El concepto de límites es un elemento fundamental en el cálculo y proporciona un enfoque riguroso para estudiar el comportamiento de funciones a medida que se acercan a puntos específicos.
Los límites nos permiten dar sentido a fenómenos matemáticos complejos, como las tasas de cambio instantáneas (derivadas) y el área bajo una curva (integrales).
Definición
En términos simples, el límite de una función en un punto particular se refiere al valor al que se acerca la función cuando la entrada se acerca arbitrariamente a ese punto. Matemáticamente se expresa como:
Limx→a f(x)=L
Definicion formal
La definición formal (ε-δ) añade rigor al concepto de límites. Afirma:
“Dada una función f(x) y un punto a, el límite de f(x) cuando x se acerca a a es L si, para cada número ϵ>0, existe un número δ>0 tal que siempre que 0< ∣ x − a ∣ < δ, se sigue que ∣f(x ) − L∣<ϵ.”
Esta definición requiere que a medida que nos acercamos arbitrariamente a a, f(x) debe acercarse arbitrariamente a L.
Propiedades de los límites
Estas son algunas propiedades fundamentales de los límites en cálculo:
La suma de límites
Si tomas el límite de una suma de dos funciones, es igual a la suma de sus límites individuales.
Limx→a [f(x) + g(x)] = Limx→a f(x) + Limx→a g(x)
Diferencia de límites
De manera similar, si toma el límite de una diferencia entre dos funciones, es igual a la diferencia de sus límites individuales.
Limx→a [f(x)-g(x)] = Limx→a f(x) Limx→a -g(x)
Producto de Límites
El límite de un producto de dos funciones es igual al producto de sus límites individuales.
Limx→a [ f(x). g(x)] = Limx→a f(x). Limx→a g(x)
El cociente de límites
El límite de un cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites individuales, siempre que el límite del denominador no sea cero.
Limx→a [ f(x) / g(x)] = Limx→a f(x) / Limx→a g(x)
Regla de poder
El límite de una función elevada a una potencia entera positiva es igual al límite de la función elevada a esa potencia.
Limx→a [ f(x)] n = [Limx→a f(x)]n
Múltiplo constante
Si multiplicas una función por una constante, el límite de la función resultante es igual a la constante multiplicada por el límite de la función.
Limx→a [c.f(x)] = c. Limx→a f(x)
Composición de Límites
El límite de una función compuesta f(g(x)) es igual a f evaluado en el límite de g(x).
Limx→a f(g(x)) = f(Limx→a g(x))
siempre que f(x) sea continua en Limx→a g(x).
Estas propiedades facilitan el manejo de límites complejos al dividirlos en partes más simples que se pueden evaluar más fácilmente. Se basan en la idea de que los límites preservan las operaciones aritméticas básicas y son una parte fundamental de la caja de herramientas del cálculo.
Tipos de límites
Hay varios tipos de límites en cálculo, cada uno de los cuales sirve para describir el comportamiento de funciones en diferentes condiciones:
Límites finitos
Estos son los tipos de límite más comunes y se utilizan cuando una función se acerca a un valor finito específico a medida que la entrada se acerca a un punto determinado.
Ejemplo: Limx→2 (x 2 − 4) = 0
Límites infinitos
Los límites infinitos se utilizan cuando la función aumenta o disminuye sin límites a medida que la entrada se acerca a un punto determinado.
Ejemplo: Limx→0 (1/x2) = ∞
Límites en el infinito
Estos límites describen el comportamiento de una función a medida que la entrada crece cada vez más (positiva o negativa).
Ejemplo: Limx→0 (1/x) = 0
Límites unilaterales
Los límites unilaterales se utilizan cuando estamos interesados en el comportamiento de una función cuando la entrada se acerca a un determinado punto desde una sola dirección, ya sea desde la izquierda (Limx→a-) o desde la derecha (Limx→a+).
Ejemplo: Limx→0+ (1/x) = ∞
Límites oscilatorios
Estos límites se utilizan cuando la función se comporta de forma oscilatoria a medida que la entrada se acerca a un punto determinado.
Ejemplo: Limx→0 sin(1/x)
Este límite no existe porque sin(1/x) oscila entre -1 y 1 cuando x tiende a 0.
Límites indeterminados
Las formas indeterminadas son expresiones que no tienen un límite claro. Las formas indeterminadas comunes incluyen 0/0, ∞/∞, ∞ −∞, 0 ⋅ ∞, ∞ 0, 00 y 1∞.
Ejemplo: Limx→0 sin(x)/x = 1
¿Cómo calcular los límites? – Métodos comunes
A continuación se muestran algunos métodos comunes para calcular límites:
Sustitución directa: Sustituye el valor directamente si la función es continua en ese punto.
Factorización: simplifique la expresión factorizando y luego use sustitución directa.
Multiplicación conjugada: útil cuando se trata de raíces cuadradas, multiplica por el conjugado para simplificar la expresión.
de L’Hôpital : Aplicable para formas indeterminadas como 0/0 o ∞/∞. Diferencia el numerador y el denominador por separado y luego sustituye el valor.
Límites trigonométricos especiales: utilice técnicas especiales o resultados conocidos para límites que involucran funciones trigonométricas.
Calculadoras de límites: no exactamente, un método, pero sí otra forma de resolver límites es mediante el uso de una calculadora de límites en línea. Estas calculadoras cuentan con algoritmos avanzados que comprenden qué método es conveniente para evaluar el límite de cualquier función, compleja o no.
Ejemplo nº 1
Encuentra el límite:
Limx→2 x2-4 /x-2.
Solución:
Paso 1: identificar el límite.
Estamos encontrando Limx→2 x 2 – 4 / x – 2.
Paso 2: Verifique la continuidad:
Compruebe si la función x 2 – 4 / x – 2 es continua en x = 2.
Al sustituir x = 2 directamente, obtenemos 2 2 – 4 / 2 – 2 = 0/0 que es una forma indeterminada.
Esto significa que la función no es continua en x = 2 y la sustitución directa no es aplicable.
Paso 3: simplifica la función:
Como no se puede utilizar la sustitución directa, intentemos simplificar la función:
x 2 – 4 / x – 2 = (x – 2)(x + 2) / x – 2
Cancele el término x – 2.
(x – 2)(x + 2) / x – 2 = x + 2
Paso 4: Encuentra el límite.
Ahora que la función se ha simplificado, encontremos el límite cuando x tiende a 2.
Limx→2 x + 2 = 2 + 2 = 4
Conclusión:
El límite de x 2 – 4 / x – 2 cuando x tiende a 2 es 4 .
Ejemplo nº 2
Encuentra el límite:
Limx→0 sin(x) /x
Paso 1: identificar el límite.
Estamos encontrando Limx→0 sin(x) /x.
Paso 2: Verifique la continuidad:
Compruebe si la función sin(x) /x es continua en x = 0.
Al sustituir x = 0 directamente, obtenemos sin(0) /0 = 0/0 que es una forma indeterminada.
Esto significa que la función no es continua en x = 0 y la sustitución directa no es aplicable.
Paso 3: utilice un límite especial.
El límite Limx→0 sin(x) /x es un límite especial bien conocido en cálculo.
El valor de este límite es 1.
Esto se puede demostrar utilizando la regla de L’Hôpital u otros métodos, pero a menudo se toma como un límite estándar.
Conclusión:
El límite de sin(x) /x cuando x se acerca a 0 es 1.
Tabla de límites especiales
Aquí hay una tabla de algunos límites especiales comunes en cálculo:
| Limitar expresión | Valor del límite |
| Limx→0 sin(x) /x | 1 |
| Limx→0 1 – cos(x) /x | 0 |
| Limx→0 tan(x) /x | 1 |
| Limx→0 ex – 1 /x | 1 |
| Limx→0 ln(1 + x)/x | 1 |
| Limx→∞ (1 + 1/x)x | mi |
| Limx→0+ x.ln(x) | 0 |
| Limx→∞ sin(x) /x | 0 |
Estos límites se utilizan a menudo como componentes básicos para resolver problemas de límites más complejos.
Aplicaciones de límites
Los límites son fundamentales para el cálculo y tienen una amplia gama de aplicaciones en diversos campos. Estas son algunas de las principales aplicaciones de los límites:
Derivados:
Las derivadas se utilizan para encontrar la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto determinado. La definición de derivada se basa en el concepto de límite.
Integrales:
Las integrales se utilizan para calcular áreas bajo curvas y son fundamentales para comprender la acumulación de cantidades. La definición de integral se basa en el concepto de límite.
Continuidad:
El concepto de continuidad, que es crucial en el análisis y la topología, se define mediante límites.
Series y Secuencias:
Los límites se utilizan para determinar la convergencia o divergencia de secuencias y series.
Probabilidades y estadísticas:
Los límites se utilizan en teoría de probabilidad y estadística para definir distribuciones y analizar variables aleatorias.
Licenciado en Ciencias Biológicas con más de 30 años de experiencia en educación como docente en el Centro de formación ACN y creador de Blogs educativos: educapeques.com, educayaprende.com, escuelaenlanube.com, docenciaparalaformacionenelempleo.es. Actualmente imparto cursos de formación profesional en la Academia de Valdepeñas