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1II132 Grupo #5 Intervalos de confianza para la diferencia de dos proporciones
Estadistica (7727)
Universidad Tecnológica de Panamá
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICO DE PANAMÁ
FACULTAD DE INGENIRÍA INDUSTRIAL
LICENCIATURA INGENIERÍA INDUSTRIAL
PROGRAMA EDUCATIVO
ESTADÍSTICA II
TRABAJO
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS
PROPORCIONES
INTEGRANTES
ARENAS, DAVID 8-948-
CONTRERAS, ARMANDO E-8-
LUBO, MARIA PAULA 20-14-
PALMA, KIMBERLY 8-946-
PAN, CINDY 8-955-
RIVAS, ROSSANA 8-898-
FACILITADOR (A)
SANTAMARÍA, ICENIT
CÓDIGO DE GRUPO
1II-
AÑO
2020
DÍA DE ENTREGA
29 DE OCTUBRE DE 2020
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................
- INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................
- CONCEPTO ...............................................................................................................................................
- INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES ............................................
- PROBLEMAS ............................................................................................................................................
- EJERCICIO 1 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 2 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 3 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 4 .............................................................................................................................................
- CONCLUSIÓN .........................................................................................................................................
CONCEPTO ...............................................................................................................................................
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado en una muestra en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- a. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza a. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- a=95% (o significancia a=5%). Menos frecuentes son los intervalos con a=10% o a=1%.
INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES ............................................
Si ^ p 1 y ^ p 2 son las proporciones de éxitos en muestras aleatorias de tamaños n 1 y n 2 , respectivamente, q ^ 1 = 1 −^ p 1 y q ^ 2 = 1 −^ p 2 un intervalo de confianza aproximado del 100 ( 1 − ∝ )% para la diferencia de dos parámetros binomiales p 1 − p 2 es dado por:
O de manera breve:
donde zα/2 es el valor z que deja un área de α/2 a la derecha.
Condiciones Para encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones de la población, es necesario asegurarse de que:
Tenemos dos muestras aleatorias simples de grandes poblaciones. Aquí “grande” significa que la población es al menos 20 veces mayor que el tamaño de la muestra. Los tamaños de las muestras se denotarán por n 1 y n 2. Nuestros individuos han sido elegidos de forma independiente el uno del otro. Hay por lo menos diez éxitos y fracasos diez en cada una de nuestras muestras.
PROBLEMAS ............................................................................................................................................
EJERCICIO 1 .............................................................................................................................................
- De acuerdo con el USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituían el 33%
del personal de redacción en las estaciones locales de televisión en 1990 y el 36% en
- Suponga que en 1990 y en 1994 se contrataron 20 nuevos empleados para el personal de redacción. a) Estime el número de trabajadores que habrían sido mujeres en 1990 y en 1994, respectivamente. b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para saber si hay evidencia de que la proporción de mujeres contratadas para el equipo de redacción fue mayor en 1994 que en 1990.
Datos:
Tamaño de la muestra n=20 empleados
Proporción de éxitos en 1990 las mujeres constituían 33% de 20 empleados ^ P 1 = x n
=6.
20
=0.
Proporción de éxitos en 1994 las mujeres constituían 36% de 20 empleados ^ P 2 = x n
=7.
20
=0.
Proporción de fracasos de la muestra en 1990 q ^ 1 = 1 −^ P 1 = 1 −0=0.
Proporción de fracasos de la muestra en 1994 q ^ 2 = 1 −^ P 2 = 1 −0=0.
Intervalo de confianza IC=95%
100γ=100(1- α )%=> α =5 %=0=¿ Zα 2
= Z 0 ≅ 1 ( Tabla A)
a) Estime el número de trabajadores que habrían sido mujeres en 1990 y en 1994, respectivamente.
En 1990 el 33% de 20 n ∗^ P 1 = 20 ∗0.337=6 ≈ 7 Mujeres En 1994 el 36% de 20 n ∗^ P 2 = 20 ∗0.362=7 ≈ 7 Mujeres
∴ Se estima que en 1990 habría sido de 6 ≈ 7 Mujeres , y en 1994 la estimación habría sido de 7 ≈ 7 Mujeres
EJERCICIO 2 .............................................................................................................................................
Se quiere saber si la proporción de mujeres zurdas en ITSON (P1) difiere o no de la proporción de hombres zurdos en ITSON (P2). Para poder responder a ese cuestionamiento deben seleccionarse muestras aleatorias de hombres y mujeres. Suponga que se seleccionaron 200 hombres y 220 mujeres de los cuales 20 hombres y 23 mujeres resultaron ser zurdos. Suponga un porcentaje de confianza del 95%.
n 1 = muestra de mujeres seleccionadas = 220 x 1 = mujeres zurdas en lamuestra = 23 n 2 = muestra de hombres seleccioandos = 200 x 2 = hombres zurdos en la muestra = 20
1 − α =95 % a 2
= 1 −0.
2
=0 Z 0=1.
Se buscan las proporciones muestrales
́ p 1 = x 1 n 1
= 23
220
=0 ́ p 2 =
x 2 n 2
= 20
200
=0.
Siguiendo la fórmula
( ́ p 1 − ́ p 2 )− z 0.
√
́ p 1 ( 1 − ́ p 1 )
n 1
+
́ p 2 ( 1 − ́ p 2 )
n 2
≤ P 1 − P 2 ≤ ( ́ p 1 − ́ p 2 )+ z 0.
√
́ p 1 ( 1 − ́ p 1 )
n 1
+
́ p 2 ( 1 − ́ p 2 )
n 2
(0−0)−1.
√
0( 1 −0)
220
+
0( 1 −0)
200
≤ P 1 − P 2 ≤ (0−0)+1.
√
0( 1 −0)
220
+
0.
−0 ≤ P 1 − P 2 ≤ 0.
Como el 0 está contenido en el intervalo, al 95% de confianza la proporción de hombres y mujeres zurdos es la misma.
EJERCICIO 3 .............................................................................................................................................
Se desea determinar si un cambio en el proceso de fabricación de cierto tipo de piezas ha sido efectivo o no. Para esto se toman dos muestras aleatorias, una antes y otra después del cambio. Los resultados se presentan en la tabla. Construir un intervalo de confianza del 90% para decidir si el cambio tuvo efecto positivo o no.
Antes Después
Piezas Defectuosas 75 80Piezas Analizadas 1500 2000DESARROLLO
Se buscan las proporciones muestrales
^ P 1 → 75 1500
=0=5 %
^ P 2 → 80
2000
=0=4 %
Siguiendo la fórmula
I =( P ^ 1 −^ P 2 ) ± Zα 2 √
P 1 Q 1
n 1
+
P 2 Q 2
n 2
I =(0−0) ± (1)
√
(0)( 1 −0)
1500
+
(0)( 1 −0)
2000
I =−0< P 1 − P 2 <0.
Como el cero esta entre los intervalos se concluye que no hay diferencias significativas entre la proporción de defectos antes del cambio y después del cambio por lo que no se genera una disminución significativa del número de piezas defectuosas o del porcentaje de ellos.
EJERCICIO 4 .............................................................................................................................................
En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 jóvenes reconocieron que les había gustado. Determinar un intervalo de confianza a) 95% y b) 99%, para la diferencia en proporciones de todos los adultos y jóvenes que vieron con agrado el programa.
A) 95% DESARROLLO Se buscan las proporciones muestrales ^ P 1 → 300 600
=0=50 %
^ P 2 → 100
400
=0=25 %
Siguiendo la fórmula
1II132 Grupo #5 Intervalos de confianza para la diferencia de dos proporciones
Materia: Estadistica (7727)
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INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE DOS
PROPORCIONES
INTEGRANTES
ARENAS, DAVID 8-948-
CONTRERAS, ARMANDO E-8-
LUBO, MARIA PAULA 20-14-
PALMA, KIMBERLY 8-946-
PAN, CINDY 8-955-
RIVAS, ROSSANA 8-898-
FACILITADOR (A)
SANTAMARÍA, ICENIT
CÓDIGO DE GRUPO
1II-
AÑO
2020
DÍA DE ENTREGA
29 DE OCTUBRE DE 2020
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................
- INTRODUCCIÓN .......................................................................................................................................
- CONCEPTO ...............................................................................................................................................
- INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES ............................................
- PROBLEMAS ............................................................................................................................................
- EJERCICIO 1 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 2 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 3 .............................................................................................................................................
- EJERCICIO 4 .............................................................................................................................................
- CONCLUSIÓN .........................................................................................................................................
CONCEPTO ...............................................................................................................................................
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores, calculado en una muestra en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- a. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza a. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1- a=95% (o significancia a=5%). Menos frecuentes son los intervalos con a=10% o a=1%.
INTERVALOS DE CONFIANZA DE LA DIFERENCIA DE DOS PROPORCIONES ............................................
Si ^ p 1 y ^ p 2 son las proporciones de éxitos en muestras aleatorias de tamaños n 1 y n 2 , respectivamente, q ^ 1 = 1 −^ p 1 y q ^ 2 = 1 −^ p 2 un intervalo de confianza aproximado del 100 ( 1 − ∝ )% para la diferencia de dos parámetros binomiales p 1 − p 2 es dado por:
O de manera breve:
donde zα/2 es el valor z que deja un área de α/2 a la derecha.
Condiciones Para encontrar un intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones de la población, es necesario asegurarse de que:
Tenemos dos muestras aleatorias simples de grandes poblaciones. Aquí “grande” significa que la población es al menos 20 veces mayor que el tamaño de la muestra. Los tamaños de las muestras se denotarán por n 1 y n 2. Nuestros individuos han sido elegidos de forma independiente el uno del otro. Hay por lo menos diez éxitos y fracasos diez en cada una de nuestras muestras.
PROBLEMAS ............................................................................................................................................
EJERCICIO 1 .............................................................................................................................................
- De acuerdo con el USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituían el 33%
del personal de redacción en las estaciones locales de televisión en 1990 y el 36% en
- Suponga que en 1990 y en 1994 se contrataron 20 nuevos empleados para el personal de redacción. a) Estime el número de trabajadores que habrían sido mujeres en 1990 y en 1994, respectivamente. b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para saber si hay evidencia de que la proporción de mujeres contratadas para el equipo de redacción fue mayor en 1994 que en 1990.
Datos:
Tamaño de la muestra n=20 empleados
Proporción de éxitos en 1990 las mujeres constituían 33% de 20 empleados ^ P 1 = x n
=6.
20
=0.
Proporción de éxitos en 1994 las mujeres constituían 36% de 20 empleados ^ P 2 = x n
=7.
20
=0.
Proporción de fracasos de la muestra en 1990 q ^ 1 = 1 −^ P 1 = 1 −0=0.
Proporción de fracasos de la muestra en 1994 q ^ 2 = 1 −^ P 2 = 1 −0=0.
Intervalo de confianza IC=95%
100γ=100(1- α )%=> α =5 %=0=¿ Zα 2
= Z 0 ≅ 1 ( Tabla A)
a) Estime el número de trabajadores que habrían sido mujeres en 1990 y en 1994, respectivamente.
En 1990 el 33% de 20 n ∗^ P 1 = 20 ∗0.337=6 ≈ 7 Mujeres En 1994 el 36% de 20 n ∗^ P 2 = 20 ∗0.362=7 ≈ 7 Mujeres
∴ Se estima que en 1990 habría sido de 6 ≈ 7 Mujeres , y en 1994 la estimación habría sido de 7 ≈ 7 Mujeres
EJERCICIO 2 .............................................................................................................................................
Se quiere saber si la proporción de mujeres zurdas en ITSON (P1) difiere o no de la proporción de hombres zurdos en ITSON (P2). Para poder responder a ese cuestionamiento deben seleccionarse muestras aleatorias de hombres y mujeres. Suponga que se seleccionaron 200 hombres y 220 mujeres de los cuales 20 hombres y 23 mujeres resultaron ser zurdos. Suponga un porcentaje de confianza del 95%.
n 1 = muestra de mujeres seleccionadas = 220 x 1 = mujeres zurdas en lamuestra = 23 n 2 = muestra de hombres seleccioandos = 200 x 2 = hombres zurdos en la muestra = 20
1 − α =95 % a 2
= 1 −0.
2
=0 Z 0=1.
Se buscan las proporciones muestrales
́ p 1 = x 1 n 1
= 23
220
=0 ́ p 2 =
x 2 n 2
= 20
200
=0.
Siguiendo la fórmula
( ́ p 1 − ́ p 2 )− z 0.
√
́ p 1 ( 1 − ́ p 1 )
n 1
+
́ p 2 ( 1 − ́ p 2 )
n 2
≤ P 1 − P 2 ≤ ( ́ p 1 − ́ p 2 )+ z 0.
√
́ p 1 ( 1 − ́ p 1 )
n 1
+
́ p 2 ( 1 − ́ p 2 )
n 2
(0−0)−1.
√
0( 1 −0)
220
+
0( 1 −0)
200
≤ P 1 − P 2 ≤ (0−0)+1.
√
0( 1 −0)
220
+
0.
−0 ≤ P 1 − P 2 ≤ 0.
Como el 0 está contenido en el intervalo, al 95% de confianza la proporción de hombres y mujeres zurdos es la misma.
EJERCICIO 3 .............................................................................................................................................
Se desea determinar si un cambio en el proceso de fabricación de cierto tipo de piezas ha sido efectivo o no. Para esto se toman dos muestras aleatorias, una antes y otra después del cambio. Los resultados se presentan en la tabla. Construir un intervalo de confianza del 90% para decidir si el cambio tuvo efecto positivo o no.
Antes Después
Piezas Defectuosas 75 80Piezas Analizadas 1500 2000DESARROLLO
Se buscan las proporciones muestrales
^ P 1 → 75 1500
=0=5 %
^ P 2 → 80
2000
=0=4 %
Siguiendo la fórmula
I =( P ^ 1 −^ P 2 ) ± Zα 2 √
P 1 Q 1
n 1
+
P 2 Q 2
n 2
I =(0−0) ± (1)
√
(0)( 1 −0)
1500
+
(0)( 1 −0)
2000
I =−0< P 1 − P 2 <0.
Como el cero esta entre los intervalos se concluye que no hay diferencias significativas entre la proporción de defectos antes del cambio y después del cambio por lo que no se genera una disminución significativa del número de piezas defectuosas o del porcentaje de ellos.
EJERCICIO 4 .............................................................................................................................................
En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 jóvenes reconocieron que les había gustado. Determinar un intervalo de confianza a) 95% y b) 99%, para la diferencia en proporciones de todos los adultos y jóvenes que vieron con agrado el programa.
A) 95% DESARROLLO Se buscan las proporciones muestrales ^ P 1 → 300 600
=0=50 %
^ P 2 → 100
400
=0=25 %
Siguiendo la fórmula