In dieser Erklärung erfährst Du, wie Flächen und bestimmte Integrale zusammenhängen, wie Du ein bestimmtes Integral berechnen kannst, welche Regeln es für bestimmte Integrale gibt und was die partielle Integration ist. Außerdem findest Du hier für ein bestimmtes Integral Aufgaben.
Alles rund um das Thema Integrale findest Du in der Erklärung „Integralrechnung“.
Bestimmtes Integral Definition
Das bestimmte Integral \[\int_a^b{f(x)\,dx}\] beschreibt die Integration einer Funktion \(f(x)\) mit den Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).
Das Ergebnis eines bestimmten Integrals einer reellen Funktion \(f(x)\) lässt sich im zweidimensionalen Koordinatensystem als Fläche zwischen dem Graphen der Funktion \(f(x)\) und der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) deuten.
Diese Fläche kannst Du Dir zum Beispiel so vorstellen, wie in der Abbildung \(1\). Hierbei kann die blaue Fläche über das bestimmte Integral berechnet werden.
Abb. 1 - Fläche unter der Kurve.
Aber wie kannst Du diese Fläche berechnen? Dazu benötigst Du eine Formel.
Bestimmtes Integral ausrechnen – Formel
Die Formel für die Berechnung bestimmter Integrale liefert der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
Bestimmte Integral lassen sich über die Formel
\[\int_a^b{f(x)\,dx}=\left[ F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)\]
lösen, indem die Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) in eine Stammfunktion \(F(x)\) der Funktion \(f(x)\) eingesetzt werden und die Differenz berechnet wird.
Die Integrationskonstante \(C\) entfällt bei der Berechnung, da:
\[F(b)+C-F(a)-C=F(b)-F(a)\]
Zum Ausrechnen machst Du also folgende Schritte:
- Berechne eine Stammfunktion \(F(x)\).
- Setze die Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\) ein und berechne die Differenz \(F(b)-F(a)\).
Wie Du die Stammfunktion berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Stammfunktion bilden“.
Zum besseren Verständnis kannst Du Dir im nächsten Kapitel direkt ein Beispiel zum bestimmten Integral ansehen.
Bestimmtes Integral berechnen – Bestimmtes Integral Beispiel
Lege Dir die Formelsammlung gerne daneben, wenn Du eine benutzen darfst!
Berechne das Integral \(\int_1^2{4x\,dx}\).
Lösung
Die zu integrierende Funktion \(f(x)\) lautet \(f(x)=4x\). Hierfür berechnest Du also zunächst die Stammfunktionen \(F(x)+C\). Diese lauten in dem Fall \[F(x)=2x^2+C,\] denn es gilt:
\[F'(x)=\left[ 2x^2+C\right]'=4x=f(x)\]
Nun kannst Du die Integrationsgrenzen \(a=1\) und \(b=2\) in die Stammfunktion \(F(x)=2x^2\) einsetzen und voneinander abziehen: \begin{align}F(b)-F(a)&=2\cdot 2^2-2\cdot 1^2\\[0.1cm] &= 8-2 \\[0.1cm] &=6\end{align}
Damit hast Du das bestimmte Integral ausgerechnet und es gilt: \[\int_1^2{4x\,dx}=6\]
Die Fläche \(A\), die von den Integrationsgrenzen \(1\) und \(2\) sowie vom Funktionsgraph der Funktion \(f(x)=4x\) und der \(x\)-Achse eingeschlossen wird, beträgt also \(6\,FE\) (Flächeneinheiten).
In der folgenden Abbildung kannst Du die Berechnung noch einmal nachvollziehen.
Abb. 2 – Beispiel bestimmtes Integral.
Rechnest Du mit bestimmten Integralen, so sind einige Regeln zu beachten.
Bestimmtes Integral Regeln
Beim Rechnen mit bestimmten Integralen gibt es gewisse Regeln oder auch Eigenschaften, die Dir bei der Berechnung helfen.
| Beschreibung | Regel | Beispiel |
| Gleiche obere und untere Integrationsgrenze | \(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#FA3273}a}{f(x)\,dx}=0\) | \(\int_{\color{#FA3273}2}^{\color{#FA3273}2}{3x^2\,dx}=0\) |
| Vertauschung der Integrationsgrenzen | \(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#8363e2}b}{f(x)\,dx}=-\int_{\color{#8363e2}b}^{\color{#FA3273}a}{f(x)\,dx}\) | \(\int_{\color{#FA3273}-1}^{\color{#8363e2}4}{6x\,dx}=-\int_{\color{#8363e2}4}^{\color{#FA3273}-1}{6x\,dx}\) |
| Faktorregel | \(\int_a^b {\color{#FA3273}k} \cdot {f(x)\,dx}= {\color{#FA3273}k}\cdot \int_a^b{f(x)\,dx}\) | \(\int_1^2 {\color{#FA3273}3} \cdot {e^x\,dx}= {\color{#FA3273}3} \cdot \int_1^2{e^x\,dx}\) |
| Summenregel | \(\int_a^b{{\color{#FA3273}f(x)}+{\color{#8363e2}g(x)}\,dx}=\int_a^b{{\color{#FA3273}f(x)}\,dx+\int_a^b{{\color{#8363e2}g(x)}\,dx}}\) | \(\int_a^b{({\color{#FA3273}3x^2}+{\color{#8363e2}7x})\,dx}=\int_a^b{{\color{#FA3273}3x^2}\,dx+\int_a^b{{\color{#8363e2}7x}\,dx}}\) |
| Zusammenfassen von Integrationsintervallen | \(\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#8363e2}b}{f(x)\,dx}+\int_{\color{#8363e2}b}^{\color{#00dcb4}c}{f(x)\,dx}=\int_{\color{#FA3273}a}^{\color{#00dcb4}c}{f(x)\,dx}\) | \(\int_{\color{#FA3273}-2}^{\color{#8363e2}1}{x^3\,dx}+\int_{\color{#8363e2}1}^{\color{#00dcb4}2}{x^3\,dx}=\int_{\color{#FA3273}-2}^{\color{#00dcb4}2}{x^3\,dx}\) |
Ein weiteres Hilfsmittel bei der Integration von bestimmten Integralen kann die sogenannte partielle Integration sein. Sieh Dir dazu gerne folgende Vertiefung an!
Partielle Integration bestimmtes Integral
Beim Integrieren bestimmter Funktionen bietet sich die sogenannte „partielle Integration“ an. Das ist der Fall, wenn Du ein Produkt von Funktionen integrieren möchtest. Was für das Differenzieren, also das Ableiten, die Produktregel ist, ist beim Integrieren die partielle Integration: \[\int{f(x)\cdot g'(x)\,dx}=f(x)\cdot g(x)-\int{f'(x)\cdot g(x)\,dx}\]
Das Ziel der partiellen Integration ist es, das zu integrierende Produkt möglichst zu vereinfachen.
Mehr dazu erfährst Du in der Erklärung „Partielle Integration“.
Bestimmtes Integral Aufgaben
Teste hier Dein Wissen über bestimmte Integrale anhand der folgenden Aufgaben!
Aufgabe 1
Berechne das Integral \(\int_1^4{3x^2+2x\,dx}\).
Lösung
Mit der Summenregel gilt: \[\int_1^4{3x^2+2x\,dx}=\int_1^4{3x^2\,dx+\int_1^4{2x\,dx}}\]
Du kannst also beide Stammfunktionen einzeln berechnen und die Integrationsgrenzen einsetzen. Dann gilt: \begin{align} \int_1^4{3x^2+2x\,dx}&=\int_1^4{3x^2\,dx+\int_1^4{2x\,dx}} \\[0.2cm] &=\left[x^3 \right]_1^4+ \left[x^2 \right]_1^4 \\[0.2cm] &= 4^3-1^3+(4^2-1^2) \\[0.2cm] &=64-1+(16-1) \\[0.2cm] &= 78\end{align}
Aufgabe 2
Bestimme den Wert des folgenden Integrals anhand des Funktionsgraphen und der beiden Integrationsgrenzen: \[\int_1^5{f(x)\,dx}\]
Ein Kästchen ist dabei \(1\) Flächeneinheit (FE).
Abb. 3 – Aufgabe 3.
Lösung
Da der Wert des bestimmten Integrals dem Flächeninhalt entspricht, den der Graph der Funktion \(f(x)\) in den Integrationsgrenzen mit der \(x\)-Achse einschließt, kann der Wert des Integrals als Dreiecksfläche bestimmt werden.
Alternativ kannst Du die Funktion \(f(x)\) auch über die Geradengleichung \(y=mx+t\) ermitteln und anschließend integrieren. Wie Du die Werte \(t\) und \(m\) ermittelst, erfährst Du im Artikel „Geradengleichung aufstellen“.
Dazu benötigst Du die Formel für die Fläche eines Dreiecks. Diese lautet \[A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h,\]wobei \(g\) die Länge der Grundseite und \(h\) die Höhe des Dreiecks sind.
Diese beiden Größen kannst Du am Koordinatensystem ablesen: Die Höhe beträgt \(h=4\,LE\), die Grundseite \(g=5\,LE\). Setze dies nun in die Formel ein: \begin{align}A&=\frac{1}{2}\cdot 5\,LE\cdot 4\,LE \\[0.1cm] &= 10\,FE \end{align}
Damit gilt dann für das Integral: \[\int_1^5{f(x)\,dx=10}\]
Bestimmtes Integral – Das Wichtigste
- Das bestimmte Integral ist definiert über die Form \[\int_a^b{f(x)\,dx}\] mit den Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).
- Das Ergebnis eines bestimmten Integrals einer reellen Funktion beschreibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion und der \(x\)-Achse innerhalb der Integrationsgrenzen \(a\) und \(b\).
- Ein bestimmtes Integral wird berechnet über die Formel: \[\int_a^b{f(x)dx}=\left[ F(x)+C\right]_a^b=F(b)-F(a)\]
- Verschiedene Regeln und Integrationstechniken, wie die Summenregel, Faktorregel und die partielle Integration, helfen bei der Berechnung von bestimmten Integralen.
Nachweise
- Papula (2006). Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer-Verlag.
- Luderer, Würker (2008). Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. Springer-Verlag.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Bestimmtes Integral
Was ist ein bestimmtes Integral?
Ein bestimmtes Integral beschreibt die Integration einer Funktion f(x) mit den Integrationsgrenzen a und b.
Was gibt das bestimmte Integral an?
Das bestimmte Integral einer Funktion gibt die Fläche an, die der Graph der Funktion f(x) im Intervall [a,b] mit der x-Achse einschließt.
Welche Arten von Integralen gibt es?
Es gibt sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrale. Zudem gibt es uneigentliche Integrale.
Was ist die obere und untere Grenze beim Integral?
Die obere und untere Grenze des Integrals beschreiben das Intervall [a,b], das die Fläche begrenzt, die der Graph der Funktion mit der x-Achse einschließt.
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