Funktionen und Eigenschaften von Modellen und Modellieren im Mathematik- und Physikunterricht – eine Interviewstudie mit Lehrer*innen

Zusammenfassung

Die Begriffe des Modells und des Modellierens nehmen in der Physik- wie auch in der Mathematikdidaktik sowie im Schulunterricht eine bedeutende Stellung ein. Welche Beliefs Lehrkräfte für Mathematik und Physik zu den Teilaspekten der Funktionen und Eigenschaften von Modellen und dem Modellieren haben, ist jedoch weitgehend unbekannt. In diesem Beitrag werden anhand einer Interviewstudie Beliefs von Lehrkräften zu den verschiedenen Funktionen identifiziert und mit den aus der Literatur bekannten Funktionen abgeglichen.

1 Einleitung

Das Modell und das Modellieren sind zentrale Begriffe der Naturwissenschaften und der Mathematik sowie ihrer jeweiligen Didaktiken und damit auch in den aktuellen Bildungsstandards, Kernlehrplänen und didaktischen Diskursen fest verankert. Aufgrund des sehr unterschiedlichen Charakters der beiden Begriffe werden diese im Folgenden stets begrifflich getrennt behandelt.

In den Bildungsstandards im Fach Physik für die Allgemeine Hochschulreife heißt es beispielsweise:

„Die Physik als theoriegeleitete Erfahrungswissenschaft macht Vorgänge über die menschliche Wahrnehmung hinaus durch Messtechnik erfahrbar und durch Modelle beschreibbar […]. Die Lernenden erfahren im Unterricht die Bedeutung der abstrahierenden, idealisierenden und formalisierten Beschreibung von Prozessen und Systemen, wenn sie regelmäßig mathematisch modellieren und Vorhersagen treffen. Gleichzeitig sind sich die Lernenden der begrenzten Gültigkeit der Modelle bewusst. Sie lernen, dass aus theoretischen Überlegungen Aussagen zu neuen Zusammenhängen und zur Vorhersagbarkeit von Ereignissen abgeleitet werden können.“ (KMK, 2020, S. 11)

Im Physikunterricht soll somit das Modell von den Lernenden zur Erkenntnisgewinnung genutzt werden. Dies bedeutet, die Möglichkeiten und Grenzen von bestimmten Modellen zu reflektieren, aber auch unter Nutzung von Mathematik selbst zu modellieren. In den Bildungsstandards im Fach Mathematik wird das mathematische Modellieren sogar als eigene Kompetenz gefasst. Hierzu heißt es:

„Die Kompetenz „Mathematisch modellieren“: Hier geht es um den Wechsel zwischen Realsituationen und mathematischen Begriffen, Resultaten oder Methoden. Hierzu gehört sowohl das Konstruieren passender mathematischer Modelle als auch das Verstehen oder Bewerten vorgegebener Modelle. Typische Teilschritte des Modellierens sind das Strukturieren und Vereinfachen gegebener Realsituationen, das Übersetzen realer Gegebenheiten in mathematische Modelle, das Interpretieren mathematischer Ergebnisse in Bezug auf Realsituationen und das Überprüfen von Ergebnissen im Hinblick auf Stimmigkeit und Angemessenheit bezogen auf die Realsituation. Das Spektrum reicht von Standardmodellen (z. B. bei linearen Zusammenhängen) bis zu komplexen Modellierungen.“ (KMK, 2015, S. 15)

Im Mathematikunterricht bezieht sich der Umgang mit Modellen somit insbesondere auf das selbstständige Aufstellen von Modellen durch Schüler*innen.¹ Dabei steht ein Wechsel zwischen Mathematik und Realsituation im Vordergrund, der auch durch die Nennung typischer Teilschritte des Modellierens betont wird. Bereits an dieser Stelle treten gewisse Differenzen beim Blick beider Fächer auf den Begriff des Modells zutage. So wird für den Physikunterricht eine konstruktive Rolle, im Sinne des Treffens von Vorhersagen vorgesehen, während im Mathematikunterricht der Begriff eher in einem rekonstruktiven Sinne (zur Beschreibung von Sachsituationen) verwendet wird.

Die zwei kurzen Beispiele zeigen die Bedeutsamkeit des Themenkomplexes Modelle und Modellieren im Kontext des Mathematik- und Physikunterrichts. Neben gewissen Überschneidungen ist aber auch zu erkennen, dass die Begriffe Modelle und Modellieren durchaus verschieden konnotiert werden. Es liegt keine einheitliche Definition für Modelle oder das Modellieren vor (siehe auch Krüger et al., 2018, S. 142), was auch auf den Facettenreichtum der Begriffe und der Sichtweisen zurückzuführen sein dürfte. Diese Sichtweisen auf die Begriffe des Modells und des Modellierens umfassen wissenschafts- und erkenntnistheoretische Perspektiven sowie auch die Perspektiven der Fachdidaktiken, die jeweils individuelle Ansätze zur Beschreibung und Abgrenzung der Begrifflichkeiten hervorbringen.

Dieser Beitrag beschäftigt sich damit, wie Mathematik- und Physiklehrer*innen in den beiden Fächern mit Modellen und dem Modellieren umgehen. Der Fokus liegt dabei auf den Funktionen von Modellen bzw. des Modellierens im Unterrichtskontext. Es werden Ergebnisse einer Interviewstudie vorgestellt, in welcher der folgenden Frage nachgegangen wird:

„Welche Beliefs haben Lehrer*innen der Fächer Mathematik und Physik über Funktionen von Modellen und Modellieren im Unterricht?“

Um die Darstellung der empirischen Studie zu rahmen und theoretisch einzubetten, wird im folgenden Abschnitt ein kurzer Überblick über theoretische Ansätze zu Eigenschaften und Funktionen von Modellen und Modellieren in der Mathematik und der Physik gegeben. Dabei liegt der Fokus, im Hinblick auf die in den Interviews erhobenen Sichtweisen von aktiven Lehrkräften, nicht nur auf der grundlegenden wissenschafts- oder erkenntnistheoretischen, sondern auch auf der schulpraktischen fachdidaktischen Perspektive.

2 Einführung in die Theorie

2.1 Eigenschaften von Modellen

Die Beschreibung und Charakterisierung des Modellbegriffs erfolgen in der Literatur meist durch die Aufstellung von generalisierten Eigenschaften bzw. Merkmalen, die unabhängig von konkreten Modellen sind. Dabei werden meist erkenntnistheoretische Ansätze zur Identifikation von Eigenschaften von Modellen angeführt, die aber auch aus einer fachdidaktischen Perspektive als relevant angesehen werden können (Tran et al., 2020, S. 260). Wesentliche Beiträge gehen hierbei auf Stachowiak (1973) zurück, der drei fundamentale Merkmale von Modellen identifizierte:

• 1. das Abbildungsmerkmal

• 2. das Verkürzungsmerkmal

• 3. das pragmatische Merkmal

Gemäß dem Abbildungsmerkmal sind Modelle stets Modell von etwas, d. h. sie sind nicht identisch mit dem Original, sondern bilden dieses natürliche oder künstliche Original ab, welches auch wiederum selbst ein Modell (beispielsweise im Falle der Kartendarstellung eines Wettermodells) sein kann. Dabei werden nicht alle Attribute des Originals im Modell umgesetzt, sondern nur solche, die dem Subjekt, welches das Modell erschafft, zweckmäßig erscheinen (Verkürzungsmerkmal).

Die Verkürzung ist dabei essenziell, da es sich ansonsten um eine Kopie des Originals und nicht um ein Modell desselben handeln würde. Dieser Aspekt, der auch mit dem Begriff der Idealisierung umschrieben werden kann, wird sowohl für den Unterricht in den Naturwissenschaften (Kuhn, 1977; Tran et al., 2020; Winkelmann, 2021) als auch für der Mathematikunterricht (Niss et al., 2007; Tran et al., 2020) als besonders bedeutsam eingeschätzt. Das Verkürzungsmerkmal von Modellen wird aus Sicht der Physik als notwendig für die Typisierung und die Mathematisierung der Naturphänomene erachtet (Kuhn, 1977). Für die Mathematik wird ebenso argumentiert, wenn hervorgehoben wird, dass die vielfältigen Ausgangssituationen auf die wichtigsten Fakten reduziert werden müssen (Tran et al., 2020, S. 294). Dagegen halten Lernende Modelle häufig für Kopien oder Replikate physischer Objekte (Oh & Oh, 2011), erkennen also die erfolgte Idealisierung nicht als solche.

Mit dem pragmatischen Merkmal ist gemeint, dass zwischen dem Original und dem Modell keine eindeutige, zeitlich und zweckunabhängige Zuordnung besteht. Das Modell erfüllt seine Funktion als Ersatz des Originals daher nur für bestimmte Subjekte, innerhalb bestimmter Zeitintervalle und unter „Einschränkung auf bestimmte gedankliche oder tatsächliche Operationen“ (Stachowiak, 1973, S. 133).

Für die Verwendung in schulischen Kontexten oder für didaktische Zwecke sind die Beziehungen zwischen dem Modell und seinem Nutzer bzw. Ersteller selbst relevanter als die oben genannten Merkmale des Modells (Tran et al., 2020, S. 261). Kircher (2015, S. 792–800) führt hierzu sechs Eigenschaften auf, die von Modellen erfüllt werden sollen, um sie in Lehr-Lern-Situationen einsetzen zu können:

• 1. Anschaulichkeit

• 2. Einfachheit

• 3. Transparenz

• 4. Vertrautheit

• 5. Produktivität

• 6. Bedeutsamkeit

Mit dem Begriff der Anschaulichkeit werden häufig gegenständliche Modelle verbunden, deren visuelle Wahrnehmbarkeit komplexe Begriffe leichter verständlich machen soll. Auch abstrakte Entitäten, wie physikalische oder mathematische Theorien, können anschaulich sein, wenn diese auf bereits gewohnte Begrifflichkeiten zurückgreifen. Hier wird deutlich, dass die Beziehung vom Subjekt zum Modell von entscheidender Bedeutung ist, da es sich bei der Einschätzung als „gewohnt“ eine höchst individuelle Beurteilung handelt. Nach einer anderen Sichtweise ist eine Struktur immer dann anschaulich, wenn sie „in eine mesokosmische Struktur transformiert werden kann“ (Vollmer, 1988 zitiert nach Kircher, 2015, S. 793), was sich auf die Vergrößerung bzw. Verkleinerung von Objekten und Strukturen aus Mikro- und Makrokosmos in für den Menschen erfassbare Größenbereiche bezieht, wie es z. B. häufig für astronomische Objekte und Strukturen geleistet wird.

Das Kriterium der Einfachheit kann als erfüllt angesehen werden, wenn ein Modell auf einer überschaubaren Anzahl an Begriffen und Relationen zwischen diesen basiert. Eine kleine Anzahl an Begriffen, in Verbindung mit einfachen mathematischen oder physikalischen Zusammenhängen, lässt als Ergebnis dann ein einfaches theoretisches Modell erwarten. Speziell aus physikalischer Sicht kann auch die Möglichkeit der empirischen Überprüfung durch eine möglichst direkte Messung einen Einfluss auf die empfundene Einfachheit haben. Für gegenständliche Modelle führt Kircher dazu auch explizit den Verzicht auf überflüssige Elemente und Eigenschaften sowie die Hervorhebung besonders relevanter Aspekte an (Kircher, 2015, S. 794–796).

Für das Kriterium der Transparenz eines Modells sind die Struktur der Begriffe, deren Relationen und der sich daraus ergebenden Repräsentation von Bedeutung. So erscheinen z. B. Blockdiagramme aufgrund ihrer reduzierten und klaren Darstellung als besonders geeignet, um zur Transparenz eines Modells beizutragen (Kircher, 2015, S. 796).

Während die Begriffe der Anschaulichkeit, Einfachheit und Transparenz miteinander verwoben sind und sich auch gegenseitig bedingen, so gilt dies für die Eigenschaft der Vertrautheit nicht. So muss ein Modell nicht zwingend als anschaulich angesehen werden, um als vertraut empfunden zu werden.² Voraussetzung für das Gefühl von Vertrautheit ist die Stabilität der kognitiven Struktur, sodass ein Modell bei wiederholter Nutzung wiedererkannt wird. Es ist zu vermuten, dass dabei auch affektive Aspekte eine Rolle spielen (Kircher, 2015, S. 797–798).

Die Eigenschaft der Produktivität lässt sich mit einem Blick in die Fachwissenschaft Physik erklären: Produktiv ist ein Modell dann, wenn auf seiner Basis möglichst viele Phänomene erklärbar sind. Besonders produktiv sind solche Modelle und Theorien, die für einen Paradigmenwechsel im Sinne T. Kuhns genutzt werden können und eine Neuinterpretation weiter Teile der Physik bedingen. Für den Unterricht wird angestrebt, Modelle wiederholt in Form einer spiralcurricularen Herangehensweise zu behandeln und diese dabei immer differenzierter und mittels komplexerer Darstellungen zu behandeln. Um dafür geeignet zu sein, müssen die Modelle wesentliche, in der Fachcommunity konsensual bestimmte, Grundzüge der Physik abbilden, wie es beispielsweise beim Teilchenmodell der Fall ist. Damit wird der langfristige Aufbau von stabilen Wissensstrukturen angestrebt (Kircher, 2015, S. 798–799).

Die Empfindung von Bedeutsamkeit jeglicher Informationen wird als zentral für sämtliche Lernprozesse angesehen. Ein solches Gefühl, welches naturgemäß abhängig von den Interessen und Einstellungen des Subjekts ist, zu erzeugen, ist damit eine Forderung, die an ein jegliches Modell in einem Bildungskontext zu stellen ist (Kircher, 2015, S. 799–800).

Die beschriebenen Eigenschaften von Modellen bilden die Grundlage für unterschiedliche Funktionen, welche ein Modell bzw. das Modellieren in verschiedenen Kontexten (z. B. dem Unterricht) übernehmen kann. In den folgenden theoretischen Ausführungen zeigt sich, dass die Diskussionen zu Funktionen von Modellen insbesondere in den Naturwissenschaftsdidaktiken geführt werden, während die Literatur zu Funktionen des Modellierens mathematikdidaktisch geprägt ist.

2.2 Funktionen von Modellen

Kuhn (1977) sieht in Modellen ein „wesentliches methodisches Hilfsmittel bei der Erfindung, Weiterentwicklung und Anwendung physikalischer Theorie“ (S. 39). Auf Basis dieser Vorstellung ergeben sich für Kuhn vier erkenntnistheoretische Funktionen von Modellen:

• 1. Idealisierungen im Grundbereich

• 2. Veranschaulichungen einer Theorie

• 3. Näherungen und Idealisierungen des mathematischen Konzepts

• 4. Analogien zur Auffindung von Zuordnungsregeln bei der Verknüpfung von Grundbereich und mathematischer Theorie

Die Idealisierungen im Grundbereich sind einerseits notwendig, um die Naturphänomene in ihrer Komplexität überhaupt für einen mathematischen Zugriff zu erschließen. Andererseits betont Kuhn, dass diese Idealisierungen einer Art Intuition entspringen, die auch kreative Aspekte umfasst.³ Gleichzeitig soll durch die Idealisierung die Voraussetzung dafür geschaffen werden, mit dem Modell einen möglichst großen Phänomenbereich abdecken zu können, wie es z. B. mit dem Strahlenmodell des Lichts gelingt. Es zeigen sich hier sehr deutliche Parallelen zum Begriff der Produktivität nach Kircher. Das wahrscheinlich bekannteste Beispiel für eine notwendige Idealisierung findet sich bei Galileo Galilei (1564–1642): seine mathematische Untersuchung der Fallgesetze war nur möglich, indem er eine Idealisierung in Form des freien Falls – d. h. ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands – vornahm (Kuhn, 1977, S. 40; Militschenko & Kraus, 2017). Diese prototypische mathematisierende Idealisierung wird als Geburtsstunde der experimentellen Methode angesehen, die für die Physik, als eine moderne Naturwissenschaft, essenziell für ihren Prozess der Erkenntnisgewinnung ist. Weitere bekannte und auch in schulischen Kontexten verbreitete Idealisierungen sind das Modell des Massenpunktes, das der Punktladung, das Wellen-Modell des Lichts oder das Modell des harmonischen Oszillators.

Veranschaulichungen zentraler Aspekte physikalischer Theorien finden sich in der gesamten Geschichte der Physik und der noch älteren Astronomie und Kosmologie (Schwarz, 2022). Die ältesten gegenständlichen Modelle und grafischengraphischen Darstellungen veranschaulichen dabei die Planetenbewegung. Dazu zählt beispielsweise auch Keplers Modell des Aufbaus des Sonnensystems, welches dieser durch die ineinander geschachtelten platonischen Körper darstellte. Hier zeigt sich eindrücklich, dass eine zeitgenössische Veranschaulichung nicht notwendigerweise mit den modernen Vorstellungen des Gegenstands in Übereinstimmung zu bringen sein muss. Auch ein modernes Orrery oder Tellurium, zur Darstellung der Planetenbewegung bzw. der Bewegungsabläufe von Erde und Mond in Bezug zur Sonne, erfüllen eine solche Veranschaulichungsfunktion. Weitere verbreitete Modelle mit dieser Funktion sind Orbitalmodelle zur Darstellung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit von Elektronen oder Kristallgittermodelle. Neben gegenständlichen Modellen lassen sich auch gedankliche Konstrukte als Veranschaulichungen auffassen, wie es etwa beim Bohrschen Atommodell der Fall ist. Hier werden die beobachteten Linienspektren mit der theoretischen Annahme einer Emission bestimmter Frequenzen beim spontanen Übergang zwischen atomaren Energieniveaus erklärt. Die Veranschaulichung erfolgt dann durch das mechanische Bild fester Kreisbahnen, zwischen denen die Elektronen wechseln (Kuhn, 1977).

Für den physikalischen Erkenntnisprozess (siehe z. B. Dilling, 2022; Dilling et al., 2020) spielen Modelle insbesondere auch als Analogien zum Auffinden von Zuordnungsregeln und von Hypothesen eine Rolle. Der Begriff der Analogie selbst kann unter Rückgriff auf Maxwell verstanden werden (Kuhn, 1977, S. 45):

„Maxwell hat bereits das Wesen der Analogie treffend als „teilweise Ähnlichkeit“ zwischen zwei verschiedenen Erscheinungsgebieten gekennzeichnet, welche bewirke, dass diese sich gegenseitig illustrieren. Methodisch kann man sie daher als die Schlussweise vom Besonderen auf Besonderes bezeichnen.“

Solche Analogien können dabei wiederum gegenständlicher Natur (oder allgemeiner: materieller Natur, da auch das materielle Phänomen selbst Ausgangspunkt der Analogiebildung sein kann) oder durch eine strukturelle Analogie miteinander verbunden sein. Eines der wahrscheinlich bekanntesten Beispiele für eine materielle Analogie geht wiederum auf Galilei zurück, bei dem das System des Jupiters mit seinen Monden ein weiterer Hinweis für die Richtigkeit des heliozentrischen Weltbilds war. Ein weiteres Beispiel für eine materielle Analogie ist die von Otto von Guericke zur Illustration der Gravitation verwendete Schwefelkugel. Mittels darauf aufgebrachter elektrischer Ladungen konnte er damit die anziehende Wirkung des Erdkörpers darstellen. Hier zeigt sich bereits der Übergang zu einer strukturellen Analogie, wie sie auch heute häufig zwischen dem Coulomb- und dem Gravitationsgesetz hergestellt wird:

$$ {F}_C=\frac{1}{4\pi {\epsilon}_0}\frac{q_1{q}_2}{r^2} $$

$$ {F}_G=G\frac{m_1{m}_2}{r^2} $$

Bei der sehr deutlichen Ähnlichkeit in der Struktur beider Gesetze darf jedoch nicht vergessen werden, dass hierbei der entscheidende Unterschied verborgen bleibt. So können die elektrischen Ladungen q_i sowohl anziehend als auch abstoßend wirken, während die Massen m_i auf eine rein anziehende Wirkung beschränkt sind. Analogien, bei denen rein formal ähnliche Strukturen auftauchen, die jedoch vom zugrundeliegenden Sachverhalt unabhängig sind, werden als leere Analogien bezeichnet (Kuhn, 1977).

Zusätzlich zu den erkenntnistheoretisch ausgerichteten Funktionen bei Kuhn, heben Oh und Oh die Rolle des Modells als Hilfsmittel in der wissenschaftlichen und außerwissenschaftlichen Kommunikation hervor (Oh & Oh, 2011, S. 1115). Hier zeigen sich wiederum enge Bezüge zur Veranschaulichungsfunktion, jedoch ggf. für eine andere Zielgruppe und mit einer entsprechend angepassten Ausgestaltung.

Kircher (2015) hat bei seinen Ausführungen zu Modellen den Physikunterricht und weniger die Physik als Wissenschaft im Blick. Vor diesem Hintergrund unterscheidet er drei weitere Funktionen von Modellen:

• 1. Erklärung durch Modelle

• 2. Prognosen durch Modelle

• 3. Lernen durch Modelle

Die Erklärung durch Modelle bezieht sich bei Kircher auf die Beantwortung von Wie-Fragen. Als Beispiel nennt er die Frage: „Wie fällt der Stein zur Erde?“. Die Antwort: $s=\frac{1}{2}\ g{t}^2$ genüge nicht – man brauche eine Erklärung in Form eines physikalischen Modells, in diesem Fall ein Modell über Gravitation. Erklärungen seien keine lokalen Eigenschaften einzelner physikalischer Argumente, sondern müssen sich auf einen größeren Kontext beziehen. Auch spezielle Erklärungen sollen im Unterricht daher vor dem Hintergrund physikalischer Modellvorstellungen geschehen. Das Ziel einer Erklärung sei stets, dass die Adressat*innen – im Fall von Physikunterricht die Schüler*innen – die Erläuterungen auch verstehen (können).

Die Funktion von Prognosen durch Modelle bezieht sich auf die Anwendung naturwissenschaftlicher Gesetze zur Vorhersage eines Ereignisses in der Zukunft. Der Physikunterricht bezieht sich laut Kircher insbesondere auf die Beschreibung von Phänomenen, die Vorhersage stehe meist weniger im Vordergrund.⁴

Als letzte Funktion nennt Kircher das Lernen durch Modelle. Dies bezieht sich auf die „lernökonomische Funktion von Modellen […] als Medien“ (S. 803). Es wird davon ausgegangen, dass Modelle durch ihre zusammenfassende Art und die häufig grafische oder gegenständliche Darstellung zu adäquaten Vorstellungsbildern führen können (die Parallelen zum eher in der Mathematikdidaktik verbreiteten E-I-S-Prinzip nach Bruner sind hier offensichtlich). Zudem betont Kircher, dass der Modellbegriff im Unterricht auch explizit thematisiert werden sollte, damit Schüler*innen ein angemessenes Verständnis erlangen und Modelle besser anwenden können.

Abschließend sei in diesem Abschnitt noch angemerkt, dass der Begriff des Modells in der Mathematik als Wissenschaft noch eine andere Bedeutung hat als zuvor dargestellt. In der mathematischen Logik bzw. in formalistischen mathematischen Theorien sind Modelle Tupel aus Mengen und Relationen, auf welche die Axiome eines Axiomensystems zutreffen. Ein Beispiel für ein solches Modell ist das Laplace-Modell für die Axiome von Kolmogorow in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Dabei hat das Modell die Funktion, die sich zunächst einmal auf Systeme beziehende fachmathematische Theorie anwendbar zu machen. Diese insbesondere in der Fachwissenschaft Mathematik relevante Form von Modellen spielt in diesem Artikel eine untergeordnete Rolle, da sie in den Interviews von den Lehrkräften nicht genannt wird.

2.3 Funktionen des Modellierens

Im Hinblick auf den Umgang mit Modellen im Physikunterricht, unterscheidet Schlichting (1977) zwischen der reproduktiven Modellanwendung und der konstruktiven Modellfindung. Während die Modellanwendung die gegebenen Idealisierungen im Grundbereich und der mathematischen Theorie zur weiteren Verwendung aufgreift und Veranschaulichungen nutzt, stellt die konstruktive Modellfindung den Prozess der Erschaffung eines eigenen Modells in den Vordergrund.

Der Prozess der konstruktiven Modellfindung wird hier in einem didaktischen Sinne gebraucht, d. h. er bezieht sich nicht auf die Generierung völlig neuen wissenschaftlichen Wissens, sondern simuliert das wissenschaftliche Vorgehen. Der Ansatz zielt damit auf einen Einblick in die Wissensgenese, der sich sonst überwiegend nur über wissenschaftshistorische Ansätze verwirklichen lässt (Schlichting, 1977). Dazu erlaubt er, kreative Elemente in den Unterricht einzubeziehen, da diese für die erfolgreiche Modellierung unabdingbar sind. Umsetzen lassen sich solche konstruktiven Modellfindungen, bei denen der Prozess explizit als solcher benannt und reflektiert wird, beispielsweise durch Black-Box-Experimente. Bei diesen werden meist versteckte optische oder elektrische Bauteile so in einem geschlossenen Behältnis angeordnet, dass mit diesen zwar von außen interagiert werden kann, der innere Aufbau jedoch nur indirekt zu erschließen ist.

Nach Oh und Oh (2011) erfüllen wissenschaftliche Modelle den Zweck, bestimmte Aspekte der Natur zu beschreiben, erklären und dazu Vorhersagen zu treffen:

„Here, a description refers to a statement of how things exist or behave, while an explanation means an account of why things exist or behave in one way or another. In other words, descriptions are answers to the ontological question of what exists, whereas explanations are answers to the causal question of why things happen.“

Für die spezielle Unterrichtssituation erfüllen die Modelle zu diesen Black-Box-Experimenten solche Beschreibungs-, Erklärungs- und Vorhersagefunktionen und stellen so selbst ein Modell des wissenschaftlichen Erkenntnisprozesses dar.

Generell ist das Modellieren in der Physik – gleichermaßen als Wissenschaft und als Schulfach – ausgerichtet auf die Identifikation relevanter Elemente und ihrer Kontexte und das Auffinden damit zusammenhängender physikalischer Größen und Gesetze zur Beschreibung und Erklärung des Phänomens. Eine solche Zielsetzung kann auch die mathematische Modellierung eines Phänomens umfassen, setzt diese jedoch nicht zwingend voraus (Tran et al., 2020, S. 270 f.; Neumann et al., 2011). Der Kern des Modellierens liegt damit eher auf einer konzeptionellen als auf einer quantitativen Beschreibung. Der Grund dafür ist wiederum durch die Funktion des Modellierens im Physikunterricht begründet, welche umschrieben werden kann durch: „Modeling models the scientific method“ (Tran et al., 2020, S. 271). Dafür sind quantitative Vorhersagen ein optionaler und weit fortgeschrittener Aspekt des Prozesses.

Aus der Sicht der Mathematikdidaktik ist der Zweck des Modellierens als didaktische Kategorie die Anwendung der Mathematik auf die reale Welt (Tran et al., 2020, S. 275 ff.). Die Forderung nach einer solchen Einbeziehung außermathematischer Problemstellungen geht auf Heinrich Winter zurück, der dies in seinen Grunderfahrungen als eine Zielsetzung für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht forderte (Winter, 1995). Die Einbindung solcher Anwendungen in den Unterricht wird dabei zwar als bedeutsames Ziel angesehen, zugleich wird jedoch auf die Schwierigkeiten bei der Integration solcher Anwendungen in den Unterricht hingewiesen (Pollak, 1985).

Für Pollak war zunächst zu klären, was überhaupt unter angewandter Mathematik zu verstehen ist. Er schuf im Rahmen seiner Begriffsdefinition einen Vorläufer der heute verbreiteten Modellierungskreisläufe (siehe u. a. Blum & Leiß, 2005; Schupp, 1988), um die Wechselwirkungen zwischen der realen Welt und der angewandten Mathematik zu beschreiben. Während einfachere Kreisläufe mit wenigen Schritten noch als möglicher Ablaufplan für Lernende zur Verfügung gestellt werden können, haben komplexere Modellierungskreisläufe eine eher diagnostische Funktion (Tran et al., 2020, S. 279–283). Dabei zeigt sich schnell, dass der Prozess des Modellierens von Lernenden keineswegs in Form des idealisierten Kreislaufs stringent durchlaufen wird, sondern sich vielmehr sprunghafte Wechsel zwischen nicht benachbarten Schritten ereignen (Borromeo Ferri, 2015, S. 68–71). Ein solcher Kreislauf ist demnach als eine Visualisierung zu verstehen, die aufzeigt, welche Schritte ein Individuum sinnvollerweise bei der Modellierung gehen könnte. Es ist jedoch nicht möglich, auf dieser Basis eine Vorhersage über die tatsächliche Schrittfolge zu treffen (Tran et al., 2020, S. 283). Das Ergebnis einer mathematischen Modellierung kann ein mathematisches Modell sein, welches sich dann auf andere, vergleichbar gelagerte Anwendungen übertragen lässt. In den meisten Fällen besteht das Ergebnis jedoch lediglich aus einer Zahl, die wiederum mit einer Einheit versehen auf die Realsituation zurück bezogen und mit dieser abgeglichen wird (Tran et al., 2020, S. 292).

Hier zeigt sich ein Unterschied im Umgang mit Modellen und dem Modellieren zwischen den Naturwissenschaften und der Mathematik: Während in den Naturwissenschaften das Modell selbst von entscheidender Bedeutung ist, liegt der Schwerpunkt in der Mathematik auf dem Prozess des Modellierens. Das mathematische Modell, als das Resultat eines Modellierungsvorgangs, ist in der Regel nur von untergeordneter Bedeutung. Im Mathematikunterricht findet dazu, im Gegensatz zum naturwissenschaftlichen Unterricht, mit dem Modellieren in der Regel keine Simulation des Prozesses der Wissensgenese statt.

3 Empirische Studie zu Beliefs über Funktionen von Modellen und Modellieren

3.1 Methodik und Rahmenbedingungen

An den vorherigen theoretischen Ausführungen ist zu erkennen, dass es sich bei Modellen und beim Modellieren um zentrale Begriffe und Herangehensweisen der Fächer Mathematik und Physik handelt. Das Ziel dieses Beitrages ist die empirische Untersuchung der Beliefs von Lehrer*innen der Fächer Mathematik und Physik gegenüber diesem Themenkomplex. Im Fokus dieses Beitrags steht die folgende Forschungsfrage:

Welche Beliefs haben Lehrer*innen der Fächer Mathematik und Physik über Funktionen von Modellen und Modellieren im Unterricht?

Beliefs sollen in diesem Zusammenhang in Anlehnung an Pehkonen und Pietilä (2004) wie folgt verstanden werden:

„An individual’s beliefs are understood as his subjective, experience-based, often implicit knowledge and emotions on some matter or state of art. […] Beliefs represent some kind of tacit knowledge. Every individual has his own tacit knowledge which is connected with learning and teaching situations, but which rarely will be made public.“ (Pehkonen & Pietilä, 2004, S. 2)

Um die Beliefs über Funktionen von Modellen und Modellieren im Unterricht erheben zu können, wurden halbstandardisierte Leitfadeninterviews mit vier Lehrer*innen geführt, die sowohl das Fach Mathematik als auch das Fach Physik unterrichten (ein Gymnasiallehrer, ein Hauptschullehrer, ein Gesamtschullehrer und eine Gesamtschullehrerin). Interviewer waren die Autoren dieses Beitrags, welche jeweils die mathematik- bzw. physikdidaktische Perspektive repräsentieren konnten. Neben Funktionen von Modellen wurden in den Interviews auch andere Themen angesprochen, wie Eigenschaften von Modellen, Formen von Modellen oder Modell vs. Modellieren. In diesem Beitrag wird der Fokus allerdings auf die Funktionen von Modellen gelegt. Das Interview war in drei Teile strukturiert. Im ersten Teil wurden die Erfahrungen und Überzeugungen in Bezug auf den Physikunterricht erfragt. Die Leitfragen lauteten wie folgt:

• 1. Nennen Sie ein Modell, welches Sie im Physikunterricht diskutieren und erklären Sie, was Sie damit machen.

• 2. Welche Funktionen haben Modelle im Physikunterricht? (evtl. Wissen vermitteln oder Grundlage für Theoriebildung)

• 3. Was genau ist das Modell? (z. B. Zeichnung, Gegenstand, Gleichung, abstrakte Idee)

• 4. Was sind Eigenschaften von Modellen?

• 5. Inwiefern wird den Schülern explizit erklärt, was ein Modell ist/wie ein Modell erstellt wird?

• 6. Erstellen die Schüler auch selbst Modelle? Wenn ja, wie läuft der Prozess ab?

• 7. Warum sollten Modell im Physikunterricht betrachtet werden?/Warum sollte man im Physikunterricht modellieren?

Im zweiten Teil des Interviews wurden analoge Fragen bezogen auf den Mathematikunterricht gestellt. Der dritte Interviewteil bestand aus einer Zusammenführung der Einschätzungen der beiden Fächer und einer Zusammenfassung.

Die Interviews wurden videographiert und im Anschluss an die Erhebung transkribiert. Auf der Grundlage der Transkripte wurde dann eine strukturierende qualitative Inhaltsanalyse nach Mayring (2010) durchgeführt, um eine systematische Darstellung der Ergebnisse zu gewährleisten. Die strukturierende Inhaltsanalyse erfolgt im Wesentlichen in vier Schritten. Zunächst wird das zu analysierende Material, in diesem Fall die Interviewtranskripte, detailliert beschrieben und es wird eine Analyseeinheit festgelegt. Hierbei handelt es sich im vorliegenden Fall um jede sinnvolle Texteinheit. Im zweiten Schritt werden die relevanten Textteile in einer auf den Inhalt beschränkten Form zusammengefasst (Paraphrasierung). Die Paraphrasen werden dann auf einer definierten Abstraktionsebene auch mit Bezug zum Theoriehintergrund generalisiert. Die Anzahl der verallgemeinerten Aussagen wird dann mehrfach reduziert, indem der Abstraktionsgrad erhöht und gleichbedeutende Aussagen entfernt werden. Im dritten Schritt werden die Aussagen in einem Kategoriensystem zusammengefasst, das im vierten Schritt anhand des Materials überprüft wird.

Im folgenden Abschnitt werden sieben Kategorien vorgestellt, welche induktiv auf der Grundlage des Datenmaterials gebildet wurden und sich auf Funktionen von Modellen beziehen. Die Kategorien werden jeweils an verschiedenen Transkriptausschnitten (Ankerbeispiele) diskutiert.

3.2 Darstellung der Ergebnisse

Kategorie 1: Didaktische Funktion von Modellen

Die hier als didaktische Funktion von Modellen bezeichnete Kategorie lässt sich an vielen Stellen in allen geführten Interviews identifizieren. Die didaktische Funktion bezieht sich auf Modelle als Arbeits-, Anschauungs- und Hilfsmittel für Schüler*innen, an dem wichtige Aspekte eines Sachverhaltes erklärt werden. Beispielsweise berichtet eine interviewte Lehrperson das Folgende (aus dem Interviewabschnitt zum Physikunterricht):

„L1: Ja einfach, dass die Schüler das, ähm, vielleicht greifbarer haben, das was Schwieriges, was für sie vermeintlich schwierig ist, ähm, dann eben viel besser verstehen können. Wie zum Beispiel mit ähm, Licht und Schatten Erde Mond, Sonne. Da hatte ich nämlich damals immer das Gefühl, ähm, das sie das dann wirklich besser verstanden haben.“

Der Lehrperson scheint es beim Einsatz von Modellen somit darum zu gehen, einen komplexen Sachverhalt verständlich darzustellen. Er verwendet in diesem Zusammenhang auch den Begriff „greifbarer“ und bezieht sich vermutlich auf den anschaulichen Charakter von Modellen. Diesen Aspekt betont auch eine andere Lehrperson (Abschnitt zum Physikunterricht):

„L3: Mhm, ähm, also ganz zwingend als aller erstes die Anschaulichkeit, ne, für mich wichtig. Wenn ich Modelle heranziehe, zum Beispiel das Bohrsche Atommodell, dann einfach nur so, das, ja, ’ne erste veranschaulichende Hilfsvorstellung sein, ja und dann später zu Grenzen und was da drinnen genau passiert, aber auch für den Stromkreis gilt das gleiche, ne, das aus diesem abstrakten Raum so ein bisschen rauszuziehen und, ähm, wie kann man sich das vorstellen.“

Das Modell sei eine „erste veranschaulichende Hilfsvorstellung“, um den Sachverhalt „aus diesem abstrakten Raum so ein bisschen rauszuziehen“. Dies sei der wesentliche Grund, warum die Lehrperson Modelle im Unterricht nutzt. Es sei dann auch entscheidend, die Grenzen dieser „Hilfsvorstellung“ zu reflektieren.

Während in den zwei Transkriptausschnitten physikalische Beispiele auftauchen (Licht und Schatten bei Erde, Mond und Sonne; Bohrsches Atommodell), werden an anderer Stelle auch Beispiele aus der Mathematik genannt, wie das Folgende (Abschnitt zum Mathematikunterricht):

„L3: Ist, ähm, wir sind gerade bei Gleichungen zum Beispiel oder, oder Brüche. Sind das schon Modelle? Sind ja einfach Rechenregeln, ne. Also, bei Gleichungen die Einführung habe ich gerade, da arbeite ich viel mit der Waage, das ist ja auch ein Modell, das wir dann heranziehen, um das ganze Prinzip. Ja, doch. Ich würde behaupten, dass das ein Modell ist, mit dem wir arbeiten, ja. Ähm, ja, um ja, um das zu veranschaulichen, worum es eigentlich geht, auch bildlich dann, zu unterstützen, und diesen, diesen Grundgedanken irgendwie rüberzubringen, weil ich glaube das ist so elementar für die weitere Schullaufbahn und das ist so, das machen wir sehr ausführlich, ja, das man ähm, immer die Waage deswegen, also den Sinn der Gleichung quasi, also das Konzept Gleichung, das wollen wir dann grad’ ein bisschen besser darstellen.“

Das Beispiel für ein Modell aus dem Mathematikunterricht ist das Waagenmodell im Kontext von Gleichungen. Dieses veranschauliche „worum es eigentlich geht“ – „das Konzept der Gleichung“ – und stelle dieses besser dar.

Eine weitere Lehrkraft betont schließlich auch den Charakter eines Modells als Unterrichtsmedium (Abschnitt zum Physikunterricht):

„L4: Ja okay, ja gut, das ist natürlich dann ein Mittel, um den Inhalt auch zu transportieren letzten Endes. Ähm, also ein Werkzeug, sagen wir mal, so gesehen, um das für die Schülerinnen und Schüler greifbar zu machen.“

Das Modell transportiere den Inhalt und fungiert damit als Mittler zwischen den Schüler*innen und den im Unterricht betrachteten Phänomenen bzw. behandelten (mathematischen und physikalischen) Theorien.

Kategorie 2: Erkenntnistheoretische Funktion von Modellen

Eine zweite in den Interviews identifizierte Kategorie befasst sich mit der erkenntnistheoretischen Funktion von Modellen. Diese bezieht sich darauf, dass Modelle die Grundlage für die (Weiter-)Entwicklung von Theorien darstellen, welche sich auf die Empirie beziehen (z. B. physikalische Theorien). Eine Lehrperson macht diese Sichtweise auf Modelle besonders deutlich (Abschnitt zum Physikunterricht):

„L2: […] sondern da gehts jetzt eher darum tatsächlich diese Atommodelle die da irgendwie existieren oder mal aufgestellt wurden auch als Modelle zu begreifen, also zu sagen die helfen mir Sachen aus der Wirklichkeit zu beschreiben bis zu einem bestimmten Punkt, wo ich merke dieses Modell trifft an Grenzen, da muss ich dieses Modell weiterentwickeln, ich muss das verändern […]“

Bekannte Modelle aus der Physik (z. B. Atommodelle) sollen von den Schüler*innen genutzt und als Modelle verstanden werden. Die Schüler*innen sollen verstehen, dass Modelle helfen „Sachen aus der Wirklichkeit zu beschreiben bis zu einem bestimmten Punkt“. Die Lehrperson betont auch den prozesshaften Charakter physikalischer Erkenntnis, in der Modelle weiterentwickelt werden.

Der Wert von Modellen liege in der durch diese entstehende mathematische Beschreibungsdimension (Abschnitt zum Mathematikunterricht):

„L2: […] weil ich dann sozusagen in bestimmten Bereich verlagern kann, wo ich dann Hilfsmittel habe, die mir helfen das Problem zu lösen. […] Das heißt hab ich … reduziere das soweit, dass ich da Dinge anwenden kann, die ich in der Mathematik, sozusagen nutzen kann.“

Es werden nach Ansicht der Lehrperson Eigenschaften des zu beschreibenden Phänomens herausgegriffen – es wird reduziert – damit eine Anwendung der Mathematik als „Hilfsmittel“ möglich wird.

Kategorie 3: Zusammenhang von didaktischer und erkenntnistheoretischer Funktion

Eine Lehrperson befasst sich auch mit dem Zusammenhang der didaktischen und der erkenntnistheoretischen Funktion von Modellen, was die dritte Kategorie in der Analyse darstellt (Abschnitt zum Physikunterricht):

„L2: Also, also ganz grob sagen *klatscht mit den Händen auf den Tisch*, bessere Lernvoraussetzung schaffen! So! Das wäre jetzt so, wenn ich das jetzt unter einen großen Deckel packen würde. Nuh, dann wäre das für mich, oder … generell liefert mir ein Modell erstmal eine Beschreibungsmöglichkeit, das kann ich, wenn ich das auf den Schulkontext beziehe, helfen ’ne bessere Lernmöglichkeit zu schaffen. Ja.“

Modelle ermöglichen zunächst einmal die Beschreibung eines Phänomens (erkenntnistheoretische Funktion). Dies würde im Unterricht dann auch eine bessere Lernmöglichkeit eröffnen.

Kategorie 4: Problemlösende Funktion von Modellen

Eine weitere Funktion von Modellen, die sich aus verschiedenen Interviews rekonstruieren lässt, behandelt die Lösung von konkreten Problemen mit Hilfe von Modellen und bildet die vierte Kategorie. Die problemlösende Funktion tritt insbesondere beim Modellieren im Unterricht auf, wie an den folgenden Ausführungen zu einer bekannten Modellierungsaufgabe aus der Mathematik (Volumen eines Heißluftballons) zu erkennen ist:

„L2: Beim Heißluftballon, wenn ich das Beispiel rausnehme, ist erstmal ’ne Hilfe zur Lösungsfindung, ist da auch genauso auch wieder, ähm, wie in der Physik ’ne Möglichkeit, eine Reduktion darzustellen, die mir hilft, das irgendwie in einen Bereich zu überführen, wo ich zum Beispiel dann meine mathematischen Kenntnisse einsetzen kann, (unv.) auf’s wesentliche zu reduzieren. Ähm, kann aber dann vielleicht auch je nach dem was genau man da als Modell definiert, wenn ich bei der (unv.) Schachtel jetzt wieder bin, kann das auch eine Möglichkeit sein mir Zugänge zu eröffnen. Vielleicht so eine erste Hilfestellung zu sein, auch zur Problemlösung. Also nicht direkt ein Hilfsmittel dafür, sondern ist vielleicht auch, ähm, ja, Ideentreiber ist ein schlechtes Wort, aber es fällt mir gerade am besten ein, also.“

Das Modell stellt ein heuristisches Hilfsmittel bei realitätsbezogenen offenen Anwendungsaufgaben dar (z. B. Volumen eines Heißluftballons, optimale Süßigkeitenschachtel):

„L3: Mhm, ja, wahrscheinlich auch wegen des Aspekts, den ich gerade genannt habe, dass es einfach, ähm, ja, was, was Schüleraktivierendes ist, ne, also Schüler wirklich überlegen dann selbst ganz konkret mit, vielleicht Regeln, die man vorher erlernt hat und dann geht’s dann mehr oder weniger an die Anwendung, okay, wie löse ich jetzt dieses Problem? Ne, Problemlösen ist da ja auch, ähm, der Ausgangspunkt eigentlich. Ich habe irgendeine Problemsituation und okay, wie gehe ich das an?“

Die Schüler*innen können aktiv ihr bekanntes Wissen nutzen, ein Modell aufstellen und auf diese Weise eine Lösung oder einen Lösungsansatz für eine Aufgabe Problemlöseaufgabe im Sachkontext entwickeln.

Kategorie 5: Zusammenhang von erkenntnistheoretischer und problemlösender Funktion

In Kategorie 5 wird der Zusammenhang zwischen der erkenntnistheoretischen und der problemlösenden Funktion beschrieben. Eine Lehrperson erklärt die Gemeinsamkeiten und Unterschiede folgendermaßen (Abschnitt zum Mathematikunterricht):

„L2: ja, also, ich würde vielleicht in der Hinsicht sagen, ähm, vielleicht liegt der Schwerpunkt da ein bisschen wo anders, also ich würde aus dem Bauch raus sagen, dass ich, das vielleicht die Funktion Richtung Erkenntnisgewinn … in der Physik vielleicht einen etwas größeren Stellenanteil hat, als das ich das in der Mathematik habe und in der Mathematik benutzte ich das Modell eher, zur, ich, ich bin jetzt gerade bei Problemlösung oder sowas, aber da müsste ich jetzt für mich nochmal klarmachen, wo setzt ich überhaupt den Unterschied zwischen Erkenntnisgewinn und Problemlösung? Weil ich kann ja natürlich auch, also wenn ich Probleme löse, habe ich auch eine Erkenntnis gewonnen und vielleicht für den konkreten Fall, der kann aber natürlich auch, diese Erkenntnis kann auch Aussagekräftiger sein, als nur für diesen Fall, den ich da gerade gelöst habe.“

Die Lehrperson verortet die erkenntnistheoretische Funktion eher im Physikunterricht, während die problemlösende Funktion im Mathematikunterricht auftauche. Die Lehrperson drückt aus, dass sie Gemeinsamkeiten zwischen beiden Sichtweisen sieht, allerdings liege „der Schwerpunkt ein bisschen wo anders“. Bei der erkenntnistheoretischen Funktion, wenngleich die Lehrperson dies nur indirekt ausdrückt, wird ein größerer Kontext betrachtet – es geht um den Aufbau und die Weiterentwicklung einer ganzen Theorie, die sich auf verschiedene Anwendungsfälle übertragen lässt. Die Problemlösende Funktion bezieht sich wiederum zunächst auf einen „konkreten Fall“.

Kategorie 6: Zusammenhang von didaktischer und problemlösender Funktion

Eine der interviewten Lehrpersonen reflektiert auch den Zusammenhang zwischen der Nutzung von Modellen zur Erklärung von physikalischen Sachverhalten (didaktische Funktion) und dem Modellieren (problemlösende Funktion). Diese Aussage bildet die sechste Kategorie (Abschnitt zum Mathematikunterricht):

„L3: Ja, das ist für mich irgendwie, ähm, noch nicht zusammenhängend. Wenn ich an Modelle denke, denke ich halt an die konkreten Modelle, die ich eben benannt habe, aus der Physik oder so, oder mit der Waage, ja, aber wenn ich an das Modellieren denke, dann ist das so völlig losgelöst von irgendwelchen bereits existierenden Modellen, wenn ich die Aufgabe stellen würde, was weiß ich, wie viel Wasser würde in diesen Raum hier reinpassen oder, dann ja, würde ich mal behaupten sind die Lösungswege sehr unterschiedlich, die die Schüler vielleicht wählen würden. Ob die jetzt Modelle heranziehen oder nicht, ja, dass, das würde sich dann zeigen, wenn wir die Lösungsstrategien besprechen würden und so, aber auch da gibt’s bestimmt auch wieder verschiedene Modelle, die man sich hier jetzt von den Volumen, ähm, dieses Quaders hier vorstellen würde. Ja, aber das ist dann, für mich irgendwie was anderes, also ich habe eben, find ich, sehr viel von Modellen gesprochen, die einfach schon da sind, die wir uns heranziehen, um irgendwas besser erklären zu können, aber das Modellieren an sich, ist ja der Prozess in die andere Richtung so mehr oder weniger, ne.“

Die Lehrperson erklärt, dass bei der didaktischen Funktion bereits etablierte Modelle zur Erklärung genutzt werden. Das Modellieren (problemlösende Funktion) sei dagegen der „Prozess in die andere Richtung“, bei dem die Schüler*innen selbst aktiv sind und offene Anwendungsaufgaben durch Aufstellen von einfachen Modellen (z. B. Volumen eines Quaders zur Berechnung des Volumens des Wassers, welches in ein Zimmer passt) lösen. Dies sei für die Person „noch nicht zusammenhängend“ – er spricht sogar davon, dass das Modellieren „völlig losgelöst von irgendwelchen bereits existierenden Modellen“ sei.

Kategorie 7: Fachkulturelle Funktion von Modellen

Eine letzte Funktion von Modellen, die eher auf einer Metaebene Teil des Unterrichts ist, lässt sich als fachkulturelle Funktion von Modellen beschreiben. Für den Physikunterricht erklärt eine Lehrperson das Folgende:

„L2: Ähm, wenn ich jetzt in dem Bereich denke und außerdem, wenn ich jetzt das Experiment als zentrale, als zentrales Experiment im Physikunterricht sehe oder in der Physik, dann komme ich gar nicht da drum rum, ähm, wenn ich jetzt über eine phänomenologische Beschreibung hinaus möchte, irgendwie, ähm, modellhaft zu arbeiten oder mir automatisch ein Modell zu erschaffen dazu. Oder ob es jetzt was Gegenständliches ist, oder ist mal nur ein Modell, was ich erstmal nur im ersten Schritt oder vielleicht auch über den kompletten Prozess in meinem Kopf habe, ähm, ist das glaube ich, dem physikalischen Erkenntnisprozess, wenn ich den jetzt so nennen möchte, einfach immanent, also … Ich, ich finde die Frage stellt sich nicht *lehnt sich entrüstet zurück und lächelt*, ob ich ein Modell in Physik benutze. Weil, für mich ist das eine Eigenschaft der Fachdisziplin ehrlicherweise.“

„I1: Und die soll irgendwie … der Unterricht auch abbilden, oder?“

„L2: Ja, und ja, und auch. Ok! *Lehnt sich nach vorne* Also der Fachdisziplin Physik ja, aber auch der, ähm, wenn ich jetzt die Fachdidaktik als eigene Disziplin nehme, würde ich sagen, auch. Von daher, ja, sollte das, dass auch irgendwie abbilden, ja.“

Die Arbeit mit Modellen sei grundlegend für physikalische Erkenntnis und das Lernen im Physikunterricht. Die Lehrperson kann sich daher nicht vorstellen, wie im Physikunterricht ohne Modelle gearbeitet werden könnte. Auf Nachfrage des Interviewers bestärkt sie zudem, dass der Physikunterricht den Schüler*innen das typische Vorgehen der Physik – also auch den Umgang mit Modellen – nahebringen sollte. Man könnte den Umgang mit Modellen also als Teil der Fachkultur der Physik beschreiben.

Ähnliches gelte nach Ansicht der Lehrperson auch für die Mathematik und den Mathematikunterricht:

„L2: Also, da würde ich jetzt so ganz intuitiv mit Winter argumentieren, also, ähm, weil Modelle zumindest einmal ermöglichen, die Wirklichkeit zu betrachten, so. Und, wenn ich den kompletten Aspekt der Mathematik oder des Mathematikunterrichts rauslasse, ähm, finde ich fehlt da ein wichtiger Teil, also, ich sage mal diese Grunderfahrung, ist ja dann komplett weg, würde ich so sagen. Und die, finde ich, sollte Mathematikunterricht ermöglichen, nicht nur weil’s irgendwie im Lehrplan steht, dass Winter da so wichtig für ist, sondern, weil ich finde, dass das eine wichtige Eigenschaft ist. Die, oder ’ne wichtige Auffassung von Mathematik, die man, ähm, ja, als Schüler oder auch als jemand der noch nie eine Schule von innen gesehen hat, aber auch andere Art und Weise mit Mathematik in Berührung kommt, dass das eine ist, die man mitnehmen sollte.“

Mit Bezug zu den Winterschen Grunderfahrungen⁵ begründet die Lehrperson, dass Modelle die Betrachtung der Realität aus mathematischer Perspektive ermöglichen. Dies sei ein wichtiger Aspekt der Mathematik und des Mathematikunterrichts, den man nicht „rauslasse[n]“ solle, sondern den alle Schüler*innen „mitnehmen sollte[n]“.

4 Fazit und Ausblick

In der Interviewstudie mit Lehrpersonen für die Fächer Mathematik und Physik konnten vielseitige Perspektiven auf den Themenkomplex Modell und Modellieren erhoben werden. Mithilfe der qualitativen Inhaltsanalyse konnten vier Funktionen von Modellen und Modellieren im Mathematik- und Physikunterricht rekonstruiert werden.

Die didaktische Funktion bezieht sich das Modell als Unterrichtsmedium und Hilfsmittel für Schüler*innen, an dem wichtige Aspekte eines Sachverhaltes erklärt werden. Sie ist vergleichbar mit der Funktion des „Lernens durch Modelle“ nach Kircher (2015) und baut auf der Kommunikationsfunktion nach Oh und Oh (2011), der Veranschaulichungsfunktion nach Kuhn (1977), aber auch der Erklärungsfunktion nach Kircher (2015) auf. Die erkenntnistheoretische Funktion bezieht sich darauf, dass Modelle bzw. Modellannahmen die Grundlage für die (Weiter-)Entwicklung von empirischen Theorien (Dilling, 2022) darstellen. Diese Funktion von Modellen spiegelt sich unter anderem in der Idealisierungsfunktion, der mathematischen Näherungsfunktion und der Analogiefunktion nach Kuhn (1977) sowie der Erklärungs- und Prognosefunktion nach Kircher (2015) wider. Sie tritt entsprechend den Angaben in den Interviews verstärkt im Physikunterricht auf. Die problemlösende Funktion tritt dann auf, wenn Modelle zur Lösung offener Anwendungsaufgaben herangezogen werden. Bei dieser Funktion bietet sich in besonderer Weise die Möglichkeit, dass Schüler*innen selbst Modelle entwickeln – also modellieren (siehe u. a. Blum & Leiß, 2005; Schupp, 1988). Diese Form von Aufgaben ist insbesondere im Mathematikunterricht etabliert. Die fachkulturelle Funktion bedeutet schließlich, dass Modelle ein wichtiger Aspekt der wissenschaftlichen Disziplinen Mathematik und Physik (aber auch ihrer Didaktiken) sind und daher auch Teil des Unterrichts sein sollten. Auch Kircher (2015) betont im Kontext der Funktion des „Lernens durch Modelle“, dass der Modellbegriff explizit im Unterricht diskutiert werden sollte.

Die vier in dieser Studie entwickelten Funktionen von Modellen und Modellieren im Mathematik- und Physikunterricht lassen sich in einem Dreieck mit den Eckpunkten Wissenserwerb, Wissenschaft und Anwendung verorten (siehe Abb. 1). Der Fokus der didaktischen Funktion liegt auf dem Lernen. Die erkenntnistheoretische Funktion bezieht sich insbesondere auf die Wissenschaft und ihre Darstellung im Unterricht. Die problemlösende Funktion spielt bei der Anwendung von mathematischem und physikalischem Wissen eine besondere Rolle. Die fachkulturelle Funktion ist schließlich auf einer Meta-Ebene im Unterricht relevant und vereint gleichermaßen Wissenserwerb, Wissenschaft und Anwendung als wichtige Aspekte der Schulfächer Mathematik und Physik.

Abb. 1

Funktionen von Modellen und Modellieren im Mathematik- und Physikunterricht

Mit dem Fokus auf Funktionen im Unterricht konnten in diesem Beitrag erste Erkenntnisse zu Beliefs über Modelle und Modellieren generiert werden. Diese sollen in der zukünftigen Arbeit der Autoren in Hinblick auf weitere Aspekte ausgebaut werden (u. a. Eigenschaften von Modellen, Formen von Modellen, Modell vs. Modellieren, Original-Modell-Beziehung).