EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

EL CONCEPTO DE DIFERENCIAL

Existen muchas situaciones, dentro y fuera de las matem�ticas, en que necesitamos estimar una diferencia, como por ejemplo en las aproximaciones de valores de funciones, en el c�lculo de errores al efectuar mediciones (Valor real menos valor aproximado) o simplemente al calcular variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente var�a "un poco", etc. Utilizando a la recta tangente como la mejor aproximaci�n lineal a la funci�n en las cercan�as del punto de tangencia, aproximaremos esta DIFERENCIA con la diferencia sobre la recta tangente, a la que llamaremos EL DIFERENCIAL de la funci�n en el punto.

DEFINICION Y EJEMPLOS

Consideremos la siguiente ilustraci�n en donde aproximamos a la funci�n f por su recta tangente.

 

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximaci�n lineal a la gr�fica de f en las cercan�as del punto de tangencia PT, si le llamamos a la variaci�n de f cuando x var�a de xo a xo + h y a la variaci�n de la recta tangente en el mismo rango de variaci�n en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f @ D RT .

Podemos expresar a D RT en t�rminos de h y el �ngulo q que forma la recta tangente con el eje de las abscisas. En el tri�ngulo de la figura, que extraemos a continuaci�n, se observa lo siguiente:

 

 

En virtud de que D RT es un aproximador de la DIFERENCIA D f, lo definiremos como EL DIFERENCIAL DE f en el punto xo, con respecto al incremento h y lo denotaremos por df, es decir,

df = f '(xo)h

Observaci�n: El diferencial, en general depende de h y del punto xo. Por ejemplo el diferencial de f(x) = x2 es:

df = f ' (xo)h = (2xo)h

que tambi�n lo podemos expresar como:

d(x2) = (2xo)h

Si especificamos el punto xo, el diferencial depender� �nicamente de h, como se aprecia en los siguientes ejemplos:

 

a) El diferencial de f(x) = x2 en xo =3 es d(x2) = 6h

b) El diferencial de f(x) = x2 en xo =7 es d(x2) = 14h

c) El diferencial de f(x) = x3 en xo =2 es d(x3) = 12h

En el caso de la funci�n identidad f(x) = x, como f '(xo) = 1 para todo xo, su diferencial nos queda como df = f '(xo)h = h o bien dx = h

Como h es el diferencial de la funci�n identidad, podemos re-escribir el diferencial de una funci�n f derivable en xo, como:

df = f '(xo)dx

Esta expresi�n nos dice que la variaci�n de una funci�n f es aproximadamente proporcional a la variaci�n de su variable independiente, donde la constante de proporcionalidad es la derivada en el punto en cuesti�n.

En los siguientes ejemplos estimaremos la variaci�n D f para xo y h dados y la compararemos con el diferencial.

Ejemplo . Verifique que:

a) Para f(x) = x2 se cumple que D f @ df en xo = 1 y h = 0.1

      Soluci�n:

D f = f(1.1) - f(1) = 1.21 - 1 = 0.21

df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(0.1) = (2)(0.1) = 0.20

La variaci�n real difiere de la aproximada en una cent�sima.

Observaci�n: El punto xo + h es un punto cercano a xo, que se encuentra a la derecha de �ste si h es positivo y a la izquierda si h es negativo. En el siguiente ejemplo consideraremos un incremento negativo.

b) Para f(x) = x2 se cumple que D f @ df en xo = 1 y h = -0.1

Soluci�n:

D f = f(0.9) - f(1) = 0.81 - 1 = -0.19

df = f ' (1)dx =(2x|x=1 )(-0.1) = (2)(-0.1) = -0.20

La variaci�n real difiere de la aproximada en una cent�sima..

c) Para f(x) = x2 se cumple que D f @ df en xo = 2 y h = 0.006

Soluci�n:

D f = f(2.006) - f(2) = 4.024036 - 4 = 0.02403

df = f ' (2)dx =(2x|x=2 )(0.006) = (4)(0.006) = 0.02400

La variaci�n real difiere de la aproximada en tres cienmil�simas

.

d) Para f(x) = se cumple que D f @ df en xo = 8 y h = 0.2

Soluci�n:

D f = f(8.2) - f(8) = 2.016529 - 2 = 0.016529

df = f ' (8)dx =(|x=8 )(0.2) = (1/12)(0.2) = 0.016666

La variaci�n real difiere de la aproximada en una diezmil�sima.

e) Para f(x) = se cumple que D f @ df en xo = 64, h = 0.2

Soluci�n:

D f = f(64.2) - f(64) = 4.004162334 - 4 = 0.004162334

df = f ' (649)dx =(|x=64 )(0.2) = (1/48)(0.2) = 0.00416666

La variaci�n real difiere de la aproximada en cuatro millon�simas.

f) Para f(x) = sen(x) se cumple que D f @ df en xo = p /3, h = 0.1

Soluci�n:

D f = f(p /3 + 0.1) - f(p /3) = 0.9116155 - 0.8660254 = 0.04559

df = f ' (p /3)dx =(cos(x)|x=p /3 )(0.1) = (0.5)(0.1) = 0.050

La variaci�n real difiere de la aproximada en cinco mil�simas.

Modifique los valores de x y h para apreciar la aproximaci�n del diferencial

Observaci�n: En todos los ejemplos anteriores comprobamos que D f @ df en el punto e incremento dados, sin embargo tanto D f como df son muy peque�os, casi iguales a cero, y decir que �stos son muy parecidos parece trivial. En realidad �stos dos n�meros son muy parecidos en el sentido de que

como se puede apreciar en el siguiente desarrollo

lo cual significa que, para valores muy peque�os de h, la fracci�n es pr�cticamente igual a 1 � bien que D f es pr�cticamente igual a df.

 

APLICACIONES DEL DIFERENCIAL

PROBLEMAS DEL TIPO I.

A continuaci�n desarrollaremos algunos ejemplos de aplicaci�n pr�ctica en los que, por medio del diferencial, estimaremos un aumento � una disminuci�n en alguna funci�n.

Ejemplo 1. Al calentar una placa cuadrada met�lica de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm. �Cu�nto aument� aproximadamente su �rea?.

          Soluci�n: Con el fin de ilustrar una situaci�n que se presentar� en todos los dem�s problemas y por la simplicidad de �ste en particular, s�lo en este caso calcularemos la diferencia de �reas D A y la compararemos con dA.

N�tese que originalmente ten�amos una placa de 15 x 15, despu�s de calentarla tenemos la placa de 15.04 x 15.04, como se muestra en la figura.

En este caso la funci�n es A(L) = L2 y por lo tanto D A en L = 15 y h = 0.04 es:

A(15.004) - A(15) = 226.2016 - 225 = 1.2016

Si ahora calculamos el diferencial de �rea para A(L) = L2 en L = 15 y dL = 0.04, obtenemos:

dA = A' (L)dL = (2L)dL =(2L|L=15)(0.004) = (30)(0.004) = 1.2

En consecuencia, cuando el lado se incrementa en 0.4 cm, el �rea aumenta aproximadamente 1.2 cm2. (El valor exacto del incremento es 1.2016)

 

Generalmente este tipo de variaciones se miden en porcentajes, es decir, como 0.04 es el 0.2666% de 15 y 1.2 es el 0.5333% de 225 = (15)2, decimos que si el lado de la placa se incrementa en un 0.266%, el �rea se incrementar� aproximadamente en un 0.5333%.

Observaci�n: Si el problema es de una placa met�lica del mismo tama�o que se enfr�a 0.04 cm, entonces h = -0.04 y el diferencial resultar�a el mismo s�lo que con signo contrario, es decir dA = -1.2. Como estamos usando la recta tangente para estimar la diferencia, la linealidad hace que el cateto opuesto en ambos tri�ngulos de la figura, sean iguales

 

 

Resolvamos ahora el mismo problema con otros datos expresados porcentualmente

Ejemplo 2. Al enfriar una placa cuadrada met�lica de 20 cm de longitud, su lado disminuye un 0.03%. �Cu�nto disminuir� porcentualmente su �rea?.

Soluci�n: El 0.03% de 20 es , por lo que en este caso:

A(L) = L2 , Lo = 20 y dL = -0.006

D A @ dA = 2LdL = 2(20)(-0.006) = (40)(-0.006) = -0.24

Podemos calcular que 0.24 representa el 0.06% de (20)2, por lo que, cuando el lado disminuye un 0.03%, el �rea disminuye aproximadamente un 0.06%, es decir se duplica porcentualmente.

Este �ltimo resultado lo podemos obtener directamente de la siguiente manera:

D A @ dA = 2LdL = 2(20)[] =

que representa el 0.06% del �rea original (20)2.

En general se da esta situaci�n, como se aprecia en el siguiente ejemplo que se deja como ejercicio para el estudiante.

Ejemplo 3. Pruebe que si al calentar (enfriar) una placa cuadrada met�lica de lado L, su lado se incrementa (disminuye) un p%, entonces el �rea se incrementa (disminuye) un 2p%.

Ejemplo 4. La pared lateral de un dep�sito cil�ndrico de radio 50 cm y altura 1 m, debe revestirse con una capa de concreto de 3 cm de espesor. �Cu�l es aproximadamente la cantidad de concreto que se requiere?

          Soluci�n: La cantidad de concreto requerida es la diferencia D V entre el volumen del cilindro exterior y el cilindro interior.

 

Estimaremos D V por medio de dV, donde V(r) = 100p r2, r = 50, dr =3

dV = (200p r|r=50)(3) =30,000p = 94247.779 cm3

 

PROBLEMAS DEL TIPO II.

En los siguientes ejemplos utilizaremos el diferencial para estimar errores en la medici�n de algunas magnitudes.

Ejemplo 1. Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a 100m de la proyecci�n en el suelo de la parte m�s alta del cerro, esta �ltima se ve con un �ngulo de elevaci�n de 30�. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medici�n del �ngulo se hace con un posible error de 0.3�.

Soluci�n: Llam�mosle H a la altura del cerro.

En la figura de abajo, , por lo que H =(100) tan30�.

N�tese que si el �ngulo se mide con un posible error de 0.3�, estamos diciendo que el valor real del �ngulo estar� entre 29.7� y 30.3�, es decir el error en la medici�n del �ngulo ser�a de 0.3�.

 

 

En este caso considerar�amos a H como funci�n de q , es decir:

H(q ) = (100)tanq con q variando entre 29.7� y 30.3�

Para estimar el error D H = H(q ) - H(30�), calcularemos , pues q puede tomar valores menores o mayores que 30�.

En este caso q = p /6 y dq = p (0.3)/180 = 0.005235987 (Convertimos grados a radianes)

D H @ dH = (100)H'(q )dq = (100)sec2q dq =(100)(1.3333)(0.005235987) = 0.6981317

En consecuencia si se comete un error m�ximo de 0.3� en la medici�n del �ngulo, la altura se obtendr�a con un error m�ximo de 0.666 m. Se deja como ejercicio comprobar este resultado evaluando directamente D H

 

PROBLEMAS DEL TIPO III.

A continuaci�n utilizaremos el diferencial para calcular valores aproximados de funciones.

Cuando estudiamos a la recta tangente como la mejor aproximaci�n lineal a la gr�fica de f en las cercan�as del punto de tangencia PT, aprovechamos la simplicidad de la ecuaci�n de una recta para aproximar con �sta, otro tipo de funciones no tan sencillas.

Obs�rvese que en la gr�fica, f (x) RT(x) para valores x "cercanos" a xo.

Ejemplo 1: Encuentre un valor aproximado para, utilizando la recta tangente.

Soluci�n:

Encontremos pues la ecuaci�n de la recta tangente a la gr�fica de en (16 , 4), es decir la ecuaci�n de la recta que pasa por (16 , 4) y tiene pendiente f ' (16).

f '(x) = y por lo tanto f '(16) = 0.125

As� pues la ecuaci�n buscada es y = RT(x) = 4 + 0.125 (x - 16)

Como el punto 16.3 est� "muy pr�ximo" a 16, en vez de evaluar f (16.3), evaluamos RT(16.3), obteniendo:

As� pues

N�tese que si comparamos con el valor que nos da la calculadora, = 4.0373 , nuestra aproximaci�n es buena hasta dos diezmil�simas, lo cual puede resultar suficiente para cientos fines pr�cticos. Cuando estudiemos El Teorema de Taylor, seremos capaces de obtener la aproximaci�n con el grado de precisi�n deseado.

Observaci�n: En la ecuaci�n de la recta tangente en el punto (xo , f(xo))

RT(x) = f (xo ) + f ' (xo ) (x-xo )

Si tomamos x = xo + h, tendremos la expresi�n:

RT(x) = f (xo ) + f ' (xo ) h

Y si sustituimos f '(xo)h = df, obtendremos:

RT(x) = f (xo ) + df.

Como sabemos que para valores de x cercanos a xo, f(x) @ RT(x), obtenemos:

f(x) @ f (xo ) + df

Este resultado lo podemos expresar de la siguiente manera:

Podemos estimar el valor de f en x, cercano a xo, agreg�ndole a f (xo) el diferencial correspondiente.

Observaci�n. N�tese que es necesario conocer el valor de f  y de su derivada en el punto x0.

En el ejemplo anterior tendr�amos los siguiente datos:

a)

b) xo = 16

c) x = 16.3

d) dx = 0.3

Con estos datos, df = (|x=16) (0.3) = 0.0375, y por lo tanto:

+ 0.0375 = 4.0375.

Gr�ficamente lo que estamos haciendo es evaluar a 16.3 en la recta tangente, como se aprecia en la gr�fica anterior que aqu� presentamos amplificada.

Ejemplo 2. Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado para

Soluci�n: Resumiendo lo anteriormente expuesto:

@ + df

donde:

a)

b) xo = 32

c) x = 32.8

d) dx =0.8

f ' (x) = , por lo que f ' (32) = 1/80 = 0.0125

y por lo tanto df = (0.0125)(0.8) = 0.01.

As� pues @ 2.01.

Ejemplo 3. Utilizando diferenciales, encuentre un valor aproximado para sen31.5�

Soluci�n:

Sen31.5� @ sen30� + df

Donde

a) f(x) = senx

b) xo = p /6                               medida en radianes de 31�

c) x = p /6 + 1.5(p /180)           medida en radianes de 31.5�

d) dx = 1.5(p /180)                    medida en radianes de 1.5�

f '(x) = cosx, por lo que f '(p /6) = cos(p /6) = 0.86660254

y por lo tanto df = (0.8660254)(1.5)(p /180) = (0.8660254)(0.026179) = 0.02267

As� pues sen(31.5�) @ 0.5 + 0.02267 = 0.52267

Sen(31.5�) @ 0.52267

 

PROBLEMAS DEL TIPO IV.

Utilizaci�n del diferencial para estimar cambios de una variable con respecto a otra sin explicitar las variables dependiente e independiente.

Ejemplo 1. La Ley de Boyle para la expansi�n de un gas encerrado es PV = C, donde P es la presi�n expresada como el n�mero de libras por unidad de �rea, V es el volumen del gas y C es una constante. Demuestre que si la ley de Boyle se cumplen entonces VdP + PdV = 0

Soluci�n. En este tipo de situaciones tenemos dos posibilidades para establecer una funci�n: a P como funci�n de V � a V como funci�n de P.

Supondremos que P � V son diferentes de cero, ya que en caso contrario trivialmente se cumple lo que queremos probar.

a) Forma 1: Supongamos que V � 0 y consideremos a P como funci�n de V.

De la ley de Boyle, despejamos P en t�rminos de V:

� bien ,

calculamos el Diferencial de P en el punto V con un incremento dV y obtenemos:

de nuevo de la Ley de Boyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi�n para dP, obtenemos:

pasamos multiplicando a V de la �ltima a la primera expresi�n de la igualdad anterior, obteniendo

VdP = -PdV        � bien            VdP + PdV = 0.

b) Forma 2: Supongamos que P � 0 y consideremos a V como funci�n de P.

De la ley de Boyle, despejamos V en t�rminos de P:

(no hacemos expl�cita a la variable independiente)

calculamos el Diferencial de V en el punto P con un incremento dP y obtenemos:

de nuevo de la Ley de Boyle sabemos que y si lo sustituimos en la expresi�n para dP, obtenemos:

obteniendo tambi�n la expresi�n deseada PdV + VdP = 0

Ejemplo 2. La resistencia el�ctrica R de un conductor (cable) es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su di�metro. Suponiendo que la longitud es constante, �con qu� precisi�n debe medirse el di�metro (en t�rminos del error porcentual) para mantener el error porcentual de R entre -3% y 3%?

Soluci�n.

Nos piden calcular dD sabiendo que dR = (0.03)R

despejando dD, obtenemos:

como

En consecuencia el di�metro debe medirse con una precisi�n del 1.5%.

Ejemplo 3. Si el error posible en la medici�n del volumen de un gas es de 0.1 pie3 y el error permitido en la presi�n es de (0.001)C lb/pie2, determine el tama�o del recipiente m�s peque�o para el cual se cumple la ley de Boyle.

Soluci�n. Si la ley de Boyle ha de cumplirse, debe pasar que VdP + PdV = 0, de donde despejando V, obtenemos:

De acuerdo a los datos dP var�a de -(0.001)C lb/pie2 a (0.001)C lb/pie2 y dV var�a de -(0.1) pie3 a 0.1 pie3.

La expresi�n dentro del radical, fuerza a que uno de los dos diferenciales sea negativo y para que la fracci�n sea lo m�s peque�a posible, el numerador debe ser lo m�s peque�o y el denominador lo m�s grande posible, consigui�ndose esto con dV = -0.1 y dP = (0.001)C.

V =

Por lo que el recipiente debe ser de 10 pie3.

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