- Comenzaremos definiendo el rango de una matriz y luego comentaremos algunas transformaciones de matrices que conservan el rango.
- Después, te explicaremos cómo calcular el rango de una matriz mediante el método de Gauss.
- A continuación, te enseñamos a calcular el rango de una matriz mediante menores.
- Finalmente, verás algunos ejemplos sobre el rango de una matriz.
Rango de las matrices
El rango de las matrices es una característica de las matrices que asocia un número entero positivo a cada matriz.
El rango de una matriz, escrito como \(\mathrm{Rg}(A)\), es el número de columnas o filas linealmente independientes dentro de una matriz. Es decir, se refiere a cuántas filas o columnas de una matriz no son el resultado de operaciones entre ellas.
La mejor manera de entender este concepto es con un ejemplo:
Determina cuántas filas o columnas son linealmente independientes en las siguientes matrices:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\]
\[B=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 0 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
\[C=\begin{pmatrix} 2 &1 &1\\0 & 2 &1\\0 & 0 &-1\end{pmatrix}\]
Solución A
Como puedes observar en la matriz \(A\), la segunda fila corresponde a la primera fila multiplicada por \(2\). Entonces, una fila es la combinación lineal de la otra y, por lo tanto, solo una de ellas es linealmente independiente: \(\mathrm{Rg}(A)=1\).
Solución B
Para la matriz \(B\), podemos observar que la tercera fila es la suma de la primera y la segunda fila. Las dos primeras son linealmente independientes entre sí, por lo que \(\mathrm{Rg}(B)=2\).
Solución C
En la matriz \(C\) no hay ninguna operación entre las filas o columnas que las relacione. Por tanto, \(\mathrm{Rg}(C)=3\). Esto también podría determinarse desde el principio, puesto que en toda matriz triangular en cuya diagonal principal no hay ningún cero, su rango corresponde a la dimensión de la propia matriz; en este caso, \(n=\mathrm{Rg}(C)=3\).
Transformaciones que conservan el rango
Es posible realizar muchas operaciones con matrices que no cambian el rango de la matriz; es decir, operaciones que conservan el rango y, por tanto, la independencia o dependencia entre filas o columnas. Algunas de las operaciones que conservan el rango son:
Intercambiar una fila o columna por otra.
Multiplicar una fila o columna por el mismo número real, siempre que sea distinto de cero.
Sumar o restar una fila o columna a otra multiplicada por un número real.
Tenemos la matriz \(A\) definida como:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\]
Si multiplicamos la segunda fila por \(2\), se mantiene el rango de la matriz:
\[A'=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\]
Hay más transformaciones que conservan el rango de una matriz:
Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras.
Eliminar una fila o columna, que es combinación lineal de las otras: al eliminar una fila o columna linealmente dependiente, no se altera el número de filas o columnas linealmente independientes.
Eliminar una fila o columna de ceros, puesto que una fila o columna de ceros es igual a otra multiplicada por cero.
Trasponer una matriz no cambia su rango, ya que cambiamos las filas por columnas; por eso, el rango por filas para a ser el rango por columnas, y viceversa.
Calcular el rango de una matriz
Para calcular el rango de una matriz, no siempre tienes que estar haciendo operaciones entre filas o columnas. A veces eso resulta útil, porque es muy fácil de ver; pero, otras veces puede resultar complicado.
Debido a esto, se han desarrollado varios métodos sencillos para calcular el rango de una matriz. Veamos los principales:
Calcular el rango de una matriz, por Gauss
En otros temas, ya hemos hablado del método de Gauss y cómo podemos utilizarlo para triangularizar una matriz y calcular su determinante de manera más fácil.
La utilización del método de Gauss para calcular el rango de una matriz consiste en hacer operaciones elementales con sus filas o columnas, de tal forma que se llegue a una matriz escalonada. Así, el rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas.
Hagamos unos ejemplos, para verlo más claramente:
Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss: \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]
Solución
Vamos a triangularizar la matriz:
- Comenzamos haciéndolo por filas, con \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\) y \(F_3 \rightarrow 2F_1-F_3\):\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
- Ahora, podemos hacer \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]
Hemos llegado a una matriz triangular en la que ninguna de sus filas o columnas es nula; por tanto, \(\mathrm{Rg}(A=3\).
Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss:
\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
Solución
- Empezamos a triangularizar la matriz, haciendo \(F_2\rightarrow F_1+2F_2\):\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -4\end{pmatrix}\]
- Aquí, ya podemos ver que la segunda y tercera fila son una combinación lineal (la una de la otra) y una de ellas está multiplicada por \(-1\).
- Sin embargo, vamos a seguir el proceso de triangularización, haciendo \(F_3\rightarrow F_2+F_3\):\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
La última fila se ha anulado (todos sus elementos son ceros); por tanto, esta fila no es linealmente independiente a las demás. Entonces, podemos decir que \(\mathrm{Rg}(B)=2\).
Se puede ver que, en caso de que exista una fila que sea linealmente dependiente de las demás, esto causará una inconsistencia, la fila se eliminará de la matriz y quedará en ceros.
Calcular el rango de una matriz por menores
De acuerdo con las propiedades de los determinantes, podemos llegar a la conclusión de que si el determinante asociado a una matriz es distinto de cero, implica que sus filas o columnas son linealmente independientes. Si tenemos una matriz cuadrada de orden \(n\), lo anterior nos lleva directamente a:
\[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow \mathrm{Rg}(A)=n\]
Por tanto, basta con hacer el determinante de una matriz para comprobar si su rango es igual al orden de la matriz. Por supuesto, en estos casos, solo se puede calcular el determinante para matrices cuadradas.
Entonces, ¿cómo calculamos el rango de una matriz rectangular? La respuesta es: a través de los menores complementarios asociados a la matriz.
En el tema de determinantes, ya te explicamos lo que es el menor de una matriz. Pero, vamos a dar un breve repaso:
Un menor es el determinante de una matriz cuadrada obtenida al eliminar cualquier número de filas o columnas de una matriz.
- Si tenemos una matriz cuadrada, el menor complementario asociado al elemento \(a_{ij}\) es el determinante que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\). Este menor se escribe como \(M_{ij}\).
Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:
\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]
El menor asociado al elemento \(a_{23}\) es el determinante obtenido al eliminar la segunda fila y la tercera columna:
\[M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1\end{vmatrix}\]
Por tanto, el rango de una matriz será el orden del menor de mayor orden que sea distinto de \(0\). Sabiendo ya esto: para calcular el rango de una matriz rectangular, tenemos que calcular los menores de mayor orden asociados a ella.
Calcula el rango de la siguiente matriz:
\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Solución
Tenemos que mirar los menores asociados a esta matriz, que es de orden \(3\times 4\).
Lo usual es empezar por los menores de mayor orden; es decir, determinantes de orden \(3\).
Sin embargo, podemos también empezar por los de orden \(2\) y así asegurarnos que (mínimo) se cumple que \(\mathrm{Rg}(A)=2\).
- Por ejemplo, podemos elegir el primer menor de orden \(2\), (primeros dos elementos de la primera fila y de la segunda fila): \[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=4+1=5\neq 0\]. Por tanto, el rango mínimo de \(A\) es de \(2\).
- Pero, asimismo, podríamos haber elegido otro menor; por ejemplo, el menor de orden \(2\): \[\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-2=0\].
- Este menor es igual a \(0\), y podríamos suponer entonces que \(\mathrm{Rg}(A)<2\). Pero, como ya hemos encontrado otro menor del mismo orden distinto de \(0\), podemos asegurar que el rango es de \(2\), al menos.
Por esto mismo, no basta con calcular un único menor, si este da \(0\); puesto que puede haber otros del mismo orden que sean distintos de \(0\). Así, hay que calcular todos los menores hasta que uno sean distintos de \(0\).
Ahora calculamos un menor de orden \(3\), por ejemplo, tomando las tres primeras columnas:
\[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=7\neq 0\]
Este menor de orden \(3\) es distinto de \(0\); por tanto, podemos afirmar que \(\mathrm{Rg}(A)=3\).
Obviamente, este es el máximo rango que puede tener esta matriz rectangular.
Rango de una matriz: ejemplos
Vamos a hacer varios ejemplos del cálculo del rango de matrices, para que practiques.
Calcula, por el método de Gauss, el rango de la siguiente matriz:
\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]
Solución
Para calcular el rango por el método de Gauss, tenemos que triangularizar la matriz. Para esto, podemos hacer \(F_2\rightarrow 3F_1+F_2\) y \(F_3\rightarrow 2F_1+F_3\):
\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \end{pmatrix}\]
Ya podemos ver que la segunda y la tercera fila son iguales. Sin embargo, terminamos de triangularizar, haciendo \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):
\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Hemos obtenido una fila nula, las otras dos son linealmente independientes. Por tanto, \(\mathrm{Rg}(A)=2\).
Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de Gauss y por menores:
\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Solución
1. Primero, calculamos por el método de Gauss, triangularizando la matriz.
Hacemos \(F_2\rightarrow F_1+F_2\):
\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Ahora, podemos hacer \(F4\rightarrow F_2+F_4\):
\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}\]
Por último, hacemos \(F_4\rightarrow F_3-F_4\):
\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Hemos obtenido una fila nula y otras tres que son linealmente independientes; por tanto:
\[\mathrm{Rg}(B)=3\]
2. Ahora, vamos a calcular este mismo rango, pero usando menores.
En este caso, al ser una matriz cuadrada, su menor de mayor orden es justamente el determinante de la propia matriz \(B\). Por tanto, lo más fácil es calcular el determinante de la matriz \(B\). Según lo que hemos explicado, si el determinante de esta matriz es distinto de \(0\), entonces podemos afirmar que el rango es igual al orden de la matriz; en este caso, \(\mathrm{Rg}(B)=4\).
Por tanto, calculamos el determinante. Puedes usar cualquier método; en esta ocasión, vamos a calcularlo por los elementos de la primera columna, puesto que hay 2 ceros. Aunque, antes podemos hacer \(F_2\rightarrow F_1+F_2\), lo cual nos llevará a obtener otro cero en esta primera columna:
\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]
Ahora, desarrollamos el determinante por el único elemento de la primera columna (no confundas esto con uno de los menores de la matriz):
\[\det(B)=1·(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]
Para calcular este determinante, puedes usar (también) cualquier método; nosotros vamos a aplicar la regla de Sarrus:
\[\det(B)=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=24-45+0-36+0-15=0\]
El determinante de la matriz \(B\) es \(0\). Esto implica que su rango es menor de \(4\).
Cojamos un menor de orden \(3\). Por ejemplo:
\[M_{14}=\begin{vmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix}=-12\neq 0\]
Hemos encontrado un menor de orden \(3\), que es distinto de \(0\). Podemos afirmar entonces que:
\[\mathrm{Rg}(B)=3\]
Como pudiste comprobar, por ambos métodos se llega al mismo resultado; la única diferencia es el proceso de cálculo. A veces uno resulta más sencillo que el otro. ¡Con la práctica irás viendo cuál aplicar, dependiendo de la matriz que tengas!
Rango de una matriz - Puntos clave
- El rango de una matriz, escrito como \(\mathrm{Rg}(A)\), es el número de columnas o filas linealmente independientes dentro de una matriz.
- Algunas operaciones que conservan el rango son:
Intercambiar una fila o columna por otra.
Multiplicar una fila o columna por el mismo número real, siempre que sea distinto de cero.
Sumar o restar una fila o columna a otra multiplicada por un número real.
- Sumar a una fila o columna una combinación lineal de las otras.
- Eliminar una fila o columna que es combinación lineal de las otras, puesto que al eliminar una fila o columna linealmente dependiente, no se altera el número de filas o columnas linealmente independientes.
- Eliminar una fila o columna de ceros, puesto que una fila o columna de ceros es igual a otra multiplicada por cero.
- Trasponer una matriz no cambia su rango, ya que cambiamos las filas por columnas. Por esto, el rango por filas pasa a ser el rango por columnas, y viceversa.
El método de Gauss para calcular el rango de una matriz es hacer operaciones elementales con sus filas o columnas para llegar a una matriz escalonada. El rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas.
Si tenemos una matriz cuadrada, podemos afirmar que: \[\det(A)\neq 0 \Leftrightarrow \mathrm{Rg}(A)=n\]
- El rango de una matriz será el orden del menor de mayor orden que sea distinto de \(0\).
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Preguntas frecuentes sobre Rango de una matriz
¿Cómo calcular el rango de una matriz?
El rango de una matriz se puede calcular mediante el método de Gauss o por menores. Ambos nos dicen cuántas filas o columnas son linealmente independientes, lo cual es el rango de la matriz.
¿Cuáles son ejemplos del cálculo del rango de una matriz?
Para calcular el rango de una matriz puedes utilizar, por ejemplo, el método de Gauss; o puedes calcularlo por menores. Sin embargo, también puedes utilizar otros métodos, entre los que se incluye realizar operaciones entre filas o columnas para buscar combinaciones lineales entre ellas.
¿Cómo se calcula el rango de una matriz por el método de Gauss?
Para calcular el rango de una matriz por el método de Gauss lo que debemos hacer es triagularizar la matriz. Como sabemos (por las propiedades de las matrices), hacer operaciones entre filas o columnas no cambia el rango de la matriz. De este modo, operamos entre filas o columnas para llegar a una matriz triangular. El rango de la matriz será el número de filas o columnas no nulas que haya después de la triangularización.
¿Cómo calcular el rango de una matriz por menores?
El cálculo del rango de una matriz por menores se basa en determinar los menores de mayor orden de la matriz cuyo determinante sea distinto de cero. El rango de la matriz será el orden del menor de mayor orden cuyo determinante sea distinto de cero.
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