Soma e Produto: Raízes da Equação do 2° Grau

Soma e produto é uma técnica que podemos utilizar para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau sem utilizar a fórmula de Bhaskara.

Uma equação do segundo grau possui a seguinte forma:

• ax² + bx + c = 0, com a, b e c ∈ R e a ≠ 0.

Onde:

• a: coeficiente principal;
• b: coeficiente secundário;
• c: termo independente.

Quando resolvemos uma equação do segundo grau e utilizamos a fórmula de Bhaskara, podemos chegar nas seguintes possibilidades.

• ∆ > 0: a equação possui duas raízes reais e distintas.
• ∆ = 0: uma única raiz real e distinta.
• ∆ < 0: nenhuma raiz real.

Se a equação possui raízes reais, podemos aplicar o seguinte método prático para encontrá-las:

• Soma das raízes: (x₁ + x₂)
• Produto das raízes: (x₁ * x₂)

Vamos aplicar o método acima para chegar a uma fórmula que possamos encontrar as raízes da equação, para isso vamos fazer a soma e o produto das fórmulas abaixo:

A partir dos dados acima, temos as seguintes expressões que podemos usar para encontrar as raízes de uma equação do segundo grau, através da soma e produto.

Soma:

Produto:

Sabendo que ∆ = b² – 4ac.

Com as fórmulas acima, podemos encontrar as raízes para uma equação do segundo grau. Vamos ver um exemplo prático como funciona.

Exemplo:

Seja a equação x² – 5x + 6 = 0, encontre as raízes que resolvem a equação. Veja o passo-a-passo sobre como fazer:

Passo 1: anotar os valores dos coeficientes da equação:

• a = 1;
• b = -5;
• c = 6;

Passo 2: aplicar as fórmulas que definimos acima:

Soma:

Produto:

Passo 3: encontrar valores em que a soma (S) seja igual a 5 e o produto (P), seja igual a 6. É ideal começar pelos números candidatos ao produto, pois fica mais fácil.

Você deve perguntar: quais os números que eu multiplico e chego no resultado do produto?

Números candidatos para o produto:

• 2 . 3 = 6
• 1 . 6 = 6
• (-1) . (-6) = 6

Os números candidatos para a soma, dos números acima, é a primeira opção, pois:

• 2 + 3 = 5

Portanto, as raízes que formam o conjunto solução da equação: x² – 5x + 6 = 0 são 2 e 3.

Logo, S = {2, 3}.

Vamos conferir:

• 2: 2² – 5 . 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0
• 3: 3² – 5 . 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0

Legal, não é mesmo? Bem mais simples que utilizar a fórmula de Bhaskara. Devendo então anotar as fórmulas acima para da soma e do produto para x₁ e x₂.

Exercícios

Acesse os exercícios no link a seguir:

• Exercícios sobre soma e produto