Medi­taciones algebraicae]. Obra del matemático Edward Waring (1734-1798), publicada en Cambridge en 1770. El autor es quizás el más eminente matemático inglés de la épo­ca postnewtoniana, y se distingue de todos los matemáticos de su tiempo por no ha­ber tomado parte en el progreso del aná­lisis infinitesimal, para el cual se mostró siempre indiferente. Las Meditaciones al­gebraicas (que obtuvieron tres ediciones) son su obra principal; constan de dos par­tes distintas, dedicadas la primera al álge­bra y la segunda a la teoría de los núme­ros, examinadas separadamente. La pri­mera consta de cuatro capítulos.

En el I se obtiene un método basado en la consi­deración de las funciones simétricas de las raíces de una ecuación que sirve para deducir de ésta otra cuyas raíces tengan con la primera determinadas relaciones: en él se leen en forma explícita las relaciones que dan las sumas de las potencias similares de las raíces de una ecuación en fun­ción de los coeficientes de la misma, así como las fórmulas inversas (éstas llevan precisamente el nombre de «fórmulas de Waring»); y, además, el primer indicio de la ecuación de los cuadrados de las dife­rencias, que tan útil se demostró en manos de Lagrange. En el capítulo II se leen ori­ginales consideraciones sobre las raíces rea­les e imaginarias de las ecuaciones; con­sideraciones dirigidas a iluminar y com­pletar la conocida «regla de los signos» de Descartes. En el capítulo III el autor se ocupa de la disminución de grado de una ecuación con objeto de conseguir su re­solución; habiendo logrado resolver una ecuación de cuarto grado haciendo desapa­recer los términos II y IV, con generaliza­ción demasiado apresurada, afirma equi­vocadamente la posibilidad de transformar cualquier ecuación de grado n en una ecua­ción binomia, resolviendo una ecuación auxiliar n — 1, de donde resultaría la re solubilidad de todas las ecuaciones alge­braicas.

Son notables las consideraciones expuestas en el capítulo III sobre las ecua­ciones recíprocas, y sobre las binómicas; en cuanto a estas últimas, da la expresión general de una función simétrica de las raíces. Al capítulo IV concierne la teoría de la eliminación y demuestra que Waring no ignoraba el llamado «teorema de Bézeot». Resultados todavía más notables se hallan en la parte aritmética. Afirma mu­cho antes de Goldbach (cosa todavía no establecida, y que sigue «sub judice») que «todo número par es descomponible en la suma de dos números primos» y añade que «cualquier número, si no es primo, es suma de tres primos». Bajo forma de hipótesis y como generalización del teorema según el cual «todo número puede expresarse co­mo suma de cuatro cuadrados», afirma (pro­posición demostrada sólo un siglo más tar­de) que «todo entero se puede expresar mediante un cierto número de potencias n — me, siendo este número siempre infe­rior a cierto límite que depende exclusi­vamente de n». En la misma obra se lee que «si p es un número primo, y tan sólo en este caso, la suma (p — 1) 4-1 es divi­sible por p»; es un teorema que fue demos­trado por Lagrange y que lleva el nombre de «teorema de Wilson» por el de su des­cubridor: mientras que a Waring se deben estos otros enunciados:

I. Si tres números primos están en progresión aritmética, su diferencia debe ser un múltiplo de 2:3, a menos que el primero no valga 3.

II. Si cinco números primos están en progresión aritmética, su diferencia había de ser di­visible por 2:3:5, a menos que el primo no sea 5.

III. Si siete números primos están en progresión aritmética, su diferencia ha­bía de ser divisible por 2 : 3 : 5 : 7, a menos que el primero no sea 7.

En las últimas pági­nas del libro, Waring se ocupa de geometría analítica. Ante todo establece las fórmulas para la transformación de las coordenadas octogonales en un plano, aplicando la expresión de la distancia entre un punto y una recta, que aparece aquí por primera vez. De las fórmulas antedichas hace apli­cación a la clasificación de las cuártieas planas, que él reparte en doce clases que comprenden 84.551 géneros. A él se debe también la consideración y el estudio en general de las curvas, generalizaciones de la ordinaria cicloide, generada por la ro­tación de una curva sobre otra. El autor se ha ocupado también de la geometría del espacio, llegando, entre otras cosas, a calcu­lar el número de puntos que determinan una superficie general en su orden. El es­tilo extremadamente pobre, la mediocre elegancia de los cálculos y, sobre todo, el gran número de aserciones no demostradas, obligando al lector a una incesante cola­boración con el autor, impidieron que las Meditaciones algebraicas ejerciesen una gran influencia en los contemporáneos; pero el tiempo, también en este caso honrado jus­ticiero, ha sacado a la luz del día su pro­fundidad y su originalidad.

G. Loria