El pasado mes de mayo de 2014, durante el evento que sirvió como celebración del 50 aniversario de los estudios de Matemáticas en la Universidad de Granada, Juan Medina (uno de los integrantes de la mesa sobre Matemáticas y Redes Sociales que tuve el honor de moderar) habló durante su intervención (por cierto, aquí tenéis la presentación que usó) sobre algunas de las cuestiones que le motivaron a crear su plataforma de vídeos. Entre ellas en mi mente quedó concretamente una, que me pareció bastante interesante y que es la que titula este post: ¿qué es un radián? Juan la citaba en el contexto de que los alumnos aprenden a hacer los ejercicios «tipo» y memorizan ciertas cuestiones (como el tema de los radianes), pero tienen carencias al manejar los propios conceptos (de hecho en ocasiones ni los conocen).

Como esa cuestión concreta se me quedó grabada, y aunque es muy probable que muchos de vosotros sepáis la respuesta, creo que puede interesar hablar un poco sobre él, sobre el radián.

El radián, al igual que el grado sexagesimal, es una unidad de medida de ángulos (de hecho es la medida de ángulo plano del Sistema Internacional de Medidas (como podéis comprobar en la página 118 de este pdf). Es decir, igual que podemos medir longitudes con metros o masas con gramos también podemos medir ángulos con radianes, expresándolo en ese caso con rad o sin nada. Por cierto, la aparición del radián data del último tercio del siglo XIX, y parece que el primero que lo utilizó fue James Thompson, ingeniero y físico hermano de Lord Kelvin. (Fuente: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.)

Pero volvamos a hacernos la pregunta principal de esta entrada: ¿qué es exactamente un radián? Aquí tenéis su definición:

Un radián es el ángulo central de una circunferencia que abarca un arco de igual longitud que el radio de la misma.

Es decir, si nuestra circunferencia tiene radio R, un radián es el ángulo que abarca un arco de longitud R:

Bien, ya que sabemos qué es un radián vamos a relacionarlo con la otra unidad de medida de ángulos que conocemos: el grado sexagesimal (o simplemente grado). La equivalencia entre estas dos medidas es la siguiente:

180^\circ=\pi \, rad

Por tanto, un radián corresponde a, aproximadamente, 57.295^\circ.

Siguiendo con esto, ¿qué pinta aquí, de nuevo, el número \pi? Veamos. En general, la medida en radianes de un ángulo en una circunferencia es igual a la longitud del arco que abarca dividida entre el radio de dicha circunferencia:

\theta _{rad}=\cfrac{Longitud \; del \; arco}{R}

Si tomamos una semicircunferencia, cuya longitud es \pi R (como todos deberíamos saber), entonces tenemos lo siguiente:

\theta _{semicircunferencia}=\cfrac{\pi R}{R}=\pi

Como sabemos que una semicircunferencia corresponde a un ángulo de 180^\circ ya tenemos nuestra relación: 180^\circ=\pi.

Por tanto, a una circunferencia completa, que sabemos que abarca 360^\circ, le corresponden 2 \pi radianes. Esto es evidente a partir de lo comentado anteriormente, aunque es mucho más mejor verlo en este delicioso gif que encontré aquí (donde, por cierto, aparecen más gifs interesantes sobre matemáticas):

Circle radians, de Lucas V. Barbosa. Licencia bajo dominio público vía Wikimedia Commons.

Seguimos con más preguntas: ¿por qué cuando usamos funciones trigonométricas en cálculo solemos trabajar con radianes? Pues muy sencillo: porque las expresiones de muchos resultados quedan mucho mejor si trabajamos en radianes. Como dicen en la página de la Wikipedia en inglés dedicada al radián:

Los radianes poseen una «naturalidad» matemática que lleva a una formulación más elegante de unos cuantos resultados importantes.

Por ejemplo, si expresamos \theta en radianes conservamos este bonito límite:

\displaystyle{\lim_{\theta \to 0} \cfrac{sen(\theta)}{\theta}=1}

O también la preciosidad de serie de Taylor a la que es igual la propia función sen(x):

sen(x)=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+ \ldots

Bueno, pues ya sabemos lo que es un radián y la forma de convertir radianes en grados y viceversa. Por tanto ya sabemos expresar en radianes ciertos ángulos que suelen aparecernos en grados en muchas ocasiones, como pueden ser 30^\circ, 60^\circ ó 90^\circ. Creo que entonces es el momento de recordar cómo calcular las razones trigonométricas de algunos de estos ángulos del primer cuadrante y también cómo usar esa información para calcular dichas razones trigonométricas para algunos ángulos importantes del resto de cuadrantes.

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