- 中文名
- 余弦定理
- 外文名
- The Law of Cosines
- 别 名
- cosine law
- 表达式
- cos A=(b²+c²-a²)/2bc
- 提出者
- 欧几里得
- 提出时间
- 公元三世纪前
图1 三角形
同理，也可描述为：
和《几何原本》上勾股定理的证明类似。
余弦定理勾股定理可以推广到余弦定理。余弦定理和勾股定理一样，都有着很多不同的证明。图2就是余弦定理的一个无字证明。
图2 余弦定理的无字证明
图3 平面几何法证明如图3所示，△ABC，在c上做高，将c边写：
将等式同乘以c得到：
如图4所示：以AB边为边长，以垂直于面ABC作向里的正方形AA`BB`辅助线，然后作平行于AA`边的CC`等，则，上述公式相当于辅助正方形的面积等于长方形AA`C`C和BB`C`C在正方形AA`BB`中的投影面积（分别为
图4 立体几何辅助说明对另外两边分别作高，运用同样的方法可以得到：
将两式相加：
如图5所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作AD⊥BC于D，则AD=c*sinB，DC=a-BD=a-c*cosB
在Rt△ACD中，
b²=AD²+DC²=（c*sinB）²+（a-c*cosB）²
=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B
=c²（sin²B+cos²B）+a²-2ac*cosB
=c²+a²-2ac*cosB
图5 平面几何法证明二在△ABC中，
sin²A+sin²B-sin²C
=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2
=cosC[cos(A-B)-cos（A+B）]
设△ABC的外接圆半径为R
∴（RsinA）²+（RsinB）²-（RsinC）²=2（RsinA）*（RsinB）*cosC
∴c²=a²+b²-2ab*cosC [2]
∴c·c=（a+b）·（a+b）
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos（π-θ）
（以上粗体字符表示向量）
又∵cos（π-θ）=-cosθ（诱导公式）
∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ
此即c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=（a²+b²-c²）/2*a*b
同理可证其他，而下面的cosC=（a²+b²-c²）/2ab就是将cosC移到左边表示一下。
图6 平面向量证法余弦定理是解三角形中的一个重要定理，可应用于以下三种需求：
- 当已知三角形的三边，可以由余弦定理得到三角形的面积。 [1]
余弦定理公式可变换为以下形式：
因此，如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理得到三角形的三个内角。 [1]
由面积公式
知如果已知三角形的三条边，可以由余弦定理求出一个内角，从而得到三角形的面积。
减号的值。
①若m（c1,c2）=2,则有两解；
②若m（c1,c2）=1,则有一解；
③若m（c1,c2）=0,则有零解（即无解）。
一、当a>bsinA时：
①当b>a且cosA>0（即A为锐角）时，则有两解；
②当b>a且cosA（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
③当b=a且cosA>0（即A为锐角）时，则有一解；
④当b=a且cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
⑤当b＜a时，则有一解。
二、当a=bsinA时：
①当cosA>0（即A为锐角）时,则有一解；
②当cosA≤0（即A为直角或钝角）时，则有零解（即无解）；
三、当a＜bsinA时，则有零解（即无解）。
解：设三角形的三边为a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大边对大角可知：∠A为最大的角。
由余弦定理：
cosA=0
所以∠A=90°。
△ABC中,AB=2，AC=3，角A为60度，求BC之长。
解：由余弦定理可知：
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=7
所以
以上两个小例子简单说明了余弦定理的作用。
