Area della sfera: formula ed esempi con diversi tipi di dati

L'area della sfera si calcola come S=4πr², ossia moltiplicando il quadrato del raggio per 4π, ed è l'area della superficie della sfera, cioè l'area della superficie che delimita la sfera.

Area sfera = 4πr².

Formula area sfera

La formula che permette di calcolare l'area della sfera è la seguente:

S = 4 π r^2

in cui S è l'area della sfera, cioè l'area della superficie totale, r è la misura del raggio e π la costante Pi Greco.

Negli esercizi si può scegliere di lasciare la costante Pi Greco indicata con il suo simbolo (π) oppure sostituirla con il valore approssimato π ≃ 3,14.

Per tutte le formule della sfera, incluse le formule inverse dell'area, potete leggere la lezione del link.

Esercizi svolti area sfera

Passiamo a una serie di problemi svolti in cui abbiamo spiegato come risolvere gli esercizi sull'area della sfera al variare dei dati a disposizione.

Calcolo area sfera con il raggio

Per calcolare l'area dalla misura del raggio basta elevare al quadrato la lunghezza del raggio e moltiplicarne il valore per 4 π

S = 4 π r^2

Esempio

Calcolare l'area di una sfera avente il raggio di 5 cm.

Svolgimento:

S = 4 π r^2 = 4 π×(5 cm)^2 = 4π×(25 cm^2) = 100π cm^2 ≃ (3,14×100) cm^2 ≃ 314 cm^2

Calcolo area sfera con il volume

Dalla formula del volume della sfera

V = (4)/(3)π r^3

si può ricavare la misura del raggio estraendo la radice cubica del rapporto tra il triplo del volume e 4π.

r = [3]√((3V)/(4 π))

per poi calcolare l'area moltiplicando il quadrato del raggio per 4π

S = 4π r^2

Esempio

Il volume di una sfera è di 904,32 metri cubi. Calcolarne l'area.

Svolgimento: determiniamo la misura del raggio invertendo la formula del volume

V = (4)/(3)π r^3 ; r = [3]√((3V)/(4 π)) ≃ [3]√((3×904,32 m^3)/(4×3,14)) ≃ ; ≃ [3]√((2712,96 m^3)/(12,56)) = [3]√(216 m^3) ≃ 6 m

Possiamo ora calcolare l'area

S = 4 π r^2 = 4 π×(6 m)^2 = 4π×(36 m^2) = 144π m^2 ≃ (3,14×144) m^2 ≃ 452,16 m^2

Calcolo area sfera con area del semicerchio generatore

Ogni sfera può essere ottenuta dalla rotazione di un opportuno semicerchio attorno al proprio diametro; tale semicerchio è detto semicerchio generatore e la misura del suo raggio coincide con la misura r del raggio della sfera.

Se A indica l'area del semicerchio generatore, allora

A = (π r^2)/(2)

da cui possiamo risalire alla misura del raggio della sfera

r = √(2(A)/(π))

e quindi calcolarne l'area

S = 4π r^2

In alternativa si potrebbe determinare l'area della sfera moltiplicando l'area del semicerchio generatore per 8

S = 8A

Esempio

L'area del semicerchio generatore di una sfera è di 100,48 cm². Quant'è l'area della sfera?

Svolgimento: dalla formula dell'area del semicerchio ricaviamo la misura del raggio

A = (π r^2)/(2) ; r = √((2A)/(π)) ≃ √((2×(100,48 cm^2))/(3,14)) ≃ ; ≃ √((200,96 cm^2)/(3,14)) ≃ √(64 cm^2) = 8 cm

Abbiamo tutto quello che ci serve per trovare l'area della sfera

S = 4 π r^2 = 4 π×(8 cm)^2 = 4π×(64 cm^2) = 256π cm^2 ≃ (3,14×256) cm^2 ≃ 803,84 cm^2

Calcolo area sfera con perimetro del semicerchio generatore

Il raggio del semicerchio generatore è congruente al raggio della sfera, quindi dalla formula del perimetro del semicerchio

2p = π r+2r = r(π+2)

possiamo determinare la misura del raggio della sfera

r = (2p)/(π+2)

e, successivamente, calcolare l'area

S = 4π r^2

Esempio

Calcolare l'area di una sfera generata dalla rotazione di un semicerchio il cui perimetro è di 35,98 decimetri.

Svolgimento: per trovare l'area ci serve la misura del raggio. Ricaviamola dal perimetro del semicerchio generatore

2p = π r+2r = r(π+2) ; r = (2p)/(π+2) ≃ (35,98 dm)/(3,14+2) ≃ (35,98 dm)/(5,14) ≃ 7 dm

A questo punto possiamo calcolare l'area con la relativa formula

S = 4 π r^2 = 4 π×(7 dm)^2 = 4π×(49 dm^2) = 196π dm^2 ≃ (3,14×196) dm^2 ≃ 615,44 dm^2

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