Differentialrechnung Extremwertaufgaben?

Hallo,

als erstes macht man eine Zeichnung - immer!!!!

Rechteck mit den Seiten a und b. Fläche gleich a*b.

Diagonale ist nach dem Satz des Pythagoras die Wurzel aus (a²+b²).

Wenn a²+b² minimal werden, ist es auch die Wurzel aus ihnen.

Es reicht daher, a²+b² zu minimieren unter der Bedingung, daß a*b einen vorgegebenen Wert ergeben, also die Fläche des Rechtecks. Sollte die Fläche nicht näher bestimmt sein, setzt Du sie einfach gleich 1, also F=1.

Die Nebenbedingung ist dann a*b=1, also b=1/a.

Minimiert werden soll a²+b² und da b=1/a, kann man daraus a²+(1/a)² machen.

Abgeleitet nach a ergibt das F'(a)=2a-2/a³.

F'(a) gleich Null setzen:

2a-2/a³=0 |:2
a-1/a³=0 |*a³
a^4-1=0 |+1
a^4=1

a=-1 oder a=1.

-1 scheidet als Lösung aus, da man wohl kaum ein Rechteck mit negativen Seitenlängen finden wird.

Also a=1 und da b=1/a, ist b auch gleich 1.

Es muß für die minimale Diagonale bei gegebener Fläche also gelten: a=b=1.

Ein Rechteck mit den Seiten a und b, bei denen a=b, ist ein Quadrat.

Das Quadrat ist also von allen flächengleichen Rechtecken das mit der kleinsten Diagonale.

Herzliche Grüße,

Willy