t
Los ejemplos no son sólo modelos para resolver problemas o un medio para demostrar las técnicas, sino que los estudiantes también desarrollan una visión analítica del tema. Para proporcionar una mayor comprensión de los conceptos matemáticos, muchos de estos ejemplos detallados muestran soluciones que se presentan gráfica, analítica y/o de forma numérica. Las notas al margen amplían y aclaran los pasos de la solución. t
El tema de las ecuaciones diferenciales es unificado con el tema del modelaje. A los enfoques cualitativos, numéricos y analíticos se les da la misma consideración. t
Se han incrementado el número de problemas a la serie de ejercicios más difíciles de la sección “Problemas adicionales” al final de cada capítulo. Estas secciones refuerzan los conceptos que requieren los estudiantes para aplicar las técnicas de más de un capítulo del texto y la paciencia mostrada en la forma de abordar un problema difícil. E 7 Trascendentes tempranas t
Cada concepto se apoya en ejemplos resueltos con precisión, muchos de ellos con explicaciones paso a paso y ejercicios cuidadosamente seleccionados. La calidad de este sistema pedagógico es lo que distingue a los textos de Stewart de otros. E 7 Cálculo de una variable Características t
Cuatro pruebas de diagnóstico cuidadosamente diseñadas en el álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría aparecen al principio del texto. Éstas proporcionan a los estudiantes una manera conveniente de poner a prueba su conocimiento previo y poner al día las técnicas y habilidades que necesitan para comenzar con éxito el curso. Las respuestas están incluidas y los estudiantes que necesiten mejorar se remiten a los puntos en el texto o en la página web del libro donde pueden buscar ayuda. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas CÁLCULO de una variable, Trascendentes tempranas es ampliamente reconocido por su precisión matemática, claridad de la exposición y notables ejemplos y conjuntos de problemas. Millones de estudiantes en todo el mundo han estudiado el cálculo a través del estilo registrado de Stewart, mientras que los instructores han adoptado su planteamiento una y otra vez. En la séptima edición, Stewart continúa estableciendo el estándar para el curso al tiempo que añade contenido cuidadosamente revisado. Las pacientes explicaciones, los excelentes ejercicios centrados en la resolución de problemas y las series de ejercicios cuidadosamente graduadas que han hecho de los textos de Stewart best sellers, continúan proporcionando una base sólida para esta edición. Desde los estudiantes con menos preparación hasta los más talentosos matemáticos, la redacción y la presentación de Stewart les sirven para mejorar el entendimiento y fomentar la confianza. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página i CÁLCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS SÉPTIMA EDICIÓN 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página ii 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Página iii CÁLCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS SÉPTIMA EDICIÓN JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traducción María del Carmen Rodríguez Pedroza Revisión técnica Dr. Ernesto Filio López Unidad Profesional en Ingeniería y Tecnologías Aplicadas Instituto Politécnico Nacional M. en C. Manuel Robles Bernal Escuela Superior de Física y Matemáticas Instituto Politécnico Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Cálculo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autónoma del Estado de Puebla Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 12:16 a.m. Página iv Cálculo de una variable Trascendentes tempranas Séptima edición James Stewart Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español Pilar Hernández Santamarina Coordinador de Manufactura Rafael Pérez González Editores Sergio Cervantes González Gloria Luz Olguín Sarmiento Diseño de portada Irene Morris Imagen de portada Irene Morris Composición tipográfica 6Ns © D.R. 2012 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage LearningR es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información, a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Single variable. Early trascendentals. Seventh Edition. James Stewart Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012 ISBN: 978-0-538-49867-8 Datos para catalogación bibliográfica Stewart James Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas. Séptima edición ISBN: 978-607-481-881-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página v A Bill Ralph y Bruce Thompson 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página vi 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página vii Contenido Prefacio xiii Al estudiante xxv Exámenes de diagnóstico 1 xxvii UN PREVIO DE CÁLCULO 1 Funciones y modelos 9 1.1 Cuatro maneras de representar una función 1.2 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales 1.3 Nuevas funciones a partir de funciones viejas 1.4 Calculadoras graficadoras y computadoras 1.5 Funciones exponenciales 1.6 Funciones inversas y logaritmos Repaso 36 44 58 72 Límites y derivadas 75 81 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad 2.2 Límite de una función 2.3 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 2.4 La definición precisa de límite 2.5 Continuidad 2.6 Límites al infinito, asíntotas horizontales 2.7 Derivadas y razones de cambio 87 & 99 108 130 143 Primeros métodos para encontrar tangentes La derivada como una función Repaso 82 118 Redacción de proyecto 2.8 23 51 Principios para la resolución de problemas 2 10 153 154 165 Problemas adicionales 170 vii 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:19 p.m. Página viii viii CONTENIDO 3 Reglas de derivación 3.1 173 Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales Proyecto de aplicación 3.2 Reglas del producto y el cociente 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas 3.4 Regla de la cadena 3.5 184 191 209 Familias de curvas implícitas & 217 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 3.9 Razones relacionadas 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales Proyecto de laboratorio 237 250 Polinomios de Taylor & 256 257 268 Aplicaciones de la derivada 273 Valores máximos y mínimos Proyecto de aplicación & 274 Cálculo de arcoíris 282 4.2 Teorema del valor medio 4.3 Cómo afecta la derivada la forma de una gráfica 4.4 Formas indeterminadas y regla de l’Hospital Redacción de proyecto & 284 Resumen de trazado de curvas 4.6 Graficación con cálculo y calculadoras 4.7 Problemas de optimización Proyecto de aplicación 4.8 El método de Newton 4.9 Antiderivadas 344 351 Problemas adicionales 355 & 290 301 Los orígenes de la regla de l’Hospital 4.5 Repaso 224 264 Problemas adicionales 4.1 218 244 Funciones hiperbólicas Repaso 184 ¿Dónde debería un piloto iniciar el aterrizaje? & Derivación implícita Proyecto de laboratorio 3.11 174 198 Proyecto de aplicación 4 Construcción de una montaña rusa & 310 318 325 La forma de una lata 338 337 310 208 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página ix CONTENIDO 5 Integrales 359 5.1 Áreas y distancias 5.2 La integral definida 360 371 Proyecto para un descubrimiento 385 Teorema fundamental del cálculo 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 5.5 Regla de sustitución Repaso & 386 Newton, Leibniz y la invención del cálculo 419 Áreas entre curvas 421 422 Proyecto de aplicación & El índice Gini 429 6.2 Volúmenes 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 6.4 Trabajo 6.5 Valor promedio de una función 430 441 446 451 Proyecto de aplicación & El cálculo y el beisbol Proyecto de aplicación & Dónde sentarse en el cine Repaso 406 407 Aplicaciones de la integración 6.1 397 415 Problemas adicionales 455 456 457 Problemas adicinales 7 Funciones área 5.3 Redacción de proyecto 6 & 459 Técnicas de integración 463 7.1 Integración por partes 7.2 Integrales trigonométricas 471 7.3 Sustitución trigonométrica 478 7.4 Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales 7.5 Estrategias para la integración 7.6 Integración utilizando tablas y sistemas algebraicos computarizados 464 Proyecto para un descubrimiento 484 494 & Patrones en integrales 505 500 ix 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página x x CONTENIDO 7.7 Integración aproximada 7.8 Integrales impropias Repaso 519 529 Problemas adicionales 8 506 533 Aplicaciones adicionales de la integración 8.1 Longitud de arco 538 Proyecto para un descubrimiento 8.2 Concurso de la longitud de arco & & Rotación sobre una pendiente Tazas de café complementarias Aplicaciones a la economía y a la biología 8.5 Probabilidad 563 568 575 Problemas adicionales 577 Ecuaciones diferenciales 579 9.1 Modelado con ecuaciones diferenciales 9.2 Campos direccionales y método de Euler 9.3 Ecuaciones separables 580 585 594 Proyecto de aplicación & ¿Qué tan rápido drena un tanque? 603 Proyecto de aplicación & ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 604 9.4 Modelos de crecimiento poblacional 9.5 Ecuaciones lineales 9.6 Sistemas depredador-presa Repaso 629 Problemas adicionales 633 616 622 551 552 8.4 Repaso 545 545 Aplicaciones a la física y a la ingeniería Proyecto para un descubrimiento 9 & Área de una superficie de revolución Proyecto para un descubrimiento 8.3 537 605 562 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xi CONTENIDO 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 10.2 653 654 Proyecto de laboratorio Familias de curvas polares & 10.4 Áreas y longitudes en coordenadas polares 10.5 Secciones cónicas 10.6 Secciones cónicas en coordenadas polares Repaso 665 670 678 688 Sucesiones y series infinitas 11.1 664 685 Problemas adicionales 11 645 Curvas de Bézier & Coordenadas polares Sucesiones 689 690 Proyecto de laboratorio Sucesiones logísticas & 703 11.2 Series 11.3 La prueba de la integral y estimación de sumas 11.4 Pruebas por comparación 11.5 Series alternantes 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 11.7 Estrategia para probar series 11.8 Series de potencias 11.9 Representación de las funciones como series de potencias 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 703 Redacción de proyecto 722 Proyecto de aplicación 778 Problemas adicionales 781 732 739 741 & & & 746 753 Un límite escurridizo 767 Cómo descubrió Newton la serie binomial Aplicaciones de los polinomios de Taylor Repaso 714 727 Proyecto de laboratorio 11.11 636 Circunferencias que corren alrededor de circunferencias & Cálculo con curvas paramétricas Proyecto de laboratorio 10.3 635 Curvas definidas por medio de ecuaciones paramétricas Proyecto de laboratorio xi 768 Radiación proveniente de las estrellas 777 767 644 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xii xii CONTENIDO Apéndices A1 A Números, desigualdades y valores absolutos B Geometría de coordenadas y rectas C Gráficas de ecuaciones de segundo grado D Trigonometría E Notación sigma F Demostración de teoremas G El logaritmo definido como una integral H Números complejos I Respuestas a ejercicios de número impar Índice A115 A2 A10 A16 A24 A34 A39 A48 A55 A63 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xiii Prefacio Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero siempre hay una pizca de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema puede ser modesto, pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la emoción y disfrutar el triunfo del descubrimiento. GEORGE POLYA El arte de la enseñanza, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar a descubrir. He intentado escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el Cálculo, tanto por su utilidad práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las seis primeras ediciones, mi objetivo es mostrar a los estudiantes un sentido de la utilidad del cálculo y desarrollar en ellos una competencia técnica, pero también intento ilustrar la belleza intrínseca de la materia. Sin duda, Newton experimentó una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos; es mi deseo que los estudiantes compartan un poco de esa sensación. El énfasis está en la comprensión de los conceptos. Creo que casi todo el mundo está de acuerdo en que esta comprensión debe ser el objetivo principal de la enseñanza del Cálculo. De hecho, el impulso para la actual reforma en la enseñanza del Cálculo vino desde la Conferencia de Tulane en 1986, donde se formuló su primera recomendación: Concentrarse en la comprensión de los conceptos He intentado implementar este objetivo mediante la regla de los tres: “Los temas deben presentarse con enfoques geométricos, numéricos y algebraicos”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han modificado la manera en que se enseña el razonamiento conceptual. La regla de los tres se ha ampliado para convertirse en la regla de los cuatro al hacer hincapié en la verbalización y lo descriptivo. En la redacción de la séptima edición me he propuesto lograr una comprensión conceptual y conservar aún lo mejor del Cálculo tradicional. El libro contiene elementos de la reforma, pero dentro del contexto de un currículo tradicional. Versiones alternativas He escrito otros libros de cálculo que podrían ser preferidos por algunos maestros. La mayoría de ellos también vienen en versiones de una variable y de varias variables. ■ Cálculo: Transcendentes tempranas, séptima edición, versión híbrida, es similar al presente libro en contenido y cobertura salvo que todos los ejercicios de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final de capítulo. ■ Cálculo, séptima edición, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones trigonométricas inversas, logarítmicas y exponenciales se tratan en un segundo semestre. xiii 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xiv xiv PREFACIO ■ Cálculo, séptima edición, versión híbrida, es similar a Cálculo, séptima edición, en contenido y cobertura, salvo que todos los ejercicios al final de la sección están disponibles sólo en Enhanced WebAssign. El texto impreso incluye un repaso de todo el material al final del capítulo. ■ Cálculo esencial es un libro mucho más breve (800 páginas), aunque contiene casi todos los temas de Cálculo, séptima edición. La relativa brevedad se logra a través de una exposición más concreta de algunos temas y poniendo algunas características en el sitio web. ■ Cálculo esencial: transcendentes tempranas se asemeja a Cálculo esencial, sólo que las funciones trigonométricas inversas, exponenciales y logarítmicas se tratan en el capítulo 3. ■ Cálculo: conceptos y contextos, cuarta edición, destaca la comprensión conceptual aún más fuertemente que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y ecuaciones paramétricas es tejido a lo largo del libro en lugar de ser tratadas en capítulos separados. ■ Cálculo: primeros vectores introduce los vectores y las funciones vectoriales en un primer semestre y las integra en todo el libro. Es adecuado para los estudiantes que toman cursos de ingeniería y física simultáneamente con el de Cálculo. ■ Cálculo aplicado abreviado está destinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. ¿Qué hay de nuevo en la séptima edición? Los cambios han sido resultado de los comentarios de mis colegas y estudiantes de la Universidad de Toronto y de la lectura de diarios, así como de las sugerencias de los usuarios y los revisores. Éstas son algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edición. ■ Parte del material ha sido reescrito para mayor claridad o mejor motivación. Véase, por ejemplo, la introducción al tema de valores máximos y mínimos en la página 274 y la introducción a las series en la página 703. ■ Se han agregado nuevos ejemplos, y las soluciones a algunos de los ejemplos existentes han sido ampliadas. Un caso puntual: he añadido detalles para la solución del ejemplo 2.3.11 porque cuando enseño la sección 2.3 de la sexta edición me he dado cuenta de que los estudiantes necesitan más orientación cuando se configuran las desigualdades para el teorema de la compresión. ■ El programa de arte ha sido renovado: se han incorporado nuevas figuras y un porcentaje importante de las actuales figuras han sido redibujadas. ■ Se han actualizado los datos de ejemplos y ejercicios para ser más pertinentes. ■ Se han agregado tres nuevos proyectos: El índice Gini (página 429) explora cómo medir la distribución del ingreso entre los habitantes de un país y es una atractiva aplicación del tema de área entre curvas. (Agradezco a Klaus Volpert por sugerir este proyecto.) En Familias de curvas implícitas (página 217) se investigan variadas formas cambiantes de curvas definidas implícitamente como parámetros en una familia. Las familias de curvas polares (página 664) exhiben las fascinantes formas de curvas polares y cómo evolucionan en el contexto de una familia. 00 Preliminares V1_i-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 06/04/12 06:48 a.m. Página xv PREFACIO ■ xv Más de 25% de los ejercicios de cada capítulo son nuevos. Éstos son algunos de mis favoritos: 1.6.58, 2.6.51, 2.8.13-14, 3.3.56, 3.4.67, 3.5.69-72, 3.7.22, 4.3.86, 5.2.51-53, 6.4.30, 11.2.49-50 y 11.10.71-72. Mejoras tecnológicas ■ Los medios de comunicación y tecnología para apoyar el texto se han mejorado para dar a los profesores mayor control sobre su curso, proporcionar ayuda adicional para hacer frente a los diversos niveles de preparación de los estudiantes del curso de Cálculo y fortalecer el apoyo para la comprensión conceptual. Las características del nuevo Enhanced WebAssign incluyen un Cengage YouBook personalizado, un repaso Just in Time, un Show your Work, un Evaluador de respuestas, un Plan de estudio personalizado, Master Its, solución en videos, videoclips de conferencias (con preguntas asociadas) y un Visualizing Calculus (animaciones TEC con preguntas asociadas) que se han desarrollado para facilitar el mejor aprendizaje de los estudiantes y hacer flexible el trabajo docente en el aula. ■ El TEC (Herramientas para Enriquecer el Cálculo) ha sido completamente rediseñado y está disponible en Enhanced WebAssign, CourseMate y PowerLecture. Selected Visuals y Modules están disponibles en www.stewartcalculus.com. Características EJERCICIOS CONCEPTUALES La manera más importante de fomentar la comprensión conceptual es a través de los problemas que proponemos. Para ello he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan solicitando la explicación del significado de los conceptos básicos de la sección. (Véase, por ejemplo, los primeros ejercicios en 2.2, 2.5 y 11.2.) Del mismo modo, todas las secciones de repaso comienzan con una verificación de conceptos y un Examen rápido Verdadero-Falso. Los ejercicios de verificación de comprensión conceptual a través de gráficos o tablas se ven en los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-40, 2.8.43-46, 9.1.11-13, 10.1.24-27 y 11.10.2. Otro tipo de ejercicio donde se utiliza la descripción verbal para verificar la comprensión conceptual está en los ejercicios 2.5.10, 2.8.58, 4.3.63-64 y 7.8.67. Considero de valor especial los problemas que combinan y comparan los enfoques numéricos, gráficos y algebraicos (ver ejercicios 2.6.39-40, 3.7.27 y 9.4.2). CONJUNTOS DE EJERCICIOS CALIFICADOS Cada conjunto de ejercicios es cuidadosamente calificado, progresando desde ejercicios conceptuales básicos y problemas para el desarrollo de habilidades hasta problemas más desafiantes de aplicaciones y demostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL Mis ayudantes y yo hemos pasado mucho tiempo buscando en bibliotecas, poniéndonos en contacto con empresas y organismos gubernamentales, y buscando información en internet con el fin de presentar, motivar e ilustrar los conceptos del Cálculo a partir de datos del mundo real. Como resultado, muchos de los ejemplos y ejercicios se tratan con funciones definidas por estos datos numéricos o gráficos. Véase, por ejemplo, la figura 1 en la sección 1.1 (sismogramas del terremoto de Northridge), ejercicio 2.8.36 (porcentaje de la población menor de 18 años), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espacial Endeavour) y la figura 4 en la sección 5.4 (consumo de energía de San Francisco). PROYECTOS Una manera de interesar y activar a los estudiantes es hacerlos trabajar (quizás en grupos) en proyectos extendidos que den la sensación de triunfo al obtener un logro sustancial una vez finalizados. He incluido cuatro tipos de proyectos: proyectos de aplicación que involucran aplicaciones diseñadas para apelar a la imaginación de los estudiantes. El proyecto posterior a la sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada verticalmente hacia arriba tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su altura original. (La respuesta 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xvi xvi PREFACIO podría sorprenderle.) En la siguiente sección, 10.2, se muestra cómo utilizar las curvas de Bézier en el diseño de formas que representan letras para una impresora láser. La redacción de proyectos pide a los estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del Cálculo, por ejemplo, el método de Fermat para encontrar rectas tangentes; para esto se sugieren referencias. Los proyectos para un descubrimiento anticipan resultados que se analizan más adelante o fomentan el descubrimiento a través del reconocimiento de patrones (véase la posterior a la sección 7.6). Otros proyectos se encuentran en la Guía del instructor (véase, por ejemplo, el grupo ejercicio 5.1: Posición a partir de muestras). RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Los estudiantes suelen tener dificultades con problemas para los que no existe algún procedimiento bien definido para obtener la respuesta. Creo que nadie ha mejorado mucho la estrategia de George Polya con sus cuatro etapas para resolver un problema, por lo que, en consecuencia, he incluido una versión de sus principios para resolver problemas después del capítulo 1. Estos principios, tanto explícita como implícitamente, se aplican en todo el libro. Después de los otros capítulos he colocado secciones llamadas Problemas adicionales, que incluyen ejemplos de cómo afrontar problemas difíciles de Cálculo. En la selección de los variados problemas para estas secciones tomé en cuenta el consejo de David Hilbert: “un problema matemático debe ser difícil para convencernos, pero no inaccesible como para frustrar nuestros esfuerzos”. Cuando propongo estos desafiantes problemas en tareas y exámenes, los califico de manera diferente. Aquí premio significativamente a un estudiante por sus ideas y aportaciones orientadas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de solución de problemas son relevantes. TECNOLOGÍA La disponibilidad de la tecnología no hace menos, sino más importante comprender claramente los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla. Cuando se utilizan correctamente, las calculadoras y dispositivos de graficación son poderosas herramientas para analizar y comprender los conceptos. Este libro de texto puede utilizarse con o sin tecnología y empleo dos símbolos especiales para indicar claramente cuándo se requiere un tipo especial de máquina. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente necesita de esta tecnología, pero no indica que no sea posible usarla en otros ejemplos. El símbolo SAC se utiliza para problemas que requieren todos los recursos de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). A pesar de todo, la tecnología no deja obsoletos al lápiz y el papel. Con frecuencia son preferibles los cálculos y trazos hechos manualmente para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes necesitan desarrollar la capacidad de decidir cuándo es apropiado trabajar a mano o con máquina. HERRAMIENTAS PARA ENRIQUECER EL CÁLCULO TEC es un acompañante de este libro de texto y está pensado para enriquecer y complementar su contenido (disponible desde internet en www.stewartcalculus.com y en Enhanced WebAssign y CourseMate). Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y por mí, TEC utiliza un enfoque exploratorio y de descubrimiento. En las secciones del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, los iconos al margen dirigen a estudiantes hacia módulos TEC que proporcionan un entorno de laboratorio en el que puede explorar el tema de diferentes maneras y en distintos niveles. Visual son animaciones de figuras en el texto; Module son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por participar en varios niveles diferentes, que van desde simplemente alentar a los estudiantes a usar Visual y Module para la exploración independiente, hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en Module, o a la creación de ejercicios adicionales, laboratorios y proyectos que hacen uso de Visual y Module. TAREAS SUGERIDAS Aquí se presentan tareas sugeridas en forma de preguntas y tratan de emular un asistente efectivo de enseñanza al funcionar como un discreto tutor. En cada sección del texto se incluyen sugerencias para los ejercicios representativos (normalmente impares), indicando en rojo el número del ejercicio. Los ejercicios están construidos de manera que no revelan más de la solución real de lo que es mínimo necesario para avanzar más y están disponibles a los estudiantes en stewartcalculus.com, CourseMate y Enhanced WebAssign. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xvii PREFACIO ENHANCED WEBASSIGN www.stewartcalculus.com xvii La tecnología está teniendo impacto en la forma en que se asignan tereas a estudiantes, particularmente en grupos numerosos. El uso de tareas en línea es creciente y su interés depende de la facilidad de uso, calidad de calificación y confiabilidad. Con la séptima edición hemos estado trabajando con la comunidad de Cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema más sólido de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios de cada sección son asignables como tareas en línea, incluyendo respuestas libres, opción múltiple y otros varios formatos. El sistema también incluye ejemplos activos, en los que los estudiantes son guiados paso a paso en tutoriales a través de ejemplos textuales, con enlaces al libro de texto y a las soluciones en video. Las nuevas mejoras al sistema incluyen un eBook personalizable, una muestra de las características de su trabajo (Show Your Work), un repaso de prerrequisitos de precálculo (Just in Time), un editor de tareas mejorado (Assignment Editor) y un evaluador de respuestas (Answer Evaluator) que acepta respuestas matemáticamente equivalentes y permite la calificación de las tareas del mismo modo en que lo hace el profesor. Este sitio incluye lo siguiente: ■ Tareas sugeridas ■ Repaso de álgebra ■ Mi calculadora miente y la computadora me dijo ■ Historia de las matemáticas, con vínculos a los mejores sitios históricos ■ Tópicos adicionales (complementados con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el término del residuo en la serie de Taylor, rotación de ejes ■ Problemas archivados (ejercicios de práctica que aparecieron en las ediciones anteriores, junto con sus soluciones) ■ Problemas de desafío (algunos de los problemas especiales que aparecieron en secciones de ediciones anteriores) ■ Vínculos para tópicos particulares a recursos externos de la web ■ Tools for Enriching Calculus (TEC), Module y Visual Contenido Exámenes de diagnóstico El libro comienza con cuatro exámenes de diagnóstico relacionados con álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Un previo de Cálculo Se presenta una visión general del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio, se hace hincapié en varias representaciones de las funciones: verbal, numérica, visual y algebraica. Una discusión de los modelos matemáticos conduce a una revisión de las funciones estándar, incluyendo las funciones exponenciales y logarítmicas, desde estos cuatro puntos de vista. 2 Límites y derivadas El material sobre límites está motivado por un debate previo sobre los problemas de la recta tangente y la velocidad. Los límites son tratados desde puntos de vista descriptivos, gráficos, numéricos y algebraicos. La sección 2.4, sobre la definición precisa e-d de un límite, es una sección opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan de derivadas (especialmente con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de estudiar las reglas de derivación en el capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de derivadas en diversos contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en sección 2.8. 3 Reglas de derivación Aquí se derivan todas las funciones básicas, incluyendo las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas. Cuando las derivadas se calculan en situaciones aplicadas, se pide a los estudiantes explicar su significado. En este capítulo se estudian el crecimiento y decaimiento exponencial. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xviii xviii PREFACIO 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos básicos relativos a los valores extremos y a las formas de las curvas se deducen del teorema del valor medio. Las gráficas con tecnología hacen hincapié en la interacción entre el Cálculo y las calculadoras y el análisis de las familias de curvas. Se proporcionan algunos problemas importantes, incluyendo una explicación del porqué necesita levantar su cabeza 42° para ver la parte superior de un arcoíris. 5 Integrales Los problemas del área y la distancia sirven para motivar el estudio de la integral definida, recurriendo a la notación sigma cada vez que sea necesario. (En el apéndice E se proporciona un tratamiento completo de la notación sigma.) Se enfatiza la explicación del significado de la integral en diversos contextos y en la estimación de sus valores en gráficas y tablas. 6 Aplicaciones de la integración Aquí presento las aplicaciones de la integración —área, volumen, trabajo, valor promedio— que razonablemente pueden hacerse sin técnicas especializadas de integración. Se hace hincapié en métodos generales. El objetivo es que los estudiantes puedan dividir una cantidad en trozos pequeños, estimarla con sumas de Riemann, y reconocer su límite como una integral. 7 Técnicas de integración Aquí se cubren los métodos estándar pero, por supuesto, el verdadero desafío es reconocer qué técnica se utiliza mejor en una situación dada. En consecuencia, en la sección 7.5 presento una estrategia para la integración. El uso de sistemas algebraicos computarizados se explica en la sección 7.6. 8 Aplicaciones adicionales de la integración Aquí aparecen las aplicaciones de integración: área de una superficie y longitud de un arco, para las que es útil tener disponibles todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, la economía y la física (fuerza hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección de probabilidad. Aquí hay más aplicaciones de las que en realidad se pueden cubrir en un curso determinado, así que los profesores deben seleccionar las aplicaciones adecuadas para interesar a los estudiantes y a ellos mismos. 9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unifica este tratamiento preliminar de las ecuaciones diferenciales. Los campos direccionales y el método de Euler se estudian antes de resolver las ecuaciones lineales y separables de forma explícita, por lo que los enfoques cualitativos, numéricos y analíticos reciben igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos exponenciales, logísticos y otros para el estudio del crecimiento de la población. Las primeras cuatro o cinco secciones de este capítulo son una buena introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional utiliza el modelo depredador-presa para ilustrar los sistemas de ecuaciones diferenciales. 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Este capítulo introduce las curvas paramétricas y polares y las aplicaciones del Cálculo en ellas. Las curvas paramétricas están bien adaptadas a los proyectos de laboratorio; los tres presentados involucran a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13. 11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (véase la página 714) así como demostraciones formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series están basadas en cuál prueba se usó para demostrar una convergencia. El énfasis está en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen los de dispositivos de graficación. Material auxiliar Cálculo. Trascendentes tempranas, séptima edición, se apoya en un conjunto completo de materiales auxiliares desarrollados bajo mi dirección. Cada parte se ha diseñado para mejorar la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Con esta edición, 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xix PREFACIO xix se han desarrollado nuevos medios y tecnologías que ayudan al estudiante a visualizar el cálculo y a los instructores a personalizar el contenido para mejorar la forma en que enseñan su curso. Las tablas en las páginas xxiii–xxiv describen cada uno de estos auxiliares. Agradecimientos Para la preparación de ésta y las anteriores ediciones he invertido mucho tiempo leyendo las opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran número de astutos revisores. Agradezco enormemente a todos ellos por el tiempo dedicado a la cuidadosa lectura y a la comprensión del enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. REVISORES DE LA SÉPTIMA EDICIÓN Amy Austin, Texas A&M University Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Le Baron O. Ferguson, University of California—Riverside Shari Harris, John Wood Community College Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Joyce Longman, Villanova University Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Ho Kuen Ng, San Jose State University Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Qin Sheng, Baylor University Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Klaus Volpert, Villanova University Peiyong Wang, Wayne State University REVISORES DE LA TECNOLOGÍA Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado at Denver and Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas at Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama in Huntsville Karin Reinhold, State University of New York at Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xx xx PREFACIO REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama in Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Matthew A. Isom, Arizona State University Gerald Janusz, University of Illinois at Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois at Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York at Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University of Pittsburgh Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxi PREFACIO Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan xxi Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Además, me gustaría dar las gracias a Jordan Bell, George Bergman, Leon Gerber, Mary Pugh y Simon Smith por sus sugerencias; Al Shenk y Dennis Zill por su permiso para utilizar ejercicios de sus textos de cálculo; COMAP por su permiso para utilizar el material de los proyectos; George Bergman, David Bleecker. Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para los ejercicios; Dan Drucker por el proyecto del derby de rodillos; Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para los proyectos; Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los nuevos ejercicios y sugerir formas para mejorarlos; Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la corrección; y Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y corrección del manuscrito de respuesta. Asimismo, doy las gracias a quienes han contribuido a pasadas ediciones: Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E.L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Doug Shaw, Dan Silver, Norton Starr, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. También agradezco a Kathi Townes, Stephanie Kuhns y Rebekah Million of TECHarts por sus servicios de producción y al siguiente personal de Brooks/Cole: Cheryll Linthicum, gerente de proyecto de contenido; Liza Neustaetter, editor asistente; Maureen Ross, editor de medios; Sam Subity, gerente de medios de edición; Jennifer Jones, director de marketing; y Vernon Boes, director de arte. Todos han hecho un trabajo excepcional. He sido muy afortunado de haber trabajado con algunos de los mejores en el negocio de la edición en Matemáticas durante las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz Covello. Todos ellos han contribuido en gran medida al éxito de este libro. JA MES STEWART 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxii xxii PREFACIO Asimismo, deseamos agradecer la valiosa colaboración de los profesores Dr. Ernesto Filio López de UPITA (IPN), M. en C. Manuel Robles Bernal, L.F.M. Luis Ángel Filio Rivera, de ESIME Zacatenco (IPN), M. en C. Lilia Quintos Vázquez, de ESIME Ticomán (IPN), Dr. Abel Flores Amado, del ITESM Campus Puebla y al Mtro. Gustavo Zamorano Montiel, de la UPAEP (Puebla), en la revisión de esta séptima edición en español. Además agradecemos al Dr. Hugo Gustavo González Hernández, Director del Departamento de Ciencias y al Dr. Abel Flores Amado, Coordinador de la materia de Cálculo así como a los siguientes profesores del ITESM Campus Puebla por la confianza depositada en la obra Cálculo Trascendentes tempranas de Stewart y adoptarlo para sus cursos. Dr. Juan José Gómez Diaz Master Aida Ignacia Salazar C. Master Álvaro Andrade Andrade Master Jorge Luis Figueroa Ramírez Dr. Juan Manuel Merlo Dr. Julio César Ramírez San Juan Master Luis Daniel Bravo Atentamente, Los Editores. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxiii Auxiliares para instructores Power Lecture ISBN 0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en formatos de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto completo predefinidas de conferencias en PowerPoint, una versión electrónica de la guía del instructor, un generador de soluciones, un software de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el cálculo (TEC), un video de instrucciones y un comando JoinIn sobre el contenido de TurningPoint. Instructor’s Guide Por Douglas Show ISBN 0-8400-5418-1 Cada sección del texto se analiza desde varios puntos de vista. La guía del instructor (Instructor’s Guide) contiene tiempo sugerido de asignación, puntos a destacar, temas de debate del texto, materiales básicos para la clase, sugerencias para trabajo en taller y ejercicios de trabajo de grupo en una forma adecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una versión electrónica de la guía del instructor está disponible en el DVD de PowerLecture. Complete Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4936-6 Contiene las soluciones detalladas de todos los ejercicios del texto. Solution Builder www.cengage.com /solutionbuilder Esta base de datos en línea para el instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los ejercicios en el texto. El generador de soluciones (Solution Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones seguras (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas asignados en clase. Printed Test Bank Por William Steven Harmon ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos específicos de opción múltiple y exámenes de respuesta libre. ExamView Testing Crear, entregar y personalizar los exámenes en formatos impresos en línea con ExamView, permite una evaluación de fácil uso a través de un software tutorial. ExamView contiene cientos de elementos para exámenes de respuesta múltiple y libre. ExamView está disponible en el DVD de PowerLecture. ■ Electrónicos Auxiliares para instructores y estudiantes Stewart Website www.stewartcalculus.com Contenido: Tareas sugeridas ■ Repaso de álgebra ■ Temas adicionales ■ Ejercicios de simulación ■ Problemas de desafío ■ Enlaces web ■ Historia de las matemáticas ■ Herramientas para enriquecer el cálculo (TEC) TEC Tools for Enriching™ Calculus Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hu Hohn Herramientas para enriquecer el cálculo (TEC) funciona como una poderosa herramienta para instructores, así como un entorno tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y revisar temas seleccionados. Los módulos de simulación en Flash en TEC incluyen instrucciones escritas y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está accesible en CourseMate, WebAssign y PowerLecture. Los elementos seleccionados en Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign www.webassign.net El sistema de distribución de tareas de WebAssign permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar listas a través de la web. Enhanced WebAssign para el Cálculo de Stewart involucra ahora a los estudiantes en la revisión del contenido al comienzo del curso y al principio de cada sección así como en los conocimientos previos. Además, para los problemas seleccionados, los estudiantes pueden obtener ayuda adicional en forma de “mayor retroalimentación” (las respuestas) y soluciones en video. Otras características clave incluyen: miles de problemas del Cálculo de Stewart. Un personalizable Cengage YouBook, un plan de estudio personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el momento, un evaluador de respuestas, módulos de animaciones y visualización del Cálculo, concursos, videos de conferencias (con preguntas asociadas) y mucho más. Cengage Customizable YouBook YouBook es un eBook en Flash interactivo y personalizable, que tiene todo el contenido del Cálculo de Stewart. Las características de YouBook son una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narrativa del libro de texto según sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente capítulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no enseñan, para crear un libro electrónico que coincida perfectamente con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar aún más el texto añadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas, videoclips, destacando notas y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign. ■ Impresos xxiii 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxiv CourseMate www.cengagebrain.com CourseMate es una perfecta herramienta de autoaprendizaje para estudiantes y no requiere ningún apoyo de los profesores. CourseMate trae conceptos con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas interactivas para la preparación de exámenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye: un libro electrónico interactivo, herramientas para enriquecer el cálculo, videos, cuestionarios, tarjetas en flash y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta de primera en su tipo que supervisa el trabajo estudiantil. Maple CD-ROM Maple proporciona un dispositivo avanzado de cálculo matemático de alto rendimiento plenamente integrado con símbolos numéricos, todos accesibles desde un entorno técnico desde WYSIWYG. CengageBrain.com Para accesos de materiales adicionales del curso y recursos de apoyo, por favor visite www.cengagebrain.com. En esta página busque por ISBN o por título (desde la cubierta posterior de su libro) usando el comando de búsqueda en la parte superior de la página. Esto le llevará a la página del producto donde se pueden encontrar gratuitamente recursos de apoyo. Auxiliares para estudiantes Student Solutions Manual Single Variable Early Transcendentals Por Daniel Anderson, Jeffery A. Cole y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4934-X Proporciona soluciones completamente detalladas para todos los ejercicios impares en el texto, dando a los estudiantes una oportunidad de verificar sus respuestas y asegurar que hicieron los pasos correctos para llegar a una respuesta. Study Guide Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5420-3 Para cada sección del texto, la guía de estudio proporciona a los estudiantes una breve introducción, una breve lista de conceptos al profesor así como resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La guía de estudio también contiene preguntas “Tecnología Plus” y preguntas tipo examen de opción múltiple y de estilo “su propia respuesta”. ■ Electrónicos xxiv ■ Impresos CalcLabs with Maple Single Variable Por Philip B. Yasskin y Robert Lopez ISBN 0-8400-5811-X CalcLabs with Mathematica Single Variable Por Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 Cada uno de estos comprensibles manuales de laboratorio ayudará a los estudiantes a aprender a usar las herramientas de tecnología a su disposición. CalcLabs contienen ejercicios claramente explicados y una variedad de proyectos para acompañar el texto y laboratorios. A Companion to Calculus Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 0-495-01124-X Escrito para mejorar el álgebra y las habilidades para resolver problemas de los estudiantes que están tomando un curso de Cálculo. Cada capítulo de este acompañante tiene una clave referente a un tema de Cálculo, que proporciona antecedentes conceptuales y técnicas de álgebra específicos necesarios para comprender y resolver problemas de Cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de Cálculo que incluyen la revisión de los conceptos de precálculo o para uso individual. Linear Algebra for Calculus Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 0-534-25248-6 Este comprensible libro está diseñado para complementar el curso de Cálculo. Proporciona una introducción y un repaso de las ideas básicas del Álgebra lineal. 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxv Al estudiante Leer un libro de texto de Cálculo es diferente a la lectura de un periódico, una novela o incluso un libro de física. No se desaliente si tiene que leer un párrafo más de una vez para entenderlo. Debe tener lápiz, papel y calculadora disponibles para esbozar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el texto sólo si se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una sección del texto antes de enfrentar los ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las definiciones para ver el significado exacto de cada término. Antes de leer cada ejemplo, le sugiero que llegue a la solución tratando de resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho más que mirando la solución si es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es inducir el pensamiento lógico. Es muy importante aprender a escribir las soluciones de los ejercicios de una manera articulada, paso a paso, con comentarios explicativos, no sólo una cadena de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación verbal, interpretación o descripción. En tales casos no hay una única forma correcta de expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha encontrado la respuesta definitiva. Además, a menudo hay varias formas diferentes para expresar una respuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta aparenta ser diferente a la mía, no asuma inmediatamente que se equivocó. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es s2  1 y usted obtuvo 1兾(1  s2 ), entonces está usted en lo correcto y racionalizar el denominador demostrará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos (en la sección 1.4 se analiza el uso de estos dispositivos de graficación y algunas de las dificultades que puedan surgir). Sin embargo, esto no significa que los dispositivos de gráficos no puedan utilizarse para comprobar el trabajo de otros ejercicios. El símbolo SAC se reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos xxv 98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxvi.qk_98678_FMSVET_FMSVET_pi-xxiii 05/04/12 11:20 p.m. Página xxvi de un sistema algebraico computarizado (Derive, Maple, Mathematica o la TI-89/92). También se usará el símbolo | para cuidar que no se cometa un error. He puesto este símbolo en los márgenes en situaciones donde he advertido que gran parte de mis estudiantes tienden a cometer el mismo error. Las Herramientas para enriquecer el cálculo, acompañantes de este texto, están indicadas por medio del símbolo TEC y están disponible en Enhanced WebAssign y en CourseMate (los recursos Visual y Module están disponibles en www.stewartcalculus.com). Aquí se dirige al estudiante a los módulos en los que puede explorar los aspectos del Cálculo para los que la computadora es particularmente útil. En TEC también se encuentra Tareas sugeridas para ejercicios representativos que están indicados con número en rojo: 5. Estas sugerencias pueden encontrarse en stewartcalculus.com así como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Estas sugerencias de tareas hacen preguntas al estudiante que le permiten avanzar hacia una solución sin dar realmente la respuesta. Es necesario que el estudiante siga activamente cada pista con lápiz y papel a la mano para destacar los detalles. Si una sugerencia particular no permite resolver el problema, puede hacer clic para ver la siguiente sugerencia. Le recomiendo que conserve este libro para fines de consulta después de terminar el curso. Es probable que olvide algunos de los detalles específicos del Cálculo, por lo que el libro servirá como una referencia útil cuando sea necesario utilizar el Cálculo en cursos posteriores. Puesto que este libro contiene más material del que es posible cubrir en todo un curso, también puede servir como un valioso recurso para un trabajo científico o de ingeniería. El Cálculo es un tema apasionante, justamente considerado uno de los mayores logros del intelecto humano. Espero que el estudiante descubra que no sólo es útil, sino también intrín- secamente hermoso. JAMES STEWART xxvi Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxvii Exámenes de diagnóstico El éxito en Cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que le preceden: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Los siguientes exámenes están destinados a diagnosticar las debilidades que el estudiante pueda tener en estas áreas. Después de cada examen puede verificar sus respuestas comparándolas con las respuestas determinadas y, si es necesario, actualizar sus habilidades haciendo referencia a los materiales de repaso que se proporcionan. A Examen de diagnóstico: álgebra 1. Evalúe las siguientes expresiones sin utilizar calculadora: a) 共3兲4 b) 34 23 d) 5 5 21 e) 冉冊 2 3 c) 34 2 f ) 16 3兾4 2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta sin exponentes negativos: a) s200  s32 b) 共3a 3b 3 兲共4ab 2 兲 2 c) 冉 3x 3兾2 y 3 x 2 y1兾2 冊 2 3. Desarrolle y simplifique las siguientes expresiones: a) 3共x  6兲  4共2x  5兲 c) (sa  sb )(sa  sb ) b) 共x  3兲共4x  5兲 d) 共2x  3兲2 e) 共x  2兲3 4. Factorice las siguientes expresiones: a) 4x 2  25 c) x 3  3x 2  4x  12 e) 3x 3兾2  9x 1兾2  6x 1兾2 b) 2x 2  5x  12 d) x 4  27x f) x 3 y  4xy 5. Simplifique las siguientes expresiones racionales: xxvii a) x 2  3x  2 x2  x  2 c) x2 x1  x 4 x2 2 2x 2  x  1 x3 ⴢ x2  9 2x  1 y x  x y d) 1 1  y x b) Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxviii xxviii EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO 6. Racionalice y simplifique las siguientes expresiones. a) s10 s5  2 b) s4  h  2 h 7. Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio cuadrado perfecto. a) x 2  x  1 b) 2x 2  12x  11 8. Resuelva las siguientes ecuaciones (encuentre sólo las soluciones reales). 2x  1 2x  x1 x 2 d) 2x  4x  1  0 a) x  5  14  2 x 1 b) c) x2  x  12  0 ⱍ e) x 4  3x 2  2  0 g) 2x共4  x兲1兾2  3 s4  x  0 ⱍ f) 3 x  4  10 9. Resuelva las siguientes desigualdades y exprese la solución en intervalos: a) 4  5  3x  17 c) x共x  1兲共x  2兲  0 2x  3 e) 1 x1 b) x 2  2x  8 d) x  4  3 ⱍ ⱍ 10. Indique si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) 共 p  q兲2  p 2  q 2 b) sab  sa sb c) sa 2  b 2  a  b d) 1  TC 1T C f) 1兾x 1  a兾x  b兾x ab e) 1 1 1   xy x y Respuestas al examen de diagnóstico A: álgebra 1. a) 81 d) 25 2. a) 6s2 b) 81 c) 9 4 f) e) b) 48a 5b7 c) 1 81 1 8 x 9y7 3. a) 11x  2 b) 4x 2  7x  15 c) a  b d) 4x 2  12x  9 e) x 3  6x 2  12x  8 4. a) 共2x  5兲共2x  5兲 c) 共x  3兲共x  2兲共x  2兲 e) 3x1兾2共x  1兲共x  2兲 x2 x2 1 c) x2 5. a) 7. a) d) 1  s2 1 2 g) x1 x3 d) 共x  y兲 b) ( x  12 ) 2  34 8. a) 6 b) 共2x  3兲共x  4兲 d) x共x  3兲共x 2  3x  9兲 f) xy共x  2兲共x  2兲 b) 6. a) 5s2  2s10 1 s4  h  2 b) 2共x  3兲2  7 b) 1 c) 3, 4 e) 1, s2 2 22 f) 3 , 3 12 5 9. a) 关4, 3兲 c) 共2, 0兲 傼 共1, 兲 e) 共1, 4兴 10. a) Falsa d) Falsa b) 共2, 4兲 d) 共1, 7兲 b) Verdadera e) Falsa c) Falsa f) Verdadera Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar Review of Algebra (repaso de álgebra) en el sitio web www.stewartcalculus.com Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxix xxix EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO B Examen de diagnóstico: geometría analítica 1. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por 共2, 5兲 y a) b) c) d) tiene pendiente 3 es paralela al eje x es paralela al eje y es paralela a la recta 2x  4y  3 2. Encuentre la ecuación de la circunferencia con centro en 共1, 4兲 y que pasa por el punto 共3, 2兲. 3. Encuentre el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es x 2  y2  6x  10y  9  0. 4. Sean A共7, 4兲 y B共5, 12兲 puntos en el plano. a) Encuentre la pendiente de la recta determinada por A y B. b) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son los puntos de intersección con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento AB. d) Encuentre la longitud del segmento AB. e) Encuentre la ecuación de la perpendicular que biseca a AB. f) Encuentre la ecuación de la circunferencia para la que AB es diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. a) 1  y  3 b) x 4y y c) y  1  x d) y x 1 e) x  y  4 f) 9x  16y 2  144 1 2 2 2 2 2 2 Respuestas al examen de diagnóstico B: geometría analítica 1. a) y  3x  1 c) x  2 b) y  5 5. a) y b) y c) y 3 1 d) y  2 x  6 1 2 2. 共x  1兲2  共 y  4兲2  52 0 x _1 3. Centro 共3, 5兲, radio 5 _4 1 4x 0 0 y=1- 2 x 2 x _2 4. a)  3 4 b) 4x  3y  16  0; intersección en x  4, intersección en y   163 c) 共1, 4兲 d) 20 e) 3x  4y  13 f) 共x  1兲2  共 y  4兲2  100 d) y e) y 2 f) ≈+¥=4 y 3 0 _1 1 x y=≈-1 Si tiene usted dificultades con este examen, puede consultar el repaso de geometría analítica en los apéndices B y C. 0 2 x 0 4 x Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxx xxx C EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO Examen de diagnóstico: funciones 1. La gráfica de una función f está dada a la izquierda. y 1 0 x 1 Determine el valor de f 共1兲. Estime el valor de f 共2兲. ¿Para qué valores de x es f 共x兲  2? Estime los valores de x tales que f 共x兲  0. Establezca el dominio y el rango de f . a) b) c) d) e) f 共2  h兲  f 共2兲 y simplifique su respuesta. h 2. Si f 共x兲  x 3 , evalúe el cociente de diferencias 3. Encuentre el dominio de la función FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 a) f 共x兲  2x  1 x x2 b) t共x兲  2 3 x s x 1 c) h共x兲  s4  x  sx 2  1 2 4. ¿Qué aspecto tiene cada una de las gráficas siguientes a partir de la gráfica de f ? a) y  f 共x兲 b) y  2 f 共x兲  1 c) y  f 共x  3兲  2 5. Sin usar calculadora, haga un bosquejo de cada una de las gráficas siguientes: a) y  x 3 d) y  4  x 2 g) y  2 x 1 x2 2x 1 6. Sea f x b) y  共x  1兲3 e) y  sx h) y  1  x 1 si x si x a) Evalúe f 共2兲 y f 共1兲. c) y  共x  2兲3  3 f ) y  2 sx 0 0 b) Trace la gráfica de f 7. Si f 共x兲  x  2x  1 y t共x兲  2x  3, encuentre cada una de las siguientes funciones: 2 a) f ⴰ t b) t ⴰ f c) t ⴰ t ⴰ t Respuestas al examen de diagnóstico C: funciones 1. a) 2 b) 2.8 d) 2.5, 0.3 c) 3, 1 e) 关3, 3兴, 关2, 3兴 d) y 4 e) 3. a) 共, 2兲 傼 共2, 1兲 傼 共1, 兲 g) b) 共, 兲 c) 共, 1兴 傼 关1, 4兴 x 2 0 2. 12  6h  h 2 y y 0 h) f) 1 x 1 x y 0 1 x y 1 0 4. a) Reflexión respecto al eje x b) Alargamiento vertical en un factor de 2 y después un desplazamiento de 1 unidad hacia abajo c) Desplazamiento de 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba 5. a) y y b) 1 0 c) x _1 x 0 7. a) 共 f ⴰ t兲共x兲  4x 2  8x  2 b) 共 t ⴰ f 兲共x兲  2x 2  4x  5 c) 共 t ⴰ t ⴰ t兲共x兲  8x  21 y b) 1 (2, 3) 0 0 6. a) 3, 3 y 1 1 x 1 _1 _1 0 x x Si tiene usted dificultades con este examen, vea las secciones 1.1-1.3 de este libro Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxxi EXÁMENES DE DIAGNÓSTICO D Examen de diagnóstico: trigonometría 1. Convierta de grados a radianes. b) 18 a) 300 2. Convierta de radianes a grados. a) 5 兾6 b) 2 3. Encuentre la longitud del arco de circunferencia de radio 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Encuentre los valores exactos de: a) tan(p兾3)tan共 兾3兲 b) sen(7p兾6) c) sec(5p兾3) 5. Exprese las longitudes de a y b de la figura en términos de u. 24 6. Si sen x a 1 3 y sec y  54, donde x y y están entre 0 y p兾2, evalúe sen (x  y). 7. Demuestre las identidades: ¨ a) tan u sen u  cos u  sec u b FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 b) 1 2 tan x tan 2 x sen 2x 8. Encuentre todos los valores de x tales que sen 2x  sen x y 0  x  2 . 9. Trace la gráfica de la función y  1  sen 2x sin usar calculadora. Respuestas al examen de diagnóstico D: trigonometría 1. a) 5 兾3 b)  兾10 6. 2. a) 150 b) 360 兾 ⬇ 114.6 8. 0, 兾3, , 5 兾3, 2 3. 2 1 15 (4  6 s2 ) 9. cm 4. a) s3 b)  12 5. a) 24 sen u b) 24 cos y 2 c) 2 _π 0 π x Si tiene usted dificultades con este examen de diagnóstico, vea el apéndice D de este libro. xxxi Examen de diagnostico.qk_98678_DTSV_DTSV_pxxiv-xxviii 05/04/12 11:22 p.m. Página xxxii 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 1 Un previo de Cálculo © Pichugin Dmitry / Shutterstock © Ziga Camernik / Shutterstock Cuando termine este curso, podrá usted estimar el número de trabajadores necesarios para construir una pirámide, explicar la formación y ubicación del arcoíris, diseñar una montaña rusa para un viaje suave y calcular la fuerza sobre una presa. © Brett Mulcahy / Shutterstock © iofoto / Shutterstock El Cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que ha estudiado anteriormente: el Cálculo es menos estático y más dinámico. Se ocupa de los cambios y el movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por eso puede ser útil tener una visión general del tema antes de comenzar su estudio intensivo. Aquí damos un vistazo de algunas de las ideas principales del Cálculo, mostrando cómo surge el concepto de límite cuando intentamos resolver diversos problemas. 1 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 2 2 UN PREVIO DE CÁLCULO A¡ El problema del área A∞ A™ A£ Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años a los antiguos griegos, quienes calcularon áreas usando el “método de agotamiento”. Los griegos sabían cómo encontrar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como se ve en la figura 1 y sumar las áreas de estos triángulos. Un problema mucho más difícil es encontrar el área encerrada por una figura curvada. El método griego de agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en la figura y a continuación aumentar el número de lados de los polígonos. La figura 2 ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. A¢ A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ FIGURA 1 A£ A¢ A∞ Aß A¶ A¡™ FIGURA 2 Sea An el área del polígono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el área An se parece cada vez más y más al área del círculo. Así, decimos que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos, y escribimos TEC En Preview Visual, puede ver cómo las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos se aproximan al área del círculo. A lím An nl Los griegos no utilizaron explícitamente el concepto de límite. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo V a.C.) utilizó la técnica de agotamiento para obtener la conocida fórmula para el área de un círculo: A  r 2. En el capítulo 5 utilizaremos una idea similar para encontrar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Nos aproximaremos al área deseada por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), disminuyendo el ancho de los rectángulos y luego calculando el área A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y y y y (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) y=≈ A 0 FIGURA 3 1 x 0 1 4 1 2 3 4 1 x 0 1 x 0 1 n 1 x FIGURA 4 El problema del área es el problema central en la rama del Cálculo llamado cálculo integral. Las técnicas que vamos a desarrollar en el capítulo 5 para encontrar áreas también nos permitirán calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque. El problema de la tangente Considere el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente t a una curva con ecuación y  f 共x兲 en un punto dado P. (En el capítulo 2 daremos una definición precisa 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 3 UN PREVIO DE CÁLCULO y de una recta tangente. Por ahora podemos considerarla como una recta que toca la curva en P como en la figura 5.) Como sabemos que el punto P se encuentra en la recta tangente, podemos encontrar la ecuación de t si sabemos su pendiente m. El problema es que necesitamos dos puntos para calcular la pendiente y tenemos sólo un punto P de t. Para sortear el problema encontramos en primer lugar una aproximación a m tomando un punto cercano Q de la curva y calculamos la pendiente mPQ de la recta secante PQ. De la figura 6 vemos que t y=ƒ P 0 x FIGURA 5 1 mPQ  t m Q { x, ƒ} y decimos que m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se aproxima a P, también podríamos utilizar la ecuación 1 para escribir x-a a x x m 2 FIGURA 6 La recta secante PQ y lím mPQ Q lP ƒ-f(a) P { a, f(a)} 0 f 共x兲  f 共a兲 xa Ahora imaginemos que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P como en la figura 7. Puede ver que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su posición limite. Esto significa que la pendiente mPQ de la recta secante se acerca más y más a la pendiente m de la recta tangente. Escribimos La recta tangente en P y 3 t Q P 0 x lím xla f x x f a a En el capítulo 2 veremos ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial, inventada más de 2 000 años después que el cálculo integral. Las principales ideas detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre de Fermat (1601–1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616–1703), Isaac Barrow (1630–1677) e Isaac Newton (1642–1727) y el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646–1716). Las dos ramas de cálculo y sus principales problemas, el problema del área y el problema de la tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una conexión muy estrecha entre ellos. El problema de la tangente y el área son problemas inversos en un sentido que se describe en el capítulo 5. FIGURA 7 Recta secante aproximándose a la recta tangente Velocidad Cuando miramos el velocímetro de un automóvil y leemos que se está desplazando a 48 mi/h, ¿qué información estamos obteniendo? Si la velocidad se mantiene constante, después de una hora nos habremos desplazado 48 mi. Pero, si varía la velocidad del coche, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es 48 mi/h? A fin de analizar esta situación, examinemos el caso de un automóvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que suponemos que es posible medir la distancia recorrida por el vehículo (en pies) a intervalos de un segundo como se registra en la siguiente tabla: t  Tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d  Distancia (pies) 0 2 9 24 42 71 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 4 4 UN PREVIO DE CÁLCULO Un primer paso para hallar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la velocidad promedio durante el intervalo 2  t  4: cambio en la posición tiempo transcurrido velocidad promedio 42 4 9 2 16.5 pies兾s Del mismo modo, la velocidad promedio en el intervalo 2  t  3 es 24 3 velocidad promedio 9 2 15 pies兾s Tenemos la sensación de que la velocidad en el instante t  2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde t  2. Así que imaginemos que se ha medido la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la siguiente tabla: t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Entonces podemos calcular, por ejemplo, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo 关2, 2.5兴: 15.80 2.5 velocidad promedio 9.00 2 13.6 pies兾s Los resultados de estos cálculos se muestran en la siguiente tabla: Intervalo de tiempo 关2, 3兴 关2, 2.5兴 关2, 2.4兴 关2, 2.3兴 关2, 2.2兴 关2, 2.1兴 Velocidad promedio (pies兾s) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 Las velocidades promedio durante intervalos sucesivamente más pequeños parecen estar aproximándose cada vez más a un número cercano a 10 y, por tanto, esperaríamos que la velocidad en exactamente t  2 sea de 10 pies/s. En el capítulo 2 definiremos la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, como el valor límite de las velocidades promedio durante intervalos de tiempo cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al ubicar los puntos correspondientes a la distancia recorrida como función del tiempo. Si escribimos d  f 共t兲, entonces f 共t兲 es el número de pies recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de tiempo 关2, t兴 es d Q { t, f(t)} velocidad promedio f t t f 2 2 que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. La velocidad v cuando t  2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir, 20 10 0 cambio en la posición tiempo transcurrido P { 2, f(2)} 1 FIGURA 8 2 3 4 5 t v lím tl2 f t t f 2 2 y de la ecuación 2 reconocemos que esto es lo mismo que la pendiente de la recta tangente a la curva en P. 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 5 UN PREVIO DE CÁLCULO 5 Así, cuando resolvemos el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también estamos resolviendo problemas relativos a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales. El límite de una sucesión En el siglo V a.C. el filósofo griego Zenón de Elea planteó cuatro problemas, ahora conocidos como Paradojas de Zenón, que estaban diseñados para cuestionar algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenían en esos días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga a la que se ha dado cierta ventaja al inicio. Zenón argumentaba, como se hace ver enseguida, que Aquiles nunca podría rebasar a la tortuga. Supongamos que Aquiles empieza en la posición a 1 y la tortuga comienza en posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto a 2  t1, la tortuga está más adelante en la posición t2. Cuando Aquiles llega a a 3  t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y así parece que ¡la tortuga siempre estará por delante! Pero esto desafía el sentido común. a¡ a™ a£ a¢ a∞ ... t¡ t™ t£ t¢ ... Aquiles FIGURA 9 Tortuga Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles 共a 1, a 2 , a 3 , . . .兲 o las posiciones sucesivas de la tortuga 共t1, t2 , t3 , . . .兲 forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión 兵a n其 es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión {1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . .} puede describirse dando la siguiente fórmula para el n-ésimo término: an  a¢ a £ a™ 0 Podemos visualizar esta sucesión ubicando sus términos en una recta numérica como en la figura 10a) o dibujando su gráfica como en la figura 10b). En cualquiera de las dos representaciones observamos que los términos de la sucesión a n  1兾n se aproximan cada vez más y más a 0 al aumentar n. De hecho, podemos encontrar términos tan pequeños como queramos haciendo n suficientemente grande. En estas condiciones, decimos que el límite de la sucesión es 0, y lo indicamos escribiendo a¡ 1 a) 1 1 n 0 lím a n L lím nl 1 2 3 4 5 6 7 8 1 n n En general, la notación b) FIGURA 10 nl se utiliza si los términos de a n se aproximan al número L cuando n es suficientemente grande. Esto significa que los números a n pueden acercarse al número L tanto como se quiera si se toma una n suficientemente grande. 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 6 6 UN PREVIO DE CÁLCULO El concepto de límite de una sucesión ocurre cada vez que utilizamos la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si a 1  3.1 a 2  3.14 a 3  3.141 a 4  3.1415 a 5  3.14159 a 6  3.141592 a 7  3.1415926 lím a n entonces nl Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales de . Regresemos a la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones 兵a n其 y 兵tn 其, donde a n  tn para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones tienen el mismo límite lím a n nl p lím tn nl Es precisamente en este punto p que Aquiles alcanza a la tortuga. La suma de una serie Otra de las paradojas de Zenón, según Aristóteles, es la siguiente: “un hombre parado en una sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendría que recorrer la mitad de la distancia, después recorrer la mitad de la distancia restante y, a continuación, recorrer la mitad de lo que falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede ser terminado”. (Véase la figura 11.) 1 2 FIGURA 11 1 8 1 4 1 16 Por supuesto, sabemos que el hombre realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la distancia total puede expresarse como la suma de una infinidad de distancias cada vez más pequeñas como sigue: 3 1 1 1 1 1     2 4 8 16  1  2n 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 7 UN PREVIO DE CÁLCULO 7 Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero hay otras situaciones en que utilizamos implícitamente sumas infinitas. Por ejemplo, en notación – decimal, el símbolo 0.3  0.3333. . . significa 3 3 3 3     10 100 1000 10 000 y así, en cierto sentido, debe ser cierto que 3 3 3 3     10 100 1000 10 000  1 3 Más generalmente, si dn denota el n-ésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces 0.d1 d2 d3 d4 . . .  d1 d2 d3  2  3  10 10 10  dn  10 n Por tanto, algunas sumas infinitas o series infinitas, como se les llama, tienen un significado. Pero debemos definir cuidadosamente lo que es la suma de una serie infinita. Regresando a la serie en la ecuación 3, denotamos por sn la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, s1 1 2 0.5 s2 1 2 1 4 0.75 s3 1 2 1 4 1 8 0.875 s4 1 2 1 4 1 8 1 16 0.9375 s5 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 0.96875 s6 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 0.984375 s7 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 s10 1 2 1 4 s16 1 2 1 1024 1 4 0.9921875 0.99902344 1 2 16 0.99998474 Observe que como le añadimos cada vez más términos, las sumas parciales parecen ser más cercanas a 1. De hecho, se puede demostrar que si n es suficientemente grande (es decir, si se suman suficientes términos de la serie), podemos aproximar la suma parcial sn tanto como queramos al número 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma de la serie infinita es 1 y escribir 1 1 1    2 4 8  1  2n 1 98678_00SV_ch00SV_p001-008_98678_00SV_ch00SV_p001-008 05/04/12 11:25 p.m. Página 8 8 UN PREVIO DE CÁLCULO En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que lím sn nl 1 En el capítulo 11 analizaremos con más detalle estas ideas y utilizaremos la propuesta de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. Resumen Hemos visto que el concepto de límite surge al intentar encontrar el área de una región, la pendiente de la recta tangente a una curva, la velocidad de un móvil o la suma de una serie infinita. En cada caso el problema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades fáciles de calcular. Esta idea básica de límite separa al Cálculo de otras áreas de las matemáticas. De hecho, podríamos definir al Cálculo como la parte de las matemáticas que estudia límites. Después de que Sir Isaac Newton inventó su versión del Cálculo, la usó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hoy el Cálculo se utiliza para determinar las órbitas de los satélites y naves espaciales, en la predicción de tamaños de población, en la estimación de la rapidez con la que los precios del petróleo suben o bajan, en la predicción meteorológica, en medir el ritmo cardiaco del corazón, en el cálculo de las primas de seguros de vida y en una gran variedad de otras áreas. En este libro exploraremos algunos de estos usos del Cálculo. Con el fin de dar una idea del poder del Cálculo, terminamos este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que usted podrá responder mediante el Cálculo: 1. ¿Cómo podemos explicar el hecho, ilustrado en la figura 12, de que el ángulo de 2. Rayos del Sol 3. 138° Rayos del Sol Observador FIGURA 12 42° 4. 5. 6. 7. 8. 9. elevación desde un observador hasta el punto más alto en un arcoíris es 42°? (Consulte la página 282.) ¿Cómo podemos explicar las formas de las latas en supermercados? (Consulte la página 337.) ¿Dónde está el mejor lugar para sentarse en una sala de cine? (Consulte la página 456.) ¿Cómo podemos diseñar una montaña rusa para un viaje suave? (Consulte la página 184.) ¿A qué distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el descenso? (Consulte la página 208.) ¿Cómo podemos utilizar las curvas y el diseño de las formas para representar letras en una impresora láser? (Consulte la página 653.) ¿Cómo podemos estimar el número de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran pirámide de Keops en Egipto? (Consulte la página 451.) ¿Dónde debe colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de beisbol lanzada por un jardinero y lanzarla al plato (home)? (Consulte la página 456.) Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, ¿tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su posición original de lanzamiento? (Consulte la página 604.) 1 Funciones y modelos A menudo una gráfica es la mejor manera de representar una función porque transmite mucha información en un vistazo. En la fotografía se muestra la gráfica de la aceleración del suelo, creada por el terremoto de 2008 en la provincia de Sichuan, en China. La ciudad más golpeada fue Beichuan, como muestra la imagen. Cortesía de the IRIS Consortium. www.iris.edu © Mark Ralston / AFP / Getty Images Los objetos fundamentales con los que trata el Cálculo son las funciones. Este capítulo prepara el camino para el Cálculo discutiendo las ideas básicas sobre las gráficas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas. Destacamos que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o en palabras. Veremos los principales tipos de funciones que aparecen en el Cálculo y describiremos cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente fenómenos del mundo real. También analizaremos el uso de calculadoras graficadoras y programas de graficación por computadora. 9 10 CAPÍTULO 1 1.1 FUNCIONES Y MODELOS Cuatro maneras de representar una función Año Población (millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 6 870 Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro situaciones siguientes: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r está dada por la ecuación A m )r2. Con cada número positivo r hay asociado un valor de A, por lo que decimos que A es una función de r. B. La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estimaciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo, P(1950)  2 560 000 000 Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que decimos que P es una función de t. C. El costo C de envío de un paquete por correo depende de su peso w. Aunque no hay alguna fórmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a de suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a. a {cm/s@} 100 50 5 FIGURA 1 Aceleración vertical de suelo durante el terremoto de Northridge 10 15 20 25 30 t (segundos) _50 Departamento de Minas y Geología de California Cada uno de estos ejemplos describe una regla según la cual, a un número dado (r, t, w o t), se le asigna otro número (A, P, C, o a). En cada caso decimos que el segundo número es una función del primero. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E. Usualmente consideramos funciones para los cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la función. El número f (x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El rango de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) conforme x varía a través de todo el dominio. Un símbolo que representa un número arbitrario en el dominio de una función f se llama variable independiente. Un símbolo que representa un número en el rango de f se conoce como variable dependiente. En el ejemplo A, r es la variable independiente, y A es la variable dependiente. SECCIÓN 1.1 x (entrada) f ƒ (salida) FIGURA 2 Diagrama de una función ƒ como una máquina x ƒ a f(a) f D CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Es útil pensar en una función como una máquina (véase la figura 2). Si x está en el dominio de la función f, cuando x entra en la máquina, que se acepta como una entrada, la máquina produce una salida f (x) de acuerdo con la regla de la función. Así, podemos pensar el dominio como el conjunto de todas las posibles entradas, y en el rango como el conjunto de todas las posibles salidas. Las funciones preprogramadas en una calculadora son buenos ejemplos de una función como una máquina. Por ejemplo, el comando raíz cuadrada en su calculadora computa esa función. Oprima la tecla etiquetada s (o s x ) e introduzca la entrada x; si x 0, entonces x no está en el dominio de esta función; es decir, x no es una entrada aceptable, y la calculadora indicará un error. Si x  0, entonces aparecerá una aproximación a s x en la pantalla. Así, el comando s x en la calculadora no es exactamente el mismo que la función matemática f definida por f x sx . Otra forma de imaginar una función es con un diagrama de flechas como en la figura 3. Cada flecha conecta un elemento de D con un elemento de E. La flecha indica que f (x) está asociada con x, f (a) está asociada con a, y así sucesivamente. El método más común para la visualización de una función es con su gráfica. Si f es una función con dominio D, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados E x, f x FIGURA 3 11 x D (Observe que estos son pares de entrada-salida). En otras palabras, la gráfica de f consta de todos los puntos (x, y) en el plano coordenado tales que y m f (x) y x está en el dominio de f. La gráfica de una función f nos da una imagen visual útil del comportamiento o “historia de vida” de una función. Dado que la coordenada y de cualquier punto (x, y) en el gráfico es y m f (x), podemos leer el valor de f (x) de la gráfica como la altura de la gráfica por encima del punto x (véase la figura 4). La gráfica de f permite también tener una imagen visual del dominio de f en el eje x y su rango en el eje y como en la figura 5. Diagrama de flechas para ƒ y y { x, ƒ} rango ƒ y
ƒ(x) f (2) f (1) 0 1 2 x x x 0 dominio FIGURA 4 FIGURA 5 y EJEMPLO 1 La gráfica de una función f se muestra en la figura 6. a) Encuentre los valores de f (1) y f (5). b) ¿Cuál es el dominio y el rango de f ? 1 SOLUCIÓN 0 1 x FIGURA 6 La notación por intervalos está dada en el apéndice A. a) De la figura 6 vemos que el punto (1, 3) está en la gráfica de f, por lo que el valor de f en 1 es f (1) m 3. (En otras palabras, el punto en la gráfica que se encuentra por encima de x m 1 está 3 unidades por encima del eje x.) Cuando x m 5, la gráfica se encuentra aproximadamente a 0.7 unidades por debajo del eje x, así que estimamos que f (5)  0.7. b) Vemos que f (x) está definida cuando 0  x  7, por lo que el dominio de f es el intervalo cerrado F0, 7G. Observe que f toma todos los valores de 2 a 4, así que el rango de f es y 2 y 4 2, 4 12 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 2 Trace la gráfica y encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones: a) f (x) m 2x  1 b) J (x) m x2 y y=2x-1 0 -1 SOLUCIÓN x 1 2 FIGURA 7 y b) Dado que J(2) m 22 m 4 y J(1) m (1)2 m 1, podemos ubicar los puntos (2, 4) y (1, 1) junto con algunos otros puntos de la gráfica, y después unirlos para obtener la gráfica (figura 8). La ecuación de la gráfica es y m x2 y representa una parábola (véase apéndice C). El dominio de J es 2, y el rango consiste en todos los valores de J(x), esto es, todos los números de la forma x2. Pero x2  0 para todos los números x, y todo número y en 0, . Esto puede estas condiciones es positivo, así que el rango de J es y y 0 verse en la figura 8. (2, 4) y=≈ (_1, 1) 1 0 x 1 a) La ecuación de la gráfica es y m 2x 1 y representa la ecuación de una recta con pendiente 2 e intersección con el eje y en y m 1 (recuerde que la forma pendiente-intersección de la ecuación de la recta es y m mx  b. Véase el apéndice B). Esto nos permite dibujar la porción de la gráfica de f en la figura 7. La expresión 2x  1 está definida para todos los números reales, así que el dominio de f es el conjunto 2 de todos los números reales. La gráfica muestra que el rango también es 2. FIGURA 8 h f a . h SOLUCIÓN Primero evaluamos f (a  h) reemplazando x por a  h en la expresión para f (x): EJEMPLO 3 Si f (x) m 2x2  5x  1 y h  0, evalúe f a h 2a 2 a2 2a 2 h 2 f a 5a h 1 2ah h2 5a 4ah 2h 2 5a h 1 5h 1 1 2a 2 Después sustituimos en la expresión dada y simplificamos: La expresión f a h h f a f a h h f a 2a 2 2a 2 en el ejemplo 3 se llama cociente de diferencias y se presenta frecuentemente en cálculo. Como veremos en el capítulo 2, representa la razón de cambio de f (x) entre x m a y x m a  h. 4ah 4ah 2h 2 2h 2 5a 5h h 5a 5h 1 2h 5 2a 2 5a 5a 1 1 h 4ah 2h 2 h 5h 4a Representaciones de funciones Hay cuatro posibles maneras de representar una función: ■ Verbalmente (por una descripción en palabras) ■ Numéricamente (por una tabla de valores) ■ Visualmente (por una gráfica) ■ Algebraicamente (por una fórmula explícita) Si una función puede representarse de las cuatro maneras, con frecuencia es muy útil pasar de una representación a otra a fin de disponer de información adicional de la función. (En el ejemplo 2, empezamos con formas algebraicas y de ellas obtuvimos gráficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera más naturalmente por una forma que por otra. Con esto en mente, reexaminaremos las cuatro situaciones que consideramos al inicio de esta sección. SECCIÓN 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 13 A. La representación probablemente más útil del área de un círculo como una función t Población (millones) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 6 870 de su radio es la fórmula algebraica A(r) m )r2, aunque es posible compilar una tabla de valores para esbozar una gráfica (la mitad de una parábola). Debido a que un 0, , y el rango (0, @). círculo tiene un radio positivo, el dominio es r r 0 B. Se nos da una descripción de la función en palabras: P(t) es la población humana del mundo en el tiempo t. Vamos a medir t, así que t m 0 se corresponde con el año 1900. La tabla de valores de la población mundial proporciona una representación adecuada de esta función. Si se grafican estos valores, obtenemos la gráfica (llamada gráfica de dispersión) en la figura 9. También es una representación útil porque la gráfica nos permite disponer de todos los datos a la vez. ¿Qué pasa con una fórmula? Por supuesto, es imposible concebir una fórmula explícita que proporcione la población humana exacta P(t) en cualquier tiempo t. Pero es posible encontrar una expresión para una función que se aproxime a P(t). De hecho, utilizando los métodos que se explican en la sección 1.2, conseguimos la aproximación Pt 10 9 1.43653 1.01395 t La figura 10 muestra que es un “ajuste” razonablemente bueno. La función f se llama modelo matemático para el crecimiento de la población. En otras palabras, es una función con una fórmula explícita que aproxima el comportamiento de nuestra función dada. Sin embargo, veremos que las ideas del Cálculo también pueden aplicarse a una tabla de valores; una fórmula explícita no es necesaria. P P 5x10' 5x10' 0 20 40 60 FIGURA 9 w (onzas) w w w w w 80 100 120 t 0 20 40 60 80 100 120 t FIGURA 10 Una función definida por una tabla de valores se llama función tabular. 0 1 2 3 4 f t C w (dólares) 1 2 3 4 5 0.88 1.05 1.22 1.39 1.56 La función P es típica de aquellas que surgen cuando se intenta aplicar el Cálculo en el mundo real. Comenzamos con una descripción verbal de una función. A continuación, debemos ser capaces de elaborar una tabla de valores de la función; tal vez de lecturas del instrumento en un experimento científico. A pesar de que no tenemos un conocimiento completo de los valores de la función, veremos a lo largo del libro que todavía es posible realizar las operaciones del Cálculo con dicha función. C. Nuevamente la función se describe con palabras: sea C(w) el costo de envío por correo de un paquete con peso w. La regla que el Servicio Postal de EU utiliza desde 2010 es la siguiente: el costo es de 88 centavos de dólar para paquetes hasta de 1 onza, más 17 centavos por cada onza adicional (o menos) hasta 13 onzas. La tabla de valores que se muestran en el margen es la representación más conveniente para esta función, aunque es posible esbozar una gráfica (véase el ejemplo 10). D. La gráfica que se muestra en la figura 1 es la representación más natural de la función aceleración vertical a(t). Es cierto que podría elaborarse una tabla de valores, y que incluso es posible idear una fórmula aproximada. Pero todo lo que necesita saber un geólogo —las amplitudes y patrones— puede verse fácilmente en la gráfica. (Lo mismo es cierto para los patrones que se observan en los electrocardiogramas de pacientes que sufren del corazón y en polígrafos para la detección de mentiras). 14 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS T En el ejemplo siguiente, esboce la gráfica de una función definida verbalmente. EJEMPLO 4 Al abrir un grifo de agua caliente, la temperatura T del agua depende de cuánto tiempo ha estado saliendo el agua. Dibuje un esbozo de gráfica de T como una función del tiempo t que ha transcurrido desde que fue abierto el grifo. t 0 SOLUCIÓN La temperatura inicial del agua corriente es cercana a la temperatura ambiente porque el agua ha permanecido en las tuberías. Cuando empieza a salir el agua desde el tanque de agua caliente, T aumenta rápidamente. En la siguiente fase, T es constante a la temperatura del agua caliente en el tanque. Cuando el tanque se drena, T disminuye hasta la temperatura de la fuente de agua. Esto nos permite hacer el esbozo de T en función de t en la figura 11. FIGURA 11 El siguiente ejemplo inicia con una descripción verbal de una función en una situación física, y hay que obtener una fórmula algebraica explícita. La capacidad para hacer esto es una habilidad útil para resolver problemas de Cálculo en los que se piden los valores máximo o mínimo de cantidades. v EJEMPLO 5 Un contenedor rectangular sin tapa tiene un volumen de 10 m3. La longitud de su base es dos veces su ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado, y el material para los lados cuesta $6 por metro cuadrado. Exprese el costo de los materiales como una función del ancho de la base. h w SOLUCIÓN Dibujamos un diagrama como el de la figura 12 e introducimos la notación w y 2w para el ancho y la longitud de la base, respectivamente, y h para la altura. El área de la base es w(2w) m 2w2, por lo que el costo en dólares de los materiales para la base es 10(2w2). Dos de los lados tienen área wh, y los otros dos tienen área 2wh, por lo que el costo de los materiales para los lados es 6F2(wh)  2(2wh)G. El costo total es, por tanto, 2w C FIGURA 12 10 2w 2 6 2 wh 20 w 2 2 2wh 36 wh Para expresar C sólo como una función de w, necesitamos eliminar h y para hacerlo utilizamos el hecho de que el volumen es de 10 m3. Por tanto, w(2w)h m 10 h esto da 10 2w 2 5 w2 Sustituyendo en la expresión para C, tenemos RP Para establecer funciones aplicadas como en el ejemplo 5, puede ser útil revisar los principios de la resolución de problemas como se explica en la página 75, particularmente el paso 1: comprender el problema. C 20w 2 36w 5 w 20w 2 2 180 w Por tanto, la ecuación Cw 20w 2 180 w w 0 expresa C como una función de w. EJEMPLO 6 a) f x Convención para el dominio Si una función viene dada por una fórmula y el dominio no se expresa explícitamente, la convención es que el dominio es el conjunto de todos los números para los que la fórmula tiene sentido y define un número real. Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones: sx 2 SOLUCIÓN a) Debido a que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como un número real), el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x  2  0. Esto es equivalente a x  2, por lo que el dominio es el intervalo F2, @). SECCIÓN 1.1 15 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN b) Como 1 tx x 2 1 x x x 1 y no se permite la división entre 0, vemos que J(x) no está definida cuando x m 0 o x m 1. Por tanto, el dominio de J es x x 0, x 1 que también puede escribirse en notación de intervalos como
, 0 1,
0, 1 La gráfica de una función es una curva en el plano xy. Pero surge la pregunta: ¿qué curvas en el plano xy son gráficas de funciones? Esta pregunta se contesta con la siguiente prueba. La prueba de la vertical Una curva en el plano xy es la gráfica de una función de x si y sólo si no hay recta vertical que intercepte la curva más de una vez. La razón de la validez de la prueba de la vertical puede verse en la figura 13. Si cada recta vertical x m a intercepta una curva sólo una vez, en (a, b), entonces se define exactamente un valor funcional para f (a) m b. Pero si una recta x m a intercepta la curva dos veces, en (a, b) y (a, c), entonces la curva no puede representar una función debido a que una función no puede asignar dos valores diferentes de a. y y x=a (a, c) x=a (a, b) (a, b) a 0 FIGURA 13 x a 0 x Por ejemplo, la parábola x m y2  2 que se muestra en la figura 14 a) no es la gráfica de una función de x porque, como puede ver, hay rectas verticales que intersectan a la parábola dos veces. La parábola, sin embargo, contiene las gráficas de dos funciones de x. sx 2 . Por tanto, Note que la ecuación x m y2  2 implica que y2 m x  2, así que y las mitades superior e inferior de la parábola son las gráficas de las funciones f x s x 2 . FVéanse las figuras 14 b) y c).G s x 2 Fdel ejemplo 6 a)G y t x Observamos que si invertimos los roles de x y y, entonces la ecuación x m h(y) m y2  2 define a x como una función de y (con y como la variable independiente y x como la variable dependiente), y la parábola aparece ahora como la gráfica de la función h. y y y _2 (_2, 0) FIGURA 14 0 a) x=¥-2 x _2 0 b) y=œ„„„„ x+2 x 0 c) y=_ œ„„„„ x+2 x 16 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Funciones definidas por secciones Las funciones en los siguientes cuatro ejemplos se definen mediante diferentes fórmulas en distintos tramos de sus dominios. Estas funciones se denominan funciones definidas por secciones. v EJEMPLO 7 Una función f está definida por 1 x2 f x x si x si x 1 1 Evalúe f (2), f (1) y f (0) y grafique la función. SOLUCIÓN Recuerde que una función es una regla. Para esta función en particular la regla es la siguiente: primero ver el valor de la entrada x. Si sucede que x   1, entonces el valor de f (x) se encuentra con 1  x. Por otro lado, si x  1, entonces el valor de f (x) se obtiene con x2. Puesto que 2  1, tenemos f (2) m 1  (2) m 3 Puesto que 1  1, tenemos f (1) m 1  (1) m 2 y Puesto que 0  1, tenemos f (0) m 02 m 0. 1 _1 0 1 x FIGURA 15 ¿Cómo obtenemos la gráfica de f ? Observamos que si x  1, entonces f (x) m 1  x, por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la izquierda de la recta vertical x m 1 debe coincidir con la recta y m 1  x, que tiene pendiente 1 e intersección en (0, 1). Si x  1, entonces f (x) m x2, por lo que la parte de la gráfica de f que se encuentra a la derecha de la recta x m 1 debe coincidir con la gráfica de y m x2, que es una parábola. Esto nos permite esbozar la gráfica en la figura 15. El punto relleno indica que (1, 2) está incluido en la gráfica; el punto hueco indica que (1, 1) está excluido de la gráfica. El siguiente ejemplo de una función definida por secciones es la función valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número a, denotado por U a U, es la distancia desde a hasta 0 en la recta de números reales. Las distancias son siempre positivas o cero, así tenemos que Para un repaso más amplio de valores absolutos, véase el apéndice A. UaU0 para todo número a Por ejemplo, 3 3 3 3 0 s2 0 s2 1 1 3 3 En general, tenemos a a a a si a 0 si a 0 (Recuerde que si a es negativa, entonces a es positiva.) EJEMPLO 8 y Grafique la función valor absoluto f x SOLUCIÓN De la discusión precedente sabemos que y=| x | x 0 FIGURA 16 x . x x x si x si x 0 0 Utilizando el mismo método que en el ejemplo 7, vemos que la gráfica de f coincide con la recta y m x a la derecha del eje y, y coincide con la recta y m x a la izquierda del eje y (véase la figura 16). SECCIÓN 1.1 EJEMPLO 9 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 17 Encuentre una fórmula para la función f graficada en la figura 17. y 1 0 x 1 FIGURA 17 SOLUCIÓN La recta que pasa por (0, 0) y (1, 1) tiene pendiente m m 1 e intersección con el eje y en b m 0, por lo que su ecuación es y m x. Así, por la parte de la gráfica de f que une a (0, 0) con (1, 1), tenemos f x Forma punto-pendiente de la ecuación de la recta: y  y1 m m(x  x1) x x si 0 1 La recta que une a (1, 1) y (2, 0) tiene pendiente m m 1, por lo que su forma puntopendiente es Véase el apéndice B. y  0 m (1)(x  2) o bien y m 2  x Así tenemos f x 2 x si 1 x 2 También vemos que la gráfica de f coincide con el eje x para x  2. Reuniendo esta información, tenemos la siguiente fórmula en tres secciones para f: x 2 0 f x si 0 x si 1 si x x x 2 1 2 EJEMPLO 10 En el ejemplo C al principio de esta sección hemos considerado el costo C(w) de enviar por correo paquetes con peso w. En efecto, esto define una función por secciones porque, por la tabla de valores en la página 13, tenemos C 1.50 1.00 0.88 1.05 1.22 1.39 Cw si 0 si 1 si 2 si 3 w w w w 1 2 3 4 0.50 0 FIGURA 18 1 2 3 4 5 w La gráfica se muestra en la figura 18. Puede verse por qué funciones similares a ésta se denominan funciones escalón: saltan de un valor al siguiente. Estas funciones se estudiarán en el capítulo 2. Simetría Si una función f satisface f (x) m f (x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Por ejemplo, la función f (x) m x2 es par porque f x x 2 x2 f x El significado geométrico de una función par es que su gráfica es simétrica respecto al eje 18 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y (véase la figura 19). Esto significa que si hemos dibujado la gráfica para x  0, obtenemos toda la gráfica simplemente reflejándola respecto al eje y. y y f(_x) ƒ _x _x FIGURA 19 Una función par ƒ 0 x x 0 x x FIGURA 20 Una función impar Si f satisface f (x) m f (x) para cada x en su dominio, entonces f es una función impar. Por ejemplo, la función f (x) m x3 es impar porque x f x 3 x3 f x La gráfica de una función impar es simétrica en relación con el origen (véase la figura 20). Si ya tenemos la gráfica de f para x  0, podemos obtener toda la gráfica rotando 180º esta porción en relación con el origen. v EJEMPLO 11 Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o nin- guna de las dos. a) f x x5 x b) t x 1 x x x4 c) h x x2 2x SOLUCIÓN a) f x 5 5 1 5x 5 x x x 5 x x f x Por tanto, f es una función impar. b) t x 1 h x 2 x 4 x4 1 tx Así que J es par. c) x x 2 2x x2 Como h(x)  h(x) y h(x)  h(x), concluimos que h no es par ni impar. Las gráficas de las funciones del ejemplo 11 se muestran en la figura 21. Observe que la gráfica de h no es simétrica respecto al eje y ni en relación con el origen. y y y 1 f 1 g h 1 1 1 _1 x x 1 _1 FIGURA 21 a) b) c) x SECCIÓN 1.1 y % La gráfica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende de B a C y sube otra vez de C a D. Se dice que la función f es creciente sobre el intervalo Fa, bG, decreciente sobre Fb, cG y creciente nuevamente sobre Fc, dG. Observe que si x1 y x2 son dos números entre a y b con x1 x2, entonces f (x1) f (x2). Utilizamos esta propiedad para definir una función creciente. Y $ F Xl F X|  A X| Xl B C Una función f se llama creciente sobre un intervalo I si X D f x1 FIGURA 22 Y€ f x1 siempre que x 1 x 2 en I f x2 siempre que x 1 x 2 en I En la definición de una función creciente, es importante darse cuenta de que la desigualdad f (x1) f (x2) debe cumplirse para todo par de números x1 y x2 en I con xl x2. Puede observarse en la figura 23 que la función f (x) m x2 es decreciente sobre el intervalo (@, 0G y creciente sobre el intervalo F0, @). X  FIGURA 23 Ejercicios 1. Si f x x x yt u s2 u s2 u , ¿es verdad que tx x f m J? 2. Si f x x2 x x 1 y c) d) e) f) Estime la solución de la ecuación f (x) m 1. ¿Sobre qué intervalo es decreciente f ? Establezca el dominio y el rango de f Establezca el dominio y el rango de J. Y G ¿es verdad que f m J? F 3. La gráfica de una función f está dada. a) b) c) d) e) f) f x2 Se llama decreciente sobre I si Y 1.1 19 Funciones crecientes y decrecientes # " CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN Establezca el valor de f (1). Estime el valor de f (1). ¿Para qué valores de x es f (x) m 1? Estime el valor de x tal que f (x) m 0. Establezca el dominio y el rango de f. ¿Sobre qué intervalo es creciente f ?   X 5. La gráfica de la figura 1 fue registrada por un instrumento operado por el Departamento de Minas y Geología de California en el Hospital Universitario de la Universidad de California del Sur (USC, por sus siglas en inglés) en Los Ángeles. Utilice esta gráfica para estimar el rango de la función aceleración vertical de suelo, en la USC durante el terremoto de Northridge. Y     X 4. Las gráficas de f y J están dadas. a) Establezca los valores de f (4) y J(3). b) ¿Para qué valores de x es f (x) m J(x)? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 6. En esta sección discutimos ejemplos de funciones cotidianas: la población es una función del tiempo, el costo de envío postal es una función del peso, la temperatura del agua es una función del tiempo. Dar otros tres ejemplos de funciones de la vida cotidiana que se describen verbalmente. ¿Qué puede decir sobre el dominio y el rango de cada una de sus funciones? Si es posible, esboce una gráfica de cada función. 20 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 7-10 Determine si la curva es la gráfica de una función de x. Si lo es, establezca el dominio y el rango de la función. 7. Y 8. Y y (m)      X Y 9. tiempo de cada corredor. Describa en palabras lo que la gráfica indica acerca de esta carrera. ¿Quién ganó la carrera? ¿Cada corredor terminó la carrera? 10.  Y  A  X  B C  t (s)     X  X 11. La gráfica que se muestra da el peso de una determinada persona en función de la edad. Describa con palabras cómo el peso de esta persona varía con el tiempo. ¿Qué cree que ocurrió cuando esta persona tenía 30 años? 15. La gráfica muestra el consumo de potencia para un día en septiembre en San Francisco. (P se mide en megavatios; t se registra en horas a partir de la medianoche). a) ¿Cuál fue el consumo de potencia a las 6:00? ¿A las 18:00? b) ¿Cuándo fue el consumo de potencia más bajo? ¿Cuándo fue el más alto? ¿Estos tiempos parecen razonables? 1   200 Peso (libras)  150  100  50        T Pacific Gas & Electric 0 10 20 30 40 50 60 70 Edad (años) 16. Esboce una gráfica aproximada del número de horas de luz en función de la época del año. 12. La gráfica muestra la altura del agua en una bañera en función del tiempo. Proporcione una descripción verbal de lo que cree que sucedió. tiempo, durante un día típico de primavera. 18. Esboce una gráfica aproximada del valor de mercado de un nuevo automóvil en función del tiempo, durante un periodo de 20 años. Suponga que el automóvil se mantiene en buen estado. Altura (pulgadas) 15 19. Esboce la gráfica de la cantidad de una determinada marca de café vendido por una tienda, en función del precio del café. 10 20. Coloque una tarta congelada en un horno y caliéntela durante 5 0 17. Esboce una gráfica de la temperatura exterior en función del 5 10 15 Tiempo (minutos) una hora. Luego sáquela y déjela enfriar antes de comerla. Describa cómo cambia la temperatura de la tarta conforme pasa el tiempo. Luego esboce una gráfica de la temperatura de la tarta en función del tiempo. 13. Se ponen unos cubitos de hielo en un vaso, se llena el vaso con 21. El propietario de una casa poda el césped cada miércoles por agua fría y luego se coloca sobre una mesa. Describa cómo cambia la temperatura del agua conforme transcurre el tiempo. Luego esboce una gráfica de la temperatura del agua como una función del tiempo transcurrido. la tarde. Esboce una gráfica de la altura del césped como una función del tiempo, en el transcurso de un periodo de cuatro semanas. 14. Tres corredores compiten en una carrera de 100 metros. La gráfica muestra la distancia recorrida como una función del 22. Un avión despega desde un aeropuerto y aterriza una hora más tarde en otro aeropuerto a 400 millas de distancia. Si t representa el tiempo en minutos desde que el avión ha dejado la SECCIÓN 1.1 terminal, x(t) es la distancia horizontal recorrida y y(t) la altitud del avión, esboce a) una posible gráfica de x(t). b) una posible gráfica de y(t). c) una posible gráfica de la rapidez respecto al suelo. d) una posible gráfica de la velocidad vertical. 23. En la tabla se muestra el número N (en millones) de usuarios de telefonía celular en EU. (Se dan estimaciones semestrales.) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN 1 35. h x sx 4 2 5x s2 37. F p u 36. f u 21 1 1 1 u 1 sp 38. Encuentre el dominio y el rango, y dibuje la gráfica de la s4 función h x x2 . 39-50 Encuentre el dominio y grafique cada una de las siguientes funciones: a) Utilice los datos para esbozar una gráfica de N en función de t. b) Utilice su gráfica para estimar el número de usuarios de teléfono celular a mediados de año en 2001 y en 2005. 39. f (x) m 2  0.4x 40. F(x) m x2  2x  1 41. f (t) m 2t  t2 42. H t 43. t x sx 5 t2 t 4 2 44. F x 2x 1 46. t x x x 24. Las siguientes lecturas de temperatura T (en F) se registraron cada dos horas desde la medianoche a las 14:00 en Phoenix, el 10 de septiembre de 2008. El tiempo t se midió en horas a partir de la medianoche. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 82 75 74 75 84 90 93 94 a) Utilice las lecturas para esbozar una gráfica de T como una función de t. b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 9:00. 3x 45. G x 47. f x x 1 2 x 48. f x 3 2x 1 2 49. f x 25. Si f (x) m 3x2  x  2, encuentre f (2), f (2), f (a), f (a), f (a  1), 2 f (a), f (2a), f (a2), Ff (a)G2 y f (a  h). si x si x 0 0 x 5 si x si x x x2 2 si x si x x 9 si x 3 si x 3 si x 3 50. f x 2x 6 26. Un globo esférico con radio de r pulgadas tiene volumen 4 3 Vr 3 r . Encuentre una función que represente la cantidad de aire necesaria para inflar el globo de un radio de r pulgadas a un radio r  1 pulgadas. x x 2 2 1 1 51-56 Encuentre una expresión para la función cuya gráfica es la 27-30 Evalúe el cociente de diferencias de cada una de las curva dada. siguientes funciones. Simplifique su respuesta. 51. El segmento de recta que une los puntos (1, 3) y (5, 7). 27. f x 4 28. f x x 3, 29. f x 1 , x 30. f x x x f 3 x 2, 3x f a f x x 3 , 1 h h h h 52. El segmento de recta que une los puntos (5, 10) y (7, 10). f 3 53. La mitad inferior de la parábola x  ( y  1)2 m 0. 54. La mitad superior de la circunferencia x2  (y  2)2 m 4. f a 55. 56. y y f a a f x x f 1 1     X   31-37 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones. 31. f x x x2 33. f t 3 2t s 4 9 1 32. f x 34. t t 2x 3 x 2 s3 57-61 Encuentre una fórmula y su dominio para cada una de las siguientes funciones descritas. 5 x 6 t s2 57. Un rectángulo tiene 20 m de perímetro. Exprese el área del t rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. X 22 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 58. Un rectángulo tiene 16 m2 de área. Exprese el perímetro del 67. En un determinado país, el impuesto sobre la renta se calcula rectángulo en función de la longitud de uno de sus lados. como sigue. No hay impuesto sobre la renta para ingresos de hasta $10 000. Los ingresos de más de $10 000 se gravan con una tasa del 10%, hasta un ingreso de $20 000. Los ingresos superiores a $20 000 se gravan en 15%. a) Esboce la gráfica de la tasa impositiva R en función de los ingresos. b) ¿Qué impuesto corresponde a un ingreso de $14 000? ¿Y de $26 000? c) Esboce la gráfica del impuesto total T en función del ingreso I. 59. Exprese el área de un triángulo equilátero, como función de la longitud de un lado. 60. Exprese el área superficial de un cubo en función de su volumen. 61. Una caja rectangular abierta con 2 m3 de volumen tiene una base cuadrada. Exprese el área superficial de la caja en función de la longitud de uno de los lados de la base. 62. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo 68. Las funciones del ejemplo 10 y el ejercicio 67 se denominan funciones escalón porque sus gráficas parecen escaleras. Sugiera dos ejemplos de funciones escalón que surgen en la vida cotidiana. coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de la ventana en función del ancho x de la ventana. 69-70 Se muestran las gráficas de f y J. Determine si cada función es par, impar o ninguna de las dos. Explique su razonamiento. 69. 70. Y Y G G F F X X X 63. Debe construirse una caja sin tapa, a partir de una hoja rectangular de cartón que tiene dimensiones de 12 por 20 pulgadas, recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y plegando los lados como se ilustra en la figura. Exprese el volumen V de la caja en función de x. 20 x 71. a) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función par, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica? b) Si el punto (5, 3) está en la gráfica de una función impar, ¿cuál otro punto también debe estar en la gráfica? 72. Una función f tiene dominio F5, 5G y se muestra una porción x x x 12 x de su gráfica. a) Complete la gráfica de f si se sabe que f es par. b) Complete la gráfica de f si se conoce que f es impar. x x x Y 64. Un plan de telefonía celular tiene una carga básica de 35 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cargos de 10 centavos de dólar por cada minuto adicional de uso. Escriba el costo mensual C, como una función del número x de minutos utilizados, y grafique C como una función para 0  x  600. ?   X 65. En cierto estado del país, la velocidad máxima permitida en autopistas es 65 miYh y la velocidad mínima es de 40 miYh. La multa para los conductores que violan estos límites es $15 por cada milla por hora por encima de la velocidad máxima o por debajo de la velocidad mínima. Exprese el monto de la multa F como una función de la velocidad de conducción x y grafique F(x) para 0  x  100. 73-78 Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. Si tiene una calculadora graficadora, utilícela para verificar visualmente su respuesta. 73. f x 66. Una compañía de electricidad cobra a sus clientes una tasa base de 10 dólares al mes, más 6 centavos de dólar por kilovatio-hora (kWh) por los primeros 1200 kWh y 7 centavos de dólar por kWh para todo uso sobre 1200 kWh. Exprese el costo mensual E en función de la cantidad x de electricidad utilizada. Después, grafique la función E para 0  x  2 000. 75. f x x x 2 1 x x 1 77. f (x) m 1  3x2  x4 74. f x 76. f x x2 x 4 1 x x 78. f (x) m 1  3x3  x5 SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES 80. Si f y J son dos funciones pares, ¿es el producto fJ par? Si 79. Si f y J son funciones pares, ¿es f  J par? Si f y J son funciones f y J son dos funciones impares, ¿es fJ impar? ¿Qué sucede si f es par y J es impar? Justifique sus respuestas. impares, ¿es f  J impar? ¿Qué sucede si f es par y J es impar? Justifique sus respuestas. 1.2 23 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales Un modelo matemático es una descripción matemática (a menudo por medio de una función o una ecuación) de un fenómeno real, como el tamaño de una población, la demanda de un producto, la velocidad de un objeto que cae, la concentración de un producto en una reacción química, la esperanza de vida de una persona al nacer, o el costo de la reducción de las emisiones. El propósito del modelo es comprender el fenómeno y tal vez hacer predicciones sobre su comportamiento futuro. La figura 1 ilustra el proceso de modelado matemático. Dado un problema del mundo real, nuestra primera tarea es formular un modelo matemático mediante la identificación y etiquetado de las variables dependientes e independientes, y haciendo supuestos que simplifiquen lo suficiente el fenómeno para que sea matemáticamente manejable. Utilizamos nuestro conocimiento de la situación física y nuestras habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que relacionen las variables. En situaciones donde no hay ninguna ley física para que nos guíe, podemos necesitar recopilar datos (ya sea en una biblioteca, en internet o mediante la realización de nuestros propios experimentos) y examinar los datos en forma de una tabla para poder identificar patrones. A partir de la representación numérica de una función, podemos obtener una representación gráfica. En algunos casos, la gráfica podría hasta sugerir una forma algebraica adecuada. Problema en el mundo real Formular Modelo matemático Resolver Conclusiones matemáticas Interpretar Predicción en el mundo real Prueba FIGURA 1 El proceso de modelado La segunda etapa consiste en aplicar las matemáticas que conocemos (p. ej., el Cálculo que se desarrollará a lo largo de este libro) al modelo matemático que hemos formulado a fin de obtener conclusiones matemáticas. A continuación, en la tercera etapa, tomamos esas conclusiones matemáticas y las interpretamos como información sobre el fenómeno original del mundo real con el propósito de dar explicaciones o hacer predicciones. El último paso es poner a prueba nuestras predicciones comparando contra nuevos datos reales. Si las predicciones no coinciden con una buena aproximación con la realidad, necesitamos afinar nuestro modelo o formular uno nuevo y empezar otra vez el ciclo. Un modelo matemático nunca es una representación completamente precisa de una situación física: es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente para permitir hacer cálculos matemáticos, pero es razonablemente preciso para proporcionar valiosas conclusiones. Es importante percatarse de las limitaciones del modelo porque, finalmente, la Madre Naturaleza tiene la última palabra. Hay muchos tipos diferentes de funciones que pueden utilizarse para modelar relaciones observadas en el mundo real. En lo que sigue, analizaremos el comportamiento y gráfica de estas funciones y daremos ejemplos de situaciones adecuadamente modeladas por ellas. Modelos lineales En el apéndice B se repasa la geometría analítica de las rectas. Cuando decimos que y es una función lineal de x, queremos decir que la gráfica de la función es una recta, de manera que podemos utilizar la forma pendiente-intersección de 24 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS la ecuación de la recta para escribir una fórmula para la función como y m f (x) m mx  b donde m es la pendiente de la recta y b es la intersección de la recta con el eje y. Un rasgo característico de las funciones lineales es que crecen a una razón constante. Por ejemplo, la figura 2 muestra una gráfica de la función lineal f (x) m 3x  2 y una tabla con algunos de sus valores. Observe que cuando x aumenta por 0.1, el valor de f (x) aumenta por 0.3. Así que f (x) aumenta tres veces más rápido que x. De este modo, la pendiente de la gráfica y m 3x  2, es decir 3, lo que puede interpretarse como la razón de cambio de y respecto a x. y x y=3x-2 0 _2 x f x 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 3x 2 1.0 1.3 1.6 1.9 2.2 2.5 FIGURA 2 v EJEMPLO 1 a) Cuando el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 C, y la temperatura a 1 km de altura es de 10 C, exprese la temperatura T (en C) en función de la altura h (en kilómetros), suponiendo que un modelo lineal es adecuado. b) Dibuje la gráfica de la función del inciso a). ¿Qué representa la pendiente? c) ¿Cuál es la temperatura a 2.5 km de altura? SOLUCIÓN a) Ya que suponemos que T es una función lineal de h, podemos escribir T m mh  b Estamos teniendo en cuenta que T m 20 cuando h m 0, por lo que 20 m m ? 0  b m b En otras palabras, la intersección con el eje y es b m 20. Dado que T m 10 cuando h m 1, tenemos que 10 m m ? 1  20 T La pendiente de la recta es, por tanto, m m 10  20 m 10, y la función lineal requerida es 20 10 0 T=_10h+20 T m 10h  20 1 FIGURA 3 3 h b) La gráfica se muestra en la figura 3. La pendiente es m m 10 CYkm y representa la razón de cambio de temperatura respecto a la altura. c) A una altura de h m 2.5 km, la temperatura es T m 10(2.5)  20 m 5C SECCIÓN 1.2 25 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES Si no hay ley física o principio que nos ayude a formular un modelo, construimos un modelo empírico que se base completamente en los datos recopilados. Buscamos una curva que “encaje” en los datos, en el sentido que sugiera la tendencia básica de los puntos que representan los datos. v EJEMPLO 2 La tabla 1 muestra el nivel promedio de dióxido de carbono en la atmósfera, medido en partes por millón en el Observatorio Mauna Loa, desde 1980 a 2008. Utilice los datos de la tabla 1 para encontrar un modelo para el nivel de dióxido de carbono. SOLUCIÓN Utilizamos los datos de la tabla 1 para hacer la gráfica de dispersión en la figura 4, donde t representa el tiempo (en años) y C, el nivel de CO2 (en partes por millón, ppm). C 380 TABLA 1 Año Nivel de CO2 (en ppm) 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 338.7 341.2 344.4 347.2 351.5 354.2 356.3 358.6 Año Nivel de CO2 (en ppm) 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 362.4 366.5 369.4 373.2 377.5 381.9 385.6 370 360 350 340 1980 FIGURA 4 1985 1990 1995 2000 2005 2010 t La gráfica de dispersión para el nivel promedio de CO™ Observe que los puntos de datos parecen estar cercanos a una recta, por lo que es natural que se elija un modelo lineal en este caso. Pero hay muchas rectas posibles que se aproximan a estos puntos de datos, así que, ¿cuál debemos usar? Una posibilidad es la recta que pasa por el primero y el último puntos de datos. La pendiente de esta recta es 385.6 2008 338.7 1980 46.9 28 1.675 y su ecuación es C  338.7 m 1.675(t  1980) o bien C m 1.675t  2 977.8 1 La ecuación 1 da un posible modelo lineal para el nivel de dióxido de carbono y se representa gráficamente en la figura 5. C 380 370 360 350 FIGURA 5 Modelo lineal a través del primero y el último puntos de información 340 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 t 26 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Una computadora o una calculadora graficadora encuentran la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados, que consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los puntos de datos y la recta. Los detalles se explican en la sección 14.7. Observe que nuestro modelo da valores por encima de la mayoría de los niveles reales de CO2. Un mejor modelo lineal se obtiene por un procedimiento estadístico llamado regresión lineal. Si utilizamos una calculadora graficadora, introducimos los datos de la tabla 1 en el editor de datos y elegimos el comando de regresión lineal (con Maple utilizamos el comando fit[leastsquare] en el paquete de estadística; con Mathematica utilizamos el comando Fit). La máquina da la pendiente y la ordenada al origen de la recta de regresión m m 1.65429 b m 2 938.07 Por lo que nuestro modelo de mínimos cuadrados para el nivel de CO2 es C m 1.65429t 2 938.07 2 En la figura 6 graficamos la recta de regresión, así como los puntos de datos. Comparando con la figura 5, vemos que da un mejor ajuste que nuestro anterior modelo lineal. C 380 370 360 350 340 FIGURA 6 1980 Recta de regresión 1985 1990 1995 2000 2005 2010 t v EJEMPLO 3 Utilice el modelo lineal dado por la ecuación 2 para estimar el nivel promedio de CO2 para 1987 y predecir el nivel para el año 2015. De acuerdo con este modelo, ¿cuándo el nivel de CO2 superará 420 partes por millón? SOLUCIÓN Mediante la ecuación 2 con t m 1 987, estimamos que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue C(1987) m (1.65429)(1987)  2 938.07  349.00 Éste es un ejemplo de interpolación porque hemos estimado un valor entre los valores observados. (De hecho, el Observatorio Mauna Loa informó que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue de 348.93 ppm, por lo que nuestra estimación es bastante precisa.) Con t m 2015, obtenemos C(2015) m (1.65429)(2015)  2 938.07  395.32 Por lo que auguramos que el nivel promedio de CO2 en el año 2015 será 395.3 ppm. Este es un ejemplo de extrapolación porque hemos predicho un valor fuera de la región de observaciones. En consecuencia, estamos mucho menos seguros acerca de la precisión de nuestra predicción. Utilizando la ecuación 2, vemos que el nivel de CO2 supera las 420 ppm cuando 1.65429t  2 938.07  420 Resolviendo esta desigualdad, obtenemos t 3 358.07 1.65429 2 029.92 SECCIÓN 1.2 27 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES Por tanto, predecimos que el nivel de CO2 superará 420 ppm para el año 2030. Esta predicción es riesgosa porque se trata de un tiempo bastante alejado de nuestras observaciones. De hecho, podemos ver en la figura 6 que la tendencia ha sido de un rápido aumento para los niveles de CO2 en los últimos años, por lo que el nivel podría superar los 420 ppm antes de 2030. Polinomiales Una función P se llama polinomial si an x n Px an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0 donde n es un número entero no negativo y a0, a1, a2, . . . , an son constantes llamadas los coeficientes de la polinomial. El dominio de cualquier polinomial es 2 m (@, @). Si el coeficiente principal an  0, entonces el grado de la polinomial es n. Por ejemplo, la función 2x 6 Px 2 5 x4 s2 x3 es una polinomial de grado 6. Una polinomial de grado 1 es de la forma P(x) m mx  b, por lo que es una función lineal. Una polinomial de grado 2 es de la forma P(x) m ax2  bx  c y se llama función cuadrática. Su gráfica es siempre una parábola obtenida por desplazamientos de la parábola y m ax2, como se verá en la siguiente sección. La parábola abre hacia arriba si a  0 y hacia abajo si a 0. (Véase la figura 7.) y y 2 2 FIGURA 7 0 Las gráficas de una función cuadrática son parábolas 1 x 1 x b) y=_2≈+3x+1 a) y=≈+x+1 Una polinomial de grado 3 es de la forma P(x) m ax3  bx2  cx  d a0 y se llama función cúbica. La figura 8 muestra la gráfica de una función cúbica en el inciso a) y las gráficas de polinomiales de grados 4 y 5 en los incisos b) y c). Veremos más adelante por qué las gráficas tienen esas formas.    FIGURA 8    a) 
   b)  
  c)     
  28 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Las polinomiales se utilizan comúnmente para modelar diversas cantidades que se presentan en las ciencias naturales y sociales. Por ejemplo, en la sección 3.7 explicaremos por qué los economistas usan a menudo una polinomial P(x) para representar el costo de producir x unidades de una mercancía. En el siguiente ejemplo, utilizamos una función cuadrática para modelar la caída de una pelota. TABLA 2 Tiempo (segundos) Altura (metros) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61 EJEMPLO 4 Se deja caer una pelota desde la plataforma de observación de la Torre CN, a 450 m por encima del suelo. Las sucesivas alturas h de la pelota por encima del suelo están registradas a intervalos de 1 segundo, en la tabla 2. Encuentre un modelo para ajustar los datos y utilice ese modelo para predecir el momento en que la pelota golpeará el suelo. SOLUCIÓN En la figura 9 se traza una gráfica de dispersión con la información disponible y se observa que un modelo ideal no es adecuado. Pero parece ser que los puntos de datos podrían acomodarse a una parábola, por lo que intentamos un modelo cuadrático. Utilizando una calculadora graficadora o computadora (que utiliza el método de los mínimos cuadrados), obtenemos el siguiente modelo cuadrático: h m 449.36  0.96t  4.90t 2 3 h (metros) h 400 400 200 200 0 2 4 6 8 0 t (segundos) 2 4 6 8 t FIGURA 9 FIGURA 10 Gráfica de dispersión para la caída de una pelota Modelo cuadrático para la caída de una pelota En la figura 10 dibujamos la gráfica de la ecuación 3 junto con los puntos de datos y vemos que el modelo cuadrático es muy buen ajuste. La pelota golpea el suelo cuando h m 0, por lo que resolvemos la ecuación cuadrática 4.90t2  0.96t 449.36 m 0 La ecuación cuadrática da t 0.96 s 0.96 2 2 4 4.90 449.36 4.90 La raíz positiva es t  9.67, por lo que pronosticamos que la pelota golpeará el suelo después de aproximadamente 9.7 segundos. Funciones potencia Una función de la forma f (x) m x a, donde a es una constante, se llama función potencia. Consideramos varios casos. SECCIÓN 1.2 29 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES i) a m n, donde n es un número entero positivo Las gráficas de f (x) m x n para x m 1, 2, 3, 4 y 5 se muestran en la figura 11. (Estas son polinomiales con un sólo término.) Ya sabemos la forma de la gráfica de y m x (una recta que pasa por el origen con pendiente 1) y y m x2 [una parábola, véase el ejemplo 2b) en la sección 1.1].          FIGURA 11 Gráficas de                   para 



 La forma general de la gráfica de f (x) m xn depende de si n es par o impar. Si n es par, entonces f (x) m x n es una función par, y su gráfica es similar a la parábola y m x 2. Si n es impar, entonces f (x) m xn es una función impar, y su gráfica es similar a la de y m x 3. Observe en la figura 12, sin embargo, que cuando n aumenta, la gráfica de y m x n se aplana más cerca de 0 y es más pronunciada cuando U x U  1. (Si x es pequeña, entonces x2 es más pequeña, x3 es aún más pequeña, x4 es todavía más pequeña aún, y así sucesivamente.)        
 FIGURA 12 Familia de funciones potencia 
   
   
  ii) a m 1Yn, donde n es un número entero positivo n x1 n s x es una función raíz. Para n m 2 es la función raíz La función f x sx , con dominio en [0, @) y cuya gráfica es la mitad superior de cuadrada f x la parábola x m y2. [Véase la figura 13a)]. Para otros valores pares de n, la gráfica n x es similar a la de y sx . Para n m 3 tenemos la función raíz cúbica de y s 3 x con dominio en 2 (recuerde que todo número real tiene raíz cúbica) y cuya f x s n x para n impar (n  3) es gráfica se muestra en la figura 13b). La gráfica de y s 3 similar a la de y sx . y y (1, 1) 0 (1, 1) x 0 FIGURA 13 Gráficas de funciones raíz a) ƒ=œ„x b) ƒ=Œ„x 30 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y y=Δ 1 0 x 1 iii) a m 1 La gráfica de la función recíproca f (x) m x1 m 1Yx se muestra en la figura 14. Su gráfica tiene la ecuación y m 1Yx o xy m 1, y es una hipérbola con los ejes de coordenadas como sus asíntotas. Esta función surge en física y química en relación con la ley de Boyle, que dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es inversamente proporcional a la presión P: C P V FIGURA 14 La función recíproca donde C es una constante. Así, la gráfica de V en función de P (véase la figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14. V FIGURA 15 El volumen como una función de la presión a temperatura constante 0 P Las funciones potencia también se utilizan para modelar relaciones especie-área (ejercicios 26-27), la iluminación como una función de la distancia a una fuente de luz (ejercicio 25) y el periodo de revolución de un planeta en función de su distancia al Sol (ejercicio 28). Funciones racionales Una función racional f es un cociente de dos funciones polinomiales: Px Qx f x    donde P y Q son polinomiales. El dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x)  0. Un ejemplo simple de una función racional es f (x) m 1Yx, cuyo dominio es Hx U x  0J; esta es la función recíproca graficada en la figura 14. La función 2x 4 f x x FIGURA 16  
   x2 2 1 4 es una función racional con dominio Hx U x  2J. La gráfica se muestra en la figura 16. Funciones algebraicas Una función f se llama función algebraica si puede construirse utilizando operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicación, división y tomando raíces) comenzando con las polinomiales. Cualquier función racional es automáticamente una función algebraica. Aquí hay dos ejemplos más: f x sx 2 1 tx x4 x 16x 2 sx x 3 2 s x 1 Cuando esbocemos funciones algebraicas en el capítulo 4, veremos que sus gráficas pueden tener una variedad de formas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades. SECCIÓN 1.2 31 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES y y y 1 1 2 1 _3 x 0 a) ƒ=xœ„„„„ x+3 FIGURA 17 x 5 0 b) ©=$œ„„„„„„ ≈-25 x 1 c) h(x)=x@?#(x-2)@ Un ejemplo de una función algebraica se produce en la teoría de la relatividad. La masa de una partícula con velocidad v m m0 f v s1 v2 c2 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c m 3.0  105 kmYs es la velocidad de la luz en el vacío. Funciones trigonométricas Las páginas de referencia se encuentran en la parte final del libro.  La trigonometría y las funciones trigonométricas se repasan en la página de referencia 2 y también en el apéndice D. En Cálculo, por convención, siempre se utilizan medidas en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por ejemplo, cuando utilizamos la función f (x) m sen x, se sobreentiende que sen x significa el seno de un ángulo cuya medida en radianes es x. Así, las gráficas de las funciones seno y coseno son como se muestra en la figura 18.                a) sen
    b) cos
    FIGURA 18 Observe que para las funciones seno y coseno el dominio es (@, @), y el rango es el intervalo cerrado [1, 1]. Por tanto, para todos los valores de x, tenemos 1 v sen x v 1 1 v cos x v 1 o bien, en términos de valor absoluto, U sen x U v 1 U cos x U v 1 También, los ceros de la función seno se producen en los múltiplos enteros de ); es decir, sen x m 0 cuando x m n) donde n es un entero Una propiedad importante de las funciones seno y coseno es que son funciones periódicas con periodo 2). Esto significa que, para todos los valores de x, sen (x  2)) m sen x cos (x  2)) m cos x 32 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS El carácter periódico de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos repetitivos, como las olas del mar, resortes en vibración y las ondas de sonido. Por ejemplo, en el ejemplo 4 en la sección 1.3 veremos que un modelo razonable para el número de horas de luz solar en Filadelfia t días de después del 1 de enero viene dado por la función Lt 12 2.8 sen 2 t 365 80 y La función tangente está relacionada con las funciones seno y coseno por la ecuación tan x 1 _ 3π 2 0 _π _ π 2 π 2 π 3π 2 x sen x cos x y su gráfica se muestra en la figura 19. Está indefinida siempre que cos x m 0, es decir, cuando x m )Y2, 3)Y2, . . . Su rango es (@, @). Observe que la función tangente tiene periodo ): tan(x  )) m tan x FIGURA 19 y=tan x para toda x Las tres funciones trigonométricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son los recíprocos de las funciones seno, coseno y tangente. Sus gráficas aparecen en el apéndice D. y y 1 0 1 0 x 1 a) y=2® Funciones exponenciales 1 x b) y=(0.5)® Las funciones exponenciales son funciones de la forma f (x) m ax, donde la base a es una constante positiva. Las gráficas de y m 2 x y y m (0, 5) x se muestran en la figura 20. En ambos casos el dominio es (@, @), y el rango es (0, @). Las funciones exponenciales serán estudiadas en detalle en la sección 1.5, y veremos que son útiles para modelar muchos fenómenos naturales, como el crecimiento de una población (si a > 1) y la desintegración radiactiva (si a 1). FIGURA 20 Funciones logarítmicas y Las funciones logarítmicas f (x) m loga x, donde la base a es una constante positiva, son las funciones inversas de las funciones exponenciales, que estudiaremos en la sección 1.6. La figura 21 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada caso el dominio es (0, @), el rango es (@, @), y la función crece lentamente cuando x  1. y=log™ x y=log£ x 1 0 1 y=log∞ x x y=log¡¸ x EJEMPLO 5 Clasifique las siguientes funciones como uno de los tipos de funciones que hemos discutido. a) f (x) m 5x b) J(x) m x5 c) h x FIGURA 21 1 x 1 sx d) u(t) m 1  t  5t4 SOLUCIÓN a) f (x) m 5x es una función exponencial. (La x es el exponente.) b) J(x) m x5 es una función potencia. (La x es la base.) Podría considerarse como una función polinomial de grado 5. c) h x 1 x es una función algebraica. 1 sx d) u(t) m 1  t  5t4 es una función polinomial de grado 4. SECCIÓN 1.2 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES Ejercicios 1-2 Clasifique cada función como una función potencia, función raíz, polinomial (establezca su grado), función racional, función algebraica, función trigonométrica, función exponencial o función logarítmica. 1. a) f x c) h x e) v t 2. a) y c) y e) y b) t x sx 2x 3 1 x2 d) u t 1 f) w u sen u cos u 5 t x2 2 x3 s 2.54t 2 1.1t 2 b) y x d) y tan t s b) y m x5 gráficas se muestran. G   X  X ƒ? 9. Encuentre una expresión para una función cúbica f si f (1) m 6 y f (1) m f (0) m f (2) m 0. 10. Estudios recientes indican que la temperatura promedio de la superficie de la Tierra ha estado aumentando. Algunos científicos han modelado la temperatura con la función lineal T m 0.02t  8.50, donde T es la temperatura en C y t representa años desde 1900. a) ¿Qué representan la pendiente y la intersección con el eje T ? b) Utilice la ecuación para predecir la temperatura promedio de la superficie global en 2100. H X b) y d) y ƒ G 11. Si D (en mg) es la dosis de un medicamento recomendada para adultos, entonces, para determinar la dosis apropiada c para un niño de edad a, el farmacéutico utiliza la ecuación c m 0.0417D(a  1). Supongamos que la dosis para un adulto es de 200 mg. a) Encuentre la pendiente de la gráfica de c. ¿Qué representa? b) ¿Cuál es la dosis para un recién nacido? F 3x x3 Y ?ƒ ƒ c) y m x8  3x 3 x s 12. El administrador de un bazar de fin de semana sabe por experiencia que si cobra x dólares por el alquiler de un espacio en el bazar, entonces el número y de espacios que puede alquilar viene dado por la ecuación y m 200  4x. a) Trace la gráfica de esta función lineal. (Recuerde que la renta por el espacio y el número de espacios alquilados no pueden ser cantidades negativas.) b) ¿Qué representan la pendiente, la intersección con el eje y la intersección con el eje x de la gráfica? Y ' G F 13. La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F ) y X Celsius (C ) está dada por la función lineal F 95 C 32 . a) Trace la gráfica de esta función. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? ¿Cuál es la intersección con el eje F y qué representa? ( 5. a) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales con pendiente 2 y esboce varios miembros de la familia. b) Encuentre una ecuación para la familia de funciones lineales tal que f (2) m 1 y esboce varios miembros de la familia. c) ¿Qué función pertenece a ambas familias?  8. Encuentre expresiones para las funciones cuadráticas cuyas F sx 3 1 3 1 s x f) y Y c) y 7. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de cos t Explique el porqué de su elección. (No utilice computadora o calculadora graficadora.) 3. a) y m x2 funciones lineales f (x) m 1  m(x  3)? Esboce varios miembros de la familia. Y px 1 6. ¿Qué tienen en común todos los miembros de la familia de funciones lineales f (x) m c  x? Esboce varios miembros de la familia. log 2 x 4 3-4 Relacione cada una de las siguientes ecuaciones con su gráfica. 4. a) y 33 Se requiere calculadora graficadora o computadora 14. Jason sale de Detroit a las 14:00 y conduce a rapidez constante hacia el oeste a lo largo de la carretera I-96. Pasa por Ann Arbor, a 40 mi de Detroit, a las 14:50. a) Exprese la distancia recorrida en términos del tiempo transcurrido. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 34 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 20. a) b) Dibuje la gráfica de la ecuación del inciso a). c) ¿Cuál es la pendiente de esta recta? ¿Qué representa? b) Y Y 15. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos que emiten los grillos de una determinada especie está relacionada con la temperatura, y la relación parece ser casi lineal. Un grillo produce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos por minuto a 80F. a) Encuentre una ecuación lineal que modele la temperatura T, en función del número N de chirridos por minuto. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica? ¿Qué representa? c) Si los grillos están chirreando a 150 chirridos por minuto, estime la temperatura. 16. El gerente de una fábrica de muebles encontró que cuesta $2 200 fabricar 100 sillas en un día y $4 800 producir 300 sillas en un solo día. a) Exprese el costo en función del número de sillas producidas, suponiendo que es lineal. A continuación trace la gráfica. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? c) ¿Cuál es la intersección en y de la gráfica y qué representa?  X 18. El costo mensual de conducir un coche depende del número de millas recorridas. Lynn encontró que en mayo le costó $380 conducir 480 millas y en junio le costó $460 conducir 800 millas. a) Exprese el costo mensual C como una función de la distancia recorrida d, suponiendo que una relación lineal da un modelo adecuado. b) Utilice el inciso a) para predecir el costo de conducir 1 500 millas por mes. c) Dibuje la gráfica de la función lineal. ¿Qué representa la pendiente? d) ¿Qué representa la intersección en C? e) ¿Por qué una función lineal es un modelo adecuado en esta situación? X  21. La tabla muestra la tasa de úlcera péptica (de por vida) (por cada 100 habitantes) en relación con el ingreso de varias familiares según lo informado por la Encuesta Nacional de Entrevista de Salud. 17. En la superficie del océano, la presión del agua es la misma que la presión del aire por encima del agua, 15 lbYpulg2. Debajo de la superficie, la presión del agua aumenta 4.34 lbYpulg2 por cada 10 pies de descenso. a) Exprese la presión del agua en función de la profundidad bajo la superficie del océano. b) ¿A qué profundidad la presión es de 100 lbYpulg2?  Ingreso Tasa de úlcera (por cada 100 habitantes) $4 000 $6 000 $8 000 $12 000 $16 000 $20 000 $30 000 $45 000 $60 000 14.1 13.0 13.4 12.5 12.0 12.4 10.5 9.4 8.2 a) Elabore una gráfica de dispersión con estos datos y decida si es apropiado un modelo lineal. b) Encuentre y grafique un modelo lineal utilizando el primero y el último puntos de datos. c) Encuentre y grafique la recta de regresión por mínimos cuadrados. d) Utilice el modelo lineal del inciso c) para estimar la tasa de úlcera para un ingreso de $25 000. e) Según el modelo, ¿qué tan probable es que alguien que percibe un ingreso de $80 000 sufra de úlcera péptica? f) ¿Cree que sería razonable aplicar el modelo a alguien con un ingreso de $200 000?  22. Los biólogos han observado que la tasa de chirridos de grillos de una determinada especie, parece estar relacionada con la temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos para distintas temperaturas. 19-20 Para cada una de las siguientes gráficas de dispersión, ¿qué tipo de función elegiría como un modelo para los datos? Explique sus elecciones. 19. a) 50 55 60 65 70 b) Y Y  X  Temperatura Tasa de chirridos Temperatura Tasa de chirridos (°F) (chirridos/min) (°F) (chirridos/min) X 20 46 79 91 113 75 80 85 90 140 173 198 211 a) Elabore una gráfica de dispersión de los datos. b) Encuentre y grafique la recta de regresión. c) Utilice el modelo lineal del inciso b) para estimar la tasa chirridos a 100F. SECCIÓN 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UN CATÁLOGO DE FUNCIONES ESENCIALES  23. La tabla da las alturas ganadoras en las competencias olímpicas de salto con pértiga masculinas hasta el año 2004. Año Altura (m) Año Altura (m) 1896 1900 1904 1908 1912 1920 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 3.30 3.30 3.50 3.71 3.95 4.09 3.95 4.20 4.31 4.35 4.30 4.55 4.56 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 4.70 5.10 5.40 5.64 5.64 5.78 5.75 5.90 5.87 5.92 5.90 5.95 a) Elabore una gráfica de dispersión y decida si es apropiado un modelo lineal. b) Encuentre y grafique la recta de regresión. c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto ganador con pértiga en los Juegos Olímpicos de 2008 y compárelo con el salto ganador real de 5.96 metros. d) ¿Es razonable utilizar el modelo para predecir la altura ganadora en los Juegos Olímpicos de 2100?  24. La tabla muestra el porcentaje de la población de Argentina que ha vivido en las zonas rurales de 1955 al 2000. Encuentre un modelo para los datos y utilícelo para estimar el porcentaje rural en 1988 y 2002. Año Porcentaje rural Año Porcentaje rural 1955 1960 1965 1970 1975 30.4 26.4 23.6 21.1 19.0 1980 1985 1990 1995 2000 17.1 15.0 13.0 11.7 10.5 25. Muchas de las cantidades físicas están relacionadas mediante leyes de los cuadrados inversos, es decir, por las funciones potencia de la forma f (x) m kx2. En particular, la iluminación de un objeto por una fuente de luz es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente. Suponga que al anochecer está en una habitación con una lámpara y que está intentando leer un libro. La luz es demasiado tenue, por lo que mueve la lámpara a la mitad de la distancia. ¿Cuánto más ilumina la luz al libro? 26. Tiene sentido afirmar que cuanto mayor sea el área de una región, es mayor el número de especies que habitan la región. 35 Muchos ecólogos han modelado la relación de especies de la zona con una función potencia y, en particular, el número de especies S de murciélagos que habitan en cuevas en México ha estado relacionado con el área superficial A de las cuevas por la ecuación S m 0.7A0.3. a) La cueva llamada Misión imposible, situada cerca de Puebla, México, tiene una superficie de A m 60 m2. ¿Cuántas especies de murciélagos esperaría encontrar en esa cueva? b) Si descubre que cuatro especies de murciélagos viven en una cueva, estime el área de la cueva.  27. La tabla muestra el número N de especies de reptiles y anfibios que habitan en las islas del Caribe y el área A de la isla en millas cuadradas. A N 4 40 3 459 4 411 29 418 44 218 5 9 40 39 84 76 Isla Saba Monserrat Puerto Rico Jamaica Española Cuba a) Utilice una función potencia para modelar N como una función de A. b) La isla caribeña de Dominica tiene un área 291 m2. ¿Cuántas especies de reptiles y anfibios esperaría encontrar en Dominica?  28. La tabla muestra las distancias d (promedio) del Sol (tomando la unidad de medida como la distancia entre la Tierra y el Sol) y sus periodos T (tiempo de revolución en años). Planeta d T Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno 0.387 0.723 1.000 1.523 5.203 9.541 19.190 30.086 0.241 0.615 1.000 1.881 11.861 29.457 84.008 164.784 a) Ajuste un modelo potencia para los datos. b) La tercera ley de movimiento planetario de Kepler afirma que “el cuadrado del periodo de revolución de un planeta es proporcional al cubo de su distancia media al Sol”. ¿Su modelo corrobora la tercera ley de Kepler? 36 1.3 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Nuevas funciones a partir de funciones viejas En esta sección empezamos con las funciones básicas que discutimos en la sección 1.2 para obtener nuevas funciones por medio del desplazamiento, estiramiento y reflexión de sus gráficas. También mostramos cómo combinar pares de funciones utilizando operaciones aritméticas estándar y composición. Transformaciones de funciones Mediante la aplicación de ciertas transformaciones de la gráfica de una función dada, podemos obtener las gráficas de algunas funciones relacionadas. Esto nos dará la posibilidad de esbozar rápidamente a mano las gráficas de muchas funciones. También nos permitirá expresar ecuaciones para las gráficas dadas. Consideremos primero las traslaciones. Si c es un número positivo, entonces la gráfica de y m f (x)  c es la gráfica de y m f (x) desplazada verticalmente hacia arriba una distancia de c unidades (ya que cada coordenada y se incrementa por el mismo número c). Por otro lado, si J(x) m f (x  c), donde c  0, entonces el valor de J en x es el mismo que el valor de f en x  c (c unidades a la izquierda de x). Así, la gráfica de y m f (x  c) es la gráfica de y m f (x), desplazada c unidades a la derecha (véase la figura 1). Desplazamientos vertical y horizontal Suponga que c  0. Para obtener la gráfica de y m f (x)  c, desplace verticalmente c unidades hacia arriba la gráfica de y m f (x) y m f (x)  c, desplace verticalmente c unidades hacia abajo la gráfica de y m f (x) y m f (x  c), desplace horizontalmente c unidades a la derecha la gráfica de y m f (x) y m f (x  c), desplace horizontalmente c unidades a la izquierda la gráfica de y m f (x) y y y=ƒ+c y=f(x+c) c c 0 y =ƒ y=cƒ (c>1) y=f(_x) y=f(x-c) y=ƒ y= F ƒ c x c x 0 y=ƒ-c y=_ƒ FIGURA 1 FIGURA 2 7UDVODFLyQGHODJUiILFDGH¦ (VWLUDPLHQWR\UHIOH[LyQGHODJUiILFDGH¦ Ahora consideremos las transformaciones por estiramiento y reflexión. Si c 1, entonces la gráfica de y m cf (x) es la gráfica de y m f (x) alargada verticalmente por un factor de c (porque cada coordenada y, se multiplica por el número c). La gráfica de y m f (x) es la gráfica de y m f (x) reflejada en relación con el eje x porque el punto (x, y) SECCIÓN 1.3 37 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS se reemplaza por el punto (x, y). (Véase la figura 2 y el siguiente cuadro, donde también se dan los resultados de otras transformaciones de alargamiento, compresión y reflexión.) Alargamientos y reflexiones vertical y horizontal Supongamos que c  1. Para obtener la gráfica de y m cf (x), alargar verticalmente la gráfica de y m f (x) por un factor de c. y m (1Yc) f (x), comprimir verticalmente la gráfica de y m f (x) por un factor de c. y m f (cx), comprimir horizontalmente la gráfica de y m f (x) por un factor de c. y m f (xYc), alargar horizontalmente la gráfica de y m f (x) por un factor de c. y m f (x), reflejar la gráfica de y m f (x) sobre el eje x y m f (x), reflejar la gráfica de y m f (x) sobre el eje y La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la función coseno con c m 2. Por ejemplo, para obtener la gráfica de y m 2 cos x multiplicamos la coordenada y de cada punto en la gráfica de y m cos x por 2. Esto significa que la gráfica de y m cos x se alarga verticalmente por un factor de 2. y y=2 FRV x y 2 y=FRV x 2 1 1 y= 2 1 0 FRV x x 1 y=FRV 1 x 2 0 x y=FRV x y=FRV 2x FIGURA 3 v EJEMPLO 1 y sx 2, y Dada la gráfica de y sx, use transformaciones para graficar sx 2 , y sx , y 2sx y y s x . SOLUCIÓN La gráfica de la función raíz cuadrada y sx, obtenida de la figura 13a) en la sección 1.2, se muestra en la figura 4a). En otras partes de la figura se ha trazado y sx 2 desplazándola 2 unidades hacia abajo, y sx 2 por desplazamiento de 2 unidades a la derecha, y sx reflejando sobre el eje x, y 2 sx estirando verticalmente por un factor de 2 y y s x reflejando sobre el eje y. y y y y y y 1 0 1 x x 0 0 2 x x 0 x 0 0 _2 D y=œ„x FIGURA 4 E y=œ„-2 x F y=œ„„„„ x-2 G y=_ œ„x H y=2 œ„x I y=œ„„ _x x 38 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 2 Trace la gráfica de la función f (x) m x2  6x  10. SOLUCIÓN Completando el cuadrado, escribimos la ecuación de la gráfica como y m x2  6x  10 m (x  3)2  1 Esto significa que obtenemos la gráfica deseada iniciando con la parábola y m x 2 y desplazándola 3 unidades a la izquierda y, a continuación, 1 unidad hacia arriba (véase la figura 5). 
   FIGURA 5  D    E  
 EJEMPLO 3 Trace las gráficas de las siguientes funciones. a) y m sen 2x b) y m 1  sen x SOLUCIÓN a) Obtenemos la gráfica de y m sen 2x comprimiendo horizontalmente a y m sen x por un factor de 2. (Véanse las figuras 6 y 7). Por tanto, considerando que el periodo de y m sen x es 2), el periodo de y m sen 2x es 2)Y2 m ).    
  VHQ  FIGURA 6  VHQ
        FIGURA 7 b) Para obtener la gráfica de y m 1  sen x, empezamos de nuevo con y m sen x. Reflejamos sobre el eje x para obtener la gráfica de y m sen x y, a continuación, desplazamos 1 unidad hacia arriba para obtener y m 1  sen x (véase la figura 8). y y=1-VHQ x 2 1 FIGURA 8 0 π 2 π 3π 2 2π x EJEMPLO 4 La figura 9 muestra gráficas del número de horas de luz natural como funciones de la época del año en varias latitudes. Dado que Filadelfia está situada a unos 40N de latitud, encuentre una función que modele la duración de la luz de día en Filadelfia. SECCIÓN 1.3 NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 39      20° 1 30° 1 40° 1 50° 1 +RUDV    FIGURA 9 *UiILFDGHODGXUDFLyQGHOX] GHGtDGHOGHPDU]RDOGH GLFLHPEUHHQGLYHUVDVODWLWXGHV  Lucia C. Harrison, Daylight, Twilight, Darkness and Time (Nueva York, 1935), pág. 40.  60° 1  0DU $EU 0D\ -XQ -XO $JR 6HS 2FW 1RY 'LF SOLUCIÓN Observe que cada curva se parece a una función seno desplazada y alargada. Mirando la curva azul vemos que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna dura unas 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el 21 de diciembre, por lo que la amplitud de la curva (el factor por el cual tenemos que alargar verticalmente la curva seno) es 12 14.8 9.2 2.8. ¿Por qué factor necesitamos alargar horizontalmente la curva seno si medimos el tiempo t en días? Como hay aproximadamente 365 días en un año, el periodo de nuestro modelo debe ser 365. Pero el periodo de y m sen t es 2), por lo que el factor de alargamiento horizontal es c m 2)Y365. También notamos que la curva comienza su ciclo el 21 de marzo, el día 80 del año, así que tenemos que desplazar la curva 80 unidades a la derecha. Además, debemos desplazarla 12 unidades hacia arriba. Por tanto, modelamos la duración del día en Filadelfia el t-ésimo día del año por la función Lt 0 2.8 sen 2 t 365 80 Otra transformación de cierto interés se obtiene tomando el valor absoluto de una función. Si y m U f (x) U entonces, de acuerdo con la definición de valor absoluto, y m f (x) cuando f (x) w 0 y y m f (x) cuando f (x) 0. Esto nos dice cómo obtener la gráfica de y m U f (x) U a partir de la gráfica de y m f (x): la parte de la gráfica que se encuentra por encima del eje x sigue siendo la misma; la parte que se encuentra debajo del eje x se refleja sobre este eje. y _1 12 1 x v EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función y m U x2  1 U. SOLUCIÓN En primer lugar, graficamos la parábola y m x2  1 en la figura 10a), desplaD  y=≈-1 zando verticalmente 1 unidad hacia abajo la parábola y m x2. Vemos que la gráfica se encuentra por debajo del eje x cuando: 1 x 1, por lo que reflejamos esa parte de la gráfica sobre el eje x para obtener la gráfica de y m U x2  1 U en la figura 10b). y Combinación de funciones _1 0 1 E  y=| ≈-1 | FIGURA 10 x Dos funciones f y J pueden combinarse para formar nuevas funciones f  J, f  J, fJ y fYJ en forma similar a la suma, resta, multiplicación y división de números reales. La suma y diferencia de funciones se definen mediante: (f  J)(x) m f (x)  J(x) (f  J)(x) m f (x)  J(x) 40 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Si el dominio de f es A y el dominio de J es B, el dominio de f  J es la intersección A > B porque f (x) y J(x) tienen que estar definidas. Por ejemplo, el dominio de f x sx es A m F0, @), y el dominio de t x s2 x es B m (@, 2G, por lo que el dominio de f t x sx s2 x es A > B m F0, 2G. Del mismo modo, se definen el producto y cociente de funciones por ft x f t f x tx f x tx x El dominio de f J es A > B, pero no podemos dividir por 0, así que el dominio de fYJ es Hx [ A > B U J(x)  0J. Por ejemplo, si f (x) m x2 y J(x) m x  1, entonces el dominio de la función racional ( fYJ)(x) m x2Y(x  1) es Hx U x  1J, o bien (@, 1) < (1, @). Hay otra forma de combinar dos funciones para obtener una nueva función. Por ejemplo, supongamos que y f u su y u m J(x) m x2  1. Como y es una función de u y u es, a su vez, una función de x, se concluye que, finalmente, y es una función de x. Podemos calcular esto por sustitución: y x HQWUDGD f tx f x2 sx 2 1 1 Este procedimiento se denomina composición porque la nueva función se compone de las dos funciones dadas f y J. En general, dadas dos funciones cualesquiera f y J, empezamos con un número x en el dominio de J y encontramos su imagen J(x). Si este número J(x) está en el dominio de f, entonces podemos calcular el valor de f ( J (x)). Observe que la salida de una función se usa como entrada para la próxima función. El resultado es una nueva función h(x) m f (J(x)) obtenida mediante la sustitución de J en f y se llama la composición (o compuesta) de f y J, y se denota por f J (“f círculo J”). g © f u 

g f Dadas dos funciones f y J, la función compuesta f J (también llamada la composición de f y J) se define como Definición f { ©} VDOLGD ( f J)(x) m f (J(x)) FIGURA 11 /DPiTXLQD

gVHFRPSRQH GHODPiTXLQDg SULPHUR \ ODPiTXLQDf GHVSXpV El dominio de f J es el conjunto de todas las x en el dominio de J tales que J(x) está en el dominio de f. En otras palabras, ( f J)(x) está definida siempre que J(x) y f (J(x)) estén definidas. La figura 11 muestra f J en términos de máquinas. EJEMPLO 6 Si f (x) m x2 y J(x) m x  3, encuentre la composición de las funciones f J y J f. SOLUCIÓN Tenemos R f t x f tx f x t f x t f x t x2 3 x x2 3 2 3 NOTA En el ejemplo 6 puede verse que, en general, f J  J f. Recuerde, la notación f J significa que la función J se aplica primero y, a continuación, se aplica f. En el ejemplo 6, f J es la función que primero resta 3 y, después, eleva al cuadrado; J f es la función que primero eleva al cuadrado y, después, resta 3. SECCIÓN 1.3 v EJEMPLO 7 Si f x funciones y su dominio. a) f J b) J f NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS sx y t x s2 41 x , encuentre cada una de las siguientes d) J J c) f f SOLUCIÓN a) f t x El dominio de f t es x 2 b) Si 0 v a v b, entonces a2 v b2. f (s2 f tx x 0 t f x ss2 x) x x x
, 2 . 2 s2 t(sx ) t f x 4 2 s x sx Para que sx esté definida debe cumplirse con que x w 0. Para que s2 sx esté definida 0, esto es, sx 2 o x v 4. Así que 0 v x v 4, por debe cumplirse con que 2 sx lo que el dominio de J f es el intervalo cerrado F0, 4G. c) f f x ssx f (sx ) f f x 4 x s El dominio de f f es F0, @). d) t t x t(s2 t tx x) s2 s2 x Esta expresión está definida cuando 2  x w 0 y 2 s2 x 0. La primera desigualdad significa x v 2, y la segunda es equivalente a s2 x 2, o 2  x v 4 o x w 2. Así, 2 v x v 2, por lo que el dominio de J J es el intervalo cerrado F2, 2G. Es posible tomar la composición de tres o más funciones. Por ejemplo, la composición f J h se encuentra aplicado primero h, después J y, por último, f como sigue: f t h x EJEMPLO 8 SOLUCIÓN f thx Encuentre f J h si f (x) m xY(x  1), J(x) m x10 y h(x) m x  3. f t h x f thx f x f tx 3 3 x 10 x 3 3 10 10 1 Hasta ahora ha utilizado la composición para construir funciones complicadas a partir de otras más sencillas. Pero en Cálculo es útil a menudo ser capaz de descomponer una función compleja en otras más simples, como en el ejemplo siguiente. EJEMPLO 9 Dada F(x) m cos2 (x  9), encuentre las funciones f, J y h tales que F m f J h. SOLUCIÓN Como F(x) m Fcos (x  9)G2, la fórmula para F dice: primero sume 9, después tome el coseno del resultado y, finalmente, eleve al cuadrado. Así, tenemos h(x) m x  9 Entonces f t h x J(x) m cos x f thx cos x f tx 9 2 Fx f (x) m x2 9 f cos x 9 42 CAPÍTULO 1 1.3 FUNCIONES Y MODELOS Ejercicios 1. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de la gráfica f como sigue: a) Desplazada 3 unidades hacia arriba. b) Desplazada 3 unidades hacia abajo. c) Desplazada 3 unidades hacia la derecha. d) Desplazada 3 unidades hacia la izquierda. e) Reflejada respecto al eje x. f ) Reflejada respecto a y. g) Alargada verticalmente por un factor de 3. h) Contraída verticalmente por un factor de 3. 2. Explique cómo se obtiene cada gráfica a partir de la gráfica de y m f (x). f x a) y c) y 8 f x e) y f x 8 b) y d) y f) y 1 s3x x 2 está dada. Utilice transformaciones para crear una función cuya gráfica es como se muestra. 6-7 La gráfica de y  6.   0 _3 gráfica de y m sen x ? Utilice su respuesta y la figura 6 para graficar y m 2 sen x. b) ¿Cómo es la gráfica de y 1 sx en relación con la gráfica de y sx ? Utilice su respuesta y la figura 4a) para graficar y 1 sx . # empezando con la gráfica de una de las funciones esenciales de la sección 1.2 y después aplicando las transformaciones apropiadas. 3 6 x 4. La gráfica de f está dada. Dibuje las gráficas de las siguientes funciones. 2 a) y f x 2f x c) y b) y d) y y 2 0 9. y 1 f x 2 f ( 13 x) 1 b) y d) y x 1 12. y x2 6x 14. y 4 sen 3x sx 15. y sen ( 12 x) 16. y 2 x 2 17. y 1 2 18. y 1 2 sx 19. y 1 1 2 1 cos x x2 2x 20. y 21. y x 23. y sx f ( x) f x 2 1 x 4 3 2 22. y 1 tan x 4 24. y cos 4 x 1 2 1 1 3 x s 3 10. y x y 0 2 13. y 5. La gráfica de f está dada. Utilícela para graficar las siguientes funciones. a) y f 2x c) y f x 1 x 11. y _3 %   X 8. a) ¿Cómo es la gráfica de y m 2 sen x en relación con la $ _6 x _1 9-24 Grafique la función a mano, sin trazar puntos, sino f 3 _1 0 _4 _2.5 ! 6 y 7. Y f x 8 f 8x 8 f ( 18 x) su gráfica y argumente sus elecciones. 3 a) y f x 4 b) y f x c) y 13 f x d) y f x 4 e) y 2 f x 6 y   3. La gráfica de y m f (x) está dada. Relacione cada ecuación con @  
 x 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 25. La ciudad de Nueva Orleáns se encuentra en la latitud 30N. Utilice la figura 9 para encontrar una función que modele el número de horas de luz diurna en Nueva Orleáns como una función de la época del año. Para comprobar la exactitud de su modelo, utilice el hecho de que el 31 de marzo el Sol sale a las 5:51 y se pone a las 18:18 en esta ciudad. SECCIÓN 1.3 26. Una estrella variable es aquella cuyo brillo aumenta y disminuye alternativamente. Para la estrella variable más visible, Delta Cephei, el tiempo transcurrido entre periodos de brillo máximo es de 5.4 días, el brillo promedio (o magnitud) de la estrella es 4.0, y su brillo varía en una magnitud de 0.35. Encuentre una función que modele el brillo de Delta Cephei, en términos del tiempo. NUEVAS FUNCIONES A PARTIR DE FUNCIONES VIEJAS 41-46 Exprese la función en la forma f J 41. F x 43. F x 45. v t 2x x2 4 cos2 x 42. F x 3 x s 3 1 s x 44. G x sec t 2 tan t 2 1 46. u t 47-49 Exprese la función en la forma f J h. s x . c) Trace la gráfica de y x tan t tan t 1 27. a) ¿Cómo es la gráfica de y m f ? U x U en relación con la gráfica de f ? b) Trace la gráfica de y m sen U x U. x 3 28. Utilice la gráfica de f para trazar la de y m 1Yf (x). ¿Qué características de f son las más importantes en el trazado de y m 1Yf (x)? Explique cómo se utilizan. 47. R x ssx 49. H x sec 4 (sx ) 8 2 s 48. H x 1 x 50. Utilice la tabla para evaluar cada una de las siguientes y expresiones: a) f t 1 d) t t 1 1 0 x 1 b) t f 1 e) t f 3 c) f f 1 f) f t 6 x 1 2 3 4 5 6 f x 3 1 4 2 2 5 tx 6 3 2 1 2 3 29-30 Encuentre a) f  J, b) f  J, c) f J y d) fYJ y establezca sus dominios. 51. Utilice las gráficas dadas de f y J para evaluar cada una 29. f x x 3 2x , 30. f x s3 x, tx 2 2 1 sx 2 1 3x tx de las siguientes expresiones, o explique por qué no están definidas: a) f t 2 b) t f 0 c) f t 0 d) t f 6 e) t t 2 f) f f 4 y 31-36 Encuentre las funciones a) f J, b) J f, c) f f, y d) J J y sus dominios. tx 31. f x x2 32. f x x 2, 33. f x 1 3x, 34. f x sx , t x 35. f x x 36. f x 1, 1 tx tx f 2 4 cos x s1 , x 3x 3 tx g 1 x2 tx 1 , x x 2x 0 x 2 x x x 1 2 52. Utilice las gráficas dadas de f y J para estimar el valor de f (J(x)) para x m 5, 4, 3, . . . , 5. Utilice estas estimaciones para hacer un esbozo de f J. sen 2x y 37-40 Encuentre f J h. g tx 37. f x 3x 2, 38. f x x 4 , tx 2 x, 39. f x sx 3, tx 2 40. f x tan x, tx sen x, x , x x 1 , hx x hx sx hx 3 hx x 2 3 x s 1 0 2 f 1 x 43 44 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 53. Una piedra se deja caer en un lago, creando una onda circular que viaja hacia fuera a una velocidad de 60 cmYs. a) Exprese el radio r del círculo en función del tiempo t (en segundos). b) Si A es el área de este círculo como una función del radio, encuentre A r e interprétela. 54. Un globo esférico está siendo inflado de manera que su radio aumenta a razón de 2 cmYs. a) Exprese el radio r del balón en función del tiempo t (en segundos). b) Si V es el volumen del globo en función del radio, encuentre V r e interprétela. 55. Un barco se está moviendo con una velocidad de 30 kmYh paralelamente a una costa recta. El barco está a 6 km de la costa y pasa por un faro al mediodía. a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco en función de la distancia d, que el barco ha recorrido desde el mediodía; es decir, encuentre f de modo que s m f (d). b) Exprese d como una función de t, el tiempo transcurrido desde el mediodía; es decir, encuentre J de modo que d m J(t). c) Encuentre f J. ¿Qué representa esta función? 56. Un avión está volando con una velocidad de 350 kmYh, a una altitud de una milla y pasa directamente sobre una estación de radar en el tiempo t m 0. a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avión ha volado, en función de t. b) Exprese la distancia s entre el avión y la estación de radar en función de d. c) Utilice la composición para expresar s como una función de t. 57. La función de Heaviside H está definida por Ht 0 1 si t si t 0 0 y se utiliza en el estudio de circuitos eléctricos para representar aumentos repentinos de la corriente eléctrica, o de voltaje, cuando el interruptor se activa de manera instantánea. a) Trace la gráfica de la función de Heaviside. b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 0 y se aplican instantáneamente 120 voltios al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). 1.4 c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 5 segundos y se aplican instantáneamente 240 voltios al circuito. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t). (Tenga en cuenta que a partir de t m 5 corresponde a una traslación.) 58. La función de Heaviside que se define en el ejercicio 57 también puede utilizarse para definir la función rampa y m ctH(t), que representa un aumento gradual del voltaje o de corriente en un circuito. a) Trace la gráfica de la función rampa y m tH(t). b) Dibuje la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 0, y el voltaje se aumenta gradualmente a 120 voltios durante un intervalo de tiempo de 60 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t v 60. c) Trace la gráfica del voltaje V(t) en un circuito cuando el interruptor se enciende en el tiempo t m 7 segundos y el voltaje se incrementa gradualmente a 100 voltios durante un periodo de 25 segundos. Escriba una fórmula para V(t) en términos de H(t) para t v 32. 59. Sean f y J funciones lineales con ecuaciones f (x) m m1x  b1 y J(x) m m2x  b2. ¿Es f J también una función lineal? Si es así, ¿cuál es la pendiente de su gráfica? 60. Si usted invierte en dólares a 4% de interés compuesto anualmente, entonces la cantidad A(x) de la inversión después de un año es A(x) m 1.04x. Encuentre A A, A A A, y A A A A. ¿Qué representan estas composiciones? Encuentre una fórmula para la composición de n copias de A. 61. a) Si J(x) m 2x  1 y h(x) m 4x2  4x  7, encuentre una función f tal que f J m h. (Piense qué operaciones tendrá que realizar en la fórmula para J a fin de determinar la fórmula para h.) b) Si f (x) m 3x  5 y h(x) m 3x2  3x  2, encuentre una función J tal que f J m h. 62. Si f (x) m x  4 y h(x) m 4x  1, encuentre una función J tal que J f m h. 63. Supongamos que J es una función par y sea h m f J. ¿Es h siempre una función par? 64. Supongamos que J es una función impar y sea h m f J. ¿Es h siempre una función impar? ¿Qué pasa si f es impar? ¿Qué pasa si f es par? Calculadoras graficadoras y computadoras En esta sección se supone que tiene acceso a una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos. Veremos que el uso de un dispositivo de cómputo nos permite graficar funciones más complicadas y resolver problemas más complejos de lo que sería posible de otra manera. También señalamos algunos de los problemas que pueden presentarse con estas máquinas. Las calculadoras graficadoras y las computadoras pueden dar gráficas muy precisas de las funciones. Pero veremos en el capítulo 4 que sólo a través del uso del Cálculo podemos estar seguros de que hemos descubierto todos los aspectos interesantes de una gráfica. Una calculadora graficadora o una computadora muestran una parte de la gráfica de una función en una ventana rectangular de visualización o pantalla de visualización, a la que nos referimos como un rectángulo de vista. La pantalla predeterminada ofrece a SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 45 menudo una imagen incompleta o engañosa, por lo que es importante elegir el rectángulo de vista con cuidado. Si optamos por los valores de x que van desde un valor mínimo de Xmín m a hasta un valor máximo de Xmáx m b y que los valores de y varíen desde un mínimo de Ymín m c hasta un máximo de Ymáx m d, entonces la parte visible de la gráfica se encuentra en el rectángulo a, b c, d x, y a x b, c y d que se muestra en la figura 1. Nos referimos a este rectángulo como el rectángulo de vista de Fa, bG por Fc, dG. (a, d ) y=d ( b, d ) x=b x=a FIGURA 1 5HFWiQJXORGHYLVWD
a, bSRU
c, d (a, c ) y=c ( b, c ) La máquina dibuja la gráfica de una función f como usted lo haría. Traza puntos de la forma (x, f (x)) para un cierto número de valores igualmente espaciados de x entre a y b. Si un valor de x no está en el dominio de f, o si f (x) se encuentra fuera del rectángulo de vista, se mueve al siguiente valor de x. La máquina conecta cada punto con el anterior punto dibujado, para formar una representación de la gráfica de f. Dibuje la gráfica de la función f (x) m x2  3 en cada uno de los siguientes rectángulos de vista a) [2, 2] por [2, 2] b) [4, 4] por [4, 4] c) [10, 10] por [5, 30] d) [50, 50] por [100, 1 000] EJEMPLO 1  SOLUCIÓN Para el inciso a) seleccionamos el rango ajustando Xmín m 2, Xmáx m 2,  Ymín m 2, y Ymáx m 2. El gráfico resultante se muestra en la figura 2a). ¡La pantalla está en blanco! Un momento de reflexión da una explicación: observe que x2 w 0 para toda x, de modo que x2  3 w 3 para todo x. Así, el rango de la función f (x) m x2  3 es F3, @). Esto significa que la gráfica de f se encuentra totalmente fuera del rectángulo de vista F2, 2G por F2, 2G. Las gráficas para los rectángulos de vista en los incisos b), c) y d) también se muestran en la figura 2. Observe que obtenemos una imagen más completa de los incisos c) y d), pero en el inciso d) no está claro que la intersección en y es de 3.   D 

SRU

 
     E 

SRU

 FIGURA 2 *UiILFDVGH      F 
 
SRU
 
  G 
 
SRU
 

 En el ejemplo 1 vemos que la elección de un rectángulo de vista puede hacer una gran diferencia en la apariencia de una gráfica. A menudo es necesario cambiar a un rectángulo de vista más amplio para obtener una imagen más completa, una visión más global, de la gráfica. En el siguiente ejemplo podemos ver que el conocimiento del dominio y el rango de una función a veces nos da suficiente información para seleccionar un buen rectángulo de vista. 46 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 4 EJEMPLO 2 Determine un rectángulo de vista apropiado para la función f x y utilícelo para graficar f. s8 2x 2 SOLUCIÓN La expresión para f (x) está definida cuando _3 3 8 2x 2 0 _1 FIGURA 3 &? 2x 2 8 &? x2 4 &? x 2 &? 2 x 2 Por tanto, el dominio de f es el intervalo F2, 2G. También, ƒ=œ„„„„„„ 8-2≈ s8 0 2x 2 s8 2s2 2.83 por lo que el rango de f es el intervalo [0, 2s2 ] . Elegimos el rectángulo de vista de manera que el intervalo para x sea algo mayor que el dominio, y el intervalo para y sea algo mayor que el rango. Tomando el rectángulo de vista como F3, 3G por F1, 4G, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 3. EJEMPLO 3 Grafique la función y m x3  150x. SOLUCIÓN Aquí, el dominio es 2, el conjunto de todos los números reales. Eso no nos 5 _5 5 _5 FIGURA 4 ayuda a elegir un rectángulo de vista. Vamos a experimentar: si partimos de la pantalla F5, 5G por F5, 5G, obtenemos la gráfica de la figura 4, que aparece en blanco, aunque en realidad la gráfica es tan vertical que se funde con el eje y. Si cambiamos el rectángulo de vista a F20, 20G por F20, 20G, se obtiene la imagen que se muestra en la figura 5a). La gráfica parece consistir en líneas verticales, pero sabemos que no puede ser correcta. Si miramos con atención, mientras que el gráfico se está dibujando, vemos que la gráfica deja la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso de representación. Esto indica que tenemos que ver más en la dirección vertical, por lo que hay que cambiar el rectángulo de vista a F20, 20G por F500, 500G. La gráfica resultante se muestra en la figura 5b), donde se ve que todavía no acaba de revelar todas las características principales de la función, así que tratamos con F20, 20G por F1 000, 1 000G en la figura 5c). Ahora estamos más seguros de que hemos llegado a un rectángulo de vista más adecuado. En el capítulo 4 veremos que la gráfica en la figura 5c) en efecto, revela todas las principales características de la función. 20 _20 500 20 _20 _20 20 _500 D 1 000 E 20 _20 _1 000 F FIGURA 5 *UiILFDVGH y=˛-150x v EJEMPLO 4 Grafique la función f (x) m sen 50x en un rectángulo de vista apropiado. SOLUCIÓN La figura 6a) muestra la gráfica producida por una calculadora graficadora sobre una pantalla de F12, 12G por F1.5, 1.5G. A primera vista, la gráfica parece ser SECCIÓN 1.4 47 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS razonable. Pero si cambiamos el rectángulo de vista a los que se muestran en los siguientes incisos de la figura 6, las gráficas son muy diferentes. Algo extraño está sucediendo. 1.5 1.5 _12 El aspecto de las gráficas en la figura 6 depende de la máquina utilizada. Las gráficas que se obtienen con su dispositivo de graficación podrían no parecerse a estas figuras, pero también son muy inexactas. 12 _10 _1.5 10 _1.5 D E 1.5 1.5 _9 9 _6 6 FIGURA 6 _1.5 *UiILFDVGHƒ=VHQ 50x HQFXDWURUHFWiQJXORVGHYLVWD 1.5 _.25 .25 G A fin de explicar las grandes diferencias en la apariencia de estas gráficas y de encontrar un rectángulo de vista adecuado, tenemos que encontrar el periodo de la función y m sen 50x. Sabemos que la función y m sen x tiene periodo 2) y que la gráfica de y m sen 50x está comprimida horizontalmente por un factor de 50, por lo que el periodo de y m sen 50x debe ser 2 50 _1.5 FIGURA 7 25 0.126 Esto sugiere que sólo debemos ocuparnos de los pequeños valores de x a fin de mostrar sólo algunas oscilaciones de la gráfica. Si optamos por el rectángulo de vista F0.25, 0.25G por F1.5, 1.5G, obtenemos la gráfica que se muestra en la figura 7. Ahora vemos lo que salió mal en la figura 6. Las oscilaciones de y m sen 50x son tan rápidas que cuando la calculadora representa los puntos y los une, se pierde la mayoría de los puntos máximos y mínimos y, por tanto, da una impresión engañosa de la gráfica. ƒ=VHQ 50x 1.5 6.5 _6.5 Hemos visto que el uso de un rectángulo de vista inadecuado puede dar una falsa impresión de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3 se resolvió el problema cambiando a un rectángulo de vista más amplio. En el ejemplo 4 tuvimos que hacer el rectángulo de vista más pequeño. En el siguiente ejemplo vemos una función para la que no existe un rectángulo de vista sencillo que revele la verdadera forma de la gráfica. v _1.5 FIGURA 8 _1.5 F EJEMPLO 5 Grafique la función f x sen x 1 100 cos 100x. SOLUCIÓN La figura 8 muestra la gráfica f producida por una calculadora graficadora con rectángulo de vista de F6.5, 6.5G por F1.5, 1.5G. Se parece mucho a la gráfica de y m sen x, pero con algunas protuberancias. Si nos acercamos al rectángulo de vista 48 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 0.1 _0.1 F0.1, 0.1G por F0.1, 0.1G, podemos ver mucho más claramente la forma de estas protuberancia en la figura 9. La razón de este comportamiento es que el segundo término, 1 100 cos 100x, es muy pequeño en comparación con el primer término, sen x. Así que en realidad necesitamos dos gráficas para ver la verdadera naturaleza de esta función. 0.1 EJEMPLO 6 1 . 1 x SOLUCIÓN La figura 10a) muestra la gráfica generada por una calculadora graficadora con un rectángulo de vista de F9, 9G por F9, 9G. En la conexión de puntos sucesivos de la gráfica, la calculadora produce un segmento de recta con inclinación de la parte superior a la parte inferior de la pantalla. Este segmento de recta no es realmente parte de la gráfica. Observe que el dominio de la función y m 1Y(1  x) es Hx U x o 1J. Podemos eliminar la extraña recta casi vertical experimentando con un cambio de escala. Cuando cambiamos al rectángulo de vista más pequeño F4.7, 4.7G por F4.7, 4.7G, para esta calculadora en particular, obtenemos la mucho mejor gráfica de la figura 10b). _0.1 FIGURA 9 Dibuje la gráfica de la función y 9 Otra forma de evitar la extraña recta es cambiar el modo de representación gráfica de la calculadora, para que los puntos no estén conectados. 4.7 _9 9 _4.7 4.7 _9 _4.7 D FIGURA 10 EJEMPLO 7 Grafique la función y E 3 x. s SOLUCIÓN Algunos dispositivos de graficación muestran la gráfica que se muestra en la figura 11, mientras que otras producen una gráfica como la de la figura 12. Sabemos de la sección 1.2 (figura 13) que la gráfica de la figura 12 es correcta, así que, ¿qué sucedió en la figura 11? La explicación es que algunas máquinas calculan la raíz cúbica de x mediante un logaritmo, que no está definido si x es negativo, por lo que sólo se produce la mitad derecha de la gráfica. 2 _3 2 3 _3 3 _2 _2 FIGURA 11 Puede obtener la gráfica correcta con Maple si primero escribe with(RealDomain); FIGURA 12 Usted debe experimentar con su propia máquina para ver cuál de estas dos gráficas se produce. Si se obtiene la gráfica de la figura 11, puede obtener la imagen correcta al trazar la gráfica de la función f x x x x 1 3 3 x (excepto cuando x m 0). Note que esta función es igual a s SECCIÓN 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS 49 Para entender cómo la expresión de una función se relaciona con su gráfica, es útil graficar una familia de funciones, es decir, un conjunto de funciones cuyas ecuaciones están relacionadas. En el siguiente ejemplo graficamos miembros de una familia de polinomios cúbicos. v Grafique la función y m x3  cx para varios valores del número c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando c varía? SOLUCIÓN La figura 13 muestra las gráficas de y m x3  cx para c m 2, 1, 0, 1 y 2. TEC en Visual 1.4 puede usted ver una Vemos que, para valores positivos de c, la gráfica crece de izquierda a derecha, sin puntos máximos o mínimos (picos o valles). Cuando c m 0, la curva es plana en el origen. Cuando c es negativa, la curva tiene un punto máximo y un punto mínimo. Cuando c disminuye, el punto máximo se hace más alto, y el mínimo, más bajo. animación de la figura 13. a) Y¡X EJEMPLO 8 b) Y¡X c) Y¡ d) Y¡X e) Y¡X FIGURA 13 Varios miembros de la familia de funciones Y¡CX, graficadas en el rectángulo de vista F?G por F?G EJEMPLO 9 Encuentre la solución de la ecuación cos x m x con una aproximación de dos decimales. SOLUCIÓN Las soluciones de la ecuación cos x m x son las coordenadas x de los puntos de intersección de las curvas y m cos x, y m x. De la figura 14a) vemos que sólo hay una solución y se encuentra que entre 0 y 1. Acercando el rectángulo de vista a F0, 1G por F0, 1G, podemos ver en la figura 14b) que la raíz se encuentra entre 0.7 y 0.8. Así que nos acercamos más con el rectángulo de vista F0.7, 0.8G por F0.7, 0.8G en la figura 14c). Al mover el cursor hasta el punto de intersección de las dos curvas, o mediante la inspección y el hecho de que la escala en el eje x es de 0.01, vemos que la solución de la ecuación es de 0.74. (Muchas calculadoras tienen una característica intersección incorporada.) 1.5 1 y=x y=FRV x y=FRV x _5 0.8 5 y=x y=x y=FRV x FIGURA 14 /RFDOL]DFLyQGHODV UDtFHVGHFRV x=x _1.5 D
_5, 5SRU
_1.5, 1.5 HVFDOD[=1 1 0 E
0, 1SRU
0, 1 HVFDOD[=0.1 0.8 0.7 F
0.7, 0.8SRU
0.7, 0.8 HVFDOD[=0.01 50 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS  Ejercicios 1.4 1. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f x sx 3 5x 2 . a) F5, 5G por F5, 5G b) F0, 10G por F0, 2G c) F0, 10G por F0, 10G 2. Utilice una calculadora graficadora o equipo de cómputo para determinar cuáles de los rectángulos de vista dados produce la gráfica más adecuada de la función f (x) m x 4  16x 2  20. a) F3, 3G por F3, 3G b) F10, 10G por F10, 10G c) F50, 50G por F50, 50G d) F5, 5G por F50, 50G 3-14 Determine un rectángulo de vista apropiado para las funciones x2 36x x3 4. f x 32 15x 2 s50 7. f x x 3 9. f x sen2 1 000x
10. f x cos 0.001x sen sx 12. f x sec 20 x 11. f x 13. y 10 sen x s15x x 6. f x 8. f x 225x 14. y sen 100x x2 x2 65x 17. Grafique la elipse 4x2  2y2 m 1 graficando las funciones cuyos gráficas son las mitades superior e inferior de la elipse. 18. Grafique la hipérbola y2  9x2 m 1 graficando las funciones cuyos gráficos son las ramas superior e inferior de la hipérbola. 19-20 ¿Las gráficas se intersectan en el rectángulo de vista dado? Si lo hacen, ¿cuántos puntos de intersección hay? 6 4x x 2, y 3x 2.25; 18; 6, 2 por 5, 20 21-23 Encuentre todas las soluciones de cada una de las siguientes ecuaciones con una aproximación de dos decimales. 21. x 4 23. tan x  x 22. sx 1 s1 x x3 2 Se requiere calculadora graficadora o computadora x 0.01 y )Y2? 29. En este ejercicio consideramos la familia de funciones raíz 0.02 sen 50x x 2s30 x en un rectángulo de vista apropiado. ¿Qué parte de la gráfica parece perderse? 20. y 27. ¿Para qué valores de x es cierto que U tan x  x U en la misma pantalla, utilizando primero el rectángulo de vista de F2, 2G por F2, 2G y, a continuación, cambiándolo a F10, 10G por F10 000, 10 000G. ¿Qué observa en estas gráficas? 100 16. Grafique la función f x 0.23x 26. Utilice gráficas para determinar cuál de la funciones 28. Grafique los polinomios P(x) m 3x5  5x3  2x y Q(x) m 3x5 f (x) m (x  10)3 2x. b) ¿Necesita más de un rectángulo de vista? ¿Por qué? 3x 2 6x 1, y 1, 3 por 2.5, 1.5 y J(x) m x3Y10 es finalmente más grande (es decir, cuando x es muy grande). x2 15. a) Ensaye para encontrar un rectángulo de vista apropiado para 19. y 25. Utilice gráficas para determinar cuál de las funciones f (x) m 10x2 )Y2 5. f x 0.2 x exactamente una solución. a) Utilice una gráfica para mostrar que la ecuación cos x m 0.3x tiene tres soluciones y encuentre sus valores con una aproximación de dos decimales. b) Encuentre un valor aproximado de m tal que la ecuación cos x m mx tenga exactamente dos soluciones. f (x) m x 4  100x3 y J(x) m x3 es finalmente más grande. dadas y utilícelo para trazar la gráfica: 3. f x 24. Vimos en el ejemplo 9 que la ecuación cos x m x tiene 1 n x , donde n es un entero positivo. f x s 4 6 x yy s x en la a) Grafique las funciones y sx , y s misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 4G por F1, 3G. 3 5 x en la x yy s b) Grafique las funciones y x, y s misma pantalla usando el rectángulo de vista F3, 3G por F2, 2G. (Véase el ejemplo 7.) 3 4 5 x, y s x yy s c) Grafique las funciones y sx , y s x en la misma pantalla usando el rectángulo de vista F1, 3G por F1, 2G. d) ¿Qué conclusiones puede usted obtener de estas gráficas? 30. En este ejercicio consideramos la familia de funciones f (x) m 1Yx n, donde n es un entero positivo. a) Grafique las funciones y m 1Yx, y m 1Yx3 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de vista F3, 3G por F3, 3G. b) Grafique las funciones y m 1Yx 2 y y m 1Yx 4 en la misma pantalla utilizando el mismo rectángulo de vista que en el inciso a). c) Grafique todas las funciones de los incisos a) y b) en la misma pantalla utilizando el rectángulo de vista F1, 3G por F1, 3G. d) ¿Qué conclusiones puede obtener de estas gráficas? 31. Grafique la función f (x) m x 4  cx 2  x para varios valores de c. ¿Cómo cambia la gráfica cuando cambia c? s1 cx 2 para varios valores de c. Describa cómo afectan la gráfica los cambios en c. 32. Grafique la función f x 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 1.5 [Sugerencia: la ventana de graficación de la TI-83 es de 95 pixeles de ancho. ¿Qué puntos específicos grafica la calculadora?] 33. Grafique la función y m xn 2x, x w 0, para n m 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cómo cambia la gráfica cuando n aumenta? 34. Las curvas con ecuaciones y x sc 0 x2 2π se llaman curvas nariz de bala. Grafique algunas de estas curvas para saber por qué. ¿Qué pasa cuando c aumenta? 35. ¿Qué pasa con la gráfica de la ecuación y 2 cx 3 0 2π y=VHQ 96x x 2 cuando c varía? y=VHQ 2x 38. La primera gráfica que aparece en la figura es la de 36. Este ejercicio explora el efecto de la función J en el interior de una función compuesta y f t x . a) Grafique la función y sen ( sx ) utilizando el rectángulo de vista [0, 400] por [1.5, 1.5]. ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno? b) Grafique la función y m sen(x2), utilizando el rectángulo de vista [5, 5] por [1.5, 1.5] ¿De qué manera esta gráfica difiere de la gráfica de la función seno? 37. La figura muestra las gráficas de y m sen 96x y y m sen 2x como se muestra en la calculadora graficadora TI-83. La primera gráfica es inexacta. Explique por qué las dos gráficas parecen idénticas. 1.5 51 FUNCIONES EXPONENCIALES y m sen 45x como la muestra una TI-83. Es inexacta y, por eso, para ayudar a explicar su aspecto en la segunda gráfica, se traza la curva de nuevo con el modo de puntos. ¿Cuál de las dos curvas senoidales parece estar graficando? Muestre que cada punto sobre la gráfica de y m sen 45x que eligió graficar la TI-83 está, de hecho, sobre una de estas curvas. (La TI-83 grafica en ventanas de 95 píxeles de ancho.)

 Funciones exponenciales En el apéndice G hay un enfoque alternativo a las funciones exponenciales y logarítmicas mediante cálculo Integral. La función f (x) m 2x se llama una función exponencial porque la variable, x, es el exponente. No debe confundirse con la J(x) de la función potencia J(x) m x2, en la que la variable está en la base. En general, una función exponencial es una de la forma ax f x donde a es una constante positiva. Recordemos el significado de esto. Si x m n, donde n es un entero positivo, entonces an a a a n factores Si x m 0, entonces a0 m 1, y si x m n, donde n es un entero positivo, entonces y a 1 an n Si x es un número racional, x m pYq, donde p y q son números enteros y q  0, entonces ax 1 0 1 x FIGURA 1 5HSUHVHQWDFLyQGHy=2®FRQ[ UDFLRQDO ap q sa p q q (sa )p Pero, ¿cuál es el significado de ax si x es un número irracional? Por ejemplo, ¿qué significa 2 s3 o 5P? Para ayudarnos a responder esta pregunta, examinemos la gráfica de la función y m 2x, donde x es racional. Una representación de esta gráfica se muestra en la figura 1. Queremos ampliar el dominio de y m 2x para incluir tanto los números racionales como los irracionales. 52 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS Hay huecos en la gráfica de la figura 1 correspondientes a valores irracionales de x. Queremos llenarlos mediante la definición de f (x) m 2x, donde x [ 2, por lo que f es una función creciente. En particular, puesto que el número irracional s3 satisface 1.7 s3 1.8 2 1.7 2 s3 2 1.8 debemos tener y sabemos qué significan 21.7 y 21.8, ya que 1.7 y 1.8 son números racionales. Del mismo modo, si usamos mejores aproximaciones para s3 , obtenemos mejores aproximaciones para 2 s3 : Una demostración de este hecho se da en J. Marsden y A. Weinstein, Cálculo Ilimitado (Menlo Park, California, 1981). Para una versión en línea, consulte caltechbook.library.caltech.eduY197Y 1.73 s3 1.74 ? 2 1.73 2 s3 2 1.74 1.732 s3 1.733 ? 2 1.732 2 s3 2 1.733 1.7320 s3 1.7321 ? 2 1.7320 2 s3 2 1.7321 1.73205 . . . s3 1.73206 . . . ? 2 1.73205 . . . 2 s3 2 1.73206 . . . Puede demostrarse que hay exactamente un número que es mayor que todos los números 2 1.7, 2 1.73, 2 1.732, 2 1.7320, 2 1.73205, ... 2 1.733, 2 1.7321, 2 1.73206, ... y menor que todos los números 2 1.8, 2 1.74, A este número lo definimos como 2 s3 y, utilizando este procedimiento de aproximación, podemos obtenerlo con una aproximación de seis decimales: y 2 s3 De la misma manera, podemos definir 2x (o ax, si a  0) donde x es cualquier número irracional. En la figura 2 se muestra cómo todos los huecos en la figura 1 han sido llenados . 2 x, x para completar la gráfica de la función f x Las gráficas de los miembros de la familia de funciones y m ax se muestran en la figura 3 para varios valores de la base a. Tenga en cuenta que todas estas gráficas pasan por el mismo punto (0, 1) porque a0 m 1 para a  0. Note también que cuando la base a se hace más grande, la función exponencial crece más rápidamente (para x  0). 1 0 1 3.321997 x FIGURA 2 y=2®SDUD[UHDO ” 2 ’® 1 ” 4 ’® 1 y 10® 4® 2® Si 0 a 1, entonces ax se aproxima a 0 cuando x es muy grande. Si a  1, entonces ax se aproxima a 0 cuando x disminuye al tomar valores negativos. En ambos casos el eje x es una asíntota horizontal. Estas cuestiones se tratan en la sección 2.6. FIGURA 3 1.5® 1® 0 1 x SECCIÓN 1.5 53 FUNCIONES EXPONENCIALES Puede verse en la figura 3 que existen básicamente tres tipos de funciones exponenciales y m ax. Si 0 a 1, la función exponencial decrece; si a m 1, es una constante, y si a  1, crece. Estos tres casos se ilustran en la figura 4. Observe que si a  1, entonces la función exponencial y m ax tiene dominio 2 y rango (0, @). Note también que, dado que (1Ya)x m 1Yax m ax es justamente la reflexión de la gráfica de y m ax sobre el eje y. y 1 (0, 1) 0 FIGURA 4 y y (0, 1) 0 x D y=a®, 0<a<1 0 x E y=1® x F y=a®, a>1 Una de las razones de la importancia de la función exponencial se encuentra en las siguientes propiedades. Si x y y son números racionales, entonces estas leyes son bien conocidas del álgebra elemental. Puede demostrarse que seguirá siendo así para números reales x y y arbitrarios. www.stewartcalculus.com Para un repaso de las leyes de exponentes, haga clic en Review of Algebra. Leyes de los exponentes 1. a x y a xa y 2. a x y ax ay 3. a x y a xy 4. ab x a xb x Grafique la función y m 3  2x y determine su dominio y rango. EJEMPLO 1 Para un repaso de la reflexión y desplazamiento de gráficas, consulte la sección 1.3. Si a y b son números positivos, y los números x y y son reales cualesquiera, entonces SOLUCIÓN Primero reflejamos la gráfica de y m 2x [se muestran en las figuras 2 y 5a)] sobre el eje x para obtener la gráfica de y m 2x en la figura 5b). Después desplazamos 3 unidades hacia arriba la gráfica de y m 2x para obtener la gráfica de y m 3  2x en la figura 5c). El dominio es 2, y el rango es (@, 3). y y y y=3 2 1 0 x 0 x 0 _1 FIGURA 5 a) y=2® b) y=_2® c) y=3-2® v EJEMPLO 2 Utilice un dispositivo de graficación para comparar la función exponencial f (x) m 2x con la de la función potencia J(x) m x2. ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande? x 54 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS SOLUCIÓN La figura 6 muestra ambas funciones representadas gráficamente en el En el ejemplo 2 se muestra que y m 2x aumenta más rápidamente que y m x2. Para demostrar lo rápido que f (x) m 2x aumenta, vamos a realizar el siguiente experimento mental. Supongamos que empezamos con un trozo de papel de una milésima de pulgada de espesor y lo doblamos por la mitad 50 veces. Cada vez que dobla el papel por la mitad, el grosor del papel se duplica, por lo que el grosor del papel resultante sería 250Y1 000 pulgadas. ¿De qué grosor cree usted que es? ¡Más de 17 millones de millas! rectángulo de vista [2, 6] por [0, 40]. Vemos que las gráficas se intersectan tres veces, pero para x  4 la gráfica de f (x) m 2x permanece por encima de la gráfica de J(x) m x2. La figura 7 da una visión más global y muestra que para grandes valores de x, la función exponencial y m 2x crece mucho más rápidamente que la función potencia y m x2.

     

FIGURA 6 FIGURA 7 Aplicaciones de las funciones exponenciales La función exponencial ocurre con mucha frecuencia en los modelos matemáticos de las ciencias naturales y sociales. Aquí le indicamos brevemente cómo surge en la descripción del crecimiento de una población. En capítulos posteriores seguiremos estas y otras aplicaciones en mayor detalle. En primer lugar, consideramos una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Supongamos que por muestreo de la población a ciertos intervalos se determina que la población se duplica cada hora. Si el número de bacterias en el tiempo t es p(t), donde t se mide en horas, y la población inicial es p(0) m 1 000, entonces tenemos p1 2p 0 2 1 000 p2 2p 1 22 1 000 p3 2p 2 23 1 000 De este patrón, parece ser que, en general: pt TABLA 1 t Población (millones) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 6 870 2t 1 000 (1 000)2t Esta función de la población es un múltiplo constante de la función exponencial y m 2t, por lo que muestra el rápido crecimiento que hemos observado en las figuras 2 y 7. En condiciones ideales (espacio ilimitado, nutrición y la ausencia de enfermedad), este crecimiento exponencial es típico de lo que realmente ocurre en la naturaleza. ¿Qué pasa con la población humana? La tabla 1 muestra los datos de la población del mundo en el siglo xx, y en la figura 8 se muestra la gráfica de dispersión correspondiente. P 5x10' 0 20 40 60 80 100 120 t FIGURA 8 Gráfica de dispersión para el crecimiento de la población mundial SECCIÓN 1.5 FUNCIONES EXPONENCIALES 55 El patrón de los puntos de datos en la figura 8 sugiere un crecimiento exponencial, por eso usamos una calculadora graficadora con capacidad de regresión exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial P  (1436.53) ? (1.01395)t donde t m 0 corresponde a 1900. La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial junto con los puntos de datos originales. Vemos que la curva exponencial ajusta razonablemente bien en el conjunto de datos. El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica por las dos Guerras Mundiales y la Gran Depresión de la década de 1930. P 5x10' FIGURA 9 Modelo exponencial para el crecimiento de población 0 20 40 60 80 100 120 t El número e De todas las posibles bases para una función exponencial, hay una que es más conveniente para los fines del Cálculo. La elección de una base a está influida por la forma en que la gráfica de y m ax cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las rectas tangentes a las gráficas de y m 2x y y m 3x en el punto (0, 1). (Se definirán las rectas tangentes de manera precisa en la sección 2.7. Para los presentes fines, puede considerarse que la recta tangente a una gráfica exponencial en un punto es la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si medimos las pendientes de estas rectas tangentes en (0, 1), encontramos que m  0.7 para y m 2x y m  1.1 para y m 3x. y y y=2® mÅ1.1 mÅ0.7 1 y 0 1 0 x x y=´ m=1 FIGURA 10 1 0 y=3® x FIGURA 12 La función exponencial natural interseca al eje y con una pendiente igual a 1 FIGURA 11 Resulta que, como veremos en el capítulo 3, algunas de las fórmulas del Cálculo quedarán muy simplificadas si elegimos la base a para la que la pendiente de la tangente de recta a y m ax en (0, 1) es exactamente 1. (Véase la figura 12.) De hecho, existe tal número y se denota con la letra e. (Esta notación fue elegida por el matemático suizo Leonhard Euler en 1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las figuras 10 y 11, no causa ninguna sorpresa que el número e se encuentre entre 2 y 3 y que la gráfica de y m ex se halle entre las gráficas de y m 2x y y m 3x. (Véase la figura 13.) En el capítulo 3 veremos que el valor de e, con una aproximación de cinco decimales, es e  2.71828 56 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS A la función f (x) m e x la llamamos función exponencial natural. y TEC Module 1.5 le permite graficar y=3® funciones exponenciales con diversas bases y sus rectas tangentes para calcular más de cerca el valor de a para la cual la recta tangente tiene pendiente 1. y=2® y=e ® 1 x 0 FIGURA 13 v EJEMPLO 3 Grafique la función y 1 2 e x 1 y establezca el dominio y el rango. SOLUCIÓN Empezamos con la gráfica de y m e de las figuras 12 y 14a) y la reflejamos sobre el eje y para obtener la gráfica de y m ex en la figura 14b). (Observe que la gráfica interseca el eje y con una pendiente de 1.) A continuación, se comprime la gráfica verticalmente por un factor de dos para obtener la gráfica de y 12 e x en la figura 14c). Por último, se desplazará la gráfica hacia abajo una unidad para obtener la gráfica deseada en la figura 14d). El dominio es 2, y el rango es (1, @). x y y y y 1 1 1 1 0 0 x 0 x 0 x x y=_1 a) y=´ d) y= 21 e–®-1 c) y= 21 e–® b) y=e–® FIGURA 14 ¿Hasta qué valor de x a la derecha cree usted que tendríamos que ir para que la altura de la gráfica de y m ex sea superior a un millón? En el ejemplo siguiente se muestra el rápido crecimiento de esta función proporcionando una respuesta que podría sorprenderle. EJEMPLO 4 Utilice un dispositivo de graficación para encontrar los valores de x para los cuales e x  1 000 000. SOLUCIÓN En la figura 15 vemos la gráfica de la función y m ex y la recta horizontal y m 1 000 000. Vemos que estas curvas se intersectan cuando x  13.8. Por tanto, e x  106 cuando x  13.8. Tal vez le sorprenda que los valores de la función exponencial ya han superado un millón cuando x es sólo 14. 1.5x10^ y=10^ y=´ FIGURA 15 0 15 SECCIÓN 1.5 Ejercicios 1.5 1-4 Utilice las leyes de los exponentes para simplificar cada una de 18. Comenzando con la gráfica de y m e x, encuentre la ecuación de las siguientes expresiones: 1. a) 4 2 3 b) 8 2. a) 84Y3 la gráfica resultante al a) reflejarla sobre la recta y m 4 b) reflejarla sobre la recta x m 2 1 3 x4 s b) x(3x2)3 19-20 Encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones 3 4 3. a) b8(2b)4 4. a) 57 FUNCIONES EXPONENCIALES b) x 2n x 3n xn 2 1 b) 6y 2y 5 19. a) f x sa sb 20. a) J(t) m sen (et )b) t t 3 ab s 5. a) Escriba una ecuación que defina la función exponencial con base a  0. a) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) Si a  1, ¿cuál es el rango de esta función? d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función exponencial para cada uno de los siguientes casos. i) a  1 ii) a m 1 iii) 0 a 1 1 2 ex e1 x 1 x e cos x b) f x 2 s1 2t 21-22 Encuentre la función exponencial f (x) m Ca x correspondiente a cada una de las siguientes gráficas: 21. 22. y (3, 24) y (_1, 3) 4 ”1, 3 ’ (1, 6) 1 0 6. a) ¿Cómo se define el número e? 0 x x b) ¿Cuál es un valor aproximado de e? c) ¿Cuál es la función exponencial natural?  7-10 Grafique cada una de las siguientes funciones en una pantalla 23. Si f (x) m 5x, demuestre que común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 7. y m 2x, y m ex, 8. y m ex, 9. y y m ex, 3 x, 10 x, y 10. y m 0.9x, y m 0.6x, y m 5x, y m 8x, y ( 13 ) x, f (x y m 20x y m 8x y ( 101 ) x 11-16 Haga un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No utilice calculadora. Sólo utilice las gráficas en las figuras 3 y 13 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 12. y m (0.5) x  2 13. y m 2x 14. y m e UxU 15. y 1 1 2 e x f (x) 5x 5h 1 h 24. Supongamos que se le ofrece trabajo por un mes. ¿Cuál de los y m 0.3x, y m 0.1x 11. y m 10 x2 h) h 16. y m 2(1  ex) siguientes métodos de pago prefiere? I. Un millón de dólares al final del mes. II. Un centavo en el primer día del mes, dos centavos en el segundo día, cuatro centavos en el tercer día y, en general, 2n1 centavos al n-ésimo día. 25. Supongamos que las gráficas de f (x) m x 2 y J(x) m 2 x se dibujan en una cuadrícula de coordenadas con 1 pulgada como unidad de medida. Demuestre que, a una distancia de 2 pies a la derecha del origen, la altura de la gráfica de f es de 48 pies, pero la altura de la gráfica de J es aproximadamente 265 millas.  26. Compare las funciones f (x) m x5 y J(x) m 5x graficando ambas 17. A partir de la gráfica de y m e x, escriba la ecuación de la gráfica que resulta de a) desplazarla 2 unidades hacia abajo b) desplazarla 2 unidades a la derecha c) reflejarla sobre el eje x d) reflejarla sobre el eje y e) reflejarla sobre el eje x y luego sobre el eje y  Se requiere calculadora graficadora o computadora funciones en varios rectángulos de vista. Encuentre todos los puntos de intersección de las gráficas con aproximación a un decimal. ¿Cuál función crece más rápidamente cuando x es muy grande?  27. Compare las funciones f (x) m x10 y J(x) m e x graficando f y J en varios rectángulos de vista. ¿Cuándo la gráfica de J finalmente supera a la gráfica de f ? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 58 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS  28. Utilice una gráfica para estimar los valores de x tales que  32. La tabla muestra la población de EU, en millones, en los años e x  1 000 000 000. 1900-2010. Utilice una calculadora graficadora con comando de regresión exponencial para modelar la población de EU desde 1900. Utilice el modelo para estimar la población en 1925 y predecir la población en el año 2020. 29. Bajo condiciones ideales se sabe con certeza que una  población de bacterias se duplica cada tres horas. Supongamos que inicialmente hay 100 bacterias. a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas? b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas? c) Estime el tamaño de la población después de 20 horas. d) Grafique la función de la población y estime el tiempo para que la población llegue a 50 000. Año 1900 1910 1920 1930 1940 1950 30. Un cultivo bacteriano se inicia con 500 bacterias y duplica  su tamaño cada media hora. a) ¿Cuántas bacterias hay después de 3 horas? b) ¿Cuántas hay después de t horas? c) ¿Cuántas hay después de 40 minutos? d) Grafique la función de la población y estime el tiempo para que la población llegue a 100 000.  31. Utilice una calculadora graficadora con comando para regresión exponencial para modelar la población del mundo con los datos, desde 1950 hasta 2010, dados en la tabla 1 en la página 54. Utilice el modelo para estimar la población en 1993 y para predecir la población en el año 2020. 1.6 Población Año 76 92 106 123 131 150 1960 1970 1980 1990 2000 2010 Población 179 203 227 250 281 310  33. Si graficamos la función 1 e1 x 1 e1 x veremos que f parece ser una función impar; demuéstrelo. f x  34. Grafique varios miembros de la familia de funciones 1 1 ae bx donde a  0. ¿Cómo cambia la gráfica cuando b varía? ¿Cómo cambia cuando a varía? f x Funciones inversas y logaritmos La tabla 1 muestra los datos de un experimento en el que un cultivo de bacterias inició con 100 de ellas en un medio limitado de nutrientes; el tamaño de población de bacterias se registró a intervalos de una hora. El número N de bacterias es una función del tiempo t: N m f (t). Supongamos, sin embargo, que el biólogo cambia su punto de vista y se interesa en el tiempo requerido para que la población alcance distintos niveles. En otras palabras, piensa en t como una función de N. Esta función se llama función inversa de f, denotada por f 1 y se lee “f inversa”. Así, t m f 1(N) es el tiempo requerido para que el nivel de la población llegue a N. Los valores de f 1 pueden encontrarse mediante la lectura de la tabla 1 de derecha a izquierda o consultando la tabla 2. Por ejemplo, f 1(550) m 6 ya que f (6) m 550. TABLA 1 t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 N TABLA 2 N como función de t f t población en el tiempo t 100 168 259 358 445 509 550 573 586 t N 100 168 259 358 445 509 550 573 586 t como función de N 1 f N tiempo para llegar a N bacterias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 59 No todas las funciones poseen inversa. Vamos a comparar las funciones f y J cuyos diagramas de flechas se muestran en la figura 1. Observe que f nunca tiene el mismo valor dos veces (cualquier par de entradas en A tienen diferentes salidas), mientras que J toma el mismo valor dos veces (2 y 3 tienen la misma salida, 4). En símbolos, J(2) m J(3), f x1 pero f x2 siempre que x 1 x2. Las funciones que comparten esta propiedad con f se denominan funciones uno a uno. 4 10 4 3 7 3 2 4 2 2 1 1 FIGURA 1 f es uno a uno; g no lo es f A 1 En el lenguaje de entradas y salidas, esta definición señala que f es uno a uno si a cada salida le corresponde sólo una entrada. Definición B y=ƒ fl 0 4 2 g B Una función f se llama uno a uno si nunca toma el mismo valor dos veces; esto es, f x1 y A 10 f x2 siempre que x 1 x2. Si una recta horizontal interseca la gráfica de f en más de un punto, entonces vemos en la figura 2 que hay números x1 y x2 tales que f (x1) m f (x2). Esto significa que f no es uno a uno, por tanto, con el siguiente método geométrico podemos determinar si una función es uno a uno. ‡ ⁄ Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si no existe una recta horizontal que interseque su gráfica más de una vez. x FIGURA 2 Esta función no es uno a uno, ya que f(⁄)=f(x2) v EJEMPLO 1 ¿Es la función f (x) m x3 uno a uno? SOLUCIÓN 1 Si x1  x2, entonces x13  x23 (dos números diferentes no pueden tener el y y=˛ mismo cubo). Por tanto, por la definición 1, f (x) m x3 es uno a uno. SOLUCIÓN 2 De la figura 3 se observa que no existe recta horizontal que interseque a la 0 x gráfica de f (x) m x3 más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, f es uno a uno. v FIGURA 3 ƒ=˛ es uno a uno EJEMPLO 2 ¿Es uno a uno la función J(x) m x 2? SOLUCIÓN 1 Esta función no es uno a uno, ya que, por ejemplo, t 1 por lo que 1 y 1 tienen la misma salida. 1 t 1, 60 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS SOLUCIÓN 2 De la figura 4 se observa que existen rectas horizontales que cruzan la  
  gráfica de J más de una vez. Por tanto, por la prueba de la recta horizontal, J no es uno a uno.  Las funciones uno a uno son importantes porque son precisamente aquellas que poseen funciones inversas de acuerdo con la siguiente definición. FIGURA 4 
 no es uno a uno 2 Definición Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces, la función inversa f 1 tiene dominio B y rango A y está definida por f 1 y &? x f x y para cualquier y en B. x A f B f –! La definición dice que si f hace corresponder x con y, entonces f 1 hace corresponder de regreso y con x. (Si f no es uno a uno, entonces f 1 no está definida de manera única). El diagrama de flechas en la figura 5 indica que f 1 invierte el efecto de f. Note que y FIGURA 5 dominio de f 1 rango de f rango de f 1 dominio de f Por ejemplo, la función inversa de f x entonces 1 f R y f 1 x 3 es f x3 x3 1 1 3 x x1 3 ya que si y m x3, x CUIDADO No cometa el error de pensar en 1 en f 1 como un exponente. Es decir, f 1 x no significa 1 f x En todo caso, 1Yf (x) es el recíproco y debería escribirse como [ f (x)]1. v EJEMPLO 3 Si f (1) m 5, f (3) m 7 y f (8) m 10, encuentre f 1(7), f 1(5) y f 1(10). SOLUCIÓN De la definición de f 1, tenemos f f 1 7 3 ya que f 3 7 f 1 5 1 ya que f 1 5 10 8 ya que f 8 1 10 El diagrama en la figura 6 aclara cómo f 1 invierte el efecto de f en este caso. SECCIÓN 1.6 FIGURA 6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS A B A B 1 5 1 5 3 7 3 7 8 _10 8 _10 La función inversa invierte las salidas y las entradas f 61 f –! La letra x es tradicionalmente utilizada como la variable independiente, así que cuando nos concentramos en f 1 en vez de f, usualmente cambiamos los roles de x y y en la definición 2, y escribimos 3 f 1 x y &? f y x Al sustituir por y en la definición 2 y sustituyendo por x en 3 , obtenemos las siguientes ecuaciones de cancelación (f x ) f(f 1 x ) 4 1 f x para toda x en A x para toda x en B La primera ecuación cancelada indica que si comenzamos con x, aplicando f y, a continuación, aplicamos f 1, llegamos de regreso a x, donde empezamos (consulte el diagrama de máquinas en la figura 7). Así, f 1 deshace a f. La segunda ecuación señala que f deshace lo que hace f 1. x FIGURA 7 ƒ f f –! x Por ejemplo, si f (x) m x3, entonces f 1(x) m x1Y3 y, por tanto, las ecuaciones de cancelación son (f x ) f(f 1 x ) f 1 x3 1 3 x x1 3 3 x Estas ecuaciones dicen simplemente que la función elevar al cubo y la función raíz cúbica se anulan mutuamente cuando se aplican una después de la otra. Ahora veamos cómo calcular funciones inversas. Si tenemos una función y m f (x) y somos capaces de resolver esta ecuación para x en términos de y, entonces, de acuerdo con la definición 2, debemos obtener x m f 1(y). Si queremos llamar a la variable independiente x, intercambiamos x por y y llegamos a la ecuación y m f 1(x). 5 Cómo encontrar la función inversa de una función f uno a uno Paso 1 Paso 2 Paso 3 Escribir y m f (x). Resolver esta ecuación para x en términos de y (si es posible). Para expresar f 1 en función de x, intercambiamos x por y. La ecuación resultante es y m f 1(x). 62 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS v EJEMPLO 4 Encuentre la función inversa de f (x) m x3  2. SOLUCIÓN De acuerdo con 5 empezamos escribiendo y m x3  2 Después, despejamos x x3 x y 2 3 y s 2 Finalmente, intercambiamos x y y: En el ejemplo 4, note cómo f 1 invierte el efecto de f . La función f es la regla “elevar al cubo y después sumar 2”; f 1 es la regla “restar dos y después tomar la raíz cúbica”. y 1 Ahora, la función inversa es f x 3 x s 3 x s 2 2. El principio de intercambio de x e y para encontrar la función inversa también nos da el método para obtener la gráfica de f 1 a partir de la gráfica de f. Ya que f (a) m b si y sólo si f 1(b) m a, el punto (a, b) está en la gráfica de f si y sólo si el punto (b, a) está en la gráfica de f 1. Así, el punto (b, a) a partir del punto (a, b) se obtiene reflejando el segundo sobre la recta y m x. (Véase la figura 8.) y y (b, a) f –! (a, b) 0 0 x y=x FIGURA 8 y=x x f FIGURA 9 Así, como se ejemplifica en la figura 9: y La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f sobre la recta y m x. y=ƒ y=x 0 (_1, 0) x (0, _1) y=f –!(x) FIGURA 10 EJEMPLO 5 Dibuje las gráficas de f x mismo eje de coordenadas. s 1 x y su función inversa utilizando el s 1 x (la mitad superior de la parábola y2 m 1  x o x m y2  1) y, a continuación, reflejamos sobre la recta y m x para obtener la gráfica de f 1. (Véase la figura 10.) Para comprobar nuestra gráfica, observe que la expresión para f 1 es f 1(x) m x2  1, x w 0. Por lo que la gráfica de f 1 es la mitad derecha de la parábola y m x2  1, y esto parece razonable a partir de la figura 10. SOLUCIÓN Primero trazamos la curva y Funciones logarítmicas Si a  0 y a  1, la función exponencial f (x) m ax siempre es creciente o decreciente, así que es uno a uno por la prueba de la recta horizontal. Por tanto, tiene una función inversa f 1 que se llama la función logarítmica con base a y se denota por loga. Si utilizamos SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 63 la formulación de una función inversa dada por 3 , f 1 x y &? f y x, entonces tenemos 6 log a x y &? ay x Así, si x  0, entonces logax es el exponente al que hay que elevar la base a para obtener x. Por ejemplo, el log10 0.001 m 3, ya que 103 m 0.001. Las ecuaciones de cancelación 4 , cuando se aplican a la funciones f (x) m ax y 1 f (x) m logax, se convierten en log a a x 7 a log a x y y=x y=a®, a>1 0 x y=log a x, a>1 x para toda x x para toda x 0 La función logarítmica loga tiene dominio (0, @) y rango 2. Su gráfica es la reflexión de la gráfica de y m ax sobre la recta y m x. La figura 11 muestra el caso en que a  1. (Las funciones logarítmicas más importantes tienen una base a  1.) El hecho de que y m ax sea una función de rápido crecimiento para x  0 se refleja en el hecho de que y m logax es una función de lento crecimiento para x  1. La figura 12 muestra las gráficas de y m loga x con varios valores de la base a  1. Puesto que loga 1 m 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0). y FIGURA 11 y=log™ x y=log£ x 1 0 1 y=log∞ x x y=log¡¸ x FIGURA 12 Las siguientes propiedades de las funciones logarítmicas se derivan de las correspondientes propiedades de las funciones exponenciales dadas en la sección 1.5. Leyes de los logaritmos 1. log a xy log a x x y log a x 3. log a x r r log a x 2. log a Si x e y son números positivos, entonces log a y log a y (donde r es cualquier número real) 64 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS EJEMPLO 6 Use las leyes de los logaritmos para evaluar log2 80  log2 5. SOLUCIÓN Con la ley 2, tenemos log 2 80 log 2 5 80 5 log 2 log 2 16 4 porque 24 m 16. Logaritmos naturales La notación de los logaritmos En la mayoría de los libros de texto de cálculo y las ciencias, así como en las calculadoras, se usa la notación ln x para el logaritmo natural de x, y log x para el “logaritmo común”, log10 x. Sin embargo, en la literatura matemática y científica más avanzada, así como en los lenguajes de programación de computadoras, la notación log x denota por lo general el logaritmo natural. De todas las posibles bases a de los logaritmos, veremos en el capítulo 3 que la más conveniente es el número e, que se definió en la sección 1.5. Al logaritmo con base e se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial: loge x m ln x Si ponemos a m e y sustituimos loge con “ln” en 6 y 7 , entonces las propiedades que definen la función logaritmo natural se convierten en 8 &? ey ln e x x x e ln x x x ln x 9 y x 0 En particular, si ponemos x m 1, obtenemos ln e m 1 EJEMPLO 7 Encuentre x si ln x m 5. SOLUCIÓN 1 De 8 vemos que ln x m 5 significa e5 m x Por tanto, x m e5. (Si tiene problemas para trabajar con la notación “ln”, simplemente reemplácela por loge. Entonces la ecuación se convierte en loge x m 5; así que, por la definición de logaritmo, e5 m x.) SOLUCIÓN 2 Comience con la ecuación ln x m 5 y aplique la función exponencial a ambos lados de la ecuación: eln x m e5 Sin embargo, la segunda ecuación de cancelación 9 indica que eln x m x. Por tanto, x m e5. SECCIÓN 1.6 EJEMPLO 8 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 65 Resuelva la ecuación e5  3x m 10. SOLUCIÓN Tomamos logaritmos naturales de ambos lados de la ecuación y usamos 9 : ln e 5 5 3x ln 10 3x ln 10 3x 5 x 1 3 ln 10 5 ln 10 Ya que el logaritmo natural se encuentra en las calculadoras científicas, podemos aproximar la solución; para cuatro decimales tenemos: x  0.8991. v EJEMPLO 9 Exprese ln a 1 2 ln b con un solo logaritmo. SOLUCIÓN Con las leyes 3 y 1 de los logaritmos, tenemos ln a 1 2 ln b ln a ln b 1 2 ln a ln sb ln(asb ) La siguiente fórmula muestra que los logaritmos de cualquier base pueden expresarse en términos de los logaritmos naturales. 10 Fórmula para el cambio de base Para cualquier número positivo a (a  1), tenemos log a x ln x ln a DEMOSTRACIÓN Sea y m loga x. Entonces, a partir de 6 , tenemos ay m x. Tomando logaritmos naturales de ambos lados de esta ecuación, obtenemos y ln a m ln x. Por tanto, y ln x ln a Las calculadoras científicas tienen un comando para los logaritmos naturales, por lo que la fórmula 10 nos permite utilizar una calculadora para calcular un logaritmo de cualquier base (como se muestra en el siguiente ejemplo). Del mismo modo, la fórmula 10 nos permite graficar cualquier función logarítmica en una calculadora graficadora o computadora (véanse los ejercicios 43 y 44). EJEMPLO 10 Evalúe log85 con una precisión de seis decimales. SOLUCIÓN La fórmula 10 da log 8 5 ln 5 ln 8 0.773976 66 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y Gráfica y crecimiento del logaritmo natural y=´ 1 y=x y=ln x 0 x 1 Las gráficas de la función exponencial y m e x y su función inversa, la función logaritmo natural, se muestran en la figura 13. Debido a que la curva y m e x cruza el eje y con una pendiente de 1, se deduce que la curva reflejada y m ln x cruza el eje x con una pendiente de 1. Al igual que todas las demás funciones logarítmicas con base mayor que 1, el logaritmo natural es una función creciente definida en (0, @), y el eje y es un asíntota vertical. (Esto significa que los valores de ln x son números negativos muy grandes cuando x tiende a 0.) EJEMPLO 11 FIGURA 13 La gráfica de y=ln x es la reflexión de la gráfica y=´ sobre la recta y=x Dibuje la gráfica de la función y m ln (x  2)  1. SOLUCIÓN Empezamos con la gráfica de y m ln x como se indica en la figura 13. Usando las transformaciones de la sección 1.3, la corremos 2 unidades a la derecha para obtener la gráfica de y m ln (x  2) y luego la desplazamos una unidad hacia abajo para obtener la gráfica de y m ln (x  2)  1. (Véase la figura 14.) y y y x=2 y=ln x 0 (1, 0) x=2 y=ln (x-2)-1 y=ln (x-2) 0 x 2 x (3, 0) 2 0 x (3, _1) FIGURA 14 A pesar de que ln x es una función creciente, su crecimiento es muy lento cuando x  1. De hecho, ln x crece más lentamente que cualquier potencia positiva de x. Para ilustrar este hecho, se comparan los valores aproximados de las funciones y m ln x y y x 1 2 sx en la siguiente tabla y las gráficas en las figuras 15 y 16. Usted puede ver que en un principio las gráficas de y sx y y m ln x crecen a un ritmo comparable, pero finalmente la función raíz supera con creces al logaritmo. x 1 2 5 10 50 100 500 1 000 10 000 100 000 ln x 0 0.69 1.61 2.30 3.91 4.6 6.2 6.9 9.2 11.5 sx 1 1.41 2.24 3.16 7.07 10.0 22.4 31.6 100 316 ln x sx 0 0.49 0.72 0.73 0.55 0.46 0.28 0.22 0.09 0.04 y y 20 x y=œ„ 1 0 y=ln x y=ln x 1 FIGURA 15 x y=œ„ x 0 FIGURA 16 1 000 x SECCIÓN 1.6 67 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS Funciones trigonométricas inversas Cuando tratamos de encontrar las funciones trigonométricas inversas, tenemos una pequeña dificultad: debido a que las funciones trigonométricas no son uno a uno, no tienen funciones inversas. La dificultad se supera mediante la restricción de los dominios de estas funciones para que sean uno a uno. Puede verse en la figura 17 que la función seno, y m sen x, no es uno a uno (utilice la prueba de la recta horizontal). Pero la función f x sen x, 2 x 2, es uno a uno (figura 18). La función inversa de la función seno restringida f existe y se denota por sen1 o arcsen. Se llama función seno inverso o función arco seno.    sen  
  
  FIGURA 17 FIGURA 18      sen   Dado que la definición de una función inversa indica que 1 f x &? y f y x tenemos sen 1 x R sen 1x y &? sen y x y y 2 2 Por tanto, 1  x  1 es el número entre )Y2 y )Y2 cuyo seno es x. 1 senx EJEMPLO 12 Evalúe a) sen ( ) y b) tan (arcsen 13 ). 1 1 2 SOLUCIÓN a) Tenemos que () 1 1 2 sen ¨ 2 2 œ„ 1 1 2 y 6 se encuentra entre )Y2 y )Y2. b) Sea u arcsen , por lo que el sen u 13 . Entonces, podemos dibujar un triángulo rectángulo con un ángulo . como en la figura 19 y deducir por el teorema de Pitágoras que el tercer lado del triángulo tiene una longitud de s9 1 2s2 . Esto nos permite leer que porque el sen 3 6 6 1 3 tan (arcsen 3 ) 1 FIGURA 19 tan u 1 2s2 Las ecuaciones de cancelación para las funciones inversas resultan ser, en este caso, sen 1 sen x sen sen 1x x para x 2 x para 1 x 2 1   68 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y π 2 0 _1 1 x La función inversa del seno, sen1, tiene dominio [1, 1] y rango [)Y2, )Y2], y su gráfica, que se muestra en la figura 20, se obtiene a partir de la función seno restringido (figura 18), mediante la reflexión sobre la recta y m x. La función coseno inverso se maneja en forma similar. La función coseno restringida f (x) m cos x, para 0 v x v ), es uno a uno (figura 21) y, por tanto, tiene una función inversa denotada por cos1 o arccos. _ π2 cos 1 x FIGURA 20 &? y cos y x y 0 y y=sen–! x=arcsen x y y π 1 0 π 2 π 2 x π _1 0 x 1 FIGURA 21 FIGURA 22 y=cos x, 0¯x¯π y=cos–! x=arccos x Las ecuaciones de cancelación son 1 cos cos x x para 0 cos cos 1x x para 1 x x 1 La función coseno inverso, cos1, tiene dominio [1, 1] y rango [0, )]. Su gráfica se muestra en la figura 22. La función tangente puede hacerse uno a uno mediante la restricción de que el intervalo sea ()Y2, )Y2). Así, la función tangente inversa se define como la inversa de la función f (x) m tan x, )Y2 x )Y2. (Véase la figura 23), y se denota por tan1 o arctan. tan 1x  
 y &? tan y x y y 2 2 
EJEMPLO 13 Simplifique la expresión cos (tan1 x). SOLUCIÓN 1 Sea y m tan1 x. Tenemos que, tan y m x y )Y2 y )Y2. Queremos encontrar cos y, pero, ya que tan y es conocida, es más fácil encontrar primero sec y: FIGURA 23   tan  

Así sec2 y 1 tan2 y sec y s1 x2 cos tan 1 x 1 x2 ya que sec y 0 para 1 sec y s1 cos y 2 1 x2 y 2 SECCIÓN 1.6 FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS 69 SOLUCIÓN 2 En lugar de utilizar las identidades trigonométricas como en la solución 1, es quizá más fácil usar un diagrama. Si y m tan1 x, entonces tan y m x, y podemos leer en la figura 24 (que ilustra el caso y  0) que  
   cos tan 1 x  FIGURA 24 1 cos y s1 x2 La función tangente inversa, tan1 m arctan, tiene dominio 2 y rango ()Y2, )Y2). Su gráfica se muestra en la figura 25.     FIGURA 25  tan
arctan
 Sabemos que las rectas x m )Y2 son asíntotas verticales de la gráfica de tan. Dado que la gráfica de tan1 se obtiene reflejando la gráfica de la función tangente restringida, sobre la recta y m x, se deduce que las rectas y m )Y2 y y m )Y2 son asíntotas horizontales de la gráfica de tan1. El resto de las funciones trigonométricas inversas no se utilizan con tanta frecuencia y se resumen aquí. 11 y csc 1 x ( x 1) &? csc y x y y 0, 2 ,3 2 y sec 1 x ( x 1) &? sec y x y y 0, 2 ,3 2 y cot 1 x x &? cot y x y y 0, y _1 0 π 2π x FIGURA 26 y=sec x 1.6 La elección de los intervalos para y en las definiciones de csc1 y sec1 no es aceptada universalmente. Por ejemplo, algunos autores utilizan y [ [0, )Y2) < ()Y2, )] en la definición de sec1. (Puede verse en la gráfica de la función secante en la figura 26 que tanto esta opción como la que se encuentra en 11 funcionan.) Ejercicios 1. a) ¿Qué es una función uno a uno? 3-14 Una función viene dada por una tabla de valores, una gráfica, b) ¿Cómo puede decirse, a partir de la gráfica de una función, que es uno a uno? una fórmula o una descripción verbal. Determine si es uno a uno. 3. 2. a) Supongamos que f es una función uno a uno con dominio A y rango B. ¿Cómo se define la función inversa f 1? ¿Cuál es el dominio de f 1? ¿Cuál es el rango de f 1? b) Si se le da una fórmula para f, ¿cómo encuentra una fórmula para f 1? c) Si se le da la gráfica para f, ¿cómo encuentra la gráfica de f 1?  Se requiere calculadora graficadora o computadora 4. x 1 2 3 4 5 6 f x 1.5 2.0 3.6 5.3 2.8 2.0 x 1 2 3 4 5 6 f x 1.0 1.9 2.8 3.5 3.1 2.9 SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 70 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS y 5. 6. y 23. f (x) m e 2x1 24. y x2 25. y m ln(x  3) 26. y ex 1 2e x x x x, x 1 2  27-28 Encuentre una fórmula explícita para f 1 y utilícela para graficar f 1, f y la recta y m x en la misma pantalla. Para compro-bar su trabajo, vea si las gráficas de f y f 1 son reflexiones sobre la recta. y 7. y 8. 27. f (x) m x4  1, x  0 29-30 Use la gráfica dada de f, para trazar la gráfica de f 1. x x 28. f (x) m 2  e x y 29. 30. y 1 9. f (x) m x2  2x 10. f (x) m 10  3x 11. J(x) m 1Yx 1 12. J(x) m cos x 0 13. f (t) es la altura de un balón de fútbol t segundos después de la 0 2 x x 1 patada inicial. 14. f (t) es su estatura a la edad t. s1 x 2 , 0 x 1. a) Encuentre f 1. ¿Cómo se relaciona con f ? b) Identifique la gráfica de f y explique su respuesta al inciso a). 31. Sea f x 15. Suponga que f es una función uno a uno. a) Si f (6) m 17, ¿qué es f 1(17)? b) Si f 1(3) m 2, ¿qué es f (2)? 32. Sea t x 16. Si f (x) m x5  x3  x, encuentre f 1(3) y f (f 1(2)). 17. Si J (x) m 3  x  e x, encuentre J1(4).  33. a) ¿Cómo se define la función logarítmica y m loga x? 18. La gráfica de f está dada. a) b) c) d) 3 1 x3. s a) Encuentre J1. ¿Cómo se relaciona con la J? b) Grafique J. ¿Cómo explica usted su respuesta al inciso a)? b) ¿Cuál es el dominio de esta función? c) ¿Cuál es el rango de esta función? d) Dibuje la forma general de la gráfica de la función y m loga x si a  1. ¿Por qué es f uno a uno? ¿Cuáles son el dominio y el rango de f 1? ¿Cuál es el valor de f 1(2)? Estime el valor de f 1(0). 34. a) ¿Cuál es el logaritmo natural? y b) ¿Cuál es el logaritmo común? c) Trace las gráficas de la función logaritmo natural y la función exponencial natural en un mismo conjunto de ejes. 1 0 35-38 Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. x 1 19. La fórmula C m 5Y9 (F  32), donde F  459.67, expresa la temperatura Celsius C, en función de la temperatura Fahrenheit F. Halle una fórmula para la función inversa e interprétela. ¿Cuál es el dominio de la función inversa? 35. a) log5 125 b) log 3 ( 27) 36. a) ln (1Ye) b) log10 s10 1 37. a) log2 6  log2 15  log2 20 b) log3 100  log3 18  log3 50 38. a) e2 ln 5 b) ln ?ln ee 10 20. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es 39-41 Exprese cada una de las siguientes cantidades dadas como un m f v m0 s1 solo logaritmo. v2 c2 39. ln 5  5ln 3 donde m0 es la masa en reposo de la partícula y c es la velocidad de la luz en el vacío. Encuentre la función inversa de f y explique su significado. 21-26 Halle una fórmula para la inversa de la función. 21. f x 1 s2 3x 22. f x 4x 2x 40. ln (a  b)  ln(a  b)  2 ln c 41. 1 3 ln x 2 3 1 2 ln x ln x 2 3x 2 2 42. Use la fórmula 10 para evaluar cada logaritmo con precisión 1 3 de 6 decimales. a) log12 10 b) log2 8.4 SECCIÓN 1.6  43-44 Use la fórmula 10 para graficar cada una de las siguientes funciones dadas, en una pantalla común. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 43. y m log1.5 x, 44. y m ln x, y m ln x, y m log10 x, y m log10 x, yme, x y m log50 x y m 10 x 45. Suponga que la gráfica de y m log2 x se dibuja sobre una cuadrícula de coordenadas, donde la unidad de medida es de una pulgada. ¿Cuántas millas a la derecha del origen tenemos que movernos antes de que la altura de la curva alcance 3 pies? FUNCIONES INVERSAS Y LOGARITMOS b) Utilice la expresión del inciso a) para graficar y m J(x), y m x y y m J1(x), en la misma pantalla. 61. Si una población de bacterias comienza con 100 bacterias y se duplica cada tres horas, entonces el número de bacterias después de t horas es n m f (t) m 100 ? 2tY3. (Véase el ejercicio 29 en la sección 1.5.) a) Halle la inversa de esta función y explique su significado. b) ¿Cuándo la población alcanzará 50 000 bacterias? 62. Cuando el flash de una cámara se apaga, las baterías comienzan a recargar de inmediato el condensador del flash, que almacena una carga eléctrica dada por  46. Compare las funciones f (x) m x 0.1 y J (x) m ln x graficando ambas, f y J, en varios rectángulos de vista. ¿Cuándo la gráfica de f supera finalmente a la gráfica de J? 47-48 Haga un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. No utilice calculadora. Sólo tiene que usar las gráficas de las figuras 12 y 13 y, si es necesario, las transformaciones de la sección 1.3. 47. a) y m log10 (x  5) b) y m ln x 48. a) y m ln(x) b) y m ln U x U Q(t) m Q0(1  etYa) (La capacidad de carga máxima es Q0, y t se mide en segundos.) a) Halle la inversa de esta función y explique su significado. b) ¿Cuánto tiempo se tarda en recargar el condensador a 90% de la capacidad si a m 2? 63-68 Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes expresiones. 63. a) sen 64. a) tan 49-50 a) ¿Cuáles son el dominio y el rango de f ? 66. a) cot c) Trace la gráfica de f. 49. f (x) m ln x  2 (s3 2) 1 (1 s3 ) 1 65. a) arctan 1 b) ¿Cuál es la intersección en x de la gráfica? 50. f (x) m ln(x  1)  1 71 1 ( 1 b) sec 1 s3 ) b) 1 1 2 (1 s2 ) arccos ( 12 ) b) sen 67. a) tan arctan 10 68. a) tan sec b) cos b) sen 1 1 sen 7 b) sen (2 sen 4 1 3 ( )) 3 5 51-54 Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para x. 1 s1 x2 51. a) e 74x m 6 b) ln(3x  10) m 2 69. Pruebe que cos sen 52. a) ln(x2  1) m 3 b) e 2x  3e x  2 m 0 70-72 Simplifique cada una de las siguientes expresiones: 53. a) 2 b) ln x  ln(x  1) m 1 70. tan (sen1 x) b) e m Ce , a  b 72. cos (2 tan1 x) x5 m3 54. a) ln(ln x) m 1 ax bx 55-56 Resuelva cada una de las siguientes desigualdades para x. 55. a) ln x 56. a) 1 b) e x > 5 0 e 3x1 2 b) 1  2 ln x x 71. sen (tan1 x)  73-74 Grafique las funciones dadas, en la misma pantalla. ¿Cómo se relacionan estas gráficas? 3 73. y 74. y sen x, tan x, 2 2 x x 2; 2; y y sen 1x ; 1 tan x ; y x y x 57. a) Encuentre el dominio de f (x) m ln(e x  3). b) Halle f 1 y su dominio. 58. a) ¿Cuáles son los valores de eln 300 y ln(e300)? b) Use su calculadora para evaluar eln 300 y ln(e300). ¿Qué observa? ¿Puede explicar por qué la calculadora tiene problemas? SAC SAC sx 3 x 2 x 1 y explique por qué es uno a uno. A continuación, utilice un sistema de álgebra computarizado para encontrar una expresión explícita para f 1(x). (El SAC produce tres posibles expresiones. Explique por qué dos de ellas son irrelevantes en este contexto.) 59. Grafique la función f x 60. a) Si J(x) m x6  x4, x w 0, utilice un sistema de álgebra computarizado para encontrar una expresión para J1(x). 75. Encuentre el dominio y el rango de la función J(x) m sen1(3x  1)  76. a) Grafique la función f (x) m sen (sen1x) y explique la apariencia de la gráfica. b) Grafique la función J(x) m sen1 (sen x). ¿Cómo se explica la apariencia de esta gráfica? 77. a) Si desplazamos la curva a la izquierda, ¿qué sucede con su reflexión sobre la recta y m x? En vista de este principio geométrico, encuentre una expresión para la inversa de J(x) m f (x  c), donde f es una función uno a uno. b) Encuentre una expresión para la inversa de h(x) m f (cx), donde c  0. 72 CAPÍTULO 1 1 FUNCIONES Y MODELOS Repaso Verificación de conceptos 1. a) ¿Qué es una función? ¿Cuáles son su dominio y su rango? b) ¿Qué es la gráfica de una función? c) ¿Cómo se puede saber si una curva dada es la gráfica de una función? 2. Analice cuatro maneras de representar una función. Ilustre la 9. Suponga que f tiene dominio A y J tiene dominio B. a) ¿Cuál es el dominio de f  J? b) ¿Cuál es el dominio de f J? c) ¿Cuál es el dominio de fYJ? 10. ¿Cómo se define la función compuesta f J? ¿Cuál es su dominio? discusión con ejemplos. 3. a) ¿Qué es una función par? ¿Cómo puede saber si una función es par observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función par. b) ¿Qué es una función impar? ¿Cómo puede saber si una función es impar observando su gráfica? Dé tres ejemplos de una función impar. 4. ¿Qué es una función creciente? 5. ¿Qué es un modelo matemático? 6. Dé un ejemplo de cada tipo de función a) lineal c) exponencial e) polinomial de grado 5 b) potencia d) cuadrática f ) racional 7. Trace a mano, en los mismos ejes, las gráficas de las siguientes funciones. a) f (x) m x c) h(x) m x 3 b) J(x) m x 2 d ) j(x) m x 4 8. Trace a mano un bosquejo de la gráfica de cada una de las siguientes funciones. a) y m sen x c) y m e x e) y m 1Yx g) y sx b) d) f) h) y m tan x y m ln x ymUxU y m tan1x 11. Suponga que la gráfica de f está dada. Escriba una ecuación para cada una de las gráficas que se obtienen de aquella de f de la siguiente manera. a) Desplazamiento de 2 unidades hacia arriba. b) Desplazamiento de 2 unidades hacia abajo. c) Desplazamiento de 2 unidades a la derecha. d) Desplazamiento de 2 unidades a la izquierda. e) Reflexión sobre el eje x. f) Reflexión sobre el eje y. g) Alargamiento vertical por un factor de 2. h) Contraer verticalmente por un factor de 2. i) Alargar horizontalmente por un factor de 2. j) Contraer horizontalmente por un factor de 2. 12. a) ¿Qué es una función uno a uno? ¿Cómo puede saber si una función es uno a uno observando su gráfica? b) Si f es una función uno a uno, ¿cómo se define su función inversa f 1? ¿Cómo se obtiene la gráfica de f 1 a partir de la gráfica de f ? 13. a) ¿Cómo se define la función seno inverso f (x) m sen1 x? ¿Cuáles son su dominio y su rango? b) ¿Cómo se define la función coseno inverso f (x) m cos1 x? ¿Cuáles son su dominio y rango? c) ¿Cómo se define la función tangente inversa f (x) m tan1 x? ¿Cuáles son su dominio y rango? Examen rápido Verdadero-Falso Determine si la afirmación es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la afirmación. 1. Si f es una función, entonces f (s  t) m f (s)  f (t). 2. Si f (s) m f (t), entonces s m t. 8. Siempre puede dividirse por e x. 9. Si 0 a b, entonces ln a 10. Si x  0, entonces (ln x)6 m 6 ln x. 3. Si f es una función, entonces f (3x) m 3f (x). 4. Si x1 x2 y f es una función decreciente, entonces f (x1)  f (x2). 5. Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más 11. Si x  0 y a  1, entonces 6. Si f y J son funciones, entonces f J m J f. 1 x 1 . f x ln x ln a ln x . a 12. tan1 (1) m 3)Y4. una vez. 7. Si f es uno a uno, entonces f ln b. 13. tan 1x sen 1 x . cos 1 x 14. Si x es cualquier número real, entonces sx 2 x. CAPÍTULO 1 REPASO 73 Ejercicios 1. Sea f la función cuya gráfica está dada. a) b) c) d) e) f) g) 9. Suponga que la gráfica de f está dada. Describa cómo las Estime el valor de f (2). Estime los valores de x tales que f (x) m 3. Establezca el dominio de f. Establezca el rango de f. ¿Sobre qué intervalo es creciente f ? ¿Es f uno a uno? Explique. ¿Es f par, impar, o ninguno de los dos? Explique. gráficas de las funciones siguientes pueden obtenerse a partir de la gráfica de f. a) y m f (x)  8 b) y m f (x  8) c) y m 1  2f (x) d) y m f (x  2)  2 e) y m f (x) f) y m f 1(x) 10. La gráfica de f está dada. Dibuje las gráficas de las funciones siguientes. a) y m f (x  8) c) y m 2  f (x) e) y m f 1 (x) y f b) y m f (x) 1 1 d) y 2 f x f) y m f 1 (x  3) y 1 x 1 1 0 2. La gráfica de J está dada. a) b) c) d) e) 1 x 11-16 Utilice transformaciones para dibujar la gráfica de la función. Obtenga el valor de J(2). ¿Por qué J es uno a uno? Estime el valor de J1(2). Estime el dominio de J1. Dibuje la gráfica de J1. 11. y m sen 2x 12. y m 3 ln (x  2) y g 13. y 1 2 14. y 2 15. f x 1 16. f x 0 1 x ex 1 sx 1 x 2 x ex 1 si x si x 0 0 17. Determine si f es par, impar o ninguna de las dos. a) b) c) d) 3. Si f (x) m x2  2x  3, evalúe el cociente de diferencias f a h h f a 4. Dibuje una gráfica aproximada de la producción de un cultivo en función de la cantidad de fertilizante utilizado. 5-8 Encuentre el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones. Escriba su respuesta en notación de intervalos. 5. f (x) m 2Y(3x  1) 6. tx 7. h(x) m ln(x  6) 8. F (t) m 3  cos 2t s16 x4 f (x) m 2x5  3x2  2 f (x) m x3  x7 2 f x e x f (x) m 1  sen x 18. Encuentre una expresión para la función cuya gráfica consiste en el segmento de recta desde el punto (2, 2) hasta el punto (1, 0), junto con la mitad superior de la circunferencia con centro en el origen y radio 1. 19. Si f (x) m ln x y J(x) m x2  9, encuentre las funciones a) f J, b) J f, c) f f, d) J J, y sus dominios. 20. Exprese la función F x de tres funciones.  Se requiere calculadora graficadora o computadora 1 sx sx como una composición 74 CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS 21. La esperanza de vida mejoró notablemente en el siglo xx. La Año de nacimiento Esperanza de vida Año de nacimiento 1900 1910 1920 1930 1940 1950 48.3 51.1 55.2 57.4 62.5 65.6 1960 1970 1980 1990 2000 23. Si f (x) m 2x  ln x, encuentre f 1(2). expresiones. a) e 2 ln 3 c) tan (arcsen 12 ) b) log 10 25 d) sen (cos log 10 4 ( )) 1 4 5 26. Resuelva cada cada una de las siguientes ecuaciones para x. a) e x x c) e e 66.6 67.1 70.0 71.8 73.0 cuesta 9 000 dólares producir 1 000 tostadoras a la semana y 12 000 dólares producir 1 500 tostadoras a la semana. a) Exprese el costo en función del número de tostadoras producidas, suponiendo que es lineal. Después, trace la gráfica. b) ¿Cuál es la pendiente de la gráfica y qué representa? c) ¿Cuál es la intersección de la gráfica con el eje y y qué representa? 1 . 1 25. Encuentre el valor exacto de cada una de las siguientes Esperanza de vida 22. Un pequeño fabricante de electrodomésticos descubre que x 2x 24. Encuentre la función inversa de f x tabla muestra la esperanza de vida al nacer (en años) de los varones nacidos en EU. Use un diagrama de dispersión para elegir un tipo adecuado de modelo. Use su modelo para predecir el tiempo de vida de un varón nacido en el año 2010. 5 2 b) ln x 2 d) tan 1 x 1 27. La población de ciertas especies en un ambiente limitado con una población inicial de 100 y capacidad para 1 000 es Pt  100 000 100 900e t donde t se mide en años. a) Grafique esta función y estime cuánto tiempo le toma a la población llegar a 900. b) Encuentre la inversa de esta función y explique su significado. c) Utilice la función inversa para encontrar el tiempo necesario para que la población llegue a 900. Compare con el resultado del inciso a).  28. Grafique las tres funciones y m x a, y m a x y y m loga x en la misma pantalla para dos o tres valores de a  1. Para valores grandes de x, ¿cuál de estas funciones tiene los valores más grandes y cuál los valores más pequeños? Principios para la resolución de problemas No hay reglas sólidas o inmediatas que aseguren el éxito en la resolución de problemas. Sin embargo, es posible delinear algunos pasos generales en el proceso de resolución de problemas y de dar algunos principios que pueden ser útiles en la resolución de algunos de ellos. Estos pasos y principios no hacen otra cosa que explicitar el sentido común y se han adaptado del libro de George Polya How To Solve It. 1 COMPRENDA EL PROBLEMA El primer paso es leer el problema y asegurarse de que lo comprende claramente. Plantéese las siguientes preguntas: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son las cantidades que se conocen? ¿Cuáles son las condiciones dadas? Para muchos problemas, es útil dibujar un diagrama y ubicar en el diagrama las cantidades dadas y las requeridas. Por lo general, es necesario introducir una notación adecuada En la elección de los símbolos para las incógnitas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x o y, aunque en algunos casos es mejor usar las iniciales de las cantidades involucradas como símbolos sugerentes; por ejemplo, V para el volumen o t para tiempo. 2 PIENSE EN UN PLAN Es importante encontrar una conexión entre la información dada y la desconocida, lo que le permitirá calcular las incógnitas. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de manera explícita: “¿Cómo relaciono lo conocido con lo desconocido?” Si usted no ve una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden serle útiles en la concepción de un plan. Intente reconocer algo conocido Relacione la situación dada con los conocimientos previos. Observe lo desconocido y trate de recordar un problema más conocido que cuente con una incógnita similar. Intente reconocer patrones Algunos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrica, numérica o algebraica. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, podría ser capaz de conjeturar el patrón y probarlo. Utilice analogías Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar, un problema relacionado, pero que sea más fácil de resolver que el problema original. Si usted puede resolver el problema similar, pero más sencillo, entonces podría dar con las claves que necesita para resolver el problema original, que es más difícil. Por ejemplo, si un problema involucra cantidades muy grandes, podría intentar primero resolver un problema similar con cifras más pequeñas. O si el problema está inmerso en la geometría en tres dimensiones, puede buscarse un problema geométrico similar en dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, puede empezar con un caso particular. Introduzca algo extra A veces puede ser necesario introducir algo nuevo, un apoyo auxiliar para ayudar a hacer la conexión entre lo dado y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema donde un diagrama es útil, lo auxiliar podría ser una nueva línea trazada en el diagrama. En un problema más algebraico, podría ser una nueva incógnita relacionada con la original. 75 Establezca casos A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada uno de los casos. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia al tratar con valores absolutos. Trabaje hacia atrás En algunas ocasiones es útil imaginar que el problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted puede revertir sus pasos y construir una solución al problema original. Este procedimiento es comúnmente utilizado en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la resolución de la ecuación 3x  5 m 7, suponga que x es un número que satisface 3x  5 m 7 y trabaje hacia atrás. Sumamos 5 a cada lado de la ecuación y luego dividimos ambos lados entre 3 para obtener x m 4. Como cada uno de estos pasos puede revertirse, hemos resuelto el problema. Establezca metas parciales En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la situación deseada se cumple con sólo en algunas partes del problema). Si primero puede llegar a estos objetivos parciales, entonces podemos construir conclusiones sobre ellos para llegar a nuestra meta final. Razonamiento indirecto Con frecuencia es apropiado atacar en forma indirecta un problema. En el uso de la demostración por contradicción para demostrar que P implica Q, suponemos que P es cierta y Q es falsa y tratamos de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera, tenemos que utilizar esta información y llegar a una contradicción de lo que sabemos que es verdadero. Inducción matemática En la demostración de proposiciones que involucran un entero positivo n, es frecuentemente útil usar el siguiente principio. Principio de inducción matemática Sea Sn una proposición acerca del entero positivo n. Supongamos que 1. S1 es verdadera. 2. Sk  1 es verdadera cuando Sk es verdadera. Entonces Sn es verdadera para todos los enteros positivos n. Esto es razonable porque, dado que S1 es verdadera, se deduce de la condición 2 (con k m 1) que la S2 es verdadera. Luego, utilizando la condición 2 con k m 2, vemos que S3 es verdadera. Una vez más, con la condición 2, esta vez con k m 3, tenemos que S4 es verdadera. Este procedimiento puede seguirse indefinidamente. 3 EJECUTE EL PLAN En el paso 2 se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan tenemos que verificar cada etapa de éste y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es correcta. 4 MIRE EN RETROSPECTIVA Después de haber completado nuestra solución, es conveniente revisarla, en parte para ver si no se han cometido errores en la solución y en parte para ver si podemos pensar una manera más fácil de resolver el problema. Otra razón para mirar hacia atrás es familiarizarnos con el método de solución, lo que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: “Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros problemas.” Estos principios de la resolución de problemas se ilustran en los siguientes ejemplos. Intente resolverlos antes de mirar las soluciones. Consulte estos principios de resolución de problemas si se queda atascado. Usted puede encontrar útil referirse a esta sección de vez en cuando al resolver los ejercicios en los restantes capítulos de este libro. 76 Exprese la hipotenusa h de un triángulo rectángulo con un área de 25 m2 en función de su perímetro P. EJEMPLO 1 SOLUCIÓN Primero clasifique la información mediante la identificación de la incógnita y RP Comprenda el problema los datos: Incógnita: hipotenusa h Datos: perímetro P, área de 25 m2 RP Dibuje un diagrama Dibujar un diagrama como el de la figura 1 puede ser de gran ayuda. h b a FIGURA 1 RP Relacione los datos con las incógnitas RP Introduzca algo extra Para establecer la relación entre las incógnitas y los datos, introduzca dos variables adicionales a y b, que representan las longitudes de los otros dos lados del triángulo. Esto nos permite expresar la condición dada, y es que, dado que el triángulo es rectángulo, por el teorema de Pitágoras: h2 m a2  b2 El resto de relaciones entre las variables se obtienen al escribir las expresiones para el área y el perímetro: 1 2 25 ab P a b h Ya que P está dado, ahora tenemos tres ecuaciones con tres incógnitas a, b y h: RP Relacione con algo conocido 1 h2 a2 2 25 1 2 3 P b2 ab a b h A pesar de que tiene el número correcto de ecuaciones, no son fáciles de resolver en una forma sencilla. Pero si usamos la estrategia de resolución de problemas tratando de reconocer algo conocido, entonces podemos resolver estas ecuaciones por un método más fácil. Observe el lado derecho de las ecuaciones 1, 2 y 3. ¿Estas expresiones le recuerdan algo familiar? Tenga en cuenta que contienen los ingredientes de una fórmula conocida: (a  b)2 m a2  2ab  b2 Con esta idea, expresamos (a  b)2 de dos maneras. De las ecuaciones 1 y 2 tenemos (a  b)2 m (a2  b2)  2ab m h2  4(25) De la ecuación 3 tenemos (a  b)2 m (P  h)2 m P2  2Ph  h2 Así h2 100 P2 2Ph 2Ph P2 100 2 100 2P h P h2 Esta es la expresión requerida para h en función de P. 77 Como se ilustra en el siguiente ejemplo, a menudo es necesario utilizar el principio de la resolución de problemas, de separar en casos cuando se trata de valores absolutos. EJEMPLO 2 Resuelva la desigualdad x 3 x 2 11. SOLUCIÓN Recuerde la definición de valor absoluto: x x si x x si x x De esta definición, se sigue que: 0 0 x 3 3 x x 3 3 x x Del mismo modo 3 x 2 2 x x 2 2 x RP Establezca casos si x si x 3 3 si x si x 3 3 si x si x 2 2 si x si x 2 0 0 0 0 2 2 Estas expresiones muestran que es necesario considerar tres casos: x CASO I Si x 2 2 x x 3 3 2, tenemos x 3 x x 3 2 x 11 2 11 2x 10 5 x CASO II Si 2  x 3, la desigualdad dada se convierte en x 3 x 2 11 5 11 (siempre verdadera) CASO III Si x  3, la desigualdad se convierte en x 3 x 2 11 2x 12 x 6 De la combinación de los casos I, II y III, vemos que se cumple con la desigualdad cuando 5 x 6. Así que la solución es el intervalo (5, 6). 78 SECCIÓN 1.1 F 79 En el ejemplo siguiente, suponga primero una respuesta revisando los casos particulares y buscando una pauta. A continuación, demuestre su conjetura por inducción matemática. Usando el principio de inducción matemática, seguimos tres pasos: Paso 1 Demuestre que Sn es verdadera cuando n m 1. Paso 2 Suponga que Sn es verdadera cuando n m k y deduzca que Sn es verdadera cuando n m k  1. Paso 3 Concluya que Sn es verdadera para toda n por el principio de inducción matemática. EJEMPLO 3 Si f0 x fórmula para fn(x). RP Analogía: intente un problema semejante más sencillo x x 1 y fn f0 fn para n 1 0, 1, 2, . . . , encuentre una SOLUCIÓN Empezamos por encontrar fórmulas para fn(x) para los casos particulares n m 1, 2 y 3. f1 x f0( f0 x f0 f0 x x x x x f2 x 1 x 2x x 1 1 f0( f1 x f0 f1 x 3x x x 1 ) f0 1 x 2x 1 1 1 1 ) x 3x f0 1 x 3x 1 x 1 1 x 2x x x 3x x 1 1 1 2x 3x 2x f0( f2 x f0 f2 x RP Busque un patrón f0 x x 2x 1 x 1 2x 1 f3 x ) 1 3x 4x 3x 1 1 1 x 4x 1 Nos damos cuenta de un patrón: el coeficiente de x en el denominador de fn(x) es n  1 en los tres casos que hemos calculado. Así que hacemos la suposición de que, en general, 4 fn x n x 1x 1 Para probar esto, utilizamos el principio de inducción matemática. Ya hemos comprobado que 4 es verdadera para n m 1. Supongamos que es verdadera para n m k, es decir, x fk x k 1x 1 79 Entonces fk 1 x x 1 x k 1 x 1 x k f0( fk x f0 fk x k k k 1 1 ) f0 x 1 x 2 x 1 x 1 1 1 x 1x k k 1 x 2 x 1 Esta expresión demuestra que 4 es verdadera para n m k  1. Por tanto, por inducción matemática, es verdadera para todo entero positivo n. 1. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo tiene una longitud de 4 cm. Exprese la longitud Problemas de la altura perpendicular a la hipotenusa en función de la longitud de esta última. 2. La altura perpendicular a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 12 cm. Exprese la longi- tud de la hipotenusa en función del perímetro. 3. Resuelva la ecuación 2x 1 4. Resuelva la desigualdad x x 1 5 x 5. Trace la gráfica de la función f x 3. 3 x 6. Trace la gráfica de la función t x x 7. Dibuje la gráfica de la ecuación x x 5. 2 3 . 4 x 2 1 x y y . 2 4 . 8. Dibuje la región en el plano formado por todos los puntos (x, y) tales que x y x y 2 9. La notación máxHa, b, . . .J significa el mayor de los números a, b, . . . Dibuje la gráfica de cada función. a) f x máx x, 1 x b) f x máx sen x, cos x c) f x máx x 2, 2 x, 2 10. Dibuje la región en el plano definido por cada una de las siguientes ecuaciones o desigual- dades. a) máx x, 2y 1 b) 1 máx x, 2y 1 c) máx x, y 2 1 11. Evalúe (log2 3) (log3 4)(log4 5)    (log31 32). 12. a) Demuestre que la función f x ln( x sx 2 1 ) es una función impar. b) Encuentre la función inversa de f. 13. Resuelva la desigualdad ln x 2 2x 2 0 14. Use un razonamiento indirecto para probar que log25 es un número irracional. 15. Un conductor emprende un viaje. Durante la primera mitad del trayecto conduce a un ritmo lento de 30 miYh; en la segunda mitad conduce a 60 miYh. ¿Cuál es su rapidez promedio durante este viaje? 16. ¿Es verdad que f t h f t f h? 17. Demuestre que si n es un entero positivo, entonces 7n  1 es divisible entre 6. 18. Demuestre que 1  3  5      (2n  1) m n2. 19. Si f0(x) m x2 y fn1(x) m f0( fn(x)) para n m 0, 1, 2, . . . , encuentre una fórmula para fn(x). 20. a) Si f0 x 1 y fn 1 f0 fn para n 0, 1, 2, . . . , encuentre una expresión para fn(x) 2 x y utilice inducción matemática para demostrarla. b) Grafique f0, f1, f2, f3, en la misma pantalla y describa los efectos de la composición de repetida.  80  Se requiere calculadora graficadora o computadora x 2 Límites y derivadas Una pelota cae más y más rápido al transcurrir el tiempo. Galileo descubrió que la distancia de caída es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. El Cálculo posibilita calcular la rapidez de la pelota en cualquier instante. © 1986 Peticolas / Megna, Fundamental Photographs, NYC En Un previo de Cálculo (página 1) hemos visto cómo la idea de límite sustenta las distintas ramas del Cálculo. Por tanto, es apropiado comenzar nuestro estudio de éste investigando los límites y sus propiedades. El tipo especial de límite que se usa para encontrar rectas tangentes y velocidades da lugar a la idea central del Cálculo Diferencial, la Derivada. 81 82 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Problemas de la tangente y la velocidad 2.1 En esta sección se verá cómo surgen los límites cuando tratamos de encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto. El problema de la tangente t a) P C t La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede precisarse esta idea? Para una circunferencia podemos simplemente seguir la idea de Euclides y decir que la tangente es una recta que interseca la circunferencia una y sólo una vez, como se ve en la figura 1a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La figura 1b) muestra dos rectas l y t que pasan por un punto P en una curva C. La recta l cruza C sólo una vez, pero ciertamente no es la idea que tenemos de lo que es una tangente. La recta t, por otro lado, se parece más a una tangente, pero interseca a C dos veces. Para ser más específicos, intentaremos resolver el problema de encontrar una recta t tangente a la parábola y m x2 en el siguiente ejemplo. v l EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x2 en el punto (1, 1). SOLUCIÓN Podremos encontrar la ecuación de la recta tangente t tan pronto como b) conozcamos su pendiente m. La dificultad es que sólo conocemos un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, observamos que podemos calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x 2) sobre la parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ. [Una recta secante, de la palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que interseca (corta) una curva más de una vez.] Elegimos x o 1 de manera que Q o P. Entonces FIGURA 1 y Q { x, ≈} y=≈ t P (1, 1) x 0 x2 x mPQ 1 1 Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25), tenemos FIGURA 2 mPQ x mPQ 2 1.5 1.1 1.01 1.001 3 2.5 2.1 2.01 2.001 mPQ 0 0.5 0.9 0.99 0.999 1 1.5 1.9 1.99 1.999 1 1 1.25 0.5 2.5 Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Cuanto más cerca está Q de P, la x es más cercana a 1 y, de las tablas, mPQ está más cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m m 2. Decimos que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo expresamos simbólicamente escribiendo lím mPQ x 2.25 1.5 Q lP m y lím xl1 x2 x 1 1 2 Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente (véase apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente en (1, 1) como y  1 m 2(x  1) o bien y m 2x  1 SECCIÓN 2.1 83 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las correspondientes rectas secantes giran alrededor de P y se aproximan a la recta tangente t. y Q y y t t t Q Q P P 0 P 0 x 0 x x Q se aproxima a P por la derecha y y y t Q t P Q 0 P Q 0 x t P 0 x x Q se aproxima a P por la izquierda FIGURA 3 TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para funciones adicionales. t Q 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 Muchas de las funciones que se producen en la ciencia no están descritas por ecuaciones explícitas, sino que están definidas por datos experimentales. El siguiente ejemplo muestra cómo estimar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de este tipo de funciones. v EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que el flash se dispara). Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y estime la pendiente de la recta tangente en el punto donde t m 0.04. [Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica (medida en microamperios) que fluye desde el condensador a la lámpara del flash.] SOLUCIÓN En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que se aproxima a la gráfica de la función. Q (microcoulombs) 100 90 80 A P 70 60 50 FIGURA 4 0 B 0.02 C 0.04 0.06 0.08 0.1 t (segundos) 84 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Dados los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) en la gráfica, nos encontramos con que la pendiente de la recta secante PR es 100.00 0.00 mPR R (0.00, 100.00) (0.02, 81.87) (0.06, 54.88) (0.08, 44.93) (0.10, 36.76) mPR 824.25 742.00 607.50 552.50 504.50 67.03 0.04 824.25 La tabla de la izquierda muestra los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. De esta tabla se esperaría que la pendiente de la recta tangente en t m 0.04 se encuentre en algún valor entre 742 y 607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 1 2 742 607.5 674.75 Así, por este método, estimamos la pendiente de la recta tangente como 675. Otro método consiste en elaborar una aproximación a la tangente en P y medir los lados del triángulo ABC, como en la figura 4. Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como El significado físico de la respuesta en el ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que fluye desde el condensador a la lámpara de flash, después de 0.04 segundos, es de unos 670 microamperios. AB BC 80.4 0.06 53.6 0.02 670 El problema de la velocidad Si usted mira el velocímetro de un automóvil mientras viaja en el tráfico de la ciudad, se ve que la aguja no se queda quieta por mucho tiempo, es decir, la velocidad del automóvil no es constante. Suponemos, al ver el velocímetro, que el coche tiene una velocidad determinada en cada instante, pero, ¿cómo se define la velocidad “instantánea”? Vamos a investigar el ejemplo de la caída de una pelota. v EJEMPLO 3 Supongamos que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observación de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos. SOLUCIÓN Por medio de experimentos llevados a cabo hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa por la ecuación s(t) m 4.9t 2 © 2003 Brand X Pictures/Jupiter Images/Fotosearch La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo (t m 5), por lo que no contamos con un intervalo de tiempo. Sin embargo, podemos aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde t m 5 hasta t m 5.1: velocidad promedio cambio en la posición tiempo transcurrido s 5.1 s5 0.1 La Torre CN en Toronto fue el edificio autoestable más alto en el mundo durante 32 años. 4.9 5.1 2 0.1 4.9 5 2 49.49 m s SECCIÓN 2.1 PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 85 La siguiente tabla muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante periodos cada vez más pequeños. Intervalo de tiempo Velocidad promedio (m s) 5 5 5 5 5 t t t t t 53.9 49.49 49.245 49.049 49.0049 6 5.1 5.05 5.01 5.001 Parece que, a medida que acorta el periodo, la velocidad promedio es cada vez más cercana a 49 mYs. La velocidad instantánea cuando t m 5 se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más cortos que comienzan en t m 5. Así, la velocidad (instantánea) después de 5 s es v m 49 mYs Usted puede sospechar (y no está equivocado) que los cálculos utilizados en la solución de este problema son muy similares a los utilizados anteriormente en esta sección para encontrar tangentes. De hecho, hay una estrecha conexión entre el problema de obtener la tangente y aquel de encontrar la velocidad. Si dibujamos la gráfica de la función de la distancia recorrida por la pelota (como en la figura 5) y consideramos los puntos P(a, 4.9a2) y Q(a  h, 4.9(a  h)2) sobre la gráfica, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ 4.9 a a h2 h 4.9a 2 a que es la misma que la velocidad promedio en el intervalo de tiempo Fa, a  hG. Por tanto, la velocidad en el instante t m a (el límite de las velocidades promedio cuando h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). s s s=4.9t @ s=4.9t @ Q pendiente de la recta secante
velocidad promedio 0 pendiente de la recta tangente
velocidad instantánea P P a a+h t 0 a t FIGURA 5 Los ejemplos 1 y 3 muestran que, para resolver los problemas de la tangente y la velocidad, debe ser capaz de calcular límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites en las siguientes cinco secciones, regresaremos a estos problemas de encontrar tangentes y velocidades en la sección 2.7. 86 CAPÍTULO 2 2.1 LÍMITES Y DERIVADAS Ejercicios 1. Un tanque contiene 1 000 galones de agua que se drenan por la c) Utilice la pendiente del inciso b), para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). d) Dibuje la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. parte inferior del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua que queda en el tanque (en galones) después de t minutos. t (min) 5 10 15 20 25 30 V (gal) 694 444 250 111 28 0 5. Si se lanza una pelota al aire con una velocidad de 40 piesYs, su altura en pies después de t segundos está dada por y m 40t  16t 2. a) Encuentre la velocidad promedio para el periodo que comienza cuando t m 2 y permanece i) 0.5 segundos ii) 0.1 segundos iii) 0.05 segundos iv) 0.01 segundos a) Si P es el punto (15, 250) sobre la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto sobre la gráfica con t m 5, 10, 20, 25 y 30. b) Estime la pendiente de la recta tangente en P por medio del promedio de las pendientes de dos rectas secantes. c) Utilice una gráfica de la función para estimar la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la rapidez a la que fluye el agua del tanque después de 15 minutos.) b) Estime la velocidad instantánea cuando t m 2. 6. Si una piedra se lanza hacia arriba en el planeta Marte a una velocidad de 10 mYs, su altura en metros t segundos después está dada por y m 10t  1.86t 2. a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: i) F1, 2G ii) F1, 1.5G iii) F1, 1.1G iv) F1, 1.01G v) F1, 1.001G 2. Un monitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se representan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. t (min) 36 Latidos del corazón 2 530 38 40 42 44 2 661 2 806 2 948 3 080 b) Estime la velocidad instantánea cuando t m 1. 7. La tabla muestra la posición de un ciclista. iii) 1.99 vii) 2.01 iv) 1.999 viii) 2.001 4 5 s (metros) 0 1.4 5.1 10.7 17.7 25.8 iii) F1, 1.01G b) Utilice los resultados del inciso a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(2, 1). c) Utilizando la pendiente del inciso b), obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en P(2, 1). a) Si Q es el punto (x, cos )x), utilice la calculadora para hallar la pendiente de la secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los siguientes valores de x: iii) 0.49 vii) 0.51 iv) 0.499 viii) 0.501 b) Utilice los resultados del inciso a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). Se requiere calculadora graficadora o computadora iv) F1, 1.001G b) Estime la velocidad instantánea de la partícula cuando t m 1. 9. El punto P(1, 0) se encuentra sobre la curva y m sen(10)Yx). 4. El punto P(0.5, 0) se encuentra sobre la curva y m cos )x.  3 se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta está dado por la ecuación de movimiento s m 2 sen )t  3 cos )t, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio durante cada periodo: i) F1, 2G ii) F1, 1.1G a) Si Q es el punto (x, 1Y(1  x)), utilice la calculadora para hallar la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los siguientes valores de x: ii) 0.4 vi) 0.6 2 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula que 3. El punto P(2, 1) se encuentra en la curva y m 1Y(1  x) i) 0 v) 1 1 b) Utilice la gráfica de s en función de t para estimar la velocidad instantánea cuando t m 3. ¿Cuáles son sus conclusiones? ii) 1.9 vi) 2.1 0 a) Encuentre la velocidad promedio para cada periodo: i) F1, 3G ii) F2, 3G iii) F3, 5G iv) F3, 4G El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Utilice los datos para estimar el ritmo cardiaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre los puntos con los valores dados de t. a) t m 36 y t m 42 b) t m 38 y t m 42 c) t m 40 y t m 42 d) t m 42 y t m 44 i) 1.5 v) 2.5 t (segundos)  a) Si Q es el punto (x, sen(10)Yx)), halle la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de cuatro decimales) para x m 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Las pendientes parecen estar acercándose a un límite? b) Utilice la gráfica de la curva para explicar por qué las pendientes de las rectas secantes en el inciso a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. c) Eligiendo rectas secantes apropiadas, estime la pendiente de la recta tangente en P. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 2.2 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 87 Límite de una función En la sección anterior vimos cómo surgen los límites cuando queremos encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto; ahora dirigimos nuestra atención a los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Vamos a investigar el comportamiento de la función f definida por f (x) m x 2  x  2 para valores de x cercanos a 2. La siguiente tabla muestra los valores de f (x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. se aproxima a 4.       x f x x f x 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999 2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001 3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001 Cuando

se aproxima a 2, FIGURA 1 De la tabla y la gráfica de f (una parábola) que se muestra en la figura 1, vemos que cuando x se aproxima a 2 (por ambos lados de 2), f (x) se aproxima a 4. De hecho, parece que podemos hacer que los valores de f (x) estén tan cerca de 4 como queramos, tomando x suficientemente cercano a 2. Esto lo expresamos diciendo que “el límite de la función f (x) m x 2  x  2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”. La notación para esto es lím x 2 x x l2 2 4 En general, usamos la siguiente notación. 1 Definición Supongamos que f (x) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a misma.) Entonces escribimos lím f x xla y decimos que L “el límite de f (x), cuando x tiende a a, es igual a L” si podemos hacer que los valores de f (x) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cercanos a L como queramos), tomando valores de x suficientemente cerca de a (por ambos lados de a), pero no iguales a a. En términos generales, esto quiere decir que los valores de f (x) se aproximan a L cuando x tiende a a. En otras palabras, los valores de f (x) tienden a estar más y más cerca del número L cuando x se acerca cada vez más al número a (de ambos lados de a), pero x o a. (En la sección 2.4 se dará una definición más precisa.) Una notación alternativa para lím f x xla es f (x) l L L cuando que suele leerse “f (x) tiende a L cuando x tiende a a”. xla 88 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Note la frase “pero x o a” en la definición de límite. Esto significa que al encontrar el límite de f (x) cuando x se aproxima a a, no se considera x m a. De hecho, f (x) no necesita estar definida cuando x m a. Lo único que importa es cómo se define f cerca de a. La figura 2 muestra las gráficas de tres funciones. Observe que en el inciso c), f (a) no está definida y, en el inciso b), f (a) o L. Sin embargo, en cada caso, independientemente de lo que sucede en a, es cierto que lím x l a f (x) m L. y y y L L L 0 a 0 x a a) 0 x a b) x c) FIGURA 2 lím ƒ=L en los tres casos x a EJEMPLO 1 x 1 0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999 f x 0.666667 0.526316 0.502513 0.500250 0.500025 Conjeture el valor de lím x l1 x x2 SOLUCIÓN Observe que la función f (x) m (x  1)Y(x 2  1) no está definida cuando x m 1, pero eso no importa, porque la definición de lím x l a f (x) dice que se consideran los valores de x que están cerca de a, pero no iguales a a. Las tablas de la izquierda dan valores de f (x) (con una precisión de seis decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no iguales a 1). Sobre la base de los valores en las tablas, hacemos la suposición de que lím xl1 x 1 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 1 . 1 x x2 1 1 0.5 f x 0.400000 0.476190 0.497512 0.499750 0.499975 El ejemplo 1 se ilustra en la gráfica de f, en la figura 3. Ahora vamos a cambiar un poco f, dándole el valor de 2 cuando x m 1 y llamando J a la función obtenida: t(x) x x2 2 1 1 si x 1 si x 1 Esta nueva función J conserva el mismo límite cuando x tiende a 1. (Véase la figura 4.) y y 2 y= x-1 ≈-1 y=© 0.5 0 FIGURA 3 0.5 1 x 0 FIGURA 4 1 x SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 89 st 2 9 3 . t2 SOLUCIÓN La tabla enlista los valores de la función para varios valores de t cercanos a 0. EJEMPLO 2 Estime el valor de lím tl0 st 2 t 1.0 0.5 0.1 0.05 0.01 9 t2 3 0.16228 0.16553 0.16662 0.16666 0.16667 A medida que t se acerca a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666. . ., así que suponemos que st 2 t 9 lím 3 tl0 t2 0.0005 0.0001 0.00005 0.00001 st 2 9 t2 3 1 6 0.16800 0.20000 0.00000 0.00000 En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si hubiéramos tomado valores aún más pequeños de t? La tabla en el margen muestra los resultados de una calculadora; sin duda, ¡algo extraño parece estar sucediendo! Si trata de obtener estos cálculos en su propia calculadora podría obtener valores diferentes, pero al final obtendrá el valor 0 si hace t suficientemente pequeña. ¿Significa esto que la respuesta es realmente 0, en lugar de 16? No, el valor del límite es 16 como se demuestra R en la siguiente sección. El problema es que la calculadora dio valores falsos porque st 2 9 está muy cerca de 3 cuando t es pequeña. (De hecho, cuando t es suficientemenwww.stewartcalculus.com te pequeña, una calculadora da el valor de 3.000 para st 2 9 . . . para tantos dígitos como Para una mayor explicación de por qué las la calculadora sea capaz de aceptar.) calculadoras, a veces, dan valores falsos, haga Algo similar sucede cuando tratamos de graficar la función clic en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, véase la sección llamada The Perils of Subtraction. f t st 2 9 t 3 2 del ejemplo 2, en una calculadora graficadora o computadora. Los incisos a) y b) de la figura 5 muestran gráficas bastante precisas de f, y cuando se utiliza el modo trace (si está disponible) puede estimarse fácilmente que el límite es cercano a 16. Pero si nos acercamos demasiado, como en los incisos c) y d), entonces obtenemos gráficas incorrectas, de nuevo debido a problemas con la sustracción. 0.2 0.2 0.1 0.1 a)
_5, 5 por
_0.1, 0.3 FIGURA 5 b)
_0.1, 0.1 por
_0.1, 0.3 c)
_10–^, 10–^ por
_0.1, 0.3 d)
_10–&, 10–& por
_ 0.1, 0.3 90 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS sen x . x SOLUCIÓN La función f (x) m (sen x)Yx no está definida cuando x m 0. Usando una calculadora (y recordando que, si x [ 2, sen x significa el seno del ángulo x medido en radianes) podemos elaborar una tabla de valores con una precisión de hasta ocho decimales. De la tabla a la izquierda y la gráfica en la figura 6 suponemos que v EJEMPLO 3 Obtenga el valor de lím xl0 sen x xl0 x lím x 1.0 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 sen x x 1 De hecho, esta conjetura es correcta como se demostrará en el capítulo 3 utilizando un argumento geométrico. 0.84147098 0.95885108 0.97354586 0.98506736 0.99334665 0.99833417 0.99958339 0.99998333 0.99999583 0.99999983 y _1 FIGURA 6 Informática de sistemas algebraicos Los sistemas algebraicos computarizados (SAC) tienen comandos que calculan límites. A fin de evitar los tipos de trampas como las de los ejemplos 2, 4 y 5, no calculan límites a partir de la experimentación numérica. En su lugar, utilizan técnicas más sofisticadas, como el cálculo de series infinitas. Si usted tiene acceso a un SAC, utilice los comandos para límites a fin de estimar los límites de los ejemplos de esta sección y revisar sus respuestas en los ejercicios de este capítulo. v EJEMPLO 4 1 y= 0 1 sen x x x Investigue lím sen . x SOLUCIÓN Una vez más la función f (x) m sen()Yx) no está definida en 0. Evaluando la función para algunos valores pequeños de x, obtenemos xl0 f 1 sen f ( 13) sen 3 f 0.1 sen 10 0 0 0 f ( 12 ) sen 2 0 f ( 14 ) sen 4 0 f 0.01 sen 100 0 Del mismo modo, f (0.001) m f (0.0001) m 0. Sobre la base de esta información podríamos estar tentados a suponer que lím sen xl0 x 0 R pero esta vez nuestra suposición es errónea. Tenga en cuenta que, aunque f (1Yn) m sen n ) m 0 para cualquier entero n, también es cierto que f (x) m 1 para muchos valores de x cercanos a 0. Esto puede verse en la gráfica de f que se muestra en la figura 7.  sen
     FIGURA 7  SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 91 Las líneas punteadas, cerca del eje y indican que los valores del sen()Yx) oscilan infinitamente entre 1 y 1 cuando x tiende a 0. (Véase el ejercicio 45.) Ya que los valores de f (x) no se acercan a un número fijo cuando x tiende a 0, lím sen xl0 x3 x 1 0.5 0.1 0.05 0.01 cos 5x 10 000 EJEMPLO 5 x3 0.005 0.001 cos 5x . 10 000 Encuentre el lím x 3 xl0 SOLUCIÓN Como antes, elaboramos una tabla de valores. De la primera tabla en el 1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101 x no existe x margen parece que lím x 3 xl0 cos 5x 10 000 0 Pero si perseveramos con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que cos 5x 10 000 lím x 3 0.00010009 0.00010000 xl0 cos 5x 10 000 0.000100 1 10 000 Más adelante veremos que lím x l 0 cos 5x m 1; entonces deduciremos que el límite es 0.0001. R Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos al intentar conjeturar el valor de un límite. Es fácil caer en el valor incorrecto si utilizamos valores inadecuados de x, pero es difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la discusión después del ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores incorrectos. En la siguiente sección, sin embargo, vamos a desarrollar métodos infalibles para el cálculo de límites. v y EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por 1 Ht 0 FIGURA 8 La función de Heaviside 0 1 si t si t 0 0 t [Esta función lleva el nombre del ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se utiliza para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo t m 0.] Su gráfica se muestra en la figura 8. Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H(t) se aproxima a 0. Conforme t se aproxima a 0 por la derecha, H(t) se aproxima a 1. No hay un único número al que se aproxime H(t) cuando t se aproxima a 0. Por tanto, lím t l 0 H(t) no existe. Límites laterales Hemos notado en el ejemplo 6 que H(t) tiende a 0 cuando t se aproxima a 0 por la izquierda y H(t) tiende a 1 a medida t se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica simbólicamente escribiendo lím H t t l0 0 y lím H t t l0 1 El símbolo “t l 0” indica que se consideran sólo los valores de t que son menores que 0. De igual modo, “t l 0” indica que se consideran sólo los valores de t que son mayores que 0. 92 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 2 Definición Cuando escribimos lím f x L x la estamos diciendo que el límite izquierdo de f (x) cuando x se aproxima a a [o el límite de f (x) cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si podemos hacer que los valores de f (x) se acerquen arbitrariamente a L, tanto como queramos, tomando x suficientemente cercanos a a, pero menores que a. Observe que la definición 2 difiere de la definición 1 sólo en el hecho de que x sea necesariamente menor que a. Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene “el límite de f (x) cuando x tiende a a por la derecha es igual a L” y escribimos lím f x x la L Así, el símbolo “x l a” significa que se consideran sólo x  a. Estas definiciones se ilustran en la figura 9. y y L ƒ 0 x a 0 x a x x b) lím ƒ=L a) lím ƒ=L FIGURA 9 ƒ L x a+ x a_ Al comparar la definición 1 con las de los límites laterales, vemos que se cumple con lo siguiente. 3 y 3 y=© lím f x si y sólo si x la a) lím t x b) lím t x c) lím t x d) lím t x e) lím t x f ) lím t x xl2 1 FIGURA 10 L L y lím f x x la L v EJEMPLO 7 La gráfica de una función J se muestra en la figura 10. Utilícela para establecer los valores (si existen) de lo siguiente: 4 0 lím f x xla xl5 1 2 3 4 5 x xl2 xl5 xl2 xl5 SOLUCIÓN En la gráfica vemos que los valores de J(x) tienden a 3 conforme x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 a medida x tiende a 2 por la derecha. Por tanto, a) lím t x xl2 3 y b) lím t x xl2 1 c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, llegamos a la conclusión de 3 que lím x l 2 t x no existe. La gráfica también muestra que d) lím t x xl5 2 y e) lím t x xl5 2 SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 93 f ) Esta vez los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos, así que, por 3 , tenemos lím t x 2 xl5 A pesar de esto, observe que J(5) o 2 Límites infinitos EJEMPLO 8 1 0.5 0.2 0.1 0.05 0.01 0.001 1 si existe. x2 grande. (Véase la tabla en el margen.) De hecho, se desprende de la gráfica de la función f (x) m 1Yx2 en la figura 11, que los valores de f (x) pueden ser arbitrariamente grandes, tomando x lo suficientemente cercano a 0. Así, los valores de f (x) no se aproximan a un número, por lo que lím x l 0 1 x 2 no existe. 1 4 25 100 400 10 000 1 000 000 Para indicar el tipo de comportamiento exhibido en el ejemplo 8, se usa la notación lím xl0   xl0 SOLUCIÓN Conforme x se acerca a 0, x2 también se acerca a 0, y 1Yx2 se hace muy 1 x2 x Encuentre lím 1 x2
R Esto no quiere decir que estemos considerando a @ como un número. Tampoco significa que el límite existe. Simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe: 1Yx2 puede hacerse tan grande como queramos, tomando a x suficientemente cerca de 0. En general, podemos escribir simbólicamente   lím f x xla 
FIGURA 11
para indicar que los valores de f (x) tienden a ser más y más grandes (o “crecen sin límite”) a medida que x se acerca más y más a a. 4 Definición Sea f una función definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en la misma a. Entonces lím f x xla
significa que los valores de f (x) pueden ser arbitrariamente grandes (tan grandes como queramos), tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. y Otra notación para lím x l a f x y=ƒ 0 a f x l
x lím ƒ=` x a cuando xla Una vez más, el símbolo @ no es un número, pero la expresión lím x l a f x menudo como x=a FIGURA 12
es “el límite de f (x), cuando x tiende a a, es infinito” o bien “f (x) tiende al infinito cuando x se aproxima a a” o bien “f (x) crece sin cota cuando x se aproxima a a”. Esta definición se ilustra gráficamente en la figura 12.
se lee a 94 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Cuando decimos que un número es “negativo muy grande”, lo que queremos decir que es negativo, pero su magnitud (valor absoluto) es grande. Un tipo similar de límite, para las funciones que se convierten en negativos muy grandes conforme x se aproxima a a, se precisa en la definición 5 y se ilustra en la figura 13. y 5 Definición Sea f definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en a misma. Entonces x=a
lím f x a 0 xla x y=ƒ significa que los valores de f (x) pueden ser negativos arbitrariamente grandes, tomando x suficientemente cerca de a, pero no igual a a. FIGURA 13 El símbolo lím x l a f x
puede leerse como “el límite de f (x), cuando x se aproxima a a, es infinito negativo” o “f (x) decrece sin límite conforme x tiende a a”. Como ejemplo tenemos lím ƒ=_` x a 1 x2 lím x l0
Definiciones similares pueden darse a los límites laterales infinitos lím f x x la
lím f x x la
lím f x x la

lím f x x la recordando que “x « a–” significa que se consideran sólo los valores de x que son menores que a, y del mismo modo “x « a+” significa que se consideran sólo x  a. En la figura 14, se ilustran cuatro de estos casos. y y a 0 a) lím ƒ=` x a_ x y a 0 a 0 x b) lím ƒ=` x y c) lím ƒ=_` a+ x a 0 x d) lím ƒ=_` a_ x a+ FIGURA 14 6 Definición La recta x m a se llama asíntota vertical de la curva y m f (x) si al menos una de las siguientes afirmaciones son verdaderas: lím f x x la lím f x x la
lím f x x la
lím f x x la
lím f x x la
lím f x x la

x SECCIÓN 2.2 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 95 Por ejemplo, el eje y es una asíntota vertical de la curva y m 1Yx2 debido a que lím x l 0 1 x 2
. En la figura 14 la recta x m a es una asíntota vertical en cada uno de los cuatro casos que se muestran. En general, el conocimiento de asíntotas verticales es muy útil para dibujar gráficas. EJEMPLO 9 Encuentre lím x l3 2x x 3 y lím x l3 2x x 3 . SOLUCIÓN Si x tiende a 3 con valores mayores que 3, entonces el denominador x  3 es un número positivo muy pequeño y 2x está muy cerca de 6, así que el cociente 2xY(x  3) es un número positivo muy grande. Por tanto, intuitivamente, podemos ver que y 2x y= x-3 5 lím x l3 x 0 FIGURA 15 lím x l3 y _ π 2 3
2x x
3 La gráfica de la curva y m 2xY(x  3) se ilustra en la figura 15. La recta x m 3 es una asíntota vertical. 1 3π _π x Asimismo, si x es cercano a 3, pero con valores menores que 3, entonces x  3 es un número negativo pequeño, pero 2x es aún un número positivo (cercano a 6). Así, 2xY(x  3) es un número negativo muy grande. Por tanto, x=3 _ 2 2x EJEMPLO 10 0 π 2 π 3π 2 x Encuentre las asíntotas verticales de f (x) m tan x. SOLUCIÓN Ya que sen x cos x tan x hay posibles asíntotas verticales donde cos x m 0. De hecho, puesto que cos x « a+ 2 y cos x l 0 a medida que x l 2 , mientras sen x es cuando x l positivo cuando x está cerca de )Y2, tenemos FIGURA 16 y=tan x lím tan x xl 2
y lím tan x xl 2
Esto muestra que la recta x m )Y2 es una asíntota vertical. Un razonamiento similar, muestra que las rectas x m (2n  1))Y2, donde n es un número entero, son todas asíntotas verticales de f (x) m tan x. La gráfica en la figura 16 confirma esto. y y=ln x 0 1 x Otro ejemplo de una función cuya gráfica tiene una asíntota vertical es la función logaritmo natural y m ln x. En la figura 17 vemos que lím ln x x l0
FIGURA 17 El eje y es una asíntota vertical de la función logaritmo natural. y así, la recta x m 0 (el eje y) es una asíntota vertical. De hecho, lo mismo es cierto para y m loga x siempre que a  1. (Véanse las figuras 11 y 12 en la sección 1.6.) 96 CAPÍTULO 2 2.2 LÍMITES Y DERIVADAS Ejercicios 1. Explique con sus propias palabras cuál es el significado de la d) h 3 e) lím h x f) g) lím h x h) h 0 i) lím h x j) h 2 k) l) xl0 ecuación lím f x 5 xl2 xl0 ¿Es posible que se cumpla con esta proposición y que aún f (2) m 3 sea verdadero? Explique. lím h x x l0 xl2 lím h x x l5 lím h x x l5 y 2. Explique qué significa decir que lím f x 3 xl1 y 7 lím f x xl1 En esta situación, ¿es posible que lím x l 1 f x exista? Explique. _4 3. Explique el significado de cada una de las siguientes proposiciones. a) lím f x
b) lím f x xl 3 xl4 0 _2 2 4 x 6
7. Para la función J cuya gráfica está dada, establezca el valor de si ésta existe. Si no existe, explique por qué. cada una de las siguientes cantidades si existe. Si no, explique por qué. a) lím f x b) c) lím f x a) lím t t b) lím t t c) lím t t d) f 2 e) lím f x f) d) lím t t e) lím t t f ) lím t t g) t 2 h) lím t t 4. Utilice la gráfica de f para establecer el valor de cada cantidad x l2 lím f x xl2 xl2 xl4 tl0 f 4 tl2 y tl0 tl2 y 2 4 2 2 x 4 tl2 tl4 4 0 tl0 2 5. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca el valor 4 t de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué. a) lím f x b) lím f x c) lím f x xl1 d) lím f x xl3 xl3 xl3 8. Para la función R cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. e) f 3 a) lím R x b) lím R x c) lím R x d) lím R x x l2 y xl5 xl 3 4 xl 3 e) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. 2 y 0 2 x 4 6. Para la función h cuya gráfica está dada, establezca el valor de cada una de las siguientes cantidades. Si no existe, explique por qué. a)  lím h x xl 3 b) lím h x xl 3 c) _3 0 lím h x xl 3 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 2 5 x SECCIÓN 2.2 9. Para la función f cuya gráfica se muestra, establezca lo siguiente. a) lím f x LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 97 15-18 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que cumpla con todas las condiciones dadas. b) xl 7 d) lím f x c) lím f x lím f x xl 3 15. lím f x xl0 1, xl0 lím f x 2, xl0 f 0 1 e) lím f x xl6 xl6 f) Las ecuaciones de las asíntotas verticales. 16. lím f x 1, f 0 1, f 3 xl0 y 17. lím f x 4, xl3 _7 0 _3 x 6 f 3 lím f x 18. lím f x lím f x 2 2, xl0 lím f x 2, 2, lím f x 2, lím f x 3, xl 2 1 lím f x xl0 0, f 0 xl4 lím f x xl3 1 xl3 f 3, 2, xl3 2, 0, xl4 f 4 1 10. Un paciente recibe una inyección de 150 mg de un medicamento cada 4 horas. La gráfica muestra la cantidad f (t) del medicamento en el torrente sanguíneo después de t horas. Encuentre lím f t lím f t y tl 12 19-22 Conjeture el valor de cada uno de los siguientes límites (si existen) evaluando la función dada en los números propuestos (con una precisión de seis decimales). tl 12 2x , x x 2 x 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 2 x l2 f(t) 300 x2 2x , x x 2 x 0, 0.5, 0.9, 0.95, 0.99, 2, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001 20. lím xl 150 0 x2 19. lím y explique el significado de estos límites laterales. 4 8 12 16 21. lím t utilícela para determinar los valores de a para los cuales lím x l a f x existe. si x 1 si 1 x x si x 1 1 x2 2 12. f x 1 sen x si x cos x si 0 si x sen x 1 e 5t x 22. lím hl 0 h 1 t tl 0 11-12 Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones y 11. f x 2 2 , t 0.5, h 5 32 , h 0.5, 0.1, 0.01, 0.1, 0.999, 0.01, 0.001, 0.001, 0.0001 0.0001 23-26 Utilice una tabla de valores para estimar el valor de cada uno 1 de los siguientes límites. Si dispone usted de una calculadora o computadora, utilícela para confirmar gráficamente su resultado. 0 x 23. lím sx xl0 25. lím xl1 x6 x10 4 x 1 1 2 24. lím xl0 26. lím tan 3x tan 5x 9x xl0 5x x  13-14 Utilice la gráfica de la función f para establecer el valor de cada uno de los siguientes límites, si es que existen. Si no, explique por qué. a) b) lím f x lím f x xl0 13. f x xl0 1 1 c) lím f x e 1 x xl0 14. f x x2 sx 3 x x2  27. a) Por medio de la grafica de la función f x cos 2x cos x x 2 y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y, estime el valor de lím x l 0 f x . b) Verifique su respuesta del inciso a) mediante la evaluación de f (x) para valores de x que tiendan a 0. 98 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS  28. a) Estime el valor de 43. a) Evalúe la función f (x) m x 2  (2 xY1 000) para x m 1, 0.8, lím xl0 0.6, 0.4, 0.2, 0.1 y 0.05 e intuya el valor de sen x sen x lím x 2 xl0 graficando la función f x sen x sen x . Exprese su respuesta con una precisión de dos decimales. b) Verifique su respuesta del inciso a) evaluando f (x) para valores de x que tiendan a 0. b) Evalúe f (x) para x m 0.04, 0.02, 0.01, 0.005, 0.003 y 0.001. Intuya otra vez. 44. a) Evalúe h x 29-37 Determine cada uno de los siguientes límites infinitos. 29. lím xl 3 31. lím x l1 x x 2 3 2 x x 12 33. lím ln x 2 x l5 x l2 2x 5x 2 3 ex x 5 3 xl 36. lím lím x csc x x2 x2 x x 34. lím cot x xl2 37. lím lím xl 3 32. lím 9 x l3 35. 30. xl2  x x2 2 2x 4x 4 8 6 2x 1 000 x x 3 para x m 1, 0.5, 0.1, 0.05, tan x 0.01 y 0.005. tan x x . b) Intuya el valor de lím xl0 x3 c) Evalúe h(x) para sucesivos valores pequeños de x hasta que finalmente alcance un valor de 0 para h(x). ¿Aún confía usted en que su conjetura en el inciso b) es correcta? Explique por qué finalmente obtuvo valores 0. (En la sección 4.4 se explicará un método para evaluar el límite.) d) Grafique la función h en un rectángulo de vista F1, 1G por F0, 1G. Después haga un acercamiento hacia el punto donde la gráfica interseca el eje y, para estimar el límite de h(x) cuando x tienda a 0. Continúe el acercamiento hasta que observe distorsiones en la gráfica de h. Compare con los resultados del inciso c).  45. Grafique la función f x 38. a) Encuentre las asíntotas verticales de la función y x2 3x 1 2x 2 sen x del ejemplo 4 en el rectángulo de vista F1, 1G por F1, 1G. Después haga acercamientos al origen varias veces. Haga comentarios relacionados con el comportamiento de esta función. 46. En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v es b) Verifique su respuesta al inciso a) graficando la función. 1 1 39. Determine lím 3 y lím x l1 x 1 x l1 x 3 1 a) evaluando f x 1 x 3 1 para valores de x que tiendan a 1, por el lado izquierdo y por el lado derecho. b) razonando como en el ejemplo 9, y c) a partir de la gráfica de f.    40. a) Por medio de la gráfica de la función f x tan 4x x y un acercamiento al punto donde la gráfica interseca el eje y estime el valor de lím x l 0 f x . b) Verifique su respuesta del inciso a) para evaluar f (x) para valores de x que tiendan a 0. 41. a) Estime el valor de lím x l 0 1  1 x x con una precisión de cinco decimales. ¿Le parece conocido este número? 1 x 1 x. b) Ilustre el inciso a) graficando la función y e x ln x 4 para 0 v x v 5. ¿Piensa que la gráfica es una buena representación de f ? b) ¿Cómo conseguiría una gráfica que represente mejor a f ?  42. a) Grafique la función f x m m0 s1 v2 c2 donde m0 es la masa de la partícula en reposo y c es la rapidez de la luz. ¿Qué pasa cuando v l c?  47. Utilice una gráfica para estimar la ecuación de todas las asíntotas verticales de la curva y tan 2 sen x x Después, encuentre las ecuaciones exactas de estas asíntotas.  48. a) Utilice evidencias numéricas y gráficas para intuir el valor del límite lím xl1 x3 sx 1 1 b) ¿Qué tan cerca a 1 debe estar x para asegurar que la función del inciso a) está dentro de una distancia de 0.5 de este límite? SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 99 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 2.3 En la sección 2.2 utilizamos calculadoras y gráficas para intuir los valores de un límite, pero observamos que tales métodos no siempre nos llevan a la respuesta correcta. En esta sección utilizaremos las siguientes propiedades de los límites, llamadas leyes de los límites, para calcularlos. Leyes de los límites Suponga que c es una constante y que los límites lím f x y xla lím t x xla existen. Entonces 1. lím f x tx 2. lím f x tx xla xla 3. lím cf x xla xla lím t x lím f x xla c lím f x xla lím t x lím f x xla f x tx xla xla 4. lím f x t x 5. lím lím t x lím f x xla xla lím f x xla lím t x xla xla si lím t x xla 0 Estas cinco leyes pueden expresarse verbalmente como sigue: Ley de la suma 1. El límite de una suma es la suma de los límites. Ley de la diferencia 2. El límite de una diferencia es la diferencia de los límites. Ley del múltiplo constante 3. El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. 4. El límite de un producto es el producto de los límites. 5. El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del denominador no sea cero). Ley del producto Ley del cociente Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si f (x) está cerca de L y J(x) está cerca de M, es razonable concluir que f (x)  J(x) está muy cerca de L  M. Esto nos da una base intuitiva para creer que la ley 1 es verdadera. En la sección 2.4 daremos una definición precisa de la idea de límite y la utilizaremos para demostrar esta ley. Las demostraciones del resto de las leyes están dadas en el apéndice F. y f 1 0 g 1 x EJEMPLO 1 Utilice las leyes de los límites y las gráficas de f y J en la figura 1 para evaluar los siguientes límites, si es que existen. f x 5t x a) lím f x b) lím f x t x c) lím xl 2 xl1 xl2 t x SOLUCIÓN a) De las gráficas de f y J vemos que FIGURA 1 lím f x xl 2 1 y lím t x xl 2 1 100 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Por tanto, tenemos lím f x xl 2 5t x lím f x xl 2 lím f x xl 2 1 5 lím 5t x (por la ley 1) 5 lím t x (por la ley 3) xl 2 xl 2 1 4 2. Pero lím x l 1 t x no existe porque los límites por la b) Vemos que lím x l 1 f x izquierda y por la derecha son diferentes: lím t x xl1 lím t x 2 1 xl1 Así que no podemos utilizar la ley 4 para el límite deseado, pero podemos utilizarla para los límites laterales: lím xl1 f xtx 2 2 4 f xtx lím xl1 2 1 2 Los límites por la izquierda y por la derecha no son iguales, así que lím x l 1 f x t x no existe. c) La gráfica muestra que lím f x xl2 1.4 lím t x y xl2 0 Ya que el límite del denominador es 0, no podemos utilizar la ley 5. El límite dado no existe porque el denominador tiende a 0, mientras que el numerador se acerca a un número no cero. Si utilizamos repetidamente la ley del producto con J(x) m f (x), obtenemos la siguiente ley. Ley de la potencia [ lím f x ] n n 6. lím f x x la x la donde n es un número entero positivo Para la aplicación de estas seis leyes, necesitamos utilizar dos límites especiales: 7. lím c xla 8. lím x c xla a Estos límites son obvios desde un punto de vista intuitivo (establézcalos en palabras o dibuje las gráficas de y m c y y m x), pero en los ejercicios de la sección 2.4 se requieren las demostraciones basadas en la definición precisa. Si hacemos f (x) m x en la ley 6 y utilizamos la ley 8, obtenemos otra forma especial de límite. 9. lím x n xla an donde n es un número entero positivo Un límite similar con el que se cumple para las raíces es el siguiente. (Para la raíz cuadrada, la demostración se resume en el ejercicio 37 de la sección 2.4.) n 10. lím s x xla n a s donde n es un número entero positivo (Si n es par, suponemos que a  0.) SECCIÓN 2.3 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 101 Más generalmente, tenemos la siguiente ley que hemos de demostrar en la sección 2.5 como una consecuencia de la ley 10. n 11. lím s f x) Ley de la raíz x la n donde n es un número entero positivo x) [Si n es par, suponemos que lím f x 0. x la Newton y los límites Isaac Newton nació el día de Navidad en 1642, año de la muerte de Galileo. Cuando entró en la Universidad de Cambridge en 1661, Newton no sabía muchas matemáticas, pero aprendió rápidamente mediante la lectura de Euclides y Descartes, y asistiendo a las conferencias de Isaac Barrow. Cambridge fue cerrada a causa de la peste en 1665 y 1666, y Newton regresó a su casa a reflexionar sobre lo que había aprendido. Esos dos años fueron extraordinariamente productivos porque hizo cuatro de sus descubrimientos más importantes: 1) su representación de funciones como sumas de series infinitas, incluyendo el teorema del binomio; 2) su trabajo sobre el cálculo diferencial e integral; 3) sus leyes del movimiento y la ley de la gravitación universal y 4) sus experimentos con el prisma relacionados con la naturaleza de la luz y el color. Debido a un temor a la controversia y la crítica, se mostró reacio a publicar sus descubrimientos y no fue sino hasta 1687, a instancias del astrónomo Halley, que Newton publicó sus Principia Mathematica. En este trabajo, el tratado científico más grande jamás escrito, Newton expone su versión del Cálculo y su utilización en la investigación de la mecánica, la dinámica de fluidos, y el movimiento ondulatorio, así como en la explicación del movimiento de los planetas y los cometas. Los inicios del Cálculo se encuentran en los procedimientos para obtener áreas y volúmenes ideados por los antiguos sabios griegos Eudoxo y Arquímedes. A pesar de que los aspectos de la idea de límite están implícitos en su “método de agotamiento”, Eudoxo y Arquímedes nunca formularon explícitamente el concepto de límite. Tampoco matemáticos como Cavalieri, Fermat ni Barrow, antecesores inmediatos de Newton en el desarrollo del Cálculo, utilizaron los límites. Isaac Newton fue el primero en hablar explícitamente de límites. Explicó que la idea principal detrás de los límites es que las cantidades “se acercan más que cualquier diferencia dada”. Newton dijo que el límite era el concepto básico en el Cálculo, pero fue el posterior trabajo de matemáticos como Cauchy y otros más el que finalmente clarificó las ideas relacionadas con los límites. f s lím x la EJEMPLO 2 ] Evalúe los siguientes límites y justifique cada paso a) lím 2x 2 3x x l5 x3 b) lím 4 2x 2 1 5 3x xl 2 SOLUCIÓN lím 2x 2 a) x l5 3x lím 2x 2 4 lím 3x x l5 lím 4 x l5 2 lím x 2 3 lím x x l5 x l5 2 52 35 x l5 lím 4 x l5 4 (por las leyes 2 y 1) (por la ley 3) (por las leyes 9, 8 y 7) 39 b) Empezamos utilizando la ley 5, pero su uso está completamente justificado sólo en la etapa final cuando vemos que los límites del numerador y el denominador existen y el límite del denominador no es cero. lím xl 2 x3 2x 2 1 5 3x lím x 3 2x 2 xl 2 lím 5 2 lím x 2 xl 2 xl 2 lím 5 xl 2 2 3 5 (por la ley 5) 3x xl 2 lím x 3 1 2 2 3 2 lím 1 xl 2 3 lím x (por las leyes 1, 2 y 3) xl 2 2 1 (por las leyes 9, 8 y 7) 1 11 NOTA Si hacemos f (x) m 2x2  3x  4, entonces f (5) m 39. En otras palabras, ha- bríamos obtenido la respuesta correcta del ejemplo 2a) sustituyendo 5 por x. Del mismo modo, la sustitución directa aporta la respuesta correcta en el inciso b). Las funciones en el ejemplo 2 son una función polinomial y una función racional, respectivamente, y el mismo uso de las leyes de los límites demuestra que la sustitución directa siempre sirve para este tipo de funciones (Véanse los ejercicios 55 y 56). Este hecho se expresa de la siguiente manera: Propiedad de sustitución directa Si f es una función polinomial o una función racional y a está en el dominio de f, entonces lím f x x la f a 102 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Las funciones con la propiedad de sustitución directa se llaman continuas en x m a y las estudiaremos en la sección 2.5. Sin embargo, no todos los límites pueden ser evaluados por sustitución directa, como se muestra en los siguientes ejemplos. EJEMPLO 3 Encuentre lím xl1 x2 x 1 . 1 SOLUCIÓN Sea f(x) m (x2  1)Y(x  1). No podemos encontrar el límite por sustitución directa de x m 1 porque f (1) no está definida. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el límite del denominador es 0. Ahora, necesitamos de un proceso algebraico preliminar. Factorizando el numerador como una diferencia de cuadrados: x2 x 1 1 x 1 x x 1 1 El numerador y el denominador tienen un factor común de x  1. Cuando tomamos el límite cuando x tiende a 1, tenemos que x o 1 y, por tanto, x  1 o 0. Así, podemos cancelar el factor común y calcular el límite como sigue: lím xl1 x2 x 1 1 x lím xl1 1 x x 1 lím x 1 1 2 xl1 1 1 El límite en este ejemplo surgió en la sección 2.1 cuando intentamos hallar la recta tangente a la parábola y m x 2 en el punto (1, 1). NOTA En el ejemplo 3 pudimos calcular el límite sustituyendo la función dada, f(x) m (x2  1)Y(x  1), por la función más sencilla, J(x) m x  1, que posee el mismo límite. Esto es válido porque f (x) m J(x), excepto cuando x m 1, y al calcular el límite cuando x tiende 1, no se considera qué sucede cuando x es en realidad igual a 1. En general, se tiene el siguiente hecho. y y=ƒ 3 Si f x t x cuando x lím t x siempre que el límite a, entonces lím f x xla xla exista. 2 1 0 1 2 3 x y y=© 3 2 Encuentre lím t x donde x l1 tx x 1 si x si x 1 1 SOLUCIÓN Aquí J está definida en x m 1 y J(1) m ), pero el valor del límite cuando x 1 0 EJEMPLO 4 1 2 3 x tiende a 1, no depende del valor de la función en 1. Ya que J(x) m x  1 para x o 1, tenemos lím t x xl1 lím x xl1 1 2 FIGURA 2 Las gráficas de las funciones f (del ejemplo 3) y g (del ejemplo 4) Note que los valores de las funciones en los ejemplos 3 y 4 son idénticos, excepto cuando x m 1 (véase la figura 2) y tienen el mismo límite cuando x tiende a 1. SECCIÓN 2.3 v EJEMPLO 5 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES h2 h 3 Evalúe lím hl0 9 103 . SOLUCIÓN Si definimos h2 h 3 Fh 9 , entonces, como en el ejemplo 3, no podemos calcular lím h l 0 F h poniendo h m 0, ya que F(0) es indefinida. Pero si simplificamos algebraicamente a F(h), encontramos que 9 Fh h2 6h 9 h2 6h h h 6 h (Recuerde que consideramos sólo h o 0 cuando hacemos que h tienda a 0.) Así lím h2 h 3 hl0 EJEMPLO 6 st 2 Encuentre lím 9 lím 6 h hl0 9 6 3 . t SOLUCIÓN No podemos aplicar inmediatamente la ley del cociente, ya que el límite del denominador es 0. Aquí, el álgebra preliminar consiste en la racionalización del numerador: 2 tl0 lím st 2 tl0 9 t 2 3 lím st 2 9 t tl0 lím tl0 lím tl0 lím tl0 st 2 st 2 3 2 t2 9 t 2(st 2 9 9 9 3 3 9 3) t2 t (st 2 st 2 1 9 2 3) 9 3 1 s lím tl0 1 3 3 t 2 9 3 1 6 Este cálculo confirma la conjetura que hicimos en el ejemplo 2 de la sección 2.2. Algunos límites se calculan mejor encontrando primero los límites por la izquierda y por la derecha. El siguiente teorema es un recordatorio de lo que se descubrió en la sección 2.2. Decimos que los límites por los dos lados existen si y sólo si ambos límites existen y son iguales. 1 Teorema lím f x xla L si y sólo si lím f x x la L lím f x x la Cuando calculamos límites laterales, utilizamos el hecho de que las leyes de los límites también se cumplen para límites de este tipo. 104 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS EJEMPLO 7 Demuestre que lím x 0. xl0 SOLUCIÓN Recuerde que x x El resultado del ejemplo 7 parece verosímil viendo la figura 3. y 0 0 lím x 0 Dado que U x U m x para x  0, tenemos lím x x l0 y=| x| Para x x l0 0 tenemos U x U m x así que lím x lím x l0 0 si x si x x x x l0 0 x Por tanto, por el teorema 1 FIGURA 3 lím x 0 xl0 v EJEMPLO 8 Demuestre que lím xl0 x no existe. x y |x| y= x 1 SOLUCIÓN 0 lím x x x l0 lím x x x l0 x l0 x _1 x l0 FIGURA 4 lím x x lím lím 1 1 lím 1 x l0 x x x l0 1 Puesto que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se sigue, del teorema 1, que lím x l 0 x x no existe. La gráfica de la función f (x) m U x UYx se muestra en la figura 4 y exhibe la coincidencia con los límites laterales que encontró. EJEMPLO 9 Si sx 4 8 2x f x si x si x 4 4 determine si lím x l 4 f x existe. SOLUCIÓN Ya que f x Se muestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4 0. que el lím x l 0 sx sx lím f x x l4 Dado que f (x) m 8  2x para x y lím f x x l4 4 para x 4, tenemos lím sx x l4 s4 4 4 0 4, tenemos lím 8 x l4 2x 8 2 4 0 Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales. Así que el límite existe y 0 FIGURA 5 4 x lím f x xl4 La gráfica de f se muestra en la figura 5. 0 SECCIÓN 2.3 Otras notaciones para VxB son FxG y «xº. En ocasiones, la función entero mayor se llama función piso. CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 105 La función entero mayor está definida por VxB m el mayor entero que 4, 4.8 4, 3, s2 1, es menor que o igual a x. (Por ejemplo, 4 1 lím x Demuestre que no existe. 1. ) x l3 2 EJEMPLO 10 y SOLUCIÓN La gráfica de la función entero mayor se ilustra en la figura 6. Dado que 4 VxB m 3 para 3 v x 4, tenemos 3 lím x y=[ x] 2 x l3 1 0 Así que VxB m 2 para 2 v x 1 2 3 4 5 lím 3 3 lím 2 2 x l3 3, tenemos x lím x x l3 x l3 Ya que estos límites laterales no son iguales, lím x l3 x no existe por el teorema 1. FIGURA 6 Función entero mayor Los dos teoremas siguientes dan dos propiedades adicionales para los límites. Sus demostraciones se encuentran en el apéndice F. 2 Teorema Si f (x) v J(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en x m a) y los límites de f y J existen cuando x tiende a a, entonces lím t x lím f x xla 3 El teorema de la compresión xla Si f (x) v J(x) v h(x) cuando x tiende a a (excepto posiblemente en a) y lím f x xla y lím h x L xla entonces h g lím t x L L xla f 0 a x El teorema de la compresión, llamado a veces teorema del sándwich o del apretón, se ilustra en la figura 7. Se dice que si J(x) se comprime entre f (x) y h(x) cerca de a, y si f y h tienen el mismo límite L en a, entonces J es forzada a tener el mismo límite L en a. FIGURA 7 v EJEMPLO 11 Demuestre que lím x 2 sen xl0 1 x 0. SOLUCIÓN Primero note que no podemos utilizar R lím x 2 sen xl0 1 x lím x 2 lím sen xl0 xl0 1 x ya que lím x l 0 sen 1 x no existe (véase el ejemplo 4 en la sección 2.2). En su lugar aplicamos el teorema de la compresión, así que tenemos que encontrar una función f menor que J(x) m x 2 sen(1Yx) y una función h mayor que J tal que f (x) y h(x) tiendan a 0. 106 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para hacer esto, utilizamos lo que sabemos de la función seno. Ya que el seno de cualquier número está entre 1 y 1, podemos afirmar que 1 4  1 Cualquier desigualdad permanece válida cuando la multiplicamos por un número positivo. Sabemos que x 2 w 0 para toda x, así que multiplicando cada lado de la desigualdad en 4 por x 2, obtenemos  x2 
1 x sen x 2 sen 1 x x2 como se ilustra en la figura 8. Sabemos que  lím x 2 FIGURA 8 0 xl0 x2 lím y xl0 0 sen  x 2, t x Tomando f x tenemos x 2 sen 1 x y h x lím x 2 sen xl0 2.3 x 2 del teorema de la compresión, ob- 1 x 0 Ejercicios 1. Dado que 3-9 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las leyes de lím f x xl2 4 lím t x xl2 lím h x 2 xl2 0 xl2 x l2 3x 2 4. lím x 4 3x x 2 xl 1 x 6 5x 3 xl2 c) lím sf x e) lím 3. lím 5x 3 x l3 encuentre los límites que existen. Si el límite no existe, explique por qué. a) lím f x b) lím t x 3 5t x xl2 los límites apropiadas. d) lím 3f x tx f ) lím txhx f x xl2 tx hx xl2 5. lím tl 2 t4 2t 7. lím (1 xl8 2 2 3t 6. lím su 4 2 3 x)2 s ul 2 6x 2 x3 8. lím tl2 3u t2 t3 6 2 2 3t 5 2. Las gráficas de f y J están dadas. Utilícelas para evaluar cada límite si es que existe. Si el límite no existe, explique por qué. y y=ƒ xl2 y y=© 1 1 x 9. lím 1 2x 2 3x 1 2 10. a) ¿Cuál es el error en la siguiente ecuación? 0 x 1 x2 x x a) lím f x x l2 tx x l1 f x tx c) lím f x t x d) lím e) lím x 3 f x f ) lím s3 x l0 x l2  tx b) lím f x xl 1 x l1 x l2 Se requiere calculadora graficadora o computadora x 3 b) Considerando el inciso a), explique por qué la ecuación lím f x 6 2 x2 x x 6 2 es correcta. 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com lím x x l2 3 SECCIÓN 2.3 11-32 Evalúe cada uno de los siguientes límites si éstos existen. 11. lím x 2 x x l5 6x 5 5 x 12. lím 2 lím sx 3 x 2 sen x l0 13. lím x 2 5x x x l5 6 t2 15. lím 7t 5 h h 2t tl 3 xl 1 9 2 x 14. lím 5 16. lím 3 xl 1 2 x2 4x 3x 4 2x 2 x2 3x 2x 107  36. Utilice el teorema de la compresión para demostrar que 4x 3x 4 x2 xl4 CÁLCULO DE LÍMITES USANDO LAS LEYES DE LOS LÍMITES 0 x evidenciándolo con las gráficas de las funciones f, J y h (en la notación del teorema de la compresión), en la misma pantalla. 1 3 37. Si 4x  9 v f (x) v x2  4x  7 para x w 0, encuentre lím f x . 17. lím hl0 19. lím xl 2 21. lím x x3 s9 hl0 s1 x l 16 29. lím tl0 18. lím 20. lím tl1 t4 t3 24. lím s1 t 26. lím t tl0 4 sx 16x x 2 28. lím x2 t 30. lím xl1 2 39. Demuestre que lím x cos x l0 x 40. Demuestre que lím sx e sen 3 2x 1 1 t 1 h x xl 4 9 4 31. lím hl0 h3 h x3 32. lím hl0 x h2 h x l0 s1 x 3x 45. lím 1 x x l0 3 ) x x 1 x2 12 6 44. lím 2 2 x x 46. lím 1 x xl 2 1 x x l0 1 x2 1 s3 para estimar el valor de lím x l 0 f x con dos decimales. b) Utilice una tabla de valores de f (x) para estimar el límite con cuatro decimales. c) Utilice las leyes de los límites para encontrar el valor exacto del límite.  35. Utilice el teorema de la compresión para demostrar 2x x xl 6 1 0 1 sgn x 1 x 0. Ilustre las funciones que lím x l 0 x 2 cos 20 x f x x 2, t x x 2 cos 20 x y h x x 2 graficando en la misma pantalla. si x si x si x 0 0 0 a) Trace la gráfica de esta función b) Encuentre cada uno de los siguientes límites o explique por qué no existen. i) lím sgn x ii) lím sgn x x l0 x l0 iii) lím sgn x iv) lím sgn x xl0 xl0 48. Sea x2 x f x  34. a) Utilice la gráfica de s3 42. lím 47. La función signo, denotada por sgn, está definida por graficando la función f x x (s1 3x 1). b) Haga una tabla de valores de f (x) para x cercana a 0 e intuya el valor del límite. c) Utilice las leyes de los límites para probar que su conjetura es correcta. f x 0. 5  33. a) Estime el valor de lím 2x 2x 3 1 h sx 2 43. lím x l0.5 3 x xl3 t 1 x 41. lím (2x 1 3 x 41-46 Encuentre cada uno de los siguientes límites si éstos existen. Si el límite no existe, explique por qué. 1 t2 0. x l0 1 2 x4 hl0 1 t 38. Si 2x v J(x) v x4  x2  2 para toda x, evalúe lím t x . 1 1 xl 1 t xl4 8 4 s4u 22. lím ul 2 u 3 1 x x 1 t s1 h3 h 2 h l0 h h tl0 27. lím 25 2 8 1 4 23. lím xl 4 4 25. lím 2 1 22 si x si x a) Encuentre lím x l1 f x y lím x l1 f x . b) ¿Existe lím x l1 f x ? c) Trace la gráfica de f. 49. Sea t x x2 x x 6 2 . a) Encuentre i) lím t x x l2 ii) lím t x b) ¿Existe lím x l 2 t x ? c) Trace la gráfica de J. x l2 1 1 108 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 50. Sea x 3 2 x tx si si si si x2 3 x x 1 x 57. Si lím xl1 1 1 x 2 f x x 8 xl1 f x 58. Si lím xl0 x2 2 10, encuentre lím f x . 1 5, encuentre cada uno de los siguientes límites. a) lím f x a) Evalúe cada una de los siguientes límites si es que existen. i) lím t x ii) lím t x iii) t 1 iv) lím t x v) lím t x vi) lím t x x l1 xl1 x l2 xl2 iii) lím xl 2 x l 2.4 x tx puede existir, aunque no existan lím x l a f x ni lím x l a t x . puede existir, aunque no existan lím x l a f x ni lím x l a t x . 62. Evalúe lím xl2 52. Sea f x cos x , x . a) Trace la gráfica de f. b) Evalúe cada uno de los siguientes límites si existen. i) lím f x ii) lím f x xl0 xl lím 2 xl ax a 3 x 2 (x  1)2  y2 m 1 y una circunferencia C2 que se contrae con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el punto superior de intersección de las dos circunferencias, y R es el punto de intersección de la recta PQ y el eje de las x. ¿Qué pasa con R cuando C2 se contrae, esto es, cuando r l 0+? v2 c2 y expresa la longitud L de un objeto como función de su velocidad v respecto a un observador, donde L0 es la longitud del objeto en reposo y c es la rapidez de la luz. Encuentre lím v lc L e interprete el resultado. ¿Por qué es necesario el límite lateral por la izquierda? P Q C™ 0 55. Si p es una función polinomial, demuestre que lím xl a p x x2 64. La figura muestra una circunferencia C1 con ecuación Lorentz L 0 s1 3x 2 exista? Si es así, encuentre el valor de a y el valor del límite. 2 54. En la teoría de la relatividad, la fórmula de Contracción de L 2 1 xl 2 2 x , muestre que lím x l 2 f x existe, pero no x es igual a f (2). x x lím c) ¿Para qué valores de a lím x l a f x existe? 53. Si f x s6 s3 63. ¿Existe un número a tal que iv) lím f x f x 0 60. Demuestre por medio de un ejemplo que lím x l a f x xln c) ¿Para qué valores de a lím x l a x existe? xl si x es racional si x es irracional 61. Demuestre por medio de un ejemplo que lím x l a f x t x b) Si n es un entero, evalúe i) lím x ii) lím x iii) x2 0 demuestre que lím x l 0 f x el ejemplo 10, evalúe: i) lím x ii) lím x f x x 59. Si xl2 51. a) Si el símbolo V B denota la función entero mayor definida en x ln xl0 f x b) Trace la gráfica de J. xl 2 b) lím xl0 R C¡ pa. x 56. Si r es una función racional, utilice el ejercicio 55 para demostrar que lím x l a r x 2.4 r a para todo número a en el dominio de r. La definición precisa de límite La definición intuitiva de límite dada en la sección 2.2 es inadecuada para algunos propósitos porque frases como “x es muy cercano a 2” y “f (x) se acerca más y más a L” son muy vagas. A fin de demostrar convincentemente que lím x 3 xl0 cos 5x 10 000 debemos precisar la definición de límite. 0.0001 o lím xl0 senx x 1 SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 109 Para motivar la definición precisa de límite, consideremos la siguiente función 2x 6 f x 1 si x si x 3 3 Intuitivamente, es claro que cuando x está cerca de 3, pero x o 3, entonces f (x) está cerca 5 de 5, así que lím x l3 f x Para obtener una información más detallada de cómo varía f (x) cuando x está cerca de 3, nos preguntamos: ¿Qué tan cerca tiene que estar x de 3 para que f (x) difiera de 5 en menos de 0.1? En esta situación es tradicional utilizar la letra griega  (delta). La distancia de x a 3 es U x  3 U, y la distancia de f (x) a 5 es U f (x)  5 U, así que nuestro problema es encontrar un número  tal que f x 5 0.1 si x d con x 3 3 Si U x  3 U  0, entonces x o 3, así que una formulación equivalente de nuestro problema es encontrar un número  tal que f x Note que si 0 f x x 3 5 esto es, 5 0.1 f x 1 5 x 0 d 3 0.05, entonces 0.1 2 2x si 5 0.1 2x si 6 2 x 0 x 3 2 0.05 3 0.1 0.05 Así, una respuesta al problema está dada por  m 0.05; esto es, si x está dentro de una distancia de 0.05 de 3, entonces f (x) deberá estar dentro de una distancia de 0.1 de 5. Si cambiamos el número 0.1 en nuestro problema por el número menor 0.01, entonces, utilizando el mismo método, encontramos que f (x) diferirá de 5 por menos de 0.01 siempre que x difiera de 3 por menos de (0.01)Y2 m 0.005: f x 5 0.01 si 0 x 3 0.005 0.001 si 0 x 3 0.0005 Del mismo modo, f x 5 Los números 0.1, 0.01 y 0.001 que hemos considerado son las tolerancias de error que nos podemos permitir. Para que 5 sea el límite exacto de f (x) cuando x tiende a 3, debemos no sólo poder hacer la diferencia entre f (x) y 5 por debajo de cada uno de estos tres números; también debemos ser capaces de estar por debajo de cualquier número positivo. Así, por el mismo razonamiento, ¡claro que es posible! Si escribimos  (la letra griega épsilon) para un número positivo arbitrario, entonces encontramos al igual que antes 1 f x 5 e si 0 x 3 d e 2 Esta es una forma precisa de decir que f (x) está cerca de 5 cuando x se acerca a 3 porque 1 establece que podemos hacer que los valores de f (x) queden dentro de una distancia arbitraria  a partir de 5, tomando los valores de x dentro de una distancia Y2 de 3 (con x o 3). 110 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS  Note que 1 puede reescribirse como sigue: 
está aquí d si 3   x d 3 x entonces 3 5 e f x 5 e y se ilustra en la figura 1. Tomando los valores de x ( o 3) en el intervalo (3  , 3  ), podemos lograr que los valores de f (x) estén en el intervalo (5  , 5  ). Utilizando 1 como un modelo, damos una definición precisa de límite.     
 Cuando  está aquí  2 Definición Sea f la función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces, decimos que el límite de f (x) cuando x tiene a a es L, y lo expresamos como lím f x FIGURA 1 xla L si para cada número   0 existe un número   0 tal que si 0 x a d entonces f x L e Puesto que U x  a U es la distancia de x a a y U f (x)  L U es la distancia de f (x) a L, y como  puede ser arbitrariamente pequeña, la definición de límite puede expresarse en palabras como sigue: lím x l a f x L significa que la distancia entre f (x) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña, tomando la distancia de x a a suficientemente pequeña (pero no 0). Alternamente, lím x l a f x L significa que los valores de f (x) pueden hacerse tan cercanos a L como queramos, tomando x lo suficientemente cerca de a (pero no igual a a). También podemos reformular la definición 2 en términos de intervalos, observando que la desigualdad U x  a U  es equivalente a  x  a , que puede escribirse como a   x a  . Además, 0 U x  a U es verdadera si y sólo si x  a o 0; esto es, x o a. Del mismo modo, la desigualdad U f (x)  L U  es equivalente al par de desigualdades L   f (x) L  . Por tanto, en términos de intervalos, la definición 2 puede establecerse como sigue: lím x l a f x L significa que para toda   0 (sin importar que tan pequeña sea ), podemos encontrar una   0 tal que si x está dentro del intervalo abierto (a  , a  ) y x o a, entonces f (x) está dentro del intervalo abierto (L  , L  ). Geométricamente, esta afirmación se interpreta representando una función por un diagrama de flechas, como en la figura 2, donde f hace corresponder un subconjunto de 2 con otro subconjunto de 2. f FIGURA 2 x a f(a) ƒ La definición de límite señala que si cualquier intervalo pequeño (L  , L  ) está dado alrededor de L, entonces podemos encontrar un intervalo (a  , a  ) alrededor de a tal que f hace corresponder todos los puntos de (a  , a  ) (excepto posiblemente en a) con los puntos del intervalo (L  , L  ). (Véase la figura 3.) SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 111   FIGURA 3   
  
  Geométricamente, puede darse otra interpretación de límite en términos de la gráfica de una función. Si   0 está dada, entonces dibujamos las recta horizontales y m L  , y m L   y la gráfica de f (véase la figura 4). Si lím x l a f x L, entonces podemos encontrar un número   0 tal que si restringimos a x en el intervalo (a  , a  ) y tomamos x o a, entonces la curva y m f (x) está entre las rectas y m L   y y m L   (véase la figura 5). Puede usted ver que si se encuentra tal , entonces cualquier  más pequeña también funcionará. Es importante percatarse de que el proceso ilustrado en las figuras 4 y 5 debe funcionar para todo número positivo , sin importar qué tan pequeño se elija. En la figura 6 se ilustra que si se elige un  más pequeño, entonces podría requerirse una  más pequeña.     

 está aquí  
        
       
 
cuando  esta aquí   FIGURA 4 FIGURA 5 EJEMPLO 1 Utilice una gráfica para encontrar un número  tal que si  FIGURA 6 x 1 d entonces (x 3 5x 6) 2 0.2 En otras palabras, encuentre un número  que corresponda a  m 0.2 en la definición de límite para la función f (x) m x3  5x  6 con a m 1 y L m 2. ?  SOLUCIÓN La gráfica de f se muestra en la figura 7; estamos interesados en la región cerca del punto (1, 2). Note que podemos reescribir la desigualdad ? FIGURA 7 como x3 5x 6 2 1.8 x3 5x 6 0.2 2.2  Y Y¡X  Y   FIGURA 8  Así que necesitamos determinar los valores de x para los cuales la curva y m x3  5x  6 está entre las rectas horizontales y m 1.8 y y m 2.2. Por eso, graficamos las curvas y m x 3  5x  6, y m 1.8 y y m 2.2 cerca del punto (1, 2) en la figura 8. Después utilizamos el cursor para estimar que la coordenada x del punto de intersección de la recta y m 2.2 y la curva y m x3  5x  6 está cerca de 0.911. Del mismo modo, y m x3  5x  6 interseca la recta y m 1.8 cuando x y 1.124. Así, al redondear para estar seguro, podemos decir que si 0.92 x 1.12, entonces 1.8 x3 5x 6 2.2 112 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Este intervalo (0.92, 1.12) no es simétrico respecto a x m 1. La distancia de x m 1 al punto extremo izquierdo es 1  0.92 m 0.08, y la distancia al punto extremo derecho es 0.12. Es posible elegir  más pequeña que estos números, esto es,  m 0.08. Entonces, podemos reescribir nuestras desigualdades en términos de distancias como sigue: si x 1 0.08 entonces, x3 5x 6 2 0.2 Esto dice justamente que manteniendo a x dentro del 0.08 de 1, mantendremos f (x) dentro del 0.2 de 2. Aunque seleccionamos  m 0.08, cualquier valor positivo más pequeño de  habría funcionado. TEC En Module 2.4Y2.6 puede explorar la definición precisa de límite, gráfica y numéricamente. El procedimiento gráfico en el ejemplo 1 proporciona una ilustración de la definición para  m 0.2, pero no demuestra que el límite es igual a 2. Una demostración tiene que proporcionar una  para toda . Para pulir los enunciados de límite sería útil pensar en la definición de límite como un desafío. Primero lo retan con un número . Después, debe usted ser capaz de producir una  adecuada. Debe ser capaz de hacerlo para toda   0, no sólo para una  en particular. Imagine una contienda entre dos personas A y B, en la que usted es B. La persona A estipula que debe aproximarse al número fijo L por medio de valores de f (x) dentro de un grado de exactitud , (digamos 0.01). Por tanto, la persona B (usted) responde determinando un número  tal que si 0 U x  a U , entonces U f (x)  L U . Después, A podría exigir aún más y desafiarlo con un valor más pequeño de , (digamos 0.0001). Una vez más, usted tiene que responder encontrando una correspondiente . Usualmente, a medida que el valor de  es más pequeño, es menor el correspondiente valor de . Si usted siempre gana, sin importar qué tan pequeño haga A a , entonces lím x l a f x L. v EJEMPLO 2 Pruebe que lím 4x 5 x l3 7. SOLUCIÓN 1. Análisis preliminar del problema (intuir un valor para ). Sea  un número positivo dado. Queremos encontrar un número  tal que 0 si Pero 4x 5 una  tal que esto es, x d, entonces 3 4x 3 4x 5 7 4x 12 4 x si 0 x 3 d, entonces 4 x si 0 x 3 d, entonces x e 7 3 . Por tanto, queremos e 3 e 4 3 Esto sugiere que debe elegir  m Y4. Y YX w 2. Demostración (demostrar que esta  funciona). Dado   0, elegir  m Y4. Si 0  w Ux3U 4x , entonces 5 7 4x 12 4 x 4d 3 e 4 4 e Así si  v FIGURA 9 X  v 0 x d, entonces 3 4x Por tanto, por la definición de límite, lím 4x x l3 Este ejemplo se ilustra en la figura 9. 5 7 5 7 e SECCIÓN 2.4 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 113 Note que en la solución del ejemplo 2 hay dos etapas: intuir y verificar. Efectuamos un análisis preliminar que posibilitó suponer un valor de . Pero luego, en la segunda etapa, tuvimos que regresar y verificar en forma cuidadosa y lógica que dimos una opinión correcta. Este procedimiento es característico de gran parte de las matemáticas. Algunas veces necesita hacerse primero una conjetura inteligente respecto a la respuesta de un problema y luego demostrar que la suposición es correcta. Las definiciones intuitivas de límites laterales que se presentan en la sección 2.2 pueden reformularse como se señala a continuación. 3 Definición de límite por la izquierda lím f x Cauchy y los límites Después de la invención del Cálculo en el siglo XVII, siguió un periodo de fecundo desarrollo de la materia en el siglo XVIII. Matemáticos como las familias Bernoulli y Euler estaban ansiosos por aprovechar el potencial del Cálculo, por lo que exploraron audazmente las consecuencias de esta nueva y maravillosa teoría matemática, sin preocuparse demasiado por si sus demostraciones eran completamente correctas. El siglo XIX, por el contrario, fue la Edad del Rigor en matemáticas. Hubo un movimiento para volver a los fundamentos del tema, para proporcionar cuidadosas definiciones y rigurosas demostraciones. A la vanguardia de este movimiento estaba el matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857), que comenzó como ingeniero militar antes de convertirse en profesor de matemáticas en París. Cauchy tomo la idea de Newton de límite, que mantuvo viva el matemático francés Jean d’Alembert, en el siglo XVIII, haciéndola más precisa. Su definición de un límite reza así: “Cuando los valores sucesivos atribuidos a una variable se aproximan indefinidamente a un valor fijo para terminar diferendo por tan poco como uno quiera, esto se llama el límite de los otros”. Pero cuando Cauchy aplicaba esta definición en ejemplos y demostraciones, utilizaba a menudo desigualdades delta-epsilon similares a las de esta sección. Una demostración típica de Cauchy comienza con: “designar por  y  dos números muy pequeños; . . .” Utilizaba  debido a la correspondencia entre épsilon y la palabra francesa erreur. Posteriormente, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897) estableció la definición de límite exactamente como en nuestra definición 2. L x la si para todo   0 existe un número   0 tal que si 4 d a x a, entonces f x L e L e Definición de límite por la derecha lím f x L x la si para todo número   0 existe un número   0 tal que si a x d, a entonces f x Observe que la definición 3 es la misma que la definición 2, excepto que x está restringida a quedar en la mitad izquierda (a  , a) del intervalo (a  , a  ). En la definición 4, x está restringida a estar en la mitad derecha (a, a  ) del intervalo (a  , a  ). v EJEMPLO 3 Utilice la definición 4 para demostrar que lím sx xl0 0. SOLUCIÓN 1. Intuya un valor para . Sea  un número positivo dado. Aquí a m 0 y L m 0, así que queremos encontrar un número  tal que es decir, sx si 0 x d , entonces si 0 x d, entonces sx e o, elevando al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx si 0 d, entonces x e 0 x e, obtenemos e2 Esto sugiere que debemos elegir  m 2. 2. Demuestre que este  funciona. Dado   0, sea  m 2 . Si 0 sx Así que, sd sx se 2 0 x e e De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que lím x l 0 sx 0. , entonces 114 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Demuestre que lím x 2 EJEMPLO 4 9. xl3 SOLUCIÓN 1. Intuya un valor para . Sea   0 un valor dado. Tenemos que encontrar un número   0 tal que 0 si x x2 d , entonces 3 e 9 Para relacionar U x 2  9 U con U x  3 U escribimos U x 2  9 U m U (x  3) (x  3) U. Entonces queremos que si 0 x d, entonces 3 x 3 x 3 e Note que si podemos encontrar un número constante positivo C tal que U x  3 U entonces x 3 x 3 C x C, 3 y podemos hacer CU x  3 U  tomando U x  3 U YC m . Podemos encontrar tal número C si restringimos x a algún intervalo centrado en 3. De hecho, estamos interesados sólo en valores de x cercanos a 3, así que es razonable suponer que x está dentro de una distancia de 1 de 3, esto es, U x  3 U 1. Entonces 2 x 4, así que 5 x  3 7. Así, tenemos que U x  3 U 7, y, por tanto, C m 7 es una elección adecuada para la constante. Pero ahora hay dos restricciones sobre U x  3 U, haciendo x 3 1 y x e C 3 e 7 Para asegurarnos de que ambas desigualdades se satisfacen, tomamos  como el menor de los dos números 1 y Y7. La notación para esto es  m mín{1, Y7}. 2. Demuestre que esta  funciona. Dado   0, sea  m mín{1, Y7}. Si 1 ? 2 x 4 ? x 3 7 (como 0 U x  3 U , entonces x 3 en el inciso 1). También tenemos U x  3 U Y7, así que x2 9 Esto demuestra que lím x l3 x 2 x 3 x 3 e 7 7 e 9. Como se ilustra en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que los enunciados de límite son verdaderos utilizando la definición -. De hecho, si tenemos una función más complicada como f (x) m (6x2  8x  9)Y(2x2  1), una demostración requeriría una gran cantidad de ingenio. Afortunadamente, esto es innecesario porque las leyes de los límites establecidas en la sección 2.3 pueden demostrarse utilizando la definición 2, y luego los límites de funciones complicadas pueden determinarse en forma rigurosa a partir de estas leyes, sin recurrir directamente a la definición. Por ejemplo, para demostrar la ley de la suma: si lím x l a f x L y lím x l a t x M ambas existen, entonces lím f x xla tx L M Las leyes restantes se demuestran en los ejercicios y en el apéndice F. DEMOSTRACIÓN DE LA LEY DE LA SUMA si 0 x a d, Sea   0. Debemos encontrar   0 tal que entonces f x tx L M e SECCIÓN 2.4 Desigualdad del triángulo: a b (Véase el apéndice A.) 115 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE Utilizando la desigualdad del triángulo podemos escribir a b 5 tx f x L M f x tx L f x M tx L M Llevamos a cabo U f (x)  J(x)  (L  M) U menor que  haciendo cada uno de los términos U f (x)  L U y U J(x)  M U menores que Y2. L, existe un número 1  0 tal que Dado que Y2  0 y lím x l a f x si 0 x d1, entonces a Del mismo modo, puesto que lím x l a t x si 0 x f x M , existe un número 2  0 tal que tx d 2 , entonces a e 2 L e 2 M Sea  m mínH1, 2J, los más pequeños de los números 1 y 2. Note que si 0 f x Así que a d, entonces 0 L e 2 y tx L x x d1 a M e 2 f x L tx y 0 x a d2 Por tanto, por 5 , f x M e 2 tx e 2 M e Para resumir, si 0 x a d, entonces f x tx L tx L M e Así, por la definición de límite, lím f x xla M Límites infinitos Los límites infinitos también pueden definirse de manera precisa. La siguiente es una versión exacta de la definición 4 de la sección 2.2. 6 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces lím f x xla
significa que para todo número positivo M existe un número positivo  tal que si 0 x a d, entonces f x M 116 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Esto dice que los valores de f (x) pueden hacerse arbitrariamente grandes (más grandes que cualquier número M dado), tomando x suficientemente cercano a a (dentro de una distancia , donde  depende de M, pero con x o a). Una ilustración geométrica se muestra en la figura 10. Dada cualquier recta horizontal y m M, podemos encontrar un número   0 tal que si restringimos x al intervalo (a  , a  ), pero x o a, entonces la curva y m f (x) está por debajo de la recta y m M. Usted puede ver que si se elige un valor muy grande de M, entonces se puede requerir un  muy pequeño. Y Y. .  X A Av 1
x2 SOLUCIÓN Sea M un número positivo dado. Queremos encontrar un número  tal que Av v FIGURA 10 EJEMPLO 5 Utilice la definición 6, para demostrar que lím xl0 1 x2 Pero si 0 M &? x , entonces 1 M x2 Así que si elegimos d 1 sM y 0 x muestra que 1 x 2 l
conforme x l 0. Y Av 1 x2 &? d M 1 sM x 1 sM , entonces 1 x 2 M . Esto Del mismo modo, la siguiente es una versión precisa de la definición 5 de la sección 2.2. Esto se ilustra en la figura 11. Av A  X 7 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo abierto que contiene el número a, excepto posiblemente en a misma. Entonces Y/ /
lím f x xla FIGURA 11 significa que para todo número negativo N existe un número positivo  tal que si x d, entonces a f x N Ejercicios 2.4 1. Utilice la gráfica de f para encontrar un número  tal que si x 1 d, entonces f x 1 si 0 x 3 d, entonces f x 2 0.5 2.5 1.2 1 0.8 0 0.2 2. Utilice la gráfica de f para encontrar un número  tal que y y  0 2 1.5 0.7 1 1.1 Se requiere calculadora graficadora o computadora x 0 SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 2.6 3 3.8 x 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 2.4 sx para encontrar un número 3. Utilice la gráfica dada de f x  tal que si x sx d , entonces 4 y 2 0.4 y=œ„ x 2.4 2 1.6 0 4 ? 4. Utilice la gráfica dada de f (x) m x 2 para encontrar un número  tal que x si x2 d, entonces 1 1 2 1 11. Se requiere un tornero para fabricar un disco metálico circular con 1000 cm2 de área. a) ¿Qué radio produce tal disco? b) Si al tornero se le permite una tolerancia de error de 5 cm2 en el área del disco, ¿qué tan cercano al radio ideal del inciso a) debe el tornero mantener el radio? L, c) En términos de la definición - de límx l a f x ¿Qué es x? ¿Qué es f (x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de  se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de ?  12. Un horno de confección de cristales, se utiliza en la x ? investigación para determinar la mejor manera de fabricar cristales que se usarán en las partes electrónicas de los transbordadores espaciales. Para que el crecimiento de los cristales sea el idóneo, la temperatura se tiene que controlar exactamente ajustando la potencia de entrada. Suponga que la relación se representa con 0.1w 2 T w y 1 0.5 0 ? 1 x ? 2.155w 20 donde T es la temperatura en grados Celsius y w es la potencia de entrada en watts. a) ¿Cuánta potencia se requiere para mantener la temperatura a 200C? b) Si se permite una variación de temperatura de 200C 1C, ¿qué intervalo se potencia en watts se permite para la potencia de entrada? L, c) De acuerdo con la definición - de límx l a f x ¿qué es x? ¿Qué es f (x)? ¿Qué es a? ¿Qué es L? ¿Qué valor de  se da? ¿Cuál es el valor correspondiente de ? y=≈ 1.5  5. Utilice una gráfica para encontrar un número  tal que 13. a) Encuentre un número  tal que si U x  2 U si x d, entonces 4 tan x 1 0.2 x d 1 2x entonces x2 0.4 4 7 3, ilustre la definición 2 encontrando valores de  que corresponden a  m 0.1,  m 0.05 y  m 0.01. 0.1  7. Para el límite lím x 3 3x xl2 4 15-18 Demuestre cada una de las siguientes proposiciones utilizando la definición - de límite e ilústrelo con un diagrama como el de la figura 9. 15. lím (1 6  8. Para el límite 17. lím 1 xl0 2 4x xl 3 e 2x 1 16. lím 2x 5 18. lím 3x 5 xl4 13 xl 2 3 1 x utilizando la definición - de límite. 2 19. lím 2 ilustre la definición 2 para encontrar valores de  que correspondan a  m 0.5 y  m 0.1. 21. lím x2 x l2 2
, ilustre la definición 6 para 2 tan x encontrar valores de  que correspondan a a) M m 1000 y b) M m 10 000.  9. Dado que lím x l  10. Utilice una gráfica para encontrar un número  tal que 5 d, entonces x2 sx 23. lím x xla 25. lím x 2 xl0 100 x x 6 22. lím x l 1.5 9 3 24. lím c a xla 4x xl0 28. 5 1 8 lim s 6 xl 6 30. lím x 2 xl2 x) 5 4x 2 2x 6 c 26. lim x 3 0 29. lím x 2 4 5 x l 10 5 2 0 xl2 20. lím (3 2 27. lím x xl0 5 4x 3 x l1 x x) 19-32 Demuestre cada una de las siguientes proposiciones lím 5 1 3 xl3 ilustre la definición 2 para encontrar valores de  que correspondan a  m 0 y  m 0.1. si , entonces U 4x  8 U , donde  m 0.1. b) Repita el inciso a) con  m 0.01. 14. Dado que límx l 2 5x  6. Utilice una gráfica para encontrar un número  tal que si 117 LA DEFINICIÓN PRECISA DE LÍMITE 0 x 2x 0 7 1 118 CAPÍTULO 2 31. lím x 2 xl 2 1 LÍMITES Y DERIVADAS 32. lím x 3 3 1 sigue. Suponga que el límite es L. Tome e 2 en la definición de límite y trate de llegar a una contradicción.] 8 xl2 39. Si la función f está definida por 33. Verifique que otra posible elección de  para mostrar que lím x l3 x 2 9 en el ejemplo 4 es  m mín{2, Y8}. 34. Verifique con argumentos geométricos que la mayor posible elección de  para demostrar que lím x l3 x 2 3. d s9 e SAC 35. a) Para el límite lím x l 1 x Demuestre que lím x l 0 f x no existe. 3 xla | Sugerencia: utilice sx de la sección 2.3. 41. ¿Qué tan cerca a 3 tiene que tomar x de manera que 1 x 3 10 000? 4 42. Demuestre, utilizando la definición 6, que lím 43. Demuestre que lím ln x xl0 sa si a sa | 1 x 3 4
.
.
y lím x l a t x c, donde c es un número real. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones. 44. Suponga que lím x l a f x 0. x sx a . sa a) lím f x xla tx b) lím f x t x 38. Si H es la función de Heaviside definida en el ejemplo 6 en la xla sección 2.2, demuestre, utilizando la definición 2, que lím t l 0 H t no existe. [Sugerencia: utilice una demostración indirecta como 2.5 40. Comparando las definiciones 2, 3 y 4, demuestre el teorema 1 xl 3 1 2 37. Demuestre que lím sx si x es racional si x es irracional 9 es x 1 3, utilice una gráfica para encontrar un valor de  que corresponda a  m 0.4. b) Utilizando un sistema algebraico computarizado para resolver la ecuación cúbica x3  x  1 m 3  , encuentre el mayor valor posible de  que funciona para cualquier   0 dado. c) Ponga  m 0.4 en su repuesta del inciso b) y compárelo con su respuesta del inciso a). 1 36. Demuestre que lím x l2 x 0 1 f x

si c c) lím f x t x
si c xl a 0 0 Continuidad En la sección 2.3, hemos visto que el límite de una función cuando x tiende a a, con frecuencia se obtiene simplemente calculando el valor de la función en a. Las funciones con esta propiedad son llamadas continuas en x m a. Veremos que la definición matemática de continuidad coincide notoriamente con el sentido de continuidad que la palabra tiene en el lenguaje cotidiano. (Un proceso continuo es uno que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción o cambio brusco.) Como se ilustra en la figura 1, si f es continua, entonces los puntos (x, f (x)) en la gráfica de f tienden al punto (a, f (a)) sobre la gráfica. Así que no existe ninguna brecha en la curva. y ƒ tiende a f(a). 1 Definición Una función f es continua en un número x m a si lím f x x la f a y=ƒ Note que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas. Si f es continua en a, entonces: f(a) 1. f (a) está definida (esto es, a está en el dominio de f ) 2. lím f x existe x la 0 a x Cuando x tiende a a, FIGURA 1 3. lím f x x la f a La definición indica que f es continua en a si f (x) tiende a f (a) cuando x tiende a a. Así, una función continua f tiene la propiedad de que un pequeño cambio en x produce sólo un SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD 119 pequeño cambio en f (x). De hecho, el cambio en f (x) puede mantenerse tan pequeño como se quiera manteniendo el cambio en x suficientemente pequeño. Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida sobre un intervalo abierto que contiene a a, excepto quizás en a), decimos que f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad en a) si f no es continua en a. Los fenómenos físicos son generalmente continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían continuamente con el tiempo, como lo hace la estatura de una persona. Pero hay otras situaciones, como la corriente eléctrica, donde ocurren discontinuidades. [Véase el ejemplo 6 en el punto 2.2, donde la función de Heaviside es discontinua en 0 porque lím t l 0 H t no existe.] Geométricamente, una función continua en cada número de un intervalo puede pensarse como una función cuya gráfica no tiene interrupciones. La gráfica puede dibujarse sin levantar la pluma del papel. y EJEMPLO 1 La figura 2 muestra la gráfica de una función f. ¿Para qué valores de x m a, f es discontinua? ¿Por qué? SOLUCIÓN Pareciera que hay una discontinuidad cuando a m 1 porque la gráfica tiene 0 1 FIGURA 2 2 3 4 5 x una ruptura allí. La razón formal de que f es discontinua en 1 es que f (1) no está definida. La gráfica también tiene una ruptura cuando a m 3, pero la razón para la discontinuidad es diferente. Aquí, f (3) está definida, pero lím x l3 f x no existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes), así que f es discontinua en x m 3. ¿Qué hay en relación con a m 5? Aquí, f (5) está definida y el lím x l5 f x existe (porque los límites por la izquierda y por la derecha son iguales). Pero lím f x f 5 xl5 Así que f es discontinua en 5. Ahora veremos cómo detectar discontinuidades cuando una función está definida por una fórmula. v EJEMPLO 2 ¿Dónde es discontinua cada una de las siguientes funciones? x2 a) f x x c) f x x 2 x 2 2 x x 1 x2 1 b) f x 2 2 1 si x 2 si x 2 d) f x si x 0 si x 0 x SOLUCIÓN a) Note que f (2) no está definida, así que f es discontinua en x m 2. Más tarde veremos por qué f es continua en todos los otros números. b) Aquí f (0) m 1 está definida, pero lím f x lím xl0 xl0 1 x2 no existe. (Véase el ejemplo 8 de la sección 2.2.) Así que f es discontinua en x m 0. c) Aquí f (2) m 1 está definida y lím f x x l2 lím x l2 x2 x x 2 2 lím x l2 x 2 x x 2 1 lím x x l2 1 3 120 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS existe. Pero lím f x f 2 x l2 así que f no es continua en x m 2. d) La función entero mayor f (x) m VxB tiene discontinuidades en todos los enteros porque lím x ln x no existe si n es un entero. (Véanse el ejemplo 10 y el ejercicio 51 en la sección 2.3). La figura 3 muestra las gráficas de las funciones del ejemplo 2. En cada caso la gráfica no puede ser dibujada sin levantar el lápiz del papel porque hay un agujero o ruptura o salto en la gráfica. El tipo de discontinuidad ilustrada en los incisos a) y c) se llama removible porque podemos remover la discontinuidad redefiniendo f sólo en x m 2. [La función J(x) m x  1 es continua.] La discontinuidad en el inciso b) se llama discontinuidad infinita. Las discontinuidades en el inciso d) se llaman discontinuidades de salto porque la función “salta” de un valor a otro. y y y y 1 1 1 1 0 a) ƒ= 1 2 ≈-x-2 x-2 0 x 0 x 1 si x≠0 b) ƒ= ≈ 1 si x=0 c) ƒ= 1 0 x 2 ≈-x-2 si x≠2 x-2 1 si x=2 1 2 3 x d) ƒ=[ x ] FIGURA 3 Gráficas de las funciones del ejemplo 2 2 Definición Una función f es continua por la derecha de un número x m a si lím f x x la f a y f es continua por la izquierda de x m a si lím f x x la f a EJEMPLO 3 En cada entero n, la función f (x) m VxB [Véase la figura 3d)] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda porque lím f x x ln pero lím f x x ln lím x n x ln lím x x ln n f n 1 f n 3 Definición Una función f es continua sobre un intervalo si es continua en cada número en el intervalo. (Si f está definida sólo en un lado de un punto extremo del intervalo, entendemos por continua en el punto extremo, como continua por la derecha o continua por la izquierda.) SECCIÓN 2.5 Demuestre que la función f x intervalo F1, 1G. SOLUCIÓN Si 1 a s1 1 EJEMPLO 4 CONTINUIDAD 121 x 2 es continua sobre el 1, entonces utilizando las leyes de los límites, tenemos lím (1 lím f x xla x2 ) s1 xla lím s1 x2 1 s xlím la 1 x2 1 s1 a2 1 xla (por las leyes 2 y 7) (por la ley 11) (por las leyes 2, 7 y 9) f a y 1 Así, por la definición 1, f es continua en x m a si 1 muestran que ƒ=1-œ„„„„„ 1-≈ lím f x 1 xl 1 -1 0 1 x f y 1 a lím f x x l1 1. Cálculos similares 1 f 1 de manera que f es continua por la derecha en x m 1 y continua por la izquierda en x m 1. Por eso, de acuerdo con la definición 3, f es continua en F1, 1G. La gráfica de f está trazada en la figura 4 y es la mitad inferior de la circunferencia FIGURA 4 x2 y 1 2 1 En lugar de aplicar siempre las definiciones 1, 2 y 3 para verificar la continuidad de una función como lo hicimos en el ejemplo 4, a menudo es conveniente utilizar el siguiente teorema, que muestra cómo construir funciones continuas complicadas a partir de otras simples. 4 Teorema Si f y J son continuas en x m a y x m c es una constante, entonces las siguientes funciones son también continuas en x m a: 1. f t 2. f t 3. cf 4. ft 5. f t si t a 0 DEMOSTRACIÓN Cada uno de los cinco incisos de este teorema se sigue de las correspondientes leyes de los límites de la sección 2.3 Por ejemplo, damos la demostración del inciso 1. Ya que f y J son continuas en x m a, tenemos lím f x xla f a y lím t x xla ta Por tanto, lím f xla t x lím f x xla lím t x lím f x xla f a f tx xla ta t a Esto demuestra que f  J es continua en x m a. (por la ley 1) 122 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y J son continuas sobre un intervalo, entonces también lo son las funciones f  J , f  J , cf, f J y fYJ (si J no es cero). El siguiente teorema se estableció en la sección 2.3 como la propiedad de sustitución directa. 5 Teorema a) Cualquier función polinomial es continua en todo su dominio; es decir, es continua sobre
,
. b) Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, es continua en su dominio. DEMOSTRACIÓN a) Una función polinomial es de la forma Px cn x n cn 1 x n 1 c1 x c0 donde c0, c1, . . . , cn son constantes. Sabemos que lím c0 c0 xla y lím x m xla am m (por la ley 7) 1, 2, . . . , n (por la ley 9) x m es una función Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función f x m continua. Así, por el inciso 3 del teorema 4, la función t x cx es continua. Como P es una suma de funciones de esta forma y una función constante, se sigue del inciso 1 del teorema 4 que P es continua. b) Una función racional es una de la forma Px Qx f x donde P y Q son funciones polinomiales. El dominio de f es D x Qx 0. Sabemos del inciso a) que P y Q son continuas en todo su dominio. Así, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todo número en D. Como una ilustración del teorema 5, observe que el volumen de una esfera varía conti4 3 nuamente con su radio porque la fórmula V r 3 r muestra que V es una función polinomial de r. Del mismo modo, si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de 50 piesYs, entonces la altura de la pelota en pies, t segundos después, está dada por la fórmula h 50t 16t 2. Otra vez, ésta es una función polinomial, así que la altura es una función continua del tiempo transcurrido. Saber qué funciones son continuas nos permite evaluar muy rápidamente algunos límites como se ve en el siguiente ejemplo. Compárelo con el ejemplo 2b) de la sección 2.3. EJEMPLO 5 Encuentre el lím xl 2 x3 2x 2 1 . 5 3x SOLUCIÓN La función f x x3 2x 2 1 5 3x es racional, así que por el teorema 5 es continua en su dominio, que es {x x 5 3 }. SECCIÓN 2.5 y 123 Por tanto, P(cos ¨, sen ¨) lím x3 2x 2 1 5 3x xl 2 1 0 CONTINUIDAD 2 ¨ 5 x (1, 0) 3 2 22 3 2 6 2 1 11 lím cos u 1 ul0 tan x y 1 _ π 2 0 π 2 π 3π 2 FIGURA 6 y=tan x En la sección 1.6 se hace un repaso de las funciones trigonométricas inversas. lím sen u ul0 0 Dado que cos 0 m 1 y sen 0 m 0, las ecuaciones en 6 afirman que las funciones coseno y seno son continuas en 0. Las fórmulas de adición para senos y cosenos pueden ser utilizadas entonces para deducir que estas funciones son continuas para toda x (ejercicios 60 y 61). Del inciso 5 del teorema 4, se deduce que Otra manera de establecer los límites en 6 es utilizar el teorema de la compresión con la desigualdad sen . . (para .  0), que se demostró en la sección 3.3 3π _π 1 f Resulta que la mayor parte de las funciones conocidas son continuas en todo número de su dominio. Por ejemplo, la ley 10 de los límites (página 100) es exactamente la proposición de que las funciones raíz son continuas. Del aspecto de las gráficas de las funciones seno y el coseno (figura 18 de la sección 1.2), podríamos suponer con toda certeza que son continuas. De acuerdo con la definición de sen . y cos ., las coordenadas del punto P de la figura 5 son (cos ., sen .). Cuando . l 0, vemos que P tiende al punto (1, 0), así que . l 1 y sen . l 0. Así, FIGURA 5 _ 2 lím f x xl 2 x sen x cos x es continua, excepto donde cos x m 0. Esto sucede cuando x es un número entero impar múltiplo de PY2, así que y m tan x tiene infinitas discontinuidades cuando x 2, 3 2, 5 2, y así sucesivamente (figura 6). La función inversa de cualquier función continua uno a uno también es continua. (Este hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razonable: la gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y m x. También, si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f 1.) De este modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas. En la sección 1.5 definimos la función exponencial y m ax de modo que se llenaran los huecos en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple definición de y m ax la hace una función continua en 2. Por tanto, su función inversa y m loga x es continua sobre (0, @). 7 Teorema Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo número de sus dominios: funciones polinomiales funciones trigonométricas funciones exponenciales EJEMPLO 6 funciones racionales funciones raíz funciones trigonométricas inversas funciones logarítmicas ¿En dónde es continua la función f x ln x tan 1 x ? x2 1 SOLUCIÓN Por el teorema 7 sabemos que la función y m ln x es continua para x  0 y y m tan1x es continua sobre 2. Así, por el inciso 1 del teorema 4, y m 1n x  tan1x es continua sobre (0, @). El denominador, y m x2  1, es una función polinomial, de modo que 124 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS es continua para toda x. Por tanto, por el inciso 5 del teorema 4, f es continua en todos los números positivos x, excepto donde x2  1 m 0. Por ende, f es continua sobre los intervalos (0, 1) y (1, @). EJEMPLO 7 Evalúe lím xl 2 sen x . cos x SOLUCIÓN El teorema 7 nos dice que y m sen x es continua. La función en el denomina- dor, y m 2  cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua. Note que esta función jamás es cero porque cos x w 1 para toda x y también 2  cos x  0 para toda x. Así, el cociente f x 2 sen x cos x es continuo para toda x. Por tanto, mediante la definición de función continua, lím xl 2 sen x cos x lím f x f xl 2 sen cos 0 2 1 0 Otra manera de combinar las funciones continuas f y J para obtener una nueva función continua es formar la función compuesta f J. Este hecho es una consecuencia del siguiente teorema. Este teorema expresa que puede moverse un símbolo de límite a través de un símbolo de función si la función es continua y el límite existe. En otras palabras, puede invertirse el orden de estos dos símbolos. 8 Teorema b, entonces lím f ( t x ) Si f es continua en b, y lím t x x la x la f b. En otras palabras, lím f ( t x ) f lím t x ( xla xla ) Intuitivamente, el teorema 8 es razonable porque si x está cerca de a, entonces J(x) está cerca de b, y como f es continua en b, si J(x) está cerca de b, entonces f (J(x)) está cerca de f (b). En el apéndice F se proporciona una demostración del teorema 8. EJEMPLO 8 Evalúe lím arcsen x l1 1 sx . 1 x SOLUCIÓN Ya que arcsen es una función continua, aplicamos el teorema 8: lím arcsen x l1 1 sx 1 x arcsen lím x l1 arcsen lím x l1 arcsen lím x l1 arcsen 1 2 1 sx 1 x 1 sx sx ) (1 sx ) (1 1 1 sx 6 Aplicamos el teorema 8 en el caso especial donde f x positivo. Entonces f (t x ) n tx s n x , donde n es un entero s SECCIÓN 2.5 f lím t x ( y xla CONTINUIDAD 125 tx s xlím la ) n Si sustituimos estas expresiones en el teorema 8 obtenemos n tx lím s xla tx s xlím la n con lo que queda demostrada la ley 11 de los límites. (Suponiendo que las raíces existen.) 9 Teorema Si J es continua en x m a y f es continua en J(a), entonces la función compuesta f J dada por f t x f ( t x ) es continua en x m a. A menudo, este teorema se expresa de manera informal diciendo: “una función continua de una función continua es una función continua”. DEMOSTRACIÓN Como J es continua en x m a, tenemos lím t x xla ta Puesto que f es continua en b m J(a), podemos aplicar el teorema 8 para obtener lím f ( t x ) xla f (t a ) f ( t x ) es continua en x m a; que es precisamente la proposición de que la función h x es decir, f J es continua en x m a. v EJEMPLO 9 a) h x sen x SOLUCIÓN a) Tenemos h x 2 _10 FIGURA 7 y=ln(1+cos x) b) F x ln 1 cos x f ( t x ) , donde tx 10 _6 ¿En dónde son continuas las siguientes funciones? 2 x2 y f x sen x Ahora J es continua sobre 2 puesto que es una función polinomial, y f también es continua para toda x. Por consiguiente, h m f J es continua sobre 2 por el teorema 9. b) Con base en el teorema 7, sabemos que f (x) m ln x es continua y J(x) m 1  cos x es continua (porque tanto y m 1 como y m cos x son continuas). Por tanto, del teorema 9, F(x) m f (J(x)) es continua siempre que esté definida. Ahora bien, ln(1  cos x) está definida cuando 1  cos x  0. De este modo, no está , 3 , . . . Así, definido cuando cos x m 1, y esto sucede cuando x F tiene discontinuidades cuando x es un múltiplo impar de ) y es continua sobre los intervalos entre estos valores (véase la figura 7). Una propiedad importante de las funciones continuas se expresa con el siguiente teorema, cuya demostración se encuentra en libros más avanzados de cálculo. 10 Teorema del valor intermedio Suponga que f es continua sobre el intervalo cerrado Fa, bG y sea N cualquier número entre f (a) y f (b), donde f (a) o f (b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que f (c) m N. 126 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS El teorema del valor intermedio establece que una función continua toma todos los valores intermedios entre los valores de la función f (a) y f (b). Este hecho se ilustra en la figura 8. Observe que el valor N puede tomarse una vez [como en la parte a)] o más de una vez [como en la parte b)]. y y f(b) f(b) y=ƒ N N y=ƒ f(a) 0 a f(a) c b FIGURA 8 0 x a c¡ c™ a) c£ b x b) Si piensa en una función continua como en una función cuya gráfica no tiene huecos o rupturas, es fácil creer que el teorema del valor intermedio es verdadero. En términos geométricos, señala que si se da cualquier recta horizontal y m N entre y m f (a) y y m f (b), como en la figura 9, entonces la gráfica de f no puede saltar la recta: debe intersecar y m N en alguna parte. y f(a) y=ƒ y=N N f(b) 0 FIGURA 9 x b a Es importante que la función f del teorema 10 sea continua. En general, el teorema del valor intermedio no se cumple para las funciones discontinuas (véase el ejercicio 48). Un uso del teorema del valor intermedio es en la búsqueda de las raíces de ecuaciones, como en el ejemplo siguiente. v EJEMPLO 10 Demuestre que existe una raíz de la ecuación 4x 3 6x 2 3x 2 0 entre 1 y 2. SOLUCIÓN Sea f x 4x 3 6x 2 3x 2. Buscamos una solución de la ecuación dada; es decir, un número c entre 1 y 2 tal que f (c) m 0. Por tanto, tomando a m 1, b m 2 y N m 0 en el teorema 10, tenemos f 1 y f 2 4 6 32 3 24 2 6 2 1 0 12 0 Así, f (1) 0 f (2); es decir, N m 0 es un número entre f (1) y f (2). Ahora bien, f es continua porque es polinomial, de modo que el teorema del valor intermedio afirma que existe un número c entre 1 y 2 tal que f (c) m 0. En otras palabras, la ecuación 4x 3 6x 2 3x 2 0 tiene por lo menos una raíz c en el intervalo (1, 2). De hecho, podemos localizar con mayor precisión una raíz aplicando de nuevo el teorema del valor intermedio. Puesto que f 1.2 0.128 0 y f 1.3 0.548 0 SECCIÓN 2.5 127 CONTINUIDAD una raíz debe estar entre 1.2 y 1.3. Una calculadora da, por ensayo y error, f 1.22 0.007008 0 y f 1.23 0.056068 0 así que la raíz está en el intervalo (1.22, 1.23) Podemos utilizar una calculadora graficadora o computadora para ilustrar el uso del teorema del valor intermedio en el ejemplo 10. La figura 10 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista F1, 3G por F3, 3G, y puede usted ver que la gráfica cruza el eje x entre 1 y 2. La figura 11 muestra el resultado de un acercamiento en un rectángulo de vista F1.2, 1.3G por F0.2, 0.2G. 3 0.2 3 _1 1.3 1.2 _3 _0.2 FIGURA 10 FIGURA 11 De hecho, el teorema del valor intermedio desempeña un importante papel en el modo en que funcionan estos dispositivos de graficación. Una computadora calcula un número finito de puntos de la gráfica y activa los píxeles que contienen estos puntos calculados. Se supone que la función es continua y toma todos los valores intermedios entre dos puntos consecutivos. La computadora une los píxeles activando aquellos intermedios. 2.5 Ejercicios 1. Escriba una ecuación que exprese el hecho de que una función 4. A partir de la grafica de J, establezca los intervalos sobre los que J es continua. f es continua en el número 4. y 2. Si f es continua sobre (@, @), ¿qué puede decir acerca de su grafica? 3. a) A partir de la grafica de f, establezca el número en el cual f es discontinua y explique por qué. b) Para cada uno de los números que se obtuvieron en el inciso a), determine si f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguno de los dos lados. _4 _2 2 4 6 8 x 5-8 Dibuje la gráfica de una función f que es continua, a excepción y de la discontinuidad señalada. 5. Discontinua, pero continua por la derecha, en x m 2. 6. Discontinuidades en x m 1 y x m 4, pero continuas por la izquierda en x m 1 y por la derecha en x m 4. _4 _2 0 2 4 6 x 7. Discontinuidad removible en x m 3, discontinuidad de salto en x m 5. 8. Ni por la izquierda ni por la derecha es continua en x m 2, continua sólo por la izquierda en x m 2.  Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 128 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 9. El peaje T que se cobra por conducir en un determinado tramo de una carretera es de $5, excepto durante las horas pico (entre las 7 y las 10 y entre las 16 y 19 horas) cuando el peaje es de $7. a) Esboce una gráfica de T como una función del tiempo t, medido en horas pasada la medianoche. b) Analice las discontinuidades de esta función y su significado para alguien que utiliza la carretera. 10. Explique por qué cada una de las siguientes funciones es conti- nua o discontinua. a) La temperatura en una localidad específica como una función del tiempo b) La temperatura en un momento determinado como una función de la distancia al oeste de la ciudad de Nueva York c) La altitud sobre el nivel del mar como una función de la distancia al oeste de la ciudad de Nueva York d) El costo de transportarse en taxi como una función de la distancia de traslado e) La corriente en un circuito de iluminación en una habitación como una función del tiempo 2x 2 22. f x f x t x 36, encuentre f (2). 3 6 si x 3 si x 3 x2 23. f x x x 2 13. f x 14. h t 3x 4 3 x2 s 5x x 2x 3 4 4, , a a 2 3t , t3 1 a 25-32 Utilizando los teoremas 4, 5, 7 y 9, explique por qué cada una de las siguientes funciones es continua en todo número de su dominio. Determine el dominio. 2x 2 x 1 x2 1 25. F x 3 x s x3 27. Q x 26. G x 2 2 arcsen 1 2t 31. M x 33. y 1 17-22 Explique por qué cada una de las siguientes funciones es dis- continua en el número dado x m a. Dibuje la gráfica de la función. 1 17. f x a 2 x 2 1 si x 2 si x 2 x 1 2 19. f x ex x2 si x si x 0 0 20. f x x2 x2 1 x 1 si x 1 si x 1 si x si x si x 0 0 0 21. f x cos x 0 1 x2 1 28. R t e sent 2 cos t 30. B x tan x s4 x 2 32. N r tan 2 a a 0 a 1 a 0 34. y e1 x 1 1 1 e r2 ln tan2 x límites. 35. lím 5 sx s5 x 37. lím e x 18. f x 1 x 35-38 Utilice la continuidad para evaluar cada uno de los siguientes
, 3 x, 2x funciones e ilústrelas con una gráfica. 1 x l4 2 s3 1 x 1 x2 2  33-34 Identifique las discontinuidades de cada una de las siguientes 15-16 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los límites para demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua sobre el intervalo dado. 2x 3 15. f x , 2,
x 2 16. t x 8 4 2 2 2t 1 x3 x2 24. f x 12-14 Utilice la definición de continuidad y las propiedades de los 12. f x 3 las siguientes funciones? En otras palabras, ¿cómo redefiniría f (2) a fin de que sean continuas en x m 2? 29. A t limites para demostrar que cada una de las siguientes funciones es continua en el número dado x m a. a 23-24 ¿Cómo podría “remover la discontinuidad” en cada una de 11. Si f y J son funciones continuas tales que J(2) m 6 y lím x l2 3 f x 5x 3 x 2 36. lím sen x xl x 38. lím arctan x l1 x l2 sen x x2 3x 2 4 6x 39-40 Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua sobre (@, @). 39. f x x2 sx 40. f x sen x si x cos x si x si x si x 1 1 4 4 41-43 Encuentre los números en los que f es discontinua. ¿En cuáles de estos números f es continua por la derecha, por la izquierda o por ninguna de las dos? Trace la gráfica de f. 41. f x 1 2 x x2 x 2 2 si x si 0 si x 0 x 2 2 SECCIÓN 2.5 42. f x 43. f x x 1 1 x sx 3 x ex 2 si x si 1 si x existe una raíz en cada una de las ecuaciones dadas en el intervalo especificado. 3 x 53. e 0 x 1 si x si 0 si x x x 3 3 0, 2x, 3 52. s x 1, 2 1 54. sen x x, 0, 1 x 2 0, 1 x, 1, 2 1 44. La fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre una masa unitaria a una distancia r del centro del planeta es 55-56 a) Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones tiene cuando menos una raíz real. b) Utilice su calculadora para hallar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una raíz. 55. cos x Fr 129 51-54 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que 1 x 3 51. x 4 2 CONTINUIDAD GMr R3 si r R GM r2 si r R x3 56. ln x 3 2x  57-58 a) Demuestre que cada una de las siguientes ecuaciones donde M es la masa de la Tierra, R su radio y G la constante gravitacional. ¿Es F una función continua de r? tiene cuando menos una raíz real. b) Utilice un dispositivo de graficación para encontrar la raíz correcta hasta tres cifras decimales. 57. 100e x 100 0.01x 2 58. arctan x 1 x 45. ¿Para qué valor de la constante c la función f es continua sobre (@, @)? cx 2 2x si x x 3 cx si x f x 59. Demuestre que f es continua en a si y sólo si 2 2 lím f a hl0 46. Encuentre los valores de a y b que hacen a f continua para toda x. x2 4 si x x 2 ax 2 bx 3 si 2 2x a b si x f x b) f x 1 , 1 x3 x2 x c) f x sen x , 60. Para demostrar que la función seno es continua necesita demos- 2 x 3 lím sen a h hl0 3 vible en x m a? Si la discontinuidad es removible, determine una función J que concuerde con f para x o a y sea continua en x m a. x4 x f a trar que lím x l a sen x sen a para todo número real x m a. Según el ejercicio 59, una proposición equivalente es que 47. ¿Cuál de las funciones f siguientes tiene discontinuidad remo- a) f x h sen a Aplique 6 para demostrar que esto es cierto. 61. Demuestre que la función coseno es continua. 62. a) Demuestre el teorema 4, inciso 3. b) Demuestre el teorema 4, inciso 5. 63. ¿Para qué valores de x es f continua? 1 a 2x 2 , a f x 2 a si x es racional si x es irracional 64. ¿Para qué valores de x es J continua? 48. Suponga que una función f es continua sobre F0, 1G, excepto en 0.25 y que f (0) m 1 y f (1) m 3. Sea N m 2. Trace dos posibles graficas de f, una en que se muestre que f podría no satisfacer la conclusión del teorema del valor intermedio y la otra que muestre que f todavía podría satisfacer ese teorema (aun cuando no satisfaga la hipótesis). 0 1 tx 0 x si x es racional si x es irracional 65. ¿Existe un número que es exactamente 1 más que su cubo? 66. Si a y b son números positivos, demuestre que la ecuación 49. Si f (x) m x  10 sen x, demuestre que existe un número c tal 2 que f (c) m 1 000. 50. Suponga que f es continua sobre F1, 5G y las únicas soluciones de la ecuación f (x) m 6 son x m 1 y x m 4. Si f (2) m 8, explique por qué f (3)  6. x3 a 2x 2 1 x3 b x 2 0 tiene por lo menos una solución en el intervalo (1, 1). 130 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 67. Demuestre que la función f x x 4 sen 1 x 0 si x si x c) ¿Lo inverso de la proposición del inciso b) también es verdadero? En otras palabras, si U f U es continua, ¿se deduce que f es continua? De ser así, demuéstrelo. En caso de no ser así, halle un contraejemplo. 0 0 69. Un monje tibetano sale del monasterio a las 7:00 y emprende es continua sobre (@, @) 68. a) Demuestre que la función valor absoluto F(x) m U x U es con- tinua para toda x. b) Demuestre que si f es una función continua sobre un intervalo, entonces también lo es U f U. su camino habitual hacia la cima de la montaña, adonde llega a las 19:00. La mañana siguiente inicia el regreso desde la cima por la misma ruta a las 7:00 y llega al monasterio a las 19:00. Mediante el teorema del valor intermedio demuestre que existe un punto a lo largo de la ruta que el monje cruzará exactamente a la misma hora en ambos días. Límites al infinito, asíntotas horizontales 2.6 x 0 1 2 3 4 5 10 50 100 1 000 f x 1 0 0.600000 0.800000 0.882353 0.923077 0.980198 0.999200 0.999800 0.999998 En las secciones 2.2 y 2.4 se trataron los límites infinitos y las asíntotas verticales. Ahí aproximamos x a un número y vimos que los valores de y se vuelven arbitrariamente grandes (ya sean positivos o negativos). En esta sección haremos x arbitrariamente grande en magnitud y observaremos qué ocurre con y. Empecemos por investigar el comportamiento de la función f definida por x2 x2 f x 1 1 a medida que x se hace grande. La tabla al margen da valores de esta función con una aproximación de seis decimales, y en la figura 1 se ha trazado la gráfica de f por medio de la computadora. Y Y   FIGURA 1 Y € € X Conforme x crece más y más, puede verse que los valores de f (x) se aproximan cada vez más a 1. De hecho, parece que puede acercar cuanto quiera los valores de f (x) a 1 eligiendo una x lo suficientemente grande. Esta situación se expresa en forma simbólica escribiendo lím xl
x2 x2 1 1 1 En general, utilizamos la notación lím f x xl
L para indicar que los valores de f (x) tienden a L conforme x se hace más y más grande. 1 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces lím f x xl
L significa que los valores de f (x) pueden aproximarse arbitrariamente a L tanto como desee, eligiendo a x suficientemente grande. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 131 Otra notación para lím x l @ f (x) m L es f (x) l L conforme xl@ El símbolo @ no representa un número. No obstante, la expresión lím f x x l
se lee como L a menudo “el límite de f (x) cuando x tiende al infinito, es L” o “el límite de f (x), cuando x se va al infinito, es L” o bien “el límite de f (x), cuando x crece sin cota, es L”. El significado de estas frases está dado por la definición 1. Al final de esta sección, se encuentra una definición más precisa, utilizando la definición - de la sección 2.4. En la figura 2 se muestran ilustraciones geométricas de la definición 1. Advierta que hay muchas maneras de aproximar la gráfica de f a la recta y m L (la cual se llama asíntota horizontal) a medida que usted ve hacia el extremo derecho de cada gráfica. y y y=L y y=ƒ y=L y=ƒ y=ƒ y=L 0 0 x 0 x x FIGURA 2 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L Si regresa a la figura 1, verá que para valores negativos de x grandes en magnitud, los valores de f (x) están cercanos a 1. Al decrecer x a través de valores negativos sin cota, puede acercar cuando quiera f (x) a 1. Esto se expresa escribiendo x ` lím xl
x2 x2 1 1 1 La definición general es como sigue. 2 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (@, a). Entonces lím f x xl
y y=ƒ L significa que los valores de f (x) pueden hacerse arbitrariamente cercanos a L haciendo que x sea negativa y suficientemente grande en magnitud. y=L 0 x Es necesario subrayar que el símbolo @ no representa un número, pero la expresión L se lee a menudo como lím f x xl
y y=L “el límite de f (x), cuando x tiende al infinito negativo o a menos infinito, es L”. La definición 2 se ilustra en la figura 3. Observe que la gráfica tiende a la recta y m L a medida que vemos hacia el extremo izquierdo de cada gráfica. y=ƒ 0 x 3 Definición La recta y m L se llama asíntota horizontal de la curva y m f (x) si lím f x FIGURA 3 Ejemplos que ilustran lím ƒ=L x _` x l
L o lím f x xl
L 132 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Por ejemplo, la curva que se ilustra en la figura 1 tiene a la recta y m 1 como asíntota horizontal porque lím xl
x2 x2 1 1 1 Un ejemplo de una curva con dos asíntotas horizontales es y m tan1x. (Véase la figura 4.) En efecto, Y y   4 X ? y lím tan 1 x lím tan 1 x 2 xl
2 xl
de modo que las rectas y m )Y2 y y m )Y2 son asíntotas horizontales. (Esto se sigue del hecho de que las rectas x m )Y2 son asíntotas verticales de la gráfica de y m tan x.) FIGURA 4 Ytan†X EJEMPLO 1 Encuentre los límites infinitos, los límites en el infinito y las asíntotas para la función f cuya gráfica se muestra en la figura 5. SOLUCIÓN Vemos que los valores de f (x) se vuelven grandes cuando x l 1 por ambos Y lados, así que
lím f x xl 1   Advierta que f (x) se hace negativo grande en magnitud cuando x tiende a 2 por la izquierda, pero grande positivo cuando x tiende a 2 por la derecha. De este modo,  X
lím f x x l2 FIGURA 5 y lím f x x l2
Del comportamiento de estos límites, las dos rectas x m 1 y x m 2 son asíntotas verticales. Cuando x es muy grande, parece que f (x) tiende a 4. Pero, a medida que x decrece a través de valores negativos, f (x) tiende a 2. Por tanto, lím f x xl
4 y lím f x xl
2 Esto significa que tanto y m 4 como y m 2 son asíntotas horizontales. EJEMPLO 2 Encuentre lím xl
1 1 y lím . xl
x x SOLUCIÓN Observe que cuando x es grande, 1Yx es pequeño. Por ejemplo, 1 100 0.01 1 10 000 1 1 000 000 0.0001 0.000001 De hecho, si elige una x suficientemente grande, puede aproximar 1Yx a 0 cuanto quiera. Por tanto, según la definición 1, tenemos lím xl
1 x 0 Un razonamiento similar hace ver que cuando x es negativo grande en magnitud, 1Yx es pequeño negativo; de este modo, también se tiene que lím xl
1 x 0 SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 133 Se infiere que la recta y m 0 (el eje x) es una asíntota horizontal de la curva y m 1Yx (que es una hipérbola equilátera; véase figura 6).    La mayor parte de las leyes de los límites que se dieron en la sección 2.3 también se cumplen para los límites en el infinito. Puede demostrarse que las leyes de los límites, cuya lista se da en la sección 2.3 (con la excepción de las leyes 9 y 10), también son válidas si “x l a” se reemplaza con “x l @” o con “x l @”. En particular, si combinamos las leyes 6 y 11 con los resultados del ejemplo 2, obtenemos la siguiente importante regla para el cálculo de límites. FIGURA 6 lím 



 5    lím   



  Teorema Si r  0 es un número racional, entonces lím xl
1 xr 0 Si r  0 es un número racional tal que x r está definida para toda x, entonces lím xl
v EJEMPLO 3 1 xr 0 Evalúe lím x l
3x 2 5x 2 x 4x 2 1 e indique cuáles propiedades de los límites se utilizaron en cada paso. SOLUCIÓN Cuando x es muy grande, tanto numerador como denominador son muy grandes, así que no es obvio qué pasa con su cociente. Necesitamos hacer algo de álgebra preliminar. Para evaluar el límite en el infinito de cualquier función racional, primero dividimos el numerador y el denominador por la potencia mayor de x que hay en el denominador. (Suponemos que x o 0, ya que estamos interesados sólo en valores muy grandes de x). En este caso, la potencia mayor del denominador es x 2, así que tenemos 3x 2 2 3x lím 2 x l
5x x 4x 2 1 x x2 4x x2 2 lím 3 1 x 2 x2 lím 5 4 x 1 x2 lím x l
5x 2 x l
x l
lím 3 lím x l
lím 5 4 lím 3 5 0 0 x l
3 5 0 0 1 1 x x l
x l
3 lím x l
5 1 x 4 x 2 x2 1 x2 (por la ley de los límites 5) 1 x l
x 2 1 lím 2 x l
x 2 lím 1 x (por las leyes 1, 2 y 3) (por la ley 7 y el teorema 5) 134 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Un cálculo semejante muestra que el límite cuando x l @ también es 35. En la figura 7 se ilustran los resultados de estos cálculos mostrando cómo la gráfica de la función 3 racional dada se aproxima a la asíntota horizontal y 5. y Y  x  EJEMPLO 4 Encuentre la asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función s2x 2 1 3x 5 f x SOLUCIÓN Al dividir entre x tanto el numerador como el denominador y aplicar las pro- piedades de los límites, tenemos FIGURA 7 Y €X €X lím xl
s2x 3x 2 1 x2 2 1 lím 5 xl
3 1 x2 2 lím xl
(ya que sx 2 5 x lím 2 xl
5 x lím 3 xl
lím 3 xl
x para x 0) 1 xl
x2 1 5 lím xl
x lím s2 0 3 5 0 s2 3 Por tanto, la recta y s2 3 es una asíntota horizontal de la gráfica de f. En el cálculo del límite conforme x l @, debemos recordar que para x 0, tenex x. Así que cuando dividimos el numerador entre x, para x 0 mos sx 2 obtenemos 1 s2x 2 x 1 1 sx Por tanto, lím xl
y s2x 3x 2 ” 1 lím 5 xl
3 lím ”  xl 5 3 X   2 2 5 x 3 , entonces 3x  5 lím xl 5 3 La asíntota vertical es x s2x 2 1 3x 5 5 3 Si x está cerca de 53, pero x FIGURA 8 ”””””” € X 1 1 x2 2 x Y s2x 2 1 x2 lím xl
1 x2 1 5 lím xl
x s2 3 Así que la recta y s2 3 también es una asíntota horizontal. Es probable que haya una asíntota vertical cuando el denominador, 3x  5, es 0; esto 5 5 es, cuando x 3. Si x esta cerca de 53 y x 3, entonces el denominador está cerca de 0 y 3x  5 es positivo. El numerador s2x 2 1 es siempre positivo, así que f (x) es positivo. Por tanto, Y  Y? 2 5 3 s2x 2 1 3x 5
0, así que f (x) es negativo grande. Así,
. Las tres asíntotas se muestran en la figura 8. SECCIÓN 2.6 EJEMPLO 5 Calcule lím (sx 2 x l
LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 135 x). 1 SOLUCIÓN Ya que tanto sx 2 Puede considerar que la función dada tiene un denominador igual a 1. 1 como x son muy grandes cuando x es grande, es difícil ver qué pasa con su diferencia, así que utilizamos el álgebra para reescribir la función. Primero multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado: lím (sx 2 x l
1 x) lím (sx 2 lím x l
 x2 1 sx 2 1 x2 x sx 2 sx 2 1 1 lím x l
Observe que el denominador de esta última expresión (sx 2 cuando x l @ (más grande que x). Así que  0 x) x l
y Y€ ”””””X 1 x lím (sx 2 x) 1 x l
1 sx 2 sx x l
FIGURA 9 2 1 1 x x) resulta muy grande 1 1 lím x x 0 x La figura 9 ilustra este resultado. EJEMPLO 6 1 Evalúe el lím arctan x x l2 2 . SOLUCIÓN Si hacemos t m 1Y(x  2), sabemos que t l @ cuando x l 2. Por tanto, por la segunda ecuación en 4 , tenemos lím arctan x l2 1 x 2 lím arctan t 2 tl
La gráfica de la función exponencial natural y m e x tiene a la recta y m 0 (el eje x) como una asíntota horizontal. (Lo mismo es verdadero para cualquier función exponencial con base a  1). De hecho, de la gráfica en la figura 10 y la correspondiente tabla de valores, vemos que lím e x 6 xl
0 Note que los valores de e x se aproximan a 0 muy rápidamente. Y x Ym   FIGURA 10  X 0 1 2 3 5 8 10 ex 1.00000 0.36788 0.13534 0.04979 0.00674 0.00034 0.00005 136 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS v RP La estrategia para resolver los problemas 6 y 7 es introducir algo extra (véase la página 75). Aquí, el algo extra, el elemento auxiliar, es la nueva variable t. EJEMPLO 7 Evalúe lím e 1 x. x l0 SOLUCIÓN Si hacemos t m 1Yx, sabemos que t l @ cuando x l 0. Por tanto, por 6 , lím e 1 x lím e t x l0 tl
0 (Véase el ejercicio 75.) EJEMPLO 8 Evalúe lím sen x. xl
SOLUCIÓN Conforme x crece, los valores de sen x oscilan infinitamente entre 1 y 1, así que no se aproximan a ningún número definido, por lo que lím x l @ sen x no existe. Límites infinitos en el infinito La notación lím f x x l

se utiliza para indicar que los valores de f (x) se hacen más grandes cuando x se hace muy grande. Un significado similar está asociado con los siguientes símbolos:
lím f x xl
lím f x xl

Encuentre lím x 3 y lím x 3. EJEMPLO 9 xl
xl
SOLUCIÓN Cuando x se hace más grande, x 3 también se hace grande. Por ejemplo, y y=˛ 0 103 m 1 000 1003 m 1 000 000 1 0003 m 1 000 000 000 De hecho, podemos hacer x 3 tan grande como queramos tomando x suficientemente grande. Por esta razón, podemos escribir x lím x 3 xl

Del mismo modo, cuando x es muy grande negativo, también lo es x 3. Así que FIGURA 11 lím x#=`, lím x#=_` x `
lím f x x l
x _` lím x 3
xl
Estos límites establecidos también pueden verse en la gráfica de y m x 3 en la figura 11. En la figura 10 vemos que lím e x x l
y
pero, como se observa en la figura 12, y m e x se hace más grande cuando x l @, con mucha mayor rapidez que y m x 3. y=´ EJEMPLO 10 Encuentre lím x 2 x l
x. R SOLUCIÓN Sería un error escribir y=˛ 100 0 1 x lím x 2 x l
´ es mucho más grande que ˛ cuando x es muy grande. x l
lím x x l


Las leyes de los límites no pueden aplicarse a límites infinitos porque @ no es un número (@  @ no puede definirse). Sin embargo, podemos escribir lím x 2 FIGURA 12 lím x 2 x x l
x lím x x x l
1
debido a que tanto x como x  1 se hacen arbitrariamente grandes y, por tanto, también su producto. SECCIÓN 2.6 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 137 x2 x . xl
3 x SOLUCIÓN Como en el ejemplo 3, dividimos el numerador y el denominador entre la mayor potencia de x en el denominador, que es justamente x: EJEMPLO 11 Encuentre lím lím x l
x2 3 x x x 3 x lím x l
1
1 ya que x  1 l @ y 3Yx  1 l 1 conforme x l @. El siguiente ejemplo muestra que utilizando límites infinitos al infinito, además de las intersecciones, podemos tener una idea general de la gráfica de una función polinomial sin tener que disponer de un gran número de puntos. v EJEMPLO 12 Trace la gráfica de y m (x  2)4(x  1)3(x  1) encontrando las inter- secciones y sus límites cuando x l @ y cuando x l @. SOLUCIÓN La intersección con el eje y es f (0) m (2)4(1)3(1) m 16 y las intersecciones con el eje x, x m 2, 1, 1 se encuentran haciendo y m 0. Note que puesto que (x  2)4 es positivo, la función no cambia de signo en 2; así que la gráfica no cruza el eje x en 2. La gráfica interseca el eje x en 1 y 1. Cuando x es un número positivo muy grande, todos los factores son muy grandes, así que Y ?    lím x X xl
2 4 x 1 3 x 1
Cuando x es un número negativo muy grande, el primero de los factores es un número positivo muy grande y los factores segundo y tercero son negativos muy grandes, así que ? lím x FIGURA 13 Y X  X  X xl
2 4 x 1 3 x 1
Combinando esta información, obtenemos el esbozo de la gráfica de la figura 13. Definición precisa La definición 1 puede establecerse de manera precisa como sigue. 7 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces lím f x xl
L significa que para toda   0 existe un correspondiente número N tal que si x  N, entonces U f (x)  L U  En palabras, esto indica que los valores de f (x) pueden acercarse arbitrariamente a L (dentro de una distancia , donde  es cualquier número positivo) tomando x suficientemente grande (más grande que N, donde N depende de ). Gráficamente, esto nos dice que eligiendo x suficientemente grande (más grande que algún número N) podemos hacer que la gráfica de f esté atrapada entre las rectas horizontales dadas y m L   y 138 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y m L   como se ve en la figura 14. Esto debe ser verdadero sin importar qué tan pequeño elijamos . La figura 15 muestra que si elegimos un valor de  muy pequeño, entonces puede necesitarse un valor de N muy grande.    está aquí     FIGURA 14 lím
 cuando está aquí





 
 0 FIGURA 15   lím
  Del mismo modo, una versión precisa de la definición 2 está dada por la definición 8, que se ilustra en la figura 16. 8 Definición Sea f una función definida sobre algún intervalo (@, a). Entonces lím f x L xl
significa que para todo   0 existe un correspondiente número N tal que si x N, U f (x)  L U entonces      x FIGURA 16 lím  



  En el ejemplo 3 obtuvimos que lím xl
3x 2 5x 2 x 4x 2 1 3 5 En el siguiente ejemplo utilizamos una calculadora o computadora para relacionar esta 3 proposición con la definición 7, con L 5 y  m 0.1. SECCIÓN 2.6 TEC En Module 2.4/2.6 puede explorar la EJEMPLO 13 LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 139 Utilice una gráfica para encontrar un número N tal que definición precisa de límite de manera gráfica o numérica. si x 3x 2 5x 2 N, entonces x 4x 2 1 0.6 0.1 SOLUCIÓN Reescribimos la desigualdad dada como 0.5  x 4x 2 1 0.7 Necesitamos determinar las valores de x para los cuales la curva dada está entre las rectas horizontales y m 0.5 y y m 0.7. Las gráficas de la curva y de estas rectas se muestran en la figura 17. Entonces utilizamos el cursor para estimar que la curva cruza la recta y m 0.5 cuando x y 6.7. A la derecha de este número parece que la curva está entre las rectas y m 0.5 y y m 0.7. Redondeando, podemos decir que Y Y Y 3x 2 5x 2 €X €X   3x 2 5x 2 7, entonces si x FIGURA 17 x 4x 2 1 0.6 0.1 En otras palabras, para  m 0.1 podemos elegir N m 7 (o cualquier otro número mayor) en la definición 7. EJEMPLO 14 Utilice la definición 7 para demostrar que lím xl
1 x 0. SOLUCIÓN Dado   0, queremos encontrar N tal que si x N, entonces 1 x 0  &? x  1Y. Al calcular el límite podemos suponer que x  0. Entonces 1Yx Elegimos N m 1Y. Así que si x N 1 , entonces 1 x 0 1 x Por tanto, de la definición 7 lím xl 1 x 0 La figura 18 ilustra la demostración mostrando algunos valores de  y los correspondientes valores de N. y y y w w 0 FIGURA 18 / x 0 w / x 0 / x 140 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS y Finalmente notamos que un límite infinito al infinito puede definirse como sigue. En la figura 19 se muestra una ilustración geométrica. y=M M 9 0 Sea f una función definida sobre algún intervalo (a, @). Entonces Definición
lím f x x N xl
significa que para todo número positivo M existe un correspondiente número positivo N tal que FIGURA 19 lím ƒ=` x ` si x  N, f (x)  M entonces Definiciones similares se aplican cuando el símbolo @ se reemplaza por @. (Véase el ejercicio 74.) 2.6 Ejercicios 1. Explique con sus propias palabras el significado de cada uno de los siguientes límites a) lím f x xl
5 b) lím f x xl
e) lím t x f ) Las ecuaciones de las asíntotas x l2 y 3 2. a) ¿Puede la gráfica de y m f (x) intersecar una asíntota vertical? ¿Puede intersecar una asíntota horizontal? Ilustre trazando gráficas. b) ¿Cuántas asíntotas horizontales puede tener la gráfica de y m f (x)? Trace gráficas que muestren las posibilidades. 1 x 1 3. Para la función f cuya gráfica está dada, establezca lo siguiente: a) lím f x b) c) lím f x d) lím f x x l
x l1 lím f x xl
5-10 Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas x l3 e) Las ecuaciones de las asíntotas 5. lím f x
, xl0 6. lím f x y
, xl2 lím f x xl
1 x lím f x x l0 8. lím f x siguiente. b) c) lím t x d) lím t x x l
xl0  lím t x xl

, x l
10. lím f x xl3 4,
, 5
, 0 lím f x xl
0,
lím f x
, lím f x xl4
, f es impar lím f x x l2 x l0 2, lím f x xl4
, 3
, lím f x x l
2, x l2 Se requiere calculadora graficadora o computadora lím f x xl 2 f 0 0,
, lím f x x l2 lím f x x l

, lím f x lím f x lím f x 5, x l0 x l0 xl
lím f x a) lím t x 3, lím f x x l

, 3, xl
4. Para la función J cuya gráfica está dada, establezca lo lím f x x l

, x l2 9. f 0 lím f x xl 2 0, 7. lím f x 1 lím f x xl
1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com f 0 0, f es par SECCIÓN 2.6  11. Conjeture el valor del límite lím x l
LÍMITES AL INFINITO, ASÍNTOTAS HORIZONTALES 141  39. a) Estime el valor de lím (sx 2 x2 2x x xl
1 x) dibujando la gráfica de la función evaluando la función f (x) m x 2Y2x para x m 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 50 y 100. Después, utilice una gráfica de f para respaldar su conjetura. 1 2 x x 13-14 Evalúe el límite y justifique cada paso indicando las propiedades adecuadas de los límites. xl
3x 2 2x 2 x 5x 4 8 12x 3 5x 2 1 4x 2 3x 3 14. lím xl
15-38 Encuentre el límite o demuestre que no existe. 2 1 16. lím x 17. lím 2 xl
x 2 1 4x 3 18. lím 3 x l
2x st 19. lím t l
2t t2 t2 15. lím xl
3x 2x xl
20. lím tl
2x 2 1 x 1 2 x2 21. lím xl
x xl
s9x 6 x 23. lím xl
x3 1 x 3x) 27. lím (sx 2 ax sx 2 x l
29. lím xl
x4 x3 3x 2 x x 2 x x t st 3t t 2t 3 2 sx 4 26. lím ( x sx 2 ) 28. lím sx 2 1 x l
30. lím e x xl
1 x4 x6 1 33. lím arctan e x 34. lím e 3x e 3x e e ex 2e x 36. lím sen 2 x x2 1 cos x 38. lím tan xl
35. lím xl
1 1 37. lím e xl
2x xl
xl
xl
xl0 1 6 s3x 2 3x 1 tiene un dispositivo graficador, verifique su trabajo graficando la curva y estimando las asíntotas. 41. y 2x x 1 2 43. y 2x 2 x2 x3 x 2 42. y x x 1 2 44. y x 6x 46. y 5 x2 2x 2 1 x2 1 3x 2 x4 x4 2e x e x 5  47. Estime la asíntota horizontal de la función f x 2x ) x 3 3x 3 500x 2 500x 2 100x 2 000 mediante la gráfica de f para 10 v x v 10. Después obtenga la ecuación de la asíntota evaluando el límite. ¿Cómo explica la discrepancia?  48. a) Grafique la función f x 2 cos 3x 32. lím xl
5 8x 41-46 Encuentre las asíntotas horizontal y vertical de cada curva. Si 45. y 1 x5 31. lím x 4 2 5 x2 xl
bx x. para estimar el valor de lím x l @ f (x) con una aproximación de una cifra decimal. b) Utilice una tabla de valores de f (x) para estimar el límite con una aproximación de cuatro cifras decimales. c) Halle el valor exacto del límite. 1 6x 2 4x s3x 2 f x 2 s9x 6 x 24. lím xl
x3 1 25. lím (s9x 2 x l
1 x3 2 22. lím 1  40. a) Utilice la gráfica de para estimar el valor de lím x l @ f (x) con una aproximación de dos cifras decimales. b) Utilice una tabla de valores de f (x) para estimar el límite con una aproximación de cuatro cifras decimales. 13. lím x b) Utilice una tabla de valores de f (x) para conjeturar el valor del límite. c) Pruebe que su conjetura es correcta.  12. a) Utilice la gráfica de f x sx 2 f x s2x 2 1 3x 5 ¿Cuántas asíntotas horizontales y verticales observa? Utilice la gráfica para estimar el valor de los límites 3x 3x ln x lím x l
s2x 2 1 3x 5 y lím xl
s2x 2 1 3x 5 b) Calcule algunos valores de f (x) y proporcione estimaciones numéricas de los límites del inciso a). c) Calcule los valores exactos de los límites en el inciso a). ¿Obtiene el mismo valor o valores diferentes de esos dos límites? [En relación con su respuesta al inciso a), tendrá que verificar su cálculo para el segundo límite.] 142 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 49. Encuentre una fórmula para una función f que satisfaga las 61. Determine lím x l
f x si, para toda x  1, condiciones siguientes: lím f x 0, lím f x lím f x
, xl
x l3
, x l0 f 2 10e x 21 2e x 0,
lím f x x l3 62. a) Un depósito contiene 5 000 L de agua pura. Se bombea 50. Proponga una fórmula para una función que tiene asíntotas salmuera que contiene 30 g de sal por litro de agua al depósito con una proporción de 25 LYmin. Demuestre que la concentración de sal t minutos después (en gramos por litro) es verticales x m 1 y x m 3 y asíntota horizontal y m 1. 51. Una función f es un cociente de funciones cuadráticas y tiene una asíntota vertical x m 4 y una intersección de x en x m 1. Se sabe que f tiene una discontinuidad removible en x m 1 y lím x l 1 f (x) m 2. Evalúe a) f 0 b) lím f x xl
b) ¿Qué sucede con la concentración cuando x l @? 63. En el capítulo 9 se demostrará que, según ciertas hipótesis, Utilice esta información junto con las intersecciones para esbozar la gráfica como en el ejemplo 12. 2x 3 54. y 3 55. y 56. y x x 3 x2 x2 30t 200 t Ct 52-56 Determine los límites cuando x l @ y cuando x l @. 52. y 5sx sx 1 f x x4 53. y 2 2 x 1 x 1 2 x6 vt 1 2 x 1 x4 la velocidad v(t) de una gota de lluvia que cae, en el instante t, es x x 4 2  v* 1 e tt v * donde J es la aceleración debida a la gravedad y v* es la velocidad final de la gota de lluvia. a) Encuentre lím t l
v t . b) Trace la grafica de v(t) si v* m 1 mYs y J m 9.8 mYs2. ¿Cuánto tiempo transcurre para que la velocidad de la gota de agua alcance 99% de su velocidad final? sen x 57. a) Utilice el teorema de la compresión para evaluar lím . xl
x b) Grafique f (x) m (sen x)Yx. ¿Cuántas veces cruza la gráfica la  64. a) Mediante el trazo de y m exY10 y y m 0.1 en una pantalla  común, descubra cuánto tiene que aumentar x de modo que asíntota? exY10 0.1.  58. Por el comportamiento al final de una función entenderemos b) ¿Puede resolver el inciso a) sin un dispositivo de una descripción de lo que sucede con sus valores cuando graficación? x l
y a medida que x l
a) Describa y compare el comportamiento al final de las  65. Mediante una gráfica determine un número N tal que funciones 3x 2 1 1.5 0.05 si x N, entonces Px 3x 5 5x 3 2x 3x 5 Qx 2x 2 x 1 graficando las dos funciones en los rectángulos de vista  66. En el caso del límite F2, 2G por F2, 2G y F10, 10G por F10 000, 10 000G. b) Se dice que dos funciones tienen el mismo comportamiento s4x 2 1 al final si su cociente tiende a 1 cuando x l @. Demuestre lím 2 x l
x 1 que P y Q tienen el mismo comportamiento al final. 59. Sean P y Q dos polinomios. Encuentre Px lím xl
Q x si el grado de P es a) menor que el grado de Q y b) mayor que el grado de Q. 60. Haga un esbozo aproximado de la gráfica de la curva y m xn (n un entero) para los cinco casos siguientes: i) n m 0 ii) n  0, n impar iii) n  0, n par iv) n 0, n impar v) n 0, n par Después utilice estos esbozos para encontrar los límites siguientes: a) lím x n b) lím x n x l0 x l0 c) lím x n d) lím x n x l
xl
ilustre la definición 7 mediante la determinación de valores de N que correspondan a  m 0.5 y  m 0.1.  67. Ilustre la definición 8 para el límite lím xl
s4x 2 1 x 1 2 determinando valores de N que correspondan a  m 0.5 y  m 0.1.  68. Ilustre la definición 9 para el límite lím xl
2x sx 1 1
calculando valores de N que correspondan a M m 100. SECCIÓN 2.7 69. a) ¿Qué tan grande tenemos que hacer x para que 1Yx 2 0.0001? b) Al hacer r m 2 en el teorema 5, tenemos la proposición lím xl
1 x2 72. Demuestre, mediante la definición 9, que lím x 3 xl
73. Utilice la definición 9 para demostrar que lím e 143
.
. 74. Formule una definición precisa de 0
lím f x xl
Después utilice su definición para demostrar que 70. a) ¿Qué tan grande debemos tomar a x de 0.0001? manera que 1 sx 1 b) Tomando r 2 en el teorema 5, tenemos la proposición 1 lím x l
sx x xl
Demuéstrela directamente aplicando la definición 7. lím 1 xl
x3
75. Demuestre que 0 lím f x xl
Demuéstrela directamente aplicando la definición 7. 1 0. 71. Demuestre, mediante la definición 8, que lím xl
x 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO y lím f x xl
lím f 1 t t l0 lím f 1 t t l0 si estos límites existen. Derivadas y razones de cambio El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad de un objeto involucran encontrar el mismo tipo de límite, como vimos en la sección 2.1. Este tipo especial de límite se denomina derivada y en las ciencias e ingeniería puede ser interpretada como una razón de cambio. Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y m f (x) y quiere usted hallar la recta tangente a C en el punto P(a, f (a)), entonces considere un punto cercano Q(x, f (x)), donde x o a, y calcule la pendiente de la recta secante PQ: y Q{ x, ƒ } ƒ-f(a) P { a, f(a)} f x x mPQ x-a 0 a y x x f a a Después, acerque Q a P a lo largo de la curva C, haciendo que x tienda a a. Si mPQ tiende un número m, entonces definimos la tangente t como la recta que pasa por P con pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante PQ cuando Q tiene a P. (Véase la figura 1.) t Q 1 Definición La recta tangente a la curva y m f (x) en el punto P(a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente Q P Q m lím xla f x x f a a siempre que este límite exista. 0 FIGURA 1 x En nuestro primer ejemplo, se confirma la suposición que hicimos en el ejemplo 1 de la sección 2.1. 144 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS v EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x 2, en el punto P(1,1). SOLUCIÓN En este caso, a m 1 y f (x) m x 2, de modo que la pendiente es m f x x lím x l1 x lím x l1 lím x x l1 f 1 1 1 x x 1 1 lím x l1 x2 x 1 2 1 1 1 1 Con la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, se encuentra que la ecuación de la recta tangente en (1, 1) es Forma punto-pendiente para una recta que pasa por el punto (x1, y1) con pendiente m: y  y1 m m(x  x1) y  1 m 2(x  1) o bien y m 2x  1 TEC Visual 2.7 muestra una animación de la figura 2. A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la curva y m x 2 del ejemplo 1. Cuanto más se acerque, tanto más la parábola se parece a una recta. En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.  
  
 
   FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto 
 sobre la parábola  Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si h m x  a, en este caso x m a  h, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ Q { a+h, f(a+h)} y t P { a, f(a)} f a (Véase la figura 3, donde se ilustra el caso h  0 y Q está a la derecha de P. Sin embargo, si h 0, Q estaría a la izquierda de P.) Note que conforme x se aproxima a a, h se acerca a 0 (puesto que h m x  a) y, por ende, la expresión de la pendiente de la recta tangente, en la definición 1 se convierte en 2 a h h f(a+h)-f(a) h 0 f a a+h x m lím hl0 f a h h f a FIGURA 3 EJEMPLO 2 punto (3, 1). Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola y m 3Yx, en el SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 145 SOLUCIÓN Sea f (x) m 3Yx. Entonces, la pendiente de la tangente en (3, 1) es y 3 x+3y-6=0 y= 3 x m lím f 3 hl0 (3, 1) lím x 0 h h hl0 h h3 f 3 lím 1 3 hl0 3 1 h h hl0 lím h 3 lím hl0 3 3 h h h 1 3 h En consecuencia, la ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es FIGURA 4 y 1 3 1 x 3 x  3y  6 m 0 la cual se simplifica a En la figura 4 se muestra la hipérbola y su tangente. posición en el posición en el instante t=a instante t=a+h 0 s f(a+h)-f(a) f(a) f(a+h) FIGURA 5 Velocidades En la sección 2.1 investigamos el movimiento de una pelota que se dejó caer desde la Torre CN, y se definió su velocidad como el límite del valor de las velocidades promedio sobre periodos de tiempo cada vez más cortos. En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo con una ecuación del movimiento s m f (t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto respecto al origen, en el tiempo t. La función f que describe el movimiento se conoce como función posición del objeto. En el intervalo de tiempo t m a hasta t m a  h, el cambio en la posición es f (a  h)  f (a). (Véase la figura 5.) La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es velocidad promedio s Q { a+h, f(a+h)} h a mPQ= f a h h f a que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 6. Suponga ahora que calcula las velocidades promedio sobre intervalos de tiempo Fa, a  hG más y más cortos. En otras palabras, haga que h tienda a 0. Como en el ejemplo de la pelota que cae, se definió la velocidad (o velocidad instantánea) v(a) en el instante t m a como el límite de estas velocidades promedio: P { a, f(a)} 0 desplazamiento tiempo a+h t f(a+h)-f(a) h
velocidad promedio FIGURA 6 Recuerde que en la sección 2.1 vimos que la distancia (en metros) que recorre la pelota que cae una vez que transcurre t segundos es 4.9t2. 3 va lím hl0 f a h h f a Esto significa que la velocidad en el instante t m a es igual a la pendiente de la recta tangente en P. (Compare las ecuaciones 2 y 3.) Ahora que sabe calcular límites, vuelva a considerar el problema de la pelota que cae. v EJEMPLO 3 Suponga que se deja caer una pelota desde la plataforma superior de observación de la Torre CN, a 450 m sobre el nivel del suelo. a) ¿Cuál es la velocidad de la pelota después de 5 segundos? b) ¿Con qué rapidez cae cuando choca contra el suelo? SOLUCIÓN Necesita usted hallar la velocidad cuando t m 5 y cuando la pelota golpea el suelo, de tal manera que es conveniente iniciar la búsqueda de la velocidad en 146 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS un tiempo general t m a. Empleando la ecuación de movimiento s m f (t) m 4.9t 2, se tiene v a lím f a h h hl0 4.9 a 2 f a hl0 hl0 2ah h lím 4.9 2a h lím hl0 h2 h 4.9 a lím h2 a2 lím hl0 4.9a 2 4.9 2ah h h2 9.8a a) La velocidad después de 5 s es v(5) m (9.8)(5) m 49 mYs. b) Puesto que la plataforma de observación está a 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota chocará contra el suelo en el instante t1, cuando s(t1) m 450; es decir, 4.9t12 450 Esto da t12 450 4.9 y 450 4.9 t1 9.6 s Por tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es v t1 9.8t1 450 4.9 9.8 94 m s Derivadas Hemos visto que en la búsqueda de la pendiente de una recta tangente (ecuación 2) o la velocidad de un objeto (ecuación 3) surge la misma clase de límite. De hecho, límites en la forma f a h f a lím h l0 h surgen cuando calculamos una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en ingeniería, tal como la velocidad de reacción en química o un costo marginal en economía. Ya que esta clase de límite aparece muy a menudo, se da un nombre y notación especial. 4 Definición La derivada de una función f en un número x m a, denotada por f (a), es f (a) se lee “f prima de a”. f a lím f a h l0 h h f a si este límite existe. Si se escribe x m a  h, entonces h m x  a y h tiende a 0 si y sólo si x tiende a a. En consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada, como vimos en la búsqueda de rectas tangentes, es 5 v EJEMPLO 4 x m a. f a lím xla f x x f a a Encuentre la derivada de la función f (x) m x 2  8x  9 en el número SECCIÓN 2.7 DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 147 SOLUCIÓN De la definición 4 se tiene f a lím f a h l0 lím a h h f a 2 8a h h a2 2ah h2 h2 h 8h 8h h 9 a2 lím 2a h 8 8a h l0 lím 2ah h l0 2a 8a 9 h h l0 lím a2 9 h l0 8a 9 8 Definimos la recta tangente a la curva y m f (x) en el punto P(a, f (a)) como la recta que pasa por P y tiene pendiente m, dada por la ecuación 1 o 2. Ya que, por la definición 4, ésta es la misma que la derivada f (a), podemos decir lo siguiente. La recta tangente a y m f (x) en (a, f (a)) es la recta que pasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f (a), la derivada de f en x m a. Si utilizamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta, podemos escribir la ecuación de la recta tangente a la curva y m f (x) en el punto (a, f (a)): y y  f (a) m f (a)(x  a)    v x 0 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y m x 2  8x  9 en el punto (3, 6). EJEMPLO 5 SOLUCIÓN Del ejemplo 4 sabemos que la derivada de f (x) m x 2  8x  9 en el número 
   x m a es f (a) m 2a  8. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en (3, 6) es f (3) m 2(3)  8 m 2. En estos términos, la ecuación de la recta tangente que se muestra en la figura 7, es y  (6) m (2)(x  3) o bien y m 2x FIGURA 7 Razones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. Así, y es una función de x y lo expresamos como y m f (x). Si x cambia de x1 a x2, entonces el cambio en x (también conocido como incremento de x) es
x x2 x1 y el cambio correspondiente en y es
y f x2 f x1 f x2 x2 f x1 x1 El cociente de diferencias
y
x 148 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Q { ¤, ‡} y P {⁄, fl} Îy Îx ⁄ 0 ¤ se llama razón de cambio promedio de y respecto a x sobre el intervalo Fx1, x2G, y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. Por analogía con la velocidad, considere la razón de cambio promedio en intervalos cada vez más pequeños haciendo que x2 tienda a x1 y, por tanto, hacer que $x tienda a 0. El límite de estas razones de cambio promedio se llama razón de cambio (instantánea) de y respecto a x en x m x1, lo cual se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva y m f (x) en P(xl, f (x1)): x razón de cambio promedio
mPQ razón de cambio instantánea
pendiente de la recta tangente en P 6 Razón de cambio instantánea lím
x l 0
y
x lím x2 l x1 f x2 x2 f x1 x1 FIGURA 8 Reconocemos este límite como la derivada f (x1). Sabemos que una interpretación de la derivada f (a) es como la pendiente de la recta tangente a la curva y m f (x) cuando x m a. Ahora tenemos una segunda interpretación: y La derivada f (a) es la razón de cambio instantánea de y m f (x) respecto a x cuando x m a. Q P x FIGURA 9 Los valores de y cambian rápidamente en P y lentamente en Q. El vínculo con la primera interpretación es que si dibuja la curva y m f (x), entonces la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto donde x m a. Esto significa que cuando la derivada es grande (y, en consecuencia, la curva es escarpada, como en el punto P de la figura 9), los valores de y cambian rápidamente. Cuando la derivada es pequeña, la curva es relativamente plana (como en el punto Q), y el valor de y cambia lentamente. En particular, si s m f (t) es la función posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f (a) es la razón de cambio del desplazamiento s respecto al tiempo t. En otras palabras, f (a) es la velocidad de la partícula en el tiempo t m a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir, U f (a) U. En el siguiente ejemplo se analiza el significado de la derivada de una función que está definida verbalmente. v EJEMPLO 6 Un fabricante produce un rollo de un tejido con ancho fijo. El costo de producir x yardas de este tejido es de C m f (x) dólares. a) ¿Cuál es el significado de la derivada f (x)? ¿Cuáles son sus unidades? b) En términos prácticos, ¿qué significa decir que f (1 000) m 9? c) ¿Cuál piensa que es más grande f (50) o f (500)? ¿Qué hay respecto a f (5 000)? SOLUCIÓN a) La derivada f (x) es la razón de cambio instantánea de C respecto a x, es decir, f (x) significa la razón de cambio del costo de producción respecto al número de yardas producidas. (Los economistas llaman a esta rapidez de cambio costo marginal. Esta idea se analiza en más detalle en las secciones 3.7 y 4.7.) Ya que f x lím
x l 0
C
x las unidades para f (x) son las mismas que las unidades para el cociente de diferencias $CY$x. Puesto que $C se mide en dólares y $x en yardas, las unidades para f (x) son dólares por cada yarda. SECCIÓN 2.7 En este caso suponga que la función costo se comporta bien; en otras palabras, C(x) no oscila rápidamente cerca de x m 1 000. DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO 149 b) El enunciado de que f (1 000) m 9 significa que, después de fabricar 1 000 yardas de tejido, la cantidad a la cual se incrementa el costo de producción es de 9 dólaresYyarda. (Cuando x m 1 000, C se incrementa 9 veces tan rápido como x.) Dado que $x m 1 es pequeño si se le compara con x m 1 000, podría usarse la aproximación f 1 000 C x C 1 C y decimos que el costo de fabricación de las 1 000 yardas (o de la 1 001) es de casi 9 dólares. c) La razón a la cual se incrementa el costo de producción (por cada yarda) probablemente es inferior cuando x m 500 que cuando x m 50 (el costo de fabricación de la yarda 500 es menor que el costo de la yarda 50) debido a la escala económica. (El fabricante hace más eficiente el uso de los costos de producción fijos.) De manera que f (50)  f (500) Pero, conforme se expande la producción, el resultado de la operación a gran escala será ineficiente y con eso los costos de horas extra de trabajo. En estos términos, es posible que la razón de incremento de costos empezarán con el tiempo a subir. De este modo, es posible que suceda que f (5 000)  f (500) En el ejemplo siguiente estimaremos la razón de cambio de la deuda nacional respecto al tiempo. En este caso, la función no se define mediante una fórmula sino mediante una tabla de valores. t Dt 1980 1985 1990 1995 2000 2005 930.2 1 945.9 3 233.3 4 974.0 5 674.2 7 932.7 v EJEMPLO 7 Sea D(t) la deuda nacional de EU en el tiempo t. La tabla en el margen proporciona valores aproximados de esta función siempre que se estime a fin de año, en miles de millones de dólares, desde 1980 hasta 2005. Interprete y estime el valor de D(1990). SOLUCIÓN La derivada D(1990) significa la razón de cambio de D respecto a t cuando t m 1990, es decir, la razón de incremento de la deuda nacional en 1990. De acuerdo con la ecuación 5, D 1990 lím Dt t t l1990 D 1990 1990 Así que calculamos y tabulamos los valores del cociente de diferencias (la razón de cambio promedio) como sigue. t 1980 1985 1995 2000 2005 Una nota sobre unidades Las unidades de la razón de cambio promedio $D/$t son las unidades para $D divididas entre las unidades de $t, o sea, miles de millones de dólares por cada año. La razón de cambio instantánea es el límite de la razón de cambio promedio, de este modo, se mide en las mismas unidades: miles de millones de dólares por cada año. Dt t D 1990 1990 230.31 257.48 348.14 244.09 313.29 A partir de esta tabla vemos que D(1990) se localiza en alguna parte entre 257.48 y 348.14 miles de millones de dólares por cada año. [En este caso, está haciendo la suposición razonable de que la deuda no fluctuará de manera errática entre 1980 y el 2000.] Se estima que la razón de incremento de la deuda nacional de EU en 1990 fue el promedio de estos números, específicamente D(1990) y 303 miles de millones de dólares por cada año. Otro método sería una gráfica de la función deuda y estimar la pendiente de la recta tangente cuando t m 1990. 150 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS En los ejemplos 3, 6 y 7 aparecen tres casos específicos de razones de cambio: la velocidad de un objeto es la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo; el costo marginal es la razón de cambio del costo de producción respecto al número de artículos producidos; la razón de cambio de la deuda respecto al tiempo es de interés en economía. Existen otras razones de cambio: en física, la razón de cambio de trabajo respecto al tiempo se le denomina potencia. Los químicos que estudian una reacción química están interesados en la razón de cambio de la concentración de un reactivo respecto al tiempo (denominada velocidad de reacción). Un biólogo se interesa en la relación de cambio de la población de una colonia de bacterias respecto al tiempo. De hecho, el cálculo de razones de cambio es importante en todas las ciencias naturales, en la ingeniería e, incluso, en las ciencias sociales. En la sección 3.7 se darán más ejemplos. Todas estas razones de cambio son derivadas y pueden interpretarse como pendientes de rectas tangentes. Esto le confiere un significado adicional a la solución del problema de la tangente. Siempre que resuelve usted problemas en que intervienen rectas tangentes, no sólo resuelve un problema de geometría, también resuelve implícitamente gran variedad de problemas de las ciencias y la ingeniería, en que intervienen razones de cambio. Ejercicios 2.7 1. Una curva tiene la ecuación y m f (x). a) Escriba una expresión para la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P(3, f (3)) y Q(x, f (x)). b) Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente en P.  10. a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva  2. Dibuje la curva y m ex en los rectángulos de vista F1, 1G por F0, 2G, F0.5, 0.5G por F0.5, 1.5G y F0.1, 0.1G por F0.9, 1.1G. ¿Qué advierte acerca de la curva conforme hace un acercamiento hacia el punto (0, 1)? 3. a) Halle la pendiente de la recta tangente a la parábola y m 4x  x 2 en el punto (1, 3) i) usando la definición 1 ii) usando la ecuación 2 b) Encuentre la ecuación de la recta tangente del inciso a). c) Dibuje la parábola y la recta tangente. Como verificación de su trabajo, haga un acercamiento hacia el punto (1, 3) hasta que la parábola y la recta tangente sean indistinguibles.  4. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y m x  x 3 en el punto (1, 0) i) usando la definición 1 ii) usando la ecuación 2 b) Halle la ecuación de la recta tangente del inciso a). c) Dibuje la curva y la recta tangente en rectángulos de vista cada vez más pequeños centrados en (1, 0) hasta que parezcan coincidir la curva y la recta.  5-8 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 5. y 4x 3x 2, 7. y sx , (1, 1 2, 4 6. y 8. y x3 2x x 3x 1 , 2 1, 2, 3 b) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 5) y (2, 3). c) Grafique la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla.  y 1 sx en el punto donde x m a. b) Plantee las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (1, 1) y (4, 12 ). c) Grafique la curva y ambas rectas tangentes en una misma pantalla. 11. a) Una partícula empieza moviéndose a la derecha a lo largo de una recta horizontal; la gráfica de su función posición se muestra enseguida. ¿Cuándo se mueve la partícula a la derecha? ¿Cuándo a la izquierda? ¿Cuándo permanece inmóvil? b) Dibuje una gráfica de la función velocidad. s (metros) 4 2 0 2 6 t (segundos) 12. Se muestran las gráficas de las funciones posición de dos competidoras, A y B, quienes compiten en los 100 m y terminan en empate. s (metros) 80 1, 1 4 A 40 B 9. a) Determine la pendiente de la recta tangente a la curva y m 3  4x 2  2x 3 en el punto donde x m a.  Se requiere calculadora graficadora o computadora 0 4 8 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 12 t (segundos) SECCIÓN 2.7 t0 t 2 1, 24. Si J(x) m x4  2 encuentre J(1) y utilícela para encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y m x4  2 en el punto (1, 1). 14. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba en el planeta 25. a) Si F(x) m 5xY(1  x2), encuentre F(2) y utilícela para  encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva y m 5xY(1  x2) en el punto (2, 2). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. a) Si G(x) m 4x2  x3, encuentre G(a) y utilícela para 15. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se en línea recta esta dado por s m t  8t  18, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio en cada intervalo de tiempo: i) F3, 4G ii) F3.5, 4G iii) F4, 5G iv) F4, 4.5G b) Halle la velocidad instantánea cuando t m 4. c) Dibuje la grafica de s como función de t y trace las rectas secantes cuyas pendientes son las velocidades promedio en el inciso a) y la recta tangente cuya pendiente es la velocidad instantánea en el inciso b). t 4
. 0, t 0
t x la ecuación de la recta tangente a la curva y m 3x2  x3 en el punto (1, 2). con una velocidad de 40 piesYs, su altura (en pies) una vez que transcurren t segundos, está dada por y m 40t  16t 2. Encuentre la velocidad cuando t m 2. 16. El desplazamiento (en metros) de una partícula que se mueve t2 t4 0, t 1 t 3
y lím x l 1, lím x l
t x 23. Si f (x) m 3x2  x3, encuentre f (1) y utilícela para encontrar 13. Si una pelota se lanza al aire verticalmente hacia arriba, mueve en línea recta está dado por la ecuación de movimiento s m 1Yt 2, donde t se mide en segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes t m a, t m 1, t m 2 y t m 3. 151 22. Dibuje la grafica de una función J para la cual a) Describa y compare cómo desarrollaron la carrera las competidoras. b) ¿En qué momento hay la mayor distancia entre las competidoras? c) ¿En qué momento tienen la misma velocidad? Marte con una velocidad de 10 mYs, su altura (en metros) después de t segundos está dada por H m 10t  1.86t 2. a) Halle la velocidad de la roca después de un segundo. b) Halle la velocidad de la roca cuando t m a. c) ¿Cuándo caerá la roca a la superficie? d) ¿Con qué velocidad la roca chocará contra la superficie? DERIVADAS Y RAZONES DE CAMBIO  encontrar las rectas tangentes a la curva y m 4x2  x3 en los puntos (2, 8) y (3, 9). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y las rectas tangentes en la misma pantalla. 27-32 Encuentre f a) en cada una de las siguientes funciones. 2 17. Para la función J cuya gráfica está dada, reordene los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento. 0 J(2) J(0) J(2) J(4) 27. f x 3x 2 29. f t 2t t 31. f x s1 y=© 33. lím 0 1 2 3 h l0 35. lím 37. lím 4 x 18. Halle una ecuación de la recta tangente a la gráfica de y m J(x) en x m 5 si J(5) m 3 y J(5) m 4. 19. Si la ecuación de la recta tangente a la curva y m f (x) en el punto donde a m 2 es y m 4x  5, encuentre f (2) y f (2). 20. Si la recta tangente a y m f (x) en (4, 3) pasa a través del punto (0, 2), halle f (4) y f (4). 21. Dibuje la gráfica de una función f para la cual f (0) m 0, f (0) m 3, f (1) m 0 y f (2) m 1. 1 3 28. f t 2t 3 30. f x x t 2 4 32. f x 2x h 10 h 1 2x x 1 34. lím s1 cos 4 16 s x h 36. lím xlp 4 h 1 38. lím h t l1 2 h h l0 32 5 h l0 _1 1 33-38 Cada uno de los siguientes límites representa la derivada de alguna función f en algún número x m a. Establezca una f y una a en cada caso. x l5 y 4x tan x x t4 1 4 t t 2 1 39-40 Una partícula se desplaza a lo largo de una línea recta con ecuación de movimiento s m f (t), donde s se mide en metros y t en segundos. Halle la velocidad y la rapidez cuando t m 5. 39. f t 100 40. f t t 1 50t 4.9t 2 t 41. Una lata de gaseosa tibia se pone a enfriar en un refrigerador. Grafique la temperatura de la gaseosa como función del tiempo. ¿La razón de cambio inicial de la temperatura es mayor o menor que la relación de cambio después de una hora? 42. Se saca un pavo asado del horno cuando su temperatura ha alcanzado 185F y se coloca sobre la mesa de un cuarto donde 152 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS la temperatura es de 75F. En la gráfica se muestra cómo disminuye la temperatura del pavo y, finalmente, tiende a la temperatura del cuarto. Por medio de la medición de la pendiente de la recta tangente, estime la razón de cambio de la temperatura después de una hora. b) Halle la razón de cambio instantáneo de C respecto a x, cuando x m 100. (Esto se conoce como costo marginal. En la sección 3.7 se explica su significado.) 46. Si un tanque cilíndrico contiene 100 000 galones de agua que se pueden drenar por el fondo del depósito en 1 h, entonces la ley de Torricelli da el volumen V del agua que queda después de t minutos como T (
F) 200 P Vt 100 000 (1 100 0 30 60 90 120 150 t (min) 43. La tabla muestra el número N de usuarios de telefonía celular en EU. (Se proporcionan estimaciones semestrales.) t 1996 1998 2000 2002 2004 2006 N 44 69 109 141 182 233 a) Halle la razón de crecimiento promedio de celulares i) de 2002 a 2006 ii) de 2002 a 2004 iii) de 2000 a 2002 En cada caso, incluya las unidades. b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 tomando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2002 midiendo la pendiente de una recta tangente. 44. En la tabla se proporciona el numero N de establecimientos de una popular cadena de cafeterías. (Se dan los números de establecimientos al 1 de octubre.) Año 2004 2005 2006 2007 2008 N 8569 10 241 12 440 15 011 16 680 a) Determine la tasa promedio de crecimiento i) desde 2006 hasta 2008 ii) desde 2006 hasta 2007 iii) de 2005 hasta 2006 En cada caso incluya las unidades. b) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 considerando dos razones de cambio promedio. ¿Cuáles son sus unidades? c) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2006 midiendo la pendiente de una recta tangente. d) Estime la razón de crecimiento instantáneo en 2007 y compárela con la razón de crecimiento en 2006. ¿Qué concluye? 45. El costo (en dólares) de producir x unidades de cierto artículo es C(x) m 5 000  10x  0.05x 2. a) Encuentre la razón de cambio promedio de C respecto a x, cuando cambia el nivel de producción: i) de x m 100 a x m 105 ii) de x m 100 a x m 101 1 60 t) 2 0 t 60 Encuentre la rapidez con que fluye el agua hacia afuera del tanque (la razón de cambio instantáneo de V respecto a t) como función de t. ¿Cuáles son sus unidades? Para los instantes t m 0, 10, 20, 30, 40, 50 y 60 min, encuentre el gasto y la cantidad de agua que queda en el tanque. Resuma sus hallazgos en una frase o dos. ¿En qué instante el gasto es máximo? ¿Cuándo es mínimo? 47. El costo de producir x onzas de oro a partir de una reciente mina de oro es C m f (x) dólares. a) ¿Cual es el significado de la derivada f (x)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Que significa establecer f (800) m 17? c) Qué piensa usted: ¿los valores de f (x) se incrementarán o disminuirán en corto plazo? ¿Y a largo plazo? Explique. 48. El número de bacterias después de t horas en un experimento controlado de laboratorio es n m f (t). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f (5)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Considere que existe una cantidad de espacio y nutrientes para la bacteria. Qué cree usted: ¿Es mayor f (5) o f (10)? Si se limita el suministro de nutrientes, ¿afectaría su conclusión? Explique. 49. Sea T(t) la temperatura (en F) en Phoenix t horas después de la medianoche del 10 de septiembre de 2008. La tabla muestra los valores de esta función registrada cada dos horas. ¿Cuál es el significado de T(8)? Estime su valor. t 0 2 4 6 8 10 12 14 T 82 75 74 75 84 90 93 94 50. La cantidad (en libras) de un café que es vendido por una compañía en un precio de p dólares por cada libra es Q m f (p). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f (8)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿f (8) es positiva o negativa? Explique. 51. La cantidad de oxígeno que puede disolverse en agua depende de la temperatura de ésta. (De esa manera la polución térmica induce el contenido de oxígeno en el agua.) La gráfica muestra REDACCIÓN DE PROYECTO cómo varia la solubilidad S de oxígeno como una función de la temperatura del agua T. a) ¿Cuál es el significado de la derivada S(T)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Estime e interprete el valor de S(16). PRIMEROS MÉTODOS PARA ENCONTRAR TANGENTES 153 b) Estime los valores de S(15) y S(25) e interprételos. S (cm/s) 20 S (mg / L) 16 0 8 T (
C) 53-54 Determine si f (0) existe en cada una de las siguientes funciones. 4 0 20 10 12 8 16 24 32 40 T (
C) Adaptada de Environmental Science: Living Within the System of Nature, 2a. ed.; por Charles E. Kupchella, © 1989. Reimpreso con autorizacion de Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, N.J. 52. La grafica muestra la influencia de la temperatura T en la rapidez máxima sostenible de nado del salmón Coho. a) ¿Cuál es el significado de la derivada S(T)? ¿Cuáles son sus unidades? REDACCIÓN DE PROYECTO 53. f x x sen 1 x 0 54. f x x 2 sen 0 1 x si x 0 si x 0 si x 0 si x 0 PRIMEROS MÉTODOS PARA ENCONTRAR TANGENTES La primera persona en formular explícitamente las ideas de límites y derivadas fue Isaac Newton en la década de 1660. Pero Newton reconoció: “Si he visto más lejos que otros hombres, es porque he estado parado sobre los hombros de gigantes”. Dos de esos gigantes fueron Pierre Fermat (1601-1665) y el maestro de Newton en Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677). Newton estaba familiarizado con los métodos que estos hombres habían aplicado para hallar rectas tangentes, y los métodos de ambos tuvieron que ver con la formulación final del cálculo a la que llegó Newton. Las siguientes referencias contienen explicaciones de estos métodos. Lea una o varias de estas referencias y escriba un informe en que compare los métodos de Fermat o de Barrow con los métodos modernos. En particular, aplique el método de la sección 2.7 para hallar la ecuación de la recta tangente a la curva y m x 3  2x en el punto (1, 3) y muestre cómo habrían resuelto Fermat o Barrow el mismo problema. Aunque usted usó derivadas y ellos no, señale las semejanzas entre los dos métodos. 1. Carl Boyer y Uta Merzbach, A History of Mathematics (Nueva York: Wiley, 1989), pp. 389, 432. 2. C. H. Edwards, The Historical Development of the Calculus (Nueva York: Springer-Verlag, 1979), pp. 124, 132. 3. Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, 6a. ed. (Nueva York: Saunders, 1990), pp. 391, 395. 4. Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Nueva York: Oxford Uni- versity Press, 1972), pp. 344, 346. 154 2.8 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS La derivada como una función En la sección anterior consideramos la derivada de una función f en un número fijo x m a: 1 .f a lím f a hl0 h h f a Ahora cambiaremos el punto de vista y haremos que el número x m a varíe. Si en la ecuación 1 reemplaza a con una variable x, obtenemos 2 f x lím hl0 f x h h f x Dado cualquier numero x para el cual este límite exista, asignamos a x el número f (x). De modo que consideramos a f  como una nueva función, llamada derivada de f y definida por medio de la ecuación 2. Sabemos que el valor de f  en x, f (x) puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x, f (x)). La función f  se conoce como derivada de f porque se ha “derivado” de f por medio de la operación de hallar el límite en la ecuación 2. El dominio de f  es el conjunto Hx U f (x) existeJ y puede ser menor que el dominio de f. v EJEMPLO 1 En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f. Utilícela para dibujar la gráfica de la derivada f . y y=ƒ 1 0 1 x FIGURA 1 SOLUCIÓN Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de x, trazando la tangente en el punto (x, f (x)) y estimando su pendiente. Por ejemplo, para x m 5, trace 3 la recta tangente en P de la figura 2a) y estime su pendiente alrededor de 2, por tanto, f (5) y 1.5. Esto nos permite situar el punto P(5, 1.5) en la gráfica de f  directamente debajo de P. Si repite este procedimiento en varios puntos, se obtiene la gráfica que se muestra en la figura 2b). Advierta que las tangentes en A, B y C son horizontales, de modo que la derivada es 0 allí, y la gráfica de f  cruza el eje x en los puntos A, B y C, directamente debajo de A, B y C. Entre A y B las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que f (x) es positiva allí. Pero entre B y C las tangentes tienen pendiente negativa, de modo que f (x) allí es negativa. SECCIÓN 2.8 155 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN y B m=0 m=0 1 y=ƒ A 0 1 3 P mÅ2 x 5 m=0 C a) y TEC Visual 2.8 muestra una animación de la figura 2 para diferentes funciones. P ª (5, 1.5) y=fª(x) 1 0 Bª Aª Cª 1 x 5 FIGURA 2 b) v EJEMPLO 2 a) Si f (x) m x 3  x, encuentre una fórmula para f (x). b) Ilústrela comparando las gráficas de f y f . SOLUCIÓN a) Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es h y que x se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite. f x lím f x hl0 lím x3 h h 3x 2h f x lím hl0 3x 2h 3xh 2 h h 3 x 3xh 2 h3 h3 h h h x3 x 1 3x 2 h hl0 hl0 lím x x h lím 3x 2 hl0 x3 3xh x h2 1 156 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS b) Use un dispositivo de graficación para trazar las graficas de f y f  de la figura 3. Note que f (x) m 0 cuando f tiene tangentes horizontales y que f (x) es positiva cuando las tangentes tienen pendientes positivas. De modo que estas graficas sirven como comprobación de nuestra solución del inciso a).   F{ F ?  FIGURA 3 ?  ? EJEMPLO 3 ? sx , encuentre la derivada de f. Establezca el dominio de f . Si f x SOLUCIÓN f x f x lím h h h l0 Aquí, racionalice el numerador lím lím h l0 h h sx x h h x h (sx 1 1 sx  lím sx h h h h sx sx h l0 sx h l0 y f x sx sx lím sx ) h l0 sx 1 h sx sx 1 2sx sx x  Observe que f (x) existe si x  0, de modo que el dominio de f  es (0, @) y es menor que el dominio de f, F0, @). a)  ” X y 1  x  1 b) F { X  2 X” Compruebe que el resultado del ejemplo 3 es razonable observando las graficas de f y f  en la figura 4. Cuando x esta cerca de 0, sx está cerca de 0, por tanto, f x 1 (2sx ) es muy grande, y esto corresponde a rectas tangentes muy empinadas cerca de (0, 0) de la figura 4a), y a valores grandes de f (x) justo a la derecha de 0 en la figura 4b). Cuando x es grande, f (x) es muy pequeña, y esto corresponde a rectas tangentes más aplanadas en la extrema derecha de la gráfica de f y a la asíntota horizontal de la gráfica de f . EJEMPLO 4 FIGURA 4 1 2 Encuentre f  si f x x . x SOLUCIÓN f x a b c d e ad bc bd 1 e lím f x h h hl0 lím x h 2 h2 2 x 2h hl0 lím hl0 h2 x x x h h h 1 x 2 h 2 x x lím hl0 1 hl0 lím f x 1 2 3h h 2 x x x2 h2 xh x x 2 h 2 lím hl0 2 x x x 1 2 x x h h x2 3 h 2 xh 3 x 2 x 2 SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 157 Otras notaciones Si usamos la notación tradicional y m f (x) para indicar que la variable independiente es x y la dependiente es y, entonces algunas otras notaciones comunes para la derivada son: f x Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz nació en Leipzig, en 1646, y estudio leyes, teología, filosofía y matemáticas en la universidad de allí. Obtuvo el grado de bachiller a los 17 años. Después de lograr su doctorado en leyes a la edad de 20, ingresó al servicio diplomático y pasó la mayor parte de su vida viajando por las capitales de Europa, en misiones diplomáticas. En particular, trabajó para conjurar una amenaza militar francesa contra Alemania e intentó reconciliar las Iglesias católica y protestante. Su estudio formal de las matemáticas no se inició sino hasta 1672, cuando se encontraba en una misión diplomática en París. Allí construyó una máquina para realizar cálculos y se encontró con científicos, como Huygens, quienes dirigieron su atención hacia los desarrollos más recientes en las matemáticas y las ciencias. Leibniz se empeñó en desarrollar una lógica simbólica y un sistema de notación que simplificara el razonamiento lógico. En su versión del Cálculo, que publicó en 1684, estableció la notación y las reglas para hallar derivadas que aún se usan en la actualidad. Por desgracia, en la década de 1690 surgía una terrible disputa entre los seguidores de Newton y los de Leibniz acerca de quién había inventado el Cálculo. Leibniz incluso fue acusado de plagio por los miembros de la Real Academia de Inglaterra. La verdad es que cada uno lo inventó por separado. Newton llegó primero a su versión del Cálculo; pero, debido a su temor a la controversia, no la publicó de inmediato. Por tanto, el informe de Leibniz del Cálculo en 1684 fue el primero en publicarse. dy dx y df dx d f x dx Df x Dx f x Los símbolos D y dYdx se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada. El símbolo dyYdx, introducido por Leibniz, no debe considerarse como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de f (x). No obstante, es una notación útil y sugerente, en especial cuando se usa en la notación de incrementos. Con base en la ecuación 2.7.6, puede volver a escribir la definición de derivada en la notación de Leibniz en la forma dy dx lím xl0 y x Si desea indicar el valor de una derivada dyYdx en la notación de Leibniz en un número específico x m a, use la notación dy dx o bien x a dy dx x a que es un sinónimo para f (a). 3 Definición Una función f es derivable en x m a si f (a) existe. Es derivable sobre un intervalo abierto (a, b) Fo (a, @) o (@, a) o (@, @)G si es derivable en todo número del intervalo. v EJEMPLO 5 ¿Dónde es derivable la función f (x) m U x U? SOLUCIÓN Si x  0, entonces U x U m x y podemos elegir h lo suficientemente pequeño de modo que x  h  0, de aquí que U x  h U m x  h. Por tanto, para x  0 tenemos f x x lím hl0 lím hl0 h h h h x lím x hl0 lím 1 h h x 1 hl0 y, por consiguiente, f es derivable para cualquier x  0. De manera análoga, para x 0 se tiene que U x U m x y se puede elegir h lo suficientemente pequeña para que x  h 0 y, así, U x  h U m (x  h). Por tanto, para x 0, f x lím x hl0 lím hl0 h h así que f es derivable para cualquier x h h x x lím hl0 lím hl0 0. 1 1 h h x 158 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Para x m 0 debemos investigar f 0 f 0 lím h h hl0 y 0 lím f 0 h h hl0 0 si existe . Calcule por separado los límites por la izquierda y por la derecha: a) Y\ X \ 0 lím x  h l0 y lím 0 h l0 h h h h 0 h h lím h l0 0 lím h l0 h h lím h l0 h h lím 1 h l0 h h lím h l0 lím h l0 1 1 1 y 1 x  Puesto que estos límites son diferentes, f (0) no existe. Así, f es derivable en toda x, excepto en x m 0. La fórmula para f  está dada por ? f x 1 1 b) YF{ X FIGURA 5 si x si x 0 0 y su gráfica aparece en la figura 5b). La inexistencia de f (0) se refleja geométricamente en el hecho de que la curva y m U x U no tiene una recta tangente en (0, 0). [Véase la figura 5a).] Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función. El teorema siguiente muestra cómo se relacionan estas propiedades. 4 Teorema Si f es derivable en x m a, entonces f es continua en x m a. DEMOSTRACIÓN Para demostrar que f es continua en x m a, debemos demostrar que lím x l a f x f a . Para esto empezamos por probar que la diferencia f (x)  f (a) tiende a 0. La información dada es que f es derivable en x m a; es decir, f a RP Un aspecto importante de la solución de problemas es intentar encontrar una conexión entre lo dado y lo desconocido. Consulte el paso 2 (Piense en un plan) en Principios para la resolución de problemas, en la página 75. lím xla f x x f a a existe (véase la ecuación 2.7.5). Para relacionar lo dado con lo desconocido, divida y multiplique f (x)  f (a) por x  a (lo cual es posible cuando x o a): f x f x x f a f a a x a De este modo, si usamos la ley del producto y la ecuación (2.7.5), podemos escribir lím f x xla f a lím f x x f a a lím xla f x x f a a f a 0 xla 0 x a lím x xla a SECCIÓN 2.8 159 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN Para utilizar lo que acabamos de demostrar, comenzamos con f (x) y sumamos y restamos f (a): lím f x lím f a xla f x xla lím f a lím f x xla f a f a f a xla 0 f a En consecuencia, f es continua en x m a. R NOTA El inverso del teorema 4 es falso; es decir, hay funciones que son continuas, pero que no son derivables. Por ejemplo, la función f (x) m U x U es continua en x m 0 porque lím f x lím x xl0 xl0 0 f 0 (Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero en el ejemplo 5 demostramos que f no es derivable en x m 0. ¿Cómo deja de ser derivable una función? y recta tangente vertical 0 a x En el ejemplo 5 vimos que la función y m U x U no es derivable en x m 0 y en la figura 5a) se muestra que su gráfica cambia de dirección repentinamente cuando x m 0. En general, si la gráfica de una función f tiene “esquinas” o “picos”, la gráfica de f no tiene recta tangente en esos puntos y f no es derivable allí. [Al intentar calcular f (a), encontramos que los limites por la izquierda y por la derecha son diferentes.] El teorema 4 señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que si f no es continua en a, entonces f no es derivable en x m a. Por ende, en cualquier discontinuidad (p. ej., una discontinuidad de salto), f no es derivable. Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando x m a; es decir, f es continua en x m a y lím f x FIGURA 6 xla Esto significa que las rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando x l a. En la figura 6 se muestra una forma en que esto puede suceder; la figura 7c) ilustra otra. Las tres posibilidades recién analizadas se ilustran en la figura 7. y 0 FIGURA 7 Tres maneras para que ƒ no sea derivable en x
a y a a) Una esquina o pico x 0 y a b) Una discontinuidad x 0 a x c) Una tangente vertical Una calculadora graficadora o una computadora ofrecen otra manera de ver la derivabilidad. Si f es derivable en x m a, entonces, con un acercamiento al punto (a, f (a)), la gráfica 160 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS se alinea y adquiere más y más la apariencia de un recta. (Véase la figura 8. Un ejemplo específico es la figura 2 de la sección 2.7.) Pero no importa cuánto se acerque a puntos como los de las figuras 6 y 7a): no puede eliminar el punto agudo o esquina. (Véase la figura 9.) y y 0 a 0 x a x FIGURA 8 FIGURA 9 ƒ es derivable en x
a. ƒ no es derivable en x
a. Derivadas superiores Si f es una función derivable, entonces su derivada f  también es una función, así que f  puede tener una derivada de sí misma, señalada por (f ) m f . Esta nueva función f  se denomina segunda derivada de f porque es la derivada de la derivada de f. Utilizando la notación de Leibniz, la segunda derivada de y m f (x) se escribe como d dx EJEMPLO 6 d 2y dx 2 dy dx Si f (x) m x3  x, halle e interprete f (x). SOLUCIÓN En el ejemplo 2 encontramos que la primera derivada es f (x) m 3x2  1. Así que la segunda derivada es f x  F“ F{ F f x lím f x h h 3x h h l0 lím f x 2 h l0 ?  lím 3x 2 6xh h l0 1 h 3x 2 1 3h 2 h 1 3x 2 1 ? FIGURA 10 TEC En Module 2.8 puede usted ver cómo cambian los coeficientes de un polinomio f y cómo afectan el aspecto de la gráfica de f, f  y f . lím 6x h l0 3h 6x Las gráficas de f, f  y f  se exhiben en la figura 10. Puede interpretarse f (x) como la pendiente de la curva y m f (x) en el punto (x, f (x)). En otras palabras, es la razón de cambio de la pendiente de la curva original y m f (x). Observe de la figura 10 que f (x) es negativa cuando y m f (x) tiene pendiente negativa y es positiva cuando y m f (x) tiene pendiente positiva. De esta manera, las gráficas sirven como una comprobación de sus cálculos. En general, puede interpretarse una segunda derivada como una razón de cambio de una razón de cambio. El ejemplo más conocido es la aceleración, que se define como sigue. SECCIÓN 2.8 LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 161 Si s m s(t) es la función posición de un objeto que se desplaza en línea recta, su primera derivada representa la velocidad v(t) del objeto como una función del tiempo: v t ds dt s t A la razón de cambio de la velocidad instantánea respecto al tiempo se le llama aceleración a(t) del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y, en consecuencia, es la segunda derivada de la función posición: at v t s t o en la notación de Leibniz dv dt a d 2s dt 2 La tercera derivada f es la derivada de la segunda derivada: f m (f ). De este modo, f (x) puede interpretarse como la pendiente de la curva y m f (x) o como la razón de cambio de f (x). Si y m f (x), entonces, las notaciones alternativas para la tercera derivada son y f d dx x d2y dx 2 d 3y dx 3 El proceso puede continuar. La cuarta derivada f usualmente se denota mediante f (4). En general, la n-ésima derivada de f se denota mediante f (n) y se obtiene derivando n veces a f. Si y m f (x), escribimos dny fn x yn dx n EJEMPLO 7 Si f (x) m x3  x, halle f (x) y f (4)(x). SOLUCIÓN En el ejemplo 6 encontramos que f (x) m 6x. La gráfica de la segunda derivada tiene ecuación y m 6x y, de este modo, es una línea recta con pendiente 6. Ya que la derivada f (x) es la pendiente de f (x), se tiene x f 6 para todos los valores de x. Así, f es una función constante y su gráfica es una recta horizontal. En consecuencia, para todos los valores de x, f 4 x 0 Puede interpretarse físicamente la tercera derivada en el caso donde la función es la función posición s m s(t) de un objeto que se desplaza a lo largo de una línea recta. Como s m (s) m a, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le denomina jerk (tirón): j da dt d 3s dt 3 Así, el jerk, j, es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento repentino en un vehículo. Se ha visto que una aplicación de la segunda y tercera derivada sucede al analizar el movimiento de objetos empleando aceleración y jerk. Se investigará otra aplicación de la segunda derivada en la sección 4.3, donde se muestra cómo el conocer f  proporciona información acerca de la forma de la gráfica de f. En el capítulo 11 veremos cómo la segunda derivada y las derivadas superiores nos permiten representar funciones como sumas de series infinitas. 162 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS Ejercicios 2.8 1-2 Utilice la gráfica que se proporciona para estimar el valor de 4-11 Trace o copie la gráfica de la función dada f. (Suponga que los cada derivada. Luego dibuje f . ejes tienen escalas iguales.) Luego aplique el método del ejemplo 1 para trazar la gráfica de f  debajo de ella. 1. a) f b) c) d) e) f) g) f f f f f f y 3 2 1 1 0 1 2 3 x 1 0 5. 2. a) f 0 b) c) d) e) f) g) h) f f f f f f f x 6. y 1 0 0 7. y b) 0 x 0 x 1 y 0 x 8. y 0 con las gráficas de sus derivadas en las figuras I a IV. Dé las razones para sus selecciones. 9. x 10. y d) 0 0 y II 0 y 11. 0 x x x y x 0 x 12. Se muestra la gráfica de la función población P(t) para células de levadura en un cultivo de laboratorio. Utilice el método P (células de levadura) III y IV 0 y x 0 500 x 0  x y 0 I x x y x x y 0 y 0 c) y y 1 2 3 4 5 6 7 3. Relacione la gráfica de cada función dada en las figuras a)-d) a) y 4. Se requiere calculadora graficadora o computadora 5 10 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 15 t (horas) SECCIÓN 2.8 del ejemplo 1 para dibujar la derivada P(t). ¿Qué indica la gráfica de P acerca de la población de levadura? 18. f (x) m ln x 13. Una batería recargable se conecta con un cargador. La gráfica  19. Sea f (x) m x 2. muestra C(t), el porcentaje de capacidad que la batería alcanza como una función del tiempo t transcurrido (en horas). C 100 80 60  20. Sea f (x) m x 3. 40 1 a) Estime los valores de f 0 , f ( 2 ), f 1 , f 2 y f 3 usando un dispositivo graficador para hacer un acercamiento sobre la grafica de f. b) Aplique la simetría para deducir los valores de f ( 12 ), f 1 , y f (2) y f (3). c) Utilice los valores de los incisos a) y b) para trazar la gráfica de f . d) Proponga una fórmula para f (x). e) Aplique la definición de derivada para probar que su propuesta del inciso d) es correcta. 20 2 4 6 8 t (horas) 10 12 14. La gráfica (proporcionada por el Departamento de Energía de EU) muestra cómo afecta la rapidez de manejo el consumo de combustible. La economía F se mide en millas por galón, y la rapidez v se mide en millas por hora. a) ¿Cuál es el significado de la derivada F(v)? b) Trace la gráfica de la derivada de F(v). c) ¿A qué rapidez debería manejar si quiere ahorrar combustible? F  163 a) Estime los valores de f 0 , f ( 12 ), f 1 , y f 2 usando un dispositivo graficador para hacer un acercamiento sobre la grafica de f. b) Utilice la simetría para deducir los valores de f ( 12 ) f 1 y f (2). c) Con los resultados de los incisos a) y b), proponga una fórmula para f (x). d) Aplique la definición de derivada para probar que su propuesta del inciso c) es correcta. a) ¿Cuál es el significado de la derivada C(t)? b) Trace la gráfica de C(t). ¿Qué le indica la gráfica? porcentaje de carga LA DERIVADA COMO UNA FUNCIÓN 21-31 Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones aplicando la definición de derivada. Establezca los dominios de la función y de su derivada. (mi gal) 21. f x 1 2  23. f t         
(mi h) 15. La gráfica ilustra cómo ha variado la edad promedio en que contraían matrimonio por primera vez los hombres japoneses en la segunda mitad del siglo xx. Trace la gráfica de la función derivada M(t). ¿Durante cuáles años fue negativa la derivada? M 1 3 22. f x mx 5t 9t 2 24. f x 1.5x 2 25. f x x2 2x 3 26. t t 1 st 27. t x s9 x 28. f x x2 2x 29. G t 1 3 2t t 30. f x x3 2 31. f x x4 x b x 3.7 1 3 s6 x a partir de la gráfica y sx y aplicando las transformaciones de la sección 1.3. b) Use la gráfica del inciso a) para trazar la gráfica de f . c) Aplique la definición de derivada para hallar f (x). ¿Cuáles son los dominios de f y de f ? d) Utilice un dispositivo graficador para trazar la grafica de f  y compárela con su trazo del inciso b). 32. a) Dibuje la gráfica de f x 27 25  1960 1970 1980 1990 2000 t 33. a) Si f (x) m x4  2x, encuentre f (x).  16-18 Trace una gráfica cuidadosa de f y debajo de ella la grafica de f  de la misma manera que en los ejercicios 4-11. ¿Puede intuir una fórmula para f (x) a partir de su gráfica? 16. f (x) m sen x 17. f (x) m ex b) Vea si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y de f . 34. a) Si f (x) m x  1Yx, encuentre f (x).  b) Vea si su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y de f . 164 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 35. La tasa de desempleo U(t) varía con el tiempo. La tabla del 43. La figura muestra las graficas de f, f  y f . Indique cada curva y Bureau of Labor Statistics (Oficina de Estadísticas de Empleo) proporciona el porcentaje de desempleados en la fuerza laboral de EU de 1999 a 2008. explique el porqué de su elección. y a t Ut t Ut b 1999 2000 2001 2002 2003 4.2 4.0 4.7 5.8 6.0 2004 2005 2006 2007 2008 5.5 5.1 4.6 4.6 5.8 c a) ¿Cuál es el significado de U(t)? ¿Cuáles son sus unidades? b) Elabore una tabla de valores estimados para U(t). x 44. La figura muestra gráficas de f, f , f  y f . Identifique cada curva y explique las razones de su elección. 36. Sea P(t) el porcentaje de estadounidenses por debajo de 18 años de edad en el instante t. La tabla proporciona valores de esta función en los años en que se levantó un censo de 1950 a 2000. a) b) c) d) t P t t P t 1950 1960 1970 31.1 35.7 34.0 1980 1990 2000 28.0 25.7 25.7 37-40 Se proporciona la gráfica de f. Establezca con argumentos, los números en los cuales f no es derivable. 38. y _2 0 45. La figura exhibe las gráficas de tres funciones. Una es la función posición de un automóvil, otra es la velocidad del mismo, y la de su aceleración. Identifique cada curva y explique las razones de su elección. y y a b 0 x 2 a b c d x ¿Cuál es el significado de P(t)? ¿Cuáles son sus unidades? Elabore una tabla de valores para P(t). Dibuje P y P. ¿Cómo sería posible obtener valores más precisos para P(t)? 37. y 2 4 c x t 0 39. 40. y _2 0 4 x y _2 0 2 x 46. La figura muestra las gráficas de cuatro funciones relacionadas con el movimiento de un automóvil: la de posición, la de velocidad, la de aceleración y la del jerk. Identifique cada curva y explique los motivos de su elección. x s x . Haga acercamientos sucesivos primero hacia el punto (1, 0) y luego en dirección al origen. ¿Qué diferencia existe en cuanto al comportamiento de f en las cercanías de estos dos puntos? ¿Qué conclusiones infiere acerca de la derivabilidad de f? y  42. Haga un acercamiento hacia los puntos (1, 0), (0, 1) y (1, 0) 0  41. Grafique la función f x sobre la gráfica de la función J(x) m (x2  1)2Y3. ¿Que observa? Registre lo que observa en términos de la derivabilidad de J. a d b c t CAPÍTULO 2  47-48 Utilice la definición de derivada para hallar f (x) y f (x). Después, grafique f, f  y f  en una misma pantalla y verifique para ver si sus respuestas son razonables. 3x 2 2x 1 47. f x 48. f x x 3 3x REPASO 165 55. a) Dibuje la gráfica de la función f (x) m x U x U. b) ¿Para qué valores de x es f derivable? c) Encuentre una fórmula para f . 56. Las derivadas por la izquierda y por la derecha de f en x m a están definidas por  49. Si f (x) m 2x2  x3, encuentre f (x), f (x) y f (x) y f(4)(x). Grafique f, f  f  y f en una misma pantalla. ¿Las gráficas son consistentes con la interpretación geométrica de estas derivadas? 50. a) Se muestra la gráfica de una función posición de un automóvil, donde s se mide en pies y t en segundos. Utilice la gráfica de la velocidad y la aceleración del automóvil. ¿Cuá1 es la aceleración en t m 10 segundos? s y f a f a 100 3 x. s a) Si a o 0, utilice la ecuación 2.7.5 para hallar f (a). b) Demuestre que f (0) no existe. 3 c) Demuestre que y s x tiene una recta tangente vertical en (0, 0). (Recuerde: la forma de la función de f. Véase la figura 13 de la sección 1.2.) 51. Sea f x 52. a) Si J(x) m x2Y3, demuestre que J(0) no existe. b) Si a o 0, encuentre J(a). c) Demuestre que y m x2Y3 tiene una recta tangente vertical en (0, 0). d) Ilustre el inciso c) graficando y m x2Y3. 53. ¿Demuestre que la función f(x) m U x  6 U no es derivable en x m 6. Encuentre una fórmula para f  y trace su gráfica. 54. ¿Dónde no es derivable la función entero mayor f(x) m V x B? Encuentre una fórmula para f  y trace su gráfica. 2 lím f a h h f a 0 5 x 1 x si x si 0 0 x si x 4 4 t 20 b) Utilice la curva de aceleración del inciso a) para estimar el jerk en t m 10 segundos. ¿Cuáles son las unidades del jerk?  f a h l0 5 10 h h si estos límites existen. En tal caso, f (a) existe si y sólo si estas derivadas laterales existen y son iguales. a) Halle f  (4) y f  (4) para la función f x 0 f a lím h l0 b) Dibuje la grafica de f c) ¿Dónde es discontinua f? d) ¿Dónde f no es derivable? 57. Recuerde que a una función f se le denomina par si f (x) m f (x) para toda x en su dominio, e impar si f (x) m f (x) para toda x. Demuestre cada uno de los siguientes enunciados a) La derivada de una función par es una función impar. b) La derivada de una función impar es una función par. 58. Cuando abre el grifo del agua caliente, la temperatura T del agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo. a) Trace una posible gráfica de T como función del tiempo transcurrido desde que abrió el grifo. b) Describa cómo varía la razón de cambio de T respecto a t, conforme ésta aumenta. c) Dibuje la derivada de T. 59. Sea e la recta tangente a la parábola y m x 2 en el punto (1, 1). El ángulo de inclinación de e es el ángulo  que e forma con la dirección positiva del eje x. Calcule  con una aproximación al grado más cercano. Repaso Verificación de conceptos 1. Explique qué significa cada una de las siguientes afirmaciones e ilustre mediante un esbozo. a) lím f x x la c) lím f x x la e) lím f x x l
L L L 2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilustre con gráficas. b) lím f x x la d) lím f x x la L
3. Enuncie las siguientes leyes de los límites. a) c) e) g) Ley de la suma Ley del múltiplo constante Ley del cociente Ley de la raíz b) Ley de la diferencia d) Ley del producto f) Ley de la potencia 166 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 4. ¿Qué establece el teorema de la compresión? velocidad instantánea de un objeto en el instante t m a. ¿Cómo puede interpretar esta velocidad en términos de la grafica de f? 5. a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x m a es una asíntota vertical de la curva y m f (x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. b) ¿Qué significa decir que la recta y m L es una asíntota horizontal de la curva y m f (x)? Dibuje curvas para ilustrar las diversas posibilidades. 11. Si y m f (x) y x cambia de x1 a x2, escriba expresiones para lo siguiente. a) La razón promedio de cambio de y respecto a x a lo largo del intervalo Fx1, x2G. b) La razón de cambio instantáneo de y respecto a x en x m x1. 6. ¿Cuál de las curvas siguientes tiene asíntotas verticales? ¿Cuál tiene asíntotas horizontales? (a) y x 4 (c) y tan x (e) y e x (g) y 1 x (b) (d) (f) (h) sen x tan 1x ln x sx y y y y 12. Defina la derivada f (a). Analice dos maneras de interpretar este número. 13. Defina la segunda derivada de f. Si f (t) es la función de posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la segunda derivada? 7. a) ¿Qué significa que f sea continua en x m a? b) ¿Qué significa que f sea continua sobre el intervalo (@, @)? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de tal función? 14. a) ¿Qué significa que f sea derivable en x m a? b) ¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la continuidad de una función? c) Trace la gráfica de una función que sea continua, pero no derivable en a m 2. 8. ¿Qué establece el teorema del valor intermedio? 9. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a la curva y m f (x) en el punto (a, f (a)). 10. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta 15. Describa varias maneras en que una función puede no ser derivable. Ilustre con gráficas. con posición f (t) en el instante t. Escriba una expresión para la Examen rápido Verdadero-Falso Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera explique por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la proposición. 1. lím x l4 2x x 4 2 2. lím x l1 3. lím xl1 8 x x2 6x 5x x x2 x 7 6 lím 4 x l4 x 4 x l4 6x 7 lím x 2 5x 6 lím x x l1 x l1 no está definida en 1. 4 xl1 2x 0, entonces 7. Si lím x l a f x existe, pero lím x l a t x no existe, entonces t x no existe. 9. Si p es un polinomio, entonces lím x l b p x 10. Si lím x l 0 f x lím x l 0 f x
y lím x l 0 t x tx 0. pb.
, entonces 11. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas. 6. Entonces existe un , entonces U f (x)  6 U 1. 1. 19. Si f es continua en x m a, entonces f es derivable en x m a. 20. Si f (r) existe, entonces lím x l r f x 21. existe, entonces el límite debe ser f 6 t 6 . UxU 18. Si f (x)  1 para toda x y lím x l 0 f x existe, entonces lím x l 0 f x t x no existe. 1 y f (r) m ). 17. Sea f una función tal que lím x l 0 f x número  tal que si 0 6. Si lím x l a f x y lím x l a t x no existen, entonces 8. Si lím x l 6 f x t x 2. existe un número r tal que U r U 0 y lím x l 5 t x lím x l 5 f x t x no existe. lím x l a f x 11 16. Si f es continua en F1, 1G y f (1) m 4 y f (1) m 3, entonces 4 0 , entonces 5. Si lím x l5 f x 0, entonces existe un número c entre 1 y 3 15. Si f es continua en 5 y f (5) m 2 y f (4) m 3, entonces 2 y lím x l 5 t x límx l 5 f x t x no existe. 4. Si lím x l 5 f x lím x l a f x 14. Si f (1)  0 y f (3) tal que f (c) m 0. 3 xl1 lím x 2
. 13. Si la recta x m 1 es una asíntota vertical de y m f (x), entonces f 8 x
o lím x l
f x lím x l
f x lím x l 2 f 4x 2 lím x 4 lím 2 3 2x 2x 12. Si f tiene dominio F0, @) y no tiene asíntota horizontal entonces d 2y dx 2 dy dx f r. 2 22. La ecuación x10  10x2  5 m 0 tiene una raíz en el intervalo (0, 2). 23. Si f es continua en x m a, también lo es U f U. 24. Si U f U es continua en x m a, también lo es U f U. CAPÍTULO 2 REPASO 167 Ejercicios 1. Se da la gráfica de f. a) Encuentre cada uno de los siguientes límites o explique por qué no existen. i) lím f x ii) lím f x x l2 iii) 17. lím (sx 2 4x xl
1 19. lím tan x l0 1 x) 18. lím e x 1 x xl 3 lím f x vi) vii) lím f x viii) x l
x xl1 x l4 x l0 1 20. lím iv) lím f x xl 3 v) lím f x 1 3x x2 1 2 lím f x x l2  21-22 Utilice las gráficas para evidenciar las asíntotas de la curva. lím f x xl Después, pruebe que realmente son evidencias.
b) Establezca las ecuaciones de las asíntotas horizontales. c) Establezca las ecuaciones de las asíntotas verticales. d) ¿En qué números f es discontinua? Explique. y 21. y cos2 x x2 22. y sx 2 x sx 2 1 x 23. Si 2x  1  f (x)  x2 para 0 0 2. Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes lím f x 2, lím f x 0, 25. lím 14 5x 27. lím x 2 3x xl2
, lím f x lím f x x l3 xl 3 2, 4. lím x l1 5. lím xl 3 7. lím x l3 x2 x 2 2x h h l0 9. lím r l9 11. lím ul1 13. lím xl
9 1 h 3 9 4  1 sr r u 3 u4 1 5u 2 6u sx 2 2x 9 6 2 28. lím 2 f x x2 2x sx xl4 4
x 2 t t3 vl4 12. lím xl3 2x sx x3 14. lím sx 2 2x 16. lím 1 5 xl
xl
Se requiere calculadora graficadora o computadora i) 3 4 8 4 4 10. lím 2 si x si 0 si x 0 x 3 3 a) Evalúe cada límite, si éste existe 9 2 s x 3 x x 3 3 x2 x l1 8. lím 9 x2 6. lím t l2 15. lím ln sen x xl 3 0 xl0 29. Sea 3-20 Encuentre cada uno de los siguientes límites x 3 26. lím s x 4 f es continua por la derecha en x m 3 3 0.
, lím f x xl
x l3 3, encuentre lím x l1 f x . 25-28 Demuestre cada uno de los siguientes resultados, utilizando la definición precisa de límite. x 1 xl2 xl
x 24. Demuestre que lím x l 0 x 2 cos 1 x 2 1 3. lím e x x2 xl
iv) lím f x ii) lím f x v) x l0 x l3 lím f x iii) lím f x lím f x vi) lím f x x l0 x l3 x l0 x l3 b) ¿Dónde es discontinua f ? c) Trace la gráfica de f 30. Sea v v 6 x 3x 2 9 6 2x 2 x 4 x 3x 4 tx 2x x 2 2 x x 4 si si si si 0 2 3 x x x x 4 2 3 4 a) Para cada uno de los números 2, 3 y 4, descubra si J es continua por la izquierda, por la derecha o continua en el número. b) Bosqueje la gráfica de J. 168 CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS 31-32 Demuestre que cada una de las siguientes funciones es continua en su dominio. Establézcalo. 32. t x xe sen x 31. h x sx 2 x2 42-44 Trace o copie la gráfica de la función dada. Luego dibuje directamente debajo su derivada. 9 2 y 42. 0 33-34 Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que existe una raíz de la ecuación en el intervalo dado. 33. x 5 x 34. cos sx 3 3x e x 5 2, y 43. x x 0 1, 2 0, 0, 1 y 44. 35. a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva y m 9  2x 2 en el punto (2, 1). b) Determine la ecuación de esta tangente. x 36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 2 y 1 3x 37. El desplazamiento en metros de un objeto que se mueve en línea recta está dado por s 1 2t 14 t 2, donde t se mide en segundos. a) Encuentre la velocidad promedio en los siguientes periodos de tiempo: i) 1, 3 iii) 1, 1.5 ii) iv) s3 5x , utilice la definición de derivada para hallar f (x). Encuentre los dominios de f y f . Grafique f y f  en una pantalla común. Compare las gráficas para ver si su respuesta al inciso a) es razonable. 4 x Encuentre las asíntotas de la grafica de f x 3 x y utilícelas para dibujar la gráfica. Utilice la grafica del inciso a) para graficar f . Aplique la definición de derivada para hallar f (x). Utilice un dispositivo graficador para trazar la gráfica de f  y compárela con su dibujo del inciso b). 45. a) Si f x y los puntos de abscisas 0 y 1. 1, 2 1, 1.1 b) Halle la velocidad instantánea cuando t m 1. 38. Según la ley de Boyle, si la temperatura de un gas confinado se mantiene fija, entonces el producto de la presión P y el volumen V es constante. Suponga que, para cierto gas, PV m 800, donde P se mide en libras por pulgada cuadrada y V en pulgadas cúbicas. a) Encuentre la razón de cambio promedio de P cuando V se incrementa de 200 a 250 pulg3. b) Exprese V como función de P y demuestre que la razón de cambio instantáneo de V respecto a P es inversamente proporcional al cuadrado de ésta.  b) c) 46. a)  b) c) d) 47. Se muestra la grafica de f. Enuncie, con razones, los números x en que f no es derivable. y _1 0 2 4 6 x 39. a) Utilice la definición de derivada para hallar f (2), donde f (x)  m x3  2x. b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m x3  2x en el punto (2, 4). c) Ilustre el inciso b) dibujando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 40. Encuentre una función f y un número x m a tales que lím h l0 2 h6 h 64 48. La figura muestra la grafica de f, f  y f . Identifique cada curva y explique su elección. y a f a 41. El costo total de pagar un préstamo para estudiante a una tasa de interés de r% por año es C m f (r). a) ¿Cuál es el significado de la derivada f (r)? ¿Cuáles son sus unidades? b) ¿Que significa la afirmación f (10) m 1 200? c) ¿f (r) siempre es positiva o cambia de signo? b x 0 c CAPÍTULO 2 49. Sea C(t) el valor total de certificados bancarios en circulación y en el instante t. La tabla de valores de esta función de 1980 a 2000, en miles de millones de dólares. Estime e interprete el valor de C(1990). 3.5 explosión de la natalidad 3.0 t 1980 1985 1990 1995 2000 2.5 Ct 129.9 187.3 271.9 409.3 568.6 2.0 169 REPASO caída de la natalidad moderado de la natalidad y=F(t) 1.5 50. La tasa de fertilidad total, en el tiempo t, denotada con F(t), es una estimación del número promedio de niños nacidos de cada mujer (suponiendo que las tasas de natalidad actuales permanezcan constantes). En la gráfica de la tasa de fertilidad total en EU, se muestran las fluctuaciones desde 1940 hasta 1990. a) Estime los valores de F(1950), F(1965) y F(1987). b) ¿Cuáles son los significados de estas derivadas? c) ¿Puede sugerir razones para los valores de estas derivadas? 1940 1950 51. Suponga que f x 1960 1970 1980 t x donde lím x l a t x lím x l a f x . 52. Sea f x x x . a) ¿Para qué valores de a existe lím x l a f x ? b) ¿En qué números es discontinua la función f ? 1990 t 0. Encuentre Problemas adicionales En el análisis de los principios para la resolución de problemas, se consideró la estrategia para resolver problemas llamada Introduzca algo extra (véase la página 75). En el ejemplo siguiente se muestra cómo este principio resulta útil a veces cuando evalúa límites. La idea es cambiar la variable —introducir una nueva variable relacionada con la original— de tal manera que el problema se haga más sencillo. Más adelante, en la sección 5.5, utilizará más esta idea general. EJEMPLO 1 Evalúe lím 3 1 s cx x xl0 1 , donde c o 0 es una constante. SOLUCIÓN Según se ve, este límite parece desafiante. En la sección 2.3 evaluamos varios límites en los que tanto el numerador como el denominador tendieron a 0. Allí, la estrategia fue realizar cierto tipo de manipulación algebraica que condujo a una cancelación simplificadora, pero en este caso no está claro qué clase de álgebra se necesita. Por tanto, se introduce una nueva variable t mediante la ecuación 3 1 s t cx También necesitamos expresar x en términos de t, de modo que resuelva esta ecuación t3 1 cx t3 x 1 si c c 0 Observe que x l 0 equivalente a t l 1. Esto permite convertir el límite dado en uno que involucra la variable t: lím 3 1 s cx x xl0 1 lím t t3 lím ct t3 t l1 t l1 1 1 c 1 1 El cambio de variable permitió reemplazar un límite relativamente complicado con uno más sencillo de un tipo que ya ha visto. Si factoriza el denominador como un diferencia de cubos, obtiene lím t l1 ct t3 1 1 lím t l1 t lím 2 t l1 t ct 1 1 t2 t c t 1 1 c 3 Mediante el cambio de variable tuvimos que excluir el caso en que c m 0: pero si c m 5, la función es 0 para toda x o 0, así, el límite es 0. En consecuencia, en todos los casos, el límite es cY3. Los problemas siguientes sirven para poner a prueba y desafiar sus habilidades para resolver problemas. Algunos requieren una cantidad considerable de tiempo para pensar, de modo que no se desaliente si no los puede resolver de inmediato. Si tiene alguna dificultad, quizá le sirva consultar en la página 75 el análisis de los principios para la resolución de problemas. Problemas 1. Evalúe lím x l1 3 x s sx 1 . 1 2. Encuentre números a y b tales que lím x l0 170 sax b x 2 1. SECCIÓN 2.1 2x PROBLEMAS DE LA TANGENTE Y LA VELOCIDAD 171 2x 1 . x 4. En la figura se muestra un punto P sobre la parábola y m x 2 y el punto Q donde la bisectriz de OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. 3. Evalúe lím 1 x l0 y y=≈ Q P 5. Evalúe los siguientes límites, si éstos existen, donde V x B denota la función entero mayor. a) lím xl0 0 x FIGURA PARA EL PROBLEMA 4 x x b) lím x 1 x xl0 6. Dibuje la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes: a) x 2 y 2 1 b) x 2 y 2 3 x c) y 2 1 d) x y 1 7. Encuentre todos los valores de a tales que f sea continua en 2. x x2 f x 1 si x si x a a 8. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f (c) m c. (La función no mueve a c; éste permanece fijo.) a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio F0, 1G cuyo rango también se encuentre en F0, 1G. Localice un punto fijo de f. b) Intente graficar una función continua con dominio F0, 1G y rango en F0, 1G que no tenga un punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo? c) Utilice el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con dominio F0, 1G y rango en F0, 1G debe tener un punto fijo. 9. Si lím x l a f x A M 2 y lím x l a f x tx 1, encuentre lím x l a f x t x . 10. a) En la figura se muestra un triángulo isósceles ABC con B m C. La bisectriz del P B tx C FIGURA PARA EL PROBLEMA 10 ángulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, pero que la altura U AM U del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M de BC. ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela. b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación, halle la ecuación de esta curva y úsela para dibujarla. 11. a) Si parte de 0 de latitud y avanza en dirección Oeste, puede denotar con T(x) la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura. b) ¿E1 resultado del inciso a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier circunferencia sobre la superficie de la Tierra? c) ¿El resultado del inciso a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba del nivel del mar? 12. Si f es una función derivable y J(x) m xf (x), utilice la definición de derivada para demostrar que J(x) m x f (x)  f (x). 13. Suponga que f es una función que satisface f x y f x f y x2y xy 2 para todos los números reales x y y. Suponga también que lím x l0 a) Encuentre f (0). f x x 1 b) Encuentre f (0). c) Encuentre f (x). 14. Suponga que f es una función con la propiedad de que U f (x) U v x2 para toda x. Muestre que f (0) m 0. Enseguida, muestre que f (0) m 0. 171 3 Reglas de derivación Para que un paseo en montaña rusa sea suave, los tramos rectos de la pista deben estar conectados a los segmentos curvos de manera que no se produzcan cambios bruscos de dirección. En el proyecto de la página 184, veremos la forma de diseñar el primer ascenso y caída de una nueva montaña rusa para lograr esta suavidad en el paseo. © Brett Mulcahy / Shutterstock Hasta aquí hemos visto cómo interpretar las derivadas en términos de pendientes y razones de cambio, y hemos estudiado cómo estimar las derivadas de funciones dadas por medio de tablas de valores. También hemos aprendido la manera de graficar las derivadas de funciones que se definen gráficamente y utilizado la definición de derivada para calcular las derivadas de funciones definidas mediante fórmulas. Pero sería tedioso si siempre tuviera que aplicar la definición, de modo que en este capítulo se desarrollan reglas para hallar derivadas sin tener que usar directamente esa definición. Estas reglas de derivación permiten calcular con relativa facilidad derivadas de funciones polinomiales, racionales, algebraicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y trigonométricas inversas. A continuación usaremos estas reglas para resolver problemas en que intervienen razones de cambio y la aproximación de funciones. 173 174 3.1 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales En esta sección aprenderá la manera de derivar funciones constantes, potencia, polinomiales y exponenciales. Empezamos por la más sencilla de todas las funciones: la función constante f (x) m c. La gráfica de esta función es la recta horizontal y m c, la cual tiene pendiente 0, de modo que debe tener f (x) m 0. (Véase la figura 1.) Una demostración formal, a partir de la definición de derivada, también es fácil: y c y=c SHQGLHQWH=0 f x x 0 lím f x h h hl0 f x lím c c h hl0 lím 0 0 hl0 En la notación de Leibniz, esta regla se expresa como sigue. FIGURA 1 /DJUiILFDGHƒ=cHVOD UHFWDy=cSRUWDQWRfª(x)=0 Derivada de una función constante d c dx 0 Función potencia y Enseguida, se consideran las funciones f (x) m x n, donde n es un entero positivo. Si n m 1, la gráfica de f (x) m x es la recta y m x, la cual tiene pendiente 1 (véase la figura 2). De modo que y=x SHQGLHQWH=1 0 x FIGURA 2 /DJUDILFDGHƒ=xHVODUHFWD y=xSRUWDQWRfª(x)=1 d x dx 1 1 (También puede demostrar la ecuación 1 a partir de la definición de derivada.) Ya hemos investigado los casos n m 2 y n m 3. En efecto, en la sección 2.8 (ejercicios 19 y 20) encontramos que d x2 dx 2 d x3 dx 2x 3x 2 Para n m 4, encontramos la derivada de f (x) m x 4 como sigue: f x lím f x h h hl0 lím x4 4x 3h hl0 lím 4x 3h hl0 lím 4x 3 hl0 f x 6x 2h 2 h 4xh 3 4xh 2 Así, 3 d x4 dx h4 h x4 4xh 3 h4 x4 hl0 6x 2h 2 h 6x 2h x lím 4x 3 h4 h3 4x 3 SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 175 Si compara las ecuaciones 1 , 2 y 3 , se observa un patrón. Parece razonable presuponer que, cuando n es un entero positivo, (dYdx)(x n) m nx n1. Esto resulta cierto. Regla de la potencia Si n es un entero positivo, entonces d xn dx PRIMERA DEMOSTRACIÓN xn nx n 1 La fórmula an a xn x 1 x n 2a xa n 2 an 1 puede verificarse simplemente multiplicando el lado derecho (o mediante la suma del segundo factor como una serie geométrica). Si f (x) m x n, podemos utilizar la ecuación 2.7.5 para f (a) y la ecuación anterior para escribir f a f x x lím xla lím x n f a a 1 1 na n xla an a x n 2a xla an xn x lím xa n a n 2a aa n 2 2 an an 1 1 1 SEGUNDA DEMOSTRACIÓN f x El teorema del binomio se da en la página de referencia 1. lím f x h h hl0 f x lím hn h x hl0 xn Al hallar la derivada de x 4, tuvimos que desarrollar (x  h)4. En este caso, necesitamos desarrollar (x  h)n y, para hacerlo, utilizamos el teorema del binomio: xn f x nn nx n 1h 1 2 lím nxh n 1 hn xn h hl0 nx n 1h nn 1 2 lím x n 2h 2 nxh n 1 hn h hl0 lím nx n hl0 nx n x n 2h 2 1 nn 1 2 x n 2h nxh n 2 hn 1 1 porque todos los términos, excepto el primero, tienen h como factor, y, por tanto, tienden a 0. En el ejemplo 1 se ilustra la regla de la potencia usando varias notaciones. EJEMPLO 1 a) Si f x c) Si y x 6, entonces f x 6x 5. b) Si y x 1000, entonces y dy d 3 t 4 , entonces 4t 3 . d) Si r 3r 2 dt dr 1000x 999. 176 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN ¿Qué puede decirse acerca de las funciones potencia con exponentes enteros negativos? En el ejercicio 61 se pide al lector que verifique, a partir de la definición de derivada, que 1 x d dx 1 x2 Por lo que podemos escribir de nuevo esta ecuación como d x dx 1 2 1x y, por consiguiente, la regla de la potencia se cumple cuando n m 1. De hecho, en la sección siguiente [ejercicio 62c)] se demuestra que se cumple para todos los enteros negativos. ¿Qué sucede si el exponente es una fracción? En el ejemplo 3 de la sección 2.8 encontramos que d sx dx 1 2sx lo cual puede escribirse como d 12 x dx 1 2 x 1 2 1 Esto hace ver que la regla de la potencia es verdadera incluso cuando n 2. De hecho, en la sección 3.6 se demuestra que es verdadera para todos los números reales n. Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces d xn dx En la figura 3 se muestra la función y el ejemplo 2b) y su derivada y. Advierta que y no es derivable en 0 (y no está definida allí). Observe que y es positiva cuando y crece, y negativa cuando y decrece. EJEMPLO 2 a) f x nx n 1 Derive: 1 x2 b) y 3 x2 s SOLUCIÓN En cada caso, reescriba la función como una potencia de x.   a) Dado que f(x) m x2, utilizamos la regla de la potencia con n m 2:   f x  b) dy dx d x dx 2 d 3 2 (sx ) dx 2x 2 1 d x2 3 dx 2 3 2x 3 x23 1 2 x3 2 3 x 1 3  FIGURA 3 
 La regla de la potencia permite hallar las rectas tangentes sin hacer uso de la definición de derivada. Además, permite encontrar rectas normales. La recta normal a una curva C en un punto P es la recta a través de P que es perpendicular a la recta tangente en P. (En el estudio de la óptica, necesita considerar el ángulo entre un rayo de luz y la recta normal a un lente.) v y EJEMPLO 3 Halle la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva xsx en el punto (1, 1). Ilustre dibujando la curva y estas rectas. SECCIÓN 3.1 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES x sx SOLUCIÓN La derivada de f x 3 x32 x 3 2 es 3 2 1 3 2 x1 2 sx 3 2 De este modo, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f 1 la ecuación de la recta tangente es QRUPDO _1 3 2 f x WDQJHQWH xx 1 2 y 3 3 2 1 x 1 177 o bien y 3 2 . Por consiguiente, 1 2 x La recta normal es perpendicular a la recta tangente de tal manera que su pendiente es el recíproco negativo de 32, es decir, 23. En estos términos, una ecuación de la recta normal es _1 FIGURA 4 y y=x œx„ 2 3 1 x 1 o bien 2 3 y x 5 3 En la figura 4 se traza la gráfica de la curva y las rectas tangente y normal. Nuevas derivadas a partir de anteriores Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones anteriores por adición, sustracción o multiplicación por una constante, sus derivadas pueden calcularse en términos de la derivada de sus funciones anteriores. En particular, en la formula siguiente se afirma que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. Regla del múltiplo constante INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA REGLA DEL MÚLTIPLO CONSTANTE Si c es una constante y f es una función derivable, entonces d cf x dx y c d f x dx y=2ƒ DEMOSTRACIÓN y=ƒ 0 Sea J(x) m c f (x). Entonces t x x La multiplicación por c m 2 estira la gráfica verticalmente en un factor de 2. Todas las elevaciones se han duplicado, pero los avances permanecen iguales. Las pendientes también se duplican. lím tx lím c f x hl0 c lím tx h h hl0 f x hl0 cf x lím h h hl0 h h h h cf x f x f x (por la ley 3 de los límites) cf x EJEMPLO 4 d 3x 4 dx d b) x dx a) 3 d x4 dx d dx 3 4x 3 1x 1 12x 3 d x dx 11 1 La siguiente regla señala que la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas. Si se utiliza la notación con apóstrofos, puede escribir la regla de la suma como (f  J) m f   J Regla de la suma Si f y J son derivables, entonces d f x dx tx d f x dx d tx dx 178 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN DEMOSTRACIÓN F x Sea F(x) m f (x)  J(x). Entonces lím Fx hl0 lím h h Fx h tx f x h h hl0 f x lím h h hl0 lím f x hl0 tx h h tx tx f x h h f x f x lím tx tx h h hl0 (por la ley 1) t x f x La regla de la suma puede extenderse a la suma de cualquier número de funciones. Por ejemplo, si se aplica este teorema dos veces, se obtiene f t h t f h t f h f t h Al escribir f  J como f  (1)J y aplicando la regla de la suma y la del múltiplo constante, se obtiene la siguiente fórmula. Regla de la diferencia Si tanto f como J son derivables, entonces d f x dx d f x dx tx d tx dx Las reglas de múltiplo constante, la suma y la diferencia pueden combinarse con la regla de la potencia para derivar cualquier función polinomial, como se muestra en los ejemplos que siguen. EJEMPLO 5 d x8 dx 12x 5 4x 4 d x8 dx v 10x 3 12 8x 7 12 5x 4 8x 7 60x 4 6x 5 d x5 dx 4 4 4x 3 16x 3 d x4 dx 10 10 3x 2 61 30x 2 d x3 dx 6 d x dx d 5 dx 0 6 Encuentre los puntos sobre la curva y m x4  6x2  4 donde la recta tangente es horizontal. EJEMPLO 6 SOLUCIÓN Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Observe que, dy dx d x4 dx 4x 3 6 12x d x2 dx 0 4x x 2 d 4 dx 3 SECCIÓN 3.1 y 179 s3 . Por tanto, la curva dada tiene Así, dyYdx m 0 si x m 0 o x2  3 m 0, es decir, x rectas tangentes horizontales cuando s3 y s3 . Los puntos correspondientes son (0, 4), (s3 , 5) y ( s3 , 5) . (Véase la figura 5.) (0, 4) 0 x {_ œ„ 3, _5} DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 3, _5} {œ„ EJEMPLO 7 La ecuación de movimiento de una partícula es s m 2t3  5t 2  3t  4, donde s se mide en centímetros y t en segundos. Hallar la aceleración como una función del tiempo. ¿Cuál es la aceleración después de 2 segundos? SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son FIGURA 5 /DFXUYD y=x$-6x@+4\VXV UHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV vt ds dt 6t 2 10t at dv dt 12t 10 3 La aceleración después de 2 s es a(2) m 14 cmYs2. Funciones exponenciales Intente calcular la derivada de la función exponencial f (x) m ax, aplicando la definición de derivada: f x lím f x h h hl0 x h lím aa a f x ax h x lím a a h ax h hl0 x h hl0 lím 1 h hl0 El factor ax no depende de h, de modo que puede llevarlo delante del límite: a x lím f x ah hl0 1 h Observe que el límite es el valor de la derivada de f en 0; esto es, lím ah 1 f 0 h hl0 En consecuencia, ha demostrado que, si la función exponencial f (x) m ax es derivable en 0, entonces es derivable para cualquier x; así que 4 h 0.1 0.01 0.001 0.0001 2h 1 3h 1 h h 0.7177 0.6956 0.6934 0.6932 1.1612 1.1047 1.0992 1.0987 f x f 0 ax En esta ecuación se afirma que la razón de cambio de cualquier función exponencial es proporcional a la función misma. (La pendiente es proporcional a la altura.) En la tabla que aparece a la izquierda, se da una evidencia numérica de la existencia de f (0) en los casos a m 2 y a m 3. (Los valores tienen una aproximación correcta a cuatro posiciones decimales.) Parece que los límites existen y para a 2, f 0 para a 3, f 0 lím 2h lím hl0 1 h hl0 3h 1 h 0.69 1.10 180 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN De hecho, puede demostrarse que estos límites existen y que son correctos hasta seis cifras decimales, los valores son d 2x dx d 3x dx 0.693147 x 0 1.098612 x 0 Por esto, de la ecuación 4 d 2x dx 5 d 3x dx 0.69 2 x 1.10 3 x De todas las elecciones posibles para la base a de la ecuación 4, se tiene la formula más sencilla de derivación cuando f (0) m 1. En vista de las estimaciones de f (0) para a m 2 y a m 3, parece razonable que exista un número a entre 2 y 3 para el que f (0) m 1. Es costumbre denotar este valor con la letra e. (De hecho, así se presento e en la sección 1.5.) Apoyado en esto, se tiene la siguiente definición En el ejercicio 1 verá que e se encuentra entre 2.7 y 2.8. Más adelante podremos demostrar que e con cinco dígitos (o posiciones) decimales es Definición del número e e es el número tal que lím e ≈ 2.71828 hl0 eh 1 h 1 Geométricamente, esto significa que, de todas las funciones exponenciales posibles y m ax, la función f (x) m e x es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene pendiente f (0) que es exactamente 1. (Véanse las figuras 6 y 7.) y y y=3® { x, e ® } SHQGLHQWH=e® y=2® y=e ® 1 1 SHQGLHQWH=1 y=e ® 0 FIGURA 6 x 0 x FIGURA 7 Si hacemos a m e y, por tanto, f (0) m 1 en la ecuación 4, se convierte en la importante fórmula de derivación que se proporciona a continuación. Derivada de la función exponencial natural TEC Visual 3.1 utiliza el comportamiento de una pendiente para ilustrar esta fórmula. d ex dx ex De aquí se ve que la función exponencial f (x) m e x tiene la propiedad de que es su propia derivada. El significado geométrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la curva y m e x es igual a la coordenada y del punto (véase la figura 7). SECCIÓN 3.1 v 3 EJEMPLO 8 181 DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES Si f (x) m e x  x, encuentre f  y f . Compare las gráficas de f y f . SOLUCIÓN Si se aplica la regla de la diferencia, se tiene f f x fª _1.5 1.5 d x e dx x d x dx ex 1 En la sección 2.8 se define la segunda derivada como la derivada de f , así que _1 f x FIGURA 8 d x e dx d x e dx 1 d 1 dx ex La función f y su derivada f  se grafican en la figura 8. Observe que f tiene una recta tangente horizontal cuando x m 0; esto corresponde al hecho de que f (0) m 0. Asimismo, observe que para x  0, f (x) es positiva y f es creciente. Cuando x 0, f (x) es negativa y f es decreciente. y 3 EJEMPLO 9 (ln 2, 2) SOLUCIÓN Puesto que y m e x, tenemos y  m e x. Sea a la coordenada x del punto en cuestión. Entonces, la pendiente de la recta tangente en ese punto es ea. Esta recta tangente será paralela a la recta y m 2x si tiene la misma pendiente; es decir, 2. Si se igualan las pendientes, se tiene y=2x 1 0 ¿En qué punto de la curva y m e x la recta tangente es paralela a la recta y m 2x? 2 y=´ d x e dx x 1 ea FIGURA 9 a 2 ln 2 Por tanto, el punto requerido es (a, ea) m (ln 2, 2). (Véase la figura 9.) Ejercicios 3.1 1. a) ¿Cómo se define el número e? b) Use una calculadora para estimar los valores de los límites 2.7 h lím hl0 h 1 y 2.8 h lím hl0 h atención a la forma en que la gráfica cruza el eje y. ¿Qué hecho le permite hacer esto? b) ¿Qué tipos de funciones son f (x) m e x y J(x) m xe? Compare las fórmulas de derivación para f y J. c) ¿Cuál de las dos funciones en el inciso b) crece más rápidamente cuando x es muy grande? 5. f t 2 7. f x x3  2 3 t 4x 6 4. f x e5 6. F x 3 4 8. f t 1.4t 5 Se requiere calculadora graficadora o computadora cy 12 s5 14. y 2 17. S p sp p 25. j x 6.7 12. B y 1 23. y 2.5t 2 3 4 3a 27. H x 18. y Bu 2 4x sx x 2.4 x Cu 3 e 2.4 x x5 3 1 3 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 22. y 2 2x 6 x2 3 4 t s 4et sx x 1 4 R2 20. S R 3 Au 3 x2 16. h t 4 sx 3e x 21. h u x8 x 2x 15. R a 19. y 3-32 Derive cada una de las siguientes funciones. 10. h x 2t 13. A s 2. a) Dibuje a mano la función f (x) m e x, poniendo particular 2 40 x2 1 11. t t 1 correctos hasta dos dígitos decimales. ¿Qué puede concluir acerca del valor de e? 3. f x 9. t x x sx x2 24. t u s2 u 26. k r er 28. y ae v s3u re b c v v2 3 182 CAPÍTULO 3 29. u 5 t s 4 st 5 30. v 31. z A y 10 Be y 32. y REGLAS DE DERIVACIÓN ex 47. La ecuación de movimiento de una partícula es s m t3  3t, 2 1 sx sx donde s está en metros y t en segundos. Encuentre a) la velocidad y la aceleración como funciones de t, b) la aceleración después de 2 s y c) la aceleración cuando la velocidad es cero. 3 1 1 48. La ecuación de movimiento de una partícula es 33-34 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 33. y 4 x, s 34. y 1, 1 x4 2x 2 x, 1, 2 35-36 Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada una de las siguientes curvas en el punto dado. 35. y x4 2e x , 36. y 0, 2 x2 x 4, 49. La ley de Boyle establece que cuando una muestra de 1, 0  37-38 Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto dado, a cada una de las siguientes curvas. Ilustre graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 37. y 3x 2 x 3, 38. y 1, 2 x sx , 1, 0  39-40 Encuentre f (x). Compare las gráficas de f y f  y utilícelas para explicar por qué su respuesta es razonable. 39. f x x4 2x 3 x2 40. f x x5 2x 3 x 1  41. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para graficar la función f (x) m x4  3x3  6x2  7x  30 y J(x) m xe en el rectángulo de vista [3, 5] por [10, 50]. b) Con la misma gráfica del inciso a) estime las pendientes y elabore un esbozo a mano de la gráfica de f . (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) c) Calcule f (x) y utilice esta expresión para graficar f  con una calculadora graficadora. Compare con su esbozo del inciso b).  42. a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para graficar la función J(x) m e x  3x2 en el rectángulo de vista [1, 4] por [8, 8]. b) Utilizando la gráfica del inciso a) para estimar pendientes, haga a mano un boceto aproximado de la grafica de J. (Véase el ejemplo 1 de la sección 2.8.) c) Calcule J(x) y utilice esta expresión, con un dispositivo graficador, para dibujar J. Compare con su boceto del inciso b). 43-44 Encuentre la primera y segunda derivada de cada una de las siguientes funciones. 10x 10 5x 5 43. f x x 44. G r sr  s m t 4  2t 3  t 2  t, donde s está en metros y t en segundos. a) Encuentre la velocidad y la aceleración como funciones de t. b) Encuentre la aceleración después de 1 s. c) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración, en la misma pantalla. 3 r s gas se comprime a temperatura constante, la presión P del gas es inversamente proporcional al volumen del gas. a) Suponga que la presión de una muestra de aire que ocupa 0.106 m3 a 25 C es 50 kPa. Exprese V como una función de P. b) Calcule dVYdP cuando P m 50 kPa. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades?  50. Los neumáticos de automóvil deban ser inflados correctamente porque un alto inflado o un bajo inflado puede causar desgaste prematuro. Los datos de la tabla muestran la vida L (en miles de millas) para un determinado tipo de neumático a diversas presiones P (en lbYpulg2). P 26 28 31 35 38 42 45 L 50 66 78 81 74 70 59 a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar la vida del neumático con una función cuadrática de la presión. b) Utilice el modelo para estimar dLYdP cuando P m 30 y cuando P m 40. ¿Cuál es el significado de la derivada? ¿Cuáles son sus unidades? ¿Cuál es el significado de los signos de las derivadas? 51. Encuentre los puntos sobre la curva y m 2x3  3x2  12x  1 donde la recta tangente es horizontal. 52. ¿Para qué valores de x la gráfica de f (x) m e x  2x tiene una recta tangente horizontal? 53. Demuestre que la curva y m 2e x  3x  5x3 no tiene una recta tangente cuya pendiente es 2. 54. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y x sx que es paralela a la recta y m 1  3x. 55. Encuentre las ecuaciones de ambas rectas tangentes a la curva y m 1  x3 y paralela a la recta 12x  y m 1.  45-46 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones. Verifique para ver si sus respuestas son razonables, comparando la gráficas de f, f  y f . 45. f x 2x 5x 3 4 46. f x ex x3  56. ¿En qué punto sobre la curva y m 1  2e x  3x es la recta tangente paralela a la recta 3x  y m 5? Ilustre graficando la curva de ambas rectas. 57. Encuentre la ecuación de la recta normal a la parábola y m x2  5x  4 que es paralela a la recta x  3y m 5. SECCIÓN 3.1 58. ¿Dónde la recta normal a la parábola y m x  x2 en el punto (1, 0) interseca la parábola por segunda vez? Ilustre con un esbozo la gráfica. 59. Dibuje un diagrama que muestre que hay dos rectas tangentes a la parábola y m x2 que pasan por el punto (0, 4). Encuentre las coordenadas de los puntos donde estas rectas tangentes intersectan la parábola. 60. a) Encuentre ecuaciones de ambas rectas que pasan por el punto (2, 3) que son tangentes a la parábola y m x2  x. b) Demuestre que no hay una recta que pasa por el punto (2, 7) que es tangente a la parábola. A continuación, dibuje un diagrama para ver por qué. 61. Utilice la definición de derivada para demostrar que si f (x) m 1Yx, entonces f (x) m 1Yx2. (Esto demuestra la regla de la potencia para el caso n m 1.) 62. Encuentre la n-ésima derivada de cada una de las siguientes funciones calculando algunas derivadas y observando el patrón de recurrencia. xn 1 x a) f x b) f x DERIVADAS DE FUNCIONES POLINOMIALES Y EXPONENCIALES 183 69. a) ¿Para qué valores de x la función f (x) m U x2  9 U es derivable? Encuentre una fórmula para f . b) Esboce las gráficas de f y f . 70. ¿Dónde es derivable la función h(x) m U x  1 U  U x  2 U? Proporcione la función para h y trace las gráficas de h y h. 71. Encuentre la parábola con ecuación y m ax2  bx cuya recta tangente en (1, 1) tiene por ecuación y m 3x  2. 72. Supongamos que la curva y m x4  ax3  bx2  cx  d tiene una recta tangente cuando x m 0 con ecuación y m 2x  1 y una recta tangente cuando x m 1 con ecuación y m 2  3x. Encuentre los valores de a, b, c y d. 73. ¿Para qué valores de a y b la recta 2x  y m b es tangente a la parábola y m ax2 cuando x m 2? 3 2 74. Encuentre el valor de c tal que la recta y a la curva y x 6 es tangente csx 75. Sea 63. Encuentre una polinomial P de segundo grado tal que P(2) m 5, f x P(2) m 3 y P (2) m 2. x2 mx b si x si x 2 2 64. La ecuación y   y  2y m x2 es una ecuación diferencial porque involucra una función desconocida y y sus derivadas representadas por y y y. Encuentre constantes A, B y C tales que la función y m Ax2  Bx  C satisface esta ecuación diferencial. (Las ecuaciones diferenciales serán estudiadas en detalle en el capítulo 9.) 65. Encuentre una ecuación cúbica y m ax3  bx2  cx  d cuya gráfica tiene rectas tangentes horizontales en los puntos (2, 6) y (2, 0). 66. Encuentre una parábola con ecuación y m ax2  bx  c que tiene pendiente 4 en x m 1, pendiente 8 en x m 1 y que pasa por el punto (2, 15). Encuentre los valores de m y b que hacen que f sea derivable para toda x. 76. Se dibuja una recta tangente a la hipérbola xy m c en un punto p. a) Demuestre que el punto medio del segmento de recta cortado de esta recta tangente por los ejes de coordenadas es P. b) Demuestre que el triángulo formado por la recta tangente y los ejes de coordenadas siempre tiene la misma área, no importa dónde se encuentre P sobre la hipérbola. 77. Evalúe lím 67. Sea f x x2 x 1 1 si x si x xl1 1 1 78. Dibuje un diagrama que muestre dos rectas perpendiculares ¿Es f derivable en x m 1? Trace las gráficas de f y f . 68. ¿En qué números es derivable la siguiente función J? tx 2x 2x x 2 2 x si x si 0 si x 0 x 2 x 1000 1 . x 1 2 Proporcione una fórmula para J y trace las gráficas de J y J. que se intersecan en el eje y y que son ambas tangentes a la parábola y m x2. ¿Donde se intersecan estas rectas? 79. Si c 1 2 , ¿cuántas rectas que pasan por el punto (0, c) son rectas normales a la parábola y m x2? ¿Qué pasa si c 12? 80. Trace las parábolas y m x2 y y m x2  2x  2. ¿Piensa que existe una recta que es tangente a ambas curvas? Si es así, encuentre su ecuación. Si no es así, ¿por qué no? 184 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN P R O Y E C T O D E A P L I C A C I Ó N CONSTRUCCIÓN DE UNA MONTAÑA RUSA L¡ P Suponga que se le solicita que diseñe el primer ascenso y descenso de una nueva montaña rusa. Después de estudiar fotografías de sus montañas rusas predilectas, decide hacer la pendiente de ascenso 0.8 y la de descenso 1.6. Opta por conectar estos dos tramos rectos y m L1(x) y y m L2(x) mediante parte de una parábola y m f (x) m ax2  bx  c, donde x y f (x) se miden en pies. Para que el trayecto sea uniforme, no pueden existir cambios abruptos de dirección, por lo que desea que los segmentos de recta L1 y L2 sean tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q. (Véase la figura.) Para simplificar las ecuaciones, decide situar el origen en P. f Q 1. a) Suponga que la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies. Escriba ecuaciones en a, b y L™  c que aseguren que el trayecto sea suave en los puntos de transición. b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) para a, b y c para hallar una fórmula para f (x). c) Dibuje Ll, f y L2 para verificar gráficamente que las transiciones sean suaves. d) Encuentre la diferencia en elevación entre P y Q. 2. La solución del problema 1 puede parecer suave, pero es posible que no sienta lo suave debido a que la pieza definida como función [consistente en L 1(x) para x 0, f (x) para 0 v x v 100; y L2(x) para x  100] no tiene una segunda derivada continua. Por consiguiente, usted decide mejorar su diseño utilizando una función cuadrática q(x) m ax2  bx  c únicamente en el intervalo 10 v x v 90 y conectarlo con las funciones lineales por medio de dos funciones cúbicas: tx kx3 lx 2 mx n hx px 3 qx 2 rx s 0 x 10 90 x 100 a) Escriba un sistema de ecuaciones con 11 incógnitas que aseguren que las funciones y sus dos primeras derivadas coincidan en los puntos de transición. © Flashon Studio / Shutterstock SAC b) Resuelva las ecuaciones del inciso a) con un sistema algebraico computarizado para encontrar las fórmulas para q(x), J(x) y h(x). c) Dibuje L1, J, q, h y L2 y compárelos con las gráficas del problema 1 inciso c).  Se requiere calculadora graficadora o computadora SAC Se requiere un sistema algebraico computarizado 3.2 Reglas del producto y el cociente Las fórmulas de esta sección permiten derivar nuevas funciones formadas a partir de anteriores, por multiplicación o división. Regla del producto R Por analogía con las reglas de la suma y la diferencia, podría tener la tentación de suponer —como Leibniz lo hizo hace tres siglos— que la derivada de un producto es el producto de las derivadas. Sin embargo, puede ver que esta suposición es errónea al considerar un ejemplo particular. Sea f (x) m x y J(x) m x2. Por tanto, la regla de la potencia da f (x) m 1 y J(x) m 2x. Pero ( fJ)(x) m x3, de modo que ( fJ)(x) m 3x2. Así que, ( fJ)  f J. La formula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo después de su falso inicio) y se llama regla del producto. SECCIÓN 3.2 Î√ u Î√ Îu Î√ u√ √ Îu u Îu √ Geometría de la regla del producto 185 Antes de enunciar la regla del producto, vea como podría descubrirla. Empezamos suponiendo que u m f (x) y v m J(x) son funciones positivas derivables. Entonces puede interpretarse el producto uv como el área de un rectángulo (véase la figura 1). Si x cambia una cantidad $x, entonces los cambios correspondientes en u y v son u FIGURA 1 REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE f x x f x tx v tx x y el nuevo valor del producto, (u  $u)(v  $v), puede interpretarse como el área del rectángulo grande en la figura 1 (siempre que $u y $v sean positivos). El cambio en el área del rectángulo es 1 uv u u v uv v u v v u u v la suma de las tres áreas sombreadas Si dividimos entre $x, se obtiene uv x Recuerde que en la notación de Leibniz la definición de derivada puede escribirse como dy dx lím xl0 v u v x u x v u x Si ahora hacemos que $x l 0, obtenemos la derivada de uv: y x d uv dx lím xl0 uv x v lím x xl0 d uv dx xl0 v u lím 2 lím xl0 u dv dx v du dx u dv dx v du dx 0 u v v x u x u x lím xl0 u u lím v x xl0 v x dv dx (Observe que $u l 0 cuando $x l 0 puesto que f es derivable y, por tanto, continua.) Aun cuando se partió de la hipótesis (para la interpretación geométrica) que todas las cantidades son positivas, observe que la ecuación 1 siempre es verdadera. (El álgebra es válida si u, v, $u y $v son positivas o negativas.) De modo que ha probado la ecuación 2, conocida como regla del producto, para todas las funciones derivables u y v. Regla del producto En notación con apóstrofos: ft ft tf Si f y J son derivables, entonces d f x tx dx f x d tx dx tx d f x dx En palabras, la regla del producto expresa que la derivada de un producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función. 186 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 1 a) Si f (x) m xe x, encuentre f (x). b) Halle la n-ésima derivada, f (n)(x). SOLUCIÓN En la figura 2 se muestran las gráficas de la función f del ejemplo 1 y su derivada f . Advierta que f (x) es positiva cuando f es creciente y negativa cuando f es decreciente. a) Por la regla del producto se tiene que d xe x dx f x 3 d x e dx x xe x f fª _3 1.5 d x dx ex ex 1 1 ex x b) Aplicando a regla del producto una segunda vez, se obtiene _1 f x FIGURA 2 d dx x 1 ex x 1 d x e dx x 1 ex ex d x dx ex 1 1 2 ex x Las siguientes aplicaciones de la regla del producto dan f x 3 ex x 4 f x x 4 ex De hecho, cada derivada sucesiva agrega otro término e x, así que f En el ejemplo 2, a y b son constantes. Es habitual en matemáticas el uso de las primeras letras del alfabeto, para representar las constantes y las últimas para representar variables. EJEMPLO 2 n x st a Derive la función f t n ex x bt SOLUCIÓN 1 Utilizando la regla del producto, tenemos que f t st d a dt st b bt a a bt a bt 2st bst 1 2 a t bt d (st ) dt 1 2 3bt 2st SOLUCIÓN 2 Si primero utilizamos las leyes de los exponentes para reescribir f (t), entonces podemos proceder directamente sin utilizar la regla del producto. f t f t a st 1 2 at btst 1 2 3 2 at 1 2 bt 3 2 bt 1 2 lo cual es equivalente a la respuesta dada en la solución 1. El ejemplo 2 muestra que a veces es más fácil simplificar un producto de funciones antes de derivar que utilizar directamente la regla del producto. En el ejemplo 1, sin embargo, la regla del producto es sólo un posible método. SECCIÓN 3.2 EJEMPLO 3 sx t x , donde t 4 Si f x REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE 2 yt 4 187 3, encuentre f 4 . SOLUCIÓN Aplicando la regla del producto, tenemos que f x Así que d [sx t x dx ] sx t x tx sx t x tx 2sx sx x tx d [sx ] dx 2 2 2 6.5 1 2 t4 2s4 s4 t 4 f 4 1 2 d tx dx 2 3 Regla del cociente Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables u m f (x) y v m J(x) en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del producto. Si x, u y v se incrementan por cantidades $x, $u y $v, entonces el cambio correspondiente en el cociente uYv es u u u u v v v v v u u v v v v u uv uv v v v por tanto, d dx u lím xl0 v u v x u x v lím xl0 v v u v v x v Cuando $x l 0, también $v l 0, porque v m J(x) es derivable y, por consiguiente, continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene d dx Regla del cociente u u u lím xl0 x v lím v v v lím xl0 v tf ft t2 v x du dx u dv dx v2 xl0 Si f y J son derivables, entonces En notación con apóstrofos: f t v d dx f x tx tx d f x dx f x tx d tx dx 2 En palabras: en la regla del cociente se expresa que la derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador. La regla del cociente y las otras formulas de derivación permiten calcular la derivada de cualquier función racional, como se ilustra en el ejemplo siguiente. 188 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Podemos utilizar un dispositivo de graficación para verificar que la respuesta al ejemplo 4 es verosímil. En la figura 3 se muestran las gráficas de la función del ejemplo 4 y su derivada. Note que cuando y crece con rapidez (cerca de 2), y es grande. Y cuando y crece con lentitud, y está cercana a 0. v EJEMPLO 4 2 . Entonces 6 d x2 dx 6 y yª x x3 x3 1.5 _4 x2 Sea y x x3 x3 6 2x 2x 4 x3 12x 6 x3 x4 2x 3 6x 2 x 6 3 _1.5 FIGURA 3 v EJEMPLO 5 6 x 2 d x3 dx 6 2 6 x2 62 1 x3 4 y x2 2 x 2 3x 2 3x 4 3x 3 6x 2 2 12x 6 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y m e xY(1  x2) en el punto (1, e). 1 2 SOLUCIÓN De acuerdo con la regla del cociente dy dx 1 1 x2 d ex dx 1 d 1 dx ex x2 x2 2 x 2 e x e x 2x 1 x2 2 ex 1 x 2 1 x2 2  De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, 2 e) es 1  
dy dx    FIGURA 4   0 x 1 1 1 Esto significa que la recta tangente en (1, 2 e) es horizontal, y su ecuación es y 2 e. [Véase 1 la figura 4. Advierta que la función es creciente y cruza su recta tangente en (1, 2 e).] NOTA No use la regla del cociente cada vez que vea un cociente. A veces es más fácil reescribir un cociente en una forma que sea más sencilla para los fines de derivación. Por ejemplo, aun cuando es posible derivar la función Fx 3x 2 2sx x aplicando la regla del cociente, es más fácil dividir primero y escribir la función como Fx 3x 2x 1 2 antes de derivar. A continuación se resumen las fórmulas de derivación que ha aprendido hasta el momento. SECCIÓN 3.2 d c dx Tabla de fórmulas de derivación d xn dx 0 cf cf ft ft nx n t f 1 t f tf f t tf REGLAS DEL PRODUCTO Y EL COCIENTE d ex dx ex t f f 189 t ft t2 Ejercicios 3.2 1. Encuentre la derivada de f (x) m (1  2x2)(x  x2) de dos x 25. f x maneras: aplicando la regla del producto y efectuando primero la multiplicación. ¿Sus respuestas son equivalentes? x ax cx 26. f x c x b d 2. Encuentre la derivada de la función x4 Fx 5x 3 x2 sx 27-30 Halle f (x) y f (x) de cada una de las siguientes funciones. en dos maneras diferentes: utilizando la regla del cociente y simplificando primero. Demuestre que sus respuestas son equivalentes. ¿Cuál método prefiere? x3 4. t x 2x e x x ex 5. y 6. y 7. t x 1 3 9. H u (u su )(u v3 2v v 10. J v 2x 4x 1 y2 11. F y 12. f z 1 3 y4 e z z x3 13. y 1 x t 4 2 3t e p( p 17. y v 19. y 3 2 p sp ) 2v sv v 21. f t 2t 2 st 23. f x A B Ce x  1 31. y ex x2 2x 2 1 4 v y e x 30. f x 2x x2 1 x2 x 2 1 x 1 , 1, 0 32. y ex , x 1, e 33-34 Halle las ecuaciones de las rectas tangentes y de las rectas normales a cada una de las curvas dadas en el punto que se especifica. 2x 33. y 2x e x, 0, 0 34. y , 1, 1 x2 1 su ) 2 5y 3 35. a) La curva y m 1Y(1  x2) se llama bruja de María Agnesi. z 14. y 2 t2 15. y ex 8. G x 1 x 5 2e x 28. f x 2 31-32 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el punto especificado. sx e x 1 x 29. f x 3-26 Derive cada una de las siguientes funciones. 3. f x x 4e x 27. f x 16. y 18. y 20. z 22. t t 24. f x x x 1 3 x  2 36. a) La curva y m xY(1  x2) se llama serpentina. Encuentre t t 1 2 1 w3  ke s s 2 Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto ( 1, 12 ). b) Ilustre el inciso a) trazando las gráficas de la curva y la recta tangente en la misma pantalla. ce w w st t 37. a) Si f(x) m (x3  x)e x, encuentre f (x).  t1 3 1 x Se requiere calculadora graficadora o computadora xe x ex la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (3, 0.3). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. b) Compruebe que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f y f . 38. a) Si f(x) m e xY(2x2  x  1), halle f (x).  b) Compruebe que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las graficas de f y f . 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 190 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 39. a) Si f (x) m (x2  1)Y(x2  1), halle f (x) y f (x).  b) Verifique si sus respuestas en el inciso a) son razonables al comparar las gráficas de f, f  y f . 40. a) Si f (x) m (x  1)e , halle f (x) y f (x). x 2  b) Verifique para comprobar que sus respuestas en el inciso a) son admisibles al comparar las gráficas de f, f  y f . 51. Si J es una función derivable, encuentre una expresión para la derivada de cada una de las funciones siguientes. x a) y xt x b) y c) y tx 52. Si f es una función derivable, encuentre una expresión para la 42. Si J(x) m xYe x, halle J(n)(x). derivada de cada una de las funciones siguientes. f x a) y x 2 f x b) y x2 43. Suponga que f (5) m 1, f (5) m 6, J(5) m 3 y J(5) m 2. c) y 41. Si f (x) m x2Y(1  x), halle f (1). Encuentre los valores siguientes b) (fYJ)(5) a) (fJ)(5) c) (JYf)(5) 44. Suponga que f (2) m 3, J(2) m 4, f (2) m 2 y J(2) m 7, encuentre h(2). a) h x c) h x 4t x 5f x f x tx b) h x d) h x f x tx tx 1 f x 45. Si f (x) m e xJ(x), donde J(0) m 2 y J(0) m 5, halle f (0). 46. Si h(2) m 4 y h(2) m 3, encuentre d dx hx x x2 f x xf x sx 53. ¿Cuántas rectas tangentes a la curva y m xY(x  1) pasan por el punto (1, 2)? ¿En qué puntos toca la curva estas rectas tangentes? 54. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva x x y 1 1 que sean paralelas a la recta x  2y m 2. R x x 2 ecuación de la recta tangente a la gráfica de J(x) en el punto donde x m 3. 48. Si f (2) m 10 y f (x) m x2 f (x) para toda x, encuentre f (2). u(x) m f (x)J(x) y v(x) m f (x)YJ(x). a) Encuentre u(1). b) Encuentre v(5). 3x 3 x 1 3x 3 5x 5 6x 6 9x 9 Sugerencia: en vez de encontrar primero R(x), sea f (x) el numerador y J(x) el denominador de R(x) y calcule R(0) de f (0), f (0), J(0) y J(0). 56. Utilice el método del ejercicio 55 para calcular Q(0), donde 49. Si f y J son las funciones cuyas gráficas se ilustran, sean Q x 1 1 x x x2 x2 xe x xe x 57. En este ejercicio, estime la proporción a la que se está y f g 1 1 x 50. Sea P(x) m F(x)G(x) y Q(x) m F(x)YG(x), donde F y G son las funciones cuyas gráficas se muestran a) Encuentre P(2). b) Encuentre Q(7). creciendo el ingreso personal total en el área metropolitana de Richmond-Petersburg, Virginia. En 1999, la población de esta área era 961 400 y la población aumentaba en alrededor de 9 200 personas al año. El ingreso anual promedio era $30 593 per cápita, y este promedio se incrementaba en cerca de $1 400 al año (ligeramente por arriba del promedio nacional de alrededor de $1 225 al año). Use la regla del producto y estas cifras para estimar la proporción en la que estaba aumentando el ingreso personal total en el área de Richmond-Petersburg en 1999. Explique el significado de cada término en la regla del producto. 58. Un fabricante produce rollos de una tela con un ancho fijo. y F G 1 0 1 d) y 55. Encuentre R(0), donde 47. Si g(x) m x f (x), donde f (3) m 4 y f (3) m 2, encuentre la 0 tx x 1 x La cantidad q de esta tela (medida en yardas) que se vende es función del precio de venta p (en dólares por yarda), de modo que q m f (p). Entonces, el ingreso total que se percibe con el precio de venta p es R(p) m p f ( p). a) ¿Qué significa afirmar que f (20) m 10 000 y f (20) m 350? b) Suponiendo los valores del inciso a), encuentre R(20) e interprete su respuesta. SECCIÓN 3.3 59. a) Utilice la regla del producto dos veces para probar que si f, DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 62. a) Si J es derivable la regla del recíproco indica que J y h son derivables, entonces ( f Jh) m f Jh  f Jh  f Jh. b) Tomando f m J m h en el inciso a), demuestre que d f x dx 3 3 f x 2 f x c) Utilice el resultado del inciso b) para derivar y m e3x. 60. a) Si F(x) m f (x)J(x), donde f y J son derivables en todos los órdenes, demuestre que F  m f J  2 f J  fJ. b) Halle fórmulas similares para F y F (4). c) Intente una fórmula para F (n). f (x) m x e . ¿Observa algún patrón en estas expresiones? Intente una fórmula para f (n)(x) y demuéstrela por medio de inducción matemática. 3.3 t x tx 1 tx d dx 2 Utilice la regla del cociente para demostrar la regla del recíproco. b) Utilice la regla del recíproco para derivar la función del ejercicio 18. c) Utilice la regla del recíproco para comprobar que la regla de la potencia es válida para números enteros negativos; es decir, d x dx 61. Halle expresiones para las primeras cinco derivadas de 2 191 x n nx n 1 para todos los números enteros positivos n. Derivadas de funciones trigonométricas En el apéndice D se da un repaso de las funciones trigonométricas. Antes de iniciar esta sección, quizá necesite repasar las funciones trigonométricas. En particular, es importante que recuerde que cuando habla de la función f definida para todos los números reales x, mediante f (x) m sen x se entiende que sen x significa el seno del ángulo cuya medida en radianes es x. Para las demás funciones trigonométricas: cos, tan, csc, sec y cot se cumple con una convención similar. Recuerde de la sección 2.5 que todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios. Si traza la gráfica de la función f (x) m sen x y utiliza la interpretación de f (x) como la pendiente de la recta tangente a la curva seno para trazar la grafica de f  (véase el ejercicio 14 de la sección 2.8), parece que la gráfica de esta última es la misma que la curva coseno (véase la figura 1). y y=ƒ=sen x 0 TEC Visual 3.3 muestra una animación de la figura 1. π 2 π 2π x y y=fª(x ) 0 FIGURA 1 π 2 π x 192 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Intente confirmar la conjetura de que si f (x) m sen x, entonces f (x) m cos x. A partir de la definición de derivada, tenemos f x lím Hemos utilizado la fórmula de adición para el seno. Véase el apéndice D. f x lím h h hl0 f x sen x cos h sen x cos h h hl0 1 lím sen x lím hl0 sen x cos h h lím sen x hl0 sen x cos x sen h h hl0 lím lím h h hl0 hl0 sen x cos x sen h h 1 cos h h sen x cos x 1 sen h h lím cos x lím hl0 hl0 sen h h Dos de estos cuatro límites son fáciles de evaluar. Puesto que se considera a x como constante al calcular un límite cuando h l 0, se tiene lím sen x sen x hl0 y lím cos x cos x hl0 El límite de (sen h)Yh no es tan obvio. Con base en la evidencia numérica y gráfica, en el ejemplo 3 de la sección 2.2 se infiere que 2 D B 1 ul 0 BC E ¨ C A D B E A O sen u u 1 Ahora utilizaremos un argumento geométrico para demostrar la ecuación 2. Suponga primero que . se encuentra entre 0 y )Y2. En la figura 2a) se muestra un sector de circunferencia con centro en 0, ángulo central . y radio 1. BC se traza perpendicular a OA. Por la definición de radián, tenemos que arco AB m .. Asimismo, U BC U m U OB U sen . m sen .. Con base en el diagrama, se observa que En consecuencia O lím sen u
u AB arc AB de manera que sen u u 1 Suponga que las tangentes en A y B se intersecan en E. Puede verse, con base en la figura 2b), que la circunferencia es menor que la longitud del polígono circunscrito, de modo que arc AB U AE U  U EB U. Así, u arc AB AE EB AE ED AD OA tan u tan u E FIGURA 2 (En el apéndice F se demuestra directamente la desigualdad .  tan . a partir de la definición de la longitud de arco, sin recurrir a la intuición geométrica, como se hizo aquí.) SECCIÓN 3.3 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 193 Por tanto, tenemos que de modo que u sen u cos u cos u sen u u 1 y lím u l 0 cos u Sabemos que lím u l 0 1 presión lím l0 1 1 , así que, por el teorema de la com- sen u u 1 Pero la función (sen .)Y. es una función par, de modo que sus límites por la derecha y por la izquierda deben ser iguales y, por tanto, lím l0 sen u u 1 así que se ha demostrado la ecuación 2. Podemos deducir el valor del límite restante en 1 como sigue: Multiplique el numerador y el denominador por cos .  1 para poner la función de manera que pueda usar los límites que conoce. lím ul 0 cos u u 1 cos u u lím ul 0 lím ul 0 1 cos u cos u sen2 u 1 u cos u lím ul 0 sen u u lím ul 0 0 1 1 1 lím ul 0 ul 0 lím ul 0 sen u u cos2 u u cos u sen u cos u 1 sen u cos u 1 0 cos u u lím 3 1 1 (por la ecuación 2) 1 0 Si ahora ponemos los límites 2 y 3 en 1 , obtenemos f x lím sen x lím hl0 sen x hl0 0 cos h h cos x 1 lím cos x lím hl0 1 hl0 sen h h cos x Así que hemos demostrado la fórmula para la derivada de la función seno: 4 d sen x dx cos x 1 1 194 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN La figura 3 muestra las gráficas de la función del ejemplo 1 y su derivada. Advierta que y m 0 siempre que y tenga una recta tangente horizontal. v EJEMPLO 1 Derive y m x2 sen x. SOLUCIÓN Con la regla del producto y la fórmula 4, tenemos dy dx 5 yª _4 x2 d sen x dx x 2 cos x y 4 d x2 dx 2x sen x Si se aplican los mismos métodos que en la demostración de la fórmula 4, puede demostrarse (véase el ejercicio 20) que _5 FIGURA 3 sen x d cos x dx 5 sen x También puede derivar la función tangente utilizando la definición de derivada, pero es más fácil usar la regla del cociente con las fórmulas 4 y 5: d tan x dx d dx sen x cos x cos x d sen x dx d cos x dx sen x cos2x cos x cos x sen x cos2x sen x cos2x sen 2x cos2x 1 cos2x sec2x d tan x dx 6 sec2x También es fácil hallar las derivadas de las funciones trigonométricas restantes, csc, sec y cot, aplicando la regla del cociente (véanse los ejercicios 17-19). En la tabla siguiente aparecen todas las formulas de derivación de las funciones trigonométricas. Recuerde que son válidas sólo cuando x se mide en radianes. Derivadas de las funciones trigonométricas d sen x dx Cuando memorice esta tabla, resulta útil notar que los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”; es decir, coseno, cosecante y cotangente. d cos x dx d tan x dx cos x sen x sec2x d csc x dx d sec x dx d cot x dx csc x cot x sec x tan x csc 2x SECCIÓN 3.3 EJEMPLO 2 Derive f x 1 una recta tangente horizontal? DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 195 sec x . ¿Para cuáles valores de x la gráfica de f tiene tan x SOLUCIÓN Por la regla del cociente se tiene que tan x 1 tan x sec x tan x 1 tan x f x 3 _3 d d sec x sec x 1 dx dx 1 tan x 2 1 sec x tan x 1 5 tan2x tan x 2 tan x sec x sec2x 2 sec2x sec x tan x 1 1 tan x 2 _3 FIGURA 4 /DVUHFWDVWDQJHQWHVKRUL]RQWDOHV GHOHMHPSOR En la simplificación de la respuesta hemos utilizado la identidad tan2x  1 m sec2x. Ya que sec x nunca es 0, f (x) m 0 cuando tan x m 1, y esto sucede cuando x m n)  )Y4, donde n es un entero (véase la figura 4). Las funciones trigonométricas se usan con frecuencia en el modelado de fenómenos del mundo real. En particular, las vibraciones, ondas, movimientos elásticos y otras cantidades que varían de manera periódica, pueden describirse por medio de las funciones trigonométricas. En el ejemplo siguiente se analiza un caso de movimiento armónico simple. v EJEMPLO 3 Un objeto que se encuentra en el extremo de un resorte vertical se desplaza hacia abajo 4 cm mas allá de su posición en reposo, para estirar el resorte, y se deja en libertad en el instante t m 0. (Véase la figura 5 y observe que la dirección hacia abajo es positiva.) Su posición en el instante t es 0 4 s s f t 4 cos t Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t y úselas para analizar el movimiento del objeto. FIGURA 5 SOLUCIÓN La velocidad y la aceleración son   
 
FIGURA 6 
 t v ds dt d 4 cos t dt a dv dt d dt 4 sen t 4 d cos t dt 4 d sen t dt 4 sen t 4 cos t El objeto oscila desde el punto más bajo (s m 4 cm) hasta el punto más alto (s m 4 cm). El periodo de la oscilación es 2), el periodo de cos t. La rapidez es U v U m 4 U sen t U, la cual es máxima cuando U sen t U m 1; es decir, cuando cos t m 0. De modo que el objeto se mueve con la mayor rapidez cuando pasa por su posición de equilibrio (s m 0). Su rapidez es 0 cuando sen t m 0; esto es, en los puntos alto y bajo. La aceleración a m 4 cos t m 0 cuando s m 0. Alcanza la magnitud máxima en los puntos alto y bajo. Observe la gráfica en la figura 6. 196 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 4 Hallar la vigésima séptima derivada de cos x. SOLUCIÓN Las primeras derivadas de f (x) m cos x son como sigue: RP Busque un patrón f x sen x f x cos x f x sen x cos x f 4 x f 5 x sen x Observamos que las derivadas sucesivas ocurren en un ciclo de longitud 4 y, en particular, f (n)(x) m cos x cada vez que n es un múltiplo de 4. En consecuencia, f (24) m cos x y, derivando tres veces más, se tiene f (27) m sen x La principal aplicación del límite en la ecuación 2 ha sido comprobar la fórmula de derivación de la función seno. Pero este límite también se aplica en la búsqueda de otros límites trigonométricos, como en los dos ejemplos siguientes. sen 7x . 4x SOLUCIÓN Con objeto de aplicar la ecuación 2, primero vuelva a escribir la función para multiplicarla por 7 y dividirla entre 7: EJEMPLO 5 Determine lím xl0 sen 7x 4x Observe que sen 7x  7 sen x 7 4 sen 7x 7x Si considera . m 7x, entonces . l 0, conforme x l 0, de este modo, mediante la ecuación 2 lím xl0 sen 7x 4x 7 sen 7x lím 4 xl0 7x 7 sen u lím l 0 u 4 u v EJEMPLO 6 7 4 1 7 4 Calcule lím x cot x. xl0 SOLUCIÓN En este caso se divide tanto el numerador como el denominador entre x: lím x cot x xl0 lím xl0 lím xl0 x cos x sen x cos x sen x x cos 0 1 1 lím cos x xl0 lím xl0 sen x x (según la continuidad del coseno y la ecuación 2) SECCIÓN 3.3 3.3 1. f x 3x 2 3. f x sen x 1 2 sec u tan u 7. y c cos t 2 4. y cot x t 2 sen t x tan x csc x 6. t u e tan u 8. f t cot t et 10. y sec u 1 sec u 2 sec x u sen u cos u 31. a) Utilice la regla del cociente para derivar la función tan x 1 sec x b) Simplifique la expresión para f (x) expresándola en términos de sen x y cos x, y enseguida halle f (x). c) Demuestre que sus respuestas a los incisos a) y b) son equivalentes. f x 32. Suponga f ()Y3) m 4 y f ()Y3) m 2 , y sea J(x) m f (x) sen x y h(x) m (cos x)Yf (x). Halle a) J ()Y3) b) h()Y3) cos x 1 sen x 12. y 29. Si H(.) m . sen ., halle H(.)y H (.). 30. Si f (t) m csc t, halle f ()Y6). sx sen x 2. f x 2 cos x 5. y 11. f u 197 Ejercicios 1-16 Encuentre la derivada de cada una de las siguientes funciones: 9. y DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 33-34 ¿Para qué valores de x la gráfica de cada una de las siguientes t sen t 1 t 13. y 15. f x 1 14. y xe x csc x 16. y d csc x 17. Demuestre que dx funciones tiene una recta tangente horizontal? sec x tan x 33. f x x 2 sen x tan x d sec x dx sec x tan x 19. Demuestre que d cot x dx csc 2x. 34. f x 2 sen x superficie lisa y nivelada, en un movimiento armónico simple. (Véase la figura.) Su ecuación de movimiento es x(t) m 8 sen t, donde t está en segundos y x en centímetros. a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. b) Encuentre la posición, la velocidad y la aceleración de la masa en el instante t m 2)Y3. ¿En qué dirección se desplaza en ese instante? posición de equilibrio 20. Aplique la definición de derivada y demuestre que si f (x) m cos x, entonces f (x) m sen x. 21-24 Encuentre la ecuación de la recta tangente a cada una de las siguientes curvas, en el punto especificado. 21. y sec x, 23. y cos x 3, 2 sen x, , 1 22. y e x cos x, 24. y x 0, 1 tan x, , 25. a) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva  y m 2x sen x en el punto ()Y2, )). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 26. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva  y m 3x  6 cos x en el punto ()Y3, )  3). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente en la misma pantalla. 27. a) Si f (x) m sec x  x, encuentre f (x).  b) Compruebe para ver que su respuesta al inciso a) es razonable trazando las graficas de f y f  para U x U )Y2. 28. a) Si f (x) m e x cos x, obtenga f (x) y f (x).  b) Verifique que su respuesta del inciso a) sea razonable graficando f, f  y f .  e x cos x 35. Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una csc x cot x 18. Demuestre que x Se requiere calculadora graficadora o computadora 0 x x  36. Una banda elástica cuelga de un gancho, con una masa sujeta en su extremo inferior. Cuando se tira de la masa hacia abajo y, luego, se deja en libertad, vibra verticalmente en un movimiento armónico simple. La ecuación del movimiento es s m 2 cos t  3 sen t, t  0, donde s se mide en centímetros y t en segundos. (Tome la dirección positiva correspondiente hacia abajo.) a) Encuentre la velocidad y la aceleración en el instante t. b) Dibuje las funciones velocidad y aceleración. c) ¿Cuándo pasa la masa por la posición de equilibrio por primera vez? d) ¿Cuán lejos de su posición de equilibrio viaja la masa? e) ¿Cuándo es máxima la magnitud de la velocidad? 37. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea . el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y x la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x respecto a . cuando . m )Y3? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 198 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 38. Un objeto con peso W es arrastrado a lo largo de un plano horizontal, por una fuerza que actúa a lo largo de una cuerda sujeta al objeto. Si la cuerda forma un ángulo . con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es mW F m sen u cos u donde & es una constante llamada coeficiente de fricción. a) Encuentre la razón de cambio de F respecto a .. b) ¿Cuándo es igual a 0 esta razón de cambio? c) Si W m 50 lb y & m 0.6, dibuje la gráfica de F como función de . y úsela para localizar el valor de . para el cual dFYd. m 0. ¿Resulta coherente el valor con su respuesta al inciso b)?  53. Derive cada una de las siguientes identidades trigonométricas para obtener una identidad nueva (o conocida) . 1 sen x a) tan x b) sec x cos x cos x 1 cot x c) sen x cos x csc x 54. Un semicírculo con diámetro PQ descansa sobre un triángulo isósceles PQR para configurar una región en forma de cono para helados como el que se ilustra en la figura. Si A(.) es el área del semicírculo y B(.) es el área del triangulo, halle A u B u lím ul 0 39-48 Determine cada uno de los siguientes límites. 39. lím xl0 sen 3x x 40. lím xl0 sen 4x sen 6x A(¨ ) 41. lím tan 6t sen 2t 42. lím cos u 1 sen u 43. lím sen 3x 5x 3 4x 44. lím sen 3x sen 5x x2 45. lím sen u tan u tl0 xl0 ul 0 u ul 0 xl0 46. lím xl0 1 tan x 47. lím x l 4 sen x cos x sen x x P Q B(¨ ) FP FP ¨ 2 sen x 48. lím 2 xl1 x x R 55. En la figura se muestra un arco circular de longitud s y una 1 2 cuerda de longitud d, los dos están subtendidos por un ángulo central .. Encuentre s lím ul 0 d 49-50 Encuentre la derivada que se muestra, mediante la búsqueda de las primeras derivadas y observando el patrón que aparece. 49. d 99 sen x dx 99 50. d d 35 x sen x dx 35 s ¨ 51. Encuentre constantes A y B tales que la función y m A sen x  B cos x satisface la ecuación diferencial y   y  2y m sen x. 52. a) Evalúe lím x sen xl
1 . x x . s1 cos 2x a) Grafique f. ¿Qué tipo de discontinuidad parece tener en x m 0?  56. Sea f x 1 b) Evalúe lím x sen . xl0 x  c) Ilustre los incisos a) y b) graficando y m x sen(1Yx). 3.4 b) Calcule los límites por la izquierda y por la derecha en x m 0. ¿Confirman estos valores su respuesta al inciso a)? Regla de la cadena Suponga que se le pide derivar la función Fx sx 2 1 Las fórmulas de derivación que usted aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no le permiten calcular F(x). SECCIÓN 3.4 Véase la sección 1.3 para un repaso de funciones compuestas. REGLA DE LA CADENA 199 su y u m Observe que F es una función compuesta. De hecho, si hacemos y f u J(x) m x2  1, entonces podemos escribir y m F(x) m f (J(x)); es decir, F m f J. Sabemos cómo derivar tanto f como J, de modo que sería útil contar con una regla que nos indique cómo hallar la derivada de F m f J en términos de las derivadas de f y J. Resulta que la derivada de la función compuesta f J es el producto de las derivadas de f y J. Este hecho es uno de los más importantes de las reglas de derivación y se llama regla de la cadena. Esto parece verosímil si interpretamos las derivadas como razones de cambio. Consideremos duYdx como la razón de cambio de u respecto a x, dyYdu como la razón de cambio de y respecto a u, y dyYdx como la razón de cambio de y respecto a x. Si u cambia al doble de rapidez de x y y varía tres veces más rápido que u, entonces parece razonable que y se modifique seis veces más rápido que x, y, por tanto, esperamos que dy du du dx dy dx Regla de la cadena Si J es derivable en x y f es derivable en J(x), entonces la función compuesta F m f J definida mediante F(x) m f (J(x)) es derivable en x, y F está dada por el producto f tx t x F x En la notación de Leibniz, si y m f (u) y u m J(x) son funciones derivables, entonces dy dx dy du du dx James Gregory COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA El primero en formular la regla de la cadena fue el matemático escocés James Gregory (1638-1675), quien también diseñó el primer telescopio práctico. Gregory descubrió las ideas básicas del Cálculo en la misma época que Newton. Se convirtió en el primer profesor de Matemáticas en la Universidad de St. Andrews y más tarde realizó la misma actividad en la Universidad de Edimburgo. Pero un año después de aceptar ese cargo, falleció a la edad de 36 años. correspondiente a un cambio de $x en x; es decir, tx u x tx u f u Sea $u el cambio en u Entonces el cambio correspondiente en y es y f u Resulta tentador escribir dy dx 1 lím y x lím y u u x lím y u lím u x lím y u lím u x xl 0 xl0 xl0 ul0 dy du du dx xl0 xl0 (Advierta que u l 0 conforme x l 0 porque t es continua.) 200 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El único defecto de este razonamiento es que en 1 podría suceder que $u m 0 (aun cuando $x  0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, este razonamiento sugiere por lo menos que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da una demostración completa de la regla de la cadena. La regla de la cadena puede escribirse con apóstrofos f t x 2 f tx t x o bien, si y m f (u) y u m J(x), en la notación de Leibniz: dy du du dx dy dx 3 La ecuación 3 es fácil de recordar porque si dyYdu y duYdx fueran cocientes, entonces podría cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir duYdx realmente como un cociente. EJEMPLO 1 sx 2 Encuentre F(x) si F x 1. SOLUCIÓN 1 (Utilizando la ecuación 2): Al principio de esta sección, expresamos F su y J(x) m x2  1. Dado que como F(x) m ( f J)(x) m f (J(x)) donde f u 1 2 f u tenemos F x u 1 2su 1 2 f tx t x 1 2sx 2 1 t x y 2x x sx 2 2x 1 SOLUCIÓN 2 (Utilizando la ecuación 3): Si hacemos u m x2  1 y y dy du du dx F x 1 2x 2su 1 2sx 2 1 2x su , entonces x sx 2 1 Al utilizar la fórmula 3, debemos tener presente que dyYdx se refiere a la derivada de y cuando ésta se considera como función de x (llamada derivada de y respecto a x), en tanto que dyYdu se refiere a la derivada de y cuando se considera como función de u (la derivada de y respecto a u). Por tanto, en el ejemplo 1, y puede considerarse como función de x ( y sx 2 1 ) y también como una función de u ( y su ). Observe que dy dx F x x sx 2 1 mientras que dy du f u 1 2su NOTA En la aplicación de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hacia el interior. La fórmula 2 expresa que derivamos la función exterior f [en la función interior J(x)] y, a continuación, multiplicamos por la derivada de la función interior. d dx f tx f tx t x función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior SECCIÓN 3.4 v EJEMPLO 2 REGLA DE LA CADENA 201 Derive a) y m sen(x2) y b) y m sen2x. SOLUCIÓN a) Si y m sen(x2), entonces la función exterior es la función seno, y la interior es la función elevar al cuadrado, de modo que la regla de la cadena da dy dx d dx sen x2 cos x2 2x función exterior evaluada en la función interior derivada de la función exterior evaluada en la función interior derivada de la función interior 2x cos x 2 b) Observe que sen2x m (sen x)2. En este caso, la función exterior es la de elevar al cuadrado, y la interior es la función seno. Por tanto, dy dx d sen x dx 2 2 función interior Véase la página de referencia 2 o el apéndice D. sen x cos x derivada de evaluada en la función la función exterior interior derivada de la función interior La respuesta puede dejarse como 2 sen x cos x, o bien, escribirse como sen 2x (por una identidad trigonométrica conocida como fórmula del ángulo doble). En el ejemplo 2a), combinamos la regla de la cadena con la regla para derivar la función seno. En general, si y m sen u, donde u es una función derivable de x, entonces, por la regla de la cadena, dy dx dy du du dx cos u d sen u dx Así que du dx du dx cos u De modo semejante, todas las fórmulas para derivar funciones trigonométricas pueden combinarse con la regla de la cadena. Hagamos explícito el caso especial de la regla de la cadena donde la función exterior f es una función potencia. Si y m F J(x)G n, entonces podemos escribir y m f (u) m un, donde u m J(x). Si aplicamos la regla de la cadena y, a continuación, la regla de la potencia, entonces dy dx 4 dy du du dx nu n 1 du dx n tx Regla de la potencia combinada con la regla de la cadena n 1 t x Si n es cualquier número real y u m J(x) es derivable, entonces d un dx De modo alternativo, d tx dx nu n n 1 du dx n tx n 1 t x Observe que la derivada en el ejemplo 1 pudimos calcularla tomando n 1 2 en la regla 4. 202 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 3 Derive y m (x3  1)100. SOLUCIÓN Si, en 4 , se toman u m J(x) m x3  1 y n m 100, tenemos que dy dx v d x3 dx 1 100 100 x 3 1 99 100 x 3 3x 2 300x 2 x 3 1 Encuentre f (x) si f x EJEMPLO 4 d x3 dx 99 1 3 x2 s x 1 1 1 99 . SOLUCIÓN En primer lugar, reescribimos f como: f (x) m (x2  x  1)1Y3 f x De este modo EJEMPLO 5 1 3 x2 x 1 4 3 1 3 x2 x 1 4 3 d x2 dx 2x x 1 1 Encuentre la derivada de la función t 2t tt 9 2 1 SOLUCIÓN Si se combinan la regla de la potencia, la regla de la cadena y la regla del cociente, obtenemos t t EJEMPLO 6 En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones y y y del ejemplo 6. Observe que y es grande cuando y crece con rapidez, y y m 0 cuando y tiene una recta tangente horizontal. De modo que la respuesta parece ser razonable. 10 yª _2 2 1 t 2t 2 1 8 9 d dt t 2t 2 1 2t 1 1 2t 2t 1 2 45 t 2t 2 28 1 10 Derive y m (2x  1)5(x3  x  1)4. SOLUCIÓN En este ejemplo debemos aplicar la regla del producto antes de aplicar la regla de la cadena: dy dx 2x 1 5 d x3 dx 2x 1 5 4 x3 x3 x 1 y t 2t 8 9 4 2x 1 5 x3 x 1 x 1 1 4 4 3 x3 x 1 d x3 dx x 1 5 2x 1 3 3x 2 x 4 d 2x dx 4 d 2x dx 1 1 5 x3 x 1 1 1 4 2x 5 1 4 2 _10 FIGURA 1 Observe que cada término tiene el factor común 2(2x  1)4(x3  x  1)3, así que podemos factorizarlo y escribir la respuesta como dy dx 2 2x 1 4 x3 x 1 3 17x 3 6x 2 9x 3 SECCIÓN 3.4 EJEMPLO 7 REGLA DE LA CADENA 203 Derive y m esen x. SOLUCIÓN En este caso la función interior es J(x) m sen x, y la exterior es la función exponencial f (x) m e x. Por tanto, por la regla de la cadena, Más generalmente, la regla de la cadena da: d u e dx dy dx du e dx u d e sen x dx e sen x d sen x dx e sen x cos x Podemos aplicar la regla de la cadena para derivar una función exponencial con cualquier base a  0. Recuerde, por lo visto en la sección 1.6, que a m e ln a. De este modo, ax m (e ln a)x m e(ln a)x y la regla de la cadena da d ax dx No confunda la fórmula 5 (donde x es el exponente) con la regla de la potencia (donde x es la base): d xn dx nx n d e ln a x dx e ln a x ln a d ln a x dx a x ln a e ln a x porque ln a es una constante. En consecuencia, tenemos la fórmula 1 d ax dx 5 a x ln a En particular, si a m 2, obtenemos d 2x dx 6 2 x ln 2 En la sección 3.1, dimos la estimación d 2x dx 0.69 2 x Esto resulta coherente con la fórmula exacta 6 porque ln 2 y 0.693147. La razón para el nombre “regla de la cadena” queda clara cuando se ve como analogía de agregar eslabones para alargar una cadena. Supongamos que y m f (u), u m J(x) y x m h(t), donde f, J y h son funciones derivables. Entonces, para calcular la derivada de y respecto a t, utilizamos dos veces la regla de la cadena: dy dt v EJEMPLO 8 dy dx dx dt dy du dx du dx dt Si f (x) m sen(cos(tan x)), entonces f x cos cos tan x d cos tan x dx cos cos tan x sen tan x d tan x dx cos cos tan x sen tan x sec2x Observe que se ha aplicado dos veces la regla de la cadena. 204 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN EJEMPLO 9 Derive y m esec 3.. SOLUCIÓN La función exterior es la función exponencial, la función media es la función secante y la función interna es el triple de la función. De modo que dy du e sec 3u d sec 3u du e sec 3u sec 3u tan 3u d 3u du 3e sec 3u sec 3u tan 3u Cómo demostrar la regla de la cadena Recuerde que si y m f (x) y x cambia de a a a  $x, se define el incremento de y como $y m f (a  $x)  f (a) Según la definición de derivada, tenemos que y x lím xl0 f a Por consiguiente, si denotamos por medio de  el cociente de diferencias y la derivada, obtenemos lím e xl0 pero e y x lím xl0 f a y x f a ? f a y f a f a x 0 e x Si definimos  como 0 cuando $x m 0, entonces  se convierte en función continua de $x. De esta manera, para una función f derivable, podemos escribir 7 $y m f SaD $x   $x donde  l 0 cuando $x l 0 y  es una función continua de $x. Esta propiedad de las funciones derivables es lo que permite demostrar la regla de la cadena. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Suponga que u m J(x) es derivable en x m a y y m f (u) es derivable en b m J(a). Si $x es un incremento en x, y $u y $y son los incrementos correspondientes en u y y, entonces podemos aplicar la ecuación 7 para escribir 8 $u m J(a) $x  1 $x m FJ(a)  1G $x donde 1 l 0 conforme $x l 0. De manera análoga, 9 $y m f (b) $u  2 $u m F f (b)  2G $u donde 2 l 0 conforme $u l 0. Si ahora sustituimos la expresión para $u de la ecuación 8 en la ecuación 9, obtenemos $y m F f (b)  2G FJ(a)  1G $x SECCIÓN 3.4 y x así que e2 t a f b 205 REGLA DE LA CADENA e1 A medida que $x l 0, la ecuación 8 muestra que $u l 0. De modo que tanto 1 l 0 y 2 l 0 conforme $x l 0. Debido a eso dy dx lím xl0 y x lím f b xl0 f b t a e2 t a e1 f ta t a Esto demuestra la regla de la cadena. Ejercicios 3.4 1-6 Escriba la función compuesta en la forma f (J(x)). [Identifique la función interior u m J(x) y la exterior y m f (u)]. Luego, encuentre la derivada dyYdx de cada una de las siguientes funciones. 1. y s1 3. y tan x 4. y sen cot x 5. y e sx 6. y s2 3 2. y 4x 2x 3 33. y 2 sen px 35. y cos 37. y cot 2 sen u 4 5 39. f t ex 41. f t 7-46 Obtenga la derivada de cada una de las siguientes funciones. 7. F x x 4 3x 9. F x s1 2x 11. f z 1 z2 13. y cos a 3 15. y xe 2 2 5 x3 kx 2x 3 4 x2 x 18. t x x2 1 3 x2 2 19. h t t 2t 2 1 20. F t 3t x2 x2 23. y s1 25. y 5  1 1 1 x 2 sen e t 2t 1 14. y a3 16. y e 2t e t sen 2t sen tan 2x tan e t e tan t 2 sen2 e sen t 2ra rx n p cos ssen tan px x 2e 36. y s1 38. y e k tan sx 40. y sensensen x

42. y sx 3x 44. y 2 46. y x 1 x xe 2x sx sx 2 x sen 2 x 3 4 2 47-50 Encuentre la primera y segunda derivadas de cada una de las siguientes funciones: e sen t cos 4t 47. y cos x 2 48. y cos 2 x 49. y e x sen bx 50. y ee x 5 3 51-54 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 51. y 1 2x 10, 0, 1 52. y s1 x 3 , 2, 3 3 53. y 6 s2 s2 22. f s 24. y 10 28. y eu eu e e v3  14 2y 5 sec 2 m u Se requiere calculadora graficadora o computadora ,0 54. y sen x
sen2 x, 0, 0 u y m 2Y(1  ex) en el punto (0, 1). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. x
s2 x 2 se llama curva nariz de bala. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 1). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en la misma pantalla. 56. a) La curva y u  6 1 sen
sen x, 55. a) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva 1 x2 v 30. F v 32. y 1 4 y y2 26. G y 1 45. y cos3x 3 2e 3x sr 29. F t 4 1 r 27. y 31. y 2 3 1 x 1 sec x 1 12. f t 1 1 4x 10. f x 17. f x 21. y 8. F x 43. t x 2 100 e 2x e 2x 1 1 34. y x s2 x 2 , encuentre f (x). b) Verifique que su respuesta al inciso a) es razonable comparando las gráficas de f y f . 57. a) Si f x  SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 206 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN  58. La función f (x) m sen(x  sen 2x), 0 v x v ), surge en aplicaciones a la sintonía de frecuencia modulada (FM). a) Utilice una gráfica de f producida por un dispositivo de graficación para trazar un boceto aproximado de la gráfica de f . b) Calcule f (x) y utilice esta expresión, junto con un dispositivo graficador, para graficar f . Compare con su boceto del inciso a). 67. Si t x sf x , donde f es la gráfica que se muestra, evalúe J(3). y 59. Encuentre todos los puntos sobre la gráfica de la función 0 f (x) m 2 sen x  sen2x en los cuales la recta tangente es horizontal. 60. Determine las coordenadas x de todos los puntos de la curva y m sen 2x  2 sen x en los cuales la recta tangente es horizontal. 61. Si F(x) m f (J(x)), donde f (2) m 8, f (2) m 4, f (5) m 3, J(5) m 2, y J(5) m 6, halle F(5). 62. Si h x s4 3f x , donde f (1) m 7 y f (1) m 4, halle h(1). f  1 x 68. Suponga que f es derivable sobre 2 y  es un número real. Sea F(x) m f (x) y G(x) m F f (x)G. Encuentre expresiones para a) F(x) y b) G(x). 69. Suponga que f es derivable sobre 2. Sea F(x) m f (e x) y G(x) m e f (x). Encuentre expresiones para a) F(x) y b) G(x). 70. Sea J(x) m e cx  f (x) y h(x) m ekx f (x), donde f (0) m 3, 63. Se da una tabla de valores de f, J, f  y J x f x tx f x t x 1 2 3 3 1 7 2 8 2 4 5 7 6 7 9 f (0) m 5, y f (0) m 2. a) Encuentre J(0)y J (0) en términos de c. b) En términos de k, encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de h en el punto donde x m 0. 71. Si r(x) m f (J(h(x))), donde h(1) m 2, J(2) m 3, h(1) m 4, J(2) m 5 y f (3) m 6, encuentre r(1). 72. Si J es una función dos veces derivable y f (x) m xJ(x2), a) Si h(x) m f (J(x)), encuentre h(1). b) Si H(x) m J( f (x)), halle H(1). halle f  en términos de J, J y J . 64. Sean f y J las funciones del ejercicio 63. 73. Si F(x) m f (3 f (4 f (x))), donde f (0) m 0 y f (0) m 2, encuentre a) Si F(x) m f ( f (x)), encuentre F(2). b) Si G(x) m J(J(x)), encuentre G(3). F(0). 65. Sean f y J las funciones cuyas gráficas se muestran; sea u(x) m f (J(x)), v(x) m J( f (x)) y w(x) m J(J(x)). Encuentre, si existe, cada derivada. Si no existe, explique por qué. a) u(1) b) v(1) c) w(1) 74. Si F(x) m f (x f (x f (x))), donde f (1) m 2, f (2) m 3, f (1) m 4, f (2) m 5 y f (3) m 6, halle F(1). 75. Demuestre que la función y m e 2x(A cos 3x  B sen 3x) satisface la ecuación diferencial y   4y  13y m 0. 76. ¿Para qué valores de r la función y m erx satisface la ecuación y diferencial y   4y  y m 0? f 77. Encuentre la 50a. derivada de y m cos 2x. 78. Encuentre la 1000a. derivada de f (x) m xex. g  0 79. El desplazamiento de una partícula sobre una cuerda vibrante 1 x 66. Si f es la función cuya gráfica se muestra, sea h(x) m f (f (x)) y J(x) m f (x2). Utilice la gráfica de f para estimar el valor de cada derivada. a) h(2) b) J(2) y  1 80. Si la ecuación del movimiento de una partícula está dada por s m A cos(/t  ), se dice que la partícula describe un movimiento armónico simple. a) Encuentre la velocidad de la partícula en el instante t. b) ¿Cuándo es 0 la velocidad? 81. Cefeida, una estrella variable, tiene una brillantez que y=ƒ 0 1 10 4 sen 10 t , donde s se está dada por la ecuación s t mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad de la partícula después de t segundos. x aumenta y disminuye de manera alternada. La estrella de ese tipo más visible es Delta Cefeida, para la cual el intervalo entre los momentos de máxima brillantez es de 5.4 días. La brillantez promedio de esta estrella es de 4.0, y cambia en 0.35. En vista de estos datos, la brillantez de Delta SECCIÓN 3.4 Cephei en el tiempo t, medido en días, se ha modelado mediante la función Bt 4.0 a) Halle la razón de cambio de la brillantez después de t días. b) Encuentre, con una aproximación de dos cifras decimales, la razón de aumento después de un día. duración de la luz diurna (en horas) en Filadelfia en el t-ésimo día del año 12 2.8 sen 2 t 365 t 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Q 100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76 a) Halle, usando una calculadora graficadora o una computadora, un modelo exponencial para la carga. b) La derivada Q(t) representa la corriente eléctrica (en microamperes, &A) que fluye del capacitor hacia el bulbo de la lámpara de destello. Con el resultado del inciso a), estime la corriente cuando t m 0.04 s. Compare la respuesta con el resultado del ejemplo 2 de la sección 2.1. 82. En el ejemplo 4 de la sección 1.3, obtuvimos un modelo para la Lt 207 repentina cuando se activa el obturador. Los datos siguientes describen la carga que queda en el capacitor (en microcoulombs, &C) en el instante t (en segundos). 2 t 5.4 0.35 sen REGLA DE LA CADENA 80 Utilice este modelo para comparar cómo aumentan las horas de  88. En la tabla se da la población de estadounidenses, desde 1790 luz diurna en Filadelfia el 21 de marzo y el 21 de mayo. hasta 1860.  83. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de fricción o una fuerza de amortiguamiento (como un Año Población Año Población amortiguador en un automóvil) se modela a menudo mediante 3 929 000 1830 1790 12 861 000 el producto de una función exponencial y una función seno o 1800 17 063 000 5 308 000 1840 coseno. Suponga que la ecuación del movimiento de un punto sobre tal resorte es 23 192 000 1810 7 240 000 1850 1820 s(t) m 2e1.5t sen 2)t donde s se mide en centímetros y t en segundos. Encuentre la velocidad después que transcurren t segundos y grafique las funciones de posición y de velocidad para 0 v t v 2. ecuación  1 1 ae kt donde p(t) es la proporción de la población que lo conoce en el tiempo t, y a y k son constantes positivas. [En la sección 9.4 veremos que ésta es una ecuación razonable para p(t).] a) Encuentre lím t l @ p(t). b) Halle la rapidez de esparcimiento del rumor. c) Grafique p para el caso en que a m 10, k m 0.5, con t medido en horas. Utilice la gráfica para estimar cuánto tiempo transcurrirá para que 80% de la población escuche el rumor. SAC desplazamiento s(t), velocidad v(t) y aceleración a(t). Demuestre que dv vt at ds 86. Se bombea aire dentro de un globo esférico para el clima. En cualquier tiempo t, el volumen del globo es V(t), y su radio es r (t). a) ¿Qué representan las derivadas dVYdr y dVYdt? b) Exprese dVYdt en términos de drYdt.  87. El flash (unidad de destello) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un capacitor y su liberación 89. Los sistemas algebraicos computarizados (SAC) tienen comandos que derivan funciones, pero la forma de la respuesta quizá no convenga; en consecuencia, pueden ser necesarios otros comandos para simplificarla. a) Use un SAC para hallar la derivada del ejemplo 5 y compárela con la respuesta en ese ejemplo. Después, use el comando de simplificación y vuelva a comparar. b) Utilice un SAC para derivar la función del ejemplo 6. ¿Qué sucede si usa el comando de simplificación? ¿Qué ocurre si emplea el comando de factorización? ¿Cuál forma de la respuesta sería la mejor para localizar las rectas tangentes horizontales? 85. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta con Explique la diferencia entre los significados de las derivadas dvYdt y dvYds. 31 443 000 1860 a) Use una calculadora graficadora o una computadora para ubicar los datos con una función exponencial. Dibuje los puntos correspondientes a los datos y el modelo exponencial. ¿Qué tan bien ajustan? b) Estime las tasas de crecimiento de la población en 1800 y 1850 promediando las pendientes de las rectas secantes. c) Use el modelo exponencial del inciso a) para estimar las tasas de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estimaciones con las del inciso b). d) Utilice el modelo exponencial para predecir la población en 1870. Compare con la población real de 38 558 000. ¿Puede explicar la discrepancia? 84. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la pt 9 639 000 SAC 90. a) Use un SAC para derivar la función f x x4 x4 x x 1 1 y simplificar el resultado. b) ¿En dónde tiene la gráfica de f rectas tangentes horizontales? c) Trace las gráficas de f y f  en la misma pantalla. ¿Son coherentes las gráficas con su respuesta al inciso b)? 208 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 91. Mediante la regla de la cadena demuestre lo siguiente. (Esto da un argumento para justificar la convención de que siempre se use el radián cuando se manejen funciones trigonométricas en Cálculo: las fórmulas de derivación no serían tan sencillas si usara el grado como medida.) a) La derivada de una función par es una función impar. b) La derivada de una función impar es una función par. 92. Utilice la regla de la cadena y la regla del producto para obtener una demostración alternativa de la regla del cociente. [Sugerencia: escriba f (x)YJ(x) m f (x)F J(x)G1.] 96. a) Escriba x sx 2 y utilice la regla de la cadena para demostrar que 93. a) Si n es un entero positivo, demuestre que d x dx d
senn x cos nx
n senn
1 x cos
n  1x dx b) Si f (x) m U sen x U, encuentre f (x) y trace las gráficas de f y f . ¿En dónde f no es derivable? c) Si J(x) m sen U x U, halle J(x) y dibuje las gráficas de J y J. ¿En dónde J no es derivable? b) Plantee una fórmula para la derivada de y m cosnx cos nx que es similar a la del inciso a). 94. Suponga que y m f (x) es una curva que siempre queda arriba del eje x y nunca tiene una recta tangente horizontal, donde f es derivable para toda x. ¿Para qué valor de y la razón de cambio de y5 respecto a x es 80 veces la razón de cambio de y respecto a x? 97. Si y m f (u) y u m J(x), donde f y J son funciones dos veces derivables, demuestre que d2y dx 2 95. Use la regla de la cadena para demostrar que si . se mide en grados, entonces x x d2y du 2 du dx 2 dy d 2u du dx 2 98. Si y m f (u) y u m J(x), donde f y J tienen tercera derivada, obtenga una fórmula para d 3yYdx3 parecida a la que se proporciona en el ejercicio 97. p cos u 180 d sen u du P R O Y E C T O D E A P L I C A C I Ó N ¿DÓNDE DEBERÍA UN PILOTO INICIAR EL ATERRIZAJE? y En la figura se muestra una trayectoria de aproximación para el aterrizaje de un avión, que satisface las condiciones siguientes: y=P(x) i) La altura de crucero es h cuando se inicia el descenso a una distancia contacto con la pista en el origen. h del punto de ii) El piloto debe mantener una rapidez horizontal constante v a todo lo largo del descenso. iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mucho menor que la aceleración debida a la gravedad). 0
x 1. Encuentre un polinomio cúbico P(x) m ax3  bx2  cx  d que satisfaga la condición i), imponiendo condiciones adecuadas sobre P(x) y P(x) en el inicio del descenso y el contacto con la pista. 2. Use las condiciones ii) y iii) para demostrar que 6h v 2
2 k 3. Suponga que una aerolínea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un avión sea mayor que k m 860 miYh2. Si la altitud de crucero de un avión es de 35 000 pies y la rapidez de 300 miYh, ¿a qué distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso?  4. Trace la grafica de la trayectoria de aproximación si se satisfacen las condiciones que se enuncian en el problema 3.  Se requiere calculadora graficadora o computadora SECCIÓN 3.5 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 209 Derivación implícita La mayor parte de las funciones que hemos visto hasta ahora pueden describirse expresando una variable explícitamente en términos de otra variable; por ejemplo, y sx 3 o bien 1 y m x sen x o, en general, y m f (x). Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por medio de una relación entre x y y como 1 x 2  y 2 m 25 o bien x 3  y 3 m 6xy 2 En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si resolvemos la ecuación 1 para y, obtenemos y s25 x 2 , de modo que dos de las funciones determinadas por la ecuación implícita 1 son f x s25 x 2 y t x s25 x 2 . Las gráficas de f y J son las semicircunferencias superior e inferior de la circunferencia x2  y 2 m 25. (Véase la figura 1.) y y 0 FIGURA 1 x D ≈+¥=25 0 y 0 x 25-≈ E ƒ=œ„„„„„„ x 25-≈ F ©=_ œ„„„„„„ No es fácil resolver explícitamente la ecuación 2 para y como función x. (Con un sistema algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que se obtienen son muy complicadas). Sin embargo, 2 es la ecuación de una curva llamada folium de Descartes, ilustrada en la figura 2 y, que de manera implícita define a y como varias funciones de x. En la figura 3 se muestran las gráficas de esas tres funciones. Cuando se dice que f es una función definida implícitamente por la ecuación 2, se da a entender que la ecuación x 3  F f (x)G 3 m 6x f (x) es verdadera para todos los valores de x en el dominio de f. y y y y ˛+Á=6xy 0 x FIGURA 2 Folium de Descartes 0 x 0 x FIGURA 3 Gráficas de tres funciones definidas por el folium de Descartes 0 x 210 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Por fortuna, no es necesario resolver una ecuación para y en términos de x a fin de hallar la derivada de y. En lugar de ello, aplicaremos el método de derivación implícita. Este método consiste en derivar ambos miembros de la ecuación respecto a x y después resolver la ecuación resultante para y. En los ejemplos y ejercicios de esta sección, siempre se supone que la ecuación dada determina y implícitamente como una función derivable de x, de modo que puede aplicarse el método de derivación implícita. v EJEMPLO 1 a) Si x 2  y 2 m 25, encuentre dy . dx b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x 2  y 2 m 25, en el punto (3, 4). SOLUCIÓN 1 a) Derive ambos miembros de la ecuación x 2  y 2 m 25: d x2 dx d x2 dx d 25 dx y2 d y2 dx 0 Recuerde que y es una función de x, así que hay que utilizar la regla de la cadena para obtener d y2 dx Por tanto, d dy y2 dy dx 2y 2x dy dx 2y dy dx 0 Ahora resolvemos esta ecuación para dyYdx: x y dy dx b) En el punto (3, 4) se tiene que x m 3 y y m 4, de modo que 3 4 dy dx Por tanto, la ecuación de la tangente a la circunferencia, en (3, 4), es y 3 4 4 x o bien 3 3x  4y m 25 SOLUCIÓN 2 b) Al resolver x 2  y 2 m 25, obtenemos y s25 x 2 . El punto (3, 4) se encuentra en la semicircunferencia superior y s25 x 2 y, por consiguiente, considere la función f x s25 x 2 . Al aplicar la regla de la cadena a la función f, se tiene f x 1 2 25 x2 1 2 1 2 25 x2 1 2 d 25 dx 2x x2 x s25 x2 SECCIÓN 3.5 En el ejemplo 1 se ilustra que aun cuando es posible resolver una ecuación explícita para y en términos de x puede ser más fácil aplicar la derivación implícita. 3 f 3 De modo que s25 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 211 3 4 32 y, como en la solución 1, la ecuación de la recta tangente es 3x  4y m 25. NOTA 1 La expresión dyYdx m xYy en la solución 1 da la derivada en términos tanto de x como de y. Esto es correcto sin importar cuál función y queda determinada por la ecuación dada. Por ejemplo, para y f x s25 x 2 tenemos x y dy dx en tanto que para y v tx s25 dy dx x y x s25 x2 x 2 tenemos x x s25 x s25 2 x2 EJEMPLO 2 a) Encuentre y si x3  y3 m 6xy. b) Halle la recta tangente al folium de Descartes x3  y3 m 6xy, en el punto (3, 3). c) ¿En cuál punto en el primer cuadrante es horizontal la recta tangente? SOLUCIÓN a) Si se derivan ambos miembros de x3  y3 m 6xy respecto a x, considerando a y como función de x, y usando la regla de la cadena en el término y3, y la regla del producto en el término 6xy, obtenemos 3x 2 3y 2 y 6xy 6y y 2y 2xy 2y y 2y 2xy 2y x2 y2 2x y 2y x2 y 2y y2 x2 2x x2 o bien Ahora resolvemos para y : y (3, 3) 0 x b) Cuando x m y m 3, y FIGURA 4 2 3 32 32 2 3 1 un vistazo a la figura 4 confirma que éste es un valor razonable para la pendiente en (3, 3). De este modo, la ecuación de la recta tangente al folium en (3, 3) es y  3 m 1(x  3) 4 o bien xym6 c) La recta tangente es horizontal si y m 0. Si utilizamos la expresión para y del inciso a), vemos que y m 0 cuando 2y  x 2 m 0 (siempre que y 2  2x o 0). Al sustituir y 12 x 2en la ecuación de la curva, obtenemos x3 0 FIGURA 5 4 ( 12 x 2)3 6x ( 12 x 2) lo cual se simplifica para quedar x6 m 16x3. Ya que x o 0 en el primer cuadrante, 1 2 5 3. Por tanto, la recta tenemos x3 m 16. Si x m 161Y3 m 24Y3, entonces y 2 2 8 3 tangente es horizontal en (24Y3, 25Y3) lo cual es aproximadamente (2.5198, 3.1748). Al estudiar la figura 5, es claro que la respuesta es razonable. 212 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN NOTA 2 Existe una fórmula para obtener las tres raíces de una ecuación cúbica, que es semejante a la fórmula cuadrática, pero mucho más complicada. Si utilizamos esta fórmula (o un sistema algebraico computarizado) para resolver la ecuación x3  y3 m 6xy para y en términos de x, obtenemos tres funciones determinadas por la ecuación: y 3 s f x 1 2 s14 x 6 x3 3 s 8x 3 1 2 s14 x 6 x3 8x 3 y Abel y Galois y En 1824, el matemático noruego Niels Abel demostró que no puede darse una fórmula general para la obtención de las raíces de una ecuación de quinto grado. Tiempo después, el matemático francés Evariste Galois demostró que es imposible hallar una fórmula general para las raíces de una ecuación de n-ésimo grado (en términos de operaciones algebraicas sobre los coeficientes), si n es cualquier entero mayor que 4. 1 2 [ ( 3 s 3 s f x 1 2 s14 x 6 x3 8x 3 3 s 1 2 x3 s14 x 6 8x 3 )] (Éstas son las tres funciones cuyas gráficas se muestran en la figura 3.) Usted puede ver que el método de la derivación implícita ahorra una cantidad enorme de trabajo en casos como éste. Más aún, la derivación implícita funciona con igual facilidad para funciones como y 5  3x 2 y 2  5x 4 m 12 en las cuales es imposible resolver para y en términos de x. EJEMPLO 3 Encuentre y si sen(x  y) m y 2 cos x. SOLUCIÓN Si derivamos implícitamente respecto a x y consideramos que y es una función de x, obtenemos cos x y 1 y y2 sen x cos x 2yy (Note que en el lado izquierdo hemos aplicado la regla de la cadena y, en el derecho, la regla de la cadena y la regla del producto). Si agrupamos los términos que contienen a y, obtenemos 2 cos x _2 2 y Por lo que y 2 sen x y 2y cos x y y 2 sen x 2y cos x cos x cos x cos x y y y y En la figura 6, trazada con el comando de construcción de gráficas en forma implícita de un sistema algebraico computarizado, se muestra parte de la curva sen(x  y) m y2 cos x. Como comprobación de nuestro cálculo, observe que y m 1, cuando x m y m 0 y, al parecer de la gráfica, la pendiente es aproximadamente 1 en el origen. _2 FIGURA 6 Las figuras 7, 8 y 9 muestran tres curvas más, producidas por computadora. En los ejercicios 41-42 tendrá usted oportunidad de crear y analizar curvas atípicas de esta naturaleza.       FIGURA 7 FIGURA 8       
sen     FIGURA 9
sen

cos
SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA 213 En el siguiente ejemplo se muestra cómo encontrar la segunda derivada de una función que está definida implícitamente. EJEMPLO 4 Hallar y  si x 4  y 4 m 16. SOLUCIÓN Derivando la ecuación de manera implícita respecto a x, obtenemos 4x 3 4y 3 y 0 Resolviendo para y 3 La figura 10 muestra la gráfica de la curva x4  y4 m 16 del ejemplo 4. Observe que es una versión extendida y achatada de la circunferencia x2  y2 m 4, por esta razón algunas veces se le llama circunferencia gruesa. Empieza muy escarpada a la izquierda, pero rápidamente se hace muy plana. Esto puede verse en la expresión x3 y3 y y x y x3 y3 y Para hallar y  derivamos esta expresión para y aplicando la regla del cociente, considerando que y es una función de x: y d dx x3 y3 y 3 3x 2 3 y 3 d dx x 3 y x 3 3y 2 y y6 x$+y$=16 Si ahora sustituimos la ecuación 3 en esta expresión, obtenemos 2 3x 2 y 3 y 0 x 3 d dx y 3 3 2 3x 3 y 2 x3 y3 y6 2 x 3 x2y4 x6 y7 3x 2 y 4 x 4 y7 Pero los valores de x y y deben satisfacer la ecuación original x4  y4 m 16, por lo que la respuesta se simplifica a FIGURA 10 3x 2 16 y7 y 48 x2 y7 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Las funciones trigonométricas inversas se repasan en la sección 1.6. En la sección 2.5 analizamos su continuidad, y en la sección 2.6, sus asíntotas. Aquí usamos la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, suponiendo que estas funciones son derivables. [En efecto, si f es una función uno a uno derivable, puede demostrarse que su función inversa f también es derivable, excepto donde sus rectas tangentes son verticales. Esto es posible porque la gráfica de una función derivable no tiene vértices ni bucles y, por esta razón, si la reflejamos respecto a y m x, la gráfica de su función inversa tampoco tiene vértices ni bucles.] Recuerde la definición de la función arco seno: y sen 1 x significa sen y x y 2 Al derivar implícitamente sen y m x respecto a x, obtenemos cos y dy dx 1 o bien dy dx 1 cos y y 2 214 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Ahora cos y w 0, debido a que )Y2 v y v )Y2, de modo que s1 cos y El mismo método puede utilizarse para hallar una fórmula para la derivada de cualquier función inversa. Véase el ejercicio 77. dy dx De manera que 1 cos y d sen 1x dx En la figura 11 se muestra la gráfica de f (x) m tan1x y su derivada f (x) m 1Y(1  x2). Observe que f es creciente y f (x) es siempre positiva. El hecho de que tan1x l )Y2 conforme x l @ se refleja en el hecho de que f (x) l 0 a medida que x l @. sec2 y tan 
   dy dx 1 dy dx 1 sec2 y  1 s1 x2 1 s1 x2 v EJEMPLO 5 1 tan2 y 1 d tan 1x dx  FIGURA 11 x2 La fórmula para la derivada de la función arco tangente se obtiene de manera semejante. Si y m tan1 x, entonces tan y m x. Si derivamos esta última ecuación implícitamente respecto a x, tenemos   s1 sen 2 y x2 1 1 1 y b) f x sen 1x Derive a) y 1 1 x2 x arctansx . SOLUCIÓN dy dx a) d sen 1x dx 1 sen 1x 1 sen x s1 1 Recuerde que arctan x es una notación alternativa para tan1x. b) f x x 2 (sx ) 2 sx 21 x d sen 1x dx x2 1 1 2 ( 12 x 1 2) arctansx arctansx Las funciones trigonométricas inversas que se presentan con mayor frecuencia son las que acabamos de analizar. Las derivadas de las cuatro restantes se presentan en la tabla siguiente. Las demostraciones de las fórmulas se dejan como ejercicios. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas d sen 1x dx Las fórmulas para las derivadas de csc1x y sec1x dependen de las definiciones que se apliquen para estas funciones. Véase el ejercicio 64. 1 s1 d cos 1x dx d tan 1x dx d csc 1x dx x2 1 s1 x2 1 1 x 2 1 xsx 2 d sec 1x dx 1 xsx 2 d cot 1x dx 1 1 1 1 x2 SECCIÓN 3.5 215 32. y 2 y 2 5 Ejercicios 3.5 1-4 a) Encuentre y por derivación implícita. 31. 2 x 2 b) Resuelva la ecuación explícita para y y derive para obtener y en términos de x. c) Compruebe la coherencia de sus soluciones en los incisos a) y b) sustituyendo la expresión para y en su solución del inciso a). 1. 9x 2 y2 1 2. 2x 2 x xy 1 3. DERIVACIÓN IMPLÍCITA 1 x 1 y sy 5 sy 3 4. cos x 1 y2 2 25 x 2 y2 (3, 1) (lemniscata) x2 x2 4 (0, 2) (curva del diablo) y y x x 0 5-20 Encuentre dyYdx por derivación implícita. 5. x 3 y3 1 7. x 2 xy y2 9. x 4 x x 2 y 13. 4 cos x sen y 15. e x y x 1 17. tan 8. 2x 3 4 y 2 3x y 11. y cos x 6. 2sx 10. xe y y 2 1 y x 2y y 19. e cos x xy 2 x 1 x 2y xy 3 x 2  y 12. cos xy 1 sen y y 14. e sen x x xy 16. sx 1 y 18. x sen y 20. tan x sen xy 33. a) La curva con ecuación y2 m 5x 4  x 2 se llama kampila de x2y2 y sen x y 34. a) La curva con ecuación y 2 m x 3  3x 2 se llama cúbica de 1 y x2 1  21. Si f (x)  x 2 F f (x)G 3 m 10 y f (1) m 2, encuentre f (1). 22. Si J(x)  x sen J(x) m x 2, determine J(0). 23. x y  x y  2xy m 0 3 Tschirnhausen. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva, en el punto (1, 2). b) ¿En cuáles puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? c) Ilustre los incisos a) y b) graficando la curva y las rectas tangentes, en una pantalla común. 35-38 Halle y  por derivación implícita. 23-24 Considere a y como la variable independiente y a x como la variable dependiente y utilice la derivación implícita para calcular dxYdy. 4 2 Eudoxo. Encuentre la ecuación de la recta tangente a esta curva en el punto (1, 2). b) Ilustre el inciso a) graficando la curva y la recta tangente, en una pantalla común. (Si su dispositivo graficador puede trazar gráficas de curvas definidas implícitamente, entonces utilice esa capacidad. Si no es así, puede dibujar esta curva trazando sus mitades superior e inferior por separado.) 35. 9x 2 37. x 3 y2 y3 9 1 36. sx 38. x 4 sy y4 1 a4 24. y sec x m x tan y 3 39. Si xy  e y m e, encuentre el valor de y  en el punto donde 25-32 Utilice la derivación implícita para encontrar la ecuación de x m 0. la recta tangente a la curva en el punto dado. 25. y sen 2x
x cos 2y, 2, 26. senx
y

2x  2y, 27. x 2 xy 28. x 2 29. x 2xy 2 y 2 y 2 3, y2 2x 2y (0, ) 2, 2 donde x m 1. , 1, 1 x 2 SAC 1, 2 x 2 (hipérbola) 30. x 2 3 y2 3 4 y( y2  1)(y  2) m x(x  1)(x  2) 3 s3, 1) (astroide) (cardioide) y y x Se requiere calculadora graficadora o computadora 0 41. Es posible crear formas caprichosas con las capacidades de los sistemas algebraicos computarizados, a fin de construir gráficas en forma implícita. a) Trace la gráfica de la curva con ecuación (elipse) ( 1 2  40. Si x 2  xy  y 3 m 1, encuentre el valor de y en el punto 4 8 x ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Estime las coordenadas x de estos puntos. b) Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos (0, 1) y (0, 2). c) Halle las coordenadas x exactas de los puntos mencionados en el inciso a). d) Diseñe curvas incluso más caprichosas modificando la ecuación del inciso a). SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 216 SAC CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN  61-62 Encuentre f (x). Compruebe si su respuesta es razonable 42. a) La curva con ecuación comparando las gráficas de f y f . 2y 3  y 2  y 5 m x 4  2x 3  x 2 61. f x se ha relacionado a un carretón que rebota. Utilice un sistema algebraico computarizado para la curva y descubra por qué. b) ¿En cuántos puntos esta curva tiene rectas tangentes horizontales? Encuentre las coordenadas x de estos puntos. 43. Halle los puntos de la lemniscata del ejercicio 31 donde la recta s1 64. a) Una manera de definir seclx es decir que y m sec1 x &? sec y m x y 0  y )Y2, o bien, )  y que, con esta definición d sec 1x dx elipse 2 y b2 x a2 y0 y b2 d sec 1x dx y b2 1 sy recta tangente a la curva sx sc es igual a c. 47. Mediante la derivación implícita demuestre que cualquier recta tangente en un punto P a una circunferencia con centro O es perpendicular al radio OP. 48. La regla de la potencia puede demostrarse por medio de la derivación implícita para el caso donde n es un número racional, n m pYq, y y m f (x) m x n es una función derivable. Si y m x pYq, entonces y q m x p. Mediante la derivación implícita demuestre que p pq 1 y x q 49-60 Halle la derivada de cada una de las siguientes funciones. Simplifique donde sea posible. 51. y 54. y 55. h t 2 50. y 52. t x sen
12x  1
s1 53. G x tan 1 cot tan 1 x2 sx 2 1 t 57. y x sen 1 x 59. y b arccos a 60. y arctan cot s1 1 65. x 2 y2 r 2, ax by 0 66. x 2 y2 ax, x2 y2 by 67. y cx 2, x2 2y 2 k 68. y ax 3, x2 3y 2 b 69. Demuestre que la elipse x 2Ya2  y 2Yb2 m 1 y la hipérbola x 2YA2  y 2YB2 m 1 son trayectorias ortogonales si A2 a2 y a2  b2 m A2  B2 (la elipse y la hipérbola tienen los mismos focos). y m (x  c)1 y y m a(x  k)1Y3 son trayectorias ortogonales. 71. a) La ecuación de van der Waals para n moles de un gas es x x arcsen ssen u 56. F 1 t 58. y x2 a cos x , b cos x 1 1 65-68 Dos curvas son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en cada punto de intersección. Demuestre que las familias dadas de curvas son trayectorias ortogonales entre sí; es decir, cualquier curva en una familia es ortogonal a cualquier curva en la otra familia. Dibuje ambas familias de curvas usando los mismos ejes de coordenadas. x2 ) s1 1 70. Encuentre el valor del número a tal que las familias de curvas 1 sec 1 x x 2 arccos x (x 1 x sx 2 2 46. Demuestre que la suma de las intersecciones en x y y de cualquier tan 1 x 1 1 en el punto (x0, y0). 49. y x sx 2 b) Otro modo de definir sec1 x que se utiliza a veces es decir que y m sec1 x &? sec y m x y 0  y  ), y o 0. Demuestre que, con esta definición 45. Formule una ecuación para la recta tangente a la hipérbola 2 3)Y2. Demuestre 1 1 en el punto (x0, y0) es x0 x a2 x método utilizado para demostrar (dYdx)(senlx). 44. Demuestre por derivación implícita que la recta tangente a la x a2 arctan x 2 63. Demuestre la fórmula para (dYdx) (cosl x) por el mismo tangente sea horizontal. 2 62. f x x 2 arcsen x 0 x cos 1sen
1 t
, a b 0 P n 2a V2 V nb nRT donde P es la presión, V es el volumen y T es la temperatura del gas. La constante R es la constante universal de los gases, y a y b son constantes positivas que son características de un gas particular. Si T permanece constante, utilice derivación implícita para obtener dVYdP. b) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión de 1 mol de dióxido de carbono a un volumen SECCIÓN 3.5 de V m 10 L y una presión de P m 2.5 atm. Utilice a m 3.592 L2-atmYmol2 y b m 0.04267 LYmol. x  xy  y  1 m 0. b) Grafique la curva del inciso a). ¿Qué observa? Demuestre que lo que ve es correcto. c) Tomando en cuenta el inciso b), ¿qué puede decir acerca de la expresión para y  que encontró en el inciso a)? 2 SAC 2 73. La ecuación x 2  xy  y 2 m 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 74. a) ¿Dónde la recta normal a la elipse x 2  xy  y2 m 3,  en el punto (1, 1), interseca la elipse por segunda vez? b) Ilustre el inciso a) graficando la elipse y la recta normal. 217 implícita para demostrar que f 72. a) Utilice derivación implícita para encontrar y  si DERIVACIÓN IMPLÍCITA 1 x 1 f f 1 x siempre que el denominador no sea 0. 2 1 b) Si f (4) m 5 y f 4 3, encuentre (f )(5). 78. a) Demuestre que f (x) m x  e x es uno a uno. b) ¿Cuál es el valor de f 1(1)? c) Utilice la fórmula del ejercicio 77a) para hallar (f 1)(1). 79. La función de Bessel de orden 0, y m J(x), satisface la ecuación diferencial xy   y  xy m 0 para todos los valores de x, y su valor en 0 es J(0) m 1. a) Encuentre J(0). b) Utilice la derivación implícita para encontrar J (0). 80. En la figura se muestra una lámpara colocada tres unidades hacia la derecha del eje y y una sombra creada por la región elíptica x 2  4y 2 v 5. Si el punto (5, 0) está en el borde de la sombra, ¿qué tan arriba del eje x está colocada la lámpara? y 75. Encuentre todos los puntos de la curva x 2 y 2  xy m 2 donde la pendiente de la recta tangente es 1. ? 76. Halle las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la elipse x 2  4y 2 m 36 que pasan por el punto (12, 3).    x
 77. a) Suponga que f es una función uno a uno derivable y que su función inversa f también es derivable. Utilice la derivación PROYECTO DE LABORATORIO SAC FAMILIA DE CURVAS IMPLÍCITAS En este proyecto exploraremos las formas cambiantes de curvas implícitamente definidas cuando varían las constantes en una familia y determinaremos las funciones comunes a todos los miembros de la familia. 1. Consideremos la familia de curvas y2  2x 2(x  8) m cF(y  1)2(y  9)  x 2G a) Graficando las curvas con c m 0 y c m 2, determine cuántos puntos de intersección hay. (Puede usted hacer acercamientos con el zoom para encontrarlos.) b) Ahora agregue las curvas con c m 5 y c m 10 a sus gráficas del inciso a). ¿Qué observa? ¿Qué pasa con otros valores de c? 2. a) Grafique varios miembros de la familia de curvas x 2  y 2  cx 2 y2 m 1 Describa cómo cambia la gráfica cuando cambia el valor de c. b) ¿Qué sucede con la curva cuando c m 1? Describa lo que aparece en la pantalla. ¿Puede probarlo algebraicamente? c) Encuentre y por derivación implícita. Para el caso c m 1, ¿es coherente la expresión y con lo que descubrió en el inciso b)? SAC Se requiere sistema algebraico computarizado 218 3.6 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Derivadas de funciones logarítmicas En esta sección utilizaremos la derivación implícita para hallar las derivadas de las funciones logarítmicas y m log a x y, en particular, de la función logaritmo natural y m ln x. [A partir de sus gráficas, es posible probar que las funciones logarítmicas son derivables (véase la figura 12 de la sección 1.6).] d log a x dx 1 DEMOSTRACIÓN 1 x ln a Sea y m log a x. Entonces ay m x La fórmula 3.4.5 establece que d ax dx Si mediante la fórmula (3.4.5) derivamos esta ecuación de manera implícita respecto a x, obtenemos a x ln a a y ln a dy dx y, por consiguiente, dy dx 1 a ln a 1 1 x ln a y Si en la fórmula 1 ponemos a m e, entonces el factor ln a en el lado derecho se convierte en ln e m 1 y se obtiene la fórmula para la derivada de la función logarítmica natural log e x m ln x: 1 x d ln x dx 2 Si se comparan las fórmulas 1 y 2, se evidencia una de las razones principales por la que se usan los logaritmos naturales (logaritmos con base e) en el Cálculo. La fórmula de derivación es más sencilla cuando a m e, porque ln e m 1. v EJEMPLO 1 Derive y m ln(x3  1). SOLUCIÓN Para utilizar la regla de la cadena, hacemos u m x3  1. Entonces y m ln u, de modo que dy dx dy du du dx 1 x 3 1 1 du u dx 3x 2 3x 2 x 3 1 En general, si combinamos la fórmula 2 con la regla de la cadena como en el ejemplo 1, obtenemos 3 d ln u dx 1 du u dx o bien d ln t x dx t x tx SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 219 d ln
sen x. dx SOLUCIÓN Utilizando 3 , se tiene que EJEMPLO 2 Encuentre 1 d sen x
sen x dx d lnsen x
dx EJEMPLO 3 1 cos x sen x cot x sln x . Derive f x SOLUCIÓN En esta ocasión el logaritmo es la función interior, de modo que la regla de la cadena da 1 2 f x EJEMPLO 4 ln x 1 2 d ln x dx 1 2sln x 1 x 1 2xsln x Derive f (x) m log10(2  sen x). SOLUCIÓN Si usamos la fórmula 1 con a m 10, obtenemos d log 10
2
sen x dx f x 1 d
2
sen x
2
sen x ln 10 dx cos x
2
sen x ln 10 EJEMPLO 5 Encuentre d x ln dx sx 1 . 2 SOLUCIÓN 1 d x ln dx sx 1 2 En la figura 1 se muestra la gráfica de la función f del ejemplo 5, junto con la gráfica de su derivada. Proporciona una comprobación visual de nuestro cálculo. Note que f (x) es grande negativa cuando f está decreciendo con rapidez. x sx 1 d x 1 dx sx 2 sx x 2 sx 1 x 2 x x 2x y 1 2 1 2 2 1 x x x 1 2 ( 12 ) x 2 1 2 1 1 x 2 5 1 x 2 SOLUCIÓN 2 Si primero simplificamos la función dada aplicando las leyes de los logarit- mos, entonces la derivación se vuelve más fácil: f 1 0 x d x ln dx sx 1 2 d [ln x dx fª 1 x FIGURA 1 1 1 2 1 1 2 ln x 2 ] 1 x 2 (Esta respuesta puede dejarse como está, pero si usara un denominador común, vería que da la misma respuesta en la solución 1). 220 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN En la figura 2 se muestra la gráfica de la función f (x) m ln U x U del ejemplo 6 y la de su derivada f (x) m 1Yx. Note que cuando x es pequeño, la gráfica de y m ln U x U está inclinada y, por consiguiente, f (x) es grande (positiva o negativa). 3 v EJEMPLO 6 Encuentre f (x) si f (x) m ln U x U: SOLUCIÓN Puesto que ln x ln x f x si x
0 si x  0 se sigue que fª f _3 3 _3 FIGURA 2 1 x 1 x f x si x
0 1 si x  0 x 1 Así, f (x) m 1Yx para todo x o 0. Vale la pena recordar el resultado del ejemplo 6: d ln x dx 4 1 x Derivación logarítmica Con frecuencia, el cálculo de derivadas de funciones complicadas que comprenden productos, cocientes o potencias puede simplificarse tomando logaritmos. El método que se aplica en el ejemplo siguiente se llama derivación logarítmica. EJEMPLO 7 x 3 4 sx 2 1 . 3x 2 5 Derive y SOLUCIÓN Tome logaritmos de ambos miembros de la ecuación y aplique las leyes de los logaritmos, para simplificar: 3 4 ln y 1 2 ln x ln x 2 1 5 ln 3x 2 Al derivar implícitamente respecto a x, resulta que 1 dy y dx 3 4 1 x 1 2 2x x2 5 1 3 3x 2 Al resolver para dyYdx, obtenemos dy dx Si no hubiéramos utilizado la derivación logarítmica en el ejemplo 7, habríamos tenido que aplicar tanto la regla del cociente como la regla del producto. El proceso de cálculo habría sido horrendo. y 3 4x x x2 15 3x 2 1 Puesto que tenemos una expresión explícita para y, podemos sustituir y escribir dy dx x 3 4 sx 2 1 3x 2 5 3 4x x x2 1 15 3x 2 SECCIÓN 3.6 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS 221 Pasos en la derivación logarítmica 1. Tomar logaritmos naturales de ambos lados de una ecuación y m f (x) y utilizar las leyes de los logaritmos para simplificar. 2. Derivar implícitamente respecto a x. 3. Resolver la ecuación resultante para y. Si f (x) 0 para algunos valores de x, entonces ln f (x) no está definida, pero podemos escribir U y U m U f (x) U y utilizar la ecuación 4. Este procedimiento se ilustra demostrando la versión general de la regla de la potencia, como se prometió en la sección 3.1. Si n es cualquier número real y f (x) m xn, entonces Regla de la potencia f (x) m nx n1 DEMOSTRACIÓN Si x m 0, podemos demostrar directamente que f (0) m 0 para n  1 a partir de la definición de derivada. Sea y m xn. Utilizando la derivación logarítmica: ln U y U m ln U x Un m n ln U x U y y Por tanto, así que, R y n y x x0 n x n xn x nx n 1 Debe distinguir con cuidado la regla de la potencia F(x n) m nx n1G, donde la base es variable y el exponente constante, de la regla para derivar funciones exponenciales F(ax) m ax ln aG, donde la base es constante y el exponente es variable. En general, se tienen cuatro casos para exponentes y bases: Base constante, exponente constante 1 1. d ab dx Base variable, exponente constante 2 2. d f x dx Base constante, exponente variable 3 3. d at x dx Base variable, exponente variable 4 4. Para hallar (dYdx)F f (x)G J(x), podemos aplicar la derivación logarítmica, como en el 0 b (a y b son constantes) b 1 b f x f x a t x ln a t x ejemplo que sigue. v EJEMPLO 8 Derive y x sx . SOLUCIÓN 1 Dado que la base y el exponente son variables, utilizamos la derivación logarítmica: ln y ln x sx y y sx y y sx ln x 1 x 1 sx ln x ln x 2sx 1 2sx x sx 2 ln x 2sx 222 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN La figura 3 ilustra el ejemplo 8 mostrando las gráficas de f x x sx y su derivada. SOLUCIÓN 2 Otro método es escribir x sx d ( x sx ) dx y f d sx ln x (e ) dx fª 2 x sx 1 0 x 1 e ln x sx : d (sx ln x) dx e sx ln x ln x 2sx (como en la solución 1) El número e como un límite Hemos demostrado que si f (x) m ln x, entonces f (x) m 1Yx. Debido a esto, f (1) m 1. Utilizaremos este hecho para expresar el número e como un límite. A partir de la definición de derivada como un límite, tenemos que FIGURA 3 f 1 h h f 1 x x ln 1 xl0 lím ln 1 x lím f 1 hl0 lím ln 1 xl0 f 1 lím xl0 lím xl0 x x 1 ln 1 x f 1 x 1 x Ya que f (1) m 1, tenemos lím ln 1 x xl0 y 1 x 1 Luego, por el teorema 2.5.8 y la continuidad de la función exponencial, tenemos que 3 2 e 5 0 e x FIGURA 4 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 0.00000001 e lím x l 0 ln 1 x 1 x lím e ln 1 x 1 x xl0 y=(1+x)!?® 1 x e1 lím 1 xl0 x lím 1 xl0 x 1 x 1 x En la figura 4 se ilustra la fórmula 5 mediante la gráfica de la función y m (1  x)lYx y una tabla para valores pequeños de x. Con esto se ilustra una aproximación correcta hasta siete dígitos decimales (1 x)1/x 2.59374246 2.70481383 2.71692393 2.71814593 2.71826824 2.71828047 2.71828169 2.71828181 e y 2.7182818 Si hacemos n m 1Yx en la fórmula 5, entonces n l @ cuando x l 0 y, por consiguiente, una expresión alternativa para e es 6 e lím nl
1 1 n n SECCIÓN 3.6 3.6 223 DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARÍTMICAS Ejercicios 1. Explique por qué en Cálculo se usa con mucha más frecuencia la función logarítmica natural y m ln x, que las otras funciones logarítmicas, y m log a x. 33-34 Determine la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado. 33. y m ln(x2  3x  1), (3, 0) 34. y m x2 ln x, (1, 0) 2-22 Derive cada una de las siguientes funciones. 2. f x x ln x x  35. Si f (x) m sen x  ln x, encuentre f (x). Compruebe si su 3. f x sen
ln x 5. f x ln 7. f x log10 x 3 9. f x sen x ln
5x 1 x 6. y ln( x sx 11. t x 1 1) 2 ln 15. F s ln ln s 1 1 19. y ln e 21. y 2x log10 sx  36. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva 1 ln x y m (ln x)Yx, en los puntos (1, 0) y (e, 1Ye). Ilustre lo anterior dibujando la curva y sus rectas tangentes. 8. f x log 5 xe x 10. f u u 1 ln u 12. h x ln( x 14. t r r 2 ln 2r 16. y tan ln ax x respuesta es razonable comparando las gráficas de f y f . ln
sen x 37. Sea f (x) m cx  ln(cos x). ¿Para qué valores de c se cumple que f ()Y4) m 6? 38. Sea f (x) m log a (3x2  2). ¿Para qué valor de a se cumple que sx 1) 2 5 2y sy 2 13. G y 17. y 4. f x 2 18. y b xe 20. H z x 22. y ln 1 39-50 Utilice la derivación logarítmica para hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones. 1 t3 t 39. y 23. y x ln 2x 25. y ln( x x2 ) s1 x2 2 2 x4 4 4 e 40. y x ln cos ln x ln z2 z2 a2 a2 log 2 e x cos x 23-26 Encuentre y y y  en cada una de las siguientes funciones. 2 f (1) m 3? 24. y ln x x2 26. y ln sec x tan x x x4 41. y 1 1 x 2 42. y sx e x cos2 x x 1 2 x x 43. y xx 44. y x cos x 45. y x sen x 46. y sx sen x
ln x 47. y cos x x 48. y 49. y tan x 1 x 50. y 1 2 3 x ln x cos x 51. Encuentre y si y m ln(x2  y2). 52. Halle y si x y m y x. 27-30 Derive f y encuentre el dominio de cada una de las siguientes funciones. 27. f x 29. f x 53. Encuentre una fórmula para f (n)(x) si f (x) m ln(x  1). d9 8 x ln x . dx 9 55. Use la definición de derivada para demostrar que 54. Encuentre x ln x 1 ln x 2 1 2x 28. f x s2 30. f x ln ln ln x ln x lím ln 1 31. Si f x 32. Si f x  ln x , determine f
1
. x2 ln 1 e 2x , determine f
0
. Se requiere calculadora graficadora o computadora 56. Demuestre que lím nl
1 x x xl0 x n 1 n 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com e x para cualquier x  0. 224 CAPÍTULO 3 3.7 REGLAS DE DERIVACIÓN Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales Sabemos que si y m f (x), entonces la derivada dyYdx puede interpretarse como la razón de cambio de y respecto a x. En esta sección se analizan algunas de las aplicaciones de esta idea a la física, la química, la biología, la economía y otras ciencias. Con base en la sección 2.7, recuerde la idea básica que se encuentra detrás de las razones de cambio. Si x varía de x1 a x2, entonces el cambio en x es $x m x2  x1 y el cambio correspondiente en y es $y m f (x2)  f (x1) El cociente de diferencias y x f x1 x1 es la razón de cambio promedio de y respecto a x en el intervalo Fx1, x2G y puede interpretarse como la pendiente de la recta secante PQ en la figura 1. Su límite, cuando $x l 0 es la derivada f (x1), la cual puede interpretarse como la razón de cambio instantánea de y respecto a x, o sea, la pendiente de la recta tangente en P(x1, f (x1)). Si se usa la notación de Leibniz, escribimos el proceso en la forma y Q { ¤, ‡} Îy P { ⁄, fl} f x2 x2 Îx 0 ⁄ ¤ mPQ
razón de cambio promedio m=fª(⁄)=razón de cambio instantánea FIGURA 1 dy dx x lím xl0 y x Siempre que la función y m f (x) tenga una interpretación específica en una de las ciencias, su derivada tendrá una interpretación específica como razón de cambio. (Como se analizó en la sección 2.7, las unidades de dyYdx son las unidades correspondientes a y divididas por las de x.) Veamos ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias naturales y en las sociales. Física Si s m (t) es la función posición de una partícula que se mueve en una línea recta, entonces $sY$t representa el promedio de la velocidad en un periodo $t, y v = dsYdt representa la velocidad instantánea (la razón de cambio del desplazamiento respecto al tiempo). La razón de cambio instantáneo de la velocidad respecto al tiempo es la aceleración: a(t) m v(t) m s (t). Esto se discutió en las secciones 2.7 y 2.8, pero ahora que conocemos las formulas de derivación, podemos resolver con más facilidad problemas que involucran el movimiento de objetos. v EJEMPLO 1 La posición de una partícula está dada por la siguiente función s m f (t) m t3  6t 2  9t donde t se mide en segundos y s en metros. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 s? c) ¿Cuándo está en reposo la partícula? d) ¿Cuándo se mueve la partícula hacia adelante (es decir, en dirección positiva)? e) Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la partícula. f) Encuentre la distancia total recorrida por la partícula durante los primeros cinco segundos. g) Halle la aceleración en el tiempo t y después de 4 s. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 225 h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración para 0 v t v 5. i) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿Cuándo la disminuye? SOLUCIÓN a) La función velocidad es la derivada de la función posición. s f t t3 ds dt 3t 2 vt 6t 2 9t 12t 9 b) La velocidad después de 2 s significa la velocidad instantánea cuando t m 2; es decir, ds dt v2 32 2 2 12 4 12 2 9 3m s t 2 La velocidad después de 4 s es v4 34 9 9m s c) La partícula está en reposo cuando v(t) m 0; esto es, 3t 2 12t 9 3 t2 4t 3 3t 1 t 3 0 y esto se cumple cuando t m 1 o t m 3. Por tanto, la partícula está en reposo después de 1 s y después de 3 s. d) La partícula se mueve en dirección positiva cuando v(t)  0; es decir, 3t 2  12t  9 m 3(t  1)(t  3)  0 Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positivos (t  3) o cuando los dos son negativos (t 1). Así, la partícula se mueve en dirección positiva en los intervalos de tiempo t 1 y t  3. Se mueve hacia atrás (en la dirección negativa) cuando 1 t 3. e) En la figura 2 se esquematiza el movimiento de la partícula hacia atrás y hacia adelante a lo largo de una recta (el eje s), aplicando la información del inciso d). f) A partir de los incisos d) y e), necesitamos calcular las distancias recorridas durante los intervalos de tiempo F0, 1G, F1, 3G y F3, 5G, por separado. La distancia recorrida en el primer segundo es t=3 s=0 t=0 s=0 s t=1 s=4 f 1 f 0 4 0 4m 0 4 4m 20 0 20 m De t m 1 a t m 3, la distancia recorrida es FIGURA 2 f 3 f 1 De t m 3 a t m 5, la distancia recorrida es f 5 25 √ s 0 -12 FIGURA 3 f 3 La distancia total es 4  4  20 m 28 m. g) La aceleración es la derivada de la función velocidad: a 5 at d 2s dt 2 dv dt 6t a4 64 12 12 m s 2 h) La figura 3 muestra las gráficas de s, v y a. 12 226 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN i) La rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad es positiva y creciente (v y a son positivas) y también cuando la velocidad es negativa y decreciente (v y a son negativas). En otras palabras, la rapidez de la partícula aumenta cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo. (La partícula es empujada en la misma dirección en que se está moviendo.) De la figura 3 se ve que esto sucede cuando 1 t 2 y cuando t  3. La partícula disminuye su rapidez cuando v y a tienen signos opuestos; es decir, cuando 0 v t 1 y cuando 2 t 3. La figura 4 resume el movimiento de la partícula. a √ s 5 TEC En Module 3.7 puede ver una animación de la figura 4 con una expresión para s que puede elegir usted mismo. 0 _5 t 1 adelante atrás adelante disminuye aumenta disminuye la rapidez la rapidez la rapidez FIGURA 4 aumenta la rapidez EJEMPLO 2 Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y se define como la masa por unidad de longitud ( + m mYl ) y se mide en kilogramos por metro. Pero suponga que la varilla no es homogénea, sino que su masa medida desde su extremo izquierdo hasta un punto x es m m f (x), como se muestra en la figura 5. x FIGURA 5 x¡ Esta parte de la varilla tiene masa ƒ. x™ La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre x m x1 y x m x2 está dada por $m m f (x2)  f (x1), de modo que la densidad promedio de esa sección de la varilla es densidad promedio m x f x2 x2 f x1 x1 Si ahora hacemos que $x l 0 (es decir, x2 l x1), calculamos la densidad promedio sobre un intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal + en x1 es el límite de estas densidades promedio cuando $x l 0; es decir, la densidad lineal es la razón de cambio de masa respecto a la longitud. En forma simbólica, lím xl0 m x dm dx De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa respecto a la longitud. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 227 Por ejemplo, si m f x sx , donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la densidad promedio de la parte de la varilla dada por 1 v x v 1.2 es m x f 1.2 1.2 1 s1.2 0.2 f 1 1 0.48 kg m en tanto que la densidad en x m 1 es dm dx

FIGURA 6




x 1 1 2sx 0.50 kg m x 1 v EJEMPLO 3 Siempre que las cargas eléctricas se mueven, hay corriente. En la figura 6 se muestra parte de un alambre con electrones que se mueven a través de una superficie plana, sombreada en rojo. Si $Q es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo $t, entonces la corriente promedio durante este intervalo de tiempo se define como Q t corriente promedio Q2 t2 Q1 t1 Si tomamos el límite de esta corriente promedio sobre lapsos de tiempo más y más pequeños, obtenemos lo que se llama corriente I en un instante dado t1: I lím tl0 Q t dQ dt Así, la corriente es la rapidez con que la carga fluye por una superficie; se mide en unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por segundo, llamados amperes). La velocidad, la densidad y la corriente no son las únicas razones de cambio de importancia para la física. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la cual se realiza trabajo), la relación de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la razón de cambio de la temperatura respecto a la posición) y la razón de decaimiento de una sustancia radiactiva en la física nuclear. Química EJEMPLO 4 El resultado de una reacción química en la formación de una o más sustancias (11amadas productos) a partir de uno o más materiales (reactivos). Por ejemplo, la “ecuación” 2H2  O2 l 2H2O indica que dos moléculas de hidrógeno y una de oxígeno forman dos moléculas de agua. Consideremos la reacción ABlC donde A y B son los reactivos y C es el producto. La concentración de un reactivo A es el número de moles (1 mol m 6.022  1023 moléculas) por litro y se denota con FAG. La concentración varía durante una reacción, de modo que FAG, FBG y FCG son funciones del 228 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN tiempo (t). La rapidez promedio de reacción del producto C en un intervalo de tiempo t1 v t v t2 es C t C t2 t2 C t1 t1 Pero los químicos tienen más interés en la rapidez de reacción instantánea, la cual se obtiene tomando el límite de la rapidez promedio de reacción cuando el intervalo $t tiende a 0: rapidez de reacción lím tl0 C t d C dt Dado que la concentración del producto aumenta a medida que la reacción avanza, la derivada d FCGYdt será positiva, y así la rapidez de reacción de C es positiva. Sin embargo, las concentraciones de los reactivos disminuyen durante la reacción; por eso, para que la rapidez de reacción de A y B sean números positivos, ponemos signos negativos delante de las derivadas d FAGYdt y d FBGYdt. Dado que FAG y FBG disminuyen con la misma rapidez que FCG crece, tenemos que d C dt rapidez de reacción d A dt d B dt De modo más general, resulta que para una reacción de la forma aA  bB l cC  dD tenemos que 1 d A a dt 1 d B b dt 1 d C c dt 1 d D d dt La rapidez de reacción puede determinarse a partir de datos y con métodos gráficos. En algunos casos existen fórmulas explícitas para las concentraciones como funciones del tiempo, que permiten calcular la rapidez de reacción (véase el ejercicio 22). EJEMPLO 5 Una de las cantidades de interés en termodinámica es la compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante, entonces su volumen V depende de su presión P. Podemos considerar la razón de cambio del volumen respecto a la presión: a saber, la derivada dVYdP. Conforme P crece, V decrece, de modo que dVYdP 0. La compresibilidad se define al introducir un signo menos y dividir esta derivada entre el volumen V: compresibilidad isotérmica 1 dV V dP En estos términos,  mide qué tan rápido, por unidad de volumen, decrece el volumen de una sustancia a medida que la presión aumenta, a temperatura constante. Por ejemplo, se encontró que el volumen V (en metros cúbicos) de una muestra de aire a 25 C está relacionado con la presión P (en kilopascales) mediante la ecuación V 5.3 P SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 229 La razón de cambio de V respecto a P cuando P m 50 kPa, es dV dP 5.3 P2 P 50 P 50 5.3 2 500 0.00212 m 3 kPa La compresibilidad a esa presión es b 1 dV V dP P 50 0.00212 5.3 50 0.02 m 3 kPa m 3 Biología EJEMPLO 6 Sea n m f (t) el número de individuos de una población de animales o plantas en el tiempo t. El cambio del tamaño de la población entre los tiempos t m t1 y t m t2 es $n m f (t2)  f (t1), así que la razón de crecimiento promedio durante el periodo t1 v t v t2 es razón de crecimiento promedio n t f t2 t2 f t1 t1 La razón de crecimiento instantánea se obtiene a partir de esta razón de crecimiento promedio al hacer que el periodo $t tienda a 0: razón de crecimiento promedio lím tl0 n t dn dt En términos estrictos, esto no es muy exacto porque la gráfica real de una función de población n m f (t) sería una función escalón que es discontinua siempre que ocurre un nacimiento o una muerte y, por tanto, no es derivable. Sin embargo, para una población grande de animales o plantas, es posible reemplazar la gráfica con una curva de aproximación uniforme como en la figura 7. n FIGURA 7 Una curva suave que se aproxima a una función de crecimiento 0 t 230 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN © Eye of Science / Photo Researchers, Inc. Para ser más específicos, considere una población de bacterias en un medio nutritivo homogéneo. Suponga que, por medio de la toma de muestras de la población a ciertos intervalos, se determina que esa población se duplica cada hora. Si la población inicial es n0 y el tiempo t se mide en horas, entonces Las bacterias E.coli tienen aproximadamente dos micrómetros (&m) de longitud y 0.75 &m de ancho. La imagen fue obtenida con un microscopio electrónico de barrido. f 1 2f 0 2n0 f 2 2f 1 2 2n0 f 3 2f 2 2 3n0 y, en general, f (t) m 2tn0 La función de población es n m n02t. En la sección 3.4 se demostró que d ax dx a x ln a Así que la razón de crecimiento de la población de bacterias en el tiempo t, es d n0 2t dt dn dt n0 2t ln 2 Por ejemplo, suponga que inicia con una población inicial de n0 m 100 bacterias. Entonces, la razón de crecimiento después de 4 horas es dn dt 100 24 ln 2 1600 ln 2 1109 t 4 Esto significa que, después de 4 horas, la población de bacterias crece en una cantidad de casi 1109 bacterias por hora. EJEMPLO 7 Cuando consideramos el flujo de sangre por un vaso sanguíneo, como una vena o una arteria, este vaso puede tomar la forma de un tubo cilíndrico con radio R y longitud l como se ilustra en la figura 8. R r FIGURA 8 l Flujo de sangre dentro de una arteria Debido a la fricción en las paredes del tubo, la velocidad v de la sangre es máxima a lo largo del eje central del propio tubo y decrece conforme aumenta la distancia r al eje, hasta que v se vuelve 0 en la pared. La relación entre v y r está dada por la ley del flujo laminar descubierta por el físico francés Jean-Louis-Marie Poiseuille en 1840. En ésta se afirma que Para información más detallada, véase W. Nichols y M. ORourke (eds.), McDonald’s Blood Flow in Arteries: Theoretic, Experimental, and Clinical Principles, 5a. ed. (Nueva York, 2005). 1 v P R2 4 hl r2 donde ! es la viscosidad de la sangre y P es la diferencia en la presión entre los extremos del tubo. Si P y l son constantes, entonces v es función de r, con dominio F0, RG. SECCIÓN 3.7 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 231 La razón de cambio promedio de la velocidad, al moverse desde r m r1 hacia afuera hasta r m r2, está dada por v r2 v r v r1 r2 r1 y si hacemos que $r l 0, obtenemos el gradiente de velocidad; es decir, la razón de cambio instantánea de la velocidad respecto a r: dv dr v lím gradiente de velocidad r rl0 Utilizando la ecuación 1, obtenemos dv dr P 0 4 hl Pr 2 hl 2r Para una de las arterias humanas más pequeñas, puede tomar ! m 0.027, R m 0.008 cm, l m 2 cm y P m 4 000 dinasYcm2, lo cual da v 4 000 0.000064 4 0.027 2 1.85 10 4 6.4 r2 5 10 r2 En r m 0.002 cm la sangre fluye a una rapidez de v 0.002 1.85 10 4 64 10 6 4 10 6 1.11cm s y el gradiente de velocidad en ese punto es dv dr r 0.002 4000 0.002 2 0.027 2 74 cm s cm Para tener una idea de lo que esto significa, cambie las unidades de centímetros a micrómetros (1 cm m 10 000 &m). Entonces el radio de la arteria es de 80 &m. La velocidad en el eje central es de 11 850 &mYs, la cual disminuye hasta 11 110 &mYs a una distancia de r m 20 &m. El hecho de que dvYdr m 74 (&mYs)Y&m significa que cuando r m 20 &m, la velocidad disminuye en una cantidad de casi 74 &mYs por cada micrómetro que se aleja del centro. Economía v EJEMPLO 8 Suponga que C(x) es el costo total en que una compañía incurre al producir x unidades de cierto artículo. La función C se llama función de costo. Si el número de artículos producidos se incrementa desde x1 hasta x2, entonces el costo adicional es $C m C(x2)  C(x1), y la razón de cambio promedio del costo es C x C x2 x2 C x1 x1 C x1 x x C x1 232 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN El límite de esta cantidad conforme $x l 0, es decir, la razón de cambio instantánea del costo los economistas le llaman costo marginal respecto al número de artículos producidos: costo marginal lím xl0 C x dC dx [Dado que x suele tomar solo valores enteros, quizá no tenga sentido hacer que $x tienda a 0, pero siempre podrá remplazar C(x) con una función suave de aproximación uniforme, como en el ejemplo 6.] Si tomamos $x m 1 y n grande (de modo que $x sea pequeño en comparación con n), tenemos que C(n) y C(n  1)  C(n) Así, el costo marginal de producir n unidades es aproximadamente igual al costo de elaborar una unidad más [la (n  1)-ésima unidad]. A menudo resulta apropiado representar con un polinomio una función de costo total C(x) m a  bx  cx 2  dx3 donde a representa el costo de los gastos generales (alquiler, calefacción, mantenimiento) y los demás términos representan el costo de las materias primas, la mano de obra y demás. (El costo de las materias primas puede ser proporcional a x, pero los costos de la mano de obra podrían depender en parte de potencias mayores de x, debido a los costos del tiempo extra y a las faltas de eficiencia relacionadas con las operaciones a gran escala.) Por ejemplo, suponga que una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir x artículos es C(x) m 10 000  5x  0.01x2 Entonces, la función de costo marginal es C(x) m 5  0.02x El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es C(500) m 5  0.02(500) m $15Yartículo Esto da la cantidad a la cual se incrementan los costos respecto al nivel de producción cuando x m 500 y predice el costo del artículo 501. El costo real de producir el artículo 501 es C 501 C 500 10 000 5 501 10 000 0.01 501 5 500 2 0.01 500 2 $15.01 Note que C(500) y C(501)  C(500). Los economistas también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Éstas se consideran en el capítulo 4, después de desarrollar las técnicas para hallar los valores máximos y mínimos de funciones. Otras ciencias Las razones de cambio se presentan en todas las ciencias. Un geólogo se interesa en conocer la razón a la cual una masa incrustada de roca fundida se enfría por conducción del calor hacia las rocas que la rodean. Un ingeniero desea conocer la proporción a la cual el SECCIÓN 3.7 233 RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES agua fluye hacia dentro o hacia fuera de una represa. Un geógrafo urbano se interesa en la razón de cambio de la densidad de población en una ciudad, al aumentar la distancia al centro de la propia ciudad. Un meteorólogo tiene interés por la razón de cambio de la presión atmosférica respecto a la altura. (Véase el ejercicio 17 de la sección 3.8.) En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica el rendimiento P(t) de alguien que aprende una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. Tiene un interés particular la razón a la cual mejora el rendimiento a medida que pasa el tiempo; es decir, dPYdt. En sociología, el cálculo diferencial se aplica al análisis de la divulgación de rumores (o de innovaciones, novedades o moda). Si p(t) denota la proporción de una población que conoce un rumor en el momento t, entonces la derivada dpYdt denota la razón de divulgación de ese rumor. (Véase el ejercicio 84 de la sección 3.4.) Una sola idea, varias interpretaciones La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en física; la velocidad de reacción y la compresibilidad, en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente de velocidad de la sangre, en biología; el costo marginal y la utilidad marginal, en economía; la rapidez de flujo del calor, en geología; la rapidez de mejora del rendimiento, en psicología, y la rapidez de divulgación de un rumor, en sociología, son casos especiales de un concepto matemático: la derivada. Esta es una ilustración del hecho de que parte del poder de las matemáticas descansa en su abstracción. Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrollemos las propiedades del concepto matemático, de una vez y por todas, podrá dar la vuelta y aplicar estos resultados a todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos especiales en cada una por separado. El matemático francés Joseph Fourier (1768-1830) lo expresó de manera sucinta: “Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y descubren las analogías secretas que los vinculan”. 3.7 Ejercicios 1-4 Una partícula se mueve según una ley del movimiento s m f (t), t w 0, donde t se mide en segundos y s en pies. a) Encuentre la velocidad en el instante t. b) ¿Cuál es la velocidad después de 3 s? c) ¿Cuándo está la partícula en reposo? d) ¿Cuándo se mueve hacia la dirección positiva? e) Encuentre la distancia total recorrida durante los primeros 8 s. f) Dibuje un diagrama, como el de la figura 2, a fin de ilustrar el movimiento de la partícula. g) Halle la aceleración en el tiempo t y después de 3 s. h) Grafique las funciones posición, velocidad y aceleración  para 0 v t v 8. i) ¿Cuándo la partícula aumenta su rapidez? ¿Cuándo disminuye? 1. f t t3 12t 2 2. f t 0.01t 3. f t cos 4. f t  te 4 36t 5. Se muestran las graficas de los funciones velocidad de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada partícula? ¿Cuándo disminuyen su rapidez? Explique: a) √ b) √ 0 1 t 0 1 t 6. Se muestran las funciones posición de dos partículas, donde t se mide en segundos. ¿Cuándo incrementa su rapidez cada una de las partículas? ¿Cuándo la disminuyen? Explique. a) s b) s 0.04t 3 t 4, t 10 0 1 t t 2 Se requiere calculadora graficadora o computadora 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com 0 1 t 234 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 7. La altura (en metros) de un proyectil disparado verticalmente hacia arriba, desde un punto 2 m por encima del nivel del suelo con una velocidad inicial de 24.5 mYs es h m 2  24.5t  4.9t 2 después de t segundos. a) Encuentre la velocidad después de 2 segundos y después de 4 segundos. b) ¿Cuándo alcanza el proyectil su altura máxima? c) ¿Cuál es su altura máxima? d) ¿En qué momento cae al suelo? e) ¿Con qué velocidad cae al suelo? 8. Si un balón es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 piesYs, entonces su altura después de t segundos es s m 80t  16t2. a) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por el balón? b) ¿Cuál es la velocidad del balón cuando está 96 pies por encima del suelo en su camino ascendente? ¿En su camino en descenso? 9. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba desde la superficie de Marte, con una velocidad de 15 mYs, su altura después de t segundos es h m 15t  1.86t2. a) ¿Cuál es la velocidad de la roca después de que transcurren 2 s? b) ¿Cual es la velocidad de la roca una vez que ha alcanzado 25 m durante el ascenso? ¿Y en su descenso? 10. Una partícula se mueve de acuerdo con la función posición S m t 4  4t 3  20t 2  20t tw0 a) ¿En qué momento la partícula tiene una velocidad de 20 mYs? b) ¿En qué momento su aceleración es 0? ¿Cuál es el significado de este valor de t? 11. a) Una compañía fabrica chips para computadora a partir de placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas placas muy próxima a 15 mm y, asimismo, saber cómo cambia el área A(x) de ellas cuando varía la longitud x del lado. Encuentre A(15) y explique su significado en esta situación. b) Demuestre que la rapidez de cambio del área de uno de los cuadrados respecto a la longitud de su lado es la mitad de su perímetro. Trate de explicar geométricamente por qué esto es cierto, dibujando un cuadrado cuya longitud x del lado se incrementa en una cantidad $x. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área, $A, si $x es pequeño? 12. a) Es fácil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma de cubos dejando que una solución de esta sal en agua se evapore con lentitud. Si V es el volumen de uno de esos cubos, con longitud x por lado, calcule dVYdx cuando x m 3 mm y explique su significado. b) Demuestre que la razón de cambio del volumen de un cubo respecto a la longitud de su arista es igual a la mitad del área superficial de ese cubo. Explique geométricamente por qué este resultado es cierto; básese en el ejercicio 11b) para establecer una analogía. 13. a) Encuentre la razón de cambio promedio del área de un círculo respecto a su radio r cuando éste cambia de i) 2 a 3 ii) 2 a 2.5 iii) 2 a 2.1 b) Encuentre la razón de cambio instantánea cuando r m 2. c) Demuestre que la razón de cambio del área de un círculo respecto a su radio (a cualquier r) es igual a la circunferencia del círculo. Intente explicar geométricamente por qué esto es cierto dibujando un círculo cuyo radio se incrementa en una cantidad $r. ¿Cómo puede obtener una aproximación del cambio resultante en el área $A si $r es pequeño? 14. Se deja caer una piedra en un lago, lo que crea una onda circular que viaja hacia afuera con una rapidez de 60 cmYs. Encuentre la razón a la cual aumenta el área dentro del círculo después de a) 1 s, b) 3 s y c) 5 s. ¿Qué puede concluir? 15. Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área superficial (S m 4)r2) respecto al radio r, cuando éste es de a) 1 pie, b) 2 pies y c) 3 pies. ¿A qué conclusiones llega? 16. a) El volumen de una célula esférica en crecimiento es 4 V 3 r 3, donde el radio r se mide en micrómetros (1 &m m 106 m). Encuentre la razón de cambio promedio de V respecto a r, cuando éste cambia de i) 5 a 8 &m ii) 5 a 6 &m iii) 5 a 5.1 &m b) Halle la razón de cambio instantánea de V respecto a r, cuando r m 5 &m. c) Demuestre que la razón de cambio del volumen de una esfera respecto a su radio es igual a su área superficial. Explique geométricamente por qué esto es cierto. Argumente por analogía con el ejercicio 13c). 17. La masa de parte de una varilla metálica que se encuentra entre su extremo izquierdo y un punto x metros a la derecha es 3x 2 kg. Encuentre la densidad lineal (véase el ejemplo 2) cuando x es a) 1 m, b) 2 m y c) 3 m. ¿En dónde es más alta la densidad y dónde es más baja? 18. Si un tanque contiene 5 000 galones de agua, la cual se drena desde el fondo del tanque en 40 min, entonces la ley de Torricelli da el volumen V de agua que queda en el tanque después de t minutos como V 5 000(1 1 40 t) 2 0 t 40 Encuentre la rapidez de drenado de agua después de a) 5 min, b) 10 min, c) 20 min y d) 40 min. ¿En qué momento fluye el agua más rápido hacia afuera? ¿Con mayor lentitud? Resuma sus hallazgos. 19. La cantidad de carga, Q, en coulombs c) que ha pasado por un punto de un alambre hasta el tiempo t (medido en segundos) se expresa con Q(t) m t3  2t2  6t  2. Encuentre la corriente cuando a) t m 0.5 s y b) t m 1 s. [Véase el ejemplo 3. La unidad de corriente es el ampere (1 A m 1 CYs).] ¿En qué momento la corriente es la más baja? 20. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es GmM F r2 donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. a) Encuentre dFYdr y explique su significado. ¿Qué indica el signo menos? b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae un objeto con una fuerza que disminuye a razón de 2 NYkm, cuando r m 20 000 km. ¿Con qué rapidez cambia esta fuerza cuando r m 10 000 km? SECCIÓN 3.7 21. La fuerza F que actúa sobre un cuerpo con masa m y velocidad v es igual a la razón de cambio del momentum o cantidad de movimiento: F m (dYdt)(mv). Si m es constante, esto se convierte en F m ma, donde a m dvYdt es la aceleración. Pero en la teoría de la relatividad, la masa de una partícula varía con m 0 s1 v 2 c 2 , donde m0 es la masa de la v como sigue: m partícula en reposo y c es la velocidad de la luz. Demuestre que F 1 m0a v2 c2 3 2 22. Algunas de las mareas más altas en el mundo se producen en la Bahía de Fundy en la costa atlántica de Canadá. En el cabo de Hopewell, la profundidad del agua durante la marea baja es aproximadamente dos metros y durante la marea alta es cerca de doce metros. El periodo natural de oscilación es un poco más de doce horas, y el 30 de junio de 2009, la marea alta se produjo a las 6:45. Esto ayuda a explicar el siguiente modelo para la profundidad del agua D (en metros) en función del tiempo t (en horas después de la medianoche) ese día: D(t) m 7  m cos [0.503(t  6.75)] ¿Con qué rapidez fue subiendo la marea (o cayendo) en los siguientes momentos? a) 15:00 b) 6:00 c) 9:00 d) mediodía 23. La ley de Boyle establece que, cuando se comprime una muestra de gas a una temperatura constante, el producto de la presión y el volumen se mantiene constante: PV m C. a) Encuentre la razón de cambio del volumen respecto a la presión. b) Una muestra de gas está en un recipiente a baja presión y se le comprime paulatinamente a temperatura constante durante 10 minutos. ¿El volumen disminuye con mayor rapidez al principio o al final de los 10 minutos? Explique. c) Demuestre que la compresibilidad isotérmica (véase el ejemplo 5) se expresa mediante  m 1YP. 24. Si en el ejemplo 4 una molécula del producto C está formada por una molécula del reactivo A y una molécula del reactivo B y la concentración inicial de A y B tienen un valor común FAG m FBG m a molesYL, entonces FCG m a2ktY(akt  1) donde k es una constante. a) Encuentre la rapidez de reacción en el tiempo t. b) Demuestre que si x m FCG, entonces dx dt ka x 2 c) ¿Qué pasa con la concentración conforme t l @? d) ¿Qué sucede con la velocidad de reacción conforme t l @? e) ¿Qué significan los resultados de los incisos c) y d) en términos prácticos? 25. En el ejemplo 6 consideramos una población de bacterias que se duplica cada hora. Supongamos que otra población de bacterias se triplica cada hora y comienza con 400 bacterias. Encuentre una expresión para el número n de bacterias después de t horas y utilícela para estimar la tasa de crecimiento de la población de bacterias después de 2.5 horas. RAZONES DE CAMBIO EN LAS CIENCIAS NATURALES Y SOCIALES 235 26. El número de células de levadura en un cultivo de laboratorio aumenta rápidamente al principio, pero finalmente se nivela. La población es modelada por la función n f t 1 a be 0.7t donde t es medido en horas. En el tiempo t m 0 la población es de 20 celdas y está aumentando a un ritmo de 12 célulasYhora. Encuentre los valores de a y b. De acuerdo con este modelo, ¿qué sucede con la población de levadura a largo plazo?  27. La tabla da la población del mundo en el siglo xx. Año Población (en millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1 650 1 750 1 860 2 070 2 300 2 560 Año Población (en millones) 1960 1970 1980 1990 2000 3 040 3 710 4 450 5 280 6 080 a) Estime la tasa de crecimiento poblacional en 1920 y en 1980 mediante el promedio de las pendientes de dos rectas secantes. b) Utilice una calculadora graficadora o computadora para encontrar una función cúbica (una polinomial de tercer grado) que modele los datos. c) Utilice el modelo del inciso b) para encontrar un modelo para la tasa de crecimiento de la población en el siglo xx. d) Utilice el inciso c) para estimar las tasas de crecimiento en 1920 y 1980. Compare con sus estimaciones del inciso a). e) Estime la tasa de crecimiento en 1985.  28. La tabla muestra cómo varía la edad promedio del primer matrimonio de la mujer japonesa en la última mitad del siglo xx. t At t At 1950 1955 1960 1965 1970 1975 23.0 23.8 24.4 24.5 24.2 24.7 1980 1985 1990 1995 2000 25.2 25.5 25.9 26.3 27.0 a) Utilice una calculadora graficadora o una computadora para modelar estos datos con una función polinomial de cuarto grado. b) Utilice el inciso a) para encontrar un modelo para A(t). c) Estime la tasa de cambio de la edad de matrimonio de la mujer en 1990. d) Grafique los puntos de datos y los modelos para A y A. 29. Considere la ley de flujo laminar del ejemplo 7. Considere también un vaso sanguíneo con radio 0.01 cm, longitud 3 cm, diferencia de presión de 3 000 DinasYcm2 y una viscosidad de ! m 0.027. a) Encuentre la velocidad de la sangre a lo largo de la línea central r m 0, en un radio r m 0.005 cm y en la pared r m R m 0.01 cm. 236 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN reacción respecto a x. Un ejemplo concreto es que cuando el brillo x de una fuente de luz aumenta, el ojo reacciona disminuyendo la zona R de la pupila. La fórmula experimental b) Encuentre el gradiente de velocidad en r m 0, r m 0.005 y r m 0.01. c) ¿Donde es más mayor la velocidad? ¿Dónde está el mayor cambio de velocidad? 30. La frecuencia de vibración de una cuerda de violín está dada R por f 1 2L T donde L es la longitud de la cuerda, T es su tensión y + es su densidad lineal. [Véase el capítulo 11 en D. E. Hall, Musical Acoustic, 3a. ed. (Pacific Grove, California, 2002).] a) Encuentre la rapidez de cambio de la frecuencia respecto a i) la longitud (cuando T y + son constantes), ii) la tensión (cuando L y + son constantes) y iii) la densidad lineal (cuando L y T son constantes). b) El tono de una nota (qué tan altas o bajas son las notas) está determinado por la frecuencia f. (Cuanto mayor sea la frecuencia, mayor será el tono.) Utilice los signos de los derivadas en el inciso a) para determinar lo que sucede con el tono de una nota i) cuando se reduce la longitud efectiva colocando un dedo sobre la cuerda, haciendo que vibre sólo una porción menor que la cuerda, ii) cuando se incrementa la tensión girando la llave de ajuste, iii) cuando aumenta la densidad lineal por cambiar la cuerda.  40 1 24x 0.4 4x 0.4 ha sido utilizada para modelar la dependencia de R sobre x cuando R se mide en milímetros cuadrados y x se mide en unidades apropiadas de brillo. a) Encuentre la sensibilidad. b) Ilustre el inciso a) graficando R y S como funciones de x. Haga comentarios relacionados con los valores de R y S en bajos niveles de brillo. ¿Esto es lo que esperaría? 35. La ley de los gases para un gas ideal a la temperatura absoluta T (en kelvin), la presión P (en atmósferas) y el volumen V (en litros) es PV m nRT, donde n es el número de moles del gas y R m 0.0821 es la constante del gas. Suponga que, en cierto instante, P m 8.0 atm y está aumentando a razón de 0.10 atmYmin y V m 10 L y está disminuyendo a razón de 0.15 LYmin. Encuentre la razón de cambio de T respecto al tiempo en ese instante si n m 10 mol. 36. En una granja piscícola se introduce una población de peces en un estanque y se cosechan con regularidad. Un modelo para la razón de cambio de la población se expresa con la ecuación dP dt r0 1 Pt Pc Pt Pt 31. El costo en dólares de producir x yardas de un determinado tejido es C(x) m 1 200  12x  0.1x 2  0.0005x3 a) Encuentre la función de costo marginal. b) Obtenga C(200) y explique su significado. ¿Qué predice? c) Compare C(200) con el costo de fabricar la yarda 201 de tela. 32. La función de costo de producción de una mercancía es C(x) m 339  25x  0.09x 2  0.0004x3 a) Obtenga e interprete C(100). b) Compare C(100) con el costo de producir el artículo 101. 33. Si p(x) es el valor total de la producción cuando hay x trabaja- dores en una planta, entonces la productividad promedio de la fuerza de trabajo en la planta es Ax px x a) Obtenga A(x). ¿Por qué quiere la empresa contratar a más trabajadores si A(x)  0? b) Demuestre que A(x)  0 si p(x) es mayor que la productividad promedio. 34. Si R denota la reacción del cuerpo a cierto estímulo de esfuerzo x, la sensibilidad S se define como la rapidez de cambio de la donde r0 es la tasa de nacimientos de peces, Pc es la población máxima que el estanque puede contener (llamada capacidad de contención) y  es el porcentaje de la población que se cosecha. a) ¿Cuál valor de dPYdt correspondiente a una población estable? b) Si el estanque puede sostener 10 000 peces, la tasa de nacimiento es del 5% y la cantidad de cosecha es de 4%, encuentre el nivel estable de la población. c) Si  se eleva hasta 5%, ¿qué sucede? 37. En el estudio de los ecosistemas, a menudo se usan los modelos depredador-presa para estudiar la interacción entre las especies. Considere una población de lobos de la tundra, dada por W(t), y de caribúes, dada por C(t), en el norte de Canadá. La interacción se ha modelado mediante las ecuaciones dC dt aC bCW y dW dt cW dCW a) ¿Cuáles valores de dCYdt y dWYdt corresponden a poblaciones estables? b) ¿Cómo se representaría matemáticamente la afirmación “Los caribúes van hacia la extinción”? c) Suponga que a m 0.05, b m 0.001, c m 0.05 y d m 0.0001. Encuentre todas las parejas de poblaciones (C, W ) que conducen a poblaciones estables. De acuerdo con este modelo, ¿es posible que las especies vivan en armonía o una de ellas, o ambas, se extinguirán? SECCIÓN 3.8 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 237 Crecimiento y decaimiento exponenciales En muchos fenómenos naturales, las cantidades crecen o decrecen en una cantidad proporcional a su tamaño. Por ejemplo, si y m f (t) es el número de individuos en una población de animales o bacterias en el tiempo t, entonces parece razonable esperar que la razón de crecimiento f (t) sea proporcional a la población f (t); es decir, f (t) m k f (t) para alguna constante k. A propósito, bajo condiciones ideales (ambientes sin límites, nutrición adecuada, inmunidad a las enfermedades) el modelo matemático conocido por la ecuación f (t) m k f (t) predice, sin duda, con precisión lo que realmente sucede. Otro ejemplo sucede en física nuclear donde la masa de una sustancia radiactiva decae en una cantidad proporcional a su masa. En química la velocidad de una reacción de primer orden unimolecular es proporcional a la concentración de la sustancia. En finanzas, el valor de una cuenta de ahorros con interés compuesto se incrementa de manera continua en una cantidad proporcional a ese valor. En general, si y(t) es el valor de una cantidad y en el tiempo t y si la razón de cambio de y respecto a t es proporcional a su tamaño y(t) en cualquier tiempo, entonces dy dt 1 ky donde k es una constante. Algunas veces la ecuación 1 se llama ley de crecimiento natural (si k  0) o ley de decaimiento natural (si k 0). También, a la expresión 1 se le denomina ecuación diferencial porque involucra una función desconocida, y y su derivada dyYdt. No es difícil intuir una solución de la ecuación 1. Esta ecuación pide hallar una función cuya derivada es un múltiplo constante de sí misma. En este capítulo encontraremos tales funciones. Cualquier función exponencial en la forma y(t) m Cekt, donde C es una constante, satisface y(t) m C(kekt) m k(Cekt) m ky(t) Veremos en la sección 9.4 que cualquier función que satisface dyYdt m ky debe ser en la forma y m Cekt. Para ver el significado de la constante C, observe que y(0) m Ce k ? 0 m C En consecuencia, C es el valor inicial de la función: 2 Teorema Las únicas soluciones de la ecuación diferencial dyYdt m ky son las funciones exponenciales y(t) m y(0)ekt Crecimiento de población ¿Cuál es el significado de la constante de proporcionalidad k? En el panorama del crecimiento de la población, cuando P(t) es el tamaño de una población en el tiempo t, escribimos 3 dP dt kP o 1 dP P dt k La cantidad 1 dP P dt es la rapidez de crecimiento dividida entre el tamaño de la población; a aquélla se le denomina la rapidez o tasa de crecimiento relativa. De acuerdo con 3 , en lugar de decir “la 238 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN rapidez o tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población” podríamos decir “la razón o tasa de crecimiento relativo es constante”. Por tanto, 2 indica que una población con crecimiento relativo constante debe crecer en forma exponencial. Note que la tasa de crecimiento relativa k aparece como el coeficiente de t en la función exponencial Cekt. Por ejemplo, si dP dt 0.02P donde t se mide en años, entonces la rapidez de crecimiento relativo es k m 0.02 y el crecimiento de población a una rapidez relativa es de 2% por cada año. Si la población en el tiempo 0 es P0, entonces la expresión para la población es P(t) m P0e0.02t v EJEMPLO 1 Utilice el hecho de que la población mundial fue 2 560 millones en 1950 y 3 040 millones en 1960, para modelar la población del mundo en la segunda mitad del siglo xx. (Suponga que la tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población). ¿Cuál es la rapidez de crecimiento relativa? Utilice el modelo para estimar la población mundial en 1993 y, del mismo modo, predecir la población en el año 2020. SOLUCIÓN Mida el tiempo t en años y haga t m 0 en el año 1950. Medimos la población P(t) en millones de personas. Entonces, P(0) m 2 560 y P(10) m 3 040. Ya que estamos suponiendo que dPYdt m kP, el teorema 2 proporciona Pt P 10 k P 0 e kt 2 560e kt 2 560e 10k 1 3 040 ln 10 2 560 3 040 0.017185 La rapidez de crecimiento relativo es casi 1.7% por cada año, y el modelo es P(t) m 2 560e0.017185t Se estima que en 1993 la población mundial fue P(43) m 2 560e0.017185(43)  5 360 millones El modelo predice que en 2020 la población será P(70) m 2 560e0.017185(70)  8 524 millones La gráfica en la figura 1 muestra que el modelo ya es bastante exacto para finales del siglo xx (los puntos representan la población actual); de esta manera, la estimación para 1993 es completamente confiable, pero la predicción para el 2020 es aventurada. P 6 000 P=2 560e 0.017185t Población en millones FIGURA 1 Un modelo para el crecimiento de la población mundial en la segunda mitad del siglo XX 0 20 Años desde 1950 40 t SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 239 Decaimiento radiactivo Una sustancia radiactiva decae emitiendo radiación de manera espontanea. Si m(t) es la masa que queda a partir de una masa inicial m0 de la sustancia después del tiempo t, entonces la rapidez de decaimiento relativo 1 dm m dt es constante. (Ya que dmYdt es negativa, la rapidez de desintegración relativa es positiva.) Se sigue que dm dt km donde k es una constante negativa. En otras palabras, las sustancias radiactivas decaen en una cantidad proporcional a la masa restante. Esto significa que podemos utilizar 4 para demostrar que la masa decae de manera exponencial: m(t) m m0etk Los físicos expresan la rapidez de decaimiento en términos del tiempo de vida media: el tiempo que se requiere para que la mitad de cualquier cantidad conocida se desintegre. v EJEMPLO 2 El tiempo de vida media del radio-226 es 1 590 años. a) Una muestra de radio-226 tiene una masa de 100 mg. Halle una fórmula para la masa de la muestra que permanece después de t años. b) Halle la masa exacta en miligramos, después de 1000 años. c) ¿Cuándo se reducirá la masa a 30 mg? SOLUCIÓN a) Sea m(t) la masa de radio-226 (en miligramos) que permanece después de t años. Entonces dmYdt m km y y(0) m 100, así que 2 da m(t) m m(0)ekt m 100ekt A fin de determinar el valor de k, utilizamos el hecho de que y 1590 100e 1 590k y 1590k k En consecuencia e 1590k 50 ln 12 1 2 100 . Así, 1 2 ln 2 ln 2 1590 m(t) m 100e(ln 2)tY1590 Podemos utilizar el hecho de que eln 2 m 2 para escribir la expresión para m(t) en la forma alternativa m(t) m 100  2tY1590 b) La masa después de 1 000 años es m(1 000) m 100e(ln 2)1000Y1590 y 65 mg c) Queremos encontrar el valor de t tal que m(t) m 30, es decir, 100e(ln 2)tY1590 m 30 o bien e(ln 2)tY1590 m 0.3 240 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 150 Resolviendo esta ecuación para t tomando el logaritmo natural de ambos lados: ln 2 t 1590 m=100e_(ln 2)t/1590 m=30 0 FIGURA 2 Por tanto, t 1590 4 000 ln 0.3 ln 0.3 ln 2 2 762 años Para una verificación del ejemplo 2, utilice un dispositivo de graficación para dibujar la gráfica de m(t) de la figura 2 junto con la recta horizontal m m 30. Estas curvas se intersecan cuando t y 2 800, y ello está de acuerdo con la respuesta del inciso c). Ley de enfriamiento de Newton La ley de enfriamiento de Newton establece que la rapidez de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y su ambiente, siempre que esta diferencia no sea muy grande. (Esta ley también se aplica al calentamiento.) Si se hace T(t) la temperatura del objeto en el tiempo t y Ts la temperatura del ambiente, entonces podemos formular la ley de enfriamiento de Newton como una ecuación diferencial: dT dt k T Ts donde k es una constante. Esta ecuación no es completamente la misma que la ecuación 1, así que hacemos el cambio de variable y(t) m T(t)  Ts. Ya que Ts es constante, tenemos que y(t) m T(t), así que la ecuación se convierte en dy dt ky Por tanto, podemos utilizar 2 para hallar una expresión para y en la que podemos encontrar T. EJEMPLO 3 Una botella con una bebida gasificada a temperatura ambiente (72 F) se coloca dentro de un refrigerador donde la temperatura es 44 F. Después de media hora la bebida se ha enfriado hasta 61 F. a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida después de otra media hora? b) ¿Cuánto tardará la bebida en enfriarse a 50 F? SOLUCIÓN a) Sea T(t) la temperatura de la bebida después de t minutos. La temperatura ambiente es Ts m 44 F, por consiguiente, la ley de enfriamiento de Newton establece que dT dt k T 44) Si hacemos y m T  44, entonces y(0) m T(0)  44 m 72  44 m 28, así que y satisface dy dt ky y 0 28 y mediante 2 tenemos que y(t) m y(0)ekt m 28ekt Tenemos que T(30) m 61, así que y(30) m 61  44 m 17 y 28e 30k 17 e 30k 17 28 SECCIÓN 3.8 CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 241 Tomando logaritmos, tenemos que ln ( 17 28 ) 30 k 0.01663 Así que 0.01663t y t 28e T t 44 28e 0.01663t T 60 44 28e 0.01663 60 54.3 Por tanto, después de la otra mitad de la hora, la bebida se ha enfriado a casi 54 F. b) Tenemos T(t) m 50 cuando 44 28e 0.01663t 50 e 0.01663t 6 28 T t 72 44 ln ( 286 ) 0.01663 92.6 La bebida se enfría a 50 F después de casi 1 hora 33 minutos. Observe que en el ejemplo 3, tenemos que 0 FIGURA 3 30 60 90 t lím T t tl
lím 44 tl
28e 0.01663t 44 28 0 44 lo cual se esperaba. La gráfica de la función temperatura se muestra en la figura 3. Interés compuesto continuamente EJEMPLO 4 Si se invierten 1 000 dólares a 6% de interés compuesto anualmente, entonces, después de 1 año la inversión es valorada en 1 000(1.06) m 1 060 dólares, después de 2 años su valor es F1 000(1.06)G1.06 m 1 123.60 dólares y después de t años su valor es 1 000(1.06)t dólares. En general, si se invierte una cantidad A0 a una tasa de interés r (r m 0.06, en este ejemplo), entonces, después de t años su valor es de A0(1  r)t. No obstante, por lo general el interés es compuesto con más frecuencia; es decir, n veces al año. Por tanto, en cada periodo de capitalización, la tasa de interés es rYn y hay nt periodos en t años, así que el valor de la inversión es A0 1 r n nt Por ejemplo, una inversión de 1 000 dólares después de 3 años a 6% de interés estarán valorados en $1000 1.06 3 $1191.02 compuesto al año $1000 1.03 6 $1194.05 compuesto cada seis meses $1000 1.015 12 $1195.62 compuesto cada tres meses $1000 1.005 36 $1196.68 compuesto cada mes $1000 1 0.06 365 365 3 $1197.20 compuesto diario 242 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Podemos ver que el pago del interés se incrementa cuando el número de periodos compuesto (n) se incrementa. Si hacemos que n l @, entonces estará componiendo el interés continuamente, y el valor de la inversión será At nt r n lím A0 1 nl
rt 1 r n n r lím A0 rt 1 r n n r A0 lím rt 1 1 m m A0 lím nl
nl
ml
(donde m
n
r) Pero el límite en esta expresión es igual al número e (véase la ecuación 3.6.6). Así que, componiendo en forma continua con una tasa de interés r, la cantidad después de t años es A(t) m A0 e r t Si derivamos esta función, obtenemos dA dt rA0 e rt rA t la cual dice que, componiendo continuamente el interés, la tasa de incremento de una inversión es proporcional a su tamaño. Regresando al ejemplo de 1 000 dólares invertidos por 3 años a 6% de interés anual, el valor de la inversión será A(3) m $1 000e(0.06)3 m $1 197.22 Observe cómo se acerca esto a la cantidad calculada por componer diariamente 1 197.20 dólares, pero es más fácil calcular la cantidad si aplicamos la composición continua. 3.8 Ejercicios 1. Una población de protozoarios se desarrolla con una tasa de crecimiento relativo constante de 0.7944 por miembro por cada día. En el día cero la población consiste de dos miembros. Encuentre el tamaño de la población después de 6 días. 2. Un habitante común del intestino humano es la bacteria Escherichia coli. Una célula de esta bacteria en un caldo nutriente se divide en dos células cada 20 minutos. La población inicial de un cultivo es de 60 células a) Halle la tasa de crecimiento relativo. b) Encuentre una expresión para el número de células después de t horas.  Se requiere calculadora graficadora o computadora c) Calcule el número de células después de 8 horas. d) Establezca la tasa de crecimiento después de 8 horas. e) ¿Cuándo alcanzará la población 20 000 células? 3. Un cultivo de bacterias al inicio contiene 100 células y crece en una cantidad proporcional a su tamaño. Después de 1 hora la población se ha incrementado a 420. a) Establezca una expresión para el número de bacterias después de t horas. b) Calcule el número de bacterias después de 3 horas. c) Encuentre la tasa de crecimiento después de 3 horas. d) ¿Cuándo alcanza la población 10 000? 1. Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com SECCIÓN 3.8 4. Un cultivo de bacterias crece con una tasa de crecimiento relativo constante. Después de 2 horas existen 400 bacterias y después de 6 horas la cuenta es de 25 600. a) ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo? Exprese su respuesta en porcentaje. b) ¿Cuál fue el tamaño inicial del cultivo? c) Encuentre una expresión para el número de bacterias después de t horas. d) Encuentre el número de células después de 4.5 horas. e) Encuentre la tasa de crecimiento después de 4.5 horas. f) ¿Cuándo alcanzará la población 50 000? 5. La tabla proporciona estimados de la población mundial, en millones, desde 1750 hasta el 2000. a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de población para 1750 y 1800 para predecir la población mundial en 1900 y en 1950. Compare con las cifras actuales. b) Utilice el modelo exponencial y las cifras de población para 1850 y 1900 para predecir la población mundial en 1950. Compare con la población actual. c) Emplee el modelo exponencial y las cifras de población en 1900 y 1950 para predecir la población mundial en el 2000. Compare con la población actual e intente explicar la discrepancia. Año Población Año Población 1750 790 1900 1650 1800 980 1950 2 560 1850 1 260 2000 6 080 6. La tabla proporciona la población de India, en millones, para la segunda mitad del siglo xx.  Año Población 1951 361 1961 439 1971 548 1981 683 1991 846 2001 1 029 a) Aplique el modelo exponencial y las cifras de censo para 1951 y 1961 para predecir la población en el 2001. Compare con las cifras actuales. b) Utilice el modelo exponencial y las cifras del censo para 1961 y 1981 para predecir la población en el 2001. Compare con la población actual. Después utilice este modelo para predecir la población en los años 2010 y 2020. c) Grafique ambas funciones exponenciales de los incisos a) y b) junto con una gráfica de la población actual. ¿Alguno de estos modelos es razonable? 7. Los experimentos muestran que si la reacción química CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO EXPONENCIALES 243 dinitrógeno es proporcional a su concentración como sigue: d N2O5 dt 0.0005 N2O5 (Véase el ejemplo 4 en la sección 3.7.) a) Halle una expresión para la concentración FN2O5G después de t segundos si la concentración inicial es C. b) ¿Cuánto tiempo le toma a la reacción para reducir la concentración de N2O5 a 90% de su valor original? 8. El estroncio-90 tiene un tiempo de vida media de 28 días. a) Una muestra tiene originalmente una masa de 50 mg. Establezca una fórmula para la masa que queda después de t días. b) Calcule la masa restante después de 40 días. c) ¿Cuánto tiempo le toma a la muestra reducir su masa a 2 mg? d) Bosqueje la gráfica de la función masa. 9. El tiempo de vida media del cesio-137 es de 30 años. Suponga que tenemos una muestra de 100 mg. a) Establezca la masa que permanece después de t años. b) ¿Cuánto de la muestra permanece después de 100 años? c) ¿Después de cuánto tiempo permanece únicamente 1 mg? 10. Una muestra de tritio-3 se desintegró a 94.5% de su cantidad original después de 1 año. a) ¿Cuál es el tiempo de vida media del tritio-3? b) ¿Cuánto tardaría en decaer a 20% de su cantidad original? 11. Los científicos pueden establecer la edad de objetos antiguos mediante el método de datación por radiocarbono. El bombardeo de la atmósfera superior por los rayos cósmicos convierte al nitrógeno en un isótopo radioactivo de carbono, 14 C, con un tiempo de vida media aproximado de 5 730 años. La vegetación absorbe dióxido de carbono a través de la atmósfera, y la vida animal asimila 14C a través de la cadena alimenticia. Cuando una planta o un animal mueren, se detiene la sustitución de su carbono, y la cantidad de 14C inicia su disminución a través de la desintegración radiactiva. En consecuencia el nivel de radiactividad también decae de manera exponencial. En un fragmento de pergamino se descubrió que había aproximadamente setenta y cuatro por ciento tanta radioactividad 14C como en el material con el que se hace el pergamino que hay sobre la Tierra hoy en día. Estime la edad del pergamino. 12. Una curva pasa a través del punto (0, 5) y tiene la propiedad de que la pendiente de la curva en cualquier punto P es dos veces la coordenada y de P. ¿Cuál es la ecuación de la curva? 13. De un horno se toma un pavo rostizado cuando su temperatura ha alcanzado 185 F y se coloca sobre una mesa en un espacio donde la temperatura es 75 F. a) Si la temperatura del pavo es 150 F después de media hora, ¿cuál es la temperatura 45 minutos después? b) ¿Cuándo se enfriará el pavo a 100 F? 14. En una investigación de asesinato, la temperatura del cadáver N2O5 l 2NO 2 1 2 O2 se realiza a 45 C, la velocidad de reacción del pentóxido de fue de 32.5 C a las 13:30 y de 30.3 C una hora más tarde. La temperatura corporal normal es 37.0 C y la temperatura del ambiente era de 20.0 C. ¿Cuándo tuvo lugar el asesinato? 244 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN 15. Cuando se saca una bebida fría del refrigerador, su temperatura es 5 C. Después de 25 minutos dentro de una habitación a 20 C su temperatura se incrementa a 10 C. a) ¿Cuál es la temperatura de la bebida 50 minutos después? b) ¿Cuándo estará su temperatura a 15 C? compuesto: i) anual, ii) trimestral, iii) mensual, iv) semanal, v) diario, vi) por hora y vii) de manera continua. b) Suponga que se prestan 1 000 dólares y el interés es compuesto de manera continua. Si A(t) es la cantidad que se debe después de t años, donde 0 v t v 3, grafique A(t) en una pantalla común, para cada una de las tasas de interés 6, 8 y 10 por ciento.  16. Una taza de café recién preparado tiene 95 C de temperatura en una habitación a 20 C. Cuando la temperatura es de 70 C, se enfría con una rapidez de 1 C por cada minuto. ¿Cuándo sucede esto? 19. a) Si invierten 3 000 dólares a 5% de interés, calcule el valor de la inversión al final de 5 años si el interés es compuesto i) anual, ii) semestral, iii) mensual, iv) semanal, v) por día y vi) de manera continua. b) Si A(t) es la cantidad de la inversión al tiempo t para el caso de composición continua, establezca una ecuación diferencial y una condición inicial que satisfaga A(t). 17. La rapidez de cambio de la presión atmosférica P respecto a la altitud h es proporcional a P, siempre que la temperatura sea constante. A 15 C la presión es 101.3 kPa al nivel del mar y 87.14 kPa en h m 1 000 m. a) ¿Cuál es la presión a una altitud de 3 000 m? b) ¿Cuál es la presión en la cima del monte McKinly, a una altitud de 6 187 m? 20. a) ¿Cuánto transcurrirá para que una inversión se duplique en valor si la tasa de interés anual es de 6% compuesto de manera continua? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual equivalente? 18. a) Si se prestan 1 000 dólares a 8% de interés, calcule la cantidad que se debe al final de 3 años si el interés es 3.9 Razones relacionadas Si estamos inflando un globo, tanto su volumen como su radio se incrementan, y sus razones de incremento están relacionadas entre sí. Pero es mucho más fácil medir de modo directo la rapidez de aumento de volumen que la rapidez de crecimiento del radio. En un problema de razones de cambio relacionadas, la idea es calcular la razón de cambio de una cantidad en términos de la razón de cambio de otra cantidad (la cual podría medirse con más facilidad). El procedimiento es determinar una ecuación que relacione las dos cantidades y aplicar la regla de la cadena para derivar ambos miembros respecto al tiempo. v Se infla un globo esférico y su volumen crece a razón de 100 cm3Ys. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm? RP De acuerdo con los principios de la resolución de problemas estudiados en la página 75, el primer paso es entender el problema. Ahí está incluida la lectura cuidadosa del problema, la identificación de los datos con que se conoce y lo que se desconoce y la introducción de una notación conveniente. EJEMPLO 1 SOLUCIÓN Empezamos por identificar dos aspectos: la información dada: la razón de incremento del volumen del globo es 100 cm3Ys y lo que se desconoce: la rapidez de incremento del radio cuando el diámetro es 50 cm Con objeto de expresar estas cantidades en forma matemática, introduzca una notación sugerente: sea V el volumen del globo y r su radio. La clave que se debe tener presente es que las razones de cambio son derivadas. En este problema, tanto el volumen como el radio son funciones del tiempo t. La rapidez de incremento del volumen respecto al tiempo es la derivada dVYdt, y la rapidez del incremento del radio es drYdt. Por tanto, replantee lo que conoce y lo que desconoce de la manera siguiente: Conocido: dV dt Desconocido: dr dt 100 cm3 s cuando r
25 cm SECCIÓN 3.9 RP La segunda etapa de la resolución de problemas es concebir un plan para relacionar la información conocida con la desconocida. RAZONES RELACIONADAS 245 Con objeto de relacionar dVYdt y drYdt, primero relacionamos V y r mediante la fórmula del volumen de una esfera: 4 3 V r3 A fin de utilizar la información dada, derive respecto a t a ambos miembros de la ecuación. Para derivar el lado derecho necesita aplicar la regla de la cadena: dV dt dV dr dr dt 4 r2 dr dt Ahora resuelva para la cantidad desconocida: 1 dV 4 r 2 dt dr dt Observe que, aunque dVYdt es constante, drYdt no lo es. Si sustituimos r m 25 y dVYdt m 100 en esta ecuación, obtenemos 1 100 4 25 2 dr dt 1 25 El radio del globo se incrementa a razón de 1Y(25)) y 0.0127 cmYs. EJEMPLO 2 Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared a razón de 1 pieYs, ¿qué tan rápido la parte superior de la escalera resbala hacia abajo por la pared cuando la parte inferior de la escalera está a 6 pies del muro? SOLUCIÓN Primero dibuje un esquema y ponga los datos como se muestra en la figura 1. muro Sea x pies la distancia desde la parte inferior de la escalera al muro y y pies la distancia desde la parte superior de la escalera al piso. Observe que x y y son funciones del tiempo t (medido en segundos). Sabemos que dxYdt m 1 pieYs, y se pide determinar dyYdt cuando x m 6 pies (véase figura 2). En este problema, la relación entre x y y la define el teorema de pitágoras: 10 y x 2  y 2 m 100 x piso Al derivar con respecto a t ambos miembros aplicando la regla de la cadena tenemos FIGURA 1 2x dy dt dx dt 2y dy dt 0 y al resolver esta ecuación para determinar la rapidez deseada, obtenemos =? dy dt y Cuando x m 6, el teorema de Pitágoras da y m 8 y al sustituir estos valores y dxYdt m 1, llegamos a x dx dt FIGURA 2 x dx y dt =1 dy dt 6 1 8 3 pies
s 4 El hecho de que dyYdt sea negativa quiere decir que la distancia desde la parte superior 3 de la escalera al suelo está decreciendo a razón de 4 pies
s . En otras palabras, la parte 3 superior de la escalera se resbala hacia abajo de la pared a razón de 4 pies
s. EJEMPLO 3 Un depósito para agua tiene la forma de un cono circular invertido; el radio de la base es de 2 m, y la altura es de 4 m. Si el agua se bombea hacia el depósito a razón de 2 m3Ymin, determine la rapidez a la cual el nivel del agua sube cuando el agua tiene 3 m de profundidad. 246 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN SOLUCIÓN Primero elabore un diagrama del cono y denote la información como en la 2 r 4 figura 3. Sean V, r y h el volumen del agua, el radio de la superficie circular y la altura en el tiempo t, respectivamente, donde t se mide en minutos. Sabemos que dVYdt m 2 m3Ymin, y se nos pide determinar dhYdt cuando h es 3 m. Las cantidades V y h se relacionan mediante la ecuación h FIGURA 3 1 3 V r 2h pero es muy útil expresar V sólo en función de h. Con objeto de eliminar r, recurra a los triángulos semejantes en la figura 3 para escribir r h 2 4 h 2 r y la expresión para V se vuelve V 1 3 2 h 2 h 12 h3 Ahora podemos derivar cada miembro respecto a t: dV dt 4 dh dt 4 dV h 2 dt dh dt de modo que h2 Al sustituir h m 3 m y dVYdt m 2 m3Ymin tenemos que dh dt 4 3 2 2 8 9 El nivel del agua está subiendo a razón de 8Y(9)) y 0.28 mYmin. RP Reflexione: ¿qué ha aprendido de los ejemplos 1 a 3 que lo ayude a resolver problemas futuros? Estrategia de resolución de problemas Es útil recordar algunos de los principios para resolver problemas que se encuentran en la página 75 y adaptarlos a las razones de cambio relacionadas, luego de lo que aprendió en los ejemplos 1 a 3: 1. Lea con cuidado el problema. 2. Si es posible, dibuje un diagrama. R ADVERTENCIA: un error común es la sustitución de la información numérica conocida (por cantidades que varían con el tiempo) muy pronto. La sustitución se efectúa sólo después de la derivación. (El paso 7 va después del paso 6.) Es decir, en el ejemplo 3 se tratan valores generales de h hasta que finalmente sustituye h o 3 en la última etapa. (Si hubiera sustituido h o 3 desde antes, habría obtenido dVYdt m 0, lo cual es evidentemente erróneo.) 3. Introduzca la notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que están en función del tiempo. 4. Exprese la información dada y la razón requerida en términos de derivadas. 5. Escriba una ecuación que relacione las diferentes cantidades del problema. Si es necesario, utilice las propiedades geométricas de la situación para eliminar una de las variables por sustitución, como en el ejemplo 3. 6. Utilice la regla de la cadena para derivar respecto a t ambos miembros de la ecuación. 7. Sustituya la información dada en la ecuación resultante y resuelva para la razón de cambio desconocida. Los ejemplos siguientes son ilustraciones adicionales de la estrategia. SECCIÓN 3.9 RAZONES RELACIONADAS 247 v EJEMPLO 4 El automóvil A se dirige hacia el oeste a 50 millasYh y el automóvil B viaja hacia el norte a 60 millasYh. Ambos se dirigen hacia la intersección de los dos caminos. ¿Con qué rapidez se aproximan los vehículos entre sí cuando el automóvil A está a 0.3 millas y el automóvil B está a 0.4 millas de la intersección? x C y z B A SOLUCIÓN Dibuje la figura 4, donde C es la intersección de los caminos. En un tiempo dado t, sea x la distancia entre el automóvil A y C, sea y la distancia del automóvil B a C y sea z la distancia entre los vehículos, donde x, y y z se miden en millas. Sabemos que dxYdt m 50 millasYh y dyYdt m 60 millasYh. Las derivadas son negativas porque x y y son decrecientes. Se pide calcular dzYdt. La ecuación que relaciona x, y y z la proporciona el teorema de Pitágoras: z2 m x 2  y2 FIGURA 4 Al derivar ambos lados respecto a t obtenemos 2z dz dt 2x dx dt dz dt 1 z x 2y dx dt dy dt y dy dt Cuando x m 0.3 millas y y m 0.4 millas, el teorema de Pitágoras da z m 0.5 millas, de modo que dz dt 1 0.3 0.5 50 0.4 60 78 mi h Los vehículos se aproximan entre sí a razón de 78 millasYh. v EJEMPLO 5 Un hombre camina a lo largo de una trayectoria recta a una rapidez de 4 piesYs. Un faro está situado sobre el nivel de la tierra a 20 pies de la trayectoria y se mantiene enfocado hacia el hombre. ¿Con qué rapidez el faro gira cuando el hombre está a 15 pies del punto sobre la trayectoria más cercana a la fuente de luz? SOLUCIÓN Trace la figura 5 y haga que x sea la distancia desde el hombre hasta el punto x sobre la trayectoria que esté más cercana al faro. Sea . el ángulo entre el rayo desde el faro y la perpendicular a la trayectoria. Sabemos que dxYdt m 4 piesYs, y se pide calcular d.Ydt cuando x m 15. La ecuación que relaciona x y . puede escribirse a partir de la figura 5: x 20 20 ¨ tan u x 20 tan u Al derivar respecto a t ambos miembros, obtenemos FIGURA 5 dx dt por lo que du dt 20 sec2 u du , dt 1 dx cos2 u 20 dt 1 cos2 u 4 20 1 cos2 u 5 248 CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN Cuando x m 15, la longitud del rayo es 25, así que cos u du dt 1 5 4 5 2 16 125 4 5 y 0.128 El faro gira con una rapidez de 0.128 radYs. 3.9 Ejercicios 1. Si V es el volumen de un cubo con arista x, y el cubo se expande a medida que transcurre el tiempo, exprese dVYdt en términos de dxYdt. 2. a) Si A es el área de un círculo cuyo radio es r, y el círculo se expande a medida que pasa el tiempo, exprese dAYdt en términos de drYdt. b) Suponga que se derrama aceite de un depósito agrietado y que se extiende siguiendo una circular. Si el radio del derrame de aceite se incrementa con una rapidez constante de 1 mYs, ¿qué tan rápido se incrementa el área del derrame cuando el radio es de 30 m? 3. Cada lado de un cuadrado se incrementa a razón de 6 cmYs. ¿Con qué rapidez se incrementa el área del cuadrado cuando su área es de 16 cm2? 4. El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8 cmYs y el ancho a razón de 3 cmYs. Cuando el largo es 20 cm y el ancho es 10 cm, ¿qué tan rápido se incrementa el área del rectángulo? 5. Un tanque cilíndrico con 5 m de radio se está llenando con agua a razón de 3 cm3Ymin. ¿Qué tan rápido se incrementa la altura de agua? 6. El radio de una esfera se incrementa a razón de 4 mmYs. ¿Qué tan rápido se incrementa el volumen cuando el diámetro es de 80 mm? s2x 1 , donde x y y son funciones de t. a) Si dxYdt m 3, encuentre dyYdt cuando x m 4. b) Si dyYdt m 5, encuentre dxYdt cuando x m 12. 7. Suponga que y 8. Suponga que 4x 2  9y2 m 36, donde x y y son funciones de t. 2 1 a) Si dy dt 3, encuentre dxYdt cuando x m 2 y y 3 s5 . 2 b) Si dxYdt m 3, encuentre dyYdt cuando x m 2 y y 3 s5 . 9. Si x 2  y2  z2 m 9, dxYdt m 5 y dyYdt m 4, encuentre dzYdt cuando (x, y, z) m (2, 2, 1). 10. Una partícula se desplaza a lo largo de la hipérbola xy m 8. Cuando alcanza el punto (4, 2), la coordenada y se incrementa con una rapidez de 3 cmYs. ¿Qué tan rápido cambia la coordenada x del punto en movimiento en ese instante? la distancia desde el avión a la estación cuando éste se encuentra a 2 millas de la estación. 12. Si una bola de nieve se derrite de tal modo que el área superficial disminuye a razón de 1 cm2Ymin, calcule la rapidez con la que disminuye el diámetro cuando éste es 10 cm. 13. Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15 pies de altura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el poste con una rapidez de 5 piesYs a lo largo de una trayectoria rectilínea. ¿Qué tan rápido se desplaza la punta de su sombra cuando el hombre está a 40 pies del poste? 14. A mediodía, un barco A está a 150 km al oeste del barco B. El barco A navega hacia el este a 35 kmYh y el barco B navega hacia el norte a 25 kmYh. ¿Qué tan rápido cambia la distancia entre los barcos a las 16:00? 15. Dos automóviles parten desde el mismo punto. Uno se dirige hacia el sur a 60 millasYh y el otro hacia el oeste a 25 millasYh. ¿Con qué rapidez se incrementa la distancia entre los automóviles dos horas después? 16. Una foco sobre el piso ilumina una pared a 12 m de distancia. Si un hombre de 2 m de estatura camina desde el foco hacia el edificio a una rap