Funzione identità y=x
Una sintesi sulla funzione identità, intesa come funzione da R a R. Partiamo dalla definizione e dall'espressione analitica; poi, ne tracciamo il grafico e lo commentiamo.
Infine, passiamo all'elenco completo delle sue proprietà, in cui potete limitarvi a quelle relative a concetti che avete già studiato.
Indice
Definizione della funzione identità
Ricordiamo che una funzione reale di variabile reale f è definita su un dominio in R e che è caratterizzata da un'espressione analitica y = f(x).
La funzione identità è la funzione che associa a ogni x lo stesso valore, secondo la legge y = x.
Come suggerisce il nome, associa a ogni elemento del dominio lo stesso elemento nel codominio.
f:R → R, f(x) = x
In generale la funzione identità può essere definita su un insieme qualsiasi: numerico che non necessariamente coincide con R oppure non numerico.
Detto X l'insieme di definizione, la funzione identica si indica con la scrittura Id_X, ed è la legge che ha come codominio lo stesso insieme X e che associa a ogni elemento x∈ X l'elemento stesso.
In simboli:
Id_X: X → X, x ↦ Id_X(x) = x
Grafico della funzione identità
In accordo con la definizione di grafico, Gr(f) è dato dai punti (x,y) del piano cartesiano tali che l'ascissa x appartiene al dominio e l'ordinata y = f(x) è la relativa valutazione.
Il grafico della funzione identita è la bisettrice del primo e terzo quadrante.
Per capirlo basta osservare che i punti di tale retta sono della forma (x,x), e che nel nostro caso l'ordinata è y = x.
Proprietà della funzione identità
Elenchiamo le proprietà analitiche della funzione identità considerando come dominio e codominio l'insieme dei numeri reali.
- Il dominio è Dom(f) = (−∞,+∞).
- È una funzione illimitata con immagine Im(f) = R.
- È una funzione biunivoca.
- È una funzione dispari.
- È una funzione crescente strettamente su tutto il dominio.
- È una funzione sia convessa che concava.
- È continua su tutto R e derivabile su tutto R.
Limiti agli estremi del dominio:
lim_(x → −∞){x} = −∞ ; lim_(x → +∞){x} = +∞
(d)/(dx)[x] = 1
∫{xdx} = (x^2)/(2)+c con c∈R
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Namasté, see you soon guys!
Fulvio Sbranchella (Agente Ω)
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