Stern-Gerlach-Experiment
Inhaltsverzeichnis
Stern, Gerlach, Drehimpuls, Richtungsquantelung, Elektronenspin
Historische Bedeutung des Experimentes
Das Experiment, das Otto Stern und Walther Gerlach 1922 in Frankfurt durchführten, sollte die Frage klären, ob der Drehimpuls von Atomen eine Richtungsquantelung aufweist. Zur damaligen Zeit war das Bohrsche Atommodell noch in aller Munde. Die Quantenmechanik entwickelte sich gerade erst. Phänomene wie der normale und der anormaler Zeeman-Effekt oder der Ferromagnetismus waren noch unverstanden. Um sie erklären zu können, wurde die Hypothese des Richtungsquantelung eines Drehimpulses entwickelt.
Stern und Gerlach nahmen diese Hypothese wörtlich: Wenn z.B. im Wasserstoff-Atom ein einzelnes Elektron um den Atomkern kreist, dann stehen der Drehimpuls und das magnetische Moment des Elektrons senkrecht auf der Kreisebene. Bringt man ein solches Atom in ein Magnetfeld, dann hat der Drehimpuls des Elektrons irgendeine Richtung relativ zum Magnetfeld. Wenn es keine Richtungsquantelung gäbe, dann wäre diese Richtung beliebig. Wenn es dagegen eine Richtungsquantelung gäbe, dann wären die Richtungen festgelegt, z.B. parallel oder antiparallel zum Magnetfeld. Damals nahm man auf Basis des Bohrschen Atommodells noch an, dass der kleinste Bahndrehimpuls, den ein Elektron haben kann, genau L = 1 ћ ist. Daraus ergab sich für das magnetische Moment des Elektrons genau ein Bohrsches Magneton. Und da das magnetische Moment in entgegengesetzter Richtung zum Drehimpuls zeigt, dachte man, es könne im Fall einer Richtungsquantelung nur parallel oder antiparallel zum Magnetfeld stehen.
Das berühmte Experiment von Stern und Gerlach lieferte tatsächlich als Resultat, dass für das magnetische Moment nur zwei Orientierungen möglich sind. Die Hypothese der Richtungsquantelung war damit experimentell bestätigt. Heute wissen wir, dass die Aufspaltung in nur zwei Teilstrahlen bedeutet, dass das magnetische Moment des Silberatoms mit einen halbzahligen Drehimpuls verknüpft ist. Ein Bahndrehimpuls mit ganzzahliger Drehimpulsquantenzahl l = 1 hätte zu drei Teilstrahlen führen müssen. Zur Zeit des Stern-Gerlach-Experimentes war das noch nicht bekannt und daher wurde es zuerst fehlgedeutet. Erst im Nachhinein erkannte man, dass es sich um den erstmaligen Nachweis des Elektronenspins handelte.
Stern und Gerlach verwendeten Silber, das ein ungepaartes Elektron in der 5s-Schale trägt. Irrtümlicherweise schrieb man damals das magnetische Moment dem Bahndrehimpuls dieses Elektrons zu. Dass sein Bahndrehimpuls null ist und dass das magnetische Moment vom Elektronenspin verursacht wird, war noch nicht bekannt. Also hatte man unwissentlich den Elektronenspin nachgewiesen. Heute wird das Stern-Gerlach-Experiment gern im Zusammenhang mit der Entdeckung des Elektronenspins genannt. Tatsächlich wurde dieser aber erst 1925 postuliert. Und erst 1927 (fünf Jahre später!) wurde von Fraser [1] darauf hingewiesen, dass der Bahndrehimpuls von Silber null ist und der Elektronenspin für das Resultat des Stern-Gerlach-Experimentes verantwortlich sein muss [2].
Phänomen und Messprinzip
Das Stern-Gerlach-Experiment zeigt, dass ein Atomstrahl aus Silberatormen sich in zwei Teilstrahlen aufgespaltet, wenn man ihn durch ein inhomogenes Magnetfeld schickt. Das liegt daran, dass ein Silberatom ein magnetisches Moment besitzt, auf das in einem inhomogenen Magnetfeld eine Kraft wirkt. Durch die Richtungsquantelung der Drehimpulse kann das magnetische Moment nur zwei Orientierungen relativ zum Magnetfeld einnehmen. Das ergibt eine Aufspaltung in zwei Teilstrahlen. Die Aufspaltung kann man sichtbar machen, wenn man die Orte der Atome hinter dem Magneten bestimmt. Dazu kann man die Atome auf eine Platte treffen lassen. Stern und Gerlach haben damals den dünnen, nicht sichtbaren Silberbelag auf der Platte durch Zufuhr von Schwefel in Silbersulfid umgewandelt. Dieses ist schwarz und der Belag wurde mit bloßem Auge sichtbar. Dabei findet die gleiche chemische Reaktion statt, die Silberbesteck "anlaufen" lässt.
Physikalischer Hintergrund
In einem homogenen Magnetfeld wirkt nur ein Drehmoment $\vec M=\vec \mu \times\vec B$ auf ein magnetisches Moment, das $\vec\mu$ parallel zu $\vec B$ ausrichten will. Dadurch erhält das magnetische Moment im Magnetfeld eine potenzielle Energie $E_{pot}=-\vec\mu\cdot\vec B$. Mit einer potenziellen Energie ist wiederum eine Kraft verbunden $\vec F = - \nabla E_{pot}$. Das ergibt $\vec F = - \nabla \left(-\vec\mu\cdot\vec B\right) =\nabla \left(\vec\mu\cdot\vec B\right) =\frac{\partial}{\partial x}(\vec\mu\cdot\vec B) \hat {\bf{x}}+\frac{\partial}{\partial y}(\vec\mu\cdot\vec B)\hat {\bf{y}}+\frac{\partial}{\partial z}(\vec\mu\cdot\vec B) \hat {\bf{z}}$. Für die z-Komponente ergibt das beispielsweise $$F_z=\frac{\partial}{\partial z}\left(\mu_x B_x +\mu_y B_y +\mu_z B_z \right) =\mu_x \frac{\partial B_x}{\partial z} +\mu_y \frac{\partial B_y}{\partial z} +\mu_z \frac{\partial B_z}{\partial z}\qquad\qquad\text{(1)}.$$ In einem homogenen Magnetfeld sind alle Ableitungen in (1) Null und daher wirkt auch keine Kraft. Wenn sich dagegen das Magnetfeld in eine Richtung, z.B. die z-Richtung merklich ändert, ist $\frac{\partial B_z}{\partial z}\ne 0$. Dann ist das Magnetfeld inhomogen und die Kraft ist näherungsweise
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Kraft im inhomogenen Magnetfeld, das sich nur in z-Richtung ändert: \(\vec F = \mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z} \hat {\bf{z} }\) | (Gl.1) |
Stärke und Richtung der Kraft hängen nach (2) neben dem Feldgradient $\frac{\partial B_z}{\partial z}$, der für alle Atome gleich ist, von der z-Komponente des magnetischen Momentes μz, d.h. von der Orientierung von $\vec \mu$ ab. Die Orientierung kann für jedes Atom anders sein. Zeigt μz nach oben (+z), dann wirkt die Kraft nach oben. Zeigt dagegen μz nach unten (-z), so wirkt auch die Kraft nach unten. Würde $\vec \mu$ in x- oder y-Richtung zeigen, dann wäre μz=0 und folglich auch Fz=0. Nach klassischer Vorstellung kann $\vec \mu$ in jede Richtung zeigen, folglich könnte Fz jeden Wert zwischen $\pm\mu\frac{\partial}{\partial z} B_z$ annehmen. Das würde zu einer gleichmäßigen "Verschmierung" des Atomstrahls in z-Richtung führen.
Wenn dagegen aufgrund der Richtungsquantelung nur ganz bestimmte Werte von μz erlaubt sind, gibt es auch nur ganz bestimmte Werte der Kraft Fz. Jeder erlaubte Fz-Wert bewirkt einen der Teilstrahlen, in die der Atomstrahl aufspaltet. Wenn z.B. drei Werte (+μz, 0, -μz) vorkämen, würde der Atomstrahl in drei Teilstrahlen aufgespalten: Einer (+μz)würde nach oben, einer (-μz) nach unten und einer (0) überhaupt nicht abgelenkt. Die Richtungsquantelung verlangt eine Aufspaltung in eine gerade Anzahl von Teilstrahlen, wenn die Drehimpulsquantenzahl halbzahlig ist und eine ungerade Anzahl von Teilstrahlen, wenn die Drehimpulsquantenzahl ganzzahlig ist.
Das Experiment
Aufbau
Ein Strahl von Silberatomen wird durch eine schlitzförmige Blende geleitet und vertikal kollimiert. Durch zwei entsprechend geformte Polschuhe wird ein inhomogenes Magnetfeld erzeugt, das vertikal (in z-Richtung) von unten nach oben zunimmt. In diesem inhomogenen Magnetfeld wirkt auf die Silberatome eine vertikale Kraft, deren Stärke von der Orientierung ihrer magnetischen Momente abhängt. Hinter dem Magneten ist ein Detektor angebracht. Im einfachsten Fall ist es eine Platte, auf der sich die Atome niederschlagen. Silberatome schwärzen sich unter dem Einfluss von Schwefel, so dass ihre Verteilung sichtbar wird.
Funktionsweise
Die Atome der Masse m treten mit konstanter Geschwindigkeit vx in den Bereich des inhomogenen Magnetfeldes ein. Dort wirkt auf sie die konstante Kraft $F_z= m a$ mit $a =\frac {\mu_z\frac{\partial B_z}{\partial z}}{m}$, so dass eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vorliegt. Daher werden die Atome im Magnetfeld auf einer parabelförmigen Bahn $z(t)=\frac 12 a t^2$ in z-Richtung abgelenkt und erhalten auch eine z-Komponente der Geschwindigkeit $v_z=a t$. Die Durchflugzeit durch das Magnetfeld ist durch die Länge L des Magnetfeldes und vx festgelegt $t = \frac L{v_x}$. Damit ist die Endgeschwindigkeit $v_z=a \frac L{v_x}$. Die Aufspaltung Δz0 in z-Richtung ist die Summe der Ablenkungen beider Teilstrahlen. Ein Teilstrahl wird um $z(t)=\frac 12 a (\frac L{v_x})^2$ abgelenkt. Der Abstand beider Teilstrahlen ist daher $\Delta z_0 = 2 z =a (\frac L{v_x})^2$. Mit einem Abstand X zwischen Magnet und Detektor vergrößert sich die Aufspaltung gemäß: $\Delta z=\Delta z_0+2 v_z \frac X{v_x}$.
Beispiel 1: Aufspaltung des Atomstrahls
In einem Versuchsaufbau zur Demonstration des Stern-Gerlach-Experiments passieren Silberatome auf einer Länge von L = 25 cm ein Magnetfeld mit einem Gradienten $\frac{dB}{dz}= 120~ \text{T/m}$. Anschließend legen sie noch eine Strecke von X = 7,5 cm bis zum Detektor zurück. Die Silberatome besitzen eine Masse von m = 1,79 ·10-25 kg und bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von vx = 600 m/s. Berechne den Abstand Δz der beiden Teilstrahlen zueinander, wenn diese auf den Detektor treffen!
Die Beschleunigung ist $a_z=\frac{F_z}m=\frac{\mu_B \frac{\partial B}{\partial z}}m =\frac{9,27\cdot 10^{−24}~ \text{J/T}\times 120 ~\text{T/m}}{1,79\cdot 10^{−25} ~\text{kg}}=6,21\times 10^3 ~\text{m/s}^2$.
Das ergibt hinter dem Magneten eine Aufspaltung von $\Delta z_0 = 6,21\times 10^3 ~\text{m/s}^2\times \left (\frac{0,25~\text{m}}{600~\text{m/s}} \right)^2=1,1\times 10^{-3}~\text{m}$ und eine Geschwindigkeit mit $v_z=6,21\times 10^3 ~\text{m/s}^2\times\left (\frac{0,25~\text{m}}{600~\text{m/s}} \right)=2,6~\text{m/s}$.
Zwischen Magnet und Detektor trennen sich die Strahlen um weitere $\Delta z_X = 2 \times 2,6~\text{m/s}\times \left(\frac{0,075~\text{m}}{600~\text{m/s}} \right)=6,5\times 10^{-4}~\text{m}$. Am Detektor beträgt die Aufspaltung insgesamt $\Delta z =1,1\times 10^{-3}~\text{m}+6,5\times 10^{-4}~\text{m}=1,7\times 10^{-3}~\text{m}$.
Messergebnis und Auswertung
Aus der Anzahl der Teilstrahlen kann der Drehimpuls bzw. genauer die Drehimpulsquantenzahl unmittelbar bestimmt werden. Entsprechend den quantenmechanischen Ergebnissen zur Richtungsquantelung führt eine halbzahlige Drehimpulsquantenzahl immer auf eine gerade Anzahl von Teilstrahlen, eine ganzzahlige Drehimpulsquantenzahl ergibt eine ungerade Anzahl von Teilstrahlen. Sei J die Drehimpulsquantenzahl, dann ist die Anzahl N der Teilstrahlen $N= 2 J +1$ und somit $J =(N-1)/2$.
Beispiel 2: Drehimpulsquantenzahl aus Anzahl der Teilstrahlen
Ein Strahl, d.h. keine Aufspaltung, ergibt die Drehimpulsquantenzahl $J=(1-1)/2=0$.
Zwei Teilstrahlen ergeben die Drehimpulsquantenzahl $J=(2-1)/2=\frac 12$.
Drei Teilstrahlen ergeben die Drehimpulsquantenzahl $J=(3-1)/2=1$.
Vier Teilstrahlen ergeben die Drehimpulsquantenzahl $J=(4-1)/2=\frac32$.
Fünf Teilstrahlen ergeben die Drehimpulsquantenzahl $J=(5-1)/2=2$.
Aus der Größe der Aufspaltung und den geometrischen Daten des Experimentes kann man die z-Komponente μz des magnetischen Momentes bestimmen. Dazu muss man die Beschleunigung a aus der Aufspaltung gewinnen. Es ist $\Delta z=\Delta z_0+2 v_z \frac X{v_x}=a (\frac L{v_x})^2+2 a \frac L{v_x}\frac X{v_x}=a\left(\frac{L^2+2LX}{v_x^2}\right)$ und somit $a = \frac{\Delta z ~v_x^2}{L^2+2LX}$. Aus der Beschleunigung erhält man $\mu_z =\frac {m a}{{\partial B_z}/{\partial z}}$.
Beispiel 3: Magnetisches Moment aus der Aufspaltung der Teilstrahlen
Nehmen wir ein Experiment mit den geometrischen Daten und dem Magnetfeld aus Beispiel 1 an. Im Unterschied zu Beispiel 1 wird jedoch Natrium mit m = 3,82 · 10-26 kg und vx = 760 m/s verwendet und die Aufspalutng der zwei Teilstrahlen am Detektor beträgt Δz = 5,0 mm.
Zwei Teilstrahlen ergeben die Drehimpulsquantenzahl $J=(2-1)/2=\frac 12$. Das magnetische Moment wird also durch den Elektronenspin erzeugt.
Aus der Aufspaltung ergibt sich $a=\frac{5,0 \cdot 10^{-3} ~\text{m} \times (760~\text{m/s})^2}{(0,25\text{m})^2+2~\times ~0,25~\text{m}~\times~ 0,075~\text{m} }=2,9 \cdot 10^4 ~\text{m/s}^2$.
Daraus ergibt sich für die z-Komponente des magnetischen Momentes $\mu_z = \frac{3,82 \cdot 10^{-26}~\text{kg}~\times~2,9 \cdot 10^4 ~\text{m/s}^2}{120~\text{J/m}}=9,3\cdot 10^{-24}~\text{J/T}$.
Das entspricht einem Bohrschen Magneton.
Diskussion
Das Stern-Gerlach-Experiment zeigt eindrucksvoll die Richtungsquantelung quantenmechanischer Drehimpulse. Um diese Nachzuweisen wurde es auch durchgeführt. Wie so oft in der Physik wurde dabei zufällig eine neue Entdeckung gemacht, nämlich die Existenz eines halbzahligen Drehimpulses: dem Spin des Elektrons. Allerdings haben die Experimentatoren das selbst nicht bemerkt, sondern ihr Experiment als Bestätigung des Bohrschen Atommodells fehlinterpretiert. Nicht einmal, als 1925 Uhlenbeck and Goudsmit den Elektronenspin postulierten[3], brachte man das Stern-Gerlach-Experiment damit in Verbindung. Erst Ronald Fraser [1] wies 1927 darauf hin, dass der Bahndrehimpuls von Wasserstoff, Natrium und Silberatomen im Grundzustand null ist, und das Splitting auf den Elektronenspin zurückgeführt werden muss. Es bleibt daher ein Rätsel, warum man in nahezu allen Lehrbüchern liest, durch das Experiment von Stern und Gerlach wurde der Elektronenspin entdeckt.
- ↑ 1,0 1,1 Ronald G. J. Fraser, The Effective Cross Section of the Oriented Hydrogen Atom, Proc. R. Soc. Lond. A, Vol. 114, S.212-221 (1927), Online Resource
- ↑ Bretislav Friedrich, Dudley Herschbach, Stern and Gerlach: How a Bad Cigar Helped Reorient Atomic Physics, Physics Today, 56, p.53-59, (2003), Online Resource
- ↑ G.E. Uhlenbeck, S.A. Goudsmit, Die Naturwissenschaften, 13, S. 953-954 (1925)
