La caída libre es el movimiento vertical que un objeto experimenta cuando se le deja caer desde una cierta altura cercana a la superficie de la Tierra. Se trata de uno de los movimientos más simples e inmediatos que se conocen: en línea recta y con aceleración constante.
Todos los objetos que se dejan caer, o que son lanzados verticalmente hacia arriba o hacia abajo, se mueven con la aceleración de 9.8 m/s2 proporcionada por la gravedad de la Tierra, sin importar su masa.
Puede que hoy en día este hecho se acepte sin problemas. Sin embargo entender la verdadera naturaleza de la caída libre llevó un tiempo. Ya los griegos lo habían descrito e interpretado de manera muy básica hacia el siglo IV a C.
[toc]
Ecuaciones del movimiento de caída libre
Una vez convencidos de que la aceleración es la misma para todos los cuerpos liberados bajo la acción de la gravedad, es el momento de establecer las ecuaciones necesarias para explicar este movimiento.
Es importante recalcar que la resistencia del aire no se toma en cuenta en este primer modelo de movimiento. Sin embargo, los resultados de este modelo son muy precisos y cercanos a la realidad.
En todo lo que sigue se supondrá el modelo de partícula, es decir, las dimensiones del objeto no se toman en cuenta, suponiendo que toda la masa se encuentra concentrada en un solo punto.
Para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en dirección vertical, se toma como eje de referencia al eje y. El sentido positivo se toma hacia arriba y el negativo hacia abajo.
Las magnitudes cinemáticas
De esta manera, las ecuaciones de la posición, la velocidad y la aceleración en función del tiempo son:
Aceleración
a = g = -9.8 m/s2 (-32 pies/s2)
Posición en función del tiempo: y(t)
y = yo + vo . t + ½ gt2
Donde yo es la posición inicial del móvil y vo es la velocidad inicial. Recuérdese que en el lanzamiento vertical hacia arriba la velocidad inicial necesariamente es diferente de 0.
Que puede escribirse como:
y – yo = vo . t + ½ gt2
Δy = vo . t + ½ gt2
Con Δy siendo el desplazamiento efectuado por la partícula móvil. En unidades del Sistema Internacional tanto la posición como el desplazamiento vienen dados en metros (m).
Velocidad en función del tiempo: v(t)
v = vo + g . t
Velocidad en función del desplazamiento
Es posible deducir una ecuación que vincule el desplazamiento con la velocidad, sin que intervenga en ella el tiempo. Para ello se despeja el tiempo de la última ecuación:
Y se sustituye en la ecuación del desplazamiento:
Δy = vo . t + ½ gt2
Se desarrolla el cuadrado con ayuda del producto notable y se reagrupan términos.
Esta ecuación es útil cuando no se dispone del tiempo, pero en cambio se tienen velocidades y desplazamientos, como se verá en la sección de ejemplos resueltos.
Ejemplos de caída libre
El lector atento habrá notado la presencia de la velocidad inicial vo. Las ecuaciones anteriores son válidas para movimientos verticales bajo la acción de la gravedad, tanto cuando se el objeto se caer desde cierta altura, como si se lanza verticalmente hacia arriba o hacia abajo.
Cuando el objeto se deja caer, simplemente se hace vo = 0 y las ecuaciones se simplifican de la siguiente manera.
Aceleración
a = g = -9.8 m/s2 (-32 pies/s2)
Posición en función del tiempo: y(t)
y = yo+ ½ gt2
Velocidad en función del tiempo: v(t)
v = g . t
Velocidad en función del desplazamiento
v2 = 2g. Dy
Dy también será negativo, puesto que v2 debe ser una cantidad positiva. Esto ocurrirá tanto si se toma el origen o cero del sistema de coordenadas en el punto de lanzamiento o en el suelo.
Si el lector lo prefiere, puede tomar como positiva la dirección hacia abajo. La gravedad seguirá actuando si se piensa que es + 9.8 m/s2. Pero hay que ser consistente con la convención de signos seleccionada.
El lanzamiento vertical hacia arriba
Aquí, naturalmente, la velocidad inicial no puede ser nula. Hay que proporcionarle al objeto un impulso para que suba. De acuerdo a la velocidad inicial que se le proporcione, el objeto subirá a mayor o menor altura.
Por supuesto, habrá un instante en el cual el objeto se detiene momentáneamente. Entonces se habrá alcanzado la altura máxima respecto al punto de lanzamiento. Igualmente la aceleración sigue siendo g hacia abajo. Veamos qué sucede en este caso.
Cálculo de la altura máxima alcanzada
Escogiendo yo = 0:
Como la gravedad siempre apunta al suelo en la dirección negativa, el signo negativo queda cancelado.
Cálculo del tiempo máximo
Un procedimiento semejante sirve para encontrar el tiempo que tarda el objeto en llegar a la altura máxima.
v = vo + g . t
Se hace v = 0
vo = – g . tmax
El tiempo de vuelo es el tiempo que dura el objeto en el aire. Si el objeto retorna al punto de partida, el tiempo de subida es igual al tiempo de descenso. Por lo tanto, el tiempo de vuelo es 2. t máx.
¿Es el doble del tmax el tiempo total que dura el objeto en el aire? Sí, siempre y cuando el objeto parta de un punto y regrese a él.
Si el lanzamiento se hace desde cierta altura sobre el suelo y se permite que el objeto prosiga hacia este, el tiempo de vuelo ya no será el doble del tiempo máximo.
Ejercicios resueltos
En la resolución de los ejercicios que siguen se considerará lo siguiente:
1-La altura desde donde se deja caer el objeto es pequeña comparada con el radio de la Tierra.
2-La resistencia del aire es despreciable.
3-El valor de la aceleración de la gravedad es 9.8 m/s2
4-Cuando se trate de problemas con un solo móvil, de preferencia se escoge yo = 0 en el punto de partida. Esto suele facilitar los cálculos.
5-A menos que se indique lo contrario, la dirección vertical hacia arriba se toma como positiva.
6-En los movimientos combinados ascendentes y descendentes, las ecuaciones aplicadas directamente ofrecen los resultados correctos, siempre y cuando se mantenga la consistencia con los signos: hacia arriba positivo, hacia abajo negativo y gravedad -9.8 m/s2 o -10 m/s2 si se prefiere redondear (para mayor comodidad al calcular).
Ejercicio 1
Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad de 25.0 m/s. Responder las siguientes preguntas:
a) ¿A qué altura se eleva?
b) ¿Cuánto tarda en lograr su punto más alto?
c) ¿Cuánto tarda la pelota en tocar la superficie de la tierra después de que logra su punto más alto?
d) ¿Cuál es su velocidad cuando regresa al nivel de donde inició?
Solución
c) Tratándose de un lanzamiento a nivel: tvuelo = 2 . tmax = 2 x6 s = 5.1 s
d) Cuando regresa al punto de partida la velocidad tiene la misma magnitud que la velocidad inicial pero sentido contrario, por lo tanto debe ser – 25 m/s. Se comprueba fácilmente mediante sustitución de valores en la ecuación para la velocidad:
Ejercicio 2
Se libera una pequeña valija postal desde un helicóptero que está descendiendo con velocidad constante de 1.50 m/s. Después de 2.00 s calcular:
a) ¿Cuál es la velocidad de la valija?
b) ¿A qué distancia se encuentra la valija debajo del helicóptero?
c) ¿Cuáles son sus respuestas para los apartados a) y b) si el helicóptero se eleva con velocidad constante de 1.50 m/s?
Solución
Apartado a
Al abandonar al helicóptero, la valija lleva la velocidad inicial de éste, por lo tanto vo = -1.50 m/s. Con el tiempo indicado, la velocidad se ha incrementado gracias a la aceleración de la gravedad:
v = vo + g . t= -1.50 – (9.8 x 2) m/s = – 21.1 m/s
Apartado b
Veamos cuánto ha descendido la valija respecto al punto de partida en ese tiempo:
Valija: Dy = vo . t + ½ gt2 = -1.50 x 2 + ½ (-9.8)x 22 m = -22.6 m
Se ha seleccionado yo = 0 en el punto de partida, tal como se indicó al comienzo de la sección. El signo negativo señala que la valija ha descendido 22. 6 m por debajo del punto de partida.
Mientras tanto el helicóptero ha descendido con rapidez de -1.50 m/s, suponemos con rapidez constante, por lo tanto en el tiempo señalado de 2 segundos, el helicóptero ha recorrido:
Helicóptero: Δy= vo.t = -1.50 x 2 m = -3 m.
Por lo tanto al cabo de 2 segundos, valija y helicóptero están separados por una distancia de:
d =| -22.6 – (-3) | m = 19. 6 m.
La distancia siempre es positiva. Para resaltar este hecho se utiliza el valor absoluto.
Apartado c
Cuando el helicóptero se eleva, tiene una velocidad de + 1.5 m/s. Con esa velocidad sale la valija, de manera que al cabo de 2 s ya lleva:
v = vo + g . t= +1.50 – (9.8 x 2) m/s = – 18.1 m/s
La velocidad resulta ser negativa, puesto que al cabo de 2 segundos la valija se encuentra moviéndose hacia abajo. Se ha incrementado gracias a la gravedad, pero no tanto como en el apartado a.
Ahora encontremos cuánto ha descendido la valija respecto al punto de partida durante los 2 primeros segundos de viaje:
Valija: Δy = vo . t + ½ gt2 = +1.50 x 2 + ½ (-9.8)x 22 m = -16 .6 m
Mientras tanto, el helicóptero se ha elevado respecto al punto de partida, y lo ha hecho con velocidad constante:
Helicóptero: Δy = vo.t = +1.50 x 2 m = +3 m.
Al cabo de 2 segundos valija y helicóptero están separados por una distancia de:
d =| -16.6 – (+3) | m = 19.6 m
La distancia que los separa es la misma en ambos casos. La valija recorre menos distancia vertical en el segundo caso, porque su velocidad inicial estuvo dirigida hacia arriba.
https://youtu.be/w2uVeTXwsFk
Referencias
- Kirkpatrick, L. 2007. Física: Una mirada al mundo. 6ta Edición abreviada. Cengage Learning. 23 – 27.
- Rex, A. 2011. Fundamentos de Física. Pearson. 33 – 36
- Sears, Zemansky. 2016. University Physics with Modern Physics. 14th. Ed. Volume1. 50 – 53.
- Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentos de Física. 9na Ed. Cengage Learning. 43 – 55.
- Wilson, J. 2011. Fisica 10. Pearson Educación. 133 – 149.