Medida de la velocidad de la luz. Procedimiento de Roemer
Din�mica celeste |
El Sistema Solar
La luna M�quina de Atwood Periodo de un p�ndulo P�ndulo accionado por fuerzas de marea El fen�meno de las mareas Aceleraci�n de la gravedad Viaje por el interior de la Tierra Modelo del interior de la Tierra Desviaci�n hacia el este de un cuerpo que cae (I) Desviaci�n hacia el este de un cuerpo que cae (II) Choque de un meteorito con la Tierra Medida de G La forma de la Tierra |
Procedimiento de
Roemer Movimiento del sistema Sol-Tierra-J�piter-Io Incremento del periodo observado de Io |
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| La historia de la �ptica es muy antigua, por ejemplo, se han encontrado espejos construidos en el antiguo Egipto. No est� claro qui�n invent� el primer telescopio, pero Galileo Galilei construy� su propio instrumento con el que descubri� el 7 de enero de 1610 los sat�lites de J�piter. En dicho a�o observ� los anillos de Saturno. Pierre Fermat dedujo la ley de la refracci�n, a partir del principio del tiempo m�nimo. La luz se propaga de un punto a otro a lo largo del camino que tarda un tiempo m�nimo, aunque �ste no sea el camino de menor longitud. Hooke fue el primero en estudiar las interferencias generadas por pel�culas delgadas. Propuso la idea de que la luz era un movimiento vibratorio r�pido del medio propag�ndose a gran velocidad. Newton permaneci� ambivalente acerca de la naturaleza de la luz, aunque se inclin� finalmente por la teor�a corpuscular. Sin embargo, Huygens, se inclin� por la teor�a ondulatoria, dedujo las leyes de la reflexi�n y de la refracci�n e incluso explic� la doble refracci�n de la calcita, usando a partir del modelo ondulatorio. En aquella �poca, la luz era un chorro de part�culas o una r�pida ondulaci�n de materia et�rea. En cualquier caso, se estaba de acuerdo en que la velocidad de propagaci�n era excesivamente grande. Roemer en 1676 midi� la velocidad de la luz siguiendo el procedimiento que se detalla a continuaci�n.
El procedimiento de Roemer
En la figura, se muestra el Sol, la Tierra, J�piter y su sat�lite Io en su �rbita alrededor de este planeta. El Sol ilumina J�piter, que proyecta su sombra en el espacio. Io es el sat�lite m�s cercano de J�piter, y est� situado pr�cticamente en el plano de su �rbita alrededor del Sol. El sat�lite Io entra en la sombra proyectada por J�piter por el punto I quedando oculto durante un peque�o intervalo de tiempo, y sale de la sombra por el punto E. Durante medio a�o, el observador terrestre ve la aparici�n de Io oculto en la sombra de J�piter, y durante el otro medio a�o la desaparici�n (eclipses) en dicha sombra. Supongamos que la Tierra est� en la posici�n A, la m�s cercana a J�piter (oposici�n), cuando Io aparece de la sombra de J�piter. El mismo acontecimiento ocurrir� 42.5 horas m�s tarde, cuando Io haya completado una vuelta. La Tierra se mueve alrededor del Sol, despu�s de N periodos de Io, la Tierra se encuentra en la posici�n B (conjunci�n) la m�s alejada de J�piter. Sea P' el periodo de Io medido por un observador terrestre y P el "verdadero" periodo de Io. La distancia entre la Tierra y J�piter se ha incrementado en AB=d=2UA, el di�metro de la �rbita aproximadamente circular de la Tierra alrededor del Sol El astr�nomo mide la diferencia NP'-NP=990 s, que ser� igual al cociente entre la distancia AB y la velocidad de la luz c.
Movimiento del sistema Sol-Tierra-J�piter-IoEn el apartado anterior, se ha hecho una descripci�n simplificada del procedimiento de Roemer para medir la velocidad de la luz, en el que no se ha tenido en cuenta el movimiento de J�piter, ni el cambio de orientaci�n de la sombra proyectada. En este apartado haremos un estudio m�s detallado. Para realizar los c�lculos, supondremos que la Tierra, J�piter describen �rbitas circulares, ya que la excentricidad de la Tierra es 0.017 y la de J�piter 0.048. Los datos relativos a estos cuerpos celestes son los siguientes:
El radio ecuatorial de J�piter es de rJ=71398 km=71.398�106 m Ejercicio:
Aplicamos la ecuaci�n de la din�mica del movimiento circular uniforme
La velocidad orbital de Io es v=17342.2 m/s, y su periodo PIo=152748.4 s=42.4 h=1.768 d�as
Movimiento de la Tierra y J�piter
La Tierra y J�piter se mueven en �rbitas aproximadamente circulares alrededor del Sol.
Establecemos, un Sistema de Referencia con origen en el Sol.
La distancia d entre los centros de ambos planetas es
La m�nima distancia, en el instante t=0, cuando θT=θJ=0 es RJ-RT=5.203-1.0=4.203 UA La distancia entre la Tierra y J�piter va aumentando, medio a�o despu�s la Tierra se encuentra en la posici�n θT=π. J�piter debido a su menor velocidad angular, se encuentra en θJ=2�π�� a�o/11.86 a�os=π/11.86=0.264 rad=15.2� La distancia entre la Tierra y J�piter en dicho instante es d=6.174 UA. Un poco menor que la distancia entre la Tierra y J�piter suponiendo que �ste permanece en reposo d=5.203+1.0=6.203 UA. En una primera aproximaci�n, podemos suponer que J�piter permanece en reposo en la posici�n θJ≈0 durante el medio a�o que duran las observaciones de su sat�lite Io. Movimiento de Io El sat�lite Io describe una �rbita circular de radio rIo=4.216�108 m situada en el plano de la �rbita de J�piter alrededor del Sol. El Sol ilumina J�piter que proyecta su sombra en el espacio. La anchura de la sombra es igual al di�metro de J�piter, cuyo radio es de 71398 km.
Sabiendo que la velocidad angular de Io es el cociente entre 2p (una vuelta) y el periodo de revoluci�n PIo=1.769 d�as, el tiempo que Io permanece en la sombra del planeta J�piter es
A medida que se mueve el planeta J�piter su sombra va cambiando de orientaci�n un �ngulo q J igual al que forma el radio vector que une el Sol con el planeta y la horizontal, tal como puede verse en la figura. Io no aparece y desaparece de forma instant�nea en la sombra proyectada por J�piter, como su radio ecuatorial es de 1820 km, por tanto, el tiempo que tarda en aparecer y desaparecer es igual al cociente entre el di�metro y la velocidad orbital vIo=17342.2 m/s calculada en el ejercicio anterior. El resultado es 3.5 minutos. El radio de la �rbita de Io rIo=4.216�108 m es muy peque�o en comparaci�n incluso con la distancia m�nima entre la Tierra y J�piter 4.203�1.496�1011 =6.29�1011 m, por lo que la distancia entre Io (en el momento en el que aparece de la sombra de J�piter) y la Tierra es aproximadamente igual a la distancia entre J�piter y la Tierra.
Incremento del periodo observado de IoEl periodo de J�piter es de 11.86 a�os, durante el medio a�o en el que van a realizarse las observaciones de su sat�lite Io, su posici�n cambia muy poco. Supondremos tambi�n, que el radio de Io es muy peque�o comparado con la distancia entre J�piter y la Tierra
Cuando la Tierra est� en la posici�n m�s cercana a J�piter la distancia entre estos dos planetas es 5.203-1.0=4.203 UA. Cuando la Tierra est� en la posici�n m�s alejada de J�piter la distancia entre estos dos planetas es 5.203+1.0=6.203 UA. Cuando la Tierra forma un �ngulo θ con la recta que une J�piter y el Sol, la distancia d es
Como la velocidad angular de la Tierra ωT =2π/365.26 rad/d�a, su posici�n es θ=ωT�t Supongamos que cuando la Tierra est� en la posici�n m�s cercana a J�piter, θ=0, a una distancia d1=4.203 UA, ve salir por primera vez a Io de la sombra de J�piter. Un periodo de Io despu�s P=1.769 d�as, la Tierra se encuentra en la posici�n θ=ωT�P=0.03 rad=1.74�. La distancia entre la Tierra y J�piter es d2=4.2036 UA La diferencia de tiempo entre dos apariciones consecutivas de Io debida al incremento de distancia d2-d1 entre J�piter y la Tierra es
Donde c es la velocidad de la luz c=3.0�108 m/s. En este caso Δt=0.286 s, Comparemos dos observaciones consecutivas de la aparici�n de Io. En la observaci�n i, el �ngulo que forma la Tierra con la recta que une el Sol y J�piter es θ=i�ωT�P, la distancia entre la Tierra y J�piter es
En la observaci�n i+1, el �ngulo que forma la Tierra con la recta que une el Sol y J�piter es θ=(i+1)�ωT�P, la distancia entre la Tierra y J�piter es
La diferencia de tiempo entre dos apariciones consecutivas de Io debida al incremento de distancia di+1-di entre J�piter y la Tierra es
En medio a�o, el n�mero total de observaciones es (365.26/2)/1.796=102 En la figura, se representa Δt en segundos en funci�n del n�mero de observaci�n. Si La Tierra parte de la posici�n θ=0 (oposici�n), la figura nos muestra que los periodos observados de Io se van incrementando a medida que la Tierra se aleja de J�piter hasta que alcanza la cuadratura θ=90�. Despu�s, van disminuyendo hasta que se alcanza la conjunci�n θ=180�
En la figura, se representa el incremento del periodo observado de Io Δt en funci�n de la distancia (en UA) entre la Tierra y J�piter
Velocidad relativa de la Tierra respecto de J�piterLa velocidad relativa de la Tierra respecto a J�piter se calcula proyectando los vector velocidad de ambos planetas, cuya direcci�n es perpendicular al radio de su �rbita, a lo largo de la recta que une ambos planetas.
Como vemos en la figura la velocidad relativa vr vale vr=vT�sen(α+θ)-vJ�senα Como la Tierra tarda 365.26 d�as en dar una vuelta completa. La velocidad de la Tierra es
Como J�piter tarda 11.86 a�os en dar una vuelta completa. La velocidad de J�piter es
Conocido el �ngulo θ calculamos el �ngulo α.
En esta otra figura, se representa el incremento del periodo observado de Io, Δt en funci�n de la velocidad relativa entre la Tierra y J�piter a lo largo de la l�nea que une ambos planetas. Este incremento Δt es proporcional a la velocidad relativa vr entre la Tierra y J�piter. Se trata por tanto, de un efecto Doppler.
Cada aparici�n de Io de la sombra de J�piter representa una se�al luminosa peri�dica que se repite cada 1.796 d�as emitida por un observador en movimiento. La se�al luminosa viaja por el espacio a la velocidad de la luz y es vista por un observador terrestre en movimiento. El periodo P' de la se�al recibida y el periodo P de la se�al emitida est�n relacionadas por la f�rmula que describe el efecto Doppler.
Retraso de las apariciones de IoEs muy dif�cil medir una diferencia de tiempo menor que 15 segundos ente dos observaciones consecutivas de la aparici�n de Io. Sin embargo, es posible medir el retraso de la �ltima observaci�n medio a�o despu�s. La primera observaci�n tiene lugar cuando la Tierra est� m�s cercana a J�piter d1=5.203-1.0=4.203 UA; Como el periodo de Io es de P=1.796 d�as. La observaci�n i de la aparici�n de Io de la sombra de J�piter cabr�a esperar que tuviese lugar en el instante t=i�P. Debido a que la Tierra se aleja de J�piter, la observaci�n i tiene lugar en el instante t'=iP+Δt. Donde el retraso Δt vale
Por ejemplo para la �ltima observaci�n i=102, el �ngulo θ=i�ωT�P≈π=180�, que forma la Tierra con la recta que une el Sol y J�piter, Δt=997 s=16.6 min
ActividadesEn el applet observamos, en la parte superior el movimiento de la Tierra y de J�piter a lo largo de medio a�o. En la parte inferior, observamos el movimiento del sat�lite Io, visto con un "telescopio". Cada vez que Io reaparece despu�s de haber estado oculto por la sombra de J�piter el "astr�nomo" apunta el n�mero de observaci�n y el momento de dicha observaci�n (en d�as, horas y minutos). La primera observaci�n marca el tiempo inicial cero. Tambi�n anota las posiciones angulares de la Tierra y de J�piter medidas en grados. En la simulaci�n, se tiene en cuenta el movimiento de J�piter a lo largo de medio a�o, y que las �rbitas que describe la Tierra y J�piter son el�pticas. En la parte inferior izquierda, se representa el tiempo de retraso de la aparici�n de Io. Este retraso es de unos 1000 segundos, para la �ltima observaci�n, cuando la Tierra se encuentra en la posici�n m�s alejada de J�piter. Para obtener el valor de la velocidad de la luz, Roemer supuso que la causa del retraso era el incremento de la distancia entre la Tierra y J�piter y que J�piter se mueve relativamente poco durante el periodo de medio a�o terrestre, por lo que la luz recorre aproximadamente una distancia extra igual al di�metro de la �rbita terrestre 2 UA. La velocidad de la luz ser�, entonces
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Medida de la velocidad
de la luz.
Referencias
Shea J. H., Ole Rǿmer, the speed of light, the apparent period of Io, the Doppler effect, and the dynamics of Earth and Jupiter. Am. J. Phys. 66 (7) July 1988, pp. 561-569