Partielle Integration

Jede Methode zur Integration einer Funktion hat eine korrespondierende Regel zur Ableitung. Bei der partiellen Integration ist dies die Produktregel. Wie der Name schon sagt, wird partielle Integration verwendet, um eine Funktion zu integrieren, die aus zwei (oder mehreren) Faktoren besteht. Daher wird partielle Integration auch Produktintegration genannt.

Definition

\( \large{ \displaystyle\int f(x) \cdot g^{\prime}(x) \,\mathrm{d}x\;=\; f(x) \cdot g(x) – \int f^{\prime}(x) \cdot g(x) \,\mathrm{d}x } \)

Bei der partiellen Integration muss man selbst entscheiden, welcher Faktor f(x) und welcher g(x) sein soll. Da bei der partiellen Integration f(x) abgeleitet wird und g(x) integriert wird, sollte man sich für den Faktor entscheiden der einfacher abzuleiten bzw. zu integrieren ist.

Bei der partiellen Integration wird die zu ursprüngliche Funktion so umgeschrieben, dass die neue Funktion einfacher zu integrieren ist.

Wahl von f(x) und g'(x)

Entscheidend bei partieller Integration ist die Wahl von f(x) und g'(x). Eine falsche Wahl kann unter Umständen dazu führen, dass das Integral noch komplizierter wird. Sollte dies der Fall sein, ist es sehr wahrscheinlich, dass man f(x) und g'(x) tauschen sollte.
Es gibt eine einfache aber hilfreiche Faustregel

L = logarithmische Funktionen (log_e, log_a, …)

I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, asec, …)
A = algebraische Funktionen (x², 5x³, …)
T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, csc)

E = Exponentialfunktionen (e^x, 5a^x)

Entsprechend des Rangs wird f(x) ausgewählt. Will man beispielsweise \( x^2\cdot\cospar{x} \) integrieren, so würde man x² für f(x) wählen und cos(x) für g'(x), da algebraische Funktionen wie x² höher in der Liste stehen als trigonometrische Funktionen.
Beachte, dass es sich hierbei um eine Faustregel handelt. Das heißt, dass sie zwar in den meisten Fällen gute Ergebnisse liefern wird, aber nicht unfehlbar ist!

Eselsbrücke: Wer sich LIATE nicht so gut merken kann, kann sich vielleicht DETAIL (LIATE rückwärts mit noch einem D) besser behalten.

Beispiel

Integriere \( \int x\cdot \sinpar{x}\mathrm{d}x \)

Als erstes müssen wir festlegen, welcher der beiden Faktoren f(x) und welcher g(x) sein soll. Da f(x) abgeleitet und g(x) integriert wird, sollten wir unsere Wahl so treffen, dass die einfachsten Funktionen für die entsprechende Operation ausgewählt werden. Gemäß LIATE entscheiden wir uns für:
\( \displaystyle\int \ubrace[f(x)]{x \vphantom{\sinpar{x}}}\cdot \ubrace[g^{\prime}(x)]{\sinpar{x}}\mathrm{d}x \)

Nun müssen wir die Ableitung von f(x) und die Stammfunktion von g(x) finden:
\( \begin{matrix} f(x) & = & x & f^{\prime}(x) & = & 1 \\ g^{\prime}(x) & = & \sin(x) & g(x) & = & -\cos(x) \end{matrix} \)
Nach der Formel für partielle Integration schreiben wir nun:
\( \begin{align} \displaystyle\int x\cdot \sinpar{x}\mathrm{d}x &= \int f(x)\cdot g^{\prime}(x)\,\mathrm{d}x= f(x) \cdot g(x) – \int f^{\prime}(x) \cdot g(x) \,\mathrm{d}x \\ &= -x\cdot \cospar{x}-\int 1\cdot \big(-\cospar{x}\big)\;\mathrm{d}x \\ &= \boxed{ -x\cdot\cospar{x}+\sinpar{x} {\color{lightergray} + C} } \end{align} \)

Beachte!

Auch wenn wir uns bei f(x) und g'(x) anders entschieden hätten, wäre das Ergebnis das selbe gewesen. Es wäre nur viel komplizierter gewesen.

\( \begin{matrix}f(x) & = & \sin(x) & f^{\prime}(x) & = & \cos(x) \\ g^{\prime}(x) & = & x & g(x) & = & \dfrac{x^2}{2}\end{matrix} \)

Damit würden wir entsprechend der partiellen Integration schreiben:

\( \begin{align} \displaystyle\int x\cdot \sinpar{x}\mathrm{d}x &= \int g^{\prime}(x)\cdot f(x)\,\mathrm{d}x= f(x) \cdot g(x) – \int f^{\prime}(x) \cdot g(x) \,\mathrm{d}x \\ &= -\sinpar{x}\cdot\dfrac{x^2}{2}-\int \cospar{x}\cdot \dfrac{x^2}{2}\;\mathrm{d}x \end{align} \)

Wie man sehen kann, haben wir den Term verkompliziert. Statt nur x haben wir jetzt x². Das neue Integral ist keinesfalls einfacher als das ursprüngliche und kann wieder nur mit partieller Integration gelöst werden.

Gehen wir davon aus, dass wir das Integral lösen konnten. Dann hätten wir statt dem relativ überschaubaren Term in Schritt 3 folgendes gehabt:

\( \dfrac{{x}^{2}\,\mathrm{sin}\left( x\right) }{2}-\dfrac{\left( {x}^{2}-2\right) \,\mathrm{sin}\left( x\right) +2\,x\,\mathrm{cos}\left( x\right) }{2}\;=\;\mathrm{sin}\left( x\right) -x\,\mathrm{cos}\left( x\right) \)

Wie man sieht, sind beide Integrale tatsächlich identisch — zumindest nach dem sie zeitaufwändig vereinfacht wurden. Die Wahl von f(x) und g'(x) ist also entscheidend!

Als erstes müssen wir festlegen, welcher der beiden Faktoren f(x) und welcher g(x) sein soll. Da f(x) abgeleitet wird und g(x) integriert wird, wollten wir unsere Wahl so treffen, dass die einfachsten Funktionen ausgewählt werden. Wir entscheiden uns für: