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E 7 CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES TRASCENDENTES TEMPRANAS SÉPTIMA EDICIÓN JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traducción María del Carmen Rodríguez Pedroza Revisión técnica Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías Aplicadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Cálculo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas Séptima edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español Pilar Hernández Santamarina Coordinador de Manufactura Rafael Pérez González Editores Sergio Cervantes González Gloria Luz Olguín Sarmiento Diseño de portada Irene Morris Imagen de portada Irene Morris Composición tipográfica 6Ns © D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage LearningR es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información, a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Early trascendentals. Seventh Edition. James Stewart Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012 ISBN: 0-538-49790-4 Datos para catalogación bibliográfica Stewart James Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas. Séptima edición ISBN: 978-607-481-898-7 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 A Bill Ralph y Bruce Thompson Contenido Prefacio ix Al estudiante xxiii Exámenes de diagnóstico 10 xxv Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas Proyecto de laboratorio 10.2 Familias de curvas polares & 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 10.5 Secciones cónicas 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares 665 670 678 688 Sucesiones y series infinitas 11.1 664 685 Problemas adicionales 11 653 654 Proyecto de laboratorio Repaso 644 645 Curvas de Bézier & Coordenadas polares 636 Circunferencias que corren alrededor de circunferencias & Cálculo con curvas paramétricas Proyecto de laboratorio 10.3 635 Sucesiones 689 690 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas & 703 11.2 Series 703 11.3 La prueba de la integral y estimación de sumas 11.4 Pruebas por comparación 11.5 Series alternantes 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 11.7 Estrategia para probar series 11.8 Series de potencias 11.9 Representación de las funciones como series de potencias 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 714 722 727 739 741 Proyecto de laboratorio Redacción de proyecto 732 & & 746 753 Un límite escurridizo 767 Cómo descubrió Newton la serie binomial 767 v vi CONTENIDO 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor Proyecto de aplicación Repaso Radiación proveniente de las estrellas & 781 Vectores y geometría del espacio Sistemas tridimensionales de coordenadas 12.2 Vectores 12.3 El producto punto 12.4 El producto cruz 800 808 & Geometría de un tetraedro Poniendo tres dimensiones en perspectiva 826 827 834 Problemas adicionales 837 Funciones vectoriales 839 13.1 Funciones vectoriales y curvas en el espacio 13.2 Derivadas e integrales de funciones vectoriales 13.3 Longitud de arco y curvatura 13.4 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración Proyecto de aplicación Repaso 816 816 Cilindros y superficies cuádricas Repaso & 840 847 853 Leyes de Kepler 862 872 873 Problemas adicionales 14 & Ecuaciones de rectas y planos Proyecto de laboratorio 12.6 786 791 Proyecto para un descubrimiento 13 785 12.1 12.5 777 778 Problemas adicionales 12 768 876 Derivadas parciales 877 14.1 Funciones de varias variables 14.2 Límites y continuidad 14.3 Derivadas parciales 14.4 Planos tangentes y aproximaciones lineales 14.5 Regla de la cadena 14.6 Derivadas direccionales y el vector gradiente 14.7 Valores máximos y mínimos Proyecto de aplicación 878 892 900 915 924 & 933 946 Diseño de un camión de volteo Proyecto para un descubrimiento & 956 Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos 956 CONTENIDO 14.8 Multiplicadores de Lagrange Proyecto de aplicación & Ciencia para cohetes Proyecto de aplicación & Optimización de turbinas hidráulicas Repaso 973 15.1 Integrales dobles sobre rectángulos 15.2 Integrales iteradas 15.3 Integrales dobles sobre regiones generales 15.4 Integrales dobles en coordenadas polares 15.5 Aplicaciones de las integrales dobles 15.6 Área de superficie 15.7 Integrales triples 974 982 988 997 1003 1013 1017 Proyecto para un descubrimiento & Volúmenes de hiperesferas Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1027 Proyecto de laboratorio 15.9 & Intersección de tres cilindros Integrales triples en coordenadas esféricas Proyecto de aplicación & 16 Carrera de objetos circulares 1053 Cálculo vectorial 1055 16.1 Campos vectoriales 16.2 Integrales de línea 16.3 Teorema fundamental de las integrales de línea 16.4 Teorema de Green 16.5 Rotacional y divergencia 16.6 Superficies paramétricas y sus áreas 16.7 Integrales de superficie 16.8 Teorema de Stokes 1063 1091 1099 1110 1122 1135 1136 Problemas adicionales 1075 1084 & Tres hombres y dos teoremas El teorema de la divergencia Repaso 1040 1056 Redacción de proyecto 16.10 Resumen 1039 1049 Problemas adicionales 16.9 1032 1033 15.10 Cambio de variables en integrales múltiples Repaso 966 971 Integrales múltiples 15.8 964 967 Problemas adicionales 15 957 1139 1128 1128 1027 vii viii CONTENIDO 17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 1141 17.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 17.2 Ecuaciones lineales no homogéneas 17.3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden 17.4 Soluciones por series Repaso Apéndices 1142 1148 1164 1169 A1 F Demostración de teoremas H Números complejos I Respuestas a ejercicios de número impar Índice A51 A2 A13 A21 1156 Prefacio Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero siempre hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la emoción y disfrutar el triunfo del descubrimiento. GEORGE POLYA El arte de la enseñanza, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar a descubrir. He intentado escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el Cálculo, tanto por su utilidad práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las seis primeras ediciones, mi objetivo es mostrar a los estudiantes un sentido de la utilidad del Cálculo y desarrollar en ellos una competencia técnica, pero también intento ilustrar la belleza intrínseca de la materia. Sin duda, Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos; es mi deseo que los estudiantes compartan un poco de esa sensación. El énfasis está en la comprensión de los conceptos. Creo que casi todo el mundo está de acuerdo con que esta comprensión debe ser el objetivo principal de la enseñanza del Cálculo. De hecho, el impulso para la actual reforma en la enseñanza del Cálculo vino desde la Conferencia de Tulane en 1986, donde se formuló su primera recomendación: Concentrarse en la comprensión de los conceptos He intentado implementar este objetivo mediante la regla de los tres: “Los temas deben presentarse con enfoques geométricos, numéricos y algebraicos”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han modificado la manera en que se enseña el razonamiento conceptual. La regla de los tres se ha ampliado para convertirse en la regla de los cuatro al hacer hincapié en la verbalización y lo descriptivo. En la redacción de la séptima edición me he propuesto lograr una comprensión conceptual y conservar aún lo mejor del Cálculo tradicional. El libro contiene elementos de la reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. Versiones alternativas He escrito otros libros de cálculo que podrían ser preferidos por algunos maestros. La mayoría de ellos también vienen en versiones de una variable y de varias variables. ■ ■ Cálculo: transcendentes tempranas, séptima edición, versión híbrida, es similar al presente libro en contenido y cobertura salvo que todos los ejercicios de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final de capítulo. Cálculo, séptima edición, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones trigonométricas inversas, logarítmicas y exponenciales se tratan en un segundo semestre. ix x PREFACIO ■ ■ ■ ■ ■ ■ Cálculo, séptima edición, versión híbrida, es similar al libro Cálculo, séptima edición, en contenido y cobertura salvo que todos los ejercicios al final de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final del capítulo. Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aunque contiene casi todos los temas del Cálculo, séptima edición. La relativa brevedad se logra a través de una exposición más concreta de algunos temas y poniendo algunas características en el sitio web. Cálculo esencial: transcendentes tempranas se asemeja a Cálculo esencial, sólo que las funciones trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas se tratan en el capítulo 3. Cálculo: conceptos y contextos, cuarta edición, destaca la comprensión conceptual aún más fuertemente que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y ecuaciones paramétricas es tejido a lo largo del libro en lugar de ser tratados en capítulos separados. Cálculo: primeros vectores introduce los vectores y las funciones vectoriales en un primer semestre y las integra en todo el libro. Es adecuado para los estudiantes que toman cursos de ingeniería y física simultáneamente con el de Cálculo. Cálculo aplicado abreviado está destinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. ¿Qué hay de nuevo en la séptima edición? Los cambios han sido un resultado de los comentarios de mis colegas y estudiantes de la Universidad de Toronto y de la lectura de diarios, así como de las sugerencias de los usuarios y los revisores. Estas son algunas de las muchas mejoras que he incorporado esta edición. ■ ■ ■ ■ ■ ■ Parte del material ha sido reescrito para mayor claridad o mejor motivación. Véase, por ejemplo, la introducción a las series en la página 703 y la motivación para el producto cruz en la página 808. Se han agregado nuevos ejemplos (véase el ejemplo 4 en la página 1021), y las soluciones a algunos de los ejemplos existentes han sido ampliadas. El programa de arte ha sido renovado: se han incorporado nuevas figuras y un porcentaje importante de las actuales figuras han sido redibujadas. Se han actualizado los datos de ejemplos y ejercicios para ser más pertinentes. Se ha agregado un nuevo proyecto: Las Familias de curvas polares (página 664) exhiben las fascinantes formas de curvas polares y cómo evolucionan en el contexto de una familia. La sección sobre la superficie de la gráfica de una función de dos variables ha sido restaurada como sección 15.6 para la comodidad de los instructores a quienes les gusta enseñarlo después de las integrales dobles, aunque el tratamiento completo de la superficie se mantiene en el capítulo 16. PREFACIO ■ ■ xi Sigo buscando ejemplos de cómo el Cálculo se aplica a muchos aspectos del mundo real. En la página 909 podrá ver hermosas imágenes de la fuerza del campo magnético terrestre y su segunda derivada vertical calculada a partir de la ecuación de Laplace. Agradezco a Roger Watson por traer a mi atención cómo ésta se utiliza en la geofísica y la exploración de minerales. Más de 25% de los ejercicios de cada capítulo son nuevos. Éstos son algunos de mis favoritos: 11.2.49-50, 11.10.71-72, 12.1.44, 12.4.43-44 y los problemas 4, 5 y 8 de las páginas 837-838. Mejoras tecnológicas ■ ■ Los medios de comunicación y tecnología para apoyar el texto se han mejorado para dar a los profesores un mayor control sobre su curso, proporcionar ayuda adicional para hacer frente a los diversos niveles de preparación de los estudiantes del curso de Cálculo y fortalecer el apoyo para la comprensión conceptual. Las características del nuevo Enhanced WebAssign incluyen (en inglés) un Cengage YouBook personalizado, un repaso Just in Time, un Show your Work, un Evaluador de respuestas, un Plan de estudio personalizado, Master It, solución en videos, videoclips de conferencias (con preguntas asociadas) y un Visualizing Calculus (animaciones TEC con preguntas asociadas) que se han desarrollado para facilitar el mejor aprendizaje de los estudiantes y hacer flexible el trabajo docente en el aula. El TEC (Herramientas para Enriquecer el Cálculo) ha sido completamente rediseñado y está disponible en Enhanced WebAssign, CourseMate y PowerLecture. Selected Visuals y Modules están disponibles en www.stewartcalculus.com Características EJERCICIOS CONCEPTUALES La manera más importante de fomentar la comprensión conceptual es a través de los problemas que proponemos. Para ello he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicio comienzan solicitando la explicación del significado de los conceptos básicos de la sección. (Véase, por ejemplo, los primeros ejercicios en las secciones 11.2, 14.2 y 14.3). Del mismo modo, todas las secciones de repaso comienzan con una verificación de conceptos y un Examen rápido Verdadero-Falso. Los ejercicios de verificación de comprensión conceptual a través de gráficos o tablas se ven en los ejercicios 10.1.24-27, 11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39, 14.1.1-2, 14.1.32-42, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.5-10, 16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2. Otro tipo de ejercicios utilizan la descripción verbal para verificar la comprensión conceptual. Considero de valor especial los problemas que combinan y comparan los enfoques numéricos, gráficos y algebraicos. CONJUNTOS DE EJERCICIOS CALIFICADOS Cada conjunto de ejercicios es cuidadosamente calificado, progresando desde ejercicios conceptuales básicos y problemas para el desarrollo de habilidades hasta problemas más desafiantes de aplicaciones y demostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo buscando en bibliotecas, poniéndonos en contacto con empresas y organismos gubernamentales, y buscando información en internet con el fin de presentar, motivar e ilustrar los conceptos del Cálculo a partir de xii PREFACIO datos del mundo real. Como resultado, muchos de los ejemplos y ejercicios se tratan con funciones definidas por estos datos numéricos o gráficos. Por ejemplo, las funciones de dos variables son ilustradas por una tabla de valores del índice de viento frío como una función de la temperatura y la velocidad del viento (ejemplo 2 de la sección 14.1). Las derivadas parciales son introducidas en la sección 14.3 con la revisión de una columna en una tabla de valores del índice de calor (temperatura percibida del aire) como una función de la temperatura actual y la humedad relativa. Este ejemplo está conectado con las aproximaciones lineales (ejemplo 3 de la sección 14.4). Las derivadas direccionales se introducen en la sección 14.6, utilizando un mapa de curvas de temperatura para estimar la razón de cambio de la temperatura de Reno en dirección a Las Vegas. Las integrales dobles son usadas para estimar el promedio de nevadas en Colorado durante el 20 y 21 de diciembre de 2006 (ejemplo 4 de la sección 15.1). Los campos vectoriales son introducidos en la sección 16.1 a través de representaciones actuales de los campos vectoriales de los patrones de la velocidad del viento en la Bahía de San Francisco. PROYECTOS Una manera de interesar y activar a los estudiantes es hacerlos trabajar (quizás en grupos) en proyectos extendidos que den la sensación de triunfo al obtener un logro sustancial una vez finalizados. He incluido cuatro tipos de proyectos: proyectos de aplicación que involucran aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de los estudiantes. El proyecto después de la sección 14.8 utiliza los multiplicadores de Lagrange para determinar la masa de las tres etapas del lanzamiento de un cohete, así como también minimizar la masa total mientras el cohete alcanza la velocidad deseada. Los proyectos de laboratorio se refieren a la tecnología; el que sigue de la sección 10.2 muestra cómo usar curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los proyectos para un descubrimiento exploran aspectos de la geometría: tetraédrica (después de la sección 12.4), hiperesferas (después de la sección 15.7) e intersecciones de tres cilindros (después de la sección 15.8). El proyecto escrito, después de la sección 17.8, explora los orígenes históricos y físicos del teorema de Green y del teorema de Stokes, y la interacción de los hombres involucrados. Proyectos adicionales se encuentran en la guía del instructor. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los estudiantes suelen tener dificultades con problemas para los que no existe algún procedimiento bien definido para obtener la respuesta. Creo que nadie ha mejorado mucho la estrategia de George Polya con sus cuatro etapas para resolver un problema, por lo que, en consecuencia, he incluido una versión de sus principios para resolver problemas, después del capítulo 1. Estos principios, tanto explícita como implícitamente, se aplican en todo el libro. Después de los otros capítulos he colocado secciones llamadas problemas adicionales, que incluyen ejemplos de cómo afrontar problemas difíciles de Cálculo. En la selección de los variados problemas para estas secciones tomé en cuenta el consejo de David Hilbert: “un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrar nuestros esfuerzos”. Cuando propongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes, los califico de manera diferente. Aquí premio significativamente a un estudiante por sus ideas y aportaciones orientadas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de la tecnología no hace menos, sino más importante comprender claramente los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla. Cuando se utilizan correctamente, las calculadoras y dispositivos de graficación son poderosas herramientas para analizar y comprender los conceptos. Este libro de texto puede utilizarse con o sin tecnología y utilizo dos símbolos especiales para indicar claramente cuándo se requiere un tipo especial de máquina. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere de esta tecnología, pero no indica que no sea posible usarla en otros ejemplos. El símbolo SAC se utiliza para problemas que requieren todos los recursos de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). A pesar de todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y papel. Con frecuencia son preferibles los cálculos y trazos hechos manualmente PREFACIO xiii para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiado trabajar a mano o con máquina. HERRAMIENTAS PARA ENRIQUECER EL CÁLCULO TEC es un acompañante de este libro de texto y está pensado para enriquecer y complementar su contenido (disponible desde internet en www.stewartcalculus.com y en Enhanced WebAssign y CourseMate). Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, HubertHohn y por mí, TEC utiliza un enfoque exploratorio y de descubrimiento. En las secciones del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos al margen dirigen a estudiantes hacia módulos TEC que proporcionan un entorno de laboratorio en el que puede explorar el tema de diferentes maneras y en diferentes niveles. Visual son animaciones de figuras en el texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente alentar a los estudiantes a usar Visual y Module para la exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en Module, o a la creación de ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. TAREAS SUGERIDAS Aquí se presentan tareas sugeridas en forma de preguntas y tratan de emular un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como un discreto tutor. En cada sección del texto se incluyen sugerencias para los ejercicios representativos (normalmente impares), indicando el número del ejercicio en rojo. Los ejercicios están construidos de manera que no revelan más de la solución real de lo que es mínimo necesario para avanzar más y están disponibles a los estudiantes en stewartcalculus.com, CourseMate y Enhanced WebAssign. ENHANCED W E B A S S I G N La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tereas a estudiantes, particularmente en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, calidad de calificación y confiabilidad. Con la séptima edición hemos estado trabajando con la comunidad de Cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema más sólido de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables como tareas en línea, incluyendo respuestas libres, opción múltiple y otros varios formatos. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados en tutoriales paso a paso a través de ejemplos textuales, con enlaces al libro de texto y a las soluciones en video. Las nuevas mejoras al sistema incluyen un eBook personalizable, una muestra de las características de su trabajo (Show Your Work), un repaso de prerrequisitos de precálculo (Just in Time), un editor de tareas mejorado (Assignment Editor) y un evaluador de respuestas (Answer Evaluator) que acepta respuestas matemáticamente equivalentes y permite la calificación de las tareas del mismo modo en que lo hace el profesor. www.stewartcalculus.com Este sitio incluye lo siguiente. ■ Tareas sugeridas ■ Repaso de álgebra ■ Mi calculadora miente y la computadora me dijo ■ Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios históricos ■ Tópicos adicionales (complementados con conjuntos de ejercicios): series de fourier, fórmulas para el término del residuo en la serie de Taylor, rotación de ejes ■ Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en las ediciones anteriores, junto con sus soluciones) ■ Problemas de desafío (algunos de los problemas especiales que aparecieron en secciones de ediciones anteriores) ■ Vínculos para tópicos particulares a recursos externos de la web ■ Tools for Enriching Calculus (TEC), Module y Visual xiv PREFACIO Contenido Exámenes de diagnóstico El libro comienza con cuatro exámenes de diagnóstico relacionados con álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Un previo de Cálculo Se presenta una visión general del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio, se hace hincapié en varias representaciones de las funciones: verbal, numérica, visual y algebraica. Una discusión de los modelos matemáticos conduce a una revisión de las funciones estándar, incluyendo las funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un debate previo acerca de los problemas de la recta tangente y la velocidad. Los límites son tratados desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La sección 2.4, sobre la definición precisa !-" de un límite, es una sección opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan de derivadas (especialmente con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de estudiar las reglas de derivación en el capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en diversos contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en sección 2.8. 3 Reglas de derivación Aquí se derivan todas las funciones básicas, incluyendo las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas. Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes explicar su significado. En este capítulo se estudian el crecimiento y decaimiento exponencial. 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos básicos relativos a los valores extremos y a las formas de las curvas se deducen del teorema del valor medio. Las gráficas con tecnología hacen hincapié en la interacción entre el Cálculo y las calculadoras y el análisis de las familias de curvas. Se proporcionan algunos problemas importantes, incluyendo una explicación del porqué necesita levantar su cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. 5 Integrales Los problemas del área y la distancia sirven para motivar el estudio de la integral definida, recurriendo a la notación sigma cada vez que sea necesario. (En el apéndice E se proporciona un tratamiento completo de la notación sigma.) Se enfatiza la explicación del significado de la integral en diversos contextos y en la estimación de sus valores en gráficas y tablas. 6 Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de la integración —área, volumen, trabajo, valor promedio— que razonablemente pueden hacerse sin técnicas especializadas de integración. Se hace hincapié en métodos generales. El objetivo es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en trozos pequeños, estimarla con sumas de Riemann, y reconocer su límite como una integral. 7 Técnicas de integración Aquí se cubren los métodos estándar pero, por supuesto, el verdadero desafío es reconocer qué técnica se utiliza mejor en una situación dada. En consecuencia, en la sección 7.5, presento una estrategia para la integración. El uso de sistemas de álgebra computarizados se explica en la sección 7.6. 8 Aplicaciones adicionales de la integración Aquí aparecen las aplicaciones de integración: área de una superficie y longitud de un arco, para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, la economía y la física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección de probabilidad. Aquí hay más aplicaciones de las que en realidad se pueden cubrir en un curso determinado, así que los profesores deben seleccionar las aplicaciones adecuadas para interesar a los estudiantes y a ellos mismos. 2 PREFACIO xv 9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unifica este tratamiento preliminar de las ecuaciones diferenciales. Los campos direccionales y el método de Euler se estudian antes de resolver las ecuaciones lineales y separables de forma explícita, por lo que los enfoques cualitativos, numéricos y analíticos reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos exponenciales, logísticos y otros para el estudio del crecimiento de la población. Las primeras cuatro o cinco secciones de este capítulo son una buena introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza el modelo depredador-presa para ilustrar los sistemas de ecuaciones diferenciales. 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Este capítulo introduce las curvas paramétricas y polares y las aplicaciones del Cálculo en ellas. Las curvas paramétricas están bien adaptadas a los proyectos de laboratorio; los tres presentados involucran a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13. 11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea página 714) así como demostraciones formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de dispositivos de graficación. 12 Vectores y la geometría del espacio El material tridimensional de geometría analítica y vectores está dividido en dos capítulos. El capítulo 12 trata con vectores, producto punto y producto cruz, líneas, planos y superficies. 13 Funciones vectoriales Este capítulo cubre funciones valuadas como vectores, sus derivadas e integrales, la longitud y curvatura de un espacio de curvas y la velocidad y aceleración a lo largo de ese espacio, terminando en las leyes de Kepler. 14 Derivadas parciales Funciones de dos o más variables son estudiadas de forma verbal, numérica, visual y desde el punto de vista algebraico. En particular, introduzco las derivadas parciales examinando una columna específica en una tabla de valores del índice de calor (percibido en la temperatura del aire) como una función de la temperatura actual y de la humedad relativa. Las derivadas parciales son empleadas para estimar curvas en mapas de temperatura, presión y nevadas. 15 Integrales múltiples Los mapas de contorno y la regla del punto medio son utilizados para estimar el promedio de nevadas y de temperaturas en regiones dadas. Las integrales dobles y triples son empleadas para calcular probabilidades, áreas y superficies, y (en proyectos) volúmenes de hiperesferas y de la intersección de tres cilindros. Las coordenadas cilíndricas y esféricas son introducidas en el contexto de la evaluación de las integrales dobles y triples. 16 Cálculo vectorial Los campos vectoriales son introducidos a través de ilustraciones de los campos de velocidad del viento y sus patrones en la Bahía de San Francisco. Se hace énfasis en las similitudes con el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia. 17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden A partir de las ecuaciones diferenciales de primer orden, vistas en el capítulo 9, este capítulo final trata con las ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus aplicaciones en la vibración de resortes, circuitos eléctricos y solución de series. Material auxiliar Cálculo. Trascendentes tempranas, séptima edición, se apoya en un conjunto completo de materiales auxiliares desarrollados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Con esta edición, se han desarrollado nuevos medios y tecnologías que ayudan al estudiante a visualizar el Cálculo y a los instructores a personalizar el contenido para mejorar la forma en que enseñan su curso. Las tablas en las páginas xx-xxi describen cada uno de estos auxiliares. xvi PREFACIO Agradecimientos Para la preparación de ésta y las anteriores ediciones he invertido mucho tiempo leyendo las opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran número de astutos revisores. Agradezco enormemente a todos ellos por el tiempo dedicado a la cuidadosa lectura y a la comprensión del enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. REVISORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN Amy Austin, Texas A&M University Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Le Baron 0. Ferguson, University of California—Riverside Shari Harris, John Wood Community College Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang, Wayne State University REVISORES DE LA TECNOLOGÍA Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado en Denver y Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas at Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama en Huntsville Karin Reinhold, State University of New York at Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University PREFACIO xvii REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald Janusz, University of Illinois en Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois at Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York en Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University of Pittsburgh xviii PREFACIO Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Además, me gustaría dar las gracias a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh y Simon Smith por sus sugerencias; Al Shenk y Dennis Zill por su permiso para utilizar ejercicios de sus textos de cálculo; COMAP por su permiso para utilizar el material de los proyectos; George Bergman, David Bleecker. Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para los ejercicios; Dan Drucker por el proyecto del Derby de rodillos; Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para los proyectos; Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los nuevos ejercicios y sugerir formas para mejorarlos; Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la corrección; y Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y corrección del manuscrito de respuesta. Asimismo, doy las gracias a quienes han contribuido a pasadas ediciones: Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. También agradezco a Kathi Townes, Stephanie Kuhns y Rebekah Million of TECHarts por sus servicios de producción y al siguiente personal de Brooks/Cole: Cheryll Linthicum, gerente de proyecto de contenido; Liza Neustaetter, editor asistente; Maureen Ross, editor de medios; Sam Subity, gerente de medios de edición; Jennifer Jones, director de marketing; y Vernon Boes, director de arte. Todos han hecho un trabajo excepcional. He sido muy afortunado de haber trabajado con algunos de los mejores en el negocio de la edición en Matemáticas durante las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz Covello. Todos ellos han contribuido en gran medida al éxito de este libro. JA MES STEWART PREFACIO xix Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores Dr. Ernesto Filio López, de UPITA (IPN); M. en C. Manuel Robles Bernal; L.F.M. Luis Ángel Filio Rivera, de ESIME Zacatenco (IPN); M. en C. Lilia Quintos Vázquez, de ESIME Ticomán (IPN); Dr. Abel Flores Amado, del ITESM Campus Puebla, y al Mtro.Gustavo Zamorano Montiel, de la UPAEP (Puebla) en la revisión de esta séptima edición en español. Además agradecemos al Dr. Hugo Gustavo González Hernández, Director del Departamento de Ciencias y al Dr. Abel Flores Amado, Coordinador de la materia de Cálculo, así como a los siguientes profesores del ITESM Campus Puebla por la confianza depositada en la obra Cálculo. Trascendentes tempranas de Stewart y adoptarlo para sus cursos. Dr. Juan José Gómez Diaz Master Aida Ignacia Salazar C. Master Alvaro Andrade Andrade Master Jorge Luis Figueroa Ramirez Dr. Juan Manuel Merlo Dr. Julio Cesar Ramirez San Juan Master Luis Daniel Bravo Atentamente, Los Editores. Auxiliares para instructores PowerLecture ISBN 0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en formatos de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto completo predefinidas de conferencias en PowerPoint, una versión electrónica de la guía del instructor, un generador de soluciones; un software de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el cálculo (TEC), un video de instrucciones y un comando JoinIn sobre el contenido de TurningPoint. Instructor’s Guide Por Douglas Shaw ISBN 0-8400-5418-1 Cada sección del texto se analiza desde varios puntos de vista. La guía del instructor (Instructor’s Guide) contiene tiempo sugerido de asignación, puntos a destacar, temas de debate del texto, materiales básicos para la clase, sugerencias para trabajo en taller, ejercicios de trabajo de grupo en una forma adecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una versión electrónica de la guía del instructor está disponible en el DVD de PowerLecture. Complete Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4936-6 Multivariable Por Dan Clegg and Barbara Frank ISBN 0-8400-4947-1 Contiene las soluciones detalladas de todos los ejercicios del texto. Solution Builder www.cengage.com /solutionbuilder Esta base de datos en línea para el instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los ejercicios en el texto. El generador de soluciones (Solution Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas asignados en clase. Printed Test Bank Por William Steven Harmon ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos específicos de opción múltiple y exámenes de respuesta libre. ExamView Testing Crear, entregar y personalizar los exámenes en formatos impresos en línea con ExamView, permite una evaluación de fácil uso a través de un software tutorial. ExamView contiene cientos de elementos para exámenes de respuesta múltiple y libre. ExamView está disponible en el DVD de PowerLecture. ■ Electrónicos xx ■ Impresos Auxiliares para instructores y estudiantes Stewart Website www.stewartcalculus.com Contenido: Tareas sugeridas ■ Repaso de Álgebra ■ Temas adicionales ■ ejercicios de Simulación ■ Problemas de desafío ■ Enlaces web ■ Historia de las matemáticas ■ Herramientas para Enriquecer el Cálculo (TEC) TEC Tools for Enriching™ Calculus Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hu Hohn Herramientas para enriquecer el cálculo (TEC) funciona como una poderosa herramienta para instructores, así como un entorno tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y revisar temas seleccionados. Los módulos de simulación en Flash en TEC incluyen instrucciones escritas y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está accesible en CourseMate, WebAssign y PowerLecture. Los elementos seleccionados en Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign www.webassign.net El sistema de distribución de tareas de WebAssign permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar listas a través de la web. Enhanced WebAssign para el Cálculo de Stewart involucra ahora a los estudiantes en la revisión del contenido al comienzo del curso y al principio de cada sección así como en los conocimientos previos. Además, para los problemas seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayuda adicional en forma de “mayor retroalimentación” (las respuestas) y soluciones en video. Otras características clave incluyen: miles de problemas del Cálculo de Stewart. Un personalizable Cengage YouBook, un plan de estudio personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el momento, un evaluador de respuestas, módulos de animaciones y visualización del Cálculo, concursos, videos de conferencias (con preguntas asociadas) y mucho más. Cengage Customizable YouBook YouBook es un eBook en Flash interactivo y personalizable, que tiene todo el contenido del Cálculo de Stewart. Las características de YouBook son una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narrativa del libro de texto según sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente capítulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no enseñan, para crear un libro electrónico que coincida perfectamente con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar aún más el texto añadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas, videoclips, destacando notas y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign. CourseMate www.cengagebrain.com CourseMate es una perfecta herramienta de autoaprendizaje para estudiantes y no requiere ningún apoyo de los profesores. CourseMate trae conceptos con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas interactivas para la preparación de exámenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye: un libro electrónico interactivo, herramientas para enriquecer el Cálculo, videos, cuestionarios, tarjetas en flash y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta de primera en su tipo que supervisa el trabajo estudiantil. Maple CD-ROM Maple proporciona un dispositivo avanzado de cálculo matemático de alto rendimiento plenamente integrado con símbolos numéricos, todos accesibles desde un entorno técnico desde WYSIWYG. CengageBrain.com Para accesos de materiales adicionales del curso y recursos de apoyo, por favor visite www.cengagebrain.com. En esta página busque por ISBN o por título (desde la cubierta posterior de su libro) usando el comando de búsqueda en la parte superior de la página. Esto le llevará a la página del producto donde se pueden encontrar gratuitamente recursos de apoyo. Auxiliares para estudiantes Para cada sección del texto, la Guía de estudio proporciona a los estudiantes una breve introducción, una breve lista de conceptos al profesor así como resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La Guía de estudio también contiene preguntas “Tecnología Plus” y preguntas tipo examen de opción múltiple y de estilo “su propia respuesta”. CalcLabs with Maple Single Variable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez ISBN 0-8400-5811-X Multivariable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez ISBN 0-8400-5812-8 CalcLabs with Mathematica Single Variable Por Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 Multivariable Por Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5813-6 Cada uno de estos comprensibles manuales de laboratorio ayudará a los estudiantes a aprender a usar las herramientas de tecnología a su disposición. CalcLabs contienen ejercicios claramente explicados y una variedad de proyectos para acompañar el texto y laboratorios. Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker A Companion to Calculus Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 0-8400-4934-X ISBN 0-495-01124-X Student Solutions Manual Multivariable Por Dan Clegg and Barbara Frank ISBN 0-8400-4945-5 Proporciona soluciones completamente detalladas para todos los ejercicios impares en el texto, dando a los estudiantes una oportunidad de verificar sus respuestas y asegurar que hicieron los pasos correctos para llegar a una respuesta. Study Guide Escrito para mejorar el álgebra y las habilidades para resolver problemas de los estudiantes que están tomando un curso de Cálculo. Cada capítulo de este acompañante tiene una clave referente a un tema de Cálculo, que proporciona antecedentes conceptuales y técnicas de Álgebra específicos necesarios para comprender y resolver problemas de Cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de Cálculo que incluyen la revisión de los conceptos de precálculo o para uso individual. Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre Linear Algebra for Calculus Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 0-8400-5420-3 ISBN 0-534-25248-6 Multivariable Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5410-6 ■ Electrónicos Este comprensible libro está diseñado para complementar el curso de Cálculo. Proporciona una introducción y un repaso de las ideas básicas del Álgebra lineal. ■ Impresos xxi Al estudiante Leer un libro de texto de Cálculo es diferente a la lectura de un periódico, una novela o incluso un libro de física. No se desaliente si tiene que leer un párrafo más de una vez para entenderlo. Debe tener lápiz, papel y calculadora disponibles para esbozar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una sección del texto antes de enfrentar los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las definiciones para ver el significado exacto de cada término. Antes de leer cada ejemplo, le sugiero que llegue a la solución tratando de resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho más que mirando la solución si es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es inducir el pensamiento lógico. Es muy importante aprender a escribir las soluciones de los ejercicios de manera articulada, paso a paso, con comentarios explicativos, no sólo una cadena de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación verbal, interpretación o descripción. En tales casos no hay una única forma correcta de expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha encontrado la respuesta definitiva. Además, a menudo hay varias formas diferentes para expresar una respuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta aparenta ser diferente a la mía, no asuma inmediatamente que se equivocó. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es s2 # 1 y usted obtuvo 1!(1 $ s2 ), entonces está usted en lo correcto y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos (en la Sección 1.4 se analiza el uso de estos dispositivos de graficación y algunas de las dificultades que puedan surgir). Sin embargo, esto no significa que los dispositivos de gráficos no puedan utilizarse para comprobar el trabajo de otros ejercicios. El símbolo SAC se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). xxiii También se usará el símbolo | para cuidar que no se cometa un error. He puesto este símbolo en los márgenes en situaciones donde he advertido que una gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. Las Herramientas para enriquecer el cálculo, acompañantes de este texto, están indicadas por medio del símbolo TEC y están disponible en Enhanced WebAssign y en CourseMate (los recursos Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com). Aquí se dirige al estudiante a los módulos en los que puede explorar los aspectos del Cálculo para los que la computadora es particularmente útil. En TEC también se encuentra Tareas sugeridas para ejercicios representativos que están indicados número en rojo: 5. Estas sugerencias pueden encontrarse en stewartcalculus.com así como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Estas sugerencias de tareas hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin realmente dar la respuesta. Es necesario que el estudiante siga activamente cada pista con lápiz y papel a la mano para destacar los detalles. Si una sugerencia particular no permite resolver el problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Le recomiendo que conserve este libro para fines de consulta después de terminar el curso. Es probable que olvide algunos de los detalles específicos del Cálculo, por lo que el libro servirá como una referencia útil cuando sea necesario utilizar el Cálculo en cursos posteriores. Puesto que este libro contiene más material del que es posible cubrir en todo un curso, también puede servir como un valioso recurso para un trabajo científico o de ingeniería. El Cálculo es un tema apasionante, justamente considerado uno de los mayores logros del intelecto humano. Espero que el estudiante descubra que no sólo es útil, sino también intrínsecamente hermoso. JA M ES STEWA RT Exámenes de diagnóstico El éxito en Cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que le preceden: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los siguientes exámenes están destinados a diagnosticar las debilidades que el estudiante pueda tener en estas áreas. Después de cada examen puede verificar sus respuestas comparándolas con las respuestas determinadas y, si es necesario, actualizar sus habilidades haciendo referencia a los materiales de repaso que se proporcionan. A Examen de diagnóstico: álgebra 1. Evalúe las siguientes expresiones sin utilizar calculadora: a) "#3#4 d) b) #34 5 23 5 21 e) $% 2 3 c) 3#4 #2 f ) 16 #3!4 2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos: a) s200 # s32 b) "3a 3b 3 #"4ab 2 # 2 c) $ 3x 3!2 y 3 x 2 y#1!2 % #2 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a) 3"x $ 6# $ 4"2x # 5# c) (sa $ sb )(sa # sb ) b) "x $ 3#"4x # 5# d) "2x $ 3#2 e) "x $ 2#3 4. Factorice las siguientes expresiones: a) 4x 2 # 25 c) x 3 # 3x 2 # 4x $ 12 e) 3x 3!2 # 9x 1!2 $ 6x #1!2 b) 2x 2 $ 5x # 12 d) x 4 $ 27x f ) x 3 y # 4xy 5. Simplifique las siguientes expresiones racionales: a) x 2 $ 3x $ 2 x2 # x # 2 c) x2 x$1 # x #4 x$2 2 x$3 2x 2 # x # 1 ! x2 # 9 2x $ 1 y x # x y d) 1 1 # y x b) xxv xxvi EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO 6. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones: a) s10 s5 # 2 b) s4 $ h # 2 h 7. Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto: a) x 2 $ x $ 1 b) 2x 2 # 12x $ 11 8. Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre sólo las soluciones reales). 2x 2x # 1 ! x$1 x d) 2x 2 $ 4x $ 1 ! 0 1 a) x $ 5 ! 14 # 2 x b) c) x2 # x # 12 ! 0 & e) x 4 # 3x 2 $ 2 ! 0 g) 2x"4 # x##1!2 # 3 s4 # x ! 0 & f ) 3 x # 4 ! 10 9. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solución en intervalos: a) #4 % 5 # 3x & 17 c) x"x # 1#"x $ 2# ' 0 2x # 3 e) &1 x$1 b) x 2 % 2x $ 8 d) x # 4 % 3 & & 10. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) " p $ q#2 ! p 2 $ q 2 b) sab ! sa sb c) sa 2 $ b 2 ! a $ b d) 1 $ TC !1$T C f) 1!x 1 ! a!x # b!x a#b e) 1 1 1 ! # x#y x y Respuestas al examen de diagnóstico A: álgebra 1. a) 81 d) 25 2. a) 6s2 b) #81 c) 9 4 f) e) b) 48a 5b7 c) 1 81 1 8 x 9y7 3. a) 11x # 2 b) 4x 2 $ 7x # 15 c) a # b d) 4x 2 $ 12x $ 9 3 2 e) x $ 6x $ 12x $ 8 4. a) "2x # 5#"2x $ 5# c) "x # 3#"x # 2#"x $ 2# e) 3x#1!2"x # 1#"x # 2# x$2 x#2 1 c) x#2 5. a) b) "2x # 3#"x $ 4# d) x"x $ 3#"x 2 # 3x $ 9# f) xy"x # 2#"x $ 2# b) x#1 x#3 d) #"x $ y# 6. a) 5s2 $ 2s10 7. a) ( x $ 21 ) 2 $ 34 8. a) 6 d) #1 ( s2 1 2 g) b) 1 s4 $ h $ 2 b) 2"x # 3#2 # 7 b) 1 c) #3, 4 e) (1, (s2 2 22 f) 3 , 3 12 5 9. a) '#4, 3# c) "#2, 0# " "1, )# e) "#1, 4( 10. a) Falsa d) Falsa b) "#2, 4# d) "1, 7# b) Verdadera e) Falsa Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com c) Falsa f ) Verdadera xxvii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO B Examen de diagnóstico: geometría analítica 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por "2, #5# y a) b) c) d) tiene pendiente #3 es paralela al eje x es paralela al eje y es paralela a la recta 2x # 4y ! 3 2. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en "#1, 4# y que pasa por el punto "3, #2#. 3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2 $ y2 # 6x $ 10y $ 9 ! 0. 4. Sean A"#7, 4# y B"5, #12# puntos en el plano. a) Encuentre la pendiente de la recta determinada por A y B. b) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento AB. d) Encuentre la longitud del segmento AB. e) Encuentre la ecuación de la perpendicular que biseca a AB. f ) Encuentre la ecuación de la circunferencia para la que AB es diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. a) #1 & y & 3 b) x 1 2 4y y 2 c) y % 1 # x d) y * x # 1 e) x $ y % 4 f ) 9x 2 $ 16y 2 ! 144 2 2 2 Respuestas al examen de diagnóstico B: geometría analítica 1. a) y ! #3x $ 1 c) x ! 2 b) y ! #5 5. (a) y (b) y (c) y 3 1 d) y ! 2 x # 6 1 2 2. "x $ 1#2 $ " y # 4#2 ! 52 1 y=1- 2 x 0 x _1 3. Centro "3, #5#, radio 5 _4 4x 0 0 2 x _2 4 4. a) # 3 b) 4x $ 3y $ 16 ! 0; intersección en x ! #4, intersección en y ! # 163 c) "#1, #4# d) 20 e) 3x # 4y ! 13 f ) "x $ 1#2 $ " y $ 4#2 ! 100 (d) y (e) y 2 (f ) ≈+¥=4 y 3 0 _1 1 x y=≈-1 Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar el repaso de geometría analítica en los apéndices B y C. 0 2 x 0 4 x xxviii C EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO Examen de diagnóstico: funciones 1. La gráfica de una función f está dada a la izquierda. y a) b) c) d) e) 1 0 x 1 Determine el valor de f "#1#. Estime el valor de f "2#. ¿Para qué valores de x es f "x# ! 2? Estime los valores de x tales que f "x# ! 0. Establezca el dominio y el rango de f . 2. Si f "x# ! x 3 , evalúe el cociente de diferencias 3. Encuentre el dominio de la función FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 2x $ 1 x $x#2 a) f "x# ! 3 x s x $1 b) t"x# ! 2 f "2 $ h# # f "2# y simplifique su respuesta. h c) h"x# ! s4 # x $ sx 2 # 1 2 4. ¿Qué aspecto tiene cada una de las gráficas siguientes a partir de la gráfica de f ? a) y ! #f "x# b) y ! 2 f "x# # 1 c) y ! f "x # 3# $ 2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo de cada una de las gráficas siguientes: a) y ! x 3 d) y ! 4 # x 2 g) y ! #2 x 1 x2 2x 1 6. Sea f x b) y ! "x $ 1#3 e) y ! sx h) y ! 1 $ x #1 si x si x c) y ! "x # 2#3 $ 3 f ) y ! 2 sx 0 0 a) Evalúe f "#2# y f "1#. b) Trace la gráfica de f 7. Si f "x# ! x $ 2x # 1 y t"x# ! 2x # 3, encuentre cada una de las siguientes funciones: 2 a) f ! t b) t ! f c) t ! t ! t Respuestas al examen de diagnóstico C: funciones 1. a) #2 b) 2.8 d) #2.5, 0.3 c) #3, 1 e) '#3, 3(, '#2, 3( d) e) y 4 0 2 x f) y 0 1 x 1 x y 0 1 x 2. 12 $ 6h $ h 2 3. a) "#), #2# " "#2, 1# " "1, )# g) b) "#), )# c) "#), #1( " '1, 4( 1 _1 b) Alargamiento vertical en un factor de 2 y después un desplazamiento de 1 unidad hacia abajo c) Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba b) y c) y 1 0 x _1 x 0 x 0 7. a) " f ! t#"x# ! 4x 2 # 8x $ 2 b) b) " t ! f #"x# ! 2x 2 $ 4x # 5 c) " t ! t ! t#"x# ! 8x # 21 y 1 (2, 3) 0 1 6. a) #3, 3 y 1 1 y 0 4. a) Reflexión respecto al eje x 5. a) h) y _1 0 x x Si tiene usted dificultades con este examen, vea las secciones 1.1-1.3 de este libro EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO Examen de diagnóstico: trigonometría D 1. Convierta de grados a radianes. a) 300+ b) #18+ 2. Convierta de radianes a grados. a) 5,!6 b) 2 3. Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos de: a) tan",!3# b) sen(7p!6) c) sec"5,!3# 5. Exprese las longitudes de a y b de la figura en términos de u. 24 a 6. Si sen x 1 3 5 y sec y ! 4, donde x y y están entre 0 y p!2, evalúe sen(x $ y). 7. Demuestre las identidades: ¨ a) tan u sen u $ cos u ! sec u b FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 b) 1 2 tan x tan 2 x sen 2x 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x ! sen x y 0 & x & 2,. 9. Trace la gráfica de la función y ! 1 $ sen 2x sin usar calculadora. Respuestas al examen de diagnóstico D: trigonometría 1. a) 5,!3 b) #,!10 6. 2. a) 150+ b) 360+!, ) 114.6+ 8. 0, ,!3, ,, 5,!3, 2, 1 15 (4 $ 6 s2 ) 9. 3. 2, cm 4. a) s3 b) # 12 5. a) 24 sen u b) 24 cos - y 2 c) 2 _π 0 π x Si tiene usted dificultades con este examen de diagnóstico, vea el apéndice D de este libro. xxix 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares El cometa Hale-Bopp, con su azulada cola de iones y polvo blanco, apareció en el cielo en marzo de 1997. En la sección 10.6 veremos cómo las coordenadas polares proporcionan una ecuación conveniente para la trayectoria de este cometa. © Dreamstime Hasta ahora hemos descrito las curvas planas expresando a y como una función de x y f (x) o a x como una función de y x (y) , o dando una relación entre x y y que define a y implícitamente como una función de x f ( x, y) 0 . En este capítulo estudiaremos dos métodos nuevos para describir curvas. Algunas curvas, como el cicloide, se manejan mejor cuando x y y están dadas en términos de una tercera variable t llamada parámetro x f (t), y (t) . Otras curvas, tales como la cardioide, tienen una descripción más conveniente cuando usamos un nuevo sistema de coordenadas, llamado sistema de coordenadas polares. 635 636 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas 10.1 y C (x, y)={ f(t), g(t)} 0 x Imagine que una partícula se mueve a lo largo de la curva C mostrada en la figura 1. Es imposible describir C por una ecuación de la forma y f (x) porque C falla en la prueba de la recta vertical. Pero las coordenadas x y y de la partícula son funciones del tiempo t y, por tanto, se puede escribir por medio de x f (t) y y (t). Este par de ecuaciones suele ser una forma más conveniente de describir una curva y da lugar a la siguiente definición. Suponga que x y y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada parámetro) mediante las ecuaciones FIGURA 1 f (t) x (t) y (llamadas ecuaciones paramétricas). Cada valor de t determina un punto (x, y), que se puede representar en un plano coordenado. Cuando t varía, el punto (x, y) ( f (t), (t)) varía y traza una curva C, que llamamos curva paramétrica. El parámetro t no necesariamente representa el tiempo y, de hecho, se podría usar una letra distinta a t para el parámetro. Pero en muchas aplicaciones de curvas paramétricas, t denota el tiempo y, por tanto, se puede interpretar a (x, y) ( f (t), (t)) como la posición de una partícula en el tiempo t. EJEMPLO 1 Bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas 2t t2 x y 1 t SOLUCIÓN Cada valor de t da un punto sobre la curva, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, si t 0, entonces x 0, y 1 y el punto correspondiente es (0, 1). En la figura 2 se grafican los puntos (x, y) determinados por varios valores del parámetro y se unen para producir una curva. t x 2 1 0 1 2 3 4 y y 8 3 0 1 0 3 8 1 0 1 2 3 4 5 t=2 t=1 t=0 t=4 t=3 (0, 1) 0 8 t=_1 x t=_2 FIGURA 2 Una partícula cuya posición está dada por las ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que t aumenta. Nótese que los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen en intervalos de tiempo iguales, pero no a distancias iguales. Esto es porque la partícula desacelera y después acelera cuando aumenta t. Parece, de la figura 2, que la curva trazada por la partícula es una parábola. Esto se puede confirmar al eliminar el parámetro t como sigue. De la segunda ecuación obtenemos t y 1 y la sustituimos en la primera ecuación. Esto da Esta ecuación en x y y describe dónde ha estado la partícula, pero no nos dice cuándo ha estado la partícula en un punto particular. Las ecuaciones paramétricas tienen una ventaja, nos dicen cuándo estuvo la partícula en un punto y la dirección de su movimiento. x t2 2t y 1 2 2 y 1 y2 4y 3 y por tanto la curva representada por las ecuaciones paramétricas dadas es la parábola x y 2 4y 3. SECCIÓN 10.1 y CURVAS DEFINIDAS POR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS En el ejemplo 1 no se restringe el parámetro t, así que asumimos que t puede ser cualquier número real. Pero algunas veces restringiremos a t a un intervalo finito. Por ejemplo, la curva paramétrica (8, 5) t2 x (0, 1) 2t y t 1 0 4 t que se ve en la figura 3 es la parte de la parábola del ejemplo 1 que empieza en el punto (0, 1) y termina en el punto (8, 5). La punta de la flecha indica la dirección en que se ha trazado la curva cuando t se incrementa de 0 a 4. En general, la curva con ecuaciones paramétricas x 0 637 FIGURA 3 x f t y tt a t b tiene un punto inicial ( f (a), (a)) y un punto terminal ( f (b), (b)). v 
EJEMPLO 2 ¿Qué curva representan las siguientes ecuaciones paramétricas?    cos t x cos sen  0 2 t podemos confirmar eliminando t. Observe que   x2 
y2 cos 2t sen2t 1 Así, el punto (x, y) se mueve sobre la circunferencia x 2 y 2 1. Observe que en este ejemplo, el parámetro t puede interpretarse como el ángulo (en radianes) que se ve en la figura 4. Cuando t se incrementa de 0 a 2), el punto (x, y) (cos t, sen t) se mueve una vez alrededor de la circunferencia en dirección contraria a las manecillas del reloj a partir del punto (1, 0). FIGURA 4 EJEMPLO 3 ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricas dadas? x y 0 sen 2t y cos 2t 0 2 t SOLUCIÓN Otra vez tenemos x2 (0, 1) FIGURA 5 sen t SOLUCIÓN Si ubicamos los puntos, parece que la curva es una circunferencia, lo que
 t=0, π, 2π y x y2 sen2 2t cos 2 2t 1 así que nuevamente las ecuaciones paramétricas representan la circunferencia unitaria x 2 y 2 1. Pero cuando t se incrementa de 0 a 2), el punto (x, y) (sen 2t, cos 2t) empieza en (0, 1) y se mueve dos veces alrededor de la circunferencia en dirección de las manecillas del reloj, como se indica en la figura 5. Los ejemplos 2 y 3 muestran que diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas pueden representar la misma curva. Así, distinguimos entre una curva, como un conjunto de puntos, y una curva paramétrica, en la que los puntos están trazados de un modo particular. EJEMPLO 4 Encuentre las ecuaciones paramétricas de la circunferencia con centro en (h, k) y radio r. SOLUCIÓN Si tomamos las ecuaciones de la circunferencia unitaria del ejemplo 2 y multiplicamos las expresiones para x y y por r, obtenemos x r cos t, y r sen t. Es posible verificar que estas ecuaciones representan una circunferencia con radio r y centro en el origen trazado en dirección contraria a las manecillas del reloj. Ahora desplazamos 638 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES h unidades en la dirección x y k unidades en la dirección y, para obtener las ecuaciones paramétricas de la circunferencia (figura 6) con centro (h, k) y radio r: x h r cos t y r sen t k 0 t 2 y r (h, k) FIGURA 6 x=h+r cos t, y=k+r sen t y (_1, 1) (1, 1) 0 v x Trace la curva con ecuaciones paramétricas x EJEMPLO 5 sen t, y sen2 t. SOLUCIÓN Observe que y (sen t) 2 x 2 y por tanto el punto se mueve sobre la parábola y x . Pero también observe que, como 1 sen t 1, tenemos 1 x 1, por lo que las ecuaciones paramétricas representan sólo la parte de la parábola para la cual 1 x 1. Como sen t es periódica, el punto (x, y) (sen t, sen 2 t) se mueve infinitamente en vaivén a lo largo de la parábola desde ( 1, 1) hasta (1, 1). (Véase figura 7.) 2 0 x FIGURA 7 a cos bt y x x x=cos t TEC Module 10.1A proporciona una animación de la relación entre el movimiento a lo largo de la curva paramétrica x f (t), y (t) y el movimiento a lo largo de las gráficas de f y como funciones de t. Activando TRIG nos da la familia de curvas paramétricas c sen dt t Si elegimos a b c d 1 y activamos animate, veremos cómo las gráficas de x cos t y y sen t se relacionan con la circunferencia en el ejemplo 2. Si elegimos a b c 1, d 2, veremos las gráficas como en la figura 8. Activando animate o moviendo t a la derecha, podremos ver del código de color cómo se mueve con la trayectoria de x cos t e y sen 2 t que corresponden al movimiento a lo largo de la curva paramétrica, llamada figura de Lissajous. y y x FIGURA 8 x=cos t y=sen 2t t y=sen 2t ฀ Dispositivos de graficación La mayor parte de las calculadoras y los programas de graficación se pueden usar para graficar curvas dadas por ecuaciones paramétricas. De hecho, es instructivo observar una curva paramétrica dibujada con una calculadora, porque los puntos se ubican en orden conforme se incrementan los valores del parámetro correspondiente. SECCIÓN 10.1 3 EJEMPLO 6 Utilice un dispositivo de graficación para graficar la curva x SOLUCIÓN. Sea t _3 639 CURVAS DEFINIDAS POR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS y4 3y 2. y el parámetro. Entonces tenemos las ecuaciones 3t 2 t4 x 3 y t Usando estas ecuaciones paramétricas para graficar la curva, obtenemos la figura 9. Podríamos resolver la ecuación dada (x y 4 3y 2) para y como cuatro funciones de x y graficarlas individualmente, pero las ecuaciones paramétricas proporcionan un método mucho más fácil. _3 FIGURA 9 En general, si necesitamos graficar una ecuación de la forma x las ecuaciones paramétricas (t) x y (y), podemos usar t Observe también que las curvas con ecuaciones y f (x) (aquellas con las que se está familiarizado; gráficas de funciones) también se pueden considerar como curvas con ecuaciones paramétricas x t y f (t) Los dispositivos de graficación son particularmente útiles para trazar curvas complicadas. Por ejemplo, las curvas que se muestran en las figuras 10, 11 y 12 serían virtualmente imposibles de hacer a mano. 1.5 _1.5 1.5 _2 _1.5 x=sen t+ 21 cos 5t+ 41 sen 13t y=cos sen 5t+ 41 _1.8 2 cos 13t 1.8 _1.8 _1 FIGURA 10 t+21 1.8 1 FIGURA 11 FIGURA 12 x=sen t+ 21 sen 5t+ 41 cos 2.3t x=sen t-sen 2.3t y=cos t+ 21 cos 5t+ 41 sen 2.3t y=cos t Uno de los más importantes usos de las curvas paramétricas es el diseño asistido por computadora (CAD). En el proyecto de laboratorio después de la sección 10.2 investigaremos curvas paramétricas especiales, llamadas curvas de Bézier, que son ampliamente utilizadas en manufactura, especialmente en la industria automotriz. Estas curvas también se emplean en formas especiales de letras y otros símbolos de impresión en láser. ฀ La cicloide TEC En Module 10.1B se muestra una animación de la manera en que se forma una cicloide a partir del movimiento de un círculo. EJEMPLO 7 La curva trazada por un punto P sobre la circunferencia de un círculo cuando éste rueda a lo largo de una recta se llama cicloide (véase figura 13). Si el círculo tiene radio r y rueda a lo largo del eje x, y si una posición de P está en el origen, determine las ecuaciones paramétricas para la cicloide. P P FIGURA 13 P 640 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES y SOLUCIÓN Elegimos como parámetro al ángulo de rotación . del círculo (. 0 cuando P está en el origen). Suponga que el círculo ha girado . radianes. Debido a que el círculo ha estado en contacto con la recta, se ve de la figura 14, que la distancia que ha rodado desde el origen es r P O x ¨ C (r¨, r ) Q ru Por tanto, el centro del círculo es C(r ., r). Sean (x, y) las coordenadas de P. Entonces, de la figura 14 vemos que y r¨ arc PT OT T x FIGURA 14 x OT PQ ru y TC QC r r u r sen u r cos u r 1 sen u cos u Así que las ecuaciones paramétricas de la cicloide son 1 x r u sen u y r 1 cos u u Un arco de la cicloide viene de una rotación del círculo y, por tanto, se describe mediante 0 . 2). Aunque las ecuaciones 1 se obtuvieron de la figura 14, que ilustra el caso donde 0 . ) 2, se puede ver que son válidas para otros valores de . (véase el ejercicio 39). Aunque es posible eliminar el parámetro . de las ecuaciones 1, la ecuación cartesiana resultante en x y y es muy complicada y no es conveniente para trabajar como con las ecuaciones paramétricas. A cicloide B FIGURA 15 P P P FIGURA 16 P P Una de las primeras personas en estudiar la cicloide fue Galileo, quien propuso que los puentes se construyeran en forma de cicloides, y quien trató de encontrar el área bajo un arco de una cicloide. Después esta curva surgió en conexión con el problema de la braquistócrona: hallar la curva a lo largo de la cual se desliza una partícula en el tiempo más corto (bajo la influencia de la gravedad) de un punto A a un punto B más bajo pero no directamente debajo de A. El matemático suizo John Bernoulli, quien planteó este problema en 1696, demostró que entre las curvas posibles que unen A con B, como en la figura 15, la partícula tomará el menor tiempo de deslizamiento de A a B si la curva es parte de un arco invertido de una cicloide. El físico holandés Huygens demostró que la cicloide es también la solución al problema de la tautócrona; es decir, sin importar dónde se coloque una partícula P en una cicloide invertida, le toma el mismo tiempo deslizarse hasta el fondo (véase figura 16). Huygens propuso que los relojes de péndulo (que él inventó) oscilaran en arcos cicloidales, porque en tal caso el péndulo tarda el mismo tiempo en completar una oscilación si oscila por un arco amplio o pequeño. ฀ Familias de curvas paramétricas v EJEMPLO 8 Investigue la familia de curvas con ecuaciones paramétricas x a cos t y a tan t sen t ¿Qué tienen estas curvas en común? ¿Cómo cambia su forma cuando a crece? SOLUCIÓN Se emplea un dispositivo de graficación para producir las gráficas para los casos a 2, 1, 0.5, 0.2, 0, 0.5, 1 y 2 que se muestran en la figura 17. Observe que todas estas curvas (excepto el caso a 0) tienen dos ramas, y ambas se aproximan a la asíntota vertical x a cuando x se aproxima a a por la izquierda o por la derecha. SECCIÓN 10.1 a=_2 a=_1 a=0 a=_0.5 a=0.5 FIGURA 17 Miembros de la familia x=a+cos t, y=a tan t+sen t, graficadas en el rectángulo de vista f_4, 4g por f_4, 4g 10.1 CURVAS DEFINIDAS POR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 641 a=_0.2 a=1 a=2 Cuando a 1, ambas ramas son suaves, pero cuando a llega a 1, la rama derecha adquiere un punto agudo llamado cúspide. Para a entre 1 y 0 la cúspide se convierte en un bucle, que se vuelve más grande conforme a se aproxima a 0. Cuando a 0, ambas ramas se juntan y forman una circunferencia (véase el ejemplo 2). Para a entre 0 y 1, la rama izquierda tiene un bucle, el cual se contrae para volverse una cúspide cuando a 1. Para a 1, las ramas se suavizan de nuevo y cuando a crece más, se curvan menos. Observe que las curvas con a positiva son reflexiones respecto al eje y de las curvas correspondientes con a negativa. Estas curvas se llaman concoides de Nicomedes en honor del erudito de la antigua Grecia, Nicomedes. Las llamó concoides porque la forma de sus ramas externas se asemeja a la concha de un caracol o de un mejillón. Ejercicios 1-4 Bosqueje la curva ubicando puntos por medio de las ecuaciones paramétricas. Indique con una flecha la dirección en que se traza la curva cuando t crece. 1. x t2 2. x 2 t , y 3. x cos2 t, y 4. x e t2 t, y t t 3 t, 4t, 1 t, 2 3 et t, 2 2 t 2 t , 1 y y t t 3 a) Elimine el parámetro para hallar una ecuación cartesiana de la curva. b) Bosqueje la curva e indique con una flecha la dirección en que se traza la curva cuando crece el parámetro. p 2 t 10. x st , 11-18 3 t sen t, 0 y 2 t 9. x 11. x sen 21 u, a) Bosqueje la curva usando las ecuaciones paramétricas para ubicar puntos. Indique con una flecha la dirección en la cual se traza la curva cuando t aumenta. 12. x 1 2 13. x sen t, y b) Elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva. 14. x et 1, y e 2t 15. x e 2t, y t 1 16. y st 1, y st 17. x senh t, y cosh t 18. x tan2 u, y sec u, 5-10 5. x 3 4t, y 2 3t 6. x 1 2t, y 1 2 1, 7. x 1 t 2, t 2, 2 t 2 8. x t 1, t3 1, 2 t 2 y y t 2 4 t Se requiere calculadora graficadora o computadora y cos 12 u, y 2 sen u, 0 cos u, csc t, p u u p t p 2 p 2 u 0 p 1 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com p 2 642 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 19-22 Describa el movimiento de una partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo dado. 19. x 3 20. x 2 sen t, 21. x 5 sen t, y 2 cos t, 2 sen t, p 2 y 1 4 cos t, 3p 2 t 25-27 Use las gráficas de x f (t) y y (t) para bosquejar la curva paramétrica x f (t), y (t). Indique con flechas la dirección en que se traza la curva cuando t crece. 25. 22. x y 2 cos t, 2 sen t, y 0 t 3p 2 p t 5p 2p cos t, x 1 1 t 1 t 1 t _1 2p t y 26. 23. Suponga que una curva está dada por las ecuaciones paramétricas x f (t), y (t), donde el rango de f es 1, 4 y el rango de es 2, 3 . ¿Qué podemos decir acerca de la curva? x y 1 1 t 1 24. Relacione las gráficas de las ecuaciones paramétricas x f (t) y y (t) en a)-d) con las curvas paramétricas etiquetadas I-IV. Dé razones para sus elecciones. a) 27. x I y x 2 y 1 1 1 1 y 1 1 2 t 1 1 t t 2 x t 28. Relacione las curvas paramétricas con las curvas etiquetadas b) I-VI. Dé razones para sus elecciones. (No utilice dispositivos de graficación.) II y 2 x 2 y 2 1t 1t 2 x a) x t4 t b) x t2 2t, y c) x d) x sen 2t, y cos 5t , y e) x t f) x c) 1, t2 y st sen t sen 2t sen 2t sen 4t, y t 2 cos 3t sen 2t cos 2t , y 4 t2 4 t2 III x 2 y y 1 2 2 t I II y 2 x 1 2 t III y y x x x d) IV x 2 y 2 t y 2 IV V y 2 VI y y 2 t x 2 x x x SECCIÓN 10.1 29. Grafique la curva x y x 3 4x y x y 3 4y, y encuentre sus puntos de intersección con una aproximación de un decimal. x x2 x1 t y y1 y2 r. d sen . a 33. Encuentre ecuaciones paramétricas para la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia x 2 (y 1) 2 4 de la manera que se describe. a) Una vuelta en dirección de las manecillas del reloj, empezando en (2, 1). b) Tres vueltas en dirección contraria a las manecillas del reloj, empezando en (2, 1) c) Media vuelta en dirección contraria a las manecillas del reloj, empezando en (0, 3). 34. a) Encuentre ecuaciones paramétricas para la elipse x a y b 1. Sugerencia: modifique las ecuaciones de la circunferencia del ejemplo 2. b) Utilice estas ecuaciones paramétricas para graficar la elipse cuando a 3 y b 1, 2, 4 y 8. c) ¿Cómo cambia la forma de la elipse cuando b varía? 2 b P ¨ x O 42. Si a y b son números fijos, encuentre las ecuaciones paramétricas de la curva que consiste de todas las posiciones posibles del punto P en la figura, usando el ángulo . como parámetro. El segmento de recta AB es tangente a la circunferencia más grande. y A 35-36 Utilice una calculadora graficadora o computadora para reproducir el dibujo 35. a y 36. b y P ¨ O x B 4 2 2 0 r. y 31a) para dibujar el triángulo con vértices A(1, 1), B(4, 2) y C(1, 5). 2 ryd paramétricas para la curva que consiste de todas las posibles posiciones del punto P en la figura, utilizando el ángulo . como parámetro. Después elimine el parámetro e identifique la curva. 32. Utilice un dispositivo de graficación y el resultado del ejercicio 2 d cos . 41. Si a y b son números fijos, encuentre las ecuaciones y1 t donde 0 t 1, describen el segmento de recta que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y 2). b) Encuentre las ecuaciones paramétricas para representar el segmento de recta de ( 2, 7) a (3, 1). 2 r y Trace la trocoide para los casos d 31. a) Demuestre que las ecuaciones paramétricas x1 643 para la cicloide y, asumiendo que la recta es el eje de las x y . 0 cuando P es uno de sus puntos mínimos, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trocoide son 2 sen )y. 30. Grafique las curvas y x CURVAS DEFINIDAS POR MEDIO DE ECUACIONES PARAMÉTRICAS 0 x 2 3 8 x 43. Una curva, llamada bruja de María Agnesi, consiste de todas 37-38 Compare las curvas representadas por las ecuaciones paramétricas ¿Cómo difieren? 37. a) x c) x 38. a) x c) x t 3, y t 2 e 3t, y e t, y e t, y 2 t e b) x t 6, t4 b) x cos t , y y las posibles posiciones del punto P en la figura. Demuestre que las ecuaciones paramétricas para esta curva pueden expresarse como x 2t 2a cot . y 2a sen 2 . Trace la curva. sec2 t y=2a 2t 39. Deduzca las ecuaciones 1 para el caso ) 2 . y C A ). 40. Sea P un punto a una distancia d del centro de una circunferencia de radio r. La curva trazada por P cuando el círculo rueda a lo largo de una línea recta se llama trocoide. (Piense en el movimiento de un punto sobre el rayo de una rueda de bicicleta.) La cicloide es el caso especial de una trocoide con d r. Utilizando el mismo parámetro . como P a ¨ O x 644 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES su posición después de t segundos está dada por las ecuaciones paramétricas 44. a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para el conjunto de todos los puntos P como los que se muestran en la figura, tales que OP AB . (Esta curva se llama cisoide de Diocles en honor al sabio griego Diocles, quien introdujo la cisoide como un método gráfico para construir el lado de un cubo cuyo volumen es dos veces el de un cubo dado.) b) Utilice la descripción geométrica para dibujar a mano un bosquejo de la curva. Verifique su trabajo utilizando las ecuaciones paramétricas para graficar la curva. y x x=2a P O v 0 sen a t 1 2 tt 2 47. Investigue la familia de curvas definidas por las ecuaciones x a y donde es la aceleración debida a la gravedad (9.8 m s2). a) Si un arma es disparada con  30 y v0 500 m s, ¿cuándo caerá la bala al suelo? ¿A qué distancia del arma llegará al suelo? ¿Cuál es la altura máxima que alcanzará la bala? b) Utilice un dispositivo de graficación para verificar sus respuestas al inciso a). Después grafique la trayectoria del proyectil para otros valores del ángulo  para ver dónde pegará en el suelo. Resuma sus hallazgos. c) Demuestre que la trayectoria es parabólica eliminando el parámetro. B A v 0 cos a t paramétricas x t 2, y t 3 ct. ¿Cómo cambia la forma de la curva cuando c crece? Ilustre graficando varios miembros de la familia. 48. Las curvas catastróficas cola de golondrina están definidas por las ecuaciones paramétricas x 2ct 4t 3, y ct 2 3t 4. Grafique varias de estas curvas. ¿Qué características tienen en común las curvas? ¿Cómo cambian cuando c crece? 45. Suponga que la posición de una partícula en el tiempo t está dada por 3 sen t x1 y1 2 cos t 0 49. Grafique varios miembros de la familia de curvas con 2p t ecuaciones paramétricas x t a cos t, y t a sen t, donde a 0. ¿Cómo cambia la forma de la curva cuando a crece? ¿Para cuáles valores de a la curva tiene un bucle? y la posición de una segunda partícula está dada por 3 x2 cos t 1 y2 sen t 0 2 t a) Grafique las trayectorias de ambas partículas ¿Cuántos puntos de intersección hay? b) ¿Algunos de estos puntos de intersección son puntos de colisión? En otras palabras ¿las partículas están en el mismo lugar al mismo tiempo? Si es así, encuentre los puntos de colisión. c) Describa qué pasa si la trayectoria de la segunda partícula está dada por 3 x2 cos t 1 y2 sen t 0 t 50. Grafique varios miembros de la familia de curvas x sen t sen nt, y cos t cos nt donde n es un entero positivo. ¿Qué características tienen en común las curvas? ¿Qué pasa cuando n crece? 51. Las curvas con ecuaciones x a sen nt, y b cos t se llaman figuras de Lissajous. Investigue cómo varían estas curvas cuando varían a, b y n. (Tome n como un entero positivo.) 52. Investigue la familia de curvas definidas por las ecuaciones 2p paramétricas x cos t, y sen t sen ct, donde c 0. Empiece por hacer c entero positivo y vea qué pasa con la forma cuando c crece. Después explore algunas de las posibilidades que ocurren cuando c es una fracción. 46. Si un proyectil es disparado con una velocidad inicial de v0 metros por segundo a un ángulo  por encima de la horizontal y se supone que la resistencia del aire es despreciable, entonces PROYECTO DE LABORATORIO En este proyecto investigamos familias de curvas, llamadas hipocicloides y epicicloides, que son generadas por el movimiento de un punto sobre una circunferencia que rueda dentro o fuera de otra circunferencia. y 1. Una hipocicloide es una curva trazada por un punto fijo P sobre la circunferencia C de radio b C b ¨ a O ฀CIRCUNFERENCIAS QUE CORREN ALREDEDOR DE CIRCUNFERENCIAS P cuando C rueda sobre el interior de la circunferencia con centro en O y radio a. Demuestre que si la posición inicial de P es (a, 0) y el parámetro . se elige como en la figura, entonces las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son (a, 0) A x x a b cos u b cos a b b u Se requiere calculadora graficadora o computadora y a b sen u b sen a b b u SECCIÓN 10.2 TEC Recurra a Module 10.1B para ver cómo se forman las hipocicloides y epicicloides por el movimiento rotatorio de círculos. CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 645 2. Utilice un dispositivo de graficación (o el graficador interactivo en TEC Module 10.1B) para dibujar las gráficas de hipocicloides con a entero positivo y b 1. ¿Cómo afecta la gráfica el valor de a? Demuestre que si tomamos a 4, entonces las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide se reducen a x 4 cos 3 . 4 sen 3 . y Esta curva se llama hipocicloide de cuatro cúspides, o un astroide. 3. Ahora intente b 1 y a n d, una fracción donde n y d no tienen factores comunes. Primero haga n 1 e intente determinar gráficamente el efecto del denominador d sobre la forma de la gráfica. Después haga que n varíe mientras d permanece constante. ¿Qué pasa cuando n d 1? 1 y a es irracional? Experimente con un número irracional como s2 o e 2. Tome valores cada vez más grandes para . y especule sobre qué pasaría si se graficara la hipocicloide para todos los valores reales de .. 4. ¿Qué pasa si b 5. Si la circunferencia C rueda en el exterior del círculo fijo, la curva trazada por P se llama epicicloide. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la epicicloide. 6. Investigue las posibles formas para las epicicloides. Use métodos semejantes a los problemas 2-4. 10.2 Cálculo con curvas paramétricas Una vez que hemos visto cómo representar ecuaciones paramétricas, aplicaremos los métodos de cálculo a las curvas paramétricas. En particular, resolveremos problemas que involucran tangentes, áreas, longitudes de arco y áreas de superficies. ฀ Tangentes Suponga que f y son funciones derivables y queremos encontrar la recta tangente en un punto sobre la curva donde y también es una función derivable de x. Entonces la regla de la cadena da dy dt Si dx dt Si pensamos la curva como trazada por el movimiento de una partícula, entonces dy dt y dx dt son las velocidades verticales y horizontales de la partícula y la fórmula 1 dice que la pendiente de la recta tangente es la razón de estas velocidades. 1 dy dx dx dt 0, podemos resolver para dy dx: dy dx dy dt dx dt si dx dt 0 La ecuación 1 (que puede usted pensar como si se eliminaran las dt) nos posibilita para encontrar la pendiente dy dx de la recta tangente a una curva paramétrica, sin tener que eliminar el parámetro t. En 1 se ve que la curva tiene una tangente horizontal cuando dy dt 0 (siempre que dx dt 0) y tiene una recta tangente vertical cuando dx dt 0 (siempre que dy dt 0). Esta información es útil para trazar curvas paramétricas. Como sabemos del capítulo 4, también es útil considerar d 2y dx 2. Esto lo podemos encontrar reemplazando y por dy dx en la ecuación 1: ฀ Observe que d 2y dx 2 d 2y dt 2 d 2x dt 2 d2y dx 2 d dx dy dx d dt dy dx dx dt 646 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES EJEMPLO 1 Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas x t 2, y t 3 a) Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3, 0) y encuentre sus ecuaciones. b) Encuentre el punto sobre C donde la recta tangente es horizontal o vertical. c) Determine dónde la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo. d) Trace la curva. 3t. s3 . t 3 3t t(t 2 3) 0 cuando t 0 o t Por tanto, el punto (3, 0) sobre la curva C viene de dos valores del parámetro, t s3 y t s3 . Esto indica que C se cruza a sí misma en (3, 0). Puesto que SOLUCIÓN a) Observe que y dy dx dy dt dx dt 3t 2 3 2t 3 2 1 t t la pendiente de la recta tangente cuando t s3 es dy dx por lo que las ecuaciones de las rectas tangentes en (3, 0) son s3 x y y y=œ„ 3 (x-3) t=_1 (1, 2) (3, 0) 0 x y s3 x y s3 , 3 b) C tiene una recta tangente horizontal cuando dy dx 0; esto es, cuando dy dt 0 1. y dx dt 0. Puesto que dy dt 3t 2 3, esto sucede cuando t 2 1, es decir, t Los puntos correspondientes sobre C son (1, 2) y (1, 2). C tiene una recta tangente vertical cuando dx dt 2t 0, es decir, t 0. (Observe que ahí dy dt 0.) El punto correspondiente sobre C es (0, 0). c) Para determinar concavidades calculamos segundas derivadas: t=1 d dt 2 d y dx 2 (1, _2) y=_ œ„ 3 (x-3) FIGURA 1 3 6 (2s3 ) 3 2 dy dx dx dt 1 t2 1 3 t2 1 4t 3 2t Así, la curva es cóncava hacia arriba cuando t 0 y cóncava hacia abajo cuando t d) Utilizando la información de los incisos b) y c), trazamos C en la figura 1. v EJEMPLO 2 a) Encuentre la recta tangente a la cicloide x r (. sen .), y r (1 cos .) en el punto donde . ) 3 (véase ejemplo 7 de la sección 10.1). b) ¿En qué puntos la recta tangente es horizontal? ¿Cuándo es vertical? SOLUCIÓN a) La pendiente de la recta tangente es dy d u dx d u dy dx Cuando . x y r 1 r sen u cos u 1 sen u cos u ) 3, tenemos r p 3 sen p 3 r s3 2 y r 1 dy dx sen p 3 1 cos p 3 s3 2 1 12 s3 p 3 cos p 3 r 2 0. SECCIÓN 10.2 647 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS Por tanto, la pendiente de la recta tangente es s3 y su ecuación es r 2 y s3 r s3 2 rp 3 x s3 x o y p s3 r 2 La recta tangente se traza en la figura 2.         
FIGURA 2      b) La recta tangente es horizontal cuando dy dx 0, lo cual ocurre cuando sen . 0 y 1 cos . 0, es decir, . (2n 1)), con n un entero. El punto correspondiente sobre la cicloide es ((2n 1))r, 2r). Cuando . 2n), tanto dx d. como dy d. son cero. De la gráfica, parece que hay rectas tangentes verticales en esos puntos. Esto es verificable por medio de la regla de l’Hospital como sigue: dy dx lím u l2n p sen u 1 cos u lím u l2n p Un cálculo semejante muestra que dy dx l existen rectas tangentes verticales cuando . cos u sen u lím u l2n p
cuando . l 2n) , así que finalmente 2n), esto es, cuando x 2n)r. ฀ Áreas Sabemos que el área bajo una curva y F(x) de a a b es A xab F x dx, donde F(x) 0. Si la curva se traza por medio de las ecuaciones paramétricas x f (t) y y (t),  t , entonces podemos calcular una fórmula para el área utilizando la regla de la sustitución para integrales definidas como sigue: Los límites de integración para t se encuentran como de costumbre con la regla de sustitución. Cuando x a, t es  o . Cuando x b, t es el valor restante. y A v EJEMPLO 3 b y y dx a b a t t f t dt o bien y a b t t f t dt Encuentre el área bajo uno de los arcos de la cicloide r (. x sen .) r (1 y cos .) (Véase figura 3.)  SOLUCIÓN Un arco de la cicloide está dado por 0 sustitución con y
 r (1 cos .) y dx . 2). Utilizando la regla de cos .) d., tenemos r (1  FIGURA 3 A y 2 pr r2 y 2p r2 y 2p 0 El resultado del ejemplo 3 dice que el área bajo un arco de la cicloide es tres veces el área del círculo que al rodar genera la cicloide (ejemplo 7 de la sección 10.1). Galileo intuyó este resultado pero fue demostrado por el matemático francés Roberval y el matemático italiano Torricelli. 0 [ y y dx 0 r 2 32 u 2p r1 cos u r 1 cos u 2 d u r2 y 0 1 [1 2 sen u r 2( 32 2 p) 3 pr 2 0 1 2 2 cos u 1 4 2p cos u d u 1 2 cos u ] cos 2 u d u 1 ] 2p sen 2u 0 cos 2 u d u 648 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES ฀ Longitud de arco Ya sabemos cómo encontrar la longitud L de una curva C dada en la forma y a x b. La fórmula 8.1.3 dice que si F es continua, entonces 2 y L 2 dy dx b 1 a F(x), dx Suponga que C también se puede describir mediante las ecuaciones paramétricas x f (t) yy (t),  t , donde dx dt f (t) 0. Esto significa que C es recorrida una vez, de izquierda a derecha, cuando t se incrementa de  a  y f () a, f () b. Al sustituir la fórmula 1 en la fórmula 2 y usar la regla de sustitución, se obtiene y L 1 a Como dx dt C P™ Pi P¡ P¸ 0 Pi _ 1 Pn y dx dy dt dx dt 1 2 dx dt dt 0, tenemos 3 y 2 dy dx b y L 2 dx dt dy dt 2 dt Incluso si C no se puede expresar en la forma y F(x), la fórmula aún es válida pero se obtiene por aproximaciones poligonales. Dividimos el intervalo de parámetro ,  en n subintervalos de igual ancho t. Si t0, t1, t 2, . . . , tn son los puntos extremo de estos subintervalos, entonces xi f (ti) y yi (ti) son las coordenadas de los puntos Pi (xi, yi) que están sobre C y el polígono con vértices P0, P1, . . . , Pn se aproxima a C (véase figura 4). Como en la sección 8.1, se define la longitud L de C como el límite de las longitudes de estos polígonos de aproximación cuando n l : x n lím L nl FIGURA 4 Pi 1 Pi i 1 Cuando aplicamos el teorema del valor medio a f sobre el intervalo ti 1, ti , nos da un número ti * en (ti 1, ti) tal que f ti Si hacemos xi xi xi 1 f ti y yi f ti* ti 1 ti 1 yi 1, esta ecuación se convierte en yi f ti* xi t Del mismo modo, cuando aplicamos a , el teorema del valor medio nos da un número ti ** en (ti 1, ti) tal que t ti** yi t Por tanto Pi 1 Pi s xi 2 s f ti* yi 2 2 t ti** s f ti* 2 t t ti** 2 t y así n 4 L s f ti* lím nl i 1 2 t ti** 2 t t 2 SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 649 t t 2 pero La suma en 4 se asemeja a una suma de Riemann para la función s f t 2 no es exactamente una suma de Riemann porque, en general, ti * t i **. Sin embargo, si f y son continuas, se puede demostrar que el límite en 4 es el mismo como si ti * y t i ** fueran iguales, es decir y L b s f t a t t 2 2 dt Así, con la notación de Leibniz, se tiene el siguiente resultado, el cual tiene la misma forma que la fórmula 3. 5 Teorema Si una curva C se describe mediante las ecuaciones paramétricas x f (t), y (t),  t , donde f y son continuas sobre ,  y C es recorrida una sola vez cuando t aumenta desde  hasta , entonces la longitud de C es y L 2 dx dt b a 2 dy dt dt Observe que la fórmula del teorema 5 es consistente con las fórmulas generales L y (ds)2 (dx)2 (dy)2 de la sección 8.1. x ds EJEMPLO 4 Si usamos la representación de la circunferencia unitaria dada en el ejemplo 2 en la sección 10.1, cos t x sen t y dy dt entonces dx dt L y dx dt 2p 0 2 y sen t 0 2 t cos t, de modo que el teorema 5 da dy dt 2 dt y 2p 0 ssen2 t cos 2 t dt y 2p 0 2p dt como se esperaba. Si, por otro lado, usamos la representación dada en el ejemplo 3 de la sección 10.1, x entonces dx dt y 2 cos 2t, dy dt dx dt 2p 0 sen 2t 2 dy dt 2 dt y cos 2t 0 t 2p 2 sen 2t, y la integral del teorema 5 da y 2p 0 s4 cos 2 2t 4 sen2 2t dt y 2p 0 2 dt 4p Observe que la integral da dos veces la longitud de arco de la circunferencia porque cuando t crece de 0 a 2), el punto (sen 2t, cos 2t) recorre la circunferencia dos veces. En general, cuando se encuentra la longitud de una curva C a partir de una representación paramétrica, debemos asegurarnos que C sea recorrida una sola vez cuando t crece de  a . v EJEMPLO 5 y r(1 Encuentre la longitud de un arco de la cicloide x cos .). r (. sen .), SOLUCIÓN Del ejemplo 3, vemos que un arco se describe por el intervalo del parámetro 0 . 2). Como dx du r1 cos u y dy du r sen u 650 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES tenemos y L 0 y 2p 0 El resultado del ejemplo 5 dice que la longitud de un arco de una cicloide es ocho veces el radio del círculo generador (véase la figura 5). El primero en demostrar esto fue Sir Christopher Wren, quien posteriormente fue el arquitecto de la catedral de Saint Paul, en Londres. y 2p 0 ry 2 dx du 2p sr 2 1 cos u sr 2 1 2 cos u 2p 0 s2 1 2 dy du du 2 r 2 sen2 u d u sen2 u d u cos 2 u cos u d u Para evaluar esta integral utilizamos la identidad sen2x 12 1 cos 2x con . 2x, la cual da 1 cos . 2 sen 2(. 2). Como 0 . 2), tenemos 0 . 2 ) y por tanto sen(. 2) 0. Por ende,  s2 1  
y, por consiguiente  s4 sen2 u 2 cos u 2r y L 2p 0  2r 2 2 sen u 2 sen u 2 d u 2 2 cos u 2 2r 2 sen u 2 ] 2p 0 8r FIGURA 5 ฀ Área de una superficie En la misma forma que para la longitud de arco, se puede adaptar la fórmula 8.2.5 para obtener una fórmula para el área de una superficie. Si la curva dada por las ecuaciones paramétricas x f (t), y (t),  t , se hace rotar en torno al eje x, donde f , son continuas y (t) 0, entonces el área de la superficie resultante está dada por 6 S y b a dx dt 2 py 2 2 dy dt dt Las fórmulas simbólicas generales S x 2 y ds y S x 2 x ds (fórmulas 8.2.7 y 8.2.8) aún son válidas, pero para curvas paramétricas usamos dx dt ds EJEMPLO 6 2 2 dy dt dt Demuestre que el área de la superficie de una esfera de radio r es 4)r 2. SOLUCIÓN La esfera es obtenida al rotar el semicírculo r cos t x r sent y 0 t en torno al eje x. Por tanto, de la fórmula 6, obtenemos S y p 0 2 pr sen t s r sen t 2 r cos t 2 dt 2 p y r sen t sr 2 sen2 t cos 2 t dt 2 pr 2 y sen t dt cos t p 0 p 0 2 pr 2 p ] 0 2 p y r sen t r dt p 0 4 pr 2 SECCIÓN 10.2 CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS 651 Ejercicios 10.2 1-2 Encuentre dy dx. 1. x t sen t, y t 2 2. x t 1 t, y st e t 3-6 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el 23-24 Grafique la curva en un rectángulo de vista que muestre los aspectos más importantes de la curva. 23. x t4 2t 3 2t 2, y t3 24. x t4 4t 3 8t 2, y 2t 2 t t punto correspondiente al valor del parámetro dado. 3. x 1 4t 4. x t t 1, y 5. x t cos t, 6. x 3 t 2, t 3; t y 2 1 t 2; t t sen t ; y cos t, y sen t cos t tiene dos rectas tangentes en (0, 0) y encuentre sus ecuaciones. Trace la curva. 1 p t 3 cos u ; u sen u, y 25. Demuestre que la curva x 1 26. Grafique la curva x cos t 2 cos 2t, y sen t 2 sen 2t para descubrir dónde se intercepta consigo misma. Después encuentre ecuaciones para ambas rectas tangentes en ese punto. p 6 27. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la trocoide 7-8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el x r . d sen ., y r d cos . en términos de .. (Véase el ejercicio 40 de la sección 10.1.) b) Demuestre que si d ฀r, entonces el trocoide no tiene una recta tangente vertical. punto dado por dos métodos: a) sin eliminar el parámetro y b) eliminando primero el parámetro. 7. x 8. x 1 t2 ln t, y st , 1 2; t2 e ; y 1, 3 2, e 28. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente al astroide 9-10 Encuentre la ecuación de la recta tangente(s) a la curva en el punto dado. Después grafique la curva y la(s) recta(s) tangente(s). 9. x 10. x t2 6 sen t, y t; 0, 0 cos 2t, y cos t 29. ¿En qué puntos sobre la curva x sen 2t; sent x a cos3 ., y a sen3 . en términos de .. (Los astroides se exploran en el proyecto de laboratorio de la página 644.) b) ¿En qué puntos la recta tangente es horizontal o vertical? c) ¿En qué puntos la recta tangente tiene pendiente 1 o 1? 2t 3, y 1 4t t 2 la recta tangente tiene pendiente 1? 1, 1 30. Encuentre ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 11-16 Encuentre dy dx y d 2y dx 2. ¿Para cuáles valores de t la curva 11. x t 1, y t 2 12. x t 13. x e, y te 15. x 2 sen t, y 3 cos t, 0 16. x cos 2t , y cos t , t 3t 2 1, y 2t 3 1 que pasen por el punto (4, 3). 31. Use las ecuaciones paramétricas de una elipse x es cóncava hacia arriba? 2 x 14. x t 0 t 2 1, y 1, y t 2 t t 1 e 2p t t t 3 y b sen ., 0 . a cos ., 2) para encontrar el área que encierra. 32. Encuentre el área encerrada por la curva x t2 2 t, y 33. Encuentre el área encerrada por el eje x y la curva x p st y el eje y. y t 1 et, t 2. 34. Encuentre el área de la región encerrada por el astroide 17-20 Encuentre los puntos sobre la curva donde la recta tangente es horizontal o vertical. Si dispone de un dispositivo de graficación, grafique la curva para verificar su trabajo. 17. x t3 3t, y t2 3 18. x t3 3t, y t3 3t 2 19. x cos u, y 20. x e sen u , y x a cos3 ., y a sen3 .. (Los astroides son explorados en el proyecto de laboratorio de la página 644.) y a cos 3 u e cos u _a a 0 x 21. Utilice una gráfica para estimar las coordenadas del punto extremo derecho sobre la curva x t t 6, y e t. Después utilice cálculo para encontrar las coordenadas exactas. _a 22. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto más bajo y el de la extrema izquierda sobre la curva x t 4 2t, y t t 4. Después encuentre las coordenadas exactas. Se requiere calculadora graficadora o computadora 35. Encuentre el área bajo un arco del trocoide del ejercicio 40 en la sección 10.1 para el caso d SAC Se requiere sistema algebraico computarizado r. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 652 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 36. Sea  la región encerrada por el bucle de la curva en el ejemplo 1. a) Encuentre el área de . b) Si  gira en torno al eje x, encuentre el volumen del sólido resultante. c) Encuentre el centroide de . donde e es la excentricidad de la elipse (e c sa 2 b 2 ). c a, donde 54. Encuentre la longitud total del astroide x y SAC a sen ., donde a a cos 3 ., 0. 3 55. a) Grafique la epitrocoide con ecuaciones 37-40 Plantee una integral que represente la longitud de la curva. x 11 cos t 4 cos 11t 2 Después utilice su calculadora para encontrar la longitud con una aproximación de cuatro decimales. y 11 sen t 4 sen 11t 2 37. x t e t, y 38. x t2 t, y 39. x t 2 sen t, y 40. x t st , y e t, t 0 t 4, 1 4 t 1 2 cos t, 0 st , 0 t ¿Qué intervalo del parámetro da la curva completa? b) Use su SAC para encontrar la longitud aproximada de esta curva. 2 t SAC 4p t ecuaciones paramétricas 1 t 56. Una curva llamada espiral de Cornu se define por las x Ct y t y St y t 0 41-44 Encuentre la longitud exacta de la curva. 41. x 1 3t , y 4 2t , 42. x et e t, y 5 2t, 43. x t sen t, 44. x 3 cos t 2 3 t cos t, y cos 3t, 0 0 0 1 t 3 t 1 t 3 sen t y sen 3t , 0 p t 45-46 Grafique la curva y encuentre su longitud. 45. x 46. x t e cos t, cos t t e sen t, y ln(tan t), 1 2 0 sen t, y p t p 4 t 3p 4 47. Grafique la curva x sen t sen 1.5t, y cos t y encuentre su longitud con una aproximación de cuatro decimales. 48. Encuentre la longitud del bucle de la curva x y 3t t 3, 3t 2. 49. Use la regla de Simpson con n la curva x e t, y t e t, t 6 para estimar la longitud de 6 t 6 50. En el ejercicio 43 de la sección 10.1 se le pidió deducir las ecuaciones paramétricas x 2a cot ., y 2a sen 2. de la curva llamada bruja de María Agnesi. Use la regla de Simpson con n 4 para estimar la longitud del arco de esta curva dada por ) 4 . ) 2. 51-52 Encuentre la distancia recorrida por la partícula con posición (x, y) cuando t varía en el intervalo dado. Compárela con la longitud de la curva. 51. x 52. x sen2 t, 2 cos t, y cos 2 t, 0 t 3p y cos t, 0 t 4p 53. Demuestre que la longitud total de la elipse x y b cos ., a L b 0, es 4a y p2 0 s1 e 2 sen2 u d u 0 cos pu 2 2 du sen pu 2 2 du donde C y S son las ecuaciones de Fresnel que se introdujeron en el capítulo 5. a) Grafique esta curva. ¿Qué pasa cuando t l y cuando tl ? b) Encuentre la longitud de la espiral de Cornu desde el origen al punto con valor de parámetro t. 57-60 Plantee una integral que represente el área de la superficie obtenida al rotar la curva dada en torno al eje x. Después utilice su calculadora para encontrar el área de la superficie con una aproximación de cuatro decimales. 57. x t sen t, y 58. x sen t, 59. x 60. x 1 t 2 te , 3 t , y t y 2 p 2 t t 0 t 0 t 1 1 e, 4 t , t p 2 t sen 2t , 0 y t 0 t cos t, 1 61-63 Encuentre el área exacta de la superficie obtenida al rotar la curva dada en torno al eje x. 61. x 62. x 63. x t 3, 3t t 2, y 3 t , 3 a cos u, 0 y y 1 t 2 3t , t 1 a sen u , 0 u 0 3 p 2 64. Grafique la curva x 2 cos u cos 2 u y 2 sen u sen 2u Si esta curva rota en torno al eje x, encuentre el área de la superficie resultante. (Use la gráfica para ayudarse a encontrar el intervalo correcto para el parámetro.) a sen ., 65-66 Encuentre el área de la superficie generada al rotar la curva dada en torno al eje y. 65. x 3t 2, y 2t 3, 0 t 5 PROYECTO DE LABORATORIO 66. x et t, y 4e t 2, 0 t de la parábola y x 2 en el punto (1, 1). b) ¿En qué punto esta parábola tiene curvatura máxima? 0 para a t b, demuestre que la curva paramétrica x f (t), y (t), a t b, puede expresarse en la forma y F(x). Sugerencia: demuestre que f 1 existe. 71. Use la fórmula del ejercicio 69a) para encontrar la curvatura de 68. Use la fórmula 2 para deducir la fórmula 7 de la fórmula 8.2.5 para el caso en el que la curva puede representarse en la forma y F (x), a x b. la cicloide x . sen ., y de uno de los arcos. 1 cos . en la parte superior 72. a) Demuestre que la curvatura de cada punto de la línea recta es 0. b) Demuestre que la curvatura en cada punto de una circunferencia de radio r es 1 r. 69. La curvatura en un punto P de una curva está definida como 73. Una cuerda se enrolla alrededor de un círculo y después se df ds desenrolla manteniéndose tensa. La curva trazada por el punto P en el extremo de la cuerda se llama involuta del círculo. Si el círculo tiene radio r y centro O y la posición inicial de P es (r, 0), y si el parámetro . se elige como en la figura, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la involuta son donde  es el ángulo de inclinación de la recta tangente en P, como se ve en la figura. Así, la curvatura es el valor absoluto de la razón de cambio de  con respecto a la longitud de arco. Esto puede considerarse como una medida de la rapidez de cambio de la dirección de la curva en P y la estudiaremos con mucho detalle en el capítulo 13. a) Para una curva paramétrica x x(t), y y(t), deduzca la fórmula xy xy 2 2 3 2 x y donde los puntos indican derivadas con respecto a t, de manera que x dx dt. Sugerencia: use  tan 1(dy dx) y la fórmula 2 para encontrar d dt. Después use la regla de la cadena para encontrar d ds. b) Considerando la curva y f (x) como la curva paramétrica x x, y f (x), con parámetro x, demuestre que la fórmula del inciso a) resulta 1 653 70. a) Use la fórmula del ejercicio 69b) para encontrar la curvatura 1 67. Si f es continua y f (t) k CURVAS DE BÉZIER d 2 y dx 2 dy dx 2 x r cos u u sen u y r sen u u cos u y T r P ¨ x O 74. Una vaca está atada a un silo con radio r por una cuerda lo suficientemente larga para alcanzar el lado opuesto del silo. Encuentre el área disponible para el apacentamiento de la vaca. 3 2 y P ˙ 0 PROYECTO DE LABORATORIO x ฀CURVAS DE BÉZIER Las curvas de Bézier se emplean en el diseño auxiliado por computadora y se nombran así en honor al matemático francés Pierre Bézier (1910-1999), quien trabajó en la industria automotriz. Una curva de Bézier está determinada mediante cuatro puntos de control, P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3), y se define mediante las ecuaciones paramétricas x x0 1 t 3 3x1 t 1 t 2 3x 2 t 2 1 t x3t 3 y y0 1 t 3 3y1 t 1 t 2 3y 2 t 2 1 t y3t 3 Se requiere calculadora graficadora o computadora 654 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES donde 0 t 1. Observe que cuando t 0, se tiene (x, y) (x0, y0) y cuando t (x, y) (x3, y3), así que la curva empieza en P0 y termina en P3. 1 se tiene 1. Grafique la curva de Bézier con puntos de control P0(4, 1), P1(28, 48), P2(50, 42) y P3(40, 5). Enseguida, en la misma pantalla, grafique segmentos de recta P0 P1 , P1 P2 y P2 P3. (El ejercicio 31 en la sección 10.1 muestra cómo hacer esto.) Observe que los puntos de control medios P1 y P2 no están sobre la curva; la curva empieza en P0, se dirige hacia P1 y P2 sin alcanzarlos y termina en P3. 2. En la gráfica del problema 1 parece que la recta tangente en P0 pasa por P1 y la recta tangente en P3 pasa por P2. Demuéstrelo. 3. Intente producir una curva de Bézier con un bucle cambiando el segundo punto de control en el problema 1. 4. Algunas impresoras láser usan las curvas de Bézier para representar letras y otros símbolos. Experimente con puntos de control hasta que encuentre una curva de Bézier que dé una representación razonable de la letra C. 5. Se pueden representar formas más complicadas juntando dos o más curvas de Bézier. Suponga que la primera curva de Bézier tiene puntos de control P0, P1, P2, P3 y la segunda tiene puntos de control P3, P4, P5, P6. Si se desea unir estos dos trozos de manera suave, entonces las rectas tangentes en P3 deben corresponderse y, por tanto, los puntos P2, P3 y P4 tienen que estar sobre esta recta tangente común. Con este principio, determine los puntos de control para un par de curvas de Bézier que representen la letra S. 10.3 Coordenadas polares P (r, ¨ ) r O ¨ x eje polar FIGURA 1 
   
 FIGURA 2  Un sistema coordenado representa un punto en el plano mediante un par ordenado de números llamados coordenadas. Por lo general usamos coordenadas cartesianas, que son las distancias dirigidas desde dos ejes perpendiculares. Aquí se describe un sistema coordenado introducido por Newton, llamado sistema coordenado polar, que es más conveniente para muchos propósitos. Se elige un punto en el plano que se llama polo (u origen) y se identifica con O. Luego se dibuja un rayo (semirrecta) que empieza en O llamado eje polar. Usualmente, este eje se traza horizontalmente a la derecha, y corresponde al eje x positivo en coordenadas cartesianas. Si P es cualquier otro punto en el plano, sea r la distancia de 0 a P y sea . el ángulo (por lo regular medido en radianes) entre el eje polar y la recta OP como en la figura 1. Entonces el punto P se representa mediante el par ordenado (r, .) y r, . se llaman coordenadas polares de P. Se usa la convención de que un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje polar, y negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj. Si P 0, entonces r 0 y se está de acuerdo en que (0, .) representa el polo para cualquier valor de .. Extendemos el significado de las coordenadas polares (r, .) al caso en que r es negativa estando de acuerdo en que, como en la figura 2, los puntos ( r, .) y (r, .) están sobre la misma recta que pasa por 0 y a la misma distancia r desde 0, pero en lados opuestos de 0. Si r 0, el punto (r, .) está en el mismo cuadrante que .; si r 0, está en el cuadrante sobre el lado opuesto del polo. Observe que ( r, .) representa el mismo punto que (r, . )). EJEMPLO 1 a) 1, 5 p 4 Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas. 3, 3 p 4 b) 2, 3 p c) 2, 2 p 3 d) SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 655 SOLUCIÓN Los puntos se grafican en la figura 3. En el inciso d) el punto ( 3, 3) 4) se localiza a tres unidades del polo en el cuarto cuadrante porque el ángulo 3) 4 está en el segundo cuadrante y r 3 es negativa. 3π 5π 4 ”1, 5π 4 O (2, 3π) 3π 4 O O _ ’ O 2π 3 ”2, _ 2π ’ 3 FIGURA 3 ”_3, 3π 4 ’ En el sistema coordenado cartesiano todo punto tiene sólo una representación, pero en el sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo, el punto (1, 5) 4) del ejemplo 1a) se podría escribir como (1, 3) 4) o (1, 13) 4) o ( 1, ) 4). (Véase la figura 4.) 5π 4 O O ”1, 5π ’ 4 ”1, _ 3π ’ 4 13π 4 _ 3π 4 O O ”1, 13π ’ 4 ”_1, π 4 π 4 ’ FIGURA 4 De hecho, puesto que una vuelta completa en sentido contrario a las manecillas del reloj está dada por un ángulo 2), el punto representado por coordenadas polares (r, .) se representa también por r, u y P (r, ¨ )=P (x, y) r cos u x x y r, u 2n 1p donde n es cualquier entero. La conexión entre coordenadas polares y cartesianas se puede ver en la figura 5, en la cual el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje x positivo. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y) y coordenadas polares (r, .), entonces, de la figura, se tiene y ¨ O 2n p de modo que x r sen u y r FIGURA 5 1 x r cos u y r sen u Aunque las ecuaciones 1 se dedujeron de la figura 5, que ilustra el caso donde r 0 y 0 . ) 2, estas ecuaciones son válidas para todos los valores de r y .. (Véase la definición general de sen . y cos . en el apéndice D.) Las ecuaciones 1 permiten hallar las coordenadas cartesianas de un punto cuando se conocen las coordenadas polares. Para determinar r y . cuando se conocen x y y, usamos las ecuaciones 656 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 2 r2 x2 y2 y x tan u que pueden deducirse de las ecuaciones 1 o simplemente leyendo la figura 5. EJEMPLO 2 Convierta el punto (2, ) 3) de coordenadas polares a cartesianas. SOLUCIÓN Como r 2y. ) 3, las ecuaciones 1 dan x r cos u 2 cos p 3 2 1 2 y r sen u 2 sen p 3 2 s3 2 1 s3 Por tanto, el punto en coordenadas cartesianas es (1, s3 ). EJEMPLO 3 Represente el punto con coordenadas cartesianas (1, coordenadas polares. 1) en términos de SOLUCIÓN Si elegimos r como positiva, entonces la ecuación 2 da r tan u sx 2 y2 y x 1 s1 2 1 2 s2 Como el punto (1, 1) está en el cuarto cuadrante, podemos elegir . ) 4o . 7) 4. Así, una de las posibles respuestas es (s2 , p 4); otra es s2 , 7 p 4 . NOTA Las ecuaciones 2 no determinan de manera única a . cuando se dan x y y, porque cuando . crece en el intervalo 0 . 2) cada valor de tan . ocurre dos veces. Por tanto, al convertir de coordenadas cartesianas a polares, no es suficiente hallar r y . para satisfacer las ecuaciones 2. Como en el ejemplo 3, se debe elegir . de modo que el punto (r, .) esté en el cuadrante correcto. ฀ Curvas polares 1 r= 2 La gráfica de una ecuación polar r f (.), o de manera más general F(r, .) 0, consiste de todos los puntos P que tienen al menos una representación polar (r, .) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. r=4 r=2 r=1 x v EJEMPLO 4 ¿Qué curva está representada por la ecuación polar r SOLUCIÓN La curva consiste de todos los puntos (r, .) con r FIGURA 6 2? 2. Puesto que r representa la distancia del punto al polo, la curva r 2 representa la circunferencia con centro O y radio 2. En general, la ecuación r a representa una circunferencia con centro O y radio a . (Véase la figura 6.) SECCIÓN 10.3 (3, 1) EJEMPLO 5 1 1. 1 radián. Corresponde a la recta que pasa por O y forma un ángulo de 1 radián con el eje polar (véase figura 7). Observe que los puntos (r, 1) sobre la recta con r 0 están en el primer cuadrante, mientras aquellos con r 0 están en el tercer cuadrante. (1, 1) O 657 SOLUCIÓN Esta curva consiste de todos los puntos (r, .) tales que el ángulo polar . es de (2, 1) ¨=1 Bosqueje la curva polar . COORDENADAS POLARES x EJEMPLO 6 (_1, 1) a) Trace la curva con ecuación polar r 2 cos .. b) Encuentre una ecuación cartesiana para esta curva. (_2, 1) SOLUCIÓN FIGURA 7 a) En la figura 8 se encuentran los valores de r para algunos valores convenientes de . y se grafican los puntos correspondientes (r, .). Después se unen estos puntos para bosquejar la curva, que aparenta ser una circunferencia. Hemos usado sólo valores de . entre 0 y ), porque si hacemos que . se incremente más allá de ), obtenemos de nuevo los mismos puntos. r 0 FIGURA 8 Tabla de valores y gráfica de  cos
 2 cos  




 2 s3 s2 1 0 1 s2 s3 2 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6    




   




  
  




   





    






   






  b) Para convertir la ecuación dada en una ecuación cartesiana usamos las ecuaciones 1 y 2. De x r cos . tenemos cos . x r, de modo que la ecuación r 2 cos . se convierte en r 2x r, lo cual da 2x r2 x2 y2 x2 o bien y2 2x 0 Completando cuadrados obtenemos (x 1)2 1 y2 que es la ecuación de una circunferencia con centro en (1, 0) y radio 1. y En la figura 9 se muestra una ilustración geométrica de que la circunferencia del ejemplo 6 tiene la ecuación r 2 cos .. El ángulo OPQ es un ángulo recto (¿por qué?), así que, r 2 cos .. FIGURA 9 P r O ¨ 2 Q x 658 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES  v  SOLUCIÓN En lugar de graficar puntos como en el ejemplo 6, bosquejamos primero la   Bosqueje la curva r 1 sen .. gráfica de r 1 sen . en coordenadas cartesianas en la figura 10, desplazando la curva seno hacia arriba una unidad. Esto nos permite leer de un vistazo los valores de r que corresponden a valores crecientes de .. Por ejemplo, se ve que cuando . se incrementa de . a ) 2, r (la distancia desde O) se incrementa de 1 a 2, de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar de la figura 11a). Cuando . se incrementa de ) 2 a ), la figura 10 muestra que r decrece de 2 a 1, así que se bosqueja la parte siguiente de la curva como en la figura 11b). Cuando . se incrementa de ) a 3) 2, r decrece de 1 a 0, como se muestra en el inciso c). Por último, cuando . se incrementa de 3) 2 a 2), r se incrementa de 0 a 1 como se muestra en el inciso d). Si hacemos que . se incremente más allá de 2) o decrezca más allá de 0, podríamos simplemente volver a trazar nuestra trayectoria. Uniendo las partes de la curva de la figura 11a)-d), se bosqueja la curva completa del inciso e). Esta curva se llama cardioide porque tiene forma de corazón.   EJEMPLO 7   FIGURA 10 sen
 en coordenadas cartesianas,    ¨= 2 ¨= 2 π π 2 1 O ¨=0 O ¨=π a) ¨=π b) O O ¨= 2 3π ¨= 2 c) d) O ¨=2π 3π e) FIGURA 11 Etapas para bosquejar la cardioide r=1+sen u EJEMPLO 8 Bosqueje la curva r cos 2.. SOLUCIÓN Como en el ejemplo 7, primero se bosqueja r TEC Module 10.3 ayuda a ver cómo se trazan las curvas polares por medio de animaciones similares a las figuras 10-13. cos 2., 0 . 2), en coordenadas cartesianas en la figura 12. Cuando . se incrementa de 0 a ) 4, se observa en la figura 12 que r decrece de 1 a 0 y, de este modo, se dibuja la porción correspondiente a la curva polar de la figura 13 (indicada por ฀). Cuando . se incrementa de ) 4 a ) 2, r va de 0 a 1. Esto significa que la distancia desde O se incrementa de 0 a 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante esta porción de la curva polar (indicada por ) se ubica en el lado opuesto del polo en el tercer cuadrante. El resto de la curva se traza en forma similar, con flechas y números indicando el orden en el cual se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro bucles y se llama rosa de cuatro hojas.      ! $ %  * &  ^  ! $   @     # FIGURA 12 cos en coordenadas cartesianas    ^   
 % & @ # FIGURA 13 Rosa de cuatro hojas cos SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 659 ฀ Simetría Cuando se bosquejan curvas polares, a veces es útil aprovechar la simetría. Las tres reglas siguientes se explican mediante la figura 14. a) Si una ecuación polar permanece sin cambio cuando . se reemplaza por ., la curva es simétrica respecto al eje polar. b) Si la ecuación no cambia cuando r se reemplaza por r, o cuando . se sustituye por . ) la curva es simétrica respecto al polo. (Esto significa que la curva permanece sin cambio si la rotamos 180 respecto al origen.) c) Si la ecuación no cambia cuando . se reemplaza por ) ., la curva es simétrica respecto a la recta vertical . ) 2. 

  
  
        
 
 a) b) c) FIGURA 14 Las curvas bosquejadas en los ejemplos 6 y 8 son simétricas respecto al eje polar, porque cos( .) cos .. Las curvas de los ejemplos 7 y 8 son simétricas respecto a . ) 2 porque sen() .) sen . y cos 2() .) cos 2.. La rosa de cuatro hojas también es simétrica respecto al polo. Estas propiedades de simetría se podrían haber usado para bosquejar las curvas. En el caso del ejemplo 6, sólo se requiere hacer la gráfica de los puntos para 0 . ) 2 y después reflejar respecto al eje polar para obtener la circunferencia completa. ฀ Tangentes a curvas polares Para hallar una recta tangente a una curva polar r f (.), se considera . como un parámetro y escribimos sus ecuaciones paramétricas como x r cos u f u cos u y r sen u f u sen u Después, con el método para hallar pendientes de curvas paramétricas (ecuación 10.2.1) y la regla del producto, tenemos 3 dy du dx du dy dx dr sen u du dr cos u du r cos u r sen u Las rectas tangentes horizontales se localizan al determinar los puntos donde dy d. 0 (siempre que dx d. 0). Del mismo modo, se localizan rectas tangentes verticales en los puntos donde dx d. 0 (siempre dy d. 0). Observe que si se están buscando rectas tangentes en el polo, entonces r 0 y la ecuación 3 se simplifica a dy dx tan u si dr du 0 660 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES En el ejemplo 8 encontramos que r cos 2. 0 cuando . ) 4 o 3) 4. Esto significa que las rectas . ) 4 y . 3) 4 (o y x y y x) son rectas tangentes a r cos 2. en el origen. EJEMPLO 9 a) Para la cardioide r 1 sen . del ejemplo 7, encuentre la pendiente de la recta tangente cuando . ) 3. b) Encuentre los puntos sobre la cardioide donde la recta tangente es horizontal o vertical. SOLUCIÓN Al utilizar la ecuación 3 con r dr sen u du dr cos u du dy dx r cos u 1 sen ., se tiene cos u sen u cos u cos u r sen u cos u 1 2 sen u 1 sen u 1 2 sen u cos u 1 2 sen u 1 2 sen2 u sen u a) La pendiente de la recta tangente en el punto donde . dy dx ) 3 es (2 1 s3 s3 )(1 s3 ) 1 1 s3 ) s3 2)(1 s3 ) 1 2 cos p 3 1 2 sen p 3 1 sen p 3 1 2 sen p 3 u p 3 sen u cos u sen u sen u 1 1 (1 s3 s3 (1 1 b) Observe que dy du cos u 1 dx du     









 lím ul 3 p 2  







  










 sen u 1 1 0 2 sen u 0 cuando u p 3 p 7 p 11 p , , , 2 2 6 6 cuando u 3p p 5 p , , 2 6 6 Debido a eso, hay rectas tangentes horizontales en los puntos 2, p 2 , ( 12 , 7 p 6) , ( 12 , 11 p 6) y rectas tangentes verticales en ( 32 , p 6) y ( 32 , 5 p 6). Cuando . 3) 2, tanto dy d. como dx d. son 0, así que debemos tener cuidado. Usando la regla de l’Hospital, tenemos  




  2 sen u FIGURA 15 Rectas tangentes para  sen
 lím ul 3 p 2 1 3 
   










 











 dy dx Por simetría, lím 2 sen u 2 sen u 1 1 ul 3p 2 1 cos u sen u lím u l 3p 2 lím ul 3 p 2 1 3 1 cos u sen u lím ul 3 p 2 sen u cos u dy dx En estos términos hay una recta tangente vertical en el polo (véase figura 15). SECCIÓN 10.3 COORDENADAS POLARES 661 NOTA En lugar de tener que recordar la ecuación 3, se podría usar el método empleado para deducirla. En el caso del ejemplo 9 pudimos escribir x r cos u 1 sen u cos u cos u 1 2 y r sen u 1 sen u sen u sen u sen2 u sen 2u Entonces tenemos dy dx cos u 2 sen u cos u sen u cos 2 u dy d u dx d u cos u sen u sen 2u cos 2 u que es equivalente a nuestra expresión previa. ฀ Graficación de curvas polares con dispositivos de graficación Aunque es útil poder bosquejar a mano curvas polares simples, necesitamos usar una calculadora o computadora cuando tenemos ante nosotros una curva tan complicada como las que se muestran en las figuras 16 y 17. 1 1.7 _1 1 _1.9 1.9 _1 _1.7 FIGURA 16 FIGURA 17 r=sen@(2.4¨)+cos$(2.4¨) r=sen@(1.2¨)+cos#(6¨) Algunos dispositivos de graficación tienen comandos que permiten graficar de manera directa curvas polares. Con otras máquinas se requiere convertir primero a ecuaciones paramétricas. En este caso tomamos la ecuación polar r f (.) y escribimos sus ecuaciones paramétricas como x r cos u f u cos u y r sen u f u sen u Algunas máquinas requieren que el parámetro se llame t en vez de .. EJEMPLO 10 Grafique la curva r sen(8. 5). SOLUCIÓN Suponemos que el dispositivo de graficación no tiene un comando de graficación polar integrado. En este caso necesitamos trabajar con las correspondientes ecuaciones paramétricas x r cos u sen 8 u 5 cos u y r sen u sen 8 u 5 sen u En cualquier caso, necesitamos determinar el dominio para ., así que hacemos la pregunta: ¿cuántas rotaciones completas se requieren hasta que la curva comience a repetirse por sí misma? Si la respuesta es n, entonces sen 2n p 8 u 5 sen 8u 5 16n p 5 sen 8u 5 y, por tanto, se requiere que 16n ) 5 sea un múltiplo par de ). Esto ocurrirá primero cuando n 5. En consecuencia, graficaremos la curva completa si se especifica que 0 . 10). 662 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Al cambiar de . a t, se tienen las ecuaciones 1 sen(8t 5) cos t x sen(8t 5) sen t y 0 t 10) cuya curva resultante se muestra en la figura 18. Note que esta rosa tiene 16 bucles. _1 1 v EJEMPLO 11 Investigue la familia de curvas polares dada por r 1 c sen .. ¿Cómo cambia la forma cuando c cambia? (Estas curvas se llaman limaçones, palabra francesa para los caracoles, debido a la forma de las curvas para ciertos valores de c.) SOLUCIÓN En la figura 19 se muestran gráficas dibujadas por computadora para varios _1 FIGURA 18 r=sen(8¨/5) En el ejercicio 53, se le pidió demostrar en forma analítica lo que ya se había descubierto a partir de gráficas como la de la figura 19. valores de c. Para c 1 hay un bucle que se hace pequeño cuando c decrece. Cuando c 1 el bucle desaparece y la curva se convierte en la cardioide que se bosquejó en el ejemplo 7. Para c entre 1 y 12 la cúspide de la cardioide desaparece y se convierte en un “hoyuelo”. Cuando c decrece de 12 a 0, la limaçon tiene forma de óvalo. Este óvalo se vuelve más circular cuando c l 0 y cuando c 0 la curva es justo la circunferencia con r 1. c=1.7 c=1 c=0.7 c=0.5 c=0.2 c=2.5 c=_2 c=0 c=_ 0.5 c=_ 0.2 FIGURA 19 c=_ 0.8 c=_1 Las partes restantes de la figura 19 muestran que cuando c se vuelve negativa, las formas cambian en orden inverso. De hecho, estas curvas son reflexiones respecto al eje horizontal de las curvas correspondientes con c positiva. Miembros de la familia de limaçones r=1+c sen ¨ Las limaçones son muy útiles en el estudio del movimiento planetario. En particular, la trayectoria de Marte vista desde el planeta Tierra ha sido modelada con una limaçon de un bucle, como en los incisos de la figura 19 con c 1. 10.3 Ejercicios 1-2 Grafique los puntos cuyas coordenadas polares están dadas. Después encuentre otros dos pares de coordenadas polares de este punto, uno con r 0 y uno con r 0. 1. a) 2, p 3 b) 1, 2. a) 1, 7 p 4 b) 3p 4 3, p 6 c) 1 3-4 Grafique el punto cuyas coordenadas polares están dadas. Luego, determine las coordenadas cartesianas del punto. 3. a) 1, p b) (2, 2 p 3) c) 2, 3 p 4 Se requiere calculadora graficadora o computadora ( s2 , 5 p 4) b) 1, 5 p 2 c) 2, 7p 6 5-6 Se dan las coordenadas cartesianas de un punto. 1, p 2 c) 1, 4. a) i) Encuentre las coordenadas polares (r, .) del punto, donde r 0 y 0 . 2). ii) Determine las coordenadas polares (r, .) del punto, donde r 0 y 0 . 2). 5. a) 2, 2 6. a) (3s3 , 3) 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com b) ( b) 1, 1, s3 ) 2 SECCIÓN 10.3 7-12 Bosqueje la región en el plano que consiste de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen las condiciones dadas 7. r 1 8. 0 r 2, 9. r 0, p 4 10. 1 r 3, p 6 11. 2 r 3, 5p 3 p u 3p 4 u cos 4 u 43. r 2 sen 3u 44. r u 45. r 1 2 cos 2 u 46. r 2 47. 5p 6 u 42. r 2 9 sen 2u 1 3 4 cos u 47-48 La figura muestra una gráfica de r como una función de . en coordenadas cartesianas. Utilícela para bosquejar la correspondiente curva polar. 3p 2 u 41. r 2 663 COORDENADAS POLARES 48.    7p 3  12. r p 1, u 2p

       13. Encuentre la distancia entre los puntos con coordenadas polares (2, ) 3) y (4, 2) 3). 14. Encuentre una fórmula para la distancia entre los puntos con coordenadas polares (r1, .1) y (r2, .2). 15-20 Identifique la curva encontrando una ecuación cartesiana para la curva. 15. r 2 17. r 5 2 cos u 19. r cos 2u 2 1 16. r 4 sec u 18. p 3 20. r tan u sec u 2 23. y 1 25. x 2 22. y y2 2cx 2 csc . (también una concoide) tiene la recta y 1 como una asíntota horizontal 1. Utilice este hecho para demostrando que lím r l y ayudarse a trazar la concoide. sen . tan . (llamada cisoide de Diocles) tiene la recta x 1 como una asíntota vertical. Demuestre también que toda la curva está dentro de la banda vertical 0 x 1. Utilice estos hechos para ayudarse a trazar la cisoide. y 2)3 4x 2y 2. 53. a) En el ejemplo 11, la gráfica sugiere que la limaçon x 26. xy 50. Demuestre que la curva r 52. Bosqueje la curva (x2 x 24. 4y 2 3x 4 2 sec . (llamada concoide) tiene la recta x 2 como asíntota vertical demostrando que lím r l x 2. Utilice este hecho para ayudarse a dibujar la concoide. 51. Demuestre que la curva r 21-26 Encuentre una ecuación polar para la curva representada por las ecuaciones cartesianas dadas. 21. y 49. Demuestre que la curva polar r 4 27-28 Para cada una de las curvas descritas, decida con qué ecuación se expresaría más fácilmente, con una polar o una cartesiana. Después escriba una ecuación para la curva. 27. a) Una recta que pasa por el origen que forma un ángulo de ) 6 con el eje x positivo. b) Una recta vertical que pasa por el punto (3, 3). 28. a) Una circunferencia con radio 5 y centro (2, 3). b)Una circunferencia centrada en el origen con radio 4. r 1 c sen . tiene un bucle interior cuando c 1. Demuestre que esto es cierto y encuentre los valores de . que corresponden a este bucle interior. b) En la figura 19 parece que la limaçon pierde su hoyuelo 1 cuando c 2. Demuéstrelo. 54. Relacione las ecuaciones polares con las gráficas I-VI. Dé razones para sus elecciones. (No utilice dispositivos de graficación.) a) r c) r e) r u su , 0 cos u 3 2 sen 3u 16 p b) r d) r f) r u 2, 0 u 1 2 cos u 1 2 sen 3u I II III IV V VI 29-46 Bosqueje la curva con la ecuación polar dada, graficando primero r como una función de . en coordenadas cartesianas. 29. r 2 sen u 30. r 1 cos u 32. r 1 2 cos u 31. r 21 33. r u, u 0 34. r ln u, u 35. r 4 sen 3 u 36. r cos 5 u 37. r 2 cos 4 u 38. r 3 cos 6u 39. r 1 40. r 2 cos u 2 sen u sen u 1 16 p 664 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 55-60 Encuentre la pendiente de la recta tangente para la curva polar dada en el punto especificado por el valor de .. 55. r 2 sen u, 57. r 1 u, 59. r cos 2 u, p 6 u p u p 4 u 56. r 2 58. r cos u 3 , 60. r 1 sen u, superiores sobre la curva r sen 2.. Después utilice su calculadora para encontrar el valor exacto. p 3 u 75. Investigue la familia de curvas con ecuaciones polares p u 2 cos u, 74. Utilice una gráfica para estimar la coordenada y de los puntos u r 1 c cos ., donde c es un número real. ¿Cómo cambia la forma de la curva cuando c cambia? p 3 76. Investigue la familia de curvas polares r 61-64 Encuentre los puntos sobre la curva dada donde la recta tangente es horizontal o vertical. 61. r 3 cos u 63. r 1 cos u 62. r 1 64. r eu 77. Sea P un número cualquiera (excepto el origen) sobre la curva a sen . b cos ., donde 0, representa una circunferencia y encuentre su centro y 66. Demuestre que las curvas r a sen . y r r f (.). Si  es el ángulo entre la recta tangente en P y la recta radial OP, demuestre que r tan c dr du a cos . se cortan en ángulos rectos. ฀ ฀ ฀ Sugerencia: Observe que  67-72 Utilice un dispositivo de graficación para trazar la curva 1 68. r s1 69. r e 70. r 2 sen u 2 2 cos 4 u tan u cot u 71. r 1 72. r sen2 4 u . en la figura. ÿ P (nefroide de Freeth) 0.8 sen 2 u sen u ฀ r=f(¨ ) polar. Elija el intervalo para el parámetro para asegurarse que se trace toda la curva. 67. r cos n . donde n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la forma de la curva cuando n crece? ¿Qué pasa cuando n es muy grande? Explique la forma para n muy grande considerando la gráfica de r como una función de . en coordenadas cartesianas. sen u 65. Demuestre que la ecuación polar r ab radio. 1 (hipopede) O (curva mariposa) (curva valentina) cos 4 u 1 r 1 sen(. ) 3) con la gráfica de r general, ¿cómo se relaciona la gráfica de r gráfica de r f (.)? PROYECTO DE LABORATORIO ˙ 78. a) Utilice el ejercicio 77 para demostrar que el ángulo entre la cos 999u (curva PacMan) 73. ¿Cómo se relacionan las gráficas de r ¨ sen(. ) 6) y 1 sen .? En f (. ) con la recta tangente y la recta radial es  ฀) 4 en todo punto sobre la curva r e .. b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en los puntos donde . 0 y ) 2. c) Demuestre que cualquier curva polar r f (.) con la propiedad de que el ángulo  entre la recta radial y la recta tangente es una constante que debe tener la forma r Ce k., donde C y k son constantes. ฀FAMILIAS DE CURVAS POLARES En este proyecto descubrirá lo interesante y bello que pueden ser las formas de las familias de curvas polares. También verá cómo cambia la forma de las curvas cuando varían las constantes. 1. a) Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones polares r sen n., donde n es un entero positivo. ¿Cómo se relaciona n con el número de bucles? b) ¿Qué pasa si la ecuación del inciso a) se reemplaza por r sen n. ? 2. Una familia de curvas está dada por las ecuaciones r 1 c sen n., donde c es un número real y n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la forma de la gráfica cuando n crece? ¿Cómo cambia cuando c cambia? Ilustre graficando suficientes miembros de la familia para apoyar sus conclusiones. Se requiere calculadora graficadora o computadora SECCIÓN 10.4 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES 665 3. Una familia de curvas tiene las ecuaciones polares a cos u a cos u 1 1 r Investigue cómo cambian las gráficas cuando el número a cambia. En particular, debe usted identificar la transición de los valores de a para los cuales la forma básica de la curva cambia. 4. El astrónomo Giovanni Cassini (1625-1712) estudió la familia de curvas con ecuaciones polares r4 2c 2 r 2 cos 2 u c4 a4 0 donde a y c son números reales positivos. Estas curvas se llaman óvalos de Cassini aunque tienen la forma de óvalo sólo para ciertos valores de a y c. (Cassini pensó que estas curvas podían representar órbitas planetarias mejor que las elipses de Kepler.) Investigue la variedad de formas que estas curvas pueden tener. En particular, ¿cómo se relacionan a y c con cada una cuando la curva se divide en dos partes? Áreas y longitudes en coordenadas polares 10.4 En esta sección desarrollamos la fórmula para el área de una región cuya frontera está dada por una ecuación polar. Necesitamos utilizar la fórmula para el área de un sector de un círculo: r ¨ 1 FIGURA 1
b O a ¨=a FIGURA 2 f(¨ i*) r2u donde, como se ve en la figura 1, r es el radio y . es la medida en radianes del ángulo central. La fórmula 1 se sigue del hecho de que el área de un sector es proporcional a su 1 ángulo central: A u 2 p pr 2 2 r 2 u. (Véase también el ejercicio 35 de la sección 7.3.) Sea  la región, ilustrada en la figura 2, acotada por la curva polar r f (.) y por los rayos . a y . b, donde f es una función positiva continua y donde 0 b a 2). Dividimos el intervalo a, b en subintervalos con puntos extremos .0, .1, .2, . . . , .n e igual ancho .. Entonces los rayos . .i dividen a  en n pequeñas regiones con ángulo central . .i .i 1. Si elegimos .i* en el i-ésimo subintervalo .i 1, .i , entonces el área Ai de la i-ésima región está aproximada por el área del sector de un círculo con ángulo central . y radio f (.i*). (Véase la figura 3.) Así, de la fórmula 1 tenemos r=f(¨) ¨=b 1 2 A ¨=¨ i ¨=¨ i-1 1 2 Ai f ui* 2 u 2 u y por tanto una aproximación al área A de  es ¨=b Ψ n ¨=a 2 f ui* i 1 O FIGURA 3 1 2 A En la figura 3 parece que la aproximación en 2 mejora cuando n l . Pero las sumas en 1 2 2 son sumas de Riemann para la función t u , de modo que 2 f u n 1 2 lím nl i 1 f ui* 2 u y b 1 2 a f u 2 du 666 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Por tanto parece plausible (y de hecho puede demostrarse) que la fórmula para el área A de la región polar de la región  es 3 y A b 1 2 f u a 2 du Usualmente, la fórmula 3 se escribe como 4 y b 1 2 a A r 2 du con el entendido de que r f (.). Observe la semejanza entre las fórmulas 1 y 4. Cuando aplicamos la fórmula 3 o 4 es útil pensar que el área es barrida por un rayo que rota alrededor de O empezando con un ángulo a y terminando en un ángulo b. v cos 2.. SOLUCIÓN La curva r cos 2. se bosquejó en el ejemplo 8 de la sección 10.3. Observe de la figura 4 que la región encerrada por el bucle de la derecha es barrido por un rayo que rota de . ) 4 a . ) 4. Por tanto, la fórmula 4 da  cos
 Encuentre el área encerrada por un bucle de cuatro pétalos r EJEMPLO 1      v FIGURA 4 r A y A y p4 1 2 p4 p 4 1 2 0 r2 du 1 2 y p 4 p4 1 2 cos 4 u d u 1 y cos 2 2 u d u [u p 4 0 1 4 cos 2 2 u d u ] p 4 sen 4u 0 p 8 EJEMPLO 2 Encuentre el área de la región que está dentro de la circunferencia 3 sen . y fuera del cardioide r 1 sen .. SOLUCIÓN El cardioide (véase ejemplo 7 en la sección 10.3) y la circunferencia están r=3 sen ¨ π ¨= 6 5π ¨= 6 O FIGURA 5 trazadas en la figura 5 y la región deseada está sombreada. Los valores de a y b en la fórmula 4 se determinan encontrando los puntos de intersección de las dos curvas. La intersección de éstas se da cuando 3 sen . 1 sen ., lo que da sen u 12, así que . ) 6, 5) 6. El área deseada puede encontrarse restando el área dentro del cardioide entre . ) 6 y . 5) 6 del área dentro de la circunferencia de ) 6 a 5) 6. Así A r=1+sen ¨ 1 2 y 5p 6 p6 1 2 3 sen u 2 d u y 5p 6 p 6 1 Como la región es simétrica respecto al eje vertical . A 2 1 2 y p 2 y p2 p6 p6 3u y p 2 p 6 9 sen2 u d u 8 sen2 u 3 y 2 6 2 sen u 1 ) 2, podemos escribir sen2 u d u 2 sen u d u 1 4 cos 2 u 2 sen 2u 1 2 sen u 2 d u 2 sen u d u p 2 p 6 ] 2 cos u p [debido a que sen2 u 1 2 1 cos 2 u ] SECCIÓN 10.4 r=f(¨)
¨=b r=g(¨) O ¨=a 667 ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES En el ejemplo 2 se ilustra el procedimiento para hallar el área de la región acotada por dos curvas polares. En general, sea  una región, como la que se ilustra en la figura 6, que está acotada por curvas con ecuaciones polares r f (.), r (.), . a y . b, donde f (.) (.) 0 y 0 b a 2). El área A de  se encuentra restando el área bajo r (.) del área bajo r f (.), de modo que utilizando la fórmula 3 se tiene FIGURA 6 A y b 1 2 a 1 2 y ( b a f u f u 2 du 2 y b 1 2 a t u t u 2 2 du ) du PRECAUCIÓN El hecho de que un solo punto tenga muchas representaciones en coordenadas polares, dificulta a veces hallar todos los puntos de intersección de dos curvas polares. Por ejemplo, es obvio de la figura 5 que la circunferencia y la cardioide tienen tres puntos de intersección; sin embargo, en el ejemplo 2 se resolvieron las ecuaciones r 3 sen . y r 1 sen . y se hallaron sólo dos puntos ( 32, p 6) y ( 32, 5 p 6). El origen también es un punto de intersección, pero no se puede determinar resolviendo las ecuaciones de las curvas porque el origen no tiene representación única en coordenadas polares que satisfaga ambas ecuaciones. Observe que, cuando se representa como (0, 0) o (0, )), el origen satisface r 3 sen . y, por tanto, está dentro de la circunferencia; cuando se representa como (0, 3) 2), satisface r 1 sen . y, por consiguiente, está sobre la cardioide. Considere dos puntos que se mueven a lo largo de las curvas cuando el valor de parámetro . se incrementa de 0 a 2). Sobre una curva el origen se alcanza en . 0 y . ); sobre la otra curva se alcanza en . 3) 2. Los puntos no chocan en el origen porque llegan en diferentes tiempos, aunque allí se cortan las curvas. Así, para hallar todos los puntos de intersección de dos curvas polares, se recomienda dibujar las gráficas de ambas curvas. Es especialmente conveniente usar una calculadora o computadora como medio auxiliar para esta tarea.  







 






  EJEMPLO 3 Encuentre los puntos de intersección de la curvas r cos 2 u y r 1 2 . 1 cos 2 u y r 12, obtenemos cos 2 u 2 y, por tanto, 2. ) 3, 5) 3, 7) 3, 11) 3. Así, los valores de . entre 0 y 2) que satisfacen ambas ecuaciones son . ) 6, 5) 6, 7) 6, 11) 6. Hemos encontrado cuatro puntos de intersección: ( 12, p 6), ( 12, 5 p 6), ( 12, 7 p 6) y ( 12, 11 p 6). Sin embargo, podemos ver de la figura 7 que las curvas tienen otros cuatro puntos de intersección: ( 12, p 3), ( 12, 2 p 3), ( 12, 4 p 3) y ( 12, 5 p 3). Estos puntos pueden encontrarse 1 utilizando la simetría o advirtiendo que la otra ecuación de la circunferencia es r 2 y 1 después resolviendo las ecuaciones r cos 2 u y r . 2 SOLUCIÓN Si resolvemos las ecuaciones r cos
 FIGURA 7 ฀ Longitud de arco Para determinar la longitud de una curva polar r f (.), a . b, consideramos . como un parámetro y escribimos las ecuaciones paramétricas de la curva como x r cos u f u cos u y r sen u f u sen u Usando la regla del producto y derivando con respecto a . obtenemos dx du dr cos u du r sen u dy du dr sen u du r cos u 668 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES así, utilizando cos 2 . dx du 2 sen 2 . dy du 2 1, tenemos dr du 2 cos 2 u dr du dr du 2r dr cos u sen u du 2 sen2 u 2r r 2 sen2 u dr sen u cos u du r 2 cos 2 u 2 r2 Suponiendo que f es continua, podemos utilizar el teorema 10.2.5 para expresar la longitud de arco como y L 2 dx du b a dy du 2 du Por tanto, la longitud de una curva con ecuación polar r v y L 5 b dr du r2 a EJEMPLO 4 f (.), a . b, es 2 du Encuentre la longitud de la cardioide r 1 sen .. SOLUCIÓN La cardioide se muestra en la figura 8. (La trazamos en el ejemplo 7 de la sección 10.3.) Su longitud total está dada por el intervalo del parámetro 0 que la fórmula 5 da O L y 2p dr du r2 0 y FIGURA 8 2p 0 r=1+sen ¨ s2 2 du y 2p 0 s1 sen u 2 . 2), así cos 2 u d u 2 sen u d u Podríamos haber evaluado esta integral multiplicando y dividiendo el integrando por s2 2 sen u , o podríamos utilizar la computadora. En cualquier caso, encontramos que la longitud de la cardioide es L 8. Ejercicios 10.4 1-4 Encuentre el área de la región acotada por las curvas dadas y que están en el sector especificado. 1. r e 2. r cos u, 3. r 2 4. r 4 , p 2 u u p6 9 sen 2u, r 0, 0 p 6 u 5. 6. p 0 tan u, 5-8 Encuentre el área de la región sombreada u p2 p 3 Se requiere calculadora graficadora o computadora r=œ„ ¨ 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com r=1+cos ¨ SECCIÓN 10.4 7. 8. ÁREAS Y LONGITUDES EN COORDENADAS POLARES 669 35. Encuentre el área dentro del bucle más grande y fuera del bucle 1 2 más pequeño de la limaçon r cos u. 36. Encuentre el área entre el bucle más grande y el bucle más pequeño encerrado de la curva r 2 cos 3. 1 37-42 Encuentre todos los puntos de intersección de las curvas dadas. r=4+3 sen ¨ r=sen 2¨ 9-12 Trace la curva y encuentre el área que encierra. 9. r 11. r 2 sen u 10. r 1 sen u 3 12. r 4 3 sen u 2 cos u 2 15. r s1 sen 4u cos 2 5u 14. r 3 2 cos 4 u 16. r 1 5 sen 6 u 17. r 18. r 19. r sen 4 u 20. r 21. r 1 2 sen 2 u 2 sen 5u 2 sen u (bucle interno) 2 cos . 3 sen u 38. r 1 cos u, 1 39. r 2 sen 2 u, r 40. r cos 3u, r sec .. 25. r 2 cos u, r 2 8 cos 2 u, 26. r 2 27. r 3 cos u, r 24. r 1 sen u, r 1 sen u 1 sen 3 u sen 2 u sen u, r 2 sen 2 u, r 2 cos 2 u 1 sen . y el bucle en espiral r 2., ) 2 . ) 2, no se pueden encontrar exactamente. Utilice un dispositivo de graficación para aproximar los valores de . en los que se intersecan. Después use estos valores para estimar el área que está dentro de ambas curvas. 44. Cuando se graban programas en vivo, es frecuente que los ingenieros de sonido utilicen un micrófono con un fonocaptor en forma de cardioide porque suprime ruido de la audiencia. Suponga que el micrófono se coloca a 4 m del frente del escenario (como en la figura) y la frontera de la región de captación óptima está dada por la cardioide r 8 8 sen ., donde r se mide en metros y el micrófono está en el polo. Los músicos quieren conocer el área que tendrán en el escenario dentro del campo óptimo de captación del micrófono. Conteste esta pregunta. 23-28 Encuentre el área de la región que está dentro de la primera curva y fuera de la segunda curva. 23. r r 43. Los puntos de intersección de la cardioide r 22. Encuentre el área encerrada por el bucle de la astrofoide r sen u, r 42. r 17-21 Encuentre el área de la región encerrada por uno de los bucles de la curva. 4 cos 3u 1 41. r 13-16 Grafique la curva y encuentre el área que encierra. 13. r 37. r escenario 1 12 m 2 r 3 sen u sen u, r 1 4m micrófono cos u audiencia 28. r 3 sen u, r sen u 2 45-48 Encuentre la longitud exacta de la curva polar. 29-34 Encuentre el área de la región que está dentro de ambas 45. r 2 cos u, 0 u curvas. 46. r 5, 0 u 2p 47. r 2 u, 0 u 2p 48. r 21 29. r s3 cos u, 30. r 1 31. r sen 2 u, 32. r 33. r 34. r 3 2 sen u r cos u, r 2 cos u, r a sen u, r cos u cos 2 u r sen 2 u, r cos u 1 p 2 3 2 sen u 49-50 Encuentre la longitud exacta de la curva. Utilice una gráfica para determinar el intervalo del parámetro. cos 2 u b cos u, a 0, b 0 49. r cos 4 u 4 50. r cos 2 u 2 670 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES 51-54 Utilice una calculadora para encontrar la longitud de la curva con una aproximación de cuatro decimales. Si es necesario, grafique la curva para determinar el intervalo del parámetro. 51. Un bucle de la curva r 52. r tan u, 53. r sen 6 sen u 54. r sen u 4 p 6 u y r2 S p3 b a 2 pr sen u b )) en torno al eje dr du 2 du b) Utilice la fórmula del inciso a) para encontrar el área de la superficie generada al rotar la lemniscata r 2 cos 2. en torno al eje polar. superficie generada al rotar la curva polar 10.5 a cos 2 u 55. a) Utilice la fórmula 10.2.6 para demostrar que el área de la f (.) r (donde f es continua y 0 polar es a . b 56. a) Encuentre una fórmula para el área de la superficie generada al rotar la curva polar r f (.), a . b (donde f es continua y 0 a b )), en torno a la recta . ) 2. b) Encuentre el área de la superficie generada al hacer rotar la lemniscata r 2 cos 2. en torno a la recta . ) 2. Secciones cónicas En esta sección daremos definiciones geométricas de las parábolas, elipses e hipérbolas, y deduciremos sus ecuaciones estándar. Se llaman secciones cónicas, o cónicas, porque resultan de cortar un cono con un plano, como se muestra en la figura 1. elipse parábola hipérbola FIGURA 1 Cónicas ฀ Parábolas parábola eje foco vértice FIGURA 2 F directriz Una parábola es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y una recta fija (llamada directriz). Esta definición se ilustra en la figura 2. Observe que el punto a la mitad entre el foco y la directriz está sobre la parábola y se llama vértice. La recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco se llama eje de la parábola. En el siglo xvi Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil disparado al aire con un ángulo respecto al suelo, es una parábola. Desde entonces, las formas parabólicas se han usado en el diseño de los faros de automóviles, telescopios reflectores y puentes suspendidos. (Véase en el problema 20 de la página 271 para la propiedad de reflexión de parábolas que las hace tan útiles.) Se obtiene una ecuación particularmente simple para una parábola si se coloca su vértice en el origen y su directriz paralela al eje x como en la figura 3. Si el foco está en el punto (0, p), entonces la directriz tiene la ecuación y p. Si P(x, y) es cualquier punto SECCIÓN 10.5 y 671 SECCIONES CÓNICAS sobre la parábola, entonces la distancia de P al foco es P(x, y) F(0, p) p x O y p 2 y la distancia de P a la directriz es y p . (La figura 3 ilustra el caso donde p propiedad que define a una parábola es que estas distancias son iguales: y=_p FIGURA 3 sx 2 PF y sx 2 y p 2 y 0.) La p Una ecuación equivalente se obtiene elevando al cuadrado y simplificando: x2 x2 y2 y 2 y p2 y2 x2 4py p 2py p 2 2py y 2 p2 La ecuación de la parábola con foco (0, p) y directriz y 1 p p es 4py x2 Si escribimos a 1 (4p), entonces la ecuación estándar de una parábola 1 se convierte en y ax 2. Abre hacia arriba si p 0 y hacia abajo si p 0 véase figura 4, incisos a) y b) . La gráfica es simétrica con respecto al eje y porque 1 permanece sin cambio cuando x se sustituye por x. Si intercambiamos x y y en 1 , obtenemos y y y y y=_p (0, p) x 0 a) ≈=4py, p>0 x (0, p) y=_p ( p, 0) ( p, 0) 0 x 0 x=_p x=_p b) ≈=4py, p<0 x 0 c) ¥=4px, p>0 d) ¥=4px, p<0 FIGURA 4 ¥+10x=0 2 y y2 que es una ecuación de la parábola con foco en ( p, 0) y directriz x p. (Intercambiar x y y equivale a reflejar respecto a la recta y x.) La parábola abre hacia la derecha si p 0 y hacia la izquierda si p 0 véase figura 4, incisos c) y d) . En ambos casos, la gráfica es simétrica respecto al eje x, que es el eje de la parábola. ”_ 52 , 0’ 0 x 5 x= 2 EJEMPLO 1 Encuentre el foco y la directriz de la parábola y 2 10x 0 y bosqueje la gráfica. SOLUCIÓN Si se escribe la ecuación como y 2 FIGURA 5 4px 10x y se compara con la ecuación 2, se 5 ve que 4p 10, de modo que p ( 52, 0) y la directriz 2. Así, el foco es p, 0 5 es x 2. El bosquejo se muestra en la figura 5. 672 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES ฀ Elipses Una elipse es el conjunto de puntos en un plano cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 es una constante (véase figura 6). Estos dos puntos fijos se llaman focos (plural del lugar geométrico foco). Una de las leyes de Kepler es que las órbitas de los planetas en el sistema solar son elipses con el Sol en un foco. y P(x, y) P F¡ F¡(_c, 0) 0 F™ FIGURA 6 x F™(c, 0) FIGURA 7 Con el fin de obtener la ecuación más simple para una elipse, colocamos los focos en el eje x en los puntos ( c, 0) y (c, 0) como en la figura 7, de modo que el origen esté a la mitad entre los focos. Sea 2a 0 la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos. Entonces P(x, y) es un punto sobre la elipse cuando PF1 2a PF2 es decir, sx c 2 y2 sx c o bien, sx c 2 y2 2a sx 2 y2 2a 2 y2 c Al elevar al cuadrado ambos lados, tenemos x2 2cx c2 y2 4a 2 4as x que podemos simplificar como c as x 2 c y2 2 y2 x2 2cx a2 c2 y2 cx Elevando al cuadrado otra vez: a2 x2 lo que resulta 2cx a2 c2 y2 c2 x2 a4 a2y2 2a 2cx a2 a2 c 2x 2 c2 Del triángulo F1 F2 P de la figura 7 se ve que 2c 2a, así que c a, y por tanto, a 2 c 2 0. Por conveniencia, sea b 2 a2 c 2. Entonces la ecuación de la elipse se convierte en 2 2 2 2 2 2 b x a y a b o, si ambos lados se dividen entre a 2 b 2, 3 y (0, b) (_a, 0) a b (_c, 0) c 0 (0, _b) FIGURA 8 ≈ ¥ + =1, a˘b a@ b@ (a, 0) (c, 0) x x2 a2 y2 b2 1 Puesto que b 2 a 2 c 2 a 2, se deduce que b a. Las intersecciones con el eje x se encuentran al hacer y 0. Entonces x 2 a 2 1, o bien x 2 a 2, de modo que x a. Los puntos correspondientes (a, 0) y ( a, 0) se llaman vértices de la elipse y el segmento de recta que une los vértices se llama eje mayor. Para hallar las intersecciones con el eje y hacemos x 0 y obtenemos y 2 b 2, de modo que y b. El segmento de recta que une (0, b) y (0, b) es el eje menor. La ecuación 3 no cambia si x se sustituye por x o y se reemplaza por y, así que la elipse es simétrica respecto a ambos ejes. Observe que si los focos coinciden, entonces c 0, de modo que a b y la elipse se convierte en una circunferencia con radio r a b. Un resumen de esta discusión es el que se muestra (véase figura 8). SECCIÓN 10.5 4 y (_b, 0) (0, a) c, 0 , donde c 2 tiene focos (b, 0) 0 x (0, _a) 5 x2 b2 ≈ ¥ + =1, a˘b b@ a@ v (0, 3) EJEMPLO 2 0 b b 2 y vértices y2 a2 1 a2 a a, 0 . b b 2 y vértices 0, Bosqueje la gráfica de 9x 2 x2 16 (4, 0) x {œ„7, 0} (0, _3) FIGURA 10 c), entonces podemos hallar 16y 2 0 a. 144 y localice los focos. y2 9 1 La ecuación está ahora en la forma estándar para una elipse, así que tenemos a 2 16, b 2 9, a 4 y b 3. Las intersecciones con el eje x son 4 y las intersecciones con el eje y son 3. También, c 2 a 2 b 2 7, de modo que c s7 y los focos son ( s7 , 0). La gráfica se bosqueja en la figura 10. v 9≈+16¥=144 EJEMPLO 3 Obtenga la ecuación de la elipse con focos (0, 2) y vértices (0, 3). SOLUCIÓN Al usar la notación de 5 , se tiene c b2 y P(x, y) 0 a2 a SOLUCIÓN Dividimos ambos lados de la ecuación entre 144: (_4, 0) F¡(_c, 0) c , donde c 2 tiene focos 0, y 0 1 La elipse FIGURA 9 {_œ„7, 0} y2 b2 Si los focos de una elipse se localizan en el eje y en (0, su ecuación al intercambiar x y y en 4 . (Véase figura 9.) (0, _c) 673 La elipse x2 a2 (0, c) SECCIONES CÓNICAS F™(c, 0) x FIGURA 11 P está sobre la hipérbola cuando |PF¡|-|PF™ |=62a. a2 c2 9 4 2 y a 3. Entonces obtenemos 5, así que la ecuación de la elipse es x2 5 y2 9 1 Otra forma de escribir la ecuación es 9x 2 5y 2 45. Al igual que las parábolas, las elipses tienen una propiedad de reflexión interesante que tiene consecuencias prácticas. Si se coloca una fuente de luz o sonido en un foco con secciones transversales elípticas, entonces toda la luz o sonido se refleja de la superficie al otro foco (véase el ejercicio 65). Este principio se usa en litotripsia, un tratamiento para cálculos renales. Un reflector con sección transversal elíptica se coloca de tal manera que el cálculo está en un foco. Ondas sonoras de alta intensidad generadas en el otro foco, se reflejan hacia el cálculo y lo destruyen sin dañar el tejido circundante. Se ahorra al paciente el traumatismo de la cirugía y se recupera en pocos días. ฀ Hipérbolas Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (los focos) es una constante. Esta definición se ilustra en la figura 11. Las hipérbolas aparecen con frecuencia como gráficas de ecuaciones en química, física, biología y economía (ley de Boyle, ley de Ohm, curvas de oferta y demanda). Una aplicación 674 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES particularmente importante de las hipérbolas se encuentra en los sistemas de navegación desarrollados en las guerras mundiales I y II (véase el ejercicio 51). Observe que la definición de una hipérbola es similar a la de una elipse; el único cambio es que la suma de las distancias se convirtió en una diferencia de distancias. De hecho, la deducción de la ecuación de una hipérbola es también similar a la que se dio antes para una elipse. Se deja al ejercicio 52 demostrar que cuando los focos están sobre el eje x en ( c, 0) y la diferencia de distancias es PF1 PF2 2a, entonces la ecuación de la hipérbola es x2 a2 6 y2 b2 1 donde c 2 a 2 b 2. Observe que las intersecciones con el eje x son de nuevo a y los puntos (a, 0) y ( a, 0) son los vértices de la hipérbola. Pero si hacemos x 0 en la ecuación 6 obtenemos y 2 b 2, lo cual es imposible, así que no hay intersección con el eje y. La hipérbola es simétrica respecto a ambos ejes. Para analizar más la hipérbola, de la ecuación 6 obtenemos x2 a2 b y=_ a x y b (a, 0) (_c, 0) (c, 0) 0 x 7 tiene focos ( c, 0), donde c 2 y2 b2 1 b 2, vértices ( a, 0) y asíntotas y a2 (b a)x. Si los focos de una hipérbola están en el eje y, entonces al invertir los roles de x y y obtenemos la siguiente información, que se ilustra en la figura 13. y (0, c) a y=_ b x y= b x (0, a) (0, _a) 0 (0, _c) FIGURA 13 ≈ ¥ - =1 b@ a@ La hipérbola x2 a2 FIGURA 12 ≈ ¥ - =1 a@ b@ a 1 a. Por consiguiente, tenemos Esto demuestra que x 2 a 2, de modo que x sx 2 que x aox a. Esto significa que la hipérbola consta de dos partes, llamadas ramas. Cuando dibujamos una hipérbola, es útil dibujar primero sus asíntotas, que son las rectas discontinuas y (b a)x y y (b a)x mostradas en la figura 12. Ambas ramas de la hipérbola se aproximan a las asíntotas; es decir, se acercan de manera arbitraria a las asíntotas. Véase el ejercicio 73 en la sección 4.5, donde estas rectas se muestran como una asíntota inclinada. y= a x (_a, 0) y2 b2 1 x 8 La hipérbola y2 a2 tiene focos (0, c), donde c 2 a2 x2 b2 1 b 2, vértices (0, a) y asíntotas y Encuentre los focos y las asíntotas de la hipérbola 9x 2 bosqueje su gráfica. EJEMPLO 4 16y 2 (a b)x. 144 y SECCIÓN 10.5    x2 16     FIGURA 14 y2 9 1 lo cual es de la forma dada en 7 con a 4 y b focos son ( 5, 0). Las asíntotas son las rectas y en la figura 14. EJEMPLO 5 
 675 SOLUCIÓN Si dividimos ambos lados de la ecuación entre 144, resulta        SECCIONES CÓNICAS asíntota y 3. Como c 2 16 9 25, los 3 3 4x y y 4 x. La gráfica se muestra Encuentre los focos y la ecuación de la hipérbola con vértices (0, 2x. 1) y SOLUCIÓN De 8 y la información dada, vemos que a yc 2 a 2 b 2 1 y a b 2. Así, b a 2 s5 2) y la ecuación de la hipérbola es . Los focos son (0, 5 4 4x 2 y2 1 2 1 ฀ Cónicas desplazadas Como se discute en el apéndice, las cónicas se desplazan tomando las ecuaciones estándar 1 , 2 , 4 , 5 , 7 y 8 y reemplazamos x y y por x h y y k. EJEMPLO 6 (1, 2), (5, Encuentre una ecuación de la elipse con focos (2, 2). 2), (4, 2) y vértices SOLUCIÓN El eje mayor es el segmento de recta que une los vértices (1, 2), (5, 2) y tiene longitud 4, de manera que a 2. La distancia entre los focos es 2, por lo que c 1. Así b 2 a 2 c 2 3. Como el centro de la elipse es (3, 2), reemplazamos x y y en 4 por x 3 y y 2 para obtener 3 x 2 2 y 4 2 1 3 como la ecuación de la elipse. v EJEMPLO 7 Trace la cónica 9x 2 4y 2 72x 8y 176 0 y encuentre sus focos.  SOLUCIÓN Completamos los cuadrados como sigue:     4 y2 4 y2      9 x2 1  FIGURA 15  9 x2 8x 176 8x 16 176 4 y 1 2 9x 4 2 y 1 2 x 4 2 9    

 2y 2y 4 4 144 36 1 Ésta es de la forma 8 excepto que x y y son reemplazadas por x 4 y y 1. Así a 2 9, b 2 4 y c 2 13. La hipérbola es desplazada cuatro unidades a la derecha y una unidad hacia arriba. Los focos son (4, 1 s13 ) y (4, 1 s13 ) y los vértices son (4, 4) y 3 4 . El trazo de la hipérbola se da en la (4, 2). Las asíntotas son y 1 2 x figura 15. 676 CAPÍTULO 10 10.5 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Ejercicios 1-8 Encuentre el vértice, focos y directriz de la parábola y trace su gráfica. 1. x 2 6y 3. 2x y2 5. x 2 7. y 2 2 2y 8 y 12x 2. 2y 2 5x 4. 3x 2 8y 3 6. x 25 8. y 0 1 24. y 2 5 2x 2 2 10. 4y 28 2y 16x 31 0 encuentre los vértices y los focos. 16 focos y la directriz. y 4x 2 24x 25-30 Identifique el tipo de sección cónica cuya ecuación se da y 9-10 Encuentre la ecuación de la parábola. Después determine los 9. y2 0 y 12x 23. 4x 2 y 25. x 2 y 27. x 2 4y 2y 2 29. y 2 2y 4x 2 1 26. x 2 y2 1 28. y 2 8y 6x 30. 4x 2 3 y2 4x 16 0 1 _2 1 x 31-48 Encuentre la ecuación para la cónica que satisface las 0 condiciones dadas. x 2 11-16 Encuentre los vértices y focos de la elipse y trace su gráfica. x2 11. 2 y2 4 13. x 2 9y 2 15. 9x 2 16. x 2 1 14. 100x 2 9 4y 2 18x 3y 2 y2 8 x2 12. 36 2x 10 225 0 18. y 1 1 0 1 2 x 33. Parábola, foco ( 4, 0), directriz x 34. Parábola, foco (3, 6), vértice (3, 2) 6 2 eje horizontal, que pasa por ( 1, 0), (1, 1) y (3, 1) focos. y foco (0, 0), directriz y 36. Parábola, 17-18 Encuentre la ecuación de la elipse. Después encuentre sus 17. 32. Parábola, vértice (2, 3), eje vertical, que pasa por (1, 5) 27 12y vértice (0, 0), foco (1, 0) 35. Parábola, 1 36y 2 31. Parábola, x 37. Elipse, focos ( 2, 0), vértices ( 5, 0) 38. Elipse, focos (0, 39. Elipse, focos (0, 2), (0, 6), vértices (0, 0), (0, 8) 40. Elipse, focos (0, 41. Elipse, centro ( 1, 4), vértice ( 1, 0), foco ( 1, 6) 42. Elipse, focos ( 4, 0), que pasa por ( 4, 1.8) 5), vértices (0, 1), (8, 13) 1), vértice (9, 43. Hipérbola, vértices ( 3, 0), focos ( 5, 0) 44. Hipérbola, vértices (0, 45. Hipérbola, vértices ( 3, 7), ( 3, 9) focos ( 3, 2), focos (0, 1) 5) 4), ( 3, 6), 46. Hipérbola, 19-24 Encuentre los vértices, focos y asíntotas de la hipérbola y trace su gráfica. y2 19. 25 21. x 2 x2 9 y2 1 100 x2 20. 36 y2 64 22. y 2 16x 2 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 1 vértices ( 1, 2), (7, 2), focos ( 2, 2), (8, 2) 47. Hipérbola, vértices ( 3, 0), asíntotas y 48. Hipérbola, focos (2, 0), (2, 8), 1 5 3 2x y y asíntotas y 16 1 2 x 2x SECCIÓN 10.5 49. El punto en una órbita lunar próxima a la superficie de la Luna se llama perilunio, y el punto más alejado de la superficie se llama apolunio. La nave espacial Apolo 11 se colocó en una órbita lunar elíptica con altitud de perilunio de 110 km y altitud de apolunio de 314 km (arriba de la Luna). Encuentre una ecuación para esta elipse si el radio de la Luna es de 1 728 km y su centro está en uno de los focos. SECCIONES CÓNICAS 677 54. Encuentre la ecuación para la elipse con focos (1, 1) y ( 1, 1) y eje principal de longitud 4. 55. Determine el tipo de curva representada por la ecuación x2 k y2 k 16 1 50. En la figura se muestra una sección transversal de un reflector parabólico. El bulbo se localiza en el foco y la abertura en el foco es de 10 cm. a) Encuentre una ecuación de la parábola. b) Determine el diámetro de la abertura CD , a 11 cm del vértice. 56. a) Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la parábola y2 C A en cada uno de los siguientes casos: a) k 16, b) 0 k 16, y c) k 0. d) Demuestre que todas las curvas en los incisos a) y b) tienen los mismos focos, sin importar el valor de k. 4px en el punto (x0, y0) puede expresarse como y0 y 5 cm 11 cm F 5 cm V B 2p(x x 0) b) ¿Cuál es la intersección de esta recta tangente con el eje x? Use este hecho para dibujar la recta tangente. 57. Demuestre que las rectas tangentes a la parábola x 2 4py trazadas desde cualquier punto sobre la directriz son perpendiculares. D 51. En el sistema de navegación por radio LORAN (LOng RAnge Navigation), dos estaciones de radio localizadas en A y B, transmiten en forma simultánea señales a un barco o un avión localizado en P. La computadora de a bordo convierte la diferencia de tiempo de recibir estas señales en una diferencia de distancia PA PB , y esto, de acuerdo con la definición de una hipérbola, localiza al barco o avión en una rama de una hipérbola (véase la figura). Suponga que la estación B se localiza a 400 millas al este de la estación A sobre la costa. Un barco recibe la señal de B 1200 microsegundos (&s) antes de recibir la señal de A. a) Si se supone que la señal de radio viaja a una rapidez de 980 pies &s, encuentre la ecuación de la hipérbola sobre la que se localiza el barco. b) Si el barco se dirige al norte de B, ¿qué tan lejos de la costa está el barco? 58. Demuestre que si una elipse y una hipérbola tienen los mismos focos, entonces sus rectas tangentes en cada punto de intersección son perpendiculares. 59. Use ecuaciones paramétricas y la regla de Simpson con n 8 para estimar la circunferencia de la elipse 9x 2 4y 2 36. 60. El planeta Plutón viaja en una órbita elíptica alrededor del Sol (en un foco). La longitud del eje mayor es 1.18 1010 km y la longitud del eje menor es 1.14 1010 km. Use la regla de Simpson con n 10 para estimar la distancia que viaja el planeta durante una órbita completa alrededor del Sol. 61. Encuentre el área de la región encerrada por la hipérbola x2 a2 foco. y2 b2 1 y la recta vertical que pasa por un 62. a) Si una elipse gira alrededor de su eje mayor, encuentre el volumen del sólido resultante. b) Si gira alrededor de su eje menor, encuentre el volumen resultante. P A costa B 400 millas estaciones de radio 52. Use la definición de hipérbola para deducir la ecuación 6 para una hipérbola con focos ( c, 0) y vértices ( a, 0). 53. Demuestre que la función definida por la rama superior de la hipérbola y 2 a 2 x2 b2 1 es cóncava hacia arriba. 63. Encuentre el centroide de la región encerrada por el eje x y la mitad superior de la elipse 9x 2 4y 2 36. 64. a) Calcule el área de la superficie del elipsoide generado al rotar una elipse en torno a su eje mayor. b) ¿Cuál es el área de la superficie si la elipse rota en torno de su eje menor? 65. Sea P(x1, y1) un punto sobre la elipse x 2 a 2 y 2 b 2 1 con focos F1 y F2 y sean  y  los ángulos entre las rectas 678 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES PF1, PF2 y la elipse como se ve en la figura. Demuestre que  . Esto explica cómo funcionan las cúpulas susurrantes y la litotricia. El sonido que viene de un foco se refleja y pasa por el otro foco. Su erencia: use la fórmula del problema 19 de la página 271 para demostrar que tan  tan . Demuestra que la luz dirigida a un foco F2 de un espejo hiperbólico, se refleja hacia el otro foco F1.) y å   0 F¡   P ∫ F™ x    
     P F¡ 66. Sea P(x1, y1) un punto sobre la hipérbola x 2 a 2 y2 b2 1 con focos F1 y F2 y sean  y  los ángulos entre las rectas PF1, PF2 y la hipérbola como se ilustra en la figura. Demuestre que  . (Ésta es la propiedad de reflexión de la hipérbola. 10.6 F™ Secciones cónicas en coordenadas polares En la sección precedente definimos la parábola en términos de un foco y una directriz, pero definimos la elipse y la hipérbola en términos de dos focos. En esta sección se da un tratamiento más unificado de los tres tipos de secciones cónicas en términos de un foco y la directriz. Además, si colocamos el foco en el origen, entonces una sección cónica tiene una ecuación polar simple, la cual es una descripción cómoda del movimiento de planetas, satélites y cometas. 1 Teorema Sea F un punto fijo (llamado foco) y l una recta fija (llamada directriz) en un plano. Sea e un número positivo fijo (llamado excentricidad). El conjunto de todos los puntos P en el plano, tales que PF Pl e (esto es, la razón de la distancia desde F a la distancia desde l es la constante e) es una sección cónica. La cónica es a) una elipse si e 1 b) una parábola si e 1 c) una hipérbola si e 1 Observe que si la excentricidad es e 1, entonces PF Pl y, de este modo, la condición dada simplemente se convierte en la definición de una parábola según se da en la sección 10.5. DEMOSTRACIÓN SECCIÓN 10.6 y l (directriz) P r F Así, la condición PF r cos ¨ d C PF x 679 Colocamos el foco F en el origen y la directriz paralela al eje y y d unidades a la derecha. Así, la directriz tiene ecuación x d y es perpendicular al eje polar. Si el punto P tiene coordenadas polares (r, .), vemos de la figura 1 que x=d ¨ SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES r Pl e o PF Pl 2 r r cos u d e Pl resulta r cos u ed Si elevamos al cuadrado ambas partes de esta ecuación polar y la convertimos a coordenada rectangulares, obtenemos x2 y2 e2 d 1 e2 x2 x 2 e2 d2 x2 2dx FIGURA 1 o bien, 2de 2x y2 e 2d 2 Después de completar los cuadrados, tenemos 3 e 2d 1 e2 x y2 1 e2 2 e 2d 2 1 e2 2 Si e 1, reconocemos a la ecuación 3 como la ecuación de una elipse. De hecho, es de la forma x h a 2 y2 b2 2 1 donde 4 h e 2d 1 e2 e 2d 2 1 e2 a2 b2 2 e 2d 2 1 e2 En la sección 10.5 encontramos que el foco de una elipse está a una distancia c del centro, donde 5 a2 c2 Esto demuestra que e 2d 1 e2 c e 4d 2 1 e2 b2 2 h y confirma que el foco como se definió en el teorema 1 significa lo mismo que el foco definido en la sección 10.5. Se deduce también de las ecuaciones 4 y 5 que la excentricidad está dada por e c a Si e 1, entonces 1 e 2 0 y vemos que la ecuación 3 representa una hipérbola. Tal y como se hizo antes, se podría reescribir la ecuación 3 en la forma x h a 2 2 y2 b2 1 y vemos que e c a donde c 2 a2 b2 680 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Al resolver la ecuación 2 para r, vemos que la ecuación polar de la cónica mostrada en la figura 1 se puede expresar como r ed e cos u 1 Si se elige que la directriz esté a la izquierda del foco como x d, o si se elige la directriz paralela al eje polar como y d, entonces la ecuación polar de la cónica está dada por el siguiente teorema, que se ilustra mediante la figura 2. (Véanse los ejercicios 21-23.) y y F F x y y y=d x=_ d directriz x=d directriz directriz F x F x y=_d a) r= ed 1+e cos ¨ b) r= ed 1-e cos ¨ c) r= x ed 1+e sen ¨ d) r= directriz ed 1-e sen ¨ FIGURA 2 Ecuación polar de la cónica 6 Teorema Una ecuación polar de la forma r 1 ed e cos u o r 1 ed e sen u representa una sección cónica con excentricidad e. La cónica es una elipse si e una parábola si e 1, o una hipérbola si e 1. 1, v EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación polar para una parábola que tiene su foco en el origen y cuya directriz es la recta y 6. SOLUCIÓN Al usar el teorema 6 con e 1yd 6, y emplear el inciso d) de la figura 2, vemos que la ecuación de la parábola es r v EJEMPLO 2 1 6 sen u Una cónica está dada por la ecuación polar r 3 10 2 cos u Encuentre la excentricidad, identifique la cónica, localice la directriz y bosqueje la cónica. SOLUCIÓN Al dividir numerador y denominador entre 3, se escribe la ecuación como r 1 10 3 2 3 cos u SECCIÓN 10.6 y x=_5 (directriz) Del teorema 6 vemos que esta ecuación representa una elipse con e ed 103, tenemos 10 r= 3-2 cos ¨ foco 0 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES d x (10, 0) (2, π) 10 3 2 3 10 3 e 681 2 3 . Puesto que 5 de manera que la directriz tiene la ecuación cartesiana x 5. Cuando . 0, r 10; cuando . ), r 2. Así que los vértices tienen coordenadas polares (10, 0) y (2, )). La elipse se bosqueja en la figura 3. FIGURA 3 EJEMPLO 3 Bosqueje la cónica r 2 12 . 4 sen u SOLUCIÓN Escribiendo la ecuación en la forma r 1 6 2 sen u vemos que la excentricidad es e 2 y, por tanto, la ecuación representa una hipérbola. Puesto que ed 6, d 3 y la directriz tiene ecuación y 3. Los vértices ocurren cuando . ) 2 y 3) 2, de modo que son (2, ) 2) y ( 6, 3) 2) (6, ) 2). También es útil graficar las intersecciones con el eje x. Éstas ocurren cuando . 0, ); en ambos casos r 6. Para más exactitud, podríamos dibujar las asíntotas. Observe que 1 rl cuando 1 2 sen . l 0 o 0 y 1 2 sen . 0 cuando sen u 2. Así, las asíntotas son paralelas a los rayos . 7) 6 y . 11) 6. La hipérbola se bosqueja en la figura 4.   



  



 FIGURA 4  
(directriz) 
  
sen
  
foco Al hacer girar secciones cónicas, es mucho más conveniente usar ecuaciones polares que cartesianas. Se usa el hecho (véase el ejercicio 73 de la sección 10.3) de que la gráfica de r f (. ) es la gráfica de r f (.) rotada en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen por un ángulo . 11 v EJEMPLO 4 Si la elipse del ejemplo 2 se hace girar por un ángulo ) 4 en torno al origen, determine una ecuación polar y grafique la elipse resultante. 10 r=3-2 cos(¨-π/4) SOLUCIÓN La ecuación de la elipse rotada se obtiene reemplazando . con . ) 4 en la ecuación dada en el ejemplo 2. Así que la nueva ecuación es _5 15 10 _6 FIGURA 5 r= 3-2 cos ¨ r 3 10 2 cos u p 4 Usamos esta ecuación para graficar la elipse rotada en la figura 5. Observe que la elipse ha sido rotada en torno a su foco izquierdo. 682 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES En la figura 6 utilizamos una computadora para bosquejar varias cónicas para mostrar el efecto de variar la excentricidad e. Observe que cuando e es cercana a 0 la elipse es casi circular, mientras que se vuelve más alargada cuando e l 1 . Cuando e 1, por supuesto, la cónica es una parábola. e=0.1 e=1 e=0.5 e=0.68 e=0.86 e=1.1 e=0.96 e=1.4 e=4 FIGURA 6 ฀ Leyes de Kepler En 1609 el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler, con base en enormes cantidades de datos astronómicos, publicó las siguientes tres leyes del movimiento planetario. Leyes de Kepler 1. Un planeta gira alrededor del Sol en órbita elíptica con el Sol en uno de los focos. 2. La recta que une el Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. Aun cuando Kepler formuló sus leyes en términos del movimiento de planetas alrededor del Sol, se aplican igualmente bien al movimiento de lunas, cometas, satélites y otros cuerpos que giran sujetos a una sola fuerza gravitacional. En la sección 13.4 se demuestra cómo deducir las leyes de Kepler a partir de las leyes de Newton. Aquí se emplea la primera ley de Kepler, junto con la ecuación polar de una elipse, para calcular cantidades de interés en astronomía. Para fines de cálculos astronómicos, es útil expresar la ecuación de una elipse en términos de su excentricidad e y su semieje mayor a. Podemos expresar la distancia d del foco a la directriz en términos de a si usamos 4 : a2 Entonces ed e 2d 2 1 e2 a(1 2 d2 ? a2 1 e 2). Si la directriz es x r 1 ed e cos u e2 e 2 2 ? d e2 a1 e d, entonces la ecuación polar es a 1 e2 1 e cos u SECCIÓN 10.6 SECCIONES CÓNICAS EN COORDENADAS POLARES 683 7 La ecuación polar de una elipse con foco en el origen, semieje mayor a, excentricidad e y directriz x d se puede expresar en la forma a 1 e2 1 e cos u r Las posiciones de un planeta que sean más cercanas al Sol, y más lejanas a éste, se denominan perihelio y afelio, respectivamente, y corresponden a los vértices de la elipse. (Véase figura 7.) Las distancias del Sol al perihelio y afelio reciben el nombre de distancia al perihelio y distancia al afelio, respectivamente. En la figura 1 el Sol está en el foco F, de modo que en el perihelio se tiene . 0 y, de la ecuación 7, planeta r sol afelio ¨ perihelio a 1 e2 1 e cos 0 r Del mismo modo, en el afelio . a1 )yr e 1 1 e a(1 e a1 e e). FIGURA 7 8 La distancia al perihelio de un planeta al Sol es a(1 es a(1 e). e) y la distancia al afelio EJEMPLO 5 a) Encuentre una ecuación polar aproximada para la órbita elíptica de la Tierra alrededor del Sol (en un foco), dado que la excentricidad es alrededor de 0.017 y la longitud del eje mayor es de unos 2.99 108 km. b) Encuentre la distancia de la Tierra al Sol en el perihelio y el afelio. SOLUCIÓN a) La longitud del eje mayor es 2a 2.99 108, por lo que a 1.495 108. Un dato es que e 0.017 y, por tanto, de la ecuación 7, una ecuación de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es a 1 e2 1 e cos u r 1.495 10 8 1 0.017 1 0.017 cos u 2 o, aproximadamente, r 1.49 10 8 1 0.017 cos u b) De 8 , la distancia al perihelio de la Tierra al Sol es a1 e 1.495 10 8 1 0.017 1.47 10 8 km y la distancia al afelio es a1 e 1.495 10 8 1 0.017 1.52 10 8 km 684 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Ejercicios 10.6 1-8 Escriba una ecuación polar de una cónica con el foco en el origen y los datos dados. e y directriz y 1 2 1. Elipse, excentricidad , 2. Parábola, directriz x directriz x excentricidad 1.5, 4. Hipérbola, excentricidad 3, 5. Parábola, vértice (4, 3) 2) 7. Elipse, excentricidad 0.8, 1 2 excentricidad , 8. Hipérbola, 4 directriz y directriz x e y directriz y 3 1 ed e sen u 24. Demuestre que las parábolas r 4 sec . directriz r ed e sen u d tiene la ecuación polar r directriz r 1 23. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad 2 vértice (1, ) 2) excentricidad 3, d tiene la ecuación polar r 3 3. Hipérbola, 6. Elipse, 22. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad r 6 csc . d (1 c (1 cos .) y cos .) se cortan en ángulos rectos. 25. La órbita de Marte alrededor del Sol es una elipse con excentricidad 0.093 y semieje mayor de 2.28 Encuentre una ecuación polar para la órbita. 9-16 a) Encuentre la excentricidad, b) identifique la cónica, c) dé una ecuación de la directriz y d) bosqueje la cónica. 9. r 11. r 13. r 15. r 5 4 4 sen u 10. r 3 2 3 sen u 12. r 6 9 2 cos u 14. r 4 3 8 cos u 16. r 3 12 10 cos u 2 3 2 cos u 4 8 5 sen u 5 10 6 sen u 10 8 km. 26. La órbita de Júpiter tiene excentricidad de 0.048 y la longitud del eje mayor es 1.56 para la órbita. 10 9 km. Encuentre una ecuación polar 27. La órbita del cometa Halley, visto por última vez en 1986 y que debe volver en 2062, es una elipse con excentricidad 0.97 y un foco en el Sol. La longitud de su eje principal es 36.18 UA. Una unidad astronómica (UA) es la distancia media entre la Tierra y el Sol, cerca de 93 millones de millas. Encuentre una ecuación polar para la órbita del cometa Halley. ¿Cuál es la distancia máxima desde el cometa al Sol? 28. El cometa Hale-Bopp, descubierto en 1995, tiene una órbita elíptica con excentricidad 0.9951 y la longitud del eje mayor es 356.5 UA. Encuentre una ecuación polar para la órbita de este cometa. ¿Qué tan cerca del Sol llega? 17. a) Encuentre la excentricidad y la directriz de la cónica r 1 (1 2 sen .) y grafique la cónica y su directriz. b) Si esta cónica se hace girar en sentido contrario a las manecillas del reloj en torno al origen con un ángulo 3) 4, escriba la ecuación resultante y grafique su curva. 4 (5 6 cos .) y su directriz. También grafique la cónica obtenida al girar esta curva en torno al origen con un ángulo ) 3. 19. Grafique las cónicas r e (1 e cos .) con e 0.4, 0.6, 0.8 y 1.0 en una pantalla común. ¿Cómo afecta el valor de e la forma de la curva? 20. a) Grafique las cónicas r ed (1 e sen .) para e 1 y varios valores de d. ¿Cómo afecta el valor de d la forma de la cónica? b) Grafique estas cónicas para d 1 y varios valores de e. ¿Cómo afecta el valor de e la forma de la cónica? 21. Demuestre que una cónica con foco en el origen, excentricidad e y directriz x d tiene la ecuación polar r 1 ed e cos u Se requiere calculadora graficadora o computadora © Dreamstime 18. Grafique la cónica r 29. El planeta Mercurio viaja en una órbita elíptica con excentricidad 0.206. Su distancia mínima del Sol es 4.6 10 7 km. Determine su distancia máxima del Sol. 30. La distancia desde el planeta Plutón al Sol es de 4.43 10 9 km en el perihelio y 7.37 10 9 km en el afelio. Halle la excentricidad de la órbita de Plutón. 31. Con los datos del ejercicio 29, calcule la distancia que recorre el planeta Mercurio durante una órbita completa alrededor del Sol. (Si su calculadora o sistema algebraico computarizado evalúa integrales definidas, utilícelo. De lo contrario, use la regla de Simpson.) 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com CAPÍTULO 10 10 REPASO 685 Repaso Verificación de conceptos 6. a) Dé una definición geométrica de una parábola. 1. a) ¿Qué es una curva paramétrica? b) ¿Cómo se bosqueja una curva paramétrica? 2. a) ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta tangente a una curva paramétrica? b) Determine el área debajo de una curva paramétrica. 3. Escriba una expresión para cada una de las siguientes descripciones: a) La longitud de una curva paramétrica. b) El área de la superficie obtenida al hacer girar una curva paramétrica en torno al eje x. 4. a) Use un diagrama para explicar el significado de las coordenadas polares (r, .) de un punto. b) Escriba ecuaciones que expresen las coordenadas cartesianas (x, y) de un punto en términos de las coordenadas polares. c) ¿Que ecuaciones usaría para obtener las coordenadas polares de un punto si conociera las coordenadas cartesianas? 5. a) ¿Cómo determina la pendiente de una recta tangente a una curva polar? b) ¿Cómo calcula el área de una región acotada por una curva polar? c) ¿Cómo halla la longitud de una curva polar? b) Escriba una ecuación de una parábola con foco (0, p) y directriz y p. ¿Qué pasa si el foco es ( p, 0) y la directriz es x p? 7. a) Dé una definición de una elipse en términos de los focos. b) Escriba una ecuación para la elipse con focos ( c, 0) y vértices ( a, 0). 8. a) Dé una definición de una hipérbola en términos de los focos. b) Escriba una ecuación para la hipérbola con focos ( c, 0) y vértices ( a, 0). c) Escriba ecuaciones para las asíntotas de la hipérbola del inciso b). 9. a) ¿Cuál es la excentricidad de una sección cónica? b) ¿Qué se puede decir acerca de la excentricidad si la sección cónica es una elipse? ¿Una hipérbola? ¿Una parábola? c) Escriba una ecuación polar para una sección cónica con excentricidad e y directriz x d. ¿Qué pasa si la directriz es x d? ¿y d? ¿y d? Exámen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que refute el enunciado. 1. Si la curva paramétrica x f (t), y (t) satisface (1) 0, entonces tiene una recta tangente horizontal cuando t 1. 2. Si x f (t) y y (t) son derivables dos veces, entonces d 2y dx 2 3. La longitud de la curva x xs b a f t 2 t t 2 d 2 y dt 2 d 2x dt 2 f (t), y 5. Las curvas polares r 6. Las ecuaciones r y 2 cos 3t (0 t b, es dt. 4. Si un punto se representa por (x, y) en coordenadas cartesianas (donde x 0) y (r, .) en coordenadas polares, entonces . tan 1( y x). sen 2. y r t sen 2. 1 tienen la 2, x 2 y 2 4 y x 2 sen 3t, 2)) tienen la misma gráfica. 7. Las ecuaciones paramétricas x gráfica que x (t), a 1 misma gráfica. 8. La gráfica de y 2 t 3, y 2y t 2, y t 4 tienen la misma t 6. 3x es una parábola. 9. Una recta tangente a una parábola corta la parábola sólo una vez. 10. Una hipérbola nunca corta su directriz. 686 CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES Ejercicios 1-4 Bosqueje la curva paramétrica y elimine el parámetro para hallar la ecuación cartesiana de la curva. 1. x t2 4t, 2. x 1 2t 3. x cos u, 4. x 2 cos u, 2 y e , e y t, 1 u 0 p 2 21. x ln t, y 22. x t3 23. r e 24. r 3 6t u t 2; t 1 ; 1, 1 t 2; t y 2t u p 2 1 p u sen u 1 y t t sec u, y 4 21-24 Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto correspondiente al valor especificado del parámetro. cos 3 u ; 5. Escriba tres diferentes conjuntos de ecuaciones paramétricas sx . para la curva y 25-26 Encuentre dy dx y d 2 y dx 2. 6. Use las gráficas de x f (t) y y (t) para bosquejar la curva paramétrica x f (t), y (t). Indique con flechas la dirección en que se traza la curva cuando se incrementa t. x 26. x t 1 sent, y 2 t , cos t t t y t 3 y 1 1 27. Use una gráfica para estimar las coordenadas del punto mínimo t 1 sobre la curva x t 3 3t, y t 2 t 1. Después use el cálculo para determinar las coordenadas exactas. t _1 28. Encuentre el área encerrada por el bucle de la curva del 7. a) Ubique el punto con coordenadas polares (4, 2) 3). A continuación encuentre sus coordenadas cartesianas. b) Las coordenadas cartesianas de un punto son ( 3, 3). Encuentre dos conjuntos de coordenadas polares para el punto. 8. Trace la región formada de puntos cuyas coordenadas polares satisfacen 1 25. x r 2y) 6 . 5) 6. ejercicio 27. 29. ¿En qué puntos la curva x 2a cos t a cos 2t 2a sent y a sen 2t tiene rectas tangentes verticales y horizontales? Use esta información como ayuda para bosquejar la curva. 30. Determine el área encerrada por la curva del ejercicio 29. 9-16 Bosqueje la curva polar. 9. r 1 cos u 11. r cos 3u 13. r 1 15. r 1 cos 2 u 3 2 sen u 31. Obtenga el área encerrada por la curva r 2 10. r sen 4u 12. r 3 14. r 2 cos u 2 16. r 2 32. Halle el área encerrada por el bucle interior de la curva r cos 3u r 3 2 cos u ecuación cartesiana dada. 2 18. x 2 y2 2 (4 3 cos .) y su directriz. Grafique también la elipse obtenida por rotación en torno al origen por un ángulo de 2) 3. Se requiere calculadora graficadora o computadora cot . y 2 cos .. 35. Determine el área de la región que está dentro de ambas circunferencias r r (sen .) . se llama caracoloide. Use una gráfica de r como una función de . en coordenadas cartesianas para bosquejar la caracoloide a mano. Después grafíquela con una máquina para comprobar su bosquejo. 2y 4 cos .. 2 sen . y r sen . cos .. 36. Halle el área de la región que está dentro de la curva 2 19. La curva con ecuación polar r 20. Grafique la elipse r 3 sen .. 34. Obtenga los puntos de intersección de las curvas r 17-18 Encuentre la ecuación polar para la curva representada por la y 1 33. Encuentre los puntos de intersección de las curvas r r 17. x 9 cos 5.. 2 cos 2. pero fuera de la curva r 37-40 Encuentre la longitud de la curva. 37. x 3t 2, 38. x 2 39. r 1 u, 40. r sen3 u 3 , y 3t, p 2t 3, 0 cosh 3t, y u 2p 0 u SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 2 t p 0 t 1 2 sen .. CAPÍTULO 10 41. x 4 st , 42. x 2 3t, 1 , 2t 2 t 3 y cosh 3t, y 1 0 t un foco con la parábola x 2 en el origen. 4 t t2 t2 c 1 y exactamente dos rectas de pendiente m que son tangentes a la elipse x 2 a 2 y 2 b 2 1 y sus ecuaciones son y mx sa 2m 2 b 2 . 1 t t2 t2 55. Encuentre una ecuación polar para la elipse con foco en el 1 origen, excentricidad 3 y directriz con ecuación r 44. Una familia de curvas tiene ecuaciones polares r de la hipérbola r cos 1( 1 e). 47. 6y 2 48. 25x 36y x 2 46. 4x 2 1 4y 2 55 50x y2 x 16 59 49. Encuentre una ecuación de la elipse con focos ( 4, 0) y vértices ( 5, 0). 50. Encuentre una ecuación de la parábola con focos (2, 1) y directriz x asíntotas y 3x. 52. Encuentre una ecuación de la elipse con focos (3, con longitud 8. 4) y 2) y un eje 3t 1 t r 4. 51. Halle una ecuación de la hipérbola con focos (0, 1, están dados por 3 y 3t 2 1 t3 a) Demuestre que si (a, b) está sobre la curva, entonces (b, a) también lo está; es decir, la curva es simétrica respecto a la recta y x. ¿En dónde se interseca la curva con esta recta? b) Encuentre los puntos sobre la curva donde las rectas tangentes son horizontales o verticales. c) Demuestre que la recta y x 1 es una asíntota oblicua. d) Trace la curva. e) Demuestre que una ecuación cartesiana de esta curva es x 3 y 3 3xy. f) Demuestre que la ecuación polar puede expresarse en la forma 0 16y e cos .), e ecuaciones paramétricas a 45-48 Encuentre los focos y vértices y bosqueje la gráfica. y2 8 ed (1 57. Una curva llamada folium de Descartes está definida por las sen 2. donde a es un número positivo. Investigue cómo cambian estas curvas cuando cambia a. x2 9 4 sec .. 56. Demuestre que los ángulos entre el eje polar y las asíntotas c 1 se llaman estrofoides (de una palabra griega que significa torcer). Investigue cómo varían estas curvas cuando varía c. 45. 100 y que tiene su otro foco y 54. Demuestre que si m es cualquier número real, entonces hay 43. Las curvas definidas por las ecuaciones paramétricas x 687 53. Obtenga una ecuación para la elipse que comparte un vértice y 41-42 Calcule el área de la superficie obtenida al hacer girar la curva dada en torno al eje x. 3 REPASO SAC 3 sec u tan u 1 tan 3 u g) Encuentre el área encerrada por el bucle de esta curva. h) Demuestre que el área del bucle es la misma que el área que está entre la asíntota y las ramas infinitas de la curva. (Utilice un sistema algebraico computarizado para evaluar la integral.) Problemas adicionales 1. Una curva está definida mediante las ecuaciones paramétricas cos u t sen u du y y du 1 u u Encuentre la longitud del arco de la curva desde el origen hasta el punto más próximo donde hay una recta tangente vertical. x y t 1 2. a) Encuentre los puntos máximo y mínimo de la curva x 4 SAC y 4 x 2 y 2. b) Bosqueje la curva. (Observe que es simétrica con respecto a ambos ejes y a ambas rectas y x, de modo que es suficiente considerar inicialmente y x 0.) c) Emplee coordenadas polares y un sistema algebraico computarizado para hallar el área encerrada por la curva. 3. ¿Cuál es el rectángulo de vista más pequeño que contiene a cada miembro de la familia de curvas polares r 1 c sen ., donde 0 c 1? Ilustre su respuesta graficando varios miembros de la familia en este rectángulo de vista. 4. Se colocan cuatro insectos en cuatro esquinas de un cuadrado con longitud a. Los insectos a a avanzan en sentido contrario a las manecillas del reloj a la misma rapidez, y cada uno avanza directamente hacia el siguiente insecto todo el tiempo. Se aproximan al centro del cuadrado a lo largo de trayectorias espirales. a) Obtenga la ecuación polar de la trayectoria de un insecto al suponer que el polo está en el centro del cuadrado. (Use el hecho de que la recta que une a un insecto con el siguiente es tangente a la trayectoria del insecto.) b) Encuentre la distancia recorrida por un insecto en el momento que se encuentra con los otros insectos en el centro. a 5. Demuestre que cualquier recta tangente a una hipérbola toca la hipérbola a la mitad del camino entre los puntos de intersección de la recta tangente y las asíntotas. 6. Una circunferencia C de radio 2r tiene su centro en el origen. Un círculo de radio r rueda sin a resbalar en dirección contraria al giro de las manecillas del reloj alrededor de C. Un punto P está situado en un radio fijo del círculo giratorio a una distancia b de su centro, 0 b r. Vea las partes i) e ii) de la figura. Sea L la recta desde el centro de C al centro del círculo giratorio y sea . el ángulo que L forma con el eje x positivo. a) Usando . como un perímetro, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trayectoria trazada por P son FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 x b cos 3. 3r cos . y b sen 3. 3r sen . Nota: Si b 0, la trayectoria es una circunferencia de radio 3r ; si b r, la trayectoria es una epicicloide. La trayectoria trazada por P para 0 b r se llama epitrocoide. b) Grafique la curva para varios valores de b entre 0 y r. c) Demuestre que un triángulo equilátero puede inscribirse en el epitrocoide y que su centroide está sobre la circunferencia de radio b con centro en el origen. Nota: Éste es el principio del motor rotatorio Wankel. Cuando el triángulo equilátero gira con sus vértices en el epitrocoide, su centroide recorre una circunferencia cuyo centro está en el centro de la curva. d) En casi todos los motores rotatorios, los lados de los triángulos equiláteros son sustituidos por arcos de circunferencia con centro en los vértices opuestos como en la parte iii) de la figura. (Entonces el diámetro del rotor es constante.) Demuestre que el rotor se ajusta en el 3 epitrocoide si b 2 (2 s3 )r. y y P P=P¸ 2r r b i) FIGURA PARA EL PROBLEMA 6 688 x ¨ ii) P¸ x iii) 11 Sucesiones y series infinitas En la última sección de este capítulo le pediremos que utilice una serie para deducir una fórmula para determinar la velocidad de una onda oceánica. © Epic Stock / Shutterstock En Un previo de Cálculo, hicimos una breve introducción de las sucesiones y series en relación con las paradojas de Zenón y la representación decimal de números. Su importancia en el Cálculo se deriva de la idea de Newton de representar funciones como sumas de sucesiones infinitas. Por ejemplo, para encontrar áreas, con frecuencia integraba una función expresándola primero como una serie y después integrando cada uno de sus términos. En la sección 11.10 trataremos de seguir esta idea con el fin de integrar funciones como e x . (Recuerde que anteriormente nos vimos incapacitados para enfrentar esto.) Muchas de las funciones que aparecen en física matemática y química, tales como las funciones de Bessel, están definidas como sumas de series, así que es muy importante familiarizarse con los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y series infinitas. Los físicos también usan las series en otro modo, tal como veremos en la sección 11.11. En el estudio de fenómenos tan diversos como la óptica, relatividad especial y electromagnetismo, los físicos analizan los fenómenos reemplazándolos primero por unos cuantos términos de las series que los representan. 2 689 690 11.1 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sucesiones Una sucesión se puede pensar como una lista de números escritos en un orden definido: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . El número a1 recibe el nombre de primer término, a2 es el segundo término y, en general, an es el n-ésimo término. Aquí tratamos exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que cada término an tiene un sucesor an 1. Observe que para todo entero positivo n hay un número correspondiente an, por lo que una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros positivos. Pero usualmente escribimos an en lugar de la notación de función f (n) para el valor de la función en el número n. NOTACIÓN La sucesión a1, a2, a3, . . . también se denota mediante o an an
n 1 EJEMPLO 1 Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el n-ésimo término. En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: una en la que se aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la tercera se escriben los términos de la sucesión. Observe que la n no tiene que empezar en 1. a) n
1 n c) {sn d) cos 1 3 }
n np 6 v 1nn 3n an 3 1 n n 1 1nn 3n b) 1 2 3 , , 3 9 an sn 3, n 3 an cos np , n 6 0
n 0 EJEMPLO 2 1 2 3 4 n , , , ,..., ,... 2 3 4 5 n 1 n an {0, 1, s2 , s3 , . . . , sn 1, 1nn 3n 4 5 , ,..., 27 81 1 ,... 3 , . . .} np s3 1 , , 0, . . . , cos ,... 2 2 6 Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión 3 , 5 4 5 , , 25 125 6 7 , ,... 625 3125 y suponga que el patrón de los primeros términos continúa. SOLUCIÓN Sabemos que a1 3 5 a2 4 25 a3 5 125 a4 6 625 a5 7 3125 Observe que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y se incrementan una unidad al pasar al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el siguiente numerador es 5; en general, el n-ésimo término tendrá como numerador n ฀2. Los denominadores son las potencias de 5, de modo que an tiene por denominador 5n. El SECCIÓN 11.1 SUCESIONES 691 signo de los términos es alternadamente positivo y negativo, por lo que es necesario multiplicar por una potencia de 1. En el ejemplo 1b) el factor ( 1) n significa que empieza con un término negativo. Como aquí se busca iniciar con un término positivo, usamos ( 1) n 1, o bien ( 1) n 1. Por tanto n 1 1 an 2 n 5n EJEMPLO 3 En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en forma simple. a) La sucesión pn , donde pn es la población mundial el 1 de enero del año n. b) Sea an el n-ésimo dígito en la expansión decimal del número e, entonces an es una sucesión bien definida cuyos primeros términos son 7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5,… c) Las condiciones siguientes definen en forma recursiva la sucesión de Fibonacci fn f1 1 1 f2 fn fn 1 fn n 2 3 Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,… Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano del siglo xiii, a quien se conoce como Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba con la cría de conejos (véase ejercicio 83). a¡ a™ a£ a¢ 1 2 0 Una sucesión como la del ejemplo 1a), an n (n 1), se puede representar dibujando sus términos en una recta numérica como en la figura 1, o trazando la gráfica como en la figura 2. Observe que, como una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos, su gráfica consta de puntos aislados con coordenadas 1 FIGURA 1 1, a1 an 2, a2 n, a n ... De acuerdo con las figuras 1 o 2, parece que los términos de la sucesión an n (n se aproximan a 1 cuando n es suficientemente grande. De hecho, la diferencia 1 1 7 a¶= 8 0 ... 3, a3 1 2 3 4 5 6 7 n 1 n 1 n 1) 1 n se puede hacer tan pequeña como se quiera al incrementar suficientemente n. Lo anterior se indica escribiendo FIGURA 2 lím nl n n 1 1 En general, la notación lím a n nl L significa que los términos de la sucesión an se aproximan a L cuando n se incrementa suficientemente. Observe que la definición siguiente del límite de una sucesión es muy parecida a la definición de límite de una función en el infinito dada en la sección 2.6. 692 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 1 Definición Una sucesión an tiene el límite L y lo expresamos como lím a n L nl o a n l L cuando n l si podemos hacer que los términos an se aproximen a L tanto como se quiera tomando n lo suficientemente grande. Si lím n l a n existe, se dice que la sucesión converge (o que es convergente). De lo contrario, se dice que la sucesión diverge (o es divergente). En la figura 3 se ilustra la definición 1 mostrando las gráficas de dos sucesiones que tienen como límite L. FIGURA 3 Gráficas de dos sucesiones con lím an= L n an an L L 0 0 n n ` Una versión más precisa de la definición 1 es como sigue. 2 Definición Una sucesión an tiene el límite L y lo expresamos como L lím an nl
Compare esta definición con la definición 2.6.7. si para todo  a n l L cuando n l
o bien 0 hay un correspondiente entero N tal que si n entonces N ฀an  L La definición 2 se ilustra mediante la figura 4, en la cual los términos a1, a2, a3,… se localizan sobre una recta numérica. No importa qué tan pequeño se elija un intervalo (L , L ), existe una N tal que todos los términos de la sucesión desde aN 1 en adelante deben estar en ese intervalo.  FIGURA 4   
  
     
 Otra ilustración de la definición 2 es la figura 5. Los puntos sobre la gráfica de an deben estar entre las rectas horizontales y ฀L ฀ y y ฀L ฀ si n N. Esta imagen debe ser válida, sin importar qué tan pequeño se haya escogido , pero usualmente se requiere un valor de  mucho muy pequeño y un valor de N mucho muy grande. y y=L+∑ L y=L-∑ FIGURA 5 0 1 2 3 4 N n SECCIÓN 11.1 693 SUCESIONES Si comparamos la definición 2 con la definición 2.6.7 veremos que la única diferencia entre lím n l a n L y lím x l f x L es que se requiere que n sea un entero. En este sentido se tiene el siguiente teorema, ilustrado en la figura 6. 3 Teorema lím n l a n Si lím x l f x L. a n cuando n es un entero, entonces Lyf n y y=ƒ L 0 FIGURA 6 x 1 2 3 4 En particular, puesto que ya sabemos que lím x l 2.6.5), se tiene 4 1 nr lím nl si r 0 0, cuando r 1 xr 0 (teorema 0 Si an es muy grande cuando n es muy grande, usamos la notación lím n l a n siguiente definición precisa es parecida a la definición 2.6.9. 5 Definición . La significa que para todo número positivo M existe un lím n l an entero N tal que si n entonces N M an Si lím n l a n , entonces la sucesión a n es divergente pero de una manera especial. Se dice que a n diverge a '. Las leyes de los límites dadas en la sección 2.3 también se cumplen para los límites de sucesiones y sus demostraciones son similares. Leyes de los límites para las sucesiones Si a n y bn son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces lím a n bn lím a n bn lím ca n c lím a n nl
nl
nl
lím a n bn nl
lím n l
an bn lím a np nl
lím a n nl
lím a n nl
lím bn nl
lím bn nl
lím c nl
nl
lím a n nl
lím bn n l
lím a n nl
si lím bn lím bn nl
0 nl
lím a n nl
p si p 0 and a n 0 c 694 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS El teorema de la compresión también se puede adaptar a las sucesiones como sigue (véase figura 7). El teorema de la compresión para sucesiones Si a n n 0 y lím a n cn para n bn L , entonces lím bn nl nl L. Otro hecho útil respecto a los límites de sucesiones se evidencia en el teorema siguiente cuya demostración se deja para el ejercicio 87. cn bn 6 Teorema Si lím a n n EJEMPLO 4 FIGURA 7 La sucesión
bn  está comprimida entre las sucesiones
an  y
cn  . 0, entonces lím a n Determine lím nl n 1 n 0. nl
nl
an 0 lím cn nl . SOLUCIÓN El método es similar al que usamos en la sección 2.6: dividir tanto el numerador como el denominador entre la potencia más alta de n del denominador y luego aplicar las leyes de los límites. lím nl n n 1 nl lím 1 1 lím nl 1 n 1 1 Esto demuestra que la conjetura que hicimos antes a partir de las figuras 1 y 2 era correcta. 1 Aquí usamos la ecuación 4 con r EJEMPLO 5 La sucesión a n lím 1 nl lím nl 1 n 1 0 1. n s10 n , ¿es convergente o divergente? SOLUCIÓN Como en el ejemplo 4, dividimos el numerador y el denominador entre n: lím nl n s10 n 1 lím nl 10 n2 1 n porque el numerador es una constante y el denominador se aproxima a cero, así que an es divergente. EJEMPLO 6 Determine lím nl ln n . n SOLUCIÓN Observe que tanto el numerador como el denominador tienden a infinito cuando n l . No se puede aplicar directamente la regla de l’Hospital porque no se aplica a sucesiones, sino a funciones de una variable real. Sin embargo, se puede aplicar la regla de l’Hospital a la función relacionada f (x) (ln x) x y obtener lím xl ln x x lím xl 1 x 1 Por tanto, de acuerdo con el teorema 3 lím nl ln n n 0 0 SECCIÓN 11.1 an EJEMPLO 7 Determine si la sucesión an SUCESIONES 695 ( 1)n es convergente o divergente. SOLUCIÓN Si escribimos algunos términos de la sucesión obtenemos 1 0 1 _1 2 3 1, 1, n 4 1, 1, 1, 1, 1,… La gráfica de esta sucesión se muestra en la figura 8. Como los términos oscilan entre 1 y 1 en forma infinita, an no se aproxima a ningún número. Por tanto, lím n l 1 n no n existe; la sucesión ( 1) es divergente. FIGURA 8 La gráfica de la sucesión del ejemplo 8 se muestra en la figura 9 y apoya nuestra respuesta. EJEMPLO 8 1 n Evalúe lím nl n si éste existe. SOLUCIÓN Primero calculamos el límite del valor absoluto: an 1 1 n lím nl n lím nl 1 n 0 Por tanto, de acuerdo con el teorema 6, 0 n 1 lím nl 1 n n 0 El siguiente teorema dice que si acoplamos una función continua a los términos de una sucesión convergente, el resultado también es convergente. La demostración se deja para el ejercicio 88. _1 FIGURA 9 7 Teorema Si lím a n nl L y la función f es continua en L, entonces lím f a n nl EJEMPLO 9 f L Encuentre lím sen p n . nl Creando gráficas de sucesiones Algunos sistemas algebraicos computarizados contienen comandos especiales que permiten crear sucesiones y dibujarlas directamente. Sin embargo, con la mayoría de las calculadoras para trazar gráficas se pueden dibujar sucesiones usando ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, la sucesión del ejemplo 10 se puede dibujar introduciendo las ecuaciones paramétricas x t y t! t t y dibujando en el modo punto (dot mode), iniciando con t ฀1; se establece el t-ésimo paso igual a 1. El resultado se muestra en la figura 10. 1 SOLUCIÓN Como la función seno es continua en 0, el teorema 7 nos permite escribir sen lím p n lím sen p n nl
v sen 0 nl
EJEMPLO 10 Analice la convergencia de la sucesión an 1?2?3? n! 0 n! n n, donde ? n. SOLUCIÓN Tanto numerador como denominador se aproximan al infinito cuando n l , pero no cabe utilizar la regla de l’Hospital (x! no está definida cuando x no es un número entero). Escribamos algunos términos para ver si es posible intuir qué pasa con an cuando n es muy grande: a1 8 1 1 2 2 2 a3 1 2 3 n n n n n a2 an 1 2 3 3 3 3 Esta expresión y la gráfica de la figura 10 sugieren que los términos están decreciendo y parecen aproximarse a cero. Para confirmar esto, observe de la ecuación 8 que 0 FIGURA 10 10 an 1 n 2 3 n n n n 696 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que la expresión entre paréntesis es a lo más 1 porque el numerador es menor que (o igual) al denominador. Así que 0 1 n an Sabemos que 1 n l 0 cuando n l , así que an l 0 cuando n l la compresión. v por el teorema de EJEMPLO 11 ¿Para qué valores de r es convergente la sucesión r n ? SOLUCIÓN Sabemos, por la sección 2.6 y las gráficas de las funciones exponenciales de para a 1 y lím x l a x la sección 1.5, que lím x l a x tanto, si hacemos a r y usamos el teorema 3 tenemos lím r n si r si 0 0 nl 1 r 0 para 0 a 1. Por 1 Es obvio que lím 1n nl Si 1 r ฀r 0, entonces 0 1 lím 0 n y 0 nl 1, de modo que lím r n nl lím r n 0 nl y, por tanto, lím n l r n 0 de acuerdo con el teorema 6. Si r 1, entonces r n diverge como en el ejemplo 7. En la figura 11 se ilustran las gráficas de varios valores de r . (El caso de r 1 se muestra en la figura 8.) an an r>1 1 0 FIGURA 11 La sucesión an=r n 0 r=1 1 1 0<r<1 _1<r<0 1 n n r<_1 Los resultados del ejemplo 11 se resumen para uso futuro como sigue: La sucesión r n es convergente si valores de r . 9 lím r n nl 1 r 1 y divergente para todos los otros 0 si 1 r 1 si r 1 1 1, es 10 Definición Una sucesión an se llama creciente si an an 1, para toda n decir, a1 a2 a3 …. Si an an 1 para toda n 1 se denomina decreciente. Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente. SECCIÓN 11.1 3 La sucesión EJEMPLO 12 es decreciente porque 5 n 3 El lado derecho es menor porque tiene un denominador mayor. 5 n y, por tanto, an 3 1 n an 1, para toda n 3 5 6 n 1. n Demuestre que la sucesión a n EJEMPLO 13 697 SUCESIONES SOLUCIÓN 1 Debemos demostrar que an 1 es decreciente. 1 an, es decir, 1 1 n n n2 n 2 1 n 2 1 Esta desigualdad es equivalente a la obtenida por multiplicación cruzada: 1 n n 1 2 n 1 n2 1 &? n 1 n2 &? n3 n2 &? 1 n2 1 f x x2 2x 2 1 x 2 1 x 1 x2 2 n3 2n 2 1 2n x2 12 1 an : 0 siempre que x 2 En estos términos, f es decreciente sobre (1, ') así que f (n) decreciente. 11 Definición 1 1 es verdadera. Por tanto, an n x 2 1 n Puesto que n ฀1, sabemos que la desigualdad n2 y también que an es decreciente. SOLUCIÓN 2 Considere la función f x 1 n 2 n n f (n 1 ฀1), por tanto an es Una sucesión an está acotada por arriba si existe un número M tal que an M para toda n 1 Está acotada por abajo si existe un número m tal que m an para toda n 1 Si está acotada por arriba y por abajo, entonces an es una sucesión acotada. Por ejemplo, la sucesión an n está acotada por abajo (an 0), pero no por arriba. La sucesión an n (n 1) está acotada porque 0 an 1 para toda n. Sabemos que no toda sucesión acotada es convergente [por ejemplo, la sucesión an ( 1)n satisface 1 an 1, pero es divergente del ejemplo 7] y no toda 698 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS sucesión monótona es convergente (an n l ). Pero si una sucesión es tanto acotada como monótona, entonces tiene que ser convergente. Este hecho se demuestra en la forma del teorema 12, pero intuitivamente se entiende por qué es cierto viendo la figura 12. Si an es creciente y an M para toda n, entonces los términos están forzados a juntarse y aproximarse a un número L. an M L 0 1 23 FIGURA 12 n La demostración del teorema 12 se apoya en el axioma de completez para el conjunto 2 de los números reales, que dice que si S es un conjunto no vacío de números reales que tiene una cota superior M (x M para toda x en S), entonces S tiene una mínima cota superior b. (Esto significa que b es una cota superior para S, pero si M es cualquier otra cota superior, entonces b M.) El axioma de completez expresa el hecho de que la recta de los números reales no tiene brechas o agujeros. Toda sucesión acotada y monótona es 12 Teorema de la sucesión monótona convergente. DEMOSTRACIÓN Suponga que an es una sucesión creciente. Puesto que an está acotada, el conjunto S an n 1 posee una cota superior. De acuerdo con el axioma de completez, tiene una mínima cota superior L . Dado  0, L  no es una cota superior para S (puesto que L es la mínima cota superior). Por tanto, aN L para algún entero N  Pero la sucesión es creciente de modo que an si n N an de manera que puesto que an 0 L L aN para toda n N. En estos términos,  an  L . Así que, ฀L an  siempre que n N así que lím n l a n L. Una demostración similar (aplicando la máxima cota inferior) funciona si an es decreciente. La demostración del teorema 12 demuestra que una sucesión que es creciente y acotada por arriba es convergente. (De igual manera, una sucesión decreciente que está acotada por abajo es convergente.) Este hecho se aplica muchas veces al trabajar con series infinitas. SECCIÓN 11.1 EJEMPLO 14 SUCESIONES 699 Investigue la sucesión an definida por la relación recursiva 2 a1 an 1 2 1 6 an para n 1, 2, 3, . . . SOLUCIÓN Para empezar se calculan los primeros términos: Con frecuencia, la inducción matemática se aplica cuando se trabaja con sucesiones recursivas. Véase página 76 donde se encuentra un análisis del principio de inducción matemática. a1 2 a4 1 2 a7 5.9375 5 6 5.5 a2 1 2 a5 a8 a3 1 2 5.75 a6 5.875 5.96875 a9 5.984375 2 6 4 4 6 5 Estos términos iniciales hacen pensar que la sucesión es creciente y que los términos se aproximan a 6. Para confirmar que la sucesión es creciente, utilizamos inducción matemática para demostrar que an 1 an para toda n 1. Esto es cierto para n 1 porque a2 4 a1. Si suponemos que se cumple para n k, entonces tenemos ak de modo que ak 1 2 y ak 1 1 ak 6 ak 1 2 6 1 Por esto ak 6 ak ak 2 6 1 Ya se dedujo que an 1 an es cierta para n k 1. Por tanto, la desigualdad se cumple para toda n por inducción. Luego de verificar que an está acotada demostrando que an 6 para toda n. (Puesto que la sucesión es creciente, sabemos que tiene una cota inferior: an a1 ฀2 para toda n.) Sabemos que a1 ฀6, de modo que la aseveración es cierta para n 1. Supongamos que se cumple para n k. Entonces de este modo ak 6 6 12 ak 1 2 y Así que 1 2 6 ak ak 12 6 6 1 Esto demuestra, por inducción matemática, que an ฀6 para toda n. Como la sucesión an es creciente y acotada, el teorema 12 garantiza que tiene un límite. El teorema no dice cuál es el valor del límite, pero ahora que sabemos que L lím n l a n existe, podemos aplicar la relación recursiva para escribir lím a n nl En el ejercicio 70 se pide una demostración de este hecho. 1 lím nl 1 2 1 2 6 an Como an l L, se infiere igualmente que an n 1 l ). De este modo tenemos L 1 1 2 ( lím a nl n ) 6 1 2 L 6 l L (también cuando n l , L 6 Al resolver esta ecuación para L, determinamos que L 6, tal como se había predicho. 700 CAPÍTULO 11 11.1 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Ejercicios 1. a) ¿Qué es una sucesión? b) ¿Qué significa decir que lím n l a n c) ¿Qué significa decir que lím n l a n 23-56 Determine si la sucesión converge o diverge. Si converge, encuentre el límite. 8? ? 2. a) ¿Qué es una sucesión convergente? Dé dos ejemplos. 23. a n 1 0.2 25. a n 3 n 5n 2 n2 27. a n e1 n 29. a n tan 24. a n n b) ¿Qué es una sucesión divergente? Dé dos ejemplos. 3-12 Liste los primeros cinco términos de la sucesión. 2n 3. a n n2 6. a n n 9. a1 10. a1 1 2n cos np 2 n 1 7. a n 8. a n 1! 1, a n 1 5a n 6, 1 an n an 11. a1 2, 12. a1 2, a 2 n! 1 1 3 9 15. , , 1 1 1, an an 1 an an 1 , ,... , , 16 27 1 2 , 4 9 3 4 , , 18. 1, 0, 32. a n 4n 1n 2sn 34. a n 35. a n cos n 2 36. a n 16 25 5 6 , ,... 1, 0, 1, 0, 2n 2n 39. 1 ! 1! 38. en e n e 2n 1 3n 2 5n 1 1 n 9n n 2 e 2n 1 n n 1 n sn 19. a n 21. a n 1 ( 12 ) n 20. a n 2 22. a n 1 10 n 9n n 43. a n cos 2n 2n 44. a n n 21 s 45. a n n sen 1 n 46. a n 2 n cos n p 2 n 1 49. a n ln 2n 2 50. a n ln n n n 48. a n 1 ln n 2 1 2 51. a n arctan ln n 52. a n n sn 1 sn 3 53. 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . . 54. Se requiere calculadora graficadora o computadora tan 1 n n ln n 1, 0, . . . 1 n 40. a n 42. a n 19-22. Calcule, con una aproximación de cuatro decimales, los 3n 1 6n ln n ln 2n n 47. a n primeros diez términos de la sucesión y úselos para graficar a mano la sucesión. ¿Parece tener límite la sucesión? Si es así, calcúlelo. Si no, explique por qué. cos 2 n 41. n 2e ,... 16. 5, 8, 11, 14, 17, . . . 17. sn 3 33. a n 37. 1 1 27 81 4 8 3 9 3, 2, 1 n an an {1, 13 , 15 , 17 , 19 , . . .} 14. 1, 1 n3 30. a n n2 31. a n 3 28. a n 2n p 1 8n 1 n 1 13-18 Encuentre una fórmula para el término general an de la sucesión, suponiendo que se mantenga el patrón de los primeros términos. 13. n 3n 1 1n 5n 5. a n 4. a n 1 26. a n n3 3 {11 , 13 , 12 , 14 , 13 , 15 , 41 , 16 , . . .} 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 1 3n sen 2 n 1 sn ln n SECCIÓN 11.1 55. a n n! 2n 3 n! 56. a n 57-63 Con la ayuda de una gráfica de la sucesión, establezca si ésta es convergente o divergente. Si la sucesión es convergente, conjeture el valor del límite a partir de la gráfica y luego demuestre su conjetura. (Vea la nota al margen de la página 695 relacionada con la advertencia sobre las gráficas de sucesiones.) 1 n 2 e 1 2 58. a n sn sen(p s n ) 60. a n s3 an 3a n 1 1 si a n es un número par si a n es un número impar y a1 11. Haga lo mismo si a1 tipo de sucesión. 70. a) Si an es convergente, demuestre que lím a n 59. a n 61. a n 62. a n 63. a n n n 5 lím a n 1 nl n n 2 cos n 1 n2 b) Una sucesión an se define por a1 1 y an 1 1 (1 an) para n ฀1. Si suponemos que an es convergente, calcule su límite. 71. Suponga que sabemos que an es una sucesión decreciente y 1 3 5 2n 1 2n 1 que todos sus términos están entre los números 5 y 8. Explique por qué la sucesión tiene un límite. ¿Qué puede decir respecto al valor del límite? n! 1 3 5 2n 72-78 Determine si la sucesión es creciente, decreciente o es no monótona. ¿Está acotada la sucesión? n 72. a n 64. a) Determine si la sucesión definida como sigue es convergente o divergente: 1 a1 25. Conjeture respecto al 69. ¿Para qué valores de r converge la sucesión nr n ? nl 3 2n 2 8n 2 n 701 68. Determine los primeros 40 términos de la sucesión definida por n an 57. a n SUCESIONES an 1 4 para n an b) ¿Qué ocurre si el primer término es a1 1 2? 73. a n 75. a n 77. a n n 1 2 1 2n 3 n n 1 n n2 1 74. a n 2n 3n 76. a n ne 78. a n n 3 4 n 1 n 65. Si se invierten 1000 dólares a 6% de interés compuesto anualmente, entonces n años después la inversión tiene un valor de an 1000(1.06) n dólares. a) Determine los primeros cinco términos de la sucesión an . b) ¿La sucesión es convergente o divergente? Explique. 79. Encuentre el límite de la sucesión {s2 , s2s2 , s2s2s2 , . . .} 66. Si se depositan 100 dólares al final de cada mes en una cuenta que paga 3% de interés al año capitalizado mensualmente, la cantidad de interés acumulado después de n meses está dada por la sucesión In 1.0025 n 1 0.0025 100 n a) Encuentre los primeros seis términos de la sucesión. b) ¿Cuánto interés habrá obtenido después de dos años? 67. En una granja piscícola se tienen 5 000 bagres en su estanque de crías. El número de bagres aumenta en 8% al mes y el productor cosecha 300 bagres al mes. a) Demuestre que la población Pn de bagres después de n meses está dada periódicamente por Pn 1.08Pn 1 300 P0 5000 b) ¿Cuántos bagres hay en el estanque después de seis meses? s2 a n 1 s2 a n . a) Mediante inducción u otro método, demuestre que an es creciente y que su cota superior es 3. Aplique el teorema de sucesión monótona para demostrar que lím n l a n existe. b) Determine lím n l a n. 80. Una sucesión an está dada por a 1 81. Demuestre que la sucesión definida por a1 1 an 1 1 an 3 es creciente y an 3 para toda n. Deduzca que an es convergente y encuentre su límite. 82. Demuestre que la sucesión definida por a1 2 an 1 1 3 an satisface 0 an 2 y es decreciente. Deduzca que la sucesión es convergente y encuentre su límite. 702 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 83. a) Fibonacci planteó el problema siguiente: Suponga que los conejos viven toda la vida, que cada mes todas las parejas tienen un nuevo par de conejitos, los cuales empiezan a ser productivos a la edad de dos meses. Si empieza con una pareja de recién nacidos, ¿cuántas parejas de conejos tendrá en el n-ésimo mes? Demuestre que la respuesta es f n , donde f n es la sucesión de Fibonacci que se define en el ejemplo 3c). b) Sea an fn 1 f n demuestre que a n 1 1 1 a n 2. Suponiendo que an es convergente, determine su límite. 84. a) Sea a1 a, a2 f (a), a3 f (a2) f ( f (a)),. . . , an 1 f (an), donde f es una función continua. Si lím n l a n L , demuestre que f (L) L . b) Ilustre el inciso a) haciendo f (x) cos x, a 1, y estimando el valor de L con una aproximación de cinco cifras decimales. 85. a) Mediante una gráfica, deduzca el valor del límite lím nl 91. Sean a y b números positivos con a a a1 Repita el proceso de modo que, en general an an 1 bn 87. Demuestre el teorema 6. [Sugerencia: utilice la definición 2 o el teorema de la compresión.] a n bn sa n bn 1 a) Mediante la inducción matemática demuestre que an an bn 1 bn 1 b) Deduzca que tanto an como bn son convergentes. c) Demuestre que lím n l a n lím n l bn . Gauss llamó al valor común de estos límites la media aritméticageométrica de los números a y b. an 1 0 y b n es acotada, entonces L, an calcule los primeros ocho términos de la sucesión an . Luego use el inciso a) para demostrar que lím n l a n s2 . Esto da el desarrollo en fracción continua s2 1 1 1 2 0. 1 1 1 1 88. Demuestre el teorema 7. lím n l bn 2 L y lím n l a2n entonces an es convergente y lím n l a n L . b) Si a1 1 y 1. 89. Demuestre que si lím n l a n sab b1 92. a) Demuestre que si lím n l a 2n n5 n! 86. Aplique directamente la definición 2 para demostrar que 0 cuando ฀r b 2 b) Con una gráfica de la sucesión del inciso a) calcule los valores más pequeños de N que corresponden a  0.1 y  0.001 en la definición 2. lím n l r n b. Sea a1 la media aritmética y b1 la media geométrica: 2 93. El tamaño de una población inalterada de peces se ha modelado mediante la fórmula n 1 . n a) Demuestre que si 0 90. Sea a n 1 bn 1 b pn b, entonces a an a 1 n 1b n b) Deduzca que b n<(n 1)a nb> a n 1. c) Utilice a 1 ฀1 (n ฀1) y b ฀1 ฀1 n del inciso b) para demostrar que an es creciente. d) Use a 1 y b 1 ฀1 (2n) en el inciso b) para demostrar que a 2 n 4. e) Mediante los incisos c) y d) demuestre que an ฀4 para toda n. f ) Utilice el teorema 12 para demostrar que lím n l 1 1 n n existe. (El límite es e. Véase la ecuación 3.6.6.) 1 a bpn pn donde pn es la población de peces después de n años, y a y b son constantes positivas que dependen de las especies y su medio ambiente. Suponga que la población en el año 0 es p0 0. a) Demuestre que si ฀pn es convergente, entonces los únicos valores posibles de este límite son 0 y b a. b) Demuestre que pn 1 (b a)pn . c) Mediante el inciso b) demuestre que si a b, entonces lím n l pn 0; en otras palabras, la población muere. d) Ahora suponga que a b. Demuestre que si p0 b a, entonces ฀pn es creciente y 0 pn b a. Demuestre que si p0 b a, entonces ฀pn es decreciente y pn b a . Deduzca que si a b, entonces lím n l pn b a. SECCIÓN 11.2 PROYECTO DE LABORATORIO SAC SERIES 703 SUCESIONES LOGÍSTICAS Una sucesión que surge en ecología como un modelo para el crecimiento poblacional se define por medio de la ecuación logística en diferencias pn 1 kpn(1 pn) donde pn mide el tamaño de la población de la n-ésima generación de una sola especie. Para mantener manejables los números, pn es una fracción del tamaño máximo de la población, de modo que 0 pn 1. Observe que la forma de la ecuación es similar a la ecuación diferencial logística de la sección 9.4. El modelo discreto, con sucesiones en lugar de funciones continuas, es preferible para modelar las poblaciones de insectos, donde el apareamiento y la muerte ocurren de un modo periódico. Un ecologista se interesa en predecir el tamaño de la población a medida que el tiempo avanza, y plantea estas preguntas: ¿se estabilizará en un valor límite?, ¿cambiará de manera cíclica?, o bien, ¿mostrará un comportamiento aleatorio? Escriba un programa para calcular los n primeros términos de esta sucesión con una población inicial p0, donde 0 p0 1. Con este programa efectúe lo siguiente: 1 2 y para dos valores de k tales que 1 k 3. Grafique cada sucesión. ¿Parecen converger? Repita para un valor distinto de p0 entre 0 y 1. ¿El límite depende del valor elegido de p0? ¿Depende del valor elegido de k? 1. Calcule 20 o 30 términos de la sucesión para p0 2. Calcule términos de la sucesión para un valor de k entre 3 y 3.4 y dibújelos. ¿Qué observa con respecto al comportamiento de los términos? 3. Experimente con valores de k entre 3.4 y 3.5. ¿Qué sucede con los términos? 4. Para valores de k entre 3.6 y 4, calcule y dibuje por lo menos 100 términos y comente el comportamiento de la sucesión. ¿Qué sucede si cambia p0 por 0.001? Este tipo de comportamiento se llama caótico y lo muestran poblaciones de insectos bajo ciertas condiciones. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 11.2 Series ¿A qué nos referimos cuando expresamos un número como decimal infinito? Por ejemplo, qué significa escribir El actual récord de ) ha sido calculado con 2 576 980 370 000 decimales (más de dos trillones) de lugares decimales por T. Daisuke y su equipo. p 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 . . . La convención que hay detrás de nuestra notación decimal es que cualquier número se puede escribir como una suma infinita. Aquí, el significado es que p 3 1 10 4 10 2 1 10 3 5 10 4 9 10 5 2 10 6 6 10 7 5 10 8 donde los puntos suspensivos (. . .) indican que la suma continúa por siempre y que cuantos más términos agreguemos, estaremos más cerca del valor verdadero de ). 704 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS En general, si tratamos de sumar los términos de una sucesión infinita a n nemos una expresión de la forma 1 a1 a2 a3 n 1 , obte- an que se denomina serie infinita (o sólo serie) y se denota con el símbolo o an an n 1 Pero, ¿tiene sentido hablar de suma de un infinito de términos? Sería imposible encontrar la suma finita de la serie 2 1 n Suma de los primeros n términos 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 25 0.50000000 0.75000000 0.87500000 0.93750000 0.96875000 0.98437500 0.99218750 0.99902344 0.99996948 0.99999905 0.99999997 3 4 5 n porque si empezamos a sumar los términos, obtenemos sumas acumulativas 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . . y después del n-ésimo término, llegamos a n(n 1) 2, lo cual resulta muy grande cuando n se incrementa. Sin embargo, si empezamos por sumar los términos de la serie 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 2n 31 63 obtenemos 12 , 43 , 78 , 15 1 2 n, . . . En la tabla se puede ver que cuando se 16 , 32 , 64 , . . . , 1 suman más y más términos, estas sumas parciales se vuelven más y más cercanas a 1. (Véase también la figura 11 en un Previo al cálculo en la página 6.) De hecho, al sumar suficientes términos de la serie es posible hacer que las sumas parciales sean tan cercanas a 1 como se quiera. Así que es razonable decir que la suma de esta serie infinita es igual a 1 y escribir n 1 1 2 1 2n 1 4 1 8 1 16 1 2n 1 Usaremos una idea similar para determinar si una serie general 1 tiene o no tiene suma. Consideremos las sumas parciales s1 a1 s2 a1 a2 s3 a1 a2 a3 s4 a1 a2 a3 a4 y, en general, n sn a1 a2 a3 ai an i 1 Estas sumas parciales forman una nueva sucesión sn , la cual puede tener o no tener un límite. Si lím n l sn s existe (como un número finito), entonces, como en el ejemplo anterior, se llama suma de la serie infinita 4 an . SECCIÓN 11.2 2 Dada una serie Definición n 1 a1 an a2 SERIES 705 , sea sn la n-ésima a3 suma parcial: n sn ai a1 a2 an i 1 Si la sucesión sn es convergente y lím n l sn s existe como un número real, entonces la serie 4 an se dice convergente y se escribe
a1 a2 an o s s an n 1 El número s se llama suma de la serie. Si la sucesión sn es divergente, entonces la serie es divergente. Compare con la integral impropia y 1 f x dx lím tl y t 1 Así, la suma de una serie es el límite de la sucesión de sumas parciales. Así, cuando escribimos n 1 an s, queremos decir que al sumar suficientes términos de la serie podemos llegar tan cerca como queramos al número s. Observe que n f x dx lím an nl n 1 Para determinar esa integral se integra desde 1 hasta t y después se hace que t l . En el caso de series, se suma desde 1 hasta n y después se hace que n l . ai i 1 Supongamos que sabemos que la suma de los primeros n términos de la an es EJEMPLO 1 serie n 1 sn a1 a2 2n 3n 5 an Entonces la suma de la serie es el límite de la sucesión sn : lím sn an lím nl n 1 nl 2n 3n 5 2 lím nl 3 2 3 5 n En el ejemplo 1 estamos dando una expresión para la suma de los primeros n términos, pero usualmente no es fácil encontrar tal expresión. Sin embargo, en el ejemplo 2, nos topamos con una famosa serie para la cual podemos encontrar una fórmula explícita para sn. Un importante ejemplo de una serie infinita es la serie geométrica EJEMPLO 2 a ar ar 2 ar 3 ar n 1 ar n 1 a 0 n 1 Cada término se obtiene a partir del término precedente multiplicándolo por la razón 1 1 común r . (Ya hemos considerado el caso especial cuando a 2 y r 2 de la página 704.) Si r 1, entonces sn a a ??? a na l . Puesto que lím n l sn no existe, la serie geométrica diverge en este caso. Si r 1, tenemos sn y rsn a ar ar 2 ar n 1 ar ar 2 ar n 1 ar n 706 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La figura 1 proporciona una demostración geométrica del resultado del ejemplo 2. Si los triángulos se construyen como se indica y s es la suma de la serie, entonces, por triángulos semejantes s a a a ar por lo que s Al restar estas ecuaciones obtenemos 3 a 1 1, sabemos de (11.1.9) que rn l 0 cuando n l , así que r ar# ar@ lím sn nl ar@ ar ar a s rn r a1 1 sn 1 ar n a r Si a-ar rsn sn lím nl rn r a1 1 a 1 a 1 r lím r n r nl a 1 r Así, cuando ฀r ฀ 1, la serie geométrica es convergente y su suma es a (1 r). Si r 1 o bien, r 1, la sucesión r n es divergente de acuerdo con (11.1.9) y de ese modo, según la ecuación 3, lím n l sn no existe. Por tanto, la serie geométrica diverge en esos casos. Los resultados del ejemplo 2 se resumen como: a 4 La serie geométrica a ar n 1 a ar 2 ar n 1 FIGURA 1 es convergente si ฀r 1 y su suma es En palabras: la suma de una serie geométrica convergente es 1 ar n 1 n 1 primer término razón común Si ฀r v a 1 1 r r 1, la serie geométrica es divergente. EJEMPLO 3 Calcule la suma de la serie geométrica 5 10 3 20 9 40 27 2 3 SOLUCIÓN El primer término es a 5 y la razón común es r la serie es convergente por 4 y su suma es 5 ¿Qué se quiere realmente decir cuando afirmamos que la suma de la serie del ejemplo 3 es 3? Naturalmente, no podemos sumar un infinito de términos uno más uno. Pero, de acuerdo con la definición 2, la suma total es el límite de la sucesión de sumas parciales. De este modo, al efectuar la suma de suficientes términos, nos acercamos tanto como queramos al número 3. La tabla muestra las primeras diez sumas parciales sn y en la gráfica de la figura 2 se ilustra cómo la sucesión de las sumas parciales se aproxima a 3. n sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5.000000 1.666667 3.888889 2.407407 3.395062 2.736626 3.175583 2.882945 3.078037 2.947975 10 3 20 9 40 27 5 1 5 ( ) 2 3 5 3 . Como r 3 sn 3 0 FIGURA 2 20 n 2 3 1, SECCIÓN 11.2 EJEMPLO 4 SERIES 707 2 2n 3 1 n , ¿es convergente o divergente? La serie n 1 SOLUCIÓN Escribamos el n-ésimo término de la serie en la forma ar n 1 : Otra manera de identificar a y r es escribir los primeros términos. 2 2n 3 1 22 n3 n n 1 4 16 3 n 1 n 1 n 1 4n 3n 1 4 ( 43 ) n 1 n 1 64 9 Identificamos esta serie como una serie geométrica con a serie diverge, de acuerdo con 4 . v EJEMPLO 5 4yr . Como r 4 3 1, la 2.3171717 como una razón de enteros Escribimos el número 2.317 SOLUCIÓN 2.3171717. . . 17 10 7 17 10 5 17 10 3 2.3 Después del primer término tenemos una serie geométrica con a Debido a esto, 2.317 17 10 3 2.3 1 23 10 EJEMPLO 6 2.3 1 10 2 17 990 17 103 y r 1 102. 17 1000 99 100 1147 495 x n , donde ฀x Encuentre la suma de la serie 1. n 0 SOLUCIÓN Observe que esta serie inicia con n 0 y por eso el primer término x 0 ฀1. (En las series, se adopta la convención de que x ฀1 aun cuando x 0.) De este modo, 0 TEC En Module 11.2 se explora una serie que depende de un ángulo . en un triángulo y permite ver qué tan rápido converge la serie cuando varía .. xn 1 x2 x x3 x4 n 0 Ésta es una serie geométrica con a de acuerdo con 4 se tiene x. Puesto que ฀r 1yr 5 1, converge, y 1 xn 1 n 0 x 1 n n 1 es convergente, y determine su suma. SOLUCIÓN Ésta no es una serie geométrica, de modo que regresamos a la definición de una serie convergente y calculamos las sumas parciales. EJEMPLO 7 Demuestre que la serie ฀x n sn i 1 1 ii 1 n 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 nn 1 Esta expresión se puede simplificar utilizando la descomposición en fracciones parciales 1 ii 1 1 i 1 i 1 708 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Observe que los términos se cancelan por pares. Éste es un ejemplo de una suma telescópica. Debido a las cancelaciones, la suma se colapsa (tal y como se colapsan los telescopios de los piratas), justamente en dos términos. (Véase la sección 7.4.) Así tenemos que, n i 1 En la figura 3 se ilustra el ejemplo 7 y se muestra la gráfica de la sucesión de términos an 1 n(n 1) y la sucesión sn de sumas parciales. Observe que an l 0 y sn l 1. Véanse los ejercicios 76 y 77, en donde se tratan dos interpretaciones geométricas del ejemplo 7. n 1 sn 1 ii 1 2 1 1 2 1 1 3 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 n lím lím sn nl hsn j 1 i 1 1 y de este modo 1 1 i i 1 1 1 nl 1 1 n 0 1 Por tanto, la serie dada es convergente y 1 1 1 nn n 1 ha n j 0 n v Demuestre que la serie armónica EJEMPLO 8 FIGURA 3 1 n n 1 1 2 1 1 3 1 4 es divergente. SOLUCIÓN Para esta serie particular, es conveniente considerar las sumas parciales s2, s4, s8, s16, s32, . . . y demostrar que se hacen muy grandes. s2 1 1 2 s4 1 1 2 ( 13 1 4 s8 1 1 2 1 4 1 1 2 ( 13 ( 14 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 ( 13 ( 14 1 1 2 1 2 s16 En forma similar, s32 1 5 2 ) 1 ) 1 4) ( 15 ( 18 1 2 Esto demuestra que s2n l serie armónica diverge. 6 Teorema Si la serie 1 cuando n l n 1 1 7 1 8 1 8 1 8 1 8 ) 1 2 2 ) ) ) 1 8) 1 8 1 2 s2 n El método usado en el ejemplo 8 para demostrar que la serie armónica diverge es original del francés Nicole Oresme (1323-1382). 1 6 ( 15 ( 18 1 4 1 2 , s64 1 4 3 2 1 ) 1 4) ( 14 1 2 ( 19 ( 161 1 16 ) ) 1 16 4 2 1 6 2 , y, en general 1 n 2 y por eso sn es divergente. Debido a eso, la a n es convergente, entonces lím an nl 0. SECCIÓN 11.2 SERIES DEMOSTRACIÓN Sea sn a1 a2 ฀฀ an . Entonces, an sn sn 1 . Puesto que es convergente, la sucesión sn es convergente. Sea lím n l sn s. Como n 1 l cuando n l , también se tiene lím n l sn 1 s. Por tanto, lím a n lím sn nl sn nl s lím sn 1 lím sn nl 709 an 1 nl 0 s NOTA 1 Con cualquier serie an se asocian dos sucesiones: la sucesión sn de sus sumas parciales y la sucesión an de sus términos. Si an es convergente, entonces el límite de la sucesión sn es s (la suma de la serie) y, como establece el teorema 6, el límite de la sucesión an es 0. 0, no NOTA 2 En general, el inverso del teorema 6 no se cumple. Si lím n l a n podemos concluir que a n es convergente. Observe que para la serie armónica 1 n tenemos an 1 n l cuando n l , pero ya demostramos en el ejemplo 8 que 1 n es divergente. 0, entonces la Si lím a n no existe o si lím a n La prueba de la divergencia 7 nl nl a n es divergente. serie n 1 La prueba de la divergencia se infiere del teorema 6 porque si la serie no es divergente, entonces es convergente y, por tanto, lím n l a n 0. EJEMPLO 9 n2 Demuestre que la serie n 1 5n 2 es divergente. 4 SOLUCIÓN lím a n lím nl nl n2 5n 2 4 lím nl 1 4 n2 5 1 5 0 De modo que la serie diverge de acuerdo con la prueba de la divergencia. NOTA 3 Si encontramos que lím n l a n 0, sabemos que an es divergente. Si tiene que lím n l a n 0, nada sabemos con respecto a la convergencia o la divergencia de an. Recuerde la advertencia de la nota 2: si lím n l a n 0, la serie an podría ser convergente o divergente. Si an y bn son series convergentes, entonces también lo son las can (donde c es una constante), (an bn) y (an bn), y Teorema 8 series i) ca n n 1 iii) c ii) an n 1 an bn an n 1 an bn n 1 an bn n 1 n 1 bn n 1 n 1 Estas propiedades de las series convergentes se infieren de las leyes de los límites correspondientes a las sucesiones de la sección 11.1. Por ejemplo, aquí se demuestra la parte ii) del teorema 8: Sea n sn n ai i 1 s an n 1 tn bi i 1 bn t n 1 710 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La n-ésima suma parcial de la serie (an bn) es n un ai bi i 1 y, usando la ecuación 5.2.10, tenemos n n lím lím u n nl ai nl n lím ai lím sn i 1 lím tn s nl an bn s an t bn n 1 Determine la suma de la serie SOLUCIÓN La serie t bn) es convergente y su suma es n 1 EJEMPLO 10 i 1 bi nl i 1 nl (an bi i 1 n lím Por tanto, ai nl i 1 nl n lím bi n 1 3 1 nn n 1 1 2n . ฀1 2n es una serie geométrica con a n 1 1 2 1 2n y r 1 2 , de modo que 1 1 2 1 1 2 En el ejemplo 7 encontramos que 1 n 1 1 1 nn Así, por el teorema 8, la serie dada es convergente y 3 1 nn n 1 1 2n 1 3 n 1 nn 1 1 4 3 1 n 1 1 2n NOTA 4 Una cantidad finita de términos no afecta la convergencia o divergencia de una serie. Por ejemplo, supongamos que somos capaces de demostrar que la serie n n 4 n3 1 2 9 3 28 es convergente. Puesto que 1 2 n n 1 n 3 1 n n 4 n 3 1 se infiere que toda la serie n 1 n n 3 1 es convergente. Asimismo, si sabemos que la serie n N 1 a n es convergente, entonces toda la serie N an n 1 es también convergente. an n 1 an n N 1 SECCIÓN 11.2 Ejercicios 11.2 1. a) ¿Cuál es la diferencia entre una sucesión y una serie? b) ¿Qué es una serie convergente? ¿Qué es una serie divergente? 2. Explique qué significa decir que n 1 5. an 21. 6 0.9 3-4 Calcule la suma de la serie n 1 a n cuyas sumas parciales están dadas. 25. n 0 3. sn 2 3 0.8 n2 4n 2 4. sn n parciales con una aproximación de cuatro decimales. ¿Las series aparentan que convergen o divergen? n 1 n 1 ln n n 1 n 7. 1 6. sn 1 1 1n n! 8. n 1 n 1 10. n n 1 sn 2 4 n 1 1 13. n 1 1 6 1 9 28. 1 3 2 9 1 27 n 1 1 sn sn 14. 1 35. j 1 n 2 17. 3 4 19. 10 2 20. 2 0.5 64 9 0.4 0.125 n 1 0.3 n 1 36. n 1 ( 23)n 1 38. k cos 1 k 1 3 5n 40. n 1 1 en 1 42. 1 nn n 1 2 n en n2 aj n 1
2 n 2
45. n y 0.8 k p 3
44. 1 ln n 1 n 1 n 3 nn 3 i 1 17-26 Determine si la serie geométrica es convergente o divergente. Si es convergente, calcule la suma. 16 3 1 1 arctan n 43. aj b) Explique la diferencia entre ai 34. 43-48 Determine si la serie es convergente o divergente al expresar sn como suma telescópica (como en el ejemplo 7). Si es convergente, encuentre su suma. n i 1 2 n 1 n 2 nn 16. a) Explique la diferencia entre y 3n 1 32. n2 2n 2 ln 39. 2 32 kk k n 1 n 1 n k 1 n 1 k 0 2n 15. Sea a n . 3n 1 a) Determine si an es convergente. b) Determine si n 1 a n es convergente. i 1 2 729 30. n 2 s 33. 41. ai 1 243 n 1 n 2 n 2 81 n 3 n 1 37. 1 1 15 2n n 1 7n 1 10 n 1 12 1 1 n 3n 1 31. cos n 12. 26. 1 3 n 1 n 11. pn 3n 1 27. 29. Grafique tanto la sucesión de los términos como la sucesión de las sumas parciales en la misma pantalla. ¿Cómo parece ser la serie, convergente o divergente? Si es convergente, determine la suma. Si es divergente, explique por qué. 9. n 1 en 3n 1 1 24. 27-42 Determine si la serie es convergente o divergente. Si es convergente, encuentre su suma. 1 9-14 Encuentre por lo menos 10 sumas parciales de las series. 12 5 (s2 ) n 1 1 1 5-8 Calcule los primeros ocho términos de la sucesión de sumas 1 n3 n 0 1 3n 4n 23. n 1 10 n 9n 22. n 1 n 1 n 1 5. 711 SERIES 18. 4 3 0.08 9 4
46. cos n 1 27 16
47. 1 n2 cos 1 n 1 2
(e 1 n e1 n 1 n 1 ) 48. n 2 1 n3 n 0.03125 Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 712 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 49. Sea x a) b) c) d) 0.99999… ¿Qué piensa usted, que x 1 o que x 1? Sume una serie geométrica para determinar el valor de x. ¿Cuántas representaciones decimales tiene el 1? ¿Cuáles números tienen más de una representación decimal? 50. Una sucesión de términos está definida por 0 a1 Calcule n 1 an (5 n)an 1 52. 0.46 0.8888 . . . 53. 2.516 0.46464646 . . . 2.516516516 . . . 54. 10.135 10.135353535 . . . 55. 1.5342 56. 7.12345 57-63 Calcule los valores de x para los cuales la serie converge. Determine la suma de la serie para dichos valores de x. 57. 58. 5 nx n n 1 59. n 0 63. n n 60. 3n n 0 61. 2 x n 1 2 x 4 n x 5 n n 0 2n xn 62. n 0 senn x 3n e nx n 0 64. Hemos visto que una serie armónica es una serie divergente cuyos términos se aproximan a 0. Demuestre que ln 1 n 1 1 n 65-66 Utilice el comando de las fracciones parciales en su sistema algebraico computarizado para encontrar una expresión conveniente para la suma parcial, y luego use esta expresión para encontrar la suma de la serie. Compruebe su respuesta usando directamente el sistema algebraico a la suma de la serie. 65. n 1 3n 2 3n n2 n 1 66. 3 n 3 67. Si la n-ésima suma parcial de una serie sn determine an y a n es sn 3 n 2 n, determine an y n 1 a n. 69. Un paciente toma 150 mg de una droga a la misma hora cada día. Justo antes de tomar cada tableta, 5% de la droga permanece en el cuerpo. a) ¿Qué cantidad de la droga está en el cuerpo después de la tercera tableta? ¿Después de la n-ésima tableta? b) ¿Qué cantidad de la droga queda en el cuerpo a largo plazo? n 1 a n. n n 1 1 concentración de insulina en un sistema del paciente decae exponencialmente, así que puede expresarse como De at, donde t representa el tiempo en horas y a es una constante positiva. a) Si la dosis D se inyecta cada T horas, escriba una expresión para la suma de la concentración residual justo antes de la (n ฀1)-ésima inyección. b) Determine la concentración límite antes de inyectar. c) Si la concentración de insulina debe siempre permanecer en, o por encima de un valor crítico C, determine la dosis mínima de D en términos de C, a y T. 71. Cuando el dinero se gasta en bienes y servicios, los que reciben el dinero también gastan un poco de él. Las personas que reciben algo del dinero gastado dos veces, gastarán algo de dicho dinero, y así sucesivamente. Los economistas llaman a esta reacción en cadena efecto multiplicador. En un hipotético pueblo aislado, el gobierno local inicia el proceso gastando D dólares. Suponga que cada persona que recibe dinero gasta 100c% y ahorra 100s% del dinero. Los valores c y s se denominan propensión marginal al consumo y propensión marginal al ahorro y, naturalmente, c s 1. a) Sea Sn el total de lo gastado que ha sido generado después de n transacciones. Determine una ecuación para Sn . b) Demuestre que lím n l Sn kD, donde k 1 s. La cantidad k se llama el multiplicador. ¿Cuál es el multiplicador si la propensión marginal al consumo es 80%? Nota: El gobierno federal de Estados Unidos usa este principio para justificar el gasto que muestra déficit. Los bancos utilizan este principio para justificar los préstamos de un gran porcentaje del dinero que reciben como depósito. es otra serie con esta propiedad. SAC n 1 70. Después de la inyección de una dosis D de insulina, la a n. 51-56 Exprese el número como una razón de enteros. 51. 0.8 68. Si la n-ésima suma parcial de una serie n 5 n 1 1 5n 3 a n es 4n 72. Una cierta pelota tiene la propiedad de que cada vez que cae desde una altura h sobre una superficie nivelada y dura, rebota hasta una altura rh, donde 0 r 1. Suponga que la pelota cae desde una altura inicial de H metros. a) Suponiendo que la pelota continúa rebotando de manera indefinida, calcule la distancia total que recorre. b) Calcule el tiempo total que la pelota viaja. (Use el hecho de que la pelota cae 12 tt 2 metros en t segundos.) c) Suponga que cada vez que la pelota golpea la superficie con velocidad v rebota con velocidad kv, donde 0 k 1. ¿Cuánto tiempo le tomará a la pelota llegar al reposo? 73. Encuentre el valor de c si 1 n 2 c n 2 SECCIÓN 11.2 74. Encuentre el valor de c tal que 0 0 10 75. En el ejemplo 8 se demostró que la serie armónica es 1 divergente. Aquí se resume otro método, haciendo uso del hecho de que e x 1 + x para cualquier x 0. (Véase el ejercicio 4.3.78.) Si sn es la n-ésima suma parcial de la serie armónica, demuestre que e sn n + 1. ¿Por qué esto implica que la serie armónica es divergente? 76. Grafique las curvas y x n, 0 x 1, para n 0, 1, 2, 3, 4, . . . sobre una misma pantalla. Determinando las áreas entre las curvas sucesivas, de una demostración geométrica del hecho, demostrado en el ejemplo 7, de que 1 1 1 0 1 n 0 nn 713 79. ¿Qué es lo que está mal en el cálculo siguiente? e nc n 1 SERIES 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (Guido Ubaldus pensaba que esto demostraba la existencia de Dios, porque “se había creado algo de la nada”.) 80. Suponga que sabemos que n 1 convergente. Demuestre que a n a n 0 es una serie 1 a n es una serie divergente. n 1 81. Demuestre el inciso i) del teorema 8. 82. Si an es divergente y c divergente. 0, demuestre que can es 83. Si 77. En la figura se muestran dos circunferencias C y D de radio 1 que se tocan en P. T es una tangente común; C1 es la circunferencia que toca C, D y T; C2 es la circunferencia que toca C, D y C1; C3 es la circunferencia que toca C, D y C2. Este procedimiento puede continuar en forma indefinida y produce una sucesión infinita de circunferencias Cn . Encuentre una expresión para el diámetro de Cn y, de ese modo, proporcione otra demostración geométrica del ejemplo 7. an es convergente y bn es divergente, demuestre que la serie (an + bn) es divergente. [Sugerencia: argumente por contradicción.] 84. Si an y bn son divergentes, ¿necesariamente divergente? (an + bn) es 85. Suponga que una serie an consta de términos positivos y sus sumas parciales sn cumplen con la desigualdad sn 1000 para toda n. Explique por qué an debe ser convergente. 86. La sucesión de Fibonacci se define en la sección 11.1 mediante las ecuaciones f 2 1, fn f n 1 + f n 2 n 3 f 1 1, Demuestre que cada uno de los siguientes enunciados es cierto. 1 1 1 a) fn 1 fn 1 fn 1 fn fn fn 1 P
C£ C™ 1 C b) n 2 1
c) D C¡ n 2 T 78. Un triángulo rectángulo ABC está definido con y AC A b. CD se traza perpendicular a AB, DE se traza en forma perpendicular a BC, EF  AB, y este proceso continúa en forma indefinida como se ilustra en la figura. Determine la longitud total de todas las perpendiculares CD DE EF FG en términos de b y .. D H B F G A ¨ b E C 1 f fn fn 1 fn fn 1 1 n 1 2 1 87. El conjunto de Cantor, nombrado así en honor al matemático alemán Georg Cantor (1845-1918), se construye como se señala a continuación. Empiece con el intervalo cerrado [0, 1] y retire el intervalo abierto ( 13 , 23 ). Esto deja los dos intervalos [0, 13 ] y [ 23, 1] y luego elimine el intervalo abierto constituido por el tercio medio de cada uno. De este modo quedan cuatro intervalos y de nuevo elimine el tercio medio de cada uno de ellos. Continúe este procedimiento de manera indefinida eliminando en cada paso el tercio medio de cada intervalo que queda del paso anterior. El conjunto de Cantor consiste en los números que quedan en [0, 1] después de que todos esos intervalos se han eliminado. a) Demuestre que la longitud total de todos los intervalos que se eliminan es 1. A pesar de eso, el conjunto de Cantor contiene un infinito de números. Proporcione ejemplos de algunos números del conjunto de Cantor. b) El tapete de Sierpinski es un equivalente en dos dimensiones del conjunto de Cantor. Se construye eliminando el noveno central de un cuadrado de lado 1, y luego se elimina el centro de cada uno de los ocho 714 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS b) Aplique la inducción matemática para demostrar su conjetura. c) Demuestre que la serie infinita dada es convergente y calcule su suma. cuadrados restantes, y así sucesivamente. (En la figura se ilustran los primeros tres pasos de la construcción.) Demuestre que la suma de las áreas de los cuadrados eliminados es 1. Esto significa que el área del tapete de Sierpinski es cero. 90. En la figura hay un infinito de círculos que se aproximan a los vértices de un triángulo equilátero. Cada círculo toca otros círculos y los lados del triángulo. Si el triángulo tiene lados que miden una unidad de longitud, calcule el área total que ocupan los círculos. 88. a) Una sucesión an se define recursivamente mediante la 1 ecuación a n 2 a n 1 a n 2 para n ฀3, donde a1 y a2 son números reales. Experimente con varios valores de a1 y a2 y con la ayuda de su calculadora conjeture el límite de la sucesión. b) Encuentre lím n l ` a n en términos de a1 y a2 expresando an+1 an en función de a2 a1 y sume una serie. 89. Considere la serie n n 1 !. a) Calcule las sumas parciales s1, s2, s3 y s4. ¿Reconoce los denominadores? Mediante el patrón conjeture una fórmula para sn. 11.3 ` n 1 La prueba de la integral y estimación de sumas En general, es difícil determinar la suma exacta de una serie. Podemos lograrlo en el caso de series geométricas y las series 1 [n(n + 1)] porque en cada uno de estos casos es posible encontrar una fórmula simple para la n-ésima suma parcial s n . Pero por lo regular no es fácil descubrir tal fórmula. Por tanto, en las siguientes secciones se tratan varias pruebas que permiten determinar si una serie es convergente o divergente sin que se tenga que encontrar en forma explícita su suma. (En algunos casos, los métodos permiten determinar unas buenas estimaciones de la suma.) El primer método utiliza integrales impropias. Empecemos por investigar las series cuyos términos son los recíprocos de los cuadrados de los enteros positivos: ` n n sn i 1 5 10 50 100 500 1 000 5 000 1 i2 n 1 1 n2 1 12 1 22 1 32 1 42 1 52 No hay una fórmula sencilla para la suma sn de los primeros n términos, pero la tabla generada mediante una computadora de los valores, dados en el margen, sugiere que las sumas parciales se aproximan a un número cercano a 1.64 cuando n l y de este modo parece como si la serie fuera convergente. Podemos confirmar esta impresión con un razonamiento geométrico. En la figura 1 se ilustra la curva y 1 x 2 y algunos rectángulos que se encuentran abajo de la curva. La base de cada uno de los rectángulos es un intervalo de longitud igual a 1; la altura es igual al valor de la función y 1 x 2 en el extremo derecho del intervalo. 1.4636 1.5498 1.6251 1.6350 1.6429 1.6439 1.6447 y y= 1 ≈ iUHD= 1 1@ 0 FIGURA 1 1 iUHD= 1 2@ 2 iUHD= 1 3@ 3 iUHD= 1 4@ 4 iUHD= 1 5@ 5 x SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 715 De este modo, la suma de las áreas de los rectángulos es 1 22 1 12 1 32 1 42 ` 1 52 n 1 1 n2 Si excluimos el primer rectángulo, el área total de los rectángulos restantes es menor que el área bajo la curva y 1 x 2 para x 1, que es el valor de la integral x1` 1 x 2 dx. En la sección 7.8 descubrimos que esta integral impropia es convergente y que tiene un valor de 1. De modo que la figura muestra que todas las sumas parciales son menores que 1 12 y 1 1 dx x2 2 Así, las sumas parciales están acotadas. También sabemos que las sumas parciales son crecientes porque todos los términos son positivos. Por lo tanto, las sumas parciales convergen, de acuerdo con el teorema de la sucesión monótona, de manera que la serie es convergente. La suma de la serie (el límite de las sumas parciales) es también menor que 2: ` n 1 1 n2 1 12 1 22 1 32 1 42 2 [El matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) calculó que la suma exacta de esta serie es )2 6, pero la demostración de esto es muy difícil. (Véase el problema 6 en los Problemas adicionales después del capítulo 15.)] Ahora veamos la serie n n sn i 1 5 10 50 100 500 1000 5000 ` 1 si n 1 3.2317 5.0210 12.7524 18.5896 43.2834 61.8010 139.9681 1 sn 1 s1 1 s2 1 s3 1 s4 1 s5 La tabla de valores de sn , hace pensar que las sumas parciales no se aproximan a un número finito, de modo que se sospecha que la serie dada podría ser divergente. Otra vez usamos una imagen para confirmarlo. En la figura 2 se muestra la curva y 1 sx , pero esta vez se usan rectángulos cuya parte superior queda por encima de la curva. y y= 1 x œ„ 0 1 FIGURA 2 iUHD= 1 1 œ„ 2 iUHD= 1 2 œ„ 3 iUHD= 1 3 œ„ 4 iUHD= 1 4 œ„ 5 x La base de cada uno de los rectángulos es un intervalo de longitud 1. La altura es igual al valor de la función y 1 sx en el extremo izquierdo del intervalo. Así que la suma de las áreas de todos los rectángulos es 1 s1 1 s2 1 s3 1 s4 1 s5 Esta área total es mayor que el área bajo la curva y ` n 1 1 sx para x 1 sn 1, que es igual a la 716 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS integral x1` (1 sx ) dx. Pero según la sección 7.8, esta integral impropia es divergente. En otras palabras, el área bajo la curva es infinita. Así que la suma de la serie debe ser infinita; es decir, la serie es divergente. El mismo tipo de razonamiento geométrico aplicado para estas dos series, se puede hacer para demostrar la prueba siguiente. (La demostración se encuentra al final de esta sección.) Prueba de la integral Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente sobre [1, ) y sea an f (n). Entonces la serie `n 1 a n es convergente si y sólo si la integral impropia x1` f x dx es convergente. En otras palabras: i) Si y f x dx es convergente, entonces 1 ii) Si y f x dx es divergente, entonces 1 a n es convergente. n 1 a n es divergente. n 1 NOTA Cuando use la prueba de la integral no es necesario iniciar la serie o la integral en n 1. Por ejemplo, al probar la serie 1 n 4 3 n y usamos 2 4 1 3 x dx 2 Asimismo, no es necesario que f sea siempre decreciente. Lo importante es que f sea finalmente decreciente, es decir, decreciente para x más grande que algún número N. En consecuencia `n N a n es convergente, de modo que `n 1 a n es convergente de acuerdo con la nota 4 de la sección 11.2. ` EJEMPLO 1 Pruebe la convergencia o divergencia de la serie 1 n 1 n 1. 2 SOLUCIÓN La función f (x) 1 (x2 1) es continua, positiva y decreciente sobre [1, ) de modo que aplicamos la prueba de la integral: y 1 1 x 2 1 dx lím y tl` 1 t 1 x 2 1 dx p 4 lím tan 1t tl` ] lím tan 1x tl` p 2 t 1 p 4 p 4 Por tanto, x1
1 x 2 1 dx es una integral convergente y si es así, de acuerdo con la prueba de la integral, la serie 1 (n2 1) es convergente. v ` EJEMPLO 2 ¿Para qué valores de p la serie n 1 1 es convergente? np 0, entonces lím n l ` 1 n p `. Si p 0, entonces lím n l ` 1 n p 1. p 0, por lo que la serie dada es divergente de acuerdo En cualquier caso lím n l ` 1 n con la prueba de la divergencia (11.2.7). 1 x p es evidentemente continua, positiva y Si p 0, entonces la función f x decreciente sobre [1, ). En el capítulo 7 [véase (7.8.2)] encontramos que SOLUCIÓN Si p Para usar la prueba de la integral necesitamos evaluar x1` f x dx y, por tanto, tenemos que hallar una antiderivada de f. Es frecuente que esto sea difícil o imposible, de modo que también necesitamos otras pruebas para convergencia. y ` 1 1 dx converge si p xp 1 y diverge si p 1 SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 717 De la prueba de la integral se infiere que la serie 1 n p converge si p 1 y diverge si 0 p 1. (En el caso de p 1, esta serie es la serie armónica estudiada en el ejemplo 8 de la sección 11.2.) La serie del ejemplo 2 se llama serie p. Esto es importante en el resto de este capítulo, de modo que se resumen los resultados del ejemplo 2 para referencia futura como se indica a continuación. ` 1 La serie p n 1 1 es convergente si p np 1 y divergente si p 1. EJEMPLO 3 a) La serie ` n 1 1 13 1 n3 1 23 1 33 es convergente porque es una serie p con p b) La serie ` n 1 ` 1 n1 3 n 1 1 sn 3 1. 1 s2 1 3 1 43 1 s3 3 es divergente porque es una serie p con p 1 3 1 s4 3 3 1. NOTA No debemos inferir que, de acuerdo con la prueba de la integral, la suma de la serie es igual al valor de la integral. De hecho, n 1 p2 6 1 n2 y en tanto que 1 1 dx x2 1 Por tanto, en general ` y an n 1 v ` EJEMPLO 4 ` 1 f x dx ln n es convergente o divergente. n Determine si la serie n 1 SOLUCIÓN La función f (x) (ln x) x es positiva y continua para x 1 porque la función logaritmo es continua. Pero no es obvio si f es decreciente o no lo es, de modo que al calcular su derivada: f x 1 x x ln x x2 1 ln x x 2 Por tanto, f (x) 0 cuando ln x 1, es decir, x e. Se sigue que f es decreciente cuando x e, de manera que podemos aplicar la prueba de la integral: y ` 1 ln x dx x lím y tl ` lím t l` t 1 ln x dx x ln t 2 ln x lím tl` 2 2 t 1 2 ` Puesto que esta integral impropia es divergente, la serie de acuerdo con la prueba de la integral. (ln n) n también es divergente 718 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ฀ Estimación de la suma de una serie Suponga que pudimos aplicar la prueba de la integral para demostrar que una serie an es convergente y que queremos encontrar una aproximación a la suma s de la serie. Por supuesto, cualquier suma parcial sn es una aproximación a s porque lím n l ` sn s. Pero, ¿qué tan buena es esa aproximación? Para saberlo, necesitamos estimar el tamaño del residuo. s Rn y 0 ... Rn 1 an an 2 an an 1 y 2 n ` n x 3 f x dx Asimismo, en la figura 4 vemos que FIGURA 3 y an El residuo Rn es el error que se comete cuando s n, la suma de los primeros n términos, se usa como una aproximación a la suma total. Usamos la misma notación y las ideas que en la prueba de la integral, suponiendo que f es decreciente sobre [n, ). Al comparar las áreas de los rectángulos con el área bajo y f (x) para x n en la figura 3, vemos que y=ƒ an+1 an+2 sn Rn y=ƒ an an 1 y 2 ` n 1 f x dx De este modo hemos demostrado la siguiente estimación de error. an+1 an+2 0 n+1 1 Estimación del residuo para la prueba de la integral Supongamos que f (k) ak, donde f es una función continua, positiva y decreciente para x n y es convergente. Si Rn ฀s sn, entonces ... x y FIGURA 4 ` n 1 v f x dx y Rn ` n an f x dx EJEMPLO 5 a) Obtenga un valor aproximado de la suma de la serie 1 n3 usando la suma de los primeros 10 términos. Estime el error involucrado en esta aproximación. b) ¿Cuántos términos se requieren para asegurar que la suma no difiere en más de 0.0005? SOLUCIÓN En los incisos a) y b) necesitamos conocer xn` f x dx. Con f (x) satisface las condiciones de la prueba integral, tenemos y ` n 1 dx x3 1 2x 2 lím tl` t 1 2t 2 lím n tl` 1 2n 2 1 2n2 a) Aproximando la suma de la serie por la 10-ésima suma parcial, tenemos ` n 1 1 n3 s10 1 13 1 23 1 33 1 10 3 De acuerdo con el residuo estimado en 2 , tenemos R10 y ` 10 1 dx x3 1 2 10 2 1 200 De modo que el tamaño del error es cuanto mucho de 0.005. 1.1975 1 x 3, que SECCIÓN 11.3 LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS 719 b) La precisión de 0.0005 quiere decir que debemos encontrar un valor de n tal que Rn 0.0005. Puesto que y Rn ` n 1 2n 2 queremos que 1 2n 2 1 dx x3 0.0005 Al resolver esta desigualdad, obtenemos n2 1 0.001 1000 o bien s1000 n 31.6 Necesitamos 32 términos para garantizar una precisión dentro de 0.0005. Si sumamos sn a cada miembro de las desigualdades en 2 , obtenemos 3 y sn ` f x dx n 1 s y sn ` n f x dx porque sn ฀Rn ฀s. Las desigualdades en 3 dan una cota inferior y una cota superior para s. Estas cotas proporcionan una aproximación más certera a la suma de la serie que la suma parcial sn. ` Aunque Euler calculó la suma exacta de las series p para p ฀2, no se ha encontrado la suma para p ฀3. Sin embargo, en el ejemplo 6 mostramos cómo estimar esta suma. EJEMPLO 6 Use 3 con n 10 para estimar la suma de la serie n 1 1 n3 . SOLUCIÓN Las desigualdades en 3 resultan s10 y ` 11 1 dx x3 s y s10 ` 10 1 dx x3 Del ejemplo 5 sabemos que y
n 1 2 11 de modo que s10 Si usamos s10 1.197532, obtenemos 1 2n 2 1 dx x3 2 1.201664 s s10 s 1 2 10 2 1.202532 Si aproximamos s por el punto medio de este intervalo, entonces el error es a lo más la mitad de la longitud del intervalo. Así que, n 1 1 n3 1.2021 con error 0.0005 Si comparamos el ejemplo 6 con el ejemplo 5, observamos que la estimación mejorada en 3 es mucho mejor que la estimación s s n. Para que el error sea menor que 0.0005 tenemos que usar 32 términos en el ejemplo 5, pero sólo 10 términos en el ejemplo 6. 720 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ฀ Demostración de la prueba de la integral y Ya hemos visto la idea básica en que se apoya la demostración de la prueba de la integral en las figuras 1 y 2 para las series
1 n 2 y
1 sn . En el caso de la serie general an, véanse las figuras 5 y 6. El área del primer rectángulo sombreado de la figura 5 es el valor de f en el extremo derecho de [1, 2], es decir, f (2) ฀a2. De esta manera, al comparar las áreas de los rectángulos sombreados con el área bajo y f (x) desde 1 hasta n observamos que y=ƒ a™ a£ a¢ a∞ 0 1 2 3 4 5 ... an n x 4 a2 a3 y an FIGURA 5 y a¡ a™ a£ a¢ 2 3 4 y 5 an-1 1 f x dx (Observe que esta desigualdad depende del hecho de que f es decreciente.) De manera similar, en la figura 6 se muestra que y=ƒ 0 n 1 n 1 f x dx a1 a2 an 1 i) Si y f x dx es convergente, entonces 4 da ` n x 5 ... 1 n y ai FIGURA 6 puesto que f (x) n 1 i 2 y f x dx ` 1 f x dx ฀0. Por tanto n sn a1 ai y a1
1 i 2 f x dx M Como sn ฀M para toda n, la sucesión sn está acotada por arriba. Asimismo, sn sn 1 an 1 sn como an 1 f (n 1) 0. En estos términos, sn es una sucesión acotada creciente y, de este modo, es convergente de acuerdo con el teorema de la sucesión monótona (11.1.12). Esto significa que an es convergente. ` ii) Si x1 f x dx es divergente, entonces x1n f x dx l ` cuando n l porque f (x) ฀0. Pero con 5 obtenemos y n 1 y por tanto sn 11.3 1 n 1 ai f x dx sn 1 i 1 l . Esto implica que sn l , luego entonces an diverge. Ejercicios 1. Dibuje una gráfica para demostrar que ` n 2 1 n 1.3 y ` 1 3-8 Mediante la prueba de la integral determine si la serie es convergente o divergente. 1 dx x 1.3 3. ¿Qué puede concluir con respecto a la serie? 2. Suponga que f es una función continua, positiva y decreciente para x ฀1 y an ฀f (n). En una gráfica acomode las tres cantidades siguientes en orden creciente. y 6 1 5 6 ai ai f x dx i 1 5. ` 1 n 1 5 n s ` n 1 7. 2n 1 3 n n 2 1 i 2 SAC Se requiere sistema algebraico computarizado ` n 1 1 ` n 1 4. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 6. ` n 1 8. 1 n5 1 sn ` n 2e n 1 4 n3 SECCIÓN 11.3 9. n 1 10. n s2 12. 1 n 0.9999 ` n 3 1 8 11. 1 ฀2: p ` 1 1 27 1 64 z2 n 1 1 125 1 1 1 1 2 s2 3 s3 4 s4 5 s5 14. 15. 1 3 1 5 1 8 1 11 1 5 ` n 1 ` a) n 1 1 9 1 14 ` n 1 n2 ` n 1 ` 21. n 2 23. ` n 1 16. n 1 ` 18. n 3 20. 1 n ln n 22. e1 n n2 24. n 1 n 1 ` n 2 n ` n 3 1 2 n n 1 1 3n n2 4 2n n n 1 1 6n n2 1 n ln n ` a) ` n 1 ` cos p n sn 2 28. n 1 p4 90 3 n 4 ` b) k 5 1 k 2 4 4 ` n 1 1 n . Estime el error al usar s10 como aproximación a la suma de la serie. b) Use 3 con n 10 para conseguir una estimación mejorada de la suma. c) Compare su estimación en el inciso b) con el valor exacto dado en el ejercicio 35. d) Calcule un valor de n tal que sn no difiera más de 0.00001 del valor de la suma. 2 n n4 1 n4 ฀4: 36. a) Calcule la suma parcial s10 de la serie 13 37. a) Mediante la suma de los primeros 10 términos, estime 1 la suma de la serie `n 1 1 n 2. ¿Qué tan buena es la estimación? b) Mejore esta estimación usando 3 con n 10. c) Compare su estimación en el inciso b) con el valor exacto dado en el ejercicio 34. d) Encuentre un valor de n que dé la certeza de que el error en la aproximación s sn es menor que 0.001. 27-28 Explique por qué no es posible utilizar la prueba de la integral para determinar si la serie es convergente. 27. 1 Utilice el resultado de Euler para encontrar la suma de las series: n2 en ` 26. 3 1 n 2 z4 n3 ` ln n n3 ` 25. 1 2n 2 n 1 19. n 3 ` ` 4 b) 35. Euler también encontró la suma para la serie p con p 1 17 1 p2 6 ` 1 n2 c) 4 sn n2 ` 17. 1 7 1 n2 (Veáse página 715.) Use este hecho para encontrar la suma de cada serie: n 2 13. 1 721 34. Leonhard Euler calculó la suma exacta de la serie p para 9-26 Determine si la serie es convergente o divergente. ` LA PRUEBA DE LA INTEGRAL Y ESTIMACIÓN DE SUMAS cos 2 n 1 n2 38. Calcule la suma de la serie ` n 1 1 n 5 con una aproximación de tres cifras decimales. 29-32 Determine los valores de p para los cuales la serie es 39. Estime convergente. ` 29. n 2 1 n ln n ` 30. p n 3 ` 31. n1 ` n 1 2n 1 6 con una aproximación de cinco decimales. n2 ` 32. p n 1 n 1 1 n ln n ln ln n ` n 1 1 n ln n 2 se necesitarían sumar para calcular la suma que no difiera de 0.01? 1 nx y se usa en teoría de los números para estudiar la distribución de los números primos. ¿Cuál es el dominio de 3? ` n 2 41. Demuestre que si queremos aproximar la suma de la serie ln n np 33. La función zeta de Riemann 3 se define como zx 40. ¿Cuántos términos de la serie p n 1.001 de modo que el error sea menor de 5 en la novena cifra decimal, entonces ¡necesitamos sumar más de 1011 301 términos! ` n 1 SAC 42. a) Demuestre que la serie ln n 2 n 2 es convergente. b) Encuentre una cota superior para el error en la aproximación s sn. c) ¿Cuál es el valor más pequeño de n tal que esta cota superior sea menor que 0.05? d) Encuentre sn para este valor de n. ` n 1 722 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 43. a) Mediante 4 demuestre que si sn es la n-ésima suma parcial b) Interprete de la serie armónica, entonces 1 sn ln n tn b) La serie armónica diverge, pero muy lentamente. Con ayuda del inciso a) demuestre que la suma del primer millón de términos es menor que 15 y que la suma de los primeros mil millones de términos es menor que 22. 44. Siga los pasos siguientes para demostrar que la sucesión tn 1 1 2 1 3 1 n ln n tiene un límite. (El valor del límite se denota con y se denomina constante de Euler.) a) Dibuje un diagrama como la figura 6 con f (x) 1 x e interprete tn como un área [o use 5 ] para demostrar que tn 0 para toda n. 11.4 tn ln n 1 1 ln n 1 n 1 como una diferencia de áreas para demostrar que tn tn 1 0. Por tanto, tn es una sucesión decreciente. c) Use el teorema de la sucesión monótona para demostrar que tn es convergente. 45. Determine todos los valores positivos de b para los cuales la serie ` n 1 b ln n converge. 46. Encuentre todos los valores de c para los que converge la siguiente serie ` c n n 1 1 n 1 Pruebas por comparación En las pruebas por comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie que ya se sabe que es convergente o divergente. Por ejemplo, la serie ` 1 1 2n n 1 1 1 1 nos recuerda la serie `n 1 1 2 n, que es una serie geométrica con a 2 y r 2, por lo que es convergente. Como la serie 1 es similar a la serie convergente, se presiente que también debe ser convergente. De hecho, así es. La desigualdad 1 2n 1 2 n 1 demuestra que la serie dada 1 tiene términos menores que los de la serie geométrica y, por tanto, todas las sumas parciales son también más pequeñas que 1 (la suma de la serie geométrica). Esto quiere decir que las sumas parciales forman una sucesión creciente acotada, la cual es convergente. Asimismo, se infiere que la suma de la serie es menor que la suma de la serie geométrica: ` n 1 1 2n 1 1 Un razonamiento similar se puede usar para demostrar la prueba siguiente, la cual se aplica sólo a series cuyos términos son positivos. La primera parte dice que si tenemos una serie cuyos términos son menores que los de una serie convergente conocida, entonces nuestra serie también es convergente. La segunda parte establece que si empezamos con una serie cuyos términos son mayores que los de una serie divergente conocida, entonces también es divergente. Supongamos que ฀an y ฀bn son series con términos positivos. i) Si ฀bn es convergente y an bn para toda n, entonces ฀an también es convergente. ii) Si ฀bn es divergente y an bn para toda n, entonces ฀an también es divergente. La prueba por comparación SECCIÓN 11.4 Es importante estar atento a la distinción entre sucesión y serie. Una sucesión es un listado de números y una serie es una suma. Con cada serie ฀an hay dos sucesiones asociadas: la sucesión an de términos y la sucesión bn de sumas parciales. Serie estándar usada con la prueba por comparación PRUEBAS POR COMPARACIÓN 723 DEMOSTRACIÓN n i) Sea sn n ai ` tn bi i 1 t i 1 bn n 1 Puesto que ambas series tienen términos positivos, las sucesiones sn y tn son crecientes (sn 1 sn an 1 sn). Asimismo, tn l t, así que tn t para toda n. Como ai bi tenemos sn tn . De este modo, sn t para toda n. Esto significa que sn es creciente y está acotada superiormente y, por tanto, converge por el teorema de sucesiones monótonas. Así, an es convergente. ii) Si bn es divergente, entonces tn l (puesto que tn es creciente). Pero ai bi , de modo que sn t n. Así que sn l . Por tanto, an diverge. Por supuesto, al usar la prueba por comparación es necesario tener alguna serie conocida bn para los fines de la comparación. La mayoría de las veces se usa una de estas series: Q Q v Una serie p [ 1 n p que converge si p 1 y diverge si p 1; véase (11.3.1)] Una serie geométrica [ ar n 1 es convergente si r 1 y es divergente si r véase (11.2.4)] ` EJEMPLO 1 Determine si la serie n 1 2n 5 4n 2 3 1; es convergente o divergente. SOLUCIÓN En el caso de n grande el término dominante en el denominador es 2n2, de modo que comparemos la serie dada con la serie 2n 2 5 4n 5 (2n2). Observe que 5 2n 2 3 porque el lado izquierdo tiene un denominador más grande. (En la notación de la prueba por comparación, an está en el lado izquierdo y bn en el lado derecho.) Ya sabemos que ` n 1 5 2n 2 5 2 ` n 1 1 n2 es convergente porque es una constante por una serie p con p ` n 1 2n 2 5 4n 2 1. Por tanto, 3 es convergente de acuerdo con el inciso i) de la prueba por comparación. NOTA 1 Aunque la condición an bn o bien, an bn en la prueba por comparación es para toda n, es necesario verificar sólo que se cumple para n N, donde N es algún entero establecido, porque la convergencia de una serie no está afectada por un número finito de términos. Lo anterior se ilustra con el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 2 Pruebe si la serie ` k 1 ln k es convergente o divergente. k SOLUCIÓN Usamos la prueba de la integral para investigar esta serie en el ejemplo 4 de la sección 11.3, pero también es posible probarla por comparación con la serie armónica. Observe que ln k 1 para k 3 y de esa manera ln k k 1 k k 3 724 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Sabemos que 1 k es divergente (serie p con p de acuerdo con la prueba por comparación. 1). Así que la serie dada es divergente NOTA 2 Los términos de la serie que estamos probando deben ser menores que los de una serie convergente, o mayores que los de una serie divergente. Si los términos son más grandes que los términos de una serie convergente, o bien, menores que los de una serie divergente, entonces la prueba por comparación no aplica. Por ejemplo, considere la serie ` 1 2n n 1 1 La desigualdad 1 2 n 1 2n 1 n ( 12 ) es convergente y es inútil en cuanto a la prueba por comparación porque bn n 1 tiene que ser convergente porque an bn. Sin embargo, la impresión es que 1 2 1 n es muy parecida a la serie geométrica convergente ( 2 ) . En tales casos podemos aplicar la prueba siguiente. Suponga que Prueba por comparación del límite Los ejercicios 40 y 41 tratan los casos c y c ฀'. ฀0 an y bn son series con términos positivos. Si lím nl` donde c es un número finito y c divergen. an bn c 0, entonces ambas series convergen o ambas Sean m y M números positivos tales que m cercano a c para n grande, existe un entero N tal que DEMOSTRACIÓN y por tanto c m an bn M cuando n N mbn an Mbn cuando n N M. Como an bn está Si bn es convergente, también lo es Mbn . Así an es convergente según el inciso i) por la prueba por comparación. Si bn diverge también mbn es divergente y por el inciso ii) de la prueba por comparación an diverge. ` EJEMPLO 3 Pruebe si la serie n 1 1 2n 1 es convergente o divergente. SOLUCIÓN Usamos la prueba por comparación del límite con an 1 2 n bn 1 1 2n y obtenemos lím nl` an bn lím nl` 1 2n 1 1 2n lím nl` 2n 2 n 1 lím nl` 1 1 1 2n 1 0 SECCIÓN 11.4 PRUEBAS POR COMPARACIÓN 725 Puesto que existe este límite y 1 2n es una serie geométrica convergente, la serie dada converge de acuerdo con la prueba por comparación del límite. EJEMPLO 4 ` Determine si la serie n 1 2n 2 s5 3n es convergente o divergente. n5 SOLUCIÓN La parte dominante del numerador es 2n2 y la parte dominante del denominador es sn 5 n 5 2. Esto sugiere efectuar an lím nl` an bn 2n 2 s5 lím nl` bn 2n 2 n5 2 n1 2 2 lím 3n n5 2n 2 s5 3n n5 3 n 2 lím nl` 2 5 n5 nl` 2 n1 2 2n 5 2 2s5 2 0 2s0 1 3n 3 2 n5 1 1 Puesto que bn฀ ฀2 1 n1 2 es divergente (es una serie p con p diverge de acuerdo con la prueba por comparación del límite. 1 2 1), la serie dada Observe que al probar muchas series encontramos una serie de comparación adecuada bn conservando sólo las potencias más altas en el numerador y en el denominador. ฀ Estimación de sumas Si hemos usado la prueba por comparación para demostrar que una serie an es convergente por comparación con una serie bn , entonces se puede hacer una estimación de la suma an al comparar los residuos. Como en la sección 11.3, consideremos el residuo Rn s En cuanto a la serie de comparación Tn t sn an 1 an 2 bn consideremos el residuo correspondiente tn bn 1 bn 2 Puesto que an bn para toda n, tenemos Rn Tn . Si bn es una serie p, podemos estimar su residuo Tn como en la sección 11.3. Si bn es una serie geométrica, entonces Tn es la suma de una serie geométrica y podemos sumarla exactamente (véanse ejercicios 35 y 36). En cualquier caso, sabemos que Rn es menor que Tn. v Con la suma de los primeros 100 términos aproxime la suma de la serie 1). Estime el error involucrado en esta aproximación. EJEMPLO 5 1 (n3 SOLUCIÓN Como 1 n 3 1 1 n3 la serie dada es convergente de acuerdo con la prueba por comparación. El residuo Tn para la serie de comparación 1 n3 ya lo hemos estimado en el ejemplo 5 de la sección 11.3 por medio de la estimación del residuo por la prueba de la integral. Allí encontramos que Tn y ` n 1 dx x3 1 2n 2 726 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Por tanto, el residuo Rn de la serie dada cumple con Rn Con n 100 tenemos 1 2 100 R100 1 2n 2 Tn 0.00005 2 Con una calculadora programable o una computadora, resulta que 100 1 n 1 n 3 1 n 1 1 n 3 1 0.6864538 con un error menor que 0.00005. Ejercicios 11.4 1. Supongamos que an y bn son series con términos positivos y que se sabe que bn es convergente. a) Si an bn para toda n, ¿qué podemos decir respecto a an? ¿Por qué? b) Si an bn para toda n, ¿qué podemos decir respecto a an? ¿Por qué? 2. Suponga que an y bn son series con términos positivos y que se sabe que bn es divergente. a) Si an bn para toda n, ¿qué podemos decir de an? ¿Por qué? b) Si an bn para toda n, ¿qué podemos decir respecto a an? ¿Por qué?
n 1
5. n 1 2n n 1
9. k 1 1 k 1
13. n 1 9 3 n 1 n 1
19. n 1 n 1 8. n n 1
10. k 1 3 k s 4k sk 3 arctan n n 1.2 3n k 1 n n 2 16. 2 n 1 2 1 4n 3n n 1
20. n 1 n 1 5
sn 4 1 n3 n2 26. 1 n 1 n 1 n 1
n 2
2 e 28. n n 1
1 n! 30. n 1
1 n sen n 1 32. n 1 2 1 3 n n n 3 24.
n2 n 5n 3 1 n 1 n sn 2 1 e1 n n n! nn 1 n1 1 n 33-36 Mediante la suma de los primeros 10 términos, obtenga un valor aproximado de la suma de la serie. Estime el error. 1
k sen2 k 1 k3 33. n 1 1 k2 1 k2 2k k
22. 2n n2 2 5 1
31. 6n n sn 2 2n 2 n 1 27. 29. 1 1 42
1 sn 4 34. 1 n 1
35. sen 2 n n3
5 n 36. cos 2 n n 1 n 1 1 3n 4n sn 1 n 37. El significado de la representación decimal de un 1 s3n 4 3
18.
25. n 1 n 2sn
14. n 1 n3
1 1 1 3 1 4n sn
12.
23. n 1 4
10
17.
6. ln k k
15. n 2 n
11. 4. n 1 nsn
7.
n 3 n 1
3-32 Determine si la serie es convergente o divergente. 3.
21. 1 número 0.d1 d2 d3… (donde el dígito di es uno de los números 0, 1, 2, . . ., 9) es que 1 2n n n 3 4n 6n 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 0.d1 d2 d3 d4 . . . d1 10 d2 10 2 d3 10 3 d4 10 4 Demuestre que esta serie siempre es convergente. SECCIÓN 11.5 38. ¿Para qué valores de p la serie 39. Demuestre que si an 0y
n 2 b) Use el inciso a) para demostrar que la serie es divergente. 1 n p ln n es convergente? an converge, entonces
an2 i) también converge. n 2 40. a) Suponga que an y bn son series con términos positivos y bn es convergente. Demuestre que si que 727 SERIES ALTERNANTES
1 ln n ii) n 1 ln n n 42. Proporcione un ejemplo de un par de series an y bn con 0 y bn diverge, términos positivos donde lím n l
a n bn pero an converge. [Compare con el ejercicio 40.] an 0 bn entonces an también es convergente. b) Mediante el inciso a) demuestre que la serie converge. lím nl

i) n 1
ln n n3 ii) n 1 43. Demuestre que si an ln n sn e n an es una serie convergente con términos positivos, ¿es cierto que sen(an) también es convergente? 45. Si an
bn an también es divergente. lím an y bn son series convergentes con términos positivos, ¿es cierto que a n b n también es convergente? 46. Si nl
11.5 0 y an es convergente, entonces an) es convergente. ln(1 an y bn son series con términos positivos y bn es divergente. Demuestre que si entonces an es 44. Demuestre que si an 41. a) Suponga que que 0, entonces 0 y lím n l
na n divergente. Series alternantes Las pruebas de convergencia que se han examinado hasta ahora se aplican sólo a series con términos positivos. En esta sección y en la siguiente, se estudia cómo tratar con series cuyos términos no son necesariamente positivos. De particular importancia son las series alternantes, cuyos términos se alternan en signo. Una serie alternante es una serie cuyos términos son alternadamente positivos y negativos. Aquí hay dos ejemplos: 1 1 2 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7
1 n 1 1 n n 1
n 1 1 n n 1 n De acuerdo con estos ejemplos, el n-ésimo término de una serie alternante es de la forma 1 an n 1 o bien bn 1 nbn an donde bn es un número positivo. (De hecho, bn ฀ ฀an .) La siguiente prueba establece que si los términos de una serie alternante decrecen hacia 0 en valor absoluto, entonces la serie converge. Si la serie alternante Prueba de la serie alternante
1 n 1 bn b1 b2 b3 b4 b5 b6 n 1 cumple con i) ii) bn 1 lím bn nl
entonces la serie es convergente. para toda n bn 0 bn 0 728 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Antes de proporcionar la demostración vea la figura 1, la cual es una representación de la idea en que se apoya la demostración. Primero dibujamos s1 ฀ b1 sobre una recta numérica. Para determinar s2 restamos b2, de modo que s2 está a la izquierda de s1. Luego, para determinar s3 sumamos b3, de modo que s3 está a la derecha de s2. Pero como b3 ฀b2, s3 está a la izquierda de s1. Al continuar de esta manera, observamos que las sumas parciales oscilan hacia atrás y hacia adelante. Puesto que bn l 0, los pasos sucesivos se vuelven más y más pequeños. Las sumas parciales pares s2, s4, s6,. . . se incrementan, y decrecen las sumas parciales impares s1, s3, s5,. . . . Así, parece plausible que ambas converjan en el mismo número s, el cual es la suma de la serie. Por consiguiente, en la demostración siguiente se consideran por separado las sumas parciales pares e impares. b¡ +b£ +b∞ s™ 0 FIGURA 1 s¢ sß -b™ -b¢ -bß s∞ s DEMOSTRACIÓN DE LA PRUEBA DE LA SERIE ALTERNANTE s£ s¡ Primero consideramos las sumas parciales pares: En general s2n s2 b1 b2 0 s4 s2 b3 b4 s2n Por esto 2 b2n 0 b2n 1 s2 s2 s4 s2n 2 s6 puesto que b2 b1 puesto que b4 b3 puesto que b2n b2n 1 s2n Pero también podemos escribir s2n b1 b2 b3 b4 b5 b2n 2 b2n 1 b2n Todos los términos entre paréntesis son positivos, de modo que s2n b1 para toda n. Por tanto, la sucesión s2n de las sumas parciales pares se incrementa y está acotada por arriba. Debido a eso, de acuerdo con el teorema de la sucesión monótona es convergente. Llamemos s a su límite, es decir, lím s2n s nl
Ahora calculemos el límite de las sumas parciales impares: lím s2n nl
1 lím s2n nl
lím s2n nl
s 0 b2n 1 lím b2n nl
1 [según la condición ii)] s Puesto que tanto la suma parcial par como la suma parcial impar convergen a s, tenemos lím n l
sn s (véase el ejercicio 92a) de la sección 11.1), por lo que la serie es convergente. SECCIÓN 11.5 En la figura 2 se ilustra el ejemplo 1; se muestran las gráficas de los términos an ( 1)n 1 n y las sumas parciales sn. Observe cómo los valores de sn van en zigzag dentro del límite, el cual al parecer está alrededor de 0.7. De hecho, la suma exacta de la serie es ln 2 0.693 (véase ejercicio 36). v EJEMPLO 1 SERIES ALTERNANTES 729 La serie armónica alternante 1 1 2 1 3 1 bn
1 4 1n n n 1 1 cumple con i) bn 1 hsn j 1 lím nl
n ii) lím bn nl
1 porque 1 n 1 n 0 de modo que la serie es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante. ha n j 0 n v
EJEMPLO 2 La serie n 1 1 n 3n es alternante pero 4n 1 lím bn lím nl
nl
3n 4n 1 3 lím nl
1 n 4 FIGURA 2 3 4 por lo que la condición ii) no se cumple. En cambio, veamos el límite del n-ésimo término de la serie: lím a n lím nl
nl
1 n 3n 4n 1 Este límite no existe, de modo que la serie es divergente de acuerdo con la prueba de la divergencia.
Pruebe si la serie n2 es convergente o divergente. n3 1 SOLUCIÓN La serie dada es alternante, de modo que tratemos de comprobar las condiciones i) y ii) de la prueba de la serie alternante. A diferencia de la situación en el ejemplo 1, no es obvio que la sucesión dada por bn n2 (n3 1) sea decreciente. Sin embargo, si consideramos la función relacionada f (x) x2 (x3 1), encontramos que EJEMPLO 3 1 n 1 n 1 x 2 x3 f x En lugar de verificar la condición i) de la prueba de la serie alternante calculando una derivada, puede comprobar que bn 1 ฀bn directamente usando la técnica de la solución 1 del ejemplo 13 de la sección 11.1. x3 12 3 2. Puesto que se consideran sólo x positivas, f (x) 0 si 2 x3 0, es decir, x s 3 De esta manera, f es decreciente sobre el intervalo (s2 ,
). Esto significa que f (n 1) f (n) y, por tanto, bn 1 ฀bn cuando n 2. (La desigualdad b2 ฀b1 se puede comprobar de manera directa, pero lo que realmente importa es que la sucesión bn decrece con el tiempo.) La condición ii) se comprueba rápidamente lím bn nl
lím nl
n n3 1 n 2 1 lím nl
1 1 n3 0 Así, la serie es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante. 730 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS ฀ Estimando sumas Una suma parcial sn de cualquier serie convergente se puede usar como una aproximación a una suma total s, pero no se recurre mucho a esto, a menos que se estime la exactitud de la aproximación. El error involucrado al usar s sn es el residuo Rn ฀s sn . El teorema siguiente establece que para las series que cumplen con la condición de la prueba de la serie alternante, el tamaño del error es menor que bn 1 , lo cual es el valor absoluto del primer término ignorado. Si s Teorema de estimación para series alternantes Desde el punto de vista de la geometría podemos ver por qué el teorema de estimación para series alternantes es verdadero al examinar la figura 1 (en la página 728). Observe que s s4 b5, ฀s s5 b6 y así sucesivamente. Note también que s queda entre dos sumas parciales consecutivas. ( 1)n 1bn es la suma de una serie alternante que cumple con i) bn entonces ii) lím bn y bn 1 Rn 0 nl
s sn bn 1 Sabemos de la demostración para la prueba de series alternantes que s queda entre dos sumas parciales consecutivas sn y sn 1. (Ya hemos demostrado que s es mayor que todas las sumas parciales pares. Un argumento similar demuestra que s es menor que todas las sumas impares.) Se infiere que DEMOSTRACIÓN s Por definición, 0! 1 v sn sn Calcule la suma de la serie EJEMPLO 4 cifras decimales. sn 1
bn 1 n! n 0 n 1 con una aproximación de tres SOLUCIÓN Primero observamos que la serie es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante porque i) 1 1 n! n 1 1! n 1 n! ii) 0 1 n! 1 1 l 0 por tanto l 0 cuando n l
n n! Para ver cuántos términos necesitamos usar en nuestra aproximación, escribamos los primeros términos de la serie 1 0! s 1 1! 1 1 2 1 Observe que y 1 2! 1 6 1 1 1 4! 1 24 1 2 1 6 1 5! 1 120 1 5 040 b7 s6 1 3! 1 720 1 5 000 1 24 1 6! 1 7! 1 5 040 0.0002 1 120 1 720 0.368056 De acuerdo con el teorema de la estimación de la serie alternante, se sabe que En la sección 11.10 se demuestra que n
ex n 0 x n! para toda x, de modo que el resultado del ejemplo 4 es en realidad una aproximación al número e 1. s s6 b7 0.0002 Este error de menos de 0.0002 no afecta la tercera cifra decimal, de modo que tenemos s 0.368 que es correcta hasta la tercera cifra decimal. SECCIÓN 11.5 SERIES ALTERNANTES 731 NOTA La regla de que el error (al usar sn para aproximarse a s) es menor que el primer término ignorado es en general válida sólo para series alternantes que cumplen con las condiciones del teorema de la estimación de la serie alternante. La regla no se aplica a otros tipos de series. Ejercicios 11.5 1. a) ¿Qué es una serie alternante?
b) ¿En qué condiciones una serie alternante converge? c) Si estas condiciones se cumplen, ¿qué puede decir con respecto al residuo después de n términos? 2-20 Pruebe las series para ver si son convergentes o divergentes. 2. 2 3 2 5 2 7 2 5 3. 4 6 1 4. s2 1 n 1 6 7 8 8 1 s4 2n 1 1 s5 n n 1
n 1 1 ln n 8. 1 1 ne 10. n n 1 sn 3
11. 1 n3 n 1 4 12. n 1 n 1 ne 1 14. n 1 2 n e n 1
15. n 0 sen (n )p 1 sn p
17. 1 n sen n 1
19. 1 n 1 n nn n! n 1n 10 n! ( error 0.000005) 16. n 1 n 1
n 1 p n 1 0.01)
1n n6 28. n 1
30. n 1 1 1n 3 n! n
20. 1 n (sn 1 sn ) 32-34 ¿Para qué valores de p es convergente cada serie? n 1 21-22 Grafique las sucesiones de términos y la sucesión de sumas parciales en la misma pantalla. Utilice la gráfica para hacer una estimación de la suma de las series. Después utilice el teorema de la estimación de las series alternantes para estimar la suma con una aproximación de cuatro decimales. n 1 error 1 n 1 n una sobreestimación o una subestimación de la suma total? Explique. 1n np n 1 21. (
n 1 n
0.8 n! n 31. ¿Es la 50a. suma parcial s50 de la serie alternante 32.
ne 1 n 1 n2 10 n 29. n cos n p 2n 1 n cos n 1 1n 2n ! n 1 arctan n
18. 1
1
n 27. n 1 1 2 0.0001) 27-30 Obtenga un valor aproximado de la suma de la serie con una aproximación de cuatro cifras decimales. n
13. error n 1 n 1
( 26.
n2 n 1 0.00005) error
2 sn 2n 3 1 n 1 ( n n
9. 25. n 0 n 1

4 1 1n n 5n n 1 n 1
1 1 1n n6 24. 6. 3n 2n 23-26 Demuestre que la serie es convergente. ¿Cuántos términos de la serie necesitamos sumar para determinar la suma con la exactitud señalada? n 1 1 s6 n 8n n 1 n 1 23.
1 1
10 9 n 1
7. 2 11 1 s3
5. 2 9 22. n Se requiere calculadora graficadora o computadora
33. n 1 1 n 1
n p 35. Demuestre que la serie 34. 1 n 2 n 1 ln n n p ( 1)n 1bn, donde bn 1 n si n es impar y bn 1 n2 si n es par, es divergente. ¿Por qué no aplica la prueba de la serie alternante? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 732 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS b) Según el ejercicio 44 de la sección 11.3 tenemos hn ln n l cuando n l y, por tanto, 36. Siga los pasos siguientes para demostrar que
n 1 1 ln 2 n Sean hn y sn las sumas parciales de las series armónica y armónica alternante. a) Demuestre que s2n h2n hn. n 1 11.6 cuando n l h2n ln(2n) l Apoyándose en estos hechos y el inciso a), demuestre que s2n l ln 2 cuando n l . Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz Dada una serie an, podemos considerar las series correspondientes
an a1 a2 a3 n 1 cuyos términos son los valores absolutos de los términos de la serie original. Hay pruebas para la convergencia para series con términos positivos y para series alternantes. Pero, ¿y si los signos de los términos cambian de manera irregular? En el ejemplo 3, se observa que la idea de la convergencia absoluta ayuda algunas veces en tales casos. 1 Definición Una serie an es llamada absolutamente convergente si la serie de valores absolutos ฀an ฀ es convergente. Observe que si an es una serie con términos positivos, entonces ฀an ฀ ฀an y por, tanto, la convergencia absoluta es lo mismo que la convergencia en este caso. EJEMPLO 1 La serie
1n n2 n 1 1 1 1 22 1 32 1 42 1 n2 1 1 22 1 32 es absolutamente convergente porque
n 1 1n n2
1 n 1 es una serie p convergente (p EJEMPLO 2 1 42 2). Ya sabemos que la serie armónica alternante
n 1 1n n 1 1 1 2 1 3 1 4 es convergente (véase ejemplo 1 de la sección 11.5), pero no es absolutamente convergente porque la serie correspondiente de valores absolutos es
n 1 1n n 1
n 1 que es la serie armónica (serie p con p 1 n 1 1 2 1 3 1 4 1) y, por tanto, es divergente. SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 733 2 Definición Una serie an se llama condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente. En el ejemplo 2 se muestra que la serie armónica alternante es condicionalmente convergente. Así, es posible que una serie sea convergente, pero no absolutamente convergente. Sin embargo, el teorema siguiente muestra que la convergencia absoluta implica convergencia. 3 Si una serie Teorema an es absolutamente convergente, entonces es conver- gente. Observe que la desigualdad DEMOSTRACIÓN 0 an 2 an an es cierta porque ฀an es an o bien, an . Si an es absolutamente convergente, entonces ฀an es convergente, así que 2 ฀an es convergente. Por tanto, según la prueba de la comparación, (a n a n ) es convergente. Entonces (a n an an ) an es la diferencia de dos series convergentes y, por tanto, convergente. v EJEMPLO 3 Determine si la serie
n 1 cos 1 12 cos n n2 cos 2 22 cos 3 32 es convergente o divergente. En la figura 1 se ilustran las gráficas de los términos an y las sumas parciales sn de la serie del ejemplo 3. Observe que la serie no es alternante, pero tiene términos positivos y negativos. SOLUCIÓN Esta serie posee términos tanto positivos como negativos, pero no es alternante. (El primer término es positivo, los siguientes tres son negativos, y los otros tres que siguen son positivos. Los signos no siguen un patrón regular.) Podemos aplicar la prueba de comparación a la serie de valores absolutos
0.5 n 1 hsn j Puesto que ฀cos n FIGURA 1 n
n 1 cos n n2 1 para toda n, entonces cos n n2 ha n j 0 cos n n2 1 n2 Sabemos que 1 n2 es convergente (serie p con p 2) y, por tanto, ฀cos n n2 es convergente según la prueba por comparación. De esta manera, la serie dada (cos n) n2 es absolutamente convergente y, debido a eso, convergente de acuerdo con el teorema 3. La prueba siguiente es muy útil para determinar si una cierta serie es absolutamente convergente. 734 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Prueba de la razón
an 1 L 1, entonces la serie a n es absolutamente convergente nl
an n 1 (y, por tanto, convergente). i) Si lím an 1 nl
an es divergente. ii) Si lím
an 1 an 1, o bien, lím L nl

, entonces la serie an n 1 an 1 1, la prueba de la razón no es concluyente; es decir, nl
an no se puede sacar conclusión alguna con respecto a la convergencia o a la divergencia de a n . iii) Si lím DEMOSTRACIÓN L i) La idea es comparar la serie dada con una serie geométrica convergente. Puesto que 1, podemos elegir un número r tal que L r 1. Como lím nl
la razón ฀an 1 an 1 an y L r L an eventualmente será menor que r; es decir, existe un entero N tal que an 1 an r siempre que n N o, equivalentemente 4 an siempre que n an r 1 Al hacer n sucesivamente igual a N, N 1, N N 2, . . . en 4 , se obtiene aN 1 aN r aN 2 aN 1 r aN r 2 aN 3 aN 2 r aN r 3 y, en general, 5 aN aN r k k para toda k 1 Ahora la serie
aN r k aN r aN r 2 aN r 3 k 1 es convergente porque es una serie geométrica con 0 r 1. De modo que la desigualdad 5 junto con la prueba de la comparación demuestra que la serie

an n N 1 aN k 1 k aN 1 aN 2 aN 3 SECCIÓN 11.6 735 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ también es convergente. Se infiere que la serie n
1 a n es convergente. (Recuerde que una cantidad finita de términos no afecta la convergencia.) Por tanto, an es absolutamente convergente. ii) Si a n 1 a n l L 1, o bien, a n 1 a n l
, entonces la razón ฀an 1/an eventualmente será mayor que 1; es decir, existe un entero N tal que an 1 an Esto significa que ฀an 1 siempre que n ฀an siempre que n 1 N y de este modo, 0 lím a n nl
En consecuencia, N an es divergente según la prueba para la divergencia. NOTA La parte iii) de la prueba de la razón establece que si lím n l
a n 1 a n prueba no proporciona información. Por ejemplo, en cuanto a la serie convergente tenemos 1, la 1 n2 1 an 1 an 1 n n2 2 1 n2 1 1 n mientras que para la serie divergente 2 1 n 1 2 l1 cuando n l 1 n tenemos 1 an 1 an La prueba de la razón generalmente es concluyente si el n-ésimo término de la serie contiene un exponencial o factorial, como vimos en los ejemplos 4 y 5. 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1, la serie an podría ser convergente o divergente. En Por tanto, si lím n l
a n 1 a n este caso, la prueba de la razón no funciona, por lo que debemos aplicar otra prueba.
EJEMPLO 4 Pruebe si la serie 1 n n 1 n3 es absolutamente convergente. 3n SOLUCIÓN Aplique la prueba de la razón con an Estimación de sumas En las tres últimas secciones usamos varios métodos para estimar la suma de una serie, y el método depende de cuál prueba se usaba para demostrar la convergencia. ¿Qué sucede con las series para las cuales sí funciona la prueba de la razón? Hay dos posibilidades: si la serie es alternante, como en el ejemplo 4, entonces es mejor aplicar los métodos de la sección 11.5. Si todos los términos son positivos, entonces aplicamos los métodos especiales que se explican en el ejercicio 38. cuando n l l1 an 1 an | 1 1 3 n n 1 1 n 3 3n 1 1 nn 3 3n 1 n 3 1 3 ( 1)nn3 3n: | 1 n 3 1 3 3n n3 n 1 1 n 3 l 1 3 1 De esta manera, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada es absolutamente convergente y, en consecuencia, convergente. 736 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
v EJEMPLO 5 Pruebe la convergencia de la serie n 1 SOLUCIÓN Puesto que los términos an nn . n! n n! son positivos, no necesitamos los signos n del valor absoluto. 1n 1 1! n n an 1 an n! nn 1 n 1 n 1 n! n n! nn n 1 n n n (Véase ecuación 3.6.6.) Puesto que e de la razón. n 1 n 1 cuando n l
le 1, la serie dada es divergente según la prueba NOTA Aunque la prueba de la razón funciona en el ejemplo 5, un método más fácil es usar la prueba de la divergencia. Como nn n! an n n n 1 2 3 n n n se infiere que an no tiende a 0 cuando n l . Por tanto, la serie dada es divergente según la prueba para la divergencia. Es conveniente aplicar la siguiente prueba cuando hay potencias n-ésimas. Su demostración es similar a la de la prueba de la razón y se deja para el ejercicio 41. Prueba de la raíz
n i) Si lím s an nl
L a n es absolutamente convergente 1, entonces la serie n 1 (y, por tanto, convergente).
n ii) Si lím s an nl
n iii) Si lím s an nl
L n 1 o lím s an
, entonces la serie nl
a n es divergente. n 1 1 , la prueba de la raíz no es concluyente. n an 1, entonces el inciso iii) de la prueba de la raíz establece que la Si lím n l
s prueba no proporciona información. La serie an podría ser convergente o divergente. (Si L 1 en la prueba de la razón, no intente con la prueba de la raíz porque L será otra vez 1. Y si L 1 en la prueba de la raíz, no intente la prueba de la razón porque también fallará.) 2n 3 n v EJEMPLO 6 Pruebe la convergencia de la serie . 3n 2 n 1 SOLUCIÓN an n an s 2n 3n 2n 3n 3 2 3 2 n 2 3 3 n 2 l 2 3 n Así, la serie dada converge según la prueba de la raíz. 1 SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ 737 ฀ Reordenamientos La pregunta de si una serie dada que es convergente es absolutamente convergente o condicionalmente convergente, tiene relación con la pregunta si las sumas infinitas se comportan como las sumas finitas. Naturalmente, si reordenamos los términos en una suma finita, entonces el valor de la suma no cambia. Pero esto no siempre sucede en las series infinitas. Con reordenamiento de una serie infinita an se da a entender una serie obtenida simplemente al cambiar el orden de los términos. Por ejemplo, un reordenamiento de an podría empezar como sigue: a1 a2 a5 a3 a4 a 15 a6 a7 a 20 Resulta que si an es una serie absolutamente convergente con suma s, entonces cualquier reordenamiento de an tiene la misma suma s. Sin embargo, cualquier serie condicionalmente convergente se puede reordenar, con lo cual la suma será distinta. Para ilustrar este hecho considere la serie armónica alternante 6 1 2 1 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 ln 2 1 (Véase ejercicio 36 en la sección 11.5.) Si multiplicamos la serie por 2, obtenemos 1 4 1 2 1 6 1 8 1 2 ln 2 Si insertamos ceros entre los términos de esta serie, tenemos Sumar ceros no afecta la suma de la serie; cada uno de los términos de la sucesión de sumas parciales se repite, pero el límite es el mismo. 7 0 1 2 1 4 0 1 6 0 0 1 8 1 2 ln 2 Ahora sumamos la serie de las ecuaciones 6 y 7 usando el teorema 11.2.8: 8 1 1 3 1 2 1 5 1 7 1 4 3 2 ln 2 Observemos que la serie en 8 consta de los mismos términos que en 6 , pero reordenados de modo que haya un término negativo después de cada par de términos positivos. Pero las sumas de estas series son diferentes. De hecho, Riemann demostró que si an es una serie condicionalmente convergente y r es cualquier número real, entonces hay un reordenamiento de an que tiene una suma igual a r. Una demostración de este hecho se plantea en el ejercicio 44. 11.6 Ejercicios 1. ¿Qué puede decir acerca de la serie an en cada uno de los casos siguientes? a) lím nl
an 1 an
5. n 0 8 b) lím nl
an 1 an 0.8 1 5n
n 6. 1 n 0

k( 3 ) 2 k 7. 8. k 1 c) lím nl
an 1 an 1
9. 2-30 Determine si la serie es absolutamente convergente, 2. n 1
3. n 1 2 n2 n 5n 1 n 1 condicionalmente convergente o divergente.
n 1
n 1
4. 1 n 1 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
n n 1 n 2 4 13. n 1 1.1 n4 n 10 n 1 4 2n 2n 10. n! 100 n 1 n n 1
12. n 1
1 14. n 1 n 1!
n 1 n e1 n n3 11. n n 3 n sn 3 2 sen 4n 4n n 10 10 n 1 738 CAPÍTULO 11
n 1
n 2
19. n 1
18. n 1 2
23. n 1 n 100 100 n! n 1

n 1 n 2 5 2 6 5 8
2 4 6 n 37. a) Demuestre que x n n! converge para toda x. b) Deduzca que lím n l
x n n! 0 para toda x. 5n an una serie con términos positivos y sea rn an 1 an . Suponga que lím n l
rn L 1, de modo que an es convergente según la prueba de la razón. Como es lo usual, sea Rn el residuo después de n términos, es decir,
1 Determine si 32. Una serie 3n 2 Determine si 5n 4n 1 an 2 1 an 3 cos n 1 sn n 1 41. Demuestre la prueba de la raíz. [Sugerencia para inciso i): tome cualquier número r tal que L r n an de que hay un entero N tal que s descubrió la fórmula 1 Determine si la serie dada es absolutamente convergente.

1 n n! bnn cos n 33. 34. n n bn n 1 n 1 n b1 b 2 b 3 35. ¿Para cuáles de las series siguientes la prueba de la razón no es concluyente (es decir, no proporciona una respuesta definida)? a) n 1
c) n 1 b) n 1 3 sn n 2n
n 1 d) n 1 1 1 y utilice el hecho r siempre que n N.] 42. Hacia 1910, Srinivasa Ramanujan, matemático de la India, an an converge o diverge.
n 2n Aplique el ejercicio 38 para estimar el error. 1 1 n3
n 1 aproximado de la suma de la serie 33-34. Sea bn una sucesión de números positivos que converge a 2.
1 40. Use la suma de los primeros 10 términos para obtener un valor an es convergente o divergente. 1 1 rn an 1 1 L
an 1, demuestre con 1 1 n2 n . Con ayuda del ejercicio 38 estime el error al usar s5 como una aproximación a la suma de la serie. b) Determine un valor de n de tal modo que sn no difiera 0.00005 de la suma real. Use este valor de n para obtener un valor aproximado de la suma de la serie. an está definida por las ecuaciones a1 3 39. a) Calcule la suma parcial s5 de la serie mediante las ecuaciones 2 an 1 Rn 31. Los términos de una serie se definen en forma recursiva a1 an 2 b) Si rn es una sucesión creciente, demuestre que 2 6 10 14 5 8 11 14 5 8 11 n 1 an Rn 2 n n! n 1 a) Si rn es una sucesión decreciente y rn la suma de una serie geométrica que n! 30. an Rn 2 2n n! 2n n 1
n 0 38. Sea 1 3 5 1 3 5 7 5! 7! 1 3 5 2n 1 1 2n 1 ! 2 6 10 5 8 11 n! 2 kn ! n 1 2n ! n! 2 n 1 26.
2n n 1 n 2 n 1 29.
22. 24. 1 3 3! 27. 1 2 nn n 1 n2 1 n 1 convergente? n! nn
n 36. ¿Para cuáles enteros positivos k la serie siguiente es 3 cos n n2 3 2 20. 1 1 n 2n 2 n 1 28. n 1 cos n p 3 n! 21. 25. 16. 1n ln n


1 n arctan n n2 15. 17. SUCESIONES Y SERIES INFINITAS sn n2 2 s2
4n ! 1 103 26 390n 9 801 n 0 n! 4 396 4n William Gosper utilizó esta serie en 1985 para calcular los primeros 17 millones de dígitos de ). a) Verifique que la serie es convergente. b) ¿Cuántos lugares decimales correctos de ) obtiene el lector si usa sólo el primer término de la serie? ¿Qué pasa si usa dos términos? an , definimos una serie an cuyos términos son todos positivos de an y una serie an cuyos términos son todos negativos de an . Para ser específicos, sea 43. Dada cualquier serie an an an 2 an an an 2 SECCIÓN 11.7 Observe que si an 0, entonces an an y an an, mientras que si an 0, entonces an an y an 0. a) Si an es absolutamente convergente, demuestre que tanto la serie an como la an son convergentes. b) Si an es condicionalmente convergente, demuestre que tanto la serie an como la an son divergentes. 739 positivos an de modo que su suma sea mayor que r. Luego sume sólo suficientes términos negativos an para que la suma acumulativa sea menor que r. Continúe así y aplique el teorema 11.2.6.] 45. Suponga que la serie an es condicionalmente convergente. a) Demuestre que la serie n2an es divergente. b) La convergencia condicional de an no es suficiente para determinar si nan es convergente. Demuestre esto dando un ejemplo de una serie condicionalmente convergente tal que nan converge y un ejemplo donde nan diverge. 44. Demuestre que si an es una serie condicionalmente convergente y r es cualquier número real, entonces hay un reordenamiento de an cuya suma es r. [Sugerencias: utilice la notación del ejercicio 43. Tome sólo suficientes términos 11.7 ESTRATEGIA PARA PROBAR SERIES Estrategia para probar series Ya tenemos varias maneras de probar la convergencia o divergencia de una serie; ahora el problema es decidir cuál prueba aplicar en cada serie. En este aspecto, probar series es parecido a integrar funciones. No hay reglas rígidas y rápidas con respecto a qué prueba aplicar a una serie dada, pero puede seguir las recomendaciones siguientes, que le pueden ser útiles. No es prudente aplicar una lista de pruebas en un orden específico hasta que una funcione. Eso sería un desperdicio de tiempo y esfuerzo. En lugar de eso, al igual que en la integración, la estrategia principal es clasificar las series de acuerdo con su forma. 1. Si la serie es de la forma convergente si p 1 n p, es una serie p, lo cual significa que es 1 y divergente si p 1. 2. Si la serie es de la forma ar n 1 o ar n, es una serie geométrica, la cual converge si ฀r 1 y diverge si ฀r 1. Se podrían requerir algunas operaciones algebraicas para hacer que la serie adquiera esta forma. 3. Si la serie posee una forma similar a la de una serie p o a una serie geométrica, entonces se debe considerar una de las pruebas por comparación. En particular, si an es una función racional o una función algebraica de n (es decir, que contiene raíces de polinomiales), entonces la serie se debe comparar contra una serie p. Observe que la mayoría de las series de los ejercicios 11.4 poseen esta forma. (El valor de p se debe escoger como en la sección 11.4, y conservar sólo las potencias más altas de n en el numerador y en el denominador.) Las pruebas por comparación se aplican sólo en series con términos positivos, pero si an tiene algunos términos negativos, entonces podemos aplicar la prueba por comparación a an y probar si hay convergencia absoluta. 4. Si es fácil ver que lím n l
a n 0, entonces se debe aplicar la prueba para la divergencia. 5. Si la serie es de la forma ( 1)n 1bn , o bien, obvia es la prueba de la serie alternante. ( 1)nbn , entonces una posibilidad 6. Las series que contienen factoriales u otros productos (incluso una constante elevada a una potencia n-ésima) se prueban en forma aceptable usando la prueba de la razón. Siempre piense que an 1 an l 1 cuando n l para todas las series p y, por tanto, todas las funciones racionales o algebraicas de n. En estas condiciones, la prueba de la raíz no se debe aplicar para dichas series. 7. Si an es de la forma (bn)n, entonces la prueba de la raíz podría ser útil. ฀f (n), donde x1
f x dx se puede evaluar con facilidad, entonces la prueba de la integral es efectiva (suponiendo que la hipótesis de esta prueba se cumple). 8. Si an 740 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS En los ejemplos siguientes no se presenta todo el desarrollo, sino que simplemente se indica qué prueba se debe usar.
v n 1 Puesto que a n l
EJEMPLO 2 n 1 1 1 n 2n EJEMPLO 1 1 2 0 cuando n l , debe usar la prueba para la divergencia. sn 3 1 3n 3 4n 2 2 Como an es una función algebraica de n, compare la serie dada con la serie p. La serie de comparación para la prueba de comparación en el límite es bn, donde sn 3 3n 3 bn n3 2 3n 3 1 3n 3 2
v n2 ne EJEMPLO 3 n 1 Puesto que la integral x1
xe x dx se evalúa con facilidad, use la prueba de la integral. La prueba de la razón también funciona. 2
EJEMPLO 4 n3 n 1 n4 n 1 1 Como la serie es alternante, aplique la prueba de la serie alternante.
v EJEMPLO 5 k 1 2k k! Como la serie contiene k!, se aplica la prueba de la razón.
1 EJEMPLO 6 n 1 2 3n La serie está estrechamente relacionada con la serie geométrica aplica la prueba por comparación. 1 3n, por lo que se Ejercicios 11.7 1-38 Pruebe si las series son convergentes o divergentes.

1. n 1
1
3. n n 1 5. n 1
7. n 2 2
2 4. n 1 nsln n n 1
8. k 1 k 1 n2 k 10. 2n n 1 2 k 1 1 2 k k! k 2!
17. n 1 1 n3 n3 18. n 2
1 3n 12. k 1
3n n2 n! 14. n 1 2 k 13k kk 1 sn
1 16. n 1 1 3 5 2 5 8
n 2e n 1
13. 15. 1
k 2e n 1


9. 1 6. 11. n n n n 1 n 1 n 2 5 1 n 2n n 1 n n 1
2. 3n n 2n n 1 1 2n 3n 1 1 1 ksk 2 sen 2 n 1 2n n2 n3 1 1 1 SECCIÓN 11.8
19. 1 n n 1
ln n sn 20. k 1

21. 22. 1 n cos 1 n 2 n 1 k 1

23. 3 k s k (sk n 1 29. n 1
1 sen k 2 k 1 n sen 1 n 33.
n! 2 en n2 35. 25. n 1 26. n 1 5n n 1 n 1 n2 1

k ln k k 13 27. k 1 28. n 1 (s2 37. e1 n n2 n 2 1) n 1 n cos2 n 1 ln n 36. 1 1 n

n n n 1 5 j
34. 1 n n! n 4n 32. 4k n
1
n j 1 j 1 k 3k n 1 n 1
5 31. 30. 741 sj
1n cosh n
24. tan 1 n
1 1) SERIES DE POTENCIAS ln n
n (s2 38. 1) n n 1 n 1 Series de potencias 11.8 Una serie de potencias es una serie de la forma
1 cn x n c0 c2 x 2 c1 x c3 x 3 n 0 donde x es una variable y las cn son constantes llamados coeficientes de la serie. Para cada x fija, la serie 1 es una serie de constantes que podemos probar para ver si son convergentes o divergentes. Una serie de potencias podría ser convergente para algunos valores de x y ser divergente para otros. La suma de la serie es una función f x Series trigonométricas Una serie de potencias es una serie en la cual cada uno de los términos es una función potencia. Una serie trigonométrica c0 c2 x 2 c1 x cn x n cuyo dominio es el conjunto de todas las x para las cuales la serie converge. Observe que f es análoga a una función polinomial. La única diferencia es que f tiene un infinito de términos. Por ejemplo, si tomamos cn 1 para toda n, la serie de potencias se transforma en una serie geométrica
xn 1 x x2 xn n 0
a n cos nx bn sen nx n 0 es una serie cuyos términos son funciones trigonométricas. Este tipo de serie se analiza en el sitio web que es convergente cuando 1 x 1 y es divergente cuando ฀x 11.2.5.) Más generalmente, una serie de la forma
www.stewartcalculus.com Haga clic en Additional Topics y luego en Fourier Series. 1. (Véase ecuación 2 cn x a n c0 c1 x a c2 x a 2 n 0 se denomina serie de potencias en (x a), o bien, serie de potencias centrada en a, o también, serie de potencias en torno a a. Observe que al escribir el término correspondiente a n 0 en las ecuaciones 1 y 2, se ha adoptado la convención de que (x a)0 1 aun cuando x a. Asimismo, note que cuando x a todos los términos son 0 para n 1 y de este modo la serie de potencias 2 siempre es convergente cuando x a. v EJEMPLO 1
¿Para qué valores de x la serie n!x n es convergente? n 0 SOLUCIÓN Utilizamos la prueba de la razón. Sea an, como se acostumbra, el n-ésimo término de la serie, entonces an n! xn . Si x 0, tenemos Nótese que n 1! n 1nn n 1 n! 1 ... 3 2 1 lím nl
an 1 an lím nl
n 1 !xn n! x n 1 lím n nl
1 x
742 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Según la prueba de la razón, la serie es divergente cuando x converge sólo cuando x 0. v
¿Para qué valores de x la serie EJEMPLO 2 (x n es convergente? n n 1 SOLUCIÓN Sea an 3 x 0. Así, la serie dada 3)n n. Entonces an 1 an 3 x n 1 n 1 1 n 1 3 l x x 1 n n 3 x cuando n l 3 De acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada es absolutamente convergente y, por tanto, convergente cuando ฀x 3 1 y divergente cuando ฀x 3 1. Ahora x 3 1 &? 1 3 x 1 &? 2 x 4 National Film Board of Canada de modo que la serie converge cuando 2 x 4 y diverge cuando x 2 o bien x 4. La prueba de la razón no proporciona información cuando ฀x 3 1 de modo que debemos considerar x 2 y x 4 por separado. Si ponemos x 4 en la serie, resulta 1 n, la serie armónica, la cual es divergente. Si x 2, la serie es ( 1)n n, la cual es convergente de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por tanto, la serie de potencias dada converge para 2 x 4. Veremos que el uso principal de las series de potencias es proporcionar una manera de representar algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química. En particular, la suma de la serie de potencias del ejemplo siguiente se llama función de Bessel, en honor al astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846), y la función dada en el ejercicio 35 es otro ejemplo de la función de Bessel. En efecto, estas funciones surgieron primero cuando Bessel resolvió la ecuación de Kepler para describir el movimiento de los planetas. Desde esa época, estas funciones se aplican en diversas situaciones físicas, sin olvidar la distribución de temperaturas en una lámina circular y las vibraciones de una membrana de un tambor. EJEMPLO 3 Determine el dominio de la función de Bessel de orden 0 definida por
J0 x n 0 SOLUCIÓN Sea a n Observe cómo la aproximación del modelo generado por computadora (el cual utiliza funciones de Bessel y de cosenos) coincide con la fotografía de una membrana vibratoria de hule. 1 n x 2n 2 2n n! an 1 an 2 1 2 . Entonces n 1 2n 1 2 n 1! x 2n 2 n 1 2 n! x2 4n 2 2n n! 2 1 nx 2n x 2n 1 2 2n 1 n x 2n 2 2n n! 2 1 2 l 0 2 2 2 2n n! x 2n 1 2 para toda x De este modo, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge para todos los valores de x. En otras palabras, el dominio de la función de Bessel J0 es ( , ) 2. SECCIÓN 11.8 y 1 ix 2i 2 2i i! 2 n s¢ 0 s¡ s£ J¸ FIGURA 1 Sumas parciales de la función de Bessel J¸ 1 s3 x y _10 y=J¸(x) 10 0 x FIGURA 2 donde nl
sn x i 0 Las primeras sumas parciales son s0 x 1 lím sn x J0 x x 1 743 Recuerde que la suma de una serie es igual al límite de la sucesión de las sumas parciales. De esa manera, cuando se define la función de Bessel del ejemplo 3 como la suma de una serie significa que, para todo número real x, s™ s¸ 1 SERIES DE POTENCIAS 1 x2 4 s1 x x4 64 x2 4 1 x6 2 304 x2 4 1 s4 x x2 4 1 s2 x x4 64 x4 64 x6 2 304 x8 147 456 En la figura 1 se muestran las gráficas de estas sumas parciales, las cuales son funciones polinomiales. Todas son aproximaciones de la función J0, pero observe que la aproximación es mejor cuando se incluyen más términos. En la figura 2 se ilustra una gráfica más completa de la función de Bessel. En lo que respecta a la serie de potencias examinadas hasta el momento, el conjunto de valores de x para los cuales la serie es convergente ha resultado ser siempre un intervalo [un intervalo finito de la serie geométrica y la serie del ejemplo 2, el intervalo infinito ( , ) del ejemplo 3 y un intervalo colapsado [0, 0] 0 del ejemplo 1]. El teorema siguiente, demostrado en el apéndice F, establece que esto es válido en general.
3 Teorema Para una serie de potencias dada cn x a n hay sólo tres n 0 posibilidades: i) La serie converge sólo cuando x a . ii) La serie converge para toda x. iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si x y diverge si x a R. a R El número R en el caso iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias. Por convención, el radio de convergencia es R 0 en el caso i) y R en el caso ii). El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo que consiste en todos los valores de x para los cuales la serie converge. En el caso i) el intervalo consta de un solo punto a. En el caso ii) el intervalo es ( , ). Observe que en el caso iii) la desigualdad ฀x a R se puede escribir de nuevo como a R x a R. Cuando x es un extremo del intervalo, es decir, x a R, cualquier cosa puede suceder: la serie podría ser convergente en uno o en ambos extremos, o podría ser divergente en ambos extremos. Por tanto, en el caso iii) hay cuatro posibilidades para el intervalo de convergencia: (a R, a R) (a R, a [a R] ฀R) R, a La situación se ilustra en la figura 3. FRQYHUJHQFLDSDUD|x-a|<R a-R FIGURA 3 a GLYHUJHQFLDSDUD|x-a|>R a+R [a R, a R] 744 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Aquí resumimos el radio y el intervalo de convergencia para cada uno de los ejemplos ya considerados en esta sección. Series Radio de convergencia Intervalo de convergencia
Serie geométrica xn R 1 1, 1 n! x n R 0 0 R 1 2, 4 n 0
Ejemplo 1 n 0
Ejemplo 2 n n 1
Ejemplo 3 n 0 n 3 x 1 n x 2n 2 n! 2
,
R 2n En general, la prueba de la razón (o a veces, la prueba de la raíz) se debe usar para determinar el radio de convergencia R. Las pruebas de la razón y la raíz siempre fracasan cuando x es un extremo del intervalo de convergencia, de modo que es necesario verificar los extremos por medio de alguna otra prueba. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la EJEMPLO 4 serie
n 0 3 n x n sn SOLUCIÓN Sea a n 3 an 1 an 1. Entonces sn 1 3 nx n n 1 n 1 sn x 2 1 1 3 3 nx n sn 1 1 n 2 n n n 3x 1 2 cuando n l
x l 3 x De acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge si 3 ฀x 1 y es divergente 1 1 si 3 ฀x 1. En estos términos, es convergente si x 3 y divergente si x 3 . Esto 1 R . significa que el radio de convergencia es 3 Sabemos que la serie converge en el intervalo ( 13 , 13 ), pero ahora es necesario probar si 1 hay convergencia en los extremos de este intervalo. Si x 3 , la serie se transforma en
n 0 3 sn n ( 13 ) n
1 n 0 1 sn 1 1 1 1 1 s1 s2 s3 s4 la cual es divergente. (Aplique la prueba de la integral o simplemente observe que es una 1 serie p con p 12 1.) Si x 3 , la serie es
n 0 3 sn n 1 n 3 () 1
n 0 1 sn n 1 la cual converge de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por tanto, la serie de 1 1 potencias dada converge cuando 3 x 3, de modo que el intervalo de convergencia es ( 13 , 13 ]. SECCIÓN 11.8 v EJEMPLO 5 SERIES DE POTENCIAS 745 Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie
n 0 SOLUCIÓN Si an n nx 2 3n 1 2)n 3n 1, entonces n(x an 1 an n 1 1 x 2 3n 2 n 1 n 1 3n 1 nx 2 2 x 3 2 x l n cuando n l
3 Al usar la prueba de la razón, se ve que la serie es convergente si ฀x 2 ฀ 3 1 y que es divergente si ฀x 2 ฀ 3 1. De modo que es convergente si ฀x 2 3 y divergente si ฀x 2 3. Así que, el radio de convergencia es R 3. La desigualdad ฀x 2 3 se puede escribir como 5 x 1, así que probamos la serie en los extremos 5 y 1. Cuando x 5, la serie es
3 n 0
n 3 n 1 3 n 1 1 nn n 0 la cual es divergente según la prueba de la divergencia [( 1)nn no converge a 0]. Cuando x 1, la serie es
n 0
n3n 3n 1 1 3 n n 0 la cual también es divergente según la prueba de la divergencia. Por esto, la serie converge sólo cuando 5 x 1, de modo que el intervalo de convergencia es ( 5, 1). 11.8 Ejercicios 1. ¿Qué es una serie de potencias?
9. 2. a) ¿Cuál es el radio de convergencia de una serie de potencias?
11. n 1
n 1
7. ฀ ฀ n 0 1 nx n 4. n 1
xn 2n 1 n 0
1 nx n n2 6. n 1 17.
8. n n x 19. n n 1 Se requiere calculadora graficadora o computadora ฀ ฀ n 1 n 1
12. n 1 x 4 ln n n 2 1 x n2 3n x 4 2 x n 1 n x 2n 1 2n 1 ! 1 n x 3 n 2n 1
16. n 0
n 18.
n SAC Se requiere sistema algebraico computarizado xn n3 n n 0 n 1 n 10 n x n n3
14. n sn n 1
n x n! 15. 3 n s n 1
n n 2
5. 1
10. n 13. convergencia de la serie.
n2 xn 2n 3n n x nsn
3-28 Determine el radio de convergencia y el intervalo de 1 n nx n n n 1 ¿Cómo se determina? b) ¿Cuál es el intervalo de convergencia de una serie de potencias? ¿Cómo se calcula? 3. 1 20. n 1 n x 4n 2x 1 5 nsn 1 n n 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 746 CAPÍTULO 11
n 1 n x bn
n 21. 22. n 2 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 35. La función J1 definida por a n, b 0
J1 x b x ln n a n, b n 0 0
23.
n! 2x 1 5x n 24. n n 1
25. 4 n n 1 n 1 n 1 2n x x n ln n 2n SAC 2 n 1 3 5
28. 2 4 6
n 2
27. n 1 26. 3 n2xn n! x 1 3 5 2n 1 2n 1
cn 2 n b) n 0 4 cn n n 0 30. Suponga que 4 y diverge cn x n converge cuando x cuando x 6. ¿Qué puede decir con respecto a la convergencia o divergencia de la serie siguiente?
n 0
a)
n 0

c) cn 8 n b) cn n 0 cn 3 n 1 ncn 9 n d) n 0 se llama función de Bessel de orden 1. a) Determine el dominio. b) Grafique las primeras sumas parciales en una misma pantalla. c) Si su SAC tiene incorporadas las funciones de Bessel, grafique J1 en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso b) y observe cómo se aproximan las sumas parciales a J1. Ax
n n 0 cn 4 es convergente, ¿se infiere que las siguientes series son convergentes?
1 36. La función A se define mediante n 29. Si a) 1 n x 2n 1 n! n 1 ! 2 2n n 0 31. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la serie SAC x3 2 3 1 x9 2 3 5 6 8 9 x6 2 3 5 6 que se llama función de Airy en honor al matemático y astrónomo inglés sir George Airy (1801-1892). a) Determine el dominio de la función de Airy. b) Grafique las primeras sumas parciales en una misma pantalla. c) Si su SAC tiene incorporadas las funciones de Airy, grafique A en la misma pantalla que las sumas parciales del inciso b), y observe cómo las sumas parciales se aproximan a A. 37. Una función f está definida mediante 1 f x 2x x2 2x 3 x4 es decir, sus coeficientes son c2n ฀1 y c2n 1 ฀2 para toda n ฀0. Determine el intervalo de convergencia de la serie y plantee una fórmula explícita para f (x). 38. Si f x cn x n, donde cn 4 ฀cn para toda n ฀0, determine el intervalo de convergencia de la serie y una fórmula para f (x).
n 0 39. Demuestre que si lím n l

n 0 n c, donde c 0, entonces cn el radio de convergencia de la serie de potencias cn x n es R 1 c. n! k n x kn ! cn(x a)n satisface cn 0 para toda n. Demuestre que si lím n l
cn cn 1 existe, entonces es igual al radio de convergencia de la serie de potencias. 32. Sean p y q números reales con p 40. Suponga que la serie de potencias 33. ¿Es posible hallar una serie de potencias cuyo intervalo de 41. Suponga que el radio de convergencia de la serie q. Encuentre una serie de potencias cuyo intervalo de convergencia sea a) (p, q) b) (p, q] c) [p, q) d) [p, q] convergencia sea [0, ')? Explique. 34. Grafique las primeras sumas parciales sn(x) de la serie
n n 0 x , junto con la función suma f (x) 1 (1 x) sobre una misma pantalla. ¿Sobre qué intervalo parece que convergen estas sumas parciales a f (x)? 11.9 cn x n es 2 y que el radio de convergencia de la serie dn x es 3. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie (cn dn)x n? n 42. Suponga que el radio de convergencia de la serie de potencias cn x n es R. ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de potencias cn x 2n? Representación de las funciones como series de potencias En esta sección aprenderá a representar ciertos tipos de funciones como sumas de series de potencias mediante la manipulación de series geométricas, o mediante derivación o integración de dichas series. Quizá se pregunte por qué siempre se busca expresar una función conocida como una suma de una cantidad infinita de términos. Más adelante se explica la utilidad de esta estrategia en la integración de funciones que no tienen antiderivadas elementales, en la solución de ecuaciones diferenciales y para aproximar funciones SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 747 mediante polinomiales. (Los científicos lo hacen así para simplificar las expresiones con las que trabajan; los especialistas en computación lo hacen así para representar funciones en calculadoras y computadoras.) Empecemos con una ecuación que ya estudiamos antes: Una ilustración geométrica de la ecuación 1 se muestra en la figura 1. Como la suma de una serie es el límite de la sucesión de las sumas parciales 1 1 x
1 1 1 1 x x2 x x3 xn x 1 n 0 Ya encontramos esta ecuación en el ejemplo 6 de la sección 11.2, donde la obtuvimos al observar que es una serie geométrica con a 1yr x. Pero en este caso nuestro punto de vista es distinto. Ahora considere la ecuación 1 como expresión de la función f (x) 1 (1 x) como una suma de una serie de potencias. lím sn x nl
donde sn x 1 x x2 xn  es la n-ésima suma parcial. Observe que cuando n se incrementa, sn(x) se vuelve una mejor aproximación de f (x) para 1 x 1.  FIGURA 1     \DOJXQDVVXPDVSDUFLDOHV 
 v   Exprese 1 (1 x 2 ) como la suma de una serie de potencias y determine el intervalo de convergencia. EJEMPLO 1 SOLUCIÓN Al reemplazar x por 1 1 x 2 en la ecuación 1, tenemos
1 x2 x2 x2 n 0 1 n x 2n 1 1 n
x2 x4 x6 x8 n 0 Como ésta es una serie geométrica, es convergente cuando ฀ x 2 ฀ ฀1, es decir, x 2 ฀1, o bien, ฀x 1. Por tanto, el intervalo de convergencia es ( 1, 1). Naturalmente, podría haber determinado el radio de convergencia aplicando la prueba de la razón, pero esa cantidad de trabajo es innecesaria en este caso. EJEMPLO 2 Determine una representación en serie de potencias para 1 (x 2). SOLUCIÓN Con objeto de poner esta función en la forma del lado izquierdo de la ecuación 1, primero se factoriza un 2 del denominador: 1 1 2 x 2 1 1 2 Esta serie converge cuando ฀ x 2 convergencia es ( 2, 2).
n 0 1 x 2 x 2 2 1 x 2 n
n 0 1, es decir, ฀x n 1 2n 1 xn 2. De modo que el intervalo de 748 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Obtenga una representación como serie de potencias de x3 (x EJEMPLO 3 2). SOLUCIÓN Puesto que esta función es justamente x3 veces la función del ejemplo 2, todo lo que debe hacer es multiplicar esa serie por x3: Es válido pasar x al otro lado del signo de la suma porque no depende de n. [Aplique el teorema 11.2.8 i ) con c ฀x3.] 3 x3 2 x 1 2
1 x3 2 x 1 4 x3 1 8 x4 1 16 x5 n 1 xn 1 2n n 0
n 1 x3 2n n 0 1 xn 3 x6 Otra forma de escribir esta serie es como sigue:
x3 2 x 1 2n n 3 n 1 xn 2 Como en el ejemplo 2, el intervalo de convergencia es ( 2, 2). ฀ Derivación e integración de series de potencias
La suma de una serie de potencias es una función f x a n cuyo dominio es n 0 cn x el intervalo de convergencia de la serie. Para derivar e integrar estas funciones, el siguiente teorema (el cual no será demostrado) establece que es posible derivar o integrar cada uno de los términos de la serie, justo como se haría para un polinomio. Esto se denomina derivación e integración término a término. 2 R Teorema Si la serie de potencias cn x 0, entonces la función f definida por a n posee un radio de convergencia
f x c0 c1 x a c2 x a 2 cn x a n n 0 es derivable (y, por tanto, continua) sobre el intervalo a R, a R y
En el inciso ii), x c0 dx c0 x C1 se escribe como c0(x a) ฀C, donde C ฀C1 ฀ac0, de modo que todos los términos de la serie tienen la misma forma. i) f x 2c2 x c1 3c3 x a 2 a ncn x a n 1 n 1 ii) yf x dx C c0 x
cn C n 0 a x a n x c1 a 2 c2 2 x a 3 3 n 1 1 Los radios de convergencia de la serie de potencias en las ecuaciones i) y ii) son R. NOTA 1 Las ecuaciones i) y ii) del teorema 2 se pueden volver a escribir en la forma iii) iv) d dx y

cn x a n n 0 n 0

cn x n 0 a n dx d cn x dx yc n n 0 x a n a n dx SECCIÓN 11.9 REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 749 Sabemos que, por lo que toca a las sumas finitas, la derivada de una suma es la suma de las derivadas y la integral de una suma es la suma de las integrales. Las ecuaciones iii) y iv) aseguran que lo mismo se cumple para sumas infinitas, siempre que esté trabajando con series de potencias. (En el caso de otros tipos de series de funciones la situación no es tan simple; véase ejercicio 38.) NOTA 2 Aunque el teorema 2 establece que el radio de convergencia es el mismo cuando una serie de potencias es derivada o integrada, esto no quiere decir que el intervalo de convergencia siga siendo el mismo. Podría suceder que la serie original converja en el extremo, y que la serie derivada sea divergente ahí. (Véase ejercicio el 39.) NOTA 3 La idea de derivar una serie de potencias término a término es la base de un método eficaz para resolver ecuaciones diferenciales. Estudiaremos este método en el capítulo 17. EJEMPLO 4 En el ejemplo 3 de la sección 11.8 vimos que la función de Bessel
J0 x n 0 1 n x 2n 2 2n n! 2 se define para toda x. De esta manera, de acuerdo con el teorema 2, J0 es derivable para toda x y su derivada se encuentra derivando término a término como sigue:
n 0 v
d 1 nx 2n 2n dx 2 n! 2 J0 x 1 n 2nx 2n 2 2n n! 2 n 1 1 Exprese 1 (1 x)2 como una serie de potencias derivando la ecuación 1. ¿Cuál es el radio de convergencia? EJEMPLO 5 SOLUCIÓN Al derivar cada miembro de la ecuación
1 1 1 x 1 x2 x3 xn n 0
1 obtenemos x x 1 2 3x 2 2x nx n 1 n 1 Si quisiéramos podríamos reemplazar n por n
1 1 1 y escribir la respuesta como x n 2 1 xn n 0 De acuerdo con el teorema 2, el radio de convergencia de la serie derivada es el mismo que el radio de convergencia de la serie original, R 1. EJEMPLO 6 Determine una representación como serie de potencias para ln(1 radio de convergencia. SOLUCIÓN Observe que la derivada de esta función es 1 (1 x). De la ecuación 1 tenemos 1 1 1 x 1 x 1 x x2 x3 x) y su x 1 750 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Integrando ambos lados de esta expresión, obtenemos ln 1 y1 x 1 x2 2 x y dx x x3 3
n 1 1 n 1 x x2 2 x xn n x3 3 x2 x x3 x4 4 dx C C Para determinar el valor de C hacemos x 1n(1 ฀0) C. Por tanto, C 0 y ln 1 1 1 x 0 en esta ecuación y obtenemos
x4 4 1 n 1 n 1 xn n El radio de convergencia es el mismo que el de la serie original: R v f (x) EJEMPLO 7 tan 1x 1 1 3 1 5 1 7 Este admirable resultado se conoce como fórmula de Leibniz para ). 1. Encuentre una representación como serie de potencias para serie de potencias para 1 (1 4 1 tan 1x. SOLUCIÓN Observe que f (x) La serie de potencias para tan 1x obtenida en el ejemplo 7 se llama serie de Gregory en honor al matemático escocés James Gregory (1638-1675), quien pronosticó algunos de los descubrimientos de Newton. Ya se demostró que la serie de Gregory es válida cuando 1 x 1, pero resulta que (aunque no es fácil de demostrar) también es válida cuando x ฀ 1. Observe que cuando x 1 la serie se transforma en x 1 (1 x 2) y encuentre la serie requerida integrando la x 2) determinada en el ejemplo 1. y1 1 C x x2 Para determinar C hacemos x tan 1x y x3 3 x5 5 1 x2 x5 5 x4 x6 dx x7 7 0 y obtenemos C x3 3 x dx ฀tan 10 ฀0. Por tanto,
x7 7 1 n 0 Puesto que el radio de convergencia de la serie para 1 (1 convergencia de esta serie para tan 1x es también 1. n x 2n 1 2n 1 x 2) es 1, el radio de EJEMPLO 8 a) Evalúe x 1 1 x 7 dx como una serie de potencias. b) Mediante el inciso a) obtenga una aproximación de x00.5 1 1 aproximación de 10 7 del valor real. x 7 dx con una SOLUCIÓN a) El primer paso es expresar el integrando, 1 (1 x 7) como la suma de una serie de potencias. Como en el ejemplo 1, inicie con la ecuación 1 y reemplace x por x 7: 1 1
1 x7 1 x7 x7 n 0 1 n x 7n 1 n
n 0 x7 x 14 SECCIÓN 11.9 Este ejemplo muestra una manera en que las representaciones como series de potencias pueden ser útiles. Integrar 1 (1 x 7) a mano es increíblemente difícil. Diferentes sistemas algebraicos computacionales dan respuestas de distintas formas, pero son extremadamente complicadas. (Si tiene un SAC, inténtelo usted mismo.) La respuesta de la serie infinita que se obtiene en el ejemplo 8a) es realmente mucho más fácil de manejar que la respuesta finita que proporciona un SAC. REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES COMO SERIES DE POTENCIAS 751 Ahora integramos término a término: y 1 1 x 7 y dx
1 C n 0 C Esta serie converge para ฀ x 7
1 n x 7n dx n n 0 x8 8 x x 15 15 x 7n 1 7n 1 x 22 22 1, es decir, para ฀x 1. b) Si aplicamos el teorema fundamental del cálculo no importa qué antiderivada usemos, de modo que utilicemos la antiderivada del inciso a) con C 0: y 1 0.5 0 x7 1 dx x 1 2 x8 8 x 15 15 1 8 28 1 2 x 22 22 0 1 1 15 2 15 22 2 22 1n 1 2 7n 7n 1 Esta serie infinita es el valor exacto de la integral definida, pero como es una serie alternante, podemos obtener una aproximación de la suma aplicando el teorema de la estimación de la serie alternante. Si dejamos de sumar después del término n 3, el error es menor que el término con n 4: 1 6.4 29 2 29 10 11 De modo que y 11.9 1 0.5 0 1 x 7 dx 1 8 2 cn x n es 10, ¿cuál es el radio de convergencia de la serie ncn x n 1 ? ¿Por qué? 7. f x 9. f x 2. Suponga que sabe que la serie ฀x 1 8 1 15 2 15 22 2 22 0.49951374 Ejercicios 1. Si e1 radio de convergencia de la serie de potencias
n 0
n 1 1 2 bn x n es convergente para 2. ¿Qué puede decir de la siguiente serie? ¿Por qué?
n 0 bn n 1
n 0 xn 1 3-10 Encuentre una representación como serie de potencias para la x 9 x2 1 1 x x 8. f x 10. f x x 2x 2 1 x2 a 3 x3 11-12 Exprese la función como la suma de una serie de potencias usando primero fracciones parciales. Determine el intervalo de convergencia. x 2 3 11. f x 12. f x 2x 2 x 1 x2 x 2 función y determine el intervalo de convergencia. 3. f x 5. f x 1 1 x 2 3 x 4. f x 6. f x 13. a) Use la derivación para determinar una representación como 5 4x 2 1 f x 1 x Se requiere calculadora graficadora o computadora serie de potencias para 10 1 1 x 2 ¿Cuál es el radio de convergencia? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 752 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS b) Por medio del inciso a) determine una serie de potencias para f x 1 33. Con el resultado del ejemplo 7, calcule arctan 0.2 con una aproximación de cinco cifras decimales. 34. Demuestre que la función 1 x 3
c) Mediante el inciso b) determine una serie de potencias para 1 n x 2n 2n ! f x n 0 f x x2 1 x 3 es una solución de la ecuación diferencial 14. a) Utilice la ecuación 1 para determinar la representación en series de potencias para f (x) ฀ln(1 x). ¿Cuál es el radio de convergencia? b) Mediante el inciso a) determine una serie de potencias para f (x) x ln(1 x). 1 c) Haciendo x 2 en su resultado del inciso a), exprese ln 2 como la suma de una serie infinita. 15-20 Encuentre una representación como serie de potencias para la función y determine el radio de convergencia. 15. f x ln 5 16. f x x x 2 tan 1 x3 f (x) f (x) 35. a) Demuestre que J0 (la función de Bessel de orden 0 dada en el ejemplo 4) cumple con la ecuación diferencial x 2 J0 x x 1 4x 1 1 x x2 2 36. La función de Bessel de orden 1 se define con 1 n x 2n 1 n! n 1 ! 2 2n J1 x n 0 2 x x2 1 x x3 0 b) Evalúe x01 J0 x dx con una aproximación de tres cifras decimales. 3 x 18. f x x 2 J0 x x J0 x
17. f x 0 1 a) Demuestre que J1 satisface la ecuación diferencial 19. f x 20. f x x 2J1 x x2 x J1 x b) Demuestre que J0 x 21-24 Encuentre una representación como serie de potencias para f, y grafique f y varias sumas parciales sn(x) en la misma pantalla. ¿Qué sucede cuando n se incrementa? x 21. f x 22. f x ln x 2 4 x 2 16 23. f x 1 1 ln x x 1 tan 2x 0 J1 x . 37. a) Demuestre que la función
f x n 0 xn n! es una solución de la ecuación diferencial f (x) 24. f x 1 J1 x f (x) ฀e x. b) Demuestre que f (x) (sen nx) n2. Demuestre que la serie fn (x) es convergente para todos los valores de x, pero la serie de derivadas fn (x) es divergente cuando x ฀2n), n es un entero. ¿Para qué valores de x la serie fn (x) es convergente? 38. Sea fn(x) 25-28 Evalúe la integral indefinida como una serie de potencias. ¿Cuál es el radio de convergencia? t t dt dt 25. y 26. y 1 t8 1 t3 39. Sea
f x 27. yx 2 ln 1 x dx 28. tan 1 x dx x y n 1 xn n2 Determine los intervalos de convergencia para f, f y f . 40. a) Empezando con la serie geométrica 29-32 Use una serie de potencias para aproximar la integral y 0.2 31. y 0.1 0 0 1 1 x 5 dx x arctan 3x dx 30. y 0.4 32. y 0.3 0 0
nxn x 4 dx ln 1 1 1 x n 1 b) Calcule la suma de cada una de las series siguientes. x2 1 x n, calcule la suma de la serie definida con una aproximación de seis cifras decimales. 29.
n 0 x4 dx

n x n, i) n 1 x 1 ii) n 1 n 2n SECCIÓN 11.10 c) Determine la suma de cada una de las series siguientes. 42. a) Completando cuadrados demuestre que
i) nn 1 xn, y 1 x ii) n 2 n2
n iii) 2n n 1 n2 2n x siguiente expresión para ) como la suma de una serie infinita:
n 0 1 n 3s3 4 1 3n 2n 2 1 3s3 b) Mediante la factorización de x3 ฀1 como una suma de cubos, escriba de nuevo la integral del inciso a). Luego exprese 1 (x3 1) como la suma de una serie de potencias y úsela para demostrar la siguiente fórmula para ): 41. Utilice la serie de potencias para tan 1x para demostrar la 2s3 dx x 1 2 0 n 2
753 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN
1 8n n 0 n 2 3n 1 1 3n 2 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin En la sección anterior, se representaron como series de potencias una cierta clase restringida de funciones. En esta sección se tratan problemas más generales: ¿qué funciones se pueden representar como series de potencias? ¿Cómo es posible hallar esa representación? Empecemos por suponer que f es cualquier función que se puede representar mediante una serie de potencias 1 f x c0 c1 x a c2 x a 2 c3 x a 3 c4 x a 4 x a R Tratemos de determinar qué coeficientes cn tienen que estar en función de f. Para empezar, observe que si hacemos x a en la ecuación 1, entonces todos los términos después del primero son 0 y obtenemos f (a) c0 De acuerdo con el teorema 11.9.2, podemos derivar la serie de la ecuación 1 término a término: 2 f x c1 2c2 x y al sustituir x 3c3 x a a 2 4c4 x a 3 x a R a en la ecuación 2 tenemos f a c1 En seguida derivemos ambos miembros de la ecuación 2 para obtener 3 f x 2c2 2 3c3 x 3 4c4 x a Una vez más hacemos x a 2 x a R a en la ecuación 3. El resultado es f a 2c2 Apliquemos el procedimiento una vez más. La derivación de la serie de la ecuación 3 nos da 4 f x 2 3c3 2 3 4c4 x y la sustitución de x a 3 4 5c5 x a 2 x a R a en la ecuación 4 da f a 2 3c3 3!c3 Ahora ya podemos ver el patrón. Si continuamos derivando y sustituyendo x obtenemos f n a 2 3 4 ncn n!cn a, 754 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Al resolver esta ecuación para el n-ésimo coeficiente cn , tenemos f cn n a n! Esta fórmula sigue siendo válida incluso para n 0 si adoptamos la convención de que 0! 1 y f (0) ฀f. En estos términos, hemos demostrado el teorema siguiente: 5 Teorema Si f se puede representar como una serie de potencias (expansión) en a, es decir, si
f x cn x a n x a R n 0 entonces sus coeficientes están dados por la fórmula f cn n a n! Si sustituimos esta fórmula para cn de nuevo en la serie, observamos que si f tiene un desarrollo en serie de potencias en a, entonces debe ser de la forma siguiente:
6 f f x n a n 0 La serie de Taylor lleva este nombre en honor al matemático ingles Brook Taylor (1685-1731) y la serie de Maclaurin se llama así para recordar al matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746) a pesar del hecho de que la serie de Maclaurin es realmente un caso especial de la serie de Taylor. Pero la idea de representar funciones particulares como sumas de series de potencias se remonta a Newton, y el matemático escocés James Gregory conoció la serie general de Taylor en 1668 y el matemático suizo John Bernoulli la conoció por 1690. Al parecer, Taylor no conocía el trabajo de Gregory ni de Bernoulli cuando publicó sus descubrimientos relacionados con las series en 1715 en su libro Methodus incrementorum directa et inversa. Las series de Maclaurin se llaman así porque Colin Maclaurin las popularizó en su libro de texto Treatise of Fluxions que se publicó en 1742. a f a 1! f a Taylor y Maclaurin x n! x n f a 2! a x a 2 f a 3! x a 3 La serie de la ecuación 6 se denomina serie de Taylor de la función f en a (o bien, en torno a a o centrada en a). Para el caso especial a 0 la serie de Taylor se transforma en
7 f x f n 0 n! n 0 xn f 0 x 1! f 0 f 0 2 x 2! Este caso surge con bastante frecuencia, y se le da el nombre especial de serie de Maclaurin. NOTA Ya se demostró que si f se puede representar como una serie de potencias con respecto a a, entonces f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay funciones que no son iguales a la suma de sus series de Taylor. Un ejemplo de tales funciones se presenta en el ejercicio 74. v EJEMPLO 1 Determine la serie de Maclaurin de la función f (x) e x y su radio de convergencia. SOLUCIÓN Si f (x) ฀e x, entonces f (n)(x) e x, por lo que f (n)(0) e 0 1 para toda n. Por tanto, la serie de Taylor para f en 0 (es decir, la serie de Maclaurin) es
n 0 f n n! 0
xn n 0 xn n! 1 x 1! x2 2! x3 3! SECCIÓN 11.10 Para determinar el radio de convergencia hacemos an 1 xn an 1 an n! xn 1! n 755 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN x n n!. Entonces x l 0 1 n 1 así que, según la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia es R . La conclusión que obtenemos del teorema 5 y el ejemplo 1 es que si e x tiene un desarrollo en serie en potencias en 0, entonces
ex n 0 xn n! Así que, ¿cómo podemos determinar si e x tiene una representación como serie de potencias? Investiguemos la cuestión más general: ¿en qué circunstancias una función es igual a la suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes, cuándo es cierto que
f f x n 0 n a n! x a n Como sucede con cualquier serie convergente, esto quiere decir que f (x) es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales son n Tn x f i a i! i 0 f a 1! f a y y=T£(x) T1 x y=T™(x) (0, 1) y=T¡(x) 0 a x i f a 2! a x 1 x T2 x 1 a f 2 n a x n! a n x2 2! x T3 x 1 x2 2! x x3 3! Las gráficas de la función exponencial y estos tres polinomios de Taylor se ilustran en la figura 1. En general, f (x) es la suma de su serie de Taylor si y=T£(x) f x FIGURA 1 Cuando n crece, Tn(x) parece aproximarse a e x en la figura 1. Esto sugiere que e x es igual a la suma de su serie de Taylor. x Observe que Tn es una polinomial de grado n llamado polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a. Por ejemplo, en el caso de la función exponencial f (x) ฀e x, el resultado del ejemplo 1 muestra que las polinomiales de Taylor en 0 (o polinomiales de Maclaurin), con n 1, 2 y 3 son y=´ y=T™(x) x lím Tn x nl
Si hacemos Rn x f x Tn x de manera que f x Tn x Rn x entonces Rn(x) se llama residuo de la serie de Taylor. Si podemos de alguna manera 0, entonces se sigue que demostrar que lím n l
Rn x lím Tn x nl
lím f x nl
Rn x Por tanto, hemos demostrado el siguiente teorema. f x lím Rn x nl
f x 756 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Tn x 8 Teorema Si f x de n-ésimo grado de f en a y Rn x donde Tn es el polinomio de Taylor lím Rn x 0 nl
para x x a a R. R entonces f es igual a la suma de sus series de Taylor en el intervalo Al tratar de demostrar que lím n l
Rn x lo regular el siguiente teorema. 9 Desigualdad de Taylor Si f 0 para una función específica f, se usa por n 1 x M para x Rn x de la serie de Taylor cumple con la desigualdad Rn x M x 1! n a n 1 d entonces el residuo a para x a d Para ver por qué es cierto para n 1, supongamos que ฀f (x) tiene f (x) M, de tal manera que para a x a d tenemos y x a Fórmulas para el residuo de Taylor Otras opciones aparte de la desigualdad de Taylor son las fórmulas siguientes para el residuo. Si f (n 1) es continua sobre un intervalo I y x [ I, entonces Rn x 1 n! y x a x t nf n 1 Rn x f n f x f a Mx t dt a a y Así que z x 1! x M dt a f x f x f a Pero R1 x f x T1 x f x f a Mx y f a Mt a dt f a f a x f x o bien f t dt a n 1 Esta versión es una generalización del teorema del valor medio (que es el caso n 0). Las demostraciones de estas fórmulas, además del análisis de cómo usarlas para resolver los ejemplos de las secciones 11.10 y 11.11, se encuentran en la página web x a Una antiderivada de f es f , por lo que según la parte 2 del teorema fundamental del cálculo tenemos Esta expresión recibe el nombre de forma integral del término del residuo. Otra fórmula, que se llama forma de Lagrange del término del residuo, establece que hay un número z entre x y a tal que n 1 y f t dt M. En particular, se f a R1 x Un razonamiento similar, aplicando f (x) x a f a x a M x 2 a x a 2 2 2 a . De modo que f a x M x 2 M a a 2 ฀ M, demuestra que www.stewartcalculus.com Haga clic en Additional Topics y luego en Formulas for the Remainder Term in Taylor series. R1 x M x 2 M x 2 a 2 2 De manera que R1 x Aunque hemos supuesto que x válida también para x a. a, cálculos similares muestran que esta desigualdad es a SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 757 Esto demuestra la desigualdad de Taylor para el caso donde n 1. El resultado para cualquier n se demuestra de manera parecida integrando n 1 veces. (Véase el ejercicio 73 para el caso n 2.) NOTA En la sección 11.11 se explora el uso de la desigualdad de Taylor en la aproximación de funciones. Aquí, el uso inmediato es junto con el teorema 8. Con frecuencia, al aplicar los teoremas 8 y 9 es útil recurrir al hecho siguiente. 10 para todo número real x
Esto es verdadero porque, de acuerdo con el ejemplo 1, la serie toda x por lo que su n-ésimo término se aproxima a 0. v EJEMPLO 2 x n n! es convergente para Demuestre que e x es igual a la suma de su serie de Maclaurin. SOLUCIÓN Si f (x) ฀e x, entonces f (n 1)(x) e x para toda n. Si d es cualquier número positivo y ฀x d, entonces f (n 1)(x) e x e d. Así que la desigualdad de Taylor, con d a 0 y M ฀e , establece que ed Rn x Observe que la misma constante M ecuación 10, tenemos ed lím 1! n nl
x 1! n n 1 para x d ฀e d funciona para todo valor de n. Pero, según la x n 1 e d lím x nl
n 1 n 0 1! 0 y, por tanto, Se infiere entonces del teorema de la compresión que lím n l
Rn x 0 para todos los valores de x. De acuerdo con el teorema 8, e x es igual a lím n l
Rn x la suma de su serie de Maclaurin, es decir,
11 ex n 0 En 1748, Leonhard Euler aplicó la ecuación 12 para determinar el valor de e con 23 dígitos decimales. En 2007 Shigeru Kondo, usando de nuevo la serie 12 , calculó e con más de 100 000 millones de lugares decimales. Las técnicas especiales que utilizaron para acelerar el cálculo se explican en la página web xn n! para toda x En particular, si hacemos x 1 en la ecuación 11, obtenemos la siguiente expresión para el número e como una suma de una serie infinita:
12 e n 0 1 n! 1 1 1! 1 2! 1 3! numbers.computation.free.fr EJEMPLO 3 Determine la serie de Taylor para f (x) SOLUCIÓN Se tiene f (2) ฀e x en a ฀e y, de este modo, al hacer a ( n) 2 2. 2 en la definición de la serie de Taylor 6 , obtenemos
n 0 f n n! 2
x 2 n n 0 e2 x n! 2 n 758 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS También se puede verificar, como en el ejemplo 1, que el radio de convergencia es 0, de modo que R ฀'. Como en el ejemplo 2 podemos comprobar que lím n l
Rn x
13 e2 x n! ex n 0 2 n para toda x Hay dos desarrollos en series de potencias para e x, la serie de Maclaurin de la ecuación 11 y la serie de Taylor de la ecuación 13. El primero es mejor si está interesado en valores de x cercanos a 0 y el segundo funciona muy bien si x es cercano a 2. EJEMPLO 4 Determine la serie de Maclaurin para sen x y demuestre que representa a sen x para toda x. SOLUCIÓN Organizamos nuestros cálculos en dos columnas como sigue: En la figura 2 se ilustra la gráfica de sen x junto con su polinomio de Taylor (o de Maclaurin) T1 x x T3 x x x3 3! T5 x x x3 3! f x sen x f 0 0 f x cos x f 0 1 0 f x sen x f 0 f cos x f 0 f x 4 sen x x f 4 1 0 0 Puesto que la derivada se repite en un ciclo de cuatro, podemos escribir la serie de Maclaurin como sigue: x5 5! f 0 x 1! f 0 Observe que cuando n se incrementa, Tn(x) se vuelve una mejor aproximación para sen x. x x3 3! f 0 2 x 2! x5 5! f 0 3 x 3!
x7 7! 1 n n 0 x 2n 1 2n 1 ! y T¡ 1 T∞ Puesto que f (n 1)(x) es sen x o bien, cos x, sabemos que f (n 1)(x) este modo podemos tomar M 1 en la desigualdad de Taylor: y=VHQ x 0 x 1 T£ FIGURA 2 14 M Rn x 1! n xn x 1 n 1 para toda x. De n 1 1! De acuerdo con la ecuación 10, el lado derecho de esta desigualdad tiende a 0 cuando n l , de modo que Rn(x) l 0 según el teorema de compresión. Se infiere entonces que Rn(x) l 0 cuando n l , de modo que sen x es igual a la suma de su serie de Maclaurin de acuerdo con el teorema 8. Se establece el resultado del ejemplo 4 para referencia futura. 15 sen x x x3 3! x5 5!
1 n 0 EJEMPLO 5 n x7 7! x 2n 1 2n 1 ! Determine la serie de Maclaurin para cos x. para toda x SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 759 SOLUCIÓN Podríamos proceder en forma directa como en el ejemplo 4, pero es más fácil derivar la serie de Maclaurin para sen x dada por la ecuación 15: cos x d sen x dx 3x 2 3! 1 Las series de Maclaurin para e x, sen x y cos x que encontramos en los ejemplos 2, 4 y 5 fueron descubiertas por Newton aplicando métodos distintos. Estas ecuaciones son notables porque se conoce todo con respecto a cada una de estas funciones si conocemos todas sus derivadas en el número 0. d dx x3 3! x 5x 4 5! x5 5! 7x 6 7! x7 7! x2 2! 1 x4 4! x6 6! Puesto que la serie de Maclaurin para sen x converge para toda x, el teorema 2 de la sección 11.9 señala que la serie derivada para cos x converge también para toda x. Así, 16 cos x x2 2! 1 x4 4!
1 n 0 n x6 6! x 2n 2n ! para toda x Determine la serie de Maclaurin para la función f (x) EJEMPLO 6 x cos x. SOLUCIÓN En lugar de calcular las derivadas y sustituir en la ecuación 7, es más fácil multiplicar la serie para cos x, ecuación 16, por x:
x cos x 1 x n n 0 Represente f (x) EJEMPLO 7
x 2n 2n ! 1 x 2n 1 2n ! n n 0 sen x como la suma de su serie de Taylor centrada en ) 3. SOLUCIÓN Primero acomodamos los valores en columnas Hemos obtenido dos diferentes representaciones en serie para sen x, la serie de Maclaurin en el ejemplo 4 y la serie de Taylor en el ejemplo 7. Es mejor utilizar la serie de Maclaurin para los valores de x cercanos a 0 y la serie de Taylor para x cercanos a ) 3. Observe que el tercer polinomio de Taylor T3 en la figura 3 es una buena aproximación al sen x cerca de ) 3, mas no así cerca de 0. Compárelo con el tercer polinomio de Maclaurin T3 en la figura 2, donde lo opuesto es verdadero. f x sen x f x cos x p 3 s3 2 f p 3 1 2 f f x sen x f p 3 s3 2 f cos x f p 3 1 2 x y y este patrón se repite indefinidamente. Por tanto, la serie de Taylor en ) 3 es y=VHQ¬x 0 x π 3 T£ FIGURA 3 f p 3 f s3 2 p 3 1! p 3 x 1 2 1! f x p 3 p 3 2! s3 2 2! x p 3 2 p 3 2 x p 3 3! f 1 2 3! p 3 x x p 3 3 3 760 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS La demostración de que esta serie representa sen x para toda x es muy similar a la del ejemplo 4. [Sólo reemplace x por x ) 3 en (14).] Podemos escribir la serie con la notación sigma si separamos los términos que contienen s3 :
sen x n 0 1 ns3 2 2n !
2n p 3 x n 1 n 0 2 2n p 3 x 1! 2n 1 Las series de potencias obtenidas mediante métodos indirectos en los ejemplos 5 y 6 y en la sección 11.9 son realmente la serie de Taylor o de Maclaurin de las funciones dadas porque el teorema 5 así lo establece, ya que no importa cómo se obtenga una representación en una serie de potencias f x cn x a n, siempre es cierto que cn f n a n!. En otras palabras, la determinación de los coeficientes es única. Encuentre la serie de Maclaurin para f x EJEMPLO 8 x k, donde k es cualquier 1 número real. SOLUCIÓN Al ordenar nuestro trabajo en columnas, tenemos k f x 1 f x k1 x f x kk 1 1 x f kk 1 k 2 1 kk 1 k n x . . . x x 1 f 0 k f 0 kk 1 f 0 . . . fn 0 kk 1 k 2 kk 1 k k 1 k 2 x k 3 1 1 x Por tanto, la serie de Maclaurin de f (x) (1 f f 0 f n 0 n n 0 kk xn n! k n n 1 x)k es 1 k 1 n n! n 0 xn Esta serie se denomina serie binomial. Observe que si k es un entero no negativo, entonces los términos son eventualmente cero y por tanto la serie es finita. Para otros valores de k, ninguno de sus términos es cero, por lo que podemos intentar la prueba de la razón. Si el n-ésimo término es an, entonces an 1 an 1 kk k n n 1 k 1! n xn 1 n! k 1 kk n k n x x l x cuando n l
1 1 n Así, por la prueba de la razón, la serie binomial converge si ฀x 1 y diverge si ฀x 1. k n 1 n 1 La notación tradicional para los coeficientes de la serie binomial es k n kk 1 k 2 k n! y estos números se llaman coeficientes binomiales. n 1 1 xn SECCIÓN 11.10 761 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN El siguiente teorema establece que (1 x)k es igual a la suma de su serie de Maclaurin. Es posible demostrar esto al probar que el residuo Rn(x) se aproxima a 0, pero esto resulta ser muy difícil. La demostración resumida en el ejercicio 75 es mucho más fácil. 17 Serie binomial Si k es cualquier número real y x
1 x k n x n k n 0 1 1 kk kx 2! 1 , entonces kk x2 1 k 3! 2 x3 Aun cuando la serie binomial siempre converge cuando ฀x 1, la pregunta de si converge o no en los extremos, 1, depende del valor de k. Resulta que la serie converge en 1 si 1 k 0 y en ambos extremos si n k. Nótese que si k es un entero positivo y n k, entonces la expresión para ( nk ) contiene un factor (k k), de modo que ( nk ) 0 para n k. Esto significa que la serie termina y se reduce al teorema del binomio ordinario cuando k es un entero positivo. (Véase la página de referencia 1.) v 1 Encuentre la serie de Maclaurin para la función f x radio de convergencia. EJEMPLO 9 s4 x y su SOLUCIÓN Escribimos f (x) de forma que podamos usar la serie binomial: 1 1 s4 x x 4 4 1 1 2 Y al usar la serie binomial con k 1 s4 x 1 2 1 1 2 1 x 4 1 2 1 2 1 2 1 2
n 0 x 4 1 2 x 4 x 4 2! ( 1 2 2 ( 12)( 32)( 52) 1 1 x 8 1 3 2 x 2!8 2 1 3 5 3 x 3!8 3 x 4 3! n 1) x 4 n! 1 2 x 4, tenemos n ( 12 )( 32 ) ( 12)( 32)( 52) 1 2 x 4 1 donde x fue reemplazada por x 4 n 1 1 2 n 1 3 5 Sabemos de (17) que esta serie converge cuando ฀ x 4 que el radio de convergencia es R 4. 3 2n n!8 n 1, es decir, ฀x 1 xn 4, de modo En la tabla siguiente se resumen, para referencia futura, algunas de las series importantes de Maclaurin que hemos deducido en esta sección y en la anterior. 762 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS TABLA 1 Series importantes de Maclaurin y sus radios de convergencia. 1 1 xn x 1 xn n! ex n 0 x2 2! x 1! 1 sen x 1 n x 2n 1 2n 1 ! 1 n x 2n 2n ! n 0 cos x n 0 tan 1x 1 n n 0 ln 1 R x3 3! R k n 0 EJEMPLO 10 x3 3! x2 2! x5 5! x4 4! x7 7! R x6 6! R x x3 3 x5 5 x7 7 R 1 xn n x x2 2 x3 3 x4 4 R 1 R 1 n 1 k n x n 1 kx 1 kk 2! Encuentre la suma de la serie 1 k 3! kk x2 1 1 2 x3 1 2 1 3 1 2 2 2 3 2 SOLUCIÓN Con la notación sigma podemos escribir le serie dada como 1 n 1 1 n 2n n 1 1 n 1 1 n 1 1 1 2 . n n 1 ln(1 n 2n n 1 4 24 ( 12)n Entonces, en la tabla 1 vemos que esta serie relaciona la entrada para ln 1 Así TEC Module 11.10 11.11 permite ver cómo polinomios sucesivos de Taylor se aproximan a la función original. 1 x 2n 1 2n 1 1 x x x3 x 1 n 1 1 x2 x n 0 ) x con x 1 2 . ln 32 Una razón de que las series de Taylor sean importantes, es que permiten integrar funciones que no se podían manejar antes. En efecto, en la introducción de este capítulo mencionamos que Newton integraba a menudo funciones expresándolas primero como series de potencias, y que después integraba la serie término a término. No es posible 2 integrar la función f (x) e x por medio de las técnicas conocidas hasta este momento, porque su antiderivada no es una función elemental (véase sección 7.5). En el ejemplo siguiente se aplica la idea de Newton para integrar esta función. v EJEMPLO 11 a) Evalúe x e x2 b) Evalúe x01 e dx como una serie infinita. x2 dx de tal manera que no difiera 0.001 del valor real. SOLUCIÓN 2 a) Primero encontramos la serie de Maclaurin para f (x) e x . Aunque es posible usar el método directo, determinémosla simplemente mediante el reemplazo de x con x 2 en la serie para e x dada en la tabla 1. Así, para todos los valores de x, e x2 n 0 x2 n! n 1 n 0 n x 2n n! 1 x2 1! x4 2! x6 3! SECCIÓN 11.10 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 763 Ahora integramos término a término ye x2 y dx x2 1! 1 C x4 2! x3 3 1! x x6 3! 1 x5 5 2! n x 2n n! dx x7 7 3! 1 n x 2n 1 2n 1 n! Esta serie es convergente para toda x porque la serie original para e toda x. b) El teorema fundamental del cálculo da y 1 0 Es posible hacer C inciso a). e x2 dx x3 3 1! x 0 en la antiderivada del x5 5 2! 1 1 3 1 10 1 42 1 216 1 1 3 1 10 1 42 1 216 x7 7 3! x2 converge para 1 x9 9 4! 0 0.7475 El teorema de estimación de la serie alternante demuestra que el error involucrado en esta aproximación es menor que 1 11 5! 1 1320 0.001 Otra aplicación de la serie de Taylor se ilustra en el ejemplo siguiente. El límite podría ser calculado con la regla de l’Hospital, pero en lugar de hacerlo así se recurre a las series. ex 1 x . x2 SOLUCIÓN Al utilizar la serie de Maclaurin para e x tenemos EJEMPLO 12 Evalúe lím xl0 lím xl0 Algunos sistemas algebraicos computacionales calculan los límites de esta manera. e x 1 x2 x 1 x 1! x2 2! x2 2! x3 3! x4 4! lím xl0 lím xl0 1 x x2 xl0 lím x3 3! x2 1 2 x 3! x2 4! x3 5! 1 2 porque las series de potencias son funciones continuas. ฀ Multiplicación y división de series de potencias Si las series de potencias se suman o restan, se comportan como polinomios (el teorema 11.2.8 lo demuestra). De hecho, como lo ilustra el ejemplo siguiente, las series también se pueden multiplicar y dividir como los polinomios. Determinamos sólo los primeros términos porque los cálculos para los siguientes se vuelven tediosos y los términos iniciales son los más importantes. 764 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS EJEMPLO 13 Calcule los primeros tres términos no cero de la serie de Maclaurin para a) e x sen x y b) tan x. SOLUCIÓN a) Mediante la serie de Maclaurin para e x y sen x en la tabla 1, tenemos e x sen x x2 2! x 1! 1 x3 3! x x3 3! Al multiplicar esta expresión y agrupar por términos semejantes, al igual que con los polinomios: 1 Así e x sen x x x2 1 3 x2 1 6 1 6 x3 x3 x x2 1 2 1 6 x3 x3 x x2 1 3 x3 1 2 x x 1 6 1 6 x4 x4 x3 b) Al utilizar la serie de Maclaurin en la tabla 1 tan x x3 3! x2 2! x sen x cos x 1 x5 5! x4 4! Usamos un procedimiento como el de la división larga: 1 Por consiguiente, 1 2 x2 1 24 tan x x4 x 1 3 x 1 3 x3 2 15 x5 )x 1 6 x3 1 120 x5 x 1 2 x3 1 24 x5 1 3 x3 1 30 x5 1 3 x3 1 6 x5 2 15 x5 x3 2 15 x5 No se ha intentado justificar las manipulaciones formales que se utilizaron en el ejemplo 13, pero son legítimas. Hay un teorema que establece que si tanto f x cn x n n R y las series se multiplican como si fueran como t x bn x convergen para ฀x polinomios, entonces la serie resultante también converge para ฀x R y representa f (x) (x). En cuanto a la división es necesario que b0 0; la serie resultante converge para ฀x suficientemente pequeña. SECCIÓN 11.10 765 SERIES DE TAYLOR Y DE MACLAURIN 11.10 Ejercicios 1. Si f x n 0 5 n para toda x, escriba una fórmula bn x 21. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 7 representa sen )x para toda x. para b8. 22. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 18 representa 2. Se proporciona la gráfica de f. sen x para toda x. 23. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 11 representa y senh x para toda x. f 24. Demuestre que la serie obtenida en el ejercicio 12 representa cosh x para toda x. 1 0 25-28 Use la serie binomial para desarrollar la función como una serie de potencias. Establezca el radio de convergencia. x 1 4 25. s 1 a) Explique por qué la serie 1.6 0.8 x 1 27. 0.4 x 1 2 0.1 x 1 3 no es la serie de Taylor de f centrada en 1. b) Explique por qué la serie 0.5 x 2.8 2 1.5 x 2 2 0.1 x 2 3 29. f x 0 n 1 ! para n 0, 1, 2, . . . , encuentre la serie de Maclaurin para f y su radio de convergencia. n n 4 1 n n! 3n n 1 de la serie de Maclaurin. [Suponga que f tiene un desarrollo en serie de potencias. No demuestre que Rn x l 0.] Determine también el radio asociado con la convergencia. x 2 6. f x ln 1 8. f x e x x cos( 12 x 2) 9. f x 2x 10. f x x cos x 39. f x senh x 12. f x cosh x 41. f x 13-20 Calcule la serie de Taylor para f (x) centrada en el valor dado de a. [Suponga que f tiene un desarrollo en serie de potencias. No demuestre que Rn x l 0.] También encuentre el radio de convergencia asociado. 13. f x x 14. f x x 15. f x ln x, 2x 4 3x 2 x 3, 1, a a 2 17. f x e , a 3 19. f x cos x, a p x 2 3 e 2x x s4 x 30. f x cos px 2 32. f x ex 34. f x x 2 ln 1 36. f x 2 [Sugerencia: use sen x 2 2 sen x sen x x3 1 6 si x 0 si x 0 2e x x3 x2 s2 1 2 x ] 1 cos 2x . cos x 2 xe x 40. f x 42. f x e x2 tan cos x 1 x3 43. Mediante la serie de Maclaurin para cos x calcule cos 5° con una aproximación de cinco decimales. 44. Utilice la serie de Maclaurin para e x a fin de calcular 1 10 se con una aproximación de cinco decimales. 1 45. a) Use la serie binomial para desarrollar 1 s1 2 a 1 39-42 Determine la serie de Maclaurin de f (mediante cualquier método) y su radio de convergencia. Grafique f y sus primeros polinomios de Taylor en la misma pantalla. ¿Qué observa respecto a la correspondencia entre estos polinomios y f ? sen p x 11. f x x x 38. f x 7. f x 2x sen px 33. f x 5-12 Encuentre la serie de Maclaurin para f (x) usando la definición 1 28. 3 e 37. f x ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie de Taylor? 5. f x x 31. f x 35. f x 4. Encuentre la serie de Taylor para f con centro en 4 si f 1 2 x 29-38 Utilice la serie de Maclaurin que aparece en la tabla 1 para obtener la serie de Maclaurin para la función dada. no es la serie de Taylor de f centrada en 2. 3. Si f 3 26. s 8 x 16. f x 1 x, 18. f x sen x, a 20. f x sx , a Se requiere calculadora graficadora o computadora a 3 p 2 16 x 2. b) Use el inciso a) para hallar la serie de Maclaurin para sen 1x. 4 1 46. a) Desarrolle 1 s x como una serie de potencias. 4 b) Use el inciso a) para estimar 1 s 1.1 con una aproximación de tres decimales. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 766 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 47-50 Evalúe la integral indefinida como una serie infinita. 47. y x cos x 49. cos x x y 3 1 y 48. dx 1 x y arctan x 50. dx e x n 0 dx 2 y 1 2 52. y 1 53. y 0.4 0 0 x 3 arctan x dx sen x 4 dx 0 s1 68. 1 ln 2 69. 3 9 2! 70. 2 ln 2 2! 27 3! 1 1 2 ln 2 3! 3 81 4! 1 3 23 1 5 25 1 7 27 (cuatro decimales) 71. Demuestre que si p es una función polinomial de n-grado, (cuatro decimales) ( x 4 dx 4 1 n p 2n 1 2n 1 ! 2n 1 dx 51-54 Utilice series para obtener un valor aproximado de la integral definida con la exactitud indicada. 51. 67. error 5 entonces 10 6 ) n p 1 px i 54. y 0.5 0 x2 x 2e dx ( 0.001) error 72. Si f x x i! i 0 x 3 30, ¿qué es f (58)(0)? 1 73. Demuestre la desigualdad de Taylor para n demuestre que si f 55-57 Mediante las series evalúe el límite. 55. lím ln 1 x2 x xl0 57. lím sen x x x5 x l0 x 56. lím x l0 1 6 x 1 1 cos x x ex M x 6 R2 x lím tan x x3 x 59-62 Utilice la multiplicación o la división de series de potencias para determinar los primeros tres términos diferentes de cero en la serie de Maclaurin para cada función. 61. y x sen x cos x 60. y sec x 62. y e x ln 1 63-70 Calcule la suma de la serie. 63. 1 n 0 65. 1 n 1 n x 4n n! n 1 3n n 5n para x a d x n 0 66. n 0 1 n p 2n 6 2n ! 2n 3n 5n n! 1 x2 si x si x 0 0 no es igual a su serie de Maclaurin. b) Grafique la función del inciso a) y comente su comportamiento cerca del origen. 75. Recurra a los siguientes pasos para probar 17 . a) Sea t x n 0 t x ( nk ) x n. Derive esta serie para demostrar que kt x 1 x 1 x 1 1 x kt x y demuestre que h (x) b) Sea h x c) Deduzca que (x) (1 x)k. 0. 76. En el ejercicio 53 de la sección 10.2 se demostró que la longitud de la elipse x a b 0, es L 64. e 0 f x Este límite se calculó en el ejemplo 4 de la sección 4.4 utilizando la regla de l’Hospital tres veces. ¿Cuál método prefiere? e 3 74. a) Demuestre que la función definida por xl0 59. y a 2, es decir, d, entonces a 3 58. Utilice la serie del ejemplo 13b) para evaluar x2 M para x x a sen ., y 4a y p 2 0 s1 b cos ., donde e 2 sen2 u d u donde e sa 2 b 2 a es la excentricidad de la elipse. Desarrolle el integrando como serie binomial y use el resultado del ejercicio 50 de la sección 7.1 para expresar L como una serie de potencias de la excentricidad hasta el término en e 6. REDACCIÓN DE PROYECTO PROYECTO DE LABORATORIO SAC ฀ UN CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL 767 LÍMITE ESCURRIDIZO Este proyecto trata con la función f x sen tan x arcsen arctan x tan sen x arctan arcsen x 1. Utilice su sistema algebraico computarizado para evaluar f (x) para x 2. 3. 4. 5. 6. 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001. ¿Parece tener f un límite cuando x l 0? Use el SAC para graficar f cerca de x 0. ¿Parece tener f un límite cuando x l 0? Intente evaluar lím x l 0 f x con la regla de l’Hospital, usando el SAC para hallar las derivadas del numerador y el denominador. ¿Qué descubrió? ¿Cuántas aplicaciones de la regla de l’Hospital se requieren? Evalúe lím x l 0 f x con ayuda del SAC para encontrar la cantidad suficiente de términos de la serie de Taylor del numerador y el denominador. (Utilice el comando taylor en Maple o series en Mathematica.) Utilice el comando límite en su SAC para calcular directamente lím x l 0 f x . (La mayoría de los sistemas algebraicos computarizados utilizan el método del problema 4 para calcular límites.) En vista de las respuestas a los problemas 4 y 5, ¿cómo explica los resultados de los problemas 1 y 2? SAC Se requiere sistema algebraico computarizado REDACCIÓN DE PROYECTO CÓMO DESCUBRIÓ NEWTON LA SERIE BINOMIAL El teorema binomial, que proporciona el desarrollo de (a b)k, ya lo conocían los matemáticos chinos muchos siglos antes de que naciera Newton, en especial para el caso donde el exponente k es un entero positivo. En 1665, cuando Newton tenía 22 años, descubrió por primera vez el desarrollo de la serie infinita (a b)k cuando k es un exponente fraccionario, positivo o negativo. No publicó sus descubrimientos, pero los planteó y proporcionó ejemplos de cómo usarlos en una carta con fecha 13 de junio de 1676, carta (ahora se llama epístola prior) que envió a Henry Oldenburg, secretario de la Royal Society of London, para que la transmitiera a Leibniz. Cuando éste contestó, le preguntó a Newton cómo había descubierto las series binomiales. Newton escribió una segunda carta, la epístola posterior, del 24 de octubre de 1676, en la cual explica con lujo de detalles la manera como llegó a su descubrimiento mediante una ruta muy indirecta. Estaba investigando las áreas bajo las curvas y (1 x2)n 2 de 0 a x para n 0, 1, 2, 3, 4,... Son fáciles de calcular si n es par. Al observar patrones y al interpolar, Newton fue capaz de adivinar las respuestas de valores impares de n. Por tanto, se dio cuenta de que podía obtener las mismas respuestas expresando (1 x2)n 2 como una serie infinita. Escriba un ensayo sobre el descubrimiento de Newton. Inicie dando el enunciado de serie binomial en la notación de Newton (véase epístola prior en la página 285 de [4] o la página 402 de [2]). Explique por qué la versión de Newton es equivalente al teorema 17 de la página 761. Luego lea la epístola posterior de Newton (página 287 de [4] o página 404 de [2]) y explique los patrones que descubrió Newton en las áreas bajo las curvas y (1 x2)n 2. Muestre cómo podía él calcular el área bajo las curvas restantes y cómo comprobó su respuesta. Para finalizar, explique cómo estos descubrimientos llevaron a las series binomiales. Los libros de Edwards [1] y Katz [3] contienen comentarios de las cartas de Newton. 1. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus, Nueva York: Springer-Verlag, 1979, pp. 178-187. 768 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS 2. John Fauvel y Jeremy Gray, eds., The History of Mathematics: A Reader, London: MacMillan Press, 1987. 3. Victor Katz, A History of Mathematics: An Introduction, Nueva York: HarperCollins, 1993, pp. 463-466. 4. D. J. Struik, ed., A Sourcebook in Mathematics, 1200-1800, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1969. 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor En esta sección se exploran dos tipos de aplicaciones de los polinomios de Taylor. Primero se examina cómo se usan para aproximar funciones; a los científicos de la computación les gustan porque las polinomiales son las más sencillas de las funciones. Luego investigamos cómo los físicos y los ingenieros los usan en campos como la relatividad, óptica, radiación de cuerpos negros, dipolos eléctricos, la velocidad de las ondas en el agua y la construcción de carreteras en el desierto. ฀ Aproximación de funciones mediante polinomios Suponga que f (x) es igual a la suma de su serie de Taylor en a: f f x n 0 n a x n! a n En la sección 11.10 se introdujo la notación Tn(x) para la n-ésima suma parcial de esta serie y se le llamó polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a. Así, n Tn x i 0 f a f i i! a x f a 1! a i x a f a 2! x a f 2 n n! a x a n Puesto que f es la suma de su serie de Taylor, sabemos que Tn(x) l f (x) cuando n l de este modo Tn se puede usar como una aproximación de f : f (x) Tn(x). Observe que el polinomio de primer grado de Taylor y T1 x y=´ y=T£(x) y=T™(x) y=T¡(x) (0, 1) 0 FIGURA 1 x f a f a x y a es lo mismo que la linealización de f en a que estudiamos en la sección 3.10. Note también que T1 y su derivada tienen los mismos valores en a que f y f . En general, se puede demostrar que las derivadas de Tn en a concuerdan con las de f hasta las derivadas de orden n, inclusive. Con el fin de ilustrar estas ideas, vea una vez más las gráficas de y ฀e x y sus primeros polinomios de Taylor, como se ilustran en la figura 1. La gráfica de T1 es la recta tangente a y ฀e x en (0, 1); esta recta tangente es la mejor aproximación lineal a e x cerca de (0, 1). La gráfica de T2 es la parábola y 1 x x2 2, y la gráfica de T3 es la curva cúbica y 1 x x2 2 x3 6, que es un ajuste más cercano a la curva exponencial y ฀e x que T2. El siguiente polinomio de Taylor T4 sería una aproximación mejor, y así sucesivamente. SECCIÓN 11.11 x 0.2 x 3.0 T2 x T4 x T6 x T8 x T10 x 1.220000 1.221400 1.221403 1.221403 1.221403 8.500000 16.375000 19.412500 20.009152 20.079665 ex 1.221403 20.085537 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 769 Los valores de la tabla proporcionan una demostración numérica de la convergencia de los polinomios de Taylor Tn(x) a la función y ฀ e x. Vemos que cuando x 0.2 la convergencia es muy rápida, pero cuando x 3 es un poco más lenta. De hecho, entre más lejos esté x de 0, es un poco más lenta la convergencia de Tn(x) a e x. Cuando usamos un polinomio de Taylor Tn para aproximar una función f, debemos preguntarnos: ¿qué tan buena es una aproximación? ¿Qué tan grande debemos tomar n con objeto de que alcance una precisión deseada? Para responder estas preguntas, es necesario que examinemos el valor absoluto del residuo: Rn x f x Tn x Hay tres métodos posibles para estimar el tamaño del error: 1. Si cuenta con una calculadora que trace gráficas o una computadora, la puede usar para graficar ฀Rn(x) y de ahí estimar el error. 2. Si sucede que la serie es alternante, podemos aplicar el teorema de estimación de la serie alternante. 3. En todos los casos podemos aplicar la desigualdad de Taylor (teorema 11.10.9), el M , entonces cual establece que si f n 1 x M Rn x v x 1! n a n 1 EJEMPLO 1 3 a) Obtenga una aproximación de la función f x x por medio del polinomio de s Taylor de grado 2 en a 8. b) ¿Qué tan exacta es esta aproximación cuando 7 x 9? SOLUCIÓN a) 3 x s f x 1 3 f x f 2 3 x 2 9 f x 10 27 x x1 3 x 5 3 x f 8 2 f 8 1 12 1 144 f 8 8 3 En estos términos, el polinomio de Taylor de segundo grado es T2 x f 8 1! f 8 2 1 12 1 288 8 x f 8 2! 8 x 2 2 8 x 8 x La aproximación deseada es 3 x s T2 x 2 1 12 x 1 288 8 x 8 2 b) La serie de Taylor no es alternante cuando x 8, de modo que no podemos aplicar el teorema de estimación de la serie alternante en este ejemplo. Pero podemos usar la desigualdad de Taylor con n 2 y a 8: R2 x M x 3! 8 3 770 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS donde f x M. Como x f 10 27 x Por tanto, podemos hacer M 1 x 8 1 y ฀x 8 ฀ 2.5 0.0021 3! R2 x #x „ y= œ 15 En estos términos, si 7 0.0004 del valor real. x 10 27 1 x8 3 1 78 3 0.0021 0.0021. Asimismo, 7 x 9, de modo que 1. Entonces la desigualdad de Taylor da T™ 0 78 3 y de esa manera 7, tenemos x8 3 0.0021 6 13 0.0004 9, la aproximación en el inciso a) no difiere en más de FIGURA 2 Con la ayuda de una calculadora para trazar gráficas o de una computadora compruebe 3 x y y T2(x) el cálculo del ejemplo 1. En la figura 2 se muestra que las gráficas de y s están muy cercanas entre sí cuando x está cerca de 8. En la figura 3 se ilustra la gráfica de ฀R2(x) calculada a partir de la expresión 0.0003 3 x s R2 x y=|R™(x)| A partir de la gráfica 0.0003 R2 x 7 0 FIGURA 3 T2 x 9 cuando 7 x 9. Así, la estimación de error mediante métodos gráficos es ligeramente mejor que cuando se hace a partir de la desigualdad de Taylor, en este caso. v EJEMPLO 2 a) ¿Cuál es el error máximo posible al utilizar la aproximación x3 x5 3! 5! cuando 0.3 x 0.3? Utilice esta aproximación para calcular sen 12° con una aproximación de seis cifras decimales. b) ¿Para qué valores de x esta aproximación no difiere en más de 0.00005 del valor real? sen x x SOLUCIÓN a) Observe que la serie de Maclaurin sen x x3 3! x x5 5! x7 7! es alternante para todos los valores no cero de x, y los términos sucesivos decrecen en tamaño porque ฀x 1, de modo que podemos usar el teorema de estimación de la serie alternante. El error en la aproximación de sen x por medio de los tres términos de su serie de Maclaurin es cuando mucho x7 7! Si 0.3 x 0.3, entonces ฀x x 7 5 040 0.3, de modo que el error es más pequeño que 0.3 7 5 040 4.3 10 8 SECCIÓN 11.11 771 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR Para calcular sen 12° primero convertimos a radianes: sen 12 sen 12 p 180 p 15 p 15 sen 3 p 15 5 p 15 1 3! Así, con una aproximación de seis decimales, sen 12° b) El error será menor que 0.00005 si x 7 5 040 1 5! 0.20791169 0.207912. 0.00005 Al resolver la desigualdad y encontrar x x 7 0.252 o bien 0.252 x 1 7 0.821 De modo que la aproximación dada no difiere en más de 0.00005 cuando ฀x TEC En Module 11.10 11.11 se muestran en forma gráfica los residuos de las aproximaciones de los polinomios de Taylor. ¿Qué sucede si recurrimos a la desigualdad de Taylor para resolver el ejemplo 2? Puesto que f (7)(x) cos x, tenemos ฀f (7)(x) 1 y de esa manera R6 x 4.3 3 10–* R6 x 0.3 0 FIGURA 4 0.00006 y=0.00005 y=| Rß(x)| _1 0 1 x 7! 7 De este modo llegamos a la misma estimación que con el teorema de la estimación de la serie alternante. ¿Qué hay con respecto a los métodos gráficos? En la figura 4 se ilustra la gráfica de y=| Rß(x)| _0.3 0.82. sen x (x 1 6 1 120 x3 x5) y observamos que ฀R 6(x) 4.3 10 8 cuando ฀x 0.3. Ésta es la misma estimación que obtuvimos en el ejemplo 2. En el caso del inciso b) queremos ฀R 6(x) 0.00005, de modo que graficamos tanto y ฀R 6(x) como y 0.00005 en la figura 5. Si colocamos el cursor en el punto de intersección derecho, verá que la desigualdad se cumple cuando ฀x 0.82. Una vez más llegamos a la misma estimación que obtuvimos en la solución del ejemplo 2. Si se hubiera pedido que aproximáramos sen 72° en lugar de sen 12° en el ejemplo 2, habría sido prudente utilizar los polinomios de Taylor en a ฀) 3 (en lugar de a 0), porque son mejores aproximaciones al sen x para valores de x cercanos a ) 3. Observe que 72° es cercano a 60° (o ) 3 radianes), y las derivadas de sen x son fáciles de calcular en ) 3. La figura 6 muestra las gráficas de las aproximaciones de los polinomios de Maclaurin 1 T1 x x T5 x x FIGURA 5 x3 3! x5 5! T3 x x x3 3! T7 x x x3 3! x5 5! x7 7! a la curva seno. Podemos ver que cuando n se incrementa, Tn(x) es una buena aproximación a sen x sobre un intervalo más y más grande. y T¡ T∞ x 0 y=VHQx FIGURA 6 T£ T¶ 772 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Las calculadoras y computadoras aplican el tipo de cálculo hecho en los ejemplos 1 y 2. Por ejemplo, cuando usted presiona la tecla sen o e x de su calculadora, o bien, cuando un programador de computadoras utiliza una subrutina en el caso de una función trigonométrica o exponencial o de Bessel, en muchas máquinas se calcula una aproximación polinomial. Con frecuencia, el polinomio es uno de Taylor que ha sido modificado de modo que el error se extiende más uniformemente en todo el intervalo. ฀ Aplicaciones en la física Los polinomios de Taylor también se usan con mucha frecuencia en la física. Con objeto de entender una ecuación, los físicos simplifican a menudo una función considerando sólo dos o tres términos de Taylor. En otras palabras, los físicos usan un polinomio de Taylor como una aproximación de la función. La desigualdad de Taylor se puede usar para medir la exactitud de la aproximación. En el ejemplo siguiente, se muestra una manera en la cual esta idea se usa en la relatividad especial. v EJEMPLO 3 En la teoría de Einstein de la relatividad especial, la masa de un objeto que se desplaza con velocidad v es m0 m s1 v2 c2 donde m 0 es la masa del objeto cuando está en reposo y c es la velocidad de la luz. La energía cinética del objeto es la diferencia entre su energía total y su energía en reposo: mc 2 K m0c2 a) Demuestre que cuando v es muy pequeña comparada con c, esta expresión para K 1 concuerda con la física clásica de Newton: K 2 m 0 v 2. b) Utilice la desigualdad de Taylor para estimar la diferencia en estas expresiones para K 100 m s. cuando ฀v SOLUCIÓN a) Mediante las expresiones dadas para K y m, obtenemos La curva superior de la figura 7 es la gráfica de la expresión de la energía cinética K de un objeto con velocidad v en la relatividad especial. La curva inferior muestra la función usada para K en la física clásica newtoniana. Cuando v es mucho más pequeña que la velocidad de la luz, las curvas son prácticamente idénticas. mc 2 K m0 c2 m0c2 s1 m0c2 v 2 c2 v2 m0 c2 1 c 1 2 1 2 Con x v 2 c 2, la serie de Maclaurin para (1 x) 1 2 es más fácil de calcular que una 1 1 porque v c.) Por tanto serie binomial con k 2 . (Observemos que ฀x 1 K x 1 2 1 1 2 x ( 12 )( 32 ) x 2 1 1 2 x 3 8 2! x2 5 16 ( 12 )( 32 )( 52) x 3 3! x3 K=mc@-m¸c@ y K = 21 m ¸ √ @ 0 FIGURA 7 c √ K m0 c2 1 m0 c2 1 v2 2 c2 1 v2 2 c2 3 v4 8 c4 3 v4 8 c4 5 v6 16 c 6 1 5 v6 16 c 6 Si v es mucho más pequeña que c, entonces todos los términos después del primero SECCIÓN 11.11 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR 773 son muy pequeños cuando se les compara con el primer término. Si los omitimos, obtenemos b) Si x f x 1 v2 2 c2 m0 c2 K 1 2 m0 v2 m 0 c 2 1 x 1 2 1 , y M es un número tal que M , entonces podemos utilizar la desigualdad de Taylor para escribir v 2 c 2, f x M 2 x 2! R1 x 3 4 Tenemos f x m0 c2 1 x 3 y sabemos que v 3m 0 c 2 4 1 v 2 c2 f x Así, con c 5 2 5 2 41 100 m s, de modo que 3m 0 c 2 100 2 c 2 M 5 2 108 m s 3m 0 c 2 4 1 100 2 c 2 1 2 R1 x 100 4 c4 5 2 4.17 10 10 m0 100 m s, la magnitud del error al usar la expresión De modo que cuando ฀v newtoniana para la energía cinética es cuanto mucho (4.2 10 10)m0. Estos conceptos también se aplican en el campo de la óptica. La figura 8 representa una onda de la fuente puntual S que se encuentra una interfaz esférica de radio R centrado en C. El rayo SA se refracta hacia P. ¨r A Li ¨ t P ˙ ¨i Lo h R V C S so si FIGURA 8 n™ n¡ Refracción en una interfaz esférica Al usar el principio de Fermat de que la luz viaja en el menor tiempo posible, Hecht deduce la ecuación n1
o 1 n2
i 1 R n2 si
i n1 so
o donde n1 y n2 son índices de refracción y 0, i, s0 y si son las distancias indicadas en la figura 8. De acuerdo con la ley de los cosenos aplicada a los triángulos ACS y ACP, tenemos 2 En este caso utilice la identidad cos() ) cos 
o sR 2 so R 2 2R so R cos f
i sR 2 si R 2 2R si R cos f 774 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Como es un poco complicado trabajar con la ecuación 1, Gauss, en 1841, la simplificó usando la aproximación lineal cos  1 para valores pequeños de . (Esto equivale a usar el polinomio de Taylor de grado 1.) Por tanto la ecuación se transforma en la siguiente ecuación más sencilla, que se le pide demostrar en el ejercicio 34a): n2 si n1 so 3 n2 n1 R La teoría óptica resultante se conoce como óptica de Gauss u óptica de primer orden, y se ha vuelto la herramienta teórica básica para diseñar lentes. Una teoría más exacta se obtiene al aproximar cos  por medio de su polinomio de Taylor de grado 3 (que es el mismo que el polinomio de Taylor de grado 2). Esto considera los rayos para los cuales  no es tan pequeña, es decir, rayos que golpean la superficie a mayores distancias h por arriba del eje. En el ejercicio 34b) se le pide usar esta aproximación para deducir la ecuación más exacta 4 n1 so n2 si n2 n1 R h2 1 so n1 2so 2 1 R n2 2si 1 R 1 si 2 La teoría óptica resultante se conoce como óptica de tercer orden. Otras aplicaciones de los polinomios de Taylor a la física y la ingeniería se exploran en los ejercicios 32, 33, 35, 36, 37 y 38, y en el proyecto de aplicación de la página 777. 11.11 Ejercicios 1. a) Encuentre los polinomios de Taylor hasta de grado 6 para f (x) cos x centrada en a 0. Grafique f y estos polinomios en una misma pantalla. b) Evalúe f y estos polinomios en x ) 4, ) 2 y ). c) Explique cómo los polinomios de Taylor convergen a f (x). 2. a) Encuentre los polinomios de Taylor hasta de grado 3 para f (x) 1 x centrada en a 1. Grafique f y estos polinomios en una misma pantalla. b) Evalúe f y estos polinomios en x 0.9 y 1.3. c) Explique cómo los polinomios de Taylor convergen a f (x). 3-10 Determine los polinomios de Taylor T3(x) para la función f centrada en el número a. Grafique f y T3 en la misma pantalla. 3. f x 1 x, a 4. f x x 5. f x cos x, a 6. f x e 7. f x ln x, e x, x sen x, a 2 a 0 p 2 a 0 1 Se requiere calculadora graficadora o computadora 8. f x x cos x, 9. f x xe 10. f x SAC 2x 0 a , 0 a 1 tan x, a 1 11-12 Use un sistema algebraico computarizado para encontrar los polinomios de Taylor Tn con centro en a para n 2, 3, 4, 5. Luego grafique estos polinomios y f en la misma pantalla. 11. f x cot x , a 12. f x 3 1 s p 4 x2 , a 0 13-22 a) Encuentre un valor aproximado de f mediante un polinomio de Taylor con grado n en el número a. b) Con la desigualdad de Taylor estime la exactitud de la aproximación f (x) Tn(x) cuando x está en el intervalo dado. c) Compruebe el resultado del inciso b) mediante la gráfica de ฀Rn (x) . 13. f x sx , a 4, 14. f x x 2, a 1, SAC Se requiere sistema algebraico computarizado n n 2, 2, 4 0.9 x x 4.2 1.1 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 11.11 32. La resistividad + de un alambre conductor es el recíproco de la 15. f x x 2 3, 16. f x sen x, a p 6, 17. f x sec x, a 0, 18. f x ln 1 2x , 19. f x ex , a 20. f x x ln x, 21. f x x sen x, a 0, n 4, 1 x 1 22. f x senh 2x, a 0, n 5, 1 x 1 1, a 2 n 4, 1, 1, 3, n conductividad y se mide en unidades ohmios-metros (Ω-m). La resistividad de un metal dado depende de la temperatura de acuerdo con la ecuación p 3 x 0.2 n 3, 1.2 x 0 2, n a 0.8 n a 0, 3, n x 0.5 0.2 x 0.1 3, 0.5 x t 1.5 x 0 1.5 23. Mediante la información del ejercicio 5 estime cos 80° con una aproximación de cinco cifras decimales. 24. Mediante la información del ejercicio 16 estime sen 38° con una aproximación de cinco cifras decimales. 25. Utilice la desigualdad de Taylor para determinar el número de términos de la serie de Maclaurin para e x que se debe usar para estimar e 0.1 de tal manera que no difiera de 0.00001 del valor real. 26. ¿Cuántos términos de la serie de Maclaurin para ln(1 x) son necesarios para estimar ln 1.4 con 0.001 de precisión? desigualdad de Taylor para estimar los valores de x para los cuales la aproximación dada es exacta y está dentro del error establecido. Compruebe gráficamente su respuesta. 28. cos x 29. arctan x x x3 6 1 x2 2 x ( 0.01) error x4 24 x3 3 ( x5 5 error ( 0.005) error 0.05) 30. Suponga que sabemos que f n 4 1 n n! 3 n 1 n y la serie de Taylor de f con centro en 4 converge a f (x) para toda x en el intervalo de convergencia. Demuestre que el polinomio de Taylor de quinto grado aproxima f (5) con error menor a 0.0002. 31. Un vehículo se desplaza a una velocidad de 20 m s y a una aceleración de 2 m s2 en un instante dado. Mediante un polinomio de Taylor de segundo grado, estime qué tanto se desplazará el automóvil en el siguiente segundo. ¿Sería razonable utilizar este polinomio para estimar la distancia recorrida durante el minuto siguiente? 20 ea t 20 donde t es la temperatura en °C. Hay tablas que dan los valores de  (llamado coeficiente de temperatura) y +20 (la resistividad a 20 °C) para varios metales. Excepto a temperaturas muy bajas, la resistividad varía casi en forma lineal con la temperatura, por lo que es común aproximar la expresión para +(t) mediante su polinomio de Taylor de primero o segundo grados en t 20. a) Encuentre expresiones para estas aproximaciones lineales y cuadráticas. b) Por lo que se refiere al cobre, las tablas dan  0.0039 °C y +20 1.7 10 8 Ω-m. Grafique la resistividad del cobre y las aproximaciones lineales y cuadráticas para 250 °C t 1000 °C. c) ¿Para qué valores de t la aproximación lineal concuerda con la expresión exponencial de tal manera que no difiera 1% del valor real? 33. Un dipolo eléctrico consiste en dos cargas eléctricas de igual magnitud y signos opuestos. Si las cargas son q y q y hay una distancia d entre ellas, entonces el campo eléctrico E en el punto P en la figura es 27-29 Aplique el teorema de estimación de la serie alternante o la 27. sen x 775 APLICACIONES DE LOS POLINOMIOS DE TAYLOR E q D2 q D d 2 Al desarrollar esta expresión para E como serie en potencias de d D, demuestre que E es aproximadamente proporcional a 1 D3 cuando P está alejada del dipolo. q P D _q d 34. a) Deduzca la ecuación 3 para la óptica de Gauss a partir de la ecuación 1 aproximando cos  en la ecuación 2 mediante su polinomio de Taylor de primer grado. b) Demuestre que si cos  es reemplazado por su polinomio de Taylor de tercer grado en la ecuación 2, entonces la ecuación 1 se transforma en la ecuación 4 para una óptica de tercer orden. [Sugerencia: utilice los dos primeros términos de la serie binomial para
o 1 y
i 1. Use también  sen .] 35. Si una onda de agua de longitud L se desplaza con una velocidad v a través de un cuerpo de agua de profundidad d como en la figura de la página 776, entonces v2 tL 2 pd tanh 2p L a) Si el agua es profunda, demuestre que v stL 2p . b) Si el agua es poco profunda, use la serie de Maclaurin para tanh para demostrar que v std . (Así, en agua poco 776 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS profunda, la velocidad de una onda tiende a ser independiente de la longitud de la onda.) c) Mediante el teorema de estimación de la serie alternante, demuestre que si L 10d, entonces la estimación v 2 d es exacta dentro de 0.014 L. 38. El periodo de un péndulo con longitud L que subtiende un ángulo máximo .0 con la vertical es L t 4 T y dx p2 s1 0 k 2 sen 2x donde k sen ( 2 u0 ) y t es la aceleración debida a la gravedad. En el ejercicio 42 de la sección 7.7 se aproximó esta integral usando la regla de Simpson. a) Desarrolle el integrando como una serie binomial y use el resultado del ejercicio 50 de la sección 7.1 para demostrar que 1 L d 36. Un disco uniformemente cargado tiene radio R y densidad de carga superficial ,, como se ve en la figura. El potencial eléctrico V en un punto P a una distancia d a lo largo de la perpendicular al eje central del disco es 2pke s(sd 2 V d) R2 T 2p L t 12 2 k 22 1 2p T pke R 2s d para d muy grande R d 2p planos para una carretera que cruza un desierto, se deben hacer correcciones tomando en cuenta la curvatura de la Tierra. a) Si R es el radio de la Tierra y L es la longitud de la carretera, demuestre que la corrección es R sec L R C R L t (1 L2 2R 5L 4 24R 3 c) Compare las correcciones dadas por las fórmulas en los incisos a) y b) para una carretera que mide 100 km de longitud. Tome como radio de la Tierra 6 370 km C R R k2) 1 4 k2) T L 4 t 4 2p 3k 2 4k 2 39. En la sección 4.9 utilizamos el método de Newton para obtener un valor aproximado de una raíz r de la ecuación f (x) 0, y a partir de una aproximación inicial x1 obtuvimos aproximaciones sucesivas x2, x3, … , donde xn xn 1 f xn f xn Aplique la desigualdad de Taylor con n 1, a ฀xn y x r para demostrar que si f (x) existe sobre un intervalo I M, f x K para que contiene a r, xn y x n 1, y f x toda x [ I, entonces xn L 1 4 c) Mediante las desigualdades del inciso b), estime el periodo de un péndulo con L 1 m y .0 ฀10°. ¿Cómo es si se le compara con la estimación T 2 psL t ? ¿Cómo es si .0 ฀42°? b) Mediante un polinomio de Taylor demuestre que C L (1 t b) Observe que todos los términos de la serie después del primero tienen coeficientes que son cuanto mucho 14 . Use este hecho para comparar esta serie con una serie geométrica y demuestre que P 37. Si un topógrafo mide diferencias en la altitud cuando hace 12 3 25 2 6 k 2 2426 2 Si .0 no es demasiado grande, se usa a menudo la aproximación T 2 psL t , obtenida usando sólo el primer término de la serie. Se obtiene una mejor aproximación si se usan sólo dos términos: donde ke es una constante llamada constante de coulomb. Demuestre que V 12 3 2 4 k 2 242 1 r M xn 2K r 2 [Esto significa que si xn es exacta con d cifras decimales, entonces xn 1 es exacta con una aproximación de 2d cifras decimales. Más exactamente, si el error en la etapa n es cuanto mucho 10 m, entonces el error en la etapa n ฀1 es a lo más (M 2K)10 2m.] PROYECTO DE APLICACIÓN 11.1 PROYECTO DE APLICACIÓN RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS 777 RADIACIÓN PROVENIENTE DE LAS ESTRELLAS Cualquier objeto emite radiaciones cuando se calienta. Un cuerpo negro es un sistema que absorbe toda la radiación que le llega. Por ejemplo, una superficie negra mate o una cavidad grande con un pequeño agujero en su pared (como un alto horno) es un cuerpo negro y emite radiación de cuerpo negro. Incluso la radiación que llega del Sol está cerca de ser radiación de un cuerpo negro. La ley de Rayleigh-Jeans, propuesta a fines del siglo xix, expresa la densidad de energía de radiación de cuerpo negro de longitud de onda % como 8 pkT l4 © Dreamstime f l donde % se mide en metros, T es la temperatura en kelvins (K) y k es la constante de Boltzmann. La ley de Rayleigh-Jeans concuerda con las mediciones experimentales para longitudes de onda largas, pero no sucede lo mismo con las longitudes de onda cortas. [La ley predice que f (%) l cuando % l 0 pero los experimentos han demostrado que f (%) l 0.] Este hecho recibe el nombre de catástrofe ultravioleta. En 1900, Max Planck encontró un mejor modelo (que se conoce ahora como ley de Planck) para la radiación de cuerpo negro: 8 phcl f l e 5 hc l kT 1 donde % se mide en metros, T es la temperatura en kelvins y h constante de Planck 6.6262 c velocidad de la luz 2.997925 k constante de Boltzmann 10 34 Js 10 8 m s 1.3807 10 23 JK 1. Con ayuda de la regla de l’Hospital demuestre que lím f l l0 0 y lím f l l
0 para la ley de Planck. De este modo, esta ley modela la radiación de cuerpo negro mejor que la ley de Rayleigh-Jeans para longitudes de onda cortas. 2. Use un polinomio de Taylor para demostrar que, en el caso de las longitudes de onda largas, la ley de Planck da aproximadamente los mismos valores que la ley de Rayleigh-Jeans. 3. Grafique f de acuerdo con ambas leyes en una misma pantalla y comente sobre las similitudes y las diferencias. Use T 5 700 K (la temperatura del Sol). (Quizá quiera cambiar de metros a la unidad más conveniente de micrómetros: 1 m 10 6 m.) 4. Use la gráfica del problema 3 para estimar el valor de % para el cual f (%) es un máximo según la ley de Planck. 5. Investigue cómo la gráfica de f cambia cuando T varía. (Utilice la ley de Planck.) En particular, dibuje f para las estrellas Betelgeuse (T 3 400 K), Procyon (T 6 400 K) y Sirio (T 9 200 K), así como para el Sol. ¿Cuál es la variación de la radiación total emitida, es decir (el área bajo la curva), con T ? Apóyese en las gráficas y explique por qué a Sirio se le conoce como estrella azul y a Betelgeuse como una estrella roja. Se requiere calculadora graficadora o computadora 778 CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS Repaso 11 Verificación de conceptos c) Si una serie es convergente según la prueba de la serie alternante, ¿cómo estima su suma? 1. a) ¿Qué es una sucesión convergente? b) ¿Qué es una serie convergente? c) ¿Qué significa lím n l an 3? d) ¿Qué significa n 1 an 3? 8. a) Escriba la forma general de una serie de potencias. b) ¿Qué es el radio de convergencia de una serie de potencias? c) ¿Qué es el intervalo de convergencia de una serie de potencias? 2. a) ¿Qué es una sucesión acotada? b) ¿Qué es una sucesión monótona? c) ¿Qué puede decir con respecto a una sucesión monótona acotada? 3. a) ¿Qué es una serie geométrica? ¿En qué circunstancias es convergente? ¿Cuál es su suma? b) ¿Qué es una serie p? ¿En qué circunstancias es convergente? a n 3 y sn es la n-ésima suma parcial de la serie. ¿Qué es lím n l a n ? ¿Qué es lím n l sn ? 4. Suponga que 5. Enuncie lo siguiente. a) b) c) d) e) f) g) Prueba de la divergencia Prueba de la integral Prueba por comparación Prueba por comparación en el límite Prueba de la serie alternante Prueba de la razón Prueba de la raíz 6. a) ¿Qué es una serie absolutamente convergente? b) ¿Qué puede decir acerca de dicha serie? c) ¿Qué es una serie condicionalmente convergente? 7. a) Si una serie es convergente de acuerdo con la prueba de la integral, ¿cómo estima su suma? b) Si una serie es convergente según la prueba por comparación, ¿cómo estima su suma? 9. Suponga que f (x) es la suma de una serie de potencias con radio de convergencia R. a) ¿Cómo deriva f ? ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie para f ? b) ¿Cómo integra f ? ¿Cuál es el radio de convergencia de la serie para x f x dx? 10. a) Escriba una expresión para el polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f centrada en a. b) Escriba una expresión para la serie de Taylor de f centrada en a. c) Escriba una expresión para la serie de Maclaurin de f. d) ¿Cómo demuestra que f (x) es igual a la suma de su serie de Taylor? e) Enuncie la desigualdad de Taylor. 11. Escriba la serie de Maclaurin y el intervalo de convergencia para cada una de las funciones siguientes. a) 1 (1 x) b) e x c) sen x d) cos x e) tan 1 f) ln(1 x) 12. Escriba el desarrollo de la serie binomial de (1 x)k. ¿Cuál es el radio de convergencia de esta serie? Examen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, dé la razón o proporcione un ejemplo que contradiga el enunciado. 1. Si lím n l a n 2. La serie 0, entonces n 1 3. Si lím n l a n n sen 1 an es convergente. es convergente. L, entonces lím n l
a 2n L. 1 4. Si cn6 es convergente, entonces cn( 2) es convergente. 5. Si cn6n es convergente, entonces cn( 6)n es convergente. n 6. Si cn x n diverge cuando x x 10. n 6, entonces diverge cuando 7. La prueba de la razón se puede usar para determinar si converge 1 n3. 8. La prueba de la razón se puede usar para determinar si converge 1 n! 9. Si 0 an bn y bn diverge, entonces la serie an diverge. 10. n 0 1 n! n 1 e 11. Si 1 12. Si an es divergente, entonces  13. Si f x 1, entonces lím n l a n 2x x 2 entonces f (0) ฀2. 1 3 x3 0. ฀an es divergente. converge para toda x, 14. Si an y bn son divergentes, entonces an bn es divergente. 15. Si an y bn son divergentes, entonces an bn es divergente. 16. Si an es decreciente y an 0 para toda n, entonces an es convergente. 17. Si an 0y an converge, entonces ( 1)nan converge. CAPÍTULO 11. 18. Si an 0 y lím n l
a n 19. 0.99999. . . 20. Si lím a n 1 1, entonces lím n l
a n an nl
convergente, la nueva serie aún converge. nl

22. Si 0. an 3 779 21. Si un número finito de términos se agrega a una serie 0. 1 2, entonces lím a n REPASO
A y an
B, entonces bn n 1 n 1 AB . a n bn n 1 Ejercicios 1-8 Determine si la sucesión es convergente o divergente. Si es
n3 2n 3 2 1 1. a n 3. a n cos n p 2 3n 2 3n 27. n 1 n sen n n2 1 5. a n n 2
1 29. sn 1 3n 8. 4n n 10 n 1
tan 1 n n 0 31. 1 9. Una sucesión se define recursivamente mediante las ecuaciones 1 a1 ฀1, a n 1 3 a n 4 . Demuestre que an es creciente y an 2 para toda n. Deduzca que an es convergente y determine su límite. 10. Demuestre que lím n l
n 4e 0 y mediante una gráfica determine el valor más pequeño de N que corresponde a  0.1 en la definición exacta de límite. n
n 11. n 1
n3 12. 1 n 1 n 1 n 5n
14. n 1 n 2 nsln n
17. n 1
16. 1 18. n 1 1 3 5 19. 5 n! n 1 sn
21. 2n n 1 n 1
20. n 1
1 n n 1 1 22. n
1 n5 de cuatro dígitos decimales. n 1
n 1 ln x n? con una aproximación 1 n 6 y estime el error al usarla como aproximación de la suma de la serie. b) Calcule la suma de esta serie con una aproximación de cinco dígitos decimales. 36. a) Determine la suma parcial s5 de la serie 1 5n 2

n 1 n 1 2n . Estime el error involucrado 1 nn es convergente. 2n ! 38. a) Demuestre que la serie 1 n n 2n ! b) Deduzca que lím n nl
39. Demuestre que si la serie 5 2n n 9n 0.
n 1 an es absolutamente convergente, entonces la serie 2 sn x 2 para toda x. 34. Para qué valores de x converge la serie la suma de la serie
n en esta aproximación. 2n 2 1 1 2 1 37. Use la suma de los primeros ocho términos para aproximarse a 3n
n 33. Demuestre que cosh x n ln n 1 cos 3n 1.2 fracción. 1
1 15. sn e 4! n 1 n 1 e 3! 32. Exprese el decimal periódico 4.17326326326... como una 1 1 n n3
3 13. 2 1 pn 3 2n ! 2n 4 35. Calcule la suma de la serie 11-22 Determine si la serie es convergente o divergente.
e 2! e 3 3 nn n 30. tan 1n 1 n 1 n! 1 28. 2 7. 26.
ln n 6. a n 1 nsn ln n
1 3n 1 27-31 Calcule la suma de la serie.
4. a n n2 1 n 1 9n 1 10 n 2. a n n3 1nn 2 2n 25. convergente, determine su límite. sn 1
1 n n 1 n 1 1 n n an es también absolutamente convergente. 23-26 Determine si la serie es condicionalmente convergente, absolutamente convergente o divergente.
23. n 1

1 n 1 n 1 3 24. 40-43 Encuentre el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie. 1 n 1 Se requiere calculadora graficadora o computadora n 1 n 3 40. 1 n 1 n xn n2 5n
41. n 1 x 2 n 4n n 780 CAPÍTULO 11
42. n 1 2n x n SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
2n 2! 43. n 0 2n x 3 sn 3 d) Compruebe su resultado del inciso c) mediante la gráfica de ฀Rn(x) . 57. f x s x , a 1, n 3, 0.9 x 1.1 n 58. f x 44. Calcule el radio de convergencia de la serie
n 1 2n ! n x n! 2 sen x en a ) 6. 46. Encuentre la serie de Taylor de f (x) cos x en a ) 3. 47-54 Encuentre la serie de Maclaurin para f y su radio de convergencia. Puede aplicar el método directo (definición de una serie de Maclaurin) o las series conocidas, como la serie geométrica, serie binomial o la serie de Maclaurin para e x, sen x, tan 1x y ln(1 x). 47. f x 1 x 49. f x ln 4 51. f x sen x 4 53. f x 4 16 1 s 55. Evalúe y x x 48. f x tan 50. f x xe 2x 52. f x 10 x 54. f x 1 1 x2 3x 5 ex dx como una serie infinita. x 56. Mediante series aproxime x0 s1 1 0, n 2, 0 6 x 59. Mediante las series evalúe el siguiente límite. 45. Determine la serie de Taylor de f (x) x2 sec x, a x 4 dx con dos dígitos lím xl0 a) Obtenga un valor aproximado de f mediante un polinomio de Taylor de grado n en el número a. b) Dibuje f y Tn en una misma pantalla. c) Use la desigualdad de Taylor para estimar la exactitud de la aproximación f (x) Tn(x) cuando x se encuentra en el intervalo dado. x 60. La fuerza debida a la gravedad que actúa sobre un objeto de masa m a una altura h por encima de la superficie de la Tierra es mtR 2 R h F 2 donde R es el radio de la Tierra y es la aceleración de la gravedad. a) Exprese F como una serie en potencias de h R. b) Observe que si aproxima F con el primer término de la serie, obtenemos la expresión F m que se usa por lo común cuando h es mucho más pequeña que R. Aplique el teorema de la estimación de la serie alternante para calcular los valores de h para los cuales la aproximación F m no difiere 1% del valor real. (Use R 6 400 km.) cn x n para toda x. a) Si f es una función impar, demuestre que 61. Suponga que f x decimales. 57-58 sen x x3
n 0 c0 c2 … ฀c4 0 b) Si f es una función par, demuestre que c1 62. Si f (x) c3 … ฀c5 e x 2, demuestre que f 2n 0 0 2n ! . n! Problemas adicionales Antes de ver la solución del ejemplo, cúbrala e intente resolver el problema por sí mismo.
x 2n . 3! n 0 n SOLUCIÓN El principio de resolución de problemas es relevante aquí ya que hay que reconocer algo familiar. ¿La serie dada se parece a alguna que ya conozcamos? Bueno, tiene algunos ingredientes en común con la serie de Maclaurin para la función exponencial: EJEMPLO Encuentre la suma de la serie
xn n! ex n 0 1 x2 2! x x3 3! Podemos hacer que esta serie se parezca más reemplazando x por x
ex 2 x 2 n 1 n! n 0 2 x 2 x 2 2 x 2! ฀2: 3 3! Pero aquí el exponente en el numerador coincide con el factorial del número en el denominador. Para hacer que esto pase en la serie dada, multiplicaremos y dividiremos por (x ฀2)3:
2n 3! x n n 0
1 x 2 x 2 3 n 0 2 x 3 2n 3 3! x n 3 2 x 3! 4 4! Vemos que la serie entre paréntesis es justamente la serie para e x 2 con los tres primeros términos faltantes. Así que
n 0 1. Si f (x) Problemas x n 2n 3! 3 2 x ex 2 1 x 2 2 x 2 2! sen(x3), encuentre f (15)(0). 2. Una función f está definida por

 
  
 lím f x nl
x 2n x 2n 1 1 ¿Dónde es continua f? 1 3. a) Demuestre que tan 2 x cot 12 x 2 cot x. b) Calcule la suma de la serie

 n 1 FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 1 x n tan 2 2n 4. Sea {Pn una sucesión de puntos determinados de acuerdo con la figura. Por tanto AP1 PnPn 1 2n 1 y el ángulo APnPn 1 es un ángulo recto. Calcule lím n l
1, Pn APn 1 . 781 5. Para construir la curva del copo de nieve, inicie con un triángulo equilátero de lados de longitud igual a 1. El paso 1 de la construcción consta de dividir cada lado en tres partes iguales, construir un triángulo equilátero en la parte media y luego borrar la parte media (véase figura). El paso 2 es repetir el paso 1 en cada lado del polígono resultante. Se repite este procedimiento en cada paso posterior. La curva del copo de nieve es la curva que resulta de repetir este proceso indefinidamente. a) Sean sn , ln y pn, respectivamente el número de lados, la longitud de un lado y la longitud total de la curva de aproximación n-ésima, es decir, la curva obtenida después del paso n del trazo. Encuentre fórmulas para sn , ln y pn . b) Demuestre que pn l cuando n l . c) Sume una serie infinita para encontrar el área encerrada por la curva del copo de nieve.  Nota: Los incisos b) y c) demuestran que la curva del copo de nieve es infinitamente larga pero encierra un área finita. 6. Calcule la suma de la serie 1 3 1 2 1 1 4 1 6 1 8 1 9 1 12 donde los términos son los recíprocos de los enteros positivos cuyos factores primos son 2s y 3s. 7. a) Demuestre que para xy 1.  arctan x arctan y si el primer miembro queda entre b) Demuestre que arctan 120 119 arctan arctan x 1 y xy ) 2 y ) 2. 1 239 p 4. c) Deduzca la fórmula siguiente de John Machin (1680-1751). 1 arctan 239 4 arctan 15  p 4 d) Utilice la serie de Maclaurin del arctan x para demostrar que 0.1973955597 arctan 15 0.1973955616 0.004184075 1 arctan 239 0.004184077 e) Demuestre que FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 f ) Deduzca que el valor siguiente es correcto con siete cifras decimales ) 3.1415927. Machin aplicó este método en 1706 para determinar ) con 100 cifras decimales. Recientemente, con la ayuda de computadoras, se ha calculado cada vez con mayor exactitud el valor de ). En 2009 T. Dausuke y su equipo calcularon el valor de ) ¡con más de dos trillones de lugares decimales! 8. a) Demuestre una fórmula similar a la del problema 7a), pero que contenga arccot en lugar de arctan. b) Calcule la suma de la serie
n 0 arccot n 2 9. Determine el intervalo de convergencia de 10. Si a0 a1 a2 … lím (a0 sn 1. n n x y calcule la suma. 3 n 0, demuestre que ak nl

n 1 a1 sn 1 a2 sn 2 ak sn k) 0 Si no encuentra cómo demostrarlo, intente con la estrategia de resolución de problemas usando las analogías (véase página 75). Intente primero los casos especiales k 1 y k 2. Si puede ver cómo demostrar la afirmación para estos casos, probablemente verá cómo demostrarla en general.
11. Calcule la suma de la serie ln 1 n 2 782 1 . n2 12. Suponga que posee una gran cantidad de libros, todos del mismo tamaño, y que los apila en el 1 1 6 8 1 2 1 4 FIGURA PARA EL PROBLEMA 12 borde de una mesa, y que cada libro sobresale un poco más del borde de la mesa que el libro anterior. Demuestre que es posible hacerlo de modo que el libro que queda hasta encima está por completo más allá del borde de la mesa. En efecto, muestre que el libro de hasta encima se puede acomodar a cualquier distancia más allá del borde de la mesa si la pila de libros tiene la altura suficiente. Aplique el método siguiente para apilar los libros: la mitad del largo del último libro sobresale del penúltimo libro. De este penúltimo libro sobresale sólo un cuarto de su largo con respecto al libro antepenúltimo. De este libro sobresale un sexto de su largo con respecto al libro anteantepenúltimo, y así sucesivamente. Inténtelo usted mismo con un juego de cartas. Tome en cuenta el centro de mesa. 13. Si la curva y e x 10 sen x, x 0, gira en torno del eje x, el sólido resultante se observa como un infinito collar de esferillas decreciente. a) Encuentre el volumen exacto de la n-ésima esferilla. (Use una tabla de integrales o sistema computarizado de álgebra.) b) Encuentre el volumen total de las esferillas. 14. Si p 1, evalúe la expresión 1 2p 1 2p 1 1 1 3p 1 3p 1 4p 1 4p 15. Suponga que círculos de igual diámetro están acomodados apretadamente en n filas dentro de un triángulo equilátero. (La figura ilustra el caso n 4.) Si A es el área del triángulo y An es el área total ocupada por las n filas de círculos, demuestre que lím nl
p An A 2 s3 16. Una sucesión {an se define recursivamente mediante las ecuaciones a0 1 a1 Calcule la suma de la serie FIGURA PARA EL PROBLEMA 15 1 an nn
n 0


 17. Tome el valor de x en 0 a 1 e integre una serie término a término, y con esto demuestre que 1
1n nn x x dx n 1 1 18. Inicie con los vértices P1(0, 1), P2(1, 1), P3(1, 0), P4(0, 0) de un cuadrado, y localice puntos 1 a) Si las coordenadas de Pn son (xn, yn), demuestre que 2 x n encuentre una ecuación similar para las coordenadas y. xn 1 xn 2 xn 3 2y b) Determine las coordenadas de P.


 2 como se muestra en la figura: P5 es el punto medio de P1P2, P6 es el punto medio de P2P3, P7 es el punto medio de P3P4, y así sucesivamente. La trayectoria espiral de la poligonal P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 se aproxima al punto P dentro del cuadrado.

 3 an n 1 an. 0
 2 an x y
 1 n n
 FIGURA PARA EL PROBLEMA 18 n 1 19. Encuentre la suma de la serie n 1 2n 1 3n . 20. Lleve a cabo los siguientes pasos para demostrar que 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 ln 2 a) Use la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (11.2.3) para obtener una expresión para 1 x x2 x3 x 2n 2 x 2n 1 783 b) Integre el resultado del inciso a) de 0 a 1 para obtener una expresión para 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 2n 1 como una integral. c) Del inciso b) deduzca que 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 1 2n 2n y dx 1 1 0 x y 1 0 x 2n dx d) Utilice el inciso c) para demostrar que la suma de la serie dada es ln 2. 21. Encuentre todas las soluciones de la ecuación x2 4! x 2! 1 Sugerencia: considere los casos x 1 0 ฀0 por separado. de 1 y su base es la hipotenusa del triángulo precedente. Demuestre que esta sucesión de triángulos da una cantidad indefinida de vueltas alrededor de P mostrando que .n es una serie divergente. 1 1 P 0yx x4 8! 22. Se trazan triángulos rectángulos como en la figura. Cada uno de los triángulos tiene una altura 1 ¨£ x3 6! 23. Considere la serie cuyos términos son los recíprocos de los enteros positivos que se pueden ¨™ ¨¡ 1 1 escribir con la notación de base 10 sin usar el dígito 0. Demuestre que esta serie es convergente y que la suma es menor que 90. 24. a) Demuestre que la serie de Maclaurin de la función FIGURA PARA EL PROBLEMA 22 f x 1 x x
x fn x n es 2 n 1 donde fn es el n-ésimo número de Fibonacci, es decir, f1 n 3. [Sugerencia: escriba x (1 x x2) c0 c1x lados de esta ecuación por 1 x x2.] 1, f2 c2 x 2 1 y fn fn 1 fn 2 para … y multiplique ambos b) Determine una fórmula explícita para el n-ésimo número de Fibonacci, escribiendo f (x) como una suma de fracciones parciales y con ello obteniendo la serie de Maclaurin de una manera distinta. 25. Sea Demuestre que u3 v3 26. Demuestre que si n w3 u 1 x3 3! x6 6! x9 9! v x x4 4! x7 7! x 10 10! w x2 2! 3uvw x5 5! x8 8! 1. 1, la n-ésima suma parcial de la serie armónica no es un entero. Sugerencia: sea 2 la máxima potencia de 2 que es menor o igual a n y sea M el producto de todos los enteros impares que sean menores o iguales a n. Suponga que sn ฀m, un entero. Entonces M2 ksn M2 km. El lado derecho de esta ecuación es par. Pruebe que el lado izquierdo es impar al demostrar que cada uno de sus términos es un entero par, excepto el último. k 784 12 Vectores y geometría del espacio © Dreamstime © David Frazier / Corbis Los paraboloides (utilizados en los discos satelitales) y los hiperboloides (utilizados en las torres de enfriamiento de reactores nucleares) son ejemplos de las superficies y sólidos que estudiaremos en este capítulo. En este capítulo introducimos vectores y sistemas de coordenadas para espacios de tres dimensiones. Esto configurará nuestro estudio del cálculo de funciones de dos variables en el capítulo 14, porque la gráfica de tales funciones es una superficie en el espacio. En este capítulo veremos que los vectores proveen una descripción particularmente simple de rectas y planos en el espacio. 785 786 12.1 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Sistemas tridimensionales de coordenadas Para localizar un punto en un plano, son necesarios dos números. Se sabe que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado (a, b) de números reales, donde a es la coordenada x y b es la coordenada y. Por esta razón, un plano se llama bidimensional. Para localizar un punto en el espacio, se requieren tres números. Se representa cualquier punto en el espacio mediante una terna ordenada (a, b, c) de números reales. A fin de representar puntos en el espacio, se elige primero un punto fijo O (el origen) y tres rectas que pasan por O que son perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas y marcadas como eje x, eje y y eje z. Por lo común, se considera que los ejes x y y son horizontales, y que el eje z es vertical, y se dibuja la orientación de los ejes como en la figura 1. La dirección del eje z se determina mediante la regla de la mano derecha, como se ilustra en la figura 2: si curva los dedos de su mano derecha alrededor del eje z en la dirección de una rotación de 90 en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje positivo x hasta el eje positivo y, entonces su dedo pulgar apunta en la dirección positiva del eje z. Los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos coordenados ilustrados en la figura 3a). El plano xy es el plano que contiene los ejes x y y; el plano yz contiene los ejes y y z; el plano xz contiene los ejes x y z. Estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes, llamados octantes. El primer octante, en primer plano, se determina mediante los ejes positivos. z O y x FIGURA 1 Ejes de coordenadas z y x FIGURA 2 z z Regla de la mano derecha z plano y ox n pla x FIGURA 3 z P(a, b, c) a x FIGURA 4 O c y b z O plano xy a) Planos coordenados y x ed par rda O uie izq pared d erecha piso y b) Debido a que muchas personas tienen cierta dificultad para visualizar diagramas de figuras tridimensionales, se podría encontrar útil hacer lo siguiente [véase figura 3b)]. Mire cualquier esquina inferior de una habitación y llame a la esquina el origen. La pared a su izquierda es el plano xz, la pared sobre su lado derecho es el plano yz y el piso es el plano xy. El eje x corre a lo largo de la intersección del piso y la pared izquierda. El eje y corre a lo largo de la intersección del piso y la pared derecha. El eje z corre hacia arriba desde el piso hacia el techo a lo largo de la intersección de las dos paredes. Usted se localiza en el primer octante y ahora puede imaginar otras siete habitaciones situadas en los otros siete octantes (tres en el mismo piso y cuatro en el piso de abajo), todos conectados por el punto de esquina común O. Ahora si P es cualquier punto en el espacio, sea a la distancia (dirigida) del plano yz a P, sea b la distancia del plano xz a P y sea c la distancia del plano xy a P. Se representa el punto P mediante la terna ordenada (a, b, c) de números reales y se llaman a a, b y c las coordenadas de P; a es la coordenada x, b es la coordenada y y c es la coordenada z. Así, para localizar el punto (a, b, c) se puede empezar en el origen O y moverse a unidades a lo largo del eje x, luego b unidades paralelas al eje y y luego c unidades paralelas al eje z, como en la figura 4. SECCIÓN 12.1 SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE COORDENADAS 787 El punto P(a, b, c) determina una caja rectangular como en la figura 5. Si se traza una perpendicular de P al plano xy, se obtiene un punto Q con coordenadas (a, b, 0) conocido como proyección de P en el plano xy. De manera similar, R(0, b, c) y S(a, 0, c) son las proyecciones de P sobre el plano yz y el plano xz, respectivamente. Como representaciones numéricas, los puntos ( 4, 3, 5) y (3, 2, 6) se dibujan en la figura 6. z z z 3 (0, 0, c) S(a, 0, c) 0 P(a, b, c) 3 y y x (_4, 3, _5) (0, b, 0) (a, 0, 0) _2 _5 x 0 0 _4 R(0, b, c) _6 y x (3, _2, _6) Q(a, b, 0) FIGURA 6 FIGURA 5 El producto cartesiano 2 2 2 {(x, y, z) x, y, z [ 2} es el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales y se denota por 23. Hemos dado una correspondencia uno a uno entre los puntos P en el espacio y las ternas ordenadas (a, b, c) en 23. Se denomina sistema tridimensional de coordenadas rectangulares. Observe que, en términos de coordenadas, el primer octante se puede describir como el conjunto de puntos cuyas coordenadas son todas positivas. En geometría analítica bidimensional, la gráfica de una ecuación en x y y es una curva en 22. En geometría analítica tridimensional, una ecuación en x, y y z representa una superficie en 23. v EJEMPLO 1 ¿Qué superficies en 23 están representadas por las siguientes ecuaciones? a) z 3 b) y 5 SOLUCIÓN a) La ecuación z 3 representa el conjunto {(x, y, z) z 3}, que es el conjunto de todos los puntos en 23 cuya coordenada z es 3. Éste es el plano horizontal paralelo al plano xy y está tres unidades arriba de él como en la figura 7a). z z y 5 3 0 x FIGURA 7 0 y a) z=3, un plano en R# x 5 b) y=5, un plano en R# 0 y c) y=5, una recta en R2 b) La ecuación y 5 representa el conjunto de todos los puntos en 23 cuya coordenada y es 5. Éste es el plano vertical que es paralelo al plano xz y está cinco unidades a la derecha de él como en la figura 7b). x 788 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO NOTA Cuando se tiene una ecuación, se debe entender del contexto si representa una curva en 22 o una superficie en 23. En el ejemplo 1, y 5 representa un plano en 23, pero por supuesto, y 5 también puede representar una recta en 22 si se trata con geometría analítica bidimensional. Véase la figura 7b) y c). En general, si k es una constante, entonces x k representa un plano paralelo al plano yz, y k es un plano paralelo al plano xz y z k es un plano paralelo al plano xy. En la figura 5, las caras de una caja rectangular se forman mediante los tres planos coordenados x 0 (el plano yz), y 0 (el plano xz) y z 0 (el plano xy) y los planos x a, y b y z c. EJEMPLO 2 a) ¿Qué puntos (x, y, z) satisfacen las ecuaciones x2 1 y2 b) ¿Qué representa la ecuación x2 y 3? z 1 como una superficie en 23? y2 SOLUCIÓN a) Como z 3, los puntos están en el plano horizontal z 3 del ejemplo 1a). Debido a que x2 y2 1, los puntos se hallan sobre la circunferencia con radio 1 y centro sobre el eje x. Véase la figura 8. b) Dado que x2 y2 1, sin restricción sobre z, vemos que el punto (x, y, z) podría estar sobre una circunferencia en cualquier plano z k. Así que la superficie x2 y2 1 en 23 consiste de todas las posibles circunferencias horizontales x2 y2 1, z k y, por tanto, se trata de un cilindro con radio 1 cuyo eje es el eje z. Véase la figura 9. z z 3 0 0 y x z y x FIGURA 8 FIGURA 9 La circunferencia ≈+¥=1, z=3 El cilindro ≈+¥=1 v EJEMPLO 3 y x. Describa y bosqueje la superficie en 23 representada por la ecuación SOLUCIÓN La ecuación representa el conjunto de todos los puntos en 23 cuyas y coordenadas x y y son iguales, es decir, {(x, x, z) x [ 2, z [ 2}. Éste es un plano vertical que interseca al plano xy en la recta y x, z 0. La porción de este plano que se encuentra en el primer octante se bosqueja en la figura 10. 0 x FIGURA 10 El plano y=x La conocida fórmula para la distancia entre dos puntos en un plano se extiende fácilmente a la siguiente fórmula tridimensional. Fórmula de distancia en tres dimensiones La distancia P1 P2 entre los puntos P1 x 1, y1, z1 y P2 x 2 , y2 , z2 es P1 P2 s x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 SECCIÓN 12.1 P™(x™, fi, z™) P1 A 0 x x2 x1 AB y2 y1 BP2 z2 z1 Debido a que los triángulos P1 BP2 y P1 AB son rectángulos, las dos aplicaciones del teorema de Pitágoras dan B(x™, fi, z¡) A(x™, ›, z¡) y FIGURA 11 y P1 P2 2 P1 B 2 BP2 P1 B 2 P1 A 2 AB 2 2 Al combinar estas ecuaciones, obtenemos P1 P2 Por tanto, v P1 A 2 s1 x1 2 y2 y1 2 x2 x1 2 y2 y1 2 2 x1 EJEMPLO 5 2 2 BP2 x2 s x2 2 2 AB La distancia del punto P(2, PQ z 2 P1 P2 EJEMPLO 4 y2 y1 z2 z1 z2 z1 2 z2 1 2 5 2 3, 5) es s1 2 7 2 z1 1, 7) al punto Q(1, 3 2 4 4 3 Halle una ecuación de la esfera con radio r y centro C(h, k, l ). P (x, y, z) SOLUCIÓN Por definición, una esfera es el conjunto de todos los puntos P(x, y, z) cuya r distancia desde C es r. (Véase la figura 12). Así, P está sobre la esfera si y sólo si PC r. Al elevar al cuadrado ambos lados, se tiene PC 2 r 2, o bien, C (h, k, l ) x 0 2 h y 2 k l z 2 r2 Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 5. x y FIGURA 12 789 Para ver por qué esta fórmula es cierta, se construye una caja rectangular como en la figura 11, donde P1 y P2 son vértices opuestos, y las caras de la caja son paralelas a los planos coordenados. Si A(x2, y1, z1) y B(x2, y2, z1) son los vértices de la caja indicados en la figura, entonces z P¡(⁄, ›, z¡) SISTEMAS TRIDIMENSIONALES DE COORDENADAS Ecuación de una esfera La ecuación de una esfera con centro C h, k, l y radio r es x h 2 y k 2 l z 2 r2 En particular, si el centro es el origen O, entonces la ecuación de la esfera es x2 y2 Demuestre que x2 y2 z2 una esfera, y determine su centro y radio. EJEMPLO 6 z2 4x r2 6y 2z 6 0 es la ecuación de SOLUCIÓN Se puede reescribir la ecuación dada en la forma de la ecuación de una esfera si se completan los cuadrados: x2 4x 4 y2 x 6y 9 2 y 2 3 z2 2z 1 2 z 1 6 2 8 4 9 1 790 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Al comparar esta ecuación con la forma estándar, se ve que es la ecuación de una esfera 2s2 . con centro ( 2, 3, 1) y radio s8 EJEMPLO 7 ¿Qué región en 23 está representada por las siguientes desigualdades? 1 x2 y2 z2 4 z 1 x2 y2 z2 4 sx 2 y2 z2 0 SOLUCIÓN Las desigualdades z se pueden reescribir como 1 0 1 2 x y FIGURA 13 12.1 2 de modo que representan los puntos (x, y, z) cuya distancia desde el origen es por lo menos 1, y a lo más, 2. Pero se tiene también que z 0, por tanto, los puntos están sobre o debajo del plano xy. Así, las desigualdades dadas representan la región que yace entre (o sobre) las esferas x2 y2 z2 1 y x2 y2 z2 4 y debajo de (o sobre) el plano xy. El bosquejo se muestra en la figura 13. Ejercicios 1. Suponga que empieza en el origen, se mueve a lo largo del eje x una distancia de 4 unidades en la dirección positiva y luego se mueve hacia abajo una distancia de 3 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de su posición? 2. Ubique los puntos (0, 5, 2), (4, 0, 1), (2, 4, 6) y (1, un solo conjunto de ejes de coordenadas. 1, 2) en 3. ¿Cuál de los puntos A( 4, 0, 1), B(3, 1, 5) y C(2, 4, 6) está más próximo al plano yz? ¿Qué punto yace en el plano xz? 4. ¿Cuáles son las proyecciones del punto (2, 3, 5) sobre los planos xy, yz y xz? Dibuje una caja rectangular con el origen y (2, 3, 5) como vértices opuestos y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Etiquete todos los vértices de la caja. Halle la longitud de la diagonal de la caja. 5. Describa y bosqueje la superficie en 23 representada por la ecuación x y 4 en 22? ¿Qué representa en 2 ? Ilustre con bosquejos. b) ¿Qué representa la ecuación y 3 en 23? ¿Qué representa z 5? ¿Qué representa el par de ecuaciones y 3, z 5? En otras palabras, describa el conjunto de puntos (x, y, z) tales que y 3 y z 5. Ilustre con un bosquejo. 3 7-8 Halle las longitudes de los lados del triángulo PQR. ¿Es un triángulo rectángulo? ¿Es un triángulo isósceles? 2, 8. P(2, 1, 0) 3) Q(7, 0, 1), a) A(2, 4, 2), B(3, 7, b) D(0, 5, 5), E(1, 2), C(1, 3, 3) 2, 4), F(3, 4, 2) 10. Determine la distancia de (4, a) El plano xy c) El plano xz e) El eje y 2, 6) a cada uno de lo siguiente. b) El plano yz d) El eje x f) El eje z 11. Halle la ecuación de la esfera con centro ( 3, 2, 5) y radio 4. ¿Cuál es la intersección de esta esfera con el plano yz? 12. Halle la ecuación de la esfera con centro (2, 6, 4) y radio 5. Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados. 13. Halle la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4, 3, 1) y tiene centro (3, 8, 1). 2. 6. a) ¿Qué representa la ecuación x 7. P(3, 9. Determine si los puntos yacen sobre una línea recta. R(1, 2, 1) Q(4, 1, 1), R(4, 5, 4) 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 14. Obtenga la ecuación de la esfera que pasa por el origen y cuyo centro es (1, 2, 3). 15-18 Demuestre que la ecuación representa una esfera y determine su centro y radio. 15. x 2 y2 z2 2x 4y 8z 15 16. x 2 y2 z2 8x 6y 2z 17 17. 2x 2 2y 2 2z 2 8x 24 z 18. 3x 2 3y 2 3z 2 10 6y 1 12z 0 SECCIÓN 12.2 19. a) Demuestre que el punto medio del segmento de recta de P1(x1, y1, z1) a P2(x2, y2, z2) es x1 x2 2 , y1 2 y2 z1 , VECTORES 791 a) Halle las coordenadas del punto P sobre la recta L 1. b) Localice sobre el diagrama los puntos A, B y C, donde la recta L 1 corta al plano xy, plano yz y el plano xz, respectivamente. z2 2 b) Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A(1, 2, 3), B( 2, 0, 5) y C(4, 1, 5). z L¡ 20. Obtenga la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos terminales (2, 1, 4) y (4, 3, 10). 21. Encuentre las ecuaciones de las esferas con centro (2, 3, 6) P que tocan a) el plano xy, b) el plano yz, c) el plano xz. 22. Halle una ecuación de la esfera más grande con centro (5, 4, 9) 1 que está contenida en el primer octante. 0 23-34 Describa en palabras la región de 23 representada por la 1 23. x 5 24. y 25. y 8 26. x z 28. z 27. 0 29. x 2 31. x 2 33. x 2 6 y2 y z 2 2 4, z z 2 2 32. x 3 34. x 9 y x 3 2 30. y 2 1 L™ 1 ecuación o desigualdad. 1 z2 16 40. Considere los puntos P tales que la distancia de P a A( 1, 5, 3) z 2 y 2 z 2 2z 35-38 Escriba las desigualdades para describir la región. 35. La región entre el plano yz y el plano vertical x 5. 36. El cilindro sólido que está sobre o debajo del plano z 8y sobre o por encima del disco del plano xy con centro en el origen y radio 2. es dos veces la distancia de P a B(6, 2, 2). Demuestre que el conjunto de estos puntos es una esfera y determine su centro y radio. 41. Obtenga la ecuación del conjunto de todos los puntos equidistantes de los puntos A( 1, 5, 3) y B(6, 2, el conjunto. 42. Encuentre el volumen del sólido que está dentro de las esferas x2 37. La región que consiste de todos los puntos entre (pero no sobre) las esferas de radios r y R centradas en el origen, donde r R. 38. La semiesfera superior sólida de la esfera de radio 2 centrada en el origen. 2). Describa y2 y z2 4x 2y 4z x2 y2 z2 4 43. Encuentre la distancia entre las esferas x2 x 2 2 y 2 z 4x 4y 4z 5 y2 0 z2 4y 11. 44. Describa y trace un sólido con las siguientes propiedades: 39. La figura muestra una recta L 1 en el espacio y una segunda recta L 2, que es la proyección de L 1 en el plano xy. (En otras palabras, los puntos sobre L 2 están directamente debajo, o arriba de los puntos sobre L 1.) cuando es iluminado por rayos paralelos al eje z, su sombra es un disco circular. Si los rayos son paralelos al eje y, su sombra es un cuadrado. Si los rayos son paralelos al eje x, su sombra es un triángulo isósceles. Vectores 12.2 B Y A C FIGURA 1 Vectores equivalentes D X Los científicos emplean el término vector para indicar una cantidad (por ejemplo, un desplazamiento o velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección. Un vector se representa por lo común mediante una flecha o un segmento de recta dirigido. La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la flecha apunta en la dirección del vector. Un vector se denota por medio de una letra en negrita (v) o escribiendo una flecha sobre la letra vl . Por ejemplo, suponga que una partícula se mueve a lo largo de un segmento de recta del punto A al punto B. El vector de desplazamiento v correspondiente, mostrado en la figura 1, tiene punto inicial A (la cola) y punto terminal B (la punta) y esto se indica 792 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO l l escribiendo v AB. Observe que el vector u CD tiene la misma longitud y la misma dirección que v aun cuando está en diferente posición. Se dice que u y v son equivalentes (o iguales) y se escribe u v. El vector cero, denotado por 0, tiene longitud 0. Es el único vector sin dirección específica. ฀ Combinación de vectores l Suponga que una partícula se mueve de A a B, así que su vector de desplazamiento es AB. Entonces la partícula cambia de dirección y se mueve de B a C, con vector de desplazal miento BC como en la figura 2. El efecto combinado de estos desplazamientos es que la l partícula se ha movido de A a C. El vector de desplazamiento resultante AC se llama l l suma de AB y BC y se escribe C B A l AC FIGURA 2 l AB l BC En general, si se empieza con vectores u y v, primero se mueve a v de modo que su cola coincida con la punta de u y se define la suma de u y v como sigue. Definición de suma vectorial Si u y v son vectores colocados de modo que el punto inicial de v esté en el punto terminal de u, entonces la suma u v es el vector del punto inicial de u al punto terminal de v. La definición de suma vectorial se ilustra en la figura 3. Se puede ver por qué esta definición a veces se llama ley del triángulo. X X+Y Y Y X Y+ Y X+ Y X X FIGURA 4 Ley del paralelogramo FIGURA 3 Ley del triángulo En la figura 4 se empieza con los mismos vectores u y v como en la figura 3, y se dibuja otra copia de v con el mismo punto inicial que u. Al completar el paralelogramo, se ve que u v v u. Esto da otra forma de construir la suma: si se colocan u y v de modo que empiecen en el mismo punto, entonces u v está a lo largo de la diagonal del paralelogramo con u y v como lados. (Esto se llama ley del paralelogramo.) D v E EJEMPLO 1 Dibuje la suma de los vectores a y b mostrados en la figura 5. SOLUCIÓN Primero se traslada b y se coloca su cola en la punta de a, teniendo cuidado de dibujar una copia de b que tiene la misma longitud y dirección. Luego se dibuja el vector a b [véase la figura 6a)] empezando en el punto inicial de a y terminando en el punto terminal de la copia de b. De manera alternativa, se podría colocar b para que empiece donde comienza a y construir a b mediante la ley del paralelogramo como en la figura 6b). FIGURA 5 TEC En Visual 12.2 se muestra cómo funcionan las leyes del triángulo y del paralelogramo para varios vectores a y b. FIGURA 6 E D D D+E a) D+E b) E SECCIÓN 12.2 VECTORES 793 Es posible multiplicar un vector por un número real c. (En este contexto llamamos al número real c un escalar para distinguirlo de un vector.) Por ejemplo, se desea que 2v sea el mismo vector que v v, que tiene la misma dirección que v, pero tiene el doble de largo. En general, se multiplica un vector por un escalar como sigue. Si c es un escalar y v es un vector, entonces el múltiplo escalar cv es el vector cuya longitud es c multiplicado por la longitud de v y cuya dirección es la misma que v si c 0 y es opuesta a v si c 0. Si c 0 o v 0, entonces cv 0. Definición de multiplicación por un escalar Y 1 2Y 2Y _Y Esta definición se ilustra en la figura 7. Se ve que aquí los números reales funcionan como factores de escala; ésa es la razón por la que se llaman escalares. Observe que los dos vectores no cero son paralelos si son múltiplos escalares entre sí. En particular, el vector v ( 1)v tiene la misma longitud que v, pero apunta en la dirección opuesta. Se le llama negativo de v. Por la diferencia u v de dos vectores se entiende u _1.5Y v u v Así que se puede construir u v si se dibuja primero el negativo de v, v, y luego se suma a u por la ley del paralelogramo como en la figura 8a). De manera alternativa, puesto que v (u v) u, el vector u v, cuando se suma a v, da u. Así que se podría construir u v como en la figura 8b) por medio de la ley del triángulo. FIGURA 7 Múltiplos escalares de Y Y X X-Y X-Y Y _Y X FIGURA 8 Trazo de X-Y a) EJEMPLO 2 D Si a y b son los vectores mostrados en la figura 9, dibuje a 2b. SOLUCIÓN Primero se dibuja el vector 2b que apunta en la dirección opuesta a b y con el doble de largo. Se coloca con su cola en la punta de a y luego se usa la ley del triángulo para dibujar a ( 2b) como en la figura 10. E FIGURA 9 ฀ Componentes D _2E b) Para ciertos propósitos es mejor introducir un sistema de coordenadas y tratar a los vectores algebraicamente. Si se coloca el punto inicial de un vector a en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, entonces el punto terminal de a tiene coordenadas de la forma (a1, a2) o (a1, a2, a3), lo cual depende de si el sistema de coordenadas es de dos o tres dimensiones (véase la figura 11). D-2E FIGURA 10 z (a¡, a™, a£) y D (a¡, a™) D O FIGURA 11 O x D=ka¡, a™l y x D=ka¡, a™, a£l 794 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO y Estas coordenadas se llaman componentes de a y se escriben (4, 5) 0 x FIGURA 12 Representaciones del vector D=k3, 2l z Vector de posición de P P(a¡, a™, a£) O A(x, y, z) x a1, a2 a P(3, 2) (1, 3) B(x+a¡, y+a™, z+a£) y o a1, a2, a3 a Se emplea la notación a1, a2 para el par ordenado que se refiere a un vector, para no confundirlo con el par ordenado (a1, a2) que se refiere a un punto en el plano. Por ejemplo, los vectores mostrados en la figura 12 son los equivalentes al vector l OP 3, 2 cuyo punto terminal es P(3, 2). Lo que tienen en común es que el punto terminal se alcanza desde el punto inicial mediante un desplazamiento de tres unidades a la derecha y dos hacia arriba. Se puede considerar a estos vectores geométricos como reprel sentaciones de un vector algebraico a 3, 2 . La representación particular OP del origen al punto P(3, 2) se llama vector posición del punto P. l En tres dimensiones, el vector a OP a1, a2, a3 es el vector de posición del punto l P(a1, a2, a3). (Véase la figura 13.) Consideremos cualquier otra representación AB de a, donde el punto inicial es A(x1, y1, z1) y el punto terminal es B(x2, y2, z2). Entonces debemos tener x1 a1 x2, y1 a2 y2 y z1 a3 z2, por tanto, a1 x2 x1, a2 y2 y1 y a3 z2 z1. Así, se tiene el siguiente resultado. 1 l Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2), el vector a con representación AB es FIGURA 13 Representaciones de D=ka¡, a™, a£l a x2 x1, y2 ฀y1, z2 ฀z1 v EJEMPLO 3 Encuentre el vector representado por el segmento de recta dirigido con punto inicial A(2, 3, 4) y punto terminal B( 2, 1, 1). l SOLUCIÓN Por 1 , el vector correspondiente a AB es a 2 ฀2, 1 ( 3), 1 4฀ 4, 4, 3฀ La magnitud o longitud del vector v es la longitud de cualquiera de sus representaciones, y se denota por el símbolo v o v . Al usar la fórmula de distancia para calcular la longitud de un segmento OP, se obtienen las siguientes fórmulas. La longitud del vector bidimensional a sa12 a y (a¡+b¡, a™+b™) D+E D 0 FIGURA 14 a¡ La longitud del vector tridimensional a a E a 1, a 2 es sa12 a 22 a 1, a 2 , a 3 es a 22 a 32 b™ b¡ a™ a™ b¡ x ¿Cómo se suman algebraicamente los vectores? En la figura 14 se muestra que si a a1, a2 y b b1, b2 , entonces la suma es a b a1 b1, a2 ฀b2 , al menos para el caso donde las componentes son positivas. En otras palabras, para sumar algebraicamente vectores se suman sus componentes. De manera similar, para restar vectores se restan componentes. De los triángulos semejantes en la figura 15 vemos que las compo- SECCIÓN 12.2 VECTORES 795 nentes de ca son ca1 y ca2. Así que para multiplicar un vector por un escalar se multiplica cada componente por ese escalar. cD D ca™ a™ a¡ Si a a 1, a 2 y b a ca¡ b b1, b2 , entonces b1, a 2 a1 a b2 b1, a 2 a1 b2 ca1, ca2 ca FIGURA 15 b De manera similar, para vectores en tres dimensiones, a 1, a 2 , a 3 b1, b2 , b3 a1 b1, a 2 b2 , a 3 b3 a 1, a 2 , a 3 b1, b2 , b3 a1 b1, a 2 b2 , a 3 b3 c a 1, a 2 , a 3 v EJEMPLO 4 a b, 3b y 2a Si a 5b. SOLUCIÓN a a 4, 0, 3 y b s4 2 b 02 a b 1, 3 5b 2 4, 0, 3 5 5 2, 1, 8 5 6, 2, 1, 5 2 ,0 3 b, 2, 1, 5 4, 0, 3 3b s25 32 2 ,0 4 2a 2, 1, 5 , encuentre a y los vectores a 4, 0, 3 4 ca1, ca2 , ca3 1, 3 2, 1, 5 3 5 8, 0, 6 1, 2 2 ,3 1 ,3 5 6, 3, 15 2, 1, 5 10, 5, 25 2, 5, 31 Denotemos por V2 el conjunto de todos los vectores en dos dimensiones y con V3 el conjunto de los vectores en tres dimensiones. De manera más general, más tarde necesitaremos considerar el conjunto Vn de todos los vectores n-dimensionales. Un vector n-dimensional es una n-ada ordenada: Los vectores en n dimensiones se emplean para enlistar varias cantidades de una manera organizada. Por ejemplo, las componentes de un vector en seis dimensiones p p1, p2, p3, p4, p5, p6 podrían representar los precios de seis ingredientes distintos requeridos para hacer un producto particular. Los vectores en cuatro dimensiones x, y, z, t se emplean en la teoría de la relatividad, donde las primeras tres componentes especifican una posición en el espacio y la cuarta representa el tiempo. a a1, a2, . . . , an donde a1, a2, . . . , an son números reales llamados las componentes de a. La suma y la multiplicación por un escalar se definen en términos de componentes sólo para los casos n 2 y n 3. Propiedades de vectores Si a, b y c son vectores en Vn y c y d son escalares, entonces 1. a b b 3. a 0 a 5. c a 7. cd a b 2. a a b 4. a ca c da cb c a a 0 6. c d a ca 8. 1a a b da c 796 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Estas ocho propiedades de vectores se pueden comprobar fácilmente ya sea en forma geométrica o en algebraica. Por ejemplo, la propiedad 1 se puede ver de la figura 4 (es equivalente a la ley del paralelogramo) o como sigue para el caso n 2: b a Q a 1, a 2 a 1, b2 b1 F b b1, b2 b1, a 2 a1 b1, b2 a2 b2 a 1, a 2 a (D+E)+F =D+(E+F) E D+E E+F D P Se puede ver por qué la propiedad 2 (la ley asociativa) es cierta al observar la figura 16 l y aplicar la ley del triángulo varias veces: el vector PQ se obtiene ya sea al construir primero a b y sumar después c o al sumar a al vector b c. Tres vectores en V3 juegan un papel especial. Sean FIGURA 16 i j 1, 0, 0 k 0, 1, 0 0, 0, 1 Estos vectores i, j y k se denominan vectores base estándar. Tienen longitud 1 y apuntan en las direcciones de los ejes positivos x, y y z. De manera similar, en dos dimensiones, se definen i 1, 0 y j 0, 1 . (Véase la figura 17.) y z (0, 1) M N L 0 Vectores base estándar en V™ y V£ y x a) Si a M L (1, 0) FIGURA 17 y x b) a1, a2, a3 , entonces se puede escribir (a¡, a™) D a¡L 0 a a™ M x 2 a) D=a¡L+a™M D a 1 1, 0, 0 a 2 0, 1, 0 a 3 0, 0, 1 a1 i a2 j 0, 0, a 3 a3 k 1, 2, 6 ฀ i 2j ฀6k De manera similar, en dos dimensiones, se puede escribir a£N b) D=a¡L+a™M+a£N FIGURA 18 0, a 2 , 0 (a¡, a™, a£) a™ M x a 1, 0, 0 Así, cualquier vector en V3 se puede expresar en términos de los vectores base estándar i, j y k. Por ejemplo, z a¡L a a 1, a 2 , a 3 y 3 a a1, a2 a1 i a2 j Véase en la figura 18 la interpretación geométrica de las ecuaciones 3 y 2 y compárelas con la figura 17. SECCIÓN 12.2 EJEMPLO 5 Si a i 2j 3k y b 4i VECTORES 7k, exprese el vector 2a 797 3b en términos de i, j y k. SOLUCIÓN Se emplean las propiedades 1, 2, 5, 6 y 7 de los vectores para obtener Gibbs 2a Josiah Willard Gibbs (1839-1903), un profesor de física matemática en Yale College, publicó el primer libro sobre vectores, Vector Analysis, en 1881. Los cuaterniones, objetos más complicados, fueron inventados más tarde por Hamilton como herramientas matemáticas para describir el espacio, pero no ha sido fácil su uso para los científicos. Los cuaterniones tienen una parte escalar y una parte vectorial. La idea de Gibbs fue utilizar los vectores por separado. Maxwell y Heaviside tuvieron ideas similares pero se ha demostrado que el enfoque de Gibbs es un modo más conveniente para estudiar el espacio. 3b 2i 2j 3k 2i 4j 6k 3 4i 12i 7k 21k 14i 4j 15k Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Por ejemplo, i, j y k son vectores unitarios. En general, si a 0, entonces el vector unitario que tiene la misma dirección que a es 4 a a 1 a a u A fin de comprobar esto, sea c 1 a . Entonces u ca y c es un escalar positivo, de manera que u tiene la misma dirección que a. También, u EJEMPLO 6 ca 1 a a c a 1 Encuentre el vector unitario en la dirección del vector 2i j 2 k. SOLUCIÓN El vector dado tiene longitud 2i j s2 2 2k 1 2 2 s9 2 3 así, por la ecuación 4, el vector unitario con la misma dirección es 1 3 j 2i 2 3 2k i 1 3 j 2 3 k ฀ Aplicaciones 50° 32° 7¡ 7™ 100 50° 7¡ 7™ 50° 32° FIGURA 20 EJEMPLO 7 Una pesa de 100 libras cuelga de dos cables como se muestra en la figura 19. Determine las tensiones (fuerzas) T1 y T2 en ambos cables y sus magnitudes. SOLUCIÓN Primero se expresan T1 y T2 en términos de sus componentes horizontal y vertical. De la figura 20 se ve que FIGURA 19 Z Los vectores son útiles en muchos aspectos de la física y la ingeniería. En el capítulo 13 se verá cómo describir la velocidad y la aceleración de objetos que se mueven en el espacio. Aquí se examinan fuerzas. Una fuerza se representa mediante un vector porque tiene una magnitud (medida en libras o newtons) y una dirección. Si sobre un objeto actúan varias fuerzas, la fuerza resultante que experimenta el objeto es la suma vectorial de estas fuerzas. 32° 5 T1 6 T2 La resultante T1 T1 cos 50° i T2 cos 32° i T1 sen 50° j T2 sen 32° j T2 de las tensiones contrarresta el peso w y, por tanto, tenemos T1 T2 w 100 j Así, ( T1 cos 50° T2 cos 32°) i ( T1 sen 50° T2 sen 32° ) j 100 j 798 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Al igualar componentes, obtenemos T1 cos 50° T2 cos 32° T1 sen 50° T2 sen 32° 0 100 Al despejar T2 de la primera de estas ecuaciones y sustituir en la segunda, obtenemos T1 cos 50° sen 32° cos 32° T1 sen 50° 100 Así, las magnitudes de las tensiones son T1 T1 cos 50° cos 32° T2 y 100 tan 32° cos 50° sen 50° 85.64 libras 64.91 libras Al sustituir estos valores en 5 y 6 , obtenemos los vectores de tensión T1 65.60 j T2 55.05 i 34.40 j Ejercicios 12.2 1. ¿Las siguientes cantidades son vectores o escalares? Explique. a) b) c) d) 55.05 i El costo de un boleto de teatro. La corriente en un río. La trayectoria de vuelo inicial de Houston a Dallas. La población del mundo. 5. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar los siguientes vectores. a) u v c) v w b) u d) u w v e) v f) u w u w v 2. ¿Cuál es la relación entre el punto (4, 7) y el vector 4, 7 ? Ilustre con un bosquejo. X 3. Indique los vectores iguales en el paralelogramo mostrado. A B 6. Copie los vectores de la figura y utilícelos para dibujar los siguientes vectores. a) a b 1 c) 2 a e) a 2b E D b) a b d) 3b f ) 2b a C E 4. Escriba cada combinación de vectores como un solo vector. l a) AB l c) DB Z Y l BC l AB l b) CD l d) DC A l DB l CA D 7. En la figura, la punta de c y la cola de d están ambos en el l AB punto medio de QR. Exprese c y d en términos de a y b. P B D D C 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com Q E F G R SECCIÓN 12.2 8. Si los vectores de la figura satisfacen u u v 1y v 0, ¿qué es w ? w 32-33 Encuentre la magnitud de la fuerza resultante y el ángulo que forma con el eje x positivo. 32. X 799 VECTORES 33. y y 20 libras 200 N Z Y 0 45° 30° 300 N x 60° 0 16 libras x 9-14 Encuentre un vector a con la representación dada por el l l segmento de recta dirigido AB. Dibuje AB y la representación equivalente empezando en el origen. 9. A 1, 1 , 11. A 10. A B 3, 2 1, 3 , B 2, 2 13. A 0, 3, 1 , B 2, 3, 1 4, 1, B 1, 2 12. A 2, 1 , B 0, 6 14. A 4, 0, 2, B 4, 2, 1 15-18 Encuentre la suma de los vectores dados e ilustre geométricamente. 15. 1, 4 , 17. 3, 0, 1 , 6, 2 0, 8, 0 19-22 Encuentre a 19. a 4i 21. a i 22. a 2i j, 2j 4j b 18. 1, 3, 3, i 3 k, 3, 1 , 1, 5 2 , 3b, a y a 12 , b 5, 20. a b, 2a 16. 0, 0, 6 b 6 2j b 4 k, b 2i j 5k 2j k 34. La magnitud de un vector velocidad se llama rapidez. Suponga que un viento sopla desde la dirección N45 O a una rapidez de 50 km h. (Esto significa que la dirección desde la que sopla el viento es 45 al oeste de la dirección norte.) Un piloto dirige un avión en la dirección N60 E a una rapidez de aire (rapidez en aire tranquilo) de 250 km h. El curso verdadero, o ruta, del avión es la dirección de la resultante de los vectores de velocidad del avión y el viento. La rapidez absoluta del avión es la magnitud de la resultante. Encuentre el curso verdadero y la rapidez absoluta del avión. 35. Una mujer camina al oeste sobre la cubierta de un barco a 3 millas h. El barco se mueve al norte a una rapidez de 22 millas h. Encuentre la rapidez y la dirección de la mujer respecto a la superficie del agua. 36. Cuerdas de 3 m y 5 m de longitud están atadas a una estrella decorativa suspendida sobre una plaza principal. La decoración tiene una masa de 5 kg. Las cuerdas, sujetadas a distintas alturas, forman ángulos de 52 y 40 con la horizontal. Encuentre la tensión en cada cuerda y la magnitud de cada tensión 52° 3m 23-25 Halle un vector unitario que tenga la misma dirección que el 40° 5m vector dado. 23. 3i 25. 8 i 7j j 24. 4, 2, 4 4k 37. Un tendedero está atado entre dos postes separados 8 m. La 26. Determine un vector que tenga la misma dirección que 2, 4, 2 pero tiene longitud 6. 27-28 ¿Cuál es el ángulo entre el vector dado y la dirección positiva del eje x? 27. i s3 j 28. 8 i 38. La tensión T en cada extremo de la cadena tiene magnitud 25 N (véase la figura). ¿Cuál es el peso de la cadena? 6j 29. Si v se encuentra en el primer cuadrante y forma un ángulo ) 3 con el eje x positivo y v componentes. cuerda está bastante tensa y tiene una curvatura insignificante. Cuando se cuelga una camisa húmeda con una masa de 0.8 kg a la mitad de la cuerda, el punto medio baja 8 cm. Determine la tensión en cada mitad del tendedero. 37° 37° 4, determine v en forma de 30. Si un niño jala un trineo sobre la nieve con una fuerza de 50 N ejercida a un ángulo de 38 por arriba de la horizontal, encuentre las componentes horizontal y vertical de la fuerza. 31. Un mariscal de campo lanza un balón con ángulo de elevación de 40 y una rapidez de 60 pies s. Encuentre las componentes horizontal y vertical del vector velocidad. 39. Un lanchero quiere cruzar un canal que tiene 3 km de ancho y desembarcar a la orilla opuesta a 2 km río arriba del punto de partida. La corriente en el canal fluye a 3.5 km h y la rapidez de su lancha es de 13 km h. a) ¿En qué dirección debe dirigirse? b) ¿Cuánto tiempo le llevará el traslado? 800 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO 40. Tres fuerzas actúan sobre un objeto. Dos de las fuerzas 41. Encuentre los vectores unitarios que son paralelos a la recta tangente a la parábola y x 2 en el punto (2, 4). a la recta tangente a la curva y 2 sen x en el punto () 6, 1). b) Encuentre los vectores unitarios que son perpendiculares a la recta tangente. c) Trace la curva y 2 sen x y los vectores en los incisos a) y b), todos comenzando en () 6, 1). 43. Si A, B y C son los vértices de un triángulo, determine l BC l CA. 44. Sea C el punto sobre el segmento de recta AB que está al doble de distancia de B de lo que está de A. Si a l y c OC, demuestre que c 23 a 13 b. l OA , b 49. En la figura 16 se da una demostración geométrica de la propiedad 2 de los vectores. Use las componentes para dar una demostración algebraica de este hecho para el caso n 2. 50. Demuestre en forma algebraica la propiedad 5 de los vectores para el caso n 3. Después use triángulos semejantes para dar una demostración geométrica. 42. a) Encuentre los vectores unitarios que son paralelos l AB x, y , r1 x1, y1 ฀y r2 x2, y2 , describa el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que r r1 ฀ r r2 ฀k, r1 r2 . donde k 48. Si r están a un ángulo de 100 una de la otra y tienen magnitudes 25 N y 12 N. La tercera es perpendicular al plano de esas dos fuerzas y tiene una magnitud de 4 N. Calcule la magnitud de la fuerza que equilibraría exactamente las tres fuerzas. l OB 3, 2 , b 2, 1 ฀y c 7, 1 . b) Demuestre, por medio de un bosquejo, que hay escalares s y t tales que c sa t b. c) Use el bosquejo para estimar los valores de s y t. d) Encuentre los valores exactos de s y t. 45. a) Dibuje los vectores a 51. Use vectores para demostrar que la recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado y tiene la mitad de su longitud. 52. Suponga que los tres planos coordenados poseen espejos y que un rayo luminoso dado por el vector a a1, a2, a3 choca primero con el plano xz, como se muestra en la figura. Use el hecho de que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión para demostrar que la dirección del rayo reflejado está dada por b a1, a2, a3 . Deduzca que, después de ser reflejado por los tres espejos mutuamente perpendiculares, el rayo resultante es paralelo al rayo inicial. (Los científicos espaciales estadounidenses emplearon este principio, junto con rayos láser y una configuración de espejos esquinados sobre la Luna, para calcular de manera muy precisa la distancia de la Tierra a la Luna.) z 46. Suponga que a y b son vectores no nulos que no son paralelos y c es cualquier vector en el plano determinado por a y b. Dé un argumento geométrico para mostrar que c se puede escribir como c sa t b para escalares apropiados s y t. Después proporcione un argumento por medio de componentes. D 47. Si r x, y, z y r0 x0, y0, z0 , describa el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que r r0 ฀1. 12.3 E y x El producto punto Hasta ahora hemos sumado dos vectores y multiplicado un vector por un escalar. Surge la pregunta: ¿es posible multiplicar dos vectores de modo que su producto sea una cantidad útil? Una respuesta es el producto punto, cuya definición se da a continuación. Otro es el producto cruz, que se analiza en la siguiente sección. a 1, a 2 , a 3 y b 1 Definición Si a de a y b es el número a b dado por a b a 1 b1 b1, b2 , b3 , entonces el producto punto a 2 b2 a 3 b3 Así, para hallar el producto punto de a y b se multiplican las componentes correspondientes y se suman. El resultado no es un vector. Es un número real, es decir, un escalar. Por esta razón, el producto punto se llama a veces producto escalar (o producto interno). Aunque la definición 1 se da para vectores tridimensionales, el producto punto de vectores bidimensionales se define de un modo similar: a1, a2 ฀? b1, b2 a1 b1 a2 b2 SECCIÓN 12.3 v EL PRODUCTO PUNTO 801 EJEMPLO 1 2, 4 3, 1, 7, 4 i 2j 1 6, 2, 1 2 2j k 3k 23 4 1 1 6 10 2 4( 72 22 3 1 2 ) 1 6 7 El producto punto obedece muchas de las leyes que se cumplen para productos ordinarios de números reales. Éstas se expresan en el siguiente teorema. 2 Propiedades del producto punto Si a, b y c son vectores en V3 y c es un escalar, entonces 1. a a 3. a b 5. 0 a a c 0 2 2. a a b b 4. ca a c b b a ca b a cb Estas propiedades se demuestran fácilmente por medio de la definición 1. Por ejemplo, aquí están las demostraciones de las propiedades 1 y 3: 1. a 3. a a a12 b c a 22 a 32 a a1, a2, a3 2 b1 c1, b2 c2 , b3 c3 a 3 b3 c3 a 1 b1 c1 a 2 b2 c2 a 1 b1 a 1 c1 a 2 b2 a 2 c2 a 1 b1 a 2 b2 a 3 b3 a b a c a 3 b3 a 1 c1 a 3 c3 a 2 c2 a 3 c3 Las demostraciones de las demás propiedades se dejan como ejercicios. z B D-E E 0 ¨ x FIGURA 1 D A Al producto punto a ? b se le puede dar una interpretación geométrica en términos del ángulo . entre a y b, que se define como el ángulo entre las representaciones de a y b que empiezan en el origen donde 0 . ). En otras palabras, . es el ángulo entre los segl l mentos de recta OA y OB en la figura 1. Note que si a y b son vectores paralelos, entonces . 0 o . ). Los físicos emplean la fórmula del siguiente teorema como la definición del producto punto. y 3 Teorema Si u es el ángulo entre los vectores a y b, entonces a b DEMOSTRACIÓN b cos u a Si aplicamos la ley de los cosenos al triángulo OAB en la figura 1, obtenemos 4 AB 2 OA 2 OB 2 2 OA OB cos u (Observe que la ley de los cosenos aún se aplica en casos límite cuando . 0 o . ) o a 0 o b 0.) Pero OA a , OB b y AB a b , de modo que la ecuación 4 se convierte en 5 a b 2 a 2 b 2 2 a b cos u 802 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Al usar las propiedades 1, 2 y 3 del producto punto, se puede reescribir el lado izquierdo de esta ecuación como sigue: a 2 b a b a a a 2 a b a b b a 2a b b b b 2 Por tanto, la ecuación 5 da a 2 2a b b 2 a 2a b Así, b 2 a a b o bien, 2 2 b cos u 2 a b cos u b cos u a EJEMPLO 2 Si los vectores a y b tienen longitudes 4 y 6, y el ángulo entre ellos es ) 3, encuentre a ? b. SOLUCIÓN Con el teorema 3, se tiene a b b cos p 3 a 1 2 4 6 12 La fórmula del teorema 3 permite hallar también el ángulo entre dos vectores. Corolario Si u es el ángulo entre los vectores no cero a y b, entonces 6 a b a b cos u v EJEMPLO 3 Determine el ángulo entre los vectores a 2, 2, 1 yb 5, 3, 2 . SOLUCIÓN Puesto que a s2 2 22 1 2 s5 2 b y 3 3 2 22 s38 y puesto que a b 25 2 3 1 2 2 se tiene, del corolario 6, a b a b cos u 2 3s38 Así que el ángulo entre a y b es u cos 1 2 3s38 1.46 u 84° Los vectores no cero a y b se llaman perpendiculares u ortogonales si el ángulo entre ellos es . ) 2. Entonces el teorema 3 da a b a b cos (p
2) 0 SECCIÓN 12.3 EL PRODUCTO PUNTO 803 y a la inversa, si a ? b 0, entonces cos . 0, por tanto, . ) 2. El vector cero, 0, es considerado perpendicular a todos los vectores. En consecuencia, se tiene el siguiente método para determinar si dos vectores son ortogonales. 7 EJEMPLO 4 Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo si a b Demuestre que 2i 2j k es perpendicular a 5i 4j 2 k) 0. 4j 2 k. SOLUCIÓN Puesto que (2i D  D D  E DÃE
agudo E DÃE 
  E DÃE 
obtuso 2j k) ? (5i 2(5) 2( 4) ( 1)(2) 0 estos vectores son perpendiculares por 7 . Debido a que cos . 0 si 0 . ) 2 y cos . 0 si ) 2 . ), se ve que a ? b es positivo para . ) 2 y negativo para . ) 2. Se puede considerar a ? b como la magnitud a la que a y b apuntan en la misma dirección. El producto punto a ? b es positivo si a y b apuntan en la misma dirección general, 0 si son perpendiculares y negativo si apuntan en direcciones generalmente opuestas (véase la figura 2). En el caso extremo donde a y b apuntan en exactamente la misma dirección, se tiene . 0, así que cos . 1 y FIGURA 2 a?b TEC Visual 12.3A muestra una animación de la figura 2. a b Si a y b apuntan en exactamente direcciones opuestas, entonces . cos . 1ya?b a b . ) y, por tanto, ฀ Ángulos y cosenos directores Los ángulos directores de un vector a diferente de cero son los ángulos ,  y (en el intervalo [0, )]) que a forma con los ejes positivos x, y y z (véase la figura 3). Los cosenos de estos ángulos directores, cos , cos  y cos , se llaman cosenos directores de un vector a. Si se emplea el corolario 6 con b en lugar de i, obtenemos   D  8
 a i a i cos a  a1 a   FIGURA 3 (Esto también se puede ver directamente de la figura 3.) De manera similar, se tiene también 9 cos b a2 a a3 a cos g Al elevar al cuadrado las expresiones de las ecuaciones 8 y 9 y sumar, vemos que 10 cos 2 a cos 2 b cos 2 g 1 Se pueden usar también las ecuaciones 8 y 9 para escribir a a 1, a 2 , a 3 a cos , a cos , a cos a cos , cos , cos 804 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Por tanto, 1 a a 11 cos a, cos b, cos g la cual dice que los cosenos directores de a son las componentes del vector unitario en la dirección de a. EJEMPLO 5 Encuentre los ángulos directores del vector a s1 SOLUCIÓN Puesto que a cos a 2 2 1 s14 2 3 2 s14 cos b 1, 2, 3 . s14 , las ecuaciones 8 y 9 dan 2 cos g 3 s14 y, por tanto, a cos 1 1 s14 74° b cos 1 2 s14 g 58° cos 1 3 s14 37° ฀ Proyecciones TEC Visual 12.3B muestra cómo cambia la figura 4 cuando se hace variar a y b. R E D Q S P projD E a?b R E a b cos . Q b cos u projD E FIGURA 4 Proyecciones de vectores a b a D Q S
E
cos ¨ =compD E FIGURA 5 Proyección escalar b cos .) a a Proyección escalar de b sobre a: compa b a b a Proyección vectorial de b sobre a: proja b a b a E P ( b la componente de b a lo largo de a se calcula tomando el producto punto de b con el vector unitario en la dirección de a. Estas ideas se resumen como sigue. R ¨ a muestra que el producto punto de a y b se puede interpretar como la longitud de a multiplicada por la proyección escalar de b sobre a. Puesto que D P S l l En la figura 4 se muestran las representaciones PQ y PR de dos vectores a y b con el l mismo punto inicial P. Si S es el pie de la perpendicular de R a la recta que contiene a PQ, l entonces el vector con representación PS se llama vector proyección de b sobre a y se denota por proya b. (Podemos pensarlo como una sombra de b.) La proyección escalar de b sobre a (llamada también la componente de b a lo largo de a) se define como la magnitud de la proyección vectorial, que es el número b cos ., donde . es el ángulo entre a y b. (Véase la figura 5.) Esto se denota por compa b. Observe que es negativa si ) 2 . ). La ecuación a a a b a a 2 Observe que la proyección vectorial es la proyección escalar multiplicada por el vector unitario en la dirección de a. SECCIÓN 12.3 v EL PRODUCTO PUNTO Halle la proyección escalar y la proyección vectorial de b 2, 3, 1 . EJEMPLO 6 sobre a SOLUCIÓN Puesto que a s 2 2 32 805 1, 1, 2 s14 , la proyección escalar de b 12 sobre a es a b a compa b 2 1 31 s14 12 3 s14 La proyección vectorial es esta proyección escalar multiplicada por el vector unitario en la dirección de a: 3 s14 proja b ) Q ' 3 9 3 , , 7 14 14 F cos .) D Pero entonces, del teorema 3, se tiene 12 FIGURA 6 ( W S P 3 a 14 Un uso de las proyecciones se presenta en física al calcular el trabajo. En la sección 6.4 se define el trabajo hecho por una fuerza constante F al mover un objeto por una distancia d como W Fd, pero esto se aplica sólo cuando la fuerza se dirige a lo largo de la recta de movimiento del objeto. Sin embargo, supongamos que la fuerza constante es un vector l F PR que apunta en alguna otra dirección como en la figura 6. Si la fuerza mueve el l objeto de P a Q, entonces el vector de desplazamiento es D PQ. El trabajo hecho por esta fuerza se define como el producto de la componente de la fuerza a lo largo de D y la distancia recorrida: R ¨ a a F W D cos u F D Así, el trabajo hecho por una fuerza constante F es el producto punto F ? D, donde D es el vector de desplazamiento. 35° EJEMPLO 7 Un carrito es jalado una distancia de 100 m a lo largo de una trayectoria horizontal por una fuerza constante de 70 N. La manija del carrito se mantiene a un ángulo de 35° sobre la horizontal. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza. SOLUCIÓN Si F y D son los vectores de fuerza y de desplazamiento, como se ilustra ) en la figura 7, entonces el trabajo hecho es 35° ' FIGURA 7 W F D F D cos 35° 70 100 cos 35° 5 734 N m 5 734 J EJEMPLO 8 Una fuerza está dada por un vector F 3i 4 j 5k y mueve una partícula del punto P(2, 1, 0) al punto Q(4, 6, 2). Encuentre el trabajo realizado. l SOLUCIÓN El vector de desplazamiento es D PQ 2, 5, 2 , así que por la ecuación 12, el trabajo hecho es W F D 3, 4, 5 6 10 20 2, 5, 2 36 Si la unidad de longitud está en metros y la magnitud de la fuerza se mide en newtons, entonces el trabajo hecho es 36 joules (J). 806 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Ejercicios 12.3 1. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son significativas? ¿Cuáles carecen de sentido? Explique. a) a b c b) a b c c) a b c d) a b c e) a b c f) a b c 21-22 Encuentre, con una aproximación hasta el grado más próximo, los tres ángulos del triángulo con los vértices dados. 21. P 2, 0 , Q 0, 3 , R 3, 4 22. A 1, 0, 1 , B 3, 2, 0 , C 1, 3, 3 2-10 Encuentre a ? b 2. a 2, 3 , b 0.7, 1.2 3. a 2, 13 , b 5, 12 4. a 6, 5. a 4, 1, 6. a p, 7. a 2i 8. a b 2, 3 , 3i 1 4 b , b j, i b 2j 2, 5, 1 3, 8 6, p, 2p , k, 23-24 Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguno. 2q, q, j 9. a 6, b 5, 10. a 3, b s6 , 5, 3, 7 , b 6, 8, 2 4, 6 , b 3, 2 i 2 j 5 k, b 3 i 4 j k 2 i 6 j 4 k, b 3i 9 j 6k b) a c) a d) a q 24. a) u k 4i b 23. a) a b) u c) u 5k i el ángulo entre a y b es 45° 11-12 Si u es un vector unitario, encuentre u ? v y u ? w. 11. 25. Use vectores para decidir si el triángulo con vértices 3, 2, 1, Y 30. x 13. a) Demuestre que i ? j j?k j?j b) Demuestre que i ? i k?i k?k 0. 1. 14. Un vendedor ambulante vende a hamburguesas, b hot dogs y c bebidas carbonatadas en un día dado. Cobra $2 por una hamburguesa, $1.50 por un hot dog y $1 por una bebida carbonatada. Si A a, b, c y P 2, 1.5, 1 , ¿cuál es el significado del producto punto A ? P? 15-20 Encuentre el ángulo entre los vectores. (Primero encuentre una expresión exacta y luego aproxime hasta el grado más próximo.) b 2, 5 , 17. a 3, 18. a 4, 0, 2 , 20. a i 2, b 2j 1 k. 3, 4 . b 2, 2 k, b 4i 3k 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 7 2y 7, 5x y 2 sen x, y x3 cos x, 0 p2 x 33-37 Halle los cosenos directores y los ángulos directores del vector. (Dé los ángulos directores con una aproximación hasta el grado más próximo.) 34. 2, 1, 2 37. k y 32. y 1, 0 2i 3x x 2, y 35. i b 3, 31. y 2, 4, 3 k, y 31-32 Encuentre los ángulos agudos entre las curvas en sus puntos de intersección. (El ángulo entre dos curvas es el ángulo entre sus rectas tangentes en el punto de intersección.) 33. 5, 12 b 1, 5 , 3j jei 29-30 Encuentre el ángulo agudo entre las rectas. 29. 2x 4i 5) es rectángulo. 1 y 1, x, 0 es de 45 . con v Z 19. a 2, 28. Encuentre dos vectores unitarios que forman un ángulo de 60 Z 16. a 4) y R(6, 27. Encuentre un vector unitario que es ortogonal a i Y 4, 3 , 2), Q(2, 0, 26. Encuentre los valores de x tales que el ángulo entre los vectores X 12. 15. a 4, 12, 8 2i j k b, a, 0 el ángulo entre a y b es 2p 3 P(1, X 3, 9, 6 , v j 2 k, v a, b, c , v 2j c, c, c , 36. 3k donde c 6, 3, 1 2 i 2 j k 0 38. Si un vector tiene ángulos directores  encuentre el tercer ángulo director . ) 4y ) 3, SECCIÓN 12.3 39-44 Encuentre las proyecciones escalar y vectorial de b sobre a. 39. a 5, 12 , b EL PRODUCTO PUNTO 55. Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus aristas. 4, 6 56. Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una 40. a 1, 4 , b 41. a 3, 6, 2 , 42. a 43. a 2i 44. a i 2, 3 b 6 , b j 4 k, b k, b 57. Una molécula de metano, CH4, está estructurada con los cuatro 1, 2, 3 2, 3, j diagonal de una de sus caras. 5, 1 2 j i 1, 4 j k k 45. Demuestre que el vector orta b b proya b es ortogonal a a. (Se llama proyección ortogonal de b.) átomos de hidrógeno en los vértices de un tetraedro regular y el átomo de carbono en el centroide. El ángulo de enlace es el ángulo formado por la combinación H—C—H; es el ángulo entre las rectas que unen el átomo de carbono con dos de los átomos de hidrógeno. Demuestre que el ángulo de enlace es aproximadamente 109.5 . [Sugerencia: tome los vértices del tetraedro como los puntos (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y (1, 1, 1), como se muestra en la figura. Entonces el centroide 1 1 1 es ( 2 , 2 , 2 ) .] z 46. Para los vectores del ejercicio 40, encuentre orta b e ilustre H dibujando los vectores a, b, proya b y orta b. 47. Si a compa b 3, 0, 1 , encuentre el vector b tal que 2. H C H y 48. Suponga que a y b son vectores no cero. a) ¿Bajo qué circunstancias compa b compb a? b) ¿En qué circunstancias proya b proyb a? 49. Encuentre el trabajo realizado por una fuerza F 8i 6 j 9k que mueve un objeto del punto (0, 10, 8) al punto (6, 12, 20) a lo largo de una línea recta. La distancia se mide en metros y la fuerza en newtons. 50. Un camión de remolque arrastra un auto a lo largo de un camino. La cadena forma un ángulo de 30 con el camino y la tensión en la cadena es de 1500 N. ¿Cuánto trabajo es realizado por el camión al tirar del auto 1 kilómetro? 51. Un trineo es jalado por una cuerda a lo largo de un sendero nivelado. Una fuerza de 30 libras que actúa a un ángulo de 40 sobre la horizontal mueve el trineo 80 pies. Encuentre el trabajo realizado por la fuerza. 52. Un bote navega al sur con ayuda de un viento que sopla en la dirección S36E con magnitud de 400 libras. Encuentre el trabajo realizado por el viento cuando el bote se mueve 120 pies. 53. Use una proyección escalar para demostrar que la distancia de un punto P1(x1, y1) a la recta ax a x1 sa 2 by by1 c 0 es c b2 Use esta fórmula para hallar la distancia del punto ( 2, 3) a la recta 3x 4y 5 0. 54. Si r 807 x, y, z , a a1, a2, a3 y b b1, b2, b3 , demuestre que la ecuación vectorial (r a) ? (r b) 0 representa una esfera, y determine su centro y radio. H x 58. Si c a b b a, donde a, b y c son los vectores no cero, demuestre que c biseca el ángulo entre a y b. 59. Demuestre las propiedades 2, 4 y 5 del producto punto (teorema 2). 60. Suponga que los lados de un cuadrilátero son de igual longitud y los lados opuestos son paralelos. Use métodos vectoriales para demostrar que las diagonales son perpendiculares. 61. Use el teorema 3 para demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz: a?b ฀ a b 62. La desigualdad del triángulo para vectores es b ฀ a a b a) Dé una interpretación geométrica de la desigualdad del triángulo. b) Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz del ejercicio 61 para demostrar la desigualdad del triángulo. [Sugerencia: use el hecho de que a b 2 (a b) ? (a b) y emplee la propiedad 3 del producto punto.] 63. La ley del paralelogramo establece que a b 2 a b 2 2 a 2 2 b 2 a) Dé una interpretación geométrica de la ley del paralelogramo. b) Demuestre la ley del paralelogramo. (Véase la sugerencia del ejercicio 62.) 64. Demuestre que si u v y u v son ortogonales, entonces los vectores u y v deben tener la misma longitud. 808 12.4 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO El producto cruz Dados dos vectores no cero a a1, a2, a3 y b b1, b2, b3 es muy útil disponer de un vector no cero c que sea perpendicular a a y b, como veremos en la siguiente sección y en los capítulos 13 y 14. Si c c1, c2, c3 es tal vector, entonces a ? c 0 y b ? c 0, de manera que 1 a1c1 a2 c2 a3c3 0 2 b1c1 b 2 c2 b 3c3 0 Para eliminar c3, multiplicamos 1 por b3 y 2 por a3 y restamos: 3 a1b 3 a3 b1 c1 La ecuación 3 tiene la forma pc1 Así que una solución de 3 es c1 a3 b2 c2 0 0 en la que una solución obvia es c1 qc2 a2 b3 a2 b 3 a3 b2 c2 a3 b1 q y c2 p. a1 b3 Sustituyendo estos valores en 1 y 2 , obtenemos c3 a1 b2 a2 b1 Esto significa que un vector perpendicular a a y b es c1, c2, c3 ฀ ฀ a2 b3 Hamilton El producto cruz fue inventado por el matemático irlandés Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), quien a su vez fue precursor de los vectores llamados cuaterniones. Cuando tenía cinco años de edad, Hamilton podía leer en latín, griego y hebreo. A la edad de ocho años, agregó el francés y el italiano, y cuando tenía 10 años podía leer en árabe y sánscrito. A los 21 años, recién graduado del Trinity College en Dublín, Hamilton fue nombrado profesor de astronomía en la University and Royal Astronomer of Ireland. a3 b2, a3 b1 a1 b3, a1 b2 a2 b1 El vector resultante se llama producto cruz de a y b y se denota por a 4 Definición Si a a y b es el vector a a 1, a 2 , a 3 y b b b1, b2 , b3 , entonces el producto cruz de a 3 b2 , a 3 b1 a 2 b3 b. a 1 b3 , a 1 b2 a 2 b1 Note que el producto cruz a b de dos vectores a y b, a diferencia del producto escalar, es un vector. Por esta razón también se le llama producto vectorial. Observe que a b está definido sólo cuando a y b son vectores en tres dimensiones. A fin de hacer la definición 4 más fácil de recordar, se usa la notación de determinantes. Un determinante de orden 2 se define mediante a b c d 2 6 Por ejemplo, 1 4 ad 24 bc 1 6 14 Un determinante de orden 3 se puede definir en términos de determinantes de segundo orden como sigue: 5 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 a1 b2 b3 c2 c3 a2 b1 b3 c1 c3 a3 b1 b2 c1 c2 SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 809 Observe que en cada término del lado derecho de la ecuación 5 hay un número ai en el primer renglón del determinante, y ai se multiplica por el determinante de segundo orden obtenido del lado izquierdo al eliminar el renglón y la columna en la que aparece ai. Observe también el signo menos en el segundo término. Por ejemplo, 1 3 5 2 0 4 1 1 2 0 4 1 1 2 2 4 26 10 3 5 1 2 3 5 1 5 1 12 0 4 0 38 Si ahora se reescribe la definición 4 usando los determinantes de segundo orden y los vectores base estándar i, j y k, se ve que el producto cruz de los vectores a ฀a1 i a2 j a3 k y b ฀b1 i b2 j b3 k es 6 a a2 b2 b a3 i b3 a1 b1 a3 j b3 a1 b1 a2 k b2 En vista de la similitud entre las ecuaciones 5 y 6, se escribe con frecuencia 7 a i j k a1 a2 a3 b1 b2 b3 b Aunque el primer renglón del determinante simbólico en la ecuación 7 consta de vectores, si se desarrolla como si fuese un determinante ordinario por medio de la regla de la ecuación 5, se obtiene la ecuación 6. La fórmula simbólica de la ecuación 7 es probablemente la forma más fácil de recordar y calcular productos cruz. v EJEMPLO 1 a Si a 1, 3, 4 y b i j 1 3 2 7 b 3 7 EJEMPLO 2 SOLUCIÓN Si a a 5 , entonces k 4 5 4 i 5 1 2 4 j 5 28 i 15 v 2, 7, Demuestre que a 1 2 3 k 7 5 8 j a 0 para cualquier vector a en V3. 7 6 k 43i 13j a1, a2, a3 , entonces a i j k a1 a2 a3 a1 a2 a3 a3a2 i a2a3 0i 0j 0k a1a3 0 a3a1 j a1a2 a2a1 k k 810 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Construimos el producto cruz a b de manera que sea perpendicular a a y b. Ésta es una de las propiedades más importantes de un producto cruz, por lo que lo enfatizamos y verificamos en el siguiente teorema dando una demostración formal: 8 Teorema El vector a b es ortogonal a a y b. A fin de demostrar que a punto como sigue: b es ortogonal a a, calculamos su producto DEMOSTRACIÓN a b a2 b2 a a3 a1 b3 a1 b1 a3 a2 b3 a1 b1 a2 a3 b2 a 1 a 2 b3 a 3 b2 a 2 a 1 b3 a 3 b1 a 3 a 1 b2 a 1 a 2 b3 a 1 b2 a 3 a 1 a 2 b3 b1 a 2 a 3 a 2 b1 a 1 b2 a 3 b1 a 2 a 3 0 Un cálculo similar demuestra que (a a y b. Q ¨ E FIGURA 1 9 La regla de la mano derecha da la dirección de DxE. Teorema Si u es el ángulo entre a y b (de modo que 0 a TEC Visual 12.4 muestra cómo cambia a cuando cambia b. b b a b 2 a 2 b3 2 a 3 b2 a 22b 32 a 3 b1 a12 a 22 2 a 32b12 2a 1 a 2 b1 b2 a 22b12 a 32 b 12 a 2 b 2 a b a 2 b 2 a a 2 b 2 a 2 b 2 sen2 u 2 a 1 b3 b 22 b 32 a 1 b2 a 2 b1 2a 1 a 3 b1 b3 a 1 b1 a 2 b2 2 a12 b 23 a 3 b3 2 2 b 2 cos 2 u (por el teorema 12.3.3) cos 2 u 1 Al tomar las raíces cuadradas y observar que ssen 2 u 0 . ), se tiene b p), entonces b sen u a 32 b 22 2a 2 a 3 b2 b3 a12 b 22 ฀ u De las definiciones del producto cruz y la longitud de un vector, se tiene DEMOSTRACIÓN a Caracterización geométrica de a b es ortogonal a Si a y b se representan mediante segmentos de recta dirigidos con el mismo punto inicial (como en la figura 1), entonces el teorema 8 dice que el producto cruz a b apunta en una dirección perpendicular al plano de a y b. Resulta que la dirección de a b está dada por la regla de la mano derecha: si los dedos de su mano derecha se curvan en la dirección (por un ángulo menor de 180 ) de a a b, entonces su dedo pulgar apunta en la dirección de a b. Ahora que se conoce la dirección del vector a b, lo último que se necesita para completar su descripción geométrica es su longitud a b . Ésta se determina mediante el siguiente teorema. DxE D 0. Por tanto, a b) ? b a b sen u, como sen . 0 cuando a ฀ b sen . Puesto que un vector se determina por completo mediante su magnitud y dirección, ahora se puede decir que a b es el vector que es perpendicular a a y b, cuya orientación SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ se determina por la regla de la mano derecha, y cuya longitud es a así es exactamente como los físicos definen a b. 811 b sen .. De hecho, 10 Corolario Dos vectores no cero a y b son paralelos si y sólo si a b 0 Dos vectores no cero a y b son paralelos si y sólo si . cualquier caso sen . 0, así que a b 0 y, por tanto, a b 0. DEMOSTRACIÓN E 0 o ). En La interpretación geométrica del teorema 9 se puede ver examinando la figura 2. Si a y b se representan mediante segmentos de recta dirigidos con el mismo punto inicial, entonces determinan un paralelogramo con base a , altitud b sen . y área
E
sen ¨ ¨ FIGURA 2 ( a A D b sen u) a b Así, se tiene la siguiente forma de interpretar la magnitud de un producto cruz. La longitud del producto cruz a por a y b. b es igual al área del paralelogramo determinado EJEMPLO 3 Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos P(1, 4, 6), Q( 2, 5, 1) y R(1, 1, 1). l l l l SOLUCIÓN El vector PQ PR es perpendicular a PQ y PR , por tanto, es perpendicular al plano a través de P, Q y R. Se sabe de (12.2.1) que l PQ l PR 2 1 i 1 i 1 5 4 j 1 4 j 6 k 1 6 k 1 j 3i 5j 7k 5k Se calcula el producto cruz de estos vectores: l PQ l PR i 3 0 j 1 5 5 35 i k 7 5 15 0 j 0 k 15 40 i 15 j 15k Así que el vector 40, 15, 15 es perpendicular al plano dado. Cualquier múltiplo escalar no cero de este vector, tal como 8, 3, 3 , también es perpendicular al plano. EJEMPLO 4 R(1, Encuentre el área del triángulo con vértices P(1, 4, 6), Q( 2, 5, 1) y 1, 1). l l PR 40, 15,15 . El área del paralelogramo con lados adyacentes PQ y PR es la longitud de este producto cruz: SOLUCIÓN En el ejemplo 3 se calculó que PQ l PQ l PR s 40 2 15 2 15 2 5s82 El área A del triángulo PQR es la mitad del área de este paralelogramo, es decir, 5 2 s82 . 812 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Si se aplican los teoremas 8 y 9 a los vectores base estándar i, j y k con . obtiene i j j i k k j k k j i i k i i k ) 2, se j j Observe que i j j i Así, el producto cruz no es conmutativo. También, (i i j) i k j mientras que (i i) j 0 j 0 Así, la ley asociativa para la multiplicación por lo común no se cumple; es decir, en general, (a b) c a (b c) Sin embargo, algunas de las leyes usuales del álgebra se cumplen para el producto cruz. En el siguiente teorema se resumen las propiedades de los productos vectoriales. 11 Teorema Si a, b y c son vectores y c es un escalar, entonces 1. a b b a c(a 3. a (b c) a 4. (a b) c a 5. a b c a b c a 6. a 2. (ca) b b) b c b cb a a b c (cb) c c a bc Estas propiedades se pueden demostrar si se escriben los vectores en términos de sus componentes y se usa la definición de un producto cruz. Se da una demostración de la propiedad 5 y se dejan las demostraciones restantes como ejercicios. Si a a1, a2, a3 , b a 1 b2 c3 b3 c2 a 2 b3 c1 b1 c3 a 1 b2 c3 a 1 b3 c2 a 2 b3 c1 a 2 b1 c3 a 2 b3 a 3 b2 c1 a 3 b1 DEMOSTRACIÓN DE LA PROPIEDAD 5 b1, b2, b3 y c c1, c2, c3 , entonces 12 a b c a b a 1 b3 c2 a 3 b1 c2 a 3 b1 c2 a 1 b2 b2 c1 a 3 b2 c1 a 2 b1 c3 c ฀ Productos triples El producto a ? (b c) que se presenta en la propiedad 5 se denomina triple producto escalar de los vectores a, b y c. Observe de la ecuación 12 que se puede escribir el triple producto escalar como un determinante: 13 a b c a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 SECCIÓN 12.4 EL PRODUCTO CRUZ 813 El significado geométrico del triple producto escalar se puede ver considerando el paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c (véase la figura 3). El área de la base del paralelogramo es A b c . Si . es el ángulo entre a y b c, entonces la altura h del paralelepípedo es h a cos . . (Se debe usar cos . en lugar de cos . en caso de que . ) 2). Por tanto, el volumen del paralelepípedo es ExF h ¨ D F E V c ฀ a ฀ ฀cos . ฀ b Ah ฀a ? (b c) FIGURA 3 Así, se ha demostrado la fórmula siguiente. 14 El volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c es la magnitud de su triple producto escalar: a V b c Si se usa la fórmula en 14 y se descubre que el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c es 0, entonces los vectores deben estar en el mismo plano; es decir, son coplanares. v a Use el triple producto escalar para demostrar que los vectores 7,b 2, 1, 4 y c 0, 9, 18 son coplanares. EJEMPLO 5 1, 4, SOLUCIÓN Se usa la ecuación 13 para calcular su triple producto escalar: a b 1 2 0 c 1 4 1 9 1 9 1 18 7 4 18 4 18 2 0 4 4 36 7 4 18 18 7 2 0 1 9 0 Por tanto, por 14 el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c es 0. Esto significa que a, b y c son coplanares. El producto a (b c) que se presenta en la propiedad 6 se denomina triple producto vectorial de a, b y c. La propiedad 6 se usará para deducir en el capítulo 13, la primera ley de Kepler de movimiento planetario. Su demostración se deja para el ejercicio 50. ฀ Torque La idea de producto cruz se presenta con frecuencia en física. En particular, se considera una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido en un punto fijado por un vector de posición r. (Por ejemplo, si se aprieta un perno aplicando una fuerza a una llave como en la figura 4, se produce un efecto de giro.) El torque  (relativo al origen) se define como el producto cruz de los vectores de posición y fuerza
U ) FIGURA 4 r  ¨ F y mide la tendencia del cuerpo a girar en torno al origen. La dirección del vector torque indica el eje de rotación. De acuerdo con el teorema 9, la magnitud del vector torque es  r F r F sen . 814 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO donde . es el ángulo entre los vectores de posición y fuerza. Observe que la única componente de F que puede causar rotación es la que es perpendicular a r, es decir, F sen .. La magnitud del torque es igual al área del paralelogramo determinado por r y F. EJEMPLO 6 Se aprieta un perno aplicando una fuerza de 40 N a una llave de 0.25 m como se muestra en la figura 5. Encuentre la magnitud del torque respecto al centro del perno. 75° 0.25 m SOLUCIÓN La magnitud del vector torque es 40 N T r F r 10 sen 75° F sen 75° 0.25 40 sen 75° 9.66 N m Si el perno tiene cuerda derecha, entonces el vector torque es FIGURA 5  n  9.66 n donde n es un vector unitario con dirección hacia la página. Ejercicios 12.4 1-7 Encuentre el producto cruz a b y compruebe que es ortogonal a a y b. 1. a 6, 0, 2. a 1, 1, i 3j 4. a j 7 k, b 5. a i j 6. a ti 8. Si a a 2i k, b cos t j t, 1, 1 t , i j 1 2 i | X|=12 j 1 2 k i sen t j cos t k t 2, t 2, 1 16. En la figura se muestra un vector a en el plano xy y un vector b en la dirección de k. Sus longitudes son a 3y b a) Encuentre a b . b) Use la regla de la mano derecha para decidir si las componentes de a b son positivas, negativas o 0. i 2 k y b j k, encuentre a b. Trace a, b y b como vectores que se inician en el origen. 11. ( j k) k (k i) 10. k (i 2 j) 12. (i j) (i E D En caso afirmativo, diga si es un vector o un escalar. a) a ? (b c) b) a (b ? c) c) a (b c) d) a ? (b ? c) e) (a ? b) (c ? d) f) (a b) ? (c d) 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com x j) 13. Diga si cada expresión tiene sentido. Si no, explique por qué. 2. z propiedades de productos cruz. j) 120° 4k 9-12 Encuentre el vector, no con determinantes, sino usando 9. (i | Y|=16 15. | X|=4 5k sen t k, b b v está dirigido hacia 45° 2, 4, 6 2 k, b | Y|=5 14. 0, 8, 0 b 1 , 3. a 7. a b 2 , 14-15 Encuentre u v y determine si u la página o hacia afuera de ésta. 17. Si a 2, 18. Si a a (b 1, 3 y b 1, 0, 1 , b c) (a y 4, 2, 1 , encuentre a 2, 1, 1 y c b) c. byb 0, 1, 3 demuestre que 19. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a 3, 2, 1 y 1, 1, 0 . a. SECCIÓN 12.4 20. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales a j 21. Demuestre que 0 a 0 kei j. 0 para cualquier vector a a fuerza de 36 libras como se muestra. 0 para todos los vectores a y b b) ? b en V3. 815 40. Determine la magnitud del torque respecto a P si se aplica una en V3. 22. Demuestre que (a EL PRODUCTO CRUZ 4 pies P 23. Demuestre la propiedad 1 del teorema 11. 4 pies 24. Demuestre la propiedad 2 del teorema 11. 25. Demuestre la propiedad 3 del teorema 11. 30° 36 libras 26. Demuestre la propiedad 4 del teorema 11. 27. Encuentre el área del paralelogramo con vértices A( 2, 1), B(0, 4), C(4, 2) y D(2, 1). 41. Una llave de 30 cm de largo está a lo largo del eje y positivo 28. Encuentre el área del paralelogramo con vértices K(1, 2, 3), L(1, 3, 6), M(3, 8, 6) y N(3, 7, 3). 29-32 a) Encuentre un vector no cero ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q y R, y b) determine el área del triángulo PQR. 29. P(1, 0, 1), 30. P(0, 0, Q( 2, 1, 3), R(4, 2, 5) 3), Q(4, 2, 0), R(3, 3, 1) 2, 0), Q(4, 1, 31. P(0, 32. P( 1, 3, 1), 2), R(5, 3, 1) Q(0, 5, 2), R(4, 3, y sujeta un perno en el origen. Se aplica una fuerza en la dirección 0, 3, 4 y al final de la llave. Encuentre la magnitud de la fuerza necesaria para suministrar 100 N ? m de torque al perno. 42. Sea v 5j y sea u un vector con longitud 3 que empieza en el origen y gira en el plano xy. Encuentre los valores máximo y mínimo de la longitud del vector u v. ¿En qué dirección apunta u v? 43. Si a b 1) a y b. s3 y a 1, 2, 2 , encuentre el ángulo entre b 44. a) Encuentre todos los vectores v tales que 1, 2, 1 33-34 Encuentre el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b, y c. 33. a 1, 2, 3 , b 34. a i j, b 1, 1, 2 , j k, c c i 5 b) Explique por qué no existe un vector v tal que 2, 1, 4 j 3, 1, v 1, 2, 1 k 3, 1, 5 v 45. a) Sea P un punto fuera de la recta L que pasa por los puntos 35-36 Halle el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS. 35. P( 2, 1, 0), 36. P(3, 0, 1), Q(2, 3, 2), R(1, 4, Q( 1, 2, 5), R(5, 1, 1), 1), Q y R. Demuestre que la distancia d desde el punto P a la recta L es S(3, 6, 1) a d S(0, 4, 2) l l 37. Use el triple producto escalar para verificar que los vectores u i 5j coplanares. 2 k, v 3i jyw 5i 9j 4k son 38. Use el triple producto escalar para determinar si los puntos A(1, 3, 2), B(3, mismo plano. 1, 6), C(5, 2, 0) y D(3, 6, 4) están en el donde a QR y b QP. b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta que pasa por Q(0, 6, 8) y R( 1, 4, 7). 46. a) Sea P un punto fuera del plano que pasa por los puntos Q, R y S. Demuestre que la distancia d desde P al plano es 60 N 70° a d 39. Un pedal de bicicleta es empujado por un pie con una fuerza de 60 N como se ilustra. El eje del pedal es de 18 cm de largo. Encuentre la magnitud del torque respecto a P. P b a l c b l l donde a QR, b QS y c QP. b) Use la fórmula del inciso a) para hallar la distancia desde el punto P(2, 1, 4) al plano que pasa por los puntos Q(1, 0, 0), R(0, 2, 0) y S(0, 0, 3). 47. Demuestre que a 10° b a 48. Si a b b 2 a 2 b (a ? b)2. 2 0, demuestre que c a b b c c a 816 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO 49. Demuestre que (a (a b) 2(a b) 54. Si v1, v2 y v3 son vectores no coplanares, sean b). 50. Demuestre la propiedad 6 del teorema 11, es decir, (b a (a ? c)b c) k1 (a ? b)c v2 v1 v3 v2 v3 51. Use el ejercicio 50 para demostrar que a (b c) b (c a) c (a b) 0 52. Demuestre que a b c a c a d d b c b d 53. Suponga que a 0. a) Si a ? b a ? c, ¿se deduce que b c? b) Si a b a c, ¿se deduce que b c? c) Si a ? b a ? c y a b a c ¿se deduce que b PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO v1 k3 c? v3 k2 v1 v1 v1 v2 v3 v2 v2 v3 (Estos vectores aparecen en el estudio de la cristalografía. Vectores de la forma n1v1 n2v2 n3v3, donde cada ni es un entero, forman un retículo para un cristal. Vectores escritos de manera similar en términos de kl, k2 y k3 forman el retículo recíproco). a) Demuestre que ki es perpendicular a vj si i j. b) Demuestre que ki ? vi 1 para i 1, 2, 3. 1 . c) Demuestre que k1 k 2 k 3 v1 v2 v3 GEOMETRÍA DE UN TETRAEDRO Un tetraedro es un sólido con cuatro vértices P, Q, R y S, y cuatro caras triangulares, como se muestra en la figura. 1. Sean v1, v2, v3 y v4 vectores con longitudes iguales a las áreas de las caras opuestas a los P vértices P, Q, R y S, respectivamente, y direcciones perpendiculares a las caras respectivas y que apuntan hacia afuera. Demuestre que v1 S Q R v2 v3 v4 0 2. El volumen V de un tetraedro es un tercio de la distancia de un vértice a la cara opuesta, multiplicada por el área de la cara. a) Encuentre una fórmula para el volumen de un tetraedro en términos de las coordenadas de sus vértices P, Q, R y S. b) Encuentre el volumen del tetraedro cuyos vértices son P(1, 1, 1), Q(1, 2, 3), R(1, 1, 2) y S(3, 1, 2). 3. Suponga que el tetraedro de la figura tiene un vértice trirrectangular S. (Esto significa que los tres ángulos en S son ángulos rectos.) Sean A, B y C las áreas de las tres caras que satisfacen a S, y sea D el área de la cara opuesta PQR. Por medio del resultado del problema 1, o de otro modo, demuestre que D2 A2 B2 C2 (Ésta es una versión tridimensional del teorema de Pitágoras.) 12.5 Ecuaciones de rectas y planos Una recta en el plano xy se determina cuando se dan un punto sobre la recta y la dirección de ésta (su pendiente o ángulo de inclinación). La ecuación de la recta se puede escribir entonces con la forma punto-pendiente. De igual forma, una recta L en el espacio tridimensional se determina cuando se conoce un punto P0(x0, y0, z0) sobre L y la dirección de L. En tres dimensiones la dirección de una recta se describe convenientemente por un vector, así que sea v un vector paralelo a L. Sea P(x, y, z) un punto arbitrario sobre L y sean r0 y r los vectores de posición de P0 y P SECCIÓN 12.5 L O U¸ U Y 817 l (es decir, tienen representaciones OP0 y OP ). Si a es el vector con representación P0 P, como en la figura 1, entonces la ley del triángulo para la suma de vectores da r r0 a. Pero, puesto que a y v son vectores paralelos, hay un escalar t tal que a t v. Así, z P¸(x¸, y¸, z¸) D ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS P(x, y, z) 1 r r0 tv x y que es una ecuación vectorial de L. Cada valor del parámetro t da el vector de posición r de un punto sobre L. En otras palabras, cuando t varía, la recta es trazada por la punta del vector r. Como indica la figura 2, los valores positivos de t que corresponden a puntos sobre L que están sobre un lado de P0 , mientras que valores negativos de t corresponden a puntos que se hallan sobre el otro lado de P0. Si el vector v que da la dirección de la recta L se escribe en forma de componentes como v a, b, c , entonces se tiene t v ta, tb, tc . Se puede escribir también r x, y, z y r0 x0, y0, z0 , por tanto, la ecuación vectorial 1 se transforma en FIGURA 1 z t>0 t=0 L t<0 U¸ x x, y, z y x0 ta, y0 tb, z0 tc Dos vectores son iguales si y sólo si las componentes correspondientes son iguales. Por tanto, se tienen tres ecuaciones escalares: FIGURA 2 2 x x0 at y y0 bt z ct z0 donde t [ 2. Estas ecuaciones se llaman ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el punto P0(x0, y0, z0) y es paralela al vector v a, b, c . Cada valor del parámetro t da un punto (x, y, z) sobre L. En la figura 3 se muestra la recta L del ejemplo 1 y su relación con el punto dado y con el vector que da su dirección. EJEMPLO 1 a) Encuentre la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (5, 1, 3) y es paralela al vector i 4 j 2 k. b) Encuentre otros dos puntos sobre la recta. z L (5, 1, 3) SOLUCIÓN a) Aquí r0 5, 1, 3) 1 se convierte en U¸ Y=L+4M-2N x FIGURA 3 5i y o bien, 3k y v j i 4j 2 k, así que la ecuación vectorial r (5i j 3k) t(i 4j 2 k) r (5 t)i (1 4t)j (3 2t)k 4t z Las ecuaciones paramétricas son x 5 t y 1 b) La elección del valor de parámetro t 1 da x 6, y (6, 5, 1) es un punto sobre la recta. De manera similar, t (4, 3, 5). 3 2t 5 y z 1, por tanto, 1 da el punto La ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de una recta no son únicas. Si se cambia el punto o el parámetro, o se elige un vector paralelo diferente, entonces cambian las ecuaciones. Por ejemplo, si en lugar de (5, 1, 3), se elige el punto (6, 5, 1) en el ejemplo 1, entonces las ecuaciones paramétricas de la recta se convierten en x 6 t y 5 4t z 1 2t 818 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO O bien, si se permanece con el punto (5, 1, 3) pero se elige un vector paralelo 2i se llega a las ecuaciones 5 x 2t 1 y 8t 3 z 8j 4k, 4t En general, si un vector v a, b, c se emplea para describir la dirección de una recta L, entonces los números a, b y c se llaman números directores de L. Puesto que se podría usar cualquier vector paralelo a v se ve que tres números cualesquiera proporcionales a a, b y c se podrían usar también como un conjunto de números directores para L. Otra forma de describir una recta L es eliminar el parámetro t de las ecuaciones 2. Si ninguna de las literales a, b o c es 0, se puede resolver cada una de estas ecuaciones para t, igualar los resultados y obtener x 3 x0 y y0 a z b z0 c Estas ecuaciones se llaman ecuaciones simétricas de L. Observe que los números a, b y c que aparecen en los denominadores de las ecuaciones 3, son los números directores de L, es decir, las componentes de un vector paralelo a L. Si una de las literales a, b o c es 0, se puede eliminar a t. Por ejemplo, si a 0, se podrían escribir las ecuaciones de L como x y x0 y0 z 1 B x 2 1 P _1 x0. EJEMPLO 2 a) Encuentre las ecuaciones paramétricas y las simétricas de la recta que pasa a través de los puntos A(2, 4, 3) y B(3, 1, 1). b) ¿En qué punto interseca esta recta el plano xy? SOLUCIÓN 4 y a) No se da de manera explícita un vector paralelo a la recta, pero observe que el vector l v con representación AB es paralelo a la recta y L v A z0 c Esto significa que L yace en el plano vertical x En la figura 4 se muestra la recta L del ejemplo 2 y el punto P donde cruza el plano xy. z b 3 2, 1 4, 1 3 1, 5, 4 Así, los números directores son a 1, b 5 y c 4. Si se toma el punto (2, 4, como P0, se ve que las ecuaciones paramétricas 2 son FIGURA 4 x 2 t 4 5t y 4 y 3 z 3) 4t y las ecuaciones simétricas 3 son 2 x 1 5 b) La recta interseca el plano xy cuando z simétricas y se obtiene 2 x 1 Esto da x 11 4 yy 3 z 4 0, así que se pone z 4 y 5 0 en las ecuaciones 3 4 , así que la recta interseca al plano xy en el punto ( 114 , 14 , 0). 1 4 SECCIÓN 12.5 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 819 En general, el procedimiento del ejemplo 2 muestra que los números directores de la recta L que pasa por los puntos P0(x0, y0, z0) y P1(x1, y1, z1) son x1 x0, y1 y0 y z1 z0, por tanto, las ecuaciones simétricas de L son x x1 x0 x0 y y1 y0 y0 z z1 z0 z0 Con frecuencia se necesita una descripción, no de una recta entera, sino de sólo un segmento de recta. ¿Cómo se podría describir el segmento de recta AB en el ejemplo 2? Si se escribe t 0 en las ecuaciones paramétricas del ejemplo 2a), se obtiene el punto (2, 4, 3) y si se escribe t 1 se obtiene (3, 1, 1). Así que el segmento de recta AB se describe mediante las ecuaciones paramétricas x 2 t 4 y 5t 3 z 4t 0 t 1 o por la ecuación vectorial correspondiente r t 2 t, 4 5t, 3 4t 0 1 t En general, se sabe de la ecuación 1 que la ecuación vectorial de una recta que pasa por (la punta del) vector r0 en la dirección de un vector v es r r0 t v. Si la recta pasa también por (la punta de) r1, entonces se puede tomar v r1 r0 y, por tanto, su ecuación vectorial es r t (r1 r0 r0) (1 t r1 t)r0 El segmento de recta de r0 a r1 se determina mediante el intervalo paramétrico 0 4 v EJEMPLO 3 1 x 5 1 t r0 t r1 0 1 t Demuestre que las rectas L 1 y L 2 con ecuaciones paramétricas x z L¡ 1. El segmento de recta r0 a r1 se determina mediante la ecuación vectorial r t Las rectas L 1 y L 2 del ejemplo 3, mostradas en la figura 5, son rectas oblicuas. t t 2s y y 3 2 s 3t 4 z z 3 t 4s son rectas oblicuas; es decir, no se intersecan y no son paralelas (y, por tanto, no pertenecen al mismo plano). L™ SOLUCIÓN Las rectas no son paralelas porque los vectores correspondientes 1, 3, 5 5 x 10 1 y 2, 1, 4 no son paralelos. (Sus componentes no son proporcionales.) Si L 1 y L 2 tuvieran un punto de intersección, habría valores de t y s tales que y _5 FIGURA 5 1 t 2 3t 4 t ฀ 2s 3 s 3 4s 11 8 Pero si se resuelven las dos primeras ecuaciones, se obtiene t 5 y s 5 , y estos valores no satisfacen la tercera ecuación. Por tanto, no hay valores de t y de s que satisfagan simultáneamente las tres ecuaciones. Así, L 1 y L 2 no se intersecan. En consecuencia, L 1 y L 2 son rectas oblicuas. ฀ Planos Aunque una recta en el espacio se determina por un punto y una dirección, es más difícil describir un plano en el espacio. Un solo vector paralelo al plano es insuficiente para determinar la “dirección” del plano, pero un vector perpendicular al plano especifica por 820 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO completo su dirección. Así, un plano en el espacio se determina por un punto P0(x0, y0, z0) en el plano y un vector n que es ortogonal al plano. Este vector ortogonal n se llama vector normal. Sea P(x, y, z) un punto arbitrario en el plano, y sean r0 y r los vectores de posición de P0 y P. Entonces el vector r r0 se representa por P0 P. (Véase la figura 6.) El vector normal n es ortogonal a todo vector en el plano dado. En particular, n es ortogonal a r r0 y, por tanto, se tiene z Q P (x, y, z) U U-U¸ U¸ 0 P¸(x¸, y¸, z¸) x 5 n r r0 0 y que se puede reescribir como FIGURA 6 6 n r n r0 La ecuación 5 o la ecuación 6 reciben el nombre de ecuación vectorial del plano. Para obtener una ecuación escalar del plano, se escribe n a, b, c , r x, y, z y r0 x0, y0, z0 . Entonces la ecuación vectorial 5 se transforma en a, b, c x x0, y y0 , z z0 0 y0 cz z0 0 o bien, 7 ax x0 b y La ecuación 7 es la ecuación escalar del plano que pasa por P0(x0, y0, z0) con vector normal n a, b, c . v EJEMPLO 4 vector normal n plano. Encuentre una ecuación del plano que pasa por el punto (2, 4, 1) con 2, 3, 4 . Determine las intersecciones con los ejes y bosqueje el SOLUCIÓN Si se escribe a 2, b 3, c se ve que una ecuación del plano es z (0, 0, 3) 2(x 2) 4, x0 3(y 4) 2, y0 4(z 4 y z0 1) 1 en la ecuación 7, 0 (0, 4, 0) (6, 0, 0) x FIGURA 7 y o bien, 2x 3y 4z 12 Para hallar la intersección con el eje x, se establece que y z 0 en esta ecuación y se obtiene x 6. De manera similar, la intersección con el eje y es 4 y la intersección con el eje z es 3. Esto permite bosquejar la porción del plano que yace en el primer octante (véase la figura 7). Al reunir los términos en la ecuación 7 como se hizo en el ejemplo 4, se puede reescribir la ecuación de un plano como 8 ax by cz d 0 donde d (ax0 by0 cz0). La ecuación 8 se llama ecuación lineal en x, y y z. A la inversa, se puede demostrar que si a, b y c no son 0, entonces la ecuación lineal 8 representa un plano con vector normal a, b, c . (Véase el ejercicio 81.) SECCIÓN 12.5 En la figura 8 se muestra la porción del plano en el ejemplo 5 encerrada por el triángulo PQR. z ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 821 Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos P(1, 3, 2), 1, 6) y R(5, 2, 0). l l SOLUCIÓN Los vectores a y b que corresponden a PQ y PR son EJEMPLO 5 Q(3, Q(3, _1, 6) a P(1, 3, 2) 2, b 4, 4 4, Puesto que a y b están en el plano, su producto cruz a puede tomar como el vector normal. Así, 1, 2 b es ortogonal al plano y se y i 2 4 x n R(5, 2, 0) a b FIGURA 8 j 4 1 k 4 2 12 i 20 j 14 k Con el punto P(1, 3, 2) y el vector normal n, la ecuación del plano es 12(x 1) 20(y 3) o bien, 6x 14(z 2) 0 l0y 7z 50 Encuentre el punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas 3t, y 4t, z 5 t interseca al plano 4x 5y 2z 18. EJEMPLO 6 x 2 SOLUCIÓN Se sustituyen las expresiones para x, y y z de las ecuaciones paramétricas en la ecuación del plano: 4(2 3t) 5( 4t) 2(5 t) 18 Esto se simplifica a 10t 20, así que t 2. Por tanto, el punto de intersección ocurre cuando el valor del parámetro es t 2. Entonces x 2 3( 2) 4, y 4( 2) 8, z 5 2 3 y, por consiguiente, el punto de intersección es ( 4, 8, 3). Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Por ejemplo, los planos x 2y 3z 4 y 2x 4y 6z 3 son paralelos porque sus vectores normales son n1 1, 2, 3 y n2 2, 4, 6 y n2 2n1. Si dos planos no son paralelos, entonces se intersecan en una recta y el ángulo entre los dos planos se define como el ángulo agudo entre sus vectores normales (véase el ángulo . en la figura 9). Q™ ¨ Q¡ ¨ FIGURA 9 v En la figura 10 se muestran los planos del ejemplo 7 y su recta de intersección L. x-2y+3z=1 x+y+z=1 EJEMPLO 7 a) Encuentre el ángulo entre los planos x y z 1 y x 2y 3z 1. b) Obtenga las ecuaciones simétricas para la recta de intersección L de estos dos planos. SOLUCIÓN a) Los vectores normales de estos planos son 6 4 2 z 0 _2 _4 1, 1, 1 n1 L n2 1, 2, 3 y, por tanto, si . es el ángulo entre los planos, el corolario 12.3.6 da cos u _2 FIGURA 10 0 y 2 2 0 x _2 u n1 n 2 n1 n 2 cos 1 2 s42 11 1 2 s1 1 1 s1 13 4 9 2 s42 72° b) Primero se necesita hallar un punto sobre L. Por ejemplo, se puede hallar el punto donde la recta interseca al plano xy poniendo z 0 en las ecuaciones de ambos planos. 822 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Esto da las ecuaciones x y 1 y x 2y 1, cuya solución es x 1, y 0. Por tanto, el punto (1, 0, 0) pertenece a la recta L. Ahora se observa que, puesto que L yace en ambos planos, es perpendicular a los dos vectores normales. Así, un vector v paralelo a L está dado por el producto cruz v Otra forma de encontrar la recta de intersección es resolver las ecuaciones de los planos para dos de las variables en términos de la tercera, que puede ser tomada como el parámetro. n1 i 1 1 n2 j 1 2 k 1 3 1 y 2 5 2 L 1 z 0 y _1 z 2 =3 _2 _1 y 0 1 2 1 x y 2 5 FIGURA 11 En la figura 11 se muestra cómo la recta L del ejemplo 7 se puede considerar también como la recta de intersección de los planos deducidos de sus ecuaciones simétricas. z 3 NOTA Puesto que una ecuación lineal en x, y y z representa un plano y dos planos no paralelos se cortan en una recta, se deduce que dos ecuaciones lineales pueden representar una recta. Los puntos (x, y, z) que satisfacen a1 x b1 y c1 z d1 0 y a2 x b2 y c2 z d2 0 están en ambos planos y, por tanto, el par de ecuaciones lineales representa la recta de intersección de los planos (si no son paralelos). En el ejemplo 7, la recta L se dio como la recta de intersección de los planos x y z 1 y x 2y 3z 1. Las ecuaciones simétricas que se encontraron para L se podrían escribir como _2 0 _1 x 1 3k y, por tanto, las ecuaciones simétricas de L se pueden escribir como x y x-1 = _2 5 2j 5i y 2 y z 3 que es de nuevo un par de ecuaciones lineales, que exhiben a L como la recta de intersección de los planos (x 1) 5 y( 2) y y ( 2) z ( 3). (Véase la figura 11.) En general, cuando se escriben las ecuaciones de una recta en la forma simétrica x0 x y y0 z z0 a b c se puede considerar a la recta como la intersección de los dos planos x x0 y a EJEMPLO 8 ax by y0 b y y y0 z b z0 c Encuentre una fórmula para la distancia D de un punto P1(x1, y1, z1) al plano cz d 0. SOLUCIÓN Sea P0(x0, y0, z0) cualquier punto en el plano dado y sea b el vector correspondiente a P0 P1. Entonces b ¨ P¸ FIGURA 12 Q x 0 , y1 y0 , z1 z0 De la figura 12 se puede ver que la distancia D de P1 al plano es igual al valor absoluto de la proyección escalar de b sobre el vector normal n a, b, c . (Véase la sección 12.3.) Así, P¡ E x1 D n b n compn b D a x1 x0 ax1 by1 b y1 y0 c z1 2 2 2 b c sa cz1 sa 2 ax0 by0 b c2 2 z0 cz0 SECCIÓN 12.5 823 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS Puesto que P0 yace en el plano, sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano y, por tanto, se tiene a x0 by0 cz0 d 0. Así, la fórmula para D se puede escribir como 9 EJEMPLO 9 5x ax1 by1 cz1 d sa 2 b 2 c 2 D y z Encuentre la distancia entre los planos paralelos 10x 1. 2y 2z 5y SOLUCIÓN Primero notamos que los planos son paralelos porque sus vectores normales 10, 2, 2 y 5, 1, 1 son paralelos. Para hallar la distancia D entre los planos, se elige cualquier punto sobre un plano y se calcula su distancia al otro plano. En particular, si se escribe y z 0 en la ecuación del primer plano, se obtiene 10x 5 y, por tanto, ( 12 , 0, 0) es un punto en este plano. Por la fórmula 9, la distancia entre ( 12 , 0, 0) y el plano 5x y z 1 0 es 5( 12 ) 1 0 s5 2 12 D 10 3 2 1 2 1 3s3 s3 6 Así que la distancia entre los planos es s3 6. EJEMPLO 10 En el ejemplo 3 se demostró que las rectas L 1: x 1 L 2: x 2s t 2 y y 3 3t s z 4 t 3 z 4s son oblicuas. Encuentre la distancia entre ellas. SOLUCIÓN Puesto que las dos rectas L 1 y L 2 son oblicuas, se puede considerar que yacen en dos planos paralelos P1 y P2. La distancia entre L 1 y L 2 es la misma que la distancia entre P1 y P2, que se puede calcular como en el ejemplo 9. El vector normal común para ambos planos debe ser ortogonal a v1 1, 3, 1 (la dirección de L 1) y v2 2, 1, 4 (la dirección de L 2). Así que un vector normal es n v1 v2 i j 1 3 2 1 k 1 4 13i 6j 5k Si se pone s 0 en las ecuaciones de L 2, se obtiene el punto (0, 3, tanto, una ecuación para P2 es 13(x 0) 6(y 3) 5(z 3) 0 o bien 13x 3) sobre L 2 y, por 6y 5z 3 0 Si ahora se pone t 0 en las ecuaciones para L 1, se obtiene el punto (1, 2, 4) sobre P1. Así, la distancia entre L 1 y L 2 es la misma que la distancia de (1, 2, 4) a 13x 6y 5z 3 0. Por la fórmula 9, esta distancia es D 13 1 6 2 s13 2 6 54 2 3 5 2 8 s230 0.53 824 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Ejercicios 12.5 16. a) Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa 1. Determine si cada enunciado es verdadero o falso. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) Dos rectas paralelas a una tercera recta son paralelas. Dos rectas perpendiculares a una tercera recta son paralelas. Dos planos paralelos a un tercer plano son paralelos. Dos planos perpendiculares a un tercer plano son paralelos. Dos rectas paralelas a un plano son paralelas. Dos rectas perpendiculares a un plano son paralelas. Dos planos paralelos a una recta son paralelos. Dos planos perpendiculares a una recta son paralelos. Dos planos se cortan o son paralelos. Dos rectas se cortan o son paralelas. Un plano y una recta se cortan o son paralelos. 2-5 Encuentre una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta. 2. La recta que pasa por el punto (6, 5, 2) y es paralela al 2 3 vector 1, 3, 3. La recta que pasa por el punto (2, 2.4, 3.5) y es paralela al vector 3i 2j 1 2t, y 6 3t, z 10) y es paralela a la 3 9t 5. La recta que pasa por el punto (1, 0, 6) y es perpendicular al plano x 17. Obtenga una ecuación vectorial para el segmento de recta de (2, 3y z 1, 4) a (4, 6, 1). 18. Encuentre las ecuaciones paramétricas del segmento de recta de (10, 3, 1) a (5, 6, 3). 19-22 Determine si las rectas L 1 y L 2 son paralelas, oblicuas o se cortan. Si se intersecan, determine el punto de intersección. 19. L 1: x 3 2t, y 4 t, L 2: x 1 4s, 3 2s, z 9t, z y 20. L 1: x 5 12t, y L 2: x 3 8s, 2 y 21. L 1: k 4. La recta que pasa por el punto (0, 14, recta x por (2, 4, 6) que es perpendicular al plano x y 3z 7. b) ¿En qué puntos esta recta corta a los planos coordenados? L 2: 22. L 1: 5 L 2: x 1 6s, z 1 3 y 1 4 z 2 7 3 x 1 1 y 2 x 5s 1 7 3t 2s 2 z 1 3t 4 z 3 2 3 x 3 y 1 z 3 3 y 2 z 7 2 6-12 Encuentre las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para la recta. 6. La recta que pasa por el origen y el punto (4, 3, 7. La recta por los puntos (0, 12 , 1) y (2, 1, 23-40 Encuentre una ecuación del plano. 1) 23. El plano que pasa por el origen y es perpendicular al vector 3) 1, 8. La recta por los puntos (1.0, 2.4, 4.6) y (2.6, 1.2, 0.3) 9. La recta por los puntos ( 8, 1, 4) y (3, 24. El plano que pasa por el punto (5, 3, 5) y con vector normal 2i 2, 4) 10. La recta por (2, 1, 0) y perpendicular a i jyj x 2 12. La recta de intersección de los planos x x y z 2y k 1 i 1, 1) y paralela a la recta z 3. y j 25. El plano que pasa por el punto ( 1, 2 , 3) y con vector normal k 11. La recta por (1, 1 2 2, 5 4j k 26. El plano que pasa por el punto (2, 0, 1) y perpendicular a la 3z 1y 1 recta x 3t, y 2 t, z 3 4t 27. El plano que pasa por el punto (1, plano 5x y z 1, 1) y es paralelo al 6 28. El plano que pasa por el punto (2, 4, 6) y es paralelo al plano 13. La recta que pasa por ( 4, 6, 1) y ( 2, 0, 3), ¿es paralela a la recta que pasa por (10, 18, 4) y (5, 3, 14)? 14. La recta que pasa por ( 2, 4, 0) y (1, 1, 1), ¿es perpendicular a la recta que pasa por (2, 3, 4) y (3, 1, 8)? 15. a) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasa por el punto (1, 5, 6) y es paralela al vector 1, 2, 3 . b) Encuentre los puntos en los que la recta requerida en el inciso a) corta a los planos coordenados. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com z x y 29. El plano que pasa por el punto (1, 2 , 3 ) y es paralelo al plano 1 1 x y z 0 30. El plano que contiene la recta x y es paralelo al plano 5x 2y 1 z t, y 2 t, z 4 1 31. El plano que pasa por los puntos (0, 1, 1), (1, 0, 1) y (1, 1, 0) 32. El plano que pasa por el origen y los puntos (2, y (5, 1, 3) 4, 6) 3t SECCIÓN 12.5 33. El plano que pasa por los puntos (3, ( 1, 2, 57-58 a) Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los planos y b) determine el ángulo entre los planos. 1, 2), (8, 2, 4) y 3) 34. El plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y contiene a la recta x 3t, y 1 2 t, z x 4 2t, y 3 57. x t 35. El plano que pasa por el punto (6, 0, 5t, z 7 2) y contiene a la recta con ecuaciones simétricas x 1, 1) y contiene a la recta 3z 2y 37. El plano que pasa por el punto ( 1, 2, 1) y contiene a la recta de intersección de los planos x y 5x 2 y 2x z 38. El plano que pasa por los puntos (0, 3z y 1 2, 5) y ( 1, 3, 1) y es 2z y 2yx 3z 4 2z 2y 2y x 1, z 2z 2x 1 3z y 3 59-60 Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta de intersección de los planos. 59. 5x 60. z 2y 2x 2z 1, 4x 5, z y y 4x 6 z 3y 5 61. Encuentre la ecuación para el plano que consta de los puntos que son equidistantes de los puntos (1, 0, 2) y (3, 4, 0). 62. Obtenga una ecuación para el plano que consta de los puntos 40. El plano que pasa a través de la recta de intersección de los planos x z 1 y y x y 2z 1. 58. 3x 1, z 4y 39. El plano que pasa por el punto (1, 5, 1) y es perpendicular a los planos 2x y 4t 36. El plano que pasa por el punto (1, perpendicular al plano 2z 825 ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS que son equidistantes de los puntos (2, 5, 5) y ( 6, 3, 1). 3 y es perpendicular al plano 63. Halle una ecuación del plano con intersección a del eje x, intersección b del eje y e intersección c del eje z. 64. a) Encuentre el punto en el que se cortan las rectas dadas: 41-44 Utilice intersecciones con los ejes para esbozar el plano. 41. 2x 5y z 10 42. 3x y 43. 6x 3y 4z 6 44. 6x 5y 2z 6 3z 15 r 1, 1, 0 t 1, r 2, 0, 2 s 1, 2 1, 1, 0 b) Encuentre una ecuación del plano que contenga estas rectas. 45-47 Encuentre el punto en el que la recta interseca al plano dado. 45. x 3 t, y 2 46. x 1 2t, y 47. x y 1 5t; t, z x 2z y 4t, z 2 3t; x 2z; 4x y 3z 2y z 1 65. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0, 1, 2) que es paralela al plano x y z 2 y perpendicular a la recta x 1 t, y 1 t, z 2t. 9 0 8 66. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (0, 1, 2) y es perpendicular a la recta x y 1 t, z 2t y corta a esta recta. 48. ¿Dónde la recta que pasa por (1, 0, 1) y (4, plano x y 2, 2) corta al ¿Algunos de ellos son idénticos? 49. Encuentre los números directores para la recta de intersección de los planos x y lyx z 0. z 50. Encuentre el coseno del ángulo entre los planos x yx 2y 3z y z 0 1. P1: 3x 6y P3: 9y 1 52. 2z 53. x 54. 2x 4y y 3z 1, 3x 6y 7z x, 3x 12y 6z 1 1, z 3y 4z x 5, 3x 3 P2: 4x 6z P4: z 12y 8z 2y x 5 2 de ellas son idénticas? ninguno. Si no son paralelos ni perpendiculares encuentre el ángulo entre ellos. 4y 3z 68. ¿Cuáles de las siguientes cuatro rectas son paralelas? ¿Algunas 51-56 Determine si los planos son paralelos, perpendiculares o 51. x t, 67. ¿Cuáles de los siguientes cuatro planos son paralelos? 6? z 1 y z 1 x 6y 4z 4z 55. x 4y 2z, 8y 1 2x 56. x 2y 2z 1, 2x y 0 2z 3 1 6t, y 1 1 2t, y t, L 3: 2x 2 4 L 4: r 3, 1, 5 4y 3t, z 12t z 1 z 5 4t 1 t 4, 2, 8 69-70 Use la fórmula del ejercicio 45 en la sección 12.4 para hallar la distancia del punto a la recta dada. 69. (4, 1, 1 L 1: x L 2: x 2); 70. (0, 1, 3); x x 1 2t, t, y y 6 3 2t, 2t, z 4 z 3 t 3t 826 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO 71-72 Encuentre la distancia del punto al plano dado. 71. (1, 2, 4), 3x 72. ( 6, 3, 5), x 2y 6z 2y paramétricas x y 5 15s, z 5 4z 8 3y z 74. 6z 4y 2x, 4, 9z 4x 6y 1 3x 2z 3 by cz d1 D 0 y ax d1 sa 2 2y 2z t, y 1 6s. 6t, z by cz L 2 la recta que pasa por los puntos (1, Encuentre la distancia entre L 1 y L 2. 2t y x 1 2s, d2 0 es d2 b2 c2 81. Si a, b y c no son 0, demuestre que la ecuación ax by cz d 0 representa un plano y a, b, c es un vector normal al plano. Sugerencia: suponga que a 0 y reescriba la ecuación en la forma a x 1 y están a dos unidades de él. 77. Demuestre que las rectas con ecuaciones simétricas x y z y x 1 y 2 z 3 son oblicuas, y encuentre la distancia entre estas rectas. PROYECTO DE LABORATORIO 1). Sea 1, 1) y (4, 1, 3). 80. Sea L 1 la recta que pasa por los puntos (1, 2, 6) y (2, 4, 8). Sea 76. Encuentre las ecuaciones de los planos paralelos al plano x 2 L 2 la recta de intersección de los planos )1 y )2, donde )1 es el plano x y 2z 1 0 y )2 es el plano que pasa por los puntos (3, 2, 1), (0, 0, 1) y (1, 2, 1). Calcule la distancia entre L 1 y L 2. 6y 75. Demuestre que la distancia entre los planos paralelos ax 1 79. Sea L 1 la recta que pasa por el origen y el punto (2, 0, 73-74 Determine la distancia entre los planos paralelos dados. 73. 2x 78. Encuentre la distancia entre las rectas oblicuas con ecuaciones d a b y 0 cz 0 0 82. Dé una descripción geométrica de cada familia de planos. a) x y z c c) y cos . z sen . b) x y cz 1 1 PONIENDO TRES DIMENSIONES EN PERSPECTIVA Los programadores de gráficas por computadora enfrentan el mismo problema que los grandes pintores del pasado: cómo representar una escena tridimensional como una imagen plana en un plano bidimensional (una pantalla o un lienzo). Para crear la ilusión de perspectiva, en la que los objetos más cercanos se ven más grandes que los que están lejos, los objetos tridimensionales en la memoria de la computadora son proyectados sobre una pantalla rectangular desde un punto de visión donde se localiza el ojo o cámara. El volumen de visión, la porción del espacio que será visible, es la región contenida por los cuatro planos que pasan por el punto de visión y una arista de la pantalla. Si el objeto en la escena se extiende más allá de estos cuatro planos, se debe truncar antes de enviar a la pantalla los datos de píxeles. Por tanto, estos planos se llaman planos de truncamiento. 1. Suponga que la pantalla se representa mediante un rectángulo en el plano yz con vértices (0, 400, 0) y (0, 400, 600), y la cámara se coloca en (1000, 0, 0). Una recta L en la escena pasa por los puntos (230, 285, 102) y (860, 105, 264). ¿En qué puntos debe ser recortada L por los planos de truncamiento? 2. Si el segmento de recta recortada se proyecta sobre la pantalla, identifique el segmento de recta resultante. 3. Use ecuaciones paramétricas para trazar las aristas de la pantalla, el segmento de recta recortada y su proyección sobre la pantalla. Después sume las rectas de visión que unen al punto de visión con cada extremo de los segmentos recortados para comprobar que la proyección es correcta. 4. Un rectángulo con vértices (621, 147, 206), (563, 31, 242), (657, 111, 86) y (599, 67, 122) se agrega a la escena. La recta L corta a este rectángulo. Para hacer que el rectángulo aparezca opaco, un programador puede usar la eliminación de rectas ocultas que remueve porciones de objetos que están detrás de otros objetos. Identifique la porción de L que se debe eliminar. SECCIÓN 12.6 12.6 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS 827 Cilindros y superficies cuádricas Ya se han considerado dos tipos especiales de superficies: planos (en la sección 12.5) y esferas (en la sección 12.1). Aquí se investigan otros dos tipos de superficies: cilindros y superficies cuádricas. A fin de bosquejar la gráfica de una superficie, es útil determinar las curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas curvas se llaman trazas (o secciones transversales) de la superficie. ฀ Cilindros  Un cilindro es una superficie que consiste de todas las líneas rectas (llamadas generatrices) que son paralelas a una recta dada y pasan por una curva plana dada. v EJEMPLO 1 Bosqueje la gráfica de la superficie z x 2. SOLUCIÓN Observe que la ecuación de la grafica z    FIGURA 1 La superficie 
es un cilindro parabólico.  x 2, no involucra a la y. Esto significa que cualquier plano vertical con ecuación y k (paralelo al plano xz) corta a la gráfica en una curva con ecuación z x 2. Así que estas trazas verticales son parábolas. En la figura 1 se muestra cómo se forma la gráfica al tomar la parábola z x 2 en el plano xz y moverla en la dirección del eje y. La gráfica es una superficie, llamada cilindro parabólico, hecha de un número infinito de copias desplazadas de la misma parábola. Aquí las generatrices del cilindro son paralelas al eje y. Se observa que la variable y falta en la ecuación del cilindro del ejemplo 1. Esto es característico de una superficie cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes coordenados. Si una de las variables x, y o z falta en la ecuación de una superficie, entonces la superficie es un cilindro. EJEMPLO 2 a) x 2 y2 Identifique y bosqueje las superficies. 1 b) y 2 z2 1  SOLUCIÓN FIGURA 2 
  a) Puesto que z falta en las ecuaciones x 2 y 2 1, z k representa una circunferencia de radio 1 en el plano z k, la superficie x 2 y 2 1 es un cilindro circular cuyo eje es el eje z (véase la figura 2). Aquí las directrices son rectas verticales. b) En este caso falta x y la superficie es un cilindro circular cuyo eje es el eje x (véase la figura 3). Se obtiene al tomar la circunferencia y 2 z 2 1, x 0 en el plano yz y moverlo paralelo al eje x. NOTA Cuando se trata con superficies, es importante reconocer que una ecuación como x 2 y 2 1 representa un cilindro y no una circunferencia. La traza del cilindro x 2 y 2 1 en el plano xy es la circunferencia con ecuaciones x 2 y 2 1, z 0.  FIGURA 3 
 ฀ Superficies cuádricas Una superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado en tres variables x, y y z. La ecuación más general es Ax 2 By 2 Cz 2 Dxy Eyz Fxz Gx Hy Iz J 0 donde A, B, C, . . . , J son constantes, pero por traslación y rotación se puede llevar a una de las dos formas estándar Ax 2 By 2 Cz 2 J 0, o bien, Ax 2 By 2 Iz 0 828 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO Las superficies cuádricas son las contrapartes en tres dimensiones de las secciones cónicas en el plano. (Véase la sección 10.5 para un repaso de las secciones cónicas.) EJEMPLO 3 Use trazas para bosquejar la superficie cuádrica con ecuación y2 9 x2 z2 4 1 SOLUCIÓN Al sustituir z 0, se encuentra que la traza en el plano xy es x 2 y 2 9 que se reconoce como ecuación de una elipse. En general, la traza horizontal en el plano z k es x2 y2 9 1 k2 4 1, k z que es una elipse, siempre que k 2 4, es decir, 2 k 2. De manera similar, las trazas verticales son también elipses: 










y2 9 z2 4 1 k2 x k si 1 k 1 x2 z2 4 1 k2 9 y k si 3 k 3 
FIGURA 4 

La elipsoide 









 

En la figura 4 se ilustra cómo con dibujar algunas trazas se indica la forma de la superficie. Se llama elipsoide porque todas sus trazas son elipses. Observe que es simétrica respecto a cada plano coordenado; ésta es una reflexión del hecho de que su ecuación tiene que ver sólo con potencias pares de x, y y z. EJEMPLO 4 Use trazas para bosquejar la superficie z 4x 2 SOLUCIÓN Si se escribe x y 2. 0, se obtiene z y 2, de modo que el plano yz corta a la superficie en una parábola. Si se escribe x k (una constante), se obtiene z y 2 4k 2. Esto significa que si se corta a la gráfica en secciones con cualquier plano paralelo al plano yz, se obtiene una parábola que abre hacia arriba. De manera similar, si y k, la traza es z 4x 2 k 2, que es de nuevo una parábola que abre hacia arriba. Si se escribe z k, se obtienen las trazas horizontales 4x 2 y 2 k, que se reconocen como una familia de elipses. Al conocer las formas de las trazas, se puede bosquejar la gráfica de la figura 5. Como resultado de las trazas elípticas y parabólicas, la superficie cuádrica z 4x 2 y 2 se llama paraboloide elíptico. z FIGURA 5 La superficie z=4≈+¥ es un paraboloide elíptico. Las trazas horizontales son elipses, las trazas verticales son parábolas. 0 x y SECCIÓN 12.6 v EJEMPLO 5 Bosqueje la superficie z 829 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS x 2. y2 SOLUCIÓN Las trazas en los planos verticales x k son las parábolas z y 2 k 2, que abren hacia arriba. Las trazas en y k son las parábolas z x 2 k 2, que abren hacia 2 2 abajo. Las trazas horizontales son y x k, una familia de hipérbolas. La familia de trazas se dibuja en la figura 6, y se muestra cómo se aparecen las trazas cuando se colocan en sus planos correctos en la figura 7.   6  6   6 FIGURA 6 Las trazas verticales son parábolas; las trazas horizontales son hipérbolas. Las trazas se marcan con el valor de k.   6 Trazas en  son 
 Trazas en  son    Trazas en  son 
         FIGURA 7  Trazas movidas a sus planos correctos Trazas en  Trazas en  TEC Module 12.6A se puede investigar cómo las trazas determinan la forma de una superficie. Trazas en  En la figura 8 se integran las trazas de la figura 7 para formar la superficie z y 2 x 2, un paraboloide hiperbólico. Observe que la forma de la superficie cerca del origen se asemeja a la de una silla de montar. Esta superficie se investigará más en la sección 14.7 cuando se analicen los puntos silla. z 0 y x FIGURA 8 La superficie z=¥-≈ es un paraboloide hiperbólico. z2 x2 y2 4 4 SOLUCIÓN La traza en cualquier plano horizontal z EJEMPLO 6 Bosqueje la superficie x2 4 y2 1 k2 4 1. k es la elipse z k 830 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO pero las trazas en los planos xz y yz son las hipérbolas z x2 4 z2 4 1 0 y y2 y z2 4 1 0 x (0, 1, 0) (2, 0, 0) Esta superficie se llama hiperboloide de una hoja y se bosqueja en la figura 9. y x La idea de usar trazas para dibujar una superficie se emplea en software de graficación tridimensional para computadoras. En la mayor parte de esta clase de software, las trazas en los planos verticales x k y y k se dibujan para valores igualmente espaciados de k, y partes de la gráfica se eliminan por medio de la eliminación de líneas ocultas. En la tabla 1 se muestran las gráficas trazadas por computadora de los seis tipos básicos de superficies cuádricas en forma estándar. Todas las superficies son simétricas respecto al eje z. Si una superficie cuádrica es simétrica respecto a un eje diferente, su ecuación cambia como corresponde. FIGURA 9 TABLA 1 Gráficas de superficies cuádricas Superficie Ecuación x2 a2 Elipsoide z y2 b2 z2 c2 1 Superficie Ecuación z2 c2 Cono z y x z c Paraboloide elíptico z x2 a2 y2 b2 y x z z c Paraboloide hiperbólico z y2 b2 Las trazas verticales son parábolas Se ilustra el caso donde c  0. z2 c2 1 Las trazas verticales son hipérbolas. x y z x El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo. x2 a2 Hiperboloide de dos hojas Las trazas horizontales son hipérbolas. y x x2 a2 y2 b2 Las trazas verticales son elipses. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide. y Las trazas verticales en los planos x
k y y
k son hipérbolas si k  0 pero son pares de rectas si k
0. x2 a2 Hiperboloide de una hoja Las trazas horizontales son elipses. Las trazas verticales son parábolas. y2 b2 Las trazas horizontales son elipses. Todas las trazas son elipses. Si a
b
c, la elipsoide es una esfera. x x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 Las trazas horizontales en z
k son elipses si k  c o k 
c. y Las trazas verticales son hipérbolas. Los dos signos menos indican dos hojas. SECCIÓN 12.6 v TEC En Module 12.6B se puede ver cómo cambiar a, b y c en la tabla 1 afecta la forma de la superficie cuádrica. EJEMPLO 7 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS Identifique y bosqueje la superficie 4x 2 SOLUCIÓN Dividiendo por 2z 2 y2 4 831 0. 4, primero se escribe la ecuación en la forma estándar: x2 y2 4 z2 2 1 Al comparar esta ecuación con la tabla 1, se ve que representa un hiperboloide de dos hojas, la única diferencia es que en este caso el eje del hiperboloide es el eje y. Las trazas en los planos xy y yz son las hipérbolas x2 y2 4 1 0 z z2 2 1 x 0 La superficie no tiene traza en el plano xz, pero las trazas en los planos verticales y para k 2 son las elipses      z2 2 x2   y2 4 y k2 4 1 y k k que se pueden escribir como    z2 x2 FIGURA 10 k2 4  

 1 2 1 k2 4 y k 1 Estas trazas se emplean para hacer el bosquejo de la figura 10. EJEMPLO 8 Clasifique la superficie cuádrica x 2 2z 2 6x 10 y 0. SOLUCIÓN Al completar el cuadrado se reescribe la ecuación como y 1 (x 3)2 2z 2 Al comparar esta ecuación con la tabla 1, se ve que representa un paraboloide elíptico. Sin embargo, aquí el eje del paraboloide es paralelo al eje y, y ha sido desplazado de modo que su vértice es el punto (3, 1, 0). Las trazas en el plano y k (k > 1) son las elipses (x 2z 2 3)2 k 1 La traza en el plano xy es la parábola con ecuación y paraboloide se bosqueja en la figura 11.  FIGURA 11
  
    y k 1 (x 3)2, z 0. El 832 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO ฀ Aplicaciones de superficies cuádricas © Dreamstime © David Frazier / Corbis A su alrededor puede hallar ejemplos de superficies cuádricas. De hecho, el mundo en sí es un buen ejemplo. Aun cuando la Tierra se modela por lo general como esfera, un modelo más preciso es un elipsoide porque la rotación de nuestro planeta ha causado un aplanamiento en los polos. (Véase el ejercicio 47.) Los paraboloides circulares, obtenidos al girar una parábola alrededor de su eje, se usan para recolectar y reflejar luz, sonido y señales de radio y televisión. En un radiotelescopio, por ejemplo, las señales provenientes de estrellas distantes y que incidan en el plato son reflejadas al receptor situado en el foco y ahí son amplificadas. (La idea se explica en el problema 20 de la página 271.) El mismo principio se aplica en micrófonos y antenas de disco en forma de paraboloides. Las torres de enfriamiento para reactores nucleares suelen diseñarse en forma de hiperboloides de una hoja por razones de estabilidad estructural. Se emplean pares de hiperboloides para transmitir movimiento rotacional entre ejes sesgados. (Los dientes de engranajes son las líneas generadoras de los hiperboloides. Véase el ejercicio 49.) Una antena de disco refleja señales satelitales al foco de un paraboloide. 12.6 Los reactores nucleares tienen torres de enfriamiento en forma de hiperboloides. Ejercicios 1. a) ¿Qué representa la ecuación y x 2 como una curva en 22? b) ¿Qué representa como una superficie en 23? c) ¿Qué representa la ecuación z y 2? 2. a) Bosqueje la gráfica de y e x como una curva en 22. b) Bosqueje la gráfica de y e x como una superficie en 23. c) Describa y bosqueje la superficie z e y. 3-8 Describa y bosqueje la superficie. 3. x 2 Los hiperboloides producen transmisión por engranajes. z2 1 4. 4x 2 y2 Se requiere calculadora graficadora o computadora 4 5. z 7. xy 1 y2 1 6. y z2 8. z sen y 9. a) Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuádrica x 2 y 2 z 2 1 y explique por qué la gráfica se ve como la del hiperboloide de una hoja en la tabla 1. b) Si se cambia la ecuación del inciso a) a x 2 y 2 z 2 1, ¿cómo se afecta la gráfica? c) ¿Qué pasa si se cambia la ecuación del inciso a) a x 2 y 2 2y z 2 0? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 12.6 10. a) Encuentre e identifique las trazas de la superficie cuádrica 29-36 Reduzca la ecuación a una de las formas estándar, clasifique la superficie y bosquéjela. x 2 y 2 z 2 1 y explique por qué la gráfica se ve como la del hiperboloide de dos hojas en la tabla 1. b) Si la ecuación del inciso a) se cambia a x 2 y 2 z 2 1, ¿qué sucede con la gráfica? Bosqueje la nueva gráfica. y2 13. x 2 15. y2 x2 z2 y2 36z 2 z2 y2 14. 25x 2 4z 2 4y 2 17. 36x 2 19. y 12. 9x 2 4z 2 4 36 0 4y 2 16. 4x 2 9y 2 18. 4x 2 16y 2 20. x x2 z2 y2 z2 100 z2 21. x 4y 23. x 2 2 y 25. y 2 2x 2 27. x 2 9z z 2 2 z2 22. 9x 1 24. 1 26. y 2 1 28. y z I x z2 2z 2 2 4y 2 y 2 2 z x2 x2 z 2 2 31. x 2 2y 2z 2 2 y 2 30. 4x 2 z2 32. y 2 0 4z 2 4y 24z 36 z2 x 35. x 2 2 4x 2y 2z 4 0 z2 2x 2y 4z 2 0 y z y2 16y 4z 20 2z 2 0 x2 4z 2 4 0 34. 4y 2 2 y 0 37-40 Use una computadora con software de graficación tridimensional para dibujar la superficie. Experimente con los rectángulos de vista y con dominios para las variables hasta que obtenga una buena panorámica de la superficie. 1 37. 4x 2 y2 z2 1 38. x 2 y2 z 39. 4x 2 y2 z2 0 40. x 2 6x 4y 2 0 0 z 1 2z 2 41. Bosqueje la región acotada por las superficies z z2 y x2 y2 1 para 1 z 2. 42. Bosqueje la región acotada por los paraboloides z z II 1 9 16 21-28 Relacione la ecuación con su gráfica (marcadas I-VIII). Dé razones para sus elecciones. 2 x2 36. x 2 0 z 29. y 2 33. 4x 11-20 Use trazas para bosquejar e identificar la superficie. 11. x 833 CILINDROS Y SUPERFICIES CUÁDRICAS yz 2 x2 sx 2 y2 x2 y2 y 2. 43. Encuentre una ecuación para la superficie obtenida al hacer y x girar la parábola y y x 44. Halle una ecuación para la superficie obtenida al rotar la recta x z III z IV x 2 respecto al eje y. 3y respecto al eje x. 45. Encuentre una ecuación para la superficie que consta de los puntos que son equidistantes del punto ( 1, 0, 0) y el plano x 1. Identifique la superficie. 46. Obtenga una ecuación para la superficie que consiste de todos y x los puntos P para los cuales la distancia de P al eje x es dos veces la distancia de P al plano yz. Identifique la superficie. y x 47. Tradicionalmente, la superficie de la Tierra se ha modelado z V y x z VII y x VIII y x z VI z como esfera, pero el Sistema Geodésico Mundial de 1984 (WGS-84) emplea un elipsoide como modelo más preciso. Sitúa el centro de nuestro planeta en el origen y el polo norte en el eje z positivo. La distancia del centro a los polos es 6 356.523 km y la distancia a un punto en el ecuador es 6 378.137. a) Encuentre una ecuación de la superficie terrestre como la utilizada por el WGS-84. b) Las curvas de igual latitud son trazas en los planos z k. ¿Cuál es la forma de estas curvas? c) Los meridianos (curvas de igual longitud) son trazas en planos de la forma y mx. ¿Cuál es la forma de estos meridianos? 48. Una torre de enfriamiento para un reactor nuclear ha de construirse en forma de hiperboloide de una hoja (vea la foto en la página 832). El diámetro de la base es 280 m y el 834 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO diámetro mínimo, 500 m sobre la base, es 200 m. Encuentre una ecuación para la torre. 49. Demuestre que si el punto (a, b, c) yace sobre el paraboloide hiperbólico z y 2 x 2, entonces las rectas con ecuaciones paramétricas x a t, y b t, z c 2(b a)t y x a t, y b t, z c 2(b a)t yacen por completo sobre este paraboloide. (Esto muestra que el paraboloide hiperbólico es lo que se llama superficie generada; es decir, puede ser generada por el movimiento de una recta. De hecho, este ejercicio muestra que a través de cada punto sobre 12 el paraboloide hiperbólico hay dos rectas generatrices. Las únicas otras superficies cuádricas que son superficies generadas son los cilindros, conos e hiperboloides de una hoja.) 50. Demuestre que la curva de intersección de las superficies x 2 2y 2 z 2 en un plano. 3x 1 y 2x 2 4y 2 2z 2 5y 0 yace 51. Grafique las superficies z x 2 y 2 y z 1 y 2 en una pantalla común con el dominio x 1.2, y 1.2 y observe la curva de intersección de estas superficies. Demuestre que la proyección de esta curva sobre el plano xy es una elipse. Repaso Verificación de conceptos 1. ¿Cuál es la diferencia entre un vector y un escalar? 11. ¿Cómo encuentra un vector perpendicular a un plano? 2. ¿Cómo suma geométricamente dos vectores? ¿Cómo los suma 12. ¿Cómo determina el ángulo entre dos planos que se cortan? algebraicamente? 3. Si a es un vector y c es un escalar, ¿cómo se relaciona ca con a geométricamente? ¿Cómo determinaría ca en forma algebraica? 13. Escriba una ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas para una recta. 14. Escriba una ecuación vectorial y una ecuación escalar para un 4. ¿Cómo encuentra el vector de un punto a otro? plano. 5. ¿Cómo determina el producto punto a ? b de dos vectores si conoce sus longitudes y el ángulo entre ellos? ¿Qué pasa si conoce sus componentes? 6. ¿De qué manera es útil el producto punto? 15. a) ¿Cómo expresa si dos vectores son paralelos? b) ¿Cómo indica si dos vectores son perpendiculares? c) ¿Cómo asegura si dos planos son paralelos? 16. a) Describa un método para determinar si tres puntos P, Q y R 7. Escriba las expresiones para las proyecciones escalar y vectorial de b sobre a. Ilustre con diagramas. 8. ¿Cómo determina el producto cruz a b de dos vectores si conoce sus longitudes y el ángulo entre ellos? ¿Qué pasa si conoce sus componentes? 9. ¿Cómo es útil el producto cruz? 10. a) ¿Cómo encuentra el área del paralelogramo determinado por a y b? b) ¿Cómo obtiene el volumen del paralelepípedo determinado por a, b y c? están en la misma recta. b) Describa un método para determinar si cuatro puntos P, Q, R y S están en el mismo plano. 17. a) ¿Cómo obtiene la distancia de un punto a una recta? b) ¿Cómo halla la distancia de un punto a un plano? c) ¿Cómo determina la distancia entre dos rectas? 18. ¿Cuáles son las trazas de una superficie? ¿Cómo las obtiene? 19. Escriba ecuaciones en forma estándar de los seis tipos de superficies cuádricas. Examen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique por qué o dé un ejemplo que desapruebe al enunciado. 1. Si u u1, u2 y v v1, v2 , entonces u ? v 2. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u 5. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u ? v 7. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u v u v v . u u v ? u. v v v u. v u . 8. Para vectores cualesquiera u y v en V3, y un escalar k, u1 v1, u2 v2 . 3. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u ? v 4. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u 6. Para vectores cualesquiera u y v en V3, u v . v . k(u ? v) (ku) ? v. 9. Para vectores cualesquiera u y v en V3 y cualquier escalar k, k(u v) (ku) v. 10. Para vectores cualesquiera u, v y w en V3, (u v) w u w v w. CAPÍTULO 12 11. Para vectores cualesquiera u, v y w en V3, u ? (v w) (u 16. Una ecuación lineal Ax (v (u w) v) D 0 representa una 17. El conjunto de puntos (x, y, z) x 2 y2 1 es una circunferencia. w. 18. En 23 la gráfica de y 13. Para vectores cualesquiera u y v en V3, (u v) ? u 14. Para vectores cualesquiera u y v en V3, (u v) 15. El vector 3, Cz By 835 recta en el espacio. v) ? w. 12. Para vectores cualesquiera u, v y w en V3, u REPASO 1, 2 es paralelo al plano 6x 0. v 2y 19. Si u ? v u 4z v. 1. 20. Si u x 2 es un paraboloide. 0, entonces u 0ov 0, entonces u v 21. Si u ? v 0yu 0. 0ov 0. 0, entonces u v 0ov 22. Si u y v están en V3, entonces u ? v u 0. v . Ejercicios 1. a) Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el punto (6, 2, 3) y tiene centro ( 1, 2, 1). b) Encuentre la curva en la que esta esfera cruza el plano yz. c) Encuentre el centro y radio de la esfera x2 y2 8x z2 2y 6z 1 0 2. Copie los vectores de la figura y empléelos para dibujar cada uno de los siguientes vectores. a) a b b) a b 1 2 c) a d) 2a b 6. Encuentre dos vectores que son ortogonales a j 2k e i 2j 3 k. 7. Suponga que u ? (v 2. Determine b) u w v d) u v v w) a) u v w c) v u w 8. Demuestre que si a, b y c están en V3, entonces a b b c c a a b c 2 9. Determine el ángulo agudo entre dos diagonales de un cubo. 10. Dados los puntos A(1, 0, 1), B(2, 3, 0), C( 1, 1, 4) y D E D(0, 3, 2), encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes AB, AC y AD. 11. a) Encuentre un vector perpendicular al plano que pasa por los 3. Si u y v son los vectores mostrados en la figura, determine u ? v y u v . ¿u afuera de ésta? v está dirigido hacia la página o hacia | Y|=3 puntos A(1, 0, 0), B(2, 0, 1) y C(1, 4, 3). b) Determine el área del triángulo ABC. 12. Una fuerza constante F 3 i 5 j 10 k mueve un objeto a lo largo de un segmento de recta de (1, 0, 2) a (5, 3, 8). Calcule el trabajo hecho si la distancia se mide en metros y la fuerza en newtons. 13. Un bote es jalado hacia la orilla por medio de dos cuerdas, como se ilustra en el diagrama. Si se requiere una fuerza de 255 N, determine la magnitud de la fuerza en cada cuerda. 45° | X |=2 4. Calcule la cantidad dada si a) c) e) g) i) k) a i b 3i c j 20° 255 N 30° 2k j 2j k 5k 2a 3b b) b a b d) a b f) a b c b c h) a c c b c j ) proj a b comp a b El ángulo entre a y b (con una aproximación hasta el grado más próximo) 14. Encuentre la magnitud del torque respecto a P si se aplica una fuerza de 50 N como se muestra. 50 N 30° 40 cm 5. Determine los valores de x tales que los vectores 3, 2, x y 2x, 4, x son ortogonales. P 836 CAPÍTULO 12 VECTORES Y GEOMETRÍA DEL ESPACIO b) Encuentre, con una aproximación hasta el grado más próximo, el ángulo entre estos planos. 15-17 Obtenga las ecuaciones paramétricas para la recta. 15. La recta que pasa por (4, 1, 2) y (1, 1, 5) 16. La recta que pasa por (1, 0, 1 3 1 2 4 x y 25. Encuentre la ecuación del plano que pasa por la recta 1) y es paralela a la recta de intersección de los planos x z perpendicular al plano x y 2z 2 z 17. La recta que pasa por ( 2, 2, 4) y es perpendicular al plano 2x y 5z 18-20 Encuentre una ecuación del plano. 19. El plano que pasa por (3, 3 t, z 1 3z 2) que contiene a la recta x 3t t, y 1 3t, z 4t corta al plano y 2 1 t, z 1 t, 2t. 1 x 6 z 3 1 x 2 y 2 3 y z 1 24. a) Demuestre que los planos x 3y 4z 4z y y 4z 2 24. 28-36 Identifique y bosqueje la gráfica de cada superficie. 28. x 29. x 3 z 32. 4x y 2 35. 4x 31. x 2 z 2 2 4y 2z 4 1 2 2 x 8y 33. z2 z 2 4x 2 y2 4z 2 y2 36. x 5 37. Un elipsoide se crea al hacer girar la elipse 4x 2 y z 2 2y 4z 4 0 3 2 4z 2 5 4 2 son paralelas, oblicuas o se intersecan. 2x 27. Encuentre la distancia entre los planos 3x 34. y 23. Determine si las rectas dadas por las ecuaciones simétricas y 2t, 30. y 22. Encuentre la distancia del origen a la recta x 3y A(2, 1, 1), B( 1, 1, 10) y C(1, 3, 4). b) Encuentre ecuaciones simétricas para la recta que pasa por B y es perpendicular al plano del inciso a). c) Un segundo plano pasa por (2, 0, 4) y tiene vector normal 2, 4, 3 . Demuestre que el ángulo agudo entre los planos es aproximadamente de 43 . d) Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta de intersección de los dos planos. y 3x 21. Encuentre el punto en el que la recta con ecuaciones paramétricas x 2 2x y z 2. 1 1, 1), (4, 0, 2) y (6, 3, 1) 20. El plano que pasa por (1, 2, y 4y 2z 26. a) Encuentre la ecuación del plano que pasa por los puntos 12 18. El plano que pasa por (2, 1, 0) y es paralelo a x 1yy 1. y z 1y 5 no son paralelos ni perpendiculares. y2 respecto al eje x. Encuentre la ecuación del elipsoide. 16 38. Una superficie consiste de todos los puntos P tales que la distancia de P al plano y 1 es el doble de la distancia de P al punto (0, 1, 0). Encuentre una ecuación para esta superficie e identifíquela. Problemas adicionales 1. Cada arista de una caja cúbica tiene una longitud de 1 m. La caja contiene nueve bolas 1m esféricas con el mismo radio r. El centro de una bola está en el centro del cubo y toca a las otras ocho bolas. Cada una de las otras ocho toca tres lados de la caja. Así, las bolas están compactadas en la caja. (Véase la figura.) Encuentre r. (Si hay alguna dificultad con este problema, lea la estrategia para resolver problemas titulada Use la analogía en la página 75.) 2. Sea B una caja sólida con longitud L, ancho W y altura H. Sea S el conjunto de los puntos que 1m están a una distancia de a lo sumo 1 desde algún punto B. Exprese el volumen de S en términos de L, W y H. 1m FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 3. Sea L la línea de intersección de los planos cx y z cyx cy 1, donde c es cz un número real. a) Encuentre las ecuaciones simétricas para L. b) Cuando varía el número c, la recta L barre una superficie S. Encuentre la ecuación para la curva o intersección de S con el plano horizontal z t (la traza de S en el plano z t). c) Encuentre el volumen del sólido acotado por S y los planos z 0yz 1. 4. Un avión es capaz de volar a una velocidad de 180 km h en aire tranquilo. El piloto despega de un aeródromo y se dirige al norte de acuerdo con la brújula del avión. Después de 30 minutos de tiempo de vuelo, el piloto nota que, debido al viento, el avión ha viajado en realidad 80 km a un ángulo de 5 al noreste. a) ¿Cuál es la velocidad del viento? b) ¿En qué dirección se debe dirigir el piloto para llegar al destino pretendido? 5. Suponga que v1 y v2 son vectores con v1 v3 proj v v2, v4 1 projv v3, v5 2 2, v2 3 y v1 ∙ v2 5. Sea projv v4, y así sucesivamente. Calcule n 1 vn . 3 6. Encuentre una ecuación de la mayor esfera que pasa por el punto ( 1, 1, 4) y es tal que cada uno de los puntos (x, y, z) dentro de la esfera satisface la condición x2 1 ) : ¨ FIGURA PARA EL PROBLEMA 7 y2 z2 136 2x 2y 3z 7. Suponga que un bloque de masa m se coloca sobre un plano inclinado, como se muestra en la figura. El descenso del bloque por el plano es desacelerado por la fricción; si . no es demasiado grande, la fricción evitará que el bloque se mueva del todo. Las fuerzas que actúan sobre el bloque son el peso W, donde W m ( es la aceleración debida a la gravedad); la fuerza normal N (la componente normal de la fuerza de reacción del plano sobre el bloque), donde N n; y la fuerza F debida a la fricción, la cual actúa paralela al plano inclinado, en oposición a la dirección de movimiento. Si el bloque está en reposo y se incrementa ., F también aumenta hasta que en última instancia F alcanza su máximo, más allá del cual el bloque comienza a deslizarse. A este ángulo, .s, se ha observado que F es proporcional a n. Así, cuando F es máxima, se puede decir que F & s n, donde & s se llama coeficiente de fricción estática y depende de los materiales que están en contacto. a) Observe que N F W 0 y deduzca que & s tan(.s). b) Suponga que, para . .s, una fuerza externa adicional H se aplica al bloque, horizontalmente desde la izquierda, y sea H h. Si h es pequeña, el bloque aún puede deslizarse por el plano; si h es suficientemente grande, el bloque ascenderá por el plano. Sea hmín el valor más pequeño de h que permite que el bloque permanezca inmóvil (de modo que F es máxima). Al elegir los ejes coordenados de modo que F esté a lo largo del eje x, resuelva cada fuerza en componentes paralelas y perpendiculares al plano inclinado y muestre que h mín sen u c) Demuestre que m t cos u n y hmín h mín cos u . tan (. ¿Parece razonable esta ecuación? ¿Tiene sentido para . Explique. ms n mt sen u .s) .s? ¿Cuándo . l 90º? 837 d) Sea hmáx el mayor valor de h que permite al bloque permanecer sin movimiento. ¿En qué dirección apunta F? Demuestre que hmáx m tan(. .s) ¿Parece razonable esta ecuación? Explique. 8. Un sólido tiene las siguientes propiedades: cuando es iluminado por rayos paralelos al eje z, su sombra es un disco circular. Si los rayos son paralelos al eje y, su sombra es un cuadrado. Si los rayos son paralelos al eje x, su sombra es un triángulo isósceles. (En el ejercicio 44 de la sección 12.1 se le pidió describir y trazar un ejemplo de tal sólido, pero hay muchos de esos sólidos.) Suponga que la proyección sobre el plano xz es un cuadrado cuyos lados tienen longitud 1. a) ¿Cuál es el volumen del mayor de tales sólidos? b) ¿Hay un volumen mínimo? 838 13 Funciones vectoriales La primera ley de Kepler dice que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas. En la sección 13.4 veremos cómo el material de este capítulo es utilizado en uno de los grandes logros del Cálculo: la demostración de las leyes de Kepler. © Christos Georghiou / Shutterstock Las funciones que hemos estado utilizando hasta este momento han sido funciones de valores reales. A continuación estudiamos funciones cuyos valores son vectores porque esas funciones son necesarias para describir curvas y superficies en el espacio. Usaremos también funciones de valores vectoriales para describir el movimiento de cuerpos en el espacio. En particular, las utilizaremos para deducir las leyes de Kepler del movimiento planetario. 839 840 13.1 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Funciones vectoriales y curvas en el espacio En general, una función es una regla que asigna a cada elemento del dominio un elemento del rango. Una función con valores vectoriales, es decir, una función vectorial, es simplemente una función cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. El interés se centra más en funciones vectoriales r cuyos valores son vectores tridimensionales. Esto significa que para cada número t en el dominio de r hay un vector único en V3 que se denota con r(t). Si f(t), t(t) y h(t) son las componentes del vector r(t), entonces f, t y h son funciones de valores reales llamadas funciones componentes de r y podemos escribir: r(t) ! ! f (t), t(t), h(t)" ! f (t) i ! t(t) j ! h(t) k Se usa la letra t para denotar la variable independiente porque representa el tiempo en la mayor parte de las aplicaciones de funciones vectoriales. EJEMPLO 1 Si t , st t 3, ln 3 rt entonces las funciones componentes son f t t3 tt ln 3 t ht st De acuerdo con la convención usual, el dominio de r consiste de todos los valores de t para los cuales la expresión para r(t) está definida. Las expresiones t3, ln(3 " t), y st están definidas para cuando 3 " t # 0 y t $ 0. Por tanto, el dominio de r es el intervalo [0, 3). El límite de una función vectorial r se define obteniendo los límites de sus funciones componentes como se señala a continuación. Si lím t l a r t L esta definición equivale a decir que la longitud y dirección del vector r(t) se aproxima a la longitud y dirección del vector L. 1 Si r(t) ! ! f (t), t(t), h(t)", entonces lím r t tla lím f t , lím t t , lím h t tla tla tla siempre que existan los límites de las funciones componentes. De igual manera, podríamos haber usado una definición e-d (véase el ejercicio 51). Los límites de funciones vectoriales siguen las mismas reglas que los límites de las funciones de valores reales (véase el ejercicio 49). EJEMPLO 2 Determine lím r t , donde r t tl0 1 t3 i te t j sen t k. t SOLUCIÓN Según la definición 1, el límite de r es el vector cuyas componentes son los límites de las funciones componentes de r: lím r t tl0 lím 1 tl0 !i!k t3 i lím te tl0 t j (según la ecuación 3.3.2) lím tl0 sen t k t SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 841 Una función vectorial r es continua en a si lím r t tla z P { f(t), g(t), h(t)} Según la definición 1, r es continua en a si y sólo si sus funciones componentes f, t y h son continuas en a. Hay una estrecha relación entre funciones vectoriales continuas y curvas en el espacio. Supongamos que f, t y h son funciones continuas de valores reales sobre un intervalo I. Entonces el conjunto C de todos los puntos (x, y, z) en el espacio, donde C 2 0 r(t)=kf(t), g(t), h(t)l y x FIGURA 1 C está trazada por la punta de un vector de posición r(t). ra x ! f (t) y ! t(t) z ! h(t) y t varía en todo el intervalo I, se llama curva en el espacio. Las ecuaciones en 2 reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de C, y t se llama parámetro. Podemos pensar que C está trazada por una partícula en movimiento cuya posición en el tiempo t es f (t), t(t), h(t). Si ahora consideramos la función r(t) ! ! f (t), t(t), h(t)", entonces r(t) es el vector de posición del punto P( f (t), t(t), h(t)) sobre C. Por tanto, cualquier función vectorial continua r define una curva C en el espacio trazada por la punta del vector r(t) que se desplaza, como se ilustra en la figura 1. v EJEMPLO 3 Describa la curva que define la función vectorial r(t) ! !1 ! t, 2 ! 5t, "1 ! 6t " TEC En Visual 13.1A se muestran varias curvas trazadas por vectores de posición, incluyendo las de las figuras 1 y 2. SOLUCIÓN Las ecuaciones paramétricas correspondientes son x!1!t y ! 2 ! 5t z ! "1 ! 6t a las cuales se identifica de las ecuaciones 12.5.2 como ecuaciones paramétricas de una recta que pasa por el punto (1, 2, "1) y es paralela al vector !1, 5, 6". Otra opción es observar que la función se puede escribir como r ! r0 ! tv, donde r0 ! !1, 2, "1" y v ! !1, 5, 6", y ésta es la ecuación vectorial de la recta como la que da la ecuación 12.5.1. También se pueden representar curvas planas mediante la notación de vectores. Por ejemplo, la curva que representan las ecuaciones paramétricas x ! t2 " 2t y y ! t ! 1 (véase ejemplo 1 en la sección 10.1) también se puede describir mediante la ecuación vectorial r(t) ! !t2 " 2t, t ! 1" ! (t2 "2t) i ! (t !1) j donde i ! !1, 0" y j ! !0, 1" v z EJEMPLO 4 Trace la curva cuya ecuación vectorial es r(t ) ! cos t i ! sen t j ! t k SOLUCIÓN Las ecuaciones paramétricas para esta curva son x ! cos t π ”0, 1, 2 ’ x FIGURA 2 (1, 0, 0) y y ! sen t z!t Puesto que x2 ! y2 ! cos2 t ! sen2 t ! 1, la curva debe estar en el cilindro circular x2 ! y2 ! 1. El punto (x, y, z) se ubica directamente arriba del punto (x, y, 0), el cual se desplaza en el sentido contrario al de las manecillas del reloj alrededor de la circunferencia x2 ! y2 ! 1 en el plano xy. (La proyección de la curva sobre el plano xy tiene la ecuación vectorial r(t) ! !cos t, sen t, 0". Véase ejemplo 2 de la sección 10.1). Como z ! t, la curva se dirige en espiral hacia arriba siguiendo la forma del cilindro a medida que t se incrementa. La curva se llama hélice y se ilustra en la figura 2. 842 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES La forma de sacacorchos de la hélice del ejemplo 4 es conocida porque se parece a los resortes. También se encuentra en el modelo del ADN (ácido desoxirribonucleico, que es el material genético de las células de los seres vivos). En 1953, James Watson y Francis Crick mostraron que la estructura de la molécula del ADN es como un par de hélices paralelas pero conectadas como se ilustra en la figura 3. En los ejemplos 3 y 4 se proporcionaban ecuaciones vectoriales de curvas y se pedía una descripción geométrica o un esquema. En los dos ejemplos siguientes, se da una descripción geométrica de una curva y se pide encontrar las ecuaciones paramétricas de la curva. EJEMPLO 5 Determine una ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del FIGURA 3 segmento rectilíneo que une el punto P(1, 3, "2) con el punto Q(2, "1, 3). Una hélice doble En la figura 4 se muestra el segmento PQ de la recta del ejemplo 5. SOLUCIÓN En la sección 12.5 se determinó una ecuación vectorial para el segmento rectilíneo que une la punta del vector r0 con la del vector r1: r(t) ! (1 " t) r0 ! tr1 z Q(2, _1, 3) 0%t%1 (Véase la ecuación 12.5.4.) En este caso se toma r0 ! !1, 3, "2" y r1 ! !2, "1, 3" para obtener una ecuación vectorial del segmento rectilíneo que va de P a Q: r(t) ! (1 " t) !1, 3, "2" ! t!2, "1, 3" y x P(1, 3, _2) FIGURA 4 o bien 0%t%1 r(t) ! !1 ! t, 3 "4t, "2 ! 5t" 0%t%1 Las ecuaciones paramétricas correspondientes son x!1!t y ! 3 " 4t z ! "2 ! 5t 0%t%1 v EJEMPLO 6 Determine una función vectorial que represente la curva de intersección del cilindro x2 ! y2 ! 1 y el plano y ! z ! 2. SOLUCIÓN En la figura 5 se ilustra cómo se intersecan el plano y el cilindro, y la figura 6 representa la curva C de intersección, que es una elipse. z z y+z=2 (0, _1, 3) (_1, 0, 2) C (1, 0, 2) (0, 1, 1) ≈+¥=1 0 x FIGURA 5 y x FIGURA 6 y SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 843 La proyección de C sobre el plano xy es la circunferencia x2 ! y2 ! 1, z ! 0. Entonces, ya sabemos por el ejemplo 2 de la sección 10.1 que podemos escribir x ! cos t y ! sen t 0 % t % 2p A partir de la ecuación del plano tenemos z ! 2 " y ! 2 " sen t De modo que podemos escribir ecuaciones paramétricas para C como x ! cos t y ! sen t z ! 2 " sen t 0 % t % 2p La ecuación vectorial correspondiente es r(t) ! cos t i ! sen t j ! (2 " sen t) k 0 % t % 2p Esta ecuación se llama parametrización de la curva C. Las flechas de la figura 6 indican la dirección en la cual C es trazada conforme el parámetro t se incrementa. Uso de las computadoras para trazar curvas en el espacio Las curvas en el espacio son inherentemente más difíciles de trazar a mano que las curvas en el plano. Si queremos conseguir una representación exacta, necesitamos recurrir a los adelantos técnicos. Por ejemplo, en la figura 7 se ilustra una gráfica generada mediante computadora de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x ! (4 ! sen 20t) cos t y ! (4 ! sen 20t) sen t z ! cos 20t Se llama espiral toroidal porque queda sobre un toro. Otra curva interesante, el nudo de trébol, cuyas ecuaciones son x ! (2 ! cos 1.5t) cos t y ! (2 ! cos 1.5t) sen t z ! sen 1.5t se grafica en la figura 8. No sería fácil hacer la gráfica a mano de cualquiera de estas curvas. z z y x y x FIGURA 7 Una espiral toroidal FIGURA 8 Un nudo de trébol Aun cuando se utiliza una computadora para trazar una curva en el espacio, es difícil obtener la ilusión óptica que logra una buena impresión de cómo se ve la curva en la realidad. (Esto es muy cierto en la figura 8. Véase el ejercicio 50.) El ejemplo siguiente muestra cómo enfrentar este problema. EJEMPLO 7 Mediante una computadora trace la curva cuya ecuación vectorial es r(t) ! !t, t2, t3". Esta curva se denomina cúbica torcida. SOLUCIÓN Empiece por usar la computadora para trazar la curva con ecuaciones paramétricas x ! t, y ! t2, z ! t3 para "2 % t % 2. El resultado se ilustra en la figura 9a), pero es difícil ver la verdadera naturaleza de la curva únicamente a partir 844 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES de la gráfica. La mayor parte de los programas para dibujar en tres dimensiones con ayuda de la computadora permite al usuario encerrar una curva o superficie en una caja en lugar de mostrar los ejes coordenados. Cuando se ve la misma curva en una caja en la figura 9b), se tiene mucho más clara la imagen de la curva. Es posible ver que asciende desde una esquina inferior de la caja hasta la esquina más cercana al primer plano, y que se tuerce al ir ascendiendo. z 6 x 2 _2 6 6 z 0 _6 2 4 y z 0 _6 0 y2 4 a) 1 2 y 2 _6 0 y2 b) 3 4 8 8 _1 4 4 z 0 z 0 1 _4 _4 2 _8 d) 2 1 0 x 4 2 0 x _2 c) _2 0 x 0 _2 0 x _1 _8 _2 e) 0 1 2 y 3 4 f) FIGURA 9 Vistas de la cúbica torcida. TEC En Visual 13.1B se puede hacer girar la caja de la figura 9 para ver la curva desde cualquier ángulo. Se obtiene una mejor idea de la curva cuando es vista desde distintos ángulos. En el inciso c) se ilustra el resultado de girar la caja para tener otra perspectiva. En los incisos d), e) y f), se puede ver las vistas que se tienen cuando se observa directamente la cara de la caja. En particular, el inciso d) es una vista directamente desde arriba de la caja. Es la proyección de la curva del plano xy, a saber, la parábola y ! x2. En el inciso e) se muestra la proyección del plano xz, la curva cúbica z ! x3. Ahora es obvio por qué la curva dada se llama cúbica torcida. Otro método para representar una curva en el espacio es dibujarla sobre una superficie. Por ejemplo, la cúbica torcida del ejemplo 7 está en el cilindro parabólico y ! x2. (Elimine el parámetro de las dos primeras ecuaciones paramétricas, x ! t y y ! t2.) En la figura 10 se ilustran tanto el cilindro como la cúbica torcida, y se ve que la curva se desplaza hacia arriba desde el origen a lo largo de la superficie del cilindro. También se recurre a este método en el ejemplo 4 para imaginar la hélice que está en el cilindro circular (véase la figura 2). z x FIGURA 10 y SECCIÓN 13.1 FUNCIONES VECTORIALES Y CURVAS EN EL ESPACIO 845 Un tercer método para representar una cúbica torcida es darse cuenta de que también está en el cilindro z ! x3. Esto se puede ver como la curva de intersección de los cilindros y ! x2 y z ! x3. (Véase la figura 11.) 8 4 TEC En Visual 13.1C se muestra cómo surgen z las curvas como intersecciones de superficies. 0 _4 _8 _1 FIGURA 11 Algunos sistemas algebraicos computarizados proporcionan una imagen más clara de una curva en el espacio encerrándola en un tubo. Estas gráficas permiten ver si una parte de la curva pasa enfrente de otra parte de la curva o atrás de ésta. Por ejemplo, en la figura 13 se ilustra la curva de la figura 12b) que se obtiene mediante el comando tubeplot de Maple. x 0 y 4 Ya se vio que una curva espacial muy interesante, la hélice, se encuentra en el modelo del ADN. Otro ejemplo notable de las curvas en el espacio en la ciencia es la trayectoria de una partícula con carga positiva en campos eléctricos y magnéticos orientados ortogonalmente E y B. Depende de la velocidad inicial dada a la partícula en el origen, la trayectoria de la partícula es ya una curva en el espacio cuya proyección en el plano horizontal es la cicloide que se estudió en la sección 10.1, figura 12a), o la curva cuya proyección es la trocoide tratada en el ejercicio 40 de la sección 10.1, figura 12b). B B E E t 3 t- 2 b) r(t) = k a) r(t) = kt-sen t, 1-cos t, tl FIGURA 12 Movimiento de una partícula cargada en campos eléctricos y magnéticos orientados ortogonalmente. 13.1 1. r t t 3 sen t, 1- 2 cos t, tl ■ www.phy.ntnu.edu.tw/java/emField/emField.html ■ www.physics.ucla.edu/plasma-exp/Beam/ Ejercicios s4 t2 , e 3t , ln t 1 3-6 Determine el límite 3. lím e tl0 2. r t FIGURA 13 Si desea más información relacionada con las propiedades físicas y las figuras animadas de las partículas, consulte las siguientes páginas web: 1-2 Determine el dominio de la función vectorial. t t 2 i 2 sen t j ln 9 t2 k 4. lím tl1 ; 2 0 1 Se requiere calculadora graficadora o computadora t2 t 3t t2 j sen2 t i t i 1 st cos 2t k 8 j sen t k ln t 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 846 CAPÍTULO 13 5. lím 1 1 tl FUNCIONES VECTORIALES 1 t2 , tan 1 t, t2 6. lím te t, tl t3 2t 3 e 2t t t 1 , t sen 1 t 7-14 Grafique la curva con la ecuación vectorial dada. Indique con 21. x t cos t, 22. x cos t, y 23. x t, 24. x cos t, 25. x cos 8t, y sen 8t, 26. x cos 2 t, y sen2t, y t, y t sen t, z sen t, t2 , 1 1 sen t, y 1 1 z 0 t t2 t2 z cos 2t z e 0.8t, z t 0 t z una flecha la dirección en la cual t se incrementa. 8. r(t) ! !t3, t2" 7. r(t) ! !sen t, t " 9. r(t) ! !t, 2 " t, 2t " 10. r(t) ! !sen pt, t, cos pt " 11. r(t) ! !1, cos t, 2 sen t " 12. r(t) ! t i ! t j ! 2k 2 4 6 x ! sen t, y ! cos t, z ! sen2t es la curva de intersección de las superficies z ! x2 y x2 ! y2 ! 1. A partir de este hecho grafique la curva. 14. r(t) ! cos t i " cos t j ! sen t k 15-16 Dibuje las proyecciones de la curva sobre tres planos coordenados. Utilice estas proyecciones para ayudarse en el trazo de la curva. 15. r(t) ! !t, sen t, 2 cos t " para el segmento rectilíneo que une P y Q. 19. P 0, Q 6, 2, 1, 1 , Q ( , , 2 18. P ) 20. P a, b, c , 1 1 1 2 3 4 1, 2, 2, Q 3, 5, 1 Q u, v, w 21-26 Haga corresponder las ecuaciones paramétricas con las gráficas I a VI. Explique las razones de su elección. z I z II 29. ¿En qué puntos corta la curva r(t) ! t i ! (2t " t2)k al paraboloide z ! x2 ! y2? 30. ¿En que puntos corta la hélice r(t) ! !sen t, cos t, t " a la esfera x2 ! y2 ! z2 ! 5? 16. r(t) ! !t, t, t2" 17-20 Determine una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas 17. P 2, 0, 0 , y ! t sen t, z ! t se encuentra en el cono z2 ! x2 ! y2, y a partir de este hecho grafique la curva. 28. Demuestre que la curva con ecuaciones paramétricas 13. r(t) ! t i ! t j ! t k 2 27. Demuestre que la curva con ecuaciones paramétricas x ! t cos t, ; 31-35 Mediante una computadora grafique la curva con la ecuación vectorial dada. Asegúrese de elegir un dominio para el parámetro y una perspectiva que revelen la verdadera naturaleza de la curva. 31. r t cos t sen 2 t, sen t sen 2 t, cos 2t 32. r t t 2, ln t, t 33. r t t, t sen t, t cos t 34. r t t, e t, cos t 35. r t cos 2t, cos 3t, cos 4t ; 36. Grafique la curva con ecuaciones paramétricas x ! sen t, x y x y y ! sen 2t, z ! cos 4t. Explique su forma graficando sus proyecciones sobre los tres planos coordenados. ; 37. Grafique la curva cuyas ecuaciones paramétricas son z III z IV x 1 cos 16t cos t y 1 cos 16t sen t z y x z V x z VI y cos 16t Explique el aspecto de la gráfica mostrando que queda sobre un cono. y x 1 x y ; 38. Grafique la curva con ecuaciones paramétricas x s1 0.25 cos 2 10t cos t y s1 0.25 cos 2 10t sen t z 0.5 cos 10t Explique la apariencia de la gráfica mostrando que está sobre una esfera. SECCION 13.2 x ! t2, y ! 1 " 3t, z ! 1 ! t3 pasa por los puntos (1, 4, 0) y (9, "8, 28), pero no por el punto (4, 7, "6). r1(t) ! !t, t2, t3" 49. Suponga que u y v son funciones vectoriales que poseen límites cuando t l a y sea c una constante. Demuestre las propiedades de los límites siguientes 40. El cilindro x ! y ! 4 y la superficie z ! xy 2 sx 2 y 2 y el plano z ! 1 ! y a) lím u t vt b) lím cu t c lím u t tla tla 42. El paraboloide z ! 4x2 ! y2 y el cilindro parabólico y ! x2 2 2 lím v t tla vt tla 43. El hiperbaloide z ! x " y y el cilindro x ! y ! 1 2 lím u t tla tla c) lím u t 2 r2(t) ! !1 ! 2t, 1 ! 6t, 1 ! 14t " ¿Chocarán las partículas? ¿Se cortan las trayectorias? 40-44 Encuentre una función vectorial que representa la curva de intersección de las dos superficies. 41. El cono z 847 48. Dos partículas recorren las curvas en el espacio 39. Demuestre que la curva cuyas ecuaciones paramétricas son 2 DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES d) lím u t lím u t tla vt tla lím v t tla lím u t lím v t tla tla 44. El semielipsoide x ! y ! 4z ! 4, y $ 0, y el cilindro 2 2 2 x2 ! z2 ! 1 50. La vista del nudo de trébol que se ilustra en la figura 8 es exacta, pero no revela toda la historia. Con las ecuaciones paramétricas x 2 cos 1.5t cos t ; 45. Intente hacer a mano la gráfica de la curva de intersección del cilindro circular x2 ! y2 ! 4 y el cilindro parabólico z ! x2. Luego determine las ecuaciones paramétricas de esta curva y, con ellas y una computadora, grafique la curva. grafique a mano la curva como si la viera desde arriba, con brechas que indiquen dónde la curva pasa por arriba de sí misma. Inicie demostrando que la proyección de la curva en el plano xy tiene coordenadas polares r ! 2 ! cos 1.5t y u ! t, de modo que r varía entre 1 y 3. Luego demuestre que z posee valores máximos y mínimos cuando la proyección está entre r ! 1 y r ! 3. ; Al terminar su gráfica, utilice una computadora para dibujar la curva vista desde arriba y compárela con la que usted dibujó. Luego, mediante la computadora, trace la curva vista desde distintos ángulos. Puede obtener una mejor impresión de la curva si grafica un tubo de radio 0.2 que rodee a la curva. (Use el comando tubeplot de Maple o el comando tubecurve o tube de Mathematica.) parabólico y ! x2 y la mitad superior del elipsoide x2 ! 4y2 ! 4z2 ! 16. Luego determine las ecuaciones paramétricas de esta curva y, a partir de ellas y con la ayuda de una computadora, grafique la curva. 47. Si dos objetos se desplazan por el espacio siguiendo dos curvas distintas, a menudo es importante saber si llegaran a chocar. (¿Un misil tocará a este blanco móvil? ¿Chocarán dos aviones?) Las curvas pueden cortarse, pero es necesario conocer si los objetos están en la misma posición en el mismo tiempo. Suponga que las trayectorias de dos partículas están definidas por las funciones vectoriales 51. Demuestre que lím t l a r t r2(t) ! !4t " 3, t2, 5t " 6" b si y sólo si para toda e # 0 hay un número d # 0 tal que para t $ 0 ¿Chocarán las partículas? 13.2 cos 1.5t sen t sen 1.5t z ; 46. Intente graficar a mano la curva de intersección del cilindro r1(t) ! !t2, 7t " 12, t2" 2 y si 0 t entonces r t a b Derivadas e integrales de funciones vectoriales Más adelante, en este mismo capítulo, se utilizan las funciones vectoriales para describir el movimiento de los planetas y de otros objetos en el espacio. Aquí se prepara la manera de desarrollar el cálculo de las funciones vectoriales. Derivadas La derivada r& de una función vectorial r está definida de la misma manera que para las funciones de valores reales. 1 dr dt r t lím hl0 rt h h rt 848 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES si este límite existe. El significado geométrico de esta definición se muestra en la figura 1. l Si los puntos P y Q tienen vectores de posición r(t) y r(t ! h), entonces PQ representa el vector r(t ! h) " r(t), que puede, por tanto, considerarse como un vector secante. Si h # 0, el múltiplo escalar (1#h)(r(t ! h) " r(t)) tiene la misma dirección que r(t ! h) " r(t). Cuando h l 0, parece que este vector se aproxima a un vector que está sobre la recta tangente. Por esta razón, el vector r&(t) se denomina vector tangente a la curva que está definida por r en el punto P, siempre que r&(t) exista y r&(t) " 0. La recta tangente a C en P se define como la recta que pasa por P y es paralela al vector tangente r&(t). Ya habrá ocasión de considerar el vector tangente unitario, que es r t r t Tt z z r(t+h)-r(t) Q P TEC En Visual 13.2 se muestra una animación P C rª(t) Q r(t) r(t) de la figura 1. r(t+h)-r(t) h r(t+h) r(t+h) C 0 0 y x a) Vector secante PQ FIGURA 1 y x b) Vector tangente rª(t) El teorema siguiente proporciona un método conveniente para calcular la derivada de una función vectorial r; deriva justamente cada componente de r. f t ,t t ,h t 2 Teorema Si r t son funciones derivables, entonces f t i tt j f t ,t t ,h t f t i t t j r t h t k, donde f, t y h h t k DEMOSTRACIÓN r t lím 1 rt t lím 1 t tl0 tl0 lím f t tl0 lím tl0 f t t rt t ,t t f t t t f t t t f t f t ,t t ,h t , t ,h t t t tt tt t , lím tl0 tt f t ,t t ,h t , ht t ht t tt t t , lím tl0 ht t ht t SECCIÓN 13.2 v DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 849 EJEMPLO 1 a) Calcule la derivada de r(t) ! (1 ! t3)i ! te"t j ! sen 2t k. b) Determine el vector tangente unitario en el punto donde t ! 0. SOLUCIÓN a) Según el teorema 2, se deriva cada componente de r: 3t 2 i r t 1 t e tj 2 cos 2t k b) Como r(0) ! i y r&(0) ! j ! 2k, el vector tangente unitario en el punto (1, 0, 0) es r 0 r 0 T0 1 j s5 2 k s5 EJEMPLO 2 En el caso de la curva r$t% ! st i ! $2 " t% j, determine r&(t) y grafique el vector de posición r(1) y el vector tangente r&(1). y 2 SOLUCIÓN Tenemos (1, 1) r(1) 0 j 2k s1 4 r&$t% ! rª(1) 1 x FIGURA 2 Observe en la figura 2 que el vector tangente apunta en la dirección en la que crece t . (Véase el ejercicio 56.) 1 i"j 2st y r&$1% ! 1 i"j 2 La curva es una curva plana y al eliminar el parámetro de las ecuaciones x ! st , y ! 2 " t se obtiene y ! 2 " x2, x $ 0. En la figura 2, dibuje el vector de posición r(1) ! i ! j con inicio en el origen y el vector tangente r&(1) cuyo inicio es el punto correspondiente (1, 1). v EJEMPLO 3 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice de ecuaciones paramétricas x ! 2 cos t y ! sen t z!t en el punto $0, 1, '#2%. SOLUCIÓN La ecuación vectorial de la hélice es r t r t 2 cos t, sen t, t , de modo que 2 sen t, cos t, 1 El valor del parámetro que corresponde al punto $0, 1, '#2% es t ! '#2, de modo que el vector tangente es r&$'#2% ! !"2, 0, 1" . La recta tangente es la recta que pasa por $0, 1, '#2% paralela al vector ! "2, 0, 1" , de modo que de acuerdo con las ecuaciones 12.5.2 sus ecuaciones paramétricas son x ! "2t La hélice y la recta tangente del ejemplo 3 se ilustran en la figura 3. y!1 z! ' !t 2 12 z 8 4 FIGURA 3 0 _1 _0.5 y 0 0.5 1 2 _2 0 x 850 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES En la sección 13.4 se verá cómo r&(t) y r((t) se pueden interpretar como los vectores velocidad y aceleración de una partícula que se mueve por el espacio con vector de posición r(t) en el tiempo t. Igual que con las funciones de valores reales, la segunda derivada de una función vectorial r es la derivada de r&, es decir, r( ! (r&)&. Por ejemplo, la segunda derivada de la función del ejemplo 3 es r t 2 cos t, sen t, 0 Reglas de derivación El teorema siguiente muestra que las fórmulas de derivación para funciones de valores reales tienen su equivalente para las funciones de valor vectorial. 3 Teorema Suponga que u y v son funciones vectoriales derivables, c es un escalar y f es una función de valores reales. Entonces, d 1. 'u$t% ! v$t%( ! u&$t% ! v&$t% dt d 'cu$t%( ! cu&$t% 2. dt d ' f $t% u$t%( ! f &$t% u$t% ! f $t% u&$t% 3. dt d 'u$t% ! v$t%( ! u&$t% ! v$t% ! u$t% ! v&$t% 4. dt d 'u$t% ) v$t%( ! u&$t% ) v$t% ! u$t% ) v&$t% 5. dt d 'u$ f $t%%( ! f &$t%u&$ f $t%% (Regla de la cadena) 6. dt Este teorema se puede demostrar directamente con la definición 1 o mediante el teorema 2 y las fórmulas correspondientes de derivación para las funciones de valores reales. Se muestra la demostración de la fórmula 4; las siguientes se dejan como ejercicios. DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA 4 Sean v$t% ! ! t1$t%, t2$t%, t3$t%" u$t% ! ! f1$t%, f2$t%, f3$t%" Entonces u$t% ! v$t% ! f1$t% t1$t% ! f2$t% t2$t% ! f3$t% t3$t% ! 3 ) f $t% t $t% i i i!1 de modo que la regla del producto ordinario da d d 'u$t% ! v$t%( ! dt dt 3 3 ) f $t% t $t% ! ) i i i!1 i!1 d ' fi $t% ti $t%( dt 3 ! ) ' f &$t% t $t% ! f $t% t&$t%( i i i i i!1 3 ! 3 ) f &$t% t $t% ! ) f $t% t&$t% i i!1 i i i i!1 ! u&$t% ! v$t% ! u$t% ! v&$t% v EJEMPLO 4 Demuestre que si & r(t) & ! c (una constante), entonces r&(t) es ortogonal a r(t) para toda t. SECCIÓN 13.2 DERIVADAS E INTEGRALES DE FUNCIONES VECTORIALES 851 SOLUCIÓN Como * r$t% ! r$t% ! r$t% * 2 ! c2 y c2 es una constante, la fórmula 4 del teorema 3 da d 'r$t% ! r$t%( ! r&$t% ! r$t% ! r$t% ! r&$t% ! 2r&$t% ! r$t% dt 0! Por tanto, r&(t) ! r(t) ! 0, la cual establece que r&(t) es ortogonal a r(t). Desde el punto de vista geométrico, este resultado establece que si una curva queda sobre una esfera con centro en el origen, entonces el vector tangente r&(t) siempre es perpendicular al vector de posición r(t). Integrales La integral definida de una función vectorial continua r(t) se puede definir casi de la misma manera que para las funciones de valores reales, excepto que la integral es un vector. Entonces podemos expresar la integral de r en términos de las integrales de sus funciones componentes f, t y h como sigue. (Se utiliza la notación del capítulo 5.) y b a n lím r t dt nl* i 1 r ti* n f ti* lím nl* t n t i i 1 i 1 n t ti* t j h ti* t k i 1 y entonces y b a r$t% dt ! +y , +y , +y , b a f $t% dt i ! b a b t$t% dt j ! a h$t% dt k Esto significa que se puede evaluar una integral de una función vectorial integrando cada función componente. Es posible generalizar el teorema fundamental del cálculo para funciones vectoriales continuas como se señala a continuación: y b a b r$t% dt ! R$t%]a ! R$b% " R$a% donde R es una antiderivada de r, es decir, R&(t) ! r(t). Utilizamos la notación para integrales indefinidas (antiderivadas). EJEMPLO 5 Si r(t) ! 2 cos t i ! sen t j ! 2t k, entonces yrt dt y 2 cos t dt 2 sen t i i cos t j y sen t dt t2 k y 2t dt j k C donde C es un vector constante de integración, por lo que y p 2 0 r t dt [2 sen t i cos t j t2 k ] p 2 0 2i j p2 k 4 x r$t% dt 852 CAPÍTULO 13 13.2 FUNCIONES VECTORIALES Ejercicios 1. La figura muestra una curva C definida por una función vectorial r(t). a) Dibuje los vectores r(4.5) " r(4) y r(4.2) " r(4). b) Dibuje los vectores r$4.5% " r$4% 0.5 r$4.2% " r$4% 0.2 y c) Escriba las expresiones para r&(4) y el vector tangente unitario T(4). d) Dibuje el vector T(4). y 1 Q P Explique la razón de que estos vectores sean tan parecidos entre sí en cuanto a longitud y dirección. 4. r t 5. r t 1 , t ,t , t t t j, 6. r t e i 7. r t 2t e i e j, 8. r t 1 cos t i e t SAC p 4 0 t sen t j, 2 t p 6 9-16 Calcule la derivada de la función vectorial. 9. r t 10. r t 11. r t 12. r t t sen t, t , t cos 2t tan t, sec t, 1 t 2 1 1 t ; 2st k j i t 3 3t, t 2 1, 3t 19. r t cos t i 3t j 20. r t sen2 t i cos2 t j 0 4 , 1 t 2 sen 2t k, 0 t tan2 t k, t p 4 2 st , 23. x 1 24. x e, y 25. x e t 26. x st te , t t cos t, 2 t3 y te ; e 3, y t t3 z t2 z y t, ln t 3, 0, 2 1, 0, 0 sen t, z 2 t; 3, e t; 1, 0, 1 t; z 2, ln 4, 1 29-31 Encuentre las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificado. Ilustre mediante gráficas tanto la curva como la recta tangente en una misma pantalla. e t, z 2t t 2; 29. x t, y 30. x 2 cos t, y 2 sen t, z 31. x t cos t, y t, z 0, 1, 0 4 cos 2t ; t sen t ; (s3 , 1, 2) p, p, 0 sen pt, 2 sen pt, cos pt en los puntos la curva r t donde t ! 0 y t ! 0.5. b) Ilustre mediante gráficas la curva y ambas rectas tangentes. 33. Las curvas r1$t% ! !t, t 2, t 3 " y r2 t t 1 te t, 2 arctan t, 2e t , t 32. a) Encuentre el punto de intersección de las rectas tangentes a 2 ti tc 2 cos t, 2 sen t, e t , 0 + t + ', donde la recta tangente es paralela al plano s3 x ! y ! 1. 0 t b 28. Encuentre el punto sobre la curva r t 1 2 cos t j, t sen t i 1 t t c a la curva de intersección de los cilindros x 2 ! y 2 ! 25 y y 2 ! z 2 ! 20 en el punto (3, 4, 2). a) Dibuje la curva plana con la ecuación vectorial dada. b) Encuentre r&(t). c) Dibuje el vector de posición r(t) y el vector tangente r&(t) para el valor dado de t. 3 ta tb 27. Encuentre una ecuación vectorial para la recta tangente 3-8 2 16. r t c cos 3t k b sen 3 t j 2 23-26 Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de ecuaciones paramétricas dadas en el punto especificado. función vectorial r$t% ! !t 2, t" , 0 + t + 2, y dibuje los vectores r(1), r(1.1) y r(1.1) " r(1). b) Dibuje el vector r&(1) con inicio en (1, 1) y compárelo con el vector r$1.1% " r$1% 0.1 2, t 2 a 3t k 22. Si r$t% ! ! e 2t, e"2t, te 2t " , determine T(0), r((0) y r&$t% ! r($t%. x 1 2. a) Trace un diagrama grande de la curva que describe la t 15. r t j 21. Si r$t% ! !t, t 2, t 3 " , determine r&(t), T(1), r((t) y r&$t% ) r($t%. r(4) 3. r t at cos 3t i 18. r t r(4.2) 0 14. r t 17. r t r(4.5) ln 1 et i 17-20 Encuentre el vector tangente unitario T(t) en el punto con el valor dado del parámetro t. R C 2 13. r t t j t 1 2 t k ; Se requiere calculadora graficadora o computadora sen t, sen 2t, t se cortan en el origen. Determine su ángulo de corte aproximado al grado más cercano. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 13.3 r1$t% ! !t, 1 " t, 3 ! t 2 " y r2$s% ! ! 3 " s, s " 2, s 2 " ? Encuentre su ángulo de intersección con una aproximación al grado más próximo. fórmula 5 del teorema 3 para hallar d 'u$t% ) v$t%( dt 35-40 Evalúe la integral. y 2 36. y 1 37. y p 2 38. y (t 39. y sec 2 t i y te 2t i 40. 0 4 1 0 0 2 t3 j ti t 2 49. Encuentre f &(2), donde f $t% ! u$t% ! v$t%, u$2% ! !1, 2, "1 " , u&$2% ! !3, 0, 4" y v$t% ! !t, t 2, t 3 " . 3t 5 k dt 50. Si r$t% ! u$t% ) v$t%, donde u y v son las funciones 2t j 1 t 2 vectoriales del ejercicio 49, encuentre r&(2). k dt 3 sen 2 t cos t i 3 sen t cos 2 t j 1j t sen pt k) dt 2 1 i tst t t2 1 3j 51. Demuestre que si r es una función vectorial tal que r( existe, 2 sen t cos t k dt entonces d 'r$t% ) r&$t%( ! r$t% ) r($t% dt t 2 ln t k dt 52. Encuentre una expresión para t 1 t j 853 48. Si u y v son las funciones vectoriales del ejercicio 47, utilice la 34. ¿En qué punto se intersecan las curvas 35. LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 1 s1 t2 k dt 53. Si r$t% " 0, demuestre que d 'u$t% ! $v$t% ) w$t%%(. dt 1 d r$t% ! r$t% ! r&$t%. dt r$t% * * * [Sugerencia: * r$t% *2 ! r$t% ! r$t%] 41. Encuentre r(t) si r&$t% ! 2t i ! 3t 2 j ! st k y r$1% ! i ! j. * 54. Si una curva tiene la propiedad de que el vector de posición 42. Encuentre r(t) si r&$t% ! t i ! e t j ! te t k y r$0% ! i ! j ! k. r(t) siempre es perpendicular al vector tangente r&(t), demuestre que la curva queda sobre una esfera con centro en el origen. 43. Demuestre la fórmula 1 del teorema 3. 44. Demuestre la fórmula 3 del teorema 3. 45. Demuestre la fórmula 5 del teorema 3. 55. Si u t rt 46. Demuestre la fórmula 6 del teorema 3. r t , demuestre que r t u&(t) ! r(t) , [r&(t) ) r-(t)] sen t, cos t, t y v t t, cos t, sen t , utilice la fórmula 4 del teorema 3 para encontrar 47. Si u t 56. Demuestre que el vector tangente a la curva definida por una función vectorial r(t) apunta en la dirección en la que crece t . [Sugerencia: Recurra a la figura 1 y considere los casos h # 0 y h . 0, por separado.] d 'u$t% ! v$t%( dt Longitud de arco y curvatura 13.3 En la sección 10.2 definimos la longitud de una curva plana con ecuaciones paramétricas x ! f $t%, y ! t$t%, a + t + b, como el límite de las longitudes de polígonos inscritos y, en el caso donde f & y t& son continuas, se llegó a la fórmula 1 L ! y s' f &$t%( 2 ! 't&$t%( 2 dt ! b a z y -+ , + , dx dt b a 2 dy dt ! FIGURA 1 La longitud de una curva en el espacio es el límite de las longitudes de polígonos inscritos. dt La longitud de una curva en el espacio se define exactamente de la misma manera (véase la figura 1). Suponga que la curva tiene la ecuación vectorial r$t% ! ! f $t%, t$t%, h$t%" , a + t + b, o bien, de forma paramétrica x ! f (t), y ! t(t), z ! h(t), donde f &, t& y h& son continuas. Si la curva se recorre exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b, entonces se puede demostrar que su longitud es 0 x 2 y 2 L ! y s' f &$t%( 2 ! 't&$t%( 2 ! 'h&$t%( 2 dt b a ! y b a -+ , + , + , dx dt 2 ! dy dt 2 ! dz dt 2 dt 854 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Observe que ambas fórmulas de la longitud del arco 1 y 2 se pueden expresar en una forma más compacta L!y 3 b * r&$t% * dt a porque, en el caso de las curvas planas r(t) ! f (t) i ! t(t) j, * r&$t% * ! * f &$t% i ! t&$t% j * ! s' f &$t%( 2 ! ' t&$t%( 2 2 ! 't&$t%( 2 ! 'h&$t%( 2 y para curvas en el espacio r(t) ! f (t) i ! t(t) j ! h(t) k, * r&$t% * ! * f &$t% i ! t&$t% j ! h&$t% k * ! s' f &$t%( v EJEMPLO 1 Calcule la longitud del arco de la hélice circular de la ecuación vectorial r(t) ! cos t i ! sen t j ! t k desde el punto (1, 0, 0,) hasta el punto $1, 0, 2'%. En la figura 2 se muestra el arco de la hélice cuya longitud se calcula en el ejemplo 1. z SOLUCIÓN Puesto que r&(t)! "sen t i ! cos t j ! k, tenemos s r t (1, 0, 2π) sen t cos 2 t 2 s2 1 El arco desde (1, 0, 0) hasta (1, 0, 2p) se describe mediante el intervalo del parámetro 0 + t + 2' y así, con la fórmula 3, tenemos (1, 0, 0) x L!y y 2' 0 FIGURA 2 * r&$t% * dt ! y 2' 0 s2 dt ! 2s2 ' Una curva sencilla C se representa por más de una función vectorial. Por ejemplo, la cúbica torcida r1$t% ! ! t, t 2, t 3 " 4 1+t+2 también se podría representar con la función r2$u% ! ! e u, e 2u, e 3u " 5 0 + u + ln 2 donde la relación entre los parámetros t y u es t ! eu. Entonces las ecuaciones 4 y 5 son parametrizaciones de la curva C. Si usáramos la ecuación 3 para calcular la longitud de C usando las ecuaciones 4 y 5, obtendríamos la misma respuesta. En general, se puede demostrar que cuando la ecuación 3 se usa para calcular la longitud de arco, la respuesta es independiente de la parametrización que se utilice. Ahora supongamos que C es una curva dada por una función vectorial r$t% ! f $t%i ! t$t%j ! h$t%k donde r& es continua y C es recorrida exactamente una vez cuando t se incrementa desde a hasta b. Definimos su función de longitud de arco s mediante z s(t) C 6 r(t) r(a) 0 x FIGURA 3 a+t+b y s$t% ! y r&$u% du ! t a * * y t a -+ , + , + , dx du 2 ! dy du 2 ! dz du 2 du Por tanto, s(t) es la longitud de la parte de C entre r(a) y r(t) (véase la figura 3). Si derivamos ambos miembros de la ecuación 6 usando la parte 1 del teorema fundamental del cálculo, obtenemos ds ! r&$t% 7 dt * * SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 855 Con frecuencia es útil parametrizar una curva respecto a la longitud de arco porque está surge de forma natural de la curva y no depende de un sistema coordenado en particular. Si una curva r(t) ya está en función de un parámetro t y s(t) es la función de la longitud de arco definida por la ecuación 6, entonces podríamos determinar t como una función de s: t ! t(s). Entonces la curva se puede reparametrizar en términos de s al sustituir a t en su lugar t: r ! r(t(s)). Por consiguiente, si s ! 3, por ejemplo, r(t(3)) es el vector de posición del punto 3 unidades de longitud a lo largo de la curva desde el punto de inicio. EJEMPLO 2 Reparametrizar la hélice r(t) ! cos t i ! sen tj ! tk respecto a la longitud de arco medida desde (1, 0, 0) en la dirección en que se incrementa t. SOLUCIÓN El punto inicial (1, 0, 0) corresponde al valor del parámetro t ! 0. Según el ejemplo 1 ds ! r&$t% ! s2 dt * y de este modo * s ! s$t% ! y r&$u% du ! y s2 du ! s2 t t 0 * t * 0 Por tanto, t ! s#s2 y la reparametrización requerida se obtiene al sustituir el valor de t: rts cos(s s2 ) i sen (s s2 ) j (s s2 ) k Curvatura TEC En Visual 13.3A se muestran animaciones de vectores unitarios tangentes, como los de la figura 4, para una diversidad de curvas planas y curvas en el espacio. Una parametrización r(t) es llamada suave sobre un intervalo I si r& es continua y r&$t% " 0 sobre I. Una curva se llama suave si tiene una parametrización suave. Una curva suave no tiene puntos agudos o cúspides; cuando gira el vector tangente, lo hace en forma continua. Si C es una curva suave definida por la función vectorial r, recuerde que el vector tangente unitario T(t) está dado por T$t% ! z 0 x C y * r&$t% r&$t% * e indica la dirección de la curva. De acuerdo con la figura 4 puede verse que T(t) cambia de dirección muy lentamente cuando C es casi recta, pero su dirección se modifica con mayor rapidez cuando C se flexiona o gira más abruptamente. La curvatura de C en un punto dado es una medida de qué tan rápido cambia la curva de dirección en ese punto. Específicamente, se define como la magnitud de la razón de cambio del vector tangente unitario respecto a la longitud de arco. (Se usa la longitud de arco de tal manera que la curvatura sea independiente de la parametrización.) FIGURA 4 Vectores unitarios tangentes en puntos con igual separación sobre C. 8 Definición La curvatura de una curva es /! . . dT ds donde T es un vector tangente unitario. Es más fácil de calcular la curvatura si está expresada en términos del parámetro t en lugar de s, de modo que se aplica la regla de la cadena (teorema 13.2.3, fórmula 6) para escribir dT ds dT ! dt ds dt y /! . . . dT dT#dt ! ds ds#dt . 856 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Pero ds#dt ! & r&(t) & proviene de la ecuación 7, por lo que 9 v * T&$t% * * r&$t% * /$t% ! EJEMPLO 3 Demuestre que la curvatura de una circunferencia de radio a es 1#a. SOLUCIÓN Se puede hacer que la circunferencia tenga como centro el origen y entonces una parametrización es a cos t i rt Por tanto, a sen t i r t de modo que a cos t j r t r t Tt y entonces y sen t i cos t i T t * a sen t j r t a cos t j sen t j * Esto da como resultado T&$t% ! 1, por lo que al usar la ecuación 9 /$t% ! * T&$t%* ! 1 * r&$t% * a El resultado del ejemplo 3 muestra que las circunferencias pequeñas tienen gran curvatura, y que la curvatura de las circunferencias grandes es pequeña, de acuerdo con la intuición. Es posible ver directamente por la definición de curvatura, que la curvatura de una recta es siempre 0 porque el vector tangente es constante. Aunque la fórmula 9 se puede usar siempre para calcular la curvatura, con frecuencia es más conveniente aplicar la fórmula dada por el siguiente teorema. 10 Teorema La curvatura de la curva dada por la función vectorial r es * r&$t% ) r($t% * * r&$t% * /$t% ! 3 * * * * DEMOSTRACIÓN Puesto que T ! r&# r& y r& ! ds#dt, tenemos * * r& ! r& T ! ds T dt de modo que la regla del producto (teorema 13.2.3, fórmula 3) da r( ! ds d 2s T& 2 T ! dt dt De acuerdo con el hecho de que T ) T ! 0 (véase el ejemplo 2 de la sección 12.4), tenemos r& ) r( ! +, ds dt 2 $T ) T&% SECCIÓN 13.3 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 857 Ahora & T(t) & ! 1 para toda t, de modo que T y T& son ortogonales de acuerdo con el ejemplo 4 de la sección 13.2. Por tanto, según el teorema 12.4.9, * r& ) r( * ! + ,* ds dt 2 * T ) T& ! + ,* ds dt 2 T ** T& * ! + ,* ds dt 2 T& * r& ) r( r& ) r( * T& * ! * $ds#dt% * ! * * r& * * Por consiguiente, 2 y entonces /! 2 * T& * ! * r& ) r( * * r& * * r& * 3 EJEMPLO 4 Calcule la curvatura de la cúbica torcida r$t% ! ! t, t 2, t 3 " en un punto general y en (0, 0, 0). SOLUCIÓN Primero se calculan los elementos requeridos: r&$t% ! !1, 2t, 3t 2 " * r&$t% * ! s1 ! 4t 2 r($t% ! ! 0, 2, 6t " ! 9t 4 * * i r&$t% ) r($t% ! 1 0 j k 2t 3t 2 ! 6t 2 i " 6t j ! 2 k 2 6t * r&$t% ) r($t% * ! s36t 4 ! 36t 2 ! 4 ! 2s9t 4 ! 9t 2 ! 1 Con el teorema 10 se obtiene entonces * r&$t% ) r($t% * ! 2s1 ! 9t ! 9t $1 ! 4t ! 9t % * r&$t% * 2 /$t% ! 3 2 4 4 3#2 En el origen, donde t ! 0, la curvatura es k(0)! 2. En el caso especial de una curva plana cuya ecuación es y ! f (x), podemos elegir a x como parámetro y escribir r$x% ! x i ! f $x% j. Entonces r&$x% ! i ! f &$x% j y r($x% ! f ($x% j. Puesto que i ) j ! k y j ) j ! 0, se tiene que r&$x% ) r($x% ! f ($x% k. Asimismo, r&$x% ! s1 ! ' f &$x%( 2 y entonces, de acuerdo con el teorema 10, * * 11 /$x% ! * * f ($x% '1 ! $ f &$x%%2 ( 3#2 EJEMPLO 5 Determine la curvatura de la parábola y ! x2 en los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 4) SOLUCIÓN Puesto que y& ! 2x y y( ! 2, mediante la fórmula 11 se obtiene /$x% ! * y( * 2 3#2 '1 ! $ y&% ( ! 2 $1 ! 4x 2 %3#2 858 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES La curvatura en (0, 0) es k(0) ! 2. En (1, 1) es /$1% ! 2#5 3#2 / 0.18. En (2, 4) es /$2% ! 2#17 3#2 / 0.03. Observe que de acuerdo con la expresión para k(x) o por la gráfica de k en la figura 5, que k(x) l 0 cuando x l 0*. Esto corresponde al hecho de que la parábola parece hacerse más plana cuando x l 0*. y y=≈ 2 y=k(x) FIGURA 5 La parábola y=≈ y su función de curvatura. 0 x 1 Vectores normales y binormales Es posible pensar que el vector normal señala la dirección en la cual la curva está girando en cada punto. T(t) B(t) En un punto dado de una curva suave r(t) en el espacio, hay muchos vectores que son ortogonales al vector tangente unitario T(t). Podemos elegir uno de ellos al observar que, puesto que & T(t) & ! 1 para toda t, se tiene T(t) ! T&(t) ! 0 de acuerdo con el ejemplo 4 de la sección 13.2, de modo que T&(t) es ortogonal a T(t). Note que T&(t) en sí mismo no es un vector unitario. Pero en cualquier punto donde k 1 0, podemos definir el vector normal unitario principal N(t), o simplemente unitario normal, como N(t) N$t% ! FIGURA 6 * El vector B(t) ! T(t) ) N(t) se llama vector binormal. Es perpendicular a T y N y también es un vector unitario. (Véase la figura 6.) En la figura 7 se ilustra el ejemplo 6, y muestra los vectores T, N y B en dos ubicaciones sobre la hélice. En general, los vectores T, N y B, cuyo inicio se encuentra en varios puntos de la curva, forman un conjunto de vectores ortogonales, que se llama esquema TNB y se desplaza a lo largo de la curva a medida que t varía. Este esquema TNB desempeña una función importante en la rama de la matemática que se conoce como geometría diferencial y en sus aplicaciones al movimiento de vehículos espaciales. EJEMPLO 6 Determine los vectores unitario normal y binormal para la hélice circular r(t) ! cos t i ! sen t j ! t k SOLUCIÓN Primero calcule los elementos necesarios para el vector normal unitario: r t sen t i cos t j Tt r t r t 1 s2 z T 1 s2 T t B N N y cos t i T t T t Nt T B k sen t i cos t j sen t j cos t i s2 r t k 1 s2 T t sen t j cos t, sen t, 0 Esto demuestra que el vector normal en cualquier punto de la hélice es horizontal y señala hacia el eje z. El vector binormal es x FIGURA 7 * T&$t% T&$t% Bt Tt Nt 1 s2 i sen t cos t j cos t sen t k 1 0 1 s2 sen t, cos t, 1 SECCIÓN 13.3 TEC En Visual 13.3B se muestra cómo la estructura TNB se desplaza a lo largo de varias curvas. LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 859 El plano definido por los vectores normal y binormal N y B en un punto P en la curva C se llama plano normal de C en P. Está constituido por todas las rectas que son ortogonales al vector tangente T. El plano definido por los vectores T y N se llama plano osculador de C en P. El nombre proviene de la palabra latina osculum, que quiere decir “beso”. Es el plano que está más cerca de contener la parte de la curva cerca de P. (En el caso de una curva plana, el plano osculador es simplemente el plano que contiene a la curva.) La circunferencia que se localiza en el plano osculador de C en P tiene la misma tangente que C en P, se sitúa en el lado cóncavo de C (hacia el cual apunta N), y su radio r ! 1#k (el recíproco de la curvatura), se llama circunferencia osculadora de C en P (o circunferencia de curvatura de C en P). Es la circunferencia que mejor describe cómo se comporta C cerca de P; comparte la misma tangente, normal y curvatura en P. v EJEMPLO 7 Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de la hélice en el ejemplo 6 en el punto P(0, 1, p#2). En la figura 8 se ilustran la hélice y el plano osculador del ejemplo 7. z SOLUCIÓN El plano normal en P tiene como vector normal a r&$'#2% ! ! "1, 0, 1" , de modo que una ecuación es + , "1$x " 0% ! 0$ y " 1% ! 1 z " z=_x+π2 !0 o bien z!x! ' 2 El plano osculador en P contiene los vectores T y N, de modo que su vector normal es T ) N ! B. Según el ejemplo 6, tenemos P x ' 2 y Bt 1 s2 sen t, cos t, 1 B 1 1 , 0, s2 s2 p 2 FIGURA 8 Un vector normal más simple es !1, 0, 1", de modo que una ecuación del plano osculador es + , ' 2 1$x " 0% ! 0$ y " 1% ! 1 z " !0 o z ! "x ! ' 2 EJEMPLO 8 Encuentre y grafique la circunferencia osculadora de la parábola y ! x2 en el origen. y SOLUCIÓN De acuerdo con el ejemplo 5, la curvatura de la parábola en el origen es k(0) ! 2. Entonces, el radio de la circunferencia osculadora en el origen es 1#/ ! 21 y su centro es (0, 12 ). Por tanto, su ecuación es 2 x 2 ! ( y " 21 ) ! 14 y=≈ circunferencia osculadora Por lo que toca a la gráfica de la figura 9, se usaron ecuaciones paramétricas de su circunferencia: 1 2 0 1 x FIGURA 9 x círculo osculador cambia según el movimiento del punto a lo largo de la curva. cos t y 1 2 1 2 sen t He aquí un resumen de las fórmulas de los vectores tangente unitario, normal unitario y binormal y de curvatura. T$t% ! TEC En Visual 13.3C se muestra cómo el 1 2 * r&$t% r&$t% N$t% ! * /! . . dT ! ds * T&$t% T&$t% * B$t% ! T$t% ) N$t% * T&$t% * ! * r&$t% ) r($t% * * r&$t% * * r&$t% * 3 860 CAPÍTULO 13 13.3 FUNCIONES VECTORIALES Ejercicios 17-20 1-6 Determine la longitud de la curva. 1. r t t, 3 cos t, 3 sen t , 2. r$t% ! ! 2t, t 2, 3 t 3 " , 1 5 0+t+1 3. r$t% ! s2 t i ! e t j ! e"t k, 0+t+1 sen t j ln cos t k, 5. r$t% ! i ! t 2 j ! t 3 k, 0+t+1 4. r t cos t i 6. r$t% ! 12t i ! 8t a) Determine los vectores tangente unitario y normal unitario T(t)y N(t). b) Aplique la fórmula 9 para calcular la curvatura. 5 t 3#2 2 0 t p4 7-9 Encuentre la longitud de la curva con una aproximación de cuatro lugares decimales. (Use calculadora para aproximar la integral.) t 2, t 3, t 4 , 0 t 2 7. r t , 1 t, e t, te 9. r t sen t, cos t, tan t , t 0 18. r t t 2, sen t 19. r t s2 t, e , e 20. r t t, 12 t 2, t 2 t t cos t, cos t t sen t , t 0 t 21-23 Utilice el teorema 10 para calcular la curvatura. 21. r$t% ! t 3 j ! t 2 k 22. r$t% ! t i ! t 2 j ! e t k 23. r(t) ! 3 t i ! sen t j ! 4 cos t k 3 t t, 3 cos t, 3 sen t 0+t+1 j ! 3t k, 8. r t 17. r t p4 t 24. Calcule la curvatura de r$t% ! !t 2, ln t, t ln t " en el punto (1, 0, 0). ; 10. Grafique la curva con ecuaciones paramétricas x ! sen t, y ! sen 2t, z ! sen 3t. Encuentre la longitud total de esta curva con una aproximación de cuatro lugares decimales. 11. Sea C la curva de intersección del cilindro parabólico x2 ! 2y y la superficie 3z ! xy. Encuentre la longitud exacta de C del origen al punto (6, 18, 36). 12. Encuentre, con una aproximación de cuatro lugares 25. Calcule la curvatura de r$t% ! ! t, t 2, t 3 " en el punto (1, 1, 1). ; 26. Grafique la curva de ecuaciones paramétricas x ! cos t, y ! sen t, z ! sen 5t, y calcule la curvatura en el punto (1, 0, 0). 27-29 Mediante la fórmula 11 determine la curvatura. 27. y ! x 4 28. y ! tan x 29. y ! xe x decimales, la longitud de la curva de intersección del cilindro 4x2 ! y2 ! 4 y el plano x ! y ! z ! 2. 13-14 Reparametrice la curva respecto a la longitud de arco medida desde el punto t ! 0 en la dirección en que se incrementa t. 13. r t 2t i 1 14. r t e 2t cos 2t i 3t j 2j 5 4t k e 2t sen 2 t k 30-31 ¿En qué punto la curva muestra una curvatura máxima? ¿Qué sucede en la curvatura cuando x l *? 30. y ! ln x 31. y ! e x 32. Encuentre la ecuación de la parábola cuya curvatura es 4 en el origen. 15. Suponga que empieza en el punto (0, 0, 3) y se mueve 5 unidades a lo largo de la curva x ! 3 sen t, y ! 4t, z ! 3 cos t en la dirección positiva. ¿En dónde está ahora? 16. Reparametrice la curva r$t% ! + 33. a) ¿La curvatura de la curva C de la figura es mayor en P que en Q? Explique. b) Estime la curvatura en P y en Q graficando las circunferencias osculadoras en dichos puntos. y P , C 2 2t "1 i! 2 j t !1 t !1 2 respecto a la longitud de arco medida desde el punto (1, 0) en la dirección en que se incrementa t. Exprese la reparametrización en su forma más simple. ¿Cuáles son sus conclusiones respecto a la curva? ; Se requiere calculadora graficadora o computadora 1 Q 0 SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1 x 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 13.3 47. r$t% ! ! t 2, 3 t 3, t ", 2 la curva y su función de curvatura k(x) en la misma pantalla. ¿Es la gráfica de k que usted esperaba? SAC k(t). Explique cómo la curvatura refleja la forma de la curva. sen t, 1 cos t, 4 cos t 2 , 0 37. r t te t, e t, s2 t , 5 t 49. x ! 2 sen 3t, y ! t, z ! 2 cos 3t ; 8p t 50. x ! t, y ! t 2, z ! t 3; 5 38-39 Se muestran dos gráficas, a y b. Una es la curva y ! f (x) y a de las circunferencias osculadoras de ; 52. Determine las ecuaciones 1 1 la parábola y ! 2 x 2 en los puntos (0, 0) y (1, 2 ). Grafique ambas circunferencias osculadoras y la parábola en la misma pantalla. a b b x $1, 1, 1% la elipse 9x2 ! 4y2 ! 36 en los puntos (2, 0) y (0, 3). Mediante una calculadora para bosquejar gráficas o una computadora, grafique la elipse y ambas circunferencias osculadoras en la misma pantalla. 39. y $0, ', "2% ; 51. Determine las ecuaciones de las circunferencias osculadoras de y la otra es la gráfica de su función de curvatura y ! k(x). Identifique cada una de las curvas y explique sus elecciones. 38. (1, 0, 0) 49-50 Determine las ecuaciones del plano normal y del plano osculador de la curva en el punto dado. 36-37 Grafique la curva en el espacio y su función de curvatura t (1, 23 , 1) 48. r(t) ! !cos t, sen t, ln cos t", 35. y ! x "2 36. r t 861 47-48 Calcule los vectores T, N y B en el punto dado. ; 34-35 Mediante una calculadora o una computadora grafique 34. y ! x 4 " 2x 2 LONGITUD DE ARCO Y CURVATURA 53. ¿En qué punto de la curva x ! t 3, y ! 3t, z ! t 4 el plano x normal es paralelo al plano 6x ! 6y — 8z ! 1? SAC 40. a) Grafique la curva r(t) ! !sen 3t, sen 2t, sen 3t". ¿En cuántos puntos sobre la curva parece que la curvatura tiene un máximo relativo o absoluto? b) Mediante un SAC, determine y grafique la función de curvatura. ¿Esta gráfica confirma sus conclusiones del inciso a)? SAC t 32 sen t, 1 32 cos t, t se ilustra en la figura 12b) de la sección 13.1. ¿Dónde cree que se encuentra la mayor curvatura? Utilice un SAC para determinar y graficar la función de la curvatura. ¿Para qué valores de t se presenta la curvatura más grande? 41. La gráfica de r t 42. Mediante el teorema 10, demuestre que la curvatura de una curva paramétrica en el plano x ! f (t), y ! t(t) es /! 'x# 2 ! y# 2 ( 3#2 43-45 Con la fórmula del ejercicio 42, encuentre la curvatura. y ! t3 44. x ! a cos 2 t, 45. x ! e cos t, t 54. ¿Hay un punto sobre la curva del ejercicio 53 donde el plano osculador es paralelo al plano x ! y ! z ! 1? (Nota: Necesita un SAC para derivar, simplificar y calcular un producto cruz.) 55. Encuentre las ecuaciones de la normal y los planos osculadores de la curva de intersección de los cilindros parabólicos x ! y2 y z ! x2 en el punto (1, 1, 1). 56. Demuestre que el plano osculador de todo punto sobre la curva r$t% ! ! t ! 2, 1 " t, 12 t 2 " es el mismo plano. ¿Qué podemos concluir en relación con la curva? 57. Demuestre que la curvatura k se relaciona con la tangente y los vectores normales mediante la ecuación dT ! /N ds * x# #y# " y#x## * donde los puntos indican derivadas respecto a t. 43. x ! t 2, SAC y ! b sen vt y ! et sen t 46. Considere la curvatura en x ! 0 para cada miembro de la familia de funciones f (x) ! ecx. ¿Para cuáles miembros es mayor k(0)? 58. Demuestre que la curvatura de una curva plana es * * / ! d3#ds , donde f es el ángulo de inclinación entre T e i; es decir, f es el ángulo de inclinación de la recta tangente. Esto demuestra que la definición de curvatura es consistente con la definición de curvas planas dada en el ejercicio 69 de la sección 10.2. 59. a) Demuestre que d B#ds es perpendicular a B. b) Demuestre que d B#ds es perpendicular a T. c) Deduzca de los incisos a) y b) que d B#ds ! " 4 $s%N para cierto número t(s) llamado torsión de la curva. (La torsión mide el grado en que se puede torcer una curva.) d) Demuestre que para una curva plana la torsión es t(s) ! 0. 862 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES 60. Las fórmulas siguientes, llamadas fórmulas de Frenet-Serret, 63. Utilice la fórmula del ejercicio 61d) para encontrar la torsión de la curva r$t% ! ! t, 21 t 2, 13 t 3 ". son fundamentales en la geometría diferencial: 64. Encuentre la curvatura y la torsión de la curva x ! senh t, 1. dT#ds ! / N y ! cosh t, z ! t en el punto (0, 1, 0). 2. dN#ds ! " / T ! 4 B 65. La molécula de ADN tiene la forma de una hélice doble 3. dB#ds ! " 4 N (véase la figura 3 de la página 842). El radio de cada una de las hélices es de casi 10 unidades angstrom (1 Å ! 10"8 cm). Cada hélice se levanta 34 Å durante cada giro completo, y hay casi 2.9 ) 108 giros completos. Estime la longitud de cada hélice. (La fórmula 1 proviene del ejercicio 57 y la fórmula 3 del ejercicio 59.) Utilice el hecho de que N ! B ) T para deducir la fórmula 2 a partir de las fórmulas 1 y 3. 61. Mediante las fórmulas de Frenet-Serret demuestre cada una de 66. Considere el problema del diseño de la vía de un ferrocarril las siguientes. (Los apóstrofes indican derivadas respecto a t. Inicie como en la demostración del teorema 10.) para que haya una transición suave entre tramos de vía recta. Los tramos existentes en el eje x negativo se unirán con suavidad a un tramo a lo largo de la recta y ! 1 para x 5 1. a) Encuentre una polinomial P ! P(x) de grado 5 tal que la función F definida por a) r( ! s(T ! / $s&%2 N b) r& ) r( ! / $s&%3 B 0 Px 1 c) r- ! 's- " / 2$s&%3 ( T ! '3 /s&s( ! /&$s&%2 ( N ! /4 $s&%3 B Fx $r& ) r(% ! rd) 4 ! r& ) r( 2 * * 62. Demuestre que la hélice circular r(t) ! !a cos t, a sen t, bt", donde a y b son constantes positivas, es de curvatura y torsión constantes. [Use el resultado del ejercicio 61d).] ; si x si 0 si x 0 x 1 1 es continua y tiene pendiente continua y curvatura continua. b) Mediante una calculadora para bosquejar gráficas o una computadora, dibuje la gráfica de F. Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración 13.4 z P r(t+h)-r(t) h rª(t) Q En esta sección se muestra de qué manera se pueden usar las ideas de vectores tangentes y normales y la curvatura en la física para estudiar el movimiento de un objeto, incluyendo su velocidad y aceleración, a lo largo de una curva en el espacio. En particular, seguimos los pasos de Newton usando estos métodos para deducir la primera ley de Kepler del movimiento de los planetas. Suponga que una partícula se desplaza por el espacio de modo que su vector de posición en el tiempo t es r(t). Según la figura 1, note que, en el caso de valores pequeños de h, el vector r(t) r(t+h) C O x FIGURA 1 r$t ! h% " r$t% h 1 y es una aproximación de la dirección de la partícula que se mueve a lo largo de la curva r(t). Su magnitud mide el tamaño del vector de desplazamiento por unidad de tiempo. El vector 1 da la velocidad promedio sobre un intervalo de longitud h y su límite es el vector velocidad v(t) en el tiempo t: vt 2 lím hl0 rt h h rt r t Así el vector velocidad es también el vector tangente y apunta en la dirección de la recta tangente. La rapidez de la partícula en el tiempo t es la magnitud del vector velocidad, es decir, & v(t) &. Esto es apropiado porque, según 2 y la ecuación 13.3.7, tenemos vt r t ds dt razón de cambio de la distancia respecto al tiempo SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 863 Como en el caso del movimiento unidimensional, la aceleración de la partícula se define como la derivada de la velocidad: a(t) ! v&(t) ! r ((t) EJEMPLO 1 El vector de posición de un objeto que se mueve en el plano está definido por r(t) ! t3 i ! t2 j. Calcule la velocidad, la rapidez y la aceleración cuando t ! 1, e ilustre el problema geométricamente. y SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración en el tiempo t son v(1) (1, 1) v$t% ! r&$t% ! 3t 2 i ! 2t j a(1) x 0 a$t% ! r($t% ! 6t i ! 2 j y la rapidez FIGURA 2 * v$t% * ! s$3t TEC En Visual 13.4 se muestran figuras animadas de los vectores de velocidad y aceleración que se desplazan a lo largo de varias curvas. % ! $2t%2 ! s9t 4 ! 4t 2 2 2 Cuando t ! 1 tenemos v$1% ! 3 i ! 2 j * v$1% * ! s13 a$1% ! 6 i ! 2 j En la figura 2 se muestran estos vectores de aceleración y velocidad. En la figura 3 se ilustra la trayectoria de la partícula del ejemplo 2 con vectores de velocidad y aceleración cuando t ! 1. EJEMPLO 2 Encuentre la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula cuyo vector de posición es r$t% ! ! t 2, e t, te t " . SOLUCIÓN z v$t% ! r&$t% ! ! 2t, e t, $1 ! t%e t " a(1) v(1) a$t% ! v&$t% ! !2, e t, $2 ! t%e t " * v$t% * ! s4t 1 x FIGURA 3 y 2 ! e 2t ! $1 ! t%2 e 2t Se pueden utilizar las integrales vectoriales que se estudiaron en la sección 13.2 con el fin de determinar los vectores de posición cuando se conocen los vectores de velocidad y aceleración, como en el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 3 Una partícula parte de su posición inicial r(0) ! !1, 0, 0" con velocidad inicial v(0) ! i " j ! k. Su aceleración es a(t) ! 4t i ! 6t j ! k. Calcule su velocidad y su posición en el tiempo t. SOLUCIÓN Puesto que a(t) ! v&(t) tenemos v$t% ! y a$t% dt ! y $4t i ! 6t j ! k% dt ! 2t 2 i ! 3t 2 j ! t k ! C Para determinar el valor del vector constante C, debemos apoyarnos en el hecho de que v(0) ! i " j ! k. La ecuación anterior da v(0) ! C, de modo que C ! i " j ! k y vt 2t 2 i 2t 2 3t 2 j tk i 1 i 3t 2 1 j j k t 1 k 864 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Como v(t) ! r&(t), tenemos La expresión para r(t) que obtuvimos en el ejemplo 3 fue usada para graficar la trayectoria de la partícula en la figura 4 para 0 % t % 3. r$t% ! y v$t% dt ! y '$2t 2 ! 1% i ! $3t 2 " 1% j ! $t ! 1% k( dt 2 1 ! ( 3 t 3 ! t) i ! $t 3 " t% j ! ( 2 t 2 ! t) k ! D 6 z 4 2 (1, 0, 0) 0 0 5 y 10 0 15 20 20 Al hacer t ! 0, se llega a D ! r(0) ! i, de modo que la posición en el tiempo t está dada por x FIGURA 4 r$t% ! ( 23 t 3 ! t ! 1) i ! $t 3 " t% j ! ( 12 t 2 ! t) k En general, las integrales vectoriales permiten determinar la velocidad cuando se conoce la aceleración y la posición cuando se tiene la velocidad: v$t% ! v$t0% ! y a$u% du t t0 r$t% ! r$t0% ! y v$u% du t t0 Si se conoce la fuerza que actúa sobre una partícula, entonces se puede determinar la aceleración a partir de la segunda ley de Newton del movimiento. La versión vectorial de esta ley establece que, si una fuerza F(t) actúa sobre un objeto de masa m y produce una aceleración a(t) en cualquier momento t, entonces F(t) ! ma(t) La rapidez angular del objeto que se desplaza con posición P es v ! du#dt, donde u es el ángulo que se muestra en la figura 5. EJEMPLO 4 Un objeto de masa m que se desplaza en una trayectoria circular con rapidez angular constante v tiene un vector de posición r(t) ! a cos vt i ! a sen vt j. Calcule la fuerza que actúa sobre el objeto y demuestre que se dirige hacia el origen. SOLUCIÓN Para encontrar la fuerza, primero necesitamos conocer la aceleración: y P x a v sen vt i at v t a v2 cos vt i a v cos vt j a v2 sen v t j F(t) ! ma(t) ! "mv2(a cos vt i ! a sen vt j) Observe que F(t) ! "mv2r(t). Esto demuestra que la fuerza actúa en la dirección opuesta el radio vector r(t) y, por tanto, señala al origen (véase la figura 5). Esta fuerza se llama fuerza centrípeta (dirigida al centro). FIGURA 5 v EJEMPLO 5 Un proyectil se dispara con un ángulo de elevación a y velocidad inicial v0. (Véase la figura 6.) Si se supone que la resistencia del aire es insignificante y que la única fuerza externa se debe a la gravedad, determine la función posición r(t) del proyectil. ¿Qué valor de a maximiza el alcance (la distancia horizontal recorrida)? y v¸ SOLUCIÓN Dibuje unos ejes de tal modo que el proyectil inicie en el origen. Puesto que la fuerza de la gravedad actúa hacia abajo, tenemos a FIGURA 6 r t Por tanto, la segunda ley de Newton señala que la fuerza es ¨ 0 0 vt d x F ! ma ! "mt j * * donde t ! a / 9.8 m#s2. Por consiguiente, a ! "t j SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 865 Como v&(t) ! a, tenemos v(t) ! "tt j ! C donde C ! v(0) ! v0. Por tanto, r&(t) ! v(t) ! "ttj ! v0 Si integramos de nuevo obtenemos r$t% ! " 21 tt 2 j ! t v0 ! D Pero D ! r(0) ! 0, de modo que el vector de posición del proyectil está dado por r$t% ! " 21 tt 2 j ! t v0 3 Si escribimos & v0 & ! v0 (la rapidez inicial del proyectil), entonces v0 ! v0 cos a i ! v0 sen a j y la ecuación 3 se transforma en [ v0 sen a t v0 cos a t i rt 1 2 tt 2 ] j Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son, por tanto, Si eliminamos a t de la ecuación 4, veremos que y es una función cuadrática de x. Entonces, la trayectoria del proyectil es parte de la parábola. x 4 v0 cos a t y v0 sen a t 1 2 tt 2 La distancia horizontal d es el valor de x cuando y ! 0. Si y ! 0, entonces obtenemos t ! 0, o bien, t ! (2v0 sen a)#t. El segundo valor de t da entonces d v0 cos a x 2v0 sen a t v02 2 sen a cos a v02 sen 2 a t t Evidentemente, d muestra un valor máximo cuando sen a ! 1, es decir, a ! p#4. v EJEMPLO 6 Se lanza un proyectil con velocidad inicial de 150 m#s y ángulo de elevación de 45° desde un lugar a 10 m sobre el nivel del suelo. ¿Dónde tocará suelo el proyectil y con qué rapidez? SOLUCIÓN Si hacemos que el origen sea el nivel del suelo, entonces la posición inicial del proyectil es (0, 10) y entonces necesitamos ajustar la ecuación 4 sumando 10 a su expresión para y. Con v0 ! 150 m#s, a ! 45°, y t ! 9.8 m#s2, tenemos x 150 cos p 4 t y 10 75s2 t 150 sen p 4 t 1 2 9.8 t 2 10 75s2 t 4.9t 2 El impacto ocurre cuando y ! 0, es decir, 4.9t 2 " 75s2 t " 10 ! 0. Al resolver esta ecuación cuadrática, y usar sólo el valor positivo de t, obtenemos t! 75s2 ! s11250 ! 196 / 21.74 9.8 Entonces x / 75s2 $21.74% / 2306, de modo que el proyectil toca el suelo a 2 306 m del punto de partida. 866 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES La velocidad del proyectil es v$t% ! r&$t% ! 75s2 i ! (75s2 " 9.8t) j De modo que la rapidez de impacto es * v$21.74% * ! s(75s2 ) ! (75s2 " 9.8 ! 21.74)2 / 151 m#s 2 Componentes tangencial y normal de la aceleración Con frecuencia, cuando se estudia el movimiento de una partícula es útil resolver la aceleración en dos componentes, a saber, una en la dirección de la tangente y la otra en la dirección de la normal. Si escribimos v ! & v & para la rapidez de la partícula, entonces T$t% ! * y de este modo r&$t% v$t% v ! ! r&$t% v$t% v * * * v ! vT Si derivamos ambos miembros de esta ecuación respecto a t, obtenemos 5 a ! v& ! v&T ! vT& Si usamos la expresión para la curvatura definida por la ecuación 13.3.9, entonces tenemos 6 /! * T& * ! * T& * v * r& * de modo que * T& * ! / v El vector unitario normal fue definido en la sección anterior como N ! T&#&T&&, así que 6 da * * T& ! T& N ! / v N y la ecuación 5 se transforma en 7 aT Al escribir aT y aN para las componentes tangencial y normal de la aceleración tenemos T a ! aTT ! aNN a N aN FIGURA 7 a ! v&T ! / v 2 N donde 8 a T ! v& y aN ! /v2 Esta resolución se ilustra en la figura 7. Examinemos lo que plantea la fórmula 7. Lo primero que hay que observar es que no existe el vector binormal B. No importa cómo se desplaza un objeto por el espacio, su aceleración siempre está en el plano formado por T y N (el plano osculador). (Recuerde que T proporciona la dirección del movimiento y N apunta la dirección en que gira la curva.) Lo siguiente que tiene que ver es que la componente tangencial de la aceleración es v&, la razón de cambio de la rapidez, y que la componente normal de la aceleración es kv2, la curvatura multiplicada por el cuadrado de la rapidez. Esto tiene sentido si piensa en el pasajero de un automóvil: una vuelta muy cerrada en una carretera significa un gran valor de la curvatura k, de modo que la componente de la aceleración perpendicular al movimiento es grande y el pasajero es lanzado contra la portezuela del automóvil. Una alta velocidad en la curva tiene el mismo efecto; de hecho, si duplica su velocidad, aN se incrementa en un factor de 4. SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 867 Hay expresiones para las componentes tangencial y normal de la aceleración en las ecuaciones 8, pero lo mejor es tener expresiones que dependan sólo de r, r& y r (. Con este fin obtenemos el producto punto de v ! vT y a definida según la ecuación 7: v ! a ! v T ! $v&T ! / v 2 N% ! vv&T ! T ! / v 3 T ! N ! vv& (puesto que T ! T ! 1 y T ! N ! 0) Por tanto, 9 a T ! v& ! v!a v ! r&$t% ! r($t% r&$t% * * Si usamos la fórmula de la curvatura que proporciona el teorema 13.3.10, tenemos aN ! /v2 ! 10 * r&$t% ) r&&$t% * * r&$t% * * r&$t% * 2 3 ! * r&$t% ) r&&$t% * * r&$t% * Una partícula que se desplaza tiene una función posición r(t) ! !t2, t2, t3". EJEMPLO 7 Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración. r$t% ! t 2 i ! t 2 j ! t 3 k SOLUCIÓN r&$t% ! 2t i ! 2t j ! 3t 2 k r($t% ! 2 i ! 2 j ! 6t k * r&$t% * ! s8t 2 ! 9t 4 Por tanto, la ecuación 9 da la componente tangencial aT ! Puesto que r&$t% ! r($t% 8t ! 18t 3 ! r&$t% s8t 2 ! 9t 4 * * * * i r&$t% ) r($t% ! 2t 2 j k 2t 3t 2 ! 6t 2 i " 6t 2 j 2 6t La ecuación 10 proporciona la componente normal: * r&$t% ) r($t% * ! 6s2 t s8t ! 9t * r&$t% * 2 aN ! 2 4 Leyes de Kepler del movimiento de los planetas A continuación se explica uno de los más grandes logros del cálculo, mostrando cómo el material de este capítulo se puede utilizar para demostrar las leyes de Kepler del movimiento de los planetas. Después de 20 años de estudiar las observaciones astronómicas del astrónomo danés Tycho Brahe, el matemático y astrónomo alemán Johannes Kepler (1571–1630) formuló las tres leyes siguientes: 868 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Leyes de Kepler 1. Un planeta gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica, uno de cuyos focos es el Sol. 2. La recta que une al Sol con un planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. Isaac Newton, en su libro Principia Mathematica, de 1687, fue capaz de demostrar que estas tres leyes son consecuencias de dos de sus propias leyes, a saber, la segunda ley del movimiento y la ley de la gravitación universal. A continuación se demuestra la primera ley de Kepler. Las otras leyes se dejan como ejercicios, con algunas sugerencias. Puesto que la fuerza gravitacional del Sol sobre un planeta es mucho más grande que las fuerzas que ejercen otros cuerpos celestes, es posible ignorar con toda seguridad todos los cuerpos del universo excepto al Sol y un planeta que gira a su alrededor. Utilice un sistema coordenado con el Sol en el origen, y haga que r ! r(t) sea el vector de posición del planeta. (El mismo resultado efectivo se obtiene si hace que r sea el vector de posición de la Luna o de un satélite que gira alrededor de la Tierra o de un cometa que gira alrededor de una estrella.) El vector velocidad es v ! r& y el vector aceleración es a ! r(. Aplique las siguientes leyes de Newton: Segunda ley de movimiento: F Ley de la gravitación: ma F GMm r r3 GMm u r2 donde F es la fuerza de la gravitación de un planeta, m y M son las masas del planeta y del Sol, G es la constante de gravitación, r ! & r &, y u ! (1#r)r es el vector unitario en la dirección de r. Primero se demuestra que el planeta se mueve en un plano. Si igualamos las expresiones de F de las dos leyes de Newton, encontramos que a!" GM r r3 y entonces a es paralelo a r. Se infiere que r ) a ! 0. Usamos la fórmula 5 del teorema 13.2.3 y escribimos d $r ) v% ! r& ) v ! r ) v& dt !v)v!r)a!0!0!0 Por tanto, r)v!h donde h es un vector constante. (Podríamos suponer que h " 0 ; es decir, r y v no son paralelos.) Esto significa que el vector r ! r(t) es perpendicular a h para todos los valores de t, de modo que el planeta siempre queda en el plano que pasa por el origen y es perpendicular a h. Por tanto, la órbita del planeta es una curva plana. Para demostrar la primera ley de Kepler, escribimos de nuevo el vector h como sigue: h ! r ) v ! r ) r& ! r u ) $r u%& ! r u ) $r u& ! r&u% ! r 2 $u ) u&% ! rr&$u ) u% ! r 2 $u ) u&% SECCIÓN 13.4 MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 869 Entonces a)h! "GM u ) $r 2 u ) u&% ! "GM u ) $u ) u&% r2 ! "GM '$u ! u&%u " $u ! u%u&( (según el teorema 12.4.11, propiedad 6) Pero u ! u! & u &2 ! 1 y puesto que & u(t) & ! 1, entonces se infiere del ejemplo 4 de la sección 13.2 que u ! u& ! 0. Por tanto, a ) h ! GM u& y así z Al integrar ambos miembros de la ecuación, se llega a 11 h c ¨ y r v x FIGURA 8 $v ) h%& ! v& ) h ! a ) h ! GM u& u v ) h ! GM u ! c donde c es un vector constante. En este punto es conveniente elegir los ejes coordenados de modo que el vector k del modelo base apunte en la dirección del vector h. Entonces el planeta se desplaza en el plano xy. Puesto que tanto v ) h como u son perpendiculares a h, la ecuación 11 muestra que c queda en el plano xy. Esto significa que puede escoger los ejes x y y de tal manera que el vector i quede en la dirección de c, como se ilustra en la figura 8. Si u es el ángulo entre c y r, entonces (r, u) son las coordenadas polares del planeta. Según la ecuación 11 tenemos r ! $v ) h% ! r ! $GM u ! c% ! GM r ! u ! r ! c * ** c * cos 6 ! GMr ! rc cos 6 ! GMr u ! u ! r donde c ! & c &. Entonces r! r ! $v ) h% 1 r ! $v ) h% ! GM ! c cos 6 GM 1 ! e cos 6 donde e ! c#(GM). Pero * * r ! $v ) h% ! $r ) v% ! h ! h ! h ! h 2 ! h2 donde h ! & h &. De modo que r! h 2#$GM % eh 2#c ! 1 ! e cos 6 1 ! e cos 6 Si escribimos d ! h2#c, obtenemos la ecuación 12 r! ed 1 ! e cos 6 Al comparar con el teorema 10.6.6, es claro que la ecuación 12 es la ecuación polar de una sección cónica con foco en el origen y excentricidad e. Sabemos que la órbita de un planeta es una curva cerrada, y entonces la cónica tiene que ser una elipse. Con esto termina la deducción de la primera ley de Kepler. Se le guiará en la deducción de la segunda y la tercera leyes en el proyecto de aplicación de la página 872. Las demostraciones de estas tres leyes hacen evidente que los métodos de este capítulo proporcionan una herramienta eficaz para explicar algunas de las leyes de la naturaleza. 870 CAPÍTULO 13 13.4 FUNCIONES VECTORIALES Ejercicios 1. En la tabla se proporcionan coordenadas de una partícula que se desplaza por el espacio a lo largo de una curva suave. a) Calcule las velocidades promedio sobre los intervalos [0, 1], [0.5, 1], [1, 2] y [1, 1.5]. b) Estime la velocidad y la rapidez de la partícula en t ! 1. 9-14 Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de la partícula con la función de posición dada. 9. r t x y z 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.7 3.5 4.5 5.9 7.3 9.8 7.2 6.0 6.4 7.8 3.7 3.3 3.0 2.8 2.7 t, t 2 11. r t s2 t i 13. r t e t cos t i 14. r t t t2 t, t 3 et j 2 t , sen t e tk sen t j 2 cos t, 3t, 2 sen t 10. r t t2 i 12. r t 2t j ln t k tk t cos t, cos t t sen t , 0 t 15-16 Determine los vectores de velocidad y posición de una partícula que tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales dadas. 15. a$t% ! i ! 2 j, v$0% ! k, 16. a$t% ! 2 i ! 6t j ! 12t 2 k, 2. La figura muestra la trayectoria de una partícula que se mueve con vector de posición r(t) en el tiempo t. a) Trace un vector que represente la velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo 2 + t + 2.4. b) Dibuje un vector que represente la velocidad promedio en el intervalo 1.5 + t + 2. c) Escriba una expresión para el vector de velocidad v(2). d) Dibuje una aproximación al vector v(2) y estime la rapidez de la partícula en t ! 2. r$0% ! i v$0% ! i, r$0% ! j " k 17-18 a) Encuentre el vector de posición de una partícula que tiene la aceleración dada y la velocidad y posición iniciales especificadas. ; b) Mediante una computadora, grafique la trayectoria de la partícula. 17. a t 18. a t 2t i sen t j ti t e j cos 2t k, e k, v 0 t v0 i, k, r0 r0 j j k 19. La función de posición de una partícula está definida por r$t% ! !t 2, 5t, t 2 " 16t " . ¿Cuándo la rapidez es mínima? y 20. ¿Cuánta fuerza se requiere para que la partícula de masa m tenga la función de posición r(t) ! t3 i ! t2 j ! t3 k? r(2.4) 2 r(2) 1 r(1.5) 0 1 21. Una fuerza de magnitud de 20 N actúa en forma directa hacia arriba del plano xy sobre un objeto con masa de 4 kg. El objeto parte del origen con velocidad inicial v(0) ! i " j. Determine la función de posición y su rapidez en el tiempo t. 22. Demuestre que si una partícula se desplaza con rapidez x 2 constante, entonces los vectores de velocidad y aceleración son ortogonales. 3-8 Calcule la velocidad, aceleración y rapidez de una partícula 23. Se dispara un proyectil con una rapidez inicial de 200 m#s y con la función de posición dada. Grafique la trayectoria de la partícula y dibuje los vectores de velocidad y aceleración para el valor especificado de t. 24. Vuelva a hacer el ejercicio 23, ahora considerando que el 1 2 2 t ,t , 3. r t 4. r t 2 t, 4st , 5. r t 3 cos t i 6. r t et i 7. r t ti t2 j 8. r t ti 2 cos t j ; proyectil se lanza desde un lugar a 100 m sobre el nivel del suelo. 2 t t 25. Se arroja una pelota con un ángulo de 45° respecto al suelo. Si 1 t 2 sen t j , e 2t j , ángulo de elevación 60°. Encuentre a) el alcance del proyectil, b) la altura máxima alcanzada y c) la rapidez en el impacto. p3 t 26. Se dispara una pistola con un ángulo de elevación de 30°. 0 2 k, t la pelota aterriza a 90 m de distancia, ¿cuál es la rapidez inicial de la pelota? ¿Cuál es la velocidad inicial del arma si la altura máxima del proyectil es de 500 m? 1 sen t k , t 0 Se requiere calculadora graficadora o computadora 27. Un arma tiene una velocidad inicial de 150 m#s. Determine dos ángulos de elevación que se puedan aplicar para alcanzar un blanco a 800 m de distancia. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 13.4 28. Un bateador envía la pelota de beisbol a 3 pies por arriba del nivel del suelo hacia la valla del campo central, la cual mide 10 pies de altura y está a 400 pies de home. La bola abandona el bate con una rapidez de 115 pies#s, con un ángulo de 50° respecto a la horizontal. ¿Es un jonrón? (En otras palabras, ¿la pelota podrá librar la valla?.) 29. Una ciudad medieval tiene la forma de un cuadrado y está protegida por murallas con longitud de 500 m y altura de 15 m. Usted es el comandante de un ejército atacante y lo más cerca de la muralla adonde puede llegar es 100 m. Su plan es prender fuego a la ciudad al lanzar piedras calientes por encima de la muralla (con una rapidez inicial de 80 m#s). ¿A qué margen de ángulos debe decirles a sus hombres que ajusten la catapulta? (Suponga que la trayectoria de las piedras es perpendicular a la muralla.) MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACIÓN 871 b) Si una partícula se mueve con rapidez constante a lo largo de una curva, ¿qué podemos decir en relación con su vector aceleración? 37-42 Calcule los componentes tangencial y normal del vector aceleración. 37. r t 3t t3 i 38. r t 1 t i 39. r t cos t i 40. r t ti 41. r t t e i 42. r t ti 3t 2 j t2 2t j sen t j t2 j tk 3t k s2 t j e tk cos 2t j sen2t k 30. Demuestre que un proyectil alcanza tres cuartos de su altura máxima en la mitad del tiempo requerido para alcanzar su altura máxima. 31. Una pelota es lanzada al aire desde el origen hacia el este (en la dirección del eje x positivo). La velocidad inicial es 50 i ! 80 k, con una rapidez medida en pies por segundo. El giro de la pelota provoca una aceleración hacia el sur de 4 pies#s2, por lo que el vector aceleración es a ! "4 j " 32 k. ¿Dónde caerá la pelota y con qué rapidez? 43. La magnitud del vector aceleración a es 10 cm#s2. Mediante la figura, estime las componentes normal y tangencial de a. y a 32. Una pelota con masa de 0.8 kg se lanza al aire hacia el sur con una velocidad de 30 m#s a un ángulo de 30° respecto al suelo. Un viento del oeste aplica una fuerza continua de 4 N a la pelota en dirección del este. ¿En dónde cae la pelota y con qué rapidez? ; 33. Por lo regular, el agua que corre por una parte recta de un río fluye con mayor rapidez en el centro, y aminora hasta llegar a casi cero en las riveras. Considere un largo trecho que va hacia el norte con riveras paralelas con separación de 40 m. Si la rapidez máxima del agua es de 3 m#s, podemos utilizar una función cuadrática como modelo básico para el caudal de agua x unidades desde la rivera 3 oeste: f $x% ! 400 x$40 " x%. a) Una embarcación parte a una rapidez constante de 5 m#s desde un punto A en la rivera oeste mientras mantiene un rumbo perpendicular a la orilla. ¿Qué tan lejos río abajo la embarcación tocará tierra en la orilla opuesta? Grafique la trayectoria del barco. b) Suponga que le gustaría llevar la embarcación hasta el punto B en tierra en la orilla opuesta exactamente enfrente de A. Si mantiene una rapidez constante de 5 m#s y un rumbo constante, determine el ángulo que debe seguir la embarcación. Después grafique la trayectoria real que sigue el barco. ¿Parece ser real la trayectoria? 34. Otro modelo razonable para la rapidez del agua del río del ejercicio 33 es una función seno: f (x) ! 3 sen (px#40). Si un hombre en un bote quisiera cruzar el río desde A hasta B con dirección constante y velocidad constante de 5 m#s, calcule el ángulo al cual el bote debe partir. 35. Una partícula tiene función posición r(t). Si r&(t) ! c ) r(t), donde c es un vector constante, describa la trayectoria de la partícula. 36. a) Si una partícula se mueve a lo largo de una recta, ¿qué podemos decir en relación con su vector aceleración? 0 x 44. Si una partícula cuya masa es m se desplaza con un vector de posición r(t), entonces su cantidad de movimiento angular se define como L(t) ! mr(t) ) v(t) y su torque como T(t) ! t r(t) ) a(t). Demuestre que L&(t) ! T(t). Demuestre que si T(t) ! 0 para toda t, entonces L(t) es constante. (Esta es la ley de la conservación de la cantidad de movimiento angular.) 45. La función de posición de una nave espacial es + r$t% ! $3 ! t% i ! $2 ! ln t% j ! 7 " 4 t2 ! 1 , k y las coordenadas de la estación espacial son (6, 4, 9). El capitán quiere que la nave espacial llegue a la estación espacial. ¿Cuándo se deben apagar los motores? 46. Un cohete que quema su combustible que lleva a bordo mientras se desplaza por el espacio, tiene una velocidad v(t) y una masa m(t) en el tiempo t. Si los gases de escape salen con una velocidad ve, en relación con el cohete, se puede deducir a partir de la segunda ley de Newton del movimiento que m dv dm ! ve dt dt m$0% ve . m$t% b) Para que el cohete acelere en una recta desde el reposo a dos veces la velocidad de sus propios gases de escape, ¿qué fracción de su masa inicial tendría que quemar el cohete como combustible? a) Demuestre que v$t% ! v$0% " ln 872 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES PROYECTO DE APLICACIÓN LEYES DE KEPLER Johannes Kepler formuló las tres leyes siguientes para el movimiento de los planetas con base en datos sobre la posición de los planetas en diferentes tiempos. Leyes de Kepler 1. Un planeta gira alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica, uno de cuyos focos es el Sol. 2. La recta que une al Sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su órbita. Kepler formuló estas leyes porque se ajustaban a los datos astronómicos. No pudo ver por qué eran válidos o cómo se relacionaban entre sí. Pero Isaac Newton, en su libro Principia Mathematica, de 1687, demostró cómo deducir las tres leyes de Kepler a partir de dos de las propias leyes de Newton, a saber, la segunda ley del movimiento y la ley de la gravitación universal. En la sección 13.4, se demuestra la primera ley de Kepler usando el cálculo de funciones vectoriales. En este proyecto se le guía a través de las demostraciones de la segunda y tercera leyes de Kepler, y se exploran algunas de sus consecuencias. 1. Siga los pasos siguientes para demostrar la segunda ley de Kepler. La notación es la misma que en la demostración de la primera ley de la sección 13.4. En particular, use las coordenadas polares de tal manera que r ! (r cos u) i ! (r sen u) j. a) Demuestre que h ! r 2 b) Deduzca que r 2 y 0 d6 ! h. dt c) Si A ! A(t) es el área barrida por el vector del radio r ! r(t) en el intervalo 't0 , t(, como en la figura, demuestre que r(t) A(t) d6 k. dt r(t¸) dA d6 ! 21 r 2 dt dt x d) Deduzca que dA dt 1 2 h constante Esto establece que la razón a la cual A es barrida es constante y demuestra la segunda ley de Kepler. 2. Sea T el periodo de un planeta que gira alrededor del Sol, es decir, T es el tiempo que requiere para dar una vuelta recorriendo su órbita elíptica. Suponga que las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse son 2a y 2b. a) Mediante el inciso d) del problema 1, demuestre que T ! 2' ab#h. b) Demuestre que b2 h2 . ! ed ! GM a c) A partir de los incisos a) y b), demuestre que T 2 ! 4' 2 3 a . GM Esto demuestra la tercera ley de Kepler. [Observe que la constante de proporcionalidad 4' 2#$GM% es independiente del planeta.] CAPÍTULO 13 REPASO 873 3. El periodo de la órbita de la Tierra es aproximadamente de 365.25 días. Con esta información y la tercera ley de Kepler, calcule la longitud del eje mayor de la órbita terrestre. Necesita la masa del Sol, M ! 1.99 ) 1030 kg y la constante gravitacional G ! 6.67 ) 10"11 N ! m2#kg2. 4. Es posible colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra de tal modo que permanezca fijo en un lugar determinado sobre el ecuador. Calcule la altitud que requiere tal satélite. La masa de la Tierra es de 5.98 ) 1024 kg; su radio es de 6.37 ) 106 m. (Esta órbita se llamó orbita geosíncrona de Clarke en honor al escritor Arthur C. Clarke, quien propuso la idea en 1945. El primero de tales satélites, Syncom II, fue lanzado en julio de 1963.) 13 Repaso Revisión de conceptos 1. ¿Qué es una función vectorial? ¿Cómo calcula su derivada y su integral? 2. ¿Cuál es la relación entre las funciones vectoriales y las curvas espaciales? 3. ¿Cómo calcula el vector tangente a una curva suave en un punto? ¿Cómo determina la recta tangente? ¿Y el vector unitario tangente? 4. Si u y v son funciones vectoriales derivables, c es un escalar y f es una función de valores reales, escriba las reglas para derivar las funciones vectoriales siguientes. a) u$t% ! v$t% b) cu$t% c) f $t% u$t% d) u$t% ! v$t% e) u$t% ) v$t% f ) u$ f $t%% 5. ¿Cómo calcula la longitud de una curva en el espacio si conoce una función vectorial r(t)? 6. a) ¿Cuál es la definición de curvatura? b) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r&(t) y T&(t). c) Escriba una fórmula para curvatura en términos de r&(t) y r((t). d) Escriba una fórmula de una curva plana cuya ecuación es y ! f (x). 7. a) Escriba fórmulas para los vectores unitarios normal y binormal de una curva suave r(t) en el espacio. b) ¿Cuál es el plano normal de una curva en un punto? ¿Cuál es el plano osculador? ¿Cuál es la circunferencia osculadora? 8. a) ¿Cómo se calcula la velocidad, rapidez y aceleración de una partícula que se desplaza a lo largo de una curva en el espacio? b) Exprese la aceleración en términos de sus componentes tangencial y normal. 9. Enuncie las leyes de Kepler. Examen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique la razón o proporcione un ejemplo que contradiga el enunciado. 1. La curva con ecuación vectorial r$t% ! t 3 i ! 2t 3 j ! 3t 3 k es una recta. 7. Si T(t) es el vector unitario tangente de una curva suave, * * entonces la curvatura es / ! dT#dt . 8. El vector binormal es B(t) ! N(t) ) T(t). 9. Suponga que f es dos veces derivable continuamente. En un 2. La curva r$t% ! !0, t 2, 4t" es una parábola. 3. La curva r$t% ! !2t, 3 " t, 0 " es una recta que pasa por el origen. 4. La derivada de una función vectorial se obtiene derivando cada función componente. 5. Si u(t) y v(t) son funciones vectoriales derivables, entonces d 'u$t% ) v$t%( ! u&$t% ) v&$t% dt 6. Si r(t) es una función vectorial derivable, entonces d r$t% ! r&$t% dt * * * * punto de inflexión de la curva y !f (x), la curvatura es 0. 10. Si k(t) ! 0 para toda t, la curva es una línea recta. 11. Si & r(t) & ! 1 para toda t, entonces & r&(t) & es una constante. 12. Si & r(t) & ! 1 para toda t, entonces r&(t) es ortogonal a r(t) para toda t. 13. La circunferencia osculadora de una curva C en un punto tiene el mismo vector tangente, vector normal y curvatura que C en ese punto. 14. Diferentes parametrizaciones de la misma curva resultan en idénticos vectores tangentes en un punto dado sobre la curva. 874 CAPÍTULO 13 FUNCIONES VECTORIALES Ejercicios 1. a) Grafique la curva cuya función vectorial es t$0 r(t) ! t i ! cos pt j ! sen p t k b) Escriba una expresión para la velocidad v(3). c) Escriba una expresión para el vector tangente unitario T(3) y dibújelo. y b) Encuentre r&(t) y r((t). 2. Sea r$t% ! ! s2 " t , $e t " 1%#t, ln$t ! 1%" . C a) Proporcione el dominio de r. b) Calcule lím t l 0 r t . c) Determine r&(t). 1 r(3) 3. Determine una función vectorial que represente la curva de r(3.2) intersección del cilindro x ! y ! 16 y el plano x ! z ! 5. 2 2 ; 4. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva x ! 2 sen t, y ! 2 sen 2t, z ! 2 sen 3t en el punto (1, s3 , 2). Grafique la curva y la recta tangente en una misma pantalla. 5. Si r(t) ! t i ! t cos pt j ! sen p t k, evalúe x r$t% dt. 1 0 2 6. Sea C la curva cuyas ecuaciones son x ! 2 " t3, y ! 2t " 1, z ! ln t. Determine a) el punto donde C interseca al plano xz, b) las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en (1, 1, 0), y c) una ecuación del plano normal a C en (1, 1, 0). 7. Utilice la regla de Simpson con n ! 6 para estimar la longitud del arco de la curva con ecuaciones x ! t 2, y ! t 3, z ! t 4, 0 + t + 3. 8. Calcule la longitud de la curva r t 2t 3 2, cos 2t, sen 2t , 0 + t + 1. cos t i sen t j t k interseca a la curva r2$t% ! $1 ! t% i ! t 2 j ! t 3 k en el punto (1, 0, 0). Calcule el ángulo de intersección de estas curvas. 9. La hélice r1 t 10. Reparametrice la curva r t e t i e t sen t j e t cos t k respecto a la longitud de arco medida desde el punto (1, 0, 1) en la dirección en que aumenta t. 11. En el caso de la curva definida por r$t% ! a) el vector tangente unitario, b) el vector normal unitario y c) la curvatura. ! 13 t 3, 21 t 2, t " , calcule 12. Determine la curvatura de la elipse x ! 3 cos t, y ! 4 sen t en los puntos (3, 0) y (0, 4). 13. Calcule la curvatura de la curva y ! x4 en el punto (1, 1). ; 14. Plantee una ecuación de la circunferencia osculadora de la curva y ! x4 " x2 en el origen. Grafique tanto la curva como su circunferencia osculadora. 15. Formule una ecuación para el plano osculador de la curva x ! sen 2t, y ! t, z ! cos 2t en el punto $0, ', 1%. 16. En la figura se ilustra la curva C trazada por una partícula con vector de posición r(t) en el tiempo t. a) Trace un vector que represente la velocidad promedio de la partícula en el intervalo 3 + t + 3.2. ; Se requiere calculadora graficadora o computadora 0 1 x 17. Una partícula se mueve con función de posición r$t% ! t ln t i ! t j ! e"t k. Calcule la velocidad, rapidez y aceleración de la partícula. 18. Una partícula parte del origen con velocidad inicial i " j ! 3 k. Su aceleración es a(t) ! 6t i ! 12t2 j " 6t k. Calcule su función de posición. 19. Un tirador dispara con un ángulo de 45° respecto a la horizontal a una velocidad inicial de 43 pies#s. La mano del tirador se sitúa a 7 pies por arriba del suelo. a) ¿Dónde está el disparo 2 s después? b) ¿Qué tan alto va el disparo? c) ¿Dónde aterriza el disparo? 20. Calcule las componentes tangencial y normal del vector de la aceleración de una partícula con función de posición r(t)! t i ! 2t j ! t2 k 21. Un disco de radio 1 gira en la dirección contraria a las manecillas del reloj a una rapidez angular constante v. Una partícula parte del centro del disco y se desplaza hacia la orilla a lo largo de un radio fijo de tal modo que su posición en el tiempo t 5 0, está dada por r(t) ! tR(t), donde R(t) ! cos vt i ! sen vt j a) Demuestre que la velocidad v de la partícula es v ! cos vt i ! sen vt j ! t vd donde vd ! R&$t% es la velocidad de un punto en la orilla del disco. b) Demuestre que la aceleración a de la partícula es a ! 2 vd ! t a d donde a d ! R($t% es la aceleración de un punto en el borde del disco. El término extra 2vd se llama aceleración de Coriolis. Es el resultado de la interacción de la rotación del disco y el movimiento de la partícula. Uno puede conseguir una demostración física de esta aceleración caminando hacia el borde de un carrusel. CAPÍTULO 13 c) Determine la aceleración de Coriolis de una partícula que se mueve sobre un disco que gira según la ecuación r(t) ! e"t cos vt i ! e"t sen vt vías de ferrocarril, es importante darse cuenta de que la aceleración del tren debe ser continua para que la fuerza de reacción que ejerce el tren en la vía también lo sea. Debido a las fórmulas para las componentes de la aceleración de la sección 13.4, éste será el caso si la curvatura varía en forma continua. a) Un candidato lógico para curva de transición para unir vías existentes dadas por y ! 1 para y % 0 y y ! s2 " x para x $ 1#s2 podría ser la función f $x% ! s1 " x 2 , 0 . x . 1#s2 , cuya gráfica es el arco de la circunferencia mostrado en la figura. Esta parece razonable en una primera mirada. Demuestre que la función 1 s1 s2 ; si x si 0 si x x2 x 1 y 1 x 0 œ„ 2 2 y vt v r peraltada con un ángulo u de modo que un automóvil puede recorrer la curva con seguridad sin patinar cuando no hay fricción entre la carretera y las llantas. La pérdida de fricción puede ocurrir, por ejemplo, si la carretera está cubierta con una capa de agua o de hielo. La rapidez permitida vR de la curva, es la velocidad máxima que un automóvil puede conseguir sin patinar. Suponga que un automóvil de masa m pasa por la curva a la velocidad permitida vR. Dos fuerzas actúan sobre el automóvil: la fuerza vertical, mt, debida al peso del automóvil, y la fuerza F que ejerce la carretera y que es normal a ella (véase la figura). La componente vertical de F equilibra el peso del vehículo, de modo que F cos 6 ! mt. La componente horizontal de F genera una fuerza centrípeta sobre el vehículo, de modo que, según la segunda ley de Newton y el inciso d) del problema 23, * * curva de transición 1 x 23. Una partícula P se desplaza con rapidez angular constante v alrededor de un círculo cuyo centro es el origen y cuyo radio es R. Se dice que la partícula mantiene un movimiento circular uniforme. Supongamos que el movimiento es en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y que la partícula está en el punto (R, 0) cuando t ! 0. El vector de posición en el tiempo t 5 0 es r(t) ! R cos vt i ! R sen vt j. a) Encuentre el vector velocidad v y demuestre que v ! r ! 0. Concluya que v es tangente a la circunferencia y apunta en la dirección del movimiento. b) Demuestre que la rapidez & v & de la partícula es la constante vR. El periodo T de la partícula es el tiempo que requiere para completar una revolución. Concluya que 2' R 2' T! ! v 2 * * m v * F * ! *R * 24. Una curva circular de radio R sobre una carretera está y=x y=F(x) y=0 0 c) Encuentre el vector aceleración a. Demuestre que es proporcional a r y que apunta hacia el origen. Una aceleración con esta propiedad se llama aceleración centrípeta. Demuestre que la magnitud del vector aceleración es a ! R2 2. d) Suponga que la partícula tiene masa m. Demuestre que la magnitud de la fuerza F que se requiere para producir este movimiento, llamada fuerza centrípeta, es 0 x 1 s2 1 s2 es continua y tiene pendiente continua, pero su curvatura no es continua. Por tanto, f no es una curva de transición apropiada. b) Determine una polinomial de quinto grado para que sirva como curva de transición entre los siguientes segmentos rectilíneos: y ! 0 para x % 0 y y ! x para x 5 1. ¿Se podría efectuar mediante una polinomial de cuarto grado? Mediante una calculadora graficadora o una computadora, grafique la función “conectada” y compruebe que luzca como la de la figura. y 875 * * 22. Al diseñar curvas de transición para unir partes rectas de Fx REPASO F sen u mvR2 R a) Demuestre que vR2 ! Rt tan 6. b) Encuentre la rapidez permitida en una curva circular con 400 pies de radio que está peraltada con un ángulo de 12°. c) Suponga que los ingenieros de diseño quieren mantener el peralte a 12°, pero desean incrementar la velocidad permitida en 50%. F ¨ mg Problemas adicionales 1. Se dispara un proyectil desde el origen con un ángulo de elevación a y rapidez inicial v0. y 0 _R R x y 0 x D 2. a) Se dispara un proyectil desde el origen hacia un plano inclinado que forma un ángulo u FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 y v¸ a x ¨ FIGURA PARA EL PROBLEMA 2 Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable, y que la única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad t, en el ejemplo 5 demostramos en la sección 13.4 que el vector de posición del proyectil es r t v0 cos a t i [ v0 sen a t 12 tt 2 ] j. También mostramos que la distancia horizontal máxima del proyectil se alcanza cuando a ! 45°y, en este caso, el alcance es R ! v02#t. a) ¿En qué ángulo se debe disparar el proyectil para alcanzar una altura máxima, y cuál es la altura máxima? b) Fije la rapidez inicial vo y considere la parábola x2 ! 2Ry " R2 ! 0, cuya gráfica se ilustra en la figura. Demuestre que el proyectil puede dar en cualquier blanco dentro o en el límite de la región delimitada por la parábola y el eje x, y que no puede dar en cualquier blanco fuera de esta región. c) Suponga que el arma se eleva a un ángulo de inclinación a con objeto de alcanzar un blanco que está suspendido a una altura h directamente sobre un punto D unidades abajo del alcance. El blanco se libera en el momento en que se dispara el arma. Demuestre que el proyectil siempre da en el blanco, sin que importe el valor de v0, siempre que el proyectil no golpee el suelo antes de D. con la horizontal. El ángulo de elevación del arma y la rapidez inicial del proyectil son a y v0, respectivamente. Encuentre el vector de posición del proyectil y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil como funciones del tiempo t. Ignore la resistencia del aire. b) Demuestre que el ángulo de elevación a que maximizara el alcance pendiente abajo es el ángulo medio entre el plano y la vertical. c) Suponga que el disparo se ejecuta en un plano inclinado que sube y cuyo ángulo de inclinación es u. Demuestre que con objeto de maximizar el alcance pendiente arriba, el proyectil debe ser disparado en la dirección media entre el plano y la vertical. d) En un trabajo que presento Edmond Halley, en 1686, resumió las leyes de la gravedad y el movimiento de proyectiles, y las aplicó a la artillería. Un problema que planteó se relacionaba con el disparo de un proyectil para dar en un blanco a una distancia R en un plano inclinado hacia arriba. Demuestre que el ángulo al cual el proyectil debe ser disparado para dar en el blanco, es el mismo que el ángulo del inciso c), pero use la mínima cantidad de energía. (Apóyese en el hecho de que la energía necesaria para disparar el proyectil es proporcional al cuadrado de la rapidez inicial, de modo que minimizar la energía equivale a minimizar la rapidez inicial.) 3. Una pelota rueda por una mesa a una rapidez de 2 pies#s. La mesa tiene 3.5 pies de altura. 3.5 pies ¨ ¨ FIGURA PARA EL PROBLEMA 3 a) Determine el punto al cual la pelota golpea el piso, y calcule la rapidez en el instante del impacto. b) Encuentre el ángulo u entre la trayectoria de la pelota y la recta vertical dibujada por el punto de impacto. Véase la figura. c) Suponga que la pelota rebota desde el suelo con el mismo ángulo con el cual golpea el piso, pero pierde 20% de su rapidez debido a la energía que absorbe en el impacto. ¿Dónde pega la pelota en el suelo en el segundo rebote? 4. Calcule la curvatura de la curva cuyas ecuaciones paramétricas son x y t 0 sen( 12 pu 2) du y y t 0 cos ( 12 pu 2) d u ; 5. Si se dispara un proyectil con ángulo de elevación a y rapidez inicial v, entonces las 1 2 v cos a t, y v sen a t ecuaciones paramétricas para su trayectoria son x 2 tt . (Vea el ejemplo 5 de la sección 13.4.) Sabemos que el alcance (distancia horizontal recorrida) es máxima cuando a ! 45°. ¿Qué valor de a hace máxima la distancia total recorrida por el proyectil? (Exprese su respuesta con una aproximación al grado más cercano.) 6. Un cable tiene un radio r y longitud L y está enrollado en un cilindro de radio R sin que se traslape. ¿Cuál es la longitud más corta en el cilindro que queda cubierta con el cable? 7. Demuestre que la curva con ecuación vectorial r$t% ! !a1 t 2 ! b1 t ! c1, a 2 t 2 ! b2 t ! c2, a 3 t 2 ! b3 t ! c3 " está sobre un plano y encuentre la ecuación del plano. 876 14 Derivadas parciales Las gráficas de funciones de dos variables son superficies que pueden tomar una variedad de formas, incluyendo algunas que tienen una silla o paso entre montañas. En este lugar, en Utah (conocido como “The wave”), puede verse un punto que es un mínimo en una dirección, pero es un máximo en otra dirección. Superficies como éstas se discuten en la sección 14.7. © Dreamstime Hasta ahora, hemos estudiado el cálculo de una función de una variable. Pero en el mundo real, las cantidades físicas dependen frecuentemente de dos o más variables, por lo que en este capítulo enfocaremos nuestra atención en las funciones de varias variables y extenderemos las ideas básicas del cálculo diferencial a tales funciones. 877 878 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Funciones de varias variables 14.1 En esta sección se estudian funciones de dos o más variables desde cuatro puntos de vista: ■ verbalmente (mediante una descripción hecha con palabras) ■ numéricamente (mediante una tabla de valores) ■ algebraicamente (mediante una fórmula explícita) ■ visualmente (mediante una gráfica o curvas de nivel) Funciones de dos variables La temperatura T en un punto de la superficie de la Tierra en cualquier momento dado, depende de la longitud x y la latitud y del punto. Se puede pensar que T es una función de dos variables x y y, o como una función del par (x, y). Esta dependencia funcional se indica escribiendo T ! f (x, y). El volumen V de un cilindro circular depende de su radio r y de su altura h. De hecho, sabemos que V ! pr2h. Se dice que V es una función de r y h, y escribimos V(r, h) ! pr2h. Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D, un único número real que se denota con f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f, es decir, 0 f $x, y% $x, y% " D1. * z y f (x, y) (x, y) 0 D FIGURA 1 x (a, b) 0 f (a, b) A menudo, escribimos z ! f (x, y) para hacer explícito el valor que toma f en el punto (x, y). Las variables x y y son variables independientes y z es la variable dependiente. [Compare lo anterior con la notación y ! f (x) para funciones de una variable.] Una función de dos variables es una función cuyo dominio es un subconjunto de !2 y cuyo rango es un subconjunto de !. Una manera de representar tal función es mediante un diagrama de flechas (véase figura 1), donde el dominio D se representa como un subconjunto del plano xy y el rango es un conjunto de números sobre una recta real, que se muestra como un eje z. Por ejemplo, si f (x, y) representa la temperatura en un punto (x, y) en una placa metálica plana con la forma de D, podemos considerar al eje z como un termómetro que va mostrando el registro de temperaturas. Si una función f está dada por una fórmula y no se especifica dominio alguno, entonces se entiende que el dominio de f será el conjunto de parejas (x, y) para el cual la expresión dada es un número bien definido. EJEMPLO 1 Para las funciones siguientes, evalúe f (3, 2) y determine y grafique el dominio. a) f $x, y% ! sx ! y ! 1 x"1 b) f $x, y% ! x ln$ y 2 " x% SOLUCIÓN a) f $3, 2% ! s3 ! 2 ! 1 s6 ! 3"1 2 La expresión para f tiene sentido si el denominador no es cero y la cantidad dentro del signo de raíz cuadrada es no negativa. Entonces, el dominio de f es D ! 0$x, y% * x ! y ! 1 $ 0, x " 11 La desigualdad x ! y ! 1 $ 0, o y $ "x " 1, describe los puntos que quedan en o por SECCIÓN 14.1 x+y+1=0 0 b) x _1 œ„„„„„„„ x+y+1 x-1 y x=¥ 0 f (3, 2) ! 3 ln(22 " 3) ! 3 ln 1 ! 0 Puesto que ln(y2 " x) se define sólo cuando y2 " x # 0, es decir, x . y2, el dominio de f es D ! 0(x, y) & x . y21. Éste es el conjunto de puntos a la izquierda de la parábola x ! y2. Véase figura 3. No todas las funciones se dan en fórmulas explícitas. La función del ejemplo siguiente se describe en forma verbal y mediante estimaciones numéricas de sus valores. FIGURA 2 Dominio de f(x, y)= 879 arriba de la recta y ! "x " 1, mientras que x 1 1 significa que los puntos sobre la recta x ! 1 tienen que ser excluidos del dominio (véase figura 2). y x=1 _1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES x EJEMPLO 2 En regiones donde el invierno es extremoso, el índice de temperatura de sensación se utiliza a menudo para representar la intensidad evidente del frío. Este índice W es una temperatura subjetiva que depende de la temperatura real T y de la rapidez del viento v. De este modo, W es una función de T y de v, y se escribe W ! f (T, v). En la tabla 1 se registran los valores de W que reunió el National Weather Service de Estados Unidos y el Meteorological Service de Canadá. TABLA 1 Índice de temperatura de sensación en función de la temperatura del aire y de la velocidad del viento. Rapidez del viento (km/ h) FIGURA 3 Dominio de f(x, y)=x ln(¥-x) Temperatura real (°C) Nuevo índice de temperatura de sensación Se instituyó un nuevo índice de temperatura de sensación en noviembre de 2001, y es más exacto que el antiguo índice para medir qué tanto frío se siente cuando hace viento. El nuevo índice se basa en un modelo de qué tan rápido la cara de una persona pierde calor. Se desarrolló por medio de estudios clínicos en los cuales personas voluntarias fueron expuestas a una diversidad de temperaturas y magnitudes de velocidad de viento en un túnel de aire refrigerado. T v 10 5 15 20 25 30 40 50 60 70 80 5 4 3 2 1 1 0 "1 "1 "2 "2 "3 0 "2 "3 "4 "5 "6 "6 "7 "8 "9 "9 "10 "5 "7 "9 "11 "12 "12 "13 "14 "15 "16 "16 "17 "10 "13 "15 "17 "18 "19 "20 "21 "22 "23 "23 "24 "15 "19 "21 "23 "24 "25 "26 "27 "29 "30 "30 "31 "20 "24 "27 "29 "30 "32 "33 "34 "35 "36 "37 "38 "25 "30 "33 "35 "37 "38 "39 "41 "42 "43 "44 "45 "30 "36 "39 "41 "43 "44 "46 "48 "49 "50 "51 "52 "35 "41 "45 "48 "49 "51 "52 "54 "56 "57 "58 "60 "40 "47 "51 "54 "56 "57 "59 "61 "63 "64 "65 "67 Por ejemplo, la tabla 1 muestra que si la temperatura es "5 7C y la rapidez del viento es de 50 km#h, entonces subjetivamente se sentiría tanto frío como si la temperatura fuera de casi "15 7C sin viento. Entonces f ("5, 50) ! "15 EJEMPLO 3 En 1928 Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio en el cual modelaban el crecimiento de la economía estadounidense durante el periodo 1899-1922. Consideraron un punto de vista simplificado de la economía en el cual la producción está determinada por la cantidad de mano de obra relacionada y la cantidad de capital invertido. Si bien hay muchos otros factores que afectan el rendimiento económico, su modelo resultó ser notablemente exacto. La función mediante la cual modelaron la producción era de la forma 1 P$L, K % ! bL8K 1"8 donde P es la producción total (el valor monetario de todos los bienes que se producen en un año), L es la cantidad de mano de obra (la cantidad total de horas-hombre 880 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES trabajadas en un año) y K es la cantidad de capital invertido (el valor monetario de toda la maquinaria, equipo y edificios). En la sección 14.3 se demuestra cómo la forma de la ecuación 1 se infiere de ciertas suposiciones económicas. Cobb y Douglas se apoyaron en datos que publicó el gobierno para obtener la tabla 2. Tomaron el año 1899 como una línea de referencia y a P, L y K para 1899 se les asignó el valor de 100. Los valores de otros años se expresaron como porcentajes de los valores de 1899. Cobb y Douglas aplicaron el método de los mínimos cuadrados para ajustar los datos de la tabla 2 a la función TABLA 2 . Año P L K 1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 1908 1909 1910 1911 1912 1913 1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 100 101 112 122 124 122 143 152 151 126 155 159 153 177 184 169 189 225 227 223 218 231 179 240 100 105 110 117 122 121 125 134 140 123 143 147 148 155 156 152 156 183 198 201 196 194 146 161 100 107 114 122 131 138 149 163 176 185 198 208 216 226 236 244 266 298 335 366 387 407 417 431 P$L, K% ! 1.01L0.75K 0.25 2 (Véase ejercicio 79 si desea mayores detalles.) Si usamos el modelo dado por la función en la ecuación 2 para calcular la producción en los años 1910 y 1920, obtenemos los valores P$147, 208% ! 1.01$147%0.75$208%0.25 / 161.9 P$194, 407% ! 1.01$194%0.75$407%0.25 / 235.8 que son muy cercanos a los valores reales, 159 y 231. La función de la producción 1 se usó posteriormente en muchos contextos, que van desde compañías individuales hasta cuestiones económicas globales. Ahora se le conoce como la función de la producción de Cobb-Douglas. Su dominio es 0$L, K% L $ 0, K $ 01 porque L y K representan mano de obra y capital y, por lo tanto, nunca son negativas. * EJEMPLO 4 Determine el dominio y el rango de t$x, y% ! s9 " x 2 " y 2 . SOLUCIÓN El dominio de t es y ≈+¥=9 D ! 0$x, y% * 9"x 2 " y 2 $ 01 ! 0$x, y% *x 2 ! y 2 + 91 que es el disco con centro (0, 0) y radio 3 (véase figura 4). El rango de t es _3 3 x 0 z * z ! s9 " x 2 " y 2 , $x, y% " D1 Puesto que z es una raíz cuadrada positiva, z $ 0. Asimismo, como 9 " x 2 " y 2 + 9, tenemos FIGURA 4 s9 " x 2 " y 2 + 3 9-≈-¥ Dominio de g(x, y)=œ„„„„„„„„„ y el rango es 0z * 0 + z + 31 ! '0, 3( Gráficas z S { x, y, f (x, y)} Otro modo de visualizar el comportamiento de una función de dos variables es considerar su gráfica Definición Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) en !3 tal que z ! f (x, y) y (x, y) está en D. f(x, y) 0 x FIGURA 5 D (x, y, 0) y Así como la gráfica de una función f de una variable es una curva C con ecuación y ! f (x), la gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z ! f (x, y). Podemos visualizar la gráfica S de f directamente sobre o abajo de su dominio D en el plano xy (véase figura 5). SECCIÓN 14.1 z 881 EJEMPLO 5 Grafique la función f (x, y) ! 6 " 3x " 2y. (0, 0, 6) (0, 3, 0) (2, 0, 0) FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES y SOLUCIÓN La gráfica de f tiene la ecuación z ! 6 " 3x " 2y, o 3x ! 2y ! z ! 6, que representa un plano. Para graficar el plano, primero obtenemos las intersecciones con los ejes. Hacemos y ! z ! 0 en la ecuación y obtenemos x ! 2 como la intersección con el eje x. Con el mismo procedimiento obtenemos la intersección con el eje y, que es 3, y la del eje z, que es 6. Ya con esto puede trazar la parte de la gráfica que está en el primer octante (véase figura 6). La función del ejemplo 5 es un caso especial de la función x f (x, y) ! ax ! by ! c FIGURA 6 que se llama función lineal. La gráfica de dicha función tiene por ecuación z ! ax ! by ! c o ax ! by " z ! c ! 0 por lo que es un plano. Así como las funciones lineales de una sola variable son importantes en el cálculo de una variable, veremos que las funciones lineales de dos variables desempeñan un papel fundamental en el cálculo de varias variables. z 0 (3, 0, 0) v (0, 0, 3) EJEMPLO 6 Trace la gráfica de t$x, y% ! s9 " x 2 " y 2 . SOLUCIÓN La ecuación de la gráfica es z ! s9 " x 2 " y 2 . Al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación obtiene z2 ! 9 " x2 " y2, es decir x2 ! y2 ! z2 ! 9, que se reconoce como la ecuación de la esfera con centro en el origen y radio 3. Pero como z $ 0, la gráfica de t es sólo la parte superior de esta esfera (véase figura 7). (0, 3, 0) y x FIGURA 7 Gráfica de g(x, y)=œ„„„„„„„„„ 9-≈-¥ NOTA No toda esfera puede ser representada por una sola función de x y y. Como se vio en el ejemplo 6, el hemisferio superior de la esfera x2 ! y2 ! z2 ! 9 está representado por la función t$x, y% ! s9 " x 2 " y 2 . El hemisferio inferior está representado por la función h$x, y% ! "s9 " x 2 " y 2 . EJEMPLO 7 Mediante una computadora, trace la gráfica de la función de la producción de Cobb-Douglas P$L, K% ! 1.01L0.75K 0.25. SOLUCIÓN En la figura 8 se muestra la gráfica de P para valores de la mano de obra L y el capital K que está entre 0 y 300. La computadora dibujó la superficie con trazas verticales. Según estas trazas el valor de la producción P se incrementa cuando L o K se incrementan, como era de esperarse. 300 P 200 100 0 300 FIGURA 8 v 200 100 K 0 0 100 L 200 300 EJEMPLO 8 Determine el dominio y el rango y grafique h(x, y) ! 4x2 ! y2. SOLUCIÓN Observe que h(x, y) está definida por todos los pares ordenados posibles de números reales (x, y), de modo que el dominio es !2, todo el plano xy. El rango de h es el conjunto [0, *) de todos los números reales no negativos. [Observe que x2 $ 0 y y2 $ 0, de modo que h(x, y) $ 0 para toda x y y.] 882 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES La gráfica de h tiene la ecuación z ! 4x2 ! y2, la cual es el paraboloide elíptico que se dibujó en el ejemplo 4 de la sección 12.6. Las trazas horizontales son elipses y las verticales son parábolas (véase figura 9). z FIGURA 9 x Gráfica de h(x, y)=4≈+¥ y Hay programas para computadora con los que se pueden obtener las gráficas de funciones de dos variables. En la mayoría de dichos programas las trazas en los planos verticales x ! k y y ! k se dibujan para valores de k separados regularmente, y se eliminan algunas partes de la gráfica usando alguna función que elimine líneas ocultas. En la figura 10 se ilustran gráficas de varias funciones generadas mediante una computadora. Observe que se consigue una imagen especialmente buena de una función cuando se usa la rotación para tener diferentes puntos de vista. En los incisos a) y b) la gráfica de f z z x y x b) f(x, y)=(≈+3¥)e _≈_¥ a) f(x, y)=(≈+3¥)e _≈_¥ z x z y x c) f(x, y)=sen x+sen y FIGURA 10 y d) f(x, y)= sen x sen y xy SECCIÓN 14.1 883 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES es muy plana y cercana al plano xy excepto cerca del origen. La razón es que e"x pequeña cuando x o y es grande. 2 "y2 es muy Curvas de nivel Hasta ahora se cuenta con dos métodos para representar funciones: diagramas de flechas y gráficas. Un tercer método, tomado prestado de los cartógrafos, es un mapa de curvas de nivel en el cual puntos de elevación igual se unen para formar líneas de contorno o curvas de nivel. Definición Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas cuyas ecuaciones son f (x, y) ! k, donde k es una constante (en el rango de f ). Una curva de nivel f (x, y) ! k es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado k. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f. Podemos ver en la figura 11 la relación entre curvas de nivel y trazas horizontales. Las curvas de nivel f (x, y) ! k son justamente las trazas de la gráfica de f en el plano horizontal z ! k proyectadas en el plano xy. Entonces, si dibujamos las curvas de nivel de una función y las representamos como elevaciones de la superficie a la altura indicada, entonces podemos formar mentalmente una imagen de la gráfica. La superficie tiene pendiente abrupta donde las curvas de nivel están muy cercanas entre sí. Es algo más plana donde las curvas de separan. z 40 45 00 45 00 50 LONESOME MTN. 0 A 450 k=40 k=35 k=30 k=25 k=20 0 TEC Visual 14.1A proporciona figuras animadas de la figura 11 y muestra cómo se alzan las curvas de nivel hasta tener las gráficas de funciones. 00 k=45 FIGURA 11 00 50 x 55 B y f(x, y)=20 00 es Lon ome Cree k FIGURA 12 Un ejemplo común de las curvas de nivel son los mapas topográficos de regiones montañosas, como el mapa de la figura 12. Las curvas de nivel son curvas de elevación constante por arriba del nivel del mar. Si camináramos por una de esas curvas de nivel, nunca ascenderíamos ni descenderíamos. Otro ejemplo común es la función de temperatura mencionada en la introducción de esta sección. En este caso, las curvas de nivel se denominan isotermas, y unen localidades con la misma temperatura. En la figura 13 se muestra un 884 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES mapa climático de la cuenca del Océano Pacífico, en el que se indican las temperaturas promedio de un mes cualquiera. Las isotermas son las curvas que separan las bandas de colores 10 0 10 20 25 30 35 35 30 35 FIGURA 13 Promedio de temperaturas del Océano Pacífico en grados Celsius 30 25 EJEMPLO 9 Un mapa de líneas de contorno de una función f se ilustra en la figura 14. Úselo para estimar los valores de f (1, 3) y f (4, 5). y 50 5 SOLUCIÓN El punto (1, 3) queda entre las curvas de nivel con valores de z de 70 y 80. Estimamos que 4 f $1, 3% / 73 3 2 80 70 60 1 0 1 2 50 3 En forma similar, estimamos que 80 70 60 4 5 x f $4, 5% / 56 EJEMPLO 10 Grafique las curvas de nivel de la función f (x, y) ! 6 " 3x " 2y para los valores k ! "6, 0, 6, 12. SOLUCIÓN Las curvas de nivel son FIGURA 14 6 " 3x " 2y ! k o bien 3x ! 2y ! $k " 6% ! 0 Ésta es una familia de rectas cuya pendiente es " 32 . Las cuatro curvas de nivel particulares con k ! "6, 0, 6 y 12 son 3x ! 2y " 12 ! 0, 3x ! 2y " 6 ! 0, 3x ! 2y ! 0 y 3x ! 2y ! 6 ! 0. Se grafican en la figura 15. Entre las curvas de nivel hay una separación igual, y dichas curvas son rectas paralelas porque la gráfica de f es un plano (véase figura 6). y 0 k= k= 0 6 12 _6 k= k= FIGURA 15 Mapa de contorno de f(x, y)=6-3x-2y x SECCIÓN 14.1 v FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 885 EJEMPLO 11 Grafique las curvas de nivel de la función t$x, y% ! s9 " x 2 " y 2 para k ! 0, 1, 2, 3 SOLUCIÓN Las curvas de nivel son s9 " x 2 " y 2 ! k x2 ! y2 ! 9 " k2 o bien Ésta es una familia de circunferencias concéntricas con centro (0, 0) y radio s9 " k 2 . Los casos k ! 0, 1, 2, 3 se ilustran en la figura 16. Intente imaginar estas curvas de nivel elevadas desde la superficie, y compare con la gráfica de t (un hemisferio) de la figura 7. (Véase TEC Visual 14.1A.) y k=3 k=2 k=1 k=0 (3, 0) 0 x FIGURA 16 Mapa de contorno de g(x, y)=œ„„„„„„„„„ 9-≈-¥ EJEMPLO 12 Grafique algunas curvas de nivel de la función h(x, y) ! 4x2 ! y2 !1. SOLUCIÓN Las curvas de nivel son 4x 2 ! y 2 ! 1 ! k o bien 1 4 x2 y2 ! !1 $k " 1% k"1 la cual, para k # 1, describe una familia de elipses con semiejes 12 sk " 1 y sk " 1 . En la figura 17a) se ilustra un mapa de contorno de h dibujado mediante una computadora. La figura 17b) muestra estas curvas de nivel elevadas para obtener la gráfica de h (un paraboloide elíptico), donde se transforman en trazas horizontales. En la figura 17 aparece cómo se ve la gráfica de h a partir de las curvas de nivel. y z TEC Visual 14.1B muestra la conexión entre las superficies y sus mapas de contorno. x x FIGURA 17 La gráfica de h(x, y)=4≈+¥+1 se forma elevando las curvas de nivel. y a) Mapa de contorno b) Trazas horizontales, son curvas de nivel elevadas 886 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES K 300 EJEMPLO 13 Trace curvas de nivel para la función de la producción de Cobb-Douglas del ejemplo 3. 200 SOLUCIÓN En la figura 18 se ilustran las curvas que se obtuvieron mediante una computadora para la función de producción de Cobb-Douglas 100 100 100 140 180 200 P$L, K% ! 1.01L 0.75K 0.25 220 300 L Las curvas de nivel se marcan con el valor de la producción P. Por ejemplo, la curva de nivel marcada con 140 muestra todos los valores de la mano de obra L y las inversiones de capital K que dan como resultado una producción de P ! 140. En el caso de un valor fijo de P, cuando L se incrementa K disminuye, y viceversa. Para algunos propósitos, un mapa de curvas de nivel es más útil que una gráfica. Esto es particularmente cierto en el ejemplo 13. (Compare la figura 18 con la figura 8.) También es válido estimar valores de las funciones, como en el ejemplo 9. En la figura 19 se muestran algunas curvas de nivel obtenidas mediante computadora junto con sus gráficas correspondientes elaboradas de la misma manera. Observe que las curvas de nivel del inciso c) se agrupan cerca del origen. La razón es que la gráfica del inciso d) tiene una pendiente abrupta cerca del origen. FIGURA 18 z y z x x y b) Dos vistas de f(x, y)=_xye_≈_¥ a) Curvas de nivel de f(x, y)=_xye_≈_¥ z y x y x FIGURA 19 c) Curvas de nivel de f(x, y)= _3y ≈+¥+1 d) f(x, y)= _3y ≈+¥+1 Funciones de tres o más variables Una función de tres variables, f, es una regla que asigna a cada terna ordenada (x, y, z) en un dominio D # ! 3 un único número real denotado por f (x, y, z). Por ejemplo, la temperatura T en un punto sobre la superficie de la Tierra depende de la longitud x, latitud y del punto y del tiempo t, de modo que puede escribir T ! f (x, y, t). SECCIÓN 14.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 887 EJEMPLO 14 Encuentre el dominio de f si f (x, y, z) ! ln(z " y) ! xy sen z SOLUCIÓN La expresión para f (x, y, z) está definida siempre que z " y # 0, de modo que el dominio de f es D ! 0$x, y, z% " ! 3 * z # y1 Es un semiespacio que consiste en todos los puntos que se ubican por arriba del plano z ! y. Es muy difícil imaginar una función f de tres variables mediante su gráfica, ya que se localizaría en un espacio de cuatro dimensiones. No obstante, es posible saber más de f examinando sus superficies de nivel, las cuales son las superficies cuyas ecuaciones son f (x, y, z) ! k, donde k es una constante. Si el punto (x, y, z) se desplaza por una superficie de nivel, el valor de f (x, y, z) sigue estando fijo. z ≈+¥+z@=9 EJEMPLO 15 Determine las superficies de nivel de la función ≈+¥+z@=4 f (x, y, z) ! x2 ! y2 ! z2 SOLUCIÓN Las superficies de nivel son x2 ! y2 ! z2 ! k, donde k $ 0. Esto forma una familia de esferas concéntricas con radio sk (véase figura 20). Así, cuando (x, y, z) varía sobre cualquier esfera con centro en O, el valor de f (x, y, z) se conserva fijo. y x ≈+¥+z@=1 FIGURA 20 También se pueden considerar funciones de cualquier número de variables. Una función de n variables es una regla que asigna un número z ! f (x1, x2, . . . , xn) a una n-ada (x1, x2, . . . , xn) de números reales. Denotamos con !n el conjunto de todas las n-adas. Por ejemplo, si una compañía utiliza n ingredientes distintos al elaborar un producto alimenticio, ci es el costo por unidad del i-ésimo ingrediente, y si se usan xi unidades del i-ésimo ingrediente, entonces el costo total C de los ingredientes es una función de n variables x1, x2, x3, . . . , xn: 3 C ! f $x 1, x 2 , . . . , x n % ! c1 x 1 ! c2 x 2 ! , , , ! cn x n La función f es una función de valores reales cuyo dominio es un subconjunto de ! n. Algunas veces se usa una notación vectorial para escribir dichas funciones de una manera más compacta: si x ! !x1, x2, . . . , xn", con frecuencia se escribe f (x) en lugar de f (x1, x2, . . . , xn). Mediante esta notación se vuelve a escribir la función definida en la ecuación 3 como f (x) ! c ∙ x donde c ! !c1, c2, . . . , cn" y c ∙ x denota el producto punto de los vectores c y x en Vn. En vista de la correspondencia uno a uno entre los puntos (x1, x2, . . . , xn) en !n y sus vectores de posición x ! !x1, x2, . . . , xn" en Vn, hay tres formas de ver una función f definida sobre un subconjunto de !n: 1. Como una función de n variables reales x1, x2, . . . , xn 2. Como una función de una sola variable en un punto (x1, x2, . . . , xn) 3. Como una función de una variable vectorial única x ! !x1, x2, . . . , xn" Los tres puntos de vista son útiles. 888 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Ejercicios 14.1 analizada en el ejemplo 3 que la producción se duplica si tanto la mano de obra como la cantidad de capital se duplican. Determine si ésta es también válida para la función general de la producción 1. En el ejemplo 2, se considera la función W ! f (T, v), donde W es el índice de temperatura de sensación, T es la temperatura real, y v es la rapidez del viento. Una representación numérica se proporciona en la tabla 1. a) ¿Cuál es el valor de f ("15, 40)? ¿Cuál es su significado? b) Explique el significado de la pregunta “¿Para qué valor de v es f ("20, v) ! "30?”. Luego conteste la pregunta. c) Explique con sus propias palabras el significado de la pregunta “¿Para qué valor de T es (T, 20) ! "49?”. Luego conteste la pregunta. d) ¿Cuál es el significado de la función W ! f ("5, v)? Describa el comportamiento de esta función. e) ¿Cuál es el significado de la función W ! f (T, 50)? Describa el comportamiento de esta función. P$L, K % ! bL8K 1"8 5. Un modelo para el área de la superficie del cuerpo humano está dado por la función S ! f $w, h% ! 0.1091w 0.425h 0.725 donde w es el peso (en libras), h es la altura (en pulgadas), y S es medida en pies cuadrados. a) Encuentre f (160, 70) e interprételo. b) ¿Cuál es el área de su propio cuerpo? 2. El índice temperatura-humedad I (o humidex, para abreviar) es la temperatura del aire que se percibe cuando la temperatura real es T y la humedad relativa es h, de modo que es posible escribir I ! f (T, h). La tabla de valores siguiente de I es una parte de una tabla que elaboró la National Oceanic and Atmospheric Administration. TABLA 3 6. El índice de temperatura de sensación W que se trata en el ejemplo 2 se modeló mediante la función siguiente W$T, v% ! 13.12 ! 0.6215T " 11.37v 0.16 ! 0.3965Tv 0.16 Temperatura aparente como una función de la temperatura y la humedad Compruebe para ver qué tanto concuerda este modelo con los valores de la tabla 1 para unos pocos valores de T y v. Humedad relativa (%) h 20 30 40 50 60 70 80 77 78 79 81 82 83 85 82 84 86 88 90 93 90 87 90 93 96 100 106 95 93 96 101 107 114 124 100 99 104 110 120 132 144 Temperatura real (°F) T 7. La altura h de las olas en mar abierto depende de la rapidez v del viento y del tiempo t en que el viento ha estado soplando con esa rapidez. Los valores de la función h ! f (v, t) se registran en pies en la tabla 4. a) ¿Cuál es el valor de f (40, 15)? ¿Qué significa? b) ¿Cuál es el significado h ! f (30, t)? Describa el comportamiento de esta función. c) ¿Cuál es el significado h ! f (v, 30)? Describa el comportamiento de esta función. TABLA 4 ¿Cuál es el valor de f (95, 70)? ¿Qué significa? ¿Para qué valor de h es f (90, h) ! 100? ¿Para qué valor de T es f (T, 50) ! 88? ¿Cuál es el significado de las funciones I ! f (80, h) e I ! f (100, h)? Compare el comportamiento de estas dos funciones de h. 3. Un fabricante ha modelado su producción anual como una función P (el valor monetario de toda su producción en millones de dólares) como una función de Cobb-Douglas 0.65 0.35 P$L, K% ! 1.47L K donde L es el número de horas de mano de obra (en miles) y K es el capital invertido (en millones de dólares). Encuentre P(120, 20) e interprételo. Duración (horas) t 5 10 15 20 30 40 50 10 2 2 2 2 2 2 2 15 4 4 5 5 5 5 5 20 5 7 8 8 9 9 9 30 9 13 16 17 18 19 19 40 14 21 25 28 31 33 33 50 19 29 36 40 45 48 50 60 24 37 47 54 62 67 69 √ Velocidad del viento (nudos) a) b) c) d) 4. Compruebe en el caso de la función de producción de Cobb-Douglas 8. Una compañía fabrica tres tipos de cajas de cartón: pequeñas, P$L, K % ! 1.01L 0.75K 0.25 ; Se requiere calculadora graficadora o computadora medianas y grandes. El costo para elaborar una caja pequeña es 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 14.1 de $2.50, para la mediana es de $4.00 y $4.50 para la caja grande. Los costos fijos son de $8000. a) Exprese el costo de elaborar x cajas pequeñas, y cajas medianas y z cajas grandes como una función de tres variables: C ! f (x, y, z). b) Encuentre f (3000, 5000, 4000) e interprételo. c) ¿Cuál es el dominio de f ? z I z II y x y x z III 9. Sea t(x, y) ! cos(x ! 2y). 889 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES z IV a) Evalúe t(2, "1). b) Encuentre el dominio de t. c) Determine el rango de t. y 10. Sea F $x, y% ! 1 ! s4 " y 2 . x a) Evalúe F (3, 1). b) Determine y trace el dominio de F. c) Determine el rango de F. x z V y z VI 11. Sea f $x, y, z% ! sx ! sy ! sz ! ln$4 " x 2 " y 2 " z 2 %. a) Evalúe f (1, 1, 1). b) Determine y describa el dominio de f. 12. Sea t$ x, y, z% ! x 3 y 2 zs10 " x " y " z . y éste estime los valores de f ("3, 3) y f (3, "2). ¿Qué puede decir respecto a la forma de la gráfica? 14. f $x, y% ! sxy 2 x 33. Se proporciona un mapa de contorno para una función f. Con 13-22 Determine y grafique el dominio de la función. 13. f $x, y% ! s2x " y y x a) Evalúe t(1, 2, 3). b) Determine y describa el dominio de t. y 16. f $x, y% ! sx 2 " y 2 2 15. f $x, y% ! ln$9 " x " 9y % 17. f $x, y% ! s1 " x 2 " s1 " y 2 18. f $x, y% ! sy ! s25 " x 2 " y 2 19. f $x, y% ! sy " x 2 1 " x2 20. f x, y arcsen x 2 1 0 y2 2 34. El contorno de la figura siguiente corresponde a la presión atmosférica en Norteamérica el 12 de agosto de 2008. Sobre las curvas de nivel (llamadas isobaras) la presión se indica en milibares (mb). a) Estime la presión en C (Chicago), N (Nashville), S (San Francisco) y V (Vancouver). b) ¿En cuáles de estos lugares el viento es más fuerte? 23. f $x, y% ! 1 ! y 24. f $x, y% ! 2 " x 25. f $x, y% ! 10 " 4x " 5y 26. f $x, y% ! e "y 27. f $x, y% ! y 2 ! 1 28. f $x, y% ! 1 ! 2x 2 ! 2y 2 29. f $x, y% ! 9 " x 2 " 9y 2 30. f $x, y% ! s4x 2 ! y 2 1016 31. f $x, y% ! s4 " 4x 2 " y 2 V 1016 32. Haga corresponder la función con su gráfica (marcadas de 1012 I a VI). Dé razones por su elección. 1008 * * * * b) f $x, y% ! xy 1 1 ! x2 ! y2 d) f $x, y% ! $x 2 " y 2 %2 a) f $x, y% ! x ! y x 20 10 23-31 Trace la gráfica de la función. e) f $x, y% ! $x " y%2 30 2 22. f $x, y, z% ! ln$16 " 4x 2 " 4y 2 " z 2 % c) f $x, y% ! 1 2 21. f $x, y, z% ! s1 " x " y " z 2 70 60 50 40 * * f) f x, y sen ( x S C 1004 y ) 1008 1012 N 890 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 35. Se muestran las curvas de nivel (isotermas) para la temperatura del agua (en 7C) en Long Lake (Minnesota) en 1998 como una función de la profundidad y el tiempo en años. Estime la temperatura en el lago el 9 de junio (día 160) a una profundidad de 10 m y el 29 de junio (día 180) a una profundidad de 5 m. 39-42 Se muestra un mapa de contorno de una función. Apóyese en él para elaborar un esquema aproximado de la gráfica de f. y 39. 40. 14 13 12 11 Profundidad (m) 0 5 8 12 16 y _8 _6 20 x _4 x 20 16 12 10 41. 8 15 160 120 200 8 240 y 280 2 función f cuya gráfica es un cono. El otro es para una función t cuya gráfica es un paraboloide. ¿Cuál es cuál y por qué? 2 1 36. Se proporcionan dos mapas de contorno. Uno es para una 0 _3 _2 _1 0 1 3 0 2 1 3 x 4 5 0 y x 43-50 Dibuje un mapa de contorno de la función mostrando varias curvas de nivel. x y II y 3 Día de 1998 I 42. 5 4 43. f $x, y% ! $ y " 2x%2 44. f $x, y% ! x 3 " y 45. f $x, y% ! sx ! y 46. f $x, y% ! ln$x 2 ! 4y 2 % 47. f $x, y% ! ye x 48. f $x, y% ! y sec x 49. f $x, y% ! sy 2 " x 2 50. f $x, y% ! y#$x 2 ! y 2 % x 51-52 Trace ambos mapas de contorno y grafique la función y compárelos. 37. Localice los puntos A y B en el mapa de Lonesome Mountain (figura 12). ¿Cómo describiría el terreno cerca de A? ¿Y cerca de B? 38. Elabore un esquema aproximado de un mapa de contorno para la función cuya gráfica se muestra. z 51. f $x, y% ! x 2 ! 9y 2 52. f $x, y% ! s36 " 9x 2 " 4y 2 53. Una plancha delgada de metal, situada en el plano xy, está a una temperatura T(x, y) en el punto (x, y). Las curvas de nivel de T se llaman isotermas porque la temperatura es igual en todos los puntos sobre la curva. Trace algunas isotermas si la función de temperatura está dada por T$x, y% ! 100 1 ! x 2 ! 2y 2 54. Si V(x, y) es el potencial eléctrico en un punto (x, y) del plano y x xy, entonces las curvas de nivel de V se llaman curvas equipotenciales, porque en todos los puntos de dicha curva el potencial eléctrico es el mismo. Trace algunas curvas equipotenciales si V$x, y% ! c#sr 2 " x 2 " y 2 , donde c es una constante positiva. SECCIÓN 14.1 ; 55-58 Mediante una computadora grafique la función usando 55. f $x, y% ! xy " x 3 3 56. f $x, y% ! xy " yx 57. f x, y e x2 y2 3 sen x 61. z (silla de mono) 3 cos y 2 x 64. z 1 58. f $x, y% ! cos x cos y A z B z y 62. z x2 1 1 63. z (silla de perro) sen x 2 sen x sen y y2 y x 2 y2 z C y x y y x x z D z E z F x I II y y x y IV x y x x V y y x III y x 891 59-64 Relacione la función a) con su gráfica (gráficas marcadas de A a F y b) con su mapa de contorno (mapas marcados de I a VI). Dé sus razones por qué hizo esa elección. 59. z sen xy 60. z e x cos y varios dominios y desde distintos puntos de vista. Imprima una de esas vistas que, según su opinión, sea muy buena. Si el programa que usted maneja también genera curvas de nivel, grafique algunas curvas de nivel de la misma función y compárelas con la gráfica. 2 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES VI y x y x 892 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 65-68 Describa las superficies de nivel de la función. ; 76. Use una computadora para investigar la familia de superficies 65. f $x, y, z% ! x ! 3y ! 5z 2 2 66. f $x, y, z% ! x ! 3y ! 5z z ! $ax 2 ! by 2 %e "x 2 68. f $x, y, z% ! x 2 " y 2 " z 2 ; 77. Use una computadora para investigar la familia de superficies z ! x2 ! y2 ! cxy. En particular, debe determinar los valores de transición de c para los que la superficie cambia de un tipo de superficie cuádrica a otro. 69-70 Describa cómo se obtiene la gráfica de t a partir de la gráfica de f. ; 78. Grafique las funciones 69. a) t$x, y% ! f $x, y% ! 2 b) t$x, y% ! 2 f $x, y% c) t$x, y% ! "f $x, y% d) t$x, y% ! 2 " f $x, y% f $x, y% ! sx 2 ! y 2 f $x, y% ! e sx !y 2 70. a) t$x, y% ! f $x " 2, y% y ; 71-72 Mediante una computadora grafique la función usando varios dominios y desde varias perspectivas. Imprima una vista en la que se vean claramente los “picos y los valles”. ¿Diría usted que la función tiene un valor máximo? ¿Puede identificar algunos puntos en la gráfica que pudiera considerar como “puntos máximos relativos”? ¿Y “puntos mínimos relativos”? 71. f $x, y% ! 3x " x 4 " 4y 2 " 10xy f x, y sen (sx 2 y2 ) f $x, y% ! 1 sx 2 ! y 2 En general, si t es una función de una variable, ¿cómo es la gráfica de f $x, y% ! t (sx 2 ! y 2 ) obtenida a partir de la gráfica de t? ; 79. a) Demuestre que, al calcular logaritmos, la función de 2 "y 2 Cobb-Douglas P ! bL8K 1"8 se puede expresar como ln ; 73-74 Con la ayuda de una computadora, grafique la función usando varios dominios y desde diferentes puntos de vista. Analice el comportamiento límite de la función. ¿Qué sucede cuando tanto x como y se incrementan? ¿Qué sucede cuando (x, y) se aproxima al origen? x!y x2 ! y2 74. f $x, y% ! xy x2 ! y2 ; 75. Investigue mediante una computadora la familia de las 2 2 funciones f $x, y% ! e cx !y . ¿En qué manera depende de c la forma de la gráfica? 14.2 2 f $x, y% ! lnsx 2 ! y 2 b) t$x, y% ! f $x, y ! 2% c) t$x, y% ! f $x ! 3, y " 4% 73. f $x, y% ! "y 2 ¿De qué modo depende la forma de la gráfica de los números a y b? 67. f $x, y, z% ! y 2 ! z 2 72. f $x, y% ! xye"x 2 P L ! ln b ! 8 ln K K b) Si hacemos x ! ln(L#K) y y ! ln(P#K), la ecuación en el inciso a) se transforma en la ecuación lineal y ! 8 x ! ln b. Use la tabla 2 del ejemplo 3 para elaborar una tabla de valores de ln(L#K) y ln(P#K) para los años 1899 a 1922. Luego utilice una calculadora graficadora o una computadora para determinar la recta de regresión de mínimos cuadrados que pase por los puntos (ln(L#K), ln(P#K)). c) Deduzca que la función de la producción según Cobb-Douglas es P ! 1.01L0.75K 0.25. Límites y continuidad Comparemos el comportamiento de las funciones f x, y sen x 2 y 2 x2 y2 y t x, y x2 x2 y2 y2 cuando x y y tienden a 0 [por lo tanto, el punto (x, y) se aproxima al origen]. Las tablas 1 y 2 muestran valores de f (x, y) y t(x, y), con una aproximación de tres cifras decimales, para los puntos (x, y) cerca del origen. (Observe que ninguna función está definida en el origen.) SECCIÓN 14.2 TABLA 1 y Valores de f (x, y) TABLA 2 y LÍMITES Y CONTINUIDAD 893 Valores de t(x, y) 21.0 20.5 20.2 0 0.2 0.5 1.0 21.0 0.455 0.759 0.829 0.841 0.829 0.759 0.455 21.0 0.000 0.600 0.923 20.5 0.759 0.959 0.986 0.990 0.986 0.959 0.759 20.5 20.600 0.000 20.2 0.829 0.986 0.999 1.000 0.999 0.986 0.829 20.2 20.923 20.724 0 0.841 0.990 1.000 1.000 0.990 0.841 0 21.000 21.000 21.000 0.2 0.829 0.986 0.999 1.000 0.999 0.986 0.829 0.2 20.923 20.724 0.000 1.000 0.000 20.724 20.923 0.5 0.759 0.959 0.986 0.990 0.986 0.959 0.759 0.5 20.600 0.000 0.724 1.000 0.724 0.000 20.600 1.0 0.455 0.759 0.829 0.841 0.829 0.759 0.455 1.0 0.000 0.600 0.923 1.000 0.923 0.600 x x 21.0 20.5 0.2 0.5 1.0 1.000 0.923 0.600 0.000 0.724 1.000 0.724 0.000 20.600 0.000 1.000 0.000 20.724 20.923 20.2 0 21.000 21.000 21.000 0.000 Al parecer, cuando (x, y) se aproxima a (0, 0), los valores de f (x, y) se aproximan a 1, en tanto que los valores de t(x, y) no tienden a ningún número. Resulta entonces que estas conjeturas basadas en la evidencia numérica son correctas, por lo que lím x, y l 0, 0 sen x 2 y 2 x2 y2 1 y lím f x, y lím x, y l 0, 0 x2 x2 y2 no existe y2 En general, usamos la notación x, y l a, b L para indicar que los valores de f (x, y) se aproximan al número L cuando el punto (x, y) tiende al punto (a, b) que está en cualquier trayectoria que se encuentra dentro del dominio de f. En otras palabras, podemos hacer los valores de f (x, y) tan cercanos a L como queramos haciendo el punto (x, y) lo suficientemente cercano al punto (a, b), pero no igual a (a, b). Una definición más exacta se presenta a continuación. 1 Definición Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Entonces, decimos que el límite de f (x, y) cuando (x, y) tiende a (a, b) es L y escribimos lím x, y l a, b f x, y L si para todo número e # 0 hay un correspondiente número d # 0 tal que si $x, y% " D y 0 . s$x " a%2 ! $ y " b%2 . 9 entonces * f $x, y% " L * . : Otras notaciones para el límite en la definición 1 son lím f x, y xla ylb L y f x, y l L cuando x, y l a, b Observe que & f (x, y) " L & es la distancia entre los números f (x, y) y L, y s$x " a% 2 ! $ y " b% 2 es la distancia entre el punto (x, y) y el punto (a, b). Por lo tanto, la definición 1 establece que la distancia entre f (x, y) y L se puede hacer arbitrariamente pequeña haciendo la distancia desde (x, y) a (a, b) suficientemente pequeña, pero no cero. En la figura 1 se ilustra la definición 1 mediante un diagrama de flechas. Si cualquier inter- 894 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES valo pequeño (L ! e, L " e) está dado alrededor de L, entonces podemos encontrar un disco Dd con centro en (a, b) y radio d > 0 tal que f mapea todos los puntos en Dd [excepto tal vez (a, b)] en el intervalo (L ! e, L " e). z z y L+∑ L L-∑ (x, y) ∂ D ( x ) f (a, b) 0 S L+∑ L L-∑ 0 0 x FIGURA 1 (a, b) D∂ y FIGURA 2 y b 0 x a FIGURA 3 Otra ilustración de la definición 1 se muestra en la figura 2, donde la superficie S es la gráfica de f. Si e > 0 está dada, podemos encontrar d # 0 tal que si (x, y) está restringido a quedar en el disco Dd y (x, y) " (a, b), entonces la parte correspondiente de S queda entre los planos horizontales z ! L ! e y z ! L " e. En el caso de funciones de una sola variable, cuando hacemos que x tienda a a, hay sólo dos posibles direcciones de aproximación, por la izquierda o por la derecha. De acuerdo lím x l a f x , entonces lím x l a no existe. con el capítulo 2, si lím x l a f x En el caso de funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, porque puede hacer que (x, y) tiendan a (a, b) desde un infinito de direcciones de cualquier manera (véase figura 3) siempre que (x, y) permanezca dentro del dominio de f. La definición 1 establece que la distancia entre f (x, y) y L se puede hacer arbitrariamente pequeña, haciendo la distancia desde (x, y) a (a, b) suficientemente pequeña, pero no cero. La definición se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y (a, b). No se refiere a la dirección de aproximación. Por consiguiente, si existe el límite, entonces f (x, y) tiene que aproximarse al mismo límite sin que importe cómo (x, y) se aproxima a (a, b). Por lo tanto, si encontramos dos trayectorias distintas de aproximación a lo largo de las cuales la función f (x, y) tiene diferentes límites, entonces se infiere que lím x, y l a, b f x, y no existe. Si f $x, y% l L 1 cuando $x, y% l $a, b% a lo largo de una trayectoria C1, y f $x, y% l L 2 cuando $x, y% l $a, b% a lo largo de una trayectoria C2, donde L1 " L2, entonces lím x, y l a, b f x, y no existe. v y EJEMPLO 1 Demuestre que x, y l 0, 0 x2 x2 y2 no existe. y2 SOLUCIÓN Sea f (x, y) ! (x2 ! y2)# (x2 " y2). Primero nos aproximamos a (0, 0) por el eje x. Entonces y ! 0 da f (x, 0) ! x2#x2 ! 1 para toda x " 0, de modo que f=_1 f $x, y% l 1 f=1 x cuando (x, y) l (0, 0) por el eje x !y 2 Ahora nos aproximamos por el eje y haciendo x ! 0. Entonces f $0, y% ! 2 ! !1 y para toda y " 0, de modo que f $x, y% l !1 FIGURA 4 lím cuando (x, y) l (0, 0) por el eje y (Véase figura 4.) Puesto que f tiene dos límites diferentes a lo largo de dos rectas SECCIÓN 14.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD 895 distintas, el límite dado no existe. [Esto confirma la conjetura hecha con base en evidencia numérica al principio de esta sección.] EJEMPLO 2 Si f $x, y% ! xy#$x 2 " y 2 %, ¿existe lím f x, y ? x, y l 0, 0 SOLUCIÓN Si y ! 0, entonces f (x, 0) ! 0#x2 ! 0. Por lo tanto, f $x, y% l 0 (x, y) l (0, 0) por el eje x cuando Si x ! 0, entonces f (0, y) ! 0#y2 ! 0, así que y f $x, y% l 0 y=x f=0 1 f= 2 x f=0 Aunque hemos obtenido límites idénticos a lo largo de los ejes, eso no demuestra que el límite dado sea 0. Aproximémonos a (0, 0) a lo largo de otra recta, digamos, y ! x. Para toda x " 0. f $x, x% ! Por lo tanto FIGURA 5 (x, y) l (0, 0) por el eje y cuando f $x, y% l 1 2 x2 1 ! x " x2 2 2 (x, y) l (0, 0) por y ! x cuando (Véase figura 5.) Puesto que hemos obtenido distintos límites en distintas trayectorias, el límite dado no existe. La figura 6 arroja alguna luz en el ejemplo 2. La cresta que se forma por arriba de la recta y ! x corresponde al hecho de que f $x, y% ! 12 para todos los puntos (x, y) en esa recta, excepto en el origen. z TEC En Visual 14.2, una recta que gira en la y superficie de la figura 6 muestra diferentes límites en el origen a partir de distintas direcciones. x FIGURA 6 f(x, y)= xy ≈+¥ v En la figura 7 se ilustra la gráfica de la función del ejemplo 3. Observe que hay una cresta por encima de la parábola x ! y2. z 0 FIGURA 7 2 0 x _2 2 _2 0 y xy 2 , ¿existe x2 " y4 lím x, y l 0, 0 f x, y ? SOLUCIÓN Con la solución del ejemplo 2 en mente, tratemos de ahorrar tiempo haciendo (x, y) l (0, 0) por cualquier recta no vertical que pase por el origen. Entonces, y ! mx, donde m es la pendiente y f $x, y% ! f $x, mx% ! De este modo 0.5 _0.5 EJEMPLO 3 Si f $x, y% ! f $x, y% l 0 x$mx%2 m 2x 3 m 2x ! ! x 2 " $mx%4 x 2 " m 4x 4 1 " m 4x 2 cuando (x, y) l (0, 0) a lo largo de y ! mx Por lo tanto, f tiene el mismo valor límite a lo largo de toda recta no vertical que pase por el origen. Pero esto no demuestra que el límite dado sea 0, porque si hacemos (x, y) l (0, 0) a lo largo de la parábola x ! y2, tenemos f $x, y% ! f $ y 2, y% ! y4 1 y2 ! y2 ! 2 2 4 ! $y % " y 2y 4 2 896 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES f $x, y% l 21 por lo que (x, y) l (0, 0) a lo largo de x ! y2 cuando Puesto que por distintas trayectorias se obtienen diferentes valores límite, el límite dado no existe. Observe ahora los límites que sí existen. Justo como en el caso de las funciones de una variable, el cálculo de límites de las funciones de dos variables se puede simplificar en gran medida mediante el uso de las propiedades de los límites. Las leyes de los límites que se listan en la sección 2.3, se pueden generalizar a las funciones de dos variables: el límite de una suma es la suma de los límites, el límite de un producto es el producto de los límites, y así sucesivamente. En particular, las ecuaciones siguientes son válidas lím 2 x, y l a, b x lím a x, y l a, b y lím b x, y l a, b c c El teorema de compresión también se cumple. EJEMPLO 4 Calcule lím x, y l 0, 0 3x 2y si existe. x y2 2 SOLUCIÓN Al igual que en el ejemplo 3, demuestre que el límite a lo largo de cualquier recta que pase por el origen es 0. Esto no demuestra que el límite dado sea 0, pero los límites a lo largo de las parábolas y ! x2 y x ! y2 también resultan ser 0, de modo que sospechamos que el límite existe y es igual a 0. Sea e # 0. Se busca determinar d # 0 tal que 0 $ sx 2 " y 2 $ & entonces si es decir, si . . 3x 2 y !0 $% x " y2 2 0 $ sx 2 " y 2 $ & entonces * * 3x 2 y $% x2 " y2 Pero x 2 ' x 2 " y 2 porque y 2 ( 0, de modo que x 2#$x 2 " y 2 % ' 1 y, por lo tanto, * * 3x 2 y ' 3 y ! 3sy 2 ' 3sx 2 " y 2 x2 " y2 3 * * Por tanto, si elegimos & ! %#3 y hacemos 0 $ sx 2 " y 2 $ &, entonces Otro modo de resolver el ejemplo 4 es aplicar el teorema de compresión en lugar de la definición 1. De 2 se infiere que lím x, y l 0, 0 3 y 0 . +, . 3x 2 y % 2 2 2 2 ! 0 ' 3sx " y $ 3& ! 3 x "y 3 !% De aquí que, según la definición 1, y entonces la primera desigualdad de 3 muestra que el límite dado es 0. lím x, y l 0, 0 3x 2 y x2 y2 0 Continuidad Recuerde que es fácil evaluar los límites de funciones continuas con una variable. Se realiza sustituyendo en forma directa porque la propiedad que define una función continua es límx l a f x f a . Las funciones continuas de dos variables se definen también por medio de la propiedad de sustitución. SECCIÓN 14.2 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD 897 Definición Una función f de dos variables se llama continua en (a, b) si lím x, y l a, b f x, y f a, b Decimos que f es continua sobre D si f es continua en todos los puntos (a, b) en D. El significado intuitivo de continuidad es que si el punto (x, y) cambia una pequeña cantidad, entonces el valor de f (x, y) cambia una pequeña cantidad. Esto significa que una superficie que es la gráfica de una función continua no tiene agujeros ni grietas. Al aplicar las propiedades de los límites, podemos ver que las sumas, diferencias, productos y cocientes de funciones continuas son continuas sobre sus dominios. Se usa este hecho para dar ejemplos de funciones continuas. Una función polinomial de dos variables (o polinomial, para abreviar), es una suma de términos de la forma cxmyn, donde c es una constante y m y n son enteros no negativos. Una función racional es una razón de polinomiales. Por ejemplo, f (x, y) ! x4 " 5x3y2 " 6xy4 ! 7y " 6 es una función polinomial, mientras t$x, y% ! 2xy " 1 x2 " y2 es una función racional. Los límites en 2 demuestran que las funciones f (x, y) ! x, t(x, y) ! y y h(x, y) ! c son continuas. Puesto que cualquier polinomial se puede conformar con las funciones simples f, t y h mediante multiplicación o adición, se infiere que todas las polinomiales son continuas sobre !2. De igual manera, cualquier función racional es continua sobre su dominio, porque es un cociente de funciones continuas. v EJEMPLO 5 Evalúe lím x, y l 1, 2 x 2y 3 x 3y 2 3x 2y . SOLUCIÓN Puesto que f (x, y) ! x2y3 ! x3y2 " 3x " 2y es una polinomial y es continua, entonces se puede encontrar el límite mediante la sustitución directa: lím x, y l 1, 2 x 2y 3 x 3y 2 3x 2y 12 23 13 22 EJEMPLO 6 ¿Dónde es continua la función f $x, y% ! 3 1 2 2 11 x2 ! y2 ? x2 " y2 SOLUCIÓN La función f es discontinua en (0, 0) porque allí no está definida. Puesto que f es una función racional, es continua sobre su dominio, que es el conjunto D ! 0$x, y% $x, y% " $0, 0%1. * EJEMPLO 7 Sea t x, y x2 x2 0 y2 y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 Aquí t se define en (0, 0) pero t es discontinua ahí porque lím x, y l 0, 0 t x, y no existe (véase ejemplo 1). 898 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES En la figura 8 se muestra la gráfica de la función continua del ejemplo 8. EJEMPLO 8 Sea 3x 2y x2 y2 0 z f x, y y x si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 Sabemos que f es continua para (x, y) " (0, 0) puesto que es igual a una función racional. Asimismo, según el ejemplo 4 lím x, y l 0, 0 lím f x, y x, y l 0, 0 3x 2y x y2 0 2 f 0, 0 FIGURA 8 Por lo tanto, f es continua en (0, 0) y entonces es continua sobre !2. Igual que en el caso de una función de una variable, la composición es otra manera de combinar dos funciones continuas para obtener una tercera. De hecho, se puede demostrar que si f es una función continua de dos variables y t es una función continua de una variable que está definida en el rango de f, entonces la función compuesta h ! t " f definida por h(x, y) ! t(f (x, y)) es también una función continua. 2 z 0 _2 _2 _2 _1 _1 y 0 0 x 1 1 2 2 EJEMPLO 9 ¿Dónde es continua la función h(x, y) ! arctan(y#x)? SOLUCIÓN La función f (x, y) ! y#x es una función racional y por lo tanto continua, excepto sobre la recta x ! 0. La función t(t) ! arctan t es continua en todas partes. Entonces la función compuesta t(f (x, y)) ! arctan(y#x) ! h(x, y) FIGURA 9 La función h(x, y)=arctan(y/x) es discontinua donde x=0. es continua excepto donde x ! 0. La gráfica de la figura 9 muestra una grieta en la gráfica de h arriba del eje y. Funciones de tres o más variables Todo lo que hemos visto en esta sección se puede generalizar a funciones de tres o más variables. La notación lím x, y, z l a, b, c f x, y, z L significa que los valores de f (x, y, z) se aproximan al número L cuando el punto (x, y, z) tiende al punto (a, b, c) a lo largo de cualquier trayectoria en el dominio de f. Como la distancia entre dos puntos (x, y, z) y (a, b, c) en !3 está dada por s$x ! a% 2 " $ y ! b% 2 " $z ! c% 2 , podemos escribir la definición exacta como sigue: para todo número e # 0 hay un número correspondiente d # 0 tal que si (x, y, z) está en el dominio de f y 0 $ s$x ! a% 2 " $ y ! b% 2 " $z ! c% 2 $ & entonces * f $x, y, z% ! L * $ % La función f es continua en (a, b, c) si lím x, y, z l a, b, c f x, y, z f a, b, c Por ejemplo, la función f $x, y, z% ! 1 x 2 " y 2 " z2 ! 1 SECCIÓN 14.2 899 LÍMITES Y CONTINUIDAD es una función racional de tres variables, y entonces es continua en todos los puntos en !3, excepto donde x2 " y2 " z2 ! 1. En otras palabras, es discontinua sobre la esfera con centro en el origen y radio 1. Si usamos la notación vectorial introducida al final de la sección 14.1, entonces podemos escribir la definición de límite para funciones de dos o tres variables en una sola forma compacta como sigue. L significa Si f se define sobre un subconjunto D de !n, entonces lím x l a f x que para todo número e # 0 hay un número correspondiente d # 0 tal que 5 si x " D * * y 0$ x!a $& entonces * f $x% ! L * $ % Observe que si n ! 1, entonces x ! x y a ! a, y 5 es justamente la definición de un límite para funciones de una variable. Para el caso n ! 2, tenemos x ! ! x, y" , a ! ! a, b" , y x ! a ! s$x ! a% 2 " $y ! b% 2 , de modo que 5 se transforma en la definición 1. Si n ! 3, entonces x ! !x, y, z " , a ! ! a, b, c" , y 5 se vuelve la definición de un límite de una función de tres variables. En cada caso, la definición de continuidad se puede escribir como lím f x f a * * xla 14.2 Ejercicios 1. Suponga que lím f x, y 6. ¿Qué puede decir respecto al valor de f (3, 1)? ¿Y si f es continua? x, y l 3, 1 1 1. 2. Explique por qué cada una de las funciones es continua o discontinua. a) La temperatura en el exterior como función de la longitud, latitud y tiempo. b) Elevación (altura sobre el nivel del mar) en función de la longitud, latitud y tiempo. c) El costo de un viaje en taxi en función de la distancia recorrida y el tiempo. 13. 3-4 Mediante una tabla de valores numéricos de f (x, y) para (x, y) 19. 3. f $x, y% ! x 2y 3 " x 3y 2 ! 5 2 ! xy 1 5. 1 7. 21. 2 22. 5. 7. 9. ; lím 5x 3 lím 4 x2 xy 3y 2 4 2 x, y l 1, 2 x, y l 2, 1 lím x, y l 0, 0 x x2 x 2y 2 4y 2y 2 6. 8. lím x, y l 1, lím x, y l 1, 0 e 1 xy lím x, y l 0, 0 y2 xy 1 ln 2 x 4 10. cos x 2 5y cos x x4 y4 Se requiere calculadora graficadora o computadora sx x, y l 0, 0 2 y x, y l 0, 0 lím lím 1 6. x2 y2 y2 1 1 1 8. xy 1 y 2 x, y l 1, 0 x lím x4 x2 lím x 2 sen 2 y x 2 2y 2 x, y l 0, 0 y sx 2 x, y l 0, 0 x, y l 0, 0 lím x, y l 0, 0 y2 y4 y2 xy4 x 2 y8 2 lím , 0, 1 3 e y tan xz xy lím x, y, z l 0, 0, 0 lím x, y, z l 0, 0, 0 lím 14. 2 x ye x 4 4y 2 lím x, y, z l 0, 0, 0 5-22 Determine el límite, si existe, o demuestre que no existe. 1 2. xy lím 2 20. 2x y x " 2y 2 4. f $x, y% ! x, y l 0, 0 x, y, z l cerca del origen plantee alguna conjetura acerca del valor del límite de f (x, y) cuando (x, y) l (0, 0). Luego explique por qué su conjetura es correcta. y 2 sen2 x x4 y4 lím yz x2 y2 xy x2 yz 2 y2 yz 4y 2 x2 z2 xz 2 z4 9z 2 y ; 23-24 Mediante una computadora, grafique la función para explicar por qué el límite no existe. 23. lím x, y l 0, 0 2x 2 3x y 4y 2 3x 2 5y 2 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 24. lím x, y l 0, 0 xy3 x2 y6 900 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 25-26 Encuentre h(x, y) ! t(f (x, y)) y el conjunto en el cual h es continua. 25. t$t% ! t 2 " st , f $x, y% ! 2 x " 3y ! 6 39-41 Mediante coordenadas polares determine el límite. [Si (r, u) son las coordenadas polares del punto (x, y) con r ( 0, observe que r l 0" cuando (x, y) l (0, 0).] 39. 1 ! xy 26. t$t% ! t " ln t, f $x, y% ! 1 " x2y2 40. ; 27-28 Grafique la función y observe dónde es discontinua. Luego use la fórmula para explicar lo que ha observado. 27. f $x, y% ! e 1#$x!y% 28. f $x, y% ! 1 1 ! x2 ! y2 29-38 Determine el conjunto de puntos en los cuales la función es continua. xy 29. F$x, y% ! 30. F$x, y% ! cos s1 " x ! y 1 " e x!y 31. F$x, y% ! 1 " x2 " y2 1 ! x2 ! y2 2 32. H$x, y% ! ex " ey e xy ! 1 41. lím x3 x2 y3 y2 lím x2 y 2 ln x 2 lím e x, y l 0, 0 x, y l 0, 0 x, y l 0, 0 34. G$x, y% ! tan 35. f x, y, z ($x " y% ) ; 43. Grafique y discuta la continuidad de la función 37. f x, y sen xy xy 1 si xy 0 si xy 0 44. Sea z2 f x, y 36. f $x, y, z% ! sy ! x 2 ln z x2y3 2x2 y2 1 sen x 2 y 2 x2 y2 y se conjeturó que f (x, y) l 1 cuando (x, y) l (0, 0) con base en evidencia numérica. Use coordenadas polares para confirmar el valor del límite. Luego grafique la función. f x, y !2 y2 1 y2 f x, y 2 arcsen x 2 x2 ; 42. Al inicio de esta sección se consideró la función 33. G$x, y% ! ln$x " y ! 4 % !1 x2 y2 y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 0 si y 1 si 0 0 o y y x4 x4 a) Demuestre que (x, y) l 0 cuando (x, y) l (0, 0) a lo largo de cualquier trayectoria que pase por (0, 0) de la forma y ! mx a con a $ 4. b) No obstante el inciso a), demuestre que f es discontinua en (0, 0). c) Demuestre que f es discontinua sobre dos curvas enteras. 45. Demuestre que la función f dada por f (x) ! & x & es continua 38. f x, y x2 0 xy xy y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 sobre !n. [Sugerencia: Considere & x ! a &2 ! (x ! a) ∙ (x ! a).] 46. Si c " Vn, demuestre que la función f dada por f (x) ! c ∙ x es continua sobre !n. 14.3 Derivadas parciales En un día caluroso la humedad extrema hace pensar que la temperatura es mayor de lo que en realidad es, en tanto que si el aire está muy seco, parece que la temperatura es más baja de lo que señala el termómetro. El National Weather Service de Estados Unidos ha diseñado el índice calorífico, que se denomina también índice de temperatura-humedad o humidex en algunos países, para describir los efectos combinados de temperatura y humedad. El índice calorífico I es la temperatura del aire que se siente cuando la temperatura real es T y la humedad relativa es H. De este modo, I es una función de T y H y se puede escribir como I ! f (T, H). La tabla siguiente de valores de I es parte de una tabla que elaboró el National Weather Service de Estados Unidos. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 901 Humedad relativa (%) TABLA 1 Índice calorífico I en función de la temperatura y la humedad H 50 55 60 65 70 75 80 85 90 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 100 103 105 108 112 115 119 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 96 109 113 116 121 125 130 135 141 146 98 114 118 123 127 133 138 144 150 157 100 119 124 129 135 141 147 154 161 168 T Temperatura real (°F) Si nos concentramos en la columna resaltada de la tabla, la cual corresponde a la humedad relativa de H ! 70%, está considerando el índice calorífico como una función de la variable única T para un valor fijo de H. Escribimos t(T) ! f (T, 70). Entonces t(T) describe cómo el índice calorífico I se incrementa cuando la temperatura real T se incrementa cuando la humedad relativa es de 70%. La derivada de t cuando T ! 96 )F es la razón de cambio de I con respecto a T cuando T ! 96 )F: t 96 lím t 96 hl0 h h t 96 lím hl0 f 96 h, 70 h f 96, 70 Aproximamos t*(96) usando los valores de la tabla 1 y tomando h ! 2 y !2: t*$96% / t*$96% / t$98% ! t$96% f $98, 70% ! f $96, 70% 133 ! 125 ! ! !4 2 2 2 t$94% ! t$96% f $94, 70% ! f $96, 70% 118 ! 125 ! ! ! 3.5 !2 !2 !2 Al promediar los valores, la derivada t*(96) es aproximadamente 3.75. Esto quiere decir que cuando la temperatura real es de 96 )F y la humedad relativa es 70%, la temperatura aparente (índice calorífico) se eleva casi 3.75 )F ¡por cada grado que aumenta la temperatura real! Ahora veamos el renglón resaltado de la tabla 1, el cual corresponde a la temperatura fija de T ! 96 )F. Los números de este renglón son valores de la función G(H) ! f (96, H), la cual describe cómo el índice calorífico aumenta cuando la humedad relativa H se incrementa cuando la temperatura real es T ! 96 )F. La derivada de esta función cuando H ! 70% es la razón de cambio de I con respecto a H cuando H ! 70%: G 70 lím hl0 G 70 h h G 70 lím hl0 f 96, 70 h h f 96, 70 Si hacemos h ! 5 y !5, aproximamos a G*(70) usando los valores de la tabla: G*$70% / G*$70% / G$75% ! G$70% f $96, 75% ! f $96, 70% 130 ! 125 ! ! !1 5 5 5 G$65% ! G$70% f $96, 65% ! f $96, 70% 121 ! 125 ! ! ! 0.8 !5 !5 !5 902 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Al promediar estos valores obtenemos la estimación G*$70% / 0.9. Esto establece que, cuando la temperatura es de 96 )F y la humedad relativa es de 70%, el índice calorífico se eleva casi 0.9 )F por cada punto porcentual que aumenta la humedad relativa. En general, si f es una función de dos variables x y y, supongamos que sólo hacemos variar x mientras mantenemos fija a y, digamos y ! b, donde b es una constante. Entonces estamos considerando en realidad una función de una sola variable x, a saber, t(x) ! f (x, b). Si t tiene derivada en a, entonces se denomina derivada parcial de f con respecto a x en (a, b) y la denotamos con fx(a, b). Por consiguiente 1 fx(a, b) ! t*(a) t(x) ! f (x, b) donde De acuerdo con la definición de derivada, tenemos t a lím ta hl0 h h ta y entonces la ecuación 1 se transforma en 2 fx a, b lím f a hl0 h, b h f a, b De igual manera, la derivada parcial de f con respecto a y en (a, b), denotada por fy(a, b), se obtiene al mantener fija la variable x (x ! a) y determinar la derivada ordinaria de b de la función G(y) ! f (a, y): 3 fy a, b lím f a, b hl0 h h f a, b Con esta notación de derivadas parciales, podemos escribir las razones de cambio del índice calorífico I con respecto a la temperatura real T y humedad relativa H cuando T ! 96 )F y H ! 70% como sigue: f T $96, 70% / 3.75 fH $96, 70% / 0.9 Si ahora dejamos que el punto (a, b) varíe en las ecuaciones 2 y 3, fx y fy se transforman en funciones de dos variables. 4 Si f es una función de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy, definidas por fx x, y fy x, y lím f x lím f x, y hl0 hl0 h, y h f x, y h h f x, y SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 903 Hay muchas otras notaciones para las derivadas parciales. Por ejemplo, en lugar de fx puede escribir f1 o D1 f para indicar la derivación respecto a la primera variable, o bien, +f#+x. Pero aquí +f#+x no se puede interpretar como una razón de diferenciales. Notaciones para derivadas parciales Si z ! f (x, y), escribimos fx $x, y% ! fx ! +f + +z ! f $x, y% ! ! f1 ! D1 f ! Dx f +x +x +x fy $x, y% ! fy ! +f + +z ! f $x, y% ! ! f2 ! D2 f ! Dy f +y +y +y Para calcular derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que, según la ecuación 1, la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de la función t de una sola variable que se obtiene al mantener fija a y. Por lo tanto, tenemos la regla siguiente. Regla para determinar las derivadas parciales de z ! f $x, y% 1. Para determinar fx, conservar a y constante y derivar f (x, y) con respecto a x. 2. Para determinar fy, conservar a x constante y derivar f (x, y) con respecto a y. EJEMPLO 1 Si f (x, y) ! x3 " x2y3 ! 2y2, determine fx(2, 1) y fy(2, 1). SOLUCIÓN Al considerar como constante a y y derivar con respecto a x se obtiene fx $x, y% ! 3x 2 " 2x y 3 y entonces fx $2, 1% ! 3 ! 2 2 " 2 ! 2 ! 13 ! 16 Si consideramos como constante a x y derivamos con respecto a y entonces fy $x, y% ! 3x 2 y 2 ! 4y fy $2, 1% ! 3 ! 2 2 ! 12 ! 4 ! 1 ! 8 z Interpretaciones de derivadas parciales T¡ S C¡ P (a, b, c) 0 T™ C™ y x (a, b, 0) FIGURA 1 Las derivadas parciales de f en (a, b) son las pendientes de las tangentes a C¡ y C™. Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recuerde que la ecuación z ! f (x, y) representa una superficie S (la gráfica de f ). Si f (a, b) ! c, entonces el punto P(a, b, c) está situado sobre S. Si hace y ! b, está enfocando la atención en la curva C1 en la cual el plano vertical y ! b interseca a S. (En otras palabras, C1 es la traza de S en el plano y ! b). De igual manera, el plano vertical x ! a interseca a S en una curva C2. Tanto la curva C1 como C2 pasan por el punto P (véase figura 1). Observe que la curva C1 es la gráfica de la función t(x) ! f (x, b), de modo que la pendiente de su tangente T1 en P es t*(a) ! fx (a, b). La curva C2 es la gráfica de la función G(y) ! f (a, y), de modo que la pendiente de su tangente T2 en P es G*(b) ! fy(a, b). Por lo tanto, las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) se pueden interpretar en forma geométrica como las pendientes de las tangentes en P(a, b, c) a las trazas C1 y C2 de S en los planos y ! b y x ! a. 904 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES z z=4-≈-2¥ C¡ EJEMPLO 2 Si f (x, y) ! 4 ! x2 ! 2y2, determine fx(1, 1) y fy (1, 1), e interprete estos y=1 números como pendientes. (1, 1, 1) x Como ya se vio en el caso de la función del índice calorífico, las derivadas parciales también se pueden interpretar como razones de cambio. Si z ! f (x, y), entonces +z#+x representa la razón de cambio de z respecto a x cuando y permanece constante. De manera similar, +z#+y representa la razón de cambio de z respecto a y cuando x es constante. SOLUCIÓN Tenemos y (1, 1) 2 fx(x, y) ! !2x fy (x, y) ! !4y fx(1, 1) ! !2 fy (1, 1) ! !4 FIGURA 2 z z=4-≈-2¥ C™ La gráfica de f es el paraboloide z ! 4 ! x2 ! 2y2 y el plano vertical y ! 1 lo interseca en la parábola z ! 2 ! x2, y ! 1. (Al igual que en el análisis anterior, es Cl en la figura 2.) La pendiente de la recta tangente de esta parábola en el punto (1, 1, 1) es fx(1, 1) ! !2. De la misma manera, la curva C2 que se forma cuando el plano x ! 1 interseca al paraboloide es la parábola z ! 3 ! 2y2, x ! 1, y la pendiente de la tangente en (1, 1, 1) es fy (1, 1) ! !4 (véase figura 3). x=1 (1, 1, 1) x 2 y La figura 4 se generó mediante computadora y es análoga a la figura 2. En el inciso a) se ilustra el plano y ! 1 que interseca a la superficie para formar la curva Cl y en el inciso b) se muestra C1 y T1. [Hemos usado las ecuaciones vectoriales r$t% ! !t, 1, 2 ! t 2 " para Cl y r$t% ! !1 " t, 1, 1 ! 2t " para T1.] Asimismo, la figura 5 corresponde a la figura 3. (1, 1) FIGURA 3 4 4 3 3 z 2 z 2 1 1 0 0 y 1 0 x 0 0 y 1 a) FIGURA 4 4 3 3 z 2 z 2 1 1 0 y 1 2 1 0 x b) 4 0 FIGURA 5 2 1 2 1 0 x 0 0 y 1 2 1 0 x SECCIÓN 14.3 v EJEMPLO 3 Si f x, y x sen , calcule DERIVADAS PARCIALES 905 +f +f y . +x +y 1 y SOLUCIÓN Al aplicar la regla de la cadena para funciones de una variable Algunos sistemas algebraicos computarizados tienen la capacidad de dibujar superficies definidas por ecuaciones implícitas con tres variables. En la figura 6 se presenta una gráfica de la superficie definida por la ecuación del ejemplo 4. + , + , + , + , + , + , +f x ! cos +x 1"y ! + +x x 1"y ! cos +f x ! cos +y 1"y ! + +y x 1"y ! !cos x 1"y x 1"y ! 1 1"y ! x $1 " y%2 v EJEMPLO 4 Calcule +z#+x y +z#+y si z se define implícitamente como una función de x y y mediante la ecuación x 3 " y 3 " z 3 " 6xyz ! 1 SOLUCIÓN Para determinar +z#+x, derivamos en forma implícita con respecto a x, teniendo cuidado de tratar a y como constante: 3x 2 " 3z 2 +z +z " 6yz " 6xy !0 +x +x Resolviendo esta ecuación para +z#+x, obtenemos +z x 2 " 2yz !! 2 +x z " 2x y FIGURA 6 De manera similar, la derivación implícita respecto a y da +z y 2 " 2xz !! 2 +y z " 2x y Funciones de más de dos variables También se pueden definir las derivadas parciales para funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si f es una función de tres variables x, y y z, entonces su derivada parcial con respecto a x se define como fx x, y, z lím hl0 f x h, y, z h f x, y, z y se determina considerando a y y a z como constantes y derivando f (x, y, z) con respecto a x. Si w ! f (x, y, z), entonces fx ! +w#+x se puede interpretar como la razón de cambio de w con respecto a x cuando y y z se mantienen constantes. Pero no podemos hacer una interpretación geométrica porque la gráfica de f se encuentra en un espacio de cuatro dimensiones. En general, si u es una función de n variables, u ! f $x 1, x 2 , . . . , x n %, su derivada parcial con respecto a la i-ésima variable xi es u xi lím hl0 f x1 , . . . , xi 1 , xi h, xi 1 , . . . , xn h f x1 , . . . , xi , . . . , xn 906 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES y también escribimos +u +f ! ! fx i ! f i ! Di f +x i +x i EJEMPLO 5 Determine fx, fy y fz, si f (x, y, z) ! e x y ln z. SOLUCIÓN Si mantenemos constantes a y y z y derivamos respecto a x, tenemos fx ! ye x y ln z De manera similar, fy ! xe x y ln z y fz ! e xy z Derivadas de orden superior Si f es una función de dos variables, entonces sus derivadas parciales fx y fy son también funciones de dos variables, de modo que se consideran sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)x y (fy)y, que se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z ! f (x, y), usamos la notación siguiente: $ fx %x ! fxx ! f11 ! + +x $ fx %y ! fxy ! f12 ! + +y $ fy %x ! fyx ! f21 ! + +x $ fy %y ! fyy ! f22 ! + +y + + + + +f +x +f +x +f +y +f +y , , , , ! +2 f +2 z 2 ! +x +x 2 ! +2 f +2 z ! +y +x +y +x ! +2 f +2 z ! +x +y +x +y ! +2 f +2 z ! +y 2 +y 2 Por lo tanto, la notación fxy (o bien, +2 f#+y +x) significa que primero se deriva respecto a x y después respecto a y, y que al calcular fxy el orden es el inverso. EJEMPLO 6 Determine las segundas derivadas parciales de f (x, y) ! x3 " x2y3 ! 2y2 SOLUCIÓN En el ejemplo 1 encontramos que fx $x, y% ! 3x 2 " 2xy 3 fy $x, y% ! 3x 2 y 2 ! 4y Por lo tanto, fxx ! + $3x 2 " 2xy 3 % ! 6x " 2y 3 +x fxy ! + $3x 2 " 2xy 3 % ! 6xy 2 +y fyx ! + $3x 2 y 2 ! 4y% ! 6xy 2 +x fyy ! + $3x 2 y 2 ! 4y% ! 6x 2 y ! 4 +y SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 907 20 z 0 _20 En la figura 7 se ilustra la gráfica de la función f del ejemplo 6 y las gráficas de su primera y segunda derivadas parciales para !2 ' x ' 2, !2 ' y ' 2. Observe que estas gráficas son congruentes con la interpretación de fx y fy y las pendientes de las tangentes a las trazas de la gráfica de f. Por ejemplo, la gráfica de f decrece si inicia en (0, !2) y se desplaza en la dirección positiva de x. Esto se refleja en los valores negativos de fx. Compare las gráficas de fyx y fyy, con la gráfica de fy para ver las relaciones. _40 _2 _1 y 0 _2 _1 1 0 x 2 2 1 f 40 40 z 20 z 20 0 _20 _2 _1 y 0 1 _2 _1 1 0 x 2 2 0 _2 _1 y 0 fx 20 z 0 _20 _2 _1 y 0 1 _2 _1 1 0 x 2 2 fxx 40 20 z 0 20 z 0 _20 _20 _40 _1 y 0 1 _2 _1 1 0 x 2 2 fy 40 _2 1 _2 _1 1 0 x 2 2 1 _2 _1 1 0 x 2 2 _40 _2 _1 y fxy ,fyx 0 fyy FIGURA 7 Observemos que fxy ! fyx en el ejemplo 6. Esto no es una coincidencia. Resulta que las derivadas parciales combinadas fxy y fyx son iguales para la mayoría de las funciones que uno encuentra en la práctica. El teorema siguiente, el cual fue descubierto por el matemático francés Alexis Clairaut (1713-1765), presenta las condiciones en las cuales es posible afirmar que fxy ! fyx. La demostración se proporciona en el apéndice F. Clairaut Alexis Clairaut fue un niño prodigio en matemática. Estudió el libro de texto de l’Hospital sobre cálculo cuando tenía 10 años y presentó un trabajo sobre geometría en la Academia Francesa de las Ciencias cuando tenía 13 años. A la edad de 18 publicó Recherches sur les courbes à double courbure, que fue el primer tratado sistemático sobre geometría analítica del espacio; entre otras cosas, presentaba el cálculo de curvas tridimensionales. Suponga que f está definida sobre un disco D que contiene el punto (a, b). Si tanto la función fxy como fyx son continuas sobre D entonces Teorema de Clairaut fx y $a, b% ! fyx $a, b% Las derivadas parciales de orden 3 o superiores también se pueden definir. Por ejemplo, fx yy ! $ fx y %y ! + +y + , +2 f +y +x ! +3 f +y 2 +x 908 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES y mediante el teorema de Clairaut se puede demostrar que fxyy ! fyxy ! fyyx si estas funciones son continuas. v EJEMPLO 7 Calcule fxxyz si f (x, y, z) ! sen(3x " yz). fx ! 3 cos$3x " yz% SOLUCIÓN fxx ! !9 sen(3x " yz) fxx y ! !9z cos$3x " yz% fxxyz ! !9 cos(3x " yz) " 9yz sen(3x " yz) Ecuaciones diferenciales parciales En las ecuaciones diferenciales parciales que expresan ciertas leyes físicas aparecen derivadas parciales. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial +2u +2u " !0 +x 2 +y 2 se llama ecuación de Laplace en honor a Pierre Laplace (1749-1827). Las soluciones de esta ecuación reciben el nombre de funciones armónicas, y desempeñan un importante papel en los problemas de conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. EJEMPLO 8 Demuestre que la función u(x, y) ! ex sen y es una solución de la ecuación de Laplace. SOLUCIÓN Primero calculamos las derivadas parciales de segundo orden necesarias: Así que ux e x sen y uy u xx e x sen y u yy u xx u yy e x sen y e x cos y e x sen y e x sen y 0 Por lo tanto, u satisface la ecuación de Laplace. La ecuación de onda 2 +2u 2 + u ! a +t 2 +x 2 u(x, t) x FIGURA 8 describe el movimiento de una onda, que puede ser una ola de mar, una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja por una cuerda que vibra. Por ejemplo, si u(x, t) representa el desplazamiento de una cuerda de violín que está vibrando en el tiempo t y a una distancia x de un extremo de la cuerda (como se ilustra en la figura 8), entonces u(x, t) satisface la ecuación de onda. En este caso la constante a depende de la densidad y de la tensión de la cuerda. EJEMPLO 9 Compruebe que la función u(x, t) ! sen(x ! at) satisface la ecuación de onda. SOLUCIÓN ux ! cos$x ! at% u t ! !a cos$x ! at% uxx ! !sen(x ! at) utt ! !a2 sen(x ! at) ! a2uxx De este modo u satisface la ecuación de onda. SECCIÓN 14.3 DERIVADAS PARCIALES 909 Las ecuaciones diferenciales parciales involucran funciones de tres variables que son muy importantes en ciencia e ingeniería. La ecuación de Laplace en tres dimensiones es 5 +2u +2u +2u !0 2 " 2 " +x +y +z 2 y un caso de frecuente aplicación se da en la Geofísica. Si u(x, y, z) representa la intensidad de campo magnético en una posición (x, y, z), entonces satisface la ecuación 5. La intensidad de campo magnético indica la distribución de minerales ricos en hierro y refleja diferentes tipos de rocas y la localización de fallas. La figura 9 muestra un mapa de contorno del campo magnético terrestre registrado desde un avión equipado con un magnetómetro y volando a 200 m por encima de la superficie terrestre. El mapa de contorno es mejorado por un codificador de color de las regiones entre las curvas de nivel. 0.103 FPO New Art to come 0.040 0.002 -0.019 -0.037 FIGURA 9 Intensidad del campo magnético de la Tierra Cortesía Roger Watson -0.051 -0.066 -0.109 Nano teslas por metro La figura 10 muestra un mapa de contorno para la derivada parcial de segundo orden de u en la dirección vertical, uzz. Debido a que los valores de las derivadas parciales uxx y uyy son relativamente fáciles de medir en un mapa del campo magnético, los valores de uzz pueden calcularse a partir de la ecuación de Laplace 5 . 0.000117 0.000037 0.000002 -0.000017 -0.000036 FIGURA 10 Segunda derivada vertical del campo magnético Cortesía Roger Watson -0.000064 -0.000119 -0.000290 Nano teslas por m/m 910 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES La función de producción de Cobb-Douglas En el ejemplo 3 de la sección 14.1, se describe el trabajo de Cobb y Douglas al modelar la producción total P de un sistema económico como una función de la cantidad de mano de obra L y la inversión de capital K. En este caso se utilizan derivadas parciales para demostrar cómo la forma particular del modelo se infiere de ciertas suposiciones que plantearon con respecto a la economía. Si la función de producción se denota con P ! P(L, K), entonces la derivada parcial +P#+L es la razón a la cual cambia la producción con respecto a la cantidad de mano de obra. Los economistas la llaman producción marginal con respecto a la mano de obra o productividad marginal de la mano de obra. De manera similar, la derivada parcial +P#+K es la razón de cambio de la producción con respecto al capital y se denomina productividad marginal del capital. En estos términos las suposiciones que plantearon Cobb y Douglas se pueden formular como sigue: i) Si la mano de obra o el capital se desvanece, entonces sucede lo mismo con la producción. ii) La productividad marginal de la mano de obra es proporcional a la cantidad de producción por unidad de mano de obra. iii) La productividad marginal del capital es proporcional a la cantidad de producción por unidad de capital. Debido a que la producción por unidad de mano de obra es P#L, la suposición ii) plantea que P +P !+L L para alguna constante -. Si mantenemos K constante (K ! K0), entonces esta ecuación diferencial parcial se vuelve una ecuación diferencial ordinaria 6 dP P !dL L Si resolvemos esta ecuación diferencial separable mediante los métodos de la sección 9.3 (véase también ejercicio 85), obtenemos 7 P$L, K0 % ! C1$K0 %L- Observemos que la constante C1 aparece como una función de K0 porque puede depender del valor de K0. Igualmente, la suposición iii) plantea que +P P !. +K K y resolvemos esta ecuación diferencial para tener 8 P$L 0 , K % ! C2$L 0 %K . Al comparar las ecuaciones 7 y 8, obtenemos 9 P$L, K% ! bL-K . SECCIÓN 14.3 911 DERIVADAS PARCIALES donde b es una constante que es independiente tanto de L como de K. La suposición i) muestra que - # 0 y . # 0. Observemos que según la ecuación 9, si la mano de obra y el capital se incrementan un factor m, entonces P$mL, mK% ! b$mL%-$mK %. ! m-".bL-K . ! m-".P$L, K% Si - " . ! 1, entonces P$mL, mK% ! mP$L, K%, lo cual quiere decir que la producción también aumenta un factor de m. Ésta es la razón de que Cobb y Douglas supusieron que - " . ! 1 y, por lo tanto, P$L, K % ! bL-K 1!Ésta es la función de producción de Cobb-Douglas que estudiamos en la sección 14.1. Ejercicios 14.3 b) En general, ¿qué puede decir con respecto a los signos de +W#+T y +W#+v ? c) ¿Cuál parece ser el valor del límite siguiente? 1. La temperatura T (en )C) en un lugar del hemisferio norte depende de la longitud x, latitud y, y el tiempo t, de modo que podemos escribir T ! f (x, y, t). Mida el tiempo en horas a partir del inicio de enero. a) ¿Qué significan las derivadas parciales +T#+x, +T#+y y +T#+t ? b) Honolulu tiene una longitud de 158) W y una latitud de 21) N. Suponga que a las 9:00 AM el primero de enero, los vientos empujan aire caliente hacia el noreste, de modo que el aire del oeste y del sur es caliente y el aire al norte y el este es más frío. ¿Esperaría que fx(158, 21, 9), fy(158, 21, 9) y ft(158, 21, 9) sean positivas o negativas? Explique. lím vl v del viento y de la cantidad de tiempo t que el viento ha estado soplando a esa rapidez. En la tabla siguiente se registran valores de la función h ! f (v, t) en pies. Duración (horas) se percibe cuando la temperatura real es T y la rapidez del viento es v, de modo que W ! f (T, v). La tabla siguiente de valores es una parte de la tabla 1 de la sección 14.1. Temperatura real (°C) Rapidez del viento (km/ h) 20 30 40 50 60 70 210 218 220 221 222 223 223 215 224 226 227 229 230 230 220 230 233 234 235 236 237 225 237 239 241 242 243 244 T v t 5 10 15 20 30 40 50 10 2 2 2 2 2 2 2 15 4 4 5 5 5 5 5 20 5 7 8 8 9 9 9 30 9 13 16 17 18 19 19 40 14 21 25 28 31 33 33 50 19 29 36 40 45 48 50 60 24 37 47 54 62 67 69 v Velocidad del viento (nudos) 3. El índice de temperatura de sensación W es la temperatura que a) ¿Cuáles son los significados de las derivadas parciales +h#+v y +h#+t ? b) Estime los valores de fv $40, 15% y ft $40, 15%. ¿Cuáles son las interpretaciones prácticas de estos valores? c) ¿Cuál parece ser el valor del límite siguiente? a) Estime los valores de fT (!15, 30) y fv(!15, 30). ¿Cuáles son las interpretaciones prácticas de estos valores? ; Se requiere calculadora graficadora o computadora v 4. La altura h de una ola en el mar abierto depende de la rapidez 2. Al principio de esta sección, estudiamos la función I ! f (T, H), donde I es el índice calorífico, T la temperatura y H la hu medad relativa. Mediante la tabla 1 estime fT (92, 60) y fH(92, 60). ¿Cuáles son las interpretaciones prácticas de estos valores? W SAC Se requiere sistema algebraico computarizado lím tl h t 1. 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Identifique cada superficie y explique el porqué de su elección. ; 13-14 Encuentre fx y fy grafique f, fx y fy con dominios y desde perspectivas que le permitan ver las relaciones entre ellas. 13. f $x, y% ! x 2 y 3 14. f $x, y% ! y 1 " x 2y2 15-40 Calcule las primeras derivadas parciales de la función. 8 4 15. f $x, y% ! y 5 ! 3xy 16. f $x, y% ! x 4 y 3 " 8x 2 y z 0 17. f $x, t% ! e!t cos # x 18. f $x, t% ! sx ln t _4 _8 _3 _2 _1 10 19. z ! $2x " 3y% a 0 y 1 2 3 _2 0 x 2 4 z 0 _4 _3 _2 _1 21. f $x, y% ! x y 22. f $x, y% ! 23. f $x, y% ! ax " by cx " dy 24. w ! 0 y 1 2 3 2 0 _2 x $x " y%2 ev u " v2 25. t$u, v% ! $u 2v ! v 3 %5 26. u r, 27. R$ p, q% ! tan!1$ pq 2 % 28. f $x, y% ! x y 29. F$x, y% ! b 20. z ! tan xy y x y cos$e t % dt sen r cos 30. F$$, % % ! 31. f $x, y, z% ! xz ! 5x 2 y 3z 4 32. f x, y, z 33. w ! ln$x " 2y " 3z% 34. w ! ze xyz 35. u 36. u ! x y#z y$ st 8 xy sen 1 yz 40. u z 0 sen x 1 2x 2 nx n _4 c 1 2 3 2 0 " 1 dt x sen y 38. & $x, y, z, t% ! 39. u ! sx 12 " x 22 " ) ) ) " x n2 4 0 y 3 z x 37. h$x, y, z, t% ! x 2 y cos$z#t% _8 _3 _2 _1 % _2 x 41-44 Determine las derivadas parciales indicadas. 41. f $x, y% ! ln ( x " sx 2 " y 2 ); fx $3, 4% $x " %y 2 'z " (t 2 SECCIÓN 14.3 42. f $x, y% ! arctan$ y#x%; fx $2, 3% 43. f $x, y, z% ! y ; fy $2, 1, !1% x"y"z 44. f x, y, z ssen2 x sen2 y xy 2z 3 arcsen ( x sz ), obtenga fxzy. [Sugerencia: ¿cuál orden de derivación es más fácil?] 4 71. Si f x, y, z 45-46 Use la definición de las derivadas parciales como límites 4 para determinar fx $x, y% y fy $x, y%. 45. f $x, y% ! xy 2 ! x 3y 46. f $x, y% ! x x " y2 2 2 2 47. x " 2y " 3z ! 1 2 y 1.8 2.0 2.2 2.5 12. 5 10. 2 9.3 3.0 18. 1 17. 5 15. 9 3.5 20. 0 22. 4 26. 1 x 2 50. yz " x ln y ! z 49. e ! xyz [Sugerencia: utilice un diferente orden de derivación para cada término.] fx $3, 2.2% y fx y $3, 2%. 48. x ! y " z ! 2z ! 4 z 72. Si t$x, y, z% ! s1 " xz " s1 ! xy , encuentre txyz . 73. Con la tabla de valores de f $x, y% estime los valores de fx $3, 2%, 47-50 Mediante derivación implícita determine *z#*x y *z#*y. 2 913 *6u *x *y 2 *z 3 70. u ! x a y bz c; sen2 z ; fz 0, 0, DERIVADAS PARCIALES 2 51-52 Calcule *z#*x y *z#*y. 51. a) z ! f $x% " t$ y% b) z ! f $x " y% 52. a) z ! f $x% t$ y% b) z ! f $x y% 74. Se muestran las curvas de nivel para una función f. Determine si las siguientes derivadas parciales son positivas o negativas en el punto P. a) fx b) fy c) fxx d) fxy e) fyy c) z ! f $x#y% y 53-58 Determine las segundas derivadas parciales. 53. f $x, y% ! x 3 y 5 " 2x 4 y 54. f x, y 55. w ! su 2 " v 2 56. v ! 57. z ! arctan x"y 1 ! xy sen2 mx xy x!y 58. v ! e xe cumple, es decir, u x y ! u yx. 59. u ! x 4 y 3 ! y 4 60. u 61. u ! cos$x 2 y% 62. u ! ln$x " 2y% 63. f $x, y% ! x 4 y 2 ! x 3y; 64. f x, y sen 2x 2 65. f $x, y, z% ! e xyz ; 66. t r, s, t fxxx , fxyx 5y ; fyxy fxyz e r sen ; 68. z ! us v ! w ; 69. w ! x ; y " 2z 2 P e xy sen y x 75. Compruebe que la función u 2 2 e k t sen kx es una solución de la ecuación de la conducción de calor u t ! $ 2u xx . 76. Determine si cada una de las funciones siguientes es una solución de la ecuación de Laplace u xx " u yy ! 0 . a) u ! x 2 " y 2 b) u ! x 2 ! y 2 3 2 c) u ! x " 3xy d) u ! ln sx 2 " y 2 e) u ! sen x cos hy " cos x sen hy f ) u ! e!x cos y ! e!y cos x 77. Verifique que la función u ! 1#sx 2 " y 2 " z 2 es una solución de la ecuación tridimensional de Laplace u xx " u yy " u zz ! 0 . 79. Si f y t son funciones de una sola variable derivables dos * 3z *u *v *w * 3w , *z *y *x 2 solución de la ecuación de onda u t t ! a 2u xx . a) u sen k x sen ak t b) u ! t#$a 2t 2 ! x 2 % 6 6 c) u ! $x ! at% " $x " at% d) u sen x at ln x at u r 4 78. Demuestre que cada una de las funciones siguientes es una e r sen st ; trst 3 67. u 6 y 59-62 Compruebe que la conclusión del teorema de Clairaut se 63-70 Encuentre la derivada parcial indicada. 10 8 ny veces, demuestre que la función * 3w *x 2 *y u$x, t% ! f $x " at% " t$x ! at% es una solución de la ecuación de onda del ejercicio 78. 914 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 80. Si u ! e a1 x1"a2 x2")))"an x n, donde a 12 " a 22 " ) ) ) " a n2 ! 1, demuestre que *2u *2u * 2u !u 2 " 2 " ))) " *x1 *x 2 *x n2 81. Verifique que la función z ! ln$e x " e y % es una solución de las ecuaciones diferenciales La constante R es la constante universal del gas y a y b son constantes positivas características de un gas en particular. Calcule *T#*P y *P#*V . 88. La ley de los gases para una masa fija m de un gas ideal a temperatura T, presión P y volumen V absolutos es PV ! mRT, donde R es la constante de los gases. Demuestre que *z *z " !1 *x *y y * 2z * 2z ! *x 2 *y 2 *P *V *T ! !1 *V *T *P + , * 2z *x *y 2 !0 89. En el caso del gas ideal para el ejercicio 88, demuestre que 82. La temperatura en un punto (x, y) en una plancha de metal plana está dada por T$x, y% ! 60#$1 " x 2 " y 2 %, donde T se mide en +C y x, y en metros. Calcule la razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia en el punto (2, 1) en a) la dirección de x y b) la dirección de y. 83. La resistencia total R producida por tres conductores con resistencias R1, R2 y R3 conectadas en un circuito eléctrico en paralelo está definida por la fórmula 1 1 1 1 ! " " R R1 R2 R3 Calcule *R#*R1. 84. Demuestre que la función de Cobb-Douglas para la producción P ! bL$K % satisface la ecuación L producción satisface P$L, K0 % ! C1$K0 %L$ resolviendo la ecuación diferencial dP P !$ dL L (Véase ecuación 6.) 86. Cobb y Douglas usaron la ecuación P$L, K% ! 1.01L 0.75 K 0.25 para modelar la economía americana de 1899 a 1922, donde L es la cantidad de mano de obra y K es la cantidad de capital (ver ejemplo 3 de la sección 14.1). a) Calcule PL y PK. b) Encuentre la productividad marginal de la mano de obra y la productividad marginal del capital en el año 1920, cuando L ! 194 y K ! 407 (comparado con las valores asignados L ! 100 y K ! 100 en 1899). Interprete los resultados. c) En el año 1920, ¿qué producción tendría más beneficio, un incremento de inversión de capital o un incremento en el gasto en mano de obra? 87. La ecuación de Van der Waals para n moles de un gas es P" 2 , n a $V ! nb% ! nRT V2 donde P es la presión, V el volumen y T la temperatura del gas. *P *V ! mR *T *T 90. El índice de temperatura de sensación se modela mediante la función W ! 13.12 " 0.6215T ! 11.37v 0.16 " 0.3965T v 0.16 donde T es la temperatura (+C) y v es la rapidez del viento (km#h). Cuando T ! !15 +C y v ! 30 km#h, ¿cuánto esperaría con certeza usted que cayera la temperatura aparente W si la temperatura real disminuye 1 +C? ¿Y si la rapidez del viento se incrementa 1 km#h? 91. La energía cinética de un cuerpo cuya masa m y velocidad v es K ! 21 mv 2. Demuestre que *P *P "K ! $$ " %%P *L *K 85. Demuestre que la función de Cobb-Douglas para la + T *K *2K !K *m *v 2 92. Si a, b y c son los lados de un triángulo, y A, B y C son los ángulos opuestos, determine *A#*a, *A#*b, *A#*c mediante la derivación implícita de la ley de los cosenos. 93. Le dicen que hay una función f cuyas derivadas parciales son fx $x, y% ! x " 4y y fy $x, y% ! 3x ! y. ¿Debe creerlo? ; 94. El paraboloide z ! 6 ! x ! x2 ! 2y2 interseca el plano x ! 1 en una parábola. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la tangente a esta parábola en el punto (1, 2, !4). Con una computadora grafique el paraboloide, la parábola y la tangente en la misma pantalla. 95. El elipsoide 4x2 " 2y2 " z2 ! 16 interseca el plano y ! 2 en una elipse. Encuentre las ecuaciones paramétricas de la tangente a esta elipse en el punto (1, 2, 2). 96. En un estudio de penetración del congelamiento se encontró que la temperatura T en el tiempo t (medido en días) a una profundidad x (medida en pies) se puede modelar con la función T x, t T0 T1 e x sen t x donde - ! 2##365 y , es una constante positiva. a) Determine *T#*x. ¿Cuál es el significado físico? b) Determine *T#*t. ¿Cuál es el significado físico? SECCIÓN 14.4 c) Demuestre que T satisface con la ecuación del calor Tt ! kTxx para una cierta constante k. ; PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 2 x x 2 y 2 3 2e sen x y , determine fx $1, 0%. [Sugerencia: en lugar de hallar primero fx(x, y), observe que es más fácil aplicar la ecuación 1 o la ecuación 2.] 99. Si f x, y d) Si , ! 0.2, T0 ! 0 y T1 ! 10, mediante una computadora grafique T$x, t%. e) ¿Cuál es el significado físico del término !, x en la expresión sen (vt ! lx)? 3 100. Si f $x, y% ! s x 3 " y 3 , determine fx $0, 0%. 101. Sea 97. Aplique el teorema de Clairaut para demostrar que si las derivadas parciales de tercer orden de f son continuas, entonces f x, y fx yy ! fyx y ! fyyx 98. a) ¿Cuántas derivadas parciales de n-ésimo orden tiene una función de dos variables? b) Si estas derivadas parciales son continuas, ¿cuántas de ellas pueden ser distintas? c) Responda el inciso a) para el caso de que la función sea de tres variables. 14.4 915 ; SAC a) b) c) d) e) x 3y x2 0 xy 3 y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 Grafique f mediante una computadora. Encuentre fx $x, y% y fy $x, y% cuando $x, y% " $0, 0%. Calcule fx $0, 0% y fy $0, 0% usando las ecuaciones 2 y 3. Demuestre que fxy $0, 0% ! !1 y fyx $0, 0% ! 1. ¿El resultado del inciso d) contradice el teorema de Clairaut? Mediante gráficas de fxy y fyx ilustre su respuesta. Planos tangentes y aproximaciones lineales Una de las ideas más importantes en el cálculo de una variable, es que a medida que se acerca a un punto de la gráfica de una función derivable, la gráfica se vuelve indistinguible desde su tangente y puede aproximarse a la función mediante una función lineal (véase sección 3.10). Ahora se desarrollan ideas similares en tres dimensiones. A medida que se acerca hacia un punto sobre la superficie que es la gráfica de una función derivable de dos variables, la superficie se parece más y más a un plano, su plano tangente, y es posible aproximarse a la función mediante una función lineal de dos variables. También se generaliza la idea de una diferencial a funciones de dos o más variables. Planos tangentes z T¡ C¡ P T™ C™ 0 y x FIGURA 1 El plano tangente contiene las rectas tangentes T¡ y T™. Suponga que una superficie S tiene por ecuación a z ! f (x, y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas, y sea P(x0, y0, z0) un punto sobre S. Al igual que en la sección anterior, sea C1 y C2 las curvas que se obtienen al intersecar los planos verticales y ! y0 y x ! x0 con la superficie S. Entonces, el punto P se encuentra tanto en C1 como en C2. Sean T1 y T2 las rectas tangentes a las curvas C1 y C2 en el punto P. Entonces, el plano tangente a la superficie S en el punto P se define como el plano que contiene las rectas tangentes T1 y T2 (véase figura 1). En la sección 14.6 veremos que si C es cualquier otra curva que queda en la superficie S y pasa por P, entonces su tangente en P también está en el plano tangente. Por lo tanto, podemos pensar que el plano tangente a S en P consiste de todas las tangentes posibles en P a curvas que quedan en S y pasan por P. El plano tangente en P es el plano que más se aproxima a la superficie S cerca del punto P. Sabemos, por la ecuación 12.5.7, que cualquier plano que pase por el punto P(x0, y0, z0) tiene una ecuación de la forma A$x ! x 0 % " B$ y ! y0 % " C$z ! z0 % ! 0 Al dividir esta ecuación entre C y hacer a ! !A#C y b ! !B#C, podemos escribirla en la forma 1 z ! z0 ! a$x ! x 0% " b$y ! y0 % 916 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Si la ecuación 1 representa el plano tangente en P, entonces su intersección con el plano y ! y0 debe ser la recta tangente T1. Al hacer y ! y0 en la ecuación 1 obtenemos z – z0 ! a(x – x0) donde y ! y0 e identificamos estas expresiones como la ecuación de una recta (en la forma punto-pendiente) con pendiente a. Pero de acuerdo con la sección 14.3, sabemos que la pendiente de la recta tangente T1 es fx(x0, y0). Por lo tanto, a ! fx(x0, y0). De manera similar, al hacer x ! x0 en la ecuación 1, z ! z0 ! b(y ! y0), la cual debe representar a la recta tangente T2, de modo que b ! fy(x0, y0). Observe la similitud entre las ecuaciones del plano tangente y de una recta tangente: y ! y0 ! f .$x 0 %$x ! x 0 % 2 Suponga que las derivadas parciales de f son continuas. Una ecuación del plano tangente a la superficie z ! f (x, y) en el punto P(x0, y0, z0) es z ! z0 ! fx(x0, y0)(x ! x0) " fy(x0, y0)(y ! y0) v EJEMPLO 1 Calcule el plano tangente al paraboloide elíptico z ! 2x2 " y2 en el punto (1, 1, 3). SOLUCIÓN Sea f (x, y) ! 2x2 " y2. Entonces fx $x, y% ! 4x fy $x, y% ! 2y fx $1, 1% ! 4 fy $1, 1% ! 2 Entonces 2 da la ecuación del plano tangente en (1, 1, 3) como z ! 3 ! 4(x ! 1) " 2(y ! 1) o bien, TEC En Visual 14.4 se pueden ver imágenes animadas de las figuras 2 y 3. En la figura 2a) se ilustra el paraboloide elíptico y su plano tangente en (1, 1, 3) determinado en el ejemplo 1. Los incisos b) y c) se acercan al punto (1, 1, 3) restringiendo el dominio de la función f (x, y) ! 2x2 " y2. Observe que a medida que se acerca, parece más plana la gráfica y más se asemeja a su plano tangente. 40 40 20 20 20 0 z 0 z 0 _20 _20 40 z z ! 4x " 2y ! 3 _20 _4 _2 y 0 2 4 4 a) 2 0 _2 x _4 _2 _2 y 0 0 2 2 b) x 0 0 y 1 1 2 2 c) FIGURA 2 El paraboloide elíptico z=2≈+¥ parece coincidir con su plano tangente a medida que se acerca a (1, 1, 3). x SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 917 En la figura 3 se comprueba esta impresión al acercarse al punto (1, 1) sobre un mapa de contorno de la función f (x, y) ! 2x2 " y2. Observe que a medida que nos acercamos, las curvas de nivel se parecen más a rectas paralelas con igual separación, lo cual es característico de un plano. 1.5 1.2 1.05 FIGURA 3 Acercamiento a (1, 1) en un mapa de contorno de f(x, y)=2≈+¥ 1.5 0.5 1.2 0.8 0.95 1.05 Aproximaciones lineales En el ejemplo 1 encontramos que una ecuación del plano tangente a la gráfica de la función f (x, y) ! 2x2 " y2 en el punto (1, 1, 3) es z ! 4x " 2y ! 3. Por lo tanto, en vista de la evidencia de las figuras 2 y 3, la función lineal de dos variables L(x, y) ! 4x " 2y ! 3 es una buena aproximación a f (x, y) cuando (x, y) está cerca de (1, 1). La función L se conoce como linealización de f en (1, 1) y la aproximación f $x, y% / 4x " 2y ! 3 recibe el nombre de aproximación lineal, o bien, aproximación del plano tangente de f en (1, 1). Por ejemplo, en el punto (1.1, 0.95) la aproximación lineal da f $1.1, 0.95% / 4$1.1% " 2$0.95% ! 3 ! 3.3 que es muy cercana al valor verdadero de f (1.1, 0.95) ! 2(1.1)2 " (0.95)2 ! 3.3225. Pero si tomamos un punto alejado de (1, 1), tal como (2, 3), ya no conseguimos una buena aproximación. En efecto, L(2, 3) ! 11 y f (2, 3) ! 17. En general, sabemos a partir de 2 que una ecuación del plano tangente a la gráfica de una función f de dos variables en el punto (a, b, f (a, b)) es z ! f (a, b) " fx(a, b) (x ! a) " fy(a, b) (y ! b) z y La función lineal cuya gráfica es este plano tangente, a saber, 3 L(x, y) ! f (a, b) " fx(a, b) (x ! a) " fy(a, b) (y ! b) se llama linealización de f en (a, b) y la aproximación x FIGURA 4 xy si (x, y)≠(0, 0), ≈+¥ f(0, 0)=0 4 f $x, y% / f $a, b% " fx $a, b%$x ! a% " fy $a, b%$y ! b% se llama aproximación lineal o aproximación del plano tangente de f en (a, b). Ya hemos definido planos tangentes para superficies z ! f (x, y), donde las primeras derivadas parciales de f son continuas. ¿Qué sucede si fx y fy no son continuas? En la figura 4 se ilustra tal función; su ecuación es f(x, y)= xy f x, y x 0 2 y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 918 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Podemos comprobar (véase ejercicio 46) que existen sus derivadas parciales en el origen y, de hecho, fx(0, 0) ! 0 y fy(0, 0) ! 0, pero fx y fy no son continuas. La aproximación lineal sería (x, y) / 0, pero f $x, y% ! 12 en todos los puntos sobre la recta y ! x. De este modo una función de dos variables se puede comportar erráticamente aun cuando ambas derivadas parciales existan. Para evitar dicho comportamiento, se plantea la idea de una función diferenciable de dos variables. Recuerde que para una función de una variable, y ! f (x), si x pasa de a a a " /x, se define el incremento de y como /y ! f $a " /x% ! f $a% En el capítulo 3 se demostró que si f es derivable en a, entonces 5 Ésta es la ecuación 3.4.7. /y ! f .$a% /x " 0 /x donde e l 0 cuando /x l 0 Ahora consideremos una función de dos variables, z ! f (x, y), y supongamos que x cambia de a a a " /x y que y pasa de b a b " /y. Entonces el incremento correspondiente de z es 6 /z ! f $a " /x, b " /y% ! f $a, b% Por consiguiente, el incremento /z representa el cambio del valor de f cuando (x, y) pasa de (a, b) a (a " /x, b " /y). Por analogía con 5 se define la diferenciabilidad de una función de dos variables como sigue. 7 Definición Si z ! f (x, y), entonces f es diferenciable en (a, b) si /z se puede expresar en la forma /z ! fx $a, b% /x " fy $a, b% /y " 01 /x " 02 /y donde e1 y 02 l 0 cuando $/x, /y% l $0, 0%. La definición 7 establece que una función diferenciable es una para la cual la aproximación lineal 4 es una buena aproximación cuando (x, y) está cerca de (a, b). En otras palabras, el plano tangente se aproxima a la gráfica de f muy cerca al punto de tangencia. Algunas veces es difícil aplicar directamente la definición 7 para comprobar la diferenciabilidad de una función, pero el teorema siguiente proporciona una condición suficiente y práctica para la diferenciabilidad. 8 Teorema Si las derivadas parciales fx y fy existen cerca de (a, b) y son continuas en (a, b), entonces f es diferenciable en (a, b). El teorema 8 se demuestra en el apéndice F. En la figura 5 se ilustran las gráficas de la función f y su linealización L del ejemplo 2. v EJEMPLO 2 Demuestre que f (x, y)! xexy es diferenciable en (1, 0) y determine su linealización ahí. Luego úsela para aproximar f (1.1, !0.1). SOLUCIÓN Las derivadas parciales son 6 z 4 fx $x, y% ! e xy " xye xy fy $x, y% ! x 2e xy 2 fx $1, 0% ! 1 fy $1, 0% ! 1 0 1 x FIGURA 5 0 1 0y _1 Tanto fx como fy son funciones continuas, de modo que f es diferenciable según el teorema 8. La linealización es L$x, y% ! f $1, 0% " fx $1, 0%$x ! 1% " fy $1, 0%$y ! 0% ! 1 " 1$x ! 1% " 1 ! y ! x " y SECCIÓN 14.4 919 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES La aproximación lineal correspondiente es xe xy / x " y f $1.1, !0.1% / 1.1 ! 0.1 ! 1 de modo que Compare lo anterior con el valor real de f $1.1, !0.1% ! 1.1e !0.11 / 0.98542. EJEMPLO 3 Al inicio de la sección 14.3, estudiamos el índice calorífico (temperatura percibida) I como una función de la temperatura real T y la humedad relativa H y se presentó la tabla siguiente de valores del National Weather Service. Humedad relativa (%) Temperatura real (°F) H 50 55 60 65 70 75 80 85 90 90 96 98 100 103 106 109 112 115 119 92 100 103 105 108 112 115 119 123 128 94 104 107 111 114 118 122 127 132 137 96 109 113 116 121 125 130 135 141 146 98 114 118 123 127 133 138 144 150 157 100 119 124 129 135 141 147 154 161 168 T Calcule una aproximación lineal para el índice calorífico I ! f (T, H) cuando T está cerca de 96 +F y H está cerca del 70%. Mediante ella estime el índice calorífico cuando la temperatura es de 97 +F y la humedad relativa es 72%. SOLUCIÓN En la tabla se ve que f (96, 70) ! 125. En la sección 14.3 usamos los valores de la tabla para estimar que fT $96, 70% / 3.75 y fH $96, 70% / 0.9. (Véanse páginas 901 y 902.) Entonces, la aproximación lineal es f $T, H% / f $96, 70% " fT $96, 70%$T ! 96% " fH $96, 70%$H ! 70% / 125 " 3.75$T ! 96% " 0.9$H ! 70% En particular, f $97, 72% / 125 " 3.75$1% " 0.9$2% ! 130.55 Por lo tanto, cuando T ! 97 +F y H ! 72%, el índice calorífico es I / 131 +F Diferenciales y En el caso de una función derivable de una variable, y ! f (x), definimos la diferencial dx como una variable independiente; es decir, dx puede tener el valor de cualquier número real. La diferencial de y se define entonces como y=ƒ Îy dx=Îx 0 a a+Îx tangente y=f(a)+fª(a)(x-a) FIGURA 6 9 dy x dy ! f .(x)dx (Véase sección 3.10.) En la figura 6 se muestra la relación entre el incremento /y y la diferencial dy: /y representa el cambio en altura de la curva y ! f (x) y dy representa el cambio en altura de la tangente cuando x cambia una cantidad dx ! /x. En el caso de una función diferenciable de dos variables, z ! f (x, y), definimos las diferenciales dx y dy como variables independientes; es decir, pueden tomar cualquier 920 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES valor. Entonces, la diferencial dz, también conocida como diferencial total, se define como 10 dz ! fx $x, y% dx " fy $x, y% dy ! *z *z dx " dy *x *y (Compare con la ecuación 9.) Algunas veces se usa la notación df en lugar de dz. Si tomamos dx ! /x ! x ! a y dy ! /y ! y ! b de la ecuación 10, entonces la diferencial de z es dz ! fx(a, b) (x ! a) " fy(a, b) (y ! b) De este modo, en la notación de diferenciales, la aproximación lineal 4 se puede escribir como f $x, y% / f $a, b% " dz La figura 7 es el equivalente tridimensional de la figura 6 y en ella se muestra la interpretación geométrica de la diferencial dz y del incremento /z: dz representa el cambio en altura del plano tangente, y /z representa el cambio en la altura de la superficie z ! f (x, y) cuando (x, y) pasa de (a, b) a (a " /x, b " /y). z superficie z=f(x, y) { a+Îx, b+Îy, f (a+Îx, b+Îy)} Îz dz {a, b, f(a, b)} f(a, b) 0 f(a, b) x (a, b, 0) y (a+Îx, b+Îy, 0) Îy=dy plano tangente z-f(a, b)=fx (a, b)(x-a)+f y (a, b)(y-b) FIGURA 7 En el ejemplo 4, dz está cerca de /z porque el plano tangente es una buena aproximación a la superficie z ! x2 " 3xy ! y2 cerca de (2, 3, 13). (Véase figura 8.) dx = Îx v EJEMPLO 4 a) Si z ! f (x, y) ! x2 " 3xy ! y2, determine la diferencial dz. b) Si x cambia de 2 a 2.05 y y pasa de 3 a 2.96, compare los valores de /z y dz. SOLUCIÓN 60 a) La definición 10 da 40 z 20 dz ! 0 _20 5 4 FIGURA 8 3 x 2 1 0 0 4 2y *z *z dx " dy ! $2x " 3y% dx " $3x ! 2y% dy *x *y b) Si hacemos x ! 2, dx ! /x ! 0.05, y ! 3 y dy ! /y ! !0.04, obtenemos dz ! [2(2) " 3(3)]0.05 " [3(2) ! 2(3)](!0.04) ! 0.65 SECCIÓN 14.4 PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES 921 El incremento de z es /z ! f (2.05, 2.96) ! f (2, 3) ! [(2.05)2 " 3(2.05) (2.96) ! (2.96)2] ! [22 " 3(2) (3) ! 32] ! 0.6449 Observemos que /z / dz pero dz es más fácil de calcular. EJEMPLO 5 El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10 cm y 25 cm, respectivamente, con un posible error en la medición de 0.1 cm en cada uno. Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el volumen calculado del cono. SOLUCIÓN El volumen V de un cono de radio en la base r y altura h es V ! pr2h#3. De modo que la diferencial de V es dV ! *V *V 2#rh #r 2 dr " dh ! dr " dh *r *h 3 3 * * * * Puesto que cada error es de 0.1 cm como máximo, tenemos /r 1 0.1, /h 1 0.1. Para estimar el error más grande en el volumen, tomamos el error más grande en la medición de r y de h, entonces dr ! 0.1 y dh ! 0.1 junto con r ! 10, h ! 25. Esto da dV ! 500# 100# $0.1% " $0.1% ! 20# 3 3 Por lo tanto, el error máximo en el volumen calculado es de casi 20p cm3 / 63 cm3. Funciones de tres o más variables Se pueden definir de manera similar las aproximaciones lineales, la diferenciabilidad y las diferenciales para funciones de más de dos variables. Una función diferenciable se define como una expresión similar a la definición 7. Para tales funciones la aproximación lineal es f $x, y, z% / f $a, b, c% " fx $a, b, c%$x ! a% " fy $a, b, c%$y ! b% " fz$a, b, c%$z ! c% y la linealización L(x, y, z) es el segundo miembro de esta expresión. Si w ! f (x, y, z), entonces el incremento de w es /w ! f $x " /x, y " /y, z " /z% ! f $x, y, z% La diferencial dw se define en función de las diferenciales de dx, dy y dz de las variables independientes dw ! *w *w *w dx " dy " dz *x *y *z EJEMPLO 6 Las dimensiones de una caja rectangular son 75, 60 y 40 cm, y cada medida no difiere 0.2 cm del valor real. Mediante diferenciales estime el error más grande posible cuando el volumen de la caja se calcula a partir de esas medidas. SOLUCIÓN Si las dimensiones de la caja son x, y y z, entonces su volumen es V ! xyz por lo que dV ! *V *V *V dx " dy " dz ! yz dx " xz dy " xy dz *x *y *z 922 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES * * * * * * Sabemos que /x 1 0.2, /y 1 0.2 y /z 1 0.2. Por lo tanto, para estimar el error más grande en el volumen, utilizamos dx ! 0.2, dy ! 0.2 y dz ! 0.2 junto con x ! 75, y ! 60 y z ! 40: /V / dV ! $60%$40%$0.2% " $75%$40%$0.2% " $75%$60%$0.2% ! 1980 Por consiguiente, un error de sólo 0.2 cm al medir cada una de las dimensiones podría llevar a un error de ¡tanto como 1980 cm3 en el volumen calculado! Esto parecería un gran error, pero sólo es alrededor de 1% del volumen de la caja. Ejercicios 14.4 1-6 Determine una ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto específico. 16. f x, y 1. z ! 3y 2 ! 2x 2 " x, 3. z ! sxy , $1, 1, 1% 4. z ! xe xy, $2, 0, 2% x sen x $2, !2, 12% 0, 3 2x " 3 / 3 " 2x ! 12y 4y " 1 1 18. sy " cos 2 x / 1 " 2 y 1, 1, 0 $3, 1, 0% 19. Dado que f es una función diferenciable con f (2, 5) ! 6, ; 7-8 Grafique la superficie y el plano tangente en el punto dado. Elija el dominio y el ángulo desde donde obtenga una buena vista de la superficie y del plano tangente. Luego efectúe un acercamiento hasta donde la superficie y el plano tangente se vuelven indistinguibles. 7. z ! x 2 " xy " 3y 2, 8. z ! arctan$xy 2 %, sen x y , 17-18 Verifique la aproximación lineal en (0, 0). 17. y, 6. z ! ln$x ! 2y%, y $#, 0% $2, !1, !3% 2. z ! 3$x ! 1%2 " 2$ y " 3%2 " 7, 5. z 15. f $x, y% ! e!xy cos y, fx(2, 5) ! 1, y fy(2, 5) ! !1, utilice una aproximación lineal para estimar f (2.2, 4.9). ; 20. Calcule la aproximación lineal de la función f $x, y% ! 1 ! xy cos # y en (1, 1) y utilícela para aproximar f (1.02, 0.97). Grafique f y su plano tangente. 21. Calcule la aproximación lineal de la función $1, 1, 5% f $x, y, z% ! sx 2 " y 2 " z 2 en (3, 2, 6) y con ella aproxime el número s$3.02% 2 " $1.97% 2 " $5.99% 2 . $1, 1, ##4% 22. La altura h de una ola en el mar abierto, depende de la rapidez 9-10 Grafique f y su plano tangente en el punto dado. (Use un sistema computarizado de álgebra para calcular las derivadas parciales y para graficar la superficie y su plano tangente.) Luego efectúe un acercamiento hasta donde la superficie y el plano tangente se vuelven indistinguibles. 9. f x, y xy sen x y , 1 x2 y2 1, 1, 0 10. f $x, y% ! e!xy#10 (sx " sy " sxy ), dado. Luego determine la linealización L(x, y) de la función en ese punto. 12. f $x, y% ! x 3 y 4, 13. f $x, y% ! x , x"y $2, 3% $1, 1% $2, 1% 14. f $x, y% ! sx " e 4y , Duración (horas) $1, 1, 3e!0.1% 11-16 Explique por qué la función es diferenciable en el punto 11. f $x, y% ! 1 " x ln$xy ! 5%, v del viento y del tiempo t en que ha estado soplando el aire a esa rapidez. Los valores de la función h ! f (v, t) se registran en la tabla siguiente. Con ayuda de la tabla, determine una aproximación lineal a la función de la altura de la ola cuando v está cerca de 40 nudos y t es casi de 20 horas. Luego estime las alturas de las olas cuando el viento ha estado soplando durante 24 h a 43 nudos. Velocidad del viento (nudos) SAC t v 5 10 15 20 30 40 50 20 5 7 8 8 9 9 9 30 9 13 16 17 18 19 19 40 14 21 25 28 31 33 33 50 19 29 36 40 45 48 50 60 24 37 47 54 62 67 69 $3, 0% ; Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 14.4 23. Mediante la tabla del ejemplo 3, determine una aproximación lineal para la función del índice calorífico cuando la temperatura se acerca a 94 +F y la humedad relativa es de casi 80%. Luego estime el índice calorífico cuando la temperatura es de 95 +F y la humedad relativa es de 78%. PLANOS TANGENTES Y APROXIMACIONES LINEALES un posible error de 22 km#h y la temperatura es medida como !11 +C, con un posible error de 21 +C. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor calculado de W debido a errores en la medición de T y v. 37. La tensión T en la cuerda del yo-yo en la figura es 24. El índice de temperatura de sensación W es la temperatura que se percibe cuando la temperatura real es T y la rapidez del viento v, de modo que W ! f (T, v). La tabla de valores siguiente es tan sólo una parte de la tabla 1 de la sección 14.1. Con esta tabla determine una aproximación lineal a la función del índice de temperatura de sensación cuando T es casi de !15 +C y v es casi de 50 km#h. Después estime este mismo índice cuando la temperatura es !17 +C y la rapidez del viento es de 55 km#h. T! Temperatura real (°C) 20 30 40 50 60 70 210 218 220 221 222 223 223 215 224 226 227 229 230 230 220 230 233 234 235 236 237 225 237 239 241 242 243 244 v 25-30 Determine la diferencial de la función. 25. z ! e !2x cos 2# t 26. u ! sx 2 " 3y 2 27. m ! p 5q 3 28. T ! 29. R ! $% 2 cos ' 30. L ! xze!y !z v 1 " u vw 2 T R r 38. La presión, volumen y temperatura de un mol de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación PV ! 8.31T, donde P se mide en kilopascales, V en litros y T en kelvin. Mediante diferenciales determine el cambio aproximado en la presión si el volumen pasa de 12 litros a 12.3 litros y la temperatura disminuye de 310 K a 305 K. 39. Si R es la resistencia total de tres resistores, conectados en paralelo, con resistencias R1, R2, R3, entonces 2 31. Si z ! 5x2 " y2 y (x, y) cambia de (1, 2) a (1.05, 2.1), compare los valores de /z y dz. 32. Si z ! x ! xy " 3y y (x, y) cambia de (3, !1) a 2 mtR 2r 2 " R 2 donde m es la masa del yo-yo y t es la aceleración debida a la gravedad. Utilice diferenciales para estimar el cambio en la tensión si R es incrementada de 3 cm a 3.1 cm y r es incrementada de 0.7 cm a 0.8 cm ¿La tensión crece o decrece? Velocidad del viento (km/h) T 923 2 (2.96, !0.95), compare los valores de /z y dz. 33. El largo y el ancho de un rectángulo miden 30 cm y 24 cm respectivamente, con un error máximo en la medición de 0.1 cm en cada una de las dimensiones. Use diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del rectángulo. 34. Use diferenciales para estimar la cantidad de metal en una lata cilíndrica cerrada que mide 10 cm de altura y 4 cm de diámetro. El metal para la parte superior y el fondo es de 0.1 cm de grueso y el metal de los lados tiene 0.05 cm de espesor. 35. Use diferenciales para estimar la cantidad de estaño en una lata cerrada de estaño cuyo diámetro es 8 cm y altura de 12 cm si el estaño tiene 0.04 cm de espesor. 36. El índice de temperatura de sensación está modelado por la función W ! 13.12 " 0.6215T ! 11.37v 0.16 " 0.3965T v 0.16 donde T es la temperatura (en +C) y v es la rapidez del viento (en km#h). La rapidez del viento es medida como 26 km#h, con 1 1 1 1 ! " " R R1 R2 R3 Si la resistencia se mide en ohms como R1 ! 25 3, R2 ! 40 3 y R3 ! 50 3 con un posible error de 0.5% en cada caso, estime el error máximo en el valor calculado de R. 40. Cuatro números positivos, cada uno menor de 50, se redondean a la primera cifra decimal, y luego se multiplican todos. Mediante diferenciales, estime el error máximo posible en el producto calculado que podría resultar por el redondeo. 41. Un modelo para el área superficial de un cuerpo humano está dado por S ! 0.1091w 0.425 h0.725, donde w es el peso (en libras), h es la estatura (en pulgadas), y S se mide en pies cuadrados. Si los errores en la medición de w y h son a lo sumo un 2%, use diferenciales para estimar el máximo error porcentual en el área superficial calculada. 42. Suponga que necesitamos conocer una ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto P(2, 1, 3). No tenemos una ecuación para S pero sabemos que las curvas r1$t% ! !2 " 3t, 1 ! t 2, 3 ! 4t " t 2 " r2$u% ! !1 " u 2, 2u 3 ! 1, 2u " 1 " se encuentran ambas en S. Encuentre una ecuación del plano tangente en P. 924 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 43-44 Demuestre que la función es diferenciable determinando los valores de e1 y e2 que satisfacen la definición 7. 43. f $x, y% ! x 2 " y 2 46. a) La función xy 44. f $x, y% ! xy ! 5y 2 f x, y 45. Demuestre que si f es una función de dos variables que es diferenciable en (a, b), entonces f es continua en (a, b). Sugerencia: demuestre que lím x, y l 0, 0 14.5 f a x, b y x2 0 y2 si x, y 0, 0 si x, y 0, 0 se grafica en la figura 4. Demuestre que existen tanto fx(0, 0) como fy (0, 0), pero f no es diferenciable en (0, 0). [Sugerencia: use el resultado del ejercicio 45.] b) Explique por qué fx y fy no son continuas en (0, 0). f a, b Regla de la cadena Recuerde que la regla de la cadena para funciones de una variable da la regla para derivar una función compuesta: si y ! f (x) y x ! t(t), donde f y t son funciones derivables, entonces y es indirectamente una función derivable de t y dy dy dx ! dt dx dt 1 Para funciones de más de una variable, la regla de la cadena tiene varias versiones, cada una de ellas da una regla para derivar una función compuesta. La primera versión (teorema 2) se relaciona con el caso donde z ! f (x, y) y cada variable x y y es a su vez una función de la variable t. Esto significa que z es indirectamente una función de t, z ! f (t(t), h(t)), y la regla de la cadena da una fórmula para derivar z como una función de t. Supongamos que f es derivable (definición 14.4.7). Recuerde que éste es el caso cuando fx y fy son continuas (teorema 14.4.8). 2 Regla de la cadena (caso 1) Suponga que z ! f (x, y) es una función derivable de x y y, donde x ! t(t) y y ! h(t) son funciones diferenciables de t. Entonces z es una función derivable de t y dz $f dx $f dy ! " dt $x dt $y dt DEMOSTRACIÓN Un cambio de #t en t produce cambios de #x en x y #y en y. Éstos, a su vez, producen un cambio de #z en z, y de acuerdo con la definición de 14.4.7 tenemos #z ! $f $f #x " #y " %1 #x " %2 #y $x $y donde %1 l 0 y %2 l 0 cuando $#x, #y% l $0, 0%. [Si las funciones e1 y e2 no están definidas en (0, 0), podemos definir que son 0 allí.] Al dividir ambos miembros de esta ecuación entre #t, tenemos #z $f #x $f #y #x #y ! " " %1 " %2 #t $x #t $y #t #t #t Si ahora hacemos #t l 0, #x ! t(t " #t) ! t(t) l 0 porque t es derivable y, SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 925 por lo tanto, continua. De igual manera, #y l 0. A su vez, esto significa que e1 l 0 y e2 l 0 de modo que dz dt z t lím tl0 f lím x tl0 x t f lím y tl0 f dx x dt f dy y dt f dx x dt f dy y dt 0 y t dx dt lím 1 tl0 0 lím tl0 x t lím tl0 2 lím tl0 y t dy dt Como se escribe a menudo $z#$x en lugar de $f#$x, podemos volver a escribir la regla de la cadena en la forma Observe la similitud con la definición de la diferencial: $z $z dx " dy dz ! $x $y $z dx $z dy dz ! " dt $x dt $y dt EJEMPLO 1 Si z ! x2y " 3xy4, donde x ! sen 2t y y ! cos t, determine dz#dt cuando t ! 0. SOLUCIÓN La regla de la cadena da dz $z dx $z dy ! " dt $x dt $y dt 3y 4 2 cos 2t 2xy x2 12xy 3 sen t No es necesario escribir las expresiones para x y y en términos de t. Simplemente observe que cuando t ! 0 tenemos x ! sen 0 ! 0 y y ! cos 0 ! 1. Por lo tanto, dz dt y (0, 1) C x FIGURA 1 La curva x=sen 2t, y=cos t 0 3 2 cos 0 0 0 sen 0 6 t 0 La derivada del ejemplo 1 se puede interpretar como la razón de cambio de z con respecto a t cuando el punto (x, y) se desplaza por la curva C cuyas ecuaciones paramétricas son x ! sen 2t, y ! cos t (véase figura 1). En particular, cuando t ! 0, el punto (x, y) es (0, 1) y dz#dt ! 6 es la razón del incremento cuando uno se desplaza por la curva C que pasa por el punto (0, 1). Si, por ejemplo, z ! T(x, y) ! x2y " 3xy4 representa la temperatura en el punto (x, y), entonces la función compuesta z ! T(sen 2t, cos t) representa la temperatura en los puntos sobre C y la derivada dz#dt representa la razón a la cual la temperatura cambia a lo largo de C. v EJEMPLO 2 La presión P, en kilopascales, el volumen V (en litros) y la temperatura T (en kelvin), de un mol de un gas ideal, están relacionados mediante la ecuación PV ! 8.31T. Determine la razón a la cual la presión cambia cuando la temperatura es de 300 K y se incrementa a razón de 0.1 K#s y el volumen es de 100 L y se incrementa a razón de 0.2 L#s. SOLUCIÓN Si t representa el tiempo que transcurre en segundos, entonces en el instante dado T ! 300, dT# dt ! 0.1, V ! 100, dV#dt ! 0.2. Puesto que P ! 8.31 T V 926 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES con la regla de la cadena dP $P dT $P dV 8.31 dT 8.31T dV ! " ! ! dt $T dt $V dt V dt V 2 dt ! 8.31 8.31$300% $0.1% ! $0.2% ! !0.04155 100 100 2 La presión disminuye a razón de casi 0.042 kPa#s. Ahora consideremos la situación en donde z ! f (x, y) pero cada x y y es una función de dos variables s y t: x ! t(s, t), y ! h(s, t). Entonces z es indirectamente una función de s y de t y deseamos hallar $z#$s y $z#$t. Recuerde que al calcular $z#$t mantenemos fija a s y calculamos la derivada ordinaria de z con respecto a t. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema 2 para obtener $z $z $x $z $y ! " $t $x $t $y $t Un razonamiento similar se efectúa para $z#$s y así se demuestra la versión siguiente de la regla de la cadena. 3 Regla de la cadena (caso 2) Supongamos que z ! f (x, y) es una función derivable de x y y, donde x ! t(s, t) y y ! h(s, t) son funciones derivables de s y t. Entonces $z $z $x $z $y ! " $s $x $s $y $s $z $z $x $z $y ! " $t $x $t $y $t EJEMPLO 3 Si z ! ex sen y, donde x ! st2 y y ! s2t, calcule $z#$s y $z#$t. SOLUCIÓN Al aplicar el caso 2 de la regla de la cadena, obtenemos z s x s z x z y 2 t 2e st sen s 2t z t z x x t 2 z y 2ste st sen s 2t z !z !x !z !y x !x !s s y !x !t t FIGURA 2 !y !s s !y !t t y s e x sen y t 2 e x cos y 2st 2 2ste st cos s 2t y t e x sen y 2st e x cos y s 2 2 s 2e st cos s 2t El caso 2 de la regla de la cadena contiene tres tipos de variables: s y t son variables independientes, x y y se llaman variables intermedias y z es la variable dependiente. Observe que el teorema 3 tiene un término para cada variable intermedia, y cada uno de estos términos es similar a la regla de la cadena unidimensional de la ecuación 1. Para recordar la regla de la cadena, es útil dibujar el diagrama de árbol de la figura 2. Dibujamos ramas desde la variable dependiente z a las variables intermedias x y y para indicar que z es una función de x y y. Luego dibujamos ramas desde x y y a las variables independientes s y t. En cada rama escribimos la derivada parcial correspondiente. Para deter- SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 927 minar $z#$s calculamos el producto de las derivadas parciales en cada trayectoria desde z hasta s y luego sumamos los productos: $z $z $x $z $y ! " $s $x $s $y $s De la misma manera determinamos $z#$t mediante las trayectorias de z a t. Ahora consideramos la situación general en la cual una variable dependiente u es una función de n variables intermedias x 1 , . . . , x n , cada una de las cuales, a su vez, es una función de m variables independientes t1 , . . . , tm . Observe que hay n términos, uno para cada variable intermedia. La demostración es similar a la del caso 1. 4 Regla de la cadena (versión general) Supongamos que u es una función derivable de n variables x 1 , x 2 , . . . , x n y cada xj es una función derivable de las m variables t1 , t2 , . . . , tm . Entonces u es una función de t1 , t2 , . . . , tm y $u $u $x 1 $u $x 2 $u $x n ! " " &&& " $ti $x 1 $ti $x 2 $ti $x n $ti para cada i ! 1, 2, . . . , m. v EJEMPLO 4 Exprese la regla de la cadena para el caso donde w ! f $x, y, z, t% y x ! x$u, v%, y ! y$u, v%, z ! z$u, v%, y t ! t$u, v%. SOLUCIÓN Utilice el teorema 4 con n ! 4 y m ! 2. La figura 3 muestra el diagrama de árbol. Aunque no ha escrito las derivadas en las ramas, se sobreentiende que si una rama va desde y a u, entonces la derivada parcial para esa rama es $y#$u. Con la ayuda del diagrama de árbol, podemos escribir las expresiones necesarias: w x u z y v u u v t v u v $w $w $x $w $y $w $z $w $t ! " " " $u $x $u $y $u $z $u $t $u FIGURA 3 $w $w $x $w $y $w $z $w $t ! " " " $v $x $v $y $v $z $v $t $v v EJEMPLO 5 Si u ! x 4 y " y 2 z 3, donde x ! rse t, y ! rs 2e !t, y z ! r2s sen t, determine el valor de $u#$s cuando r ! 2, s ! 1, t ! 0. u x r s SOLUCIÓN Con la ayuda del diagrama de árbol de la figura 4, tenemos y t FIGURA 4 r s z t r s t $u $u $x $u $y $u $z ! " " $s $x $s $y $s $z $s 4x 3 y re t x4 2yz 3 2rse t 3y 2z 2 r 2 sen t Cuando r ! 2, s ! 1, y t ! 0, tenemos x ! 2, y ! 2 y z ! 0, de modo que $u ! $64%$2% " $16%$4% " $0%$0% ! 192 $s 928 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES EJEMPLO 6 Si t$s, t% ! f $s 2 ! t 2, t 2 ! s 2 % y f es derivable, demuestre que t satisface la ecuación t $t $t "s !0 $s $t SOLUCIÓN Sea x ! s2 ! t2 y y ! t2 ! s2. Entonces, t(s, t) ! f (x, y) y la regla de la cadena dan $t $f $x $f $y $f $f ! " ! $2s% " $!2s% $s $x $s $y $s $x $y $t $f $x $f $y $f $f ! " ! $!2t% " $2t% $t $x $t $y $t $x $y Por lo tanto, t + $t $t $f $f "s ! 2st ! 2st $s $t $x $y , + " !2st $f $f " 2st $x $y , !0 EJEMPLO 7 Si z ! f (x, y) tiene derivadas parciales de segundo orden continuas y x ! r2 " s2 y y ! 2rs, calcule a) $z#$r y b) $2z#$r 2. SOLUCIÓN a) La regla de la cadena da $z $z $x $z $y $z $z ! " ! $2r% " $2s% $r $x $r $y $r $x $y b) Al aplicar la regla del producto a la expresión en el inciso a) obtenemos + 5 !2 r $ $r y s r FIGURA 5 $z $ " 2r $x $r $z $x " 2s $ $r + , $z $y Pero al aplicar la regla de la cadena una vez más (véase figura 5), llegamos a !z !x x , + , $2z $ $z $z 2r " 2s 2 ! $r $r $x $y s $ $r + , + , + , + , $z $x ! $ $x $z $x $x $ " $r $y $z $y ! $ $x $z $y $x $ " $r $y + , + , $z $x $y $2z $2z ! 2 $2r% " $2s% $r $x $y $x $z $y $y $2z $2z ! $2r% " 2 $2s% $r $x $y $y Al sustituir estas expresiones en la ecuación 5 y usar la igualdad de las derivadas de segundo orden combinadas, obtenemos + $2z $z $2z $2z " 2r 2r 2 " 2s 2 ! 2 $r $x $x $y $x !2 , + " 2s 2r $2z $2z " 2s 2 $x $y $y , $z $2z $2z $2z " 4r 2 2 " 8rs " 4s 2 2 $x $x $x $y $y Derivación implícita La regla de la cadena se puede aplicar para tener una descripción más completa del proceso de la derivación implícita que se empezó a tratar en las secciones 3.5 y 14.3. Suponemos que una ecuación de la forma F(x, y) ! 0 define a y en forma implícita como una función derivable de x, es decir, y ! f (x), donde F(x, f (x)) ! 0 para toda x en el dominio de f. Si F SECCIÓN 14.5 REGLA DE LA CADENA 929 es derivable, aplicamos el caso 1 de la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la ecuación F(x, y) ! 0 con respecto a x. Puesto que tanto x como y son funciones de x obtenemos $F dx $F dy " !0 $x dx $y dx Pero dx#dx ! 1, de este modo si $F#$y " 0 resolvemos para dy#dx y obtener 6 $F dy $x Fx !! !! dx $F Fy $y Para deducir esta ecuación, suponemos que F(x, y) ! 0 define a y implícitamente como una función de x. El teorema de la función implícita, que se demuestra en cálculo avanzado, proporciona condiciones en las cuales es válida esta suposición. Establece que si F se define sobre un disco que contiene (a, b), donde F$a, b% ! 0, Fy $a, b% " 0, y Fx y Fy son continuas sobre el disco, entonces la ecuación F(x, y) ! 0 define a y como una función de x cerca del punto (a, b) y la derivada de esta función está dada por la ecuación 6. EJEMPLO 8 Determine y' si x 3 " y 3 ! 6xy. SOLUCIÓN La ecuación dada se puede escribir como F$x, y% ! x 3 " y 3 ! 6xy ! 0 de modo que la ecuación 6 da como resultado dy Fx 3x 2 ! 6y x 2 ! 2y !! !! 2 !! 2 dx Fy 3y ! 6x y ! 2x La solución del ejemplo 8 se debe comparar con la del ejemplo 2 de la sección 3.5. Ahora se supone que z está dada en forma implícita como una función z ! f (x, y) mediante una ecuación de la forma F(x, y, z) ! 0. Esto significa que F(x, y, f (x, y)) ! 0 para todo (x, y) en el dominio f. Si F y f son derivables, entonces usamos la regla de la cadena para derivar la ecuación F(x, y, z) ! 0 como sigue: $F $x $F $y $F $z " " !0 $x $x $y $x $z $x Pero $ $x% ! 1 $x y $ $ y% ! 0 $x así que esta ecuación se transforma en $F $F $z " !0 $x $z $x Si $F#$z " 0, resolvemos para $z#$x y obtenemos la primera fórmula de las ecuaciones 7 de la página 930. La fórmula para $z#$y se obtiene de una manera parecida. 930 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES $F $z $x !! $x $F $z 7 $F $z $y !! $y $F $z Una vez más, una versión del teorema de la función implícita da condiciones en las cuales la suposición es válida. Si F está definida dentro de una esfera que contiene (a, b, c), donde F$a, b, c% ! 0, Fz$a, b, c% " 0, y Fx , Fy y Fz son continuas dentro de la esfera, entonces la ecuación F$x, y, z% ! 0 define a z como una función de x y y cerca del punto (a, b, c) y esta función es derivable, con derivadas parciales dadas por 7 . EJEMPLO 9 Determine $z $z y si x 3 " y 3 " z 3 " 6xyz ! 1. $x $y SOLUCIÓN Sea F$x, y, z% ! x 3 " y 3 " z 3 " 6x yz ! 1. Entonces, de acuerdo con las ecuaciones 7, tenemos $z Fx 3x 2 " 6yz x 2 " 2yz !! !! 2 !! 2 $x Fz 3z " 6xy z " 2x y La solución del ejemplo 9 se debe comparar con la del ejemplo 4 de la sección 14.3. 14.5 $z Fy 3y 2 " 6xz y 2 " 2xz !! !! 2 !! 2 $y Fz 3z " 6xy z " 2x y Ejercicios 1-6 Aplique la regla de la cadena para hallar dz#dt o dw#dt. 1. z ! x 2 " y 2 " xy, x ! sen t, 4 2. z ! cos$x " 4y%, x ! 5t , 3. z ! s1 " x 2 " y 2 , 4. z ! tan $ y#x%, 5. w ! xe , x!t , y ! 1#t y ! cos t 6. w ! ln sx 2 " y 2 " z 2 , y ! cos t, z ! tan t 7-12 Mediante la regla de la cadena encuentre $z#$s y $z#$t. 2 3 7. z ! x y , x ! s cos t, y ! s sen t 8. z arcsen x 9. z sen cos , 10. z ! e x"2y, y, x x ! s#t, s 2 t , y 1 fy $2, 7% ! !8 u$1, 0% ! 2 v$1, 0% ! 3 us$1, 0% ! !2 vs$1, 0% ! 5 u t $1, 0% ! 6 vt $1, 0% ! 4 Fu$2, 3% ! !1 Fv$2, 3% ! 10 Determine Ws $1, 0% y Wt $1, 0%. 2st t(u, v) ! f (eu " sen v, eu " cos v). Mediante la tabla de valores calcule tu(0, 0) y tv(0, 0). f t fx fy $0, 0% 3 6 4 8 $1, 2% 6 3 2 5 s 2t y ! t#s 11. z ! e cos (, r ! st, ( ! ss " t 12. z ! tan$u#v%, u ! 2s " 3t, v ! 3s ! 2t r fx $2, 7% ! 6 15. Suponga que f es una función derivable de x y y, y que 2 st 2, h$3% ! 7 h'$3% ! !4 derivables, z ! 1 " 2t x ! sen t, t$3% ! 2 t'$3% ! 5 14. Sea W$s, t% ! F$u$s, t%, v$s, t%%, donde F, u y v son y!1!e y ! 1 ! t, 2 y ! h$t% determine dz#dt cuando t ! 3. !t t 2 y#z x ! t$t% y ! et x ! ln t, x!e, !1 13. Si z ! f $x, y%, donde f es derivable, 2 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 16. Suponga que f es una función derivable de x y y, y que t$r, s% ! f $2r ! s, s 2 ! 4r%. Mediante la tabla de valores del ejercicio 15 calcule tr $1, 2% y ts $1, 2%. SECCIÓN 14.5 17-20 Mediante un diagrama de árbol, escriba la regla de la cadena para el caso dado. Suponga que todas las funciones son derivables. 17. u ! f $x, y%, donde x ! x$r, s, t%, y ! y$r, s, t% 18. R ! f $x, y, z, t%, donde x ! x$u, v, w%, y ! y$u, v, w%, z ! z$u, v, w%, t ! t$u, v, w% 19. w ! f $r, s, t%, donde r ! r$x, y%, s ! s$x, y%, t ! t$x, y% 931 REGLA DE LA CADENA a razón de 0.1 cm#año. También estiman que, a niveles de producción actuales, $W#$T ! !2 y $W#$R ! 8. a) ¿Cuál es el significado de los signos de estas derivadas parciales? b) Estime la razón de cambio actual de la producción de trigo, dW#dt. 37. La velocidad del sonido que viaja a través del agua del mar con 20. t ! f $u, v, w%, donde u ! u$ p, q, r, s%, v ! v $ p, q, r, s%, w ! w $ p, q, r, s% salinidad de 35 partes por millar, está modelada por la ecuación 21-26 Use la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales que se indican. donde C es la velocidad del sonido (en metros por segundo), T es la temperatura (en grados celsius) y D es la profundidad por abajo de la superficie del mar (en metros). Un buzo en escafandra autónoma empieza a sumergirse en el agua del mar; la profundidad del buzo y la temperatura del agua que lo rodea con respecto al tiempo se registran en las gráficas siguientes. Estime la razón de cambio, con respecto al tiempo, de la velocidad del sonido a través del agua de mar que experimentó el buzo durante una inmersión de 20 min. ¿Cuáles son las unidades? 21. z ! x 4 " x 2 y, $z $z $z , , $s $t $u x ! s " 2t ! u, y ! stu 2; donde s ! 4, t ! 2, u ! 1 v , u ! pqsr , v ! psq r ; 2u " v $T $T $T , , donde p ! 2, q ! 1, r ! 4 $p $q $r 22. T ! x ! r cos (, y ! r sen u, 23. w ! xy " yz " zx, $w $w $r , $( donde r ! 2, ( ! *#2 24. P ! su 2 " v 2 " w 2 , $P $P , $x $y 25. N ! u ! xe y, v ! ye x, w ! e xy ; donde x ! 0, y ! 2 p"q , p"r p ! u " vw, $N $N $N , , $u $v $w 26. u ! xe ty, z ! r( ; q ! v " u w, r ! w " uv ; 2 29. tan $x y% ! x " xy 2 20 14 15 12 10 10 5 8 28. cos xy 1 sen y 30. e sen x x xy y 20 30 40 t (min) 10 20 30 40 t (min) 38. El radio de un cono circular recto se incrementa a una razón de 39. La longitud !, ancho w y altura h de una caja cambia con el donde , ! !1, - ! 2, + ! 1 27-30 Aplique la ecuación 6 para encontrar dy#dx. !1 T 16 1.8 pulg#s, mientras su altura disminuye a razón de 2.5 pulg#s. ¿A qué razón cambia el volumen del cono cuando el radio es 120 pulg y la altura es de 140 pulg? x ! , 2-, y ! - 2+, t ! + 2, ; 27. y cos x ! x 2 " y 2 D 10 donde u ! 2, v ! 3, w ! 4 $u $u $u , , $, $- $+ C ! 1449.2 " 4.6T ! 0.055T 2 " 0.00029T 3 " 0.016D tiempo. En un cierto instante, las dimensiones son ! ! 1 m y w ! h ! 2 m, y ! y w se incrementan a razón de 2 m#s, en tanto que h disminuye a razón de 3 m#s. Encuentre en ese instante las razones a las cuales las siguientes magnitudes cambian. a) El volumen b) El área superficial c) La longitud de la diagonal 40. El voltaje V en un circuito eléctrico sencillo disminuye con 31-34 Con las ecuaciones 7 halle $z#$x y $z#$y . 2 2 2 2 2 2 31. x " 2y " 3z ! 1 32. x ! y " z ! 2z ! 4 33. e ! xyz 34. yz " x ln y ! z 2 z 35. La temperatura en un punto (x, y) es T(x, y), medida en grados celsius. Un insecto se arrastra de tal modo que su posición después de t segundos está dada por x ! s1 " t , y ! 2 " 13 t, donde x y y se miden en centímetros. La función temperatura satisface Tx(2, 3) ! 4 y Ty(2, 3) ! 3. ¿Qué tan rápido se eleva la temperatura del insecto en su trayectoria después de 3 segundos? 36. La producción de trigo en un año dado, W, depende de la temperatura promedio T y de la precipitación pluvial anual R. Los científicos estiman que la temperatura promedio se eleva a razón de 0.15 )C#año, y que la precipitación está disminuyendo lentitud a medida que la batería se gasta. La resistencia R se incrementa lentamente cuando el resistor se calienta. Mediante la ley de Ohm, V ! IR, determine cómo cambia la corriente I en el momento en que R ! 400 Ω, I ! 0.08 A, dV#dt ! !0.01 V#s y dR#dt ! 0.03 Ω#s. 41. La presión de un mol de un gas ideal se incrementa a razón de 0.05 kPa#s y la temperatura aumenta a razón de 0.15 K#s. Utilice la ecuación del ejemplo 2 para determinar la razón de cambio del volumen cuando la presión es de 20 kPa y la temperatura es de 320 K. 42. Un fabricante ha modelado su producción anual como una función P (el valor de toda la producción en millones de dólares) como una función de Cobb-Douglas P$L, K% ! 1.47L 0.65 K 0.35 donde L es el número en horas de mano de obra (en miles) y K es 932 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES el capital invertido (en millones de dólares). Supongamos que cuando L ! 30 y K ! 8, la fuerza laboral disminuye a razón de 2000 horas de mano de obra por año y el capital está creciendo a razón de $500 000 por año. Encuentre la razón de cambio de la producción. 43. Un lado de un triángulo está creciendo a razón de 3 cm#s y un segundo lado está decreciendo a razón de 2 cm#s. Si el área del triángulo permanece constante, ¿a qué razón cambia el ángulo entre los lados cuando el primer lado mide 20 cm de largo, el segundo lado es de 30 cm, y el ángulo es p#6? 44. Si un sonido de frecuencia fs es producido por una fuente que se desplaza a lo largo de una recta con rapidez vs y un observador se mueve con rapidez vo a lo largo de la misma recta desde la dirección opuesta hacia la fuente, entonces la frecuencia del sonido escuchado por el observador es + , c " vo c ! vs fo ! 50. Si u ! f $x, y%, donde x ! e s cos t y y ! es sen t, demuestre que 2 $ 2u $2u $2u $2u " ! e!2s " 2 2 2 2 $x $y $s $t 51. Si z ! f $x, y%, donde x ! r 2 " s 2, y ! 2rs, determine $2z#$r $s. Compare con el ejemplo 7. 52. Si z ! f $x, y%, donde x ! r cos ( y y ! r sen u, determine a) $z#$r, b) $z#$(, y c) $2z#$r $(. 53. Si z ! f $x, y%, donde x ! r cos ( y y ! r sen u, demuestre que $2z $2z 1 $2z $2z 1 $z 2 " 2 ! 2 " 2 2 " $x $y $r r $( r $r 54. Suponga que z ! f $x, y%, donde x ! t$s, t% y y ! h$s, t%. a) Demuestre que $2z $2z ! $t 2 $x 2 fs donde c es la velocidad del sonido, de unos 332 m#s. (Éste es el efecto Doppler). Suponga que, en un momento en particular, usted está en un tren que corre a 34 m#s y que acelera a 1.2 m#s2. Un tren se aproxima desde la dirección opuesta en la otra vía a 40 m#s, acelerando a 1.4 m#s2, y hace sonar su silbato, que tiene una frecuencia de 460 Hz. En ese instante, ¿cuál es la frecuencia percibida que usted escucha y con qué rapidez está cambiando? 45-48 Suponga que todas las funciones dadas son derivables. 45. Si z ! f $x, y%, donde x ! r cos ( y y ! r sen u, a) determine $z#$r y $z#$( y b) demuestre que 2 2 $z $y " ! $z $r 2 1 r2 " $z $( + , + , $u $x 2 " 2 $u $y ! e!2s 47. Si z ! f $x ! y%, demuestre que 2+ , + , 3 $u $s 2 " $u $t 2 $z $z " ! 0. $x $y 48. Si z ! f $x, y%, donde x ! s " t y y ! s ! t, demuestre que + , + , $z $x 2 ! $z $y 2 ! $z $z $s $t 49-54 Suponga que todas las funciones dadas tienen derivadas parciales continuas de segundo orden. 49. Demuestre que cualquier función de la forma z ! f $x " at% " t$x ! at% es una solución de la ecuación de onda 2 $2z 2 $ z 2 ! a $t $x 2 [Sugerencia: sea u ! x " at, v ! x ! at.] + , $y $t 2 b) Encuentre una fórmula similar para $2z#$s $t. 55. Una función f se llama homogénea de grado n si satisface la ecuación f $t x, t y% ! t n f $x, y% para toda t, donde n es un entero positivo y f tiene derivadas parciales continuas de segundo orden. a) Compruebe que f (x, y) ! x2y " 2xy2 " 5y3 es homogénea de grado 3. b) Demuestre que si f es homogénea de grado n, entonces 2 46. Si u ! f $x, y%, donde x ! e s cos t y y ! es sen t, demuestre que + , $x 2 $2z $2z $x $y " "2 $t $x $y $t $t $y 2 2 2 $z $ y $z $ x " " $x $t 2 $y $t 2 + , + , +, + , $z $x 3 x $f $f "y ! n f $x, y% $x $y [Sugerencia: aplique la regla de la cadena para derivar f (tx, ty) con respecto a t.] 56. Si f es homogénea de grado n, demuestre que x2 2 $2f $2f 2 $ f " 2xy " y ! n$n ! 1% f $x, y% $x 2 $x $y $y 2 57. Si f es homogénea de grado n, demuestre que fx $t x, t y% ! t n!1fx $x, y% 58. Suponga que la ecuación F(x, y, z) ! 0 define en forma implícita cada una de las tres variables x, y y z como funciones de otras dos: z ! f (x, y), y ! t(x, z), x ! h(y, z). Si F es derivable y Fx, Fy y Fz son diferentes de cero, demuestre que $z $x $y ! !1 $x $y $z 59. La ecuación 6 es una fórmula para la derivada dy#dx de una función definida implícitamente por una ecuación F $x, y% ! 0, siempre que F sea derivable y que Fy " 0. Demuestre que si F tiene segundas derivadas continuas, entonces una fórmula para la segunda derivada de y es d 2y Fxx Fy2 ! 2Fxy Fx Fy " Fyy Fx2 2 ! ! dx Fy3 SECCIÓN 14.5 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 933 Derivadas direccionales y el vector gradiente 14.6 60 50 Reno San Francisco 60 Las Vegas 70 70 80 Los Ángeles 0 En el mapa del clima de la figura 1, se muestra un mapa de contorno de la función temperatura T (x, y) para los estados de California y Nevada a las 3:00 PM, de un día de octubre. Las curvas de nivel o isotermas, unen localidades con la misma temperatura. La derivada parcial Tx en un lugar como Reno es la razón de cambio de la temperatura respecto a la distancia si viajamos hacia el este desde Reno; Ty es la razón de cambio de la temperatura si viajamos hacia el norte. Pero, ¿qué sucede si queremos saber la razón de cambio de la temperatura cuando viaja hacia el sureste; es decir, hacia Las Vegas, o en alguna otra dirección? En esta sección se estudia un tipo de derivada, que se denomina derivada direccional, que permite calcular la razón de cambio de una función de dos o más variables en cualquier dirección. 50 100 150 200 (Distancia en millas) Derivadas direccionales FIGURA 1 Recuerde que si z ! f (x, y), entonces las derivadas parciales fx y fy se definen como fx x0 , y0 lím f x0 hl0 1 fy x0 , y0 y u sen ¨ ¨ (x¸, y¸) cos ¨ 0 x FIGURA 2 lím f x0 , y0 hl0 h, y0 h f x0 , y0 h h f x0 , y0 y representan las razones de cambio de z en las direcciones x y y; es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y j. Supongamos que ahora queremos encontrar la razón de cambio de z en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario u ! ! a, b" . (Véase figura 2.) Para hacer esto consideremos la superficie S cuya ecuación es z ! f (x, y) (la gráfica de f ), y sea z0 ! (x0, y0). Entonces el punto P(x0, y0, z0) queda sobre S. El plano vertical que pasa por P en la dirección de u interseca a S en una curva C (véase figura 3.) La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razón de cambio de z en la dirección de u. Un vector unitario u=ka, bl=kcos ¨, sen ¨l z T P(x¸, y¸, z¸) TEC Visual 14.6A incluye figuras animadas de la figura 3 al hacer girar u y, por lo tanto T. Q(x, y, z) S C Pª (x ¸, y¸, 0) u ha h hb Qª (x, y, 0) FIGURA 3 x y 934 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Si Q$x, y, z% es otro punto sobre C y P', Q' son las proyecciones de P, Q sobre el plano xy, entonces el vector es paralelo a u y entonces B ! hu ! !ha, hb" P'Q' para algún escalar h. Por tanto, x ! x 0 ! ha, y ! y0 ! hb, por lo que x ! x 0 " ha, y ! y0 " hb, y z ! z0 f $x 0 " ha, y0 " hb% ! f $x 0 , y0 % #z ! ! h h h Si tomamos el límite cuando h l 0, obtenemos la razón de cambio de z con respecto a la distancia en la dirección de u, la cual se denomina derivada direccional de f en la dirección de u. 2 Definición La derivada direccional de f en $x 0 , y0 % en la dirección de un vector unitario u ! ! a, b" es Du f x 0 , y0 lím f x0 ha, y0 f x 0 , y0 hb h hl0 si este límite existe. Al comparar la definición 2 con las ecuaciones 1 , observamos que si u ! i ! !1, 0 " , entonces Di f ! fx y si u ! j ! !0, 1" , entonces Dj f ! fy . En otras palabras, las derivadas parciales de f con respecto a x y y son justamente casos especiales de la derivada direccional. EJEMPLO 1 Con ayuda del mapa del clima ilustrado en la figura 1 estime el valor de la derivada direccional de la función de la temperatura en Reno en la dirección sureste. SOLUCIÓN El vector unitario dirigido hacia el sureste es u ! $i ! j%#s2 , pero no es necesario recurrir a esta expresión. Inicie dibujando una recta que pase por Reno y que se dirija hacia el sureste (véase figura 4). 60 50 Reno San Francisco 60 Las Vegas 70 70 0 FIGURA 4 50 100 150 200 (Distancia en millas) 80 Los Ángeles Aproximamos a la derivada direccional Du T mediante el promedio de la razón de cambio de la temperatura entre los puntos donde la recta interseca las isotermas T ! 50 y SECCIÓN 14.5 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 935 T ! 60. La temperatura en el punto al sureste de Reno es T ! 60 )F y la temperatura en el punto noroeste de Reno es T ! 50 )F. Al parecer, la distancia entre estos puntos es de casi 75 millas. De este modo, la razón de cambio de la temperatura en la dirección sureste es 60 Du T 50 10 75 75 0.13 °F#mi Cuando calculamos la derivada direccional de una función que está definida por medio de una fórmula, en general aplicamos el teorema siguiente. 3 Teorema Si f es una función derivable de x y de y, entonces f tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u ! ! a, b" y Du f $x, y% ! fx $x, y% a " fy $x, y% b DEMOSTRACIÓN Si definimos una función t de una variable h mediante t$h% ! f $x 0 " ha, y0 " hb% entonces según la definición de la derivada 4 t 0 lím th t0 h hl0 lím f x0 ha, y0 hb f x 0 , y0 h hl0 ! Du f $x 0 , y0 % Por otro lado, podemos escribir t$h% ! f $x, y%, donde x ! x 0 " ha, y ! y0 " hb, de modo que la regla de la cadena (teorema 14.5.2) da t'$h% ! $f dx $f dy " ! fx $x, y% a " fy $x, y% b $x dh $y dh Si ahora hacemos h ! 0, entonces x ! x0, y ! y0, y 5 t'$0% ! fx $x 0 , y0 % a " fy $x 0 , y0 % b Al comparar las ecuaciones 4 y 5, observe que Du f $x 0 , y0 % ! fx $x 0 , y0 % a " fy $x 0 , y0 % b Si el vector unitario u forma un ángulo ( con el eje positivo x (como en la figura 2), entonces podemos escribir u ! !cos u, sen u" y así la fórmula del teorema 3 se transforma en 6 Du f x, y fx x, y cos fy x, y sen EJEMPLO 2 Determine la derivada direccional Du f $x, y% si f $x, y% ! x 3 ! 3xy " 4y 2 y u es el vector unitario dado por el ángulo ( ! *#6. ¿Qué es Du f $1, 2%? 936 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES SOLUCIÓN Con la fórmula 6 se tiene La derivada direccional Du f (1, 2) del ejemplo 2 representa la razón de cambio de z en la dirección de u. Es la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie z ! x3 ! 3xy " 4y2 y el plano vertical que pasa por (1, 2, 0) en la dirección de u mostrada en la figura 5. Du f x, y fx x, y cos ! $3x 2 ! 3y% z 6 fy x, y sen 6 s3 " $!3x " 8y% 21 2 [ ] ! 12 3 s3 x 2 ! 3x " (8 ! 3s3 )y Por lo tanto 0 (1, 2, 0) x FIGURA 5 [ π 6 ] Du f $1, 2% ! 21 3s3 $1%2 ! 3$1% " (8 ! 3s3 )$2% ! y 13 ! 3s3 2 u El vector gradiente Observe que de acuerdo con el teorema 3, la derivada direccional de una función derivable se puede escribir como el producto punto de dos vectores: 7 Du f $x, y% ! fx $x, y% a " fy $x, y% b ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" ! !a, b" ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" ! u El primer vector en este producto punto se presenta no sólo al calcular las derivadas direccionales, sino también en muchos otros contextos. Por eso se le da un nombre especial, gradiente de f, y una notación especial (grad f o .f , que se lee “nabla f ”). 8 Definición Si f es una función de dos variables x y y, entonces el gradiente de f es la función vectorial .f definida por .f $x, y% ! ! fx $x, y%, fy $x, y%" ! $f $f i" j $x $y EJEMPLO 3 Si f (x, y) ! sen x " exy, entonces .f $x, y% ! ! fx , fy " ! !cos x " ye x y, xe x y " .f $0, 1% ! ! 2, 0" y Con esta notación para el vector gradiente, podemos escribir la expresión (7) para la derivada direccional como 9 Du f $x, y% ! .f $x, y% ! u Esta ecuación expresa la derivada direccional en la dirección de un vector unitario u como la proyección escalar del vector gradiente en u. SECCIÓN 14.6 Vector gradiente .f $2, !1% del ejemplo 4 se muestra en la figura 6 con punto inicial (2, 21). También se muestra el vector v que da la dirección de la derivada direccional. Ambos vectores se superponen sobre el mapa de contorno de la gráfica de f. v DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 937 EJEMPLO 4 Determine la derivada direccional de la función f (x, y) ! x2y3 ! 4y en el punto (2, !1) en la dirección del vector v ! 2 i " 5 j. SOLUCIÓN Primero calculamos el vector gradiente en (2, !1): . f $x, y% ! 2xy 3 i " $3x 2 y 2 ! 4%j y .f $2, !1% ! !4 i " 8 j ±f(2, _1) * * Note que v no es un vector unitario, pero como v ! s29 , el vector unitario en la dirección de v es v x (2, _1) u! v 2 5 ! i" j v s29 s29 * * Por lo tanto, según la ecuación 9, tenemos FIGURA 6 Du f $2, !1% ! . f $2, !1% ! u ! $!4 i " 8 j% ! ! + , 2 5 i" j s29 s29 !4 ! 2 " 8 ! 5 32 ! s29 s29 Funciones de tres variables Para funciones de tres variables podemos definir las derivadas direccionales de una manera similar. Otra vez, Du f (x, y, z) puede interpretarse como la razón de cambio de la función en la dirección de un vector unitario u. 10 Definición La derivada direccional de f en (x0, y0, z0) en la dirección de un vector unitario u ! ! a, b, c" es Du f x 0 , y0 , z0 lím f x0 ha, y0 hl0 hb, z0 h hc f x 0 , y0 , z0 si este límite existe. Si utilizamos la notación de vectores, entonces podemos escribir ambas definiciones, 2 y 10, de la derivada direccional en la forma compacta 11 Du f x 0 lím hl0 f x0 hu h f x0 donde x 0 ! ! x 0 , y0 " si n ! 2 y x 0 ! ! x 0 , y0 , z0 " si n ! 3. Esto es razonable porque la ecuación vectorial de la recta que pasa por x0 en la dirección del vector u está dada por x ! x0 " t u (ecuación 12.5.1) y de este modo f (x0 " hu) representa el valor de f en un punto sobre esta recta. 938 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Si f (x, y, z) es derivable y u ! ! a, b, c" , entonces utilice el mismo método que se aplicó en el teorema 3 para demostrar que 12 Du f $x, y, z% ! fx $x, y, z% a " fy $x, y, z% b " fz$x, y, z% c Por lo que toca a la función f de tres variables, el vector gradiente, denotado por .f o grad f, es . f $x, y, z% ! ! fx $x, y, z%, fy $x, y, z%, fz$x, y, z%" es decir, .f ! ! fx , fy , fz " ! 13 $f $f $f i" j" k $x $y $z Entonces, justo como en las funciones de dos variables, la fórmula 12 de la derivada direccional se puede volver a expresar como 14 Du f $x, y, z% ! . f $x, y, z% ! u v EJEMPLO 5 Si f (x, y, z) ! x sen yz, a) determine el gradiente de f y b) encuentre la derivada direccional de f en (1, 3, 0) en la dirección v ! i " 2 j ! k. SOLUCIÓN a) El gradiente de f es .f $x, y, z% ! ! fx $x, y, z%, fy $x, y, z%, fz$x, y, z%" ! !sen yz, xz cos yz, xy cos yz" b) En (1, 3, 0) tenemos .f $1, 3, 0% ! !0, 0, 3" . El vector unitario en la dirección de v ! i " 2 j ! k es 1 2 1 u! i" j! k s6 s6 s6 Por lo tanto, la ecuación 14 da Du f $1, 3, 0% ! .f $1, 3, 0% ! u ! 3k ! + , 1 2 1 i" j! k s6 s6 s6 + , - !3 ! 1 s6 !! 3 2 Maximización de la derivada direccional Suponga que tenemos una función f de dos o tres variables y consideramos todas las derivadas direccionales posibles de f en un punto dado. Éstas dan las razones de cambio de f en todas las direcciones posibles. Cabe entonces, plantear las preguntas: ¿en cuál de estas direcciones f cambia más rápido y cuál es la máxima razón de cambio? Las respuestas las proporciona el teorema siguiente. SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 939 15 Teorema Supongamos que f es una función derivable de dos o tres variables. TEC Visual 14.6B proporciona confirmación El valor máximo de la derivada direccional Du f (x) es & . f (x) & y se presenta cuando u tiene la misma dirección que el vector gradiente . f (x). visual del teorema 15. DEMOSTRACIÓN Según la ecuación 9 o la 14 tenemos * ** u * cos ( ! * . f * cos ( Du f ! .f ! u ! .f donde u es el ángulo entre .f y u. El valor máximo de cos u es 1 y esto ocurre cuando u ! 0. Por lo tanto, el valor máximo de Du f es & . f & y se presenta cuando u ! 0, es decir, cuando u tiene la misma dirección que . f. y Q EJEMPLO 6 2 a) Si f (x, y) ! xey, determine la razón de cambio de f en el punto P(2, 0) en la dirección de P a Q ( 12, 2). b) ¿En qué dirección f tiene la máxima razón de cambio? ¿Cuál es esta máxima razón de cambio? 1 ± f( 2, 0) SOLUCIÓN 0 3 x P 1 a) Primero calculamos el vector gradiente: FIGURA 7 .f $x, y% ! ! fx , fy " ! !e y, xe y " En (2, 0) la función del ejemplo 6 se incrementa más rápido en la dirección del vector gradiente . f $2, 0% ! ! 1, 2" . Observe que según la figura 7 este vector, al parecer, es perpendicular a la curva de nivel que pasa por (2, 0). En la figura 8 se ilustra la gráfica de f y el vector gradiente. .f $2, 0% ! !1, 2" l El vector unitario en la dirección de PQ ! ! !1.5, 2" es u ! !! 35 , 45 ", de modo que la razón de cambio de f en la dirección de P a Q es Du f $2, 0% ! .f $2, 0% ! u ! !1, 2" ! !! 35 , 45 " ! 1(! 53 ) " 2( 45 ) ! 1 20 b) De acuerdo con el teorema 15, f se incrementa más rápido en la dirección del vector gradiente .f $2, 0% ! !1, 2" . La razón de cambio máxima es 15 z 10 5 0 0 FIGURA 8 1 x 2 3 0 1 y * .f $2, 0% * ! * ! 1, 2" * ! s5 2 EJEMPLO 7 Supongamos que la temperatura en un punto (x, y, z) en el espacio está dado por T(x, y, z) ! 80#(1 " x2 " 2y2 " 3z2), donde T se mide en grados celsius y x, y, z en metros. ¿En qué dirección se incrementa más rápido la temperatura en el punto (1, 1, !2)? ¿Cuál es la razón de incremento máxima? SOLUCIÓN El gradiente de T es .T ! $T $T $T i" j" k $x $y $z !! ! 160x 320y 480z i! j! k $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2 $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2 $1 " x 2 " 2y 2 " 3z 2 %2 160 $!x i ! 2y j ! 3z k% $1 " x " 2y 2 " 3z 2 %2 2 940 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES En el punto (1, 1, !2) el vector gradiente es .T$1, 1, !2% ! 160 256 $!i ! 2 j " 6 k% ! 85 $!i ! 2 j " 6 k% De acuerdo con el teorema 15, la temperatura se incrementa más rápido en la dirección 5 del vector gradiente .T $1, 1, !2% ! 8 $!i ! 2 j " 6 k% o bien, en forma equivalente, en la dirección de !i ! 2 j " 6 k o del vector unitario $!i ! 2 j " 6 k%#s41. La máxima razón de incremento es la longitud del vector gradiente: * .T $1, 1, !2% * ! * !i ! 2 j " 6 k * ! 5 8 5 8 s41 5 Por lo tanto, la máxima razón de incremento de temperatura es 8 41 4 °C#m. Planos tangentes a superficies de nivel Suponga que S es una superficie cuya ecuación es f (x, y, z) ! k, es decir, es una superficie de nivel de una función F de tres variables, y sea P(x0, y0, z0) un punto en S. Sea C una curva que queda en la superficie S y pasa por el punto P. Recuerde que según la sección 13.1, la curva C se describe mediante una función vectorial continua r$t% ! ! x$t%, y$t%, z$t%" . Sea t0 el valor del parámetro que corresponde a P; es decir, r$t0% ! ! x 0 , y0 , z0 " . Puesto que C está sobre S, cualquier punto (x(t), y(t), z(t)) debe satisfacer la ecuación de S, es decir, 16 f (x(t), y(t), z(t)) ! k Si x, y y z son funciones derivables de t y F es también derivable, entonces se aplica la regla de la cadena para derivar ambos miembros de la ecuación 16 como sigue: 17 $F dx $F dy $F dz " " !0 $x dt $y dt $z dt Pero, como .F ! ! Fx , Fy , Fz " y r'$t% ! ! x'$t%, y'$t%, z'$t%" , la ecuación 17 se puede escribir en función de un producto punto como .F ! r'$t% ! 0 En particular, cuando t ! t0 tenemos r$t0% ! ! x 0 , y0 , z0 " , de modo que z ±F (x ¸, y¸, z¸) plano tangente P 0 S x FIGURA 9 18 .F$x0, y0, z0 % ! r'$t0 % ! 0 rª(t¸) C y La ecuación 18 establece que el vector gradiente en P, .F$x0 , y0 , z0 %, es perpendicular al vector tangente r'(t0) a cualquier curva C sobre S que pasa por P (véase figura 9). Si .F$x0 , y0 , z0 % " 0, es por lo tanto natural definir el plano tangente a la superficie de nivel F(x, y, z) ! k en P(x0, y0, z0) como el plano que pasa por P y tiene vector normal .F$x0 , y0 , z0 %. Si aplicamos la ecuación estándar de un plano (ecuación 12.5.7), podemos escribir la ecuación de este plano tangente como 19 Fx $x 0 , y0 , z0 %$x ! x 0 % " Fy $x 0 , y0 , z0 %$y ! y0 % " Fz$x 0 , y0 , z0 %$z ! z0 % ! 0 SECCIÓN 14.6 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 941 La recta normal a S en P es la recta que pasa por P y es perpendicular al plano tangente. La dirección de la recta normal está definida, por lo tanto, por el vector gradiente .F$x0 , y0 , z0 % y, de este modo, mediante la ecuación 12.5.3, sus ecuaciones simétricas son x ! x0 y ! y0 z ! z0 ! ! Fx $x0 , y0 , z0 % Fy $x0 , y0 , z0 % Fz$x0 , y0 , z0 % 20 En el caso especial en el cual la ecuación de una superficie S es de la forma z ! f (x, y) (es decir, S es la gráfica de una función f de dos variables), podemos volver a escribir la ecuación como F$x, y, z% ! f $x, y% ! z ! 0 y considerar S como una superficie de nivel de F, con k ! 0. Entonces Fx $x 0 , y0 , z0 % ! fx $x 0 , y0 % Fy $x 0 , y0 , z0 % ! fy $x 0 , y0 % Fz$x 0 , y0 , z0 % ! !1 de modo que la ecuación 19 se vuelve fx $x 0 , y0 %$x ! x 0 % " fy $x 0 , y0 %$y ! y0 % ! $z ! z0 % ! 0 que equivale a la ecuación 14.4.2. Por lo tanto, la nueva definición más general de un plano tangente es congruente con la definición que se dio para el caso especial de la sección 14.4. v EJEMPLO 8 Determine las ecuaciones del plano tangente y recta normal en el punto (!2, 1, !3) al elipsoide x2 z2 " y2 " !3 4 9 SOLUCIÓN El elipsoide es la superficie de nivel (con k ! 3) de la función: F$x, y, z% ! En la figura 10 se muestra el elipsoide, el plano tangente y la recta normal del ejemplo 8. Por lo tanto, Fx $x, y, z% ! 4 2 x 2 Fx $!2, 1, !3% ! !1 0 x2 z2 " y2 " 4 9 Fy $x, y, z% ! 2y Fy $!2, 1, !3% ! 2 Fz$x, y, z% ! 2z 9 Fz$!2, 1, !3% ! ! 23 Entonces la ecuación 19 da la ecuación del plano tangente en (!2, 1, !3) cuando z 22 !1$x " 2% " 2$y ! 1% ! 23 $z " 3% ! 0 24 lo cual se simplifica a 3x ! 6y " 2z " 18 ! 0. Según la ecuación 20, las ecuaciones de la recta normal son 26 y 0 2 FIGURA 10 2 0 22 x x"2 y!1 z"3 ! ! !1 2 ! 32 942 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Significancia del vector gradiente Ahora se resumen los modos en los que el vector gradiente es importante. Primero se considera una función f de tres variables y un punto P(x0, y0, z0) en su dominio. Por otro lado, de acuerdo con el teorema 15, el vector gradiente !f (x0, y0, z0) indica la dirección del incremento más rápido de f. Además, también sabemos que !f (x0, y0, z0) es ortogonal a la superficie de nivel S de f que pasa por P (refiérase a la figura 9). Estas dos propiedades son compatibles intuitivamente porque, a medida que se aleja de P en la superficie de nivel S, el valor de f no cambia. Así, parece razonable que si nos movemos en dirección perpendicular, se consigue el incremento máximo. De manera similar se considera una función f de dos variables y un punto P(x0, y0) en su dominio. Una vez más, el vector gradiente !f (x0, y0) señala la dirección del incremento más rápido de f. Asimismo, mediante consideraciones similares al análisis de los planos tangentes, se puede demostrar que !f (x0, y0) es perpendicular a la curva de nivel f (x, y) ! k que pasa por P. Otra vez es intuitivamente posible porque los valores de f siguen siendo constantes a medida que se mueve a lo largo de la curva (véase la figura 11). y ±f(x¸, y¸) P (x¸, y¸) curva de nivel f(x, y)=k 0 300 200 curva de máxima pendiente x FIGURA 11 100 FIGURA 12 Si consideramos un mapa topográfico de una colina y representamos mediante f (x, y) la altura por arriba del nivel del mar de un punto de coordenadas (x, y), entonces se puede dibujar una curva de máxima pendiente como en la figura 12, haciéndola perpendicular a todas las curvas de nivel. Este fenómeno también se puede observar en la figura 12 de la sección 14.1, donde Lonesome Creek sigue una curva con el descenso más empinado. Los sistemas algebraicos computarizados poseen comandos para dibujar muestras de vectores gradiente. Cada vector gradiente !f (a, b) se grafica de tal manera que inicie en el punto (a, b). En la figura 13 se ilustra una gráfica de éstas (que se denominan campo del vector gradiente) para la función f (x, y) ! x2 " y2 sobrepuesta en un mapa de contorno de f. Como era de esperarse, los vectores gradiente apuntan “pendiente arriba” y son perpendiculares a las curvas de nivel. y _9 _6 _3 0 3 6 9 x FIGURA 13 SECCIÓN 14.6 14.6 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE 943 Ejercicios 1. Se muestran curvas de nivel para la presión barométrica (en milibares), para las 6:00 AM del 10 de noviembre de 1998. Una zona con una presión de sólo 972 mb se mueve la región noreste de Iowa. La distancia a lo largo de la línea roja de K (Kearney, Nebraska) a S (Sioux City, Iowa) es 300 km. Estime el valor de la derivada direccional de la función presión en Kearney en la dirección de Sioux City. ¿Cuáles son las unidades de la derivada direccional? 7-10 a) Determine el gradiente de f. b) Evalúe el gradiente en el punto P. c) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector u. P$"6, 4%, 7. f $x, y% ! sen$2x $ 3y%, 8. f $x, y% ! y 2#x, u ! 31 (2 i $ s5 j) P$1, 2%, P$2, "1, 1%, u ! !0, 45 , "35 " 9. f $x, y, z% ! x 2 yz " xyz 3, 1008 1004 1000 996 992 988 984 980 S 976 972 1012 1012 1016 1020 1024 10. f $x, y, z% ! y 2e xyz, u ! 12 (s3 i " j) P$0, 1, "1%, u ! ! 133 , 134 , 1213 " 11-17 Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v. K 11. f $x, y% ! ex sen y, $0, &#3%, x 12. f $x, y% ! 2 , x $ y2 $1, 2%, 13. t$ p, q% ! p 4 " p 2q 3, 14. t$r, s% ! tan"1 $rs%, 1008 máxima para noviembre de 2004 (en #C). Estime el valor de la derivada direccional de esta función temperatura en A, en la dirección de B. ¿Cuáles son las unidades? v ! !3, 5" $2, 1%, $1, 2%, v ! i $ 3j v ! 5 i $ 10 j 15. f $x, y, z% ! xe $ ye $ ze , $0, 0, 0%, v ! !5, 1, "2" 16. f $x, y, z% ! sxyz , v ! !"1, "2, 2" y 2. El mapa de contornos muestra el promedio de temperatura v ! !"6, 8" x z $3, 2, 6%, 17. h$r, s, t% ! ln$3r $ 6s $ 9t%, $1, 1, 1%, v ! 4 i $ 12 j $ 6 k 18. Use la figura para estimar Du f (2, 2). y (2, 2) u 0 100 200 300 (Distancia en kilómetros) ±f (2, 2) A 30 30 0 27 x 19. Calcule la derivada direccional de f $x, y% ! sxy en P(2, 8) 24 en la dirección de Q(5, 4). B 20. Encuentre la derivada direccional de f (x, y, z) ! xy $ yz $ zx en P(1, "1, 3) en la dirección de Q(2, 4, 5). 3. Una tabla de valores para el índice de temperatura de sensación W ! f (T, v) se proporciona en el ejercicio 3 de la página 911. Mediante esta tabla, estime el valor de Du f ("20, 30), donde u ! $i $ j%#s2 . 4-6 Determine la derivada direccional de f en el punto dado en la dirección que indica el ángulo u. 4. f $x, y% ! x 3 y 4 $ x 4 y 3, 5. f $x, y% ! ye"x, $0, 4%, 6. f $x, y% ! e x cos y, ; $1, 1%, 21-26 Determine la máxima razón de cambio de f en el punto dado y la dirección en la cual se presenta. 21. f $x, y% ! 4ysx , 22. f $s, t% ! te st, $0, 2% 23. f $x, y% ! sen$x, y%, % ! & #6 % ! 2&#3 $0, 0%, % ! & #4 Se requiere calculadora graficadora o computadora $4, 1% $1, 0% 24. f $x, y, z% ! $x $ y%#z, $1, 1, "1% 25. f $x, y, z% ! sx 2 $ y 2 $ z 2 , 26. f $ p, q, r% ! arctan$ pqr%, $3, 6, "2% $1, 2, 1% 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 944 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 27. a) Demuestre que una función derivable f disminuye más rápidamente en x en la dirección opuesta al vector gradiente, es decir, en la dirección de "!f (x). b) Mediante el resultado del inciso a), determine la dirección en que la función f (x, y) ! x4y " x2y3 decrece más rápidamente en el punto (2, "3). 28. Encuentre las direcciones en las cuales la derivada direccional de f (x, y) ! ye"xy en el punto (0, 2) tiene el valor de 1. 29. Encuentre todos los puntos en los cuales la dirección del cambio más rápido de la función f (x, y) ! x2 $ y2 " 2x " 4y es i $ j. 35. Sea f una función de dos variables con derivadas parciales continuas y considere los puntos A(1, 3), B(3, 3), C(1, 7) y D(6, 15). La derivada direccional de f en A en la dirección del l vector AB es 3 y la derivada direccional en A en la dirección l de AC es 26. Calcule la derivada direccional de f en A en la l dirección del vector AD . 36. Se muestra un mapa topográfico de Blue River Pine Provincial Park en British Columbia. Dibuje curvas de mayor descenso a partir del punto A (descendiendo a Mud Lake) y desde el punto B. Blue River 30. En las cercanías de una boya, la profundidad de un lago en el Blue River punto de coordenadas (x, y) es z ! 200 $ 0.02x2 " 0.001y3, donde x, y y z se miden en metros. Un pescador en un bote pequeño parte del punto (80, 60) y se dirige hacia la boya, la cual se ubica en (0, 0). ¿El agua bajo el bote se hace más somera o más profunda cuando el pescador parte? Explique. Mud Lake Blue River Pine Provincial Park Mud Creek Smoke Creek A 2200 m 31. La temperatura T en una bola de metal es inversamente proporcional a la distancia desde el centro de la bola, el cual se considera como el origen. La temperatura en el punto (1, 2, 2) es 120#. a) Determine la razón de cambio de T en (1, 2, 2) en la dirección hacia el punto (2, 1, 3). b) Demuestre que en cualquier punto en la bola la dirección de incremento más grande de temperatura está dado por un vector que apunta hacia el origen. 32. La temperatura en un punto (x, y, z) está dada por T$x, y, z% ! 200e"x 2 "3y 2"9z 2 donde T se mide en #C y x, y, z en metros. a) Determine la razón de cambio de la temperatura en el punto P(2, "1, 2) en la dirección hacia el punto (3, "3, 3). b) ¿En qué dirección la temperatura se incrementa más rápido en P? c) Encuentre la razón máxima de incremento en P. 2200 m B 1000 m 2000 m 2200 m North Thompson River Reproducido con el permiso de Recursos Naturales de Canadá 2009, cortesía del Centro de Información Topográfica. 37. Demuestre que la operación de obtener el gradiente de una función tiene la propiedad dada. Suponga que u y v son funciones derivables de x y y y que a, b son constantes. a) !$au $ b v% ! a !u $ b !v c) ! +, u ! b) !$u v% ! u !v $ v !u v !u " u !v d) !u n ! nu n"1 !u v2 v 38. Trace el vector gradiente ! f (4, 6) para la función f cuyas curvas de nivel se muestran. Explique cómo selecciona la dirección y la longitud del vector. y 33. Suponga que en una cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por V(x, y, z) ! 5x2 " 3xy $ xyz. a) Determine la razón de cambio del potencial en P(3, 4, 5) en la dirección del vector v ! i $ j " k. b) ¿En qué dirección cambia V con mayor rapidez en P? c) ¿Cuál es la razón máxima de cambio en P? 34. Suponga que escala una montaña cuya forma la da la ecuación z ! 1000 " 0.005 " 0.01y2, donde x, y, z se dan en metros, y usted está parado en un punto cuyas coordenadas son (60, 40, 966). El eje de las x positivas va hacia el este y el eje de las y positivas va hacia el norte. a) Si camina directo hacia el sur, ¿empezará a ascender o descender? ¿Con qué rapidez? b) Si camina hacia el noroeste, ¿empezará a ascender o descender? ¿Con qué rapidez? c) ¿En qué dirección es la máxima pendiente? ¿Cuál es la razón de cambio en esa dirección? ¿En qué ángulo por arriba de la horizontal la trayectoria inicia en esa dirección? _5 6 (4, 6) _3 _1 4 0 1 3 5 2 0 2 4 6 x 39. La segunda derivada direccional de f (x, y) es Du2 f $x, y% ! Du 'Du f $x, y%( Si f $x, y% ! x 3 $ 5x 2 y $ y 3 y u ! ! 35 , 45 " , calcule Du2 f $2, 1%. SECCIÓN 14.6 40. a) Si u ! !a, b" es un vector unitario y f tiene segundas derivadas parciales continuas, demuestre que pasa por el origen. 41-46 Determine las ecuaciones de a) el plano tangente y b) de la recta normal a la superficie dada en el punto especificado. 2 41. 2$x " 2% $ $ y " 1% $ $z " 3% ! 10, 2 2 42. y ! x " z , 43. xyz 2 ! 6, $3, 3, 5% $1, 1, 1% 62. Demuestre que las pirámides cortadas desde el primer octante ; 47-48 Mediante una computadora grafique la superficie, el plano tangente y la recta normal en la misma pantalla. Escoja cuidadosamente el dominio para evitar planos verticales extraños. Elija la perspectiva que le permita visualizar bien los tres objetos. $1, 1, 1% 48. x yz ! 6, $1, 2, 3% 49. Si f (x, y) ! xy, determine el vector gradiente !f (3, 2) y 50. 51. 52. 53. (1, 1, 2) interseca al paraboloide por segunda vez? y z de cualquier plano tangente a la superficie sx $ sy $ sz ! sc es una constante. $0, 0, 1% 47. x y $ yz $ zx ! 3, 59. ¿Dónde la recta normal al paraboloide z ! x2 $ y2 en el punto 61. Demuestre que la suma de las intersecciones con los ejes x, y $1, 2, 1% 46. x 4 $ y 4 $ z 4 ! 3x 2 y 2z 2, pasa por el centro de la esfera. sobre el elipsoide 4x2 $ y2 $ 4z2 ! 12 interseca la esfera x2 $ y2 $ z2 ! 102? $3, 2, 1% 45. x $ y $ z ! e xyz, 58. Demuestre que toda recta normal a la esfera x2 $ y2 $ z2 ! r2 60. ¿En qué puntos la recta normal que pasa por el punto (1, 2, 1) $4, 7, 3% 44. xy $ yz $ zx ! 5, 56. Demuestre que el elipsoide 3x2 $ 2y2 $ z2 ! 9 y la esfera 57. Demuestre que todo plano que es tangente al cono x2 $ y2 ! z2 b) Encuentre la segunda derivada direccional de f (x, y) ! xe2y en la dirección de v ! !4, 6" . 2 945 x2 $ y2 $ z2 " 8x " 6y " 8z $ 24 ! 0 son tangentes entre sí en el punto (1, 1, 2). (Esto significa que tienen un plano tangente común en ese punto.) Du2 f ! fxx a 2 $ 2 fxy ab $ fyy b 2 2 DERIVADAS DIRECCIONALES Y EL VECTOR GRADIENTE por cualesquier planos tangentes a la superficie xyz ! 1, en puntos del primer octante, deben tener todas el mismo volumen. 63. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la curva de intersección del paraboloide z ! x2 $ y2 y el elipsoide 4x2 $ y2 $ z2 ! 9 en el punto ("1, 1, 2). 64. a) El plano y $ z ! 3 al cortar al cilindro x2 $ y2 ! 5 forma una elipse. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a esta elipse en el punto (1, 2, 1). b) Grafique el cilindro, el plano y la recta tangente en la misma pantalla. ; con éste determine la recta tangente a la curva de nivel f (x, y) ! 6 en el punto (3, 2). Dibuje la curva de nivel, la recta tangente y el vector gradiente. 65. a) Dos superficies son ortogonales en un punto de intersección si las rectas normales son perpendiculares en 2 2 Si t(x, y) ! x $ y " 4x, determine el vector gradiente ese punto. Demuestre que las superficies con ecuaciones !t(1, 2) y utilícelo para encontrar la recta tangente a la curva F(x, y, z) ! 0 y G(x, y, z) ! 0 son ortogonales en un punto P de nivel t(x, y) ! 1 en el punto (1, 2). Dibuje la curva de nivel, donde !F " 0 y !G " 0 si y sólo si la recta tangente y el vector gradiente. Fx Gx $ Fy Gy $ Fz Gz ! 0 en P. Demuestre que la ecuación del plano tangente al elipsoide b) Con ayuda del inciso a) demuestre que las superficies x2#a2 $ y2#b2 $ z2#c2 ! 1 en el punto (x0, y0, z0) se puede z2 ! x2 $ y2 y x2 $ y2 $ z2 ! r2 son ortogonales en cada escribir como punto de intersección. Sin usar el cálculo, ¿se da cuenta por yy0 zz0 xx 0 qué esto es cierto? $ 2 $ 2 !1 a2 b c 3 66. a) Demuestre que la función f $x, y% ! s x y es continua y que las derivadas parciales fx y fy existen en el origen, pero que Encuentre la ecuación del plano tangente al hiperboloide no existen las derivadas direccionales en todas las otras x2#a2 $ y2#b2 – z2#c2 ! 1 en (x0, y0, z0) y exprésela en forma direcciones. similar a la del ejercicio 51. b) Grafique f cerca del origen y comente cómo la gráfica ; confirma el inciso a). Demuestre que la ecuación del plano tangente al paraboloide elíptico z#c ! x2#a2 $ y2#b2 en el punto (x0, y0, z0) puede 67. Suponga que las derivadas direccionales de f (x, y) se conocen expresarse como en un punto dado en dos direcciones no paralelas dadas por los vectores unitarios u y v. ¿Es posible determinar !f en ese punto? Si es así, ¿cómo lo haría? 2yy0 z $ z0 2xx 0 $ ! a2 b2 c 68. Demuestre que si z ! f (x, y) es derivable en x 0 ! !x 0 , y0 ", 54. ¿En qué punto del paraboloide y ! x2 $ z2 el plano tangente es paralelo al plano x $ 2y $ 3z ! 1? entonces lím 55. ¿Existen puntos sobre el hiperboloide x – y – z ! 1 donde el 2 2 plano tangente es paralelo al plano z ! x $ y? 2 x l x0 f x f x0 x f x0 x0 x x0 0 [Sugerencia: use directamente la definición 14.4.7.] 946 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Valores máximos y mínimos 14.7 z máximo absoluto máximo local y x mínimo absoluto mínimo local FIGURA 1 Como se estableció en el capítulo 4, una de las principales aplicaciones de las derivadas ordinarias es hallar los valores máximos y mínimos. En esta sección aprenderá cómo usar las derivadas parciales para localizar los máximos y mínimos de funciones de dos variables. En particular, el ejemplo 6 trata de cómo maximizar el volumen de una caja sin tapa sin tener una cantidad fija de cartón para hacerla. Observe las colinas y los valles en la gráfica de f mostrada en la figura 1. Hay dos puntos (a, b) para los cuales f tiene un máximo local, es decir, donde f (a, b) es mayor que los valores cercanos de f (x, y). El mayor de estos valores es el máximo absoluto. Asimismo, f tiene dos mínimos locales, donde f (a, b) es más pequeña que los valores cercanos. El menor de estos dos valores es el mínimo absoluto. 1 Definición Una función de dos variables tiene un máximo local en (a, b) si f (x, y) ' f (a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b). [Esto significa que f (x, y) ' f (a, b) para todos los puntos (x, y) en algún disco con centro (a, b).] El número f (a, b) recibe el nombre de valor máximo local. Si f (x, y) ( f (a, b) cuando (x, y) está cerca de (a, b), entonces f tiene un mínimo local en (a, b) y f (a, b) es un valor mínimo local. Si las desigualdades de la definición 1 se cumplen para todos los puntos (x, y) en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto, o un mínimo absoluto, en (a, b). 2 Teorema Si f tiene un máximo local o un mínimo local en (a, b) y las derivadas parciales de primer orden de f existen ahí, entonces fx(a, b) ! 0 y fy(a, b) ! 0. Observe que la conclusión del teorema 2 se puede establecer con la notación de los vectores gradiente como !f $a, b% ! 0. DEMOSTRACIÓN Sea t(x) ! f (x, b). Si f tiene un máximo local o un mínimo local en (a, b), entonces t tiene un máximo local o un mínimo local en a, así que t)(a) ! 0 según el teorema de Fermat (véase teorema 4.1.4). Pero t)(a) ! fx(a, b) (véase ecuación 14.3.1) de modo que fx(a, b) ! 0. De igual manera, al aplicar el teorema de Fermat a la función G(y) ! f (a, y), obtenemos fy(a, b) ! 0. Si hacemos fx(a, b) ! 0 y fy(a, b) ! 0 en la ecuación de un plano tangente (ecuación 14.4.2), obtenemos z ! z0. Por lo tanto, la interpretación geométrica del teorema 2 es que si la gráfica de f tiene un plano tangente en un máximo local o en un mínimo local, entonces el plano tangente debe ser horizontal. Un punto (a, b) se llama punto crítico (o punto estacionario) de f si fx(a, b) ! 0 y fy(a, b) ! 0, o si una de estas derivadas parciales no existe. El teorema 2 dice que si f tiene un máximo local o un mínimo local en (a, b), entonces (a, b) es un punto crítico de f. Sin embargo, como en el cálculo de una variable, no todos los puntos críticos generan un máximo o un mínimo. En un punto crítico, una función podría tener un máximo local o un mínimo local o ninguno de los dos. z EJEMPLO 1 Sea f (x, y) ! x2 $ y2 " 2x " 6y $ 14. Entonces, fx $x, y% ! 2x " 2 (1, 3, 4) Estas derivadas parciales son iguales a 0 cuando x ! 1 y y ! 3, de modo que el único punto crítico es (1, 3). Al completar el cuadrado, se encuentra que 0 x FIGURA 2 z=≈+¥-2x-6y+14 fy $x, y% ! 2y " 6 y f (x, y) ! 4 $ (x " 1)2 $ (y " 3)2 Puesto que $x " 1%2 ( 0 y $y " 3%2 ( 0, tenemos que f (x, y) ( 4 para todos los valores de x y y. Por lo tanto, f (1, 3) ! 4 es un mínimo local y, de hecho, es el mínimo absoluto de f. SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 947 Esto se puede confirmar en forma geométrica a partir de la gráfica de f la cual es el paraboloide elíptico con vértice (1, 3, 4) como se muestra en la figura 2. EJEMPLO 2 Calcule los valores extremos de f (x, y) ! y2 " x2. z x FIGURA 3 z=¥-≈ y SOLUCIÓN Puesto que, fx ! "2x y fy ! 2y, el único punto crítico es (0, 0). Observe que para los puntos en el eje x, y ! 0, de modo que f (x, y) ! "x2 * 0 (si x " 0). No obstante, para puntos en el eje y, x ! 0, de modo que f (x, y) ! y2 + 0 (si y " 0). Por lo tanto, todo disco con centro en (0, 0) contiene puntos donde f toma valores positivos, así como puntos donde f toma valores negativos. Por lo tanto, f (0, 0) ! 0 no puede ser un valor extremo de f, de modo que f no tiene valor extremo. El ejemplo 2 ilustra el hecho de que una función no necesariamente tiene valor máximo o mínimo en un punto crítico. En la figura 3 se ilustra la manera como esto es posible. La gráfica de f es el paraboloide hiperbólico z ! y2 " x2, por la que pasa un plano tangente horizontal (z ! 0) en el origen. Podemos ver que f (0, 0) ! 0 es un máximo en la dirección del eje x pero un mínimo es la dirección del eje y. Cerca del origen, la gráfica tiene la forma de una silla de montar y por eso (0, 0) se llama punto silla de f. Un paso de montaña también tiene la forma de silla de montar. Como se ve en la figura, la fotografía de una formación geológica ilustra, para la gente en un sendero en una dirección, el punto de silla es un mínimo en su ruta, mientras que para otra que se mueve en una dirección diferente, el punto de silla es un punto máximo. Es necesario ser capaz de determinar si la función tiene o no un valor extremo en un punto crítico. La prueba siguiente, que se demuestra al final de la sección, es análoga a la prueba de la segunda derivada para funciones de una variable. © Dreamstime 3 Prueba de la segunda derivada Supongamos que las segundas derivadas parciales de f son continuas sobre un disco de centro (a, b), y supongamos que fx(a, b) ! 0 y fy(a, b) ! 0, es decir, (a, b) es un punto crítico de f. Sea D ! D$a, b% ! fxx $a, b% fyy $a, b% " ' fx y $a, b%( 2 a) Si D + 0 y fxx(a, b) + 0, entonces f (a, b) es un mínimo local. b) Si D + 0 y fxx(a, b) * 0, entonces f (a, b) es un máximo local. c) Si D * 0, entonces f (a, b) no es un máximo local ni un mínimo local. NOTA 1 En caso de c) el punto (a, b) se llama punto silla de f y la gráfica de f cruza el plano tangente en (a, b). NOTA 2 Si D ! 0, la prueba no proporciona información: f podría tener un máximo local o un mínimo local en (a, b), o bien, en (a, b) podría haber un punto silla de f. NOTA 3 Para recordar la fórmula de D es útil escribirla como un determinante: D! . . fxx fx y ! fxx fyy " $ fx y %2 fyx fyy v EJEMPLO 3 Determine los valores máximo y mínimo locales y los puntos silla de f (x, y) ! x4 $ y4 " 4xy $ 1. SOLUCIÓN Primero localizamos los puntos críticos: fx ! 4x 3 " 4y fy ! 4y 3 " 4x Al igualar a estas derivadas parciales con 0, se obtienen las ecuaciones x3 " y ! 0 y y3 " x ! 0 948 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Para resolver estas ecuaciones, sustituimos y ! x3 de la primera ecuación en la segunda, y obtenemos 0 ! x 9 " x ! x$x 8 " 1% ! x$x 4 " 1%$x 4 $ 1% ! x$x 2 " 1%$x 2 $ 1%$x 4 $ 1% de modo que hay tres raíces reales: x ! 0, 1, "1. Los tres puntos críticos son (0, 0), (1, 1) y ("1, "1). Luego calculamos la segunda derivada parcial y D(x, y): z fxx ! 12x 2 fyy ! 12y 2 fx y ! "4 D$x, y% ! fxx fyy " $ fx y %2 ! 144x 2 y 2 " 16 Puesto que D(0, 0) ! "16 * 0, se infiere del caso c) de la prueba de la segunda derivada que el origen es un punto silla; es decir, f no tiene máximo ni mínimo local en (0, 0). Como D(1, 1) ! 128 + 0 y fxx(1, 1) ! 12 + 0, se ve que según el caso a) de la prueba que f (1, 1) ! "1 es un mínimo local. De igual manera, D("1, "1) ! 128 + 0 y fxx("1, "1) ! 12 + 0, de modo que f ("1, "1) ! "1 es también un mínimo local. La gráfica de f se ilustra en la figura 4. y x FIGURA 4 z=x$+y$-4xy+1 y En la figura 5 se ilustra el mapa de contorno de la función f del ejemplo 3. Las curvas de nivel cerca de (1, 1) y de ("1, "1) son de forma oval e indican que a medida que se aleja de (1, 1) o ("1, "1) en cualquier dirección, los valores de f son crecientes. Las curvas de nivel cerca de (0, 0), por otra parte, se asemejan a hipérbolas y dejan ver que cuando se aleja del origen (donde el valor de f es 1), los valores de f decrecen en algunas direcciones pero crecen en otras. Por lo tanto, el mapa de contorno sugiere la presencia de los mínimos y del punto de silla que se encontró en el ejemplo 3. _0.5 0 0.5 0.9 1 1.1 1.5 2 x 3 FIGURA 5 TEC Module 14.7 puede utilizar mapas de contorno para estimar las ubicaciones de los puntos críticos. EJEMPLO 4 Determine y clasifique los puntos críticos de la función f (x, y) ! 10x2y " 5x2 " 4y2 " x4 " 2y4 Además, encuentre el punto más alto en la gráfica de f. SOLUCIÓN Las derivadas parciales de primer orden son fx ! 20xy " 10x " 4x 3 fy ! 10x 2 " 8y " 8y 3 De modo que para determinar los puntos críticos, necesitamos resolver las ecuaciones 4 2x$10y " 5 " 2x 2 % ! 0 5 5x 2 " 4y " 4y 3 ! 0 Según la ecuación 4 x!0 o bien 10y " 5 " 2x 2 ! 0 SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 949 En el primer caso (x ! 0), la ecuación 5 se vuelve "4y(1 $ y2) ! 0, de modo que y ! 0 y tenemos el punto crítico (0, 0). En el segundo caso, 10y " 5 " 2x2 ! 0, obtenemos x 2 ! 5y " 2.5 6 y al llevar esto a la ecuación 5, obtenemos 25y " 12.5 " 4y " 4y3 ! 0. Entonces, hay que resolver la ecuación cúbica 4y 3 " 21y $ 12.5 ! 0 7 Mediante una calculadora graficadora o una computadora obtenemos la gráfica de la función t(y) ! 4y3 " 21y $ 12.5 _3 2.7 como en la figura 6, la ecuación 7 tiene tres raíces reales. Al acercarse a los valores, encontramos las raíces con una aproximación de cuatro cifras decimales: FIGURA 6 y / 1.8984 y / 0.6468 y / "2.5452 (Otra opción es aplicar el método de Newton o un buscador de raíces para localizar estos valores.) De acuerdo con la ecuación 6, los valores de x correspondientes están definidos por x ! ,s5y " 2.5 Si y / "2.5452, entonces x no tiene valores reales correspondientes. Si y / 0.6468, entonces x / , 0.8567. Si y / 1.8984, entonces x / , 2.6442. De este modo se tiene un total de cinco puntos críticos, los cuales se analizan en la tabla siguiente. Todas las cantidades están redondeadas a dos cifras decimales. Punto crítico Valor de f fxx $0, 0% 0.00 "10.00 $,2.64, 1.90% 8.50 $,0.86, 0.65% "1.48 D Conclusión 80.00 máximo local "55.93 2488.72 máximo local "5.87 "187.64 punto silla En las figuras 7 y 8 se dan dos panorámicas de la gráfica de f donde se ve que la superficie se abre hacia abajo. [Esto también se puede ver en la expresión para f (x, y): los términos dominantes son "x4 " 2y4 cuando & x & y & y & son grandes.] Al comparar los valores de f en sus puntos máximos locales, se ve que el valor máximo absoluto de f es f (,2.64, 1.90) / 8.50. En otras palabras, los puntos más altos en la gráfica de f son (,2.64, 1.90, 8.50) z z TEC Visual 14.7 muestra varias familias de superficies. La superficie de las figuras 7 y 8 es un miembro de una de estas familias. x x FIGURA 7 y y FIGURA 8 950 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES y 2 7 3 1 _1.48 _0.8 _3 _1 0 _2 _03 0 Los cinco puntos críticos de la función f del ejemplo 4 se muestra en color rojo en el mapa de curvas de nivel de f en la figura 9. 3 _3 x _1 FIGURA 9 v EJEMPLO 5 Calcule la distancia más corta desde el punto (1, 0, "2) al plano x $ 2y $ z ! 4. SOLUCIÓN La distancia desde cualquier punto (x, y, z) al punto (1, 0, "2) es d ! s$x " 1%2 $ y 2 $ $z $ 2%2 pero si (x, y, z) se encuentra en el plano x $ 2y $ z ! 4, entonces z ! 4 " x " 2y y se tiene d ! s$x " 1% 2 $ y 2 $ $6 " x " 2y% 2 . Podemos minimizar d minimizando la expresión más sencilla d 2 ! f $x, y% ! $x " 1%2 $ y 2 $ $6 " x " 2y%2 Al resolver las ecuaciones fx ! 2$x " 1% " 2$6 " x " 2y% ! 4x $ 4y " 14 ! 0 fy ! 2y " 4$6 " x " 2y% ! 4x $ 10y " 24 ! 0 encontramos que el único punto crítico es ( 116, 53 ). Puesto que fxx ! 4, fxy ! 4 y fyy ! 10, tenemos D$x, y% ! fxx fy y " $ fx y%2 ! 24 + 0 y fxx + 0, de este modo, de acuerdo con la prueba de la segunda derivada f tiene un mínimo local en ( 116, 35 ). Intuitivamente, se desprende que este mínimo local es en realidad un mínimo absoluto porque debe haber un punto en el plano dado que está más cerca a (1, 0, "2). Si x ! 116 y y ! 35 , entonces d ! s$x " 1%2 $ y 2 $ $6 " x " 2y%2 ! s(56)2 $ El ejemplo 5 se puede resolver también usando vectores. Compare con los métodos de la sección 12.5. (53)2 $ (56)2 ! 56 s6 La distancia más corta desde (1, 0, "2) al plano x $ 2y $ z ! 4 es 56 s6 . v EJEMPLO 6 Una caja rectangular sin tapa se fabrica con 12 m2 de cartón. Calcule el volumen máximo de la caja. SOLUCIÓN Sean x, y y z la longitud, el ancho y la altura de la caja en metros, según se muestra en la figura 10. Entonces, el volumen de la caja es V ! xyz z x y FIGURA 10 Expresamos V como una función de sólo dos variables x y y recurriendo al hecho de que el área de los cuatro lados y el fondo de la caja es 2xz $ 2yz $ xy ! 12 SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 951 Al resolver la ecuación para z, obtenemos z ! (12 " xy)#[2(x $ y)], de modo que la expresión para V se transforma en V ! xy 12 " xy 12xy " x 2 y 2 ! 2$x $ y% 2$x $ y% Calculamos las derivadas parciales: -V y 2$12 " 2xy " x 2 % ! -x 2$x $ y%2 -V x 2$12 " 2xy " y 2 % ! -y 2$x $ y%2 Si V es un máximo, entonces -V#-x ! -V#-y ! 0, pero x ! 0 o y ! 0 da V ! 0, de modo que debemos resolver las ecuaciones 12 " 2xy " x2 ! 0 12 " 2xy " y2 ! 0 Esto implica que x2 ! y2 y x ! y. (Note que x y y ambas deben ser positivas en este problema.) Si hacemos x ! y en cualquier ecuación obtenemos 12 " 3x2 ! 0, lo cual da x ! 2, y ! 2 y z ! (12 " 2 ! 2)#[2(2 $ 2)] ! 1. Podríamos utilizar la prueba de la segunda derivada para demostrar que esto da un máximo local de V, o bien, podríamos argumentar simplemente que por la naturaleza física de este problema debe haber un volumen máximo absoluto, lo cual tiene que ocurrir en un punto crítico de V, de modo que se debe presentar cuando x ! 2, y ! 2, z ! 1. Entonces V ! 2 ! 2 ! 1 ! 4, de modo que el volumen máximo de la caja es 4 m3. Valores máximos y mínimos absolutos a) Conjuntos cerrados En el caso de una función f de una variable el teorema del valor extremo establece que si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un valor mínimo absoluto y un valor máximo absoluto. Según el método del intervalo cerrado de la sección 4.1, se calculan evaluando f no sólo en los números críticos, sino también en los extremos a y b. Hay una situación similar en el caso de las funciones de dos variables. Al igual que un intervalo cerrado contiene sus extremos, un conjunto cerrado en !2 es uno que contiene todos sus puntos frontera. [Un punto frontera de D es un punto (a, b) tal que todo disco con centro (a, b) contiene puntos en D y también puntos que no están en D.] Por ejemplo, el disco * D ! 0$x, y% x 2 $ y 2 ' 11 b) Conjuntos que no son cerrados FIGURA 11 el cual consiste en todos los puntos sobre y dentro de la circunferencia x2 $ y2 ! 1, es un conjunto cerrado porque contiene todos sus puntos límite, que son los puntos sobre la circunferencia x2 $ y2 ! 1. Pero si aun un punto en la curva límite se omitiera, el conjunto no sería cerrado. Véase figura 11. Un conjunto acotado en !2 es uno que está contenido dentro de algún disco. En otras palabras, su extensión es finita. Entonces, en términos de conjuntos cerrados y acotados, podemos establecer la siguiente equivalencia del teorema del valor extremo en dos dimensiones. 8 Teorema del valor extremo para funciones de dos variables Si f es continua sobre un conjunto D cerrado y acotado en !2, entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (x1, y1) y un valor mínimo absoluto f (x2, y2) en algunos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en D. 952 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Para determinar los valores extremos que garantizan el teorema 8, note que, según el teorema 2, si f tiene un valor extremo en (x1, y1), entonces (x1, y1) es un punto crítico de f, o bien, un punto límite o cota de D. Por lo tanto, obtenemos la siguiente generalización del método del intervalo cerrado. 9 Para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un conjunto cerrado y acotado D: 1. Se calculan los valores de f en los puntos críticos de f en D. 2. Se determinan los valores extremos de f sobre la frontera de D. 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño de estos valores es el valor mínimo absoluto. EJEMPLO 7 Determine los valores máximo y mínimo absolutos de la función f (x, y) ! x2 " 2xy $ 2y sobre el rectángulo D ! 0$x, y% 0 ' x ' 3, 0 ' y ' 21. * SOLUCIÓN Puesto que f es una polinomial, es continua sobre el rectángulo cerrado y acotado D, de modo que el teorema 8 establece que hay tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto. De acuerdo con el paso 1 de 9 , primero calculamos los puntos críticos. Estos puntos ocurren cuando fx ! 2x " 2y ! 0 de modo que el único punto crítico es (1, 1), y el valor de f ahí es f (1, 1) ! 1. En el paso 2 observamos los valores de f en la frontera de D, que consisten en los cuatro segmentos rectilíneos L1, L2, L3 y L4 mostrados en la figura 12. Sobre L1 tenemos y!0y y (0, 2) L£ (2, 2) L¢ (3, 2) L™ (0, 0) L¡ (3, 0) fy ! "2x $ 2 ! 0 f $x, 0% ! x 2 x FIGURA 12 0'x'3 Ésta es una función creciente de x, de modo que su valor mínimo es f (0, 0) ! 0 y su valor máximo es f (3, 0) ! 9. Sobre L2 tenemos x ! 3 y f $3, y% ! 9 " 4y 0'y'2 Ésta es una función creciente de y, de modo que su valor máximo es f (3, 0) ! 9 y su valor mínimo es f (3, 2) ! 1. Sobre L3 tenemos y ! 2, y f $x, 2% ! x 2 " 4x $ 4 9 0'x'3 Mediante estos métodos del capítulo 4, o bien, simplemente observando que f (x, 2) ! (x " 2)2, vemos que el valor mínimo de esta función es f (2, 2) ! 0 y que el valor máximo es f (0, 2) ! 4. Para finalizar, sobre L4 tenemos x ! 0 y f $0, y% ! 2y 0 D L¡ 30 FIGURA 13 f(x, y)=≈-2xy+2y 2 L™ 0'y'2 con valor máximo f (0, 2) ! 4 y valor mínimo f (0, 0) ! 0. Por lo tanto, sobre la frontera, el valor mínimo de f es 0 y el máximo es 9. En el paso 3 de 9 , comparamos estos valores con el valor f (1, 1) ! 1 en el punto crítico y concluimos que el valor máximo absoluto de f en D es f (3, 0) ! 9 y el valor mínimo absoluto es f (0, 0) ! f (2, 2) ! 0. En la figura 13 se ilustra la gráfica de f. SECCIÓN 14.7 VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS 953 Esta sección concluye con la demostración de la primera parte de la prueba de la segunda derivada. La parte b) se demuestra de manera similar. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3, PARTE a) Calculamos la derivada direccional de segundo orden de f en la dirección de u ! ! h, k " . La derivada de primer orden está dada por el teorema 14.6.3: Du f ! fxh $ fyk Al aplicar este teorema una segunda vez, obtenemos Du2 f ! Du$Du f % ! $Du f %h $ $Du f %k -x -y ! $ fxx h $ fyx k%h $ $ fxy h $ fyy k%k ! fxx h2 $ 2 fxy hk $ fyy k 2 (según el teorema de Clairaut) Si completamos el cuadrado en esta expresión, el resultado es + Du2 f ! fxx h $ 10 , fx y k fxx 2 $ k2 $ fxx fyy " fxy2 % fxx Estamos dando que fxx(a, b) + 0 y D(a, b) + 0. Pero fxx y D ! fxx fyy " fx2y son funciones continuas, de modo que hay un disco B con centro (a, b) y radio d + 0 tal que fxx(x, y) + 0 y D(x, y) + 0 siempre que (x, y) está en B. Por lo tanto, al examinar la ecuación 10, observamos que Du2 f $x, y% + 0 siempre que (x, y) está en B. Esto significa que si C es la curva que se obtiene cuando se interseca la gráfica de f con el plano vertical que pasa por P(a, b, f (a, b)) en la dirección de u, entonces C es cóncava hacia arriba sobre un intervalo de longitud 2d. Esto se cumple en la dirección de todo vector u, de modo que si restringimos a (x, y) en B, la gráfica de f queda por arriba de su plano tangente horizontal en P. Por consiguiente, f (x, y) ( f (a, b), siempre que (x, y) está en B. Esto demuestra que f (a, b) es un mínimo local. 14.7 Ejercicios 1. Suponga que (1, 1) es un punto crítico de una función f con segunda derivada continua. En cada caso, ¿qué puede decir con respecto a f ? a) fxx $1, 1% ! 4, fx y $1, 1% ! 1, fyy $1, 1% ! 2 b) fxx $1, 1% ! 4, fx y $1, 1% ! 3, críticos. Explique su razonamiento. Luego aplique la prueba de la segunda derivada para confirmar su pronóstico. 3. f $x, y% ! 4 $ x 3 $ y 3 " 3xy y fyy $1, 1% ! 2 2. Supongamos que (0, 2) es un punto crítico de una función t cuyas segundas derivadas son continuas. En cada caso, ¿qué puede decir con respecto a t? a) txx $0, 2% ! "1, tx y $0, 2% ! 6, tyy $0, 2% ! 1 b) txx $0, 2% ! "1, tx y $0, 2% ! 2, tyy $0, 2% ! "8 c) txx $0, 2% ! 4, tx y $0, 2% ! 6, tyy $0, 2% ! 9 1 3.2 3.7 4 _1 3-4 Utilice las curvas de nivel de la figura para pronosticar la 0 3.7 3.2 1 2 _1 ubicación de los puntos críticos de f y si f tiene un punto silla o un máximo local o un mínimo local en cada uno de esos puntos ; Se requiere calculadora graficadora o computadora 1 4.2 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 5 6 x 954 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 4. f $x, y% ! 3x " x 3 " 2y 2 $ y 4 2 22. f $x, y% ! x ye "x "y y 23. f $x, y% ! sen x $ sen y $ sen$x $ y%, 0 ' x ' 2&, 0 ' y ' 2& 1.5 24. f $x, y% ! sen x $ sen y $ cos$x $ y%, 1 _2 _1 . _1 5 0 0.5 1 _2.9 _2.7 _2.5 2 _1 0 ' x ' &#4, 0 ' y ' &#4 1.5 1.7 1.9 1 x ; 25-28 Mediante una calculadora graficadora o una computadora como en el ejemplo 4 (o el método de Newton o buscador de raíces), determine los puntos críticos de f aproximados a cuatro cifras decimales. Luego clasifique los puntos críticos y determine los puntos más altos o más bajos en la gráfica. _1 25. f $x, y% ! x 4 $ y 4 " 4x 2 y $ 2y 26. f $x, y% ! y 6 " 2y 4 $ x 2 " y 2 $ y 5-18 Calcule los valores máximo y mínimo locales, y punto o puntos sillas de la función. Si dispone de programas para graficación tridimensional, grafique la función con un dominio y desde otra perspectiva que revele todos los aspectos importantes de la función. 6. f $x, y% ! xy " 2x " 2y " x " y 2 2 2 * x * ' 1, * y * ' 1 29. f (x, y) ! x2 $ y2 " 2x, D es la región triangular cerrada con 7. f $x, y% ! $x " y%$1 " xy% 8. f $x, y% ! xe"2x "2y 2 28. f $x, y% ! 20e"x "y sen 3x cos y, 29-36 Determine los valores máximos y mínimos absolutos de f sobre el conjunto D. 5. f $x, y% ! x 2 $ xy $ y 2 $ y 2 27. f $x, y% ! x 4 $ y 3 " 3x 2 $ y 2 $ x " 2y $ 1 vértices (2, 0), (0, 2) y (0, "2). 2 30. f (x, y) ! x $ y – xy, D es la región triangular cerrada con 9. f $x, y% ! y 3 $ 3x 2 y " 6x 2 " 6y 2 $ 2 vértices (0, 0), (0, 2) y (4, 0). 10. f $x, y% ! xy$1 " x " y% 31. f $x, y% ! x 2 $ y 2 $ x 2 y $ 4, 11. f $x, y% ! x 3 " 12x y $ 8y 3 D ! 0$x, y% 1 1 12. f $x, y% ! xy $ $ x y 32. f $x, y% ! 4x $ 6y " x 2 " y 2, D ! 0$x, y% 13. f $x, y% ! e x cos y * 0 ' x ' 4, 0 ' y ' 51 33. f $x, y% ! x 4 $ y 4 " 4xy $ 2, 14. f $x, y% ! y cos x 2 15. f $x, y% ! $x 2 $ y 2 %e y "x 34. 17. f $x, y% ! y 2 " 2y cos x, * 0 ' x ' 3, 0 ' y ' 21 f $x, y% ! xy , D ! 0$x, y% * x ( 0, y ( 0, x D ! 0$x, y% 2 16. f $x, y% ! e y$ y 2 " x 2 % 18. f $x, y% ! sen x sen y, * * x * ' 1, * y * ' 11 "1 ' x ' 7 "& * x * &, 2 35. f $x, y% ! 2x 3 $ y 4, D ! 0$x, y% "& * y * & *x 2 2 $ y 2 ' 31 $ y 2 ' 11 36. f (x, y) ! x3 " 3x – y3 $ 12y, D es el cuadrilátero cuyos 19. Demuestre que f (x, y) ! x $ 4y " 4xy $ 2 tiene un infinito 2 2 de puntos críticos y que D ! 0 en cada uno. A continuación demuestre que f tiene un mínimo local (y absoluto) en cada punto crítico. 2 2 20. Demuestre que f $x, y% ! x 2 ye "x "y tiene valores máximos en (,1, 1#s2 ) y valores mínimos en (,1, "1#s2 ). Demuestre también que f tiene muchos otros puntos críticos y D ! 0 en cada uno de ellos. ¿Cuál de ellos da lugar a valores máximos? ¿Y a valores mínimos? ¿Y a puntos de silla? ; 21-24 Utilice una gráfica o unas curvas de nivel o ambas para estimar los valores máximo y mínimo locales y el punto o los puntos silla de la función. Luego mediante el cálculo encuentre los valores exactos. 21. f $x, y% ! x 2 $ y 2 $ x "2 y "2 vértices son ("2, 3), (2, 3), (2, 2) y ("2, "2). ; 37. Para funciones de una sola variable es imposible, en el caso de funciones continuas, tener dos máximos locales y ningún mínimo local. Pero si las funciones son de dos variables, sí existen esas funciones. Demuestre que la función f $x, y% ! "$x 2 " 1%2 " $x 2 y " x " 1%2 tiene sólo dos puntos críticos, pero si tiene máximos locales en ambos puntos. Luego, mediante una computadora grafique con un dominio escogido con todo cuidado y ángulos que permitan ver cómo es posible esto. ; 38. Si una función de una variable es continua sobre un intervalo y tiene sólo un valor crítico, entonces un máximo local tiene que SECCIÓN 14.7 ser un máximo absoluto. Pero esto no se cumple para funciones de dos variables. Demuestre que la función f $x, y% ! 3xe y " x 3 " e 3y tiene exactamente un punto crítico, y que f tiene un máximo local allí que no es un máximo absoluto. Luego use una computadora para generar una gráfica con un dominio escogido cuidadosamente y perspectiva que permita ver cómo es esto posible. 39. Calcule la distancia más corta desde el punto (2, 0, "3) al plano x $ y $ z ! 1. 40. Determine el punto sobre el plano x " 2y $ 3z ! 6 que está más cerca al punto (0, 1, 1). 42. Determine los puntos sobre la superficie y2 ! 9 $ xz que están más cercanos al origen. 43. Encuentre tres números positivos cuya suma es 100 y cuyo producto es un máximo 44. Encuentre tres números positivos cuya suma sea 12 y la suma de cuyos cuadrados es tan pequeña como sea posible. 45. Encuentre el volumen máximo de una caja rectangular inscrita en una esfera de radio r. 46. Encuentre las dimensiones de la caja con volumen de 1000 cm3 que tiene mínima área superficial. 955 b) Encuentre las dimensiones que minimizan la pérdida de calor. Compruebe tanto los puntos críticos como los puntos en el límite del dominio. c) ¿Podría diseñar un edificio con menos pérdida de calor si las restricciones de las longitudes de los muros se eliminaran? 53. Si la longitud de la diagonal de una caja rectangular debe ser L, ¿cuál es el volumen más grande posible? 54. Tres alelos (otras versiones de un gen), A, B y O determinan los cuatro tipos de sangre, a saber, A(AA o AO), B(BB o BO), O(OO) y AB. La ley de Hardy-Weinberg establece que la proporción de individuos de una población que llevan dos alelos diferentes es P ! 2pq $ 2pr $ 2rq 41. Encuentre los puntos sobre el cono z2 ! x2 $ y2 más cercanos al punto (4, 2, 0). VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS donde p, q y r son las proporciones de A, B y O en la población. Use el hecho de que p $ q $ r ! 1 para demostrar que P es cuando mucho 32. 55. Suponga que un científico tiene razón en creer que dos cantidades x y y están relacionadas linealmente, es decir, y ! mx $ b, por lo menos en modo aproximado, para algunos valores de m y b. El hombre de ciencia ejecuta un experimento y refina información en la forma de puntos $x 1, y1%, $x 2 , y2 %, . . . , $x n , yn %, y luego grafique los puntos. Los puntos no quedan exactamente sobre una recta, de modo que el científico quiere hallar las constantes m y b de modo que la recta y ! mx $ b se “ajuste” a los puntos tanto como sea posible (véase la figura). y (x i, yi ) 47. Calcule el volumen de la caja rectangular más grande en el di primer octante con tres caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x $ 2y $ 3z ! 6. (⁄, ›) mx i+b 48. Determine las dimensiones de la caja rectangular con el mayor volumen si el área superficial total es de 64 cm2. 49. Determine las dimensiones de una caja rectangular de volumen máximo tal que la suma del largo de sus 12 aristas es una constante c. 50. La base de un acuario de volumen V está hecho de pizarra y los lados son de vidrio. Si la pizarra cuesta cinco veces más por unidad de área que el vidrio, determine las dimensiones del acuario que minimizan el costo de los materiales. 0 x Sea di ! yi " $mx i $ b% la desviación vertical del punto (xi, yi) a partir de la recta. El método de los mínimos cuadrados determina m y b de modo que se minimice 4ni!1 di2 , la suma de los cuadrados de estas desviaciones. Demuestre que, de acuerdo con este método, la recta del mejor ajuste se obtiene cuando 51. Una caja de cartón sin tapa debe tener 32 000 cm3. Calcule las n m dimensiones que minimicen la cantidad de cartón utilizado. 52. Está en proceso de diseño un edificio rectangular para que minimice las pérdidas de calor. Los muros oriente y poniente pierden calor a razón de 10 unidades#m2 por día, los muros del norte y del sur pierden 8 unidades#m2 por día, el piso pierde 1 unidad#m2 por día, y el techo pierde 5 unidades#m2 por día. Cada muro debe medir por lo menos 30 m de largo, la altura debe ser por lo menos de 4 m y el volumen debe ser exactamente 4 000 m3. a) Determine y grafique el dominio de la pérdida de calor como una función del largo de los lados. )x n i $ bn ! i!1 n m )x i!1 $b i i!1 n 2 i )y )x i!1 n i ! )xy i i i!1 Por lo tanto, la recta se determina al resolver estas dos ecuaciones y determinar las dos incógnitas m y b (véase sección 1.2 en donde se encuentra una explicación y aplicaciones del método de los mínimos cuadrados). 56. Determine una ecuación del plano que pasa por el punto (1, 2, 3) y corta el volumen más pequeño en el primer octante. 956 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES PROYECTO DE APLICACIÓN DISEÑO DE UN CAMIÓN DE VOLTEO En este proyecto se estudia la forma y la construcción de un camión recolector de basura. Después se determinan las dimensiones de un contenedor de diseño similar que reduzca al mínimo el costo de construcción. 1. Primero ubique un camión para la basura en su localidad. Estúdielo con todo cuidado y describa todos los detalles de su construcción y determine su volumen. Haga un dibujo del contenedor. 2. Conserve la forma general y el método de construcción, y determine las dimensiones de un contenedor del mismo volumen que debería tener con objeto de minimizar el costo de construcción. Observe las suposiciones siguientes en su análisis: ■ ■ ■ ■ Los lados, la parte posterior y el frente, deben ser de hojas de acero de calibre 12 (0.1046 pulg de espesor), que cuestan 0.70 dólares por pie cuadrado, que incluyen cualquier corte o dobleces necesarios. La base se haría de hojas de acero de calibre 10 (0.1345 pulg de espesor), que cuestan 0.90 dólares por pie cuadrado. Las tapas cuestan casi 50 dólares cada una, sin que importen sus dimensiones. Las soldaduras cuestan alrededor de 0.18 dólares por pie de material y mano de obra combinados. Justifique cualquier otra suposición o simplificación planteada de los detalles de construcción. 3. Describa cómo algunas de sus suposiciones o simplificaciones afectarían el resultado final. 4. Si usted fuera contratado como asesor de esta investigación, ¿a qué conclusión llegaría? ¿Recomendaría modificar el diseño del camión? Si así fuera, explique cuáles serían los ahorros que se obtendrían. PROYECTO PARA UN DESCUBRIMIENTO APROXIMACIONES CUADRÁTICAS Y PUNTOS CRÍTICOS La aproximación del polinomio de Taylor para funciones de una variable que se trata en el capítulo 11, se puede generalizar a funciones de dos o más variables. En esta parte se estudian las aproximaciones cuadráticas para funciones de dos variables, y se usan para reflexionar sobre la prueba de la segunda derivada y clasificar los puntos críticos. En la sección 14.4 se analiza la linealización de una función f de dos variables en un punto (a, b): L$x, y% ! f $a, b% $ fx $a, b%$x " a% $ fy $a, b%$ y " b% Recuerde que la gráfica de L es el plano tangente a la superficie z ! f (x, y) en (a, b, f (a, b)) y la aproximación lineal correspondiente es f $x, y% / L$x, y%. La linealización L también se denomina polinomio de Taylor de primer grado de f en (a, b). 1. Si f tiene derivadas parciales de segundo orden en (a, b), entonces el polinomio de Taylor de segundo grado de f en (a, b) es Q$x, y% ! f $a, b% $ fx $a, b%$x " a% $ fy $a, b%$ y " b% $ 12 fxx $a, b%$x " a%2 $ fx y $a, b%$x " a%$y " b% $ 21 fyy $a, b%$y " b%2 y la aproximación f $x, y% / Q$x, y% se llama aproximación cuadrática de f en (a, b). Verifique que Q tiene las mismas derivadas parciales de primer y segundo orden que f en (a, b). SECCION 14.8 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 957 2. a) Encuentre los polinomios de Taylor L y Q de primero y segundo grados de 2 2 f $x, y% ! e"x "y en (0, 0). b) Grafique f, L y Q. Comente qué tan bien L y Q se aproximan a f. ; 3. a) Determine los polinomios de Taylor L y Q de primero y segundo grados para f $x, y% ! xe y en (1, 0). b) Compare los valores de L, Q y f en (0.9, 0.1). c) Grafique f, L y Q. Explique qué tan bien L y Q se aproximan a f. ; 4. En este problema se analiza el comportamiento de la polinomial f $x, y% ! ax 2 $ b x y $ cy 2 (sin usar la prueba de la segunda derivada), mediante la identificación de la gráfica como un paraboloide. a) Mediante el procedimiento de completar cuadrados, demuestre que si a " 0, entonces 2+ f $x, y% ! ax 2 $ bx y $ cy 2 ! a x$ , + b y 2a 2 $ ,3 4ac " b 2 2 y 4a 2 b) Sea D ! 4ac " b 2. Demuestre que si D + 0 y a + 0, entonces f posee un mínimo local en (0, 0). c) Demuestre que si D + 0 y a * 0, entonces f tiene un máximo local en (0, 0). d) Demuestre que si D * 0, entonces (0, 0) es un punto silla. 5. a) Suponga que f es una función con derivadas parciales de segundo orden continuas tales que f (0, 0) ! 0 y (0, 0) es un punto crítico de f. Escriba una expresión para el polinomio de Taylor, Q, de segundo grado de f en (0, 0). b) ¿Qué puede concluir respecto a Q según el problema 4? c) En vista de la aproximación cuadrática f $x, y% / Q$x, y%, ¿qué sugiere el inciso b) en relación con f ? ; 14.8 Se requiere calculadora graficadora o computadora Multiplicadores de Lagrange y g(x, y)=k f(x, y)=11 f(x, y)=10 f(x, y)=9 f(x, y)=8 f(x, y)=7 0 FIGURA 1 TEC Visual 14.8 presenta figuras animadas de la figura 1 tanto para curvas como superficies de nivel. x En el ejemplo 6 de la sección 14.7 se obtuvo el valor máximo de la función de volumen V ! xyz sujeta a la restricción 2xz $ 2yz $ xy ! 12, la cual expresa la condición secundaria de que el área superficial era de 12 m2. En esta sección se trata el método de Lagrange para maximizar o minimizar una función general f (x, y, z) sujeta a una restricción, o condición secundaria, de la forma t(x, y, z) ! k. Es más fácil explicar el fundamento geométrico del método de Lagrange para funciones de dos variables. Para empezar, se calculan los valores extremos de f (x, y) sujeta a una restricción de la forma t(x, y) ! k. Es otras palabras, buscamos los valores extremos de f (x, y) cuando el punto (x, y) está restringido a quedar en la curva de nivel t(x, y) ! k. En la figura 1 se muestra esta curva junto con varias curvas de nivel de f. Sus ecuaciones son f (x, y)! c, donde c ! 7, 8, 9, 10, 11. Maximizar f (x, y) sujeta a t(x, y) ! k es encontrar el valor más grande de c tal que la curva de nivel f (x, y) ! c se interseque con t(x, y) ! k. Al parecer esto sucede cuando las curvas se tocan apenas según la figura 1, es decir, cuando tienen una recta tangente común. (De lo contrario, el valor de c podría incrementarse más.) Esto significa que las rectas normales en el punto (x0, y0) donde se tocan son idénticas. De modo que los vectores gradiente son paralelos; es decir, !f $x 0 , y0 % ! . !t$x 0 , y0 % para algún escalar .. Esta clase de razonamiento también se aplica al problema de encontrar los valores extremos de f (x, y, z) sujeta a la restricción t(x, y, z) ! k. Por consiguiente, el punto (x, y, z) está restringido a estar ubicado en la superficie de nivel S con ecuación t(x, y, z) ! k. En lugar de las curvas de nivel de la figura 1, consideramos las superficies de nivel f (x, y, z) ! c y 958 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES argumentamos que si el valor máximo de f es f (x0, y0, z0) ! c, entonces la superficie de nivel f (x, y, z) ! c es tangente a la superficie de nivel t(x, y, z) ! k, y de este modo los vectores gradiente correspondientes son paralelos. Este argumento intuitivo se puede precisar como sigue. Supongamos que una función f posee un valor extremo en un punto P(x0, y0, z0) sobre la superficie S y sea C una curva con ecuación vectorial r$t% ! ! x$t%, y$t%, z$t%" que está sobre S y pasa por P. Si t0 es el valor del parámetro correspondiente al punto P, entonces r$t0% ! ! x 0 , y0 , z0 " . La función compuesta h(t) ! f (x(t), y(t), z(t)) representa los valores que f toma en la curva C. Puesto que f tiene un valor extremo en (x0, y0, z0), se infiere que h presenta un valor extremo en t0, de modo que h)$t0% ! 0. Pero si f es derivable, podemos aplicar la regla de la cadena para escribir 0 ! h)$t0 % ! fx $x 0 , y0 , z0 %x)$t0 % $ fy $x 0 , y0 , z0 %y)$t0 % $ fz$x 0 , y0 , z0 %z)$t0 % ! ! f $x0 , y0 , z0 % ! r)$t0 % Esto demuestra que el vector gradiente !f $x 0 , y0 , z0 % es ortogonal al vector tangente r)$t0 % a toda curva C. Pero de acuerdo con la sección 14.6, el vector gradiente de t, !t$x 0 , y0 , z0 %, también es ortogonal a r)$t0 % para cada curva. (Véase ecuación 14.6.18.) Esto significa que los vectores gradiente ! f $x 0 , y0 , z0 % y !t$x 0 , y0 , z0 % deben ser paralelos. Por lo tanto, si !t$x 0 , y0 , z0 % " 0, existe un número . tal que !f $x 0 , y0 , z0 % ! . !t$x 0 , y0 , z0 % 1 Los multiplicadores de Lagrange llevan este nombre en honor al matemático francoitaliano Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Véase en la página 286 un esbozo de su biografía. Al deducir el método de Lagrange se supone que !t " 0. En cada uno de los ejemplos puede comprobar que !t " 0 en todos los puntos donde t$x, y, z% ! k. (ver el ejercicio 23 para ver el error si !t ! 0. El número . de la ecuación 1 se llama multiplicador de Lagrange. El procedimiento que se basa en la ecuación 1 es como sigue. Método de los multiplicadores de Lagrange Para determinar los valores máximos y mínimos de f (x, y, z) sujeta a la restricción t(x, y, z) ! k [suponiendo que estos valores existan y que !t " 0 se encuentre en la superficie t(x, y, z) ! k]: a) Determine todos los valores de x, y, z y . tales que !f $x, y, z% ! . !t$x, y, z% t$x, y, z% ! k y b) Evalúe f en todos los puntos (x, y, z) que resulten del paso a). El más grande de estos valores es el valor máximo de f, el más pequeño es el valor mínimo de f. Si escribimos la ecuación vectorial !f ! . !t en términos de sus componentes, entonces las ecuaciones en el paso a) se transforman en fx ! . tx fy ! . ty fz ! . tz t$x, y, z% ! k Éste es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas x, y, z y ., pero no es necesario determinar los valores explícitos de .. SECCIÓN 14.8 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 959 En el caso de funciones de dos variables, el método de los multiplicadores de Lagrange es similar al método que hemos explicado. Para determinar los valores extremos de f (x, y) sujeta a la restricción t(x, y) ! k, buscamos valores de x, y y . tales que !f $x, y% ! . !t$x, y% t$x, y% ! k y Esto equivale a resolver tres ecuaciones con tres incógnitas: fx ! . tx fy ! . ty t$x, y% ! k En el primer ejemplo del método de Lagrange, reconsideramos el problema dado en el ejemplo 6 de la sección 14.7. v EJEMPLO 1 Una caja rectangular sin tapa se hace con 12 m2 de cartón. Calcule el volumen máximo de esta caja. SOLUCIÓN Al igual que en el ejemplo 6 de la sección 14.7, sean x, y y z el largo, el ancho y la altura, respectivamente, de la caja medidos en metros. Buscamos maximizar V ! xyz sujeta a la restricción t$x, y, z% ! 2xz $ 2yz $ xy ! 12 Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, buscamos valores de x, y, z y . tales que !V ! . !t y t$x, y, z% ! 12. De aquí obtenemos las ecuaciones Vx ! . tx Vy ! . ty Vz ! . tz 2xz $ 2yz $ xy ! 12 las cuales se transforman en 2 yz ! .$2z $ y% 3 xz ! .$2z $ x% 4 xy ! .$2x $ 2y% 5 2xz $ 2yz $ xy ! 12 No hay reglas generales para resolver sistemas de ecuaciones. Algunas veces se requiere ingenio. En el presente ejemplo, se ve que si multiplicamos 2 por x, 3 por y, y 4 por z, entonces los primeros miembros de estas ecuaciones son idénticos. Al hacerlo tenemos Otro método para resolver el sistema de ecuaciones (2-5) es resolver cada una de las ecuaciones 2, 3 y 4 para . y luego igualar las expresiones resultantes. 6 x yz ! .$2xz $ x y% 7 x yz ! .$2yz $ x y% 8 xyz ! .$2xz $ 2yz% Observe que . " 0 porque . ! 0 implicaría que yz ! xz ! x y ! 0 de acuerdo con 2 , 3 y 4 y esto contradice 5 . Por lo tanto, de 6 y 7 , tenemos 2xz $ xy ! 2yz $ xy 960 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES lo cual da xz ! yz. Pero z " 0 (ya que z ! 0 daría V ! 0), de modo que x ! y. De acuerdo con 7 y 8 tenemos 2yz $ xy ! 2xz $ 2yz lo cual da 2xz ! xy y de este modo (como x " 0 ) y ! 2z. Si hacemos x ! y ! 2z en 5 , obtenemos 4z 2 $ 4z 2 $ 4z 2 ! 12 Puesto que x, y y z son positivas, se tiene que z ! 1 y por lo tanto x ! 2 y y ! 2. Esto concuerda con la respuesta de la sección 14.7. En términos geométricos, en el ejemplo 2 se pide determinar el punto más alto y el más bajo en la curva C de la figura 2, que está en el paraboloide z ! x 2 $ 2y 2 y directamente arriba de la circunferencia de restricción x 2 $ y 2 ! 1. z v EJEMPLO 2 Determine los valores extremos de la función f (x, y) ! x2 $ 2y2 sobre la circunferencia x2 $ y2 ! 1. SOLUCIÓN Se pide calcular los valores extremos de f sujetos a la restricción t$x, y% ! x 2 $ y 2 ! 1. Mediante los multiplicadores de Lagrange, resolvemos las ecuaciones !f ! . !t y t$x, y% ! 1, lo que se puede escribir como fx ! . tx z=≈+2¥ fy ! . ty t$x, y% ! 1 o bien, como C x ≈+¥=1 9 2x ! 2x. 10 4y ! 2y. 11 x2 $ y2 ! 1 De acuerdo con 9 tenemos x ! 0, o bien, . ! 1. Si x ! 0, entonces 11 da y ! ,1. Si . ! 1, entonces y ! 0 de acuerdo con 10 , de modo que 11 da x ! ,1. Por lo tanto, f tiene posibles valores extremos en los puntos $0, 1%, $0, "1%, $1, 0% y $"1, 0%. Al evaluar f en estos cuatro puntos encontramos que y FIGURA 2 f $0, 1% ! 2 Los principios geométricos en los que se apoya el uso de los multiplicadores de Lagrange tratados en el ejemplo 2, se ilustran en la figura 3. Los valores extremos de f $x, y% ! x 2 $ 2y 2 corresponden a las curvas de nivel que tocan la circunferencia x 2 $ y 2 ! 1. y f $1, 0% ! 1 f $"1, 0% ! 1 Por lo tanto, el valor máximo de f en la circunferencia x2 $ y2 ! 1 es f (0, , 1) ! 2 y el valor mínimo es f $,1, 0% ! 1. Al verificar en la figura 2, estos valores parecen razonables. EJEMPLO 3 Calcule los valores extremos f $x, y% ! x 2 $ 2y 2 sobre el disco x 2 $ y 2 ' 1. SOLUCIÓN De acuerdo con el procedimiento en (14.7.9), comparamos los valores de f en los puntos críticos con valores en los puntos en la frontera. Puesto que fx ! 2x y fy ! 4y, el único punto crítico es (0, 0). Comparamos el valor de f en ese punto con los valores extremos en la frontera del ejemplo 2: ≈+2¥=2 0 f $0, "1% ! 2 x f $0, 0% ! 0 f $,1, 0% ! 1 f $0, ,1% ! 2 Por lo tanto, el valor máximo de f sobre el disco x 2 $ y 2 ' 1 es f $0, ,1% ! 2 y el valor mínimo es f $0, 0% ! 0. ≈+2¥=1 EJEMPLO 4 Determine los puntos sobre la esfera x 2 $ y 2 $ z 2 ! 4 que están más FIGURA 3 cercanos y más lejanos al punto $3, 1, "1%. SOLUCIÓN La distancia desde un punto $x, y, z% al punto $3, 1, "1% es d ! s$x " 3% 2 $ $ y " 1% 2 $ $z $ 1% 2 SECCIÓN 14.8 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 961 pero los pasos algebraicos son más sencillos si maximizamos y minimizamos el cuadrado de la distancia: d 2 ! f $x, y, z% ! $x " 3%2 $ $ y " 1%2 $ $z $ 1%2 La restricción es que el punto (x, y, z) está sobre la esfera, es decir, t$x, y, z% ! x 2 $ y 2 $ z 2 ! 4 De acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange, resolvemos !f ! . !t, t ! 4. Esto da 12 2$x " 3% ! 2x. 13 2$y " 1% ! 2y. 14 2$z $ 1% ! 2z. 15 x 2 $ y 2 $ z2 ! 4 La manera más sencilla de resolver estas ecuaciones es expresar x, y y z en términos de . a partir de 12 , 13 y 14 , y luego sustituir estos valores en 15 . Según 12 se tiene x " 3 ! x. En la figura 4 se ilustra la esfera y el punto P más cercano del ejemplo 4 ¿Es capaz de ver cómo determinar las coordenadas de P sin usar el cálculo? x$1 " .% ! 3 o bien o bien x! 3 1". [Observe que 1 " . " 0 porque . ! 1 es imposible según 12 .] De la misma manera, con 13 y 14 se obtiene y! 1 1". z!" 1 1". Por lo tanto, a partir de 15 , tenemos z 32 12 $"1%2 $ $ !4 $1 " .%2 $1 " .%2 $1 " .%2 lo cual da $1 " .%2 ! 114 , 1 " . ! ,s11#2, de modo que .!1, x P y Estos valores de . proporcionan los puntos correspondientes (x, y, z): + (3, 1, _1) FIGURA 4 s11 2 6 2 2 , ," s11 s11 s11 , y + " 6 2 2 ," , s11 s11 s11 , Es fácil ver que f tiene un valor más pequeño en el primero de estos puntos, de modo que el punto más cercano es (6#s11, 2#s11, "2#s11 ) y el más lejano es ("6#s11, "2#s11, 2#s11 ). h=c ±f ±g C g=k FIGURA 5 P ±h Dos restricciones Suponga que ahora deseamos calcular los valores máximo y mínimo de una función f (x, y, z) sujeta a dos restricciones (condiciones secundarias) de la forma t(x, y, z) ! k y h(x, y, z) ! c. Desde el punto de vista geométrico, esto significa que estamos buscando los valores extremos de f cuando (x, y, z) está restringida a quedar sobre la curva de intersección C de las superficies de nivel t(x, y, z) ! k y h(x, y, z) ! c (véase figura 5). 962 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES Supongamos que f tiene ese valor extremo en un punto P(x0, y0, z0). Sabemos, de acuerdo al inicio de esta sección, que ! f es ortogonal a C en P. Pero también sabemos que !t es ortogonal a t$x, y, z% ! k y !h es ortogonal a h(x, y, z) ! c, de modo que !t y !h son ambos ortogonales a C. Esto significa que el vector gradiente !f $x 0 , y0 , z0 % está en el plano determinado por !t$x 0 , y0 , z0 % y !h$x 0 , y0 , z0 %. (Suponemos que estos vectores gradiente no son cero y no son paralelos.) Entonces, existen números . y / (llamados multiplicadores de Lagrange), tales que !f $x0 , y0 , z0 % ! . !t$x0 , y0 , z0 % $ / !h$x0 , y0 , z0 % 16 En este caso, el método de Lagrange es para determinar valores extremos resolviendo cinco ecuaciones con cinco incógnitas x, y, z, . y /. Estas ecuaciones se obtienen escribiendo la ecuación 16 en términos de sus componentes y usando las ecuaciones de restricción: fx ! . t x $ / h x fy ! . t y $ / h y fz ! . t z $ / h z t$x, y, z% ! k h$x, y, z% ! c Al intersecar el cilindro x 2 $ y 2 ! 1 el plano x " y $ z ! 1 se forma una elipse (figura 6). En el ejemplo 5 se pregunta el valor máximo de f cuando $x, y, z% está restringido sobre la elipse. v EJEMPLO 5 Determine el valor máximo de la función f $x, y, z% ! x $ 2y $ 3z sobre la curva de intersección del plano x " y $ z ! 1 y el cilindro x 2 $ y 2 ! 1. SOLUCIÓN Maximizamos la función f $x, y, z% ! x $ 2y $ 3z sujeta a las restricciones t$x, y, z% ! x " y $ z ! 1 y h$x, y, z% ! x 2 $ y 2 ! 1. La condición de Lagrange es !f ! . !t $ / !h, de modo que hay que resolver las ecuaciones 4 17 1 ! . $ 2x/ 18 2 ! ". $ 2y/ 19 3!. 20 x"y$z!1 21 x2 $ y2 ! 1 3 2 z 1 0 _1 _2 _1 0 y 1 Haciendo . ! 3 [de 19 ] en 17 , obtenemos 2x/ ! "2, de modo que x ! "1#/. De manera similar, 18 da y ! 5#$2/%. Al sustituir en 21 tenemos 1 25 $ !1 /2 4/ 2 FIGURA 6 y entonces / 2 ! 294 , / ! ,s29#2. Luego, x ! 02#s29 , y ! ,5#s29 , y, de acuerdo con 20 , z ! 1 " x $ y ! 1 , 7#s29 . Los valores correspondientes de f son 0 + 2 5 $2 , s29 s29 , + $3 1, 7 s29 , ! 3 , s29 Por lo tanto, el valor máximo de f sobre la curva dada es 3 $ s29 . SECCIÓN 14.8 14.8 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 963 Ejercicios 1. Se ilustran un mapa de contorno de f y una curva cuya ecuación es t$x, y% ! 8. Estime los valores máximo y mínimo de f sujeta a la restricción t$x, y% ! 8. Explique su razonamiento. y g(x, y)=8 70 60 50 16. f $x, y, z% ! 3x " y " 3z; x $ y " z ! 0, x 2 $ 2z 2 ! 1 17. f $x, y, z% ! yz $ x y ; x y ! 1, 2 2 18. f $x, y, z% ! x $ y $ z ; y 2 $ z2 ! 1 x " y ! 1, y 2 " z 2 ! 1 19-21 Calcule los valores extremos de f en la región descrita por la desigualdad. 40 19. f $x, y% ! x 2 $ y 2 $ 4x " 4y, 20. f $x, y% ! 2x 2 $ 3y 2 " 4x " 5, 21. f $x, y% ! e "xy, 0 2 30 x2 $ y2 ' 9 x 2 $ y 2 ' 16 x 2 $ 4y 2 ' 1 x 22. Considere el problema de maximizar la función 20 10 ; 2. a) Mediante una calculadora graficadora o una computadora, f $x, y% ! 2x $ 3y sujeta a la restricción sx $ sy ! 5. a) Intente usando multiplicadores de Lagrange para resolver el problema. b) ¿f $25, 0% da un mayor valor que el del inciso a)? c) Resuelva el problema graficando la ecuación de restricción y varias curvas de nivel de f. d) Explique por qué el método de multiplicadores de Lagrange no resuelve el problema. e) ¿Cuál es la importancia de f $9, 4%? grafique la circunferencia x2 $ y2 ! 1. En la misma ; pantalla, trace varias curvas de la forma x2 $ y ! c hasta que encuentre dos que justamente toquen la circunferencia. ¿Cuál es la importancia de estos valores de c para estas dos curvas? b) Mediante los multiplicadores de Lagrange, determine los 23. Considere el problema de minimizar la función f $x, y% ! x valores máximo y mínimo de f (x, y) ! x2 $ y sujetos a la sobre la curva y 2 $ x 4 " x 3 ! 0 (en forma de pera). restricción x2 $ y2 ! 1. Compare sus respuestas con las del a) Intente usando multiplicadores de Lagrange para resolver el inciso a). problema. b) Demuestre que el valor mínimo es f $0, 0% ! 0 pero la 3-14 Utilizando multiplicadores de Lagrange, encuentre los condición de Lagrange ! f $0, 0% ! .!t$0, 0% no es valores máximo y mínimo de la función sujeta a la restricción o las satisfecha por ningún valor de .. restricciones dadas. c) Explique por qué los multiplicadores de Lagrange no 3. f $x, y% ! x 2 $ y 2 ; x y ! 1 encuentran el valor mínimo en este caso. 4. f $x, y% ! 3x $ y; x 2 $ y 2 ! 10 SAC 24. a) Si su sistema algebraico computarizado traza curvas 1 implícitamente definidas, úselo para estimar mediante 5. f $x, y% ! y 2 " x 2; 4 x 2 $ y 2 ! 1 métodos gráficos los valores máximo y mínimo de xy 3 3 6. f $x, y% ! e ; x $ y ! 16 f $x, y% ! x 3 $ y 3 $ 3xy sujeta a la restricción 7. f $x, y, z% ! 2x $ 2y $ z; x 2 $ y 2 $ z 2 ! 9 $x " 3%2 $ $ y " 3%2 ! 9. b) Resuelva el problema del inciso a) con la ayuda de los 8. f $x, y, z% ! x 2 $ y 2 $ z 2; x $ y $ z ! 12 multiplicadores de Lagrange. Utilice su sistema algebraico computarizado para resolver numéricamente las 9. f $x, y, z% ! x yz ; x 2 $ 2y 2 $ 3z 2 ! 6 ecuaciones. Compare sus respuestas con las del inciso a). 10. f $x, y, z% ! x 2 y 2z 2 ; x 2 $ y 2 $ z 2 ! 1 25. La producción total P de un cierto producto depende de la 11. f $x, y, z% ! x 2 $ y 2 $ z 2 ; x 4 $ y 4 $ z 4 ! 1 cantidad L de mano de obra utilizada y de la cantidad K de inversión de capital. En las secciones 14.1 y 14.3, analizamos 4 4 4 2 2 2 12. f $x, y, z% ! x $ y $ z ; x $ y $ z ! 1 cómo el modelo de Cobb-Douglas P ! bL2K 1"2 se infiere de ciertas suposiciones económicas, donde b y 2 son constantes 13. f $x, y, z, t% ! x $ y $ z $ t ; x 2 $ y 2 $ z 2 $ t 2 ! 1 positivas y 2 * 1. Si el costo de una unidad de mano de obra 14. f $x 1, x 2 , . . . , x n% ! x 1 $ x 2 $ 1 1 1 $ x n ; es m y el costo de una unidad de capital es n, y la compañía puede gastar sólo p dólares como su presupuesto total, la x 12 $ x 22 $ 1 1 1 $ x n2 ! 1 maximización de la producción P está sujeta a la restricción mL $ nK ! p. Demuestre que la producción máxima se 15-18 Encuentre los valores extremos de f sujetos a ambas presenta cuando restricciones. $1 " 2%p 2p y K! L! m n 15. f $x, y, z% ! x $ 2y ; x $ y $ z ! 1, y 2 $ z 2 ! 4 ; Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus 964 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES b) Mediante multiplicadores de Lagrange, encuentre el punto más alto y el más bajo sobre la elipse. 26. Refiérase al ejercicio 25. Ahora suponga que la producción está fija en bL2K 1"2 ! Q, donde Q es una constante. ¿Qué valores de L y K minimizan la función del costo C(L, K) ! mL $ nK? 27. Mediante los multiplicadores de Lagrange, demuestre que el rectángulo con área máxima que tiene un perímetro dado p es un cuadrado. 28. Mediante los multiplicadores de Lagrange, demuestre que el triángulo con área máxima que tiene un perímetro dado p es un triángulo equilátero. Sugerencia: utilice la fórmula de Herón para el área: A ! ss$s " x%$s " y%$s " z% SAC 45-46 Calcule los valores máximo y mínimo de f sujeta a la restricción dada. Utilice un sistema algebraico computarizado para resolver el sistema de ecuaciones que se origina al usar multiplicadores de Lagrange. (Si su sistema algebraico computarizado determina sólo una solución, podría requerir más comandos.) 45. f $x, y, z% ! ye x"z ; 47. a) Determine el valor máximo de n x1 x 2 1 1 1 x n f $x1 , x 2 , . . . , x n % ! s 29– 41 Utilice los multiplicadores de Lagrange para obtener otra solución para el ejercicio indicado de la sección 14.7. 30. Ejercicio 40 31. Ejercicio 41 32. Ejercicio 42 33. Ejercicio 43 34. Ejercicio 44 35. Ejercicio 45 36. Ejercicio 46 37. Ejercicio 47 38. Ejercicio 48 39. Ejercicio 49 40. Ejercicio 50 x 2 " y 2 ! z, x 2 $ z 2 ! 4 46. f $x, y, z% ! x $ y $ z; donde s ! p#2 y x, y, z son las longitudes de los lados. 29. Ejercicio 39 9x 2 $ 4y 2 $ 36z 2 ! 36, x y $ yz ! 1 dado que x1 , x 2 , . . . , x n son números positivos y x1 $ x 2 $ 1 1 1 $ x n ! c, donde c es una constante. b) Deduzca a partir del inciso a) que si x1 , x 2 , . . . , x n son números positivos, entonces n x1 x 2 1 1 1 x n ' s x1 $ x 2 $ 1 1 1 $ x n n Esta desigualdad establece que la media geométrica de n números no es mayor que la media aritmética de los números. ¿En qué condiciones las dos medias son iguales? 48. a) Maximice 4ni!1 x i yi sujeta a las restricciones 4ni!1 x i2 ! 1 y 4ni!1 y i2 ! 1. 41. Ejercicio 53 b) Plantee 42. Determine los volúmenes máximo y mínimo de una caja rectangular cuya área superficial es de 1 500 cm2 y cuyo largo total es de 200 cm. 43. El plano x $ y $ 2z ! 2 al intersecar el paraboloide 2 2 z ! x $ y forma una elipse. Encuentre los puntos de la elipse que son los más cercanos y los más lejanos al origen. 44. El plano 4x " 3y $ 8z ! 5 al intersecar el cono z2 ! x2 $ y2 ; forma una elipse. a) Grafique el cono, el plano y la elipse. PROYECTO DE APLICACIÓN xi ai s aj2 y yi bi s bj2 para demostrar que )ab i i ' s4 aj2 s4 bj2 Para números cualesquiera a1, . . . , an, b1, . . . , bn. Esta desigualdad se conoce con el nombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz. CIENCIA PARA COHETES Muchos cohetes, como el Pegasus XL, que en la actualidad se usa para lanzar satélites, y el Saturn V, que fue el que ayudó a llevar al hombre a la Luna, están diseñados para usar tres etapas en su ascenso al espacio. Una primera etapa impulsa inicialmente al cohete hasta que se agota el combustible, momento en que la etapa se desprende para reducir la masa del cohete. Las etapas segunda y tercera funcionan de manera similar, y su objetivo es colocar a la tripulación y al equipo del cohete en órbita alrededor de la Tierra. (Con este diseño se requieren por lo menos dos etapas con el fin de alcanzar las velocidades necesarias, pero el uso de tres etapas ha demostrado ser una buena opción que combina el costo y el rendimiento.) La meta en este caso es determinar las masas individuales de las tres etapas que se deben diseñar para minimizar la masa total del cohete para que pueda alcanzar la velocidad deseada. PROYECTO DE APLICACIÓN CIENCIA PARA COHETES 965 En el caso de un cohete de una sola etapa que consume combustible a un ritmo constante, el cambio de velocidad que resulta de la aceleración del cohete ha sido modelado por + 3V ! "c ln 1 " $1 " S%Mr P $ Mr , donde Mr es la masa del motor del cohete que incluye el combustible inicial, P es la masa de la tripulación y el equipo, S es un factor estructural determinado por el diseño del cohete. (Específicamente, es la razón de la masa del vehículo del cohete sin combustible a la masa total del cohete con tripulación y equipo.) Por último, c es la velocidad (constante) de escape con respecto al cohete. Ahora, considere un cohete de tres etapas y una carga útil de masa A. Suponga que las fuerzas exteriores son insignificantes y que tanto c como S son constantes en cada etapa. Si Mi es la masa de la i-ésima etapa, se puede considerar inicialmente que el motor del cohete tendrá una masa M1 y su carga útil, es decir, tripulación y equipo, tendrá una masa M2 $ M3 $ A; la segunda y la tercera etapas se pueden manejar de manera similar. 1. Demuestre que la velocidad alcanzada después de que las tres etapas se han desprendido, está definida por 2+ Cortesía de Orbital Sciences Corporation vf ! c ln M1 $ M2 $ M3 $ A SM1 $ M2 $ M3 $ A , + $ ln M2 $ M3 $ A SM2 $ M3 $ A , + $ ln M3 $ A SM3 $ A ,3 2. Se desea minimizar la masa total M ! M1 $ M2 $ M3 del motor del cohete sujeta a la restricción de que se alcanza la velocidad deseada vf del problema 1. El método de los multiplicadores de Lagrange es apropiado aquí, pero difícil de poner en marcha usando las expresiones actuales. Para simplificar, se definen variables Ni, de modo que las ecuaciones de la restricción se podrían expresar como vf ! c$ln N1 $ ln N2 $ ln N3 %. Puesto que M es difícil de expresar en términos de las Ni deseamos usar una función más sencilla que será minimizada en el mismo lugar que M. Demuestre que M1 $ M2 $ M3 $ A $1 " S %N1 ! M2 $ M3 $ A 1 " SN1 $1 " S %N2 M2 $ M3 $ A ! M3 $ A 1 " SN2 $1 " S %N3 M3 $ A ! A 1 " SN3 y concluya que $1 " S %3N1 N2 N3 M$A ! A $1 " SN1%$1 " SN2 %$1 " SN3 % 3. Compruebe que ln$$M $ A%#A% es minimizada en el mismo lugar que M; mediante multiplicadores de Lagrange y los resultados del problema 2 determine expresiones para los valores de Ni, donde el mínimo ocurre sujeto a la restricción vf ! c$ln N1 $ ln N2 $ ln N3 %. [Sugerencia: aplique las propiedades de los logaritmos para ayudar a simplificar las expresiones.] 4. Plantee una expresión para el valor mínimo de M en función de vf. 5. Si queremos poner en órbita un cohete de tres etapas a 100 millas sobre la superficie de la Tierra, se requiere una velocidad final de alrededor de 17 500 m#h. Suponga que cada etapa se construye con un factor estructural S ! 0.2 y una rapidez de escape de c ! 6 000 m#h. a) Encuentre la masa mínima total M de los motores del cohete como una función de A. b) Determine la masa de cada una de las etapas en función de A. (¡No tienen las mismas dimensiones!) 6. El mismo cohete requeriría una velocidad final de casi 24 700 m#h, con objeto de librarse de la gravedad de la Tierra. Encuentre la masa de cada una de las etapas que minimizaría la masa total de los motores del cohete y que permita que el cohete impulse una sonda de 500 lb hacia el espacio. 966 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES PROYECTO DE APLICACIÓN OPTIMIZACIÓN DE TURBINAS HIDRÁULICAS La Great Northern Paper Company de Millinocket, Maine, opera una estación hidroeléctrica generadora de energía eléctrica en el río Penobscot. El agua es enviada por tubería desde una presa hasta la estación generadora. El caudal del agua es variable y depende de las condiciones externas. La estación generadora de energía eléctrica cuenta con tres turbinas hidroeléctricas distintas, cada una con una función de potencia (única) y conocida que da la cantidad de energía eléctrica generada como una función del flujo de agua que llega a la turbina. El que entra se puede repartir en volúmenes distintos para cada turbina, de modo que el objetivo es determinar de qué manera distribuir el agua entre las turbinas para lograr la producción máxima total de energía con cualquier caudal. Al aplicar la evidencia experimental y la ecuación de Bernoulli, se determinaron los siguientes modelos cuadráticos para la salida de energía eléctrica de cada turbina, de acuerdo con los caudales admisibles de operación: KW1 ! $"18.89 $ 0.1277Q1 " 4.08 ! 10"5Q12 %$170 " 1.6 ! 10"6QT2 % KW2 ! $"24.51 $ 0.1358Q2 " 4.69 ! 10"5Q22 %$170 " 1.6 ! 10"6QT2 % KW3 ! $"27.02 $ 0.1380Q3 " 3.84 ! 10"5Q32 %$170 " 1.6 ! 10"6QT2 % 250 ' Q1 ' 1110 , 250 ' Q2 ' 1110 , 250 ' Q3 ' 1225 donde Qi KWi QT flujo por la turbina i en pies cúbicos por segundo energía eléctrica generada por turbina i en kilowatts flujo total por la estación en pies cúbicos por segundo 1. Si las tres turbinas se utilizan, se desea determinar el flujo Qi para cada turbina que generará la producción máxima total de energía. Las restricciones son que los flujos deben sumar el flujo total que entra y se deben observar las restricciones del dominio dadas. En consecuencia, use multiplicadores de Lagrange para hallar los valores para los flujos individuales (como funciones de QT), que maximicen la producción total de energía KW1 $ KW2 $ KW3 sujeta a las restricciones Q1 $ Q2 $ Q3 ! QT y a las restricciones del dominio en cada Qi. 2. ¿Para qué valores de QT su resultado es válido? 3. En el caso de un flujo que entra de 2 500 pies3#s, determine la distribución para las turbinas y compruebe que sus resultados son en efecto un máximo (tratando algunas distribuciones cercanas). 4. Hasta ahora ha supuesto que las tres turbinas están funcionando. ¿Es posible en algunas situaciones que se pueda producir más energía eléctrica usando sólo una turbina? Haga una gráfica de las tres funciones de potencia, y con ayuda de ellas decida si un flujo que entra de 1 000 pies3#s se debe distribuir entre las tres turbinas, o se debe guiar a sólo una. (Si usted encuentra que sólo una de las turbinas se debe usar, ¿cuál sería?) ¿Cuál si el flujo es de sólo 600 pies3#s? 5. Tal vez para algunos niveles de flujo sería ventajoso usar dos turbinas. Si el flujo es de 1 500 pies3#s, ¿cuál par de turbinas recomendaría usar? Mediante los multiplicadores de Lagrange, determine cómo debe distribuir el flujo entre las dos turbinas para maximizar la energía producida. En relación con este flujo, ¿el uso de las dos turbinas es más eficaz que usar las tres turbinas? 6. Si el flujo que entra es de 3 400 pies3#s, ¿qué le recomendaría a la compañía? CAPÍTULO 14 14 REPASO 967 Repaso Verificación de conceptos 1. a) ¿Qué es una función de dos variables? b) Describa tres métodos para representar una función de dos variables. 2. ¿Qué es una función de tres variables? ¿Cómo puede representar tal función? 3. ¿Qué significa la expresión siguiente? lím x, y l a, b f x, y 11. Establezca la regla de la cadena para el caso en el que z ! f (x, y) y x y y son funciones de una variable. ¿Y si x y y son funciones de dos variables? 12. Si z está definida en forma implícita como una función de x y y mediante una ecuación de la forma F$x, y, z% ! 0, ¿cómo determina -z#-x y -z#-y ? 13. a) Escriba una expresión como un límite para la derivada L ¿Cómo puede demostrar que este límite no existe? 4. a) ¿Qué significa decir que f es continua en (a, b)? b) Si f es continua sobre !2, ¿qué puede decir con respecto a su gráfica? 5. a) Escriba expresiones para las derivadas parciales fx(a, b) y fy(a, b) como límites. b) ¿Cuál es su interpretación geométrica de fx(a, b) y fy(a, b)? ¿Cuál es su interpretación como razones de cambio? c) Si f (x, y) está dada por una fórmula, ¿cómo calcula fx y fy? 6. ¿Qué dice el teorema de Clairaut? 7. ¿Cómo encuentra el plano tangente a cada uno de los tipos siguientes de superficies? a) Una gráfica de una función de dos variables, z ! f (x, y). b) Una superficie de nivel de una función de tres variables, f (x, y, z) ! k. 8. Defina la linealización de f en (a, b). ¿Cuál es la aproximación lineal correspondiente? ¿Cuál es la interpretación geométrica de la aproximación lineal? 9. a) ¿Qué significa decir que f es derivable en (a, b)? b) ¿Cómo comprueba regularmente que f es derivable? 10. Si z ! f (x, y), ¿qué son las diferenciales dx, dy y dz? direccional de f en (x0, y0) en la dirección de un vector unitario u ! ! a, b" . ¿Cómo la interpreta como razón? ¿Cómo la interpreta geométricamente? b) Si f es derivable, escriba una expresión para Du f $x 0 , y0 % en términos de fx y fy . 14. a) Defina el vector gradiente ! f para una función f de dos o tres variables. b) Exprese Du f en términos de ! f . c) Explique la importancia geométrica del gradiente. 15. ¿Qué significan los enunciados siguientes? a) b) c) d) e) f tiene un máximo local en (a, b). f tiene un máximo absoluto en (a, b). f tiene un mínimo local en (a, b). f tiene un mínimo absoluto en (a, b). f tiene un punto silla en (a, b). 16. a) Si f tiene un máximo local en (a, b), ¿qué puede decir acerca de sus derivadas parciales en (a, b)? b) ¿Cuál es el punto crítico de f ? 17. Establezca la prueba de la segunda derivada. 18. a) ¿Qué es un conjunto cerrado en ! 2? ¿Qué es un conjunto acotado? b) Enuncie el teorema del valor extremo para funciones de dos variables. c) ¿Cómo determina los valores que garantiza el teorema del valor extremo? 19. Explique cómo funciona el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los valores extremos de f (x, y, z) sujeta a la restricción t(x, y, z) ! k. ¿Y si hay una segunda restricción h(x, y, z) ! c? Examen rápido Verdadero-Falso Determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es verdadero, explique por qué. Si es falso, explique por qué, o proporcione un ejemplo que contradiga el enunciado. 1. fy a, b f a, y lím ylb y f a, b b 2. Existe una función f con derivadas parciales continuas de segundo orden tal que fx $x, y% ! x $ y 2 y fy $x, y% ! x " y 2. 3. fxy ! -2 f -x -y 4. Dk f $x, y, z% ! fz$x, y, z% 5. Si f $x, y% l L cuando $x, y% l $a, b% a lo largo de toda recta que pasa por (a, b), entonces lím x, y l a, b f x, y L. 6. Si fx $a, b% y fy $a, b% existen, entonces f es derivable en (a, b). 7. Si f tiene un mínimo local en(a, b) y f es derivable en (a, b), entonces ! f $a, b% ! 0. 8. Si f es una función, entonces lím x, y l 2, 5 f x, y f 2, 5 9. Si f (x, y) ! ln y, entonces ! f $x, y% ! 1#y. 968 CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 10. Si $2, 1% es un punto crítico de f y 11. Si f (x, y) ! sen x $ sen y, entonces "s2 ' Du f $x, y% ' s2 . fxx $2, 1% fyy $2, 1% * ' fx y $2, 1%( 2 12. Si f (x, y) tiene dos máximos locales, entonces f debe tener un entonces f tiene un punto silla en (2, 1). mínimo local. Ejercicios temperaturas en puntos con separaciones iguales y se registraron en la tabla. a) Estime los valores de las derivadas parciales Tx $6, 4% y Ty$6, 4%. ¿Cuáles son las unidades? b) Estime el valor de Du T $6, 4%, donde u ! $i $ j%#s2 . Interprete el resultado. c) Estime el valor de Txy $6, 4%. 1-2 Encuentre y trace el dominio de la función. 1. f $x, y% ! ln$x $ y $ 1% 2. f $x, y% ! s4 " x 2 " y 2 $ s1 " x 2 3-4 Trace la gráfica de la función. 3. f $x, y% ! 1 " y 2 4. f $x, y% ! x 2 $ $ y " 2%2 5-6 Grafique varias curvas de nivel de la función. 5. f $x, y% ! s4x 2 $ y 2 6. f $x, y% ! e x $ y 7. Elabore un croquis de un mapa de contorno para la función cuya gráfica se muestra. z x y 0 2 4 6 8 0 30 38 45 51 55 2 52 56 60 62 61 4 78 74 72 68 66 6 98 87 80 75 71 8 96 90 86 80 75 10 92 92 91 87 78 x 2 2 y 8. Se muestra un mapa de contorno de una función f. Utilícelo para hacer un esbozo de la gráfica de f. y 1 12. Determine una aproximación lineal para la función de la temperatura T(x, y) del ejercicio 11 cerca del punto (6, 4). Luego úselo para estimar la temperatura en el punto (5, 3.8). 13-17 Encuentre las primeras derivadas parciales. 13. f $x, y% ! $5y 3 $ 2x 2 y%8 14. t$u, v% ! 15. F $2, 4 % ! 2 2 ln$2 2 $ 4 2 % 16. G x, y, z u $ 2v u2 $ v2 e xz sen y z 17. S$u, v, w% ! u arctan(v sw ) 1.5 18. La velocidad del sonido que viaja por el mar es una función 2 de la temperatura, salinidad y presión. Está modelada por la función 4 C ! 1449.2 $ 4.6T " 0.055T 2 $ 0.00029T 3 x 9-10 Evalúe el límite, o demuestre que no existe. lím 9. x, y l 1, 1 2xy x 2 2y 2 10. lím x, y l 0, 0 2xy x 2 2y 2 11. Una plancha de metal está situada en el plano xy y ocupa el rectángulo 0 ' x ' 10, 0 ' y ' 8, donde x y y están en metros. La temperatura en el punto (x, y) en la plancha es T(x, y), donde T se mide en grados celsius. Se midieron las ; Se requiere calculadora graficadora o computadora $ $1.34 " 0.01T %$S " 35% $ 0.016D donde C es la velocidad del sonido (en metros por segundo), T es la temperatura (en grados celsius), S es la salinidad (la concentración de sales en partes por mil, lo cual quiere decir gramos de sólidos disueltos por cada 1000 gramos de agua), y D es la profundidad por abajo de la superficie del mar, en metros. Calcule -C#-T , -C#-S y -C#-D cuando T ! 10 #C, S ! 35 partes por mil y D ! 100 m. Explique el significado físico de estas derivadas parciales. CAPÍTULO 14 19. f $x, y% ! 4x " xy 2 a razón de 3 pulg#s, el largo y de otro de los lados decrece a razón de 2 pulg#s, y el ángulo % que subtienden se incrementa a razón de 0.05 radianes#s. ¿Qué tan rápido cambia el área del triángulo cuando x ! 40 pulg, y ! 50 pulg y % ! &#6? 20. z ! xe "2y 22. v ! r cos$s $ 2t% 21. f $x, y, z% ! x k y l z m 23. Si z ! xy $ xe y#x, demuestre que x -z -z $y ! xy $ z. -x -y 41. Si z ! f $u, v%, donde u ! xy, v ! y#x, y f tiene segundas derivadas parciales continuas, demuestre que 24. Si z ! sen(x $ sen t), demuestre que x2 -z - 2z -z - 2z ! -x -x -t -t -x 2 26. z ! e x cos y, 2 44. a) ¿Cuándo es un máximo la derivada direccional de f ? b) ¿Cuándo es un mínimo? c) ¿Cuándo es 0? d) ¿Cuándo es la mitad del valor máximo? $0, 0, 1% 28. x y $ yz $ zx ! 3, $2, "1, 1% $1, 1, 1% 29. sen(xyz) ! x $ 2y $ 3z, -z -z y . -x -y 43. Determine el gradiente de la función f $x, y, z% ! x 2e yz . $1, "2, 1% 27. x 2 $ 2y 2 " 3z 2 ! 3, -2z -2z -2z -z 2 $ 2v 2 " y 2 ! "4u v -x -y -u -v -v 42. Si cos$xyz% ! 1 $ x 2y 2 $ z 2, encuentre 25-29 Encuentre las ecuaciones de a) el plano tangente y b) de la recta normal a la superficie dada en el punto especificado. 25. z ! 3x 2 " y 2 $ 2x, 969 40. La distancia x de un lado de un triángulo se incrementa 19-22 Determine las segundas derivadas parciales de f. 3 REPASO 45-46 Determine la derivada direccional de f en el punto dado en la dirección indicada. $2, "1, 0% ; 30. Mediante una computadora, grafique la superficie z ! x $ y 2 4 y su plano tangente y recta normal en (1, 1, 2) en la misma pantalla. Elija el dominio y el lugar de modo que obtenga una buena vista de los tres objetos. 45. Si f $x, y% ! x 2e "y, $"2, 0%, en la dirección hacia el punto $2, "3%. 46. Si f $x, y, z% ! x 2 y $ x s1 $ z , $1, 2, 3%, en la dirección de v ! 2 i $ j " 2 k. 31. Determine los puntos de la hiperboloide x2 $ 4y2 " z2 ! 4 donde el plano tangente es paralelo al plano 2x $ 2y $ z ! 5. 2t 32. Encuentre du si u ! ln$1 $ se %. 33. Calcule la aproximación lineal de la función f $x, y, z% ! x 3sy 2 $ z 2 en el punto (2, 3, 4) y con ella estime el número $1.98%3s$3.01% 2 $ $3.97% 2 . 34. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 5 m y 12 m, y el error posible en la medición es de cuando mucho 0.2 cm en cada uno. Use diferenciales para estimar el error máximo en el valor calculado de a) el área del triángulo y b) la longitud de la hipotenusa. 47. Determine la razón de cambio máxima de f $x, y% ! x 2 y $ sy en el punto (2, 1). ¿Cuál es su dirección? 48. Encuentre la dirección en la cual f $x, y, z% ! ze x y se incrementa con mayor rapidez en el punto (0, 1, 2). ¿Cuál es la razón de incremento máxima? 49. El mapa de contorno muestra la velocidad del viento en nudos durante el huracán Andrews del 24 de agosto de 1992. Con él, estime el valor de la derivada direccional de la rapidez del viento en Homestead, Florida, en la dirección del ojo del huracán. 35. Si u ! x2 y3 $ z4, donde x ! p $ 3p2, y ! peP, y z ! p sen p, use la regla de la cadena para hallar du#dp. 36. Si v ! x2 sen y $ yexy, donde x ! s $ 2t y y ! st, use la regla de la cadena para hallar -v#-s y -v#-t cuando s ! 0 y t ! 1. 37. Suponga z ! f $x, y%, donde x ! t$s, t%, y ! h$s, t%, t$1, 2% ! 3, ts $1, 2% ! "1, tt $1, 2% ! 4, h$1, 2% ! 6, hs $1, 2% ! "5, h t $1, 2% ! 10, fx $3, 6% ! 7, y fy $3, 6% ! 8. Calcule -z#-s y -z#-t cuando s ! 1 y t ! 2. 70 55 65 60 50 45 40 35 39. Si z ! y $ f $x 2 " y 2 %, donde f es derivable, demuestre que Key West -z -z $x !x -x -y 70 65 55 38. Utilice un diagrama de árbol para expresar la regla de la cadena para el caso donde w ! f $t, u, v%, t ! t$ p, q, r, s%, u ! u$ p, q, r, s%, y v ! v $ p, q, r, s% son funciones derivables. y 80 75 60 30 0 10 20 30 40 (Distancia en millas) Homestead CAPÍTULO 14 DERIVADAS PARCIALES 50. Determine las ecuaciones paramétricas de la recta tangente en el punto ("2, 2, 4) a la curva de intersección de la superficie z ! 2x2 " y2 y el plano z ! 4. 51-54 Calcule los valores máximo y mínimo relativos y el punto silla de la función. Si tiene un programa de cómputo para elaborar gráficas tridimensionales, trace la función con un dominio y desde una perspectiva que revele todos los aspectos importantes de la función. 51. f $x, y% ! x 2 " xy $ y 2 $ 9x " 6y $ 10 3 52. f $x, y% ! x " 6xy $ 8y 2 3 53. f $x, y% ! 3xy " x y " xy 1 1 $ ; x y 61. f $x, y, z% ! xyz; 1 1 !1 2 $ x y2 x2 $ y2 $ z2 ! 3 62. f $x, y, z% ! x 2 $ 2y 2 $ 3z 2; x $ y $ z ! 1, x " y $ 2z ! 2 63. Encuentre los puntos sobre la superficie xy2z3 ! 2 que son los más cercanos al origen. 64. Un paquete en forma de una caja rectangular se puede enviar 2 54. f $x, y% ! $x 2 $ y%e y#2 55-56 Determine los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre el conjunto D. 55. f $x, y% ! 4xy 2 " x 2 y 2 " xy 3; D es la región triangular cerrada en el plano xy con vértices (0, 0), (0, 6) y (6, 0). 2 60. f $x, y% ! a través de U.S. Postal Service si la suma de su largo y el perímetro de una sección transversal perpendicular al largo es 108 pulg como máximo. Calcule las dimensiones del paquete con el volumen más grande que se puede enviar. 65. Se forma un pentágono con un triángulo isósceles y un rectángulo, como se ilustra en la figura. Si el pentágono tiene un perímetro fijo P, determine las longitudes de los lados del pentágono que maximice el área de la figura. 2 = 56. f $x, y% ! e"x "y $x 2 $ 2y 2 %; D es el disco x 2 $ y 2 ' 4. = 970 ¨ ; 57. Use una gráfica, unas curvas de nivel, o ambas, para estimar los valores máximos y mínimos relativos y los puntos silla de f (x, y) ! x3 " 3x $ y4 " 2y2. Luego mediante el cálculo determine exactamente los valores. ; 58. Utilice una calculadora o una computadora (el método de Newton o un sistema algebraico computacional), para determinar los puntos críticos de f (x, y) ! 12 $ l0y " 2x2 " 8xy " y4 aproximados a tres cifras decimales. Luego clasifique los puntos críticos y determine el punto más alto en la gráfica. 59-62 Con los multiplicadores de Lagrange, determine los valores máximos y mínimos de f sujeta a las restricciones dadas. 59. f $x, y% ! x 2 y ; x2 $ y2 ! 1 66. Una partícula de masa m se desplaza sobre la superficie z ! f (x, y). Sean x ! x(t), y ! y(t) las coordenadas x y y de la partícula en el tiempo t. a) Calcule el vector de la velocidad v y la energía cinética K ! 21 m v 2 de la partícula. b) Determine el vector de la aceleración a. c) Sea z ! x 2 $ y 2 y x$t% ! t cos t, y(t) ! t sen t. Determine el vector de la velocidad, la energía cinética y el vector de la aceleración. * * Problemas adicionales 1. Un rectángulo de largo L y anchura W se corta en cuatro pequeños rectángulos por medio de dos rectas paralelas a los lados. Encuentre los valores máximo y mínimo de la suma de los cuadrados de las áreas de los rectángulos más pequeños. 2. Los biólogos marinos han determinado que cuando un tiburón detecta la presencia de sangre en el agua, nada en la dirección en la cual la concentración de ella se incrementa con mayor rapidez. Con base en ciertas pruebas, la concentración de sangre (en partes por millón), en el punto P(x, y) sobre la superficie del agua de mar es de aproximadamente 2 C$x, y% ! e"$x $2y 2 %#10 4 donde x y y se miden en metros en un sistema de coordenadas rectangulares con la fuente de sangre en el origen. a) Identifique las curvas de nivel de la función de concentración y grafique varios miembros de esta familia junto con una trayectoria que un tiburón sigue hasta donde se encuentra el origen de la sangre. b) Suponga que un tiburón está en el punto (x0, y0) cuando detecta por primera vez la presencia de sangre en el agua. Dé una ecuación de la trayectoria del tiburón planteando y resolviendo una ecuación diferencial. 3. Una pieza larga de acero galvanizado de w pulgadas de ancho se tiene que doblar en forma simétrica de tal manera que queden tres lados rectos y se forme un canalón que desaloje el agua de lluvia. Se muestra una sección transversal en la figura. a) Determine las dimensiones que permiten un flujo máximo posible; es decir, calcule las dimensiones que dan el área máxima posible de la sección transversal. b) ¿Sería mejor doblar el metal de tal manera que quede un canalón de sección transversal semicircular que una sección transversal de tres lados? x ¨ ¨ x w-2x 4. ¿Para qué valores del número r es continua la función x f x, y, z x 0 2 y y2 zr z2 si x, y, z 0, 0, 0 si x, y, z 0, 0, 0 3 sobre ! ? 5. Suponga que f es una función derivable de una variable. Demuestre que todos los planos tangentes a la superficie z ! x f $ y#x% se intersecan en un punto común. 6. a) El método de Newton para aproximar una raíz de una ecuación f (x) ! 0 (véase sección 4.8) se puede adaptar para aproximar una solución de un sistema de ecuaciones f (x, y) ! 0 y t(x, y) ! 0. Las superficies z ! f (x, y) y z ! t(x, y) se cortan formando una curva que interseca al plano xy en el punto (r, s), que es la solución del sistema. Si una aproximación inicial (x1, y1) está cerca de este punto, entonces los planos tangentes a las superficies en (x1, y1) se cortan formando una recta que corta al plano xy en el punto (x2, y2), el cual debe ser más cercano a (r, s). (Compare con la figura 2 de la sección 4.8.) Demuestre que x2 ! x1 " fty " fy t fx ty " fy tx y y2 ! y1 " fx t " ftx fx ty " fy tx donde f, t y sus derivadas parciales se evalúan en (x1, y1). Si continúa con este procedimiento se obtienen aproximaciones sucesivas $x n , yn %. 971 b) Thomas Simpson (1710-1761) fue quien formuló el método de Newton como se conoce ahora y lo generalizó a funciones de dos variables como en el inciso a). (Véase la biografía de Simpson en la página 513). El ejemplo que dio para ilustrar el método fue la resolución del sistema de ecuaciones x x $ y y ! 1000 x y $ y x ! 100 En otras palabras, encontró los puntos de intersección de las curvas de la figura. Aplique el método del inciso a) para calcular las coordenadas de los puntos de intersección aproximados a seis cifras decimales. y x x+y y=1000 4 x y+y x=100 2 0 2 4 x 7. Si la elipse x2#a2 $ y2#b2 ! 1 está incluida dentro de la circunferencia x2 $ y2 ! 2y, ¿qué valores de a y b minimizan el área de la elipse? 8. Entre todos los planos que son tangentes a la superficie xy2z2 ! 1, encuentre los más alejados desde el origen. 972 15 Integrales múltiples FPO New Art to come Los geólogos estudian cómo se formaron las cordilleras y hacen estimaciones del trabajo necesario para levantarlas sobre el nivel del mar. En la sección 15.8 se le pide que use integrales triples para calcular el trabajo realizado en la formación del monte Fuji, en Japón. © S.R. Lee Photo Traveller / Shutterstock En este capítulo extendemos la idea de integral definida a integrales dobles y triples de funciones de dos y tres variables. Estas ideas se usarán para calcular volúmenes, masas y centroides de regiones más generales de lo que pudimos hacer en los capítulos 6 y 8. También usamos integrales dobles para calcular probabilidades cuando se involucran dos variables aleatorias. Veremos que las coordenadas polares son útiles para la obtención de integrales dobles sobre algún tipo de regiones. De un modo similar, introduciremos dos nuevos sistemas de coordenadas en tres coordenadas espaciales —cilíndricas y esféricas— que simplifican notablemente el cálculo de integrales triples sobre ciertas regiones sólidas comunes. 973 974 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Integrales dobles sobre rectángulos 15.1 Casi de la misma manera que el intento de resolver el problema de área nos condujo a la definición de la integral definida, ahora buscamos determinar el volumen de un sólido, y en el proceso llegamos a la definición de integral doble. Revisión de la integral definida Primero recordaremos los hechos básicos relacionados con integrales definidas de una sola variable. Si f (x) está definida para a ! x ! b, empezamos por dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos [xi"1, xi] de igual ancho #x ! (b " a)!n y elegimos puntos muestra xi* en estos subintervalos. Entonces formamos la suma de Riemann n " f #x*$ #x 1 i i!1 y tomamos el límite de las sumas conforme n l $ para obtener la integral definida de f de a a b: y 2 b a n f x dx f x*i lím nl x i 1 En el caso especial donde f (x) % 0, la suma de Riemann se puede interpretar como la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación en la figura 1, y xab f #x$ dx representa el área bajo la curva y ! f (x) de a a b. y Îx f(x *) i 0 FIGURA 1 z z=f(x, y) a x*¡ ⁄ ™ x™* ‹ xi-1 x£* b xn-1 xi x *i x x n* Volúmenes e integrales dobles De una manera similar consideramos una función f de dos variables definidas sobre un rectángulo cerrado 0 a c d y x b FIGURA 2 R R ! %a, b& & %c, d& ! '#x, y$ ! ! 2 ( a ' x ' b, c ' y ' d) y suponemos primero que f (x, y) % 0. La gráfica de f es una superficie con ecuación z ! f (x, y). Sea S el sólido que aparece arriba de R y debajo de la gráfica de f, es decir, S ! '#x, y, z$ ! ! 3 ( 0 ' z ' f #x, y$, #x, y$ ! R ) (Véase la figura 2.) El objetivo es hallar el volumen de S. El primer paso es dividir el rectángulo R en subrectángulos. Esto se hace dividiendo el intervalo [a, b] en m subintervalos [xi"1, xi] de igual ancho #x ! (b " a)!m y dividiendo [c, d] en n subintervalos [yj"1, yj] de igual ancho #y ! (d " c)!n. Al dibujar rectas paralelas a los ejes coordenados por los puntos extremos de estos subintervalos como en SECCIÓN 15.1 INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS 975 la figura 3, se forman los subrectángulos Rij ! %x i"1, x i & & % yj"1, yj & ! '#x, y$ (x i"1 ' x ' x i , yj"1 ' y ' yj ) cada uno con un área #A ! #x #y. y R ij d (xi, yj) (x *ij , y *ij ) yj Îy yj-1 › c (x *£™, y*£™) FIGURA 3 0 ⁄ a x2 x i-1 x i División de R en subrectángulos b x Îx Si se elige el punto muestra #x ij*, y ij*$ en cada Rij, entonces podemos aproximar la parte de S que está arriba de cada Rij mediante una delgada caja rectangular (o “columna”) con base Rij y altura f #x ij*, yij*$ como se muestra en la figura 4. (Compare con la figura 1.) El volumen de esta caja es la altura de la caja multiplicada por el área de la base del rectángulo: f #x ij*, yij*$ #A Si se sigue este procedimiento para los rectángulos y se suman los volúmenes de las cajas correspondientes, se obtiene una aproximación del volumen total de S: m 3 V* n " " f #x *, y *$ #A ij ij i!1 j!1 (Véase la figura 5.) Esta doble suma significa que para cada subrectángulo se evalúa f en el punto elegido y se multiplica por el área del subrectángulo y luego se suman los resultados. z z a x f(x *ij , y *ij ) 0 c b 0 d y y x R ij FIGURA 4 FIGURA 5 976 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES La intuición nos indica que la aproximación dada en 3 es mejor cuando m y n crecen y, por tanto, se esperaría que El significado del doble límite en la ecuación 4 es que la doble suma se puede hacer tan cercana como se desee al número V [para cualquier elección de #x ij*, yij*$ en Rij] al tomar m y n suficientemente grandes. m V 4 n f x ij*, yij* lím m, n l A i 1 j 1 Usamos la expresión de la ecuación 4 para definir el volumen del sólido S que yace debajo de la gráfica de f y arriba del rectángulo R. (Se puede demostrar que esta definición es congruente con la fórmula para el volumen de la sección 6.2.) Los límites del tipo que aparece en la ecuación 4 ocurren con frecuencia no sólo para hallar volúmenes, sino también en diversas situaciones, como se verá en la sección 15.5, incluso cuando f no es una función positiva. Así que planteamos la siguiente definición. Observe la similitud entre la definición 5 y la definición de una integral simple en la ecuación 2. 5 Definición La integral doble de f sobre el rectángulo R es yy f x, y dA m n f x ij*, yij* lím m, n l A i 1 j 1 R si el límite existe. Aun cuando hemos definido la integral doble al dividir R en subrectángulos de igual tamaño, podríamos haber empleado subrectángulos de tamaño desigual. Pero entonces hubieramos tenido que asegurar que todas sus dimensiones se aproximaran a 0 en el proceso de establecer límites. El significado preciso del límite en la definición 5 es que para todo número e ( 0 hay un entero N tal que , yy m f #x, y$ dA " n " " f #x *, y *$ #A ij ij i!1 j!1 R , )* para todos los enteros m y n mayores que N y para cualquier elección de puntos muestra #x ij*, yij*$ en Rij. Una función f se denomina integrable si existe el límite en la definición 5. En cursos de cálculo avanzado se demuestra que todas las funciones continuas son integrables. De hecho, la integral doble de f existe siempre que f “no sea también discontinua”. En particular, si f está acotada [esto es, existe una constante M tal que + f (x, y) + ! M para toda (x, y) en R], y f es continua ahí, excepto en un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable sobre R. Se puede elegir que el punto muestra #x ij*, yij*$ sea cualquier punto en el subrectángulo Rij, pero si se elige que sea la esquina superior derecha de Rij [a saber, (xi, yi), véase la figura 3], entonces la expresión para la integral doble parece simplificarse: 6 yy f m x, y dA n lím m, n l R f xi, yj A i 1 j 1 Al comparar las definiciones 4 y 5, vemos que un volumen puede expresarse como una integral doble: Si f (x, y) % 0, entonces el volumen V del sólido que está arriba del rectángulo R y debajo de la superficie z ! f (x, y) es V ! yy f #x, y$ dA R SECCIÓN 15.1 INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS 977 La suma en la definición 5, m n " " f #x *, y *$ #A ij ij i!1 j!1 se llama doble suma de Riemann y se emplea como una aproximación del valor de la integral doble. [Observe la similitud con la suma de Riemann en 1 para una función de una sola variable.] Si sucede que f es una función positiva, entonces la doble suma de Riemann representa la suma de volúmenes de columnas, como en la figura 5, y es una aproximación del volumen bajo la gráfica de f. y (1, 2) 2 R¡™ 1 v EJEMPLO 1 Estime el volumen del sólido que está arriba del cuadrado R ! [0, 2] & [0, 2] y debajo del paraboloide elíptico z ! 16 " x2 " 2y2. Divida R en cuatro cuadrados iguales y elija el punto muestra como la esquina superior derecha de cada cuadrado Rij. Bosqueje el sólido y las cajas rectangulares de aproximación. R™™ (1, 1) R¡¡ 0 (2, 2) 1 (2, 1) R™¡ SOLUCIÓN Los cuadrados se muestran en la figura 6. El paraboloide es la gráfica de f (x, y) ! 16 " x2 " 2y2 y el área de cada cuadrado es #A ! 1. Al aproximar el volumen mediante la suma de Riemann con m ! n ! 2, se tiene x 2 FIGURA 6 2 V* z 16 2 " " f #x , y $ #A i j i!1 j!1 z=16-≈-2¥ ! f #1, 1$ #A + f #1, 2$ #A + f #2, 1$ #A + f #2, 2$ #A ! 13#1$ + 7#1$ + 10#1$ + 4#1$ ! 34 Éste es el volumen de las cajas rectangulares de aproximación mostradas en la figura 7. 2 2 y x Se obtienen mejores aproximaciones para el volumen del ejemplo 1 si se incrementa el número de cuadrados. En la figura 8 se muestra cómo las columnas comienzan a verse más como sólidos reales y las aproximaciones correspondientes se vuelven más exactas cuando se usan 16, 64 y 256 cuadrados. En la siguiente sección se podrá demostrar que el volumen exacto es 48. FIGURA 7 FIGURA 8 Las aproximaciones de la suma de Riemann al volumen debajo de se z=16-≈-2¥ vuelven más exactas cuando se incrementan m y n. a) m=n=4, VÅ41.5 v EJEMPLO 2 Si R ! '#x, y$ b) m=n=8, VÅ44.875 ( c) m=n=16, VÅ46.46875 "1 ' x ' 1, "2 ' y ' 2), evalúe la integral yy s1 " x R 2 dA 978 CAPÍTULO 15 z INTEGRALES MÚLTIPLES SOLUCIÓN Sería difícil evaluar esta integral de manera directa a partir de la definición 5 pero, debido a que s1 " x 2 , 0, se puede calcular la integral interpretándola como un volumen. Si z ! s1 " x 2 , entonces x2 + z2 ! 1 y z % 0, así que la integral doble dada representa el volumen del sólido S que yace debajo del cilindro circular x2 + z2 ! 1 y arriba del rectángulo R. (Véase la figura 9.) El volumen de S es el área de un semicírculo con radio 1 multiplicada por la longitud del cilindro. Por consiguiente, (0, 0, 1) S x (1, 0, 0) (0, 2, 0) y yy s1 " x FIGURA 9 2 dA ! 12 - #1$2 & 4 ! 2- R Regla del punto medio Los métodos que se emplearon para aproximar integrales simples (regla del punto medio, regla del trapecio, regla de Simpson) tienen contrapartes para integrales dobles. Aquí se considera sólo la regla del punto medio para integrales dobles. Esto significa que se usa una doble suma de Riemann para aproximar la integral doble, donde el punto muestra #x ij*, yij*$ en Rij se elige como el centro # xi , yj$ de Rij. En otras palabras, xi es el punto medio de [xi"1, xi] y yj es el punto medio de [yj"1, yj]. Regla del punto medio para integrales dobles yy f #x, y$ dA * R m n " " f # x , y $ #A i j i!1 j!1 donde xi es el punto medio de [xi"1, xi] y yj es el punto medio de [yj"1, yj]. v EJEMPLO 3 Use la regla del punto medio con m ! n ! 2 para estimar el valor de la integral xxR #x " 3y 2 $ dA, donde R ! '#x, y$ 0 ' x ' 2, 1 ' y ' 2). ( y 2 3 2 1 SOLUCIÓN Al usar la regla del punto medio con m ! n ! 2, se evalúa f (x, y) ! x " 3y2 en R¡™ R™™ R¡¡ R™¡ los centros de los cuatro subrectángulos mostrados en la figura 10. Por tanto, x1 ! 12 , x2 ! 23 , y1 ! 45 y y2 ! 74 . El área de cada subrectángulo es #A ! 12 . Así que (2, 2) yy #x " 3y 2 2 $ dA * R 2 " " f #x , y $ #A i j i!1 j!1 ! f #x1, y1$ #A + f #x1, y2 $ #A + f #x2 , y1 $ #A + f #x2 , y2 $ #A 0 1 2 x ! f ( 12 , 45 ) #A + f ( 12 , 47 ) #A + f ( 32 , 45 ) #A + f ( 32 , 47 ) #A 1 139 1 51 1 123 1 ! (" 67 16 ) 2 + (" 16 ) 2 + (" 16 ) 2 + (" 16 ) 2 FIGURA 10 ! " 958 ! "11.875 Por tanto, se tiene yy #x " 3y 2 $ dA * "11.875 R NOTA En la siguiente sección se desarrollará un método eficaz para calcular integrales dobles, y luego se verá que el valor exacto de la integral doble del ejemplo 3 es "12. (Recuerde que la interpretación de una integral doble como un volumen es válida sólo cuando el integrando f es una función positiva. El integrando del ejemplo 3 no es una función positiva, así que su integral no es un volumen. En los ejemplos 2 y 3 de la sección 15.2, se explica cómo interpretar las integrales de funciones que no siempre son positivas en términos de volúmenes.) Si se sigue dividiendo cada subrectángulo de la figura 10 en cuatro subrectángulos más pequeños con forma similar, se obtienen las aproximaciones SECCIÓN 15.1 Número de subrectángulos Aproximaciones de la regla del punto medio 1 4 16 64 256 1024 "11.5000 "11.8750 "11.9687 "11.9922 "11.9980 "11.9995 INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS 979 de la regla del punto medio mostradas en la tabla del margen. Observe cómo estas aproximaciones tienden al valor exacto de la integral doble, "12. Valor promedio Recuerde de la sección 6.5 que el valor promedio de una función f de una variable definida sobre un intervalo [a, b] es 1 fprom b a y b a f x dx De una manera similar se define el valor promedio de una función f de dos variables definidas sobre un rectángulo R como 1 AR fprom yy f x, y dA R donde A(R) es el área de R. Si f (x, y) % 0, la ecuación AR fprom yy f x, y dA R indica que la caja con base R y altura fprom tiene el mismo volumen que el sólido que yace debajo de la gráfica de f. [Si z ! f (x, y) describe una región montañosa y se cortan las cimas de las montañas a una altura fprom, entonces se pueden usar para llenar los valles de modo que la región se vuelva completamente plana. Véase la figura 11.] FIGURA 11 EJEMPLO 4 El mapa de contorno de la figura 12 muestra la nieve, en pulgadas, que cayó en el estado de Colorado el 20 y 21 de diciembre de 2006. (El estado tiene la forma de un rectángulo que mide 388 millas de oeste a este y 276 millas de sur a norte). Use el mapa de contorno para estimar la nieve promedio para Colorado en esos días. 12 40 36 44 12 16 32 28 16 24 40 20 36 32 12 28 24 0 4 8 12 16 32 28 20 24 8 FIGURA 12 SOLUCIÓN Coloque el origen en la esquina suroeste del estado. Entonces 0 ! x ! 388, 0 ! y ! 276 y f (x, y) es la nieve, en pulgadas, en un lugar a x millas al este y 980 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES y millas al norte del origen. Si R es el rectángulo que representa a Colorado, entonces la nieve promedio para el estado entre el 20 y 21 de diciembre fue 1 AR fprom yy f x, y dA R donde A(R) ! 388 " 276. Para estimar el valor de esta integral doble, se empleará la regla del punto medio con m ! n ! 4. En otras palabras, se divide R en 16 subrectángulos de igual tamaño, como en la figura 13. El área de cada subrectángulo es 1 16 A 388 276 6 693 mi2 y 276 12 40 36 44 20 12 16 32 28 16 24 40 36 32 12 28 24 0 4 32 28 16 20 8 12 8 24 0 388 x FIGURA 13 Al usar el mapa de contorno para estimar el valor de f en el centro de cada subrectángulo, obtenemos 4 4 yy f #x, y$ dA * " " f #x , y $ #A i R j i!1 j!1 * #A%0 + 15 + 8 + 7 + 2 + 25 + 18.5 + 11 + 4.5 + 28 + 17 + 13.5 + 12 + 15 + 17.5 + 13& ! (6 693)(207) Por tanto, fprom 6 693 207 388 276 12.9 Entre el 20 y 21 de diciembre de 2006, Colorado recibió un promedio de aproximadamente 13 pulgadas de nieve. SECCIÓN 15.1 981 INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTÁNGULOS Propiedades de las integrales dobles Se enlistan aquí tres propiedades de integrales dobles que se pueden probar de la misma manera que en la sección 5.2. Se supone que todas las integrales existen. Las propiedades 7 y 8 se conocen como linealidad de la integral. yy % f #x, y$ + t#x, y$& dA ! yy f #x, y$ dA + yy t#x, y$ dA 7 Las integrales dobles se comportan de esta manera debido a que las sumas dobles que las originan se comportan de esa forma. R 8 R R yy c f #x, y$ dA ! c yy f #x, y$ dA R donde c es una constante R Si f #x, y$ , t#x, y$ para toda (x, y) en R, entonces 9 yy f #x, y$ dA , yy t#x, y$ dA R 15.1 R Ejercicios 1. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie z ! xy y arriba del rectángulo R ! '#x, y$ ( b) Estime la integral doble con m ! n ! 4 y elija los puntos muestra más cercanos al origen. 0 ' x ' 6, 0 ' y ' 4 ) Use una suma de Riemann con m ! 3, n ! 2 y tome el punto muestra como la esquina superior derecha de cada cuadrado. b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del sólido del inciso a). 2. Si R ! [0, 4] & ["1, 2], use una suma de Riemann con m ! 4, n ! 2 para estimar el valor de xxR #1 " x y 2 $ dA. Tome los puntos muestra que sean a) las esquinas derechas inferiores y b) las esquinas izquierdas superiores de los rectángulos. 3. a) Use una suma de Riemann con m ! n ! 2 para estimar el valor de xxR xe "xy dA, donde R ! [0, 2] & [0, 1]. Tome los puntos muestra como las esquinas superiores derechas. b) Use la regla del punto medio para estimar la integral del inciso a). 4. a) Estime el volumen del sólido que yace debajo de la superficie z ! 1 + x2 + 3y y arriba del rectángulo R ! [1, 2] & [0, 3]. Use una suma de Riemann con m ! n ! 2 y elija como los puntos muestra a las esquinas inferiores derechas. b) Use la regla del punto medio para estimar el volumen del inciso a). y 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0 23 25 26 24 21 1 21 22 23 21 1 2 1 0 21 1 4 3 2 2 1 3 7 4 3 4 2 5 9 x 6. Una alberca de 20 pies por 30 pies se llena con agua. La profundidad se mide a intervalos de 5 pies, empezando en una esquina de la alberca, y se registran los valores en una tabla. Estime el volumen de agua en la alberca. 0 5 10 15 20 25 30 0 2 3 4 6 7 8 8 5 2 3 4 7 8 10 8 10 2 4 6 8 10 12 10 15 2 3 4 5 6 8 7 20 2 2 2 2 3 4 4 5. Se da una tabla de valores para una función f (x, y) definida en R ! [0, 4] & [2, 4]. a) Estime xxR f #x, y$ dA por medio de la regla del punto medio con m ! n ! 2. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 7. Sea V el volumen del sólido que yace debajo de la gráfica de f #x, y$ ! s52 " x 2 " y 2 y arriba del rectángulo dado por 2 ' x ' 4, 2 ' y ' 6. Use las rectas x ! 3 y y ! 4 para 982 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES dividir a R en subrectángulos. Sean L y U las sumas de Riemann calculadas por medio de las esquinas inferiores izquierdas y las esquinas superiores derechas, respectivamente. Sin calcular los números V, L y U, dispóngalos en orden creciente y explique su razonamiento. 28 24 32 4444 40 3236 16 el cuadrado R ! [0, 2] ! [0, 2]. Use la regla del punto medio con m ! n ! 2 para estimar xxR f #x, y$ dA. ¿Cómo podría mejorar su estimación? 48 56 52 32 36 40 44 20 24 28 2 6 7 48 5256 3 1 44 28 y 5 16 24 32 8. En la figura se muestran las curvas de nivel de una función f en 4 20 11-13 Evalúe la integral doble identificándola primero como el volumen de un sólido. 2 1 0 1 2 x 11. xxR 3 dA, 12. xxR #5 # x$ dA, 13. xxR #4 # 2y$ dA, ( #2 $ x $ 2, 1 $ y $ 6) R ! '#x, y$ ( 0 $ x $ 5, 0 $ y $ 3) R ! '#x, y$ R ! %0, 1& ! %0, 1& 9. Se muestra un mapa de contorno para una función f sobre el cuadrado R ! [0, 4] ! [0, 4]. a) Use la regla del punto medio con m ! n ! 2 para estimar el valor de xxR f #x, y$ dA. b) Estime el valor promedio de f. 14. La integral xxR s9 # y 2 dA, donde R ! [0, 4] ! [0, 2], representa el volumen de un sólido. Bosqueje el sólido. 15. Use una calculadora programable o computadora (o el comando sum en un SAC) para estimar yy y 4 s1 " xe#y dA R 10 0 0 2 10 20 30 donde R ! [0, 1] ! [0, 1]. Use la regla del punto medio con los siguientes números de cuadrados de igual tamaño: 1, 4, 16, 64, 256 y 1 024. 10 16. Repita el ejercicio 15 para la integral xxR sen ( x 20 17. Si f es una función constante, f (x, y) ! k, y R ! [a, b] ! [c, d], demuestre que 30 0 2 sy ) dA. yy k dA ! k#b # a$#d # c$ 4 x R 10. En el mapa de contorno se muestra la temperatura, en grados Fahrenheit, a las 16:00 del 26 de febrero de 2007, en Colorado. (El estado mide 388 millas de este a oeste y 276 millas de norte a sur.) Use la regla del punto medio con m ! n ! 4 para estimar la temperatura promedio en Colorado a esa hora. 15.2 18. Utilice el resultado del ejercicio 17 para demostrar que yy 0 sen px cos p y dA R donde R [0, ] [ , ]. 1 4 1 1 4 2 1 32 . Integrales iteradas Recuerde que usualmente es difícil evaluar integrales simples directamente de la definición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de los primeros principios es aún más SECCIÓN 15.2 INTEGRALES ITERADAS 983 difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como una integral iterada, que se puede evaluar calculando dos integrales simples. Suponga que f es una función de dos variables que es integrable sobre el rectángulo R ! [a, b] ! [c, d]. Se usa la notación xcd f #x, y$ dy para indicar que x se mantiene fija y f (x, y) se integra respecto a y a partir de y ! c hasta y ! d. Este procedimiento se llama integración parcial respecto a y. (Observe su similitud con la derivación parcial.) Ahora xcd f #x, y$ dy es un número que depende del valor de x, así que define una función de x: A#x$ ! y f #x, y$ dy d c Si ahora se integra la función A respecto a x a partir de x ! a hasta x ! b, se obtiene y 1 b a A#x$ dx ! y -y b a . d f #x, y$ dy dx c La integral del lado derecho de la ecuación 1 se llama integral iterada. Por lo común, se omiten los corchetes. Así, y y b 2 a d c f #x, y$ dy dx ! y -y b a . d f #x, y$ dy dx c indica que primero se integra respecto a y a partir de c hasta d, y luego respecto a x desde a hasta b. De manera similar, la integral iterada y y d 3 c b a f #x, y$ dx dy ! y -y d c . b f #x, y$ dx dy a significa que primero se integra respecto a x (manteniendo fija y) desde x ! a a x ! b y después se integra la función resultante de y respecto a y de y ! c hasta y ! d. Observe que en las ecuaciones 2 y 3 se trabaja de dentro hacia fuera. EJEMPLO 1 Evalúe las integrales iteradas. a) yy 3 0 2 1 b) x 2y dy dx yy 2 1 3 0 x 2 y dx dy SOLUCIÓN a) Si se considera x como una constante, se obtiene y 2 1 - . x 2 y dy ! x 2 y2 2 /0 /0 y!2 22 2 ! x2 y!1 # x2 12 2 ! 32 x 2 Así, la función A en la explicación anterior está dada por A#x$ ! 32 x 2 en este ejemplo. Ahora integramos esta función de x de 0 a 3: y y 3 0 2 1 x 2 y dy dx ! y 3 0 !y -y 3 3 2 0 2 1 . . x 2 y dy dx x3 x dx ! 2 2 3 ! 0 27 2 984 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES b) Aquí se integra primero respecto a x: y y 2 1 3 0 x y dx dy ! y 2 !y 2 2 -y 1 3 0 . 2 x y dx dy ! y2 9y dy ! 9 2 1 y 2 1 . 2 - . x3 y 3 x!3 dy x!0 27 2 ! 1 Observe que en el ejemplo 1 se obtiene la misma respuesta si se integra primero respecto a y o x. En general, resulta (véase el teorema 4) que las dos integrales iteradas de las ecuaciones 2 y 3 son siempre iguales; es decir, no importa el orden de integración. (Esto es similar al teorema de Clairaut en la igualdad de las derivadas parciales mixtas). En el siguiente teorema se da un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada (en cualquier orden). El nombre del teorema 4 es en honor al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien demostró una versión muy general de este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy tenía conocimiento de la versión para funciones continuas. 4 Teorema de Fubini Si f es continua en el rectángulo R ! '#x, y$ ( a $ x $ b, c $ y $ d ), entonces yy f #x, y$ dA ! y y b a d c f #x, y$ dy dx ! y y d c b a f #x, y$ dx dy R En términos generales, esto es cierto si se supone que f está acotada sobre R, f es discontinua sólo en un número finito de curvas suaves y las integrales iteradas existen. z C x x a 0 A(x) y b La demostración del teorema de Fubini es muy difícil para incluirla en este libro, pero al menos se puede dar una indicación intuitiva de por qué se cumple para el caso donde f (x, y) % 0. Recuerde que si f es positiva, entonces se puede interpretar la integral doble xxR f #x, y$ dA como el volumen V del sólido S que está arriba de R y debajo de la superficie z ! f (x, y). Pero se tiene otra fórmula que se usó para el volumen en el capítulo 6, a saber, V ! y A#x$ dx b FIGURA 1 a donde A(x) es el área de una sección transversal de S en el plano que pasa por x y es perpendicular al eje x. De la figura 1 se puede ver que A(x) es el área bajo la curva C cuya ecuación es z ! f (x, y), donde x se mantiene constante y c & y & d. Por tanto, TEC Visual 15.2 ilustra el teorema de Fubini mostrando una animación de las figuras 1 y 2. A#x$ ! y f #x, y$ dy d z c y tenemos yy f #x, y$ dA ! V ! y b a 0 x FIGURA 2 c A#x$ dx ! y b a y d c f #x, y$ dy dx R y d y Un argumento similar, con secciones transversales perpendiculares al eje y como en la figura 2, muestra que yy f #x, y$ dA ! y y d c R b a f #x, y$ dx dy SECCIÓN 15.2 v R 0 z _12 ( 0 $ x $ 2, 1 $ y $ 2). (Compare con el ejemplo 3 de la sección 15.1). SOLUCIÓN 1 El teorema de Fubini da yy #x # 3y 0.5 1 y $ dA ! y 2 2 y 2 #x # 3y 2 $ dy dx ! y xy # y 3 2 [ 0 1 ] y!2 y!1 dx . 2 x2 # 7x 2 ! y #x # 7$ dx ! 2 0 yy #x # 3y 1.5 2 0 R z=x-3¥ 0 2 ! #12 0 SOLUCIÓN 2 Al aplicar de nuevo el teorema de Fubini, pero esta vez integrando primero respecto a x, se obtiene _4 _8 1 x 2 $ dA ! y 2 1 ! y y 2 0 R 0 2 1 FIGURA 3 - #x # 3y 2 $ dx dy . x2 # 3xy 2 2 x!2 dy x!0 ! y #2 # 6y 2 $ dy ! 2y # 2y 3 1 ! #12 2 ] 2 1 v EJEMPLO 3 Evalúe xxR y sen xy dA, donde R ! %1, 2& ! %0, '&. SOLUCIÓN 1 Si se integra primero respecto a x, se obtiene yy y sen xy y y dA 0 2 1 y [ y sen xy dx dy cos xy 0 ] x 2 x 1 R y cos 2y 0 1 2 sen 2 y cos y dy ] sen y 0 0 SOLUCIÓN 2 Si se invierte el orden de integración, se obtiene yy y sen xy dA y y 2 1 0 y sen xy dy dx R Para una función f que tome valores positivos y negativos, xxR f #x, y$ dA es una diferencia de volúmenes: V1 # V2, donde V1 es el volumen arriba de R y abajo de la gráfica de f, y V2 es el volumen debajo de R y arriba de la gráfica. El hecho de que la integral del ejemplo 3 sea 0, significa que estos dos volúmenes son iguales. (Véase la figura 4.) 1 z 0 _1 Para evaluar la integral interior se emplea la integración por partes con y, por tanto, z=y sen(xy) 0 FIGURA 4 1 y 1 x 2 3 2 985 EJEMPLO 2 Evalúe la integral doble xxR #x # 3y 2 $ dA, donde R ! '#x, y$ Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no hay nada malo con eso. La función f en ese ejemplo no es una función positiva, así que su integral no representa un volumen. De la figura 3 se ve que f es siempre negativa en R, así que el volumen de la integral es el negativo del volumen que yace arriba de la gráfica de f y debajo de R. INTEGRALES ITERADAS y p 0 u y du dy y sen xy dy sen xy dy dv cos xy x v y cos xy x y p 1 x y 0 y p 0 cos xy dy p cos p x x 1 sen xy x2 p cos p x x sen p x x2 [ ] y p y 0 dy 986 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Si ahora se integra el primer término por partes con u ! #1!x y dv ! ' cos ' x dx, se obtiene du ! dx!x 2, v ! sen px y y En el ejemplo 2, las soluciones 1 y 2 son igualmente directas, pero en el ejemplo 3, la primera solución es mucho más fácil que la segunda. Por tanto, cuando se evalúan integrales dobles, es sabio elegir el orden de integración que da integrales más simples. cos p x x Por tanto, y y entonces y y 2 1 sen p x x dx cos p x x p 0 sen px x2 sen px x dx 2 sen p x x y sen xy dy dx sen p x dx x2 y 1 sen 2 p 2 sen p 0 v EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del sólido S acotado por el paraboloide elíptico x2 " 2y2 " z ! 16, los planos x ! 2 y y ! 2 y los tres planos coordenados. SOLUCIÓN Primero se observa que S es el sólido que yace debajo de la superficie z ! 16 # x2 # 2y2 y arriba del cuadrado R ! [0, 2] ! [0, 2]. (Véase la figura 5.) Este sólido se consideró en el ejemplo 1 de la sección 15.1, pero ahora se está en posición de evaluar la integral doble por medio del teorema de Fubini. Por tanto, 16 12 z 8 V ! yy #16 # x 2 # 2y 2 $ dA ! y 4 0 0 1 y 2 2 1 x 2 0 0 y 2 0 #16 # x 2 # 2y 2 $ dx dy R 1 ! y 16x # 3 x 3 # 2y 2x 2 0 FIGURA 5 !y 2 0 [ ] x!2 x!0 dy 2 ( 883 # 4y 2 ) dy ! [ 883 y # 43 y 3 ]0 ! 48 En el caso especial donde f (x, y) se puede factorizar como el producto de una función de x y una función de y, la integral doble de f se puede escribir en una forma particularmente simple. Para ser específicos, suponga que f (x, y) ! t(x)h(y) y R ! [a, b] ! [c, d]. Entonces el teorema de Fubini da yy f #x, y$ dA ! y y d c t#x$ h#y$ dx dy ! y b a d c R -y b a . t#x$ h# y$ dx dy En la integral interior, y es una constante, así que h(y) es una constante y se puede escribir - y y d c b a . t#x$ h# y$ dx dy ! y d c - /y h# y$ b a 0. t#x$ dx dy ! y t#x$ dx y h# y$ dy b a d c puesto que xab t#x$ dx es una constante. En consecuencia, en este caso, la integral doble de f se puede escribir como el producto de dos integrales simples: 5 yy t#x$ h#y$ dA ! y b a R t#x$ dx y h# y$ dy d c donde R ! [a, b] ! [c, d] SECCIÓN 15.2 INTEGRALES ITERADAS 987 EJEMPLO 5 Si R ! %0, '!2& ! %0, '!2&, entonces, mediante la ecuación 5, yy sen x cos y dA y p 2 0 sen x dx y p2 0 cos y dy R [ ] [sen y] cos x p 2 0 p 2 0 1 1 1 z La función f(x, y) ! sen x cos y en el ejemplo 5 es positiva sobre R, así que la integral representa el volumen del sólido que está arriba de R y abajo de la gráfica mostrada en la figura 6. 0 y x FIGURA 6 Ejercicios 15.2 1-2 Determine x05 f #x, y$ dx y x01 f #x, y$ dy. 1. f #x, y$ ! 12x 2 y 3 18. 2. f #x, y$ ! y " xe y R 19. 3-14 Calcule la integral iterada. 3. y y 4 1 2 yy x sen x yy 1 4. 0 2 1 #4x 3 # 9x 2 y 2 $ dy dx 20. yy R 5. 7. y y 2 0 4 y y 3 '!2 #3 0 9. y y 2 11. y y 1 13. yy p 4 1 1 1 0 2 0 0 0 / 0 '!2 5 !6 #1 y y 3 8. # y " y 2 cos x$ dx dy y x " y x y' y 6. y 3e 2x dy dx 0 1 " x2 dA, R ! '#x, y$ 1 " y2 y dA, R ( 0 $ x $ 1, 0 $ y $ 1) 0, p 6 0, p 3 R #6x 2 y # 2x$ dy dx 0 yy 1 5 1 dy dx 10. y y 3 v #u " v 2$ 4 du dv 12. y y 1 14. y y 1 2 r sen u d u dr 1 0 0 1 0 1 0 0 0 cos y dx dy 21. x dA, 1 " xy yy ye #xy dA, R ! %0, 1& ! %0, 1& R ! %0, 2& ! %0, 3& R ln y dy dx xy 22. yy R e x"3y dx dy xysx 2 " y 2 dy dx ss " t ds dt 1 dA, 1"x"y R ! %1, 3& ! %1, 2& 23-24 Bosqueje el sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada. 23. yy 1 1 0 0 24. yy 1 1 0 0 #4 # x # 2y$ dx dy #2 # x 2 # y 2 $ dy dx 15-22 Calcule la integral doble. 15. yy sen x y dA, R 0 x, y x p 2, 0 y p 2 16. yy # y " xy #2 $ dA, R ! '#x, y$ ( 0 $ x $ 2, 1 $ y $ 2) yy R 2 xy dA, R ! '#x, y$ x2 " 1 ( 0 $ x $ 1, #3 $ y $ 3) ; Se requiere calculadora graficadora o computadora ( 26. Determine el volumen del sólido que está debajo del R 17. 25. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del plano 4x " 6y # 2z " 15 ! 0 y arriba del rectángulo R ! '#x, y$ #1 $ x $ 2, #1 $ y $ 1). R paraboloide hiperbólico z ! 3y2 # x2 " 2 arriba del rectángulo R ! [#1, 1] ! [1, 2]. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 988 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES 35-36 Encuentre el valor promedio de f sobre el rectángulo dado. 27. Encuentre el volumen del sólido que está debajo del paraboloide elíptico x2!4 " y2!9 " z ! 1 y arriba del rectángulo R ! [#1, 1] ! [#2, 2]. 35. f (x, y) ! x2y, R tiene vértices (#1, 0), (#1, 5), (1, 5), (1, 0) 36. f #x, y$ ! e ysx " e y , 28. Encuentre el volumen del sólido encerrado por la superficie z ! 1 " e x sen y y los planos x ! (1, y ! 0, y ! p y z ! 0. 37-38 Utilice la simetría para evaluar la integral doble. 29. Determine el volumen del sólido encerrado por la superficie z ! x sec2 y y los planos z ! 0, x ! 0, x ! 2, y ! 0 y y ! p!4. 37. yy R 30. Encuentre el volumen del sólido en el primer octante limitado 38. por el cilindro z ! 16 # x2 y el plano y ! 5. yy SAC yy 1 z ! 2xy!(x2 " 1) y el plano z ! x " 2y y está acotado por los planos x ! 0, x ! 2, y ! 0 y y ! 4. A continuación encuentre su volumen. SAC 0 33. Use un sistema algebraico computarizado para hallar el valor exacto de la integral xxR x 5y 3e x y dA, donde R ! [0, 1] ! [0, 1]. Después use el SAC para dibujar el sólido cuyo volumen está dado por la integral. 15.3 y 2 sen x dA, R p, p p, p 1 0 x#y dy dx #x " y$3 yy y 1 1 0 0 x#y dx dy #x " y$3 40. a) ¿En qué forma los teoremas de Fubini y Clairaut son similares? b) Si f (x, y) es continua en [a, b] ! [c, d] y t#x, y$ ! y ( ( z ! e#x cos#x 2 " y 2 $ y z ! 2 # x 2 # y 2 para x $ 1, y $ 1. Use un sistema algebraico computarizado para aproximar el volumen de este sólido a cuatro decimales. ( ( #1 $ x $ 1, 0 $ y $ 1) ¿Las respuestas contradicen al teorema de Fubini? Explique lo que sucede. 34. Grafique el sólido que yace entre las superficies 2 x 2 sen y 1 ( 39. Use un SAC para calcular las integrales iteradas ; 32. Grafique el sólido que se encuentra entre la superficie SAC xy dA, R ! '#x, y$ 1 " x4 R 31. Encuentre el volumen del sólido encerrado por el paraboloide z ! 2 " x2 " (y # 2)2 y los planos z ! 1, x ! 1, x ! #1, y ! 0 y y ! 4. R ! %0, 4& ! %0, 1& x a y y c f #s, t$ dt ds para a ) x ) b, c ) y ) d, demuestre que txy ! tyx ! f(x, y). Integrales dobles sobre regiones generales Para integrales simples, la región sobre la que se integra es siempre un intervalo. Pero para integrales dobles, se desea poder integrar una función f no sólo sobre rectángulos, sino también sobre regiones D de forma más general, como la que se ilustra en la figura 1. Suponemos que D es una región acotada, lo que significa que D puede ser encerrada en una región rectangular R como en la figura 2. Entonces se define una nueva función F con dominio R mediante 1 F x, y f x, y 0 y si x, y está en D si x, y está en R pero no en D y R D 0 FIGURA 1 D x 0 FIGURA 2 x SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 989 Si F es integrable sobre R, entonces se define la integral doble de f sobre D mediante z gráfica de f 2 0 yy f #x, y$ dA ! yy F#x, y$ dA D donde F está dada por la ecuación 1 R y D x FIGURA 3 z gráfica de F 0 y D x FIGURA 4 La definición 2 tiene sentido porque R es un rectángulo y, por tanto, xxR F#x, y$ dA ha sido definida previamente en la sección 15.1. El procedimiento que se usó es razonable porque los valores de F(x, y) son 0 cuando (x, y) está fuera de D y, por consiguiente, no contribuyen a la integral. Esto significa que no importa qué rectángulo R se use, siempre y cuando contenga a D. En el caso que f (x, y) % 0, aún se puede interpretar a xxD f #x, y$ dA como el volumen del sólido que está arriba de D y debajo de la superficie z ! f (x, y) (la gráfica de f ). Se puede ver que esto es razonable si se comparan las gráficas de f y F en las figuras 3 y 4 y se recuerda que xxR F#x, y$ dA es el volumen debajo de la gráfica de F. En la figura 4 se muestra también que es probable que F tenga discontinuidades en los puntos límite de D. Sin embargo, si f es continua sobre D y la curva frontera de D tiene un “buen comportamiento” (en un sentido fuera del alcance de este libro), entonces se puede demostrar que xxR F#x, y$ dA existe y, por tanto, xxD f #x, y$ dA existe. En particular, este es el caso para los siguientes tipos de regiones. Se dice que una región plana D es tipo I si yace entre las gráficas de dos funciones continuas de x, es decir, D ! '#x, y$ ( a $ x $ b, t1#x$ $ y $ t 2#x$) donde t1 y t2 son continuas sobre [a, b]. Algunos ejemplos de regiones tipo I se muestran en la figura 5. y y y=g™(x) y y=g™(x) y=g™(x) D D D y=g¡(x) y=g¡(x) 0 a y=g¡(x) x b 0 a x b 0 a b x FIGURA 5 Algunas regiones tipo I y A fin de evaluar xxD f #x, y$ dA cuando D es una región de tipo I, se elige un rectángulo R ! [a, b] ! [c, d] que contiene a D, como en la figura 6, y sea F la función dada por la ecuación 1; es decir, F concuerda con f sobre D y F es 0 fuera de D. Entonces, por el teorema de Fubini, y=g™(x) d yy f #x, y$ dA ! yy F#x, y$ dA ! y y b a D D y=g¡(x) FIGURA 6 F#x, y$ dy dx R Observe que F(x, y) ! 0 si y ) t1(x) o y * t2(x) porque entonces (x, y) está fuera de D. Por tanto, c 0 d c a x b x y d c F#x, y$ dy ! y t 2#x$ t1#x$ F#x, y$ dy ! y t 2#x$ t1#x$ f #x, y$ dy porque F(x, y) ! f (x, y) cuando t1#x$ $ y $ t 2#x$. Así, se tiene la siguiente fórmula que permite evaluar la integral doble como una integral iterada. 990 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES 3 Si f es continua sobre una región D tipo I tal que D ! !"x, y# entonces $ a # x # b, yy f "x, y# dA ! y y b a D y t1"x# # y # t 2"x#% t 2"x# t1"x# f "x, y# dy dx d x=h¡( y) D x=h™( y) c 0 x y La integral del lado derecho de 3 es una integral iterada que es similar a las consideradas en la sección anterior, excepto que en la integral interior se considera x como una constante no sólo en f (x, y), sino también en los límites de integración, t1(x) y t2(x). Se consideran también las regiones planas tipo II, que se pueden expresar como D ! !"x, y# 4 d x=h¡( y) D x=h™( y) 0 c x donde h1 y h2 son continuas. En la figura 7 se ilustran dos regiones de este tipo. Si se usan los mismos métodos que se emplearon para establecer 3 , se puede demostrar que FIGURA 7 yy f "x, y# dA ! y y d 5 Algunas regiones tipo II h1"y# # x # h2" y#% $ c # y # d, c D h 2 " y# h1" y# f "x, y# dx dy donde D es una región tipo II dada por la ecuación 4. v EJEMPLO 1 Evalúe xxD "x ! 2y# dA, donde D es la región acotada por las parábolas y ! 2x2 y y ! 1 ! x2. y y=1+≈ (_1, 2) (1, 2) SOLUCIÓN Las parábolas se cortan cuando 2x2 ! 1 ! x2, es decir, x2 ! 1; por tanto, x ! "1. Se nota que la región D, bosquejada en la figura 8, es una región tipo I, pero no una región tipo II, y se puede escribir D _1 FIGURA 8 D ! !"x, y# y=2≈ 1 x $ $1 # x # 1, 2x 2 # y # 1 ! x 2 % Puesto que la frontera inferior es y ! 2x2 y la frontera superior es y ! 1; ! x2, la ecuación 3 da yy "x ! 2y# dA ! y y 1 $1 1!x 2 2x 2 "x ! 2y# dy dx D !y 1 $1 [ xy ! y ] 2 2 y!1!x y!2x 2 dx ! y &x"1 ! x 2 # ! "1 ! x 2 #2 $ x"2x 2 # $ "2x 2 #2 ' dx 1 $1 ! y "$3x 4 $ x 3 ! 2x 2 ! x ! 1# dx 1 $1 x4 x3 x2 x5 $ !2 ! !x ! $3 5 4 3 2 ( 1 ! $1 32 15 SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 991 NOTA Cuando se plantea una integral doble como en el ejemplo 1, es esencial dibujar un diagrama. A menudo es útil dibujar una flecha vertical como en la figura 8. Entonces los límites de integración de la integral interna se leen del diagrama como sigue: la flecha comienza en el límite inferior y ! t1(x), que da el límite inferior en la integral, y la flecha termina en el límite superior y ! t2(x), que da el límite superior de integración. Para una región tipo II, la flecha se traza horizontalmente del límite izquierdo al derecho. y EJEMPLO 2 Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z ! x2 ! y2 y arriba de la región D en el plano xy acotado por la recta y ! 2x y la parábola y ! x2. (2, 4) y=2x SOLUCIÓN 1 En la figura 9 se ve que D es una región tipo I y y=≈ D ! !"x, y# D 0 1 Por tanto, el volumen debajo de z ! x2 ! y2 y arriba de D es x 2 V ! yy "x 2 ! y 2 # dA ! y FIGURA 9 y 2x x2 "x 2 ! y 2 # dy dx D y ! (2, 4) ) y) y* y 2 0 x= 12 y 2 ! x=œ„ y y3 x y! 3 ( x 2"2x# ! "2x#3 "x 2 #3 $ x 2x 2 $ 3 3 2 0 D 2 ! $ 0 x 0 2 0 D es una región tipo I 4 0 # x # 2, x 2 # y # 2x% $ y!2x dx y!x 2 x6 14x 3 $ x4 ! 3 3 x7 x5 7x 4 !$ $ ! 21 5 6 FIGURA 10 ( + 2 ! 0 ( dx dx 216 35 D como una región tipo II SOLUCIÓN 2 De la figura 10 se ve que D puede escribirse también como una región En la figura 11 se muestra el sólido cuyo volumen se calcula en el ejemplo 2. Está arriba del plano xy, debajo del paraboloide z ! x2 ! y2 y entre el plano y ! 2x y el cilindro parabólico y ! x2. tipo II: D ! !"x, y# 0 # y # 4, 12 y # x # sy % $ Por tanto, otra expresión para V es z y=≈ V ! yy "x 2 ! y 2 # dA ! y z=≈+¥ D ! y 4 0 x FIGURA 11 y=2x y 4 0 ) x3 ! y 2x 3 ( sy 1 2 y "x 2 ! y 2 # dx dy x!sy dy ! x ! 12 y y 0 y 13 4 ! 152 y 5,2 ! 27 y 7,2 $ 96 y 4 ] 4 0 ! 216 35 * y 3,2 y3 y3 ! y 5,2 $ $ 3 24 2 + dy 992 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES v EJEMPLO 3 Evalúe xxD xy dA, donde D es la región acotada por la recta y ! x $ 1 y la parábola y2 ! 2x ! 6. SOLUCIÓN La región D se muestra en la figura 12. De nuevo D es tipo I y tipo II, pero la descripción de D como una región tipo I es más complicada porque el límite inferior consta de dos partes. Por tanto, se prefiere expresar a D como una región tipo II: D ! !(x, y) $ $2 # y # 4, 1 2 y 2 $ 3 # x # y ! 1% y y (5, 4) y=œ„„„„„ 2x+6 y=x-1 x x 0 (_1, _2) 2x+6 y=_œ„„„„„ FIGURA 12 x=y+1 0 _3 (5, 4) ¥ x= 2 -3 _2 (_1, _2) a) D como una región tipo I b) D como una región tipo II Entonces 5 da yy xy dA ! y y 4 y!1 1 2 $2 D y 2$3 xy dx dy ! y 4 $2 ) ( x!y!1 x2 y 2 [ dy x!12 y 2$3 ] ! 21 y y "y ! 1# 2 $ ( 12 y 2 $ 3) 2 dy 4 $2 z ! 12 ! x+2y+z=2 x=2y T (0, 1, 0) 0 y ) 4 ! 36 $2 $1 s2x!6 $3 $s2x!6 xy dy dx ! y y 5 $1 s2x!6 x$1 xy dy dx D pero esto habría requerido más trabajo que el otro método. x EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del tetraedro acotado por los planos x ! 2y ! z ! 2, x ! 2y, x ! 0 y z ! 0. FIGURA 13 x+2y=2 (o y=1-x/2) ”1, 21 ’ D y=x/2 FIGURA 14 + ( y5 ! 4y 3 ! 2y 2 $ 8y dy 4 1 y6 y3 $ ! y4 ! 2 $ 4y 2 2 24 3 yy xy dA ! y y 1 0 $ Si se hubiera expresado a D como una región tipo I por medio de la figura 12a), entonces se habría obtenido ”1, 2 , 0’ 1 * $2 (0, 0, 2) y y 4 1 x SOLUCIÓN En una pregunta como ésta, es aconsejable dibujar dos diagramas: una del sólido tridimensional y otra de la región plana D sobre la cual yace. En la figura 13 se muestra el tetraedro T acotado por los planos coordenados x ! 0, z ! 0, el plano vertical x ! 2y y el plano x ! 2y ! z ! 2. Puesto que el plano x ! 2y ! z ! 2 corta al plano xy (cuya ecuación es z ! 0) en la recta x ! 2y ! 2, se ve que T está arriba de la región triangular D en el plano xy acotado por las rectas x ! 2y, x ! 2y ! 2 y x ! 0. (Véase la figura 14). El plano x ! 2y ! z ! 2 se puede escribir como z ! 2 $ x $ 2y, así que el volumen requerido se localiza debajo de la gráfica de la función z ! 2 $ x $ 2y y arriba de D ! !"x, y# $ 0 # x # 1, x,2 # y # 1 $ x,2% SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 993 Por consiguiente, V ! yy "2 $ x $ 2y# dA D !y 1 0 y 1$x,2 x,2 "2 $ x $ 2y# dy dx [ ] ! y 2y $ xy $ y 2 1 0 ! y 1 0 !y 1 0 y v y=1 D ) y!1$x,2 y!x,2 dx * + * + ( 2$x$x 1$ x 2 x 2 $ 1$ EJEMPLO 5 Evalúe la integral iterada x0 1 xx1 sen $x! 1 x3 $ x2 ! x "x $ 2x ! 1# dx ! 3 2 2 ! 0 x2 x2 ! 2 4 ( dx 1 3 y 2 dy dx. SOLUCIÓN Si se intenta evaluar la integral como ésta, se enfrenta la tarea de evaluar primero x sen y 2 dy. Pero es imposible hacerlo en términos finitos, puesto que x sen y 2 dy no es una función elemental. (Véase el fin de la sección 7.5.) Así que se debe cambiar el orden de integración. Esto se lleva a cabo al expresar primero la integral iterada dada como una integral doble. Si se usa 3 hacia atrás, se tiene y=x 0 1 y y x 1 0 1 x yy sen sen y 2 dy dx y 2 dA D D ! !"x, y# donde FIGURA 15 D como una región tipo I x # y # 1% Se bosqueja esta región D en la figura 15. Después, de la figura 16 se ve que una descripción alternativa de D es y 1 x=0 $ 0 # x # 1, D ! !"x, y# D 0 # x # y% Esto permite usar 5 para expresar la integral doble como una integral iterada en el orden inverso: x=y 0 $ 0 # y # 1, y y 1 x 0 1 x sen y 2 dy dx yy sen y 2 dA D y y 1 FIGURA 16 0 D como una región tipo II y y 0 1 0 y [ x sen 1 sen y 2 dx dy 0 1 2 y sen y 2 dy cos y 2 ] 1 0 y2 ] x y x 0 1 2 dy 1 cos 1 Propiedades de las integrales dobles Suponemos que todas las siguientes integrales existen. Las tres primeras propiedades de las integrales dobles sobre una región D se deducen de inmediato de la definición 2 y las propiedades 7, 8 y 9 en la sección 15.1. 6 yy & f "x, y# ! t"x, y#' dA ! yy f "x, y# dA ! yy t"x, y# dA D 7 D D yy c f "x, y# dA ! c yy f "x, y# dA D D 994 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Si f "x, y# % t"x, y# para toda (x, y) en D, entonces yy f "x, y# dA % yy t"x, y# dA 8 D D y La siguiente propiedad de las integrales dobles es similar a la propiedad de las integrales simples dada por la ecuación xab f "x# dx ! xac f "x# dx ! xcb f "x# dx. Si D ! D1 " D2 , donde D1 y D2 no se traslapan, excepto quizás en sus límites (véase la figura 17), entonces D D¡ D™ x 0 yy f "x, y# dA ! yy f "x, y# dA ! yy f "x, y# dA 9 D1 D D2 FIGURA 17 La propiedad 9 se puede usar para evaluar las integrales dobles en las regiones D que no son ni tipo I ni II, pero pueden expresarse como una unión de regiones tipo I o tipo II. En la figura 18 se ilustra este procedimiento. (Véanse los ejercicios 55 y 56.) y y D™ D D¡ 0 FIGURA 18 x 0 x b) D=D¡ " D™, D¡ es tipo I, y D™ es tipo II. a) D no es tipo I ni tipo II La siguiente propiedad de las integrales establece que si se integra la función constante f (x, y) ! 1 sobre una región D, se obtiene el área de D: 10 yy 1 dA ! A"D# D En la figura 19 se ilustra por qué es cierta la ecuación 10: un cilindro sólido cuya base es D y cuya altura es 1 tiene un volumen A(D) ! 1 ! A(D), pero se sabe que su volumen se puede escribir también como xxD 1 dA. Por último, se pueden combinar las propiedades 7, 8 y 10 para probar la siguiente propiedad. (Véase el ejercicio 61.) z z=1 0 x D FIGURA 19 Cilindro con base D y altura 1 y 11 Si m # f "x, y# # M para toda (x, y) en D, entonces mA"D# # yy f "x, y# dA # MA"D# D SECCIÓN 15.3 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 995 EJEMPLO 6 Use la propiedad 11 para estimar la integral xxD e sen x cos y dA, donde D es el disco con centro en el origen y radio 2. SOLUCIÓN Dado que $1 # sen x # 1 y $1 # cos y # 1, se tiene $1 # sen x cos y # 1 y, por tanto, e 1 e sen x cos y e1 e Así, usando m ! e $1 ! 1,e, M ! e y A"D# ! ' "2#2 en la propiedad 11, se obtiene 4 e yy e sen x cos y dA 4 e D Ejercicios 15.3 1-6 Evalúe la integral iterada. 14. 2. yy 1 2 0 2x "1 ! 2y# dy dx 4. yy 2 2y 0 y cos"s 3# dt ds 6. yy 1. yy 4 sy 0 0 3. yy 1 x 0 x2 5. yy 1 s2 0 0 xy 2 dx dy 1 ev 0 0 yy xy dA, D está encerrada por las curvas y ! x2, y ! 3x D "x $ y# dy dx 15-16 Plantee integrales iteradas para ambos órdenes de integración. Después evalúe la integral doble usando el orden más fácil y explique por qué es más fácil. xy dx dy s1 ! e v dw dv 15. yy y dA, D está acotada por y ! x $ 2, x ! y2 D 7-10 Evalúe la integral doble. 7. yy y 2 dA, D 16. 1 x, y y 1, 2 y x y yy y e 2 xy dA, D está acotada por y ! x, y ! 4, x ! 0 D D 8. yy x y 5 1 D 9. yy x dA, dA, D D x, y 0 x, y x 1, 0 y 0 x ,0 y sen x 1 x e, 0 y ln x x2 17-22 Evalúe la integral doble. 17. yy x cos y dA, D esta acotada por y ! 0, y ! x2, x ! 1 D D 10. yy x 3 dA, D x, y 18. yy "x 2 ! 2y# dA, D está acotada por y ! x, y ! x3, x & 0 D D 19. yy y 2 dA, D D es la región triangular con vértices (0, 1), (1, 2) y (4, 1) 11. Esboce un ejemplo de una región que es a) tipo I pero no tipo II b) tipo II pero no tipo I 20. yy xy 2 dA, D está encerrada por x 0yx s1 y2 D 12. Dibuje un ejemplo de una región que es 21. a) de tipo I y tipo II b) ni tipo I ni tipo II yy "2x $ y# dA, D 13-14 Exprese D como una región tipo I y también como una región tipo II. Después evalúe en las dos maneras la integral doble. D está acotada por la circunferencia con centro en el origen y radio 2 22. yy 2xy dA, D es la región triangular con vértices (0, 0), (1, 2) D 13. yy x dA, D está encerrada por las rectas y ! x, y ! 0, D x!1 ; Se requiere calculadora graficadora o computadora y (0, 3) "1, 2# y "0, 3# SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 996 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES 23-32 Encuentre el volumen del sólido dado. 40. Entre los paraboloides z ! 2x2 ! y2 y z ! 8 $ x2 $ 2y2 y dentro del cilindro x2 ! y2 ! 1 23. Bajo el plano x $ 2y ! z ! 1 y arriba de la región acotada por x ! y ! 1 y x2 ! y ! 1 41. Encerrado por z ! 1 $ x2 $ y2 y z ! 0 24. Bajo la superficie z ! 1 ! x2y2 y arriba de la región acotada 42. Encerrado por z ! x2 ! y2 y z ! 2y por x ! y2 y x ! 4 25. Bajo de la superficie z ! xy y arriba del triángulo con vértices (1, 1), (4, 1) y (1, 2) 26. Encerrado por el paraboloide z ! x2 ! 3y2 y los planos x ! 0, y ! 1, y ! x, z ! 0 27. Acotado por los planos coordenados y el plano 3x ! 2y ! z ! 6 43-48 Bosqueje la región de integración y cambie el orden de integración. 43. 45. yy 1 y 0 0 y y ',2 0 28. Acotado por los planos z ! x, y ! x, x ! y ! 2 y z ! 0 47. 29. Acotado por los cilindros z ! x2, y ! x2 y los planos z ! 0, cos x 2 ln x 1 0 46. f "x, y# dy dx 0 yy 44. f "x, y# dx dy yy 2 4 0 x2 y y 2 48. s4$y 2 0 $2 f "x, y# dy dx f "x, y# dy dx yy 1 ',4 arctan x 0 f "x, y# dx dy f "x, y# dy dx y!4 30. Acotado por el cilindro y2 ! z2 ! 4 y los planos x ! 2y, x ! 0, z ! 0 en el primer octante 49-54 Evalúe la integral invirtiendo el orden de integración. 49. 31. Acotado por el cilindro x ! y ! 1 y los planos y ! z, 2 2 x ! 0, z ! 0 en el primer octante 51. 32. Acotado por los cilindros x2 ! y2 ! r2 y y2 ! z2 ! r2 53. yy 1 3 0 3y yy 4 2 0 sx yy p 2 yy 2 1 0 ; 33. Use una calculadora graficadora o computadora para estimar las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y ! x4 y y ! 3x $ x2. Si D es la región acotada por estas curvas, estime xxD x dA. ; 34. Encuentre el volumen aproximado del sólido en el primer octante que está acotado por los planos y ! x, z ! 0 y z ! x y el cilindro y ! cos x. (Use un dispositivo de graficación para estimar los puntos de intersección.) 54. 8 0 2 e x dx dy 1 y3 arcsen y 1 dy dx cos x s1 50. y y 52. yy sp sp 0 y 1 1 0 x cos x 2 dx dy e x y dy dx cos 2 x dx dy 4 3 sy e x dx dy 55-56 Exprese a D como una unión de regiones tipo I o tipo II y evalúe la integral. 55. yy x 2 56. dA yy y dA D D y 35-36 Encuentre el volumen del sólido restando dos volúmenes. 1 1 35. El sólido encerrado por los cilindros parabólicos (1, 1) D y ! 1 $ x2, y ! x2 $ 1 y los planos x ! y ! z ! 2, 2x ! 2y $ z ! 10 ! 0 _1 y 0 1 x=y-Á y=(x+1)@ x _1 0 x 36. El sólido encerrado por el cilindro parabólico y ! x2 y los planos z ! 3y, z ! 2 ! y _1 37-38 Trace un sólido cuyo volumen está dado por la integral iterada. 37. yy 1 1$x 0 0 "1 $ x $ y# dy dx 38. yy 1 0 1$x 2 0 "1 $ x# dy dx _1 57-58 Use la propiedad 11 para estimar el valor de la integral. 57. yy e $"x 2! y 2 #2 dA, Q es el cuarto de circunferencia con centro Q 1 en el origen y radio 2 en el primer cuadrante SAC 39-42 Use un sistema algebraico computarizado para hallar el volumen exacto del sólido. 39. Bajo la superficie z ! x3y4 ! xy2 y arriba de la región acotada por las curvas y ! x3 $ x y y ! x2 ! x para x & 0. 58. yy sen 4 x y dA, T es el triángulo encerrado por las rectas T y ! 0, y ! 2x y x ! 1 SECCIÓN 15.4 59-60 Encuentre el valor promedio de f sobre la región D. 59. f (x, y) ! xy, 64. D es el triángulo con vértices (0, 0), (1, 0) yy sR 2 997 $ x 2 $ y 2 dA, D D es el disco con centro el origen y radio R. y (1, 3) 60. f (x, y) ! x sen y, INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES D está encerrado por las curvas y ! 0, 65. y ! x2 y x ! 1 yy "2x ! 3y# dA, D D es el rectángulo 0 # x # a, 0 # y # b 61. Demuestre la propiedad 11. 66. 62. Al evaluar una integral doble sobre una región D, se obtuvo yy f "x, y# dA ! y y 2y 0 0 f "x, y# dx dy ! yy 3 3$y 1 0 67. f "x, y# dx dy D D x, y yy (ax 3 x y 1 ! by 3 ! sa 2 $ x 2 ) dA, D SAC 63-67 Utilice geometría o simetría, o ambas, para evaluar la yy "x ! 2# dA, D ! !"x, y# $ 68. Dibuje el sólido acotado por el plano x ! y ! z ! 1 y el paraboloide z ! 4 $ x2 $ y2 y encuentre su volumen exacto. (Use su SAC para construir la gráfica, hallar las ecuaciones de las curvas límite de la región de integración y evaluar la integral doble.) integral doble. 0 # y # s9 $ x 2 % D 15.4 y 2 sen x dA, D ! &$a, a' ( &$b, b' Bosqueje la región D y exprese la integral doble como una integral iterada con orden inverso de integración. 63. x 2y 3 2 D una suma de integrales iteradas como sigue: 1 yy Integrales dobles en coordenadas polares Supongamos que se desea evaluar una integral doble xxR f "x, y# dA, donde R es una de las regiones mostradas en la figura 1. En cualquier caso, la descripción de R en términos de coordenadas rectangulares es bastante complicada, pero R se describe fácilmente por medio de coordenadas polares. y y ≈+¥=4 ≈+¥=1 R 0 R x 0 FIGURA 1 a) R=s(r, ¨) | 0¯r¯1, 0¯¨¯2πd ≈+¥=1 b) R=s(r, ¨) | 1¯r¯2, 0¯¨¯πd Recuerde de la figura 2 que las coordenadas polares (r, u) de un punto se relacionan con las coordenadas rectangulares (x, y) mediante las ecuaciones y P (r, ¨ ) =P (x, y) r2 ! x2 ! y2 r FIGURA 2 x ! r cos ) y ! r sen u y ¨ O x x x (Véase la sección 10.3.) Las regiones de la figura 1 son casos especiales de un rectángulo polar R ! !"r, )# $ a # r # b, * # ) # + % 998 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES que se muestra en la figura 3. A fin de calcular la integral doble xxR f "x, y# dA, donde R es un rectángulo polar, se divide el intervalo [a, b] en m subintervalos &ri$1, ri ' de igual ancho ,r ! "b $ a#,m y se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos &)j$1, )j ' de igual ancho ,) ! "+ $ *#,n. Entonces las circunferencias r ! ri y los rayos u ! uj dividen al rectángulo polar R en los pequeños rectángulos polares Rij mostrados en la figura 4. ¨=¨ j ¨=¨ j-1 r=b R ij ¨=∫ (ri*, ¨j*) R Ψ r=a r=ri ¨=å r=ri-1 ∫ å O O FIGURA 3 Rectángulo polar FIGURA 4 División de R en subrectángulos El “centro” del subrectángulo polar Rij ! !"r, ) # $r i$1 # r # ri , ) j$1 # ) # ) j % tiene coordenadas polares ) j* ! 21 ")j$1 ! )j # ri* ! 21 "ri$1 ! ri # Se calcula el área de Rij usando el hecho de que el área de un sector de un círculo con radio 1 r y ángulo central u es 2 r 2). Al restar las áreas de dos sectores de esta clase, cada uno de los cuales tiene ángulo central ,) ! ) j $ ) j$1 , se encuentra que el área de Rij es 2 2 ,Ai ! 21 ri2 ,) $ 12 ri$1 ,) ! 12 "ri2 $ ri$1 # ,) ! 21 "ri ! ri$1 #"ri $ ri$1 # ,) ! ri* ,r ,) Aunque se ha definido la integral doble xxR f "x, y# dA en términos de rectángulos ordinarios, se puede demostrar que, para funciones continuas f, se obtiene siempre la misma respuesta por medio de rectángulos polares. Las coordenadas rectangulares del centro de Rij son ri* cos j*, ri* sen j* , de modo que una suma de Riemann representativa es 1 m n m f ri* cos u j*, ri* sen uj* n f ri* cos u j*, ri* sen uj* ri* r u Ai i 1 j 1 i 1 j 1 Si se escribe t(r, u) ! rf (r cos u, r sen u), entonces la suma de Riemann en la ecuación 1 se puede escribir como m n - - t"r*, ) * # ,r ,) i i!1 j!1 j SECCIÓN 15.4 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 999 que es una suma de Riemann para la integral doble y* y + b a t"r, ) # dr d) Por tanto, se tiene yy f m n f ri* cos u j*, ri* sen uj* lím x, y dA m, nl m n t ri*, uj* lím m, nl y y Ai i 1 j 1 R y y r u a i 1 j 1 b a b t r, u dr d u f r cos u, r sen u r dr d u 2 Cambio a coordenadas polares en una integral doble Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0 # a # r # b, * # ) # +, donde 0 # + $ * # 2', entonces yy f y y b x, y dA a b a f r cos u, r sen u r dr du R | dA d¨ r dr r d¨ La fórmula en 2 indica que se convierte de coordenadas rectangulares a polares en una integral doble si se escribe x ! r cos u y y ! r sen u, usando los límites de integración apropiados para r y u, y remplazar dA por r dr du. Tenga cuidado de no olvidar el factor adicional r en el lado derecho de la fórmula 2. Un método clásico para recordar esto se muestra en la figura 5, donde el rectángulo polar “infinitesimal” se puede considerar como un rectángulo ordinario con dimensiones r du y dr y, por tanto, tiene “área” dA ! r dr du. EJEMPLO 1 Evalúe xxR "3x ! 4y 2 # dA, donde R es la región en el semiplano superior acotado por las circunferencias x2 ! y2 ! 1 y x2 ! y2 ! 4. SOLUCIÓN La región R se puede describir como O R ! !"x, y# FIGURA 5 $ y % 0, 1 # x 2 ! y 2 # 4% Es la mitad de anillo mostrada en la figura 1b), y en coordenadas polares está dada por 1 # r # 2, 0 # ) # '. Por tanto, por la fórmula 2, yy 3x 4y 2 dA y y 2 y y 2 p 0 1 3r cos u 4r 2 sen2 u r dr d u 3r 2 cos u 4r 3 sen2 u dr d u R p 0 1 y [r p 0 3 y [7 cos u p Aquí usamos la identidad trigonométrica sen2 u 1 2 1 0 cos 2 u Véase la sección 7.2 para sugerencias sobre la integración trigonométrica. ] r 4 sen2u cos u 7 sen u 15 2 15 u 2 1 r 2 r 1 y du p 0 7 cos u ] cos 2 u d u 15 sen 2 u 4 p 0 15 p 2 15 sen2 u d u 1000 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES v EJEMPLO 2 Encuentre el volumen del sólido acotado por el plano z ! 0 y el paraboloide z ! 1 $ x2 $ y2. z SOLUCIÓN Si z ! 0 en la ecuación del paraboloide, se obtiene x2 ! y2 ! 1. Esto significa que el plano corta al paraboloide en la circunferencia x2 ! y2 ! 1, así que el sólido está bajo el paraboloide y arriba del disco circular D dado por x2 ! y2 - 1 [véanse las figuras 6 y 1a)]. En coordenadas polares D está dada por 0 # r # 1, 0 # ) # 2'. Puesto que 1 $ x2 $ y2 ! 1 $ r2, el volumen es (0, 0, 1) 0 D x V ! yy "1 $ x 2 $ y 2 # dA ! y 2' 0 y y 1 0 "1 $ r 2 # r dr d) D FIGURA 6 !y 2' 0 d) y 1 0 ) r4 r2 $ "r $ r # dr ! 2' 2 4 3 ( 1 ! 0 ' 2 Si se hubieran empleado coordenadas rectangulares, en lugar de coordenadas polares, entonces se habría obtenido V ! yy "1 $ x 2 $ y 2 # dA ! y 1 $1 y s1$x 2 $s1$x 2 "1 $ x 2 $ y 2 # dy dx D que no es fácil evaluar porque se requiere hallar la integral x "1 $ x 2 #3,2 dx . r=h™(¨) ¨=∫ D ∫ O å Lo que hemos hecho hasta aquí se puede extender al tipo de región más complicada de la figura 7. Es similar a las regiones rectangulares tipo II consideradas en la sección 15.3. De hecho, al combinar la fórmula 2 de esta sección con la fórmula 15.3.5, se obtiene la siguiente fórmula. 3 Si f es continua sobre una región polar de la forma ¨=å D ! !"r, ) # * # ) # +, h1") # # r # h2") #% $ r=h¡(¨) entonces FIGURA 7 D=s(r, ¨) | 寨¯∫, h¡(¨)¯r¯h™(¨)d yy f y y b x, y dA a h2 u h1 u D f r cos u, r sen u r dr du En particular, si se toma f "x, y# ! 1, h1") # ! 0 y h2") # ! h") # en esta fórmula, se ve que el área de la región D acotada por ) ! *, ) ! + y r ! h") # es A"D# ! yy 1 dA ! y + * y h") # 0 r dr d) D π ¨= 4 ! y + * )( r2 2 h") # 0 d) ! y + 1 2 * &h") #' 2 d) y esto concuerda con la fórmula 10.4.3. v EJEMPLO 3 Use la integral doble para hallar el área encerrada por un pétalo de la rosa de cuatro hojas r ! cos 2u. π ¨=_ 4 FIGURA 8 SOLUCIÓN Del bosquejo de la curva en la figura 8, se ve que el pétalo está dado por la región D ! {"r, ) # $ $',4 # ) # ',4, 0 # r # cos 2)} SECCIÓN 15.4 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS POLARES 1001 Así que el área es A"D# ! yy dA ! y D !y ',4 $',4 1 4 y ',4 $',4 [ r] 2 cos 2) 0 1 2 p 4 p4 y cos 2) 0 r dr d) d) ! 12 y ',4 $',4 1 4 cos 4 u d u 1 cos 2 2) d) [u 1 4 ] sen 4u p 8 p4 p 4 v EJEMPLO 4 Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z ! x2 ! y2, arriba del plano xy y dentro del cilindro x2 ! y2 ! 2x. SOLUCIÓN El sólido está arriba del disco D cuya circunferencia frontera tiene la ecuación x2 ! y2 ! 2x o bien, después de completar el cuadrado, "x $ 1#2 ! y 2 ! 1 (Véanse las figuras 9 y 10.) z y (x-1)@+¥=1 (o r=2 cos ¨) D 0 1 x 2 x y FIGURA 10 FIGURA 9 En coordenadas polares se tiene x2 ! y2 ! r2 y x ! r cos u, por tanto, la circunferencia frontera se convierte en r2 ! 2r cos u o bien r ! 2 cos u. Así, el disco D esta dado por D ! !" r, ) # $',2 # ) # ',2, 0 # r # 2 cos ) % $ y, por la fórmula 3, se tiene V ! yy "x 2 ! y 2 # dA ! y ',2 $',2 D !4y ',2 !2y ',2 $',2 0 2[ 32 u cos 4) d) ! 8 y [1 ! 2 cos 2) ! 1 8 2 cos ) 0 ',2 0 sen 2u y r 2 r dr d) ! $',2 cos 4) d) ! 8 y ',2 0 1 2 y ',2 * )( r4 4 ] p 2 2 3 2 p 2 d) 0 1 ! cos 2) 2 "1 ! cos 4) # d) sen 4 u]0 2 cos ) 3p 2 + 2 d) 1002 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Ejercicios 15.4 1-4 Se muestra una región R. Decida si emplea coordenadas 14. polares o rectangulares y exprese xxR f "x, y# dA como una integral iterada, donde f es una función continua arbitraria sobre R. y 4 1. xxD x dA, donde D es la región en el primer cuadrante localizada entre las circunferencias x2 ! y2 ! 4 y x2 ! y2 ! 2x y 2. 1 15-18 Use una integral doble para hallar el área de la región. y=1-≈ 15. Un pétalo de la rosa r ! cos 3u. 0 16. La región encerrada por las cardioides r ! 1 ! cos u y x 4 0 _1 r ! 1 $ cos u x 1 17. La región dentro de las circunferencias "x $ 1#2 ! y 2 ! 1 y x2 ! y2 ! 1 18. La región dentro del cardioide r ! 1 ! cos u y fuera de la y 3. y 6 4. 1 circunferencia r ! 3 cos u 3 0 _1 1 0 x 19-27 Use coordenadas polares para hallar el volumen del sólido. x 19. Bajo el cono z ! sx 2 ! y 2 y arriba del disco x 2 ! y 2 # 4 20. Bajo el paraboloide z ! 18 $ 2x2 $ 2y2 y arriba del plano xy 21. Encerrada por el hiperboloide $x2 $ y2 ! z2 ! 1 y el plano z!2 22. Dentro de la esfera x2 ! y2 ! z2 ! 16 y fuera del cilindro x2 ! y2 ! 4 5-6 Bosqueje la región cuya área está dada por la integral y evalúe la integral. 5. y' y 3',4 2 ,4 1 23. Una esfera de radio a 6. r dr d) y y p p 2 2 sen u 0 r dr du 7-14 Evalúe la integral dada cambiando a coordenadas polares. 7. 8. 9. 24. Acotado por el paraboloide z ! 1 ! 2x2 ! 2y2 y el plano z ! 7 en el primer octante 25. Arriba del cono z ! sx 2 ! y 2 y bajo la esfera x2 ! y2 ! z2 ! 1 xxD x 2 y dA, donde D es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5 26. Acotado por los paraboloides z ! 3x 2 ! 3y 2 y xxR "2x $ y# dA, donde R es la región en el primer cuadrante encerrada por la circunferencia x2 ! y2 ! 4 y las rectas x ! 0 yy!x 27. Dentro del cilindro x 2 ! y 2 ! 4 y el elipsoide xxR sen 28. a) Se usa una broca cilíndrica con radio r1 para hacer una x 2 y 2 dA, donde R es la región en el primer cuadrante entre las circunferencias con centro en el origen y radios 1 y 3 z ! 4 $ x2 $ y2 4x 2 ! 4y 2 ! z 2 ! 64 perforación por el centro de una esfera de radio r2. Encuentre el volumen del sólido en forma de anillo que queda. b) Exprese el volumen del inciso a) en términos de la altura h del anillo. Observe que el volumen depende sólo de h, no de r1 o r2. y2 dA, donde R es la región que está entre las x ! y2 circunferencias x2 ! y2 ! a2 y x2 ! y2 ! b2 con 0 . a . b 10. xxR 11. xxD e$x $y dA, donde D es la región acotada por la semicircunferencia x ! s4 $ y 2 y el eje y 29-32 Evalúe la integral iterada convirtiendo a coordenadas polares. 12. xxD cos sx 2 ! y 2 dA, donde D es el disco con centro en el origen y radio 2 29. 13. xxR arctan" y,x# dA, 31. 2 2 2 donde R ! !"x, y# $1#x 2 2 ! y # 4, 0 # y # x% 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com y y 3 s9 x 2 0 3 yy 1 s2$y 2 0 y sen x 2 y 2 dy dx "x ! y# dx dy 30. yy a 0 0 $sa 2 $y 2 32. yy 2 s2x$x 2 0 0 x 2 y dx dy sx 2 ! y 2 dy dx SECCIÓN 15.5 33-34 Exprese la doble integral en términos de una sola integral respecto a r. Después utilice su calculadora para evaluar la integral con una aproximación de cuatro decimales. 33. xxD e "x !y # 2 2 2 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 40. a) Se define la integral impropia (sobre todo el plano !2) I ! yy e$"x !y # dA ! y 2 ! dA, donde D es el disco con centro en el origen y radio 1 34. yy e y y yy e 1,s2 s1$x 1 y x 0 2 2 e$"x !y # dA ! ' lím dA al yy e x2 y2 dA Sa / e$x dx y 2 $/ / 2 $/ e$y dy ! ' c) Deduzca que y / e$x dx ! s' 2 $/ y xy dy dx ! y 2 s2 y s4$x 2 0 / e$x ,2 dx ! s2' 2 $/ (Éste es un resultado fundamental para probabilidad y estadística.) 41. Use el resultado del ejercicio 40 inciso c) para evaluar las xy dy dx dentro de una integral doble. Después evalúe la doble integral. 15.5 / $/ x2 y2 y 39. Utilice coordenadas polares para combinar la suma s2 / $/ donde Sa es el cuadrado con vértices ("a, "a). Use esto para demostrar que distancia promedio de los puntos en D al origen? xy dy dx ! y dA 2 38. Sea D el disco con centro en el origen y radio a. ¿Cuál es la 2 2 d) Haciendo el cambio de variable t ! s2 x, demuestre que f "x, y# ! 1,sx 2 ! y 2 sobre la región anular a 2 # x 2 ! y 2 # b 2, donde 0 . a . b. x 2 e$"x !y # dy dx b) Una definición equivalente de la integral impropia del inciso a) es 36. Un aspersor agrícola distribuye agua en un patrón circular 1 / $/ donde Da es el disco con radio a y centro en el origen. Demuestre que 35. Una alberca es circular con un diámetro de 40 pies. La y y x2 y2 y Da xxD xys1 ! x 2 ! y 2 dA, donde D es la porción del disco x2 ! y2 - 1 que está en el primer cuadrante 37. Encuentre el valor promedio de la función / $/ lím de radio 100 pies. Suministra agua a una profundidad de e$r pies por hora a una distancia de r pies desde el aspersor. a) Si 0 . R # 100, ¿cuál es la cantidad total de agua suministrada por hora a la región dentro del círculo de radio R centrado en el rociador? b) Determine una expresión para la cantidad promedio de agua por hora por pie cuadrado suministrada a la región dentro del círculo de radio R. 2 2 al profundidad es constante a lo largo de las líneas este-oeste y se incrementa en forma lineal desde 2 pies en el extremo sur hasta 7 pies en el extremo norte. Determine el volumen del agua en la alberca. 1003 siguientes integrales a) y / 0 2 b) x 2e$x dx y / 0 sx e$x dx Aplicaciones de las integrales dobles Ya hemos visto una aplicación de las integrales dobles: cálculo de volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies y esto se hará en la siguiente sección. En esta sección se exploran aplicaciones físicas como calcular la masa, carga eléctrica, centro de masa y momento de inercia. Se verá que estas ideas son importantes también cuando se aplican a funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias. Densidad y masa En la sección 8.3 fue posible usar las integrales simples para calcular momentos y el centro de masa de una delgada placa o lámina con densidad constante. Pero ahora, equipados con la integral doble, podemos considerar una lámina con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por unidad de área) en un punto (x, y) en D está dada por r(x, y), donde r es una función continua sobre D. Esto significa que x, y lím m A 1004 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES y donde ,m y ,A son la masa y el área de un rectángulo pequeño que contiene a (x, y) el límite se toma cuando las dimensiones del rectángulo se aproximan a 0. (Véase la figura 1.) Para hallar la masa total m de la lámina, se divide un rectángulo R que contiene a D en subrectángulos Rij del mismo tamaño (como en la figura 2) y se considera que r(x, y) es 0 fuera de D. Si se elige un punto "x ij*, yij* # en Rij , entonces la masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente 0 "x ij*, yij* # ,A, donde ,A es el área de Rij . Si se suman todas las masas, se obtiene una aproximación de la masa total: (x, y) D 0 x k m. l - - 0 "x*, y* # ,A ij ij i!1 j!1 FIGURA 1 y (xij* , y*ij ) Si ahora se incrementa el número de subrectángulos, se obtiene la masa total m de la lámina como el valor límite de las aproximaciones: R ij k 1 0 x FIGURA 2 l x *ij , y*ij lím m k, l l A i 1 j 1 yy x, y dA D Los físicos consideran también otros tipos de densidad que se pueden tratar de la misma manera. Por ejemplo, si se distribuye una carga eléctrica sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por s(x, y) en un punto (x, y) en D, entonces la carga total Q está dada por Q ! yy 1 "x, y# dA 2 D y y=1 1 EJEMPLO 1 La carga está distribuida sobre la región triangular D en la figura 3 de modo que la densidad de carga en (x, y) es s(x, y) ! xy, medida en coulombs por metro cuadrado (C,m2). Determine la carga total. (1, 1) D SOLUCIÓN De la ecuación 2 y la figura 3 se tiene y=1-x Q ! yy 1 "x, y# dA ! y 1 0 y 1 xy dy dx 1$x D 0 x ! y 1 0 FIGURA 3 ) ( y2 x 2 y!1 y!1$x dx ! y ! 21 y "2x 2 $ x 3 # dx ! 1 0 Así, la carga total es 5 24 1 0 1 2 x 2 &1 $ "1 $ x#2 ' dx 2 ) 2x 3 x4 $ 3 4 ( 1 ! 0 5 24 C. Momentos y centros de masa En la sección 8.3 encontramos el centro de masa de una lámina con densidad constante; aquí se considera una lámina con densidad variable. Suponga que la lámina ocupa una región D y tiene la función de densidad r(x, y). Recuerde del capítulo 8 que el momento de una partícula se define respecto a un eje como el producto de su masa y su distancia dirigida desde el eje. Se divide a D en rectángulos pequeños como en la figura 2. Entonces la masa de Rij es aproximadamente 0 "x *ij , y*ij # ,A, así que el momento de Rij respecto al eje x se puede aproximar mediante & 0 "x *ij , y*ij # ,A' y*ij Si ahora se suman estas cantidades y se toma el límite cuando el número de subrectángulos se vuelve SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1005 grande, se obtiene el momento de toda la lámina respecto al eje x: m 3 n y*ij lím Mx m, nl x *ij , y*ij yy y A i 1 j 1 x, y dA D De manera similar, el momento respecto al eje y es m 4 (x, y) D n x *ij lím My m, nl x *ij , y*ij yy x A i 1 j 1 x, y dA D Como antes, se define el centro de masa " x, y# de modo que mx ! My y my ! Mx . El significado físico es que la lámina se comporta como si toda su masa se concentrara en su centro de masa. Así, la lámina se equilibra horizontalmente cuando se apoya en su centro de masa (véase la figura 4). 5 Las coordenadas " x, y# del centro de masa de una lámina que ocupa la región D y que tiene función de densidad 0 "x, y# son FIGURA 4 x! My 1 ! m m yy x 0 "x, y# dA y! D Mx 1 ! m m yy y 0 "x, y# dA D donde la masa m está dada por m ! yy 0 "x, y# dA D v EJEMPLO 2 Encuentre la masa y el centro de masa de una lámina triangular con vértices (0, 0), (1, 0) y (0, 2) si la función de densidad es r(x, y) ! 1 ! 3x ! y. SOLUCIÓN El triángulo se muestra en la figura 5. (Note que la ecuación de la cota superior es y ! 2 $ 2x.) La masa de la lámina es y (0, 2) y=2-2x m ! yy 0 "x, y# dA ! y 3 11 ” 8 , 16 ’ y ! (1, 0) y 2$2x 0 "1 ! 3x ! y# dy dx D D 0 1 0 ) y2 y ! 3xy ! 2 1 0 x !4y FIGURA 5 1 0 ( ) ( y!2$2x dx y!0 1 x3 "1 $ x # dx ! 4 x $ 3 2 ! 0 8 3 Entonces las fórmulas en 5 dan x! 1 m yy x 0 "x, y# dA ! y y 3 8 1 0 2$2x 0 "x ! 3x 2 ! xy# dy dx D 3 ! 8 y 3 ! 2 y 1 0 1 0 ) y2 xy ! 3x y ! x 2 2 3 "x $ x # dx ! 2 3 ) ( y!2$2x dx y!0 x2 x4 $ 2 4 ( 1 ! 0 3 8 1006 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES y! ! ! 1 m yy y 0 "x, y# dA ! y y 3 8 y 1 4 ) 1 3 8 0 2$2x "y ! 3xy ! y 2 # dy dx 0 D 1 0 ) y2 y2 y3 ! 3x ! 2 2 3 7x $ 9 ( y!2$2x dx ! 14 y "7 $ 9x $ 3x 2 ! 5x 3 # dx 1 0 y!0 x2 x4 $ x3 ! 5 2 4 ( 1 ! 0 11 16 El centro de masa está en el punto ( 83 , 11 16 ). v EJEMPLO 3 La densidad en cualquier punto sobre una lámina semicircular es proporcional a la distancia desde el centro del círculo. Encuentre el centro de masa de la lámina. y a D _a SOLUCIÓN Coloque la lámina como la mitad superior de la circunferencia x2 ! y2 ! a2 (véase la figura 6). Entonces la distancia de un punto (x, y) al centro de la circunferencia (el origen) es sx 2 ! y 2 . Por tanto, la función de densidad es ≈+¥=a@ 3a ”0, 2π ’ 0 0 "x, y# ! Ksx 2 ! y 2 a x FIGURA 6 donde K es alguna constante. Tanto la función de densidad como la forma de la lámina sugieren que se convierta a coordenadas polares. Entonces sx 2 ! y 2 ! r y la región D está dada por 0 # r # a, 0 # ) # '. Así, la masa de la lámina es m ! yy 0 "x, y# dA ! yy Ksx 2 ! y 2 dA D !y D ' 0 y a 0 ! K' "Kr# r dr d) ! K y d) y r 2 dr ' 0 r3 3 ( a ! 0 a 0 K' a 3 3 Tanto la lámina como la función de densidad son simétricas respecto al eje y, así que el centro de masa debe estar sobre el eje y, es decir, x ! 0. La coordenada y está dada por y Compare la ubicación del centro de masa del ejemplo 3 con el ejemplo 4 de la sección 8.3, donde se encontró que el centro de masa de una lámina con la misma forma, pero densidad uniforme se localiza en el punto "0, 4a,"3'##. 1 m yy y 3 K a3 x, y dA D 3 a3 y 0 sen u d u y r dr 3 2a 4 a3 4 a 0 3 yy 0 a 0 3 a3 r sen u Kr r dr d u [ ] cos u 0 r4 4 a 0 3a 2 Por tanto, el centro de masa se localiza en el punto "0, 3a,"2'##. Momento de inercia El momento de inercia (conocido también como segundo momento) de una partícula de masa m respecto a un eje se define como mr2, donde r es la distancia desde la partícula al eje. A fin de ampliar este concepto a una lámina que tiene función de densidad r(x, y) y ocupa una región D se procede como se hizo para momentos ordinarios. Se divide a D en rectángulos pequeños, se aproxima el momento de inercia de cada subrectángulo respecto al eje x y se toma el límite de la suma conforme el número de subrectán- SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1007 gulos se hace grande. El resultado es el momento de inercia de la lámina respecto al eje x: m 6 n yij* lím Ix m, nl 2 x ij*, yij* yy y A i 1 j 1 2 x, y dA 2 x, y dA D De manera similar, el momento de inercia respecto al eje y es m 7 n x ij* lím Iy m, nl 2 x ij*, yij* yy x A i 1 j 1 D También es de interés considerar el momento de inercia respecto al origen, conocido también como momento polar de inercia: 8 m I0 n lím m, nl [ x* ij 2 y*ij ] 2 x *ij , y*ij yy A i 1 j 1 x2 y2 x, y dA D Note que I 0 ! I x ! I y . v EJEMPLO 4 Encuentre los momentos de inercia I x , I y e I 0 de un disco homogéneo D con densidad r(x, y) ! r, centro en el origen y radio a. SOLUCIÓN El límite de D es la circunferencia x 2 ! y 2 ! a 2 y en coordenadas polares D se describe mediante 0 # ) # 2', 0 # r # a. Primero se calculará I 0: I 0 ! yy "x 2 ! y 2 #0 dA ! 0 y 2' 0 y a 0 r 2 r dr d) D !0y 2' 0 d) y r 3 dr ! 2'0 a 0 )( r4 4 a ! 0 '0 a 4 2 En lugar de calcular Ix e Iy de manera directa, se usan los hechos de que Ix ! Iy ! I0 e Ix ! Iy (de la simetría del problema). Así, Ix ! Iy ! I0 '0 a 4 ! 2 4 En el ejemplo 4 observe que la masa del disco es m ! densidad ( área ! r(pa)2 de modo que el momento de inercia del disco respecto al origen (como una rueda respecto a su eje) se puede escribir como I0 ! '0 a 4 ! 21 " 0' a 2 #a 2 ! 12 ma 2 2 Así, si se incrementa la masa o el radio del disco, aumenta el momento de inercia. En general, el momento de inercia juega el mismo papel en el movimiento rotatorio que la masa 1008 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES juega en el movimiento lineal. El momento de inercia de una rueda es lo que hace difícil empezar o detener la rotación de la rueda, del mismo modo que la masa de un automóvil dificulta iniciar o detener el movimiento de un automóvil. El radio de giro de una lámina respecto a un eje es el número R tal que 9 mR 2 ! I donde m es la masa de la lámina, e I es el momento de inercia respecto al eje dado. La ecuación 9 dice que si la masa de la lámina se concentrara a una distancia R del eje, entonces el momento de inercia de esta “masa puntual” sería la misma que el momento de inercia de la lámina. En particular, el radio de giro y respecto al eje x y el radio de giro x respecto al eje y están dados por las ecuaciones 10 my 2 ! I x mx 2 ! I y Así " x, y# es el punto en que la masa de la lámina se puede concentrar sin cambiar los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados. (Note la analogía con el centro de masa.) v EJEMPLO 5 Encuentre el radio de giro respecto al eje x del disco del ejemplo 4. SOLUCIÓN Como se observó, la masa del disco es m ! 0'a 2, así que de las ecuaciones 10 se tiene y2 ! 1 Ix '0 a 4 a2 ! 4 ! m 0'a 2 4 Por tanto, el radio de giro respecto a x es y ! 12 a , que es la mitad del radio del disco. Probabilidad En la sección 8.5 se consideramos la función de densidad de probabilidad f de una variable / continua aleatoria X. Esto significa que f "x# % 0 para toda x, x$/ f "x# dx ! 1, y la probabilidad de que X esté entre a y b se encuentra al integrar f de a a b: P"a # X # b# ! y f "x# dx b a Ahora consideramos un par de variables aleatorias continuas X y Y, tales como los tiempos de vida de dos componentes de una máquina o la altura y peso de una mujer adulta elegida al azar. La función de densidad conjunta de X y Y es una función f de dos variables tal que la probabilidad de que (X, Y) esté en una región D es P ("X, Y # # D) ! yy f "x, y# dA D En particular, si la región es un rectángulo, la probabilidad de que X esté entre a y b y que Y esté entre c y d es P"a # X # b, c # Y # d# ! y b a (Véase la figura 7.) y d c f "x, y# dy dx SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1009 z z=f(x, y) FIGURA 7 c a La probabilidad de que X esté entre a y b, y que Y esté entre c y d es el volumen localizado arriba del rectángulo D=[a, b]x[c, d ] y debajo de la función de densidad conjunta. d b y D x Debido a que las probabilidades no son negativas y se miden en una escala de 0 a 1, la función de densidad conjunta tiene las siguientes propiedades: yy f "x, y# dA ! 1 f "x, y# % 0 !2 Como en el ejercicio 40 de la sección 15.4, la integral doble sobre !2 es una integral impropia definida como el límite de integrales dobles sobre círculos o cuadrados que se expanden y se puede escribir yy f "x, y# dA ! y y !2 / / $/ $/ f "x, y# dx dy ! 1 EJEMPLO 6 Si la función de densidad conjunta para X y Y está, dada por f x, y 2y Cx 0 si 0 x 10, 0 en otra parte y 10 encuentre el valor de la constante C. Después determine P"X # 7, Y % 2#. SOLUCIÓN Se encuentra el valor de C al asegurar que la integral doble de f es igual a 1. Debido a que f (x, y) ! 0 fuera del rectángulo &0, 10' ( &0, 10', se tiene y y / / $/ $/ f "x, y# dy dx ! y 10 0 y 10 0 C"x ! 2y# dy dx ! C y 10 0 [ xy ! y ] 2 y!10 y!0 dx ! C y "10x ! 100# dx ! 1500C 10 0 1 Por tanto, 1500C ! 1 y, en consecuencia, C ! 1500 . Ahora se puede calcular la probabilidad de que X sea a lo sumo 7 y Y sea por lo menos 2: P"X # 7, Y % 2# ! y 7 $/ y / 2 f "x, y# dy dx ! y 0 1 ! 1500 y xy ! y 2 7 0 7 [ 868 ! 1500 . 0.5787 ] y!10 y!2 y 10 2 1 1500 "x ! 2y# dy dx 1 dx ! 1500 y "8x ! 96# dx 7 0 1010 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Suponga que X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f1(x) y Y es una variable aleatoria con función de densidad f2(y). Entonces X y Y se llaman variables aleatorias independientes si su función de densidad conjunta es el producto de sus funciones de densidad individuales: f "x, y# ! f1"x# f2" y# En la sección 8.5, se modelaron tiempos de espera por medio de funciones de densidad exponenciales 0 f t 1 si t si t t e 0 0 donde 2 es el tiempo de espera promedio. En el ejemplo siguiente se considera una situación con dos tiempos de espera independientes. EJEMPLO 7 El administrador de un cine determina que el tiempo promedio que los asistentes esperan en la fila para comprar un boleto para la película de esta semana es 10 minutos y el tiempo promedio que esperan para comprar palomitas es 5 minutos. Si se supone que los tiempos de espera son independientes, encuentre la probabilidad de que una persona espere un total de menos de 20 minutos antes de tomar su lugar. SOLUCIÓN Si se supone que tanto el tiempo de espera X para la compra del boleto como el tiempo de espera Y en la fila para comprar golosinas se modelan mediante funciones de densidad de probabilidad exponenciales, se pueden escribir cada una de las funciones de densidad como f1 x 0 1 10 e x 10 si x si x 0 0 0 f2 y 1 5 e si y si y y 5 0 0 Puesto que X y Y son independientes, la función de densidad conjunta es el producto: f x, y 1 50 f1 x f2 y x 10 e y 5 e si x 0, y 0 de lo contrario 0 Si pedimos la probabilidad de que X ! Y . 20: P"X ! Y . 20# ! P ("X, Y# # D) y donde D es la región triangular mostrada en la figura 8. Así que 20 x+y=20 P"X ! Y . 20# ! yy f "x, y# dA ! y 20 0 0 20 x y 20$x 1 $x,10 $y,5 50 e 0 e dy dx D ! 501 y D 20 0 [e $x,10 ] "$5#e$y,5 y!20$x y!0 dx ! 101 y e$x,10"1 $ e "x$20#,5 # dx 20 0 FIGURA 8 ! 101 y "e$x,10 $ e$4e x,10 # dx 20 0 ! 1 ! e$4 $ 2e$2 . 0.7476 Esto significa que cerca de 75% de los asistentes al cine esperan menos de 20 minutos antes de tomar sus lugares. SECCIÓN 15.5 APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES 1011 Valores esperados Recuerde de la sección 8.5 que si X es una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f, entonces su media es 2 ! y x f "x# dx / $/ Ahora si X y Y son variables aleatorias con función de densidad conjunta f, se define la media de X y la media de Y, denominados también valores esperados de X y Y, como 21 ! yy x f "x, y# dA 11 2 2 ! yy yf "x, y# dA !2 !2 Observe cuán parecidas son las expresiones para m1 y m2 en 11 con las de los momentos Mx y My de una lámina con función de densidad 0 en las ecuaciones 3 y 4. De hecho, se puede considerar que la probabilidad es como una masa distribuida de manera continua. Se calcula la probabilidad de la manera como se calcula la masa: integrando una función de densidad. Y debido a que la “masa de probabilidad total” es 1, las expresiones para x y y en 5 muestran que los valores esperados de X y Y, m1 y m2, pueden ser consideradas como las coordenadas del “centro de masa” de la distribución de probabilidad. En el siguiente ejemplo se trata con distribuciones normales. Como en la sección 8.5, una sola variable aleatoria tiene una distribución normal si su función de densidad de probabilidad es de la forma f "x# ! 1 2 2 e$"x$2# ,"21 # 1 s2' donde m es la media y s es la desviación estándar. EJEMPLO 8 Una fábrica produce rodamientos (de forma cilíndrica) cuyas dimensiones son 4.0 cm de diámetro y 6.0 cm de largo. De hecho, los diámetros X tienen una distribución normal con media de 4.0 cm y desviación estándar 0.01 cm, mientras que las longitudes Y tienen una distribución normal con media 6.0 cm y desviación estándar 0.01 cm. Si se supone que X y Y son independientes, escriba la función de densidad conjunta y grafíquela. Encuentre la probabilidad de que un cojinete elegido al azar de la línea de producción tenga longitud o diámetro que difiere de la media en más de 0.02 cm. SOLUCIÓN Se sabe que X y Y tienen una distribución normal con m1 ! 4.0 y m2 ! 6.0 y s1 ! s2 ! 0.01. Así, cada una de las funciones de densidad para X y Y son f1"x# ! 1 2 e$"x$4# ,0.0002 0.01s2' f2"y# ! 1 2 e$" y$6# ,0.0002 0.01s2' 1500 Dado que X y Y son independientes, la función de densidad conjunta es el producto: 1000 500 0 5.95 3.95 y 4 6 f x, y f1 x f2 y x 4.05 FIGURA 9 1 0.0002 Gráfica de la función de densidad conjunta normal del ejemplo 8 5 000 6.05 e e x 4 5 000 x 4 2 2 0.0002 e y 6 En la figura 9 se muestra una gráfica de esta función. 2 y 6 2 0.0002 1012 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Se calculará primero la probabilidad de que X y Y difieran de sus medias en menos de 0.02 cm. Si se emplea una calculadora o computadora para estimar la integral, se tiene P 3.98 4.02, 5.98 X Y 6.02 y y 4.02 3.98 6.02 5.98 f x, y dy dx 5 000 4.02 6.02 y y e p 3.98 5.98 5 000 x 4 2 y 6 2 dy dx 0.91 Entonces la probabilidad de que X o Y difieran de su media en más de 0.02 cm es aproximadamente 1 $ 0.91 ! 0.09 15.5 Ejercicios 1. La carga eléctrica está distribuida sobre el rectángulo 13. La frontera de una lámina está formada por las 0 # x # 5, 2 # y # 5 así que la densidad de carga en (x, y) es 1 "x, y# ! 2x ! 4y (medida en coulombs por metro cuadrado). Determine la densidad de carga en el rectángulo. 2. La carga eléctrica se distribuye sobre el disco x 2 ! y 2 # 1 de modo que la densidad de carga en (x, y) es 1 "x, y# ! sx 2 ! y 2 (medida en coulombs por metro cuadrado). Calcule la carga total sobre el disco. 14. Encuentre el centro de masa de la lámina del ejercicio 13 si la densidad en cualquier punto es inversamente proporcional a su distancia desde el origen. 15. Halle el centro de masa de una lámina en la forma de un 3-10 Encuentre la masa y el centro de masa de la lámina que ocupa la región D y tiene la función de densidad dada r. $ 1 # x # 3, 1 # y # 4% ; 0 "x, y# ! ky D ! !"x, y# $ 0 # x # a, 0 # y # b% ; 0 "x, y# ! 1 ! x 3. D ! !"x, y# 4. triángulo rectángulo isósceles con lados iguales de longitud a si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de la distancia desde el vértice opuesto a la hipotenusa. 2 2 ! y2 r(x, y) ! x ! y 6. D es la región triangular con vértices encerrada por las rectas x ! 0, y ! x y 2x ! y ! 6; r(x, y) ! x2 18. Calcule los momentos de inercia I x , I y , I 0 para la lámina del ejercicio 12. 8. D está acotada por y ! x2, y y ! x ! 2; r(x, y) ! kx 0 y sen px L , 0 x L ; r x, y 19. Obtenga los momentos de inercia I x , I y , I 0 para la lámina y del ejercicio 15. 20. Considere un aspa cuadrada con lados de longitud 2 y la 10. D está acotada por las parábolas y ! x2 y x ! y2; esquina inferior izquierda colocada en el origen. Si la densidad del aspa es 0 "x, y# ! 1 ! 0.1x, ¿es más difícil girar el aspa respecto al eje x o el eje y? 0 "x, y# ! sx 11. Una lámina ocupa la parte del disco x2 ! y2 - 1 en el primer cuadrante. Encuentre su centro de masa si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el eje x. 12. Encuentre el centro de masa de la lámina del ejercicio 11 si la densidad en cualquier punto es proporcional al cuadrado de su distancia desde el origen. SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 17. Encuentre los momentos de inercia I x , I y , I 0 para la lámina del ejercicio 7. 7. D esta acotada por y ! 1 $ x2 y y ! 0; r(x, y) ! ky x, y 16. Una lámina ocupa la región dentro de la circunferencia x2 ! y2 ! 2y, pero fuera de la circunferencia x2 ! y2 ! 1. Encuentre el centro de masa si la densidad en cualquier punto es inversamente proporcional a su distancia desde el origen. 5. D es la región triangular con vértices (0, 0), (2, 1), (0, 3); 9. D semicircunferencias y ! s1 $ x 2 y y ! s4 $ x 2 junto con las porciones del eje x que las une. Encuentre el centro de masa de la lámina si la densidad en cualquier punto es proporcional a su distancia desde el origen. 21-24 Una lámina con densidad constante r(x, y) ! r ocupa la región dada. Encuentre los momentos de inercia I x e I y y los radios de giro x y y. 21. El rectángulo 0 # x # b, 0 # y # h 22. El triángulo con vértices "0, 0#, "b, 0# y "0, h# 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 15.6 24. La región bajo la curva y ! sen x de x ! 0 a x ! p 25-26 Use un sistema algebraico computarizado para hallar la masa, el centro de masa y el momento de inercia de la lámina que ocupa la región D y la función de densidad dada. 25. D está encerrada por el pétalo derecho de una rosa de cuatro pétalos r ! cos 2) ; 26. D ! !"x, y# 0 "x, y# ! x 2 ! y 2 $ 0 # y # xe , 0 # x # 2 % ; 0 "x, y# ! x 2 y 2 $x 27. La función de densidad conjunta para un par de variables aleatorias X y Y es Cx 1 f x, y 0 y si 0 x 1, 0 de lo contrario 2 y a) Encuentre el valor de la constante C. b) Determine P"X # 1, Y # 1#. c) Determine P"X ! Y # 1#. f x, y 4xy 0 si 0 x 1, 0 de lo contrario y 1 es una función de densidad conjunta. b) Si X y Y son variables aleatorias cuya función de densidad conjunta es la función f del inciso a), encuentre i) P (X % 12 ) ii) P (X % 12 , Y # 21 ) c) Determine los valores esperados de X y Y. 29. Suponga que X y Y son variables aleatorias con función de densidad conjunta. f x, y 0.1e 0 0.5x 0.2y si x 0, y 0 de lo contrario a) Compruebe que f es en realidad una función de densidad conjunta. b) Encuentre las siguientes probabilidades i) P"Y % 1# ii) P"X # 2, Y # 4# c) Halle los valores esperados de X y Y. 30. a) Una lámpara tiene dos bombillas de un tipo con una duración promedio de 1000 horas. Si se supone que la probabilidad de falla de estas bombillas se puede modelar mediante una función de densidad exponencial con media m ! 1000, encuentre la probabilidad de que ambas bombillas fallen en el lapso de 1000 horas. 15.6 SAC 31. Suponga que X y Y son variables aleatorias independientes, donde X tiene una distribución normal con media 45 y desviación estándar 0.5 y Y tiene una distribución normal con media 20 y desviación estándar 0.1. a) Encuentre P"40 # X # 50, 20 # Y # 25#. b) Determine P (4"X $ 45#2 ! 100"Y $ 20#2 # 2). 32. Xavier y Yolanda tienen clases que terminan a medio día y acuerdan reunirse todos los días después de clase. Llegan a la cafetería de manera independiente. El tiempo de llegada de Xavier es X y el tiempo de llegada de Yolanda es Y, donde X y Y se miden en minutos después del medio día. Las funciones de densidad individuales son f1 x 28. a) Compruebe que 1013 b) Otra lámpara tiene sólo una bombilla del mismo tipo que en el inciso a). Si se quema una bombilla y se reemplaza por una del mismo tipo, encuentre la probabilidad de que las dos bombillas fallen en un total de 1000 horas. 23. La parte del disco x2 ! y2 - a2 en el primer cuadrante SAC ÁREA DE SUPERFICIE e 0 x si x si x 0 0 f2 y 1 50 0 y si 0 y 10 de lo contrario (Xavier llega un poco después de medio día y tiene más probabilidades de llegar puntual que tarde. Yolanda siempre llega alrededor de las 12:10 p.m. y tiene más probabilidades de llegar tarde que a tiempo). Después que llega Yolanda, espera a Xavier hasta media hora, pero él nunca la espera. Calcule las probabilidades de su encuentro. 33. Al estudiar la diseminación de una epidemia, se supone que la probabilidad de que un individuo infectado contagie la enfermedad a un individuo no infectado, es una función de la distancia entre ellos. Considere una ciudad circular de radio 10 millas en la que la población está distribuida uniformemente. Para un individuo infectado en un punto fijo A(x0, y0), suponga que la función de probabilidad está dada por f "P# ! 201 &20 $ d"P, A#' donde d(P, A) denota la distancia entre P y A. a) Suponga que la exposición de una persona a la enfermedad es la suma de las probabilidades de adquirir la enfermedad de todos los miembros de la población. Suponga que las personas infectadas están distribuidas de manera uniforme por toda la ciudad, con k individuos infectados por milla cuadrada. Encuentre una integral doble que represente la exposición de una persona que reside en A. b) Evalúe la integral para el caso en el que A es el centro de la ciudad y para el caso en el que A se localiza en el borde de la ciudad. ¿Dónde preferiría vivir? Área de superficie En la sección 16.6 trataremos con áreas de superficies más generales, llamadas superficies paramétricas y, por tanto, no necesitamos que se aborde en esta sección. En esta sección aplicamos las integrales dobles al problema de calcular el área de una superficie. En la sección 8.2 encontramos el área de un tipo muy especial de superficie —una superficie de revolución— por medio del cálculo de una sola variable. Aquí calculamos el área de una superficie con ecuación z ! f (x, y), la gráfica de una función de dos variables. Sea S una superficie con ecuación z ! f (x, y), donde f tiene derivadas parciales continuas. Por simplicidad, al derivar la fórmula para el área de una superficie, suponemos que 1014 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES f (x, y) & 0 y el dominio D de f es un rectángulo. Dividimos D en pequeños rectángulos Rij con área ,A ! ,x ,y. Si "x i, yj # está en la esquina de Rij cerca del origen, sea Pij "x i , yj, f "x i , yj## el punto sobre S directamente encima de éste (figura 1). El plano tangente a S en Pij es una aproximación a S cerca de Pij. Así que el área ,Tij de la parte de este plano tangente (un paralelogramo) que está directamente encima de Rij es una aproximación al área ,Sij de la parte de S que está directamente encima de Rij. Así, la suma 00 ,Tij es una aproximación al área total de S, y esta aproximación parece mejorar conforme el número de rectángulos se incrementa. Por tanto, definimos el área de una superficie de S como z ÎTij Pij ÎS ij S Îy 0 R ij D x y (x i , yj ) Îx m 1 ÎA AS n lím m, n l Tij i 1 j 1 FIGURA 1 Para encontrar una fórmula que es más conveniente que la ecuación 1 para propósitos de cálculo, sean a y b los vectores que empiezan en Pij y están a lo largo de los lados de un paralelogramo con área ,Tij. (Véase la figura 2). Entonces ,Tij ! / a ( b /. Recuerde de la sección 14.3 que fx(xi, yj) y fy(xi, yj) son las pendientes de las rectas tangentes que pasan por por Pij en las direcciones de a y b. z Pij b a ÎTij a ! ,x i ! fx "x i , yj # ,x k 0 Îx Îy b ! ,y j ! fy "x i , yj # ,y k y y $ x i j a ( b ! ,x 0 0 ,y FIGURA 2 k fx "xi , yj # ,x fy "xi , yj # ,y $ ! $fx "x i , yj # ,x ,y i $ fy "x i , yj # ,x ,y j ! ,x ,y k ! &$fx "x i , yj #i $ fy "x i , yj #j ! k' ,A Así, ,Tij ! a ( b ! s& fx "x i , yj #' 2 ! & fy "x i , yj #' 2 ! 1 ,A $ $ De la definición 1 tenemos m AS n lím m, nl Tij i 1 j 1 m n s fx xi , yj lím m, nl 2 fy xi , yj 2 1 A i 1 j 1 y por la definición de una doble integral obtenemos la siguiente fórmula. 2 El área de la superficie con ecuación z ! f (x, y), (x, y) # D, donde fx y fy son continuas, es A"S# ! yy s& fx "x, y#' 2 ! & fy "x, y#' 2 ! 1 dA D SECCIÓN 15.6 ÁREA DE SUPERFICIE 1015 En la sección 16.6 verificaremos que esta fórmula es consistente con nuestra fórmula previa para el área de una superficie de revolución. Si usamos la notación alternativa para derivadas parciales, podemos rescribir la fórmula 2 como sigue 3 A"s# ! yy1 * + * + 2 3z 3x 1! 2 3z 3y ! dA D Note la similitud entre la fórmula para el área de la superficie de la ecuación 3 y la fórmula para la longitud de arco de la sección 8.1: L! y b a y 1 * + dy dx 1! 2 dx EJEMPLO 1 Encuentre el área de la superficie de la parte de la superficie z ! x2 ! 2y que está sobre la región triangular T en el plano xy con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1). (1, 1) SOLUCIÓN La región T se muestra en la figura 3 y está descrita por y=x T ! !"x, y# T (0, 0) 0 # y # x% Usando la fórmula 2 con f (x, y) ! x2 ! 2y, obtenemos x (1, 0) $ 0 # x # 1, FIGURA 3 A ! yy s"2x#2 ! "2#2 ! 1 dA ! y 1 0 y x 0 s4x 2 ! 5 dy dx T z ! y xs4x 2 ! 5 dx ! 81 ! 23 "4x 2 ! 5#3,2 0 ! 121 (27 $ 5s5 ) 1 ] 1 0 La figura 4 muestra la porción de la superficie cuya área hemos calculado. EJEMPLO 2 Encuentre el área de la parte del paraboloide z ! x2 ! y2 que está bajo el y T x plano z ! 9. SOLUCIÓN El plano intercepta el paraboloide en la circunferencia x2 ! y2 ! 9, z ! 9. Por FIGURA 4 tanto la superficie dada está sobre el disco D con centro en el origen y radio 3 (véase la figura 5). Usando la fórmula 3, tenemos A! z yy D 9 1 * + * + 1! 3z 3x 2 3z 3y ! 2 dA ! yy s1 ! "2x# 2 ! "2y# 2 dA D ! yy s1 ! 4"x 2 ! y 2 # dA D Convirtiendo a coordenadas polares, obtenemos D x 3 y A!y 2' 0 y 3 0 s1 ! 4r 2 r dr d) ! y 0 ] 3 FIGURA 5 2' ! 2' ( 18 ) 23"1 ! 4r 2 #3,2 0 ! d) y 3 1 8 0 s1 ! 4r 2 "8r# dr ' (37s37 $ 1) 6 1016 15.6 CAPÍTULO 15 INTEGRALES MÚLTIPLES Ejercicios 1-12 Encuentre el ár