Explicamos qué es un prisma cuadrangular, sus características, caras, vértices, aristas, cómo calcular el volumen, ejemplos y ejercicios resueltos
¿Qué es un prisma cuadrangular?
El prisma cuadrangular es una figura geométrica tridimensional, de la familia de los poliedros. Está conformado por dos caras iguales y paralelas, con forma de cuadrilátero, a modo de bases, y cuatro paralelogramos en los lados, para un total de seis caras.
Hay varios criterios para clasificarlos, ya que existen muchas posibilidades para la forma de las caras y la inclinación. Por ejemplo, están los prismas cuadrangulares rectos y los prismas cuadrangulares inclinados.
En el primer caso, los lados son perpendiculares a la base, y entonces son rectángulos o cuadrados. En el segundo caso, las caras laterales están inclinadas respecto a la base, por lo tanto, no pueden ser ni rectángulos ni cuadrados.
Además, el prisma cuadrangular puede ser regular o irregular, según la base sea un cuadrilátero regular o irregular. El cuadrilátero regular es el cuadrado, cuyos cuatro lados y sus cuatro ángulos miden igual .
Un ejemplo de prisma cuadrangular especial es el paralelepípedo, cuyas bases son paralelogramos. Las formas de las cajas y de los ladrillos se inspiran en los prismas cuadrangulares, por lo que resultan buenos ejemplos de cómo usar esta figura geométrica en aplicaciones prácticas.
Características del prisma cuadrangular
Entre las características más importantes del prisma cuadrangular destacan las siguientes:
- Sus caras tienen forma de polígono.
- Tiene un total de 6 caras (2 bases y 4 laterales), 12 aristas o bordes y 8 vértices (esquinas).
- Las caras laterales pueden tener forma de: cuadrado, rectángulo, paralelogramo, rombo o romboide.
- Sus lados pueden ser rectos (forman ángulo de 90º con las bases) o inclinados (hay un ángulo menor a 90º por el lado interno).
- Las caras laterales de los prismas rectos solo pueden ser cuadrados o rectángulos.
- Las bases del prisma reciben también el nombre de directrices.
- Si la base es un cuadrilátero regular, el prisma cuadrangular también es regular. Como una figura plana es regular si todos sus lados tienen la misma medida, la única posibilidad es que las bases sean cuadradas.
- Cuando la base del prisma es cualquier otro cuadrilátero distinto del cuadrado, entonces el prisma se considera irregular.
- El prisma cuadrangular regular se puede inscribir en un cilindro.
Elementos del prisma cuadrangular
Los cinco elementos del prisma cuadrangular son comunes a todos los prismas:
- Bases, constituidas por dos cuadriláteros idénticos y paralelos.
- Caras laterales, son los cuatro paralelogramos que bordean la figura.
- Vértices o esquinas, puntos en común que tienen tres lados adyacentes del prisma.
- Aristas o bordes, segmento en común que tienen dos caras adyacentes.
- Altura: es la longitud de un segmento perpendicular con extremos en las bases. Cuando el prisma es recto, la altura coincide con la medida de las aristas laterales.
- Sección recta, área de la intersección entre el prisma y un plano que forma 90º con las aristas laterales.
En la siguiente imagen se muestra cada uno de estos elementos para un prisma cuadrangular recto:
Caras, vértices y aristas
De gran importancia para estudiar el prisma cuadrangular son las caras, los vértices y las aristas:
Caras
Las caras del prisma hacen un total de 6: las 2 bases idénticas con forma de cuadrilátero y los 4 lados o caras laterales en forma de paralelogramo.
Vértices
Son las esquinas de la figura, el punto en el que confluyen tres caras adyacentes.
Aristas
Son los segmentos de intersección entre las caras del prisma. Las aristas se clasifican en:
- Aristas de la base, segmentos en común entre las bases y las caras laterales.
- Aristas laterales, como su nombre lo indica, son los segmentos en común entre las caras laterales.
En la figura de arriba se muestran los dos tipos de aristas, señaladas con flechas de color diferente. El número de aristas NA se puede determinar con el teorema de Euler de los poliedros, que relaciona el número de aristas con el de caras NC y vértices NV:
NA = NC + NV −2
Para el prisma cuadrangular NC = 6 y NV = 8, por lo tanto:
NA = 6 + 8 −2 = 12
De allí que el número de aristas o bordes del prisma cuadrangular es 12.
¿Cómo calcular el volumen de un prisma cuadrangular?
Se entiende por volumen del prisma la parte del espacio encerrado por él, y se mide en unidades cúbicas, que pueden ser metros cúbicos, centímetros cúbicos, pies cúbicos u otras apropiadas, siempre que sean de longitud al cubo.
El volumen V siempre es una cantidad positiva, y en el caso de un prisma cuadrangular cualquiera, viene dado por el producto entre el área de la base Ab y la altura h:
V = Ab × h
I) Volumen del prisma cuadrangular regular
Dado que las bases son cuadradas, y el área del cuadrado es su lado ℓ al cuadrado:
Ab = ℓ2
Luego, el volumen del prisma cuya altura es “h” es:
V = ℓ2 × h
II) Volumen del prisma cuadrangular irregular
Depende de la forma de la base y de la altura “h” del prisma:
1.- Prisma de base rectangular
El área del rectángulo de lados “a” y “b” es:
Ab = a × b
Entonces el volumen es:
V = a × b × h
2.- Prisma de base romboidal
El área del rombo es el semi producto de sus diagonales “D” y “d”:
Y el volumen es:
3.- Prisma de base en forma de romboide
El área de la base con forma de romboide es el producto de su base “b” y su altura relativa “hr” a dicha base, que es el segmento perpendicular que va desde esta base hasta el lado paralelo a ella.
Ab = b × hr
De allí que el volumen del prisma con esta base sea:
V= b × hr × h
4.- Prisma de base trapezoidal
Dado que el área del trapecio es la semisuma de los lados paralelos “a” y “b”, multiplicada por su altura “c”:
El volumen del prisma con base trapezoidal es:
5.- Prisma de base en forma de trapezoide
El área de un trapezoide simétrico es el semiproducto de sus diagonales D y d, por lo tanto:
En tal caso, el volumen del prisma es:
Ejercicio resuelto
Un prisma cuadrangular de base trapezoidal tiene un volumen de 648 cm3. Los lados paralelos del trapecio miden a = 10 cm y b = 5 cm, mientras que la altura del trapecio es c = 6 cm. Con estos datos hallar la altura del prisma.
Solución
Dado que se tienen las dimensiones de la base, se puede calcular fácilmente su área:
Y de la fórmula:
V = Ab × h
Se despeja “h”, la altura del prisma, puesto que se conoce el volumen del mismo:
H = V/ Ab = 648 cm3 / 45 cm2 = 14.4 cm
Ejemplos
Prisma rectangular o cuboide
Las seis caras de este prisma recto son cuadradas o rectangulares. Las cajas son ejemplos de prismas rectangulares, una forma que además se emplea en numerosos objetos y construcciones como edificios.
Cubo
Un cubo es un prisma cuadrangular regular, cuyas seis caras tienen forma de cuadrado, por ejemplo, un dado o el conocido juego del cubo de Rubik.
El cubo forma parte del grupo de sólidos platónicos, figuras geométricas que cumplen con dos condiciones. La primera es que cada cara sea un polígono regular y la segunda es que cada vértice tenga en común un mismo número de caras.
El cubo cumple con ambas condiciones, pues sus caras tienen forma de cuadrado, que es un polígono regular. Y en cada uno de los ocho vértices del cubo confluyen tres caras del mismo.
Los restantes sólidos platónicos son el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro.