen dos puntos de intersección. Para determinarlos, se puede proceder como sigue. 2 2 y x2 x x 2 x y x2 y x 1 3 2 x 0 1 1 x 0 2o 3 Despejar y de la primera ecuación. Despejar y de la segunda ecuación. Igualar los valores obtenidos de y. Escribir la ecuación en la forma general. Factorizar. 1 Despejar x. Los valores correspondientes de y se obtienen sustituyendo x 2 y x ฀l en cualquiera de las ecuaciones originales. Resultan así los dos puntos de intersección: (2, 1) y ( 1, 2) Puntos de intersección. SECCIÓN P.1 Gráficas y modelos 7 Modelos matemáticos Al aplicar las matemáticas en la vida real con frecuencia se usan ecuaciones como modelos matemáticos. Si se desarrolla un modelo matemático con el fin de representar datos reales, debe esforzarse por alcanzar dos objetivos a menudo contradictorios: precisión y sencillez. Es decir, el modelo deberá ser lo bastante sencillo como para poder manejarlo, pero también preciso como para producir resultados significativos. En la sección P.4 se tratan estos objetivos con más detalle. 316.2 y 0.70t 0.018t2 Modelo cuadrático para los datos de 1960 a 1990. donde t 0 representa a 1960, como se muestra en la figura P.11a. Los datos que se muestran en la figura P.11b representan los años 1980 a 2007, y pueden modelarse mediante 304.1 y l.64t Modelo lineal para los datos de 1980 a 2007. donde t 0 representa a 1960. ¿Cuál fue el pronóstico dado en el artículo de Scientific American de 1990? Dados los datos más recientes de los años 1990 a 2007, ¿parece exacta esa predicción para el año 2035? y y 385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315 CO2 (en partes por MILLØN) El observatorio de Mauna Loa en Hawai ha medido el incremento en la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre desde 1958. El dióxido de carbono es el principal gas causante del efecto invernadero responsable directo del calentamiento global. El aumento de dióxido de carbono atmosférico El observatorio de Mauna Loa, Hawai, registra la concentración de dióxido de carbono (en partes por millón) en la atmósfera terrestre. En la figura P.11 se muestran los registros correspondientes al mes de enero de varios años. En el número de julio de 1990 de Scientific American, se utilizaron esos datos para pronosticar el nivel de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre en el año 2035, utilizando el modelo cuadrático: CO2 (en partes por MILLØN) © JG Photography/Alamy EJEMPLO 6 385 380 375 370 365 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315 t t 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 !×O (0 a) 1960) !×O (0 b) 1960) Figura P.11 Solución Para responder a la primera pregunta, se sustituye t el modelo cuadrático. y Los modelos del ejemplo 6 se han elaborado usando un método denominado ajuste por mínimos cuadrados (ver la sección 13.9). El modelo lineal tiene una correlación dada por r 2 0.997 y el modelo cuadrático por r 2 0.994. Cuanto más próximo es r 2 a 1, “mejor” es el modelo. NOTA 316.2 0.70(75) 0.018(75)2 469.95 75 (para el año 2035) en Modelo cuadrático. De tal manera, el pronóstico establecido en el artículo de Scientific American decía que la concentración de dióxido de carbono en la atmósfera terrestre alcanzaría alrededor de 470 partes por millón en el año 2035. Utilizando el modelo lineal con los datos de los años 1980 a 2007, el pronóstico para el año 2035 es y 304.1 1.64(75) 427.1 Modelo lineal. Por tanto, de acuerdo con el modelo lineal para los años 1980 a 2007, parece que el pronóstico de 1990 fue demasiado elevado. 8 CAPÍTULO P P.1 Preparación para el cálculo Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, relacionar cada ecuación con su gráfica. a) b) y y 19. y 2x 3 21. y x2 2 2 23. y x 16 1 1 x x 1 1 1 1 c) 1 1 2 3 d) 31. 2 1 1 x 2 x 2 2 2 3 33. xy 4. y x3 7. y 9. y x 2 6. y 5 2x 4 x2 8. y x 3 x 2 10. y x 11. y 13. y x 6 12. y 3 x 14. y 2 1 2 x 1 2 x En los ejercicios 15 y 16, describir las ventanas de la figura. 15. 16. y x3 4x 2 3 y x 0 3 x3 4x x2 1 x x2 26. y x 16 6 x3 8x x2 2x 28. y 1 3x 12 3x 30. y x2 x 32. y x3 x 34. xy 2 4 x 3 x 39. y En los ejercicios 5 a 14, elaborar la gráfica de la ecuación mediante el trazado de puntos. 5. y y2 24. y 4y 4 35. y x2 9 2. y x2 3 1 2x x2 x2 y2 37. y 1. y 3. y 22. x2 x 2 3 2x 2 x 5x 29. y 4 1 4x2 20. y 1 En los ejercicios 29 a 40, buscar si existe simetría respecto a cada uno de los ejes y respecto al origen. y 2 5 2 25. y 27. x 2y y 2 En los ejercicios 19 a 28, encontrar todas las intersecciones con los ejes. x2 1 x3 x 10 x2 4 36. xy 0 x2 38. y x2 1 x 3 40. y En los ejercicios 41 a 58, trazar la gráfica de la ecuación. Identificar todas las intersecciones con los ejes y determinar si existe simetría. 41. y 2 43. y 1 2x 3x 45. y 3 2x 42. y 4 44. y 2 3x 9 x2 46. y x2 47. y x 3 48. y 2x 2 49. y x3 50. y x3 51. y x x 53. x y3 55. y 8 x 57. y 6 2 2 5 3 x 4x x2 25 52. y 54. x y 2 4 10 56. y 58. y x 6 1 x2 1 6 x En los ejercicios 59 a 62, utilizar una herramienta de graficación para dibujar la gráfica de la ecuación. Identificar toda intersección con los ejes y determinar si existe simetría. 59. y 2 x 9 60. x 2 4y 2 4 3y 2 En los ejercicios 17 y 18, utilizar una herramienta de graficación para representar la ecuación. Desplazar el cursor a lo largo de la curva para determinar de manera aproximada la coordenada desconocida de cada punto solución, con una exactitud de dos decimales. 17. y 18. y 5 x5 x a) 5x a) 2, y 0.5, y b) x, 3 b) x, 4 6 61. x 62. 3x 4y 2 8 En los ejercicios 63 a 70, encontrar los puntos de intersección de las gráficas del par de ecuaciones. 63. x y 8 64. 3x 4x y 7 65. x 2 y 6 66. x x y 4 y x2 y2 5 y 1 67. x El símbolo señala los ejercicios donde se pide utilizar tecnología gráfica o un sistema de álgebra computacional. La resolución de los demás ejercicios también puede simplificarse mediante el uso de la tecnología adecuada. 2y 4x 68. 2y 1 x 3x 10 y2 3 x2 4 y2 25 y 15 SECCIÓN P.1 x3 69. y y 70. y x x3 donde x es el diámetro en milésimas de pulgada. Representar el modelo en la herramienta de graficación. Si se duplica el diámetro del hilo, ¿en qué factor aproximado varía la resistencia? 4x 2 x y En los ejercicios 71 a 74, utilizar una herramienta de graficación para encontrar los puntos de intersección de las gráficas. Verificar los resultados de manera analítica. x3 71. y 2x 2 x 1 72. y x4 x2 2x 2 1 x2 y 3x 1 y 1 73. 74. y x 6 y 2x 3 6 73. 2 x 4x y y 6 x 75. Modelado matemático En la tabla se muestra el Índice de Precios al Consumidor (IPC) para una selección de varios años. (Fuente: Bureau of Labor Statistics.) !×O 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 IPC 53.8 82.4 107.6 130.7 152.4 172.2 195.3 a) Utilizar una herramienta de graficación para el cálculo de regresión con el fin de encontrar un modelo matemático de la forma y at2 bt c para los datos. En este modelo, y representa el IPC y t representa el año, donde t 5 corresponde a 1975. b) Representar el modelo en la calculadora y comparar los datos. c) Utilizar el modelo para predecir el IPC del año 2010. Desarrollo de conceptos En los ejercicios 79 y 80, escribir una ecuación cuya gráfica tenga la propiedad que se indica (puede existir más de una respuesta correcta). 79. La gráfica tiene intersecciones en x 4, x 80. La gráfica tiene intersecciones en x 3 2, 81. a) Comprobar que si una gráfica es simétrica con respecto al eje x y al eje y, entonces es simétrica con respecto al origen. Dar un ejemplo que muestre que lo contrario no es cierto. b) Comprobar que si una gráfica es simétrica con respecto a cualquiera de los ejes y al origen, entonces es simétrica con respecto al otro eje. .ÞMERO 1990 1993 1996 1999 2002 2005 5 16 44 86 141 208 a) Utilizar la función de regresión de una herramienta de graficación y encontrar así un modelo matemático de la forma y at2 bt c de los datos. En este modelo, y representa el número de usuarios y t representa el año, donde t 0 corresponde a 1990. b) Utilizar una herramienta de graficación para colocar los datos y graficar el modelo. Comparar los datos con el modelo. c) Utilizar el modelo para predecir el número de usuarios de teléfonos móviles en Estados Unidos en el año 2015. 77. Punto de equilibrio Calcular las ventas necesarias para alcanzar el punto de equilibrio (R C), si el costo* C de producir x unidades es: Ecuación de costo. C 5.5 x 10 000 y los ingresos R por vender x unidades son: R 3.29x. 82. * En España se le denomina coste. ** En España las siguientes unidades de medición se denominan: volts voltios; amperes amperios; ohms ohmios; henrys henrios; decibeles decibelios; watts watios. 8. 5 2. Relacionar la ecuación o ecuaciones con las características dadas. i) y iv) y 3x3 3 x 3x ii) y v) y 3 x 2 3x 2 3 iii) y 3x vi) y 3 3 x a) Simétrica con respecto al eje y b) Tres intersecciones con el eje x c) Simétrica con respecto al eje x d) ( 2, 1) es un punto de la gráfica e) Simétrica con respecto al origen f) La gráfica pasa por el origen ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determinar cuándo la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que demuestre que es falsa. 83. Si ( 4, 5) es el punto de una gráfica simétrica con respecto al eje x, entonces (4, 5) también es un punto de dicha gráfica. 84. Si ( 4, 5) es el punto de una gráfica simétrica con respecto al eje y, entonces (4, 5) también es un punto de dicha gráfica. 85. Si b2 4ac 0 y a ฀0, entonces la gráfica de y c tiene dos intersecciones con x. ax2 bx 86. Si b2 4ac 0 y a ฀0, entonces la gráfica de y c sólo tiene una intersección con x. ax2 bx Ecuación de ingresos. 78. Alambre de cobre La resistencia y en ohms** de 1 000 pies de alambre de cobre a 77° F admite el modelo matemático 10 770 5 x 100 y 0.37, x2 x 3y x 4, y x Para discusión 76. Modelo matemático La siguiente tabla muestra el número de usuarios de teléfonos móviles (en millones) en Estados Unidos en los años mostrados. (Fuente: Cellular Telecommunications and Internet Association.) !×O 9 Gráficas y modelos En los ejercicios 87 y 88, encontrar una ecuación de la gráfica que se compone de todos los puntos (x, y) que tienen la distancia dada respecto al origen (repasar la fórmula de la distancia en el apéndice C). 87. La distancia respecto al origen es el doble de la distancia que hay desde (0, 3). 88. La distancia respecto al origen se obtiene al multiplicar la distancia que hay desde el punto (2, 0) por K (K 1). 10 CAPÍTULO P P.2 Preparación para el cálculo Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Encontrar la pendiente de una recta que pasa por dos puntos. Escribir la ecuación de una recta dados un punto y su pendiente. Interpretar la pendiente como razón o ritmo en aplicaciones cotidianas. Trazar la gráfica de una ecuación lineal en la forma pendiente-intersección. Escribir las ecuaciones de rectas que son paralelas o perpendiculares a una recta dada. ■ ■ ■ ■ ■ La pendiente de una recta La pendiente de una recta no vertical es una medida del número de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de variación horizontal de izquierda a derecha. Considerar los dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la recta de la figura P.12. Al desplazarse de izquierda a derecha por la recta, se produce una variación vertical de y (x2, y2) y2 y1 y ฀y2 (x1, y1) x ฀x2 y x1 x1 ฀y x y1 x1 y2 Cambio en y. y1 unidades por cada variación horizontal de x x2 y2 x2 y1 x cambio en y cambio en x x2 Cambio en x. x1 unidades. ( es la letra griega delta mayúscula y los símbolos y y x se leen “delta de y” y “delta de x”.) Figura P.12 DEFINICIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente m de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) es y x m y2 x2 y1 , x1 x2 . x1 La pendiente no está definida por rectas verticales. NOTA y2 x2 Al aplicar la fórmula de la pendiente, observar que ( y1 ( x1 y1 x1 y2 ) x2 ) y1 x1 y2 . x2 Por tanto, no importa el orden en que se reste, siempre que sea coherente y las dos “coordenadas restadas” provengan del mismo punto. En la figura P.13 se muestran cuatro rectas con pendiente: una positiva, otra cero, otra negativa y otra “indefinida”. En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de la pendiente de una recta, mayor es su inclinación. Por ejemplo, en la figura P.13, la recta con pendiente 5 está más inclinada que la de pendiente 15. y y 4 m1 = 3 ( 1, 2) 2 (3, 1) 1 ( 2, 0) 4 1 5 3 4 0 m2 1 1 2 3 1 Si m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha Figura P.13 (0, 4) 1 3 2 2 1 1 1 1 2 3 1 Si m es cero, la recta es horizontal m 4 está indefinida (3, 1) x x 2 (3, 4) 4 m3 3 (2, 2) x 2 y y 2 1 1 (1, 1) 3 4 Si m es negativa, la recta baja de izquierda a derecha x 1 1 2 4 1 Si m es indefinida, la recta es vertical SECCIÓN P.2 EXPLORACIÓN Estudio de ecuaciones de rectas Utilizar una herramienta de graficación para dibujar cada una de las siguientes ecuaciones lineales. ¿Qué punto es común a las siete rectas? ¿Qué número determina la pendiente de la recta en cada ecuación? a) y b) y 4 2Sx 1D 4 1Sx 1D c) y d) y 4 1 2 Sx 1D 4 0Sx 1D e) y f) y 4 1 2 Sx 1D 4 1Sx 1D g) y 4 2Sx 1D 11 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Ecuaciones de las rectas Para calcular la pendiente de una recta pueden utilizarse dos de sus puntos cualesquiera. Esto puede verificarse con ayuda de los triángulos semejantes de la figura P.14. (Recordar que los cocientes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son todos iguales.) y (x2*, y2*) (x2, y2) (x1, y1) (x1*, y1*) x y 2* x2 * m y1* x1* y2 x2 y1 x1 Cualquier par de puntos de una recta determina su pendiente Utilizar los resultados para construir la ecuación de una recta que pase por ( 1, 4) con una pendiente de m. Figura P.14 Se puede escribir la ecuación de una recta si se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. Dada la pendiente m y un punto (x1, y1). Si (x, y) denota cualquier otro punto de la recta, entonces y y1 x x1 m. Esta ecuación, que involucra las dos variables x y y, se puede escribir de la forma y m(x x1), la cual es conocida como ecuación punto-pendiente de una recta. y1 ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA La ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1, y1) está dada por y y y 3x y1 m(x x1). 5 1 EJEMPLO 1 Determinación de la ecuación de una recta x 1 3 1 y 2 3 x 4 3 1 Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (1, –2). Solución 4 y1 m(x x1) Forma punto-pendiente. ( 2) 3(x 1) Sustituir y1 por y ฀ y 5 y La recta de pendiente 3 que pasa por el punto (1, 2) Figura P.15 2 3x 3 Simplificar. y 3x 5 Despejar y. 2, x1 por l y m por 3. (Ver la figura P.15.) NOTA Recordar que la pendiente puede usarse sólo para describir una recta no vertical. De tal manera, las rectas verticales no pueden expresarse mediante ecuaciones punto-pendiente. Por ejemplo, la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (1, 2) es x 1. 12 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Razones y ritmos o velocidades de cambio La pendiente de una recta puede interpretarse ya sea como una razón o como una proporción, o bien como una tasa, ritmo o velocidad de cambio. Si los ejes x y y tienen la misma unidad de medida, la pendiente no tiene unidades y es una razón o proporción. Si los ejes x y y tienen distintas unidades de medida, la pendiente es una tasa, ritmo o velocidad de cambio. Al estudiar cálculo, se encontrarán aplicaciones relativas a ambas interpretaciones de la pendiente. EJEMPLO 2 Crecimiento de poblaciones y diseño técnico 0OBLACIØN•EN•MILLONES 6 5 838 000 4 a) La población de Colorado era de 3 827 000 habitantes en 1995 y de 4 665 000 en 2005. Durante este periodo de 10 años, el ritmo o velocidad de cambio promedio de la población fue: 10 3 cambio en poblaación cambio en años Ritmo o velocidad de cambio = 2 1 1995 2005 4 665 000 3 827 000 2005 19995 2015 !×O 83 800 personas por año. Población de Colorado en el censo Figura P.16 Si la población de Colorado continúa creciendo a este ritmo durante los próximos 10 años, en 2015 alcanzará 5 503 000 habitantes (ver la figura P.16). (Fuente: U.S. Census Bureau.) b) En un torneo de saltos de esquí acuático, la rampa se eleva hasta una altura de 6 pies sobre una balsa de 21 pies de largo, como se ilustra en la figura P.17. La pendiente de la rampa de esquí es el cociente entre su altura (ascenso) y la longitud de su base (avance). Pendiente de la rampa = ascenso avance 6 pies 21 pies Ascenso es el cambio vertical, avance es el cambio horizontal. 2 7 Observar que, en este caso, la pendiente es una proporción y se expresa sin unidades. 6 pies 21 pies Dimensiones de una rampa de esquí acuático Figura P.17 El ritmo o velocidad de cambio calculado en el ejemplo 2a es un ritmo o velocidad de cambio medio. Un ritmo o velocidad de cambio medio siempre se calcula con respecto a un intervalo que en este caso es [1995, 2005]. En el capítulo 2 se estudiará otro tipo de ritmo o velocidad de cambio, denominado ritmo o velocidad de cambio instantánea. SECCIÓN P.2 13 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Representación gráfica de modelos lineales Muchos de los problemas de geometría analítica pueden clasificarse en dos categorías básicas: 1) dada una gráfica, ¿cuál es su ecuación?, y 2) dada una ecuación, ¿cuál es su gráfica? La ecuación punto-pendiente de una recta puede emplearse para resolver ciertos problemas de la primera categoría. No obstante, esta forma no resulta útil para resolver problemas de la segunda categoría. La forma que mejor se adapta al trazado de la gráfica de una recta es la forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta. ECUACIÓN PENDIENTE-INTERSECCIÓN DE UNA RECTA La gráfica de la ecuación lineal y mx b es una recta que tiene pendiente m y una intersección con el eje y en (0, b). EJEMPLO 3 Trazado de rectas en el plano Dibujar la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones. a) y 2x b) y 1 c) 3y 2 x 6 0 Solución a) Puesto que b 1, la intersección en y es (0, 1). Como la pendiente es m 2, se sabe que la recta asciende dos unidades por cada unidad que se mueve hacia la derecha, como se muestra en la figura P.18a. b) Dado que b 2, la intersección en y es (0, 2). Como la pendiente es m 0, se sabe que es horizontal, como se ilustra en la figura P.18b. c) Comenzar por escribir la ecuación en forma pendiente-intersección. 3y x 6 0 3y Ecuación original. x 6 1 x 2 3 y Despejar el término en y. Forma pendiente-intersección. De esta forma, puede verse que la intersección en y es (0, 2) y la pendiente m ฀−. Esto quiere decir que la recta desciende una unidad por cada tres unidades que se mueve hacia la derecha, como se muestra en la figura P.18c. y y y 3 2 2x 1 3 2 y y y 3 2 x (0, 2) (0, 1) y 1 x 1 y 1 3 5 6 x 2 1 (0, 2) 1 x 1 a) m 3 2 2; la recta sube Figura P.18 x x 3 1 b) m 2 3 0; la recta es horizontal 1 c) m 2 3 4 ฀− ; la recta baja 14 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Dado que la pendiente de una recta vertical no está definida, su ecuación no puede escribirse con la forma pendiente-intersección. Sin embargo, la ecuación de cualquier recta puede escribirse en la forma general: Ax By C 0 Forma general de la ecuación de una recta. donde A y B no son ambos cero. Por ejemplo, la recta vertical dada por x sentarse por la ecuación general x a 0. a puede repre- Resumen de ecuaciones de las rectas 1. Forma general: Ax 2. 3. 4. 5. Recta vertical: Recta horizontal: Forma punto-pendiente: Forma pendiente-intersección: x y y y By 0, (A, B C a b y1 m(x mx b 0) x1) Rectas paralelas y perpendiculares La pendiente de una recta es útil para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares, como se muestra en la figura P.19. En específico, dos rectas no verticales con la misma pendiente son paralelas, y dos rectas no verticales cuyas pendientes son recíprocas negativas son perpendiculares. y y m1฀ ฀m2 m2 m1 m1 m2 m1 x Rectas paralelas m2 Rectas perpendiculares Figura P.19 AYUDA DE ESTUDIO En matemáticas, la expresión “si y sólo si” es una manera de establecer dos implicaciones en una misma afirmación. Por ejemplo, la primera afirmación de la derecha equivale a las dos implicaciones siguientes: a) Si dos rectas no verticales distintas son paralelas, entonces sus pendientes son iguales. b) Si dos rectas no verticales distintas tienen pendientes iguales, entonces son paralelas. RECTAS PARALELAS Y RECTAS PERPENDICULARES 1. 2. Dos rectas no verticales distintas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir, si y sólo si m1 m2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si sus pendientes son recíprocas negativas, es decir, si y sólo si m1 1 . m2 x SECCIÓN P.2 EJEMPLO 4 15 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio Rectas paralelas y rectas perpendiculares Hallar la forma general de las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2, son a) paralela a la recta 2x y 2 3x 2y 2x 3y 5 4 (2, 1) 3y 7 Rectas paralela y perpendicular a 2x 3y 5 Figura P.20 b) perpendicular a la recta 2x Solución Al escribir la ecuación lineal 2x 3y se ve que la recta dada tiene pendiente m −. x 1 2x 5 3y 5. (Ver la figura P.20.) 4 1 1 3y 1) y a) La recta que pasa por (2, de −. y y1 y ( 1) 3(y 1) 2x 3y 7 5 en forma punto-pendiente, y −² x ฀− , 1) y es paralela a la recta dada tiene también pendiente m(x x1) ฀฀–23 ฀฀(x 2) 2(x 2) 0 Forma punto-pendiente. Sustituir. Simplificar. Forma general. Observar la similitud con la ecuación original. b) Calculando el recíproco negativo de la pendiente de la recta dada, se determina que la pendiente de toda recta perpendicular a la inicial es ฀−. Por tanto, la recta que pasa por el punto (2, 1) y es perpendicular a la recta dada tiene la siguiente ecuación. y ฀y1 y ( 1) 2(y 1) 3x 2y 4 m(x x1) ฀− (x 2) 3(x 2) 0 Forma punto-pendiente. Sustituir. Simplificar. Forma general. La pendiente de una recta aparece distorsionada si se utilizan diferentes escalas en los ejes x y y. Por ejemplo, las dos pantallas de calculadora gráfica de las figuras P.21a y P.21b muestran las rectas dadas por y 2x y y ฀− x 3. Puesto que las pendientes de estas rectas son una el negativo del inverso de la otra, las rectas son perpendiculares. Sin embargo, en la figura P.21a no lo parecen, debido a que la escala del eje x no es la misma que la escala del eje y. En la figura P.21b aparecen perpendiculares debido a que la escala utilizada del eje x es igual a la empleada para el eje y. Este tipo de ventanas se denominan ventanas cuadradas. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA 10 10 10 10 a) La escala del eje x no es la misma que la del eje y Figura P.21 6 9 9 6 b) La escala del eje x es la misma que la del eje y 16 CAPÍTULO P P.2 Preparación para el cálculo Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, calcular la pendiente de la recta a partir de su gráfica. 1. 19. Diseño de una cinta Se está construyendo una cinta transportadora de manera que se eleve 1 metro por cada 3 metros de avance horizontal. 2. a) Calcular la pendiente de la cinta. b) Suponer que la cinta corre entre dos pisos de una fábrica. Calcular la longitud de la cinta si la distancia vertical entre ambos pisos es de 10 pies. y y 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 20. x x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 3. 4. x 1 2 3 4 5 6 5. 6. 28 24 20 16 12 8 4 70 60 50 40 30 20 10 x x 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 7. (3, 4) a) 1 b) 2 c) ( 2, 5) a) 3 b) 3 c) ฀ d) 0 S1, 1D, S 2, 7D 12. S3, 5D, S5, 5D 14. S78, 34 D, S54, 14 D 10. Pendiente m m Punto 16. 0 3 3 4 5 y 282.4 285.3 288.2 291.1 293.9 296.6 t 5 10 15 20 25 30 r 57 74 85 84 61 43 S 4, 3D 18. S 2, 2D En los ejercicios 23 a 28, calcular la pendiente y la intersección en y (si es posible) de la recta. 23. y En los ejercicios 15 a 18, utilizar el punto de la recta y su pendiente para determinar otros tres puntos por los que pase la recta (hay más de una respuesta correcta). S6, 2D 17. S1, 7D 2 Dibujar la gráfica a mano y unir los puntos adyacentes con un segmento de línea. b) Utilizar la pendiente de cada segmento de línea con objeto de determinar en qué intervalo cambió más rápidamente el ritmo o velocidad del vehículo. ¿Cómo cambió el ritmo o velocidad? d) indefinida En los ejercicios 9 a 14, dibujar el par de puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos. 15. 1 a) Pendientes 8. Punto 0 22. Modelo matemático La siguiente tabla muestra el ritmo o velocidad r (en millas por hora) al que se está moviendo un vehículo transcurridos t segundos. En los ejercicios 7 y 8, trazar las rectas que pasan por el punto dado con la pendiente indicada. Dibujar en un mismo sistema de coordenadas. S3, 4D, S5, 2D 11. S4, 6D, S4, 1D 13. S 12, 32 D, S 34, 16 D t Dibujar los datos a mano y unir los puntos adyacentes con un segmento de línea. b) Utilizar la pendiente de cada segmento de línea con objeto de determinar en qué año se incrementó la población con menor rapidez. y 9. 0 a) y Punto c) m x 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 250 b) m 21. Modelo matemático La siguiente tabla muestra las poblaciones y (en millones) de Estados Unidos durante 2000-2005. La variable t representa el tiempo en años, t 0 corresponde a 2000. (Fuente: U.S. Bureau of the Census.) 6 5 4 3 2 1 3 2 1 800 a) m y y 7 6 5 Ritmo de cambio Cada uno de los siguientes datos es la pendiente de una recta que representa los ingresos diarios y en términos del tiempo x en días. Utilizar la pendiente para interpretar la variación en los ingresos correspondiente a un incremento de un día. 25. x 5y 27. x 4 20 ฀y 1 26. 6x 5y 15 28. y l x En los ejercicios 29 a 34, encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente indicada. Trazar la recta. Punto Pendiente 29. m indefinida 31. 2 33. m 24. 4x – 3 S0, 3D S0, 0D S3, 2D Pendiente m m m 3 4 2 3 30. 3 34. 32. Punto Pendiente S 5, 2D S0, 4D S 2, 4D m indefinida m m 0 3 5 SECCIÓN P.2 En los ejercicios 35 a 44, encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y trazar la recta. 35. 0, 0 , 4, 8 36. 0, 0 , 1, 5 37. 2, 1 , 0, 38. 2, 2 , 1, 7 39. 2, 8 , 5, 0 40. 3, 6 , 1, 2 41. 6, 3 , 6, 8 42. 1, 43. 1 7 2, 2 44. 7 3 8, 4 , 0, 3 3 4 2 , 3, , 5 4, 61.  7, 2 Determinar la ecuación de la recta vertical con intersección en x en 3. 46. Demostrar que la recta con intersecciones con los ejes en (a, 0) y (0, b) tiene la siguiente ecuación. x y 1, a 0, b 0 a b En los ejercicios 47 a 50, utilizar el resultado del ejercicio 46 para escribir la ecuación de la recta. intersección en x: (2, 0) intersección en y: (0, 3) 49. Punto de la recta: (1, 2) intersección en x: (a, 0) intersección en y: (0, a) (a 0) 2 48. intersección en x: 3, 0 intersección en y: (0, 2) 50. Punto de la recta: ( 3, 4) intersección en x: (a, 0) intersección en y: (0, a) (a 0) En los ejercicios 51 a 58, trazar la gráfica de la ecuación. 51. y 53. y 3 2x 55. y 2 57. 2x y 1 3 2 52. x 4 54. y 1 3x 1 x 1 56. y 1 3x 3 0 58. x 2y 6 Xmín = 5 Xmáx = 5 Xscl = 1 Ymín = 5 Ymáx = 5 Yscl = 1 b) 2 x 1 y 2y 3 64.  3, 2 x 5x 3y 0 66. 4, 3x 7 y 4y 7 Valor en 2008 Ritmo o velocidad 67. $1 850 $250 aumento anual 68. $156 $4.50 aumento anual 69. $17 200 $1 600 reducción anual 70. $245 000 $5 600 reducción anual En los ejercicios 71 y 72, utilizar una herramienta de graficación para representar las parábolas y encontrar sus puntos de intersección. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección y dibujar su gráfica en la misma ventana de representación. 72. y x2 x2 4x 3 x2 y 4x y 2x 3 En los ejercicios 73 y 74, determinar si los puntos son colineales. (Se dice que tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta.) 4 0 73. 2, 1 , 1, 0 , 2, 2 0, 4 , 7, 6, 5, 11 En los ejercicios 75 a 77, encontrar las coordenadas del punto de intersección de los segmentos dados. Explicar el razonamiento. (b, c) ( a, 0) 77. Para discusión 74. Desarrollo de conceptos 75. by 5 3 Ritmo o velocidad de cambio En los ejercicios 67 a 70, se da el valor de un producto, en dólares, durante 2004 y el ritmo o velocidad al que se espera que varíe su valor durante los próximos 5 años. Utilizar esta información para escribir una ecuación lineal que proporcione el valor en dólares V del producto en términos del año t. (Sea t 0 representativo del año 2000.) x2 Xmín = 6 Xmáx = 6 Xscl = 1 Ymín = 4 Ymáx = 4 Yscl = 1 Una recta está representada por la ecuación ax 62.  1, 0 4x (a, 0) Bisectrices perpendiculares 60. Recta ,ÓNEA Punto 34, 78  71. y 59. Configuración cuadrada Utilizar una herramienta de graficación para dibujar ambas rectas en cada ventana de visor. Comparar las gráficas. ¿Las rectas aparecen perpendiculares? ¿Lo son? Explicar la respuesta. a) Recta ,ÓNEA 63. 2, 1 65. 45. 47. En los ejercicios 61 a 66, escribir la ecuación de la recta que pase por el punto y que sea: a) paralela a la recta dada, y b) perpendicular a la recta dada. Punto 1 4 17 Modelos lineales y ritmos o velocidades de cambio 76. (b, c) ( a, 0) (a, 0) Medianas (b, c) 4. a) ¿Cuándo la recta es paralela al eje x? b) ¿Cuándo la recta es paralela al eje y? c) Dar valores para a y b de manera que la recta tenga una pendiente de . d) Dar valores para a y b de manera que la recta sea perpendicular a la recta y ฀ ฀x฀ 3. e) Dar valores para a y b de manera que la recta coincida con la gráfica de 5x 6y 8. ( a, 0) (a, 0) Alturas 78. Demostrar que los puntos de intersección en los ejercicios 75, 76 y 77 son colineales. 79. Conversión de temperaturas Encontrar la ecuación lineal que exprese la relación que existe entre la temperatura en grados 18 80. 81. 82. 83. 84. CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Celsius C y la temperatura en grados Fahrenheit F. Utilizar el hecho de que el agua se congela a 0° C (32° F) y hierve a 100° C (212° F) para convertir 72° F a grados Celsius. Reembolso de gastos Una compañía reembolsa a sus representantes de ventas $175 diarios por alojamiento y comidas más 48¢ por milla recorrida. Escribir una ecuación lineal que exprese el costo diario C para la compañía en términos de x, el número de millas recorridas. ¿Cuánto le costará a la empresa que uno de sus representantes de ventas recorra 137 millas? Elección profesional Un empleado tiene dos opciones a puestos en una gran corporación. En un puesto le pagan $14.50 por hora más un bono de $0.75 por unidad producida. En el otro, $11.20 por hora más un bono de $1.30. a) Representar gráficamente las ecuaciones lineales correspondientes a los salarios por hora W en términos de x, el número de unidades producidas por hora, para cada una de las opciones. b) Representar con una heramienta de graficación las ecuaciones lineales y encontrar el punto de intersección. c) Interpretar el significado del punto de intersección de las gráficas del apartado b). ¿Cómo usaría esta información para seleccionar la opción correcta si su objetivo fuera obtener el mayor sueldo por hora? Depreciación lineal Un pequeño negocio adquiere un equipo de $875. Transcurridos 5 años el equipo será obsoleto, carente de valor. a) Escribir una ecuación lineal que proporcione el valor y del equipo en términos del tiempo x, 0 x 5. b) Encontrar el valor del equipo cuando x 2. c) Calcular el momento en que el valor del equipo es $200 (con una precisión de dos cifras decimales). Alquiler de apartamentos Una agencia inmobiliaria maneja un complejo de 50 apartamentos. Cuando el alquiler es de $780 mensuales, los 50 apartamentos están ocupados. Sin embargo, cuando el alquiler es de $825, el número promedio de apartamentos ocupados desciende a 47. Suponer que la relación entre el alquiler mensual p y la demanda x es lineal. (Nota: Aquí se usa el término demanda para referirse al número de apartamentos ocupados.) a) Escribir una ecuación lineal que proporcione la demanda x en términos del alquiler p. b) Extrapolación lineal Utilizar una herramienta de graficación para representar la ecuación de la demanda y emplear la función trace para pronosticar el número de apartamentos ocupados si el alquiler aumenta a $855. c) Interpolación lineal Pronosticar el número de apartamentos ocupados si el alquiler baja a $795. Verificar el resultado gráficamente. Modelo matemático Un profesor pone cuestionarios de 20 puntos y exámenes de 100 puntos a lo largo de un curso de matemáticas. Las calificaciones promedio de seis estudiantes, dadas como pares ordenados (x, y), donde x es la calificación media en los cuestionarios y y la calificación media en los exámenes, son (18, 87), (10, 55), (19, 96), (16, 79), (13, 76) y (15, 82). a) Empleando una herramienta de graficación con programa para el cálculo de regresiones, encontrar la recta de regresión, por mínimos cuadrados, para los datos. b) Utilizar una herramienta de graficación para trazar los puntos y graficar la recta de regresión en una misma ventana. c) Utilizar la recta de regresión para pronosticar la calificación promedio en los exámenes de un estudiante cuya calificación promedio en los cuestionarios es 17. d) Interpretar el significado de la pendiente de la recta de regresión. e) Si el profesor añade 4 puntos a la calificación promedio en los exámenes de cada alumno, describir el cambio de posición de los puntos trazados y la modificación de la ecuación de la recta. 85. Recta tangente Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo x2 y2 169 en el punto (5, 12). 86. Recta tangente Encontrar la ecuación de la recta tangente al círculo (x 1)2 (y 1)2 25 en el punto (4, 3). Distancia En los ejercicios 87 a 92, calcular la distancia que existe entre el punto y la recta o entre las rectas, utilizando la fórmula para la distancia entre el punto (x1, y1) y la recta Ax By C 0. Distancia \Ax1 By1
A2 B2 C\ 87. Punto: (0, 0) Recta: 4x 3y 10 89. Punto: ( 2, 1) Recta: x y 2 0 91. Recta: x y 1 Recta: x y 5 88. Punto: (2, 3) Recta: 4x 3y 90. Punto: (6, 2) Recta: x 1 92. Recta: 3x 4y Recta: 3x 4y 10 1 10 93. Demostrar que la distancia que existe entre el punto (x1, y1) y la recta Ax By C 0 es Distancia \Ax1 By1
A2 2 B C\ . 94. Escribir la distancia d entre el punto (3, 1) y la recta y mx 4 en términos de m. Emplear una herramienta de graficación para representar la ecuación. ¿Cuándo es 0 la distancia? Explicar el resultado de manera geométrica. 95. Demostrar que las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. (Un rombo es un cuadrilátero con lados de igual longitud.) 96. Demostrar que la figura que se obtiene uniendo los puntos medios de los lados consecutivos de cualquier cuadrilátero es un paralelogramo. 97. Demostrar que si los puntos (x1, y1) y (x2, y2) pertenecen a la misma recta que (x*1, y*1) y (x*2, y*2), entonces: yP2 x2P yP1 xP1 y2 x2 Suponer que x1 y1 . x1 x2 y x*1 x*2. 98. Demostrar que si las pendientes de dos rectas son recíprocas negativas de la otra, entonces las rectas son perpendiculares. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 y 100, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si no lo es, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que muestre su falsedad. 99. Las rectas de ecuaciones ax by c1 y bx perpendiculares. Suponer que a 0 y b 0. ay c2 son 100. Dos rectas con pendientes positivas pueden ser perpendiculares entre sí. SECCIÓN P.3 Funciones y sus gráficas 19 Funciones y sus gráficas P.3 ■ ■ ■ ■ ■ Usar la notación de función para representar y evaluar funciones. Encontrar el dominio y recorrido o rango de una función. Trazar la gráfica de una función. Identificar los diferentes tipos de transformaciones de las funciones. Clasificar funciones y reconocer combinaciones de ellas. Funciones y notación de funciones Una relación entre dos conjuntos X y Y es un conjunto de pares ordenados, cada uno de la forma (x, y), donde x es un elemento de X y y un elemento de Y. Una función de X a Y es una relación entre X y Y con la propiedad de que si dos pares ordenados tienen el mismo valor de x, entonces también tienen el mismo valor de y. La variable x se denomina variable independiente, mientras que la variable y se denomina variable dependiente. Muchas situaciones de la vida real pueden describirse mediante funciones. Por ejemplo, el área A de un círculo es una función de su radio r. r2 A A es una función de r. En este caso, r es la variable independiente y A, la variable dependiente. X x Dominio DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL f Rango y f (x) Y Una función real f de una variable real Figura P.22 Sean X y Y conjuntos de números reales. Una función real f de una variable real x de X a Y es una regla de correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y. El dominio de f es el conjunto X. El número y es la imagen de x por f y se denota mediante f(x), a lo cual se le llama el valor de f en x. El recorrido o rango de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X (ver la figura P.22). Las funciones pueden especificarse de muchas formas. No obstante, este texto se concentra fundamentalmente en funciones dadas por ecuaciones que contienen variables dependientes e independientes. Por ejemplo, la ecuación 2y x2 NOTACIÓN DE FUNCIONES Gottfried Wilhelm Leibniz fue el primero que utilizó la palabra función, en 1694, para denotar cualquier cantidad relacionada con una curva, como las coordenadas de uno de sus puntos o su pendiente. Cuarenta años más tarde, Leonhard Euler empleó la palabra “función”para describir cualquier expresión construida con una variable y varias constantes. Fue él quien introdujo la notación y f(x). 1 Ecuación en forma implícita. define y, la variable dependiente, como función de x, la variable independiente. Para evaluar esta función (esto es, para encontrar el valor de y correspondiente a un valor de x dado) resulta conveniente despejar y en el lado izquierdo de la ecuación. y 1 (1 x 2 ) 2 Ecuación en forma explícita. Utilizando f como nombre de la función, esta ecuación puede escribirse como: f SxD 1 S1 2 x 2D. Notación de funciones. La ecuación original x2 2y 1 define implícitamente a y como función de x. Cuando se despeja y, se obtiene la ecuación en forma explícita. La notación de funciones tiene la ventaja de que permite identificar claramente la variable dependiente como f(x), informando al mismo tiempo que la variable independiente es x y que la función se denota por “f ”. El símbolo f(x) se lee “f de x”. La notación de funciones permite ahorrar palabras. En lugar de preguntar “¿cuál es el valor de y que corresponde a x 3?” se puede preguntar “¿cuánto vale f(3)?” 20 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo En una ecuación que define a una función, el papel de la variable x es simplemente el de un hueco a llenar. Por ejemplo, la función dada por f(x) 2x2 4x 1 puede describirse como f 

2

2 4

1 donde se usan paréntesis en lugar de x. Para evaluar f( 2), basta con colocar cada paréntesis. f( 2) 2( 2)2 2(4) 17 4( 2) 8 1 Sustituir x por 1 2 dentro de 2. Simplificar. Simplificar. NOTA Aunque es frecuente usar f como un símbolo adecuado para denotar una función y x para la variable independiente, se pueden utilizar otros símbolos. Por ejemplo, todas las ecuaciones siguientes definen la misma función. f(x) x2 4x 7 El nombre de la función es f, el de la variable independiente es x. f(t) g(s) 2 4t 4s 7 7 El nombre de la función es f, el de la variable independiente es t. t s2 EJEMPLO 1 El nombre de la función es g, el de la variable independiente es s. Evaluación de una función Para la función f definida por f(x) a) f(3a) b) f(b x2 7, calcular: c) 1) (x x) x ( x) , x 0 Solución a) f 3a
 3a
2
7  9a 2
7 b) f b  1
 b  1

7 Sustituir x por 3a. Simplificar. 2 Sustituir x por b 2  b  2b
1
7  b2  2b
8 c) AYUDA DE ESTUDIO En cálculo, es importante especificar con claridad el dominio de una función o expresión. Por ejemplo, en el ejemplo 1c, las expresiones f x
 x
 f x
x x
0 y 2x
 x, son equivalentes, ya que x 0 se excluye del dominio de la función o expresión. Si no se estableciera esa restricción del dominio, las dos expresiones no serían equivalentes. 1. Desarrollar el binomio. Simplificar. f x
x
 f x
x
x

7  x 2
7
 x x 2
2xx
x
2
7  x 2  7 x  x 2xx
x
2  x  x2x
x
 x 2  2x
x, x
0 NOTA La expresión del ejemplo 1c se llama cociente incremental o de diferencias y tiene un significado especial en el cálculo. Se verá más acerca de esto en el capítulo 2. SECCIÓN P.3 Funciones y sus gráficas 21 Dominio y recorrido o rango de una función El dominio de una función puede describirse de manera explícita, o bien de manera implícita mediante la ecuación empleada para definir la función. El dominio implícito es el conjunto de todos los números reales para los que está definida la ecuación, mientras que un dominio definido explícitamente es el que se da junto con la función. Por ejemplo, la función dada por Recorrido: y 0 y f(x) = 2 x ฀1 1 ( x) 1 x 1 2 3 1 a) El dominio de f es [1, ) y el recorrido o rango [0, ) x 5 x 2 1 5}. Por otra parte, la 2}. Cálculo del dominio y del recorrido de una función EJEMPLO 2 2 x 4 tiene un dominio implícito: es el conjunto {x: x 3 Recorrido , 4 1 g( x ) f(x) = tan x y 4 tiene un dominio definido de manera explícita dado por {x: 4 función dada por 4 Dominio: x x 2 a) El dominio de la función x 2 ( x) es el conjunto de los valores de x tales que x 1 0; es decir, el intervalo [1, ). Para x 1 nunca es negativo. Por ende, encontrar el recorrido o rango, se observa que ( x ) el recorrido o rango es el intervalo [0, ), como se señala en la figura P.23a. b) Como se muestra en la figura P.23b, el dominio de la función tangente Dominio b) El dominio de f lo constituyen todos los valores reales de x tales que n y el recorrido o rango x 2 es ( x 1 f(x) tan x es el conjunto de los valores de x tales que , ) Figura P.23 n , con n entero. Dominio de la función tangente. 2 El recorrido o rango de esta función es el conjunto de todos los números reales. Para repasar las características de ésta y otras funciones trigonométricas, ver el apéndice C. x EJEMPLO 3 Una función definida por más de una ecuación Determinar el dominio y el recorrido o rango de la función y Recorrido: y 0 f(x) = 1 x 1 x ฀1, x 1 x, ( x) 2 1 x 1 2 3 4 Dominio: todos los x reales El dominio de f es ( es [0, ) Figura P.24 , ) y el recorrido 1 x, si x 1 x 1, si x 1 Solución Puesto que f está definida para x 1 y x 1, su dominio es todo el conjunto de los números reales. En la parte del dominio donde x 1, la función se comporta como en el ejemplo 2a. Para x 1, todos los valores de 1 x son positivos. Por consiguiente, el recorrido de la función es el intervalo [0, ). (Ver la figura P.24.) Una función de X a Y es inyectiva (o uno a uno) si a cada valor de y perteneciente al recorrido o rango le corresponde exactamente un valor x del dominio. Por ejemplo, la función dada en el ejemplo 2a es inyectiva, mientras que las de los ejemplos 2b y 3 no lo son. Se dice que una función de X a Y es suprayectiva (o sobreyectiva) si su recorrido es todo Y. 22 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Gráfica de una función y y f (x) La gráfica de una función y f(x) está formada por todos los puntos (x, f(x)), donde x pertenece al dominio de f. En la figura P.25, puede observarse que (x, f (x)) distancia dirigida desde el eje y distancia dirigida desde el eje x. x f(x) f (x) x x Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función de x como máximo una vez. Esta observación proporciona un criterio visual adecuado, llamado criterio de la recta vertical, para funciones de x. Es decir, una gráfica en el plano de coordenadas es la gráfica de una función x si y sólo si ninguna recta vertical hace intersección con ella en más de un punto. Por ejemplo, en la figura P.26a puede verse que la gráfica no define a y como función de x, ya que hay una recta vertical que corta a la gráfica dos veces, mientras que en las figuras P.26b y c las gráficas sí definen a y como función de x. Gráfica de una función Figura P.25 y y y 3 2 1 4 2 4 3 x 1 2 x 3 2 1 4 x 2 1 a) No es una función de x 1 1 b) Una función de x 2 3 c) Una función de x Figura P.26 En la figura P.27 se muestran las gráficas de ocho funciones básicas, las cuales hay que conocer bien. (Las gráficas de las otras cuatro funciones trigonométricas básicas se encuentran en el apéndice C.) y y f(x) = x 4 2 1 3 1 1 1 1 x 2 1 1 2 Función cuadrática y 2 1 1 x 1 Función valor absoluto Gráficas de ocho funciones básicas 4 y 2 f (x) = sen x f(x) = cos x 1 2 x 2 2 1 2 Función racional 3 x 2 1 2 2 Función raíz cuadrada x 1 2 1 1 x Figura P.27 1 x x 2 y f (x) = 2 1 f(x) = 2 x 1 1 1 Función cúbica 2 2 1 y 4 3 x3 1 2 3 f (x) x 2 1 f (x) 4 2 2 Función identidad y y 2 x 2 f (x) = x 2 Función seno 2 Función coseno SECCIÓN P.3 Transformaciones de funciones EXPLORACIÓN Escritura de ecuaciones de funciones Cada una de las pantallas de la herramienta de graficación mostradas abajo exhibe la gráfica de una de las ocho funciones básicas de la página anterior. Cada pantalla muestra también una transformación de la gráfica. Describir esta transformación y usar su descripción para escribir la ecuación de la transformación. Algunas familias de gráficas tienen la misma forma básica. Por ejemplo, vamos a comparar la gráfica de y x2 con las gráficas de las otras cuatro funciones cuadráticas de la figura P.28. y y 4 4 y = x2 3 2 3 y = x2 1 y 9 a) 23 Funciones y sus gráficas 1 2)2 (x 2 1 1 x 2 3 a) Traslación vertical (hacia arriba) –9 x2 y x 2 1 1 b) Traslación horizontal (a la izquierda) 9 y –3 y 4 2 1 4 y b) x y 2 1 3 3)2 (x 2 x 2 6 1 1 1 6 y 1 x2 x 2 5 x2 y 3 1 1 2 2 2 c) Reflexión 4 d) Traslación a la izquierda, reflexión y traslación hacia arriba Figura P.28 8 c) 8 10 4 y y y y 5 d) 6 Cada una de las gráficas de la figura P.28 es una transformación de la gráfica de y x2. Los tres tipos básicos de transformaciones ilustrados por estas gráficas son las traslaciones verticales, las traslaciones horizontales y las reflexiones. La notación de funciones es adecuada para describir transformaciones de gráficas en el plano. Por ejemplo, si se considera que f(x) x2 es la función original en la figura P.28, las transformaciones mostradas pueden representarse por medio de las siguientes ecuaciones. 6 f(x) 2 f(x 2) f(x) f(x 3) Traslación vertical de 2 unidades hacia arriba. Traslación horizontal de 2 unidades a la izquierda. Reflexión respecto al eje x. 1 Traslación de 3 unidades a la izquierda, reflexión respecto al eje x y traslación de 1 unidad hacia arriba. TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES (c > 0) 3 Gráfica original: Traslación horizontal de c unidades a la derecha: Traslación horizontal de c unidades a la izquierda: Traslación vertical de c unidades hacia abajo: Traslación vertical de c unidades hacia arriba: Reflexión (respecto al eje x): Reflexión (respecto al eje y): Reflexión (respecto al origen): y y y y y y y y f(x) f(x c) f(x c) f(x) c f(x) c f(x) f( x) f( x) 24 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Clasificaciones y combinaciones de funciones La noción moderna de función es fruto de los esfuerzos de muchos matemáticos de los siglos XVII y XVIII. Mención especial merece Leonhard Euler, a quien debemos la notación y f(x). Hacia finales del siglo XVIII, los matemáticos y científicos habían llegado a la conclusión de que un gran número de fenómenos de la vida real podían representarse mediante modelos matemáticos, construidos a partir de una colección de funciones denominadas funciones elementales. Estas funciones se dividen en tres categorías. Bettmann/Corbis 1. 2. 3. LEONHARD EULER (1707-1783) Además de sus contribuciones esenciales a casi todas las ramas de las matemáticas, Euler fue uno de los primeros en aplicar el cálculo a problemas reales de la física. Sus numerosas publicaciones incluyen temas como construcción de barcos, acústica, óptica, astronomía, mecánica y magnetismo. Funciones algebraicas (polinómicas, radicales, racionales). Funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.). Funciones exponenciales y logarítmicas. En el apéndice C se encuentra un repaso de las funciones trigonométricas. El resto de las funciones no algebraicas, como las funciones trigonométricas inversas y las funciones exponenciales y logarítmicas, se presentan en el capítulo 5. El tipo más común de función algebraica es una función polinomial f x
an x n 1x n . . . 1 a2x2 a 0, a1x donde n es un entero no negativo. Las constantes ai son coeficientes siendo an el coeficiente dominante y a0 el término constante de la función polinomial. Si an  0, entonces n es el grado de la función polinomial. La función polinomial cero f(x) 0 no se considera grado. Aunque se suelen utilizar subíndices para los coeficientes de funciones polinomiales en general, para las de grados más bajos se utilizan con frecuencia las siguientes formas más sencillas. (Notar que a  0.) Grado cero: Grado uno: PARA MAYOR INFORMACIÓN Puede encontrarse más información sobre la historia del concepto de función en el artículo “Evolution of the Function Concept: A Brief Survey”, de Israel Kleiner, en The College Mathematics Journal. an Grado dos: Grado tres: f(x) f(x) Función constante. a ax 2 f(x) f(x) Función lineal. b ax ax3 bx bx2 c cx Función cuadrática. d Función cúbica. Aunque la gráfica de una función polinomial no constante puede presentar varias inflexiones, en algún momento ascenderá o descenderá sin límite al moverse x hacia la izquierda o hacia la derecha. Se puede determinar qué ocurre en la gráfica de f x
an xn an 1xn 1 . . . a2 x 2 a1x a0 eventualmente crece o decrece a partir del grado de la función (par o impar) y del coeficiente dominante an, como se indica en la figura P.29. Observar que las regiones punteadas muestran que la prueba o el criterio del coeficiente dominante sólo determina el comportamiento a la derecha y a la izquierda de la gráfica. an 0 an an < 0 y 0 an y y Crece a la izquierda Crece a la derecha Crece a la izquierda Crece a la derecha x Decrece Decrece a la a la izquierda derecha Gráficas de funciones polinomiales de grado par Prueba del coeficiente dominante para funciones polinomiales Figura P.29 x 0 y Decrece a la izquierda x Decrece a la derecha Gráficas de funciones polinomiales de grado impar x SECCIÓN P.3 Funciones y sus gráficas 25 Del mismo modo que un número racional puede escribirse como el cociente de dos enteros, una función racional puede expresarse como el cociente de dos polinomios. De manera específica, una función f es racional si tiene la forma ( x) p( x ) , q( x ) q( x ) 0 donde p(x) y q(x) son polinomiales. Las funciones polinomiales y las racionales son ejemplos de funciones algebraicas. Se llama función algebraica de x a aquella que puede expresarse mediante un número finito de sumas, diferencias, productos, cocientes y raíces que contengan xn. Por ejemplo, ( x) x 1 es algebraica. Las funciones no algebraicas se denominan trascendentes. Por ejemplo, las funciones trigonométricas son trascendentes. Es posible combinar dos funciones de varias formas para crear nuevas funciones. Por ejemplo, dadas f(x) 2x 3 y g(x) x2 1, se pueden construir las siguientes funciones. f  g x  f x  g x  2x
3  x 2  1 f
g x  f x
g x  2x
3
x 2  1 2 fg x  f x g x  2x
3 x  1 f x 2x
3 f g x   2 gx x 1 Dominio de g x Suma. Diferencia. Producto. Cociente. Aún hay otra manera de combinar dos funciones, llamada composición. La función resultante recibe el nombre de función compuesta. f g g(x) DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA g f f (g(x)) Dominio de f El dominio de la función compuesta f ฀g Figura P.30 Sean f y g dos funciones. La función dada por (f g)(x) f(g(x)) se llama función compuesta de f con g. El dominio de f g es el conjunto de todas las x del dominio de g tales que g(x) esté en el dominio de f (ver la figura P.30). La función compuesta de f con g puede no ser igual a la función compuesta de g con f. EJEMPLO 4 Composición de funciones Dadas f(x) 2x 3 y g(x) a) f g b) g f cos x, encontrar cada una de las funciones compuestas: Solución a)  f  g x  f g x ฀ ฀  f cos x
฀ ฀  2cos x

3  2 cos x
3 b) g  f
x
 g  f x

 g2x
3
 cos2x
3
Observar que  f  g
x
  g  f
x
. Definición de f g. Sustituir g(x) cos x. Definición de f(x). Simplificar. Definición de g f. Sustituir f(x) 2x Definición de g(x). 3. 26 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo En la sección P.1 se definió la intersección en x de una gráfica como todo punto (a, 0) en el que la gráfica corta al eje x. Si la gráfica representa una función f, el número a es un cero de f. En otras palabras, los ceros de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) 0. Por ejemplo, la función f(x) x 4 tiene un cero en x 4 porque f(4) 0. En la sección P.1 también se estudiaron diferentes tipos de simetrías. En la terminología de funciones, se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, y se dice que es impar si su gráfica es simétrica con respecto al origen. Los criterios de simetría de la sección P.l conducen a la siguiente prueba para las funciones pares e impares. EXPLORACIÓN Utilice una herramienta de graficación para representar cada función. Determinar si la función es par, impar, o ninguna de las dos. f
x x2 g
x 2x 3 1 h
x x5 2x 3 6 x4 x j
x 2 k
x x5 2x 4 x p
x x9 3x 5 x3 x x 8 PRUEBA PARA LAS FUNCIONES PARES E IMPARES 2 x f(x) es par si f( x) f(x). f(x) es impar si f( x) f(x). La función y La función y Describir una manera de identificar una función como par o impar mediante un análisis visual de la ecuación. 0, la gráfica de una función de x NOTA Con excepción de la función constante, por ejemplo f(x) no puede ser simétrica con respecto al eje x, puesto que entonces violaría la prueba de la recta vertical para la gráfica de una función. Funciones pares o impares y ceros de funciones EJEMPLO 5 y Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de ambas. Después, calcular los ceros de la función. 2 a) f(x) 1 ( 1, 0) 2 (1, 0) (0, 0) 1 f (x) = x 3 x 2 x x3 b) g(x) x 1 cos x Solución a) La función es impar, porque 1 f
x 2
x3
x x3 x3 x
x 2 1 x
x 1
x x 1 y x 3 g(x) 1 g
x 1 0 0 0, 1, Hacer f(x) 0. Factorizar. 1 Ceros de f. cos
x 1 1 cos x g
x. cos ( x) cos (x). Los ceros de g se calculan como sigue. x 2 Figura P.31 f
x. Ver la figura P.3la. b) La función es par, porque cos x 2 b) Función par x Los ceros de f se calculan como sigue. a) Función impar 1
x3 x 3 4 1 cos x 0 Hacer g(x) cos x 1 x (2n 0. Restar 1 en ambos miembros. 1) , con n entero Ceros de g. Ver la figura P.31b. NOTA Cada una de las funciones del ejemplo 5 es par o impar. Sin embargo, muchas funciones, como f(x) x2 x 1 no son pares ni impares. SECCIÓN P.3 P.3 Ejercicios En los ejercicios 1 y 2, utilizar las gráficas de f y g para resolver lo siguiente: a) Identificar los dominios y los recorridos o rangos de f y g. Identificar f( 2) y g(3). c) ¿Para qué valor(es) de x es f(x) e) Calcular las soluciones de g(x) 1. y 25. f x
4 f 2 2 4 4 2 g x x 4 2 2 27. f x
 x 1 7x f x 4. 4 a) f 0 1 1 x 5 x 2 5 b) g c) g 2 c) g c 1 3 c) f f x f x x sen x f x a) f 4 b) f f x 4 d) g t 8. cos 2x a) f 0 f x 10. x3 x x f x 1 1 x f 2 2 12. b) f 5 4 c) f 2 3 f x 3x f x x f 1 1 f x x3 f x x 1 15. g x 17. f t x2 1 4 2x2x  2,1, x < 0 x ≥ 0 b) f 0
2x x 2  2, 2  2, c) f 2
d) f t 2  1
c) f 1
d) f s 2  2
c) f 3
d) f b 2  1
c) f 5
d) f 10
x ≤ 1 x > 1 b) f 0
 
x  1, x ≥ 1 x  1, x < 1 b) f 1
x
5
, x > 5 x  4, x ≤ 5 a) f 
3
2 b) f 0
4x2 14. g x x 6x sec 16. h x t 4 18. h t 5 x cot t 32. gx
 33. hx
 x
6 1 34. f x
 4x3  3 35. f x
 9
x 2 36. f x
 x  4
x 2 37. gt
 3 sen  t 38. h

5 cos 39. f 1 1 x2 4 x 31. f x
 4
x  2 Desarrollo de conceptos En los ejercicios 13 a 20, encontrar el dominio y el recorrido o rango de la función. 13. f x 26. gx
En los ejercicios 31 a 38, trazar la gráfica de la función y encontrar su dominio y su recorrido o rango. Utilizar una herramienta graficadora para comprobar las gráficas. 3 2 b) g f x 29. f x
 4 x x 2 1 2 sen x  a) f 
2
30. f x
 x 3x 1 a) g 4 d) g t 11. 8 6. g x 2 x2 24. hx
3 a) f 
3
d) f x a) g 0 9. 4 c) f 1 d) f x 7. 5 x 28. f x
 b) f 11 c) f b 5. g x f x a) f 3 b) f 22. f x
x 2 cos x a) f 
1
En los ejercicios 3 a 12, evaluar (si es posible) la función en los valores dados de la variable independiente. Simplificar los resultados. 1 x En los ejercicios 27 a 30, evaluar la función como se indica. Determinar su dominio y su recorrido o rango. 4 4 3. 2 20. g x 0. f 4 g 3 x En los ejercicios 21 a 26, encontrar el dominio de la función. 23. gx
2. 2. y f x 21. f x
g(x)? d) Calcular la(s) solución(es) de f(x) 19. 3 En la figura se muestra la gráfica de la distancia que recorre un estudiante en su camino de 10 minutos a la escuela. Dar una descripción verbal de las características del recorrido del estudiante hacia la escuela. s Distancia (en millas) b) 27 Funciones y sus gráficas 10 8 (10, 6) 6 4 2 (4, 2) (6, 2) (0, 0) 2 4 6 8 10 Tiempo (en minutos) t 28 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo 55. Desarrollo de conceptos (continuación) 40. Tras unos minutos de recorrido, un estudiante que conduce 27 millas para ir a la universidad recuerda que olvidó en casa el trabajo que tiene que entregar ese día. Conduciendo a mayor velocidad de la que acostumbra, regresa a casa, recoge su trabajo y reemprende su camino a la universidad. Trazar la posible gráfica de la distancia de la casa del estudiante como función del tiempo. Utilizar la gráfica de f que se muestra en la figura para dibujar la gráfica de cada función. 3 a) f x 1 b) f x 2 c) f x e) 3f x f) 1 4 3 4 d) f x 6 f x 9 f 7 56. Utilizar la gráfica de f que se muestra en la figura para dibujar la gráfica de cada función. En los ejercicios 41 a 44, aplicar la prueba de la recta vertical para determinar si y es una función de x. 41. x y2 42. 0 x2 4 y y 4 f f x ( 4, 3) 5 3 1 57. 2 1 2 3 1 x 4 1 3 1 2 a) y 2 1, x ≤ 0 2, x > 0 x x 43. y Utilizar la gráfica de f(x)
x para dibujar la gráfica de cada función. En todos los casos, describa la transformación. x 3 2 2 44. x 2 y2 4 59. 2 sen x 1 1 x 2 1 2 x y g(x) Dadas f(x) a) f g 1 1 x 2 1 1 60. En los ejercicios 45 a 48, determinar si y es una función de x. y2 16 46. x 2 47. x2 1 48. x 2 y y 16 x2 4y En los ejercicios 49 a 54, utilizar la gráfica de y cionar la función con su gráfica. 0 f(x) para rela- e d 3 2 d) g f c 1 2 3 4 5 7 9 10 x sen x b) h x 2 1 1, evaluar cada expresión. c) g f 0 1 2 c) g f 0 e) f g x 4 f) g f x 62. f x x2 63. f x gx x2 x2 1 x 64. f x 1 1 cos x gx x 3 x f(x) b 1 En los ejercicios 61 a 64, encontrar las funciones compuestas (f g) y (g f). ¿Cuál es el dominio de cada función compuesta? ¿Son iguales ambas funciones compuestas? 65. 2 3 b) f g gx g x 6 5 4 3 2 1 2 x c) y d) f g 4 e) f g x f) g f x ฀x, evaluar cada expresión. Dadas f(x) sen x y g(x) 61. f x y 6 5 x b) g f 1 a) f g 2 2 45. x 2 d) y 58. Especificar una secuencia de transformaciones que tenga como resultado cada gráfica de h a partir de la gráfica de la función f(x) sen x. y 1 2 x a) h x y y2 1 2 6 4 2 1 f) (2, 1) 1 d) f x e) 2f x 3 2 b) f x 4 c) f x 0 y 4 a) f x gx 2 x Utilizar las gráficas de f y de g para evaluar cada expresión. y Si el resultado es indefinido, explicar por qué. a a) f g 3 b) g f 2 c) g f 5 5 49. y f x 5 50. y 51. y f x 2 52. y 53. y f x 6 2 54. y f x 4 f x f x e) g f 5 1 3 d) 1 f f) f g 2 3 f g 1 g x 2 2 2 4 SECCIÓN P.3 66. Ondas Se deja caer una roca en un estanque tranquilo, provocando ondas en forma de círculos concéntricos. El radio (en pies) de la onda exterior está dado por r(t) 0.6t, donde t es el tiempo, en segundos, transcurrido desde que la roca golpea el agua. El área del círculo está dada por la función A(r) r 2. Calcular e interpretar (A r)(t). 84. Funciones y sus gráficas 29 El valor de un auto nuevo en función del tiempo en un periodo de 8 años. 85. Determinar el valor de c de manera que el dominio de la función c  x2 f x  sea [ 5, 5]. Para pensar En los ejercicios 67 y 68, F(x) f g h. Identificar las funciones para f, g y h. (Existen muchas respuestas correctas.) 67. F (x) 68. F(x) 2x – 2 4 sen(1 x) 69. f(x) x (4 71. f(x) x cos x x) 2 70. f ( x) 3 72. f(x) sen2 x Determinar todos los valores de c de manera que el dominio de la función f x  En los ejercicios 69 a 72, determinar si la función es par, impar o ninguna de las dos. Utilizar una herramienta de graficación para verificar su resultado. 2 86. x sea el conjunto de todos los números reales. 87. Razonamiento gráfico Un termostato controlado de manera electrónica está programado para reducir la temperatura automáticamente durante la noche (ver la figura). La temperatura T, en grados Celsius, está dada en términos de t, el tiempo en horas de un reloj de 24 horas. Para pensar En los ejercicios 73 y 74, encontrar las coordenadas de un segundo punto de la gráfica de una función f, si el punto dado forma parte de la gráfica y la función es: a) par y b) impar. ( ฀ , 4) 75. En la figura se muestran las gráficas de f, g y h. Determinar si cada función es par, impar o ninguna de las dos. 16 12 t 3 y f 2 4 b) Si el termostato se reprograma para producir una temperatura H(t) T(t 1), ¿qué cambios habrá en la temperatura? Explicar. 2 2 4 6 4 h g 6 Figura para 75 Figura para 76 El dominio de la función f que se muestra en la figura es 6 x 6. a) Completar la gráfica de f dado que f es par. b) Completar la gráfica de f dado que f es impar. Escritura de funciones En los ejercicios 77 a 80, escribir la ecuación para una función que tiene la gráfica dada. 77. Segmento de recta que une ( 2, 4) y (0, 78. Segmento de recta que une (3, 1) y (5, 8) 79. La mitad inferior de la parábola x 80. La mitad inferior del círculo x2 y2 Calcular T(4) y T(15). c) Si el termostato se reprograma para producir una temperatura H(t) T(t) 1, ¿qué cambios habrá en la temperatura? Explicar. Para discusión 88. El agua fluye a una vasija de 30 centímetros de altura a velocidad constante, llenándola en 5 segundos. Utilizar esta información y la forma de la vasija que se muestra en la figura para responder a las siguientes preguntas, si d es la profundidad del agua en centímetros y t es el tiempo en segundos (ver la figura). 6) 30 cm 0 y2 12 15 18 21 24 a) x 6 9 4 2 4 6 6 x 4 76. 24 74. (4, 9) y f T 20 73. 4 x3 x2  3cx  6 36 d En los ejercicios 81 a 84 trazar una posible gráfica de la situación. 81. La velocidad de un aeroplano en una función del tiempo durante un vuelo de 5 horas. 82. La altura de una pelota de beisbol en función de la distancia horizontal durante un cuadrangular. 83. La cantidad de cierta marca de un zapato vendida por una tienda de deportes en una función del precio del artículo. a) Explicar por qué d es una función de t. b) Determinar el dominio y el recorrido o rango de dicha función. c) Trazar una posible gráfica de la función. d) Usar la gráfica del inciso c) para calcular d(4) ¿Qué representa esto? 30 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo 89. Modelado matemático En la tabla se muestra el número promedio de acres por granja en Estados Unidos para ciertos años. (Fuente: U.S. Department of Agriculture.) Año 1955 1965 1975 1985 1995 2005 Superficie en acres 258 340 420 441 438 444 b) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función volumen y aproximar las dimensiones de la caja que producen el volumen máximo. c) Utilizar la función tabla de la herramienta de graficación para verificar su respuesta del apartado b). (Se muestran los dos primeros renglones de la tabla.) a) Representar gráficamente los datos, donde A es la superficie en acres y t es el tiempo en años, donde t 5 corresponde a 1955. Trazar a mano una curva que aproxime los datos. b) Utilizar la curva del inciso a) para calcular A(20). 90. Aerodinámica automotriz La potencia H, en caballos de fuerza, que requiere cierto automóvil para vencer la resistencia del viento está dada aproximadamente por H(x) 0.002x2 0.005x 0.029, 10 x 100 donde x es la velocidad del automóvil en millas por hora. a) Representar H con una herramienta de graficación. b) Reescribir la función de potencia de tal modo que x represente la velocidad en kilómetros por hora. [Encontrar H(x/1.6).] 91. Para pensar f x
Escribir la función x x 92. Desarrollo Utilizar una herramienta de graficación para representar las funciones polinomiales p1(x) x3 x 1 y p2(x) x3 x. ¿Cuántos ceros tiene cada una de estas funciones? ¿Existe algún polinomio cúbico que no tenga ceros? Explicar la respuesta. Demostrar que la siguiente función es impar. f x
94. a2n 1x 2n . . . 1 a3 x 3 a2n x 2n a2n 2x 2n . . . 2 a2 x2 a0 95. Demostrar que el producto de dos funciones pares (o impares) es una función par. 96. Demostrar que el producto de una función impar y una par es una función impar. 97. Volumen Se va a construir una caja abierta (sin tapa) de volumen máximo con una pieza cuadrada de material de 24 centímetros de lado, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba (ver la figura). x a) 24 2x 1 24 22 2 24 21 2 484 22 2 800 y 4 (0, y) (3, 2) 1 (x, 0) x 1 2 3 4 5 6 7 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 a 102, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. f(b), entonces a b. 101. Si f(x) f( x) para todo x perteneciente al dominio de f, entonces la gráfica de f es simétrica con respecto al eje y. 102. Si f es una función, entonces f(ax) af(x). Preparación del examen Putnam* 103. Sea R la región constituida por los puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen tanto x y 1 como y 1. Trazar la región R y calcular su área. 104. Considerar un polinomio f(x) con coeficientes reales que tienen la propiedad f(g(x)) g(f(x)) para todo polinomio g(x) con coeficientes reales. Determinar y demostrar la naturaleza de f(x). x 24 21 100. Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función una vez como máximo. Demostrar que la siguiente función es par. f x
24 Volumen, V 98. Longitud Una recta que pasa por el punto (3, 2) forma con los ejes x y y un triángulo rectángulo en el primer cuadrante (ver la figura). Expresar la longitud L de la hipotenusa como función de x. 99. Si f(a) a1 x 24 2 2 sin utilizar los signos de valor absoluto (para repasar el valor absoluto en el apéndice C). 93. 1 3  2 Longitud y altura Altura, x 2x Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition.© The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. x Expresar el volumen V como función de x, que es la longitud de las esquinas cuadradas. ¿Cuál es el dominio de la función? * El William Lowell Putnam Mathematical Competition (Concurso de Matemáticas William Lowell Putnam) es un concurso anual para estudiantes universitarios de Estados Unidos y Canadá, establecido en 1938. SECCIÓN P.4 Ajuste de modelos a colecciones de datos 31 Ajuste de modelos a colecciones de datos P.4 ■ ■ ■ Ajustar un modelo lineal a una colección de datos de la vida cotidiana. Ajustar un modelo cuadrático a una colección de datos de la vida cotidiana. Ajustar un modelo trigonométrico a una colección de datos de la vida cotidiana. Ajuste de un modelo lineal a los datos Dibujo realizado por computadora, basado en la ilustración a tinta del famoso estudio de Leonardo da Vinci sobre las proporciones humanas, titulado El hombre de Vitruvio. Una de las premisas básicas de la ciencia es que gran parte de la realidad física puede describirse matemáticamente y que muchos de los fenómenos físicos son predecibles. Esta perspectiva científica constituyó parte de la revolución científica que tuvo lugar en Europa a finales del siglo XVI. Dos de las primeras publicaciones ligadas a esta revolución fueron On the Revolutions of the Heavenly Spheres, del astrónomo polaco Nicolaus Copernicus, y On the Structure of the Human Body, del anatomista belga Andreas Vesalius. Publicados ambos en 1543, rompían con la tradición al sugerir el uso de un método científico en lugar de la confianza ciega en la autoridad. Una técnica fundamental de la ciencia moderna consiste en recopilar datos y luego describirlos por medio de un modelo matemático. Por ejemplo, los datos del ejemplo 1 están inspirados en el famoso dibujo de Leonardo da Vinci que indica que la altura de una persona y su envergadura son iguales. EJEMPLO 1 Ajuste de un modelo lineal a los datos Un grupo de 28 alumnos recopiló los siguientes datos, que representan sus estaturas x y sus envergaduras y (redondear a la pulgada más cercana): (60, 61), (65, 65), (68, 67), (72, 73), (61, 62), (63, 63), (70, 71), (75, 74), (71, 72), (62, 60), (65, 65), (66, 68), (62, 62), (72, 73), (70, 70), (69, 68), (69, 70), (60, 61), (63, 63), (64, 64), (71, 71), (68, 67), (69, 70), (70, 72), (65, 65), (64, 63), (71, 70), (67, 67). Envergadura (en pulgadas) y 76 74 72 70 68 66 64 62 60 Encontrar un modelo lineal que represente estos datos. Solución Existen varias maneras de representar estos datos mediante una ecuación. La más sencilla sería observar que x y y son casi iguales y tomar como modelo y x. Un análisis más cuidadoso consistiría en recurrir a un procedimiento de la estadística denominado regresión lineal. (Procedimiento que se estudiará en la sección 13.9.) La recta de regresión de mínimos cuadrados para estos datos es x 60 62 64 66 68 70 72 74 76 y 1.006x 0.23. Recta de regresión de mínimos cuadrados. Altura (en pulgadas) Datos y su modelo lineal Figura P.32 En la figura P.32 se muestra la gráfica del modelo y los datos. A partir de este modelo, se puede observar que la envergadura de una persona tiende a ser aproximadamente igual a su estatura. TECNOLOGÍA Muchas herramientas de graficación tienen incorporados programas de regresión de mínimos cuadrados. Por lo general, se introducen los datos y después se ejecuta el programa. El programa suele mostrar como resultado la pendiente y la intersección en y de la recta que mejor se ajusta a los datos y el coeficiente de correlación r. El coeficiente de correlación mide cuán bien se ajusta el modelo a los datos. Cuanto más próximo a 1 es \r\, mejor es el ajuste. Por ejemplo, el coeficiente de correlación para el modelo del ejemplo 1 es r  0.97, lo que indica que el modelo se ajusta bien a los datos. Si el valor de r es positivo, las variables tienen una correlación positiva, como ocurre en el ejemplo 1. Si el valor de r es negativo, las variables tienen una correlación negativa. 32 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Ajuste de un modelo cuadrático a los datos Una función que define la altura s de un objeto que cae en términos del tiempo t se llama función de posición. Si no se considera la resistencia del aire, la posición de un objeto que cae admite el modelo s(t ) 1 2 gt 2 v0t s0 donde g denota la aceleración de la gravedad, v0 la velocidad inicial y s0 la altura inicial. El valor de g depende de dónde se deja caer el objeto. En la Tierra, g vale 32 piesYs2, o 9.8 mYs2. Para descubrir el valor de g experimental, se pueden registrar en varios instantes las alturas de un objeto cayendo, como se muestra en el ejemplo 2. EJEMPLO 2 Ajuste de un modelo cuadrático a los datos Se deja caer un balón de basquetbol desde una altura de 5 pies. Se mide la altura del balón 23 veces, a intervalos de aproximadamente 0.02 s.* Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Tiempo 0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.099996 Altura 5.23594 5.20353 5.16031 5.0991 5.02707 4.95146 Tiempo 0.119996 0.139992 0.159988 0.179988 0.199984 0.219984 Altura 4.85062 4.74979 4.63096 4.50132 4.35728 4.19523 Tiempo 0.23998 0.25993 0.27998 0.299976 0.319972 0.339961 Altura 4.02958 3.84593 3.65507 3.44981 3.23375 3.01048 Tiempo 0.359961 0.379951 0.399941 0.419941 0.439941 Altura 2.76921 2.52074 2.25786 1.98058 1.63488 Encontrar un modelo que se ajuste a estos datos y utilizarlo para pronosticar el instante en el que el balón golpeará el suelo. Solución Comenzar dibujando la nube de puntos o diagrama de dispersión que representa los datos, como se muestra en la figura P.33. En la nube de puntos o diagrama de dispersión se observa que los datos no parecen seguir un modelo lineal. Sin embargo, parece que obedecen a un modelo cuadrático. Para comprobarlo, introducir los datos en una herramienta de graficación con un programa para regresiones cuadráticas. Se debe obtener el modelo s Altura (en pies) 6 5 4 s 3 2 15.45t 2 1.302 t 5.2340. Parábola de regresión de mínimos cuadrados. Al usar este modelo, se puede pronosticar en qué instante el balón golpea el suelo, sustituyendo s por 0 y despejando t de la ecuación resultante. 1 t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 Tiempo (en segundos) Representación gráfica de los datos Figura P.33 t 15.45t 2 1.302 t  0.54  1.302t 5.2340 1.302 4 15.455.2340 2 15.45 Hacer s 0. 2 Fórmula cuadrática. Escoger la solución positiva. La solución aproximada es 0.54 s. En otras palabras, el balón continuará cayendo durante 0.1 s más antes de tocar el suelo. * Datos recabados con un Texas Instruments CBL (Calculator-Based Laboratory) System. SECCIÓN P.4 Ajuste de modelos a colecciones de datos 33 Ajuste de un modelo trigonométrico a los datos ¿Qué es el modelado matemático? Ésta es una de las preguntas que se plantean en la obra Guide to Mathematical Modelling. A continuación se transcribe parte de la respuesta.* 1. 2. El plano de la órbita terrestre alrededor del Sol y el eje de rotación de la Tierra no son perpendiculares. Por el contrario, este último está inclinado con respecto a su órbita. En consecuencia, la cantidad de luz diurna que reciben los distintos lugares de la Tierra varía de acuerdo con la época del año; en otras palabras, varía con la posición de la Tierra en su órbita. 3. 4. 5. 6. El modelado matemático consiste en aplicar las habilidades matemáticas para obtener respuestas útiles a problemas reales. Aprender a aplicar las habilidades matemáticas es muy distinto del aprendizaje de las propias matemáticas. Se utilizan modelos en una gran variedad de aplicaciones, algunas de las cuales parecen, en principio, carecer de naturaleza matemática. Con frecuencia, los modelos permiten una evaluación rápida y económica de las alternativas, lo que conduce hacia soluciones óptimas que de otra manera no resultarían obvias. En la elaboración de modelos matemáticos, no existen reglas precisas ni respuestas “correctas”. El modelado matemático sólo se puede aprender haciéndolo. EJEMPLO 3 Ajuste de un modelo trigonométrico a los datos En la Tierra, el número de horas de luz solar en un día cualquiera depende de la latitud y la época del año. Éste es el número de minutos de luz solar diarios en una latitud de 20 grados norte durante los días más largos y más cortos del año fueron: 801 minutos el 21 de junio y 655 minutos el 22 de diciembre. Utilizar estos datos para elaborar un modelo correspondiente a la cantidad de luz solar d (en minutos) para cada día del año en un lugar ubicado a 20 grados de latitud norte. ¿Cómo podría verificarse la exactitud del modelo? Luz solar (en minutos) d 850 Solución Ésta es una manera de elegir cómo elaborar un modelo. Se puede establecer la hipótesis de que el modelo es una función seno con un periodo de 365 días. Utilizando los datos, se puede concluir que la amplitud de la gráfica es (801 655)Y2, o sea, 73. De tal modo, un posible modelo es 365 800 73 750 728 700 d 73 650 t 40 120 Día (0 200 280 360 440 diciembre 22) Gráfica del modelo 728 73 sen 2 t 365 2 . En este modelo, t representa el número del día del año, donde t 0 corresponde al 22 de diciembre. En la figura P.34 se muestra una gráfica de este modelo. Para verificar la exactitud del modelo, se consulta en un almanaque el número de minutos de luz diurna en diferentes días del año en una latitud de 20 grados norte. Figura P.34 Fecha Valor de t Horas de luz reales Horas de luz que pronostica el modelo NOTA Puede encontrar un repaso de las funciones trigonométricas en el apéndice C. Dic 22 Ene 1 Feb 1 Mar 1 Abr 1 May 1 Jun 1 Jun 21 Jul 1 Ago 1 Sep 1 Oct 1 Nov 1 Dic 1 0 10 41 69 100 130 161 181 191 222 253 283 314 344 655 min. 657 min. 676 min. 705 min. 740 min. 772 min. 796 min. 801 min. 799 min. 782 min. 752 min. 718 min. 685 min. 661 min. 655 min. 656 min. 672 min. 701 min. 739 min. 773 min. 796 min. 801 min. 800 min. 785 min. 754 min. 716 min. 681 min. 660 min. Como se puede observar, el modelo es bastante preciso. * Texto tomado de Guide to Mathematical Modelling, de Dilwyn Edwards y Mike Hamson (Boca Raton: CRC Press, 1990). Utilizado con autorización de los autores. 34 CAPÍTULO P P.4 Preparación para el cálculo Ejercicios En los ejercicios 1 a 4 se proporciona una gráfica de puntos. Determinar si los datos pueden modelarse por medio de una función lineal, cuadrática o trigonométrica, o si no parece existir relación entre x y y. 1. y 2. y x 3. x 4. y x Cancerígenos Los siguientes pares ordenados representan el índice de exposición a una sustancia cancerígena x y la mortalidad por cáncer y por cada 100 000 personas de una población. (3.50, 150.1), (3.58, 133.1), (4.42, 132.9), (2.26, 116.7), (2.63, 140.7), (4.85, 165.5), (12.65, 210.7), (7.42, 181.0), (9.35, 213.4) a) Representar gráficamente los datos. De la observación de esta gráfica, ¿parece que los datos siguen un modelo aproximadamente lineal? b) Descubrir de manera visual un modelo lineal para los datos y representarlo gráficamente. c) Utilizar el modelo para calcular el valor aproximado de y si x 3. 6. 20 40 60 80 100 d 1.4 2.5 4.0 5.3 6.6 Encontrar la función de regresión en la herramienta de graficación, usando un modelo lineal para los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. ¿Qué tanto se ajusta el modelo a los datos? Explicar el razonamiento. c) Utilizar el modelo para estimar el alargamiento del resorte cuando se le aplica una fuerza de 55 newtons. 8. Objeto en caída En un experimento, unos estudiantes midieron la velocidad s (en metros por segundo) de un objeto en caída, t segundos después de dejarlo caer. Los resultados se presentan en la siguiente tabla. a) y x 5. F Calificaciones en cuestionarios Los siguientes pares ordenados son las calificaciones de dos cuestionarios consecutivos de 15 puntos aplicados a una clase de 18 alumnos. (7, 13), (9, 7), (14, 14), (15, 15), (10, 15), (9, 7), (14, 11), (14, 15), (8, 10), (15, 9), (10, 11), (9, 10), (11, 14), (7, 14), (11, 10), (14, 11), (10, 15), (9, 6) a) Representar gráficamente los datos. A la vista de esta gráfica, ¿parece que la relación entre calificaciones consecutivas sea aproximadamente lineal? b) Si los datos parecen aproximadamente lineales, construir un modelo lineal para ellos. Si no, encontrar alguna posible explicación. 7. Ley de Hooke La ley de Hooke establece que la fuerza F necesaria para comprimir o estirar un resorte (dentro de sus límites elásticos) es proporcional a la variación de longitud d que experimenta. Esto es, F kd, donde k es una medida de la resistencia del resorte a la deformación y se denomina constante elástica. La siguiente tabla muestra el alargamiento d, en centímetros, de un resorte cuando se le aplica una fuerza de F newtons. t 0 1 2 3 4 s 0 11.0 19.4 29.2 39.4 a) Usando la función de regresión en la herramienta de graficación, encontrar un modelo lineal para los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. ¿De qué manera se ajusta el modelo a los datos? Explicar el razonamiento. c) Utilice el modelo para estimar la velocidad del objeto transcurridos 2.5 segundos. 9. Consumo de energía y producto interno bruto* Los siguientes datos muestran el consumo de electricidad per capita (en millones de Btu) y el producto interno bruto per capita (en miles de dólares) en 2001, en varios países. (Fuente: U.S. Census Bureau.) Argentina (71, 12.53) Bangladesh (5, 1.97) Chile (75, 10.61) Ecuador (29, 3.77) Grecia (136, 22.23) Hong Kong (UNGRÓA (106, 15.8) India (15, 3.12) -ÏXICO (63, 9.64) Polonia (95, 12.73) Portugal (106, 19.24) Corea del Sur (186, 20.53) %SPA×A (159, 24.75) 4URQUÓA (51, 7.72) 2EINO•5NIDO (167, 31.43) Venezuela (115, 5.83) (159, 31.56) a) Utilizar la función de regresión en la herramienta de graficación, encontrar un modelo lineal para los datos. ¿Cuál es el coeficiente de correlación? b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Interpretar la gráfica del apartado b). Utilizar la gráfica para identificar los cuatro países que más difieren del modelo lineal. d) Borrar los datos correspondientes a los cuatro países identificados en el apartado c). Ajustar un modelo lineal para el resto de los datos y encontrar su coeficiente de correlación. * En España se le denomina producto interior bruto. SECCIÓN P.4 10. Dureza de Brinell Los datos de la tabla muestran la dureza de Brinell H del acero al carbón del 0.35 cuando se endurece y templa a temperatura t (en grados Fahrenheit). (Fuente: Standard Handbook for Mechanical Engineers.) Desempeño automotriz La siguiente tabla muestra el tiempo t (en segundos) que necesita un automóvil Honda Accord Hybrid para alcanzar una velocidad de s millas por hora partiendo del reposo. (Fuente: Car & Driver.) t 200 400 600 800 11000 000 11200 200 s 30 40 50 60 70 80 90 H 534 495 415 352 269 217 t 2.5 3.5 5.0 6.7 8.7 11.5 14.4 a) Utilizar las funciones de regresión lineal de su herramienta de graficación para encontrar un modelo lineal para los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. ¿Qué tanto se ajusta el modelo a los datos? Explicar el razonamiento. c) Utilizar el modelo para estimar la dureza cuando t 500° F. 11. Costos de automóviles Los datos de la tabla muestran los gastos variables de operación de un automóvil en Estados Unidos durante varios años. Las funciones y1, y2 y y3 representan los gastos, en centavos por milla, de gasolina y aceite, mantenimiento y neumáticos, respectivamente. (Fuente: Bureau of Transportation Statistics.) 3 5.90 4.10 1.80 4 7.20 4.10 1.80 5 6.50 5.40 0.70 6 9.50 4.90 0.70 7 8.90 4.90 0.70 Internamiento en organizaciones de asistencia sanitaria N Utilizar las funciones de regresión de la herramienta de graficación para encontrar un modelo cuadrático para y1 y y3 y un modelo lineal para y2. b) Utilizar la herramienta de graficación para hacer la gráfica y1, y2, y3 y y1 y2 y3 en la misma ventana. Utilizar el modelo para estimar el costo total variable por milla durante el año 12. a) 12. Resistencia de una viga Los estudiantes de un laboratorio midieron la fuerza de ruptura S (en libras) de una pieza de madera de 2 pulgadas de espesor, con x de altura y 12 de longitud. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. x 4 6 8 10 12 S 2 370 5 460 10 310 16 250 23 860 Utilizar una herramienta de graficación para ajustar un modelo cuadrático a los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Utilizar el modelo para estimar la fuerza de ruptura cuando x 2. 90 80 70 60 50 40 0 1 2 3 71.8 1.80 68.8 3.90 79.5 7.90 76.1 2 81.3 1.70 80.9 3.60 64.8 6.90 58.8 1 14. Organizaciones de asistencia sanitaria La siguiente gráfica de barras muestra el número de personas N (en millones) que recibieron atención en organizaciones de asistencia sanitaria de 1990 a 2004. (Fuente: HealthLeaders-InterStudy.) 52.5 1.70 46.2 3.30 42.2 5.60 38.4 0 Para discusión 36.1 y3 34.0 y2 33.0 y1 a) Utilizar las funciones de regresión de la herramienta de graficación para encontrar un modelo cuadrático para los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Utilizar la gráfica del apartado b) para establecer por qué el modelo no es apropiado para determinar el tiempo necesario para alcanzar velocidades inferiores a 20 millas por hora. d) Puesto que en las pruebas se partía del reposo, agregar el punto (0, 0) a los datos. Ajustar y representar gráficamente un modelo cuadrático a los nuevos datos. e) El modelo cuadrático, ¿modela con mayor precisión el comportamiento del automóvil a bajas velocidades? Explicar la respuesta. Personas atendidas (en millones) !×O a) 13. 35 Ajuste de modelos a colecciones de datos 30 20 10 4 5 6 !×O (0 7 8 9 10 11 12 13 14 1990) a) Sea t el tiempo en años, t 0 corresponde a 1990. Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para encontrar los modelos lineal y cúbico para los datos. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar los datos y los modelos lineal y cúbico. c) Utilizar la gráfica anterior para determinar qué modelo es mejor. d) Utilizar una herramienta de graficación para encontrar la gráfica del modelo cuadrático de los datos. e) Utilizar los modelos lineal y cúbico para estimar el número de personas que recibieron atención en las organizaciones de asistencia sanitaria durante 2007. f) Utilizar una herramienta de graficación para encontrar otros modelos para los datos. ¿Qué modelos se considera que representan mejor los datos? Explicar la respuesta. 36 CAPÍTULO P Preparación para el cálculo 15. Desempeño de un automóvil Se acopla un dinamómetro a un motor de automóvil V8 y se mide su potencia en caballos y a diferentes velocidades x (en miles de revoluciones por minuto). En la siguiente tabla se muestran los resultados. x 1 2 3 4 5 6 y 40 85 140 200 225 245 18. Temperatura La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas diarias en Miami M y Syracuse S (en grados Fahrenheit), donde t 1 corresponde a enero. (Fuente: NOAA.) a) Utilizar las funciones de cálculo de regresión de una herramienta de graficación para encontrar el modelo cúbico para los datos. b) Utilizar la herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Utilizar el modelo para estimar la potencia cuando el motor gira a 4 500 revoluciones por minuto. 16. Temperatura de ebullición La siguiente tabla muestra la temperatura de ebullición del agua T (°F) a diferentes presiones p (en libras pulg2). (Fuente: Standard Handbook for Mechanical Engineers.) p 5 10 14.696 (1 ATMØSFERA) 20 T 162.24 193.21 212.00 227.96 p 30 40 60 80 100 T 250.33 267.25 292.71 312.03 327.81 a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para encontrar un modelo cúbico para los datos. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Utilizar la gráfica para calcular la presión necesaria para que el punto de ebullición del agua exceda los 300° F. d) Explicar por qué el modelo no sería adecuado para presiones superiores a 100 libras por pulgada al cuadrado. 17. Movimiento armónico Un detector de movimiento mide el desplazamiento oscilatorio de un peso suspendido de un resorte. En la figura se muestran los datos recabados y los desplazamientos máximos (positivo y negativo) aproximados a partir del punto de equilibrio. El desplazamiento y se mide en centímetros y el tiempo t en segundos. t 1 2 3 4 5 6 M 76.5 77.7 80.7 83.8 87.2 89.5 S 31.4 33.5 43.1 55.7 68.5 77.0 t 7 8 9 10 11 12 M 90.9 90.6 89.0 85.4 81.2 77.5 S 81.7 79.6 71.4 59.8 47.4 36.3 a) Si un modelo para Miami es Mt 83.70 7.46 sen 0.4912t 1.95 . Encontrar un modelo para Syracuse. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar los datos y el modelo correspondientes a las temperaturas en Miami. ¿Es bueno el ajuste? c) Utilizar una herramienta de graficación para representar los datos y el modelo correspondientes a las temperaturas en Syracuse. ¿Es bueno el ajuste? d) Utilizar los modelos para estimar la temperatura promedio anual en cada ciudad. ¿Qué término del modelo se utilizó? Explicar la respuesta. e) ¿Cuál es el periodo en cada modelo? ¿Es el que se esperaba? Explicar las respuestas. f) ¿Qué ciudad presenta una mayor variación de temperaturas a lo largo del año? ¿Qué factor de los modelos lo determina? Explicar las respuestas. Desarrollo de conceptos En los ejercicios 19 y 20 describir una situación real factible para cada conjunto de datos. Luego, explicar cómo puede utilizar un modelo en un entorno real. 19. a) ¿Es y función de t? Explicar la respuesta. b) Calcular la amplitud y el periodo de las oscilaciones. c) Encontrar un modelo para los datos. d) Representar el modelo del apartado c) en una herramienta de graficación y comparar el resultado con los datos de la figura. y 20. y x x y 3 Preparación del examen Putnam (0.125, 2.35) 21. 2 1 (0.375, 1.65) t 0.2 1 0.4 0.6 0.8 Para i 1, 2, sea Ti un triángulo con lados de longitud ai , bi , ci y área Ai. Suponga que a1  a2, b1  b2, c1  c2 y que T2 es un triángulo agudo. ¿Se cumple que A1  A2? Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. Ejercicios de repaso P Ejercicios de repaso En los ejercicios 1 a 4, encontrar las intersecciones con los ejes (si existe alguna). 1. y ⫽ 5x ⫺ 8 x −3 3. y = x−4 27. 4. xy ⫽ 4 5. x2y ⫺ x2 ⫹ 4y ⫽ 0 a) b) c) d) 9. ⫺  x ⫹  y ⫽ l a) Pendiente ⫺  b) Es perpendicular a la recta x ⫹ y ⫽ 0 c) Pasa por el punto (6, 1) d) Es paralela al eje x 8. 6x ⫺ 3y ⫽ 12 10. 0.02x ⫹ 0.15y ⫽ 0.25 11. y ⫽ 9 ⫺ 8x ⫺ x2 12. y ⫽ 6x ⫺ x2 14. y ⫽ 冏x ⫺ 4冏 ⫺ 4 y=2 4−x En los ejercicios 15 y 16, describir la ventana de calculadora que produce la figura. 15. y ⫽ 4x2 ⫺ 25 16. y = 83 x − 6 En los ejercicios 17 y 18, utilizar una herramienta de graficación para encontrar el o los puntos de intersección de las gráficas de las ecuaciones. 17. 5x ⫹ 3y ⫽ ⫺1 18. x ⫺ y ⫹ 1 ⫽ 0 x ⫺ y ⫽ ⫺5 y ⫺ x2 ⫽ 7 Pendiente  Es paralela a la recta 5x ⫺ 3y ⫽ 3 Pasa por el origen Es paralela al eje y 30. Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 4) y poseen las siguientes características. 6. y ⫽ x4 ⫺ x2 ⫹ 3 En los ejercicios 7 a 14, dibujar la gráfica de la ecuación. 7. y ⫽  (⫺x ⫹ 3) 28. (5, 4), m ⫽ 0 (⫺3, 0), m ⫽ ⫺  29. Encontrar las ecuaciones de las rectas que pasan por (⫺3, 5) y tienen las siguientes características. 2. y ⫽ (x ⫺ 2)(x ⫺ 6) En los ejercicios 5 y 6, verificar si existe simetría con respecto a cada eje y al origen. 13. 37 31. Ritmo o velocidad de cambio El precio de adquisición de una máquina nueva es $12 500, y su valor decrecerá $850 por año. Utilizar esta información para escribir una ecuación lineal que determine el valor V de la máquina t años después de su adquisición. Calcular su valor transcurridos 3 años. 32. Punto de equilibrio Un contratista adquiere un equipo en $36 500 cuyo costo de combustible y mantenimiento es de $9.25 por hora. Al operario que lo maneja se le pagan $13.50 por hora y a los clientes se les cargan $30 por hora. a) Escribir una ecuación para el costo C que supone hacer funcionar el equipo durante t horas. b) Escribir una ecuación para los ingresos R derivados de t horas de uso del equipo. c) Determinar el punto de equilibrio, calculando el instante en el que R ⫽ C. En los ejercicios 33 a 36, trazar la gráfica de la ecuación y utilizar el criterio de la recta vertical para determinar si la ecuación expresa a y como una función de x. 33. x ⫺ y2 ⫽ 6 34. x2 ⫺ y ⫽ 0 19. Para pensar Escribir una ecuación cuya gráfica corte en x ⫽ ⫺4 y x ⫽ 4 y sea simétrica con respecto al origen. 35. y= 20. Para pensar ¿Para qué valor de k la gráfica de y ⫽ kx pasa por el punto indicado? 37. Evaluar (si es posible) la función f(x) ⫽ 1兾x en los valores especificados de la variable independiente y simplificar los resultados. f (1 + ∆x ) − f (1) a) f(0) b) ∆x 38. Evaluar (si es posible) la función para cada valor de la variable independiente. 3 a) (1, 4) b) (⫺2, 1) c) (0, 0) d) (⫺1, ⫺1) En los ejercicios 21 y 22, dibujar los puntos y calcular la pendiente de la recta que pasa por ellos. 21. (  , 1), (5,  ) 22. (⫺7, 8), (⫺1, 8) x−2 x−2 36. x ⫽ 9 ⫺ y2 En los ejercicios 23 y 24, utilizar el concepto de pendiente para determinar el valor de t para el que los tres puntos son colineales. f 共x兲 ⫽ 23. a) f 共⫺4兲 (⫺8, 5), (0, t), (2, ⫺1) 24. (⫺3, 3), (t, ⫺1), (8, 6) En los ejercicios 25 a 28, encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente señalada. Trazar la recta. 25. (3, ⫺5), m ⫽  26. (⫺8, 1), m es indefinida. 冦ⱍx ⫺ 2ⱍ, x ≥ 0 x 2 ⫹ 2, x < 0 b) f 共0兲 c ) f 共1兲 39. Determinar el dominio y el recorrido o rango de cada función. a) y ⫽ 冪36 ⫺ x 2 b) y ⫽ 7 2x ⫺ 10 c) y ⫽ 冦2 ⫺ x, x ≥ 0 x 2, x<0 38 40. CAPÍTULO P Preparación para el cálculo Dadas f(x) ⫽ 1 ⫺ x2 y g(x) ⫽ 2x ⫹ 1, evaluar las expresiones. a) f(x) ⫺ g(x) b) f(x)g(x) c) g(f(x)) 41. Trazar (en un mismo sistema de coordenadas) las gráficas de f para c ⫽ ⫺2, 0 y 2. a) b) 6 x x −4 −2 −2 −1 d) −2 43. Conjetura 2 2 −2 4 x −4 −4 a) Utilizar una herramienta de graficación para representar las funciones f, g y h en una misma ventana. Hacer una descripción por escrito de las similitudes y diferencias observadas entre las gráficas. 4 4 x −4 2 y 2 (4, −3) 4 −6 6 4 2 4 y g (0, 1) 2 −4 c) (2, 1) −1 −2 2 −4 2 (2, 5) g y 4 Utilizar una herramienta de graficación para representar f(x) ⫽ x3 ⫺ 3x2. Empleando la gráfica, escribir una fórmula para la función g de la figura. a) b) y b) f(x) ⫽ (x ⫺ c)3 d) f(x) ⫽ cx3 a) f(x) ⫽ x3 ⫹ c c) f(x) ⫽ (x ⫺ 2)3 ⫹ c 42. 47. Para pensar ¿Cuál es el menor grado posible de la función polinomial cuya gráfica se aproxima a la que se muestra en cada apartado? ¿Qué signo debe tener el coeficiente dominante? −4 48. Prueba de esfuerzo Se somete a prueba una pieza de maquinaria doblándola x centímetros, 10 veces por minuto, hasta el instante y (en horas) en el que falla. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Potencias impares: f(x) ⫽ x, g(x) ⫽ x3, h(x) ⫽ x5 Potencias pares: f(x) ⫽ x2, g(x) ⫽ x4, h(x) ⫽ x6 b) Utilizar el resultado del apartado a) para hacer una conjetura con respecto a las gráficas de las funciones y ⫽ x7 y y ⫽ x8. Comprobar la conjetura con ayuda de una herramienta de graficación. 44. Para pensar Utilizando el resultado del ejercicio 43, tratar de vaticinar las formas de las gráficas de f, g y h. Después, representar las funciones con una herramienta de graficación y comparar el resultado con su estimación. a) f(x) ⫽ x2(x ⫺ 6)2 c) h(x) ⫽ x3(x ⫺ 6)3 b) g (x) ⫽ x3(x ⫺ 6)2 45. Área Se va a cortar un alambre de 24 pulgadas de longitud en cuatro trozos para formar un rectángulo cuyo lado más corto mida x. a) Expresar el área A del rectángulo en función de x. b) Determinar el dominio de la función y representar la función de ese dominio en una herramienta de graficación. c) Utilizar la gráfica de la función para estimar el área máxima del rectángulo. Hacer una suposición con respecto a las dimensiones que producen el área máxima. 46. Redacción Las siguientes gráficas exhiben los beneficios P de dos pequeñas empresas durante un periodo p de dos años. Inventar una historia que explique el comportamiento de cada función de beneficios para un hipotético producto elaborado por la empresa. a) x 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 y 61 56 53 55 48 35 36 33 44 23 a) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para encontrar un modelo lineal para los datos. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar los datos y el modelo. c) Utilizar la gráfica para determinar si se cometió un error al realizar una de las pruebas o al registrar los resultados. Si es así, suprimir el punto erróneo y encontrar el modelo lineal para los datos revisados. 49. Movimiento armónico Un detector de movimiento mide el desplazamiento oscilatorio de un peso suspendido de un resorte. En la figura se muestran los datos recabados y los desplazamientos máximos (positivo y negativo) aproximados a partir del punto de equilibrio. El desplazamiento y se mide en centímetros y el tiempo t en segundos. a) ¿Es y función de t? Explicar. b) Calcular la amplitud y el periodo de las oscilaciones. c) Encontrar un modelo para los datos. d) Representar el modelo del apartado c) en una herramienta de graficación y comparar el resultado con los datos de la figura. y 0.50 b) P 200 000 100 000 100 000 50 000 t 1.0 −0.25 p 1 2 (1.1, 0.25) 0.25 P p 1 2 −0.50 (0.5, −0.25) 2.0 39 Solución de problemas SP Solución de problemas 1. Considerando el círculo x2 ⫹ y2 ⫺ 6x ⫺ 8y ⫽ 0 que se muestra en la figura. 4. a) Encontrar el centro y el radio del círculo. b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto (0, 0). c) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto (6, 0). d) ¿En qué punto se cortan dichas tangentes? y Tomando en cuenta la gráfica de la función que se muestra a continuación, construir las gráficas de las siguientes funciones. a) f(x ⫹ 1) b) f(x) ⫹ 1 c) 2f(x) d) f(⫺x) e) –f(x) f) g) f(ⱍxⱍ) y 4 ⱍ f(x)ⱍ 2 f x 2 y 4 −2 8 2 6 1 −4 x 4 −3 −2 2 3 2 −2 x 6 −2 8 5. −3 −4 Figura para 1 a) Escribir el área A del potrero en función de x, que es la longitud del lado paralelo al río. ¿Cuál es el dominio de A? b) Representar gráficamente la función área A(x) y estimar las dimensiones que producen la mayor cantidad de área para el potrero. c) Encontrar las dimensiones que producen la mayor cantidad de área del potrero completando el cuadrilátero. Figura para 2 2. Sean dos rectas tangentes que van del punto (0, 1) al círculo x2 ⫹ (y ⫹ 1)2 ⫽ 1 (ver la figura). Encontrar las ecuaciones de ambas rectas, valiéndose del hecho de que cada tangente hace intersección con el círculo exactamente en un solo punto. La función de Heaviside H(x) se utiliza ampliamente en aplicaciones ingenieriles. 1, x ≥ 0 H( x) =  0, x < 0 y Trazar a mano la gráfica de la función de Heaviside y las gráficas de las siguientes funciones. a) H(x) ⫺ 2 b) H(x ⫺ 2) c) ⫺H(x) d) H(⫺x) e)  H(x) f ) ⫺H(x ⫺ 2) ⫹ 2 Institute of Electrical Engineers, London 3. El propietario de un rancho planea cercar un potrero rectangular adyacente a un río. Ya tiene 100 metros de cerca y no es necesario cercar el lado que se encuentra a lo largo del río (ver la figura). OLIVER HEAVISIDE (1850-1925) Heaviside fue un físico-matemático británico que contribuyó al campo de las matemáticas aplicadas, sobre todo en la ingeniería eléctrica. La función de Heaviside es un tipo clásico de función “encendido-apagado”con aplicaciones en la electricidad y la computación. x y x x y Figura para 5 x y Figura para 6 6. El propietario de un rancho cuenta con 300 metros de cerca para enrejar dos potreros contiguos. a) Escribir el área total A de ambos potreros como una función de x (ver la figura). ¿Cuál es el dominio de A? b) Representar gráficamente la función área y estimar las dimensiones que producen la mayor área de los potreros. c) Encontrar las dimensiones que producen la mayor cantidad de área del potrero completando el cuadrado. 7. Una persona se encuentra en una lancha a 2 millas del punto más cercano a la costa y se dirige a un punto Q, ubicado sobre la costa a 3 millas de dicho punto y 1 milla tierra adentro (ver la figura). Puede navegar a 2 millas por hora y caminar a 4 millas por hora. Escribir el tiempo total T del recorrido en función de x. 2 millas x 3−x 1 milla 3 millas Q 40 8. CAPÍTULO P Preparación para el cálculo cantidad de sonido de ambas bocinas. Dicho lugar satisface dos condiciones: 1) la intensidad del sonido en la posición del escucha es directamente proporcional al nivel de sonido de la fuente, y 2) la intensidad del sonido es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente. Conduzca por la playa a 120 kilómetros por hora. En el recorrido de regreso, conduzca a 60 kilómetros por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio en todo el viaje? Explicar el razonamiento. 9. Uno de los temas fundamentales del cálculo consiste en encontrar la pendiente de una recta tangente en un punto a una curva. Para ver cómo puede hacerse esto, considerar el punto (2, 4) de la gráfica de f(x) ⫽ x2 (ver la figura). a) Encontrar los puntos sobre el eje x que reciben la misma cantidad de sonido de ambas bocinas. b) Encontrar y representar gráficamente la ecuación de todas las posiciones (x, y) donde se reciben cantidades de sonido iguales de ambas bocinas. y 10 8 y y 6 4 4 3 (2, 4) 2 −6 −4 −2 2 4 3 2 x 2 6 1 a) Calcular la pendiente de la recta que une (2, 4) y (3, 9). La pendiente de la recta tangente en (2, 4) ¿es mayor o menor que este número? b) Calcular la pendiente de la recta que une (2, 4) y (1, 1). La pendiente de la recta tangente en (2, 4) ¿es mayor o menor que este número? 1 13. 10. Trazar gráficamente la función f ( x ) = x y anotar el punto (4, 2) sobre ella. a) Calcular la pendiente de la recta que une (4, 2) y (9, 3). La pendiente de la recta tangente en (4, 2) ¿es mayor o menor que este número? d) Calcular la pendiente de la recta que une (4, 2) y (4 ⫹ h, f(4 ⫹ h)), para h ⫽ 0. e) ¿Cuál es la pendiente de la línea tangente en (4, 2)? Explicar de qué manera obtuvo la respuesta. 11. Explicar cómo se grafica la ecuación y ⫹ ⱍyⱍ ⫽ x ⫹ ⱍxⱍ. Trace la gráfica. 12. En una enorme habitación se encuentran dos bocinas, con 3 metros de separación entre sí. La intensidad del sonido I de una bocina es del doble de la otra, como se muestra en la figura. Suponer que el escucha se encuentra en libertad de moverse por la habitación hasta encontrar la posición en la que recibe igual x kI I 1 2 3 x 4 Figura para 13 Suponer que las bocinas del ejercicio 12 se encuentran separadas por 4 metros y la intensidad del sonido de una de ellas es de k veces la de la otra, como se muestra en la figura. Encontrar la ecuación para todas las posiciones (x, y) donde se reciben cantidades de sonido iguales de ambas bocinas. b) Representar gráficamente la ecuación para el caso donde k ⫽ 3. c) Describir el conjunto de posiciones con igual cantidad de sonido a medida que k se vuelve muy grande. 14. Sean d1 y d2 las distancias entre el punto (x, y) y los puntos (⫺1, 0) y (1, 0), respectivamente, como se muestra en la figura. Demostrar que la ecuación de la gráfica de todos los puntos (x, y) que satisfacen d1d2 ⫽ 1 es (x2 ⫹ y2)2 ⫽ 2(x2 ⫺ y2). Esta curva se conoce como lemniscata. Trazar la lemniscata e identificar tres puntos sobre la gráfica. b) Calcular la pendiente de la recta que une (4, 2) y (1, 1). La pendiente de la recta tangente en (4, 2) ¿es mayor o menor que este número? c) Calcular la pendiente de la recta que une (4, 2) y (4.41, 2.1). La pendiente de la recta tangente en (4, 2) ¿es mayor o menor que este número? 3 a) d) Calcular la pendiente de la recta que une (2, 4) y (2 ⫹ h, f(2 ⫹ h)), para h ⫽ 0. Verificar que h ⫽ 1, ⫺1 y 0.1 generen las soluciones de los apartados a) a c). ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en (2, 4)? Explicar de qué manera obtuvo la respuesta. 2 Figura para 12 c) Calcular la pendiente de la recta que une (2, 4) y (2.1, 4.41). La pendiente de la recta tangente en (2, 4) ¿es mayor o menor que este número? e) 1 2I I y 1 d1 (x, y) d2 x −1 1 −1 15. Sea ƒ( x ) = 1 . 1− x a) ¿Cuáles son el dominio y el recorrido o rango de f ? b) Encontrar la composición de f(f(x)); ¿cuál es el domino de esta función? c) Encontrar f(f(f(x))); ¿cuál es el dominio de esta función? d) Representar gráficamente f(f(f(x))). La gráfica ¿es una recta? Explicar por qué. 1 Límites y sus propiedades El límite de una función es el concepto principal que distingue al cálculo del álgebra y de la geometría analítica. La noción de un límite es fundamental para el estudio del cálculo. De esta manera, es importante adquirir un buen concepto de límite antes de incursionar en otros tópicos de cálculo. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo comparar el cálculo con el precálculo. (1.1) n Cómo encontrar límites gráfica y numéricamente. (1.2) n Cómo evaluar de forma analítica un límite. (1.3) n Cómo determinar la continuidad en un punto y sobre un intervalo abierto, y cómo determinar límites laterales. (1.4) n Cómo determinar límites infinitos y cómo encontrar las asíntotas verticales. (1.5) ■ European Space Agency/NASA De acuerdo con la NASA, el lugar más frío del universo está en la nébula de Boomerang. La nébula se localiza a cinco mil años luz de la Tierra y tiene una temperatura de 272°C. Esta temperatura es únicamente 1° más caliente que el cero absoluto, la temperatura más fría posible. ¿Cómo determinaron los científicos que el cero absoluto es el “límite inferior” de la temperatura de la materia? (Ver la sección 1.4, ejemplo 5.) ■ y y y f es indefinido en x = 0. x f (x) = x+1−1 2 1 f(x) = x x+1−1 x −1 1 x x −1 1 −1 1 El proceso de un límite es un concepto fundamental del cálculo. Una técnica que se puede utilizar para estimar un límite consiste en trazar la función y luego determinar el comportamiento de la gráfica a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico. (Ver la sección 1.2.) 41 42 1.1 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Una mirada previa al cálculo ■ ■ ■ Comprender qué es el cálculo y cómo se compara con el precálculo. Comprender que el problema de la recta tangente es básico para el cálculo. Comprender que el problema del área también es básico para el cálculo. ¿Qué es el cálculo? AYUDA DE ESTUDIO A medida que vayamos progresando en este curso, CONVIENEªRECORDARªQUEªELªAPRENDIZAJEª del cálculo es sólo uno de sus fines. Su objetivo más importante es aprender AªUTILIZARªELªCÈLCULOªPARAªMODELARªYª resolver problemas reales. En seguida se presentan algunas estrategias de resolución de problemas que pueden ayudar. sª #ERCIORARSEªDEªENTENDERªLAªPREGUNTAª ¿Cuáles son los datos? ¿Qué se le pide encontrar? sª #ONCEBIRªUNªPLANª%XISTENªMUCHOSª MÏTODOSªQUEªSEªPUEDENªUTILIZARª hacer un esquema, resolver un problema sencillo, trabajar hacia atrás, dibujar un diagrama, usar recursos tecnológicos y muchos otros. sª %JECUTARªELªPLANª!SEGURARSEªDEªQUEª responde la pregunta. Enunciar la respuesta en palabras. Por ejemPLO ªENªVEZªDEªESCRIBIRªLAªRESPUESTAª como x 4.6, sería mejor escribir h%LªÈREAªDEªLAªZONAªESªªMETROSª cuadrados”. sª 2EVISARªELªTRABAJOªz4IENEªSENTIDOªLAª respuesta? ¿Existe alguna forma de contrastarla? El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto del cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros y economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan con velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, el cálculo es más dinámico. He aquí algunos ejemplos. sª sª sª sª ,ASª MATEMÈTICASª PREVIASª ALª CÈLCULOª PERMITENª ANALIZARª UNª OBJETOª QUEª SEª MUEVEª CONª VELOCIDADªCONSTANTEª3INªEMBARGO ªPARAªANALIZARªLAªVELOCIDADªDEªUNªOBJETOªSOMETIDOªAª aceleración es necesario recurrir al cálculo. ,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªLAªPENDIENTEªDEªUNAªRECTA ªPEROª PARAªANALIZARªLAªPENDIENTEªDEªUNAªCURVAªESªNECESARIOªELªCÈLCULO ,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªLAªCURVATURAªCONSTANTEªDEªUNªCÓRCULO ª PEROªPARAªANALIZARªLAªCURVATURAªVARIABLEªDEªUNAªCURVAªGENERALªESªNECESARIOªELªCÈLCULO ,ASªMATEMÈTICASªPREVIASªALªCÈLCULOªPERMITENªANALIZARªELªÈREAªDEªUNªRECTÈNGULO ªPEROª PARAªANALIZARªELªÈREAªBAJOªUNAªCURVAªGENERALªESªNECESARIOªELªCÈLCULO Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: la reformulación de las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera de responder a la pregunta “¿qué es el cálculo?” consiste en decir que el cálculo es una “máquina de límites” que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas previas al cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo. La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo, en términos de derivadas e integrales. Matemáticas previas al cálculo Proceso de límite Cálculo Por desgracia, algunos estudiantes tratan de aprender cálculo como si se tratara de una SIMPLEªRECOPILACIØNªDEªFØRMULASªNUEVASª3IªSEªREDUCEªELªESTUDIOªDELªCÈLCULOªAªLAªMEMORIZACIØNª de las fórmulas de derivación y de integración, su comprensión será deficiente, el estudiante PERDERȪCONlANZAªENªSÓªMISMOªYªNOªOBTENDRȪSATISFACCIØN En las dos páginas siguientes se presentan algunos conceptos familiares del precálculo, listados junto con sus contrapartes del cálculo. A lo largo del texto se debe recordar que ELªOBJETIVOªESªAPRENDERªAªUTILIZARªLASªFØRMULASªYªTÏCNICASªDELªPRECÈLCULOªCOMOªFUNDAMENTOª PARAª PRODUCIRª LASª FØRMULASª Yª TÏCNICASª MÈSª GENERALESª DELª CÈLCULOª 1UIZÈSª ALGUNASª DEª LASª “viejas fórmulas” de las páginas siguientes no resulten familiares para algunos estudiantes; repasaremos todas ellas. A medida que se avance en el texto, se sugiere volver a leer estos comentarios repetidas veces. Es importante saber en cuál de las tres etapas del estudio del cálculo se encuentra el estudiante. Por ejemplo, los tres primeros capítulos se desglosan como sigue. Capítulo P: Preparación para el cálculo Matemáticas previas al cálculo o precálculo Capítulo 1: Límites y sus propiedades Capítulo 2: Derivación Proceso de límite Cálculo SECCIÓN 1.1 Sin cálculo 43 Una mirada previa al cálculo Con cálculo diferencial y y y Valor de f(x) cuando x c f (x) y = f (x) Límite de f(x) cuando x tiende a c x c Pendiente de una recta x c Pendiente de una curva y dy x dx 2ECTAªSECANTEª a una curva 2ECTAªTANGENTEª a una curva 2ITMOªOªVELOCIDADªDEªª cambio promedio entre t ayt b 2ITMOªOªVELOCIDADªDEª cambio instantáneo en t c t a t b Curvatura del círculo c Curvatura de una curva y Altura de una curva en x฀ c t y c x Altura máxima de una curva dentro de un intervalo a Plano tangente a una esfera Plano tangente a una superficie Dirección del movimiento a lo largo de una recta Dirección del movimiento a lo largo de una curva b x 44 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Sin cálculo Con cálculo integral y Área de un rectángulo Área bajo una curva x 4RABAJOªREALIZADOªPORª UNAªFUERZAªCONSTANTEª 4RABAJOªREALIZADOªPORª UNAªFUERZAªVARIABLE y Centro de un rectángulo Centroide de una región x Longitud de un segmento de recta Longitud de un arco Área superficial de un cilindro Área superficial de un sólido de revolución Masa de un sólido con densidad constante Masa de un sólido con densidad variable Volumen de un sólido rectangular Volumen de la región bajo una superficie Suma de un número finito de términos a1 a2 ... an S Suma de un número infinito de términos a1 a2 a3 ... S SECCIÓN 1.1 y Una mirada previa al cálculo 45 El problema de la recta tangente y = f(x) 2ECTAªTANGENTE P x Recta tangente de la gráfica de f en P Figura 1.1 La noción de límite es fundamental en el estudio del cálculo. A continuación se dan breves descripciones de dos problemas clásicos del cálculo —el problema de la recta tangente y el problema del área— que muestran la forma en que intervienen los límites en el cálculo. En el problema de la recta tangente, se tiene una función f y un punto P de su gráfica y se trata de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto P, como se muestra en la figura 1.1. Exceptuando los casos en que la recta tangente es vertical, el problema de encontrar la recta tangente en el punto P equivale al de determinar la pendiente de la recta tangente en Pª3EªPUEDEªCALCULARªAPROXIMADAMENTEªESTAªPENDIENTEªTRAZANDOªUNAªRECTAªPORªELªPUNTOªDEª tangencia y por otro punto sobre la curva, como se muestra en la figura 1.2a. Tal recta se llama recta secante. Si P(c, f(c)) es el punto de tangencia y QSc x, f Sc xDD es un segundo punto de la gráfica de f, la pendiente de la recta secante que pasa por estos DOSªPUNTOSªPUEDEªENCONTRARSEªALªUTILIZARªPRECÈLCULOªYªESTȪDADAªPOR f Sc c msec xD x f ScD c f Sc xD x f ScD . y y Q(c x, f(c Q x)) Rectas secantes P(c, f(c)) f(c x) f(c) P Recta tangente x x The Mistress Fellows, Girton College, Cambridge x a) La recta secante que pasa por (c, f(c)) y (c x, f(c x)) b) Cuando Q tiende a P, las rectas secantes se aproximan a la recta tangente Figura 1.2 A medida que el punto Q se aproxima al punto P, la pendiente de la recta secante se aproxima a la de la recta tangente, como se muestra en la figura 1.2b. Cuando existe tal “posición límite”, se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de la pendiente de la recta secante (este importante problema se estudiará con más detalle en el capítulo 2). EXPLORACIÓN GRACE CHISHOLM YOUNG (1868-1944) Grace Chisholm Young obtuvo su título en matemáticas en el Girton College de Cambridge, Inglaterra. Sus primeros trabajos se publicaron bajo el nombre de William Young, su marido. Entre 1914 y 1916, Grace Young publicó trabajos relativos a los fundamentos del cálculo que la hicieron merecedora del premio Gamble del Girton College. Los siguientes puntos se encuentran en la gráfica de f(x) x2. Q1S1.5, f S1.5DD, Q2S1.1, f S1.1DD, Q3S1.01, f S1.01DD, Q4S1.001, f S1.001DD, Q5S1.0001, f S1.0001DD Cada punto sucesivo se acerca más al punto P(1, 1). Calcular la pendiente de la recta secante que pasa por Q1 y P, Q2 y P ªYªASÓªSUCESIVAMENTEª5TILIZARªUNAªHERRAMIENTAªDEª GRAlCACIØNªPARAªREPRESENTARªESTASªRECTASªSECANTESª,UEGOªUTILIZARªLOSªRESULTADOSªPARAª estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P. 46 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades y El problema del área y f(x) a b Área bajo una curva x En el problema de la recta tangente se vio cómo el proceso de límite puede ser aplicado a la pendiente de una recta para determinar la pendiente de una curva general. Un segundo problema clásico del cálculo consiste en determinar el área de una región plana delimitada por gráficas de funciones. Este problema también se puede resolver mediante un proceso del límite. En este caso, el proceso del límite se aplica al área de un rectángulo con el fin de encontrar el área de una región en general. !ªMODOªDEªEJEMPLOªSENCILLO ªCONSIDERARªLAªZONAªACOTADAªPORªLAªGRÈlCAªDEªLAªFUNCIØNª y f(x), el eje x y las rectas verticales x a y x b, como se muestra en la figura 1.3. Se puede estimar su área usando varios rectángulos, como se muestra en la figura 1.4. Al AUMENTARªELªNÞMEROªDEªRECTÈNGULOS ªLAªAPROXIMACIØNªMEJORAªCADAªVEZªMÈS ªYAªQUEªSEªREDUCEª el área que se pierde mediante los rectángulos. El objetivo radica en determinar el límite de la suma de las áreas de los rectángulos cuando su número crece sin fin. Figura 1.3 y y y = f(x) y = f(x) NOTA HISTÓRICA En uno de los eventos más asombrosos ocurrido en las matemáticas, se descubrió que el problema de recta tangente y el problema del área están estrechamente relacionados. Este descubrimiento condujo al nacimiento del cálculo. Se abordará la relación que existe entre estos dos problemas cuando se estudie el teorema fundamental del cálculo en el capítulo 4. a x b a Aproximación usando cuatro rectángulos b Aproximación usando ocho rectángulos Figura 1.4 EXPLORACIÓN Considerar la región acotada por las gráficas de f(x) x2, y 0 y x 1, que se muestra en el apartado a) de la figura. Se puede estimar el área de esta región empleando dos conjuntos de rectángulos, unos inscritos en ella y otros circunscritos, como se muestra en los apartados b) y c). Calcular la suma de las áreas de cada conjunto de rectángulos. ,UEGO ªUTILIZARªLOSªRESULTADOSªPARAªCALCULARªAPROXIMADAMENTEªELªÈREAªDEªLAªREGIØN y y f(x) = x 2 y f(x) = x 1 1 1 x x x 1 1 a)ª ª2EGIØNªACOTADAª f(x) = x 2 2 b)ª ª2ECTÈNGULOSªINSCRITOSª 1 c)ª ª2ECTÈNGULOSªCIRCUNSCRITOS x SECCIÓN 1.1 1.1 Ejercicios En los ejercicios 1 a 5, decidir si el problema puede resolverse mediante el uso de las matemáticas previas al cálculo o si requiere del cálculo. Resolver el problema si se puede utilizar precálculo. En caso contrario explicar el razonamiento y aproximar la solución por procedimientos gráficos o numéricos. 1. Calcular la distancia que recorre en 15 segundos un objeto que viaja a una velocidad constante de 20 pies por segundo. 2. Calcular la distancia que recorre en 15 segundos un objeto que se mueve a una velocidad v(t) 20 7 cos t pies por segundo. 3. Un ciclista recorre una trayectoria que admite como modelo la ecuación f(x) 0.04(8x x2) donde x y f(x) se miden en millas. Calcular el ritmo o velocidad de cambio en la elevación cuando x 2. y y 0.04 (8x f (x) x2 y y 1 1 ) f (x) 1 2 3 4 5 9. a ª 5TILIZARªLOSªRECTÈNGULOSªDEªCADAªUNAªDEªLASªGRÈlCASªPARAª aproximar el área de la región acotada por y 5Yx, y 0, x 1, y x 5. x 6 1 Figura para 3 2 b) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta del área. 0.08x x 1 x x 2 y y 2 1 1 8. a ªª 5TILIZARªLOSªRECTÈNGULOSªDEªCADAªUNAªDEªLASªGRÈlCASªPARAª aproximar el área de la región acotada por y sen x, y 0, x 0yx . 3 3 2 47 Una mirada previa al cálculo 1 2 3 4 5 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 Figura para 4 1 x x 4. 5. Un ciclista recorre una trayectoria que admite como modelo la ecuación f(x) 0.08x, donde x y f(x) se miden en millas. Encontrar el ritmo o velocidad de cambio de la elevación cuando x 2. Encontrar el área de la región sombreada. y a) 5 (2, 4) 3 3 4 5 1 2 3 5 4 b) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta del área. Para discusión Desarrollo de conceptos 1 (5, 0) x 1 2 10.ª z#ØMOªSEªDESCRIBEªLAªRAZØNªCAMBIOªINSTANTÈNEOªDEªLAª posición de un automóvil sobre la autopista? y b) 4 3 2 1 1 (0, 0) 3 4 5 6 x 2 1 1 6. Rectas secantes Considerar la función f(x) qbx y el punto P(4, 2) en la gráfica de f: a) Dibujar la gráfica de f y las rectas secantes que pasan por P(4, 2) y Q(x, f(x)) para los siguientes valores de x: 1, 3 y 5. b) Encontrar la pendiente de cada recta secante. c ª 5TILIZARªLOSªRESULTADOSªDELªAPARTADOªb) para estimar la pendiente de la recta tangente a f en P(4, 2). Describir cómo puede mejorarse la aproximación de la pendiente. 7. Rectas secantes Considerar la función f(x) 6x x2 y el punto P(2, 8) sobre la gráfica de f : a) Dibujar la gráfica de f y las rectas secantes que pasan por P(2, 8) y Q(x, f(x)) para los valores de x: 3, 2.5 y 1.5. b) Encontrar la pendiente de cada recta secante. c ª 5TILIZARªLOSªRESULTADOSªDEªLAªPARTEªb) para estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(2, 8). Describir cómo puede mejorarse la aproximación de la pendiente. 11. Considerar la longitud de la gráfica de f(x) (1, 5) hasta (5, 1): y 5 5Yx, desde y (1, 5) 5 (1, 5) 4 4 3 3 2 2 (5, 1) 1 x 1 2 3 4 5 (5, 1) 1 x 1 2 3 4 5 a) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera figura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda figura. c) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta de la longitud de la curva. 48 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 1.2 ■ ■ ■ Estimar un límite utilizando los métodos numérico y gráfico. Aprender diferentes formas en las que un límite puede no existir. Estudiar y utilizar la definición formal de límite. Introducción a los límites Suponer que se pide dibujar la gráfica de la función f dada por x3 1 , x 1. x 1 ( x) Para todos los valores distintos de x 1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x 1, no está claro qué esperar. Para obtener una idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x 1, se pueden usar dos conjuntos de valores de x, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, como se ilustra en la tabla. lím f (x) = 3 x 1 (1, 3) y 3 x se aproxima a 1 por la izquierda. 2 x 0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1 1.25 f x 2.313 2.710 2.970 2.997 ? 3.003 3.030 3.310 3.813 x3 1 x 1 f (x) x se aproxima a 1 por la derecha. f x ฀se aproxima a 3. f x ฀se aproxima a 3. x 2 1 1 El límite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3 Figura 1.5 Como se muestra en la figura 1.5, la gráfica de f es una parábola con un hueco en el punto (1, 3). A pesar de que x no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1 y, en consecuencia, f(x) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se emplea con los límites, se podría escribir lím f x 3. 1 x Esto se lee “el límite de f(x) cuando x se aproxima a 1 es 3”. Este análisis conduce a una descripción informal de límite. Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a c por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de f(x), cuando x se aproxima a c, es L. Esto se escribe lím f x x L. c EXPLORACIÓN El análisis anterior proporciona un ejemplo de cómo estimar un límite de manera numérica mediante la construcción de una tabla, o de manera gráfica, al dibujar un esquema. Calcular el siguiente límite de forma numérica al completar la tabla. lím x x f x 2 x2 3x x 2 2 1.75 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.25 ? ? ? ? ? ? ? ? ? Luego utilizar una herramienta de graficación para estimar el límite. SECCIÓN 1.2 EJEMPLO 1 Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 49 Estimación numérica de un límite x x Evaluar la función f x resultado para estimar el límite: x . lím x 0 x 1 1 1 1 en varios puntos cercanos a x 0 y usar el Solución En la siguiente tabla se registran los valores de f(x) para diversos valores de x cercanos a 0. y f no está definida en x = 0. x se aproxima a 0 por la izquierda. f (x) x x 1 x se aproxima a 0 por la derecha. 1 x 0.001 0.0001 0 0.0001 0.001 0.01 1.99950 1.99995 ? 2.00005 2.00050 2.00499 0.01 1 1.99499 f x f(x) se aproxima a 2. x f(x) se aproxima a 2. 1 1 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 0 es 2 Figura 1.6 De los datos mostrados en la tabla, se puede estimar que el límite es 2. Dicho resultado se confirma por la gráfica de f (ver la figura 1.6). Observar que en el ejemplo 1, la función no está definida en x 0 y aún así f(x) parece aproximarse a un límite a medida que x se aproxima a 0. Esto ocurre con frecuencia, y es importante percatarse de que la existencia o inexistencia de f(x) en x c no guarda relación con la existencia del límite de f(x) cuando x se aproxima a c. EJEMPLO 2 Cálculo de un límite Encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a 2, donde f se define como f x f(x) 1 1, x 2 0, x 2 2 3 lím f x x x 2 1. El hecho de que f(2) 0 no influye en la existencia ni en el valor del límite cuando x se aproxima a 2. Por ejemplo, si se hubiera definido la función como f x El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 1 Figura 1.7 2 2. Solución Puesto que f(x) 1 para todos los x distintos de x 2, se puede concluir que el límite es 1, como se muestra en la figura 1.7. Por tanto, se puede escribir y 2 1, x 0, x 1, x 2, x 2 2 el límite sería el mismo. Hasta este punto de la sección, se han calculado los límites de manera numérica y gráfica. Cada uno de estos métodos genera una estimación del límite. En la sección 1.3 se estudiarán técnicas analíticas para evaluarlos. A lo largo de este curso, se trata de desarrollar el hábito de utilizar este método de árbol para resolver problemas. 1. Método numérico Construir una tabla de valores. 2. Método gráfico Elaborar una gráfica a mano o con algún dispositivo tecnológico. 3. Método analítico Utilizar álgebra o cálculo. 50 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Límites que no existen En los tres ejemplos siguientes se examinarán algunos límites que no existen. EJEMPLO 3 Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda Demostrar que el siguiente límite no existe. y x f(x) = x lím 0 x 1 Solución Considerar la gráfica de la función f(x) nición de valor absoluto. f(x) = 1 x 1 x x 1 x, si if x 0 x, si if x < 0 x ฀x x. De la figura 1.8 y de la defi- Definición de valor absoluto se observa que 1, si if x > 0 . si 1, if x < 0 x x f(x) = 1 El lím f(x) no existe Esto significa que, independientemente de cuánto se aproxime x a 0, existirán tanto valores positivos como negativos de x que darán f(x) 1 y f(x) 1. De manera específica, si (letra griega delta minúscula) es un número positivo, entonces los valores de x que satisfacen la desigualdad 0 ฀x se pueden clasificar los valores de x x de la siguiente manera: x 0 Figura 1.8 ( , 0) (0, ) Los valores positivos de x dan como resultado x /x ฀1. Los valores negativos de x dan como resultado x /x ฀ 1. Debido a que x x tiende a un número diferente por la derecha del 0, por la izquierda que entonces el límite lím ( x x) no existe. x0 EJEMPLO 4 Comportamiento no acotado Analizar la existencia del límite 1 lím . x 0 x2 Solución Sea f(x) 1 x2. En la figura 1.9 se puede observar que a medida que x se aproxima a 0 tanto por la derecha como por la izquierda, f(x) crece sin límite. Esto quiere decir que, eligiendo un valor de x cercano a 0, se puede lograr que f(x) sea tan grande como 1 se quiera. Por ejemplo, f(x) será mayor que 100 si elegimos valores de x que estén entre 10 y 0. Es decir: y f(x) 1 x2 4 3 0 < x < 2 1 2 1 El lím f(x) no existe x 0 Figura 1.9 1 2 x 1 10 f x 1 > 100. x2 Del mismo modo, se puede obligar a que f(x) sea mayor que 1 000 000 de la siguiente manera: 1 1 0 < x < f x > 1 000 000 1 000 x2 Puesto que f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando x se aproxima a 0, se puede concluir que el límite no existe. SECCIÓN 1.2 51 Comportamiento oscilante EJEMPLO 5 1 Analizar la existencia del límite lím sen . x m0 x y Solución Sea f(x) sen(lYx). En la figura 1.10 se puede observar que, cuando x se aproxima a 0, f(x) oscila entre 1 y 1. Por consiguiente, el límite no existe puesto que, por pequeño que se elija , siempre es posible encontrar x1 y x2 que disten menos de unidades de 0 tales que sen(lYx1) 1 y sen(lYx2) 1, como se muestra en la tabla. 1 f (x) = sen x 1 x 1 Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 1 x sen 1/x 2 23 25 27 29 211 1 1 1 1 1 1 x0 El LÓMITE no existe. 1 El lím f(x) no existe xn0 Figura 1.10 COMPORTAMIENTOS ASOCIADOS A LA NO EXISTENCIA DE UN LÍMITE 1. 2. 3. f(x) se aproxima a números diferentes por la derecha de c que por la izquierda. f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c. f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c. Existen muchas otras funciones interesantes que presentan comportamientos inusuales. Una de las que se cita con mayor frecuencia es la función de Dirichlet: f SxD 0,1, si x es racional. si x es irracional. Puesto que esta función carece de límite en cualquier número real c, no es continua en cualquier número real c. La continuidad se estudiará con más detalle en la sección 1.4. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Cuando se utilice una herramienta de graficación para The Granger Collection investigar el comportamiento de una función cerca del valor de x en el que se intenta evaluar su límite, recordar que no siempre se puede confiar en las imágenes dibujadas. Al utilizar una herramienta de graficación para dibujar la gráfica de la función del ejemplo 5 en un intervalo que contenga al 0, es muy probable que obtenga una gráfica incorrecta, como la que se muestra en la figura 1.11. El motivo por el cual una herramienta de graficación no puede mostrar la gráfica correcta radica en que la gráfica cuenta con oscilaciones infinitas en cualquier intervalo que contenga al 0. 1.2 PETER GUSTAV DIRICHLET (1805-1859) En el desarrollo temprano del cálculo, la definición de una función era mucho más restrictiva que en la actualidad, y “funciones” como la de Dirichlet no se hubieran tomado en consideración. La definición moderna de función se debe al matemático alemán Peter Gustav Dirichlet. 0.25 0.25 1.2 Gráfica incorrecta de f(x) Figura 1.11 sen(1/x) 52 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Definición formal de límite Examinar nuevamente la descripción informal de límite. Si f (x) se acerca de manera arbitraria a un número L a medida que x se aproxima a c por cualquiera de sus lados, se dice que el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L, y se escribe lím ( x ) x L. c A primera vista, esta descripción parece muy técnica. No obstante, es informal porque aún hay que conferir un significado preciso a las frases: “f (x) se acerca arbitrariamente a L” y “x se aproxima a c”. La primera persona en asignar un significado matemático riguroso a estas dos frases fue Augustin-Louis Cauchy. Su definición - ฀de límite es la que se suele utilizar en la actualidad. En la figura 1.12, sea (minúscula de la letra griega épsilon) la representación de un número positivo (pequeño). Entonces, la frase “f(x) se acerca arbitrariamente a L” significa que f(x) pertenece al intervalo (L ,L ). Al usar la noción de valor absoluto, esto se puede escribir como L+ L (c, L) L < . f x Del mismo modo, la frase “x se aproxima a c” significa que existe un número positivo tal que x pertenece al intervalo (c , c), o bien al intervalo (c, c ). Esto puede expresarse de manera concisa mediante la doble desigualdad L 0 < x c+ c c Definición - del límite de f(x) cuando x tiende a c Figura 1.12 c < . La primera desigualdad 0 < x La distancia entre x y c es mayor que 0. c expresa que x  c. La segunda desigualdad x x está a menos de unidades de c. c < indica que x está a una distancia de menor que c. DEFINICIÓN DE LÍMITE Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c (salvo posiblemente en c) y L un número real. La afirmación lím f x x L c significa que para todo 0 < x Para conocer más sobre la introducción del rigor al cálculo, consulte “Who Gave You The Epsilon? Cauchy an the Origins of Rigorous Calculus” de Judith V. Grabiner, en The American Mathematical Monthly. lím f x x c < , entonces f x 0 tal que si L < . A lo largo de todo el texto, la expresión NOTA PARA MAYOR INFORMACIÓN 0 existe uno c L lleva implícitas dos afirmaciones: el límite existe y es igual a L. Algunas funciones carecen de límite cuando x c, pero aquellas que lo poseen no pueden tener dos límites diferentes cuando x c. Es decir, si el límite de una función existe, entonces es único (ver el ejercicio 79). SECCIÓN 1.2 Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 53 Los tres ejemplos siguientes ayudan a entender mejor la definición - de límite. 1.01 y 1 y 0.99 y x x Determinar EJEMPLO 6 y para un dado Dado el límite lím(2 x 5) 1 2.995 x 3 3.005 x 3 encontrar tal que (2x 2 5) 1 0.01, siempre que 0 x 3 Solución En este problema se trabaja con un valor dado de ฀: un apropiado, se observa que 1 x 1 2 3 4 2x 5) 1 2x 6 2x 5 0 2 3 x 0.01. Para encontrar 3. Como la desigualdad (2x 5) 1 0.01 es equivalente a 2 x 1 0.005. Esta opción funciona porque 2 (0.01) 1 f (x) (2x . 3 0.01, se puede escoger 0.005 lo que implica que El límite de f(x) cuando x se aproxima a 3 es 1 (2x Figura 1.13 5) 1 2x 3 2(0.005) 0.01 tal como se muestra en la figura 1.13. NOTA En el ejemplo 6, obsérvese que 0.005 es el mayor valor de que garantiza que (2x 5) 1 0.01, siempre que 0 x 3 . Todo valor positivo de menor también debe satisfacer esta condición. En el ejemplo 6 se encontró un valor de para un dado, lo que no necesariamente demuestra la existencia del límite. Para hacerlo, se debe probar que es posible encontrar un para todo , como se muestra en el siguiente ejemplo. y=4 EJEMPLO 7 Aplicación de la definición - de límite y=4 Utilizar la definición - de límite para demostrar que y=4 lím 3x x x=2 x=2 x=2 y 2 2 4. Solución Probar que para todo 0, existe un 0 tal que (3x 2) 4 siempre que 0 x 2 . Puesto que la elección de depende de , es necesario establecer una relación entre los valores absolutos (3x 2) 4 y x 2 . 4 (3x 3 2) 4 3x 6 De tal manera, para cada que 2 1 f (x) 3x 0 < x 2 x 1 2 3 2 0 dado, se puede tomar 3 implica que 4 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 4 Figura 1.14 2 < 3x 3x 2 4 3x como muestra la figura 1.14. 2 < 3 3 3. Esta opción funciona por- 54 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades EJEMPLO 8 Aplicación de la definición - de límite Usar la definición - de límite para demostrar que f (x) = x 2 lím x 2 4 x (2 + )2 4. Solución Probar que para todo 4 x2 )2 (2 2 4 4 siempre que x2 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 4 . 4 x 2 x 2 < 5 5 A lo largo de este capítulo, se utilizará la definición - de límite principalmente para demostrar teoremas relativos a los límites y para establecer la existencia o inexistencia de tipos de límites específicos. Para calcular límites, se describirán técnicas más fáciles de usar que la definición - de límite. 1.2 Ejercicios En los ejercicios 1 a 8, completar la tabla y utilizar el resultado para estimar el límite. Representar la función utilizando una herramienta de graficación, con el fin de confirmar su resultado. x2 3x 3.9 x 5. LÓM x 1 x 1 1 4 3 x 3 x 4 x 4 2 x como se muestra en la figura 1.15. Figura 1.15 x 0 0 tal que Para encontrar un adecuado, comenzamos por escribir x2 4 x 2 x 2 . Para todo x del intervalo (1, 3), x 2 5 se sabe que x 2 5. De tal manera, se toma igual al mínimo entre 5 y 1, resulta que, siempre que 0 x 2 , se tiene que 2 2 2 1. LÓM 0, existe un 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 4.001 4.01 4.1 f x 4 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 6. LÓM f x x x x 2. LÓM 2 x 2 x 2 4 x 1.9 1.99 6 x 6 1 x x 4 5 4 x 4 3.9 3.99 3.999 f x 1.999 2.001 2.01 2.1 x 7. LÓM sen x x 0 f x x x 3. lÓm x 0 x 0.1 0.1 0.01 0.001 0.001 0.01 0.1 0.01 0.001 0.001 0.01 0.1 f x 0.01 0.001 0.001 0.01 8. LÓM cos x x x 0 0.1 1 f x x 4. LÓM 5 x x f x 4 x x 3 5 5.1 f x 5.01 5.001 4.999 4.99 4.9 0.1 SECCIÓN 1.2 En los ejercicios 9 a 14, elaborar una tabla de valores para la función y utilizar el resultado para estimar el valor del límite. Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y confirmar el resultado. lím 9. lim 1 x 2 x x2 lím 10. lim 6 x 3 x x4 1 x 1 x6 1 sen sin 2x lím 13. lim x 0 x lím 11. lim x2 7x x3 2 x 14. lím lim x 0 lím 4 16. x x Æ3 2 y 1 2 x x 1 1 2 3 2 2 1 lím x 2 3 En los ejercicios 25 y 26, utilizar la gráfica de la función f para determinar si existe el valor de la cantidad dada. De ser así, ubicarla; si no existe, explicar por qué. 25. y a) b) 4 6 2 y f 1 6 5 lím f x x 1 c) f 4 d) lím f x x 3 2 1 4 x 2 1 lím tan x xÆ 1 x Æ1 3 24. y tan x tan 2x y 1 x 12 En los ejercicios 15 a 24, utilizar la gráfica para encontrar el límite (si es que existe). Si el límite no existe, explicar por qué. 15. x Æ0 8 2 lím 12. lim x 23. lím cos 3 x 55 Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 1 1 2 3 4 5 6 x 1 17. 2 3 4 2 18. lím f x x Æ2 4 26. lím f x x Æ1 4 0, f x 2 3, x 2, f x x xNJ1 x 1 c) d) y y 4 6 f) 3 g) 2 h) 1 1 x 19. lím x Æ2 x 2 3 2 4 2 2 20. lím x Æ5 2 4 f 4 lím f x y 22. 6 4 4 2 x 4 6 8 10 2 4 6 x 2 2 4 2 En los ejercicios 29 y 30, dibujar la gráfica de f. Después identificar los valores de c para los que existe el límite lím f(x). lím sec x x Æ0 x c y y 2 1 29. f x x2, 8 2x, 4, 30. f x sen x, 1 cos x, cos x, x 1 y 28. 6 2 4 6 lím sen ฀x 4 x 3 4 5 x Æ1 2 27. x 2 3 1 2 3 4 5 2 lím f x 6 4 2 3 2 1 2 1 x c 5 x x 0 f 2 En los ejercicios 27 y 28, utilizar la gráfica de f con el fin de identificar los valores de c para los que existe el límite lím f(x). 2 y y 21. lím f x x x x 2 f 0 x 2 4 3 2 lím f x x e) y 2 f b) 2 xNJ2 x 2 x, a) 2 x 2 2 x 2 2 < x < 4 x 4 x < 0 0 x x > 56 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades En los ejercicios 31 y 32, construir una gráfica de una función f que satisfaga los valores indicados (existen muchas respuestas correctas). 31. f(0) no está definido. 32. 4 lím f x 2 f f 2 36. 6 0 0 lím f x 3 lím f x 9.99 0.79 donde t es el tiempo en minutos. (Nota: x mayor entero n tal que n 3 y 1.6 2.) x. Por ejemplo, 3.2 1.0 2 3.5 3.6 3.7 y 2 2 2.5 2.9 3 3.5 x 2 x 1 3.1 tal que si 0 f 4 c) Utilizar la gráfica para completar la siguiente tabla y observar el comportamiento de la función a medida que t se aproxima a 3. t 1 y = 1.1 y=1 y = 0.9 ? C x 4 se muestra en la figura. Encontrar un , entonces ฀f(x) 1 0.1. 1 3.4 3 37. La gráfica de 1 f x 2 x lím C t . 3.3 tal que si 0 x 1 tn3.5 3 2 201 2 199 101 99 0.5 a) Utilizar una herramienta de graficación para representar la gráfica de la función de costo para 0 t 6. b) Utilizar la gráfica para completar la siguiente tabla y observar el comportamiento de la función a medida que t tiende a 3.5. Utilizar la gráfica y la tabla para encontrar t x 1.01 1.00 0.99 1.5 1 t f 2.0 xn2 33. Modelo matemático Por una llamada telefónica de larga distancia, un hotel hace un cargo de $9.99 para el primer minuto y de $0.79 por cada minuto o fracción adicional. Una fórmula para el costo está dada por Ct tal que si 0 y lím f x no existe. xn2 1 x se muestra en la figura. Encontrar un , entonces ฀f(x) 1 0.01. 0 xn 2 1 f x xn0 f 2 La gráfica de 2 38. La gráfica de x2 f(x) 1 se muestra en la figura. Encontrar un , entonces ฀f(x) 3 0.2. 4 y ? C 4 ¿Existe el límite de C(t) cuando t se aproxima a 3? Explicar la respuesta. 34. 35. 2 Realizar de nuevo el ejercicio anterior, considerando ahora 5.79 Ct 0.99 t x 1 y 5 2.6 y = 3.2 y=3 y = 2.8 1 1 . En la figura se muestra la gráfica de f(x) x 1. Encontrar un tal que si 0 x 2 , entonces f(x) 3 0.4. 3.4 f 3 2 3 4 En los ejercicios 39 a 42, encontrar el límite L. Luego la que ฀f(x) L < 0.01 siempre que 0 x c < . 39. 4 lím 3x 2 lím 4 x 2 lím x 2 3 lím x 2 4 xn2 3 40. xn4 2 41. x 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 1.6 2.4 3.0 xn2 42. xn5 El símbolo señala un ejercicio en el que se pide utilizar una herramienta de graficación o un sistema simbólico de álgebra computarizado. La solución de los demás ejercicios también puede simplificarse mediante el uso de la tecnología apropiada. > 0 tal SECCIÓN 1.2 En los ejercicios 43 a 54, encontrar el límite L. Luego utilizar la definición - de límite para demostrar que el límite es L. 43. 64. a) Si f (2) ฀4, ¿se puede concluir algo acerca del límite de f cuando x tiende a 2? Explicar. xn4 44. 45. 46. lím 2x 5 1 2x 1 xn 3 lím xn 4 2 5x lím xn1 47. b) Si el límite de f (x) cuando x tiende a 2 es 4, ¿se puede concluir algo acerca de f (2)? Explicar. 7 65. Joyería Un joyero ajusta un anillo de tal manera que su circunferencia interna es de 6 cm. lím 3 xn6 48. 1 lím a) ¿Cuál es el radio del anillo? b) Si la circunferencia interna del anillo puede variar entre 5.5 y 6.5 centímetros, ¿cuánto puede variar su radio? c) Utilizar la definición - de límite para describir esta situación. Identificar y . xn2 49. 3 lím x xn0 50. lím x xn4 51. x 52. 5 lím x 5 66. Deportes Un fabricante de artículos deportivos diseña una pelota de golf que tiene un volumen de 2.48 pulgadas cúbicas. 6 lím x xn6 53. lím x 2 a) ¿Cuál es el radio de la pelota de golf? b) Si el volumen de la pelota puede variar entre 2.45 y 2.51 pulgadas cúbicas, ¿cuánto puede variar su radio? c) Utilizar la definición - de límite para describir esta situación. Identificar y . 1 xn1 54. lím x 2 3x xn 3 55. ¿Cuál es el límite de f (x) ฀4 cuando x tiende a ? 56. ¿Cuál es el límite de g(x) ฀x cuando x tiende a ? 67. Redacción En los ejercicios 57 a 60, representar la función con una herramienta de graficación y estimar el límite (si existe). ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Puede detectar un posible error en la determinación del dominio mediante un mero análisis de la gráfica que genera la herramienta de graficación? Escribir unas líneas acerca de la importancia de examinar una función de manera analítica además de hacerlo gráficamente. Considerar la función f(x) x f x 5 3 x 4 x 58. lím f x) xn4 59. x f x f x x2 4x 3 mediante la evaluación de f con valores de x cercanos a 0. Construya la gráfica de f. 68. Considerar la función x xn3 lím f x xn9 60. x x2 f x 3 9 xn3 Desarrollo de conceptos Escribir una breve descripción de lo que significa la notación lím f x x 62. 63. 8 x x lím 1 x 25. La definición de límite de la página 52 requiere que f sea una función definida sobre un intervalo abierto que contiene a c, excepto posiblemente en c. ¿Por qué es necesaria esta condición? Identificar tres tipos de comportamiento relacionados con la inexistencia de un límite. Ejemplificar cada tipo con una gráfica de una función. 1 . x 1 x xn0 mediante la evaluación de f con valores de x cercanos a 0. Construir la gráfica de f. 69. Análisis gráfico La afirmación x2 xn2 x 4 2 lím lím f x 61. 1 Calcular lím f x 9 x 3 x)1/x. Calcular el límite 0 3 x (1 lím((1 x )1/ x f x 57. 57 Para discusión 2 lím x Cálculo de límites de manera gráfica y numérica 4 significa que a cada 0 le corresponde un 0 x 2 , entonces x2 x Si x2 x 4 2 0 tal que si 4 < . 0.001, entonces 4 2 4 < 0.001. Utilizar una herramienta de graficación para representar ambos lados de esta desigualdad. Usando la función zoom, encontrar ,2 ) tal que la gráfica del lado izquierdo un intervalo (2 quede por debajo de la del miembro de la derecha. 58 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades 82. 70. Análisis gráfico La afirmación lím x
3 x2 x 3x 3  3x 3 Si lím (3x 1)(3x 1) x 2 x  0 tal que si  3x 3 x  x
c 3 < 0.001. c, no existe el límite de f(x) cuando 72. Si el límite de f(x) cuando x tiende a c es 0, debe existir un número k tal que f(k) 0.001. 73. Si f(c) L, entonces lím f x
L. x
c 74. Si lím f(x) L, entonces f(c) L. x
c En los ejercicios 75 y 76, considerar la función f x 0.25 c en (a, b). 83. Programación En una herramienta de graficación programable, escribir un programa que estime lím f x . 71. Si f no está definida en x x se aproxima a c. x c 0 para todos los x g(x) ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 74, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que lo demuestre. ¿Es lím 0.01 0.01 un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, tal que Utilizar una herramienta de graficación para representar ambos lados de esta desigualdad. Usando la función zoom, encontrar ,3 ) tal que la gráfica del lado izquierdo un intervalo (3 quede por debajo de la del miembro de la derecha. 75. 0 demostrar que existe un intervalo abierto (a, b) que contiene al 0, tal que (3x 1)(3x 1)x2 0.01 0 para todas las x 0 en (a, b). b) Dado que lím g x L, donde L 0, demostrar que existe 3 <. 0.001, entonces x2 x Dado que 3 significa que a cada 0 le corresponde un 0 x 3 , entonces x2 x a) x. x 0.5 una afirmación verdadera? Explicar la x 0 una afirmación verdadera? Explicar la res- Suponer que el programa sólo se aplicará a funciones cuyo límite existe cuando x se aproxima a c. Sea y1 f(x), generar dos listas cuyas entradas formen los pares ordenados (c [0.1]n, f(c para n [0.1]n)) 0, 1, 2, 3 y 4. 84. Programación Utilizar el programa elaborado en el ejercicio 83 para estimar el límite lím x2 12 x x x
4 4 . Preparación del examen Putnam 85. Inscribir en un círculo con radio 1 un rectángulo con base b y altura h, y un triángulo isósceles con base b, como se muestra en la figura. ¿Para qué valor de h tienen la misma área el rectángulo y el triángulo? respuesta. 76. ¿Es lím x 0 puesta. h 77. Utilizar una herramienta de graficación para evaluar el límite sen tan nx lím lim , para diferentes valores de n. ¿Qué se observa? x0 x 78. Utilizar una herramienta de graficación para evaluar el límite tan nx sin lím , para diferentes valores de n. ¿Qué se observa? lim x0 x 79. Demostrar que si existe el límite de f(x) cuando x c, ese límite debe ser único. [Sugerencia: Sea lím f x
x
c L1 y y demostrar que L1 80. lím f x
x
c L2 L2.] Considerar la recta f(x) mx b, donde m 0. Aplicando la definición - de límite, demostrar que lím f(x) mc b. 81. Demostrar que lím f(x) x
c x
c L es equivalente a lím [ f(x) x
c L] 0. b 86. Un cono recto tiene una base con radio 1 y una altura de 3. Se inscribe un cubo dentro de él, de tal manera que una de las caras del cubo queda contenida en la base del cono. ¿Cuál es la longitud lateral del cubo? Este problema fue preparado por el Committee on the Putman Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 59 Cálculo analítico de límites 1.3 ■ ■ ■ ■ Evaluar un límite mediante el uso de las propiedades de los límites. Desarrollar y usar una estrategia para el cálculo de límites. Evaluar un límite mediante el uso de técnicas de cancelación y de racionalización. Evaluar un límite mediante el uso del teorema del encaje. Propiedades de los límites En la sección 1.2 se vio que el límite de f(x) cuando x se aproxima a c no depende del valor de f en x c. Sin embargo, puede darse el caso de que este límite sea f(c). En esta situación, se puede evaluar el límite por sustitución directa. Esto es: lím f x
x f c
. c Sustituir x por c. Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c. En la sección 1.4 se examinará con más detalle este concepto. TEOREMA 1.1 ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS Si b y c son números reales y n un entero positivo: f(c) = x y 1. c lím b x 2. lím x b c x 3. c c lím x n x cn c = f(c) = c = c x c c c Figura 1.16 NOTA Cuando se tengan nuevas notaciones o símbolos en matemáticas, hay que cerciorarse de conocer cómo se leen. Por ejemplo, el límite del ejemplo 1c se lee “el límite de x2 cuando x se aproxima a 2 es 4”. Para comprobar la propiedad 2 del teorema 1.1, es necesario demostrar que DEMOSTRACIÓN para todo 0 existe un 0 tal que x c siempre que 0 x c . Para lograrlo, elegir . Entonces, la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se muestra en la figura 1.16. Con esto se realiza la comprobación. (Las comprobaciones de las demás propiedades de los límites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en los ejercicios.) Evaluación de límites básicos EJEMPLO 1 a) lím 3 x 2 3 b) x lím x 4 4 c) lím x 2 2 x 22 4 TEOREMA 1.2 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Si b y c son números reales y n un entero positivo, f y g son funciones con los límites siguientes: lím f x
x 1. c L y Múltiplo escalar: lím g x
x Suma o diferencia: Producto: Cociente: 5. Potencias: c gx
 lím  f x
gx
 x 4. bL c lím  f x
x 3. K lím b f x
 x 2. c c lím x c f x
gx
lím  f x
n x c L K LK L , K siempre que K
0 Ln 60 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Límite de un polinomio EJEMPLO 2 lím 4x 2 3
2 x lím 4x 2 lím 3 2 x  4 lím x 2 2 x 422
Propiedad 2. 2 x  lím 3 x 3 Ejemplo 1. Simplificar. 19 p(x) Propiedad 1. 2 En el ejemplo 2, se observa que el límite (cuando x 4x2 3 es simplemente el valor de p en x 2. lím p x 4 22 p2 2 x 3 2) de la función polinomial 19. Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales y racionales cuyos denominadores no se anulen en el punto considerado. TEOREMA 1.3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Si p es una función polinomial y c un número real, entonces: lím px
x pc
. c Si r es una función racional dada por r(x) q(c) NJ 0, entonces pc
lím r x
r c
. x c qc
p(x) q(x) y c un número real tal que Límite de una función racional EJEMPLO 3 x2 Encontrar el límite: lím x 1 2 x 1 x . Solución Puesto que el denominador no es 0 cuando x 1.3 para obtener lím x2 x 1 x 2 x 1 12 1 1 2 1 4 2 1, se puede aplicar el teorema 2. Las funciones polinomiales y racionales son dos de los tres tipos básicos de funciones algebraicas. El siguiente teorema se refiere al límite del tercer tipo de función algebraica: el que contiene un radical. Ver la demostración de este teorema en el apéndice A. EL SÍMBOLO DE RAÍZ CUADRADA El primer uso de un símbolo para denotar a la raíz cuadrada data del siglo XVI. Al principio, los matemáticos emplearon el símbolo , que tiene sólo dos trazos. Éste se eligió por su parecido con una r minúscula, para representar la palabra latina radix, que significa raíz. TEOREMA 1.4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL Si n es un entero positivo. El siguiente límite es válido para toda c si n es impar, y para toda c 0 si n es par: n x lím  x c n  c SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 61 El siguiente teorema aumentará notablemente su capacidad para calcular límites, ya que muestra cómo tratar el límite de una función compuesta. Ver la demostración de este teorema en el apéndice A. TEOREMA 1.5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si f y g son funciones tales que lím g x x lím f g x  f lím g x x c x L y lím f x c x f L , entonces: L  f L . c Límite de una función compuesta EJEMPLO 4 a) Puesto que lím x 2  4  0 2  4  4 y 0 x lím x 4 x 4=2 se sigue que x2  4  lím 0 x 4  2. b) Puesto que lím 2x 2
10  2 32
10  8 3 x y lím x 8 3 x 3 8  2. se sigue que lím 3 x 3 2x 2
10  3 8  2. Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por medio de la sustitución directa. Las seis funciones trigonométricas básicas también cuentan con esta deseable propiedad, como se muestra en el siguiente teorema (presentado sin demostración). TEOREMA 1.6 LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada. 1. lím sen x  sen c 2. lím tan x  tan c 4. lím sec x  sec c 6. x 3. x 5. x c c c lím csc x  csc c x c Límites de funciones trigonométricas 0 lím x cos x  lím x x c) x lím tan x  tan 0  0 x b) c lím cot x  cot c c EJEMPLO 5 a) lím cos x  cos c x x  2 lím cos x   cos  
 x   lím sen x  lím sen x  02  0 x 0 2 x 0 62 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Una estrategia para el cálculo de límites En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuyos límites pueden calcularse mediante sustitución directa. Lo anterior, aunado al teorema siguiente, permite desarrollar una estrategia para calcular límites. Ver la demostración de este teorema en el apéndice A. TEOREMA 1.7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO Sea c un número real y f(x) g(x) para todo x c en un intervalo abierto que contiene a c. Si existe el límite de g(x) cuando x se aproxima a c, entonces también existe el límite de f(x) y f (x) y x3 1 x 1 lím f x x lím g x . c x c 3 x3 Encontrar el límite: xlím1 x x 2 Cálculo del límite de una función EJEMPLO 6 2 1 Solución como 1 f x y Sea f(x) 1 . 1 (x3 1) (x 1 x2 x x 1 x 1). Al factorizar y cancelar factores, f se puede escribir 1 x2 x 1 gx, x 1. De tal modo, para todos los valores de x distintos de x 1, las funciones f y g coinciden, como se muestra en la figura 1.17. Puesto que el lím g(x) existe, se puede aplicar el teorema x 1 1.7 y concluir que f y g tienen el mismo límite en x 1. 3 2 x3 1 x lím x g (x) ฀x 2 x 1 1 lím x 1 x2 x x 1 1 lím x 1 x2 x x 1 x 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 lím x 2 1 x 12 3 f y g coinciden salvo en un punto Figura 1.17 Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de límites, recordar que algunas funciones no tienen límite (cuando x se aproxima a c). Por ejemplo, el siguiente límite no existe 1 1 1 Factorizar. Cancelar factores idénticos o factores comunes. Aplicar el teorema 1.7. Usar sustitución directa. Simplificar. UNA ESTRATEGIA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES AYUDA DE ESTUDIO x3 1 x lím x 1. 2. 1 . 1 3. Aprender a reconocer cuáles límites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa (estos límites se enumeran en los teoremas 1.1 a 1.6). Si el límite de f(x) cuando x se aproxima a c no se puede evaluar por sustitución directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo x distinto de x c. [Seleccionar una g tal que el límite de g(x) se pueda evaluar por medio de la sustitución directa.] Aplicar el teorema 1.7 para concluir de manera analítica que lím ( x ) x 4. c lím g( x ) x c g(c). Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión. SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 63 Técnicas de cancelación y de racionalización En los ejemplos 7 y 8 se muestran dos técnicas para calcular límites de manera analítica. La primera utiliza la cancelación de factores comunes y la segunda, la racionalización del numerador de una fracción. EJEMPLO 7 Técnica de cancelación x2 Encontrar el límite: lím 6 x x 3 x 3 . Solución Aunque se trata del límite de una función racional, no se puede aplicar el teorema 1.3 debido a que el límite del denominador es 0. y 2 1 1 x x 2 1 x 2 x2 f (x) 3 3 x2 f x 3 NOTA En la solución del ejemplo 7, cerciorarse de distinguir la utilidad del teorema de factorización del álgebra. Este teorema establece que si c es un cero de una función polinomial, entonces (x c) es un factor del polinomio. Por tanto, si se aplica sustitución directa a una función racional y se obtiene pc qc lím x 3 3 0 6 x x 3 x 3 x x 3 2 2 x gx, x 3. Empleando el teorema 1.7, se sigue que Figura 1.18 r c 0 La sustitución directa falla. 3 x 5 f no está definida para x 6 x Puesto que el límite del numerador también es 0, numerador y denominador tienen un factor común: (x 3). Por tanto, para toda x 3, se cancela este factor para obtener 4 ฀ 3 6 x x 3 6 x x x lím 2 lím x 2 0 0 puede concluirse que (x c) es un factor común de p(x) y de q(x). x lím x2 3 6 x 3 x x Aplicar el teorema 1.7. 2 lím x 3 Usar sustitución directa. 5. Este resultado se muestra de forma gráfica en la figura 1.18. Observar que la gráfica de la función f coincide con la de la función g(x) x 2, sólo que la gráfica de f tiene un hueco en el punto ( 3, 5). En el ejemplo 7, la sustitución directa produce la forma fraccionaria 0 0, que carece de significado. A una expresión como 0 0 se le denomina forma indeterminada porque no es posible (a partir sólo de esa forma) determinar el límite. Si al intentar evaluar un límite se llega a esta forma, debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como límite. Una manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o comunes, como se muestra en el ejemplo 7. Otra manera consiste en racionalizar el numerador, como se hace en el ejemplo 8. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Puesto que las gráficas de 5+ 3 3+ Irregularidades ( 3, 5) 5 Gráfica incorrecta de f Figura 1.19 f x x2 6 x x 3 y gx x 2 difieren sólo en el punto ( 3, 5), la configuración normal de una herramienta de graficación podría no distinguir entre ellas. No obstante, debido a la configuración de puntos (“pixeles”) y a los errores de redondeo, quizá sea posible encontrar configuraciones de pantalla que distingan las gráficas. De manera específica, aplicando el zoom repetidas veces cerca del punto ( 3, 5) en la gráfica de f, la herramienta de graficación podría mostrar fallas o irregularidades que no existen en la gráfica real (ver la figura 1.19). Si se modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse la gráfica correcta de f. 64 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades EJEMPLO 8 Técnica de racionalización x 1 x x Encontrar el límite: lím 0 1 . Solución Al utilizar la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada 0 0. lím x lím 1 x x 0 x 1 x 0 1 1 0 La sustitución directa falla. lím x x 0 0 En este caso, se puede reescribir la fracción racionalizando el denominador: x 1 x 1 x x x f (x) 1 x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , x 0 Ahora, cuando se emplea el teorema 1.7, se puede evaluar el límite como se muestra a continuación: 1 lím x 0 x 1 x 1 1 x 1 lím x 0 1 1 1 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 0 es x 1 x 1 x x Figura 1.20 1 1 1 x x x x 1 1 x y 1 1 x 1 1 2 1 Una tabla o una gráfica puede servir para fortalecer la conclusión de que el límite es ฀ (ver la figura 1.20). x se aproxima a cero por la izquierda. 0.01 0.001 0 0.001 0.5359 0.5132 0.5013 0.5001 ? 0.4999 0.4988 0.4881 0.4721 0.25 x f x x se aproxima a cero por la derecha. 0.1 f(x) se aproxima a 0.5. 0.01 0.1 0.25 f(x) se aproxima a 0.5. NOTA La técnica de racionalización en el cálculo de límites se basa en multiplicar por una forma conveniente de 1. En el ejemplo 8, la forma apropiada es 1 x x 1 1 1 . 1 SECCIÓN 1.3 Cálculo analítico de límites 65 Teorema del encaje h(x) f(x) El siguiente teorema se refiere al límite de una función que está “encajada” entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo límite en un valor dado de x, como se muestra en la figura 1.21 (ver la demostración de este teorema en el apéndice A). g(x) y f queda aquí g TEOREMA 1.8 TEOREMA DEL ENCAJE g f Si h(x) f(x) g(x) para todos los x en un intervalo abierto que contiene a c, por la posible excepción de la propia c, y si f h h lím h x x lím g x L c x c x c entonces el lím f x existe y es igual a L. x Teorema del encaje Figura 1.21 c En la demostración del teorema 1.9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también se le llama teorema del emparedado o del pellizco). TEOREMA 1.9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES 1. lím x y (cos , sen ) (1, tan ) (1, 0) 0 sen x x 2. lím 1 1 0 x cos x x 0 Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de x, se presenta DEMOSTRACIÓN la demostración utilizando la variable , donde denota un ángulo agudo positivo medido en radianes. En la figura 1.22 se muestra un sector circular encajado o emparedado entre dos triángulos. tan sen x 1 Sector circular utilizado para demostrar el teorema 1.9 Figura 1.22 1 1 1 Área del triángulo tan฀ 2 Área del sector 2 Al multiplicar cada expresión por 2 sen 1 cos Área del triángulo sen฀ 2 resulta 1 sen tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se obtiene: sen cos 1. cos ( ) y (sen ) [sen ( )] ( ), se concluye que esta desPuesto que cos igualdad es válida para todo distinto de cero dentro del intervalo abierto ( 2, 2). Por 1 y lím 1 1, se puede aplicar el teorema del encaje para conúltimo, dado que lím cos ฀ 0 cluir que lím (sen ) ฀ 0 0 ฀ 1. La demostración del segundo límite se deja como ejercicio para el lector (ver el ejercicio 123). 66 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades EJEMPLO 9 Un límite en el que interviene una función trigonométrica tan x . 0 x Encontrar el límite: lím x Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 0 0. Para resolver este problema, se puede escribir tan x como (sen x) (cos x) y obtener tan x 0 x x f (x) = sen x x lím lím 0 x 1 . cos x Ahora, puesto que tan x x lím 4 x 0 sen x x y 1 lím 0 x 1 cos x 1 se puede obtener 2 2 lím x 0 tan x x lím x Figura 1.23 sen x x lím x 0 1 cos x 1 1 1. 2 El límite de f(x) cuando x se aproxima a 0 es 1 0 (Ver la figura 1.23.) EJEMPLO 10 Un límite en el que interviene una función trigonométrica Encontrar el límite: lím x 0 sen 4x . x Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 0 0. Para resolver este problema, se puede escribir el límite como lím x g(x) = sen 4x x 0 Al ser ahora y 6 lím x 2 sen 4x x 0 4 lím x sen 4 x x 2 Figura 1.24 sen 4x . 4x 4x y observar que x 2 El límite de g(x) cuando x se aproxima a 0 es 4 0 sen 4x 4x sen y 4 lím y 0 y 41 Multiplicar y dividir entre 4. 0 si y sólo si y 0, se puede escribir 4 lím x 0 Aplicar el teorema 1.9(1). 4. (Ver la figura 1.24.) TECNOLOGÍA Utilizar una herramienta de graficación para confirmar los límites de los ejemplos y del conjunto de ejercicios. Por ejemplo, las figuras 1.23 y 1.24 muestran las gráficas de: f x tan x x y gx sen 4x . x Observar que la primera gráfica parece contener el punto (0, 1) y la segunda al punto (0, 4), lo cual respalda las conclusiones obtenidas en los ejemplos 9 y 10. SECCIÓN 1.3 1.3 Ejercicios En los ejercicios 1 a 4, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar los límites de manera visual. 1. h x –x 2 b) x 37. 4 b) lím f x 3 t 7. 2 9. x 11. x lím x 2 lím f t 3 lím 21. 14. 16. 2 3 lím x 4 lím 2x 1 18. 1 x2 lím 7 20. 4 3x3x x 2 22. 4 0 2 2x lím x 1 x 3 5 3 x lím x x 2 5 f x x,฀ g x a) lím f x f x a) 25. x x lím f x 4 f x x x 2,฀ g x 26. 2x 2 f x a) lím f x x 4 4 x lím sen x 2 c) lím 3f x c x2 x lím g f x 3 c) lím g f x 3 3 1,฀ g x x 1 x c x c 2 2 3 c x2 x 42. h x 3x y 4 1 3 2 2 1 x b) 43. g x x lím g x x x 1 x 44. x 4 34. x lím cos x 5 3 2 0 x f x x2 x 1 2 x 2 1 lím tan x x 4 2 3 x lím cos 3x 3 y c) lím g f x 21 2 lím h x b) 1 x3 1 a) lím h x 0 y b) lím g x 28. 1 1 a) lím g x 6 x 32. 6 x x 3 x lím sec 2x 5 f x d) lím f x x 1 31. lím sen x 3 2 c 1 30. x 3 c f x 18 c) lím f x x 29. 33. 27 b) lím f x 1 x lím sen 2 x 2 0 x y x lím cos x 1 3 x a) lím c 2 4 1 x x f x gx c c En los ejercicios 27 a 36, encontrar el límite de la función trigonométrica. 27. 3 c lím f x x 2 1 c) 4 x 3x 40. c x c x 4 lím f x 41. g x x b) lím g x 1 x En los ejercicios 41 a 44, utilizar la gráfica para determinar el límite (si existe) de manera visual. Escribir una función más simple que coincida con la dada, salvo en un punto. 3 x2 x a) lím f x c c) lím g f x b) lím g x 3 gx c x x 7,฀ g x x x3 b) lím g x 1 x 24. c d) lím x En los ejercicios 23 a 26, encontrar los límites. 23. x f x d) lím x c g x x 2 lím 1 2 c b) lím f x gx c b) lím 4 lím g x a) lím 4f x c d) lím f x 3 x x x 1 2x 2 3 2 c c) lím f x g x x lím 3x 3 x 1 x 2 1 x 4 lím x 12. 1 1 lím x lím x2 3 7 lím f x x x a) lím f x 2 x 6 lím sec x c) lím f x g x x lím 3x x x 3 x x 4x 39. 2 1 2 38. c x 1 lím lím g x x lím x4 x lím 2x 2 x x 10. 3x 3 15. 19. 8. 1 0 x 17. x lím 2x x 13. 6. lím x 3 x 3 c b) lím f x En los ejercicios 5 a 22, calcular el límite. 5. lím f x x x 4 t 36. a) lím 5g x 0 a) lím f t 0 3 x tt x 4 lím tan x En los ejercicios 37 a 40, utilizar la información que se expone para evaluar los límites. 4 x 4. f t a) lím f x x 35. b ) lím g x 1 x cos x b) 9 x x lím h x x 3 x a) lím g x 4 x 12 2. g x 4x a) lím h x 3. f x 67 Cálculo analítico de límites x 2 1 1 a) lím g x x b) x 1 2 a) lím f x x lím g x 1 b) 1 lím f x x 0 3 68 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades En los ejercicios 45 a 48, encontrar el límite de la función (si existe). Escribir una función más simple que coincida con la dada salvo en un punto. Utilizar una herramienta de graficación para confirmar el resultado. 45. x2 lím x 1 x 47. x3 lím x 2 x 1 1 46. x 8 2 2x 2 lím x3 lím x 1 x 48. x lÓm 1 1 x2 x lím 2 x 4 x 51. 53. x 55. x2 lím x 4 x 59. 61. 63. 58. 2x x x 2x 2 2x lím x lím x x 60. lím 62. 4 x x x2 x lím 0 x x2 x 89. 2x 90. 0 x2 1 x3 En los ejercicios 65 a 76, determinar el límite (si existe) de la función trigonométrica. 65. lím x 0 sen x 5x 66. lím sen x 1 cos x 0 x2 31 cos x x 0 x cos ฀tan 67. lím 68. lím sen2 x 69. lím x x 0 70. lím tan2 x x 72. lím sec x 1 71. lím h 73. x cos h h 0 lím 2 0 0 x 2 cos x cot x 74. x lím x tan x cos x sen 3t 2t 76. lím 2 sen 2x 3x sen 2x Sugerencia: Encontrar lím . sen 3x 2x 3 sen 3x x 0 x 0 0 Análisis gráfico, numérico y analítico En los ejercicios 77 a 84, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar el límite. Emplear una tabla para respaldar la conclusión. Posteriormente, calcular el límite empleando métodos analíticos. 77. lím x 0 x 2 x 2 78. lím x 16 4 x f x 0 x x f x . 2 x 3 x x2 4x c 0 4 x2 c a 4 x2 f x b f x x a x a En los ejercicios 91 a 96, utilizar una herramienta de graficación para representar la función dada y las ecuaciones y | x | y y | x | en una misma ventana. Usando las gráficas para visualizar el teorema del encaje, calcular lím f(x). x 0 91. f x 93. f x 95. f x x cos x x sen x 1 x sen x 92. f x x sen x 94. f x x cos x 96. hx x cos 1 x Desarrollo de conceptos 97. En el contexto del cálculo de límites, analizar qué se quiere decir mediante las funciones que coinciden en todo salvo en un punto. 99. ¿Qué se quiere decir con indeterminación o forma indeterminada? 75. lím t sen x 3 x 98. Elaborar un ejemplo de funciones que coinciden en todo salvo en un punto. 1 4 sen 0 1 c b 1 4 x x3 x lím x En los ejercicios 89 y 90, utilizar el teorema del encaje para calcular lím f x . 2 1 x 0 1 x 4 8 x x 0 84. 3x 88. f x 1 2 x 3 2 lím x 0 x 3 x 1 3 x sen x 2 x 0 lím 87. f x 5x 2x lím x 0 x 64. 56. 5 x2 x2 4 sen 3t t 85. f x 86. f x 2x 3 x lím 2 9 x 3 x lím 80. lím x x2 0 x x x lím x 54. 1 3 0 x 6 9 5 x 0 lím 52. 5 3 x 4 x lím x x x x2 3 lím 57. x 4 16 0 x 0 x5 32 2 x 2 x cos x 1 82. lím 2x2 x 0 1 2 x x 0 lím t 1 2 En los ejercicios 85 a 88, encontrar lím 3x 50. lÓm 81. x En los ejercicios 49 a 64, encontrar el límite (si existe). 49. x 1 x 1 lím 83. 3 x 79. x 16 100. Explicar el teorema del encaje. 101. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para hacer la representación de f x x, gx sen x,x y hx sen x x en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f(x) y g(x) cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se explique por qué lím h x x 0 1. SECCIÓN 1.3 102. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para representar sen2 x f x
x, gx
sen2 x y hx
x en la misma ventana. Comparar las magnitudes de f(x) y g(x) cuando x se acerca a 0. Utilizar la comparación para escribir un breve párrafo en el que se explique por qué lím h(x) 0. x 0 Objeto en caída libre En los ejercicios 103 y 104, utilizar la función de posición s(t) ฀ 16 t2 500, que da la altura (en pies) de un objeto que lleva cayendo t segundos desde una altura de 500 pies. La velocidad en el instante t a segundos está dada por sa
lím t a a 104. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, ¿cuánto tiempo tardará ésta en llegar al suelo? ¿A qué velocidad se producirá el impacto? Objeto en caída libre En los ejercicios 105 y 106, utilizar la función de posición s(t) ฀ 4.9t2 200, que da la altura (en metros) de un objeto que cae desde una altura de 200 m. La velocidad en el instante t a segundos está dada por st
. t 117. lím x x 118. lím sen x x 0 x 107. Encontrar dos funciones f y g tales que lím f(x) y lím g(x) no x 0 x 0 120. Si lím f x x 121. x c x c g(x)] no existe, x c 109. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.1. 110. Demostrar la propiedad 3 del teorema 1.1. (Se puede utilizar la propiedad 3 del teorema 1.2). 111. Demostrar la propiedad 1 del teorema 1.2. x c 113. Demostrar que si lím f(x) 122. Si f x < g x para todas las x x c x c x c 114. a) Demostrar que si lím ฀f(x) x c 0. M para un número fijo c, entonces lím f(x)g(x) 0. x c 3, 0, x 2 x > 2 a, entonces lím f x < lím g x . x a x a 123. Demostrar la segunda parte del teorema 1.9 probando que lím 0 gx 1 cos x x 0. 0, 1, si x es racional si x es irracional 0, x, si x es racional si x es irracional. x 0 x 0 sec x 1 Considerar f x . x2 a) Determinar el dominio de f. b) Utilizar una herramienta de graficación para hacer la representación de f. ¿Resulta evidente el dominio de f a partir de la gráfica? Si no es así, explicar por qué. c) Utilizar la gráfica f para calcular lím f(x). 125. Razonamiento gráfico 0, entonces lím f(x) x c L entonces lím f(x) x c [Sugerencia: Utilizar la desigualdad ฀f(x) L .] d) Confirmar la respuesta del apartado c) utilizando el método analítico. 126. Aproximación cos x . x2 b) Utilizar el resultado del apartado anterior para obtener la aproximación cos x 1 ฀x2 para x cercanas a 0. c) Aplicar el resultado del apartado b) para estimar cos (0.1). d) Utilizar una herramienta de graficación para estimar cos (0.1) con cuatro decimales. Comparar el resultado con el del apartado c). 127. Para pensar Al utilizar una herramienta de graficación para generar una tabla con el fin de estimar lím [(sen x) x], un estua) 0. (Nota: Este ejercicio es inverso al del problema 112.) b) Demostrar que si lím f(x) L. x 0 0, entonces lím ฀f(x) 0 y g(x) L. 0 3, donde f x 2 0, y Calcular (si es posible) lím f(x) y lím g(x). entonces lím g(x) tampoco existe. 112. Demostrar que si lím f(x) x L, entonces f c c lím f x x entonces lím g x L, 0 x 0 g(x)], si existe. 108. Demostrar que si lím f(x) existe y lím [f(x) M y todas las x g(x) para todos los números reales distintos a x lím f x x 1 y 3. 106. ¿A qué velocidad golpeará el suelo? existan, pero sí lím [f(x) 2 . Encontrar LÓM f x . x 2 2 1 124. Sean f x 105. Determinar la velocidad del objeto cuando t x x ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 117 a 122, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. x sa
lím t a a 3,5, 116. Sea f x 119. Si f(x) 103. Si a un albañil se le cae una herramienta desde una altura de 500 pies, ¿a qué velocidad estará cayendo luego de 5 segundos? 69 Para discusión x st
. t Cálculo analítico de límites L L. f(x) 115. Para pensar Encontrar una función f que muestre que el recíproco del ejercicio 114b no es verdadero. [Sugerencia: Buscar una función f tal que lím ฀f(x) L , pero donde lím f(x) no x c x c exista.] Calcular lím x 1 0 x 0 diante concluye que el límite, y no 1, era 0.01745. Determinar la probable causa del error. 70 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Continuidad y límites laterales o unilaterales 1.4 ■ ■ ■ ■ Determinar la continuidad en un punto y en un intervalo abierto. Determinar límites laterales o unilaterales y continuidad en un intervalo cerrado. Usar propiedades de continuidad. Comprender y aplicar el teorema del valor intermedio. Continuidad en un punto y en un intervalo abierto EXPLORACIÓN De modo informal, se podría decir que una función es continua en un intervalo abierto si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel. Utilizar una herramienta de graficación para representar las siguientes funciones en el intervalo indicado. De las gráficas, ¿qué funciones se dice que son continuas en dicho intervalo? ¿Se puede confiar en los resultados obtenidos gráficamente? Explicar el razonamiento. b) y x2 1 1 x 2 c) y sen x x d) y x2 x e) y y y y lím f (x) f (c) no está definida x c no existe lím f (x) x c f (c) Intervalo Función a) y En matemáticas, el término continuo tiene el mismo significado que en su uso cotidiano. Decir, de manera informal, que una función f es continua en x c significa que no hay interrupción de la gráfica de f en c. Es decir, la gráfica no tiene saltos o huecos en c. En la figura 1.25 se identifican tres valores de x en los que la gráfica de f no es continua. En los demás puntos del intervalo (a, b), la gráfica de f no sufre interrupciones y es continua. 3, 3 , 4 2 2x 4, x 0 x 1, x > 0 x 3, 3 a c b x a c x a b Existen tres condiciones para las que la gráfica de f no es continua en x c b c Figura 1.25 3, 3 3, 3 En la figura 1.25, parece que la continuidad en x quiera de las siguientes condiciones. 1. 2. 3. c puede destruirse mediante cual- La función no está definida en x c. No existe el límite de f(x) en x c. El límite de f(x) en x c existe, pero no es igual a f(c). Si no se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la función f es continua en c, como lo señala la importante definición que sigue. DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD Continuidad en un punto: Una función f es continua en c si se satisfacen las tres condiciones siguientes: 1. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para obtener más información sobre el concepto de continuidad, ver el artículo “Leibniz and the Spell of the Continuous” de Hardy Grant en The College Mathematics Journal. f(c) está definida. f x existe. lím 2. x c 3. lím f x x c f c. Continuidad en un intervalo abierto: Una función es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en cada punto del intervalo. Una función continua en la recta completa de los números reales ( , ) es continua en todas partes. SECCIÓN 1.4 71 Continuidad y límites laterales o unilaterales Considerar un intervalo abierto I que contiene un número real c. Si una función f está definida en I (excepto, posiblemente, en c) y no es continua en c, se dice que f tiene una discontinuidad en c. Las discontinuidades se clasifican en dos categorías: evitables o removibles e inevitables o no removibles. Se dice que una discontinuidad en c es evitable o removible si f se puede hacer continua definiendo (o redefiniendo) apropiadamente f(c). Por ejemplo, las funciones en las figuras 1.26a y c presentan discontinuidades evitables o removibles en c, mientras que la de la figura l.26b presenta una discontinuidad inevitable o no removible en c. y x a c Continuidad de una función EJEMPLO 1 b a) Discontinuidad evitable o removible y Analizar la continuidad de cada función. a) f x 1 x b) x2 x gx 1 1 x 1, x 0 x 2 1, x > 0 c) h x d) y sen x Solución x a c b b) Discontinuidad inevitable o no removible y a) El dominio de f lo constituyen todos los números reales distintos de cero. A partir del teorema 1.3, se puede concluir que f es continua en todos los valores de x de su dominio. En x 0, f tiene una discontinuidad inevitable, como se muestra en la figura 1.27a. En otras palabras, no hay modo de definir f(0) para hacer que la nueva función sea continua en x 0. b) El dominio de g lo constituyen todos los números reales excepto x 1. Aplicando el teorema 1.3, se puede concluir que g es continua en todos los valores de x de su dominio. En x 1, la función presenta una discontinuidad evitable, como se muestra en la figura 1.27b. Si g(l) se define como 2, la “nueva” función es continua para todos los números reales. c) El dominio de h está formado por todos los números reales. La función h es continua en ( , 0) y en (0, ), y puesto que lím h(x) 1, h es continua en toda la recta real, x 0 como ilustra la figura 1.27c. d) El dominio de y está conformado por todos los números reales. Del teorema 1.6, se puede concluir que la función es continua en todo su dominio ( , ), como se muestra en la figura 1.27d. y x a c y 3 b c) Discontinuidad evitable o removible 2 Figura 1.26 3 1 x f (x) = 2 1 (1, 2) 2 1 g (x) = x x 1 1 x 1 1 2 x 3 1 1 1 2 3 1 a) Discontinuidad inevitable o no removible en x 0 b) Discontinuidad evitable o removible en x y y 3 y 1 sen x 2 AYUDA DE ESTUDIO Algunas veces se llama a la función del ejemplo 1a “discontinua”. Pero se ha encontrado que esta terminología es confusa. Es preferible decir que la función tiene una discontinuidad en x 0, es decir, que f es discontinua. h (x) = 1 x 1, x x 2 1, x 0 0 x 2 x 1 1 2 3 1 c) Continua en toda la recta real Figura 1.27 3 2 1 d) Continua en toda la recta real 1 72 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades y Límites laterales y continuidad en un intervalo cerrado Para comprender la noción de continuidad en un intervalo cerrado, es necesario estudiar antes un tipo diferente de límite, llamado límite lateral. Por ejemplo, el límite por la derecha significa que x se aproxima a c por valores superiores a c (ver la figura 1.28a). Este límite se denota como x se aproxima a c por la derecha x c x lím f x a) Límite por la derecha x Límite por la derecha. Del mismo modo, el límite por la izquierda significa que x se aproxima a c por valores inferiores a c (ver la figura 1.28b). Este límite se denota como y x se aproxima a c por la izquierda lím f x x x c L. c Límite por la izquierda. L. c Los límites laterales son útiles al calcular límites de funciones que contienen radicales. Por ejemplo, si n es un entero dado x b) Límite por la izquierda Figura 1.28 lím x n 0 Un límite lateral EJEMPLO 2 4 x 2 cuando x se aproxima a Encontrar el límite de ( x ) y x2 f (x) ฀฀ 4 lím 1 2 1 x El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 por la derecha es 0 0. mayor entero n tal que n Por ejemplo, 2.5 Figura 1.29 EJEMPLO 3 2y 2.5 x Función mayor entero. 3. La función parte entera o mayor entero Calcular el límite de la función parte entera o mayor entero f(x) por la izquierda y por la derecha. y f (x) lí m x x 1 1 2 3 2 Función parte entera o mayor entero Figura 1.30 1 0 mientras que el límite cuando x se aproxima a 0 por la derecha está dado por x 1 x cuando x tiende a 0 Solución Como se muestra en la figura 1.30, el límite cuando x se aproxima a 0 por la izquierda está dado por x 2 2 2 por la Los límites laterales pueden usarse para investigar el comportamiento de las funciones escalón. Un tipo común de función escalón es la función parte entera o mayor entero x , que se define como x 1 x2 4 2 x 1 2 por la derecha. Solución Como se muestra en la figura 1.29, el límite cuando x se aproxima a derecha es 3 2 0. x lím x x 0 0. La función parte entera o mayor entero no es continua en 0 debido a que los límites por la izquierda y por la derecha en ese punto son diferentes. Mediante un razonamiento similar, se puede concluir que la función parte entera o mayor entero tiene una discontinuidad en cualquier entero n. SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 73 Cuando el límite por la izquierda no es igual al límite por la derecha, el límite (bilateral) no existe. El siguiente teorema lo explica mejor. Su demostración se obtiene directamente de la definición de límite lateral. TEOREMA 1.10 EXISTENCIA DE UN LÍMITE Si f es una función y c y L son números reales, el límite de f(x) cuando x se aproxima a c es L si y sólo si lím f x x y L c lím f x x c L. El concepto de límite lateral permite extender la definición de continuidad a los intervalos cerrados. Básicamente, se dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos. Esto se enuncia de manera formal como sigue. y DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en el intervalo abierto (a, b) y lím f x x b Función continua en un intervalo cerrado Figura 1.31 lím f x x b Se pueden establecer definiciones análogas para incluir la continuidad en intervalos con la forma (a, b] y [a, b), que no son abiertos ni cerrados o infinitos. Por ejemplo, la función f x x es continua en el intervalo infinito [0, 2 gx , 2]. Continuidad en un intervalo cerrado EJEMPLO 4 1 x2 . Analizar la continuidad de ( x ) Solución El dominio de f es el intervalo cerrado [ 1, 1]. En todos los puntos del intervalo abierto ( 1, 1), la continuidad de f obedece a los teoremas 1.4 y 1.5. Además, dado que y f (x) ฀฀ 1 ), y la función x es continua en el intervalo infinito ( 1 f b. La función f es continua por la derecha en a y continua por la izquierda en b (ver la figura 1.31). x a y f a a x2 x lím 1 x2 0 f lím 1 x2 0 f 1 1 1 Continua por la derecha. y x 1 Función continua en [ 1, 1] Figura 1.32 1 x 1 Continua por la izquierda. se puede concluir que f es continua en el intervalo cerrado [ 1, 1], como se ilustra en la figura 1.32. 74 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades El siguiente ejemplo muestra cómo se puede aplicar un límite lateral con el fin de determinar el cero absoluto en la escala Kelvin. Ley de Charles y cero absoluto EJEMPLO 5 En la escala Kelvin, el cero absoluto es la temperatura 0 K. A pesar de que se han obtenido temperaturas muy cercanas a 0 K en laboratorio, nunca se ha alcanzado el cero absoluto. De hecho, existen evidencias que sugieren la imposibilidad de alcanzar el cero absoluto. ¿Cómo determinaron los científicos que 0 K es el “límite inferior” de la temperatura de la materia? ¿Cuál es el cero absoluto en la escala Celsius? V 30 25 V = 0.08213T 22.4334 15 10 ( 273.15, 0) 300 5 200 100 100 T Solución La determinación del cero absoluto proviene del trabajo del físico francés Jacques Charles (1746-1823), quien descubrió que el volumen de un gas a presión constante crece de manera lineal con respecto a la temperatura. En la tabla siguiente se ilustra la relación entre volumen y temperatura. Para crear los valores que aparecen en la tabla, una mol de hidrógeno se mantiene a una presión constante de una atmósfera. El volumen V es aproximado y se mide en litros y la temperatura T se mide en grados Celsius. El volumen del hidrógeno gaseoso depende de su temperatura T Figura 1.33 V 40 20 19.1482 20.7908 0 20 40 60 80 22.4334 24.0760 25.7186 27.3612 29.0038 En la figura 1.33 se muestran los puntos representados en la tabla. Empleando dichos puntos, se puede determinar que T y V se relacionan a través de la ecuación lineal V 22.4334 V 0.08213T 22.4334 . o T 0.08213 Mediante el razonamiento de que el volumen del gas puede tender a 0 (pero nunca ser igual o menor que cero) se puede concluir que la “temperatura mínima posible” se obtiene por medio de lím T V 0 lím V 0 V 22.4334 0.08213 Usar sustitución directa. 22.4334 0.08213 273.15. De tal manera, el cero absoluto en la escala Kelvin (0 K) es de aproximadamente en la escala Celsius. Fotografía cortesía de W. Ketterle, MIT 0 En 2003, investigadores del Massachusetts Institute of Technology utilizaron láser y evaporación para producir un gas superfrío en el que los átomos se superponen. Este gas se denomina condensado de Bose-Einstein. Midieron una temperatura de alrededor de 450 pK (picokelvin) o –273.14999999955°C aproximadamente. (Fuente: Science Magazine, 12 de septiembre de 2003.) 273.15° La tabla que se encuentra a continuación muestra las temperaturas del ejemplo 5, en la escala Fahrenheit. Repetir la solución del ejemplo 5 utilizando estas temperaturas y volúmenes. Utilizar el resultado para determinar el valor del cero absoluto en la escala Fahrenheit. T 40 19.1482 V NOTA 4 20.7908 32 68 104 140 176 22.4334 24.0760 25.7186 27.3612 29.0038 La Ley de Charles para los gases (suponiendo una presión constante) puede enunciarse como V RT Ley de Charles. donde V es el volumen, R es una constante y T es la temperatura. En este enunciado de la ley, ¿qué propiedad debe tener la escala de temperaturas? SECCIÓN 1.4 Continuidad y límites laterales o unilaterales 75 Propiedades de la continuidad En la sección 1.3 se estudiaron las propiedades de los límites. Cada una de esas propiedades genera una propiedad correspondiente relativa a la continuidad de una función. Por ejemplo, el teorema 1.11 es consecuencia directa del teorema 1.2. (Se muestra una prueba del teorema 1.11 en el apéndice A.) Bettmann/Corbis TEOREMA 1.11 PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD Si b es un número real y f y g son continuas en x también son continuas en c. 1. 2. 3. AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY (1789-1857) El concepto de función continua fue presentado por vez primera por AugustinLouis Cauchy en 1821. La definición expuesta en su texto Cours d’Analyse establecía que las pequeñas modificaciones indefinidas en y eran resultado de las pequeñas modificaciones indefinidas en x. “… f(x) será una función continua si… los valores numéricos de la diferencia f(x ) f(x) 0 disminuyen de forma indefinida con los de …” 4. c, entonces las siguientes funciones Múltiplo escalar: bf Suma y diferencia: f ± g Producto: fg Cociente: –f , si g(c) 0 g Las funciones de los siguientes tipos son continuas en sus dominios. . . . 1. Funciones polinomiales: px 2. Funciones racionales: rx 3. Funciones radicales: f x 4. Funciones trigonométricas: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x anxn px , qx n x 1 n 1x an qx a1x a0 0 Combinando el teorema 1.11 con esta síntesis, se puede concluir que una gran variedad de funciones elementales son continuas en sus dominios. EJEMPLO 6 Aplicación de las propiedades de la continuidad Por el teorema 1.11, cada una de las siguientes funciones es continua en todos los puntos de su dominio. f x x sen x, f x 3 tan x, x2 1 cos x f x El siguiente teorema, consecuencia del teorema 1.5, permite determinar la continuidad de funciones compuestas, como f x sen 3x, f x x2 1, 1 tan . x f x TEOREMA 1.12 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA NOTA Una consecuencia del teorema 1.12 es que si f y g satisfacen las condiciones señaladas, es posible determinar que el límite de f(g(x)) cuando x se aproxima a c es lím f g x x c f gc . Si g es continua en c y f es continua en g(c), entonces la función compuesta dada por (f g)(x) f(g(x)) es continua en c. DEMOSTRACIÓN Por definición de continuidad, lím g
x x aplicar el teorema 1.5 con L esta manera, ( f ° g) c g(c) se obtiene lím f g x f (g(x)) es continua en c. x c g
c y lím f
x x g(c) f lím g x x c f
g
c . Al f g c . De 76 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades EJEMPLO 7 Prueba de la continuidad Describir el intervalo o intervalos donde cada función es continua. a) f x sen 1 , x x 0, x b) g x tan x 0 0 c) h x x sen 1 , x x 0, x 0 0 Solución a) La función tangente f(x) x n , 2 tan x no está definida en donde n es un entero. En todos los demás puntos es continua. De tal modo, f(x) los intervalos abiertos 3 , 2 .฀฀. . , 2 tan x es continua en todos 3 , , , ,฀.฀฀. . 2 2 2 2 , como muestra la figura 1.34a. b) Puesto que y 1 x es continua excepto en x 0 y la función seno es continua para todos los valores reales de x, resulta que y sen (1 x) es continua en todos los valores reales salvo en x 0. En x 0, no existe el límite de g(x) (ver el ejemplo 5 de la sección 1.2). Por tanto, g es continua en los intervalos ( , 0) y (0, ), como se muestra en la figura 1.34b. c) Esta función es parecida a la del apartado b), con excepción de que las oscilaciones están amortiguadas por el factor x. Aplicando el teorema del encaje, se obtiene x x sen 1 x x, 0 x y se puede concluir que lím h x 0. 0 x De tal manera, h es continua en toda la recta real, como se muestra en la figura 1.34c. y y y y ฀x 4 1 3 1 2 1 x x 1 3 1 1 1 1 4 f (x) g (x) = tan x a) f es continua en cada intervalo abierto de su dominio Figura 1.34 x 1 b) g es continua en ( 1 sen x , x x 0, , 0) y (0, ) 0 0 y x h(x) = x sen 1x , x 0, x 0 0 c) h es continua en toda la recta real SECCIÓN 1.4 77 Continuidad y límites laterales o unilaterales Teorema del valor intermedio El teorema 1.13 es un importante teorema relativo al comportamiento de las funciones continuas en un intervalo cerrado. TEOREMA 1.13 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], f(a) f(b) y k es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un número c en [a, b] tal que f(c) k. NOTA El teorema del valor intermedio asegura que existe al menos un número c, pero no proporciona un método para encontrarlo. Tales teoremas se denominan teoremas de existencia. Al consultar un libro de cálculo avanzado, se observará que la demostración de este teorema se basa en una propiedad de los números reales denominada completitud. El teorema del valor intermedio establece que para una función continua f, si x recorre todos los valores desde a hasta b, entonces f(x) debe asumir todos los valores entre f(a) y f(b). Como ejemplo sencillo de este hecho, tomar en cuenta la estatura de las personas. Supongamos que una niña medía 1.52 m al cumplir 13 años y 1.70 m al cumplir 14 años, entonces, para cualquier altura h entre 1.52 y 1.70 m, debe existir algún momento t en el que su estatura fue exactamente de h. Esto parece razonable debido a que el crecimiento humano es continuo y la estatura de una persona no cambia de un valor a otro en forma abrupta. El teorema del valor intermedio garantiza la existencia de al menos un número c en el intervalo cerrado [a, b]. Puede, claro está, haber más de uno, tal que f(c) k, como se muestra en la figura 1.35. Una función discontinua no necesariamente manifiesta la propiedad del valor intermedio. Por ejemplo, la gráfica de la función discontinua de la figura 1.36 salta sobre la recta horizontal dada por y k, sin que exista valor alguno para c en [a, b], tal que f(c) k. y y f (a) f(a) k k f (b) f(b) x a c1 c2 c3 x b f es continua en [a, b] [Existen 3 números c tales que f(c) Figura 1.35 a k] b f no es continua en [a, b] [No existen números c tales que f(c) k] Figura 1.36 El teorema del valor intermedio suele emplearse para localizar los ceros de una función continua en un intervalo cerrado. De manera más específica, si f es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signo distinto, entonces el teorema nos garantiza la existencia de por lo menos un cero de f en el intervalo cerrado [a, b]. 78 CAPÍTULO 1 y Límites y sus propiedades x3 f (x) 2x 1 Una aplicación del teorema del valor intermedio Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que la función polinomial f(x) 2x 1 tiene un cero en el intervalo [0, 1]. (1, 2) 2 EJEMPLO 8 x3 Solución Observar que f es continua en el intervalo cerrado [0, 1]. Dado que 03 f 0 1 20 1 y 1 13 f 1 21 1 2 resulta que f(0) 0 y f(l) 0. Por tanto, se puede aplicar el teorema del valor intermedio y concluir que debe existir algún c en [0, 1] tal que (c, 0) 1 x 0 f(c)฀ 1 f tiene un cero en el intervalo cerrado [0, 1]. como se muestra en la figura 1.37. 1 El método de bisección para estimar los ceros reales de una función continua es parecido al método empleado en el ejemplo 8. Si se sabe que existe un cero en el intervalo cerrado [a, b], dicho cero debe pertenecer al intervalo [a, (a b) 2] o [(a b) 2, b]. A partir del signo de f([a b] 2), se puede determinar cuál intervalo contiene al cero. Mediante bisecciones sucesivas del intervalo, se puede “atrapar” al cero de la función. (0, f es continua en [0,1] con f(0) 0 y f(l) 0 Figura 1.37 TECNOLOGÍA También se puede usar el zoom de una herramienta de graficación para estimar los ceros reales de una función continua. Al hacer acercamientos de forma repetida a la zona donde la gráfica corta al eje x y ajustar la escala de dicho eje, se puede estimar el cero de la función con la precisión deseada. El cero de x3 2x 1 es alrededor de 0.453, como se muestra en la figura 1.38. 0.2 0.013 0.2 1 0.4 0.2 Figura 1.38 1.4 0.012 Aplicación del zoom al cero de f(x) c x c y 1. x 2x y 3. 1 4 2 x 1 x 1 2 3 4 5 ( 2, 2) 2 6 x 5 y 5. 4 3 2 4 2 1 c= 1 3 c=2 x 1 2 3 1 y 6. (2, 3) 2 c=4 1 4 (3, 0) c=3 1 2 3 x 2 (4, 3) 4 ( 3, 3) y c= 2 5 ( 3, 4) 2 3 c= 3 (3, 1) 2. 4 y 4. c 5 1 x 3 Ejercicios En los ejercicios 1 a 6, utilizar una herramienta de graficación para In Exercises 1– 6, yuse the graph to determine limit, and determinar el límite analizar la continuidad de la the función. discuss the continuity of the function. a) lím f ( x ) b) lím– f ( x ) c) lím f ( x ) x c x c x c (a) lim f x (b) lim f x (c) lim f x x 0.5 ( 1, 2) 1 2 3 4 5 6 2 (2, 3) x 3 ( 1, 0) 1 SECCIÓN 1.4 En los ejercicios 7 a 26, calcular el límite (si existe). Si no existe, explicar por qué. 7. 1 LÓM 11. x 13. x x x lím x x lím x x x lím x x 10 16. 3 9 x x 2 18. 19. x 20. x 32. x 2 , x 3 2 12 2x , x > 3 3 x2 4x 6, x < 2 x2 4x 2, x 2 lím f x , donde f x x3 x 2 1 21. x, 1 lím f x , donde f x 1 x 1, x < 1 1, x 1 x, x 1 x > 1 x x 23. lím sec x 2 lím 5 x 24. lím 2x x lím 2 x 2 x 25. 3 x 26. 7 4 x x 2 lím 1 1 x En los ejercicios 27 a 30, analizar la continuidad de cada función. 27. f x 1 x2 28. 4 f x x2 x y 1 1 y 3 2 1 3 2 1 x x 3 1 1 2 x 3 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 3 3 2 1 1 2 3 Intervalo f t 33. f x 34. gx x2 49 gx 3 7, 7 2 9 t 3 x, x 3, 3 3 1 2 x, x > 0 0 1, 4 1 x2 1, 2 4 En los ejercicios 35 a 60, encontrar los valores de x (si existe alguno) en los que f no es continua. ¿Cuáles discontinuidades son evitables o removibles? lím cot x 22. 3 2 1 x 3 2 31. x2 x lím f x , donde f x x y Función 3 x x < 1 x 1 1, x > 1 x, 2, 2x f x 3 2 1 1 x lím f x , donde f x x 30. x y 5 x 4 x 17. x En los ejercicios 31 a 34, analizar la continuidad de la función en el intervalo cerrado. 0 x 9 1 2 3 x 10 10 0 x lím x f x 3 1 15. 12. 9 lím 0 5 2 10. lím 2 x 2 x x2 3 lÓm x x lím x 14. 8. 8 5 25 x x 9. lím 2 x 5 x 8 x 29. 79 Continuidad y límites laterales o unilaterales 3 35. f x 6 x 37. f x x2 39. f x 41. f x 43. f x 45. f x 46. f x 47. f x 48. f x 49. 9 1 x2 4 3x cos x x x2 x x x2 1 x x2 6 36 2 x x2 3x 1 x x2 x f x x 7 7 50. f x x 8 8 51. f x 52. f x x x 10 2 x,x , xx > 11 x ,2x 3, xx < 11 2 2 36. f x 38. f x 40. f x 42. f x 44. f x 3 2 x x2 2x 1 x2 1 cos x 2 x x2 1 1 80 53. 54. 55. CAPÍTULO 1 1 2x f x 1, x 3 x, f x x2 4x tan x, 4 f x x > 2 x, 6 2, 57. f x 59. f x x x 2 1, x > 2 73. x < 1 1 x csc f x En los ejercicios 73 a 76, utilizar una herramienta de graficación para representar la función. Usar la gráfica para determinar todo valor de x en donde la función no sea continua. 2 2x, x, 56. Límites y sus propiedades 3 x 2 3 > 2 x csc 2x 58. f x tan 8 60. f x 5 x 2 x f x x 75. gx 2x 76. f x 74. x 2 x hx 3x, x > 4 5, x 4 cos x x 5x, 1 , x < 0 x 0 77. f x x x x2 78. 2 f x lím+ f ( x ) y lím- f ( x ) x 0 – y 61. f x x2 x 4x 2 62. f x x2 4x x x 4 0.5 64. f x f x ax3x , ax3x , 2 x 1 4, x < 1 3 x 1 5, x > 1 79. sec f x 2, x 1 ax b, 1 < x < 3 2, x 3 g x x2 x 8, g x xNJa 81. 71. f x gx 1 1 x x2 6 5 f x a 70. x y 4 2 2 2 1 x f x g x 72. 1 3 2 4 Redacción En los ejercicios 81 y 82, utilizar una herramienta de graficación para representar la función en el intervalo [ 4, 4]. ¿Parece continua en este intervalo la gráfica de la función? ¿Es continua la función en [ 4, 4]? Escribir unas líneas sobre la importancia de examinar una función analíticamente, además de hacerlo de manera gráfica. En los ejercicios 69 a 72, analizar la continuidad de la función compuesta h(x) f(g(x)). x2 1 x x f x 4 f x f x 80. x 67. 69. 4 3 4 sen x , x < 0 x a 2x, x 0 x x 4 4 gx 68. 2 4 y 66. a2 , a 4 4 1 x3, x 2 ax 2, x > 2 f x 2 2 x x 2 65. ฀ ( 2 2 En los ejercicios 63 a 68, encontrar la constante a, o las constantes a y b, tales que la función sea continua en toda la recta real. 63. 4 1 ¿Es continua la función en toda la recta real? Explicar la respuesta. 3 x x y 0 2 En los ejercicios 77 a 80, describir el o los intervalos en los que la función es continua. En los ejercicios 61 y 62, utilizar una herramienta de graficación para representar la función. A partir de la gráfica, estimar x 1 x x2 sen x x 82. Intervalo Función x f x sen x g x x2 1 x3 x 8 2 Redacción En los ejercicios 83 a 86, explicar por qué la función tiene un cero en el intervalo dado. 1 x f x 83. f x 1 4 12 x 84. 85. f x x3 5x f x x2 2 86. f x 5 x x3 4 3 cos x tan  10x 1, 2 0, 1 0,  1, 4 SECCIÓN 1.4 En los ejercicios 87 a 90, utilizar el teorema del valor intermedio y una herramienta de graficación para estimar el cero de la función en el intervalo [0, 1]. Realizar acercamientos de forma repetida en la gráfica de la función con el fin de determinar el cero con una precisión de dos cifras decimales. Emplear la función cero o raíz de su herramienta de graficación para estimar el cero con una precisión de cuatro cifras decimales. 87. f SxD x3 88. f SxD 3 x 89. gStD 2 cos t 3t 90. hS D 1 3 tan x f SxD x2 92. f SxD x 2 6x 93. f SxD x3 x2 2 x , 1 94. x x f SxD x F0, 5G, f ScD 11 f ScD 0 8, F0, 3G, f ScD x 2, F0, 3G, 5 ,4 , f ScD 6 2 1, a) Describir la diferencia que existe entre una discontinuidad removible y una no removible. En la explicación, incluir ejemplos de las siguientes descripciones: a) Una función con una discontinuidad no evitable en x 4. b) Una función con una discontinuidad evitable en x ฀ 4. c) Una función que cuenta con las dos características descritas en los incisos a) y b). x L y f(c) c 100. Si f(x) g(x) para x es continua en c. 4   102. La función f(x) b) L, entonces f es continua en c. c y f(c) g(c), entonces ya sea f o g no 101. En una función racional puede haber infinitos valores de x en los que no es continua. En cada una de las gráficas siguientes especificar cómo se destruye la continuidad en x c: y ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 99 a 102, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. 99. Si lím f ( x ) Desarrollo de conceptos 95. 98. 3 En los ejercicios 91 a 94, verificar que el teorema del valor intermedio es aplicable al intervalo indicado y encontrar el valor de c garantizado por el teorema. 91. Para discusión 1 5x 81 Continuidad y límites laterales o unilaterales y Ux 1UY(x 1) es continua en ( , ). 103. Piscina Todos los días se disuelven 28 onzas de cloro en el agua de una piscina. En la gráfica se muestra la cantidad de cloro f(t) en esa agua luego de t días. y 140 112 84 x c c) c x 56 28 d) y t y 1 2 3 4 5 6 7 Estimar e interpretar lím f StD y lím f StD. t 104. Para pensar x c 96. c x Esbozar la gráfica de cualquier función f tal que: lím f SxD x 3 1 y ¿Esta función es continua en x lím f SxD x 3 0. 3? Explicar la respuesta. 97. Si las funciones f y g son continuas para todos los x reales, ¿ f g es siempre continua para todos los x reales? ¿fYg es siempre continua para todos los x reales? Si alguna no es continua, elaborar un ejemplo para verificar la conclusión. f(x) 4 t 4 Describir en qué difieren las funciones 3 x 3  x. y g(x) 105. Tarifas telefónicas Una llamada de larga distancia entre dos ciudades cuesta $0.40 los primeros 10 minutos y $0.05 por cada minuto o fracción adicional. Utilizar la función parte entera o mayor entero para expresar el costo C de una llamada en términos del tiempo t (en minutos). Dibujar la gráfica de esta función y analizar su continuidad. 82 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades 106. Gestión de inventarios El número de unidades en inventario en una pequeña empresa está dado por
t 2 2 Nt 25 2 113. Modelo matemático La tabla recoge valores de la velocidad S (en pies/s) de un objeto tras caer t segundos. t 0 5 10 15 20 25 30 S 0 48.2 53.5 55.2 55.9 56.2 56.3 t donde t representa el tiempo en meses. Dibujar la gráfica de esta función y analizar su continuidad. ¿Con qué frecuencia la empresa debe reponer existencias? 107. Déjà vu Un sábado a las 8:00 de la mañana, un hombre comienza a subir corriendo la ladera de una montaña hacia su campamento de fin de semana. El domingo a las 8:00 de la mañana baja corriendo la montaña. Tarda 20 minutos en subir y sólo 10 en bajar. En cierto punto del camino de bajada, el hombre se da cuenta de que pasó por el mismo lugar a la misma hora el sábado. Demostrar que el hombre está en lo cierto. [Sugerencia: Considerar que s(t) y r(t) son las funciones de posición de subida y bajada y aplicar el teorema del valor intermedio a la función f(t) s(t) r(t).] a) Construir la curva con los datos. b) ¿Parece existir una velocidad límite para el objeto? En caso afirmativo, identificar una posible causa. 114. Elaboración de modelos Un nadador cruza una piscina de una anchura b nadando en línea recta desde (0, 0) hasta (2b, b) (ver la figura). y (2b, b) b x (0, 0) Sea f una función definida como la coordenada y del punto sobre el lado más largo de la piscina que se encuentra más cerca del nadador en cualquier momento dado durante su trayecto a través de la piscina. Encontrar la función f y construir su gráfica. ¿Se trata de una función continua? Explicar la respuesta. b) Sea g la distancia mínima entre el nadador y el lado más largo de la piscina. Encontrar la función g y construir la gráfica. ¿Se trata de una función continua? Explicar la respuesta. a) No está dibujado a escala Sábado 8:00 de la mañana Domingo 8:00 de la mañana 108. Volumen Utilizar el teorema del valor intermedio para demostrar que entre todas las esferas cuyos radios pertenecen al intervalo [5, 8] hay una con un volumen de 1 500 centímetros cúbicos. 109. Demostrar que si f es continua y carece de ceros en [a, b], entonces 0 para todo x en [a, b] o f(x) f(x) 0 para todo x en [a, b]. 110. Demostrar que la función de Dirichlet 0,1, f x si x es racional si x es irracional 0 (suponer que k es cualquier número 112. La función signo se define como sgnx  0 b) lím sgn x x f (c), entonces f es continua xx. Sean f1(x) y f2(x) funciones continuas en el intervalo [a, b]. Si f1(a) f2(a) y f1(b) f2(b), demostrar que entre a y b existe c tal que f1(c) f2(c). b) Demostrar que existe c en F0, 2G tal que cos x x. Utilizar una herramienta de graficación para estimar c con tres decimales. 121. Afirmar o desmentir: si x y y son números reales con y y y(y 1) (x 1)2, entonces y(y – 1) x2. Construir la gráfica de sgn(x) y calcular los siguientes límites (si es posible). x x) Preparación del examen Putnam 1, x < 0 0, x 0 1, x > 0. a) lím sgn x Y2, 117. Sea f SxD S
x c2 cDYx, c > 0. ¿Cuál es el dominio de f ? ¿Cómo se puede definir f en x 0 con el fin de que sea continua en ese punto? 120. a) si x es racional si x es irracional es continua sólo en x real distinto de cero). 116. Demostrar que para todo número real y existe un x en ( Y2) tal que tan x y. 119. Analizar la continuidad de la función h(x) 111. Demostrar que la función 0,kx,  118. Demostrar que si lím f (c x 0 en c. no es continua para ningún número real. f x 115. Encontrar todos los valores de c tales que f sea continua en ( , ). 1 x2, x c f SxD x, x > c 0 c) lím sgn x x 0 0 122. Encontrar todas las polinomiales P(x) tales que P(x2 1) (P(x))2 1 y P(0) 0. Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. SECCIÓN 1.5 83 Límites infinitos Límites infinitos 1.5 ■ ■ Determinar límites infinitos por la izquierda y por la derecha. Encontrar y dibujar las asíntotas verticales de la gráfica de una función. Límites infinitos y Sea f la función dada por 3 , x ฀2 cuando x 2 6 4 2 x 6 4 4 6 f(x) = 3 x ฀2 3 f x
, 2 4 6 . A partir de la figura 1.39 y de la siguiente tabla, se puede observar que f(x) decrece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda y que f(x) crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha. Este comportamiento se denota 2 3 x ฀2 cuando x 2 x lím x 2 3 f(x) decrece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la izquierda. 2 x y f(x) crece y decrece sin cota o sin límite cuando x tiende a 2 lím x 2 3 f(x) crece sin cota o sin límite cuando x se aproxima a 2 por la derecha. 2 x Figura 1.39 x se aproxima a 2 por la izquierda. x 1.5 f x 1.9 6 30 1.99 300 1.999 3 000 f x
decrece sin cota o sin límite. x se aproxima a 2 por la derecha. 2 2.001 2.01 2.1 2.5 ? 3 000 300 30 6 f x
crece sin cota o sin límite. Un límite en el que f(x) crece o decrece sin cota o sin límite cuando x tiende a c se llama límite infinito. DEFINICIÓN DE LÍMITES INFINITOS Sea f una función definida en todo número real de un intervalo abierto que contiene a c (salvo, posiblemente, en el propio c). La expresión lím f x
x y significa que para toda M 0 existe una 0 tal que f(x) M, siempre que 0 Ux – cU (ver la figura 1.40). Del mismo modo, la expresión lím f (x) = lím f x
x c x c Figura 1.40 c significa que para todo N 0 existe un 0 tal que f(x) N, siempre que . 0 Ux cU Para definir el límite infinito por la izquierda, sustituir 0 Ux cU por x c. Y para definir el límite infinito por la derecha, reemplazar c 0 Ux cU por c x c . M Límites infinitos c x Observar que el signo de igualdad en la expresión lím f(x) no significa que el límite exista. Por el contrario, indica la razón de su no existencia al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de f(x) cuando x se aproxima a c. 84 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades EXPLORACIÓN Representar las siguientes funciones con una herramienta de graficación. En cada una de ellas, determinar analíticamente el único número real c que no pertenece al dominio. A continuación, encontrar de manera gráfica el límite si existe de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda y por la derecha. a) f SxD b) f SxD c) f SxD d) f SxD 3 Determinar el límite de cada función que se muestra en la figura 1.41 cuando x tiende a 1 por la izquierda y por la derecha. y y 2 3 f(x) 2 1 1 2 1 1 1 f(x) 2 2 1 (x 2 1 3 1 1 x x 2 x 2 4 x Determinación de límites infinitos a partir de una gráfica EJEMPLO 1 1) 2 3 2 x 2 Sx 3D 2 3 Sx 2D 2 a) b) Las dos gráficas tienen una asíntota vertical en x Figura 1.41 1 Solución a) Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda o por la derecha, (x 1)2 es un número positivo pequeño. Así, el cociente 1(x 1)2 es un número positivo grande y f (x) tiende a infinito por ambos lados de x 1. De modo que se puede concluir lím 1 x 1 Sx 1D 2 El límite por cada lado es infinito. La figura 1.41a confirma este análisis. b) Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, x 1 es un número negativo pequeño. Así, el cociente 1(x 1) es un número positivo grande y f (x) tiende a infinito por la izquierda de x 1. De modo que se puede concluir lím 1 x x 1 1 El límite por la izquierda es infinito. Cuando x se aproxima a 1 por la derecha, x 1 es un número positivo pequeño. Así, el cociente 1(x 1) es un número negativo grande y f (x) tiende a menos infinito por la derecha de x 1. De modo que se puede concluir lím x 1 x 1 1 El límite por la derecha es infinito. La figura 1.41b confirma este análisis. Asíntotas verticales Si fuera posible extender las gráficas de la figura 1.41 hacia el infinito, positivo o negativo, se vería que ambas se acercan arbitrariamente a la recta vertical x 1. Esta recta es una asíntota vertical de la gráfica de f. (En las secciones 3.5 y 3.6 se estudiarán otros tipos de asíntotas.) Si la gráfica de una función f tiene una asíntota vertical en x c, entonces f no es continua en c. DEFINICIÓN DE ASÍNTOTA VERTICAL NOTA Si f(x) tiende a infinito (o menos infinito) cuando x tiende a c por la derecha o por la izquierda, se dice que la recta x c es una asíntota vertical de la gráfica de f. SECCIÓN 1.5 Límites infinitos 85 En el ejemplo 1, se observa que todas las funciones son cocientes y la asíntota vertical aparece en el número en el cual el denominador es 0 (y el numerador no es 0). El siguiente teorema generaliza esta observación. (En el apéndice A se encuentra la demostración de este teorema.) TEOREMA 1.14 ASÍNTOTAS VERTICALES Sean f y g funciones continuas en un intervalo abierto que contiene a c. Si f(c) 0, g(c) 0, y existe un intervalo abierto que contiene a c tal que g(x) 0 para todo x c en el intervalo, entonces la gráfica de la función está dada por f SxD gSxD h SxD tiene una asíntota vertical en x EJEMPLO 2 2(x 1 2 1) a) f SxD 1 1 2Sx 1 a) Cuando x 2 f SxD a) 1 1 4 2 f SxD x 4 2 2 4 b) y f(x) = cot x 6 4 2 x 2 1D f SxD x2 x2 1 1 c) f SxD cot x 1, el denominador de 1 2Sx 1D es igual a 0 y el numerador no lo es. Por tanto, mediante el teorema 1.14, se puede concluir que x 1 es una asíntota vertical, como se observa en la figura 1.42a. b) Al factorizar el denominador como y x2 x2 b) Solución x 1 1 f(x) f( Cálculo de las asíntotas verticales Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. y f(x) c. 2 x2 x2 1 1 x2 1 Sx 1DSx 1D puede verse que el denominador se anula en x 1 y en x 1. Además, dado que el numerador no es 0 en ninguno de estos puntos, se puede aplicar el teorema 1.14 y concluir que la gráfica de f tiene dos asíntotas verticales, como ilustra la figura 1.42b. c) Escribiendo la función cotangente de la forma f SxD cot x cos x sen x se puede aplicar el teorema 1.14 para concluir que las asíntotas verticales tienen lugar en todos los valores de x tales que sen x 0 y cos x 0, como muestra la figura 1.42c. Por consiguiente, la gráfica de esta función tiene infinitas asíntotas verticales. Estas asíntotas aparecen cuando x n , donde n es un número entero. 4 6 c) Funciones con asíntotas verticales Figura 1.42 El teorema 1.14 exige que el valor del numerador en x c no sea 0. Si tanto el numerador como el denominador son 0 en x c, se obtiene la forma indeterminada 0Y0, y no es posible establecer el comportamiento límite en x c sin realizar una investigación complementaria, como se ilustra en el ejemplo 3. 86 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades Una función racional con factores comunes EJEMPLO 3 Determinar todas las asíntotas verticales de la gráfica de x2 f x f(x) x2 2x x2 No definido en x 2 2x x2 x x . Asíntota vertical en x = f(x) crece y decrece sin cota o sin límite cuando x tiende a 2 8 4 4 x 2 x 4 , 2 x x x 2 2 4 x2 f x 2 4 8 Solución Comenzar por simplificar la expresión como sigue y 4 x 8 4 2x 2 2 2 2 x En todos los valores de x distintos de x 2, la gráfica de f coincide con la de g(x) (x 4) (x 2). De manera que se puede aplicar a g el teorema 1.14 y concluir que existe una asíntota vertical en x 2, como se muestra en la figura 1.43. A partir de la gráfica, se ve que Figura 1.43 lím x2 x2 2 x 2x y 4 Observar que x EJEMPLO 4 8 x lím x2 2 2x x2 8 4 . 2 no es una asíntota vertical. Cálculo de límites infinitos Determinar los siguientes límites: f(x) 6 x2 x lím 3x 1 6 f tiene una asíntota vertical en x Figura 1.44 3x 1 y lím x 1 x2 x 3x 1 Solución Puesto que el denominador es 0 cuando x sabe que la gráfica de f x 6 4 1 x x2 x 1 x2 x 1 (y el numerador no se anula), se 3x 1 tiene una asíntota vertical en x 1. Esto significa que cada uno de los límites dados es o . Se puede determinar el resultado al analizar f en los valores de x cercanos a 1, o al utilizar una herramienta de graficación. En la gráfica de f que se muestra en la figura 1.44, se observa que la gráfica tiende a por la izquierda de x 1 y a por la derecha de x 1. De tal modo, se puede concluir que lím x2 x 3x 1 lím x2 x 3x 1 x 1 El límite por la izquierda es infinito. y x 1 . El límite por la derecha es menos infinito. Cuando se utiliza una herramienta de graficación, hay que tener cuidado para interpretar correctamente la gráfica de una función con una asíntota vertical, ya que las herramientas de graficación suelen tener dificultades para representar este tipo de gráficas. CONFUSIÓN TECNOLÓGICA SECCIÓN 1.5 87 Límites infinitos TEOREMA 1.15 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES INFINITOS Sean c y L números reales, y f y g funciones tales que lím f x x 1. y c lím g x x Suma o diferencia: lím f x x 2. Producto: L. c gx c lím f x g x x , c lím f x g x x 3. Cociente: , c gx f x lím x c L > 0 L < 0 0 Propiedades análogas son válidas para límites laterales y para funciones cuyo límite de f(x) cuando x tiende a c es . Para probar que el límite de f(x) DEMOSTRACIÓN necesita entonces encontrar un 0 tal que [f(x) g(x)] g(x) es infinito, elegir un M 0. Se M . Para simplificar, suponer que L es positiva sea M1 M 1. siempre que 0 x – c Puesto que el límite de f(x) es infinito, existe un 1 tal que f(x) M1 siempre que 0 x c . Como además el límite de g(x) es L, existe un 2 tal que g(x) – L 1 siem1 pre que 0 x – c . Haciendo que sea el menor de 1 y 2, concluir que 2 0 x–c implica que f(x) M 1 y g(x) – L 1. La segunda de estas desigualdades implica que g(x) L 1 y, sumando esto a la primera desigualdad, se obtiene f(x) (M g(x) 1) (L 1) M L M. Por tanto, también se concluye que lím f x x . gx c Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios (ver el ejercicio 78). Cálculo de límites EJEMPLO 5 1 y lím a) Puesto que lím 1 x x 1 x2 lím 1 x 0 0 lím x 1 x2 1 cot฀ x c) Al ser lím 3 x 0 lím 3 cot x x 0 1 x2 , se puede escribir . Propiedad 1, teorema 1.15. b) Puesto que lím x 2 x 0 1 1 2 y lím cot 0. x 1 x , se deduce que Propiedad 3, teorema 1.15. 3 y lím cot x x . 0 , se tiene Propiedad 2, teorema 1.15. 88 CAPÍTULO 1 1.5 Límites y sus propiedades Ejercicios oa En los ejercicios 1 a 4, determinar si f(x) tiende a cuando x tiende a 4 por la izquierda y por la derecha. 1 1 1. f x 2. f x x 4 x 4 1 3. f x 4 x 4. f x 2 1 4 x 5. 2 f x x2 6. 4 2 4 7. 1 2 2 1 8. 1 x 6 2 2 x 6 6 2 2 x2 x x2 x 33. f x 6 Análisis numérico y gráfico En los ejercicios 9 a 12, completar la tabla para determinar si f(x) tiende a oa cuando x tiende a 3 por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y corroborar la respuesta. 3.5 3.1 3.01 37. 39. 43. 2.999 2.99 2.9 hs 20. gx 22. gx 1 3 2x x2 6x 3x 2 hx 28. ht 30. f x 32. x t2 t4 x2 4 2x 2 x 2t 16 sec x 3 2.5 1 1 1 1 1 LÓM g 34. f x 36. f x x2 6x 7 x 1 sen x 1 x 1 x2 LÓM x x 1 x 1 lím x2 3 45. lím x2 1 x 6 x 1 1 x 1 44. x x 2 lím 1 2 lím 46. x 4 x 16 6x 2 4x 2 2 x 3 x 2 x2 lím x 3 x 1 x 42. 2 2 1 lím 40. 2 x 2 1 1 x 1 x x lím x 38. LÓM 1 x 1 x x f x 11. f x 1 x2 9 x2 x2 9 10. 12. f x f x 47. x x2 13. f x 14. f x 9 x2 2 3 1 x 48. lím x 2 x 0 1 x 2 sen x 50. 51. lím x csc x 52. lím x 2 x 0 cot x 54. lím x 2 tan฀ x x 4 0 lím 49. x sec 6 x lím 1 x En los ejercicios 13 a 32, encontrar las asíntotas verticales (si las hay) de la gráfica de la función. 1 x2 2 tan fx 9. 4x 24 En los ejercicios 37 a 54, calcular el límite. 41. 3.001 fx x 2x 15 5x2 x 5 tan x t sen t 35. f x x 2 18. 4x x2 4 2s 3 s2 25 2 x x2 1 x En los ejercicios 33 a 36, determinar si la función tiene una asíntota vertical o una discontinuidad evitable (o removible) en x 1. Representar la función en una herramienta de graficación para confirmar la respuesta. y y 3 2 1 4 t2 x3 31. s t x 4 sec f x 1 x2 29. f(x) 2 3 4 x 4 tan f x 25. g x 27. f x x x f x 3 x 2 4x 2 4x 24 x 4 2x 3 9x 2 18x x3 1 26. x 1 x 2 2 x2 16. x2 24. f x 3 2 6 2 21. T t y y 1 1 x2 23. f x x 4 t t2 17. g t 2 1 f x x2 19. h x En los ejercicios 5 a 8, determinar si f(x) tiende a oa cuando x tiende a 2 por la izquierda y por la derecha. x x2 15. f x x 53. x 0 lím x sec 1 2 x x x lím ฀ 2 1 2 2 cos x x 4x 1 3 SECCIÓN 1.5 En los ejercicios 55 a 58, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y determinar el límite lateral. 55. x2 f x 1 x x3 56. f x 1 57. 1 x2 58. f x 25 lím f x x a) Calcular el ritmo o velocidad r cuando es 6. b) Determinar el ritmo o velocidad r cuando es 3. c) Encontrar el límite de r cuando ( 2) . 1 1 x 1 f x 1 x sec x 8 50 pies 25 pies r pies 2 s lím f x 5 x 4 x x Desarrollo de conceptos 59. Con sus propias palabras, describir el significado de un límite infinito. ¿Es un número real? 60. Con sus propias palabras, describir el significado de la asíntota vertical de una gráfica. 61. Escribir una función racional con asíntotas verticales en x 6 y en x 2 y un cero en x 3. 62. ¿Tiene toda función racional una asíntota vertical? Explicar la respuesta. 63. Utilizar la gráfica de la función f (ver la figura) para construir la gráfica de g(x) 1 f (x) en el intervalo [ 2, 3]. y 2 f x 2 1 1 1 2 3 Para discusión 64. 89 lím f x lím f x x x3 x2 Límites infinitos Figura para problema 67 68. Ritmo o velocidad de cambio Una escalera de 25 pies de largo está apoyada en una casa (ver la figura). Si por alguna razón la base de la escalera se aleja del muro a un ritmo de 2 pies por segundo, la parte superior descenderá con un ritmo dado por 2x r pies/s 625 x2 donde x es la distancia que hay entre la base de la escalera y el muro. a) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 7 pies. b) Calcular el ritmo o velocidad r cuando x es 15 pies. c) Encontrar el límite de r cuando x 25 . 69. Velocidad media En un viaje de d millas hacia otra ciudad, la velocidad media de un camión fue de x millas por hora. En el viaje de regreso, su velocidad media fue de y millas por hora. La velocidad media del viaje de ida y vuelta fue de 50 millas por hora. 25x a) Verificar que y . ¿Cuál es el dominio? x 25 b) Completar la tabla. Dado un polinomio p(x), ¿será verdad que la gráfica de una px tiene una asíntota vertical función dada por f x x 1 en x 1? ¿Por qué sí o por qué no? 65. Relatividad De acuerdo con la teoría de la relatividad, la masa m de una partícula depende de su velocidad v; es decir: m0 m 1 v2 c2 donde m0 es la masa cuando la partícula está en reposo y c es la velocidad de la luz. Calcular el límite de la masa cuando v tiende a c . 66. Ley de Boyle En un gas a temperatura constante, la presión P es inversamente proporcional al volumen V. Calcular el límite de P cuando V 0 . 67. Ritmo o velocidad de cambio Una patrulla está estacionada a 50 pies de un gran almacén (ver la figura). La luz giratoria de la parte superior del automóvil gira a un ritmo o velocidad de ฀฀ revolución por segundo. El ritmo o velocidad al que se desplaza el haz de luz a lo largo de la pared es r 50 sec2 pies s. Figura para problema 68 30 x 40 50 60 y ¿Difieren los valores de y de los esperados? Explicar la respuesta. c) Calcular el límite de y cuando x 25 e interpretar el resultado. 70. Análisis numérico y gráfico Utilizar una herramienta de graficación a fin de completar la tabla para cada función y representar gráficamente cada una de ellas con objeto de calcular el límite. ¿Cuál es el valor del límite cuando la potencia de x en el denominador es mayor que 3? 1 0.5 lím x sen x x b) lím x sen x x3 d) x 0.2 0.1 0.01 0.001 fx a) c) x x 0 0 lím x sen x x2 lím x sen x x4 x x 0 0 0.0001 90 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades 71. Análisis numérico y gráfico Considerar la región sombreada que queda fuera del sector del círculo con radio de 10 m y dentro del triángulo rectángulo de la figura. rectos de la banda y las longitudes de la banda alrededor de cada polea.] d) Utilizar una herramienta de graficación para completar la tabla. 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 L 10 m a) Expresar el área A f( ) de la región en función de . Determinar el dominio de esta función. b) Utilizar una herramienta de graficación para completar la tabla y representar la función sobre el dominio apropiado. 0.3 0.6 0.9 1.2 72.  (  2) . Análisis numérico y gráfico Una banda en cruz conecta la polea de 20 cm (10 cm de radio) de un motor eléctrico con otra polea de 40 cm (20 cm de radio) de una sierra circular. El motor eléctrico gira a 1 700 revoluciones por minuto. 10 cm 20 cm 2 trico como base de otro procedimiento para encontrar este límite. g) Calcular lím L . 1.5 f c) Calcular el límite de A cuando e) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función en un dominio apropiado. f) Calcular el lím
L. Utilizar algún argumento geomé- 0 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 73 a 76, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que demuestre que lo es. 73. La gráfica de una función racional tiene al menos una asíntota vertical. 74. Las funciones polinomiales carecen de asíntotas verticales. 75. Las gráficas de funciones trigonométricas carecen de aísntotas verticales. 76. Si f tiene una asíntota vertical en x en x 0. 77. 0, entonces no está definida Encontrar a continuación las funciones f y g tales que lím f x   y lím gx  , pero lím  f x
gx
0. x c x c x c 78. a) Determinar el número de revoluciones por minuto de la sierra. b) ¿Cómo afecta el cruce de la banda a la sierra en relación con el motor? c) Sea L la longitud total de la correa. Exprese L en función de , donde se mide en radianes. ¿Cuál es el dominio de la función? [Sugerencia: Sumar las longitudes de los tramos Demostrar las propiedades restantes del teorema 1.15. 1  0. 79. Demostrar que si lím f x  , entonces lím x c f x  x c 1  0, entonces el lím f x
no existe. 80. Demostrar que si lím x c f x x c Límites infinitos En los ejercicios 81 y 82, usar la definición de límite para demostrar lo afirmado 81. lím x 3 1  x
3  82. lím
x 5 1 
 x
5 PROYECTO DE TRABAJO Gráficas y límites de las funciones trigonométricas Recordando, del teorema 1.9, que el límite de f(x) x tiende a 0 es 1: (sen x) x cuando a) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función 0 y explicar cómo ayuda esta gráfica f en el intervalo a confirmar dicho teorema. b) Explicar cómo podría usar una tabla de valores para confirmar numéricamente el valor de este límite. c) Dibujar a mano la gráfica de la función g(x) sen x. Trazar una recta tangente en el punto (0, 0) y estimar visualmente su pendiente. d) Sea (x, sen x) un punto en la gráfica de g cercano a (0, 0). Escribir una fórmula para la pendiente de la recta secante que une a (x, sen x) con (0, 0). Evaluar esta fórmula para x 0.1 y x 0.01. Después encontrar la pendiente exacta de la recta tangente a g en el punto (0, 0). e) Dibujar la gráfica de la función coseno, h(x) cos x. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en el punto (0, 1)? Utilizar límites para calcular analíticamente dicha pendiente. f ) Calcular la pendiente de la recta tangente a k(x) punto (0, 0). tan x en el 91 Ejercicios de repaso 1 Ejercicios de repaso En los ejercicios 1 y 2, determinar si el problema se puede resolver usando conocimientos previos al cálculo, o si se requiere el cálculo. Resolver el problema si se puede utilizar precálculo. En caso de que sea necesario el cálculo, explicar por qué. Encontrar la solución usando un método gráfico o numérico. 1. Calcular la distancia entre los puntos (1, 1) y (3, 9) a lo largo de la curva y x2. 2. Calcular la distancia entre los puntos (1, 1) y (3, 9) a lo largo de la recta y 4x 3. En los ejercicios 3 y 4, completar la tabla y usar el resultado para estimar el límite. Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y corroborar el resultado. x 0.1 0.01 0.001 0.001 0.01 0.1 4. 21. 23. F1YSx lím x x3 x 5 1 lím 0 lím 25. 1 22. x cos x sen x sen FS Y6D x2 3 2 x 4 8 Y4 4x tan x S1Y2D xD D sen ฀cos cos ฀sen ] D cos ฀cos sen ฀sen ] 1 x 0 x 1 x cosS lím sD s lím x xG S1Y
1 0 24. lím [Sugerencia: senS 26. lím s 0 x 20. 125 5 lím x 1DG x 0 x [Sugerencia: cosS En los ejercicios 27 a 30, calcular el límite, dado que lím f(x) x c ฀ y lím g(x) ฀฀. f x 3. 19. x c F4YSx lím 2DG x 0 x 4S
x lím
2 2 x 0 x 27. 2 26. D En los ejercicios 5 a 8, encontrar el límite L. Después utilizar la definición - para demostrar que el límite es L. 28. LÓM lím F f SxD 29. LÓM f x x lím x x 1 4 6. 7. lím 1 x 2 x2 8. lím
x x 9 lím 9 x 5 En los ejercicios 9 y 10, utilizar la gráfica para determinar cada límite. 4x x2 2x 9. hx 10. gx x x 3 6 x 2gSxDG c x c 2 c lím f ( x ) 1 a) Completar la tabla para estimar el límite. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y usar la gráfica para estimar el límite. c) Racionalizar el numerador y calcular de manera analítica el valor exacto del límite. 1.1 x y y c Análisis numérico, gráfico y analítico En los ejercicios 31 y 32, considerar x 5. f x gx lím F f SxDgSxDG x 1.01 1.001 1.0001 f x 9 6 4 3 2 1 3 x 3 1 2 3 4 f SxD
2x 32. 9 f SxD b) lím hSxD 0 x x 1 a) lím gSxD x LÓM x x 13. lím
t t 15. t 17. 6 4 lím 2 t t2

xx 2 2 2 2 4 23 1 lím lím xx 44 x x 4 4 12. 3 14. x lím 3\y 1\ 16. y 4 lím t 18. 7 3 lím x 0 2 t t Sa bDSa 2 ab b2DG 0 x LÓM 10 x b3 b) lím gSxD Objeto en caída libre En los ejercicios 33 y 34, utilizar la función posición s(t) 4.9t2 250, que da la altura en metros de un objeto que cae libremente desde una altura de 250 metros. Su velocidad en el instante t a segundos está dada por En los ejercicios 11 a 26, encontrar el límite (si existe). 11. 1 3 x 1
x 1 FSugerencia: a3 a) lím hSxD
3 1 x 6 6 x 1 3 31. 4 lím 9 3
4 t x x 2 a sXaC a sXtC . t 33. Calcular la velocidad cuando t 34. ¿A qué velocidad golpeará el suelo? 4. 92 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades En los ejercicios 35 a 40, encontrar el límite (si lo hay). Si no existe límite, explicar por qué. 35. 36. 39. 2D2, x 2 2 58.
x 2 2 En los ejercicios 41 a 52, determinar los intervalos en los que la función es continua. f x 43. f SxD Vx 45. f SxD  46. 47. f SxD f SxD 3x2 7 3B 3x 2 x 0, x 1 2, x x 52x x2 44. 3x 2 f SxD 2 x 2 x 1 x 1 67. 3 f SxD
x x 1 1 2 50. f SxD x 2x 52. f SxD tan 2x f SxD 51. f SxD 53. Determinar el valor de c para el que la función es continua en toda la recta de los números reales. f SxD csc x 2 xcx 3, 6, 54. Determinar los valores de b y c que hacen a la función continua sobre toda la recta de los números reales: f SxD xx 2 1, bx c, 1 < x < 3 \x 2\ 1 55. Utilizar el teorema de valor intermedio para demostrar que f(x) 2x3 3 tiene un cero en el intervalo [1, 2]. 56. Costo de mensajería El envío de un paquete por mensajería de Nueva York a Atlanta cuesta $12.80 por la primera libra y $2.50 por cada libra o fracción adicional. Utilizar la función parte entera para elaborar un modelo que describa el costo C de envío por mensajería para un paquete de x libras. Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y analizar su continuidad. Sx 2 x 60. hSxD 8 10D 2 62. f SxD 71. 73. 1 lím x2  lím x x 0 x 66. x 2x 1 68. 1 x 1 64. 2 1 1 x x3 lím 1 x x 2 x 69. 2x 2 lím 1 x3 x  70. sen 4x lím 5x x 0 72. csc 2x x 74. lím x x 2 x > 2 1 4x x2 4 csc x En los ejercicios 63 a 74, encontrar el límite lateral (si existe). x 49. 1 f SxD 63. x, x 2 3, x > 2 x 61. 1 48. 1 x gSxD x 2D 2 0 Calcular lím f ( x ). 59. 65. 1 Sx 42. f x x( x 1) En los ejercicios 59 a 62, encontrar las asíntotas verticales (si las hay) de la gráfica de la función. 2 2 41. Sea f ( x ) c) 1 2 2 2 x x 3 s 2 x lím f ( x ) a) Encontrar el dominio de f. b) Calcular lím f ( x ) . 1 1 2 lím f ( x ) c) 2 x, x > 2 1 x, x 1 lím gSxD, donde gSxD  x 1, x > 1 t 1, t < 1 lím hStD, donde hStD  St 1D, t 1 s 4s 2, s lím f SsD, donde f SsD  s s > 4s 6, t 40. Sx 4 . Encontrar los siguientes límites (si es 2\ lím f ( x ) x b) 1B 4 x2 \x Sea f SxD posible). a) lím f SxD, donde f SxD x 38. 3\ 3 x 3 lím Vx x 37. \x lím x 57. 0 lím lím 1 lím 2x 2 1 1 1 x x4 x2 2x x 1 lím x x S1Y2D 1 1 1 3 x2
4 sec x lím x x 0 lím x 0 cos 2 x x 75. Medio ambiente Una central térmica quema carbón para generar energía eléctrica. El costo C, en dólares, de eliminar p% de las sustancias contaminantes del aire en sus emisiones de humo es C 80 000p , 100 p 0 p < 100. Calcular cuánto cuesta eliminar a) 15%, b) 50% y c) 90% de los contaminantes. d) Encontrar el límite de C cuando p 100 . 76. La función f está definida como f SxD tan 2x , x x 0 tan 2x (si existe). x b) ¿Puede definirse la función f en x continua en ese punto? a) Encontrar lím x 0 0 de manera que sea 93 Solución de problemas SP 1. Solución de problemas Sea P(x, y) un punto de la parábola y x2 en el primer cuadrante. Considerar el triángulo PAO formado por P, A(0, 1) y el origen O(0, 0), y el triángulo PBO formado por P, B(1, 0) y el origen. y 3. a) Calcular el área de un hexágono regular inscrito en un círculo de radio 1. ¿Cuánto se acerca su área a la del círculo? b) Encontrar el área An de un polígono regular con n lados inscrito en un círculo de radio 1. Elaborar su respuesta como una función de n. c) Completar la tabla. P A 6 n 1 12 24 48 96 An B O d) ¿Qué número es cada vez mayor cuando An tiende a n? x 1 y a) Dar el perímetro de cada triángulo en términos de x. b) Sea r(x) la relación entre los perímetros de ambos triángulos, rSxD 6 1 2 Perímetro NPAO . Perímetro NPBO 6 Completar la tabla. 2 1 0.1 0.01 0ERÓMETRO PAO r x Calcular lím r(x). 2. 0 x Sea P(x, y) un punto de la parábola y x2 en el primer cuadrante. Considerar el triángulo PAO formado por P, A(0, 1) y el origen O(0, 0), y el triángulo PBO formado por P, B(1, 0) y el origen: Figura para 3 x 2 6 Figura para 4 25. 3 x respuesta al apartado b)? 5. Sea P(5, P y2 a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que une a P con O(0, 0)? b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en P. c) Sea Q(x, y) otro punto que se encuentra en el primer cuadrante y forma parte de la misma circunferencia. Calcular la pendiente mx de la recta que une a P con Q en términos de x. d) Calcular lím mx. ¿Cómo se relaciona este número con la y A 2 O 4. Sea P(3, 4) un punto de la circunferencia x2 0ERÓMETRO PBO c) Q 6 4 x P(3, 4) 12) un punto de la circunferencia x2 1 y2 169. y 15 B O x 5 1 a) Determinar el área de cada triángulo en términos de x. b) Sea a(x) la relación entre las áreas de ambos triángulos, aSxD «rea PAO c) Calcular lím a( x ) . x 0 Q 15 2 1 0.1 0.01 b) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en P. c) Sea Q(x, y) otro punto que se encuentra en el cuarto cuadrante y forma parte de la misma circunferencia. Calcular la pendiente mx de la recta que une a P con Q en términos de x. d) Calcular lím m x. ¿Cómo se relaciona este número con la «rea PBO a x 5 a) ¿Cuál es la pendiente de la recta que une a P con O(0, 0)? Completar la tabla. 4 x 5 O P(5, 12) Área NPBO . Área NPAO x 15 x 5 respuesta al apartado b)? 94 CAPÍTULO 1 Límites y sus propiedades 12. Para que un cohete escape del campo gravitacional de la Tierra, se debe lanzar con una velocidad inicial denominada velocidad de escape. Un cohete lanzado desde la superficie de la Tierra tiene una velocidad v (en millas por segundo) dada por: 6. Encontrar valores de las constantes a y b tales que lím 7.
a
3 bx x 0 x
3.
3 Considerar la función f SxD x1Y3 x 1 2 . a) Encontrar el dominio de f. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función. c) Calcular lím f ( x ). 27 x x 1 ax , tan x a 2 2,  0 x x < 0 y 3 2 g2 2 1
10 r600 1 v 1 2 3 x 1 y 2 3 x 3 g3 2 13. 1 x 1 2 v02 2.17. v02 6.99. g4 2 1 x 3 1 2 3 Para números positivos a como: b, la función pulso se define Pa,bSxD bD HSx aD 1,0, HSx  0, 1, 0, x < a a x < b x b x 0 es la función de Heaviside. x < 0 Para cada una de las condiciones dadas de la función f, ¿cuál gráfica podría ser una gráfica de f? donde HSxD a) lím f ( x ) 3 a) Trazar la gráfica de la función pulso. b) Encontrar los siguientes límites: x 2 b) f es continua en 2. c) lím f ( x ) 3 x i) 2 10. Construir la gráfica de la función f SxD  1 . x iii) a) Evaluar f( ), f(3) y f(1). b) Evaluar los límites lím f ( x ), lím f ( x ), lím f ( x ) y x 1 x 1 x 0 lím f ( x ). x 0 11. Construir la gráfica de la función f(x) USxD Evaluar f(1), f(0), f( ) y f( 2.7). x 1 x 1 c) Analizar la continuidad de la función. x 2 ii) lím Pa,bSxD lím Pa,bSxD iv) lím Pa,bSxD x a x b x a b 1 b a Pa,bSxD se llama función pulso unitario? x฀ ฀ x. b) Evaluar los límites lím f ( x ), lím f ( x ) y lím1 f ( x ). lím Pa,bSxD x c) Analizar la continuidad de la función pulso. d) ¿Por qué c) Analizar la continuidad de la función. a) 48 Encontrar la velocidad de escape de este planeta. ¿Es la masa de este planeta mayor o menor que la de la Tierra? (Suponer que la densidad media de este planeta es igual a la de la Tierra.) y 3 v02 Encontrar la velocidad de escape para la Luna. c) Un cohete lanzado desde la superficie de un planeta se traslada con una velocidad v (en millas por segundo) dada por 3 g1
1 920 r v 9. Considerar las gráficas de las funciones g1, g2, g3 y g4: y
192r000 2GM  R a) Encontrar el valor de v0 para el que se obtiene un límite infinito para r cuando v tiende a cero. Este valor de v0 es la velocidad de escape para la Tierra. b) Un cohete lanzado desde la superficie de la Luna se traslada con una velocidad v (en millas por segundo) dada por 8. Determinar todos los valores de la constante a tales que la siguiente función sea continua en todos los números reales. f SxD v02 donde v0 es la velocidad inicial, r es la distancia entre el cohete y el centro de la Tierra, G es la constante gravitacional, M es la masa de la Tierra y R es el radio de la Tierra (4 000 millas, aproximadamente). Calcular lím f ( x ). d)
2GM r v 14. Sea a una constante diferente de cero. Comprobar que si lím f ( x ) L , entonces lím f (ax ) L . Demostrar por medio x 0 x 0 de un ejemplo que a debe ser distinta de cero. 2 Derivación En este capítulo se estudiará uno de los procesos más importantes del cálculo: la derivación. En cada sección se aprenderán nuevos métodos y reglas para encontrar derivadas de funciones. Posteriormente se aplicarán estas reglas para entender conceptos como la velocidad, la aceleración y las razones de cambio de dos o más variables relacionadas. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo encontrar la derivada de una función utilizando la definición de límite y se entenderá la relación entre derivabilidad y continuidad. (2.1) n Cómo encontrar la derivada de una función con las reglas básicas de derivación. (2.2) n Cómo encontrar la derivada de una función con la regla del producto y la regla del cociente. (2.3) n Cómo encontrar la derivada de una función con la regla de la cadena y la regla general de la potencia. (2.4) n Cómo encontrar la derivada de una función con derivación implícita. (2.5) ■ Al Bello/Getty Images n Cómo determinar una razón de cambio relacionada. (2.6) ■ Cuando salta de una plataforma, la velocidad de un clavadista es ligeramente positiva a causa del movimiento hacia arriba, pero se convierte en negativa en la caída. ¿Cómo puede utilizarse el cálculo para determinar la velocidad de un clavadista cuando se impacta sobre el agua? (Ver la sección 2.2, ejemplo 10.) Para aproximar la pendiente de la recta tangente a una gráfica en un punto dado, se determina la pendiente de la secante que va de un punto de la gráfica a otro punto. A medida que este segundo punto se acerca al punto dado, la aproximación tiende a tornarse más exacta (ver la sección 2.1). 95 96 CAPÍTULO 2 Derivación La derivada y el problema de la recta tangente 2.1 Hallar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto. Usar la definición de límite para calcular la derivada de una función. Comprobar la relación entre derivabilidad y continuidad. ■ ■ ■ El problema de la recta tangente Mary Evans Picture Library El cálculo se desarrolló a la sombra de cuatro problemas en los que estaban trabajando los matemáticos europeos en el siglo XVII. 1. 2. 3. 4. ISAAC NEWTON (1642-1727) Además de sus trabajos relativos al Cálculo, Newton aportó contribuciones a la Física tan revolucionarias como la Ley de la Gravitación Universal y sus tres leyes del movimiento. y P x El problema de la recta tangente (sección 1.1 y esta sección) El problema de la velocidad y la aceleración (secciones 2.2 y 2.3) El problema de los máximos y mínimos (sección 3.1) El problema del área (secciones 1.1 y 4.2) Cada uno de ellos involucra la noción de límite y podría servir como introducción al cálculo. En la sección 1.1 se hizo una breve introducción al problema de la recta tangente. Aunque Pierre de Fermat (1601-1665), René Descartes (1596-1650), Christian Huygens (1629-1695) e Isaac Barrow (1630-1677) habían propuesto soluciones parciales, la primera solución general se suele atribuir a Isaac Newton (1642-1727) y a Gottfried Leibniz (1646-1716). El trabajo de Newton respecto a este problema procedía de su interés por la refracción de la luz y la óptica. ¿Qué quiere decir que una recta es tangente a una curva en un punto? En una circunferencia, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que pasa por P, como se muestra en la figura 2.1. Sin embargo, en una curva general el problema se complica. Por ejemplo, ¿cómo se podrían definir las rectas tangentes que se observan en la figura 2.2? Afirmando que una recta es tangente a una curva en un punto P si toca a la curva en P sin atravesarla. Tal definición sería correcta para la primera curva de la figura 2.2, pero no para la segunda. También se podría decir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella exactamente en el punto P, definición que serviría para una circunferencia pero no para curvas más generales, como sugiere la tercera curva de la figura 2.2. y y Recta tangente a una circunferencia y Figura 2.1 y f(x) P P P x y y = f (x) f(x) x Recta tangente a una curva en un punto Figura 2.2 EXPLORACIÓN Identificación de una recta tangente Utilizar una herramienta de graficación para representar la función ƒ(x) 2x3 4x2 3x 5. En la misma pantalla, dibujar la gráfica y x 5, y 2x 5 y y 3x 5. ¿Cuál de estas rectas, si es que hay alguna, parece tangente a la gráfica de ƒ en el punto (0, 5)? Explicar el razonamiento. x SECCIÓN 2.1 y (c f (c x , f(c x)) x) f (c) = y (c, f (c)) x y 2 y1 x 2 x1 xD f Sc Sc xD msec Recta secante que pasa por (c, ƒ(c)) y (c x, ƒ(c x)) Figura 2.3 97 En esencia, el problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce al de calcular su pendiente en ese punto. Se puede aproximar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante* que pasa por P y por otro punto cercano de la curva, como se muestra en la figura 2.3. Si (c, ƒ(c)) es el punto de tangencia y (c x, ƒ(c x)) es el otro punto de la gráfica de ƒ, la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos se encuentra sustituyendo en la fórmula m x La derivada y el problema de la recta tangente f Sc msec f ScD c xD x f ScD Cambio en y . Cambio en x . Pendiente de la recta secante. El miembro de la derecha en esta ecuación es un cociente de incremento o de diferencias. El denominador x es el cambio (o incremento) en x y el numerador y ƒ(c x) ƒ(c) es el cambio (o incremento) en y. La belleza de este procedimiento radica en que se pueden obtener más aproximaciones y más precisas de la pendiente de la recta tangente tomando puntos de la gráfica cada vez más próximos al punto P de tangencia, como se muestra en la figura 2.4. EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTE En 1637 el matemático René Descartes afirmó lo siguiente respecto al problema de la recta tangente: “Y no tengo inconveniente en afirmar que éste no es sólo el problema de Geometría más útil y general que conozco, sino incluso el que siempre desearía conocer.” x (c, f(c)) y (c, f (c)) x (c, f (c)) x 0 y y (c, f(c)) y x x (c, f(c)) (c, f(c)) y y x x (c, f(c)) (c, f(c)) 0 x Tangent line Recta tangente Tangent line Recta tangente Aproximaciones a la recta tangente Figura 2.4 DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE CON PENDIENTE m Si ƒ está definida en un intervalo abierto que contiene a c y además existe el límite lím x 0 y x lím x 0 f Sc xD x f ScD m entonces la recta que pasa por (c, ƒ(c)) y cuenta con una pendiente m es la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c)). La pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (c, ƒ(c)) se llama también pendiente de la gráfica de f en x c. * El uso de la palabra secante procede del latín secare, que significa cortar, y no es una referencia a la función trigonométrica del mismo nombre. 98 CAPÍTULO 2 Derivación EJEMPLO 1 La pendiente de la gráfica de una función lineal Encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ(x) 2x 3 en el punto (2, 1). y f(x) 3 y 2 2x 3 x ฀1 Solución Para encontrar la pendiente de la gráfica de ƒ cuando c 2, aplicar la definición de la pendiente de una recta tangente como se muestra a continuación: lím x ฀2 f S2 xD x 0 f S2D lím lím m=2 (2, 1) lím 0 x x 1 2 3G x 4 2 x 3 x F2S2D 4 3G 3 2 x x lím 2 3 La pendiente de ƒ en (2, 1) es m xD 0 x 1 F2S2 0 x 0 x 2 2 La pendiente de ƒ en (c, ƒ(c)) Figura 2.5 (2, 1) es m 2, como se observa en la figura 2.5. NOTA En el ejemplo 1, la definición de la pendiente de ƒ por medio de límites concuerda con la definición analizada en la sección P.2. La gráfica de una función lineal tiene la misma pendiente en todos sus puntos. Esto no sucede en las funciones no lineales, como se puede observar en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 2 Calcular las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de y ƒ(x) 4 f(x) = x 2 2 1 Recta tangente en (0, 1) x 1 1 Solución Sea (c, ƒ(c)) un punto cualquiera de la gráfica de ƒ. La pendiente de la recta tangente en él se encuentra mediante: lím 2 x2 en los puntos (0, 1) y ( 1, 2), que se ilustran en la figura 2.6. 3 Recta tangente en ( Rectas tangentes a la gráfica de una función no lineal 1 2 x 0 f Sc xD x f ScD lím x x x c2 2cS xD 2cS xD 0 lím S2c x 1G x 0 lím Figura 2.6 xD 2 0 lím La pendiente de ƒ en un punto cualquiera (c, ƒ(c)) es m 2c FSc 0 Sc 2 S xD 2 x 1D 1 c2 1 S xD 2 x xD 2c. De tal manera, la pendiente en cualquier punto (c, ƒ(c)) de la gráfica de ƒ es m 2c. En el punto (0, 1) la pendiente es m 2(0) 0 y en ( 1, 2) la pendiente es m 2( l) 2. NOTA x 0). Observar que en el ejemplo 2, c se mantiene constante en el proceso de límite (cuando SECCIÓN 2.1 y lím x f Sc xD x 0 (c, f (c)) x La gráfica de ƒ tiene recta tangente vertical en (c, ƒ(c)) Figura 2.7 99 La definición de la recta tangente a una curva no incluye la posibilidad de una recta tangente vertical. Para éstas, se usa la siguiente definición. Si ƒ es continua en c y Recta tangente vertical c La derivada y el problema de la recta tangente f ScD o lím x 0 f Sc xD x f ScD la recta vertical, x c, que pasa por (c, ƒ(c)) es una recta tangente vertical a la gráfica de ƒ, por ejemplo, la función que se muestra en la figura 2.7 tiene tangente vertical en (c, ƒ(c)). Si el dominio de ƒ es el intervalo cerrado [a, b], se puede ampliar la definición de recta tangente vertical de manera que incluya los extremos, considerando la continuidad y los límites por la derecha (para x a) y por la izquierda (para x b). Derivada de una función Se ha llegado a un punto crucial en el estudio del cálculo. El límite utilizado para definir la pendiente de una recta tangente también se utiliza para definir una de las dos operaciones fundamentales del cálculo: la derivación. DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN La derivada de ƒ en x está dada por f SxD lím x f Sx xD x 0 f SxD siempre que exista ese límite. Para todos los x para los que exista este límite, f es una función de x. Observar que la derivada de una función de x también es una función de x. Esta “nueva” función proporciona la pendiente de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto (x, ƒ(x)), siempre que la gráfica tenga una recta tangente en dicho punto. El proceso de calcular la derivada de una función se llama derivación. Una función es derivable en x si su derivada en x existe, y derivable en un intervalo abierto (a, b) si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. Además de ƒ (x), que se lee “ƒ prima de x”, se usan otras notaciones para la derivada de y ƒ(x). Las más comunes son: f SxD, dy , dx y, d F f SxDG, dx Dx F yG. Notaciones para la derivada. La notación dyYdx se lee “derivada de y con respecto a x” o simplemente “dy, dx”. Usando notaciones de límites, se puede escribir dy dx lím x 0 lím x 0 f SxD. y x f Sx xD x f SxD 100 CAPÍTULO 2 Derivación EJEMPLO 3 Cálculo de la derivada mediante el proceso de límite Calcular la derivada de ƒ(x) x3 2x. Solución fx
lím x0 Cuando se use la definición para encontrar la derivada de una función, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO
lím x0
lím x0
lím x0
lím x0
lím x0 f x  x  f x x Definición de derivada. x  x3  2x  x  x3  2x x 3 2 x  3x x  3xx 2  x3  2x  2x  x3  2x x 3x 2x  3xx 2  x3  2x x x 3x 2  3xx  x 2  2 x 3x 2  3xx  x 2  2
3x 2  2 Cabe recordar que la derivada de una función ƒ es en sí una función, misma que puede emplearse para encontrar la pendiente de la recta tangente en el punto (x, ƒ(x)) de la gráfica de ƒ. EJEMPLO 4 Uso de la derivada para calcular la pendiente en un punto Encontrar ƒ (x) para ƒ(x) x. Calcular luego la pendiente de la gráfica de ƒ en los puntos (1, 1) y (4, 2). Analizar el comportamiento de ƒ en (0, 0). Solución Se racionaliza el numerador, como se explicó en la sección 1.3. f x  x  f x x
x  x 
x
lím x0 x fx
lím Definición de derivada. x0 y
lím 3 x0 (4, 2) 2 (1, 1) m (0, 0) 1 1 2 f (x) = x 3 4 La pendiente de ƒ en (x, ƒ(x)), x ฀ 0, es m 1Y?2 x x 
x  x 
x
x  x 
x  x x  x x 
x  x 
x  x lím x0 x 
x x
x  1 lím x0
x x
x x0 x 2
x  x 
x lím 1 4 m  1 ,

x > 0 2
x Figura 2.8 En el punto (1, 1) la pendiente es ƒ (1) ฀ . En el punto (4, 2) la pendiente es ƒ (4) ฀ . Ver la figura 2.8. En el punto (0, 0) la pendiente no está definida. Además, la gráfica de ƒ tiene tangente vertical en (0, 0). SECCIÓN 2.1 La derivada y el problema de la recta tangente 101 En muchas aplicaciones, resulta conveniente usar una variable independiente distinta de x, como se manifiesta en el ejemplo 5. Cálculo de la derivada de una función EJEMPLO 5 Encontrar la derivada de la función y Solución dy dt Considerando y f St lím t t t 0 2t tSt lím y 2 t (1, 2) 0 6 0 2t y Definición de derivada. t t 2St f St 4 En el punto (1, 2) la recta y 2t tangente a la gráfica de y 2Yt 4 es tD 2YSt tD y f StD 2Yt. tD tD Combinar las fracciones del numerador. t 2 t lím t 0 tStDSt tD 2 lím t 0 t St tD 2 . t2 t 4 f StD 2 t 2 lím ƒ(t), se obtiene tD t 0 2Yt respecto a t. 0 Cancelar el factor común t. Simplificar. Evaluar el límite cuando t 0. TECNOLOGÍA Se puede utilizar una herramienta de graficación para corroborar el resultado del ejemplo 5. Es decir, usando la fórmula dyYdt 2Yt2, se sabe que la pendiente de la gráfica de y 2Yt en el punto (1, 2) es m 2. Esto implica que, usando la forma punto-pendiente, una ecuación de la recta tangente a la gráfica en (1, 2) es y Figura 2.9 2 2(t 1) o 2t y 4 como se muestra en la figura 2.9. Derivabilidad y continuidad La siguiente forma alternativa como límite de la derivada es útil al investigar la relación que existe entre derivabilidad y continuidad. La derivada de ƒ en c es y (x, f (x)) f ScD (c, f (c)) x−c f (x) − f (c) lím x Cuando x tiende a c, la recta secante se aproxima a la recta tangente Figura 2.10 x c f SxD x f ScD c Fórmula alternativa de la derivada. siempre que dicho límite exista (ver la figura 2.10). (En el apéndice A se demuestra la equivalencia de ambas fórmulas.) Observe que la existencia del límite en esta forma alternativa requiere que los límites unilaterales x c lím x c f SxD x f ScD c y lím x c f SxD x f ScD c existan y sean iguales. Estos límites laterales se denominan derivada por la izquierda y por la derecha, respectivamente. Se dice que ƒ es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en (a, b) y existen además la derivada por la derecha en a y la derivada por la izquierda en b. 102 CAPÍTULO 2 Derivación y Si una función no es continua en x la función parte entera o mayor entero 2 f SxD 1 1 1 3 2 f (x) = [[x]] 2 lím f SxD x f S0D 0 lím f SxD x f S0D 0 0 x c. Por ejemplo, VxB no es continua en x 0, y en consecuencia no es derivable en x Esto se comprueba con sólo observar que x 2 c, no puede ser derivable en x lím VxB 0 Derivada por la izquierda. x 0 x 0 (ver la figura 2.11). y La función parte entera no es derivable en x 0, ya que no es continua en ese punto Figura 2.11 0 x lím VxB 0 0. x 0 x Derivada por la derecha. Aunque es cierto que derivable implica continua (como se muestra en el teorema 2.1), el recíproco no es cierto. En otras palabras, puede ocurrir que una función sea continua en x c y no sea derivable en x c. Los ejemplos 6 y 7 ilustran tal posibilidad. EJEMPLO 6 La función y f(x) 3 1 m 1 2 3 \x f SxD 2 x 2\ que se muestra en la figura 2.12 es continua en x 1 m 2 Una gráfica con un punto angular lím f SxD x f S2D 2 lím f SxD x f S2D 2 x 1 x 4 2 lím \x 2 x x 2\ 0 2. Sin embargo, los límites unilaterales 1 2 Derivada por la izquierda. y ƒ no es derivable en x 2, porque las derivadas laterales no son iguales x Figura 2.12 2 lím \x 2 x x 2\ 0 2 1 Derivada por la derecha. no son iguales. Por consiguiente, ƒ no es derivable en x recta tangente en el punto (2, 0). EJEMPLO 7 y Una gráfica con una recta tangente vertical La función x 1/3 f (x) ƒ(x) 1 x1Y3 es continua en x x 2 1 1 2 lím x 1 0 f SxD x 0, como se observa en la figura 2.13. Sin embargo, como el límite f S0D 0 lím x ƒ no es derivable en x 0, porque tiene tangente vertical en ese punto 0 lím x Figura 2.13 2 y la gráfica de ƒ no tiene una 0 x1Y3 0 x 1 x 2Y3 es infinito, se puede concluir que la recta tangente en x derivable en x 0. 0 es vertical. Por tanto, ƒ no es En los ejemplos 6 y 7 se puede observar que una función no es derivable en un punto donde su gráfica cuenta con un punto angular o una tangente vertical. SECCIÓN 2.1 TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación utilizan los programas de cálculo Maple, Mathematica y TI89, para realizar una derivación simbólica. Otros la hacen numérica, calculando valores de la derivada mediante la fórmula f x f x  x
f x
x 2x La derivada y el problema de la recta tangente 103 TEOREMA 2.1 DERIVABLE IMPLICA CONTINUA Si ƒ es derivable en x c, entonces ƒ es continua en x c. Para comprobar que ƒ es continua en x c bastará con mostrar que ƒ(x) DEMOSTRACIÓN tiende a ƒ(c) cuando x c. Para tal fin, usar la derivabilidad de ƒ en x c considerando el siguiente límite. donde x es un número pequeño como 0.001. ¿Observa algún problema con esta definición? Por ejemplo, usándola ¿cuál sería la derivada de ƒ(x) UxU en x 0?  f xx

cf c f x
f c 
lím x
c
lím x
c 
lím  f x
f c  lím x
c x
c x
c x
c x
c  0 f c 0 Puesto que la diferencia ƒ(x) ƒ(c) tiende a cero cuando x lím f x  f c). De tal manera, ƒ es continua en x c. c, se puede concluir que x
c Los siguientes enunciados expresan en forma resumida la relación que existe entre continuidad y derivabilidad: 1. 2. 2.1 Si una función es derivable en x c, entonces es continua en x c. Por tanto, derivable implica continua. Es posible que una función sea continua en x c sin ser derivable. En otras palabras, continua no implica derivable (ver el ejemplo 6). Ejercicios En los ejercicios 1 y 2, estimar la pendiente de la curva en los puntos (x1, y1) y (x2, y2). 1. a) Con el fin de resolver los ejercicios 3 y 4, utilizar la gráfica que se muestra a continuación. b) y y y (x1, y1) (x2, y2) (x2, y2) (x1, y1) x x 6 5 4 3 2 1 (4, 5) f (1, 2) x 1 2 3 4 5 6 3. 2. a) b) y y 4. (x1, y1) (x2, y2) x x (x1, y1) Identificar o trazar en la figura cada una de las cantidades siguientes. a) f 1 y f 4 c) f 4
f 1 x
1  f 1 y 4
1 b) f 4
f 1 Escribir un símbolo de desigualdad ( o ) entre las cantidades dadas. a) f 4
f 3 f 4
f 1 4
1
4
3 b) f 4
f 1 f 1 4
1
(x2, y2) 104 CAPÍTULO 2 Derivación En los ejercicios 5 a 10, encontrar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado. 5. f x
 3  5x, 1, 8
7. gx
 x 2  9, 2, 5
9. f t
 3t  t 2, 0, 0
y 41. 5 4 3 2 1 6. gx
 32 x
1, 2, 2
8. gx
 6  x 2, 1, 5
10. ht
 t 2
3, 2, 7
y 42. 5 4 3 2 f f x x 1 2 3 4 5 1 3 2 1 2 3 1 En los ejercicios 11 a 24, encontrar la derivada mediante el proceso de límite. 11. f x
 7 13. f x
 10 x 2 3s gx
 3 14. f x
 3x
2 16. f x
 8  1 5x 15. hs
 3
17. f x
 x
x  3 18. f x
 2  x 2 19. f x
 x 3  12x 20. f x
 x 3
x 2 21. f x
 22. f x
 23. f x
 x
4 24. f x
 2 1 x1 26. 27. 29. 31. 1, 4
f x
 x 2
3x
4, 2, 2
f x
 x 3, 2, 8
28. f x
 x, 1, 1
30. 4 f x
 x
, 4, 5
32. x 33. f x
 x 2 34. f x
 2 x 35. 36. f x
 x 3 f x
 x 3
2 1 f x
 x 1 f x
 x  1 38. 2 f x
 x 3
1, 1, 2
f x
 x  1, 5, 2
1 , 0, 1
f x
 x
1 f f x x 3 2 3 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 3 43. La recta tangente a la gráfica de y g(x) en el punto (4, 5) pasa por el punto (7, 0). Encontrar g(4) y g (4). 44. La recta tangente a la gráfica de y h(x) en el punto ( 1, 4) pasa por el punto (3, 6). Encontrar h( 1) y h ( 1). Desarrollo de conceptos En los ejercicios 45 a 50, construir la gráfica de ƒ y explicar cómo se obtuvo la respuesta. 2x  y
1  0 45. 2 3 4 4 5 6 2 2 4 2 f f 6 47. f 48. y 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 1 y 7 6 f 4 3 2 1 x x 1 4 6 y 3 2 x 1 2 2 x
2y
7  0 5 4 3 2 1 y x x
2y  6  0 40. 46. y 2 1 3x  y
1  0 3x  y  4  0 1 2 3 2 3 3 2 1 Recta x 3 2 y d) 3 2 1 4x
y
3  0 f 2 y c) y 3 2 1 1 2 3 1 4 x En los ejercicios 39 a 42, se muestra la gráfica de ƒ. Seleccionar la gráfica de ƒ . 39. x 3 2 1 2 3 4 5 f x
 x 2
3, Función f f 1 En los ejercicios 33 a 38, encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ y paralela a la recta dada. 37. 4 3 2 x 1 x2 y b) 5 4 3 2 1 En los ejercicios 25 a 32, a) encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto indicado, b) utilizar una herramienta de graficación para dibujar la gráfica, la función y su recta tangente en dicho punto y c) aplicar la función derivada de una herramienta de graficación con el fin de verificar sus resultados. 25. y a) 12. 1 2 3 4 5 6 7 f x 1 2 3 4 5 6 7 8 SECCIÓN 2.1 y y 50. 6 6 4 2 3 f f 2 4 4  3 2  1 1 2 3 51. Construir la gráfica de una función cuya derivada siempre sea negativa. Explicar. 52. Construir la gráfica de una función cuya derivada siempre sea positiva. Explicar el razonamiento. a) g S0D J b) g S3D J c) ¿Qué se puede concluir de la gráfica de g, sabiendo que 8 g S1D 3? d) ¿Qué se puede concluir de la gráfica de g, sabiendo que 7 g S 4D 3? En los ejercicios 53 a 56, el límite representa a ƒ (c) para una función ƒ y un número c. Encontrar ƒ y c. F5 53. lím xDG 2 x x2 x 55. lím 6 x 3S1 0 x xD3 x 0 x 36 6 S 2 54. lím e) g(6) g(4) ¿es positiva o negativa? Explicar la respuesta. ƒ) ¿Es posible encontrar g(2) a partir de la gráfica? Explicar la respuesta. 8 65. Análisis gráfico 2
x 6 9 x 9 56. lím x f S0D 58. f S0D 2; f SxD 3, < x < 4; f S0D 0; f SxD < 0 para x < 0; 66. f SxD > 0 para x > 0 59. f S0D 0; f S0D 0; f SxD > 0 si x 60. Suponer que ƒ (c) 3. Encontrar ƒ ( c) si: a) ƒ es una función impar y b) ƒ es una función par. f SxD 62. f SxD x2 4x x2 (2, 5) 5 10 8 6 4 4 3 gXxC 2 x 1 x 1 2 3 6 4 2 2 4 5 4 6 ฀ 3) 63. Razonamiento gráfico Utilizar una herramienta de graficación para representar cada una de las funciones y sus rectas tangentes en x 1, x 0 y x 1. Con base en los resultados, determinar si las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de una función en distintos valores de x siempre son distintas. a) ƒ(x) x2 b) g(x) x3 Para discusión 64. Razonamiento gráfico de g . x2. Análisis gráfico Considerar la función f ( x ) 1 3 x 3. Razonamiento gráfico En los ejercicios 67 y 68, representar en una misma ventana de la herramienta de graficación las gráficas de ƒ y g y describir la relación entre ellas. y y 1 2 a) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar los valores de f (0), f ( 12 ), f (1), f (2) y f (3). b) Utilizar los resultados de la parte a) para determinar los valores de f ( 12 ) , f ( 1), f ( 2) y f ( 3) . c) Trazar una posible gráfica de f . d) Utilizar la definición de derivada para determinar f (x). 0 En los ejercicios 61 y 62, encontrar las ecuaciones de dos rectas tangentes a la gráfica de ƒ que pasen por el punto señalado. 61. Considerar la función f ( x ) a) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y estimar los valores de f (0), f ( 12 ), f (1) y f (2). b) Utilizar los resultados de la parte a) para determinar los valores de f ( 12 ) , f ( 1) y f ( 2). c) Trazar una posible gráfica de f . d) Utilizar la definición de derivada para determinar f (x). En los ejercicios 57 a 59, identificar una función ƒ que tenga las características señaladas. Representarla gráficamente. 57. 6 4 6 2 2 4 6 4 x 8 g x 1 x 8 y 4 4 105 Para discusión (continuación) Desarrollo de conceptos (continuación) 49. La derivada y el problema de la recta tangente f Xx 0.01C 0.01 f XxC . Clasificar las gráficas y describir la relación entre ellas. 67. f SxD 2x x2 68. f SxD 3
x En los ejercicios 69 y 70, evaluar ƒ(2) y ƒ(2.1), y utilizar los resultados para estimar ƒ (2). 69. f SxD xS4 xD 70. f SxD 1 3 4x Razonamiento gráfico En los ejercicios 71 y 72, utilizar una herramienta de graficación para representar la función y su derivada en la misma ventana. Clasificar las gráficas y describir la relación que existe entre ellas. En la figura se muestra la gráfica 71. f SxD 1
x 72. f SxD x3 4 3x 106 CAPÍTULO 2 Derivación En los ejercicios 73 a 82, utilizar la forma alterna para calcular la derivada en x c (si existe). 73. f x x2 5, c 3 75. f x x3 2x 2 1, c 76. f x x3 6x, c  77. gx x, c 78. f x 2x, 79. f x x x x 80. gx 81. hx 74. gx xx 1, c 1 2 2 0 623, c 3 6 13 , c 3 7, c 7 2 f x 82. 84. 3 x x f x 6, c x 2 f x 9 12 10 4 2 6 2 4 x 2 2 f x x 4 23 86. f x x2 2 x 5 4 3 2 4 x 6 4 x 88. 1 f x
x2 4 3 4 2 2 4, x 2, 4 x 4 91. f x x25 92. f x
xx 5 3 2 3x2 2x, f XxC  x2 4x f SxD x,x , x 1 x > 1 2 1, 3, x 2 x > 2 98. f SxD  1 2x 1,
2x , x < 2 x 2 99. Razonamiento gráfico Una recta de pendiente m pasa por el punto (0, 4) y tiene ecuación y mx 4. a) Escribir la distancia d que hay entre la recta y el punto (3, 1) como función de m. b) Utilizar una herramienta de graficación para representar la función d del apartado a). Basándonos en la gráfica, ¿es esa función derivable para todo valor de m? Si no es así, especificar en dónde no lo es. x2 y Tomando en cuenta las funciones ƒ(x) a) Dibujar la gráfica ƒ y ƒ sobre el mismo conjunto de ejes. b) Dibujar la gráfica g y g sobre el mismo conjunto de ejes. c) Identificar un patrón entre ƒ y g y sus respectivas derivadas. Utilizarlo para hacer conjeturas respecto a h (x) si h(x) xn, donde n es un número entero mayor o igual y n 2. d) Encontrar ƒ (x) si ƒ(x) x4. Comparar el resultado con la conjetura del apartado c). ¿Esto comprueba la conjetura? Explicar la respuesta. 104. Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en él. 4 105. Sean f SxD Análisis gráfico En los ejercicios 89 a 92, utilizar una herramienta de graficación para encontrar los valores de x en los que ƒ es derivable. x x 1 96. x > 1 101. La pendiente de la recta tangente a una función derivable ƒ en xD f S2D el punto (2, ƒ(2)) es f S2 . x 102. Si una función es continua en un punto, entonces es derivable en él. 4 f x x2 x ≤ 0 x > 0 x 89.
1 103. Si una función tiene derivadas laterales por la derecha y por la izquierda en un punto, entonces es derivable en él. 1 3 f SxD 3 y 2 1D3, 1D 2, 94. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 101 a 104, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Para las que sean falsas, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre. 3 4 4 y 1 SSxx 1\ x 2 2 f x 4 y y 87. 4 4 4 85. f SxD 100. Conjetura g(x) x3: 6 4 2 x 4 95. \x 6 y y 2 f SxD 97. En los ejercicios 83 a 88, describir los valores x para los que ƒ es derivable. 83. 93. En los ejercicios 97 y 98, determinar si la función es derivable en x 2. 5 c En los ejercicios 93 a 96, calcular las derivadas laterales en x 1 (si existen). ¿Es derivable la función en x 1? 90. 3x, x ≤ 1 x > 1 f x 4x x 3 1 x sen , x x 0, x  0 0 y g SxD 1 x 2 sen , x x 0, x  Demostrar que ƒ es continua, pero no derivable, en x mostrar que g es derivable en 0 y calcular g (0). 0 . 0 0. De- 106. Redacción Utilizar una herramienta de graficación para representar las funciones ƒ(x) x2 1 y g(x) UxU 1 en la misma ventana. Utilizar las funciones zoom y trace para analizarlas cerca del punto (0, 1). ¿Qué se observa? ¿Cuál función es derivable en ese punto? Escribir un pequeño párrafo describiendo el significado geométrico de la derivabilidad en un punto. SECCIÓN 2.2 2.2 Reglas básicas de derivación y razón de cambio 107 Reglas básicas de derivación y razón de cambio ■ ■ ■ ■ ■ ■ Encontrar la derivada de una función por la regla de la constante. Encontrar la derivada de una función por la regla de la potencia. Encontrar la derivada de una función por la regla del múltiplo constante. Encontrar la derivada de una función por las reglas de suma y diferencia. Encontrar la derivada de las funciones seno y coseno. Usar derivadas para calcular razón de cambio. La regla de la constante y En la sección 2.1 se usó la definición por medio de límites para calcular las derivadas. Ésta y las dos próximas secciones presentan varias “reglas de derivación” que permiten calcular las derivadas sin el uso directo de la definición por límites. La pendiente de una recta horizontal es 0 f(x) La derivada de una función constante es 0 TEOREMA 2.2 LA REGLA DE LA CONSTANTE c x Se observa que la regla de la constante equivale a decir que la pendiente de una recta horizontal es 0. Esto demuestra la relación que existe entre derivada y pendiente Figura 2.14 La derivada de una función constante es 0. Es decir, si c es un número real, entonces d c  0. dx (Ver la figura 2.14) Sea ƒ(x) DEMOSTRACIÓN de límite, se deduce que c. Entonces, por la definición de derivada mediante el proceso d c  fx
dx  lím f x  x
 f x
x  lím cc x x x 0 0  lím 0  0 x 0 EJEMPLO 1 Aplicación de la regla de la constante Función Derivada dy 0 dx fx
 0 a) y  7 b) f x
 0 c) st
 3 d) y  k 2,
k es constante st
 0 y  0 EXPLORACIÓN Conjetura Utilizar la definición de derivada de la sección 2.1 para encontrar la derivada de las siguientes funciones. ¿Qué patrones se observan? Utilizar los resultados para elaborar una conjetura acerca de la derivada de ƒ(x) xn. a) ƒ(x) d) ƒ(x) x1 x4 b) e) ƒ(x) ƒ(x) x2 x1 2 c) ƒ(x) ƒ) ƒ(x) x3 x 1 108 CAPÍTULO 2 Derivación La regla de la potencia Antes de demostrar la próxima regla, revisar el proceso de desarrollo de un binomio. x x x 2 x2 2x x x 3 3 2 x 3x x 3x x 2 x 2 x 3 El desarrollo general del binomio para un entero positivo n cualquiera es x x n xn 1 nx n nn x 1 xn 2 2 x . . . 2 x n. ( x)2 es un factor común en estos términos. Este desarrollo del binomio se va a utilizar para demostrar un caso especial de la regla de la potencia. TEOREMA 2.3 LA REGLA DE LA POTENCIA Del ejemplo 7 de la sección 2.1, se encontró que la función f(x) x1 3 está definida en x 0 pero no es derivable en x ฀ 0. Esto se debe a que x 2 3 no está definida sobre un intervalo que contiene al cero. NOTA Si n es un número racional, entonces la función ƒ(x) d n x dx xn es derivable y 1. nx n 1 Para que ƒ sea derivable en x 0, n debe ser un número tal que xn definido en un intervalo que contenga al 0. se encuentre Si n es un entero positivo mayor que 1, entonces del desarrollo del binomio DEMOSTRACIÓN resulta d n x dx lím x xn x x 0 xn nx n xn 1 lím x x 0 nx n 1 nx n 1. x 2 . . . x n xn x 0 lím 2 1 xn 2 nn x nx n 0 1 nn . . . 1 2 xn 2 ฀ x . . . x n 1 0 Esto demuestra el caso en que n es un entero positivo mayor que 1. Se deja al lector la demostración del caso n 1. En el ejemplo 7 de la sección 2.3 se demuestra el caso para el que n es un entero negativo. En el ejercicio 76 de la sección 2.5 se demuestra el caso en el cual n es racional (en la sección 5.5 la regla de la potencia se extenderá hasta abarcar los valores irracionales de n). y 4 3 y x Al utilizar la regla de la potencia, resulta conveniente separar el caso para el que n como otra regla distinta de derivación, a saber 2 1 x 1 2 3 La pendiente de la recta y Figura 2.15 d x dx 1. Regla de las potencias para n 1 1. 4 x es 1 Esta regla es congruente con el hecho de que la pendiente de la recta y muestra en la figura 2.15. x es 1, como se SECCIÓN 2.2 109 Reglas básicas de derivación y razón de cambio EJEMPLO 2 Aplicación de la regla de la potencia a) Función Derivada f x x3 f x) 3 x  g x b) gx 1 x2 c) y 3x 2 d 13
x  dx d
x 2 dx dy dx 1 x 3  2x 1 3x 23 2 x3 23 3 Observar que en el ejemplo 2c, antes de derivar se ha reescrito l x2 como x 2. En muchos problemas de derivación, el primer paso consiste en reescribir la función. f(x) Reescribir: Dada: 1 y x2 y x4 y x Simplificar 2 dy dx x3 Derivar: dy dx 2  2x 3 2 EJEMPLO 3 1 ( 1, 1) (1, 1) x (0, 0) 1 1 Observar que la pendiente es negativa en el punto ( 1, 1), cero en el (0, 0) y positiva en el (1, 1) Calcular la pendiente de la gráfica de ƒ(x) x4 cuando a) x 1. b) x 1 0 c) x Solución La pendiente de una gráfica en un punto es igual a la derivada en dicho punto. La derivada de ƒ es ƒ (x) 4x3. a) Para x 1, la pendiente es ƒ ( 1) b) Para x c) Para x Figura 2.16 Pendiente de una gráfica 0, la pendiente es ƒ (0) 1, la pendiente es ƒ (1) 4( 1)3 3 4(0) 4(1)3 4. 0. 4. La pendiente es negativa. La pendiente es 0. La pendiente es positiva. Ver la figura 2.16. EJEMPLO 4 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ(x) y f(x) ( 2, 4) Ecuación de una recta tangente x2 Solución 4 x2 cuando x Para encontrar el punto sobre la gráfica de ƒ, evaluar la función en x ( 2, ƒ( 2)) ( 2, 4) 2. 2. Punto de la gráfica. 3 Para calcular la pendiente de la gráfica en x x 2. 2 m 1 x 2 y 1 4x 4 Pendiente de la gráfica en ( 2, 4). Ahora, utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, escribir 2 4 La recta tangente y 4x 4 es tangente a la gráfica de ƒ(x) x2 en el punto ( 2, 4) Figura 2.17 ƒ ( 2) 2, evaluar la derivada, ƒ (x) y y y1 4 y mx x1 4
x  2 4x 4. Ver la figura 2.17. Forma punto-pendiente. Sustituir y1, m y x1. Simplificar. 2x, en 110 CAPÍTULO 2 Derivación La regla del múltiplo constante TEOREMA 2.4 LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si ƒ es una función derivable y c un número real, entonces cƒ también es derivable d y cf x cf x . dx DEMOSTRACIÓN d cf x dx lím ฀ x cf x lím c x ฀ x x f x f x x x f x 0 x cf x f x 0 lím c x x 0 Definición de derivada. Aplicar teorema 1.2. cf x De manera informal, esta regla establece que las constantes se pueden extraer de la derivada, incluso cuando aparecen en un denominador. d cf x dx c d dx d f x dx c d dx f x cf x 1 f x c 1 d c dx 1 f x c f x EJEMPLO 5 Aplicación de la regla del múltiplo constante Función a) y b) f t c) y d) y e) y Derivada 2 x dy dx 4t 2 5 f t dy dx dy dx 2 x 1 2 3 x2 3x 2 y d 2x 1 dx d 4 2 t dt 5 d 2x1 2 dx d 1 x dx 2 d dx 2 3 3 ฀x 2 d 2 x 1 2 1x 2 dx x2 4 d 2 4 8 t 2t t 5 dt 5 5 1 1 2 x 12 x 12 2 x 1 2 1 x 53 2 3 3x5 3 2 3 1 2 3 2 La regla del múltiplo constante y la de la potencia se pueden combinar en una sola. La regla resultante es d n cx dx cnx n 1. SECCIÓN 2.2 Función original y b) y c) y d) y 111 Uso de paréntesis al derivar EJEMPLO 6 a) Reglas básicas de derivación y razón de cambio Reescribir 5 2x 3 5 2x 3 7 3x 2 7 3x 2 y y y y Derivar 5 3 x 2 5 3 x 8 7 2 x 3 5 3x 2 5 3x 8 7 2x 3 y y y 63 x 2 Simplificar 4 y 4 y y 63 2x y y 15 2x 4 15 8x 4 14x 3 126x Las reglas de suma y diferencia TEOREMA 2.5 LAS REGLAS DE SUMA Y DIFERENCIA La derivada de la suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables ƒ y g es derivable en sí. Además, la derivada de ƒ g (o ƒ g) es igual a la suma (o diferencia) de las derivadas de ƒ y g. d f x dx gx f x g x Regla de la suma. d f x dx gx f x g x Regla de la diferencia. Una demostración de la regla de la suma se sigue del teorema 1.2 (la de la DEMOSTRACIÓN diferencia se demuestra de manera análoga). d f x dx lím gx f x x gx f x x gx x lím lím f x 0 x lím f x 0 x f x x f x gx gx x x gx x 0 x gx x 0 x f x x x x x f x f x lím x 0 gx x x gx g x Las reglas de suma y diferencia pueden ampliarse en cualquier número finito de funciones. Por ejemplo, si F(x) f(x) g(x) h(x), entonces F (x) ƒ (x) g (x) h (x). EJEMPLO 7 Aplicación de las reglas de suma y diferencia Función a) b) f x gx Derivada x3 4x 4 x 2 3x 3 f x 5 2x g x 3x 2 2x 3 4 9x 2 2 112 CAPÍTULO 2 Derivación PARA MAYOR INFORMACIÓN El esbozo de una demostración geométrica de las derivadas de las funciones seno y coseno puede consultarse en el artículo “The Spider’s Spacewalk Derivation of sin and cos ” de Tim Hesterberg en The College Mathematics Journal. Derivadas de las funciones seno y coseno En la sección 1.3 se vieron los límites siguientes: lím x 0 sen x x 1 y lím x 1 0 cos x x 0 Estos dos límites pueden utilizarse para demostrar las reglas de derivación de las funciones seno y coseno (las derivadas de las demás funciones trigonométricas se analizan en la sección 2.3). TEOREMA 2.6 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO d sen x dx y 0 y y sen x y 1 y 1 1 x d sen x dx 2 2 1 y y decreciente 0 y creciente y positiva 0 x y negativa y positiva x 2 2 y sen x Esta regla de derivación se ilustra en la figura 2.18. Observar que para cada x, la pendiente de la curva seno es igual al valor del coseno. La demostración de la segunda regla se deja como ejercicio (ver el ejercicio 120). EJEMPLO 8 Derivadas que contienen senos y cosenos Función 2 3 sen x 2 a) y b) y −

−2 y = sen x y = 1 sen x 2 d a sen x dx Figura 2.19 a cos x sen x 0 cos x Figura 2.18 y = 2 sen x Definición de derivada. 0 cos x 1 cos x La derivada de la función seno es la función coseno y= sen x x x sen x cos x cos x sen x sen x x cos x sen x sen x 1 cos x lím x 0 x sen x 1 cos x sen x lím cos x x 0 x x sen x 1 cos x cos x lím sen x lím x 0 x 0 x x x y 1 lím lím y creciente sen x DEMOSTRACIÓN 1 y d cos x dx cos x c) y Derivada 2 sen x sen x 1 sen x 2 2 y cos x y x y 2 cos x 1 cos x 2 1 cos x 2 sen x TECNOLOGÍA Una herramienta de graficación permite visualizar la interpretación de una derivada. Por ejemplo, en la figura 2.19 se muestran las gráficas de y a sen x para a ฀ , 1, y 2. Estimar la pendiente de cada gráfica en el punto (0, 0). Después verificar los cálculos de manera analítica mediante el cálculo de la derivada de cada función cuando x 0. SECCIÓN 2.2 Reglas básicas de derivación y razón de cambio 113 Razón de cambio Ya se ha visto que la derivada se utiliza para calcular pendientes. Pero también sirve para determinar la razón de cambio de una variable respecto a otra, lo que le confiere utilidad en una amplia variedad de situaciones. Algunos ejemplos son las tasas de crecimiento de poblaciones, las tasas de producción, las tasas de flujo de un líquido, la velocidad y la aceleración. Un uso frecuente de la razón de cambio consiste en describir el movimiento de un objeto que va en línea recta. En tales problemas, la recta del movimiento se suele representar en posición horizontal o vertical, con un origen marcado en ella. Sobre tales rectas, el movimiento hacia la derecha (o hacia arriba) se considera de dirección positiva y el movimiento hacia la izquierda (o hacia abajo) de dirección negativa. La función s que representa la posición (respecto al origen) de un objeto como función del tiempo t se denomina función de posición. Si durante cierto lapso de tiempo t el objeto cambia su posición en una cantidad s s(t t) s(t), entonces, empleando la consabida fórmula: distancia tiempo Razón la velocidad media es Cambio en distancia Cambio en tiempo ฀ s . t Velocidad media. EJEMPLO 9 Velocidad media de un objeto en su caída Si se deja caer una bola de billar desde una altura de 100 pies, su altura s en el instante t se representa mediante la función posición s 16t2 100 Función posición. donde s se mide en pies y t en segundos. Encontrar su velocidad media para cada uno de estos intervalos. a) [1, 2] b) [1, 1.5] c) [1, 1.1] Solución a) En el intervalo [1, 2], el objeto cae desde una altura de s(l) 16(1)2 100 84 pies 2 hasta una altura de s(2) 16(2) 100 36 pies. La velocidad media es Richard Megna Fundamental Photographs s t Exposición fotográfica de larga duración de una bola de billar en caída libre. 36 2 84 1 48 1 48 pies por segundo. b) En el intervalo [1, 1.5] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 64 pies. La velocidad media es s t 64 1.5 84 1 20 0.5 40 pies por segundo. c) En el intervalo [1, 1.1] el objeto cae desde una altura de 84 pies hasta una altura de 80.64 pies. La velocidad media es s t 80.64 1.1 84 1 3.36 0.1 33.6 pies por segundo. Observar que las velocidades medias son negativas, lo que refleja el hecho de que el objeto se mueve hacia abajo. 114 CAPÍTULO 2 Derivación s Supongamos que en el ejemplo anterior se quisiera encontrar la velocidad instantánea (o simplemente de la velocidad) del objeto cuando t 1. Al igual que la pendiente de la recta tangente puede aproximarse utilizando las pendientes de rectas secantes, se puede aproximar la velocidad en t 1 por medio de las velocidades medias durante un pequeño intervalo [1, 1 t] (ver la figura 2.20). Se obtiene dicha velocidad calculando el límite cuando t tiende a cero. Al intentar hacerlo se puede comprobar que la velocidad cuando t 1 es de 32 pies por segundo. En general, si s s(t) es la función posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su velocidad en el instante t es Recta tangente P Recta secante t1 t 1 t2 La velocidad media entre t1 y t2 es igual a la pendiente de la recta secante. La velocidad instantánea en t1 es igual a la pendiente de la recta tangente Figura 2.20 vt st lím t t st t 0 s t. Función velocidad. En otras palabras, la función velocidad es la derivada de la función posición. La velocidad puede ser positiva, cero o negativa. La rapidez de un objeto se define como el valor absoluto de su velocidad, y nunca es negativa. La posición de un objeto en caída libre (despreciando la resistencia del aire) bajo la influencia de la gravedad se obtiene mediante la ecuación st 1 2 gt 2 v0t s0 Función posición. donde s0 es la altura inicial del objeto, v0 la velocidad inicial y g la aceleración de la gravedad. En la Tierra, el valor de g es de aproximadamente 32 pies. EJEMPLO 10 Aplicación de la derivada para calcular la velocidad En el instante t 0, un clavadista se lanza desde un trampolín que está a 32 pies sobre el nivel del agua de la piscina (ver la figura 2.21). La posición del clavadista está dada por 32 pies s(t) l6t2 16t 32 Función posición. donde s se mide en pies y t en segundos. a) ¿Cuánto tarda el clavadista en llegar al agua? b) ¿Cuál es su velocidad al momento del impacto? Solución a) Para determinar el momento en que toca el agua hacemos s La velocidad es positiva cuando un objeto se eleva, y negativa cuando desciende. Se observa que el clavadista se mueve hacia arriba durante la primera mitad de segundo, porque la velocidad es positiva para 0 t . Cuando la velocidad es de 0, el clavadista ha alcanzado la altura máxima del salto Figura 2.21 16t 2 16 t 0 y despejamos t. 16t 32 0 Igualar a cero la función posición. 1 t 2 0 Factorizar. t 1o 2 Despejar t. Como t ฀0, hemos de seleccionar el valor positivo, así que el clavadista llega al agua en t 2 segundos. b) Su velocidad en el instante t está dada por la derivada s (t) cuencia, su velocidad en t 2 es s (2) 32(2) 16 48 pies por segundo. 32t ฀16. En conse- SECCIÓN 2.2 2.2 a) y
x12 b) y
x3 Función original 28. y 29. y y y 30. 2 2 1 1 (1, 1) (1, 1) x a) 1 2 b) y
x12 2 (1, 1) 1 (1, 1) 1 x 1 2 x 3 1 2 En los ejercicios 3 a 24, usar las reglas de derivabilidad para calcular la derivada de la función. x x 4 x3 Punto 31. 8 f x
 2 x 2, 2
32. f t
 3  33. f x
  2
5x 3 0,  12
34. y  3x 3  10 35. y  4x
1
2 36. f x
 35  x
2 37. f 
 4 sen    38. gt
  2 cos t
5 2, 14
0, 1
5, 0
0, 0
, 7
3 5t 1 En los ejercicios 39 a 54, encontrar la derivada de cada función. 39. f x
 x 2
5  3x 2 41. gt
 t 2  y
12 4. f x

9 5. y
x7 6. y
x 16 7. y
1 x5 8. y
9. 5 f x

 x 10. 4 gx

 x f x

x  11 12. 14. gx

3x  1 45. y
t 2  2t  3 47. y  xx 2
1
f t

2t 2  3t  6 2 1 x8 43. x3 35, 2
7 3. 11. 13. Simplificar  3x
2 y 2 Derivar Función 2 y
x1 y y Reescribir En los ejercicios 31 a 38, encontrar la pendiente de la gráfica de la función en el punto indicado. Utilizar la función derivative de una herramienta de graficación para verificar los resultados. x 1 2. 4 t3 4x3  3x2 x x 3  3x 2
4 f x
 x2 f x  40. f x
 x 2  3x  3x2 42. f x
 x
44. 46. 1 x2 x3  6 x2 2x 2  3x
1 hx
 x f x  48. y  3x6x  5x 2
15. gx
x  16. y
8 49. 3 f x
 x  6  x 50. 3 5 f x
  x
 x 17. s t
t 3  5t 2  3t  8 18. f x
2x 3  x 2  3x 51. hs
 52. f t
 t 23  t13
4 19. y
 sen   cos  2 20. g t
 cos t 53. f x
 6x
5 cos x 54. f x
 1 2 4x 3 21. y
x 2  cos x 22. y
7  sen x 23. y
1  3 sen x x 24. y
5 2x 3  2 cos x En los ejercicios 25 a 30, completar la tabla. Función original 25. 115 Ejercicios En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica para estimar la pendiente de la recta tangente a y xn en el punto (1, 1). Verificar la respuesta de manera analítica. 1. Reglas básicas de derivación y razón de cambio 5 y
2 2x y
27. 6 y
5x Derivar 3  s 23 2 3  x
3 cos x En los ejercicios 55 a 58, a) encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ƒ en el punto indicado, b) utilizar una herramienta de graficación para representar la función y su recta tangente en el punto, y c) verificar los resultados empleando la función derivative de su herramienta de graficación. Simplificar Función Punto 56. y  x 4  3x 2
2 y  x3
x 1, 0
1, 2
57. f x
 58. y  x 2
2x
x
1
55. 2 3x 2 26. Reescribir s 45 2 4 3  x 1, 2
1, 6
116 CAPÍTULO 2 Derivación En los ejercicios 59 a 64, determinar los puntos (si los hay) donde la gráfica de la función tiene una recta tangente horizontal. Desarrollo de conceptos (continuación) En los ejercicios 75 y 76, se muestran las gráficas de la función ƒ y de su derivada ƒ en el mismo plano cartesiano. Clasificar las gráficas como f o ƒ y explicar en un breve párrafo los criterios empleados para hacer tal selección. 59. y
x 4  2x 2  3 60. y
x3  x 61. y
62. y
x2  9 63. y
x  sen x, 64. y

3x  2 cos x, 1 x2 75. 76. y 0 ≤ x < 2 y 2 1 3 0 ≤ x < 2 x 1 2 1 x En los ejercicios 65 a 70, encontrar una k tal que la recta sea tangente a la gráfica de la función. 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 2 Recta Función 65. f x
x 2  kx y
5x  4 66. f x
k  x y
6x  1 67. k f x
x 3 y
 x3 4 68. f x
k
x y
x4 69. f (x)  kx3 yx 70. f x  kx4 y  4x  1 71. Bosquejar la gráfica de una función ƒ tal que ƒ 0 para todas las x y cuya razón de cambio de la función sea decreciente. 2 77. Construir las gráficas de las ecuaciones y x2 y y x2 ฀ 6x 5, así como las dos rectas que son tangentes a ambas gráficas. Encontrar las ecuaciones de dichas rectas. 78. Demostrar que las gráficas de y xyy lYx tienen rectas tangentes perpendiculares entre sí en su punto de intersección. 79. Demostrar que la gráfica de la función 1 f x
3x  sen x  2 no tiene ninguna recta tangente horizontal. 80. Para discusión 72. Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas. f x
x5  3x3  5x no tiene una recta tangente con pendiente de 3. y En los ejercicios 81 y 82, encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función ƒ que pasa por el punto (x0, y0), no perteneciente a la gráfica. Para determinar el punto de tangencia (x, y) en la gráfica de ƒ, resolver la ecuación f B C A D E x a) ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón de cambio promedio de la función? b) ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor o menor que la razón de cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio promedio de la función entre C y D. Desarrollo de conceptos En los ejercicios 73 y 74 se muestra la relación que existe entre ƒ y g. Explicar la relación entre ƒ y g . 73. g(x) 74. g(x) Demostrar que la gráfica de la función ƒ(x) 6 fx  y0
y . x0
x 81. f x

x x0, y0
4, 0 82. f  x
2 x x0, y0
5, 0 83. Aproximación lineal En una ventana cuadrada de la herramienta de graficación, aplicar el zoom para aproximar la gráfica de f x
4  12 x 2 a fin de estimar ƒ (1). Calcular ƒ (1) por derivación. 84. Aproximación lineal En una ventana cuadrada de la herramienta de graficación, aplicar el zoom para aproximar la gráfica de f x
4
x  1 5 ƒ(x) a fin de estimar ƒ (4). Calcular ƒ (4) por derivación. SECCIÓN 2.2 a) Utilizar una herramienta de graficación para representar ƒ. Usar el zoom para ampliar el entorno del punto (4, 8). Tras varias ampliaciones, la gráfica aparecerá casi lineal. Utilizar la función trace para determinar las coordenadas de un punto de la gráfica próximo al (4, 8). Encontrar la ecuación de la secante S(x) que une esos dos puntos. b) Encontrar la ecuación de la recta 4) x 3 2 1 0.5 0.1 0.1 0.5 1 2 3 0 f 4 1 x T 4 1 x x a) Determinar las funciones que describen la posición y la velocidad de la moneda. b) Calcular su velocidad promedio en el intervalo [1, 2]. c) Encontrar las velocidades instantáneas cuando t 1y t 2. d) Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo. e) Determinar su velocidad al caer en el suelo. ƒ(4) tangente a la gráfica de f que pasa por el punto dado. ¿Por qué las funciones lineales S y T son casi iguales? c) Representar ƒ y T en la misma ventana de la herramienta de graficación. Observar que T es una buena aproximación de ƒ cuando x es cercano a 4. ¿Qué ocurre con la precisión de esta aproximación a medida que el punto de tangencia se aleja? d) Demostrar la conclusión obtenida en el apartado c) completando la tabla. f 4 1 x T 4 1 x 86. Aproximación lineal Repetir el ejercicio 85 empleando ahora la función ƒ(x) x3, donde T(x) es la recta tangente en el punto (1, 1). Explicar por qué la precisión de la aproximación lineal disminuye más rápido que en el ejercicio anterior. 98. Si fx  gx, entonces f x  gx. 88. Si f x  gx  c, entonces fx  gx.
2, 99. Si y  90. Si y  x
, entonces dydx  1
. 91. Si gx  3 f x, entonces g x  3fx. 92. Si f x  1x n, entonces f x  1nx n1. Se lanza un proyectil hacia arriba desde la superficie terrestre con una velocidad inicial de 120 mYs. ¿Cuál es su velocidad a los 5 segundos? ¿Y a los 10? 100. Con el fin de estimar la altura de un edificio, se deja caer una piedra desde su parte más alta en el agua de una piscina que se encuentra al nivel del suelo. ¿Cuál es la altura del edificio, si el chapoteo se observa 5.6 segundos después de soltar la piedra? Para pensar En los ejercicios 101 y 102 se muestra la gráfica de una función posición, que representa la distancia recorrida en millas por una persona que conduce durante 10 minutos para llegar a su trabajo. Elaborar un boceto de la función velocidad correspondiente. 101. 102. s 10 8 6 4 2 (10, 6) (4, 2) (6, 2) t (0, 0) 2 4 6 8 10 Tiempo (en minutos) f t  4t  5, 1, 2 95. 1 , 1, 2 f x  x 94. 96. f t  t2  7, 3, 3.1 f x  sen x, 10 8 6 4 2 (6, 5) (10, 6) (8, 5) (0, 0) 2 4 6 8 10 Tiempo (en minutos) t

0, 6 104. Velocidad (en millas por hora) 103. En los ejercicios 93 a 96, calcular la razón de cambio promedio de la función en el intervalo dado. Compararlo con las razones de cambio instantáneas en los extremos del intervalo. 93. s Para pensar En los ejercicios 103 y 104 se muestra la gráfica de una función velocidad, que representa la velocidad, en millas por hora, de una persona que conduce durante 10 minutos para llegar a su trabajo. Elaborar un boceto de la función posición correspondiente. entonces dydx  2
. 89. Desde una altura de 220 pies, se lanza hacia abajo una bola con una velocidad inicial de 22 piesYs. ¿Cuál es su velocidad tras 3 segundos? ¿Y luego de descender 108 pies? Movimiento vertical En los ejercicios 99 y 100, utilizar la función posición s(t) 4.9t2 v0 t s0 para objetos en caída libre. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 87 a 92, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que demuestre que lo es. 87. Se deja caer una moneda desde lo alto de un edificio que tiene una altura de 1 362 pies. v 60 50 40 30 20 10 t 2 4 6 8 10 Tiempo (en minutos) Velocidad (en millas por hora) ƒ (4)(x 97. Distancia (en millas) T(x) 117 Movimiento vertical En los ejercicios 97 y 98, utilizar la función de posición s(t) 16t2 v0 t s0 para objetos en caída libre. Distancia (en millas) 85. Aproximación lineal Tomando en cuenta la función ƒ(x) x3Y2 con el punto de solución (4, 8): Reglas básicas de derivación y razón de cambio v 60 50 40 30 20 10 t 2 4 6 8 10 Tiempo (en minutos) 118 CAPÍTULO 2 Derivación 105. Modelado matemático La distancia de frenado de un automóvil que viaja a una velocidad v (kilómetros por hora), es la distancia R (metros) que recorre durante el tiempo de reacción del conductor más la distancia B (metros) que recorre una vez aplicados los frenos (ver la figura). La tabla muestra los resultados de un experimento al respecto. Tiempo de reacción 109. Velocidad Verificar que la velocidad media en el intervalo [t0 t, t0 t] es la misma que la velocidad instantánea en t t0 para la función posición R B Aplica el freno 20 40 60 80 100 Distancia durante el tiempo de reacción, R 8.3 16.7 25.0 33.3 41.7 Distancia durante el tiempo de frenado, B 2.3 9.0 20.2 35.8 55.9 b) c) d) e) ƒ) Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para obtener un modelo lineal para el tiempo de reacción. Utilizar las funciones de regresión de una herramienta de graficación para obtener un modelo cuadrático para la distancia aplicando los frenos. Encontrar el polinomio que expresa la distancia total T recorrida hasta que el vehículo se detiene por completo. Utilizar una herramienta de graficación para representar las funciones R, B y T en una misma ventana. Calcular la derivada de T y el ritmo de cambio de la distancia total de frenado para v 40, v 80 y v 100. A partir de los resultados de este ejercicio, elaborar conclusiones acerca del comportamiento de la distancia total de frenado a medida que se aumenta la velocidad. 106. Costo del combustible Un automóvil viaja 15 000 millas al año y recorre x millas por galón. Suponiendo que el costo promedio del combustible es $2.76 por galón, calcular el costo anual C del combustible consumido como función de x y utilizar esta función para completar la tabla. x 10 15 20 25 30 35 1 008 000 Q 6.3Q donde Q es el tamaño del pedido cuando se reponen existencias. Calcular el cambio del costo anual cuando Q crece de 350 a 351 y compararlo con la razón de cambio instantáneo para Q 350. El automóvil se detiene Velocidad, v a) c. 110. Gestión de inventario El costo anual de inventario C de un fabricante es Distancia de frenado C El conductor observa el obstáculo 1 2 2 at sStD 40 C dC/dx ¿Quién se beneficiaría más con el aumento en 1 milla por galón en la eficiencia del vehículo: un conductor que obtiene 15 millas por galón o uno que obtiene 35 millas por galón? Explicar la respuesta. 3 107. Volumen El volumen de un cubo con lado s es V s . Calcular el ritmo de cambio del volumen respecto a s cuando s 6 centímetros. 108. Área El área de un cuadrado con lados s es A s2. Encontrar la razón de cambio del área respecto a s cuando s 6 metros. 111. Redacción La ecuación N ƒ(p) representa el número de galones N de gasolina normal sin plomo que vende una gasolinería a un precio de p dólares por galón. a) Describir el significado de ƒ (2.979). b) ¿ƒ (2.979) suele resultar positiva o negativa? Explicar la respuesta. 112. Ley del enfriamiento de Newton Esta ley establece que la razón de cambio o velocidad de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura T y la temperatura ambiente Ta. Elaborar una ecuación para esta ley. 113. Encontrar la ecuación de la parábola y ax2 bx c que pasa por el punto (0, 1) y es tangente a la recta y x 1 en el punto (1, 0). 114. Sea (a, b) un punto cualquiera de la gráfica de y lYx, x 0. Demostrar que el área del triángulo formado por la recta tangente que pasa por (a, b) y los ejes coordenados es 2. 115. Encontrar la recta o rectas tangentes a la curva y el punto (1, 9). x3 9x en 116. Encontrar la ecuación de la recta o rectas tangentes a la parábola y x2 en el punto dado. a) (0, a) b) (a, 0) ¿Existe alguna restricción para la constante a? En los ejercicios 117 y 118, encontrar a y b tales que ƒ sea derivable en todos los puntos. 117. f SxD 118. f SxD ax3, x b, cos x, ax b, 2 x 2 x >2 x < 0 x 0 119. ¿Dónde son derivables las funciones ƒ 1(x) ƒ2(x) sen UxU? 120. Demostrar que d Fcos xG dx U sen x U y sen x. PARA MAYOR INFORMACIÓN En el artículo “Sines and Cosines of the Times”, de Victor J. Katz, publicado en Math Horizons, encontrará una interpretación geométrica de las derivadas de las funciones trigonométricas. SECCIÓN 2.3 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 119 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior ■ ■ ■ ■ Encontrar la derivada de una función por la regla del producto. Encontrar la derivada de una función por la regla del cociente. Encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas. Encontrar las derivadas de orden superior de una función. La regla del producto En la sección 2.2 se vio que la derivada de una suma de dos funciones es simplemente la suma de sus derivadas. La regla para derivar el producto de dos funciones no es tan simple. TEOREMA 2.7 LA REGLA DEL PRODUCTO NOTA Algunas personas prefieren la siguiente versión de la regla del producto d  f x
g x
  f x
gx

f x
gx
. dx La ventaja de esta forma radica en que se puede generalizar con facilidad a multiplicaciones con tres o más factores. El producto de dos funciones derivables ƒ y g también es derivable. Además, su derivada es igual a la primera función por la derivada de la segunda más la derivada de la primera por la segunda. d  f x
gx
  f x
gx

gx
fx
dx Algunas demostraciones matemáticas, como en el caso de la regla de la suma, son directas. Otras requieren pasos inteligentes cuyo motivo puede resultar imperceptible para el lector. Esta demostración presenta uno de esos pasos, sumar y restar una misma cantidad, la cual se muestra en distinto color. DEMOSTRACIÓN d f x
 x
gx
 x
 f x
gx
 f x
gx
  lím  dx x 0 x f x
 x
gx
 x
 f x
 x
gx

f x
 x
gx
 f x
gx
 lím x 0 x gx
 x
 gx
f x
 x
 f x
 lím f x
 x

gx
x 0 x x gx
 x
 gx
f x
 x
 f x

lím gx
 lím f x
 x
x 0 x 0 x x gx
 x
 gx
f x
 x
 f x
 lím f x
 x
 lím
lím gx
 lím x 0 x 0 x 0 x 0 x x  f x
gx

gx
fx
      x f x porque se considera que ƒ es derivable y, por tanto, Observar que lím f x
x0 continua. La regla del producto es extensiva a multiplicaciones con más de dos factores. Por ejemplo, si ƒ, g y h son funciones derivables de x, entonces d  f x
gx
hx
  fx
gx
hx

f x
gx
hx

f x
gx
hx
. dx Por ejemplo, la derivada de y NOTA La prueba de la regla del producto para productos de más de dos factores se deja al lector como ejercicio (ver el ejercicio 141). x2 sen x cos x es dy  2x sen x cos x
x2 cos x cos x
x2 sen xsen x
dx  2x sen x cos x
x2cos2x  sen2x
. 120 CAPÍTULO 2 Derivación LA REGLA DEL PRODUCTO Cuando Leibniz elaboró originalmente una fórmula para la regla del producto, lo hizo motivado por la expresión x
dx
 y
dy
 xy de la cual restó dx dy (considerándolos despreciables) y calculando la forma diferencial x dy y dx. Esta derivación tuvo como resultado la forma tradicional de la regla del producto. (Fuente: The History of Mathematics de David M. Burton) En términos generales, la derivada del producto de dos funciones no está dada por el producto de sus derivadas. Para observarlo basta con comparar el producto de las derivadas de ƒ(x) 3x 2x2 y g(x) 5 4x con la derivada obtenida en el ejemplo 1. EJEMPLO 1 Aplicación de la regla del producto Encontrar la derivada de h(x) 2x2)(5 (3x 4x). Solución Derivada de la segunda Primera h x 3x 3x d 5 4x 5 dx 2x2 4 5 4x 3 2x2 2 12x 8x 24x2 4x 15 15 Derivada de la primera Segunda d 3x dx 4x 2x2 Aplicar la regla del producto. 4x 16x2 8x En el ejemplo 1 se cuenta con la opción de calcular la derivada con o sin la regla del producto. Sin ella se escribiría Dx 3x 2x 2 5 4x Dx 8x 3 24x 2 2x 2 4x 15x 15. En el siguiente ejemplo, se debe utilizar la regla del producto. EJEMPLO 2 Aplicación de la regla del producto Encontrar la derivada de y 3x2 sen x. Solución d 3x2 sen x dx 3x2 d sen x dx 3x2 cos x 3x2 cos x 3x x cos x sen x d 3x2 dx sen x 6x 6x sen x 2 sen x EJEMPLO 3 Aplicación de la regla del producto Encontrar la derivada de y 2x cos x 2 sen x. Solución Regla del producto NOTA Observar que en el ejemplo 3 se usa la regla del producto cuando ambos factores son variables, y la del múltiplo constante cuando uno de ellos es constante. dy dx d cos x dx 2x sen x 2x sen x 2x Regla del múltiplo constante d d 2x 2 sen x dx dx cos x 2 2 cos x cos x Aplicar la regla del producto. SECCIÓN 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 121 La regla del cociente TEOREMA 2.8 LA REGLA DEL COCIENTE El cociente ƒ g de dos funciones derivables ƒ y g también es derivable para todos los valores de x para los que g(x) 0. Además, la derivada de ƒ g se obtiene mediante el denominador por la derivada del numerador menos el numerador por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. d f x
d x gx
gx
f x
f x
g x
,  gx
 2   gx

0 Al igual que en la demostración del teorema 2.7, la clave radica en sumar DEMOSTRACIÓN y restar una misma cantidad. d f x
d x gx
  lím f x gx x
x
x 0 x f x
gx
Definición de derivada. gx
f x x
f x
gx x
xgx
gx x
x
f x
gx
f x
gx
f x
gx gx
f x lím x 0 xgx
g x x
gx
 f x f x
 gx x
f x
 x
lím lím x 0 x 0 x x lím gx
gx x
 lím x 0 x  gx
lím f x x
x 0 x   f x
lím lím gx
gx TECNOLOGÍA En una herramienta de graficación se pueden comparar las gráficas de una función y de su derivada. Por ejemplo, en la figura 2.22, la gráfica de la función del ejemplo 4 parece incluir dos puntos con rectas tangentes horizontales. ¿Cuáles son los valores de y en dichos puntos? 5x 2 4x 5 (x 2 1) 2 y 7 5x x2 2 1 4 Comparación gráfica de una función y su derivada Figura 2.22 gx x
x 0 gx
 x
 Observar que lím g(x
x0 continua. x) g(x) porque se considera que g es derivable y por tanto es EJEMPLO 4 Aplicación de la regla del cociente 5x x2 2 . 1 Solución 8 y 0 x gx
f x
f x
g x
 gx
 2 Encontrar la derivada de y 6 gx
 0 f x
x x
d 5x dx x 2  2 1  x 2 1
d 5x dx 2 5x x 2 1
2 x 2 1
5
5x 2
2x
x 2 1
2 5x 2 5
10x 2 4x
x 2 1
2 5x 2 4x 5 x 2 1
2 2
d 2 x dx 1 Aplicar la regla del cociente. 122 CAPÍTULO 2 Derivación Observar el uso de los paréntesis en el ejemplo 4. Es recomendable utilizar paréntesis en todos los problemas de derivación. Por ejemplo, cuando se usa la regla del cociente, es conveniente encerrar todo factor y derivada en un paréntesis y prestar especial atención a la resta exigida en el numerador. Al presentar las reglas de derivación en la sección precedente, se hizo hincapié en la necesidad de reescribir antes de derivar. El ejemplo siguiente ilustra este aspecto en relación con la regla del cociente. Reescribir antes de derivar EJEMPLO 5 Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f x
 Solución Comenzar por reescribir la función. 3
1x
x5 1 x 3
x  x x  5
3x
1  2 x  5x x 2  5x
3

3x
1
2x  5
f  x
 x 2  5x
2 3x 2  15x

6x 2  13x
5
 x 2  5x
2
3x 2  2x  5  x 2  5x
2 f x
 f(x) = 1 3 ฀฀฀x x 5  y 5 4 3 1 y ( 1, 1) x 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 2 3 4 5 La recta y  1 es tangente a la gráfica de ƒ(x) en el punto (1, 1) Figura 2.23 3
1x
en 
1, 1
. x5  Función original. Multiplicar por x a numerador y denominador, Reescribir. Regla del cociente. Simplificar. Con objeto de encontrar la pendiente en (1, 1), evaluar ƒ (1). f  
1
 0 Pendiente de la gráfica en (1, 1). Luego, utilizando la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se puede determinar que la ecuación de la recta tangente en ese punto es y  1. Ver la figura 2.23. No todo cociente requiere ser derivado mediante la regla del cociente. Por ejemplo, cada uno de los cocientes del ejemplo siguiente se puede considerar como el producto de una constante por una función de x, de modo que es más sencillo aplicar la regla del múltiplo constante. EJEMPLO 6 Aplicación de la regla del múltiplo constante Función original NOTA Para distinguir la ventaja de la regla del múltiplo constante en ciertos cocientes, tratar de calcular las derivadas del ejemplo 6 mediante la regla del cociente. Se llegará al mismo resultado, pero con un esfuerzo mucho mayor. Reescribir Derivar Simplificar a) y x 2  3x 6 1 y  x 2  3x
6 1 y  2x  3
6 y  b) y 5x 4 8 5 y  x4 8 5 y  4 x 3
8 5 y  x 3 2 c) y 3 y 
3
2x
7 9 y  x
2
5 3 y 

2
7 9 y  
2x
3
5 d)
33x
2 x 2
7x 9 y 2 5x y  2x  3 6 6 7 y 
18 5x3 SECCIÓN 2.3 Reglas del producto, del cociente y derivadas de orden superior 123 En la sección 2.2 se demostró la regla de la potencia sólo para exponentes n enteros mayores que 1. En el ejemplo que sigue se amplía esa demostración a exponentes enteros negativos. EJEMPLO 7 Demostración de la regla de la potencia (exponentes enteros negativos) Si n es un entero negativo, existe un entero po