Distribución de Bernoulli

La distribución de Bernoulli es una distribución de probabilidad discreta que abre el camino a la distribución binomial, la distribución geométrica y la distribución binomial negativa. Lleva ese nombre por Jakob Bernoulli, un gran matemático y científico suizo.

Veamos los detalles de esta distribución.

Contenido:

1) Introducción.
2) Distribución de probabilidad de Bernoulli.
3) Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli.
4) Ejemplo.
5) Videos.
6) Referencias.

Veamos lo que hemos preparado.

1) Introducción

Vamos a partir de un ensayo de Bernoulli, es decir, de un experimento que tiene solo 2 resultados posibles, a uno de ellos lo llamaremos éxito y al otro fracaso.

Por ejemplo, voy a realizar un experimento bien facilito que consiste en preguntar a un suscriptor de este canal seleccionado al azar si le gusta la pizza. Si me dice que si, lo considero un éxito, si me que no, lo considero un fracaso. Otro ensayo de Bernoulli sería lanzar mi moneda que de un lado tiene gato y del otro lado tiene perro. Si defino perro como éxito, obtener un gato será un fracaso.

Se denomina ensayo de Bernoulli a todo experimento aleatorio que tiene solo dos resultados posibles mutuamente excluyentes, generalmente llamados éxito y fracaso.

En un ensayo de Bernoulli vamos a definir la variable aleatoria X de la siguiente manera:

• si obtenemos un éxito, la variable aleatoria X vale 1.
• caso contrario, si el ensayo termina en fracaso, la variable aleatoria X vale 0.

De manera sencilla podemos decir que X cuenta el número de éxitos. Si sale fracaso, el número de éxitos sería 0, no hay ningún éxito. Si el experimento termina en éxito, hay 1 éxito.

A continuación, vamos a elaborar una tabla muy sencilla con los valores de X en un ensayo de Bernoulli:

La probabilidad de éxito se denota por p, por ello, la probabilidad de fracaso será 1-p. Agregamos esta información a la tabla:

Y listo, ya tenemos la distribución de probabilidad de Bernoulli representada mediante una tabla. Si queremos la función de probabilidad (una fórmula), sería la siguiente:

2) Distribución de Bernoulli

Una variable aleatoria discreta X tiene una distribución de Bernoulli si su función de probabilidad está dada por:

De forma resumida, se puede colocar de la siguiente manera:

Para indicar que la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli de parámetro p usamos la siguiente notación:

3) Media y varianza de una variable aleatoria de Bernoulli

Si X tiene una distribución de Bernoulli de parámetro p, entonces:

Listo, ya fue demasiada teoría, vamos con los problemas:

4) Ejemplo

Un juego consiste en lanzar un dado una sola vez, si se obtiene un 3 se gana el juego, si se obtiene otro valor, se pierde. Sea X = el número de veces que sale un 3. Determinar la distribución de probabilidad de X.

Solución:

Vamos a considerar un éxito si se obtiene un 3, con cualquier otro resultado, consideraremos un fracaso. Como X cuenta el número de veces que sale un 3, puede tomar dos valores:

• X = 0, cuando no se obtenga 3.
• X = 1, cuando se obtenga un 3.

Armamos nuestra tabla:

Ahora asignamos probabilidades, calculamos primero la probabilidad de éxito p, es decir, la probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado:

Recuerda que la probabilidad de fracaso será 1 – p. Completamos la tabla asignando probabilidades f(x).

Ya tenemos la distribución de probabilidad expresada con una tabla.

Vamos en búsqueda de la función de probabilidad, sabemos de la tabla que:

También le podemos dar la siguiente forma compacta equivalente:

Como vemos, la función de probabilidad de X tiene la forma de una función de probabilidad de Bernoulli con probabilidad de éxito p de 1/6. Por lo tanto:

Esa sería la respuesta, la variable aleatoria X sigue una distribución de Bernoulli con una probabilidad de éxito de 1/6.

El problema no lo pide, pero, así como hemos representado la función de probabilidad de X mediante una tabla y mediante una fórmula, también lo podemos hacer mediante un diagrama de barras. Colocamos un eje horizontal para los valores de X y otro vertical para las probabilidades f(x).

5) Videos

En los siguientes videos veremos un poco más de la distribución de Bernoulli.

Ahora veremos otro video sobre la media o valor esperado y la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli:

6) Referencias

Para elaborar este artículo hemos usado las siguientes referencias:

• Córdova Zamora, M. (2009). Estadística descriptiva e inferencial. 5a ed. Lima: Moshera, pp.253-254.
• Navidi, W. (2006). Estadística para ingenieros. 1a ed. México: McGraw-Hill, pp.192-195.
• http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/PDFs/Bernoulli.pdf