Ley de Wien y Ley de Stefan-Boltzmann: Fórmula y ecuación

Radiación de cuerpo negro

Todos los objetos con una temperatura superior al cero absoluto, 0K o -273{eq}^\circ {/eq}C emiten radiación electromagnética según su temperatura. Los objetos más fríos emitirán radiación con una frecuencia menor que los objetos más calientes. Esto se conoce como radiación de cuerpo negro. Un cuerpo negro es un objeto idealizado que se encuentra en equilibrio térmico y emite radiación en función de su temperatura. Hay muchas fuentes de luz que pueden aproximarse como cuerpos negros y entenderse utilizando la radiación de cuerpo negro. Por ejemplo, las bombillas incandescentes funcionan haciendo pasar corriente a través de un filamento. Esto calienta el filamento hasta que comienza a brillar o emitir radiación electromagnética visible. Otro ejemplo es el Sol, que se calienta mediante reacciones nucleares y emite luz.

El espectro emitido del cuerpo negro depende de la temperatura del objeto. La intensidad de la luz emitida y la longitud de onda (o frecuencia) máxima cambian con la temperatura. Los objetos que tienen una temperatura más alta tendrán una intensidad más alta y una longitud de onda más baja que los objetos más fríos. Esto se puede ver en el diagrama.

El diagrama muestra las longitudes de onda máximas de tres objetos con diferentes temperaturas. El objeto que tiene una temperatura de alrededor de 6000 K tiene una longitud de onda máxima de aproximadamente 480 nm. Un objeto con una temperatura de alrededor de 4000 K tiene una longitud de onda máxima de 700 nm. En el gráfico también se puede ver el espectro de luz visible, que se extiende desde aproximadamente 380 nm, que es violeta, hasta aproximadamente 700 nm, que corresponde al rojo.

El comportamiento de los radiadores de cuerpo negro se puede describir mediante dos leyes.

• la ley de Wien y
• ley de stefan-boltzmann

La ley de Wien establece que la longitud de onda es inversamente proporcional a la temperatura. La ley de Stefan-Boltzmann dice que la potencia de la radiación emitida es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Estas leyes son muy importantes en el campo de la astronomía. Dado que las estrellas son cuerpos negros, se pueden utilizar para determinar estas propiedades de una estrella si se puede medir el espectro.

Ley de Viena

La ley de Wien, o ley de desplazamiento de Wien, describe la relación entre la temperatura de un cuerpo negro y la longitud de onda máxima que emite. La longitud de onda máxima es la longitud de onda que tiene la mayor intensidad. Esta ley fue propuesta por primera vez por el físico alemán Wilhelm Wien en 1893. Demostró que, si bien los cuerpos negros emiten en una amplia gama del espectro, el pico de intensidad se producía en una longitud de onda predecible para una temperatura determinada. Posteriormente recibió el Premio Nobel por esta ley.

Fórmula de la ley de Wien

La fórmula de la ley de Wien se puede escribir matemáticamente como

{eq}\lambda_{max} = \frac{b}{T} {/eq}

Donde {eq}T {/eq} es la temperatura absoluta del cuerpo negro en Kelvin y {eq}b {/eq} es una constante de proporcionalidad llamada constante de desplazamiento de Wien, que viene dada por

{eq}b = 2,898\times10^{-3} m\cdot K {/eq}

Esta ley muestra que duplicar la temperatura de un objeto reducirá a la mitad la longitud de onda máxima que se emite. Esto significa que, dada la temperatura de un cuerpo negro, es posible encontrar la longitud de onda máxima que emitirá el cuerpo, lo que lo convierte en una poderosa herramienta en astronomía.

Aplicación de la ecuación de la ley de Wien

Considere este ejemplo. El Sol tiene una temperatura superficial de 5800 K, ¿cuál es la longitud de onda máxima de la luz emitida por el Sol? Esto se puede calcular utilizando la ecuación de la ley de Wien, que establece

{eq}\lambda_{max} = \frac{b}{T} {/eq}

Sustituyendo los valores en esta ecuación se obtiene

{eq}\lambda_{max} = 2,898\times10^{-3} m\cdot K/5800 K {/eq}

Por lo tanto, la longitud de onda máxima emitida por el Sol es aproximadamente

{eq}\lambda_{max} = 500 nm {/eq}

Esto muestra que la longitud de onda máxima emitida por el Sol está en el medio del espectro visible.

Ley de Stefan Boltzmann

La potencia, o energía total por unidad de área, radiada por un cuerpo negro también depende de la temperatura. La relación entre potencia y temperatura se describe mediante la ley de Stefan-Boltzmann. Esta ley fue propuesta alrededor de 1880 por los físicos austriacos Josef Stefan y Ludwig Boltzmann. Stefan formuló la ley utilizando sus observaciones experimentales, mientras que Boltzmann pudo derivar la misma ley a través de la termodinámica.

La ley establece que la energía total radiada por un cuerpo negro por unidad de superficie y tiempo es proporcional a la temperatura.

Fórmula de la ley de Stefan-Boltzmann

La fórmula de la ley de Stefan-Boltzmann es

{eq}W = \sigma T^4 {/eq}

Donde {eq}W {/eq} potencia emitida, {eq}T {/eq} es la temperatura en Kelvin y {eq}\sigma {/eq} es la constante de proporcionalidad conocida como constante de Stefan-Boltzmann. El valor de la constante de Stefan-Boltzmann es

{eq}\sigma = 5,67\times10^{-8} W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4} {/eq}.

Las unidades de {eq}W {/eq} en esta ecuación son vatios por metro cuadrado porque es energía total por unidad de superficie y tiempo. Esta ley muestra que incluso pequeños cambios de temperatura dan lugar a grandes cambios en la potencia emitida.

Un ejemplo práctico de esto es el regulador de intensidad de una bombilla incandescente. Como se mencionó anteriormente, las bombillas incandescentes funcionan haciendo pasar una corriente a través de un filamento. El uso de un regulador de intensidad cambia la corriente que pasa a través del filamento. Esto cambiará la temperatura y, a su vez, la potencia emitida, haciendo que la bombilla se atenúe.

Aplicación de la ecuación de la ley de Stefan-Boltzmann

De nuevo, consideremos el Sol como ejemplo. La temperatura de la superficie del Sol es de unos 5800 K. ¿Cuál es la potencia emitida? La ecuación de la ley de Stefan-Boltzmann es

{eq}W = \sigma T^4 {/eq}

Sustituyendo los valores conocidos en la ecuación se obtiene

La fórmula de la ley de Stefan-Boltzmann es

{eq}W = (5,67\times10^{-8} W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4})(5800 K)^4 {/eq}

Por tanto, la potencia emitida es

{eq}W = 6,4\times10^7 W\cdot m^{-2} {/eq}

Resumen de la lección

La radiación de cuerpo negro es la emisión de radiación electromagnética basada en la temperatura de un objeto. Se puede describir utilizando dos leyes. La ley de Wien describe la relación entre la longitud de onda máxima y la temperatura, específicamente que la longitud de onda es inversamente proporcional a la temperatura. La ley de Stefan-Boltzmann establece que la potencia emitida es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura.