自由度（统计学术语）_百度百科

自由度

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自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。

中文名: 自由度
外文名: degrees of freedom
意义: 计算独立数据的

领域: 统计学
应用: 抽样分布
公式: df=n-k

定义

播报

编辑

统计学上，自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。一般来说，自由度等于独立变量减掉其衍生量数。举例来说，变异数的定义是样本减平均值(一个由样本决定的衍生量)，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1。

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑屏幕到厨房的位移能够用三维向量

来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与这些向量的坐标平方和，以及卡方分布中的参数有所关联^[1]。

应用

播报

编辑

1.若存在两个变量

、

，而

那么他的自由度为1。因为其实只有

才能真正的自由变化，

会被

选值的不同所限制。

2.估计总体的平均数（

）时，由于样本中的

个数都是相互独立的，任一个尚未抽出的数都不受已抽出任何数值的影响，所以自由度为

。

3.估计总体的方差（

）时所使用的统计量是样本的标准差

，而

必须用到样本平均数

来计算。在抽样完成后已确定，所以大小为

的样本中只要

个数确定了，第

个数就只有一个能使样本符合

的数值。也就是说，样本中只有

个数可以自由变化，只要确定了这

个数，方差也就确定了。这里，平均数

就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，样本方差

的自由度为

。

4.统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有

个参数需要估计，则其中包括了

个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为

。

5.在一个包含

个个体的总体中，平均数为

。知道了

个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。为什么总体方差计算，是除以

而不是

呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以已知道总体均值或其他统计参数时方差应除以

，除以

时是方差的一个无偏估计。

范例

播报

编辑

例1

有一个有4个数据(

)的样本，其平均值

等于5，即受到

的条件限制，在自由确定4、2、5三个数据后，第四个数据只能是9，否则

。因而这里的自由度

。推而广之，任何统计量的自由度

（k为限制条件的个数）。

例2

如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

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