Trabajo Realizado en Física: Fórmula, cálculo y ejemplos

Fórmula de trabajo realizado

La cantidad física fundamental de las interacciones entre cuerpos es la fuerza, mientras que a través de las interacciones se puede transferir energía entre ellos. La cantidad de energía que se transfiere a través de fuerzas se llama trabajo y es una cantidad física de energía con unidades SI de julios (J). Para el caso simple de un movimiento en una dimensión, la fuerza multiplicada por la distancia es igual al trabajo. Considerando una fuerza constante se puede estimar mediante la fórmula:

{eq}W = \overline{F} \cdot \Delta \overline{x} = F_{x} \cdot \Delta x = F \cdot \Delta x \cdot cos( \theta),F:constante,(1 ) {/eq}

El trabajo se ve afectado por dos variables principales, la fuerza externa (F) y el desplazamiento (X), siendo ambos vectores. Por tanto, el trabajo también depende en gran medida de la dirección de la fuerza y ​​del desplazamiento. La obra puede tener cualquier valor de número real y por tanto puede ser negativo, positivo o cero. Que el trabajo sea positivo significa que el trabajo de la fuerza externa aumenta la energía del cuerpo, mientras que el trabajo negativo significa que la energía del cuerpo está disminuyendo. Ejemplos tan simples son los movimientos de aceleración y desaceleración como resultado de una fuerza externa como la fricción. El trabajo es cero significa que la energía del sistema no cambia por una fuerza y ​​puede ser el resultado de que la fuerza neta sea cero y el sistema esté en reposo (el desplazamiento es cero equivale a una fuerza neta cero).

Un caso adicional de trabajo cero mientras se aplica una fuerza a un cuerpo es el caso específico de que la fuerza sea vertical al desplazamiento. Esto es obvio matemáticamente a partir de la ecuación (1), pero su significado físico es realmente importante para la física en general. Una fuerza vertical al desplazamiento (o velocidad instantánea) conduce a una aceleración vertical a la velocidad, por lo que el efecto de esta fuerza cambia solo la dirección de la velocidad (y por lo tanto la dirección del movimiento) mientras la magnitud de la velocidad es constante y entonces la energía cinética del cuerpo. Este efecto se puede observar en diversos ejemplos como movimientos circulares o fuerzas de campos magnéticos, en los que se demuestra que el trabajo es siempre cero.

Uso del cálculo integral en la fórmula del trabajo

En problemas físicos realistas, las fuerzas externas no son constantes en el tiempo o el espacio tanto en magnitud como en dirección, pero por ahora las fuerzas se consideran constantes en el tiempo. El enfoque teórico sobre cómo manejar una situación compleja como esta es dividir el movimiento en partes infinitesimales donde la fuerza es constante, que en el caso general es para un área espacial infinitesimal. Sumando todo el trabajo de la fuerza de cada área espacial infinitesimal podemos derivar el trabajo total de esa fuerza variable compleja. Una suma de términos infinitos no es un proceso práctico para los cálculos pero este cálculo es matemáticamente equivalente a la integral de fuerza sobre el desplazamiento y generalmente se llama integral de trabajo:

{eq}W =\int_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{F}(x) \cdot d\overline{x} = \int_{x_{1}}^{x_{2) }} F(x) \cdot dx,(2) {/eq}

La integral en sentido matemático es igual al área de la superficie bajo la fuerza en el gráfico fuerza-desplazamiento. Para el caso más simple de una fuerza constante, el trabajo también se puede encontrar mediante la fórmula del trabajo integral:

{eq}W =\int_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{F}(x) \cdot d\overline{x} = \int_{x_{1}}^{x_{2) }} F \cdot cos( \theta) \cdot dx = F \cdot cos( \theta) \cdot (x_{2}-x_{1}) = F \cdot cos( \theta) \cdot \Delta x { /eq}

El desplazamiento en general puede ser una trayectoria en el espacio tridimensional y una trayectoria compleja conduciría a una integral matemáticamente compleja, pero el mismo proceso se sigue también en esos casos. En este curso, estas integrales están fuera del alcance, por lo que se examinarán los problemas de una variable. La fórmula general del trabajo realizado es:

{eq}W =\int_{r_{1}}^{r_{2}} \overline{F}(r) \cdot d\overline{r},d\overline{r} =d\overline{x} +d\overline{y} +d\overline{z},(3) {/eq}

Una cantidad física adicional que está relacionada con el trabajo es la potencia. La potencia es igual a la derivada del trabajo con respecto al tiempo y como cantidad describe la velocidad de los cambios de energía en un sistema físico. El uso de esta cantidad es común para la caracterización de la potencia de dispositivos mecánicos o electrónicos. La potencia tiene unidades SI de vatio (W) = J/seg y se puede calcular usando la ecuación (3):

{eq}P=\frac{dE}{dt}=\frac{dW}{dt}=\frac{d}{dt} \int_{C} \overline{F} \cdot \overline{dx}=\ frac{d}{dt} \int_{\Delta t} \overline{F} \cdot \overline{\frac{dx}{dt}} dt =\frac{d}{dt} \int_{\Delta t} \overline{F} \cdot \overline{v} dt = \overline{F} \cdot \overline{v} {/eq}

Otra cantidad física importante que está altamente correlacionada con el trabajo es el potencial, que se puede expresar a partir de la fuerza como:

{eq}W =\int_{x_{1}}^{x_{2}} F(x) dx=- \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{dV}{dX} dx = -\Delta V = \Delta K \Longleftrightarrow F=\frac{dW}{dx} {/eq}

Arriba se presentan el potencial V y la energía cinética en relación con el trabajo. Como se esperaba por la definición de trabajo como cantidad de energía, cualquier diferencia de energía en un sistema físico (que es un objeto compacto en el caso más simple) es igual a trabajo. Pero como cantidades físicas el trabajo es el mismo que la diferencia de potencial y se prefiere el uso de cada una para diferentes problemas. Si se conoce el potencial de un campo de fuerza, la diferencia de potencial es más fácil de usar (pero también se aplica el trabajo), mientras que para el caso de una fuerza que no se puede expresar como un potencial, el enfoque del trabajo realizado es la única opción.

El cálculo de la fórmula de trabajo se puede realizar mediante la ecuación (3) para todos los casos y su fórmula tiene una forma breve y sencilla para una amplia gama de problemas. Pero aunque esta fórmula parece sencilla no siempre es fácil de resolver, en problemas realistas muchas veces esta integral no puede resolverse analíticamente. Además, en este punto es necesario mencionar la importancia de la integración en física, ya que es una de las herramientas matemáticas más importantes que se utiliza ampliamente en física y brinda soluciones donde no hay otro camino. Un truco muy importante que se utiliza en física para derivar fórmulas generales y precisas es la transformación de una ecuación simple a su forma integral. Esto se puede observar en la generalización de las ecuaciones (1) a (2) y (3) describiendo una fórmula simple con un rango muy pequeño de aplicaciones a una fórmula general que cubre todos los casos posibles.

Trabajo realizado por una fuerza variable

Un ejemplo típico de fuerza variable es la fuerza de un resorte que no está en reposo. En este caso el movimiento es una oscilación armónica de la manera más simple en ausencia de fricción. La fórmula de esa fuerza es: F = -k*x, siendo x=0 el punto de equilibrio. La integral de trabajo de esta fuerza durante el alargamiento del resorte es:

{eq}W =\int_{x_{1}}^{x_{2}} \overline{F}(x) \cdot d\overline{x} = \int_{x_{1}}^{x_{2) }} k \cdot x \cdot dx = – k \cdot (\frac{x_{2}^{2}}{2}-\frac{x_{1}^{2}}{2})= – k \cdot (\frac{x_{2}^{2}}{2}),x_{1}=0 {/eq}

Durante el alargamiento del resorte, la fuerza desacelera el cuerpo y, por lo tanto, se espera que el trabajo sea negativo, como también se puede ver en el gráfico fuerza-desplazamiento. En el gráfico se puede observar el mismo resultado del cálculo de la fórmula de trabajo ya que el área que corresponde al trabajo está dada por la relación del área de la superficie de un triángulo ortogonal. La fuerza del resorte disminuye la energía cinética del cuerpo y esta diferencia de energía es igual al trabajo y, por tanto, negativa. Un efecto interesante del trabajo en el caso de todo el período del movimiento que se definió anteriormente es que el trabajo total de un período es cero, lo que se observa fácilmente en el gráfico fuerza-desplazamiento. Pero debido a que la fuerza es una función impar y según la fórmula integral se espera que el trabajo total sea cero. Este resultado es esperado desde el aspecto físico ya que en ausencia de fricción se debe conservar la energía total.

Problemas de trabajo de cálculo

Además de la definición de trabajo realizado y la teoría presentada anteriormente, las aplicaciones del trabajo realizado son realmente importantes para comprender completamente el concepto de trabajo. A continuación se presentan cinco ejemplos utilizando la fórmula integral del trabajo realizado en diferentes problemas físicos.

Ejemplo 1:

Un automóvil con masa m = 400 kg está en reposo y luego aumenta su velocidad linealmente con el tiempo a 60 m/s por segundo. ¿Cuál es el trabajo que necesita el motor del automóvil para alcanzar 300 m/s?

Debido a que la velocidad aumenta linealmente, la aceleración es constante y también lo es la fuerza de los motores.

{eq}F=m \cdot a = m \frac{du}{dt} = 400 \cdot 60 = 24 kN:constante,t_{end}=\frac{u_{end}}{a}=300/60 =5 segundos {/eq}

Entonces el trabajo realizado es:

{eq}W=F \cdot \Delta x = F \cdot \frac{1}{2} a t_{end}^{2}=18 MJ {/eq}

Ejemplo 2:

Un cuerpo con masa m se mueve sobre una línea horizontal con un coeficiente de fricción que depende de la posición mediante la fórmula: mu(x)=mu_0/(1+x/a)

Siendo a y mu_0 constantes. ¿Cuál es el trabajo de fricción para un movimiento de x=a a x=2a, siendo la fuerza de aceleración siempre mayor que la fricción?

Como el cuerpo está en reposo respecto del eje vertical, la fuerza vertical del suelo N es igual al peso del cuerpo y por tanto la fricción es T = mu * N.= mu * m * g. Entonces el trabajo es:

{eq}W= \int_{x_{1}}^{x_{2}} \mu(x) \cdot m \cdot g dx= \mu_{0} \cdot m \cdot g \cdot \int_{x_ {1}}^{x_{2}} \frac{dx}{1+\frac{x}{\alpha}}= \mu_{0} \cdot m \cdot g \cdot \alpha \cdot ln(\ frac{1+\frac{x_{2}}{\alpha}}{1+\frac{x_{1}}{\alpha}}) = \mu_{0} \cdot m \cdot g \cdot \alpha \cdot ln(\frac{3}{2}) {/eq}

Ejemplo 3:

La fuerza entre dos partículas con carga puntual es F=-k*q1*q2/ (r*r), con k: constante de Coulomb, q1 y q2: cargas de las partículas (en unidades de carga de electrones) y r distancia entre partículas. En un átomo el núcleo está cargado positivamente y los electrones negativos orbitan a su alrededor. Para un hidrógeno (los núcleos son un protón), se puede suponer que el electrón está orbitando alrededor de los núcleos a una distancia d_electrones = 10 elevado a -10 m y el radio de los núcleos es d_nuclei = 10 elevado a -15 m. ¿Cuál es el orden de magnitud de la velocidad (clásicamente) de un electrón que cae en el momento en que llega a los núcleos, sin que los núcleos se muevan?

{eq}W =\int_{r_{1}}^{r_{2}} \overline{F}(r) \cdot d\overline{r} = \int_{d_{el}}^{d_{nuc }} \frac{k_{e} \cdot q_{1} \cdot q_{2} }{r^{2}} \cdot dr = (k_{e} \cdot (-1) \cdot 1 ) \cdot \int_{d_{el}}^{d_{nuc}} \frac{1}{r^{2}} \cdot dr = -k_{e} \cdot \int_{d_{el}}^{d_{ nuc}} \frac{1}{r^{2}} \cdot dr \simeq 10^{-13} J {/eq}

{eq}W=\frac{1}{2} \cdot m_{e} \cdot u^{2} \rightarrow u = \sqrt{ 2\frac{W}{m_{e}}} \simeq 10^ {8} \frac{m}{s} {/eq}

Ejemplo 4:

Una fuerza que rige la vida diaria de todas las personas es la gravedad y se considera como una fuerza constante en el eje vertical al suelo: F=m*g con m:masa y g:constante. El trabajo necesario para un desplazamiento tiene la misma magnitud pero de signo opuesto si se cambia la dirección del desplazamiento. Entonces, el trabajo para aumentar la altura de un cuerpo sería igual a la energía ganada por un objeto en caída libre desde la misma altura. Entonces, si la definición de esta fuerza gravitacional fuera cierta, el trabajo realizado que se requeriría para salir del potencial gravitacional de la Tierra sería:

{eq}W =- \int_{h_{1}}^{h_{2}} m \cdot \overline{g} \cdot d\overline{h} = m \cdot g \int_{0}^{+ \infty} dh =+\infty {/eq}

¡Así que se necesitaría energía infinita para viajar fuera de la Tierra! Por supuesto, esto no es cierto porque la definición anterior solo es cierta para alturas pequeñas desde el suelo de la Tierra y la fórmula de la fuerza de gravedad general es:

{eq}W = – \int_{r_{1}}^{r_{2}} \overline{F}(r) \cdot d\overline{r} = \int_{R_{earth}}^{+\ infty} \frac{ G \cdot M_{Tierra} \cdot m }{r^{2}} \cdot dr = (G \cdot M_{Tierra} \cdot m ) \cdot \int_{ R_{tierra}}^ {+\infty} \frac{1}{r^{2}} \cdot dr = \frac{G \cdot M_{Tierra} \cdot m}{R_{Tierra}} {/eq}

Entonces, la energía que se necesita para escapar de la Tierra para la masa y el radio conocidos de la Tierra para un cuerpo de 1 kg es 0,6272 kJ.

Ejemplo 5:

La fuerza y ​​el desplazamiento también pueden ser bidimensionales, como se muestra a continuación:

{eq}\overline{F}= 60 \cdot x \cdot y \cdot \overline{x} -30 \cdot y^{2} \cdot \overline{y} {/eq}

A través del movimiento la variable y está relacionada con y=2x. ¿Cuál es el trabajo para el desplazamiento de un cuerpo por esta fuerza de x=2 a x=4?

Esto se puede calcular mediante la fórmula integral y también se calculan los valores inicial y final de y del desplazamiento para x=2, y=2*2=4 y para x=4, y=2*4=8.

{eq}W=\int_{r_{1}}^{r_{2}} \overline{F} d\overline{r}=\int_{x_{1}}^{x_{2}} 60 \cdot x \cdot y \cdot \overline{x} \cdot d\overline{x} +\int_{y_{1}}^{y_{2}}(-30) \cdot y^{2} \cdot \overline {y} d\overline{y} = \int_{2}^{4} 60 \cdot x \cdot 2 \cdot x \cdot dx +\int_{4}^{8}(-30) \cdot y^ {2} \cdot dy = 2240 – 4480 = – 2240 J {/eq}

Resumen de la lección

En conclusión, el trabajo es una cantidad de energía que es igual al cambio de energía de un sistema como consecuencia de una fuerza externa. Para el caso más simple de una fuerza constante el trabajo se puede calcular mediante el producto de la fuerza por el desplazamiento de un movimiento. Pero en general la fuerza es variable y el trabajo se calcula mediante la integral de la fuerza respecto del desplazamiento. El trabajo puede ser positivo si la energía del sistema aumenta con la fuerza, negativo si la energía disminuye y cero si permanece constante. El uso del trabajo en física es importante en todos los sectores de la física y tiene una variedad de aplicaciones, desde simples movimientos unidimensionales hasta problemas de física más complejos.