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4” O
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Algebra
Um presente do Coelho a família Eureka!
O E
BIBLIOTECA NACIONAL
Centro Bibliográfico Nacional
512.0076 Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Lima)
Al Álgebra / [Asociación Fondo de Investigadores y Editores]. 24 m
2016 Sa reimpr.-- Lima : Lumbreras Editores, 2016 (Lima: Talls. Gráfs, de la »
Asociación Fondo de Investigadores y Editores).
2t.;22cm.- (Ciencias y humanidades)
Incluye bibliografías.
D.L. 2016-10789 A
ISBN 978-612-307-366-4 (1.1)
1. Álgebra - Problemas, ejercicios, etc. 2. Álgebra - Estudio y enseñanza
[. Título II. Serie
BNP: 2016-226
A __ _ _ _ — — ——2X
Álgebra. Tomo |
O
Autor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Titular de la obra: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Editor: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Diseño y diagramación: Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Av. Alfonso Ugarte N.* 1426 - Breña. Lima-Perú. Telefax: 332-3786
Para su sello editorial Lumbreras Editores
Página web: www.elumbreras.com.pe
Primera edición: marzo de 2011
Segunda edición: septiembre de 2013
Primera reimpresión: septiembre de 2013
Cuanta reimpresión: agosto de 2015
Quinta reimpresión: septiembre de 2016
Tiraje: 4000 ejemplares
ISBN: 978-612-307-366-4
Registro del proyecto editorial N.? 31501051600874
“Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú" N.* 2016-10789
Prohibida su reproducción total o parcial. Derechos reservados D. LEG. N.? 822
Distribución y ventas al por mayor y menor
Teléfonos: Lima: 01-332 3786 / Provincia: 01-433 0713
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Calle Las Herramientas N 2 1873 / Av. Alfonso Ugarte N.* 1426 - Lima-Perú.
Teléfono: 336-5889
b
Presentación ...ooconnocinioncononinoncnncnonanananononannnnnono 11
Introducción ........... si 13
Símbolos matemáticOS ......ocoononinnoninn........ 15
Evolución histórica del álgebra ......................... 17
CAPÍTULO |: NOCIONES PRELIMINARES
IMMOOUCCIÓN cocococcccocononononocononcononaronocononcnonnrnononons 31
Adición y sustracción... ... 32
Multiplicación ..............omconnononnecninniisacinsos 34
Ley de loS SIgNOS .....ococonocococconncnonononononcnnonenos 34
Propiedades de los exponentes.................... 34
Propiedad distributiva .
Propiedad asociativa................ooooommmmmmmmm...
Equivalencias notables ...........ocooocicciooncnnoninnos 36
DivisiÓN.........oocmoncornoroniorencanononconcnnororoneconaccnncanos
Ley de los signos
Propiedades de los exponentes ................-.-- 36
Ecuaciones y despeje de incógnitas................. 39
Biografía: Bernard BOÍZanO...........a.o.ocmmromorno. 43
Test 1
CAPÍTULO.Il: LEYES DE EXPONENTES
INTOUCCIÓN ........coocconnnncnnoncnenncennrncnennceneenrceeos 51
Definiciones previaS....... coopera
Exponente natural
Exponente cero
Exponente NegativO ......cwrrmornnnmeeneesos 52
Exponente fraccionario
Potenciación ......Qeccroncccconnerrnrnneno
Teoremas de la potenciación...............or====="" 53
Radicación en R
DefiniciÓN.........monmmnnrerr mts
imilice
Teoremas de radicacióÓn...................o.ooooooo..o. 56
Radicales sucesivos
Ecuaciones exponenciales..............o.ocorooninnonrrnos 58
Biografía: Jean-Baptiste Fourier ........................ 61
Problemas resueltos
Problemas propuestos ....coccnccincccnoncnnnncnnnnnaranaoss 79
CLAVOS incio oiciaicinaninn nani reninesticinncrabc nica 86
CAPÍTULO Il: POLINOMIOS
Introducción
Definiciones previaS........ococnnoonncnononccocncncaranonos 90
Expresión Matemática ....omococoninoninnnninnncnnnnoss 90
Notación Mmatemática........coconcoionaconnninononananos: 90
Expresiones algebraicas............ocoooiomomomm. 90
POLINMOMIOS ..........cocooccccccnononinnnnncinonananoncononnonnino 93
DefiniciÓN: cnica irse
Polinomio en una variable
Valor numérico de una expresión
MatemMátiCA....ooocionocicinncnoniccnnnconncononcononnnonos 94
Cambio de variable...............cooncnocommmm.mm.m..o. 97
Grado de un polinomio... .. 98
Polinomios especiales ...........ooocoocoommomomm... 99
Biografía: Carl Friedrich Gauss........................ 104
Problemas resueltos
Problemas propuestoS .....coccococinonccincnonononononos 121
CV 128
CAPÍTULO IV: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
INtTOAUCCIÓN ......ocononcnonoconacncnononcncnranananananinacinos
Multiplicación algebraica..............................:...
Definición de multiplicación
Leyes de la multiplicación......c.eerrrmmererrnosss 133
Multiplicación de expresiones
de UN térMINO ....orcccnnnnnnnnnrnnenenen cnn remeras 134
Multiplicación de una expresión con
otra de dos o más términos
Multiplicación de polinomios .......wweernoso.. 135
Grado del polinomio producto .................=... 135
Productos notables
DefiniciÓN.........cnonroconrncnrencenerncnanererne rr craneo
Principales productos notables ..............==.»- 135
Biografía: Joseph-Louis de Lagrange ............- 143
Problemas resueltos .........ooonononcernnorinennoncnnnnrs 145
Test4 ....... ainda is sids RAS 159
Problemas propuestos ....ccoocononincnncnranononanananos 161
CÍAVES conccccccnicioninanncncnnonar an ranananon orar nn nr racer arar 168
CAPÍTULO V: DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
INLTOAUCCIÓN .....ccocccnnoncnnoncnncncnn conan cononocannornonenos 171
División algebraica de polinomios................... 173
DefiNiciÓN............omooooononcnonennonrnnnrnrcrnnrranannnnos
Clases de división
Propiedades de grados ......occcoconinoninnononorss» 174
Casos que se presentan en la
división de polinomios.................momcoooncmm 174
Métodos para dividir polinomios
A 176
Teorema de René Descartes
(Teorema del resto) ...ooooonicnoniciononioniniccononono. 183
Biografía: Paolo Ruffini..................................... 186
Problemas resueltOS ...cocociccicioniciininioccncnncao os 188
TOS ciriniinc ri i 204
Problemas propuestos ..ocococcoccicocicnionocinicnos: 206
A 214
CAPÍTULO VI: DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Y
COCIENTES NOTABLES
IMOUCCIÓN ccccciconocicocnoconoo non ononirionconnosa.. 217
Divisibilidad de polinomios.............................. 218
AAA 218
Cocientes Notables ..........onnnnnnm.m..... 224
DOÑINICIÓN....iscicscicircióócns cnica iia 224
Teorema del término general....................... 225
Biografía: René Descartes
Problemas resueltOS .........oooommcss.
TOD Lilia ii is
Problemas propuestos ..cccconocnocncnononinnononinnooa
Cl VOS vin
CAPÍTULO VIl: FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
IMTTOAUCCIÓN ...ocococnoncncnonennnnnoninrononinanocinicininicanns 255
Factorización de polinomios......................o.oo.. 256
Campo numérico
Polinomio sobre un campo
Factorización sobre Z....onicnioinioicccoonanincnononos 259
- Métodos para factorizar Z....... ... 259
Biografía: Jules Henri Poincaré ....................... 273
Problemas resueltos .......oonccococoncnocanacaninoncncnnnos
TOS ida ridad
Problemas propuestos ...
CHAVES ensioiisninscóriicnasiónaonaniniococoncanraponrncin arras
CAPÍTULO VIII: MCD, MCM Y FRACCIONES
IMtTOOUCCIÓN ......ococcnonocicncnononnnncnnonanonnnconnncnnnnnnes
Conceptos básicos...................
Factor de un polinomio
Factor común de dos o más polinomios... 300
Múltiplo de un polinomio .....................==.===."
Polinomio múltiplo común ....
Máximo común divisor (MOD) ..........c.omoroooon..
DefiniciÓn......cooonicnnnnnonininnnnnnnnnnerennes
Mínimo común múltiplo (MCM)
Definición................c..comnorm...
Fracciones algebraicas
DefiniciÓN ..ococcninicioninicninninnnnnntt
Dominio o conjunto de valores admisibles
de fracciones algebraicas (OVA) ...........-==""" 305
Operaciones entre números racionales ...... 305
Fracciones algebraicas... 306
AN
Descomposición de una fracción
en fracciones parciales cc. 309
Biografía: Blaise Pasa 315
Problemas resueltos
Test 8
CAPÍTULO IX: RADICACIÓN
Introducción...
Raíz algebra ccocccoconinicnicononoonocincnno.. 344
Raíz cuadrada de un polinomio................... 345
Radicales simples
Radicales dobles..
Racionalización ....ooononionociononcnionnmsmssm.
AAA
Factor racionalizante (FR) ....o.oocnnnn...... 356
Biografía: Pierre de Fermat....
Problemas resueltos ...oononnonnonenonconici...
A 376
Problemas propuestos ...ococaniconicnoincnanacornononoss 378
A 384
CAPÍTULO X: BINOMIO DE NEWTON
INTOQUCCIÓN ......cccononancnnncnnencncncncnnnrcncrrarnonicncnnns 387
Definiciones previas.................... .... 388
Factorial de un número natural.............m.o... 388
Número combinatorio ...........coonoonmnmmmmm.. 388
Desarrollo del binomio de Newton cuando n
es un número natural..........onocononoronrnrnrnnnnnanans 392
Método inductivo ..............-.oeoromoroninrcanennes 393
Potencia de un polinomio..........emomermameess». 400
Término general (fórmula de Leibnitz) ........ 400
Fórmula del desarrollo
(fórmula de LeibnitZ) .ocnninnnoc......... 401
Número de térMinOS ...coccicconinicnononnicinnss 402
Desarrollo del binomio (x+a)” cuando n
es un número racional (no natural) ................. 402
Coeficiente binomial co cococcococonionin..
Forma general del desarrollo.
Término general ococccicnnoncnicincoicacianosos
Número de térMinOS ....oococcincccinnoiacom.
Término numéricamente más grande ......... 405
Biografía: Isaac NewiON..ooconaicnioininicn....... 406
Problemas resueltos
TM tc icdad
CAPÍTULO XI: NÚMEROS REALES
Introducción ....
Definición previa
Conjunto de los números naturales ................ 436
Propiedades de la adición de los *
NÚMErOS naturales cccococciciconoroncoicos.. 437
Propiedades de la multiplicación
de los números naturales ............................ 437
Conjunto de los números enteros ............... 437
Números enteros positivos .......................... 437
Números enteros negativos......................... 438
NÚMETO CIO conccoianocinionnononocononaroonnoniononnononins 438
Adición y sustracción de los
NÚMETOS ENTerOS .cocococccocnninincninonicorinononanoroo 438
Multiplicación de los números enteros........ 438
Potenciación y radicación................ .. 438
Conjunto de los números racionales ............. 439
Propiedades de la adición y sustracción
de los números racionales..............ommooo 439
Propiedades del producto de los
números racionales..........i.mmmmmimnoces> 440
Distributividad de la multiplicación
respecto a la adicióN.......o.cnonononormrmorerinreros 440
El cociente de los números racionales........ 440
Conjunto de los números irracionales ................... 440
Números irracionales algebraicos............... 440
Números irracionales trascendentes........... 440
Adición y sustracción de los números
[MTACIONAlOS ooconnnnnanoninnnncnno rones 441
Multiplicación de los números
IracionalOS ivi cai 441
División de los números irracionales........... 441
Potenciación de los números
ITACIONAaleS .....ooooniconococcconcooconononnornrncanccnnccnón
Conjunto de los números reales .
Correspondencia DiuNÍVOCA.........iconimmom..
Operación binaria o ley de
composición interMa.....oooninicinnininininincinn... 442
Propiedades de la operación binaria .......... 443
Estructura de CUBrpO c.oooccicnncccoconicicnncinincnanncnos 445
Cuerpo de los números reales como un
cuerpo ordenado y completo
Axiomas de adiciÓN.....ooocoicconiccicinicinccm....
Axiomas de multiplicación ...........................
Axiomas de distributividad...........................
Definiciones complementarias ........................ 447
Definición de la sustracción......................... 447
Definición de la división ..
Ley de cancelación
Conjuntos acotadOS...ooccocicicicicininicicononinoncncnon
Máximos y mínimos de un conjunto............ 448
Cota superior de un conjunto...................... 448
Cota inferior de un conjunto ........................ 449
Conjuntos aCotadOsS coocoococococococicocicinonononons
Supremo de un conjunto
Ínfimo de un conjunto...............
Biografía: Giuseppe Peano
Problemas resueltos
Test 11
Problemas propuestos
Claves
IMOAUCCIÓN ccciccnnoniconicninninocoonooinios.. 479
NÚMErOS COMplejOS .ococcccccni............... 480
A 480
Operaciones definidas en € ........................ 480
Igualdad de números complejos................. 480
Representación geométrica
(plano de Gauss) cocccoinocinininioiiicrnos.. 481
Sistema de los números complejos ................ 482
Cantidades imaginarias .................l o... 483
Unidad imaginaria ..ooocooicicicicinicinnmm.... 483
Forma cartesiana o binómica de un
número complejo
Tipos de números complejos......... . 486
Conjugado y opuesto de un complejo........ 486
Operaciones en la forma binómica
O cartesiana.......... lleida caso ovio nt trad sieiacós 487
Módulo o valor absoluto de un número j
COMPléjO....coooccocacaninacinnncnononinininnnnncranononnnnnoss 491
Forma polar o trigonométrica de un
NÚmero COMPlBjO.....ocoonnacacicicicanarnnanacinonninnnonos 493
Forma exponencial de un número
complejo ........ ETT dia 498
Representación CIS ................... aan 499
Representación fasorial ......................oo.oooo.. 499
Raíz Mésima. Raíces de la unidad real ....... 501
Biografía: Leonhard Euler........................- 2... 507
Problemas resueltos ............. .. 509
TO TL ias 526
Problemas propuestos ......ococccccnnnnnnoncnonenenooos 528
lO nissan 536
CAríTULO XIIl: ECUACIONES ALGEBRAICAS
INMMORUCCIÓN ccannicnicicninoniniinnicnacinon conos. 539
Teoría de ecuaciones co... 541
Definición de una ecuación ......................... 541
Ecuación polinomial
A
Teorema fundamental del álgebra............... 544
Ecuaciones lineales cc cs, 544
Ecuaciones cuadráticas............................... 546
ECUACIones CÚbICAS ccconnnn.......... 552
Ecuaciones CUÁN aconnni.............. 560
Ecuaciones bicuadradas ............................. 562
Ecuaciones recÍprOCaS....oooconicicccnonincnnnrnnanos 564
Ecuaciones binóMiCAS .....occccoinmmmmm.. 566
Ecuación polinomial de grado n...................... 568
Transformaciones de las ecuaciones .......... 571
Ecuaciones fraccionariaS.......................... 574
Ecuaciones Irracionales............................... 576
Biografía: Gerolamo Cardano.......................... 579
Problemas resueltos
A O
Problemas propuestos .
Claves
Presentación
La Asociación Fondo de Investigadores y Editores (Afined), a través de su sello
Lumbreras Editores, se complace en presentar su nueva publicación Álgebra
Tomo 1, la cual forma parte de la Colección Ciencias y Humanidades. Esta publica-
ción constituye un nuevo aporte al desarrollo de la educación en nuestra sociedad,
en tiempos en los que el avance tecnológico y el uso de los nuevos medios van
generando cambios rápidamente, y donde el acceso y el aprovechamiento de estos
resultan desiguales en nuestro país. Por ello la importancia de estas publicaciones,
que además tienen el respaldo del trabajo serio y orientado al servicio, y a la for-
mación integral de los estudiantes.
Conscientes de ello, nuestra editorial con presencia en distintos lugares del
Perú- presenta esta colección, la cual es fruto del trabajo organizado y en conjun-
to con las distintas planas de profesores del Instituto de Ciencias y Humanidades,
promotor de las academias Aduni y César Vallejo, cuya experiencia y dedicación en
la instrucción de jóvenes estudiantes se ven reflejadas a lo largo de las siguientes
páginas.
El esfuerzo de las distintas planas está enfocado, además de la enseñanza y
la formación integral, en la investigación tanto en matemáticas como en ciencias
naturales y humanidades. Agradecemos el trabajo y la dedicación de los docentes,
quienes finalmente canalizan y orientan el contenido de cada obra en aras de alcan-
zar un mejor nivel y calidad, y de hacer entendible aquello que a veces resulta com-
plicado para el estudiante, no solo de los niveles secundario y preuniversitario, sino
también de los primeros ciclos de la universidad. Destacamos el trabajo profesional
realizado desde sus inicios por los profesores a cargo de esta publicación, cuya labor
en la sistematización del libro se ve plasmada en un trabajo teórico-práctico acorde
con las exigencias y el nivel que requieren los estudiantes; hacemos mención espe-
cial al profesor Arturo Ángel Fernández Salazar, quien asumió la tarea de revisión y
mejora del presente material, gracias a su experiencia tanto en la docencia como en
la elaboración de materiales educativos.
Finalmente, queremos resaltar el compromiso de nuestra institución de conti-
nuar con la labor educativa y aportar con nuevas publicaciones que contribuyan a
mejorar la calidad de esta, además de incentivar el trabajo de investigación y huma-
nístico, el cual creemos debe estar siempre cerca de las grandes mayorías.
Asociación Fondo de Investigadores y Editores
Introducción
El hombre, desde su aparición, ha creado diversas formas de satisfacer sus
necesidades. Para preservar su existencia y lograr su desarrollo se vio en la
necesidad de medir y calcular situaciones concretas que lorodeaban, cuantificar
aspectos como tiempo, longitud, masa, peso, volumen, entre otros, dando así
origen a la noción de cantidad. Más adelante, representó estas cantidades
en conceptos abstractos de números y signos que facilitaron realizar con
exactitud o por aproximación cálculos mentales con el fin de comprender y
explicar mejor la realidad. Las operaciones simples que el hombre realizaba
se elevaron entonces a un nivel superior de generalización, construyéndose
un sistema abstracto y coherente de signos y números, dando lugar a los
fundamentos del álgebra como parte fundamental de la matemática.
El álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas
analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independiente de
los números u objetos concretos. A lo largo de la historia de la humanidad
esta ciencia ha ido evolucionando, y cada civilización y cada cultura con sus
características propias han dejado un legado testimonial escrito del cual en la
actualidad somos herederos.
El presente texto, es el resultado de la experiencia docente de los
integrantes de la Plana de Álgebra de las academias César Vallejo y Aduni, y
tiene por objeto que los estudiantes de los últimos años de secundaria, y los
que desean iniciar los estudios universitarios, conozcan, de modo accesible,
los conceptos teóricos, la práctica del álgebra y su aplicación en otras áreas
para el beneficio de la sociedad.
Dado el nivel de abstracción de los conceptos teóricos y los procesos
tediosos de operatividad algebraica, se ha desarrollado una diagramación
que resalta las definiciones, axiomas y teoremas con sus respectivas
demostraciones, para una mejor comprensión de los temas y el aprendizaje
óptimo de los estudiantes. Asimismo, se precisan los objetivos de aprendizaje
en cada capítulo, a fin de que los docentes que hagan uso del texto desarrollen
lós contenidos a fin de lograr dichos objetivos.
En cuanto a la estructuración temática del texto, se muestra en el primer
capítulo las nociones preliminares que el estudiante debe tener como
saberes previos al iniciar el estudio del álgebra; luego se estudian las leyes
14
de exponentes, los polinomios y las operaciones que se realizan con estos,
así como el cálculo directo de algunos productos y cocientes denominados
notables. En los siguientes capítulos se abordan temas como la factorización,
que permitirá la descomposición de polinomios en sus factores primos y a la
vez conocer los múltiplos y divisores de estos, los cuales facilitan el estudio
de las fracciones algebraicas. Asimismo, se estudiarán la simplificación de
radicales dobles, la racionalización de expresiones con denominador irracional
y el desarrollo del binomio de Newton como una extensión de los productos
notables. Finalmente, se muestran los conjuntos de números reales, números
complejos y ecuaciones algebraicas. Todoslos capítulos desarrollados presentan
ejercicios de aplicación, problemas resueltos y problemas propuestos con sus
respectivas claves, para que los estudiantes se ejerciten y se autoevalúen.
Consideramos que el presente trabajo no está acabado. Las observaciones,
críticas y sugerencias harán de él un texto mejorado. Renovamos nuestro
compromiso de impulsar y desarrollar trabajos de investigación que permitan
servir mejor a nuestros estudiantes y a nuestra sociedad.
Plana de Álgebra
Academias César Vallejo y Aduni
IA
Iv
m
Y
+ 00
o
.
(a;b) o Ja; b|
la; b]
Símbolos matemáticos
más
menos
multiplicación
división
menor o igual que
mayor o igual que
mayor que
menor que
igual a
diferente de
idéntico a
no es idéntico
aproximado a
más infinito
menos infinito
pertenece a
no pertenece a
contenido o igual
contenido
no contenido
conjunto vacío
unión:
intersección
por lo tanto
intervalo abierto
intervalo cerrado
la; b) o (a; b]
intervalo semiabierto
o semicerrado
sumatoria
suma desde 1 hasta k
productoria
producto desde 1 hasta k
raíz n-ésima
para todo, para cualquiera
existe uno solo
existe al menos uno
no existe
p implica q
p siy solo si q
poq
pyaq
conjunto de los naturales
conjunto de los enteros
conjunto de los racionales
conjunto de los irracionales
conjunto de los reales
conjunto de los complejos
máximo entero de x
valor absoluto de x
signo de x
GA
Grad(f)
VN(P)
TLP
Y coef.(P)
FR
PCR (PRR)
16
unidad imaginaria
número complejo z
parte real de z
parte imaginaria de z
argumento del complejo z
argumento principal
del complejo z
módulo del complejo z
conjugado de z
cosO+isenó
discriminante
grado del cociente
grado del dividendo
grado del divisor
grado del residuo
x tal que x
dominio o conjunto de valores
admisibles
grado relativo
grado relativo con respecto a x
grado absoluto
grado absoluto de f
valor numérico de P
término independiente de P
suma de coeficientes de P
factor racionalizante
posibles ceros
(raíces racionales)
o
Pi) o PCD
Pox+n
P, (a y)
Pix+1:y-2)
fe)
Qé;-1)
Pw=06)
Card(A)
ta
MA
MG
MH
conjunto solución
conjunto solución vacío
supremo de A
ínfimo de A
mínimo común múltiplo
máximo común divisor
factorial de x
semifactorial de n
número combinatorio
o coeficiente binomial
múltiplo de x
polinomio P de variable x
polinomio P de variable
compuesta 2x+1
polinomio P de variables x e y
polinomio P de variables
compuestas x+1 e y-2
fevaluado en dos
Q evaluado en (2; -1)
P¿, es idéntico a Qín
cardinal del conjunto A
término de lugar R
media aritmética
media geométrica
media armónica ,
€¿”>z—_—AAASAA A
Evolución histórica del
Álgebra
l álgebra es, en esencia, la doctrina de las
operaciones matemáticas analizadas des-
de un punto de vista abstracto y genérico,
independientemente de los números u objetos
concretos. Estudia la generalización del cálculo
aritmético mediante expresiones compuestas
de constantes (números) y variables (letras).
Curiosamente, proviene de la expresión árabe
algabru walmugabalah que significa reducción,
operación de cirugía por la cual se reducen los
huesos luxados o fracturados (algebrista era el
médico reparador de huesos).
La historia del álgebra es larga y ha habido mu-
chas circunstancias adversas y de gran comple-
jidad en todo su avance, pero las de mayor im-
portancia han hecho que se puedan distinguir en
el álgebra dos grandes periodos. El primero de
ellos abarca desde sus inicios hasta el siglo XIX
y el segundo comprende los dos últimos siglos
de nuestra era. La gran distinción entre ellos es
que, en la primera etapa, el principal objetivo del
álgebra es la resolución de las ecuaciones alge-
braicas, por lo que se estudia y desarrolla todo lo
que les concierne y lo que de un modo directo o
indirecto está relacionado con ellas. Por el con-
trario, en la segunda etapa las metas del álgebra
son distintas. Por un lado, ya se ha resuelto el
problema de las ecuaciones en cuya resolución
han intervenido grandes matemáticos que se
mencionarán a lo largo del artículo; y, por otro
lado, las preocupaciones de estos personajes se
desvían y se centran principalmente en el estu-
dio de las estructuras algebraicas.
Los orígenes del álgebra se pueden asociar al
concepto de número, que surgió sin duda debi-
do a la necesidad de contar objetos. En un prin-
cipio, estos se contaban de forma rudimentaria,
utilizando dedos, piedras (curiosamente, la pa-
labra cálculo deriva de la palabra latina calculus,
que remite a contar con piedras). La serie de
números naturales era, obviamente, limitada en
una primera etapa de recursos muy arcaicos, no
obstante lo cual existía una conciencia genera-
lizada sobre la necesidad de ampliar el ámbito
de trabajo con dichos números para abarcar un
campo mucho mayor. A continuación se van a
describir las distintas etapas que han ido confi-
gurando la historia del álgebra, analizando los
conocimientos y los avances que se ha realizado
en cada una de ellas.
CIVILIZACIÓN EGIPCIA
La civilización egipcia es la primera en manejar el
álgebra con profundidad y rigor matemático. Los
egipcios poseían ya un sistema de numeración al
que, posteriormente, se asemejaría el sistema de
numeración romano. Era de carácter jeroglífico y
estaba basado en una serie de números especia-
les que se denominaban números clave (1, 10,
100, 1000, etc.). Para la representación de estos,
los egipcios empleaban distintos símbolos como
palos, lazos y figuras diversas. La representación
del resto de los números la basaban en el uso
de estos números clave, y dio como resultado el
desarrollo de un álgebra relativamente sencilla,
Lumbreras Editores
impulsados por la necesidad de resolver proble-
mas de la vida diaria, tales como la repartición
de cosechas y materiales.
En lo que respecta a operaciones y cálculos em-
pleados en la civilización egipcia, cabe destacar
que ya se utilizaban operaciones y reglas de cál-
culo con números enteros positivos, así como
con números fraccionarios positivos. Solo traba-
jaban con las fracciones como divisores de la
unidad, 1/n, y las usaban para expresar el resto
de fracciones, combinándolas entre sí. No obs-
tante, aún se encontraban lejos del conocimien-
to y manejo de los números negativos.
En un nivel más avanzado, los egipcios fueron
capaces de resolver ecuaciones de primer grado
por el método por ellos denominado como “de
la falsa posición”. En estas ecuaciones, que po-
demos considerar primitivas o rudimentarias, la
incógnita x recibía el nombre de montón.
CIVILIZACIONES BABILÓNICA Y
MESOPOTÁMICA
A diferencia del álgebra empleada por los egip-
cios, el sistema de numeración utilizado por
los mesopotámicos era de carácter posicional
sexagesimal. El gran avance de esta civilización
en materia de números consistió en que un mis-
mo símbolo podía representar distintas cantida-
des, dependiendo únicamente del lugar o posi-
ción en que se colocara.
A diferencia de los egipcios, que no llegaron a re-
solver más que ecuaciones de primer grado, ya
en el siglo xvi a.n.e., los matemáticos de Meso-
potamia y de Babilonia eran capaces de resolver
ecuaciones de primer y segundo grado. Incluso,
hay constancia de que la resolución de algunos
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
estaba al alcance de sus manos.
También es digno de mención el progreso que
realizaron los matemáticos babilónicos y meso-
potámicos con la potenciación, progreso que les
18
condujo a la resolución. de ecuaciones Cuadrá.-
ticas e incluso a la suma de progresiones tanto
aritméticas como geométricas. Esta gran labor
de avance en matemáticas y, en particular, en
álgebra, fue posible debido al elevado grado de
abstracción que fueron capaces de desarrollar.
CIVILIZACIÓN CHINA
El sistema numérico empleado por los chinos
era el decimal jeroglífico. Aunque aún no se ha-
bía introducido los números negativos de forma
precisa, sí los admitían aunque no los aceptaban
como soluciones de ecuaciones.
Sin embargo, su contribución algebraica de ma-
yor importancia fue en relación a los sistemas de
ecuaciones lineales. Desarrollaron un sistema
de resolución de ecuaciones lineales de carác-
ter genérico que tenía cierta similitud con el que
siglos más tarde desarrollaría Gauss.
Se atribuye a ellos, alrededor del siglo 1 d.n.e., la
invención de una especie de ábaco primitivo,
(suan zi), que consistía en un conjunto de palos
de bambú de dos colores asociados a números
positivos y negativos respectivamente. Dicho ins-
trumento recibió el nombre de tablero de cálculo.
Entre las innovaciones de la civilización china hay
que destacar que desarrollaron métodos que per-
mitían obtener raíces racionales, además de las
enteras obtenidas hasta entonces.
CIVILIZACIÓN HELÉNICA
Una característica importante de los griegos es
su interés por tratar de precisar todas las opera-
ciones y de justificar de forma rigurosa todas las
leyes relativas al álgebra, interés que no se había
despertado en civilizaciones anteriores.
En la época de Pitágoras (siglo VI a.n.e.) se llevó
a cabo una recopilación y una fusión de muchos
resultados matemáticos y la unión de estos dio
lugar a nuevos sistemas teóricos. Se estudiaban
Evolución histórica del álgebra
en aquella época propiedades numéricas, divi-
sibilidad de números, cuestiones sobre propor-
ciones aritméticas, geométricas y armónicas, y
diferentes medias (aritmética, geométrica y ar-
mónica). Se estudiaron también las conocidas
ternas pitagóricas, es decir, ternas de números
que satisfacen la ecuación a?+b*=c* y se descu-
brió un método para el hallazgo de dichas ternas.
Otro gran descubrimiento de los griegos fue la
existencia de la irracionalidad, llevando a cabo,
por ejemplo, mediante reducción al absurdo la
comprobación de la irracionalidad de 2. A partir
de este descubrimiento surgió la necesidad de
crear una teoría más amplia que comprendiera
tanto los números racionales como los irraciona-
les. Esto dio lugar a una reestructuración de la geo-
metría que desembocó en el álgebra geométrica.
Sin embargo, esta álgebra geométrica no era ca-
paz de resolver problemas de dimensión mayor
que dos, lo que hacía imposible resolver proble-
mas que conllevaban la resolución de ecuaciones
de tercer grado o superiores.
Destaca la figura del matemático griego Nicómaco
de Gerasa, en el siglo II d.n.e., quien publicó su
Introducción a la aritmética exponiendo varias re-
glas para el buen uso de los números.
A pesar de que las ecuaciones de primer y se-
gundo grado ya se habían resuelto varios siglos
antes, no fue hasta el siglo 111 d. C. cuando Dio-
fanto, en su obra Aritmética, las estudia en pro-
fundidad y de forma rigurosa. Además, encontró
solución a más de cincuenta clases diferentes
de ecuaciones llamadas ecuaciones diofánticas.
Designó las incógnitas con un signo que se co-
rrespondía con la primera sílaba de la palabra
griega arithmos, que significa número. Toda su
obra y los problemas que planteó sentaron las
bases de lo que posteriormente sería el álgebra
moderna a pesar de que su labor carecía de pre-
cisión y era algo rudimentaria.
Por lo tanto, se considera la época griega como
un periodo donde se trataron las matemáticas
de una forma muy amplia y se tocaron ya algu-
nos de los elementos que posteriormente, y mu-
chos siglos después, sentarían las nuevas ramas
de las matemáticas.
CIVILIZACIÓN HINDÚ
La civilización india usó un sistema de nume-
ración posicional y decimal desde el siglo VIII
a.n.e., época a la que pertenecen los prime-
ros hallazgos de este pueblo. A pesar de que
ya por entonces habían desarrollado en cierta
medida el álgebra, es durante los siglos v-XII
donde todos sus avances y logros alcanzan su
Mayor apogeo.
Dentro de sus avances se incluye la introducción
del cero y las operaciones con números irra-
cionales. Tuvo gran importancia el correcto uso
de los números negativos ya que en el siglo vil
los hindúes habían desarrollado las reglas alge-
braicas fundamentales para manejar números
positivos y negativos. Aceptaban los números
negativos como soluciones de ecuaciones y las
interpretaban como deudas.
En este progreso significativo que legaron los
hindúes destacan grandes figuras matemáticas
como Aryabhata (s. VI), Brahmagupta (s.vI), Ma-
havira (s. IX) y Bhaskara Akaria (s.XI1). A continua-
ción vamos a repasar la biografía de algunos de
estos personajes debido a la trascendencia que
tuvieron:
Brahmagupta: nació en el 598 d.n.e. y murió
en el 665 d.n.e. Dentro de sus logros cabe men-
cionar la generalización de la fórmula de Herón
para calcular el área de un triángulo. Acepta los
dos signos posibles de las raíces cuadradas y es
capaz de resolver ecuaciones diofánticas linea-
les de la forma ax+by=c, con a, b y c enteros.
19
Descubrió que para que una ecuación de este
tipo tuviera solución, c debía ser divisible por el
máximo común divisor de a y b. Más aún, en el
caso de ecuaciones donde a y b fuesen primos
entre sí llegó a comprobar que las soluciones
eran de la forma x=p+mb y y=q-ma, donde m
es un entero arbitrario.
Bhaskara: nació en el año 1114 y murió en el
año 1185. De los citados matemáticos indios fue
el último de ellos y su labor es de un gran valor.
Una de sus obras más conocidas es Vijaganita y
en ella destaca el descubrimiento que hizo del
doble signo de los radicales cuadráticos. Tam-
bién se incluye en este libro el intento de resol-
ver las divisiones por cero. Bhaskara se empeñó
en este propósito ya que en los matemáticos in-
dios se despertó un gran interés por las cantida-
des muy grandes.
El segundo libro más reconocido de su obra es el
Lilavati. En él se trabajan y resuelven ecuaciones
lineales y cuadráticas. Además, entre los proble-
mas geométricos, propone una resolución para
el teorema de Pitágoras.
Teniendo en cuenta el
cuadrado de la suma
(b+c)=b*+c*+2bc
y observando la figura
(b+c)=2bc+a?,
se obtiene a?=b*+c?.
También fue capaz de aproximar el número
pi y dio algunas aproximaciones como 22/7 y
3927/1250.
LA CIVILIZACIÓN MUSULMANA
El mayor representante de la cultura musulmana
fue el matemático y astrónomo Al-Khowarizmi
que perteneció a una de las más importantes
escuelas que se extendían por todo el imperio.
Una de sus obras más conocidas está basada en
20
Brahmagupta, libro que tradujo al árabe. Un de-
talle curioso referente a este libro fue que en é]
se incluyó una copia fiel del sistema de numera-
ción hindú, lo que ha llevado a un gran error y es
que hoy en día muchos creen que nuestro siste.
ma de numeración proviene del árabe debido a
esta traducción que llevó a cabo Al-Khowarizmi.
Su obra más importante lleva por nombre Hisab
al-jabr wa-al-mugabala, nombre del que poste-
riormente ha derivado el término álgebra.
La obra de Al-Khowarizmi fue seguida en el si-
glo x por el también musulmán Abu Kamil, cuyos
avances en el álgebra serían aprovechados en el
siglo xn por el matemático italiano Fibonacci,
Otro matemático musulmán a tener en cuenta
fue Casi, cuyo mérito se debió a haber encon-
trado las primeras 17 cifras del número pi en el
siglo xv. Grandes matemáticos posteriores inten-
taron tal hazaña pero fracasaron en el intento
(Viéte solo fue capaz de encontrar las nueve pri-
meras cifras en 1593). Solo a finales del siglo XV
se repite el logro de Casi.
Los trabajos de los matemáticos árabes desde el
siglo Ix hasta el siglo Xv incluyen ecuaciones de
primer y segundo grado. Además, algunos pro-
blemas de carácter geométrico como la división
de la esfera por un plano o la trisección de un
ángulo llevaron a plantear ecuaciones cúbicas.
EL ÁLGEBRA EN EL CONTINENTE EUROPEO
Edad Media
En Europa, la historia es bastante diferente
que en el Oriente. Fue en la Edad Media cuan-
do empezaron a surgir centros de enseñanza
como el que organizó Gerberto en el siglo X en
Reims (Francia). En ellos comenzaron a difun-
dirse todos los conocimientos indo-arábigos
gracias a que los musulmanes tradujeron toda
la obra hasta la época, rompiendo así la barrerá
lingúística. Uno de los musulmanes a destacar
fue Gerardo Cremona (siglo XII).
Otra gran figura digna de mencionar es Leonar-
do de Pisa que ha pasado a la historia como Fibo-
nacci. Su importancia se debe a que aprendió el
sistema de numeración indo-arábigo tras viajes
realizados al norte de África y a Oriente. Su obra
más conocida recibe el nombre de Liber Abaci
que significa Tratado del ábaco y que escribió
alrededor de 1212. Es una obra muy completa
donde se recogen, entre otras operaciones con
fracciones, la regla de tres simple y compuesta,
la división proporcional y la sucesión por la que
este personaje ha pasado a la historia y que lleva
su nombre, la sucesión de Fibonacci.
Siglo xvi
En el siglo xIv se produjo un avance relativo a
las potencias ya que se comenzó a calcular po-
tencias de exponentes fraccionarios y se estable-
cieron de forma rigurosa las reglas para operar
con ellas. La figura encargada de esto fue Nicole
Orestes.
Estos avances, y la progresiva expansión del ál-
gebra de Oriente en Europa, fueron los hechos
más notables de carácter matemático que tuvie-
ron lugar durante la Edad Media.
Sin embargo, a pesar de este pequeño aletarga-
miento, resurge el álgebra de forma descomunal
en el siglo xv1. Es la época del Renacimiento que
en matemáticas se refleja en la escuela italiana,
donde las matemáticas y, en concreto, el álge-
bra, reciben gran impulso. En este siglo destaca
el interés en la búsqueda de una solución a las
ecuaciones de tercer y cuarto grado.
Hay varios nombres de italianos conocidos que
han configurado la historia de esta búsqueda.
Pocas veces, cuando se enseñan en las escuelas
los conocimientos de las distintas áreas, se tiene
Evolución histórica del álgebra
en cuenta la dificultad y los problemas para lle-
gar a tales hallazgos, así como la parte humana
de ese quehacer. En la historia de las ecuaciones
de tercer y cuarto grado han contribuido tres
personajes y una serie de eventos interesantes
y no está exactamente claro cómo fue el trans-
curso de este descubrimiento que en algunas
ocasiones ha estado confuso. Hay un par de ver-
siones que circulan y voy a tratar de comentar
las dos para que los lectores decidan cuál les pa-
rece más real. Los personajes que intervinieron
en esta curiosa historia fueron Scipion del Ferro,
Fiore, Tartaglia y Cardano. Vamos a repasar las
sus historias:
El primer personaje que aparece en esta historia
es Scipion del Ferro (1465-1526). Trabajó en la
Universidad de Bolonia y fue allí donde descu-
brió una fórmula para resolver a las ecuaciones
de tercer grado en las que faltaba el término
cuadrático, conocida como cúbica reducida. Sin
embargo, decidió no hacerla pública. El motivo
era que en aquella época era muy común que
los distintos académicos se retaran públicamen-
te entre ellos con problemas de distinta dificultad
y el éxito en dichos retos era lo que garantizaba
la permanencia de estos académicos en la uni-
versidad, por lo que encontrarse en posesión de
un arma tan valiosa como la que había encontra-
do era motivo suficiente para guardar el secreto
en espera de un próximo reto. Así se garantiza-
ba el triunfo con cualquiera de sus rivales. Sin
embargo, justo antes de morir, Scipion decidió
transmitir su gran descubrimiento a uno de sus
alumnos, Antonio Fior, para que su secreto no pe-
reciera con él. El problema era que este alumno
no se caracterizaba por el talento y la genialidad
de su maestro e hizo uso de su arma para re-
tar públicamente a un conocido académico de
Brescia, Niccolo Fontana (1499-1557).
21
Lumbreras Editores
ÉKáAÓá<— _——_ q AAAAMMMIIIMND040404+
Niccolo Fontana sufrió, cuando era niño, en
1512, una herida en la cara, por un golpe de es-
pada en la mandíbula, en uno de los muchos
conflictos que hubo en Italia a manos de Gastón
de Foix en Brescia, su ciudad natal. Dicha herida
le dejó secuelas de carácter estético y más aún,
Pues a raíz de este altercado sufrió un receso en
el habla y luego tuvo dificultades para hablar. Es
por este motivo por lo que recibió el apodo de
Tartaglia, por el que posteriormente fue cono-
cido y que significa tartamudo. Tartaglia era por
entonces un matemático de familia pobre que
se ganaba la vida dando clases de matemáticas
en el norte de Italia. Explicó esta ciencia suce-
sivamente en Verona, Vicenza, Brescia y final-
mente Venecia, ciudad en la que falleció en 1557
siendo tan pobre como lo fue a lo largo de toda
su vida. Según cuenta la historia, Tartaglia tenía
un profesor que le enseñó medio alfabeto y no
pudo enseñarle más porque su familia se que-
dó sin dinero. A partir de ahí su aprendizaje fue
completamente autodidacta.
El reto de Fior consistía en resolver treinta pro-
blemas de ecuaciones de tipo cúbica reducida.
Cuando Tartaglia fue retado dedicó todos sus es-
fuerzos a resolver estos problemas y, finalmente,
el 12 de octubre de 1535 ganó el reto afirmando
que había descubierto la solución de la ecua-
ción cúbica con término lineal. Por el contrario,
Fior perdió todo su prestigio y desapareció de los
escenarios académicos. Es aquí donde intervie-
ne el siguiente personaje de esta historia.
Girolamo Cardano (1501-1576) nacido en Pa-
vía y muerto en Roma. Era un hombre culto,
científico y bizarro, aunque un tanto extraño. Era
médico y conocía, aunque de forma intuitiva, el
fenómeno de la alergia.
Su vida estuvo llena de anécdotas y una de ellas
es la siguiente: era un hijo ilegítimo y su madre
intentó en repetidas ocasionas abortar sin éxito.
22
Finalmente, y gracias a un baño en vino tibio,
nada más nacer, logró sobrevivir. Esta curiosidad
fue incluida por el propio Cardano en su auto-
biografía. También hay que mencionar que pasó
varias temporadas en la cárcel debido a sus tram-
pas y pillerías. Es más, hay una leyenda que man-
tiene que mediante la astrología predijo el día de
su muerte y que no tuvo más remedio que come-
ter suicidio para que su predicción fuese cierta.
Según cuenta la historia, Cardano era muy am-
bicioso y cuando llegó a sus oídos que Tartaglia
había descubierto la solución a la ecuación cúbi-
ca reducida trató de obtener la fórmula. Hubo un
acercamiento progresivo tras conocerse y conti-
nuaron manteniendo contacto entre ellos. Carda-
no intentó sonsacar a Tartaglia para que este le
revelara la fórmula y aunque este se negó repeti-
das veces en 1539 se la reveló aunque lo hizo de
forma cifrada. Además, hicieron un juramento y
Cardano se comprometió a guardar dicha fórmu-
la en secreto y no publicarla jamás.
A partir de aquí es donde la historia parece tener
dos versiones distintas. En una de ellas se ofrece
una imagen cruel y egoísta de Cardano que una
vez enterado de la fórmula se apropió de ella,
rompiendo el juramento con Tartaglia, y la publi-
có en su obra Ars Magna, atribuyéndose el mé-
rito de dicho logro. Este plagio fue un duro gol-
pe para Tartaglia que protestó con vehemencia,
aunque no pudo conseguir nada. Finalmente,
aparece en la historia Ludovico Ferrari que fue
capaz de encontrar la solución de la ecuación
de cuarto grado.
La otra versión ofrece una imagen bien distinta
de Cardano en una historia que es la siguiente.
Ludovico Ferrari entró en escena ya que se acer-
có Cardano buscando trabajo y este lo contrató
para labores sin importancia. Sin embargo, el jo-
ven era muy despierto e inteligente y Cardano,
que se dio cuenta de la capacidad de Ludovico,
Evolución histórica del álgebra
empezó a instruirlo de modo que Ludovico se
convirtió en su alumno.
Se produjo entonces un hecho parecido al de
Scipion y Fior, ya que Cardano terminó revelán-
dole sus conocimientos a su alumno Ludovico,
en concreto la fórmula de la ecuación cúbica
reducida. A partir de ahí comenzaron una labor
juntos e hicieron nuevas investigaciones dentro
del campo del álgebra. Cardano descubrió por
fin cómo se resolvían las ecuaciones cúbicas
completas pero su método se basaba en los co-
nocimientos previos de Tartaglia, por lo que el
juramento entre ambos le prohibía llevar a cabo
una publicación. También Ferrari hizo un gran
descubrimiento, ya que fue capaz de encontrar
el modo de resolver las ecuaciones de cuarto
grado. Sin embargo, se encontraba en la misma
situación que su compañero y amigo Cardano,
ya que sus investigaciones tenían como punto
de partida la resolución de la ecuación cúbica
reducida de Tartaglia y, de nuevo, el juramento
le impedía la divulgación de sus conocimientos.
Ante esta solución la única alternativa que les
quedaba era tratar de encontrar los documentos
de Scipion del Ferro que treinta años antes ya
había descubierto la solución de la ecuación cú-
bica reducida y tratar de usar estos conocimienx
tos en lugar de los de Tartaglia, para no romper
de esta forma el juramento. Para ello, viajaron
a Bolonia y allí encontraron los apuntes de Del
Ferro de puño y letra, y a partir de ahí justifica-
ron que sus descubrimientos se apoyaban en los
resultados de Del Ferro y no en los de Tartaglía.
Finalmente, en el año 1545 Cardano publicó su
obra Ars Magna, cuyo capítulo IX incluía la solu-
ción de la ecuación cúbica tras esta introducción:
“Scipio del Ferro de Bolonia treinta años an-
tes descubrió esta regla y la proporcionó a
Antonio Fior de Venecia, cuyo concurso con *
Niccolo Tartaglia de Brescia dio a Niccolo
la ocasión de descubrirlo. Él me la dio en
respuesta a mi solicitud, aunque guardando
la demostración. Armado con esta ayuda, yo
busqué la demostración de varias formas.
Esta es muy difícil”.
Además de esta introducción, también recono-
cía en parte de su obra su deuda con Tartaglia. A
pesar de esto, Tartaglia entró en cólera y trató de
discutir con Cardano y Ferrari. Tartaglia se sintió
ultrajado ya que Cardano había roto su promesa
de guardar el secreto. Terriblemente enfadado,
decidió retar a Cardano a una competición, pero
este último no se presentó ya que quiso perma-
necer alejado de esta disputa, aunque fue repre-
sentado en su lugar por su alumno Ferrari (1522-
1565). El ingenio y la agresividad de este último
hicieron que Ferrari ganara el enfrentamiento,
por lo que Tartaglia perdió su prestigio.
Debido a la trascendencia de Tartaglia y Cardano
vamos a repasar un poco más sus logros. Tarta-
glia realizó estudios en el cálculo de trayectorias
de proyectiles, lo que supuso un gran avance en
la aplicación de las matemáticas en la artillería.
Otro de sus descubrimientos fue el de la fórmu-
la que lleva $u nombre y que se emplea para el
cálculo del volumen de un tetraedro a partir de
las longitudes de sus lados:
02 py?
a 0. a? e
1
= gia + 0 21
Ideó el triángulo que permite obtener los coefi-
cientes del desarrollo binomial, llamado Trián-
gulo de Tartaglia, que es la disposición numé-
rica formada a partir de los coeficientes de los
distintos desarrollos de la potencia n-ésima de
un binomio cuando n toma sucesivamente los
valores 0, 1, 2, 3, etc.
23
Lumbreras Editores
_— Oo É<—— o — co
Disponiendo en filas sucesivas dichos coeficien-
tes para cada valor de n, se obtiene la siguiente
configuración:
121
1331
14641
Cada fila corresponde a los coeficientes del
desarrollo de la potencia (n-1)-ésima de un
binomio (n= 1, 2, 3, siendo n el orden que ocu-
pa dicha fila), según la fórmula que Newton ge-
neralizó posteriormente, utilizando los números
combinatorios.
Tartaglia también escribió un libro en el que
recogió grandes resultados sobre teorías de nú-
meros en los que se incluían algunos juegos de
ingenio como los siguientes:
“Tres matrimonios (en los cuales los mari-
dos son extremadamente celosos) quieren
cruzar un río en una barca en la que caben
como máximo dos personas. Determinar
cómo debe planificarse el cruce si no pue-
de dejarse a ninguna mujer en compañía
de un hombre a menos que su márido esté
presente.”
Tres personas quieren repartirse el aceite
que hay en una garrafa de 24 litros. Deter-
minar cómo puede hacerse el reparto si se
dispone de tres garrafas vacías con capaci-
dades conocidas de 5, 1] y 13 litros”,
Por su parte, Cardano también es conocido por
otros aspectos aparte de la curiosa historia. Es-
tudió medicina en la Universidad de Pavía tras
convencer a su padre pues este quería que es-
tudiara Derecho aunque terminó sus estudios
en la Universidad de Padua, siend
o un alumno
brillante.
24
Fue profesor de matemáticas en la Fundación
Piatti, en Milán, y aunque aún no estaba colegia.-
do, curó a algunos enfermos graves, Por lo que
su fama se extendió y muchos médicos acudían
a él para pedirle consejo. Un caso Concreto fue
el del Arzobispo de St. Andrews de Escocia que
estaba a punto de morir ya que ningún médico
de la corte francesa o alemana había Podido ha.
cer nada por él. Cardano fue llamado y milagro-
samente salvó de la muerte al arzobispo. Apli-
có sus conocimientos matemáticos en álgebra,
mecánica, astrología, hidrodinámica, geología y
probabilidad, y se dedicó a los juegos de apues-
ta, especialmente dados y ajedrez. Cardano fue
un adicto al juego durante toda su vida (de he-
cho, muchos lo consideran como el descubridor
de la teoría de probabilidad). También se le co-
noce porque fue el primero en hacer Operacio-
nes con números complejos.
Siglos xvi-xvu
Otro personaje importante de la historia del
álgebra fue Francois Viéte (1540-1603). Su gran
labor se debe a que estableció un lenguaje
simbólico de carácter algebraico que le permitió
escribir de forma clara y precisa todas las
ecuaciones, así como sus propiedades usando
fórmulas generales. Esta notación es, salvo
pequeños cambios, la que se emplea hoy día.
Estableció, además, una fuerte relación entre el
álgebra y la trigonometría, y es considerado por
muchos como el padre del álgebra lineal.
Ya en pleno siglo XVI! aparece la figura de René
Descartes. Se entregó durante toda su vida a la
investigación, y cuando se trasladó a París SU
fama se extendió y su casa se convirtió en el cen:
tro de reunión de aquellos a los que les gustaba
discutir y discernir sobre distintos asuntos.
us
Hubo dos grandes revoluciones que marcaron a ,
trabajos. La primera de ellas fue que simplific
Evolución histórica del álgebra
la notación algebraica y la segunda fue la crea-
ción de la geometría analítica.
Al igual que Viéte, tiene una gran relevancia en
el álgebra por su dedicación a la notación. Fue él
quién optó por designar a las constantes con las
primeras letras del alfabeto (a, b, c...) y alas incóg-
nitas con las últimas letras del alfabeto (..x, y, z).
La notación exponencial que empleamos actual-
mente fue también ideada por Descartes.
En la parte de su conocida obra Discurso del
método llamada “Géometrie” recoge una teoría
general sobre ecuaciones e incluye un método
para resolver ecuaciones cuadráticas a partir de
procesos geométricos, llegando a la conclusión
de que el número de soluciones de una ecua-
ción coincide con el grado de esta, resultado
que no fue capaz de probar. En toda la “Géome-
trie” destaca una interrelación entre el álgebra y
la geometría, lo que desembocó, en 1637, en la
fusión de estas dos, dando lugar a la geometría
analítica.
Otra de sus grandes aportaciones fue la crea-
ción del sistema de coordenadas cartesianas, lo
que permitió posteriormente a Isaac Newton y a
Gottfried Leibnitz el desarrollo del cálculo dife-
rencial e integral. Descartes fue capaz de expli-
car distintos fenómenos de tipo magnético, óp-
tico, en astronomía y en fisiología orgánica, etc.
Por lo tanto, fue el precursor del determinismo
físico y biológico.
Antes de comenzar el siglo Xvi11 hay que destacar
a dos matemáticos: Fermat se desligó en cierta
medida de las ecuaciones algebraicas que man-
tenían ocupados a la mayoría de matemáticos
y es conocido por el progreso y el impulso que
le dio a la teoría de números por el resultado
por el que es más conocido “el último teorema
de Fermat” cuyo enunciado es el siguiente: Sin
es un entero mayor o igual que 3, entonces no
existen números enteros x, y y z (excepto la solu-
ción trivial: x = 0; y = 0; z = 0) tales que cumplan
la igualdad:
zn =xXn + yn
Antes de terminar el siglo hubo otro resultado
relevante y fue la formulación del principio de
inducción matemática a manos de Pascal en el
año 1665.
Siglo xvii
Una serie de matemáticos se dedicó a la resolu-
ción numérica de ecuaciones. Entre ellos figuran
Halley, Lagrange, Fourier y MacLaurin.
Pero una de las grandes figuras a destacar en el
siglo XVII! fue Leonhard Euler.
Su obra más conocida fue Aritmética universal,
publicada en 1768, donde intervienen numero-
sos resultados como un sistema simbólico-literal
del álgebra, aclaraciones sobre operaciones con
números, monomios, radicales y complejos, re-
glas de extracciones de las raíces de los núme-
ros, introducción de los números poligonales,
fracciones decimales periódicas y el estudio de
resolución de fracciones algebraicas.
También hizo grandes avances numéricos, pues
estudió con detenimiento y detalle los números
irracionales, imaginarios y complejos.
Gracias a Euler existe la actual teoría de con-
gruencias como resultado de arduos y extensos
trabajos que requirieron de grandes esfuerzos y
dedicación.
En el siglo Xv11, la teoría de números adquiere una
gran importancia y se desvincula del resto de las
matemáticas como una rama independiente. En
este progreso colaboraron Lagrange, Lambert y
Euler, entre otros. Fundamentó la teoría de frac-
ciones continuas, lo que desembocó en sus estu-
dios sobre análisis diofántico y estudió los núme-
ros primos tratando de resolver su distribución.
25
Lumbreras Editores
Siglo x1x
El siglo XIX tiene una gran importancia en la evo-
lución del álgebra. A partir de aquí el álgebra
evoluciona de forma diferente y aparece un ál-
gebra de carácter más abstracta donde surgen,
además, objetos desconocidos hasta entonces,
pero que captan el interés de los matemáticos
del momento como son los grupos, las matrices
o los hipercomplejos. Además, el interés en
torno al cual giraban las matemáticas también
es distinto. Mientras que en el álgebra anterior
lo principal era la resolución de ecuaciones nu-
méricas, aquí se centra en el estudio de las es-
tructuras algebraicas. Todo esto da lugar a lo que
hoy en día se conoce como álgebra moderna.
Debido a la productividad de esta época, por los
trabajos y resultados que se obtuvieron, es co-
nocido el siglo xix como la edad de oro de las
matemáticas.
Un problema importante que queda resuelto
en este siglo es la posibilidad o no de la resolu-
ción de ecuaciones por radicales. Como se ha
reflejado antes, ya era conocido el método de
resolución de ecuaciones cúbicas debido a los
trabajos de Scipion del Ferro, Tartaglia, Cardano
y Ferrari, y de ecuaciones cuárticas por Ferrari. A
partir de aquí, gran cantidad de matemáticos se
lanzaron a la búsqueda de la resolución por ra-
dicales de ecuaciones de quinto grado o mayor,
pero el camino no fue fácil.
Algunos personajes ya creían que tal búsqueda
no tenía solución y admitieron la imposibilidad
de solución de ecuaciones de quinto grado
como Leibnitz (en el siglo xvi) y Gauss en su
Disertación doctoral, aunque no fueron capaces
de demostrarlo. Fue Ruffini quien encontró una
demostración, aunque no lo suficientemente de-
tallada y rigurosa pero ya se asemejaba bastante
a la que posteriormente establecería Abel en el
año 1826.
26
Pero Abel no pudo dar un criterio general de re.
solubilidad en radicales de las ecuaciones con
coeficientes numéricos. Sí fue posible gracias a
Evaristo Galois. Debido a la importancia de este
matemático veamos a continuación más deta-
lles sobre su vida.
Evaristo Galois: nació el 25 de octubre de 1811,
en Bourg-la-Reine, cerca de París y falleció el 31
de mayo de 1832 en París.
Destacó por su labor de carácter científico y por
su inmersión en la vida política, ya que fue un ar-
diente revolucionario en el París de 1830. Sufrió
varios fracasos en su vida como los dos intentos
fallidos de ingresar en la Escuela Politécnica, el
primero de ellos a los 16 años.
Realizó unos trabajos muy amplios entre los
años 1829 y 1830, Dichos trabajos trataban so-
bre fracciones continuas, teoría de ecuaciones y
teoría de números. En 1831 fue expulsado de la
escuela normal donde estudiaba debido a estar
involucrado en los acontecimientos políticos.
Más tarde ingresa en el ejército después del fra-
caso de un curso que pretendía impartir sobre
números imaginarios, teoría de las ecuaciones
resolubles por radicales, teoría de números y
teoría de las funciones elípticas, pero que no
contó con oyentes, por lo que se suspendió.
Galois fue detenido y pasó casi un año en la cár-
cel. Pero su vida fue bastante desdichada ya que
no tardaría en morir. Al ser puesto en libertad se
vio envuelto en una cuestión de honor por una
mujer y murió en el duelo consiguiente. Esa mis-
ma noche y antes de ir al duelo Galois escribía
también a su amigo Auguste Chevalier:
“He hecho algunos descubrimientos nut-
vos en análisis. El primero concierne a la
teoría de ecuaciones; los otros, a las ful
ciones enteras. En teoría de ecuaciones he
Evolución histórica del álgebra
—— e A
investigado las condiciones de solubilidad
de ecuaciones por medio de radicales;
con ello he tenido ocasión de profundizar
en esta teoría y describir todas las transfor-
maciones posibles en una ecuación, aun
cuando no sea posible resolverla por radi-
cales. Todo ello puede verse aquí, en tres
memorias... Haz petición pública a Jacobi o
a Gauss para que den su opinión, no acerca
de la veracidad, sino sobre la importancia
de estos teoremas. Confío en que después
algunos hombres encuentren de provecho
organizar todo este embrollo”.
En el amanecer del día siguiente Galois aban-
donó su habitación de la pensión Sieur Faultrier,
en París, y se enfrentó en duelo de honor a un
activista político llamado d'Herbinville, cerca
de un estanque cercano. Galois quedó abando-
nado tras recibir un balazo en el abdomen. Un
transeúnte lo encontró y llevó al Hópital Cochin,
donde murió al día siguiente. Catorce años des-
pués, Joseph Liouville publicó el legado que Ga-
lois dejó a Chevalier, naciendo de esta forma la
rama de teoría de grupos.
Toda esa labor constituyó la teoría de grupos en
la que aparecían entes matemáticos como cuer-
po que Galois introdujo para otorgar carácter
general al teorema del número de raíces de las
congruencias de grado n de módulo primo. De
esta forma, y con colaboración de otros matemá-
ticos corno Riemann y Dedekind, se constituyó la
teoría actual de grupos, de la que Galois es prin-
cipal fundador. A pesar de que la noción de gru-
po estaba ya esbozada en trabajos de Lagrange,
Gauss, Abel, Ruffini y Cauchy, fue Galois el que
introdujo los conceptos de subgrupo e isomorfis-
mo mostrando claramente la teoría general.
Karl Friedrich Gauss: otro de los grandes perso-
najes del siglo XIx, por la gran contribución que
hizo a las matemáticas, fue Karl Friedrich Gauss.
Quizás la más significativa fue la exposición de la
primera demostración del teorema fundamen-
tal del álgebra, cuyo enunciado es el siguiente:
“Todo polinomio de grado n, con coeficientes
complejos, tiene exactamente n raíces, no for-
zosamente distintas, es decir contadas con su
orden de multiplicidad”.
Dicho resultado era conocido desde el siglo xvi
por Descartes, pero a pesar de los intentos na-
die había sido capaz de probarlo. Gauss lo hizo
y, además en los años 1815, 1816 y 1849 dio tres
nuevas demostraciones.
También es de destacar su papel de inventor
que lo llevó a construir un telégrafo eléctrico y
un magnetómetro bifiliar para medir el magne-
tismo. Los trabajos conjuntos de Gauss y su dis-
cípulo Riemann sobre la teoría del electromag-
netismo fueron un anticipo de la ley universal de
la gravitación de Newton.
MITAD DEL SIGLO XIX Y XX
En la segunda mitad del siglo xix, las investiga-
ciones se centran en tres campos distintos:
Teoría de grupos
Durante este periodo se desarrolló en profun-
didad la teoría de grupos. Destaca la obra de
Cayley donde figura una definición bastante abs-
tracta de grupo. A partir de 1870, la obra de Jor-
dan adquiere también una relevancia especial
pues en ella aparece el primer estudio de grupos
infinitos tras haber realizado un resumen de la
teoría de grupos finitos y sus aplicaciones. Los
grupos infinitos fueron estudiados por los discí-
pulos de Jordan, F. Klein y S. Lie.
A finales del siglo XIX y principios del siglo Xx se
forma el núcleo del álgebra actual a partir de la
teoría de grupos que se desarrolla estudiando los
grupos finitos, los grupos discretos infinitos y los
grupos continuos de una forma independiente
pues la teoría de grupos comienza a ramificarse.
27
Lumbreras Editores
De esta forma y, como se comentó anteriormeni-
te, el centro de las investigaciones algebraicas
pasa a ser la teoría de grupos, subgrupos, anillos
y estructuras, lo que constituye el periodo de las
matemáticas modernas.
Teoría de números y de conjuntos
Otro campo en el que distintos matemáticos
profundizaron durante el siglo xIx fue la teoría de
números. Debido a la importancia de una fun-
damentación correcta de la teoría del número
real, matemáticos como Dedekind, Weierstrass
y Heine dedicaron sus esfuerzos a justificar de
forma rigurosa dicha teoría.
También la teoría de conjuntos sufre un impulso
gracias a los trabajos de G. Cantor, que identificó
el número real con una sucesión convergente
de números reales. A él pertenecen las teorías
de conjuntos infinitos y los números transfinitos.
Entre 1879 y 1884 elaboró de forma sistemática
la teoría de conjuntos, introduciendo el concepto
de potencia de un conjunto, el concepto de pun-
to límite y de conjunto derivado, lo que constitu-
yó el núcleo de la teoría abstracta de conjuntos.
La fundamentación de la teoría de conjuntos y
sus aplicaciones dieron lugar en el siglo Xx a la
lógica matemática, que es parte fundamental de
las matemáticas modernas.
28
Álgebra lineal
Esta teoría surge de los sistemas de €Cuaciones
lineales y está directamente relacionada Con la
teoría de las determinantes y matrices. Se reali.
zan gran cantidad de investigaciones en torno ala
noción de invariante de las ecuaciones que tuvo
una especial acogida en distintos campos como
el análisis, la geometría, la mecánica y la física.
A finales del siglo xIx se produjo la unificación de
estas tres tendencias a manos de Dedekind y Hil.
bert, fundamentalmente. A partir de aquí, y du-
rante el siglo XX, se procedió a la axiomatización
del álgebra donde destacaron Steinitz, Hasse,
Krull y Van del Waerden, entre otros. Todo esto
sirvió de base a las numerosas investigaciones
llevadas a cabo durante el siglo Xx que formaron
parte del álgebra abstracta.
Inés M? González García de Velasco
BIBLIOGRAFÍA
+ BOYER, Carl. Historia de las matemáticas.
Alianza Editorial, 2001.
+ REY PASTOR, J. y BABINI, J. Historia de las
matemáticas. Gedisa, 2000.
+ DURÁN GUARDEÑO, A. El legado de las ma-
temáticas SAEM Thales.
Tomado y adaptado de /+E Revista digital Inves-
tigación y Educación. Número 27, diciembre de
2006.
Capítulo
Nociones
preliminares
CAPÍTULO I
NOCIONES PRELIMINARES
Objetivos
Realizar operaciones algebraicas elementales (adición, sustracción, multiplicación, divi-
sión, potenciación y radicación).
Conocer y utilizar el lenguaje algebraico desarrollado en el presente capítulo.
Introducción
Hemos considerado este capítulo preliminar porque somos conscientes de que el lector necesita co-
nocer previamente algunos aspectos básicos del álgebra. Así, estará mejor preparado para compren-
der con mayor eficiencia el desarrollo de los temas.
Para empezar, recordaremos brevemente a los antiguos peruanos y su conocimiento de las matemá-
ticas. Los quipus y las yupanas fueron instrumentos importantes para la matemática en la administra-
ción incaica. Esto les permitió conocer a los incas una aritmética sencilla pero efectiva, para fines con-
tables, basada en el sistema decimal; si bien desconocieron el cero, dominaron las cuatro operaciones
básicas, que son las que en este capítulo repasaremos.
Los quipus fueron un sistema de asociación mental de cuerdas anudadas mediante las cuales se re-
gistraban todo tipo de información; si se trataban de resultados de operaciones matemáticas, solo se
anudaban las realizadas anteriormente en los “ábacos incas” o yupanas. También era utilizado para
guardar información de noticias censales, de montos de productos y de subsistencias conservadas
en los depósitos. Algunos cronistas mencionan el uso de quipus para guardar noticias históricas, sin
embargo, no se ha descubierto cómo funcionaba ese sistema.
En el caso de la información numérica, las operaciones matemáticas eran realizadas previamente en
las yupanas, de piedra tallada o de barro; tenían compartimentos que correspondían a las unidades
decimales y se contaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz O quinua. Se podían indicar
unidades, decenas, centenas, etc., de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación. Recientes
investigaciones respecto a estos ábacos incaicos sugieren que en ellos se podían calcular cifras consi-
derables basándose en un sistema probablemente no decimal, sino basado en el número 40.
En el Tahuantinsuyo, el quipucamayoc era el personal especializado en manejar las cuerdas y podía tener
a su cargo las de toda una región o suyu. En algunos poblados indígenas todavía sirven para registrar los
productos de las cosechas y los animales de las comunidades, aunque la tradición está perdiéndose.
31
Lumbreras Editores
» ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Para definir las operaciones algebraicas partire-
mos de algunos ejemplos prácticos.
l.
32
Juan tiene 7 caramelos y Ana, 5 caramelos. Si
los juntáramos en una sola bolsa tendríamos
12 caramelos en total. Esto se puede simbo-
lizar de la siguiente manera:
5car+7 car = 12 car
o también se puede expresar así:
5c+7c =12c
Si tuviéramos 6 caramelos y 7 panes y qui-
siéramos juntarlos en una sola bolsa, solo
diríamos: “se tienen 6 caramelos y 7 panes”;
es decir, no podría efectuarse operación arit-
mética alguna.
»» Nota
En el mundo en que vivimos encontra-
mos diversos componentes, como las
frutas; por ello, si tenemos 5 naranjas y
7 manzanas no podemos decir que tene-
mos 12 naranjas ni decir 12 manzanas,
pues no se pueden sumar manzanas con
naranjas; de ahí viene la idea de definir
términos semejantes.
El primer ejemplo también se puede expre-
sar de la siguiente forma:
7x+5x=12x
o en otras circunstancias se tendrá:
xy "+5xy =12xy*
Donde
I. Elementos del mismo conjunto como Txy?
3 ams A ;
y 5xy” se llaman términos semejantes,
A la forma de representar mediante una
generalización de 7xy* y 5xy? se le llama
expresión algebraica; en el capítulo Il se
verá detalladamente.
III. Para reducir dos o más expresiones, En
tas deben ser semejantes.
Se dice que dos términos son semejantes
en x si y solo si x tiene el mismo exponente
en ambos términos de coeficientes no nulos,
Los términos semejantes se pueden reducir
por la ley distributiva de multiplicación res.
pecto a la adición, por la izquierda o derecha,
(a +b)x=ax+bx y x(m+n)=xm+xn
“Y xXx"
Ejemplos
1.
2.
3 +8 =(3+8)=111
35x” — 22x"=(35 —22)x”=13x"
-162+112=(-16+11D)x2=- 5
Luego, diremos que 3xy y - ay son se-
mejantes puesto que tienen los mismos ex-
ponentes para x y para y, respectivamente.
Adicione 3x2—8x+1 con -2x4+5x.
Resolución
Ordenando de acuerdo a sus términos se-
mejantes:
3x2-8x+1 |
-2+5x
(3-2+(-8+5)x+1
(+)
La suma es equivalente a x2-3x+1.
Reste 3x+5 de 2x?-8x+3.
Resolución
Ordenando y reduciendo los términos seme-
jantes:
2x -8x43 | O
3x+5 |
2"+(-8-3)x+(3-5)
La diferencia es equivalente a 2? - 11x-2.
CAPÍTULO |
6.
Nociones preliminares
Dadas las expresiones
A=4é - 1xy - 5,
B=-6x” + 9xy — 3xy”;
halle el equivalente de:
L A+B
IL. A-B
III. 24+3B
Resolución
L A=4-7xy-5xy? | 8
B=-6x +9xy-3xy*
A+B=(4-6):%+(7+9)xy+(25-3)xy?
> A+B=-2+2y-8xy
IL A=4é-Ty-50 |
B=-6x+9xy-3xy | e
A-B=(4-(-6))>+(7-Dy+(-513))9*
> A-B=10x-16xy-2xy?
TIL 24=2(4-7xy-5y*)=8*-14xy-10xy?
3B=3(-6+9xy-31%)=-18+27xy-9y*
> 24+3B=(8-18)4+(-14+27)xy+(-10-9)xy
> 24+3B=-10x*+13xy-19xy”
. Dados
P=(c-1)4+3x+3y;
Q=5x — 3(x+y);
si P-Q se reduce a 6(x+y), halle el valor de c.
Resolución
Ordenando:
P=(C-1)x+3x+3y | O
Q= 5x2-3x-3y
P-Q=(c-1-5)4+6(x+y)
De donde: c-1-5=0 > c=6.
. Efectúe
-8y-(-7y-[(3y-70)-(2y-80)]+5x)
Resolución
Efectuando por partes desde la parte interna
-8y-(-7y-[(3y-7x)-(2y-8x)]+5x)
3y-7x-2y+8x
AY
=-8y-(-7y-[y+x1+5x)
=-8y-([-Ty-y-x+5x)
. =-=8y-1-8y+4x)
= -B/+8/-4x
=-4x
De a?, sustraiga la suma de
3ab-6 y 3a?-8ab+5.
Resolución
Il... Primero sumamos
(3ab—6) + (3a?-8ab + 5)
Así:
3ab-—6
3a?-8ab+5 16
Basab-1
II. La suma: 3a?-5ab-1 será el sustraendo
que debemos restar de a.
2
a
3a?-5ab-1 | O
-2a?+50b+1
ll. Obtenemos como respuesta:
-2a?+5ab+1
Otro método
Del enunciado se tiene:
a*-|(8ab-6)+(3a?-8ab+5)]:
Lumbreras Editores
A A
Resolviendo
=a? -[3ab-6+3a?-8ab +5)
=a?-|-5ab-1+3a?]
=a*+5ab+1-3a?
=-2a*+5ab+1
10. Simplifique la expresión
-|-3a-(0+|-a+(2a-b)-(a+b)]+3b)+4a]
Resolución
Empezaremos simplificando los términos se-
mejantes más internos, es decir, los afectados
por los paréntesis.
-|-3a-[b+|-a+(2a-b)-(-a+b)]+3b)+4a]
-a+2a-b+a-b
2a-2b
Luego
-|-3a-[b+[2a-2b]+3b)+4a]
b+2a-2b+3b
2a+2b
=-[-3a-(2a+2b)+4a]
=-|-3a-2a-2b+4a]
=-|-a-2b]=a+2b
Finalmente, se tiene a+2b.
Simplifique
[-15a + (2a-6b)-(a+9b)-[1-3(a-b)]]
» MULTIPLICACIÓN
Es necesario recordar aspectos esenciales de la
multiplicación, como:
LEY DE LOS SIGNOS
(+) (+) = (+) e
* ills .
34
PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES
E
* (a:bY=d"-b"
e (AM=a""
a (a“-bPY=a" "pen
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
a(b+c)=ab+ac
Ejemplos
1. Efectúe (3x*+5xy*)(2xy* y)
Resolución
Efectuando conforme se indica
(+ yy)
AAA
=3x-2xy*-3x*-y +5xy*-2xy- 5x9) -y
=6y*-3x%+10x2y% -5xy*
2. Efectúe
(am +bn?) (adb +mn +abmn?)
Resolución
Distribuyendo como se indica
A
(a?m+bn*)adb +mn+abmn?)
==
2
=am-ab+atm-mn+atm-abmn"+
2
¡ 2
+b0n*-adb+bn3mn+bn":abmn
5 P € 312,3
=0bm+atmén+alomin?+a tbn” + 5
2
+0mn*+ab'mn
CAPÍTULO |
Nociones preliminares
PROPIEDAD ASOCIATIVA
a*(b:c)=(a:b):c
Ejemplos
1.
Multiplique 2a? por 3a?.,
Resolución
2a?-3a?=2-3-a?-a*=6a**=60*
. Efectúe la multiplicación de
ES
Resolución
S Nm
1
és a S
. Multiplique 3x?-5xy+y* por -2%y*
Resolución
(34-5xy+y) 2!)
a
Aplicando la propiedad distributiva
=-3:22 Y 45 2 y ayy
=-6xy ++ 10x%y*-2%y?
Multiplique (2x+3y*) por (5x? -y)
Resolución
Aplicando la propiedad distributiva confor-
me se indica:
LA
(2x+3y1) (5x-y)
=2x 5 -2x-y+3y* +5 -3y"- y
=10x%-2xy+15x%y*-3y?
5. Multiplique
a”*2_447-247*! por a?-2a
Resolución
Análogamente conforme se indica:
Mir
(1+2-ad"-29"*)(a'-20)
Po 4 tt
=g7+* 2-49" a-297+ at a7+*2a+
+44” -2a+2a”*!-2a
2 arti_garr 7 24m +3_2grnt4
48074447?
=a7+ 4 gn
6.. Efectúe
3x(1+3)-2)(x+1)
Resolución
Efectuando por partes:
IL.
|)
3x(x+3)=3x?+9x
. 3x(x+3) (x-2)
2)
A
0:
Br+9)0-
[+
=3-6 +9 -18x
=30+31-18x
1]
(3 +3-18)+1)
=3 430 +3+31-182 -18x
=3x'+6x*-15-18x
35
Lumbreras Editores
7. Reduzca
(+5)(2x-3)-(2x+1)(:-4)
Resolución da
Aplicando la propiedad distributiva:
(c+5)Qx-3)-(20+1)(-4)
= (9 -3x+10x-15)-(2?-8x+x-4)
=2+7x-15-(2-7x-4)
=p +15 DO +74
=14x-11
De donde lo reducido es 14x-11.
8. Reduzca (2x+5xy) (x-y) -(+xy)(2x-5y).
Resolución
Aplicando la propiedad distributiva:
AAA lo
Wi+sy)l-y)-(é+9)(2-5y)
| E 3
=(2-2y+50y- 5) (2-5 +
+2 y-5xy?)
A YA y
=3%y+3y eeididd
EQUIVALENCIAS NOTABLES
+ (atbY=a*+20b+b?
* (a+bla-b)=a?-b?
* (ea) +b)=sx+(a+b)x+ab
Ejemplos
Efectúe
l. (2x+3y)
2. (3-5y1)?
36
(4x+3y)(x-3y)
(é+5y)0é-sy*)
(x+5)(x+3)
(2x+1)(2x+5)
(x-7)+5)
Sn p.»p.n z=
Resolución
Aplicando las equivalencias notables:
1. Ex+3N*=(20?+2(20(3y)+(3y*
=4x+12xy+9y?
2. (a2-sy?=(307-2(3 (5) +(5yY
=9x*-30x%y1+25y?
3. (4x+3y)(4x-3y)=(4:)?-(3y=162 -9y
4. (é+sy)Lé-sy)=00)7-(5/9*=x*-25y
5. (+5) +3)=2+(5+3)x+5:3=0+8x+15
6. (2x+1)(2x+5)=(20)*+(1+5)2x+1-5
=4+12x+5
7. (x-DO+5)=2+(7+5)x+(-7)65)
=é -2x-35
» DIVISIÓN
Recordando aspectos básicos:
LEY DE LOS SIGNOS
* —=(4+) .
. gen Ñ [3-5
a b b
ay on
(5) e] . a-n =:0%0
b b a”:
CAPÍTULO |
Nociones preliminares
Ejemplos
1.
Divida 8x”y'* entre -2x%y?.
Resolución
sy" dl ¿=[3) 5-3 ,,10-2 2.8
3, Sl
Y 3 y 4x*“y
2. Divida 64ry entre 4y2x.
Vilx+Y =
| w
Resolución
BAxyo (E) ¿y 32)
4y?x Na
= 16 y?+2= 16x y!
- Propiedades
XWwÍy
3. Divida 3a*+6ab+9a*b? entre 3a?.
Resolución
Aplicando la propiedad distributiva de la
división
5 4 3,2 5 4 3p?
3a? +6a* +9a*b O -ar0
3a? 3a? 3a 3a
=a +20 b+3ab*
Simplifique six*-2 => x%0.
6x?+12x"
Resolución
Como 6x?+ 12x=6x(x+2), entonces
+2) (x-2) 2)_x-2
6x7+12x 6x2) 6x
Reduzca
x?2-9 5x +20
3x +11x-4 x2-4x+3
Resolución
Observamos que
12-4x +3 =(x-1)(x-3)
3% + 11x-4=(3x-D(r+4)
Entonces, escribimos sus equivalentes
(+3) 3) SAD
(3x-D(x+8) (x-1D(:-3)
_ 5(x4+3)
(8x-DQr-1)
Efectúe
AL
x-1 y+1 (x-D(y+D
Resolución
Sumamos las dos primeras fracciones y apli-
camos la propiedad (V)
GADO+D+(x-D(y-D -2xy
(x-D(+D (x-DG(+D
Aplicando la propiedad (IV) y efectuando
YAA HYA LAA A Y +1 2xy
(x-D(+D Ñ
2
“G-DO+D
37
Lumbreras Editores
D 345x118
7. Reduzca (x+ xa 6
Resolución
Aplicando la propiedad (VID) se tiene
(r+D(? +5x+6)-(x* +5x? -18)
x2+5x+6
Efectuando las multiplicaciones obtendremos:
Besós 6- 0 5x* +18
2 +5x+6
cuyo equivalente simplificado es
+10 +24 (x+3)(x+8)_x +8
x2+5x+6 (+3 Mx +2) x+2
2 3 x+5
—+—
l-x
8. Simplifique
x+l x-1
Resolución
Equivalente escribimos
E
x+l x-1 x2-1
2(x-D+3(x+1D) x+5
(x+D(x-D x?-1
2x-2+3x+3 x+5
A
x“-1 x*-1
Sx+l+x+5_ 6x+6
x?-1 (x+D(x-1)
6lx+) _ 6
(x-D(x+D > x-1
9. Efectúe y simplifique la expresión.
2xy
gs +)
laz
y
38
10.
Resolución
Aplicando la propiedad (VID en el Numera.
dor y el denominador, luego multiplicamos
extremos y medios.
+ yo +2xy
A + a)y
YIER (2 + y) (e + y)
y
2
te EOS (+ y)y _ yy?
E +ylxry) Cry sy
Simplifique la expresión M.
M= x-2
Resolución
Esta forma de fracciones se llaman continuas
y se simplifican efectuando las operaciones
de abajo hacia arriba.
Para el ejemplo, se tiene en el denominador
x+2 x+2 x+2
Luego
x-2 x-2
pen E o
X= ii
ei x
x+2
M= Ea x(x-2)
x-x-2 x*4-x-2
Xx
como x*-x-2=(x-2)(x+1) entonces
x(x-—2) x
"QA-DOG+D x+l
CAPÍTULO |
Nociones preliminares
11. Efectúe
1 Erre
x-a x-p?
e
35 — ((x-a)
x“-la+c)ix+ac
x*+a;, xX%b; x%tc.
Resolución
»» Recuerde
x2-b? =(x +bMXx-b)
*-?=(x+0O(x-c)
x*-(a +b)x + ab = (x-aMx—b)
Luego la expresión es equivalente a
ARE
_X+cC
x+b
12. Efectúe
Resolución
Efectuando convenientemente
13. Efectúe
a b+c [,,9+c a j]
Ve 2bc
a b+c
Resolución
Como
1 1 b+c+a
Lp
a b+c alb+c)
1 1 b+c-a
a b+c alb+c)
operamos dentro de los paréntesis, así:
b+c+a
alb+c) (Perseo)
b+c-a 2bc
alb+c)
A
b+c-a 2bc
a
b+c-a 2bc
y (a+b+cY
2bc
» ECUACIONES Y DESPEJE DE INCÓGNITAS
Se expondrá mediante ejemplos prácticos, utili-
zando expresiones que se considerarán bien de-
finidas, en las cuales se aplicarán las siguientes
propiedades.
l. a=b siy solo si a+c=b+c
2. a=b siysolo si a:c=b-c; cxO
39
Ejemplos
1.
40
Xx X
Halle xen 5=3
Resolución :
Multiplicando todo por 12 (12 es el mínimo
común múltiplo de 2, 6 y 4) para eliminar de-
nominadores
+ a(g)>o(g)=a
6x=2x-3
6x-2x=-3
De u=a+(n-1)r, despeje n.
Resolución
De u=a+(n-1D)r
> (n-Dr=u-a
(dividiendo ambos miembros entre r)
u-a
E, E
r
Trasponiendo términos
u-a
n=14+4
r
r+u-
> n=
r
También se puede despejar n de la siguiente
forma
uU=a+nr-r
S u-a+r=nr
S nr=u-a+r
es na 2 8FE, _rb=a
r r
2
De L=2-3 despeje p.
f p Pp
Resolución
Como queremos despejar p' transponemos
3 , :
An al primer miembro y queda solo p' en el
segundo miembro. Así:
EA A
—==== > =tko=_
f p p fop p
Luego
2 '
Pp43f_2 e PO
fp p' tép+3f 2
a a P
tp+3f
De la expresión e = up! + > ge, despeje:
L g IL 0
Resolución
l.. Para despejar g se transpone uy! al pri-
1
mer miembro y se deja solo ¿e en el
segundo miembro. Así:
l 2
€ =0Upl + gl
0 28
> e-upt=38b
Luego
2(e-uy1)=géP
e 2(e a
Il. Despejando v,, multiplicamos por 2
2e=20/+8f > 204=2e-8l
hs 2e - ge
Ú
“2
CAPÍTULO | Nociones preliminares
5. De 1,%__0b_ despeje: Resolución
La igualdad es equivalente a
L b Ml ox r+g _a-1
l+ qx K
Resolución
l.. Escribimos la ecuación así: Luego
l+a_ ab . ri
a? (1+ ax +b) = xab q
efectuando r+qg a-1-K
de donde a-1—— = —=—
o q=x
(1+a)(x+b)=xab
A elevando a la (a-1) resulta
> x+b+ax+ab=x ab pa EN
q=x K
Luego
x+ax=xab-ab-b 7. Despeje
> x(l+a)=b(ax-a-1) fi de Fiy A yx +4 =0.
(a+1
= rar ; Vaxs*a+l Resolución
De la ecuación podemos identificar que se
trata de una equivalencia notable.
l+a ab
Il. De — =
x x+b
a?-2ab+b*=(a-by
> (+a)lQG+b)=xab
Como fi.) 4, x+4x =(f 2)
> x+b+ax+ab=xab
. 9 P-
b+ab=xab-x-ax Entonces lo 2x) 0,
> b+ab=x(ab-a-1) > fay2x=0 > fp =2x
bla+V . , ,
De donde x = AS 8. Despeje P,) de Pí,)+x+3=4-6” -5xP(,).
Resolución
Transponiendo los términos al primer miembro
6. Despeje il y de la igualdad dl
Pi +SxXP (y +0 +x-1 =(
E P, od -1)
K= 4) -
af rta e aa
l+ q-=x (2x
41
42
Note que
6% + x-1=(3x-1)(2x+ 1)
Por el método del aspa simple
[Py +(Bx-D][P y +(2x+1)]=0
de donde P()=-3x+1 o P()=-2x-1
Vx -1
Despeje x de m= ,
did Vx +9
Resolución
Vx -1
Vx +9
Como m=
> mix+9m=Wxx-1
> (m-DVx =-1-9m
Luego, elevamos al cuadrado
pen
x=
l-m
10. Despeje xen ——=
x+l m-1
x-1 m+'
Resolución
Una propiedad de la aritmética (proporcio-
nes) es:
Aplicando esta propiedad tenemos
x+l+x-1 _ (m-D+(m+1)
(x+D-(x-D (m-D-(m+0D
2x____ 2m 2x_2m
x+l-Xx+1 moleñ-1 "2 4
Luego
x=-m
Otro método s
Por simple inspección en el segundo miem-
bro, multiplicando por —1 tanto al numerador
como al denominador.
De donde se observa x=-m.
Biocraría
Bernard Bolzano
Nació en Praga, Bohemia, el 5 de octubre de 1781 y murió en
la misma ciudad el 18 de diciembre de 1848. Fue matemático,
lógico, filósofo y teólogo, y desarrolló importantes aportes en los
campos de las matemáticas y de la teoría del conocimiento.
A los dieciséis años se inscribió en la Facultad de Filosofía de la
Universidad de Praga; influenciado por la lectura de la obra de
Kaestner Mathematische Anfangsgrúnde (Fundamentos matemá-
ticos), demostró especial predilección por la filosofía de las mate-
máticas. Al respecto, escribió en sus años universitarios que esta
preferencia se centraba en los aspectos especulativos de la cien-
cia matemática. Luego de cuatro años comenzó sus estudios de teología a la par que prepara-
ba su tesis doctoral en geometría, grado académico que consiguió en 1804, tras haber puesto
énfasis en su investigación sobre las características de una correcta demostración matemática.
En 1805, Bolzano se ordenó como sacerdote católico romano y obtuvo la cátedra de Filosofía y
Religión de su alma máter. En relación con esta cátedra, se debe mencionar que con el paso de
los años tuvo dificultades en su relación con las autoridades universitarias, pues en la coyuntura
política de la época una asignatura como aquella estaba destinada a contrarrestar las ideas na-
cionalistas, influencia de la Revolución francesa, contrarias también a las ideas conservadoras
de la Iglesia católica. Sin embargo, las enseñanzas de Bolzano no tuvieron el éxito esperado ya
que eran pacifistas, más bien instaba a una reforma total de los sistemas educativos, sociales
y económicos que dirigiera los intereses de la nación hacia la paz en lugar de hacia el conflicto
armado entre naciones; además, sus ideas estaban impregnadas por una fuerte exigencia de
justicia política. A esto hay que sumarle que era muy respetado entre colegas y discípulos por
sus cualidades intelectuales, lo que finalmente provocó su destitución de la cátedra en 1819,
luego de recibir algunas presiones del gobierno. Tras ser acusado de herejía, fue puesto bajo
arresto domiciliario y se le prohibió publicar al manifestar su disconformidad con la decisión de
la universidad. A pesar de esto, su obra se publicó fuera del imperio austriaco de los Habsbur-
go sin afectar su producción intelectual, tan importante para el posterior desarrollo de la ciencia.
En el terreno de sus escritos, Bolzano redactó una serie de textos sobre los fundamentos de
las matemáticas: en 1810, Beitráge zu einer begrúndeteren Darstellung der Mathematik. Erste
Lieferung (Contribuciones a una visión fundamentada de las matemáticas. Primera entrega); en
1816, Der binomische Lehrsatzn (El teorema binomial), en cuyo prólogo declara que su trabajo
43
el nuevo modo de desarrollar el análisis; y en 1817, Reín analytischer Bewejs
ba los conceptos de límite, convergencia y derivada
por criterios puramente aritméticos y numéricos,
es un ejemplo d
(Prueba puramente analítica) donde libera
de nociones geométricas, sustituyéndolos ;
A pesar de que consiguió demostrar todo lo que afirmaba, sus teorías se la después
de su muerte. Bolzano sabía que había un problema de base que resolver: diia y enriquecer
el concepto de número. De ahí su demostración del teorema del valor intermedio o Teorema de
Bolzano, que también fue llamado serie de Cauchy, debido a un trabajo del matemático francés
Augustin Louis Cauchy publicado unos años después. Otro.aporte importante es el Teorema de
Bolzano Weierstrass o teorema de la sucesión convergente.
Después de veinte años, en 1837, redacta Wissenschaftslehren (Teoría de la ciencia) en cuatro
volúmenes; para muchos —entre los que se encuentra Edmund Husserl- era la segunda obra im-
portante sobre lógica y problemas del conocimiento después de la de Leibnitz. Bolzano intentó
proporcionar fundamentos lógicos a todas las ciencias, construidos a partir de abstracciones,
de atributos, de construcciones, de demostraciones y de vínculos, con lo cual se acerca a la
filosofía de las matemáticas. Para él, no hay ninguna certeza en relación con las verdades, o a
las supuestas verdades de la naturaleza o de las matemáticas, y el papel de las ciencias, tanto
puras como aplicadas, es encontrar una justificación de las verdades (o de las leyes) fundamen-
tales, que usualmente contradicen nuestras intuiciones.
En la década de 1830, trabajó en una gran obra de la cual solo se llegó a publicar una parte,
Gróssenlehre, donde intenta poner toda la matemática bajo un fundamento lógico. Luego de
su muerte, en 1851, un alumno suyo publicó Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infini-
to), donde parece por primera vez el término “conjunto”, en la forma alemana Menge. En este
trabajo Bolzano aporta ejemplos de correspondencia biunivoca entre los elementos de un
conjunto infinito y los elementos de un subconjunto propio.
Bolzano, a su vez, fue un importante filósofo y lógico que acogió opiniones nuevas acerca de
las variables matemáticas, los límites y la continuidad. En sus estudios sobre los aspectos fisi-
cos de la fuerza, el espacio y el tiempo propone teorías contrarias a las sugeridas por el filósofo
alemán Immanuel Kant; afirmaba que los números, las ideas y las verdades existen de modo
independiente a las personas que los piensen.
Muchas de sus obras permanecieron como manuscritos, y fueron publicadas recién a partir de
1862. Debido a esto sus teorías no tuvieron la influencia debida en el desarrollo de la materia.
Asimismo, sus teorías acerca del infinito matemático anticiparon a las de Georg Cantor sobre
el tema de conjuntos infinitos.
Fuente: j
http://es.wikipedia.org/wiki/Bernard Bolzano
http://wmw.britannica.com/EBchecked/topic/7245 l/Bernhard-Bolzano
Pttp //wew.maristasmalaga.com/docs/alumnos/matematicas/bioJb bolzano.pdf
BIOGRAFÍA »
Test 1
Simplifique la expresión.
3(4-5)-5(5+2-8)-(5-6)+19
A) 19 B) 23
D) 22
C) 20
E) 18
Calcule el valor simplificado de
(S+5+..+5)-(3+3+...+3).
38 veces
51 veces
A) 73
D) 46
B) 28 O) 37
E) 36
. El cociente en una división es 7. Calcule el
divisor, si la. diferencia entre el dividendo y
el residuo es 42.
A) 2 B) 3 0) 1
D 5 E) 6
. Alefectuar
A=5*-243-4-7;
B=18+6-2+5?;
¿cuál es el valor de B-A?
A) -2 B) 2 Cc) -1
D) 1 E) 3
+ Si2x=-5, ¿cuál es el valor de M?
Donde M=(2x+3)-(5-2x)-3(2x)
A 1
D) 4
B) 2 03
E) 5
» El doble de la edad de Ana más la edad de
Claudia es 38 años, y el doble de la edad
de Claudia más la edad de Ana es 49. ¿Cuán-
to suman ambas edades?
10.
A) 30 B) 29 C) 44
D) 53 E) 41
Efectúe y simplifique
(DEDES) +2(-D65) :
[24 + 3] + (-4) +(24 + 4)+2
A) 10 B) 4 O) 3
D) -3 E) 5
Calcule el valor de
12
26
5 7"
3 4
A) -1 B) 3 O 4
D) 2 E) -2
Efectúe
Ed Gao
3 618 2 9
1
A) 1 B) 2 O 5
2
D) 3 E) 4
Despeje x de la siguiente ecuación
x-2 x+3 x-6
2 ol 3 Jl 6 )-3=10
A) 13
B) 14
O) -8
D) 2
E) 5
45
: 12, Despeje x de la ecuación
11. Efectúe
(3x-1)-(x+2)=15=x.
1/1 1 1]to
[L2-)+2(3+0)]2
A) 15
7 99 B) 12
A) 3 B) Y CO) - O 8
27 D) 6
DZ E) 1 : E) 20
Claves
1 fa 3 :
HE e E (6 UA
la Je P
£/C 14 / | /
o Ea LE We e
46
Problemas
PROPUESTOS
Halle la suma
loa
3a+2b-c; 2a+3b+c
a+b-c; 2a+2b-3c; -3a-b+3c
. X+Y+Z; 2x3 +2; —Ax+5y-2z
-5x+8; —x2+10x-30; -6x +5x-50
3 ay y ay rd
b.
|
|
(2+y?-3xy)-(>y?+3x?-4xy)
; 3x-|x+y-2x+y]
a+ (y) ay +20)- 3x2 + y?)
, -|-a+(-a+(a-b)-a=b+c-|-(-a)+b))]
Lety lor E ley)]
. 2x-x-2y+(5x-2y)-x-y
j -[3m+(-m-(n-m+0D))+(-(m+m+
+(-2n+3)))
»» Nota
es el símbolo de agrupación llamado
barra o vínculo.
Halle el producto de multiplicar
a
b.
8. a
b.
(a*-b"=1)-(a-b)
(Bar + 203) (aa + ar?)
(xy +2x-y) (x-4xy+1)
(Ay ena) > (24 xy +xdy?)
Efectúe
9 a. (2x+3y-4z)(2x-3y+4z)
b. (+DGQ-2)(4x- 1)(3x+5)+11(x-3)(+7)
10. a.
1 a.
b.
(3x-1)?-3(2x+3)?-2x(=x-5)+(x-1)?
5(1-)?-6(-3x-7)-x(x-3)+2x(x+5)
- 3(x-2)+2(1-x)
2x-5|7-(x-6)+3x])-21
AA aa
AN TA
aL 7) ¿(*+3) a
0,75-x 2x+4 61
-x-4
3 1,5 3
2x-4[5x-(11y-3x)] -3[5y-2(3x-64)]
Simplifique
13.
am
MW a.
a?-9. E e
1 1 Cc
gle-ato-0-201-15/0:5[0-£)
-5| 20-00-15)
“a ¿43 a+l
a+2 4-al 3a-6
(e
X-Y X+y X-Y X+y
5adb?
10a1
ab!
(y 00 y 2x?y? + 6xy
(xy) (e - y?) +2x?y?
47
L
u
mbreras Editores
3ab
16. a —_—__-_—
(a-bY +(0-aY +4ab
b Ao 5)
> la+c)x+ac Jl x?-b?
(++ 35)
E
» no
Le
LoS)
a
“a+l a41 at+1 aó-1
a (a-D(1+a-Ya?)
20 (m?+n?+1+2mn (m2 +0? +2mn 1],
y AM + 7 +2 mn 141
De las igualdades siguientes,
incógnita x
1+Ya +ada?
(m? +24 2mn)'
despeje la
Mis: [2a+ x(n—1)n E
48
2
b. 3(10-213x-2(x-5)]+7x)=3x-4
1
23.
24,
25.
26.
27,
28,
29.
30.
a.
_ G0ud
60d +u(t-x)
Llalm-x)+bx]=b(n-x)+ax
m
y= Lo+o-de-* -4hcx]
TR 47
V=—= 14+=— -1
al x ]
qa pa. 28 ; a>0
x-a x+a
1
Vox+28x” =h
Yax+Ybx=(a+b)Ma-b)
b. (3x*+a)?-(3x*-a)?=48ab"; x;,a;b€ R'
a.
(-3)(r-5)r+2)(x+4)- (2-13) +2=%
42 4222 +2xz dxiyiz CR
1
LID E a+-b
xa b x+a+b'
(ey +2) 2 ty +?
Gá Pierre de Fermat |
exponentes
CAPÍTULO !l
LEYES DE EXPONENTES
Objetivos
+ Buscar la relación entre las definiciones y los teoremas correspondientes a los exponentes
de una expresión matemática.
* Aplicar con criterio la notación científica en el cálculo con cantidades muy pequeñas o muy
grandes.
+ Reconocer los exponentes mayores de cocientes, productos, potencias o raíces n-ésimas.
e Aplicar la relación de base a base y exponente a exponente en la resolución de las
ecuaciones exponenciales.
Introducción
Veamos la necesidad e importancia de este capítulo a través de algunos ejemplos.
Los números 10; 100; 1000; etc., juegan un papel importante en la notación decimal y se llaman poten-
cias de 10. Un modo conveniente de indicar estas potencias es mediante el uso de exponentes:
+ 10'=10
+ 10?=10x10=100
+ 107=10x10x 10 = 1000
+ 101=10x10x10x10= 10000
+ 10%=10x10x10x10x 10= 100 000
y así sucesivamente; leemos 10% como “diez a la quinta potencia”. El numeral 5 en 10% se llama exponente.
La mayor utilidad de estas formas exponenciales está en el trabajo científico, debido a la necesidad de
simplificar los cálculos con números muy grandes o muy pequeños.
Citamos los siguientes ejemplos:
L. La estrella más cercana, Alfa Centauri, está a 25 000 000 000 000 millas de la Tierra. Esta expresión
la podemos simplificar diciendo que Alfa Centauri está a 25x 10? millas de la Tierra.
IL. Entre los años 1908 y 1917, el físico norteamericano Robert Andrews Millikan dedujo que la carga
negativa del electrón es —1,60X 1071? C y su masa es 9,11X 107% g. ¿Cómo sería sin la representa-
ción exponencial?
III. En la teoría molecular de la materia, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el
6,02x10% (602 seguido de 21 ceros).
número de Avogadro, cuyo valor es da ]
Á, siendo cada Á equivalente a
IV. El radio del núcleo del uranio-235 es aproximadamente 7,0x107
1078 cm.
Vemos la gran utilidad de esta forma exponencial
Para finalizar, planteamos el siguiente problema d
entre las estrellas mediante unidades llamadas años
recorre la luz en un año (365 días). Si la luz viaja con un
¿cuántos kilómetros hay en un año luz?
en el trabajo científico.
e astronomía. Se acostumbra describir las distancias
luz. Por definición, un año luz es la distancia que
a velocidad de 3,1X 10% km/s, aproximadamente,
51
Lumbreras Editores
» DEFINICIONES PREVIAS
EXPONENTE NATURAL
Es el exponente entero y positivo que NOS indica
el número de veces que se repite una expresión
como factor.
| En general
n_ja si n=1 |
“lara...a, si neN; n22
|
n veces |
|
| N esel conjunto de números naturales.
¡ R-esel conjunto de números reales.
Ejemplos
l. 56=5-5...5
6 veces
Nn
LAA
'
<|x
A
'
=<|»r
o
A
=<|x
eS
5
|
<|»x
——<,
NN]
3. dado. (0) ; 4n-1EN
4 EEE
MS
PAP) pj Xp
(2p + 3q-7) veces
(2p+3q-7) e N
»» Nota
Va). (re
(U7+J2) veces
No tiene sentido, ya que
(47 + y2) No es un número natural.
52
EXPONENTE CERO
Todo número diferente de cero elevado a]
' e
nente cero es la unidad. xpo.
Í Ny
¡A =l¡vaeR raro.
Ejemplos
1 (4+42) =1 5. (-425)'=1
2. (m+ 42) =1 6. -(425)'=.1
3. (2+y+15)=1 ' 7 -(2425)P=.]
4. (425)=1
»» Nota
0% es indefinido
Ejemplo
(a JE ay
Dicha expresión no está definida.
EXPONENTE NEGATIVO
Nos indica que la base diferente de cero se in-
vierte (inverso multiplicativo) cuando el expo-
nente es negativo. Así:
( Ñ 3
| ar Lado A nNEN
Ce |
Ejemplos
E PS
359
1 y?
2 (5) 2-6
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
»» Nota
| 07” no está definido (Vn e N)
EXPONENTE FRACCIONARIO
El exponente fraccionario se expresa equivalen-
temente como los radicales, donde el denomi-
nador de dicho exponente representa el índice
del radical.
m
A m
an =Ya =Ya |
WVMneNa n>2YaeR
Ejemplos
1. 42=/43 = J64 =8
2. 81052810 - Y8'"=210=1024
3. 811/81 = Y81” =3*=27
1
4. Calcule 47? .
Resolución
Usando las definiciones de exponente nega-
tivo y fraccionario, se tiene
1
21 (1Y 1_1
a -(+) ==,
4 4 2
2
-16?
5. Reduzca 27?
Resolución
Observamos que cada signo (-) invierte a la
base correspondiente. Así esta expresión es
equivalente a
Se reduce de dos en dos de arriba hacia aba-
jo, como sigue:
Finalmente: 27 Y27=3
» POTENCIACIÓN
Es una operación matemática que consiste en
hallar una expresión llamada potencia, partien-
do de otras dos llamadas base y exponente, res-
pectivamente.
Identidad fundamental
p=a”, aeR; neN; peR
Donde
a: base
n: exponente natural
p: potencia
TEOREMAS DE LA POTENCIACIÓN
| Ma=Z ER ]
Demostración
PUE IS
e
mveces nveces
UE
Ain
(m+n) veces
53
|
Lumbreras Editores ]
|
3 (LON Aaa |
Ejemplos |
1 aaa »» Nota |
2. Reduzca 3:3*-3%-31-3% : 1:2-3-...:50=501 |
a 142+3+4+5_ 31 factorial d ,
Usando el teorema 1 se tiene 3'**” 3 Se llama factorial de 50 |
¡
BA 4. ls |
Resolviendo 1 4243+..+N ICI... 100,01, Vxz0 |
n(n+1) |
Pero 1+2+3+ ... Tr ES |
»» Nota |
ntn+D 15€ 14)..ED(0(..(15)=0
Sax ?
4. Lasiguiente relación no es correcta. Teorema 3
A xx (a:b)"=a"-b";
(42+1) veces j abeR a neN
pues el exponente (/2 +1) 2 Z
Demostración
Teorema 2 (a-b)” =(ab)lab)(ab)...(ab)
| Y="", xe RamneÑN |
n veces
pa > (a:b)=a:a:a..a:b:b:b..b
n veces n veces
Demostración
> (a:bY=a":b"
(ym) 2x7 qm. ¿mm *
E A
n veces |
A Mame Ejemplos
e |
x) =x nveces L (ey i=xy |
> (17) "=x m0" 2. 2-3=(2-3)'=6%=216
Ejerno! 16 ]
Jjemplos 3. (Vxy'28) Na" |
MN |
4 4 :
a 4
2. Reduzca (a*-a?)*.(a*. a)? E (83 -(5) le")
Del teorema 1: 5. mn ip?= (mnp)?
(A (az (a)'-(a5y
(o sy4+2
=(a') ñ =(a*)' 6. (abci=a pi
Del teorema 2: a**6=30
A YA Laty)?=(1):y
54
CAPÍTULO Il
Teorema 4
U (xy ax y ten
Ejemplos
(Ey Y=(5) Y =8y28
2. Ladera?
3. (xy =xy!5
4. Az (yy
5. y zz =(xy223?
Teorema 5
gr
gr
=g 1; mneNamzn; ae R - (0)
Demostración
gr A ¿momen Ñ aran, gr ER
A aa
Ejemplos
1 2” ao =2 =16
"916 q O
34+5x
a — p(3+5x)-(3-5x) _ ,10x
2. Ax =4a = q
na y CON
3. ¿Cuál es el equivalente reducido ?
(55-53
Resolución
Del teorema 2 y 4:
5263 536 536
Del teorema 5:
5-253=125
Por lo tanto, el equivalente reducido es 125.
Leyes de exponentes
Teorema 6
;nENADER-(0)
AS
2) 13)" 3 9
» RADICACIÓN EN R
DEFINICIÓN
Dados un número real a y un número natural n
mayor que 1, b se llama raíz n-ésima principal de
a y se denota por b="a si y solo sib"=a,
Además, a y b son del mismo signo, donde a,
beR a ne N-(1) bajo la condición de que sin
es par entonces a, be R;.
Así
+ Y16=2 ya que 2'=16 (2 es la raíz principal)
+ Y-8=-2 puesto que -2)'=-8 (única en R)
55
Lumbreras Editores
Identidad fundamental
(o da o b=a neN, y; n22)
TEOREMAS DE RADICACIÓN
Teorema 1
Ya-b=Ya Vb en R
Sin es par, entonces a>0 a b2 0
Ejemplos
L 432=/16:2=416-/2=4(1,41)=5,64
aproximadamente
5.7 Ya Y
3. Indique si la siguiente relación es correcta.
Esa) = 42342
Fundamente.
Teorema 2
a Ya
qa. bx0
Sin es par, entoncesa>0 1, b>0
Ejemplos
1 4/81_Y81_3
16 Y6 2
Ys (16
2. —=8 38 -
Y 7-2
3, Á25,Y72 Yo 1
E A qe
=V/25 +) 8+732=5+242=9
56
4. Indique si la siguiente relación es Correcta,
2.
2 Na
Fundamente.
Teorema 3
Ya =""Ya m,neN
Si m+:n es par, entonces a>0
Ejemplos
L AV YA =34Yx = YU x
2. Indique si la siguiente relación es correcta.
IS 43
Fundamente.
RADICALES SUCESIVOS
r AAA
a lo Ye darme!
Ejemplos
4/5 Y 97 =Y45.4Y2 4397-45 Y
2. 13/25 -13.7Y3.7495-13 8/20
- Reglas prácticas
Lp
E: E
(x+x+x2+-) |
|
=""/ dam+B)p+ |
= x
Eo e,
CAPÍTULO Il Leyes de exponentes
jemplos
Ejea ÉS Ll Co EN A 7
Xx
+ : air rl
ai 3f,5 _4-3/ 13+5 _12 8
1. Xx Xx = Xx = YX 2.2.2. E
2222 Y Ala2-02H12 1)2+1_ 39,11
x
+
5 3 _3-2) 5:2+3 _ 6/13
TEA Corolario
abf_ac _bf_c
3. 9 IRSA =53:4/,2-3:94+1 _ 69/45 x = te
Siabespar => xe Ri
A ESE
4. 2 4s Ys = [2 DEE
249 04+D3+4 _ 29/925 O PE
Ejemplos
| 2 YN 3=Y2 Y
S. yx xvx xdx =Y 3!
= Ya -Y27 = Ya -27 = 9108
rel E —— AS 5
ll. e ist : Ejercicios para el lector
mL A 5 PRE a | 1. Indique si la siguiente relación es correcta.
27 223 7/23
| Lx+x-..) Sy =V(5)
Fundamente.
=P "R) Lam-B)p+y |
'
. é ique si la siguiente relació
En los exponentes, los signos se alternan. | 2. Indique si la siguiente relación es correcta.
A
A AN 1 ga E (4 31 6y
Ejemplos Fundamente.
4 E E pa 4 Y 95 3. Indique si la E relación es correcta.
(20% =(Y27)'=(-3)'=81
2. 2+1/2+./2+ l2+ Ja Fundamente.
o me AS E 32/91 4. Indique si la siguiente relación es correcta.
Ca
3 e yl 24 q1_32:4 -¿4-2-04+1_24/,,29 Fundamente.
57
Lumbreras Editores
1. Reduzca la expresión Yx? -Yx e indique el
2
exponente de x”.
Resolución
Aplicando la regla práctica | se tiene:
4 3
A
2
Como aaN el exponente de x
¿8
(22H
3
Luego, el exponente de es FS
2. Simplifique e indique el exponente de x.
SS
Resolución
Aplicando la regla práctica (II) se tiene:
7
2345 YT = 8
Luego, el exponente de x es 7/8.
3. Halle el exponente de x, luego de simplificar M.
24
lx Yx y? A
= A]? >
Y Yx
» ECUACIONES EXPONENCIALES
Solo se trabajará para expresiones algebraicas;
es decir, no se utilizarán operadores desconoci-
dos (logaritmos, trigonométricos, etc.).
Criterio 1
“A bases iguales, exponentes iguales”.
d=dO > x= y
donde
a>0,ax%1l, xyeR
58
4, Reduzca
Resolución
Usando la regla práctica (1)
24
ia (ne B2DIH, 2 | B É 2 ]
E 5 rr A
Luego, el exponente final de x es 72.
Ix-Y xx (105)
x+vVx+vVx+ Vx
Resolución
Aplicando las reglas prácticas | y Il se
tendrá:
342] e 14+3)2+ , (0,54)
2 229 ye (12-2+1)2-1
5
29 15.,2 18,2 5,953 3
AR _xBx A ia 16 _ ,16
16f_5 5
x 16
e 7
Luego, el exponente de x es ;7 16"
Ejemplos
l.. Si 4*=8*"!, ¿cuál es el valor de 2-1?
Resolución
De la ecuación 4'=8*"!
(22)=(23)x-1 > 22x=23(x-1)
Como las bases son iguales, los exponenles
también serán iguales
2x=3(x-1) > 2x=3x-3 > x=3
¿02
Por lo tanto, el valor de 2-1 será 3 -1, 65
decir 8.
e
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
2. Sise divide 4'** entre 8*! se obtiene 16, ¿cuál
es el valor de x?
Resolución
Del enunciado se tiene:
qa
ga =16
(ay 92x+6
1 2 > 31)
(237 mo
9(2x+6)-31-1)_ 91
A bases iguales, exponentes iguales.
2x+6-3x+3=4 > 9-x=4
De donde x=5
3. ¿Cuál es el valor de n que verifica la igualdad
8"-8"!=14
Resolución
Como 8"=(8”-1)-8 en la ecuación se tiene
8".8-8"1=14 => 8"1(8-1)=14
8n1.7=2-7 > 8n=2 > (23). 2
=W+ 93-39)
A bases iguales, exponentes iguales.
M-3=1 > nn.
3
Por lo tanto, el valor de n que verifica la igual-
dad es e
3
Criterio II
“A exponentes iguales bases iguales”.
Y
Y' > x=y;
donden*0 a x,yeR*
Ejemplos
. . x+2
Si x*=y*, ¿cuál es el valor de
Resolución
De la condición x*=y* se tiene (x)*=(y?)*
Como x>0 > x=y?
Luego, lo pedido
x+2y? % y +2y?_ 3y?_ 3
3x-y? 3y-y? 2y 2
n
: qa ar
De la igualdad PIE nz-l, calcule el
a
a
alor de 7.
vlo des
Resolución
n n
De la igualdad - = mE se tiene 4”-4=a"-a
entonces 4”*!=a"*! conn+1x0
Luego, por el criterio ll: 4=a
Criterio 111
(criterio de comparación)
xX=yY > x=y
Este criterio tiene algunas excepciones.
Ejemplos
Xx+y
x-y'
Si x%=4 > y”=27, calcule
Resolución
Si x=4 > x=2 > x=2
y=27 > y=3Y > y=3
Luego
AY
x-y 2-3 -1
S9
Lumbreras Editores
»» Importante
Según la propiedad x*= y” una posibilidad
es x=y, pero también se puede cumplir
otra afirmación, para ello veamos el ejemplo:
1
z ad
cai
IS 24
1
Si xx*l =Y3, ¿cuál es el valor de (+ 1D?
Resolución
a
1 1
De la ecuación xX+l =34 =33+l
Luego, por comparación x=3
(+ 1D?=(3+1)?=4?=16
. Sean a y n que cumplen las siguientes condi-
ciones:
L Y-Y=24
1
IL (2n=a:1%
a
Con ello, calcule el valor de —.
n
Resolución
En |
como Y =9"-1.9! escribimos
9"-1.9_9-1=24
9"71(9-1)=24 > Y-!.g=3. 8
(32y-"=31 > 27-2=1 > 2n=3
3
donde n=“
2
En Il
1
(2n) =a-aa-1
3 : 3
y 2 W— 3 a
> (2-3) =q 4- > 32 = ga-1
Por el criterio de comparación a=3
Luego 4 = es 2
nz
2
: | n-3 ; :
Six A cuál es el va
Sn veces 10 veces
lor de n?
Resolución
De la ecuación, utilizando el exponente naty.
ral, se tiene
Ar 3)10 PE Ny M-310
A bases iguales, exponentes iguales.
5n=10(n-3) => n=2(n-3)
> n=2n-6
> n=6
Si el exponente final de x en der lx x es
> ¿cuál es el valor de n?
Resolución
Como
Vi = 0 dx = lx Y
1 1
La expresión: Vx «xx
n 3
as n,3
es equivalente a x?2 4
Por dato
a ds AS
» ,
Biocraría
Jean-Baptiste Fourier
Nació en Auxerre el 21 de marzo de 1768 y murió en
París el 16 de mayo de 1830. Fue un destacado mate-
mático, físico y egiptólogo francés. Sus principales tra-
bajos estudiaron la propagación del calor en los sólidos
mediante la descomposición en funciones periódicas en
series trigonométricas convergentes (series de Fourier),
y el método de eliminación para la solución de un sis-
tema de desigualdades, teoría muy usada actualmente
para programación lineal.
Alos ocho años quedó huérfano, pero gracias a la inter-
vención de un amigo de la familia ingresó a la Escuela
Superior de Auxerre con los benedictinos de Saint-Maur,
en donde destaca rápidamente en matemáticas. Parti-
cipó en la Revolución francesa y luego de esta se incorporó a la Escuela Normal Superior de
París. Posteriormente, ocupó la cátedra de análisis en la Escuela Politécnica.
Intervino en la expedición de Napoleón Bonaparte a Egipto en 1798, donde cumplió desta-
cadas funciones políticas como gobernador del Bajo Egipto. Asimismo, llegó a ser secretario
del Institut du Caire en 1798, interesándose por la investigación arqueológica. Á su regreso a
Francia, producido en 1801, es nombrado barón, caballero de la Legión de Honor y prefecto
del departamento de Isére.
Una vez establecido en París, en 1817, fue elegido miembro de la Academia de Ciencias Fran-
cesa y en 1822 se convirtió en el secretario perpetuo de las secciones de matemáticas y física,
junto a Georges Cuvier.
En sus últimos años sucedió a Pierre-Simon Laplace como
la Politécnica, en 1827.
presidente del consejo de la Escue-
En el terreno de su trabajo científico, a partir de 1807 comenzó el estudio de la propagación del
calor, que le permite modelar la evolución de la temperatura a través de series trigonométricas,
y , . .
con lo cual contribuye a los fundamentos de la termodinámica; además, logró deducir la ecua-
ción diferencial parcial para el calor, llamada simplemente “ecuación del calor”.
61
62
En 1812 obtuvo el premio ofrecido por la Academia de Ciencias con una publicación en ds
partes: Théorie du mouvement de la chaleur dans les corps solides. La primera parte fue reedi-
tada en 1822 bajo el nombre de Teoría analítica del calor, y se convirtió en su principal libro ya
que, debido a sus nuevos métodos y grandes resultados, hizo época en la historia de la ciencia
matemática y física con la introducción de las series de Fourier, series infinitas trigonométricas
que causaron gran polémica en el ambiente intelectual pues tuvieron una profunda conexión
con la evolución del concepto de función al introducir la representación de una función como
una serie de senos y cosenos. De hecho, los avances más relevantes en la matemática del siglo
xix están relacionados a su teoría de las series; también son importantes las aplicaciones de
esta materia a la física matemática.
Sus investigaciones también se concentraron en la teoría de las ecuaciones, sin embargo, dejó
inacabado su trabajo al respecto. En 1831, Navier completó y publicó el libro póstumo Análisis
de las ecuaciones indeterminadas, que contenía una demostración de su teorema sobre el
cálculo de las raíces de una ecuación algebraica, pero la cuestión de su prioridad en varios
puntos se ha discutido profundamente.
-
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/fourier.htm
http://pitagora.usach.cl/—calapli/material/biografias/Fourier.pdf
BIOGRAFÍA >
Problemas
Problema 1
q10.37
¿Cuál es el equivalente reducido de E
Resolución
De
10
03 (2) 39 203
20.81 20.31 220.34
=3 123 %=27
Problema 2
1
Sea n eN tal que (ame =27
2
n ue,
n-1
¿Cuál es el valor de
Resolución
A, 3n-L
De la ecuación "Y =27 > n" T=38
3 3
>my=3 > n=3,
Mana 374341 943+1_13
n-1 3-1 2 2
Problema 3
Dados los números
MA px+2 qy+5 _ qy+3
Az 5 5 Bs 3 3
55 3
calcule el valor de 305 )
Resolución
qt? sols? 1)
AE >
> A=5?.(5?-1)=25-24
RESUELTOS
y.95_9y.93 y .q3
per, E ada
y 3
> B=3*.(32-1)=27-8
3
S 30(4)= 36-52 - 4.25-100
B) "4 27-8
9
Problema 4
2x 2x
Dada la igualdad 16% =8* , ¿cuál es el valor de x?
Resolución
Transformando en sus equivalentes:
2x 2x : e
MTLAT _g
A bases iguales, exponentes iguales.
2x
.92x _29.42x 4 dí 4
4:37 =34 373
De donde x=5
Problema 5
Señale el valor de x que verifica la igualdad
9r+12971-12
Resolución
(32) +1=(33)-2 y 32 +22 gh-36
> 2x+2=3x-36 => x=38
Lumbreras Editores
Problema 6
A partir de los datos U=3
¿cuál es el valor de JUCH ?
Resolución
ucH=3*- 47-51. (300)?
Ñ 35.47.510 E 35. 47.510
(300% — (43:52)
ANS
45.35.50
:. JUCH =W4? =4
Problema 7
Reduzca la expresión
10 veces 7 veces
5:5...9"15-15:15...15
gé-515
Resolución
Por exponente natural
510,157 510.57. 37
2.515 42
815 (34)". 515
=5!10+7-15,97-8
=5*.3122
3
Problema 8
Reduzca la expresión
2-45-65-85...(2m)5
HA AAA
29.35.45 15 ; n>10,
47, C=5', H=(300)”,
Resolución
Asociando adecuadamente
5468 (2n*
PRGO
95.25.95.95 25 =(25)” - 39n
eee bé,
n veces
Problema 9
Si la expresión Va + 0
llar") [EJ
n veces
se reduce a la unidad, calcule n.
Resolución
Se ve quen € N, luego
ag, p88% 3
qa
-n-3:4% Q a
arenas —= ==
a
Q
Si reduce a la unidad (5n+4)=0;
pero no existe n e N; 5n+4=0
Por lo tanto, no existe tal n.
Problema 10
Respecto a la expresión
(12 y : xP : añ : AN
22 (9/0 290 0
O IE. E
a dd
indique el valor de verdad de las proposicion*
l Sereduceax* vxeR.
Il. Esequivalenteax? eo x*%0.
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
Resolución
Vemos que x + 0 (por estar en el denominador).
3 (293 (y
23,2 a) 6.,8.,-8 _16
Xx x XIX
e A A AS E
2 0 ¿0 _90 Ap, yl
y? a) e? .x? XX XX
yo 83 3 ¿q !6 S y 6+8-8+16 Ñ y2 205
xA xl 7 an xo Atelol 7
Luego se cumple V x + 0
L. Falsa
II. Verdadera
Problema 11
Indique el valor de verdad de las proposiciones:
L vxx0
Resolución
I. Verdadera
CIC... 21 yx 720
Il. Falsa
07! no está definido
Problema 12
¿Cuál es el valor de verdad en cada una de las
proposiciones con respecto a me
l.. Elexponente de n? es q.
q
Il. Elexponente de m” es n? 7!.
Resolución
q ¿9 qu
L Den? =nP*? =(n?)y?
Luego, el exponente de n? es p*”.
q 91 0]
p
IL En m" =mp"" my
=(m
n p-1
Luego, el exponente de m” es n
Entonces
L. Falsa
II. Verdadera
Problema 13
Con respecto a la expresión
0
Wa
22.83) +l(2)?.(8) neN,
enuncie el valor de verdad:
l.. La expresión se reduce a la unidad.
II. Para n par la expresión es uno.
IIL- Para n impar la expresión no está definida.
Resolución
Simplificando
SY ra
Sin es par (27+2")%=1
Sin es impar (27-27)=00 no definido
Por lo tanto, se concluye que
L. Falsa
II. Verdadera
III. Verdadera
65
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Problema 14
Simplifique
gan+l ¿9n+l
a+ _gen+l ¡neN.
Resolución
Descomponiendo
3.34+9".9 9"-34+9":9
g”.9-32.3 97.9-9".3
y factorizando 9” se tiene
98+9_12_
9"(9-3) 6
Problema 15
Simplifique
2n+3
dd (225)*".225
52n+3 5? 44 52n+3 53 s
Resolución
Descomponiendo adecuadamente
2n+3 E 2n+3
200 LAT os (3) =45
sén+3. (52 4551) 5
Problema 16
Si (0,1)"-(0,2Y=2%2.5%. ¿cuál es el valor de xy?
Resolución
Como
(5) (5) =10"*.57 =(2,5)*. 5-7
32% 57229012 -50,3
ss AN :
66
De la igualdad
-x=0,2 a -x-y=0,3
> -y=0,3+x=0,3-0,2
> -y=0,1
Luego
fI6Ey=0,2:0,1 = xy=0,02
Problema 17
Si (237)'=3136, ¿cuál es el valor de +1?
Resolución
»» Observación
3136=4*-7?
Entonces
37) =43.7
x
> P.73=2%.7
O
A bases iguales, exponentes iguales.
x=2:3 > x=6
1241=6%4+1=37
Problema 18
Establezca el valor de verdad de cada una de las
proposiciones.
La expresión (y/y)' y existe en R,
LL sixenN,
IL six>0 a» y>0.
ll sixeN a y>0.
IV. si(x,y,z) € Q.
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
Resolución
Veamos cada una de las proposiciones:
Il Falso ]
Tenemos un contraejemplo.
Para x=2; y=-3; z=5
ER
II. Verdadera
Vy>0,si JyeR, xeN
Luego (Jyy eR
111. Verdadera
Por Il
IV. Falsa
Veamos un contraejemplo
Para x=2; y=-1/9; z=3,
3
1 .
En ER
Problema 19 .
Yaz.b 4
a E
Calcule el valor de a?+b? en a-e LLP E
Resolución
Transformando a exponentes fraccionarios se
tiene
Simplificando se obtiene
ab a £6 ab 1
a d% .pab =q0b .pab
= Ygatb. y -Ygs
Como a y b son naturales, se verifica si,
(a=3 » b=1) v (a=1 a b=3)
. a +b?=10
Problema 20
Si (m;n) c N, indique si es verdadera (V) o fal-
sa (F) cada una de las siguientes proposiciones:
l y =Yx Yy ; Vx, yeR
IL. Yx a "Qym ; VxeR
m, dx” =4x"
¡ VxEeR
IV. Qx”y =x0/y ¡ Vx,yeR
Resolución
Aparentemente todas las proposiciones son co-
rrectas, pero no siempre es así.
l.. Sin es par y x o y son negativos, no es cierto.
Il. Sin es par y x es negativo, no es cierto.
III. Sin es par y x es negativo, no es cierto.
IV. Sin es par y x es negativo, no es cierto.
De donde se obtiene que
L Falsa
Il. Falsa
II. Falsa
IV. Falsa
Problema 21
Resolución
Sea el radicando r
> polla Í ¡a ES ay
16 16
Pr Ma 212 42 916
> rex =X =x
4
18 3.18
aer. 16) 218518
Luego ( A) <=
67
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Problema 22
yes
Efectúe 371.37. n E neN; n22.
1 qgn
3
Resolución
Problema 23
Resuelva
Resolución
Veamos por partes:
JOR NO
Reemplazando las equivalencias tenemos
lo 1 11
(5+3)5 = 86 =(93)6 =22 =/2
Problema 24
Simplifique
de lao? Ya
atp$
Resolución
»» Recuerde
(a:bY=a" bp”
Luego, se tendrá
(aby? -YabY -Yab
2468 (qpY
Haciendo ab=x
tenemos
139,2 Yx 245) (34:25
RR
7 Y
-4 = 70 24,7
qn
Al reponer x por ab, se obtiene y (abY.
Problema 25
¿Cuál es el valor simplificado de
JaYb Ye -|0Y/cYa «cYaYb
PU A A
sia=45"; di es El
Resolución
» Recuerde
d5-da = da
Reduciendo la expresión
yabc bYe. Ye Ya Ya Yo
= Jabc YabcYabe
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
Buscamos abc
315
7.
abc=45'* 53 33
7 8
(32.5) -3-(3-5?)
El 53.323
31.57 .3.38 «516 Ñ 314+1+8 5 7+16
e 53.32 523,92
33.523
= 53.33
=1
3 abc=1
Por lo tanto, el valor pedido es /131Y1 =1.
Problema 26
Se define x, = 14+Y1+...+41.
n radicales
4 2
Calcule xp] — 2X 541 — Xp-1-
Resolución
De la definición se tendrá que
Xi =V1+ +... +1
O ESA
(n+1) radicales
= 141454 441
Luego
Xn+l =1+ 14 xp,
> ee = 1+1+xp-1
2
> m1 1= 1x1
Elevando al cuadrado
4 2
Xn172Xp91 +A =X+Xp 21
Finalmente: oe - E - Xp-1=0
Problema 27
Reduzca ” YY
E AA
71 radicales
Resolución
Busquemos alguna ley de formación
70/,1 Y x = 7069/ x69+1 pe 8Yx
Si tomamos los dos últimos radicales, resulta
el último, de donde puede observarse que esa
operación se va repetir, dejando el mismo resul-
tado; entonces, todo se reducirá a Yx A
Problema 28
Simplifique
y5 415 +Y50+$20
A
Resolución
»» Nota
(e
Luego se tendrá
95 125+450,420 AA
(97535)" Y25+910+Y4 "y
»
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Problema 29
Calcule aproximadamente cada expresión.
A=v5v5y5...
B=472+172+V72+...
Resolución
Para el caso de las infinitas veces de una ope-
ración, usaremos el siguiente criterio: “Infinito
es una cantidad tan inmensamente grande que
si quitas 1; 2,3; ..nine N, no se altera, sigue
infinito”.
Veamos
A
LL A=V5Y5V5V5... => A=V54
Elevando al cuadrado: A2=54 > A=5
pues de la condición inicial
A>0,
IL B= 72+ 72+ 4724.
r—
B
B=V72+B;B>0
70
vemos que
tl.
Elevando al cuadrado
B?*=72+B
> B?-B=72 > B(B-1)=9(9..1)
Por comparación se obtiene B=9
o > Có=A4 5) C=9/64 =2
C=2
D=y8/2v8W?2...
la
D
> D=y842-D
Elevando al cuadrado: D?=8/2D
Nuevamente al cuadrado
D'=8?.2D > D%=128
> D=Y128
> D=Y64.2
D=4Y
5/
E= ps
> EY > EE =Y5
Por comparación E=5.
CAPÍTULO ll
Problema 30
Calcule el mayor valor de n, si
RUE
cas |)
Resolución
Tenemos
—= 23451 1
(n/n)adn = =2 2341092
Como 22 =U2 - 22/912 - Ya = 40
entonces nín=2 v n/n=4
Como piden el mayor valor de n, se tomará
nn =4 elevando al cuadrado:
nn=4 > n$=16 > n=%Y6
Problema 31
Simplifique la expresión
n
n n+n
A pn+n el ( 1 ]
n . —
n
Resolución
»» Nota
Mas ba = Tlab)Y
En el problema se tendrá
, ee 4
Aja Aya
n
Leyes de exponentes
Problema 32
Simplifique la expresión
A (m2, e Hat Mp7 yaa
donde n eN,
Resolución
»» Nota
En el problema es conveniente hacer el cambio
+1 =b, entonces
qee doo don p? E TADAAS p?
e A En!
Problema 33
Reduzca la siguiente expresión
71
Lumbreras Editores
Resolución
En el numerador se utilizará |
radicales sucesivos
/ 532) [(2:3)+4)2+7
ES Vx xl
a 39/27 e 19/59
»» Recuerde
2 =ab"!
b
En el denominador se transforma en
Usando la regla práctica
349/24-1)-5-6 - 60) PEL z 29/17
Luego se tiene
193 20), 18
Problema 34
Halle el exponente de x en
4 34
SV Y
97 radicales
Resolución
Hallaremos una regla de fo
A: rmació £
inductivo). ación (método
Si fuera un radical
3
YE ya
72
a regla práctica en
Si fueran dos radicales
15
/,34,3 19715 - x16
Si fueran tres radicales
63
y AY x= 64/63 = x64
Veamos la formación de sus exponentes
3.15, 63,
4' 16' 64'
4-1 4-1 4-1
7 e? ru es
97
y9 E
Para 97 radicales su exponente será
Problema 35
Si se cumple que 22?+ 1024=1024a
2 0,5
calcule 92 —((22)*) q.
Resolución
De la condición
22 ¿910_910. y
> 2+l=a
Luego
ye - 22405 (912 , 1) - 216 91 (912 +1)
=216_916_2*=-16
Problema 36
Si se cumple que ya dx...
v3
además A=(Y/3/3)3,
calcule un valor de x.
CAPÍTULO Il
Resolución
Simplificando en A
como 343 = JP entonces:
Y3 y3
a=(8313)% > a-(iuay)'
Sea
Por comparación: y = /3
asimismo Vx Yx Xx... =y => y= y
AA»
y
entonces xy = y' de donde
y =*Yx = 3
Buscando un valor
Ya 343
de donde x=3
Problema 37
Calcule un valor de n de la igualdad.
po =72+ cpm fa tad
Leyes de exponentes
Resolución
Igualando a una segunda incógnita:
0] 72 /n
a =794 JA 20 e
de donde
e
nz y > »n$=y > n=Yy
asimismo
724+4/n? = y 5 y>0
De (1) en (ID
712+ 17 =y
entonces
y-Jy-72=0
de donde
y=81
Luego en (1)
n=8/81
Problema 38
De la igualdad
halle el valor de 5 a
(1
(ID
73
Lumbreras Editores
Resolución
De la igualdad, usando exponentes fraccionarios
tenemos
Problema 39
Calcule el valor de F.
Payalalo. falaz,
n radicales
si además
x=20+1
Resolución
Fes equivalente a
Pla la Ja. da. 22.07
———_
(n-1) radicales
74
Del problema 34
gl] 9-90+l
=y F=2 27 2 gn
22224 Maa en
He
>F=2Y 2 =2 2n 99
Problema 40
Calcule el valor aproximado de
A=y2-44-48-v16...
Resolución
A=v2-Ya -Y8 "96...
12.3 4
A=22.24.28.216.
ROA
A=22'4
3,4,
816"
Sea S el exponente de 2, entonces
o 0)
E Pear (1)
2 4 8
S=l+2+2+=+—.. (sumalímite)
CAPÍTULO Il Leyes de exponentes
»» Nota Luego, lo pedido
o
si -1 <r< 1 se cumple : a+l_a-1
b+1 b-1
o
a+ar+art+ar?+..=— :
Ir : Reemplazamos
Esta suma límite está demostrada en el : 341 3-14 z 2
| capítulo de series. : 241 2-13 3
Problema 41 : Problema 42
Si el equivalente reducido de : Halle el exponente de x en la expresión A.
bn+a ; -
a] =——= o A= Y ya! mn n- SE ENE .
a dx es x 1 2 )
aiii : Resolución
calcule el valor de bel b=1' : Buscamos una ley de formación inductivamente.
+ Paraun radical
iá 1
Resolución : LS
Por inducción Vx =x
+ Paraun radical : * Para dos radicales
E : 5
* Para dos radicales
5
xv xo = x1
: + * Para tres radicales
23
Yyy3 xx = x2
Como el exponente de x es de la forma
a:2"-bn-a - Se formala siguiente secuencia:
—— A, entonces :
¿ 2-1. 8-1, 4-1
por definición de identidad: Rp 18" 4"
Si n=1
Observamos que tiene (1-1) radicales, luego
2a-b- para (n—1) radicales se tendrá
A 0)
2 2 la-1
=x 10
Si n=2 : ÁA=x
da-2b- 5 Por lo tanto, el exponente de x es la-1
> ——2.22 > 2a-2=5 (1) 2
4 4
(My (1) : la=1:2:3-...:n
4=3b=2
75
Lumbreras Editores
Problema 43
Simplifique la expresión M.
qu
a+! ay all
aa +aa
M= E Y -1 :qeR?.
las
aras +1
Resolución
Veamos por partes
a-1 po
=a a
at=g 1=—
Ya
al
> lal+as (a-8a+¿2)
Ya
a
Ya" +1
a - 2
d Ya ] 0-1. (Ya +1)
76
Reemplazando, se tiene
M= AAA l
3
2 Ya? + 1)2
| da ]ea
> M= (Ya? +1) E -1
> melgatiao) <e
Entonces
M=Ya”
M=a?
Test 2
. ¿Cuál es el equivalente reducido de
2.813
15 ze 7
9-27
A) 9 B) 25 C) 27
D) 15 E) 75
. Indique el equivalente reducido de
10 fagtores
5-5...9
454... +S>
s? sumandos
A) 25 B) 50 C) 15
D) 3 E) 5
. Calcule la suma de las cifras del resultado
de efectuar
«(384
12 11) *
A) 8 B) 6 C) 9
D) 4 E) 5
29m+.g
. ¿Cuál es el valor de m en $ =16?
A) 2 B) 3 C) 1
D) 4 E) 5
o sis=(32) ¿47-590
¿cuál es el valor de?
A) 1 B) 13 C) 7
8
D) 2 Ea
) E) 13
6.
Reduzca la expresión
11
A) E B) 5 Cc) 2
D) 4 el
2
¿Cuál es el valor de x que verifica la igualdad
272 =Y2 4722
A) +4 B) -2 O) 4
D) -4 E) +2
Halle el valor simplificado de
da EoT
A) 1 B) 2 Cd) 3
D) 4 E) 5
La siguiente expresión
27 9 Y81 E
<= es equivalente a
[1035
A) 1 B) 3 0) v3
D) 9 E) Y9
. Si se cumple que 2 =89,
¿cuál es el valor de *-J2y?
AN 1 B) 2 C) 1/2
D) 1/3 E) 3
77
Lumbreras Editores
11. ¿Qué valor de x cumple la igualdad? 12. Si A=121-30-67.40.97 A PDA
BJ | 5.35
PE 1 (0,257 1
0d :
(0.2) 5 ¿cuál es el valor deL
A) 5 E
: 1 4
B) 2 : A) - B) - 4
O 4 : S 5 o
D) 25
: D) EN
E) 10 . : 25 E) 1
Claves
78
1.
Problemas
PROPUESTOS
Nivel | 1
> B) 1 des o
Reduzca la expresión
n+4 n+3 2-x 1
2 5 3 D 2 E) 4
AS 4
A) 21 B) 4 C) 24
D) 10 E) 30
. Indique cuál es el equivalente reducido de
3? veces
3+31+3%+..+431
34+3+3+...+3
32 veces
A) 9 B) 27 0) 6
D 3 E) 5
. Calcule el valor de R
-1 2
p 2) (2)
2.22.23
A) 1 B) 2 O 4
D) 16 E) 8
Calcule el valor de S
-1 -1
A E ile) :
A) B) -5 C) 1
D)
0Ol= wu|j—
Indique cuál es el valor de M.
-2
an lt2-239))
—
((asy"9)”)
Calcule el valor de £.
7 A
E Ya
1
A) -
) 2 B) 2 O 1
3
D) 4 E) e
Indique cuál es el exponente de x? luego de
reducir la expresión
paar
(2x2). 2 dd
A) 1 B) -1 O) 2
D) -2 E) 3
. Si 2*=3, calcule el valor de M.
M= 9x+3 +4x+l
843
A) 6 B) 7 O 8
D) 2 E) 10
» Si el exponente final de x luego de reducir
a+, xl x Y es (¿Ja
indique cuál es el valor de a.
A) 2 B) 3 O 4
D) 5 E) 6
79
Lumbreras Editores
: A) 2/3 B) 5/2 : 0)
, E 5/6
10. De la igualdad : D) 37/4 E)
á :
AR? =x0, : i x-2 y 3
donde a y b son primos entre sí, ¿cuál es el 15. Si se cumple que ES =1,
valor de b-a? : calcule la suma de todos los valores que n
, : puede tomar x dividido entre el -
A) 10 B) 7 0) 6 : valor de y
ES E) 57 :
pra ) AJA B) 2 03
11. Si al reducir la expresión
(0,004)* .(0,0036) : 16, Calcule el valor simplificado de E.
po pd Dela AA dul Beta :
(120 000)? : /2-Ya
E
se obtuvo como resultado 4:10*, : 22
¿cuál es el valor de M?+1? A) 2 B) Y2 : o Y
: D) 1 E) 2
A) 65 B) 17 C) 37 ds
D) 26 E) 34 17. Efectúe y simplifique.
9 -4
616 4 q de
12. Calcule el equivalente reducido dé (5) + (67 ) ++ (5) +3
3 ,
la Y AY 10 B) 15 C) 28
n+ xn : D) 92 E) 115
A) x B) y o e 18, e el operador (*) como sigue:
D) 1 E y A
Indique el equivalente reducido de
13. Indique cuál es el equivalente simplificado * (a+D*(ab+a)
de (Y) VW). (y Wx)... 5 paréntesis. : (a + ) y (b pe D
: A a B) b 0 a
34 :
E D) b* E) a”
D) 917 E) 47 :
e : 19. Efectúe y calcule su valor reducido
» Calcule el valor de S : Y
: 32.025 .Y3 .Y/971
s[7)*+(-) :
di 34 o AA B) 2 0) 3
80
CAPÍTULO Il
20. ¿Qué valor positivo de x verifica la ecuación
exponencial?
2
(e 1 =(x-1"
A) 4 B) 3 O y2
D) 2 py A
2
Nivel II
6 6 y3
21. Sia?"'=3; a > 0, calcule el valor de (qa? )
A) v3 B) Y2 0 1
D) 3 E) Y3
22. Sea n un número impar tal que
A=%a Ya Y4...Y4; de n radicales
8=816+316+316...+Y16, de n radicales
calcule A:B.
A) 4 B) 2 O 1
l 1
D) - E) —
) 3 ) a
23. Indique qué número se obtiene luego de
efectuar
ni—
bat |)
C) V8
E) 4
A) 1
D) 2
B) /2
44. Simplifique la expresión
oy xx
O
xx ysix>0.
25.
26.
27.
Leyes de exponentes
A) x? B) Vx O x
D) x? E) 1
Luego de resolver la ecuación
xY/x+0,25 1 id
e
2
indique el valor de +8.
A) 167! B) 8 ¡A
D) 47 E) 2”
Calcule la suma de los exponentes de x e y
luego de reducir la expresión
en la quex-y=2k a y-1=4r,con(k;r) cN.
A) 2
D) 8
B) 4 O 6
E) 10
Indique el exponente final de x en
q! ma
x3Nx3Vx3... k radicales.
n YE
1 ed
B) -
al E
e?
0) 113 !
D)
13% -1
E) al gh+l ]
81
Lumbreras Editores
28. Indique el exponente final de x en
ES y yx? y x200 . nradicales.
29.
30,
31,
32.
82
2 +1 gr
A) =— B
) 2” -1 d 2” -1
n
D) 2-1
27 +1
De la igualdad x%-1"=2x+1,
1
calcule el valor de x-—.
Xx
A) 2
D) 7
B) 4
Calcule aproximadamente A.
A= 2/4 244...
A) 2 B) 232
D) 16
C)
E)
E) 10
C) y2
E) 42
Halle una relación entre x e y en
pe
yar v38
A) y=x B) y=3x
D) 2x=3y
Simplifique la expresión
v5
5 5 y
Fm delas) |
AREA O NO
125 i
A) 1 B) 5
D) 125
C) y=2x
E) y=4x
O 25
E) Y5
39,
34.
35.
36.
Indique el valor de verdad de cada una de las
proposiciones.
2 1
4 3
L (a =(-8)” =-2
IL Jatr= Ja” e a>0 yv (a=0 a n>0)
AS
B) FVV C) FFF
E) VVF
A) FVF
D) VFF
Con respecto a la expresión
Mit y
NAT
x sumandos
establezca el valor de verdad de cada una de
las proposiciones.
Il. Sereducea l six e N-(1).
Il. Se reduce a x six e N-(1).
III. Se reduce ax"*! six e N-(1).
A) VFF B) FVV C) FFV
D) FVF E) FFF
Si x e y verifican la igualdad
xy+x+y=1, halle el valor de
(y
ET 3-xy
xl qy+
A) 1 B) 2 C) Y2
D) 4 E) 8
ncial
Luego de resolver la ecuación expone
e
x05
f,
x* ” =y/0,5, el valor de x toma la forma
donde n es igual a
c) -10
E) -16
A) -4
D) -12
B) -7
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
1 Y : :
g7. Si se sabe que a? = (7) =2 : l. Las expresiones quedan bien definidas
: sixeR.
(¿ea ¿pao hab. ya II. La igualdad se verifica si y solo si
calcule el valor de | me no aER+;x=a.
a + pe . .
lIl. Si x existe, entonces a existe.
1 a
A) 2 B) 3 O 4 : A) FVV B) VFF C) VVF
1 : D) FFV E) FFF
D) A E 8 :
42. Reduzca la expresión
=x
A :
38, Six** es equivalente a 4, (15) pe
E
19 27)
10
calcule el valor de Lx*2'”- A) 1 B) x O) x+l
D) ? E)
A) 3 B) 4 O 2
1 : 48, Dados los número:
D) Y2 E) 41 : i
39. Calcule el exponente final de x. : a- lr a y ka 37 y
| 4 5 E 14
ini. aL ley).)
A) 1 B) 2 03 : halle el valor de S.
1
D) 1 E l Bn
2 4 Po
: -2* (4)
40. Dada la siguiente sucesión : Considere: n=1-2-3:4-5:6-7.
=V/2; xy = 122; x3 = 222; ...,
Xx Y Xa Y2 X3 yY2 A) 1 B) 1 e) 2
calcule el valor de 2 ERES zx D)=2 EJ A
X3-X10
44, Determine el valor de M.
A) 2 B) 4 C) 5
1 1 ADE EE
y Dz m-42V4 Vo _V2 Y3 V5
3,5 ¿12
41. Se tiene la siguiente ecuación ¡ 4 ¡ 4 y 3
E >
vo” Ax = aval
Indique el valor de no verdad de las siguien- A) 1 B) 2 O 3/5
D) 4/3 E) 2/3
tes proposiciones:
Lumbreras Editores
e,
45. Calcule el valor de ac2”-1, si a”” = da -
3
A) 243 B) 343 C) 443
D) 543 E) 43
46. Analice las proposiciones siguientes:
L EnR:VI6=4 a Y8=-2.
LL Js? =3 y dG =7.
IL. En R: EDE2) =YV-1-422.
Determine su valor de verdad.
C) VVV
E) FFV
A) FVF
D) VVF
B) FFF
47. Determine el valor de verdad de las propo-
siciones:
L vxeR;¡x=1 > (-2=1
Six" >) 3.39
II. VvxeR;¡CoO%=é y (3)=-9
A) VFV
D) VFF
B) VVF C) VVV
E) FFF
48. Simplifique la expresión A,
v n e N-(1); además xyz + 0.
Asi (o + (yz) +0" PRE Zn
sy +z" y
A) 1 B) 0 O x
DxyzZ E) xyz
49. Halle el equivalente reducido de M.
Ñ 9x+l + 9x+2 49%+3 q9%+1
9x1 4 9*2 + 9-3 + 9x-4 :
A) 2 B) 1 CO) 16
D) 1/5 E) 32
84
50. Luego de reducir la expresión
M=
ES
mn
Jada Ya Ya?
ada? YaYa?
indique el exponente de a.
72 19
A) = B) —
) 13 ) 72
1
D) -
de
51. Six"=2,
calcule el valor de x*
A) 216 B) 361
D) 2*
52. Simplifique la expresión M.
(
aa | 7
142x1+
0 a!
dl
AL
E) =
(0) qu
E) 218
Di_—
o
MA
367 +25 +81 ¡ya yl
(SU
9 86 43
A = B= Os
) 86 ) 11
20 pu
Do Dz
53. Simplifique la expresión $.
n
526 y ”
n ya
A) x B) y" C) Y
D) 1 E) ==
RR
CAPÍTULO Il
Leyes de exponentes
54. Simplifique la expresión E.
O CN
VxeN-41)
Ve" +1
AE B) 1 02
6 5
D) 3 E 5
55. Efectúe y simplifique
, 2
o Ms 9
(años) a 5) al
al.b
a? a
A) 1 B£ q 2
) ) 5 ) >
D NS
ab* a
56. Si x =y34343
calcule el valor aproximado de M.
p——
M="Yy+2
ay 3 B) 4 O 43
D) 2 E) 16
57. Reduzca la expresión P.
A) 3 B) 9 O) 27
D) 1 E) 12
. SIA y T son dos números tales que
A=y20+y20+vV20+...,
T=Ya+rm+ YA + 11+ YA + Dl,
calcule el valor aproximado de $.
s=YT*-T.
A) 1 B) 2 O 4
D) 6 E) 8
. Calcule el exponente final de x.
nS-, BD yl gs)
3" 2
n mn
D) EM ) 3"-1
2 2.37
Si el exponente final de x es 15
| PFI
$e Jaen Yao 2810 +3
———_—|
| SAS |
calcule el valor de a.
A) 8 B) 5 O 3
D) 3a E 1
Claves
Problemas propuestos
Ue ls/a
(2/8 S/c
ls/a — UY/s
la/o l8/n
(21/a 22/A
22/p 30/8
22/6 31/8
ec (82/6
25/A 33/A
26/D 34/A
27/E -(35/8
28/D 36/A
86
NIVEL |
Lo /a
112/D
NIVEL Il
(37/E
38/E
Capítulo
[011
Polínomíos
CAPÍTULO II
POLINOMIOS
Objetivos
+ Identificar un polinomio y sus elementos variables, coeficientes, grado, número de térmi-
nos y otras características.
+ Calcular el valor numérico de expresiones matemáticas.
+ Efectuar cambios de variable en expresiones algebraicas.
Introducción
En este capítulo vamos a resaltar la importancia de los polinomios. Citemos un hecho sencillo que
nos permitirá comprender la utilidad de los polinomios en nuestra vida cotidiana y cómo podrán ser
utilizados para proyectos más grandes.
Por ejemplo, la construcción de una casa pequeña de apenas una habitación de y metros de largo, z
metros de ancho y con una altura de x metros demandará los siguientes gastos: a soles en la compra
del terreno, b soles en estudio de la calidad del suelo, c soles en la construcción y d soles en el aca-
bado.
Las letras x, y, z, a, b, c, d son variables con las cuales se tendrá un presupuesto total de la obra H (habi-
tación), que dependerá de dichas variables y la denotaremos de la siguiente forma: H(x, y, z, a, b, c, d).
Estos mismos datos le podrán servir a un ingeniero civil para elaborar un proyecto de construcción de un
conjunto habitacional, de dimensiones no necesariamente homogéneas.
Es así como se elaboran los grandes proyectos, que final-
mente obedecen a ciertos modelos matemáticos llamados
polinomios.
Forma de un polinomio:
Pay y=09y 2-apy 7 **
Donde: x; y; z son las variables.
4,, a, son coeficientes (constantes).
Lumbreras Editores
A A
» DEFINICIONES PREVIAS
EXPRESIÓN MATEMÁTICA
Es una representación matemática de números
y letras ligados por los diferentes operadores
matemáticos. Así:
45/n — expresión numérica;
-y+3x > expresiones literales
Ejemplos
1. 3x1+32senx+e”*'
2. 45sen(nx+1)+log(/x - 3)
3. -16(x+3y)' +5)
4. (V5-/2+1)xyz"*"**
5. (32-—12x)? — 4ac
NOTACIÓN MATEMÁTICA
Es la representación simbólica de una expresión
matemática que nos permite diferenciar a las va-
riables de las constantes.
Variables
Son aquellas expresiones que
ma cambian de valor. Se les re
para cada proble-
presenta median-
te las últimas letras: xy z.
Constantes
Son aquellas expresiones que ti
£nen un valor fijo
para todo problema.
Ejemplos
ed E 5,12 _
(xi y; 2) y 255 Y
varlable »s 1 | |
Constantes
2. Tay =x +2seny-4
90
» Nota
Dentro de las constantes, mencionamos hs
siguientes:
Il. Constantes absolutas: m; 4; 3.
Il, Constantes relativas: g (aceleración A
gravedad depende del radio tertestre)
Indique las variables y constantes en
Rs y) = 98" y + nsen(x - y)
ll. Ma: hno = 333344 +2929p)5 SS a
+08 5 (abc)
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Es una expresión matemática en la cual pura la
variable o variables solo se definen las Operacio-
nes aritméticas (adición, sustracción. multar
cación, división, elevación a exponente natural
extracción de una raíz aritmética) en un núme
limitado de combinaciones.
Ejemplos
l. Riy=6x-5
2, Sui y) a 29 xy
$ Ye e
4 Was) = ALliyo + y2
» A lo,
6 Wa =wt* gan
Tos
mea EN)
> as
CAPÍTULO II
Polinomios
Término algebraico
Es una expresión algebraica previamente redu-
cida donde no se definen las operaciones de adi-
ción ni sustracción entre las variables,
Ejemplos
4 os
L Sn" aro* Jy
xl 25 Ene
2. hana JAY
loz
3. Van =37 h
y
4, Qíx: y) E 43 -1
5. Ry=2x+1 no es término algebraico.
Partes de un término algebraico
Tiene tres partes, veamos:
exponentes
de las variables
| | S
Oh y; 2) 7 E 9,9,/3)
PER, A
parte variable
A
|__ parte constante
(coeficiente)
Son tres las partes:
1. Coeficiente (incluyendo al signo)
2. Partes variables
3. Los exponentes de las variables
Señale las partes en los siguientes
términos:
. == -3
Rex; y) =-16 Ixyx*y
TC | -1
Mura arb 18xy
b
Tera = Vx dy Yz
Clasificación de las expresiones algebraicas
Esta clasificación fue desarrollada por el famoso
matemático Euler, quien se basó en los expo-
nentes de las variables según su naturaleza.
Expresión algebraica racional (EAR)
Siendo los exponentes de las variables números
enteros, pudiendo contener a SU vez términos
independientes.
Ejemplos
l. Say 3205430 y)7*
e 4353
2. Ri) =V5x 35 /xy + 42y
término
independiente
3. Ay 9=00 +a y +agryz 0
Estas expresiones, a su vez, pueden ser:
a. EAR entera
Es una expresión racional donde para la va-
riable o variables no está permitida la opera-
ción de división.
Ejemplos
Lo Qry 20-232
2. Rqy=w0e + (2 - 1)y+7
3. Maa; b;c) =(Vx a? -Pab+t
b. EAR fracclonaria
Es una expresión algebraica racional donde
se define una división que tenga en el divisor
por lo menos una variable.
91
Lumbreras Editores
Ejemplos
sz 9
Fe; y) = (x- y? o A 2. ana
po
45x ,_c -x+l
a ta AS
Expresión algebraica irracional
Son aquellas expresiones algebraicas en donde se define por lo menos una radicación que involucre
a las variables.
Ejemplos
45 3
LM, y = Y xy +22 Z Siga" y nz
1 2x-1 1
=,|x-— 4 Rion= +-
3. Hx) = E yx za (x,1) Al
En resumen:
Expresión algebraica Subdivisión Exponentes de las variables Ejem
entera ES Gallo os 31x%-17xz
Racional independiente
fraccionaria | entero (-) 39xy-3+z |
SS Sl E |
Irracional fraccionario 16/x-y+ ax? |
92
y) Nola
fixisten olras expreslones que no son algebraí-
cas, a las cuáles se les llama trascendentes; las
más Importantes son:
Exprestones exponenciales
Son aquellas de exponentes no racionales,
Ejemplos
. po, 6
+ 10x4+2'*-15
Expresiones trigonométricas
Son aquellas que involucran a operadores trigo-
nométricos,
Ejemplos
"seno; cos(1?—m); tan(x + y)
. sen (x-y) + cos>
+ col(2x + y)+tan2x
Expresiones logarítmicas
Definidas por logaritmos.
Ejemplos
lo e 1); 10 4) in Ye z )
Vx -1
* 427l03,abc-l0g,,,x
Expresiones de Infinitos términos
Ejemplos
“Pyle.
Polinomios
Conjunto de valores admisibles (CVA)
Es el conjunto donde la expresión matemática
se halla definida así:
D
17
hy) 5 73 % define para todo valor de x ex-
cepto en 5,
b. 8) =V19- enR; 9-20 s £-9<0
o (x+3(x-3)<0 > xel-3;3]
=> 8¡, está definido £S xe|-3;3).
h => +2x-16 se define para todo valor que
se asigne a x, que puede ser real o complejo.
» POLINOMIOS
DEFINICIÓN
Se define así a toda expresión algebraica racio-
nal entera, que a su vez está definida sobre un
campo numérico y en cualquier conjunto numé-
rico para las variables.
Ejemplos
Poy=3x+15; Q(. y=V5x + y% May =-2Ó yz
¿Son polinomios los siguientes?
L Ppy=170-2x+1
IL 107 y=5x-x +2
¡USE
IL Ri= Za, 1+5x-1
Respuestas
L Sí, definido en todo CVA (R o C)
II. Sí, definido en todo CVA (R o C)
111. No, puesto que no está definido en x=0.
»» Nota
La definición nos dice que en los polino-
mios los exponentes de las variables son
números enteros positivos.
POLINOMIO EN UNA VARIABLE
Es aquella expresión algebraica de la siguiente
forma general:
P¿=4"+a 7 +a 04... +4p; ap 70
Donde
Ap, 4;, A) ... A: coeficientes
x : variable
n : grado del polinomio
ap: coeficiente principal
a, término independiente
Ejemplos
Ll Py=3x+17Ó-x*
Qu=5+2-12é+x?
Mw =-10*-2+x-14
>» »N
Ri) =8+3-2x + 16x
Definición
Si un polinomio de una variable tiene coeficiente
principal igual a 1, este se llama polinomio mó-
nico.
Ejemplos
l. Py=-3x+2
2. Qy=2é 4x1
3. R(y=4+5x-4
Nótese que el polinomio S(,=x*-x*+2x-3
no es mónico, pues su coeficiente principal es: -1
94
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
MATEMÁTICA
Es el resultado que se obtiene al reemplazar las
variables por alguna constante.
Ejemplos
l. Sea P(y=4x+7.
Halle el valor numérico de P en x=3.
Resolución
Reemplazamos x por 3.
Pg=48)+7= 19
2. Sea F()= y +2x.
x-
Halle el valor numérico de F en x=5.
Resolución
Reemplazamos x por 5.
5+5 10
F e =3-+10
=> +2(5) 3
El valor numérico no siempre est
dependerá del campo de estudio O de algu"
nas definiciones matemáticas.
á definido,
3. Sea Ho = E +2—l.
x-
Halle el valor numérico de H en x=1.
Resolución
Reemplazamos x por 7.
: Do
Hi) = > +2(7)-1, pero e noes
o no está definido.
tá definido.
Por lo tanto, H(¿, no existe
4. Sea G()= zp 2x en R.
nx=11
$€»
Halle el valor numérico de G €
”
ÍTuLoO Il Polinomios
CAPITULO” — ES
Resolución Conx=-4 > Guy=-3-4)+4=16
Reemplazamos x por ll.
G . E +21) = 4 +22
AVENT 1
pero Y4 en R no está definido.
Porlo tanto, G(11) No existe o no está definido.
Sin embargo, G(¡1) está definido en el campo
de los complejos, que más adelante estudia-
remos.
5. Sea Py32+5x-1.
Halle su valor numérico en x=3.
Resolución
Reemplazamos x por 3.
P(y=2:3 +5(3)-7=54+15-7=82
54
6. SiB(,, y) =3x+2y-XY,
halle el valor numérico de g cuando x=2,
y=-1.
Resolución
Reemplazando x=2, y=-1.
80.) =3(2) +21) (YD
=6-2+2=6
+ 82,-1)=6
¿Cuál es el mayor valor numérico de
C2-2)=-3x +4 en 24?
Resolución
Como sabemos, x?-2x=24
Y -2x-24=0 > (x+49)(x-6)=0
dedondex=-4 y x=6.
o
Conx=6 > Gi)=-3(6)+4=-14
Por lo tanto, el mayor valor de G;y,) es 16.
8. Six? = ¿cuál es el valor numérico de
34
S(y="-3x+1?
Resolución
De la ecuación x%* =
Por comparación x=3.
Luego
Sy) =37-3-3+1=27-9+1=19
, Sgy=19
9. Sif=e* +1 es una expresión tal que: f(,=1,
f
halle el valor numérico de M= 3] —
Vo!
Resolución
Del dato
fy=+m= 1
> e+m=1
Se pide calcular
e+T
M=3
me
eS e+n
e (1-e2)+ 104 (1- m3)
pero 1-e'=1? y 1-m=e?,
Luego
cp EE E BEE sad E.
erm+re Ve mle+r) Ver en
Lumbreras Editores
áíAA A ___ _ _ í 2 2/2 2
10. Si Gaxr-1) 4 +8x-5,
halle el valor numérico de G en 2.
Resolución
Sea 2x-1=2 > x=3
22] =42 +8(5)-5
> Guy =V4 +4:3-5=2+12-5
Gí=15
11. Si A y-1: 2+3)=4-3y+y2, halle el valor nu-
mérico en (1; 3; 5).
Resolución
Las variables tomarán los valores
x=1; y-1=3 y z4+3=5
es decirx=1; y=4 y z=2.
Reemplazando h(;; 3, 5)=401)-3(4)+4(2)
e Ra: 3;5)=4-12+8=0
A - — 5
Dado un polinomio P):
IL. La suma de sus coeficientes
se obtiene reemplazando la
variable por 1.
2Coef. P4+=Pa)
II. Su término independiente se
obtiene reemplazando su va-
riable por cero.
T. ind. P,=P:0) |
Ejemplos
l. Sea P(=6+4x-15
1 Y Coef. Pq =6(1)+4(1)-15=-5
IL. T.ind. Pp)=6(0)+4(0)-15=-15
2. Sea 8) =(2x-1)-3x+1
. Y, Coef. g)=(2(0-1)%-3()+1=-1
IL. T.ind. g(0,=(2(0)-1)%-3(0)+1=2
3. Sea Ax-3= 40 +5
Para calcular la suma de coeficientes la
variable 5x-3 se iguala a 1; en efecto
4
5x-3=1 ==.
> Xx 5
Reemplazando
4 16 . 41
ha=4 (12 |+5=2+5=-=
11 (5) RR
. Similarmente, para el término indepen»
diente la variable 5x-3 se iguala a cero;
en efecto,
3
Sx-3=0 > x=3
Reemplazando
37
hy =a(3)es=T.
En un polinomio con más de una
variable:
L.— La suma de coeficientes se ha-
lla reemplazando cada una de
las variables por el número l.
IL. El término independiente de
las variables se halla reempla-
zando cada una de las varia:
bles por el número cero.
_
4 SeaSq y =0x- y ++ y)
1 Y Coef. Sa. y =(20-1+(1+1)'=1491
o Y coef.= 17
IL. T.ind. Sio, o)=(2(0)-0)"+(0+0)'=0
. T.ind.=0
DeSa-1.2+3)=4xy+(x-yY,
halle su término independiente y
la suma de coeficientes.
CAMBIO DE VARIABLE
Propiamente debe llamarse composición de
funciones dentro de un conjunto de valores ad-
misibles. Consiste en reemplazar una o más va-
riables por otras.
Ejemplos
1. Sea f,=4x+3, halle fa, 5)
Resolución
Reemplace x por 3x-5.
far =4(3x-5)+3=12x-20+3
fas =12x-17
L fa) "8,
Resolución
l.. Enf, Se cambiará x por 8(,).
Luego
lá) B+! =3(2x+3)+1
=6x+9+1=6x+10
II. En g,,, se cambiará x por fo)
Luego
84.) +3=2(3x+ 1)+3
=6x+24+3=6x+5
3. Si Py=x+1, ¿cuál es la expresión que re-
re ?
presenta a Pero)
Resolución
En P(,) se cambiará la variable x por P(, y se
tendrá
Pl Pta 1
> Ple ARÓ +2
4. Si P(-2)=4x+1, halle el equivalente de
Po+Pey>
Resolución
l.. Busquemos Poy haciendo que x-2=y
> x=y+2, luego reemplazando en
Pa-y=4x+1:
Finalmente, y se cambia por x obteniéndose
P(y=4x+9
ll. P(¿=4x+9 => P(,)=-4x+9
. PaytPy= ax - Ar Í=18
5. SiP(2,-3)=6x-3, halle la expresión
L Pa IL Pos)
Resolución
I.. Busquemos Py, haciendo 2x-3=y,
donde x= =
3(y+3
Luego R,,=8| "7 |-3=3y+9-3=3y+6
1
> P(y=3x+6
97
Lumbreras Editores
II. Del: P,,,=3x+6 se tiene: 8. Seah(2_:=Xx+5, halle h(,, ).
A e l: ty= ;
Por+3=3(2x+3)+6=6x+9+6 Resolución
Será en dos pasos:
> Pír+y=6 +15
hito E hy 8 há.)
6. Seaf(,_1)=19x+1. Halle f,). Haciendox-x=y > x2-x-y=0
14 /1+4y
Resolución x= E ER
NS 1+ /1+4 11+ 1+4y
+y/l+ +
l.. Cambio de variable 1.2 hy) = — e ==
x-l=y > x=y+1
11+ /1+4y
Reemplazando “s Ay) =
2
= =19y+19+1
fy=194+1)+1=19y+19 2. Reemplazar y por x+1.
4580 111 Jl+4(x+1) _ 114 V4x+5
velan OS a Se
Cambiando y por x se obtiene 12 E
f)=19x+20 MS
II. Formar la variable en el segundo 9 Sif 2 )=3x+1,
miembro
halle el mayor y el menor valor de fo
la-1)=19x+1=19x-19+20
Resolución
Seax'-Ax=5 > x2-4x-5=0
Es decir, (x-5(x+1)=0 > x=5 0 x=-l.
> fu-1)=19x-1)+20
> f,=19y + 20
Cambiando y por x se obtiene ide (9=36)+1=16
(c=19x+20 ll Six=-1 > (5=31)+1=-2
“ f5y=l6 5 fs,=-2
7. Seafo.5)=4x+9, Halle /4, , mayor menor
Resolución
GRADO DE UN POLINOMIO
L-5)=4x+9 = Ax -20+29 Se define como una característica exclusiva de
> f A(x-5)+29 los Polinomios, relacionado con los exponentes
y =) 2 ,
(x-5) de sus variables.
Los grados se clasifican en:
Reemplazando x-5 por 2x+1
Fox+1)=4(2x+ 1)+29=8x+33
Grado relativo (GR)
> ax) 81433
te
Se representa con el valor del mayor exponen
de la variable en referencia.
98
CAPÍTULO ' Polinomios
A SI
Ejemplo * Sin=6 > (7-n)e N
Ry = Y 2? + my * Sin=8 5 (7-n)e N
Luego “. n=6 (único valor)
GR,=10 y SEA Luego
Pl y Y — 14% + /2xy
De donde GR,=3
Grado absoluto (GA)
Se define como el grado de un polinomio:
I. Para un monomio, se obtiene sumando los
PES 4. Sea el polinomio
grados relativos.
ar a ars
II. Para un polinomio, de más de un término se Ps, y" A Yaya” + 16/p,
obtiene como el mayor grado absoluto de los
monomios que lo conforman. dc en oslo.
Halle el valor de a.
Definición. El grado del término independiente
es Cero.
Resolución
Por dato
Ejemplos rs
n a E n
l. Sea fa y => 63%yz ae ae ) =p" E > ae = ar
Luego GR,=9, GR,=5 y GR,=1
.. GA(f)=94+5+1=15
> d'=n > GR,=n=16 > a=!9N6 = Y2
2. Sea hh, y =5y +4x%y+/2x y, »? Nota
1. El grado se define como el exponente de la
variable de coeficiente no nulo.
Los grados absolutos de los monomios son
5, 10 y 12, respectivamente.
Ejemplo
Luego
GA(h)=12.
P(y=3x5y E GR,=5 e yx*0
2. Sinose especifica el tipo de grado se sobreen-
tenderá que se refiere al grado absoluto.
Halle el grado relativo a x en el polinomio.
3
Ruy = 3x0 14x 0055 4 /2xy 7" POLINOMIOS ESPECIALES
Son aquellos polinomios que obedecen a ciertas
Resolución características y de acuerdo a ello son:
Como P,..., e inomio, los exponentes
9) APO dl Polinomio ordenado
Se dice ordenado respecto a alguna de sus va-
p 3 . riables cuando sus exponentes solo aumentan o
ero|— Je N, sin=6 o n=8. ts , ]
n=5 disminuyen (ordenado creciente o decreciente).
de las variables deben ser enteros y positivos.
99
Lumbreras Editores
Ejemplos
LP y=2 dy +6x, es creciente respecto aX.
2. Qu yal y + 5xy" es creciente res-
pecto a y, pero decreciente respecto a X.
3. Mq= -2x*+8x'* no es ordenado.
Polinomio completo
Llamaremos polinomio completo de grado n
respecto a alguna variable si existen todos los
términos con exponentes de | a n, además de
un término independiente.
Ejemplos
l. P(y=2é - 5+2x +7: es completo de grado 3.
2. Qu, y = 2 +52y +3 - 9x1)? es un po-
linomio completo respecto a la variable x; y
respecto a la variable y es de grado relativo 4.
3. Ry) =X “A y+6x y 4xy"+y! es un polino-
mio completo y ordenado en forma decre-
ciente respecto a la varibale x; y es completo
y ordenado en forma creciente respecto a la
variable y.
Dado un polinomio completo en
| Una variable, el número de térmi.-
nos es igual a su grado aumentado
en 1.
Ry =V2+x5+2x- gx!
+44 (Y2+ Y?
Vemos que es de grado 5 y tiene 6
términos.
100
Si un polinomio es completo y or.
denado respecto a una variable, se
tiene que los grados relativos a esa
variable de dos términos conseculi-
vos difieren en la unidad.
ESA
Py = 4 524/51 1416
AL
Qu)=12+3x "0417: 9-15; 1
Ejemplo
4, Halle el valor de a si el polinomio es comple.
to y ordenado.
Pry=la?+3)+(a- 1900509743402
Resolución
Como el primer término es independiente,
P(,) será completo y ordenado ascendenle-
mente, ello implica que
a?*-54+7=1 a a?-2=2
a*-5a+6=0 A a=4
(a-2)M(a-3)=0 » (a-2)a+2)=0
a=2
Polinomio homogéneo
Un polinomio de dos o más términos y dos 0
más variables es homogéneo si cada término
tiene el mismo grado absoluto.
Ejemplos
l. Dado el polinomio
Po y =45x y) - 221 +20
GA=7 GA=7 GAs7
e
Diremos que es homogéneo de grado 104
grado de homogeneidad 7.
4
CAPÍTULO 111
Polinomios
,, Si el polinomio K(,, ,=ax"Y+bx"=ly, es ho.
mogéneo, halle a — b.
Resolución
1. Por ser polinomio
b=1 y a-121
IL. Por ser homogéneo
5+b=a-1+1 > a-b=5
Términos semejantes
Dos o más términos no nulos son semejantes si
difieren únicamente en los coeficientes, es de-
cir, las mismas variables tienen los mismos ex.-
ponentes.
Ejemplos
L =42x y
Do)
es 7
e y YBxy
Tag 2 + Dc y"
Dirernos que 7, 7,, T¿ son semejantes.
2. SiMy=ax Y y Ne y=bxY* son se-
mejantes, halle a+b.
Resolución
Se debe cumplir
a-l=5 y b+3=9
a=6 y b=6
". a+b=12
Polinomios idénticos
Dos o más polinomios en las mismas variables
son idénticos cuando tienen los mismos valores
Numéricos para cualquier valor que se asigne a
Sus variables. Se denota por Pi, y,=Q(x; y)
e
Ejemplos
l.. Verifique si los polinomios
Pa: y =l+yY?— 4x9; Qu. y=e=yY
son idénticos,
Resolución
Reemplazando x por a e y por b tendremos
Pay =(a+bY — dab=a*+b?+2ab — 4ab
=a*4+b* — 2ab=(a - by
Qía; y) = la — by
Luego P y Q son idénticos.
L
Dos polinomios en una variable
y del mismo grado de la forma:
Py=4y"+a 0 4 +a,,
Qu=b0x"+b7!+..+b,
son idénticos o iguales si y solo si
| ay=bj; ay=b,;...; a,=b,,
2. Si los polinomios
P(y=3%+(a-1)x+c y
Qu=(0+1D:+7x-4
son iguales o idénticos, halle (a+b+c).
Resolución
Como son idénticos tenemos:
3=b+1, 7=a-1 y c=-4
Es decir
b=2, a=8 y c=-4
. a+b+c=6
Sea P¿,, un polinomio, de tal manera que
dos
Halle la suma de coeficientes de P,,..
101
Lumbreras Editores
Resolución
Como Pé) es de primer grado,
Pix) €S también de primer grado.
entonces
Sea P(y=ax+b.
Luego
== = c+b +b
Piera) =9P (y +b a(ax+b)
> Ple)" alx+ab+b=axx+b(a+1)
Por igualdad con Ple) +5, tenemos:
ai=4 > a=2 o a=-2
Además
b(a+1)=5 > b=3 ob==5
11
— 0 a+b=-2-5=-7
3
a+b=2+
w|au
Si los polinomios
Pi y=(a-= 5h + a+rbtyio! y
Qu. y=4a +30 y+ 0 7?
son idénticos, halle el valor de
[(a—b)+(c—n)1+P.: 2)
Resolución
Por ser idénticos
(a-5)x*=4x* > a-5=4 > a=9
(a+b)W*y=3"y > a+rb=3 a n=b+8
Reemplazando el valor de a
9+b=3 >= b=-6 y n=b+8
b=-6 y n=2
Además
y liz
3
Entonces
c-1=2c-3
c=2
De donde
(a -b)+(c —-n) =9-(- 6)+(2 -2)=15
Luego
Po y=ac+3y+2y,
six=1 e y=2.
Evaluando
Pa; y=4(00+3(0Q)+2(2)
Luego
Pa.y= 14
(a-b)+(c-n)+P(,2)=29
15 14
Polinomio idénticamente nulo
Un polinomio es idénticamente nulo si sus va
lores numéricos para cualquier valor o valores
asignados a las variables resultan ser siempre
cero.
Se denota por P(,. y, =0 y se lee: "P(x y) es idén-
ticamente nulo”
Ejemplo
1. Pruebe que P(y=(x+2)—(x- 2 -3t es
idénticamente nulo.
Resolución
Vemos que si x toma el valor de a, tenemos
P()=(a+2)*-(a-2)?-8a
Sa
P()=89-8a => Pia=0; vaeR
P(¿=0
GIGUB
Un polinomio de la forma
P¿y=ayx“+a +...+0,
es idénticamente nulo si todos sus
coeficientes son cero; es decir:
LO Il
Si PyR Dr cx es idéntica.
k+c
mente nulo, halle >
Resolución
Desarrollando y ordenando
Py=kbe 24 era + tcs
=(her)x (2 +4r-1)x+k+4r+
Como P¿,, es idénticamente nulo, e
ntonces:
k+r=0 > k=-r (1)
2k+4r-1=0 => -2r+4r=1 (1D)
k+4r+c=0 > —-r+4r+c=0 (111)
Polinomios
De las ecuaciones (D y (1)
l l
Zr= | - =-:' a-=-—
ds
Reemplazando en (111) y despejando
c=-iy -, c=-3)
2
3
Luego; c=-2
Bo: c >
Por lo tanto
103
104
»» >
Biocraría
Carl Friedrich Gauss
Nació en Brunswick el 30 de abril de 1777 y murió en Góttingen
el 23 de febrero de 1855. Fue matemático, físico, astrónomo e
inventor alemán, llamado póstumamente el Príncipe de los Ma-
temáticos por el rey Jorge V de Hannover, al acuñar una moneda
en su honor. Sus contribuciones en todos los campos de las
matemáticas (puras y aplicadas) y en física fueron notables y
vastas, entre las que se destacan sus aportes al análisis mate-
máltico, a la teoría de los números, a la geometría diferencial, al
magnetismo, a la geodesia y a la óptica.
Nacido en una familia de escasos recursos económicos, des-
tacó desde muy temprano por su habilidad e inteligencia para
los números y las lenguas. Aprendió a contar y a escribir sin ayuda a los tres años, y a los
siete, después de arduos esfuerzos de convencimiento hacia su padre, este accede a que sea
inscrito en la escuela primaria bajo la dirección del profesor Búttner. Dos años después, este
mismo profesor quedará sorprendido al notar que Gauss resuelve en cuestión de minutos un
que implicaba una progresión aritmética. A partir del siguiente año, y debido a la
problema
emáticas al
ayuda del joven estudiante Martin Bartels, se incrementaron sus progresos en mat
familiarizarse con el binomio de Newton para exponentes no enteros y con las series infinitas.
Prosigue sus estudios en el Gymnasium Catharineum, donde a los trece años accede al grado
superior de la educación secundaria. Es en esta etapa que comienza a ganar reputación entre
los círculos cultos de su ciudad. Su fama llega a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand, quien
luego de una audiencia con el adolescente Gauss se convierte en su protector y le costea los
estudios. En 1792 ingresa al Collegium Carolinum de Brunswick, donde estudió por tres años
matemáticas superiores, lenguas clásicas, filosofía y literatura. De esta época datan sus prime-
ras investigaciones sobre los números.
En 1795, becado por el duque Ferdinand, ingresa a la Universidad Georgia Augusta de GÓ!
tingen, donde a los dieciocho años descubre la forma de dibujar un poligono de diecisiete
lados con regla y compás. Este descubrimiento lo llevará a publicar años más tarde su primera
obra Disquisitiones Arithmeticae (Disquisiciones aritméticas), en la que también consigna la
descomposición de todo número entero en tres triangulares. Su tesis doctoral, de 1799, fue la
primera demostración del teorema fundamental del álgebra, tema que fue también preocupé-
ción de Euler, y que había sido casi completamente desarrollado años antes por Jean Le Rond
d'Alembert.
En 1801 publica su obra prima, donde, además, reserva y
Ese mismo año predice la órbita del asteroide Ceres, reci
método de los mínimos cuadrados,
N parte para la exposición de su tesis.
entemente descubierto, empleando el
Seis años después es nombrado profesor en la Universidad de Góttingen y director del ob
vatorio astronómico de la misma ciudad. Para este tiempo prepara su se ete E el obser-
cuestiones de astronomía teórica Theoria motus corporum coelestium de E pri
solem ambientium (Teoría del movimiento de los Cuerpos celestes que giran alrededor ISA
siguiendo secciones cónicas), publicada dos años después en dos volúmenes: el primero exa-
mina las secciones cónicas, las ecuaciones diferenciales y las órbitas aliBlicas: el segundo
estudia el método de los mínimos cuadrados para determinar la órbita de un planeta. :
Entre 1810 y 1830 se dedica a su puesto de director del observatorio, a la par que continúa
desarrollando ideas acerca de una geometría no euclidiana (una geometría lógicamente cohe-
rente que no contemple el postulado de Euclides de las paralelas). Debe destacarse también
que en esta época comienza un largo trabajo asociado a la geodesia que dejará más de setenta
estudios sobre esta materia, aparte de herramientas para el tratamiento de datos recogidos
como la aplicación del método de los mínimos cuadrados a medidas terrestres, el invento del
heliotropo y el descubrimiento de la curva de distribución de errores.
En el campo de la matemática pura, desarrolló ideas sobre las características de las superficies
curvas, contribución a la moderna geometría diferencial. Sobre este tema, en 1828 aparece
su Disquisitiones generales circa superficies curvas (Disquisiciones generales acerca de las
superficies curvas) donde aborda tres grandes problemas: la medida de la curvatura, la repre-
sentación conforme y la aplicabilidad de superficies.
En la década siguiente, junto con el físico Wilhelm Weber, desarrolla investigaciones sobre el
magnetismo terrestre, donde incide en la medida absoluta de la fuerza magnética y en la de-
mostración de la existencia de solo dos polos magnéticos, señalando también la ubicación es-
pecífica del polo sur magnético. Juntos construyeron el primer telégrafo electromagnético, que
servía de medio de comunicación entre el observatorio astronómico y la facultad de física. Entre
sus últimos aportes relevantes se encuentra uno en el campo de la óptica, donde demuestra
que un sistema de lentes se puede reducir a un solo lente con características adecuadas.
En sus últimos años goza de amplio reconocimiento en toda Alemania y aun alcanza a pre-
sentar su cuarta demostración del teorema fundamental del álgebra, en la que emplea los
coeficientes complejos. Fue un científico ejemplo por su humildad y a la vez por su grandeza in-
telectual, merecidamente también fue llamado el Matemático más Grande desde la Antigúedad.
Fuente:
http://es wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss h
http.//platea.pntic.mec.es/aperez4/htmi/sigloxix/Carl9620Friedrichd620Gauss. tm
htp//www.biografiasyvidas.com/biografia/g/gauss.htm
»» BIOGRAFÍA
105
Problemas
RESUELTOS
Problema 1
Si Pi, =4+3x-1,
¿cuál es el valor numérico de P en 5?
Resolución
Buscamos P,;,, es decir, 2x-1=5,
de donde x=3.
Luego, para x=3 se tiene
Po 2-1=3+3-3-1 > P(5,=9+9-1=17
. Pi=17
Problema 2
¿Cuántas de las siguientes expresiones son po-
linomios?
L Pjy=2 70 4 7-]
IL Sy =70'F*+9
MT, = 2 -5x46
Tv. Q.=66Í 3)'414x'*-2
Resolución
Analizando cada proposición:
A A NN
> PP =H4VÓN 1 e R
Luego, P,,, es polinormío,
LS, =( +9
Como se puede observar, Say =T(0 1 J 49
Pero sabernos que 0) no está definido
> 5, no es polinornío,
106
IM. Ty = Vx -5x+6= |x| -5x+6
Luego, 7,, no es polinomio,
IV. Qp,=66(J=x)'+14x'*-2
0 á
(Y=x)' no está definida cuando x=0
> Q( no es polinomio.
Por lo tanto, solo P,, es polinomio.
Problema 3
Si P,=(a*-9)*+(5-b)x+7 es un polinomlo ll
neal mónico, ¿cuál es el menor valor de a+b?
Resolución
l.. SiP¿, es lineal: a?-9=0,
de donde a=3 y qa=-3,
IL SiP¿, es lineal mónico: 5-b=1,
de donde b=4,
Luego a+b=34+4=7 o a+b=-3+4=1.
Por lo tanto, el menor valor de a+b es 1.
Problema 4
Sifo, y =é-1,
calcule el valor de lo).
(2)
Resolución
l, lay Parax=0 -, (120 -1=-1
WD fioy Para xm-] -—, ly (1-1 5-2
MW. Ly Para x-3 » l, A
Luego ly A) Lia. lez |
la 2H 28 28
CAPÍTULO "1
problema 5
5 1-1 €
Dado que Pix) FX ARA
calcule P(-1)
Aesolución
parax=-1 > Pay ED'+ ED" +5(21)-3
> Pay EDEN
| sinespar > CD'=1 1 EDN!=-1
> Py=X+--8=-8
I. Sinesimpar > ED"=-1 4 (D)!=1
> Py=-Y+Nf-8=-8
. Py=-8; VneN ar n22
Problema 6
OTE
¿cuál es el valor numérico de
Resolución
Se debe tener en cuenta que es equiva-
x(x-1)
11 ] l
lente a — -— = — -—.
x-1 Bo x-1 x
Luego se tiene
heslo
15-1 15 14 15
Sumando miembro a miembro
Poy+Pgy+...+Pqs)
Polinomios
Ire
21-1_14
15 15
; 14
: PoytP yt. +Pay=
Problema 7
Se tiene que f,,,=(4a)'"!; a > 0,
además Fm-y=64 qm:
¿Cuál es el valor de 1284?
Resolución
L fm) =40)"7=(4a)7-?
IL fo) =40)77!
Por dato: fim-1)=64Km)
> (4a)"7?=64-(4a)""
m-2
E e A - 64
(4a)
> a) =64 > L 64
4a
> ate
4-64
1 1
1280=128- =>
Problema 8
2x+1
Dada la expresión F,,, =
: lor de P) Ys
¿cuál es el valor de (40)
3x-
)
Y
107
Lumbreras Editores
lp»?
A A
Resolución
2x+1
Pus
io ore
2-04+1_
ias e
=p -26D+1_-1_1
AC S ra iaa
7.41
> ¡ah
(no)) "Men “y $21
4
1 1 3
A
mE
4 4
P Su
(AR)
Problema 9
Dada la expresión f £ a
(U ) mx=+n
5x+3
a I"
tal que
is a
¿cuál es el valor de
6,
m-n
Resolución
-b
l.. Para hallar
m-
n Dastaría reemplazar
e ax+b
x=-l en Últ) E A dea q de donde
_7a+b_a-b
(Cd) = min mon (0)
108
II. Buscamos ln)
5x +3
ta
S(-D+3 -2 2
=- f a q. a
> ac 373
19
52,3 3
hinata AL 19
((-p) (3) 22 1
> 3 3
Luego en (a)
a-b -19
m-mn
Problema 10
¿Cuál es aquel polinomio f que cumple la si
guiente igualdad?
Us yy Ly +2 y H3x
Resolución
Estos problemas son clásicos de las ecuaciones
funcionales, generalmente de olimpiadas.
l.. Como buscamos fo
tomamos y=0 > 2 )=f +2 +3
> fa) =3x+2£p) (u)
IL Para hallar Lo
Y =y=0 en la expresión original
Uo+09=hoy +20) +3:0
> 2£0)=3f, 0) +0 > fiy)=0
Luego en (a), el polinomio buscado es
fy=3x+2:0
fy=3x
CAPÍTULO Ill
Polinomios
A AAAAA>>>> A _----AA <A E Em
Problema 11
Si 2x+1)=6x-10, además o(f..)-3)=3x-4,
¿cuál es el valor numérico de fen - ?
Resolución
1. Busquemos d(,)
2r+1)=6x-10=3(2x+1)-3-10
%+1)>=30x+1)-13
Luego
01) =3x- 13
IL. En el dato
o(f)-3)=3x-4
ÁS
3(f()-3)-13=3x-4
> 3(f(,)-3)=3x+9 > fi973=X+3
De donde f(,,=X+6
Problema 12
Si Py=-x+1, ¿cuál es su valor numérico
1-45
?
2
cuando x asume el valor de
Resolución
Conociendo x buscamos el valor de ”-x+1.
Veamos
1-45
2
X=
> 2x=1-45 > 9x-1=-45
Elevando al cuadrado
4-4x+1=5 > 4é-4x=4
Luego
.x=1
> -x+l=1+1=2
Problema 13
Se sabe que Mr) ES Y 8-1)=2x+4.
Encuentre f(,-
Resolución
De 8(,-1)=2x+4=2(x-1)+6
Cambiando x-1 por x+1 se tiene:
80+0=20+ +6 > 8(+1)=2+8
Luego en Mércoi) +5
2x +10 _(Qx+8)+2
Lox+8) =x+5= 2 2
Cambiando 2x+8 por x
x+2
ko = 2
Xx
fo = 2 +1
Problema 14
Se sabe que f,-1)=3x-4. Calcule f.,+1) en térmi-
nos de fu:
:. Resolución
De foy=3x-4=30-1)-1.
Cambiando x-1 por x
fo +!
3
fyy=3x-1 > x= (0
109
Lumbreras Editores |
asimismo far=30+1 )-1
De acuerdo a lo pedido, (1) en (II).
ki +l
% farn=fo9+3
Problema 15
Sea Py =x 1-21 +3x*-x+1.
x+
en
¿Cuál es el valor numérico de P en 3?
Resolución
De acuerdo a lo pedido:
x-2
2x+1
=3 > x-2=3(2x+1)
> x-2=6x4+3 > 5x=-5 > x=-1
Luego, reemplazando x=-1 en P
¡Ez = (1 -2(10+3(12-(-p+1
-2+1
Py=14+24+3+1+1
Problema 16
Se define f(x, como el producto de las cifras de
Xx+8 y 8(,) como la suma de cifras de y2.
¿Cuál es el valor de ha 0)78 6)?
Resolución
De acuerdo a la definición:
L. f¿=producto de cifras de x+8
> f)=producto de cifras de (5+8=13)
> f()=1:3=3
110
IL. 9=suma de cifras de x?
> 8(4)=suma de cifras de (4?=16)
> 8(41= 1 +6=7
Utilizando estas definiciones:
fer) =/a)=Producto de cifras de (7+8=15)
> fía)! :5=5
8(15))=8(3)= Suma de cifras de (3?=9)
> Bt) 79
Por lo tanto, lo pedido:
Mara) 8((5))
Problema 17
Calcule la suma de valores de n para los cuales
la expresión
10-27 128
A zyz"
Ex; y =4x ?
es un polinomio.
Resolución
Por ser polinomio
10-2" 128
Solo se cumple si n=1: 2,3.
Por lo tanto, la suma de los valores de n es 6.
Problema 18
ue
Halle el mayor valor natural de n, de modo Q
la expresión
: y: i frac:
sea equivalente a Una expresión racional
cionaria.
CAPÍTULO MN Ml
7
Resolución
Nos interesa el exponente de x
] 11 y 0 ns E
¿0-20 ri 8) 122 n)= E
4(m-20)+2-3(n-8)-Q-M_ y
12 Ñ
2n-56
r
Simplificamos y obtenemos £ =
Como P,,, es racional fraccionario, entonces
el
(22 n-28
12 6
28-n=6 > n=6-2 1. n<28
le
Luego n toma los valores 4; 10; 16; 22,
Por lo tanto, el máximo valor de n es 22.
Problema 19
El término independiente y el coeficiente princi-
pal del polinornio
Po =L2+5-3x)(x+n+6x")
(242 +41) (21-5+10x 7)
son iguales. Halle el grado de P¿,..
Resolución
Si P¡,, es polinomio; (n-1) e N, se tiene:
l.. Sutérmino independiente Po)
Py>=5:n (a+ 1610 =-5n(n+1)
Il. Coeficiente principal: 1-6-2-(-5)=-60
De (1) y (II) (por dato)
3n(n+1)=-60 > n(n+1)=12 > n=3
Luego, el grado de Pg es
2+n+4+n =2n+6
Como n=3
“- Grado de P(y=2(3)+6=12
Polinomios
Problema 20
De Fp2 1,22, halle F,,,
Resolución
Searl-bx=y > xi -4x+4=y+4
> (UY zy44 > 1=24./y+4
> Fy=24 /y+4-2=4./y+4
Reemplazando y por x
Fo =14x +4
Problema 21
Si Pirro) 78x+7, halle Puy
Resolución
Como Pieter) es lineal, entonces
P¿, es lineal; sea P,=ax+b
> Pip) 0P yy +b=al(ax+b)+b=ax+ab+b
Pireo) =A(Plero)+b
=a(alx+ab+b)+b
=4%x+a'b+ab+b
b(a?+a+1)
De donde a*=8 y b(a?+a+1)=7
Entonces a=2 y b=1
>, Py=2x+1
Problema 22
7
Siendo Fi 41)3X-1 y E=-3
halle n.
111
Resolución
Sea x"+1l=y > x=0y-1
> Fy=Yy-1-1
De donde
Fg =93-1-1= - (por dato)
1
> M-l 53m. > 1.3
8 n
Problema 23
del 1 iaa A F(y=0x+1
Ex)
halle P ;
(4)
Resolución
Se quiere que poe = a es decir
Fx)
1
ax+1l
Luego dl 1 ] = alax)+3a+1=a(-3)+3a+1
2
P, ¡y =-3a+3a+1
(+)
Problema 24
Si f(,) es un polinomio definido por
fex-0=f20 Hay además fqp)=2,
calcule fa)
112
=-5 > ax+l=-2 > ax=-3
Resolución
Si x=1
> fosfato > fe=0
Si po
0 y
f = +f
"EE
> fosfato
fo=Aw
1
Six=5
ix=>
> fo=fuo+
> 2=2f.1) — fa)=1
IA
Problema 25
En el polinomio P¿.., ¡)=(3x+2)7'(5x+ 7*(4x+7),
el triple de la suma de coeficientes es 343 veces
el término independiente.
Calcule el valor de n.
Resolución
L 2 Coeficientes =P;1,
Six=0
> Py=2%-7-7=2%".343
l. Término independiente=P(
Six=-1
=> Po =E07-(5+7)2-(244+1=2%3
Por dato: 3(22.343)=343-2?-3
. n=1
A
CAPÍTULO III Polinomios
A A A O AA AA A
problema 26 ea
. hay que agregar al polinomio , x+l x+1+x-1
a poa : , ba A
Poy DAY Y : Lo) Cx+ 1) tol 2
para que sea UN polinomio homogéneo y com- : x-1 x=1
pleto con respecto ax, y Para que la suma de co- : y como (2n+ 1) es impar
eficientes sea 21? o 5 ciedad
Además, Pra; 1) =114/P qx; yy €s el polinomio re- (8--(8(,))) 801
sultante.
x+l_ax+b+l
x-1 ax—-b+1
Resolución :
El polinomio a sumar es ady+by'. : Aplicando proporciones
: 2x 2ax+2
—_9y1 - 2 3 4 . Le -a+x=
Luego Pg; yy =3X +axy - 22y +51 +by”. : E RÍ bx =ax+1 > (b-a)x=1
1 P, es homogéneo: : 1
3+a-24+5+b=21 o ba
> a+b=15 (0 :
Problema 28
LP, =324a:2(0)-2A(2)1?+5(2)-19+b:11=114 a ]
01 : Dado el polinomio homogéneo
> Ba+b=84 (m) Pa ya my,
De (D) y (ID a=7; b=8
Por lo tanto, se agregará 7y+8y”.
calcule la suma de sus coeficientes.
z Resolución
Problema 27 : Sies homogéneo
2 : ma_ E m+n
Si 8 tx e m""=24+6=6+m
x-1
resuelva
g _ax+b+1 neN De (1)
= A PA m-n_
[8-4(g,,)).) ax-b+1 : nea 0
E pr . *
(2n+1) : De (2)
E m"*=2 0)
Resoluci
olución De 0) y (ID
Efectuando
(2) m"=4 > m=2
xU+ :
8(,) = an (+ x+1) : En(ID
z 2m=2l > n=-1
ESTI x+l :
8) = =1 O 8071 E Y coef.=m*+n+m=2-1+2=5
113
Lumbreras Editores
Problema 29
Calcule el valor de n para que el equivalente de
sea de quinto grado.
Resolución
Buscando el exponente de x en My).
(Dato)
Efectuando
n-2
id: 219
2
4
Por 4
4n-4+2n-n+2=48 => 5n=50
n=10
Problema 30
Si al polinomio
Po y My? + mx" lyp3 4 pb
le restarmos 12x%y'*, su grado absoluto disminuye.
Halle m+n+p.
Resolución
Si el grado disminuye es porque
nx "y? es igual a 12y*
Entonces
n=12; m=3 y p=4
min+p=19
Problema 31
Calcule Yab Ub sí el polinomio
ds MA y y 4
Py BA a
Donden*0 y b>0,0s completo y ordenado
además tiene 4 términos.
114
Resolución
mer término
Como el pri €s Constante, ej Pol
mio pS ordenado ascendentemente o
-15=1 > a=2
P(. tendrá 4(2*)= 16 términos
Por propiedad:
b?-1=16-1 > b=4 (ver pág. 10
Luego, lo pedido:
Y2.4-Ya =Y2
Problema 32
Luego de reducir la expresión
(e pn+! a)"
EN WO ex ;neN-(1)
donde x>0 y x* l, resulta una expresión al-
gebraica. Señale de qué otra forma se clasifica
esta expresión.
Resolución
Utilizando las leyes de los exponentes
3 in
[EA
- y yO,
Pero n7!-(1— 1) será siempre entero ne gall
sinz2ynenN.
,
. a] sy rl
Por lo tanto, £,,, es una expresión alge braici
clonal fraccionarla.
-
CAPÍTULO 1!
probloma 33
sea Pq) UN polinomio de tercer grado que cum-
sea Pi
ple la sigule
a - 2x(dx +2)
nte condición:
Pa . vPw
, , » de su término cuac ,
Calcule el coeficiente de su térr adrático,
Resolución
A A >
Sea P¡y2M +Bx +Cx +D,
De PuoPun Ll 2x(3x +2)
l Si x=0 -) Po) 7 P(-1)50
Es decir D-(-A+B-C+D)=0
Luego A+C=B (a)
II. Si x=l > PP =2(3+2)=10
Es decir, (A+B+C+D)-(D)=10
Luego A+B+C=10 (p)
De (a) en ([): B+(4+C)=10 > 2B=10
B
> B=5
Por lo tanto, el coeficiente del término cuadrá-
tico es 5,
Problema 34
Seaf¡,,1)=4+1. Calcule la suma de coeficientes
de Q,,) si se cumple que H,-1)=/+3) 4/3 -x):
Resolución
La suma de coeficientes de es q); luego en
%-05u+5+fg- y) evaluamos:
x=2 > %19=£5)+ La) (1
Ma) =4+1
Six=4 > (524%41=17 (11)
Polinomios
Si x=0 > 11)=0+1=1 (11D
De (11) y (111) en (1)
+)
17 1
, 41)=18
Problema 35
Si F,,=3x-2, halle F,
(1) lane (Mr. (fro) )
10 paréntesis
Resolución
l paréntesis: F,,=3x-2
2 paréntesis: Elf 37 2=3(3x-2)-2
A NC
> Kg =P 6-2=38x (3-1)
3 paréntesis: F;, =3F, =2
E Mr)
=313?x-(3?-1)]-2
=31 -(3*-3+2)
=3x-(32-1)
Por inducción
Poio) = 31 x (310 -1)
10 paréntesis
Problema 36
Sea el polinomio
Pl) =(5x-1)"+(2x+ D”-2x+ 1.
Qué valor toma rm si se cumple en el polinomio
que la suma de coeficientes y su término inde-
ó m
pendiente suman 24 + B +27?
115
a!
Lumbreras Editores
Resolución
Dato
3” m
Pay +Po=24+(5) +2 (a)
L Six=1
Entonces
Pay =47437-241=4"437-1
Entonces
m m m
AS
2 2 2 2
En (a) a
3 >
arsar1a( 3 )o2m=z0+>(3) +27
> 3M4+47=25=5?
. m=2
Problema 37
Determine el término central del polinomio
P(y=nx + (n- Deé+(a-DeA+...+x0,
sabiendo que la suma de sus coeficientes es 153.
Resolución
Recordemos que 2 Coeficientes=P,1)
> n+ín-D+(n-2)+..+2+1=153
md -159
> n(n+1)=17x18 > n=17
Entonces el polinomio tiene 17 términos, el cen-
tral será el término del lugar 9: ty; pero cada tér-
mino es de la forma:
=(n4+1):4
Comon=17 > k=9 entonces ty=9x”
116
Problema 38
Sea el polinomio P(,=7+1.
Si el polinomio H¿,) se define así
PaontPe) Ssix2l,
Hu)=
PuotPro
six<l,
determine Ho +Ha)
Resolución
I, Hip) comox=0<1
> Ho=Pw+Pco=2Piw)
> Hy=2(0"+1)=2
II, Hp) comox=1>1
Ha =Po+P 0 =(0+1)+(2?+1)=6
e Hwy +H()=2+6=8
Problema 39
Si y y además
—f pa
ly e
donde (x;y;a;byoZ¿ a 2<e<3
calcule Lay ta ) de «Say
Resolución
De las condiciones obtenemos lat
obtenemos
—pA
IC.
b : b.
lito) e ftp) = :1%0
De la condición
fi (faro) fra) (1) ODtenemos
1e“t=ke"- Le? > 1=1
> Mr 3e* a finyy=e?
==
CAPITULO ll
LucKo nl
040 +04. +0 al
¡Hp y +) e-1
10
pa) -|
A titi HAN
» Obsorvación
gn IL 1
+. + Ue
1+q / q=1
problema 40
Del polinomio de grado 11
05.43, M-2 yn 42, m-3
Puy 3 Y y
se tiene GR,-GR,=5.
Calcule 2M-+N.
Resolución
q) 3,m-2 n+2,,m-3
En Py YO AY
GA=m+n+l GA=m+n-1
Dato
m+n+1=11 > m+n=10 (a)
Además
GR, =n+3; GR,=m-2
Dato
(n+3)-(m-2)=5 > m=n
En (a)
2m=10 > m=n=5
¿m+n=15
Problema 41
Dela expresión P sl
(65)
Calcule e] valor de (Py),
= 12009 _ 92008 , 4
Ma |
Polinomios
Resolución
x+1
' —z=-=l > x=()
x-1
Six=0 => P¡,)=0-2(0)+4
—, P(1)=4
> Pg, =22%8_2 p 22008, 4
> P()=4
Luego, lo pedido es (P¡¿)'c1=41=256.
Problema 42
Sea f(,, un polinomio que cumple con
l+r1=3 9-21 1)
Además f(=1 y fg=4.
Calcule el valor de fs).
Resolución
Evaluando en x=5 se tiene
fs+11=3L5)-2£..1)
> [035 -Ua)
4 1
=> 4=3f(5)-2
3f(5)=6
> f(5)=2
y
Problema 43
Calcule el grado del polinomio.
8
Py gary
117
Lumbreras Editores
Resolución
Por ser polinomio,
n-2>0 y 4-n>0.
Es decir
n>2 y n<4
n=3
8
Luego Poy; y = 4 +ay? +y
=4x+xy+y
Por lo tanto, el grado del polinomio es 5.
Problema 44
Sean los polinomios idénticos
Ay=(a+bé+(b+cx+a+c y
By ade es Fe)
a+btq e?
Calcule S = T
(a+b+c)
Resolución
Por ser idénticos:
l
a+b=2Y4abc -
ve
> a+b=2V/ab
Luego, a=b.
Análogamente
b+c=2Vab il > b=c
a
a+c=2Vab - > a=c
118
de donde a=b=c
Luego, en $ se tiene y Sl !
Bay 3
Problema 45
Sea el polinomio P(,=x?+px+q de coeficientes
naturales y de suma mínima que verifica las y
guientes condiciones:
l. P(g, es divisible por 6
Il. Pq, es divisible por 7
II. P(s) es divisible por 10
Halle el polinomio P¿,,.
Resolución
Condición: p+q es mínimo; P,Q eN
l P=9+3p+q=6 > q=3
ll. Pa)=16+4p+q=7
ll. P,=25+5p+q=10 > q=5
De (1) y (II)
LL
q=15 > Qmin=15
Reemplazando en (11)
16+4p+15=7
> 4p+31=7
> (49) min =32
> Pmin=8
. Pay=d+8x+15
Test 3
. ¿Cuántas expresiones de las indicadas son
racionales?
L Ta. yate ty”
45
IL Su y ay?
IL Uy yy dz?
3245
WM Man” 5
A) 0 B) 1 0) 2
D) 3 E) 4
.. ¿Cuántas de las expresiones indicadas son
términos algebraicos?
LS y) =32x+ysenz
47
IL Ac y YY
Tx /y
. Cor. y.) =(2+3)xy1?
A 0 B) 1 0) 2
D) 3 E) 4
. ¿Cuántos valores puede tomar n en T para
que sea un polinomio mónico?
Ta) =(n-5)0 745x043
AO B) 1 0) 2
D) 3 E) 4
.. Calcule el valor numérico de P en -2,
si P(y=32 +16 +x+7.
A) 7 B) 102 O 5
D) 79 E) 69
5. Calcule el valor numérico de $ en-1, si
Sea-y=7+4.
A) 7 B) 4 O) 11
D) -3 E) 3
Halle el término independiente en
Pax-1)=4x+5.
A) 5 B) 9 0) ñ
19 17
D) — E) —
) 3 ) 3
Dado el polinomio
Pay 3x4 1+ (1-2)
calcule la suma de coeficientes.
A) -2 B) 2 O 1
D) -1 EJ 0
A 2x+1
. Si A
halle Tlira-n)
A) x-1 B) x+1 q
x+1
D) 2x+1 E) x-2
x-2 2x+1
. Si el polinomio
2
Pri y +cz Ty ?z
es homogéneo, ¿cuál es el mínimo valor de
a+b+c?
A 15 B) 14 O) 13
D) 17 E) 12
119
Lumbreras Editores
10. Si(3x-1)"esidénticoaA"+Bx""'+...+2D-1, : A) 1 B) 0 O 2
¿cuál es el valor de D? E D) 5 E) 3
n 12. De la igualdad
A 1 B) 0 0) poz : fx) +2 x(x? +3)
fo-2 3x2+1'
D) -1 E) z
3
indique el valor numérico de fen ye
11. Dada la igualdad
indique el valor de f(y). D) 4/3 E) 1
Claves
ñ / —e 7 | tE
L/D l8/a l/coe l7/n l./E UB
L2/pn U/e l6/n 18/A lwm/e U/c
120
A
nn
1.
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
Sea el polinomio
3x+l
O 13/2
E) 12
m3, 2n 45
sea Piu y NX y , donde el grado relati-
vo respecto ax es 7. Calcule el grado absolu-" :
to de la expresión.
B) 30 O 35
E) 28
A) 22
D) 25
Sea P, y x0 -125x" 4+3x+2.
5/
¿Cuál es el valor numérico de P en 1?
A) 17 B) 20 C) 30
D) 50 E) 80
Dado que P(, =-44+3x-13,
¿cuál es el valor de Pray
A) -24 B) -21 e
D) 11 En
SeaP(y=k; ke R.
Calcule P(1)+Pp2y+...+P0)
Ak B) 2k C) 10k
D) 100% E) 4950k
6,
10,
SIM paa xl, tal que
Mya lC42 AR 44)
Halle la expresión 4).
O 1é-3k45
E) R*-4h+3
A) 43hr4
D) 144443
B) 3k-1
Definimos la expresión
x=l, sixz2
2
l
(0)
xX“=l six<2
Calcule: a fig ¿y Ha) con a < 0.
B) 3a*+2a-1 C) 3a4+5
E) 3a
A) 3a+2
D) 4a4+2
Si P()=4x+b, además P()=2P(,54,
¿cuál es el término independiente de Q(), si
Oax 10) X7
B) 1 C) -1
D3 E) 2
Si Px)=5P(,+1) calcule el valor de M.
Lo +Ro+ Ho
Bo ++ Ra)
N 4
D) 25
B) -5 C) 30
E 5
SiR y) = (5 + E + : lx halle el equivalente re-
Paxan) 3 Proxy
ducido de
A) 1 B) 2 O 3
D 4 E) 5
121
16, Dada la expresión algebraica
11.
2.3
1
e
«N
12
Dadas las expresiones
Py=ké; Qu=Yx,
calcule el valor numérico de Q(p,)+P(0()'
C) 18
E) 1
A) 7 B) 35
D) 12
, Se tiene un polinomio f,,, tal que cumple las
condiciones:
LL fy=1
IL faoy=fa-y+x VxeZ* nx>1
¿Cuál es el valor numérico del polinomio f
en 9
C) 45
E) 47
A) 40 B) 44
D) 46
Dado P¿,,.)=4+ax+b, se sabe que la suma
de los coeficientes de P es 7; además, b es el
doble de a. ¿Cuál es el valor de ab?
A) 14 B) 12 C) 10
D) 8 E) 6
. Sea la familia de polinomios
Pri nt b; bel.
¿Cuál es el valor de x cuando se cumple que
Pay Poy + FP ray + =110?
A) b
D) -78
. Si el polinomio
Py ay n0Y
se reduce a un solo término, ¿cuáles son los
valores de a y b?
A) 6,4
D) -2;1
B) 3,1 C) 0; -1
E) 4;7
19,
20,
2
Ry
ix: y) y
, determine el valor Numérico
46, ¿4
def cuando x=2" ;y=4",
B) 2 O 2
E) 2
A) 1
4
D) 2!
Si P-1)=2-1; x%2, halle el equivalente
B »-P
reducido de 2-20
2x-4
A) 2x B) 0 O e-
D) 4 E) 1
, Si Py= 0-3 +3x-2,
calcule el valor de M.
A2)
M= Py 0
A) 2 B) -2 0) 4
D) 5 E) 0
Dado el polinomio f(.,=M -nx,
además fo) =2 A feoy=-1,
¿cuál es el valor de f ay
B) o) -
E) 7
A 1
D) 3
Al reducir la expresión polinomlal
y arnet ray,
slendo los términos sernejantes eN var
x e y, calcule qué se obtlene.
aples
C) ¡sy
E) 20dy'
> y
A) 10x y B) 5xy
D) 3xy'
A
CAPÍTULO 1!
al.
22.
23.
24,
Polinomios
Nivel Ml
Si Hipo) 3: H¿y=ax+b y a>0, indique
el valor de verdad de las siguientes proposi-
ciones:
IL. La suma de coeficientes de Hox- y es-1.
Il. H()= 17
III. El término independiente de Hiax+ 1) eS -3.
A) VVV B) FFF C) VFF
D) FVF E) FVV
Sean los polinomios
P¿y=2é-15 A Qí; y =2x+3y-2.
Halle el término independiente del polino-
mio Ay) sabiendo que H()=Q(» 1)
A) -5 B) -15 C) -2
D) 1 E) 7
En el polinomio
Pay 00+2)*-3(x-1)+mx+5
se cumple que la sumatoria de coeficientes y
el término Independiente suman 200; según
ello, establezca el valor de verdad de cada
una de las proposiciones:
I.. El término independiente del polinomio
es 129.
II. La suma de sus coeficientes es 71.
lll, Po=6%+4
C) VVF
E) FFV
A) VVV
D) VFF
B) VFV
Sea fax)" (9 =(0+2)x7.
Determine el valor de k,, Y
(0)
D) 8 E) 15
25.
26.
Sea P,=(a?-7)x"+ax+a?+1 un polinomio
mónico; (a e R).
Halle el término que no depende de la variable.
A) 2 B) 5 C) 10
D) 17 E) 26
En el polinomio
Py=(14+207+(1+3x)",
la suma de coeficientes excede en 23 al tér-
mino independiente.
Según ello, establezca el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
l.. El polinomio P(,, es de grado 2.
II. La suma de sus coeficientes es 25.
III. El término cuadrático de Py es 12x?.
A) VVV B) VFV C) VVF
" D) FVV E) FFV
Si la expresión algebraica
27.
28.
2
(yn-2 y . qna , xó
2
2,4
((.1) cx )
se reduce a un monomio de segundo grado,
calcule el valor de n.
Six) =
B) 2 0) 3
E) 5
A) 1
D) 4
Si el polinomio
y 2
Pú y = (a+ 1)? ye (a+ 1x0 ya!
es homogéneo, calcule la suma de sus coefi-
cientes.
A) 16 B) 13 Cc) 1
D) 4 E) 22
123
29,
30.
31.
32.
124
Se tienen los polinomios idénticos
P¿y=(m-5) 77 +(n-3)"7? A
QM.
Establezca el valor de verdad de las proposi-
ciones:
L. La suma de sus coeficientes es 0.
IL. Son de grado 7.
m
III. El valor de AS 0,125.
n+p
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
Dado el polinomio
Py =xlax+bx +cx+a),
donde se verifica P(,)=P(..,) calcule 2a+b.
B 5 C) -4
E) 0
A) 3.
D) 1
Si la siguiente expresión matemática es un
polinomio
Py lada ÑZ,
establezca el valor de verdad de cada una de
las proposiciones:
I.. P presenta 3 términos.
II. Pes un polinomio homogéneo.
III. Pes idénticamente nulo.
IV. P es de grado cero.
A) VVVV
D) FFVF
B) VFVV C) VVFV
E) FFFF
Calcule el valor de Yab Yb si el polinomio
2a
Pyoy=74 5 gala 50 po
tal que n*0 y b>0, es completo y ordena-
do de 4a* términos.
33.
34,
35.
36,
A) 7 B) 6 O 4
D) 3 E) 2
Si al polinomió
Po; y=m y Mx yA +18
le restamos 10x”y*, su grado absoluto disp.
nuye. ¿Cuánto vale el menor de los grados
relativos?
A 0 B) 1 C) 2
D 3 E) 4
0 ,
Halle el valor de a% + —ag» si el polinomio
a
6 9
Py=(a?+b-c-10)" +(c-b+9
es idénticamente nulo.
A) 2 B) 1 0 0
D) 4 E) 3
Dada la siguiente identidad:
(2x+5)-(x-1)"=(4+9x+18)A)+ax+b,
donde A(y=ay+ayx*+...+as n ap%0,
determine a + 2
21,7 31,7 2(47-1
a e) O sl )
D) S(4- )) E) 432
Si el polinomio
Ma y=la+b-c-d'hd+(0-dehy+9lb+e
es idénticamente nulo, calcule
al »
2
s- LE ,9% a
b ec
A) 15 B) 16 c) 18
D) 13 E) 9
NS
fULO II
CAP!
calcule el valor de M-+n, con la condición de
que el polinomio
¡E OM MA I +
¿x0min-2yn +n
sea de grado absoluto 28 y la diferencia de
grados relativos a x e y sea igual a 6.
B) 15 O 13
E) 9
A U
D) 10
$8, Calcule el grado de
Meis ¿=39%2w”..., de 10 variables,
A) 528 B) 670 C) 720
D) 840 E) 936
39, En el polinomio homogéneo
b-a a-b
Pa Y ¿=lyY +y +22,
calcule a+b+c.
A) 4 B) 5 O 7
D) 9 E) 15
40. Si E, halle f(,,, en términos de f,).
A) ON B) Al: OM
hi9 72 fo +3 fi) +3
D) 6, E) 1
f.973 lo
4,
Sabiendo que P,,, es un polinomio de gra-
do n completo y ordenado en forma des-
“endente, donde además se cumple que la
Suma en cada término del coeficiente con su
ponente respectivo es n+1, halle el polino-
Mio evaluado en A si
AS a p? e?
a-a-3 Noa) (e aNc—D)
42,
43,
Polinomios
An
B) (1+2(m+1)
o 1+Mn+2
2
p) P+D
2
E) n-3
2
Si al reducir
n
n +0
Poy=lx+Díx-)-* ox z0
x
resulta un polinomio completo, ¿qué se pue-
de afirmar de Jo=(2x) "+30" 467 4y"
A) Es homogéneo
B) Es completo
C) Es ordenado
D) Es un monomio
E) Es un trinomio
Sea la expresión matemática
x 1
+
7 =
(69) hi a ox
Determine m (meR*), si se cumple que
;xe (1, 0; 1).
f(y=2, cuando
a DEA
N2 N4 m
A) -2 B) 49
D 4
0) 2
E) /7
. Dado el polinomio que posee grado absoluto
igual a 33
Py a TA,
calcule el GR, y GR,, respectivamente.
C) 20; 17
E) 14; 10
A) 10; 23 B) 20; 12
D) 10; 11
125
Lumbreras Editores
45,
46.
47.
48,
49,
126
En el polinomio
Py =6ax%+5ax'"+4ax"+3ax"+200x"+a,
calcule el valor de a si se cumple que la
suma de coeficientes es igual a su término
independiente incrementado en 76.
D) 3
Calcule la suma de coeficientes del polino-
mio completo y ordenado.
Py=ax +bx +cx+dx+abcd;
donde a, b, c, d son diferentes.
C) 10
E) M4.
A) 24
D) 34
B) 44
Si el polinomio se anula para más de dos va-
lores asignados a su variable
P(y=(ab+ac-3) +(ac+bc-6)x+
+(ab+bc-9),
calcule el valor de abe(a+bMa+c0X(b+c).
A) 160
D) 162
B) 163 0) 161
E) 164
Si el polinomio P verifica
> MA] ' 3 Ñ ..
Pa y = (01 - xy!+(m"-2)yu - ny oe6ay,
calcule el valor de 64 m-n.
A) -3
D) 20
B) -2 O 30
E) 10
Calcule los valores de 1m y n para que el po-
linomio
Py Ramat 4 9
sea completo, Considere 1 >p,
A 0;4 DAS
D 12
002
DY ya
50. Si el polinomio P es completo y tiene a
51.
términos +)
P(y=2ax""+(2a-1)x%%!4(20-2)09=,
calcule el valor de a.
A 0 B) 3
D) 2
O 1
E) 4
Calcule Hg) a partir de
Ho=FantCa-ty
donde F y =+x +1 y Grey 2+2
N 4 B) 16 O Y
D) 8 E) 35
52. Dado el polinomio
Pa ya gy + ayn-336-n UN 2yn- y
Si GA(p)=11; GR,-GR,=5, calcule el valor de
2m+n.
AN 5 B) 15 0) 10
D) 25 E Y
53. Sean E yaa dex m y G(y 2043, de tal me
nera que
Eat
Indique el mayor valor de mm.
N 2 Bo ¡0
D) -1 y -
54, SIP yx, verifica
Piro eb y
Pito an t a,
calculo el valor de Mic
N 0 NN) ES
DS IN
CAPÍTULO 1
$5,
56.
57,
¿Cuántos factores han de tomarse en la ex-
presión
Py = (d+ D0+23 +3)...
tal que Py sea de grado 330?
A 10 B) 12
D 9
O 13
E) 8
Dado el polinomio
Pis y Qe) "+ 2(12x 6)" + (24 1927,
calcule m si su término independiente es
igual a 1600.
A) 1
D 3
B) 7
Sean los polinomios
Paya ++ d+ Ll;
Qy=(ax+b)(ex+d)+R;
k+1, donde Pa)-Q(150.
pa” la a)
En a a),
Calcule
A) -1
D) -2
B) 2 O 1
E) 4
58,
59,
50,
Polinomios
Si al sumar M,) y P(,, yy se obtiene un polino-
mio homogéneo donde
b
My=ax eV yy
0+2b
a ,2b
Py yy Y >» +62
calcule Yb(a +1); ab +0.
,
A) 2
D) -2
B) -3 O 3
E 1
Clasifique la expresión algebraica.
1
saty? J2xdy? n
Pax y; 2) Ñ 977 Ye y
A) Racional entera
3.6
B) Irracional
C) Racional fraccionaria
D) No admite clasificación
E) Trascendente
Determine el grado del polinomio Py, Sa-
biendo que el grado de [P,,,]*[0Q,,,]* es igual
a 21; además, el grado de [P,,]*'[Q,,,]? es
igual a 22.
127
128
CLaves
Problemas propuestos
NIVEL |
L9/D
110/p
11/E
(12/0
NIVEL Il
87/D
38/8
EJAS
0/0
51 c
52 B
[59
[60
A O
NLM AA ASS,
LADA A ADAN,
Multiplicación
algebraica
CAPÍTULO IV
MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
Objetivos
» Aplicar de modo adecuado la propiedad distributiva en la multiplicación de polinomios.
» Identificar los productos notables, por ser de suma importancia en la simplificación de
expresiones algebraicas y factorización de polinomios.
» Desarrollar habilidad operativa en la resolución de problemas que requieran del uso de los
productos notables.
Introducción
Sabemos que la parte teórica de la matemática tiene su origen en las escuelas científicas y filosóficas de
la Grecia antigua. Una vez descubiertos los números irracionales, en la aún no fortalecida matemática
griega, hubo la necesidad de crear para la investigación científica una teoría matemática general
adecuada, tanto para los números racionales como para los irracionales.
En cuanto se descubrieron los números irracionales resultó que la colección de magnitudes
geométricas, por ejemplo los segmentos, era más completa que el conjunto de los números racionales,
entonces era oportuno construir un cálculo más general en forma geométrica. Este cálculo fue
creado y recibió el nombre de álgebra geométrica, pues desde este momento los productos notables
-conocidos en la actualidad— tienen su interpretación geométrica.
Desarrollo de un trinomio cuadrado perfecto
H— a ——tHb-_
(a+bY=a*+2ab+b* ]
131
Lumbreras Editores
Desarrollo de diferencia de cuadrados
ala—-b)+b(a-b)=(a-bla+b)=a?-b?
Desarrollo de un trinomlo al cuadrado
b(a-b)
(a+b+0=a?*+b*+c*+2ab+2ac+2bc
132
"nn
CAPÍTULO Y
Multiplicación algebraica
A>
» MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA
DEFINICIÓN DE MULTIPLICACIÓN
La multiplicación es aquella operación matemá-
tica que consiste en hallar una tercera expresión
llamada producto (P(,) a partir de otras dos
llamadas multiplicando [M¿.,] y multiplicador
[Nco). respectivamente.
Po="MwNw
Ejemplo
Al multiplicar (2) con (x+x%) se obtendrá
como producto +2-x-1.
LEYES DE LA MULTIPLICACIÓN
Para dos expresiones a; b cualesquiera se cum-
plen las leyes siguientes:
Ley conmutativa
a'b=b:a
Esto justifica que en una multiplicación el orden
de sus factores no altera el producto.
Ejemplos
l. 5:3=15=3:5
2. (2-1)(4+2)=(2+2)(2-1)
Ley asociativa
| (ab)c=albc) ]
En la multiplicación no interesa el orden para
asociar o agrupar.
Ejemplos
l 5(2:3)=5-6=30=(5-2)3=10-3
2 (3x 1)1(+1)y] = [(3x -1)G:+1))y
Ley de la identidad multiplicativa
al=a
El elemento 1 recibe el nombre de neutro mul-
tiplicativo.
Ejemplos
1. El elemento neutro multiplicativo de 17 es 1,
ya que 17:1=17.
2. (2x-1):1=2x-1
Ley del inverso multiplicativo
Para todo a (a diferente a 0) existe un único ele-
mento llamado inverso de a, denotado por a al,
de tal modo que a:a”!=1.
Para ax0, el producto de ab es a
si y solo si b=1.
Asimismo, el producto ab es 0 si
y solo si a=0 v b=0
X _ = >
Ejemplos
1. El inverso multiplicativo de 5 es : , Puesto
]
5-==1.
que 5-5
] tod 1
2. Elinverso multiplicativo de 3 es -3, puesto
3. (4x+y)(3x-y)=0, solamente cuando
4x+y=0 v 3x-y=0.
133
Lumbreras Editores
Ley distributiva
| a(b+c)=ab+ac |
Observe que a se distribuye con b y c.
Ejemplos
Lys yy +2?
N_
2. a(a*+b*)=a*+a%b*
NATA
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES DE UN TÉRMINO
Se aplican las leyes de los exponentes.
ent .
MULTIPLICACIÓN DE UNA EXPRESIÓN CON OTRA DE DOS O MÁS TÉRMINOS
Para obtener el producto se emplea la propiedad distributiva.
a(b+c)=a:b+a:c
Ejemplos
L pa y at Ls
2. LD DS ER
2 ás producto
3 5 , P
2 Y ty y rta) 05 ¿2235 8
4 NL 4 4
7 .
, A PND A E y 7 2 3
3, (c+2y Ms -y ) x 3 mx y +2y* 3-2 y =3 y +62)? 2y
134
CAPÍTULO IV
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Es un caso particular de la multiplicación alge-
braica, con la particularidad que sus elementos
son polinomios. En este caso se establece una
identidad entre tales polinomios.
Identidad fundamental
Mult. indicada
O por realizar
Eto Go = He
'
] producto
» multiplicador
» multiplicando
Ejemplos
L (e Dle+x+1]=é-1
2. (yy = (y
3. (x+3)(x-3)=x?-9
4. (x+7)(+2)=2+9x+14
GRADO DEL POLINOMIO PRODUCTO
Sean los polinomios
P()=0" +4;
Qu=0"+b,; im, ny e z?*.
Entonces
Cw=Pioy Qu)=C AH CO 7+C HC
de donde
Grado [(P-Q)¿,,)] =Grado P(,y+Grado Q(<)
Multiplicación algebraica
»» Nota
En el caso de que
P(y=(ay” +b)"
| =A +. + B
el grado de P¿,, será m-:n y su término indepen-
diente (+ b)” será igual a B.
Ejemplos
l. Sean P(y=x +3 +9x+1;
Qu=30+x+7.
Como el grado de P;,, es 5 y el grado de
Q() es 9, entonces el grado de P()*Q(.) es
5+9=14,
2. Sean P¿)=(3x”+2x-16)?;
Sy= (220).
Como el grado de P,,, es 7(3) y el grado de
Sí.) es 6(2), entonces el grado de P(,)*S(,) es
214+12=33.
» PRODUCTOS NOTABLES
DEFINICIÓN
Son los resultados de ciertas multiplicaciones in-
dicadas que se obtienen en forma directa, consi-
derando implícita la propiedad distributiva de la
multiplicación por la forma que presentan.
PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
Trinomio cuadrado perfecto
| (a+ bY=a? + 2ab+b?
(a-bY=a?*-2ab+b?
Tenga en cuenta que (a-b)?=(b-a)?
135
Lumbreras Editores
Ejemplos
ela PS 21
y Y (a-2*=a*-2a:2+2=a?-4a+4
3 (2y+3)=(2y)?+2(2y)3+3?=4y"+12y+9
4. (32 -4)=(32)*-2(32)(0)+4?=92-242+16
5. (a2+30)=(20)'+2(2) (30) + (30)
=4x "+12 +9x
o (sy) (5 al WN
=25x*-10x*y4y!?
Identidades de Legendre
1 (a+b)+(a—b)=2(a*+b*) |
2. (a+b)?-(a—b)=4ab
(3 (a+b)' - (a—b)'=8ab(a*+b?) |
Ejemplos
L (x+D?-(x-D)?=4-x-1=4x
2. (+ D+(—1=2(+12)=2(2+1)
3. (+1 (0 =8-x-1(2+12)=8x (1241)
4. (23) +2) =2((00%+37)=2(42+97)
5 (ayy lay) =4 30) 0 =120
6. (m+2n)'-(m-2n)'=8-m-2n(m*+4n?)
=16mn(m?+4n?)
136
GU corea
Todo trinomio de la forma
ax +bx+c es un cuadrado per.
fecto si y solo si bi=dac a a>0.
Ejemplos
1. 12+8x+16 es un cuadrado perfecto ya que
2. 4 -4x+l es un cuadrado perfecto ya que
(-4)?=4:4-1.
3. 4x+12x+9 es un trinomio cuadrado perfec.
to ya que 12”=4(4)(9); más aún, es equiva-
lente a (2x+3)?
Diferencia de cuadrados
(a+b)Ma-b)=a?*-b?
Ejemplos
l. (x+1)(-1)=-1?=x2-1
2. (2m+n)(2m-n)=(2m)-n*=4m*-n'
3. (3x+2y)(3x-2y)=(3x)” -(2y)=9% - 44
4. (a%+32)l40-321)=(40) (32) =16é-92
5. (m+n+2pXm+n-2p)=(m+n)?-(2pY
=(m +n)-4p*
Trinomio al cuadrado
(a+b+c)=a?+b*+c?4+2(ab+ac+bc)
CAPÍTULO IV
Multiplicación algebraica
Ejemplos
L (text a ex 1)
= ++ 1424124)
= 420430 +2x+1
2 (ar al a+
+ -1+(-2x)1]
= +4 +14+2|-2+12-2x]
=x*-44+6x-4x+1
3. (2x+3y+22)'=(20%+(37+ (22)
+2(2x)(3y)+2(2x)2+2(3y)2?
=40+9+214+12xy+4x2?+6y2?
4. Sim+n+p=1,m?+n?+p?=2,
halle mn+np+mp.
Resolución
De la identidad
(m+n+pY?=m?+n?+p?*+2(mn+mp+np)
Reemplazando los datos
12=2+2(mn+mp+np)
. M+Mp+Np= -5
Binomio al cubo
(a+bY=a*+3a%b+3ab*+b*=a*+b*+3ab(a+b)
(a-bY*=a*-3a%b+3ab?-b*=a*-b?*-3abla—b)
Ejemplos
L GeDi=4 3 1430 124104304341
2. (-2P= 8-30 -24+31-22-2=0-6+12x-8
3. (2+3<2) +32) 3) +3(20)(3y1 +(3y)*
=8 +36 y +54xy+27y*
4. (ax-by)=(ax)*-3(ax)*by+3ax(byY - (by)
=a e -3a%bxy+3ab*xy? -b y
5. Six+y=3 a xy=4, halle 9+y?.
Resolución
Reemplazando los datos en
Lety sd +y +3 (x+y)
Y=+y+3(4)(3) > P+y?=-9
(a+b)+(a -bY=2a(a? +3b?)
(a+bY-(a-b)'=2b(30?+b?)
Suma y diferencia de cubos
(a+b)Na?-ab+b?)=a*+b*
(a-bNla*+ab+b?)=a3-b
Ejemplos
LL (+DO2-x+1)= + 1B= 041
2. (-D(é+x+1)=-1= 8-1
3. (+2) —2x+4)= + 28= +8
137
Lumbreras Editores
4. (+52y +25) -52)=y- (52) =y*-1257
5. (a2+6y?+92 (2 32?)=(2x)' - (322)
=80 - 272%
Trinomio al cubo
(a+ro+roP=a rot +3 (a+ +o(c+a) ]
aa a +3(a+b+c) |
(ab +ue rodas -3abc )
Carora HR +3 (o+r)+ > |
+30ta+e)+3ca+ babe |
¡
z a p)! Lape
Ejemplos
1 (2D +04 1430 +008+ 10041)
=4041430241)L+1)00+ 1
2. Sia?+bi4c=0,
halle el valor de
(a+b+cY
(a+b+c)(ab + ac + bc)- abc
Resolución
(a+b+oO*=a+b 404
+3(a+b+c0X(ab+ac+bc)-3abc
Por dato:
a+bi+c=0
138
Luego
(a+b+c)'=3(a+b+olab+ac+bc)-3q,
(a+b+cY Ñ
(a+b+c)ab + ac + bc)- abc me
Sia+b+c=0,
halle el equivalente de
aro
dabc '
Resolución
Sabemos que
(a+b+c)Y=a*+b*+c*+3(a+b)a+0(b+)
[tri
Como a+b+c=0 > ¡a+c=-b
puse
Luego en (I) se tiene
0=a0*+b9+c*4+3(c0)Eb)a)
De donde
a? +b7+c* =3abc
a+bi+ 15d Ñ
abc
a+ pie , Babe
abc 4 abc
arptro
3
dabc 4
— ===>
CAPÍTULO IV Multiplicación algebraica
| producto de multiplicar binomios con un término común
' A
También
| Otto (a+o+0+(ab+bc+ca)x+abce |
Ejemplos
1 (e+5)I0+47)= + (547)x4+5:7 =x2+12x+35
- (—-6)(x+9)=+(9-6)x-6:9 =x?+3x-54
(x-10)(x-12)=x2-(10+12)x+10-12=x?-22x+120
(+2)0+5)(+3)=4+(2454+3)02+(2:5+2:345:3)x+2:5:-3=+10+31x+30
- (—-4)0+6)(0-3)=+(6-4-3)?+(4:6+4:3-6:3)x+4:6-3=7-x?-30x+72
Nn DD 0 NN
Identidad trinómica (identidad de Argan'd)
da, |
aa
En general:
( AAA Ya y )
A
Ejemplos
O EA
Ni
3 (++ lay +9) (20 206 += 16x+36y*+81y*
Identidades adicionales (identidad de Gauss)
. a+b3+0-3abc=(a+b+cla*+b*+c*-ab-ac-bc) |
4 al
o Pros ab rola- o - |
|
pa (a+b)b+c)Xc+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca) )
139
Lumbreras Editores
Ejemplos
1. sia?+b?+c=3(ab+ac+cb), halle el equiva-
lente de
a +0? +0? -3abc
la+b+c)Mab+ac+bc) *
Resolución
En la identidad de Gauss
al+b0+c*-3abc=
Igualdades condicionales
a. Sia+b+c=0, se verifican:
. aA+bi+e=-2(ab+bc+ca)
* a +bi4+c*=3abc
. (ab+bc+caY=(ab+(boY+(ca)
Además
(a+ =2lat+b te)
=(a+b+ola?+b*+c?-ab-ac-bc)
o
3(ab+ac+bc)
Entonces
a+bi+e3abc=2(a+b+cMab+ac+bc)
abel (eta peana
2 3 5
ad +b3 +0? -3abc
la+b+cNab+ac+bc)
2. Reduzca la expresión
(x- y +(y-z) +Hz-xP
9(x - y)(y - z)(z - x)
Resolución
Haciendo
Xx-y=m;
y-Z=N,
Z-X=P,
se observa que m+n+p=0.
Luego tendremos
9mnp
Pero si
m+n+p=0
> mens pó=3mnp
de donde
140
(Entire [Ec] Eme
2 5 7
»» Importante
EnR:
ad+b0+c*=3abc
e a+b+c=0 v a=b=c
b. Si al+b?+c2=ab+ac+bc a asb;ceR
> a=b=c
También si
O o abc
como
neN > a=b=c
c. Si al+b2+c2=0 > a=b=c=0,
donde a;b;ce R
Ejemplos
s É.
l. Sia+b+c=0, calcule el equivalente de
2 2 Td
g-Ub+o) +bla+c) +clatO!.
4abc
CAPITULO IV
Resolución
e +b=-=c
Como a+tb+c=0 > ¡arc=-b
bo +C0=-g
Luego se tlene
aa + bb + c(ey?
E 4abc
ae 3abc 3
E" abc 4abó 4
Sean a, b y c números reales tales que
a+bi+c=abr+rac+bc.
Calcule el valor de M.
a? +bc? - abc
—(a+b+cY
Resolución
»» Recuerde
ar+b44+c*=ab+ac+bc
solo se cumple para números
reales cuando a=b=c.
M
5% (a+a+aY (3ay
uz
27
q
DE
. Sean x; y números reales tales que
A4+y =2x-4y-5.
¿Cuál es el valor de (3x+2y-1)?
Resolución
Del dato se tiene
2 4y=2x-4y-5
_Iraa-aa.a are -
Multiplicación algebraica
Transponiendo y agrupando conveniente-
mente:
414 44y44=0
> (1-1 +(y+2)=0
De donde
x-1=0 , y+2=0 > x=l1 » y=-2
Luego, lo pedido es
3(1)+2(-2) -1=3-4-1=-2,
Calcule el valor de M=100*-99*-1.
Resolución
»» Recuerde
a+b+c=0 > a +b?+c=3abc
De la parte pedida
M=(100)+(-99)*+(-1)
se observa 100+(-99)+(-1)=0
Luego se tendrá
M=(100)'+(-99'+(-1)"=3(100)-99I-1)
. M=3-99-100=29 700
. Six+y+z=3, simplifique la expresión
Ay GR
Ax DY 1-0
Resolución
Del dato: x+y+z=3=1+1+1
Transponiendo y agrupando conveniente-
mente se tiene:
Q-D+0-D+(-D)=0
Luego lo pedido
AD y +
MODE =D
3(x-— =
> q 2D _3
2(x- z-) 2
141
6. Sim+n+p=0, calcule el valor de
m+n + p?
mnp(mn+ np +mp)
Resolución
De la identidad condicional
3
mino mMind+p? mMin+p
5 Ñ 2 3
mMin+p? -2(mn+mp+np) 3mnp
5 _ 2 3
mé +5 + p? 0
mnp(mn + np + mp)
7. Halle el equivalente de
A+ e a +bi4e?
5 atbie? >
si a; b;c son reales no nulos, tales que
a +b?+c=ab+ac+bc.
Resolución
Sia?+b%+c=ab+ac+bc a;b;ceR.
De la identidad se tiene: a=b=c.
Luego lo buscado es equivalente a
Pradra adrara 30.30
5 dada 5g
Ez
5
8. Halle el valor numérico de la expresión
2x+3y "+42?
si x; y; z son reales que cumplen lo siguiente:
+y +2y-4x+5+92?=0
Resolución
El dato es equivalente a
(2 —ax+4)+(y+2y+1)+922=0
=(x- 2 '+(y+1)?+92?=0
5 Xx-2=0 a y+l=0, z=0,
de donde x=2, y=-1, 2=0,
142
Reemplazando, lo buscado es
2(2)+3(-1)?+4(0)=7
9. Sabiendo que
x+y=-z; (D
xy+xz+yz=1; 0)
4 y zi
reduzca —+—+—,
yz XxzZ
xy
Resolución
Lo pedido es equivalente a
yz
xyz
pero de (I) x+y+z=0,
> yz yz (xy +xz+y2)
Ay
=-5(1y+x2+y2)
xyz
De (II) se concluye
4 yá 2
xyz
=-5
10. Sea (a; b; c) c R*. Si se cumple que
ab*+b%?+a?=abc(a+b+c),
calcule el valor de
3
M= la + b) S
(2a-c)
Resolución
Como
(ab? +(bcY+(acY=(abXac)+(abXbc)Hocke)
entonces
ab=bc=ac > a=b=c
Luego
y E
M=V2 =2/2
> :
| Biocraría
Joseph-Louis de Lagrange
Nació en Turín el 25 de enero de 1736 y murió en París el 10 de
abril de 1813. Fue un matemático y astrónomo italiano de ascen-
dencia francesa que destacó por sus excepcionales contribucio-
nes a la teoría de los números y al análisis de los cuerpos celestes.
Su más importante libro fue Mécanique analytique (Mecánica ana-
lítica), base para todo estudio posterior en ese campo.
Lagrange tuvo una infancia con dificultades económicas, lo que,
en sus palabras, lo ayudó en su futura carrera. A temprana edad
disfrutó entre sus lecturas de una memoria escrita por el astróno-
mo inglés Edmond Halley, que le hizo descubrir el interés por las
matemáticas.
Alos 19 años ya se desempeñaba como profesor en la Escuela Real de Artillería de Turín. Por
aquel entonces, le envió una carta a Leonhard Euler con la resolución de un problema que
llevaba cincuenta años planteado, llamado problema isoperimétrico. Para solucionarlo empleó
Una nueva técnica creada por él mismo: el cálculo de variaciones. Euler comprobó la correc-
ción del resultado y la validez del método, instándolo a que termine completamente su trabajo,
como se exige cuando se inventa un nuevo sistema de cálculo. El hecho anecdótico es que el
propio Euler ya tenía avanzada la solución del mismo problema y prefirió que el joven matemá-
tico tuviera más tiempo y confianza para concluir su estudio.
En 1758, con la ayuda de sus discípulos, logra publicar en la Academia de Turín los cinco
volúmenes de su primera obra Miscellanea Taurinensia, donde se encuentran importantes in-
vestigaciones sobre diversos temas como la teoría de la propagación del sonido, la ecuación
diferencial general para el movimiento, el cálculo de variaciones aplicado a diferentes casos, el
cálculo integral, etc.
Hacia 1761, Lagrange era reconocido como uno de los más grandes matemáticos vivos, pero
su salud se empieza a resquebrajar debido a la inmensa cantidad de trabajo a que se sometió
durante esos últimos años. En adelante, sufrirá de constantes periodos de melancolía severa.
Tras obtener el premio de la Academia Francesa de Ciencias en 1764 por un trabajo sobre la
libración lunar (o las oscilaciones que presenta el globo lunar), en 1766 es llamado por el rey
de Alemania Federico II el Grande para que se integre a su heslo De este modo, alicede a Euler
en el cargo y da inicio a una etapa muy fructífera que dura veinte años. Durante este tiempo no
143
144
alrededor de doscientos artículos para las Academias E Ciencias de Turín,
solo colabora sen ino que puede redactar su obra fundamental Mécanique analytique, E
Alemania y Francia, cd, de la mecánica clásica de Newton. Respecto a este tema, comentó
plasma una reformulac! rama de la matemática pura que equivalía a una geometría de cuatro
que la Sian rl somo a las tres coordenadas del punto en el espacio. Sobre esta
cala als sir William Rowan Hamilton dijo que *[...] solo podría describirse
como un poema científico”. o
Debido a su personalidad tranquila y sencilla siempre estuvo lejos de las intrigas en torno aj
rey Federico, y a la muerte de este, en 1886, decidió aceptar la invitación del rey Luis XVI para
integrarse a la corte francesa. Fue recibido con Honores y gran pApecianva por sus colegas,
pero una vez en Francia, quizá desgastado por su intensa labor científica, suo un fuerte ata-
que de melancolía que lo aleja de las matemáticas al menos por dos Anos, tiempo en el que ni
siquiera atína a abrir la copia impresa de Mécanique analytique que llevó desde Alemania. Solo
la Revolución francesa logra sacarlo de ese estado y es propuesto para presidir la comisión
encargada de reformular los pesos y las medidas, adoptándose a sugerencia suya el sistema
de subdivisión decimal.
En 1794 fue nombrado profesor e invitado a realizar una serie de conferencias en la École
Centrale des Travaux Publics (más tarde rebautizada como École Polytechnique), que fueron
recogidas en los libros Théorie des fonctions analytiques (Teoría de las funciones analíticas), de
1797, y Legons sur le calcul des fonctions (Lecciones sobre el cálculo de funciones), de 1804.
En estas obras, los primeros libros de texto de funciones analíticas, trató de sustituir la base
algebraica por la existente y problemática base analítica de cálculo.
En sus últimos años, Napoleón lo distingue haciéndolo senador y en 1810 comienza la revisión
completa de Mécanique analytique para una nueva edición, trabajo que no llega a completar y
que sale al público después de su muerte, en 1813.
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_de_Lagrange
http://www.astrocosmo.cl/biografi/b-¡_lagrange.htm
http://www.britannica.com/EBchecked/topic/ 327871/Joseph-Louis-Lagrange-comte-de-lEmpire
BIOGRAFÍA »» pe
Problemas
RESUELTOS
> HMESUELIOS
Problema 1
Simplifique la expresión E.
-(3x- + (+3) -10
Ñ 10x?
Resolución
Utilizando (a +b)!=a?+2ab+b?
se tiene:
pS -23x0)+ 1 +12+2x-3+32-10
10x?
pdÓ 6x4 dx + 6x4 9 — 10
10x?
10?
0x?
Problema 2
Calcule a+b si se sabe que
a-b=V8 y ab=7.
Resolución
Como se conocen a-b y ab, para calcular a+b
lo más acertado sería utilizar la identidad de
Legendre
(a+bY-(a-b)=4ab.
Reemplazando en los datos
(a+bY (48) =4-7
> (a+b)=28+8
“- (a+b)=36
De donde
a+b=6 y a+b=-6
Problema 3
Indique el valor simplificado de
salt +3) l8r? 3)
(6x +4) — (6x - 4)?
Resolución
Utilizando la identidad de Legendre
se tiene que
2 2 >
5-81 +3) -(8x?-3) _ 4-8x?-3
(6x +4 -(6x-4 A :Bx:4
Por lo tanto, S simplificado equivale a x.
Problema 4
Reduzca la expresión
Ya DG +DVD >
Resolución
»» Recuerde
(a+b)la—b)=a?-b?
(-DE+D64+1)0 +1)
(-1)(é+1)
Le- DG*+1)
AA E
x*-1
Luego se tendrá
YE AN
145
o» |
A ; Usando el dato: x?+9x=2
Problema
Calcule el valor de M.
(Ya +42) -5
. S=2+18+2-10=12
YE : Problema 7
B |
: : Six?+3x=-3, calcule el valor de 4, _1
Resolución : x+ laz
Resolución
»» Nota
(a+b)'=a*+b*+3ab(a+b) Sea M lo pedido, entonces:
|
Luego se tiene que x+l x+2 (x+D(x+2)
dad ]
m-Na+r/)_-6 421243041
Ya +3 > M= A
Ya +2 j x24+3x+2 x2+3x+2
ds a
y Ya De 3Ya -VI(Ya + Y3)-6 Del dato: 4+3x=-3
Ya +32 . mo 3H. 2
4 -3+2 -1
442 +3Y4 -2(Y4 +Y/2)- 6
MEA
: Problema 8
348 Ya) a : Sean a y b dos números reales tales que
o e li? DA : 3
(Ya+Y2) : a-7=4 y e.
Problema 6 ¿Cuál es el valor de ab?
Si 124+9x=2, ¿cuál es el valor de
(x+6)(2+3)+(x+10)(%-1)?
Resolución
»» Nota
(m-n3=m*-n*-3mn(m -n)
Resolución
»> Nota En el problema
| (+ a)JO+b)=x*+(a+b)x+ab : (a-2) =0*-(2) -4.0 2-3)
: y 4
Sea $ lo pedido, entonces: : A an
S=(x+6)(x+3) + (x+10)(x-1) > U=24-ab:A
E SN : > 4ab=24-64
S=x4+(643)x46:34x%+(10-1)x+10(-1)
> Aab=-40
S=x"4+9x+18+x"+9x-10
; Sita . ab=-10
146
"ARA
CAPÍTULO IV Muktiplicación algebraica
problema 9 - Problema 11
Sean a y b números reales tales que : Si se cumple que
a*+2b*=2a-1. Xx,Y. A
8
Cuá alor de 2a?+b??
¿Cuál es el v calcule el valor de (7) ;
y.
Resolución
Resolución
» Recuerde : Dela condición:
simi+n"+p?=0, con m;n;peR, : ES
solo se cumple si m=n=p=0. : 2y x
: Multiplicando por 2xy se tiene
Para are problema: : e +(2y)"=2x(9y),
a+2b*=2a-1
Ñ ] entonces
Transponiendo y agrupando se tiene 2
-4xy+4y"=0
a*-2a+1+2b?=0 pd
: Luego
2 2 :
(a-1) +2b"=0 E (x-2y)?=0
De donde a=1 a b=0 x-2y=0 > x=2y
2a+b*=2-124+0?%=2 xr 2y e
Por lo tanto, (5) equivale a Es =2=256.
y
Problema 10 :
Dado que x e y son números reales tales que ve- : Problema 12
rifican 92+5y?+1=12xy+2y, ¿cuál es el valor de : Sabiendo que b*=1; bx 1, simplifique
: 3
x+2)
3 3 CA
¡1405
Resolución :
Dela condición: 9x?+5y?+1=12xy+2y ; Resolución
Transponiendo y agrupando convenientemente — : Lo pedido es equivalente a
¿ 5 3
9%-121y+4yY+y-2y + 1=0 Y (ato
Lat
=2
(3x-2*+(y-1)'=0 | O pen
; yE b3=1
de donde x= a Se deduce
bó=b*-b?=1-b?=b?
x+ Y = 2 + 1 =] 3
3 3 3 b*=b “«b=1-b=b
147
además
e-1=0 > (6-D(0*+b+1)=0
Como
bs1 > bi+b+1=0 > bi+1=-b
de donde
3 3 3
E ES - (2) EN
4) Uo) No
Problema 13
. ' +
Teniendo en cuenta n?=n+1; ne R*,
reduzca
TN | ll 4.1 ] 1
K=3 =n+=ln+—l+—.
[+2] ni n)
Resolución
La idea inmediata es buscar diferencia de cua-
drados.
De la condición n?=n+1, se tiene
PS > nas
n n
Luego 1 es reemplazado por n— ze veamos:
n
Problema 14
Sial+b?+c?=3 » ab+ac+bc=2 hall
OI a
C
Resolución
Efectuando y reduciendo términos
se tiene
eely
y
Semeijanta;
Q= 14(a*+0*+c)+22(ab+ac+bc)
Reemplazando datos
Q=14(3)+22(2)
Q=86
Problema 15
Sea Po =0+DG—D02+x+1)(2-x+1)
Halle el valor numérico de P¿ Para
x=v4+V15 - y - 415
Resolución
En el polinomio
pel repeneao NERA
Po =0+DG-D(2+x+1)02-x+1)
o ÓN > e
Multiplicando como se indica
Py
De la condición
(Vas di - Ja 115)
x? =4+/15+4-v15-2 ES
x=8-2(1) > x2=6
Reemplazando: Pyy= 6 Y
16-15
=6?-1=215
-—
problema 16
dare da-x=2%
Ja+x -da-x;x +0.
calcule
resolución
Sea Ja+x-Ja-=x=H
Multiplicando H con la condición
(Va+x- Ja=xMJa+x - Ja- x) =2xH
A q
diferencia de cuadrados
(a+x)-(a-x)=2xH > 2x=2xH
. H=l
Problema 17
Si el grado del polinomio
peleo e)
es 47, determine 19/coef. principal de F,,,.
Resolución
Grado de P¿,=8n+3(n-2)+3:3
Entonces 11n+3=47 > n=4
|
condición
Ahora, reemplazando en
Pr = (9-1) (342 - 1y'(e+2)
Finalmente 'Y91. 3? = "938.3? ='Y31% =3
Problema 18
Determine el grado del producto de multiplicar
alos polinomios
(y .1) Le, o) (2, 3) LA, 4) E
10 multiplicaciones indicadas
Multiplicación algebraica
Resolución
Si asumimos que el polinomio producto es P¿,),
tendremos
Grado [P,,]=12-242?-3+32-4442-5+4...+10%11
=24+124+36+80+...+1100
Desdoblando
=(124+1%+(224+23)+(324+3)+...+ (1024107)
Agrupando
(422434. 10%) (1042? 4...+:10%)
10-11-21 ¡2
as (5)
=5:11:74+552=55(7+55)
=55:62=3410
Problema 19
Con a+2b+3c=1,5x, simplifique
(x-aY +(x-2b)? +(x -30*
2la? + 4b? +90?)
Resolución
Desarrollando los binomios al cuadrado en el
numerador
(e? -2ax+a)+(x?-4bx+4b)+ Lx? -6cx+90c?)
2la? +46? +90?)
Agrupando términos semejantes
3x? -2x(a+2b+3c)+ a? +4b? +9c?
2la? + 4b? + 9c?)
Reemplazando a+2b+3c=1,5x
se obtiene
3% - 3% +a?+4b? +90?
1
2(a? + 4b? +90?) 2
149
Lumbreras Editores
Problema 20
ORO
calcule un valor de
n
(aby
,cona>b.
Resolución
Al tener una sola condición y existir tres incóg-
nitas no queda otra alternativa más que buscar
una relación entre el numerador y denominador
de lo buscado a partir del dato. Esta característi-
Ca nacerá de un trinomio cuadrado perfecto.
Efectuando
a” p”
pr +5=11 multiplicando por (a”b”)
(7)'+(0"=110"-0" sumemos E24b")
(a) 200" +(07)=99"p"
es un trinomio cuadrado perfecto
Extrayendo la raíz cuadrada
(7-6) =90"1"
a”-b"=:3VYa"b"
Ahora, reemplazando en
ab” +3NaMb"”
= =+3
Varo” a”b”
Problema 21
Si x; y; z son tres números reales que verifican
la igualdad
A+y+2414=2(x+2y+32),
XyZ
Aryiyzd
proporcione el valor de
150
:- ejemplo, si agrupamos términos Duscang '
10
Como la condicional establece
reales, su análisis podrá darse
mación de cuadrados perfe
Que XYz Sn
duscando la for.
Ctos. En NUeSt,
a
mio cuadrado Perfecto
Resolución
formación de un trino
tendremos:
(-2x+1)+(7-4y+4)+ (22 6249)20
+22 +(2-3)'=0 |
Llegando a esta forma será fácil interpretar que |
1]
la única razón de que esta igualdad se justifique
(en R) será cuando
x-1=0 1» y-2=0 a z-3=0
x=l a y=21 z2=3
Finalmente, reemplazamos en
xyz e (0(2)(3) 1
Arya Pri 6
Problema 22
Para a:bx0,
simplifique la expresión M.
M= [ta+o? +(a-o*T -ala?-0Y
(a 03) la? +0)
Resolución
» , bus
Operemos y ordenemos convenientemente
|
cando tener la identidad conocida. |
Así, por ejemplo, en
2
(a+b?+(a-or =2la?+0*)
1.2 identidad de Legendre
Pero en
(a 03) (a +03) =-4a%0*
2.2 identidad de
Legendre con signo
negativo
——
Multiplicación algebraica
CAPITULO IV
Luego, al reemplazar en M tenemos:
eso,
(ala? +01) ala? - 0?)
M==_4a vb?
ae identidad de de Lege ndre
> M= 4d?
dato 4
M==33*7
b ab
Problema 23
Al reducir la expresión
[(a+20)*-(a-2b)'+a*+ 16b?] -(4b-aY”,
indique lo que se obtiene.
Resolución
Como
(a+207 -(a-20Y =a(2b)= Bab,
2% identidad de Legendre
entonces reemplazamos en la expresión inicial
[8ab+a?+160*)-(40-a?= (a+40Y -(40-aY
Ar 23 identidad de Legendre
=4(4b)a=16ab
»
Problema 24 j
/
Con (x+2+y+2)"+(x-2+y-2)'=82U4)),
reduzca la expresión S.
MESS
Sy x-2 x+y)'
$S=
Resolución
Como la condición es única pero existen tres
variables, reduzcamos a fin de visualizar alguna
relación.
(d+y +22)" (0+y> -22)= oil
¡e Identidad de Legendre
proviene de
(u+y +22) -(x+y- -21)
Luego
(x+y-22).=0 > x+y-22=
obteniéndose
x-y=2(2-y)
y-2=2-X
x+y=2z
Al reemplazar las equivalencias se tiene
o s=(2 + DAD =8
Problema 25
Con X+y=1 A xi4yó=2,
calcule el valor de (2-9) -x*-28y y.
Resolución
Se quiere conocer
(2) e +2vy!ty)
> Y e
2.* identidad de Legendre
Por otra parte, elevando al cuadrado la primera
condición
Ay 2ay=1 > 2xy=-1
2
Finalmente: -44y=-2(2%y?)=2
Por lo tanto, lo pedido resulta ser 2.
151
Lumbreras Editores
Problema 26
Para x% 0, simplifique la expresión E.
4 3y*
¡AA A A
AO:
Resolución
En el denominador, desarrollemos los binomios:
Ly) = +3 ly +30 + y
y <a +30!
Sumemos
Cayey) 2 +60
=2x(12+3y!)
Por lo tanto
W 1? +3y0 1
A O
(er y?) + (xy?) 2x(x*+3y*) 2x
Problema 27
Cumpliéndose que
ab(a+b)=1; 0)
ar), (1D
calcule el valor de aba? +b?).
Resolución
Como a'b+ab?*=1, de la condición (N),
elevemos al cubo
ato* + ado +30 (4% + ab?) =1
——
nu
De aquí: ab? = A
2
152
De (1) elevemos al cuadrado
atb? +a?b! +2a*b* =1
A
cerda
> de? la? +b?)=2
Problema 28
Sea
An
Obtenga el valor de *+bx+a.
Resolución
En la condición, elevemos al cubo haciendo
Entonces
A
dá
m n
Aquí, elevemos al cubo y desarrollemos en su
segundo miembro
x= (24 42)+(-9- 43 )+3mmtmen)
pero
RON
Luego: x? =-a+3(-2)x
- +bx+a=0
CAPÍTULO IV
Multiplicación algebraica
Problema 29
Simplifique la expresión
Am? nm +m*n? +n0)-3m8n (m+nXm-n).
Resolución
Operemos en el radicando
(m-n)lm'+mén?+n*] -3m8n (m?-n?)
generará una diferencia de cubos
(m3) -(n) -3m3n(m?-n?)= (m2-n?)
es el desarrollo de un binomio al cubo
Luego, al reemplazar se obtiene
Im? Y =m?—-n?
Problema 30
Sia'=b*; ab, halle el valor de =P >.
(a—b)
Resolución
De la condición a*-b*=0,
(a-b)la?+ab+0b?] =0
Esta igualdad se verificaría si
a-b=0 > a=b v a?+ab+b?=0
Por dato, esta solución Adicionando - 3ab:
queda denegada a?-2ab+b?*=-3ab
(a-b)?=-3ab
Comoaxb > (a-b)= -3ab
Al reemplazar en S se obtiene:
ab ab 1
S= = =
la-b? -3(ab) 3
Problema 31
Conxri+y4+2323, reduzca la expresión N.
N= (x+y+2) -2
IA Lota e o AN
94 (13 + y? +23) (a+ yly+z)lz+x
Resolución
|
»» Recuerde
(r+yr za sad y 23 y ly + 2)l2+x)
—
Entonces, si llamamos (x+yMx+z)(2+y)=4A,
se tiene (x+y+2)%=3+34,
que al sustituir en lo requerido
3+34-2_ 1434 _1
943.4 9(1+3A) 9
1
. N=>
9
Problema 32
Conabc=0 a a+b+c=1, halle el valor de
_arbire aret¿e
K
2 3
Resolución
Como a+b+c=1, elevemos al cuadrado
a?+b?+c?+2(ab+bc+ca)=1
Llamemos «a a: ab+bc+ca,
luego se tiene a?+b*+c*=1-2a..
Asimismo, elevando al cubo a+b+c=1
a+bi+ d+ 3 (a+ b+c)lab+bc+cal-3abc =1,
1 a 0
Luego se tiene a*+b9+c*=1-3a.
Reemplazando en K se tiene
A
2 3 23 6
1
70
153
Lumbreras Editores
¿q O
Problema 33
Con a*+b*4+c*=0,
reduzca la expresión E.
y 3abc
Resolución
Planteando la identidad gaussiana
a +b + 3abec=la+b+c)x
Ó
donde
x=a*+b*+c?-ab-ac-bc
De aquí: 3abc=(a+b+c)(=x)
Reemplazando en la expresión, se tiene
E (a+b+c)M-=x)
E= 2 p2_2
ab+bc+ca—-a*-b*“-c
-X
=a+b+c
. E=a+b+c
Problema 34
Sabiendo que
a+b+c=x a ab+bc+ca=x",
exprese
T=(x+0)+(x+b+(x+c)-3abc
en términos de x.
Resolución
Al desarrollar la expresión
T=3+3(a +b+chd2+3(a+bt402)x+
+(ad+b34+c3)-3abc
De (1) al cuadrado:
2,p2
ac+b + +2(ab+bc+ca)= y?
Xx
> A4biet= e
154
De modo que la expresión queda 'educida,
T=3+300 +3) x4 07493 des
TS E E
Pero
+0 +c-3abc=(a+b+c)
———_
Xx
+-3abe
ye
Ob +acrbele-ap
Xx
Entonces
T=3+(-23)
T=é
Problema 35
Se cumple que
x+b+c=3a 0)
y+c+a=3b (1)
z+a+b=3c, abc +0 (110
donde a; b; c son diferentes.
Determine el valor de
w Arya 3ryz
ala? - bc)+ ble? - ca) + c(c? - ab)
con abc 0.
Resolución
Sumando las condiciones (1), (11) y (ID)
x+y+2z+2(a+b+c)=3(a+b+c)
Xx+y+z=a+b+c
Usando la identidad de Gauss en
a Arya 3xyz
a +b3 +03 -3abc
erecta
= A, ARE AA a
larordlal+b?+c-ab-bc-0
>
CAPÍTULO Iv Multiplicación algebraica
ty +z2-xy-yz-2x) | Problema 37
> 5740 +0 -ab=bc-ca) : Si se cumple que
: 2 2
2 2 Ss 2 : a a b A
(x-y) +(y-2) +(z-x) : (Elio
>» $= 2 3 É
o + (bc) + (ca)
(a-b) determine el valor de
De : 2
(-am : x-y=4(a-b) a
(-( : y-z=4(b-c) -
(m-o : z-x=4(c-a) A
Reemplazando en S se obtiene
2 2 2 > Resolución
¿lsta- 01 ¿14to- ON stc al =16 : Usando la identidad condicional se tiene
(a-bY +(b-cY +(c-a) E d =P > 5
a a b ac ab
(de) Elda) 1723
c c
Problema 36
Operando
Siel polinomio Pg, y, ¿= ty +2) 2 -y? 2? > 2
21 ¿32,32 3/2
101,1 0) et We)
seanula en |; =; 2),
Ñ abe De donde
, 243 -b?-e 2 2
reduzca la expresión S=7 7 2> (42) -242+(42) 20
: b Cc Cc
Resolución é TCP
Como Pe... =
(x y; z) 20y+yz+Zx), : $ E 2 ' a h
>| 32 |=0 > ==>
por condición : b Nc bc
e 11 a” des 2)- y Entonces
¿E) ab bc ca go? PY
de donde a+b+c=0. ¿> see E: =1?=1
Por identidad condicional A p
++ d3abe
Ahora acondicionemos la expresión Problema 38
o app
sd (a +0%4+0%)_ 3a?-3abc iS (1
ab+bc+ca ab+bc+ca : además
: 2 2 2
. e. dalat- be) a : la-b) +H(b-c+lc-a) __-6
o A =-3a : abc a+b+c' (1
0 a : calcule at+bé+cÉ.
155
lo
Lumbreras Editores ;
Resolución
De la condición (II) se tiene
Ala +b?+ e - ab-ac-bc) p. 8
ama +0"0+0 7200 AR E
a+b+c
abc
Luego
(aro+rolal «bt +0? -ab-be-ca)= Sabe
ad +034+c3-3abc (por la identidad de Gauss)
de donde a+b*+c*=0.
Haciendo que
a=x, bi=y; =z
y reestructurando en función a estas letras.
xy i+zi=8 (D
x+y+z=0 (1
Ary+2=N
Recordemos que según la condicional (II)
(2+y+ 2) =a(xi+yt+21)
> (+) +2) =4-8=41
. A4y+2=4
Problema 39
Si el polinomio
Po=ll+min + mi t+n!)
se anula para x=-m-n, halle el valor de A.
Resolución
Dex=-m-n > x+m+n=0
Recordando el producto notable condicional:
Six+m+n=0
> (temen (mien!)
> Point em+nt) o
5 Pomo 02D +m +1) 0
0
h=-2
Problema 40
Sabiendo que
ab-1= YH 0(Y10-1) » (+61 $21
halle el valor de
K=%Y-7+(a+b) -(a-b)!.
Resolución
Usamos identidades de Legendre:
K=Y-7+8abla? + b?)
De las condiciones
ab=1-Y10+Y100 a a?+b*=1+3%
> abla? +0?)=(1+Y10)(1-Y10 +3100)=
suma de cubos
=1+10=11
> K=Y-7+8(1 =Y81
K=3
Problema 41
Si x+y+z=1l;
A4y+2=d,
calcule
l l l
E= 4 + .
XA+YZ Y+xXZ Z2+MP
Resolución
Analizando por partes
x+yz=x o l+yz=v(a+y+2)+y7
+ yezlarya= (a+ y)(0+s)
Análogamente
yaxz= (yv) +2)
2+xy=(2+1)(2+y)
SM
a
Multiplicación algebraica
Luego tenemos
1
1
E= (x+y)x+ 2 Vid Da (2+x)(2+ y)
(y+z)ele+ 2) (+ y)
dá (+ y) + 2) +0)
2x+y+2) 2:1
CIR (ay) 0
E=
Cálculo de (x+y+z)(2+x)
(yr => A
> 4+3(+yYQ0+2)(y+2)=1
> (+yNA+DO+z2)=-1 (ID
Reemplazando (II) en (1)
2
=L=-2
a -1
Problema 42
Partiendo de
ya (x-y 1)";
y -2"=4y-2-0);
dix =4(2-x-1)7
calcule el valor de R.
(x+ yy + z)(z+x)
R=
Resolución
Analizando por partes
ly =A(x-y-1y. 1_1_ 4
d pa ar” y x-y-1
+ Y063-)=t)
> 0-0 -(y-x)=4xy
yy) 4 4xy
y
x-y= -2ay+y + 4xy=x +2xy+y*
> (+y =(x-y)
y
Qty=(x-y + y) =4 y?
> (Mty i=i-y (1
Análogamente, de las otras dos condiciones te-
nemos
W+2)?=y-2* (1D)
(+= (11D)
Sumando (1) +(11) +(111)
Maya a+) =0
> Ari 04
Reemplazando
e 3 3 3
R= 3(x + y) (y +2) (z+x) -
(x+y)(y + z)(Z+x)
Problema 43
Halle el valor numérico de
Z 2 2
E=(x+y)5-(x-y)?,
cuando
bp?
x= 1,54 +0,5-7;
2
a
=1,5b+0,557;
y + 6
ab=32.
Resolución
Sean
157
Lumbreras Editores
nn. ——___
1 ESSE +13 ] Problema 44
A ab Sean (a;b;c) cR.
(a+bY : a.
pal x+y= a E Calcule Pe si se cumple que
Análogamente : a*+2b"=2a(b+c)-20?.
(b-aY? ]
2 2ab : Resolución |
Multiplicamos por 2 la condición
Reemplazando 2a*+4b?-4ab-4ac+4c*=0
2 2
E= [ezo*] A [b=al Pp : Agrupando convenientemente se tiene
2ab 2ab :
: (a? + 46? -4ab) + (a? - 4ac +40?) =0
_la+b (b-a)? Ó EA
e ea] :
(YzabY (Y2ab) : (a-2b)+(a-2c)=0
Reemplazando el valor de ab=32 E PL
g- (aro? (b-a?_4ab_32 : Luego, lo pedido es
16 16 16 4 : e a my) y
. E=8 bic bc bc
158
Test 4
! sia+b=5 A ab=2,
24p?
¿cuál es el valor de a*+b*?
B) 21 C) 22
E) 24
A) 20
D) 23
2 Pa
- Aldesarrollar (2x?+1)"+(3x? —x)' se obtuvo
art+ox+od+dx+e.
¿Cuál es el valor de a+b?
A) 2 B) 5
D) 9
O 7
E) 13
. ¿Cuál es el valor de 2M+3N?, donde
M=(15+43) +(45-43);
N=(/8 +42) -(48 -/2).
A) 80
D) 54
B) 96 C) 63
E) 37
» Simplifique la expresión
3(43+1)(Y9 -1)+(45 - /2)(425 + /2)-
A) 5
D) 2
B) 4 0) 3
E) 9
" ¿Cuál es el equivalente simplificado de M?
M=V3l22 + 1)(24+1)+1.
A) 1] B) 2
D) 4
Cc) 3
E) 5
6.
10.
Indique el valor de verdad con respecto a
cada proposición.
LL (a+b)=a*+b?
IL. a(bc)=(ab)ac)
IL. (a+b)'=a*+b(3a?+3ab+b?)
A) FFF
D) FVV
B) FFV C) VVV
E) VFF
Si se cumple que x+4=5; xy=2;
calcule el valor de (x-y).
A) -1 B) 45 0) Y14
D) 2 E) v19
2p
¿Cuál es el valor de == si se cumple que
(m+p)+(m-p)=4mp?
A) 1 B) 2 0) 3
D) 4 E) 5
Siad+bó=7 » dbrabi==,
¿cuál es el valor de (a+b)*
A) 10 B) 100 C) 1000
D) 64 E) 729
Reduzca la expresión
Y (+ y) + (+ yd? + y? — a).
A) x+y B) x-y
D) y
O x
E) xy
159
a
Lumbreras Editores
A
11. Si se tiene que a+b+c=0, ¿cuál es el equiva- : 12. Sean a; b; c números reales tales que
: 24 5p24002=
dro la+ br ] ar+5b*+9c“=4ab+6bc.
lente de —————_—— - 30 ? : ab 6
ab ¿Cuál es el valor de 2+24%,
b c q
D) 2c E) 1 : D) 14 E) 9
Cuaves
La PA lso UN La WA
(2/0 (4/É L6/B 18 /e 110/A 112/8
160
Nivel |
1. Simplifique la expresión
(x+1? ++ 2) +2x
1x2) +14x
A) 3x+1 B) 2 0)
D) 1 E)
2. Sean a; b; c números reales tales que
bra_c
b+c a
¿Cuál es el valor de a+b+c si asc?
A) 1 B) a (0)
Dc E)
3. Sise cumple que 2,9% _ 6.
b a
3 3
¿cuál es el valor de a 216" ?
a? +27
A 1 BO O
D) 1 E)
2
4 Si atte y bel
b co”
¿cuál es el valor de abc?
m0 B) -1 0)
D) 2 E)
£ 5
Y Si X= vV3+ 3+43+...+ 43 ,
> 'n radicales o
E
2
0
b
0
1/2
“cuál es el valor de X3p — X39 — Óx29 ?
o
Problemas
PROPUESTOS
A) 9 B) 27 C) 18
D 3 E) 6
Sean a; b e N, tal que 4(a+b)+(a-b)=(a+b)?.
Calcule el valor de a+a?+a*+0?24+b1+b*,
A) 42
D) 142
B) 36 C) 126
E) 150
Sib=ka a a?+b2=c*, ¿cuál es el valor de
eee ?
e? a? e? :
A) k? B) k?-1 O ?+1
D k E) 1
(ax + D(by +1)
(ax -D(by -1)
Considere 1 +abxy=0.
Calcule el valor de
A) 1 B) 0 O) -1
p) 2 EE
a
Si se cumplen las siguientes condiciones:
Lo (x-1)A=x*-1, xxl
Il. (x+2)B=x"+4x+4, x*-2
IL. (é+x+1)C= 9-1, xER
Indique lo correcto.
A) A=B
D) A+1=B
B) B=2C
. Sia+b=4, ¿cuál es el valor numérico de
(a+ DVla—-D+(b+D(b-1) A
7-ab :
AJO B) 1 Cc) 2
D) -1 E) 3
O) B+1=C
E) C+1=B
161
Lumbreras Editores
(A A OOOO A AAA
11. Si Py =4-32+3x-5, ¿cuál es el valor nu-
mérico de P(,) en Y7 +12
A) 1 B) 2 O 3
D) 4 E) -4
12 six=Y2+ 3 +Y2-J3,
además E=x-3x+6, ¿cuál es el valor de
E?41?
A) 50 B) 26 C) 37
D) 17 E) 101
13. Si pá =2, calcule
x
6
el valor numérico de —
x
-2x+5
A) 64 B 0 O 16
D) 9 E) 81
14, ¿Cuál es el valor numérico que toma la ex-
presión
fo =2-10x+24)(2+12x+35)(?+x)
si se cumple que x2+x-1=0?
A) 777 B) 665 00
D) 779 E) 879
15. ¿Qué se puede afirmar de la siguiente expre-
sión?
Vnln+Din+2n+3)+1; ne Z?*,
A) Es un número impar.
B) Es un número par.
C) Es un número primo,
D) Es un número irracional.
E) Siempre es múltiplo de 3.
162
16. ¿Cuál es el valor numérico de Ay
Y eu
_Y3+1 y, ndo
Ya , Ya :
A) 16 B) 12 En
D) 14 E) 8
17. Si se cumple que 4x7+1=2x, ¿cuá] E
or
6
1
numérico de 2 54 ?
Xx
64
A) 16 B) ==
) E O 62
D) 65 E) 5
18. Si a+b=0, simplifique la expresión
a? +b? +3b? +3b
+ Dl
b+1
A) 1 B) 3a O a
D) -a E) -3a
19. Calcule el valor reducido de
ESUUE
15 625
A) 3 B) 24 0 8 l
D) 35 E) 5
20. Sia?+c2=2b(a+c-b) a abcz0,
además a; b; c son números reales,
ab+actDc,
2b*
¿cuál es
el valor numérico de
IV B) : E
E) 4
AS
D) 3
CAPÍTULO IV
Nivel Il
91, Halle el equivalente reducido de
2
(ax+by) +(ay- bx)
A e
(a? +02)(x? + y?)
A) ab B) xy
D) -1
l
1
C) abxy
E) 1
4
== += — 7 det i
22, Si —+ y ermine el valor de
Xx
D) 2
23. Sean x; y números reales tales que
242) +2=2x-2xy,
entonces el valor de E zz,
x“+y
A) -2 B) -1
D) 2
44. Si se verifica que
a+b+c a+b=c b+c-a
a
determine el valor de 32
a +b
2
es
a-b+c
-e? r
25,
26.
27.
28.
Multiplicación algebraica
Calcule el equivalente simplificado de
Win-min+n ln mintntlen!s,
A 0 B) m? O mM?
D) m* E) n?
4 1
Si n+—=1,
n
3
calcule el valor de(ni - +) ;
A) -1 B) 3 Cc) 0
D) -2 E) 2
Si xy+xXZ+xXW+yZ+yw+zw=0, reduzca M.
(22 + 32) + 22) (y? + 02)(2 + w?)
M= > a
(x+y+2+0w)
A) 1 B) x2%w? O x2-w?
D) y?+2? E) y?-2?
Sabiendo que a; b; c son números reales po-
sitivos que cumplen
error lardrarbos,
a b Cc
simplifique la expresión aror
poa sá aA+birabe”
A) 1 B) 3 C) 9
1 1
D) - DES
) 9 27
29.
Siri-+1=0, calcule el valor de a,
E
A) i B) -2i 00
D) 7 E) -7
163
Lumbreras Editores
30. A partir de
31.
92.
164
Y,
LL x+y+z=l;
1 2+y42*29;
mM dy,
4
determine el valor de ——q——7 :
xs yo+z
l 2 4
A = B= O =
) 33 ) 33 ) 33
16 64
LY >
D) 33 ) 33
Sean a, b y c números reales que verlfican
las igualdades
L at+bi+c*=98;
IL (aby +(ac)+(bc)*=49;
IL. abr+ac+bc=-7.
Determine el valor de £,
larb-c + brea + era py
Es —
abc
A) -24 B) -12 O -6
D) 8 E) 9
Sia tbc 0,
arte
reduzca la expresión q.
Abit abe
A) ar+h+c
B) abracribe
C) abr
DY Prmétre
E) )
Sean a, dh y tres números reales que cum»
plen la Igualdad abc Rabe, y además
ayy cr,
2 q
(ant 1)
Calcule e yalor de ,,
TS
(1
A —
A) a B) b* DA
D) abc E) 1
3
34. Simplifique
(y-x)H2-xd+(p-x)+q (+21) +2+20+(p42x),
24 a
si
Cyril
A) 0
D) x?
B) 5 0) 25
E) -25
35. Basándose en las sigulentes condiciones
E
=10(+y),
IL ye +y%,
calcule el valor de —7 : 3"
ya
A) 1 B) -1 O3
3 3
Dz E
) 3 2
ule el valor
36. SI cumple que a+b+c=0, calc
reducido de
y E a A
la bere ) Matt
at e
>
¿ APÍTULO IV Multiplicación algebraica
g7. De acuerdo Con las condiciones A) 1 B) 1 0 1
y mand+p=16; 2
IL mn+np+pm=-6; : Do 1 Dl
mm. mnp=4, :
calcule el valor de : 41. SiX*+1=0 a xx-1, calcule el valor de
minentp+pimimip+núm +p'n. : pe y G-y
Considere (m+n+Py!<0. : x? x
: A) 2 B) 0 C) 1
A) 64 B) -56 C) 192 : D) -1 E) -2
D) 128 E) 256 bob
42, Si AE A a+c>1, determine el valor de
88, Dado el conjunto (a, b, c, x, y, 7) CR, sise :
verifica : E A
(a+b+c)?=3[ab+ac+bc-P-y?-2?, : b c a
calcule el valor de m3 B) 1 O 13
E ,
3,,3,,3,93 a +b"+c : D) 2 E O
AY AZ A ——— EAS
a
43. Simplifique la expresión
A) 0 B) 1 O 3 E (a-bY y (b-cY (c-aY
D) 9 E) 27abc : (b-cMc—-a) (c-aMa-b) (a-bMb-c)'
: A) 1 B) a+b+c C)O0'
39. Sabiendo que : D) abc E) 3
Lo d+y+22=5,6; :
ly : 44, Halle el equivalente reducido de
=-9: : 2
ll xy2=-2 . ey y 2 za AS
determine uno de los valores de : (e -(y+2)x+ yz)(z - y) nee
Pz 2) :
A : A) 9 B) 4 O) 25
: D) 2 E) 27.
de B) -6 C) -2 e
D) 4 E) 2 45. Si a*+bc+bd+cd=0, calcule el valor de
(a+b)Ma+c)Xa+d)
4. Sia+b+c=1, halle el valor de S. (c+b)Mb+dYc+d)
Sa I-babe o AD 1 B) -2 O 1
Adalat) D) 2 EyoO
165
ls
Lumbreras Editores
46. A ds dE
, Apa: A
E ab la+bY -(a-bY
determine el valor de M.
M=4ab+3(a?+b?)-2(a?+0*)+(a-b)*
A 0 B) 2 C) -1
D) 1 E) 4
47. Sia+Yac =b+Vbc, además ax*b »
abc % 0, calcule el valor de S.
q O
Ybc Jac Jab
48. Sabiendo que se cumple
alc+b%a+c*b
12 = abc;
2,2
mn? encata - ape,
calcule el valor de
la+bY ¿+ ¿ral
ab bc ac
3 2
A) 2 B) 24 a) ɣ
4 2 ) ) 3
D) 36 E) 32
y 2
49, si E2 Z
——4 mz 21,
z-y (x+y)(z-y)
halle el valor de
2 2 2
aa.
y z x
166
50.
51.
52.
53.
54,
.*
A) 0 B) 3 O) 1
D) -1 E) 1
Sia+b=Y3 A 2 0=%2, determine ey
de 4ab(a?+30*)(b*+3a?). j
D) 10 E) 16
Sia+b+c=a?+b?40?=1,
++ aa
O E
calcule el valor de AA ]
a“ +b*+c* -4abc
A) O B) 2 O) -1
D) 1 E) -2
.x+l 1
Si — =-— , calcule el valor de L.
x-l y
E E
(+ yy (1+2)(1+ y?)
2 3
A) 2 B) 5 (0) 7]
5 2
D) z E) 3
Siendo a+b+c=0, halle el equivalente de.
_ la? +1? +02)(2a* y - 02)
M ?
arboles e*
A) a B) -2a de
D) -a E) 3a
Halle el valor numérico del polinomio
Ey =x Gx +90,
para x= Y 7-46 + YY +J6 ?
gn
A) 28 B) 14M
E) 16
D) 18
DA y
7
55, Reduzca la expresión 7.
f- yla? e DAarb-oY a-b+cY Ab+c-aY
¡dere a+b+c=2p, además p > O.
Cons
AP B) 2p O) 4p
p) 0-0) E) 2(p-b)
1 qe
56, Si 037 tant
calcule el valor de mar.
A) 2 B) -1 00
sd E) -2
57. Reduzca la expresión M.
(x2+ 43) +2(x* -3)+(x? -43)
g *
E) x7
Ax
D) x?
B) 1
2 2
(++) 2x2 Dela? +1)
58,
59,
60.
A) 4
Multiplicación algebraica
Dadas las siguientes condiciones
L a+bi+c=2;
IL (a+b+0(+ab+ac+bc)=32,
calcule el valor de a+b+c.
A 4
D) Y32
B) 16 C) 64
E) 2
Siendo ab = Y100 - VIO +1; a+b-1=YO0,
calcule el valor de 3ab(a+b).
B) 16 O) 33
D) Y32 E) 2
Sabiendo que a+4b+9c=0, calcule el equi-
valente reducido de S.
la-2b* (20-30? (3c-aY
SO A
S
ab bc ac
A) abc B) -36 C) 14
D) -14 E) a+b+c
167
CLaves
Problemas propuestos
NIVEL |
2/5
19/É
113/4
114/p
Ls/a Lo /D
W/c
1/0
l2/e l6/e
Ls /B
La /B
NIVEL il
53/É
[54 /
45/0
l87/p (5/8
D
37
(39/8
57
a
B
[49 /
(41/p
(42/A
(43/É
A
29
2/E
2/a (81/A
(82/4
_—e
24/B
EJES
_—
25/B
2/0 (4/7
/o (s/g
168
Capítulo
División algebraica
de polinomios
CAPÍTULO V
DIVISIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
Objetivos
+ Aplicar la identidad fundamental de la división en la búsqueda de residuos.
+ Aplicar la regla de Ruffini y el método de Horner para dividir polinomios.
+ Calcular residuos de manera inmediata sin efectuar la división.
» Hallar la expansión aproximada de una expresión mediante su equivalente polinomial.
Introducción
La división algebraica de polinomios se origina con la división entera de números naturales; como se
verá, hay una relación entre las propiedades de ambas divisiones.
Se debe tener presente que los matemáticos Guillermo Horner y Paolo Ruffini fueron quienes desarrolla-
ron y esquematizaron los métodos para efectuar dicha operación con los polinomios.
La división de polinomios tiene múltiples aplicaciones, por ejemplo:
I.. En la obtención de los factores de un polinomio, mediante los divisores binómicos.
II. En la resolución de ecuaciones polinomiales, mediante la aproximación (aplicación de la regla de
Ruffini).
lI1. En el desarrollo de las series de potencias como:
P¿¿=4p +4 "7 a) ?4...44,)
que mediante divisiones sucesivas, por la regla de Ruffini, es posible escribirlas de la forma:
Py =by(x— 09 "+b (0-0) by 097748... +,
que en aritmética se conoce como el cambio de base.
Las operaciones algebraicas de polinomios son análogas a las operaciones de los números naturales.
De este modo, vemos que la adición y multiplicación de números naturales generan números natu-
rales; en cambio, la sustracción y la división de los números naturales no siempre generan números
naturales. Del mismo modo, en la división de polinomios, las operaciones de adición, sustracción y
multiplicación de polinomios han generado siempre otros polinomios llamados suma, diferencia o .
producto, respectivamente. Es decir, dentro de los polinomios son siempre posibles estas tres opera-
ciones enteras; sin embargo, en dos polinomios Py) y Rh, ho siempre será posible hallar otro polinomio
9%.) que multiplicado por hy,, genere Pz):
171
Lumbreras Editores
(0 (63) , m
1, l S p y p e
Pu =Mw4w
inomi siempre existe otro polinomio P¿! tal cul
Como es fácil darse cuenta, para Un polinomio P(,) NO pl po (o tal que P, Poe,
salvo que P(,) Sea una constante no nula. |
Para resolver el problema de la división algebraica de polinomios, se ha procedido de manera análoga
a la división entera de números naturales, agregando la definición de residuo. .
Así, dividimos 425 entre 72
425 172 cociente de los naturales
65 5”
De tal modo - 425=72:5+65
Esta división en el conjunto de los naturales no está bien definida, pero definiéndola como una división
entera con un cierto residuo es posible efectuarla.
Veamos otro ejemplo: dividir 57 entre 429 no es posible en los naturales ni siquiera con residuo, puesto
que 57 es menor que 429; del mismo modo, dividir 2x9+3x-1 entre x”-2x+3 no será posible, puesto
que el grado del primer polinomio (3) es menor que el segundo (7), imposibilitando esta operación.
En el presente capítulo efectuaremos operaciones de división algebraica de polinomios, para ello de-
bemos tener en cuenta los conceptos teóricos que detallamos a continuación.
172
CAPÍTULO v
División algebraica de polinomios
EZ Alebraica de polinomios
DMSIÓN ALGEBRAICA DE POLINOMIOS
DEFINICIÓN
Dados dos polinomios Dx) Y d(., de grados m y
n, donde (m =n), llamados dividendo y divisor.
Dividir D entre d(,) consiste en hallar otros dos
polinomios Q(x) Y Ri llamados cociente y resi-
duo, donde el grado de R(,, es menor que n o
bien R(y=0, de talmanera que estos polinomios
cumplan la identidad fundamental de la división
algebraica.
Identidad fundamental
Dados los polinomios dividendo (Dc), divisor
(dí), cociente (9;.)) y residuo (R(,)), condicio-
nados por la definición, se cumple:
Di=d0) 9 +Ri
Ejemplos
l. Dividax”-6x+10 entre x-4.
Veamos
xk -6x+10 | x-4
0)
LL U cociente
residuo
> k-6x+10=(x-4)(x-2)+2
2. Dividax*+8 entre x2-2x+4.
Veamos
2-8 |12-2x+4
(0) x+2
lo cociente
residuo
> +8=(12-2:+4)(x+2)
e
»» Importante
Dado el dividendo D¿,, y el divisor dí) los poli-
nomios cociente 9(x) Y residuo R;,, son únicos.
CLASES DE DIVISIÓN
De acuerdo a su resto o residuo, podemos cla-
sificar en:
División exacta (A,.,=0)
La llamaremos así cuando el resto o residuo sea
Un polinomio idénticamente nulo. Luego
Dio=d) 9)
Ejemplos
1. Al dividir x?-5x-—14 entre x-7,
vemos que 14-5x -14=(x-7)(x+2)
> I9=x+2; R¿¿=0
2. Al dividir 8 entre x-2,
sabemos que *-8=(x-2)(2+2x+4)
> Io=4+2x+4; R()=0
División inexacta (R;,, * 0)
Llamada también división no exacta. Toma este
nombre cuando el residuo no es idénticamente
nulo.
Ejemplos
1. Divida x?-5 entre x+2.
Resolución
Mediante las equivalencias algebraicas es fá-
cil darse cuenta de la igualdad.
-5=(x+2)(x-2)-1
Luego, identificando mediante la identidad
fundamental de la división, se tiene que
(x-2) es el cociente y —1 su resto.
173
Lumbreras Editores '
»» Nota
Das d ww + Ro
Como di, + 0, se tendrá la equivalencia
siguiente:
ia =4) Mo
dy) dix
Al dividir x-3x+4 entre 2+x-1 tendremos
34 = (ex 1) 1) +3
Du, du) 94) Ru)
De manera equivalente
3-x
2
x-3x44_
x+x-1
2
, x-1l+
x“+x-1
PROPIEDADES DE GRADOS
174
El grado del cociente es equivalente a la dife-
rencia del grado del dividendo y el grado del
divisor.
Grad(¿)=Grad(¡,- Gradiy
Vemos
Entonces
Gradi¿)=Gradp,-Grady
= 5 a 3
2
2. El grado máximo que puede tomar
duo será uno menos que el grado del div
Si el divisor es de grado n, el residuo :
más podrá ser de grado (n-]),
Grad máx(R) =Grad;- ]
Ejemplo
5 4
Dada la división 42 -x-2
+41
como el divisor es de grado 3, entonces el
grado del resto será como máximo 2.
CASOS QUE SE PRESENTAN EN LA DIVISIÓN
DE POLINOMIOS
División de monomios
Recordando la propiedad (1), grado del cocien-
te, se tiene:
ayx É E % mon. bp +0
by" ds
Ejemplos
Divida
a 28x!* S 28 15-8 =4x
7x? 7
División de un polinomio entre un monomlo
Se utilizará la propiedad distributiva.
a+b+c
m
315
b
POSE
m m
el ros;
"
3
ti O
e XxX Xx X
1615 +6x 10 -3x +9
16x7+0x IMAZ
4
Resolución
Aplicando la propiedad distributiva
16x 15 6x% -3x+9
4r TS
Rx)
4x2 y + E
a»
qx) Ax)
De donde podemos concluir
7
3 k
A) = 4x1? + 3* > cociente
Ri) =-3x+9 > residuo
» Nota
-3x +9
Podemos expresar 3 com
4x
Porque no dejan como resultado polinomios
u E
que puedan sumarse en el cociente. Esto se
debe a que el grado de -3x+9 es menor al
8rado de 4y
Ivisiá .
sión de Polinomios de más de un término
divisi ,
Ets "9n de polinomios de esta forma solo
d .
Pfinida para una variable tomada como
Ncj; S
a, la cual se llama variable ordenatriz.
e
elere;
E
De la identidad fundamental de divi-
sión entera:
Pod do +tRi
Six=1 > Pa=d4y+Ro)
Se obtiene la suma de coeficien-
tes,
. Six=0 =>» Po) =d090)+Ro)
| Se obtiene el término indepen-
diente.
Ejemplos
l.
En la siguiente identidad de polinomios :
-3x+4=(+x-1)(x-1)+3-x
podemos notar que:
Dw)=-3x+4 > Dq)=2
dy) =é+x-1 > dqy=1
I9=x=1 > q()=0
Riy=3-x => R()=2
Luego: Dioy=d (04m +Rq>
Para verificar el teorema 1 hacemos
x=1: Diy=da go +Ra)
> 2=1:0+2
Efectivamente 2=2
En la división ax'+24+bx"-10x+c entre
2x+3, halle el valor de a+b+c si la suma de
coeficientes del cociente es -5 y el resto es 15.
Resolución
De la identidad fundamental de la división
a+20+bx-10x+c=(2x+3)q()+15
175
Lumbreras Editores
q A A A
Método clásico o división normal
Para x=1
> a+2+b-10+c=(2+3)q(1)+15
pl
> a+b+c-8=-25+15
> a+b+c=-2
Criterios para dividir polinomios
Dados los polinomios en una sola variable, estos
deben ser ordenados en forma descendente.
Ejemplo
Antes de efectuar la división
45x -22x% -2x* +7
3x? -1
previamente se ordenará así:
2x1 +22x7 +45x +7
3x? -1
MÉTODOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
ALGEBRAICAMENTE
Antes de dividir polinomios, veamos un ejemplo
de la división entera de números enteros. De-
bemos tener en cuenta cada uno de los pasos
para hacer una analogía con la división de po-
linomios.
Ejemplo
Divida 47 497 entre 295.
47497295.
-295| | 161
1799
=1750
00497 —> 47497=295-161+202
295
202
»» Nota
Para los polinomios, cada cifra de los núme-
ros naturales es comparable con un término
del polinomio.
176
Método realizado en el nivel escolar
más claramente mediante ejemplos:
Vemos,
1. Divida 6x”+5x-3 entre 3x+1.
Resolución
Por ser el primer ejemplo, se desarroll
cando cada paso a dar.
ará ingj.
Veamos: 6x+5x-3|3x+ l
IL
, Si el grado del aparente residuo
Ordenar descendentemente los polino-
mios dividendo (D.,,) y divisor (d,,)
. Se divide el primer término de D¡, en-
tre el primer término de d/,), es decir
6x?+3x, obteniéndose 2x, que a su vez
será el primer término del cociente.
3
(6)+5x-3 (Eder
2x
Se multiplica 2x por cada uno de los térmi-
nos de d,,, y los resultados se ubican de
bajo de D¿,, pero con signos cambiados.
Luego se suma:
eE - 1
(6) )+5x-3| (3/41
= =2x 2%
-3x-3
$ mayor
An com
: sición aún €
o igual al del divisor, la división
q jor.
tinúa, como en el paso anter!
YY y
Este proceso seguirá hasta que el resto
sea de grado menor al divisor; de ser así,
la división ha terminado.
Por lo tanto, ya Se tendrá tanto el cocien-
te como el resto.
q) =2+1 y Ríy=-4
2, Dividax"+2x-2 entre x=1.
Resolución
De donde: q¿¿=4+x+3; R¿y=1.
3, Divida 4x"+2x”-6x?-10x entre 2x+3.
Resolución
dra e 10:+0 | 20+3
da
PA LOTO Jara
Cao ot
EXT
D o
e donde: 4)=20-2e-5; Rq)=15.
ls
División algebraica de polinomios
4. Dividax +x4x14+2+2x2+2 entrex+x +1.
Resolución
Ps [Deter
De donde: do=+2; R(y=0.
5. Mediante este método es suficiente ordenar,
aunque no completar. Así divida
aras 34 17+x-15
entre 3x!5+2.
Resolución
Usaremos la división normal
E 'O) E
a 3 417% x 15] Gxd+2
SA
Aza l+5x-1
—-10x+17+x-15
-3x +2
171?-9x-13
De donde: qy=2x*'+5x-1; R()=17x?-9x-13
Método de coeficientes separados
Es un caso similar a la división normal, con la di-
ferencia que aquí solo se trabajan con los coefi-
cientes. Lo que se exige es que los polinomios,
tanto dividendo y divisor, sean completos y estén
ordenados en forma descendente.
Usaremos el mismo ejemplo utilizado en el
caso anterior para que el lector forme su propio
criterio.
177
Ji
Lumbreras Editores
Ejemplos
1. Divida 6x?+5x-3 entre 3x+1.
Resolución
Como se observa, solo se ubicarán los coefi-
cientes.
Para nuestro problema:
Grad(q,)=2- 1=1
Luego, el cociente es 2x+1 y su resto es sim-
plemente -4.
2. Divida 4x*+2-6x-10x entre 2x+3.
Resolución
Usando únicamente los coeficientes.
o 2 -6 10. 0 3
0 E > TT 2-2-5
0 ¿E
Como el cociente y el residuo son también
polinomios completos y están ordenados en
forma descendente, entonces
Iwo=2é-2x-5; Rey=15.
178
3. Dividax +24 +H0+24+x14+2 entre 49
Resolución
Ae 22 42
Ordenando:
A +2
Usando solo los coeficientes:
Luego
Im) =Xx+ 1; Ry 42 -x.
Método de Guillermo Horner
Es un método sistematizado de coeficientes se-
parados. Este método es más estructurado para
efectuarse mediante algoritmos de computadora
Para dividir por este método hay que tener en
cuenta lo siguiente:
Il. Todos los polinomios, tanto dividendo, d-
visor, cociente y residuo, deben ser polino-
mios completos y ordenados con respeclo
la variable en referencia.
Si faltase algún término, se completará pero
con coeficiente cero.
Así, si D¿y=5 +37 -7x+9
se debe escribir como
Da) =3+0x'+00 +5 -7x+9.
Dt á deci
Il. Se utilizarán solo los coeficientes, es
3; 0; 0; 5; -7; 9. A
|
III. Se distribuyen los coeficientes tanto a
videndo, divisor, cociente y residuo eN
quema de Horner.
División algebraica de polinomios
ASÍ
4-71 +3
A
9x+X
se debe escribir
4 +01? -7x+3
do
oxr+x+0
Estructura del esquema de Horner
dividendo
con signo
cambiado
=00-<- la
cociente residuo
cociente resto
==
se separan tantos
términos como indica
el grado del divisor
Para su mejor comprensión, desarrollaremos el
Procedimiento mediante un ejemplo donde se
detallarán sus pasos.
Ejemplos
hon
Divida 6”+5x-3 entre 3x+1.
Resolución
dona los polinomios dividendo y divisor ya
N completos y están ordenados descen-
de
S Niemente, los llevamos directamente al
Squema de Horner.
Esquema de Horner
l.. Se divide 6+3 obteniéndose 2, que será
el primer término del cociente.
II. Se multiplica 2 por cada uno de los térmi-
nos del divisor a los cuales se les cambió
de signo y el resultado se ubica en la fila
siguiente, una columna más atrás.
I1l. Se suman los elementos de la segunda
columna y el resultado se divide nueva-
mente entre 3 (primer coeficiente del
divisor); el resultado obtenido es el se-
gundo término del cociente.
IV. El proceso anterior se realiza hasta que la
última de las multiplicaciones haya llega-
do a la última columna.
V. Para el residuo solo se suman de colum-
na a columna.
VI. Recordando que el cociente y el residuo
son también polinomios completos y or-
denados en forma descendente, se tiene
919)=2x+1 y Riy=-4.
Divida 44-7x+3 entre x+2x.
Resolución
I.. Completando y ordenando en forma des-
cendente se tendrá:
4x7 +0x?-7x+3
2x2+x+0
179
a». |
Lumbreras Editores
ma de Horner, Ejemplo
Teniendo en cuenta el esque
jon Divida 3x*-5x+2 entre x+2.
Esquema de Horner Por el método de Horner
luego 9()=2Xx-1; Riy=-6x+3.
Luego
3. Divida do=3-6+12x-29; R,,=60,
43 30421.
12-x*+3+5 entre eii
Resolución Al dividir
Completando el dividendo y el divisor, en el apra lar .+a,
uema de Horner se tiene:
a entre ax+b; ab 0,
se presentarán dos casos.
Caso l
Cuando a=1, se tendrá:
-2
+...+0p
ayx” +ayx""! + a9x"
x+b
Cuyo esquema será
+ Ccoef. del coef. del
cociente residuo
Luego q=4-3x+2; R(y=3 -3x+7.
Regla de Paolo Ruffini
Se considera como un caso particular del método
de Horner; se utilizará cuando el divisor es de pri- Donde cy=4p; c,=4,-a0pb, Y cl
mer grado o transformable a esta forma.
sucesivamente:
Por lo tanto
Presentamos un ejemplo que inicialm xx PC 4 ... n-
ente fue l + +C p
efectuado por el método de Horner, para ver la
comparación con la regla de Ruffini. Ry =0p=DCn-1
180
División algebraica de polinomios
CAPITULO NW
polos Resolución
sen
d plectúe la división. Haciendo un cambio de variable x”=y
A oy _ Y
Gurx q se tiene Milo at Ml ,
x- 2 y- 3
Resolución Utilizando el esquerna
| x-2=0 > x=2 A E E
11. Llevando al esquema de Ruffini 21 Po] (214)'(-5|
> q=2y'+8y+24y+58
Como y=x”, reemplazando se tiene:
id d=20+8x11+24x "+58; Ryy=169
qu=64+13x+29;
Rq)=58. Caso II
Cuando ax 1, se tendrá:
2. Divida -2
3 -10x2+12x-x* +15
x-3 a
Resolución
L x-3=0 => x=3
ayx” +ax "+ ax"? 4 ...+ 0p
ax+b
Identidad fundamental
D¿,= (ax +b)q<) +Rio =( 42 18) +R«)
IL. Usando el esquema (previamente orde- SS
nado)
Se observa que el cociente queda multiplicado
por a. Para corregir esta deficiencia, se dividirá
cada término del aparente cociente entre a.
12 15
9 27 78 204 648
3 9 26 68 216 |663
Luego
I)=3 +9 +261"+68x+216;
R()=663.
3. Divida
28 P
2-14 422! 5
yx -3 ] coef. del cociente
181
Lumbreras Editores
2. Divida
Luego 4 4 2
G 01,4 y n-2 2 22 mt, 27x* -6x*+x+15
dona? Ya a be 3x-1
¿gol
a
Resolución
Ry) = Op — Ñ “En=1 Esquematizando
Ejemplos
1. Divida 6 +x?+3x entre 2x+1.
Resolución
Ll 2x+1=0 > es
2
11. En el esquema de Ruffini De donde
E ES do=9+3-x; Re)=15
(3):
1] Por el método de Horner
27x% -6x?+x+15
3x-1
Luego
2-99=6-2x+4; Rí)=-2.
Dividiendo entre 2:
6x? 2x 4
> ER
44) 2 2 + 3
Por lo tanto, Io=3É-x+42 es el cociente Luego
buscado.
Io=%é+3é-x; Ri9=15.
182
División algebraica de polinomios
» observación
Sea
LN POP x+P,
Hagamos x=y+h y supongamos que f,, Se con-
vierte en
gl +9 +9 +...+4p-1Y+9,
Luego, reemplazando y=x-h se tendrá
pa + = GA + (AY + q,
de donde podemos observar que q, es el resto
de dividir f(,, entre x—h,
yel cociente que se obtiene en la división es
gx +q 4. +qp_:
y así sucesivamente. Luego q,,, Gn_1, Gp-2, ... pue-
den hallarse por divisiones sucesivas.
El último cociente es q, y es evidente que es
igual a po.
Ejemplo
Sea fy="+2x+5. Halle f., 2).
Resolución
2
4
6
8
ORD
En este caso, dividiremos sucesivamente por
x+2 y se obtendrá f, 9 =9-6x7+14x-7,
lo cual puede verificarse reemplazando x direc-
tamente en f(x POr x-2.
Vemos
hy +2x+5
> fa y=l-2 +2(x-2)+5
=-6+12x-8+2x-4+5
ss hay é-0é+14x-7
TEOREMA DE RENÉ DESCARTES
(Teorema del resto)
Teorema
. En toda división de la forma Py en-
tre (ax+b), el resto se halla mediante
el valor numérico del polinomio P,
cuando x toma el valor de (- 2)
a
Demostración
Utilizando la identidad fundamental de la división,
será posible expresar así
| Pggalax+b)q()+R |
| | L__ resto o residuo |
¡ - cociente consiame
—H
y
” Evaluando la identidad en x = e
a
Rey ely
Aa
a)
Se utiliza para hallar el resto en una división de
polinomios sin la necesidad de efectuar dicha
operación, es decir, de una manera directa.
Ejemplos
4x7 -5x2+3x-1
1. Halle el resto en POE
Resolución
Usando el teorema del resto:
L x+2=0 > x=-2
183
II. Reemplazamos x=-2 en el dividendo,
con lo cual se halla el resto.
> R=4(-2-5(-2+3(-2)-1
=-32-20-6-1
., R=-59
27x* -6x2+x +15
n
2. Halle el resto e e]
Resolución
El teorema del resto nos dice, en otras pa-
labras, que iguale a cero al divisor para des-
pejar x y luego reemplace en el dividendo;
dicho valor numérico es el resto.
L 3x-1=0 > x=5
IL. En el dividendo:
3 3
3. Halle el resto en COD 5143
x(x+1)-4
Resolución
Si el divisor es de grado Mayor o igual que
2 tambié ¡
ambién se puede aplicar el teorema del
resto tomando en e
Haremos una am
Uienta la nota anterior.
pliación
e del teorema del
x0+1)-4=0 > x+x=4
184
5. Calcule el resto en
II. Reemplazamos adecuadamente en
dendo
Do)= lx(+1)1P-5x+3 l
el div.
Luego tenemos
Ri)= (0) -5x+3=-5x+67
Ra) == 5x+67
4. Halle el resto en |
(2x+1D(2x+3)1(2x+2% +x-5
2(2x? +4x)-1
Resolución
I. 2(2+4x)-1=0
> 4+8x=1
|
IL. En el dividendo |
DL DD |
Di = (42 +8x+3)(42+8x+4)+x-5
1 1
Observe que en el dividendo, agrupando
adecuadamente, es posible formar 4+8
para luego reemplazar por 1.
A
> Riy=(1+3)(1+4)+x-5 |
Riy=x+ 15 |
x 19 +3x-1
x+x+l
Resolución
Utilizando el teorema del resto:
Lo +x+1=0 e
Il. Para reemplazar en el dividendo, ull
Dee. le:
remos el siguiente producto notab
; Ea]
-I=(x- Deere 1) > 021202"
0 (dato)
Luego, dando forma en el dividendo
Dax +3x= 1
A 31,
ya se tendrá el resto.
> Riyax+3x-1=4x-1
» Nota
Después de igualar a cero al divisor se puede
multiplicar por un polinomio no nulo; en el
ejemplo vemos que
4x+1=0
> (-DOd+x+1=0
x-1=0
x=]
se multiplicó por (x-1) porque junto con
X+x+l generan una diferencia de cubos y
luego se obtiene una equivalencia como x=1,
que nos permite degradar el dividendo.
División algebraica de polinomios
a 17
6. Calcule el resto en ERA
xó=x+1'
Resolución
Muy parecido al ejemplo anterior.
Lo ox-x+1=0
ll. Recuerde que +1=(x+1)(12-x+1)
> =-1 S
111. Dando forma en el dividendo
5
Dpy=é) X + +5
Ro= CD += dx +5
Pero -x2+x+5 no puede ser el resto, pues no
puede ser del mismo grado del divisor.
Como: x2-x+1=0 > -x+x=1
Ríy=1 +5=6
185
cs ñ 3
BiocraFíA
paolo Ruffiní
Nació en Valentano el 22 de septiembre de 1765 y murió el y.
10 de mayo de 1822 en Módena. Fue un matemático, mé. *
dico y filósofo italiano que hizo importantes aportes en ma-
temáticas, entre los que se cuentan: resolver divisiones en
las que el divisor es un binomio de grado 1 (del tipo x + a),
calcular el resto de una división en la que el divisor es un
binomio de grado 1 (del tipo x + a) y calcular las raíces de
un polinomio.
Su familia se mudó al ducado de Módena, al norte de lta-
lía, donde ingresó a la universidad a los dieciocho años a
estudiar matemáticas, medicina, filosofía y literatura. Entre
sus profesores tuvo a Luigi Fantini, quien le enseñó geome-
tría, y a Paolo Cassiani en la asignatura de cálculo. Este último tuvo que dejar sus funciones
magisteriales al ser elegido concejal de la ciudad, y fue reemplazado por el joven Paolo Ruffini,
estudiante aún, en el curso sobre fundamentos del análisis, entre 1887 y 1888.
A los 23 años se graduó y consiguió su nombramiento como profesor de fundamentos de aná-
lisis. Tres años más tarde reemplazó a su maestro Fantini como profesor del curso Elementos
de Matemáticas. Ese mismo año, 1791, obtuvo la licencia para ejercer la medicina en Módena.
Luego de la Revolución francesa, Napoleón toma la conducción del ejército francés y tras ex
tosas campañas forma la República Cisalpina, que tuvo a Módena entre sus principales ciuda-
des. Ruffini fue elegido como representante en el Consejo de la nueva república, cargo al que
renunciaría poco después para volver a sus actividades universitarias, en 1798. Pronto tuvo que
dejar ese puesto también al negarse a jurar fidelidad al nuevo Estado por razones religiosas.
Tras siete años en los que se dedicó a ejercer la medicina, a la caída de Napoleón fue nombra-
do rector de la Universidad de Módena, en 1814. Ocupó las cátedras de matemáticas aplica |:
das, de medicina práctica y de medicina general. En 1817 se desata una epidemia de mus 1
que no impide que siga tratando a los contagiados por esta enfermedad hasta que él mismo |
Cae enfermo en 1819 y tiene que renunciar a la cátedra de medicina general. Al año siguiente
escribirá un artículo acerca del tifus desde su propia experiencia. J
186
A AA
A AAA DA ARAS E e ii. ANODA GA
cr DO
UA.
A
Entre sus trabajos publicados tenemos: Teoria generale delle equazioni (Teoría general de las
ecuaciones) de 1799; en 1802, Riflessioni intorno alla rettificazione ed alla quadratura del circolo
(Reflexiones sobre la rectificación y la cuadratura del círculo) y la memoria Della soluzione delle
equazion! algebralche determinata partocolari di grado sup. al 4.2 (La solución de ecuaciones
algebraicas determinadas particularmente de grado superior al 4.9); en 1804 se publica la me-
moria Sopra la determinazione delle radici nelle equazioni numeriche di qualunque grado (So-
bre la determinación de las raíces en las ecuaciones numéricas de cualquier grado); en 1807,
Algebra elementare (Álgebra elemental); en 1813 sale a la luz Riflessioni intorno alla soluzione
delle equazionl algebraiche generali (Reflexiones sobre la solución general de las ecuaciones
algebraicas); y Memoria sul tifo contagioso (Memoria del tifus contagioso) aparece en 1820.
Fuente:
http://divulgamat.echu.es/weborriak/historia/MateOspetsuak/Ruffini.asp
http //www.ugr.es/-eaznar/ruffini.htm
htp://es.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffini
»> BIOGRAFÍA
187
Problemas
RESUELTOS
Problema 1
Halle el cociente de dividir
8x* - 27
2x-3 '
Resolución
Como bien recordamos con productos notables:
8x-27=(2x)?-3?
> 88-27=(2x-3)[(2x)?+(2x)-3+3*]
E
“- G(9y=4é+6x+9
Problema 2
10_(,_15 E
Al dividir pit el 18 dl se obtiene como
x*-2x
resto R(,=Ax+B. ¿Cuál es el valor numérico de
R en 2?
Resolución
Usamos la identidad fundamental de división:
Dio=ddo+R a)
> x= (142x152 -2)q()+Rao
Como nos piden R¿,,, entonces, en la identidad
reemplazamos x=2,
2-(2-1+2-2-12(2 Si Law +Ro,
1024-144-1= =Rg)
” R(,=1026
Problema 3
En la división exacta ara sarro
2x? - 3x+1
¿cuál es el valor de b-a?
188
Resolución
Dividiendo por el método de Horner
[9 + +
2|4
Por ser exacta
a-4+15=0 > a=-11
b-5=0 > b=5
. b-a=16
Problema 4
Dado el esquema de Horner adjunto de una divi-
sión polinomial en x,
¿cuál es el valor de a+b+c+d+e?
Resolución
Verificando el procedimiento de Horner:
*. 5=5 > a=l0
* $3id > d=15
I+d 1415 SS e=8
——=e > e=——
* b4+5+24=35 > b=6
*. c+8=13 > (=5
a+b+c+d+e=10+6+5+15+8=4
¡ruLo Y
Divisió ¡
a ¡ón algebraica de polinomios
esolución
ED el teorema del resto:
peana =0 > x=-2
¡, Enel dividendo
EA) 1=5
-16+4n-2n+1=5
> im=5+16-1 > n=10
problema 6
Luego de dividir
1é +8 +6x2+3x7 +1
IAE DE PATA
2-12 4+2x-1
indique la suma de coeficientes del cociente.
Resolución
Dividiendo por el método de Horner
Mm + +
Luego q(y=22+5x +2,
cuyos coeficientes suman 24+5+2=09.
Problema 7
Enla siguiente división
da? +t(a-3)x*+6x +4
ax-] |
S . .
Uma de coeficientes del cociente es 10.
cule su residuo.
Resolución
Aplicando el Método de Horner
Luego el resto R=4+ E
Por dato: 3+2+%-10
a
Rs 50
a
Problema 8
Si el resto de la división
Aros l
x?-2
es R(¿¿=Ax+B, calcule R(¿).
Resolución
Por el teorema del resto:
L x2-2=0 > 1x=2
II. En el dividendo
Di= LY ra) il
Reemplazando x?=2
> Rey P 8x2 el
IS
> Ray=8-BÁ+BÓ 2 Axl Ñ
Ro) =-x+9=Ax+B > A=-1 y R=o
Luego Ry =--D+9
A Ríy=10
189
Lumbreras Editores -
Problema 9
Sean los polinomios
qu=wé+bx+c A Ry =MX+HN
el cociente y residuo, respectivamente, de la di-
visión
2x1 +3x7 -8x?+1-4x
e -(x+1)
Calcule (a-b=cY.
Resolución
Por el método de Horner
Entonces q(=2:+5x-1,
que será idéntico a q,=0x +bx+c,
de donde: a=2, b=5, c=1.
Luego
(a-b-0'=12-5-(-1)1P=(2-5+1)?=(-2)?=4
- Problema 10
3 4
Si en la siguiente división ia
x+3x? -2
se obtiene un resto de la forma mx+n-3
,
calcule m-n.
Resolución
Realizando la división por el método de Horner
190
Su resto es R(,)=x+1, que será idéntico a
R(y=mMx+n-3.
De donde
m=1 A n-3=1
> m=l A n=4
m-n=1-4=-3
Problema 11
Dada la división
4x 4+8x% -5x24+2x 94713 -1]
-14+2x +4x3
enuncie el valor de verdad (V) o falsedad (F) de
cada una de las proposiciones:
L. Su cociente es 2+2+1.
II. Su resto es -312-2x.
III. La suma de coeficientes del cociente es 5.
Resolución
Efectuando la división por el método de Horner
De donde:
Iw=+22+1;
Rq)=-3?-2x.
Concluyendo que
l.. Verdadero
Il. Verdadero
: + TL Falso
>
CAPÍTULO v
División algebraica de polinomios
problema 12
Halle la suma a
efectuar las siguientes divisiones:
2x7 +3x? +47
3 2+1
9x+4x "+ IL
TS 2x-1
x+l
Resolución
Dividiendo por la regla de Ruffini
> Ga 4 +2x+1
De donde
0 +02) =(20+20-2) + (?+2x+1)
Ñ IES
Problema 13
En el esquema de Horner mostrado
determine el valor de
T- 3+a+b+c
mp3 +
de los cocientes que resulten de
p=1+d+e > p=1
g=pm => g=3
h=2p > h=2
b+f+g=4 > b=5
c+h=-3 > c=-5
Reemplazando
e as Ps PER
3+1-2 2
Otro método
Del esquema se tiene:
Dy= 3 tad 4bx+e
dy =4-mx-2
dy = Mé -2x+p
Ry= 4-3
Pero sabemos: D(,=d(19)+Ra)
>
>
>
3+a+1+b+c=(1-m-2)(n-2+p)+4-3
4+a+b+c=(-1-mAn+p-2)+1
3+a+b+c=(-1-mXn+p-2)
3+a+b+c__]
n+p-2
-m
3+a+b+c
n+p-2
Resolución
Verificando el procedimiento de Horner, se Ob-
tienex
n=3
nm=9 > m=3
2n=d > d=6
a+9=-2 > a=-11
=-2m > e=-6
=-2:2 > f=-4
191
Lumbreras Editores
Problema 14
Calcule el valor de n si la división
An
MR
x-2
admite un residuo igual a 10.
Resolución
Por teorema del resto:
L x-2=0 > x=2
IL R=2'-2-2+n=16-8-2+n=n+6
Por dato: n+6=10
. n=4
Problema 15
Halle el resto en
9745 481: -5x-19
x+3 "
Resolución
Usando el teorema del resto:
L x+3=0 > x=-3
IL R=27(-3)9+81-3)9-5(23)-19
=-393.325431.31244 15-19
=-3A ¿p%
Problema 16
(2x0 +nm)x+5
En la siguiente división 7
x=
, se sabe
que la suma de coeficientes del cociente sea 93.
Calcule el residuo.
Resolución
2 U+nmx+5
x-1
De la división
192
Por la regla de Ruffini
Lal
41 términos
2 n+2' n+7
Por dato
9(1y=2+2+2+2...+2+n+2=93
40 sumandos
2:40+n+2=93
> n=1l
Como el residuo es R=n+7, entonces RW,
Problema 17
aba aid
Halle el valor de al si la división algebraica
ax +bx + (cx 244
4x7 +2x? -3x +2
es una división exacta.
Resolución
Cuando se trata de una división exacta, los poli-
nomios pueden ordenarse en forma ascenden-
te, es decir
D¿y=4+0x2+(c-D O +BraAd
de =2-3x+28-4é
En tal sentido, el esquema será:
AH
cAPTULO e E
pel resto
División algebraica de polinomios
Del dato
¿-148-6+6=0 > c=-7 a+M+N=30 > a=24
p+l2-4=0 > b=-8
-a+8=0 > a=8 : de donde
i a = Y =4
Luego dy) -4 30-24
ao - =-2
AER Problema 19
j Obtenga el residuo de efectuar la división indicada
Problema 18
912
(3x?) +2(2x + mx +37
AAA EX) + MARS
2-3x
y efectuar la división del polinomio
p, =3ax-4d)-Acx?x- 1) entre 31 +2x-a,
si el cociente evaluado en cero resulta ser —3.
se obtiene un cociente q(,), cuya suma de coefi-
cientes es 30 y un resto idéntico a Sax+a+2;a+0. : Resolución
á : El dividendo es 9x*+0x?+8x"+mx+3"; luego lo
Calcule el valor de A :
q y 4 ordenamos en el esquema para usar el método
de Horner.
Resolución
Ordenando
3ax* -4dx3 — 2cx?+2x +2
AT TENA
3x? +2x - a
Por el método de Horner
Como el término independiente del cociente es
-3, entonces
Lo A
-3
Del resto Luego
: m
aN=q+2 >, N=1 E el resto es 37 +6
2+aM-2N=5g > M=5 .. R=3+6=9
193
Problema 20
.. 4
Halle el resultado de sustituir x por x+3 en la expresión f(,=2X --2e+5x-1.
Resolución
Haremos divisiones sucesivas por Ruffini de f(,, entre x-3.
> fury=21+23 +97 +182x+131
Problema 21
Sea el polinomio
fho=(V3+42)x*-(14/2-43)x?+2/6-(4-246)x?.
Halle su valor numérico en x = /3 - V2.
Resolución
Recordemos que P(,, es el residuo de dividir P(., entre (x-a), entonces R gz_ 5) será el residuo de
dividir P,, entre x- V3 +y/2.
Luego, por la regla de Ruffini
43+ 4/2 (1+ 42-43 )-(4-2-46) 0 3 246
De donde P 4) =5
| »» Observación
| (V3+42)(43 - 42) =1
| (V3- 4/2)” =3+2-2/32=5-246
'
194
pan
División algebraica de polinomios
CAPITULO V
problema 22
e a+b en la división de
calcule el valor d
8-bx” entre ax?-39x+2
50 +(166+p)x=
si deja como residuo a R()=PX.
resolución
De Dll + Ro» división inexacta, se tiene:
D-Ro=dwIw división exacta.
Luego
Doy "Ro 8+166x 45517 bx
dix) 2-39x + ax?
esexacta. Entonces podemos ordenar ascenden-
temente y aplicar el método de Horner.
-4 5 '195+4a-b 55-54
a O A
cero cero
Por ser exacta
5-54=0 > a=11
195+4a-b=0 => b=195+4a
Reemplazando el valor de A se tiene b=239
: 0+b=250
Problema 23
Dete ¡ 6
'mine la suma de coeficientes del cociente
b ;
We se obtiene al dividir 4-2 +x+b entre
x-],
Resolución
Por la regla de Ruffini
LL
80 términos
A Coeficientes: q=4+3+78(2)=163
Problema 24
El residuo de la división (x+1)"+1 entre 4+2x
tiene la siguiente forma: R;,, 29) x+0. Se-
gún ello, calcule el valor de a.
Resolución
Sea Q(,) el cociente, entonces
(+ 1"+1 2(12+20)a) (2 )x+b
Como es una identidad, podemos evaluar en
x=0;x=-2. Así:
LL x=0:1"+1=0q(9)+0+b => b=2
1-
IL x=-2: A
Luego
ED"+1=-1+a+2
. a=(1Y
Problema 25
Halle el residuo en la siguiente división.
2
(+ DL? - x) (1? -5x +6)
x?-2x-4
195
Resolución
Por el teorema del resto
e-2x-4=0 > x-2x=4
En el dividendo
(+ DMA (x-3)0-2)
o —
Efectuando como se indica
(e-2x-3)(2-2+1)0090-2x)
Como
x*-2x=4 > Riy=(4-3)(4+1)x:4
. R()=20x
Problema 26
En la división algebraica
xl (n+2)x+n+1
x-1
el término independiente del cociente es -10,
¿De qué grado es el dividendo?.
Resolución
Por la regla de Ruffini
Como el término independiente es -10
3 -n-l=-10 > n=9
Por lo tanto, el grado del dividendo es 8.
Problema 27
Halle el resto de
Ma
(Yo y 0 13
Ha
si
196
Resolución
++ 1=0 0)
> A+l=-x
Multiplicando por (x*-1) a (1), se tiene
(2-1)04++1)=0
> -1=0 > =1
Luego, en el dividendo D,,, se tiene
Dio = (JU 4 18 13=- 12 465, 19
> Des 13
Luego Ry=-(09'-44(1)".2+13
> Ra=-+0+13
% R)= 13
Problema 28
Calcule el valor numérico del polinomio
Rx) =/2x* +(1-/10)x! +25x7 -3/5x +3410,
cuando x = 5 - y2.
Resolución
Análogamente al problema 21
Pax)
P. 6-13) = Residuo de NANA
Por la regla de Ruffini
Va 1/10 245 0 -345 ¡3/10
V5-V2| | /10-2 -45+ 42 3 3/5-318-3/106
Ya 1 -J5+ 423-302
Puya) =6
Problema 29 ar qivider
Siendo D¡,=2x'-5x'+2 y d(y=24-% dol
do y divisor respectivamente, halle el poli
cociente y el polinomio residuo.
o — MIN ] División algebraica de polinornios
: Resolución
pesolución
de resolver Por Horner, pero lo resolve-
pede res
De acuerdo con la definición de 141
aplicando la identidad fundamental de la
mos
23V5<3 > [45]=2
«ión. De la propiedad de grado se determina
givisión.
: VIA , 7 ,
el cociente será de segundo grado y el resi: 25v6<3 > [46]=2
que : >. E
duo de primer grado. 1s4Y2<2 > [/2)]=1
Enlonces 4) Y Rio €5 de la forma 555<6 > [5]J=5
a x+Cy R(y=r Xx +r.
q =Coé +CXx+C2 Ra) l Luego, la división es
Aplicando la identidad fundamental de la divi- 2bx" +3ux*-2x?4 8x+2
IA GA E
sión se tiene: 2 3 n Ry=5x-4
alot rzelaó 30 (Cp +Cpo+ Ca) roce De la identidad
.2Coi H2C CO (ZO CID (r9-3C xr, Do=dudw+Ri)
nao > Cp=1 : > DiRio=di a)
2C,-3Cp=-5 => C¡=-1 : Vemos que
3 De Ry) = 2bx +32 +3x+6
2C,-3C,=0 > Cy=->
2bx% +3ax? -2x? +3x+6
Luego >=
: es exacta.
9 . 2943 2_
173C,=0 > 10=> ; 2 4x3
: Por ser exacta, puede aplicarse el método de
r,=2 :
Horner invertidamente
De donde se tendrá
_ 3 9
My ma; M97-3x+2.
Problema 30
Sila siguiente división
A
Dra -[45]x? +8x +[v6]
20 +[v2]x? -3
Ú
"ne COMO resto [ 5lx-4, calcule 6ab.
Del resto
3a-4+1=0 > a=1
2b-2=0 => b=1
» Observación
l4J=n SnNSA<n+li¡neZ, AER
6ab=6
197
Lumbreras Editores o E
Problema 31
Determine el valor de rm y n para que
mx" +mx-1 sea divisible por
el polino-
2
mio P()=NX
(x-1)?, Dé como respuesta 9nn.
Resolución
; |
Puesto que es divisible por (x-1)', es también
divisible por x-1.
Por teorema del resto
Py20 > Pyyan-me+m-1=0 => n=1
Luego: Py =P mx mx!
ara la división es posible aplicar una vez el mé-
todo de Horner, de divisor (x-1)*, o aplicar dos
veces la regla de Ruffini, de divisores (x-1).
Por la regla de Ruffini
ll —-m 0.0.0
x=1|| 1 l-m
IS TT 177)
x||; Il 2-m
12m 3-2m ...19-18m' 20-18m
Por ser exacta
20-180
10
ma
y)
min | AN l 1)=10
Otro método
Ses divisible por (x- |)
Py Pi )>0
108
PP y=n-m+m-1=0 > n=1
Il. P()=20x"-19mx+m
Como P',,=0
—> 20-19n+m=0
10
>» mas
y
9mn=9=| - lo- 10
| »» Nota
| P'., es la primera derivada de Par
'
Problema 32
Sea el polinomio q ,,=x+px+q, de coeficientes
naturales y de suma mínima que venfican las +
guientes condiciones adicionales
lg) es divisible por 6.
IL (4) es divisible por 7.
UL os, es divisible por 10,
Halle 9.
Resolución
De las condiciones:
Ya=343p+q=6 (a)
Mya Prdp+g=7 uN
M5 4 5p+q=10 (0)
DelMg.3. 2
vJqels > io E
De(Mg-5
En (0): comog=15 + pes au
o
División algebraica de polinomios
CAPITULO V
gn(8) > 16+4p+15=7
7-31_7K-31
> pm 4
Como K es entero y p es par se obtendrá K=9 y
el valor de 1 será 8.
Conocido P Y 9» tenemos que:
q) =4+8x+ 15
E q)=1+8+15=24
Problema 33
Dada la división algebraica
2n
x?-1
indique el término independiente del residuo.
Resolución
En la identidad fundamental:
De=dadwo+R a)
Como el divisor es de segundo grado, entonces
el residuo podrá ser de primer grado, es decir, de
la forma R,=ax+b.
Luego
Dy=L2-1)q()+ax+b (+)
donde
D=te )t+()”
Luego en (+) evaluando en x=1 tenemos:
Day=(82-1)g,,)+a+b
> 0=0-q)+a+b
| »» Recuerde
| D()=0+0+...+0=0
> a+b=0 (D
Similarmente en (*), evaluando en x=-1 tene-
mos:
D¿=(G 1)*- 1)q-1)-a+b
pero
Diy=2+04+2 +... +2=444?4...441
> Di y=4(14+44424...+4"7!)
Luego reemplazando tenemos:
-a+o=S(4" -1) 0)
De (D+(ID
-4 2
=Hqn-1) > b=É(4r-
2b a ) 3 y
Por lo tanto, el término independiente del resi-
duo es za =)
Problema 34
En la siguiente división indicada
-n-3
nm (a+ Di? +3nx? -(5n-2)x +
AE
3x-3 z
la suma de coeficientes del cociente con el resto
es 6470. Halle n.
199
Lumbreras Editores
A ——————
Resolución
Por el método de Horner
n 2n+1 2n+1 2n+ 1 5n+1 1 _ +3 +3
3 3 3 3 3 o
lA
n términos
Por dato D coeficientes de q, +R¡,)=6470
n (2n+1 2n+1 2n+1) 5n+1 n+3
- 4 + +1-—— 43 = 6470
+ 3 + 3 +...+ 3 3 3 +3
nveces
n n(2n+1) 5n+1 n+3
— + ——— +
- 243 =647
3 3 3 +1 3 +3 0
n+2+n+5n+1+3-n-3+9
= 6470
3
Entonces
2 2
2n a aro ya E LA
> ni+3n+5=9705 > n(n+3)=9700
> n(n+3)=97(100)
. n=97
Problema 35
ente
o cocie!
Al dividir P,=+Ax*+Bx*4+2x-1 entre un polinomio de segundo grado se oblien
com
1-1 y como residuo 2x+1. Indique el valor de B,
200 a
Cam ULO V
Resolución
De la Identidad hindamental
Di" dto tn
LENCIMON
Mardy 2 (a)
Evaluando en la Identidad (+)
2 Sil
» 1444842104241
A+B=1 (a)
IM. Six -1
> 1-A+B-2-10-24 1
B-A=l (1)
cos Bal,
Problema 36
Si el polinomio
Ey fl 0
os divisible por
con ap00,
Era la Pp
Eur L yl
E) gt:
y
Ecld
halle el equivalente de k
- Resolución
Luego
De (o) y ($) sumando obtenemos 282, enton-
Como E es divisible por E.) Su división es exacta,
División algobraloa de polinomios
Del rento
y lu /
po, “lo pp
y MW) | y
uf) y
- () » l)-
1) 21
Reemplazando
ty rate] ao(2),o
Ñ Hu ] dun ES l Zo ] / a
3 3 27
21 1)
Bu 120% 4 604
27
uy (1)
3
Asimismo
E 20 20 2a p
(8) 3 MEE
la dé 02] 3
A
Y Eg (11)
y
3 2 3 *
ME ha poa ni 295 a (6
Uy
Problema 37
Se sabe que el polinomio
Py PRA AB
es divisible por
Qu) 2 -(A+B)x+AB,
conAB+0.
A
Calcule el valor que asume B
201
Resolución
Es importante observar que Az0 y Bx0.
Como P4, es divisible por ”-(A+B)x+4B,
que es equivalente a (x-A)J(r-B),
también es divisible porx-A y x-B.
Por teorema del resto:
> x-A=0 > x=A
Luego
Pa)=0 > AURA AMI ABA"=0
> Alar) +A(a7+1)+B(4"*!)=0
A"*UA+A+B)=0
A"*I(2A+B)=0
Como A”*!
0, entonces
24+B=0
B=-2A4
AL
CB 24 2
Problema 38
Determine el valor de a, si se sabe que al dividir
el polinomio P(,,=a9x*+a+x2+1 entre x2+1 y
x*-1 se obtienen dos residuos que suman 8.
Resolución
Por teorema del resto:
Lo x+1=0 > x=-1
> Riy=a (144 +41
R¡¿=-4,x+a, (a)
ll. -1=0 > x=]
> Ro 54944 /x+141
Ro)541x+4,+2
(p)
202
De (a) y (B)
La¡x+a)+(a,x+a,+2)=8
> 2a,+2=8 => 2ay=6
ay=3
Problema 39
Sean P y Q()=2-3x+1 dos polinomios. si al |
A
dividir P(,2_1)+Q() entre 2-1 se obtiene un le.
siduo R(,)=mx+3, calcule el valor de Ñ 1 |
m
Resolución
Tenemos que
2x? -1
deja resto: R(,,=mx+3. Podemos aplicar el teo-
rema del resto para calcular el residuo, y este
|
|
s |
Pa yy +2x 3x+1 |
|
|
debe ser igual a R(,,=mMx+3. |
|
Como R(¿=mx+3
=> e cd
2
> ai adds
2
da =2
3)
¡is
CAPITULO v y E División algebraica de polinomios
problema 40 : En (*) hacemos x=-1:
sila siguiente división algebraica
l
010 Denadiandes) Ri)
an 1
> > 5=0:g_+CA+8B)
XxX :
deja resto R¿y=Ax+B, calcule el valor de R(,). > A+B=5
En (*) hacemos x=0:
Resolución : Di0=d(0) 90) +Rto)
identidad fundamental de la división tene- : )
Por la 1 a E di
mos A
k
D=dw' Io *Rio (5) E
pes B=2 > -A+2=5 > A=3
al Es
Djs? + -3x+1 ido
dy +x > aya) : R(y=-3x +2
Qu? Y Riy=Ax+B o Rey=-3(2)42=-4,
203
1.
O o
Test 5
Al dividir ax*-8:2+5x-1 entre 4+3x-1, se
obtiene como cociente x4-3x+2 y como re-
siduo mx+1. ¿Cuál es el valor de 8a + rm?
A) -4
D) 4
0) 7
E) 2
B) -2
Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
A) VVV
D) VVF
En una división algebraica, si el grado del
divisor es m, su cociente será a lo más de
grado m-1.
El grado del cociente puede ser menor
que el grado del residuo.
El grado del divisor es mayor que el gra-
do del cociente.
B) VFF C) FFV
E) FVF
¿Cuál es el cociente en la siguiente división
Ax
Dl,
x2-1
A P+é-1
BD 43
O Pre
D) + +1
E Prdésx-l
¿Cuál es el resto en la siguiente división
2,
+41 :
A) 2x-1 B) 1-2x C) 3-2x
D) 4-2x E) -2x
5. ¿Cuál es el resto en la siguiente división
0 -3x%+3x-2,
x2-x+Ll
A) 0 B) x+1 dá
D) x+2 E) x-2
Si la división indicada
alx* +5ax? -14x?+a3x- 9
ax? -2x-3 ca,
¿cuál es el valor de a+ ES +1?
a
A) 7 B) -3 C) -6
D) 2 E) -5
4,.3 2
Si la división io ME deja como
x+l
resto 5, ¿cuál es el valor de n?
A) 5 B) -5 01
D) 7 E) 0
4x*-x-5
A) -3x+4 B) 3x+4 C)-3x*2
D) -3x-4 E) 3x-1
Luego de dividir
mxt + no? +14x? + 5x +10 , se obtuvo como
2x0 +x43
1
residuo 4. ¿Cuál es el valor de mM'11'
cy 20
E) 15
AS
A) 6 B) 10
D) 30
o
CAPÍTULO v
calcule la suma de los coeficientes del co-
10. Cale
ciente de
no E e +3nx- 3 ]
nx-1
A 2 B) 3 0) 4
D) 1 ds
11, Halle el resto en
e 2 DO + x 6)
pi E
3 -3x?+3x-1
División algebraica de polinomios
A) -4(x-1? B) 3-3x C) 4x-4
D) 4x-1 E) 4(x-D?
12. Halle el resto en
Sa DA
x(x-1
A) 2x B) x O) x-1
D) x+1 E) 2x+1
CLaves
a
Problemas
PROPUESTOS
Nivel l
En la siguiente división
ax? +bx?-3x+5
: el resto es x?,
x"-2x+1
¿Cuál es el valor de a+b?
A) 1 B 0 C) -1
D) 2 E) -2
Halle el cociente de la división
x +1? +51? -10x +10
x2+2x+1 :
A) x2-x+4
D) x?-x+3
B) x2-x+5 0) x*-x+7
E) 2-x+6
Del esquema de Horner adjunto de una divi-
sión en variable x,
calcule el valor de m+n.
A) 4 B) 3 O) 1
D) -7 E) -10
Halle el cociente y el resto que se obtiene
luego de efectuar la división
+1 +1
x-2
A) x2-3x+4; 4
B) x?-x+2; 2
O) x24x+2; 4
D) x?+3x+2; 2
E) x?-3x-2; 4
¿Cuál es el resto de la división
6x1 -5x3 34,
3x-1
A) 3 B) 0 O -3
D) -2 E) -1
Calcule la suma de coeficientes del cociente
5_
de dividir 241
un
A) 5 B) 4 03
D) 6 0
¿Cuántos términos no nulos tiene el cociente
5x0 5x0 +3x41,
de la división ? |
x+1 |
A) 2 B) 5 0) 7
D) 8 E) 3
Indique el resto de la división algebraica
(12+1)x* 2x2 + /2x + (241
x+1-42
A) 2 B) 4 c) 2
D) 242 E) Y2+l
5 2
a +nx+ si $e
Halle el resto en la división 2
: jente
sabe que la suma de coeficientes del coc
es 10.
m8 B) 10 0) 4
DO E) 15
A
<r<
LO V
nn
y Halle el cociente que se obtiene luego de
1 a
dividir
16 - 9 e 2x Ñ
"4
A) add 2x—1
B) 167+4x-8
O) 16 +4x-8
D) 16x7+4x?-8x-4
e 610 +16x”-32x-16
. ¿Cuál es el resto en la división
An 4x7,
x+1 i
O 3
E) 11
A) -11
D) 4
B) -3
rm
Al efectuar la división algebraica
me -14x10 47
21? +3x-2
se obtiene como resto R(,,=mx+n. ¿Cuál es
el valor de Vm+2n + 2?
A 1 B) 2
D) 4
IS Delermine el resto de la división
5x-5
A) 55
D) 7
B) 11/5 O 12
E) 35
4 me
En la siguiente división algebraica
3
Lama bmx 42m,
x-2x-2 A
l
z de de coeficientes del cociente es 12.
€ el término independiente del residuo.
15.
16.
17.
18.
División algebraica de polinomios
A) 3
D) 21
B) 12 O 15
E) 24
Calcule el valor de (m-+n) si el resto de la
siguiente división es R/,,=-4x-1.
30% +(m+9)x3 +nx?-x+2
AIN TENA
x24+3
A) 1
D) 2
B) 0 C) -1
E) -2
Luego de efectuar la división
nd nx? nx +4?
x+n+1
se obtiene que la suma de coeficientes del
cociente es igual a f,,,. ¿Cuál es el valor de
A) 2170
D) 20
B) 2870 C) 3870
E) 70
Dados los polinomios
dividendo: Dy=+bx*+cx+d
divisor: dy =3x"+2bx+c
cociente: q) =MX+N
de una división exacta, calcule el valor de
9m(m+1).
O 1
pl B) 4
A) 3
D) 2 E) 18
Halle el resto de la división algebraica
2
(1? +2x-1)-x43
O
x?-1
Nat B) 9 O) x+5
D) -x+7 E) -x+3
207
A
19.
20.
21.
22,
23,
208
Halle el resto de la división
(8x- 3" +(6x-2)” +4x+2
A
2x-1
A) 2 B) 4 c) 6
D) 0 E) -6
la división yl ?
7 16 m EZ
¿Cuál es el resto de la divis Pa
A) -2x B) 2x C)3x
D) x+1 E) 2x-1
Nivel Il
Si al dividir 5x?+6x*-1 entre x+3x2-2 se ob-
tiene un resto de la forma mx+n, calcule el
valor de m—n.
A) -4 B) -1 00
D) 5 E) 4
Sea q, =ax”+bx+c el cociente de la división
de 2x*+3x*-8x2+1-4x entre 2-(x+1).
Calcule el valor de (a-b-c)?.
A) -3
D) 2
B) 4 O 1
E) 3
En el esquema de Horner mostrado (de una
división de polinomios en Xx), determine el
valor de (m+n+p)-(a+b+c).
24,
25.
26.
zl.
A) 20 B) 18 O 1
D) 5 E) -3
Calcule el valor de (m+n) si se sabe
división Que la
3 + mx? +nx? -x+2
x +3
deja un residuo 5x-10.
A) 11 B) 5 01
D 7 E) 4
Halle el resto de la división algebraica
211941
Al
A) x-3 B) 4-2x C) 3-2x
D) 2x-3 E) 3-x
Al efectuar la división
8 +14x +51 +16x2+3x+2
4x2+x+3
se obtiene de residuo: (5m+4n)x+(m+2n).
m
Encuentre el valor de m”.
A) 2
1 po
D-2 E)
) 3
Halle el residuo de la división algebraica
3
3+(x-33"
x? -26+27x -9x?.
C) 4
E) 6
A) 3
D) 5
B) 2
CAPÍTULO v División algebraica de polinomios
el resto de la división algebraica 32. C
¿3. Halle » Calcule el valor de a si al dividir
199 +]
x + a+17
pu SM SA SÓ PE
== x-1
pl
se observa que la suma de los coeficientes
del cociente es igual
A 20D B) ée-D 0 x(x-0) igual a 90 veces su resto.
4
p) (+1) E) (+1) A) 13 B) 155 C) 160
D) 163 E) 165
99, Calcule el valor de (a+b+c) si el resto de la
división 33, Del esquema de Paolo Ruffini (de una divi-
a+ bx? +07 -5x-3 sión de polinomios en x)
2x7 + x-x-2
es Ry =77+8x-3.
A) 21 B) 20 C) 30
D) 40 E) 50
calcule la suma de coeficientes del polino-
30. Calcule el valor de n si el residuo de la di- mio dividendo.
visión
(+3) (+ D" + mx D(x+5)+1 2 1500 Ela
(x +2 o ss
esR(,, = 2(1-18x). Considere n par. 34. Al dividir Pyy=axl+bx+cP+3x+1 entre
X-x+1 se obtiene un cociente cuya suma
A) 5 B) 4 O 3 de coeficientes es 22 y un resto R()=10x—1.
D) 2 E) 1 Calcule el valor de a+c.
31. En la siguiente división algebraica A) 77 B) 78 C) 79
204 o Gb? ++ a D) 80 EL
-x+b
35. Al dividir F() entre (4, -9)(x+3) se obtuvo
se sabe que el resto es 2x+3 y que la suma
de coeficientes del cociente es mayor que
15. Calcule q-b.
Aa
D) 2
O) 7
E) 8
B) 9
como residuo 2(x-3)?. Halle el residuo de
dividir F(,, entre 27+9x+9.
B) 12x+3 C) -20x+11
E) -3x+10
A) -21x+
D) 2x+1
209
o
36. Si se sabe que en la división del polinomio
completo : E
z -391x""*+(7a-
Fy=ax+(3a-0 0" +(5a-30 0H o
entre (ax-b) el residuo es 1 la; (a+b), calcu-
le el valor de n.
A) 5 B) 6 0) 4
D) 3 E) 7
37. ¿Qué valor toma p :q en la división algebraica
xi + px?+q
x2+x+l
de modo que su resto sea idéntico a 3x+4?
A) 4 B) -4 O) -1
D) -6 E) 6
38. Calcule el valor de (b-a) si la división
ax” +2(3+a)x*+(12-a)x? -(6-b)x?+b(2x-1
x2+2x-1
deja un cociente que evaluado en x=2 es 39.
Considere (a;b) <Z*.
A) 6 B) 4 O 5
D) 1 E) -6
39. Calcule el residuo de la siguiente división
(x-1" -(x-2) -1
x?-3x+2
A) x-1 B) x-2 O 1
D 0 E) -1
40.
Al efectuar la división algebraica
(+1) +H(x-D+3x
o A E
3 2
XX 4x1]
se obtuvo un resto Ri.
Calcule el valor de Eco
(1
210
41.
42.
43.
A) B) 9
00 | =|u
D) Ey!
=|—
Al dividir un polinomio P() entre el Produ
C-
to de (x+1)(x+3)(x-2), el resto Obtenido
es -5x+1. Calcule el resto de Pi) entre
-x-2.
A) x+5 B) -2x+3 — C) -4x+3
D) 2x-1 E) -4x
En la siguiente división algebraica
3x1? 51104313 +3x?-5x-5
ax? -b
determine el valor entero y positivo de a y b
, a<y
para que dicha división sea exacta.
A) a=1; b=5
B) a=3; b=5
C) a=3; b=3
D) a=3; b=6
E) a=2; b=6
Al efectuar la división algebraica
axt+bxi+cxt+ +3
3x?-x+1
y ine la
se obtuvo como residuo 2x+1. Determin
$ k 5 coell-
relación correcta si el producto de los
cientes del cociente es 8.
A) c-a=9
B) |b|=2
C) la|-|06|=13
D) lb-c| >9
E) ab>0
V hits
4, Halle el resto de la división OS A) -6,5 B) -1,5 O) 4,5
DADA BD” +3 D 4 E) 5
46.
4
=
x2+2x+2
B) 2x-12 CO) 2x+5
E) 2x+7
A) 2x
D) 2x+12
Se sabe que al dividir el polinomio P,,, entre
e-(1+b)x+b y x-(b+2)x+2b se obtuvo
por restos 7x-4 y 5x-8, respectivamente.
Calcule la suma de coeficientes del resto de
dividir P(,, entre *-(b+3)x"+(3b+2)x-2b.
B) 1 C) 4
E) 0
A) 3
D) 2
Si al efectuar la división algebraica
240?
abx” +b2x% +bcx? - abx + acx
ax? +bx+c
4 bla+c)
se obtiene un resto acx, calcule >
O) -2
E) 1
ñ0
D) -3
B) -1
« Halle el resto de la división algebraica
e
(+ 1DQx +2)
A) 7x45 B) 76x+2 C) 7x+6
D) 6x-1 E) 3x-1
%. El cociente de dividir un polinomio de tercer
grado entre 2x-1 es x?+2x-3, y el residuo
de dividir dicho polinomio entre 2x+1 es 1.
Halle el resto obtenido al dividir el mismo
Polinomio entre 2x-1.
49
. Dada la siguiente división exacta
aber Aaterotarciole Hatorbtcrctal-abe
50.
51.
52.
a
b a
Si abcx0, determine el valor de x que anula
al cociente de la división.
A)
BÉ o 1
D) E)
a oia
Calcule la suma de coeficientes del cociente
de la división indicada
x* -14x* +29x? - 36
(x-D(x-2Mx-3) *
A) 13 B) 12 CO) 18
D) 24 E) 6
Halle el resto en la división algebraica
(Y2 + Dx? - (2/2 + 2x3 - (Ya + 4)x+ 2
x-4Y2-1 y
A) 1 B) 2 O 3
D) 4 E) 5
Si la división algebraica
ax! +bx?*+16x-25
ax +00 TIPS
2x?-x+4
deja residuo 3x-5, calcule el valor de a+b.
C) 33
E) 7
A 2 B) 1
D) 36
211
Lumbreras Editores
53, Calcule la suma de coefi
que se obtiene al dividir
4x0 2 + x+b
x-1 j
A) 165
B) 162
CO) 163
D) 164
E) 161
54, Halle el valor numérico del polinomio
Py=x* +3/5-13x?-(5+Y5-2/3)x+V25+4
cuando x toma el valor Y5 — J/3.
A) -1445
B) 0
O 2Y25
D) 7
E) 2325 +7
55. Halle el residuo de la división algebraica
xx
(+0) (1+ x2)
4n-1
A) (10-n)x+4
B) (4n- Dx+n
00
D) 2x+4"
E) x2-x+1
212
cientes del cociente
56.
57.
58.
Luego de efectuar la división algebraica
19 4x8 +2x12 -7x%+9x-1
+1 Ñ
dé el valor de verdad de las siguientes Proposi
ciones.
IL. Suresto es un polinomio constante.
II. Su resto es x+2.
III. La división es exacta.
IV. Su resto es x-2.
A) VVFF B) FVFF C) VFFF
D) FVVV E) FFFF
Si el polimonio Detidrad+bx+c es divisi-
ble por (x*-1), halle qe
a-b
3 3 2
A) = B) -2 C) +
2 2 y 3
2
D) -2 -1
a E)
Al efectuar la división algebraica
2 +7: -3% +5x+1
x9+3x? -4x+Rk
se obtiene un residuo de primer grado. Halle
el residuo.
A) 14x+1
B) 14x+3
C) 3x+14
D) 14x-2
E) 14x+2
CAPÍTULO Y
División algebraica de polinomios
59, Halle el coeficiente de aquel único término
n-1 n-1
central que ofrece en su desarrollo el cocien- Da2lypz
te de la división nena
abla" +0 )x "abla y bra) bx? E) a? +62
(ax-DMbx-1) >
60. Al dividir P,,, entre (2+x+1) se obtuvo por
qee residuo x+1, y al dividir P(. entre (é-x+ 1)
el resto es x-1. Calcule el resto de dividir Pa)
mo ¿a entre (-4+x2+1).
A) a? +b2
B) aio”! A) x+l B) x? O xx
C) a+b D) x*+x E) x-1
213
Claves
Problemas propuestos
NIVEL |
Up
18/p
19/06
(20/p
3/0
l14/E
15/p
16/8
9 /m
0/5
11/A
AO
2/€
Lo /B
[7 /E
112/p
NIVEL Il
EJ
C
[56 /8
55
Cc
(48/A
47
(39 /p'
57/E
(49 /E
e
(41
2/E
3/8
22/8
25/0
27
214
Vil
: m=2
e y _ Ly yA
DY :
n=
yy ... Y
>ay pat
LE $ >
SEL AA
7 eL A y
7 ak Ao.
Federico Villarreal Villarreal MW
mm...
pivisibilidad de
polinomios y
cocientes notables
CAPÍTULO VI
DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
Y COCIENTES NOTABLES
Objetivos
* Conocer y aplicar los teoremas sobre divisibilidad de polinomios.
Interpretar la teoría de divisibilidad para su aplicación en la factorización de polinomios.
+ Calcular cocientes de ciertas divisiones sin efectuarlas.
+» Hallar un término cualquiera de un cociente notable.
Introducción
En la división numérica de los enteros, la divisibilidad nos da a conocer diversos criterios para reco-
nocer divisiones exactas, con lo cual la parte operativa se reduce notablemente y sobresale la parte
analítica.
En los polinomios, la división (de elementos: dividendo, divisor, cociente y residuo) también tiene pro-
piedades de divisibilidad, que son herramientas para reconocer divisiones algebraicas exactas, pues
esto permite encontrar las raíces en un polinomio, lo cual es fundamental en la teoría de ecuaciones.
Es necesario conocer al menos una teoría básica de divisibilidad de polinomios para afrontar con éxito
situaciones problemáticas que se dan en los diversos capítulos del curso de álgebra.
Una aplicación de la divisibilidad de polinomios es la factorización; cuando decimos que un polinomio
P(, es divisible por otro polinomio f(«) debe entenderse que f,, es un factor algebraico de P,, y es muy
probable que sea un factor primo de P(,) Existen diversos criterios de divisibilidad (teorema de divi-
sibilidad, teorema del resto y/o cocientes notables) que nos facilitan la factorización de un polinomio
sobre Q, criterios que nos van a permitir hallar los factores primos de dicho polinomio.
Asimismo, los cocientes notables (al igual que los productos notables) nos permiten encontrar co-
cientes de manera rápida y directa de una división algebraica (o no algebraica) y nos ayudan en la
lactorización de un polinomio.
Por ejemplo, dado el siguiente cociente notable
7
-1
al
pad
Entonces el polinomio x”-1 queda factorizado así:
p q
CADA)
217
Vos
Lumbreras Editores
» DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS
DEFINICIÓN
Sean f(x) Y 8(,) dos polinomios de grados no nulos
con coeficientes reales o complejos. Si el resto
de la división de f(, entre 8(,) €S idénticamen-
te nulo, g(,) se llama divisor de f(,) Entonces, se
dirá que f,,, es divisible por 8, si existe un Único
polinomio h(,, tal que se verifique la identidad
de división exacta.
| f(y es divisible porg( + 31M;
£o020 Mw
En efecto, si g(,, es divisor de f,) el cociente de
la división f,, entre g(,) es A ,).
Si f(,, es divisible por g,,) entonces g,) es un fac-
tor de f.y).
Ejemplos
1. ¿Esf=x"-x-2 divisible por x-2?
Resolución
No es difícil darse cuenta que
fu) =(x-21(x+1), es decir, existe un Ay=x+1,
de tal manera que fa) =(x-2) Ao)
Por lo tanto, f es divisible por (x-2).
Otro método
Se tiene que f) es divisible por x-2 si y solo
si el resto de La) + (*-2) es nulo
Por el teorema del resto
R=f0)=2*-2-2=0
Por lo tanto, Fes divisible por (x-2),
218
2. ¿Es f,=00-4)(x+5) divisible por
8()=+3x-10?
Resolución
fo =04-4)0+5)=(+2)(1-2)(x45)
A —AAA=+4 Uy
A +3x-10
> fa)=04+3x-10)(+2)=8,,)(x+2)
Por lo tanto, f(,) es divisible por g;,.
Otro método
foy=L2-4)(+5)=x +5 -4x-20;
2()=+3x-10
Dividiendo por la regla de Horner f.,,+8;,,
se debe tener una división exacta
donde h(,)=x+2
Luego, f£o=hRw 'B(x)
Por lo tanto, f Sí es divisible por 81)
Teorema del factor
a es una raíz del polinomio P, Si
y solo si (x-a) es un factor.
Demostración ,
De la identidad fundamental de la división se tien
Py (x-0)f y +R
Como «u es raíz, entonces
P(¿=(a-a) fiy FR
0=0+R
R=0
> Ps 00)
CAPÍTULO Vi
con lo cual se prueba que (x-a) es un factor
0
? (Df, PUES (x—a) es factor
(w+
3 Pad
Esto prueba que 0. es Una raíz.
| Ejemplos
1. ¿Esac+l un factor de f=+x+2?
Resolución |
Six+1 es un factor de f(,y, necesariamente
fi? (x+ 1) es exacta.
Por el teorema del resto:
L x+1=0 > x=-1
IL R=f y=-D+(D+2=0
Por lo tanto, x+1 es un factor de f(,).
2. ¿EsPy=2+5x2-7x-12 divisible por x+3?
Resolución
Py)=2 +5? 7x — 12, evaluando en x=- 3
> P(y=0 > (x+3) es un factor de P(x
> Pi)=(:+3) 8(,); 8 es de segundo grado.
Para conocer 8(x) se tendrá que dividir P(,
entre x+3 por la regla de Ruffini.
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
TEOREMAS DE DIVISIBILIDAD
Teorema 1
Si f(,, es divisible por 8(x) Y 8(1) es di-
visible por h,, entonces f(, es divisi-
ble por hh).
Demostración
Por condición
Lo M8) (1)
800) (10)
Reemplazando (II) en (1)
fa) M) : [N) Ac) =h [My "Rgo],
de donde vemos que f,,) es divisible por A...
Ejemplo
Si f,,=x%-16 es divisible por g,,,=x?-4 y a su vez
8 (1) es divisible por h(,)=x-2, se tendrá que f,,,
es divisible por A).
Resolución
f
En efecto, por el teorema del resto en dd,
(a)
Ll hpy=x-2=0 > x=2
II. R=f¿=2*-16=0
Por lo tanto, f(, es divisible por h(,).
Teorema 2
Si f) Y 8() SON divisibles por Ay,
-la suma y la diferencia de f(,, y
8 (7 es divisible por hy.
219
Lumbreras Editores
Demostración
De la condición
fo" Mw (1)
80" "mw a
De (1) +(11)
lot8m= [Moto My HN) 40
De (1) - (11)
(0720 = M9? Mp7) +0
- Lay+80) A f97 819 Son divisibles por Ra
Ejernplo
Si f,,,=0-8 es divisible por x-2;
2. =>0-4 es divisible por x-2,
¿entonces f.,)+8.) será divisible por x-2?
Resolución
En efecto, por el teorerna del resto en ,
L x-2=0 > x=2
IL R=f +8 =2-8+2%-4=0
x-2
Por lo tanto, f,,,+8¿,, es divisible por x-2.
Si/,,, €s divisible por g,,,, el pro-
ducto de f,,, por cualquier otro
polinomio no nulo h,,, es tam.
bién divisible por g,,,.
Demostración
De la condición EMB y
Multiplicando por Mi, 20
> Lo Ay Bj
Se observa que Lu Hi) €s divisible por g.)
220
UN) +81)
Ejemplo
Si f=>4-4 es divisible por x+2,
¿entonces H()=f)8(.) Será divisible POr x+9
Resolución
Veamos por el teorema del resto:
H,
L ox+2=0 > x=-2en
x+2
Il. Hi = 10-24) :8,.7=0-8,,=0
Por lo tanto, A(,, es divisible por x+2.
8 nn,
| De los teoremas 2 y 3 se deduce que
L Si cada uno de los polinomios:
Ay Pay E Paro es divisible por 8) el
polinomio £.8 0 +08 70 +-+, Bi»
donde 8 (x) 8.,(x) ---+ 8,(x) SON unos polino-
mios arbitrarios, también es divisible por
8(1)
IL. Todo polinomio f,, es divisible por cual-
quier polinomio de grado cero.
En efecto:
Sea [50 +a +. +G Y 8930
donde c es constante no nula, un polino-
mio arbitrario de grado cero.
Entonces
c
I11.Si el polinomio f,,, es divisible por 8.) ft
es también divisible por C:8(.) donde c es
una constante no nula.
En efecto, de la igualdad f 20 80
sulta la igualdad £ y = (07 'h) (6 20)
IV.Los polinomios f) Y £() SON divisibles
entre sí cuando y solo cuando / 5H»
slendo c una constante no nula.
]
'
h
100 Divisibili ¡
ibilidad de polinomios y cocientes notables
nn —2—zZ
Teorema 4
si el polinomio Pi) es divisible sepa-
| radamente POr los binomios (x—a),
(x-D) y (x—0) tal que ax*bxc, enton-
ces Pis) €S divisible por el producto
(aa DRO.
Demostración
1 Como P(y 85 divisible por (x— a)
> Py= a)9 1,
1 Como Pq) €s divisible por (x—b) / ax*b
> yy",
IL Como P;, es divisible por (x=c) /ax*bxc
> 02500) CEN
De donde P;.,=(x — aJ(x — bx — Mg.
Luego se concluye que P(,) es divisible por
(x- ax —bMx—c).
» Nota
Recíprocamente, si P(, es divisible por (x-a)
(-bXx-0); azb+c, será divisible separada-
mente por (x-a), (x—b) y (x—c).
Ejemplos
l Si la)=x"-16 es divisible por x-2 y también
Por x+2, ¿entonces f,) será divisible por
(-2)(x+2)?
Resolución
fx)
x*-4
Por el teorema del resto en
L é4=0 > e=3
2. Si P,
Il fo=teY 16
> R=4?_16=0
Por lo tanto, f es divisible por x2-4,
341
=3 +2 ta +bx+c es divisible por
Q— 2)(x+3)(x+2),
calcule el valor de 4a — 2b +c.
Resolución
Como P( es divisible por (x — 2(+3)(+2),
entonces será divisible separadamente por
(x— 2), (x+3) y (x+2). Luego, Píy+(x+2) es
exacta.
Por el teorema del resto: P(_,,=0
A
> 48-16+4a-2b+c=0
4a — 2b+c=- 32
Si al dividir un polinomio Py entre
(x—a); (x—-D) y (-d/azbx=c en forma
separada deja el mismo resto en cada caso,
entonces al dividir dicho polinomio entre
(-ax—DA—d dejará el mismo resto co-
mún.
Así
P (y+ (a)
Pw+ a)
P (+ Q -0)
>Py+a— adx—bx—=0
> R¡(9R
> Rigo 7R
2 Rigo FR
> Riy=R
221
Lumbreras Editores
Demostración
Il. P(qy7Res divisible entre (x— a)
> Py -R=M- 0) 9,0
Il. Pq) Res divisible por (x —b)
> Py 7R=M—- b) 9,0
III. PR es divisible por (x-c)
> Pq) R=M= O da
De (1), (11) y (ID por el teorema anterior
Py) Res divisible por (x — aMx— bNMx—c)
> P() > R=(x- ad — bNAx— cx)
> Poy= (xa) DA y FR
Ejemplo
Sea Pq) =2-3x+2)(x+1)+3
P
En sr , su resto es 3
PB)
En , su resto es 3
x-2
Rx)
de bié ?
En ET SU resto también es 3
Resolución
En efecto, por el teorema del resto
L—(<-1)4-2)=0 => x-3x+2=0
ll. Py =(2-3x+2)(+1)+3
0
> R=0(1+1)+3=3
E,
Por lo tanto,
Teorema 6
En toda división de polinomios, si al di-
videndo y al divisor se les multiplica por
un polinomio de grado no nulo, el co-
ciente no se altera, pero el residuo que-
da multiplicado por dicho polinomio.
222
AL dejé le bié e '
GD 9 4eja también resto 3,
Demostración
L Dw"lalo+R
II. Multiplicando por S;,; Sí) +0
Do Sco= [da St] + [Rey S;,)]
De donde se observa que el residuo Queda mul.
tiplicado por S;,, y el cociente es el mismo,
Ejemplo
2x% -7x +4
Halle el resto en ———..
x“-x+l
Resolución
Multiplicando el dividendo y divisor por x+1
(233 -7x+4)(x +1)
2
(21% -7x +4)x+1)
(2 -x+D(+D +1
Por el teorema del resto: +1=0 > 4é=-1
Luego, el resto es [202)" -x-73+4|(0+1)
Ry= [220 -x-7x+4](x+1)
Ry 9 + (+1)
Como el resto quedó multiplicado por x+1, se
tendrá que R(,)=—9x + 4.
Teorema 7:
En toda división de polinomios, si al |
dividendo y al divisor se les divide |
por un polinomio de grado no nulo, el |
cociente no se altera, pero el residuo |
queda dividido por dicho polinomio. )
Demostración
L Dusdwudw+Rw
II. Dividiendo por S(,y +0
D, Ó_ A Y. + Ru
y a 4)
So Su) Si)
: a divi-
De donde se observa que el residuo queda
dido entre S;,, y el cociente es el mismo.
CAPÍTULO vi
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
gjemplos
1. Halle el residuo en
ex ADA
(Dx +1)
Resolución
Dividiendo al dividendo y divisor por
(x- 2 (x+1) se tiene
(2x + D(x +2)
x-2
Por el teorema del resto: x-2=0 >= x=2
: Ry=(202)+1)2+2)=20
Como el
(2D +1)
resto quedó dividido por
> R¿y=200-2 (+1)
1)
. Sea P(,) un polinomio con las siguientes ca-
racterísticas;
Il. Mónico cúbico
ll. Divisible por x?-1
¿Cuánto vale su término independiente?
Resolución
Un polinomio mónico y cúbico es de la forma
Posd+md+nr+q, como es divisible por
e
l entonces escribimos
Po=téD)(+a)
Además, Py, =(22-1)(2+4)=12
> Ma+2)=12 > a=2
> Prsle1)r+2)
u ARA
*80, su término independiente
TI P=
PP =(0%1)(0+2)=-2
Ejercicios para el lector
Halle el resto en cada una de las divisiones.
1 Bn 9
x2+3x+3
(2? -2x+ y
(x-D?- x
+X
UA
3 2
IL 7
XU+ Xx
+x+1
(2x5) (3x +1)(x 2)?
Iv. -
(3x +1D(x - 2)
y 8 4x5 10x +12
: A
A e +2x2-1
4 em 1
vil e =2)P= (2 -x)+1
x?-2x-1
un. LP +0 37142
: (x-3)Mx -4)
eo Ora ol
ds xXx
Le -D+2? (+2) + 1 +2
dl VOZ Se ESPARTA
X. x2+3x+2
2 2n-1
A (x-4)2" +(x-5) e
" (x-4)(x-5)
1
XII (ey al 9911
xe-—x+1
Lumbreras Editores
» COCIENTES NOTABLES
DEFINICIÓN
Llamaremos cocientes notables (CN) a los co-
cientes que se obtienen en forma directa, es de-
cir, sin la necesidad de efectuar la operación de
división.
Las divisiones indicadas que dan origen a estos
cocientes notables son de la forma
Mediante la combinación de los signos se pre-
sentarán cuatro casos.
Poyo x"4y"
x-y x+y
x”-y" x"+y"
x+y x-y
Caso I
ii yy
5 neN
a. Veamos su resto
Por el teorema del resto: x—y=0 > x=y; luego
se tendrá R=y"-— y"=0,
Nos indica que para cualquier valor natural
de n la división será exacta.
b. Su cociente
Efectuando la división por la regla de Ruffini
E E y"
Pe ] se tendrá
224
n
xo] .
=x Hal rl
x-1
2. Simplifique
3_,3
y 2 2
a. =X +xy+
X=y Xy + Y
4_,4
x"- ;
b. Y rt y
xy
5_,5
3,y
e. Par ay y ay) +y
AY
A
x'*- ; si
En 22 no se genera cociente nolabl
Siendo el cociente de la forma
ART YI y
En general, el cociente se obtendrá de la sigui |
en.
te forma: ]
1
n n 2
— pl, 2 n-3.2 13
XX YA y Ml,
x-y y 1aNa y
Y
Observe que todos los términos tienen signo (+ )
Ejemplos
1. Simplifique
x?-]
=x+l
3_ "
po =x+x+1
x-1
4
x"—-]
=x 4 x?
x-1
+x+l
En general, Vne N, n>2
porque —7 £ N,
Divisibilig inomi
rio Y ad de polinomios y cocientes notables
3n :
Y” - Y no se genera cociente notable
4 Ty
porque 3/2 € Ñ:
Halle el cociente notable generado por
5.
5_
[CU
(3x)-1
Resolución
Su cociente notable es
a+ +,
gue es equivalente a
8 +27+9+3x+1.
TEOREMA DEL TÉRMINO GENERAL
Finalidad
El teorema tiene por finalidad calcular un térmi-
no cualquiera (1) del cociente sin necesidad de
efectuar el desarrollo de dicha división.
Teorema
Dado el cociente notable
y a
| pa , Un término cualesquiera f, es
Igual
|
ARAYA 1,23.
NES
Demostración
5
A 1 xp n-3,,2
X-y + yx yo +
Vemos
=yp1-1
ti=X'"" = término de lugar 1
,=X"7% > término de lugar 2
L=X""Y > término de lugar 3
14=22 —= término de lugar k
Por inducción
t =xmtyla!
to = 221
ly = 07
( | par, | k
=1;2,3;..:n
REA,
Ejemplos
0 _ yo
1. En el cociente notable de , halle el
término de lugar 15.
Resolución
x"-y" n-k k-1
Recordando en > lp=x y
En el problema: n=60 a k=15
60-15, ,,15-1
Y
> t¡5=X
45,,14
h¡5=X y
40
_ 30
2 halle el
a-b
2. En el cociente notable de
término de lugar 21.
Resolución
Para aplicar la fórmula general, hay que ex-
presarlo antes como
xy"
x-Y
225
En 40
av - (b?)
a-b?
Luego, el término de lugar 2l es
(gon 237 ¿po
tar
»» Nota
Y y"
es un poli-
l. El cociente notable de
nomio homogéneo de grado de homoge-
neidad (n-1); es un polinomio de n térmi-
nos completo y ordenado con respecto a
ambas variables.
II. Si contamos los términos a partir del
último, para hallar el término de lugar
solo intercambiamos los exponentes así
F yl
ly = ly ok
y
3. ¿Es xy"? un término del cociente notable de
Resolución
Como el término es de grado 15 y 15 esel gra-
do de homogeneidad del cociente notable
generado por cs > x5y!o
X-y
xy!? sí es un término de su cociente notable.
, entonces
4. ¿Esaéy!! un término del cociente notable de
y19 - y!9
?
x-y
Resolución
No, puesto que el grado de homogeneidad del
cociente notable será 18 y
este término es de
grado 16. DN
226
5. Del cociente notable generado por yo
biz
calcule el valor de A)
Resolución
Utilizando la fórmula general se tiene:
=P y ay!
19-18, ,,18-1
gay o = xy"?
tp =x 19-16. y16-1 3315
Luego lo buscado
x+y
a. Veamos su resto
Por el teorema del resto: x+y=0
> x=y > RAIN
. ¡nespar >R=0
Si.
sE ] : n
[¡n esimpar > R=-2y
b. Su cociente
Por la regla de Ruffini
L. Sin es par
Entonces
n n
x —y el 80
J yn 1 pe 2,
x+y
ALO Y Misibilidad de polinomios y cocientes notables
y, Sin es impar
Entonces
y" ml 2, 3,2 1, 2y"
E O A
x+y : Xx+y
»» Recuerde
En una división inexacta se tiene
Deo = dudo +
Su cociente sigue siendo notable, pero la división no es exacta.
De este modo lo resumimos en el siguiente cuadro.
División indicada Cociente notable Resto o residuo |
$PO al
x”-y" nulo
y AY ya
Y vneN
| Al
x”-y” Ay y | nulo sin es par;
AH AA yy -2y" sin es impar
xy” PAY AY | ulo sin esimpar;
x+y Aa yaa y 2y” sin es par
e O IA
lO. x-y yyy" ,
227
Lumbreras Editores
__ ___ »>z_————_ 50 AAA AAA
- En general:
Se tendrá también que algunas divisiones
n + y” ]
de la forma ¿” Beneran cocientes no-
x“iy
tables. La única condición necesaria y sufi-
ciente es que
donde r representará el número de términos
del cociente notable.
Ejemplos
¿Genera 7 cociente notable?
E y
Veamos 2-2 =10, Sí genera cociente
notable y tendrá 10 términos.
xo 30
¿Genera 477 ¡
yn y cociente notable?
30_30_15
Veamos Er = 4 = a: No es entero, enton-
ces no genera cociente notable.
¿Qué lugar ocupa el término de grado 34 en
yx _y20
ls ars
xi - y
el cociente notable generado por
Resolución
Sea el término del lugar k en
2 _ 20
pel y la = (2
xXx -y
Por dato, el grado del término será
2(20—R)+k-1=34 > k=5
po.
y
Luego, el término en mención ocupa el quin-
to lugar.
13m+l _ 8m+2
y
Calcule m si la división — ma Be
nera cociente notable.
Resolución
Si genera cociente notable, entonces
13m+1_8m+2 _
=r,; neN
m+1 m
E
(*)
De (*)
l3m+1_8m+2
m+1 m
> 13m*4+m=8m*+10m+2
> 5m?-9m-2=0
e (5m+1)(m-2)=0; mel” > m=2
Asimismo, para m=2 se obtiene r=9.
co
Por lo tanto, para m=2 se obtendrá UN
ciente notable de 9 términos.
» >
Biocraría
E René Descartes
Nació en La Haye, Touraine, Francia, el 31 de marzo de 1596
y murió en Estocolmo el 11 de febrero de 1650. Fue un filó-
sofo, matemático y científico francés, considerado como el
padre de la filosofía moderna. Su obra más conocida es El
discurso del método (1 637).
Fue el tercer hijo del jurista Joachim Descartes y de Jean-
ne Brochard, quien murió un año después del nacimiento de
René, durante el parto de un niño que tampoco sobrevivió.
René y sus dos hermanos fueron educados por su abuela,
pues su padre los dejó al contraer nuevas nupcias con una
doncella inglesa.
En 1604 ingresó a estudiar en La Fléche, un colegio jesuita,
durante ocho años; ahí adquirió una sólida formación en la cultura clásica, donde aprendió latín
y griego con las lecturas de autores como Cicerón, Horacio y Virgilio, por un lado, y Homero,
Píndaro y Platón, por otro. También estuvo en contacto con los textos filosóficos de Aristóteles,
así como con otros de tipo matemático, de los que obtuvo nociones de las matemáticas puras y
aplicadas como la astronomía, la música y la arquitectura. Posteriormente, ingresó a la Univer-
sidad de Poitiers para estudiar Derecho y Medicina, de donde se gradúa en 1616.
Dos años después se enlistó en el ejército del principe Mauricio de Nassau y fue enviado a
Breda, en donde conoció a Isaac Beeckman, el mejor matemático de Holanda de la época,
gracias a que resolvió un problema matemático que se encontraba en un cartel en medio de
la calle. El contacto con Beeckman estimuló en gran medida el interés de Descartes por las
matemáticas y la física.
Tras abandonar su carrera militar, Descartes viajó por Alemania y los Países Bajos, y regresó a
Francia en 1622 para vender sus posesiones y asegurarse así una vida independiente. Pasó una
temporada en Italia (1623-1625) y se instaló luego en París, donde se relacionó con la mayoría de
científicos de la época. En 1628 decidió irse a Holanda, pues consideró que era el lugar más favo-
rable para cumplir los objetivos filosóficos y científicos que se había fijado, y resido am hasta 1679,
229
230
Durante el tiempo que permaneció en ese país, un poco más de veinte años, escribió y public
sus principales obras: El discurso del método, Dióptrica, Meteoros y Geometría, en 1637: las
Meditaciones metafísicas, en 1641; los Principios de la filosofía, en 1644, y el Tratado de las
pasiones humanas, en 1650.
En septiembre de 1649, la reina Cristina de Suecia, admiradora suya, invitó a Descartes a Es-
tocolmo, porque requería de sus servicios como profesor de filosofía. Cinco meses después, el
41 de febrero de 1650, a los 53 años de edad, Descartes murió de neumonía.
Algunos han especulado sobre la posibilidad de que hubiese sido envenenado por los lutera-
nos (para impedir que un católico influyese en la reina sueca), pero, probablemente, las frías
madrugadas de Estocolmo propiciaron su muerte, debido a que la reina iniciaba sus clases
diarias a las 5 de la mañana, a pesar de que a Descartes se le había hecho costumbre, desde
muy niño, levantarse cerca del mediodía.
En 1676 se exhumaron sus restos, y fueron colocados en un ataúd de cobre y trasladados a
París para ser sepultados en la iglesia de Sainte-Geneviéve-du-Mont. Sin embargo, durante la
Revolución francesa sus restos fueron removidos y colocados en el Panthéon, la basílica dedi-
cada a los grandes hombres de la nación francesa. Nuevamente, en 1819, los restos de René
Descartes cambiaron de lugar y fueron llevados esta vez a la iglesia de Saint-Germain-des-Prés,
donde se encuentran en la actualidad.
El legado que Descartes ha dejado es extraordinario. Considerado como el padre del
mecanicismo, aplicó las matemáticas a las ciencias y a la filosofía. También creó el método
deductivo, la geometría analítica e introdujo un sistema de coordenadas, llamadas cartesianas
en su honor. Además, fue el fundador del racionalismo. Logró influenciar en las generaciones
posteriores debido a que su obra marcó un antes y un después en la historia del pensamiento,
consiguiendo dejar el camino abierto hacia una concepción moderna del mundo.
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/René_Descartes
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm
http://www.webdianoia.com/moderna/descartes/desc bio.htm
BIOGRAFÍA »
| - Problemas
pesolución
So es Un
será de la forma P()= 0-24:
e Si Pp) 25 mónico, entonces 4) es también
mónico Y será lineal, es decir, (,)=Xx+4.
Luego, Py =D (x+a)
Recordando que la suma de coeficientes se
consigue con P() y Se tiene como dato
Py 01-20 +a)=-4 > -l-a=-4
cuadrático divisible por (x-2),
> 0=3
Por lo tanto, el polinomio buscado es
Py =(-2)01+3)
Problema 2
Halle un polinomio cuadrado perfecto de segun-
do grado y de coeficientes enteros tal que su tér-
mino lineal es Gx,
Msolución
Sies cuadrado perfecto de segundo grado, será
dela forma
Py=(ax+b)?,
Que es equivalente a
Posa +2abx+b?.
Por dato
l0b=6 >, ab=3
Como P
(a) €s de coeficientes enteros, se presen-
"dos casos;
0b=3
NM
3
A Prosa = + 6x+9
> Prosa 1 =9 +61 +1
” RESUELTOS '
Problema 3
Halle un polinomio cuadrático que sea divisible
porx-3 y x+2, cuyo término independiente
es -18,
Resolución
Si es divisible por x-3 y x+2, el polinomio
P¿,) es de la forma
Po) (3142) 7,
Si P(,, es cuadrático, entonces ((x) es cons-
tante.
Luego, P(,=(x-3)(x+2) q
Del dato del término independiente Pi) =-18
Poy=301)=-18 > q=3
Po)=3(-3)(x+2)
Problema 4
Dado un polinomio P,,,, tal que
l.. P(¿-2€s divisible por x-2;
Il. P¿y+2 es divisible por x+2,
calcule el resto de dividir P(,, entre 4-4.
Resolución
De los datos
Ll P(y-2 es divisible por x-2
> Pay)-2=(x-D4 00
> Pí)=(x-29 (1) +2 (0)
Il. P(y+2 es divisible por x+2
> Py +2=(x+29,00)
> Pay=00+29,0072 (B)
IIL Sea Ax+B el resto de dividir P¿,, entre x?-4
> Piy=b2-4Q()+AxX+B (5)
231
Si x=2, en (a) y (*) tenemos
= (2 +24+B
Pa) = 0-20) +2= (24) (o)
Co :
> 24+B=2 0)
Si x=-2, en (B) y (*) tenemos
Py = 232,00 -2= [224 JO, -24+B
0
> -24+B=-2 > 24-B=2 (0)
De (y) y (0) se obtiene A=1;B=0.
Por lo tanto, el residuo buscado es: x.
Problema 5
Halle el polinomio P,, de tercer grado que sea
divisible entre (x— 2) y (x+3), cuya suma de co-
eficientes es — 4 y tenga por término indepen-
diente a 6.
Resolución
Como el polinomio P(. es divisible por (x-2) y
(x— 3), entonces será divisible por el producto.
> Ry) = (2 Mx +3) - q,,)
2 grado er grado
Sea q) =4x+b
> Piu=(— 2)(x+3)(ax+b)
l. Suma de coeficientes
Py =0 -2)(1+3)(a+b)=- 4
2. Término independiente
Pry=(0= 21(0+3)(a(0)+b)=6
> (-2(3)b=6 > b= -1
En (1): a=2
Pr) 2(+3)(2x — 1)
232
Problema 6
Al dividir un polinomio P,, entre (+1) y (:=1)
se obtienen como restos 2 y 4, respectivamente
Halle el resto de dividir dicho polinomio an
1.
Resolución
De los datos:
Piy+ (+1) > R=P1)=2
Pay + 1) > R=P(1)=4
Además
Pq) + Le - 1) =4 R(¿=4x+b=22
De donde .
Piy=Lé- 1)9(+ax+b
Evaluando en
x=1:P()=a+b=4 0)
x=-1: P(_)=-a+b=2 (1D
Sumando (1) a (ID
2b=6 > b=3
De (D:a+1=4 > a=1
R()=x+3
Problema 7
Un polinomio P¿,, de tercer grado se divide sepa:
radamente entre (x—1); (x—2) y (x+3), dalen
como resto común 5. Además, al dividirlo E
x+1 da un resto igual a 29. Calcule el término
independiente de P(,).
Resolución
l.. Se sabe que al dividir P(,, entre (x
deja el misM
MS D; (x - 2)
o resi-
y (x+3), separadamente,
duo, que es 5.
Aero vi Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
tonces, al dividir el polinomio P¿ entre
Da- 2)(x — 3) dejará al mismo resto 5.
PE
(
Ry =D 2 +3) Io) +5
x A
yor grado grado cero
¿PD Dg (0)
1 Pt 0D > R=FEy=la
En (a) hacemos x==1
si Py CIDE 12) 1+3)q+5=29
> (243)12)q=24 => q=2
De (1) y (11)
Py =2x% -DQ-2)(x+3)+5
Luego, su término independiente es
Py =2 DEJB6G)+5=17
Problema 8
Al dividir P(,) entre (x+1) se obtuvo como resto
2. ¿Qué resto se obtendrá al dividir (P,,,)'" entre
(x+1)?
Resolución
Por el teorema del resto
L Py+ (+1) > R¡=P(-1)=2 (D
IL Po + bl) > Ra=PR,, 0)
Porlo tanto, de (1) y (1)
R,=2'=1024
Problema 9
Halle el resto de dividir x'96-—]
Me,
Resolución
Multiplicando al dividendo y al divisor por x-1,
se tiene
(y166 1-1) e (166 _1)( y - 1D
CAN x*-1
Por el teorema del resto: x'-1=0 > x%=1
En el dividendo: ((41)" ,2 _ Du»
> Rigy= 1 2-1) 1)
Riy= bé 1-1)
Como el residuo quedó multiplicado por (x—1)
> Riy=é-1
Problema 10
Sif.¿004+3x 400 +3 —2x — (a+5)
es divisible por 2, =x"—bx+2+bx -P,
además g(,) es divisible por hu =L2-1062+2),
calcule el valor de (a.+B).
Resolución
Si f(,, es divisible por 8.) y 8(,) es divisible por UT
y A() es divisible por x—1, entonces tanto f.,, y
8() Son divisibles por x—1, de donde:
f(y=0 > a+3+04+3-2-a-5=0 > a=1
£8()=0 > 1-b+2+b-P=0 > PB=3
a+p=4
Problema 11
Si los polinomios
foy=é+ax+6 y 89 +bx+3
son divisibles por h,=2x+c, calcule el valor de
(ac—bc).
233
Resolución
Como f y g son divisibles por ha, entonces (f-g)
es divisible por h.
De donde
(2+ax+6)-(2+bx+3)=(2x+c) Mi
> (a-b)x+3=(2x+c) mx)
Por identidad: m¿,,=m constante (m0)
(a-b)x+3 =2mx+cm
US
| a-b=2m 0)
se | 3=cm (11)
De (1) +(1D)
2 E = > ac-bc=6
ac—bc=6
Problema 12
Si el polinomio P(,=x'+2+x" es divisible por
fx — x+1, calcule el valor de A.
Resolución
ComoP¿=x"('+2:2+1) es divisible por"—x+1,
entonces x*+212+1 es divisible por x?-x+1.
Luego, por el método de Horner
ComoA-1=0 > A=1
234
Problema 13
Halle el resto en la siguiente división
n_
Geol 4 +04 +1)
(x-D(x+D(? +1)
Resolución
Efectuando se obtiene
Por el teorema del resto
x-1=0 > x=]
n-
Como el dividendo es Dy;, =(x1) -1,
luego reemplazamos x*=]
> Riy=(1)4!-1=0
. R()=0
Problema 14
Determine un polinomio de quinto grado que
sea divisible entre 2x*- 3 y que al dividirlo sepa-
radamente por x+1 y x-2 los restos obtenidos
sean, respectivamente, 7 y 232.
Resolución
Por identidad fundamental
Pry=(2x*-3) 91
Sea q, =0x+b => Po) =(2x* -3)(ax +b)
I. De dividir
PyrA+1) > Ri=PL1)
> [2-0*'-3lla(-D+b]=7
. a—=b=7 (a)
II. De dividir
Py +2) => R3=Pg)
> [2(2)'- 3](2a+b)=232
2a+b=8 ($)
De (a) y (B)
a=5 A b=-2 > Poy = (20 -3)60-2
er se obtiene un cociente nota-
gialdividir 53,
5 1érminos, ¿cuál es el valor de a+b?
ple de
pesolución
pera cociente notable se tendrá
sige
(número de términos)
Problema 16
¡Cuántos de los términos indicados pertenecen
81 _,54
io
Ay
II. x18y%
Iv. 121y8
al cociente notable de
Ly
Il Y
Resolución
ly
Ay
lodos los términos deben ser de grado 26.
27
Como es equivalente a , entonces
Sihacemos un cambio de variable: x=a, y =b
a _ y
ars a + ap +. 4 ps
Ad
Pula los exponentes de 13 e y? deben sumar
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
Por lo tanto, tres de los indicados son términos
81
. o - y”
del cociente notable de 22% 6
Ne y
Problema 17
Determine el valor de (m+n+p) sabiendo que
el término central del cociente notable genera-
3_ 3
xa, 040
do por = es el noveno término y
x"+y
tiene por valor x? y%,
Resolución
Como el central es el término noveno, entonces
existen 17 términos.
da 3.
m-144 _ n-40 =17
m
|
(a
o
3_
Dem: HL 7 3 0 17m +114
m
m=6
n3-40 3
De (2): ———=17 > n*=17n+40
n
n=5
(y8 y +(y5)"
6
Luego, la división indicada es 5
x+y
»» Nota
a”-p”.
t = grp
ab"
En
> po (7 Ly” =x 180 y0,/0
> p=48
:. Mm+in+p=59
235
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Problema 18
Halle el valor num
abp
érico del término central en el
desarrollo de
' 2, p2
siendo a=2V7 y b= 3/3 , además p=a*+b".
Resolución
Dando forma
8l(a +1)” -la-b)?] Ñ pto ao
La? +02)ab 18 El (a+bY -(a-bY'
existen p términos en su expansión, entonces
2 2 o
p= a? +b? =(2/7)' +(3/3)' = 55 términos.
Luego
istasallaiT lao T”]
> (¿=t=8la?-621'"
Como a?-bt=(27) -(343Y =1
. 1 228()8
Problema 19
En el cociente notable generado por la división
x20m+35 20m-57
+y
m+) m-3 !
determine el valor de m e indique el número de
términos.
Resolución
Como genera cociente notable, entonces se
cumple
20m+35 20m-57
m+l ma 3%
donde q es el número de términos.
236
De donde
20m +35
m+1
20m- 57
m-3
De (D-(ID)
92=40 > a=23
Su desarrollo tendrá 23 términos.
=0d > 20M+35=m0u + q (M
=0ad > 20m-57 = ma - 3q (in
Asimismo
20m+35=23m+23
> 3m=12
m=4
Problema 20
En el cociente generado por
x0_ y?
Ay
existe un término central que es igual a Xy”.
Calcule el valor de a+b+c.
Resolución
Si genera cociente notable se tendrá
n n
a_b (13) (y”)
3 7 5 y
Si hay un término central, n es impar
E A E
listay=(é 2 (y”) 2 =Xy
2
7
> ¿(M-1=231 > n=67
Luego
3
c=3(67-1) > c=99
Resolvemos
a b
==== = 201; b=469
377 67 > a=201,b
a+b+c=769
rminos del siguiente co-
ión
pesoluc
sala división algebraica
(6) - (a y
era
ye genera a dicho cociente notable del cual
la oa dos de sus términos consecutivos.
se
e aos y pom pal 195,140
Por ser idénticos
, (1!=1 => Resimpar
. 5(n-k)=195 => n—Rk=39
, T(k-1)=140
> k=21 1 n=60
Por lo tanto, el cociente notable tiene 60 térmi-
nos.
Problema 22
Reduzca la expresión S.
$ A!
AAA a
x "+1
Resolución
Podemos observar que tanto el numerador y el
denominador son cocientes notables.
a xo _
El numerador es exacto
+
b. Eldenominador
40
ST A 2 e pr
+1 x2+1
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
Luego
yb p
s2ó perito
+
x0+ lo (057)
|
Problema 23
La siguiente división genera un cociente notable,
16%/4 - 8/2
E
Calcule su término racional.
Resolución
Dando forma a la división
ANAIS Y
RA NZ NA N2
Donde un término cualquiera del cociente es
27) kl 2(R) RA
.22=2 3 2
qua yan 7 E
Como se quiere tener el término racional, entonces
de k) — debe ser entero.
> q=23 7 =16 v p=2*
Problema 24
En el cociente notable generado por la división
A e
Vx Vx
¿cuántos términos son racionales enteros?
237
—
Resolución
Tomando un término cualquiera
354 , del
hs Nr > rl Ze
La naturaleza de los términos dependerá única-
mente del exponente de la variable
35-k R-1_
—— + — =
> (17 - > 2) es el exponente.
Recordando que un término es racional entero
si los exponentes de sus variables son enteros y
Oo o o
positivos: k-1=2 a R-1=3 > k=6+1
Luego k=1; 7; 13; 19; 25; 31. Y para cualquiera
de estos casos
17-41, 4-1
2 3
resulta entero positivo.
Como k toma 6 valores, entonces 6 términos se-
rán racionales enteros.
Problema 25
Si la división algebraica
Qr
(5x-D% +(5x +1
x
origina un cociente notable en el cual un térmi-
no tiene la forma A(25x?- y, calcule A+B.
Resolución
Damos forma a la división.
só l 5x-D% +(5x + Led
10x
»» Nota
10x=(5x-1)+(5x+1)
10: DPS 5x4 1%
(Sx-D+(5x +1)
238
Un término cualquiera (de lugar ) es
(,= (signo)(10(5x— 154 1)4-1
Equivalente a
A(5x- DP (5x+1)2
> 99-k=k-1
k=50
> t5p=-10(5x 1) %(5x+1)%
> A=-10 y B=49
A+B=39
Problema 26
(ey (xy
8xy(x? + y?)
ciente notable, calcule el valor numérico del tér-
Si la división
Por ser del lugar par, será de signo (-):
genera un co-
mino central.
Para x=3 e y=2V2
Resolución
»» Nota
8xy( y) = (+) -(x y
Luego se tendrá
(x+ yy. (x= yoo
(rey)! (ay)
Haciendo
(+ =m; (x- y) =n
25
tendremos
m-n
6 ¿ 13,
cuyo término central ocupará el lugar
ai ll 2
25-19, 131 2 24 128 (mn)
> tiy=m 1
sendo en términos de x e y
: 12
qe 0)
lu
graluando en x=3, y=2N2
son (3:200)= 13 ay] =1
Problema 27
Sabiendo que al dividir
¿de cuántos términos estará compuesto su Co-
dente notable?
Resolución
Si genera cociente notable se tendrá
donde u es el número de términos.
Damos forma a la división
(ay yaa]
(1), (y9"-1)
Hallamos el segundo término: f,.
2
IO
Corno son idénticos
Xx (7-1) -2)=16
y (89-1)1=8 > 3"-1=8
De(M: 8a-2)=16 > 0=4
Por
lo tanto, tendrá 4 términos.
e obtiene como segundo término — y,
0)
(11)
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
Problema 28
¿Qué lugar ocupa el término de la forma
Rlab(a+b)*]"
del cociente notable generado por
(a+b)?-(ab)",
al +3ab+b?
Resolución
Damos forma a la división
a?+3ab+b*=(a+b)+ab
Ñ
En [(a+b*) -(ab)'
(a+b) +(ab)
Sea k el lugar del término buscado
H-k
ty = A llar 0?) ao”
Por dato
11-k=k-1 > Rk=6
Por lo tanto, el término buscado ocupa el lugar 6.
Problema 29
Un polinomio P,, de quinto grado verifica que
Po=Pen=Pw=Pia=?
y al ser dividido por 1-3 se obtiene como resi-
duo -6x+17. Halle el coeficiente del término de
segundo grado de dicho polinomio.
Resolución
De los datos, podemos concluir
L Py+-D > R¡=7
IL Py+tA+D >
Il. Py+0-2) > R¿=7
IV. PyyHA+2) >
Por teorema
Po) +4 DA+ DA 2D0+2) > R¿=7
Py= 0 DO+ DA -— D(x+2)G,)+7
239
Lumbreras Editores
A A A
Como P(,, es de quinto grado > q()=0x+b
> Py=0-D0+D0O—- 2)(x+2)(ax+b)+7
> Pi) =Le-1)02-4)(ax+b)+7
Al dividir P¡,)+L—3) por el teorema del resto
obtendremos
*-3=0 > x*=3
Entonces
Ruy=(8— DG Ylax+b)+7
=-2(ax+b)+7
Por dato
-2(ax+b)+7=-6x+17 => ax+b=3x-5
Luego
Poy =L2- 1)02 - 4)(3x - 5)+7
> Pa)=lel-5+4)(3x —5)+7
De donde el coeficiente del término cuadrático
es (- 5)(- 5)=25.
Problema 30
11,11
Si al dividir 221
RENT se obtiene un residuo
(ax+b), calcule el valor de S = == ;
Resolución
Haciendo 3x=z
+1
22+22+4
Recuerde que si multiplicamos al dividendo y al
divisor por z-2 el cociente no se altera, pero el
residuo queda multiplicado por z-2.
MONEDA
—
(22 +22+4)(z-2) E
22-22 M+ 2-2
id» A
2-8
> R¡=R(z-2)
240
Por el teorema del resto: 3=8
> R¡=81-2(8)22+2-2
00 14,
8224)
Luego
R¡=-8%-2(2 -2(2+2)+z -2
Entonces
Re-y=(2-2(-8*-2(2+2)+1)
Por lo tanto
R=-2:8(2+2)+1
Reemplazando z
Ry=-2:8(3x+2)+1
Riy=-6:8% -4:8+1
que es idéntico a ax+b
> a=-6:8% b=-4-8%4+1
De donde
en (4-8 +1)- (6:83)
Ñ 41
2.841
S= =25
41
Problema 31
En el cociente notable que se obtiene de
xam _ yen
el décimo término contado a partir del final es
independiente de x. ¿Cuántos términos raciona-
A ?
les enteros contiene dicho cociente notable!
Resolución
Il... Si genera cociente notable se tiene
am bn
id A
2 -3
II. Damos forma a la división indicada
(12) - (173 y
xi
y”
(aptrULO vi E
u décimo término partiendo del final
105 $
y
pendiente de x
a=16
n
puna a 10) 418
ho?
como es Inde
ga 10)+18=0 >
(AG
2) -
uego la división €5 xx” '
donde cad
pe la forma
7 Ly o ya
a Res 16
Como se quieren términos enteros
35-520 O RS 7
Porlo tanto, €
Problema 32
Halle el resto en la división indicada.
a 2405 42% 4 19
0 43x%+3x +2
Resolución
Factorizando el dividendo y el divisor se obtiene
Dar 215 +1)
Dl + +1)
Si cancelamos x+2, el resto buscado sería
R=R|:(x+9), siendo R, el resto en
2x5]
4xl
Calculando R, por el teorema del resto
3 = 1
2
Y +x+1=0, de donde
x“=-x-1
Pero el dividendo es La)". e +20) +1
> Rs 1)+2(05+1=2-x
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
a término de su cociente notable tie-
xisten 7 términos racionales enteros.
Luego
Ro=Q-0+x)
Ry)=4-
Problema 33
Un polinomio P¿) Mónico y de segundo grado
al ser dividido entre x+3 da como resultado un
cierto cociente Q¿, y un resto 12. Si se divide Po)
entre el mismo cociente aumentado en 4, la di-
visión resulta ser exacta. Halle el resto de dividir
P() entre x— 5.
Resolución
l.. Delos datos tenemos
> Ry =(x+3)Q,,) +12
(a)
Il. P(= (4+4+4)q(,)
Pero
(+3)(x+a)+12=(x+a+4)(x+b)
> +(a+3)x+30+12=2+(a+4+b)x+
+b(a+4)
De donde
d+3=4+4+b n 3a+12=b(a+4)
b=-1 an 3a+12=-a-4
da=-16 > a=-4
En (D)
P(y=(x+3)(-4)+12
P
Debemos hallar el resto de 2 luego Ri) =P(s5)
Problema 34
Al dividir el polinomio P(«) Por (é2- 1) se obtie-
ne como residuo 2x, y al dividirlo por (x— 2) da
como residuo 3x. Halle el residuo de dividir P(x
por (x — 1)(x— 2).
241
Resolución
De los datos
L Po) +Lé-1) A R(y52x
> Pi9y=Lé- Day +2x
ll Py +2 A R¡()=3X
> Pi) = (e 29 1(4) +3x
UL. P(y+(— D(x-2) an Ray=ax+b
=> Py= DA SS 2192) +ax+b
En (11D)
Six=1 > Pg)=a+b (a)
Six=2 > P()=2a+b (B)
De (D),six=1 => P()=2
De (ID, six=2 => P()=3(2)=6
Luego en (a) y (B)
id o A
2a+b=6 "2 97
Por lo tanto, el residuo buscado es
Ray =4x -2
Problema 35
Los polinomios
Pos 141112 3x=1;
Qw=3+8x 149 +15x2+10x+9
son divisibles por x?+x+1,
Halle el resto de dividir (o? wo+800] entre
x+x+l, sabiendo que fo;
no constantes.
242
8(.) Son polinomios
Resolución
Sean Pg) y Qu) divisibles por x"4x+41, entonces
Pcy=L2+x+1)g, 6)
Qu)=L? +x+1)g,()
> Fay Pro= he +x+ Do 0 0
860" O=L4+x+1)20)9,0
SLP +t8 0 =Lé ++) 9,0)+80r94,
Se observa que
foP 048004) es divisible por "+x+1,
Ri)=0
Problema 36
Si un polinomio P¿,, es divisible por +x+l,
calcule la suma de los restos de dividir A, y Bj,
entre x—1, sabiendo que P(,=XA(2)+B¡2)
Resolución
Del dato: P(y=L+x+1)Qp
Por el teorema del resto
É+x+1=0 > (x-D(2+x+1)=0
> xé=1
Reemplazando en P(,)=XxA()+B(+)
tenemos
=0
R=xA()+B(1)=0 > A()=0 a Ba)
A e
Luego, el resto de A a es Ap) y el resto de 7-1
es Bi).
A(y+B(1)=0
ro
es
Test G
indique el valor de verdad de las siguientes
Indiq
proposiciones:
y-3x+2 es divisible por x-1
1 3%- y'-9 es divisible por x?+1
1. 2-1 es divisible por x 31
B) VVF C) VFV
E) VFF
a) VVWV
p) FFV
Si Pia, Y O(s) SON divisibles por d(,), no siem-
pre es cierto que
A) Py +30(9 +4 es divisible por d,.
B) Pq) +Qí, es divisible por d;,).
q E 2 es divisible por du:
Qu)
D) Pi +Qí, es divisible por dez:
E) Piy-Qíy es divisible por dl.
15
Indique cuál es el resto en 4 7 qn
x*-1
A) 1 B) l-x C) x-1
sd E) 1
Calcule la suma de coeficientes del cociente
v9
de diviqiy EX +1
x-1
A 7
D) 1 cds
0) 9
E) 6
o
5,
Indique cuál es el valor numérico del co-
ciente evaluado en 2, que resulta de efectuar
Pr 7
Ed
x-1
A) 216_1 B) 212 0) 2"-]
D) 2-2 E) 21541
Halle el término lineal del resto obtenido en
(xD (x-2)
A) 13x B) -13x C) 26x
D) -26x E) -15x
¿Cuántas de las siguientes divisiones indica-
das generan cociente notable?
; 8
y y
m (+ 1% — (x- 12
j 4x
71:33
m ==
x y
m Le+2F -32
x
A) 0 B) 1 O) 2
D) 3 E) 4
Indique uno de los términos del cociente no-
22 _,3
table generado por a
A) xy? B) xy O xy
D) x ty 27 E) xy 15
243
Lumbreras Editores
10.
244
En el cociente notable generado por 11. ¿Cuál es el mínimo valor entero de
1
ao E m si la división LY
y” de genera un cp,
(, representa el término de lugar k. ciente notable dependiente de y?
o tz -lg
Simplifique era A) 3 B) 5 O7
D) 9 E) 1
Os l
A) xy? B) x*y 0) x ty?
-7,8
D) xy E) y 19, si 842-1
. S d :
i 271 se desarrolla COMO UN Cocie
Indique cuántos términos tiene el cociente notable, ¿cuántos términos ent eros Se tendra
2m-1 _ /2m-9 en dicho cociente notable?
notable generado por + : pe
A) 7 A) 7
B) 4 B) 6
O 8 O 5
D 6 D) 4
E) faltan datos E) 3
Ciaves
A E T/e L/a UE
| no 1 > paa ds má
2/0 l/s len le/g li/g U2/D
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
2
+
T para
-q
_ ¿Qué
que el trinomio px”+qx+m sea un cuadrado
la expresión
ma la
valor tO mp
perfecto?
91 B) 5/3 0) 3/5
D) 95 E) -5/3
Luego de dividir P(., entre +3x+2 se ob-
tiene como resto 5x+7. ¿Cuál es el resto de
dividir P(.) entre x+ 1?
A) 7 B) 12 O 5
D) 2 E) -1
. Sea P(, un polinomio tal que
L lasuma de coeficientes es 11.
Il. su término independiente es 7.
¿Cuál es el resto de dividir P,,, entre 2x2
A) 4x+7 B) 2x+1 C) x-3
D) 5x-2 , E) x+1
+ Al dividir Py, Q(x) Y Rq) separadamente por
(x-1), los restos obtenidos son respectiva-
mente 2; 3 y 4. ¿Cuál es el resto de dividir
[P¡,+20(,)+3R,)] entre (x-1)?
A) 18 B) 20 C) 15
D) n E) 22
: Halle el coeficiente del término lineal de
aquel polinomio cuadrático que es divisible
Por (2x-3). Además, su término indepen-
diente es -3 y su resto al dividirlo por (x+1)
es 20.
A) -13 B) -5 O 5
D) -4 E) -1
Dado un polinomio cuadrático mónico Py),
al dividirlo por (x+5) y (x-2) siempre deja
resto 4, Halle el término lineal de P,).
A) 3x B) 5x O) 4x
D) 7x E) -3x
Un polinomio cúbico mónico P(,, al ser di-
vidido separadamente entre (x-3), (x+2) y
(x-1), obtiene siempre como resto 5.
Halle el término cuadrático de P(,).
A) -2x? B) 2x? O 32
D) 5x? : E) x?
Sea P(.) un polinomio cúbico perfecto de tér-
mino independiente -1, que al ser dividido
entre (» - 5) obtiene como resto 1.
¿Cuál es su término principal?
A) 27 B) 125x? 0) 8x?
D) x? E) 64x*
¿Cuál es el resto en la siguiente división?
51218 +1
+ x+1
A) -5x-4
B) -5x+6
C) -5x-6
D) -5x-5
E) 5x-4
245
Lumbreras Editores
ñ-- A O
15. Si x*y” es un término del cociente notaby
e
10. ¿Cuál es el resto en la siguiente división?
(1-31? +3x- Dix -2)
(x-D*(x+2)
A) 12(c-D? B) 12(x+1? C) -12(x-1?
D) -12 E) 12(x+2)
11. Al efectuar la división de
(2x-5)-(x-1) entre 2-6x+8
se obtiene como resto R(,)=ax+b.
¿Cuál es el valor de a+ 2
A) 2 B) 1 O 1/3
D) 3/2 E) 0
12. Sea R¿,, el resto en
(3x-D +(3x-2) -3x+4
9x? -9x+2 Í
¿Cuál es el valor numérico de R en -1?
A) -1 B) -2 Cc) 2
D) 4 E) 3
; . x”- m
13. Si el cociente notable generado por y
Ay
tiene 14 términos, ¿cuál es el valor de m+n?
A) 56 B) 89 C) 42
D) 98 E) 84
14. ¿Qué lugar ocupa el término x”y* en el co-
n n
ciente notable generado por Me
x-y
A) 4 B) 5 0) 3
D) 7 E) 6
246
16.
17.
18.
19,
generado por
xy
A , ¿qué valor toma n?
A) 16 B) 32 C) 19
D) 24 E) 20
Si x%y!* es un término del cociente notable
n m
xy
, ¿cuál
z y es el valor de
generado por
m-n
A) 12 B) 8 0) 10
D 6 E) 5
Ge DO (pe
Si 2
8x (x +1)
un cociente notable, calcule la suma de co-
eficientes de dicho cociente notable.
puede expresarse como
A) 2% B) 16? o 8?
D) 8'* E) 2
20 20
-(2x-1)
Sila división AS
es desarrollada como un cociente notable,
¿cuál es el término independiente de X €N
ese cociente notable?
AO B) 10 C) -10
D) 5 E) -5
45 _ y30 ociente
Si la división E 3 y 7” genera un C
x-y
notable, ¿cuál es el valor
no de lugar 7, contado a partir del fin
do x=2; y=1/2.
numérico del térm”
al cual
c 1“
A) 4 B) 8
) ) na
D) 1
n 3 yA .
=> existe un
=y
ino central. ¿Cuál es el grado de dicho
Nivel 11
p, Halle el residuo de dividir p(,, entre dsx+l
E gal dividir p¡,) entre xx —1 se obtiene como
residuo 243x +2.
O) x+2
E) 2x-1
y x+l B) x-1
D) 2x4+1
% Calcule el valor de a sí los polinomios
P, 20 +axl - 5x — 6;
Q.)-+(a-3)é - 17x-15
son divisibles por un polinomio lineal común
de coeficientes enteros.
»2 B) 7 C) 5
3 E) 8
ll Esublezca el valor de verdad de cada una
de las proposiciones:
| Sel polinomio c,, es divisible separada-
mente por los polinomios fa) L() Muy
entonces c,,, es divisible también por el
residuo de /,,,.g,,) entre A.)
Ur 6 es divisible por -x+2
US dividimos maten +a2+1 entre +1
Y Y=1 se obtienen restos que suman 4,
Eionces m es 1.
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
24,
25.
27.
A) VVV
D) FvVvV
B) VVF (0) VFV
E) FFV
De un polinomio P¿, de octavo grado se co-
nocen dos de sus raíces, que son 2 y 3; ade-
más, es divisible por (x*+1) y (x+1). Deter-
mine el resto de dividir P¿, entre (x+2), si la
suma de sus coeficientes es 32 y su término
independiente es 66.
A) -8500
D) 6000
B) 6500 C) 8500
E) 7000
Halle un polinomio P;,) de segundo grado y
divisible por (2x+1), sabiendo además que
su primer coeficiente es 4 y que al ser divi-
dido por (x—2) el resto es 5. Reconozca el
menor coeficiente de P,,).
O -5
E) 2
A) -4 B) -3
D) 4
- Si el residuo de la división del polinomio P,)
entre (x+4) es 7 y la suma de los coeficien-
tes del cociente es 6, halle el residuo de divi-
dir P¡,y entre (41 ):
A) 0 B) 30 Cc) 7
D) 37 E) 51
Al dividir P(,) entre x+x+1, se obtuvo Como
residuo x+1; y al dividir P) entre é—x+l,
el resto fue x—1. Halle el resto de dividir P(,)
entrext+ó +1.
Aé B) x Pe
D) +x E) x+l
247
Lumbreras Editores
28. Luego de efectuar la división, calcule su resto.
29,
30.
31.
32.
248
4x1
01
A 1 B) 2 O *x-1
D) 2x1+1 E) 2x?+1
Un polinomio P( de cuarto grado, cuyo
coeficiente principal es 3, es divisible entre
12+1 y además la suma de sus coeficientes
es nula. Si al dividir P(,, entre (x—2) se obtu-
vo como residuo 50, halle el resto de dividir
P( entre (2-1).
Cc) -2
E) 2x+2
A) 2(x-1)
D) 6x
B) 1
En el cociente notable generado por
2n -3n
xo" —x
— 37. Calcule la suma de valores para
xx
n < 33, tal que existan 13 términos enteros en
su desarrollo.
A) 90
D) 86
B) 94 C) 96
E) 64
Halle el número de términos que tendrá el
cociente notable generado por
y LA
Jn 10_
y j >
Tra (mm, ny eN; m<32.
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
¿gn gn
Sabiendo que al dividir ee
gra ya
se obtiene como segundo término en su
. o 16 4 4 . 2
cociente a x'Y, ¿de cuántos términos está
compuesto su cociente notable?
33.
35.
36.
A 4 B) 3 Os
D) 7 6
Halle el lugar que ocupa el término de grado
101 en el desarrollo del cociente notable ge.
180 _ ,80
nerado por =d ;
oz
A) 11 B) 13 O) 15
D) 17 E) 19
» Calcule la suma de todos los exponentes de
las variables del desarrollo de
000 _ 100
Aya
A) 2400 B) 2500 C) 2600
D) 2700 E) 2800
Halle el término independiente respecto a Y
en el cociente notable generado por
CEA 9-1
7 StHto-n=Y" >
A) y! B) y O y
D) 5y* E -y
; ado tiene
Un polinomio mónico de noveno grado!
; isible sepa
raíz cúbica exacta, además es divisible po
alle el rest
radamente por (x — 1) y (x-2). H
x-4) si el
duo de dividir el polinomio entre C
inomio
término independiente de dicho polino!
es — 216.
y -72
NM 36 B) 72 de da
D) 216 E)
_aaA
—
caPtTULO
fmine un polinomio mónico de cuarto
yl. a que sea divisible separadamente por
rez: 4 12+x-2, y que al ser dividi-
3 deje un resto igual a 100. Luego
do entre x=
indique el residuo de dividir dicho polinomio
entre x+ l.
A 18 B) 34 C) 36
38. Si un término del cociente notable genera-
xy P
do por 7 es x!', halle el valor de
> O
(np).
B) 9 Cc) 10
E) 17
A) 16
D 1
3%, Si A es el penúltimo término del cociente
40,10
notable generado por oa halle el tér-
x+y
mino A.
A y B) -xy? Cc) xy?
D) Xy E) -x*y
4. Six? y x15,20-6) Son términos equidistan-
les de los extremos en el cociente notable de
xP yn
7 calcule el valor de (m-+n+p).
A) 225
D) 257
B) 235 C) 245
E) 322
MALA
S dividir un polinomio P(¿ entre +! se
Al luvo como residuo x+2—3x. Calcule el
siduo de dividir P¿ entre 2+2x+1.
Axl
B) 3x+1
D) 4
C) 3x-1
E) -3
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
42,
43.
45.
Un polinomio P( se ha dividido separada-
mente por x+1; x-1 y 2x—1, obteniéndose
como restos 7; —1 y | respectivamente. Halle
el término independiente del residuo de divi-
dir P(,, entre (x+1)(x —1)(2x — 1).
A) 2
D) -2
B) 3 C) 4
E) -3
Un polinomio F¿,, al ser dividido por (x+ 1)”
deja residuo x+1 y un cociente Q¿,. Si la
suma de coeficientes de F( es 98 y de Qí,
es 3, ¿cuál es el valor de n?
A) 3
D 5
B) 4 C) 6
E) 2
. Dado Py =-6+11x-6,
divisible por (x — a), (x—b) y (x—c),
calcule el residuo de dividir
Po +lx+(a” bTl+a”! 407107"),
donde a; b; c son diferentes entre sí.
O 0
E) -12
A) -24
D) 12
B) 24
Dados tres números reales a; b; c (a *b+c)
que verifican
a*+pa+q=0;
b?+pb+q=0;
A+pc+g=0,
abc y?
calcule el valor de (S ab la:
A) 1 B) -2 O -1
p+q
E =
SS pq
249
|
Lumbreras Editores
46.
47.
49.
50.
Un polinomio de cuarto grado es divisible
separadamente por (x+3), (x+2) y (+5);
además, al ser dividido por (x+1) se obtiene
como resto 32. Si el término independiente
de P(,, es — 240, halle su coeficiente principal.
C) 30
E) -40
A) 40 B) -80
D) -12
Un polinomio de grado n y de variable x es
divisible entre (71+x"72+1) y tiene por
término independiente 2. Sabiendo que dis-
minuido en 9 y 388 es divisible entre (x—1) y
(x — 2) respectivamente, calcule el valor de n.
A) 10
D) 7
B) 6 0) 12
E) 5
¿Qué relación cumplen p y q, tal que
xx -pqx+q sea divisible por x?+mx —1?
Considere m e R*.
A) p+qg=0
D) p-q=1
B) q'-I=pg C) pq=1+q?
E) p*-l=pq
Al dividir el polinomio P,, entre (x—1)?, se
obtiene como residuo 2x; y al dividirlo por
(x— 2)*, da como residuo 3x. Halle el residuo
de la división de P¿, entre (x — D)(x— 2).
A) 8x+4
D) -x+1
B) 4x-2 C) 7x+3
E) -x-1
Al dividir mxi+nx"+12+1 entre 241 yx-1
respectivamente, se obtienen dos restos que
sumados dan 4. Calcule el valor de m.
250
51.
52.
53.
54,
A) 1
D) 3
B) 6 02
E) 7
Al dividir un polinomio P.,, entre (x +6) se
obtuvo como residuo x*—a?x+2p Calc
, 6 e
el resto de dividir P¿,, entre (x+6)*
A) x+a
B) 4a?
Cc) (108 — a3)x+2a*+432
D) x%a+4a*
E) x+4a
Indique el término independiente de un po-
linomio de tercer grado que al ser dividido
entre (x—1), (x+2) y (x—4) dé el mismo res-
to 20 y, además, que sea divisible por (x+1).
A) 4
D) 10
|
|
B) 36 O) 18 |
E) 14
Al dividir un polinomio P,, entre (x-n), se
obtuvo como resto m y al dividirlo entre
(x-m), dio como resto n. Halle el resto de
dividir P¿, entre ?-(m+n)x+mn.
B) x-n-m C) x+m+n
E) -x+m+n
A) x-m+n
D) x-n+m
Un polinomio P(,, de cuarto grado €s di-
visible separadamente por (x+3), (x+2)
y (x+5); además, al ser dividido por (<+1)
arroja como resto 32. Si el término indepen”
diente de P;,, es -240, calcule el resto de di-
vidir P(,)+(x+4).
A) 80
D) 10
B) -11
xr
CAPITULO!
Divisibilidad de polinomios y cocientes notables
56, En el cociente notable que se obtiene de
diles xo _ el décimo término contado a par-
O
tir del final es in
racionales enteros contiene dicho
dependiente de x. ¿Cuántos
términos
cociente notable?
pS B) 9 O) 7
D) 8 E) 10
56, Simplifique la expresión
2 3p (2n-Up
WxP+x PR PX (¡xP 4 200),
E
ida! B) xP+1 CC) xP
D) 1 E) x?-1
57. Los términos %4a!5; 2% pertenecen a un
cociente notable; el segundo está a dos luga-
res del primero. ¿Cuál es el término central
en dicho cociente notable, sabiendo que es
entero?
A) xg0 B) go 9) y 2820
D) g3 E) Ag?
58,
59,
50.
Halle el grado absoluto del undécimo térmi-
no en el cociente notable que se obtiene al
3n+2 _ 5n-1
dividir 2227
xl y0-5
A) 25 B) 32 O) 28
Si el polinomio
Py=X"=bx"7!+bx -1 es divisible por
Qu)="+ax""*4cx"7 34d y
Q4, es divisible por (x —1),
calcule el valor de B E nimel?.
A) 1 B) -2 C) -1
D) 2 E) -1/2
Si se divide el residuo de la división
mii” mn! + px0+ 4q+3
Ge+D(? +1)
por (x+1), ¿cuál es el resto que se obtiene?
+qx
Considere mnq + 0.
A 0 B) 1 O msn?
D) m-n+p-q E) mnpq
251
252
Claves
Problemas propuestos
NIVEL |
Le /a
110/A
1/0
12/8
NIVEL Il
37/06
14/A
(15/0
16/A
(45/0
46/p
47/D
s/c
52/A
13/D
59 E
60 D
Capítulo
Vil
Ea =410 +Bry+ Cy
q => A, CUY
Y OS
Bay
>P, a
(my
: Py rs +2 (r-1) (+2)
Factorización de
polinomios
CAPÍTULO VII
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
objetivos
+ Reconocer polinomios irreductibles y/o primos sobre el conjunto Z y sobre Q.
+ Aplicar diversos métodos para factorizar polinomios sobre Z y sobre Q.
+ Calcular las raíces racionales de polinomios de grado n > 2.
introducción
Desde tiempos muy remotos, en los albores de todo pensamiento matemático, surge la teoría de los
números, la cual se apoya en la parte algebraica.
En cuestiones de simplificación de expresiones, esta ayuda nos la brinda la teoría de la factorización,
que en la vida cotidiana nos simplifica cálculos engorrosos y permite la resolución de ecuaciones e
inecuaciones, el estudio de las funciones, etc. Para ello, desarrollaremos el tema con algunos con-
ceplos primarios: factor algebraico, polinomios irreductibles, factor primo, etc.; así como los diversos
métodos para poder factorizar polinomios, sobre determinados conjuntos numéricos.
Acontinuación mencionamos una serie de aplicaciones de la factorización:
Py ap a 074. 40, = (xx )[x—x2)(x—x3)...(XXp)-
Este polinomio de grado n ha sido expresado en una multiplicación de factores lineales.
Para resolver una ecuación cuadrática aplicaremos “diferencia de cuadrados” o “aspa simple”.
El aspa doble la podemos aplicar en la geometría para graficar ciertas regiones.
Aplicamos el aspa doble especial para resolver principalmente algunas ecuaciones cuárticas (de
4? grado).
El método de los divisores binómicos nos sirve para resolver ciertas ecuaciones, de preferencia
con grado impar.
Aplicamos la factorización para resolver una inecuación polinomial.
En la simplificación de fracciones, muchas veces debemos factorizar numerador y denominador
| Para luego simplificar y operar.
Con ayuda de la factorización podemos encontrar nuevas formas de operar, para aplicarlas en
Otros capítulos del curso.
255
Lumbreras Editores
» FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
CAMPO NUMÉRICO
Sea K + q un conjunto numérico con dos opera-
ciones binarias, adición (+) y multiplicación (-),
definidas sobre K. Decimos que K es un campo
numérico si se cumplen los siguientes axiomas:
Axiomas de la adición
Al.
A2.
A3.
A4.
Axioma de la cerradura. Para cada par de
elementos a y b de un conjunto K, existe un
único elemento c que también pertenece a
dicho conjunto, tal que c=a+b.
Axioma de la conmutatividad. Para cada
par de elementos a; b del conjunto K, se ten-
drá a+b=b+a.
Axioma de la asociatividad. Para todo ele-
mento a, b, c del conjunto K, la suma de es-
tos es independiente de la manera como se
ordene. Así se tendrá (a+b)+c=a+(b+c).
Axioma del elemento neutro o neutro adi-
tivo. Para cada elemento del conjunto K,
existe un único elemento denotado por 0;
0 € K, tal que a+0=0+a=a.
. Axioma del elemento llamado opuesto de a
o simétrico. Para cada elemento a del conjun-
to K, existe un único elemento denotado por
a; (-a) e K, tal que a+(-a)=(-a)+a=0.
Axiomas de la multiplicación
MI.
256
Axioma de la cerradura. Para cada ele-
mento a; b del conjunto K, existirá un único
elemento c llamado producto que también
pertenece al conjunto K, tal que c=a:b.
M2.Axioma de la conmutatividad
M3.Axioma de la asociatividad Par
a
Para Cad,
par de elementos a; b del conjun a
oK
, de
cumple ab=ba.
“El orden de los factores no altera el Prod
cto"
a todo
a; b; c elementos del conjunto k se 1
, endra
a(bc)=(ab)c.
“El producto es independiente de la manera
como se asocia a los elementos bic
decir, el resultado no se altera con e] orden"
M4.Axioma del elemento neutro multiplica.
tivo. Para todo elemento a del conjunto k
existe un único elemento denotado por
l e K, tal que a:1=1:a=a.
M5.Axioma del elemento simétrico o inverso
multiplicativo. Para cada elemento no nulo y
del conjunto K, existe un único elemento de-
1 1
notado por a”! de K, tal que a:a7'=a"'-a=|
Axioma de la distributividad de la
multiplicación con respecto a la adición
Para los elementos a; b; c de K, se tiene
a(b+c)=ab+ac
(a+b)c=ac+bc
. De donde se puede concluir que los conjuntos
numéricos considerados como campos son los
racionales (Q), los reales (R) y los complejos (0)
¿El conjunto de los números naturales forma
un campo?
Respuesta
No, puesto que no se cum
A4, A5 y M5.
Así, a+0=a, pero0 EN.
Sia e N, entonces -a £ N
plen los axiomá>
-1
SiaeN, entoncesa £ N
A
«nto de lOS enteros forma un campo?
onjun
pco!
yl
No, Por
cumple el
por lo tanto,
axioma M5.
Z no forma un campo,
ds irracionales (Q) forman un campo?
30
Respuesta
vemos que (5+ /2)€ Q' A (s-V2)eQ',
pero (5+V2)+(5-/2)=10% 0" .
Entonces no siempre se cumple el axioma Al.
Asimismo (5+ 4/2) Q' a (5-4/2)eQ*,
pero (5+ V2)(5-/2)=232 0'.
Aquí tampoco se cumple el axioma M1.
Porlo tanto, los irracionales no forman campo.
¡y
» Nota
Los campos numéricos más importantes son
Q, R, €. Es conveniente indicar que entre Q
y R hay muchos campos numéricos y que la
teoría de campos numéricos se puede encon-
trar en todo texto de estructuras algebraicas.
POLINOMIO SOBRE UN CAMPO
Se llamará así cuando sus coeficientes pertene-
“na ese campo.
Así
l Pa) =3x? +5x8 4
-2x-7
3*
Un polinomio sobre los racionales, puesto
ue k y
Que sus coeficientes son racionales.
ls
] Factorización de polinomios
Rx; y) 2 Axa V5y
: 5 i
Vemos que 45 no es racional pero sí un
real; entonces R +; y está sobre los reales,
. e? A e
Suri y) 35 - V2xy + (1-0)y3 ¡= 21
Vemos que (1-/) no es racional ni real, sino
complejo; entonces $, y está sobre los com-
plejos.
| »» Tenga en cuenta
l. Todo polinomio que está sobre los racio-
nales estará también sobre los reales y los
complejos; pero que esté sobre los reales
o complejos no implica necesariamente
que esté sobre los racionales.
1. Todo polinomio que está sobre los reales
está también sobre los complejos.
Factor de un polinomio
Un polinomio f¿,, de grado no nulo es considera-
do factor de otro polinomio P,,, si existe un úni-
co polinomio q(,) tal que
Prost 4
Es decir, la división de P(,, entre f(., es exacta.
Ejemplos
1. De Poy =xLe-1)x+2), sus factores son
xxl; 15 425 0242x; 5 x(0+ 11)
(x+2).
2. DeP, y=le ty), c%.0, sus factores son
aya y e cy).
Nótese que c no es considerado factor por ser
de grado nulo.
257
Lumbreras Editores
Polinomio irreductible
io es irreductible sobre un determi-
olinom
Un p re
ampo numérico si no admite ser expre
nado €
ctores
do como la multiplicación de dos o más fa
sobre el mismo campo.
Ejemplo
4
Py" =1
L. P¿y=4x'-1 no es irreductible sobre Q por-
que se puede expresar como
Pr =(a2+Dlaé-1).
Il. F¿y=2-1 es irreductible sobre Q pero no
sobre R, puesto que
Fo, =(V2x +D(V2x-1).
II. M¿¿=2+1 es irreductible sobre Q y R pero
no sobre C, puesto que
Mu) =(V2x +¿)(V2x - i) a
Tenga en cuenta que ¡=4-1 es la unidad
imaginaria del conjunto C, con la propiedad
| Todo polinomio de primer grado
es irreductible sobre cualquier
campo numérico.
Factor primo
Es un factor irreductible de un polinomio sobre
un determinado campo, tal que:
l.. Sobre Z, los coefi
IL
cientes son primos entre sí.
Sobre R 0 C, los factores primos son mónicos
A los que no cumplen con lo 1 se les llama pri-
MOS asociados,
258
Ejemplos
l. EnP() = 5-2 2+3x+ 1)
IL. Dos factores primos-en Q: x-2; A
II. (2) no es primo, puesto que ES divigj.
ble por x—2, es decir
(x-2)*=(x-2)(x-2)
2. EnPq, y; = yz?
L — Tres factores primos: x; y; z
II. Número de factores algebraicos:
(Q+D0+1DQ+D-1=17
Por lo tanto, tiene 17 factores algebraicos
en total.
3. EnRyy=tyN dry y) y
Il. Cuatro factores primos:
XRY 1 +xY Y”; x; y
II. Número total de factores algebraicos:
(Q+1DGBG+D0+D(Q2+1)-1=71
Por lo tanto, tiene 71 factores algebraicos
en total.
»» Nota
Al factor de un polinomio también se le llama
divisor, pero no necesariamente es primo.
Teorema
Dado un polinomio P(,, expresado por
Poo=KPf o P2t0'PátoPr o ay
donde P(v)) Pa(x) »-5 Pn() SON factores pri:
Mos y primos entre sí y K es constante.
Luego, se tendrá
I. Número de factores primos: n |
- IL Número de factores o divisores alge- |
braicos:
(a+ D(9+1)...(m+D-1
ITuLO vil
Factorización de polinomios
FACTORIZACIÓN SOBRE Z
la transformación de un polinomio en una
pliplicación indicada de sus factores primos
sus potencias.
fjemplo
factorización
e +9x-22= (x-2)(x+11)
producto
Teorema
| Dela factorización única
La factorización de un polinomio es
única, salvo el orden de los factores.
"MÉTODOS PARA FACTORIZAR Z
-Sontécnicas a utilizar, de acuerdo a la forma que
Presente el polinomio.
Factor común-agrupación de términos
Se buscan factores comunes que pueden ser
Monomios o polinomios de más de un térmi-
Do. Én caso de no haber algún factor común,
' * Agrupará convenientemente tratando de que
Warezca algún factor común.
Bemplos
L Factorice Pu=4acd+5e,
Resolución
Ob:
la 'vamos que x? es factor común de 4x*
ue ;
a Posa? +5), donde sus factores
98 Son x; 41245,
1
Pactorice Po E
(+ y)+5xy(x+y).
Por identidades
En este caso utilizaremos
gebraicas en $
notables.
Resolución
Se observa Que el factor común es x(x+y).
Luego Pú y=x+y)0245y), cuyos factores
Primos son x; x+y; x245y,
Factorice Só = 14m nm +món
Resolución
l.. Vemos que tiene como factor común a
mn,
Luego Si; y, queda así
Sorin) nd + +1)
II. Agrupamos de dos en dos, como se indica:
St = Món fa? (+1)+(+D),
donde n+1 es ahora el factor común.
Entonces Sy) = Mén(n+D(n? +1,
Factorice
Pl; y= x-ax 20 y+20xy +20 y.
Resolución
Vemos que no existe factor común alguno a
simple vista, entonces tendremos que agru-
par convenientemente como se indica.
atx—ax?+2axy-2a*y +e-2y
=a(x-2y)-ax(x-2y) +4 (0-2y)
=(x-29la*-ax+x)
Luego
Pi y= 0 2yla?-ax+x).
las equivalencias al-
entido inverso al de los productos
259
Lumbreras Editores
»» Nota
ds x42xy+y" = (xty*
e eya ay)
e ys entry +y)
e d4y= (y Le xy ty)
. Aiyt3xy(oty)= (rt y
. i+(a+b)Jx+ab=(+a at)
: A A
entre otros
Ejemplos
1.
260
Factorice
Ry 4x1.
Resolución
Agrupando convenientemente como se indica:
Rye¿=é+é-x-1
> Rey =(+ 1621)
> Rey=+1D0+DO1)
+ Rei=0+D 1)
Factorice
Púa 1) => +2(a+b)x+a?+2ab+b?.
Resolución
Como
a*+2ab+b*=(a+b),
luego
Poo 0) +2(a+b)x+(a+b)
trinomlo cuadrado perfecto
+ Pa; 9) =(+a+b)y
3. Factorice m en R(; p,=M*-4mn
+ 4p2
Resolución
Agrupando ie COMO se indica.
Rm; p =0é- 4mn-p* +4?
> Rímip” (m? - 4mn+4n?)- p*=
=(m-2n)..y?
Luego, por diferencia de cuadrados
Rim;p= (m-2n +pMm-2n-p).
Factorice P(=3*+2 +9.
Resolución
Hacemos que 2x?=6x2-4x”, por convenien.
cia para el problema.
Luego P(=3*+6x-4+9.
Agrupando convenientemente
Pro =Le+62+9)-42=(2+3)-(20
(diferencia de cuadrados)
> Po =L2+3+2:)62+3-2x)
¿ Pay=02+2x+3)02-2x+3)
Factorice el polinomio
Pay =+y*+6xy-8.
Resolución
»» Recuerde
a+b9+c-3abc=(a+b+c)
(+b0*+c-ab-ac-bd)
Luego, podemos escribir el polinomio así:
Po yt y + (2-22
— Pú y =Gc+y-2)] +2
y a Y yd
> Pr. Cory ita re)
nn
Factorización de polinomios
yétodos de aspas
simple
diza para factorizar a |
eneral:
os polinomios de la
se util
spiente! forma 8
. me LBryr+ 0) V
INERTES
para factorizar el polinomio
Py ACABA Y" +Cy""
seguiremos el siguiente procedimiento:
1 Se descomponen los extremos conveniente-
mente:
Ar+Bry"+Cy?"
q Y A —« e,
a,X | c,Y” — CA; xy"
]
Il. Se comprueba que el término central es
igual a la suma de los productos parciales en
forma de aspa:
B=c,a,+c30)
ll Luego Pez y) €s (a +0 y")lap +09”, es
decir,
Po y = lap +c/")la +03”).
tjemplos
L :
Factorice el polinomio
Tosézars,
Resolución
Por aspa simple
é-4-5
SP O
a e
——— 8
Luego el polinomio factorizado es
Ty =0-5(+1).
Factorice el polinomio
P(y=3:+10x+8.
Resolución
Descomponiendo los extrernos
OS
dh e!
Lor
La forma factorizada es
(3x+4)(:+2)
es decir
Factorice el polinomio
Py =15xé' 1 Ldy+2y.
Resolución
Descomponiendo adecuadamente los extre-
mos
15-110 +2yY dl
sel -ay— y |
ze 7 y — y $
Ly
Por lo tanto, el polinomio factorizado es
Pr (sea (ae)
Factorice el polinomio
Ra. y ,=4x A+15Y- -54y".
261
Lumbreras Editores
Resolución
Descomponiendo los extremos adecuada-
mente
> Ra; ¿6240 l0?-97)
=(12+6y)(2x+3y)(2x—3y)
Rey = Le +6 rr) 0x3)
A
Todo polinomio de la forma
P¿y= AC +Bx+C; 14;B;C)c Z;
VAzO .
es factorizable en los racionales,
si y solo si B?— 4AC es un cuadra-
do perfecto (C.P.). )
X
Ejemplos *
1. ¿Es 2x2-5x+2 factorizable?
Resolución
Veamos: (-5)?-4(2)(2)=25-16=9
Como 9 es cuadrado perfecto, entonces
2x2-5x+2 sí es factorizable en los racionales.
"2. ¿Es 3x2+x+1 factorizable en Q?
Resolución
Veamos: 1?-4(31(1)=-11
Como no es cuadrado perfecto, entonces
3x+x+1 no es factorizable en Q.
3. Demuestre que Vk €Z, A+(R+Dx+k es
factorizable en Q.
262
Resolución
Veamos:
(+1) -4(D(62)=2*+2% +1 Ae=(h-1 y
Se observa que (R—1)? es un di
adra
fecto Vk eZ. do per.
Porlo tanto, 2+(%+1)x+k es factorizabje EEN
¿Para cuántos valores de P el polinomi 6
Ta) =+px-6 es factorizable sobre Q)
Resolución
Si es cuadrática factorizable, necesariamen.
te admite el aspa simple y estas serán todas
las posibilidades.
+px-6
xl 3|12|1
x -2]|-3 Le
Por lo tanto, P puede tomar 4 valores diferentes.
Otro método (utilizando el teorema)
Para ser factorizable
p.-4-6)=FP Ip;rel.
> P-p?=24
(r+p)(r-p)=24
—-M4—
E
, p-pson
Si p y r son enteros, entoncesr+p A P
ambos pares 0 ambos impares.
lores diferentes
Por lo tanto, p toma solo 4 val
i
|
|
|
]
Corolario
| Todo polinomio cuadrático en una va-
- pjable si es factorizable, debe admitir
| el criterio del aspa simple. Si no admite
'- aspa simple, es porque no es factoriza-
ese
» Nota
Existen polinomios que no tienen la forma
general; sin embargo, pueden ser factoriza-
dos por aspa simple.
is
Así
My => 2045-10
é ; - 5
e 2
” Mo =Lé+5)L2-2)
Aspa doble
Se utiliza para factorizar a los polinomios de la
Siguiente forma general:
n—
y
]
Py AIBR Y CMD OR EYOA E
as ES 3 7
Procedimiento para factorizar:
S
£ debe ordenar el polinomio de acuerdo a
Esla forma general,
lb
e faltar algún término, se coloca en su lugar
Por cero,
a O; Eyn. F
CAR
“Los
lactores se tomarán de manera horizontal.
Factorización de polinomios
Esquema
Pay APAB Y 474 DY y Ey M4 E
Luego tenemos
Pa y=lae” +c y” +1,)[a,0+c/" +1)
Ejemplos
1. Factorice el polinomio
Pa;1p)=43ab+2b*+2a-3b+1.
Resolución
Aplicando las aspas simples
a?-3ab+2b*+2a-3b+1
aósxib 7
Luego, el polinomio factorizado es
Pá;1)=(a-20+Dla-b+1).
Otro método
Agrupando convenientemente, Como Se indica
a*-3ab+2b"+20-30+1
" (a?+2a+1)-3ab-3b+20*
=(a+1)-3b(a+1)+2b*
Tiene la forma del aspa simple y queda
(a+1-b)la+ 1-2b), equivalente a
Pia, yy =(a-b+D(a-2b+1).
2. Factorice el polinomio
= 6y+7x+8y+2.
Poy =00+13xy+ y
263
Lumbreras Editores
* Resolución
Aplicando las aspas
6 +13y+6y+7x+8y+2
XA Y, Y L- 2
Luego, la forma factorizada es
(3x+2y+2)(2x+3y+1).
3. Factorice el polinomio
Poy =10 +1 1xy=6y"x=11y=3.
Resolución
Descomponiendo en aspas simples
10x7+11xy-6y?-x-11y-3
A |
Luego, su forma factorizada es
4. Factorice el polinomio
Mx; y; 2) = 6 -25y?+202?-5xy—23xz—5yz.
Resolución
Se ordenará de acuerdo a la forma general,
considerando a la tercera variable como si
fuera una constante, así
6 -5xy-25y*-23x2-5yz+202*
Rs sy AE -Az
A A SS
ex yo CS 5
"
264
Luego, su forma factorizada es
Mo, ya (3r+5y—42)(2r-5y-52)
Aspa doble especial
Se aplica a los polinomios que presentan la .
guiente forma general:
le Poy AA BC
De manera particular, si n=1 tendremos el
nomio de 4. grado.
Procedimiento para factorizar: :
Il. Se ordena de acuerdo a la forma general y
se coloca el cero en el lugar del término que.
falta.
II. Se descomponen adecuadamente los extre-
mos y se busca, mediante un aspa simple,
aproximarse al término central.
Así
Ax URBE CDE
ay" €
a e > e,
lo que falta
Se debe tener (SDT): Cx"
Se tiene (ST): (aye, +aje
Falta: (C—aye¿—ayey)x"=Kx"
III. Lo que falta se descompone en la parte cen
; 3 A OS.
tral mediante aspas simples a ambos lad
izontal.
IV. Los factores se toman en forma horizON
(a+ arrolla ara +)
vio vil Factorización de polinomios
gemplos
> pac py OA +7,
C
Resolución
pescomponiendo los extremos
Pmó+ ta d+ 7x4 SDT: 14x?
21 ST 2%
E 1 Falta: [1217
]
z py= letra d+ a+ 1).
2 Factorice Sy (+ 1)+21?+5(—3).
Resolución
Electuando y ordenando de acuerdo a la for-
ma general:
SDT: 2x?
sT 2%
Falta: ,
]
Std 2d +5x-15
> So=lé+0x+5)L2+x-3)
+ Sy=l2+5)L24x-3)
. Factorice
¡ y 10y +35)? 50xy*+24y1.
es
Resolución
e
ly UA -50xy*+24y* SDT: 35x%y?
0 los 6y ST: 10%y?
4y? Falta: 252y?
T a
A
o) 12) E
aby +62 -5xy+4y)
Xx A x SA
zx =2y x -y
Pola) A
4. Factorice
Pa y =046y 4 xy 541 Ley iy?
Resolución
Ordenando para el aspa doble especial:
ic es SDT: 112y*
a o y 3y' ST. 131
Nay 2y Falta: - 2x2y*
| y
Po y= la y +3y(3,2+2xy?+2y")
Método de divisores binómicos
Finalidad
Se utiliza para factorizar los polinomios en una
variable y de grado superior, siempre y cuando
admita por lo menos un factor lineal.
Raíz de un polinomio
Dado un polinomio P;,, no constante, a es una
raíz del polinomio P¿,, si y solo si P(,,=0.
Ejemplo
En P(y=4-3x-2 observamos que
P(=2-3(2)-2=0.
Entonces diremos que 2 es una raíz de P(.
Determinación de los posibles ceros o raíces-
racionales (PCR) de un polinomio PF;
Para conocer los posibles ceros racionales de un
polinomio P(,, de coeficientes enteros
Pa) = ay +ayd" +...+ap; apa, +0
se utilizará el siguiente criterio:
poRiS Divisores de |ap|
265
Lumbreras Editores
Toda raíz racional de un polinomio pertenece,
necesariamente, al conjunto de los posibles ce-
ros racionales.
Ejemplos
l. EnPy=3x +4 429
los posibles ceros racionales son
divisores de alt)
nen A de 3 13
l
=+1p 3.9: 2
+ 3; 9; a]
El polinomio posiblemente se anule para al-
gunos de estos valores, así
P()=3+4+2-9=0, entonces x=1 es un cero
o raíz racional.
2. Dado el polinomio P(,=x"-3x+1, sus posi-
bles ceros racionales son 1 o —1.
Asimismo
Pao==1 A Py=3
Esto nos indica que no tiene ceros raciona-
les; por lo tanto, no tendrá factores lineales y
f No será factorizable en los racionales.
mo A
soremaldelMac
Dado un polinomio Pi el número |
b es un cero de este polinomio si
y solo si (x—b) es un factor de Pi):
Por ejemplo en el polinomio
Pw)=+5x+6, se tiene
PCR=+(1; 2: 3; 6)
Como P(_)=(-1)'+5(-1)+6=0,
entonces (x—(—1))=(x+1) será un factor de
Pa:
En tal caso, será Posible escribir
Pays (+ 19)
266
Procedimiento para factorizar
Dado el polinomio
Poy=a a taa a
: mm 200,2,
de coeficientes enteros, se pr y
guiente manera:
1. Se hallan los posibles ceros racionales
nos permiten encontrar la raíz O el De
cional. Luego, mediante el teorema
tor, se podrá conocer el primer facto
Cero ra.
del lac.
r.
2. Se hace una división por la regla de Ruffin;
entre el polinomio y el primer factor encon.
trado, siendo el cociente de esta división e]
otro factor buscado.
Ejemplos
l. Factorice el polinomio
Po=-7x+6.
Resolución
l.. Los posibles ceros racionales son
PCR+(1; 2; 3; 6)
Veamos:
P(y=1-7+6=0
> (x-1)
es un factor de P,).
Es decir: P(,)=(x-1q()
II. El otro factor lo hallamos con la regla de
Ruffini:
[P+D]
4)
Poy= 0 Dbe +x-6)
xp 3
po qe
Poy=0-D(+3)0-2)
Ocede de la si
Resolución
Hallamos los posibles ceros racionales
1:2;5;10| . 1 5)
E A E
PCR +| 1,2 | 22
Para x==2 ;
Ée po 200 2IDA 0=0
py. =-16-20+46-10=0
> -2 es una raíz de P(,)
Así(x+2) esfactorde Py) > Proy (+2) 9
Hallamos q, usando la regla de Ruffini.
-23 :-10
2 -5
coef. 9.)
> Poy =(x+2 (20-95)
2x 1
x -5
2 Pry=(+2)(2x+1)00-5)
Factorice el polinomio
Py =4é-29 24 +7x+6.
Resolución
Halla:
mos los posibles ceros racionales
Poe Ro + y da 13,13
:2:4 a 1236534'4
Pode E
m ,
Ruffini os hacer directamente la división por
ni, consecutivamente.
Factorización de polinomios
Luego
Py =0+ D(+2)(-3)0:— 1/21(4x+2),
que es idéntico a
Py= (+ 1(+2)(-3)(2x= DOxX+D.
e iS
Teorema
Todo polinomio cúbico es facto-
rizable sobre Q, si y solo si admi-
te al menos una raíz racional.
Ejemplos
1. El polinomio P(y=x"-3x+2 se anula para
x=1. AsíP(y=1%-3+2=0
Luego, 1 es una raíz racional. Por lo tanto,
Pi= x2-3x+2 es factorizable sobre Q.
2. El polinomio R(, =x9+3x-1 no es factoriable
sobre Q.
En efecto:
como PCR=11; -1) y
Py=1+3-1=3 0
Py EM+3ED-1==5 20
admite raíz racional.
Entonces no
3x-1 no es factorizable sobre Q.
Así, Rio =e +
267
Lumbreras Editores
Artificios diversos
Son métodos prácticos que facilitan la resolu-
ción de los problemas, tales como:
Cambio de variable
Consiste en transformar, equivalentemente, me-
diante un cambio de variable adecuado, un pro-
blema operativo en otro más simplificado.
Ejemplos
1.
268
Factorice el polinomio
Pía: 1: )=(18c+7b+6a)(a+3c+3b) +30".
Resolución
Agrupamos convenientemente
(a+3c+3b)[6(a+3c+3b) -116] +36?
Haciendo a+3c+3b=z, se tiene
Pep) =2(6z-110)+30?.
6z?-11bz+3b*
B3z 1 -b
Por aspa simple se obtiene
Pe: 1)=(3z-b)2z-3b).
Luego, reponiendo z tenemos
Pío: p: y (3a+9c +8b)2a+6c+3b).
Factorice e indique la suma de factores pri-
mos de R¿=L2+7x+5)+3L2+7x+5)-10.
Resolución
Haciendo 2+7x+5=*k, se tiene
Ryy=2*+3R-10.
Luego, por aspa simple se obtiene
Ry) = (e +5)(% 2).
SS
Reponiendo k en términos de y
Rey LÓ+ +5 +5 247457)
Ro) =L2 474100247743)
NA
Xx E
Ri)=00+5M+2) (24 7x+43)
Por lo tanto, la suma de factores Primos es
454x424 47 43= 249x410
Sumar y restar
Consiste en sumar y restar, simultáneamente,
una misma expresión o descomponer algún tér.
mino del polinomio, de tal modo que una expre.
sión aparentemente no factorizable se transfor.
ma en otra de fácil factorización.
Para polinomios de grado par
Consiste en buscar un trinomio cuadrado per-
fecto para luego llevarlo a una diferencia de cua-
drados.
Ejemplos
l. Factorice F(=x"+6+25.
Resolución
Formando el trinomio cuadrado perfecto
(sumar y restar 4)
a
Le+s)- (27
diferencia de cuadrados
. 2 7
Ey = la +5) ax
ale+s+2dle+5-2)
Ordenando
F)= (e+2x+5)le-2x+5)
A
CAPÍTULO vil Factorización de polinomios
RV 2,,4
, facorice My = 10-12 y +y*.
Resolución
pescomponiendo
122) como —8 y 4 y? se tiene
rv 222 y 422
Mg, y =16X 8x*y” + y" —-4x“y
(412-y? '
Me = le) o
=(42-y +24 -y?-21y)
Ordenando se tiene
M4. =l02+2y-y la? 29 -y)
Para polinomios de grado impar
» Recuerde
. +1 =(x+D02-x+1)
«=D +1)
E A)
Ejemplos
+ Factorice Py=é+x +41.
Resolución
Sumando y restando x? se tiene
Posé-d+d+x+1
> Posdlilrdrrtl
> Poster Deodex+l
is Poster llo 1+1)
"Prsle+x+ le 2+1)
2. Factorice Q.y=x"+x41,
Resolución
Sumando y restando x! se tiene
Qu=i=d+x lt]
> Q=bi1)rlt+ +1)
> Qm=—Die+x+1)+
+L2+x+1)02-x+1)
> Q6=b2+x+1)lxx-1)+02-x+1)]
. Qu =b2+x+ 1) dx t+02x+1)
Polinomios recíprocos
A Pg, se le llama recíproco si cumple con la si-
guiente igualdad:
aga
x
donde k es el grado del polinomio.
Ejemplo
En el polinomio
Po = e -3x+ 1
se observa
2
1 (1 2
211-3.-4|— > Br=x Buy
Poy) =X ( 3 5) (x) (5
x
Entonces P es recíproco, de grado e
Estos polinomios tienen por característica que si
una raíz cualquiera es Q, la otra raíz necesa:
mente es a”! / 0.%0, y tienen la siguiente forma:
Py3x+a (caso excepcional)
Xx
Pap = 0 +bx+a
Pag) = 00 +bé +bx+a
Pay = 0 Hbó có +bx+a
269
a —
Lumbreras Editores ]
Procedimiento para factorizar polinomios
recíprocos de grado par
L Se extrae la parte literal del término central,
dando lugar a expresiones de la forma
1 1
E
x Xx
l
IL Se hace el cambio de variable X + Pa con lo
cual se logra disminuir el grado del polino-
mio en la mitad.
Ejemplos
1. Factorice Py=x "+6 +7: +6x+1.
Resolución
Se factoriza la parte literal del término central
py [ocre ho]
xXx ox
al, ld l
> R,y=Xx 6 +2,)e0[x02)+7]
l
Hacemos x + o z. Luego, elevando al cua-
drado se tendrá
> Po y (246247) = (2 46245)
=X(24+1)(2+5)
> Pe a (245)(2+1)
Reponiendo z
Rar tas [xl]
Pals less)
270
Todo polinomio recíproco de
grado impar se anula para l o -1].
Sea P¡,,) un polinomio de grado
impar, entonces (x-1) o (x+1)
será uno de sus factores,
Halle el factor primo del polinomio
Aj)=3 +5 +3 + 3 +5 43
que posee mayor suma de coeficientes,
Resolución
Se observa que A¡_¡,=0, entonces (x+1) es
un factor de Á(,).
El otro factor lo deducimos con la regla de
Ruffini:
Y
De donde
doy 424243
Luego ((,) por ser un polinomio recíproco
de grado par, se factoriza en
p 3
IS,
Uy E 3)
ruLO vil >
se tiene
zi 222)+2z+1
Qu: ¿ell 2) ea |
e l322+22-5)
= 2 (32+5)(2-1)
Reponiendo Z
1 1
2 LL
Qro =* fa Leste E '
(22 +5x+3)b2-x+1)
4) E
Luego tenemos
Ay=0cD(d +53 Les D,
de donde el factor de mayor suma de coefi-
cientes es 32+5x+3.
- Factorización de polinomios simétricos y
alternados
Polinomio simétrico
Esel polinomio de dos o más variables que no se
' altera al intercambiar cualquier par de variables
en forma simultánea.
Ejemplo
SAC, y 250843423) 42xyz.
Resolución
-Begimos arbitrariamente dos variables y; z Y las
Intercambiamos
Co=sli+z4y?)+2xzy
=5L i++ 29) 42xy2
Pod .
do *mos observar que el polinomio no ha sufri-
Mngún cambio,
. Porlo
'anto, Co y; z) es simétrico.
Factorización de polinomios
o
|
¡
| Formas generales de los
2 polinomios simétricos
8 3 1.5% grado | A(x+y)
| E E 2.2 grado | AL+y)+Bxy
pr ” 3 grado AL +y)+BLy+xy)
| 1. grado | A(x+y+2)
| 22 22 grado | Ale+y?.42)+B(xy+xz+y2) |
a _ |
| 5 5 3.” grado io rcid |
|
(x+2)+2(c+y)]+Cxyz
Polinomio alternado
Es el polinomio de dos o más variables que solo
cambia de signo al intercambiar cualquier par
de variables de manera simultánea.
Ejemplo
Sea Ra y) =*-y,
Resolución
Si cambiamos x por y, recíprocamente se obtiene
Riy=A-0= (ey);
de donde Ry; )= KR y.
Por lo tanto, R(x; y) 85 alternado.
Teoremas
1. De la adición, sustracción y multiplica-
ción de polinomios simétricos resultan
polinomios simétricos.
II. De la multiplicación de un polinomio
simétrico por olro alternado resulta
otro polinomio alternado.
m1. si un polinomio simétrico se anula
para alguna de sus variables, se anula-
rá para todas sus variables.
1v.Si un polinomio se anula para una va-
riable igual a otra, Se anulará para esa
misma variable igual a las demás.
A KK
271
Lumbreras Editores
A A A
Procedimiento para factorizar
l
Se verifica si el polinomio es simétrico o al-
ternado.
2. Buscaremos factores binomios haciendo
una variable igual a otra o a su negativo.
3. Se establece la identidad de polinomios te-
niendo presente la simetría.
Ejemplos
l. Factorice el polinomio
Sao =?0-D) + o +2 xy)
Resolución
Nótese que al intercambiar cualquier par de
variables, el polinomio $ altera su signo.
Es decir: Sí; y; 95 Spy; x; 2)
Así el polinomio es alternado de grado 3.
Además, para x=y se tiene Sy, y, ¿0
> (x-y) es un factor de S.
Análogamente, (y-z); (z-x) son factores de S.
Luego Sí; y; ¿2 (0 -2)(2-x).
2. Factorice el polinomio
Ma: =84c+cb+bta—ab—bic—ada.
Resolución
Si intercambiamos cualquier par de varia-
bles, el polinomio solo alterna el signo.
Así Mav:o= Mp; a; c)
Entonces, el polinomio es alternado; ade-
más, para a=b se tiene My; p;¿,=0 > (a—b)
es un factor de M. Luego, por polinomios al-
ternados, los otros factores son
CE a,
b ) (a-b), (b-<) y (c-a)
> Mia; b;c)= (ab Mb c)c- a) [kla+b+c)]
4.2 grado ge grado y e grado
272
——_
Para calcular k es Suficiente aplicar y,
mérico en la identidad corn,
a+ +%a-ab- bed
"(00M lkas1,, )
=1,0=2,c=3 tenemos.
12=2DED(1)
> 12k=12
> Rk=1
Y Ma; b;c)=la—bXb=cXc—alXa +b+c)
|
Evaluando en a
Factorice el polinomio
Ma y=Lty iz óy.
Resolución
Observamos para
x=0 => Mp,y)=0 => xesun factor
y=0 > Mi.o)=0 > yesun factor
x=-y > My, yy=0 > X+yeés lactor
Por identidad
(x + y) --y =xy(x + y)Q(x y)
3." grado 2? grado
> Qu. y=MLe+y)+N09)
Q+y ió y =0yc+y)Imld+y) +00!
Haciendo
LL. x=y=1
> 2-1-1=2(2M+N)
> 2M+N=15
Il. x=2; y=-1
> 1-24+1=(-2.0(5M-2N)
> 5M-2N=15
De (a) y (B)
M=N=5
= Mo. 0900 lsbt+7)+50)
” M4 90 dinte)
A
(a)
(B)
»
Biocraría
Jules Henri Poincaré
Nació en Nancy, Francia, el 29 de abril de 1854 y murió en
París el 17 de julio de 1912. Fue un prestigioso matemá-
ico, científico teórico y filósofo de la ciencia. A menudo,
Poincaré es descrito como el último universalista, des-
pués de Gauss, capaz de entender y contribuir en todos
los ámbitos de la disciplina matemática.
Durante su niñez, Henri enfermó de difteria, así que la
tarea de su educación recayó en su madre, Eugénie
Launois. Su padre, Leon Poincaré, era profesor de Me-
dicina en la Universidad de Nancy. En 1862, empezó su
educación escolar en el liceo de su ciudad. Durante once
años demostró ser uno de los mejores alumnos en casi
todas las materias que llevó. En 1873 ingresó en la École
Polytechnique, donde estudió matemática bajo la tutela de Charles Hermite y llegó a publicar
su primer artículo (Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface) en
1874. Tras graduarse al siguiente año, continuó su formación en la École des Mines. Allí siguió
estudiando matemáticas y demostró gran interés en los contenidos de ingeniería en minas; en
marzo de 1879 recibió su título de ingeniero. Charles Hermite continúo supervisando el trabajo
de Henri, quien se encontraba preparando su doctorado en ciencias matemáticas. Su tesis
doctoral trataba sobre las ecuaciones diferenciales. Poincaré desarrolló un nuevo método para
estudiar las propiedades de las ecuaciones. Con este método, además de encarar el problema
de la determinación de la integral de las ecuaciones, se consagró como la primera persona
en estudiar sus propiedades geométricas, las cuales podían ser utilizadas para modelar el
Comportamiento de varios cuerpos en movimiento libre en el sistema solar. En 1879 obtuvo su
doctorado en la Universidad de París.
Poco después de su graduación, aceptó ser profesor en la Universidad de cols No custanis
Su relación con las matemáticas, nunca abandonó totalmente su carrera en la minería. A partir
de 1881, y por el resto de su carrera, se desempeñó como profesor en la ici e de
ms (La Sorbona). Inicialmente fue nombrado como maítre de bi MEGRA d analyss pl se
ASOciado de análisis), pero con el tiempo llegaría a ocupar las cátedras de Mecánica Fl y
273
274
Experimental, Física Matemática, Teoría de la Probabilidad, Mecánica Celestial y Astronomía,
En 1881, Poincaré contrajo matrimonio con Poulain d'Andecy, y fruto de esta unión nacieron
cuatro hijos. |
Hacia 1887, a los 32 años de edad, fue nombrado membro de la Academia de las Ciencias
francesa. Tiempo después, en 1895, publicó su Analysis ate un tratado sistemático sobre
topología. En el ámbito de las matemáticas aplicadas iio nOmerosos problemas sobre óp-
tica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, mecánica cuántica, teoría
de la relatividad y cosmología.
En el campo de la mecánica elaboró diversos trabajos sobre las teorías de la luz y las ondas
electromagnéticas, y desarrolló, junto a Albert Einstein y Hendrik Antoon Lorentz, la teoría de
la relatividad restringida. La conjetura de Poincaré es uno de los problemas no resueltos más
desafiantes de la topología algebraica, y fue el primero en considerar la posibilidad de caos en
un sistema determinista, en su trabajo sobre órbitas planetarias. Este trabajo tuvo poco interés
hasta que empezó el estudio moderno de la dinámica caótica en 1963. En 1889, fue premiado
por sus trabajos sobre el problema de los tres cuerpos.
En 1906 Poincaré fue electo presidente de la Academia de las Ciencias francesa, y tres años
más tarde sería nombrado miembro de la Academia francesa. Seis años después, a raíz de una
complicación prostática que no fue operada, le sobrevino una embolia que le causó la muerte
a los 58 años de edad.
Henri Poincaré se encuentra enterrado en el panteón de su familia en el cementerio de
Montparnasse, en París.
Algunos de sus trabajos más importantes incluyen los tres volúmenes de Los nuevos métodos
de la mecánica celeste (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste), publicados entre
1892 y 1899, y Lecciones de mecánica celeste (Lécons de mécanique céleste, 1905). Tam-
bién escribió numerosas obras de divulgación científica que alcanzaron una gran popularidad,
como Ciencia e hipótesis (1901), Ciencia y método (1908) y El valor de la ciencia (1904).
Fuente:
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/p/poincare.htm
http://es wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C396A9
BIOGRAFÍA
Problemas
RESUELTOS
problema 1
yan un factor palmo del polinomio
4
A!
nesolución
po la defintelón de factor
Py 0 24) es una división exacta,
Logo, Po! el teorema del resto se llene:
1
| L2v=0 > X=»
y 2
| A le
dr 2? nba 0
! iÑ 4(,) (,) mo 45
1
!
dp po 0
mos
2
mo -10
Probloma 2
¿Cuántos factores primos tlene el polinomio
Sa pata 2ab*4-3a*b46ab?
Resolución
Factorizando por agrupación, como se Indica
Say = 000? ab" +34 b+6ab
> Sa 1 ab lab 42b 43046)
Sa, y =ab| b(a+2J3(a 42)
Sta.) ab (a 2043)
Por lo tanto, $, y, Uene 4 factores primos,
Probloma 3
5, y es un factor primo de
Puya 42m xy; meo,
calcule
alcule el mayor valor de Luny
macho, denál os el valor de 1117
Resolución
Ayrupando como se Índica
/
Poy andan Ay
andy y
“Imuaryl-
Por diferencia de cuadrados
Pi py) [mx yal lmocry)-1)
Luego
lay =mbaryrl oy mos y)-l,
de donde f, y 21 malo rre mal,
/ |
UMibmmyor
Problema 4
Indique el número de factores primos de
Sy Al,
Rosolución
Agrupando como se indica
Sol
Syb De dt 1)
Srl +0
diferencia de
cubos
Siy=Let+x +1)+ DL 1)
Por lo tanto, S(,, Uene 3 factores primos.
Problema 5
; 0) ,
Al factorizar Pay yy, establezca el valor
de verdad de las siguientes proposiciones:
+ xy + y es un factor primo,
IL y no es un factor de P(,, yy:
IL P(,y) No es factorizable en Q.
275
Lumbreras Editores
a
A
Resolución
Extrayendo factor común al monomio y, se
tiene
Pay) =xy (2 -y*) =y (ey -(]
Po a)
Luego, por suma y diferencia de cubos
Pr yy any ay der)
Estudiando las proposiciones se concluye:
l.. Verdadero Il. Falso NI. Falso
Problema 6
Factorice el polinomio
Pa; y =9+28y*+3xy(x+y)
- e indique la suma de coeficientes de uno de sus
factores primos.
Resolución
Observamos que 28y*=y*+27y*,
Luego, reordenando:
Pay =+y+3xy(+y)+27y?
> Po y = + y + (3y)
Suma de cubos:
> Pay =bcty +3) [(+y?-(x+y)3y+(3y]
> Pa. y = +4) 2+y+2xy-3xy -3y?+9y?]
> Po y=e+4NL2-xy+7y)
Los factores primos son x+4y; x2—xy+7y", cuya
suma de coeficientes es 5 y 7, respectivamente.
Problema 7
Luego de factorizar
Pay Aid ay tza,
indique un factor primo.
276
Resolución
Como son 9 términos agrupam
como se indica
yy yz VAN
05 de 3 en y
Entonces
Á(x+y+z) OA IDA gy 42)
Por lo tanto, Po y= ty +2 d+ 42
de uno de los factores primos es
x+y+z v yz
, de don.
Problema 8
Luego de factorizar el polinomio, indique un fac.
tor primo.
Pos y 1 =2 (c+ y +2 +(0+y-2)]4
+5le+y- 2429).
Resolución
Hacemos un cambio de variable x+y=m,
se tiene
=2| (m +2 +(m- 22], 5(m? - 2?)
Am?+22)
=2(2m?+222)+5m?-52*
=4m*+42?+5m*-52*
=9m*-2*=(3m+2)(3m-2)
Reponiendo m
Pez y, 1) =(80c+y)+2)(3:+y)-2)
=(3x+3y+2)(3x+3y-2)
Luego, un factor primo será
3x+3y+z v 3x+3y-zZ.
Problema 9 E
Sea S(,,=a(x+b) la suma de los factores primo!
no comunes de los siguientes polinomios:
Po =0-50 +4;
Q1)=22-6-x.
Calcule el valor de a+b.
NS
APTULO Vi
resolu . e é
polinomio mediar te el mét
facorizamos Cada 'o-
do del aspa simple: A
p 2 só +4=0é 01)
eos
=(+2U-2) + DOI)
Q,=24-x-6=(2x+3)(12)
0 .3
X
xl N-2
Entonces, de lo pedido
Siyx+2+x+ 1+x-1+2x+3
=51+5=5(x+1)=a(x+b)
Dedonde a=5; b=1
. a+b=6
Problema 10
háque un factor primo del polinomio
F¿=wé-bx-abx+b?,
donde a: b son primos entre sí.
Resolución
Por aspa simple
F ¿=w-(b+ab)x+b*
> Fo =(ax-b)x-b)
Porlo tanto, un factor primo es ax-b y x-b.
Problema 11
"ectorizando en Q
Pole 2 x+1)+7-385,
que la suma de sus factores primos lineales.
Factorización de polinomios
Resolución
Efectuando por productos notables:
Poy= +0 41471385
Reduciendo se obtiene P,,,=x*+8x" 384
Por aspa simple
P,=x"+8x” -384
Y
xn -16
Luego
P¿)=L2+24)02-16)=(2+24)+4I-4)
Los factores primos lineales son (x+4) y (x-4),
cuya suma es 2x.
Problema 12
Indique un factor primo del polinomio
Py=(a?+2ab)x"+b(a—4b)x+(b—ala—2b).
Resolución
Por ser P(,) polinomio cuadrático factorizamos
por aspa simple:
ala+2bW*+b(a-4bdx+(b-aNa-2b)
A a-2b
(a+2b)x b-a
> Piy=(ax+a—2b)[(a+2b)x+b-a]
Entonces, un factor primo es
(ax+a—2b) v [(a+2b)x + b-a].
Problema 13
Indique el número de factores primos de
Poy =L2+7x+5)+3L2+1)+21x+2.
Resolución
Efectuando y reordenando
Pro=L2+7x+5) +20 +3421x+2
Pro=L2+7x+5+3L2+7x)+5
277
Haciendo 4+7x+5=y se tiene
y +3(y-5)+5=y"+3y-10=(y+5)0-2)
Reponiendo y y
=(12+7x+5+5)02+7x+5-2)
Ru
> Ry = +7 +10)02+7x+3)
xo |-5
x 2
En Py = 005) +20 2+7x+3), vemos que tie-
ne tres factores primos.
Problema 14
Sean Ay=x"-4x+m+1l y
By=-(m+10)x+4,
que admiten un factor común lineal.
Calcule el valor de m si A) *B(z):
Resolución
Sea (x—a) el factor común de A¿,, y B(., entonces
Ay=0 > 0%-4a+m+1=0
Bi 50 > 0%-(m+1)04+4=0
Restando se tiene (m-3)0+m-3=0
Entonces (m-3)(0+1)=0,
de donde m-3=0 y u+1=0
Jl, Sim-3=0 => A(y”=B)
Contradicción con los datos
ML Sio+1=0 > us=-1
En el polinomio A,
Ay 14D) m4 10
» 1444m41=0 > msu=-6
me 6
278
Problema 15
Halle un factor primo del Polinomio
Pm: ny=MSMFSA)-2n(2-5) +13 4
Resolución
Efectuando las multiplicaciones, se obs
forma del aspa doble. ear a
Pam; ny = Sm? +5mn 41741004137 44
e vd
só sb eS mA. Al
A
Luego, su forma factorizada es
Pon; m” (3m+4n+2)(Qm-n +3),
de donde un factor primo es
(3m+4n+2) v (2m-un+3)
Por lo tanto, cualquiera será el factor pedido.
Problema 16
Señale el factor primo de menor suma de coefi-
cientes del polinomio |
F y =6 5 61-136,
Resolución
Factorizando por aspa doble
6-51 -6x*-13-6
A ARO
les, de:
Si los factores cúblcos fueran factorizab
bargo, No
«si m
ben admitlr divisores binomlos; sin emve 28
5 que 2
es así, Se concluye, entonce
ma de coeficl
el factor primo de menor su
_pA
entes
no
Factorización de polinomios
CAPITULO vil
problema 17
ego de factori
A aalotsao—1)-0(0*+ab=1)
(0;b
zar el polinomio
Indique la suma de sus factores primos.
n
resolución
gjectuando y agrupando adecuadamente
Ki p= 0% +ab-a=b*-ab*+b
=a*-b?+ab(a—-b)-(a—b)
=(a-b)la*+ab +02) +ab(a—b)-(a—b)
=(a-b)Ha?+ab+b*+ab— 1)
=(a-b)((a+b)-1)
Por diferencia de cuadrados se obtiene:
Ka.) =(a-blMa+b+Dla+b—1),
cuyos factores primos son
a-b; a+b+1; a+b—1
E y factores primos = 3a+b
Problema 18
Indique un factor primo del polinomio
Sa; b; o=d+a+b=bi-c=c +2bc.
Resolución
Agrupando convenientemente
Saw) —b-+2bc+a+b=c
> Saw osa -(b- + a+rb=c
Et 2 7
diferencia
de cuadrados
> Sa y=la+b-oOla—b+c)+(a+b-c)
>
Sab; y=(a+b—cla—b+c+1),
Cu
YOS factores primos son a+b=c; a—b+c+l.
Problema 19
Con respecto al polinomio
Sío; v:o=ala?+bc)+cla?+b?)-b*,
indique el valor de verdad de cada una de las
proposiciones:
Il. Un factor primo es a+c—b.
Il. La suma de coeficientes de un factor primo
es 2.
III. Tiene tres factores primos lineales.
Resolución
Efectuando y agrupando adecuadamente:
Sía1: =P +abc+alc+bic—o?
=a*-bi+clab+a?+b)
=(a-bJla?+ab+b0)+cla?+ab +b?)
=(a?+ab+ba-b+c)
Respondiendo a las proposiciones, tenemos:
IL. Verdadero II. Falso III. Falso
Problema 20
Indique el factor primo de mayor suma de coefi-
cientes del polinomio
Ste) =0 00) —(a?+0?+1).
Resolución
Efectuando y agrupando,de manera adecuada:
=1-2ab+a*b*-a?-b*-1
Sía;b)
=a?b? la? +b? +2ab)=(ab) -(a+b)?
diferencia
de cuadrados
Sía; yy = (ab +a+b)(ab—a—b)
Luego, el factor primo de mayor suma de coefi-
ciente es (ab+a+b).
279
Lumbreras Editores
Problema 21
Calcule la suma de coeficientes
mo del polinomio
S.=2-20%%-b*-b*-1.
de un factor pri-
Resolución
»» Nota
2-20 x+b4=(x-b*Y
Sumando y restando b*
St) = 2 -20tx + b* 0? -20%-1
2 2
(xo - (ot+1)
diferencia de cuadrados
Se =Le-0?+01+1)b:-0?-b*-1)
Luego, la suma de coeficientes es
1-024+b1+1 y 1-0?-b*-1,
es decirb*-b?+2 v —b*-b?,
Problema 22
Indique un factor primo del polinomio
Fa; »=alct+ 1)-2ac?+(a+1Uc+D?c.
Resolución
Agrupando convenientemente:
Fay =alc*+ 1-20) +(a+ DUc+ D?c
Fía:py=a (0D c+ M*+(a+ D*c(c+1)?
Fay = (c+ 1la(c-1*+c(a+1)]
Efectuando
Fab) =(c+1 ac? - 2a% +a+ca? + 2a6 +c)
Fía:0y= (c+ 1 ac(a+c)+(a+c))
Fía:0y= (c+ 1 a+c)ac+1)
Luego, un factor primo es
(c+1) v (a+c) v (ac+1).
280
Problema 23
Demuestre que para todo k entero
P(¿=4 +6kx+1 no es factorizable sobre Jos taci
lo.
nales.
Resolución
Analicemos su discriminante
A=(6%)?-4(1)=36k?-4=4(9k?-1)
Observamos que 94? es un cuadrado perfecto,
Entonces 9k?-1 no puede ser cuadrado perfec.
to, ya que no existen dos números consecutivos
diferentes de 0 y 1 donde ambos sean cuadrados
perfectos.
En consecuencia, x2+6%x+1 no es factorizable
en Q.
Problema 24
Factorice el polinomio
Fa; 0; e) =(a+2b+30)(a+3b+5c)+2bc.
Resolución
Llamaremos z a la expresión a+2b+3c, es decir
a+2b+3c=z. Luego tenemos z(2+b+2c)+2c,
que es equivalente a 2?+(b+2c)2+2bc.
Factorizando por aspa simple
22+(b+2c)z+2bc
Fée;p:)=(2+20(2+b)
Reponiendo z
Fá. 1 0 =(a+2b+30+20)(0+2b+3c+0)
Fa; p: )=la+2b+50)(a+3b+3c)
AAPATULO Mil
problema 25
askcule la Suma de los factores primos del po-
á
¿romio $
ó alot chal + (o?) ,
resolución
Por aspa simple
ltda + br
2 |_ (b+er
q
a 0 -(b-cX
Veamos la comprobación
e lb+ cr +(b-cY) =-a? [2(e? +0 )]
identidad de Legendre
=-2a* (6? + 0?)
Luego, su forma factorizada es
la-(0+ la? (b-c)?]
Por diferencia de cuadrados
(a+b+cXa—b—cNa+b—c)la—b +0)
de donde la suma de factores primos será
ab+cra-b-crarb-c+a-b+c=4a.
Problema 26
«Cuantos factores algebraicos posee el polinomio
Por jalo ee) o + +++ 22)+
+2(ay+xz+y2)%
Resolución
"scemos un cambio de variable
—— Factorización de polinomios
Separamos — 32 y
Paramos —31m, como mn? 2
=p y 2
P=m -mi—2mn? +
> P=mlm? m2) -
2n
2n(m-n)
> Pm m=n)-2n* (mn)
Factorizando Por aspa simple
(m-nim+mn- 2n*)
1]
m y
><
m
-n
> P=(m-nm+2)(m—n)
o P=(m-n(m+2n)
Reponiendo m y n tenemos
(e yy oz ya) (ey
+2(1y+x2+y2))
( 2, 9,9 2 2
> Pussy CHyr+2—ayoxz yz) (+y+z2)"
de donde el número de factores algebraicos es
(Q+DQ+D-1=8,
Por lo tanto, tiene ocho factores algebraicos.
Problema 27
Indique el factor primo de mayor suma de co-
eficientes en
Hu. y=24 Y +60 —G1y l+61y*+360*.
Resolución
Extrayendo el factor común monomio Gxy”, se
tiene Hi. y=6o (a+ 101-y+y+6).
Por aspa doble
nila? +01 y y +10x+ y+6)
2] y Va?
2x AR 3
Hi y=80 (Qx+y+2)Qt—y+3)
Los factores primos son x; y; 2x+y+2; 2x-y+3,
y el de mayor suma de coeficientes es 2v+y+2,
281
Lumbreras Editores
Problema 28
Luego de factorizar el polinomio
pare lo-20d o -b),
halle el valor numérico entero de un factor pri-
mo para 2x = 1+44b? +5.
Resolución
Factorizando por aspa doble especial
r00- ++ lo-20%)x+0.(0-0*)
SDT: -(b+1)x?
sr: (o?-b+b)x=-bx?
Falta: (-b-1+b)x?=-xé
¡A
Luego, la forma factorizada es
Py = leo dle +x—o+0?,
Evaluando en
2x=1+V/40%+5
> 2x-1=/40*+5
> 4-4x+1=4b?45
> 4-4x-4b*=4
> e=x-bi=1
Por lo tanto, el valor numérico entero de un fac-
tor primo es l.
Problema 29
Indique el número de factores primos luego de
factorizar
Po)=4+20-3x+3(-1).
282
Resolución
Agrupando convenientemente
Py =X00+2x-3)+3(x-1 )
> Pi9= x(x+3)(-1)+3(x-1)
> Pi" (x-1)[x(x+3)+3]
> Pi= (-1)(2+3x+3)
Por lo tanto, tiene dos factores primos.
Problema 30
Al factorizar el polinomio
F yd 4 al
se obtiene (+mp(0+2x+ 1).
Calcule M+N+P.
Resolución
I.. Se observa que f(1)=0
Veamos: fq)=1*-19+2:1?-1-1=0
Entonces, (x-1) es un factor.
IL. Usando la regla de Ruffini
2 1-1
fo =0-1-Ló+20+1)
Recuerde que toda cúbica, si es factorizable,
debe admitir el método de los divisores binó
micos.
Seaqy=+2x+1 > pcr=(1;-1)
Se observa que q +0 2 gun?
Entonces, ((x) NO €S factorizable-
. me+n+p=3
-_
Factorización de polinomios
(APITULOV_——— ,
problema 31
n factor primo del polinomio
1 -(6x+1)* -15.
Halle U
cal
SS
lat)! 120+1)-15
(a+) -12(8+x)-16
Haciendo 3x7+x=z se tiene Py =23-122-16.
Por divisores binómicos se observa P(_,,=0, lue-
go (+2) es un factor.
Por la regla de Ruffini
> Py =2+2)(2?-22-8)
z Ja
> AR:
> Piy=(2+2) (2-4)
Reemplazando el valor de z
Pu=lax+x+2) (312+x-4)
Prslad+x+2) (ar+ 4) D,
de donde un factor primo puede ser
M4x42 Y 344 Y xl.
Problema 92
Calcul
eelny
el número de factores algebraicos de
Wosxrt+a (51)
A
Resolución
Veamos por aspa simple
1 41)
E SL - (341)
(e-1)
Comprobando
A 1) lar) 4
identidad de Legendre
> Qee le”
=(42 4 + 1 dad 1),
de donde el número de factores algebraicos es
(C+DA+DA+D-1=7.
Problema 33
Calcule la suma de coeficientes de un factor pri-
mo de M)= 0-3) +81x.
Resolución
Hacemos un cambio de variable x-3=z
=> M2 +81(2+3)=2%+812+243
z ¿Slz a
243 "243 243
> Mo -28/(2) ¿Jen
z
Hacemos 3 =1
> Mi)= 0
> My=248(é+t+1)
»» Recuerde
Pri 4+1)
283
Lumbreras Editores
a
a
z? 3 2
z z z
4
9 E 9*
Mc =(2?+32+9)(23-32?+27)
> Mi) a
En la variable x tenemos
Mi =[(-3)*+3(:-3)+9] [(«-3'-3(x-3)?+27]
Efectuando
Mc) =Le-3x+9)Le-12x7+33x-27)
Luego, la suma de coeficientes de un factor pri-
moes7o-—5.
Problema 34
¿Cuántos factores primos tiene el polinomio
P(y=x"-2é-1?
- Resolución
Observamos que
Poy=-D'-2-D*-1=0
> (x+1) es un factor de P(,).
El otro factor lo calculamos con la regla de Ruffini
> Py=00+DMbé- 5% 41)
. —X O 5
y boa
> ed
Por lo tanto, tiene tres factores primos.
Problema 35
Halle el factor primo de menor suma de coefi-
cientes del polinomio
2 ;
Jey=Léxy+y) ayy),
284
Resolución
Deer abr) ey (247242,
Haciendo x"+yYxy=mM » xy=n
> Jm; n)=m*-4n(m+3n)
=m?*-4mn-12n?
m Se -6n
m 2n
> J(m;n)=(m-6nXm+2n)
Reponiendo m a n
de Ley (ey 942)
> Jay=le+ Ter ty)
Luego, el factor de menor suma de coeficientes
es 4y?-7x7.
Problema 36
Indique el valor de verdad con respecto al poli-
nomio
Pc) =x*-9+30x*-45 +30 -9x+1.
I.. Tiene un solo factor primo mónico.
II. Un factor primo es 2+3x+1.
III. El término lineal de un factor primo es —3%.
Resolución
Por polinomios recíprocos
30 9 3
Ri) ES
-
CAPÍTULO vil
plazando obtenemos
a ce lo—3cola?-2)+302-a5)
(x; 2
(2-31
Remi
Reponiendo 2
1 3
e (x+L-3)
Ro” [x+
3
py=Le-3x+1)
"
a
AS
*
mm
|
[95]
x
+
_
A
1
estudiando las proposiciones se concluye:
1 Verdadero II. Falso III. Verdadero
Problema 37
factorice el polinomio
Guvy=larb+o'-(b+c-aY? —(c+a-b)-
-(a+b—oY.
Resolución
Hacemos algunos cambios con las variables
b+c-a=x |
c+a-b= y ¡(+)
a+b-c=z
> AR+D+C=x+y+Z
E Gb: AS a A
El polinomio es simétrico, puesto que si x==y
> Gy,y, ¿350
Entonces (x+y) es un factor. Asimismo, (x+) y
(Y+2) son factores.
Comparando los grados
bary+z 5 y5_ 5
E AS
5.2 grado
—,
3er grado 2.2 grado
Como
0, 19 SAL24y? 422) +B(xy+xz+y2)
Factorización de polinomios
Por ser polinomios idénticos, para conocer A y B
asignaremos
x=l;y=l;z=0 > 24+B=15
x=l;y=l;z=1 > A+B=10
De donde se obtiene A=5; B=5
Gúz y; 2 = 0+y)(+2)(y+2)
(sCé+y+2)+sGy+xz+y2)
Reponiendo los valores de x; y; z, en términos
dea;b;c
+ Ca; b;c) =800bc[la*+b*+02)
Problema 38
Factorice el polinomio
Abr; pa= 0D Ye x—y,
Resolución
El polinomio es alternado, ya que si x=y
> Ax; y;.)=0 > (Ay) es un factor de A.
Del mismo modo son factores (y—z) v (2-x).
> Ay ie ayy
5.0 grado
= (x- y)(y - z)(2-x)-Q(x, y; 2)
3er
grado 2.2 grado
> Ay OD ler +2)
+NGy+xz+y2)l,
siendo Q;x; y; ¿y UN polinomio simétrico.
Luego, por ser polinomios idénticos:
Parax=0;y=1l;z=-1 > 2M-N=-1
Parax=1l;y=-1;2=2 => 6M-N=-1
de donde M=0 a N=1
Entonces
Ag y 1 NOD DY +2 +2).
285
Lumbreras Editores
a
- — _
Problema 39
De acuerdo con el polinomio
My = 8421-15-15 +21 -8x+1,
establezca el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l. Tiene 4 factores primos.
Il. x2-2x+1 es uno de sus factores.
IL. 2-3x+1 es un factor primo.
Resolución
M4. Polinomio recíproco de grado impar
M(-1)=0.
Luego, por divisores binómicos:
-8 21-15-15 21 -8 1
l -1 9-30 45-30 9 -l
-9 30 -45 30 -9
Entonces
Mi =e+ Dx? 9x5 +30x*-45x?+30x?-9x+1)
Qu)
286
Como Q¿,, es un polinomio recíproco
de
par, factorizado (x7) se tiene: a
SS bh
x e y
31 5)- ELO EN
Xx ( y) ZE aja? E
els -9x2+30x-45+_9 1
l
Hacemos x+==z
x
entonces 1?
l l
t=2%-2 + =3-3:
y? Xx + 3:
Reemplazando tenemos
lz3-32-o(2?-2)+302-45)
Az -92*4+272-27)=w (2-3)
Reponiendo z
1 €... 3
Qi) = ex +2-3) = (1 -3x+1)
; Xx
- Mpy=G+D(2-ar+ 1)"
Estudiando las proposiciones se concluye:
l.. Falso II. Falso 11. Verdadero
gix+2.es un fa
e>
..
m
>
Test 7
ctor primo del polinomio
5 art,
indique cuál es el valor de a.
O 3
E) 1
y) 2 caia
D) -1
si x+3 es un factor primo de Try =+bx+6,
halle la suma de los otros factores primos.
B) 2x-1 C) 2x-4
E) 2x+1
A) 2x2
D) 2x-3
Enel polinomio P;; ,=4"b+a*b-a*-a”, calcule
la suma entre el número de factores alge-
braicos y el número de factores primos.
A) 14
D) 7
B) 15 C) 10
E) 13
Indique un factor primo del polinomio
Ty=atard.
¡NE
D) +1
B) ax?-1 O) x+1
E) x-a
Halle el factor primo de mayor suma de coefi-
Cientes del polinomio
Q=3%-5xy-2y?.
> xy B)3x+2y C)x>2%
sd E) 3x+y
Lu
A €80 de factorizar el polinomio
(a;0) 04 p?_] +2ab,
le u A
N factor primo aumentado en 5.
lo 0]
10.
A) a+b+2
D) a+b+4
B) a+b C) b+5
E) a-b+2
¿Cuántos factores algebraicos tiene el poli-
nomio
Pía; =b*a*b+2a*b*-2a*b?
A) 23
D) 14
B) 24 C) 15
E) 17
Indique el factor primo de mayor grado del
polinomio
Poy= 4D.
A) 344x241
B) 12+1
0) 2+3x+1
D) x2-x-1
E) x*+x+1
Determine el polinomio que no es un factor
de F(;), tal que
Ford.
A) x2+x+1
B) x+1
O) x2-x+1
D) Al
E) +1
Halle un factor primo del polinomio
Tía; yy=ala-2b+ D--b(3b+11-6.
A) a-3b-2
B) a+3b-2
C) a+b-3
D) a-b+3
E) a+3b+2
287
E
11.
288
Indique el factor primo de mayor suma de : 12, Determine cuál de los siguientes Poli
; . : in
coeficientes del polinomio : no es primo sobre Q. O
Ry = 300 +6x(x-1)+8. :
Mios
y A) x-x+l
E id B) 1*-2x+1
0) x+2 Cc) e
D) 17+2 : D) x“-3
E) +3x+4 : E) 2x-1
Cuaves
1/B 13 . ]
/B 13 /Aa ¡IS/E 2 la
CESE O ) ]
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
- Indique UNO de los factores primos del si-
guiente polinomio:
Po = a alzabi—b”.
B) a+2b C) a-b+3
E) a+b+1
A) a-b
D) a-b-1
Indique un factor primo del polinomio
Ta.)=0-b*6a+9.
B) a+b+3 C) a-b+3
E) a+b+1
A) a+b-3
D) a-b-1
Halle un factor primo del polinomio
Tay =2a"b+b*% +%a)+4(atc+cb+b%a)+
+9abc.
A) a+b B) a+c C) b+c
D) a+2b E) a+b+c
, Halle un factor primo del polinomio
Qu=d+2d +23 (+ 1)+2.
A) x+1 B) x-2 O P+x+l
D) 4x-1 E) 12+x+2
+ ¿Cuál de los polinomios no es factor primo
de P., donde P(,=2x'+1%-9x 4x4 4?
A) 2x-1
D) x+1
C) x+2
E) 2x+1
B) x-2
" Six+1 es factor común de
Pu=-3x+a y
Qw=22bx+5,
¿cuál es el valor de a-b?
10.
11.
* A) a+b-1
A) -3 B) 11 03
D) -11 E) 5
Determine un factor primo de
Pa; py=0+ab?-2b*.
A) a+b
B) a-2b
0) a?-ab+2b*
D) a+2b
E) a?+ab+2b?
Indique el término lineal del factor primo de
mayor grado del polinomio
Paya +2.
B) -x C) 2x
E) 3x
A) x
D) -2x
¿Cuántos factores primos sobre Z tiene el
polinomio?
Py 2204 -18LO 41) +72
D) 4
Halle la suma de los factores primos de
Pim =mM'-10m*+9.
A) m4+3m+1 *
B) m?-10m+1
Cc) 2m*-10
D) m*+2m
E) 4m
Halle un factor primo del polinomio
Ti y =0*+20?+a)+3(ab-1)+5b.
B) a+2b+1 C) a+b+1
D) a+2b-1 E) a+2b-3
289
Lumbreras Editores
12. Indique el factor primo de mayor suma de 16. Indique cuántos factores primos tiene po
e . .
i i linomio
coeficientes del polinomio sá ;
Poy = 213 14x+24. Pisto =lAñ bc-abic) + (ab c-abe) -
(a? beach)
A) x-2 B) x-4 C) x+4 :
D) x+l E) x+3 o A3 B) 5 O 6
: D) 4 E) 2
13. A continuación, se muestra un esquema de :
factorización por aspa simple: : 17, ¿Cuántos factores primos tiene el polinomio
: 169,14
G(y=3"-(2d+3)x+6; a>0 : Py =0-2x +12
ax —2 : ñ .
bx Cc : m3 B) 2 e
¿Cuál es un valor de a+b+c+d? : D) 5 de
a 18. Hall j niomi
3 10, e un factor primo del polinomio
2d Mo=*2 4 ett.
O 3 :
o A) x2-x+1 B) +x-1 C) é-x+1
E) hay dos respuestas correctas D) xl E) PIVN
14, Halle la suma de los factores primos del si-
guiente polinomio
Py=darid + 16x-12.
19. Luego de factorizar el polinomio
Ta) =(«-2)-2r+5,
dé como respuesta la suma de los términos
A) 4(x-D : lineales de los factores primos.
B) 4x-3 :
C) 3x-1 A) 2x B) dx C) -2x
D) 2x*-4x-4 : D) 3x E) -4x
E) x+3x-2 j :
20. Indique un factor primo del polinomio
15. Calcule el menor valor de q si el polinomio : Qu: =(a+b)la(a+2b-6)+b(b-6)+114.
Py =x"+(3a-2)x"(6a-1)x-2
tiene un factor que es cuadrado perfecto.
: A) a+b+1
A) 2 B) 2 5 : B) a+b+2
3 3 10) e %
: C) a+b+3
5 e
D) 6 E) 2 : D) a-b+1
: E) a+b-1
290
pJPÍTULO vil
Factorización de polinomios
Nivel Il
9. Indique el número de factores irreductibles de
$ e Yiry aia 432y?7,
(ny *
B) 2 O 3
E) 1
py 5
D) 4
y, Factorice el polinomio M,; )=a?—4+2ab+b?
eindique un factor primo.
A) a+b+2 B) b-2 O a+b-4
D) a+2 E) b+2
2. Halle un factor primo del polinomio
Py +(b+c+2d)x+d?+(b+c)d+bc.
A) x+b+d
B) x+2d
C) x+d+b+c
D) x+c
E) x-2c
Y. Halle un factor primo del polinomio
Hu=(22+x- 1 -(2-ar=s).
A) 32+2x-6
B) (-2x-1)
O 3-26
D) x2+2x-1
E) x-2
%¿ ES
5. ¿Cuántos divisores primos posee el polino-
mio Ti, ¿y=(a? 2? 2
(a, =la“—6ab+b?) —4ab(a+b)?
AÑ 2
B) 5
D 3 )
0) 4
E) 6
2%,
Factorice e] polinomio
osa +b(ca*+c(a—bY+8abc.
E
27.
28.
29,
30.
NO (rotrla+rb +:
B) (ab+ac+boa+b+c)
0) (a+bXb+o(c+a)
D) (a-bXb-0(c-a)
E) (ab+ac+bc(a-b+c)
Indique un factor primo del polinomio
Poy o [y +2M—y-2)+1].-4(0y).
A) x+y+z+1
B) x-y+z+1
C) x-y+z
D) x-y+2+2
E) z+y-x+2
¿Cuál de las siguientes expresiones no es tér-
mino de un factor primo de
Fc y 2142 (62y+48y +y*+4xy?)>
A) -2
D) 2x?
B) 2xy O y
E) -y?
Indique el factor primo cuadrático de mayor
suma de coeficientes, después de factorizar
My) =x +4: +16.
A) x2+x-2
D) 12+8
B) 2+2x-4 0) x2+x-8
E) 2+2x+4
Factorice los polinomios
Poy =0+19xy+15y"11x-17y+4;
Fa y 0 +y442xy+3x +43),
y señale como respuesta el factor primo no
común de mayor suma de coeficientes.
A) 3x+5y-4
B) 2x+3y-1
C) x+y+4
D) x+y-1
E) 2x+y+4
291
Lumbreras Editores
31. Halle el factor primo cuadrático de mayor
suma de coeficientes del polinomio
Pq) =x'-40+ 112-14x+10.
B) -2x+5 C) 4x2
A) x2+3x+2
E) -2x+2
D) 12+4x+2
32. Calcule la suma de coeficientes de un factor
primo de
Po) ele)
O 3
E) 5
A) 2 B) 4
D) 0
33. Factorice el polinomio
Mo=2 (+ 1)422(22-1)(1+2?+2')
y dé como respuesta el número de factores
primos.
A) 2 B) 4 O 5
D) 3 E) 6
34. Calcule la suma de coeficientes de un factor
primo del polinomio
Hay = 4-2 -17x+33.
Cc) —7
E) -8
A) -3
D) -5
B) -6
35. Halle un factor primo del polinomio
Pía; p)=4b—(ab—1)(1+a—ab)Yb+1)b-1.
A) l+ab
D) I+a+b
B) ab C) ab-1
E) a+b
36. Factorice el polinomio y dé como respuesta
la suma de coeficientes de un factor primo.
Po y AY 74OY +3Y 17.
292
37,
3
3
4
co
o
co
A) 0 B) 2
D) 1
O) 12
E) 6
Factorice el polinomio e indique el factor pr.
mo cúbico.
Py 42DÓ 2x4 l.
A) x+x+l
B) ++
O A4x+x—l
D) -x+1
E) +1
Calcule el número de factores algebraicos de
Qu) =x*+0é-(é- 1) .
0) 8
E 5
A) 7 B) 6
D) 9
. Factorice el polinomio
Fw: =la+b+o*+a+b-0*+
+4c(a+b) -5(a+b+c)+
e indique el factor primo de mayor término
independiente.
A) 2a+2b+2c+1
B) a+b+c-2
C) 2a+2b+c-1
D) a+b+c+2
E) 2a+2b+2c-1
Halle la suma de factores primos del polinomio
Po y =(:+2y)?-21y(3x— My +6).
A) 2+4y?
B) 2x?+2xy+8y?
0) x*-4y?
D) 2x+4y-6xy
E) 2x?-2xy+8y*
¿P.TULO vil 3
0 respecto al polinomio
y 0d e o) +c(b-a%)+
+a(c—b*) +abelabc—1),
señale el valor de verdad o falsedad de cada
una de las proposiciones siguientes:
| Unfactor primo es a*—b.
1 Un factor primo es a? +b.
in. a=c no es un factor primo.
B) VFV CO) VFF
E) FFF
A) VVF
p) VVV
(2, Halle un factor primo del polinomio
Qu: Lx +(20P+ pa +(p+ 20 B)x+ ap.
N [x+a
D) fx+a?
B) x+0f O) ax+f?
E) x+a
43, Dado el polinomio
Po y zat+5br aba? 21? 20,
indique el valor de verdad de cada proposi-
ción:
|. Tiene tres factores primos.
Il Tiene dos factores primos cuadráticos.
Il. La mayor suma de coeficientes de un
lactor primo es 2-2c?,0<c<l.
» Vw
D) Fvy
B) VFF C) FVF
E) VVF
A 2 ]
M1 =51 46) es un factor del polinomio
Pm 9 +mx +n,
Calcule el valor de m/n.
B) -3 Cc) 10
E 3
a
“ Le
pl 80 de factorizar el polinomio
, 7
+ (+ 1942,
h
que . :
fe un factor primo cuadrático.
46.
47.
48.
Factorización de polinomios
A) 4xi4x+1
B) x*-5x41
O 4443
D) 2x%4+x42
E) 4x%461+3
Indique un factor del polinomio
. a 512 y
Sylar ta) a,
Axial
B) +1
O +1
D) ate
E) x +1
Indique aquel polinomio que no es factor de
Qu. y= +2 y day? -8y* 142,
A) x-2y
B) x+2y+1
O) x-1+2y
D) x+2y
E) -14+4y(+y)
Con respecto al polinomio
122-9214 162 92741,
P(y=2"-92 +162
indique el valor de verdad de cada una de las
proposiciones:
5 2
1 Un factor primo es 27 + 4z+1.
; E 3
11. Un factor algebraico es (2-1).
11L Tiene solo dos factores primos mónicos.
A) VVV
B) FVF
C) VVF
D) VFV
E) FFF
Lumbreras Editores :
53. Luego de factorizar el polinomio
Sy, =(Arty 52 + (22y-21) 4 (32-pp
indique el valor de verdad de cada u A
49. si (b+1) » (a—1) son cuadrados perfectos,
factorice
M¿=é-(a+b+1Dé+ab+20-1DÓ-
-a+b-ab+l. : siguientes proposiciones:
I.. Un factor primo es 2x+y-2z,
II. La suma de dos factores primos es x-%
III. Un factor primo es 3x+y+5z,
na de las
Indique aquel que no es factor de M4):
A) x+vVb+1 B) x-vVa-1 C) x-vb-1
D) x?-1 E) x2+l-a :
: A) VVV -B) VVF C) VEV
50. Luego de factorizar el polinomio D) VFF E) FVE
Poy +2
indique el valor de verdad de cada una de las 54. Indique el valor de verdad con respecto a]
polinomio P(,=x(x- 1)(x+2)(x-3)+8 de las
siguientes proposiciones.
I.. Tiene dos ceros racionales.
II. Tiene tres factores primos mónicos.
III. Tiene dos factores primos cuadráticos.
siguientes proposiciones:
I.. Un factor primo es Aex+l.
IL Un factor primo es x?—x+1.
III. La suma de coeficientes de un factor pri-
moes 1.
A) VVV B) VEV C) FFV A) VVV
D) FFF E) VFF B) VVF
C) VFV
51. Indique aquel polinomio que no es factor del D) VFF
E) FVF
polinomio
P y=0+41x1+97+97:2+41x+6.
55. Luego de factorizar un polinomio P(, sobre
los racionales por el criterio del aspa simple
A) x+l
B) x-2 se obtuvo:
C) 2x :
e e P.=8+bx2-(d+2)
D) 3x+7x+2 : á E
E) 3x+1 : pa > e 1
: E d
52. Indique un factor primo del polinomio Determine uno de sus factores primos.
Pa:b;io)= (abY*+(ac)+ (bc)+
: A) 4x7+1
+abc ++ +abc(atvte+1)). : 3d 2x?+1
| 02%
A) ad+bc B) bi+a C) ci+ab : D) 2x +3
2 ,
D) a?+bc E) b?+ac E) 2x-3
294
Factorización de polinomios
e factorizar por aspa doble especial
gh, Luego d :
mio P(x) 5€ obtiene el siguiente es-
al polino
quema:
59.
Luego de factorizar
Sta: 1: =(2a?+ab+ac +bc) +a(b-cY,
indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
Ry a+ mx? :
pi : IL. Tiene dos factores primos cuadráticos.
Xx X ax xo : T
/ / : "
e N|bx ñ : 11
Calcule el valor de a+b+m;a < b.
Un factor primo es 2a?-2ab+b”.
. Tiene dos factores primos lineales.
A) VVV
B) VFV
ps B) -5 0 6 yn
: C) VFF
D) 7 E) -6 :
z D) FVF
: E) FFV
$7. Silos trinomios f y 8, :
[y +ax+6 A 2) => +bx+3, 80
; e . Indique el valor de verdad de cada una de
admiten un factor común de la forma 2x+C,
las proposiciones con respecto al polinomio
Poy 1061 1x+2,
L Un factor primo es cúbico de término in-
calcule el valor de ac—bc.
O 4
E) 2
A) 6
D) -4
B) -6
d dependiente 2.
II. —5x es un término de un factor primo.
III. —3x es un término de un factor primo
5, Sea el polinomio Py =x 1-3 6x8.
Determine el valor numérico de un factor pri- cuadrático.
mo cuando Po
o : B) VEF
C) VVF
29 B) 1 C) 2 D) FVF
09 E) 4 E) FVV
295
296
LAVES
Problemas propuestos
(7 /E 11/D
L8/A 12/6
NIVEL Il
22/É 37/p
30/c (38/4
UB 39 /E
32 /D 40/D
33/D L4Y/C
e (8
85/c LD
(36/p L44/5
AE
Capítulo
Évariste Galois
== roZ
Y po NA
E
$ Ú A
Máximo común divisor,
ini an múltiplo
nímo común mul
3 y fracciones
CAPÍTULO VIII
MCD, MCM y FRACCIONES
objetivos
«Conocer el significado y aplicaciones del máximo común divisor y del mínimo común
múltiplo.
+ Efectuar operaciones con fracciones algebraicas.
+ Descomponer una fracción algebraica en sus fracciones parciales.
Introducción
En el presente capítulo veremos que el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor
(MCD) son consecuencias de la teoría de múltiplos y divisores de magnitudes estudiadas en aritmética.
Una de las aplicaciones técnicas del MCM y del MCD es distribuir (encajar) una cantidad de objetos
geométricos semejantes de una forma exacta en otro de mayor magnitud.
Planchas de acero
utilizadas en la
construcción de
un depósito de
combustible
fig. 1 fig. 2
Ag. (1): En esta figura, para poder encontrar la cantidad de cajas pequeñas que entran en la caja gran-
s se debe utilizar los conceptos de MCM y de MCD.
8.(2): En esta figura, para calcular el número de planchas que se debe ones
Un depósito de dimensiones conocidas, es necesario utilizar el concepto de as san es aeaid
álgebra, estos conceptos de MCM y de MCD se generalizan a expresiones alge
Estudi E
'dio que se realice en el presente capítulo.
nutilizar en la construcción de
299
Lumbreras Editores
o
_ E A A A A
» CONCEPTOS BÁSICOS
FACTOR DE UN POLINOMIO
Dados dos polinomios de grados no nulos P,) y
Q(,, se dice que Q;,, es un factor de P¿,, si y solo
si la división P(,)+Q(, es exacta. En tal caso, será
posible expresarlo por
Pro=00 Hp:
HA.) es un polinomio no nulo
FACTOR COMÚN DE DOS O MÁS POLINOMIOS
Diremos que M¿,, será un factor común a dos
polinomios P(., y Q¡,, si existen otros polinomios
£«) Y 8(«) No nulos, de tal manera que sea posible
expresarlos por
Po"Mw'feo + O0=M)'80)
Ejemplos
l. Sean los polinomios factorizados
P= (xD 3) 5x+2);
Q9)= (x — 2)(2x —1)(5x+2)5,
Sus factores comunes son
(2x—1), (5x+2), (2x — D(5x+2).
2. Sean los polinomios factorizados
Po=0+2%x 1);
Q1=0+2Ux+3).
Sus factores comunes son
(x+2), (x+2)?
MÚLTIPLO DE.UN POLINOMIO
Sea el polinomio P,,,= Qc+2)(x—5).
Los múltiplos de P(.) son
(+2)(x — 5), (+2) — 5), (x+2)(x — 5)x...
300
POLINOMIO MÚLTIPLO COMÚN
El polinomio múltiplo común de dos o Más po.
linomios es aquel polinomio que es divisible
exactamente por estos en forma separada.
Así, sean los polinomios
Pa) = (+ 1)0243);
Q6) = «-1)(r+1).
Los polinomios múltiplos comunes de Pao O
son
(x—DG+D02+3), (*-1)%+162+3)
G-DG+1m22+3)..
> MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
DEFINICIÓN
Dados dos o más polinomios no constantes, lla:
Maremos máximo común divisor de estos poli-
nomios al factor común de mayor grado.
El cálculo del máximo común divisor en los poli-
nomios es similar al cálculo del máximo común
divisor en los enteros, para ello, primero se to-
man los factores primos comunes elevados al
menor exponente y luego se multiplican dichos
factores.
Ejemplos
l. Sean los polinomios
Po) (2x+D (DB 0);
Q)= (2 D3x— DY.
Los factores comunes son ¿
3x-1,x-1, (3x1) (1), Gr-DG=1"
2
De ellos, el de mayor grado es (3x — Da -1"
MCD(P; Q)=(3x -D(x-1*
AMLO WI _—K— ——— ts ! MCD, MCM y Fracciones
j 5 2
sean lOs polinomios P.,+ e —x-6)
' py Pr: Por el método de Horner
bu)
NV xy).
Usb y le y)
Calcule SU MCD.
Resolución
Los factores comunes de T y U son x-y;
ey).
El factor común de mayor grado es el máxi-
mo común divisor, en este caso, (x-y)!.
Entonces
A-64+12=0 > A=-6
B+72=0 > B=-72
» Tenga en cuenta
Si 5, es el MCD de Py y Q(), entonces II. Igualmente
se tendrá lo siguiente: dui (e ppt
PS Mo Por el método de Horner
QS Nao
Donde Mi, Ngy SON polinomios que no
ty 0)
poseen ningún factor común, llamados
primos entre sí.
Ejernplo
De 1 y II se tiene que
3. SI- x-6 es el MCD de los polinomios AN+BM=(- 6)(- 84)+(-72)(10)=- 216
Py =D ARAN HB y
> a ]
Q()=34- 75+Mx+N, MÍNIMO COMÚN MULTIPLO (MCM)
calcule el valor de AN+BM. DEFINICIÓN
Dados dos o más polinomios, el MCM es el poli-
Resolución nomio múltiplo común de menor grado.
Como no conocemos los valores de A, B, M
y N, es conveniente dividir por el método »»> Observación
El cálculo del mínimo múltiplo en los
polinomios es análogo al cálculo del
mínimo común múltiplo en los enteros.
Horner P,, y Q( entre x2-x-6 por separado.
Es decir, 2x6 divide exactamente a los poli-
nomios P¿, y Q(,y respectivamente. Luego
301
Lumbreras Editores
A — e ——— A KA KA
Ejemplos
1. Sean los polinomios factorizados
Py = (DA + DY;
Q9=6-D(+D?.
Halle su MCM.
Resolución
El MCM es el polinomio de menor grado que
tiene como divisores o factores a P(,) Y Q(,).
En forma práctica es la multiplicación de los
factores primos comunes con su mayor ex-
ponente, respectivamente, y sus factores no
comunes.
De
Py= + DÍ(x-0);
Q0=0+D'G-0,
el factor primo común es (x+1).
Luego, MCM(P; 0) =(x+1D% -(2x —D(x-1)
factor factores
común no comunes
MCM(P; Q)=(4+1)?- (2x-1D(x-1)
2. Sean los polinomios factorizados
Py= (xD +3) (x - 1)?
Qu0=Bx+1)(—1)(4x+3)2
Halle su MCM.
Resolución
Los múltiplos comunes de PG) Y Q() Son
AD 1 (3x4 1);
Rx 114 +3) —1)U(3x 4 D,
Pero el de menor grado e
o s el mínimo 4
múltiplo. ES
MCM(P; Q)=(x — D'(4x+3)(2x —1 X3x+1)
302
3. El MCM de dos polinomios Ac» Y
Otro método
Aplicamos la regla práctica a los factores primos
comunes
4x+3, x-1
y alos no comunes.
(2x-1), (3x+1).
Luego
MCM(P;0)=(4x+3)(x-1)? (2x-1)(3x+1)
Teorema
Dados dos polinomios P(,, y Qíy,
se cumple que
Pe) Q(9=MCD(P; Q)*MCM(P; Q)
Demostración
Sean
Po"Aw'Bw (0
QA Ct (1D
donde Bi) Y Cíx) son primos entre sí.
> MCM(P; O)=A "Bro" Cto
De (D-(1D,
Pwo'OosAo Bm Ao Cto
E Ay rÉ
Pos Ay BorAn
MCD(P;Q) MCM(P;0Q)
*. PiyQ(=MCD(P; Q)-MCM(P, 0)
Bix) é
_2, Halle €
Xx 4x+4 y su MCD es 2+x72
3 Bix)
número de factores primos de A
”
ye MCD, MCM y Fracciones
solución 5. Halle el M
4 ¡el teorema A e y a de los polinomios
Pro Bra = MODA; B):MCM(A; B) TS
(x By ]
Oil
=P -4x+ 4) +x-2) eN x
de de Sa CoSá-s,
=l Resolución
le -D0+2)(-1) Factorizando los polinomios:
= —2Mx- Es
ele 24 DA+DX-1) Ay=x +23
=(x+2) (x-1) (x-2) 2
, AR 3
Por lo tanto, A(,)'B(,) tiene tres factores primos. ÚS
4. Ejproducto de multiplicar dos polinomios en =(+3)2-1)= (2+3)h +11)
variable X es (6+1)- 4x* y el cociente de Bose ld x-1)
dividir su MCM y MCD de esos polinomios es
(4+1)'- ax. Halle su MCD. Agrupando como se indica
=x( 4x2 1-1)
Resolución Ñ
Sean Ajo y Bgx) los polinomios. =xl(x+1)-(c+1)]
Como =xl DL + 11)
Ac"Bry=MCD¿,y MOM,
00% 6) (0) Dedonas
«By: ; =(,6 y 6
> MCD(A; B)-MCM(A; B)=L+1)-4x% (1) Ary=L2+3)(+1)-1);
= 2
También Biy=x(x+ 1D).
MCM(A; B) _ (ya al AM nen
MCD(A: B) ) > MCM(A; B)=(x-1)(:+1)*-x (243)
Como buscamos despejar MCD, entonces 6, Halle el MCD y MCM de los polinomios
(1) + (1D ,
Pr) = 5-6 + 11x-6;
MCD(A; B)-MCM(A; B) _ Nz Q1)=4-22+2-3x+2.
MCM(4; B) = (MCD(A; 8))
MCD(A; B) Resolución
Factorizando los polinomios:
Py +11x-6= (x-1)(x-2)(x-3)
2 Qu>=-2+24-3x+2
_ ¡PaaTe +12 +1)
= NS |
Observamos Q(1)=0, entonces Q-I) es un
el factor. El otro factor, hallado con el método
de donde MCD(A; B)=x"+x2+1. de Ruífini, es Qy +1).
303
Lumbreras Editores
GDL 2)
A
ac ibi
Xx 2
lr
*
PEN
=(x-0.0+2)02+1)
Luego
Py) = 0-1)0-2)0-3);
Q6 = 0-1 +2)02+1)
De donde
MCD(P; Q)=x-1
MCM(P; Q)=(x-1 0-20 +20 0441)
» FRACCIONES ALGEBRAICAS -
DEFINICIÓN
Se denornina fracción algebraica a la división in-
dicada de dos polinomios, exceptuándose a las
divisiones exactas.
En forma general, se denotan por
- numerador
denominador
Uoo nulo mi constante)
304
Ejemplos
1. Las siguientes fraccciones son algebraicas,
S 3x2 +5x
a =
(1) x-=1
x+y
b.
(xy) x-y
_X+y-Z
Cc Ru y¡z) 27
tl
d Ru) = 1]
x+x+l
o yz?
e Suyi2)* 4xyz
E +3y? 142!
Lo Txiyi2) >
221 +3y* 44x*
8x? +52?
8. Mix; 2) g X=Z ,
+3xz
2. Las siguientes fracciones no son algebraicas
a P k exa
a Ruy
-2
Xx
no es fracción algebralca, pues el deno-
minador no es polinomio.
x+y+rzrd
b, Qu y; 2) ———
y-x-2
tl
no es fracción algebralca, pues el denon
nador no es polinomio.
O, P
(x) x=?
ha a dilvt
no es fracción algebralca, pues es Una
slón exacta,
ara
203
no es fracción algebrale
d. Qu) >
cd, puesto que ella
A rado!
no presenta varlable en el denomin
e
yInIO O CONJUNTO DE VALORES
yISIBLES DE FRACCIONES
1LGEBRAICAS (CVA)
ene la siguiente fracción algebraica:
se li
243
x+ iabl A
lo" a en variable x, y sea m un número
cualquiera.
£ valor numérico f(,) Obtenido al sustituir x por
ment) puede no tener sentido para algún valor
de M.
Por ejemplo, si se sustituye x por 1, sería
2
lo a el cual carece de sentido.
Esto nos muestra que la variable x no puede to-
mar cualquier valor, sino que está restringido a
un conjunto llamado dominio o conjunto de
valores admisibles (CVA).
En general, para el caso de una fracción en una
variable
CVA(F)=U-(x € U/D()=0)
Donde U: universo (conjunto referencial).
Ejemplos
l. EnU=R « conjunto referencial
2 x*+5x+7
Dl
La fracción está bien definida para todo nú-
mero real que tome su variable x, excepto
-2 y —1, porque de tomar x tales valores, el
denominador tomaría el valor de cero, para
el cual no tiene sentido la fracción.
Entonces CVA (£)=R — (-2; -1).
MCD, MCM y Fracciones
x+1
li) = 2
x +4
La fracción está bien definida para todo nú-
Mero real x, pues x?+4 nunca es cero.
Entonces CVA (f)=R
OPERACIONES ENTRE NÚMEROS
RACIONALES
ac,
Sean » y 4 números racionales. En Q definimos
las siguientes operaciones.
Adición
a,£_adybe
b d bd
Ejemplo
2,5_24+3:5_8+15_23
3.4 34 12 12
Multiplicación
a e ae
bd b:
Ejemplos
1. Tenemos
3.17_317_51
45 45 20
Además, para dividir fracciones podemos
emplear la regla práctica que consisté en la
división del producto de extremos entre pro-
ducto de medios:
Lumbreras Editores
2. Efectuamos una división así
De manera análoga, se realizan las operacio-
nes entre fracciones algebraicas,
Sean las fracciones algebraicas
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Adición y sustracción
Nito , Naco _ NicoDato + Naco)
Di Daz) Dit Dax)
CVA(f, +f,)=U—[x/D,(9=0 y Day =0)
Ejemplo
(+ DG+D+ (O D(—1)
Ñ (x-DG+1D
- 2(x? +1).
1”
Vx € U -[l;-1)
Multiplicación
Ni) , Na(x) a No Natx)
Dio Pax) Divo Dax)
CVA(1,:f,)=U—(x/D,(=0 v D,(,=0)
306
Ejemplo
ENE)
0 l-1Ax+1
_(«+DGr—-D_x?-1
ar ia
Vx e U-(1; -1)
División
Nico . Naco _ Nico Pao
Divo Pax Bro Nao
CVA(f, +f,)=U —(x/Dy¡)=0
v Day=0 NA Nac)=0)
Ejemplo
f (E) 22)
0 Gen l-3
Px+l
= x-1 + -2+D6-3)
Ñ x+2 — (x-D(x+2)
L x-3
2
¿2 Vx € U -(1,3;-2)
x“+x-2
FRACCIONES ALGEBRAICAS REDUCTIBLES
Ni a
Una fracción f,,, = a 2 es reductible si Ni) ADW
1)
Poseen factores comunes; en otro caso, a la eo
ción se le llama irreducible. Cuando la fracción
es reducible, se procede a la simplificación de
factores comunes considerando como CVA de
la fracción reducida al CVA de la fracción inicial.
MCD, MCM y Fracciones
mplos
La fracció
] S
(+Dlx 3), CVA(f) =R -(3; 5
lo? :
nenR
puede reducirse a
AL dara? 5 An x%3
ho75
y, Sea
E)
fo) 2
vemos quex*-2 a x*2, luego
> CVA(f)=R-(2; -2)
CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES
ALGEBRAICAS
Sea la fracción algebraica
pri clasificar de acuerdo al grado de
yD.
Fracción propia
Cuando el grado del polinomio Ny es menor
que el grado del polinomio D/).
Fracción impropia
C
o el grado del polinomio N(,, es mayor O
a! que el grado del polinomio D;,).
Eemplos
L
Son facciones propias
hh. -X+l
M)>>5
_3x4+6x+1
2) =
ta) 3% +6x +1
x2 +3x
fa = OS
2 Aa
1
RENE
4(x) pS
2. Son fracciones impropias
f 2 42x+4
10 x-3
haz 3x5 +1
10 24 2x5
2
x“+1
Eo
4 2x +1
MO 5 +6
También las podemos clasificar por grupo.
Fracciones homogéneas
Un grupo de fracciones algebraicas son homo-
géneas si todas poseen igual polinomio denomi-
nador.
Ejemplos
Como los denominadores son iguales, entonces
ficos f2co Y fag) SON fracciones homogéneas.
307
Lumbreras Editores
A A A A AAA A A A A A IS
Fracciones heterogéneas
Dos o más fracciones algebraicas son hetero-
géneas si al menos una de ellas posee distinto
polinomio denominador.
Ejemplos
a ho
Do fax E
C. fax) = =;
Como los denominadores son diferentes, entonces
fico fo Y fy Son fracciones heterogéneas.
A
E
l valor numérico de
f - X+ DY Hay 4d),
05yN=y IATA
YX + DyXy + C9y + da
a7*0; b,%0; c,%0; d,+0
no depende de las variables x; y.
Entonces se cumple
a9-24.4_4%4_a
% b¿ C¿ d),
a
Demostración
yx + by xy + Cy +d) Eh
9X + bD¿Xy + Coy + da ”
Entonces
ax +b xy+c¡y+d, =k(axx+bxy+c,+d,)
AX +b ¡Xy +C ¡Y +d|=Ra7x +Rboxy+kcoy +kd
A JR QQ dy ss —)
“== 7]
308
a_A4_a_4_ R
d ba Cd
Ejemplo
Si la fracción
(P-2)x+(2P+3q -1)y+3q
y E AAA ARA AAA
y 8x -4y+7
toma un valor constante distinto de cero para to-
dos los valores de x e y que pertenecen al CVA
de la fracción, entonces determine este valor.
Resolución
Haremos uso del teorema anterior
fey=R; Rz%0
Entonces
P-2_2P+3q-1_3q y
NS TE O di
De (*) se tiene:
PR IPR gl m2 a
= A Ss
8 4 8 7
P-2=-4P-69+2 A 7p-14=24q
5$=4-6q A 7p=14+24q
F
PÍTULO vil!
MCD, MCM y Fracciones
HO! — ______ AAA
obtenemos
7
5-7
Luego, reemplazando en
5p=4-6q, Se tiene
, 10
P=Y
De donde resulta que
Por lo que reemplazando en (*) obtenemos
-]
9
DESCOMPOSICIÓN DE UNA FRACCIÓN EN
FRACCIONES PARCIALES
Hemos visto que es de suma importancia saber
aplicar la adición de fracciones, por ejemplo
A e a
x+1 x-2 (x-2DMx+1
Ahora aprenderemos el proceso inverso, es de-
cir, expresar una fracción como la adición indi-
cada de fracciones simples.
Caso |
Para fracciones propias
Sea F(, una fracción propia irreductible, de no
Ser así tenemos que reducirla:
Ah
Ora debemos factorizar el polinomio denomi-
nador D.
L Sien la factorización del polinomio D(,) se
Pia Que (ax+b) es factor y (ax+b)? no
e Por cada uno de estos se genera
mando a la fracción
A
3
| y
A
ae [Aj asbjcR » az0
Ejemplos
1. Descomponga en fracciones parciales a
Eu 3x+4
0 1243142
Resolución
Se observa que es una fracción propia
irreductible. Entonces, factorizamos el
denominador (x+1)(x+2), donde
A
x+l => genera —
x+1
B
x+2 => genera —
x+2
Por consiguiente
3x+4 _ A _ B
(07
OS +
x+3x+2 xXx+l x+2
> 34 _A(x+2)+B(x+1)
(x+D(x+2). (x+D(x+2)
Luego tenemos
3x+4=(A+B)x+24+B
ol o e pd A
De donde
A+B=3
24+B=4
Resolviendo: A=1 a B=2
Entonces
3x+4 mi 2.
1
fio = == —
07 2 43x+2 x+l x+2
2. Descomponga en fracciones parciales
4 +11x+3
00 3422
309
Lumbreras Editores
Resolución
Como es propia e irreductible, factorizamos
el denominador (x+1)(x-1)(r+2), donde
(x+1) => genera E
x+l
(x-1) > genera a
Cc
(x+2 —
x+2) > genera 0
Entonces
_ dl AB
A(x—-DGc+2)+B(x+1D(x+2)+C (x+1(x-1)
ho” Qe+1)0—D(x+2)
> 4%+11x+35A(x-10(x+2)+
+B(x+1)(+2)+C(x+1)0r-1)
Como es una identidad, podemos evaluar en
particular para
x=1;-1;-2.
x=l: 18=6BB” > B=3
x=-1: -4=-24 > A=2
x=-2: -3=3C > C=-]
Finalmente tenemos
+
OP AL 42
II. Por cada factor de la forma (ax+b)" 1 a+0,
tal que (ax+b)"*! no es factor del denoml-
nador, se genera la adición Indicada de frac-
clones de la forma
A B C M
+ q + qt. +
ax+b (ax+b) (ax+b)
(ax+b)"
310
Ejemplos
1. Descomponga en fracciones parciales la ex
presión
_3x+1
(a) ( x- 1! S
Resolución
Corno el denominador es (x-1)?, entonces
en la descomposición se tendrá en los deno-
minadores a x-1 y (x-1)?. Así:
Luego se tendrá
3x+1=4:(x-1)+B=Ax-A+B
3x+14x+(B-A)
, E ]
De donde
A=3 1 l=B-A > B=4
E 3 4
—— ——.
ia GM ya x=1 (x-1*
Otro método
Haclendo un cambio de varlable
Xl=el > x=t+l
3x+13(+D+41_ 3044 3,4
cristo ¡sl ala eli
Luego, reponlendo t=x-1 se tlene
3x +1 a 4
CTA
2. Exprese la fracción algebralca en la suma de
fracciones parclales,
2 -9x* +10x-9
Í
dd (x-1) Pr
CAPÍTULO VIII MCD, MCM y Fracciones
Resolución
Observamos que en el denominador (x—1)* es factor y (x—1)* no lo es, entonces, (x—1)* genera
Además, (x+2) también es factor, entonces genera Ae
x+
Luego tenemos
_2x7-9x?+10x-9
0 (-Dlx+2
A B C D
— +
x-1 (1-1? ds 52
E Alx-Dx+2)+ B(x-D(x+2)+C(x+2)+ D(x - 19
na (xD (x +2)
De donde debemos encontrar los valores de A; B; C; D, además los polinomios en los numeradores
deben ser idénticos.
2é-92+10x-9=A(x- D'(c+2)+B(x- 1)(r+2)+C(x+2)+D(x- 1)?
Por lo tanto, asignando valores convenientes a x
x=1: -2=C
x=-2: 3=D
x=0: —9=A(2)+B(-2)+C(2)+D(-1) > B-A=1
x=-1: 30=4A-2B-26 => B-24=2
De donde A=-1 a B=0
II. A cada factor de la forma (ax? +bx+c)", con w2+bx+c, az0 polinomio irreductible y
De bx+ ej no es factor, se genera la adición indicada de fracciones de la forma
AB, OD A
A n
ad+bx+e larl+ox+c) lax?+bx+c) (ax? + bx +c)
ax+B
311
Lumbreras Editores
KE 2 2 24 ——
Ejemplos
1. Descomponga en la adición indicada de fracciones parciales
_ 0 +4x?+3x+2
kx) 5 2
(2 +2x+ 2)
Resolución
R 2 : ;
El denominador (2+2x+ 2) genera las fracciones parciales
Ax+B E Cx+D
2 2
x+2x+2 (12 4+2x+2)
entonces
Ax+B Cx+D (Ax+ BNx?+2x +2)+Cx+D
A a oa A
x0+2x+2 (12 ,2x42) (2 +2x +2)
Luego, los polinomios numeradores deben ser idénticos
O |
x+4x2+3x+4+2= A+ (24+B)x2+(24+2B+C)x+2B+D
L - )
De donde A=1; B=2; C=- 3; D=-2,
Por lo que f puede expresarse
x+2 3x+2
fx) = 2,2 2 - 2
x +2x+2 (12,242)
2. Descomponga en la adición indicada de fracciones parciales
2x?+8x-8
(1) > p 2 E
(+2)? +4)
Resolución
Deducimos que
p A , Bx4C
+2 genera — . mera E
x gen 247 x“+4 genera a
Entonces
ABE y ABC CN 204 4A
(a ir - :
TO Xx+2 44 (+ Dl? + 4)
==
Luego los polinomios numeradores deben
U
ser idénticos.
20 +8x-8=(4+B)x"+(2B+C)x+2C+44
pe donde
2=A+B;
8=2B+C,
-8=2C+44.
De ahí obtenernos A=-2; B=4; C=0.
Por lo que f puede expresarse
—2 Ax
= —+
(0) x+2 x2+4
. Descomponga f en la adición indicada de
fracciones parciales.
5 e -3x
7 2*
(e + x)
Resolución
Reduciendo tenemos
Y -3x
(+ y
(0) >
5 EÑ2
Donde (2+ 1) genera las fracciones parciales
AB, Cx+D
2 To NM
+1 (241)
-3x _Ax+B, Cx+D
3 2
+1 (241)
MCD, MCM y Fracciones
Como los polinomios numeradores son idén-
ticos, entonces
'-3x=(Aax+B)L2+1)+Cx+D.
De donde se obtiene
A=1; B=0; C=-4; D=0
Por lo tanto
-4x x
+
f =
(0) 2 ES
(2 py +
IV. De obtener factores en el denominador de la
forma la "+bx"+cx+d)", como ad+bxé+cx+d
es no reductible, se genera
Ax? +Bx+C Dx? + Ex+F
ax +bx*+cx+d (ax +bx2+cx+d)
EA
2
+
ae ou” + Bx + y
(ax? +bx?+cx+ ay
Caso Il
Para fracciones impropias
Sea F(,, una fracción impropia
En este caso, debemos efectuar la división
ÑN, R
Fa= (69) = + (
(a) (x)
O A
fracción propia
x)
En el segundo miembro tenemos una fracción
propia, por lo que debemos transformarla en la
adición indicada de fracciones parciales.
313
Lumbreras Editores
Ejemplo
Descomponga f en la adición de fracciones par-
ciales
f x?-3
(E Ei an
(x-D(?2 +1)
Resolución
Observamos que la fracción es impropia, enton-
ces debemos efectuar la división, pues el grado
del numerador es mayor que el grado del deno-
minador.
Para ello tenga en cuenta que:
xl =(e+ DG-D0+1)
y OOIROME: si SIMAO si tn
AN
2
=sx+l-
A+ x-1
fracción
propla
314
Descomponemos la fracción propia irreductible
en fracciones
E A A
Axel (Dl 241) x-10 241
2 _Ale+D+le-M(Bx+C)
(x-D(? +1) (x-D(?+1)
> -2=A(2+1)+(x-1)(Bx+C)
Asignando valores convenientes a x
x=1: -2=24 > A=-1
x=0: -2=A4-C > C=1
x=-1: -2=24 -2(-B+C) > Bx1
Entonces
2 _ 1. x4+
Axl x-1 +
La descomposición de fracción impropia es
x-3 1 x+!
=x+1-—+
e EA
E (x-D(2+1) x-1 x2+1
p
Biocraría
Blaise Pascal
Nació en Clermont-Ferrand, en la región francesa de Auver-
nia, el 19 de junio de 1623 y murió en Parls el 19 de agosto
de 1662. Fue un matemático, físico, filósofo y teólogo francés
considerado el padre de las computadoras, junto con Charles
Babbage.
A los tres años perdió a su madre, Antoinette Begon. Su padre,
Étienne Pascal, era juez local, presidente de la Corte de Im-
puestos de Montferrand y miembro de la pequeña nobleza, y
también estaba interesado en la ciencia y en las matemáticas.
Tuvo dos hermanas: la menor, Jacqueline; y Gilberte, la mayor.
En 1631, Étienne Pascal viajó a París junto con sus tres hijos;
había decidido educarlos por su cuenta en aquella ciudad y muy pronto iba a descubrir que
los tres demostrarían muy buenas aptitudes intelectuales, en especial su hijo Blaise, para las
ciencias y matemáticas.
A los once años, el joven Pascal escribió un pequeño tratado sobre los sonidos de los cuer-
pos en vibración. Su padre, por miedo a que se perjudicaran sus estudios de latín y griego,
le prohibió continuar dedicándose a las matemáticas hasta que cumpliese quince años. Sin
embargo, meses después lo encontró escribiendo con un trozo de carbón en la pared la
demostración independiente de que los ángulos de un triángulo suman dos ángulos rectos.
A partir de ahí, a Pascal se le permitió estudiar a Euclides, además de sentarse a escuchar
las asambleas de algunos de los mejores matemáticos y científicos de Europa, como Roberval,
Desargues, Mydorge, Gassendi y Descartes, en la celda monástica del padre Marin Mersenne.
El trabajo de Gérard Desargues sobre secciones cónicas atrajo su interés. Desde aquel mo-
mento, un joven Pascal, de tan solo dieciséis años, se animó a escribir, a modo de prueba,
Essai pour les coniques (Ensayo sobre cónicas), su primer trabajo serio sobre matemáticas, y
que fue enviado al padre Mersenne en París. Lamentablemente, esta obra se perdió pues no
fue publicada y solo queda el fragmento de una copia realizada por Leibniz (que había recibido
el manuscrito completo a través del sobrino de Pascal, Étienne Périer). En su trabajo, Pascal
establece que si un hexágono se inscribe en una sección cónica, entonces los tres puntos de
intersección de los lados opuestos forman una línea (llamada línea Pascal).
315
316
ancia podían venderse, así que el padre de Pascal
Cour des Aides, e invirtió el dinero en bonos
1638, el cardenal Richelieu congeló las
anciera del país, producto de la Guerra
Por aquella época, los puestos oficiales en Fr
decidió traspasar su puesto de vicepresidente del
del tesoro que le darían buenas rentas. No obstante, en
cuentas del tesoro debido a la complicada situación fin
de los treinta años.
Debido a su oposición política, Étienne huye de París y deja a sus hijos bajo el cuidado de una
vecina, pero regresa al recibir el perdón del cardenal, quien lo nombra Soma el encargado del
cobro de impuestos en Ruán, Normandía. Este puesto, que consistía basieamente en realizar
una serie de cálculos de impuestos y deudas, significó, más que un premio, una ardua labor,
debido a que los archivos fiscales de la ciudad se encontraban en desorden. En 1642, Blaise,
en un intento por ayudar a su padre en esta tarea, inventó y construyó la llamada Pascalina, la
primera máquina sumadora de la historia, precursora de las calculadoras de hoy.
En Ruán, Pascal se interesó también por la física y la hidrostática. Gracias a sus estudios, in-
ventó la jeringa y la prensa hidráulica, y logró descubrir lo que hoy se conoce como la Ley de
la Presión de Pascal,
En 1646, la familia Pascal adoptó la doctrina del janseismo. En aquella época, la salud del joven
Blaise empezaba a deteriorarse, pues su aparato digestivo funcionaba mal y además sufrió de
parálisis temporal. Para el verano del siguiente año, decidió regresar a París, donde los médicos
le aconsejaron distraerse. En 1654, empezó una experiencia mística, pues creía que el camino
hacia Dios estaba en el cristianismo y no en la filosofía. Por este motivo, su trabajo científico
estuvo relegado durante un tiempo. Sin embargo, en 1658 Pascal retoma sus investigaciones
para elaborar lo que sería su último trabajo, que resultó un importante estímulo en el desarrollo
del cálculo infinitesimal: el estudio de la cicloide, la curva trazada por un punto en la circunferen-
cia de un círculo rodante. Aplicó el cálculo de indivisibles de Cavalieri al problema del área de
un segmento de la cicloide y del centro de gravedad de cualquier segmento. También resolvió
los problemas del volumen de un área de superficie del sólido de revolución formado girando
la cicloide sobre el eje X.
Afectado por un tumor maligno en el estómago que se extendió al cerebro, Pascal murió en
1662, en París, dos meses después de cumplir 39 años.
Fuente:
http://es.wIkipedia.org/wiki/Blalse_Pascal
http://www,blograflasyvidas.com/blografia/p/pascal.htm
BIOGRAFÍA »
Problemas
RESUELTOS
problema 1
Halle el MCD de los polinomios
Ap =D +21 Y:
By = + DA-DA+2(x-1?.
Resolución
Recordando que el MCD de A(,) Y B(,) es el factor
común de mayor grado, se tiene:
MOD(A; B)=(x+2)(3x-1)*
Otro método ;
Se toman los factores primos comunes y se ele-
van al menor exponente.
En este caso son (x+2) y (3x1).
Luego elevando al menor exponente se tiene
MCD(A; B)=(x+2)'(3x-1)?
=(x+2)(3x-D?.
Problema 2
Halle el MCM de los polinomios
Ty=00+5)(2x-D?(3x+2);
Sy) =(2x-D(3x+2) (+4).
Resolución
Por regla práctica, el MCM está dado por la
multiplicación entre factores primos comunes
elevados a su mayor exponente y factores no
comunes.
MCM(T; S)=(2x-1(3x+2)(+5)0+4)
Problema 3
Si (x+1) es el MCD de los polinomios
Po=-3x+A y Qí9)=-4x+B,
Calcule el valor de A+B.
Resolución
Como x+1 es el MCD de P y Q, entonces
Py Q son divisibles entre x+1.
> P()=0> (1)?-3(-D)+4=0 > A=-4
Q1)=0 > ED? -4-1)+B=0 > B= -5
A+B=-9
Problema 4
Sean A(») B(, dos polinomios que cumplen lo
siguiente:
LAB =0-1 0D?
II. MCD(A; B)=x"-1
¿Cuál es el polinomio que representa al MCM de
AyB?
Resolución
Recordando
A)" Bix) = MCD(A; B)-MCM(A; B)
dato dato
Entonces
(+ D3-1?=(2-1)-MCMIA; B)
MCM(A; B)=(x+ D"(-1)?
Problema 5
Dados los polinomios P, Q que cumplen
L. Poy +Qp)= +3 A
IL MCD(P; Q)-MCM(P; Q)=(x-1)'(x+3)
III. Grado(P) > Grado Q
Calcule el término lineal de P.
Resolución
Del
P+Q=x+3x4 (a)
De II, como MCD(P, Q):MCM(P; Q)=P-Q
entonces P-Q0=(-D'(x+3) (8)
317
Lumbreras Editores
Luego en (4) multiplicando por P se tiene:
P4p-Q=(+3x-4)p
PLL +3x-0)P +10 43)=0
P - lx 1)
P 0 1)0+3)
> Pz=zxV y Ps(x-1)M(x+3)
PorWil: Py=(x-1)(43)=4+2x-3
Por lo tanto, el término lineal de P es 2x,
Problema 6
Halle el MCD de los polinomios
Oo =ab abra 4+b+2) 404104);
Min) =ablala+1)+bla4-1)4) I4a4a+b;
521 =ldb-ara—o ratas 1),
Resolución
Factoñzando cada uno de los polinomios
Deny)" Ablabrarh+2)404b4)
4d y /
» Di y (0 Ys abla st ) +24 +44b4)
Rimyado como se indica
Di Lab 1 ab ab + 1)
> hey y 004 aby 1 +U4b)
2 y y IV Jar 41)
7 ey M4 MA May)
li)
Me, y ambata +1)4bla441)5 1] ésas
Me AMI a aaa 7
Mem hb ra? +1 0)
Mem LI Y JAI)
Y
a
Análogamente factorizamos S;,, y,
Sto 1) =(a+bXb+1)a - 1)a+1)
Luego, observando los tres polinomios, conciuj.
mos que MCD(Q; R; 5)=(a+1),
Problema 7
Halle el MCM de los polinomios del problema 6,
Resolución
Observando los polinomios, el MCM es
(ab+1)(b+1)(44+1)(a+b)(a —1).
Problema 8
Sí el MCD de los polinomios
Anm=+4é+ax+b y
By=+cx+d es (x—1)(x+3),
halle su MCM,
Resolución
Por definición, el MCD=x2+2x-3 es un factor de
los polinomios, Luego, por el método de Horner
Aq)+ MCD y
10) =x+2
> A) 1)0+3)0 +2) »
B)=00 1) +3)0r = 2)
MOMIA; B)=(x 1) +3)0+2)(x — 2)
Ann
CAPÍTULO vil!
MCD, MCM y Fracciones
problema 9
sean los polinomios
p lem 90 HN y Qu
ñ
ao MCD(P; Q) es 5x6.
dee
Calcule
Resolución
Como el MCD es un factor común a P(,) Y Q(,
entonces la división P()+ (e - 5x+6) es exacta;
esto implica que
Pp)=0 A Pi)=0
Luego
Py =2'+2m-9-2+n=0
> 2m+n=20 (a)
Pq)=3'+3m-9-32+n=0
> 3Im+n=0 . (B)
De (a) y (B) m=- 20; n=60
m_ 20 1
n 60 3
Problema 10
PA que el producto de multiplicar el MCD y
| CM de dos polinomios en x es 05-02); además,
a Ñ
Suma de dichos polinomios es (221).
Hal :
le el residuo de dividir el MCM de aquellos
Polinomios entre 1242.
Resolución
Se z
an los Polinomios Poo Y O
Por Propiedad
Puy Qí) =MCD(P: Q)-MCM(P; Q)
E Po Qs ES
PD
(0
Dato: Py +Q(y=4+x2-1 (ID
De (1) y (II)
Po) Op) =Le- 1)
Py=, Qu)=x**- 1
Como P(,) Y Q(,) SON primos,
entonces MCM (P; Q) =(e- 1)
Para hallar el resto de MCM, se divide
(P,0)+L2+2)
Por teorema del resto: 2+2=0 > É=-2
Reemplazando tenemos
Ry=-= 2x(- 2 —-1)=6x
. R(=6x
Problema 11
¿Cuántos factores racionales irreductibles admi-
te el cociente que se obtiene de dividir el MCM
entre el MCD de los polinomios?
Mo =00 +02 y -1)
Nay =by+ 10 Cy-0*
Resolución
Hacemos un cambio de variable
xay+l=m a xy-1=n
Mm = Mi +mén?+n*
=(m?+mn+nHÚm?-mn+n)
Nm; = MM n*
=(m?- nin +min?+n1)
=(m+n)Jim- Múm+mn +1) úm?-mn+n?)
Luego
MCD(M; N)=m'+min*+n*
mem(M; M=(m?-)im*+món?+n!)
319
Lumbreras Editores
A SR
De donde
MCM(M; N) _ 2d Ls,
MOON” n =(m+nJNm-n)
Reemplazando m y n se tiene:
MCM(x; y)
MCD(x. y) =(xy+1+xy-I)(xy+1-xy+1)
=4yy
Por lo tanto, tendrá dos factores primos.
Problema 12
¿Cuál será aquel polinomio que con
Po) =L2-9)(x+2) tenga como MCD x?+5x+6,
además /MCM = x* -13x? + 36?
Resolución
Sea Q¿,, el polinomio. Sabemos que
Pú)" Q(x) =MCD(P; Q) : MCM(P; Q)
MCD(P; Q)-MCM(P; Q)
=4 Qu) = A a
Por dato
, , 2
(1 +5x +6) -13x? +36)
Q) + 2 2
(2 -9) (x+2)
p 2/3 ]
(+2) + 3)? 9)? — 4)
(e -9) (x+2)
, (x)
Q.)=0+3)62-4)'
Problema 13
Halle el valor nurnérico del MCD de los polinomios
EDO Al
Py ADS 4 TAR,
para x = v2 +1.
320
Resolución
Factorizando los polinomios
Fort
=d+ + 1) + 1+1)
=(+x1+1)(0+ 1)
Pero
Pel + 1)0é—x+1)
> Fay =0+D02+x+1)(0-x+1)
pe factorizamos P,,
A SDT: 9%
el sr a%
5x Falta: 5x2
y
Entonces
t)= L2+x+1M(2+5x+2)
rl
x 22
Po = (a+ DAD ¡++ 1)
De donde
MOD(F; P)=xé4+x +41
> MCD(F; P) 5,1) = (42 + +42 4141
=3+2/2+vV2+2
=5+342
MCD(F; PY 5, y) = 5+342
Problema 14
Simplifique la expresión
2x1
ae x-2x+1
e indique la suma de los términos lineales del
numerador y del denominador.
MCD, MCM y Fracciones
(Det 1)
> Nu
Dé 100
Luego
(=D (2? +x-1) x2+x-1
AMA A A
Fu) = Gp? x=1
Por lo tanto, la suma de los términos lineales del
numerador y el denominador es x+x=2x.
Problema 15
Halle el valor numérico de
10)
2 4-4 +6x?-4x+1
Y5 +1
Ys -1
cuando x =
Resolución
Previamente simplificando
40 +6-4x+1=(x-1)*
> p, 2D (x +1?
x ——_—K4<Áá ==
lx-MA (1
Luego
ha 1e(Y5) =5
Y5sl |
Ys-1
Problema 16
Simplifique la expresión
y dé la suma del numerador y del denominador.
Resolución
Factorizando el numerador
axe o +2
= Creel
aller Lord ox +1
=(Y-x+ Dle+x+ 2)
Factorizando el denominador
rs 2x2 d+ Y-2)+ á+2
els?
=x( +21) 0042
=(-x+1)(2+2)
Reemplazando
a DA + + 2) _ x2+x+2
7 (24208 -x+1) x+2
Sumando numerador y denominador se tiene
(l+x+2)+(00+2)=28+x+4.
Problema 17
Simplifique la expresión
Í a? -3ab +2b* 6 +3ab + 2b? ] al -4p?
E SR ralla
a+b-ab-b?Nar+ab-b-b*)] (1-bY
321
Lumbreras Editores
Resolución
Factorizando
[ (a- bMa-2b) ] (a+b)a+2b) ]
+
(a+b)-b(a+b) A a(1+b)- b(1+ b)
y (a+2b)(a- 2b)
(1-pY
Luego
e na par) ) far zolo
(a+bX1-b)1+blMa—b) (1-0
Simplificando
_ lab larrb) 1)"
(1-6 (1+b) (a+2b) (a-2b)
10
=1+b
Problema 18
Si se sabe que
Ss
A=|X-l x+l ( +1 ) 2x l
x+1,x-1[2a?+2b) at+b
x-1 x+l
0 —
x+
(x+2)- 2
x+1
halle A+B.
Resolución
Efectuando
Qe+ 1? (1?
a (DG HFD +! ¿_2x
+1? + 1 2(a245) ab
DE FD
322
—==
Usando las identidades de Legendre
de Sd
2(x2+1) 2(2x) 2 2
-1
B= ==, 7
Pee POTES z
x-2
A (5
x+1
De (*)
y 2 2 42
x+1lo x+l x+l
Luego
_ x-1 _ x-1 Sxail
Ñ x2+2 x+2-x-1
x+2- 2
x*+2
x+l
: PO IA
2 2
Problema 19
Reduzca la expresión
Axy
1-73 2
Ax" +2xy + y
8x7 + y? eS
8x-yó lo 2x+y
Resolución
Efectuamos operaciones en el numerador y de-
nominador
4x? +2xy + y? - 4xy 4x2 -2xy+y
4x? +2xy+ y? _ ax +2xy+y
8x5 +y9(2x+y-2y] 8xi+y ar)
al 2x + y ] Ea
(2x+ y)lax?-2xy+ y?) 8x3+y?
_(2x-y)lax?+2xy+y?)_ 8 y
8x + y? ñ E y
(2 2) 8x - y?
pa
MCD, MCM y Fracciones
CAPÍTULO vill
problema 20
geduzca la exp!
(x- ax 0), (x- Dx -a)
e AO A TA
(o-alb-c lc-bMc- a) '
esión
yO
PT
la- pla
pesolución
sumamos las frac
roble c)Hap—Dkx-a)
(a-bXa-cXb-c)
ciones y obtenemos
Electuando en el numerador
o-olé-orox+ocl «al Ld-la+or+acl+
+(a—b)|-(a+b)x+ab]
Agrupando x?, x e independientes
O(B-¿+i-d+á- B)-xl(0-otb+c)
+ (c-aa+o) + (a-bXa+FDb)]+ bc(b-c)
+ac[c-a)+abla-b)
ale reta e ]rbclb-c)
+ac? -alc+a*b- ab?
=bc(b -c) - alb?- c)+al(b-c)
=(b - c)lbe - ab - ac+a”)
=(b-c)(a — bYa —c)
Reemplazando el numerador se tiene
(b-cla-bMa=o) _
la-bMa-oMb=c)
Problema 21
5la expresión
(a-3)x +(2a -5b +3) y +(5b-2)
0-3) x +(2a - 5b+3)y +(5b -2)
3x-5y+3
ad i
: Opta un valor constante para cualquier valor
e
* € y, halle el valor de la constante.
Resolución
Si es independiente de las variables se cumplirá
a-3_ 2a-5b+3 _ 5b-2 h
3 -5 ES 3 sa
CO
De (1)
a-3=5b-2 => a=5b+l (1D
De (2)
3(2a-5b+3)=-5(5b-2)
6a-15b+9=-25b+10
10b+6a=1 (ID
De (1) y (ID)
106+6a=a-5b
> 15b+5a=0
: a=-3b
En (1)
-3b=5b+1 > pez
Entonces
5[-5)-2 A
pas Bl. E
3 3
7
03
Problema 22
De la equivalencia
5x+7 _ A B
AA O dl
sx +4 x+l x+4
¿cuál es el valor de A-B?
323
Lumbreras Editores
AE 4 2 — —_—_ 2
Resolución
5x+7 _A-(x+4)+B-(x+1
2454 (1+pErFA)
5x+7=Ax+4A+Bx+B
Problema 23
x2+3x+1 B C
>
x“-4x+4 x-2 (x-2)
¿cuál es el valor de A+B-C?
Si
Resolución
24+3x+1_x2+3x+1
x*-4x+4 (x-2)
Haciendo un cambio de variable
x-2=lt > x=1+2
Luego
(1+2+3(0+2)+1_ 17 +41+4430+6+1
7 + 2
t t
P+7+11 711
n— > =142+>3
t to
Reponiendo f por x-2 se tiene
7 11
=14+—+
pr Uy — A=1,¡B=7;C=11
“ A+B-C=-3
324
Problema 24
La fracción
AT se obtuvo sumando las
fracciones A
1-3x" 1-2x'
Calcule los valores de A y B, respectivamente,
Resolución
7x-1 A B
losx+6x? 1-3x 1-2x
_ A(1-2x)+ B(1-3x)
— (1-3x)(1-2x)
Entonces
7x-1=A(1-2x)+B(1-3x)
7x-1 2438 Xx +A3B
De donde
24+3B=-7 (1)
A+B=-1 (1
De (1) -2(ID): B=- 5
En (II)
A-5=-1 > A=4
. A=4 y B= -5
Problema 25
Descomponga en fracciones parciales
POE: AA
(x- Dx +20
Resolución
La fracción será posible escribir como
AE
(x-Dtr+2 x-1 x+2 (x +2)
«<=
CAPÍTULO vill
Buscando A,B, C
9 Alx+2)? +B(x+2x-D+C(x-1)
— 2
(x-D(x+2) (x-D(x+2)
ga (A+B)+x(4A+B+C)4+4A-2B-C
de donde
A+B=0 (0)
44+B+C=0 (1D
44-2B-C=9 Y)
De
(I)+(1ID: 8A—B=9 (IV)
(M+(D: 9=9 > A=1
En (IV) 8-B=9 > B=-1
En (II) 4-1+C=0 > C=-3
Luego
9 1 1 3
Problema 26
Descomponga en fracciones parciales
2424 2x1
x-1
Resolución
La fracción se descompondrá así
20421. A, B Cx+D
EC E A
x-DG+D(?+1) x-1 x+1 x2+1
210 10e+ 1) AB N6e+1)
+(Cx+D)(+ 101)
Por identidad
Six=1 > 2+1+2-1=A(2)(2)+0+0
> A=1
MCD, MCM y Fracciones
Six==1 => -2+1-2-1=04+B(-2)(2)+0
> B=1
Si=-1 > 2x(-1)-1+2%-1
=0+0+(Cx+D)((-1)-1)-2=-2cx-2d
Luego c=0, d=1
al 1, 1,
(-Da+D( +1) x-1 0 x+10 241
Problema 27
Descomponga en fracciones parciales
a 10x? - 4x3 +15x? - 24x-46
007 10x 4x2 +25x-10
Resolución
Como la fracción es impropia, descomponiendo
se tendrá
10x* - 4x? +25x? -10x _
10x? -4x? +25x-10
10x? +14x +46
10x9 - 4x? +25x-10
10x? +14x +46
10% - 4x? +25x-10
fracción propia
Pero
10x-4+25x-10=(2:+5)(5x-2)
10x?+14x +46 __A ,Bx+C
10x9 -4x?+325x-10 5x-2 2x2+5
Luego
102+14x+46 = Al2x?+5)+(5x—2)(Bx+C)
= (24+5B)2+(5C-2B)x+5A-2C
Por lo tanto
24+5B=10
5C-2B=14
5A-2C=46
325
Lumbreras Editores
E —c—c—«c
De donde
A=10; B=-2; C=2
10x? +14x +46 E 10 242
10x% -4x2+25x-10 5x-2 2x2+5
10 2x-2
RA A SL
tn 5x-2 21245
Problema 28
Descomponga en fracciones parciales
3 +2x-1
Bo = KG
0 (-D(7+2x+2)
Resolución
Por ser una fracción impropia se tendrá
x+2x-1 E
3
+x?-2 x2-2x-1
r-2 e
+x2-2 x4x?-2
del
Pto?
Luego
x*-2x-1 A Bx+C
——— = —- 4 ———_—_—_
A+x-2 x-1 x24+2x+2
De donde
2 2x—1=A(+2x+2)+(x —1)(Bx+C)
> -2x-1=(A+B) +(24+C -B)x+2A -C
Por lo tanto
A+B=1
2A+C-B=-2
24-C=-1
326
Entonces
2 7 l
A=--, B=-, C=-
5 5 5
Además
3 e
x”+2x-1 5 EE
A o], 5
(x-DQ? +2x +2) x-1 42142
. agur Lo) Ye >
> Six-1) 5l1x2+2x+42
Problema 29
Simplifique la fracción
ESE
x+a x+a
lo = x+2a_, pit
x+a
Resolución
Haciendo
x+2q _
x+a
se tendrá
2 E
Py2 0-04 a,
y-2 (y-2)
Reponiendo y
1-29 1_ x+2a+x+a_2x+30
Sa A A x+a
Problema 30
Simplifique la expresión
rd y
y
Z yx ; ,
la; y)” e
(24 y2) y
MCD, MCM y Fracciones
pesolución
gemando
bn 6
A NA)
X >>
ade 2
A 2
rn
Ps
AS ly? xy
problema 31
Simplifique y exprese en fracciones parciales
2 2_ a
¿ (x-1
Resolución
Electuando
y a) 0-2)_ 0 D'X+5)
z an 0
x+5 _ x-1 Pl 6
e (1?
PAE
x-1 (x-1)
Problema 32
Luego de simplificar
, USES +7x?-3
x) 7
43x-2 '
halle la
rado; Suma de los términos lineales del nume-
"y del denominador.
Resolución
Factorizando el denominador
+3 2=x +00 2+3x-2
ESE 52
es od
e
=(2-x+2)L2+x-1)
Factorizando el numerador
2er r—3= (+12 2+3x+3)
Luego
f (2D 24343)
0) >
le (2 + 2) 21)
27 x+3x43
x2-x+2
Por lo tanto, la suma de términos lineales
3x-x=2x.
Problema 33
Simplifique la fracción
nx? +19x?-n-4
13 -(n+0x?+23x-n-7
sabiendo que es reductible y dé como respuesta
la suma del numerador y denominador.
Resolución
Se deben factorizar el numerador y el denomina-
dor por divisores binómicos; los posibles ceros
racionales son los divisores de n+4 an+7.
Así, si x toma el valor de 1 se tiene
N:1-n+19-n-4=0 > n=8
D:1-n-1+23-n-7=0 > n=8
327
Lumbreras Editores .
Luego e / ) y
: FEA 1 eS 1 Ñ v A AA 1
numerador : x Hal xl 42 X4H2 3
IZ 1]
mot AS
+R-1 Xx+k
1 1L__Q4R)ox
lo -7
x | -3. =-- = = ———,
xo x+Rk o x(x+R) x(x+R)
A
Si . S= Rk
denominador e x(x+Rk)
Problema 35
2 2
7 ne _Mmx+q
¿Qué valor toma 00 para que f,,, = El sea
igual a la unidad? Además, x toma un solo valor.
ió Resolución
Luego la fracción es solució
DEI (4) _x-4 E
(=D) (x-5) x-5 : > mé-nx+2q=0
Si x adopta un solo valor, mx2—nx+2q es un tri-
Como f,)=1 => mx+q=nx-q
Sumando numerador y denominador se tendrá
(x— 4) +(x — 5)=2x — 9
nomio cuadrado perfecto
> n?-4m(2q)=0
Problema 34 8
: mq
Halle el equivalente reducido de S. :
A Problema 36
Tlax o x243x42 x2+5x46 a : ,
Sean los polinomios
1 :
rara Ñ : Poo=(+3)L2+(a-2)x-20);
a | Q=0-202+(6+3)x+30),
La expresión es equivalente a : donde el término independiente del MCM de es-
A 1 S 1 Ñ l A : tos es 120. Además, el coeficiente del término
x(x+D (x+1D(G0+2) (x+2Mx+3) : Cúbico de efectuar Py, *Q(x)+(MCD) es 2.
+ pe A Calcule el valor de 1) + pe
(x+R-D(x+R) a b'
328
-
CAPÍTULO vall
MCD, MCM y Fracciones
fesolución
Vemos que
PyR;
Qu =D +3)00+b)
1 Sia=b > MCM=(x+3)(x-2)(x+a)
1 Siazb > MCM=(x+3)(x—2)(x+a)(x+b)
Del dato, el término cúbico del MCM=2
hace que (1) sea imposible
> MCM=(x+3)x-2)(x+a)(x+b)
a. Como el término independiente del MCM es
conocido, entonces 3(- 2)(a)(b)=120
> ab=-20 (a)
b. Término cúbico
(3-2+a+b)é=(a+b+1)é
> at+tb+l=2 > a+b=1
(p)
De (a) y (B)
Ia avO e L.
ab ab 20
1 1
sa
ab 20
Problema 37
Dados los polinomios
A(y=*- 22 +ax+b; By => +máé+px+g,
halle el producto de los factores no comunes,
siendo
MCM(A; B)=a"+...— 24
MCD(A; B)=(x — D(x+3)
Resolución
Del MCD
A(y=0— D(+3)(+r)
By=0- D(+3)(x+5)
EnA: —1+3+r=-2 => r=-4
> A(y=(x SS DA +A =s 4)
Bay -DG+3)+5)
Además
MCMI(A; B)=(x-DG+3)(-0(x+5)
Por dato: (- D(+3( 49 :s=- 24
as s=-2
Luego, los factores no comunes son
x-4nx-2,
cuyo producto es x?— 6x+8.
329
TestB_:
¿Cuál es el MCD de los polinomios?
Poy=é3+3x-1
Qw=ééx+1
A) x-1 B) x+1 O (1?
D) 2-1 E) 1
¿Cuál es el MCM de los polinomios?
Ty=4+3+3x+1
Uy) =é+éxl
A) (+1)?
B) (+00
O) (Ie
D) (x+D'x-D
E) (+0?
Si x-1 es el MCD de los polinomios
Aq)=-2x+a;
Bi) =+2x+b,
¿cuál es el término lineal del MCM?
A) 5x B) -5x C) 3x
D) -3x E) 2x
Sean A y B dos polinomios cúbicos mónicos
tales que
I. Ago) es negativo
11. MCD(A; B)=(é-1)
II. MCM(A; B)=x"-104+9
¿Cuál es el factor primo mónico de mayor
suma de coeficientes de A, +B;,)?
A) x+l B) x-1 O x2+1
D) x+2 E) x+3
5. Seaf una expresión tal que
_2x+1 2d
(07 x-2' * '
halle (y,
A) 2x B) 5 O x
py 2 E x
x-1
1
Sea PB.) = ———- Simplifi
ET
l
PaaytPaotPotPantPnnt
1 n
Si 1 SES
n 1
Dl n-1 E) n-2
¿Cuál es el equivalente reducido de la expre-
sión?
xl. xl
1 1
x+l-— x=1-
- x+l
] yal
A 0 B) 77 C) x=1
x-1
D) paa E) 21
Se sabe que la fracción
ax? +3xy - by?
4x2 +cxy +5y?
es independiente de las variables.
¿Cuál es el valor de c(a+b)?
(x; y) =
A) 27 B) -27 Cc) 3
D) -3 E) 4
-
CAPITULO vil A ! A MCD, MCM y Fracciones
Sx+l _ es equivalente a EL x243x-1
A] SiTZ3x=4 seg A 11. Al descomponer NP
¿cuál es el valor de A-5B? como una suma de fracciones parciales, se
encontró que uno de los sumandos es
5 ) Y e
a 15 B) e A dd 2 ah PE
D) - 15 1 CE
] 7
da la expresión Á +3x (1-1? lo
a ex =— e -1)
10, Dada p 41 x (x-1)
a
¿cuál es el equivalente de y : 12, Se sabe que (,,) = — 0
a x METE E
€ ¡ *-1 x+l
x+ x- : A a
A) 3 B) al O x : ¿Cuál es el valor reducido de hu) +4 5) +3?
x : A) 8 B) 16 C) 38
D) 3x E + :
) )3 DD) 10 E) 3
CLaves
aa ura El UK L/eo We
era lui LE U/o Wa 2
331
332
Problemas
- PROPUESTOS
Nivel I
Halle el MCD de los polinomios.
Pay = 01 + y) (2 x+y)
Ob ytexy)
A) (Ay) B) (2-y?
CO) (A+yN-y
D) (x-)Ge+y? E) x-y
Halle el MCM de los polinomios.
Ac)=30-D(x+3)(x+1)
Ba) = (+ 0D x-3)x-1)
A) (x-D(x+3)(x-3)
B) 3(x-1/31%+D(-9)
C) x-1
D) 3(x-D'+1D*(x+3)(-3)
E) 3(x-D(x+1)
Halle el MCD de P, Q y R si se sabe que
Py =>5-2x-1;
Qu=é-1;
Ry) =x4-1.
A) x-1 B) x+1 0) x?-1
D) x?+1 E) 1
Sean dos polinomios P y Q tales que
PQ = bé) + 1)x
+ MCD(P; Q)=(x-D(x+1)
Halle el MCM(P; Q).
A («-DGQ+1)
B) (2-1)
o (21yx
D) (x-D'(+Dx
E) (+DYx-Dx
Dados los polinomios R¿,, y S¿,, tales que
l Eco - 2x-1
(x)
IL. MCD(R; S):MCM(R; S)=
=(3x-1) 2-1) (2+ 19,
halle el término cuadrático de S(,).
A) 3x? B) -2x? 0) -x?
D) 2x? E) Y
Si x+1 es el MCD de los polinomios
P()=-3x+a;
Qu) =-bx+1,
¿cuál es el valor de 2a+3b?
A) -5 B) 5 C) -10
D) -15 E) 15
Si x*+2x”-c es el MCM de 7, y Uf, tal que
Toy=+ax+bx+3; U()=x-1,
calcule el valor de a-b+c.
A) 1 B) -1 d 3
D) -3 E) 2
¿Cuál es el resultado de simplificar la expre-
sión
—— +1
al,
MN
x-1
A x B) x gi
x-1
9 o
An
MCD, MCM y Fracciones
vill EE
a” —
dique el resultado de simplificar
q)
tl 2x-4
- + EN s
de Xx +1 —x Xx
Ñ x+ 1
x+2 B) 3 0) 3x-2
x-=1 x-1
pl E) 1
x-1
2
o E 01 cuando x+-=1?
] (x+D 2
3 4 3
a 2 B) - O +
) 4 5
4 5
D) - E) =
) 3 ) 4
11. Indique el término lineal del numerador lue-
go de efectuar
x+1 2x
+
TO AE
x-1 x+1
A) 3x B) x C) 2x
D) -2x E) -x
12 Siel valor de la fracción
(, 24m
ad +sx+b
es independiente de x,
¿cuál es el valor de ¿*om?
3
B) -3
D) -7
13,
14,
15.
16.
¿Cuál es el valor aproximado de m en
1
ARMS 0?
M+ ———
m+ 7
m+:
Ay 1 B) /2 0) Y
l v2
D) — ¡y PAL
) 2 ) 4
3,,2
Si la fracción A
2x* -3x+4
: 1
es equivalente a x+2+ ———— 5
2x*-3x+4
¿cuál es el valor de 4n-m?
A) -13 B) 13 O 6
D) -5 E) -6
: - x .
Si la fracción —— se escribe como
x“-3x+2
An
x-1 x-2
¿cuál es el valor de A+3B?
A) 0 B) 4 OC) -5
D) -2 E) 3
Señale una de las fracciones parciales de
3x+1
(+ D(x-D?
ps
Lumbreras Editores
17.
18.
19.
20.
334
Halle la expresión simplificada de
0 A A
l+x 14? 1x4
1 1 1
A) — B— Cc) —
d x+1 y x-1 l-x
2 2
D = E —
) l-x ) x-1
De la fracción
x+ax+2
ho= x2-bx+3'
al ser evaluada en x=--1 se obtuvo la forma 3.
Si f | (y es el resultado de eliminar el factor que
lleva a la forma +, ¿cuál es el valor de f, (y?
3
A) B) 5 C)
D) E)
SIS
niuw wlan
Al descomponer
1
7 en una suma de
x-1)
fracciones parciales se encontró que uno de
sus sumandos es _ z ¿Cuál es el valor
x-
de A»?
A) 1 B) -1 0) 2
D) -2 E) 3
La fracción algebraica
3x+2
Gale puede ser escrita como una
suma de fracciones parciales.
Calcule la suma de sus numeradores.
A) 3 B) 2 O 0
E) 4
21.
22.
23.
24,
25.
Nivel |
Halle el MCD de los siguientes polinomios:
Py=2x 0-3 +3x-9;
Q=10-9+17x-6.
Dé como respuesta la suma de los coef.
cientes.
Determine el número de factores primos del
MCM de los polinomios
Pro=é-x+xé-1 A Qp9=1.
Determine el grado del MCM de los polinomios.
Aq)y=>4-15x+36
B¡y=x"-9
Cr)= +6 63x+108
Calcule la suma de los coeficientes del MCD
de los polinomios.
Po=Sd+d+x+ loa Qu) =D 4543
B) 2 O 4
E) 8
Si el MCD de los polinomios
Mg, y 480 yn:
Na; y=36x"y" ;
Py 120 Ya!
es 12x2y?, calcule el valor de mn.
nO B) 2 O 3
D) -4 E) 5
o
¿PTULO VII
y silos polinomios
py 0 + tm:
p, amó +2Ó +px= 4
admiten como MCD a 22+2x+1,
halle un divisor de R(,)-
a) 04+2x-1 B) x-3 O 2é4x+1
p) 3x-1 E) 2x+1
77. Halle el MCD de los polinomios.
EDAD
O paty y y
Rey 4d y +30 y +xy
A) x+y B) x-y O *-y
D) (x+yY E) G-y*
2%, Si el cociente del MCM y MCD de dos polino-
mios en variable x es (2+ Y ar; además,
3 E
el producto de ellos es (+ 1) -4x*, enton-
ces el MCD es
A) (-D63+1)
B) (+Dle+x+1)
O (2-Dle+x+1)
D) (++DL*—1)
E (rx le—x+1)
- Simplifique la expresión E.
¿-6a'+284?+16a+36 4a-8a?-264-18 7,
- SS
8al+2aH8 4a7+6a+9
No B) 1 0) a+?
D) 2a? 1
E =
>
MCD, MOM y Fracciones
30, A partir de las igualdades
Yo ¿AENA
x-y x-y 2
dete ine el equivale 7)
ermíne el equivalente de — +.
y Xx
A) m1 gar. gag
2n+) l-n)
D) 6 E) 2
31. Simplifique la siguiente fracción,
_2n+ DÍ8tn +2Y [(2n+4f - 1). 1 +4n4+8
F= Ad s.
[On+3%+ 1 -[n+37- 1
A) 2n B) 2n+3 O) 3n
D) (2n+3)? EJ 1
32, Si la fracción admite simplificación
me -(m+Tx 2 +(m+8)x-[m+ 1)
má m0 +(m+16)x-(m+7)'
¿cuál es el denominador que se obtiene al
efectuar dicha simplificación?
A) 2x+1 B) 2x-1 CO) 2x+3
D) 2x-3 E) 2x+5
33. Halle la expresión más simple de la fracción.
042 437 2, AnD HDi + nx +n+1
Lo” 72 Ap+2)x+n41
Considerex+1 », n€ N
A) (+1?
B) (x-D*
O) (-m?
D) (+n)*
E) (r+n+D7?
——
Lumbreras Editores
34. ¿Qué se obtiene al reducir la expresión? 37. Simplifique la expresión
1 2 axlax +1lax +2 Max +3)+1
x+l x-
to 2 PT 0 d+ ada+2ax)(+30x)+ att"
x+l- x-+ x E
+ 3 : A ax+1 B 2+tx q ta
: ax+2 a+2x x+2a
A) 1 B) x2+x+1. C) x2-x+l D) 1 E) £
D) xt+x?+1 E *xid+1 e
38. Reduzca la expresión
35. Sabiendo que la fracción +4? -4 y A- 25x?
(ato? ARES PE
(an oa 72 Y+
pex? +2m*xy + my
toma un valor constante no nulo, halle el A 1 B) 2 93
D) 4 E 5
a+b? + pom?
equivalente de == en términos
a? +b? - p?-m* 39. Efectúe
de k. x+a+2,x-a+2 x+a-2
2a ala-2) 2(2-a)'
2
A) k+l B) El O) k+1 ]
R-1 R*-1 : A) O B) 1 O) 2
: D) 3 E) 4
D) k-1 E) h?-1 4 l
40. Reduzca la expresión
36. Si la fracción algebraica 1 2 4 8
> : ha) = T—+S5 + —Áú -—úk.
pa O 2x 43 j l+a l+al 1+al 1-añ
6) 2x?-x-1 :
: 1 1
se transforma en otra equivalente a : A a-1 E) a+l E
B Cc :
A E 1 1
a" : 2) a? -1 E) a+l
con A; B; C constantes reales, calcule el valor de 41. Efectúe
A ,
L2+B+C1. :
(4, + ) : (tp
A Xx x e -8
A 1 A
A) -1. 2 B1 O 3 E x2-2x
D) 1 E) 5 A) l+x B) l-x 0) 1
3 : 2 2
D) l+x E) l-x
336
10 vill
pan
peduzca la expresión
ll
2 NES AE
eco MG + X
TO Y qa
ea y
ppt B) (etyaa? O) xyz
4
daa E) 0
x+y+2
Y), Si se verifica que
a b c _a+b+c
mi bl c+l n
halle el equivalente de M.
ab+a+n bc+b+n ac+c+n
Ms — Y A
b+1 c+1 a+1
An B) 2n O 3n
PE E) 6n
4, Simplifique cada una de las fracciones.
y Ti x+y%0 a yz0
so XEtfOl;-)A
1 y
( ) xl
x+a x-a
Mt."
A a x%*a; a
rra xa
Xq? 4 a?
e
MCD, MCM y Fracciones
45. Exprese las siguientes fracciones en la suma
de fracciones parciales.
2
l, ha) = a o
Qe+ D(? +1)
2
IL ha 3(x +x)
(x-2Mx +1?
1
111. ly) = 3
Xx +4x
4
x +1
IV, ei
4x-2
V. Kc e
_ 6x?+12
VI. ho = xo +4x? +3x
5x2 -3
VI. fo) = Ax
3
Mo aa
5 +2x?+1
Me ho
337
Lumbreras Editores
46. Sabiendo que A, B, C y D son los numerado- : A) 0 B) 6n? O) -6n
res de las fracciones parciales en que puede , D) 10n? E) 127?
ser descompuesta la siguiente fracción :
: 2 2 2_ E
poe E E 3x-2 50. Si (ab) +(bc)*+(ac) =(abc)?, simplifique la
expresión M.
xa +1 A
j 1.1 1.1 11
calcule el valor de A4+B+C+D. : +3 + 3+3+ 33 +l
] M= aobo- bt Lc ¿44
20? -1 2a* -1 2*-]
A) 2 B) -2 O 1 y
D) -1 E) 0
A 0 B) 1 O) dry e?
47. Si se cumple que :
ple q : a a+bre o
EN MU AEZE eS : _ abc
x2+y? yYrz 2ex 7
OEmÁáS 51. Señale lo que se obtiene al simplificar
: 3 2_9,3
: l -2n*+2n-1
sy! y+zt yz .£ M=> da a _n En
EDT TE : n -2n"+3n"-2n+1 n +1
(1? + y?) (y? + 22) (2 4 22) ,
calcule el valor de a?+b*+c?. h A) n+2 B) 27? O) n+3
: D) 2 E) 27+1
A) 3 B) 5 O 7 :
D) 9 E) 12 : 52, Dados los números
48. Luego de descomponer la expresión : x=m+ l 7 :
; 5 : l+
ADE : al
en fracciones parciales, indique la suma de :
sus numeradores. ;
ii y — l+ 1 ,
A) 3 B) 2 O 1 : n+
D) 0 E) -1 SE
n+-
49. Sea D¿,, el MCM de los polinomios
; ad halle el equivalente de R.
My=-ad-1ne+nx+6n1; ll
La) =+4m 4 +n*x-6n1. R= AAA PIT, cuando MN.
: x+1 y-D
] Mu Lo) Wwidi
Si Ay) = D , halle el resto de dividir -n-2
10) : A) m+n B) m-n EJym
A¿, entre (x—-3n). : D) m-n-1 E) 0
338
_— >”
CAPÍTULO VIII
MCD, MCM y Fracciones
53, Determine el valor de k que permite que la
fracción : o a y Cc) e
; : x+1 (x-2) x-2
(a-2)x" -(a+7)xy+(2a-1)y* A
SAA A AA AS) y :
fa: y) 4x* -(a+2)xy+(3a-14)y* : Sa E) —
: x-2 x+1
tome siempre un valor constante k.
57. Simplifique la expresión M.
A) 2 B) - (0) 3 : m-+abXi+ac) (U+abli+bc) | (I+acid+bc)
3 2 : (b-aa-c) * (b-aXc-b) — (c-aXb=c) "
4
D) E) 1 A) 2 B) 3 0) 4
D 5 E) 1
54, Si se sabe que el MCD de los polinomios
Ay=2É-+3x+m E ON 58. Simplifique la expresión E.
: 5
E. Hao ES
(2-x+2), calcule el valor de E + y : Ed 3 mM -1
m mn+ 3
] l+ APA
S 4
: n-1
me B) 1 gs: : n-
3 4 : ns 1
n
D) : E) - S si se sabe que
| O
5. Simplifique la expresión E. : (a+rblal 02) (arpa b) *
E= p 5 5 =5
P+]- P A n B) I-n On
pr —E>— D) 1-n"* E) I-n
P+1- RÁ
AS : : 59, Halle el valor de a para que la suma de los
ts : factores primos del MCM de los polinomios
Se E el A(y=+(4+a)x+4a y B¿y=x*+8x+16.
Ppre-pP B) P" -P 0 Ro? sea el doble del MCD(A; B) aumentado en 1.
pray P+1 P-2
A) 4 B) -2 O 5
pe-3 Prr3
D == E D) -1 E) 3
P+4 a. as )
5, De os Ñ : 60. Determine el equivalente reducido de
da la miis fracción | e XFYHZ,XYHZ ty m2
(e : yz yY-yz za
Xx" +44+x :
4 A á B) 2 Cc) 3
€n una adición de fracciones parciales, ein- : A) . 4 Es 1
dique una de ellas. B)
339
Claves
Problemas propuestos
NIVEL |
SS < lo
mn Poo) o o
y — pr PS
pitd Y '7) o
mm [a] O m
LS /E
[s/c
(2 /A
A
2/0
3/8
NIVEL Il
o O < u w 18) o a
«* |m [|m 5 5 0 > [uo
2) 2 $ 2 82 gl al 8
[a] Mm 5 5 lo ál Le A
Rm [0] (2) o y A pa $|
m Mm (99) + $ Y 2 Yi
a [a] a [a] co < < la
Si 3 m A [e] 3. 8 Ke]
A m mM mM m| pos pe 2
o lolo lím i< lo la lu
— (SN nm + We] «o D lo
Nota. Las claves con * son demostraciones.
340
Capítulo
Radicación
CAPÍTULO IX
RADICACIÓN
objetivos
+ Calcular la raíz cuadrada de polinomios.
+ Efectuar operaciones con radicales.
+ Transformar los radicales dobles a simples.
+ Racionalizar y simplificar expresiones algebraicas con denominadores irracionales.
Lo A
'M A
a a
I=(4/2; 43; Y5; ...)
Introducción
El desarrollo de esta operación estuvo a la par
con la evolución de la aritmética y la geometría,
y su descubrimiento en Grecia se lo debemos a
la Escuela pitagórica (escuela cultural-religiosa
Iundada por Pitágoras, cuyos adeptos, rigurosa-
mente seleccionados, se seguían por severísimos
principios).
Los pitagóricos solamente conocían los números
enteros y fraccionarios, pero al calcular la longi-
tud de la diagonal de un cuadrado de lado igual
ala unidad por medio de su teorema, descubrieron que dicha longitud de la diagonal no pertenecía a
ninguno de los números conocidos por ellos.
Teorema de Pitágoras c=va* +b?
Se cree que Hipaso de Metaponto, uno de los pitagóricos, fue quien reveló la existencia de estos núme-
ros y por haber roto la regla de silencio de los pitagóricos, estos lo habrían arrojado al mar como castigo.
Dicha revelación trajo como consecuencia el estudio de lo que más tarde recibiría el nombre de núme-
ros irracionales, expresados por medio de radicales, símbolo que caracteriza a una nueva operación a
desarrollar llamada radicación.
Siglos más tarde, con el desarrollo de la simbología matemática (es decir, cuando los símbolos toma-
ron un rol protagónico en la matemática), los radicales tuvieron utilidad importante, como por ejemplo
en la resolución de ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado; sus raíces se expresaban por me-
dio de radicales o una combinación de ellos.
En aritmética tiene aplicación al averiguar si un número es primo o no; en geometría, al expresar el
lado de un polígono en términos de radicales, etc.
343
ls N
Lumbreras Editores
» RADICACIÓN
DEFINICIÓN
Es aquella operación matemática a través de la
cual, dados dos números llamados radicando
e índice, se calcula un tercer elemento llama-
do raíz n-ésima del radicando, de modo que se
cumpla la siguiente identidad:
Ya=b e a=b” |
Donde:
n: eselíndice (ne N a n>2)
a: es el radicando o cantidad subradical
b: es la raíz n-ésima de a
DEFINICIÓN DE RAÍZ ARITMÉTICA
Sea a un número real positivo y n un número na-
tural n > 2. Se llama raíz niésima aritmética de
a al número positivo b, tal que b"=a; la cual se
denota por b=Ya, es decir, Ya=b « a=b".
Ejemplos
Il. Y32=2 e 32=2
> 2esla raíz aritmética de 32 de orden 5.
2. Y8l=3 e 81=3'
> 3 €s la raíz aritmética de 81 de orden 4.
»» Tenga en cuenta
En R existe Va y es igual a b, donde b es
único.
ll. Sinesparra>0Ab>0.
IL. SinesimparaeRarbe R, además b
tiene el mismo signo de a.
Ejemplos: Y16 =2; Y-27 =-:
Como vemos, -27 y -3 tienen el mismo
signo.
344
TEOREMAS DE RADICACIÓN EN R
Sean (a;b) R$ a (n;p) c N- (1), entonces se
tiene
1 YVa.b=YVa-/b |
Ejemplo: /8 = /4.2 = J/4 - /2 =2(1,41) = 2,82
a Ya
nM— =—=; bx0
70 ú q
Ejern to: [A
AN E
3. Ya = "Ya
Ejemplo: VY/19 = “19 = Y19
4. | Ya="klar
Ejemplo: Y2 = 37/25 - 1332
Ejemplo: Y/g5 = (Ya) =2 -32
da
a? lo = ar? -y
Ejemplo: 28 =3/24-3 1163 = Y28
RAÍZ ALGEBRAICA
Se llama raíz algebraica de Ya a cada una de las
n raíces diferentes de Ya, donde ae RaneN;
n22.
Ae
fruLO IX
A Radicación
gemplos
pe 4116, sus raíces algebraicas son 2; -2; 2j:
a idol
, De Y25, sus raíces algebraicas son 5 y —5.
fl estudio de las raíces algebraicas se desa-
rrollan en el capítulo de números comple-
jos, donde se demostrará que la raíz n- ési-
ma de un número tiene n raíces.
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
Para hallar la raíz cuadrada de un polinomio P,,
de grado par, debemos hallar otros dos polino-
mios llamados raíz cuadrada Q(,) y residuo R¿,),
de tal modo que P¿9=9 9) +R go:
Esquema
Po Q(x)
Ri)
Donde:
P¡ es el polinomio radicando de grado par
Q(z) €s el polinomio raíz
R¿, es el polinomio residuo
Identidad fundamental de la radicación
Pa) =0Í) +R«)
Clases de raíz cuadrada
Se llama raíz cuadrada exacta si y solo si su
residuo es idénticamente nulo. Es decir:
Puo=4%
Ejemplo
Mx +6x+9
O +6x+9=(x+3)
Se llama raíz cuadrada inexacta si y solo si su
residuo no es un polinomio idénticamente
nulo. Es decir:
pe 4
Po=4w+Ra
Ejemplo
f_2
x*+5x+3 no es exacto.
2
> x+5x+32[x+3) an
2 4
, 5 13
SAS AE
Propiedades
1. Si el grado de P¿., es 2m, entonces el grado
de Q(x) €s M.
2. El grado del residuo es menor que el grado
de la raíz, salvo que el residuo sea nulo.
Procedimiento para extraer la raíz
cuadrada de un polinomio
1. El polinomio radicando generalmente debe
ser completo y ordenado en una variable en
forma descendente, y si faltase algún térmi-
no, se puede completar con ceros.
2. Se agrupan a los términos del polinomio de
dos en dos a partir del último término.
3. Se extrae la raíz cuadrada al primer término
del polinomio, que será el primero de la raíz;
luego este se eleva al cuadrado y el resultado
se resta del polinomio.
345
Lumbreras Editores
—_——_———_ —_- + == O O O <q<$<+<+*y*+<*+ III
4. Se bajan los dos siguientes términos del po-
linomio, seguidamente se duplica la raíz en-
contrada. Luego se divide el primer término
de los bajados entre este y el resultado será
el segundo término de la raíz. A este valor
obtenido se le adiciona la raíz duplicada y
todo ello queda multiplicado por el segun-
do término de la raíz para luego restarlo
del polinomio.
Se bajan los dos términos siguientes y se
repite el paso anterior tantas veces hasta
que el residuo sea de grado menor que la
raíz o el residuo sea un polinomio idéntica-
mente nulo.
Ejemplos
1.
346
¿Cuál es la raíz cuadrada de 4 +8x+4?
Resolución
Usando el procedimiento
$ 8x+4 | (4x+2)2
L8x+4
10)
l.. Se extrae la raíz cuadrada a 4xY, así:
14x? = 2x. Ahora este será el primer tér-
mino de la raíz cuadrada.
IL. De (1), se duplica 2x y se ubica debajo de
la raíz cuadrada que vamos encontrando.
III. Se baja el segundo término del radicando.
IV. Se divide (8x)+(4x)=2 y el resultado es
el segundo término de la raíz cuadrada.
V. A4xse le suma el resultado de (IV) y esto
mismo multiplica al binomio 4x+2.
Así (4x+2):2=8x+4
VI. Luego se le resta a los términos sobran.
tes lo encontrado en (V).
Por lo tanto, la raíz cuadrada de 4 +8x+4 es
2x+2 y es exacta.
Esdecir, secumpliráque 44+8x+4=(2x+2).
Como vemos, se trata de una raíz cuadrada
exacta.
Extraiga la raíz cuadrada de %é-12x+5.
Resolución
L Se extrae la raíz cuadrada a 9, así:
v9x? =3x
II. Se duplica 3x y se pone debajo de la raíz
cuadrada que vamos encontrando.
III. Se divide (-12x)+(6x)=-2. Este resultado
será el segundo término de la raíz cua-
drada.
IV. Luego, 3x-2 será la raíz cuadrada y 1 el
residuo, es decir, 9%-12x+5=(3x-2'+1.
Se trata de una raíz cuadrada inexacta.
Calcule m y n si el polinomio
Py=4 +md+m0+24x+16
tiene raíz cuadrada exacta.
Resolución
El polinomio P(, es de cuarto grado, y SU
raíz cuadrada es un polinomio de segundo
grado.
Luego 2
axt+m+nd+20r+ 168 (22 +px+4)
— a”
Radicación
glectuando 4
ptsmemó+24x+ 1654 +40 +(p?+16)+8px+ 16
0) % entidad de polinomios
m=4pn=p* +16; 89=24
. p=3n=25 A m=12
4 Halle la raíz cuadrada de
e 441345.
py 120 +A
Resolución
a+ 12041304045 | 2043141
120 (4 +3x)3x
ale+0x+5s | (4x+6x+1)1
-4x- 6x-1
-6x+4
=> q)=20+3x+1
. Regy=—6x+4
Halle la raíz cuadrada de
Py é—2dy ay + +9.
en
Resolución
2 y-3y + y + 4y*
E o A
e
(22-9)(xy)=-2 y +2y?
-2y-a0y
ayy (2 -2y-2y0(-2y)=-48y+41y*+4y*
4 + + y
aéy -ary- y Ñ
o 0.0
pd
De aquí, la raíz cuadrada del polinomio es
4 y=k -xy-2y
y su residuo es Rúxz; yy 30
347
Lumbreras Editores
RADICALES SIMPLES
Son aquellos donde las expresiones están afecta-
das por un solo símbolo radical y en el radicando
no existe adición ni sustracción de irracionales.
Ejemplo
Ysx+3, Yx-1
RADICALES DOBLES
Son aquellos que se caracterizan porque den-
tro de un radical se encuentran otros radicales
relacionados con las operaciones de adición o
sustracción (y At "YB )
Ejemplos
Y5+V2; Y3-24/3
Transformación de un radical doble en simple
L Para un radical de la forma
VA+ VB
Sean A y B dos elementos racionales posi-
tivos para su transformación en radicales
simples.
VAz VB =Vx + Jy
De donde
JA+ VB =Vx + Jy ;
VA-VB =Vx - /y ;
tal que (x;y)cQ* rnx>y
Sumando miembro a miembro las expre-
siones
VA+ VB +4 PM
348
Elevando al cuadrado
(A+ /B)+(4-VB)+2V 4? -B=4x
De aquí
y ANA B
2
Análogamente, restando las expresiones ob-
tendremos
_A-VA-B
Ñ 2
Si hacemos que
C=VA?-B,comox;yeQ* > CeQ,
tendremos
JA+ VB = 4HS .
2 2
Ejemplos
1. Exprese /11+6y2 en radicales simples.
Resolución
Sea Vx + /y la transformación en radicales
simples, entonces
11+6/2=(Vx + /y) (a)
11-642 =(Vx - Jy) ($)
De (0)+(B)
22=2(x+y)
> x+y=11 (0
De (0)-(B)
1242 =4/xy
> xy=18 (Y)
De (1) y (11) se obtiene: x=9 A y=2
«<=
CAPÍTULO IX Radicación
A A A _ q. a y AS
Luego tenemos
Regla práctica
11+6V2 = V9+Y2 =3+/2 Una manera práctica de lograr esta transfor-
mación es conseguir un trinomio cuadrado
perfecto en el radicando, Así
Otro método
Usando directamente la fórmula VA+ VB = VA 1 Vb = Vas +24b
xey xy
11+ 642 =y11+ /72 Bajo esta circunstancia, si b=xy a A=X+y
A=11 a B=72 > Ar2 db = (Vx ty)
Y esto conducirá a que
> C=vIB-72=7 SU
Jax2 db = Vx ty; x>y
Luego, si x > y se tiene:
Luego
a E. Eo Ec
El
5 11+ 472 =3+ /2 jemplos
1. Transforme a radicales simples
/10+ /84.
2 Conl<x< 2, transforme a radicales simples
Resolución
1 2.
e v2-x"; xQ. Busquemos el factor 2 en /84
/84 = /4-21=2V/21
Resolución
y10+24/21 = 4/7 +43
Si A=-; B=2-x%, entonces 743 73
x
2 4 2 2 2. 104/84 = /7 + /3
] 2 x-2x*+1 x*-1
C= ll -| -(Q-x?)= —=3—=
x x Xx ; ,
2. Transforme a radicales simples
v17-1242.
Resolución
Vi7-12V2 = 17-20 y2
a
Como ahora aparece un 6, hagamos que in-
grese en el radical
]
x 2 2x 642 = 4362 = /72
Lumbreras Editores
Luego:
vi7-272 = /9 - /8 =3-2v/2
9%8 9-8
3. Transforme a radicales simples la expresión
S= SAA; 2<x<4; xeQ.
Resolución
Como no es DGablEs obtener el factor 2 del
radical interno, vamos a hacer que ingrese
desde lo externo. Para esto, multiplicaremos
y dividiremos por /2. Convenientemente
escribimos
v2 ys
> s=L -2y2(x-
2
> s= == (V2+x- 2- 2/2/x-2)
> 52 (0a- Jia)
- 2. pa e,
2 2 2
4. Transforme a radicales simples
V3x+1+V8x* +12x-8.
Resolución
Llevando a la forma
ya+b+2W/ab,
vemos que V8x? +12x 8 =2V/2x? + 3x - 2,
350
——
luego el radical se puede escribir de la forma
v3x+1+ 2V2x? +3x-2 , €s decir
yx -D+(x+2)+2/(2x - D(x +2)
Nótese que
2 +3x-2=(2x-1)(x +2)
2. | 4-1
e
Luego, el equivalente en radicales simples es
V3x+1+ 8x2 +12x-8 =V2x-1+vVx+2
Para un radical de la forma
VA+ VB + /C + VD =Vx + y +Vz
A¡B;C;Dix;yiz e Q*
Elevando al cuadrado
A+ B+ JC + VD=x+y+2+2 xy +2 0x2 +2 /y2
Identificando expresiones racionales e irra-
cionales, se tiene x+y+z=A
2Vxz=VC > 4xz=C (2)
2/yz =/D > 4yz=D (9)
Al resolver el sistema tendremos los valores
de x, y, z.
Ejemplos
1. Halle la raíz cuadrada de
164/80 + 4112 + 4140 .
A
p
q Radicación
/
psoe /ón
hi6 400 + 112 JO dx + dy dz
161/90 4 Jia JO ya zo 2lxy 42 /y2 +2) xe
ido se llene
Compara!
payrz-16 (1)
y iy + 0 y xy 2054 (11)
plyz 0/12 + y2=28=4-7 (111)
dre 4140 > 12=3505:7 (1V)
De (11), (111) y (IV)
x95, yu 4; 291
Memás verifica ( D)
+ dG + 80 4 4 12 3 4140 3 ys + YA 4 Y7
Forma práctica
Se transforma el radicando en un trinomio cuadrado per-
fecto, es decir
A
APYAZO NY MZ yz
= Vx + /y +2
Donde
(4,00; Pix yz) CR”
ro
Tanslorme a radicales simples la expresión M.
M=J24+ (240 + /336 + J140 .
Resolución
Transformamos el radicando
Mo Y20+2V5:12+2/7-12 427:5 = 434412 +47
5+124+7
M7
351
3. Exprese en forma de radicales sencillos la expresión
= 414 + /40 + /56 + 4140.
Resolución
s =/14+ /40 + 456 + /140 = /14+24/5-2+2V2-7 +2v/5-7
Zo
2+5+7
s=V(2+45 +47)
S=V2+V/5 +47
"HI. Para un radical de la forma A
A+ /B- JC -JD
y
Se considera el radicando A+ VB - /C — /D un trinomio cuadrado perfecto de la forma
| (7-2).
Luego:
Vas JEJE JD = dx + fy- dz
Elevando al cuadrado
A+ /B-YC-/D=x+y+2 +2, [xy - 2 /xz -2/yz
De donde se tiene x+y+z=A
2/xy =/B > 4xy=B
Hxz= JC > 4x2=C
-2/yz2=-/D => 4y2=D
Al resolver se obtienen los valores de x; y; z.
352
.o
gebllta Es Radicación
IV. Para un ra de la forma
» Nota dical de
Con el objetivo de ganar tiempo frente a (AN
este tipo de radicales, busquemos una re- Yas /B |
gla práctica, la misma que estará sujeta al IA
principio deductivo de la forma genérica, Para su transformación a radicales sim-
Es decir, la expresión ples tenemos en consideración que el ra-
dicando A+VB sea un cubo perfecto de la
A+2 xy -2 /yz -2Vzx
debe provenir de un trinomio al cuadrado forma (x + vy) S
de la forma De donde podemos establecer que
2
(Vx+/y-Vz) YA JE =x [y (a)
De modo que JA-VB =x-Jy (B)
elec 2/lyz -2Vzx Además, (x; y) c Q.
Al +z De (a.) y (B) hallaremos x e y.
” Z E ñ LI. Hallando x
y97.= >
ber ly ) > iy Ñ Sumando (a) y (B) miembro a miembro
Donde Ja+VB+YA-VB =x+ Jy+x-/y
Vx+ [y -Vz € R*
> VA+VB+YA-
Luego, elevando al cubo
Ejemplo
3
Exprese en forma de radicales simples la ex- (Ya+ JB +YA-JB) =(2x
pros Desarrollando
yA 3 3
V14+2/10 - /56 -/140 . (Ya+ 18) +(Ya-J8) +3(Ya+ 18)
Resolución [Ya-/B)(Va+J8 +Ya-JB)=
e AS
El radical doble es equivalente a sj
Luego
1 - E
V14+2/10 2/14 - 2/35 4+/B+4-/B+3a+ VBNA-/B)00)=
=/14+2/5-2-24/7-2-247-5 > 24+6%/4?-B-x=8x?
HRS
24+5+7 s
REED] (8)
= 12445 -/7 - si
353
——_
Lumbreras Editores
AAA AA ATA A A AO
Como los valores de A y B son conocidos de Hallando y en (y)
esta ecuación, podremos determinar el valor
2 3/72
de x, el cual será racional. y =x*-V(-7)" 50
II. Hallando y y=d+1
Multiplicando (a) y (B) miembro a miembro'
se obtiene Comox=-1 > y=(-1%+I > y=2
A+ VB -YA-V/B =(x+ /y)(x-Jy) 2. Y-74 4/50 =-14+ /2
la + /B)A- VB) = x? - y
3 2. Transforme Y26+1543 a radicales simples,
f 2 _,2
A -B=x"-y
Entonces Resolución
(PT 3 3 2
E Y26+15/3 =926+/15 -3=YA+/B=x+
(y -Va 8 ( Vy
Como conocemos x, además de A y B, en- Reconociendo A y B, tenemos
tonces, fácilmente podremos obtener y, A=26 »n B=15*-3=675
el cual será racional solamente si A?-B es
cubo perfecto. Hallando x en (8)
Enseguida veamos algunos ejemplos de apli- E
cación. 41-306) -675x-26=0
Ejemplos 4x*-3x-26=0
1. Transforme Y-7+4/50 a radicales simples.
Factorizando
Resolución
Ve d50 =YA+ JB =x+Jy
Reconociendo A y B, tenemos
(«—2D(4x?+8x+13)=0
Como x es racional, entonces
E qe
Hallando x en (8) - Hallandoyen (y)
4x? 3877 -50x -(=7)=0 y=x2-L06* -675
4 +3x+7=0 pa
Factorizando
a E Comox=2 > y=(2Y-1 > y>3
Como x es racional, entonces x=-1. -. N/26+15/3 =2+3
354
CAPÍTULO IX Radicación
A AN E SAA
3, Transforme Y60/3-4246 a radicales simples. Hallando y en 0)
sn y = x? - 20? - 392
Resolución
y=x?-2
»» Nota Comox=2 > y=(2?-2 > y=2
Cuando el binomio consta de dos radi-
cales cuadráticos, procederemos como Entonces
sigue a continuación.
Y/20 - /392 = 2- /2
De donde
Y60/3 -42/6 = /3(2- 2)
Y60/3 -42/6 = Y/3/3 (201442)
=Y3 93/20 -14/2
A +. Y60/3- 4246 = 243 - Y6
= 320-1442
4. Exprese Y45+29/2 en radicales simples.
> Y60/3 - 4246 = J3Y20 -144/2
Ahora transformaremos
Y20 142
E > Y20-14/2 =/20- /392 =x- /y
Reconociendo A y B, tenemos
Resolución
Sea a+by2 el radical simple, es decir
Jas +29/2 = a+by2
Elevando al cubo miembro a miembro
45+294/2 = a? +3a?b42 + 3ab? .2 + b32,/2
A=20 a B=392
= 3 +6ab? +(342b +23) /2
Hallando x en (8)
De donde
4x3 -3(/207 -392)x-20=0 PA
4é-6x-20=0 29=3a*b+2b*
23% 10=0 Además, a;b e Q?.
Factorizando (Día +4x +5) =0 Resolviendo este sistema, se tiene que
Como x e Q, entonces x=2. a=3; b=1
Por lo tanto, x=2 es el único racional que re-
-. Y45+29/2 =3+vV/2
Suelve la ecuación.
355
Lumbreras Editores
A <——— II II4Kí
» RACIONALIZACIÓN
DEFINICIÓN
Siendo /(,) generalmente el denominador de una
expresión irracional, se denomina racionalización
a aquel proceso que permite transformar la frac-
ción equivalentemente en otra con denominador
racional.
Por lo general, se busca eliminar la irracionali-
dad en los denominadores de las expresiones,
salvo se diga lo contrario.
Para este efecto, usaremos una expresión irra-
cional, a la cual llamaremos factor racionalizante.
FACTOR RACIONALIZANTE (FR)
Es aquella expresión irracional (algebraica) ca-
paz de transformar una expresión irracional en
otra con denominador racional a través del si-
guiente esquema:
K FR__K-FR
l, FR Racional
=2 __— _——_——
Por lo general, es conveniente racionalizar el
denominador para conocer mejor el valor de la
cantidad irracional.
Casos que se presentan
¿n>mamineN; ae R*
IS.
pues: glam” x[gom das
356
Entonces se tendrá
AA
(dan Ya
N Ya
Ejemplos
¡ A é ¿ 15
1. Racionalice el denominador de = e indí.
Ye e indí
quelo.
Resolución
El factor que racionaliza al denominador es
$ 12%, entonces
15-12 152 152% 52
Ya 2 As M4
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es 4.
2. Racionalice el denominador de la expresión
10
533
Resolución
Descomponiendo en el radicando
10
10/27
cuyo factor racionalizante es (V5 s ya )
Luego
10 10 45-98
+9 E?
ERE
—"—_—
E,
10457 ENE
MEA
—
CAPÍTULO IX
3. Indique el denominador racionalizado de la
expresión
24
95-432
Resolución
Transformando el denominador
24
Ys Ya -Y2
cuyo factor racionalizante es Ys? .Y/33 9/97 .
Luego
22 132.43 .Y2
|
se obtiene
Cay (33/27 4Y25-Y27-Y128
E COS
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es 5.
Caso Il
Forma
N
TA foi 8 x) € R*
Va) + l8,., (x)* Mx)
Veamos en el cuadro
Factor
racionalizante
Expresión
Racional
irracional
Radicación
Ejemplos
l. Racionalice el denominador de
PON
V7 2"
Resolución
El factor que racionaliza el denominador es
V7 +2.
2, 5(U7+y2) 5 (47 +42)
(V7-4D7 +42) 12
=V7+vV/2
2. Racionalice el denominador de la expresión
24
TR ——; x>2/3.
13x+2+v43x-2 d
Resolución
24 13x+2-V3x-2
43x+2+vV3x-2 V3x+2-vV3x-2
[PE RA
Se obtiene
24(V3x+2-4V3x-2) 24 (V3x+2-vV3x-2)
Gx+2)-(3x-2 A
= 6(/3x +2 -V3x-2)
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es l.
3. Indique el denominador racionalizado de
15
e gai
Y6 +3/3+242+6
357
Lumbreras Editores
==
OO OO0X plan
Resolución
Agrupando el denominador como se indica
13 (42 +3) + 2(42 +3) =(3+ /2)(2+ /3)
se tiene
15 ¿(3-42)(2-43)
(3+/2)(2+/3) (3-/2)(2- /3)
_15(3-/2)(2- 43)
(3? - 2)(2? - 3)
_15(3- /2)(2- 43)
7
Por lo tanto, el denominador racionalizado,
es?7.
4. Racionalice el denominador de
7
Y3 +1
Resolución
Racionalizamos en dos tiempos
[. Por el factor racionalizante Y/3 — 1
(Y3-) _7(Y3-1)
(Y3+1(Y3-1) Y3-1
pr nan
II. Porel factor racionalizante V3 +1
71(Y3-D(/3+1 _ 7(43-D(43+1)
(V3-1)(V3+1) 2
í r
3-1
5. Racionalice el denominador de la expresión
5
5443 -y2:
358
Resolución
Agrupamos convenientemente
5 Y5-(V3-42)_5(45-43+.5)
AA AA
(Dr |
5(V5-43+V2) 6 _546(45- /3 +,/3)
BABE 6 12. 7
=> al
Caso lll
Forma
| A (1)
| lt, loro +18,
( M
[ 1D
Vo 8 :
Veamos en el siguiente cuadro:
Expresión Factor Raclonal
Irracional raclonalizante
EEES ESE 158
Vida | UP yr de 113
Ejemplos
l. Racionalice
14
Resolución
Como el denominador es Ye +Y3 +1,
entonces el factor racionalizante es 3-1.
Luego tenemos
AN
Vat +Y3g+1 Y3-1 3-1
-——
CAPÍTULO IX
1
3
ionalice 3—=—32-
2 Raconete: Ya Ye +Y9
Resolución
Como el denominador es Y2? - Y3 3 + ya.
el factor que lo racionaliza es Y2 +33 .
Así
13 Y2+3Y3
Y Ya 2+ Y Y2+Y3
Jl J
_133+3Y2)_ 13(Y3 +Y2)
Ba 5 :
cuyo denominador es 5.
Caso IV
tendrá como factor racionalizante a
dio + do eo + A) ls
Para cualquiern e N a n>2, se tendrá
n
-1 2
SS o" + Bu ++ Y
TA A e e |
Wo 18. q” o Yo SAA
Mo + 8)
(078
Radicación
Resumiendo
e 1 AA
Yo 1 02x) fo
de = CAER, nes impar
Yo 1 UL) Lo ES E)
á
Ejemplos
l.. Indique el denominador racionalizado de
JE, CER
Y3-Y3 *
Resolución
El factor racionalizante es
YA YI +. + 37
45 FR _45-FR_9-FR
DEBO 13-3 2
A Y
Por lo tanto, su denominador es 2.
2. Indique el denominador racionalizado de
4
TR"
Resolución
Observamos que el índice es par. Al multipli-
car por el factor racionalizante se tiene
2 4 FR_4-FR_4-FR
217 +2Y15 FR 17-15 2
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es l.
3. Indique el denominador racionalizado de M.
Y3
359
Lumbreras Editores
— A e OE
360
Resolución
Transformamos M.
Y3
Y" -Y
Multiplicando por el FR (índice par)
Y3-FR_—_ Y3FR
(S/729 -Y/2) FR 729-2
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es 727.
Indique el denominador racionalizado de
36
Vas +14 *
Resolución
Multiplicando por el FR (índice impar)
36 FR 36-FR
Vos + YA FR 25+4
a E==
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es 29.
5.
Indique
a. Factor racionalizante (FR)
b. Denominador racionalizado de
5
625 +9Y125 +Y25+Y5+1'
Resolución
4 3
El denominador Y5*+Y5*+Y5*+Y5+1
es un cociente notable.
a. El factor que racionaliza es Y -1.
5 5-1
Y +5 +95 +Y5+1 Ys —1
O BE
como
s/59_
Ys AA.
Y5 -1
_s(Y5-1)_5(U5-1)
25-14
Por lo tanto, el denominador racionalizado
es 4.
Biocraría
Ds Pierre de Fermat
Nació en Beaumont-de-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de
1601 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. Fue un jurista
y matemático francés. Junto con Pascal, desarrolló el princi-
pio de la teoría de la probabilidad. También se interesó por
la teoría de los números y realizó varios descubrimientos en
este campo. Por estas aportaciones, se le consideró el padre
de la teoría de números moderna.
Gracias a su progenitor, Dominique Fermat, un próspero
comerciante de pieles, y a su madre, que pertenecía a una
familia de la nobleza local, Fermat obtuvo una educación pri-
vilegiada. En sus estudios, sobresalió en griego, latín y otros
idiomas europeos; además, fue un apasionado de la literatura
y ocasionalmente hacía de poeta. Es probable que haya sido
criado en su pueblo natal y educado en un cercano monasterio franciscano hasta que ingresó
ala Universidad de Toulouse. Se desconoce la razón por la que interrumpió sus estudios uni-
-versitarios, pues durante unos años vivió en Burdeos. Allá tuvo contacto con los matemáticos
y. Jean Beaugrand y Jean D“Espagnet, quienes conocían bien el simbolismo de Vieta lo que,
además del álgebra, le sería muy útil a Fermat más adelante. En aquella época produjo su pi-
more obra matemática: la restitución del libro perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci
primeros trabajos sobre máximos y mínimos.
ns, De ahí se graduó en 1631 y obtuvo su título en leyes, desempeñándose como consOera
| ¡ ñ trae matrimonio con una prima
amento de Tolouse en 1638. En ese mismo año, con | o
ise de Long, con la que tuvo cinco hijos. El mayor de ellos, cia
e sig Jjera los pasos al interesarse en las matemáticas, y gracias a él también tene
ión y publicación de las obras completas de su padre en 1673. $
[Vestigaciónes de Fermat no fueron publicados en vida, pero estos Se
E j r nidad científica europe:
pobre difusión que tuvieron dentro de la comu o
ser recordado en la historia. Fermat tenía la costumbre e
e los libros 'o escribía algunos de sus descubrimientos
361
que enviaba a sus amigos. Se dice que una vez no pudo culminar la explicación de uno de
sus descubrimientos, por lo que se excusó de esta manera: “Lo lamento, pero este margen
es insuficiente para dar los detalles de la demostración”. Esta afirmación sería conocida luego
como el último teorema de Fermat.
En Toulouse, Fermat mantiene contacto con otro magistrado y aficionado a las matemáticas,
Pierre de Carcavi. Cuando Carcavi viaja a París en 1636, conversa con Marin Mersenne y le
muestra el trabajo de Fermat, de esta forma promueve una comunicación por correspondencia
entre los matemáticos. Luego de que Fermat compartiera con Mersenne sus trabajos sobre la
caida libre de los cuerpos pesados y sobre espirales, incluye también un par de problemas
sobre máximos y mínimos para que este los difundiera entre la comunidad matemática. Como
Mersenne no logra dar con la solución de los problemas, le pide a Fermat que divulgue el
resultado. Por ello, los escritos de Fermat sobre el tema circulan y lo consagran como un mato-
mático de primer orden. Fueron varios los que le pidieron a Fermat que publicara sus escritos,
pero él se negó a hacerlo, quizá porque él mismo se consideraba tan solo un aficionado en el
tema, o porque para publicar sus trabajos tendría que disponer de tiempo para explicarlos y
hacerlos más didácticos.
Otro de los matemáticos con los que se carteó fue Blaise Pascal. En 1654 desarrollaron Juntos
los principios de la teoría de la probabilidad. Pascal lo plantea a Fermat un problema sobre la
repartición justa de las apuestas sí una serio de partidas se interrumpen antes do llegar al final
acordado: “¿Cómo hay que repartir una apuesta de 64 monedas para ol primero de dos juga-
dores que gane 3 partidas si el juego se interrumpe antos do que nadio haya ganado?” so su
pone que ambos jugadores tienen, en cada partida, las mismas oportunidades do ganar), Am-
bos, mediante cartas, logan a un mismo rosultado, poro por caminos diforontos: Pascal intuyo
el resultado mediante una recurrencia, pero sa vo obligado a utilizar ol cálculo combinatorlo y
el uso de su triángulo aritmótico (Triángulo de Pascal) para domostrarlo, mientras que Format
usa diroctarmonte el cálculo combinatorio
Hacia 1660, la salud de Format ormpleza a docaor Dobido a ollo, pospone un encuentro que
tenía pendiente con Pascal, quion tambión so oncontraba enfermo (Incluso, muero dos años
después). En enero de 1665, Format muere on la cludad de Cantros, donde unos días antos
había asistido a una sesión del tribunal ostablocido por el Edicto de Nantos
Fuente:
htplles ll peadía org) akl/Pierra de Fermar
http lleentiosh pane mec esy)les salvador dalil/primeros/farmat/bogralia htm
hp ld bs error lronalmateospersuak/l ormat asp
BIOGRAFÍA
o
Problemas
RESUELTOS
Problema 1
¿Cuál es el resto de extraer la raíz Cuadrada al
polinomio
P¿y=9-18x+5; x >12
Resolución
Calculamos la raíz cuadrada
La raíz cuadrada es 3x-3 y su resto es 4.
Hemos procedido así:
L. 19x? =3x, primer término de la raíz cuadrada.
Il. Duplicamos 3x —> 6x.
III. -18x+6x=-3, segundo término de la raíz cua-
drada.
IV. A6x se le suma -3 y al binomio (6x-3) se le
multiplica (-3).
V. A-18x+5 se le resta (6x-3)(-3), obteniéndose
E18x+5)-(6x-3)(-3)=-4, que es el resto.
Otro método
Cuando el polinomio es cuadrático, se puede
realizar completando cuadrados.
9%-18r+5=(3x) - 2(31)(3)+3? - 3? +5
(3x-3)2-4
»» Recuerde
2
PoR“ yt
Donde:
R(yes la raíz cuadrada y Y(, es el resto.
Por lo tanto, 3x-3 es su raíz cuadrada ya que
X > 1, y -4 es su residuo.
o
Problema 2
Señale el resto al extraer la raíz cuadrada del po-
linomio
Py =16 16 +44x2-21x +27.
Resolución
Calculamos la raíz cuadrada
16x%-16%7 +44x2-21x+27(4x?-2x+5
16% -4x?
403? -21x+27|(8x? -2x)(-2x)
-40% +20x-25|=-16x3+4x?
(4x2).2=8x?
(4x?-2x)2=8x?-4x
(8x2 -4x+5)5
-x+2
Por lo tanto, su resto es -x+2.
Hemos procedido así:
L V16x% = 4x2, primer término de la raíz cua-
drada.
IL. Se duplica 4 > 8x2.
16x9 a >
IL. E =-2x, segundo término de la raíz cua-
drada.
IV. De -16x*+44x? se resta -16x%+4x”, obtenién-
dose 40x,
V. Se duplica (42-23).
VI. 402 +8x2=5, tercer término de la raíz cua-
drada.
. De 40x-21x+27 se resta (8x4x+5)-5, ob-
teniéndose -x+2, que es el resto.
vi
Problema 3
Si la raíz cuadrada del polinomio
Po a+ +A es Ri),
¿cuál es el valor de R¿_¡y?
363
Lumbreras Editores
Resolución
Se recomienda ordenar y completar en forma
descendente. Si faltase algún término, se coloca
cero.
Calculamos la raíz cuadrada
+04 2x +41 +12 +4x44 [+00 4x41
(2x3 +0x2)(0x?)
2 +x244x+4 =0+0x?
2 +x)=2x+2x
(2x7 +2x+1)-1
Luego, la raíz cuadrada es Ry=+x+ 1.
- Rey=ED+(ED+1=-1
L ovxb=x0, primer término de la raíz cuadrada.
Il. Duplicamos 2 > 2,
Im. Me =0x?,
2
drada.
IV. Duplicamos +0 > 2%
segundo término de la raíz cua-
9x!
VA cm =x, tercer término de la raíz cuadrada.
54
VI. De 2x*+4x se resta 2d +1), obtenién-
dose 2.
vil. o. = 1, cuarto término de la raíz cuadrada.
yl
VIIL De 24+x2+4x+4 se resta (2:9+2x+1)-1, ob-
teniéndose 12+2x+3, que es el resto.
Problema 4
Transforme a radicales simples la expresión
7+/61+ 4415.
364
Resolución
Recordando
dry i2 day = dx ty; x>y
V61+44/15 =/61+2,/15:4 =/61+2/60
AS
60+1 60-1
=/60+v1=460+1
Luego se tiene
V7+1+ 460 =/8+2415 = /5 +43
MON
5+3 53
Por lo tanto, su equivalente en radicales simples
5 +43.
Problema 5
Calcule el equivalente reducido de M.
=/3+242 - /17-2,/72 - /19+2418
Resolución
Recordemos una vez más que
yx + y+2/xy = Vx t/y; x>y>0
Luego
3+242 =/2+V1=V2+1
NM AS
2+1 2-1
v17-2/72 = /9 - /8 =3-24/2
948 9-8
V19+2418 =V18+V1=3/2+1
18%1 181
> M=v2+1-(3-24/2)-(342+1)
> M=vV2+1-3+242 - 3/2 -1=-3
Por lo tanto, M=-3.
P—
CAPÍTULO IX
problema 6
Simplifique la expresión S.
s-Yi7+12/2 17-122.
Resolución
Como
Ai7+1242 =17+2/36-2 136-2 =/17+24/72
948 9.8
-49+48 =3+242
Luego 2174122 = y W17+12/2
> Yir+1242 =/3+2/2 =/2+1
> Y17-1242 = 43-242 = /2 -1
Finalmente
> s= 91741242 - Y17 -12/2
> S=42+1-(42-1)=2
Problema 7
Simplifique la expresión £.
E=ya+24a-1+yYa-24Ya-1; a>2.
Resolución
Sabemos que:
va+24a71 =/a=1+V1=Ya-1+1
la-D+I — (a-D-1
* ya-2Va- =yYa-1-1, ya que a > 2
Entonces
E=(Va-1+1)+(Va=1-1)
. E=2da-1
Problema 8
Exprese como un radical doble la expresión M.
M= Ax+2+/8x -/ax+3+ /88x .
so
Radicación
Resolución
Para simplificar será necesario primero pasar a
radicales simples
* 2 Vx+2+48x =2/x+2+2V2:x
NAHLREN AA
Vx +42
ax +3+ /a8x = ax +3+2/4x-3
E
Yax+/3=24/x+V3
Luego, la expresión queda
M=2(Vx +/2)-(2/x + /3) = 2/2 - 43
Como nos piden su radical doble
242 - /3= (242 - V3)' = /8+3-2-242- 43
M=y11-446
Problema 9
¿Cuál es el equivalente de
18 +2/56 - 2/24 -2,/21?
Resolución
Recuerde
Ya+b+c+24/ab +2 /ac +2V/bc
Entonces
1842/56 - 2424 - 221
"SN
$+713 $7 $3 73
Luego, será equivalente a /8 +/7 - /3
Problema 10
¿Cuál es el equivalente de 26+15/3>
Resolución
Sea 26 +154/3 =x+yV3; x,yeQ
Elevamos al cubo
2641543 =x* +3x?y43 + 3xy? 3413 y?
= 4 +9xy* +(3x2y +3y3)/3
365
Lumbreras Editores
De donde se tiene el sistema
x+9xy*=26;
3xy+3yY=15; x,yeQ,
que es equivalente a
x(x? +9y?) = 26
yt y)
El sistema se resuelve para x=2, y=1.
. Y26+15/3 =2+ 43
Problema 11
Simplifique la expresión S.
A A
V3-V2 342-243
e indique el denominador racionalizado del re-
sultado.
Resolución
Racionalizamos cada bloque
2 BE NG)
43-V2 V3+Y2 3-2
ap Esti
= 2(V3 + /2)
12 — 3/2+243_12(342+243)
3/2-2/3 3/2+2/3 32.2-2%.3
a eii atra
z enn =2(3/2 +23)
Luego, lo pedido es:
Ss =2(V3 +/2)- 2(3/2 +24/3)
> $=2/3+2/2-6v2- 4v3
> S=-2/3-442
Por lo tanto, su denominador es 1.
366
Problema 12
(6-20 +50).
A: M=
Simplifique 775 - J30
Resolución
- 5-2 =5-2W6=(43-42)
NS AN
3+2 3-2
e 1751 /50=543 1542 =5(/3+y2)
Luego, lo pedido es:
Z
e
. MVE -VZ =3-2=1
M=
Problema 13
Indique el denominador racionalizado y simpli-
A
ficado de ¿— si A es impar y no es múl-
Va+/2+2 o
tiplo de 3.
Resolución
Racionalizamos el denominador conveniente-
mente ;
A (/2 +2) - Y2
(Y2+2)+Y2 (42+2)-Y2
E LAS
(V2+2) -(Y2) =6+3/2
Se tiene
A(V2+2-Y2) A(V2+2-Y2) 2-2
6+3/2
3(2+/2) 2-42
a
222=2
Por lo tanto, su denominador es 3-2=6
P_—Á
CAPÍTULO IX Radicación
Problema 14
Resolución
Halle m y n en el polinomio Por conveniencia, el polinomio se ordena en for-
P.y=81x'+216+216+mx+n, para que su E ma creciente con respecto a x, es decir
-n-10
4+16x+16x2+4x34+8x1+bx5+ax
4
y 2
raíz cuadrada sea x” aumentado en
; 2(2)=4
id : 16x+16x? A
cuatro veces su residuo. : -16x-16x? (4+4x)(4x)
Resolución creara | 16167
Aplicando el método para extraer raíz cuadrada : 4x*-8 O | 2(2+4x)=4+8x
: bx 5 +(a—1) x* (4+8x+x3)(x3)
81x+216x7+216x2+mx+n 9x?+12x+4 dee =4x74+8x 4x0
3 | l
2(91?)=18x?
216x7+216x? 2091)=18x2__ Como el resto es idénticamente nulo, entonces
2163-1443? (18x?+12x)(12x) b=O Adal
72 +mx+n |5216x*+144x? deb
-72x? -96x-16 (18x?+24x+4)(4) : a
(m-96)x+n-16 |=72x2+96x+16 — :
A e A
resto »» Nota 2
El polinomio P() es ordenado en for-
: ma creciente puesto que tiene raíz
Luego tenemos por el dato z
cuadrada exacta.
A
Problema 16
> mon=10 9 > m-n=382 E Halle el mínimo valor de a+b, con [a;b) c z*,
8 ¡si Py=x"+ax*+bx2+ax+1 tiene raíz cuadrada
: ta.
También E
4(m-96)=12 a 4(n—-16)=4 ; Resolución
: Considerando un polinomio raíz de segundo grado
Entonces : x+ad+b+ax+I=ll+mx+1)"
m=99 a n=17 : Desarrollando en el segundo miembro
: Aradrdrarl=l+2me + m +2) +2mx+1
Problema 15 : - Jgualando coeficientes
: É Li
Sila raíz cuadrada del polinomio : a=am; boma
Prosa +++ +16 + 16x H4esexacia, : =m+2m+2=(m+1)?
: a+b=m? Ieu
a Por lo tanto, el mínimo de a+b es 1.
367
e A _AA=>——á
Lumbreras Editores
Problema 17
Si el polinomio
Po=04-4 12 mx+9
tiene raíz cuadrada exacta, halle el valor de m.
Resolución
Considerando un polinomio raíz de grado 15,
convenientemente se tendrá
m9 lor d+ 3)
Efectuando
aaa mato
=4%-4x 84125 +x 61 +9
Igualando coeficiente, tendremos m=-6.
Problema 18
Transforme a radical doble la expresión
Áx-2+Vx-3; x>3,
Resolución
Recordemos que
Jasso) =Jarb12Jab =/atJb; a>b>0
Entonces
Wi dar = lx 24 x-3+2 0 2Xx 3)
= y2x 504 2Vx* -5x +6
Problema 19
Reduzca S=
3 4
Void Jos día les Jas.
Resolución
Transformando los denominadores a radicales
simples y racionalizando
(Y3-42) 5;
ds+2/3.2 (34/2643 - /2) Ad
368
3 3(46 - /3)
daa (EN la e
7 a( 5-42)
aa ae
Reemplazando tenemos
S=v3-V/2+V6 - V3-(46 - /2)=
Problema 20
Calcule el valor de £.
E=/3+ 47 (4134 47 -/5+ 7)
Resolución
Efectuando
= (134 /7)(3+ 17) - J(5+/7)(8+ 7)
> E= Vacio - J2+8N
Transformando
E = /46+2432-14 - /22+2/14-8
> E=V32 +14 -(/14 + 4/8) = 243 - /8 = /8
E=242
Problema 21
Reduzca la expresión M.
VO +J18
8 + v3 - 45
Resolución
Transformando el numerador y denominador
mo 25443) 2 245443)
2V2+ 3-45 /2 (2/2+/3-45)
a(V5+3) 2(45+3)
M 24543)
TA ETS
4+ 46-245
M=2
CAPÍTULO IX
Problema 22
La expresión VA+YVB B puede descomponerse a
radicales simples. Halle dicha descomposición
si se cumple 44+B=4x?+8x-16.
Resolución
VA+VB =/m +Vn
Elevando al cuadrado
A+VB=m+ n+24/mn
A=m+n;, B=W4mn
Reemplazamos en la condición
44+B=4(m+n)+4mn=4+8x-16
> m+n+mn=x2+2x-4
> m+n+mn=2x+(x+2Mx-2)
> M=x+2 A n=x-2
E VA+ VB =4/x +2 + Vx -2
Problema 23
Si el radical doble
y2a%y +5bxz* + N(Tab-2c)x3z*
se descompone en radicales simples,
calcule el valor de ==
ab
Resolución
Recuerde que: A+ VB =Vxt/y; x>),
+C A-C
O dc
donde x = A s
además, C=A?_B es un cuadrado perfecto.
Aplicándolo al problema,
C=l2ary +sbxz") -(7ab-20éyz*
debe ser un cuadrado perfecto.
Radicación
> C=4a ix y?+(130b+20)x%y2'+251 2?
> C=l2axy) +(1300+20)y2'+ (512%)
doble producto
Luego se cumplirá
2(2a2(5bxz*)= (13ab+2c)x%yz*
> 20ab=13ab+2c
=> Tab=2c
Problema 24
Halle el valor de a en la ecuación
A 1 dara.
3-8
Resolución
2
Nótese que (3- /8)” =17 24/72 .
(Y3- (4348) +7=43-2V2 +7=V2+6
v3- v8 a
6+ 42 = Ya+2,/72
Elevamos al cuadrado
38+1242 = a+2,72
38+2,/72 = a+2472
a=38
Problema 25
Halle la raíz cuadrada de M.
m=J3y +y.+2yV2x+ 4x? +3y -4x//3y
si 2x > /3y >0.
Lumbreras Editores
Resolución
Nótese que:
ya? - ax 3y (J3y)' =l(2x-J3y) =2x- /3y
> M=.3y + y? +2y/2x +2x - /3y
> MAY 2 VADO (y /2x) =y + V2x
Por lo tanto, la raíz cuadrada M es y+ J2x.
Problema 26
Calcule el valor de A y B en la ecuación
Y8x?+24x+9+400x+3/x2+3x=/x+A+BWx.
Resolución
Nótese que el primer miembro de la ecuación
puede escribirse así:
Wear ax peda Der
=/2x +3+2/x(x+3) = Vx + /x +3
Entonces la ecuación se escribe así
Vx + Vx +3 =vVx+ A+ Bix
. A=3n B=1
Problema 27
Halle el valor de S.
S=vVx+1+42x+1+yYx+1-4Y2x+1
para -0x<0,
Resolución
S puede escribirse así:
g Vexr2r alar ele 2x2 2/2x41
y2
=s EN
_ y2
370
Pero
-=1<2x<0
0<2x+1<1
0<y2x+1<1
0>-V2x+1>-1
1>1-42x+1>0
Luego se tiene
Y2x+1+1+1-42x+1 2_
Y2 Y2
S
S=
Problema 28
Calcule a y b en la siguiente ecuación.
13+V10 +y-3+y/10 o
Jaro ando
Resolución
Transformamos el numerador
N=43+v4/10 +y/-3+v/10
Elevamos al cuadrado
N?=2410 +21) = 2(410 +1)
> N=yv2/410+1
Luego
N_2(V io) JJTo-3)
D Jalio+3(Jv10-3)
oe 7-2410
entonces
VANO = Sa -6= 45-43
. d=5 A b=2
CAPÍTULO IX
Radicación
Problema 29
Transforme en radicales simples la expresión M
M= Y3x + /6x(1+2a)-1-4ala+ D.
Resolución
Transformamos convenientemente
M=V3x +v6x(1+2a)-(2a 41?
Factorizamos
M= V3x+ a +D[6x - (2a + 1]
Operamos convenientemente (multiplicando y
dividiendo por /2)
A y6x +2y(2a+1)[6x -(2a+1)]
v2
Como 6x=(2a+1)+(6x-(2a+1))
EE [2a+1, [6x -(2a+1
2 2
Problema 30
Si el polinomio P(,,=16x*+Ax*+BxX"+Cx+1
admite raíz cuadrada exacta, halle PontPay
sabiendo que sus coeficientes son enteros posi-
tivos, además C?-4C—5=A —B.
Resolución
Puede escribirse en la forma: Po = (4 +mx+ 1y
Desarrollamos
IA + B+Cx+ 1=16x'+8m0+
+(m*+8)2+2mc+1
Se tendrá A=8m; B=m?+8; C=2m
SA
Del dato: 4m?-8m-5=8m-m?-8
> 5m*-16m+3=0
Factorizamos
5m?*-16m+3=0
5m e -1
m > -3
> (5m-1Xm-3)=0;me€Z*
> m=3
Luego tenemos
Po=16: +24 +17+6x+1
+ Py +P()=68
Problema 31
Halle la raíz cuadrada de
M=(a"+ab+bc+ac)(b*+ab+bc+ac)
(2+ab+bc+ac)
si la; b;cj) cR*.
Resolución
Factorizando por agrupación se tiene
M= la(a+b)+c(a+b)][b(b+a)+c(b+a)]
[c(c+a)+b(a+c)]
M=(a+b)Ma+c)Ma+bXb+c)lKc+a)c+b)
M=(a+bYa+c)(b+cy
/M=y a+bY lar b+cY
. JM=(a+blMa+c)lMb+c)
Problema 32
Halle los valores de rm; n; p si se sabe que la raíz
cuadrada de mx+m+px*-22+25-—8x+16
es exacta.
371
Lumbreras Editores
Resolución
Aplicamos el método de la raíz cuadrada, pero en forma conveniente.
Como la raíz cuadrada es exacta, entonces debe cumplirse
ro=-+-13)x*+(n+12)x!*+(m-4)x%=0, de aquí m=4, n=-12 A p=13.
J16-8x +25x2-223+pxt+ + mx?
A
11, 2(4)=8
-8x +25
0 E (8- xx)
2(4- x)=8-2x
24x? -22x* + px?
5 2)3 y2
-24x2 + 6x3 9x1 (8 -2x +3x?)3x
5 6 |12(4-x+3x?)
-16x7 +(p-9)x9+ nx*+mx
16x3 — 4x* +12x? - 4x? (8-2x+6x?-2x )-2x?)
(p-13)x4+(n+12)x*+(m-4)x*
Problema 33
Dado el polinomio
Po=0+ DAY + ny,
¿cuál es el polinomio que debe adicionarse para que la expresión sea un cuadrado perfecto?
Resolución
Reduciendo P¿,) tenemos
n(n+D(Qn+1
P¿=mé+2x(1 +2+.+)+(12422+...+ n) 2 Ry= n2+n(in+Dx+ d
Para que sea cuadrado perfecto le sumamos A.
nín+D(n+1D
¿ES AM +
> Py =me+n(n+U0x+ A
su discriminante debe ser cero: A=0
2
pane +A|- El
Luego de operar queda 4n
Efectuando
_ U-mMimMd+n)
A
12
372
CAPÍTULO IX
Radicación
Problema 34
Racionalice e indique el denominador racionali-
zado de S
(142 4Y4 + Y8) - Ya
Resolución
Hacemos Y2=x > x?=2
Luego se tiene
8
e] .
(+ x+x? +x9) -*
Pero
x%-1
a E
x-1
Entonces
8 y 8x1?
2 = 2
El y le -Dy- xv?
x-1
Efectuando se tiene
8-1 8x1"
aro 2 (1 1)
Reemplazando
p 2
s(Y-1) _8(92-1)
(as - (Yo -1) Yeti
8(Y2-1 FR_8(Y2-1) FR
Ye-Yí FR 8-1
AS cual
Por lo tanto, su denominador es 7.
Problema 35
Halle el radical doble equivalente a M.
M=VYx +4+242 Yex -/Yx +3+2/3 Yx
>.S
Resolución
Observamos que
(V+2/2 Y8x+4)=Yx?+4 Yx+4=(Yx+2)
Yx+3+2/3 Y -Yx*+243 Y + J3 Y x+ 3)
Luego tenemos
mo (0 + 3
> M=% +2- Y%% -43=2-43
2
cuyo radical doble es (2- /3)
> M=4/4+3-2-243 = 47-443
Problema 36
Si a, b, c son positivos y además c > b > a,
indique el denominador racionalizado de S.
3abc
E => —_—_—Ká
dorbiciltar 30 + 6bc - 2ab
Resolución
Nótese que:
4ac—3b*+6bc-2ab=
=2a(2c-—b)+3b(2c-b)=(2c-b)(2a+3b)
Entonces
S-= 3abc /2
yJa+b+c+J(2c - bN2a +3b) 2
AA he
3V2abc
y2a+2b+2c +2/(2c — b)(2a + 3b)
x+y xy
> S=
Racionalizando
3V2abc J2c-b-V2a+3b
E ————_————— MM
> 3 Dec-b+V2a+3b J2c-b-J2a+3b
E A |
_ 3vV2abc(V2c-—b-JV2a+3b)
Ñ 2c-b-2a-3b
373
Lumbreras Editores
E 3V2abc(/2c - b - V2a +3b)
S
> 2c-2a-4b
E 3V2abc(/2a +3b - V2c—b)
2(a+2b-c)
Por lo tanto, el denominador racionalizado es
2(a+2b-c).
Problema 37
Sim y n se diferencian en 1, racionalice M.
1
M=
Ano 4 Sac
e indique el denominador; además CM = Cn+!|
Resolución
Como
cr=cal > m=n+1
Luego
M
Y +Y3
1
lp 3 pa
es equivalente a
1 FR _ FR _FR
1
MAR VO+ VE FR OE Y
AE
Por lo tanto, el denominador es 1.
Problema 38
Racionalice y proporcione su denominador en
1
Resolución
Calculamos el denominador
D=(42+43+45) - 42 -y3* - ya?
374
Desarrollando D.
NC MIRTA ANN NAS
y l ¿(3-21 V5-V3XV/5-4/2)
3/2/51 /3)V5+V2) (V3-V2J45-/3145-4/2)
; _ A 2 2 — ES E ]
1-FR FR
Do a6-I6-D 18
Por lo tanto, el denominador es 18.
Problema 39
Si se verifica que
a, [8 op. [2, [2
20= 2 + 2: =P E,
donde l<b<a<2.
Halle el equivalente de E.
Resolución
Del primer dato
20122 84 322
8 a
2
2a20=[(2 +42)
a 8
de donde
Avari=p e +2 (o)
8
v2Ya-1 Ea (P)
De (0)+(8)
8
amame
CAPÍTULO IX
Radicación
De (0)-(B)
V2(Va+ da) =24 (ID
De (D) + (1D
Yi (VarirVa=)_A
Basi-da=D ye
8
> YasirVai 4 E
JVa+1-Ya-1 al a
Ya+1+Ya—1 1). R
aa) 2
Similarmente 2b = E + E
Se obtiene
a a
Vol Jb+1+4Y4b-1) 48
Reemplazando (*) y (**) en E
l -
E=JB8.- 7
Problema 40
Si YY - 1=Ya +Yb+Yc, calcule a+b+c sabiendo
que a,b,ce Q yademás b <0.
Resolución
Racionalizando en el radicando
lA
191 UA + Y2 +1 1
y + 211 MY
Multiplicando y dividiendo por Y/3
EM
es
2 ,Ya+1 VS 83322 ,3V2+3
Escribiendo 3 como ya? +1
— Ya Ya-Y2+1
AE Y2+1 YA -Y2 41
ANA
A E E e
Luego: (== 3+ 2,01
375
1. Indique cuál es el resto al extraer la raíz cua-
drada del polinomio P,,,=16x?-24x+1.
A 3
D 7
B) -8 O 8
E) -3
2. Dado el polinomio
So=44+16-5x+2.
Si R(,) es la raíz cuadrada y r(,, su residuo,
calcule Rig) +7(1)
A 38
D) 10
B) 9 0) 7
E) 15.
3. Si el polinomio
Mp=X+4+8-ax+b
tiene raíz cuadrada exacta, calcule el valor
de ab.
A) -16 B) 16 C) 32
D) -32 E) -12
4. Sila raíz cuadrada del polinomio
Po=*0 +5 +ax+b
deja como resto 3x+1,
indique lo correcto.
A) a=2b B) a=b O a<b
D) a=3b E) a=b+5
5. Efectúe V3+/8 + /7-/40 - 5.
nO B) 1 O) Y2+45
D) 2+v5 E) 3+ 42
376
Test O)
6.
10.
Calcule n si se cumple lo siguiente
6+2ny10+2/8-2/7 =47+1.
A) 0 B) 1
D) 3
0) 2
E) 4
Indique uno de los radicales simples que se
obtiene luego de transformar el siguiente ra-
dical doble V5+ y/21.
7 1
» Na B) f O Y
D) v7 E) E
Si el radical doble /3+ 5 es equivalente a
Ep a>b>0,
calcule el valor de a-b.
A) 3 B) 4 O 5
D 6 E) 7
3
La expresión equivalente de S es
3 3 3
A) Ye B) Vez (0) 418
3 2 3
3 3,
Luego de racionalizar y simplificar la expre-
opte 5
sión irracional ===
75/45"
calcule el denominador del resultado.
A) 1 B) 6 O 5
D) 3 E) 15
CAPÍTULO IX
Radicación
11. Simpli ió ,
E Puta: : 12. Luego de racionalizar la expresión
1 Fl
— ——= + ; : 4
+5 VN3+V7 d+ 7 CARA ri indique su denominador.
A) y3 B) y5 00 A) ab B) a+b 0) a*-?
D) v7 E) 45-43: D) ab E) a?+b?
Cuaves
li/B l38/n ls/bB U/a loe/a
2/8 l4/o ls6/B (8/8 l0/g l2/g
377
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
¿Cuál es el resto que se obtiene luego de ex-
traer la raíz cuadrada del polinomio
P(9=25:2-40x+17?
A) -1 B) 1 O 8
D) -8 E) 16
Sea R¿,, la raíz cuadrada del polinomio
Ty 4+120-5x+2 y 1.) su residuo.
Calcule el valor de R¿;)+F(g).
A) -2 B) 2 C) 3
D) 4 E) -4
Si el polinomio Po=4+8%+a+bx+ l,
b > 0, tiene raíz cuadrada exacta; calcule el
valor de a-b.
A) 6 B) 2 03
D) 10 E) -1
Luego de extraer la raíz cuadrada del poli-
nomio
Poy =16-24+a+bx+6; b> 10
se obtiene como resto F)=3x+2.
Indique lo correcto.
A) a=-7
D) a-b=22
B) b=14 C) a+b=9
E) AnD
Si se sabe que ya+2/4b+8 es equivalente
a a-2+vV2b;cona > b AGibEN,
descomponga en radicales simples el radical
doble Va+b+2Va+ 6b.
A) 43 +42
D) 43 +45
B) V5+47 0) 74
E) V2+46
6. Simplifique la expresión
s=/3-2/2+/5-2/6+47-2412+...+/49-2./600.
Indique el valor de uno de los radicales sim-
ples luego de transformar la expresión
Y1+2+3+...+10+10410.
A) 450 B) 245 C) 5410
D) 2410 E) 545
Se sabe que el radical doble Ja +24b , con
a>0 rn vbe Il, se puede escribir como
Ve + Vd, tal que c >d>0.
a+ A a-A
Además c= 2 ; a
Determine la relación correcta.
A) A?=a?4+b?
B) A=a?-p?
O) a?=a?+4b
D) 22=a*-4b
E) A=a-b
La siguiente expresión
v16-24/20 - 2/28 + 2/35 es equivalente a
A) 45-47 +2
B) V7-45+2
O V7+45-2
D) 47-45 -2
E) 45-47 -2
CAPÍTULO IX
10.
11.
12.
13,
15,
2443 2-43
Efectúe + ;
Y3 +1 Y -1
A) 0 B) y3 O) V3+1
D) Y3-1 E) 243
j 6-12
Halle el equivalente de 22.
di Eos 3+v43
A) V3-1 B) V3+42 C) V3-42
D) 43+1 E) V3-2
¿Cuál es el valor equivalente de la expresión
V3 +1
- 2427
2-3
A) 1 B) Y2 C) Y3
D) Y6 E) V2+2
Respecto a la expresión
T= 7+ 424 +2
v5 + 4/24
indique lo correcto,
A) T<2 B) 7=3 C) T*=9
D) T*=9 E) 7?<3
» Raclonalice y simplifique la expresión
2 A 4 Ñ 1
3V2+2/3 342-243 343+34/2
e indique el denominador racional.
Efectúe y simplifique la expresión
A er
e indique el denominador entero.
16.
17.
20.
. Racionalice la expresión
Radicación
A) 2a B) 4a C) a
D) a? E) 2a*
Sean x e y dos números tales que
AVE VGA
"Bla
¿Cuál es el valor de 10x?-18xy+ 10y??
A) 800 B) 472 C) 750
D) 250 E) 732
Indique el denominador luego de racionalizar
y simplifique la expresión HR
A) 1 B) 7 O 4
D) 2 E) 14
. ¿Cuál es el equivalente de la expresión
2AVI5-47)_,
1+43 +45 4/7
A) V3+v45+y/7-1
B) 45+4V7-43-1
O) 1+47 +43 - 45
D) V43+4V7-45-1
E) V3+4V5-V7-1
8
Y15+V5-y/3-1
e indique el denominador racional. .
Simplifique la expresión
1
ko" ¡>
di Vez 2d 9202 de
A) 2
D) 1
B) 1/4 O 1/2
E) 1/3
379
A AA A A
Lumbreras Editores
Nivel Il
21. Luego de efectuar
47 +54/2-1/1- /2 se obtiene
A) -1 B) 1 0) 2
D -3 E) -7
22. Indique uno de los radicales simples de la
expresión
1+2)1+...+2/1+ 2/3+242 .
A) Y2 B) 43 O y5
D) Y6 E) -43
23. Si el polinomio P,,=1+ax+9+Bx*+16x
posee raíz cuadrada exacta, calcule el valor
de ap.
A) 0 B) -8 0) 8
D) -16 E) 16
24. El valor reducido de la expresión
(+13 +42-8B + v6)' es
A) 125 B) 100 C) 96
D) 80 E) 576
25. Halle uno de los radicales simples de la ex-
presión
de +1-2 x-2x%+3x-2; x>1.
A vxit-x+l B) dxi+x-2
O Vx? x+2
D) Yx-1 E) CvD
26. El radical doble /24 +845 +1243 + 44/15
equivale a Vx + /y +Vz + Vw.
Calcule el valor de xyz1b.
380
27.
28.
29.
30.
31,
A) 200 B) 225 0) 215
D) 23 E) 25
Calcule el valor de (m+n), si se sabe que q,
cuadrado del resto es igual a la raíz Cuadrada
del polinomio
Py=81+216+216+mx+n.
A) 117 B) 115 C) 100
D) 99 E) 81
Si el radical doble Jax + by + /xy(ab + c)
se desdobla en radicales simples,
calcule el valor de (2 ]
A) 3 B) 2 O 1
D) 1/2 E) 1/3
Halle el equivalente de la expresión
hay =Vl+x + 2x +14 14 x- /2x +1.
Considere -0,5 < x < 0.
A) x+ 2 B) V2-x C) 2x
D) 242 E) y2
Halle la raíz cúbica de la expresión M.
M =943 +11/2
A) 4/2+3 B) 2+43 C) 1+46
D) 14 F E) V2+43
El equivalente de la expresión irracional
mo NB, 288
V2+V2+4/3 /2-/2-43
A) V2+ 43 B) V2+1 0) Y2-1
D) 43 E) Y2
CAPÍTULO IX
32. Proporcione el denominador racional de
la
expresión
1
V10+ 414 44154 /21
A) 1 B) 2 O5
D) 14 E) 15
33. Indique el denominador racional de la ex-
presión
6
-2+V2-Y2'
A 1 B) 2 O -6
D) 7 EJ 14
34, Calcule el valor del término racional del
cociente que se obtiene al efectuar
164 - 8/2
Ya-J2 *
A) 16 B) 12 C) 24
D) 2 E) 1
35. Halle el denominador racional de la expresión
N
1+/24+V24+V32
A 1 B) 2 03
D 6 E) 0
36, Descomponga en radicales sencillos la ex-
presión
1 l 1 4 4
Ala
E Xx X+Yy y x“+xy xy+y
e indique uno de los radicales simples.
lo 1 x+y 1 I
A =+- ——= 10)) o
) y B) 7 2 2
D) En E) Z
x+4 y xy
>
37,
38,
39,
Radicación
Halle el denominador racional de la expresión
Yl6 . cos(2r) -
Vas Ya 26 (Yo -Y3 +1)
5 B) 2
M:
A
D
03
)
) E) 9
fo]
Halle el equivalente de la expresión irracional
E 4/12
3-3
A) Y3-1
D 2443
B) 2-43 0) 1+43
E) 243
Indique el denominador racional de la expresión
2!
7
gi
M=> — ;
E |
M8 B) 9
C) 10
D) incalculable E) no se racionaliza
Halle el valor reducido de
40.
41.
me EA aa - 1+ 4/3
1442443 -Y1+ /2 - /3 -
nm Y y) 12 o 143
4 3 3
py 2 v3 yr v3
3 2
Luego de raclonalizar la expresión
ta 323
21-20121+Y11
se obtiene otra expresión equivalente. Indi-
que su denominador.
A) 50
D) 30
B) 20 O) 40
E) 10
381
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42. Efectúe y simplifique
iortallrraa]
1+Y4 "14 /3+Y4 JL1-Ya 1- Ya +43
B) 5+13/3 C) 5-1343
E) 543-13
A) 13+543
D) 13-543
43, Calcule el valor de a que verifica la ecuación
v17+1242
+7=ya+24128
dle
A) 60 B) 64 C) 66
D) 62 E) 68
44. Indique el denominador luego de racionalizar
la expresión
A 5
-0-Y3-Y6+Y20+Y5-Y12'
A) 2 B) 3 O 1
D) 4 E) 5
45. Reduzca la expresión
Y8 -J/2-1
NCAA
A) Y2 B) 2 0) 242
D) 3/2 E) y2
3
46. Indique un radical simple de la expresión
ás 2x db Vy :
n Yx BZ 0) Vx
D) 24x e
Xx
382
»
A
: 47, Siré=x+1; x > 0, simplifique la expresión
Po = Vx + Vx E
x? ES x
NT BY (9) M7]
le
D) 1 E) E
48. Determine el valor de
m+min+n?-2m n+2mn?-2mn,
si se sabe que
_ V11+ 4/29 + /13 ts v29
Y11- 4/29 + /13 A+ 13
A) 2 B) 1 O). =
D) -2 E) 3
49. Indique el denominador luego de racionali-
zar la expresión
ho 24x+1
ADN prou BN IS pero
A) x+2
D) 2x+1
B) x+1 O) x-1
E) 2x-1
50. Halle el equivalente de $.
l 1 1
S= + 7 +.. (1 sumandos
/3+/8 Vs+2 do (14443
A) /n+1 B) /n+1-1 €) vn-1
D) Yn+1+1 E) Vn+liWn
51. Determine el denominador de la expresión
que se obtiene al racionalizar
TY a +b
A) 3abla+b) B) a+b 0) al+b
D) ab E) 3ab
A
CAPÍTULO IX
52.
55.
Réduzea 1 BATA
2 - 222.
A) 3 B) 25 0) 12
D) 6 E) 15
. SiO < a <1l, halle el equivalente reducido de
1-Vi-a?
2
ina A l-a
la) TNA
“NiAra N a
A) a B) 1/a? C) la
D) a? E) 2a
. Transforme a radicales simples la expresión
ho) = V3x+ V6x(1+2a)-4ala+1D-1
e indique un radical simple.
A) l-2a B) 1+2a
2
0) 2+a
2
2-a 6x+2a+1
pos E (puta ateadaos
D) ; ) 7
Calcule el valor de
M (4+ 15) (4-15)
(6+ 435) (6-/35)2
13 9 13
A) B) Cc =
5 E 7
7 13
De E =
e 9
. Racionalice la expresión
1
Ya +Vab + Yab? + Ub?
e indique el denominador racional.
57.
58.
59,
60.
Radicación
A) a?4b? B) A4-b? CC) al+b*
D) a—-b E) a+b
Si se cumple que 4/2 —-1= Ya +Yb + Ye,
calcule a+b+c.
A) 1/3+3v/2
D 3
B) 2 O 1
E) 1/3
Racionalice las siguientes expresiones
8
2
(1+Y2 +Ya + Y8)” - Y8
AS 4
(1-Y/2-DM+Y2 + Ya)
100
GO RG ¿Rf
y calcule el producto de los denominadores
racionales positivos.
V=
A) 7
D) 35
B) 100 C) 1
E) 14
Luego de racionalizar la expresión
1
a"
indique el denominador obtenido.
A) 2 B) 3 O) 4
D 6 E) 12
Simplifique la expresión
Yita ta rad
vYl+a-yl-a Vl-a? -l+a a? a)”
si0<a<l.
A) -2 B) 2 O -1
D) 1 E) 0
383
384
27)
28)
Claves
Problemas propuestos
m|
|
NIVEL l
Capítulo
:
Gottfried
SS
Y
Wilhelm Leibniz
"2 k E.
Isaac Newton
inomío de
Newton
B
CAPÍTULO X
BINOMIO DE NEWTON
Objetivos
Aplicar las definiciones de factorial y combinatorio.
* Expandir o desarrollar polinómicamente (x+a)" paraneN 1 neQ.
* Calcular cualquier término de la expansión de (x+a)".
Introducción
El teorema del binomio fue descubierto por Abu Bakr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrede-
dor del año 1000. Newton utilizó los conceptos de exponentes generalizados mediante los cuales una
expresión polinómica se transformaba en una serie infinita aplicando los métodos de interpolación y
extrapolación de Wallis. Debido a esto pudo demostrar que un gran número de series existentes eran
casos particulares, fuera por diferenciación o por integración. A partir de este descubrimiento, Newton
intuyó que se podía operar con series infinitas de la misma manera que con expresiones polinómicas
finitas.
El desarrollo del binomio de Newton que abordaremos desempeña un papel importante en los capítu-
los siguientes de álgebra y, en especial, en el análisis matemático que se estudia en los primeros ciclos
en todas las carreras de ingeniería y ciencias. Por ello, mostraremos algunas de sus aplicaciones, por
ejemplo, en la desigualdad de Bernoulli,
(1+0>1+nxVx2-l;¡neN
n
Asimismo para demostrar: lí (1+2) =€; donde e=2,718281...
n>-
También se observa la gran aplicación en la teoría de ecuaciones, desigualdades, funciones y funda-
mentalmente en la teoría de sucesiones y series, que son temas centrales en el análisis matemático
real y complejo; por ello, citamos un ejemplo de una serie:
xt... =(1= 97); v x € (—1; 1), el cual se comprueba así.
SeaS=l+xixira ts...
> S=lexllexid +.) > S=l4x8 > S-xS=1
> (l-x)S=1,Vxe (-1; 1)
> Sal+xitad...=
l-x
luego: 1+x+x12414+...=(1-x)-1
387
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» DEFINICIONES PREVIAS
FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL
Sea n € N, su factorial, denotado por n! o |n, se
define como
¡fl sin=0 v n=1
llx2x3..n, sineN a n22
Ejemplos
l. 5l=1x2x3x4x5=120
2. 4l-3l=1:2:3:4-1:2:3=24-6=18
3. Resuelva la siguiente ecuación
(2x-7)!=1
Resolución
De la definición
Si(2x-7)!=1 > 2x-7=0 v 2x-7=1,
de donde x=1 v x=4
Za 7
Por lo tanto, existen dos soluciones: 3 4
Propiedades del factorial
l. ni=nían—-D!, VneN
2. al=b!l > a=b, ajbeN
3. (n+Din:nt=n!
4. rn i-(a—-1)i=(n-1):(n-1)!
Ejernplos
1. Simplifique S
CA A UA
251+ 2614 271
Resolución
Sea S=; el
as _—_—_——_—
2514 26:2514+ 27:26:25)
> Sy at = y l _
251 (1+26427-26) N27+27-26
388
= ll ——————— = 3) ———
O EXTETIÓA ETE
1 |
> rr 3379
2. ¿Cuál es el valor de x que verifica la ecuación)
x+(x-1)! -2010
(x-1)!
Resolución
Recordando que x!=x(x-1)!
x(x-D+(x-1)!
- =2010
(x-1D!
Ge +)
A
x=2009
3. Resuelva la siguiente ecuación.
xXx xi+(x+1)(x+1)!=720
Resolución
Como xl+x-x!=x!(1+x)=(x+1)!
En la ecuación
Alexia D-(x+1!=720
> (x+DH(x+DG+D!
> (A+DIO +x+1)=(x+2)!=720
Pero 720=6!
> (x+2)!=6!
x=4
> x+2=6
NÚMERO COMBINATORIO
El número combinatorio denotado por Cf repre-
senta el número total de combinaciones que se
pueden realizar con n elementos tomados de
kenk,
En una combinación, un grupo se diferencia
de otro cuando por lo menos difieren en un
elemento.
CAPÍTULO X
Se calculará del modo siguiente:
Es IN
1 |
AE
R n= NREN a n>k
Ejemplos
3
101! 10.9: 8-7: 61
1. CP 3 0 OPERA
6!1(10-6)! Sí al
2. Simplifique M
Xx
M= x-1
Xx
x-2
Resolución
Aplicando la definición de número combi-
natorio
: x!
M= Qx — Dix — (e — 1))!
x!
(x — 2)1(x — (x —2))!
xi í
E a
x(x-DGe2Í
Ge D2!
X
2
in (ia
2
3. Determine el valor de n que verifica la ecua-
ción 3C?" = 44CF.
Resolución
Aplicamos la definición del número combi-
natorio *
(2n)! n!
3IEn-31 2-2)
Binomio de Newton
3-(2n)(2n-D2n-2) (2n<3% _ 44 :n(n—-D la
8B-(2a=3)% AÑ,
A 2n-DZ:La<D = 22 4 (=D)
(2n-1)=11 > n=6
Propiedades del número combinatorio
( o
Cr=1, CG =1 Cf =n; C7 =
Ejemplos
L Ci =1
2. CP =2x
3. cen la (3x E DE 2)
Combinatorios complementarios
— S
¡| Cf=Cñ VI¡REN a n>k |
»» Consecuencia
| L R=P
Si Cf=Cf > v
| 1.k+P=n
- Ejemplos
37 37 37:36
1. C35 =C) =>
2. Resuelva la ecuación có, = Ci.
XxX
Resolución
De acuerdo a la propiedad
L x=2 > x=0 v x=2
389
Lumbreras Editores
Ambas son soluciones, ya que se tiene
Co=CE v Ci=C5
Il. x242x=8 > x12+2x-8=0
x sl 4
x -2
(x+4)(x-2)=0 > x=-4 v x=2
Aquí la solución es solamente 2, puesto que
Ca -4) No está definida.
Por lo tanto, existen dos soluciones: 0; 2.
3. Halle la suma de los mayores valores de m y
n si se verifica la igualdad
Cuco.
Resolución
Se presentan diversos casos:
a. m-o=0 r n=0 > m=9 n=0
¡pa
b. m+1=29 » Y
opa
28-9=n
m=28 A Y
28-9+n=29
n=19
m=28 5 Y
n=10
Luego, los mayores valores sonm=28,1=19,
m+n=47
390
Suma de números combinatorios
E +Cha=Chii n>k
Ejemplos
C¿ +0] =CI" =C¿
Reduzca lo siguiente:
C7? + 2037 +C36
Resolución
Por combinatorios complementarios
CA? = CH; CHE =C33; 2045 =C 454045
En lo pedido
CP +204" +08
CP + CP +04 CS
a
Ce + cóé=co
Simplifique
Cp+C7+C3+ Cf +CÍ
Ci +C] :
Resolución
Simplificando en forma separada el numera-
dor y el denominador
N=CH+CH+C3+C8+C7
D=C¡+C3=C%
CAPÍTULO X
Reemplazando en lo pedido
81
d_ BL A
có 8í 5131
4141
4-34 4
5-481 5
4. ¿Para qué valor de n se cumple
nel, n+2 _ y126
0 +C3 +C3 +C; =Ci39?
Resolución
cr+ c+ cg cg?
ee,
cs +C7tl
A
qe +07
Ct
co
Luego
n+3 126 126
(4 =Ciz2 = Cy
La igualdad será posible solo si
n+3=126
n=123
Degradación de índices
Degradar los índices implica disminuir los ín-
dices; se presentan tres casos: degradación de *
ambos índices, degradación del índice superior
y degradación del índice inferior.
Degradación de ambos índices
Binomio de Newton
Degradación del índice inferior
( A
n-R+1 |
Cf = 4 Chi |
Ejemplos
45
1. Simplifique 39
C5
Resolución
En el numerador degradamos ambos índices
y en el denominador reemplazamos por su
combinatorio complementario.
45 44
E.
al 7
2. Simplifique la expresión
21 20 19
8 7 6
CH +Cj2 +Clz en
Resolución
Para el numerador recordemos
nl _ yn
or TER
120 14
8 7 6 3
20
qe
AC
N=Cj!
En el denominador
D=CH+CH + Cl + Co
391
Lumbreras Editores
Por combinatorios complementarios
D= as +CH + ci + (¿Cd
ERA
., Co
CP + Cp
—_——
D=C¿'
Lo pedido
ES
e
q
3. Calcule el valor de n que verifica la ecuación
73 n- Sc Cp
n+1
cs 2 —G*=Cp
3
Resolución
Utilizando las propiedades de degradación
Luego en la ecuación se tiene:
CS +Cg +C7 +05 = CH
n+1 n+1
Cé + C;
n+2 n+2
C; + Cg
qu. <BR ch
De donde n+3=12.
. n=9 :
392
4. Simplifique la expresión S.
Gr. 3qr 30 10C|0
Cr CC G
Resolución
En los numeradores, degradamos solo el índi-
ce inferior.
S= 1 + Z +.
ar qe
4 (10-10+D CP
+ M0
pd
> S=10+9+8+..+1=12M55
» DESARROLLO DEL BINOMIO DE NEWTON
CUANDO N ES UN NÚMERO NATURAL
Analicemos el desarrollo del binomio (x+a)"
para n € N, mediante los siguientes ejemplos:
(ta =x+2ra+ 0?
CG+adi=x+32a+3xa2+ 03
QK+taY=xt+ ada roda +4xad+at
La idea es averiguar cómo es el desarrollo de
Q+aineN.
CAPÍTULO X Binomio de Newton
MÉTODO INDUCTIVO
Partiremos de los productos notables
Gral +b)=x+(a+b)x+ab
Att = d+ (a+b+c+(ab +ac+bc)x+abc
Ca AED.) SAS ASS,
Donde
S|=a+b+c+...+h
S¿=ab+ac+ad+...+ah+bc+...
S3=abc+abd+...+abh+bcd+...
S,=a:b:c...h
En caso de que a=b=c=d=...=h
nin—-Din-2
* S|=a+a+..+a=na=Cia * S=4+d0+. +0 E
q+a+..+4 1 3 6 3
miveces (LD)
— e ES
6
n(n—1)
* S=al+al+..+02= a? =Cha? » S,=a:a:a..a=a” =Cfa”
22 AAA 2 An AAA n
nín—D n veces
veces
Luego, enunciamos el siguiente teorema.
Teorema del binomio de Newton
(x+a) =Cfx" +COx"la FO +..+Cpa7;neN
Ejemplo
Halle el desarrollo de (x+a)*.
Resolución
3,158,224, 06,5,(85
(a+ al =Céx Ca +Cóxta? + Chata? +Cjx “a” +C5xa” +Cga
Desarrollando los números combinatorios
(rra =xP+6x%0+15x1a?2+20%a + 15x%01+6xa*+a*
399
Lumbreras Editores
Propiedades
I.. El desarrollo de (x+a)” es un polinomio ho-
mogéneo y completo de (n+1) términos con
respecto a las variables x; a de grado n.
II. Los coeficientes de los términos equidis-
tantes de los extremos son combinatorios
complementarios; por tal razón, tendrán el
mismo valor.
lIl. Los exponentes de x disminuyen de uno en
uno, mientras los de a, aumentan de uno en
uno.
IV. Para hallar cualquier término del desarrollo
del binomio de Newton:
Procedemos así
rra) =Cgx" +Cx las Cana? y,
A e AS
4] 19) 13
+0 Ong”
pia ent,
14 In+1
Vemos que cada término es
t = Cgx”
n,n1,1
tp =Cpx a
tg= Ca?
g=CE, lr gl
-pAyn-R,R A
tan =Cóx"a (término general)
k=0;1;2;...N
Se llama el término de lugar (R+1), contado
de izquierda a derecha.
394
Ejemplos
1. En el desarrollo de (2x-5)” se halla un poli-
nomio. ¿Cuál es la suma de coeficientes?
Resolución
Sea Pq) =(2x-5)”. Recordemos que en todo
polinomio, la suma de sus coeficientes se
determina evaluando el polinomio en x=],
luego
Py=(-1-5)”=(-3)'=-3"
Por lo tanto, la suma de coeficientes del poli-
nomio buscado es -3”.
2. ¿Cuál es el coeficiente del término de lugar 5
en el desarrollo de (2x+1)'?
Resolución
Recuerde en (a+b)” > ty, =Cha”*p*
Para nuestro problema: (2x+1)'?
ts = tq =C (20 Ap = 12.28. y8
Por lo tanto, su coeficiente es 256 E
3. ¿Cuál es el exponente de x en el término de
19
lugar 7 del desarrollo de (3% E 2) ?
x
Resolución
Buscando el término de lugar 7
1 * e, 6
to =16,1 =C¿ (313) " (3)
x
E co (3 Y |
Se Pide solo el exponente de x, que será
Igual a 3-13-6- l=33
CAPÍTULO X Binormio de Newton
/ a 30 , ,
, 3 6, Halle el número de términos del desarrollo
4. En el desarrollo de [sx + — ] 3
y? y? y nr
existe un término que no depende de x de | ] Y) y sl el término de lugar 25
: y Xx
¿Qué lugar ocupa?
llene a x con exponente 44,
Resolución
8 144 : Resolución
uscamos el término de lugar k+1, . ,
: 8 En la fórmula del término general
30. (3
t cp (5x* yn E Y MIDA y y LA
hat A D] xr! 2
XxX hos zm Loa I csg+, ñ y
» LAA Íx
Se dirá independiente de x cuando el expo-
24
nente de x sea cero 2lbn-22)- Laia
s 52 7 (Gn-22)142024)
> tas = Cog Ry Nas?
Exponente de x:
4(30-k)-2k=0 > k=20 Por dato
2(5n — 22) -12=44
Por lo tanto, el término independiente ocupa > 2(5n-22)=56
el lugar 21.
> m-22=28
5. Halle el término de lugar 10 en la expansión > 5n=50
a 1 12 > 5m+2=52
de (27x + 5)
- Por lo tanto, en el desarrollo existen 53
términos.
Resolución
Usando la fórmula general »> Nota
12-9 (1 9 Si se cuenta de derecha a izquierda, solo se
to = tai =C42(97x5) 7 (2) cambia el orden de las bases, así en (x+a)":
10 = l9+1 = Eg 3x
PA A
> ho= ds (27x*) (3) contado del inicio contado del final
Veamos en (x +a)*
121 (7 a a (+ al =Cx Car Cita cada
- to = —: Ax ) e
91-31 2. o 2
+Chxal+Cóxa? + Chal
> ho = E Y. 11-10. an, = 220x* la =Cixla? la = Cix?a! = Cta!
a. 61
395
Lumbreras Editores
V. Dado el siguiente polinomio
Pa a)= (x+a)
396
nn
Pú; a) =C0X
Veamos algunos casos particulares
Six=1
3yn aran
> (1+aY'=Ch+aCcr+a?Ch+a?Cg+...+a”C
Six=a=1
> =CH+CI+C7+CG +... +Ch
Ejemplos
1.
Calcule la siguiente suma
a +Ci +C+...+C],
Resolución
»» Recuerde
| COCI +... + Cf =20
Para nuestro problema: n=7
> C+C+..+C7=27
Simplifique S.
S=C] +C3+...+C?,
Resolución
Para ser similar al caso anterior, faltarían
los términos Cf, Ci.
Pero recuerde
Cj=C3=1
Sumando Cp;
Cj a cada lado de la igual.
dad
S+C9+C5 =C0 +0 +. +. +Cg +C4
S+1+]=2?
- -2,2 ngn
+Crxmla+Cjx "a+... +Cpa
> $=2-2
S=510
3. Reduzca la expresión 7.
7,178,3 7
T=C)+Ci a Pa
Resolución
A partir del tercer término degradamos
los índices.
dde Ma
=C)+C+C 4 CB +... + Ci
$
L
=CG+C)+C+...+01+C7146
2?
T=2"+6=134
4. Determine el equivalente reducido de
S=Cp +2C[ +3C7 +...+(n+1)C".
Resolución
S=CH +C +C +C5 +2C9 +C5 +3C5
+.+ Cp +nC;
S=[cg+cr+Cp+...+C1]+
+[cy + 207 +3C3 +..+nC1)
S= [cg +HON+CH +. .+Cn]+
SE C6 ga 0 +. enfer]
S=2+nfcj" l «Cp cante 1 11
En J
a
S=24 201,
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
5. Determine el equivalente reducido de
cr Cc (0 MOL
44 —
E E TEN
K=Cj +
Resolución
Multiplicando por n+1 miembro a
miembro
n+l n, =
(+DK==Cj —C[ + mee
n+1
+. + Cf
n+1 7"
De la fórmula de degradación
n+1
207 =Cptl
K KI=eK
> (n+DK= Cp O A
Sumando 1
(n+DK+1=1+Cp Cp cg 4 CNA
Pero 1=C¿*!
> (n+DK=CH + Cp Co. + CA —1
gn+l
gn+l pa 1
a n+1
“Y ,
VI. En el desarrollo de (ax“+by*) se tiene que
a. El coeficiente de cualquier término es
caro.
Demostración
Aplicando la fórmula general
E rs (oy? 1
—R ' prxaln-k)
tk+1 = C; lax
> lam =Cpa" yA
de donde observamos que el coeficiente de
cualquier término es Cfa”"*b*,
b. La suma de grados absolutos de todos
los términos es
nd ep).
Demostración
Como la parte literal de cada término es
xk). yB su grado absoluto es o(n —k)+BR,
donde k=0; l; 2; ...; n; luego la suma de es-
tos grados es
=[a(m)+08]+[a(n-0+B]+[a(n-2)+28]+
+..+[0(0+8(n-1]+ Bn
=o0[n+(n-D+(n-2)+..+2+1]+
nín+1)
+B[14+2+3+...+n]
nín+1)
2
z a+)
VII. La suma de coeficientes de los términos de
lugar impar es igual a la suma de coeficien-
tes de lugar par en el desarrollo de (x+a)”.
Demostración
Del binomio de Newton
lara” =CHx" CO Can 4 Cña”
Six=1; a=-1
. Cuando n es par
0=CG -CP +CF-Cg +...+C%
Co +C3+...+Cp =CP +03 +...+Cp_]
suma de coef. de
lugar impar
suma de coef. de
lugar par
+ Cuando n es impar
0=CG CP +C7 CG +... +05, CN
Co +C3+..+Cp_]
suma de coef. de
lugar Impar
=CN+Cg +... +Cf
suma de coef. de
lugar par
397
Lumbreras Editores
VII. Término de máximo valor numérico
398
+
En el desarrollo de (x+a)", donde (a; xcR
a
Tenemos que (x+a)"= x" [1 + 2) ;
Siendo x” factor de todos los términos del de-
n
sarrollo de (1+2) , será suficiente hallar el
Xx
n
Ea dla a
término máximo de uo ¿
Consideremos dos términos consecutivos
del desarrollo de lugares r y r+1.
El término de lugar r+1 se obtiene multipli-
n-r+l a
x
cando el término de lugar r por
; n+1 a
Es decir, br] = (En. yes,
+
n _;
r
menta de valor; por lo tanto, el término de
El factor ( E disminuye cuando r au-
x
lugar (7+1) no es siempre mayor que el de
: n+1 a
lugar r, sino cuando (E2- ye sea mayor
r x
(n+1 a
que uno, es decir, | —--1|=>1.
r x
n+1 x n+1
O E
r a r
n+1
> —or
x
+1
a
Si n+1 ,
! 5 €s un entero, llamémosle p.
=+1
a
Luego
eo Si n+1
= e es un entero, lo llamaremos P,y
a
se tendrá que los términos de lugares p y
p+1 son iguales y a su vez son los térmi-
nos de máximo valor en el desarrollo.
. n+l
+ Si —— noes entero, a su Parte e,
=4+1
a
llamaremos q y el término de lugar q+|
será el término de máximo valor en el
Ntra la
desarrollo.
Ejemplos
1. Si x=1/3, halle el máximo término en el
desarrollo de (1+4x)?,
Resolución
Sean los términos de lugares r y r+1
1 n”
t,=C3 (4x7 =C3, (+2)
r
tra =C$(4x) =C8 (4)
Como
Le 51
r
bat >
E 2)
r8=rt 3 si
ES Prgvy
=DIO=M E 8
> ENÑODBHÁÑ 4, pr
rra (3oÑ 3 r
> Tr<386 > r<5+>
Fmáx=5
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
Luego, el término de máximo valor es el
término de lugar 6.
e) 81 45
=Ci. = — —
E 51-31 39
q =3:7:6:51:4P _ 57344
516.35 243
2. Halle el término de máximo valor numé-
rico en el desarrollo de (3 + 2x)? cuando
x=1.
Resolución
29 Y?
Como (3 + 2-9 152x) ,será suficien-
9
te considerar el desarrollo de (13) ,
En este caso
De 1,.,, degradando índice inferior
9-r+l 2x
de
>1>r<4
Luego, para todos los valores de r hasta
3 tenemos que 1,,¡ > (,; pero si r=4, en-
tonces f,,=1, y estos términos son los de
máximos valores.
Por lo tanto, el término cuarto y quinto
son numéricamente iguales y mayores
que cualquier otro término y su valor es
2
3
tia 3.c3(5) = 489 888.
IX. En el desarrollo de (x+a)” se halla una for-
ma práctica de calcular el coeficiente de
cualquier término en función al coeficiente
anterior.
Coeficiente |/Exponente de x
fici de un término || en el término
Coe Iciente cualquiera anterior
de un término=
cualquiera Exponente de a
en el término | +1
anterior
Demostración
ta = Chan gh
+1 = Chx MR gr
Vemos
Coef. tj,1 =Ck Pcia aa
Cr-1
(degradación de índice inferior)
(n—R+1
> Coef. fr, =Ch-1 ST
De donde se tiene
exponente
(Coet. e x ent )
Coef. Uk+l = —_—L
exponente 1
de a en!,
399
Ejemplo
1-5 54) 32
(arxl m1) ta (5) a +
-1
10-323 CE
[pea el 4+1
(era =é +5 a+ 10%a?+10é0*+5xa*+a*
X. En (x+a)", sin es par, existe un término cen-
n
tral que ocupa el lugar (2 + 1)
Ejemplo
- En (x+a)' hay 7 términos y existe un término
central que ocupa el lugar (5+ 1), es decir,
el lugar cuarto.
> leo=ty=t3,= Céx6-3p3 = 20x%a?
» POTENCIA DE UN POLINOMIO
El objetivo no es tanto la expansión o desarrollo
del polinomio sino ubicar un término cualquiera
de la expansión.
Ejemplo
Halle el coeficiente de %a%%? en e] desarrollo
de (x+a+b+c)!?
Resolución
El desarrollo es el producto de multiplicar
(x+a+b+c) por sí mismo 12 Veces, y cada tér-
mino del desarrollo es de 12 dimensiones, con lo
cual se consigue un producto que se ha formado
tomando una letra de cada uno de estos factores
400
Así, para formar el término x%a*p?¿? tomamos y
de 3 de cualquiera de los doce factores; y de 4
de cualquiera de los nueve restantes; b de 3 de
cualquiera de los cinco restantes; y c de los dos
restantes.
Pero el número de maneras de lograr esto Puede
hacerse, evidentemente, igual al número de ma.
neras de ordenar 12 letras cuando 3 de ellas deben
ser x, cuatro a, tres b y dos c; es decir, es igual a
121
3! 4! 3! 2!
Esto es, por lo tanto, el número de veces que
aparece el término x%a*b%? en el producto final
y, consecuentemente, el coeficiente requerido
es 277 200.
TÉRMINO GENERAL (FÓRMULA DE LEIBNITZ)
Partimos del problema:
Halle el coeficiente de cualquier término en el
desarrollo de (a+b+c+d+...)", siendo n un nú-
Mero natural.
Resolución
El desarrollo es el producto de multiplicar
(a+b+c+d+...) por sí mismo n veces. Cada
término del desarrollo se forma tomando una
letra de uno de estos n factores y, por lo tanto,
el número de maneras en que cualquier término
de la forma a*bPctg?... aparecerá en el producto
final es igual al número de maneras de ordenar
n letras cuando a de ellos son a, B de ellos sonb,
y de ellos son C, y así sucesivamente. Es decir, el
coeficiente de a“bPcYg?... es
e
al Bl y! 3!
donde a+B+y+8+...=n
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
_ A ——_Q—__ ___ _o a _RRDRQRD«<>»«e«de¿Ú¿¿«
Luego, un término cualquiera es
En. ab
apar, Abrera. |
En el desarrollo de |
(a+ox+al+dx+...)" |
el término que contiene a
ar-bP-ctod?.. es
| mn 5 B+2y+... |
alBIyial e aborda.) bt |
|
donde a+B+y+8+...=n. J
A a
Ejemplo
1. Halle el coeficiente de x? en el desarrollo de
la +ox+ad).
Resolución
El término general del desarrollo es
a
Daga?
es decir
(ox (ex?) cona+B+y=9
y Y UR, a+p+y=9
a!pB!y!
Además P+2y=5.
Luego, los valores que toma Q, B, y los pode-
mos encontrar de las condiciones
a+B+y=9;
B+2y=5.
Siendo además a,, f, y enteros no negativos.
Entonces
siy=2 > fP=l 1. 0=6
siy=1 > f=3 15 0=5
siy=0 => f=5 15 0=4
El coeficiente requerido será la suma de los
valores correspondientes.
Por lo tanto, el coeficiente buscado es
y di DO
A A E TESTS
=252a*bc? +504a*b*c+126a*b*
FÓRMULA DEL DESARROLLO (FÓRMULA DE
LEIBNITZ)
En el desarrollo de (a+b+c+...'; ne N
| (arbrc+. =D a ae...
donde a+B+y+..=n; la; B; y; ...) EZp?
Ejemplo
Halle el coeficiente de xÉ en el desarrollo de
(1+2x+3).
Resolución
El desarrollo es DO 2 3x2)",
donde a+B+y=5.
Equivalente ETA E Par. bar
En nuestro caso: a+fB+y=5
B+2y=6
Si y=1 > fPB=41 a=0
y=2 > P=2 1 a=1
y=3 > P=01 a=2
Lumbreras Editores
6 Se define por
Luego, el coeficiente de x” es
! ú 2. >
MO E A 2 o 4 a
01 4111 1212! dde (7)> nín—Dín-2)...(n—k+1)
A
] 1
k
240+1080+270=1590 Ri
|
UN o __ MER¡keN,
NÚMERO DE TÉRMINOS nd)
El desarrollo de (a+b+c+...+p)” tiene
ra Ejemplos
riérminos
AAA 0 (5) 3(3 -1)(3 - 2)(3 - 3) 0
Si : , A” a
(n+r-1! 1! términos 4 4!
ni(r-1)!
" Ensu desarrollo 2 S 2). (V2+2)(V2+ 1)V2(V2-1(V2-3
, . AS 1
L Así (a+b+0c)? tendrá : 3 5!
3 términos _ (2042 a
(Q+3-D!_ 4! 24326 sárminos 1-2.3.4-5 60
21(3-1D1 2121 2121
E E
Efectivamente, ya que su desarrollo es 3. 1 mi =-2
a?+b*+c?*4+2ab+2ac+2bc, de 6 términos.
| a (2) DECS,
Il. En (1+x+y+2)* se tendrá la) 3! _
(3+4-D! 61 eS
31D ara 20 términos, 2 (223)
5. )- =3
2 2!
» DESARROLLO DEL BINOMIO (x+a)” o (A. AUS
CUANDO N ES UN NÚMERO RACIONAL 4 )- q :
(NO NATURAL)
Se busca la expansión de (x+a)" cuando n es un FORMA GENERAL DEL DESARROLLO
entero negativ ionari
gativo o fraccionario, Buscamos el desarrollo de (1+x)”; n € Qno MN"
COEFICIENTE BINOMIAL tural.
(
| .
| Notación () : 3, [2
SOS
Ñ
402 Dan Oz k. 0
CAPÍTULO X
Ejemplos
Halle la expansión de (1-x)7?,
Resolución
a.
=1-(-24+3%-(-4) +54...
=1+2x4+3+40+5x 14...
Esta fórmula será válida sí x e (—1; 1).
Halle el desarrollo de (1- 13%,
Resolución
GD (3, (ID A
2 3
Y a * 31 add
32,32 3
m]--— - =—
ser e rial
Esta fórmula será válida si x e (—-1; 1).
» Nota
(a+ xy” -0 (12)
3 y5
Desarrolle (2 + 5x) :
Resolución
Será equivalente a
5
e 3
ra
+q*
3
1 Sl pen a E
a A E
3213 A 16 3
1f, 15. 135 7 945 > ]
= —41-— NA
sl ANT START 7 GA
1215 135 2 945
= +—=x -—
32 128 512 2048
Esta fórmula será válida si x e (E e)
Desarrolle
s=(3+2) >
Resolución
nNi—_
Como
(Ji day
Ll xx ] 1 x x?
A y AA PE A
12" 96 V3 1243 9643
Esta fórmula será válida si x e (- 6; 6).
403
Lumbreras Editores 3
TÉRMINO GENERAL
En el desarrollo de (1+x)" se tiene el término de
lugar (R+1),
n
Ll (5):
donde n es cualquier racional.
Ejemplos
1. Halle el término de lugar 8 en el desarrollo
de (1-2).
Resolución
Por fórmula general
lg= tim = [7 JezrY
e ENCHCACHCAENEN (97) x21
2-3-4:5-6-7-8-27 E
2-3-4-5-6-7
> h= 1 =1024x2!
(¿=1024,0
2. Halle el término de lugar 5 en el desarrollo
de (5+3x)””.
Resolución
El desarrollo será equivalente al de
Pa E: SE 2/3
5 (1+Éx ] ;
5
Por la fórmula general;
1314 ,Y
ls = (441 5 4 16
¡0d
8
4! rro
ya 830 3N 3) 3
=v/25 A
e 1-2-3:4 5
404
7 7/5
a _ NS
as 71875 *
h a
5 1875
Teorema
El desarrollo de (1+x)”.es aproximada. | *
mente 1+nx cuando x tiende a cero.
Es decir, si el valor de x es muy pequeño, sus
potencias, a partir de la segunda, pueden ser 3
despreciadas.
Ejemplos
1. Reduzca la expresión si x es suficientemente
pequeña.
2 y5
(1+5x) +44+2x
M, pan
sj (441)
Resolución
Como x es suficientemente pequeña, enton-
ces aplicamos el teorema anterior.
En el problema
2
3
Mu) = pr 3/2
8(1+2)
4
(12x0)+2/1+3-3)
22
> My= 3
813.5)
4 2
10 1
1-—x+2+
1 17
E AN apple
+7A
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
1
2. Halle el valor de Ya con una aproximación
de 5 cifras decimales.
Resolución
(09-22 (1
Ya7 Tp
A)
+
SS
I
DNA
N
>
Pero
1
== 0,142857
7
= = 0,002915...
7
de = 0,000059...
7
Luego se tendrá
=0,142857+4+0,002915+0,000088=0,14586
37
NÚMERO DE TÉRMINOS
En la expansión de (x+aY, cuando n no es na-
tural, el número de términos es ilimitado; en tal
caso, no hablaremos de término central.
TÉRMINO NUMÉRICAMENTE MÁS GRANDE
En el desarrollo de (1+x)” para cualquier n ra-
cional, como solo nos interesa el valor numérico
del término máximo, se presentarán los siguien-
tes casos:
Sea una fracción positiva
El término de ordenr+ 1 se obtiene multiplicando
el término de lugar r por (22 - 1)x.
l.. Six es mayor que la unidad, aumentando el
valor de r podemos hacer el factor anterior
tan cercano a — x como queramos. Los tér-
minos crecen consecutivamente, por lo tan-
to, no habrá término máximo.
II. Si x es menor que la unidad, vemos que el
factor continúa positivo y decrece hasta que
r > n+1; y a partir de este punto se vuelve
negativo, pero siempre permanece menor
que 1 numéricamente, de donde se conclu-
ye que habrá un término máximo.
»» Nota
as
(a+x)” = 7, )e+ neR;aeR*; lx<a
k=0
405
406
BiocraFíA
Isaac Newton
Nació en Lincolnshire el 4 de enero de 1643 y murló el
31 de marzo de 1727 en Cambridge. Físico, astrónomo,
matemático, inventor, filósofo, teólogo y alquimista, uno
de los más grandes hombres de ciencias inglés. Su lo.
gro más destacado fue el descubrimiento de la ley de
gravitación universal, Además, estableció las leyes de la
mecánica clásica, construyó el primer telescopio de re-
flexión y contribuyó al estudio de la luz.
Sus padres fueron campesinos puritanos. Su padre mu-
rió meses antes de su nacimiento y su madre se volvió
a casar cuando Isaac tenía tres años; el futuro clentífico
fue dejado al cuidado de sus abuelos maternos hasta los
doce años, cuando la madre enviuda por segunda vez y
regresa al hogar de Lincolnshire. En 1655, Newton fue inscrito en la escuela primaria de Gran-
tham, King's School -a diez kilómetros de casa-, donde recibió Instrucción de latín -la lengua de
la gente culta, griego, geometría y aritmética básica, y estudió la Biblia.
Testimonios de esa época lo describen com
habilidad para inventar artefactos y construi
del farmacéutico de la ciudad, del cual era h
las que ataba en la cola una linterna plegabl
Lo cierto es que no fue un muchacho como
habilidad causaba antipatía,
O sobrio, silencioso y meditativo, y que desarrolló
r utensilios; por ejemplo, se dice que llenó la casa
uésped, de relojes de sol; o que volaba cometas a
e de papel para asustar a los vecinos en la noche.
el común de su edad, en quienes su Inteligencia y
Terminada la escuela, a los diecistig año
cuidar y ocuparse de la propiedad, pero
siempre leer o construir cosas, Tras nu
Newton no estaba hecho para trabaj
a Grantharn de nuevo, esta vez para
8, regresó a la granja familiar con la responsabilidad de
nunca tuvo Intorós en hacor esas laboros, puos protería
ova mesos de estancia en la granja, era ovidento que
ar ahí, así que su maontro convenco a la madre de enviarlo
que 50 proparo para Ingrosar a Cambrigdo.
090 de Cambridgo, Duranto su carrora univorsitarla so pagó
ajos para otros ostudiantos. No fuo un alumno destacado
asistencia a clasos. Su Intorós principal estaba on la bibliotoca, donde
En 1681 logra su ingreso al Trinity Coll
los estudios haciendo diversos trab
debido a su Irregular
rapera
PD A
descubrió libros sobre matemáticas, filosofía y se inició en la investigación experimental de la
naturaleza. Al finalizar su etapa universitaria había escrito las primeras notas de lo que sería el
cálculo de fluxionos; además el estudio de la óptica y la geometría ya ocupaban gran parte de sus
prioridades.
Entre los años 1665 y 1666 se desató en Inglaterra una epidemía de peste bubónica que obliga a
cerrar la universidad. Newton 5e retiró a la casa familiar y prosiguió con sus estudios y observa-
ciones, solo visitaba la biblioteca universitaria de tanto en tanto, Se dica que de esta poca data
el descubrimiento de la teoría de la gravitación, cuando vio caer la manzana de uno de los árboles
de su casa. Además construyó la primera versión de un telescopio de reflexión y desarrolló el
cálculo matemático con el cual halla la fórmula para el desarrollo de la potencia de un binomio
con un exponente cualquiera, entero o fraccionario, En la década siguiente elabora hasta tres
enfoques distintos del nuevo análisis, En principio, basó su desarrollo a partir de la geometría
analítica con un enfoque geométrico y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre
curvas definidas a través de ecuaciones. Luego, tratando de diferenciar su teoría de la de Descar-
tes, trabaja Únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al sistema
cartesiano. Según refiere él mismo en una canta, esos años fueron su ópoca de más fecunda
invención,
En 1667, finalmente, se reintegra al Trinity College como profesor, con mucha disposición
de tiempo para sus investigaciones particulares sobre óptica y sobre la naturaleza. Puso
en evidencia que la luz está formada por una banda de colores en los que se descompone
sl so la hace pasar por un prisma. En su teoría, aflrma que la luz está compuesta por cor-
púsculos y que se propaga en línea recta, no en ondas como se pensaba hasta ese momento.
Hacia 1672 presenta a la Royal Society la primera comunicación de su trabajo, lo que le valió
una dura etapa de confrontaciones con otros científicos. Newton defendía su descubrimiento
como "el más singular, cuando no el más importante, de los que se han hecho hasta ahora en
lo relativo al comportamiento de la naturaleza”. Debido a las críticas y a la polémica con Robent
Hook, quien defendía el movimiento ondulatorio de la luz, decidió no publicar su estudio hasta
después de la muerte de este.
Tras ausentarse de Cambridge en 1679 debido a la muerte de su madre, Newton recibe co-
municaciones de Hook que lo instaban a que comente la propia teoría de Hook acerca del
movimiento de los planetas, a lo que él accede, reinsertándolo en el estudio de la dinámica.
Cinco años más tarde, Edmond Halley lo visita en la universidad y le pregunta cuál sería la Ór-
bita de un planeta si su gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia, obteniendo como
respuesta que la órbita sería una elipse. Tal rapidez en la respuesta lo asombra y le pide la de-
mostración. Newton no la tenía en ese momento y le prometió que le haría llegar los cálculos.
ns y BIOGRAFÍA
407
Luego de rehacertos y después de resolver el problema de demostrar que la fuerza de atrac.
ción entre dos esferas es igual a la que existiria si las masas de cada una de ellas estuviesen
concentradas en los centros respectivos, abrió el camino para reunir todas sus investigaciones
y dar paso al gran libro Philosophiae naturalis principia mathematica (Los principios matemás.
cos de la filosofia natural). de 1687.
Esta obra es el producto de veinte años de estudio. Dentro de su desarrollo se encuentra la ley
de gravitación: dos cuerpos se atraen con una fuerza proporcional a sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Se enuncian también tres principios de
la mecánica a) todo cuerpo permanece en reposo o continúa su movimiento en línea recta con
velocidad constante si no está sometido a una fuerza exterior; b) el cambio de movimiento de
un Cuerpo es proporcional a la fuerza exterior, inversamente proporcional a la masa del cuerpo, y
tene lugar en la dirección de la fuerza: y c) a toda acción se opone una reacción, igual y de sentido
contrario. Antes de él no había ningún sistema de causalidad fisica. Esta teoría permite deducir
el estado que tendrá un sistema a partir del que tenía el instante anterior. Gracias a Newton, los
Gentñoos lograron extender el conocimiento a todos los rincones del sistema solar.
Luego de la muerte de Hook. publicó la obra Opticks, en 1704, alejándose del mundo cientíco
y asumiendo un rol público como miembro del Pariamento primero, luego como director de la
Casa de la Moneda y finalmente como presidente de la Royal Society. A pesar de su hipocon-
Ona. conservo buena salud hasta su muerte, producida por problemas renales. Fue enterrado
en la Abadía de Westminster, lugar reservado para los más grandes hombres de Inglaterra.
Fuente:
MP es wipeda org wo, lsuac_ Newton
DIAL WWW ASTTACOS MO Cl Dog Da mewton hom
MDL Www DO gras yv c3s com monograóa mewtony
=>
BIOGRAFÍA ?
Problemas
RESUELTOS
Problema 1
Simplifique M.
21431 4145! 40!+ 411 e
M= + +..+ e
2! 41 | 90 y
o AM dl.a! d au ulys. le
Ni = . + 3| 4 y lr
Resolución - 0:
Podemos observar que cada sumando tiene la
xH(x+0D!
forma de ————=.
x!
Simplificando
xH+(x+Dx!
x!
1
AM +1) cs
x!
Utilizando este resultado en cada sumando se
tiene
M=(2+2)+(3+2)+(4+2)+...+(40+2)
M=4+5+6+ ... +42
1
Recuerde que: 1+2+3+...+n= dl )
> M=(1+2+3+...+42)-(1+2+3)
m= 22 -6903-6=897
Problema 2
ni(2n)
Si se cumple que Ta=M
=162, ¿cuál es el valor
den?
Resolución
Recuerde que n!=n(n-1)!
a nfa-Mí2n 162
ta
de donde n?=9?
. n-1=80
> 2m=2.92,
Problema 3
Luego de resolver la ecuación
(n+Di-nín—-D!_5n!
AA
n+n-1 29
5n-3
calcule el valor de ;
2n+1
Resolución
(n+D!=(n+Dn!=(n+Dn(n—-1!
Luego
(a+ D!i-n(n-D!=(n+1Dn!-n!
= ni(n+1-1)=n-n!
En la ecuación se tiene
ná _ 5H
nM+n-1 29
Por simple inspección n=5.
Por lo tanto, E = E =y2,
2n+1 11
Problema 4
Del gráfico (semicircunferencia),
P
(n-1)!
A B
¿cuál es el valor de n si O es el centro de la cir-
cunferencia?
409
Lumbreras Editores
Resolución Resolución
esoluci a E
Por propiedad de la geometría, APB es un trián- Calculando cada uno de los Números combi.
gulo rectángulo recto en P; entonces se cumplirá torios: la.
el teorema de Pitágoras. Ende cl - 18! - 18-17-16-15. 191
Sp 3, 18-90p 4118-41
AP"+PB"=AB" n AB=20P=n!
6 2
Usando los datos 6 18-17-1615
e 2 2 —) Ca JT” =6-17-2.15= 3069.
6 n? -1) +((n-D)” =(n) ,
ln?) = (m9? (m0 ! e
ln -)=2((M-D) -((n-DY os (VIT IÓ 4
: 3 3r1al 8-14
8 (2) = ((m-01 (21) 2
6 =((m-D > (n-D!=6=31 20-19
. cis =C7"==2=190
. n=4
Lo pedido: 3060-—(680+190)=2190
Problema 5
¿Cuál es el valor de n que verifica la siguiente Problema 7
ecuación?
Resuelva la ecuación
(n+3)M(n+5)! 120 : A
(+3) (+4) Cf +07 4031? =9,
Resolución Resolución
Usando la propiedad x!=x(x-1 )! Aplicando la definición del combinatorio
— xo, ¿2
++ (+4) Lara] UD!" 21(0+1-2)1" 3 +2-3)!
(n+5)! (n+4)! , E
o A, e, (+ 2D be y
GD 2eaÑ 6(xAÑ
> (n+4)!=120=5! > n+4=5
dj e xD, let Dx_y
2 6
Problema 6
18 (17, 20 :
Dados C4”, C3' y Ci, calcule la diferencia entre
el mayor y la suma de los otros dos.
410
Multiplicando por 6
6x+3x(x+1)+(x+2)(r+1)x=54
x(6+3(x+1)+(0+2)(x+1))=54
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
Operando y escribiendo convenientemente
xLe+6x+11)=54=2(2%+6:2+11)
. x=2
Otro método
Recuerde que Cf +Cf,¡ =Cp2
Sumando C¿ =1 a cada miembro
Co + Cf + CPU Cj?=9+1
ii ed
ed ye Cc?
ci =10
Usando la definición de combinatorio
430, (+3 +2 + Dx
3100+3-3) 6 00
Luego (x+3)(+2)(x+1)=5:4-3
De donde x+1=3 >= x=2
Problema 8
¿Cuántos valores de x verifican la siguiente
igualdad?
Za «cul Cs =15
Resolución
Recuerde que al a =Cf.
Para el problema, n > 4 se tiene
CCA Cia = =15
+ Ca
Cia + Cia
Ux2 Hex
> CMI=15
Por combinatorios complementarios
c7*!=15
Qe+DO+ 1D 5
2
2 +x=30
> x(x+1)=5:6
> x=5
Por lo tanto, existe un solo valor para x.
Problema 9
Determine el conjunto
A=((x;y)e NxN/C7 +2C3 +C4 =C7)
por extensión.
Resolución
Resolviendo la ecuación
CF +03 +C3+C4 +C¿ = CA x24 A y<?7
+ 0d
ta
De donde
x+2=7 a [y=4 v 4+y=7]
> x=51 [y=4 v y=3]
=((5; 4), (5; 3)
Problema 10
En el sistema de ecuaciones
21
cx = —Cj-2
y=10 (0
Che = Có-1 (ID
Determine el valor de xy.
411
Lumbreras Editores
Resolución
Simplificando las ecuaciones
1 A 21 xÍ
y Mx y)! 10 (y-2)(x- y +2)!
EE 1 pen
YODA
2 IA
10(yJx y +2)(x- y + Mx]!
> 10(x-y+2)(x-y+1)=2ly(y-1) (0)
xa y A
1 =
Vd
1
DM
(r-y+ DG y)=(+ 1)y
yaa y= Y y
A -2xy+xoy=y > 2-2xy=2y=x
x(x-2y)=-(x-2y) => x=2y (B)
De ($) en (a)
10(2y-y+2)(Qy-y+1)=21y(y-1)
10(y+2)(y+1)=21y(y-1)
Efectuando y simplificando
11y?-51y -20=0 ]
.4> =-—
my L 20
yo >N<sb>oy=5
Como yeZ* rn y22 > y=5
En (8): x=2(5)=10
" xy=50
412
Problema 11
Calcule el valor de n+R si se sabe que el cuarto
término del desarrollo de (x+2)" es 80x*.
Resolución
» Recuerde que
A
(a+b)”; ty, =Cha”*.b
En el problema
sta = 0 OASIS
Se tiene
2.C9=80 > Cf=10> n=5
Además
n-3=k > Rk=2
. n+k=7
Problema 12
Halle la relación entre r y n para que los coefi-
cientes de los términos de lugares 3r y r+2 de la
expansión de (1+x)? sean iguales.
Resolución
Usando la fórmula general de la expansión de
(+97
<= - yn 3r-1
tar = Carp. = Cgr-1 Xx '
trio = Crd 7 Ch xl
Por dato
Cary =C2
Lo 3r=l=r+1 > r=laneN
ll, Br-D+(+D=2n > 4=2n
. n=2r
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
Problema 13
Halle el término independiente de x si existe en
9
: l
la expansión de (Vi +2) e
ú Y
Resolución
Buscando el término general
9-k_k
4
t e Jr
k+l Ye k
Si el término es independiente de x, debe ser de
grado nulo.
9-R Rk
120 >k
> EN >
6
Luego, el término independiente será el término
de lugar 7
9
ta =1641=C6
- l indep. =84
Problema 14
3 pal p
En el desarrollo de (x* + x73) , Uno de los tér-
minos centrales es independiente de x. Halle el
número de términos.
Resolución
Los términos centrales ocupan los lugares
(2n-D+1. Qn-D+1
A a |
2 2
Es decir, t,, A f,,| son términos centrales.
-1
l. th = La-D+1 = cn Py
> 4n-3(n-1)=0 > n=-3 (absurdo)
-1
IL- tar = 2 ay (3y
> 4Mn-1)-3n=0 => n=4
Luego, el número de términos será igual a
(2n-—1)+1=2n=8
Por lo tanto, el número de términos es 8.
Problema 15
Halle el número de términos irracionales en el
48
desarrollo de (Yx +Y/x)
Resolución
De la fórmula general
48-k k
ti =C (Yx) -Yx
48-k_R
RR
> ta=Cóx 4 3;
R=0; l;...; 48
Analizando el exponente de x
ar zo
A 4 3 12
Si el término es racional, (1 + 2) es entero
o
> k=12 > Rk=0;12; 24; 36; 48
De donde diremos que existen 5 términos racio-
nales;
Por lo tanto, 44 serán irracionales.
Problema 16
Teniendo en cuenta el desarrollo de la expresión
O y
x+t=a=l,
(4=+,)
¿cuál de las proposiciones, al determinar su valor,
es verdadera?
IL. El número de términos irracionales es 40.
II. El número de términos fraccionarios es 4.
III. El término independiente de x ocupa el déci-
mo tercer lugar.
413
Lumbreras Editores
Resolución
De la fórmula del término general
o
son racionales si k=6.
> Rk=0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42; 48; 54
Es decir, 10 términos son racionales.
l. Falsa
Términos irracionales son (56+1)-10=47.
Il. Verdadera
, cd 5k E
Será fraccionario si 8-5 e Z”, lo cual
ocurre si k es 36; 42; 48; 54; es decir, 4 términos.
Il. Falsa
Se tendrá el término independiente de x
si (2s-%)=0 > AREN
Luego, no existe término independiente.
Problema 17
NS . 1 2n
Six” se encuentra en el desarrollo de E + ) ;
: : , X
¿cuál es su coeficiente?
Resolución
Sea el término de lugar k+ 1
: h
A y y2n=k (1 E :
Url = CI" (1?) (2) = CRM, y An-2Rk
414
Por dato
4n-3k=P => Rk=
4n-P
Luego, su coeficiente es C͔_,,
3
Problema 18
Calcule el coeficiente de x” en el desarrollo de
5
(2+x-1)"
Resolución
Agrupando
5
[(2,? + x) - 1]
Aplicando la fórmula general como si fuera un
binomio
7 S-k
Uh+! = CP (2x? + x) ¿(p*
¿y k=P
cp* Qe
Entonces
O lr it e
Por dato
10—2k — 2P+P=7
> 2k+P=3;k =P
Entonces, se cumple cuando
k=l A P=1 vk=0 a P=3
l.. Sik=1;P=1 en (0)
to =C$.C4.22.x7 =5.4:8x7 =-160N'
Il. Sik=0; P=3 en (a)
ti = (005-0322. x? =40x
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
Luego, el término es
(-160+40)x"=-120x”
Por lo tanto, su coeficiente es — 120.
Problema 19
Sabiendo que (1+x)"=a,+4/x+a7+...+a,x";
n EN, calcule R=a7+2a,+3a,+4a3+...(n+1)a,,
Resolución
Del dato
(+) =CG +C Nx +CGx? +... + C0x"
Si x=l > Cp+C +C3+..+C01 =2"
Se pide el valor de
k=Cj +2C] +2C3 +4C3 +...+(n+1)C7
r=[C5+Cf +..+C5 Ja[cP +2C3 +3C3 +...+nCn]
R=28 NC nc Cn
k=P+n[ c+ cr... +00]
, k=2"4+n-207!
Problema 20
Halle el número de términos en el desarrollo de
n
So: =Le+y%)
si la suma de los grados absolutos de todos los
términos es igual a 252.
Resolución
El desarrollo es
ACA AY As. cayY
como la suma de grados absolutos es 252
> 252=2[n+(n-1)+...+1)+511+2+3+...+1]
nin +1)
2
nín+1)
=> 252=2 +5
> 252=2n(n +0) > nín+1l)=8(9)
> n=8
Por lo tanto, existen 9 términos.
Problema 21
Calcule la suma siguiente.
1 1 1! 1!
II TA E TT
Resolución
Multiplicando por n!
LE= n n n ni
A E ETE ESTE AN PR TT
n+E=CP+C3+C8+...+Cf_] (a)
n!E=27
gal
E n!
E
Problema 22
Resuelva la ecuación
3CÍ +5C3 +...+(2x-1C%, =8% -2(x +1).
Resolución
3CÍ +5CH +...+(2x-1CX + 2x+1) =82%
(2x+1CF+1
»» Nota
(QR+1)C% =2RCH +C;
415
Luego
(aci +CH)+ (407 +C2)+..+(2xC7+CH)+1
=(Cé+CE +... CA +2 OÍ 4207 +3C3 +...+xCg )
pete gcabios: Je
20th r330 4.1 ECH)
=2 +2 2 =P 2 =2 (41)
De donde se tiene
2(x+1)=88 > 2x+1)=2% =2%.28
2 (x+1)=2% (63+1)
. x=63
Problema 23
Halle el coeficiente de a?b*c en el desarrollo de
(2a+b+3c)”.
Resolución
Su término general es
5 Rare “y 23a arpe.Y
Como la parte variable es avi,
donde a.=3; B=3; y=1,
luego, su coeficiente es
oa 7-8 05:4:3
E
=7-5:4:8-3=3360
Problema 24
Halle el coeficiente de x'" en el desarrollo de
(2+300+x 0)"
416
Resolución
Su término general es
Resolviendo el sistema
y=1 A B=2 1 a=1
Luego, su coeficiente es
4! 1.2 432 a 2
11211
-29=216
Por lo tanto, el coeficiente de x" es 216.
Problema 25
¿Cuántos términos existen en el desarrollo de
5
(3x+2y"-22+1)?
Resolución
El desarrollo de
(3x + 2y* A w)
4 términos
tendrá
(5+4-D!_ 8! 87:65! _:e
51-(4-D1 5131. 5131
Por lo tanto, existen 56 términos.
Problema 26
Halle el coeficiente de x* en el desarrollo de
(2+x2-43)".
CAPÍTULO X
Resolución
El término general es
O_o y”. x2B+3y
alBly! 0)
+B+y=10
De d a
cone (98+3y=8
El sistema se resuelve en
1=0 , $B=4 a a=6
y=2 4 B=1 1» u=7
Luego, el coeficiente de 4 en (I) es
1
10! 6. + 10!
7 2
61410! aa? ED
3 4
-9-8- 9-87
_10-9- 8 78 q 109 BT 99
614! M2
=13 440+46 080=59 520
Por lo tanto, el coeficiente de x? es 59 520.
Problema 27
Halle el coeficiente de x!” en el desarrollo de
(1-2+32-11-10).
Resolución
Su término general es
d
E me. (20 (32) (2x1) (-xóY
albicidle!
5! b d e xb+2c+4d+5e
aaa E:
ja+b+c+d+e=5
De donde
lb+2c+4d+5e=17
Del sistema se tendrá
e=0Ad=4 A c=0 1 b=1 2. a=0
e=l ad=21c=2Ab=0 1 a=0
e=2 1 d=l ac=l 1b=1 2: a=0
e=z3ad=01c=0 1 b=2 5 a=0
e=z3nd=01Cc=0 15 b=1 2: a=1
Luego, el coeficiente será en (1)
CI A 3!
01101410! azi
2 0, 13
mae DI we nd ERES ES D'En
120/9113
Reduciendo
says LEA gos 12
(23)
2
5:A-3Í 54:31
cd 7
2D
=-10-270+360-—40+40 = 80
Por lo tanto, el coeficiente de x!? es 80.
Problema 28
Halle el término general de (1—nx)'" en su de-
sarrollo.
417
Lumbreras Editores
Resolución
De la fórmula general
A
K!
[ein yA
Pero
A ed)
(n-DQn-DGn—D..[(*+-Da-1] ,
Ursl = E”
Problema 29
Si los coeficientes de tres términos consecutivos
de la expansión de (x+y)” son proporcionales a
los números 3; 12; 28, calcule el valor de n, sien-
don < 10.
Resolución
Sean los términos consecutivos alar lar
n _n=R+l, k-]
= Cp xy
RR
lr+1 =Cgx" y
40" ynk-1,k+1
Usa = Cp y
Por dato
Char _ Ch Cha
3 12 28
COJO"
418
De (1)
E E A
(R=DIA=R+DI Angy
4 y l
NN TS
> Ak=n-k+1 > a tz (a)
De (2)
120,373 $
e RUY ATAR
3
A E -
a R(n-kln-K-D1 (R+DXRI(n-A-I)
> Tk+7=3n-3k > 10%k+7=3n (B)
De (a) en (B)
n+1 E
1022 5 )e7=3n
> 2n+2+7=3n
. n=9
Problema 30 i6rmio
Si los coeficientes del primer y último de
n ¡gue
del desarrollo de Po. y =(3a 3a0x'+ay y ql
les, halle el coeficiente del término de lu$
Resolución
Veamos los términos
, 3y20 209 220,40,60
t,= CP (3a?x3) =C9 3702
7 20 20 0,140
to, = Ci (ay")=C70 4")
CAPÍTULO Y
Por dato. cocficientes iguales
, y ]
PLL sr a
17)
la ia 17
> list. «CH ) lay)
> Cot. ty =C Ada”, donde a=1/2
Wi? (1% 2019-18 7
= e)
> CO, ly = ——| —
A ETE, 6
Col. 1y=300-3P
Problema 31
PJ coeficiente binómico de x% en el desarrollo
An 78
delx+)" es a ) con a < 20. Halle el coefi-
ciente de "7?
Resolución
Sea el término de lugar a+1 el que contiene ax”.
78
lar" el (ay -| Ñ per
Del dato
T-a-2a=45 => 33=%4 => a=ll
-4
Se busca entonces el coeficiente de 2017?, es
decir, de x”,
y Y
Sea el término de lugar k+1 el que contiene a x-
8 . (78 y
2h alí praia -| py e
Por dato: 78-k-—9k=36 = h=14 *
a 78
Por lo tanto, su coeficiente es 7 a
Binormo de Hemon
Problema 32
Halle el coeficiente de Y en el desarrollo de
7
n= (1410).
Resolución
Aplicando la fórmula del término general
AP C pe q en
O ¡Y Hol (a) TT
Donde
p+21=5
0++/=6
Resolviendo tenernos
q=0 7, f=5 7 0=1
q=1 7, f=2 , 0=3
Entonces, su coeficiente es
6!
Y
EST 11510! La EU
£ Lp
Por lo tanto, el coeficiente de Y” es -54.
Problema 33
Halle el término independiente de x en el desa-
rrollo de (x+2. 1.
Resolución
En el pa general
$ yy 4! af
Ib ar ES TT
Del dato
0.+(+1=4
u—-p=0 = u=f => 2u+y=4
419
Lumbreras Editores
Si
a=0 a y=4
a=l a y=2
a=2 a y=0
Luego, su coeficiente es
41 41 41
ororar nar arar ir 12+6=19
Problema 34
Al desarrollar solo dos términos de la expresión
] 912
matemática = , estos se aproximan a
Mo P
un polinomio Py. Evalúe Pg).
Resolución
-172
12 1 Xx
= 212 (4 - xy" 22.114)
Ax) x) 2 4
1 x
R =21(1-4(-2)) P 2 1)
(x) 412 > Kx) +
. Py=211:2=2"*
Problema 35
Sabiendo que el desarrollo de (a+b+c+d+e)"
admite 495 términos, indique cuántos términos
tendrá el desarrollo de (p+q+r)”.
Resolución
Recuerde el desarrollo de
n
(a+b+c+..)",
Rk términos
donde el número de términos es
(n+Rk-1)!
n(R-1!
En el problema k=5
(1+4! _ 495 5 (n+4(n+3)(n+2(n+1) n!
n!4! n!-24
> (n+1D(n+2)(M+3)(n+4) = 24-495
420
Entonces
(a+ D(+2)(M+3)(+4) = 9-10-11-12
de donde n=8.
Entonces (p+q+r)* tendrá
2
(8+3-D!_ 10! _J0-9-BÍ_
LA 4
IIA
Por lo tanto, tendrá 45 términos.
Problema 36
Halle el tercer término de la expansión de
PA JT 5x
(1-0?
(l+x
Resolución
La expresión es equivalente a
(1+0%+(1+50 1-3?
Desarrollando tenemos
3.32
142x 9:
(pa
A +. Kizrraals.)
4 2 8
13. 103 , ) 2
AAN e
( + a? 32 xo + (1+2x+3x +
Efectuando la multiplicación
2.13 13 EA 3_103 2 1083 27,
24446 +4
IE AE
207x681) 2,
32
29 297
=24x 4 y?
EU
Por lo tanto, el tercer término es E
CAPÍTULO X
Binomio de Newton
Problema 37
Halle el coeficiente de x* en el desarrollo de
(1-2x+3%)”.
Resolución
Agrupando lis (2x-3)]*
» Nota
(1-a)?*=1+3a+6a?*+1043+1501+...
En el problema
=1+3(2 - 3) +6(2x - 3) +10(2% - 310)
+15(2x-310)'+..
Sumando los coeficientes de x*
6:9+10:3-21(-3)+15-21
Efectuando se obtiene -66.
Por lo tanto, el coeficiente de x! es -66.
Problema 38
Indique el coeficiente de x” en el desarrollo de
(1-2x+30)
Resolución
Agrupando [1-(2x-3)])-1 su desarrollo es
(A
31
z EE y 2. A
P 2 3
= 4x3) ¿(2 30) +2lex-ax)
4
5 loz -3x*) +...
128
Buscando el coeficiente de x!
A O 35,4 27 45 35
Le 2 923) 4 29,042: 4L. 49,040
TM cid y cir Y
. 9
4
Por lo tanto, el coeficiente es — 9/4,
Problema 39
Halle el coeficiente de x”y? en el desarrollo de
fe y=0+y*-(2x-y.
Resolución
Un término cualesquiera de la expansión de
fi (xr, y) €S
| 4-
Brtr+l =Cp nes (2x) "yy
g 24r (Y CóCA A Rryker
Coef.
Del dato tenemos 9-k-r=7 a k+r=2
> k+r=2, ademásk;re Zp*
> k=2-r;
> k=0; r=2
k=1; r=1
k=2; r=0
Luego, el coeficiente de x*y? es
Coef.= Y 2" (-1Y cpc;
2
= Y) 2" (-11C3_,C/ =24-160+160
Por lo tanto, el coeficiente de x”y? es 24,
421
Lumbreras Editores
Problema 40
Halle el lugar que ocupa el término independien-
y. :
te en la expansión de (1 + E) silos coeficien-
tes de los términos, ,., y f, están en la relación de
(2r4+3) ar respectivamente.
Resolución
pyaek 1 R
Sea tas = Ch (,) , 5) el término arbitrario;
luego, si se trata del término independiente, el
exponente de x es cero; entonces
E 0 > 3n=10k (a)
422
También tenemos por dato
CC _2r+3
A
n-r+l
rl 2r4+3
> =
Cr-1 r
A
> n=3+2;reN;nenN; n=10
Luego, el menor valor de r=6, para n=20, de (u)
3(20)=10k
> k=6
Por lo tanto, el lugar del término independiente
(t,) es siete.
t
Test 10)
Luego de resolver la ecuación
a +18,
(n+2)!
calcule el valor de Y5n—1.
A) 2 B) 3 O y14
D) /24 E) YI5
Indique cuál es el valor de a que hace posi-
ble la igualdad
(a+Di+la+2)+(a+3)! _
=81.
(a+1)!
A) 3 B) 9 O 6
D 5 E) 8
Indique cuál es el equivalente reducido de
Co? +3CJ" - 4C|3 +5Ci00-
A) 101 B) 202 C) 303
D) 505 E) 707
Simplifique la expresión
Cl+Cd+03+C02+ 01 +03
C1+C1+C3
A) 6/5 B) 1 C) 7/4
D) 5/6 E) 2/7
Calcule el mayor valor de x que verifica la
igualdad.
(? _p26
e +2x _ 1242
A) 1 B) 2 Cd 3
D) 4 E) 5
Resuelva la ecuación.
4C5"+C3+C3*?=100n
A) 10 B) 11 Cd) 12
D) 9 E) 8
Si se cumple que
Es cil dE O O a
calcule el valor de 4n-3.
A) 7 B) 8 C) 9
D) 6 E) 11
¿Cuál es el término de lugar 13 en el desa-
rrollo de
A) 320x"**
B) 390x”**
C) 455x 7%
D) 655x"**
E) 755:
En el desarrollo de (1+x)3%, ¿cuál es la razón
entre r y n para que los coeficientes de los
términos de lugares 3r y r+2 sean iguales?
A) 1/2
D) 3/4
B) 1/3 O) 2/3
E) 2/5
423
Lumbreras Editores e
B) 66
10. ¿Cuál es el coeficiente del término central en: A) 72 ) C) 48
o D) 68 E) 76
16
1_,
el desarrollo de (+ ) ?
po
12. ¿Cuántos términos racionales enteros exis.
A) CH B) -CH e an
ten en el desarrollo de (+ -2x2 +4 3) >
D) -c]6 E) Cl? e
11. ¿Qué grado tiene el término de lugar 15 en el A) 76 B) 25 O 7
desarrollo de (3-2) D) 32 E) 27
Cuaves
1/m n=
—/ B 3/D a e ]
di Y o "/e 19 /D 1/6
2/5 q
2 4/8 E 5
—— ZA 8 /
8/1/72 U2/K
424
1,
Problemas
PROPUESTOS
Nivel 1
Simplifique la expresión $.
So xl+ (xa DI + 2)!- (a+ DM
uN x! (x +1!
N 1 B) x O x-1
D) x+1 EJ) 0
¿Cuál es el valor simplificadó de
11-10!
dioiar ldOS oO 91 ?
A) 55 B) 77 C) 285
D) 85 E) 385
¿Cuál es el menor valor de n que justifique la
igualdad (n+3)! =n*+6n*+11n?+6n?
A) 1 B) 0 0) 2
D 3 E) 4
A partir de la ecuación
(n - 5)! (n- 6)!
(n-5)!-(n-6)!
indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
l.. nes múltiplo de 6
=720(n? -12n +35),
IL. nes par y múltiplo de 7
ll. n es tal que n+2=2*
A) VVV
D) FVV
B) FVF C) VVF
E) VFV
Si la expresión T está definida por
= +... 33 sumandos,
¿cuál es el valor simplificado de 7?
22 do
ET B) 3 ) 3
33 313
JET E 217
Sea T la expresión tal que
y 3.5129 "9?
on ana
T=
Calcule el valor de JT.
A) 11 B) 41
D) 418
O) 121
E) 4/9
Indique el valor de x que verifica la ecuación
x+3 x3_yx+5
Cs + Cx-2 =*x-] -1
A) 2 B) 4 O 6
D 7 E 8
¿Cuál es el valor de n que hace posible la
igualdad
CA + Ci + CS *= CI)
A 15 B) 17
D) 22
O 19
E) 10
Si A=Cf; B=Cf"l, ¿qué relación existe en-
tre A y B?
A) n(4-B)=AR
B) n(4+B)=BRk
C) nA=kB
D) nB=kA
E) A=(n-R)B
425
Lumbreras Editores
10.
11.
12,
13.
14,
426
Halle el equivalente reducido de S.
E)
A) CS B) C)' 0) Ci!
D) Ce E) Cy
Simplifique la expresión
ci8-cHb ap -cpo
cc + CEC
A) c2S B) CR 0 CH
D) CP E) 1
De la igualdad
CC +04. + CO =CH -1
n sumandos
determine el mayor valor de (m+n+p).
A) 57
D) 68
B) 66 C) 49
E) 72
¿Cuál es el término central en el desarrollo de
10
E)
x q
A) 186 B) 345 C) 230
D) 248 E) 252
En el desarrollo de (x84+ ny
la diferencia de grados de los
y decimosexto es 20.
Calcule el valor de Yn? -1.
A) 8
D) Y35
se cumple que
términos sexto
B) Y3 0) 2
15.
16.
17.
18.
19,
S5n+2
A E l
En el desarrollo de EE +t+ , €l término
Vx
del lugar 25 es de la forma Ax*'-Y*. Calcule e
valor de n+2.
A) 16
D) 10
B) 14 O 18
E) 12
En el desarrollo de (x"+y?)" se cumple que
el término del lugar 24 es igual al término
del lugar 24 pero contado a partir del final.
¿Cuántos términos tiene el desarrollo?
A) 37
B) 47
C) 48 '
D) 46
E) Indeterminado
Si la suma de los coeficientes del desarrollo
o ay16
de (2+y?) es cuatro veces la suma de coe-
| Ce cc
ficientes del desarrollo de L%+x , ¿cuál es
el valor de n?
A) 11
D) 13
B) 15 C) 14
E) 12
Al efectuar el desarrollo de (x+y+z2+w) se
obtienen 286 términos.
¿Cuál es el valor de n+5?
A) 14
D) 16
B) 15 O 1
E) 13
Halle el coeficiente de x* en el desarrollo de
5
Pr=Le+x+ 1) »
A) 37
D) 16
B) 41 C) 45
E) 22
CAPÍTULO X
20.
21.
24,
Calcule la suma de los coeficientes de los tres
primeros términos del desarrollo de (1+x)7,
A) 6
D) 4
B) 5 O 7
E) 8
Nivel 11
En la expansión de (1 +x)%, los coeficientes
de los términos de lugares 2r+1 y r+2 son
iguales. Halle r si es mayor que 2.
A) 13
D) 12
B) 11 C) 10
E) 14
. ¿Cuántos términos del desarrollo de
12
(343 + /2 ) son números naturales?
A 7
D) 4
B) 6 O 3
E) 5
. En el desarrollo del binomio lax“+bx"Y los
términos de lugares a+3 y b—1 equidistan de
los extremos; además, la suma de todos los
coeficientes es 27, Halle la suma de todos los
exponentes de variable (x) en su desarrollo.
A) 20
D) 14
B) 18 C) 16
E) 15
Calcule el valor del término central en el de-
> 2n
sarrollo de (+x"2142)”,
equivalente a
4n!
(12- 11(5n-12)1
si se sabe que es
A) CJ
D) ció
Cc) cy
E) CA
B) Cc?
25,
26.
27.
28.
Binomio de Newton
En el desarrollo del siguiente binomio (+o)”
los términos de lugares (1146) y (11+8) equi-
distan de los extrernos, Determine el expo-
nente de a en el término central.
A) 25
D) 72
B) 36 C) 48
E) 81
Halle el lugar que ocupa el término indepen-
diente de x en el desarrollo de
154
Ye -L
z 1%)
A) 1311 B) 113 C) 115
D) 117 E) 120
Halle el coeficiente del término que lleva Y
en el desarrollo de L2-2x+ 1)”
A) 320
D) 260
B) 420 C) 210
E) 180
Halle el término independiente de x en el de-
3n
sarrollo de (x - $
' x
(- y”
B (y
O EN
(]"
py Ad [n-2 [2n+2
l3n
n+1
EJ del la-1|2n+1
427
A il
Lumbreras Editores
29.
30.
31.
Halle 2n en la ecuación
(cr cz cs ...cn)(12131...n1)? = (40 320).
A) 12
D) 16
B) 14 Cc) 10
E) 18
De la expansión de laxt+ox)””, la raíz
cuadrada de la suma de coeficientes es 216,
y la parte literal (variable) del quinto término
es x?. Halle el coeficiente del cuarto térmi-
no si (a+b) e N.
A) 10 240
D) 2560
B) 20 480 C) 5120
E) 51 200
Dados los términos semejantes, uno del de-
b
sarrollo de xl+y2)” y otro de ylx?+y2)”,
que ocupan la misma posición en cada poli-
2
2, p2
nomio. Calcule el valor de (+0 :
1+a“b
A) 2 B) 4 CO) 6
D) 9 E) 12
32.
33.
428
Siendo n un número entero positivo, halle el
valor de
1
R= pa" er A as
A) 2
B ED”
C) En
D En”
E) 2
Halle el equivalente reducido de S.
El .267 307-407 n
a 2 3 4 nC
a" 7 os idea +...+ gn
34,
35.
3
o
Halle el equivalente reducido de M.
2 3 4
5eCp5%C7 5%Cg E
M=5Cf 422 ,
cd 2 3 4 n+1
ga] gu gal]
A)
n+1 n-1 n+1
n+l_ n+l_
D) 6 2 5 2
n+2 n+2
Calcule el valor de
CP -3C8 +9CP -27CP +... neN.
n
Aj
B) Lon
CO) Lin
D) sen—
E) PO
E
. Halle el término independiente de xen el d
9
32 1 )
sarrollo de ( > x rr
o) 718
E) 1
A) 5/18
D) 4/9
B) 1/3
_
CAPÍTULO X
37. Halle el término independiente de x en el de-
4
sarrollo de (x+1+2) >
A) 18 B) 15 O 17
D) 19 E) 16
38. Halle el equivalente de £
ESCALA? + nCix”.
A) nx B) (n+Dx O (n—-Dx
D) (I+dn E) (I-dn
39. Halle el término de mayor valor en el desa-
rrollo de
100
1
(2+3x) cuando x=1.
1001. 27100
(491)?
100! 100
B) —.7
) 50!-511
1001. 2%
O Ha"
50!- 50!
1001. 27%
D)
51!-491
1001-2100
(501?
40. Sabiendo que en la expansión de (3x+1)” los
términos de los lugares sexto y séptimo tie-
nen el mismo coeficiente, calcule la suma de
todos los coeficientes de dicha expansión.
A) 22 B) 22% o?
D) 2% E) 2%
41.
42.
Binomio de Newiíon
/ n
Enel desarrollo de | 3042 lasuma de coe-
Xx)
ficientes de su desarrollo es 2”. ¿Qué lugar
ocupa un término que contiene a x elevado
a un exponente igual al número de su lugar?
A) 10 B) 9 C) 12
D) 8 E) 1
Un término que se obtiene en el desarrollo
de (x+y+z+w)* es hy z%1L. ¿Cuánto será el
valor de k?
A) 2520 B) 5040 C) 1460
D) 1260 E) 1070
. Calcule el valor de S.
s=lca) «(cry + (co +. +(caY.
a Ya 8) la y Y
ln|a la
D 2 E) [2n-1
. Halle el segundo término de la expansión de
(+04. 1+5x
TS
17 23 19
A) —= B = g-=
) 2* ) e ) q*
D) 6x E) Lie
4
. Calcule el valor de S.
5 5:7 5:7:9
Ea a
A) 43 B) 32 O 31
D) 3 E) Y2
429
Lumbreras Editores
46.
47,
48.
49.
50.
430
Calcule el valor de K.
km153,3:5, 3:57.
4 4. g* 4-8-12 8- 12*
A) /2 BL C) 48
yY2
DL E) 2
48
Si el desarrollo de (1+x+x?)" es
AY Ha. +0, + +9,
calcule el valor de a,+a,+a7+...
A) 3” B) 377! Cc) 2”
D) 2gn-1 E) gn+l
Halle el coeficiente de x* en el desarrollo de
e y a
(tay
3 9
A) -10/27 B) 10/27 C) 2/27
D) -2/27 E) 6/27
Sin e Z*, halle la suma de la serie S de n tér-
minos.
2(10 22(2) 2%(3) 2%(41) 2"(n))
a) (2"-1)n!
B) (2"-11-1)/2"-11
0) (2n+1/2"-n!
D) (2n-1)/2"-n1
E) (n-n)0/2"-n!
Indique la raíz cúbica del producto de todos
los términos de la progresión de 3 términos.
9CA :5C7 :5Cf
51.
52.
53,
S4,
A) 25 B) 105 C) 116
D) 95 E) 138
¿Cuál es el valor del término independiente
5
l
en el desarrollo de A(,, = [ve + y) ?
A) 10 B) 20 C) 30
D) 39 E) 25
Halle el término constante del desarrollo de
ñ E ya el
(y) | era ]
A) 220
B) 455
C) 1760
D) 458
E) 1920
Si el único término central del desarrollo de
H, = 50-21 es de sexto grado, ¿qué
(xy) 5 e goo, e
exponente tendrá y en ese término?
A) 6 B) 4 0 3
D) 5 E) 2
En la expansión de la expresión
15
Ry =(x de XxX 4)
el término de lugar (2n — 3), contado a partir
del extremo final, tiene por grado 45. Halle el
grado del término de lugar (n —1), contado a
partir del extremo inicial.
A 8
D 0
B) 26 O 28
E) 30
CAPÍTULO X
55.
56.
57.
Binomio de Newton
Los términos de lugares: n; (n+1) y (n+2) del
desarrollo de E(,,=(1—x)” se hallan en pro-
gresión geométrica. Según esto, halle el tér-
mino de lugar veinte e indique la parte lateral.
A) xO B) Y
Dx”
RA
E
Sika*b*c” pertenece a la expansión de
Eta.1.)=(a+b+c)', calcule el valor de k+3m.
A) 4 B) 5
D) 7
O 6
E) 8?
En el desarrollo de
Mo dlza) A A pa
indique el coeficiente del término lineal.
A) -7
D) 7
B) -14 C) 21
E) 14
58,
59,
60.
Halle el coeficiente de x*y? en el desarrollo de
fe y=0+y(Qx— y.
A) -16
D) 48
B) 24 C) -160
E) 344
Calcule el valor aproximado de
S=Y30 + Y93 + /288 +... 27 radicales.
A) 80 B) 81 C) 82
D) 83 E) 84
8
En el desarrollo de (2+y-x)", halle el co-
eficiente de los términos de la forma x'%y*,
donde k es un número par no nulo.
A) 420
B) 420; 560
C) -420; 56
D) 56
E) 560
Claves
Problemas propuestos
NIVEL |
1/A 5/D 9/A 13/E 17/8
2/6 6/A 10/A 14/06 18/8
3/A TÍA. 1n/e 15/E 19/6
2er 8/8 12/8 18/8 20/0
NIVEL Il
21/E 22/p 37/p (45/8 59/ q
22/A 30/pA 38/p (46/0 [54/p
22/8 (s1/B 39/E 4/8 55/p
24/0 32/8 (40/É 48/D 56/G
(25/p' 3/8 4/E 4/8 57/8
26/8 s/c l2/g 50/p 58/8
27/c 35/8 43/A l5t/a 159/E
28/A 36/06 44/c 152/0 [60/ A
432
Richard Dedekind "George Cantor
a
Karl Welerstrass
Números reales
CAPÍTULO XI
NÚMEROS REALES
Objetivos
* Diferenciar las propiedades de los diversos conjuntos numéricos.
+ Conocer la estructura del campo de los números reales.
» Identificar los elementos distinguidos de un campo.
+ Demostrar teoremas aplicando los axiomas de los números reales.
Introducción
No es posible jugar ajedrez sin conocer las reglas, ya que podríamos mover un peón cuatro espacios
hacia delante o una de las torres diagonalmente. Análogamente, no podremos trabajar con los núme-
ros sin conocer las reglas que los gobiernan.
Los números están vinculados a diversas aplicaciones teóricas y prácticas. Podríamos citar el caso de
la música, donde los números se relacionan estrechamente con ella; se ha descubierto que existe una
relación entre la calidad armónica de los acordes de una lira y las razones entre las longitudes de las
cuerdas pulsadas.
Con tantas otras aplicaciones, no nos equivocamos al decir que el mundo está gobernado por los
números.
El número es el concepto matemático más importante, incluso marca hitos en la historia, así:
* El origen de los números naturales caracteriza a la sociedad primitiva y es acondicionado para
resolver las necesidades de las actividades prácticas del hombre.
La aplicación de los números fraccionarios positivos fue acondicionada a la necesidad de efectuar
mediciones más pequeñas que la unidad. :
La introducción de los números negativos fue provocada por el desarrollo del álgebra en la resolu-
ción de problemas generales (siglo XVII).
En los años setenta del siglo XIx, fue desarrollada una teoría rigurosa de los números reales en los
trabajos de R. Dedekind, G. Cantor y K. Weierstrass.
Cada conjunto numérico ha sido creado por extensión debido a ciertas necesidades circunstanciales
del hombre para resolver los problemas concretos de la vida cotidiana.
435
Lumbreras Editores
IÓN PREVIA
» DEFINIC decirlo así) que nos sirve para contar y establecer yn
Un número es un ente (algo intangible, por
i Or
pueden clasificar en naturales, enteros, racionales, ¡ den da
sucesión entre las Cosas. Los números se MaciOal
reales y complejos. , )
Para tener una idea más completa de los números reales R, veamos cómo están estructurado, ¿
5
forman. Cada conjunto numérico engloba a otros, como M
diversos subconjuntos que lo con emos,
continuación:
Enteros positivos (Z*=N)
Números )
aia enteros (Z) Número cero (0)
ads Enteros negativos (Z”)
racionales (Q)
Números Números fraccionarios
reales (R)
Números Irracional algebraico: V/2; Y? -9; ...
e 1 :
Iiacionales (0.50) Irracional trascendente: 1; e; ...
Haremos una descripción de los subconjuntos más importantes de R.
> CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES
En el desarrollo de las culturas fue evolucionando esta forma primitiva de representar objetos o cosas
reales a través de símbolos, naciendo así el primer conjunto de números llamados números naturales.
Estos números son utilizados fundamentalmente para contar.
Los números naturales sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto y se
afirma que son infinitos. El conjunto formado por todos estos números se designa por N:
N = (1; 2; 3; 4; ...)
El cer ¡ . ;
ro se excluye del conjunto de los números naturales, sin embargo hay algunos autores que $! lo
consideran.
Los númer inali
os naturales representan la cardinalidad o también la ordinalidad de un conjunto, pues sirven
para ordenar los elementos de este.
Los números natur. j
e o e de primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tarea a
Entre los números eh A más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades
aida ep E definidas las operaciones de adición y multiplicación. ga
ultiplicar dos númer: lo que
; os natu ié úl ap
se dice que son operaciones internas cad
La sustracción, si
In, sin embargo, no qe
es ., . 1 E
, una operación interna en N, pues la diferencia de dos núm
naturales no necesariam
arlamente es un nú ; en
núm a : erna
N, pues el ero natural. La división tampoco es una operación int
cociente de dos nú
núm
eros naturales no necesariamente es otro número natural.
436 :
RAR
CAPÍTULO XI
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE LOS
NÚMEROS NATURALES
La adición de los números naturales cumple las
siguientes propiedades:
Ley de clausura
Para todo par de números naturales, la suma de
ellos es otro número natural,
Asociativa
Si a, b y c son números naturales cualesquiera,
se cumple que:
(a+b)+c=a+(b+c)
(7+4)+5=11+5=16;
asimismo 7+(44+5)=7+9=16
Es decir, se puede agrupar en forma indistinta.
Conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma total.
Si a y b son números naturales cualesquiera, se
cumple que: a+b=b+a
En particular, para los números 7 y 4 se verifica
que: 74+4=4+7=11
Gracias a las propiedades asociativa y conmuta-
tiva de la adición se pueden efectuar operacio-
nes complicadas de los números naturales.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE
LOS NÚMEROS NATURALES
La multiplicación de los números naturales cum-
Ple las siguientes propiedades:
Ley de clausura
Para todo par de números naturales, su producto
€s otro número natural.
Asociativa
Sia, b y c son números naturales cualesquiera,
Se cumple que: (a:b):c=a-(b:c)
o +
Números reales
Por ejemplo
(3:5):2=15-2=30
3:(5:2)=3:10=30
vemos que
(3:5):2=3-(5:2)
Conmutativa
Si a y b son números naturales cualesquiera, se
cumple que:
a:b=b:a
5:8=8:5=40
Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación
porque cualquiera que sea el número natural a,
se cumple que:
a:l=a=1:a
7:1=1:7=7
Distributividad del producto respecto de la
adición
Si a, b y c son números naturales cualesquiera,
se cumple que:
a:(b+c)=a:b+a:c
5:(34+8)=5:11=55
asimismo 5:3+5:8=15+40=55
» CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Son todos los números naturales y sus opuestos
aditivos, es decir, los números enteros positivos
y negativos, incluido el número cero y es repre-
sentado por:
Z=14...;-3;-2;-1;0;1; 2; 3;...)
NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Los números naturales son llamados también
los enteros positivos y se denotan por Z*. Es de-
cir N=Z*.
437
Lumbreras Editores
El número 8 es un entero positivo y se puede re-
presentar como 8 o como +8.
El número 24 es un entero positivo y se puede re-
presentar como 24 o como +24,
NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS
Los enteros negativos son los números naturales
que llevan antepuesto un signo negativo (-). Se
denota por Z”, es decir Z"=1...; -3; -2; -1).
El número -8 es un entero negativo; el número
-24 también es un entero negativo.
| »» Nota
El conjunto de los números enteros no
| negativos es (0; 1, 2; 3; ...) y el conjunto
| de los números enteros no positivos es
| l..s -3; -2; 1; 0).
NÚMERO CERO
Es un número entero que no es ni positivo ni ne-
gativo y se denota mediante 0. Es conocido tam-
bién como el elemento neutro aditivo.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE LOS NÚMEROS
ENTEROS
Para sumar números enteros tenemos dos posi-
bilidades:
Si los números son del mismo signo
Cuando tengamos dos números de igual signo,
lo que tendremos que hacer es sumar las canti-
dades y al resultado anteponerle el mismo signo.
En el caso 35446+11, aquí tenemos tres núme-
ros positivos: +35; +46; +11.
Entonces, al sumar los tres números nos dará 92;
como vemos, el resultado también será positivo.
En el caso -12-28-21, aquí los números tam-
bién se suman y al resultado se le antepone el
signo negativo; es decir, el resultado será -61,
438
Si tenemos números de signos q;
Si tenemos dos números de e
los números se restarán y al resultado se x
pone el signo del mayor en valor absoluto,
Así, en la operación 35-46 tenemos UN número
positivo y otro negativo, y el resultado será 1
ya que 46 es mayor que 35 (en valor absoluto),
En cambio, en -12+28 el resultado será 14 ya
nos,
ante.
que 28 es mayor que 12.
El número cero es llamado neutro aditivo ya
que cualquier número sumado con cero obtie.
ne como resultado el mismo número, es decir
a+0=a para todo a entero,
MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS
ENTEROS
Cuando tengamos que multiplicar dos o más nú-
meros enteros, lo primero que debemos hacer
es proceder a multiplicar los números sin impor-
tarnos el signo que estos tengan. Una vez que he:
mos hallado el resultado, recién colocaremos el
signo que corresponda de acuerdo a la siguiente
ley de signos:
+ El resultado de multiplicar dos números €n-
teros del mismo signo es otro número entero
positivo: 4:5=20; (-7) :(-3)=21.
+ El resultado de multiplicar dos números ente-
ros de signos distintos es otro número entero
negativo: (3) -(-4)=-12; (-2):(5)=-10
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Un error frecuente que se comete al trabaja! y
potencias de números es no tener en cuenta
uso de los paréntesis. Por ejemplo, no €5 ame
mo expresar (-3)? que -3?.
En (-3)*, el exponente 2 afec
mero, es decir: (-3)?= (-3):(-3)=9
19
ta al signo Y alo
CAPÍTULO XI
Números reales
En -3*, el exponente 2 solo está afectando al nú-
mero 3, es decir: -3%=-(3-3)=-9
La radicación no necesariamente está definida
en este conjunto; puede ocurrir que la raíz cua-
drada de cierto número no resulte ser entero,
por ejemplo 13. Como vemos, no existe un nú-
mero entero que sea raíz cuadrada de 13.
» CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Son todos aquellos números que se pueden es-
cribir en forma de división de números enteros,
exceptuando la división por cero, y que pueden
serexactos o inexactos; se incluyen los naturales,
enteros y las fracciones, y se les denota por Q.
m »
07/m y n son números enteros con 120)
n
Así, tenemos $; -33; 0; 5.
Los números racionales pueden sumarse, res-
tarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es
un número racional.
Si la fracción es irreducible y en la descomposi-
ción factorial del denominador solo se encuen-
tran los factores 2 y 5, entonces la fracción es
igual a un número decimal exacto, pero si en el
denominador hay algún factor distinto de 2 o 5,
la expresión decimal es periódica, por ejemplo:
7
ON es un decimal exacto
15 a
: 7 72,142857142857... es un decimal periódico
Si el número está dado en decimales, podemos
hallar la fracción que generó ese decimal si-
guiendo las siguientes reglas:
ab abc
20, ab=D. 0,abc=
L da=> =—
100* 1000
e
Ejemplo
7 39 125
0,7=—: 0,39=—=. 0,125=—
10 100' 1000
11. Oa gi ab= o 0, abe= 999 Pe beriódico puro
Ejemplo
5 5 17 5 123
=>, 0,17==—,; 0,123=—=
eS 99 999
- ma-m = mab-m
= 0,mab=
II. 0,ma a 990
Ejemplo
0,67=97-6_ 61. 0,631 216 625
90 90 990 990
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y SUSTRAC-
CIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Ley de clausura
La suma de todo par de números racionales es
otro número racional.
Asociativa
(a+b)+c=a+(b+c)
Conmutativa
a+b=b+a
Elemento neutro
El cero es un número racional que hace de ele-
mento neutro en la suma, a+0=a=0+a.
Elemento opuesto o inverso aditivo
El opuesto de un número racional a es otro nú-
mero racional designado por (-a), de tal manera
que a+(-a)=0=(-a)+a.
439
Lumbreras Editores
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE LOS
NUMEROS RACIONALES
Ley de clausura
El producto de todo par de números racionales
es otro número racional.
Asoclativa
(a:b):c=a*(b:c)
Conmutativa
a:b=b:a
Elemento neutro
El | es un número racional que hace de elemen-
to neutro del producto, a: 1=4.
Elemento inverso
El inverso de un número racional ax%0 es otro
número racional denotado por a”!, tal que mul-
tiplicado por a da como resultado 1. Es decir,
aa l=dla=l.
DISTRIBUTIVIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
RESPECTO A LA ADICIÓN
a (b+c)=a bra:c
Ejermplo
EL COCIENTE DE LOS NÚMEROS
RACIONALES
El cociente de dos números fracclonarlos es
igual al producto entre el dividendo y el inverso
del divisor,
a, ad ad
bdbe be
Ejermplo
2 , ho 23 0-3
53 54 20 10
440
» CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Un número irracional es todo aquel número que
no es posible escribirlo como la división de nú-
meros enteros. Se dice que es el complemento
de los números racionales con respecto a los
reales y se representa mediante Q',
Qs) “” conm y rn enteros, n20)
n
Los números irracionales son de dos tipos:
NÚMEROS IRRACIONALES ALGEBRAICOS
Estos números son raíces de algún polinomio de
coeficientes racionales. Así tenemos
7: Y2+3
Aquellos números tienen por representación
decimal infinitas cifras no periódicas
Y/2=1,4142135623730950488016...
Como vemos, tiene infinitos decimales.
NÚMEROS IRRACIONALES TRASCENDENTES
Un número irracional trascendente es aquel
que no es raíz de algún polinomio de coeficien-
tes raclonales, entre ellos tenemos: ; €; etc. Se
pueden expresar también como decimales NO
periódicos de infinitos dígitos.
Así e==2,718281828459045235..., conocido Como
la base de los logaritmos neperianos;
y 1m23,14150265358979323846.... utilizado en €!
cálculo geométrico.
_
RE»
CAPÍTULO XI
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE LOS NÚME:
ROS IRRACIONALES
Podemos sumar y restar números irracionales so-
lamente cuando el radical que tengamos sea el
mismo en los términos que me dispongo a sumar y
restar. Lo explicaremos mejor mediante ejemplos.
Ejemplos
+ 3/2+5/2-V2. Este caso me pide realizar
una operación combinada de suma y resta.
En 3/2+542-V2 podremos sumar y restar
ya que todos los términos tienen /2; solo se
sumarán algebraicamente los (coeficientes)
3; 5; -1, resultando (3+5-1)/2=74/2.
+. 3/3+5/2-y5. Acá también se me pide reali-
zar una operación combinada de suma y resta.
En 3/3+5V2-45 no será posible realizar la
operación porque los tres radicales son dife-
rentes.
MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS
IRRACIONALES
Existe una propiedad de los números irraciona-
les y, en general, de los radicales que nos dice:
Ya-b=YVaYb, con ciertas restricciones y casos
muy puntuales; principalmente nos referimos
cuando a o b son negativos y n es par.
Ejemplos
- 154-651
+ /1243=412-3=4/36=6.
A pesar de que ni 12 ni 3 tienen raíz cuadra-
da exacta, sin embargo, el producto de estos
radicales resultó un valor exacto.
MAA AS.
En este ejemplo no es válido aplicar esta pro-
piedad, pues se llega a una contradicción.
Números reales
DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Ya
La propiedad nos dice que Ja Ya
si tenemos radicales de grado n que se estén
dividiendo, dará lo mismo si los resolvemos por
separado y después los dividimos, que si primero
los dividimos y luego extraemos la raíz.
; entonces,
Ejemplos
8 Y 2. ]
. Var Var 3 Primero hemos extraído las
dos raíces cúbicas para luego dividir los re-
sultados.
Yi62 ¿[162 _,[81_Y81_3
Y V32 Vi6 Y6 2
POTENCIACIÓN DE LOS NÚMEROS IRRACIO-
NALES
(Ya y" =qr
donde n es un número natural.
Ejemplos
6
1. 7 y =73 =7?=49, Como vemos, el grado
del radical (en este caso 3) pasó a dividir al
exponente (en este caso 6). El resultado de
esta división (para nosotros 6+3=2) será el
nuevo exponente para la cantidad subradical
(en este caso 7). Finalmente, hemos realiza-
do la potenciación.
6
2. (vay =42=43-64. En este caso hemos reali-
zado lo mismo que en el anterior, haciendo
la aclaración de que cuando un radical no
tiene grado, este se sobreentiende que es 2.
441
Lumbreras Editores
» CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Incluyen todos los números anteriormente des-
critos; sin embargo, los números reales en esta
ocasión los estudiaremos con más detalle.
. ANB .
E E AS
AS
_——__ A —— _ ==
-3 -2 -l 0 +1 +2 +3
(AN B)=]-2; +11
Para llegar a definirlo de manera más formal, ha-
remos algunas precisiones preliminares.
CORRESPONDENCIA BIUNÍVOCA
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, diremos
que existe una correspondencia biunívoca entre
estos si a cada elemento del primer conjunto le
corresponde un solo elemento del segundo y a
cada elemento del segundo conjunto le corres-
ponde un solo elemento del primero.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A de las alumnas be-
cadas y el conjunto B de los códigos correspon-
dientes a cada alumna del conjunto A.
Graficando la correspondencia entre estos con-
juntos.
Al analizar el gráfico, vemos que a cada alumna
le corresponde un código y cada código perte-
nece a una alumna; es decir, se ha realizado una
correspondencia biunívoca.
442
3. La multiplicación en Q' no es una O
OPERACIÓN BINARIA O LEY DE
COMPOSICIÓN INTERNA
Definida en un conjunto no vacío A, consiste ey,
una correspondencia biunívoca que asigna a
cada par de elementos de A un único elemento
de A. Esto significa que a cada elemento de Ax4
le corresponde un único elemento de A.
La operación binaria o ley de composición inter-
na definida en un conjunto A no vacío es toda
correspondencia biuníivoca de AXxA ena.
AXA A
La correspondencia biunívoca la denotaremos por *;
entonces * es una operación binaria en A +”:
AXA > A,esdeciracArnbeA > a*tbed.
Ejemplos
l. La adición usual en Z es una operación
binaria ya que la suma de todo par de núme-
ros enteros es otro entero.
+:ZxZ >
(3,5) >3+5=8
2. La sustracción en N no es una operación
binaria puesto que la diferencia de dos nu-
meros naturales no siempre es un númer
natural.
4,7€N; sin embargo 4-7=-3€N
peración
O nú-
binaria puesto que el producto de dos ;
a ; ; e
meros irracionales no necesariament*
irracional.
43 +1, 43-160, pero (3 +1(v3-1)=2€0
CAPÍTULO XI
4. SiS=(a;b;c; d), podemos definir una opera-
ción en 5 haciendo uso de la siguiente tabla
de doble entrada.
»|0 d -— fila superior
b c
avar.b cd
blbs ud a
Cc ab
p S
b>. c?-— diagonal
e principal
a la)
TOAaJS”
columna
principal
Se leerá
(a¡a) > a
(a;b) = b
(ac) ><
dtd=c (did =<c
Se concluye que * define una operación
binaria en A porque cada uno de los resulta-
dos está en A.
PROPIEDADES DE LA OPERACIÓN BINARIA
Ley de clausura o cerradura
Sea A un conjunto no vacío, a; b e A y una ope-
ración *.Sia*be A, Vva¡b e A, entonces se dirá
que la operación * es cerrada en A.
Ejemplo
Consideremos el conjunto A=(1; 2; 3; 4) y la
operación * entre los números a; b de A, como
el máximo común divisor de dichos números.
Simbólicamente a*b=MCD (a; b).
Números reales
Resolución
Veamos en la siguiente tabla de doble entrada:
TE 2: A
1111 l
E o 8
did. 1 30 1
411. 2 1 4
* es una operación cerrada en A.
Ley asociativa
La operación binaria * es asociativa en A si y solo
si(a*b)*c=a*(b*c), Va;bicea.
Ejemplos
1. a*b=a+b, donde a; b e N, es asociativa,
Resolución
Veamos
Sean x; yz € N
LL Qty)*z=(x+y)*z2=x+y+2
lMx*(y*z)=x*(y+2)=x+y+2
De 1 y Il, vemos que * es asociativa.
2. a*b=a+b+ab, VajbeN
Resolución
Veamos
Sean x;y;ze N
Ly) *z=(x+y+xy)*z
=X+Y+xy+zZ + (x4y+xy)z
=X+Y+HZAXY A XZ AY ZA Xy Z
U.x*(y*2)=x*(y+2+y2)
=x+y+2+y2+x(y+2+y2)
=X+Y HZ + Y Z + AY +A XZA Xp z
De | y Il, vemos que * es asociativa.
443
Lumbreras Editores
Ley conmutativa en A
La operación binaria * es CO.
junto A no vacío si y solo si a
nmutativa en un con-
*p=b*a, Va;b EA.
Ejemplos
1. a*b=a+b, Va;be€ YA
Veamos
a*b=a+b=b+a=b*a,
entonces * es conmutativa en Z.
2. a*b=a:benQ.
Veamos
a*b=a:b=b:a=b*a,
entonces * es conmutativa en Q.
3. Definimos * mediante la tabla de doble en-
trada, A=(a; b; c)
Es conmutativa si la matriz M es simétrica
Luego diremos que * es conmutativa en A
Elemento neutro o identidad
Dado un conjunto no vacío A y una Operación
binaria *, e €A se llamará elemento identidad
o neutro de A bajo la operación * si y solo si
e*a=a*e=a, Vasa.
Ejemplos
l. ú
En (Z, +) el número 0 es el elemento identi-
dad ya que a+0=a,Vae Z
2. En(N, >) el nú
' Mero 1 es el elem Ñ .
dad puesto que a-1=1-4=4 o identi-
444
3. EnA=1a; b; c) y la operación * definida y,
diante la tabla: Ñ
a*a=a
a*b=b=b*a
a*tc=c=c*a
de donde se concluye que a es el elemento
neutro del conjunto A con la operación *.
Se observa:
Elemento inverso o recíproco
Dado un conjunto no vacío Á y una operación
binaria *, se dirá que un elemento denotado
como a' e A es el inverso de asa si y solo si
a*a'= a'*a=e, siendo e el elemento identidad
de A bajo *.
Ejemplos
1. En (Q, +) el inverso de 3 es -3 ya qu
3+(-3)=0.
1
2. En (R, -) el inverso de 7 es 5 puesto qu
1
7-=1
7
diante la 102
3. Enla operación * definida me
“a b C
: o
vimos que su neutro era 4 Y com
a*ta=a > a'=a
b*e=a=c*tb > D'=C
a
el inverso de a es a y el invers
YI
A
CAPÍTULO XI
stributividad de una operación binaria
respecto a otra
Consideremos el caso de dos operaciones bina-
rias * y Y definidas en un mismo conjunto A. Nos
interesa caracterizar el comportamiento relativo
de dichas operaciones binarias en el sentido de
obtener (a*b)yc o también (avb)*c.
a.
Se dice que y es distributiva a derecha res-
pecto a * si y solo si
(a*b)re=(awc)*(bwc), Va; b;cea.
Se dice que y es distributiva a izquierda res-
pecto a * si y solo si
cr(a*b)=(cra)*(crb), Va; b;ceA.
. Se dice que v es distributiva respecto a * si y
solo si lo es a izquierda y a derecha.
Ejemplos
1.
La adición y la multiplicación en N son ope-
raciones binarias y la segunda es distributiva
con respecto a la primera.
Veamos, sean a; b;ce N
a-(b+c)=a:b+a:c
(b+c):a=b:a+c:a
La potenciación en N es distributiva a dere-
cha respecto a la multiplicación ya que
(a:bY'=a" :b”.
Sin embargo, no lo es a la izquierda, puesto
que pob 2n9-n?.
La división es distributiva a derecha con res-
pecto a la adición ya que (a+b)+c=a+c+b+c,
y no sería correcto decir que la adición es
distributiva a derecha respecto a la división
ya que c=(a+b)x*c=a+c=b.
Números reales
» ESTRUCTURA DE CUERPO
La terna (S, +, +) es un cuerpo si y solo si cum-
ple los siguientes axiomas:
Ci:
Co:
Ce:
C;:
Cg:
Axioma de cerradura, si
ajbeS > (a+b)eS y a:beS.
Las operaciones + y » son conmutativas, es
decir,
a+b=b+a y aib=bia; vaibeS
: Las operaciones + y + son asociativas, es decir, .
a+(b+c)=(a+b)+c y albc)=(ab)c,
Va;biceS
: Elelemento idéntico bajo la operación + es 0,
es decir, Va e S > a+0=a=0+a
: El elemento idéntico bajo la operación + es 1,
es decir, VaeS >a:1=1:a=a
Para cada a eS existe un elemento inverso
bajo la operación +, denotado por (-a) eS
tal que a+(- a)=0=(- a)+a.
Para cada a €S, excepto el cero, existe un
elemento inverso bajo la operación +, deno-
tado por a”! € S tal que a+a7l=1=a "+a.
La operación + es distributiva respecto a la
operación +:
L. a(b+c)=ab+ac
II. (Hb+c)ja=ba+ca=ab+ac
Ejemplos
1.
2.
Las ternas (Q, +, *) y (R, +, *) son cuerpos.
La terna (Z, +, *) no es un cuerpo, pues los
únicos elementos no nulos que admiten in-
verso multiplicativo son — 1 y 1.
El anillo R de todos los números reales es un
campo porque cumple con las ocho propie-
dades de campo.
445
Lumbreras Editores
4. La tema (C, +, +) es un campo porque ve-
rifica las ocho propiedades de campo, C
es el conjunto de los números complejos
0=(0; 0) y el número complejo e=1=(1; 0).
» CUERPO DE LOS NÚMEROS REALES COMO
UN CUERPO ORDENADO Y COMPLETO
Se estudiará como un cuerpo que satisface cier-
tos postulados.
. En la estructura de cuerpo tenemos el conjunto
R, que denota a sus elementos por a; b; c; d; ...
en el cual existe una relación de equivalencia
expresada por (=) y además dos operaciones:
(+), O) adición y multiplicación, respectivamen-
te, que están univocamente definidas con res-
pecto a la relación de equivalencia. En este caso
necesitamos de la terna (R, +, -) con los siguien-
tes axiomas de cuerpo.
AXIOMAS DE ADICIÓN
Ay: Ley de clausura: y aber, (a+b) e R, la
suma también es real.
A: Ley de conmutatividad: y a,b e R,la suma
de cualquier par de números reales no de-
pende del orden en que le sumen a+b =b+a.
Ay: Ley asoclativa: y aibicenR,
(a+b)+c=a+(b +c), la suma de tres o más
números reales es independiente del modo:
en que son agrupados (asociados).
: Existencia y unicidad del el
emento neu-
tro aditivo: existe un ele
mento en R, y
solo uno, denotado por 0, tal que y q ER:
a+0=0+a=a.
y
: Existencia y unicidad del
80 aditivo: para cada nú
un elernento en R, y solo
elemento inver-
Mero real a existe
Uno, denotado por
(a), tal que a+(-a)=(- a)+a=0
446
AXIOMAS DE MULTIPLICACIÓN
M: Ley de clausura: Va;beR: abe Ro lam,
tiplicación ab también es un Número real
M,: Ley conmutativa: Va-beR: db=bg la my
tiplicación de dos números reales no depen.
de del orden en que son multiplicados,
M3: Ley asociativa: Va;b;ceR:a- (bc)=(ab)«
la multiplicación de tres o más Números rea.
les produce el mismo resultado, sean agr-
pados de cualquier manera.
M,: Existencia y unicidad del elemento neutro
multiplicativo: existe un elemento en R, ;
solo uno, denotado por 1 (distinto de cero),
tal que Va e R:a:1=1:a=a.
M5: Existencia y unicidad del inverso multipll
cativo: para cada ax0 en R existe un ele-
mento, y solo uno, denotado pora”, tal que
a:a7!=a”!.q=1,
AXIOMAS DE DISTRIBUTIVIDAD
Para todo a;b;cenR:
a-(b+c)=ab+ac
(a+b)-c=ac+bc
Por lo tanto, la terna (R, +, -) también es Y
cuerpo.
Ahora, para que la terna (R, +, :) sea un CU£”
po ordenado completo tiene que satisface! y
siguientes postulados:
1. Existe un subconjunto propio M de R CoN d
siguientes propiedades:
a. 02M
b. Si x € R, entonces se cumple uNa Y dá
Una de las siguientes proposiciones:
-xeM
x=0, xeMo
CAPÍTULO XI
2. El subconjunto M está cerrado bajo las ope-
raciones + y de (R, +, osea, si
nyeM >x+yeM y xyemM,
3. Si T es un subconjunto no nulo de R, y ado-
más tiene una cota superior en R, entonces
Tiene una mínima cota superior en R.
Los elementos del conjunto M descritos en los
postulados 1 y 2 se llaman elementos positivos
de R o simplemente números positivos,
Los elementos del conjunto M', donde
M=(xER/xgeM a x%0), se llaman números
negativos.
Ahora, si V x; y ER, tal que y+(=x)=(y-x) € M,
decimos que x es menor que y(x< y), que nos
indica la existencia de la relación de orden; por
lo tanto, la terna (R, +, +) es un campo ordenado.
Al postulado 3 se le llama postulado de com-
pletitud o postulado de continuidad. Uno de los
efectos de este postulado será asegurar que se
pueda establecer una correspondencia biunívo-
ca entre los elementos de R y los puntos de una
línea recta. Esto ocurre cuando se dice que no
existen huecos en R.
Como conclusión diremos que si un cuerpo nu-
mérico cumple estos tres postulados, será un
cuerpo ordenado y completo.
» DEFINICIONES COMPLEMENTARIAS
DEFINICIÓN DE LA SUSTRACCIÓN
Vx; y eR,x-y=x+(-y)
DEFINICIÓN DE LA DIVISIÓN
Vx yER A yO: Exc y"!
y
Númoros roalos
LEY DE CANCELACIÓN
Sean a; b; c elementos de un cuerpo de R,
Demuestre
lo Sia+cezb4e > ash
2. Siarcebie rn cr0 > asb
Resolución
Ll. ar+c=b+e
a+c+(=o)=b+e+(=o) ... sumando (=c)
a+ (er) =b+(c+ (o) «propiedad asociativa
a+0=b+0 «« Clemento neutro
" a=b
2, Esta demostración queda para el lector,
Demostración
0+0=0 neutro aditivo
x(0+0)=x*0 multiplicando por x
x"0+x:0=x:0 propiedad distributiva
x*04+x:0=x:0+0 neutro aditivo
. x:0=0 ley de cancelación
Relación de orden: sea A el conjunto de los nú-
meros reales. Un subconjunto RCAXA es una
relación de orden en A si y solo si R satisface las
siguientes propiedades:
L SiajbeArnarb > aRb v bRa
II. Si aRb => ax*b
II. Si ajb;ce A, aRb a bRe => aRe
447
SiAes R y R es < (menor que) se tendrá:
L
Ley de tricotomía: dados a; b e R, entonces
se cumple una y solamente una de las rela-
ciones:
a<b va=b v b<a
De (D si a<b>axb
Il. Ley de transitividad: para todo a; b; c € R, se
cumple que si
a<b ab<c > a<c
» CONJUNTOS ACOTADOS
MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UN CONJUNTO
Si A es un conjunto de números reales de un nú-
mero finito de elementos, entonces A tiene un
elemento máximo y uno mínimo. Pero también
este conjunto puede tener infinitos números rea-
les, en este caso A puede ser que tenga un ele-
mento máximo y uno mínimo, o tal vez no existen
dichos elementos.
Ejemplos
l. A=(-3; 2; 5; 10); en este conjunto el ele-
mento máximo es 10 y el mínimo es -3.
e 1
2. a=[xer/122.) este conjunto no tiene ni
máximo ni mínimo elemento. ¿Por qué?
Como:
Por lo tanto, no hay máximo ni mínimo en B
3. C=ixeR/xel-2,
15)); solo tiene mínimo
elemento, que es -2.
448
4. D=(x€Z /x*<16); sí tiene MÁXIMO y y
mo elemento, ya que e
xe (44% axel > D=(-3;-2;..0. 3
dj
COTA SUPERIOR DE UN CONJUNTO
Sea R el conjunto de los números reales y L CR
Diremos que el conjunto L está acotado Supe.
riormente (o tiene una cota superior) si existe ¡y
número c € R si y solo si c es mayor o igual que
todos los elementos de L.
Se puede ver que L está acotado superiormente
en R.
Ejemplos
l. SeaL=(x€Z/x<16) o L está acotado su-
periormente en Z.
Resolución
L=1-4; -3; ...; 0; ...; 4)
5 e Z es una cota superior de L, pues Y xel;
x<5
10 € Z es cota superior de L, pues Y X€L,
x<l0
-1<4
4 e Zes cota superior de L, pues Vx € L:XE
; es
pero 3e Z no es cota superior de L, E
V x € L, no es cierto que x$3 porque eN
un elemento 4.
las Supe"
Por lo tanto, concluimos que las Col E
te
. , enl
riores de L son todos los números
Mayores o iguales a 4.
0% ] junto L
Asimismo podemos decir que el Con
; . junto
está acotado superiormente en el con
y) no esta
ue RO
Nm
El conjunto S=(x e R/x€ (-3: +9 ,
sto
acotado superiormente en R pues!
existe c e R, tal que Vx € S;xSC.
CAPÍTULO XI
COTA INFERIOR DE UN CONJUNTO
Sea R el conjunto de los números reales y L CR.
Diremos que el conjunto L está acotado infe-
riormente (o tiene una cota inferior) si existe un
número d e R si y solo si d es menor o igual que
todos los elementos deL.
CONJUNTOS ACOTADOS
Sean R el conjunto de los números reales y
L<R.El conjunto £ está acotado si existe un nú-
mero Cc>0, tal que para lodo xelL;-c<xsc,
es decir, el conjunto L es acotado si es acotado
superior e inferiormente.
Ejemplo
Sea L=[x € R/x <25)
Resolución
Si x2<25 > x € (25; 5), luego
L=(x € R/-5<x<5). Como vemos, existen cotas
tanto superiores como inferiores. El conjunto de
cotas inferiores es (d e R/d<-5) y el conjunto de
cotas superiores es (c e R / c > 5) con lo cual que-
da establecido que el conjunto es acotado.
Números reales
SUPREMO DE UN CONJUNTO
Sea L un subconjunto de R acotado superior-
mente, Dirernos que un elemento c € R es el su-
premo de L si y solo si c es la menor de las cotas
superiores de £,
La notación es c=Sup(L)
INFIMO DE UN CONJUNTO
Sea b un subconjunto de R acotado inferiormen-
te. Diremos que un elernento c e R es el ínfimo
de £ si y solo si c es la mayor de todas las cotas
inferiores de L.
La notación es c=Inf(L)
Ejemplo
| (y |
Sea A=|xeR x==— >54MEN(
n J
Se tendrá (- l
que ordenado es|- ] ok _—. ER al
3.5 4 2
SS InfíA)==1; Sup(A)=>
449
450
BioGraría
Giuseppe Peano
con la “curva de Peano”.
Universidad de Turín.
Fue discípulo de Enrico D'Ovidio, en geometría analítica y álgebra, y de Angelo Genocchi, quien E
le enseñó cálculo infinitesimal. Se gradúa como doctor en matemáticas en 1880. Ese mismo 3
año se convierte en ayudante de cátedra de ambos profesores.
En 1884 edita un libro basado en las clases de su maestro Genocchi, Curso de cálculo
infinitesimal. Dos años después es contratado como profesor en la Academia Militar Real, don-
de es ascendido a profesor de primera clase en 1889; y en la universidad le es otorgado el
grado de profesor principal al año siguiente,
En 1889 publica Nuevo método de exposición de los principios de la aritmética, en cuyo conteni-
do se encuentran cinco axiomas aritméticos referentes al fundamental concepto de sucesor y en
donde define los números naturales basándose en términos de conjuntos. En 1890 inventa las
Curvas que llenan el espacio, o sea, Mapeos suprayectivos continuos del intervalo [0; 1] sobre el
cuadrado unitario. Décadas después, Hausdortf escribió sobre el resultado de Peano: “Este es
uno de los más importantes hechos de la teoría de conjuntos”.
Fundó la Rivista di Matematica en 1891, que estaba dedicada a la difusión de los fundamentos
de las matemáticas y de la lógica matemática, en especial por su aplicación para expresar las
fórmulas y teoremas matemáticos, Se incluyó un apéndice llamado “Formulario”, pero el núme-
ro de fórmulas fue en aumento y en 1895 tuvo que editarse aparte con el nombre de Formulario
Matemático.
Nació en Cuneo el 27 de agosto de 1858 y murió en Turín el 20de
abril de 1932. Matemático y filósofo italiano al cual debemos el sig.
tema actual de notación matemática y el primer ejemplo de fractal
Hijo de padres granjeros, hizo sus primeros estudios en el colegio 4
del pueblo de Spinetta, a cinco kilómetros de Cuneo. Por Consejo
de un tío sacerdote es llevado a Turín para estudiar la secundaria
en el Liceo Cravour, de donde egresa en 1876. Ese año ingresa ala
lá cc
ATAR CI A
SÓ ASUS N PTA LAIR,
París en 1900, tuvo una previa Conferencia Internacional de Filosofía donde Peano tomó parte
en el comité de dirección. Participó con un artículo sobre las definiciones bien formadas en
matemáticas.
En la conferencia conoció a Bertrand Russell, quien admiró su método preciso y cayó en cuenta
que la notación proporcionada por Peano era lo que necesitaba. En el Segundo Congreso Inter-
nacional de Matemáticos no participó directamente, aunque sí lo hicieron varios de sus discípu-
los. Entre las conclusiones del congreso se dictó una resolución aprobaba la formación de un
idioma internacional auxiliar para hacer más fácil la difusión de las nuevas ideas matemáticas.
Siguiendo la corriente de pensamiento de Johann Martin Schleyer y de Lazarus Ludwick
Zamenhof, quienes habían propuesto nuevos idiomas universales como el volapuk o el espe-
ranto hacia finales del s. xix, en 1903 hizo su propia propuesta llamada Latino sine flexíone,
basado en el vocabulario latín y sin las inflexiones, en un intento por simplificar la gramática lo
más posible y que sea fácil de aprender.
Se puede decir que el primer periodo de Peano abarca hasta 1900, donde alcanza gran habi-
lidad para las materias que serán importantes para el desarrollo de las matemáticas, con un
estilo muy avanzado para su época. Después de ese año, dedica sus energías a una edición
completa del formulario y a desarrollar su propuesta de idioma universal, también llamado
interlingua.
Después de 1910, al fallecer su madre, prepara textos para la educación secundaria, que inclu-
ye un diccionario de matemáticas y sigue desarrollando idiomas artificiales. Continuó enseñan-
do en la Universidad de Turín hasta un día antes de su fallecimiento, producido por un ataque
cardiaco.
Sobre él, H. C. Kennedy escribió: “Estoy fascinado por su agradable personalidad, su capa-
cidad para atraer discípulos que le dedican toda su vida, su tolerancia hacia las debilidades
humanas, su perenne optimismo. [...] no debe ser considerado únicamente como un lógico
y matemático del s. xix, sino que por su originalidad e influencia, podría ser considerado uno
de los grandes científicos del siglo pasado”.
Fuente:
http://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano
http://campusvirtual.unex.es/cala/epistemowikia/index.php?title= Giuseppe_Peano
http//www.astroseti.org/articulo/40 16/biografia-de-giuseppe-peano
»» BIOGRAFÍA
451
Problemas
RESUELTOS o
Problema 1
Determine el valor simplificado de Ñ.
N=0,1+0,2+0,3+...+2,9
Resolución .
Convirtiendo a fracciones
1.2 3 29
101010 "*10
1
=p 1+2+3+...+29)
» Recuerde
nín+1)
14243+...+n=
Problema 2
Simplifique M.
SE [Ev1z4 -0,4-0,3].,
2,5-0,1
Resolución
Recordando 0,a=
Entonces
a
e)
uo
[uo
]
al ojw| 3
Problema 3
Indique lo que se obtiene al sumar el cuadrado
de la diferencia de 12 y 4 con el cubo de la suma
de3yl.
452
Resolución
Del enunciado se interpreta:
» El cuadrado de la diferencia de 12 y 4 es
(12-4)?=8*=64
+ El cubo de la suma de 3 y 1 es
(3+1)=4?=64
Se pide la suma
64+64=128
Problema 4
En un salón de clase se observa que la cantidad
de varones representa los . del total. Si hay 24
mujeres, ¿cuántos alumnos tiene el salón?
Resolución
Si los varones representan el - del total, enton-
ces las mujeres serán los Ñ del total,
Supongamos que el total está representado porx.
Por dato para las mujeres.
x=24 > x=42
Por lo tanto, el salón tiene 42 alumnos.
Problema 5
: ¡Si comiera 4n caramelos me quedarían m carame-
los. ¿Cuánto me quedaría si comiera n caramelos?
Resolución
Sea C la cantidad total de caramelos al inicio. Si
comiera 4n quedan
C-4n=m > C=4n+m
¿Cuánto me quedaría si comiera n caramelos?
C-n=(4n+m)-n=3n+m
Por lo tanto, me quedaría 3n-+m caramelos.
—a
AA+
CAPÍTULO XI
Números reales
problema 6
Con los S/.65 que tenía compré libros por S/.15;
7 .
además gasté los 10 del resto en una casaca.
¿Cuánto me quedó?
Resolución
Tengo al inicio S/.65, gasté S/.15 en libros, que-
dándome S/.(65-15)=5/.50.
Gasté en la casaca los Z de 50, luego me quedó
los - de 50; es decir, > :50=15.
Por lo tanto, al final me quedó S/.15.
Problema 7
El doble de la suma de los términos de una sus-
tracción es 120. Si el sustraendo es la tercera par-
te del minuendo, calcule la diferencia.
Resolución
Emplearemos los elementos minuendo (m),
sustraendo (s) y diferencia (d), que se relacio-
han mediante
M-S=d > m=s+d (a)
Por dato
2(m+s+d)=120 > m+s+d=60 (B)
Además, el sustraendo es la tercera parte del
Minuendo
sem =á
3 m=3s
En (a)
MSS+d => 3s=5+d
2s=d > 5-4
En (p)
M+S+d=60
dd
5) Lrá=00
> 3d=5p
“ d=20
>
Problema 8
¿Cuál de las siguientes expresiones representa al
menor número, si n es entero mayor que 1?
2 1 1
zez E O: ==
A) 21 B) 5 ) SE
p 2
n
Resolución
Del dato: n > 1.
Analizando cada caso, además n es entero
> n=2,3;4;...
» Paran=2
1 1 1
A) 2 B) - C) - D) 1 E) —
) 3 3 ) Á
*. Paran=3
1 | 2 1
A) 1 B) - C) — py) £ E) —
) 33 13 E 3
2
1 A
De donde se observa que E es siempre el
n
menor.
Problema 9
Dados los siguientes conjuntos:
a. N=(1;2;...)
b. Np¿=10; 1; 2; 3; ...)
c. Z=f...; -3;-2;-1;0;1;2;3;...)
d Z=(.:-3;-2;-1; 1; 2,3; ...)
e. Z¿=10;1;2;...)
Ef Z¿=1...; -3; -2; —1; 0)
Indique si son verdaderas o falsas las siguientes
afirmaciones, justificándolas:
L Z =N
IL Z u10)=Z
*
IL. Z-Z*=Z
WM. Z*UZ"=Z
V Z*=N¿UN
A) VVVVF
D) VVFFF
B) VVFFV C) VVVFF
E) VFFFF
453
Lumbreras Editores
Resolución
Observando los conjuntos definidos y analizan-
do las proposiciones:
l.. Verdadera
Efectivamente Z*=N, ya que ambos con-
juntos representan a los enteros positivos, es
decir Z*=N=(1; 2; 3;...).
Il Verdadera | A
Correcto, Z u (0)=Z, ya que Z_ representa
a los enteros sin el húmero cero; en tal senti-
do, es cierto que Z u (0)=Z.
II. Falsa ¿
Falso que Z-Z*=Z , ya que al quitar a los
enteros todos los enteros positivos, estarían
quedando los enteros negativos, incluido el
cero. Es decir, Z-Z*=Z;.
IV. Falsa
Falso que Z* uU Z7=Z, ya que la unión de
los enteros positivos y los enteros negativos
equivale al conjunto
DBA 1:23;
Como vemos, son los enteros sin el cero.
V. Falsa
Es falso que Z*=N, U N, ya que los Z* no
consideran al cero, solo a los enteros posi-
tivos.
Problema 10
Siendo el conjunto de los números racionales
Q=1x/x=p/q;pe Z;qeZ;q 0),
escriba los siguientes números racionales en la
forma p/q.
L 5 V. 0,35
IL -3 VI. 7,43
LO) VII. 0,444...
IV. 1,5 VIIL 0,23777...
454
Resolución
Como veremos, cada uno tiene infinitas formas
de representarlo:
5_10_15_
“1.2 3
9 15
I E NOR
0.0
y D===—x=..
10235
15 3
e
TINE
| 35 7
Y 100 20
743 1486
M6 po 200
VII. 0,4444... Número periódico puro que se re-
presenta como 0,4, cuyo equivalente es
4. 8
O TIO
n
VII1.0,23777... Número periódico que se repre-
senta como 0,237, cuyo equivalente es
237-23_214
900 900
Problema 11
Siendo a e Z*; b e Z*, diga cuáles de los siguien-
tes números son enteros y justifique.
L: a+b V a:b VII. a?
IL a-b MS VIIL b3
b
IL b-a vi?
a
CAPÍTULO XI
Resolución
Recuerde Z*=4...; -3; -2; 1; 1,2; 3; ...). En ese
sentido, a+b; a—b; b-a; a*b; a?; a? serán ente.
a b Ñ
ros; en cambio, b y F No se garantizan.
Problema 12 .
Indique el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones.
1. Sianbe Q entonces $ e Q
I, VaeQ,3bEQ'/(a+b)e Q
II. SiadeQ entonces ae Q
IV. Va e Q' entonces ale Q
Resolución
l. Falsa
Sia=le€Q y b=0€Q >
definido.
II. Verdadera
vae Q,3b=-4Q/a+(a)=0€ Q
III. Falsa
Sia'=2€Q > a=/22Q
IV. Falsa
Seaa=2eQ' > al=/22Q
Problema 13
1
Demuestre que 5? no es un número racional.
Resolución
Para la demostración usaremos un método co-
nocido como el método de la contradicción, que
Consiste en lo siguiente:
|. Asumamos que y5 es igual a un racional de
m ¿ a
la forma —, donde m y n son primos entre sí
n
(PESI). Es decir, J5=2.
n
AAN
Números reales
De manera equivalente: n/5=m, elevando
al cuadrado se tiene: n?-5=pm?, donde m es
múltiplo de 5, es decir, m=5k,
De (ID), n*-5=(5k)?. Efectuando n?:5=25R?,
que simplificando 5 se tiene n?=5k?, donde
Puede apreciarse que n es también múltiplo
de 5, lo cual es una contradicción al hecho
de ser m y n primos entre sí.
IL
Por lo tanto, se concluye que v/5 no puede ser
racional.
Problema 14
Escriba usando los signos de desigualdad.
l.. a es un número positivo.
ll. ano es un número positivo.
lIL a es mayor que b.
IV. b es menor que c.
V. a está comprendido entre b y c, siendo b
menor que c.
Resolución
Utilizando símbolos, los enunciados quedan in-
terpretados así:
Il. Sia es positivo, se dice también
a>0 vaer?,
II. Sia no es positivo: a<0; azR*
III. Sia es mayor queb:a>b v a-b>0
IV. Sibes menorquec:b<c v b-c<0
V. Sia está comprendido entre b y c, siendo b
menor que c:b<a<c.
Problema 15
Escriba usando los signos de desigualdad.
I.. q. es un número no negativo.
II. bno es un número no positivo.
II. c no es menor que a.
455
Lumbreras Editores
Resolución
Escribiendo simbólicamente:
IL. a.esun número no negativo: a>0 v a € R¿.
II. 6 no es un número no positivo:
b<0 vbeRo.
III. c no es menor que a: c24.
Problema 16
Complete los espacios en las siguientes impli-
cancias.
IL. x-5>0implica que Xx >...
IL x<-3 implica que x+3<...
III. -5-x >-10 implica que x<...
IV. 2:x-3>5 implica que x> ...
V. x>7 implica que x-2>...
VI. 3-x<9 implica que x<...
VII. -3:x< 12 implica que x> ...
Resolución
Usando las equivalencias de las desigualdades
se tiene para cada proposición:
LL x-5>0 implica que x > 5; transponiendo -5
al otro miembro con +5.
IL x<-3 implica que x+3<0; transponiendo
-3 al otro miembro con +3.
11, -5:x>-10 implica que x<2; se dividió cada
miembro por -5, Recuerde que cambia el
sentido de la desigualdad porque el -5 es ne-
gativo.
IV. 2:x-3>5 implica que x>4; se sumó 3 a
cada miembro y se dividió entre 2,
V. x>7 implica que x-2> 5; restando 2 a cada
miembro,
Y. 14 lr Y mat
vi. e x <9 implica que x< 3; se ha dividido por
3 cada miembro,
Vil. -3- 2 implic: e
Xx < 12 implica que x>-4; se divide cada
miembro por -3. Recuerde que el sentido
cambia,
Problema 17
Escriba como intervalo y como conjunto los si.
guientes subconjuntos de la recta real:
1. Elintervalo cerrado de extremos 3 y 7.
IL El intervalo abierto de extremos —5 y 0.
III. El intervalo cerrado a izquierda y abierto a
derecha de extremos 5 y 6.
IV. El conjunto de los números enteros pertene-
cientes al intervalo del ítem lII.
Resolución
1. El intervalo cerrado de extremos 3 y 7 en for-
ma de conjunto se expresa como
A=(xeR/3<x<7)
II. El intervalo abierto de extremos -5 y Ú es re-
presentado por el conjunto
A=1txeR/-5<x<0)
III. El intervalo cerrado a izquierda y abierto a
derecha de extremos 5 y 6 es representado
por el conjunto A=1x€ R/5<x < 6)
IV. El conjunto de los números enteros pertené-
cientes al intervalo del ítem II se represenia
porA=(x€Z/5<x<6)=(5)
Problema 18
Dado el sistema de inecuaciones:
2x-y<2 0)
x+y<4 (ID
: en
Indique cuántas soluciones de componentes
teras positivas tiene.
Resolución
Sumando las desigualdades
2x-y<2
6
X+y<4
»—”
Números reales
piene Y 6, es decir, x<2. Como se pide
seo E
entero, entonces X= L
R emplazando en las otras desigualdades:
e
-y<2 >0
20 qe luego le a de donde
(W+y<4 ys
yal y y=2, por ser enteros positivos, de acuerdo
alo pedido.
Esoimplica que las soluciones (x; y) son
(1,1) 0 (1,2).
Por lo tanto, tiene dos soluciones.
Problema 19
Respecto al conjunto solución de la ecuación
3x|x+1| =x +2, podemos afirmar que
A) esunitario.
B) tiene dos elementos.
C) es vacío.
D) tiene infinitos elementos.
Resolución
Dela igualdad se puede distinguir que x será po-
sitivo; en consecuencia, (x+1) es también posi-
tivo, quedando la ecuación
MD d+2 > 343242 > DO +3x-2=0.
Haciendo uso del aspa simple se factoriza como
(2-1x+2)=0. ]
Adem 1
ás, como x es positivo solo x=>
Por lo
tanto, el conjunto es unitario.
Problema 20
cul
ta, “el valor numérico de la expresión
=la+
abi SN Jal: l0]+]a-b],
endo que
a=2yb=-5,
Resolución
Reemplazando los valores de a ydebenx:
x=/2+-5|-2|2]|-5|+/2--5]
=|-3|-2]2]|5]+/7]=3-20+7=-10
=-10
Problema 21
Sabiendo que a=10; b=-10, calcule el valor de
la expresión
- la+bl-la? - ol
la-bl+a-bla-bl'
Resolución
Reemplazando los valores de a yb en x:
a ho+(10)1-lo? - (-10Y]|
110(-10)+1010)10 -(-10)|
- tol-lto?-10?|
=1-100/+10-10)110+10|
O.
100-2000
Problema 22
Si x<y<0, indique el valor de verdad de cada
una de las proposiciones.
L x2<xy<0
1 2>xy>yY
IM. 2<y?<0
mM 2>y
Resolución
Del dato, x e Y
licemos cada proposición:
son negativos; además, x < y. Ana-
L. Falsa
Multiplicando por x<0 a x<y se tiene
> xy>0. Como vemos, €s contrario a lo
propuesto.
457
Lumbreras Editores
ll. Verdadera
De (1) x2>xy es verdadero. Faltaría ver si
xy > y? Partiendo de x < y, multiplicando por
y que es negativo, el sentido de la desigual-
dad cambiará xy > y?.
III. Falsa
La proposición en forma inmediata es falsa,
ya que un número real al cuadrado no puede
ser negativo,
IV. Verdadera
De (ID) x% > xy > y?. Por transitividad se puede
concluir que x? > y?,
Problema 23
Halle la suma de los valores enteros de x que
satisfacen el siguiente sistema:
5x-1>0 (0
3x-11>0 (ID
2x-15<0 (1D
Resolución
1
De (MD pe
1
De (ID) x>—
De (III) >
Intersecando estos resultados se tiene que
Tomando los números enteros de este intervalo:
4; 5; 6; 7, cuya suma es 22,
Problema 24
Indique el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
l. La operación : sobre Z es binaria, tal que
E a+!
10)
458
II. La operación * sobre Q es binaria, tal que
ar 2H con a+bx0.
a+b
Il. La operación 9 sobre R es conmutativa, tal
que
iu 20 ,conab 0.
Resolución
l.. Falsa
a+!
Como para todo a; b e Z; (E)
no necesariamente es entero, entonces la
operación : no es binaria.
Il. Verdadera
Como para todo a; b racionales se tiene que
ab es racional, también ab+1 es racional.
ab+1 . ;
> PTE con a+b0 es tambien racional.
a+
Por lo tanto, * es una operación binaria sobre Q
lll. Verdadera
Si $ es conmutativa, se debe verificar que
a9b=b0 a para todo a; b reales.
a+b-2
ab
a a0db=
bra-2_a+b-2
ba ab
b. bBa=
De a. y b., la operación Y es conmutaida
Problema 25
La operación * está definida en Q- -U) segun
avb=a+ab+b, VajbeQ
Demuestre que 0 es su elemento neutia
As
PA
CAPÍTULO XI
Números reales
Resolución
Sea b=e, donde e es el elemento neutro
>a*e=a > at+ae+e=a
>aete=0 > e(a+1)=0; ax-1
a e=0, vaecQ
Problema 26
Del problema 25, demuestre que el elemento in-
verso de 2 es -2/3.
Resolución
Sea x el inverso de 2
5 2*x=e (por definición)
> 24+2x+x=0 (del problema anterior)
> 2+3x=0
> xXx=-=5
3
Problema 27
En A=(1; 2; 3; 4) se define una operación * cu-
yos valores están dados por la tabla de doble en-
trada adjunta:
Halle el valor de verdad de cada una de las si-
guientes proposiciones:
l.. En x*4=1 existe un solo valor x en A.
Il. La Operación * es conmutativa.
IL (2*3)*13*(1*4)]=1
Resolución
L Falsa
De la tabla: 2*4=1
4*4=1]
Entonces, para x existen dos valores.
o
IL. Verdadera
Observando la tabla:
Al trazar una diagonal, se observa simetría,
entonces la operación * es conmutativa.
II. Verdadera
Reduciendo
(2*3)*[3*(1*4)]=4*[3*4]
=4*2=1
Problema 28
Si (a; b) y (c; d) son elementos de N? y defini-
mos las operaciones de + y + mediante
(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d)
(a; b)-(c; d)=(a:c;b:d)
establezca el valor de verdad de cada una de las
proposiciones.
L. Con respecto a + y +, N? es cerrada
II. Las operaciones + y + son conmutativas y
asociativas.
III. En las operaciones + y * existe un único ele-
mento neutro.
Resolución
l. Verdadera
Como vemos, (a+c, b+d) y (ac, bd) son tam-
bién elementos de N?.
Entonces, respecto a las operaciones de + y +,
N? es cerrada.
459
Lumbreras Editores
IL. Verdadera
(a; b)+(c; d)=(a+c; b+d)
=(c+a; d+b)
=(c; d) +(a; b)
(a; b)-(c; d)=(a-c; b:d)
=(c-a; d:b)
=(c; d) (a; b)
Entonces, las operaciones + y «- son conmu-
tativas.
»» Observación
La asociatividad se prueba
de modo análogo.
É
Il. Verdadera
Los elementos neutros para + y + son, res-
pectivamente, (0; 0) y (1; 1).
Problema 29
Si en los números naturales definimos la operación
Y mediante mVn=Ym? +n? , entonces indique el
valor de verdad de las siguientes proposiciones.
L.. mV(m)=r(mVn),reN
IL (mMvVnN+(nVp)2(mVp),reN
Ill. mYn=(m-n) V /mn; man
WV. mv(n+p)=(mvVn)+(nvp)
Resolución
L Falsa
Por su definición
mvm=dmi+rr er im?+n?
1. Verdadera
(mVn) + (nVp) > (m Vp)
> imi+n? +? 4 p? 2 ym + p?
460
Al cuadrado
minita, y
3 2n?+ (m?+0(n?+p2)z0
II. Falsa
(mVn)=(m-n)V /mn
> msn = mn? + mn:
m2 +n? =Um?+n?-2mn+mn
min? men? mn
IV. Falsa
mV (n+p)=(mVn)+(mVp)
> imin+p? =Am+n? + [m4 p?
Problema 30
Se define la operación * por:
* a*rb=a-b, VaibeR
. a*?*=a*a, VaeR
* a*r=(a*%*a, vaeR
Calcule a*3.
Resolución
a**=(a*a)*a=(a?-a)*a=(a?-a)-a
> a*=a*-224+a?-a
£3
a**=a-224+a?-a
Problema 31
En el conjunto N) (naturales ampliados) se del-
ne una operación O:
aDb=(a+b)-(a-b), WajbeN
Responda a las siguientes preguntas:
,
l. ¿Estála operación O totalmente definida eN No
II. ¿Es la operación O asociativa?
-——
CAPÍTULO XI
resolución
La operación O está totalmente definida en
No si
am: Nox Ny Vajb No
aDo=(a+b) (a-b)=a*-p?
Sia=2 be3 > a00=2-38p,
pero -5€ Ny.
Por lo tanto, la operación U no está tolalmen-
te definida.
II. La operación O es asoclallva si
va¡b;c € Ny (adb)Oc = ad(bac)
(aobJoc=(a*-0%) nc
=(a pe (a)
ao(vb0c)=an(0*-e?)
=a?-(p?-0?)? (1)
Como (a)*(f), la operación O no es asociativa.
Problema 32
Del mismo problema anterior (31), responda:
l. ¿Tiene un elemento neutro?
Il. ¿Tiene elemento simétrico todo número na-
lural respecto a la operación 0?
Resolución
l, Seae el elemento neutro V a € No
1_e=g
> eztyala-1) (a)
eDasza > e*-a*=q
ade=a »a
> estyala+1) (Pp)
Como a*f, entonces O) no tiene elemento
neutro,
e
Núrmneoros roalos
Il, SEno existe e para la operación 11 pobre los
N¿, tampoco habrá elemento simétrico para
todo a e Ny.
Probloma 33
Demuestre que Vex e Ri x= (-))x,
Rosolución
x'0=0 teorema anterior
14(=1)=0- postulado (elemento neutro aditivo)
X(1+(-1))=x+*0 multiplicando por 1
Xx +x(1)=0 distributividad
x+(-1)x=0 conmutatlvidad
X+ (a) + (-1)x=(=x) sumando (-x)
(+ Eo) + (Dar
04+(D)x=-x neutro aditlvo
(Ll)x=-x
Problema 34
Demuestre que:
Six es un número real y x20 > 240,
Rosolución
(Por contradicción o reducción al absurdo).
xeRix*0 > x%0
x*=0 suposición contradiciendo a la hipótesis
0=x*0 teorema anterlor
x2=x:0 realizando sustitución —> x*x=x:0
aplicando cancelación: x=0, esto es una contra-
dicción.
Con lo cual queda demostrado que si
xeRaxe0 > x2e0
461
Lumbreras Editores
Problema 35
Demuestre que:
SixyeR, xy*0 > (ay) =x" y”.
Resolución
(9)09)*=1 elemento inverso multiplicativo
(y): (y)'=1-1 elemento neutro multiplicativo
(9) =(a7) (y: y) inverso multiplicativo
(09609) =x(x"'y” -y) conmutatividad y asocia-
tividad
MN” =tmkry”)
Como xy +0, aplicando la cancelación se tiene
(i=ty".
Problema 36
-1
Demuestre que: 5] ==, si xyx0,
Resolución
-1 -1
(5) =(xy"!)" definición de la división
y
=x(y)Y" (1)
comoaz0 > (a )'=a y su inverso multipli-
cativo es a”.
Asumiendo x=a|%0, ax0
> x=(a7y"
xx" =1=(a7(a”!)* inverso multiplicativo.
También a'-a=1, de donde se tendrá
a (a) =a "a
laT!i=a
Luego en (l)
ES
Por definición de división
ley de cancelación
Problema 37
Demuestre que:
v a; be R:a(-b)=-(ab)=(-adb
Resolución
* a(-b)=al-Db] (del problema 33)
=(a(-1)b) (M3)
=(-1)(ab) * (M2 My)
a(-b)=-(ab) (1)
* EaJb=(1)ab) (del problema 33)
Ea)b=-(ab) (09)
De (1) y (ID
a(-b)=-(ab)=(-a)Jb
Problema 38
Demuestre que: Y a;b e R, LaJEd=a'b
Resolución
Como
ab) = LAEb) (reflexión)
= -D(AEd) (del problema 33)
=aDEb) (M,, My)
A) (del problema 33)
= ab Teorema (-(-b)=b)
AED =ab
Problema 39
Demuestre que y/2 es irracional.
Resolución
Usaremos el método del absurdo.
Supongamos que V2 es racional
7 4 : ó
> v2= mE as beZ,cona y b primos entre si,
)
PS a a
De Y2= al cuadrado => 2=>
b b?
2 p2 2
> a=2b* => a es par, de donde a es par
CAPÍTULO XI
Números reales
Sia es par, sea a=2R; ReZ
> (e) =2b? > d*=2k*
Esto implica también que b es par, lo cual lleva a
la contradicción de lo supuesto, en donde a y b
son irreductibles (primos).
Por lo tanto, /2 no es racional.
Problema 40
bh ue A, £ ad+bc
Demuestre Q| > dba
Resolución
L Lab leed”
bd
=a-l bie 1id7
=ad dl bic bebido
=(ad+bc)b"!d”
pero b"!'-d”"'=(bd)”'
. q c_ad+be
bd bd
(del problema 35)
Problema 41
Demuestre que: a; b; x e R;¡ax0
>4ax+b=0 o x=-a"b
Resolución
L Si ax+b=0
> ax+b+(-b)=0+(-b)
> ax+0=-b > ax=-b
> dlax=a"(-b)
> (aa x=-a b
ULx=-alb > x=-a lb
Si x=agta ax=a(-a :b)
=-(a:a”)b=-(1):b=-b
% A+b=(-bJ+b=0 > ax+b=0
D F
*(D y (1) queda demostrado el teorema.
Do
Problema 42
Para cada número real x, demuestre que
X+xX+x=3x,
Resolución
X+x+x=x+(x+x)
=x+(x-1+x:1)
=x+x(1+1)
=x+x:2
=x(1+2)
=x:3
. XAXA+xX=3x
Problema 43
Sea A=(xe R /12>64).
¿El conjunto está acotado?
Resolución
4264 O x28 v x<-8
OS x€ (o -8] u [8; +00)
Hallando las cotas inferiores y superiores de A,
si existen:
ACER/VxEA; c<x
AÁCER/VxeA; x<c
lo cual nos hace concluir que el conjunto A no
es acotado.
Problema 44
Tres amigos, José, Pedro y Luis, hacen las afir-
maciones siguientes respecto a un número irra-
cional x.
L. José: x? es irracional.
II. Pedro: toda potencia de x es irracional,
: 11. Luis: alguna potencia de x (de exponente di-
ferente de cero) es racional.
¿Cuál de los tres amigos dio una afirmación co-
rrecta?
463
Lumbreras Editores
as
Resolución
l. Sixeirracional > (2eQvxeQ)
II. Toda potencia de x irracional no siempre es
irracional.
6
Ejemplo: (V2)=8ea
1II. Alguna potencia de x irracional es racional.
2
Ejemplo: (V3)'=3€Q
Por lo tanto, Luis dio una afirmación correcta.
Problema 45
Dadas las afirmaciones, indique el valor de verdad.
l.. VaecQsetiene (a?)'?=a
IL. VaeQ;VreR existe a”
II. SiaeQy VreR existe a”, entonces existe r*
Resolución
L Falsa
va e0: (a?)'” = Va? - la]
IL. Falsa
vVaeQ: Vren, no siempre está definido d.
Ejemplo
a=0 a b=-1: 07 no está definido.
III. Falsa
Si VaeQ; Vr eR existe a”, no necesaria-
mente existe r”.
Ejemplo
(4/=1, pero 071 no existe.
Problema 46
Indique el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones.
Il... La suma de dos irracionales es otro irracional.
II. En una división en Z, el resto es menor que el
divisor,
lII. La gráfica de la clase de equivalencia [2/3]
es una recta.
464
Resolución
L. Falsa
La operación de adición en los irracionales
no es cerrada.
Ejemplos
(2+/3)+(-/3)=28Q
3 +(1-2/3)=1-V/3€Q'
II. Falsa
No siempre.
Ejemplos
Es = > r=l>d=-3
III. Falsa
AN 7220, -16. 2.2.4, 6, ]
31 1” 30 -24* 33 6'9'"
Es un conjunto de puntos discontinuos.
Problema 47
Sabiendo que y/2 es un irracional, demuestre que
(3/3 +./2) es irracional.
Resolución
Supongamos que x=Y3 +42 es un número ra-
cional.
> x-/2=Y3
Elevando al cubo
3421? +6x-2/2=3
> +6x-3=v/2(3x?+2)
+6x-3_
31242
3 - y
Pero el primer miembro (Ets) es racional
3x*+2
ya que x e Q, esto implica una contradicción.
; es
Por lo tanto, como x no es racional, entonces
irracional.
[AKON
CAPÍTULO XI . Números reales
A E A ld
Problema 48
Sean a y b dos números reales tales que el pro-
ducto ab es irracional, luego analice las siguien-
tes proposiciones:
L Sia es irracional, entonces b debe ser irra-
cional.
II Si a es racional, entonces b debe ser irra-
cional.
III. Sia esirracional, entonces b debe ser racional.
Resolución
Ll. Falsa
Veamos un contraejemplo.
ab=W5-3EQ'
tp
ab
Para a=V5; b=3
ll. Verdadera
abEQ' a a€0, entonces b necesariamente
pertenece a Q*.
5-/3€Q'
+4
a bibeQ
Ejemplo:
lIL. Falsa
Veamos un contraejemplo.
ab=vV6EQ
Para a=V/2; b=43
Problema 49
Sea Z;=10; 1; 2;3; 4).
Definimos la adición y la multiplicación en Z;
como sigue
a+b, sia+b<5
a+b= va; bel;
a+b-5, sia+b>5
ab, siab<5
a-b=
(resto (2) siab>5
Resuelva en Z; el sistema:
2x+3y=2 (D
x+2y=4 (ID
Resolución
De (ID
x=4-2y
En (D
2(4-2y)+3y=2 > 3-4y+3y=2 => y=1
Luego
x=4-2:1l > x=2
. x=2; y=1
»» Observación
2:4=3en Z;
465
Test 1
466
Determine el valor simplificado de
N=0,1+0,2+0,3+...+2,9.
A) 43,5
D) 45,4
B) 42,5 C) 39,2
E) 39,6
Verifique si son ciertas o falsas las siguientes
afirmaciones:
l.. No es posible encontrar un número irra-
cional del que se conozcan todas sus ci-
fras decimales.
II. La suma de un número racional con otro
irracional es irracional.
III. La suma de dos números irracionales es
irracional.
IV. El producto de dos números irracionales
es irracional.
A) VVVV B) VVFF C) VFFF
D) FFFV E) FVVV
Determine el valor de verdad de cada una de
las siguientes proposiciones:
l.. Entre cada dos números reales distintos
hay infinitos racionales e infinitos irracio-
nales.
II. La división de dos números racionales
cualesquiera es necesariamente otro nú-
mero racional.
II. El conjunto de los números realés es solo
la unión de los números racionales y los
números irracionales.
A) VVV
D) FFV
B) FVF C) VFV
E) VVF
Determine el valor de verdad de cada una de
las siguientes proposiciones: Ñ
l.. Sean x e y dos números reales positivos
distintos tales que su producto y su co-
ciente son racionales, entonces estos
dos números x e y son racionales.
II. Todo número decimal periódico es ra.
cional.
III. El inverso de todo número real no nulo
es otro número real.
A) VVV
D) FVV
B) VVF C) FFV
E) FFF
¿Cuál es la fracción generatriz de 3,51
115 315 375
A B) Sy O y
335 116
D) 99 E) 3
¿Cuál es la fracción generatriz de 3,5 rm
295 158 157
A) 90 B) 45 O 45
147 293
D) 45 E) 90
Sean los siguientes subconjuntos de los nú-
meros reales:
A=[x€Z/xe€ [-10; 11])
B=([xe R/0<x<2)
¿Cuántos números integran el conjunto A-B”
A) 21
D) 11
B) 10 C) 20
E) 19
¿Cuál es el resultado de efectuar
25-07, 1(3),
4 3 3)
7 5 5
A) 18 B) 36 (9) 18
ñ 0
D) 36 E) 36
-_
CAPÍTULO XI
CS "1ó)
Nórneros reales
es el equivalente reducido de 11, El conjunto representado en la siguiente
recta numérica es el conjunto solución de la
inecuación (ax + 1)0-b)20,
43 ZÉ 5
47 Mm O —-
AN SET 2 90 E 2
23 y Y ;
D) 15 ) A5 : Calcule el valor de a-b.
5 5
10, Dada la recta numérica A) -= B 2 0 HE
2 2
x y
A . ,
a a OD) -5 0
respecto a los números x e y podemos afir-
mar que 12. Sí los intervalos
M=(-2;x+2] y N=[2x-1; +)
A) |x1> ly) tienen un solo elemento en común, indique
B) |x+y] <2 dicho elemento.
C) |xl=ly
D) |x-y|=1 A 3 B) 4 O 5
E) 1<|x-y]|<3 D) 7 E) 2
L1/A
(2/8
467
Problemas
- PROPUESTOS
Nivel |
¿Cuál es el racional equivalente de
2,56565656...?
253 254 243
A =— B — Cc) <=
) 99 ) 99 ) 99
263 255
¿Cuál es el equivalente reducido de 3,2+6, 83
62 65 57
A 123 B) 123 O 723
58 55
D) 123 E) 123
Simplifique e indique el equivalente de
0,5+0,02+>,
2
A) 1,02 B) 1,2 C) 3,05
D) 2,25 E) 2,02
Dado el operador matemático O, definido
por a0b=ab-2, califique las siguientes pro-
posiciones:
Il. 9 es conmutativo sobre Q.
Il. Des asociativo sobre R,
III. El elemento neutro de O es 2-9a para
cada a racional.
A) VVV B) VVF C) FFV
D) FVF E) FFF
Definido el operador matemático O sobre R
como a40b=d+b-2009, halle el valor de ver-
dad de las siguientes proposiciones:
Il. Su elemento neutro es 2009,
II, El inverso de 2009 es 2009.
MI, El operador 0 es asociativo,
A) VVV B) VVF C) VFF
D) FFF E) FFV
Escriba en forma de conjunto el número y
los números que cumplen las condiciones;
L 1I<x<4
II. -3<x
MI. x<1l
A) [1,2] B) (1; 2) O) 11)
D) (1; 2) E) 9
Represente en la recta real los números que
cumplen la condición:
Il 1<x<4
ML -1<x
IM. x<2
» AE E B) Ll
C) a) ls
1 2
D) e] L E) sio
0 1 0 1
Resuelva la inecuación
A x<17
B) x>19
C) x<1l9
D x>17
E) x<18
—_—
CAPÍTULO XI
Números reales
9, ¿Cuál es la longitud del listón que se está mi-
diendo?
1 7,5
A) 6m B) 7m C) 6,5m
D) 7,5 m E) 5,5m
10. Resuelva la inecuación cuadrática
(x-D(ax-b)>0; a>1>b>0
e indique el complemento de su conjunto
solución.
A) (2: )
D) (a Du +00) E) (=>; 1)
1
==
+ Indique cuál de las siguientes afirmaciones
no es verdadera:
A) | 2+1]=?+1
B) Si |1-x|=2, entonces x=-1
C) |2x-1]=0 e x=>
D) Si |x-2|=-1, entonces x € (0; +00)
E) x?-3x+3>0, para todo x real.
12. Silos intervalos M=(-2; x+2] y N=[2x-1; +00)
tienen un solo elemento en común, indique
dicho elemento.
A) 3 B) 4 c)2
D) 5 E) 6
13. Luego de resolver la inecuación 0< ash,
2x%+x
indique su conjunto solución.
e
14,
15.
16.
. o xl
Resuelva la inecuación e >x-2.
A) x>3
D) x>4
B) x<3 C) x>2
E) x<4
Si los intervalos
A=(0;x+2] y B=(2x-1; +00)
tienen intersección no vacía, tal que
AnNB<(l; 3], entonces:
A) x e Cl; 2)
B) x e (0; 1; 2)
C) xes negativo
D) x e (0; 1)
E) x e 12; 3)
Indique el valor simplificado de
4
l+ 1
1W+—
le
1
4
49 47 41
A 24 de 24 a 24
39 50
D) 24 E) 24
469
Lumbreras Editores
17.
18.
19,
20.
470
¿Qué valores de x verifican la siguiente des-
igualdad?
5x-2 x-8_x+l4
A
3 4 2
D) x<3
E) 3<x<4
El perímetro de un cuadrado no supera el
perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué
se puede asegurar acerca de la superficie S
del cuadrado?
2cm
6 cm
A) Elárea no puede ser 10 cm.
B) Elárea no puede ser 13 cm”.
C) El área no puede ser 17 cm?,
D) Elárea no puede ser 15 cm”.
E) Elárea no puede ser 7 cm?,
La desigualdad 0 < |x+3| < 1 es cierta cuando:
A) -4<x<1l
B) -3<x<1l
C) -2<x<2
D) -4<x<-2 an x%-3
E) 0<x<1l
¿Cuáles son los números x cuyo triple exce-
de a su duplo en más de 20?
A) x<12
D) x>22
B) x<16 C) x<18
E) x>20
21.
22.
23.
Nivel Il
En el conjunto de los números naturales se
define la operación *
a*b =a+b+2ab, Va;be N
Indique el valor de verdad respecto a las sj.
guientes proposiciones:
L La operación * es asociativa,
II. La operación * es conmutativa.
111. El elemento neutro es 0.
B) VVF C) VFV
E) FVV
A) VVV
D) VFF
Definamos una nueva operación binaria so-
bre los números reales. Para a;be R llama-
remos a*b=a, donde * es el nuevo operador.
Luego, se puede asegurar que
A) la suma de los resultados de 2*0; -4*6;
8*8es8.
B) dado un elemento a € R, no es posible
hallar otro número b tal que a*b=a.
C) la operación * es asociativa.
D) la operación * es conmutativa.
E) no es operación binaria.
Sea Q el conjunto de los números racionales.
Se define la operación binaria
*/*: (ab) > 2a+3b Va;beR
Luego, se puede afirmar que
A) la operación * es conmutativa.
B) la operación * es asociativa.
C) no hay un elemento identidad pal
operación *.
D) no tienen elementos recíprocos pará
cada elemento de Q.
E) (4*3)*(3*4) es 71.
a la
_—
>
CAPÍTULO XI
24.
2
2
5,
o
Números reales
e define una operación * en el conjunto de
los números naturales de modo que
arb=a+(b+1).
indique el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
1 3*2es6
IL Nes cerrado para esta operación.
III. La operación * es conmutativa y asocia-
tiva.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) VFF E) FVV
Sobre R—1-—1) se define la operación
binaria *, de modo que:
va¡beR,a*b=a+b+ab.
Establezca el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
IL. Eloperador * es conmutativo.
r
II. El simétrico del real r es -—.
r+1
111. El elemento neutro es 0.
A) VVV B) VFV C) FVV
D) VFF E) FFV
Si E=(a), la terna (PCE); y; n) y la ley de
composición para los operadores U (unión),
An (intersección) están dados por las tablas
siguientes:
ue
nte
90/10 E $ 0
EE 4 E ló E
Indique el valor de verdad de las siguientes
Proposiciones:
L (EVE) N(9UE)JUESE.
IL des conmutativo.
lll. nes asociativo.
o
27.
28.
29.
30.
31.
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FVF E) VVF
Demuestre que
1 11
ab. ab v a; beR-—(0).
Demuestre que
E Va;biceR y bx0
a Cc
—=+==
bb b
Demuestre que
-(-a)=a, VaeR.
Demuestre que
-(a+b)=-a+(-b), Va;beR.
Establezca el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
Il. El conjunto
nl
(n+n 2 /nen]
es acotado superiormente.
II. El conjunto
nl
(no l /nen)
es acotado inferiormente.
III. El conjunto
nl
(n+ (0 l /nen)
es acotado.
vVVV
VFF
FVF
FFF
VVF
A)
B)
9)
D)
E)
471
32.
33.
34,
472
Indique la afirmación incorrecta:
A) El supremo del conjunto
1
fuen /x- EE A nen] es 7
B) El ínfimo del conjunto
(ren e A nen] es -1.
C) El conjunto (n/n e N) es acotado solo
inferiormente y su ínfimo es 1.
D) El conjunto (recon / nen]
no tiene ínfimo ni supremo.
E) El conjunto A=[xeN / Jx+1<2)
es un conjunto acotado.
¿Cuál de los siguientes conjuntos no es aco-
tado?
A) [xeR / x?<81)
8) [xeR / dx?-4<4/21)
0) [xeR / x?>25 a x?>100)
) [xez* / x2<16 a x2>4)
E) V2x+3<-x
Demuestre los siguientes teoremas:
LL Va¡b¡ceR,sia>byb>c > a>c
IL a<b o -a>-b
IL Sia<b ac>0 > ac<bc
IV. Sia<b ac<0 > ac>be
Vo Sixx*0 > xlz0
(7! inverso multiplicativo de x).
vI.
Si x e y tienen el mismo signo
>xy>0
35.
36.
37.
38,
Si m9n = residuo de dividir (m-+n) entre 8y
mtn=residuo de dividir m-n entre 8, calcy.
le (697) 4(597).
O 4
E) 10
A) 2 B) 3
D) 8
Sean las operaciones definidas por
Si x=b*c, determine el valor de (c*x)-(b*a).
O x
E) c
A) a Bb
D) d
Sia*tb= (a? +b?) -ab, entonces el valor de
a*(b*(b+1)) es:
A) ab(b+D)+a*+b*(b+1)*
B) (1+0+02)|1+0?+b+a - a]
O [(+0+0?) (1+0+0*-a)+a?]
D) ab(b+1)+a*+a(b+1+b?)
E) ab(b+1)+a? — a(l+b+0?)
En R definimos las siguientes operaciones:
1
a*b=3b+30
aRb=3a+3b
aAb=7a - 3b
Si x*x=9; y *y=21, halle el valor de (x4y)+2
A) 24 B) 25 Cc) 26
D) 28 E) 14
PA
CAPÍTULO XI An Números reales
Híí—$—<«< o DS
39. Sea B=(M; Nip; q) y * la operación definida A) a, B) a, O a,
enÁ mediante la tabla. Halle el valor de D a, E) a,
A A] :
e -l(g*m ) n) 42, Sea * una operación binaria definida en R
como
a*b=(a? - p)(v* - a).
Halle el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
Il. *es conrnutativa.
IL 4*(3*2)=5-%,
IL Y ke R:ka*b]=[ka] * [Kb].
Observación: m”! representa el inverso de
m bajo la operación *. A) VFV B) VVV C) FVV
: D) VVF E) FFV
A) m B) q O n
Dp E) mn 48, Se define
: a*b=mín (a; b)
40. SeaA=(1a;b; c; d; e) y O la operación binaria : añbb=máx (a; bj ER.
asociativa definida en A; según la tabla ad- : Además
junta y dado el sistema: a mínimo: menor entre a y b
xOy=b; x0y '=d : máximo: mayor entre a y b
: Calcule (5 A 4)* (/2* 1).
Halle el par ordenado (x 0 a; y 0d)
A) 5 B) 4 OD 0
D) y2 E) 1
44, Definimos en N la operación * como a*b=«É.
Halle la suma usual de
2*3; 3*4; 4*2 y 1*100.
: A) 100 B) 106 C) 102
Na). Bm. Oda: DI25 208
D) (b;c) E) (a;c) :
45. Sia; b e R, se define la operación * como
$1. Dado el conjunto G=(ag; ay; ay; ay; ay), defi ¿uy 2t0—1
nimos la operación binaria * como: . S z
: Determine el conjunto solución de
aro Jun siit jes pet).
1] a; = z
la/s ¿Sii+j25
: A) (3; 4] B) [-3,31 C) [-26)
Si b, es el inverso de a, calcule b,*(b3*b4). : D) [-2; 6) E) (oo; +00)
473
Lumbreras Editores
46. Indique cuáles de las siguientes afirmacio-
47.
48.
474
nes son verdaderas si se comparan dos va-
riables independientes del tercero.
L.. Sixvaría directamente con y, y varía directa-
mente con z; entonces x varía directamente
- conz.
IL Si x varía directamente con z, y varía di-
rectamente con z; entonces x+y varía
directamente con z, donde x; y; z son
positivos.
III. Sean x; ye R”. Si x varía directamente
con y, y varía directamente con x; enton-
ces x=y.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) VFF
Indique cuáles de las siguientes proposicio-
nes son verdaderas:
Ll a<b e -a>-b
II. O<a<l e a<a
M. bxa > axb
IV. axbnrasb > asb
A) 1
B) Iy!l
C) 1, Il y IV
D) Iy Il
E) 1, My IV
En R se define la operación * como:
a*b=ab+|a+b|.
Halle el valor de verdad de las siguientes pro-
posiciones:
I. Sia*a>o0; entonces ax0.
II. El cero. es el elemento neutro de la opera-
ción (*).
III. La operación * es conmutativa.
A) VVV
D) FFV
B) FFF C) VFV
E) VVF
49. Si definimos en R la operación * definida por
a*b=mínimo (a; b), ¿cuáles de la siguientes
proposiciones son falsas?
Il a*tb=b*a
IL a*r(b*c)=(a*b)*c
IL. (x*4)=2 > x=1
WM (*D=2-% > x=1 v x=-2
A) 1 B) Ill
D) Il y IV
O) Ily IV
E) Iv
50. Demuestre que
(a+b)+[Ca)+(-b)]=0, Va;beR.
51. Demuestre que
E+adED)=ab.
52. Demuestre que
a-D=-a, VaeR.
53. Sean a y b números naturales. Si se define
a*b=a+2b, entonces es verdadero que
A) (a*b)*a=a+4b
B) a*b=b*a
C) (a*b)*b=a+4b
D) (a*b)*(a*b)=(a+2bY
E) (a*b)*c=a*(b*c)
54. Demuestre que
L (b+O+E0od=b, Vb;ceR.
1. (ED(a+b)=-a-b.
55. Sia*b=(ab)', v a;b e R, entonces el valorde
1*142*14+3*1+...+10* 1 es
C) 385
E) 729
e
A) 185
D) 216
B) 285
CAPÍTULO XI
56.
57.
Denifimos en R la operación O como
aob=máxta; b).
Resuelva la inecuación
(2+1)0 12504.
A) (09 2]
B) 6
Cc) [-2;2]
D) (-2; 2)
E) Lo; -2] u [2; +09)
Se define * en R como
Halle los valores de x que verifican (x-3)*=5,
A) 8; -2
D) 1;-8
B) 3 C) -2
E) 2;1
Sea la operación * definida en R tal que
1
*th= ¿A
a*b=(ab) E
Halle la suma límite de
S=1*24+2*34+3*4+...
59,
60.
aaa.
Números reales
1
0 B) 1 C) 2
D 4 E)
N|-—
Calcule el inverso de 5 bajo la operación * si
a*b=a+b+ab, Va;beR.
A) 6/5
D) 1/2
B) -6/7 C) -5/6
E) -1/2
En el conjunto A=(0; 1; 2; ...; 9) se define la
Operación binaria
[a+b, sia+b<l0
a*b=
la+b-10, sia+b>10
Indique el valor de la verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I.. El conjunto A es cerrado para esta opera-
ción.
II. Esconmutativo.
lII. Admite elemento neutro.
IV. Admite inverso todo elemento de A.
A) VVVV
D) VVFF
B) VFVV C) FFFF
E) FFVV
475
8
Claves
Problemas propuestos
1 B 5 A
3 A Fl Cc
4 E 8 Cc
2 A 29/.
22 Cc 30 +.
£ A 32 D
A 33 Cc
6 A >
. 35 Cc
) . 45 E
Nola: Las Cisves con * son demostraciones
NIVEL 1
NIVEL 11
37.0
38 A
39 p
30 8
Capítulo
AN!
Números complejos
CAPÍTULO XII
NÚMEROS COMPLEJOS
Objetivos
+ Conocer la unidad imaginaria y sus propiedades.
+ Reconocer un número complejo en sus diferentes formas.
+ Efectuar las operaciones con números complejos.
+ Calcular las raíces n-ésimas de un número complejo e interpretarlas geométricamente.
Introducción
El problerna de resolver las ecuaciones algebraicas ha llevado al hombre desde los números naturales
alos enteros, a los racionales, a los números irracionales y al sistema completo de los números reales.
En el siglo xtx, Leopoldo Kronecker, el primer crítico de los fundamentos del análisis moderno, descri-
bló esta evolución larga y gradual de la comprensión del sistema de números por el hombre. Sabemos,
por ejemplo, que no existe ningún número real x con la propiedad de verificar 2+1=0; el problema es
análogo, Cuando el hombre no conocía los números enteros negativos solo contemplaba la ecuación
*+9=4; el número -5 aún no tenía algún sentido.
Discutiremos el sistema de los números complejos siguiendo estas mismas líneas, las definiciones y
reglas se dan en primer lugar. Y demostraremos después como este sistema de números complejos es
Una extensión del sistema de los números reales.
La primera representación clara de los números complejos y la primera prueba satisfactoria del teo-
tema fundamental del álgebra la dio Karl Gauss (1777-1855) en su disertación doctoral en 1799. El
término número complejo lo introdujo Gauss y la definición de números complejos como pares orde-
nados de números reales fue usada por primera vez en 1835 por el matemático irlandés William Rowan
Hamilton (1805.- 1865), y luego Herman Grassman (1809-1877) extendió esta definición de los números
omplejos a las r-adas ordenadas de números reales (15 Xg; X3; «.. 3 X); estos números hipercomplejos
Seneralizan a los números complejos y a los cuaterniones de Hamilton.
Los números complejos son de capital importancia en álgebra. En la teoría de las funciones analíti-
Cas de una variable compleja, los números complejos juegan un papel importante en las ecuaciones
diferenciales; en los circuitos eléctricos, oscilaciones, vibraciones, fenómenos ondulatorios; en los
Iractales , :
actales, que es una herramienta poderosa, así como en los diferenciales.
479
Lumbreras Editores
» NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICIÓN
Un número complejo es un par ordenado de
números reales (x; y); es decir, x; y e R, donde
x es la primera componente e y es la segunda
componente.
Luego formamos el conjunto de los números
complejos, denotado por
C=((x; y); x, y e R)
Notación
z=(x y);x,yeR
Xx: parte real Re(z)
y: parte imaginaria Im(z)
Es decir:
Re(z)=x
Im(=)=y
Ejemplos
* 2 =(3;7) . z2=(-1; /2)
+ z3=(0;4) = z¿=(0;0)
OPERACIONES DEFINIDAS EN €
Sean los complejos
z1 =(x 5 y)
Z2= (xo; y2)
Se define
IL. Adición
2,+22=(X,+X9; +y,)
ll. Multiplicación
2129 =(X1X2Y Ya; X1Y2+y¡X2)
Ejemplo
Sea z,=(2; 3); z,=(4; 5)
Entonces
z +z,=(2+4; 3+5)=(6; 8)
2" Z2=(2:4-3-5;2:54+3-4)=(-7; 22)
480
Debe observarse que la adición de Número,
complejos es la misma operación de adición
en V, (V,: álgebra vectorial bidimensiona))
operación de multiplicación se distingue en C
y V,. En los números complejos, la multiplica.
ción origina otro número complejo; en cam.
bio, la multiplicación de dos vectores origina
un escalar. Además, la diferencia es que un
vector tiene dirección, pero un número com-
plejo no tiene dirección alguna.
¿la
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Dados z,=(Xy; y); 22=(X; ya)
| z¡=22 siysolo si x,=x, a y,=y,
Ejemplos
l. Seanz,=(4;y+1) a z2=(x-3;5-y).
Calculex+y si z,=2).
Resolución
Z,=22 O 4=x-3 a y+l=5-y
Deahí x=7 a» y=2
. x+y=9
2. Sean los números complejos
z¡=(2 -x; 2-y);
zo=(6; y -8)
iguales. ¿Cuál es el mayor valor de y-x?
Resolución
Si 2i=22 > xx=6 » 2-y=y-8
x=3 v x=-2 y=5
Luego
Y-x=5-3 y y-x=5-(-2)
D Y-x=2 v y-x=7
(YX mayor =7
>
Números complejos
CAPÍTULO XI!
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
(PLANO DE GAUSS] ]
¡a representación se realiza en un plano al que
jamaremos plano complejo, donde el eje X re-
ta al eje de la parte real y el eje Y al de los
imaginarios; a dicho plano se le denomina plano
de Gauss.
sea z=(1 yx > 0; y >0
+ Bje imaginario
PG: y)
: afijo
O polo x Eje an
Donde OP es el radio vector del complejo z=(x; y).
Ejemplo
Represente en el plano complejo los siguientes
pares ordenados:
> 2,=(2,3)
* 1=(-1;4)
* z2=(-2;-3)
* z4=(0,3)
* 25=(3,0)
* 26=(5;-2)
Resolución
Graficando en un mismo plano
Im +
rl
4 21
' 2 1
y? A
ES pd + + +A sd
, Z5 : Re
A
Definición
El conjunto C, las operaciones de adición y mul-
tiplicación definidas anteriormente y las propie-
dades a mencionar forman el cuerpo de los nú-
meros complejos.
Propiedades
VZ¡; Z3 23 € C
Ay: z,+z, € C (Ley de clausura o cerradura para
la adición).
A): 2,+2,=Z,+Z, (Ley conmutativa para la adi-
ción).
Ay: (2,+2))+23=2,+(2,+23) (Ley asociativa para
la adición).
Ay: Existe un único (3!) clemento z, de la forma
(0; 0) tal que z+z¿=z, V complejo z (exis-
tencia del elemento neutro aditivo).
As: Existe un único elemento
=z€C / z+(-2)=z,=(0; 0), v z e C (exis-
tencia del elemento inverso aditivo).
M: z, zo € C (Ley de clausura o cerradura para la
multiplicación).
M): z,Z3=Z9Z, (Ley conmutativa para la multipli-
cación).
My: (z,22)23=2,(2223) (Ley asociativa para la
multiplicación).
My: Existe un único (3!) ze C de la forma
z'=(1; 0) tal que z-z'=z, Vz € C (existencia
del elemento neutro multiplicativo).
M5; Existe un único elemento z7| e C tal que
z-2"=2"'-2=(1;0), V z € C y 220; 0) (exis-
tencia del elemento inverso multiplicativo).
D: z¡(2,+23)=212,+2123 (Ley distributiva).
La demostración de estas propiedades se hace
sobre la base de los axiomas de los números
reales (ver capítulo de números reales). Demos-
traremos únicamente Aj y M,, las demás quedan
como ejercicio de rutina para el lector.
481
Lumbreras Editores
A E — q qq02q<242AAAA
Demostración de A; s
Sean
a=(x; y1), 22= (xy; ya), z3=(Xy; y3)
tales que
Lx Xa Y 15 Ya Ya) CR
Entonces
(21+2))+23=(x,+x Y +y2)+(x3 ya)
=(X, +X2+Xg; Y +Y2 +3)
También
21 +(23+23)=(x;; y1)+(x,+x3; y2+y9)
=(X+x2+x3; Y +Y2+)3)
Se observa
(+22) +23=2,+(2,+23)
Demostración de M,
Sean
21=(x15y1), 22=(x%; yo), (15 y ¡5 xo ya) CR
Entonces
2,22=(x1; y) (xo; yo) =(x102-y1 Y; X1Y2+y 1x2)
También
2221=(xy; y)(x1; y1)
> 292 1=(X2X1 -Y2Y 1; X2Y +Y2X1)
> 2921 =(X/X2-Y1Yo; X1Y,+Y¡X2)
(propiedad conmutativa de números reales)
22212212)
» SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
El sistema de los números complejos representa
una ampliación del sistema de los números rea-
les, bajo ciertas condiciones; con este fin, vea-
mos los puntos situados en el eje de abscisas, o
sea los puntos de la forma (a; 0), poniendo en
482
correspondencia al punto (a; 0) e] n
a. De este modo, obtenemos evident
correspondencia biunívoca entre
considerado de puntos y el conjunto
números reales. Como aplicación q
ciones definidas en € tenemos:
(a; 0)+(b; 0)=(a+b; 0)
(a; 0J(b; 0)=(ab; 0)
Observamos que los puntos (a; 0) y (b; 0) se
multiplican entre sí igual que los Números reales
correspondientes; por lo tanto, dichos Números
no se diferencian en nada por sus Propiedades
algebraicas de los números reales representa-
dos ordinariamente por puntos de una recta.
úÚmero r
£Mente
el COnjunto
de todos los
e las Opera.
e - ;
(a; 0) = (a; 0)=a |
( a a va Ax)
Teorema
VreR;z=(x; y)
(x; y) < R, se cumple 7z=(rx; ry)
A,
Demostración
rz=r(x; y)
=(r, 0)(x; y)
Efectuando la multiplicación
rz=(rx—0y; Ox +ry)=(rx; ry)
rz=(rx; ry)
* Sir eR multiplica a un complejo z, multipl-
cará a cada uno de sus componentes.
Ejemplo
Al par (12; 0) le corresponde el número real 12
es decir, (12; 0)=12.
Análogamente citamos algunos ejemplos:
e (4,0)=4
* (a+b;0)=a+b
» (1; 0)=1 (unidad real)
A A A A A
CAPÍTULO XII
Números complejos
A A A e q _ÁÉqAAAA
CANTIDADES IMAGINARIAS
Son aquellos números que resultan de extraer
una raíz de Índice par a un número real negativo.
Así por ejemplo
Ja, 12; Yo5; 216, donde n eN,
De todos estos el más importante es YI, al cual
denominaremos unidad imaginaria, cuya nota-
ción universal es
Aplicación
V=16=/16(-D=416/=1=4i
V5=/5(-D=V5V-1=V5i
UNIDAD IMAGINARIA
El número complejo (0; 1) es la unidad imagina-
ría, y tiene la particular notación ¿=(0; 1).
Teorema
P=-1;i=(0; 1)
: Demostración
é=(0; 1)(0; 1)=(0-1;0+0) > ¿=(-1;0)=-1
MA B=-1
Teorema
ES R (0; y)=yi
Demostración
Yi=(y; 0100; 1)
“ (0) = y
Potencias enteras de la unidad imaginaria
Estudiaremos el comportamiento del número ¿”;
V n € Z, teniendo en cuenta la siguiente defini-
ción:
Pai? j=-¡
¿=2?- 2=(-D(D=1
Paid i=i
¡aji ¡2-1
Se observa que las potencias enteras de ¡ se re-
piten cada cuatro veces y solo toman uno de los
cuatro valores i; —1; —¡; 1. Esto merece una espe-
cial atención.
Propiedades
Se observa principalmente que
¡*=1;¡%=1;112=1, etcétera.
Esto implica que la unidad imaginaria elevada a
un múltiplo de cuatro es igual a la unidad,
Por lo tanto
o
f=1
( ]
En general | ¡+4=1 ]
po
Luego deducimos que
483
Lumbreras Editores
Generalizando
Ejemplos
o
a. ¡R=j¡4+=j¡2=-1
o
b. ¡Piti
4 1
81 :4+1=¡l=¡
CA
Luego se deduce
¡it Y ke Zz
AED VREZ |
Ejemplos
1. Calcule
a ¡7 pi cp
Resolución A
a. Como57=4 +1
o
PES pP=j! +1
=P =i
Lo]
b. 78=4+2
78 4+2 .2
=i¡ =¡*=-]
>i
o
c. 91=4+3 A
¡91 4+3
>l1 A
=¡*=-|
2. Calcule
Resolución
Recuerde que abcde es múltiplo de 4 si de es
múltiplo de 4
=$ ¡Qbcde ¡de
a. Para averiguar si 472 es múltiplo de q
bastará con que 72 sea múltiplo de 4,
Como 72= 4
3. Calcule ¿84j-52,
Resolución
Se observa que
o o (0)
4683=4+3 a -527=-(4-1)=4+1
o o
as ¡9683 4 ¡5272443 ¡4+ 1 ¡4 ¡=0
4. Reduzca S=i"P4+¡"+1%,
Resolución
Calculamos cada una de las potencias
¡"=(-1)8%=1
¡"=(- p"i"=-i
o
¡?= ¡“ip =i
. S=1
Propiedades
Li iió=0
¡RABO VEZ
Mm ¿rg rtI¡R2 ARSZO; VREZ
»» Nota
(Por propiedades aritméticas)
1 2=4vneN;n22
2 dintdsvneN a vrs?
e
CAPITULO XI
iemplos
Ejenmo .
1. Calcule P
Resolución
9, Halle el valor de z,=1
Resolución
Se observa que
5 ,0 5 o
55 =[4 + 1)
Ed
3, Determine z¿=0
Resolución
o
3 (0) 33 o
3% =(4-1)%% =4-1=4 +3
as asis ¡
4, Simplifique
WeP4ii, 4
Resolución
Como
nl=1:2:3:4..n
VneZ*; n22
entonces
o
n=4; Vn24
El factorial de n siempre es múltiplo de cuatro;
Vn24,
Entonces
.2 6 o o o
Ae
RR —-
-2 117
W=-2+117=115
. W=115
o
=44+1 > 2 =14*'=i
Números complejos
? FORMA CARTESIANA O BINÓMICA DE UN
NUMERO COMPLEJO
Teorema
Todo número complejo z de la forma z=(x; y)
puede escribirse como z=X+yi.
Demostración
Sea
z=(x; y), x;yeR
Pero
z=(x; y)=(x; 0)+(0; y)
Por definición: (x; 0)=x
Por teorema: (0; y) =yi
z=(x; y)=x+yi
Ejemplos
1. Represente en forma binómica o cartesiana
cada uno de los siguientes números comple-
jos dados por sus componentes.
2 =(4; 5)=4+5i
, -(1; ls,
23" 2) 3 2
z3= (43; -6) =/3-6i
z¿=(0; -5)=-5i
2. Siz,=3-(7-m)i y z¿=n +21,
¿cuál es el mayor valor de n—-2m, si z,=2)?
Resolución
De la igualdad de números complejos
z,=2, e 3=n » [(7-m?)=2
a m=3
an m=9 mag
Luego
n-2m=3-2(3)=-3 vn-2m=3-2(-3)=9
(n-2mM) mayor=9
485
Lumbreras Editores
TIPOS DE NÚMEROS COMPLEJOS
Luego de algunas definiciones necesarias tene-
mos los siguientes tipos de complejos:
Complejo real o puramente real
Es aquel número complejo que carece de la
parte imaginaria, es decir, su parte imaginaria
es cero.
£
| z=(x; 0)=x; VxER
Ejemplo
z=(-2; 0)=-2
Complejo imaginario puro
Es aquel número complejo que carece de la parte
real, es decir, su parte real es cero. Además, su
parte imaginaria siempre es diferente de cero.
Y
z=(0; y) =yi; V y e R-(0) |
Ejernplo
z=(0;5)=5i
Complejo nulo
Es aquel número complejo que presenta la parte
real e imaginaria igual al número cero, es decir,
las dos componentes son nulas,
toi)
486
CONJUGADO Y OPUESTO DE UN COMPLEJO
1. Dado el complejo z=(x; Y)=X+yi, se define el
conjugado de z denotado 2, tal que
| 2=( -y)=x-yi
IL. Dado el complejo z=(x; y)=X+yi, se define
el opuesto de z denotado por 2 *, tal que
>> EN
| z*=(=x; -y)=-x-yl |
AÑ
Ejemplos
l. Sea z=(4; —5)
z=(4; 5)
>
z*=(-4; 5)
2. Sea w=10+12/
w=10-121
w*=-10-12í
>
Representación geométrica de z=(x; y), de
su conjugado y su opuesto.
Eje imaginario 4
—.
Eje real
:
»» Observación
Al unirlos afijos de los complejos
232% 2 tal que z =x + yí, con xy +0,
estos forman siempre un triángulo
rectángulo,
|
Ñ
E GAPÍTULOXI
propiedades
Dados 2; 21; 22 € E
7 e zes complejo real
z
niun y
"
'"
l
— om en e Dm —
uu
+
SN]
$"
"rm
e]
(1
Pa
yu
=
z=2* sz es complejo imaginario puro
9, (270)=(2)"; v neN
10.(/2)=Z; Y neN
OPERACIONES EN LA FORMA BINÓMICA O
CARTESIANA
Sean los números z,=4+bi a z3=c+di; se defi-
nen las siguientes operaciones:
Adición de números complejos
Dados los números complejos z,, Z,
se tiene z,+z,=(a+b)+(c+di)
| 2,+z2=(a+c)+(b+d)i ]
—— o
Ejemplo
Seanz,=3+6/ a z,=-4+71
> 21+2=(3- 4)+(6+7)i
+ 21+23=-14+13/
Sustracción de números complejos
D :
ados los complejos z,, z, entonces
———_——,
| 21 >22=2) Hz) )
Números complejos
Ejemplo
Sean 2,=6+2i 2 z3=-3+7i
> 21 29=2/+(-2,)=(6+21) + (3-7)=9-5i
21 -2,=9- 5i
Multiplicación de números complejos
Dados los números complejos z,, Za,
a
se tiene z,z,=(a+bD(c+dí)
_a_A
=lac+adi+bci+bdi?)
=(ac—bd)+(bc+ad)i
vr 17
| z,z2=(ac—bd)+(bc+ad)i
» Nota
Si recordamos la definición rigurosa de
la multiplicación de dos complejos como
par ordenado, tenemos:
z,2=(a; b)(c; d)=(ac—bd, ad + bc)
Ahora lo expresamos en forma binómica
z,z¿=(ac—bd)+(ad + boji
Es decir, llegamos al mismo resultado; por
lo tanto, la definición es buena.
Ejemplos
l. Sean z,=3+2í a z,=2-—5i
CO
> 2122=(3+20(0-50)=6 — 15i4+4i+10
AA
Luego z,z,=16-—11í
2. Realice las operaciones indicadas y halle
z=(14+0(01+30G 0.
/
487
Lumbreras Editores
Resolución
Como la multiplicación de números comple-
jos tiene la propiedad asociativa no interesa
el orden en que se empiecen a multiplicar los
factores.
Luego se tiene
¿=(1+0(1+3068-0
2=(1+0(3-¡+9i-31%)=(1+0)(6+81)
z=6+8/+6/+81?
. z=-24+14i
División de números complejos
Sean los números complejos z, z,. Para efectuar
la división a habrá que multiplicar a z, y Z, por
2
Zo. Así:
Sean z,=a+bi a z2=c+di A z,=C-di
z, (ac+bd)+(bc-ad)i
> —= -
Zo +d?
Por lo tanto
a+bi ac+bd bc-ad.,
E RSS
cdi ral tra?
Ejemplos
l. Sean z,=4+3í A z,=3-2 1.
¿Cuál es la parte real de z, +2,?
Resolución
Ay 469
za 3-2
488
Multíplicando tanto a z, y 2) por el
Ñ Conj
de z,, se tiene ,
41 ,
AL 3481.05
Za 3-2i 3+2i 3 (2)
> 2 I2EBI+9i+ 6 1241716 647
E
Z] 6 17
DT —=—+—
2 1818
Re| 41 [,£
Za 13
Halle el complejo z.
ES] 2+ ¡
z= — 1.
2-1 15-31
Resolución
En este caso podemos ordenar en forma
conveniente, entonces
(e leer)
5-31) 2-i
a)
(5-31)(5+35) J(2-i)(2+i)
Ea
LU 34 5
R qu) q
- 17 5 85
36 77
2=-—=+>— 1
85 85
» 1
Efectúe W = (ana)
Resolución
dor, tenemos
Efectuando en el denomina
i p_L
w=—t—2=
¡3-37 +9 105 10
Números complejos
A A AAA
n
nciació ; ; A
pote ' nciación en forma binómica tiene mu-
ote
timitaciones, POr ello se utiliza cuando las
chas
potencias son pequenas.
Ejemplos
L Efectúe
o (1) =1421+17=21
b. aya + n= 4
e (-P=1-21+i?=-2i
a 1-0 [0-0 20'=-4
» Observación
(1+0*=(1-0'=-4
2. Calcule la parte real de W.
25 19
AN
li 1+i
Resolución
Efectuando por separado
Reemplazando tenemos
W=(D+(-HP=i—¡=0
> W= y» Re(W)=0
Calcule el complejo
ee)"
=—i
2
Resolución
> 360
Podemos escribir z = EN)
360 360 180
> 22) 7) [ama]
La 1 :
> 2 RN
AS (iy 1021902421
Resultados importantes
(1+D?=2i (1-0? =-2i
0+D0=2(1+0 5 (1-0D=-21(1-0)
(1+0*=-4 ; (1-N%=-4
Radicación en C
En la forma binómica, solo estudiaremos la raíz
cuadrada; en la forma general, la estudiaremos
más adelante.
Definición
La raíz cuadrada de un número complejo z es un
número complejo w tal que w=z.
Sobre la base de la raíz cuadrada de números
reales positivos, probaremos que la raíz cuadra-
da de un número complejo siempre existe.
Teorema
Dadoz e C;3w e C, tal que w=z.
Es decir, w es la raíz cuadrada de z.
489
Lumbreras Editores
Demostración
Dado z=x+yl; z+0 debemos hallar w=a+bi, tal
que w*=z.
Esta última condición plantea la igualdad
(a+b0?=x+yi.
Efectuando y ordenando el primer miembro:
a? —b*+2abi=x+yi
Igualando las partes reales e imaginarias se tiene
Ja? -bé=x
el sistema
l2ab= y
Reemplazando ps en la primera ecuación:
a*-—;=X.
2 y
da?
Lo que se convierte en 4a! — 4xa” — y=0
Resolviendo para a” se tiene:
MEE ESED
2
Pero a? > 0, entonces se debe tomar
qe ANACO 0
2
En forma análoga se obtiene
ME
Pda last AR (1)
j 2
Buscamos los valores de a y b
Ia 13
Pero 2ab=y, entonces se tendrá lo siguiente:
Siy>0 => dabtienen el mismo signo.
Siy<0 > anrbllenen signos diferentes.
490
.
Por lo tanto
e
ACI CI
donde (*) es el signo de y.
Ejemplos
1. Halle la raíz cuadrada de z = 6-8l,
Resolución
Aplicando la fórmula anterior
(6+/6?+8? sr fot,
Vz =V6-8i Al 2 3 ¡
> vV6-8i=1(2V2-/21)=142(2-i)
V6-8i=+V2(2-i)
Otro método
»» Recuerde
Ja+b+2/ab =+(VatWb)
FARSA A
> Ves Vel Va-/=)=+V200-D
2. Calcule 5 + 121.
Resolución
» 1scA
Sea x+yl la rafz cuadrad bi
a que se
5412 =x+yl; x, yeR
ca
nn
CAPITULO XII_
Elovando al cuadrado
5412= (90421
> se1i= y +2
Por Igualdad de números complejos:
2 as ia
xe-yó=0 ml | y
2xy=12 | xy=6
De donde se liene
x=3,y=2 > x+yi=3+21
ed ,
x=-3,y=-2 > x+y=-3-21
45+12i=+(3+21)
Otro método
(Transformación de radicales dobles a sim-
ples)
/5+121=5+2v-36
CNN
9+(-4) 9-4)
> V5+I2i=+(49+4-4)=+(3+2i) +(3+20)
MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Dado z=a+bi, el módulo o valor absoluto de z
es un número real no negativo denotado por |z|,
tal que |z|=va?+0b?,
4 Eje Imaginario
z=(a; b)=a+bi
Eje real
>
Números complejos
Geométricamente, el módulo de z nos representa la
magnitud del radio vector oz, es decir, la distancia
del polo (0; 0) al afijo (a; b).
Ejemplo
Halle los módulos de los siguientes complejos
a. 2,=5+4í
b. z3=1-/
C. Z33-5
d. z¿=-6í
e. 2:=-3-4i
Resolución
a. |z,]=v5?+4?=/21
b. |z2l= JP +n?=/2
Cc. |z3l= (5) +0? =5
d. |z4l=/0?+(-6)* =6
e. |251= (3) +4)? =5
»» Nota
vVajbeR
=a > |2l=1al
z=bi > |z| =|b]|
Propiedades
De la definición de módulo se desprenden las si-
guientes propiedades: sean z; z,; z, € C, entonces
l. |z|>0;]|z]=0 «e z=(0;0)
2. |2|=/2|=/2*|
3. |2/?=2:z
4. |Re(z)| <|z|; |Im(2)| < [2]
5. |z,22]=12,1122|
a z1.
; Vzz*(0; 0)
|zal" e
Z2
491
Lumbreras Editores
AAA A OO SATA AA A
7. (2 |=|2", VneN Luego
8. Wal=0a; VnenN; n>2 [z,+221?< (|z,]+]22))?
9. |2,+2,|<|z,|+|zo] |
Quitando exponentes se tiene |
10. ||2,1-|2211<]2,-z2]
|2,+22] < |z,| + [22]
Demostraremos algunas de las propiedades.
Propiedad N.? 5 Ejemplos CES
[2129]? =(2122)(2122) A ay
> lazo? =(2,21)(2, -29)=12,1?|20]? Calcule el módulo de z.
Resolución
uitando exponentes se tiene
Q P Utilizando las propiedades
|2,22|=|2:]|22]
¡21H e2illa—d_ 392 at
Propiedad N.? 7 as v37+4?
2" =BRZAZ > 11 113-417 _ 4221 |
n veces lzl= Y25 PT , |
Tomando módulo 4221
I7"| = |z-202...z| Pale 5 |
y usando la propiedad N.* 5 (+70
2. Seaz= a s
[2"|=]2] [2] [z]...]2|; 1 veces (7+50)
o ¿Cuál es el módulo de 2?
Propiedad N.” 9 RESPIUCIón
AS, _ 2% q . Fa l
a 2ob st 23 mn e 4 E, A 2,) Utilizando las propiedades de módulo
Ñ Ñ ¿10
> la +29) =/2))"+212, + 2,2, +|2of eo
=5i
2
Pero se observa que |5+7i] =|7-5i| /P+ 8.
2,27+2,2,=2Re(z,z,) A Re(z,2,)< |z, +2,| Luego
10
Entonces [o 1 En 72,5 z =49+25
[z,+221?=|2,1?+2Re(z,2,)+|2,]?< y7245?
21%212,1/221+122P=(]2,1+]221) . - |2]=74 |
492 |
cl
CAPÍTULO XI
Sea w=+7-i. Señale su módulo,
3.
Resolución
Por propiedad
pps rai= d+ P =/50
y3-4i
4, Sea 2=——7> indique su módulo.
E >
--—i
2 2
Resolución
Utilizando las propiedades de módulo
EN
5. Sean z, w números complejos tales que
|z-1|=3; |w+1|=2.
Calcule el mayor valor de |z+w].
Resolución
Iz+w|=|(2-1)+(w+1)]
Utilizando la desigualdad triangular
Iz+w|<|z-1|+]w+1]=3+2=5
Luego |2+w]<5
% |2+w | máximo =9
Números complejos
6. Sean dos números complejos z, w tales que
Iz|=2; |w|=3 y zw+zw=4
Calcule |z+w)].
Resolución
Sabemos que
|k|2=k=k; Vk e C
En el problema
|z+w/?=(2+w)2+w)
AA
> |2+w/2=(2+w[z2+w)
<=?
> |2+w|%=2:74+2-w+w:z2+w:w
> |2+0/2|2/24+2w0+w2+ |w|?
Luego, usando los datos
|z+w/?=2*+3?44=44+9+4=17
|z+w]=417
» FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN
NÚMERO COMPLEJO
Sea z=a+bi un número complejo diferente del
complejo nulo.
Entonces |z| +0
4 Eje imaginario
Z=xX+yi
Eje real
Del gráfico: x=|z|cos8; y=|z|sene
Donde tano=?
493
Lumbreras Editores
Entonces z=x+y¡=|z|cos0+ |z|sen0i
Por lo tanto
| z=|z|(cos0 +isen0)
Esta es la representación trigonométrica o polar
del complejo z, donde al ángulo 0 se le denomina
el argumento de z denotado por Arg(z); es decir,
Arg(z)=0
Se recomienda expresar 0 en radianes.
Se observa que 8 puede tomar infinitos valores
como
0,=0; 0,=0+21, 0,=0+4n
Para evitar este problema definimos el argumen-
to principal de un número complejo.
De todos los valores de O elegimos aquel que
se encuentra en el intervalo [0; 271); es decir,
0<68<2n. A dicho 8 se le denomina argumento
principal, cuya notación es
Arg(z)=0
Conociendo el argumento principal de z denota-
do por Arg(z), podemos generar otros cuya no-
tación es
| arg(z)=Arg(z)+2Kr
K=0; £l; 12; £3;...
»» Nota
1. Alargumento de z, Arg(z), también se le
denomina amplitud.
2. Elargumento es el ángulo generado por
el radio vector al girar en sentido anti-
horario desde el eje real positivo hacia
un punto cualquiera del radio vector.
3. Se denomina cisa a la abreviatura de
cosa+¡sena.
494
Ejemplo
Halle el argumento principal, el módulo y expre-
se en su forma polar cada uno de los números
complejos:
2 =V2+vV6i
2,=-2+2i
2¿=4-31
z=-1-i
z5=2+51
PpP.ao yg»
Resolución
Es recomendable tratarlo gráficamente
a. 2 = 2+V6i
e |2,]=v422+46" =48=242
T
. tano == 3 > 423
módulo |z, | =2/2
r
argumento: ct; Ss
2, =2V2(cosl+isent)
b. 2¿=-2+2i
3x
Del gráfico: [z,] =2v/2 y a
: 3n
z,=2V2 (cos SE elsen sil
» Nota
Para calcular el argumento principal de z,
se debe observar en qué cuadrante se en-
cuentra el afijo de z y luego calculamos di-
: b
cho argumento a partir de tan0 = + .
c. 2354-31
+ [23] =V3?+4?=5
* 04+377=360? = a3=323"
.. z3=5cis323"
|
d. z=-1-¡
. Izal=42+12=4/2
Números complejos
e. 25=2+5i
e |z.]=v22+5?=429 .
5
. tana;=> (no es notable)
5
> as=arctan 2
2s=V2cis arctan 5
» Nota
También se puede definir el ar-
gumento principal en el intervalo
(ex; a], es decir, -n<8<x; por ello
no debe ser extraño si lo considera-
mos en algunos problemas.
Teorema
Dados los números complejos no nulos
z=|z|(cos8+isen8)
w=|w|(cosa+isena)
se verifican
1, zw=|z||w|(cos(8+0a)+isen(8+a))
z_lzl as E
2. y ost 0)+isen(8—a)) )
ASAS
495
Lumbreras Editores
4
Demostración
l. zw=]z|:|w)|(cose +isen0)(cosa.+isena)
zw=|z||w| [(cosdcosa-sendsena) +¡(cosdseno-+sentcoso)]
zw=|2||w| [cos(8+a) +isen(8+0)]
9. 2_lzd cos6+isen6
w lol cosa+isena
z lzl (cos8+isen8)(cosa.-isena)
w lul (cosa+isenol(cosa.-isena)
2 2
z _lzl (costcosa-isenacos), isentcosa *senosena
cos? a+sent o. cos* a+sen” 0
z o
E - E [(cos0cosa+sen dseno)+¡(sen8cosa-seno.cos8)]
w lw
z lzl
2 -Plcoste-a)+ isen(e—a0)]
»»> Conclusión
1. Para multiplicar complejos en la forma polar, se multiplican los módulos y se suman los
argumentos.
| arg(zw)=arg(z)+arg(w)
2. Para dividir complejos en la forma polar, se dividen los módulos y se restan los argumentos.
(
arg (E)=argta)-are(u)
Gráficamente para (1)
8+a
496
CAPÍTULO XI
Ejemplo
Dados ¿e 3 3i; w=1+k,
z
halle 2:40; y represéntelos gráficamente.
Resolución
¡d= /12=2V3
5
ao
Entonces
5n.. 5T
¿003|cos qe sen 5.)
También
hol=V2; arglu)==
Entonces
To. T
=v2 + ¡sen
w (cos is :)
Como nos piden el producto y el cociente de z;
w, hallaremos los argumentos:
E
arglz-0)=24==
6 4 12
api) 1
w) 6 4 12
Luego
20=24/3- 3/2 cos Ml sisent=r)
> ZiD= 25[cos pta Len)
> +isen=7)
al Tr 7r
“7 | COs—+¡ po
w Y2 E pisenta)
Ss 2 7
== 6cos7% y 1)
w 12 eno
Números complejos
Graficando los argumentos de z-w y ze
w
Dados
z=|z|(cos0+iísen0);
z*(0;0)rneN
se tiene
Z7'=|z|"(cosn8+isenn8)
Teorema de De Moivre
Corolario
_arg(2")=narg(z);n eZ
Ez
—.
Ejemplos
1+ 4/31
1. Halle el argumento de MACETA 2 Dl
Resolución
2i
arglz)= 200 E a
arg(2)=3arg(1+V31)-arg(2i)+
+5arg(l+1)-2arg(V3+i)
ON
171
argl2)==77
T
6
(+0?
(3+iF
J
(+05 ]
43 +i)
17r
12
497
Lumbreras Editores
2. Demuestre que Resolución
sen20=2sen0cos0 » cos20=cos*0 — sen'0. Como
1+ 43í=2(c0s60*+i¿sen 60")
neón 1-43 ¡=2(cos(-60)+isen(-60*)
Sabemos que
1-43¡= 2(cos60”-isen60")
(cos0+isen0)?=cos20+isen20 ss
(por Teorema de De Moivre) Luego
30 a
Efectuando en el primer miembro z =|2(cos 5 + ¡sent s[2cos 5 -isen* ]
p z . 3
cos*0 — sen“0+ 2senOcosdi=cos20+isen20
E E — —Ñ
z= ES [cos 305 +isen30 5,
Igualando las partes real e imaginaria tenemos 3
cos20=c0s*0 — sento 20 (
sen20=2sen0cos0 3 3
cos30S ¡sendos
z =2(cosl10n+isenl0m)+2%(cos10n-isen10m)
z =2%(2cos10n)
z =2%.2!.cos10n
Resolución e. 72=2.]=2M
Representando z geométricamente
3. Seaz=|z|(cos0+¡sen0).
Halle el argumento de su conjugada.
» FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO
COMPLEJO
A Eje Imaginario
z
Teorema de Euler
Eje real e" =c0s0 + ¡send
Donde e es la base del logaritmo
neperiano y 0 es argumento en ra-
A dianes; ¿=(0; 1)
z
La demostración la realizaremos en el siguiente
tomo, ya que aún no hemos desarrollado los co%*
» Á y ' ME i
Del gráfico: a=21=0 > arg(2)=2n-0 ceptos teóricos suficientes para su comprobación
"mm, 2) . e pese! y ón
También podemos considerar (-0) Entonces tenemos una nueva representacl
Entonces arg(2)=-0 para el complejo z.
2=|2|(cos0+iseno)=|2]e"
4, Halle el complejo z,
130 : | |
2 ( / 31) +(1- ya AA zm|3|0" (5
Ñ
498
pÍTULO XII
CA Números complejos
_AA
Corolario
| Conociendo el complejo z=|z|[e% |
| podemos hallar la representa- |
ción exponencial de su conjugado |
solo reemplazando 0 por (-0). |
zm [2/40 |
Ejemplos
1, Represente en forma exponencial al com-
plejo 2=4+4431.
Resolución
¿=4+4431=8[cos T+isen] J=80
z=8e3
2, Sabiendo que z=x+yi, halle el módulo y el
argumento de e”.
Resolución
¿=eY=e -i=e*(cosy +iseny)
z le*| =e; argle”)=y
Nótese que €">0;VxeR
3. Calcule el valor de ¡%; ¡=V/-1.
Resolución
Partimos expresando en forma polar el com-
plejo
¡=0+i=(0[cos E+isen z)
im
a
“lego i=cos= +ísenZ=e?
2
pa zx
Nos piden ¡í = e2)=e2 =e 2
»» Nota
Del teorema de Euler se tiene
e” =cosO+iseng (1)
el = cose-iseng (ID
Al sumar (1) y (11) se obtiene
+ e""=2cos0
€ =
epi
de donde cosO= (”)
Al restar (D-(1D) se obtiene
JO 0
seng= € (*»)
Si en dichas fórmulas reemplazamos 0
por z, obtenemos algo más general
REPRESENTACIÓN CIS
Es usada para representar en forma abreviada a
un complejo en su forma polar. Así
| z=|z|(cos8+isen0)=|z|cise
Ejemplos
* 7, =2(cos12"+isen12”)=2cis12*
+ zy=2cos(0+2km) +isen(0+2%r))=2cis(0+2%T)
REPRESENTACIÓN FASORIAL
Para esta representación es necesario que el
complejo esté expresado en forma polar.
Si z=|z|(cos0+isen0), su representación fasorial es
2=lz)10.
499
Lumbreras Editores
|
]
Ejercicios
Esta representación es usada especialmente en
circuitos eléctricos.
Ejemplos
*« 7 =4(cos18”+isen18”)=4|18"
* zy= 5(cosEs+isent) =4/45%
4 4
* z¿=16(cos5” —isen5)=16|5%
Sean los números complejos
z=|z]e*, w=|w|e”.
| En ellos se cumple:
Forma exponencial
zw=/z|[w|e*+"
Forma polar
z-w=|2| |w|(cos(8+0)+isen(0+0))
Representación CIS
z-w=|z||w|cis(9+0a)
Representación fasorial
z-w=|z||w||(0+0)
De manera análoga:
Forma exponencial
zolo
42 (0-0)
w lu
Forma polar
2 cosíe-0)+isen (8-a)
Representación CIS
22 cisto-a)
w
leo!
Forma fasorial
2h
W Preg] acia
500
1.
Halle el complejo z.
_2(cos13*+¡sen139|2/2(cos67*+iseng7)
4[cos16"+¡sen16"][cos19*+isen19]
Resolución
Representando fasorialmente
¿AA (TIP 80
Ae e 162+192 [ago uE
Luego
z= MO A |
2 2 |
Je 12:
=—+4+—i
2 2
Exprese la forma polar de
(+0 (V3+1)
z= —_——_———
(3+41P |
Resolución
Necesitamos su módulo y su argumento: |
Módulo
y Mai Val 422 8h |
+4 $ 1
Argumento
kl]
Arg(z) =Arg(l +05+ar8(13+)-Ag3+
Arg(z) = 5Arg(l +) +arg(/34)-30080+%
3e)=96"
Arg(z) =5-45*+30"-3(5
>
Dis AA AAA o o A AA AS o
CAPÍTULO Xil
ERA íá ápdbT[T-bTI[It[Il6>»-AdáadkéM<XA
Teorema de De Moivre
| Sea el número complejo |
| z= Izle*. |
| En él se cumple
| Forma exponencial
ZP=|2|" gina
| Forma polar
Z7'=|z|"(cosn0+isenmn8)
| Representación CIS
| Z7"=|2|"cis(ne)
Forma fasorial
| ZPalz|"ne
vneZ
RAÍZ ÉSIMA. RAÍCES DE LA UNIDAD REAL
- El problema de obtener una raíz n-ésima de cual-
quier número real o complejo se resuelve satisfac-
toriamente con la teoría de números complejos.
Definición
Dadosze € y ne N- (1), se llama raíz n-ésima
de z a un número w € C, tal que w”=z.
Teorema
Para todo z € C y todo n e N-(1)
' existen n raíces (n-ésimas) de z.
Demostración
Sea z=|2|e""=|z|(cosg+isen8)
Deseamos calcular
w=|w|e'*=|w|(cosa.+isena), tal que w"=z
ES decir
[lwojela]"= Izje? > |w|"e"%=|2]e*
Equivalentemente
hol"(cosna+isenna)= |z|(cose+ísen8)
_— Ea
Números complejos
Igualando partes real e imaginaria
|w|"=|z| a [cosna=c0s8 » senna=sen8]
De donde obtenemos
lal=Wal a na=0+2kn > a 9+2kr
¡ReZ
Luego, las raíces n-ésimas son
wr =af| cos(9+245), sen aa]
n
> ES is
n
R=0; +l; +2; 43;...
Estas raíces no son todas distintas, pues
W,=Wy; Wa =01; «3 WS)
Es decir, w,,¡=00) ... V¡=0; +1; +2; ...
Luego, las raíces n-ésimas distintas son
Wo; Wy; Wa; 0. 101
Por ello, cuando se resuelve un problema de raíz
n-ésima es suficiente tomar los valores de
R=0; 1; 2;3;... (n—1)
Ejemplos
1. Calcule la raíz cuadrada de -9.
Resolución
Sea z=-9, cuya forma polar es 9cisr.
Luego
Ve lScis [25702 )=3ci5[ E +4)
donde k=0 vk=1
. Si e=0; /z =3cis=3(0+1)=31
. sik=1, /2=3ci[F+1)=3cs[ 3)
> Vz=3(0+-1)=-3i
“. 4/9 =3i v V-9=-3i
501
Lumbreras Editores
— —
2. Halle las tres raíces Cúbicas de 8i.
Resolución
Sea 2=8i=0+8í=8cis|*)
-+2kr
> 2 YE co(2
donde R=0; 1; 2
Si R=0; ay=2cisE=0[ 0, ¡)> 3 +i
> Zq= 3+i
Si k=tizi=zas 5-2 --8,1,)
MES
> 2 =- 3+i
Si R=2; 27=2ci53=2(-1)=-2i
> z=-2i
Por lo tanto, las tres raíces cúbicas de 8í son:
BB ri: -V3 +1; -2i.
» Nota
Esta es la representación geométrica de
las tres raíces cúbicas de 81.
fast
3. Halle las tres raíces cúbicas de 2=1+;
Resolución
T
Argla)=7
z=1+i
|z|=42
> 2=1+1=32(cosZeisent)
Luego, las raíces cúbicas de z=1+;¡ son
Z 2km T
+isen
E t-
R=0; 1; 2
ea
Para R=0
wy=Y2(cos E +isen E)
12 1
> wy=Y2(cos15"+isen15")
cla HR. 8 +izd24)
Para k=1
w=Y2[cos(15*+120*)+isen(15*+120]
> u=Y2(cos135*+isen135)
nl -9/-2,2,)
Para k=2
10, =/2[cos(15"+240)+i sen(15*+240
> =9Y2(c08255"+isen255)
> uy= 09/1/2454 (25h)
CAPITULO NU a
por lo tanto, las tres raíces cúbicas son
da |
EE 243);
AO e 0 y
el 2-43 +3 24/31) é
4 Halle las raíces cuartas de 1,
Resolución
Seaz=1 => z2=cis0'=cis(2k1)
Vds) =cis[ 42) Rk=0; 1 2,3
sik=0 > Y2z=cis0'=1+0=1
Sik=l > Vz =cis5=0+i=i
Sik=2 > Va =cisE=cos=-I+0/==1
: 4, . 3R Ñ .
Sik=3 > Va =cis =(0+-i)=-i
. Meliá -k-1)
» Nota
Esta es la representación geométrica de
las raíces cuartas de 1.
mp,
S=(42) u?=2 u?
Raices Cúbicas de la Unidad real
Sea el complejo 2=1,
Como se dese
eCxpresamos el complejo en forma polar
z=]|=] +0/=c0s0"+¡sen(”
Luego, la raíz cúbica es
O
24 = cos| Lt2er a risen (Lt an)
> 2 =c0s| 55 )eisen(24%)
Donde
Rk=0;1;2
Para R=0; z¿=c0s0"+isen0*=1
Para k=1; a=cos Zeisen ti,
Para R=2; a=cos rigen 18,
»» Conclusión
Las raíces cúbicas de la unidad real son
143. 143.
a
2 2 2 2
conjugados
Pero si asumimos por w al número
(4:85)
22
las raíces cúbicas de 1 son 1, w, w, es
decir
1
EA
=|--+—1=UwW
Meta
143, 2
2 2
Números complejos
a calcular la raíz Cúbica, entonces
503
Interpretacion geometrica
Se observa que las tres raices cúbicas de la uni-
dad tienen el mismo módulo; por lo tanto, sus
añijos estarán en el borde de una circunferencia
de radio igual al módulo. En este caso el módulo
es igual a la unidad.
w*
En el gráfico se observa que los afijos de 1; 10; w?
son los vértices de un triángulo equilátero.
Propiedades de las raíces cúbicas de la
unidad
+ Sabemos que w es una raíz cúbica de uni-
dad, entonces se cumple w=1.
Luego podemos afirmar
/
w*=1 y wé=1; VReN |
Entonces
w*"=w: reZ
Luego
wey: wr?
+ Si sumamos las tres raíces cúbicas 1; w; w?,
tenemos
mia 1 08 E
2 2 22
> 1+w+w=0
504
lvkjreZ
L ws
MA
NT
| IV. 1 +w+w=0
| ,
| »» Conclusión
|
|
1]
3k JR 3
ts w; yet? =1?
=w"
Teorema
Los afijos de las raíces n-ésimas de un |
número complejo son los vértices de un |
polígono regular de n lados. |
Sean Zo; 215 295 23; +5 Zn, las n-raíces
(n-ésimas) de z.
Del gráfico se observa:
a-[2)
n
Luego, el área del polígono regular de
n lados es |
Z 1]
Ss | o sen( 2) u?
2 n
Donde z, es una de las raíces (n-esimal)
dez.
También se cumple:
L 2 ¿=2[=23=...=2f_1=2
IL 2 +2,+2)+...+2,-1=0
CAPÍTULO A J)
Números complejos
O AAA AE A E
» Importante
Las raíces N- -ésimas de la unidad tienen
propiedades importantes que merecen
especial atención.
Si wy, 1 Son las raíces n-ésimas de la
unidad, entonces W]1W es también raíz
mésima de la unidad; en particular, w; u?;
wi; .. son raíces enésimas de la unidad.
Siw"-!=1, se dice que w es una raíz
primitiva de la unidad.
mi entE
w= cos—+Ís sm
Existen otras raíces primitivas, las cuales
son
2krt 2kr
Wy = COs— +¡¿sen——
n n
k<n y k es coprimo con n.
- Ejemplo
Las raíces cuadradas de la unidad real son 1; —1,
donde —1 es la raíz primitiva, y las raíces cúbicas
de la unidad real son 1; w: w?,
Así
donde 1; w* son raíces primitivas.
Ejercicio para el lector
Pruebe que í; -¿ son las raíces cuartas
primitivas de la unidad real.
Ejemplos
|. Dadoz=2, halle
a (215)
b. (23)
Resolución
a. z=2=2(cis0”)
o
> AA E
116 _ 6/9: RT O
O 2cis o; R=0;1,2;...;5
Para R=0; z¿= Y
Para k=1; 2000 1.:8)
Para k=2; 200 -1,8)
Para R=3; z3=-Y2
Para Rk=4; 2c0a-1-8;)
«ly)
3
Como se desea calcular (2"£)”, elevamos
al cubo cada una de las raíces:
Para R=5;
Observamos que se repiten los valores,
los cuales deben ser considerados una
sola vez.
(¿154 2 v (215 =-/2
b. z=2=2cis0" > 22=8=8cisQ"
3986. (0"+2kr
(23) die qUe )
>» (23)"- = 2 cis tE; k=0; 1 2.
505
2. Calcule el valor numérico del polinomio
Para
51 102 7,4
R=0; zy=v2 P¡y=2 431125151243
1,43,
ia LA
k=1; 20121485) cuando Xy E
2 2
Resolución
R=2; Z2= 8 ;) Se observa que x representa a la raíz cúbi-
2 ca de la unidad real, que estará cumpliendo
k=3; 23=-V2 que x¿=1 A DOS
3
Pr =20)"+3 (ese): x-5+3
1 43
k=4; 24=V2| - ¿El
2 Luego
117
14, Pio) =2(x0) +3(x0)*-5(x9)x0-5x7+3
Rk=5; z5=v/2 22'
> Pay =2:143:1%25-1:xp-5x9+3
a => y > Poy dE =
a | 00 =2+3-5 (xy + )+3=2+3+5+3
“ol z | . P. =13 -l
>) “ Ex)
506
BL rain 1 e ice Tol il
» r
Biocraría
Leonhard Euler
Nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, y murió el 18 de
septiembre de 1783 en San Petersburgo, Rusia. Fue un respetado
matemático y físico, y es considerado el principal matemático del
siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos.
El matrimonio Euler estaba fuertemente ligado al calvinismo. El pa-
dre, Paul Euler, era pastor y la madre, Marguerite Brucker, era hija de
otro pastor. Además del primogénito, la pareja tuvo dos hijas llama-
das Anna Maria y Maria Magdalena. Al poco tiempo del nacimiento
de Leonhard, la familia Euler viaja a Riehen, ciudad en la que se ins-
talan y donde el joven Euler pasa su infancia. En aquella localidad,
los Euler entablan amistad con los Bernoulli, famosa familia de ma-
temáticos, de donde destaca Johann, considerado el mejor mate-
mático europeo y que ejercería gran influencia en el joven Leonhard.
Posteriormente, fue enviado de regreso a Basilea, a la casa de su abuela materna, pues daría inicio
a sus estudios. Su padre tenía intenciones de que su hijo siguiera sus pasos y estudiara teología,
así que cuando Leonarhd cumplió 13 años, lo matriculó en la Universidad de Basilea. Precisamen-
te, una de sus clases sería dictada por Johann Bernoulli, quien se percató rápidamente del gran
talento de Leonhard para las matemáticas. Gracias a él, Paul comprendió que su hijo estaba desti-
nado a ser un gran matemático.
En 1723 Leonhard obtuvo el título de maestro de filosofía, y tres años después se graduó de la
universidad. Por aquella época, Euler se dedicó a reconstruir trabajos de grandes matemáticos
como Varignon, Descartes, Newton, Galileo, entre otros; además, ganó el segundo puesto cuando
participó en un concurso que la Academia de las Ciencias francesa estaba promoviendo, en donde
se solicitaba a los concursantes que encontraran la mejor forma de ubicar el mástil en un buque.
El primer lugar fue para Pierre Bouguer, el padre de la arquitectura naval. Sin embargo, Euler con-
siguió ganar ese premio hasta en doce ocasiones.
Por aquella época, los hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolás, se encontraban trabajando en la
Academia de Ciencias de San Petersburgo, creada por el zar Pedro |, y que tenía por objeto mejorar
la calidad educativa de Rusia e igualar su nivel intelectual con el de otros países de Europa Central.
Por ello, la Academia implementó una serie de mejoras que incluía la presencia de eruditos extran-
Jeros que pudieran proveer los conocimientos necesarios para sus estudiantes.
Enjulio de 1727, Nicolás murió de apendicitis, por ello Daniel recomendó a Leonhard para que ocu-
Para el puesto de su hermano en el departamento de fisiología. Sin embargo, la zarina Catalina 1,
quien se convirtió en la principal benefactora al continuar con el legado que fundó su marido, murió
el mismo día de la llegada de Euler. Esto resultaría un problema, pues el poder quedó en manos
507
508
de la nobleza, que eligió como nuevo zar un niño de 12 años, Pedro Il. La nobleza sospechaba de
los científicos extranjeros, lo que motivó un recorte del presupuesto de la Academia, entre otras
dificultades para Euler y sus colegas.
Las cosas mejoraron tras la muerte de Pedro ll, acaecida tres años después de la asunción de su
reinado, y Euler fue ascendiendo en la Academia, hasta que en 1731 se convirtió en profesor de
física. Dos años después, Daniel Bernoulli renunció a su cargo y Euler lo sucedió como director del
Departamento de Matemática.
En 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell, hija de un pintor de la Academia, con quien
tuvo trece hijos, de los que sobrevivieron solo cinco. Al año siguiente de su matrimonio, Euler sufrió
de una fiebre que casi le cuesta la vida, y tres años después quedó parcialmente ciego del ojo dere-
cho. Euler hacía responsable de este hecho al trabajo de cartografía que realizaba en la Academia.
Para 1741, debido a los acontecimientos políticos en Rusia, Euler decidió viajar a Alemania tras
aceptar un cargo en la Academia de Berlín que le fue otorgado por Federico Il el Grande, rey de
Prusia. En aquella ciudad permaneció durante veinticinco años, tiempo más que suficiente para
escribir 380 artículos y dos de sus principales obras: Introductio in analysin infinitorum (1748), un
texto sobre las funciones matemáticas, e Institutiones calculi differentialis (1755), que versaba sobre
el cálculo diferencial. Además, se le solicitó ser el tutor de la princesa de Anhalt-Dessau, la sobrina
de Federico, quien anhelaba ser instruida por un gran maestro.
Euler escribió un notable conjunto de cartas -o lecciones- sobre filosofía natural, física y mate-
mática, así como una visión de su personalidad y creencia religiosa para la princesa. Estas cartas
serían recopiladas en un volumen titulado Cartas de Euler sobre distintos temas de filosofía natural
dirigidas a una princesa alemana. Este libro se convirtió en la más leída de sus obras, y fue publi-”
cado en toda Europa, incluso llegó a Estados Unidos. Estas cartas son un modelo de enseñanza
clara e interesante, y es notable la habilidad de Euler para comunicar cuestiones científicas a una
audiencia menos calificada, además de que pudiera encontrar el tiempo para un trabajo elemental
tan minucioso como este, en medio de todos sus demás intereses literarios.
En Alemania, el problema ocular de Euler empeoró, incluso su ojo sano, el izquierdo, sufrió de ca-
taratas. Pero a pesar de ello, Euler no dejó de trabajar, pues su productividad intelectual continuó
con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotogrática,
Sin embargo, pese a las múltiples contribuciones que hizo a la Academia, Euler fue obligado a
dejar Berlín. Aparentemente, Federico no estaba conforme con él, pues lo consideraba una perso-
na poco sofisticada en comparación con Voltaire, uno de los filósotos que gozaba de una buena
posición en el círculo del rey.
Corno la situación en Rusia había mejorado tras el ascenso de Catalina la Grande, en 1766 Euler
acepta la invitación de volver a la Academia de San Petersburgo. Los últimos años de su vida los
pasó ciego, pero siguió trabajando al lado de su hijo mayor, a quien le dictaba los trabajos. Lamen-
tablemente, cinco años después de su regreso, un incendio consumió su casa y dos años después
su esposa fallece. Euler contrajo nuevas nupcias luego de tres años, pero el 18 de septiembre de
1783, alos 76 años, falleció. Fue enterrado junto a su primera esposa en el Cementerio Luterano, y
posteriormente sus restos fueron llevados al Monasterio de Alejandro Nevski.
Fuente:
http://es wikipedia.org/wiki/Euler
http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euler.htm
BIOGRAFÍA »
E A LA
problema 1
os números complejos
, =(4;-2); 29=(5; 3).
acid es el complejo que representa a 22, +3z,?
a
lución
27, +32,=2(4; -2)+3(5; 3)
=(8; -4)+(15; 9)
=(8+15; -44+9)=(23; 5)
+ 22,+3z,=(23; 5)
Problema 2
A multiplicar z, y z, Se Obtiene otro complejo de
la forma (2x-1; 3-y), donde z,=(3; 1); z¿=(1; 4).
¿Cuál es el valor de xy?
Resolución
De la información:
2,:2=(2x-1; 3-y)
3 (3,1):E1;9=Qx-1; 3-y)
Aplicando la definición de multiplicación de
complejos en pares ordenados
BD Er 0=(3820-1-4; 120 +3-4)
=(-3-4; -1+12)=(-7; 11)
Luego, por igualdad de números complejos
E M=(2-1; 3-y)
== ión
Ask os x=-3
ll=3-y =$ y=-8
= 1Y=24
Problema 3
tar
Alcul A “3-1 ) yeR a i=yv-1,
* el valor de x-y,
Problemas
RESUELTOS
Resolución
Efectuando
2x+3xi+(-1)=3-yi
Separando la parte real de la parte imaginaria
2x-14+3xi=3-yi
TE HEY
Por igualdad de números complejos
2x-1=3 > x=2
=-y > y=-3(2)=-6
. x-y=2-(-6)=8
Problema 4
¿Cuál es el complejo w que verifica la igualdad
2iw+4/3=6?
Resolución
2iw=-43 +6, pero P=-¡
1/3 -i
21
> 2iw=-43-i => w=
Multiplicando y dividiendo por ¡
-(V3+i)i_-(V3+i)i
ie PUE ENS
21 (1) 2
2 2 2
(V3 +i)i E V3i+? Ñ Y3i-1
Problema 5
Sea el complejo z=1+i.
Calcule el valor de 2”.
Resolución
Del dato:
z=1+i
509
Lumbreras Editores |
Realizando la sentencia solicitada
22=(4)9"
> 2=l( +02]
> =l1+2+2]4=-1
> ¿=(2)P=2f=64(-1)=- 64
. 22=-64
Problema 6
Calcule el valor más simple de
_ (40 (1+31)
i—
N , donde ¡=(0; 1).
Resolución
»» Nota
(1+0?=2i
En la expresión, si multiplicamos por (í) al nu-
merador y denominador tenemos
2 ES
y ADC +30 2043000 _2(i-3) _
¡-3 (i-3)Í 1-3
h N=2
Problema 7
Halle el complejo Z.
(a? +ab+ali-a—-b-1
Z=
(a+b+1)i
; a+b+-]
Resolución
Agrupando la parte real y la parte imaginaria
z= La+b+Di-(a+b+D
(a+b+1i
Simplificando tenemos
¿oil lai-Di_aoi
TS =1+
l P -1 A
z=a+i
Problema 8
Efectúe y simplifique
Resolución
Recuerde q =-Í,
1+
Entonces
pa -- ¡RA ———— -I
W=:—== LL E => -i
l= 1-¡ ú
+2 >> A
1- 1- "
o
W=-i
Problema 9
Si z es un complejo no nulo que verifica la St
guiente ecuación iz+z=0, calcule el valor de
Re(z) +Im(2).
Resolución
Sea z=x+yi el número complejo buscado.
En la ecuación
(+ yl) +x+yi=0
xi+yP+x=yi=0
xi-y+x-yi=0
y) +(x-y)i=0
Po AE
|
E
|
|
CAPITULO A
por la igualdad de complejos
py > NY
pe aquí Re(=) =lm(2)+*0
Rel), Ñ
“ mt)
Problema 10
Dudas los NÚMECToS complejos
¿3+MQ-D;
calcule Im|z- 50].
Resolución
»» Sabemos que
Im(A+B)=Im(A) +Im(B)
vA,BeC
- Lo pedido es equivalente a
Im(2-Sw)=Im(z)-5Im(w)
: :
* 2=(3+2(2-1)=6-3i+4i-21
Ni? LESS
> 2=6+i-2(-1)=8+i
3 Im(2)=1
39 _3+24
A 2-4.
¡
» w
» Recuerde
ro.
Pon
l
So ei 643 i+ di 28
2-¡ 2+ 2 72
Números complejos
6471-21) B471 8 7i
Wwe — — —a-=+—
4-(-1) 5055
> Im(w)»- d
0]
Luego
Im(2)-Sim(w)=1- 3 z j=-6
Problema 11
A 2+a1 . ;
Sea 2= n un número complejo real no nulo,
+41
¿Cuál es el valor de ab?
Resolución
Por la información, sea =k;k e R
2+ai
> -=k, k real no nulo
b+4i
> 2+ai=bk+4Rki
Igualando complejos
2=bk (1
a=4k (1D
Como k*0, se pueden dividir las ecuaciones
miembro a miembro
294 > ab=24
a AR
ab=8
Problema 12
¿Cuántos valores reales de a permiten que el
complejo e sea un complejo imaginario puro?
-al
511
Lumbreras Editores
Resolución
Sea ki, tal que k e R;A no nulo
- dl
a+2i=2ki-aki?=2ki+ak
Por la igualdad de complejos
a=ak > a=0 v k=1
2=2k > k=1
Si k=1, entonces a es cualquier real.
Por lo tanto, existen infinitos valores para a.
Otro método
a+2i_(a+20Di_ (a+2Di
2-ai (2-aidi 2iá
x_>
Por lo tanto, a puede ser cualquier número real,
inclusive cero.
Problema 13
Dados los números complejos z y w
l+ai
z= =;
a+ i
a+3i
w= -
1-ai
si z+w=ki, tal que R e R, ¿cuál es el valor de k?
Resolución
De z+w=RkRi
l+ai a+3i_
— -=Ri
1-ai
a+i
En la segunda fracción, multiplicando y dividien-
do por
l+ai la+30Di ,.
+ =
a+i (l-aidi
mr
l+ai_ ai-3_2ai-2_2(ai—1)
a+i isa
i
a+i i
A ii
. Rk=2
a+i
ho
512
Problema 14 ,
Si /3+2¡=x+yi, tal que x; yeR, calcule el va
de E
y x
Resolución
De 43+2i=x+yi
Elevando al cuadrado
3+2=4+ 2 +0 =2 - y +2xyi
De la igualdad de números complejos
3=-y 0)
2=2xy (1)
Dividiendo las ecuaciones miembro a miembro
Zo. y ye y
= >
2 2x xy
3_x
Problema 15
Ei 7201-4131)
20D > ¿cuál es el módulo de z?
Resolución
Aplicando la propiedad
En el problema
121 U+24h- 31
Vx; y;zeC rAz%0
[21124]
//2 92 2
> lzl +2 P+(43) _N5 YA,
2/2 +1? 2:45 |
|z]= |
CAPÍTULO Xi!
Números complejos
problema 16
543 ¡=W-1, calcule el valor de M.
NTRA
3_ 3+1
se 2 Jo ¿21 )
MR x+1 xX—x+l
- Resolución
Recordando los productos notables
3
x*-1
=(x- +x+1 > =XY=
¿=D (e+x+1) Pe OS
3
1
A) A
Pel=tDbéx) > 7 =x
“Luego, lo que se busca es:
M=Re(x-1)+Im(x+1)
Reemplazando x=5+3i se tiene:
M=Re(5+3i-1)+Im(5+3i+1)
[> M=Re(4+31)+Im(6+31)
¿. M=Re(x-D)+Im(x+1)=44+3=7
Problema 17
-Si se cumple que
- 2Re(2)+3Im(z)=34;
2Im(z)-5Re(z)=-28,
calcule el valor real positivo de S.
- Resolución
Sea z=x+yi; además x, y e R.
Luego las ecuaciones quedan
| (2x+3y=34 0)
o RySx=28
Para eliminar y
0x2 > 4x+6y=68
(DxE3) > -6y+15x=84
Luego, Sumando las ecuaciones
19x=152 > x=8
En (1)
2(8)+3y=34 > y=6
De donde
z=8+6i
Entonces
E Zar 2 2
$= [(8+60(8 8. E +6 a
10 10
2
Problema 18
Calcule un número complejo que al ser multi-
4
plicado por (/3¡ +1) dé como resultado otro nú-
mero complejo de módulo 16 y argumento 180".
Resolución
Sea z el número complejo buscado.
Por dato
z-(/31+1)' =16cis1800
Recordando
Vistatrdsi=2cis(2)=2e3
16cis180"=16cisr=16e"
Luego
r. 4
¿loe =16e"
513
Lumbreras Editores
A K/K$K$2>2 A —
Problema 19
Si z es un número complejo definido por
«xn
(3) ; neZ, señale Im(z).
Resolución
Recordando ¡E mi=cisi=e
-i
nia
Luego
Problema 20
Si k es un entero no negativo, calcule el com-
plejo z.
E dee
Lv2
Resolución
Dato: k e Z¿
Entonces
A
a e”
i=EDNyA
Por lo tanto, el equivalente de la expresión es
cd id Y il
Problema 21
Encuentre un valor de
2Vi-i+Yí.
514
Resolución |
Partimos calculando un valor de $. Para ello
sabemos que Pai; entonces, un valor de Ys sl
pues *=i. Además (1+/)?=21.
Sustituyendo en la expresión
= (2/1 =V2=1+i
Por lo tanto, un valor es 1+i
Problema 22
Halle los números complejos z que satisfacen
Resolución
Sea z=a+bi; reemplazando en ha igualdad
l+a+bi|_
1-a-bi
> |1+a+bi|=|1-a- bil
> Vara? +0? =1-a or
> (1+0)?+0*=(1-a)+b*
> 1+2a+a?=1-2a+a*
> %4a=0 e a=0
Luego, z=a+bi=0+bi=bi
Por lo tanto, los números complejos Leda
el
facen son todos los imaginarios puros Y
que satis"
Problema 23 ei
Calcule los valores de x; y reales que Y
siguiente igualdad de complejos:
can la
xi _3x+4i
Lyi x+3y
PiTULo xi! Números complejos
Efectuando en el numerador
solución
ectu uando tenemos
AS =(1+y0(3x+41)
ando la propiedad distributiva
fic
il o =(3x- -4y)+(4+3xy)i
e E:
gr-4y=0 A A +3xy=4+3xy
pa)
SY > zon
pe '=4 se obtiene x=+2
reemplazando los valores de x en (3x=4y) se
obtiene y=13/2.
. x=t2 A y=+3/2
Problema 24
j A, donde ¡=/=1,
Si 2
calcule A4+1.
Resolución
Se observa la unidad imaginaria en el denomina-
dor, por ello utilizamos la equivalencia
¿= 0
¡ ,
4 30-3-Ma+3+1)
qq
]
ga? -8-6j)
_3:lla? -8)-6;)
a
A1+1=(3141=82
Problema 25
Halle z, tal que
a. Sea conjugado con su cuadrado.
b. Sea conjugado con su inversa.
Resolución
a. Dela condición del problema: z?=Z
Sea z=a+bi > (a+bi)?=a - bi
> (a?-b?)+2abi=a-bi
1 alo RE E
2
E
0)
a—-bi=za » 2ab=b
(11)
]
De (II) se obtiene b=0 » q
Para b=0 en (M)
2
Luego
z¡=0+0i=0 an zy=1+0i=1
Para a=-> en (D)
v3,
1
=--+— ib A 24=-
232 $7
3
=- 6 pd
1%;
2 2
aá=a e a(a—-1)=0 o a=0 v a=1
Por lo tanto, existen cuatro números comple-
jos que verifican la igualdad, y ellos son
z,=0; zy=1
A
3 z Y
Z4=>
=-—i
2
515
Lumbreras Editores
b. Condición del problema
po (D
z
Por lo tanto, dicha condición se verifica
V z € C de módulo igual a la unidad.
Problema 26
Halle el valor de w si
w w
Im +Im
ol w|+w, wW¡ +w)
Rel 2 Jere wa ]
wW|+w, wW| +w)
Vw, + -Wy; W,, WE €
Resolución
Este problema se resuelve con el siguiente
análisis:
Sea
z=0+bi a zo=c+di
> 2, +2z2=(a+c)+(b+d)i
Luego
Re(z,+z7)=a+c=Re(z,)+Re(z,)
Im(z,+27)=b+d=Im(z,)+Im(z,)
En el problema
w+w_ ww
W,+W0 W+w, ww +w),
1+0= 2%, Y
10] +10, w| +0)
516
Entonces
Problema 27
Simplifique el complejo
dies
Efectuando la potencia de potencia tenemos
4
224] (20)
Xi 2-¡
[der Ps?
al $9) Misa
. z=2i
Problema 28
mn. ]
Calcule Re (ez ) siz=cosp+iseng a neZ.
Resolución
Por la fórmula de De Moivre
z"=cosng+isenng
Luego,
el” =e/ (cosmo +isenng) _ jilcosno - semig)
el?" =g-semo , elcosno
(27
e” = e"*molcos (cosnp) +isenícosno)!
Re (gl: )=e-""mcos(cosng)]
»
Números complejos
CAPITULO XI
problema 29
¡: halle los complejos siguientes:
a=l,
A
: (2)"
pesolución
A complejo z lo representamos en forma ex-
a
ponencial
T
Jz]=1 A Argl2)=5
donde R=0; 1.
KR
¡
Para k=0; z,=8 1
¡an
Para R=1; zy=e8 4
.3n IS ¡qn
i— ¡—
Luego =e 4, z3=e 4 =6 4
Y
ja
b. Como z=¡=e 2
y pz
entonces zá=le 2] =e 2
Luego
3n
(524)
1/2 2
(23) =e 2
donde f=0; 1
Para k=0 qa 4
Para k=] 2=e 2
Problema 30
Determine aquel número n entero positivo múl-
tiplo de cuatro Que verifica la igualdad
+2P+3P+40+..+ni"=64 - 641
tal que ¡=(0; 1),
Resolución
De la condición
+2P+30+4 04... +ni"=64(1 -¡)
m
> M=i+284+3044P4 .4+nP 0)
Multiplicando por ¡
im=P+28+3+4P+.+ni"* (MD
Luego (1) — (ID
(1—Om=i+P+B+
Lo]
Como n=4
tenemos
(1-Om=-ni > m==
Reemplazando el valor de m en la condición
64(i=D > —ni=64(1-i*
=I
> —ni=64(-20) > -—ni=-128i
n=128
Problema 31
Los números complejos z y w tienen argumen-
tos que varían de 0 a 21 radianes y además veri-
fican las relaciones
Jw|=|21;2+2=V2; iZ=Z,
5
ato mao)
Calcule E=Im(z)+Re(w).
517
Lumbreras Editores
Resolución
Sea z=|z]e* > z=|z|e"*%
Reemplazando en ¡z=z se tiene
ilzleP=1zJe"%; |z|0
TE
24 7 T
> eel y -20=5
Pero 0 e [0; 211)
7rT
> ra
7T
argl2)=-
Luego calculamos el módulo de z a partir de
z+z=42. Así tenemos
|21(e*+e"")=42
Iz| (cose +isen0+cos(-8) +¡sen(-0)) =4/2
Izl2c0s0=vV2
Ahora reemplazamos el valor de 0
2lzlcos (2) =42
> 12[2)-42 > lad=1
518
Entonces se concluye que |w|=1, ya que
|lz|=|w).
Cálculo de arg(w)
5
Dato: arg(z)-arg(w) ==
Reemplazando el valor de arg(z)
pes EE
> w=lule 1?=e !2
a _v6+y2 (46-42)
ro. 5
>3 wWw=Ccos —+/sen —= + l
12 12 4 4
g= 42, V6+v2 _ /6-y2
79 4 4
Problema 32
Halle el mayor número de dos cifras que verifica
Y3 1] Bl,
(E. tal
Resolución
Expresándolo en forma polar a las bases
A
6 6
2 2
A
- O E AS
=cos| E+2kn)risen( E+2n) VheZ
Entonces
nv Ti. e Ti.
fasfviseng) 0055 +2kn)ri5en( 5 +2n)
1 =). is(1 2% ]
=cis[nE ]=cis( 542)
AL, 2kn o n=2+12k
=98
¿s Amayor
Problema 33
Sabiendo que z, y zz representan Un número real
y un imaginario puro, respectivamente, donde
a+b+2i_,. a+(b+8)i__.
.=——=kRk = —————=ml +
A -p-3i 2 a-bi
calcule a-b.
Resolución
Electuando tenemos
1. z¡=(a+b)+2i=(a—b)k-3Ri
o E e
2. z,=a0+(b+8)i=bm+ami
O A
De las igualdades se tiene
a+b=(a-b)k (D
De 1
3k=-2 (ID
=b)
Deo a=bm (ID
(b+8)=am (IV)
De (11)
h=-2
3
Números complejos
En (D
(a+b)=-Z(a-0)
G b=-54 (v)
De (1) y (IV)
a b
eg nt (VD
g ¿a GS ar0 2
-5a+8 a ia
Sib a
3
30
. a-b===10
E
Nótese que si a=0 entonces z, no resulta ser
imaginario puro
:. ar0
Problema 34
Halle el argumento principal del complejo z,
donde
Resolución
Hacemos z =2, +22, en la que
z¡=1-¡+> (0
¿jalris (1D
1
519
Lumbreras Editores
En (D
1 . z129-1 ,
ao—=lio H£2=1- (UD
z2 Za
En (ID
1 z 221 Ñ
z3-—= io “HA —=>1+ 1 (IV)
2 2]
De (III) = (IV)
Ala ie
Za 1+i Zo
3x
(2)==
arg(z)=5
Problema 35
Si z,; z,; z3 son tales que sus afijos forman un
triángulo equilátero y además son las raíces cú-
bicas de un número complejo, calcule
E= 2127 + 2/23 + 2223
Ñ 2 2 2 :
z] +23+23
Resolución
Como los afijos de z ;; z,; z3 al ser unidos forman
un triángulo equilátero y tienen el mismo módu-
lo, entonces se encuentran en el borde de una
circunferencia de radio igual al módulo, como
se indica en la figura.
520
De la figura se deduce que
z,+2,+23=0 (ver la radicació
¡+z7+23=0 ( cación de complejos)
2,,2,,2
DO 2(+23+23=-2(2,27+2,23 + 2929)
Problema 36
Halle el área del polígono regular formado al
unir los afijos de las raíces cuartas del complejo
2=/72-2/3 41724231; JA '
Resolución
Sean z ¡; Zy; Z3; Z4 las raíces cuartas de z, entonces
lal=I2a]=I201=/2a1=4/2l
Pero
2 2 ¡
lal=/ 72-243 +v/72+243" =12 |
l2]=|22|=|za]=I24]=/12
Además los afijos de z,; za; Zy; Z4 $€ encuentran
en la circunferencia de centro C=(0; 0) nr =112.
2/12.
Del gráfico, el diámetro del cuadrado es 27 <A
Por geometría, el área del cuadrado es
rg) gus:
__
>
Números complejos
caPiTULO XI!
problema 37 Se observa
$ o es Una raíz séptima compleja de la unidad Arg(z-2)=0+0
JJ
le el valor de M.
ES q 22 ¿434.48 sumandos dedos
M=0 +0 +0 sd S : n-0
2a+0=n > 0 E
resolución
épti l idad, ento -
Como ( es la raíz séptima de la unidad, entonces a aja
se tiene QUe 0 =1:0%1 : .
38-150 Arg
> ml +o ro +o+1)=0
4 Problema 39
Pero 0 Si se cumple que:
> erro +0 +0 +9+1=0 x=a+b;
y=aw+bw*,;
Entonces z=aw*+bw,; ab 0,
m=o+1+9+90+9+01+0%+ 2,,2,,2
— e calcule YA si usa.
+0+1+0+0+0+01+0+
A Resolución
R de die de de k De las condiciones:
+94 1+9+9 +0 +0 +0 0 = 0 =0?+b?+2ab;
0 y =aw*+b*w*+2abw*=aw*+b*w+2ab;
. M=-p 2=aw*+0%w*+2abw=a*w+b*w?*+2ab.
Problema 38 ein
tra (1+Ww+w0)+0*(1+w+w?)+60b
Dado el complejo z de módulo 2 y argumento
0 € (0; m), halle el argumento principal de z-2.
Resolución
Se trata de un problema geométrico, por ello lo
ubicamos en el plano gausseano
4
0 0
> +y+2=6ab
xry+z? _6ab
ab ab
=6
Problema 40
Si el complejo z se define como
pe ysena + iycosa -ivsena-ivcosa
ysena+iycosa +iVsena—iJcosa
tal que a. e IC, halle Re(z).
521
Lumbreras Editores
Resolución
Hacemos
a=ysena+ivcosa > a?=sena+iycosa.
b=vsena-—iJcosa > b?=sena-ivcosa
Además cosa > 0; sena > 0
Reemplazando en z tenemos
¿adi (a-bi? la?-b?)-2abi
ax+bi (a+bida-bi) a?+b?
Pero a? -b? =24cosal; a?*+b*=2sena
ab=Wsen? a+cosa:
Regresando a las variables originales
+ L2Vcosa-2 sen? dódosal
2sena
eos o dientarcoso li
2 MMMMMMMMMMMMMMM¿M¿>¿<"«<AN.—
senal
El complejo z es imaginario puro
Re(2)=0
Problema 41
Siendo z un complejo cuyo argumento es 8 que
verifica
2 (zY =
(2) (2) =1, donde z es el conjugado de z,
. TT
calcule H=tan0+cot0; además oz; a!
Resolución
JO -10
Sea z=|z|e" => z=|zle
Reemplazando en la condición
- 2
ES | [a »
Izle=1 Izleo | >
A TA
522
Expresando en forma polar
cos48+¡sen49+c0s40-isengg= |
> 2cos40=1
1
cos40=>
40=60” v 49=300*
8=15” v 0=75*
nr T
Pero os(z: 2)
Entonces nos quedamos eon 9=75*
Luego H=cote+tane=<989 , send_,
senó cos0
H=4
Problema 42
Dado z=-1+v/3í, halle w,
tal que |[z+w|=|z|=|w]
Resolución
Izl=|-14+/3:|=2
Luego, en la condición
[z+w/?=4; [2] = 1] =2
(+wJNz+w)=4
(¿+w)JNz+w)=4
Efectuando
22 +2 W+WZ+Ww-w=4
[21P+2-w+w-z+|w/?=4
> z-w+w0:2+4=0
Multiplicando por wz
2*1w/?+w?|2/?4+4w2=0;
pero |z|?=|w/?=4
> wW+2w+z2=0
la (td),
2" 2
w
CAPÍTULO XI AS
Reemplazando el valor de z
0170 14/31)
000-801
a, e 1+/31)= 2
Problema 43
Halle la forma cartesiana del siguiente complejo
_(cos!2*+¡sen12”) '[V2 (coser siseneol”.
(cos6*+¡sen6*)''(sen80*+ic0580")
Resolución
+ (cos12+isen12%)*=c0s48"+isen48"
» [V2(cos8*+isen89)] '=v/2' (cos88*+ ¡sen88
* (cos6”+isen6”)!!=c0s66"+isen66”
* sen80”+icos80”=cos10*+¿sen10?
Luego tenemos
w-cis48o-/2'' cisggs J2”.cis136*
cis66*cis10" " cis76"
=3242.cis60>
=22/ +8). 16/2(1+ 431)
" W=16/2(1+ /3;)
Sim
Mplifique
que y represente fasorialmente
¡E Men0+ ie
0s0
A: y V neZ.
Miemás i=(0- 1)
Números complejos
Resolución
Recordando la división de complejos, multipli-
camos y dividimos por el conjugado del deno-
minador.
a [pprenortcoso)/trsenbrrcosh) Ú
I+sen0-¡¿cos0)ll+sen0+¿cosO
H= AAA cos d|
(I+sen0)? -¡2gos?0
po 2senollesenolezilsentlcoso[
2(1+sen0)
ye (rsen llenos coso!
2(1+sen0)
> vsen0x-—1: H=(sen0+icos0)”
yw ti2[cos(2-0)risen(3-0)]
. T
> H=cosn( 3-0) senn[5-0)
x=co[a( 5-9)
Problema 45
Halle el valor más simple de
a=(1+0 (14? Ya +0) 1405) (1+u* i+w* Je
2n paréntesis
Además w*=1.
Resolución
Como
1+w+u0"=0
o "zw r
3= l=>
y 1+w=-0*
1+uw*=-00
529
Lumbreras Editores
Reemplazando obtenemos
A=(+wY WU +0)(1+W0 +0) (140)...
2n paréntesis
> A= Coro ro wo rv)...
> A=w (0) ww?) w”)...
Agrupando convenientemente
A=0CD(W0I)Ccw)MEow)...
se tiene
A= 0Cow)Co)..=(-w)
n veces
A=(-w)
Problema 46
Si wx++1 es una raíz n-ésima de la unidad, calcule
S=w0+0+0%+...+w!,
Resolución
Multiplicando el complejo por w obtenemos
w:S=w+w*+w+...+wY"
Entonces
(+wWS=wW+wW0+wW+w*+...+wY
(+0S=w(1+W+0+0%+...+92>1)
de
l-w
|
Pero w"=1 > wY=1
Reemplazando se obtiene S=0.
Problema 47
Exprese cada ecuación en términos de los com-
plejos conjugados.
a. 3x+2y=5
b. A+y=16
Considere z =x + yi
524
Resolución
a. Como Z=xX+yi > Z=X-yi
De donde E; y
Reemplazando en 3x+2y=5
Z+z Z-Z
2 2 a
Efectuando se tiene
(31+2)z+(3i-2)z=101
Reemplazando en x2+y?=16
z+zY (2-2 Y
== — | =16
2 ) $ 2 )
Simplificando se tiene z-z=16
Otro método
De la condición
+y=16 ()
Factorizando
O+yDG-yD=16
Como z=x+yi A Z=X-yi,
luego: z:2=16
Problema 48
Dada una familia de números complejos que
cumple
4(-3(2-3)=/2/2+15,
seleccione aquel que tenga mayor argumento
principal e indique su módulo, tal que z se en-
cuentre en el primer cuadrante.
CAPÍTULO Xil
NE AA
resolución
a2-32-3)=121?+15
> 42-36-39 =121?+15
> 4f2-3P=1212+15
Luego, haciendo z=X+yi
4|x+yi-3|?= |x+yi]?+15
> Ale-3 +] => +y?+15
Efectuando operaciones
d+) -8x+7=0
Completando cuadrados
d-8x+16+y?=9
> (1-9 '+y?=3?
Se observa que tenemos una circunferencia de
centro %,=(4; 0) y radio r=3.
Del ,
> se observa que z, es el complejo que
e '
Mayor argumento en el primer cuadrante.
% lz] =/7
Números complejos
Problema 49
Represente gráficamente el conjunto de valores
de z, tal que E
242
Resolución
s3.
Sea zZ=x+yi.
Reemplazando en el dato
> |(x-2)+y 6] <3|(x+2)+yi|
> dea + y? <3(x+2) + y?
> (x-2+y<9[(+2)*+y]
Efectuando operaciones y completando cuadrados
5Y 3 El
pad >|—
(+5) +y“2 2
Graficando se tiene
525
1,
Sea el número complejo
2=(13-50+(15/-4)-(-6-20.
Calcule el valor de Re(z)+Im(z).
A) 27
D) 19
B) 12 O 17
E) 37
Calcule la parte imaginaria del complejo z,
2=(1-0 [crespo 5-50)
34
7 1 y q
A) m B) 3 0) 12
5) 58
D) 3 E) 3
Sean 2,=1-21; 2,=-2+1,
Indique el número complejo que resulte de
(2,+2,)7.
/
a = Y
A) ) B) ; ) 21
3
-í Y)
D) -21 E) 1
Halle el número complejo z, tal que
22+(5-3/)=2-(6/-2),
A) 341
B) -3-1/
C) 5-21
D) 3-1
E) 341
Calcule el módulo del número complejo
y MY (3-1)
Buy
2 TES
A) 5410
D) 450
E) 15
Indique cuál es el argumento principal del
número complejo z, tal que
12431
(44305
A) 45% B) 37" C) 115
D) 35% E) 112
Exprese en su forma polar el número com.
plejo
e Y (Y3 1)
¿a PTS
A) 2cls15*
B) 2cis25"
C) 2c1s99"
D) 2cis17"
E) 2c1530*
¿Cuál es la relación entre x e y reales, tales
21-51
que el número complejo 2= 7i Wi es un
imaginarlo puro?
14 14
a pa (5 0) ya—x
AM y 5 B) y=Gx O y 5
D) yax E) y=-%A
¿Cuál es el módulo del número complejo: de
mayor argumento principal, tal que | 2-44 si
UN
Ep) yY5
NN)
DM Y
BD 47
pa
CAPÍTULO XII Números complejos
10 ¿Cuáles el módulo del número complejo z, 11. ¿Cuál es el argumento principal del número
tal que complejo z tal que z=(1- /3¡)>
, (1/34) :
ls) ? A) In4
| B) 2In 2
, ¿C) In2
CC N3z - De
: E) e?
g) Ye EAS
o Ye" : 12. Sea z un número complejo tal que zx1.
, ¿Cuál es el valor mínimo de |[z+1|+|z-3/?
DD :
3 :
E : A) 2 B) 3 O) 1
7 y
Ad : D) y2 E) 4
CLaves
527
AA
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
Efectúe algebraica y gráficamente las opera-
ciones indicadas.
LL (44+6)+(3— 21)
Il. (5-30 - (-3+i)
Il. E2+2)- (2-5
IV. (4-30)+(- 6-91)
Donde: ¡=4/-1
Escriba los siguientes números complejos en
forma polar.
LL 4+4í
Il. 3-Y3i
IL. 12-121
IV. Y3i
V. 12-5i
VI. -4i
Escriba los siguientes números complejos en
forma cartesiana.
L— /2(cos45”+isen45”)
II. 12(cos135* — ¡sen135”)
III. 4(cos180”+isen180”)
Iv. 543|2102
V. 18cis75"
Efectúe las operaciones indicadas, expre-
sando los resultados en forma binómica.
L— [16(cos15*+isen15”)][2(cos75"+isen75>)]
II. 4cis(13%cis(272cis(20)
III. 5116? 2119* :[25*
Y 12(cos16*+¿sen16")
* 3(c0s44*+¿sen 449) [2(cos62*+isen 629)]
5,
Halle algebraica y gráficamente e] pr
cociente de los siguientes números e
m
1 (22+2431)(2/3 21)
4-41
Plejos,
IL Bi
Halle las potencias indicadas de los núme
; a TO:
complejos siguientes, expresando los rán
tados en forma cartesiana. j
L.. 2(cos15*+isen159)%
II. [4(cos20"+isen20>)]?
WA ¡ yO
tn. (5 3-21)
2
Halle todas las raíces indicadas en cada caso,
L. (cos135"+isen1359)'
IL [82(c0s200"+isen200>)]"*
m. 9/3-¡
IV. 92-231
Calcule los números complejos siguientes:
L (1420)?
(+0 +00)
Sean los números complejos
2,=(2,3), 22=(3; 5), z3=(-1; 2).
Calcule 2z, +3z,-z3 y dé como respuesta la
segunda componente del resultado.
O 13
E) 19
A) 7 B) 6
D) 21
. Sean los números complejos
z¡=(5;-2), zo=(3; 4). >
Sume las componentes del resultado de21'22
c) 37
E) 29
_
A) 20 B) 35
D) 17
ao Ni __ Números complejos
NS geometticamente los núme-
AN kl
MS
16. Si el número comple
> ploJos
5-21
Jo we. 2 representa
X4 yl
NN
n=(d-0
e y : vun número Imaginario puro, ¿cuál es el va-
yla e ,
n= (45) lor de 2y- 5x7
de A ROS
INS Si » y o)
¿Ue ntran UDICUCOS EN spectivamente en los : A 1 wo O -1
US 2
D3 E) =
WU i
8 II : 17. Sean los números complejos
o AN 213-2431, 2,251,
e ALE : «Cuál es el módulo del número complejo
22, +32,+14+2/7
Y Sy y 2, son complejos iguales, donde
Bd (9 4-5), : N Yi3 B) 13 C) 15
alcule el valor de 21 +3v. : D) NV; E) /168
có is E ES 18. ¿Cuál es el módulo del número complejo
DI 9
3-y-16?
KR Kalle el equivalente de (109%,
] A) V17 B) 5 C) 5
yA 8) 2 CH : D) 7 E) 3
y 2 E) -2% :
: 19. ¿Cuál es el módulo del número complejo z,
mM Smplifique e indique el equivalente de : 7 _5+30(/3 +1)" 303 + Py,
Ecler RES Aso QsI5D.
SAO :
Y3 85
Ñi B) di C) -2i : A) 3 3 o) 3A
Y a E (+0? :
243
Ra e D) 843 E) 243
UTero complejo nn representa a
+
j poe j rma polar.
re Súmero complejo real, cuyo equivalente : 20, Exprese 2 = /2+V6i en su forma p
“mM. Calcule el valor de m. :
T TM
: TM E yl
y 0 15 : : A) 2/2cis3 B) V8cis 6 (9) 4cisz
3 B) = O £ :
A ; rio T E) v12cis
ME D) 6cisz :
h E) 60 3
529
Lumbreras Editores
21,
22.
23.
24,
25.
530
Nivel Il
Halle el argumento del número complejo
z=1-+31,
A) dE B) = C) arctan3
D) arctana EZ
arc a 12
Halle el argumento del número complejo z
tal que z=(3+4/)?,
Na. DE 07
D) e E) E
¿Cuál de los siguientes no es argumento de
z=14+P
NE ai 0%
2 E
¿Cuál es el argumento del número complejo
z, tal que z= 2d
ds V3+i
T 5n 5rT
A 7 ys O 1
T
D) 6 E) -
Sea z un número complejo de argumento 8
tal que |z|=1 1 86 (o 5) ¿Cuál es el argu-
mento de z+1?
26.
27.
28,
29.
A) 20 B) 379 9
2
n—-0
SE E) Eso
Calcule el área de la región formada por |
A : os
números complejos z tales que | < lzl<4Y3
A) 8mu?
D) 4mu?
B) 27 u? O (3-0 1?
E) 3n u?
Sea z un número complejo de argumento A
¿Cuál es el equivalente de 2”- (7)
A) |z|"icosna
B) |z|"icisna
C) 2|z|"icosna
D) 2]z|"isenna
E) 22lisenfa
Dada la desigualdad
lz-2-3| <2,.z€C,
¿Cuál es el mayor valor del módulo de z?
A 5 B) v5
D) v7
O 1
E) Yi
Dada la igualdad (1+2)x+(3-5D)y=1-3i,
además (x; y) e R. Halle los valores de x € y.
A) x=1l; y=4
B) x=-1; y=4
4 5
C =-——: =—
) SY]
11 11
D) x==;y=>
) Y
E) A
Números complejos
deE. * :
¿sil y) calcule el valor de A) : B) a-b O a+b
E 0-3
lcd : D) a?o? E) a+b
yo B) 1 C) 2 : 35, Si Va+bi=t(0+Pi), ¿a qué es igual y-a-bi?
p) 1 a :
, A) a—Pi
y, Sean los números cue B) a+Bi
spastizrscrdi donde (abia) E Rc pra
¿Cuál debe ser la condición para que el co- D) B-ai
ciente A sea imaginario puro. E) +(-B+a1)
22
») be=ad 36. Si x+yi=(s+t"¡neZ a ys; HER,
B) ac+bd=0 : (e 0 SS
C) a+b=c+d : - calcule el valor de PTE
D) ab=cd y
E) bd=ac
A) 1 B) 0 O n
5] :
%. Calcule el valor de AS E D) 3 E) 2
(pa ]
donde n es un entero positivo. : 87. Sizyz'sondos números complejos; 4= 7
IN : calcule el valor de K.
2 B) 27 0) 3 pt |
D) -2i E) 24 az Zu
2 2
3 itique| : KT
'0 que obtiene luego de efectuar
30
ul) A 4 B) 1 c) 16
pa D) 2 E) 8
[ 8 y z
AI
ds 38. Si como resultado de efectuar una cantidad
N A finita de operaciones racionales (sumar, res-
E B) -1 . : tar, multiplicar y dividir) con los números X;;
Dd) -¡ Ya : Xaj Xgi 3 Y resulta el número U, calcule el
| E) E : valor de efectuar las mismas operaciones
e Sa y A : con los números conjugados Xy; Xy; X3; ++ Xn -
A simplifique 7. : Observación: u* es opuesto deu.
T<ÍQ4p)
bolas ute) a a B) u* gu
*bw)lpy? -Y E) u:u*
+aw) D) u:u
531
Lumbreras Editores
39.
40.
41.
42.
43.
532
Si $(a+1)=ag(a); 0(1)=1, determine el equi-
valente de PODIO nia,
VneN.
A) n+74i BB) n+7-2i C) n+5-2i
D) n+6+2i E) n+8-2i
Halle el equivalente de
o=i+22+5+884...+(3n-1) $7,
jo)
siendo i=Y=1 4 n=4.
A) Di
2
8) Lm-0i
2
0) 3[0-3m)+3ni]
D) 5[8n+(2-3mi
E) 5[-3n+(an-2i
Sabiendo que
a=c0s12"-i¡senl2*,
l
calcule el valor de M=a!* +5
a
1
A) 2 B) 3 O 1
1
D) -2 E) “o
Calcule un valor de M.
m=P-2/-20i1)1- 29%
A) -i B) i O 1-:i
D 1 E) 1+
Si |z+w]|=|z-w]|;V z; we C, halle Re(z1).
B) 0 C) -1
E) -2
A) 1
D) 2
44. Si w es una raíz n-ésima de l, adem
45.
46.
A) FVFF
ás (Wwe 1)
calcule la suma y
S=1+4w+90%+...+r2w""!.
-n
(w-1*
A)
n2(1-w)
2n(1+w)
B)
2n+n?(1-w)
0
á (I-wY
2n-n+nw
D) == —
, (1-wy
2
E) n+(1-win
w
Si wxl es una raíz n-ésima primitiva de la
unidad y h € N, además h y n son coprimos,
calcule
S=1+w"+w8+08 + ww
A) 1 B) 0 C) w*
D) wr E) wr"
Determine el valor de verdad en cada una de
las siguientes proposiciones respecto al nú:
mero complejo
at
¿=l1-/3) (1-42) ete”?
3
L— la=(1-/3 (1-42)
ql 4r
II. Su argumento principal es ek
III. Su argumento es z
IV. Su argumento es Ya
C) FEV
E) FFFV
A
B) VVFF
D) VVVV
ódulo del cuadrado del producto de
q am ro complejo z Por su conjugado es
a] coincide con el radio de la circun-
16y A con centro en el origen. Sabiendo
EN de sus raíces de orden cuatro de un
que iia w se encuentra sobre esta
os una de sus raíces tiene como ar-
T . ;
gumento el valor de 12 radianes. Indique el
or principal de la raíz de orden 3 de dicho
val A
número complejo w.
a Y6 B) Y6cisz C) Y6cis E
y) Y6cis2 E) Y6cisn
9
£ Seaz e C tal que cumple |z+zp| <a,
donde zy=(a; a); a e R*.
Calcule el argumento de z cuya distancia a la
recta vertical que pasa por x=-3a sea mínima.
33 37
E) a (E)
o
» (3)
C) 45”
o
(5)
2
Q. Sia y P dos raíces cúbicas de (ED diferentes
dei, calcule el valor de la expresión L.
123,
a+B-i
Vi B) ! O 1
l
DA,
) 7 E) ai
3 Da ,
: do un número complejo z, tal que
(de Im(2) » arg()eR>; ReZ,
Cale
ule el resultado de efectuar
T= 222 +2?
ME
+22?
endo
ue " Ñ d a
que es un número imaginario puro.
a
51.
52.
53.
54,
Números complejos
Ai
D) -2i
B) -i O) 2
E) AvB
Reduzca el siguiente número complejo
3+2a+v43-2a ¡ _v3-2a+3+2a ,
3+2a-V3-2ai /3-2a-43+2ai'
; 3
además O]
2a 2a a
Aa = Ba). o £
3 ) 3 ) a
4a 4a
D — E) -=
) S ) S
Halle el argumento del número complejo
z=i"", siendo w una raíz cúbica no real de la
unidad.
A)
3n
B) 4
TE
2
3n
D) 7
Una de las raíces de orden 4 de un número
complejo de módulo 16 tiene argumento
igual a =. Indique la raíz correspondiente al
mayor argumento positivo.
A) 2cis| 22) B) 2cis|[>.) 0) 2as[5=)
D) 2cis[ 11) E) 4cis[ +7)
Dados los números complejos z que cumplen
Iz+3|=2; 0< arg(z)<2r,
seleccione el que tenga mayor y menor argu-
mento y dé como respuesta la suma de sus
partes imaginarias.
D) 2
533
Lumbreras Editores
55. Si se sabe que:
n no
J= AN ¡Rk=1,2;
5)
2cos| —
n
Calcule ||.
kr
A) 1 B) senta C) bos
n n
D) np E) 2
56. Dada la función compleja
x+i
hd =p x,yeR,
calcule el valor de f iy Además ¡2=-1.
A) i
D) ev
B) -1 Cc) 0
E) 3i
57. Esboce la gráfica de
H=1fz e C/|Re(2)+Im(2)]| <2 a 0 <arglz) < 12).
A) tim B) Im
2 2
ey Xx Re | Xx Re
| 2 | 2
C) +Im
2
Re
2
A E) jim
2 2 a
Re |
lAs
-2 | 2
58. Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
534
59,
60.
61.
L v2.0: [2-1 Slarg(2)]
lzl
2 2
IL |z,+22/%+|2,-22] =A/2,1*+12,13
V Z1¡z3 € C
m. le|=1; vxeR
A) FFVO .
D) FVV
B) VVV C) VFV
E) VVF
Un número complejo z y su conjugado z son
tales que z-2+22=12+44.
Tr
Además, arglae| 5; 5) Calcule |z|.
A) 2v2 B) 4/2 O 245
D) 342 E) 3v5
Indique el lugar geométrico para z; z,; z € C,
tal que
z-Z
arg (q | =0
29-21
Además, z, y z¿ son constantes complejas.
A) circunferencia
B) elipse
C) hipérbola
D) recta
E) parábola
Si los números complejos z y; Z»; 23; 24 501 105
vértices del cuadrilátero ABCD, dicho cuadn-
látero es un paralelogramo si
A) 2,+z3+23+2¿=0
B) 2,+2¿=23+Z4
C) zd+z2+22422=0
D) z,-22+23-2,¿=0
E) zi+z3+z3+22=0
¿ATULO ys
y simplifique la expresión k.
ga
0050; Sen 0)(cos0); sen 0))...(cos0,,; sen,,)
C S
as cos(0/+02* ¿+0,,), sen(0,+0 +...+0,,)
R
C) -1
E) i
B) 1
1, +sen*0,¡
yo
p) cos
¡8 Dados p; mM E R, reduzca la expresión $.
2mi arc tn 5) o
Se pi-1
yo B)-1 O 1
D) m E) pm
Ñ, Demuestre que:
1. Re(z,29)=Re(z,)Re(z,)-Im(z)Im(z>)
ll. Im(z,2))=Re(z,)Im(z,)+Im(z)Re(z)),
tal que z,; z, € C.
$ Silos puntos P, y P,son los afijos de z,; z2 € C,
tal que [21+22|=|2, - z,|, entonces es cier-
lo que
A) (2,/2)) es un imaginario puro.
8) 2,-2, es un imaginario puro.
O) 2,*2,es un complejo real.
Dd) m< P/OP,=*.
2
E Av D
Ñ Cal
Cule el área del polígono con vértices en
ME 24h; 4; —1+2i.
Ñ 5012
vu B) me C) 45 u?
yY,
GU 49 ,
E pe
) de
67,
68.
69,
70.
Números complejos
Si sabemos que
Vo Ya- > ,
sen nz
donde z es un número complejo
calcule el equivalente de ¿4072
A 0
D) -i
B) -1 Oi
E) 1
Halle el valor de P.
1 1 1
rd gro ar) “faja
aa de,
Halle el lugar geométrico de los puntos que
representan a los números complejos
a. cuyos módulos son iguales a uno.
b. cuyos argumentos pertenecen al intervalo
Sean z, y 22 dos números complejos ubi-
cados en el primer cuadrante del plano de
Gauss, tales que
tan (arg(z))=1/5; tan (arg(z,))=1/239.
ún esto, calcule 4arg(z,) - arg(z,).
Seg
T n
A 0 4 a
3n
E —
D) n 4
536
e
Claves
$)
E
(35/E
36/p
TB
38 / A
[39 /b
140, E
Nota: Las claves con * son demostraciones.
Problemas propuestos
Z
<
m
m
Z E E E
= co
ES
= >| 0] O] m
E
a]
E
o)
Ecuaciones
Í algebraicas
CAPÍTULO XIII
ECUACIONES ALGEBRAICAS
Objetivos
+ Conocer la teoría y la clasificación de las ecuaciones algebraicas.
+ Resolver ecuaciones polinomiales y otras ecuaciones transfor
+« Interpretar el teorema fundamental del álgebra y otros teorem
polinomiales.
mables a polinomiales.
as aplicados a las ecuaciones
Introducción
Hace cinco mil años, en el país de los sumerios, cerca del Golfo Pérsico, se dieron las primeras difi-
cultades matemáticas que necesitaban ser interpretadas bajo ciertas igualdades. Esto dio inicio a las
primeras relaciones que posteriormente los matemáticos llamarían teoría de ecuaciones. Con el afán
deresolver las ecuaciones se han creado nuevas teorías, nuevos conceptos, nuevos conjuntos numéri-
cos. Los primeros en descubrir el método de resolución de las ecuaciones de primer y segundo grado
fueron los matemáticos sumerios y babilonios (3000 a.n.e); luego Diofanto (329-410 d.n.e), fundador
del Álgebra; los hindúes y, finalmente, los árabes (siglo IX).
La ecuación de tercer grado hizo posible que Cardano y Tartaglia inventaran los números complejos
en el siglo xVI. Ludovico Ferrari (1522-1565), discípulo de Cardano, encontró el método general de la
resolución de la ecuación de cuarto grado. Posteriormente, René Descartes, sabio y filósofo francés,
inventor de la geometría analítica, descubre otra forma de resolver la ecuación cuártica.
Como es lógico, los matemáticos trataron de resolver las ecuaciones de grado superior a cua-
to (quinto grado, sexto grado y en general de grado n). Este estudio tenía un interés doble, ya
Que hubiera constituido un gran logro encontrar un método general de resolución para todas las
“uaciones de una incógnita, cualquiera sea su grado. Tras muchos mientos, se llegó a la a
sión de que las ecuaciones de quinto grado o superior a cinco eran imposibles de gala! sl
solamente cálculos algebraicos. Paolo Ruffini, un médico italiano, había Halado de demostrarlo
ero la demostración resultó incompleta. Al cabo de
Niels Henrik Abel (1802-1829) descubrió
“Es imposible resolver algebraicamente
no existe una fórmula
128, en su Teoría general de las ecuaciones, Pp
Wos años, en 1824, el célebre joven matemático noruego
'orema que lleva su nombre: teorema de Abel, y dice: ,
'radicales) las ecuaciones generales de grado superior a cuatro”; eS decir,
Eene ] is, etc.
ral que resuelva todas las ecuaciones de grado cinco, de gr ado seis,
539
Lumbreras Editores
———JJJJJJAAKÁÁKXÁAA A — E E E E E o —
Para ecuaciones de grados superiores a cuatro, el teorema especifica que cualquier ecuación no pue-
de resolverse por radicales, pero hay ecuaciones particulares en las que sí se puede. Así, el teorema de
Sauch-Ruffini dice que hay algunas ecuaciones de quinto grado cuya solución no puede ser expresada
de ese modo, como por ejemplo la ecuación x? - x + 1 = 0. Sin embargo, algunas otras ecuaciones de
quinto grado pueden ser resueltas mediante radicales, por ejemplo --x+41=0,
El criterio preciso que separa aquellas ecuaciones que pueden ser resueltas mediante radicales de
aquellas que no, fue dado por Évariste Galois (1811-1832), fundador de la teoría de grupos, y es parte
de la teoría de Galois: “Una ecuación polinómica puede ser resuelta mediante radicales si y solo si
su grupo de Galois es un grupo resoluble”. En el análisis moderno, la razón por que las ecuaciones
polinomiales de segundo, tercero o cuarto grado pueden ser resueltas siempre mediante radicales,
pero las ecuaciones de grado superior no, es simplemente por el hecho algebraico de que los grupos
simétricos S2, S3 y S4 son grupos resolubles, mientras que Sn no es resoluble para n > 5.
Si una ecuación polinomial tiene coeficientes reales o complejos y permitimos soluciones complejas,
entonces cualquier ecuación polinomial tiene soluciones; esto lo garantiza el teorema fundamental
del álgebra. Aunque estas soluciones no siempre pueden ser calculadas exactamente con un número
finito de operaciones aritméticas, pueden ser aproximadas mediante un cantidad de iteraciones con-
venientes, usando algunos métodos numéricos: método de Newton-Raphson o el método de Lague-
rre, y de ese modo no son diferentes de las soluciones de las ecuaciones polinómiales de segundo,
tercero y cuarto grado.
540
CAPITULO xi!!
» TEORÍA DE ECUACIONES
CIÓN DE UNA ECUACIÓN
vación es una función proposicional o
Una ec do abierto (depende al menos de una
a que puede ser verdadero o falso.
ae mplo, si f¡y=5x+6 entonces f(,,=1 es una
ecuación. y
¡a veracidad O falsedad de la ecuación depen-
derá de los valores que se le atribuyan a la varia-
pEFINI
ble (incógnita) x.
En otras palabras, una ecuación es la igualdad
de dos expresiones matemáticas donde existe
por lo menos Una variable.
Ejemplos
1 6r+3i=4oe
qe E
x+l x
Xx
3 —————=yx +1
Xx
2 PS AP
bem
4 '+49x-1=0
Solución de una ecuación
Es aquel valor que toma la incógnita y convierte
la ecuación en una igualdad, es decir, convier-
tela ecuación en una proposición verdadera.
Luego, si en la ecuación P(,,=0 el valor xy es
u ¡ PA .
Na solución, entonces Xp verifica la ecuación,
es decir, P¡¿=0.
Eemplos
| Seala ecuación 3Y%-1 2 X +6.
+6 (Falso)
+6
4
3
r=9 vY9-1 9
de 3 (Verdadero)
None
€S,x=9 es una solución.
>
Ecuaciones algebraicas
Sea la ecuación +3x+4=0.
x=0 > 0%4+3(0)+4=0
(Falso)
x=1 > 194+3(1)+4=0 (Falso)
x=-1 > (-+3(-1)+4=0 (Verdadero)
Entonces, x=-1 es Una solución.
Conjunto solución de una ecuación
Es el conjunto denotado por CS que agrupa a to-
das las soluciones de la ecuación en discusión.
El CS de una ecuación es la recolección de to-
das las soluciones de la ecuación. Si la ecuación
No presenta solución, entonces el CS es el con-
junto vacío: 4.
Ejemplos
1.
(3x-1)(x+1)(6x+5)=0
Esta ecuación se verificará solo si
1
7 vx=-l y *==E
Entonces, CS = (5 -); -=
3 6
0
x-2
Esta ecuación no admite algún valor para x,
que la verifique.
CS= y
»» Tenga en cuenta
Resolver una ecuación significa hallar el
conjunto solución, es decir, hallar todas las
soluciones de la ecuación. Por ejemplo, si
queremos resolver la ecuación x?-4=0 pro-
cedemos así:
(x+2)(x-2)=0
>3x+2=0 v x-2=0
x2-4=0 >
>orx=-2 v x=2
.. CS=4-2; 2)
541
Lumbreras Editores
— A 300
CLASES DE ECUACIONES
Por su estructura
Depende del tipo de expresión o expresiones
matemáticas que definen a las ecuaciones. Pue-
den ser algebraicas o trascendentes.
Ecuaciones algebraicas
Si las expresiones que definen a la ecuación son
algebraicas, pueden ser:
Polinomiales: 3x?-5x+7=0
2x-1
5-3x
Irracionales: Y3-—x +x?+1=Y/2x-=1
Fraccionarias: +x=x2+1
Ecuaciones no algebraicas o trascendentes
Si al menos una expresión es no algebraica o
trascendente, pueden ser:
Exponenciales: 3*7!=3x+2
¿ lea 3x
Trigonométricas: 5sen| |= cos x
T
Logarítmicas: 3x log, (5) ==
Por su conjunto solución
Ecuación compatible
Es toda ecuación que al menos tiene una solu-
ción.
+ Siel número de soluciones es finito, se llama
compatible determinada.
(5x-D(Qx+3)=0 > c5= (2: =)
572
* Si el número de soluciones es infinito, se lla-
ma compatible indeterminada.
(Ix-/n=1 > CS=(1 2 3; e:
542
Ecuación incompatible
Es aquella ecuación que no tiene solución, es decir,
su conjunto solución no tiene elementos: CS=4, Se
llama también ecuación absurda o inconsistente,
5 5
——+2x =4+ —
x-2 x-2
Nunca se verifica, pues no existe algún valor de x
que verifique la ecuación.
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes si están
en una misma incógnita y tienen el mismo con.
junto solución.
Ejemplos
2
1, 40H Br cs=(2 3)
2. (x-D(x+D-5x=-(3+x2) > cs [2 al
3. («-D[x-3)=0 y
4. (x-2)(Qx-D)=0 > cs=/a y
Las ecuaciones anteriores son equivalentes,
puesto que tienen el mismo conjunto solución.
» ECUACIÓN POLINOMIAL
DEFINICIÓN
Es aquella ecuación compatible determinada
que presenta la siguiente forma general:
ay" +a xi" +a0 4. +a,=0; ayt0
Donde ap; ay; 4»; ...; 4, son los coeficientes y la
incógnita es x.
El grado del polinomio determina el grado de la
ecuación, así:
V2x+1= O (ecuación lineal o de primer grado)
2
3x"-3x+7=0 (ecuación cuadrática o de segundo grado)
16 -5x+2=0 (ecuación cúbica o de tercer grado)
n polinomio .
linomio NO constante, diremos que
na raíz del polinomio Pg) Si y solo siP(,,50.
pes
gjemplos
|, SeaP)
vemos que P(1)
polinomio P (0:
0-5 +4.
=(, entonces | es una raíz del
p +30 -2x-6, para x=v2 se obtiene
(0
p. 7) = 0 entonces v2 es una raíz del polino-
(a
mio.
Teorema del factor
aes una raíz del polinomio Py si y solo si (x-a)
es un factor. Es decir, toda raíz a de un polino-
mio P, Senera UN factor y viceversa.
Demostración
+ Porel algoritmo de la división existen Q(,, y
R¿) tales que
P > 0-00) +Ro)-
Como (x-a) es lineal, entonces R(,, es cons-
tante; de donde
Piy=(x-0)Q (y) HR.
- Evaluando en x=: tenemos Pía)=0: 9% +R.
Como a es raíz de Pi): 0=0+4R > R=0
de donde P,,= (-0)Q qx)
Así, (x-a) es un factor de Po:
-* Como (xa) es factor, entonces
P=b-0JOQ,,
a en x=0,, tenemos P(,,=0
| Í es una raíz de Po).
femplo
epoinomio p
e
leg a u
W1=x*-1,x=1 es una raíz de Poo
n factor de P¿, En consecuencia
4), donde q, es otro polinomio.
Ecuaciones algebraicas
Multiplicidad de una raíz
Sea P,) un polinomio no constante ya cCuna
raíz de P(,). Diremos que «a es de multiplicidad
k si y solo si (x-0)* es un factor de 2.) tal que
h >
(x-0)'*! no es factor de P(,) Es decir,
Py=a -0)' 4) CON (1) 40
Ejemplo
Dado el polinomio P,,,=(2x- 1) (5x+3)(x+2)',
se observa que:
Ñ 1 y 0> > es una raíz de multiplicidad 3.
2
3
. a) =0 >» n es una raíz simple.
: ,
* P(7=0 >. esuna raíz de multiplicidad 4.
Raíz de una ecuación polinomial
El número « es una raíz de la ecuación polino-
mial P(,,=0 si a es solución de dicha ecuación;
es decir, P(,=0.
Ejemplo
Dada la ecuación polinomial
Poy=0-D(3x+ (+2) =0
Se observa que:
+ Laecuación es de sexto grado, entonces tiene
6 raíces Xy, Xy, X3, Xq X5 Y X6:
+ Laraíz x=2 se repite tres veces, luego 2 es
una raíz triple; es decir, x, =xy=X3=2.
+ Laraíz x=-5 es simple (no se repite).
+ Laraíz x=-2 se repite dos veces, luego -2 es
una raíz doble; es decir, x;=x¿=-2.
l
» Su conjunto solución es c5=(2 Ds 2)
543
Lumbreras Editores
Finalmente concluimos:
Número de Número de
raíces de P() soluciones P(,)=0
!
| pb Tenga en cuenta
| + A las soluciones de una ecuación polino-
| mial también se les llama raíces.
| * Siunaraíz a es de multiplicidad R, significa
| que a se repite A veces.
= La cantidad de soluciones de una ecuación
| polinomial P(,=0 es igual a la cantidad de
¡ elementos de su conjunto solución.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P¿,, de grado n > 1, de coeficien-
tes complejos, admite al menos una raíz que ge-
neralmente es compleja.
5. 0r
Todo polinomio P¿, de grado n>=1, de
coeficientes complejos, tiene exactamen-
te n raíces contadas cada una con su res-
pectiva multiplicidad.
Ejemplos
l. El polinomio P(y=bÓé-5x+1 tiene 5 raíces
por ser de grado cinco. En consecuencia, la
ecuación polinomial 4x-5x+1=0 también
tiene 5 raíces.
2. El polinomio Q(1)=2 +2 +4 tiene 7 raíces
por ser de grado siete. En consecuencia, la
ecuación polinomial 2x”+2x*+4=0 también
tiene 7 raíces.
Del corolario se concluye que toda ecuación
polinomial P¿,,=0 de grado n>1 tiene solución
(a lo más n soluciones), por lo tanto, será una
ecuación compatible determinada.
544
A continuación estudiaremos algunas e
e ñ Cuacio-
nes polinomiales. hs
ECUACIONES LINEALES
Llamadas también ecuaciones Polinomiales de
primer grado, cuya forma general es
Ax+B=0; Az0
Para resolver una ecuación lineal Ax+B=0;A 4)
procederemos así:
Sumamos (-B) a cada miembro:
Ax+B+(-B)=0+(-B) > Ax+ 0 =-B
0
> Ax=-B; Ax0 [existe A”]
B
> ATAxX=AUEB) > x= > cs=[-2)
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación lineal.
3x-1 x-1l x
+——+-=1.
2 3 5
Resolución
Para eliminar los denominadores multiplica-
mos toda la ecuación por el MCM(?; 3; 553).
Así:
15(3x-1)+10(x-1)+6x=30
> 45x-15+10x-10+6x=30
> 6lx-25=30 => 6lx=55
2. Resuelva la ecuación en X
omo NP AA
n+p+q+r q+r+m mi+n+P
ositivos.
con m; n; p; q; r reales P
A
-— A A A A A AA SS CATA
Ecuaciones algebraicas
CAPÍTULO x01 E
Resolución
C mo3=1+1+1, , pasamos a restar | a cada fracción:
Ol
] x-n xr
co EP E 10
q+r+m m+n+p
xo A=PEgE, EMP AFTETA, ASPPGEDESNED
5 n+p+g+r q+r+m m+n+p
Factorizamos x-m-n-p-q-1
A A A
(x-m-n-P n+p+q+r q+r+«m me+n+p)
+0 o
> x-m-n-p-q-r=0
> x=m+n+p+q+r
. CS=(m+n+p+q+r)
3, Resuelva la ecuación lineal
MC IA
+12*20'30' 42.
Resolución
Factorizamos x
E 1.1.1.1 5]
Xx +++ ++ |=
26 12 20 30 42
1 1
e A da f 0.
R(R+1) PRES en cada fracción
Aplicamos la propiedad
En el problema:
EINEN)
px qx
ati E +5 p+tq
q
Calcule el valor de ab
x
Mo
Lumbreras Editores
o
Resolución
Transponemos términos y agrupamos con-
venientemente
px_gx_ qx, px
qe pa pb" ga
0 3.
q p
Note que
2-2. E 0
p pq
ya quep+*q a p*-q
1
dal
Xx Xx 1 1 a+b
+==l > +2 > (E
b a b a ab
va
Xx.
ECUACIONES CUADRÁTICAS
Llamadas también ecuaciones polinomiales de
segundo grado, cuya forma general es
AC+Bx+C=0;A%0
Para resolver una ecuación cuadrática, en mu-
chos casos emplearemos la factorización. Si la
ecuación cuadrática es de la forma:
* Ax?+Bx=0, factorizamos por factor común.
* AX+C=0, factorizamos por diferencia de
cuadrados.
e AXR+Bx+C=0, factorizamos por aspa simple.
Por ejemplo, para resolver la ecuación
AXR+Bx+C=0, factorizamos por aspa simple:
A(x-x,)c-x,)=0; Az0
> (x-x=0 v x-x=0) > x=x, v x=x,
Por lo tanto, el CS=(x; x).
A xy; x, se les llama raíces de la ecuación cua-
drática.
546
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación 3x2+x-10=0,
Resolución
Factorizamos por aspa simple
342 +x-10=0
3x -5
x k 2
> (3x-5)M+2)=0
> > v x=-2
col
2. Resuelva la ecuación 4x%-28x+49=0.
Resolución
El trinomio es un cuadrado perfecto:
(20?-2(2x) -7+7?=0
> (2x-7?=0> x = (solución única o raíz doble)
3. Si una raíz de la ecuación x?-(a+1)x-5=0
es 2, halle la otra raíz.
Resolución
Como 2 es una raíz entonces verifica la ecua-
ción.
Luego: 2? + (a. + 1):2-5=0
> 4-2a-2-5=0 > a=-5
Luego, la ecuación dada es:
2 3
x*=|--=+1|x-5=0
(+1)
> 2x+x-10=0
>
Ecuaciones algebraicas
CAPITULO xl
factorizamos por aspa simple:
2 +x-10=0
4
2x 5
> <2
> (0r+5)(x-2)=0 > (2x+5=0 v x-2=0)
>SYx cuX: Xo=2
el 2 2
; 5
Luego, la otra raíz es =>
Teorema (fórmula general)
-B+WB?-4AC
¡A7%XO
2A
AC+Bx+C=0 O x=
Demostración
En AYC+Bx+C=0;A%0
multiplicamos por 44 para completar cuadrados
442 +4ABx+4AC=0
(24x'+2(24x)(B)+B?-B?+4AC=0
(2Ax+B)'=B?-44C
> Ux+B=+ VB? - 4AC
S y-2B+VB? - 4AC
24
ÉS decir
y ==É*YB"-44C_ -B-VB?-4aC
24 ENE 2A
Por lo
e tanto, el conjunto solución de toda ecua-
ACB C=0; Az0 es
8 dB? 4Ac. ES
24 Ñ 24
S=
o
Ejemplos
l.
Resuelva la ecuación 31?-2x+1=0.
Resolución
Como el polinomio 31?-2x+1 no es factoriza-
ble en Q, aplicamos el teorema anterior.
Reconocemos los coeficientes:
A=3; B=-2 y C=1.
A ENCON
2(3)
_2+/-8 _ 2424/21
6 6
Resuelva la ecuación x? —- V2x-5=0.
Resolución
Tenemos
A=l; B=-V2 y C=5.
Usamos la fórmula general
24 VE -4(=5) _ 129422
2 2
cs, paa!
Discriminante (A)
Dada la ecuación Ax7+Bx+C=0; A+0, definimos
y denotamos el discriminante de la ecuación
cuadrática por:
A=B*-4AC
547
Lumbreras Editores
Ejemplos
1. Halle el discriminante de la ecuación
32 -5x+7=0.
Resolución
Identificamos los coeficientes
A=3, B=35 y C=7
> A=(E5)-4(3)(7)=25-84=-59
=-59
2. Halle el discriminante de la ecuación
22+3x-¿=0; i=4=1.
Resolución
Identificamos los coeficientes
A=2i, B=3 y C=-¡
> A=3-4(2)(0)=9+(87)=9-8
A=1
Teorema Cardano-Viéte (para ecuaciones
cuadráticas)
En la ecuación Ax?+Bx+C=0; Ax0, de raíces x;;
X2, se cumple:
Il... Suma de raíces:
paca
Xx X= A
II. Producto de raíces:
C
MA
Demostración
Sabemos que
—-B+AB?-4AC. —B-VB?-4A4C
ds 24 ed 24
Luego
-B+VB?-4AC_ -B-VB?-4AC
LAA ÉáÁáÁAá> > E <KÁ<4< AA
2A 24
2B B
> ALAS > io BE
548
a B?-4Ac
BiNB"-4AC ([-B-VB"-44Q
1. soe 2A 24
(-BY -(B? -44C)
ET o
4A?
sx AC
=> . — E el
Ae Ae
Cc
Corolario
(x-x2)? = (x, +x2)"-4xx2 |
i
Ejemplos /
1. Dada la ecuación 3:2-5x+7=0, de raíces xy; | |
X¿, se tiene: 3
* A
2. Si x,;x2 son las raíces de la ecuación
3x7+2x-4=0, calcule el valor de
M=(x,+5)(x,+5).
Resolución
M=(x, +5)(x,+5) es igual a
M=xyx2+5(x, +x2)+25
Usando el teorema se tiene
2 4
X]+Xa 3 A CINE
> M=0+5[-3)+25
3
May 20l
3 3
| A a
-
eto
..
3 Sir
Ecuaciones algebraicas
ys son las raíces de la ecuación
+= 2. calcule el
spx+36=0, tal que PRETO
valor de P-
Resolución
De la ecuación: 1 +S=-P, r:s=36
1.1.3
De la condición: pa + 577
» Tenga en cuenta
Si x, y x, son raíces de la ecuación
A*+Bx+C=0; A+0, entonces
1.1 x+x B
E ie? RA
| XX X1X2 C
. Sila ecuación cuadrática
e-(p+ a 2)+1=0
tiene conjunto solución CS=(a; +1), calcu-
le el valor de p.
Resolución
Seanx,=a+1 y x,=0. las raíces
2
> Xx +X=D+3; xw2=[3) +1.
Además: Xo-x =1.
R :
e Plazamos estos resultados en la identi-
ad de Legendre
Co +x)?-(x, -x Y = 4x1Xo
És daa)
4
Ñ 148049 1=p%4
> 6p=-4
dd
3
Si una raíz de la ecuación es el triple de la
otra raíz x?-(2a+4)x+a?+8=0, calcule el
mayor valor de a.
Resolución
Sean las raíces: R; 3R
Por el teorema de Cardano:
+ R+3k=2a+4 > R=2+1
* Rk-3k=a7+8 > 3k?*=a?+8
2
> 37) =a?+8
2
2
=> q Grarjeot es
3a?
> q +3a+3=0%+8
2
Ly 7" 3a+5=0 > a*-12a+20=0
> (a-10)J(a-2)=0
a-10=0 v a-2=0
y
> a=10 ; a=2
10
". Amayor—
Análisis de las raíces
En
tes
la ecuación Ax7+Bx+C=0; Ax0 de coeficien-
reales, raíces Xy; X2 y discriminante A=B?-4AC
se cumple:
L
IL
IL
SIA>0 O xy MER A X17%
SIA=009x ER A x1=%
SiA<0Oox aeRa Xx ¡=X»
549
Lumbreras Editores
Ejemplos
En la ecuación 2x?-5x-1=0, su discrimi-
nante es
A=(=5)*-4(-2)=33>0.
Entonces, las raíces xy; x, son reales y dife-
rentes.
En la ecuación 5x?-2x+7=0, la discriminan-
te es A=(-2)?-4(5)(7) <0.
Entonces, las raíces no son reales. Son com-
plejas conjugadas.
Si a, f son las raíces de la ecuación
x*-(47-Dx+5=0,
calcule el valor de |a|+|B|.
Resolución
Calculamos su discriminante
A=(47-1)?-4(5) <0=8-2/7-20=
=-12-2/7<0
=> «, fB son complejas conjugadas, es decir
a=Pp.
De la ecuación:
a:P=5 > 00UM=5 > lal?=5
> [al=v5
Además, como u=p > |a|= Ip] =|f]
Ja] +18] =45+ 45 =245
Formación de la ecuación cuadrática a
partir de sus raíces
Sean x=x, y x=X, las raíces de la ecuación cua-
drática, entonces dicha ecuación cuadrática es:
xy ex) ox 1420
Prueba
Six=x, y x=xX2sOn las raíces de una ecuación
cuadrática
> x-x¡=0 an x-x2=0
Multiplicamos:
(x-x,Mx-x7)=0
> lx, +x3)x+xx,=0
es la ecuación buscada.
Ejemplos
Forme la ecuación cuadrática de raíces:
a.
b.
5; -3
7
6; =
2
3+ 3; 3-3
d. 4+i 4-i
Resolución
a.
d.
La ecuación es:
X-5+(3))r+(5)63)=0
> M-2-15=0
La ecuación es:
y? -(6+)x+0[7)=0
» 19 > ER ,
Nx pr tated > 2x-19+42=0
La ecuación es:
x2-(34 1/3 +3- V3)x+(3+ /3)(3 - /3)=0
> M-6r+3-3=0 > -x+6=0
La ecuación es:
(Aid (4-0 =0
Br 44 10 > Mare 17=0
nn
CAPITULO xa Ecuaciones algebraicas
necuación cuadrática 44 -2x+"
p son las ralcen de la ecuación cuadrática 4x%-2x 4-30, halle otra ecuación cuadrática de incóg-
y Ss, :
de ela y cuyas ralces sean 2a=1 y 2b-1,
Resolución !
arb.-
Dela ecuación: 422x432 0 > 8
ab 7
La ecuación buscada Cs
y -(2a- 142b-1)y+(20-1)Q0b-1)=0
, y- [2(a +b) -2]y+4ab -2(a +) +1=0
Usamos los resultados obtenidos:
) MN, (5) , ] ]
22 12|=|- 412 |-2|-|+1=0
y (25) d Pa)
Por lo tanto, la ecuación y +y4+3=0,
Interprotación geométrica de y=Ax*+Bx+C
Sea y=Ax"+Bx+C; A+ 0 un polinomio cuadrático con cocficientes reales. Su gráfica es una parábola y
su comportamiento geométrico depende de su discriminante (A), así:
la A>0 A=0 E
A<0
Teore
Ma de las ecuaciones equivalentes
0S 6: 0
"ecuaciones cuadráticas Ax? +Bx+C=0 y Mx*+Nx+P=0 son equivalentes, es decir, tienen el mismo
e
551
Lumbreras Editores
Demostración
Las ecuaciones Mx*+Nx+P=0 y Ax”+Bx+C=0
son equivalentes si A2+Bx+C=k(Mé+Nx+P),
k=cte.
> A=kM >» Tr >B=kN > Z=k
> C=RP 5 zz
P
De donde: 4 -8_€_z
MN P
Ejemplos
l. Las ecuaciones 3x?-5x+2=0 y
9 -15x+6=0 son equivalentes ya que
3.5 2
9 156
2. Calcule el valor de (n—m) si las ecuaciones
cuadráticas
(2m+Dx?-(3m-1)x+2=0;
(n+2)-(2n+1)x-1=0
son equivalentes.
Resolución
Como son equivalentes, entonces
2m+1_-(3m-D_ 2
n+2 -(2n+1) -1
Luego se tiene
2m+l__a > 2m+2n=-5 (a)
n+2
mol amita=i
2n+1
De 2(0)-([)
4m+4n-3m-4n=-10+1
> m=-9
552
En (a)
2-9+2n=-5
13
> n=>7
2
| »» Tenga en cuenta
| Dos ecuaciones cuadráticas
| AxXé+Bx+C=0 y Mx?*-Nx+P=0
| tienen una solución común si
(CM-PAY=(BP-NCHAN-BM)
ECUACIONES CÚBICAS
Son aquellas ecuaciones polinomiales de tercer
grado, cuya forma general es:
AC+BÉ+Cx+D=0;A%0
Por el teorema fundamental del álgebra y su
corolario, la ecuación tiene 3 raíces, a las que
denotaremos por xy; xy; X3. Luego la podemos
escribir así:
Alex Je-x>)(x-x3)=0; Az0
Multiplicamos para reconstruir la ecuación
AX A(x,+x9 4x3) +A (x,x9+xx3+x9x9)x
—Ax¡xox3=0.
Esta es otra forma de escribir la ecuación inicial:
AC+Bx*+Cx+D=0.
Luego, si comparamos los coeficientes oblene-
mos el siguiente teorema.
Teorema de Cardano-Viéte (para ecuaciones
cúbicas)
En toda ecuación cúbica:
A+ Bx+Cx+D=0; AZ0
de raíces x, xy; xq, se cumple:
Ss:
| suma de raíce B
y pa tx
Suma de productos binarios de las raíces:
p,, SU
x ¡Xy +X1X34X2X3="4
q. Producto de las raíces:
| D
Xx X0X3== 7
Ejemplos
|, Dada la ecuación cúbica: -5x-4=0, fac-
torizamos el polinomio por el método de los
divisores binómicos:
El polinomio Py =x%-5x-4 se anula para
x=-l, es decir,
P)50 = -l es raíz de P(,
> (x+1) es factor de P¡,,
> Piy=(x+1)Q() donde Q;) =-x-4.
(04, se halla usando la regla de Ruffini).
Luego, (x+1)(2-x-4)=0
3 x+l=0 v x*-x-4=0
4417. 1-417
Xa=
2 3
X1==1; xo =
Luego, con estos valores (raíces) encontra-
dos se Comprueba que:
Xx A
o +x=0; X ¡XX X3+X2X3=>5;
Xx =4,
la; b: , me
b;c son raices de la ecuación
“245=0, halle el valor de
2
a+ p? + e?
or AN
K] .
Qq +08, 3
Ecuaciones algebraicas
Resolución
Por teorema de Cardano-Viéte se tiene:
LL a+b+c=0
IL ab+ac+bc=-2
ML. abce=-5
Si usamos las igualdades condicionales con
a+b+c=0, tenemos:
a+o+=ab+ac+bc)=-2(-2)=4
Moe =3abc=3(-5)=-15
Si una de las raíces de la ecuación
(2-1 )x+3k=0 es 2, calcule el producto
de las otras dos.
Resolución
Como una de las raíces es 2, entonces verifi-
ca la ecuación.
Luego:
2%-(2k-1)2+3k=0 => 8-4k+2+3k=0
> 10-k=0 > Rk=10.
Por el teorema de Cardano-Viéte
X¡X9X3=-3kR => 2x2x3=-30
.. Xox3=-15
|
| »» Tenga en cuenta
| En toda ecuación cúbica de la forma
| x+px+g=0, de raíces Xy, Xo Y X3, Se
]
cumple que:
x ¡+xy+x3=0
| En consecuencia
| xe+x3=-2p
3
xx +x3= 39
553
Lumbreras Editores
Resolución general de la ecuación cúbica
Esta solución se conoce generalmente como la
fórmula de Cardano, ya que fue publicada por
primera vez por él en su obra Ars Magna, en
1545. Cardano obtuvo la solución de Tartaglia,
pero la solución original de la cúbica parece de-
berse originalmente a Scipio del Ferro, alrededor
del año 1505.
Sea la ecuación +ax"+bx+c=0.
LL. Buscaremos eliminar el término cuadrático
haciendo el siguiente cambio de variable:
a
x=t-Z,
3
con lo cual se obtiene la ecuación
P+pt+q=0,
llamada ecuación cúbica incompleta.
II. Supongamos que la ecuación cúbica incom-
pleta tiene una solución de la forma y+z.
Luego, por definición de solución:
+2 +pt+q=0
> Y +24+3yz(y+z)+pt+q=0
l
> (+22+q)+3yzt+pt=0
> (+22+q)+(3yz+p)=0
La cual se verifica si
[Y+z2+q=0
| 3yz+p=0 => y2=-E
p?
> Yaiza r ys E
27
III. Conociendo la suma y el producto de y”; z*,
se puede formar una ecuación cuadrática de
raíces y: Za.
554
Así: P-y+r2lry2=o,
3
2 Pp
+ -==0,
es decir r* +qr 27
llamada ecuación resolvente.
Como y”; z* son las raíces de esta ecuación.
entonces:
Si en los resultados anteriores hacemos
2 3
a=[2) +| 2) , entonces tenemos:
PS ER ET
aiii AA
a sl
Como x =1-——, entonces la solución general
de la ecuación cúbica es:
. to =9- + Jam + y Var
| —
>» t=3-LiJiw?t+3-L-J
1 adds ME UÓ
15]
Donde ws
2 2
PP
Ecuaciones algebraicas
CAPÍTULO XA
a
gjemplos , Lo cual se cumple si
1 Resuelva la ecuación 1”-15x-126=0, Y+d=12 , yx=-4
Resolución
| Sea x=y+2 la solución de la ecuación;
luego se tiene:
(y+2)'-15x-126=0
> y+zi+3yz(y+2)-15x-126=0
Ñ
> (+2-126)+(3yz-15)x=0
Se cumple cuando y*+2*=126 » yz=5
> pd=126 1 y20=125
IL La ecuación resolvente (de raíces y”; 2?) es
P-126+125=0 > (t=125 v t=1).
Es decir
y'=125, Z=1 > y=5, z=1
Luego
+ x=5+1=6
. = 2= +4: SiN) (1-8)
resorte +1 27
. x=5w*+w=
(3-8 1),(-144,)
2 2
- CS=[6; 342431: -3-24/31)
2, Calcule la raíz real de la ecuación
X*+12x-12=0.
Resolución
L Hacemos x=y+2; luego:
+24 yax+12x-12=0
e
> Y+2=12 7 y23=-64
lI.. La ecuación resolvente es ?-12-64=0.
Factorizamos: (1-16)(1+4)=0
> t=l16 v t=-4
> y=16; 2=-4
> y=W6, 2=-Y
x=Y16 -Ya
Discriminante de la ecuación cúbica
Si x]; Xx; x3 son las raíces de la ecuación cúbica
x+ax"+bx+c=0, entonces el número denotado
por D:
2 2 2
D=(x,-x2)(x, -x3)? (x,-x3)
se llama discriminante de la ecuación cúbica dada.
Teorema
El discriminante de la ecuación cúbica incom-
pleta
+px+q=0es D= -108 (2) y
Demostración
Sean Xy; Xy; X3 las raíces de la ecuación
x+px+q=0. Por el teorema de Cardano tene-
mos:
Xx y+x9+Xx3=0
X¡X9+X¡X3+X9X3=P
X¡X2X3=-Q
555
Lumbreras Editores
Además x; xy; Xy satisfacen
x)+px,+q=0 0)
x3+px3+q=0 (1D
x3+px3+g=0 (UD
Restamos la ecuación (II) de (D)
x= xo +p(x,-xz)=0
> (a-x)(ex x +2+p)=0
Suponiendo que las tres raíces son diferentes
(en otro caso el análisis es distinto y más fácil;
dejamos la verificación para el lector). Luego:
X+x Xx +x2+p=0
Análogamente:
2 ls
XX X3+x3+p=0
2 Mu
XFX 3x3 +p=0
Completamos cuadrados en cada una de estas
ecuaciones
Qa xp)? =-3x,x,-p
(xx)? =-3x,X3-P
(«,¿-x4)* =-3x 3
Multiplicamos miembro a miembro y obtenemos:
D= -(3x,x)+p) (3x,X3+p) (3x,x3+p)
> Da-lpi+3(x,x)+x x3+x0x 9) +
+9x XX (Xx) +X9+X3) pH 27(xyxpx)*]
> D=-lp*+3p*+9(-q)0p+ 27(-q)*]
0
556
Entonces
D=-(4p*+279)
0-10 O
Ejemplo
Calcule el discriminante de la ecuación Cúbica
x-12x+12=0.
wlu
Resolución
Identificamos los coeficientes: p=-12; g=12
3 2
: p 2)
=-108|| £ z
Como D=-10, 6 »(2 |
3 2
S 12
> p10s|[(2) (2
> D=-108|(-4)*+6*]
> D=-108|-64+36]
D=-108(-28)=3024
Teorema del análisis de las raíces
Sea la ecuación cúbica
A+px+q=0, (p;q)cR,
de raíces x,; Xy; Xy y
a-(3) «(3):
Sé cumple:
LO SIA<O > (xy; xy; xy) c R, además todas
distintas,
IL SIA=0 > (xy x35 xy) e R, además x,9M>
IL OSIA>O > 1 eR, xx A Xx C-R.
Ecuaciones algebraicas
n
gecordemos qUe Si
$ a +
4, /A a 2=3*M-Í-
ai A dE ÍS
ER 3
(aY,(2) las raíces son
¿onde A= (9) 3)”
E A
E
1 y3,
¿24 —].
con w 9. 2
Entonces
1 Sia<0, entonces y, 2; SON imaginarios de la
forma a+bi, a—bi. Luego, las raíces son:
» x=a+bi+a-bi => x,=2a
+ x,=(a+bijw+(a-biJw*
> xy=-4- bv3
* x= (a+bijw?+(a—bi)w
> x3=-4+ by3
Nótese que las tres raíces son reales; este
es el caso llamado irreductible de la fórmu-
la de Cardano, porque el cálculo de los tres
valores reales a que se reduce la expresión
compleja es preciso hacerlo trigonométrica-
mente.
Si4=0, se tiene que y; z son reales además
357 y las raíces son:
" MS)+Z > x,=2y
2=w+a > x,=y(w+w)
7 X¿=-y
; X= w?
yea > x=y(w*+w)
$ X=-y
Vótese
ellas ; Que las tres raíces son reales y dos de
* Quales,
lll. SiA >0, entonces y: z* son reales, de las cua-
les y; z son sus raíces aritméticas. Luego, las
raíces son:
"O XISY+Z + M=y+z
* x=yw+w* > 19 31
* x=yw+zw 3 PEO TO ON
3=) 3 X3 2 2 3
Nótese que una raíz es real y las otras dos
son complejas conjugadas.
Ejemplos
1. Analicelas raíces dela ecuación 7-3x+2=0.
Resolución
Vemos que
2 / ey
2 ) 3
A=|- — | =0.
E 3 )
Luego concluimos, por el teorema anterior,
que las tres raíces son reales, dos de las cua-
les son iguales.
Verifiquemos resolviendo la ecuación.
Factorizamos el polinomio P()= ”-3x+2
por divisores binómicos.
Como P(=0 > (x-1) es un factor de Pú)
Rx)
x-1
> P()=(4-1)*( Entonces (1) =
Hallamos Q;.) aplicando la regla de Ruffini,
asi:
>
> Pa 00- n(* +x-2)
557
Lumbreras Editores
Luego Sea x=y+z la solución, luego en la ecuación
se tiene:
(x-D(4+x-2)=0
31443 e a
> G-DO-0(+2)=0 y +z +3yzx-3x+1=0
E EE
“Xx =X=1; x3=-2. is es
A ; Luego, la ecuación resolvente es +14 ]=
2. Analice las raíces de la ecuación "-4x+3=0. go, (+10,
-11 y31
Resolución sE
3Y (Y
Vemos que A -(5) (3) <0.
2 3 3 14431. 2
> = = cis —;
Por el teorema anterior concluimos que las 2 3
tres raí l istintas.
; lees sonteales y alsnios 13 id
Verifiquemos resolviendo la ecuación. 2*= 2 = els
Factorizamos el polinomio
P¿y=x*-4x+3 por divisores binómicos. 2n e
Como P(,)=0 => (x-1) es un factor de P(,). ARO y
41
> Py=0-1) 9 +2krm
(0) )
ó úl z Pio
Hallamos q;,, por la regla de Ruffini y obte- 3
nemos
Donde k=0; 1; 2.
P() =(x- DO +x-3).
Lisga Como y es el conjugado dez a x=y+z,
(1- D04+x-3)=0
entonces las raíces son:
> x=1=0 y x+x-3m0 ; x¡=200s[ E )- 1.530889
>x=l y x= 2%
. xy =2c0s 2 — = 2cos=" 1879385
El xy, y
7 da
3 . xy =2cos 4 — - 2c0s| z). 0,347296
3. Resuelva la ecuación x*-3x+1=0. 9
Resolución Geométricamente
2 3 ; E
Como de (2) A 2) ba Sea el polinomio P,,=a(x*+px+q); (p;q)e<R:
3 '
3
de raíces Xx ¡Xy Xy y A= (2] (2).
entonces las tres raíces son reales y distintas. 3
558
>»
CAPITULO A Ecuaciones algebraicas
áfica de Pq €5 cualquiera de los 6 casos.
La 8
lo A<0 A=0 A>0
4
| |
a>0
x
4
|
a<0 NX, Neg
Caso irreducible de la fórmula de Cardano Ñ
Dada la ecuación cúbica: X+px +q=0, con p y q reales. Si A<0 su resolución trigonométrica es como
sigue:
Como la solución es x=y+Z, con y=a+bi, z"=a-bi, entonces
x=(a+bi)'“+(a-bi)'”,
Hacemos a=rcos8 y b=rsen0, de tal manera que:
e b '
a+bi=r, tanO= y htonces (a+bi)'“=[r(cos0+iseno)]'”,
Por el teorema de De Moivre, tenemos:
la+bp = Yrcis[ 2), con k=0; 1; 2.
Cuyos valores son
vr .(08
Vo(3) Was (275) Mrs 232)
Asimi j i
AN los valores de (a-bi)'? son los conjugados de los resultados anteriores. En tal sentido, las
ces , ;
de la ecuación cúbica x+px+q=0, con A<0, son:
x= 0
=rcos xo 27 cos[ 222) xy = 27 cos|
O Pa
9141)
2,,9
“+? y tano=?.
a
559
Lumbreras Editores
ECUACIONES CUÁRTICAS
Son aquellas ecuaciones polinomiales de cuarto
grado, cuya forma general es
Axi+BX4+COO+Dx+E= 0; Ax*0
La ecuación tiene 4 raíces a las que denotare-
MOS Por Xy; Xy; X3; Xq Luego podemos escribir
la ecuación así:
A(x-x)x =xo)(x-x) (x-x,)=0; 420.
> AXiuA(x Fx Ex Ex da. FAX xo x3=0
Esta es otra forma de escribir la ecuación inicial.
Teorema de Cardano-Vitte (para ecuaciones
cuárticas)
En toda ecuación cuártica
Ax+BX+C4+Dx+E=0, Az0; de raíces Xy xa
X3; Xq, Se cumple:
S B
l.. Suma de raíces: XFX Ex Ex => A
A
Il, Suma de productos binarios:
C
MXN g rs, HN A
ra
Ill. Suma de productos ternarios:
D
XXX EX q EXA => mi
É£
IV. Producto de raíces: aa
Ejemplo
Luego de resolver la ecuación al 6r-2=0,
de raíces Xy; Xy; Xy Xy, halle:
LX ExXyExg ex
Lx x9x9x
560
Resolución
Generalmente, una ecuación polinomial se yo.
suelve por factorización.
Factorizamos el polinomioP(,=x*-317-6x-2=(
por el aspa doble especial,
xi+0r 30% 6x2
XA 2
> (1 +2x+2)(-2x-1)=0
Luego
e o x*4+42x+2=0 > y=
* o xi-2r-1=0 > x=
> (xy =1+ V2; X= 1- /2)
De donde:
Loxa ea Li] d+ 1/24 1-42=0
EN
Otro método
Usando el teorema de Cardano-Vidte
0
MEX Ex A =()
-2
A
y”
Ecuaciones algebraicas
neral de la ecuación cuártica
pesolución 96
la ecuación AC+BR+CA+Dx+E=0; A%0.
Sea a
solución de Ferrar!
ación cuártica fue resuelta por primera
y > ebrista italiano Ludovico Ferrari (1522-
pe coa de Cardano. Luego se dieron
ada intentos para las ecuaciones de grado
superior a 4, Pero fueron en vano, ya que el
matemático Abel demostró la imposibilidad de
resolver por radicales las ecuaciones de grado
superior a 4, utilizando la teoría de Galois.
En la ecuación x+2px + qu +21x+5=0 se busca
formar cuadrados perfectos.
Sumando miembro a miembro (ax+b)?, a fin de
que ambos miembros sean cuadrados perfec-
tos, tenemos
+2 + (9+a)+2(r+ab)x+
+(s+b?)=(ax+b).
Supongamos que el primer miembro sea
(2+px+k).
> 1429 +(q+02)+2(r+ab)x+
+(s+0%)=(2+px+k)?
Poridentidad de polinomios:
P+2k=g+a?; kp=r+ab; k”=s+b?
tliminando a y b de estas ecuaciones tenemos
Cr =(02+2%-0)(4?-9),
co a 0. ,
de lo cual se forma la siguiente ecuación cú-
ica:
2 ak+2(pr—s)e -p"s+qs-=0
De es $
la ecuación cúbica puede hallarse siempre
Un y
alor real de k, con lo cual a y b quedan de-
“Minadas,
C
mo (4 +k)=(ax+by
X +Dx+k
=+(ax+b)
Luego, los valores de x se obtienen de las ecua-
ciones cuadráticas:
+(p-alx+k-b=0
+(p+alx+k+b=0
Ejemplo
Resuelva la ecuación x*-2x%-5x2+10x-3=0.
Resolución
Sumamos en cada miembro (ax+b)?, Así
x-20+(a?-5)+2(ab+5)x+
+b*-3=(ax+b)
Sea el primer miembro igual a (1?-x+k)?.
Es decir
x-2+(a?-5)+2(0b+5)x+b*-3=
= 0-24 (2% +17 -2kx+Rk?
Por identidad de polinomios:
a =2k+6; ab=-k-5; bi=k?43
Luego se obtiene (2£+6)(%?+3)=(-R-5)?,
que efectuando es 2k*+5k?-4k-7=0,
Como vemos, un valor de k es—1,
de donde a?=4; ab=-4; b'=4 > a=2; b=-2
Luego, la ecuación (2-x+k)?=(ax+b)? queda
(2-x-1P=(2x-2)
> -x-1=+(2x-2)
Es decir
3+v5
-3x+1=0 > x= e
-14 413
+x-3=0 > de E
Luego, las raíces son:
3+45. 3-45, -14413, -1-413
AN
561
Lumbreras Editores
Solución de Descartes
La siguiente solución fue dada por René Des-
cantes (sabio y filósofo francés, inventor de la
geometría analítica), en el año 1637, Así, sea la
ecuación
+A +Bx+Cx+D=0.
|. Hacemos el siguiente cambio de variable
A eS
x= y- 7 con lo cual se elimina el término
cúbico y la ecuación queda reducida así:
y + ay +ry+s=0 (ecuación cuártica incompleta)
ll, Suponga que el polinomio cuártico queda
Y +gy +ry+5=(y +ky+1)(*-ky+m)
De la igualdad de polinomios se tiene:
l+mek?=g, kim-D=r, Im=s
De las dos primeras ecuaciones:
, 2 E
un=k*4q+ má
2h? 4 > ha
h
Y reermplazando en la tercera
(+ qhrr)Usqu-r)=4sh
Fs decir
Malal 15) 1200
Esta es una ecuación cúbica en /2 y llene slemn-
pre una solución positiva, Cuando se conoce fé,
se conocen los valores de l y 1, y la solución de
la cuártica incompleta se obtlene resolviendo las
dos ceuaciones cuadrátllcas:
Yahya 07 y hy m0
'
07
Ejernplo
Resuelva la ecuación x'-2x"+8x-3=(,
Resolución
Hagamos x' -2x 4+8x-3 = (erecta tx)
De la igualdad de polinomios:
l+m=k?=-2; k(m-)=8; Im=-3 (9)
De donde obtenemos:
(1% 2% +8) (6-2 -8)=-12%?
> R“-4RU+16k?-64=0
Nótese que un valor de k* es 4,
Entoncesk=2 y k=-2.
Si tomamos k=2 en (a) tenemos:
m+l=2; m-l=4 => m=3; l=-1
Luego
248x355 (12+2x-1)(?-2x+3)=0
Entonces
x42x-1=0 > x=-1£yV2
-2r+3=0 > x=1tvV2/
Luego, las raíces son:
1+V2; -1-V2; 1+421; 1-21
ECUACIONES BICUADRADAS
Es una ecuación cuántica de la forma particular
Ax B4O=0; ABC40
Resolución general
Y
; AN =(
l. Hacemos el sigulente cambio de varlable
» ACABA CW0
-
Ecuaciones algebraicas
CAPÍTULO xi1l
Usamos la fórmula general de la ecuación
1 Us
cuadrática
l 24
entonces
-B+ vB? -4AC
e 24
2
Como (=X,
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación xi_8x?-9=0.
Resolución
Hacemos x2=1 > P-81-9=0,
> (-D4+1)=0.
De donde:
+ 1=9 > x*=9 > x=3 v x=-3
*(=l a d=-1 > x= v x=-i
. CS=(3; -3; i; —i)
2 Resuelva la ecuación x*-512-9=0. *
Resolución
Hacemos "=y >) y?-5y-9=0.
Aplicamos la fórmula general de la ecuación
cuadrática:
5 y= 5261 ÁS e A y2 5-61
2 2
cs ¡S+v61. [5+J61 [5-J61. [5-61
(E 55 55. E,
Popledades
E Six =
2 de Y X2=B son dos raíces de una ecua-
Pa Icuadrada, tal que la|»*|$|, entonces
Su E ]
E A X4=-P también son raíces de la
ación bicuadrada.
Uego:
Xxx +x,=0 y CS=(a;-a; P; -P)
2. Sia y f son dos raíces de una ecuación bi-
cuadrada Ax'+Bx*+C=0 con |a|+|P], por el
teorema de Cardano se cumple:
+ 2.2
p A
E +
at ata E
p A
Formación de una ecuación blcuadrada
Buscamos formar una ecuación bicuadrada
conociendo «. y f, dos de sus raíces; u.++fP. Si
se conoce una raíz a, la otra será —a; y si cono-
cemos una raíz f, la otra será —f. Entonces las
raíces son U; -a; B; -B. Luego, la ecuación es
(-0(+0)(+B)-B)=0, que efectuando se
obtiene:
x'-(a+8) +0? p?=0
Ejemplos
1. Forme la ecuación bicuadrada si dos de sus
raíces son 3; -5.
Resolución
Si una raíz es 3, la otra será -3. Si una raíz es
-5, la otra será 5.
Entonces, la ecuación pedida es
(x-3)(+3)(x+5)(x-5)=0
n— “T T
(e-9)té-25)=0
De donde la ecuación requerida es
x"-34+225=0
2. Calcule el valor entero de m, de modo que
la ecuación x*=(ax+m+1)lax-m-1) tenga
raíces en progresión aritmética (PA); además,
a=V3m+4.
563
Lumbreras Editores
Resolución De la ecuación bicuadrada
Escribimos la ecuación así: (a? +8?
jat+B*=a+2
4_ =(
lar trtdliata x*-(a+2)2+a=0 > la?g?=4 > ap=-2
> x=a-(m+1), con a?=3m+4
> x'-(3m+4)+(m+1)=0 (>) Como (a+P)=0?+8"+208
Sean a; B; -a; —P las raíces, con a. < B. > (aJ'=a+2+2(-2) > a?-a+2=0
Ordenándolas de menor a mayor quedan Si a, y a, son los valores de a, por el teorerna
-B;-0 a $. de Cardano se tiene que: a, +4, =1
Como están en PA., tendremos que )
20=-0+B > f=30 ECUACIONES RECIPROCAS
Luego, las raíces son a; -a; 3a; -3a. Enton- Polinomio recíproco
ces, la ecuación es Un polinomio P,,, de grado n se llama recíproco
x*-100%x+90=0 (649) si cumple la siguiente propiedad:
De (*) y (**) se obtiene que
=- y". l . N
3m-+4=100? 0) dei x) ed
(m+1?=90* (ID
De (ID Los siguientes polinomios son recíprocos.
m+1=30% m+1=-30?
Es js + P¿=20-x+2
En (D
* Qme=A+3é+3x+1
3mm+4=10/
m+l
) y 3m+4=10(17"]
e Ray=3-2%4+5-2x+3
> 9%m+12=10mM+10 v 9m+12=-10m-10 “SS Sr +2 +1
A
> m=2 y m= 2 % á R A
19 Luego, podemos decir que los polinomios recí-
Como m es entero => m=2 procos son de la forma
ax+a
3. Calcule la suma de los valores que puede
ax +bx+a
tomar a, de tal manera que la ecuación bi-
cuadrada x*- (a+2)1+4=0 tenga dos raíces ac+bi+bx+a
a; B (a*3B), y que a la vez estas sean raíces
ad+bi+od+bx+a
de 2+ax+b=0 para algún b<0.
aso + aod+bx+a
Resolución :
De la ecuación cuadrática En consecuencia, sí u es una raíz de un polino-
P+ax+b=0 > a+p=-a mio recíproco, entonces 1/u es otra raíz. Es decir,
a-P=b una raíz es "la inversa multiplicativa de la otra".
”
fruLO XI!
Ecuaciones algebraicas
AAA
q ¿mplo
gactorice el polinomio
4100420 10x+ 1.
(1)
gesolución ,
gscribamos el polin
1
10
21,2_10x ro
Py FX É nica +2]
omio así:
Agrupamos adecuadamente
proa) 0(s+2)+2s]
Hacemos UN cambio de variable
2
2
a > AGS Se
XxX Xx
Luego
p=ely-2-10y+26]="(y-00-6)
En términos de la variable inicial:
A
x x
2 Pay=b2-4x+1)Lé-6x+ 1) está factorizado.
Propledad
Todo polinomio recíproco P() de grado impar se
anula para x= —1. Por ejemplo, en el polinomio
Pus - 5d -5x+1 se observa que:
Puy3-1-5+5+1=0.
Entonces x=-1 es una raíz de este polinomio.
Ejemplo
Ractorice el polinomio
Pos
Dl.
Resolución
Dsery,
e amos que P(_,)=0 > (x+1)
UN factor de Pos
X
> Q4)=+4d+5 +4x+1
Luego
Pjy=0+4D(+4+5+4x+1)
Factorizamos qx) por aspa doble especial
Ares Ax+1
pac
dl 1
ir Lx] 1
srta a 5x: SDT
Falta
: Py =0e+ D(2+30+1)04+x+1)
está factorizado.
Ecuación recíproca
Si P() es un polinomio recíproco, entonces
P(y=0 es una ecuación recíproca.
Luego, las siguientes ecuaciones son recíprocas:
. P¿ 4-2 -2x+1=0
. Quaidrnd+r+ 1=0
. Ry =20 43-04 3+2=0
565
Lumbreras Editores
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación z1+22*-6z?+2z+1=0.
Resolución
Dividiendo por z? y agrupando se tiene:
(+++ )+2(2+2)-5=0
z z
Hacemos pitt > 2 Lal?
z z
Luego tenemos la ecuación u*-2+2u-6=0
> (u-2Mu+4)=0
> u=2 v u=-4
De donde:
1
e. 24+-=2 > 2¡=1; z,=1
z
. PS" > z3=-2+43; z,=-2- 43
z
cs=lk -2+43; - 2-43)
2. Calcule el valor de m si la ecuación
(9m-4)2-/m (9m-4)x+m+5=0
admite raíces recíprocas.
Resolución
Si la ecuación tiene raíces recíprocas, se
cumple:
9m-4=m+5 => 8m=9
ECUACIONES BINÓMICAS
Son aquellas ecuaciones polinomiales de la
forma:
X+A=0,neN A»—AECN(O)
Para la resolución de esta ecuación aplicamos e
teorema de De Moivre. Así:
XA+A=0 e Xi=-A
donde
-A=]|-A]|(cosa+isena)=|-A|cisa
Entonces x”=|-A | cisa
a+ 2kT
x= EAlcis[ ).2=0; l..;(a-1)
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación x?-8=0,
Resolución
Tenemos: 4-8=0 > 1=8
> x=8cis0%
> x= Yacis|* ma]
> x- 222) R=0; 1; 2
SiR=0
> x,=2ci50%=2(cos0"+isen0%)=2
Sik=1
2n)|_
> Xx 20028 2009/22) r1sen(5))
=-1+ 43
Sik=2
Y
> X3 20948 (cos 2) rise)
3 3 Gs
a 1-5
Cs=([2 —1+ 431; -1-43i)
e
yLO XI! i
ei Ecuaciones algebraicas
Iva la ecuación x +43 -3i=0.
Resue
2 E xo = 02 cis[ 2),
Resolución
ha 4-_ .
+ /3-31=0 O x V3+3i . x= UT cis 02)
» Tenga en cuenta La representación geométrica de las raíces es:
Enta forma polar: Propiedades de las raices de la ecuación
z"-1=0
rea] (Cara 24 e
La ecuación 2”=1 no admite raíces múltiples.
| nue 3 a-120 Como sabemos, 1 en la forma polar se ex-
-v3 presa como 1=cis0*.
> ¿0 1; 2;...; (n-1)
n
Como
Para cada valor de k, los val d on di-
3 +3i=23cis1200 =2/3cis 2 E
3 ferentes.
> x-=243 cis" Por ejemplo: si z7=1, entonces
z=l;
(4 42%) | ¿a
4 . 3 q ,
> x=V23 cis EE 22
z 13%,
> Mc L+ E) ; E
denotados por 1; w; w* respectivamente.
> k=0,1,2,3
IL. El producto y el cociente de dos raíces de
tego las rafces son: "=1 o toda potencia entera de una raíz es
también una raíz de la ecuación z”=1.Vea-
» xn=38 ¿T] :
.=Y12 cis[2), mos: Sean dos de las raíces
. 2%n is RE
* x=Y12 cis[ 7) Sn dá Ñ
567
Lumbreras Editores
a. a-B=cis LATE at de 7 =]
n
b. DA es maiz de 2=1
Cc. Por definición «”=1] > (Y =(a”f=1
> «a es raíz de =1
IIL Las raíces comunes de dos ecuaciones
7"=1; 2"=1 son también raíces de z=1,
siendo p el máximo común divisor de m y n.
Recíprocamente, si « es una raíz de 2”=1,
será también raíz de 2"=1 y de =7=1.
Veamos:
Seann=kp a» m=rp
e=ar=(e)=1*
3
=P =(PY=1=1
Por lo tanto, « es raiz de 27; 27.
IV. Cuando n es un número primo y u es una raíz
de la ecuación 7=1, con u=1: la sucesión
az al; ae; ...: df nos dará las n raíces de la
ecuación.
Ejemplo
Resuelva la ecuación x-1=0.
Resolución
Factorizamos en (+1)(4-1)=0.
> 4-1=0 4 é+1=0
a Sixé-1=0 = (-1)0+1)=0
>xé=l y
x-1=0, que tienen por raíces:
E 144/36. 1-36 En 1-43 4 1-43
A AN ES
o
Xx
se tiene w-34=0, con lo cual u=% p= 7
- —W3+i —3d-i aii .i-
A
2 2 2 z
3.4 pS $
a,a,a,a4,A,a,A,A.a.a,a
En general
Las raíces de la ecuación 1 =1 son:
27 laz
x=C0s - ¡sen —
n r
De estas raíces, cuen
raíces primitivas.
» ECUACIÓN POLIMOMIAL DE GRADO
Sea el polinomio general en una vanacie de H>
do n.
A la igualdad P,..=0 se le lame ecuacion police”
mial de grado n.
La resolución para estes eouacones
como hemos visto perícularmente de la E
ción lineal cuedráfica cúbica arica SE
drada. reciproca y binomia-, mediante LES
las generales en términos de Sus O
Ecuaciones algebraicas
no ha sido posible resolver en
eneral UNA ecuación de quinto grado
mediante fórmulas generales (por
is af el matemático Évariste Galois
demostró que la ecuación po-
inmi e la teoría de grupos (tratado
h dina] Pero si los coeficientes son
cn el valor de cualquiera de las raíces
E de pállatón mediante aproximaciones
paa las aplicaciones de la derivada).
radicales,
Teoremas sobre ecuaciones polinomiales
Paridad de raíces complejas
En toda ecuación polinomial P(,),=0 de grado
n22 y coeficientes reales, una raíz es de la for-
maasbi, asbeR a D%0, si y solo si otra raíz es
de la forma a-bi.
Demostración
Sea el polinomio P() de coeficientes reales
Py =ap0'+a 1" +...+a,; 490. Supongamos que
¿=a+bi es una raíz de P(,) probaremos que
2=a-bi es otra de sus raíces.
Como z es una raíz de P(,,, por definición de raíz
se liene:
0%"+a,27"4+a,2"?+...+4,=0
Tomamos conjugado en ambos miembros:
> - — pe
%"+az2 "ly g27?+.+9,=0
VR
%:2"+g,2" l+q,2" 24...+4, =0
10 da:
0 41; A; ...; a, SON reales.
2 y qn, nm
02 +02 +37, 4a,=0
de do
ni pr) . .
de vemos que 7 es raíz del polinomio P(x-
Paridad de raíces irracionales
Un » an ari Í 8
a raíz de la ecuación polinomial P(,,=0 de gra-
do n > 2 y coeficientes racionales es de la forma
a+xb,asbeQ », Vbse Q, si y solo si otra de
sus raíces es a- yb,
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación 31 -5x+x-6=0,
Resolución
Factorizamos el polinomio por el método de
divisores binómicos.
Como 2 verifica la ecuación, entonces 2 es raíz.
Luego 3 -5+x-6=(x-2)9(x)
El polinomio q;,, se halla usando la regla de
Ruffini para
3x9 -5x2+x-6
x-2
donde q, es el cociente.
Así:
> qo=30+x+3
Luego, la ecuación es: (x-2D(34+x+3)=0
. x-2=0 > x,=2
—14 V351
A 3x2+x+3=0 > ir
569
Lumbreras Editores
2. Resuelva la ecuación x1+2-517+6x+2=0.
Resolución
Factorizamos por aspa doble especial
42 54 6x+2
21 anal 2
Pa
-e
Falta
ST 3? -5x?: SDT
> (x-2x+2)(+4x+1)=0
> -2x+2=0 v x2+4x+1=0
2: /4 + 412
> x= V x=
2 2
2+2í 44243
> x= Y Xx SE
2 2
CS=(1+i; l-ó -2+43; 281
Si la ecuación polinomial de coeficientes ra-
cionales -7x“+ax+bx"+cx+d=0 tiene a
1+ /2 y 2+i como dos de sus raíces, calcule
el valor de a+b+c+d.
Resolución
Comola ecuación -7x*+ax*+bx*+cx+d=0
tiene coeficientes racionales: QCR, enton-
ces sus raíces son:
x¡=1+ 42 > x»=1- Y/2
x3=2+i > x¿=2-i
x5=?
Por el teorema de Cardano:
X | FXoPX3g+X¿+x5=7
> 1+/24+1-/2+2+1+2-[+x5 =7
> 64+x;=7 => x5=1
570
Como x;=1 es la quinta raíz y es solución
entonces verifica la ecuación:
15-7-14+a:+b:12+c-1+d=0
> 1-7+a+b+c+d=0
> -6+a+b+c+d=0
a+b+c+d=6
Generalización del teorema de Cardano-Viéte
Dada la ecuación polinomial
ax +a 0" +ayp7?4...+a,=0; a9z0,
de raíces X¡; Xo; X3; X4; ...; X,, se cumple:
l.. Suma de raíces:
a
X +Xo2+X3+...+Xp Era
o
Il. Suma de productos binarios:
a
X1X2 + X¡X3 +. +Xn-1%n = E
III. Suma de productos ternarios:
a
X X9X3 + X¡X9X4 +... +Xp-2Xp-1Xn = 20
. 0
IV. Suma de productos tomados de kenk:
=p
X1X2X3.. Xg FX9X3 XX p 41 0- a
0
a
V. Producto de raíces: o
o
Ejemplos
l. En la ecuación polinomial
-2x'-8+161?+16x-32=0,
de raíces X;; Xy; X3; Xq; X5, Se cumple que:
-2
L Li e anos ds
IL pr =(l
A
A Ecuaciones algebraicas
caPnULO :
izamos el polinomio por el método de ll. Sea xy la tercera raíz, por el teorema de
croniés
ES Cardano: x,x2x3=-4
MISores. €
divisc ifica la ecuación, entonces 2 es raíz,
Como 2 Ve! > (l+ /DA- V3)xg =-4
Luego a .
pata 16x*+16x-32=(x-2)q(+) > -2x3=-4 => x3=2
¡ se halla usando la regla de
depa It NI. Como -a=x,+x,+x,
Pa” entonces
5_9r 1-84 +16x* +16x - 32
La -a=14+4/3+1-/3+2, > a=-4,
x-2
IV. También
donde Qu €5 el cociente.
D=x¡x9+X¡X3+X9X3=X X2+X3(X] +X2)
Así: !
1-2 -8 16 16:-32 > b=(1+43)01-4V3)+2(1+ /3 +1- 4/3)
2 0-16 0. 32 > b=-24+4 > b=2
:. ab=-8
> qu=x'-8 +16
TRANSFORMACIONES DE LAS ECUACIONES
Entonces Con frecuencia, es necesario transformar una
e-Dle-ae + 16)=0 ecuación en otra, cuyas raíces tengan una rela-
á ción con las raíces de la ecuación general.
IS -4) =0 Las principales transformaciones son:
3 2
rad Cambiar de signo a las raíces
; 2 E .
> (-2=0 v (x+2)=0 Dado el polinomio P(,, de raíces Xy; Xz, ...; Xy. Para
Luego, las raíces son hallar otro polinomio del mismo grado cuyas
X=2 x9=2; x9=2; x4=-2; x5=-2 raíces sean —Xy; —Xo; —Xg; ...; —X,, será suficiente
cambiar la variable x del polinomio P,, por —x.
De donde:
LX +x xx +x5=2 a il
IL xx =32 . SeaP()=x
pis un polinomio de raíces —2, -3.
A Entonces Py =4-5x+6
Sil+/3 es una raíz dex"+ax"+bx+4=0, con
. tiene como raíces a 2; 3.
9;b€Q, calcule el valor de ab.
2. Sea Hy=x*-4x-5
Resoluci
Polución un polinomio de raíces —1; 5.
RS x2 =1-/3 - Entonces H,_,y=%+4x-5
(teorema de la paridad de raíces) tiene por raíces a 1; -5.
571
o
Lumbreras Editores
—==
Sea Q4) =-2+x-6
un polinomio de raíces 1; —2; 3.
Entonces Qu =- -20-x-6
tiene por raíces a -1; 2; -3.
Multiplicación de las raíces por una cons:
tante
Sea P¿,, un polinomio de raíces x;; Xy; ...; X,. Bus-
caremos otro polinomio del mismo grado de P
de raíces rx; rx; rx3; ..., TX, donde r es constante
no nula.
Sean x, las raíces de P,,, y sean y, las raíces del
otro polinomio.
Luego, hacemos: y,=rx, => x=
E
Será suficiente cambiar en P,,,, x por Ly E
r
x
r
Ejemplos
1:
572
Sea P(,=-4x+3 un polinomio de raíces 1;
3. Buscaremos otro polinomio de raíces 4;
12, es decir, las raíces anteriores multiplica-
das por 4.
Sea x la raíz de P(,; se busca otro polinomio
de raíces
y
=4x =2Z.
y is
Entonces el polinomio buscado es
odio
o equivalentemente:
1 S
By) = 5” -16y +48)
Factorizamos
1
Py = 30-00-12)
de donde sus raíces son 4; 12.
2. Sea Py =x”-3x-18 un polinomio de raíces
-3; 6. Se busca otro polinomio de raíces ].
-2, es decir, las raíces de P(, quedan dividi
das entre -3.
Sea x la raíz de P,,,; lo que se busca es otro
, 4 , x
polinomio de raíz y = 3 > *- -3y, es de-
cir, se reemplaza x por-3y y -3x,
Se tendrá que reemplazar en P«, X por -3x.
Entonces, el polinomio es
Q=(-3)*-3(-39)-18.
Es decir, Qu)=9%+9x-18 es el polinomio
buscado de raíces 1; -2.
Equivalentemente: Q¿,=9(2+x-2)
Factorizamos Q¿)=9(x-1)(x+2), de donde
las raíces son 1; -2.
Las raíces aumentadas en una constante
Sea P¿,, un polinomio de raíces xy; Xy; ...; X,. Bus-
-Caremos otro polinomio de raíces X,+r, x,+r,
-.3 X.r, es decir, las raíces aumentadas en una
constante r.
Sean x; las raíces de P¿.; y sean y, las raíces del
otro polinomio. Hacemos: y,=X¿+r —> Xy=Yp7T-
Solo hace falta reemplazar en el polinomio
Pz) X POr Y=r Y X-r.
Ejemplos
l. Sea P¿=-5x+6 un polinomio de raíces
2; 3. Se busca otro polinomio de raíces 6; 7,
es decir, las raíces aumentadas en 4.
Será suficiente reemplazar x por (x-4).
Luego, (x-4)?-5(x-4)+6 es el polinomio
buscado, es decir, 2-13x+42 tendrá raíces
6; 7.
2. Dada la ecuación x"+2x-15=0, halle otra
ecuación cuyas raíces sean el triple de las ral-
ces de la ecuación anterior, disminuidas en L
>
Ecuaciones algebraicas
PtrULo X00l
ción
ae las raíces de x"+2x-15=0. Se busca
sen del mismo grado, cuyas raíces
otra ecuación
sean
y=3x-1 (el triple disminuido en 1)
y+l
x= 7
E 3
x+1 .
reemplazando x por —— se tiene la
Luego, 3
ecuación
(E) +a(27)-15=0
3 3
2
>» O + 1M-15=0
9 3
Equivalentemente
+8x-128=0.
Nótese que
x'+2x-15=0 tiene raíces X¡=-5; x2=3
+8x-128=0 tiene raíces y,=-16; y,=8
De donde y,=3x,-1; y,=3x,-1.
Las raíces recíprocas
Dado un polinomio Pg de raíces Xy; Xp; ...; Xp, Se
1 1
busca otro Polinomio de raíces A — o. —
XxX *X Xn
Para esto es suficiente cambiar en P(<) Xx por an
x
Ejemplos
LH
alle una ecuación de segundo grado cu-
Yas raí ,
E alces sean las inversas de las raíces de
4x+3=0.
Resolución
] l
Cambiamos x por —
Xx
(fijos
> 1-4x+3x2=0 > 3-4x+1=0
IX L-
A |
La ecuación buscada es 3x2-4x+1=0.
Sea P=ap "+47 +a,00?4...+4,=0
Una ecuación de raíces Xx; Xy; ...; X,,.
p S 1 l
La ecuación de raíces —; —; “5 —Sseen-
Xx *X Xn
. Dis
cuentra cambiando x por -—, así:
x
n n-1 n-2
1 1 1
a0|>) +0) +ay[-) +..+0,=0
Multiplicando por x” se tiene:
A +0 0 + +ax+ay=0
Luego podemos decir:
Si ar +ay 7 +...+a,_-¡x+a,=0
tiene las raíces Xy; Xo; ...; Xp,
entonces q, "+4, 7 +...+a1x+a,=0
tiene las raíces
Halle una ecuación de tercer grado cuyas
raíces sean las inversas de las raíces de la
ecuación x*-2x?+x-3=0
573
Lumbreras Editores
Resolución
Si la ecuación 1'-2x%+x-3=0 tiene raíces
Xy Xy Y Xy, para hallar otra ecuación cúbica
11 l
de raíces —;— Y -— hacemos uso del re-
Xx Xy
sultado anterior. Luego: -31 +-2x+1=0 es
la ecuación buscada.
Cuadrado de las raices
Dado un polinomio P(,y de raíces Xy; Xy Xp
otro polinomio del mismo grado de raíces x!;
Xx se consigue reemplazando x por yx.
Sea x la raíz de P(,y; se busca otro polinomio de
raíz y=x?.
Luego x Jy
> en el polinomio se reemplaza x por Vx.
Ejemplos
1. Busque una ecuación de segundo grado cu-
yas raíces sean el cuadrado de las raíces de
Y -5x46=0,
Resolución
Bastará reemplazar x por Vx.
Entonces
(dx? -5y4x 460
» xbox > (x+6) 251
OA 12436 25a
221314360 será la ecuación
Por lo tanto, y
buscada y, efectivamente, sus ralces son 4: 0,
yl, +
es decir, 243%
2. Sean a yd las ralces de xó43x 420 0; calcule
el valor de al4p*
574
AAA
Resolución
Il. Buscaremos la ecuación de raíce
así:
Vx +3Vx+2=0
> 3vx (x+2) > Ox
2 y
» 1-5 +40 llene raíces a?; p?
sap
1
Cord
IL. Busquemos la ecuación de raíces a?, Dv!
así:
J
Vx -5Vx+4=0
» x+rdo5Vx
> AB 16 25x
» 217x160
Luego la ecuación x?-17x+ 160 tiene ral
ces al y b?, entonces por el teorema de Car-
dano: al4+b1=17,
ECUACIONES FRACCIONARIAS
Una expresión algebraica racional es fracciona-
rá sles de la forma
Po
YU
Í,
ta)
COM P) Y 4) Polinomios y grado (1) +1.
StHf y es una expresión algebraica ra jonal frac:
clonarla; a la expresión f,,,20 se le llama ecua
ción traccionarla.
Ejernmplos
3x1 5
| 0
verlo 2x1
Y) »
2 y 2.0
alo
dix 4
y + Y 0
<=»
CAPITULO XI!
jución de la ecuación fraccionaria
poso
Í,
(xv)
ver la ecuación ns = hy) donde Lo
resol (x)
para
- yy SON polinomios y 8() £s NO constante,
MAS
procedemos así:
| Se analiza el conjunto de valores admisibles
o campo de definición de la ecuación g,,*0.
1 Se multiplica por £(,) Y Se tiene Lost
una ecuación polinomial.
111 La solución de la ecuación fraccionaria son
las soluciones de la ecuación polinomial de Il,
siempre y cuando satisfacen la condición 1.
| » Tenga en cuenta
| Toda ecuación fraccionaria se resuelve
| en el conjunto C, a menos que se indi-
| que lo contrario.
i
Ejemplos
1. Resuelva la ecuación fraccionaria
Resolución
* Conjunto de valores admisibles:
CVA=C-(2)
Resolveremos la ecuación fraccionaria
2x 4 A 2(x 2_ qe2
x-2 x-2 (x-2)
2(x=
> d > x=2
x-=2
10) ó
Dservamos que se presenta una contradic-
ció EIA
Na la condición inicial: x> 2; por lo tanto,
'd mi .
“cuación no tiene solución: CS=4
Ecuaciones algebraicas
Calcule el valor de x que verifica la ecuación
l 3
a
2x-3 2x%-3x y
Resolución
Hallamos el CVA: 2x-3%0 » x%0
3
> Xx? 3 AX*0
3
Luego CVA=C- lo a
Multiplicamos la ecuación (ambos miem-
bros) por 2x*-3x
2xP-3x 3(2x2-3x) 5(2x?-3x)
2x-3 2x? -3x Xx
x-3=10x-15 > es
3. Resuelva la ecuación fraccionaria
2(x?-x+1) 3(x +2)
+1 (+ Dr
Resolución
»» Recuerde
| Como le (a+ DO-x+1), entonces,
| las raíces de (+1) son:
| x=-1
1.43,
GAIA
STA
az!
+ Hallamos el CVA:
+10 rn x+1%0 na x+2%0
> xe il, -2 ¿+ 2 bo 3
575
Lumbreras Editores
» Resolvemos la ecuación
OT
GDL) +Drd>
> -l=x4+1 > x=-2
CS=(2)
ECUACIONES IRRACIONALES
Una expresión algebraica es irracional si al me-
nos una de sus variables está afectada de sím-
bolos radicales o exponentes fraccionarios. Por
,
ejemplo, f,,=Vx-2+ ES irracional.
Sea f(,, una expresión algebraica irracional: a la
expresión f(,,=0 se le llama ecuación irracional.
Ejemplo
Las siguientes ecuaciones son irracionales
a. V7-x+Yx-1=0
b. +5x+7=0
2x-1
Resolución de la ecuación irracional
Todas las ecuaciones irracionales se resuelven
en el conjunto R. Para su mejor estudio, anali-
zaremos por separado aquellas ecuaciones que
presentan radicales de índice impar y las que
presentan radicales de índice par.
Radicales de índice impar
Sea f,,) = 21/8() La función está definida para
todo 8, €R A xER ya que las ecuaciones irra-
cionales solo se estudian en R,
Para la resolución de las ecuaciones irracionales
de índice impar, usaremos el siguiente teorema.
vxeR:“NWi=a o x=aq nt!
576
Ejemplos
l.
Resuelva la ecuación Yy3 + 8x-l=x+1
Resolución
Aplicamos el teorema:
Y +8 1241 > x48x-I=lx4 0
> +8x-I= +3 +3x+1
Transponiendo términos y simplificando se
- tiene:
34 -5x+2=0
> (3x-2)(x-1)=0
> 3x-2=0 v x-1=0
ele a x=1
=- y =
3
cs=[2 v 1]
3
¿De cuántos elementos está constituido el
conjunto solución de la siguiente ecuación?
A+) 2
x+l
Resolución
NW x+1
Multiplicamos por Yx Yx+1Iconx*0Ax%-l
Yx-1+Yx+1=Y2x
Elevamos al cubo
(a+bY=a*+b7+3ab(a+b)
> YY Vx 1-Y xr 1-Y2x =V2x
> x-flex++3 Vx? 1 Y2x =2x
> 2430 x2-1-Y2x = 2%
nn
Ecuaciones algebraicas
captrULo XI!
P Jade) =0 > xlx?-1)=0
»S x+ na-1D=0; x*0 A x*-l
E x-1=0 > x=1
Por lo tanto, tiene un solo elemento en su
conjunto solución.
Radicales de índice par
f] estudio de las ecuaciones irracionales solo se
realiza en los reales; es decir, si 8( Alo nenN,
se dirá que 8(x) €5 real no negativo si y solo si
(,,20; además, queda garantizada la definición
de 8, si y solo si f() 20.
Para resolver la ecuación 8(,) = 2n/f,,, procede-
mos así:
|. La ecuación está bien definida si
8420 n f,)20, de donde obtenemos el
campo de definición para la ecuación: CVA.
Il Garantizada la existencia, elevamos a la 2n en
l 2
ambos miembros: 8 (;)=/4)
. La solución general estará formada por aque-
llos x que cumplen con 1 y ll.
Ejemplos
|. Resuelva la ecuación
3x2 /x+3 =1, h
Resolución
l ; 4 >
Definimos bien la ecuación
3x-220 A x+320 0 x22 2 x2-3,
3
de donde x 25 > CvA= 5 ta)
3?
mu
Il. En Y3x-2=Vx+3+1 elevamos al cua-
drado
3x-2=x+34+1+2/x +3
O 2x-6=2V/x +3
> x-3=vx+3, la cual está definida si
x>3.
Nuevamente al cuadrado
A -6x+9=x+3
> -7x+6=0 » x>23
> (x-6)N(x-1)=0, con x> 3; entonces
x=6
CS=(6)
2. Resuelva la ecuación
4x2 -21x +90 - Vx? +3x -54 =x-6.
Resolución
I.. Hallamos el CVA.
X-21x+9020 n 1+3x-54>0
> (x- 15)(x-6) 20 A (x-6)1x+9)>0
> xe(o¡6]u[I5; +00) a
A X€ (=o0;-9] U[6; +00)
CVA: x € (=o9; -9] U[15; +00) U (6)
II. Resolveremos la ecuación para
x€ [15; +00) u (6)
Entonces
Vx — 6) (x - 15) — Vx — 6)x +9) =
=/x-=6
Yx=6 Vx-15-Vx+9 Vx-6=
=/x=6 /x-6
Simplificamos Vx -6 e igualamos a cero
este factor.
577
Lumbreras Editores
578
Cuando cancelamos un factor algebraico
en el numerador, este se iguala a cero y
se despeja la incógnita para encontrar
una solución de la ecuación.
+ Esdecir:x-6=0 => x=6
. Vx-15-Vx+9=vx-6
> Vx-15=vVx+9+4x-6
Elevamos al cuadrado convenientemente
> (WD + x=6) v x=6
> x-15=x+9+x-6+
+2 (xx +9) (x-6) v x=6
> -18-x=2V(x+9Mx-6) v x=6
cuya ecuación no tiene solución ya que
(218-x) <0, pues x>15. Entonces, la úni-
ca solución es x=6.
CS=(6)
III. Ahora resolveremos, similarme
Nte, para
x € (-00; -9]. Así:
Vx — 6) 15) Vx — 6 Mx +9)=- 53?
Simplificamos Y6 - x
Y15=x-vV-=x-9=-4Y6-x
YI5=x+Y6-x=vV=x-9
Elevamos al cuadrado:
15-x+6-x+2V15-xV6-x =-x-9
30-x+2V15-xV6-x =0, x € (-00 -9]
+ EAS
28
Como la suma es positiva, es imposible la
igualdad. En este caso no hay soluciones,
IV. De (ID) y (II) se tiene: CS=(6).
ES
Biocraría
Gerolamo Cardano
Nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, actual Italia, y murió el
21 de septiembre de 1576 en Roma. Fue un reconocido matemáti-
co, médico, astrólogo y filósofo de su tiempo, además de un gran
aficionado a las predicciones y a los juegos de azar.
Fue hijo ilegítimo de Chiara Micheria y de Fazio Cardano, abogado
de profesión, quien además de ejercer las leyes daba conferencias
sobre geometría en la Universidad de Pavía y en la Fundación Piatti
de Milán, y era gran amigo de Leonardo da Vinci.
Cardano se acercó a las matemáticas por medio de su padre, como
asistente; pero él aspiraba a ser algo más. Su padre quería que estu-
diase Derecho, pero en 1520 ingresó a la Universidad de Pavía para
estudiar medicina. Debido al estallido de la Guerra de los Cuatro
Años, Cardano continuó sus estudios en la Universidad de Padua. Era un alumno brillante, pero muy
crítico, lo que le ocasionó algunas enemistades. Al poco tiempo de su traslado a Padua, su padre
murió; Cardano malgastó el dinero de la herencia y se dedicó a los juegos de azar para mejorar sus
finanzas. Sus conocimientos sobre probabilidades le permitieron obtener ciertas ventajas sobre sus
contrincantes, y en las apuestas en los juegos de cartas, dados y ajedrez fue más lo que ganó que
lo que perdió. Lamentablemente, esto se había convertido en un estilo de vida para él.
En 1525 se graduó de médico, pero, a pesar del respeto que se ganó como estudiante, no pudo
Ingresar al Colegio Médico debido a su reputación de hombre difícil, pues consideraban que sus
opiniones no eran las convencionales y que las expresaba de manera brusca y sin pensar en las
Consecuencias. Además, su nacimiento ilegítimo era otro motivo por el cual lo rechazaban.
Cardano decidió irse a Sacco, un pequeño pueblo no muy alejado de Padua. Allí instaló un pe-
queño consultorio y conoció a su futura esposa, Lucía Bandarini, hija de un capitán de la milicia.
En 1531 se casaron, y al año slguiente se mudaron a Gallarete, cerca de Milán. Intentó ingresar
al Colegio Médico nuevamente, pero fue rechazado. Abatido por no poder ejercer la medicina,
Cardano regresó a las apuestas para mantenerse económicamente, pero no le fue tan bien, por
lo que se vio obligado a empeñar algunas joyas de su esposa. Probaron suerte en Milán, pero
les fue peor,
Cosas cambiaron cuando Cardano obtuvo el puesto de profesor de matemática en la Fundación
latti de Milán. Además, siguió dedicándose a tratar algunos pacientes, a pesar de no ser miembro
del Colegio. Se dice que consiguió algunas curas casi milagrosas y su reputación lo llevo incluso
2S8r consultado por algunos médicos del Colegio. Esto trajo como consecuencia la aparición de
oradores y seguidores, con lo cual Cardano pudo construir una base de fiadores influyentes. )
* embargo, Cardano seguía sin pertenecer al Colegio, así que, a manera de venganza, escribió
Un bro, en 1536, en el que atacaba la aptitud médica de la institución y también a sus miembros.
579
580
Esta no era la mejor forma de conseguir una plaza, pues al siguiente año su solicitud nuevamente fue
rechazada. Pero dos años después, tras la presión de sus admiradores, el colegio cambió la cláusula
relativa al nacimiento ilegítimo y admitió a Cardano. Para 1538, Cardano publicó dos libros, uno de
ellos era La práctica de la aritmética y la medición simple.
Un año después entabló comunicación con Tartaglia, quien había alcanzado la fama tras ganar un
concurso sobre la resolución de cúbicas, e intentó convencerlo para que le explicara su método.
Tartaglia accedió siempre y cuando Cardano le jurara que no iba publicarlo antes que él. Durante
seis años, Cardano trabajó en las ecuaciones de tercer y cuarto grado mediante radicales,
En 1450 Cardano renunció a su puesto de matemático en la Fundación Piatti, vacante que fue
cubierta por su asistente Ludovico Ferrari, quien había resuelto las ecuaciones cuárticas mediante
raíces. Durante los siguientes dos años, Cardano volvió a relacionarse a los juegos de azar y las
apuestas. Para 1545, Cardano publicó su mejor obra matemática, Ars Magna. En ella explicaba
los métodos de solución de la ecuación cúbica y cuártica. Y como había descubierto que Tartaglla
no fue el primero en resolver una ecuación cúbica por radicales, no sintió que estaba faltando a
su promesa al publicar esta obra.
En 1546 su esposa Lucía muere, pero a Cardano le interesaba más la fama que estaba alcanzado
gracias a la venta de sus libros. Pronto se convirtió en el rector del Colegio de Médicos y ganó la
reputación de ser el mejor médico del mundo. Curó al arzobispo de St. Andrews, John Hamilton,
quien padecía de un asma severa, entre otros pacientes acaudalados, y se hizo rico y próspero.
Pero sufrió lo que llamó “la mala suerte del poderoso”. Su hijo mayor, Giambatista, también mé-
dico, se casó con Brandonia di Seroni, “una mujer indigna y desvergonzada”, según las palabras
de Cardano, a la que le interesaba solo el dinero y que se burlaba públicamente de su esposo
por no ser el padre de sus tres hijos. Esto provocó que Giambatista la envenenara. Luego de ser
arrestado, confesó el crimen, Cardano contrató a los mejores abogados, pero en el juicio, el jura-
do decretó que para salvar la vida de su hijo debía llegar a un acuerdo con los Di Seroni. La familia
le pidió una suma que Cardano no podría haber reunido. Giambatista fue torturado en prisión y,
posteriormente, ejecutado el 13 de abril de 1560.
Como padre de un convicto ejecutado, Cardano fue odiado, así que viajó a Bolonia y solicitó un
puesto para trabajar como profesor de medicina. Su segundo hijo, Aldo, se estaba dedicando a
las apuestas y empezó a relacionarse con gente de mala reputación. Llegó incluso a robar joyas
y dinero de la casa de su padre, quien lo denunció a las autoridades y fue desterrado de Bolonia.
En 1570 Cardano fue procesado por herejía luego de hacer el horóscopo de Jesús y escribir un
libro en alabanza a Nerón. Estuvo poco tiempo en prisión; tras su liberación, fue vetado para
desempeñar un puesto universitario y publicar cualquier otra obra. Luego viajó a Roma, donde
inesperadamente fue reconocido como miembro del Colegio de Médicos y recibió del papa Gre-
gorio XIIl el perdón y una pensión. En esta época Cardano escribió su autobiografía, en la que
predijo la fecha exacta de su muerte, aunque se cree que lo consiguió suicidándose. Su cuerpo
fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marco.
Además de los grandes avances en el álgebra, Cardano hizo múltiples contribuciones a la proba-
bilidad, la hidrodinámica, la mecánica y la geología.
Fuente:
http://www.ugr.es/__eaznar/cardano.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano
http://noticiariomatematico blogspot.com/2008_09_01_archive.html.
BIOGRAFÍA »
y
Problemas
RESUELTOS
ma 1 1 34-20 23
proble o 5x+ x-3_
- pesuelva la ecuación +3 + y
pesolución
»» Recuerde
a+b_4 b
C cc
En la ecuación
5x,1,3x_2,2x_3_
33.2 2
231 _59 1-59
> d=3+373 > *=3g 90
59
. CS= 5
Problema 2
Dada la ecuación en x
- (-1)n?-(3x-D)n-2(x-1)=0,
calcule el valor de n para que la ecuación tenga
infinitas soluciones.
Resolución
j Efectuamos
An -n 3 nx+n-2x+2=0
Agrupando los términos con x
x(2n*-3n-2)=n?-n-2
Tendrá infinitas soluciones cuando
%-3n-2=0 A» ni-n-2=0
an 1
n 1
ar AA
M=l2vn=2 , n=2wn=-1
r lo
n=2, tanto, tiene infinitas soluciones cuando
Problema 3
Resuelva la ecuación lineal en x.
x+a x+b__ x-a x-b
ab+a+l ab+b+1 ab-a+l ab-b+1
Resolución
Restamos 1 en cada bloque:
x+a x+b
ab+a+1 ab+b+1
x-a x-b
Si ii
ab-a+l ab-b+1
Efectuando
x-ab-1,x-ab-1_x-ab-1,x-ab-1
ab+a+1 ab+b+1 ab-a+1 ab-b+1
Se cumplirá la igualdad solo cuando
x-ab-1=0
. x=ab+1
Problema 4
Si la ecuación cúbica +x-1=0 tiene
CS=(a; b; c), calcule el valor de M.
_ay-a_ alo, SE
ze =bc o -ac “de -ab
Resolución
Como a es una raíz de +x-1=0, entonces
tenemos que al+a?-1=0; y además, por el
teorema de Cardano, abc=1.
Luego, aó+a?-1=0 es equivalente a
ad+a?-abc=0; a+0 > ala?+a-bc)=0; az0
Entonces, cancelando a tenemos
al+a-bc=0 => a?-bc=-a
Va? - bc =V/-a
581
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o AA A AAA A AS
De donde
aa _a
va? - be
Similarmente
CI
vb* -ac "del —ab
Luego, M es igual a a+b+c.
C
Finalmente aplicamos el teorema de Cardano y
tenemos que M=a+b+c=-1.
Problema 5
Halle la ecuación polinomial de menor grado y
coeficientes racionales que tenga una de sus raí-
ces igual a 2+Y3.
Resolución
Si x=2+Y3 , hallar la ecuación de coeficientes
racionales implica eliminar los índices de los ra-
dicales de
x=2+Y3 > x-2=Y3
Elevamos al cubo
(x-2P=Y3 > 1-3 -24+3x:4-8=3
Luego, la ecuación es
> *-6+12-11=0
Problema 6
Determine las condiciones para que se cumpla:
l. x2-8x+a=0 y tenga raíces iguales.
IL. 31-10x+a=0 y tenga raíces positivas.
III. 347-10x+0=0 y tenga raíces de signos
opuestos.
IV. 12+8x+0=0 y tenga las dos raíces negativas.
582
Resolución
L
IL
TIL
Raíces iguales (discriminante nulo)
Enx-8x+a=0 > A=(-8)?-4(a)=0
De donde a.=16
A20
Raíces positivas ¡X¡ +X2>0
x¡x2>0
En 32-10x+0=0
10
==>0
X +X2 6
z a>0
x:x%9=3>0
A=10?-4(30)2>0 > as?
de donde 0<asE
ae (0, el
3
Raíces de signos opuestos
A>0
q]
En la ecuación: 32-10x+a=0 y
10D
1x2 =3<0 > a<0
A=10*-4(30)>0 > ao
Dea<0 A» ao > a<0
a € (o; 0)
A20
Raíces negativas |x, +x3<0
ls >0
En la ecuación: x2+8x+0=0
X +x2=-8<0
Xxx) =0>0
>0
A=82-4(0)>0 > a<Il6
De donde 0<a< 16
a € (0; 16)
pPTULO XI Ecuaciones algebraicas
poblema 7 |
ecuación cuadrática en x.
pe pebla- ota -=b)=0, ta; b;c)=R
alb-
ción
e que la ecuación cuadrática se verifica
NÓ!
a x=- 1
a(b-)-bla-c)+c(a-b)=0
Entonces SUS raíces son:
x=-1 A x=?
Luego de la ecuación dada
a(b-c)x,+b(a-c)x+c(a-b)=0
c(b-a)
seliene: XX2 = 570)
c(b-a) _c(b-a)
7 A a "bo
clb-a)
( (1 E
Problema 8
Si (a; b) es el conjunto solución de la ecuación
Y -197781x-197771=0, calcule el valor de
d+orao+2ab(a+b+1).
Resolución
Como podrá percatarse, lo pedido es equivalente a
(a+b+aby?.
Por el teorema de Cardano-Viéte
a+b=197781 a ab=-197771
% a+b+ab=10
* (a+b+ab)=100
Problema 9
S
el conjunto solución de la ecuación
5
C+a 4520 es (a; b;c), calcule el valor de R.
Ra
abla?g? -Deocloze? -Dracla?e?-0+5a*+30*
abc
Resolución
Por el teorema de Cardano:
a+b+c=-3
5
En5+32+5=0> lab+ac +bc=0
abc = a = -]
5
Lo pedido es
3,3
R= a”b -ab+b3 bora -ac+5a? -3a?
abc
R= aetradris -(ab+ac + bc) A 547 +30?
abc abc
Como ab+ac+bc=0
> aeyradrvtd=3apt=3
Asimismo, como a es una raíz: 5a*+3a?+5=0
> 54%4+30?=-5
Luego
RC 34522
Problema 10
Calcule el grado del polinomio de menor grado
que posee a:
L 4/3 +2 como raíz simple.
IL. 3+y45 como raíz doble.
III. 1-2 í como raíz triple.
IV. 42 - /3 como raíz simple.
Siendo el polinomio de coeficientes racionales.
Resolución
Si el polinomio es de coeficiente racional:
L 2+v3 es solución de una cuadrática.
IL 3+v45 también es solución de una cuadráti-
ca, pero como es de multiplicidad doble, en-
tonces 3+ 45 será solución de una cuántica.
583
Lumbreras Editores
III. 1-2 es solución de una cuadrática, pero
como es de triple multiplicidad, entonces 1-2i
será solución de una ecuación de grado 6.
IV. /2-J3 es solución de una ecuación bicua-
drada.
Luego, sumando los grados se tiene
24+44+6+4=16
Por lo tanto, el polinomio será de grado 16.
Problema 11
Halle una ecuación cuadrática de raíces pPyqsi
se sabe que:
LL En 2x2-(p-1)x+p-3=0 sus raíces positivas
difieren en 1.
IL 4+(q-1)x+g-2=0 tiene solución única.
Resolución
La ecuación buscada es
x-(p+q)x+pg=0 (a)
con los datos | y II hallaremos p y q.
l.. Sus raíces son positivas y difieren en 1.
Factorizamos el polinomio
2x2 (p-1)x+p-3=0
2x |< lp-3)
Xx “-]
> (x-1)Qx-p+3)=0
-3
Xx > x)=1
Por condición: po =2 > p=7
Il. Tiene solución única (A=0)
A=(q-1)'-4(q-2)=0
> q-6q+9=0
> (q-3%=0 > q=3
Si reemplazamos p y q en (a), se tiene la
ecuación pedida: x”-10x+21=0.
584
HA
Problema 12
Si p y q son números reales para los cuales las
ecuaciones cuadráticas
8x"-(4p+2)x+2=0 a (79-2)x?-(59-3)x+1=0
tienen las mismas raíces, encuentre el valor de
pq.
Resolución
Si tienen las mismas raíces, entonces
8__4p+2_2
71q-2 5q-3 1
Luego
8 6
> 79-21 > 7TMq-2=4 > q=7
4p+2 2
. =2 2p+1=5q-3
A
> 2p+1=5|>)-3 > p=>
¿e
ES
Problema 13
Si dos de las raíces de la ecuación
aro aod+d+ex-2=0
de coeficientes reales son los complejos ¡ y 1-i,
obtenga a+b+c+d+e si c-e=1.
Resolución
l.. Sif es una raíz, se tiene:
ai+b-ci-d+ei-2=0
(a-c+eJi+b-d-2=0
Como c-e=1
> a=l
Il. Las raíces soni; $ Loki 14h 0
Por el teorema de Cardano:
¿(EdA-Da +0Dx5=2
> x5=1
IL. Como 1 es una raíz, se tiene:
a+b+c+d+e-2=0
a+b+c+d+e=2
"»
CAPÍTULO XIII
Ecuaciones algebraicas
problema 14 | |
cuentre el valor de k si en la ecuación en x
E
4 s de sus raíces negativas distintas suman -6.
o
resolución
p; -a; -P las raíces, con Uy; B e R*
Sean 0%;
Por dato: a+P=6
La ecuación bicuadrada es
x-(02+p) +0?B*=0
Asimismo es
| e -(3R-2>2+(R- 10
De donde se tiene:
[o?+p?=3k-2
| (08=(R-1D? > aB=k-1 v af=1-k
la+B=6
Sabemos que (a-+B)?=0?+8?+208 ()
Por datos:
L Sia$=kR-1,conk > 1; reemplazando en (*)
6'=3k-2+2(%-1)
> 36=5k-4 => Rk=8,
de donde un valor de k es 8.
Il. Si a$=1-k, conk < l; reemplazando en (*)
6'=3k-2+2(1-k)
> 36=3k-2+2-2k => Rk=36
Notamos que este valor no es menor que 1.
R=8
Problema 15
Enun concurso nacional de matemática, frente a
laresolución de una ecuación cuadrática, ocurre
losiguiente:
> Unalumno se equivocó en el término inde-
Pendiente y obtuvo como soluciones 8 y 2.
1 alumno se equivocó en el coeficiente
ea lineal y obtuvo como soluciones
Cuál
fue la ecuación correcta?
Sn
Resolución
l. Si obtuvo como soluciones 8 y 2, la ecuación
que resolvió fue
x2-(8+2x+8:2=0
] t
correcto equivocado
II. Si obtuvo como soluciones -9 y-=1, la ecua-
ción que resolvió fue
-(-9-1)x+(-9)(-1)=0
equivocado correcto
Por lo tanto, la ecuación correcta fue
-10x+9=0
Problema 16
Sabiendo que c es una raíz de la ecuación
ax*+(b-ac)x*-bcex-bx?-(-a -bc)x+ac=0;
a%0, ¿qué condición debe cumplirse en a, b yc
para que todas las raíces sean reales? (a; b; c; e R)
Resolución
Si c es una raíz, por la regla de Ruffini se tiene:
a b-ac -bc -—b -a+bc ac
Solo faltaría que las raíces de ax?”+bx+a=0 sean
reales; sabemos que una ecuación cuadrática
tiene soluciones reales si la discriminante no es
negativa, entonces
A=b*-4ac >0
Por lo tanto, la condición es
bi24ac a ajb;ceR
Lumbreras Editores
Problema 17
La ecuación x*-7x-12=0 posee dos raíces cuya
suma es —1. Calcule la suma de las inversas de
las otras dos.
Resolución
Si la suma de dos de sus raíces es —1, la suma de
las otras dos es 1.
Factorizamos el polinomio
x 40-01 -7x-12
es Lar 3
A EN
STi? 0 0x?: SDT
> (2-x-3)(+x+4)=0
En
X-x-3=0 > Ia dp
[x1x2 =-3
Has JE
[x3x4 =4
De las condiciones se pide
X1X2 -3 3
Xx *
1 lo x+x 1 1
PU Ear RE AA
Problema 18
Si las ecuaciones cuadráticas
+xta=0 » +2x+b=0
tienen una raíz común, calcule el valor de
_5la-bY
b-2a *
Resolución
Si a es la solución común, entonces
a+a+a=0 ())
a+20+b=0 (1)
586
De (ID-(D: a=a-b (la solución común)
Se reemplaza en (II)
(a-bY+2(a-b)+b=0 > (a-b)'=b-2a
Luego, lo pedido es
M= 5| a — > M=5
-2a
Problema 19
¿Para qué valor del parámetro real n la ecuación
-2+(n+5)x+n=0 tiene dos raíces imagina-
rias puras y conjugadas?
Resolución
Sean las raíces Ri; -Ri, Re N
Entonces, el polinomio tiene un factor 4 Re,
2-2 +(n+5)x+n
x24R?
Es decir: es exacta
Dividiendo por el método de Horner
Del esquema se tiene:
n+5-k?=0 (a)
n+2k*=0 (B)
10
De 2(a)+P se tiene: 3nN+10=0 > N=-3
Problema 20
Resuelva la ecuación de incógnita X €n el con-
junto R.
xta-b al+b?_x+a+b
x-a xa? x+a
yw
CAPÍTULO xl Ñ Ecuaciones algebraicas
esolución
R conjunto de valores admisibles
x-atÓ0 A x+a%0
pe Se R -[(a; -a)
y, Resolvermnos la ecuación:
x+a-b x+a+b _ o
x-a _ x+a x?-a?
Multiplicamos toda la ecuación por el míni-
mo común múltiplo de los denominadores.
+a-bMx+a)-(x+a+bMx-a) _ al +p?
ESAS ASA -
X= +a <a
Operamos
+ax+ax+a?-bx-ab-
-(2-ax+ax-a*+bx-ab)=a*+b*
Efectuamos y simplificamos
2x(a-b)+2a?=a*+b?
Problema 21
5
Calcule el valor de L sila ecuación -5qx+4r=0
r
llene una raíz de multiplicidad 2.
Resolución
Sea c la raíz de multiplicidad 2, entonces (x-c)?
£s un factor de Xx -5qx+4r. Luego, la división
É 259x + 4r
o es exacta.
ie
Efectuamos por el método de Horner
Del esquema se tiene:
[dr-4có=0» -5q +5c* =0
5
|
lr=c a q=ct
an
==
== -=1
5)
5
ct)
mv
8
Problema 22
Resuelva la ecuación fraccionaria.
x(x+4)+6 y XQ 6)+12 _ (+ 2)+2 A
x+2 x+3 a x+1
¿A+ 8)+20
x+4
Resolución
Efectuando en los numeradores de cada fracción
CAPITAN
x+2 x+3
¿LDL 0744
x+l x+4
Conx*-2 1 x%-3 an x%-l 2 x+-4
2 3
DD x4+2+——4+x+34+ —=
x+2 x+3
1 4
=X+1+——4+x +44 —
x+l x+4
587
Lumbreras Editores
2 3 1 4
> ——+—= —— 4 —
x+2 x+3 x+l x+4
2 1 4 3
2 ÁS = E
x+2 x+l x+4 x+3
E: RIE
(x+2Mx +1) > (x+4)(:+3)
x=0 v (x+2)(x+1)=(x+4)(x+3)
x=0 v 443x424 7x+12
x=0 y A
2
cs=(0; 5)
2
Problema 23
Si las ecuaciones cuárticas
+at-2=0 1 + bx-4=0
tienen tres raíces comunes, determine el valor
de a-b.
Resolución
Como las ecuaciones tienen tres raíces comu-
nes, estas generan un factor cúbico común de
las cuárticas dadas. Sea +mmdC+nx+p el factor
común de los polinomios
Lé+a?-2) 1 (+ -bx-4).
Entonces
sad -2=(C+mé+nx+p Mi) (0)
+ bx-4=(+md+nx+p30, (B)
De (B)-(a)
al -bx-2=(+m02+nx+p3(420-4100)
De donde 9»(x)-91()=1
> a=-m, b=-n; p=-2
De (2u)-(B)
Ala +bx= (é +Imá+nx +p) (24 16) 9200)
588
De donde 29 ¡(«)-92(x)=X
> -l=m; 2a=n; b=p
con lo cuala=1 an b=-2
a-b=1-(-2)=3
Problema 24
En un polinomio mónico P¿,, de coeficientes
racionales, se sabe que una de sus raíces es
Vela +Y2 2.
Determine el producto de las raíces de dicho po-
linomio, si es de grado mínimo.
Resolución
Reduciendo la raíz x = /23/2 + y 242 se encuentra
x=42+Y2.
Como nos piden una ecuación polinomial de
coeficientes racionales, debemos eliminar los
radicales.
De x=V2+82 > (x-J2) =(Y2)'
> 2-32 /2+3xV2 -/2 =2
> +6x-2= (3x? +2) /2
(+ 6x2) =(3x2+2) 2
De donde el polinomio buscado es
Po) =Lé+6x-2) -2(31+2).
Por el teorema de Cardano, el producto de raíces
es igual al término independiente (por ser móni-
co y de grado par).
Luego, X¡*Xz ... X=P(=(-2)?-2(2Y
X¡X2 «0. Xg=-4
Problema 25
Si se sabe que las raíces de la ecuación
-24+x+3=0 son Xi Xa; X3, halle una ecua-
ción cúbica de raíces x¡Xy; x¡X3; x2x3 en incóg-
nita y.
y
Lo MI
n
olució
es” ¡ón buscada será
JD -x2x3)=0.
R ;
la ecuaci
(yo
h do
arta
) +x XoX3 (01 4x2 +X9)y (xxx 3)?=0
aplicamos el teorema de Cardano en la ecua-
ción dada:
xy +x9+tx372
xx 4x9 ex M3 1
xxoxg==3
Finalmente se tendrá
Ay - 30
porlo tanto, la ecuación es y*-y”-6y-9=0.
Problema 26
Halle los números reales a y b, de modo que
(1+i) sea una raíz de la ecuación +ax"+b=0.
Resolución
Por el teorema de la paridad de raíces, si 1+ies
una raíz, otra raíz será 1-i, siendo x2-2x+2=0
la ecuación que genera a estas raíces, lo cual
implica que x?-2x+2 es un factor de *+ax*+b.
8
Esdecir, X"+0x" +0 es exacta.
x -2x+2
Luego, por el método de Horner
Sa Esquema se tiene:
¿mo la ecuación es exacta (resto es nulo)
, -20-44+4g=0 > a=2
b-4a=0 > b=8.
Ecuaciones algebraicas
Problema 27
Determine las condiciones para el parámetro a
real, para que las cuatro raíces de la ecuación
4,3
x"-ax"+(a+2)x-ax+1=0
sean positivas.
Resolución
Por el teorema de Cardano: X +X2+xX3+X4=0;
y como las raíces son positivas, a >0.
Resolvemos la ecuación recíproca
e yi-arrarn- +0
Ey
Hacemos x+1ay > eL. -3.
Xx x
Como x e R* entonces y > 2
La ecuación queda: xy? -2-ay+a+2] =0
> y? -ay+a=0, con y > 2
Es decir, y'-ay+a=0; a>0 es una ecuación
cuadrática de soluciones mayores o iguales a 2,
es decir, y¡>2 y¿22.
Luego, se debe cumplir que:
A20 a y -220 a y2-2>0
> 420 1 (-20,-220
> al-4a>20 n y¡Yo-2(y +y2)+420
Recuerde que a>0
> a-420 > -a+420 >a24 a» asá
a=4
Problema 28
Si a>b>0, determine el cociente entre la ma-
yor y la menor solución de la ecuación en x.
1.11 1
=+— +=
x a b x+a+b
589
Lumbreras Editores
Resolución
l.. Conjunto de valores admisibles.
Xx*0 a x+a+b%0
II. De la ecuación:
1 1 1 1
=- ————— + 4+-=0)
x x+a+b ab
x+a+b-x a+b
x(+arb)* ab ss
sd al =0; a+b>0
x(x+a+b) ab
> ab+x?+(a+b)x=0
Luego, x?+(a+b)x+ab=0
> (x+a)Mx+b)=0
> x=-a, x=-b
2 Xmayor=-0;5 Xmenor=-4
Por lo tanto, lo pedido es ae = be
-a a
Problema 29
Si los coeficientes, en el orden en que se en-
cuentran en el polinomio
Pj¿=(m+Dx*+(m-1):2+2-m,
están en progresión aritmética, determine una
de las raíces reales de P,).
Resolución
Recuerde que a, b,cestánenPA > 2b=a+c
Entonces, para el polinomio se cumplirá
2(m-1)=(m+2)+(2-m)
> 2m-2=4 > m=3
Así, el polinomio es P(y=5x+2x?- 1.
Sus raíces se calculan así:
2412 -45XD > 1,146
ios US 7 E x=i 5
590
Como se piden las soluciones reales, entonces
ye SEO e ya SEO
Problema 30
Si dos de las raíces de la ecuación
3 -6x”-9x+n=0 se diferencian en 1, calcule el
valor de n.
Resolución
Sean Xy; X3; X3 las raíces.
Del dato: x,-x2=1 > x2=xX,-1 (a)
Por el teorema de Cardano-Viete:
* Xx +x2+x3=2 (1
e X¡Xp+X¡X3+xox3=-3 (1D
n
X= (UD
De (a): x=x,-1, entonces en (1)
x +H-1+x,)+x3=2 > x3=3-2x,
Reemplazamos en (ID
xQ -1)+x,(3-2x,)+(0 -1)(8-2x,)=-3
> xix /+3x,-2x7+3x,-2x?-3+3x, =-3
> -3x?47x,=0 > x¡(7-3x,)=0
De donde: x,=0 v x; =:
Si x,=0
> X2=-l; x3=3, entonces n=0
140
, entonces n=-——
> Nal: Xz=-
3 9
win
y y
Ecuaciones algebraicas
AAA RR O ie A
problema 31
pesvelva la ecuación en x
¿rad +2x+b=0
¿se sabe que admite una raiz real de multipi-
dad tres.
resolución
sena; u au Plasraíces, a; Be R.
Por el teorerna de Cardano-Viete:
L 1 +x+x3+x/=30+$=-a
IL Suma de productos binarios: 3a(a+f8)=0,
de donde u=0 y u=-f
IL Productos ternarios: u(u+238)=-2
Observamos que u.0, luego:
Dell y lll:0=-8 », 04(0+38)=-2
Se tiene: (—PBLB+3P)=-2
5 P=-1 > f=-1 5 a=1
Por lo tanto, las raíces son 1; 1; 1; -1.
Problema 32
Dada la ecuación en x
+ (n+2)+(1-3)x+1"+2=0,
determine el valor del parámetro real n para que
el valor de xi + ó E sea máximo, siendo xy;
Xy Xy las raíces de dicha ecuación.
Resolución
Aplicando el teorema de Cardano-Viéte
1+4x4x=-(n+2);
++ x= 3
Y 'ecordando que
tx =x +0 +42 +1 +xX3),
se bene:
(Un = + 12207 -3)
> +A án+10
=14-(n-2F
Por lo tanto, el valor máximo ocurre si n=2 y
dicho máximo es 14.
Problema 33
Luego de resolver la ecuación
Resolución
Hacemos Yx = y, con y=-1 A 1; se tiene:
yal pot
JE
y
0-00 60D
ya ya
1 y=1
3
Y +1-y+1=8 e yY-y-6=0
> (6-36-2=0
De donde y=3 y y=-2
y=3= Yx > x=2
y=-2=%x => x=-8
Por lo tanto, la suma de soluciones es
27+(-8)=19
Problema 34
Si xy es una solución compleja de la ecuación
2x x-1
fraccionaria: — —- =— = y, calcule su módulo.
x+l x
591
Lumbreras Editores
Resolución
* CVA:x+1%0 a x%0
> x*l a x%x0
> CVA=C-[-1;0)
» Resolvemos la ecuación
2x? -(x-DG+D y
(x+Dx z
> 2x4 l= (+1)
> All > -1=0
> (e-D(é+x+1)=0
> x=; x,=w; x3=u*
1.43.
con W=--+=—],
2 2
2 2
Entonces: |wl|= (3) ($) =1
12 $2
Problema 35
Resuelva la ecuación de incógnita x.
a+x a-x 3
arar ax—x ara NA AR
Resolución
Podemos escribir la ecuación así:
a+x ax
ar+ax+x a” -ax+x
3 ñ 2 dara
4
(a+ dla? -ax+x?)+la-x)Ma? + ax + x?) E
ap]
la? + a” -ax+Xx
)
Problema 36
Resuelva la ecuación
(x-16)+(11-)+125=60x- 15%.
Resolución
Podemos escribir la ecuación así:
(160 +(11-)+5*=15(4x-x2)
entonces (x-16)%+(11 +5 =3(x-16)01 1-95
Luego en la ecuación tenemos:
Z(x-16101-)8 = 15 (4x -x?),
que se reduce a 2-27x+176=2-4x
> 2x=176 > x-DU8
23
176
o pa Ba
El
Problema 37
Resuelva la ecuación
2 +(Vx-2-V2-x)x5 +3x+4=26.
Resolución
l.. Se define la ecuación irracional
x-220 n 2-x20 > x=2
Luego, la ecuación solo está definida en (2).
IL 2 %4+23x+4=26 e 2 %+3x-22=0
Vemos que x=2 verifica la ecuación.
CS=(2)
Problema 38
Si xy es una solución de Y2x+7+Yx+3=1,
calcule el valor de Y2xp -2.
Pa
CAPITULO A!
Ecuaciones algebraicas
pesolución
podemos escribir la ecuación así
yt Yx +3 + (D=0
»» Recuerde
Sia+b+c=0 > 4 34+b0+c*=3abc
> ar
-3Y0x+DYx +30)
> Qr+7)+(+3)+ED= 3Í02x +) (+3) (0)
> ¿00+3)=-3Í0x+7)+3)
(r+3=-(2x+D)0c+3) e (+3)[00+3)+2x+7]=0
> (x+9)02+8x+16)=0
> (x+31(x+4)=0
> x=-3 v x=-4
Entonces
x=-3 v x=-4,
de donde solo x=--3 verifica la ecuación.
Porlo tanto, lo pedido es Y/2(-3)-2 =2.
Problema 39
Luego de resolver la ecuación
Vx+l 3
Yx-2 =1, calcule la mayor solución.
Resolución
at > 42
Enla ecuación
o YA =1 o VE +3=1t+1
Alcuadrado
É+3=
Bt lo P-P-21+2=0
Al factorizar se obtiene:
(r-Dle+ /2)(1- /2)=0
t=lvit=-4 v t=4Y2
Como se busca el mayor valor de x, este se con-
sigue con el mayor valor de t=42.
Con t=V2 > x=/2 +2
X máx =2/2 +2
Problema 40
Resuelva la ecuacion de incógnita x.
x(Vm?- 12 +/n2 32) = mn m>n>0
Resolución
Primero se define bien la ecuación:
méz>0 rn m-e>0
> xi<n ra i<m > x<n?
Luego elevamos al cuadrado
2
el m? 4242 (im? - 2 Nm? -Dloamtn
Se transponen términos y se da forma de un cua-
drado perfecto. Así:
min? -(m? +n2)x + -2 (m? ln? 1)? +x=0
> [m-)lr? - 2) -2 lim? - 2? he? + xt 0
> ( PERRO E RO y =0
> (m-3r?-2)=x >o (m+ndé=mir?
mn
593
Test 18
Resuelva la ecuación
12+2)e3le»)
51 5) 31 3)
Calcule el valor de o si se sabe que -6 es
una raíz de la ecuación 2+(a+3)x+a+2=0.
O 1
E) 0
A) 2 B) 5
D) 4
Si (m; =) es el conjunto solución de la
m
ecuación 312-5x-+k=0, calcule el valor de M.
M= 1+2+3+4+5+...+(R+1D?
C) 110
E) 136
A) 85 B) 96
D) 100
Si la ecuación cuadrática ax?-ax+4=0 tie-
ne una única solución, entonces el valor de
Ya es
A) B) O 2
l
E) —
) 16
o0|= n|—
D)
Calcule el valor de (a+2)+(8+3) si se
a
sabe que a y f son las raíces de la ecuación
cuadrática
mé-3mx+m=0; m>0.
A) 3m B) m-1
D) -6
C) 6
E) 1
594
10.
Si m=0 representa la diferencia de las raíces
de la ecuación -(a+2)x+4a?=0, forme
una ecuación cuadrática que tenga por raj.
ces a los valores de a.
A) x2+2x+4=0
B) 15x?+4x+4=0
C) 15x?-4x-4=0
D) 15x?+16x-4=0
E) 16x?+15x+4=0
Dada la ecuación de coeficientes reales
24m +nx+6=0, si xy= 1-2 es una de
las raíces de la ecuación, entonces el valor
de m es
B) -2 C) -6
E) 2
A) 4
D) -4
Si a; B; y son las raíces de X-x+1=0, en-
tonces el valor de 03+P34+y es
Cc) 1
E) 0
A) -3 B) 3
D) -1
Sia,; a,; az; a, son las raíces de la ecuación
2008x*+2009x?+2010=0, calcule el valor de
aj +43 +43 +47.
A) 1 B) -1 0
D) -2010 E) 2010
x?-4x _
Resuelva la ecuación fraccionaria 5 =0
5x +10
y determine la suma de soluciones.
C) -5
E) 4
A 2
D) 1
B 3
—
CAPÍTULO XIII Ecuaciones algebraicas
11. Si xy es solución de la ecuación 2
e6x+ 10 (a 3r | 12. Resuelva la ecuación fraccionaria 2 =4,
x2+8x+17 (x+4) E
3 : A) (2)
calcule el valor de 2X7 +Xp +1. : B) (-2:2)
1 Op
y? B) 4 03
D) 2 E) 1 El (2)
Ciaves
595
596
Problemas
PROPUESTOS
Nivel |
Luego de resolver la ecuación en x
x-2a x-3a 23x-4a
xa 4 = -2a,
5 15
indique lo correcto:
A) La solución depende de a (a e R).
B) Tiene una sola solución.
C) No tiene solución.
D) Tiene infinitas soluciones.
E) Tiene dos soluciones.
Calcule el valor de rn si una raíz de la ecua-
ción 3+(m-1)x2+(3m-1)x-19=0s 1.
A) 4
B) -4
C) -5
D) 5
E 7
Si xy es una raíz de la ecuación x"=x+3,
3 pS
calcule el valor de id Se :
2xp +1
1 2 3
A) - B) = Cc) -2
) 2 ) 3 ) 5
D) -4 E) 1
Las raíces de la ecuación cuadrática
x*-ax+b=0 verifican el sistema lineal
5x¡+x,=3
x¡+5x7=9
Calcule el valor de a.
A) 2
D) -2
B) 3
5. Calcule el mayor valor que tiene m para que
la ecuación x"+m=(m+1)x-1 tenga raíces
iguales.
A) 1
D) -1
B) 5 O 3
E) 3
Dada la ecuación cuadrática ax?+bx+c=0,
de raíces xy; X,, halle la relación entre los co-
eficientes si una raíz es la mitad de la otra.
A) ab*=9a*c
B) 2b*=9ac
C) 3b=2c
D) 5b=7c
E) 7b=4a
Si CS=(a;b) es el conjunto solución de la
ecuación 2x2-x+3=0, calcule el valor de
(a-1(2b-1+8.
A) 10
D) 14
B) 12 O 17
E) 15
Si una raíz del polinomio Pi) es 2, tal que
Py=yé -yx-6, determine el valor de la otra
raíz.
A) 0 B) 1
D) 3
0) 2
E) -1
Calcule el valor de p si las raíces de la ecua-
ción
2
x*-(p+3)x4[9) +1=0
sonx=mm+1; xy=mm; me R?.
2
A) €
) 3
D) 1 E) -2
CAPÍTULO X00l Ecuaciones algebraicas
u; Uv) es el conjunto solución de la ecua-
1
40, Si 3.3
ción 2+3x+R=0, tal que u"+u”=6k, calcule
el valor dek.
D) -2 st
Luego de resolver la ecuación bicuadrada
e-(3n- Dé +n(2n- 1)=0; n<o0,
indique cuántas soluciones reales tiene di-
cha ecuación.
B) 1 C) 2
E) 4
A0
D 3
Si la ecuación de incógnita x
(a*-13a?)x+a?+a=6-36x
tiene como conjunto solución R, calcule los
12.
ro
valores de a.
A) 23 B) -2;-3 C) 2-3
D) 2;-4 E) 3;-4
13. La ecuación fraccionaria
x-1 2x+1
— ——- = a
2x-1 x-1
se transforma en una ecuación lineal. Calcu-
le la suma del valor de a con la solución de
la ecuación resultante.
23 61 65
A= B = JS
22 ) 22 y 22
47 22
D) = a
22 El 65
* Halle una ecuación cuadrática de raíces m
yn si se sabe que las ecuaciones siguientes
Sé+(2m+1)r+4n+2=0 » 2é+5x+6=0
Son equivalentes.
o
15,
16.
17.
18,
A) x*-5x+6=0
B) x*-11x+28=0
C) x?-3x+4=0
D) x?-x-2=0
E) x2-5x-10=0
Calcule el módulo de una de las raíces de la
ecuación cuadrática
(x-2* + v7+2V10x =-4x.
A) 2 B) 3 O 4
D) 1 E) 3/2
Obtenga una ecuación bicuadrada en x, sa-
biendo que sus raíces son las raíces de la
ecuación z?-4z-7=0.
A) x'-8x?-14=0
B) x*-4x?-7=0
C) x'-8x+14=0
D) x*-24x?+49=0
E) x“-30x?+49=0
Calcule el valor de m para el cual la suma
de cuadrados de las raíces de la ecuación
12-mx+1=0 sea mínima.
AO B) /2 O 1
D) -1 E) -v2
¿Para qué valor de k la diferencia de raíces
de la ecuación cuadrática es mínima?
4 -10(2k+1)x+14k+5=0
11
o-2
A) 0 B) 1 ) 50
44 11
2 E —
D-5 500
597
Lumbreras Editores
19.
20.
—
22,
21.
Indique un valor de m para el cual la suma
de las cuartas potencias de las raíces de la
ecuación x?-mx+1=0 sea mínima.
A) yY2 O) 43
D) -1 EO
B) 1
Si la ecuación fraccionaria
(x-D(x-DGr-3) _x2-3x+11
(x+DG+2)(x+3) 12+3x+11
se transforma en una ecuación polinomial,
halle la suma de productos binarios de las
raíces de la ecuación transformada.
O 12
E) 14
A) 10 B) 11
D 13
Nivel II
Respecto a la ecuación de incógnita x:
ala?- 1 )x=0,
establezca el valor de verdad de cada propo-
sición.
I.. Es compatible para cualquier valor de a.
II. Sia=-1, tiene infinitas soluciones.
III. Si a=0, tiene solución única.
IV. Sia e (0; 1; -1), tiene una única solución
y es igual a cero.
B) VFVF C) FFVV
E) VVFF
A) VVVV
D) FFFV
Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones con respecto a la ecuación
enx.
a*(a-2)-(a+1-aVa-Ya)x=a-2
I.. Es determinado cuando az 1, az-1,
II. Esindeterminado cuando a=1 v a=-1.
III. Es incompatible cuando a=2.
598
A) VVV B) VVF
D) FFV
C) VFV
E) VFF
23. Indique el valor de verdad de las siguien.
24,
25.
tes proposiciones, basándose en la siguiente
ecuación:
2
x(x-1 (2x3) (x? - /3) =0
I. Tiene cuatro raíces o cuatro soluciones,
II. Tiene diez raíces y cinco soluciones,
II. Tiene a x=0 como una raíz simple ya
x=3/2 como raíz triple.
B) FFV C) FFF
E) VFF
A) FVV
D) VFV
Luego de resolver la ecuación en x
x-a x-b x-c 124151
oo acabo (55+2)
establezca el valor de verdad de las proposi-
ciones.
L Si a+b+c=0, la ecuación tiene infinitas
soluciones con abc + 0.
IL. Si a+b+c+0, siempre existe solución y
es única.
II. Siempre la solución es a+b+c.
C) VVF
E) FFV
A) VVV
D) FVV
B) VFV
Si m; n; p son las raíces de la ecuación Cú-
bica x*-2x?4+4x-2=0, calcule el valor de M.
PP"
CAPÍTULO XII! Ecuaciones algebraicas
sá, Dada la ecuación cúbica : 30, Luego de resolver x”+4x-+3-+i=0, indique la
40 +120-209x-627=0, si Xo = una de sus : Parte imaginaria de una de las soluciones.
xo : : -
raíces, calcule el valor de 209" Considere A) 1 2
Xp+-3. :
: =1
DEL na a
ET] 4 4 :
1 E) EN : O) + y2-1
1») = 19 : 2
97, Si el polinomio P¿y=wé+bx-6x+c, az0 D) NN
admite como raíces a :
1 pr. : E) 1+ /2
A EFE A EOS MEDIA Y EA : 2
p+ p -p
donde p £ (-1;0; 1), calcule el valor de c. : 31. De la ecuación "+rm-n=0;meRaAn>0,
: establezca el valor de verdad de las siguien-
A) 2 B) 3 O 4 : tes proposiciones.
D) 5 E) 6 E Ll. Sim>0, tiene una sola solución real.
: II. Sim <0, tiene las tres soluciones reales y
28. Si las ecuaciones de incógnita x : positivas.
32 -2nx+1=0; n%0 A : III. Sim >0, tiene dos soluciones negativas y
x una positiva.
+mMin+pg x+n+q+m mina
n-m+q n+m+q
A) VFV B) VVF C) FEV
son equivalentes, halle el valor de n. : D) FVF E) FFF
A :
z > B) 3 O 1 : 32, Determine la condición que debe cumplir el
E) AvC : parámetro real 4, de manera que
k 4 2101
2. si 3+(R+a)x+5-k=0 tiene raíces recípro- -20.-14+A"-2=0
cas y 6”+(2p-1)x+8=0 tiene raíces simétri- : admita al menos una raíz real y otra comple-
“as, resuelva la ecuación 2+6px-2k=0. ja imaginaria.
Da. OA) ASO
) 41 OB) A<2
O (3-3) : C) 0<A<2
D) (2; 4) : D) 4>2 1 1>3
D (8,2) E) -2<A<0
599
>
Lumbreras Editores
39.
34,
35.
36.
m
Luego de resolver la ecuación
2 6x+9) 2 1,5
(e —5x+6)x-4Mx-3) x2-5x+6 x-3
enuncie el valor de verdad de las proposicio-
nes siguientes:
I.. La solución es racional.
IL La solución es irracional o la solución es
una fracción.
II. La solución es real y la solución es entera.
vvv
D) VFV
B) FVF C) FFV
E) VVF
Resuelva la ecuación x“+mx*+2x+n=0;
n%0, e indique la suma de todas sus raíces
sabiendo que admite una raíz triple.
A) 2
D) 1
B) -1 Cc) 2
E) 0
Si se sabe que nxp, resuelva la ecuación de
incógnita x.
x2+(a+2b)x+b?+ab+n _x+b
xd +(b+20)x+a? +ab+p Xx+a
A) n+p B) n-p ) b-a
n-p an-—bp n-p
D) ap- bn E) bp- an
n-p n-p
Luego de resolver la ecuación fraccionaria
enx
1 1 1
(x+3)-2n n(x+3)-2m 0,75(n-ml+5)'
indique una de las soluciones obtenidas.
3m-n B) 9m-1In 9n-—1lm
9n-1im 3n-m 3n-m
3n-m 3n- m
9m-1In 9n-1lm
600
37. Luego de resolver la ecuación irraciona]
y dp x-a+bix—b. k
A
calcule la suma de sus soluciones.
A) 6a B) 6b+a 0) 0
71a-b da+b
E
D) a ) A
38, Determine el producto de las soluciones de
39.
40.
la ecuación fraccionaria
16x-1_1(8r-1_8
5 5x+1 3 3x41 15
A) 9 B) z 03
D) 1 EJ 0
Para la ecuación irracional
Yi +14 2x1 =x,
indique lo correcto.
A) Tiene una sola solución.
B) No tiene solución en R.
C) La suma de las soluciones es 2.
D) La única solución es 3.
E) AnD
Considere a y b reales positivos y resuelva la
ecuación irracional
vx?ax+a + dx? bx+b? = Va? +ab+b?.
A) CS=(a+b)
B) CS=(ab)
CAPITULO XII A e — 25
4 Calcule el mayor valor de a, tal que las raíces
* e A $”
la ecuación e (a+3)x*+(3a+2)x-2a=0
de
estén en progresión aritmética.
N 1 B) 3/2 O 2
D 3 EJ:0
42. Luego de resolver la ecuación +3x-2i=0
se obtienen las raíces Xy; Xz; Xz. Calcule
1x,1+)x21+|xal-
n3
B) 4
OS
D) 43+42+1
E) V7+V2+1
43. En la ecuación de incógnita x
2 2
a $ a
—+4- x =2[x+7) ]
8 4
el cuadrado de la única raíz positiva es igual
a la diferencia de los cuadrados de las otras
raíces, Calcule dicha raíz real positiva.
A) Ya +3 B) Ya O) yY2
D) 2 E 1
4. Si se sabe que a; b; c son raíces de la ecua-
ción
'-243x+4=0,
halle otra ecuación cúbica cuyas raíces sean
a(a+1); b(b+1); c(c+1).
A 42x243x+8=0
8) '+4x+8=0
O '+46x+8=0
Ecuaciones algebraicas
45.
46.
47.
48.
D) x*-12x-8=0
E) x9+3x+8=0
Si las raíces de la ecuación x?+2(m+2)
x+5=0 son superiores a la unidad, entonces
A) mel-5; -2- 45].
B) me(l; +2.
C) mel-(45 +2); 45 +2).
D) me (=>; V5 +2).
E) me (-e; Y5+2]u[y5 -2; +00).
Para la ecuación polinomial
xXx +2x-3x-1=0, es cierto que tiene
A) cuatro raíces reales.
B) seis raíces reales.
C) cuatro raíces no reales.
D) al menos dos raíces positivas.
E) dos raíces reales negativas.
De la ecuación x*+px?+q=0, indique la ver-
dad (V) o falsedad (F) de las siguientes pro-
posiciones.
I.. Sip >0, posee cuatro raíces reales.
Il. Sip>0A q<0, siempre tendrá dos raí-
ces reales.
111. Si p?=4q, tendrá cuatro raíces reales.
C) FVF
E) FFF
A) VVV B) VVF
D) VFF
Resuelva la ecuación bicuadrada
+ 0-a yes) Di c(-3)-1=0
y calcule el producto de sus raíces.
B) V5 C) 10
E) 8
A) 5
D) 6
601
Lumbreras Editores
49.
50.
51.
52.
602
Sabiendo que las ecuaciones cuadráticas
A+mx+2n=0 » xd2+nx+2m=0
poseen una raíz en común, halle otra ecua-
ción cuadrática cuyas raíces sean las no Co-
munes de las anteriores.
A) +(min)x+mn=0
B) x2-(m+n)x+mn=0
O 12+2mx+n=0
D) x?+2nx+m=0
E) x?-2(m+n)x+9mn=0
Halle una raíz de la ecuación cuadrática
a(a+2b)x"+b(b+2c)x+c(c+2a)=0.
Considere a+b+c=0.
c-a a-b b(c-a)
dis b-c B) b-c ed al(b-—c)
cla-b) a-b
E
alb—c) ) c-a
Resuelva la ecuación irracional de incógnita x.
eee
A) ta-b)
B) (2a-b)
C) (a+b)
D) (2b-a)
E) (2(a+b))
Dada la ecuación cúbica 3x?-4x*+ 13x+2=0,
indique lo correcto.
A) Tiene tres raíces reales y positivas.
B) Tiene dos raíces positivas y una raíz ne-
gativa.
C) Tiene dos raíces negativas y una raíz po-
sitiva.
D) Posee una sola raíz real y negativa,
E) Posee una sola raíz real y positiva,
—
1
o asi >
53. Si [1 + >) es la suma de las dos raíces Positi.
54,
55.
56.
vas de la ecuación bicuadrada: 4x1_
xi +m=0 y la ecuación cuadrática:
2px? -4px+5p= =3:+x-8 tiene el produc.
to de sus raíces igual a dos veces sy Suma
calcule el valor de p+m. ]
(4m+1)
B) 7 C) 11
E) 19
A 3
D) 15
¿Para qué valores de m la ecuación
(2/xy (3) +3(1+2)=0
tiene solución única?
3 5
A) -Í B) 2; -3 pa
) E ) O 4 a
D) 1; 2 Elia
5
Si la ecuación cuadrática azx*+a,x+a,=0
tiene como conjunto solución
1
3k+1 ; calcule el valor de S.
Cs=(1+ l al
ET
(3R + D(3R + 4) (ay + a, +02)
a
S$=
A) 1 B) -l
D) 2 E)
Sea P(,, un polinomio:
P¿y=4yx"+ayx""l+...+a,; agz0 tal que Pqy=1.
Si aj +af +a3 +...+ a? =1, calcule el valor de £.
E=(ay+1)'+(a,+1)?+...+(a, +1)
C) n+3
E) n+4
A) n
D) 2n+4
B) n+2
ao
CAPÍTULO XIII Ecuaciones algebraicas
57, Dado el polinomio - 59, Resuelva la ecuación fraccionaria
3 4
pyy=- (ab +ac+bche+ A
+(ab+ac+bc)x-2abc(a+b+c), : 3x? +2 39 +1
calcule el valor de M.
A) v6
y Pabrac+bc) : Y
YE abr +00) +(ac)” B) v6
: O Ya
A) 1 B) 2 C) -2 DY
D) -1 E) 0 E) Y72
58. Determine el valor real de a para que la : 60. Si se cumple que
ecuación : 7 7 7
: Yi Vx Yi +01 Vx =1,
16 -ax+(Qa+17)x?-ax+16=0 : dl
tenga exactamente cuatro raíces reales dife- : calcule el valor de E.
rentes que forman una progresión geométrica. : Esa a+ +5 +6
A) 200 B) 170 C) 190 A) 61 B) 32 c) 21
D) 180 E) 100 : D) 10 E) 6
603
LAVES
C
Problemas propuestos
NIVEL |
U7/A
a
18/
e
13
Lo /a
10
L5/c
14
6/8
L/c
L2/p
(3 /E
La/A
NIVEL Il
¡< jo lo ju ja [a lo |
A]
la [ju [w [o jo la [o lo
E
ul.
As
a
O
JIJI S
604
BibBLIOGRAFÍA
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1960 Análisis matemático. Volumen !. Barcelona: Editorial Reverté
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1993 Historias de las matemáticas. México D. F.: Fondo de Cultura Económica
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KALNIN, R. A.
1988 Álgebra y funciones elementales. Moscú: Editorial MIR
RIBNIKOV, K.
1989 Análisis combinatorio. Moscú: Editorial MIR
Es una publicación de consulta fundamental para estudiantes y
docentes de los niveles secundario y preuniversitario. Ha sido
concebida por un equipo de profesores especialistas en la
materia bajo una estructura temática que va de lo simple a lo
complejo, con un lenguaje sencillo y claro. En cada capítulo
presentamos definiciones, problemas resueltos, problemas
propuestos, la biografía de un matemático representativo, así
como un test con el que podrás autoevaluarte. De esta manera,
como estudiante, la presente obra te permitirá ingresar en el
estudio de una disciplina matemática cuyo campo de aplicación
es diverso. Para el docente, medirá la dosificación adecuada de
la asignatura con una variedad de ejercicios para la práctica.
La publicación aborda los temas siguientes: nociones
preliminares; leyes de exponentes; polinomios; multiplicación
algebraica; división algebraica de polinomios; divisibilidad de
polinomios y cocientes notables; factorización de polinomios;
máximo común divisor, mínimo común múltiplo y fracciones;
radicación; binomio de Newton; números reales: números
complejos y, finalmente, ecuaciones algebraicas.
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